UFPI-Distribuiçoes

DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE

Keliny Martins de M. Sousa

KELINY MARTINS DE MELO SOUSA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAU

Distribuies de Probabilidade

Distribuio de Bernoulli

Distribuio Binomial

Distribuio Multinomial

Distribuio de Poisson

Distribuio Uniforme

Distribuio Normal

Distribuio Qui-Quadrado

Distribuio t de Student

Distibuies de Probabilidade

So estudadas, a seguir, algumas distribuies de v.a. mas

utilizadas. Dentre as v.a.d., sero vistas:


Distribuio Binomial


Distribuio Poisson

Dentre as de v.a.c

Distribuio Uniforme

Distribuio Normal

Distribuio de 2-quadrado





Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal




Um experimento de Bernoulli aquele a qual podem ser associados

apenas dois resultados: sucesso (se acontecer o evento de interesse)

ou fracasso (se no acontecer o evento de interesse). Tem-se,

ento, uma v.a.d. X que assume valor 1 caso ocorra o evento A

(sucesso) e o valor 0 caso no ocorra (insucesso ou fracasso), com

probabilidades, respectivamente,

p = P(X = 1) e q = 1 p = P(X = 0), isto , a distribuio deprobabilidade de X

x

i

x

1

= 0 x2

= 1

P(X = x) q = 1 p pq + p = 1 p + p = 1




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Mdia, Varincia e Desvio-Padro

So obtidos por

x

= = E (X ) = 2i=1xiP(xi ) = 0 q + 1 p = p

2 = V (X ) = E [X E (X )]2 = E (X 2) [E (X )]2E (X 2) = 2i=1x2

i

P(xi

) = 02 q + 12 p = p2 = p p2 = p(1 p) = p qx

=2x

=pq




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Distribuio Binomial

Seja uma sequncia de n ensaios independentes e repetidos de

Bernoulli. Ento se a v.a. X representa o nmero de sucessos nesses

n ensaios, diz-se que ela tem distribuio binomial de probabilidades

com parmetros n e p e com funo de probabilidade dada por:

P(X = x) = C xn

p

x

q

nx




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Mdia, Varincia e Desvio-Padro

Como X v.a.d. binomial nada mais do que a soma de n variveis

do tipo Bernoulli, tem-se:

x

= = E (X ) = xP(X = x) = np2 = E [X E (X )]2 = E (X 2) [E (X )]2 = npqx

=2x

=npq




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo:

Uma moeda no-viciada lanada 8 vezes. Encontre a

probabilidade de:

a) dar 5 caras;

b) pelo menos uma cara;

c) no mximo 2 caras;

d) Encontrar a mdia e a varincia.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal




Considere um experimento aleatrio e k eventos A

1

,A2

, . . . ,Ak

que

formam uma partio do espao amostral do experimento.

Sejam P

A

i

= Pi

, i = 1, 2, . . . , k probabilidade de sucessosConsidere n tentativas independentes do mesmo experimento,

sendo que os P

i

s, i = 1, 2, . . . , k permanecem constantes durante

as repeties, com

k

i=1 = n.

P(X1

= n1

,X2

= n2

, . . . ,Xk

= nk

) =n!

n

1

! . . . nk

!P

n

1

1

Pn22

. . . Pnkk

com

n

i=1 ni = n.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo:

Um dado lanado 10 vezes. Qual a probabilidade de terem

aparecido duas vezes o nmero 2, duas vezes o nemro 5, trs

vezes o nmero 1 e uma vez os demais resultados?




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal




Existem experimentos, nos quais o nmero de sucessos conhecido

ou facilmente determinvel mas o nmero de insucessos no pode

ser determinado. o que acontece quando se tem interesse no

nmero de chamadas de um telefone em um determinado intervalo

de tempo.

Se X a varivel aleatria discreta tal que sua distribuio de

probabilidades do tipo:

P(X = x , t) = (t)x

e

tx! x = 0, 1, 2, . . . , > 0ento, X e distribuio de Poisson com parmetro ( ocoeciente de proporcionalidade)




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Mdia, Varincia e Desvio-padro

A mdia e varincia de um distribuio de Poisson, dada por:

(x) = 2

(x) = t




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo:

Em mdia h 2 chamadas por hora num certo telefone. Calcular a

probabilidade de se receber no mximo 3 chamadas em 2 horas e a

probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Distribuio Uniforme

X uma varivel uniformemente distribuda no intervalo [a, b] sesua funo densidade for dada por:

f (x) = 0 para x fora de [a, b]

f (x) = 1ba para a x b




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Parmetros: mdia e varincia

(x) = a+b2

e 2(x) = (ba)2

12




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo:

Um ponto escolhido ao acaso no segmento de reta [0,2]. Calcular

a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 1,5?




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Distribuio Normal

Tem sido considerada como a mais importante das distribuies de

varivel aleatria contnua e, bsica para o desenvolvimento de

testes estatsticos tais como, o teste "t", o teste "F"e o teste

"2"e outros.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Denio

Uma varivel aleatria contnua X tem distribuio normal se sua

funo densidade de probabilidade for dada por:

f (x) = 12pie

(x)222 , < x



Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Parmetros: mdia, varincia e desvio-padro

Se X uma v.a.c. com distribuio normal de parmetros e ,isto , X N(, 2), ento, X tem como mdia e comovarincia 2




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Caractersticas da distribuio normal

a) Simetria: A curva de frequncias da distribuio normal

simtrica em relao mdia.

b) Mediana: Sendo a curva de frequncias simtrica em relao

mdia, ento M

d

= .

c) Moda: A moda que o ponto sobre o eixo horizontal onde a

curva tem seu mximo M

o

= .

d) Pontos de inexo: A curva de frequncias da distribuio

normal tem seus pontos de inexo em x = + e x = .




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



e) A curva Normal aproxima-se assintticamente do eixo normal

medida que se afasta da mdia em um ou outro sentido, isto ,

lim

x1

2pie

(x)22 = 0

e

lim

x1

2pie

(x)22 = 0




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Distribuio Normal Reduzida

Apesar de extremamente til, a distribuio normal apresenta o

inconveniente de depender dos parmetros e 2.Este fato, que primeira vista parece irrelevante implica em srias

diculdades quando, no clculo das probabilidades. Esses problemas

foram solucionados por meio de uma mudana de varivel

obtendo-se, assim, a distribuio normal padronizada ou reduzida.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Seja X uma v.a.c. com distribuio normal de mdia e varincia2. Denido-se:

z =x

tem-se, ento, uma v.a.c. com funo densidade

f (z) =12pie

z22




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



A mdia e varincia so dadas por:

E (Z ) = E

[X

]= 1{E (X ) E ()} = 1 ( ) = 0

V (Z ) = V

[X

]= 1

2V [X ] = 1

2V (X ) = 1

22 = 1




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo 1: Determine:

a) P(0 Z 1, 2)b) P(2, 2 Z 1, 4)c) P(2, 4 Z 3, 2)d) P(Z 1, 6)




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo 2: Uma fbrica de pneumticos fez um teste para medir o

desgaste de seus pneus e vericou mdia de 48000 km e

desvio-padro 2000 km. Calcular a probabilidade de um pneu

escolhido ao acaso:

a) dure mais que 46000 km;

b) dure entre 45000 e 50000 km.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal




Trata-se de um modelo de distribuio contnua muito importante

para a teoria da inferncia estatstica. Seja x

1

, x2

, . . . , xp

, p

variveis aleatrias independentes, normalmente distribuda com

mdia 0 e varincia 1. Dene-se varivel aleatria com distribuio

qui-quadrado, como:

x

2

p

= x21

+ x22

+ . . .+ x2p

onde p o parmetro da funo densidade denominado grau de

liberdade e indicada por . A mdia dada por e a varincia 2.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo: Admita parmetro 9, ou seja, = 9 e = 5%.Encontrar valores tabelados, mdia e varincia.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal




Trata-se de um modelo de distribuio contnua que se assemelha

distribuio normal padro N(0,1). utilizada para inferncias

estatsticas, particularmente quando se tem amostras com

tamanhos inferiores a 30 elementos.

A distribuio t tmbem possui um parmetro denominado grau de

liberdade (). A mdia da distribuio zero e sua varincia dada por:

Var [t] = 2(t) =

2 , ( > 2)

A distribuio t simtrica em relao sua mdia.




Distribuio Binomial



Distribuio Uniforme

Distribuio Normal



Exemplo: Admita parmetro 9, ou seja, = 9 e = 5%.Encontrar valores tabelados, mdia e varincia.


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