Unidade 05 Mecanismos Aluno Posições

Mecanismos

Análise de Posições - Introdução

Uma vez que um projeto de mecanismo tenha sido proposto, deve

ser analisado. O principal objetivo de uma análise cinemática é

determinar as acelerações de todas as partes móveis do conjunto.

Forças dinâmicas são proporcionais à aceleração, conforme a segunda

lei de Newton.

Precisamos conhecer as forças dinâmicas para calcularmos as

tensões nos componentes. Um engenheiro de projetos deve assegurar

que o mecanismo proposto ou a máquina não falhará sob as condições

operacionais. Para isso, as tensões no material devem ser mantidas em

um nível bem inferior às tensões admissíveis.

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Para calcular as tensões, precisamos conhecer as forças estáticas e

dinâmicas dos componentes utilizados. Para calcular as forças dinâmicas,

precisamos conhecer as acelerações.

Para calcular as acelerações devemos, primeiro, encontrar a posição de

todos os elos ou elementos no mecanismo para cada movimento de entrada;

depois, derivar as equações de posição em relação ao tempo a fim de

encontrarmos as velocidades; e, em seguida, derivar novamente e obter as

equações para a aceleração.

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Por exemplo, em um mecanismo simples de quatro barras de Grashof,

provavelmente precisaremos calcular as posições, velocidades e acelerações

dos elos de saída (acoplador e seguidor) a cada dois graus (180 posições) de

posição de entrada da manivela para sua rotação.

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Análise de Posições

Análise Analítica de Mecanismos

Fica mais adequado para processamento

computacional, principalmente na análise de

velocidade e de aceleração.

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Usando álgebra

vetorial complexa

Utiliza-se o Circuito de Vetores (vector loop) para determinar as equações de movimento.

Com os circuitos de vetores fica mais fácil trabalhar com os métodos de Síntese analítica;

Fica mais adequado para processamento computacional, principalmente na análise de velocidade e de aceleração.

Métodos Analíticos

Usando relações

geométricas &

trigonométricas

Metodologia bem simples

Contudo, a análise de velocidade

e de aceleração poderão ficar

difíceis de serem solucionadas

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SOLUÇÃO PARA ANÁ LISE DE POSIÇÕES NO ME CANISMO

BIELA-MANIVELA

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Substituindo a relação de Euler:

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Separe os componentes reais e imaginários: parte real

(componente x):

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Deseja-se resolver as Equações simultaneamente para as incógnitas

comprimento do elo d e ângulo do elo θ3. A variável independente é o

ângulo de manivela θ2.

Os comprimentos dos elos a e b, o deslocamento c, e o ângulo θ4 são

conhecidos. Porém, visto que definimos o eixo de coordenadas como

paralelo e perpendicular ao eixo do polo da manivela, o

ângulo θ1 é igual a zero e θ4 é 90º.

A Equação pode ser resolvida para θ3 e o resultado pode ser substituído

na Equação acima de forma a resolvê-la

para d. A solução é:

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Note que existem novamente duas soluções válidas correspondentes aos dois

circuitos do mecanismo. A função arco seno possui duas soluções. Sua

determinação fornecerá um valor entre 90º representando apenas um dos

circuitos do mecanismo.

O valor de d depende do valor calculado de θ3.

O valor de θ3 para o segundo circuito do mecanismo pode ser encontrado por:

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Exercícios – Mecanismo Biela-Manivela

O comprimento do elo (mm), o valor de θ2 (graus) e deslocamento (mm) para

alguns mecanismos biela-manivela são definidos na Tabela ao lado.

Para as configurações fornecidas, encontre todas as possíveis

soluções (aberta e cruzada) para o ângulo θ3 e a posição da biela d.

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Equação do laço de vetores nos mecanismos de quatro barras

Essas escolhas de vetores direção e sentidos, como indicados por seus

vértices em flechas, levam a essa equação do laço de vetores:

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Análise com Álgebra Vetorial Complexa

A equação vetorial é obtida da análise

da figura, como:

4132 RRRR

04132 RRRR

Que na forma complexa fica:

01432

1432 jjjj eCeCeCeC

Aplicando a relação de Euler, temos:

0coscoscos 4441333222 jsenCCjsenCjsenC

Separando em parte real e parte imaginária, temos:

0coscoscos 4413322 CCCC 0443322 senCsenCsenC

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Duas formas de encontrar a solução para as equações:

Forma Fechada

Método Numérico (Newton-Raphson)

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FORMA FECHADA

Vamos reescrever as equações anteriores para isolar a variável

desconhecida ϴ3 e resolvermos para ϴ4:

2244133 coscoscos CCCC 224433 sensensen CCC

Elevando ao quadrado e somando:

222441

222443

23

223 )coscos()sensen()cos(sen CCCCCC

222441

22244

23 )coscos()sensen( CCCCCC

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Expandindo o lado direito da equação anterior, chega-se a:

)coscossen(sen2cos2 cos2 4242424412212

42

221

23 CCCCCCCCCC

222441

22244

23 )coscos()sensen( CCCCCC

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Manipulando algebricamente, tem-se:

4

2

12

4

1

42

2

4

2

3

2

2

2

14242 coscos

2)coscos(

C

C

C

C

CC

CCCCsensen

Definindo as seguintes constantes:

2

11C

CK

4

12C

CK

42

2

4

2

3

2

2

2

32

1

CC

CCCCK

3224142 coscos)cos( KKK Equação de Freudenstein

32414242 coscos)coscos( KKsensen 2K (1)

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Para fazer a Eq.(1) ter uma solução mais amigável é

aconselhável usar-se as seguintes identidades:

)2/(1

)2/(2sen

42

44

tg

tg

)2/(1

)2/(1cos

42

42

4

tg

tg

Agrupando os comprimentos das peças e a entrada conhecida

ϴ2 nas constantes A, B e C, tem-se:

02

.2

. 442

CtgBtgA

32212 coscos KKKA

22 senB

3221 cos)1( KKKC

A

ACBBtgarc

2

4.2

2

4 2,1(-) Configuração Aberta

(+) Configuração Fechada

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Para determinar 3 parte-se das equações da análise de posição

isolando os termos em 4, ou seja:

1332244 coscoscos CCCC 332244 sensensen CCC

Procede-se de maneira similar ao caso anterior até:

D

DFEE

2

42

2

tgarc 1,23

5241

2

52412

cos)1(

2

coscos

KKKF

senE

KKKD

32

2

3

2

2

2

1

2

45

3

14

2 CC

CCCCK

C

CK

02

.2

. 332

FtgEtgD

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Exemplo de Aplicação – 02

Análise Vetorial Complexa de Mecanismos

a = 50,8 mm

b = 177,8 mm

c = 228,6 mm

b = 152,4 mm

Θ2 = 30º

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Exercícios

- O comprimento do elo (mm) e o valor de θ2 (graus) para alguns mecanismos de quatro barras

são definidos na abaixo. A configuração e terminologia são mostradas na Figura a seguir. Para as

configurações fornecidas, desenhe o mecanismo em escala e, vetorialmente, encontre todas as possíveis

soluções (aberta e cruzada) para os ângulos θ3 e θ4. Determine a condição de Grashof.

Obs: Exemplo (Nome) “a” foi resolvido em

sala de aula

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