Uma Equação Fenomenológica para o Fator de Atrito de ...monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10028382.pdf · experimentais para diferentes valores de k+. Uma correla˘c~ao

UMA EQUAÇÃO FENOMENOLÓGICA PARA O FATOR DE ATRITO DE

CAMADAS LIMITES TURBULENTAS SOBRE PLACAS PLANAS RUGOSAS

Mateus Abreu Itikawa

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

t́ıtulo de Engenheiro.

Orientador: Daniel Onofre de Almeida Cruz

Rio de Janeiro

Março de 2019

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecnica

DEM/POLI/UFRJ




PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D.Sc.

Prof. Átila Pantaleão Silva Freire, Ph.D.

Prof. Hamidreza R. Anbarlooei, Ph.D.

Prof. Fábio Antonio Tavares Ramos, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARÇO DE 2019

Itikawa, Mateus Abreu

Uma Equação Fenomenológica para o Fator de Atrito

de Camadas Limites Turbulentas sobre Placas Planas

Rugosas/ Mateus Abreu Itikawa. – Rio de Janeiro:

UFRJ/Escola Politécnica, 2019.

XI, 41 p.: il.; 29, 7cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Mecânica, 2019.

Referências Bibliográficas: p. 39 – 41.

1. Camada Limite Turbulenta. 2. Placa Plana Rugosa.

3. Fator de Atrito. I. Cruz, Daniel Onofre de Almeida. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de

Engenharia Mecânica. III. Uma Equação Fenomenológica

para o Fator de Atrito de Camadas Limites Turbulentas

sobre Placas Planas Rugosas.

iii

Ignoranti, quem portum petat,

nullus suus ventus est. - Seneca,

Epistulae morales ad Lucilium

iv

Agradecimentos

Agradeço aos meus pais e familiares pelo eterno amor e apoio; a equipe Minerva

Aerodesign pelo conv́ıvio e oportunidade de aprendizado; a equipe de Handebol da

AAAEP pela experiência de coordenação de equipe, nas vitórias e nas derrotas;

aos diversos professores do Departamento de Engenharia Mecânica pelos ensina-

mentos dos últimos anos, em especial ao professor Daniel Onofre por aceitar me

orientar nesse projeto final; ao professor Claudio Miceli pelo incentivo a aprender

programação e oportunidades de iniciação cient́ıfica em seu laboratório; a CAPES

e a DARI por me permitirem vivenciar o estudo e vida no exterior; a INSA Rennes

por ter me recebido em sua instituição; e aos diversos amigos feitos durante essa

jornada.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico




Março/2019


Programa: Engenharia Mecânica

Uma nova proposta para o cálculo do fator de atrito local para escoamentos

turbulentos sobre placas planas rugosas é apresentada, independente da definição

de leis para os perfis de velocidade. A solução proposta é comparada com dados

experimentais para diferentes valores de k+. Uma correlação do fator de atrito foi

obtida e como consequência do seu desenvolvimento, uma fórmula equivalente a lei

de Strickler (polinomial) para escoamentos tubulares é apresentada para o caso da

placa plana e também verificada.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

A PHENOMENOLOGYCAL EQUATION FOR THE FRICTION

COEFFICIENT OF BOUNDARY LAYERS OVER ROUGH FLAT PLATES


March/2019

Advisor: Daniel Onofre de Almeida Cruz

Department: Mechanical Engineering

A new equation is proposed for the local friction factor of turbulent flow over

rough-wall flat plates is presented, independent of the velocity profile or rugosity

type. The proposed solution is compared with experimental datum for different

values of k+. A correlation for the friction factor was obtained and as a consequence

of it’s development, a new equation equivalent to Strickler’s law for tubular flow is

introduced for the rough flat plate and also verified.

vii

Sumário

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xi

1 Introdução 1

1.1 Apresentação do tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivação e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Revisão Bibliográfica 4

2.1 As equações de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Média de Reynolds ou Decomposição de Reynolds . . . . . . . . . . . 5

2.3 Parâmetros adimensionais do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Estrutura clássica da camada limite turbulenta . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Efeitos da rugosidade e Wall Similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Cálculo do fator de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.1 Placas planas lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.2 Placas planas rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Escalas de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Desenvolvimento da Teoria Proposta 20

3.1 Fator de atrito para a placa plana lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Fator de atrito para a placa plana rugosa . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Validação da fórmula e cálculo dos coeficientes . . . . . . . . . . . . . 25

4 Resultados e Discussões 29

4.1 Análise do comportamento da equação . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

viii

4.2 Comparação com os experimentos e outras equações da literatura . . 32

4.3 Caso completamente rugoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Considerações Finais 36

5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Referências Bibliográficas 39

ix

Lista de Figuras

2.1 Camada limite turbulenta. Fonte: [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Desenho esquemático mostrando as diversas regiões da camada limite

turbulenta em variáveis internas e externas. Fonte: [22] . . . . . . . . 8

2.3 Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de

Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [13] . . . . . . . . . . . 14





3.1 Desenvolvimento da camada limite sobre placa plana. Fonte: [24] . . 21

3.2 Desenho esquemático da vizinhança da parede com elementos de ru-

gosidade de tamanho r. Fonte: [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Pontos experimentais utilizados para calibração da Equação 3.14 . . . 28

4.1 Comportamento da equação perto dos pontos experimentais encon-

trados por Zafiryadis et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 A influência da rugosidade diminui conforme a camada limite progride. 30

4.3 Comportamento da Equação 3.14 para x/k constante. . . . . . . . . . 31

4.4 Comportamento da Equação 3.14 próximo aos pontos experimentais

encontrados por SQUIRE et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

x

Lista de Tabelas

3.1 Dados experimentais encontrados por Squire et al. . . . . . . . . . . . 26

3.2 Dados experimentais encontrados por Zafiryadis et al. . . . . . . . . . 27

3.3 Dados experimentais encontrados por Squire et al. para a placa plana

lisa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Erro da equação (3.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Dados experimentais encontrados por Mills e Hang para o caso com-

pletamente rugoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Comportamento das equaçãos de Schlichting, Mills e Hang e a

equação proposta conforme x/k aumenta. . . . . . . . . . . . . . . . 35

xi

Caṕıtulo 1

Introdução

1.1 Apresentação do tema

Em mecânica dos fluidos, a camada limite denomina a parte do escoamento na região

próxima à superf́ıcie limitadora, onde os efeitos de viscosidade são significativos e

dominantes. Devido ao atrito e a condição de não deslizamento, a velocidade do

fluido diretamente em contato com a superf́ıcie é nula, gerando um perfil de veloci-

dade que se estende até uma distância tal da superf́ıcie onde o escoamento possui

velocidade aproximadamente igual à das condições de escoamento livre, ou seja, sem

sentir os efeitos da presença da superf́ıcie. Esse conceito foi introduzido formalmente

na literatura por L. Prandtl no ińıcio do século XX, objetivando descrever a camada

limite aerodinâmica sobre placas planas.

É posśıvel distinguir as camadas limites de acordo com sua estrutura entre la-

minares e turbulentas. A camada limite laminar é um escoamento dito “suave”,

enquanto que a camada limite turbulenta é caracterizada por variações espaciais

e temporais de velocidade e pressão significativas. A maioria das camadas limi-

tes de interesse prático são turbulentas e em muitas situações a superf́ıcie sobre a

qual elas se desenvolvem são rugosas em pelo menos parte de seu comprimento.

Como consequência, existem e ainda estão em desenvolvimento um grande número

de trabalhos de tais escoamentos.

O principal efeito da rugosidade superficial é alterar a estrutura da camada limite

próxima à parede, aumentando o fator de atrito e a taxa de transferência de calor.

A distribuição do fator de atrito é uma das caracteŕısticas mais importantes das

1

camadas limites e, geralmente, ele é calculado pelo perfil médio de velocidade, sendo

assim necessário um grande número de valores experimentais dispońıveis perto da

superf́ıcie. Este trabalho apresenta uma proposta diferente para o cálculo do fator

de atrito. Partindo de aspectos fenomenológicos e fazendo uso da comparação de

ordens de grandeza, mostramos ser posśıvel obter uma equação polinomial em função

do número de Reynolds local e do número de Reynolds rugoso.

No decorrer desse trabalho, a fórmula para o fator de atrito proposta é comparada

com dados experimentais encontrados na literatura. Finalmente, como consequência

da fórmula para o caso completamente rugoso, uma lei equivalente a lei de Strickler

para escoamentos em dutos é definida para camadas limites, em forma polinomial

(a equação comumente encontrada na literatura é de forma logaŕıtmica).

1.2 Motivação e objetivos

Conforme exposto na seção anterior, a maioria das camadas limites de interesse

prático para a engenharia são turbulentos e ocorrem sobre paredes rugosas. No

entanto, durante muito tempo foi dado uma maior enfâse ao estudo da estrutura da

camada limite turbulenta sobre placas planas lisas com zero gradiente de pressão, o

que faz sentido, pois é lógico que se deve estabelecer fundamentos básicos antes de

se partir para casos mais complexos. Mesmo assim, o estudo do efeito da rugosidade

se mantém relevante por melhorar também o entendimento das camadas limites

simples, como sobre a relação entra a camada limite externa e interna.

Uma das dificuldades inerentes ao estudo das camadas limites rugosas é que a

estrutura da rugosidade e os ńıveis de turbulência próximos dos elementos rugosos

dificultam a utilização de procedimentos padrões de medição de velocidade. Além

disso, mesmo tendo calculado o perfil corretamente, a hipótese de similaridade comu-

mente usada para o cálculo indireto do fator de atrito pode não ser válida, conforme

explicado nos caṕıtulos subsequentes.

Apresentamos o desenvolvimento e verificação de uma fórmula fenomenológica

para o cálculo do fator de atrito que independe da estrutura da camada limite tur-

bulenta clássica, ou seja, não sendo necessário a definição e cálculo de perfis de

velocidade. Sendo assim, o objetivo desse trabalho é apresentar o desenvolvimento

2

teórico dessa fórmula, o cálculo dos coeficientes necessários através de valores expe-

rimentais e, finalmente, a comparação da fórmula proposta com os procedimentos

atuais para cálculo do fator de atrito, tanto para o regime completamente rugoso

como para os outros.

1.3 Organização da tese

Esta tese está organizada em um total de 5 caṕıtulos. No Caṕıtulo 2 realizamos uma

revisão bibliográfica, apresentando os conceitos básicos necessários para o desenvol-

vimento da tese e a estrutura clássica da camada limite turbulenta. No Caṕıtulo 3 é

feito o desenvolvimento teórico da fórmula proposta em si, incluindo cálculo dos co-

eficientes necessários baseados em valores experimentais da literatura. No Caṕıtulo

4 são apresentados os resultados da equação final e comparação com fórmulas exis-

tentes. Finalmente, o Caṕıtulo 5 conclui a tese, além de propor trabalhos futuros

relativos ao tema.

3

Caṕıtulo 2

Revisão Bibliográfica

2.1 As equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes (Navier 1827, Stokes 1845) descrevem o movimento

de fluidos viscosos. Elas surgem da aplicação da segunda lei de Newton para o

movimento de um fluido, aliado a suposição de que as tensões atuantes em um

fluido são a soma de um termo viscoso difusivo e um termo de pressão, e que tais

tensões viscosas são funções lineares da taxa de deformação, de acordo com a lei

da viscosidade de Newton. Em sua forma vetorial, ela pode ser resumida em uma

equação (a sua derivação pode ser encontrada facilmente na literatura):

ρDV

Dt= ρg−∇p+ ∂

∂xj

[µ

(∂νi∂xj

+∂νj∂xi

)+ δijλ divV

](2.1)

A hipótese de linearidade mencionada acima é emṕırica e, portanto, ainda não

é posśıvel dizer que as equações de Navier-Stokes são válidas para todo movimento

de um fluido. Apesar de seu grande valor teórico e prático, ainda não foi provado

que sempre existem soluções para as equações em três dimensões, sendo este um dos

sete problemas em aberto mais importantes na matemática, denominados Milennium

Prize Problems. Não obstante, a aplicação em casos simplificados das equações de

Navier-Stokes, como escoamentos laminares em dutos circulares, gera resultados que

concordam significativamente com valores experimentais, o que valida o seu uso em

problemas de engenharia.

Estando no âmbito das camadas limites, podemos fazer uma análise de ordem

de magnitude, simplificando significativamente as equações de Navier-Stokes dentro

4

da camada limite. Usando essa aproximação, o escoamento é divido numa região

inviscida (maioria do escoamento, de fácil resolução) e na camada limite propri-

amente dita, governada por equações diferenciais parciais “simples”. Aplicando

Navier-Stokes para o escoamento permanente, bidimensional e incompresśıvel em

coordenadas cartesianas, e adicionando a equação da continuidade, temos:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)∂u

∂x+∂v

∂y= 0

(2.2)

Onde u e v são os componentes da velocidade em x e y, ρ é a densidade, p e a

pressão e ν é a viscosidade cinemática do fluido.

2.2 Média de Reynolds ou Decomposição de Rey-

nolds

Devido ao caráter aleatório das flutuações decorrentes da turbulência, a análise

direta dos escoamentos turbulentos é extremamente complexa. Uma das maneiras

de se contornar esse problema é através do uso da decomposição de Reynolds, onde

uma quantidade instantânea qualquer é dividida em um termo do valor médio e

outro representando as variações randômicas em torno do primeiro, ou seja:

U = ū+ u′

ū =1

T

∫ T0

u · dt(2.3)

O operador de média pode ser considerado como um operador de Reynolds,

seguindo assim um conjunto especifico de propriedades, como por exemplo a média

da flutuação é igual a zero ou a média da soma de duas propriedades é igual a

soma das médias das mesmas. Aplicando a decomposição de Reynolds nas equações

de Navier-Stokes, surgem novos termos, representativos das tensões turbulentas de

Reynolds. Temos, finalmente, a forma da equação de Navier-Stokes para camada

5

limite turbulenta [1]:

ū∂ū

∂x+ v̄

∂ū

∂y= −1

ρ

∂ρ̄

∂x+ v

∂2ū

∂y2− ∂u

′v′

∂y1

ρ

∂ρ̄

∂x= 0

∂ū

∂x+∂v̄

∂y= 0

(2.4)

2.3 Parâmetros adimensionais do escoamento

Objetivando adimensionalizar as variáveis relevantes para o escoamento turbulento

e usarmos dimensões internas ao invés de externas, iremos introduzir o conceito

de velocidade de atrito. A velocidade de atrito é uma velocidade caracteŕıstica do

escoamento turbulento a uma dada tensão na parede. Ela é gerada a partir da

análise dimensional do cálculo da tensão na parede.

uτ =

(τwρ

) 12

(2.5)

A partir dela, normalizamos a velocidade média na direção longitudinal do es-

coamento, assim como a distância normal da parede y, em termos de ”unidade de

parede”:

u+ =ū

uτ

y+ =yuτν

(2.6)

Também será de grande valia introduzir o conceito do número de Reynolds. O

número de Reynolds é um paramêtro adimensional importante para a mecânica dos

fluidos, pois possibilita prever caracteŕısticas e padrões para escoamentos diferen-

tes, contanto que eles sejam geometricamente similares. O número de Reynolds é

definido como a razão entre as forças inerciais e as forças viscosas e, por análise

dimensional, temos que:

Re =ρuL

µ=uL

ν(2.7)

onde µ é a viscosidade dinâmica do fluido, ν é a viscosidade cinemática do fluido

e L uma dimensão linear caracteŕıstica, tipicamente o diâmetro para tubos ou a

distância longitudinal x do ińıcio da placa plana.

6

2.4 Estrutura clássica da camada limite turbu-

lenta

Diferentemente das camadas limites laminares, as camadas limites turbulentas so-

bre placas planas podem ser separadas em diversas subcamadas, devido as carac-

teŕısticas dominantes do escoamento serem diferentes nessas regiões, como pode ser

observado na figura 2.1. Essas sub-regiões podem ser dividas em regiões ainda me-

nores, conforme figura 2.2, porém a divisão anterior é suficiente para o escopo desse

trabalho.

Figura 2.1: Camada limite turbulenta. Fonte: [23]

A região mais próxima da parede, limitada por y+ < 5, é chamada de sub-

camada viscosa. Nessa região, as tensões de Reynolds são despreźıveis quando

comparadas com as tensões viscosas, ou seja, os efeitos de viscosidade dominam os

efeitos turbulentos e o escoamento pode ser considerado laminar. Sendo assim, as

equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas desprezando-se o termo turbu-

lento u′v′ e o convectivo na direção horizontal u∂u∂x

, assumindo a seguinte forma:

−1ρ

∂p̄

∂x+

∂

∂y

(ν∂ū

∂y

)= 0 (2.8)

Considerando o caso sem gradiente de pressão e integrando duas vezes, chegamos

em:

ū =Dy

µ+ E (2.9)

7

Figura 2.2: Desenho esquemático mostrando as diversas regiões da camada limite

turbulenta em variáveis internas e externas. Fonte: [22]

onde D e E são constantes de integração. Sabemos que a tensão na parede equivale

a:

µ∂ū

∂y

∣∣∣∣∣y=0

= τw (2.10)

e que devido a condição de não deslizamento na parede,

ū|y=0 = 0 (2.11)

Com essas condições de contorno, a equação (2.8) resulta em:

ū =τwµy (2.12)

Temos, portanto, que o perfil de velocidade nessa região é linear. Ademais,

utilizando os parâmetros adimensionais, temos que:

U+ = y+ (2.13)

A subcamada logaŕıtmica, onde y+ > 30, está localizada longe da parede o

suficiente para que os efeitos viscosos e convectivos sejam despreźıveis, ou seja, a

tensão total pode ser aproximada para a tensão de Reynolds. Assim, a equação do

momento em (2.4) se resume a:

∂(−u′v′)∂y

= 0 (2.14)

8

Integrando em relação a y e sabendo que a tensão na região turbulenta é constante

e igual a tensão na subcamada viscosa, temos que:

−ρu′v′ = τw (2.15)

A dificuldade em lidar com essa equação está em determinar o valor das flu-

tuações turbulentas. A solução é utilizar o conceito de comprimento de mistura (l),

definido por PRANDTL [2]. Através de análise assintótica, chega-se a solução, já

adimensionalizada:ū

uτ=

1

κlnuτy

ν+ A (2.16)

em que κ é a constante de von Kármán e A é uma constante universal, ambos com

valores definidos entre κ = 0.4 e A = 5.5 por NIKURADSE [3] e κ ∼= 0.41 e A = 5.0

por COLES & HIRST [4].

A camada amortecedora, ou buffer layer, é uma camada intermediária entre

a camada turbulenta e a subcamada viscosa, onde tanto os efeitos viscosos como os

turbulentos estão presentes. Nessa região, o perfil de velocidade não é nem linear

nem logaŕıtmico e existe uma extensa pesquisa para a formulação do perfil nesta

região.

A camada de esteira é a região mais externa da camada limite. Nessa região,

o perfil de velocidade desvia levemente da lei logaŕıtmica, principalmente para casos

com gradiente de pressão. COLES [5] notou que esse desvio acima da lei log tinha a

forma de uma onda. Após análise de diversos experimentos, foi sugerida a seguinte

função universal para o desvio:

U = Ulei log + ∆U W (y

δ) (2.17)

onde W é uma função que pode assumir, dentre várias, a seguinte forma:

W (η) = sin2π

2η (2.18)

Finalmente, temos a lei de onda de Coles:

U

uτ=

1

κlny+ + A+

2Π

κW (y/δ) (2.19)

onde a variação com relação a lei logaŕıtmica é quantificada pelo parâmetro de Coles

Π, com valor t́ıpico de 0.45 para camadas limites sobre placa planas com gradiente

de pressão nulo.

9

2.5 Efeitos da rugosidade e Wall Similarity

A camada limite sobre placas rugosas são de grande interesse para a engenharia,

uma vez que grande parte das aplicações da teoria na prática envolvem placas com

rugosidade suficiente para que não possam ser caracterizadas como lisas sem apre-

sentar um erro muito grande. O estudo dessa área começou com pesquisadores

como Nikuradse e Colebrook e White, que focaram principalmente em escoamentos

em dutos. Dois extensos artigos que revisam o conhecimento mais recente sobre o

tema foram realizados por RAUPACH et al. [6] e JIMÉNEZ [7].

Partindo da equação (2.19) e analisando-se dados experimentais, percebeu-se que

o principal efeito da rugosidade superficial é causar um deslocamento para baixo do

perfil mencionado. Para rugosidades do tipo k, esse deslocamento de ∆U+ depende

de k+, o número de Reynolds rugoso, onde k é a dimensão que representa o tamanho

dos grãos que compoem a rugosidade e o sobescrito indica uma adimensionalização

de maneira similar a apresentada anteriormente. Existem dois tipos de rugosidades

definidos, k e d. A ńıvel dessa revisão bibliográfica, iremos nos ater ao tipo k;

para uma definição das diferenças entre eles, recomendamos os artigos mencionados

acima.

Com esse deslocamento, o perfil de velocidade média nas regiões externas e de

sobreposição para a placa rugosa é dado por:

U

uτ=

1

κlny+ + A−∆U+ + 2Π

κf(y/δ) (2.20)

Calculando o valor dessas equações em y = δ, HAMA [8] mostrou que ∆U+ pode

ser encontrado como a diferença entre o valor da constante A para o caso liso e o

valor A−∆U+ para os mesmos valores de Reynolds. Ou seja, o escoamento médio

tanto para o caso liso quanto para o caso rugoso seguem a mesma lei de defeito

de velocidade (eq. (2.17)). Sendo assim, o deslocamento rugoso pode ser calculado

como:

∆U+ =

(U

uτ

)L

−(U

uτ

)R

(2.21)

onde o subescrito L representa o caso laminar e o R o caso rugoso.

Esses resultados são consistentes com a idea da similaridade de número de Rey-

nolds, apresentada por TOWNSEND [9], e condizem com o conceito de Wall Si-

10

milarity [6]. A hipótese de Wall Similarity diz que fora da subcamada rugosa (ou

viscosa), os movimentos turbulentos da camada limite para números de Reynolds

altos o suficiente independem da rugosidade da parede e da viscosidade, exceto na

determinação da velocidade de atrito uτ . Essa hipótese é uma extensão da tese de

Townsend, que diz que “enquanto se espera que escoamentos geometricamente simi-

lares sejam dinamicamente similares, com base no número de Reynolds, suas estru-

turas também são bastante similares para todos os números de Reynolds que sejam

grandes o suficiente para garantir um escoamento turbulento (completo).”Existe um

número considerável de experimentos que estão de acordo com esta hipótese, bem

como alguns estudos que indicam que na verdade algumas mudanças ocorrem na

camada externa [10]. A visão dominante atual é que a universalidade é válida e

que as contradições encontradas por esses estudos são causados por valores relativa-

mente grandes da rugosidade k; JIMÉNEZ [7] aponta que superf́ıcies onde δ/k ≤ 40

apresentam perfis com deformações de origem rugosas mesmo na camada externa,

uma vez que a estrutura logaŕıtmica é destrúıda pelo tamanho da rugosidade.

A influência da rugosidade varia com o número de Reynolds rugoso, definido

acima com k+. Para certos valores de número de Reynolds, o fator de atrito da

placa plana rugosa se comporta de maneira similar ao da placa plana lisa, ou seja,

nessa região a placa pode ser dita hidraulicamente lisa. Isso ocorre para valores

“pequenos”de k+, e o fator de atrito depende apenas do número de Reynolds do

escoamento. No outro extremo, para valores “grandes”de k+, o tamanho da rugo-

sidade é grande o suficiente para que os efeitos decorrentes da rugosidade tornem

os efeitos viscosos despreźıveis. Nessa região, denominado regime completamente

rugoso, o fator de atrito depende apenas da razão k+/x. Entre essas duas partes

limitantes, o regime pode ser nomeado como transicionalmente rugoso, ou em rugo-

sidade transicional, e o fator de atrito depende tanto de k+ quanto da viscosidade

(pelo número de Reynolds). Os valores t́ıpicos encontrados na literatura, definidos

primeiramente para tubos, é de k+ < 5 para hidraulicamente liso, 5 < k+ < 70 para

rugosidade transicional e k+ > 70 para completamente rugoso.

11

2.6 Cálculo do fator de atrito

2.6.1 Placas planas lisas

Para apresentar as diversas fórmulas de cálculo do fator de atrito presentes na li-

teratura, iremos começar por uma análise da integral do momento, definida pela

primeira vez por Kármán, em 1921. Considerando o caso sem gradiente de pressão,

a equação da integral do momento se resume a:

f

2=

dθ

dx(2.22)

onde θ representa a espessura do momento:

θ =

∫ ∞0

ū

U∞

(1− ū

U∞

)dy (2.23)

Para resolver a equação anterior, PRANDTL (1927) utilizou dois argumentos

baseados no desenvolvimento da teoria para escoamentos em tubos, considerando

que o perfil de velocidade lei de potência seja válido para camadas limites e que a

tensão na parede é proporcional a Re1/4δ , com uma constante proveniente de valores

experimentais em tubos. Assim:

u

U∞=(yδ

) 17

τ0ρU2∞

= 0.0225

(ν

U∞δ

) 14

(2.24)

Com esses valores, Prandlt achou a seguinte equação para o fator de atrito:

f = 0.0576Re−1/5x (2.25)

No entanto, essa equação foi desenvolvida a partir de experimentos com números

de Reynolds limitados e parte de valores encontrados para tubos, ao invés de ser

uma formulação inerente a camadas limites. WHITE [11] apresenta uma análise

similar, porém considerando um perfil de velocidades da forma da equação (2.19).

Calculando esse perfil para y = δ:

U∞uτ

=

(2

f

)1/2=

1

κlnδuτν

+ A+2Π

κ≈ 2.44ln

[Reδ

(f

2

)1/2]+ 7.2 (2.26)

12

Analogamente à análise de Prandtl, esta é uma relação entre f e Reδ, apesar de

algebricamente complexa. Calculando-se o valor da mesma e fazendo uma regressão

para uma lei de potência, podemos substitui-la por:

f ≈ 0.020Re−1/6δ (2.27)

o que resulta na sequinte equação após substituição e integração (considerando-se

δ = 0 em x = 0):

f ≈ 0.027Re−1/7x (2.28)

Ao invés de se utilizar a integral do momento, também é posśıvel computar o fator

de atrito utilizando variáveis internas, conforme sugerido por KESTIN & PERSEN

[12], assumindo que a velocidade média longitudinal ū é função de variáveis internas

(conforme seção 2.3):ū(x, y)

uτ (x)= u+ ≈ f(y+) (2.29)

O objetivo é substituir a velocidade normal, v̄, apenas por variáveis internas e a

velocidade de atrito, utilizando-se a equação da continuidade. Com isso, após certo

algebrismo, chega-se a relação impĺıcita:

Rex =

∫ λ0

Gdλ

=1

12λ4 +

eκB

κ3

[eZ(Z2 − 4Z + 6)− 6− 2Z − Z

4

12− Z

5

20

] (2.30)onde G =

∫ λ0u+2dy, Z = κλ e λ = (2/f)1/2. WHITE [11] apresenta uma apro-

ximação da função G para G(λ) = 8.0e0.48λ, o que simplifica a equação anterior

para:

f ≈ 0.455ln2(0.06Rex)

(2.31)

2.6.2 Placas planas rugosas

Conforme já mencionado, o caso rugoso é de grande importância prática e, no en-

tanto, existe uma dificuldade natural para se lidar com ele com relação ao caso liso.

Existe um grande número de variavéis que podem ser usadas para tentar definir

f́ısicamente a rugosidade de uma placa, como por exemplo a altura dos elementos

rugosos, sua densidade, formato geométrico, entre outros. Para as camadas limites,

13

há ainda um problema maior do que para os escoamentos em tubos, uma vez que

a razão k/δ não é constante, diferentemente da razão entre k e o raio ou diamêtro

dos tubos. Dessa forma, uma camada limite pode estar em regime completamente

rugoso no ińıcio da placa e terminar em regime hidraulicamente liso, apresentando

caracteŕısticas completamente diferentes no tocante aos efeitos da rugosidade.

Fazendo um paralelo entre o cálculo do fator de atrito para tubos, PRANDTL

& SCHLICHTING [13] fizeram um dos primeiros cálculos para o fator de atrito

em camadas limites, usando resultados obtidos por Nikuradse. O desenvolvimento

teórico é muito extenso para ser colocado nesta tese e não foi obtido, no artigo, uma

equação simples que representasse o fator de atrito. Os resultados da análise podem

ser representados pela figura a seguir.

Figura 2.3: Fator de atrito local para placas rugosas em função do número de

Reynolds para diferentes rugosidades. Fonte: [13]

A linha tracejada representa o limite do caso completamente turbulento. SCHLI-

CHTING [14] sugere a seguinte interpolação para o coeficiente de atrito em termos

da rugosidade relativa x/k:

f =(

2.87 + 1.58 logx

k

)−2.5(2.32)

válida para 102 < l/k < 106.

14

WHITE [11] apresenta uma proposta similar ao caso liso, utilizando variavéis

internas, utilizando o seguinte perfil:

u+ =ū(x, y)

uτ (x)≈ 1

κln(y+) + A− 1

κln(1 + 0.3k+) (2.33)

Ou seja, considerando que o deslocamento apresentado na equação (2.20) tem a

forma de Colebrook para condições de rugosidade transicional:

∆U+ ≈ 1κ

ln(1 + 0.3k+) (2.34)

Esse valor é derivado de dados experimentais para tubos, ou seja, White o aplica

sob a condição de que ele seja válido localmente para camadas limites, o que não é

necessariamente real. De qualquer forma, com as equações anteriores e a equação

da continuidade, seguindo o mesmo procedimento para variáveis internas da seção

anterior, o autor propôe a seguinte fórmula:

Rex = 1.73(1 + 0.3k+)eZ

[Z2 − 4Z + 6− 0.3k

+

κ(1 + 0.3k+)(Z − 1)

](2.35)

onde, novamente, Z = κλ e λ = (2/f)1/2.



A Figura 2.4 apresenta algumas curvas da equação (2.35) para x/k fixos. Apesar

de impĺıcita em todas as variáveis, esta equação é valida para uma grande extensão

de número de Reynolds, contemplando o regime hidraulicamente liso, transicional e

15

completamente rugoso. Para este último, k+ é suficientemente grande para que os

efeitos do número de Reynolds sejam despreźıveis e podemos aproximar a equação

para:

f ≈(

1.4 + 3.7 logx

k

)−2(2.36)

PULLIN et al. [15] apresenta uma análise com um perfil similar a equação (2.33),

generalizando para:

∆U+ =1

κln(1 + βk+) (2.37)

onde β = eκ(A−B), de forma que para k+ −→ ∞, o perfil se encaixa no modelo usual

para o regime completamente rugoso encontrado usualmente na literatura:

∆U+(k+) =1

κln(k+) + A−B (2.38)

onde B é uma constante com valor B ≈ 8.5.

Através de uma análise similar a White, ou seja, usando a equação da integral

do momento de Kármán para o caso sem gradiente de pressão, obtem-se a seguinte

fórmula:

Rex =eκ(S−A)−2Π

κ3K1(S) +Rex

(k

x

)eκ(S−B)−2Π

κ2K2(S) (2.39)

onde S = (2/f)1/2 equivale ao λ das análises anteriores e:

K1 = Π2

(3− 3

2κS)

) + Π[2− 2κS + κ2S2 +Q(2− κS)] + (6− 4κS + κ2S2)

K2 =

[κS − 4− Π(2− κS +Q)− 3

2Π2]

+ (4 + 2ΠQ+ 3Π2)Ei(κS)e−κS

Ei(x) = −∫ ∞−x

e−t/tdt

Q = (2/π)

[π +

∫ π0

(sinz/z)dz

]= 3.17898

É importante notar que, devido a escolha do perfil de velocidade, esses desen-

volvimentos ignoram a contribuição da subcamada viscosa, camada de buffer e/ou

da subcamada rugosa. A contribuição para o transporte de massa e momento des-

sas regiões tende a ser pequena para valores relativamente grandes de Reynolds.

16

Uma vez especificados κ, A, B e Π, a equação (2.39) apresenta uma relação en-

tre Rex,k/x e S. A Figura 2.5 apresenta os resultados para κ = 0.384, A = 4.17,

B = 8.5 e Π = 0.53, onde � = k/x.



2.7 Escalas de Kolmogorov

A última porém não menos importante parte da teoria que iremos precisar para o

desenvolvimento desse trabalho se refere as microescalas de Kolmogorov. Os movi-

mentos turbulentos ocorrem em uma ampla gama de escalas de tempo e comprimento

e, com isso, torna-se importante definir e identificar escalas apropriadas para se lidar

com diferentes caracteŕısticas dos escoamentos turbulentos, como por exemplo uti-

lizando variáveis internas conforme vimos na seção 2.3. Além disso, sabemos que as

maiores escalas turbulentas são definidas pelos limites f́ısicos do escoamento, como

o diâmetro de tubos ou a espessura da camada limite. Porém, não é tão simples

definir quais são e se existem escalas para os menores movimentos turbulentos.

Um conceito essencial para a explicação das escalas de Kolmogorov é a cascata

de energia, sugerida primeiramente por Richardson, em 1922, em seu livro sobre

previsão do tempo. Este conceito introduz a noção de que os turbilhões de escalas

17

maiores são instáveis e, ao quebrarem, transferem sua energia para turbilhões meno-

res. Esse processo se repete até que o número de Reynolds dos turbilhões menores

seja tão pequeno que seus movimentos se tornam estáveis e sua energia cinética é

dissipada pela viscosidade.

Para definir a escala desses turbilhões pequenos que perdem a energia em forma

de calor pela viscosidade, iremos utilizar a teoria definida por KOLMOGOROV [16].

A primeira hipótese é a de isotropia local, ou seja, para números de Reynolds sufi-

cientemente altos, os movimentos turbulentos de pequena escala são estaticamente

isotrópicos. Nesse sentido, a informação vetorial das escalas maiores é perdida na

cascata de energia, gerando assim um estado dito universal, ou seja, essa escala

é similar para qualquer escoamento com números altos de Reynolds. Com isso,

Kolmogorov definiu sua primeira hipótese de similaridade, que diz: “em todo esco-

amento turbulento com números de Reynolds suficientemente altos, as estat́ısticas

dos movimentos de pequena esclaa tem uma forma universal definida unicamente

por ν e �.”

Aqui, � representa a taxa de dissapação de energia, a qual é praticamente igual

a taxa de produção de energia turbulenta pelos turbilhões maiores. Apesar de essa

taxa independer da viscosidade, a escala em que ela ocorre depende tanto dessa taxa

quanto da viscosidade, e apenas destes. Assim, por análise dimensional, chegamos

as estimativas para as escalas de comprimento, velocidade e tempo em que essa

energia é dissipada:

η ≡ (ν3/�)1/4

uη ≡ (ν�)1/4

τη ≡ (ν/�)1/2

(2.40)

η é a chamada escala de comprimento de Kolmogorov e ela é a menor escala

hidrodinamica em escoamentos turbulentos. Aqui, uη e τη representam as escalas

de velocidade e de tempo de Kolmogorov. Se calcularmos o número de Reynolds

baseado nessas escalas vemos que ele é igual a unidade: ηuη/ν = 1, o que condiz com

o conceito da cascata de energia. A fim de relacionar essa escala de comprimento

com as maiores escalas de comprimento do escoamento, precisamos estimar a taxa

de dissipação em termos das caracteŕısticas das maiores escalas. Definindo a escala

18

de comprimento dos maiores turbilhões dos escoamentos como l0, que é da ordem

da maior escala do escoamento, mencionada acima, que depende dos limites f́ısicos.

Como a taxa de dissipação é aproximadamente igual a taxa de produção de energia

cinética turbulenta, podemos definir esta última para achar a primeira. A taxa

de energia cinética do escoamento é proporcional u20, a escala de velocidade dos

maiores turbilhões. A escala de tempo desses turbilhões pode ser estimada como

l0/u0. Assim, podemos assumir que a transferência de energia das escalas maiores

para as escalas menores, e consequentemente �, seja da forma:

� ∼ u0u0lo/u0

∼ u30

lo(2.41)

Substituindo essa estimativa na definição da escala de Kolmogorov:

η =

(ν3l0u30

)1/4(2.42)

Com isso, podemos de imediato encontrar a razão entre as menores e maiores

escalas do escoamento turbulento:

η/l0 ∼ Re−3/4

uη/u0 ∼ Re−1/4

τη/τ0 ∼ Re−1/2

(2.43)

19

Caṕıtulo 3

Desenvolvimento da Teoria

Proposta

3.1 Fator de atrito para a placa plana lisa

Iremos começar analisando a equação do momento na direção longitudinal do esco-

amento, a primeira equação em (2.4).

ū∂ū

∂x+ v̄

∂ū

∂y= −1

ρ

∂ρ̄

∂x+ v

∂2ū

∂y2− ∂u

′v′

∂y(3.1)

Temos que o lado esquerdo da equação, também conhecido como termo convec-

tivo, é da ordem de U2/x. Sabemos que as flutuações turbulentas são da ordem

da velocidade de atrito [1]. Considerando o escoamento sem gradiente de pressão e

ignorando o termo de segunda ordem, segue que o lado direito é da ordem de u2τ/δ.

Assim, temos que:

O(ū∂ū

∂x+ v̄

∂ū

∂y

)=U2

x

O(∂u′v′

∂y

)=u2τδ

δ ∼(uτU

)2x

(3.2)

Se olharmos para a subcamada viscosa, podemos fazer uma analogia com o esco-

amento de fluidos entre duas placas planas paralelas, onde a superior se move com

uma velocidade sobre a inferior, estacionária. Um perfil de velocidades linear se

desenvolve nessa região, conforme demonstrado na seção 2.4. Com a lei de escoa-

20

mento de Newton, sabemos que a tensão nessa região é proporcional a variação da

velocidade na direção normal a placa, que é constante defido ao perfil linear. Assim,

podemos igualar a tensão na parede a tensão na placa superior, ou, para o caso da

camada limite, com a tensão entre a subcamada viscosa e as camadas superiores.

Na Figura 3.1 está representado o desenvolvimento da camada limite sobre placa

plana. Podemos perceber que no ińıcio da camada turbulenta a velocidade média já

é praticamente igual a do escoamento livre. Iremos fazer uma simplificação como se,

ao fim da subcamada viscosa, a velocidade do fluido já fosse aproximadamente igual

a essa velocidade da corrente livre e, portanto, a velocidade média da subcamada

viscosa fosse de metade desse valor (não considerando a camada buffer), resultando

em um ∆U de U/2. Assim, a tensão na parede é igual a tensão entre a subcamada

viscosa e o resto do escoamento. Para derivar uma expressão para τ , iremos usar o

artigo de GIOIA [17]. A lógica desenvolvida foi pensada para o caso rugoso e será

usada na próxima seção, porém podemos usá-la também no caso liso.

Figura 3.1: Desenvolvimento da camada limite sobre placa plana. Fonte: [24]

A tensão τ é influenciada pela transferência de momento através da divisão entre

as camadas. Acima da divisão, o fluido carrega uma quantidade de momento hori-

zontal relativamente grande (∼ ρU), enquanto que abaixo da mesma, o fluido possui

metade dessa quantidade (na simplificação determinada acima). Se considerarmos

um turbilhão que atua nessa divisão, ele é responsável pela transferência da quanti-

dade de movimento entre as camadas, com uma taxa determinada pela velocidade

normal à divisão entre as camadas. Como na subcamada viscosa os efeitos visco-

21

sos destroem os movimentos turbulentos, pela definição os turbilhões que atuam

nessa divisão possuem as dimensões das microescalas de Kolmogorov. Portanto, a

velocidade do turbilhão dominante que atua na divisão será igual a velocidade de

Kolmogorov, uη, e a transferência de momento através da divisão será da forma

τ ∼ ρUuη:

τw ∼ ρ∆Uuη ∼ρUuη

2(3.3)

Dividindo a tensão por ρU2, temos:

τwρU2

2

∼ uηU

(3.4)

Da definição, sabemos que o coeficiente de arrasto equivale a τw/q, onde q é a

pressão dinâmica do escoamento livre, ρU2/2 . Conforme demonstrado na seção 2.7,

sabemos também que:

uηU∼ Re−1/4 (3.5)

Temos, finalmente, que:

f ∼ uηU∼ 1Re

14

(3.6)

A Equação 3.6 é a clássica equação de Blasius para o caso de dutos.

Como estamos usando o número de Reynolds com base na espessura da camada

limite, iremos utilizar a relação encontrada pela equação (3.2) para transformá-lo

em Rex.

Reδ =Uδ

ν=U

νx(uτU

)2= Rex

(uτU

)2= Rex

τwρU2

= Rexf

2

f 4 ∼ 1Reδ∼ 1Rexf

f ∼ 1Re

1/5x

(3.7)

Esse coeficiente de lei de potência é igual ao encontrado por Prandtl, conforme

seção 2.6, com o seguinte valor para o coeficiente de proporcionalidade:

f ≈ 0.058Re

1/5x

(3.8)

22

De acordo com WHITE [11], essa fórmula, apesar de citada frequentemente na

literatura, não é muito acurada e uma lei de potência 7 representa melhor os valores

experimentais.

3.2 Fator de atrito para a placa plana rugosa

Para considerarmos o caso rugoso, iremos usar novamente o desenvolvimento de

GIOIA [17], dessa vez levando em conta a rugosidade para definição das dimensões

dos turbilhões dominantes.

Figura 3.2: Desenho esquemático da vizinhança da parede com elementos de rugo-

sidade de tamanho r. Fonte: [17]

A derivação da fórmula para a tensão na parede é a mesma, porém para determi-

nar o turbilhão dominante que atua na divisão entre as camadas (aqui W denomina

a zona “molhada”paralela aos picos da subcamada viscosa) os autores determinaram

um tamanho de turbilhão s = r+aη, onde aη representa a espessura da subcamada

viscosa. Um turbilhão desse tamanho é o maior que cabe no espaço entre dois ele-

mentos rugosos (aqui separados por uma distância igual a seu tamanho, conforme os

experimentos de Nikuradse). Turbilhões maiores que s não conseguem providenciar

uma velocidade normal a W significativa; turbilhões menores que s podem possuir

velocidades normais significativas, porém são despreźıveis com relação a us. Por

Kolmogorov, temos então que:

s

l0∼ Re−

34

δ ∼(Re− 1

4δ

)3∼(usu0

)3(3.9)

Substituimos s por aη + k (considerando r o comprimento espećıfico da rugosi-

dade, k) e l0 por δ. Pelo mesmo racioćınio da seção anterior (vide Equacão 3.6), f

23

é proporcional a us/u0:

f 3 ∼ aη + kδ

∼ Re−34

δ +k

δ(3.10)

Substituindo δ como na seção anterior:

f 3 ∼ (Rexf)−34 +

k

x

(U

uτ

)2∼ (Rexf)−

34 +

k

x

ρU2

τw

∼ (Rexf)−34 +

k

xf

∼ (Rexf)−34 +

RekRexf

Chegamos, assim, a versão final da equação do fator de atrito para placas planas

rugosas, impĺıcita em f :

f 3 =

(C1Rexf

) 34

+C2RekRexf

(3.11)

onde foram inseridas duas constantes de proporcionalidade, C1 e C2.

Esta equação se reduz à encontrada na seção anterior para o caso liso, além

de apresentar uma consequência interessante. Considerando o caso completamente

rugoso, onde k+ é suficientemente grande, esta equação se reduz a:

f 3 =C2k

xf(3.12)

ou

frugoso ≈ C3(xk

)− 14

(3.13)

onde C3 = C142 .

Como consequência do desenvolvimento da teoria apresentada, encontramos duas

equações de importante valor para o cálculo do fator de atrito para placas planas

rugosas. A primeira, a equação (3.11), apesar de impĺıcita em f, é capaz de calcular o

fator de atrito para o caso rugoso de maneira simples, apresentando um cálculo mais

rápido do que a encontrada em WHITE [11]. A segunda, a equação (3.13), também

é bem mais simples do que as equações para o fator de atrito completamente rugoso

encontradas na literatura.

24

3.3 Validação da fórmula e cálculo dos coeficien-

tes

Objetivando definir os dois parâmetros da equação (3.11), iremos usar os valores ex-

perimentais encontrados por dois artigos em regiões de número de Reynolds diferen-

tes. O primeiro é o artigo de SQUIRE et al. [18], de 2016, que faz uma comparação

entre camadas limites turbulentas sobre superf́ıcies lisas e rugosas, possibilitando

assim a definição dos dois parâmetros em questão. O artigo usa uma folha de lixa

P36 e apresenta resultados para a velocidade de atrito utilizando ora um elemento

flutuante (apenas em uma posição) para medição direta ou utilizando o argumento

de similaridade. A Tabela 3.1 resume os dados experimentais encontrados para a

placa plana rugosa. Nem todos os pontos foram considerados para a nossa análise,

principalmente aqueles no ińıcio do escoamento. Esses pontos estavam gerando um

erro muito grande, possivelmente devido ao fato do escoamento ainda não ser com-

pletamente desenvolvido. Os autores também mediram o fator de atrito para o caso

da placa plana lisa; a Tabela 3.3 apresenta estes resultados.

O segundo artigo foi publicado por ZAFIRYADIS et al. [19] em 2017 e apresenta

resultados para o fator de atrito para diferentes revestimentos marinhos utilizando

anemometria de fio quente. Ou seja, na realidade o que é obtido experimentalmente

são os perfis de velocidade. Para obter o valor da velocidade de atrito, o estudo

realiza uma adaptação ao perfil de van Driest [20]. A Tabela 3.2 apresenta os

resultados obtidos para os três tipos de revestimento utilizados. Os três tipos de

revestimentos utilizados foram: SPC (Self-Polishing Copolymer), resina Epoxy e FR

(Fouling Release Coating).

O primeiro coeficiente da equação (3.11), C1, se refere ao caso da placa plana lisa.

Conforme vimos anteriormente, Prandtl encontrou esse valor como C1 = 0.0585 =

6.3403·10−7. No entanto, na definição desse valor foram utilizados dados experimen-

tais para tubos, portanto existe um erro inerente com relação a essa origem. Tendo

os dados experimentais para a placa plana lisa, conforme Tabela 3.3, faz sentido

recalcular esse valor, através de regressão linear com base nesses dados. Utilizando

uma lei de potência 1/5, achamos C1 = 0.055575 = 5.2991 ·10−7, com um coeficiente

de determinação R2 igual a 63.21%. O coeficiente de determinação é um valor que

25

varia de 0 a 1 e indica o quanto os dados podem ser explicados pelo modelo escolhido.

Conforme mencionado na seção 2.6, uma lei de potência 1/7 condiz melhor com os

dados experimentais, apresentando um coeficiente de determinação de 93.56%.

Para definir o segundo coeficiente, C2, é necessário realizar uma regressão linear

da equação (3.11) completa. Por se tratar de uma função impĺıcita, o cálculo é um

pouco mais complexo do que do outro coeficiente. Usamos dois softwares diferentes

para este cálculo, o Mathematica, através do método NonlinearModelFit, e a cal-

culadora gráfica online Desmos, que realiza a regressão utilizando um algoritmo de

Levenberg-Marquardt modificado (informação obtida após contato com os desenvol-

Tabela 3.1: Dados experimentais encontrados por Squire et al.

IDx

(m)

U∞

(ms−1)k+s

uτ

(ms−1)

Rex

(10−6)Rek f · 103 x/k

Cas

e1

1 15 10.1 51 0.41 8.37 1256 3.296 6662

2 15 15.3 77 0.63 12.68 1870 3.391 6780

3 15 20.3 102 0.84 16.82 2465 3.424 6824

4 15 25.6 129 1.06 21.21 3115 3.428 6809

5 15 30.6 155 1.27 25.36 3734 3.445 6790

6 21.7 10.1 49 0.40 12.11 1237 3.137 9786

7 21.7 15.2 75 0.61 18.22 1868 3.221 9751

8 21.7 20.6 102 0.83 24.70 2531 3.247 9755

9 21.7 25.4 126 1.02 30.45 3137 3.225 9705

10 21.7 30.4 150 1.23 36.47 3707 3.274 9830

Cas

e2

11 7 20.3 112 0.90 7.85 2526 3.931 3108

12 10 20.3 109 0.88 11.21 2514 3.758 4460

13 12 20.3 106 0.86 13.46 2502 3.589 5378

14 12.8 20.3 108 0.86 14.36 2549 3.589 5631

15 15 20.3 102 0.84 16.82 2465 3.424 6824

16 17.8 20.4 104 0.84 20.04 2525 3.391 7934

17 18.9 20.5 102 0.83 21.41 2519 3.278 8496

18 21.7 20.6 102 0.83 24.70 2531 3.247 9755

26

Tabela 3.2: Dados experimentais encontrados por Zafiryadis et al.

IDx

(m)

U∞

(ms−1)k+s

uτ

(ms−1)

Rex

(10−6)Rek f · 103 x/k

SP

C

19 0.1 30 15.7 1.74 0.191 271 6.71 612

20 0.2 30 14.4 1.60 0.382 270 5.71 1227

21 0.3 30 13.7 1.53 0.572 269 5.19 1851

22 0.4 30 13.3 1.48 0.763 270 4.80 2459

23 0.5 30 13.3 1.45 0.954 275 4.52 3011

FR

24 0.1 30 13.2 1.68 0.191 236 6.25 703

25 0.2 30 12.3 1.57 0.382 235 5.47 982

26 0.3 30 11.7 1.50 0.572 234 5.00 1479

27 0.4 30 11.4 1.46 0.763 234 4.72 1964

28 0.5 30 11.2 1.42 0.954 237 4.51 2448

EP

OX

Y

29 0.2 30 14.4 1.68 0.382 337 6.27 982

30 0.3 30 13.7 1.58 0.572 336 5.51 1479

31 0.4 30 13.3 1.52 0.763 337 5.11 1964

32 0.5 30 13.3 1.48 0.954 338 4.87 2448

vedores). Com os valores de Rex, Rek e f das Tabelas 3.1 e 3.2 e com o C1 calculado

anteriormente, encontramos o valor de C2 = 9.56667 · 10−7, com um RMSE (raiz do

erro médio quadrático) de 1.48 · 10−8.

Substituindo esses valores na equação (3.11) temos:

f 3 =

(5.2991 · 10−7

Rexf

) 34

+9.56667 · 10−7Rek

Rexf(3.14)

A Figura 3.3 apresenta a distribuição dos pontos experimentais utilizados para

calibração da equação final com relação as linhas da placa lisa e do caso completa-

mente rugoso.

27

Tabela 3.3: Dados experimentais encontrados por

Squire et al. para a placa plana lisa.

IDx

(m)

U∞

(ms−1)

uτ

(ms−1)

Rex

(10−6)f · 103

34 4.5 10.1 0.37 2.51 2.68

35 7.0 10.1 0.36 3.90 2.54

36 17.8 4.7 0.17 4.62 2.62

37 4.5 15.2 0.54 3.78 2.52

38 3.75 20.0 0.71 4.14 2.52

39 7.0 15.1 0.52 5.84 2.37

40 6.3 20.0 0.69 6.96 2.38

41 18.0 10.0 0.34 9.94 2.31

42 10.0 20.2 0.69 11.16 2.33

43 18.0 15.3 0.50 15.21 2.24

44 17.5 20.1 0.66 19.43 2.16

45 21.7 30.0 0.93 35.97 1.92

46 21.7 40.8 1.23 48.91 1.82

Figura 3.3: Pontos experimentais utilizados para calibração da Equação 3.14

28

Caṕıtulo 4

Resultados e Discussões

4.1 Análise do comportamento da equação

A Figura 4.1 apresenta o comportamento da equação perto dos pontos experimentais

encontrados por Zafiryadis et al. Esses pontos possuem um valor de Rek relativa-

mente baixo. Podemos perceber o primeiro caráter principal da equação: conforme

Rex aumenta, f diminui.

Figura 4.1: Comportamento da equação perto dos pontos experimentais encontrados

por Zafiryadis et al.

29

Figura 4.2: A influência da rugosidade diminui conforme a camada limite progride.

A Figura 4.2 apresenta o segundo caráter importante a ser notado com relação ao

fator de atrito para placas planas. Diferentemente dos tubos, onde o comprimento

caracteŕıstico do escoamento é o diamêtro da tubulação, que se mantém fixo, no

caso das placas planas a espessura caracteŕıstica δ aumenta no desenvolvimento da

camada limite. Assim, a razão k/δ diminui e os efeitos da rugosidade também.

Com isso, conforme representado na figura, o escoamento pode começar no regime

completamente rugoso e passar para o transicionalmente rugoso conforme o número

de Reynolds aumenta. No entanto, essa transformação ocorre suavemente, pois a

inclinação da equação principal é similar ao do caso totalmente rugoso.

O terceiro caráter importante da Equação 3.14 diz respeito ao caso completa-

mente rugoso. Nesse regime, se a razão x/k for mantida, a equação tende a um

valor ”constante”. Como o termo liso da equação nunca chega a zero, a equação não

atinge um valor final, mas a relevância desse termo diminuiu. Essa razão x/k pode

ser mantida caso observemos duas placas planas com rugosidades diferentes, ou se

aumentarmos o valor da velocidade de corrente livre U∞. A Figura 4.3 apresenta

essa propriedade da equação para duas razões x/k diferentes.

Essas três propriedades da Equação 3.14 podem ser distinguidas se analisarmos

os 2 casos diferentes explorados por SQUIRE et al. [18]. Na Figura 4.4, as duas

30

Figura 4.3: Comportamento da Equação 3.14 para x/k constante.

Figura 4.4: Comportamento da Equação 3.14 próximo aos pontos experimentais

encontrados por SQUIRE et al.

medições do caso 1 são separadas em Sq1.15 e Sq1.21, ou seja, medições feitas em

x = 15m e x = 21.7m. Como as medições foram feitas para valores fixos de x,

o aumento do número de Reynolds foi obtido através do aumento da velocidade

31

no túnel de vento. Porém, como o Reynolds rugoso também é proporcional a essa

velocidade, Rex e Rek aumentam na mesma taxa, e o valor de f tende a um valor

constante.

Para a linha Sq2, representante do caso 2, U∞ é constante e a curva representa

o comportamento da equação indo na direção longitudinal da placa. Fica claro o

segundo caráter mencionado acima, uma vez que para Reynolds maiores a equação

se aproxima do limite completamente rugoso.

4.2 Comparação com os experimentos e outras

equações da literatura

A Tabela 4.1 apresenta o erro da fórmula encontrada com relação ao dados expe-

rimentais, sendo que os valores de f estão multiplicados por 103. O erro absoluto

médio é de 2.81%. Calculando com a equação de White (2.35), temos um erro ab-

soluto médio de 20.6%. Calculando com a equação de Pullin et al. (2.39), temos

um erro absoluto médio de 8.6%. É importante notar que para o cálculo da última

equação, consideramos constantes diferentes das utilizadas no artigo que geraram a

figura 2.5; preferimos utilizar as constantes conforme apresentadas na seção 2.4.

4.3 Caso completamente rugoso

Conforme apresentado na equação (3.13), a fórmula para o fator de atrito encontrada

se resume a uma raiz quarta, dependendo apenas da razão k/x, quando consideramos

o caso completamente rugoso. O primeiro passo ao percebermos isso foi realizar uma

regressão linear a uma função de raiz quarta da fórmula de Schlichting para o caso

completamente rugoso, equação (2.32), obtendo uma ótima regressão (coeficiente

de determinação de 99.03%). No entanto, como já mencionado anteriormente, essa

fórmula foi derivada empiricamente com base nos experimentos de Nikuradse para

tubos.

MILLS & HANG [21] abordaram esse problema, mostrando que a equação de

Schlichting apresentava um erro grande quando comparado com dados experimen-

tais mais recentes em camadas limites. Os autores propuseram a seguinte equação

32

Tabela 4.1: Erro da equação (3.14)

ID fexp fcalc Erro Erro (%) ID fexp fcalc Erro Erro (%)

1 3.296 3.635 0.339 10.29 17 3.278 3.361 0.083 2.52

2 3.391 3.577 0.186 5.48 18 3.427 3.249 -0.178 -0.07

3 3.424 3.548 0.124 3.60 19 6.71 6.659 -0.051 -0.76

4 3.428 3.533 0.105 3.03 20 5.71 5.661 -0.049 -0.86

5 3.445 3.524 0.079 2.30 21 5.19 5.152 -0.038 -0.73

6 3.137 3.314 0.177 5.66 22 4.80 4.818 -0.018 -1.47

7 3.221 3.274 0.053 1.65 23 4.52 4.588 -0.068 -1.54

8 3.247 3.249 0.002 0.07 24 6.25 6.505 0.255 4.09

9 3.225 3.238 0.013 0.41 25 5.47 5.533 0.063 1.15

10 3.274 3.218 -0.056 -1.70 26 5.00 5.035 0.035 0.71

11 3.931 4.299 0.368 9.37 27 4.72 4.712 -0.008 -0.17

12 3.758 3.955 0.197 5.24 28 4.51 4.483 -0.027 -0.61

13 3.589 3.759 0.170 4.73 29 6.27 5.883 -0.387 -6.17

14 3.589 3.716 0.127 3.52 30 5.51 5.349 -0.161 -2.91

15 3.424 3.547 0.123 3.60 31 5.11 4.999 -0.111 -2.14

16 3.391 3.417 0.026 0.79 32 4.87 4.745 -0.125 -2.69

modificada, de forma similar a de Schlichting:

f =(

3.476 + 0.707lnx

k

)−2.46(4.1)

Fazendo uma nova regressão, considerando a equação anterior, obtemos nova-

mente um ótimo coeficiente de regressão (94.63%), com um valor ideal da cons-

tante, para este caso, de C2 = 8.69 · 10−7, o que não está muito longe do encontrado

da equação (3.14). A Tabela 4.2 apresenta os resultados da comparação entre as

equações de Schlichting (2.32), Mills e Hang (4.1) e a fórmula proposta (3.13), uti-

lizando o coeficiente encontrado em (3.14).

A Tabela 4.3 apresenta uma comparação das três equações conforme x/k au-

menta, onde D1 é o diferença entre as fórmulas de Schlichting e Mills e Hang, D2

é a diferença entre a fórmula proposta e a de Schlichting e D3 é a diferença da

fórmula proposta e a de Mills e Hang. Podemos perceber que D1 tende a dimi-

33

Tabela 4.2: Dados experimentais encontrados por Mills

e Hang para o caso completamente rugoso.

x/k fexp fP−S E (%) fM−H E (%) fcalc E (%)

758 5.340 6.660 24.72 5.720 7.1 5.960 11.62

1145 5.040 6.080 20.63 5.240 4.0 5.376 6.67

1532 4.780 5.700 19.25 4.940 3.3 4.999 4.58

1919 4.620 5.420 17.32 4.720 2.2 4.725 2.28

2306 4.520 5.220 15.49 4.560 0.9 4.513 -0.15

2694 4.440 5.060 13.96 4.420 -0.5 4.341 -2.23

838 5.220 6.520 24.90 5.600 7.3 5.813 11.35

1226 5.040 5.980 18.65 5.160 2.4 5.285 4.87

1613 4.860 5.640 16.05 4.880 0.4 4.935 1.54

2000 4.720 5.380 13.98 4.680 -0.8 4.677 -0.92

2387 4.580 5.180 13.10 4.520 -1.3 4.474 -2.31

2774 4.480 5.020 12.05 4.400 -1.8 4.309 -3.81

Emédio 17.51 Emédio 2.66 Emédio 4.36

nuir conforme x/k aumenta, enquanto que D2 e D3 tendem a aumentar. Apesar

de estarmos calculando apenas com o termo rugoso para este caso e sabendo que

conforme x/k aumenta a influência do primeiro termo da equação 3.11 também

aumenta, não podemos atribuir essa diferença grande entre as fórmulas calculadas

apenas a esse termo, pois ele também diminui com o aumento de x. Essa diferença

é gerada inevitavelmente pela diferença entre a fórmulação logaŕıtmica e polinomial

dos modelos.

34

Tabela 4.3: Comportamento das equaçãos de Schlichting,

Mills e Hang e a equação proposta conforme x/k aumenta.

x/k fP−S fM−H fcalc D1 (%) D2 (%) D3 (%)

1× 102 0.0112 0.00918 0.00989 -22.00 11.70 -7.73

2 0.00926 0.00772 0.008316 -19.95 10.19 -7.72

5 0.00736 0.00626 0.006614 -17.57 10.14 -5.65

1× 103 0.00626 0.00538 0.005561 -16.36 11.16 -3.37

2 0.00538 0.00548 0.004677 1.82 13.07 14.66

5 0.00452 0.00394 0.003719 -14.72 17.72 5.60

1× 104 0.0039 0.00348 0.003127 -12.07 19.81 10.13

2 0.00344 0.0031 0.00263 -10.97 23.55 15.17

5 0.00294 0.00266 0.002091 -10.53 28.86 21.37

1× 105 0.00262 0.0024 0.001759 -9.17 32.87 26.72

2 0.00236 0.00216 0.001479 -9.26 37.34 31.53

5 0.00206 0.0019 0.001176 -8.42 42.91 38.10

1× 106 0.00186 0.00174 0.000989 -6.90 46.83 43.16

35

Caṕıtulo 5

Considerações Finais

5.1 Conclusões

Utilizando as escalas de Kolmogorov e o desenvolvimento apresentado em GIOIA

[17] para a transferência de quantidade de movimento entre as subcamada viscosa e

o resto do escoamento, uma nova metodologia para o cálculo do fator de atrito em

placas planas rugosas é apresentada. A elaboração apresentada resulta na equação

(3.14), implićıta em f porém polinomial. Objetivando ambientar o leitor com o tema

e possibilitar a comparação com a teoria proposta, a estrutura clássica da camada

limite turbulenta sobre placas planas é resumidamente descrita.

Para verificação da validade da equação e cálculo de seus coeficientes, buscamos

valores experimentais na literatura, utilizando os artigos de SQUIRE et al. [18] e

ZAFIRYADIS et al. [19]. Parte dos valores encontrados pelos autores foram obtidos

através da medição com um elemento flutuante, ou seja, realizando medição direta do

fator de atrito; a outra parte utiliza a estrutura clássica da camada limite turbulenta

para o cálculo indireto do fator de atrito. Com a equação completa resultante da

regressão com esses experimentos, a comparamos com outras fórmulas da literatura

para o cálculo do fator de atrito, a equação apresentada por Pullin et al. (2.39)

e a de White (2.35). Identificou-se uma adaptação melhor da teoria proposta aos

valores experimentais do que as encontradas na teoria, com um erro médio de 2.81%,

contra 8.6% pela equação de Pullin et al. e 20.6% pela de White.

Como consequência da criação desta formulação, obteve-se também uma fórmula

do fator de atrito para o caso completamente rugoso, considerando-se que o termo

36

rugoso é dominante na equação (3.14) e chegando-se assim à equação (3.13). Esta

última equação é de grau 1/4, equiparando-se à escala emṕırica de Strickler para o

fator de atrito para tubos em regimes completamente rugosos, de grau 1/3.

A abordagem prática para o cálculo do fator de atrito completamente rugoso em

placas planas lisas é utilizar a equação obtida por Schlichting (2.32), que foi derivada

a partir dos resultados em tubos de Nikuradse. MILLS & HANG [21] demonstraram

que essa equação apresenta erros muito grandes para valores experimentais mais re-

centes. O artigo apresenta alguns desses valores e propôe uma nova fórmula parecida

com a original de Schlichting. A Tabela 4.2 apresenta a comparação dos erros de

Schilichting, Mills e Hang e com a fórmula proposta nessa tese. Podemos concluir

que também aqui a fórmula proposta se adequa bem aos resultados experimentais,

com um erro médio de 4.36 contra 2.66 do artigo original, além de apresentar sim-

plicidade maior do que as fórmulações logaŕıtmicas da literatura.

5.2 Trabalhos Futuros

Um ponto importante a ser trabalhado é realizar experimentos espećıficos para esta

equação, visando o cálculo dos coeficientes e expoentes. O experimento poderia

incluir rugosidades de diferentes tipos para verificar como a equação se comporta

nesses casos. Possivelmente um ajuste do termo ks não será suficiente.

Também pode ser analisada a possibilidade de se alterar as potências envolvidas

no desenvolvimento da equação. Sabemos que uma lei de potência 1/7 se adequa

melhor ao caso liso do que a lei 1/5. Porém, ao tentar forçar essa alteração na

equação (sem razão f́ısica para tal), a acurácia geral diminuiu consideravelmente.

Outra questão importante é verificar o tamanho do turbilhão mais importante a

ser considerado que carrega momento para a camada viscosa. É posśıvel alterar a

formulação para s = aηa + kb, por exemplo.

Deve-se analisar também o comportamento das equações de transferência de

calor com essa formulação para o fator de atrito, utilizando a analogia de Reynolds

e inclúındo o número de Nusselt e de Prandlt no desenvolvimento através do número

de Stanton.

Finalmente, também poderia ser criado um programa que automatize o cálculo

37

do fator de atrito baseado em diversas entradas, como número de Reynolds ou tipo

de rugosidade.

38

Referências Bibliográficas

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Lista de FigurasLista de TabelasIntroduçãoApresentação do temaMotivação e objetivosOrganização da tese

Revisão BibliográficaAs equações de Navier-StokesMédia de Reynolds ou Decomposição de ReynoldsParâmetros adimensionais do escoamentoEstrutura clássica da camada limite turbulentaEfeitos da rugosidade e Wall SimilarityCálculo do fator de atritoPlacas planas lisasPlacas planas rugosas

Escalas de Kolmogorov

Desenvolvimento da Teoria PropostaFator de atrito para a placa plana lisaFator de atrito para a placa plana rugosaValidação da fórmula e cálculo dos coeficientes

Resultados e DiscussõesAnálise do comportamento da equação Comparação com os experimentos e outras equações da literatura Caso completamente rugoso

Considerações FinaisConclusõesTrabalhos Futuros

Referências Bibliográficas

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Uma Equação Fenomenológica para o Fator de Atrito de ...monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10028382.pdf · experimentais para diferentes valores de k+. Uma correla˘c~ao