UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA O PROBLEMA DE

UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA O

PROBLEMA DE REABASTECIMENTO DE NAVIOS EM

ROTAS DE DIVERSOS PORTOS

Rômulo Barmaimon Rabetine

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Naval e Oceânica, Escola

Politécnica, da Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro Naval e Oceânico.

Orientador: Raad Yahya Qassim

Rio de Janeiro

Janeiro de 2021

UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA O PROBLEMA DE

REABASTECIMENTO DE NAVIOS EM ROTAS DE DIVERSOS PORTOS


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO.

Examinado por:

Prof Raad Yahya Qassim, Ph. D.

Prof. Luiz Antonio Vaz Pinto, D. Sc.

Prof. Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro, D.Sc

Rio de Janeiro, RJ -Brasil

Janeiro de 2021

iii

Rabetine, Rômulo Barmaimon

Um Modelo de Programação Linear para o problema

de Reabastecimento de Navios em Rotas de Diversos

Portos/ Rômulo Barmaimon Rabetine - Rio de Janeiro:

UFRJ/ ESCOLA POLITÉCNICA, 2021.

VII, 38 p.: il.; 29,7cm


Projeto de Graduação – UFRJ/ POLI/ Engenharia

Naval e Oceânica, 2021.

Referências Bibliográficas: p.30

1. Reabastecimento de Navios. 2. Otimização. I.

Qassim, Raad Yahya II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval

e Oceânica. III. Um Modelo de Programação Linear para

o problema de Reabastecimento de Navios em Rotas de

Diversos Portos

iv

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente, à minha família por ter me dado a oportunidade de

realizar este sonho e me apoiar em minhas decisões e passos da minha vida.

Ao meu pai, apesar de distante fisicamente, acredito fielmente na sua presença e

total apoio e confiança em mais esta etapa. A minha mãe por ter a possibilidade de me

proporcionar sozinha minha formação e dar todo o suporte psicológico necessário para

atingir este objetivo.

Ao meu orientador Raad Yahya Qassim pelo tempo, paciência, compreensão e

trabalho para o desenvolvimento deste projeto que apresentou mais uma maneira de

otimizar uma das questões mais importantes do mercado.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.

UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA O PROBLEMA DE

REABASTECIMENTO DE NAVIOS EM ROTAS DE DIVERSOS PORTOS


Janeiro/2021


Curso: Engenharia Naval e Oceânica

A tarefa de otimização de velocidade e reabastecimento de navios em rotas de

diversos portos é um tema de ampla aplicabilidade e de grande efetividade para empresas

do apoio marítimo que, diariamente, lidam com este tipo de decisão de alocação de

recursos.

Num mercado tão dinâmico quanto o brasileiro, onde a longevidade é uma

conquinta fruto de muito trabalho, a redução de custos se torna um diferencial essencial

na resiliência e sustentabilidade das companhias

Outro ponto que é uma consequência direta da diminuição do consumo de

combustível e, muito relevante nos dias atuais, é a redução de emissão de gases estufa

para o meio ambiente por conta da combustão do óleo diesel.

Diante dos problemas para o desenvolvimento de um modelo a ser proposto neste

projeto, tem-se o embasamento teórico e o estudo de caso específico de uma embarcação.

Esta, a partir de seus parâmetros e deslocamentos em diversas rotas, é avaliado o resultado

entre dois tipos de modelos.

Palavras-chave: Otimização, curva de consumo, rebastecimento, rotas, eficiência

energética, modelo linear, velocidade de serviço

vi

Abstract of the Final Graduation Project presented at the Polytechnic School of the

Federal University of Rio de Janeiro as the last requirement to obtain the diploma of Naval

Architecture and Marine Engineer.

A MODEL OF LINEAR PROGRAMMING TO THE REFUELING PROBLEM OF

SHIPS IN ROUTES OF VARIOUS PORTS


Janeiro/2021

Advisor: Raad Yahya Qassim

Course: Naval Architect and Marine Engineering

The task of speed optimization and refueling of ships on routes from different

ports is a topic of wide applicability and of great effectiveness for maritime support

companies that, daily, deal with this type of resource allocation decision.

In a market as dynamic as the Brazilian one, where longevity is a result of hard

work, cost reduction becomes an essential differential in the resilience and sustainability

of companies.

Another consequence of the decrease in fuel consumption and pretty important

nowadays, is the reduction of gas emissions to the environment due to the combustion

of diesel oil.

Faced with the problems for the development of a model to be proposed in this

project, there is a theoretical basis and a specific case study of a vessel. This, based on

its parameters and displacements on different routes, the result is evaluated between two

types of models.

Key words: Optimization, consumption curve, refueling, routes, energy efficiency,

linear model, service speed.

vii

Sumário 1 – Introdução .........................................................................................................................1

2 – Reabastecimento de Navios na Prática ...........................................................................2

3 – Curva de Consumo ...........................................................................................................5

4 – Definição do Problema de Reabastecimento ..................................................................8

5 – Formulação do Problema de Reabastecimento ..............................................................9

5.1 – Modelo Matemático Não-Linear ................................................................................10

5.1.1 Modelo Não-Linear 01.............................................................................................10

5.1.1 Modelo Não-Linear 02.............................................................................................12

5.2 – Modelo Matemático Linear ........................................................................................13

5.2.1 – Modelo Linear 01 ..................................................................................................13

5.2.2 – Modelo Linear 02 ..................................................................................................15

6 – Implementação Computacional .....................................................................................18

6.1 -Portos Equidistantes e Tempo de Chegada .................................................................19

6.2 - Portos Equidistantes e Intervalo no Tempo de Chegada ..........................................21

6.3 - Portos Variando a Distância e Tempo Fixo de Chegada ...........................................23

6.4. Portos Variando a Distância e Intervalo no Tempo de Chegada ...............................25

7 – Conclusões .......................................................................................................................29

8 – Referências ......................................................................................................................30

9 – Anexos .............................................................................................................................31

9.1 - Exemplo 01 ...............................................................................................................31

9.2 - Exemplo 02 ...............................................................................................................33

9.3 - Exemplo 03 ...............................................................................................................35

9.4 - Exemplo 04 ...............................................................................................................37

1

1 – Introdução

Durante o curso de Engenharia Naval e Oceânica, são realizados diversos projetos

de embarcações visando sua aplicação neste mercado, ou seja, na concepção dos modelos

é verificada a viabilidade técnica e econômica dos mesmos. Por isso, o empenho na

otimização dos custos que envolvem a operação é amplamente estudado.

Portanto, a elaboração de alternativas na navegação no intuito de economizar

combustível é um assunto relevante na tarefa de redução de custos do meio marítimo.

Conforme referência [10], a emissão de CO2 deste mercado já tem sido encarado de

maneira mais severa. Por corresponder em cerca de 2% de todo o mundo, consequência

da crescente demanda do mercado, o Comitê de Proteção ao Meio Ambiente Marítimo

da IMO estabeleceu uma meta de reduzir em até 50% das emissões dos gases do efeito

estufa até 2050. Para atingir esta meta, a diversificação dos combustíveis já vem sendo

abordada, como a utilização de GNL, Hidrogênio, LPG, etc.

Vale ressaltar que, no transporte marítimo, o custo do combustível representa uma

grande parte do OPEX das embacações, logo, o aspecto principal a ser desenvolvido neste

trabalho, em concordância com os assuntos supraticados, será de otimizar o seu consumo

e reabastecimento.

Para isso, serão avaliados os impactos de diferentes modelos e condições numa

mesma rota e mesmo navio a fim de manter a consistência da comparação e resultados a

serem obtidos.

2

2 – Reabastecimento de Navios na Prática

Na prática do mercado naval, no transporte marítimo de cargas por meio de frotas

que tenham rotas, um navio parte de um porto, viaja seguindo uma rota definida por um

conjunto de portos intermediários e termina seu serviço em um porto de chegada. Ao

determinar a política de reabastecimento de navios, os seguintes aspectos precisam ser

levados em consideração.

(1) Em cada porto, há descarregamento e carregamento de carga, bem como

aproximação do navio para atracação, e saída do porto para mar aberto. Cada uma dessas

quatro operações (descarregamento de carga, carregamento de carga, abordagem de navio

de mar aberto para porto e retirada de navio de porto para mar aberto) leva um tempo

especificado, que normalmente é estimado pelo planejador de rota do navio em conjunto

com o operador portuário. Esses horários são considerados dados de entrada na

determinação da política de reabastecimento de navios.

(2) A cada porto, é associada uma janela de tempo ou hora de chegada prevista,

que é especificada pelo planejador de rota do navio no transporte marítimo de linha ou

pelo armador do navio em conjunto com o proprietário da carga no transporte de

mercadorias. Esses instantes ou janelas de tempo são considerados dados de entrada na

determinação da política de reabastecimento de navios.

(3) A cada porto, está associado um preço de compra conhecido do combustível.

Vale lembrar que os tipos de combustível de navios mais utilizados atualmente são o

diesel e o gás natural. O preço de compra de combustível em um porto é considerado um

dado de entrada na determinação da política de reabastecimento de navios.

(4) Em cada trecho entre um par de portos, o navio consome combustível a uma

taxa instantânea (por unidade de tempo), que é uma função matemática da velocidade

instantânea do navio. Essa função matemática de um determinado navio depende da

classe à qual ele pertence, sua idade e a política usada para sua manutenção. A estimativa

da função matemática que descreve a variação da taxa de combustível de consumo do

navio com a velocidade do navio é normalmente determinada por testes de velocidade do

3

navio, pelo procedimento Holtrop-Mennen ou pela abordagem estatística baseada na

classe do navio em consideração. Essa função matemática é considerada como dado de

entrada na determinação da política de reabastecimento de navios.

(5) Em cada porto, está associada uma opção de compra de combustível, que pode

ou não ser exercido. Se a opção for exercida, uma quantidade de combustível também

será associada. Tanto o exercício da opção quanto a quantidade de combustível são

considerados dados de saída na determinação da política de reabastecimento de navios.

(6) Em cada trecho de viagem entre um par de portos consecutivos, é associada

uma velocidade do navio ou mix de velocidade do navio, que são considerados dados de

saída na determinação da política de reabastecimento de navios.

Os tipos de dados de entrada e saída descritos acima são necessários para o

entendimento da formulação Dependendo das especificidades da variante do problema

sob considerações, pode haver aspectos adicionais a serem considerados, como: (1) a

divisibilidade de um percurso entre dois portos consecutivos em segmentos diferentes,

cada uma pode ter velocidade máxima do navio e / ou as ondas do oceano podem ser

exploráveis para reduzir o consumo de combustível e (2) um número máximo de portos

é permitido para reabastecimento de navios, como parte da política da empresa de

transporte [4].

Deve ficar claro que, para uma determinada rota de navio com dados de entrada e

saída, existem várias políticas de reabastecimento de navios, que podem ser adotadas por

uma companhia de navegação. O que normalmente é necessário nas práticas de remessa

é determinar a melhor (no sentido da melhor meta) política de reabastecimento de navios.

O objetivo pode ser econômico, ambiental ou uma combinação dos mesmos.

Como resultado, na prática moderna de navegação, a política de reabastecimento

de navio é definida como um problema de otimização, a saber, a determinação da melhor

política de reabastecimento de navio ou, de forma equivalente, a política ideal do ponto

de vista da empresa. Para esse fim, é formulado um modelo de otimização por meio de

programação computacional, cuja estrutura consiste nos seguintes componentes

constituintes: parâmetros de entrada, variáveis de decisão de saída e variáveis de estado

(variáveis que dependem de variáveis de decisão), uma função objetiva e um conjunto de

restrições. Os parâmetros de entrada são conhecidos antes da solução do problema de

otimização, como capacidade máxima do tanque de combustível do navio, intervalos de

4

velocidade permitidos do navio, função matemática da taxa de consumo de combustível

do navio, velocidade da embarcação, data limite do navio nos portos, janela de tempo do

navio nos portos, e tempo de serviço do navio. Variáveis de saída são aquelas que são

obtidas da solução do problema de otimização. A função objetivo reflete o objetivo da

política de reabastecimento de navios, como minimização do consumo de combustível ou

maximização da receita. As restrições são equações e desigualdades que representam

condições que refletem a realidade da operação do navio e a rota dos portos ao longo dos

quais o navio viaja do porto de partida ao porto de chegada.

Até o presente momento, o problema ótimo da política de reabastecimento de

navios foi matematicamente formulado como um modelo de programação não linear. Isso

se deve ao fato de que a função matemática que descreve a variação da taxa de consumo

de combustível do navio com a velocidade do navio (ver ponto 4 na Seção 2 acima) é

inerentemente não-linear e a velocidade do navio é considerada uma variável de decisão.

No entanto, se em vez de um único nível de velocidade for assumido, como é o

caso na maior parte das empresas, será permitida um mix de velocidades de navio

selecionados conhecidos e o tempo gasto em cada nível é considerado como um conjunto

de variáveis de decisão, conforme mostrado por Brown et al. (2007). Para viagens entre

um par de portos, esta formulação matemática resulta em um modelo de programação

linear. É precisamente essa abordagem que é seguida neste trabalho no desenvolvimento

de um novo modelo de programação linear para a formulação matemática do problema

ótimo da política de reabastecimento de navios, que é a contribuição do presente trabalho.

5

3 – Curva de Consumo

Para dar início ao estudo do consumo de combustível de uma embarcação, um dos

aspectos mais importantes é a curva de consumo, que é totalmente particular para cada

arranjo. A montagem desta curva depende principalmente dos seguintes pontos:

(1) Sistema Propulsivo – Este conjunto consiste basicamente dos, Motores de

Combustão Principal (MCP), Reversoras, Eixos e Hélices. No projeto de cada

navio estes equipamentos são escolhidos para atender ao propósito do mesmo,

seja para reboque ou transporte;

(2) Forma – O formato do Casco do navio e suas dimensões prinicpais tem uma

grande influência no consumo de combustível;

(3) Velocidade – Em geral, quanto maior a velocidade que se deseja atingir, maior

o consumo, porém, esta é uma relação que deve ser otimizada cada um destes

aspectos para encontrar o ponto ótimo;

Neste projeto, iremos trabalhar com a embarcação SEA FIGHTER baseado no

artigo (1) da bibliografia. Este tem a propulsão de 04 Hidrojatos acoplados a um sistema

diesel-elétrico para fornecimento de energia. O casco é um catamarã de 79,85m de LOA

e aproximadamente 1.400 toneladas de deslocamento. A seguir a figura da embarcação:

Figura 1 - SEA FIGHTER

6

Os dados de entrada retirados do artigo “Steaming on Convex Hulls” são

necessários para a determinação dos resultados, portanto, será usada como base a curva

original da embarcação.

Figura 2 - Curva de Consumo Original

A partir da curva da figura 2, é possível estimar os consumos específicos em galões por

hora para certas velocidades. Após a determinação destes pontos, pode-se ajustar a

curva adequada para representar a função, através de algum modelo de regressão e

assim obter explicitamente a função matemática que rege o comportamento da curva,

com o intuito de discretizar os consumos específicos para as demais velocidades de

interesse.

Tabela 1 - Consumos Específicos

A partir destes pontos, foi gerado o gráfico no ‘Microsoft Excel’ e foi feita a

regrassão a partir da linha de tendência polinomial. Foi escolhida a função de 4ª ordem

por apresentar um R² (coeficiente de determinação) suficientemente preciso.

Velocidade (nós) Consumo (gal/h)

5 150

10 250

15 700

20 1100

25 1900

30 2300

35 2700

40 3000

45 3750

50 4650

55 5750

Dados Paper SEAFIGHTER

7

Gráfico 1 - Curva de Consumo Ajustada

Com a Curva de Consumo Ajustada, pode-se determinar quaisquer razão de consumo

entre 05 e 55 nós. Este intervalo foi considerado suficiente para a continuidade do estudo e

disponibiliza os dados necessários para a simulação dos casos.

8

4 – Definição do Problema de Reabastecimento

Considerando o estudo do gerenciamento do custo do óleo diesel durante uma rota

de um navio, será analisado o investimento total no combustível, onde é conhecido o

serviço, a frequência, o número de portos e também o tempo de operação no porto.

Em cada parada, a embarcação tem a possibilidade de reabastecer, porém, só será

feita a quantidade necessária nos portos que apresentarem o melhor preço.

Nos exemplos a seguir, terá o conceito de intervalo no tempo de chegada nos

portos e também o tempo limite de chegada, que será implementado no modelo linear.

Além disso, cada perna possui uma limitação da velocidade máxima a ser empregada por

conta das áreas do transporte apresentarem canais, correntes e fatores metereológicos. A

passagem nos canais de Suez e Panamá serão desconsideradas.

Referente ao preço do óleo, será introduzido o conceito de variação no preço, visto

que é uma prática comum nos portos e que possui um peso importante na escolha do

reabastecimento em cada parada. Este dado é de ampla disponibiliade do público e foi

retirado da referência [9]

As despesas portuárias, operacionais, de administração e dos contêiners não serão

aplicadas por serem constantes no estudo. Por hora, não será implementado o custo de

capital da quantidade de combustível acumulada no tanque da embarcação.

Neste relatório será otimizado o tempo de chegada em cada porto, a velocidade de

operação, o consumo de combustível em cada translado e seu reabastecimento.

9

5 – Formulação do Problema de Reabastecimento

O Problema do Reabastecimento pode, em geral, ser modelado de maneira Linear

ou Não-Linear, sendo a mais usual a segunda. Apesar deste modo ser amplamente

aplicado, uma proposta interessante e que será a escolha deste trabalho é a solução destas

questões de maneira Linear.

O método proposto pelo autor utiliza como variável principal de interesse o tempo

que a embarcação se mantém em cada velocidade, fazendo com que o método de

resolução se torne, por essência, linear.

A programação linear simplifica bastante a implementação do modelo do ponto

de vista matemático, e diminui a capacidade de processamento requerida por parte do

computador que a realiza. No método de Brown et. Al, são discretizadas velocidades e

suas taxas de consumo por unidade de tempo associadas, para que de maneira linear seja

resolvido o problema, ao decidir por quanto tempo a embarcação deve permanecer em

cada velocidade para um resultado ótimo de consumo de combustível.

A fim de constatar a eficácia do modelo linear na formulação deste tipo de

problema, os exemplos do relatório serão resolvidos de ambas as formas.

Vale ressaltar que haverão 04 exemplos a serem discutidos, onde, em cada um,

tem-se uma variação dos arquivos de entrada e o aumento da complexidade do problema.

Serão estes:

(1) – 05 Portos Equidistantes e Tempo de Chegada determinado;

(2) – 05 Portos Equidistantes e Intervalo no Tempo de Chegada;

(3) – 05 Portos Não Equidistantes e Tempo de Chegada determinado;

(4) - 05 Portos Não Equidistantes e Intervalo no Tempo de Chegada;

10

5.1 – Modelo Matemático Não-Linear

Como introduzido na seção anterior, este tipo de problema é, em geral, formulado

de maneira não-linear, onde, a velocidade é a variável principal do modelo e será

determinado um valor específico para cada uma das viagens durante a rota.

Por conta da alteração nos arquivos de entrada e, consequentemente, de saída,

serão necessários 02 modelos matemáticos para a resolução destes exemplos por conta

das variáveis a serem trabalhadas.

5.1.1 Modelo Não-Linear 01

Como explicado na seção (5), haverão 04 casos a serem trabalhados e, para os

casos (1) e (3), o modelo a seguir irá atender suas necessidades. Portanto, tem-se as

seguintes notações matemáticas para a formulação do primeiro modelo:

Variáveis:

COST – Custo total;

FUELp-1,p – Consumo de combustível gasto entre dois portos;

SPEEDp-1,p – Velocidade escolhida entre cada porto;

REFUELp – Quantidade de combustível reabastecido em cada porto;

TANKp – Quantidade de combustível na embarcação;

Parâmetros:

distancep-1,p – Distância entre cada par de portos;

fuel – Capacidade total de armazenamento do navio;

frates – Razão do consumo de combustível por hora dada uma velocidade;

hoursp-1,p – Tempo de chegada em cada porto;

pricep - Preço do combustível em cada porto;

reserve – Reserva mínima de combustível dos tanques;

11

Logo, a partir da deliberação dos termos que serão abordados para calcular os

valores dos arquivos de saída, tem-se o modelo para planejar a velocidade, consumo,

reabastecimento e custo das rotas:

Minimise p=1,…,P pricep REFUELp , (1)

SPEEDp-1,p hoursp-1,p distancep-1,p , (2)

FUELp-1,p sS frates SPEEDp-1,p (3)

FUELp-1,p fuel – reserve , (4)

TANK1 = fuel – reserve – FUEL0,1 + REFUEL1 , (5)

TANKp = TANKp-1 – FUELp-1,p + REFUELp, p=2,...,P , (6)

FUEL0,1 , FUELp-1,p , SPEEDP-1,P , REFUELp , TANKp ≥ 0, p=2,…,P-1 ; sS ,

p=2,…,P . (7)

(1) – É o objetivo, minimizar o custo total da viagem;

(2) - Dado a velocidade escolhida para cada translado, levando em consideração

as limitações, a embarcação percorrerá toda a distância;

(3) – É calculado o consumo de combustível por translado.

(4) – Garante que o consumo por translado não é maior que a capacidade total da

embarcação, já considerando a quantidade de reserva dos tanques;

(5) – A atualização do estoque após o primeiro translado, considerando o consumo

e o reabastecimento é realizada pela equação;

(6) – A partir do consumo por translado e parada em cada porto, é necessária a

atualização do estoque de combustível e a garantia que será o suficiente para cada

translado, demonstrado nesta equação;

(7) – A equação garante que as variáveis são positivas;

12

5.1.1 Modelo Não-Linear 02

Por conta do intervalo no tempo de chegada, a otimização do problema é um pouco

diferente, portanto, foi formulado um novo modelo para os casos (2) e (4), o modelo a

seguir atende suas necessidades. Portanto, tem-se as seguintes notações matemáticas para

a formulação do segundo modelo:

Variáveis:



SPEEDp-1,p – Velocidade determinada durante cada translado;


TANKp – Quantidade de combustível na chegada ao porto;

HOURSp-1,p – Tempo de viagem da embarcação em cada translado;

Constantes:





min.hoursp – Tempo mínimo de chegada em cada porto;

max.hoursp – Tempo máximo de chegada em cada porto;

reserve – Reserva miníma de combustível dos tanques;

Portanto, com a notação matemática dos parâmetros que serão utilizados, temos a

seguinte modelação:

13


SPEEDp-1,p HOURSp-1,p distancep-1,p , (2)

FUELp-1,p sS frates SPEEDp-1,p (3)

HOURSp-1,p min.hoursp (4)

HOURSp-1,p max.hoursp (5)

FUELp-1,p fuel – reserve , (6)



FUEL0,1 , FUELp-1,p , SPEEDP-1,P , REFUELp , TANKp ≥ 0, p=2,…,P-1 ; sS ,

p=2,…,P . (7)

5.2 – Modelo Matemático Linear

A partir da discussão do artigo de referência “Steaming on Convex Hulls” foram

levantada as possíveis vantagens dos modelos lineares na determinação do problema de

consumo de combustível e reabastecimento. Portanto, com o auxílio do professor

orientador, foram formulados novos modelos para a resolução e otimização dos recursos

disponíveis.

Por conta da variação dos dados de entrada, fez-se necessária a formulação de não

apenas um, mas dois modelos lineares que atendessem todos os aspectos dos exemplos,

como já discutido anteriormente.

5.2.1 – Modelo Linear 01

Logo, a partir da determinação dos termos que serão necessários para calcular os

valores dos arquivos de saída, tem-se o modelo para planejar a velocidade, consumo,

reabastecimento e custo das rotas. Portanto, tem-se a seguir as seguintes notações

matemáticas:

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Variáveis:



SPEEDp-1,p – Tempo da embarcação na velocidade escolhida entre cada porto;


TANKp – Quantidade de combustível na embarcação;

Parâmetros:




hoursp-1,p – Tempo de chegada em cada porto;



sS speeds HOURSs;0,1 distance0,1 , (2)

sS HOURSs;0,1 hours0 , (3)

FUEL0,1 sS frates HOURSs;0,1 , (4)

FUEL0,1 fuel – reserve , (5)

sS speeds HOURSs,p-1,p ≥ distancep-1,p , p=2,...,P , (6)

sS;p´=1,...,p HOURSs,p´-1,p´ hoursp , p=2,..., P , (7)

FUELp-1,p ≥ sS frates HOURSs;p-1,p , p=2,..., P , (8)

FUEL p-1,p TANKp – reserve, p=2,..., P , (9)



HOURSs;0,1 , HOURSs;p-1,p , FUEL0,1 , FUELp-1,p , p=2,…,P ; REFUELp , TANKp ≥ 0,

p=2,…,P-1 ; sS , p=2,…,P . (12)

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A seguir, será explicada cada equação e qual a sua influência na construção dos

resultados:

(1) – É o objetivo, minimizar os custos;

(2) - Dado o regime de velocidades escolhido, a embarcação percorrerá toda a

distância;

(3) – Garante que não será excedido o tempo máximo para cada translado;




(6) – Além da distância a ser percorrida por translado, garantido na equação (2),

esta leva em consideração o somatório de todas as viagens;

(7) – Por conta da otimização do tempo em intervalos, é necessário considerar o

tempo por viagem e o tempo total da rota, portanto, esta equação nos garante o somatório

de todas as viagens;

(8) – A equação descreve os consumos por translado durante toda a rota;




(10) – A atualização do estoque após o primeiro translado, considerando o

consumo e o reabastecimento é realizada pela equação;

(11) – A atualização do estoque dos demais translados é feita pela equação;


5.2.2 – Modelo Linear 02

Apesar da robustez do modelo acima, este não contempla o fator de intervalo no

tempo de chegada, algo bem comum no meio naval por conta das filas de atracação que

os portos possuem.

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Antes de apresentar o modelo, deve-se mostrar suas variáveis e constantes junto

com as definições, dessa forma, segue os parâmetros aplicados:

Variáveis:



HOURSs;p-1,p – Tempo da embarcação em cada velocidade durante cada translado;


TANKp – Quantidade de combustível na chegada ao porto;

Constantes:





min.hoursp – Tempo mínimo de chegada em cada porto;

max.hoursp – Tempo máximo de chegada em cada porto;

speeds – Distribuição de velocidade da embarcação;


sS speeds HOURSs;0,1 distance0,1 , (2)

FUEL0,1 sS frates HOURSs;0,1 , (3)

FUEL0,1 fuel – reserve , (4)

sS speeds HOURSs,p-1,p ≥ distancep-1,p , p=2,...,P , (5)

sS;p´=1,...,p HOURSs,p-1,p max.hoursp , p=2,..., P , (6)

sS;p´=1,...,p HOURSs,p-1,p ≥ min.hoursp , p=2,..., P , (7)

FUELp-1,p ≥ sS frates HOURSs;p-1,p , p=2,..., P , (8)

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FUEL p-1,p TANKp – reserve, p=2,..., P , (9)



HOURSs;0,1 , HOURSs;p-1,p , FUEL0,1 , FUELp-1,p , p=2,…,P ; REFUELp , TANKp ≥ 0,

p=2,…,P-1 ; sS , p=2,…,P . (12)

A seguir, será explicada cada equação e qual a sua influência na construção dos

resultados:

(1) – É o objetivo, minimizar os custos;

(2) - Dado o regime de velocidades escolhido, a embarcação percorrerá toda a

distância;




(5) – Além da distância a ser percorrida por translado, garantido na equação (2),

esta leva em consideração o somatório de todas as viagens;

(6) – Garante que a embarcação chegará dentro do tempo máximo exigido em

cada porto;

(7) – Garante que a embarcação chegará dentro do tempo mínimo exigido em cada

porto;

(8) – A equação descreve os consumos por translado durante toda a rota;




(10) – A atualização do estoque após o primeiro translado, considerando o

consumo e o reabastecimento é realizada pela equação;

(11) – A atualização do estoque dos demais translados é feita pela equação;


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6 – Implementação Computacional

Nesta seção será demonstrada a aplicação dos modelos previamente introduzidos

no Capítulo 06. Vale ressaltar que os códigos computacionais foram desenvolvidos no

“Lingo 18.0 64x” utilizando como consulta o site do “Lindo” que disponibiliza o material

a respeito da ferramenta de otimização e a documentação liberada pela empresa.

Outro ponto importante a ser apontado é que antes de lançar os inputs no modelo

de otimização linear, foi feito um pré-procesamento de dados por meio de formulação

matemática no “Microsoft Excel”.

Um aspecto a ser considerado é que os resultados de um código computacional

nem sempre são realistas, já que o programa retorna resultados baseado no que foi escrito,

e, para minimizar a chance de erros, os resultados obtidos também foram desenvolvidos

com o auxílio da ferramenta “Solver”.

O trabalho foi construído em conjunto com seu orientador, portanto, os avanços

foram recorrentes e contínuos tanto na complexidade do problema quanto na robustez do

modelo.

Portanto, a cada instância sugerida, foi criada e adaptada uma formulação

diferente, onde todas estas que foram necessárias para as demonstrações dos modelos nã-

lineares estão no anexo – “Códigos Computacionais”.

A seguir, serão resolvidos os 04 exemplos propostos individualmente de maneira

linear e não-linear com seus respectivos resultados e o reflexo destes perante a variação

dos parâmetros.

19

6.1 -Portos Equidistantes e Tempo de Chegada

Nesta instância deve-se otimizar o custo do combustível da embarcação numa rota

de 05 portos, com distâncias iguais e tempo de chegada pré-definidos, considerando a

possibilidade de abastecer em cada porto. Além disso, é necessário minimizar o gasto de

óleo diesel em cada translado tirando proveito da distribuição de velocidades da

embarcação e os preços em cada porto.

Utilizando a ferramenta do Lingo 18.0 x64 foi modelada a questão da otimização

dos reabastecimentos e consumos ao longo da rota considerando a mesma distância e

tempo limite para cada porto – Anexo. Como parâmetros para este problema, temos:

Tabela 2 – Parâmetros

Com base nesta formulação, foram encontrados os seguintes valores para as

variáveis previamente apresentadas na modelação linear:

PARÂMETROS VALORES

Distância 2000 milhas náuticas

Tempo 65 h

20

Tabela 3 - Resultados Exemplo 01 Modelo Linear

Já para a modelação Não-Linear, tem-se o seguinte conjunto de resultados:

Tabela 4 – Resultados Exemplo 01 Modelo Não-Linear

Ao analisar os resultados obtidos, podemos checar que os portos com menor preço

tiveram uma quantidade maior de abastecimento, o que é condizente com o objetivo do

problema.

VARIÁVEL RESULTADO

T1 0,0 h

T2 0,0 h

T3 0,0 h

T4 30,0 h

T5 0,0 h

T6 0,0 h

T7 0,0 h

T8 35,0 h

T9 0,0 h

T10 0,0 h

T11 0,0 h

FUEL12 522,4 m³

FUEL23 522,4 m³

FUEL34 522,4 m³

FUEL45 522,4 m³

REFUEL2 522,4 m³

REFUEL3 441,0 m³

REFUEL4 603,8 m³

REFUEL5 522,4 m³

CUSTO 624.890,10 US$

VARIÁVEL RESULTADO

FUEL12 565,9 m³

FUEL23 565,9 m³

FUEL34 565,9 m³

FUEL45 565,9 m³

SPEED12 31 nós

SPEED23 31 nós

SPEED34 31 nós

SPEED45 31 nós

REFUEL2 565,9 m³

REFUEL3 507,2 m³

REFUEL4 624,6 m³

REFUEL5 565,9 m³

CUSTO 677.111,75 US$

21

6.2 - Portos Equidistantes e Intervalo no Tempo de Chegada

Nesta formulação deve-se otimizar o custo do combustível da embarcação numa

rota de 05 portos, com distâncias iguais e, ao invés de haver um tempo pré-determinado

para a chegada, tem-se um intervalo, além disso é possível abastecer em cada porto. O

modelo minimiza o gasto de óleo diesel em cada translado tirando proveito da distribuição

de velocidades da embarcação e os preços em cada porto.


dos reabastecimentos e consumos ao longo da rota considerando a mesma distância e o

intervalo de tempo para cada porto – Anexo. Como parâmetros para este problema, temos:

Tabela 5 – Parâmetros

Vale ressaltar que, no somatório do tempo em viagem deve ser respeitado o valor

máximo de 260 horas. Portanto, o modelo teve de distribuir a hora de chegada de cada

pernada.

Tabela 6 - Tempo de cada pernada

Com base nesta formulação, foram encontrados a seguinte distribuição de tempo

em cada velocidade:

PARÂMETROS VALORES

Distância 2000 milhas náuticas

VARIÁVEL RESULTADO

HOURS12 62,0 h

HOURS23 62,0 h

HOURS34 68,0 h

HOURS45 68,0 h

22

Tabela 7 - Tempo em cada Velocidade

Logo, com essa distribuição em mãos, foi possível determinar o consumo,

reabastecimento e custo total da viagem.

Tabela 8 - Resultados do Exemplo 02 Modelo Linear

Para a modelação não-Linear tem-se os seguintes resultados:

VARIÁVEL P1->P2 P2->P3 P3->P4 P4->P5

T1 0,0 0,0 0,0 0,0

T2 0,0 0,0 0,0 0,0

T3 0,0 0,0 0,0 0,0

T4 24,0 30,0 36,0 36,0

T5 0,0 0,0 0,0 0,0

T6 0,0 0,0 0,0 0,0

T7 0,0 0,0 0,0 0,0

T8 38,0 35,0 32,0 32,0

T9 0,0 0,0 0,0 0,0

T10 0,0 0,0 0,0 0,0

T11 0,0 0,0 0,0 0,0

VARIÁVEL RESULTADO

FUEL12 526,5 m³

FUEL23 526,5 m³

FUEL34 505,8 m³

FUEL45 505,8 m³

REFUEL2 526,5 m³

REFUEL3 428,5 m³

REFUEL4 603,8 m³

REFUEL5 505,8 m³

CUSTO 617.299,82 US$

23

Tabela 9 - Resultados Exemplo 02 Modelo Não- Linear

Neste exemplo já encontramos uma diferença no custo, principalmente por conta

da liberdade no tempo em cada pernada. Olhando atentamente ao consumo, é notório que

o modelo se adaptou a seguinte situação: Os portos com melhor preço de combustível

foram os que a embarcação mais abasteceu óleo, os outros tem-se a situação contrária. O

motivo dessa mudança é o objetivo principal da formulação, minimizar o custo da viagem.

6.3 - Portos Variando a Distância e Tempo Fixo de Chegada


rota de 05 portos, com distâncias que irão variar para cada pernada e tempo de chegada

pré-definido, além disso é possível abastecer em cada porto. O modelo minimiza o gasto

de óleo diesel em cada translado tirando proveito da distribuição de velocidades da

embarcação e os preços em cada porto.


dos reabastecimentos e consumos ao longo da rota considerando uma distância

decrescente e tempo limite para cada porto. Como parâmetros para este problema, temos:

VARIÁVEL RESULTADO

FUEL12 560,9 m³

FUEL23 560,9 m³

FUEL34 548,3 m³

FUEL45 548,3 m³

SPEED12 32 nós

SPEED23 32 nós

SPEED34 29 nós

SPEED45 29 nós

REFUEL2 560,9 m³

REFUEL3 484,6 m³

REFUEL4 624,6 m³

REFUEL5 548,3 m³

CUSTO 663.456,48 US$

24

Tabela 10 – Parâmetros de cada pernada


em cada velocidade:

Tabela 11 – Tempo em cada velocidade




Os resultados do Modelo Não-Linear se mostraram diferentes, logo:

PARÂMETROS VALORES

TEMPO 65 horas

DISTANCE12 2000 milhas náuticas





T1 0 0 0 0

T2 0 0 0 0

T3 0 0 0 0

T4 30 35 40 45

T5 0 0 0 0

T6 0 0 0 0

T7 0 0 0 0

T8 35 30 25 20

T9 0 0 0 0

T10 0 0 0 0

T11 0 0 0 0

VARIÁVEL RESULTADO

FUEL12 516,1 m³

FUEL23 479,1 m³

FUEL34 442,1 m³

FUEL45 405,1 m³

REFUEL2 516,1 m³

REFUEL3 317,5 m³

REFUEL4 603,8 m³

REFUEL5 405,1 m³

CUSTO 550.223,14 US$

25

Tabela 13 - Resultados Exemplo 03 Modelo Não-Linear

Por conta da redução nas distâncias durante a viagem, é de se esperar que o custo

iria acompanhar, porém, vale ressaltar que é importante a consolidação dos resultados e

que o modelo pode ter todas suas constantes alteradas.

6.4. Portos Variando a Distância e Intervalo no Tempo de Chegada


rota de 05 portos, já com a total variação do que eram constantes, tais como distância e

tempo. Além disso possível abastecer em cada porto.

O modelo minimiza o gasto de óleo diesel em cada translado tirando proveito da

distribuição de velocidades da embarcação e os preços em cada porto.


dos reabastecimentos e consumos ao longo da rota considerando uma distância

decrescente e intervalo no tempo de chegada para cada porto – Anexo.

Neste exemplo apenas as distâncias são constantes, sendo:

VARIÁVEL RESULTADO

FUEL12 567,1 m³

FUEL23 524,1 m³

FUEL34 500,5 m³

FUEL45 452,7 m³

SPEED12 31,0 nós

SPEED23 29,0 nós

SPEED34 28,0 nós

SPEED45 26,0 nós

REFUEL2 567,1 m³

REFUEL3 400,0 m³

REFUEL4 624,6 m³

REFUEL5 452,7 m³

CUSTO 610.784,19 US$

26

Tabela 14 – Distâncias de cada Pernada

Vale ressaltar que, no somatório do tempo em viagem deve ser respeitado o valor

máximo de 260 horas. Portanto, o modelo teve de distribuir a hora de chegada de cada

pernada.

Tabela 15 - Tempo de Cada Pernada


em cada velocidade:

Tabela 16 - Tempo em cada Velocidade



VARIÁVEL RESULTADO





VARIÁVEL RESULTADO

HOURS12 70,0 h

HOURS23 67,0 h

HOURS34 63,0 h

HOURS45 60,0 h


T1 0 0 0 0

T2 0 0 0 0

T3 0 0 0 0

T4 40 39 36 35

T5 0 0 0 0

T6 0 0 0 0

T7 0 0 0 0

T8 30 28 27 25

T9 0 0 0 0

T10 0 0 0 0

T11 0 0 0 0

27


Novamente, como esperado, o modelo não-linear se mostrou menos eficiente que o linear,

porém, deve-se ressaltar os resultados obtidos, já que, na maior parte das vezes na aplicação

prática é a forma utilizada.

Tabela 18 - Resultados Exemplo 04 Modelo não Linear

Neste exemplo da embarcação SEA FIGHTER, chegou-se ao ponto final do

estudo sobre este caso, onde, foi alternado todos os dados de entrada da rota e mantida a

embarcação.

O intuito de realizar diversos casos com o mesmo navio foi o de consolidar o

modelo e aperfeiçoar o código computacional. Com isso em mente, a aplicação de

programação linear se mostrou consistente e com uma tendência de otimizar os recursos.

VARIÁVEL RESULTADO

FUEL12 490,6 m³

FUEL23 464,1 m³

FUEL34 441,5 m³

FUEL45 415,1 m³

REFUEL2 490,6 m³

REFUEL3 301,9 m³

REFUEL4 603,8 m³

REFUEL5 415,1 m³

CUSTO 540.980,58 US$

VARIÁVEL RESULTADO

FUEL12 564,4 m³

FUEL23 399,2 m³

FUEL34 624,6 m³

FUEL45 424,1 m³

SPEED12 29,0 nós

SPEED23 28,0 nós

SPEED34 29,0 nós

SPEED45 28,0 nós

REFUEL2 564,4 m³

REFUEL3 515,9 m³

REFUEL4 624,6 m³

REFUEL5 452,7 m³

CUSTO 601.099,24 US$

28

Além disso, vale ressaltar que, em média, o modelo Linear se mostrou com a

capacidade de redução de custos na utilização de combustível de até 10%. Levando em

consideração que uma margem deste tamanho pode viabilizar ou não a operação de uma

embarcação para um contrato ou serviço,

Portanto, o custo total da viagem seguiu o esperado e diminuiu ao variar a

distância e inserir o conceito de intervalo no tempo de chegada, possibilitando a melhor

distribuição do tempo em cada velocidade.

29

7 – Conclusões

Pode-se perceber que as aproximações expressam resultados bem diferentes por

terem maneiras distintas de atingir a otimização. O modelo não linear retorna uma única

velocidade para todo percurso, enquanto o linear nos retorna os tempos que a embarcação

deve se manter em cada velocidade estipulada. Quanto mais discretizadas as velocidades

forem, mais se espera que o resultado do modelo de programação linear se aproxime do

valor ótimo global.

Neste estudo de caso, o modelo de programação linear (LP) atingiu os melhores

resultados.

A correta representação da curva de consumo também possui papel fundamental

no processo de elaboração dos modelos. Visto que esta curva é utilizada para discretizar

os consumos específicos para cada velocidade no modelo de programação linear, e é

utilizada diretamente no modelo de programação não linear, é crucial que a função esteja

bem ajustada, e seja feita a regressão polinomial mais adequada. No caso estudado, o a

regressão polinomial de grau 4 foi a melhor para representar a curva de Consumo x

Velocidade.

Além disso, uma grande vantagem do modelo linear do não linear nestes exemplos

é que sua escolha está associada a uma relação previamente demonstrada do consumo de

combustível com a velocidade, abrindo a possibilidade de diversas variações da mesma

num mesmo percurso.

30

8 – Referências

[1] NIELSEN, I.E., Do, N.A.D., JANG, J., BOCEWICZ, G. “Planning of vessel speed

and fuel bukering overa route with speed limits”. Maritime Economics and Logistics.

Dói: 10.1057/mel.2015.23

[2] PLUM, C.E.M., JENSEN, P.N., PISINGER, D. “Bunker purchasing with contracts”.

Maritime Economics and Logistics, Vol.16, no.4, PP.418435, 2014.

[3] WANG, S., MENG, Q., LIU, Z. “Bunker consumption optimization methods in

shipping: A critical review and extensions”. Tranportation Research Part E, vol.53,

PP.49-62, 2013.

[4] YAO, Z., Ng, S.H., LEE, L.H. “A study on bunker fuel management for the

shipping liner services”. Somputers and Operations Research, vol.39, PP.1160-1172,

2012.

[5] HOLTROP JA, MENNEN GGJ. “An approximate power prediction method”.

International Shipbuilding Progress. Vol. 29, PP. 166-170, 1982.

[6] HOLTROP JA. “Statistical reanalysis of resistance and propulsion data”.

International Shipbuilding Progress. Vol. 31, PP. 272-276, 1984.

[7] Bialystocki N, Konovessis D. “On the estimation of ship´s fuel consumption and

speed curve: A statistical approach”. Journal of Ocean Engineering and Science. Vol. 1,

PP. 157-166, 2016.

[8] BROWN. GERALD G., KLINE JEFFREY E., ROSENTHAL, RICHARD E.,

WASHBURN ALAN R.. “Steaming on Convex Hulls”. Operations Research

Department, Naval Postgraduate School, Monterey, California 93943. Vol 37, PP. 342-

352, 2007.

[9] http://shipandbunker.com/prices. Acessado em 16 de set. de 2020, 23:15:30

[10] http://www.portosenavios.com.br/noticias/navegacao-e-marinha/imo-define-metas-

mais-rigorosas-de-emissoes-para-novos-navios. AcessADO em 16 de set. de 2020,

23:00:30

31

9 – Anexos

9.1 - Exemplo 01

Abaixo, segue o modelo implementado no Software “Lingo 18.0 x64” a fim de

otimizar o custo total nos reabastecimentos do navio do modelo não linear no exemplo

01:

“

MODEL: Min =

PRICE2*REFUEL2+PRICE3*REFUEL3+PRICE4*REFUEL4+PRICE5*REFUEL5;

HOURS12 =65;

HOURS23 =65;

HOURS34 =65;

HOURS45 =65;

DISTANCE12 = 2000; DISTANCE23 = 2000; DISTANCE34 = 2000; DISTANCE45 = 2000; PRICE2 = 294.5; PRICE3 = 302.5; PRICE4 = 297.5; PRICE5 = 302.5; TANK2 >= 0; TANK3 >= 0; TANK4 >= 0; TANK5 >= 0; TANK2 <= 165000; TANK3 <= 165000; TANK4 <= 165000; TANK5 <= 165000; REFUEL2 >= 0; REFUEL3 >= 0; REFUEL4 >= 0; REFUEL5 >= 0; REFUEL2 <= 165000; REFUEL3 <= 165000; REFUEL4 <= 165000; REFUEL5 <= 165000; SPEED12 = 2000/65; SPEED23 = 2000/65; SPEED34 = 2000/65;

32

SPEED45 = 2000/65; FUEL12 = 65*2300 ; FUEL23 = 65*2300 ; FUEL34 = 65*2300 ; FUEL45 = 65*2300 ; TANK2 = 165000 - FUEL12 + REFUEL2; TANK2 >= FUEL23; TANK3 = TANK2 - FUEL23 + REFUEL3; TANK3 >= FUEL34; TANK4 = TANK3 - FUEL34 + REFUEL4; TANK4 >= FUEL45; TANK5 = TANK4 - FUEL45 + REFUEL5; TANK5 = 165000; End

“

33

9.2 - Exemplo 02



02:

“

MODEL: Min =


HOURS12 =62;

HOURS23 =62;

HOURS34 =68;

HOURS45 =68;

DISTANCE12 = 2000; DISTANCE23 = 2000; DISTANCE34 = 2000; DISTANCE45 = 2000; PRICE2 = 294.5; PRICE3 = 302.5; PRICE4 = 297.5; PRICE5 = 302.5; TANK2 >= 0; TANK3 >= 0; TANK4 >= 0; TANK5 >= 0; TANK2 <= 165000; TANK3 <= 165000; TANK4 <= 165000; TANK5 <= 165000; REFUEL2 >= 0; REFUEL3 >= 0; REFUEL4 >= 0; REFUEL5 >= 0; REFUEL2 <= 165000; REFUEL3 <= 165000; REFUEL4 <= 165000; REFUEL5 <= 165000; SPEED12 = 2000/62; SPEED23 = 2000/62; SPEED34 = 2000/68; SPEED45 = 2000/68; FUEL12 = 62*2390 ; FUEL23 = 62*2390 ;

34

FUEL34 = 68*2130 ; FUEL45 = 68*2130 ; TANK2 = 165000 - FUEL12 + REFUEL2; TANK2 >= FUEL23; TANK3 = TANK2 - FUEL23 + REFUEL3; TANK3 >= FUEL34; TANK4 = TANK3 - FUEL34 + REFUEL4; TANK4 >= FUEL45; TANK5 = TANK4 - FUEL45 + REFUEL5; TANK5 = 165000; End

“

35

9.3 - Exemplo 03



03:

“

MODEL: Min =


HOURS12 =65;

HOURS23 =65;

HOURS34 =65;

HOURS45 =65;

DISTANCE12 = 2000; DISTANCE23 = 1900; DISTANCE34 = 1800; DISTANCE45 = 1700; PRICE2 = 294.5; PRICE3 = 302.5; PRICE4 = 297.5; PRICE5 = 302.5; TANK2 >= 0; TANK3 >= 0; TANK4 >= 0; TANK5 >= 0; TANK2 <= 165000; TANK3 <= 165000; TANK4 <= 165000; TANK5 <= 165000; REFUEL2 >= 0; REFUEL3 >= 0; REFUEL4 >= 0; REFUEL5 >= 0; REFUEL2 <= 165000; REFUEL3 <= 165000; REFUEL4 <= 165000; REFUEL5 <= 165000; SPEED12 = DISTANCE12/65; SPEED23 = DISTANCE23/65; SPEED34 = DISTANCE34/65; SPEED45 = DISTANCE45/65; FUEL12 = 65*2305 ; FUEL23 = 65*2130 ;

36

FUEL34 = 65*2034 ; FUEL45 = 65*1840 ; TANK2 = 165000 - FUEL12 + REFUEL2; TANK2 >= FUEL23; TANK3 = TANK2 - FUEL23 + REFUEL3; TANK3 >= FUEL34; TANK4 = TANK3 - FUEL34 + REFUEL4; TANK4 >= FUEL45; TANK5 = TANK4 - FUEL45 + REFUEL5; TANK5 = 165000; End

“

37

9.4 - Exemplo 04



04:

“ MODEL: Min =


HOURS12 =70;

HOURS23 =67;

HOURS34 =63;

HOURS45 =60;

DISTANCE12 = 2000; DISTANCE23 = 1900; DISTANCE34 = 1800; DISTANCE45 = 1700; PRICE2 = 294.5; PRICE3 = 302.5; PRICE4 = 297.5; PRICE5 = 302.5; TANK2 >= 0; TANK3 >= 0; TANK4 >= 0; TANK5 >= 0; TANK2 <= 165000; TANK3 <= 165000; TANK4 <= 165000; TANK5 <= 165000; REFUEL2 >= 0; REFUEL3 >= 0; REFUEL4 >= 0; REFUEL5 >= 0; REFUEL2 <= 165000; REFUEL3 <= 165000; REFUEL4 <= 165000; REFUEL5 <= 165000; SPEED12 = DISTANCE12/70; SPEED23 = DISTANCE23/67; SPEED34 = DISTANCE34/63; SPEED45 = DISTANCE45/60; FUEL12 = 70*2130 ; FUEL23 = 67*2034 ; FUEL34 = 63*2130 ;

38

FUEL45 = 60*2034 ; TANK2 = 165000 - FUEL12 + REFUEL2; TANK2 >= FUEL23; TANK3 = TANK2 - FUEL23 + REFUEL3; TANK3 >= FUEL34; TANK4 = TANK3 - FUEL34 + REFUEL4; TANK4 >= FUEL45; TANK5 = TANK4 - FUEL45 + REFUEL5; TANK5 = 165000; End

“

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UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PARA O PROBLEMA DE