POTENCIALIZANDO O ENSINO DE NMEROS COMPLEXOS A PARTIR

DA ABORDAGEM VETORIAL

Daniella Assemany Luiza Harab daniella.cap@ufrj.br harab.luiza@gmail.com

Colgio de Aplicao da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Brasil

Tema: Pensamento Geomtrico

Modalidade: T (oficina)

Nvel educativo: Mdio

Palavras clave: nmeros complexos; vetores; geometria vetorial

Resumo O ensino tradicional do nmeros complexos conduz a uma viso algbrica,

desperdiando o potencial de visualizao proporcionado pela geometria. Carneiro

(2004) afirma que o professor, ao mostrar um nmero complexo a+bi graficamente

num plano cartesiano em que o eixo das abscissas representa a parte real e o das

ordenadas a parte imaginria, o par (a,b) ser a extremidade de um vetor centrado na

origem. Isto permite atribuir significado geomtrico aos nmeros complexos e,

consequentemente, as operaes algbricas podem ser realizadas a partir de

transformaes geomtricas no plano. Segundo Oliveira (2010), promove-se um apelo

visual quando os nmeros complexos so tratados primariamente como entes

geomtricos. Este trabalho se prope a mostrar, a partir do enfoque vetorial, uma

abordagem geomtrica no estudo de Nmeros Complexos no Ensino Mdio. Assim,

sero apresentadas atividades diferenciadas que podem ser utilizadas e aprimoradas

pelos professores nas aulas de Matemtica, partindo de um ponto de vista geomtrico e

vetorial. Alm disso, sero destacados benefcios dessa abordagem e apresentados

alguns resultados com alunos do 3o ano do Ensino Mdio de um colgio federal do Rio

de Janeiro. Acredita-se que essa pesquisa contribui para reflexes acerca do ensino

tradicional e desconexo dos contedos de Matemtica na educao bsica.

Introduo

Esse artigo apresenta uma abordagem diferenciada na explorao dos nmeros

complexos com alunos do Ensino Mdio de uma escola federal do Rio de Janeiro,

Brasil. Deseja-se abdicar do algebrismo tpico no ensino deste contedo na escola

bsica e fazer um paralelo com a sua representao geomtrica, usufruindo das

potencialidades da visualizao no plano proporcionadas por este recurso.

Como defendida por Hadamard (2009) e Oliveira (2010), a ferramenta visual se torna

uma aliada no ensino aprendizagem de Matemtica na sala de aula. No caso dos

nmeros complexos, o que muitas vezes despercebido, tanto para professores quanto

alunos, que a localizao de um nmero z = a + bi, apresentado prioritariamente na

forma algbrica, se constitui no par ordenado (a,b) no plano cartesiano em que o eixo

das abscissas representa a parte real e o eixo das ordenadas a parte imaginria.

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Carneiro (2004) e Oliveira (2010) apontam que, se os nmeros complexos puderem

estabelecer uma relao biunvoca com os vetores no R2, a maioria dos problemas

relacionados a este contedo ser facilmente resolvida apenas com a utilizao da noo

vetorial em conjunto com a geometria no plano.

O enfoque algbrico permite comear logo a operar com complexos sem dificuldade,

mas a experincia tem mostrado que quando se perde a chance de apresentar os

complexos imediatamente como entes geomtricos, em geral esta oportunidade no se

recupera. (Carneiro, 2004, pp. 8-9)

Nota-se que as pesquisas apontam para a necessidade de conectar os contedos de

Geometria Plana e Vetores aos Nmeros Complexos. Portanto, este recurso vetorial e

geomtrico foi denominado pelas autoras, neste trabalho, de geometria vetorial.

Essa oficina tem por objetivo apresentar aos professores de Matemtica uma abordagem

diferenciada para os nmeros complexos, a partir da geometria vetorial, incluindo as

possveis representaes e operaes definidas em . Acredita-se que as contribuies

desse trabalho extrapolam o ensino de Nmeros Complexos, pois interferem diretamente

no estudo da Matemtica em sries anteriores quando o professor se prope a olhar e

explorar os contedos do Ensino Mdio (EM) sob a tica da geometria vetorial.

Para atingir esses objetivos, ser apresentada a abordagem no ensino de Nmeros

Complexos aplicada aos alunos da 3a srie do EM do Colgio de Aplicao da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil (CAp UFRJ). Sero mostradas atividades

aplicadas a estes alunos, desenvolvidas com o intuito de instig-los a conjecturar por meio

de visualizaes e inferir suas resolues a partir de conceitos previamente consolidados.

O Ensino de Nmeros Complexos no CAp UFRJ

O Colgio de Aplicao da Universidade Federal do Rio de Janeiro (CAp UFRJ) uma

escola pblica subordinada ao governo federal brasileiro, sendo um rgo suplementar

da UFRJ. Suas principais finalidades so na atuao de ensino, pesquisa e extenso na

educao bsica, se constituindo em campo de estgio supervisionado para a formao

de profissionais em educao e reas afins. Atendendo a essas orientaes, o setor

curricular de Matemtica do CAp UFRJ prope aes pedaggicas no ensino e na

formao de professores. Aos alunos so oferecidos, na grade curricular do 6 ano do

Ensino Fundamental 3a srie do Ensino Mdio, quatro tempos semanais de

Matemtica, em mdia. Essa carga horria insuficiente para dar consistncia ao

ensino a partir de investigaes, conjecturas e inferncias. Para que no haja prejuzo na

qualidade do ensino e aprendizagem, foram feitos alguns ajustes curriculares, otimizando

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o tempo e aprofundando os contedos. Nos ltimos sete anos, a reestruturao curricular

tem sido feita com mais nfase no EM. Para a compreenso da abordagem de Nmeros

Complexos a partir da geometria vetorial, necessrio explicitar o atual currculo para o

Ensino Mdio do CAp UFRJ, conforme discrimina-se na tabela abaixo:

Tabela 1

A noo de Vetores no R2 desde a 1

a srie do EM lana mo de um instrumento

importante e prtico no estudo dos contedos posteriores, como Transformaes no

Plano, Trigonometria, Funo Afim, Translaes de Grficos, Matrizes e Nmeros

Complexos, simplificando clculos desnecessrios que estes temas recorrem quando seu

ensino feito de maneira isolada. A organizao dos contedos pretende conduzir o

aluno a interpretaes geomtricas de fatos algbricos. A tabela 2 mostra a insero dos

nmeros complexos na grade curricular da 3a srie do Ensino Mdio.

Tabela 2

Para dar incio aos estudos de Nmeros Complexos na 3a srie do EM do CAp UFRJ,

apresenta-se a motivao: Tente descobrir dois nmeros x e y, sabendo que sua soma

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18 e seu produto 82.. Seu desenvolvimento indica o surgimento de um conjunto no

qual esto contidos os Nmeros Reais, definido como Conjunto dos Nmeros

Complexos. A partir da forma algbrica a + bi, faz-se a correlao biunvoca com os

vetores no R2, apresentando-o no plano de Argand-Gauss pelo par ordenado (a,b) e no

plano cartesiano pela extremidade de um vetor com origem em (0,0), como sugerido por

Carneiro (2004).

Em seus estudos, Carneiro (2004) tambm sinalizou as relaes que as operaes

algbricas dos nmeros complexos tm com as transformaes geomtricas no plano

quando se prope a enxergar esses nmeros como pontos ou vetores. Como no CAp

UFRJ os alunos trabalham com os vetores desde a 1a srie do EM, esta abordagem se

torna mais facilitada ao explorar esses entes geomtricos. Quando direciona-se esta

abordagem vetorial para os nmeros complexos, abre-se um leque de possibilidades

para abordagens geomtricas utilizando a geometria vetorial.

No momento em que um nmero complexo localizado no plano, sua leitura vetorial

permite que os conceitos de Mdulo e Argumento de nmeros complexos sejam

associados Mdulo e Inclinao de vetores, surgindo intuitivamente a forma

trigonomtrica de um nmero complexo, como na figura a seguir:

Figura 1

Posteriormente, so mostradas, no plano complexo, as potncias de i e sua interpretao

geomtrica atravs da rotao do afixo em torno da origem. Os alunos so motivados a

perceber que, alm do significado da rotao de 90o em torno da origem representar a

multiplicao de um complexo por i, a multiplicao por

produz uma rotao

de 45o do afixo em torno da origem. Atravs de experimentaes, conclui-se que as

rotaes de um ngulo em torno da origem, que so exploradas vetorialmente na 1a

srie do Ensino Mdio, so revistas sob a tica de multiplicar um nmero complexo por

, em que n

, com . Como exemplo, destaca-se a seguinte atividade:

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Dados os vrtices A = (3,4) e C = (5,8) do quadrado ABCD, determine as

coordenadas dos vrtices B e D.

Resoluo: Considerando o ponto mdio das diagonais do quadrado, determina-se M = (4,6).

Como as diagonais de um quadrado so perpendiculares, ento

Logo, se , ento z = 1 + 2i. Assim, w = MD = (1 + 2i) . i = -2 + i e

= (2,1) . Logo, D = (-2, 1) + M D = (2, 7).

Como , ento B = C D + A B = (6, 5).

No conjunto dos nmeros complexos, o conceito de igualdade, conjugado e as

operaes de adio, subtrao e multiplicao por um nmero real so apresentados

atravs das coordenadas dos vetores formados pela origem com extremidade no afixo no

plano complexo. Assim, estas noes so revalidadas a partir de conceitos j

conhecidos, como destaca-se a figura 2, apresentada no material didtico Matemtica no

CAp UFRJ Construindo Caminhos: Nmeros Complexos e Polinmios, desenvolvido

pelos professores Cleber Neto, Daniella Assemany, Fernando Villar, Leo Akio, Letcia

Rangel, Lilian Spiller, Priscila Dias e Ulisses Dias (2013):

Figura 2

(Dias et al, 2013, p.18)

A multiplicao e a potenciao so abordadas de maneira tradicional, a partir da forma

trigonomtrica, obtendo-se a primeira Frmula De Moivre. O grande diferencial dessa

abordagem a determinao de razes complexas de um nmero complexo (operao de

radiciao), que apresentada sem a utilizao de frmula. Para isso, sugerida uma

atividade de investigao em que, dado um ponto A = (1,0), os alunos so motivados a

efetuar rotaes sucessivas de 60o em torno da origem at que este ponto retorne para a

posio inicial, anotando as coordenadas e identificando que a figura formada um

hexgono regular inscrito em uma circunferncia de raio 1, conforme Assemany e

Azevedo (2011) destacam atravs da figura abaixo:

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Figura 3

(Assemany e Azevedo, 2011, p.2)

Em seguida, proposto que os alunos calculem a sexta potncia de cada afixo

representativo dos vrtices do hexgono para observarem que os resultados so iguais a

1 = 16 = (raio da circunferncia)

6. Assim, conclui-se que as razes sextas de 1 so dadas

pelos afixos A, B, C, D, E e F da figura 3. Ento, define-se: Os afixos das n razes

ensimas de z dividem a circunferncia de centro (0,0) e raio z n em n partes

congruentes, isto : Se 2n , so pontos diametralmente opostos. Se 3n , so vrtices

de um polgono regular inscrito em uma circunferncia. (Iezzi, 1994, p.43).

Para determinar todas as razes de um nmero complexo, localizam-se os vrtices de um

polgono regular atravs de rotaes partindo de uma raiz complexa conhecida. Por

exemplo*,

tem -2 como raiz conhecida, e as outras so determinadas por rotaes

de 120o de z = -2. O processo para localizar as coordenadas dos vrtices na extrao da

raiz ensima de um nmero complexo divide-se em: i) h pelo menos uma raiz real (*);

ii) todas as razes so da forma a + bi, sendo b 0. Neste caso, (...) utiliza-se a

potenciao de nmeros complexos para determinar a primeira raiz e localiz-la no

plano complexo, e posteriormente fazer a rotao. (Assemany e Azevedo, 2011, p.3).

Resultados

A atividade a seguir foi realizada com alunos do CAp UFRJ e mostra a presena da

abordagem vetorial que os auxilia pelo seu apelo visual. Em anexo, h seis atividades

essenciais que exemplificam o potencial da geometria vetorial nos nmeros complexos.

Objetivo Determinar um nmero complexo a partir de suas razes complexas

Recursos Vetores, Translao, Rotao, Polgono regular, Trigonometria

Os vrtices A = (3,4), B = (6,5), C = (5,8) e D = (2,7) de um quadrado representam 4 razes

complexas de um nmero complexo z transladado da origem segundo um vetor.

Considere arctg 2 = 1,1 radianos e determine z.

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Aluno A

Aluno B

Esses dois exemplos foram selecionados para por demonstrarem que a geometria

vetorial oferece subsdios para que os alunos raciocinem e conceituem a partir do

dinamismo proporcionado pelos vetores. Os dois alunos em destaque utilizaram os

conceitos vetoriais na resoluo, porm produziram significados diferentes. Observe

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que o aluno A transladou o quadrado inicial para a origem antes de resolver a questo,

atendo-se figura geomtrica para obter maior compreenso. J o aluno B, partiu da

ideia que o vetor (1,2) representado na forma cannica, garante uma das razes do

nmero complexo. A translao de pontos no foi essencial na sua resoluo.

Concluses

Esse trabalho aponta para o ensino aprendizagem de Nmeros Complexos na educao

bsica atravs de raciocnios, correlaes, mltiplas representaes e produo de

significados, promovendo a supresso de frmulas prontas, muitas vezes utilizadas por

professores e alunos. Alm disso, destacaram-se resolues, com base em recursos

diferentes, para um mesmo problema de determinao de um nmero complexo. Desse

modo, o ensino da geometria vetorial se mostrou um facilitador na resoluo e

compreenso de questes de matemtica do Ensino Mdio.

Os anexos tambm mostram seis situaes problema em que, para resolv-las, h a

necessidade da geometria vetorial. Esses resultados foram provenientes de uma

abordagem diferenciada para o ensino de Nmeros Complexos, descrita neste trabalho.

Atravs da anlise das resolues dos alunos da 3a srie do CAp UFRJ, concluiu-se que

o enfoque geomtrico, destacado por Carneiro (2004), permitiu que o ensino dos

nmeros complexos fosse significativo e til dentro da matemtica estudada at ento.

Acredita-se que a geometria vetorial, recorrente do ensino de vetores em consonncia

com a geometria plana, torna mais efetivo o ensino aprendizagem da matemtica, sendo

validado e priorizado o raciocnio do aluno na escola bsica.

Referncias bibliogrficas

Akio, L. Assemany, D. Dias, P. Dias, U. Neto, C. Rangel, L. Spiller, L. & Villar, F. (2013).

Matemtica no CAp UFRJ Construindo Caminhos: Nmeros Complexos e

Polinmios. Rio de Janeiro, Brasil: Edio 1.

Assemany, D. e Azevedo, C. (2011). O ensino de vetores como ferramenta para a determinao

de razes complexas de um nmero complexo. VII Seminrio de Pesquisa em Educao

Matemtica do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil.

Carneiro, J.P. (2004). A geometria e o ensino dos nmeros complexos. En Memorias de VIII

Encontro Nacional de Educao Matemtica, Recife (Inverno 2004). Recuperado de

http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/15/PA07.pdf

Hadamard J., (2009). Psicologia da Inveno na Matemtica. Rio de Janeiro: Contraponto

Editora Ltda.

Iezzi, G. (1994). Fundamentos da Matemtica Elementar. Ed. Atual.

Oliveira, C. N. C. (2010). Nmeros complexos: Um estudo dos registros de representao e de

aspectos grficos. (Tese de Mestrado). Pontifcia Universidade Catlica, So Paulo,

Brasil.

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Anexos

Atividade 1

Objetivo Determinar as coordenadas dos vrtices de um octgono regular.

Recursos Vetores, Rotao, Polgono inscrito, Trigonometria

A figura um octgono regular ABCDEFGH de centro O e lado

de medida 2 - 2 . Admitindo um plano complexo, cujos eixos

coincidem com as retas OA (eixo real) e OC (eixo imaginrio),

determine os afixos dos nmeros complexos em A, B, C, D, E,

F, G, H.

Atividade 2

Objetivo Relacionar as coordenadas dos vrtices de um hexgono regular com as

razes cbicas complexas de dois nmeros complexos.

Recursos Vetores, Rotao, Polgono inscrito, Trigonometria, Razes Complexas

Resolvendo as equaes z3 = 8 e w

3 = -8 e localizando os afixos das suas razes complexas

em um mesmo plano de Argand-Gauss, obtm-se um hexgono H. Esboce o desenho deste

hexgono, apresentando as coordenadas de seus vrtices, e determine a rea de H.

Atividade 3

Objetivo Identificar a equao das retas perpendiculares s retas dadas e determinar a

coordenadas do ponto de interseo das mesmas.

Recursos Vetores, Rotao, Equao da reta

A figura a seguir mostra uma circunferncia tangente s paredes paralelas de um corredor,

de centro em O, origem do plano cartesiano, o qual possui duas retas, uma na direo do

vetor e outra com equao . A largura do corredor de metros e

| | | |.

Uma pessoa encontra-se sobre ponto B da figura e, sem

deslocar-se, lana duas bolas que deslizam pelo solo em linha

reta, simultaneamente e com mesma intensidade, a partir de B.

Uma bola seguiu para o ponto F e outra para o ponto D. Aps

tocarem as paredes do corredor, as bolas mantiveram seu

trajeto retilneo at se chocarem. Considere que o ponto F

representa o conjugado de A e faa o que se pede:

a) a) Determine o nmero complexo que representa o conjugado

de B.

b) b) As bolas se encontraro em algum dos pontos da figura (O, A, B, C, D, E ou F)?

Justifique e determine as coordenadas de tal ponto em caso afirmativo.

c)

3 ,1 3 0x y 2 3

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Atividade 4

Objetivo Determinar as coordenadas dos vrtices do quadrado inicial atravs de

simetrias centrais e utilizar conceitos de geometria plana.

Recursos Vetores, Transformaes, Geometria Plana

CARNIA COMPLEXA: Quatro crianas, dispostas sobre os vrtices de um quadrado de

lado 5 dm, decidem brincar de carnia. Na brincadeira, a primeira criana deve pular por

cima de todas as outras e, em seguida, a segunda criana pula por cima de todas as outras,

at que todas tenham completado o percurso.

Admitamos que pular significa fazer uma reflexo da criana que pula em relao

criana a ser pulada. Na brincadeira, a ordem dos pulos deve obedecer as seguintes

sequncias necessariamente:

A

B, C e D C D, A e B

B C, D e A D A, B e C

Considere que a criana A encontra-se sobre o afixo do nmero

complexo z = 2 + i. A figura mostra a posio ao final do

primeiro pulo da criana A sobre a criana B, que recai na

posio de A, de modo que o eixo real do plano complexo esteja

paralelo ao lado AB do quadrado.

Faa o que se pede.

a) a) Escreva as coordenadas das posies das crianas B, C e D, no plano complexo, antes de

comear a brincadeira.

b) b) Determine os afixos em A e A, representantes da posio da criana A aps o 1o e 2

o

pulos, respectivamente.

c) c) Calcule a rea do quadriltero formado pelos pontos correspondentes s posies A, B,

C e D, representantes do 1o pulo de cada criana.

d) d) No final da brincadeira, todas as crianas ainda estaro dispostas na forma de um

quadrado? Justifique sua resposta matematicamente.

Atividade 5

Objetivo Determinar as coordenadas de um tringulo equiltero a partir da rotao.

Recursos Vetores, Rotao, Polgono inscrito, Trigonometria

Considere o polgono P, cujos vrtices so os afixos de todas as razes complexas .

Sabe-se que o polgono P foi gerado atravs da rotao de P, em torno da origem, sob um

ngulo de 90o no sentido anti-horrio. Determine as expresses algbricas para os afixos

representantes dos vrtices de P no plano complexo.

Atividade 6

Objetivo Resolver problemas geomtricos a partir de nmeros complexos.

Recursos Reta, Circunferncia, Afixos, Trapzio, Trigonometria

So dados os vrtices de um trapzio cujos afixos so A= cis 45o , B= 3 + i e C = 5 i. Sabendo que o vrtice D do trapzio est sobre a reta y = x e sobre a circunferncia de

equao x2 + y

2 = , determine:

a) as coordenadas do vrtice D do trapzio.

b) a medida do ngulo interno .

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