Troncos de Pirâmide e de Cone

Tronco da Pirâmide

Tronca do Cone

Troncos de Pirâmide e de Cone

� Existem objetos presentes

em nosso mundo que,

embora não tenham o

formato de cones ou

pirâmides, estão

relacionados a esses de

uma maneira especial.

� São chamados troncos de

cones ou troncos de

pirâmides.

Tronco de Pirâmide

� Uma pirâmide quadrangular regular de

aresta da base igual a 15 cm foi seccionada

por um plano paralelo à base distante 21 cm

desta, determine um quadrado cujo lado

mede 10cm.

Tronco de Pirâmide

� Com base na ilustração acima, determine o volume

do sólido limitado pela base da pirâmide e pelo

plano paralelo a essa base.

Resposta

� Utilizando-se de uma semelhança entre triângulos,

podemos obter a medida da altura da pirâmide.

( )

cmHHH

HHHH

H

H

H

H

636323

26332213

3

221

15

1021

=→=−→

→=−→=−→

→=−

→=−

→=B

b

aa

Hh

Tronco de Pirâmide

� O volume pode ser obtido pela diferença entre os volumes de duas pirâmides de mesmo vértice: a pirâmide inicial (maior) e a pirâmide de mesmo vértice está contida no plano que intersectou a pirâmide inicial (maior).

� A altura da pirâmide menor é igual a 63cm – 21cm= 42 cm

32140042.10.

3

1.. cmhAB

=== 31V

:por dado é menor pirâmide da volume O

32472563.15.

3

1.. cmhAB

=== 31V

:por dado é maior pirâmide da volume O

333332514004725

,

cmcmcmvVt

=−=−=V:por dado é Vpirâmides, duas

pelas limitado sólido do volume O t3

3325cmt=V

Tronco de Pirâmide

� Considere uma pirâmide cuja a

base é um polígono qualquer de

área AB e altura H.

� Quando seccionada por um plano

paralelo à base,determina-se uma

pirâmide de altura H cujo polígono

da base tem área Ab.

� Quando uma pirâmide é

seccionada por um plano paralelo à

base, o sólido que contém sua

base é denominado tronco de

pirâmide.

� Como estudamos na atividade

anterior, o volume do tronco pode

ser obtido pela diferença entre os

volumes de duas pirâmides.

Tronco de Pirâmide

� De uma maneira geral, entretanto, para

medir o volume de um tronco, podemos

calculá-la diretamente por meio da fórmula:

[ ]bBbBAAAA ++= .

3hV t

tronco

Tronco de PirâmidePara você fazer – p. 32

� Utilizando a fórmula correspondente ao volume de

um tronco, calcule o volume de um tronco de

pirâmide quadrangular regular cuja altura mede 21

cm e cujos lados das bases medem 10 cm e 15 cm.

[ ]

[ ]

[ ][ ]1503257

22500325.

100.225100225.

.

+=

+=

++=

++=

tronco

tronco

tronco

ttronco

V321V

321V

3hV

bBbBAAAA

33325cm=troncoV

Resolução de Atividades

� Página 33

Tronco de Cone

� Considere um cone de raio

da base R e altura H.

� Quando esse cone é

seccionado por um plano

paralelo à base, determina-

se outro cone de raio da

base r e altura h.

� Da mesma forma que a

pirâmide, se um cone é

seccionado por um plano

paralelo à base, o sólido

que contém sua base é

denominado tronco de cone.

Tronco de Cone

� Para obter uma expressão que permita medir o

volume de um tronco de cone, basta considerarmos

a diferença entre os volumes do cone maior e

menor.

� Assim, desenvolvendo essa ideia, obtemos a

seguinte fórmula:

[ ]rRrR ..22 ++=

3.hV t

troncoπ

Tronco de ConePara você fazer – p. 33

� Os raios das bases de um tronco de cone

reto medem 10 cm e 4 cm, e a geratriz mede

10cm. Calcule o volume desse tronco.

8cmh610:que temos retângulo, triângulo No

figura; a Observe

222 =+=

h

4cm

4cm 6cm

10 cm[ ]

[ ]4.10410.

..

22

22

++=

++=

3.8V3.hV

:a igual é tronco do volume o Assim,

tronco

ttronco

π

πrRrR

3416cm=troncoV

Resolução de Atividades

� Página 34