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TRANSFORMAÇÕS GEOMÉTRICAS
Alunas: Fabiana Omodei Merighi Mezadri – [email protected] Mariana Moretto Pissini – [email protected] Professoras responsáveis: Maria Zoraide M. C. Soares Sandra Menezes Curso: MAT 100 - Ano 2015/2016 Disciplina: Álgebra Linear Ideia Central: Elaboração de uma aula para ser aplicada com alunos do Ensino Médio Conteúdo
Translação, Rotação e Reflexão. Trabalhar a parceria Matemática e Artes.
Estratégia
Pesquisa sobre o artista holandês Escher; Observação das obras e padrões que elas apresentam; Estudo das transformações lineares; Transformações em papel quadriculado; Transformações com o aplicativo GeoGebra; Exercícios sugeridos e correções; Exercício livre que apresente todas as transformações estudadas.
Número de aulas
10 Competência e Habilidades exploradas de acordo com os PCN’S de Matemática
Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre as conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas.
Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções.
Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Avaliação Os alunos serão avaliados sobre os seguintes critérios.
1. Apresentação do tema para a sala. Comunica, discute e defende ideias próprias e relevantes sobre as artes apresentadas e a matemática envolvida, ou seja, manifesta oralmente a compreensão geral sobre o assunto.
2. Exercício livre que apresente todas as transformações estudadas.
Proposta para Matemática PARTE 1 – Escher e seu trabalho No que diz respeito à Geometria das Transformações, Mauritus Cornelis Escher, artista holandês (1898 – 1972) utilizou-as significativamente em seus estudos e mostrou ser, além de grande artista, um matemático hábil e especializado. Escher, famoso por manipular a geometria visando traçar desenhos com paradoxos visuais, preenchimento regular do plano, explorações do infinito e as metamorfoses - padrões geométricos entrecruzados que se transformam gradualmente para formas completamente diferentes. Utilizou simetrias de reflexão, de rotação, de translação e composição destas simetrias em suas obras. Uma das principais contribuições da obra deste artista está na sua capacidade de gerar imagens com impressionantes efeitos de ilusões de ótica, com notável qualidade técnica e estética, tudo isto, respeitando as regras geométricas do desenho e da perspectiva. Escher, em seus desenhos, fazia uso do plano bidimensional no papel, proporcionando certas mudanças nos traços, mas sem alterar o polígono original. Surgindo assim uma gama de possibilidades. Foi considerado um artista matemático, sobretudo geométrico.
Algumas obras:
Peixes e Escamas
Dia e Noite - além de todos os aspectos geométricos -
Essa gravura provoca uma reflexão sobre as nossas próprias
"migrações", sobre o que levamos e o que deixamos de cada
uma delas, e o mais importante: o que fazemos com todas
essas mudanças. (O mundo mágico de Escher – exposição).
Leia
mais: http://medioportugues.webnode.com.br/news/escher-
e-a-poesia-/
Mural de azulejo
PARTE 2 – Embasamento teórico Transformações no Plano Definição: Uma transformação no plano é uma função bijetora do conjunto dos pontos sobre si mesmo. Se F é uma figura contida no plano, a imagem de F pela transformação T é definida como T(F)={T(P), P F}. Isometrias Definição: Isometrias são transformações no plano que preservam distâncias, isto é, se T é isometria, para qualquer par de pontos A e B vale a relação T(A)T(B) = AB. Como exemplo de isometrias teremos: translação, rotação e reflexão. Translação Definição para o professor: Sejam A e B pontos distintos do plano. A translação TAB é a isometria que leva um ponto X do plano ao ponto TAB (X) = X’, tal que ABX’X é um paralelogramo,
se A, B e X não são colineares. Se A, B e X são colineares, então TAB é tal que 'XX está na reta AB e os segmentos AX’ e BX têm o mesmo ponto médio.
Rotação Definição para o professor: Seja O um ponto do plano e um número real com 0 < ≤ 360.
A rotação de centro O e ângulo é a isometria Ro , que deixa fixo o ponto O e leva o ponto X, X
≠ O, no ponto X’ = Ro ,(X) , tal que OX = OX’ e a medida do ângulo orientado ( ',OXOX ) é igual a
, se ≠ 0 e ≠ 180. Além disso, OX’ = OX, sendo O o ponto médio de 'XX , se = 180; e X’ =
X se = 0.
Reflexão Definição para o professor: Consideremos uma reta r. A isometria dada pela transformação, que leva cada ponto P do plano em seu simétrico P’ em relação à reta r, é chamada reflexão na reta r,
ou simetria de reflexão na reta r, a qual vamos indicar por R r. A reta r é chamada eixo da
reflexão de R r.
PARTE 3 – Analisando as obras de Escher a) Obra: Mural de azulejo Colocando uma folha de papel vegetal sobre uma das figuras escuras contorne-a e desloque-a sobre as demais. O que se pode observar?
As figuras brancas e pretas têm a mesma forma e mesmo tamanho, virando ainda do avesso e colocando-a sobre as outras figuras (outra parte do mural) percebemos que as figuras coincidem. Temos então a simetria axial onde a quina do muro é nosso eixo. b) Obra: Anjos e demônios Analisar a obra e identificar as transformações que existem nela.
Resposta esperada: Divisão com 4 eixos de simetria. Independentemente de onde se toquem as pontas de 4 asas é possível fazer uma rotação de 90º e de novo tornar congruente. Há linhas horizontais e verticais através dos eixos médio do corpo de todos os anjos e demônios Há eixos de reflexão com translação que formam ângulo de 45º com os eixos de reflexão
c) Obra: 8 cabeças Analisar a obra e identificar as transformações que existem nela.
Resposta esperada: Translação e rotação. d) Obra: Dia e noite Quanto à forma e tamanho, o que podemos observar sobre os pássaros claros e escuros?
Resposta esperada: Os pássaros tem a mesma forma e mesmo tamanho.
PARTE 4 – Exercícios propostos a) Classifique como (A) simetria de reflexão (axial), (R) simetria de rotação, (AR) simetria de reflexão e rotação. Trace todos os eixos se for simetria axial e calcule a menor medida positiva em graus, de uma rotação, para o polígono com simetria radial.
Na malha quadriculada: b) Observe a transformação e determine a direção, o sentido e a distância do deslocamento:
c)Translade a figura observando as condições dadas (sentido, direção e distância):
d) Usando a malha quadriculada mostre uma rotação de 90º da figura dada a partir do vértice A:
PARTE 5 – Trabalhando com o GeoGebra Objetivo: Construir um mosaico utilizando as transformações lineares estudadas.
Roteiro da construção: 1º) Clicar com o botão direito do mouse na “Janela de Visualização”.
2º) Desabilitar os “Eixos”.
3º) Clicar novamente com o botão direito do mouse na “Janela de Visualização” e clicar em “Janela de Visualização...”.
4º) Clicar na opção “Malha”.
5º) Em “Tipo de Malha” selecionar a opção “Isométrica”.
6º) Clicar em “Exibir Malha” e fechar a janela “Preferências”.
7º) Clicar na ferramenta “Ponto” e criar 3 pontos distintos, dois a dois não colineares. Esses pontos deverão ser os vértices de um triângulo equilátero de lados medindo 4.
8º) Vamos formatar os pontos criados acima. Para isso, você deverá clicar com o botão direito do mouse em “Ponto” e selecionar a opção “Propriedades”.
9º) Desabilitar “Exibir Rótulo”.
10º) Na aba “Cor”, modificaremos a cor para vermelha.
11º) Na aba “Estilo”, modificaremos o tamanho do ponto para 4.
12º) Fechar a janela “Preferências”.
13º) Usando a ferramenta “Vetor” criaremos dois vetores ( u e v ).
14º) Para criar o vetor u deveremos clicar sobre o ponto A e depois sobre o ponto B.
15º) Para criar o vetor v devemos clicar sobre o ponto A e depois sobre o ponto C.
16º) Vamos ocultar esses dois vetores clicando sobre os círculos azuis indicados abaixo.
17º) Criaremos pontos entre os pontos criados anteriormente. Para isso, selecione a ferramenta “Ponto” e crie 3 novos pontos entre cada par de pontos vermelhos como indicado abaixo.
18º) Mude a cor dos pontos criados acima para preto e o tamanho para 2, conforme fizemos anteriormente para os pontos vermelhos.
19º) Selecione a ferramenta “Polígono” e crie um polígono clicando nos pontos, nesta sequência: A, D, E, F, B, G, H, I, C, J, K, L, A.
20º) Desabilite os rótulos de todos os pontos da figura clicando primeiro sobre cada ponto com o botão direito do mouse e depois clique em “Exibir Rótulo”. 21º) Clique sobre a ferramenta “Controle deslizante”.
22º) Em seguida clique sobre a janela de visualização e aparecerá a janela “Controle Deslizante”. Esta janela deverá ficar com: Intervalo mínimo: 0 Intervalo máximo: 30 Incremento: 1
23º) Nesta mesma janela, clique em na aba “Controle Deslizante”, mude a largura para 150 px e clique em OK.
24º) Clique em: “Exibir” “Janela de Visualização 2”
25º) Desabilite os eixos da janela de visualização 2.
26º) Vamos digitar um comando na caixa de entrada para transladar o triângulo inicialmente construído. O comando a ser digitado será: L_1=sequência[Transladar[pol1,u*i],i,-m,m] Após digitar o comando clique na janela de visualização 2.
27º) Observamos que só apareceram 3 triângulos na Janela de Visualização 2. Para alterar esse número, basta deslizar o ponto no controle deslizante.
28º) Vamos digitar um comando na caixa de entrada para transladar o triângulo inicialmente construído. O comando a ser digitado será: L_2=sequência[Transladar[L_1,v*i],i,-m,m] Após digitar o comando clique na janela de visualização 2.
29º) Para alterar esse número, basta deslizar o ponto no controle deslizante.
30º) Modificando os pontos no triângulo original, obtemos planificações diferentes na Janela de Visualização 2.
Exercício: Crie seu próprio mosaico, utilizando as transformações lineares no GeoGebra. Fontes de Pesquisa: https://artesehumordemulher.wordpress.com/pinturas-de-maurits-cornelis-escher-2/ http://www.escher.eng.br/index_arquivos/Page345.htm https://www.ebiografia.com/m_c_escher/ www.pucsp.br REZENDE, E. Q. F. e QUEIROZ, M. L. B. Geometria Euclidiana Plana e construções geométricas. Campinas: Editora Unicamp, 2000.
