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Raciocínio Lógico-MATemático

trf 1ª Região

Problemas Aritméticos, Geométricos e Matriciais

Livro Eletrônico

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO


Prof. Josimar Padilha

www.grancursosonline.com.br

SUMÁRIO

Problemas Matemáticos ...............................................................................3

1. Conjuntos Numéricos ..............................................................................5

Questões Comentadas .................................................................................9

2. Sistema Legal de Medidas .....................................................................16

Questões Comentadas ...............................................................................26

3. Porcentagem .......................................................................................32


4. Proporcionalidades ...............................................................................42


O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.



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PROBLEMAS MATEMÁTICOS

PROBLEMAS MATEMÁTICOS: Neste módulo serão apresentados métodos para

resolução de questões de concursos públicos relacionados a problemas envolvendo:

1. Conjuntos numéricos;

2. Sistema de medidas;

3. Porcentagem;

4. Grandezas proporcionais (regra de três simples e composta).

Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio matemático e criativo, pro-

movendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a

interpretar tais questões por meio da prática e aplicação de métodos que facilitarão

na conclusão das questões.

Apresentação do Professor:

Olá, tudo bem? - Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande ale-

gria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com

você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 16 anos de ex-

JOSIMAR PADILHA

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.




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periência em aulas presenciais e mais de 08 anos em aulas online, possuo mais de

04 obras escritas, dentre elas podemos citar: “ RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

-Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm-2016”.

De uma maneira clara, simples e bem objetiva iremos aprender como a banca

examinadora exige o assunto indicado nesta aula.

O conteúdo deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos mais

recentes assuntos cobrados nas provas de concursos públicos pela banca Fundação

Getúlio Vargas.

Pensando nisso teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois além de

aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo in-

terpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores

métodos de resolução, que no decorrer desses 16 anos como professor me dediquei

para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos diversos

processos seletivos em todo do Brasil.

No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem

dado muito certo, que se trata:

1. Conceitos - de forma esquematizada;

2. Métodos e dicas de resolução rápida;

3. Questões comentadas com esquemas estratégicos




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1. Conjuntos Numéricos

Meu querido aluno, como existem vários tipos de conjuntos, ou seja, os forma-

dos por pessoas, animais e até mesmo objetos, é importante percebemos também

o conjunto formados por números que são indispensáveis para resolver vários pro-

blemas do dia a dia, logo fica a necessidade de interpretarmos conforme exemplo

abaixo:

Temos que conhecer os conjuntos numéricos, certo?

1. (FCC) Perguntaram a José quantos anos minha sua filha e ele respondeu: “A

idade dela é numericamente igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x2 −

31x − 70 < 0. ” É correto afirmar que a idade da filha de José é um número

a) menor que 10.

b) divisível por 4.

c) múltiplo de 6.

d) quadrado perfeito.

e) primo.

O objetivo não é resolvermos a inequação, apenas para mostrá-lo como é im-

portante reconhecermos os conjuntos numéricos, uma vez que o resultado é um

conjunto soluções reais. Quanto a inequação, este assunto será visto em outro

momento. Porém vamos resolver a questão para que você observe a interpretação

do resultado.

Dada a inequação, 2x2 − 31x − 70 < 0, iremos encontrar as raízes:




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2x2 − 31x − 70 = 0.

∆ = b2 - 4 a c

∆ = (-31) -4 (2) (-70) = 961 + 560 = 1521

∆ = 1521

x = -b ± ∆ 2a

=

x = 31 ± 1521 2.2

= x = 31 ± 394

X’= 35/2= 17,5

X”= -2

É importante observar que temos uma solução formada por conjunto de valores, -2

≤ x ≤ 17,5. A questão pede o maior valor inteiro, logo só pode ser 17.

A idade da filha de José é igual a 17 anos, resposta letra “e”.

Conjuntos Naturais

O Conjunto dos números naturais é representado pela letra Ν:

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da

natureza, por isso são chamados de números naturais. São aqueles números que

aparecem naturalmente ao longo de um processo de contagem, são os positivos,

vejamos:

Ν = {0, 1, 2, 3, ...}O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,

a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.



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Conjuntos Inteiros

O Conjunto dos números inteiros é representado pela letra Ζ:

É importante perceber que os números naturais não permitiam que todas as

operações, logo se tornou necessário resolver essa pendência:

Exemplo: a subtração de 7 – 9 era impossível, logo a ideia do número negativo

aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. Dessa

forma a ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e por

seus respectivos opostos, são os positivos e negativos.

Ζ = {... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2,3 , ...}

Conjuntos Racionais:

O Conjunto dos números racionais é representados pela letra Q:

Entretanto, surgiu outro tipo de problema: “Como dividir 3 bezerras por 2 fa-

zendeiros? ”

Para resolver esse tipo de problemas foram criados os números fracionários.

Estes números, juntamente com os números inteiros formam os racionais, que são

os números que podem ser expressos sob a forma de fração de tal forma que

Q= {x I x = a/b, com a ∈ Ζ e b ∈ Ζ *}

Obs.:� é importante saber que as dízimas periódicas são números racionais, pois

todas podem ser representadas por frações em que o numerador pertence

aos inteiros (Z) e o denominador pertence aos inteiros menos o zero (Ζ*).




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Exemplo:

a) 0,33333333 = 3/9

b) 0,34343434= 34/99

c) 0,056565656= 56/990

Conjuntos Irracionais:

O Conjunto dos números irracionais é representados pela letra I:

É o conjunto composto pelas dízimas aperiódicas, são números com infinitas

casas decimais, em que não podem ser representados por uma fração, onde o nu-

merador pertence aos inteiros e o denominador pertencente aos inteiros menos o

zero.

Exemplos:

O número π = 3,1415926535...

O número 2 =1,4142...

Conjuntos Reais:

O Conjunto dos números reais é representado pela letra R:

É o conjunto formado pela união dos números racionais e irracionais.

R = Q U I

Para que possamos interpretar a relação de inclusão entre os conjuntos numé-

ricos vejamos o diagrama abaixo:




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QUESTÕES COMENTADAS

2. (FGV/2010) analise as afirmativas a seguir:

I – 6 é maior do que 5/2.

II – 0,555 é um número racional.

III – Todo número inteiro tem antecessor.

Assinale:

a) somente as afirmativas I e III estão corretas.

b) somente a afirmativa II está correta.

c) somente as afirmativas I e II estão corretas.

d) somente a afirmativa I está correta.

e) somente as afirmativas II e III estão corretas.

Letra e.

Vamos analisar cada uma das afirmativas.

Referente a afirmativa I, temos o resultado 5/2 igual a 2,5, uma maneira de repre-

sentá-lo é (2,5)2 = 6,25 = 5/2, desta forma podemos inferir que 6 < 6,25.

Logo está errado.

Referente a afirmativa II, temos que toda dízima periódica pertence ao conjunto

dos números racionais. Logo está correto.

Referente a afirmativa III, temos que o conjunto dos números inteiros são todos

os números que vão do menos infinito (- ∞) até o mais infinito (+∞) , logo todo

número inteiro irá possuir um antecessor e um sucessor. Logo está correto.

3. (IBFC/2011) somando 2,33.... e 3,111... podemos dizer que a terça parte dessa

soma vale:




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a) 49/ 27

b) 49/ 9

c) 27/ 7

d) 54/ 8

Letra a.

Devemos primeiro descobrir as funções geratrizes dos dois números, ou seja, frag-

mentando os números e logo após colocando na forma fracionária para que possa-

mos realizar a soma:

2,333...= 2 + 0,3333...= 2 + 3/9 = 21/9

3,111...= 3 + 0,111... = 3 + 1/9 = 28/9

Somando-se as duas frações temos que 21/9 + 28/9 = 49/9

A terça parte desta soma será: 49/9 x 1/3 = 49/27

4. Ano: 2016 Banca: FGV

Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre o

maior desses números e o menor deles é

a) 0,15.

b) 0,21.

c) 0,293.

d) 0,308.

e) 0,31.

Letra b.

Uma maneira simples de trabalharmos com números racionais é transformá-los em

fração.




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Vejamos:

a = 0,34 = 34/100

b = 0,4 = 4/10

c = 0,19 = 19/100

d = 0,312= 312/1000

Vamos fazer com que todos os números possuam os mesmos denominadores, nes-

te caso, multiplicamos o numerador e o denominador pelos mesmos números para

que o denominador seja igual a 1000.

a = 0,34 = 34/100 ( x 10) = 340/1000

b = 0,4 = 4/10 ( x 100) = 400/1000

c = 0,19 = 19/100 ( x 10)= 190/1000

d = 0,312= 312/1000 = (não precisa)

Analisando as frações temos que o maior número é o “b” e o menor é o “c”.

4001000 - 190

1000 = 2101000 = 0,21


Sete amigas foram a um restaurante e dividiram a conta igualmente entre elas.

Entretanto, Mônica esqueceu a carteira em casa e cada uma de suas seis amigas

pagou R$ 7,25 a mais para cobrir a parte dela.

O valor total da conta foi

a) R$ 261,10.

b) R$ 298,20.

c) R$ 304,50.

d) R$ 326,20.

e) R$ 332,50.




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Letra c.

Temos uma questão que envolve números racionais, porém é importante entender-

mos a lógica utilizada para que possamos realizar as operações corretas, vamos lá!

A conta seria paga pelas sete amigas, em partes iguais, como uma delas esqueceu

a carteira e foi atribuída a cada uma das presentes o valor de R$7,25, podemos

inferir que a parte daquela que não pagou corresponde a 6 x 7,25 que será igual a

43,5. Como no início todas pagariam a mesma quantia, a conta total corresponde

a 7 x 43,5 que é igual a 304,5.


Paula escreveu um número inteiro três vezes e um outro número inteiro quatro

vezes. A soma dos sete números é 200 e um dos números é 36.

O outro número é

a) 56.

b) 42.

c) 32.

d) 26

e) 23.

Letra e.

Vamos considerar que um dos números é representado pela letra A e o outro pela

letra B.

Teremos:

1ª possibilidade: B +B+B + A + A + A + A = 200

Ou

2ª possibilidade: B +B+B +B +A + A + A = 200




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É importante observar que temos 02 possibilidades, porém só será aceita aquela

que os números sejam inteiros, correto? Sendo assim iremos verificar.

1ª possibilidade: B +B+B + A + A + A + A = 200

A = 36

B +B+B + A + A + A + A = 200

3B + 4(36) = 200

3B = 200 – 144

3B = 56

B= 18,888 (não pertence ao conjunto dos números inteiros).

2ª possibilidade: B +B+B +B + A + A + A = 200

A = 36

4B + 3 A = 200

4B + 3(36) = 200

4B = 200 – 108

4B = 92

B= 92/4

B = 23 (pertence ao conjunto dos números inteiros)

A segunda possibilidade será a correta, ou seja, A = 36 e B = 23.


Há dez anos, Pedro tinha o triplo da idade de Joana. Se continuarem vivos, daqui a

dez anos, Pedro terá o dobro da idade de Joana.

Quando Joana nasceu, Pedro tinha




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a) 28 anos.

b) 32 anos.

c) 36 anos.

d) 38 anos.

e) 40 anos.

Letra e.

Temos uma questão que iremos trabalhar com números inteiros, o que é importan-

te, uma vez que acontece muito em concursos públicos, isto é, questões envolven-

do idades.

Só calcular na data t = -10

Há dez anos, Pedro tinha o triplo da idade de Joana.

P= 3J (neste caso, o tempo t = -10)

Se continuarem vivos, daqui a dez anos, Pedro terá o dobro da idade de

Joana.

Neste caso temos o t = +10

P + 20 = (J + 20) * 2 (observar que foi somado 20 (10 + 10)).

Substituindo o P = 3J temos:

3J + 20 = 2J + 40

J = 40 - 20

J = 20

P = 3J

P = 3 * 20

P = 60




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Podemos inferir que Joana tem 20 e Pedro tem 60, isto é, t = -10, o que não in-

fluencia uma vez que desejasse saber a idade de Pedro quando Joana nasceu, que

é 60 - 20 = 40.

8. Ano: 2014Banca: FGV

Somando-se três números inteiros dois a dois, obtêm-se os seguintes resultados:

12, 26 e 48.

O maior desses três números inteiros é

a) 28.

b) 29.

c) 30.

d) 31.

e) 32.

Letra d.

Vamos construir as possíveis somas dois a dois com os números x, y e z. Desta

forma temos o sistema de equação:

Somando as três equações temos:

2x + 2y + 2z = 86

Dividindo toda equação acima por 2, teremos:

2x + 2y + 2z = 86 (÷2)

x + y + z = 43

x + y=12

y +z=26

z +x=48




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Se x+y = 12, logo

x + y + z = 43

12 + z = 43

Z = 31

Se y +z=26, logo

x + y + z = 43

x + 26 = 43

X= 17

Se x + y + z = 43, logo

17 + y + 31 = 43

Y = 43 – 17 - 31

Y = -5

2. Sistema Legal de Medidas

2.1. Comprimento:

O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de com-

primento é o metro, representado pela letra “m”.

Para melhor entendimento iremos construir uma tabela:

Para realizarmos as transformações temos que trabalhar com a vírgula, uma vez

que, a vírgula indica a unidade daquela grandeza.




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Por exemplo:

Exemplo 1.

10,3 m (a vírgula está na casa dos metros, logo o número está em metros)

Exemplo 2.

345,87 dm (a virgula está na casa dos decímetros, logo o número está em de-

címetros).

Vamos aprender agora a realizar as transformações:

FIQUE LIGADO NA DICA !!!

Utilizando a tabela acima mostrada com as unidades de medidas do compri-

mento, vamos seguir 03 passos para realizar as transformações:

1. Coloque a vírgula na unidade respectiva (tabela).

2. Coloque o número, sendo um algarismo em cada casa.

3. Transfira a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.

Para cada casa (unidade) iremos colocar somente um algarismo na tabela.

a) Transformar 34,6 m em km.




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b) Transformar 5,89 dm em hm.

c) 2,45 m em dam.

2.2. Capacidade:

O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de ca-

pacidade é o litro, representado pela letra l.

Obs.:� Para transformações de capacidade e massa teremos o mesmo raciocínio,

mudando somente a simbologia.

Vejamos a tabela:




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Utilizando os 03 passos que aprendemos nas transformações de comprimento,

iremos atuar da mesma forma, porém as unidades são as de capacidade.

Vejamos os exemplos:

a) Transformar 324,6 dl em kl.

b) 5,43 hl em ml.

c) 2,9845 dal em cl.




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2.3. Massa

O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de mas-

sa é o grama, representado pela letra g.

De forma análoga, temos o mesmo procedimento para a grandeza massa, por

exemplo:

Transformar 45,87 g em kg

Neste caso teremos que 45,87g equivale a 0,04587 Kg.

2.4. Superfície – Área

O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de área

é o metro ao quadrado, representado pela letra m2.







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Para cada casa (unidade) iremos colocar agora (02) dois algarismos.

Vamos seguir os seguintes passos para realizar as transformações:

• coloque a vírgula na unidade respectiva.

• coloque o número, sendo dois algarismos em cada casa.

• transfira a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.

Exemplo:

a) 45,678 m2 em km2

b) 32,8 cm2 em hm2

a) 45,678 m2 em km2

b) 32,8 cm2 em hm2




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2.5. Volume

O Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de vo-

lume é o metro ao cubo representado pela letra m3.




Para cada casa (unidade) iremos colocar agora três algarismos.

Vamos seguir os seguintes passos para realizar as transformações:

• coloca a vírgula na unidade respectiva.

• coloca o número, sendo três algarismos em cada casa.

• transferir a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.

Exemplo:

a) 335,978 m3 em dm3




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Temos uma relação muito importante entre volume e capacidade:

• 1 m3 equivale a 1000l.

• 1 dm3 equivale a 1l.

• 1 cm3 equivale a 1 ml.

ALGUMAS TRANSFORMAÇÕES IMPORTANTES

2.6. Grandeza: Tempo

No Sistema Internacional de Medida temos: segundos “s”

1. 1min equivale a 60s

2. 60min equivale a 1hora

3. 1hora equivale a 3600s

2.7. Temperatura

No Sistema Internacional de Medida temos: Kelvin “K”

Escala absoluta

Conversão de Escalas:

1.1 Celsius para Kelvin, Kelvin para Celsius

A diferença entre as escalas Celsius (C) e Kelvin (K) é simplesmente o ponto 0.

Assim para fazermos a conversão basta somar 273:

K=C+273

Ex: Converta 36°C para a escala Kelvin.




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K = C + 273

C = 36°C

K = 36 + 273

K = 309 K

1.2 Celsius para Fahrenheit, Fahrenheit para Celsius

A diferença entre os pontos de fusão e de ebulição da água representam a mes-

ma variação de temperatura. Assim para fazermos a conversão temos:

F= 1,8 C + 32

Ex: Converta 37°C para a escala Fahrenheit.

F=1,8∙37+32

F=66,6+32

F=98,6

Ex.: Converta 95°F para a escala Celsius:

C=95−321,8

C=631,8

C=35

1.3 Kelvin para Fahrenheit, Fahrenheit para Kelvin

Para converter da escala Kelvin para Fahrenheit, podemos converter de Celsius

para Kelvin e então para Fahrenheit ou usar a fórmula:

K - 2735 = F - 32

9

Para convertermos valores de temperaturas de uma escala para outra, basta

colocarmos na fórmula o valor conhecido e calcularmos a incógnita sabendo que:




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C = Temperatura em Graus Celsius (°C)

F = Temperatura em Graus Fahrenheit (°F)

K = Temperatura em Kelvin (K)

2.8. Ângulos

No Sistema Internacional de Medida temos: radiano “rad.”

180º = π rad.

Para realizar as conversões, basta utilizarmos a regra de três simples que vere-

mos ainda neste módulo. .




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9. (2017/FUNDEP)

João participou da última edição da Volta Internacional da Pampulha, uma das

grandes provas do calendário brasileiro, realizada no primeiro domingo de dezem-

bro em Belo Horizonte. O percurso total dessa prova é de 17,8 km. João conseguiu

percorrer 9,75 km da prova.

Quantos quilômetros faltaram para ele concluir o percurso?

a) 28,55 km

b) 17,80 km

c) 9,75 km

d) 8,05 km

Letra d.

Essa questão é bem tranquila, basta apenas realizarmos uma subtração:

17,8

- 9,75

-----------------

8,05 Km

10. (2017/MPE-GO)

Quantos litros de água cabem em um cubo com 20 centímetros de aresta?

a) 8000 litros

b) 4000 litros

c) 8 litros

d) 4 litros

e) 400 litros




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Letra c.

Temos um sólido geométrico, um cubo, com três dimensões: largura, altura e com-

primento, sendo elas com as mesmas dimensões.

O referido cubo tem 20cm de aresta, ou seja, 20cm de altura, 20cm de largura e

20 cm de comprimento.

Multiplicando as dimensões teremos :8000³ (20cm x 20cm x 20cm = 8000cm³).

É importante saber a relação entre volume e capacidade, em que, cada 1cm³ equi-

vale a 1ml. Desta forma o volume de 8000cm³, equivale 8000ml.

Se cada 1000ml equivale a 1litro, então em 8000 ml teremos 8litros.

11. (2017/IESES)

Ao somarmos 72,5 decigramas com 0,875 decagramas teremos?

a) 7,3375 gramas

b) 73,375 gramas

c) 9,475 gramas

d) 16 gramas

Letra d.

Usando a tabela mostrada nos comentários acima, é só seguir os 03 passos:

kg hg dag g dg cg mg

7 2, 5

7, 2 5

0, 8 7 5

0 8, 7 5




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Transformando as medidas em gramas teremos:

72,5 decigramas = 7,25 gramas

0,875 decagramas = 8,75 gramas

Somando os valores:

7,25 + 8,75 = 16 gramas

12. (2017/IBFC)

Um recipiente estava com 6 litros de água e foram retirados o equivalente a 12 co-

pos de 300 mililitros de água do recipiente. Nessas circunstâncias, o total de água,

em mililitros, que sobrou no recipiente foi:

a) 1400

b) 3600

c) 2400

d) 2600

Letra c.

Sabemos que 6 l equivale a 6000 ml

12 copos de 300 mililitros equivalem a (12 x 300) = 3600 ml

Como os valores já se encontram com as mesmas medidas podemos realizar a di-

ferença:

6000 - 3600 = 2400ml

13. (2017/BIG ADVICE)

O valor em decímetros de 0,473 dam é:

a) 4,73 dm.

b) 0,0473 dm.O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,




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c) 4730 dm.

d) 47,3 dm.

e) 473 dm.

Letra d.

Usando a tabela e seguindo os passos teremos:

km hm dam m dm cm mm

0, 4 7 3

0 4 7, 3

Colocamos a vírgula na unidade de decâmetro, depois o número, sendo um alga-

rismo em cada casa e depois deslocamos a vírgula para a unidade de decímetros.

14. (2016/MÁXIMA)

No depósito há um rolo de arame cujo fio mede 0,27 km de comprimento. Se todo

o fio desse rolo for cortado em pedaços iguais, cada qual com 120cm de compri-

mento, o número de partes que serão obtidas é:

a) 225;

b) 205;

c) 180;

d) 160.

Letra a.

Uma questão básica de transformação, em que iremos transformar de quilômetros

em centímetros, sendo 0,27 Km :




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km hm dam m dm cm mm

0, 2 7

2 7 0 0 0,

Desta forma temos que o rolo possui 27000cm de fio.

Se cada rolo possui 120 cm, basta dividirmos 27000 por 120 para calcularmos a

quantidade de partes necessárias.

27000 / 120 = 225 partes.

15. (2016/INAZ DO PARÁ)

De uma jarra com suco que tinha na geladeira, Pedro tomou dois quintos deste

suco e Lucas tomou três oitavos do mesmo suco. Sabendo-se que sobraram ainda

405 ml de suco na jarra, a quantidade que os dois tomaram, em ml, foi de

a) 405 ml.

b) 1600 ml.

c) 720 ml.

d) 1395 ml.

e) 945 ml.

Letra d.

Podemos fazer com que as frações possuam os mesmos denominadores, pois ficará

mais fácil.

2/5 do suco, (multiplicando por 8) podemos ter a seguinte fração equivalente:

16/40

3/8 do suco, (multiplicando por 5) podemos ter a seguinte fração equivalente:

15/40




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Desta forma já temos 16/40 + 15/40 = 31/40

Assim sobram 9/40 que corresponde a 405 ml

9/40 (do total) = 405

Total = (405 x 40) / 9

Total = 1800

Daí tirando os 405ml, 1800 - 405= 1395 ml

16. (2016/FUMARC)

Quantos hectolitros cabem em 1,2 dam3?

a) 120

b) 1.200

c) 12.000

d) 120.000

Letra c.

Para realizar as transformações utilize as tabelas, em que teremos:

1 hectolitros = 100 litros

1,2 dam³ = 1.200.000 dm³ = 1.200.000 litros

1.200.000 / 100 = 12.000

Obs.:� sabemos que 1 dm³ = 1 litro.




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3. Porcentagem

É comum o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,

números ou quantidades, sempre tomando como referencial 100 unidades.

Exemplos:

• Os alimentos tiveram um aumento de 16%.

• Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 16, 00.

• O freguês recebeu um desconto de 12% em todas as mercadorias.

• Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$12, 00.

• Dos atletas que jogam no Santos, 80% são craques.

• Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 80 são craques.

RAZÃO CENTESIMAL

Toda a razão que tem para consequente (denominador) o número 100 denomi-

na-se razão centesimal.

Exemplos:

8100, 34

100, 129100, 300

100

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

8100 = 0,08 = 8%

34100 = 0,34 = 34%

129100 = 1,29 = 129%

300100 = 3,0 = 30%




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As expressões 8%, 34% e 129% são chamadas taxas centesimais ou taxas per-

centuais.

Considere o seguinte exemplo:

João pagou uma prestação que corresponde a 50% do seu salário. Sabendo que

seu salário é de 1.200,00 reais, qual o valor pago?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre

o seu salário.

50% de 1200 = 50100 x 1200 = 600,00

Porcentagem

Valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Dada uma razão qualquer vp denominamos de porcentagem do valor, quan-

do aplicamos (multiplicamos) o valor pela razão centesimal, vejamos no exemplo

abaixo.

Exemplo 01.

a)

Calcular 10% de 200.

10% de 200 = 10100 x 200 = 20

b)

Calcular 25% de 300kg.

25% de 300 = 25100 x 300 = 75kg

Logo, 75 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.




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Exemplo 02:

Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 50 faltas, transfor-

mando em gols 30% dessas faltas.

Quantos gols de falta esse jogador fez?

30% de 50 = 30100 x 50 = 15

Portanto, o jogador fez 15 gols de falta.

DICA:

Em matemática, as preposições “de”, “da” e “do” significam multiplicações.

Fator de Multiplicação

É importante entendermos sobre os fatores de multiplicações, tanto quanto a

acréscimos, quanto para descontos, pois em muitas provas de concursos públicos

acontecem da banca examinadora exigir o valor referente ao fator, que pode ser

expresso de maneira algébrica.

Dessa forma irei apresentar de maneira prática como se encontrar esse fator

que também é responsável para calcular o valor desejado, montante, em juros e

valor líquido, em descontos.

Observe a tabela abaixo referente a juros, acréscimo:




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Exemplo 1

a) Aumentando 20% no valor de R$ 15,00 temos:

15 x 1,20 = R$ 18,00.

b) Aumentar 12% no valor de R$ 200,00 temos:

200 x 1,12 = R$ 224,00

c) Majorar 48% em um capital de R$ 1250,00 temos:

1250 x 1,48 = R$ 1850,00

Observe a tabela abaixo referente a descontos, decréscimos:

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)

Exemplo 2

a) Diminuir 20% no valor de R$ 15,00 temos:

15 x 0,8 = R$ 9,00

b) Diminuir 35% no valor de R$ 900,00 temos:

900 x 0,65 = R$ 585,00

c) Diminuir 75% no valor de R$ 340,00 temos:

340,00 x 0,25 = R$ 85,00




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Dalva gostaria de ter uma televisão pequena em sua sala e, procurando em diver-

sas lojas, achou a que queria por R$620,00. Felizmente, no fim de semana, a loja

anunciou uma promoção oferecendo 20% de desconto em todos os produtos.

Assim, Dalva pode comprar sua televisão por:

a) R$482,00;

b) R$496,00;

c) R$508,00;

d) R$512,00;

e) R$524,00.

Letra b.

Sabendo que o preço da televisão é de R$ 620,00 e teremos um desconto de 20%,

basta multiplicarmos pelo fator de multiplicação 0,8.

620 x 0,8 = 496


O gráfico a seguir mostra a evolução das taxas de analfabetismo desde o ano de

1900 até o que se espera em 2020.

Observando o gráfico, analise as afirmativas a seguir:




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I – A partir de 1950 a taxa já é menor que 60%.

II – As taxas entre 40% e 30% ocorreram entre os anos 1960 e 1980.

III – Estima-se que a taxa em 2020 seja a metade da taxa em 1990.

Está correto o que se afirma em:

a) somente I;

b) somente I e II;

c) somente I e III;

d) somente II e III;

e) I, II e III.

Letra e.

Vamos analisar cada afirmativa:

I) Em 1950, ao realizar a transposição do tempo para porcentagem, passe um traço

verticalmente e na intersecção um traço horizontal, o valor do nível de analfabe-

tismo está aproximadamente 53%, e o gráfico em linhas só diminui ao passar dos

anos. Afirmação certa.

II) Entre 1960 e 1980: aproximadamente 43 e 27%, respectivamente. Afirmação

certa.

III) No ano de 1990 temos 20% e no ano de 2020 temos 10%. Afirmação certa.

19. Ano: 2017 Banca: IESES

Qual é o dobro de 30 somado a 30% de 150?

a) 60

b) 110

c) 105

d) 210




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Letra c.

O dobro de 30 é 2x 30 = 60

30/100 de 150 é (30 x 150) / 100 = 45

Somando temos: 60 + 45 = 105

20. Ano: 2017 Banca: FUNRIO

O preço de certo sapato numa sapataria foi aumentado em 50%. Isso fez as ven-

das do sapato caírem muito. O comerciante resolveu então voltar ao preço original.

Para tanto, ele deve anunciar que o preço do sapato terá um desconto de aproxi-

madamente:

a) 33%.

b) 42%.

c) 48%.

d) 50%.

e) 60%.

Letra a.

Quando temos apenas valores relativos (porcentagens), é uma boa saída simular-

mos o valor de 100. Desta forma o sapato custa R$ 100,00 reais.

Um produto custa R$100 (referencial) e ganha 50% (50 reais de aumento, sobre o

valor de 100,00).

Novo valor: R$150,00

Agora ele precisa voltar a custar R$100, o seu novo valor é R$ 150,00 (novo refe-

rencial- 100%).

Aplicando uma regra de três simples:

R$150 ---- 100%

R$50 --- X%




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150 x = 50. 100

X= 5000/150

X=33,3

21. (FCC)

Em janeiro, uma loja em liquidação decidiu baixar todos os preços em 10%. No

mês de março, frente a diminuição dos estoques a loja decidiu reajustar os preços

em 10%. Em relação aos preços praticados antes da liquidação de janeiro, pode-se

afirmar que, no período considerado, houve

a) um aumento de 0,5%

b) um aumento de 1%

c) um aumento de 1,5%

d) uma queda de 1%

e) uma queda de 1,5%

Letra d.

Quando temos apenas valores relativos (porcentagens), é uma boa saída simular-

mos o valor de 100. Desta forma os produtos custam R$ 100,00 reais.

Preço inicial (R$100) → (-10%) → (R$90,00) → (+10%) → (R$99,00).

É importante observamos que os descontos são realizados sobre os novos valores

(novo referencial).

Se compararmos de R$100,00 para R$99,00, tivemos uma queda de R$1,00. Como

simulamos o valor de 100, a resposta já sai em porcentagem.




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22. (ESAF/AFC)

Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são

vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum

vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes

vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita

no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:

a) 20 %

b) 25 %

c) 37,5 %

d) 62,5 %

e) 75 %

Letra d.

Quando temos apenas valores relativos (porcentagens), é uma boa saída simu-

larmos o valor de 100. Desta forma a quantidade de peixes no aquário é de 100

peixes.

Do total de peixes: 80% são amarelos e 20% são vermelhos, logo temos:

AMARELOS 80%---------------80 PEIXES

VERMELHOS 20%-------------20 PEIXES

Após a doença, em que só morreram peixes amarelos temos a seguinte relação:

AMARELOS 60%--------------- x PEIXES

VERMELHOS 40%-------------20 PEIXES (é importante perceber teremos um novo

valor relativo, 40%, isso porque se a quantidade de peixes amarelos agora é 60%,

o que falta para o total é 40%)

Realizando uma regra de três simples, teremos:

AMARELOS 60%--------------- x PEIXES

VERMELHOS 40%-------------20 PEIXESO conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,




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40.x = 60 . 20

40. x = 1200

X = 30 (peixes amarelos vivos)

Se o total de peixes amarelos era igual a 80 e temos 30 vivos, podemos inferir que

morreram 50 peixes amarelos.

Agora é calcular a porcentagem de 50 no total de 80.

80---------100%

50 ---------x

80 x = 5000

X = 5000/80 = 62,5%

23. Ano: 2017 Banca: FCC

Em 2015 as vendas de uma empresa foram 60% superiores as de 2014. Em 2016

as vendas foram 40% inferiores as de 2015. A expectativa para 2017 é de que as

vendas sejam 10% inferiores as de 2014. Se for confirmada essa expectativa, de

2016 para 2017 as vendas da empresa vão

a) diminuir em 6,25%.

b) aumentar em 4%.

c) diminuir em 4%.

d) diminuir em 4,75%.

e) diminuir em 5,5%.

Letra a.

Em 2014 temos 100%

Com o aumento de 60%, iremos multiplicar pelo fator de 1,6, logo teremos 100 x

160 que é igual a 160% em 2015.




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Em 2016 com a diminuição de 40%, iremos multiplicar pelo fator de 0,6, logo tere-

mos 160 x 0,6 que é igual a 96% em 2016

Em 2017 com a diminuição de 10%, iremos multiplicar pelo fator de 0,9, logo tere-

mos 100x 0,9=90% em 2017

(2016) 96---------100%

(2017) 90--------- X

96x=9000

X=9000/96

X=93,75%

Desta forma temos:

100% → 2016

93,75% → 2017

Realizando a subtração: 2016-2017 → 100-93,75 = 6,25%.

4. Proporcionalidades

Grandezas são todos os termos pelos quais atribuímos um valor, ou seja, tudo

aquilo que é susceptível de ser aumentado ou diminuído.

Por exemplo: 10 operários constroem 5 casas, trabalhando 7 horas por dia du-

rante 90 dias.

Encontrar as grandezas é verificar os termos que foram atribuídos valores, nes-

se exemplo temos três grandezas: operários, casas e horas por dia.

Essas grandezas se relacionam entre si, podendo ser de maneira direta ou in-

versa, logo regra de três nada mais é que um processo prático para resolver pro-

blemas que envolvam grandezas desejando determinar uma outra a partir das já

conhecidas.




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4.1. Regra de Três Simples:

Quando são relacionadas apenas 02 grandezas.

Passos Utilizados numa Regra de Três Simples

1º) determinar as grandezas.

2º) identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) colocar os valores, se as grandezas forem diretas, iremos multiplicar cruza-

do, caso as grandezas sejam inversas iremos multiplicar reto, veja como se

faz no esquema para facilitar as resoluções:

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: são diretamente quando as

duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção, não esquecer que

as grandezas aumentam multiplicando e diminuem dividindo. Não temos soma ou

subtração. Ok?

Dica: Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os respectivos va-

lores, multiplicar cruzado.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: são inversamente propor-

cionais quando as duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção,

não esquecer que as grandezas aumentam multiplicando e diminuem dividindo.

Não temos soma ou subtração. Ok?




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Dica: Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os respectivos va-

lores, multiplicar de forma linear.




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Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empre-

gado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação,

para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa

tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o em-

pregado arcará com as despesas, julgue os itens a seguir.

24. (CESPE/PC DF AGENTE /2013)

Se, ao final da missão, o tempo total de suas ligações for de 20 h, o empregado

não pagará excedente.

Certo.

Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos

apenas 02(duas) grandezas se relacionando.

Nesse caso as duas grandezas são: tempo (minutos) e Valor (reais).

Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de liga-

ções tivermos, maior o valor a ser pago em reais.

Para facilitarmos os cálculos iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:

O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo ser

quisermos saber o custo a cada hora basta multiplicarmos 0,15 x 60(minutos) =

9,00 reais a cada hora.

Assim,

Teremos




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TEMPO (horas). Valor ( reais)

1 9 ,00

20 X

X = 20 x 9,0

40X = 180,0

X= 180,00

25. (CESPE/PC DF AGENTE /2013) Se, nos primeiros 10 dias, o tempo total das

ligações do empregado tiver sido de 15 h, então, sem pagar adicional, ele disporá

de mais de um terço do limite estabelecido pela empresa.

Errado.









9,00 reais a cada hora.




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Assim,

Teremos

TEMPO (horas). Valor (reais)

1 9 ,00

15 X

X = 15 x 9,0

X = 135,00

Podemos inferir que 1/3 de 200,00 (valor limite) é igual a 66,66.., ou seja , pelos

cálculos o empregado ainda pode gastar 65,00, o que não corresponde a mais de

um terço do limite estabelecido pela empresa.

26. (CESPE/PC DF AGENTE /2013) Se, ao final da missão, o empregado pagar R$

70,00 pelas ligações excedentes, então, em média, suas ligações terão sido de uma

hora por dia.

Correto.









9,00 reais a cada hora. O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,




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Assim,

Teremos

TEMPO (horas). Valor (reais)

1 9 ,00

X 270,00

9X = 270,00

X = 30 horas.

Podemos inferir que se foram gastos 30 horas em um período de 30 dias, logo, em

média, suas ligações terão sido de uma hora por dia.

27. (CESPE/TJ-RR /2012). Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros

de altura, mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.

Errado.



Tais grandezas se relacionam de maneira diretamente proporcional, pois quanto

maior a altura, maior será a capacidade.

Assim,

Teremos

METROS LITROS

10 30.000

3 x

10x = 90.000

x = 9000 litros




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4.2. Regra de Três Composta:

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grande-

zas, direta ou inversamente proporcionais.

Para que você entenda de maneira plena essa parte de regra de três composta

vamos aprender um método muito bacana, simples e eficiente.

Nada melhor do que aprender com questões, vejamos:

MÉTODO: CAUSA & CONSEQUÊNCIA

Exemplo:

Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em lo-

cais de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo

masculino, julgue os seguintes itens.

28. (CESPE/MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia duran-

te 8 dias, então, nesse período, eles construirão menos de 110 cisternas.

Errado.

Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três composta, pois te-

mos mais de 02(duas) grandezas se relacionando.

Nesse caso as grandezas são: Empregados, horas/dia, tempo (dias) e cisternas.

Para resolvermos as questões de regra de três compostas iremos aplicar um mé-

todo muito eficiente, prático e rápido, o qual chamaremos de: MÉTODO - CAUSA

–CONSEQUENCIA.




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Primeiramente devemos saber quem são as causas e quem é a consequência, e

para isto, basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e per-

guntarmos a ele o que ele está fazendo, a reposta será a consequência. As demais

grandezas serão as causas.

Segundo a questão temos como sujeito os empregados, o que eles estão fazendo?

A resposta é “ cisternas” , logo a consequência será : CISTERNAS.

As causas serão as seguintes grandezas: Empregados, horas/dia, tempo (dias)

Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cálculos.

Vamos preencher:

____________Causas____________ __Consequência ____________

Empregados H/d Tempo (dias). Cisternas

200 8 3 60

200 6 8 x

Ao preencher os valores basta apenas multiplicarmos os números seguindo as re-

tas, da seguinte forma:

200 . 8 . 3 . x = 200 . 6. 8 .60

24x = 2880

x= 2880/24

x= 120




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É importante ressaltar que não é preciso aquelas setas indicando se as grandezas

são inversas ou diretas, quando utilizamos o método causa-consequência já resol-

vemos tudo isso. Para multiplicar os números não se esqueçam, sigam as setas

ilustradas no esquema acima.

O item está errado, pois serão construídas mais de 110 cisternas.

29. (CESPE/MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 12 horas por dia du-

rante 2 dias, então eles construirão, nesse período, mais de 55 cisternas.

Certo.






–CONSEQUENCIA.








Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cál-

culos.




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Vamos preencher:

_______________Causas _____________ __Consequência ____________

Empregados H/d Tempo (dias) Cisternas

200 8 3 60

200 12 2 x

Ao preencher os valores basta apenas multiplicarmos os números seguindo as

retas, da seguinte forma:

200 . 8 . 3 . x = 200 . 12. 2 .60

24x = 1440

x= 1440/24

x= 60





30. (CESPE/MI/2013) Se, do início do ano até o presente momento, 800 cisternas

tiverem sido construídas, e isso corresponder a 16% do total previsto para o ano,

então, para se atingir a meta do ano, será necessário construir mais 4.200 novas

cisternas.




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Certo.

Temos uma questão de porcentagem com regra de três simples, pois temos apenas

02(duas) grandezas se relacionando.

Nesse caso as duas grandezas são: cisternas (valor absoluto) e cisternas (valor

relativo).

Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais cisternas (valor

absoluto), maior será o valor relativo (porcentagem).

Assim,

Teremos

Cisternas (absoluto) Cisternas (relativo %)

800 ----------------------------------16

x ------------------------------------ 84 ( complementar – o que falta para 100%)

16 x = 800. 84

16 x = 67200

x= 67200/ 16

x= 4200

31. (CESPE/MI/2013) Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas

tiveram de ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. Considere,

ainda, que, das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram refeitas por te-

rem apresentado vazamentos. Em face dessa situação, é correto afirmar que, das

1.250 cisternas construídas, menos de 1,3% delas foram refeitas por apresentarem

vazamentos.




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Certo.

Para essa questão iremos utilizar como referência o número “100” para facilitarmos

os cálculos, uma vez que a afirmação está em porcentagem.

Sendo assim teremos:

Cisternas : 100

Cisternas com defeitos: 8% de 100 = 8

Das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram refeitas por terem apresen-

tado vazamentos:

15% de 8 = 1,2 .

Como simulamos o valor 100, a resposta já sai em porcentagem, 1,2 %

32. (CESPE/MI/2013) Se os empregados trabalharem 8 horas por dia durante 7

dias, eles construirão, nesse período, mais de 145 cisternas.

Errado.






– CONSEQUENCIA.

Primeiramente devemos saber que são as causas e quem é a consequência, e para

isto, basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e perguntar-

mos a ele o que ele está fazendo, a reposta será a consequência. As demais gran-

dezas serão as causas.




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Vamos preencher:

________________Causas _____________ __Consequência

Empregados H/d Tempo (dias) Cisternas

200 8 3 60

200 8 7 x



200 . 8 . 3 . x = 200 . 8. 7 .60

24x = 3360

x= 3360/24

x= 140





O item está errado, pois será construída menos de 145 cisternas.




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33. (CESPE/MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 10 horas por dia du-

rante 3 dias, eles construirão, nesse período, mais de 70 cisternas.

Errado.






– CONSEQUENCIAL.






A resposta é “ cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.






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Vamos preencher:

_______________Causas _____________ __Consequência_

Empregados H/d Tempo (dias). Cisternas

200 8 3 60

200 10 3 x



200 . 8 . 3 . x = 200 . 10. 3 .60

24x = 3360

x= 3360/24

x= 140





O item está errado, pois será construída menos de 145 cisternas.




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