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UNICAMP – Faculdade de Engenharia Eletricae de Computacao

EA-722 Laboratorio de Controle e Servomecanismos

Experiencia 2: Controle PD

Sumario

1 Introducao aos controladores PD 2

2 Configuracao do Emulador 7

2.1 Controle PID do sistema rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Procedimento experimental - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


2.2 Pre-relatorio da Experiencia 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Configuracao do sistema retilıneo 11

3.1 Controle PID do sistema retilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11




4 Configuracao do sistema torcional 15

4.1 Controle PID do sistema torcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15




5 Pendulo Invertido: controle PD da haste deslizante 19

5.1 Configuracao do pendulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1.1 Procedimento experimental - controle PD . . . . . . . . . . . . . . . 21


EXP. 2 2

1 Introducao aos controladores PD

Esta experiencia demonstra conceitos importantes associados ao controle proporcional-derivativo(PD). Controladores PD encontram aplicacoes em varias areas, como no controle de maquinas-ferramentas e no controle de atitude de sistemas aeroespaciais.

Uma estrutura classica para o controle em malha fechada de uma planta de 2a. ordemhipotetica

Gp(s) =c0

s(s+ c1),

atraves de um controlador PD

Gc(s) = kp + kds,

onde kp,kd sao os ganhos proporcional e derivativo, e apresentada na figura 1.

r yekp + kds

c0

s(s+ c1)

+

−

Fig 1: Sistema de controle em malha fechada.

Suponha inicialmente que kd = 0 e que portanto o sinal de controle e apenas proporcionalao sinal de erro: u(t) = kpe(t), t ≥ 0. Suponha ainda que nesta situacao, a saıda do sistemaexibe o comportamento ilustrado na figura 2.

EXP. 2 3

e

y

e

0

0

0

t

t

t

t1 t2 t3 t4 t5

Fig 2: Analise da acao proporcional.

Uma analise do comportamento do sistema em malha fechada no domınio do tempo evi-dencia que:

1. No intervalo 0 < t < t1, o erro e positivo, assim como o sinal de controle. O eleva-do overshoot e as oscilacoes subsequentes na saıda sao devidas ao excessivo valor docontrole e a falta de amortecimento suficiente durante este intervalo;

2. No intervalo t1 < t < t3, o erro e negativo, assim como o sinal de controle. O sinal decontrole tende a desacelerar a saıda, causando a sua reversao e o undershoot;

3. No intervalo t3 < t < t5, o erro e positivo, assim como o sinal de controle. O sinal decontrole positivo e uma resposta ao undershoot verificado no intervalo anterior. Comopor hipotese o sistema e estavel em malha fechada, as amplitutes das oscilacoes saoreduzidas progressivamente ate que a saıda do sistema alcance seu valor final.

EXP. 2 4

Assim, os fatores que contribuem para o elevado overshoot sao

• O sinal de controle no intervalo 0 < t < t1 e muito grande;

• O sinal de controle no intervalo t1 < t < t2 nao e adequado.

Neste sentido, a adocao de um controlador proporcianal-derivativo gerando um sinal decontrole v(t) = kpe(t)+ kde(t), t ≥ 0 teria as segiuntes implicacoes:

1. No intervalo 0 < t < t1, a derivada do erro e negativa, o que tende a reduzir a acao decontrole gerada pela parte proporcional;

2. No intervalo t1 < t < t2, tanto o erro quanto a derivada do erro sao negativas. A acao dereversao sera maior do que a produzida apenas pela parte proporcional;

3. No intervalo t2 < t < t3, o erro (negativo) e a derivada do erro (positiva) tem sinaisopostos. A acao proporcional (negativa) que contribuiria para o undershoot e tambemreduzida.

O controlador PD introduz uma componente antecipativa em relacao ao controlador pro-porcional, pois dispoe da informacao a respeito da tendencia do erro e pode utiliza-la paraantecipar acoes destinadas a reduzir overshoot e oscilacoes em geral.

Q01: Mostre que a funcao de transferencia de malha fechada do sistema representado nafigura 1 e dada por

Y(s)R(s)

=kdc0s+ kpc0

s2 +(c1 + kdc0)s+ kpc0. (1)

�

Observa-se atraves do denominador da funcao de transferencia de malha fechada (1) queum dos efeitos da acao derivativa e aumentar o amortecimento do sistema, o que contribuipara a diminuicao do overshoot. Observe tambem que a acao derivativa nao tem efeito sobreo valor de estado estacionario.

Q02: Mostre que para uma entrada degrau unitario,

y(∞) = lims→0

sY (s) = 1,

isto e, o mesmo valor que seria obtido com um controlador proporcional. �

Uma analise no domınio da frequencia (figura 3) mostra que o controlador PD e essenci-almente um filtro passa-alta.

EXP. 2 5

0.1kp/kd

0.1kp/kd

kp/kd

kp/kd

10kp/kd

10kp/kd

20 log(kp)

ω (rd/s)

ω (rd/s)

| G( jω) | (dB)

∠G( jω)(o)

90o

45o

Fig 3: Diagramas de Bode de Gc(s).

De fato,

Gc( jω) = kp(kd

kpjω+1)

indicando que a magnitude de Gc( jω) cresce com uma inclinacao de 20 dB/dec a partir dafrequencia de corte ω = kp/kd rd/s e que a fase de Gc( jω) tende a 900. O controlador PDadiciona fase ao sistema, o portanto pode melhorar sua margem de fase. Alem disso, deslocaa frequencia de cruzamento com 0 dB (crossover) para a direita, o que aumenta a largura debanda e reduz o tempo de subida do sistema. Por outro lado, ao aumentar a largura de banda,o controlador PD acentua sinais (ruıdos) de alta frequencia, o que pode deteriorar a respostado sistema.

Em certas situacoes e conveniente implementar o controlador PD como na figura 4 abaixo.Denotaremos por P&D essa forma de controle, para distingui-la da forma PD original comona figura 1. O controlador P&D e tambem conhecido como controle PD com realimentacaode velocidade.

EXP. 2 6

r ye

kds

Gp(s)kp++

−−

Fig 4: Modificacao do controlador PD classico, denotado por P& D.

Uma razao para adotar a implementacao ilustrada na figura 4 e que de acordo com aimplementacao classica da figura 1, se a referencia for um degrau, entao no instante inicialo controlador PD gera um impulso. Por outro lado, atraves da implementacao da figura 4, osinal de controle e u(t) = kpe(t)− kdy(t), que nao envolve a derivada da entrada. Observeque a segunda implementacao e qualitativamente equivalente a primeira, pois ao inves de an-tecipar a tendencia do erro, a acao derivativa antecipa a tendencia da saıda com o sinal trocado.

Q03: Mostre que a funcao de transferencia de malha fechada da figura 4 e dada por

Y(s)R(s)

=kpc0

s2 +(c1 + kdc0)s+ kpc0, (2)

e que portanto possui a mesma equacao caracterıstica da implementacao classica. �

Observa-se que (2) tambem apresenta a propriedade de aumento do amortecimento verifi-cada em (1), mas que devido a ausencia do zero, as caracterısticas ligadas a adicao de fase aosistema ficam prejudicadas.

Exemplo 1 Considere um sistema com a funcao de transferencia

Y(s)U(s)

=10

s(s+2)

e duas situacoes: a) controlador PD; b) controlador P&D. Para ambos adota-se k p = 0,1 e kd =0,01. Os diagramas de Bode do sistema em malha fechada correspondentes sao apresentadosna figura 5, mostrando claramente a influencia do zero extra no controlador PD classico.

EXP. 2 7

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

controle P&D

controle PD

10−2

10−1

100

101

102

103

−150

−100

−50

0

controle P&D

controle PD

Fig 5: Diagramas de Bode do Exemplo 1: controlador PD e P&D.

2 Configuracao do Emulador

Os resultados experimentais envolvendo controle PID do sistema rıgido serao obtidos para aseguinte configuracao:

• Sistema rıgido com disco de atuacao apenas;

• Correia do disco de atuacao ao dispositivo SR desconectada;

• Inercias adicionais sobre o disco de atuacao: 4 massas de 0.212 kg dispostas a 5 cm docentro do disco.

Q04: Desprezando o atrito viscoso obtenha o modelo dinamico da planta incorporando oganho de hardware, isto e,

Gp(s) =khw

Js2 , J = Jd + Jw

referente a configuracao acima. Assuma que

khw = 5.81 N-m/rdJd = 0.00042 kg-m2 �

EXP. 2 8

2.1 Controle PID do sistema rıgido

Desprezando-se o atrito viscoso, o controle (PID) em malha fechada do sistema rıgido podeser representado como na figura 6.

Q05: Mostre que funcao de transferencia de malha fechada da figura 6 e

Θ1(s)R(s)

=(khw/J)(kps+ ki)

s3 +(khw/J)(kds2 + kps+ ki).

�

Nesta experiencia, considera-se apenas controladores P&D (ki = 0), o que reduz o sistemaem malha fechada a

Θ1(s)R(s)

=(khw/J)kp

s2 +(khw/J)(kds+ kp),

e definindo-se

ωn :=

√kpkhw

J(rd/s) (3)

ξ :=kdkhw

2Jωn=

kdkhw

2√

Jkpkhw(4)

a funcao de transferencia em malha fechada pode ser colocada na forma padrao

Θ1(s)R(s)

=ω2

n

s2 +2ξωns+ω2n.

r θ1

kds

khw1

Js2kp + ki/s

++

−−

Fig 6: Controle em malha fechada do sistema rıgido.

EXP. 2 9

2.1.1 Procedimento experimental - parte 1

Nesta primeira parte do procedimento experimental, analisa-se o efeito de se variar indepen-dentemente os valores do ganho proporcional (kp) e do ganho derivativo (kd).

1. Ajuste o equipamento de acordo com a configuracao definida no inıcio da Sessao 2.Certifique-se de que as massas possuam os valores especificados e estejam firmementeposicionadas nas distancias estabelecidas na configuracao. Ajuste a tampa de acrılicona sua posicao original;

2. Q06: Atraves de (3), determine o valor de kp (com kd = 0) de forma a fazer o sistemase comportar como um oscilador harmonico mola-inercia de frequencia 2 Hz. Expliqueporque nao se obtem um oscilador harmonico perfeito;

3. Ajuste a coleta de dados do Encoder #1 atraves da caixa de dialogo Set-up Data Ac-quisition do menu Data. Ajuste um degrau em malha fechada de 0 (zero) counts, dwelltime=5000 ms e 1 (uma) repeticao atraves da opcao Trajectory do menu Command.Este procedimento faz com que a placa do controlador adquira dados durante 10 s, man-tendo o sistema em regulacao (R(s) = 0). O procedimento pode ser usado para ajustar operıdo de aquisicao de dados;

4. Na opcao Control Algorithm do menu Set-up, faca Ts=0.000884 s e selecione Conti-nuous Time Control. Selecione PI with Velocity Feedback (corresponde ao controla-dor P&D) e Set-up Algorithm. Atribua o valor de k p calculado acima para a oscilacaode 2 Hz (certifique-se de que kp < 0.2), atribua kd = ki = 0, selecione OK e depoisImplement Algorithm;

5. Selecione Execute no menu Command. Prepare-se para rotacionar o disco de atuacaopor aproximadamente 10o. Selecione Run, rotacione o disco por 10o e libere-o. Naosegure o disco rotacionado por mais do que 2 s, uma vez que a protecao termica domotor abre a malha de controle nesta situacao;

6. Plote (exporte) a saıda do encoder #1. Q07: Determine a frequencia de oscilacao exibidapelo sistema. O que acontence quando o ganho proporcional e dobrado ? Repita ospassos 4 e 5 e compare com a sua predicao;

7. Determine o valor do ganho derivativo kd para que kdkhw = 0.05 N-m/(rd/s), notandode (4) que esse produto define o produto ξωnJ. Repita o passo 4 com Ts=0.006188 s,atribua o valor calculado de kd (certifique-se de que kd < 0.05) e atribua ki = kp = 0;

8. Apos checar a estabilidade do sistema deslocando-o ligeiramente, movimente o disconas duas direcoes. Nao force o disco em demasia pelos mesmos motivos do passo 5.Q09: A que se deve atribuir o aumento do atrito viscoso observado ao se deslocar odisco ?;

9. Repita os passos 7 e 8 para um valor de kd cinco vezes maior (mas mantendo kd < 0.05).Pode-se observar o aumento no amortecimento ?

EXP. 2 10


Nesta segunda parte do procedimento experimental, serao projetados e testados alguns con-troladores P&D.

1. Q10: Atraves das equacoes (3) e (4), projete controladores P&D (isto e, determine osvalores de kp e kd) para obter frequencia natural fn = 4 Hz e amortecimentos 1) ξ = 0.2(sub-amortecido), 2) ξ = 1.0 (criticamente amortecido) e 3) ξ = 2.0 (sobre-amortecido);

2. Implemente o controlador sub-amortecido (Ts=0.00442 s) e ajuste a trajetoria para umdegrau de malha fechada de 2000 counts, dwell time=1500 ms e 1 (uma) repeticao;

3. Execute a trajetoria e plote (exporte) no mesmo grafico (eixo) a trajetoria comandada ea trajetoria de saıda (Encoder #1)

4. Repita os passos 2 e 3 para os casos criticamente amortecido e sobre-amortecido. Salveos graficos para futuras comparacoes;

5. Q11: Projete um controlador P&D para atender as seguintes especificacoes de desem-penho: 10% ≤ Mp ≤ 20% (maximo overshoot) e ts = 0.5 s (tempo de estabelecimento).O maximo overshoot e o tempo de estabelecimento sao dados por

Mp = exp

(−ξπ√1−ξ2

)×100 (em %)

e

ts =3

ξωn(criterio de 5%),

respectivamente. Implemente o controlador e compare a resposta obtida com a esperadateoricamente.

2.2 Pre-relatorio da Experiencia 3

As seguintes tarefas de simulacao deverao ser realizadas e os resultados apresentados no inıcioda proxima experiencia:

1. Considerando agora um controlador PID, calcule ki tal que kikhw = 5 N-m/rd-s, e de-termine qual o valor da frequencia natural ωn do sistema em malha fechada. Simule ocontrolador com este valor de ki e os valores de kp e kd correspondentes ao caso critica-mente amortecido;

2. Dobre o valor de ki e compare a resposta com a obtida no item anterior. Compare assimulacoes com os resultados experimentais relativos ao sistema criticamente amorte-cido (ki = 0). Qual o efeito da acao integral sobre o erro de estado estacionario ? Qualo efeito da acao integral sobre o maximo overshoot do sistema ? E sobre o valor dafrequencia natural ?

EXP. 2 11

3 Configuracao do sistema retilıneo

Os resultados experimentais envolvendo controle PID do sistema retilıneo serao obtidos paraa seguinte configuracao. Apenas o primeiro carro sera utilizado.

• 4 massas de 500 g sobre o carro # 1;

• Molas e amortecedor desconectadas do carro # 1.

Q04: Desprezando o atrito viscoso, obtenha o modelo dinamico da planta incorporando oganho de hardware, isto e,

Gp(s) =khw

ms2 , m = mc1 +mw


khw = 12800 N-mmc1 = 0.77 kgmw = 2.0 kg

�

3.1 Controle PID do sistema retilıneo

Desprezando-se o atrito viscoso, o controle (PID) em malha fechada do sistema pode ser re-presentado como na figura 7.

Q05: Mostre que a funcao de transferencia de malha fechada da figura 7 e

X1(s)R(s)

=(khw/m)(kps+ ki)

s3 +(khw/m)(kds2 + kps+ ki).

�


X1(s)R(s)

=(khw/m)kp

s2 +(khw/m)(kds+ kp),

e definindo-se

ωn :=

√kpkhw

m(rd/s) (5)

ξ :=kdkhw

2mωn=

kdkhw

2√

mkpkhw(6)

EXP. 2 12


X1(s)R(s)

=ω2

n

s2 +2ξωns+ω2n.

r x1

kds

khw1

ms2kp + ki/s

++

−−

Fig 7: Controle em malha fechada do sistema.



1. Ajuste o equipamento de acordo com a configuracao definida no inıcio da Sessao 3.Certifique-se de que as massas estejam firmemente ajustadas sobre o carro;

2. Q06: Atraves de (5), determine o valor de kp (com kd = 0) de forma a fazer o sistemase comportar como um oscilador de frequencia

√2 Hz. Explique porque nao se obtem

um oscilador harmonico perfeito;

3. Ajuste a coleta de dados do Encoder #1 atraves da caixa de dialogo Set-up Data Ac-quisition do menu Data. Ajuste um degrau em malha fechada de 0 (zero) counts, dwelltime=3000 ms e 1 (uma) repeticao atraves da opcao Trajectory do menu Command;

4. Na opcao Control Algorithm do menu Set-up, faca Ts=0.00442 s e selecione Continu-ous Time Control. Selecione PI with Velocity Feedback (corresponde ao controladorP&D) e Set-up Algorithm. Atribua o valor de k p calculado acima (certifique-se de quekp < 0.08), atribua kd = ki = 0, selecione OK e depois Implement Algorithm, OK;

5. Selecione Execute no menu Command. Prepare-se para deslocar o carro de aproxima-damente 1 cm. Selecione Run, desloque o carro de 1 cm e libere-o. Nao segure o carrodeslocado por mais do que 1 s, uma vez que a protecao termica do motor abre a malhade controle nesta situacao;

EXP. 2 13

6. Plote (exporte) a saıda do Encoder #1. Q07: Compare a frequencia de oscilacao dosistema com a prevista teoricamente. O que acontence quando o ganho proporcional edobrado ? Repita os passos 4 e 5 e compare com a sua predicao;

7. Q08: Determine o valor do ganho derivativo kd para que kdkhw = 50 N-m/s, notando de(6) que esse produto define o produto ξωnm. Repita o passo 4 com o valor de kd obtido(certifique-se de que kd < 0.04) e ki = kp = 0;

8. Apos checar a estabilidade do sistema deslocando-o ligeiramente, movimente o carronas duas direcoes. Nao force o carro em demasia pelos mesmos motivos do passo 5.Q09: A que se deve atribuir o aumento do amortecimento viscoso observado no siste-ma ?;



Nesta segunda parte do procedimento experimental, serao projetados e testados alguns con-troladores P&D.

1. Q10: Atraves das equacoes (5) e (6), projete controladores P&D (isto e, determine osvalores de kp e kd) para obter uma frequencia natural fn = 4 Hz e amortecimentos 1)ξ = 0.2 (sub-amortecido), 2) ξ = 1.0 (criticamente amortecido) e 3) ξ = 2.0 (sobre-amortecido);

2. Implemente o controlador sub-amortecido e ajuste a trajetoria para um degrau de malhafechada de 2500 counts, dwell time=1000 ms e 1 (uma) repeticao;



5. Q11: Projete um controlador P&D para atender as seguintes especificacoes de desem-penho: 10% ≤ Mp ≤ 20% (maximo overshoot) e ts = 0.5 s (tempo de estabelecimento).O maximo overshoot e o tempo de estabelecimento sao dados por

Mp = exp

(−ξπ√1−ξ2

)×100 (em %)

e

ts =3



EXP. 2 14



1. Considerando agora um controlador PID, calcule ki tal que kikhw = 7500 N-m/s, e de-termine qual o valor da frequencia natural ωn do sistema em malha fechada. Simule ocontrolador com este valor de ki e os valores de kp e kd correspondentes ao caso critica-mente amortecido;

2. Dobre o valor de ki e compare a resposta com a obtida no item anterior. Compare assimulacoes com os resultados experimentais relativos ao sistema criticamente amorte-cido (ki = 0). Qual o efeito da acao integral sobre o erro de estado estacionario ? Qualo efeito da acao integral sobre o maximo overshoot do sistema ? E sobre a frequencianatural do sistema ?

EXP. 2 15

4 Configuracao do sistema torcional

Os resultados experimentais envolvendo controle PID do sistema torcional serao obtidos paraa seguinte configuracao:

• Discos #2 e #3 removidos;

• Inercias adicionais sobre o disco #1: 2 massas de 0.500 kg dispostas a 9 cm do centrodo disco.

Q04: Desprezando o atrito viscoso, as inercias dos encoders 2 e 3, das correias e polias que co-nectam estes encoders ao eixo de rotacao, obtenha o modelo dinamico da planta incorporandoo ganho de hardware, isto e,

Gp(s) =khw

Js2 , J = Jd1 + Jw,


khw = 17.4 N-m/rdJd1 = 0.0024 kg-m2

�

4.1 Controle PID do sistema torcional

Desprezando-se o atrito viscoso, o controle (PID) em malha fechada do sistema pode ser re-presentado como na figura 8.


Θ1(s)R(s)

=(khw/J)(kps+ ki)

s3 +(khw/J)(kds2 + kps+ ki).

�


Θ1(s)R(s)

=(khw/J)kp

s2 +(khw/J)(kds+ kp),

e definindo-se

EXP. 2 16

ωn :=

√kpkhw

J(rd/s) (7)

ξ :=kdkhw

2Jωn=

kdkhw

2√

Jkpkhw(8)


Θ1(s)R(s)

=ω2

n

s2 +2ξωns+ω2n.

r θ1

kds

khw1

Js2kp + ki/s

++

−−

Fig 8: Controle em malha fechada do sistema rıgido.



1. Ajuste o equipamento de acordo com a configuracao definida no inıcio da Sessao 4.Certifique-se de que as massas possuam os valores especificados e estejam firmementeposicionadas nas distancias estabelecidas na configuracao;

2. Q06: Atraves de (7), determine o valor de kp (com kd = 0) de forma a fazer o sistemase comportar como um oscilador mola-inercia de frequencia 1 Hz. Explique porque naose obtem um oscilador harmonico perfeito;

3. Ajuste a coleta de dados do Encoder #1 atraves da caixa de dialogo Set-up Data Ac-quisition do menu Data. Ajuste um degrau em malha fechada de 0 (zero) counts, dwelltime=2000 ms e 1 (uma) repeticao atraves da opcao Trajectory do menu Command.Este procedimento faz com que a placa do controlador adquira dados durante 4 s, man-tendo o sistema em regulacao (R(s) = 0). O procedimento pode ser usado para ajustar operıodo de aquisicao de dados;

EXP. 2 17

4. Na opcao Control Algorithm do menu Set-up, faca Ts=0.00442 s e selecione Continu-ous Time Control. Selecione PI with Velocity Feedback (corresponde ao controladorP&D) e Set-up Algorithm. Atribua o valor de k p calculado acima (certifique-se de quekp < 0.10), atribua kd = ki = 0, selecione OK e depois Implement Algorithm;

5. Selecione Execute no menu Command. Prepare-se para rotacionar o disco por apro-ximadamente 10o. Selecione Run, rotacione o disco por 10o e entao libere-o. Naomantenha o disco rotacionado por mais do que 2 s, uma vez que a protecao termica domotor abre a malha de controle nesta situacao;

6. Plote (exporte) a saıda do Encoder #1. Q07: Determine a frequencia de oscilacaoexibida pelo sistema. O que acontence quando o ganho proporcional e dobrado ? Repitaos passos 4 e 5 e compare com a sua predicao;

7. Q08: Determine o valor do ganho derivativo kd para que kdkhw = 0.10 N-m/(rd/s), no-tando de (8) que esse produto define o produto ξωnJ. Repita o passo 4 com o novo valorde kd (certifique-se de que kd < 0.10) e ki = kp = 0;

8. Apos checar a estabilidade do sistema deslocando-o ligeiramente, movimente o disconas duas direcoes. Nao force o disco em demasia pelos mesmos motivos do passo 5.Q09: A que se deve atribuir o aumento do atrito viscoso observado ao se deslocar odisco ?;



Nesta segunda parte do procedimento experimental, serao projetados e testados alguns con-troladores PD.

1. Q10: Atraves das equacoes (7) e (8), projete controladores PD (isto e, determine osvalores de kp e kd) para obter frequencia natural fn = 2 Hz e amortecimentos 1) ξ = 0.2(sub-amortecido), 2) ξ = 1.0 (criticamente amortecido) e 3) ξ = 2.0 (sobre-amortecido);

2. Implemente o controlador sub-amortecido e ajuste a trajetoria para um degrau de malhafechada de 3500 counts, dwell time=2000 ms e 1 (uma) repeticao;



EXP. 2 18

5. Q11: Projete um controlador PD para atender as seguintes especificacoes de desempe-nho: 10% ≤ Mp ≤ 20% (maximo overshoot) e ts = 1 s (tempo de estabelecimento). Omaximo overshoot e o tempo de estabelecimento sao dados por

Mp = exp

(−ξπ√1−ξ2

)×100 (em %)

e

ts =3





1. Considerando agora um controlador PID, calcule ki tal que kikhw = 3 N-m/rd-s, e de-termine qual o valor da frequencia natural ωn do sistema em malha fechada. Simule ocontrolador com este valor de ki e os valores de kp e kd correspondentes ao caso critica-mente amortecido;

2. Dobre o valor de ki e compare a resposta com a obtida no item anterior. Compare assimulacoes com os resultados experimentais relativos ao sistema criticamente amorte-cido (ki = 0). Qual o efeito da acao integral sobre o erro de estado estacionario ? Qualo efeito da acao integral sobre o maximo overshoot do sistema ? E sobre a frequencianatural do sistema?

EXP. 2 19

5 Pendulo Invertido: controle PD da haste deslizante

A estrategia de controle para o pendulo invertido a ser utilizada nas Experiencias 3 e 4 envolveduas malhas - uma interna, outra externa - de controle. A malha interna controla a posicaolinear da haste deslizante atraves de um controlador PD. A malha externa controla a posicaoangular do pendulo atraves de uma estrategia simples de alocacao de polos. Nesta experienciadiscute-se o projeto de controladores PD para a posicao linear da haste deslizante (malhainterna).

O projeto do controle baseia-se num modelo simplificado do sistema, representado nafigura 9.

m1

m∗2

x

x2F

Fig 9: Modelo simplificado do sistema.

Para pequenos deslocamentos em torno da posicao de equilıbrio, o conjunto pendulo-haste pode ser visto como um sistema composto por duas massas deslizantes com transmissaode forca entre elas. Na figura 9, m1 representa a massa equivalente da haste, m∗

2 a massaequivalente do pendulo e contra-peso, x2 a posicao linear do pendulo e x a posicao da hasterelativa ao pendulo, que e objeto do projeto inicial de controle. Note que

m1x1 = F

m∗2x2 = −F,

onde x1 e a posicao da haste relativa ao referencial do pendulo. Logo x1 = x2 + x e portanto

m1(x2 + x) = F.

Usando a segunda expressao, obtem-se

m∗x = F, m∗ =m1m∗

2

m1 +m∗2.

A massa m∗2 pode ser obtida a partir do momento de inercia do conjunto sem a haste

atraves dem∗

2l2o = J∗.

EXP. 2 20

onde lo e o comprimento da haste e J∗ e o momento de inercia do pendulo sem a haste. Osistema de controle em malha fechada do sistema simplificado pode ser representado como nafigura 10.


X(s)R(s)

=(khw/m∗)(kp + kds)

s2 +(khw/m∗)(kp + kds),

�

Definindo-se

ωn :=

√kpkhw

m∗ (rd/s) (9)

ξ :=kdkhw

2m∗ωn=

kdkhw

2√

m∗kpkhw(10)

a funcao de transferencia em malha fechada pode ser colocada na forma

X(s)R(s)

=2ξωns+ω2

n

s2 +2ξωns+ω2n.

r xkhw

1m∗s2kp + kds

+

−

Fig 10: Controle PD da haste.

5.1 Configuracao do pendulo invertido

A configuracao adotada corresponde a da Planta #1 (estavel): utilizam-se os ’donuts’ da haste,o contra-peso do pendulo e a distancia do contra-peso ao pivot e de lt = 10 cm.

Q04: A partir das constantes envolvidas, determine o modelo simplificado do sistema, isto e,

Gp(s) =khw

m∗s2

EXP. 2 21

referente a configuracao adotada. Assuma que

khw = 2088 N/mm1 = 0.213 kglo = 0.330 mJ∗o = 0.0246 kg-m2

mw2 = 1.0 kglw2 =−0.1384 mJ∗ = J∗0 +mw2l2

w2 (kg-m2)

�

5.1.1 Procedimento experimental - controle PD

1. Ajuste o sistema na configuracao descrita na Secao 5 (Planta #1);

2. Ajuste a coleta de dados do Encoder #2 e Commanded Position atraves da caixa dedialogo Set-up Data Acquisition do menu Data, com amostragem de dados a cadadois perıodos. Entre no menu Command, va para Trajectory e selecione Step-Set-up. Selecione Closed Loop Step com tamanho de 1000 counts, duracao de 1000 mse uma repeticao. Retorne ao Background Screen clicando OK sucessivamente. Ocontrolador esta agora preparado para comandar um degrau de 1000 counts (cerca de 2cm) para frente e para tras com dwell time de 1000 ms;

3. Q06: Atraves das equacoes (9) e (10), projete controladores PD (isto e, determine osvalores de kp e kd) para obter frequencia natural fn = 10 Hz e amortecimentos 1) ξ = 0.2(sub-amortecido), 2) ξ = 1.0 (criticamente amortecido) e 3) ξ = 2.0 (sobre-amortecido)em malha fechada. Os passos 4-7 a seguir devem ser executados para os tres conjuntosde ganhos kp e kd obtidos;

4. Entre na caixa de dialogo Control Algorithm do menu Set-up e defina o perıodoTs=0.00442 s. Selecione Continuous Time Control. Selecione PID e Set-up Algo-rithm. Atribua os valores de kp e kd (ki = 0), selecione Encoder #2 para realimentacaoe clique OK;

5. Posicione o mecanismo com a haste no meio da sua excursao, de tal forma que o pendulofique aproximadamente na vertical. Selecione Implement Algorithm e clique OK;

6. Selecione Execute no menu Command e clique Run. A haste deve se movimentar parafrente e para tras cerca de 2 cm, ao mesmo tempo em que o pendulo balanca devido areacao ao movimento da haste;

7. Plote (exporte) os dados do Encoder #2 e da posicao comandada no mesmo grafico(eixo). Q07: Compare o comportamento observado com o previsto teoricamente.

EXP. 2 22



1. Simule atraves de MATLAB/Simulink o controle PD da posicao linear da haste comodescrito na secao 5. Compare e comente os resultados da simulacao com os obtidosexperimentalmente;

2. Considere agora o sistema de controle da malha externa do pendulo em unidades decounts, como ilustrado na figura 11 abaixo.

rc xc θce∗kp f c

R(s)Xc(s)E∗(s)

Θc(s)Xc(s)

S(s)R(s)

+

−

Fig 11: Controle da malha externa do pendulo.

Na figura 11, as quantidades θc, xc e rc (referencia) estao representadas em counts: θc =kaθ, onde ka = 2546 counts/rd e o fator de escala da posicao angular do pendulo; xc = kxx,onde kx = 50200 counts/m e o fator de escala da posicao linear da haste. Ainda com relacaoa figura 11, kp f c e o ganho do pre-filtro em counts e os polinomios S(s) e R(s) (nao confundircom a referencia do sistema) devem ser determinados para posicionar os polos do sistema emmalha fechada adequadamente. Observe que

Xc(s)E∗(s)

=(kp + kds)(Xc(s)/Fc(s))

1+(kp + kds)(Xc(s)/Fc(s)),

e a funcao de transferencia de malha fechada relativa ao controle da posicao linear, Fc = F/k f

e a forca aplicada em counts e k f = 0.0013 N/counts. Nas questoes formuladas a seguir,considere os valores de kp e kd que produzem amortecimento crıtico da resposta de malhafechada.

• Analise os diagramas de Bode de Xc(s)/E∗(s) na faixa de 0 a 10 Hz. A partir dosdiagramas, procure justificar a escolha de uma resposta criticamente amortecida para aposicao da haste;

EXP. 2 23

• Mostre que malha externa envolve agora o controle da planta (consulte o Capıtulo 5 domanual do equipamento)

Θc(s)Xc(s)

=kam1lokxJoe

−s2 +g/los2 − (m1lo +m2lc)g/Joe

:= k∗Nax(s)Dax(s)

.

• Suponha que a equacao caracterıstica do sistema em malha fechada deva ser igual a umpolinomio Dcl(s), cujas raızes sao os polos desejados para o sistema de malha fechada,isto e,

Dax(s)R(s)+ k∗Nax(s)S(s) = Dcl(s).

Determine S(s) = s0 + s1s e R(s) = r0 + r1s que fornecem

Dcl(s) = (s+π+ jπ)(s+π− jπ)(s +3π).

Referencias

Kuo, B. C., Automatic Control Systems, 7th. Edition, Prentice-Hall, 1995.

Ogata, K., Modern Control Engineering, 3rd. Edition, Prentice-Hall, 1997.

Manual for Model 220 - Industrial Emulator/Servo Trainer, ECP Educational Control Pro-ducts, 1995.

Manual for Model 205/205a - Rectilinear Control System, ECP Educational Control Pro-ducts, 1995.

Manual for Model 205/205a - Torsional Control System, ECP Educational Control Products,1995.

Manual for Model 505 - Inverted Pendulum, ECP Educational Control Products, 1995.

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