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TRATAMENTO ANALITICO PARA OBTENCAO DO PERFIL DE
VELOCIDADE DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS SOBRE UMA PLACA
PLANA
Lucas Rodrigues dos Santos
Projeto de Graduacao apresentado ao Curso de
Engenharia Mecanica da Escola Politecnica, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessarios a obtencao do
tıtulo de Engenheiro.
Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz
D.Sc.
Rio de Janeiro
Julho de 2016
TRATAMENTO ANALITICO PARA OBTENCAO DO PERFIL DE
VELOCIDADE DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS SOBRE UMA PLACA
PLANA
Lucas Rodrigues dos Santos
PROJETO DE GRADUACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECANICO.
Examinado por:
Prof. Atila Pantaleao Silva Freire, Ph.D.
Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D.Sc.
Prof. Juliana Braga Rodrigues Loureiro, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JULHO DE 2016
dos Santos, Lucas Rodrigues
Tratamento analıtico para obtencao do perfil de
velocidade de escoamentos turbulentos sobre uma placa
plana/Lucas Rodrigues dos Santos. – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politecnica, 2016.
XIII, 39 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz D.Sc.
Projeto de Graduacao – UFRJ/Escola Politecnica/Curso
de Engenharia Mecanica, 2016.
Referencias Bibliograficas: p. 38 – 39.
1. Turbulencia. 2. Lei da parede. 3. Lei logarıtmica.
4. Camada limite. 5. Tratamento analıtico. I. D.Sc.,
Daniel Onofre de Almeida Cruz. II. Universidade Federal
do Rio de Janeiro, Escola Politecnica, Curso de Engenharia
Mecanica. III. Tıtulo.
iii
a minha famılia, base da minha
vida
iv
Agradecimentos
Primeiramente, gostaria de agradecer minha mae Ana Maria, meu pai Antonio
Carlos e ao meu irmao Antonio Carlos Junior por toda a dedicacao e carinho ao
longo de minha vida.
Gostaria de agradecer meus amigos pelos inumeros sorrisos e brincadeiras nesses
5 anos.
Gostaria de agradecer ao professor Daniel Onofre de Almeida Cruz por me dar a
oportunidade de realizar esse projeto.
v
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico.
TRATAMENTO ANALITICO PARA OBTENCAO DO PERFIL DE
VELOCIDADE DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS SOBRE UMA PLACA
PLANA
Lucas Rodrigues dos Santos
Julho/2016
Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz D.Sc.
Curso: Engenharia Mecanica
Neste projeto final de graduacao e apresentado uma nova maneira de obter o perfil
de velocidades medio em escoamentos turbulentos incompressıveis sem gradiente de
pressao sobre uma placa plana. Esse projeto apresenta duas modelagens para esse
tipo de escoamento. Para cada uma delas, foi realizado um tratamento analıtico a fim
de adquirir expressoes do perfil de velocidades analıticas e explıcitas. Os resultados
obtidos foram comparados com dados experimentais e preposicoes disponıveis na
literatura apresentando boa concordancia.
Palavras-chave: Tubulenca, Lei da Parede, Lei Logarıtmica, Camada limite,
Tratamento Analıtico
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Engineer.
ANALYTICAL TREATMENT FOR OBTAINMENT OF THE VELOCITY
PROFILE OF TURBULENT FLOW OVER A FLAT PLATE
Lucas Rodrigues dos Santos
July/2016
Advisor: Daniel Onofre de Almeida Cruz D.Sc.
Department: Mechanical Engineering
In this undergraduate project, it is presented a new way for obtaining the mean
velocity profile for incompressible turbulent flow with no gradient pressure. This
project presents two modellings for this type of flow. For each of them, it was done
an analytical treatment in order to acquire analytical and explicit expressions of the
velocity profile. The results obtained were compared with experimental data and
other propositions available in the literature and they showed good agreement.
Keywords: : Turbulence, Law of the wall, Logarithmic law, Boundary Layer,
Analytical Treatment
vii
Sumario
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xi
1 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Organizacao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Revisao Bibliografica: Teoria classica para o calculo do perfil de
velocidades 4
2.1 Modelagem Turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Conceito de Media de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Regioes da Camada Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Subcamada Viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2 Regiao Turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Camada amortecedora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.4 Regiao da Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.5 Equacao para o coeficiente de atrito local . . . . . . . . . . . . 12
2.3.6 Resumo da Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Proposicoes para o perfil de velocidade presentes na literatura 14
3.1 Introducao a Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Espessura da Subcamada Viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Proposicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Teoria de Reichardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Teoria de Rotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Teoria de Van Driest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.4 Teoria de Rannie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.5 Teoria de Spalding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
viii
3.2.6 Teoria de Rasmussen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.7 Teoria de Musker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.8 Teoria de Haritonidis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.9 Teoria de Barenblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.10 Uma expressao alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Teoria proposta: calculo do perfil de velocidades e equacao para o
atrito 21
4.1 Introducao ao Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Equacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Tratamento Analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.1 Primeira modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.2 Segunda Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Avaliacao da solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4.1 Afastado da parede(y → ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4.2 Proximo da parede(y+ → 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Resultados e Discussao 27
5.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Analise das Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Numero de termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Erro Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4.1 Comparacao Spalding e Nova proposicao modificada . . . . . . 31
5.5 Equacao do atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6 Comparacao entre a nova formulacao para a lei da parede com teorias
de diversos diversos autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Consideracoes Finais 36
6.1 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Referencias Bibliograficas 38
ix
Lista de Figuras
2.1 Conceito de media de Reynolds aplicado a velocidade e pressao . . . . 5
2.2 Divisoes da Camada Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Teoria do perfil de velocidade media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Perfil de velocidade media comparado com dados experimentais . . . 12
3.1 DNS e interpolacao u+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 DNS e interpolacao du+
dy+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1 Comparacao ∂u+
∂y+ para a =0.01; a= 0.02 e a = 0.03 . . . . . . . . . . . 27
5.2 Comparacao ∂u+
∂y+ com a nova modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Comparacao dos resultados experimentais de ANDERSEN com a
equacao (2.34) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Comparacao entres a formulacoes do presente trabalho . . . . . . . . 32
5.5 Comparacao com a teoria de Reichardt . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.6 Comparacao com a teoria de Rotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7 Comparacao com a teoria de Van Driest . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.8 Comparacao com a teoria de Rannie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.9 Comparacao com a teoria de Spalding . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.10 Comparacao com a teoria de Rasmussen . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.11 Comparacao com a teoria de Musker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.12 Comparacao com a teoria de Haritodinis . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.13 Comparacao com a expressao alternativa de SILVA FREIRE [2016] . 35
x
Lista de Tabelas
2.1 Estrutura da camada limite turbulenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1 comparacao do numero de termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 comparacao do numero de termos da nova proposicao . . . . . . . . 30
5.3 comparacao diferentes proposicoes dados experimentais de SIMPSOM1 30
5.4 comparacao diferentes proposicoes dados experimentais de SIMPSOM2 30
5.5 comparacao Spalding e a nova proposicao modificada . . . . . . . . . 31
xi
Nomenclatura
p Pressao media
u Velocidade media horizontal do campo de velocidades
v Componente da velocidade media na direcao perpendicular do cisalhamento
A Constante de Integracao
C Constante
Cf Coeficiente de arrasto
l Comprimento de mistura
n numero de termos
p Pressao
p′ Flutuacao da pressao
Re Numero de Reynolds geral
Reδ Numero de Reynolds u∞δν
u Componente da velocidade na direcao do cisalhamento
u′ Flutuacao da componente horizontal do campo de velocidades
u+ Velocidade adimensional
uτ Velocidade de friccao
v Componente da velocidade na direcao perpendicular do cisalhamento
v′ Flutuacao da componente vertical do campo de velocidades
y+ Comprimento adimensional
Letras gregas
xii
δ+l Espessura da subcamada viscosa adimensional
δl Espessura da subcamada viscosa
ε Erro relativo
εmax Erro maximo
Γ Funcao de interpolacao
µ Viscosidade absoluta, dinamica ou newtoniana
ν Viscosidade cinematica
νt Viscosidade turbulenta
ρ Massa especıfica
ρw Massa especıfica na regiao da parede
τ Tensao de cisalhamento
τl Tensao laminar
τt Tensao turbulenta
τw Tensao na parede
κ Constante de von Karman
xiii
Capıtulo 1
1.1 Introducao
O estudo de escoamentos turbulentos sempre foi um desafio para a humanidade
devido a sua complexidade. Ao mesmo tempo, esse fenomeno esta presente consi-
deravelmente no cotidiano, uma vez que fluidos como ar e agua tendem a escoar
nesse regime. Dessa maneira, a turbulencia se faz presente em diversas areas do
conhecimento: Na medicina, atraves de estudos do fluxo sanguıneo e a respiracao; na
metrologia, com o estudo da atmosfera e, evidentemente, na engenharia.
Por ser um fenomeno extremamente intrigante, ele vem sido foco estudo desde o
perıodo classico, quando os conceitos de mecanica dos fluidos ainda nao tinham sido
criados.
No renascimento, um dos princıpios fundamentais da mecanica dos fluidos, o de
que massa e conservada foi cuidadosamente investigado por da Vinci. Observando o
escoamento em um rio, da Vinci percebeu que em regioes de constricao a corrente
aumentava de velocidade. Mais ainda, ele percebeu que em regioes onde a area
transversal ao escoamento diminuıa por um fator de 4 vezes a velocidade aumentava
por um fator de 4 vezes. Portanto, pela primeira vez na historia, uma afirmacao
quantitativa sobre a equacao da continuidade foi feita.
Anos mais tarde, Newton revolucionou o mundo com suas tres leis fundamentais
da mecanica. Para a mecanica dos fluidos, sua segunda lei, que relaciona a forca
a taxa de variacao da quantidade de movimento para um corpo em movimento,
se tornou a equacao basica para todo o estudo teorico doravante feito. De fato, a
segunda lei de Newton seria utilizada no futuro por Euler, Navier e Stokes para obter
as equacoes fundamentais do movimento de um fluido.
Atualmente, muito se tem estudado sobre esse fenomeno, sendo de total relevancia
na industria naval, aeronautica e de oleo e gas. Uma formulacao de equacoes para
o comportamento do fluido ja foi criada, porem sem solucao e apenas a prova
da unicidade de sua solucao vale um milhao de dolares. Mesmo que ainda que
nao se tenha descoberto a solucao para essas equacoes, os avancos computacionais
possibilitam a engenharia a criar maravilhas. Nao podendo ser diferente, o objeto de
1
estudo desse trabalho e o escoamento turbulento sobre uma placa plana.
1.2 Motivacao
Como exposto na introducao o estudo de escoamentos turbulentos e de extremo
valor na engenharia. Entretanto, o tratamento das condicoes de contorno na parede
tem sido um obstaculo no calculo de escoamentos de fluidos turbulentos, especialmente
quando previsoes precisas de friccao e de transferencia de calor sao os principais
alvos. O problema e pertinente quando os metodos RANS - Reynolds-averaged
Navier–Stokes sao aplicados aos fluxos complexos, onde as grades computacionais
normalmente acessıveis sao muito grossas para permitir uma integracao das equacoes
governantes sobre a parede e a utilizacao das exatas condicoes de contorno. O mesmo
problema surge para simulacoes LES (large-eddy-simulations) de fluxos com alto
numero de Reynolds, onde adequada solucao do escoamento das regioes proximas a
parede exige grades extremamente densas e recursos computacionais excessivos. Para
o caso de um escoamento turbulento, completamente desenvolvido, sem gradiente
de pressao e bidimensional, existe um boa formulacao do perfil de velocidade para
a regiao bem proxima a parede, conhecida como subcamada viscosa, e a regiao
relativamente afastada da parede conhecida como regiao turbulenta. Entretanto, para
a regiao intermediaria entre essas duas regioes, conhecida como camada amortecedora,
utilizam-se metodos computacionais que conectem esses dois perfis. Para resolver
esse problema, muitos pesquisadores criaram modelagens que satisfacam todo ou
parcialmente todo o perfil de escoamento e algumas destas serao mostradas nesse
trabalho. Uma segunda abordagem tambem mostrada e uma modelagem que utiliza
de uma interpolacao entre o escoamento proximo da parede e o totalmente turbulento,
usando funcoes de mistura que garantam uma transicao suave entre as duas camadas.
1.3 Objetivos
O foco de estudo desse trabalho e o escoamento turbulento, completamente
desenvolvido, sem gradiente de pressao e bidimensional. Desse modo, ressaltam-se
dois objetivos principais: O primeiro e expor algumas das modelagens para tal
escoamento e compara-las com dados experimentais. O segundo e propor uma nova
proposicao para o perfil de velocidades e comparara-la com dados experimentais.
1.4 Organizacao do Trabalho
Este trabalho esta organizado em um total de 6 capıtulos. No Capıtulo 2
e apresentada uma revisao da literatura, abordando a descricao do escoamento
2
sobre placa plana na subcamada viscosa e na regiao turbulenta. No capıtulo 3,
algumas proposicoes elaboradas por diversos autores sobre o assunto. O Capıtulo
4 e explicado como foi a metodologia para obter uma nova proposicao e o capıtulo
5 apresenta o resultado, mostrando uma comparacao entre a nova proposicao e as
proposicoes existentes, assim como uma comparacao com dados experimentais e
modelos computacionais. Para finalizar, o capıtulo 6 e focado em dar ao leitor um
conclusoes sobre o projeto e propostas para trabalhos futuros.
3
Capıtulo 2
Revisao Bibliografica: Teoria
classica para o calculo do perfil de
velocidades
2.1 Modelagem Turbulenta
Como ja enunciado no capıtulo 1, as equacoes de Navier-Stokes revolucionaram o
mundo. Ela fornece um meio realmente preciso de calcular o movimento dos fluidos.
Com ela, modernos jatos, submarinos rapidos e silenciosos e carros de corrida de
formula um foram possıveis de serem desenvolvidos. Basicamente, ela e a segunda
lei de Newton disfarcada. O termo da esquerda da equacao representa a aceleracao
de um volume de fluido infinitesimal, enquanto que o termo a direita representa as
forcas que atuam nele, conforme a figura abaixo:
ρ(∂v∂t
+ v.∇v)
= −∇p+∇.T (2.1)
Analisemos, entao, tais equacoes para o caso bidimensional aliadas com a equacao
de continuidade:
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −1
ρ
∂p
∂y+ ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
) (2.2)
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 (2.3)
Vale ressaltar que essas equacoes satisfazem tanto escoamentos laminares quanto
4
escoamentos turbulentos. Como sera mostrado na proxima secao, a diferenca e que n
regime turbulento as velocidades apresentam flutuacoes aleatorias que modificam
um pouco as equacoes.
2.2 Conceito de Media de Reynolds
Devido as grandes flutuacoes do regime turbulento, cada termo de velocidade
e pressao da equacao de Navier-Stokes varia aleatoriamente no tempo e espaco.
Atualmente, a matematica disponıvel nao consegue lidar com tal mudanca instantanea.
Dessa maneira, como engenheiros a solucao para modelar o problema e olhar para
os valores medios das variaveis. Essa foi a abordagem feita por Osborne Reynold
quando reescreveu as equacoes em termos das medias das variaveis. Para isso, ele
criou uma modelagem que considera a velocidade, por exemplo, como uma soma
entre sua media e uma flutuacao, conforme mostrado a seguir:
Figura 2.1: Conceito de media de Reynolds aplicado a velocidade e pressao
A proxima etapa do processo seria a definir como seria calculada essa media.
Queria-se que tais medias fossem independentes do tempo, entao, a velocidade media
foi definida assim:
u =1
T
∫ T
0
u dt
Onde T e um perıodo medio escolhido maior que qualquer significante perıodo de
oscilacao de u’.
Resumindo, Reynolds modelou cada propriedade como:
u = u+ u′ v = v + v′ p = p+ p′
Para reescrever as equacoes foi necessario levar em conta algumas regras sobre
media:
5
∂u
∂x=∂u
∂x
u+ v = u+ v
u · v = u · v
uu′ = u · u′ = 0
Apos aplicar as medias em ambos os lados da equacao de Navier-Stokes, chega-se
as seguintes equacoes para o caso unidirecional, bidimensional:
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)− ∂u′v′
∂y− ∂u′2
∂x
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −1
ρ
∂p
∂y+ ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)− ∂u′v′
∂y− ∂v′2
∂x
(2.4)
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 (2.5)
Note que tal modelagem faz aparecer dois novos termos em cada equacao. Esses
termos representam as tensoes turbulentas geradas pelas flutuacoes com o escoamento
medio. Para o caso tridimensional,pode-se representar as tensoes de cisalhamento no
regime turbulento atraves do tensor de Reynolds:
τij = −ρ
u′2 u′v′ u′w′
u′v′ v′2 v′w′
u′w′ v′w′ w′2
(2.6)
Usando a analise de ordem de grandeza para as equacoes (2.16) instantaneas,
essas equacoes de camada limite turbulenta geralmente reduzem-se para sua forma
classica:
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
∂2u
∂y2− ∂u′v′
∂y(2.7)
1
ρ
∂p
∂y= 0 (2.8)
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
6
2.3 Regioes da Camada Limite
A camada limite turbulenta pode ser dividida em tres sub-regioes chamadas
de subcamada viscosa, camada de amortecimento (camada amortecedora) e zona
turbulenta, formada pela regiao turbulenta e regiao de esteira.
Figura 2.2: Divisoes da Camada Limite
Nas proximas secoes serao descritas as descricoes do perfil de velocidades para
cada uma dessas regioes.
2.3.1 Subcamada Viscosa
A subcamada viscosa e a regiao da camada limite turbulenta mais proxima da
parede. Nela, o termo viscoso ∂∂y
(ν ∂u∂y
)na equacao (2.4) domina e o escoamento e
laminar. Uma lei de similaridade e o perfil de velocidades nessa regiao podem ser
obtidos da seguinte maneira: na subcamada viscosa o termo turbulento ∂∂y
( ¯−u′v′)e o convectivo na direcao horizontal na u∂u
∂yequacao (2.4) sao desprezıveis quando
comparados com os outros termos, logo, esta assume a seguinte forma:
− 1
ρ
∂p
∂x+
∂
∂y
(ν∂u
∂y
)= 0 (2.9)
Estamos estudando o caso onde nao existe gradiente de pressao,entao, o termo:
− 1
ρ
∂p
∂x= 0 (2.10)
Agora, integrando em relacao a y obtemos e multiplicando tudo por ρ:
µ∂u
∂y= C (2.11)
Integrando, novamente, a equacao em y:
u =C
µy +B (2.12)
7
Assim, utilizando a equacao de Newton para fluidos e a condicao de nao desliza-
mento obtem-se as condicoes de contorno na parede (y=0)
µ∂u
∂y
∣∣∣∣y=0
= τw
u|y=0 = 0
Aplicando essas condicoes de contorno, obtem-se a seguinte solucao:
u =τwµy (2.13)
Para analisar a parede, define-se uma velocidade caracterıstica uτ como:
uτ =
√τwρw
(2.14)
uτ e a velocidade de friccao.
Substituindo (2.14) em (2.13) tem-se:
u =u2τ
νy
u
uτ=uτνy
(2.15)
2.3.2 Regiao Turbulenta
A regiao turbulenta e a regiao da camada limite turbulenta mais afastada da
parede, onde, ao contrario da subcamada viscosa, e o termo viscoso ∂∂y
(−u′v′
)Dessa
maneira, o perfil de velocidades nessa regiao pode ser obtido desprezando o termo
viscoso ∂∂y
(ν ∂u∂y
)e o convectivo na direcao horizontal na u∂u
∂yequacao 2.1. Logo,
considerado o gradiente de pressao nulo, a equacao assume a seguinte forma:
∂
∂y(−u′v′) = 0 (2.16)
Novamente, integrando em relacao a y obtemos e multiplicando tudo por ρ:
− ρu′v′ = C (2.17)
Como a tensao na subcamada viscosa e constante e a tensao na regiao turbulenta
tambem e constante, o valor da constante C e τw. Logo:
8
− ρu′v′ = τw (2.18)
O Comprimento de Mistura
O problema da equacao (2.18) e determinar o valor de u′v′. Uma solucao e usar o
conceito de comprimento de mistura (l), o qual considera que u′ e dado pela diferenca
do valor das velocidades medias em y e y + l de acordo com a equacao abaixo:
u′ = u(y)− u(y + l) (2.19)
Expandindo u(y + l) em um serie de taylor, obtem-se:
u(y + l) = u(y) + l∂u
∂y+ ... (2.20)
Truncando na primeira derivada:
u′ = u(y)− u(y + l) = l∂u
∂y(2.21)
considerando o escoamento isotropico,ou seja, os valores medios das flutuacoes
das velocidades em qualquer posicao e para qualquer tempo sao iguais:
u′v′ =(l∂u
∂y
)2
(2.22)
PRANDTL [1925] forneceu um modelo de comprimento de mistura (l) onde l e
proporcional a distancia ate a parede:
u′v′ =(κy
∂u
∂y
)2
(2.23)
Combinando as equacoes (2.18) e (2.23):
(κy
∂u
∂y
)2
=τwρ
(2.24)
Tirando a raız:
κy∂u
∂y=(τwρ
)1/2
= uτ (2.25)
Dividindo ambos os lados por κy:
∂u
∂y=uτκy
(2.26)
Integrando obtemos a solucao:
9
u =1
κln y + A′ (2.27)
Adimensionalizando a (2.27):
u
uτ=
1
κlnuτy
ν+ A (2.28)
em que κ e a constante de von Karman e A e outra constante universal, igual a 5
para um escoamento sobre uma placa plana.
2.3.3 Camada amortecedora
A camada amortecedora ou buffer layer e a camada intermediaria entre a regiao
turbulenta e a subcamada viscosa. Para essa zona existe uma dificuldade de deter-
minar uma funcao analıtica para o perfil de velocidade, uma vez que tanto o termo
viscoso quanto o termo turbulento devem ser considerados. A complicacao, portanto,
e determinar um modelo de comprimento mistura ou uma outra modelagem que seja
valida ao longo de todo o perfil de escoamento, uma que o comprimento de mistura
apresentado por Prandlt e apropriado somente para a regiao turbulenta.
2.3.4 Regiao da Esteira
Esta e a porcao mais externa da camada limite. Para descrever o escoamento
nesta porcao do escoamento, COLES [1956], apos inumeros experimentos, sugeriu
uma funcao universal
W (y/δ) =P
k
(1− cos
(πy
δ
))(2.29)
Estendendo a (2.28) :
u
uτ=
1
κlnuτy
ν+ A+
P
κ
(1− cos
(πy
δ
))(2.30)
em que P depende do gradiente de pressao e se chama de perfil da esteira.
Em seguida um quadro e duas imagens que resumem bem as regioes da camada
limite:
10
Tabela 2.1: Estrutura da camada limite turbulenta.
Regiao Perfil de velocidade Equacao do perfilSubcamada viscosa Linear (2.15)
Buffer Layer — transicao Superposicao (2.15) e (2.28)Turbulencia Logarıtmico Lei da Parede (2.28)
Inercia — esteira Funcao da pressao Lei da Esteira (2.30)
Figura 2.3: Teoria do perfil de velocidade media
11
Figura 2.4: Perfil de velocidade comparado com dados experimentais
2.3.5 Equacao para o coeficiente de atrito local
A tensao local na parede pode ser obtida da equacao (2.30) quando tomada em
(y, u) = (δ, u∞). Para uma placa plana, P = 0.55 , κ = 0.41 e A = 5.
Assim, dado um perfil de velocidades u+ = f(y+) + Pκ
(1− cos
(πyδ
)), a equacao
do para o atrito local fica:
u∞uτ
= f(δ+) + 2.68 (2.31)
onde δ+ = δuτν
. Os valores de Cf , entao, podem ser obtidos em funcao do numero
de Renolds Rδ de acordo com as seguintes relacoes:
Cf2
=
(uτu∞
)2
(2.32)
Rδ =δu∞ν
(2.33)
Assim, chegamos a seguinte equacao para o fator de atrito:√2
Cf= f
(Rδ
√Cf2
)+ 2.68 (2.34)
2.3.6 Resumo da Teoria
Como mostrado nas secoes anteriores, a teoria para o perfil de velocidades das
equacoes da camada limite ainda nao foi definida ao longo de todo escoamento.
Sabe-se o comportamento proximo da parede, definido na secao 2.3.1 e afastado da
parede, definido na secao 2.3.2. Porem, a literatura ainda nao foi capaz de definir
12
um unico perfil que seja valido para essas duas regioes, assim como para a camada
amortecedora. Portanto, no proximo capıtulo serao mostradas proposicoes de diversos
autores focadas em resolver o problema exposto e as hipoteses de cada proposicao.
No capıtulo 5, sera mostrado as proposicoes do presente projeto, focadas na mesma
questao.
13
Capıtulo 3
Proposicoes para o perfil de
velocidade presentes na literatura
3.1 Introducao a Teoria
Esse capıtulo tem como objetivo introduzir ao leitor o conceito de tensao laminar
e tensao turbulenta, ao rever a equacao basica da camada limite para o caso bidi-
mensional, sem gradiente de pressao. Posteriormente, e apresentado as proposicoes
existentes na literatura sobre o assunto.
3.1.1 Conceitos basicos
Levando em consideracao o efeito turbulento e o viscoso para um escoamento
completamente desenvolvido, unidirecional, bi-dimensional e sem gradiente de pressao,
obtem-se a seguinte equacao:
∂
∂y
(µ∂u
∂y− ρu′v′
)= 0 (3.1)
Resultando na seguinte expressao apos a integracao:
µ∂u
∂y− ρu′v′ = τ (3.2)
Uma forma analoga de enxergar essa equacao e separar a equacao em parte
laminar e parte turbulenta, de acordo com a equacao abaixo:
τl + τt = τ (3.3)
Onde τl = µ∂u∂y
e τt = −ρu′v′.Adicionalmente, e comum na literatura observar o termo viscosidade turbulenta
onde a equacao (3.2) e trocado por:
14
(ν + νt
)∂u∂y
=τ
ρ(3.4)
3.1.2 Espessura da Subcamada Viscosa
Reichardt e Rotta focaram suas modelagens na espessura da subcamada viscosa.
Para defini-la, deve considerar que proximo da parade deve existir uma regiao onde
a tensao laminar e tensao turbulenta possuem a mesma relevancia. Logo
0(ν∂u
∂y
)= 0(u′v′) (3.5)
Sabe-se por analise experimental que as flutuacoes possuem mesma ordem que a
velocidade de atrito uτ e que a ordem de ∂u∂y
e igual a ordem de uτy
. Seja agora δl a
espessura da camada limite laminar onde a relacao (3.5) e satisfeita:
νuτδl
= 0(u2τ ) (3.6)
Ou seja,
δl = 0( νuτ
)(3.7)
Algumas literaturas definem a tal espessura como:
δl = 5ν
uτ(3.8)
Ja CHRISS e CALDWELL [1984] definem essa espessura como o encontro das
projecoes da subcamada viscosa e a lei logarıtmica. Assim:
δlν
uτ=
1
κln(δlν
uτ
)+B (3.9)
Considerando δ+l = uτ δl
ν, κ = 0.41 e B = 5,obtem-se δ+
l ≈ 11.
3.2 Proposicoes
SILVA FREIRE [2016] enunciou 10 preposicoes para o perfil de velocidades. Estas
sao mostradas e comentadas abaixo:
3.2.1 Teoria de Reichardt
REICHARDT [1940] mostrou que distribuicao da viscosidade turbulenta ao longo
da parede precisa satisfazer duas condicoes:
15
limy+→0
νtν
= Cy+3 (3.10)
Ao mesmo tempo:
limy+→∞
νtν
= Cy+ (3.11)
Para que o perfil de velocidades tenda a solucao logarıtmica.
Assim, Reichardt propos uma relacao entre as viscosidades laminar e turbulenta
que satisfaz as duas condicoes:
νtν
= κ(y+ − δ+
l tanhy+
δ+l
)(3.12)
Onde δl representa a espessura da subcamada viscosa, explicado na secao anterior,
e δ+l = uτ δl
ν.
Substituindo na equacao (3.4), nao e possıvel obter um resultado analıtico, porem
uma solucao aproximada e dada por:
u+ =1
κln(1 + κy+) + c
(1− e
− y+
δ+l −−y
+
δ+l
e−0.33y+)
(3.13)
Foi verificado comparando com dados experimentais que δ+l = 11 e c = 7.4
3.2.2 Teoria de Rotta
ROTTA [1950] formulou um novo modelo para o comprimento de mistura consi-
derando a camada limite laminar:
lm = κ(y − δl) (3.14)
Gerando a seguinte solucao:
u+ =1
2κl+m
(1−√
1 + 4(l+m)2 +1
κln(2l+m +
√1 + 4(l+m)2) + δ+
l
)(3.15)
onde lm+ = uτ lmν
e δ+l = uτ δl
ν
A dificuldade da teoria e identificar o valor da camada limite laminar. Foi
considerado, a priori, δ+l = 5, porem isso resultava baixos de u+ para a lei logarıtimica.
Quando comparada com dados experimentais de ANDERSEN PS [1972] e PURTELL
et al. [1981] verificou-se empiricamente que δ+l = 6.7.
16
3.2.3 Teoria de Van Driest
VAN DRIEST [1956] estabeleceu um valor da viscosidade turbulenta considerando
um amortecimento, com o objetivo de garantir uma transicao suave do regime laminar
para o regime turbulento:
νt = κ2y2(1− e−y+/A)∂u
∂y(3.16)
A solucao considerando (3.16):
u+ =
∫ y+
0
dy+(1 + [1 + 4κ2y+2(1− e− y
+
A )]1/2) (3.17)
A solucao e uma integral que nao pode ser obtida analiticamente, mas ela pode
ser facilmente obtida utilizando algum metodo numerico. Apos avaliacoes com dados
experimentais, Van Driest considerou A = 26.
3.2.4 Teoria de Rannie
Para valores proximos da parede, sabe-se que a viscosidade turbulenta deve ser,
pelo menos, da ordem de y+3. Porem, RANNIE [1956] considerou que para valores
finitos de y+, o comportamento de νt seria da ordem de y+2. Para justificar esse
raciocınio, Rannie propos para a regiao y+ 6 27.5 a seguinte relacao:
νtν
= sinh (σy+) (3.18)
Resultando na seguinte expressao:
u+ =1
σtanh (σy+) (3.19)
onde σ = 0.0688.
3.2.5 Teoria de Spalding
A motivacao do SPALDING [1961] foi a de criar uma boa formula para o perfil de
velocidade e que fosse ao mesmo tempo mais simples daquelas apresentadas por Van
Driest e Reichardt. A ideia seria que esta tivesse poucos erros quando comparado
com resultado experimentais. Ele criou, portanto, a seguinte proposicao:
y+ = u+C[eκu+ − 1− κu−
(κu+)2
2!− (κu+)3
3!− (κu+)4
4!] (3.20)
Onde C = e−κA e A a constante padrao para a lei da parede, geralmente igual
a 5. Vale ressaltar que por mais que a formulacao de Spalding seja simples, ela e
17
implıcita , o que a torna difıcil de utilizar.
3.2.6 Teoria de Rasmussen
Com um pensamento similar do Spalding, Ramussen propos um perfil similar,
porem com menos termos:
y+ = u+eA[2 cosh (κu+)− (κu+)2 − 2] (3.21)
Esse perfil apresenta todos as cnsideracoes feitas por Spalding e ainda a condicao
(y = δ, ∂u∂y
= 0) e apreseta bons valores para u+ > 20. Assim como a proposicao do
Spalding, a equacao de Rasmussen e implıcita .
3.2.7 Teoria de Musker
MUSKER [1979] propos que a distribuicao da velocidade turbulenta fosse uma
poderacao do comportamento proximo da parade(νt ∼ y+3) e afastado da parede
(νt ∼ y+):
ν
νt=
1
Cy+3+
1
κy+(3.22)
Onde C = 0.001093.
Resultando na seguinte equacao diferencial:
du+
dy+=
κ + Cy+2
κ + Cy+2 + Cy+3(3.23)
Cuja a integracao nos oferece:
u+ = 5.454 arctan[2y − 8.15
16.7] + Log10[
(y + 10.6)9.6
(y2 − 8.15y + 86)2 ]− 3.52 + 2.44; (3.24)
3.2.8 Teoria de Haritonidis
HARITONIDIS [1989] propos a seguinte expressao para o perfil de velocidade
sobre uma placa plana:
u+ =1
λarctan [λy] +
1
2λ2α ln[1 + λ2y2
]; (3.25)
onde λ2 = 0.00877 e um parametro que depende do tempo medio de injecoes do
fluido na parede. Foi verificado que quando o gradiente de pressao e nulo α = 0.
Assim como RANNIE [1956], ela e apresenta boa concordancia apenas para falores
de y+ < 27.5.
18
3.2.9 Teoria de Barenblatt
Segundo BARENBLATT [1993], y+ ∂u+
∂y+ tende a valores finitos quando y+ e o
numero de Reynolds tende a infinito. Dessa maneira, ele sugeriu que o gradiente de
velocidade tivesse um comportamento assintotico, onde o expoente e o parametro
multiplicador fossem dependentes de Re. Logo:
u+ = C(y+)α (3.26)
C =
(√3 + 5α
2α
)(3.27)
onde α = 32 ln[Re]
;.
3.2.10 Uma expressao alternativa
Acreditando que cada uma das proposicoes apresenta alguma deficiencia,
SILVA FREIRE [2016] propos um solucao alternativa que combina as ideias do
Rotta, Spalding e Van Driest:
u+ =1
κ(1−
√1 + 4(κy+)2
2+ ln[2κy+ +
√1 + 4(κy+)2 (3.28)
Foi verificado que essa proposicao falhava para grandes valores de y+. Assim, um
termo corretivo foi adicionado:
u+ =1
κ(1−
√1 + 4(κy+)2
2κy++ ln[2κy+ +
√1 + 4(κy+)2 +
6.7
2(1 +Tanh[
2κy+ − 8
8])
(3.29)
3.3 Interpolacao
Na literatura, segundo POPOVAC e HANJALIC [2007], uma maneira de calcular
o perfil de velocidades e usando uma funcao de interpolacao que garanta uma transicao
do regime laminar e turbulento, do seguinte modo:
u+ = y+e−Γ + (1
κln(y+))e
−1Γ (3.30)
onde
Γ =0.01y+4
1 + 5y+(3.31)
19
Uma foto do perfil de velocidade e de sua derivada comparada a resultados obtidos
com DNS(direct numerical solution) e apresenta abaixo:
Figura 3.1: DNS e interpolacao u+
Figura 3.2: DNS e interpolacao du+
dy+
20
Capıtulo 4
Teoria proposta: calculo do perfil
de velocidades e equacao para o
atrito
4.1 Introducao ao Projeto
Esse capıtulo tem como objetivo fornecedor ao leitor duas modelagens do perfil
de velocidade da camada limite para o caso bidimensional, sem gradiente de pressao.
Como falado anteriormente, o objetivo era de obter uma expressao analıtica para tal
perfil, e o tratamento analıtico para as modelagens feitas na proxima secao 4.2 esta
presente na secao 4.3.
4.2 Equacao
Como ja foi mostrado anteriormente, a equacao diferencial a ser resolvida:
µ∂u
∂y− ρu′v′ = τw (4.1)
Usando o modelo de comprimento de mistura e dividindo a equacao por ρ :
ν∂u
∂y+ l2
(∂u
∂y
)2
=τwρ
(4.2)
A priori, o objetivo era propor um comprimento de mistura (l), tal qual a equacao
tivesse uma solulao analıtica e ao mesmo tempo seja suficiente para todo o perfil de
velocidade. Uma boa proposta para o comprimento de mistura e aquela proposta
por VAN DRIEST [1956]:
l = κy( 1− e−yA )
21
Quando y → ∞ , e−yA → 0, o comprimento de mistura tende a comprimento de
mistura de Prandlt, Adicionalmente, quando y → 0, e−yA → 1, l → 0 , reduzindo
os efeitos turbulentos para valores pequenos de y.
Entretanto, sabe-se que a equacao com esse comprimento de mistura nao possui
solucao analıtica. O que foi proposto, portanto, foi uma modelagem similar, onde o
termo ao quadrado foi alterado por um termo simples e para nao perder a dimensao
de velocidade, a velocidade caracterıstica foi multiplicada:
− u′v′ = uc∂u
∂y
(κy( 1− e−
yA ))
(4.4)
Desse modo a equacao a ser resolvida e a seguinte:
ν∂u
∂y+ uc
∂u
∂y
(κy( 1− e−
yA ))
=τwρ
(4.5)
Colocando∂u∂y em evidencia:
(ν + uc
(κy(1− e−
yA )))∂u
∂y=τwρ
(4.6)
Adimensionalizando a equacao:
∂u+
∂y+=
1(1 + κy+( 1− e− y
+
A )) (4.7)
Onde u+ = uuτ
e y+ = νyuτ
22
Ao propor essa modelagem, foi importante avaliar se, de fato, ela e suficiente.
Um jeito de realizar essa verificacao e comparar o valor de ∂u+
∂y+ com resultados
numericos de DNS (direct numerical simulation). Foi verificado que essa modelagem
nao coincidia perfeitamente com os dados do DNS para nenhum valor de A na regiao
de interesse, a camada amortecedora.
Para melhorar esse resultado, foi proposto uma ligeira modificacao:
∂u+
∂y+=
1(1 + κy+(1− e− y
+
A )(tanh2 (ln b− y+
A)) (4.8)
Essa segunda modelagem apresentou uma concordancia melhor, como sera mos-
trado na proxima secao.
4.3 Tratamento Analıtico
4.3.1 Primeira modelagem
Integrando ambos os lados da equacao (4.7) chega-se ao seguinte:
u+ =
∫dy+(
1 + κy+( 1− e− y+
A )) (4.9)
Infelizmente, nao e possıvel resolver tal integral analiticamente. O que foi feito,
entao, foi expandir o integrando em uma serie de potencia ao redor de z = e−ay+
= 0
, da seguinte maneira:
f (z) =1
(1 + κ (− ln z/a) ( 1− z ))
onde y+ = − lnza
Serie de potencia:∞∑n=0
an(z − z0)n
Resultado obtido usando o Wolfram Mathematica:
an =a(κ (− ln z))n
(a− κ ln z)n+1
Dessa maneira obtem-se:
a0 =a
(a− κ ln z)
23
a1 =−aκ ln z
(a− κ ln z)2
a2 =aκ2 ln2 z
(a− κ ln z)3
a3 =−aκ3 ln3 z
(a− κ ln z)4
. . .
Assim:
f (z) =1
(1 + κ(ln z/− a)( 1− z ))= a0 + a1 (z − 0) + a2(z − 0)2 + . . .
Resultando em:
f (z) =1
(1 + κ(ln z/− a)( 1− z ))=
a
(a− κ ln z)+−aκ ln z
(a− κ ln z)2 +aκ2 ln2 z
(a− κ ln z)3 +. . .
Agora, basta fazer z → e−y+
A e a = 1/A:
f (z) = frac1(1 + κ(ln z/− a)( 1− z )) =1
(1 + κy+)+
κ y+e−y+
A
(1 + κy+)2 +2κ2y+2e−
2y+
A
(1 + κy+)3 +. . .
Voltando para a equacao (4.9):
u+ =
∫ (1
(1 + κy+)+
κy+e−y+
A
(1 + κy+)2 +2κ2y2e−
2y+
A
(1 + κy+)3 + . . .
)dy+
u+ =ln (1 + κy+)
κ+
e−y+
A (κ + e1A( 1
κ +y+) ( 1A
+ κ)
(1 + κy+)Ei[−1+κy+
Aκ ]
κ2 (1 + κy+)+
e−2y+
A κ
(2(1+κy+)
A+κ(3+4κy+)
)(1+κy+)2 + 2e
2Aκ (2
(1A
)2+ 4κ
A+ κ2)Ei[−2(1+κy+)
Aκ ]
κ3+ . . . + C
Onde C e a constante de integracao e Ei a funcao integral exponencial.
Para determinar o valor dessa constante, deve-se aplicar a condicao de contorno:
24
u+ (0) = 0
Logo,
C= -
(ln (1)κ +
(κ+e1A( 1
κ )( 1A
+κ)(1+κy+)Ei[− 1Aκ ]
κ2 +
κ( 2A
+3κ)(1+κ+)2 + 2e
2Aκ (2
(1A
)2+ 4κ
A+ κ2)Ei[− 2
Aκ ]
κ3+ . . . )
4.3.2 Segunda Modelagem
Para a segunda modelagem a solucao passa a ser:
u+ =
∫dy+(
1 + κy+( 1− e− y+
A )(tanh2 (ln b− y+
A)) (4.10)
Assim como anteriormente, essa integral nao possui primitiva. Assim, expandindo
o integrando em serie:
f (z) =1(
1 + κ (− ln z/a) ( 1− z )(tanh2(ln bz))
onde y+ = − lnza
Serie de potencia:∞∑n=0
an(z − z0)n
Resultado obtido usando o comando series do Wolfram Mathematica:
a0 =a
(a− κ ln z)
a1 =−aκ ln z
(a− κ ln z)2
a2 =(aκ ln z)(−4ab2 + κ(1 + 4b2 ln z))
(a− κ ln z)3
a3 =(4a2b2κ ln z − aκ3(1 + 4b2 ln z3))
(a− κ ln z)4
. . .
25
Resultando em:
f (z) =a
(a− κ ln z)+−aκ ln z
(a− κ ln z)2 z +(aκ ln z)(−4ab2 + κ(1 + 4b2 ln z))
(a− κ ln z)3 z2 + ...
Como na secao anterior, z foi substituıdo por e−ay+
e constante de integracao C
foi obtida usando a condicao de contorno u+(0) = 0
4.4 Avaliacao da solucao
4.4.1 Afastado da parede(y → ∞)
Observando o tratamento analıtico para a primeira modelagem mais detalhada-
mente, observa-se que esta apresenta a seguinte caracterıstica:
u+ =ln (1 + κy+)
κ+ f
(e−
y+
A , Ei(−1 + κy+
Aκ)
)+ Constante
Quando y+ →∞, f(− y
+
A , Ei(−1+κ+
Aκ ))→ 0, obtendo:
u+ =ln (1 + κy+)
κ+ Constante
Como essa constante e funcao de “A”, o seu valor foi definido de tal maneira que
Constante = 5, conforme mostrado no proximo capıtulo. Vale ressaltar que para
valores grandes de y+ a u+ encontrado e praticamente equivalente ao perfil que a
teoria demonstra com a excecao de que no lugar de ln (y+) esta ln (1 + κy+), porem
para valores suficientemente grades de y+ essa diferenca se mostrou irrelevante.
O tratamento analıtica da segunda modelagem demosntrou o mesmo comporta-
mento.
4.4.2 Proximo da parede(y+ → 0)
Nao e trivial verificar que o perfil de velocidade tende a uma reta para valores
pequenos de y+, porem no proximo capıtulo foi feito uma comparacao com o perfil de
reta presente na literatura e e possıvel verificar que a solucao encontrada apresenta
um comportamento satisfatorio.
26
Capıtulo 5
Resultados e Discussao
5.1 Resultados
Nesse capıtulo, e apresentado os resultados comparativos entre as duas novas
proposicoes, os dados experimentais e as proposicoes existentes.
5.2 Analise das Derivadas
Como dita anteriormente, uma boa maneira de verificar se a modelagem e boa
para a descricao do perfil de velocidades e compara-la com dados de DNS. A seguir,
apresenta-se o comportamento da primeira modelagem quando variamos a constante
a = 1/A. Essa verificacao foi realizada usando o comando Manipulate do Wolfram
Mathematica:
∂u+
∂y+=
1(1 + κy+( 1− e− y
+
A )) (5.1)
Figura 5.1: Comparacao ∂u+
∂y+ para a =0.01; a= 0.02 e a = 0.03
27
Realizando uma analise dos graficos, e facil perceber que nao e possıvel determinar
um valor de a tal qual a funcao a ser integrada coincida com os pontos do DNS. Ao
mesmo tempo, e possıvel determinar que o valor de a otimo, que minimiza a erro,
esta entre 0.01 e 0.03.
Para a segunda modelagem, usando o comando Minimize do Wolfram Mathe-
matica, pode-se varia os valores de a = 1/A e de b para a funcao se adequar a
curva:
∂u+
∂y+=
1(1 + κy+(1− e− y
+
A )(tanh2 (ln b− y+
A)) (5.2)
Figura 5.2: Comparacao ∂u+
∂y+ com a nova modelagem
28
5.3 Numero de termos
E evidente que para a analise da solucao, nao e possıvel considerar uma serie
infinita. Ao mesmo tempo, sabe-se que o valor da constante a = 1/A no primeiro
caso e (a, b) no segundo caso sao definidos fisicamente de tal modo que a funcao
tenda a u+ = 1κ ln y+ + 5 para valores grandes de y+. Foi verificado que esse valor
varia em funcao do numero de termos da serie. A seguir, sera apresentado uma
tabela comparando o valor da funcao e os resultados experimentais de SIMPSON
[1967]. Foram selecionados dois conjuntos de dados(SIMPSON1,SIMPSON2). As
contantes foram determinadas de tal maneira que o erro em comparacao a esses
dados fosse minimizado. O comando usado para minimizar o erro foi o Minimize
do Wolfram Mathematica. O objetivo e determinar o menor numero de termos que
apresenta resultados suficientemente aceitaveis.
A tabela abaixo apresenta uma comparacao entre a nova proposicao e os resultados
experimentais de SIMPSON [1967]. εmedio e a diferenca relativa media entre o valor
da funcao e o resultado experimental e εmax o erro relativo maximo encontrado.
Definidos abaixo:
εmedio =1
N
N∑i=1
hi [y+Simpson1]− u+
i Simpson1
u+i Simpson1
εmax = max
(h [y+Simpson1]− u+Simpson1
u+Simpson1
)
Tabela 5.1: comparacao do numero de termos
a=1/A A εmedio εmax
n=2 0.01610 62.11 11.82% 21.55%n=3 0.02227 44.90 9.00% 17.57%n=4 0.02536 39.43 7.71% 15.70%n=5 0.02696 37.09 7.08% 14.77%n=6 0.02780 35.97 6.75% 14.29%n=7 0.02826 35.38 6.57% 14.04%n=8 0.02852 35.06 6.47% 13.90%n=9 0.02866 34.88 6.41% 13.83%n=10 0.02874 34.79 6.38% 13.80%n=11 0.02879 34.73 6.36% 13.77%n=12 0.02882 34.70 6.35% 13.76%n=13 0.02884 34.68 6.35% 13.76%n=14 0.02885 34.67 6.34% 13.75%n=15 0.02885 34.66 6.34% 13.74%
Como a a partir do decimo termo a variacao de do numero de termos possui
pouca influencia no erro, foi decidido escolher 10 termos. Assim, A=34.79.
29
A mesma comparacao foi feita usando a segunda modelagem. Pode-me verificar
que com um numero muito menor de termos pode-se obter resultados melhores:
Tabela 5.2: comparacao do numero de termos da nova proposicao
a=1/A b εmedio εmax
n=2 0.03888 0.5908 2.40% 5.321%n=3 0.04341 0.5432 1.96% 4.156%n=4 0.04973 0.5721 1.64% 4.160%n=5 0.05326 0.6946 2.03% 6.892%
E importante ressaltar que erro nao decaiu com o acrescimo do quinto termo.
Isso acontece, pois a Tanh[y] cria ondulacoes na funcao, como sera visto na proxima
sessao.
5.4 Erro Comparativo
Para algumas das proposicoes foi realizado uma comparacao do erro em relacao
aos dados do Simpson.
Tabela 5.3: comparacao diferentes proposicoes dados experimentais de SIMPSOM1
Proposicao εmedioNP(Modificada) 1.50%
Spalding 1.92%Musker 2.77%
Van Driest 3.23%Rotta 4.51%
Reichardt 4.52%Popovac eHanjalic
6.65%
Tabela 5.4: comparacao diferentes proposicoes dados experimentais de SIMPSOM2
Proposicao εmedioNP(Modificada) 1.85%
Spalding 2.27%Musker 2.13%
Van Driest 2.70%Rotta 4.73%
Reichardt 3.70%Popovac eHanjalic
5.75%
30
5.4.1 Comparacao Spalding e Nova proposicao modificada
Como a teoria de Spalding apresentou valores muito proximos aos valores da
nova proposicao, foi feito uma comparacao mais detalhada entre essas formulacoes
na regiao da camada amortecedora. Pode-se verificar que para alguns pontos a nova
teoria se mostra melhor, porem para outros pontos o contrario acontece.
Tabela 5.5: comparacao Spalding e a nova proposicao modificada
y+ 4.99 5.92 6.84 7.77 8.69 9.62 10.54 12.39 15.17 18.87 23.49 29.97
u+ 5.06 6.13 6.69 7.32 7.91 8.49 8.92 9.68 10.64 11.64 12.48 13.19
Spaldingu+
4.94 5.79 6.58 7.30 7.93 8.48 8.97 9.76 10.66 11.51 12.28 13.06
ErroSpalding
2.47% 5.58% 1.63% 0.3% 0.25% 0.02% 0.51% 0.81% 0.18% 1.11% 1.57% 0.95%
u+Novaproposicao
5.30 6.10 6.82 7.47 8.04 8.55 9.62 9.80 10.72 11.63 12.44 13.24
ErroNovaproposicao
4.59% 0.46% 2.01% 2.02% 1.65% 0.778% 0.99% 1.14% 0.76% 0.12% 0.3% 0.38%
5.5 Equacao do atrito
A figura 5.3 a seguir compara resultados experimentais do ANDERSEN PS [1972]
com a equacao (2.34). Como pode ser visto, existe uma boa concordancia com o
resultado.
5.6 Comparacao entre a nova formulacao para a
lei da parede com teorias de diversos diversos
autores
Essa secao tem como objetivo dar ao leitor uma demonstracao visual das teo-
rias abordadas. Abaixo, estao contidos graficos que comparam a nova proposicao
modificada e as teorias discutidas no presente trabalho. A proposicao em azul e
proveniente da primeira modelagem, a proposicao em vermelho da segunda.
31
Figura 5.3: Comparacao dos resultados experimentais de ANDERSEN com a equacao(2.34)
Figura 5.4: Comparacao entres a formulacoes do presente trabalho
Figura 5.5: Comparacao com a teoria de Reichardt
32
Figura 5.6: Comparacao com a teoria de Rotta
Figura 5.7: Comparacao com a teoria de Van Driest
Figura 5.8: Comparacao com a teoria de Rannie
33
Figura 5.9: Comparacao com a teoria de Spalding
Figura 5.10: Comparacao com a teoria de Rasmussen
Figura 5.11: Comparacao com a teoria de Musker
34
Figura 5.12: Comparacao com a teoria de Haritodinis
Figura 5.13: Comparacao com a expressao alternativa de SILVA FREIRE [2016]
35
Capıtulo 6
Consideracoes Finais
6.1 Conclusao
Neste trabalho foi feito uma breve revisao sobre escoamento turbulento sobre
uma placa plana e foi mostrado teoria de diversos autores sobre o assunto. Dessa
maneira, foi elaborada uma nova forma de calcular o perfil de velocidades medio
para o caso bidimensional, sem gradiente de pressao sobre uma placa plana. Foram
elaboradas duas modelagens para descrever o fenomeno.
Cada um das formulacoes apresentadas possuem algum tipo de deficiencia. REI-
CHARDT [1940] e VAN DRIEST [1956] propuseram comprimentos de mistura que
necessitam uma integracao numerica. Porem, a teoria de REICHARDT [1940] ultra-
passa ligeiramente os dados experimentais, enquanto que a de VAN DRIEST [1956]
apresenta uma concordancia muito boa. A teoria de SPALDING [1961] tambem
apresenta uma boa concordancia, porem e na forma implıcita, assim como a teoria
de RASMUSSEN [1975], que apresentou valores ligeiramente menores que os dados
experimentais. RANNIE [1956] e HARITONIDIS [1989] propuseram perfis que sao
validos apenas para y+ < 27.5. As teorias de ROTTA [1950] e BARENBLATT [1993]
necessitam definicoes nao triviais, δ+l no caso de Rotta e o numero de Reynolds para
escoamentos em camada limite no caso de Barenblatt. Por fim, MUSKER [1979]
propos uma teoria com boa concordancia e facil utilizacao.
A teoria desenvolvida foi testada com base nos dados experimentais obtidos por
ANDERSEN PS [1972] , SIMPSON [1967] e PURTELL et al. [1981] apresentando
boa concordancia. Ela foi tambem comparada com as teorias presentes na literatura
e demonstrou resultados melhores em muitos dos casos.
36
6.2 Trabalhos Futuros
Neste trabalho foi desenvolvido um tratamento analıtico para as modelagens
propostas. Esse tratamento baseia-se em expandir a modelagem em uma serie e
gerou bons resultados, mesmo com um numero pequeno de termos.
Tudo leva a crer que essa metodologia pode ser replicada para diversas outras
situacoes. Portanto, o passo a seguir seria utilizar essa forma de calcular o perfil de
velocidades para diversos outros casos, como por exemplo: quando o gradiente de
pressao nao e nulo, quando existe rugosidade ou injecao. Assim, poderia-se verificar
se essa metodologia e suficiente para outros tipos de escoamento.
37
Referencias Bibliograficas
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39
