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LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I
Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.
FT I – 07
Equações básicas na forma integral
para o volume de controle
Prof. Lucrécio Fábio dos Santos
Departamento de Engenharia Química
LOQ/EEL
2
1. Introdução
Roteiro
2. Leis básicas para um sistema
3. Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle.
4. Conservação de Massa
Muitos problemas de mecânica dos fluidos podem ser resolvidos a partir da análise do comportamento do material contido numa região finita do espaço: volume de controle.
1. Introdução
A base desde método de solução é formada por alguns princípios básicos da física como a conservação de massa, a segunda lei de Newton, a primeira e segunda leis da termodinâmica.
As equações adequadas para análise de volumes de controle são derivadas a partir das equações que representam as leis básicas aplicadas a sistemas.
3
As leis básicas para um sistema são resumidas a seguir:
4
Conservação de Massa Como um sistema é, por definição, uma porção arbitrária de matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma quantidade de matéria em todos os instantes. A conservação de massa exige que a massa, M, do sistema seja constante. Numa base de taxa, temos:
2. Leis básicas para um sistema
A Segunda Lei de Newton Para um sistema, movendo-se em relação a um eixo referencial fixo, a segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as forças agindo sobre o sistema é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear do sistema.
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Onde, P, a quantidade de movimento linear do sistema é dada por:
O Princípio da Quantidade de Movimento Angular O princípio da quantidade de movimento angular (ou do momento da quantidade de movimento) para um sistema estabelece que a taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual à soma de todos os torques atuando sobre o sistema.
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Onde, H , a quantidade de movimento angular do sistema é dada por:
Primeira Lei da Termodinâmica A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação da energia para um sistema.
W Q dE
W Q dt
dE
Sistema
( 8 )
( 7 )
Em termos médios, esta equação pode ser escrita na forma de taxa como
Vρd e dme E M(sistema) (sistema)V
sistema ( 9 ) onde a energia total do sistema é dada por:
e
gz 2
V u e
2
( 10 )
7
8
Sistema
Q ( - ) W ( + )
Fronteira do sistema
Q ( + ) W ( - )
Na equação (7), taxa de transferência de calor ( ) é positiva quando o calor é transmitido ao sistema pela vizinhança e a taxa de trabalho (Ẇ ) é positiva quando o
trabalho é realizado pelo sistema sobre a vizinhança (convenção). Na equação (10), u é a energia interna específica, V a velocidade, e z a altura (relativa a uma referência conveniente) de uma partícula de substância de massa dm
Q
A Segunda Lei da Termodinâmica Se uma quantidade de calor, Q , for transferida para um sistema à temperatura T, a segunda lei da termodinâmica estabelece que a variação da entropia, dS, do sistema satisfaz a relação:
T
Q dS
( 11 )
T
Q
dt
dS
sistema
( 12 )
Em termos médios, a equação (11) pode ser escrita na forma de taxa:
onde a entropia total do sistema é dada por:
Vρd s sdm S M(sistema) (sistema)V
sistema ( 13 )
9
3. Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle.
10
Normalmente quando estudamos escoamento de fluidos é conveniente fixar uma certa região do espaço e analisar o que acontece no interior desta região com o tempo.
Essa região fixa recebe o nome de volume de controle (VC), ou seja, em vez de acompanhar as partículas, analisamos seu comportamento numa região fixa no espaço.
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Mas, como estabelecer as equações de um escoamento para volume de controle a partir da descrição de sistema?
Antes de responder especificamente esta questão, podemos descrever a dedução em termos gerais.
m
N ( 14 )
onde:
ETA ( )
A fim de desenvolver a formulação para volume de controle de cada lei básica, partindo da formulação para sistema, usaremos o símbolo N para designar qualquer propriedade
geral do sistema (N = M, P, H, E, S). A propriedade geral correspondente por unidade
de massa por η.
12
Considere uma porção arbitrária de um fluido em escoamento em algum instante t0, conforme Figura 1(a).
Figura 1(a, b) – Configuração para sistema e volume de controle
Essa forma inicial do sistema fluido é escolhida como nosso VC, o qual está fixo no espaço em relação às coordenadas xyz.
Ao observar a Figura 1(a, b), nota-se que: Em t = t0, o sistema está inteiramente dentro do volume de controle (a); Em t = t0 + t, o sistema está parcialmente fora do volume de controle (b); Nesta situação, são identificadas três regiões: I, II e III.
N N N N N N
N N
t tIIIIVCt tIIIIIt ts
tVCts
000
00
13
Lembre-se, nosso objetivo é relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária (N) do sistema com quantidades associadas com volume de controle.
t
N Nlim
dt
dN 00 tst ts
0 t sistema
( 15 )
Então, da definição de derivada, a taxa de variação de Nsistema é dado por:
Da geometria da Figura 1, tem-se:
Substituindo na definição de derivada do sistema, obtemos:
14
O termo (1) na equação (16) é simplificado para:
Vρd
t
t
N
t
N Nlim
VC
VCtVCt tVC
0 t
00
( 17 )
Para avaliar o termo (2), primeiro será desenvolvida uma expressão para NIII)to + t , Para essa sub-região, temos:
Vρd dN t tt tIII 00 ( 18 )
Precisamos obter uma expressão para o volume desse cilindro, então:
15
16
O vetor comprimento do cilindro é dado por: Δℓ= VΔt
O volume do cilindro prismático, cuja área dA está em um ângulo α com relação ao seu comprimento é:
Podemos desenvolver uma análise similar para a sub-região (1) da região I e obter, para o termo (3) da equação (16).
Finalmente, podemos usar as equações (17), (21) e (22) para obter:
17
Quando o escoamento é para o interior da superfície de controle (22), será sempre negativo (α > 90o), o que requer um sinal negativo para produzir um resultado positivo.
As duas últimas integrais podem ser combinadas porque SCI e SCIII constituem a superfície de controle inteira,
A equação (24) é a relação fundamental entre a taxa de variação de qualquer propriedade geral arbitrária, N, de um sistema e as variações dessa propriedade associadas com um volume de controle. Alguns autores referem-se à equação (24) como o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR).
18
19
20
Avaliação do produto escalar
4. Conservação de Massa
O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e de volume de controle é o princípio de conservação da massa: “a massa do sistema permanece constante”
0 dt
dM
sistema
onde
ρdV dm M
M(sistema) V(sistema)
sistema
( 1 )
( 2 )
21
As formulações de sistema e de volume de controle são relacionados pela equação (24).
onde
Vρd dm N M(sistema) V(sistema)
sistema ( 25 )
22
Para deduzir a formulação de volume de controle da conservação de massa, fazemos
1 e M N
23
24
Exemplo 01 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos, conforme mostrado no diagrama abaixo. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m2, A2 = 0,2 m2 e A3 = 0,15 m2. O fluido também vaza do tubo através de um orifício (em 4), com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são V1 = 5m/s e V3 = 12m/s, respectivamente. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.
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Solução: Considerações: 1- Escoamento permanente (dado); 2- Escoamento incompressível; 3- Propriedades uniformes em cada seção.
26
Ao examinar os três primeiros termos na equação (1) e os sentidos dos vetores velocidades e áreas, tem-se:
27
Usando estes resultados na equação (1), temos:
2
322
2
2
433112
4332211
0,2m
/sm1,0 0,15m12m/s 0,2m5m/s V
A
Q AV AV V
0 Q AV AV AV
m/s5,4 V 2
Lembre-se de que V2 representa o módulo da velocidade, que assumimos apontar para fora do volume de controle. O fato de V2 ter sinal negativo significa que, na verdade, temos uma entrada de escoamento na seção 2, portanto a nossa hipótese inicial não estava correta.
28
Exemplo 02 A Figura abaixo mostra o desenvolvimento de um escoamento laminar de água num tubo reto, de raio R. O perfil de velocidade na seção 1 é uniforme com velocidade U paralela ao eixo do tubo. O perfil de velocidade na seção 2 é assimétrico, parabólico, com velocidade nula na parede do tubo e velocidade máxima (Vmáx ) na linha de centro do tubo. a) Qual é a relação que existe entre U e Vmáx? b) Qual é a relação que existe entre a velocidade média (Vm) na seção 2 e a
velocidade máxima (Vmáx ) ?
29
V1 = U
R
r 1V V
2
2
máx
A equação geral para um volume de controle é a equação (27), porém podemos escrever imediatamente a equação (29) por conta das considerações 1 e 2.
R
r 1V V
2
2
máx
30
Solução: Considerações: 1- Escoamento permanente, 2- Escoamento incompressível, 3- As propriedades não são uniformes em cada seção.
2U V máx
31
a) b)
2
V V máx
m
Exemplo 03 Um óleo incompressível é despejado com uma vazão Q constante em um reservatório cilíndrico de diâmetro D. O óleo vaza através de um orifício de diâmetro d, localizado na base do reservatório, com uma velocidade de saída dada por V = (2gh)1/2 , em que h é o nível do óleo, conforme é mostrado na Figura. Considerando que o jato de óleo possui diâmetro d no orifício de saída, determine: a) A equação diferencial que descreve a evolução, com o tempo, do nível h de óleo
supondo um nível inicial qualquer; b) O nível máximo(hmáx ) de óleo no reservatório a partir do qual o escoamento fica
em regime permanente. c) Considerando que o tanque não tenha alimentação, qual seria o tempo para
esvaziá-lo a partir de h?
32
Solução a) Conforme figura, o volume de controle é o volume ocupado pelo óleo, de forma
que a variação do nível h implica variação do VC com o tempo. Aplicando a equação 27, tem-se:
33
A1
A2
V
Q
+z
) ldiferencia equação ( 2ghD
d
D π
4Q
dt
dh
0 4
d π2gh Q
dt
dh
4
D π
2
2
2
22
b) No regime permanente qualquer característica ou propriedade do escoamento não sofre variação com o tempo, ou seja, a partir do instante em que o escoamento fica permanente tem-se:
gdπ
8 h
42
2
máx
Q 2gh
D
d
D π
4Q
0 dt
dh
máx2
2
2
máx
34
c) A variação do nível h implica na variação do volume de controle com o tempo.
35
A2
+z
V
dg2
Dh2 t
22/1
2
t
0
2/1
2
20
h
1/2
2/1
2
2
1/2
1/22/1
2
2
2
2
22
dtg2D
d
h
dh
dtg2D
d
h
dh
hg2D
d
dt
dh
2ghD
d
dt
dh
0 4
d π2gh
dt
dh
4
D π
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Proposto 01 Um fluido, com massa específica de 1050 kg/m3, flui em regime permanente através da caixa retangular. Dados: A1 = 0,05 m2; A2 = 0,01 m2; A3 = 0,06 m2; V1 = 4i m/s e V2 = - 8j m/s. Determine a velocidade V3.
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Proposto 02 A água do mar escoa em regime permanente no bocal cônico mostrado na figura abaixo. No bocal, está instalada uma mangueira e esta é alimentada por uma bomba hidráulica. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a velocidade de descarga da seção do bocal seja igual a 20 m/s?
Resposta: Q = 0,0251 m3/s
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Proposto 03 Água está entrando em um tanque bem agitado com uma vazão de 68,1 kg/h e 13,62 kg/h de sal (NaCl) também entra no sistema. A solução resultante está saindo do tanque com uma vazão de 54,48 kg/h. Por causa do efeito da boa agitação realizada, a solução que deixa o tanque é a mesma que a da solução no interior do sistema. Considerando-se que existem 45,4 kg de água pura no interior do tanque, no início da operação, e que as vazões de entrada e saída são mantidas constantes, calcular a concentração de saída (fração mássica de sal: w) após 1 hora.
NaCl H2O
Solução
68,1 kg/h 13,62 kg/h
45,4 kg de água para t = 0
54,48 kg/h
EXERCÍCIO 5 DA LISTA 5
39
Resposta:
