LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I

Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.

FT I – 12

Escoamento viscoso interno e

incompressível

Prof. Lucrécio Fábio dos Santos

Departamento de Engenharia Química

LOQ/EEL

2 2

Considerações hidrodinâmicas

Quando analisamos um escoamento externo, basta perguntar se o escoamento é laminar ou turbulento. Entretanto, no escoamento interno devemos também indagar a existência de uma região de entrada e de uma região completamente desenvolvida.

Mas, o que são escoamentos internos?

1. Introdução

São aqueles completamente limitados por superfícies sólidas.

3

Escoamentos internos

Ex: escoamentos em tubos, dutos, bocais, difusores, contrações e expansões súbitas, válvulas e acessórios.

Os escoamentos internos podem ser laminares ou turbulentos.

1. Introdução

4

Escoamento Laminar versus Turbulento

Como visto, o regime de escoamento em um tubo é determinado pelo número de Reynolds.

Laminar

< 2.300

Transição

2.300 < Re < 4.000

Turbulento

> 4.000

Regime de escoamento

5

Escoamento laminar

Alguns casos podem ser resolvidos analiticamente

Escoamento turbulento

As soluções analíticas não são possíveis

Devemos nos apoiar em:

o teorias semiempíricas; e

Experiências vividas e Observação

o em dados experimentais

Função do número de Reynolds

6

Figura 1 – Escoamento na região de entrada de um tubo

Região de entrada

Sabe-se que, quando o fluido entra em contato com a superfície, os efeitos viscosos tornam-se importantes e desenvolve-se uma região chamada de camada limite com o avanço do escoamento na direção x.

Vamos considerar o escoamento laminar, no interior de um tubo liso, circular de raio ro e comprido, conforme Figura 1, no qual o fluido entra com uma velocidade uniforme (U).

Região do escoamento invíscido Região da camada limite

Região completamente desenvolvida

Região de entrada hidrodinâmica

7

O desenvolvimento ocorre à custa do retraimento da região com o escoamento invíscido e termina quando a camada limite se torna única no eixo do tubo.

Após a unificação da camada limite, os efeitos viscosos se estendem sobre toda seção reta e o perfil de velocidade não mais se altera com o

crescimento de x. Diz-se então que o escoamento é completamente desenvolvido.

A distância entre a entrada e o ponto do início desta condição é o comprimento de entrada hidrodinâmica.

Região do escoamento invíscido

Região da camada limite

Região completamente desenvolvida

Região de entrada hidrodinâmica

8

Para escoamento laminar, o comprimento de entrada (L) é uma função do número de Reynolds,

μ

DVρ0,06

D

L

média e velocidada V sendo

UVondeAUVAQentão : A

Q V

138D D23000,06 D0,06R L e

ou aproximadamente 140 vezes o diâmetro do tubo.

Assim, o comprimento de entrada pode ser dado por:

Escoamento laminar em um tubo pode ser esperado apenas para: Re < 2300

9

Experiências mostram que o perfil de velocidades médias torna-se plenamente desenvolvido para distâncias entre 25 e 40 diâmetros de tubo a partir da entrada

No escoamento turbulento, a mistura intensa entre as camadas de fluido causa o crescimento mais rápido da camada limite.

Assim, o comprimento de entrada é muito mais curto no escoamento turbulento e sua dependência do número de Reynolds é mais fraca.

Escoamento turbulento

μ

DVρ4,4

D

L

1/6

( turbulento )

10

L

Elemento fluido no instante t Elemento fluido no instante t + Δt

D

(1) (2)

r x

V = u(r)i

Perfil de velocidade

Movimento de um elemento fluido cilíndrico em um tubo

Fluxo

Elemento cilíndrico de fluido

Uma das formas de obter os resultados do escoamento laminar plenamente desenvolvido é a partir da segunda Lei de Newton (F = ma). Assim sendo, considere o esquema apresentado abaixo:

2. Escoamento laminar plenamente desenvolvido em um tubo

11

L

x

r Fluxo

2rP 2rP P

Lr2rx

( 1 ) L

P

r

2 rx

0 rL2 rP PrP rx

22

Aplicando a segunda lei de Newton (F = max) no elemento fluido cilíndrico, que embora esteja em movimento, não está acelerado (ax = 0), o escoamento plenamente desenvolvido no tubo é resultado do equilíbrio entre as forças de pressão e as viscosas.

Diagrama de corpo livre do elemento fluido cilíndrico

A equação (1) representa o equilíbrio de forças necessárias para mover cada partícula fluida através de um tubo com uma velocidade constante.

12

( 2 )

L

P

2

r

dr

dV

C rL

P

4

1 V 1

2

dr

dV rx 1o lei de Newton da viscosidade

L

P

2

r constante

L

P

r

2 rx

rx

rdr

L

P

2

1 dV

Igualando as duas equações acima, tem-se:

Integrando,

Sabe-se que:

13

p/ r = R, V = 0

1

2 C RL

P

4

1 0

R

L

P

4

1 C 2

1

( 3 )

Substituindo a equação 3 na equação 2, temos:

22 RL

P

4

1 r

L

P

4

1 V

22 r RL

P

4

1 V

R

r 1

L4

PR V

22

( 4 )

Condição de contorno: ( 2 ) C r

L

P

4

1 V 1

2

14

Distribuição da tensão de cisalhamento

Derivando a equação (4), obtém-se tensão de cisalhamento:

L

P

2

r

dr

dV rx

( 5 )

Vazão em volume no tubo circular em função da queda de pressão

R

0A

drrV2 A.dV Q

drr2r RL

ΔP

4

1 Q 22

R

0

Substituindo a expressão da velocidade (equação 4), tem-se:

R

r 1

L4

PR V

22

(4)

15

Resolvendo a integral, tem-se a vazão:

( 7 ) L128

PD Q

4

L8

PR Q

4

( 6 )

A equação 7 é utilizada para escoamento laminar (num tubo horizontal) e é

conhecida Lei de Hagen-Poiseuille, em homenagem Hagen-Poiseuille (1839).

ou

16

Velocidade média ( 8 ) R

Q

A

Q V

2

L8R

PR V

2

4

L8

PR V

2

( 9 )

Substituindo a equação (6) na equação (8), tem-se:

4

D

L128

PD

A

Q V

2

4

L32

PD V

2

( 10 )

E, substituindo a equação (7) na equação (8), tem-se

17

Velocidade máxima

Para determinar o ponto de velocidade máxima, fazemos igual a zero e resolvemos para o valor correspondente de ( r ) na equação (4).

drdV

R

r 1

L4

PR V

22

2

2

R

2r

L4

PR

dr

dV

rL2

P

dr

dV

( 4 )

18

V

22

máxL8

PR2

L4

PR

2

2 V

V2 V máx ( 12 )

Condição de contorno:

p/r = 0, dV/dr = 0,

a velocidade é máxima no centro do tubo, portanto temos:

0 1L4

PR V V

2

máx

L4

PR V

2

máx

( 11 )

19

O perfil de velocidade (equação 4) pode ser escrito em termos da velocidade máxima (na linha de centro), como:

R

r 1V V

2

máx

( 13 )

2

V

2

R

r 1

L4

PR V

máx

A equação (13) representa o perfil parabólico para escoamento inteiramente desenvolvido, em regime laminar, num tubo horizontal.

20

Exemplo 01: Um viscosímetro simples e com boa precisão pode ser feito com um tubo capilar. Se a vazão em volume e a queda de pressão forem medidas, bem como se a geometria do tubo for conhecida, a viscosidade de um fluido newtoniano poderá ser calculada a partir da equação 7. Um teste de certo líquido num viscosímetro capilar forneceu os seguintes dados:

Vazão em volume: 880 mm3/s

Comprimento do tubo: 1 m

Diâmetro do tubo: 0,50 mm

Queda de pressão: 1,0 MPa

Determine a viscosidade do líquido.

21

Considerações: 1- Escoamento laminar. 2- Escoamento permanente. 3- Escoamento incompressível. 4- Escoamento completamente desenvolvido. 5- Tubo horizontal.

m

mm10m1 x

s

mm 880 x 128

mm0,50 x m

N10 x 1,0 x

33

44

2

6

[Pa.s] m

s N 1,74x10

2

3

128QL

PD setem,Isolando

4

L128

PD Q

4

Equação básica (7):

22

Movimento de um elemento fluido cilíndrico em um tubo

Ө

Escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo inclinado

Para fazer o ajuste para um tubo inclinado, basta incluir ao modelo de escoamento laminar para tubo horizontal o efeito gravitacional da força peso (W) na direção x (Wx) .

23

Wx = Mgsen = Vgsen = Vsen = r2Lsen

( 1 )

0 rL2 Lsenθrγ rP PrP rx

222

senθ L

P

r

2 rx γ

W

xW

Elemento cilíndrico de fluido

2rP

2rP P

rL2rx

24

( 2 )

rdrsenθγ

L

P

2

1 dV

C rsenθγ L

P

4

1 V 1

2

dr

dV rx 1o lei de Newton da viscosidade

Igualando as duas equações acima, tem-se:

Integrando,

senθγ

L

P

2

r

dr

dV

senθγ L

P

2

r

constante senθγ L

P

r

2

rx

rx

Tendo:

25

Condição de contorno:

Para r = R, V = 0

1

2 C Rsenθ L

P

4

1 0

γ

Rsenθ L

P

4

1 C 2

1

γ

( 3 )

Substituindo a equação 3 em 2, temos:

22 Rsenθγ L

P

4

1 rsenθγ

L

P

4

1 V

22 r Rsenθγ L

P

4

1 V

R

r 1senθ γ

L

P

4

R V

22

( 4 )

26

Distribuição da tensão de cisalhamento

A tensão de cisalhamento é dado por:

senθ γ L

P

2

r

dr

dV rx

( 5 )

Vazão em volume no tubo circular em função da queda de pressão

( 7 )

R

0

22

R

0A

rdr2r Rsenθ γL

ΔP

4

1 rdrV2 A.dV Q

L128

DLsenθ γ P Q

4

L8

RLsenθ γ P Q

4

( 6 )

27

Velocidade média

Combinando as equações (7) e (8), fica:

4

D

L128

DLsenθ γ P

A

Q V

2

4

L32

DLsenθ γ P V

2

( 10 )

( 8 ) R

Q

A

Q V

2

L8R

RLsenθ γ P V

2

4

L8

RLsenθ γ P V

2

( 9 )

( 6 )

L8

RLsenθ γ P Q

4

Combinando as equações (6) e (8), fica:

28

Velocidade máxima

Para determinar o ponto de velocidade máxima, fazemos dV/dr igual a zero e resolvemos para o valor correspondente de r na equação 4.

R

r 1senθ γ

L

P

4

R V

22

2

2

R

2rsenθ γ

L

P

4

R

dr

dV

rsenθ γ L

P

2

1

dr

dV

( 4 )

29

V

L8

RLsenθ γ P2 senθ γ

L

P

4

R

2

2 V

22

máx

V2 V máx ( 12 )

Condição de contorno: Para r = 0, dV/dr = 0, a velocidade é máxima no centro do tubo, portanto temos:

0 1senθ γ L

P

4

R V V

2

máx

senθ γ L

P

4

R V

2

máx

( 11 )

( 4)

30

O perfil de velocidade (equação 4) pode ser escrito em termos da velocidade máxima (na linha de centro), como:

R

r 1V V

2

máx

( 13 )

2

V

2

R

r 1senθ γ

L

P

4

R V

máx

31

Exemplo 02:

Um óleo, com viscosidade dinâmica = 0,4 N.s/m2 e massa específica = 900 kg/m3, escoa num tubo que tem diâmetro interno: D = 20 mm.

a)Qual é a queda de pressão, P = P1 – P2, necessária para produzir uma vazão de Q = 2,0 x 10-5 m3/s se o tubo for horizontal com L = 10 m?

b)Qual deve ser a inclinação do tubo () para que o óleo escoe com a mesma vazão que no item (a), mas com P1 = P2?

c)Para as mesmas condições do item (b), determine a pressão em L = 5 m, sabendo que P1 = 200 kPa.

L128

PD Q

4

L128

DLsenθ γ P Q

4

Equações básicas:

μ

DVρ R e

32

Inicialmente vamos determinar o tipo de regime, se laminar ou turbulento:

solução

m/s 0,0637 V

0,02m

/sm2,0x104

D

4Q V

2

35

2

(Laminar) 2,87 R

0,4kg/m.s

0,02mm/s0637,0900kg/m

μ

DVρ R

e

3

e

μ

DVρ R e

:Porém ?, V

33

kPa 20,4 N/m 20400 P

0,02m

/sm2x1010m0,4kg/m.s128

πD

LQ128 P

L128

PD Q

2

4

35

4

4

μ

a) queda de pressão, P = P1 – P2 ?

Como o escoamento é laminar, podemos calcular a queda de pressão pela equação de Hagen-Poiseuille.

34

0

423

35

44

4

34,13 θ

23,0 senθ

m02,0m/s81,9900kg/m

/sm2x10kg/m.s4,0128

ρgD

Q128

γD

Q128 senθ

L128

DLsenθ γ P Q

b) inclinação do tubo? Para P = 0 e utilizando a equação 6 para tubos inclinados, temos:

35

Lsenθ γ D

LQ128 P P

Lsenθ γ D

LQ128 P P

Lsenθ γ D

LQ128 P

L128

DLsenθ γ P Q

413

431

4

4

c) pressão em L = 5 m ? P = P1 – P3 e usando a equação 6 para tubos inclinados, para P1 = 200 kPa e L = 5m, temos:

0

234

35

2

3

3 34,13sen5ms

m81,9

m

kg900

m02,0

/sm2x10m5kg/m.s4,0128

m

N200x10 P

kPa 200 m

N200x10 P

2

3

3

36

Exemplo 03: Para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo horizontal, determine a distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade iguala-se à velocidade média.

22

R

r 1

x

P

4

R V

Para fluxo laminar completamente desenvolvido em tubo horizontal, temos:

(1)

R

0

2

A

rdrV2R

1 dA V

A

1

A

Q V

A velocidade média é dado pela seguinte equação:

(2)

Combinando as equações (1) em (2), tem-se:

37

22

R

r 1

x

P

4

R V

R

0

2rdrv2

R

1 V(1) (2)

x

P

8

R V

4R

R

2

R

x

P

2

1

4R

r

2

r

x

P

2

1 V

rdrR

r 1

x

P

2

1 V

rdr2R

r 1

x

P

4

R

R

1 V

2

2

42R

0

2

42

R

0

2

R

0

22

2

−

38

Igualando a velocidade do fluido com a velocidade média, temos:

0,707R 2

R r

2

1

R

r

2

1

R

r 1

x

P

8

R

R

r 1

x

P

4

R

V V

2

2

2

222

39

Proposto 01: Água ( = 62,4 lbf/ft3) escoa, de modo plenamente desenvolvido, num tubo com 1 ft de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede é 1,85 lbf/ft2. Determine o gradiente de pressão, , onde x é a direção do escoamento, se o tubo for:

a) horizontal, b) vertical com escoamento ascendente e c) vertical com escoamento descendente.

xP

40

Proposto 02: O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas estacionárias é dado por

onde a é uma constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga. Desenvolva a razão . Solução:

y 4

ha V(y) 2

2

máx/VV

h

y

x

3

2

V

V

máx

Resposta:

41

Proposto 03: Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N/sm2 e o gradiente de pressão é -1000 N/m2/m. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão em volume através do canal por metro de largura.

h = 5mm x

y

22

h

2y 1

x

P

8

h V

/s/mm 2,08x10 b

Q 35direita) a (para 2,5N/m 2

yx Resposta:

42

Proposto 04 Um mancal hidrostático deve suportar uma carga de 50.000 N por metro de comprimento perpendicular ao diagrama. O mancal é alimentado com óleo SAE 30 a 35oC e 700 kPa (man) através do rasgo central. Como o óleo é viscoso e a folga é estreita, o escoamento na folga é considerado completamente desenvolvido. Calcule: a) a largura requerida para a plataforma do mancal; b) o gradiente de pressão resultante, dp/dx; c) a altura h da folga, se Q = 1 mL/min por metro de largura. Dado: μóleo (35oC) = 0,15 N.s/m2; υóleo (35oC) = 1,6 x 10-4 m2/s