TRIÂNGULOS

Condição de existência de um triângulo

Em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados sempre

tem que ser maior que a medida do terceiro lado.

EXERCÍCIO

1º Será que conseguiríamos desenhar um triângulo de

lados:

a) 1, 9 e 10?

b) 13, 10 e 4?

c) 8, 3 e 4?

d) 3, 4 e 5?

RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO

A soma das medidas dos ângulos internos de um

triângulo é 180º.

A soma das medidas dos ângulos

externos de um triângulo é 360º.

RELAÇÕES ENTRE AS MEDIDAS DOS ÂNGULOS

EXTERNOS E INTERNOS DE UM TRIÂNGULO. A medida de cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma

das medidas dos dois Ângulos internos não adjacentes a ele.

Temos: g + A = 180º e A + B + C = 180º. Logo, g + A = A + B + C →

g = B + C.

Utilizando o mesmo raciocínio, mostre que e = A + B e f = A + C.

RELAÇÕES ENTRE AS MEDIDAS DOS ÂNGULOS

INTERNOS E AS DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, da

mesma maneira que ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

Em todo triângulo, ao menor ângulo opõe-se o menor lado, da

mesma maneira que ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

Num triângulo, ângulos iguais opõem-se a lados iguais e vice-

versa.

RESUMO

Em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados sempre tem

que ser maior que a medida do terceiro lado.

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.

A medida de cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma das

medidas dos dois Ângulos internos não adjacentes a ele.

Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, da mesma

maneira que ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

Em todo triângulo, ao menor ângulo opõe-se o menor lado, da mesma

maneira que ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

Num triângulo, ângulos iguais opõem-se a lados iguais e vice-versa.

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem

sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a

mesma medida e o mesmo ocorrerá com seus ângulos.

Note que nos dois triângulos acima...

Os lados correspondentes são congruentes: AB ≡ DE, BC ≡ EF e

AC ≡ DF.

Os ângulos correspondentes são congruentes: A ≡ D, B ≡ E e C ≡

F.

Assim, vamos ter ABC ≡ DEF.

CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

5º Caso: Cateto - hipotenusa

EXERCÍCIO

2º Na figura abaixo, o triângulo ABC é congruente ao

triângulo EDC. Os valores “x” e “y” são,

respectivamente:

a) 9cm e 7cm.

b) 7cm e 8cm.

c) 23cm e 15cm

d) 6cm e 12,5cm.

EXERCÍCIO

3º Se na figura abaixo, ∆ ABC ≡ ∆ EDC, então x + y

é igual a:

(A) 3

(B) 6

(C) 9

(D) 18

ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

Mediana: é o segmento cujas extremidades são um de seus vértices e o

ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Dizemos que BM é a mediana relativa ao lado AC

Ou que BM é a mediana relativa ao vértice A.

Outro exemplo:

ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

Bissetriz: é o segmento cujas extremidades são um de seus

vértices e um ponto do lado oposto a esse vértice, de modo que o

ângulo interno desse vértice seja dividido em dois ângulos iguais.

Dizemos que AE (1º triângulo) é a bissetriz relativa ao vértice A.

ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

Altura: segmento cujas extremidades são um de seus vértices

em um ponto na reta que contém o lado oposto a esse vértice, de

modo a formar um ângulo reto com essa reta.

Altura: AD

Altura: CH.

MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO

Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a

esse segmento que passa por seu ponto médio.

TRIÂNGULO ISÓSCELES

Um triângulo é isósceles quando tem pelo menos dois lados

congruentes. Em um triângulo isósceles que não é equilátero, o

lado com medida diferente da medida dos outros lados é sua base.

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

A mediana relativa à base de um triângulo isósceles também é uma

bissetriz e uma altura desse triângulo.

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

Baricentro: Todo triângulo tem três medianas, uma relativa a

cada lado, que se intersectam em um mesmo ponto, denominado

baricentro do triângulo. Resumindo, baricentro é o encontro

das 3 medianas de um triângulo.

Além disso, o baricentro divide cada mediana na razão 1 para 2.

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO -

ORTOCENTRO

Ortocentro: é o ponto de encontro das três alturas de

um triângulo.

O ortocentro pode ser:

Interno: se o triângulo for acutângulo (tem todos os

ângulos agudos).

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO -

ORTOCENTRO

Externo: se o triângulo for obtusângulo (tem um

ângulo obtuso).

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO -

ORTOCENTRO

Coincidente: Se o triângulo é retângulo, então o

ortocentro é o vértice do ângulo reto do triângulo.

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO -

CIRCUNCENTRO

Circuncentro: circuncentro de um triângulo é o ponto de

encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.

O circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo.

O circuncentro é também o centro da circunferência

circunscrita ao triângulo.

O circuncentro pode ser:

Interno: se o triângulo for acutângulo.

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO -

CIRCUNCENTRO

Externo: Se o triângulo for obtusângulo.

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO -

CIRCUNCENTRO Coincidente: Se o triângulo for retângulo.

Se o triângulo for retângulo, então o circuncentro é o

ponto médio da hipotenusa.

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

Incentro: é o ponto de encontro das três

bissetrizes do triângulo.

É também o centro da circunferência inscrita no

triângulo.