LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I

Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.

FT I – 06

Introdução aos Fluidos em

Movimento (Cinemática dos fluidos)

Prof. Lucrécio Fábio dos Santos

Departamento de Engenharia Química

LOQ/EEL

Ao terminar este roteiro voce deverá ser capaz de:

Objetivos

Classificar o escoamento de um fluido;

Diferenciar escoamento laminar de turbulento;

Reconhecer trajetória, linha de corrente e tubo de corrente;

Descrever o movimento de um fluido, quanto à visão lagrangiana e euleriana;

Relacionar velocidade e vazão em algumas aplicações de engenharia.

2

Cinemática dos fluidos Estuda o movimento dos fluidos sem levar em conta suas causas.

Inicialmente estudaremos os fluidos ideais.

Todos os fluidos reais possuem viscosidade. Entretanto, há muitos casos de escoamento em que é razoável desprezar os efeitos viscosos.

Há diferentes tipos de escoamento, como, por exemplo, os apresentados na Figura 1.

Introdução

3

Figura 1 – Possível classificação do escoamento

4

Regimes ou movimentos transiente e permanente

Regime permanente é aquele em que as propriedades do fluido num ponto são independentes do tempo, ou seja:

Regime transiente ou variado é aquele em que as condições do fluido em alguns pontos ou regiões de pontos variam com o passar do tempo.

0t

0t

p 0

t

V

0t

0t

p 0

t

V

5

Um exemplo prático é o escoamento em um reservatório, conforme apresentado na Figura 2:

NC: nível cte

Figura 2 – Escoamento em um reservatório

6

A Figura 3(a, b) mostra um reservatório de grandes dimensões, em que, apesar de haver uma descarga do fluido, o nível não varia sensivelmente com o passar do tempo, de forma que o regime pode ser considerado aproximadamente como regime permanente.

Figura 3(a, b) – Reservatório de grande dimensão

(a)

(b)

7

Já, a Figura 4(a, b) mostra um reservatório em que a seção transversal é relativamente pequena devido à descarga do fluido. Isso faz com que o nível varie sensivelmente com o passar do tempo, havendo uma variação significativa da configuração do sistema, caracterizando um regime transiente ou variado.

Figura 4(a, b) – Reservatório de pequena dimensão

(a)

(b)

8

Escoamento laminar e turbulento

A existência desses dois tipos de escoamentos foi demonstrada por Osborne Reynolds (1883) (Figuras 5 e 6).

Figura 5 – Aparato experimental utilizado por Reynolds Figura 6 – Reprodução dos esquemas

feitos por Reynolds dos movimentos

a) Laminar; b) Turbulento c) Visualização da condição (b) com faísca elétrica

9

Após investigações experimentais e teóricas, Reynolds concluiu que o critério mais apropriado para classificar o tipo de escoamento de um fluido líquido se resume à expressão (1):

sendo: V = velocidade média do fluido D = diâmetro interno do tubo μ = viscosidade dinâmica do fluido ρ = massa específica do fluido ʋ = viscosidade cinemática do fluido

VD

D V

R e

O significado fundamental do número de Reynolds é que este permite avaliar o tipo do escoamento (a estabilidade do fluxo) e pode indicar se flui de forma laminar ou turbulenta.

(1)

Reynolds verificou que a transição laminar-turbulenta ocorria para um número de Reynolds denominado de crítico (Recrit), que não era único, já que era afetado pelo grau de pertubação presente.

10

Na maioria das situações práticas de escoamento no interior de dutos, admite-se os seguintes valores:

O valor normalmente aceito para o número de Reynolds crítico de projeto é Recrit ≈ 2.300. Entretanto, dependendo das condições experimentais, Recrit poderá ocorrer com valores bem mais elevados.

Re Movimento

< 2.300 Laminar

2.300 < Re < 4.000 Transição

> 4.000 Turbulento Laminar

Transição

Turbulento 11

Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos (Figura 9).

Trajetória

Uma visualização da trajetória será obtida por meio de uma fotografia, com tempo de exposição, de um flutuante colorido colocado num fluido em movimento.

Figura 9 – Trajetória

12

Linha de corrente é a linha tangente aos vetores velocidade de diferentes partículas no mesmo instante (Figura 10).

Linha de corrente

As linhas de corrente e as trajetórias coincidem geometricamente no regime permanente.

LC

Instante t

Figura 10 – Linha de corrente em um campo de escoamento

13

Tubo de corrente

É a superfície de forma tubular formada pelas linhas de corrente que se apóiam numa linha geométrica fechada qualquer (Figura 11).

Propriedades dos tubos de corrente

a) São fixos quando o regime é permanente;

b) São impermeáveis à passagem de massa, isto é, não existe passagem de partículas de fluido através do tubo de corrente.

Figura 11 – Tubo de corrente

14

Descrição do Movimento dos Fluidos

O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a em sua trajetória total.

O observador desloca-se simultaneamente como a partícula.

As partículas individuais são observadas como uma função do tempo.

A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são apresentadas como:

Descrição Lagrangiana

15

O método de Euler consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou um volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passam por esse local.

Na descrição Euleriana do movimento, as propriedades do escoamento são funções do espaço (pontos de observação) e do tempo:

Descrição Euleriana

16

Ao lidarmos com fluidos em movimento, estaremos necessariamente preocupados com a descrição de um campo de velocidade.

Velocidade e aceleração no escoamento dos fluidos

Num dado instante, o campo de velocidade é uma função das coordenadas espaciais x, y e z, em regime transiente

O vetor velocidade pode ser escrito em termos dos seus três componentes escalares. Denotando os componentes nas direções x, y e z por Vx, Vy e Vz , segue-se que:

17

Para regime permanente, a velocidade e suas componentes escalares não serão função do tempo, sendo somente funções do ponto.

(4)

Aceleração

Figura 12 – Velocidade de uma partícula do fluido

A aceleração de uma partícula de um fluido é encontrada considerando-se uma partícula específica (Figura 12).

18

19

mas:

(6)

20

As equações em coordenadas cartesianas ficarão, segundo suas componentes em regime permanente:

21

t

v v

z

v v

y

v v

x

v a

t

v v

z

v v

y

v v

x

v a

t

v v

z

v v

y

v v

x

v a

z

z

z

y

z

x

z

y

z

y

y

y

x

y

x

z

x

y

x

x

x

z

y

x

No caso de fluido em regime transiente, deve-se considerar, em relação às equações anteriores, a variação do tempo:

(8)

22

Exemplo 01:

Num escoamento no plano Oxy, o campo de velocidades é dado por Vx = 2xt

e Vy = y2t. Determinar a aceleração no ponto P = (1,2), no instante t = 5s

(medidas em cm).

O movimento é transiente, pois Vx e Vy são funções do tempo.

2

x

2

x

xz

xy

xx

xx

2

yx

tx4 x2 a

x2 0 t)y0( t)x2t(2 a

t

V V

z

V V

y

V V

x

V a

ty V et x2 V

Solução:

23

223

y

22

y

y

z

y

y

y

x

y

y

y ty2 a

y tyty2 t x(0)2 a

t

V V

z

V V

y

V V

x

V a

404 2 522 a

t2 a

102 (5)14 12 a

t4 2 a

(1,2) P e 5s t instante No

223

223

2

2

y

y

x

x

yy

xx

24

Proposto:

Num escoamento no plano Oxy, o campo de velocidades é dado por Vx = 3x2t e

Vy = 2y2t. Determinar a aceleração no ponto P = (1,2), no instante t = 5s

(medidas em cm).

O movimento é variado (transiente), pois Vx e Vy são funções do tempo.

Resposta: a = 1670,6 cm/s2

25

Suponha uma torneira aberta e seja colocado um recipiente embaixo dela e simultaneamente seja disparado o cronômetro (Figura 13). Admita-se que o recipiente encha em 10s. Pode-se então dizer que a torneira enche 20 L em 10s ou que a vazão em volume da torneira é 20L/10s = 2 L/s.

min

L;

h

m;

s

L;

s

m

33

Vazão

(9) t

V Q

Figura 13 – Esquema para medição de vazão

Define-se vazão em volume (Q) como sendo o volume de fluido que atravessa uma certa seção do escoamento por unidade de tempo.

Vazão em volume, Q

26

Vazão em massa, ṁ

É a massa do fluido que escoa num determinado intervalo de tempo.

Vazão em peso, G

É a vazão em massa multiplicada pela aceleração da gravidade.

(10) min

g;

h

kg;

s

g;

s

kg

min

dina;

h

N;

s

dina;

s

N

(11)

27

Velocidade média na seção

Figura 14 – Movimento de um fluido através de uma seção

Suponha que um fluido esteja em movimento através da seção de área “A” a uma distância “s” (Figura 14). O volume de fluido que atravessa a seção de área A no intervalo de tempo t é .sA=V

28

É claro que essa expressão só seria válida se a velocidade fosse uniforme na seção.

.A V = t

s.A =

t

V = Q (12)

Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade do fluido, a qual é apresentada na expressão (15).

Na maioria dos casos práticos, o escoamento não é unidimensional; no entanto, é possível obter uma expressão do tipo da equação (15) definindo a velocidade média na seção, conforme apresentado a seguir:

29

A

VdA Q

Logo, a vazão na seção A será:

(13)

Adotando um dA qualquer no entorno de um ponto em que a velocidade genérica é V, como mostra a Figura (15), tem-se:

VdA dQ

Figura 15 – Elemento de área e velocidade V

30

Define-se velocidade média na seção como uma velocidade uniforme que, substituída no lugar da velocidade real, reproduz a mesma vazão na seção. Logo:

A V VdA Q m

A

A

m VdA A

1 V

Dessa igualdade, surge a expressão para o cálculo da velocidade média na seção (Figura 16):

(14)

(18)

Figura 16 – Perfil da velocidade média 31

Exemplo 02:

Para escoamento laminar em tubos, a velocidade é dada pela seguinte expressão:

R

r 1V V

2

2

máx

rdr 2π dA ; R A 2

A

m VdA A

1 V A V Q m

onde Vmáx é a velocidade no centro do tubo. Calcular a velocidade média, Vm , e a vazão em volume, Q.

Solução:

Equações básicas:

32

2

42

2

máxm

R

0

2

42

2

máxm

R

0

2

2

2

máxm

R

0

2

2

máx2m

4R

R

2

R

R

2V V

4R

r

2

r

R

2V V

rdrR

r 1

R

2V V

rdr π2R

r 1V

Rπ

1 V

2

V V máx

m

AV Q m

2

R πV Q

2

máx

4

4

2

2

máxm4R

R

2R

R2V V

33

Exemplo 03:

Para escoamento turbulento em tubos a velocidade é dada pela seguinte expressão:

R

r 1V V

1/7

máx

A

m VdA A

1 V

A V Q m

rdr 2π dA ; R A 2

onde Vmáx é a velocidade no centro do tubo. Calcular a velocidade média, Vm , e a vazão em volume, Q.

Solução:

Equações básicas:

34

0

1

8/71/7

máx

0

1

1/7

2

2

máxm

0

1

1/7

2

máxm

R

0

1/7

2

máxm

R

0

1/7

máx2m

duu u2V duu 1uR

R2V V

Rduu 1RuR

2V V

Rdu dr

u 1R r ;

0 u ; R r para

1 u ; 0 r para

R

r 1 u

rdrR

r 1

R

2V V

rdr π2R

r 1V

Rπ

1 V

35

120

492V

120

56 1052V V

15

7

8

72V V

u15

7 u

8

72V V

duu du u2V V

máxmáxm

máxm

0

1

15/7

0

1

8/7

máxm

0

1

8/7

0

1

1/7

máxm

V60

49 V máxm AV Q m V

60

R 49π Q máx

2

36

Proposto 01:

Determinar a velocidade média e a vazão em volume de um fluido escoando em um canal de largura b e altura h.

Resposta: Vm = 2/3Vmáx e Q = 2/3Vmáx bh

h

y 1V V

2

2

máx

onde y é a coordenada vertical, com origem no fundo do canal.

37

Proposto 02:

Determinar a velocidade média e a vazão em volume de um fluido escoando em um duto circular de raio R, com perfil cônico de velocidades.

Resposta: Vm = 1/3Vmáx e Q = 1/3Vmáx R2

R

r 1 v v máx

38

Proposto 03:

Determinar a velocidade média e a vazão em volume de um fluido escoando entre placas planas e paralelas distanciadas de 2h.

Resposta: Vm = 2/3Vmáx e Q = 4/3Vmáx bh

onde y é a coordenada vertical, com origem no centro do canal.

h

y 1V V

2

2

máx

39