DIVISÃO DE ENGENHARIA

CURSO DE ENGENHARIA DE PROCESSAMENTO MINERAL

TERMODINÂMICA

DEDUÇÕES DE MAXWELL

TRANSFORMAÇÕES ADIABÁTICAS, ISOTÉRMICAS E

ISOVOLUMÉTRICAS

Estudantes: Docente:

Balbino João Vale

D`clay Mário Eva Juta

Décio Alberto Taunde Douve Engº Floriano Jantar Torcida

Elton Francisco Isaías Boa

Emenaldo Jerson de Regina Massaite

Tete, Outubro de 2015

Balbino João Vale

D`clay Mário Eva Juta

Décio Alberto Taunde Douve

Elton Francisco Isaías Boa

Emenaldo Jerson de Regina Massaite

DEDUÇÕES DE MAXWELL

TRANSFORMAÇÕES ADIABÁTICAS, ISOTÉRMICAS E

ISOVOLUMÉTRICAS

Trabalho apresentado à Instituto

Superior Politécnico de Tete, no

ambito do plano da Cadeira de

Termodinâmica orientada por Engº

Floriano Jantar Torcida..

Tete, Outubro de 2015

ÍNDICE

INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 4

DEDUÇÕES DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL ...................................................... 5

Deduzindo a equação de Maxwell pela função de entalpia(H) ................................. 5

Dedução de Maxwell pela equação de energia interna(U) como uma função de P .. 7

TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA ......................................................................... 8

Equacao matemática que descreve o processo adiabático ........................................ 8

Equação de um processo adiabático em termos de Te V .......................................... 9

Trabalho numa transformaçao adiabática ............................................................... 10

Representação da curva de transformação adiabática ............................................. 10

TRANSFORMAÇÃO ISOVOLUMÉTRIVA ............................................................ 11

TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA ....................................................................... 12

CONCLUSÃO ................................................................................................................ 15

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 16

4

INTRODUÇÃO

As Leis da Termodinâmica foram desenvolvidas de forma a serem aplicadas a sistemas

de qualquer número de coordenadas. No caso de três ou mais coordenadas, falamos de

superfícies isotérmicas, adiabáticas, etc. No caso de duas coordenadas, falamos de curvas

planas (Exemplo: Sistemas Simples Compressíveis, Sistemas Hidrostáticos).

O presente trabalho aborda sobre as deduções matematicas das equações de Maxwell pela

equação de entalpia e tambem falou-se neste trabalho o segundo topico não obstante as

transformações termodinamicas, referimos transformações adiabáticas, transformações

isotérmicas e transformações isovolumétricas.

5

DEDUÇÕES DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL

Para a dedução das equações de Maxwell é necessário lembrar dois teoremas

matemáticos:

1º teorema: Se existe uma relação entre x, y e z, podemos imaginar z como função de x,

y. Sendo z uma função contínua de x, y a diferencial total desta função será;

2ºTeorema: Se “f” é uma função de x, y, z e existe uma relação entre x, y, z, então “f”

poderá ser expressada como função de qualquer par x, y, z. Similarmente se x, y, z são

funções de “f” e qualquer outra das coordenadas x, ou Y ou z.

Deduzindo a equação de Maxwell pela função de entalpia(H)

𝑯 = 𝑻𝑼 + 𝑷𝑽 (1)

Para variações infímas ou pequenas do volume a equação acima será escrita na forma de

derivada em:

𝒅𝑯 = 𝑻𝒅𝑺 + 𝑽𝒅𝑷 (2)

Dividindo a equação de dH acima por 𝜕𝑃 a temperatura (T) constante teremos:

𝜕𝐻

𝜕𝑃= 𝑇 (

𝜕𝑆

𝜕𝑃) + 𝑉(

𝜕𝑃)

𝜕𝑃 (3)

𝜕𝐻

𝜕𝑃= 𝑇 (

𝜕𝑆

𝜕𝑃) + 𝑉 (4)

Como as equações foram escritas a temperatura constante podemos escrever o seguinte:

(𝜕𝐻

𝜕𝑝)𝑇 = 𝑇(

𝜕𝑆

𝜕𝑃)𝑇 + 𝑉 (5)

E como sabe-se que:

(𝜕𝑆

𝜕𝑃)𝑇 = −(

𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑃 (6)

Então substituindo na equação (5) a derivada parcial (𝑑𝑆

𝑑𝑃)𝑇 pela expressão −(

𝑑𝑉

𝑑𝑇)𝑃

obteremos:

(𝜕𝐻

𝜕𝑝)𝑇 = −𝑇(

𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑃 + 𝑉 (7)

6

E organizando em Função do sinal podemos ter:

(𝜕𝐻

𝜕𝑝)𝑇 = 𝑉 − 𝑇. (

𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑃 (8)

Aplicando o teorema 2:

Escrevendo as equações de Maxwell em rela H=H’(T,P) obteremos:

𝐻 = 𝐻′(𝑇, 𝑃)

dH= (𝜕𝐻

𝜕𝑇)𝑃𝑑𝑇 + (

𝜕𝐻

𝜕𝑃)𝑇𝑑𝑃

Como (𝜕𝐻

𝜕𝑇)𝑃 = 𝐶𝑝 𝑒 (

𝜕𝐻

𝜕𝑃)𝑇= = 𝑉 − 𝑇. (

𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑃 então substituindo na equação acima

teremos:

𝑑𝐻 = 𝐶𝑝𝑑𝑇 + (𝑉 − 𝑇. (𝜕𝑉

𝜕𝑇)

𝑃)𝑑𝑃

Escrevendo as equações de Maxwell em rela S=S’(T,P) obteremos:

𝑆 = 𝑠′(𝑇, 𝑃)

𝑑𝑆 = (𝜕𝑆

𝜕𝑇)𝑃𝑑𝑇 + (

𝜕𝑆

𝜕𝑃)𝑇𝑑𝑃

Observações sobre a equação

Para qualquer substância pura:

Mudança de entalpia numa isóbara: 𝑑𝐻𝑃 = 𝐶𝑝𝑑𝑇

Mudança de entalpia numa isoterma: (𝑉 − 𝑇. (𝜕𝑉

𝜕𝑇)

𝑃)𝑑𝑃

Como (𝜕𝑆

𝜕𝑇)𝑃 =

𝐶𝑝

𝑇 e (

𝜕𝑆

𝜕𝑃)𝑇 = − (

𝜕𝑉

𝜕𝑃)

𝑃 então substituindo na equação acima teremos:

𝑑𝑆 = 𝐶𝑝𝑑𝑇

𝑡− (

𝜕𝑉

𝜕𝑝)

𝑃

𝑑𝑃

7

Dedução de Maxwell pela equação de energia interna(U) como uma função de P

U = H – PV

Diferenciando em função de pressão(P):

(𝜕𝑈

𝜕𝑃)𝑇 =

𝜕𝐻

𝜕𝑃)𝑇 − 𝑃(

𝜕𝑉

𝜕𝑃)𝑇 − 𝑉

E como (𝜕𝐻

𝜕𝑝)𝑇 = 𝑉 − 𝑇. (

𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑃 então substituindo na expressão acima teremos:

(𝜕𝑈

𝜕𝑃)𝑇 = 𝑉 − 𝑇. (

𝜕𝑉

𝜕𝑇)

𝑃− 𝑃(

𝜕𝑉

𝜕𝑃)𝑇 − 𝑉

Resolvendo matematicamente teremos:

(𝜕𝑈

𝜕𝑃)𝑇 = −𝑇. (

𝜕𝑉

𝜕𝑇)

𝑃− 𝑃(

𝜕𝑉

𝜕𝑃)𝑇

8

TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA

Transformação adiabática é uma transformação termodinâmica pela qual não há troca

de calor com o ambiente, apesar de haver variação térmica.

Matematicamente teremos:

∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊

Já que Q =0 ( não ha troca de calor com o meio), a energia interna transforma-se

directamente em trabalho:

∆𝑈 = −𝑊

Isto é, o trabalho é, então, realizado às custas da energia interna do sistema.

É o processo básico do Ciclo Brayton, que explica o funcionamento da turbina a gás. O

aquecimento adiabático e processos de arrefecimento ocorrem normalmente devido às

alterações na pressão de um gás. Isto pode ser quantificado utilizando a lei dos gases

ideais.

Adiabático, vem do grego adiabatos, impenetrável, diz-se do sistema que esteja isolado

de quaisquer trocas de calor ou de matéria com o meio externo.

Equacao matemática que descreve o processo adiabático

PV = nRT

nRt=constante

P𝑉𝛾= constante

Onde:

P=a pressão do gás,

V =o volume

𝛾 =razão entre os calores específicos molar a pressão constante (Cp) e a volume constante

(Cv).

𝛾 =𝐶𝑃

𝐶𝑉

9

Para um gás ideal monoatômico aceitasse 𝛾=5

3

Para um gás ideal diatômico com as suas moléculas girando aceitasse 𝛾=7

5

Quando o gás passa de um estado inicial (𝒾) para um estado final (f) , podemos escrever

a equação da transformação adiabática na forma:

𝑃𝒾𝑉𝒾𝛾 = 𝑃𝑓𝑉𝑓

𝛾

Equação de um processo adiabático em termos de Te V

Para escrever a equação de um processo adiabático em termos de T e V usamos a pressão

P em relação a equação dos gases ideais.

PV= nRT , isolando a Pressão teremos:

P= 𝑛𝑅𝑇

𝑉 substituindo na expressão: P𝑉𝛾= constante teremos:

( 𝑛𝑅𝑇

𝑉 ). 𝑉𝛾= constante

Já que a temperatura (T) varia, e como n e R são constantes, podemos escrever esta

equação na forma:

𝑇

𝑉 . 𝑉𝛾= constante

T. . 𝑉𝛾−1 = constante

Quando o gás passa de um estado inicial (𝒾) para um estado final (f) , podemos escrever

a equação da transformação adiabática na forma:

𝑇𝒾𝑉𝒾𝛾−1

= 𝑇𝑓𝑉𝑓𝛾−1

10

Trabalho numa transformaçao adiabática

De acordo com a primeira lei da termodinâmica:

∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 , mas já sabido que Q=0 , a energia interna se transforma em trabalho:

∆𝑈 = −𝑊 .

Para um gás ideal monoatômico temos o trabalho definido como:

W=-3

2 nR∆𝑇 , tendo em conta que: ∆𝑈=

3

2 nR∆𝑇

Para um gás ideal diatômico que tenha suas moléculas girando temos:

W=-5

2 nR∆𝑇 , tendo em conta que: ∆𝑈=

5

2 nR∆𝑇

Representação da curva de transformação adiabática

A curva que representa o processo adiabático aparece no gráfico representado pela figura

1. Com cuidado pode-se observar que essa curva está entre as transformações isotermas

T1 e T2. Assim como nos demais diagramas pV, a área debaixo da função representa o

trabalho do processo.

Exemplo:

a) 5 Mol de néon gasoso a 2 atm e a 27ºC são comprimidas adiabaticamente para um terço

do volume inicial. Determine a pressão final e o trabalho realizado sobre o gás.

𝛾 =𝐶𝑃

𝐶𝑉=

5

3

11

b) Um gás ideal expande-se adiabaticamente até um volume triplo do seu volume original.

Ao fazê-lo, o gás realiza um trabalho de 720J. Quanto calor sai do gás?Qual é a alteração

da energia interna do gás? A temperatura aumenta ou diminui?

Resolução:

a)𝑃𝑉𝛾= cte é uma relação válida para qualquer processo adiabático.

b) Não sai calor nenhum do gás, já que é essa a definição de processo adiabático (sem

trocas de calor). ΔW = −ΔU ⇔ ΔU = −720J A energia interna do gás diminui 720J.A

temperatura diminui pois ΔU = nCvΔT.

TRANSFORMAÇÃO ISOVOLUMÉTRIVA

Nessa transformação “a pressão que o gás exerce é diretamente proporcional a sua

temperatura”. Essa lei ficou conhecida como Lei de Charles, onde a pressão e a

temperatura variam, e o volume mantém-se constante.

𝑃

𝑇= 𝐾

A transformação isocórica é aquela em que, num processo termodinâmico de um gás

ideal, o volume permanece constante durante o processo.

Essa transformação também recebe o nome de Lei de Charles.

12

A lei pode ser enunciada como:

"Com volume constante, a pressão de uma determinada massa de gás é diretamente

proporcional a sua temperatura absoluta, ou seja, a razão entre pressão e temperatura é

uma constante."

O diagrama pV, mostra que o trabalho realizado na transformação isocórica é zero, já

que não há área compreendida debaixo de uma reta, o que pode ser explicado também

pela variação de volume: para volume constante:

∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖

onde:

∆V = 0

assim:

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 𝑃0. ∆𝑉

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 𝑃0. 0

𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 0

TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA

Nessa transformação “a pressão exercida pelo gás é inversamente proporcional ao volume

por ele ocupado”. Essa lei ficou conhecida como Lei de Boyle-Mariotte, onde a pressão

e o volume variam, e a temperatura mantém-se constante.

𝑃 . 𝑉 = 𝐾

Em 1676 Mariotte, um físico francês, descobriu de forma independente a mesma lei. Por

isso ela é chamada hoje de lei de Boyle-Mariotte.

Em síntese, a lei pode ser enunciada como:

"Quando a temperatura de uma amostra de gás permanece constante, a sua variação de

volume é inversamente proporcional à sua variação de pressão."

Onde essa constante depende da temperatura em que ocorre a transformação da amostra

do gás confinado no recipiente. Essa relação pode ser descrita ainda de outra forma. Se a

amostra de gás, a uma pressão inicial pi, ocupando o volume Vi, passar a ter pressão Pf e

volume Vf, mantendo sempre a temperatura constante, pode-se afirmar que:

𝑃𝑖. 𝑉𝑖 = 𝑃𝑓 . 𝑉𝑓

13

O gráfico abaixo mostra a função do volume inversamente proporcional à pressão

correspondente. Pode-se verificar ainda que a sombra compreendida abaixo da curva do

gráfico (área abaixo da curva), corresponde ao trabalho realizado na transformação.

Exemplo:

a) Calcular o trabalho realizado durante um processo isotérmico de um gás perfeito.

b) Considere a compressão isotérmica de 0,10 mol de um gás perfeito a 0ºC. A pressão

inicial é de 1 atm e o volume final é 1

5 do inicial. Determine o trabalho realizado e o calor

transferido.

c) Um gás ideal ocupa um volume de 8,0m3 a uma pressão de 4 atm e a uma temperatura

de 300K. Expande-se o gás até à pressão final de 1 atm. Calcular o volume e temperatura

finais, o trabalho realizado, o calor absorvido e a variação de energia interna para uma

expansão isotérmica.

Resolução:

Pela definição de trabalho de um gás perfeito 𝑊𝑣𝑖→𝑣𝑓 = ∫ 𝑃𝑑𝑉𝑣𝑓

𝑣𝑖 e, da equação de estado

PV = nRT temos 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇1

𝑉

Substituindo no integral acima:

𝑊𝑣𝑖 →𝑣𝑓= −𝑛𝑅𝑇 ∫1

𝑉

𝑣𝑓

𝑣𝑖

𝑑𝑣 = −𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 (𝑉𝑖

𝑉𝑓) = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛 (

𝑉𝑖

𝑉𝑓)

b) Usando a expressão obtida anteriormente W = 0,10×8,314× 273× ln 5 = 365,3J

ΔQ = ΔU − ΔW = nCvΔT − 365,3 A temperatura é constante logo ΔQ = −365,3J.

c) 𝑃𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 𝑃𝑖𝑉𝑖 = 𝑃𝑓𝑉𝑓 ↔ 𝑉𝑓4×8,0

1= 32𝑚3

14

𝑇𝑓 = 𝑇𝑖 = 300𝑘 𝑃𝑖𝑉𝑖 = 𝑛𝑅𝑇 ↔ 𝑛 =4 × 105 × 8,0

8,314 × 300= 1283𝑚𝑜𝑙

𝑊𝑣𝑖→𝑣𝑓 = 𝑛𝑅𝑇 (𝑉𝑖

𝑉𝑓) = 1283 × 8,314 × 𝑙𝑛 (

8,0

32) = −4,4 × 106𝐽

∆𝑄 = −∆𝑊 = 4,4 × 106

∆𝑈 = 0

Fazendo uma comparação de cada tipo transformação apresentada neste trabalho

podemos verificar:

Transformações Volume Pressão Temperatura

Isotérmica Varia Varia constante

Isobárica Varia constante varia

Isovolumétrica Constante Varia varia

15

CONCLUSÃO

Após a realização deste trabalho os autores concluiram que:

Quando se diz transformação adiabática refere-se a um sistema que possui trés ou mais

coordenadas. As Leis da Termodinâmica foram desenvolvidas de forma a serem aplicadas

a sistemas de qualquer número de coordenadas.

Quando numsistema não há troca de calor com o ambiente refere-se a transformação

adiabática e matematicamente isto quer dizer que o calor é igual a zero. O seja a energia

interna transforma-se directamente e trabalho.

O diagrama pV, mostra que o trabalho realizado na transformação isocórica é zero, já que

não há área compreendida debaixo de uma reta, o que pode ser explicado também pela

variação de volume.

16

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAMBERG, P. and STERNBERG, S. A Course in Mathematics for Students of

Physics Cambridge University Press (1992).

BASSALO, J. M. F. e CATTANI, M. S. D., Rev. Bras. Ens. de Fis. 21(3), 366

(1999).Observe-se que, nesta Refer^encia, h_a um tratamento das Leis da

Termodinâmica no contexto do formalismo das formas diferenciais.

MAXWELL, J. C. Theory of Heat (London, 1870).

11.VALENTE, Z. A. Rela_c~oes de Maxwell da Termodinâmica através de

Formas Diferenciais. Tese de Mestrado, DFUFPA (1999).

HALLIDAY, D., RESNICK,R., WALKER, J., Fundamentos de física. 8ª edição,

vol. 2, editora LTC

http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_adiabatico