UM MÉTODO GLOBAL PARA A VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE

COLUNAS E VIGAS CONTÍNUAS DE AÇO

Rodrigo Gonçalvesa e Dinar Camotim

b

a ICIST, CERIS, Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Ciências e Tecnologia,

Universidade Nova de Lisboa, 2829-516 Caparica b ICIST, CERIS, DECivil, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa,

Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa

Resumo. Apresenta-se um método de verificação da segurança que (i) se baseia em parâme-

tros que caracterizam o comportamento global da estrutura e (ii) é totalmente consistente com

o método de aplicação das curvas de encurvadura do EC3. Mostra-se que a abordagem pro-

posta, para além de evitar verificações desnecessárias, (i) fornece informações muito relevan-

tes acerca da eficiência estrutural do sistema e (ii) possibilita a sua otimização. São apresenta-

dos e discutidos vários exemplos, onde se comparam os resultados da aplicação do método

proposto com cargas de colapso obtidas com análises fisicamente e geometricamente não-

lineares, incluindo imperfeições geométricas e tensões residuais.

1. Introdução

A abordagem clássica para calcular a resistência à encurvadura de colunas e vigas de aço ba-

seia-se em curvas de encurvadura, as quais têm em conta todos os efeitos não-lineares rele-

vantes. Esta abordagem é seguida no Eurocódigo 3 (EC3) [1], através da utilização das cha-

madas “curvas europeias de encurvadura” [2-4].

Conforme será demonstrado neste artigo, a utilização das curvas de encurvadura para ele-

mentos inseridos em estruturas pode levar a resultados inesperados. Em particular, a esbelteza

normalizada pode atingir valores muito elevados, mesmo em casos aparentemente simples.

Este facto motivou os autores a desenvolver um método de verificação da segurança para co-

lunas [5,6] e vigas [7] baseado em parâmetros da estrutura e consistente com as curvas de en-

curvadura do EC3 (refira-se que uma abordagem preliminar deste tipo foi proposta em [8]).

De acordo com esta abordagem, objeto de análise e revisão no presente artigo, a resistência da

XI Congresso de Construção Metálica e Mista Coimbra, Portugal

2

estrutura é calculada com base na esbelteza da estrutura e nas curvas de encurvadura do EC3,

o que apresenta as seguintes vantagens:

(i) a resistência da estrutura resulta idêntica à que se obtém verificando cada elemento (bar-

ra) individualmente, utilizando as curvas de encurvadura do EC3;

(ii) o processo de verificação é muito mais racional;

(iii) é possível obter informação extremamente relevante acerca do comportamento da estru-

tura e efetuar uma otimização estrutural.

Na secção 3 aborda-se o caso de colunas inseridas em estruturas e na secção 4 o caso de

vigas contínuas. Em cada secção apresentam-se vários exemplos para ilustrar a aplicação da

abordagem proposta. Estes exemplos incluem comparações com cargas de colapso “exatas”,

calculadas através de análises com elementos finitos de barra semelhantes às efetuadas em

[10-12]: análises geometricamente e materialmente não-lineares (GMNL), incluindo imper-

feições geométricas e tensões residuais nas barras, adotando uma lei constitutiva elástica-

perfeitamente plástica para o aço (E = 210 GPa, = 0,3) e assumindo que não ocorre encur-

vadura local e por corte.

2. Colunas

2.1 A abordagem “tradicional”

De acordo com o EC3, a verificação à encurvadura de elementos uniformes à compressão (co-

lunas) é dada por

,,11

,

,

,

M

Rk

Rdb

Rdb

Ed

Rdb

NN

N

Nn

(1)

onde todos os valores devem ser tomados positivos, sendo NEd e Nb,Rd os valores de cálculo do

esforço axial atuante (de compressão) e da resistência à encurvadura do elemento, respetiva-

mente, é o coeficiente de redução para o modo de encurvadura relevante, M1 é o coeficiente

parcial de segurança relevante (o valor recomendado é 1,0) e NRk é o valor característico do

esforço axial resistente da secção. O coeficiente de redução é definido por

,,)2,0(12

1,

1,1min 2

22cr

Rk

N

N

(2)

onde é o fator de imperfeição para a curva de encurvadura relevante e Ncr é o valor crítico

de bifurcação do esforço axial.

Considere-se um sistema estrutural com n colunas e sujeito a uma determinada combinação

de ações (ELU). O esforço axial da coluna i pode ser dado por iEdiEd

NN ,

, onde Ed é o va-

lor de cálculo do parâmetro de carga e iN é o esforço axial de referência na barra (correspon-

dente a = 1). Da mesma forma icricr

NN ,

, onde cr é o parâmetro crítico de carga, o que

permite relacionar as esbeltezas de duas colunas i e j da mesma estrutura através de

,/

/

,

,

,,

,,

jjRk

iiRk

jRkicr

jcriRk

j

i

NN

NN

NN

NN

(3)

o que implica que (Obs. 1) a coluna mais próxima de atingir NRk é a menos esbelta e, portan-

to, (i) para colunas com idênticos valores de NRk, a menos solicitada é a mais esbelta (em

particular, i com 0

,

iEdN ) e (ii) para colunas com NEd idênticos, a que possui o mai-

or valor de NRk é a mais esbelta. Estas conclusões mostram que, para estruturas, a esbelteza

normalizada de uma barra deixa de refletir a suscetibilidade à encurvadura, dado que 1

)1( apenas indica que, quando = cr, o esforço axial na barra é inferior (superior) a NRk.

Tema a definir pela Comissão Cientifica

3

O mesmo sucede com o conceito de comprimento de encurvadura, tradicionalmente utili-

zado para calcular Ncr. Em [6] mostra-se que Lcr se 0,

iEdN , mesmo em estruturas de

nós fixos — este resultado, apesar de parecer algo contraintuitivo, apenas reflete que o esfor-

ço axial nessa barra é muito reduzido quando = cr.

2.2 A esbelteza da estrutura

Define-se a “esbelteza da estrutura” através de

,,...,1,min,,

niN

N

i

iRk

Rk

cr

Rk

E

(4)

sendo Rk o valor do parâmetro de carga que corresponde a atingir pela primeira vez NRk (não

considerando os elementos à tração). Deve notar-se que (Obs. 2) em geral, E depende do

perfil de carregamento, mas possui um significado idêntico ao da esbelteza de colunas isola-

das, já que 1E

indica que Rk > cr e, portanto, que uma estrutura “ideal” (i.e., sem imper-

feições e apenas sujeita a esforço axial) encurva antes de atingir a primeira plastificação. Em

particular, tal como para uma coluna “ideal”, a resistência de uma estrutura “ideal” pode ser

obtida a partir de

.1

;1min,2,

E

ERkERkb

(5)

Utilizando os resultados anteriores é possível obter

,minminmin

,

,,

i

icr

iRki

i

iRk

EN

NN

N

N (6)

o que mostra que (Obs. 3) a esbelteza da estrutura é igual à menor esbelteza de todas as co-

lunas da estrutura. Deve notar-se que este resultado mostra que a utilização da esbelteza da

estrutura permite contornar os problemas associados à verificação de colunas com E

(recordar observação 1i).

2.3 A coluna “condicionante”

Para determinar a coluna “condicionante”, i.e., a coluna que condiciona a verificação à encur-

vadura da estrutura, começa-se por exprimir o fator de redução (21) através de

222

2,min,

. (7)

A substituição deste resultado na Eq. (11) conduz a

.,1,

,1

,,

,

,,

icr

iEd

cr

Ed

crcr

i

M

iRdb

iEd

iRdbN

Nnn

N

Nn

(8)

Assim, a coluna condicionante será a que possui o maior valor de nb,Rd,i. Notando que i é o

único parâmetro dependente de i, pode concluir-se que, se esta função for estritamente cres-

cente com , então nb,Rd,i é estritamente decrescente e (Obs. 4) a coluna condicionante é a

menos esbelta ( EC

min ). Recordando as observações 1 e 1i, conclui-se que (i) a coluna

condicionante é a mais próxima de atingir NRk e (ii) se todas as colunas possuírem o mesmo

valor de NRk, a mais solicitada (compressão) será a coluna condicionante, independentemente

do seu comprimento ou condições de apoio. Note-se que a condição EC constitui uma

motivação adicional para utilizar uma abordagem baseada na estrutura. Em particular, (Obs.

5) em vez de verificar apenas a coluna condicionante, pode “verificar-se a estrutura” com

XI Congresso de Construção Metálica e Mista Coimbra, Portugal

4

,,,12

1

,

,

,

E

E

M

RkE

Rdb

Rdb

Ed

Rdbn

(9)

sendo é calculado com E e o valor de associado à coluna condicionante. Note-se que,

se for estritamente crescente, esta abordagem, apesar de requerer apenas uma verificação, é

exatamente equivalente à verificação elemento a elemento.

A Fig. 1 representa as funções para cada curva do EC3 e para a curva da coluna “ideal”.

Para as primeiras é estritamente crescente e, portanto, as observações 4 e 5 são válidas se

uma única curva for utilizada. Se várias curvas forem utilizadas é possível que a coluna con-

dicionante não seja a que possui a menor esbelteza — em [6] são fornecidos gráficos que au-

xiliam a tarefa de identificar a coluna condicionante nestes casos. De qualquer forma, note-se

que a Fig. 1 mostra que, em geral, as colunas com E não necessitam ser verificadas.

Fig. 1: Variação de com a esbelteza normalizada.

Numa estrutura eficientemente dimensionada, todas as colunas são condicionantes e satis-

fazem nb,Rd,i = 1. Os conceitos introduzidos podem ser utilizados para atingir esta condição

(aproximadamente, dado que é naturalmente impossível garanti-la para todas as colunas e to-

das as combinações de ações). Assim, após um pré-dimensionamento, deve procurar-se modi-

ficar NRk,i de modo a obter valores de nb,Rd,i mais próximos de 1. Os gráficos da Fig. 2 podem

ser utilizados para o efeito, dado que representam os valores de nRk,i = NEd,i/NRk,i e i que ga-

rantem nb,Rd,i = 1, em função de ncr, para M1 = 1,0. Um valor de nRk,i acima (abaixo) da curva

considerada corresponde a um dimensionamento contra a (do lado da) segurança, enquanto

para o gráfico de i se verifica o inverso. Como é lógico, a alteração das secções transversais

pode requerer uma nova verificação, nomeadamente se (i) cr seja alterado significativamente

ou (ii) as curvas de encurvadura aplicáveis se alterem.

Fig. 2: Variação de nRk,i e de i

com ncr (para nb,Rd,i = 1).

Tema a definir pela Comissão Cientifica

5

2.4 Exemplos numéricos

Em [5,6] foram realizados estudos paramétricos relativos a três sistemas estruturais planos

com pouca redundância, para aferir o desempenho da abordagem proposta. Os resultados

(cargas de colapso GMNL) encontram-se resumidos nos gráficos da Fig. 3, tendo sido obtidos

utilizando o programa ABAQUS [9]. Todas as barras são constituídas por secções HEB 300

S235, sem raios de transição banzo-alma, e sujeitas à flexão em torno do eixo forte (os deslo-

camentos para fora do plano foram impedidos). Os comprimentos das barras e a relação P1/P2

foram variados de modo a obter uma gama alargada de valores de E , totalizando 328 casos.

Os gráficos mostram também a curva da estrutura “ideal” e a curva b do EC3, que se aplica a

todos os casos considerados. Estes resultados mostram que, como seria de esperar, as cargas

de colapso situam-se entre a curva b e a curva da estrutura “ideal”. Apenas dois valores se si-

tuam ligeiramente abaixo da curva b para a estrutura 1 e para E < 0,2, o que pode ser justifi-

cado pelo facto de não ter sido considerado o endurecimento do material. Assim, pode con-

cluir-se que a utilização da abordagem proposta, em conjunto com a curva b, conduz a estima-

tivas da resistência da estrutura do lado da segurança. No entanto, observa-se uma dispersão

considerável e, portanto, em alguns casos, a curva b fornece resultados algo conservativos.

Fig. 3: Resultados do estudo paramétrico relativo a três estruturas planas.

3. Vigas

3.1 A abordagem “tradicional”

Para elementos uniformes à flexão (vigas), a equação de verificação do EC3 para a encurva-

dura lateral por flexão-torção (LT) é

XI Congresso de Construção Metálica e Mista Coimbra, Portugal

6

,,11

,

,

,

M

RkLT

Rdb

Rdb

Ed

Rdb

MM

M

Mm

(10)

onde a simbologia é semelhante à adotada para colunas, ressalvando que MEd se refere ao

momento máximo atuante na barra. O coeficiente de redução é dado por

,,)(12

1,

1,

1,1min 2

0,222

cr

Rk

LTLTLTLTLTLT

LTLTLTLT

LTM

M

(11)

sendo que, (i) para o “caso geral” se utiliza = 1 e 2,00,

LT nas fórmulas, considerando-se

que para 4,0LT

(valor recomendado) se pode tomar 1LT

, e (ii) e para secções em I la-

minadas ou soldadas equivalentes, (cláusula 6.3.2.3), os valores recomendados são = 0,75 e

4,00,

LT . Neste último caso, o coeficiente pode ainda ser “modificado” LT,mod (incrementa-

do) para distribuições não-uniformes de momento.

Considere-se uma viga de múltiplos vãos, constituída por n segmentos uniformes, sujeita a

uma determinada combinação de ações (ELU). No segmento i o momento máximo atuante e o

correspondente momento crítico podem ser obtidos através de iEdiEd

MM ,

e icricr

MM ,

,

respetivamente, e a relação entre as esbeltezas normalizadas de dois segmentos resulta

./

/

,

,

,,

,,

,

,

jjRk

iiRk

jRkicr

jcriRk

jLT

iLT

MM

MM

MM

MM

(12)

Assim, à semelhança do caso das colunas, (Obs. 6) o segmento mais próximo de atingir MRk é

o menos esbelto e (i) para segmentos com MRk idênticos, o que possui o menor momento má-

ximo é o mais esbelto (em particular, iLT ,

com 0,

iEdM ), (ii) para segmentos com MEd

idênticos, o que possui o maior MRk é o mais esbelto. Mais uma vez, a esbelteza do segmento

individual deixa de refletir a sua suscetibilidade à encurvadura e 1LT

( 1LT

) apenas indi-

ca que, quando = cr, o momento máximo nesse segmento é inferior (superior) a MRk.

3.2 A esbelteza da viga

O conceito da esbelteza da estrutura pode ser alargado a vigas de vários vãos através de

.,...,1,min,,

,ni

M

M

i

iRk

Rk

cr

Rk

ELT

(13)

Tal como discutido na Secção 2.2, (i) a observação 2 permanece válida, (ii) para uma viga

“ideal”, 1,

ELT indica que Rk > cr e que, portanto, a viga é suscetível à encurvadura, e (iii)

pode definir-se um coeficiente de redução como o da Eq. (5). Para além do que foi referido,

tem-se também

min,.,

minLTiLTELT (14)

e assim (Obs. 7) a esbelteza da viga é igual à menor esbelteza de todos os seus segmentos.

3.3 O segmento condicionante

Exprimindo o coeficiente de redução na forma 2/LTLTLT torna-se possível reescrever a

Eq. (101) como

.,1,

,

,

1

,,

,

,,

icr

iEd

cr

Ed

crcr

iLT

M

iRdb

iEd

iRdbM

Mmm

M

Mm

(15)

Como o segmento condicionante será o que possuir o maior valor de mb,Rd,i, se LT for estri-

tamente crescente com LT

, conclui-se que (Obs. 8) O segmento condicionante é o menos es-

belto (CLT ,

=min,LT

=ELT ,

) e, tal como para colunas, (i) o segmento condicionante é o mais

próximo de atingir MRk e (ii) se todos os segmentos possuem o mesmo valor de MRk, o mais

Tema a definir pela Comissão Cientifica

7

solicitado é o condicionante, independentemente do seu comprimento, forma do diagrama de

momentos ou condições de apoio. Claramente, a verificação pode basear-se na viga completa,

sendo equivalente à verificação segmento a segmento desde que LT seja estritamente cres-

cente: (Obs. 9) em vez de verificar apenas o segmento condicionante, pode “verificar-se a

viga completa” com

.,,12

,

,

1

,

,

,

,

ELT

LT

ELT

M

RkeLT

Rdb

Rdb

Ed

Rdbm

(16)

sendo LT calculado com ELT ,

e o valor de LT associado ao segmento condicionante.

As funções LT para o método geral e para o método da cláusula 6.3.2.3 encontram-se re-

presentadas na Fig. 4, de onde se pode concluir que, para cada curva, são estritamente cres-

centes exceto (i) para LT = 0,4, no caso do método geral, e (ii) para o limite superior LT = 1,

para o método da cláusula 6.3.2.3. Assim, em geral, se apenas se utilizar uma curva de encur-

vadura, não é necessário verificar os segmentos com ELTLT ,

e, tal como no caso das colu-

nas, é possível efetuar uma otimização estrutural, modificando os valores de MRk destes seg-

mentos para obter valores de mb,Rd,i próximos do relativo ao segmento condicionante (que ide-

almente será próximo de 1). Esta tarefa pode ser executada com a ajuda dos gráficos da Fig. 5,

que representam os valores de mRk,i = MEd,i/MRk,i que garantem mb,Rd,i = 1, em função de mcr,

para M1 = 1,0: um valor de mRk,i acima (abaixo) da curva considerada corresponde a um di-

mensionamento contra a (do lado da) segurança. Conforme seria de esperar, a modificação

dos valores de MRk,i pode requerer uma nova verificação, nomeadamente se (i) cr seja altera-

do significativamente ou (ii) as curvas de encurvadura aplicáveis se alterem.

Fig. 4: Variação de LT com LT

.

Fig. 5: Variação de mRk,i com mcr (para nb,Rd,i = 1).

XI Congresso de Construção Metálica e Mista Coimbra, Portugal

8

3.4 Exemplos numéricos

Os exemplos apresentados nesta secção envolvem secções IPE e IPEA (sem raios de transição

banzo-alma), correspondendo a LT = 0,21 para o caso geral e LT = 0,34 para o método da

cláusula 6.3.2.3. As cargas de colapso (GMNL) são obtidas com o programa ANSYS [14].

Considera-se que os apoios impedem os deslocamentos vertical e lateral, bem como a rotação

de torção, mas não restringem o empenamento. Entre elementos adjacentes, o empenamento é

assumido contínuo, mesmo se a secção transversal variar.

3.4.1 Viga de dois vãos

Em primeiro lugar apresenta-se um estudo paramétrico da viga representada na Fig. 6, onde se

varia a relação entre os momentos de extremidade (parâmetro ) e entre os comprimentos dos

dois segmentos (parâmetro ). Introduz-se uma imperfeição geométrica lateral em cada seg-

mento igual a e0 = L/1000, conforme mostra a figura, mas em direções opostas em cada vão,

formando um “S” em planta, o que está em acordo com a forma do modo crítico de instabili-

dade. Note-se que, de acordo com a observação 8ii, o segmento condicionante encontra-se so-

licitado pelo maior momento: o segmento 1 para < 1; o segmento 2 para > 1.

O gráfico da Fig. 6 mostra os valores de LT obtidos com análises GMNL, a curva de en-

curvadura da viga “ideal”, as curvas do EC3 aplicáveis e a envolvente dos valores LT,mod ob-

tidos com a cláusula 6.3.2.3(2) do EC3 (no último caso optou-se por representar uma envol-

vente porque os valores dependem da relação entre os momentos de extremidade de cada

segmento). Estes resultados permitem extrair as seguintes conclusões:

(i) Para ELT ,

< 1,3 os resultados GMNL situam-se bastante acima das curvas a e b, mas

estão em excelente acordo com a envolvente LT,mod. Assim, a abordagem proposta for-

nece excelentes resultados se LT,mod for utilizado e resultados muito conservativos se

forem utilizadas as curvas a ou b.

(ii) Para ELT ,

> 1,3 os resultados GMNL mostram uma significativa resistência de pós-

encurvadura, em acordo com o reportado por outros autores para vigas com um único

vão (e.g., [15]). Contudo, conforme referido em [16], esta resistência tem pouca rele-

vância prática, dado que está associada a grandes deslocamentos e, portanto, deve ser

limitada à curva da viga “ideal”. É ainda de notar que os resultados GMNL estão dispostos ao longo de uma curva bem de-

finida. Apenas se registam duas exceções com resistências significativamente mais altas, mas

correspondem a casos algo “peculiares”, com = 2, = 0,3 e L1 + L2 = 20 m ou 40 m.

Fig. 6: Viga de dois vãos sujeita a momentos de extremidade.

Tema a definir pela Comissão Cientifica

9

3.4.2 Viga de três vãos

Considere-se agora a viga de três vãos da Fig. 7. Tal como no caso anterior, as imperfeições

geométricas são aplicadas em direções opostas em vãos adjacentes. A viga é inicialmente

constituída por perfis IPE 200 S235 e o respetivo diagrama de momentos encontra-se repre-

sentado na figura (diagrama “Inicial”). Como MRk é igual nos dois segmentos, pode imedia-

tamente concluir-se, da observação 8ii, que o segmento 3 será condicionante. Uma análise li-

near de estabilidade fornece cr = 1,901, o que permite obter 3,, LTELT

0,775, 1,LT

1,731

e 2,LT

0,995. Por outro lado, a análise GMNL fornece colapso = 1,047, o que quer dizer que

a viga está ligeiramente sobredimensionada.

Fig. 7: Viga de três vãos sujeita a forças verticais.

Os resultados da análise GMNL para o dimensionamento “inicial” encontram-se represen-

tados no gráfico da Fig. 7, em conjunto com a curva da coluna “ideal” e as curvas do EC3

aplicáveis. Muito embora sejam mostrados resultados para todos os segmentos (marcadores

“GMNL inicial”), recorde-se que a resistência do segmento condicionante (i) coincide com a

obtida com a abordagem baseada na estrutura (LT,E) e (ii) é a única que deve ser comparada

com as curvas do EC3, dado que para um segmento não-condicionante (NC) se tem necessari-

amenteCNCCLTNCLT

MM /,,

e, portanto, diminui com o momento aplicado.

Os resultados para o dimensionamento inicial mostram que o marcador para o segmento

condicionante coincide virtualmente com a curva LT,mod associada, demonstrando mais uma

vez que esta curva fornece valores precisos do coeficiente de redução. Contudo, o facto de os

segmentos 1 e 2 exibirem esbeltezas consideravelmente superiores a ELT ,

indica que estes se

encontram sobredimensionados — de facto, utilizando LT,mod, obtém-se mb,Rd,1 = 0,526 e

mb,Rd,2 = 0,676, valores bastante reduzidos, enquanto que para o segmento 3 se obtém antes

mb,Rd,3 = 0,960, o que revela um ligeiro sobredimensionamento.

As conclusões anteriores motivam uma otimização estrutural adotando secções mais “le-

ves” para os segmentos 1 e 2. Concretamente, deve reduzir-se o valor de MRk destes segmen-

tos, para obter esbeltezas mais próximas deELT ,

. Adotam-se secções IPEA 120 e 180 para os

segmentos 1 e 2, respetivamente, o que reduz a carga crítica para cr = 1,234 e conduz a es-

beltezas muito mais próximas: 1,LT

= 1,042, 2,LT

= 1,026 e 3,LT

= 0,947. Destes valores resul-

ta que o segmento 3 é, mais uma vez, o condicionante. O respetivo diagrama de momentos

encontra-se também representado na Fig. 7 (diagrama “final”).

Uma análise GMNL do novo dimensionamento conduz a colapso = 0,972 < 1, i.e., a viga

está agora ligeiramente contra a segurança e deve ser objeto de alteração. No entanto, os mar-

cadores individuais (“GMNL, final”, ver gráfico da Fig. 7) situam-se agora mais próximos

XI Congresso de Construção Metálica e Mista Coimbra, Portugal

10

uns dos outros, conforme requerido. O marcador do segmento condicionante está quase 10%

acima da curva “modificada”, o que mostra que, neste caso, esta curva subestima a resistên-

cia. Aliás, utilizando LT,mod obtém-se mb,Rd,1 = 1,020, mb,Rd,2 = 1,010 e mb,Rd,3 = 1,128, valores

que, embora bastante próximos (um dos principais objetivos da otimização), são superiores a

1,0 e, portanto, contra a segurança.

Podem ser adotadas variações do processo de otimização proposto. Por exemplo, utilizan-

do a curva “modificada” do segmento 3 e assumindo que o momento máximo é, aproximada-

mente, 44 kNm (o que carece de verificação posterior à alteração das secções), sabendo que

MRk = 49,27 kNm para um IPE 200 S235 (sem raios de transição banzo-alma), tem de ter-se

LT,mod = 44/MRk = 0,893, o que é conseguido com LT < 0,81. Torna-se assim necessário alte-

rar as secções dos segmentos 1 e 2 e calcular cr até atingir o limite requerido — tal ocorre,

por exemplo, quando os segmentos 1 e 2 são IPEs 140 e 180, respetivamente.

A alteração da classe do aço constitui uma opção bastante vantajosa para tornar o processo

de otimização mais expedito, dado que não modifica o valor de cr. Por exemplo, considere-

se que a viga se encontra carregada conforme mostra a Fig. 8 e que se adota aço S355 em to-

dos os vãos. Neste caso tem-se cr = 1,632, 1,LT

= 1,165, 2,LT

= 1,345 e ELTLT ,3,

1,023

(valores com significativa dispersão) e o segmento 3 é mais uma vez condicionante. Uma aná-

lise GMNL fornece colapso = 1,312, indicando que a viga está sobredimensionada e portanto é

necessário proceder a uma otimização. Os resultados GMNL do dimensionamento inicial, pa-

ra cada segmento, são fornecidos na figura (marcadores “GMNL, inicial”), conjuntamente

com as curvas de encurvadura relevantes. Conclui-se que as curvas LT,mod para o segmento

condicionante são, neste caso particular, muito precisas.

Fig. 8: Viga de três vãos sujeita a forças verticais: efeito da alteração da classe do aço.

A otimização é efetuada modificando a classe do aço dos segmentos 1 e 2, conforme indi-

cado por baixo do diagrama de momentos da Fig. 8, de forma a diminuir MRk. Com esta modi-

ficação não se altera o diagrama de momentos, cr e 3,LT

)(,ELT

. Contudo, para os segmen-

tos 1 e 2 obtém-se agora 1,LT

= 1,026 e 2,LT

= 1,095, valores muito mais próximos de ELT ,

.

Os resultados GMNL para o dimensionamento “final” estão representados no gráfico e pode

observar-se que se tornaram muito mais próximos (os marcadores dos segmentos 1 e 3 são

virtualmente coincidentes). Regista-se ainda que o marcador do segmento condicionante se

localiza agora ligeiramente abaixo da curva “modificada” correspondente.

Depois do procedimento efetuado, as resistências de cada segmento tornam-se mais próxi-

mas (as esbeltezas são semelhantes), mas uma análise GMNL permite concluir que a carga de

colapso ainda é bastante alta (colapso = 1,255), pelo que o processo de otimização deve ser

Tema a definir pela Comissão Cientifica

11

refinado — de facto, com a curva “modificada” obtém-se mb,Rd,1 = 0,783, mb,Rd,2 = 0,721 e

mb,Rd,3 = 0,785, valores bastante próximos, conforme pretendido, mas consideravelmente

abaixo do limite (1,0). Para otimizar a estrutura adota-se S235 em toda a viga, o que conduz a

colapso = 1,03 (satisfatório), apesar de as esbeltezas se afastarem ligeiramente (1,LT

= 0,948,

2,LT = 1,095,

3,LT = 0,832). Para aproximar estes valores é necessário alterar as secções

transversais, conforme foi já discutido.

4. Conclusões

Neste artigo mostrou-se que a abordagem proposta, baseada em parâmetros da estrutura, pode

ser aplicada para calcular, racionalmente e eficientemente, a resistência de colunas ou vigas

contidas em estruturas. Os aspetos principais desta abordagem são:

1. fornece uma resistência à encurvadura idêntica à obtida calculando a resistência de cada

elemento da estrutura e usando as curvas do EC3;

2. baseia-se em parâmetros que permitem aferir o comportamento estrutural.

Em particular, mostrou-se que a esbelteza da estrutura desempenha um papel fundamental na

caracterização do comportamento estrutural, na identificação da barra condicionante e no es-

tabelecimento de procedimentos de otimização. Os exemplos apresentados mostram o poten-

cial da abordagem proposta.

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