Uma abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais

8/18/2019 Uma abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Tecnologia e Ciências

Instituto de Física

Departamento de Física Teórica

Uma Abordagem Numérica ao Problemade Ondas Gravitacionais

Autor: Thalles Carvalho G. R. de Aguiar

fevereiro de 2007


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Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Tecnologia e Ciências

Instituto de FísicaDepartamento de Física Teórica

Autor: Thalles Carvalho G. R. de Aguiar

Orientador: Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira

Uma Abordagem Numérica ao Problema de Ondas

Gravitacionais

Autorizo a Apresentação.

Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira

data da apresentação: fevereiro de 2007.


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CATALOGAÇÃO NA FONTE

UERJ/REDE SIRIUS/CTC-D

A931 Aguiar, Thalles Carvalho G. R. de.

Uma abordagem numérica ao problema de ondas gravitacionais / Thalles Carvalho G. R. de Aguiar. – 2007.

vi, 54f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira.Monografia (Final de curso) - Universidade do Estado do Rio de

Janeiro, Instituto de Física.

1. 1. Gravitação – Monografia. 2. Ondas gravitacionais - Mo-nografia. 3. Métodos espectrais – Monografia. I. Oliveira, Henrique

Pereira de. II.Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto deFísica. III. Título.

CDU 531.5


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Agradecimentos:

Gostaria de agradecer à minha família, à Amanda, ao meu orientador, Henrique, aos meus

amigos, por toda a ajuda e bons momentos que passamos, e a todas as pessoas que, de alguma

forma, me ajudaram e incentivaram durante os quatro anos de curso.

iv


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Resumo

As equações de Einstein possuem uma natureza não-linear. Uma conseqüência interessante

de quando linearizamos as equações, descrevendo pequenas perturbações, é que elas se tornamequações de onda. Isso sugere que a interação gravitacional se propaga pelo espaço-tempo

como uma onda com velocidade igual à da luz. Uma das formas mais simples de radiação

gravitacional são as ondas com simetria cilíndrica. Seu estudo é importante para um completo

entendimento da interação não-linear. Nesta monografia, as equações de campo serão obtidas

de forma bem objetiva. Em seguida será feita uma rápida exposição dos principais aspectos das

ondas gravitacionais com simetria cilíndrica e dos métodos espectrais utilizados para a obtenção

das soluções. O elemento de linha mais geral com simetria cilíndrica é dado por

ds2 = e2(γ −ψ)(dt2 − dr2) − e2ψ(dz + ωdφ)2 − r2e−2ψdφ2,

onde ω = ω(t, r), ψ = ψ(t, r) e γ = γ (t, r). Nosso ponto de partida será considerar o caso em

que apenas um modo de polarização está presente, ou seja, ω = 0. A evolução desse modo é

governada pela seguinte equação de onda

ψ̈ − ψ

r − ψ = 0,

cuja solução exata pode ser obtida. Aqui, aplicaremos o método de Galerkin e o método de

colocação para estudar a propagação de ondas cilíndricas no regime linear.

Palavras-chave: gravitação, ondas gravitacionais, métodos espectrais, método de Galerkin,

método de colocação

v


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Abstract

Einsteins’s equations have a non-linear nature. An interesting consequence when one line-

arizes the equations describing the evolution of tiny perturbations is that they become a waveequation. That suggests that the gravitational interaction propagates as a wave with the velocity

of light. One of the simplest forms of gravitational waves are the cylindrical waves. The study

of these waves is important for a complete comprehension of the non-linear interaction. In this

monograph the field equations will be obtained in a very objective way. Then, we will make a

brief exposure of the main features of the gravitational waves with cylindrical simmetry and of

the spectral methods used to obtain the solutions. The general cylindrical line is given by

ds2 = e2(γ −ψ)(dt2 − dr2) − e2ψ(dz + ωdφ)2 − r2e−2ψdφ2,

where ω = ω(t, r), ψ = ψ(t, r) and γ = γ (t, r). Our starting point will be to consider the the

case in which just one polarization mode is present, what means that ω = 0. The evolution of

such a mode is governed by the following wave equation

ψ̈ − ψ

r − ψ = 0,

where an exact solution can be obtained. Here we apply the Galerkin method and the collocation

method to study the propagation of cylindrical waves in the linear regime.

Keywords: gravitation, gravitational waves, spectral methods, galerkin method, collocation

method

vi


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Sumário

Lista de Figuras ix

1 Introdução 1

2 Relatividade Geral a partir do Princípio Variacional 6

2.1 Vínculos diferenciais das equações de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 A lagrangiana de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 A abordagem de Palatini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 As equações de campo completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 O limite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Ondas gravitacionais 15

3.1 Equações de campo linearizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Transformações de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Métodos espectrais e ondas cilíndricas 23

4.1 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Método de colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Ondas gravitacionais com simetria cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Aplicação dos métodos espectrais 29

vii


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SUMÁRIO viii

5.1 Aplicação e resultados do método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Aplicação e resultados do método de colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Conclusões 45

Referências Bibliográficas 47


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Lista de Figuras

3.1 Efeitos de uma onda plana gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1 Forma do pulso inicial da onda em função de r . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de

Galerkin no sistema (r, u) para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


Galerkin no sistema (r, u) para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-

lerkin em u = 0.8 para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


lerkin em u = 0.8 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


lerkin em u = 5 para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


lerkin em u = 5 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.8 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga-lerkin em u = 10 para N = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


lerkin em u = 10 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.10 Forma do pulso inicial da onda em função de x . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ix


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LISTA DE FIGURAS x


colocação no sistema (x, u) , para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


colocação no sistema (x, u) , para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.13 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-

locação em u = 0.8 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


locação em u = 0.8 para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


locação em u = 5 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.16 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de co-

locação em u = 5 para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


locação em u = 10 para N = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


locação em u = 10 para N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


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Capítulo 1

Introdução

A teoria da Relatividade Restrita surgiu, de grosso modo, da incompatibilidade entre a ele-

trodinâmica de Maxwell e a mecânica Newtoniana. As equações de Maxwell não são invarian-

tes sob transformações de Galileu. Talvez motivado pelas tentativas sem sucesso de detectar o

movimento da Terra através do éter, e assumindo que as leis do Eletromagnetismo estivessem

corretas, Einstein propôs que as transformações de Galileu fossem substituídas por outras, que

considerassem a velocidade da luz invariante para todos os referenciais inerciais e mantivessem

a forma das equações de Maxwell. Tais transformações de coordenadas para referenciais iner-

ciais são as transformações de Lorentz, que se reduzem às de Galileu para baixas velocidades

comparadas à da luz. Um dos dois postulados nos quais a teoria da Relatividade Restrita foi ela-

borada é que todos os sistemas inerciais são adequados para descrever um fenômeno físico, ou

seja, as Leis da Física devem ser as mesmas em qualquer referencial inercial. Este postulado é

chamado de Princípio da Relatividade Especial. Entretanto a principal diferença entre a relativi-

dade de Einstein e a relatividade de Galileu é o postulado de que a velocidade da luz permaneçaa mesma, independentemente do movimento do observador, pois faz com que o tempo passe

a ser considerado uma variável na descrição de um evento, e não mais apenas um parâmetro

como na mecânica Newtoniana [1, 2].

Assumindo que as transformações de Lorentz sejam as mais adequadas, as leis do mo-

1


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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

vimento tiveram que ser modificadas de forma que se tornassem invariantes de Lorentz, ou

seja, para que mantivessem a mesma forma sob as transformações de coordenadas de Lorentz.

Entretanto, a gravitação Newtoniana não pode ser incluída na Relatividade Restrita, pois sua

formulação, dada basicamente pelas equações

d2xi

dt2 = − ∂φ

∂xi, (1.1)

∇2φ = 4πGρ, (1.2)

onde φ é o potencial gravitacional, ρ é a densidade de matéria e G é a constante da gravitação

universal, não é invariante de Lorentz. A equação de movimento (1.1) é uma equação de movi-

mento em três dimensões, e deveria ser modificada para uma equação quadridimensional. Além

disso, o operador Laplaciano que aparece na equação de Poisson (1.2) significa que o potencial

gravitacional "sente" instantaneamente qualquer modificação na densidade de matéria, o que

não concorda com os postulados da Relatividade Restrita.

Em uma primeira análise, seria razoável esperar que esses problemas poderiam ser resolvi-

dos através de uma generalização direta das equações, entretanto, todas as formulações falham

em algum ponto, seja ele observacional ou teórico. Após examinar as questões referentes à

Relatividade Restrita, Einstein se voltou para a seguinte questão: por que privilegiar uma classe

de referenciais apenas, os referenciais inerciais? Baseado nas idéias do austríaco Ernst Mach,

Einstein formulou o que seria uma das principais bases da nova teoria da gravitação, o princípio

de Equivalência [2].

Para compreender o princípio de Equivalência é necessário entender os conceitos de massainercial e massa gravitacional. Quando estamos em um referencial acelerado, sentimos uma

força atuando sobre nós e se opondo ao movimento. Tais forças, denominadas inerciais, pois

aparecem somente em referenciais acelerados ou em rotação, são proporcionais à chamada

massa inercial. Os efeitos gravitacionais na teoria Newtoniana são proporcionais à massa gra-


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vitacional. Entretanto, o que se constata é que a massa inercial é igual à massa gravitacional.

Vários experimentos bastante precisos estabeleceram que a massa gravitacional e a massa iner-

cial diferem entre si em, no máximo, uma parte em 1011. Enquanto na mecânica Newtoniana

isso é apenas uma coincidência, na Relatividade Geral isso é um princípio fundamental. A prin-

cipal conseqüência disso é que, localmente, em um campo gravitacional uniforme é impossível

distinguir efeitos inerciais de efeitos gravitacionais, como fica evidente no experimento men-

tal do elevador de Einstein. Nesse experimento, um observador em queda livre em um campo

gravitacional uniforme é equivalente a um observador em repouso ou movimento uniforme na

ausência de um campo gravitacional. Analogamente, um observador em repouso em um campo

gravitacional uniforme é equivalente a um observador sendo acelerado na ausência de campogravitacional.

Portanto, em um sistema de coordendas imerso em um campo gravitacional, é sempre pos-

sível escolher um sistema de coordenadas localmente inercial, e assim recuperar a Relatividade

Restrita. Esse aspecto do campo gravitacional guarda uma grande semelhança com a geome-

tria Riemanniana. Devido a essa semelhança, podemos esperar que o campo gravitacional seja

descrito através dos elementos dessa geometria. Na geometrica de Riemann, o espaço curvo é

descrito pelo tensor métrico, gµν . Na formulação da Relatividade Geral, os gµν fazem o papel

do potencial gravitacional, e portanto, esperaríamos obter equações de movimento que envol-

vessem o tensor métrico e suas derivadas de segunda ordem, de forma que no limite apropriado,

recuperássemos as equações (1.1) e (1.2). de fato, as equações de campo são dadas por

Gµν = 8πG

c4 T µν ,

onde Gµν é o tensor de Einstein, que será melhor definido no próximo capítulo, e T µν é o

tensor momento energia que representa os elementos geradores do campo gravitacional. Tais

equações são equações diferenciais não-lineares de segunda ordem para o tensor métrico gµν , e

a não-linearidade evidencia que o próprio campo gravitacional é fonte de campo gravitacional.


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Uma conseqüência interessante da Relatividade Geral pode ser obtida se fizermos uma apro-

ximação linear das equações de campo. É possível mostrar que pequenas perturbações no

campo gravitacional são propagadas através do espaço tempo segundo uma equação de onda

[2, 3]. As ondas gravitacionais também existem em uma situação mais geral onde são governa-

das pelas equações de campo não-lineares. Nesse caso, não é possível encontrar uma solução

exata para as equações de campo, e muitas vezes um tratamento numérico é satisfatório, pois

revela aspectos da natureza não linear das ondas gravitacionais.

Até hoje, as ondas gravitacionais não foram detectadas diretamente, pois sua amplitude é

muito pequena. Entretanto, atualmente muitos experimentos estão sendo feitos com o objetivo

de detectá-las. Mesmo sem sua detecção direta, é possível verificar prováveis fontes de radiaçãogravitacional como, por exemplo, o binário PSR1913+16 formado por duas estrelas de nêutrons.

Seus parâmetros orbitais foram medidos com grande acurácia e chegou-se à conclusão de que

as duas estrelas estão espiralando em torno de seu centro de massa à medida em que perdem

energia pela emissão ondas gravitacionais.

Nos dois primeiros capítulos, as equações de campo da Relatividade Geral serão obtidas

de um modo bastante objetivo, e um breve tratamento sobre ondas gravitacionais será feito. O

objetivo é obter uma base para a discussão dos aspectos relevantes das ondas gravitacionais com

simetria axial, como a aproximação linear e a solução exata, o que será feito no terceiro capítulo.

Além disso, será feita uma breve exposição dos métodos espectrais, método de Galerkin e

método de colocação, utilizados para o tratamento do problema linear. Finalmente, alguns

dos resultados obtidos na aplicação dos métodos espectrais no problema em sua aproximação

linear serão mostrados e comparados com a solução exata no último capítulo.

A aplicação dos métodos espectrais [4, 5, 6] ao problema em seu regime linear é um passo

fundamental, que deve anteceder o tratamento numérico do regime não-linear. Essa etapa é ne-

cessária para verificar se o método escolhido pode gerar soluções aproximadas que representem

bem a solução do problema. O trabalho desenvolvido nas páginas pode servir como parâmetro

para uma futura aplicação dos métodos espectrais no problema mais geral, onde a evolução das


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ondas gravitacionais não é linear.


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Capítulo 2

Relatividade Geral a partir do Princípio

Variacional

Assim como na dinâmica clássica, as equações de campo da Relatividade Geral podem ser

obtidas de forma bastante concisa através do princípio variacional de Hamilton, como será feito

nesse capítulo.

2.1 Vínculos diferenciais das equações de campo

Para empregar o princípio variacional [3], é necessário especificar uma densidade lagrangi-

ana L, que é um funcional da métrica gµν e suas derivadas. A densidade lagrangiana L deveser uma densidade tensorial de peso +1, de forma que a integral da ação possa ser resolvida.

O princípio de Hamilton atesta que, se fizermos variações arbitrárias em gµν que se anulem na

borda do espaço Ω, a ação é estacionária. Ou seja, dada a ação

S =

Ω

LdΩ, (2.1)

6


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CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 7

temos

gµν → gµν + δgµν ⇒ S → S + δS

δS = Ω

δ Lδgµν

δgµν dΩ = 0. (2.2)

As equações de campo são, então,

Lµν ≡ δ Lδgµν

= 0. (2.3)

Como δS é um escalar,

Lµν deve ser uma densidade tensorial de peso +1. Entretanto, as

equações de campo obedecem a certas identidades diferenciais. Uma maneira de determinarmos

tais identidades a partir do princípio de Hamilton, é gerar uma variação em gµν . Considerando

uma transformação infinitesimal do tipo

xα → xα = xα + εX α, (2.4)

onde X α é um campo vetorial que se anula na borda de Ω e ε

1. A métrica se transforma da

seguinte maneira:

gαβ (x) =

∂xγ

∂xα∂xδ

∂xβ gγδ (x). (2.5)

Expandindo g γδ (x) pelo Teorema de Taylor e mantendo até a primeira ordem em ε, obtemos

gγδ (x + εX ) = g γδ (x

) + εX gγδ,(x). Substituindo essa expressão em (2.5) podemos obter

δgαβ = −ε(X β ;α + X α;β ). (2.6)

Combinando a equação acima com a equação (2.2) obtemos


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δS =

Ω

δ Lδgαβ

δgαβ dΩ = −2ε Ω

δ Lδgαβ

Lαβ(X α;β )dΩ = 0. (2.7)

A integral acima pode ser escrita de uma forma mais útil se observarmos que Lαβ X α;β =(Lαβ X α);β −Lαβ ;β X α. Substituindo essa relação na equação (2.7) podemos obter que

Ω(Lαβ X α);β dΩ =

ΩLαβ ;β X α dΩ. Como o termo entre parênteses é uma densidade tensorial de peso 1, a derivada

covariante é equivalente à derivada usual, e pelo teorema do divergente,

Ω

(Lαβ X α),β dΩ =

∂ Ω

Lαβ X αdS,

podemos obter

Ω

(Lαβ X α);β dΩ = Ω

(Lαβ ;β )X α dΩ =

∂ Ω

Lαβ X αdS. (2.8)

O terceiro termo é uma integral de superfície e, como X α = 0 na borda de Ω obtemos

Ω(L

αβ

;β )X α dΩ = 0 → Lαβ

;β = 0. (2.9)

A identidade obtida é chamada Identidade de Bianchi, e as equações geradas por qualquer

funcional candidato à lagrangiana do campo gravitacional devem obedecer tal identidade.

2.2 A lagrangiana de Einstein

A densidade lagrangiana definida comoLG = √ −gR

é chamada lagrangiana de Einstein,

onde R é o escalar de Ricci e g é o determinante de gµν . O sinal negativo aparece devido ao fato

da assinatura da métrica ser negativa. Explicitamente, podemos escrever LG = √ −ggµν Rµν ,onde o tensor Rµν é o tensor de Ricci. Essas quantidades estão intimamente ligadas à curvatura

do espaço-tempo. A lagrangiana de Einstein pode ser encarada como um funcional de gµν e suas


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primeiras e segundas derivadas, ou seja: LG = LG(gµν , gµν,γ , gµν,γδ). Vale lembrar que gµν e gsão funções de gµν . Considerando gµν as variáveis dinâmicas, a equação de Euler-Lagrange é

escrita como

δ LGδgµν

= ∂ LG∂gµν

−

∂ LG∂gµν,γ

,γ

+

∂ LG∂gµν,γδ

,γδ

= 0.

Pode ser mostrado que

Lµν G = δ LGδgµν

= −√ −gGµν = 0,

e, portanto, as equações de campo no vácuo são

Gµν = Rµν − 12

gµν R = 0,

As equações de campo obedecem à Identidade de Bianchi, que é escrita como Gµν ;β = 0.

2.3 A abordagem de Palatini

Uma abordagem mais elegante e econômica para a obtenção das equações de campo no

vácuo é a abordagem de Palatini. Ela consiste em tratar a métrica e as conexões afim, Γαβγ ,

como variáveis dinâmicas independentes na Lagrangiana de Einstein. Podemos, então, afirmar

que LG = L(gαβ , Γαβγ , Γαβγ,δ), ou, mais especificamente

LG = √ −ggαβ Rαβ = √ −g gαβ (Γγ αβ,γ − Γδαδ,β + Γγ αβ Γδγδ − Γδαγ Γγ βδ ).

Se considerarmos uma variação de√ −ggαβ em relação a δgαβ , então,

δS =

Ω

δ (√ −ggαβ )Rαβ dΩ =

Ω

δ (

√ −g)gαβ + √ −gδ (gαβ )Rαβ dΩ = 0.


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Mas, a partir das seguintes relações,

δ (√ −g) = 1

2

√ −ggγδ δgγδ e δgαβ = −gαγ gβδ δgγδ ,

podemos escrever a variação da ação como

δS = − Ω

√ −g

Rγδ − 12Rgγδ

Gγδ

δgγδ = 0,

e, como as variações δgγδ são arbitrárias, obtemos Gγδ = 0.

Por outro lado, se considerarmos uma variação com respeito a Γαβγ , lembrando que gαβ e

Γαβγ são considerados independentes, temos

δS =

Ω

√ −ggαβ δRαβ dΩ = Ω

(√ −ggαβ )[δ Γγ αβ ;γ − δ Γγ αγ ;β ]dΩ, (2.10)

onde levamos em conta a expressão δRβδ = δ Γαβδ;α − δ Γαβα;δ, resultante da variação de Rαβ emrelação a Γαβγ . Integrando por partes obtemos

δS =

Ω

[(√ −ggαβ );β δ Γγ αγ − (

√ −ggαβ );γ δ Γγ αβ ]dΩ

=

Ω

[δ β γ (√ −ggαδ);δ − (

√ −ggαβ );γ ]δ Γγ αβ dΩ.

Pelo princípio da mínima ação, como δ Γγ αβ é arbitrário, mas simétrico, chegamos à expressão

1

2δ β γ [ ( − g)gαδ];δ + 12δ αγ [√ −ggβδ ];δ − [√ −ggαβ ];γ = 0.

Segue que gαβ ;γ = 0, e portanto,

Γαβγ = 1

2gαδ(gβδ;γ + gγδ ;β − gβγ ;δ). (2.11)


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Conclui-se que, utilizando a lagrangiana de Einstein, ao considerarmos uma variação em rela-

ção ao tensor métrico obtemos as equações de campo para o vácuo, e ao considerarmos uma

variação com relação às conexões afim concluimos que as mesmas são os símbolos de Chris-

toffel.

2.4 As equações de campo completas

Para obtermos as equações completas, assumimos que há outros campos presentes, além do

campo gravitacional, descritos pela lagrangiana de matéria LM . A ação passa a ser escrita como

S =

Ω

(LG + kLM )dΩ,

onde k = 8πG/c4 é uma constante que pode ser determinada através do limite newtoniano,

e ambas as lagragianas são funcionais da métrica e suas derivadas. Então, realizando uma

variação em relação a gαβ , obtemos

δ LGδgαβ

= −√ −gGαβ , (2.12)δ LM δgαβ

≡ √ −gT αβ , (2.13)

onde a equação (2.13) define o tensor momento-energia para os campos presentes. Nesse tensor

está contida toda a informação sobre a energia e a matéria presentes, ou seja, toda a fonte de

campo gravitacional. Sendo assim, as equações de campo completas são

Gαβ = kT αβ , (2.14)

sendo que k = 8πG/c4 pode ser determinada através do fato de que as equações de Einstein de-

vem se reduzir à equação de Poisson (1.2) no limite adequado. As equações de campo definidas


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acima são equações diferenciais não-lineares de segunda ordem para o tensor métrico gµν .

2.5 O limite newtoniano

Para determinar a constante k é necessário verificar o limite das equações de campo na

presença de campos gravitacionais fracos. Assumimos que no limite Newtoniano exista um

referencial privilegiado

xα = (x0, x1, x2, x3) = (ct,x,y,z ),

na qual a métrica gµν difere muito pouco da métrica de Minkowski ηµν . Assumimos também

que os campos são produzidos por corpos com baixas velocidades se comparadas à da luz.

Considerando v a velocidade dos corpos, definimos ε um pequeno parâmetro adimensional da

ordem de v/c, de forma que podemos desprezar termos quadráticos ou de ordem superior em ε.

Sendo assim, a métrica pode ser escrita como

gµν = ηµν + εhµν . (2.15)

Em um intervalo de tempo δt um corpo se move uma distância δxa com velocidade v , ou

seja:

δxa = vδt = (v/c)cδt ≈ εδx0.

Assim, para qualquer função f , a seguinte aproximação é válida:

ε ∂f

∂xa ≈ ∂f

∂x0. (2.16)

As condições (2.15) e (2.16) são as suposições iniciais para obtermos o limite Newtoniano.


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Consideremos, então, o movimento de uma partícula de teste com velocidade da ordem de v

numa linha de mundo parametrizada pelo tempo próprio cuja equação é uma geodésica do tipo

tempo:

d2xα

dτ 2 + Γαβγ

dxβ

dτ

dxγ

dτ = 0. (2.17)

Por definição, temos c2dτ 2 = ds2 = dt2(c2 − v2) = c2dt2(1 − ε2). Assim, dt/dτ = 1 + O(2),e portanto, podemos substituir τ por t em (2.17). Podemos escrever também, pela aproximação

(2.16), dxa ≈ ε c dt, e dessa forma, dxa/cdt = O(ε).Os símbolos de Christoffel Γαβγ =

12

gαδ(gβδ,γ + gγδ,β

− gβγ,δ) ficam da forma Γαβγ =

12

ηαδε(hβδ,γ + hγδ,β − hβγ,δ) + O(ε2), ou seja: Γαβγ = O(ε). Como estamos interessadossomente na parte espacial de (2.17), obtemos, usando as expressões anteriores e dividindo por

c2,

1

c2d2xa

dt2 +

1

c2Γaβγ

dxβ

dt

dxγ

dt [1 + O(ε)] =

1c2 d

2

x

a

dt2 + Γa00 + 2Γa0b dx

b

c dt + Γabc dxbc dt dx

c

c dt + O(ε2) = 0.

Entretanto, o segundo e terceiro termos acima são da ordem de ε2 ou superior. O segundo termo

é

Γa00 = −1

2ε

2

∂h0a∂x0

− ∂ h00∂xa

=

1

2ε

∂h00∂xa

+ O(ε2).

A parte espacial da equação da geodésica pode ser escrita como

d2xa

dt2 = −1

2c2

∂g00∂xa

[1 + O(ε)]. (2.18)

Comparando a equação anterior com a equação Newtoniana correspondente, d2xa/dt2 = −∂φ/∂xa,


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Capítulo 3

Ondas gravitacionais

3.1 Equações de campo linearizadas

Uma pergunta que pode ser feita é: como perturbações do campo gravitacional se propagam

no espaço segundo a teoria da Relatividade Geral? Certamente a velocidade de propagação

dessas perturbações deve ser finita e menor ou igual à da luz, caso contrário existiria um conflito

entre a Relatividade Geral e a Relatividade Restrita.

A descrição geral da evolução de ondas gravitacionais não é nem um pouco trivial, devido

à não-linearidade das equações de campo. Entretanto, é possível tratar o problema através de

uma aproximação linear, ou seja, por meio de perturbações infinitesimais, cuja descrição é re-

lativamente simples [2, 3]. Consideremos, portanto, uma perturbação na métrica de Minkowski

dada por

gµν = ηµν + εhµν , (3.1)

onde ε é um parâmetro adimensional infinitesimal, ou seja |ε| 1, e podemos desprezar termosde segunda ordem ou superior em ε. Consideremos, também, que o espaço é assintoticamente

plano, o que quer dizer que:

15


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CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS 16

limr→∞

hµν = 0. (3.2)

A forma contravariante do tensor métrico pode ser obtida, supondo que gµν

= η

µν

+ ε∆

µν

esabendo que gµν gνρ = δ µρ . De fato ∆

µν = −hµν , e portanto, gµν = ηµν −εhµν . O próximo passoserá obter as equações de campo linearizadas uma vez que conhecemos gµν e gµν . De forma a

simplificar os cálculos a seguir, utilizaremos a seguinte forma para as equações de campo

Rµν = kS µν , (3.3)

onde S µν = T µν − 1/2gµν T . Essa forma pode ser obtida escrevendo o escalar de Ricci emfunção do traço de T µν através de uma contração com com gµν . No vácuo, T µν = 0, e portanto,

as equações de campo se tornam Rµν = 0. Inserindo as expressões que definem g µν e gµν na

equação (2.11) que define os símbolos de Christoffel temos

Γαβγ = 1

2gαδ(gδγ,β + gβδ,γ − gβγ,δ) = 1

2ε(hαγ,β + h

αβ,γ − h αβγ , ). (3.4)

Para calcular as componentes do tensor de Riemann, é necessário achar as derivadas dos sím-bolos de Christoffel, pois

Rαβγ δ = Γαβδ,γ − Γαβγ,δ + Γµβδ Γαµγ − Γµβγ Γαµδ.

Mas como Γαβγ ∼ ε, os termos com multiplicação são da ordem de ε2 e, portanto, podem serignorados. Assim

Rν βγ δ = Γν βδ,γ − Γν βγ,δ. (3.5)

As derivadas dos símbolos de Christoffel ficam


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Γν βδ,γ = 1

2ε(hν δ,βγ + h

ν β,δγ − h ν βδ, γ ), (3.6)

de onde é possível obter a expressão para o tensor de Riemann,

Rαβγδ = 1

2ε(hαδ,βγ + hβγ,αδ − hβδ,αγ − hαγ,βδ), (3.7)

onde observamos que Rαβγδ ∼ O(ε). O tensor de Ricci, definido como Rµρ = gλν Rλµνρ, podeser escrito como

Rαβ = ηγδ Rγαδβ +

O(ε2) =

1

2ε(hδ

β,αδ

+ hδ

α,βδ −h,αβ

−hαβ ),

e, portanto, as equações de campo linearizadas no vácuo são:

hδβ,αδ + hδα,βδ − h,αβ −hαβ = 0. (3.8)

3.2 Transformações de calibre

Analisaremos o que acontece às equações de campo linearizadas quando submetidas a uma

transformação de coordenadas do tipo:

xα = xα + εξ α. (3.9)

que representam a liberdade de calibre na Relatividade Geral. A transformação dada pela equa-

ção (3.9) é a transformação de coordenadas mais geral que mantém coerência com o campodefinido pelo tensor métrico (3.1). Se considerarmos como a métrica se transforma,

gαβ = ∂xγ

∂xα∂xδ

∂xβ gγδ , (3.10)


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e, como g µν = ηµν − εhµν , podemos obter a expressão para hµν , desprezando os termos deordem ε2 ou superior, no novo sistema de coordenadas, ou seja

hαβ = hαβ − (ξ β,α + ξ α,β ). (3.11)

De fato, pode ser verificado que se hµν é solução da equação (3.8), hµν também será. Tanto

o tensor de curvatura, quanto suas contrações são invariantes de calibre. Devido à liberdade

de calibre, podemos escolher um sistema de coordenadas em que as equações de campo se

reduzem a uma equação de onda. Esse sistema de coordenadas é tal que

gµν Γλµν = ηµν Γλµν + O(ε2) = 0, (3.12)

de onde podemos obter o calibre de Einstein,

hµν,µ = 1

2h,ν . (3.13)

De fato, usando (3.13) em (3.8), obtemos as equações de campo,

hµν = 0. (3.14)

Ou seja, as pequenas perturbações no campo gravitacional se propagam pelo espaço-tempo

segundo uma equação de onda, com a velocidade da luz. Portanto, hµν satisfaz (3.14) sujeito

à equação (3.13). No caso de hµν não satisfazer o calibre (3.13), é possível encontrar um

hµν que o satisfaça, realizando uma transformação do tipo (3.11) com ξ α sujeito à equação

ξ α = hβ α,β − 1/2 h,α.


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3.3 Ondas planas

Consideremos as soluções de ondas planas para as equações de campo . O estudo das ondas

planas é bastante útil, pois a solução de uma equação de onda na presença de uma fonte secomporta como uma onda plana quando r → ∞. Como são a forma mais simples de ondas,sua análise é relativamente simples e vários aspectos das ondas gravitacionais ficam evidentes.

A solução de (3.14), sujeita à (3.13), é uma superposição linear de soluções da forma

hµν = eµν exp (ikλxλ) + e∗µν exp (−ikλxλ). (3.15)

onde o tensor constante e simétrico eµν é chamado tensor de polarização, e define as com-ponentes de hµν , e kλ é o quadrivetor de onda. Se a expressão (3.15) satisfaz a equação de

onda (3.14) e o calibre de Einstein (3.13), as seguintes relações também devem ser satisfeitas,

respectivamente,

kµkµ = 0 e kµe

µν =

1

2kν e

µµ. (3.16)

Um tensor simétrico de 2a ordem possui 10 componentes independentes, mas as 4 equações

dadas pela segunda expressão em (3.16) reduzem esse número para 6, pois podemos escrever4 componentes de eµν que seriam independentes em função das componentes restantes. Entre-

tanto, é possível mostrar que apenas 2 dessas 6 componentes representam graus de liberdade

físicos. Isso pode ser feito realizando uma transformação de coordenadas do tipo (3.9), com

ξ µ = iµ exp(ikλxλ) − iµ∗ exp (−ikλxλ). (3.17)

O tensor hµν expresso no novo sistema de coordenadas pode ser escrito como hµν = eµν exp (ikλxλ)+

e∗µν exp (−ikλxλ), onde

eµν = eµν + kµν + kν µ. (3.18)


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O tensor hµν é solução de (3.14) e (3.13), portanto, as relações (3.16) continuam válidas no

novo sistema de coordenadas. Assim, com a expressão (3.17) é possível relacionar 4 das 6

componentes independentes, de forma que no novo sistema de coordenadas apenas 2 compo-

nentes são realmente independentes. Para melhor ilustrar esse aspecto, suponhamos uma onda

plana viajando no sentido positivo do eixo OX , com o vetor de onda dado por

k2 = k3 = 0 e k1 = k0 = k > 0. (3.19)

Nesse caso, das 4 equações definidas pela segunda expressão em (3.16) podemos obter as se-

guintes relações, que reduzem o número de componentes independentes de eµν de 10 para 6:

e12 = e02, e11 = −e00, e13 = e03, e33 = −2e01 − e22.

Quando submetemos o sistema a uma transformação do tipo (3.9) com (3.17), as 6 componentes

restantes se transformam segundo as seguintes relações:

e22

= e22 e23

= e23

e00 = e00 + 2k0 e01 = e01 + k1 + k0

e02 = e02 + k2 e03 = e03 + k3

Portanto, apenas e22 e e23 possuem importância física. De fato, as demais componentes são

nulas se a transformação realizada possuir

0

=−

e00

2k ,

1 =

−e01

−e00

k ,

2 =

−e02

k ,

3 =

−e03

k .

Neste caso, fica evidente que


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hµν =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 h22 h23

0 0 h23 −h22

No caso em que h23 = 0 o elemento de linha se torna ds2 = dt2−dx2−(1−εh22)dy2−(1+εh22)dz

2. Supondo que h22 seja dado por (3.15), verificaremos o que acontece quando uma onda

desse tipo incide sobre uma distribuição de partículas teste. Consideremos, primeiramente, duas

partículas situadas no plano Y Z que, inicialmente possuem coordenadas (y0, z 0) e (y0 + dy,z 0).

A distância própria entre elas é dada por ds2 = −(1 − εh22)dy2. Então, se h22 > 0 as partículasse aproximam e se h22 < 0 as partículas se afastam. O oposto acontece se considerarmos

partículas com coordenadas (y0, z 0) e (y0, z 0+dz ), já que agora ds2 = −(1+εh22)dz 2. Portanto,se uma onda plana oscilatória propagando na direção X incide sobre um anel de partículas

situado no plano Y Z , o anel é deformado em uma elipse cujo eixo maior está sobre o eixo Y ,

ou Z . O caráter transverso da onda é evidente. Nesse estado, é possível dizer que a onda possui

polarização em +.

Analogamente, se considerarmos h22 = 0 e h23 dado por (3.15), o elemento de linha se

torna ds2 = dt2 − dx2 − dy2 + 2εh23dydz − dz 2. Ao considerarmos uma rotação de 45◦ emtorno do eixo X , ou seja,

y = 1√ 2

(y + z ), z = 1√ 2

(−y + z ),

o elemento de linha anterior se torna ds2 = dt2 − dx2 − (1 − εh23)dy2 − (1 + εh23)dz 2.Comparando essa expressão com o elemento de linha obtido na situação em que h23 = 0,

é possível observar que nesse caso a onda produz exatamente o mesmo efeito, mas com os

eixos rotacionados em 45◦. Esse estado da onda gravitacional é chamado de polarização em ×.


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Figura 3.1: Efeitos de uma onda plana gravitacional.

Na figura (3.1) estão ilustrados os efeitos de uma onda gravitacional plana, com os modos de

polarização + e ×, respectivamente, atravessando um anel de partículas massivas. Uma ondamais geral é dada pela superposição de ondas de ambos modos de polarização.


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Capítulo 4

Métodos espectrais e ondas cilíndricas

Nesse capítulo apresentamos características básicas dos métodos numéricos empregados e

do problema estudado, ou seja, da evolução de ondas gravitacionais com simetria cilíndrica. Os

dois métodos apresentados a seguir, Colocação [4, 6] e Galerkin [4, 5, 6], fazem parte de um

conjunto maior de técnicas utilizadas para resolver equações diferenciais, sejam elas ordiná-

rias ou parciais. Supondo uma equação diferencial do tipo L(u) = 0, onde L é um operador

diferencial e u = u(x, t), em um domínio D(t, x), com condições de contorno S (u) = 0 na

borda de D, os métodos espectrais consistem basicamente em supor uma solução aproximada

na seguinte forma

uap =N

n=0

an(t)χn(x), (4.1)

sendo χn funções de base escolhidas, que geralmente formam um conjunto completo de fun-

ções, ou seja, são ortonormais e obedecem a uma relação de fechamento. Ao substituirmos a

solução aproximada na equação diferencial obtemos uma função residual

R(a0, a1,...,x,t) = L(uap) =N

n=0

L(an(t) χn(x)).

Ambos os métodos têm como ponto principal a obtenção dos coeficientes an(t) de forma que

23


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CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS 24

R seja minimizada. Os coeficientes espectrais são obtidos impondo a condição

(wi(x), R) = wi R dx = 0 , i = 0, 1,...,N, (4.2)onde wi são as funções teste e a integração é feita sobre todo o domínio espacial.

4.1 Método de Galerkin

O método foi desenvolvido pelo matemático e engenheiro russo Boris Grigoryevich Galyor-

kin (transliterado como Galerkin) por volta de 1915. Nele as funções teste wi são escolhidas

como sendo as próprias funções de base, ou seja, wi(x) = χi(x). De fato, a função residual R

pode ser expandida como uma série das funções de base

R =∞

n=0

rn(a0, a1,...,an, t)χn(x),

e os coeficientes rn(a0, a1,...,an, t) são obtidos pelo produto rn = (R, χn). Os coeficientes

para n > N decaem rapidamente com n. Então, de forma a minimizar R, estabelecemos que

rn = (R, χn) = 0 , n = 0, 1,...,N.

Dessa forma obtemos um sistema de N + 1 equações para os coeficientes an(t). Resolvendo tal

sistema, que pode ser um sistema de equações algébricas, caso a equação diferencial L(u) = 0

seja elíptica, ou um sistema de equações diferenciais ordinárias se a equação diferencial L(u) =

0 for hiperbólica ou parabólica, determinamos os coeficientes espectrais an(t).


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4.2 Método de colocação

O método de colocação consiste em tomar a função teste como wk = δ (x − xk), sendo os

pontos xk chamados pontos de colocação. Dessa forma, a equação (4.2) se torna

R(xk) = 0 , k = 0, 1,...,N. (4.3)

Ou seja, a equação residual é igual a zero nos pontos de colocação, o que significa dizer que

a solução aproximada satisfaz a equação diferencial nos pontos de colocação. Resolvendo as

N + 1 equações obtidas de (4.3) obtemos os coeficientes ak.

Uma vantagem desse método em relação ao método de Galerkin é o fato de não precisarmosresolver integrais para a determinação do sistema de equações para os coeficientes modais.

Entretanto, de um modo geral, para conseguirmos uma precisão comparável à do método de

Galerkin, é necessário considerarmos muito mais pontos de colocação e, portanto, mais termos

na expansão da solução aproximada.

4.3 Ondas gravitacionais com simetria cilíndrica

Ondas gravitacionais cilíndricas são a forma mais simples de radiação gravitacional [8].

Apesar de não possuir sentido físico, seu estudo pode auxiliar na compreensão da interação

não-linear das ondas. O ponto de partida do estudo é a métrica geral cilíndrica de Jordan-

Ehlers-Kompaneets [9], cujo elemento de linha é dado por

ds2

= e2(γ

−Ψ)

(dt2

− dr2

) − e2Ψ

(dz + ωdφ)2

− r2

e−2Ψ

dφ2

, (4.4)

onde as funções γ , Ψ e ω são funções de t e r. As equações de campo no vácuo [11] são

Ψ̈ − Ψ

r − Ψ = e

4Ψ

2r2

ω̇2 − ω2 , (4.5)


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ω̈ + ω

r − ω = 4

ωΨ − ω̇ Ψ̇

, (4.6)

γ = r

Ψ̇2 + Ψ2

+ e4Ψ

4r

ω̇2 + ω2

, (4.7)

γ̇ = 2r Ψ̇Ψ + 4Ψ

2r ω̇ω. (4.8)

Nas equações acima, Ψ e ω representam os dois graus de liberdade do campo gravitacional,

correspondendo aos modos de polarização + e ×, respectivamente. Mais precisamente, a fun-ção γ representa a energia do campo gravitacional, ou energia C [10]. Mais precisamente, γ dá

a energia gravitacional por unidade de comprimento entre o eixo de simetria e o raio r em um

tempo t. As equações de campo obtidas acima são equações diferenciais parciais não-lineares

e suas soluções analíticas não são conhecidas.

No capítulo seguinte aplicaremos os métodos espectrais a uma aproximação linear da evolu-

ção das ondas gravitacionais, e compararemos com a solução exata das equações nesse regime,

que pode ser obtida. O regime linear ocorre quando apenas um modo de polarização está pre-

sente, digamos +. Nesse caso, ω(t, r) = 0, e as equações de campo são reduzidas a

¨Ψ −

Ψ

r − Ψ = 0, (4.9)γ = r

Ψ̇2 + Ψ2

, (4.10)

γ̇ = 2r Ψ̇Ψ. (4.11)

A equação que descreve a evolução da função Ψ(r, t) se torna uma equação diferencial de onda

em coordenadas cilíndricas. Para que Ψ(r, u) represente uma solução fisicamente aceitável, ela

deve obedecer às seguintes condições de regularidade e contorno:

limr→0

Ψ(r, t) = 0, limr→∞

Ψ(r, t) = 0, limr→∞

Ψ(r, t) = 0 (4.12)

Assumindo que Ψ(r, t) = τ (t)R(r), a equação (4.9) pode ser desmembrada em duas,


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τ̈ + α2τ = 0 (4.13)

rR + R + α2rR = 0, (4.14)

onde α é uma constante real e arbitrária. De imediato, a solução de (4.13) pode ser escrita como

τ (t) = e−iαt. Com relação à segunda equação, multipliquemos por r e introduzamos a nova

variável definida por ξ = αr, de modo que ela passe a ser reescrita como

ξ d2R

dξ 2

+ dR

dξ

+ ξR = 0,

que é uma equação de Bessel de ordem zero. A solução pode ser escrita como R(r) =

C 1J 0(αr) + C 2Y 0(αr). Observando as condições de regularidade (4.12), C 2 = 0, pois tanto

Y 0(αr) quanto sua derivada divergem em r = 0. A solução fica Ψ(r, t) = A(α)e−iαtJ 0(αr), e a

solução geral para o problema é obtida somando sobre todos os possíveis valores de α. Se α é

uma variável contínua, o somatório pode ser substituído por uma integral, e a solução geral tem

a seguinte forma

Ψ(r, t) =

∞0

A(α)J 0(αr)e−iαtdα. (4.15)

Para determinar A(α) é necessário inverter a expresão anterior. Para isso consideramos t = 0

pois, dessa forma, só é necessário conhecer a forma do pulso da onda nesse instante de tempo,

f (r). A expressão de A(α) pode ser determinada da seguinte forma

Ψ(r, 0) = f (r) =

∞0

A(α)J 0(αr)dα.

Multiplicando a equação acima por rJ 0(αr) e integrando em r de 0 a infinito obtemos


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∞

0

rJ 0(αr)f (r)dr =

∞

0

rJ 0(αr)

∞

0

A(α)J 0(αr)dα dr ∴

∴ A(α) = ∞0

rJ 0(αr)f (r)dr, (4.16)

onde utilizamos a seguinte relação de ortogonalidade das funções de Bessel [7],

∞0

xJ m(kx)J m(kx)dr =

1

kδ (k − k). (4.17)

Assumindo que o resultado da integral anterior seja A(α) = C e−aα, onde a e C são constantes

arbitrárias, a função Ψ(r, t) fica completamente estabelecida por

Ψ(r, t) = C

∞0

J 0(αr)e−iαte−aαdα. (4.18)

De fato, a solução geral é dada por

Ψ(r, t) = C (a2 + r2 − t2)2 +2 +4a2t2 + a2 + r2 − t2

(a2

+ r2

− t2

)2

+ 4a2

t2

. (4.19)

A forma inicial da onda, f (r), pode ser obtida fazendo t = 0 na expressão acima. A solução

encontrada representa, a medida em que o tempo passa, um pulso incidente na origem para

valores negativos de t, chega na origem em t = 0, é refletida e passa a se propagar no sentido

oposto, ou seja, como se tivesse sido emitido pela origem, para valores positivos de t.

Conhecido Ψ(r, t), podemos determinar a energia gravitacional fazendo

γ = r0

γ̇dr = 2 r0

r Ψ̇Ψdr. (4.20)


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Capítulo 5

Aplicação dos métodos espectrais

Nesse capítulo serão expostos procedimentos, propriedades e resultados obtidos na aplica-

ção dos métodos espectrais ao problema de ondas gravitacionais com simetria cilíndrica em sua

aproximação linear.

5.1 Aplicação e resultados do método de Galerkin

A partir da solução expressa pela equação (4.19) é conveniente para o tratamento que será

realizado fazer a transformação de coordenadas (r, t) → (r, u), de forma que u = t−r, portanto,t = u + r. Substituindo tal transformação, a = 2 e C = 1/

√ 2 na equação (4.19), obtemos

Ψ(r, u) =

(4 + u2)(u2 + 4ur + 4 + 4r2) + 4 − u2 − 2ur

(4 + u2)(u2 + 4ur + 4 + 4r2) , (5.1)

que satisfaz as seguintes equações

2 Ψ̇ − Ψ − 1r

(Ψ − Ψ̇) = 0, (5.2)

γ = rΨ2, (5.3)

γ̇ = 2r Ψ̇(Ψ − Ψ̇), (5.4)

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CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS 30

que são as equações de campo (4.9), (4.10) e (4.11) expressas no novo sistema de coordenadas.

Nesse sistema, a solução exata apresenta as seguintes características,

limr→∞

Ψ(r, u) = 0 e limr→∞

Ψ(r, u) = 0, (5.5)

além da própria função e suas derivadas serem finitas na origem. Um aspecto interessante a se

observar é a forma como a função acima se comporta na origem e quando r tende a infinito

pois podemos comparar com a função de base que representará a solução aproximada. Em um

instante u = 1, por exemplo, a expansão de Taylor em torno da origem é

0.565685 − 0.226274r − 0.033941r2 + O(r3), (5.6)

e sua expressão assintótica é dada por

0.351578

1

r + 0.196539

1

r

32

+ O

r−5

2

. (5.7)

Nesse sistema de coordenadas, a solução representa uma onda incidindo sobre a origem

e decaindo a zero, conforme u, que consideramos ser a coordenada temporal, cresce. Paravalores negativos de u o pulso se move em direção à origem. Em u = 0 o pulso atinge a origem

e começa a decair. Escolheremos como instante inicial u = 0, e a expressão do pulso inicial é

dada quando consideramos Ψ(r, u = 0), ou seja,

f (r) = 1

2

√ 1 + r2 + 1

1 + r2 . (5.8)

Para determinar a solução aproximada é necessário escolher as funções de base. Uma boa

escolha é uma composição de funções ortonormais, devido à sua convergência, facilidade de

computação e completeza. Em vista disso, as funções escolhidas foram os polinômios de

Chebyshev. Entretanto, como a convergência dos polinômios ocorre dentro do intervalo [−1, 1]e o domínio da variável r é [0, ∞[ , é necessário fazer um mapeamento para que o domínio seja


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limr→0

T Lk(r) = −1 e limr→∞

T Lk(r) = 1.

Quanto à escolha das funções de base χk(r), uma combinação bastante simples dos polinômios

acima que satisfaz as mesmas condições de contorno satisfeitas por Ψ(r, u) dadas por (5.5), é

χk(r) = T Lk+1(r) − T Lk(r). (5.10)

A expansão da função χ3(r), por exemplo, em torno da origem é dada por

2 − 16.666667r + 28.666667r2 + O(r3), (5.11)

e como pode ser observado, se comporta de forma semelhante à solução exata. A expansão

assintótica da função de base χ3(r) é dada por

− 42r

+ 1134

r2 + O

1

r3, (5.12)

e embora decaia de forma diferente da solução exata, esta pode ser bem representada pelo

conjunto de funções escolhido.

Para determinar os coeficientes espectrais ai(u), procedemos como descrito no capítulo

anterior. O primeiro passo é substituir a solução aproximada na equação (5.2), de onde obtemos

a equação residual, dada por

R =N

i=0

2r

dai(u)

du

dχi(r)

dr +

dai(u)

du χi(r) − rai(u)d

2χi(r)

dr2 − ai(u) dχi(r)

dr

. (5.13)

Em seguida, devem ser feitas as projeções (R, χ j(r)) = 0, com j = 0, 1,...N . Com isso,

obtemos um sistema de N + 1 equações diferenciais envolvendo os coeficientes ai(u). Para


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Figura 5.2: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo mé-todo de Galerkin no sistema (r, u) para N = 10.

Figura 5.3: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo mé-todo de Galerkin no sistema (r, u) para N = 15.


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Figura 5.4: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 0.8 para N = 10.

Figura 5.5: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 0.8 para N = 15.


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Figura 5.6: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método deGalerkin em u = 5 para N = 10.



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5.2 Aplicação e resultados do método de colocação

Nessa seção serão expostos os resultados obtidos pela aplicação do método de colocação.

Diferentemente do método de Galerkin, o método de colocação só pode ser aplicado a domíniosfinitos. Para isso, reescreveremos a solução (5.1) e a equação (5.2) no sistema de coordenadas

(x, u), compactando o domínio, com x definido pela transformação inversa de (5.9), dada por

r = −L1 + xx − 1 . (5.15)

Nesse caso, utilizaremos como funções de base os próprios polinômios de Chebyshev T k(x). A

equação (5.2) pode ser escrita como

(1 − x2) Ψ̇ + x(1 − x)2

6 Ψ − (1 + x)(1 − x)

3

12 Ψ + Ψ̇ = 0, (5.16)

onde a linha agora representa derivação com relação a x. A solução exata no novo sistema de

coordenadas, escolhendo novamente L = 3, fica

Ψ(u, x) = a(u, x) + b(u, x)c(u, x) + (b(u, x))2 (x − 1), (5.17)onde

a(u, x) =

(u2 + 4)(u2x2 − 2u2x + u2 − 12ux2 + 12u + 40x2 + 64x + 40),

b(u, x) = −4x − 6ux + u2x − u2 + 4 − 6u,

c(u, x) = 16(ux − u − 3x − 3)2.

O pulso inicial é obtido substituindo u = 0 na equação (5.17), ou seja,

f (u, x) =

√ 2

4

(√

2√

5x2 + 8x + 5 + x − 1)(x − 1)5x2 + 8x + 5

. (5.18)


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Figura 5.10: Forma do pulso inicial da onda em função de x

Escolhemos os N pontos de colocação como sendo os extremos dos polinômios de Chebyshev,

ou seja, xi = cos(πi/N ), com i = 0, 1,...N . Substituindo a equação aproximada na equação

(5.16) obtemos a função residual, que é igual zero nos pontos de colocação, o quer dizer

N i=0

(1 − x2) dai

du

dT idx

+ x(1 − x)2

6 ai

dT idx

− (1 + x)(1 − x)3

12 ai

d2T idx2

+ daidu

T i

= 0, (5.19)

com i = 0, 1,...N . A expressão (5.19) nos fornece N + 1 equações diferenciais para os N + 1

coeficientes modais ai(u). Para resolvê-las, assim como no método de Galerkin, é necesário

determinar o valor de cada coeficiente no instante inicial u = 0, ou seja, ai(0). No instante

u = 0 supomos que Ψ(0, x) = f (x) =N

i=0 ai(0)T i(x), e portanto

a j(0) = 2

N ̄c j

N n=0

1

c̄nf (xn)T j (xn), (5.20)


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onde fizemos uso da seguinte relação de ortogonalidade, válida nos pontos de colocação xn,

2

N ̄ck

N

n=01

c̄nT j(xn)T k(xn) = δ jk,

e o parâmetro c̄k é definido como

c̄k =

2, se k = 0, N

1, se k assume qualquer outro valor

Dessa forma, após resolver o sistema de equações para os coeficientes espectrais podemos

comparar a solução exata com a solução aproximada, como é mostrado nas figuras a seguir.Para valores de u próximos de u = 0, ambos os métodos apresentam bons resultados, e as

soluções obtidas se aproximam bem da solução exata. Entretanto, mesmo com uma truncagem

muito maior, N = 21, a solução obtida pelo método de colocação não acompanha a curva

exata tão bem quanto a solução aproximada obtida pelo método de Galerkin à medida em que u

cresce. Para valores relativamente baixos de u, há uma discrepância razoavelmente grande nos

resultados obtidos pelo método de colocação, embora como já foi dito, um modo de melhorar

os mesmos é aumentar o número de pontos de colocação. Nesse aspecto, o método de Galerkin

é muito mais eficaz, pois a representação da solução exata pela solução aproximada se mantém

boa para altos valores de u, com N relativamente pequeno.


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Figura 5.11: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelométodo de colocação no sistema (x, u) , para N = 15.

Figura 5.12: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelométodo de colocação no sistema (x, u) , para N = 21.


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Figura 5.17: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo métodode colocação em u = 10 para N = 15.

Figura 5.18: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo métodode colocação em u = 10 para N = 21.


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Capítulo 6

Conclusões

A partir dos gráficos expostos no capítulo anterior fica evidente a eficiência dos métodos

espectrais, sobretudo a do método de Galerkin. Apesar dos gráficos apresentarem o compor-

tamento das soluções até r = 40, a solução aproximada representa bem a solução exata até o

infinito, pois as funções de base e a solução exata obedecem às mesmas condições de contorno.

Paragandes valores de u, com uma solução de 15 termos, começam a apracer pequenas discre-

pâncias entre as soluções exata e aproximada. Entretanto, Esse problema pode ser resolvido

com um pequeno aumento no número de termos da solução aproximada, por exemplo, para

N = 21. A implementação do método de Galerkin é simples, embora o método exija um es-

forço computacional moderado, devido às diversas integrações que devem ser realizadas para a

determinação dos coeficientes modais.

O método de colocação pôde ser implementado de forma extremamente simples, exigindo

um esforço computacional relativamente pequeno. Entretanto, as soluções geradas por este

método não tiveram a mesma precisão das soluções geradas pelo método de Galerkin, emborase tenha considerado mais termos na série. Por ser um método de fácil execução, é possível

aumentar sua acurácia considerando mais termos na solução aproximada, ou seja, mais pontos

de colocação.

O instante inicial u0 = 0 utilizado para resolver o sistema dinâmico para os coeficientes

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CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES 46

espectrais é completamente arbitrário. É possível escolher qualquer outro valor de u0, contanto

que a solução exata seja conhecida nesse instante.

Quanto à convergência dos métodos, fica claro ao observarmos os gráficos que quanto maior

o número de termos considerados nas soluções aproximadas de ambos os métodos, mais estas

se aproximam da solução exata.

Em vista dos resultados obtidos na aplicação dos métodos espectrais na aproximação linear

da evolução de ondas gravitacionais cilíndricas, podemos esperar que o caso mais geral possa

ser bem representado pelas soluções aproximadas geradas por ambos os métodos, desde que

seja considerada uma truncagem grande o suficiente, da ordem de N = 21 ou maior para o

método de Galerkin. Nesse tipo de aplicação dos métodos apresentados, as mesmas funções debase devem ser escolhidas, pois as condições de contorno são as mesmas tanto para o regime

linear quanto para o regime não-linear, onde os dois modos de polarização estão presentes.


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Referências Bibliográficas

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[11] PIRAN,Tsvi; SAFIER, Pedro N.; STARK, Richard F., Phys.Rev.D v.32 n.12,1985.

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Uma abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais