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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
FÁBIO FRANCISCO DE OLIVEIRA
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Proposta de um experimento de ensino envolvendo
registros de representações semióticas
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UNIAN São Paulo
2014
2
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
FÁBIO FRANCISCO DE OLIVEIRA
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Proposta de um experimento de ensino envolvendo
registros de representações semióticas
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Monica Karrer.
UNIAN São Paulo
2014
3
Oliveira, Fábio Francisco de
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Proposta de um experimento de ensino envolvendo registros de
representações semióticas/Fábio Francisco de Oliveira. São
Paulo: [s.n], 2014.
_______f ; ____ ; _______.
Dissertação (Mestrado Acadêmico) – Universidade
Anhanguera de São Paulo, Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Monica Karrer.
1. Probabilidade Condicional 2. Registros de representações
semióticas 3. Letramento Probabilístico 4. Design Experiment.
5. Software R.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ter me proporcionado tamanha oportunidade de crescimento
pessoal e profissional.
À minha esposa Juliana pelo incentivo, compreensão e apoio para que eu pudesse
me dedicar ao programa de Mestrado.
À minha família e amigos pela força e compreensão nos momentos em que a
dedicação à vida acadêmica esteve acima dos demais compromissos sociais.
À Professora Doutora Monica Karrer pela parceria, paciência, imensa dedicação,
estímulo e competência na orientação deste trabalho.
À Professora Doutora Verônica Yumi Kataoka pela parceria, paciência, dedicação e
estímulo na co-orientação deste trabalho e por ter aceitado participar da banca,
contribuindo com sua experiência e competência na realização desta pesquisa.
À Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima por ter aceitado participar da
banca, pela dedicação e orientações dadas, de suma importância para o
desenvolvimento deste trabalho.
A todos os professores do Programa de Mestrado em Educação Matemática desta
Instituição que, de forma direta ou indireta, contribuíram para o desenvolvimento
deste trabalho.
Aos estudantes participantes voluntários desta pesquisa pelo comprometimento e
dedicação demonstrados nos encontros realizados.
5
“Não se deve ir atrás de objetos fáceis. É preciso buscar o que
só pode ser alcançado por meio dos maiores esforços.”
Albert Einstein
6
FÁBIO FRANCISCO DE OLIVEIRA
PROBABILIDADE CONDICIONAL
PROPOSTA DE UM EXPERIMENTO DE ENSINO ENVOLVENDO
REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE ANHANGUERA
DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-
GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientadora
Nome: Profª Drª Monica Karrer
Instituição: Universidade Anhanguera de São Paulo
Assinatura:
2ª Examinador:
Nome: Profª Drª Verônica Yumi Kataoka
Instituição: Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC
Assinatura:
3ª Examinador:
Nome: Profª Drª Rosana Nogueira de Lima
Instituição: Universidade Anhanguera de São Paulo
Assinatura: Biblioteca
Bibliotecário:____________________________________________
Assinatura:__________________________ Data____/_____/_____
São Paulo, 15 de agosto de 2014.
7
RESUMO
OLIVEIRA, F. F. de PROBABILIDADE CONDICIONAL Proposta de um experimento de ensino envolvendo registros de representações semióticas 2014. ___f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2014.
Esta pesquisa teve por objetivo investigar a aprendizagem de estudantes diante de
um experimento de ensino sobre probabilidade condicional, por meio de uma
abordagem com material concreto, aliada à exploração de diferentes registros de
representações semióticas. O estudo fundamentou-se na Teoria dos Registros de
Representações Semióticas de Duval e no Letramento Probabilístico de Gal. Para a
construção e condução do experimento, foi utilizada a metodologia de Design
Experiment de Cobb et al. O design foi desenvolvido nos ambientes papel e lápis e
software R e teve por foco a exploração das conversões e tratamentos envolvendo
representações da língua natural, da tabela de dupla entrada e da árvore de
probabilidades. O experimento elaborado foi aplicado em nove encontros a oito
alunos voluntários do segundo ano do Ensino Médio de uma escola estadual da
cidade de Guarulhos. Inicialmente, os alunos realizaram um levantamento de dados
e exploraram situações de probabilidade com material concreto. Para a construção
das probabilidades da intersecção e condicional, além do material concreto, foram
utilizadas as representações da tabela de dupla entrada e da árvore de
probabilidades, sendo proposta uma nova versão, denominada árvore de
probabilidades na versão completa. Identificou-se que essa última representação
favoreceu a extração das probabilidades simples, condicional e da intersecção.
Apesar da importância de cada estratégia isolada, os resultados demonstraram que
o trabalho integrando material concreto, recurso computacional e exploração de
representações foi vital para o avanço dos estudantes em questões probabilísticas.
Espera-se que a proposta deste estudo possa contribuir para o avanço do
Letramento Probabilístico dos alunos da educação básica, representando um
recurso adicional para a área de Educação Matemática.
Palavras-chave: Probabilidade Condicional. Registros de representações
semióticas. Letramento Probabilístico. Design Experiment. Software R.
8
ABSTRACT
OLIVEIRA, F. F. CONDITIONAL PROBABILITY Proposal of a teaching experiment involving registers of semiotic representations 2014.___f Dissertation in Mathematics Education, Anhanguera University of São Paulo, São Paulo, 2014.
This research study aimed to investigate students’ learning in a teaching experiment
about Conditional Probability, through an approach with concrete material, added to
the exploration of different semiotic representations. The study is based on Duval’s
Theory of Semiotic Representations Registers and in Gal’s Probabilistic Literacy. To
construct and to conduct the experiment, we have used Cobb et al’s Design
Experiment Methodology. The design was developed in paper & pencil and
software R environments and it focused on the exploration of the conversions
between representations of the natural language, two-way table and probability tree.
The experiment was administered in nine meetings to eight volunteer students at the
second grade of High School in a public School in Guarulhos. First of all, the
students did a data collection and explored probability situation with concrete
material. For constructing the intersection and conditional probabilities, besides
concrete material, representations of the two-way table and the probability tree have
been used and a new version of it has been proposed, called complete probability
tree. It has identified that this last representation supported the extraction of the
simple, conditional and the intersectional probabilities. Despite the importance of
every isolated strategy, the results have indicated that a work integrating concrete
material, computational resources and representational exploration were vital for the
students’ development in probabilistic matters. We hope the proposal of this study
may contribute for the probabilistic literacy advance of the Elementary school
students, representing an additional resource for the area of Mathematics Education.
Key words: Conditional Probability, Registers of semiotic representations,
Probabilistic Literacy, Design Experiment, Software R
9
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – A urna de Falk.......................................................................................... 32
Figura 2 – Resolução do problema das três cartas de Falk...................................... 36
Figura 3 – Possibilidades de gêmeos ....................................................................... 37
Figura 4 – Árvore de frequências naturais................................................................ 43
Figura 5 – Árvore de probabilidades na versão proposta por Martignon e Wassner
(2002)........................................................................................................................ 46
Figura 6 – Árvore de probabilidades na versão completa proposta por este
estudo........................................................................................................................ 47
Figura 7 – Design Experiment: Ecologia da aprendizagem do experimento............. 59
Figura 8 – Primeiro protótipo da urna ....................................................................... 61
Figura 9 – Segundo protótipo................................................................................... 61
Figura 10 – Segundo protótipo à esquerda e o terceiro protótipo à direita............... 62
Figura 11 – Abertura para retirada dos cartões......................................................... 62
Figura 12 – Primeira versão dos cartões................................................................... 63
Figura 13 – Cartões de ambos os tamanhos............................................................ 63
Figura 14 – Cartões com papel adesivo ................................................................... 64
Figura 15 – Apresentação dos dados em tabela simples ........................................ 71
Figura 16 – Apresentação dos dados em língua natural materna ............................ 71
Figura 17 – Apresentação dos dados em tabela de dupla entrada ......................... 71
Figura 18 – Simulação do caso hipotético das retiradas por meio do software R
................................................................................................................................... 76
Figura 19 – Cartões da probabilidade da intersecção .............................................. 77
Figura 20 – Cartão branco com cartão azul sobreposto........................................... 81
Figura 21 – Todas as possibilidades de intersecção................................................. 81
Figura 22 – Organização dos grupos ..................................................................... 101
Figura 23 – Ficha 1 ................................................................................................ 101
Figura 24 – Produção do estudante A2................................................................... 102
Figura 25 – Produção do estudante B3................................................................... 104
Figura 26 – Produção do estudante B2................................................................... 105
Figura 27 – Apresentação dos dados colhidos na pesquisa de opinião - Grupo
A.............................................................................................................................. 107
10
Figura 28 – Apresentação dos dados colhidos na pesquisa de opinião - Grupo
B.............................................................................................................................. 108
Figura 29 – Resposta dada pelo estudante A1 – Questão 1 – Ficha 2
................................................................................................................................. 109
Figura 30 – Resposta dada pelo estudante B3 – Questão 2 – Ficha 2
................................................................................................................................. 109
Figura 31 – Organização das duplas....................................................................... 110
Figura 32 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla A1.1..................................... 110
Figura 33 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla A1.2 ..................................... 111
Figura 34 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla B1.1. .................................... 112
Figura 35 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla B1.2...................................... 113
Figura 36 – Registros das retiradas da urna – Dupla A1.1 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 114
Figura 37 – Registros das retiradas da urna – Dupla A1.2 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 115
Figura 38 – Registros das retiradas da urna – Dupla B1.1 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 115
Figura 39 – Registros das retiradas da urna – Dupla B1.2 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 116
Figura 40 – Comparação entre as razões– Dupla A1.1 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 116
Figura 41 – Comparação entre as razões– Dupla A1.2 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 117
Figura 42 – Comparação entre as razões– Dupla B1.1 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 117
Figura 43 – Comparação entre as razões– Dupla B1.2 – Ficha 3 - Parte 2
................................................................................................................................. 118
Figura 44 – Ficha 3 - Parte 3................................................................................... 119
Figura 45 – Ficha 3 - Parte 2 – Produção da dupla A1.1........................................ 120
Figura 46 – Ficha 3 - Parte 2 - preenchida pela dupla A1.2................................... 120
Figura 47 – Ficha 3 - Parte 2 - preenchida pela dupla B1.1................................... 121
Figura 48 – Ficha 3 - Parte 2 - preenchida pela dupla B1.2................................... 121
Figura 49 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla A1.1........................................ 122
Figura 50 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla A1.2 ....................................... 122
11
Figura 51 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla B1.1........................................ 123
Figura 52 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla B1.2........................................ 123
Figura 53 – Produção da dupla A1.1 – Item e – Ficha 3 - Parte 5 ......................... 124
Figura 54 – Produção da dupla B1.2 – Item e – Ficha 3 - Parte 5.......................... 124
Figura 55 – Organização de duplas para grupos ................................................... 124
Figura 56 – Produção do Grupo A........................................................................... 125
Figura 57 – Produção do Grupo B........................................................................... 126
Figura 58 – Estudantes confeccionando os cartões............................................... 126
Figura 59 – Produção do Grupo A – Apresentação dos dados para a Ficha
4............................................................................................................................... 127
Figura 60 – Produção do Grupo B – Apresentação dos dados para a Ficha
4............................................................................................................................... 127
Figura 61 – Produção do Grupo A - Ficha 4 - Parte 2 ........................................... 128
Figura 62 – Produção do Grupo B - Ficha 4 - Parte 2 ............................................ 128
Figura 63 – Produção do Grupo A - Ficha 4 - Parte 3 ........................................... 129
Figura 64 – Produção do Grupo B - Ficha 4 - Parte 3 ........................................... 129
Figura 65 – Produção do Grupo A – Ficha 4 - Parte 4 ........................................... 130
Figura 66 – Produção do Grupo A – Item e – Ficha 4 - Parte 5 ............................. 131
Figura 67 – Produção do Grupo B – Item e – Ficha 4 - Parte 5.............................. 131
Figura 68 – Produção do Grupo A – Ficha 5 - Parte 1............................................ 132
Figura 69 – Produção do Grupo B – Ficha 5 - Parte 1 ........................................... 132
Figura 70 – Produção do Grupo A – Ficha 5 - Parte 2............................................ 134
Figura 71 – Produção do Grupo B – Ficha 5 - Parte 2............................................ 134
Figura 72 – Produção do Grupo A – Registro das retiradas condicionais.............. 135
Figura 73 – Produção do Grupo B – Registro das retiradas condicionais.............. 135
Figura 74 – Produção do Grupo A – Ficha 5 - Parte 3............................................ 137
Figura 75 – Produção do Grupo B – Ficha 5 - Parte 3............................................ 138
Figura 76 – Produção do Grupo A – Ficha 6 - Parte 1............................................ 139
Figura 77 – Produção do Grupo B – Ficha 6 - Parte 1............................................ 139
Figura 78 – Ficha 6 - Parte 2 – Árvores de possibilidades – Grupo A ................... 140
Figura 79 – Ficha 6 - Parte 2 – Questões árvores de possibilidades – Grupo A.... 141
Figura 80 – Ficha 6 - Parte 2 – Árvores de possibilidades – Grupo B.................... 141
Figura 81 – Ficha 6 - Parte 2 – Questões árvores de possibilidades – Grupo A.... 142
Figura 82 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 1 ........................................... 143
12
Figura 83 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 1 ........................................... 144
Figura 84 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 1 – Árvore iniciando pela variável
“mais investimentos por parte do governo na Copa do Mundo do que nas áreas de
Educação e Saúde................................................................................................. 145
Figura 85 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 1 – Árvore iniciando pela variável
“Série”..................................................................................................................... 145
Figura 86 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 2 – Iniciando pela variável
“Acreditar que as manifestações terão resultado”. ................................................ 146
Figura 87 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 2 – Iniciando pela variável
“Cursar ensino superior”......................................................................................... 147
Figura 88 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 2 – Iniciando pela variável “Mais
investimentos por parte do governo na Copa do Mundo do que nas áreas de
Educação e Saúde. ............................................................................................... 148
Figura 89 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 2 – Iniciando pela variável
“Série”..................................................................................................................... 149
Figura 90 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 3 – Iniciando pela variável
“acredita que as manifestações terão resultado”.................................................... 150
Figura 91 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 3 – Iniciando pela variável
“Série”...................................................................................................................... 151
Figura 92 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 3 – Iniciando pela variável “Mais
investimentos por parte do governo na Copa do Mundo de que nas áreas de
Educação e Saúde”................................................................................................. 152
Figura 93 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 3 – Iniciando pela variável
“Cursar ensino superior”.......................................................................................... 152
Figura 94 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 4 ........................................... 153
Figura 95 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 4 ........................................... 154
Figura 96 – Montagem da árvore com os cartões do Grupo A .............................. 155
Figura 97 – Montagem da árvore com os cartões do Grupo B............................... 156
Figura 98 – Tarefa I – Ficha avaliativa.................................................................... 156
Figura 99 – Produção do estudante A1 .................................................................. 157
Figura 100 – Produção do estudante A2................................................................. 157
Figura 101 – Produção do estudante B1................................................................. 158
Figura 102 – Produção do estudante A2................................................................. 158
Figura 103 – Produção do estudante B2................................................................. 158
13
Figura 104 – Produção do estudante A3................................................................. 159
Figura 105 – Produção do estudante B1................................................................. 159
Figura 106 – Produção do estudante B4................................................................. 160
Figura 107 – Produção do estudante B4................................................................. 160
Figura 108 – Produção do estudante B1................................................................. 161
Figura 109 – Tarefa II – Ficha Avaliativa ................................................................ 161
Figura 110 – Produção do estudante B1. ............................................................... 162
Figura 111 – Produção do estudante A1................................................................. 163
Figura 112 – Produção do estudante B3 ................................................................ 164
Figura 113 – Produção do estudante B4................................................................. 165
Figura 114 – Produção do estudante A2................................................................. 166
Figura 115 – Produção do estudante A3................................................................. 167
Figura 116 – Produção do estudante A2................................................................. 169
Figura 117 – Produção do estudante A2................................................................. 170
14
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Reportagem do BBC Journal.................................................................. 19
Quadro 2 – Quadro de classificação dos registros de representações semióticas... 24
Quadro 3 – Quadro de tipos e funções de representações....................................... 25
Quadro 4 – Exemplos dos registros utilizados neste trabalho................................... 28
Quadro 5 – Problema 8.............................................................................................. 39
Quadro 6 – Problema 15............................................................................................ 46
Quadro 7 – Ficha 1 – Sondagem dos conhecimentos prévios dos estudantes
................................................................................................................................... 69
Quadro 8 – Ficha 2 - Apontamentos dos dados colhidos na pesquisa de opinião
................................................................................................................................... 70
Quadro 9 – Ficha 3 - Parte 1 – Estimativas de probabilidades
simples....................................................................................................................... 73
Quadro 10 – Ficha 3 - Parte 2 – Registros das retiradas, análise das razões e
verificação da convergência...................................................................................... 74
Quadro 11 – Ficha 3 - Parte 3 – Familiarização com o software R........................... 76
Quadro 12 – Ficha 3 - Parte 4 – Atividade com o software R................................... 77
Quadro 13 – Ficha 4 - Parte 1 – Estimativa da probabilidade da intersecção .......... 79
Quadro 14 – Ficha 4 - Parte 2 – Registros das retiradas e análise dos dados.......... 81
Quadro 15 – Ficha 4 - Parte 3 – Apresentando a tabela de dupla entrada............... 83
Quadro 16 – Ficha 4 - Parte 4 – Atividade com Software R...................................... 83
Quadro 17 – Formalização da probabilidade ........................................................... 84
Quadro 18 – Ficha 5 - Parte 1 – Atividade introdutória da probabilidade condicional
................................................................................................................................... 85
Quadro 19 – Ficha 5 - Parte 2 – Atividade da probabilidade condicional com o banco
de dados ................................................................................................................... 87
Quadro 20 – Ficha 5 - Parte 3 – Cálculo da probabilidade condicional por meio da
tabela de dupla entrada ............................................................................................ 88
Quadro 21 – Ficha 6 - Parte 1 – Apresentando a tabela de dupla entrada
................................................................................................................................... 88
Quadro 22 – Ficha 6 - Parte 2 – Revisitando as intersecções entre as
possibilidades............................................................................................................ 90
15
Quadro 23 – Ficha 7 - Parte 1 – Apresentação da representação da árvore
................................................................................................................................... 91
Quadro 24 – Ficha 7 - Parte 2 – Revisitando as intersecções entre as
possibilidades............................................................................................................ 92
Quadro 25 – Ficha 7 - Parte 3 – Análise da árvore de possibilidades
completa.................................................................................................................... 93
Quadro 26 – Ficha 7 - Parte 4 – Revisitando as probabilidades condicionais e suas
inversas..................................................................................................................... 94
Quadro 27 – Ficha 8 – Avaliação das contribuições proporcionadas pelo
experimento............................................................................................................... 99
16
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Relações entre as representações semióticas e os elementos
cognitivos................................................................................................................... 66
Tabela 2 – Apresentação da distribuição das tarefas do experimento
................................................................................................................................... 67
Tabela 3 – Apresentação da distribuição das tarefas do experimento
................................................................................................................................. 100
Tabela 4 – Dificuldades evidenciadas na obtenção da probabilidade e nas suas
conversões.............................................................................................................. 106
Tabela 5 – Frequências absolutas e relativas das respostas dadas ao exercício I -
Ficha avaliativa ....................................................................................................... 157
Tabela 6 – Frequências e porcentagens das respostas dadas aos itens a, b, f e g -
Ficha avaliativa. ...................................................................................................... 163
Tabela 7 – Frequências e porcentagens das respostas dadas aos itens c, d, e, h e i -
Ficha avaliativa........................................................................................................ 164
Tabela 8 – Frequências e porcentagens das respostas dadas aos itens 2, 3, 4, 5 e 6
- Ficha avaliativa...................................................................................................... 165
Tabela 9 – Respostas esperadas - Ficha avaliativa
................................................................................................................................. 172
17
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 19
1. REFERENCIAL TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA................................. 23
1.1 Registros de Representações Semióticas........................................................... 23
1.2 Letramento Probabilístico................................................................................... 29
1.3 Revisão de Literatura ......................................................................................... 31
1.3.1 As relações entre causa e condicionamento ................................................... 31
1.3.2 A problemática da definição do evento condicionante .................................... 35
1.3.3 Falácia da conjunção ....................................................................................... 38
1.3.4 Falácia da condicional transposta.................................................................... 40
1.3.5 Utilizando representações para resolver situações condicionais..................... 42
1.3.6 Recurso computacional na aprendizagem de Probabilidade........................... 48
2. ORIENTAÇÕES CURRICULARES...................................................................... 50
3. METODOLOGIA .................................................................................................. 57
3.1 Design Experiment.............................................................................................. 57
3.2 Sujeitos ............................................................................................................... 60
3.3 Material e Ambiente de Trabalho...................................................................... 60
3.4 Descrição do Experimento de Ensino................................................................ 60
3.5 Apresentação da análise preliminar do experimento de ensino e previsão de
organização............................................................................................................... 64
3.5.1 Concepção do experimento.............................................................................. 64
3.5.2 Análise preliminar das atividades..................................................................... 68
3.5.2.1 Primeiro encontro.......................................................................................... 68
3.5.2.2 Segundo encontro......................................................................................... 70
3.5.2.3 Terceiro encontro.......................................................................................... 77
3.5.2.4 Quarto encontro............................................................................................. 84
3.5.2.5 Quinto encontro............................................................................................. 90
4. ANÁLISE DOS DADOS...................................................................................... 101
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................ 173
5.1 Síntese das etapas de pesquisa...................................................................... 173
5.2 Contribuições evidenciadas durante a aplicação do experimento................... 174
5.3 Relação dos resultados com a revisão de literatura......................................... 176
18
5.4 Retomando as hipóteses e a questão de pesquisa........................................... 178
5.5 Perspectivas para novas investigações............................................................. 179
REFERÊNCIAS....................................................................................................... 181
ANEXOS.................................................................................................................. 184
19
INTRODUÇÃO
Este estudo teve por objetivo investigar a aprendizagem de estudantes sobre
probabilidade condicional numa abordagem experimental com a exploração de
registros de representações semióticas, focando principalmente as relações entre as
representações algébrica, da língua natural, da tabela de dupla entrada e da árvore
de probabilidades.
Cada vez mais, no cotidiano, surgem situações que envolvem conceitos
probabilísticos, como, por exemplo, a análise de risco de doenças, a interpretação
de resultados de testes de diagnóstico e a tomada de decisão sobre o tratamento a
ser indicado para cada paciente.
Na docência, temos observado as dificuldades dos alunos em ler, interpretar
textos e determinar estratégias de resolução em situações envolvendo o conteúdo
de Probabilidade e, de forma mais específica, de Probabilidade Condicional. Tal
constatação representou a motivação para investigarmos o processo de
aprendizagem desse conteúdo matemático e, no curso de mestrado, foi possível
buscar, de forma mais efetiva na literatura científica, pesquisas que tratam dessa
temática.
A probabilidade condicional é um importante conteúdo de Probabilidade
devido às aplicações existentes nos aspectos pessoais, profissionais e científicos.
Em diversos momentos, por exemplo, é comum o contato com notícias que
envolvam situações condicionais, conforme se observa na reportagem a seguir,
sobre o falso positivo em exames diagnósticos (Quadro1).
Quadro 1: Reportagem do BBC Journal de 12/01/2010 Fonte:www.bbc.co.uk/portuguese/ciencia/2010/01/100111_cancerprostata_testes_mv.shtml – em 18/09/2013.
A literatura acadêmica identifica como problemática, no tocante à
aprendizagem de probabilidade condicional, o equívoco cometido pelos alunos em
considerar , evidenciando a não diferenciação entre o evento
condicionado (o que irá ocorrer) e o evento condicionante (o que já ocorreu). Essa
Um em oito homens submetidos a testes para câncer da próstata apresentam resultados positivos quando na verdade não estão sofrendo da doença, segundo um estudo europeu publicado na revista científica britânica British Journal of Cancer.
20
dificuldade foi identificada por pesquisadores, como, por exemplo, Falk (1986),
Figueiredo (2000), Martignon e Wassner (2002), Diaz e La Fuente (2006), Estrada e
Díaz (2006) e Borovcnik (2012).
Estrada e Diaz (2006) realizaram uma investigação sobre o uso de tabelas de
dupla entrada para a resolução de problemas de probabilidade. Os resultados desse
estudo indicaram que os sujeitos de pesquisa, futuros professores, apresentaram
vários problemas quanto à interpretação e à resolução de situações que envolviam
conceitos probabilísticos. Dentre as dificuldades mais evidenciadas, as autoras
destacaram a confusão entre um evento e seu complementar, entre uma
probabilidade condicional e sua inversa, entre as probabilidades da intersecção e
condicional e entre a probabilidade simples e as probabilidades da intersecção e/ou
condicional.
As autoras revelaram que a interpretação das informações contidas em uma
tabela de dupla entrada é essencial na vida profissional e cotidiana. Elas também
observaram que uma vantagem do uso desse tipo de representação é a
possibilidade de sintetizar informações de uma população ou de uma amostra,
favorecendo a tomada de decisões em situações de incerteza nas mais diversas
áreas de conhecimento.
Ainda nesse estudo, as autoras afirmaram que a linguagem cotidiana que
usamos para propor um problema que envolve probabilidade condicional não possui
precisão suficiente e, muitas vezes, o seu uso pode acarretar ambiguidades. No
entanto, indicam que o professor deve diversificar a linguagem usada no ensino,
para que possa despertar nos estudantes as habilidades de percepção crítica,
fazendo com que eles, ao se depararem com esses diferentes tipos de informações
presentes no cotidiano, possam ser capazes de ler, interpretar e lidar com situações
que envolvam conceitos probabilísticos.
Ao atuarem dessa forma, os professores estarão em consonância com o
proposto no Letramento de Gal (2005, 2012), o qual será detalhado no Capítulo 1. A
pesquisa também sugere aos professores formadores a necessidade de reformar e
melhorar o ensino de probabilidade, por meio da formação de futuros professores
Figueiredo (2000), Martignon e Wassner (2002) e Diaz e La Fuente (2006)
apontaram estratégias para amenizar as dificuldades referentes à determinação de
probabilidades, tais como o uso de tabelas de dupla entrada e o trabalho com a
árvore de probabilidades.
21
As pesquisas de Falk (1986) e Borovcnik (2012) indicaram que o maior índice
de conflitos ocorreu em conceitos que envolveram a probabilidade da intersecção e
a probabilidade condicional. Esses pesquisadores revelaram que a adoção de
procedimentos de cunho experimental e a utilização de estratégias de resolução que
se utilizaram da árvore de probabilidades favoreceram a compreensão desses
conceitos. O detalhamento desses trabalhos será apresentado no Capítulo 2 do
presente trabalho.
Partindo da problemática identificada, buscamos contemplar essas indicações
de abordagens e estratégias de resolução em nosso experimento de ensino,
promovendo um trabalho com o uso de material concreto, explorando diferentes
representações do objeto matemático e integrando um software, com o intuito de
fornecer aos estudantes um ambiente favorável para a aprendizagem de conceitos
probabilísticos, com vistas a avançar no desenvolvimento do Letramento
Probabilístico dos mesmos.
Considerando a importância de um trabalho de integração entre
representações de diversos registros para a aprendizagem matemática, optamos por
fundamentar o estudo na teoria dos registros de representações semióticas de Duval
(1995, 2003, 2009, 2011). O estudo tratou principalmente dos registros da língua
natural materna, figural (com as representações da tabela de dupla entrada e das
árvores de possibilidades e de probabilidades) e simbólico (com as representações
algébrica e numérica).
Além disso, a presente pesquisa se baseou no Letramento Probabilístico
proposto por Gal (2005, 2012), o qual aponta a importância da formação do
estudante como cidadão crítico diante dos diferentes tipos de informações presentes
no cotidiano, tornando-o capaz de ler, interpretar e lidar com uma série de situações
reais que envolvam interpretação ou geração de mensagens probabilísticas,
auxiliando-o na tomada de decisões.
Devido a essas características e considerando que a proposta do Letramento
Probabilístico se adéqua às indicações dos Parâmetros Curriculares Nacionais
(BRASIL, 1998, 2002 e 2006), essa pesquisa investigou as possíveis contribuições
de uma abordagem experimental para a compreensão da probabilidade condicional
por parte dos sujeitos deste estudo.
Para a construção e condução do experimento, foi escolhida a metodologia de
Design Experiment de Cobb et al. (2003), uma vez que esta é flexível, iterativa e
22
cíclica, permitindo que o desenho inicial seja adaptado durante a execução do
experimento em função das produções dos sujeitos. Ao longo do trabalho, buscamos
essa flexibilidade pelo fato de investigarmos as trajetórias dos estudantes na
construção dos conhecimentos probabilísticos e na adaptação das produções
propostas.
Diante da problemática evidenciada, apresentamos a questão de pesquisa do
presente estudo: Em que aspectos uma abordagem com uso de material concreto
que prioriza um trabalho de relação entre representações de diversos registros
influencia o estudante na compreensão do conteúdo de Probabilidade Condicional?
A hipótese proposta é a de que o experimento elaborado favorece a
construção do conceito de probabilidade condicional, partindo de uma abordagem
com material concreto, e que o trabalho com diferentes registros proporciona uma
compreensão mais efetiva deste conteúdo.
O presente trabalho está organizado em cinco capítulos, além da presente
introdução. No Capítulo 1, é apresentado o referencial teórico e a descrição dos
trabalhos que compuseram a nossa revisão de literatura. O Capítulo 2 contém a
descrição das orientações curriculares utilizadas e as relações delas com o nosso
estudo. O Capítulo 3 traz a descrição da metodologia adotada e a relação dela com
o nosso estudo, além também da primeira versão do experimento e a análise
preliminar das atividades. O Capítulo 4 é reservado para a descrição da análise da
aplicação do design e suas remodelações. Por fim, no Capítulo 5, apresentamos as
conclusões do estudo e as indicações para futuras pesquisas.
23
1. REFERENCIAL TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo, apresentamos a descrição da teoria dos registros de
representações semióticas de Duval (1995, 2003, 2009, 2011) e do Letramento
Probabilístico de Gal (2005, 2012), os quais fundamentaram o presente estudo.
Descrevemos, também, os trabalhos pesquisados na literatura acadêmica que
contribuíram para a elaboração deste estudo.
1.1 Os Registros de Representações Semióticas
Segundo Duval (2009), as representações são produções constituídas pelo
emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas
dificuldades próprias de significado e funcionamento.
Essas representações constituem os graus de liberdade de que um sujeito
pode dispor para objetivar a si próprio uma ideia ainda confusa, um sentimento
latente, para explorar informações ou simplesmente para poder comunicá-las a um
interlocutor (DUVAL, 2009, p.37).
Assim, podemos conceber registro como o sistema semiótico constituído por
representações que possuem regras próprias e que permitem uma relação ou
comparação com outras representações. Duval (1995) afirma que, para um sistema
semiótico ser considerado um registro de representação semiótica, ele deve admitir
três atividades cognitivas: a formação, o tratamento e a conversão. Essas
atividades, quando verificadas, determinam a diferenciação entre os sistemas
semióticos.
Duval (2003) afirma que as representações semióticas não são somente meios
de exteriorização de ideias e pensamentos, mas são também essenciais para a
atividade cognitiva do pensamento. O autor difere a semiósis, capacidade de
absorção ou produção de uma representação semiótica de um objeto, da noésis,
apreensão conceitual do objeto representado. Ele afirma que, na aprendizagem
matemática, semiósis e noésis são inseparáveis, isto é, para que ocorra a
apreensão de um objeto matemático, é necessário que a formação do conceito
(noésis) aconteça por meio do emprego de signos que possam gerar
representações, ou seja, semiósis.
24
Os registros de representações semióticas são o resultado de uma produção
pelo emprego de regra de sinais ou de símbolos, que são expressos por meio de
enunciados em língua natural, fórmula algébrica, figuras e gráficos inerentes ao
objeto. Proporcionam aos indivíduos a exteriorização de suas representações
mentais, tornando-as visíveis por meio de uma troca de informações entre os
participantes desse processo.
Ainda segundo o autor, o objeto matemático possui conteúdo e forma, sendo o
conteúdo o objeto pelo qual estamos nos referindo e a forma, o modo pelo qual ele
está se apresentando. Na Matemática, somente conseguimos acessar os objetos
por meio de representações, pois os conteúdos matemáticos são abstratos, fato que
diferencia essa ciência das demais, dado que na Física, na Biologia e em outras
áreas, é possível tal acesso por outros meios.
As representações semióticas contribuem de forma muito significativa no
desenvolvimento das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização.
Ainda, “os registros são sistemas cognitivamente produtores, ou mesmo criadores de
representações novas, e a produção de novas representações permite descobrir
novos objetos” (DUVAL, 2011, p. 72).
Duval (2003) classifica as representações semióticas em quatro grandes
registros, conforme o quadro a seguir:
Quadro 2 : Classificação dos Registros de Representações Semióticas.
Fonte: Duval, 2003, p. 14
Representação Discursiva Representação Não Discursiva
Registros Multifuncionais
Os tratamentos não são algoritmizáveis.
Língua natural Associações verbais (conceituais). Formas de raciocinar: argumentação a partir de
observações, de crenças...; dedução válida a partir de
definição ou de teoremas.
Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1 , 2 ou 3).
apreensão operatória e não somente perceptiva;
construção com instrumentos.
Registros Monofuncionais
Os tratamentos são principalmente algoritmos.
Sistemas de escritas numéricas (binária, decimal,
fracionária ...); algébricas; simbólicas (línguas formais).
Cálculo
Gráficos cartesianos mudanças de sistemas de coordenadas;
interpolação, extrapolação.
25
Para Duval (2003), a compreensão em Matemática supõe a coordenação de ao
menos dois registros de representação semiótica, que podem ser a própria língua
natural e as figuras geométricas e os sistemas de escrita numérica, algébrica,
simbólica, esquemática e gráfica.
Os registros monofuncionais possuem características próprias na Matemática,
pois seu uso é mais evidente nessa área de conhecimento. De forma mais
específica e restrita, apresentam-se nos gráficos cartesianos e nos sistemas de
escritas numérica, algébrica e simbólica.
Os registros multifuncionais são utilizados também em outras áreas do
conhecimento, cujo uso se concentra nas funções de objetivação e de comunicação.
É possível identificá-los de forma mais evidente no uso da linguagem natural e nas
representações das formas geométricas.
As funções de representações podem ser classificadas em internas ou
externas e, em relação ao nível de consciência aplicado pelo indivíduo no
desenvolvimento de uma tarefa, são classificadas em conscientes ou não
conscientes. Podemos representar essa classificação por meio do Quadro 3.
Interna Externa
Consciente Mental
Função de Objetivação
Semiótica
Função de Objetivação
Função de Expressão
Função de Tratamento
Intencional
Não-consciente Computacional
Função de tratamento
automático ou quase
instantâneo
Quadro 3 – Tipos e funções de representações Fonte: Duval (2009), p.43
As representações externas ocorrem por meio da operacionalização de um
sistema semiótico. Elas possuem características da transmissão de informações
entre os indivíduos, os quais estabelecem uma comunicação pela produção de
representações. Dentre as funções que apresentam essas características, existem
26
as de tratamento e as de objetivação, sendo que estas últimas possuem
características tanto externas quanto internas.
A função de tratamento é caracterizada pela transformação de uma
representação em outra no interior de um mesmo registro. A função de objetivação,
quando externa, é caracterizada pela exteriorização daquilo que ainda não foi
realizado e, quando interna, é caracterizada pela conscientização daquilo que ainda
não foi realizado. As representações internas pertencem ao indivíduo e não são
passadas pela produção de outras representações.
Duval (2003) explica que, na resolução de um problema, um registro pode
aparecer explicitamente privilegiado. No entanto, no ensino de Matemática, sempre
devemos nos atentar para a possibilidade de utilização de mais de um registro.
Neste caso, ele define a conversão como a transformação que parte de uma
representação em um registro em direção a uma representação em outro registro.
Para que isso ocorra, é necessário explicar as variáveis visuais pertinentes aos
registros envolvidos. Essas transformações podem ser realizadas entre
representações dos registros da língua natural, simbólico, figural e gráfico.
As conversões, na perspectiva de Duval (2003), podem se apresentar de
duas formas: como conversões congruentes ou como conversões não congruentes.
Para verificar a congruência de uma conversão, devem ser analisados três critérios:
a possibilidade de uma correspondência semântica entre os elementos significantes,
a univocidade semântica e a ordem dentro da organização das unidades de
composição de cada uma das duas representações.
A possibilidade de uma correspondência semântica entre os elementos
significantes é dada a partir da associação de cada unidade do significante da
representação de partida com cada unidade do significante da representação de
chegada. A univocidade semântica terminal é dada quando cada unidade
significante da representação de saída corresponde a uma só unidade significante
do registro de chegada. A ordem dentro da organização das unidades de
composição é dada quando cada uma das duas representações apresentam o
mesmo número de dimensões, ou a mesma arrumação das unidades quando as
representações são comparadas.
No presente estudo, foram utilizados os registros de representações
semióticas da língua natural materna, figural e simbólico. Almejávamos, com o uso
desses registros de representações, que os sujeitos de nossa pesquisa
27
construíssem o conhecimento por meio da mobilização e coordenação de diferentes
registros.
Para Duval “uma representação semiótica só é interessante à medida que ela
pode se transformar em outra, e não em função do objeto que ela representa”
(Duval, 2011, p.52). Dessa forma, a representação semiótica se torna interessante
para a abordagem de algum conteúdo à medida que podemos utilizá-la para realizar
uma conversão, o que poderá provocar uma reversão do ponto cognitivo sobre
essas diferentes representações.
Destaca-se, como característica fundamental dos encaminhamentos
matemáticos em um registro de representação semiótica, o poder de criação
inerente das operações discursivas dadas ou obtidas no contexto de um problema
proposto, com sua diversidade de graus de explicitação ou de sintetização das
variáveis presentes nesses registros. Esses graus estão relacionados com a
congruência das representações.
No esquema do Quadro 4, podem ser observados alguns exemplos de
tratamento e de conversão de registros, dentro da perspectiva da probabilidade
condicional.
28
Registro Exemplo
Registro da Língua Natural Materna
Num grupo de turistas temos dezoito argentinos, sendo oito mulheres e vinte
e dois brasileiros, com 10 mulheres.
18 argentinos, sendo 10 homens e 8 mulheres; 22 brasileiros, sendo 10 mulheres e 12 homens.
Registro Figural
de tabela de dupla entrada
Homens 22
Mulheres 18
Brasileiros 22
Argentinos 18
Argentinos Brasileiros
Homens 10 12
Mulheres 8 10
de árvore de possibilidades
de árvore de probabilidades
Registro
Simbólico
na forma algébrica
na forma numérica
Quadro 4 – Exemplos dos registros utilizados neste trabalho Fonte: Acervo próprio
Tratamento
Conversão
Situação
B
A
H
M
H
M
P (H I A)
P (H I B)
P (A) P (M I A)
P (B)
P (M I B)
P (H ∩ A)
P (M ∩ A)
P (H ∩ B)
P (M ∩ B)
Situação
B
A
H
M
H
M
H I A
H I B
A M I A
B
M I B
H ∩ A
M ∩ A
H ∩ B
M ∩ B
Situação
B
A
H
M
H
M
H I A
H I B
A M I A
B
M I B
P (B I H)
B
A H
M
P (A I H)
P (M)
P (B I M)
P (H)
P (A I M)
P (H ∩ A)
P (M ∩ A)
P (H ∩ B)
P (M ∩ B)
Situação
BRA
ARG
H
M
H
M
P (H I A)
P (H I B)
P (A) P (M I A)
P (B)
P (M I B)
P (H ∩ A)
P (M ∩ A)
P (H ∩ B)
P (M ∩ B)
A
B
Situação
29
Neste trabalho, ao propormos atividades de conversão entre esses registros de
representação na exploração dos conteúdos de probabilidade e dos problemas
condicionais, tivemos a intenção de propiciar um ambiente que permitisse ao
estudante transitar por diversas formas de representação, visando à construção do
objeto matemático deste estudo.
No que tange à Probabilidade, foi proposto aos estudantes que realizassem a
conversão da língua natural materna para os registros da tabela de dupla entrada ou
para o registro do diagrama da árvore. Dependendo do problema de probabilidade, o
custo do tratamento (transformação de uma representação dentro de um mesmo
registro) pode ser menor dentro de um registro do que em outro.
Além de utilizar o referencial teórico de Duval dos registros de representações
semióticas, o experimento de ensino foi desenvolvido na perspectiva do Letramento
Probabilístico proposto por Gal (2005, 2012), que dispõe sobre os requisitos
desejáveis para que os estudantes alcancem o nível de letramento em
Probabilidade.
1.2 O Letramento Probabilístico
Vários conceitos probabilísticos têm sido utilizados pela mídia para transmitir
informações, como, por exemplo, notícias sobre previsões meteorológicas, cálculos
dos riscos de incidência de doenças, aplicações de mercado, dentre outras.
Dada a presença desses conceitos na vida cotidiana de nossos estudantes,
Gal (2012) aponta que se torna necessário o desenvolvimento de certas habilidades
para torná-los capazes de interpretar corretamente informações probabilísticas
normalmente encontradas na mídia, no local de trabalho e em contextos de ação
cívica. Dessa forma, o autor afirma que há a necessidade de se abordar situações
que possam proporcionar aos estudantes a instrução necessária para acessar,
utilizar, avaliar criticamente, comunicar e reagir a mensagens probabilísticas
encontradas em contextos de leitura, compreender textos apresentados em gráficos
e tabelas de dupla entrada.
De acordo com Gal (2005), o individuo “letrado” em probabilidade é capaz de
ler e interpretar informações probabilísticas presentes no seu cotidiano, tendo um
conjunto mínimo de habilidades básicas formais ou informais (crenças e atitudes na
perspectiva crítica).
30
Dessa forma, Gal (2012) define Letramento Probabilístico como:
A capacidade de acessar, utilizar, interpretar e comunicar informações e
ideias relacionadas com a probabilidade, a fim de envolver e gerir de forma
eficaz as demandas de papéis do mundo real e as tarefas que envolvem
incertezas e riscos. (GAL, 2012, p.4, tradução nossa).
O autor propõe cinco elementos cognitivos, denominados Abordagem de
Grandes Tópicos, Cálculos Probabilísticos, Linguagem, Contexto e Perguntas
Críticas, e três elementos disposicionais, Postura Crítica, Crenças e Atitudes, e
Sentimentos Pessoais sobre Incerteza e Risco. Segundo Gal (2005), esses
conjuntos de elementos são necessários para que uma pessoa seja considerada
letrada em Probabilidade.
Tendo em vista que o presente estudo tem o interesse específico nos aspectos
cognitivos, não nos aprofundaremos nos elementos disposicionais. Detalharemos,
então, apenas os cinco elementos cognitivos propostos por Gal (2005).
O primeiro elemento cognitivo, denominado Abordagem de Grandes Tópicos,
envolve temas como variação, aleatoriedade, independência e previsão/incerteza.
Para Gal (2005), a familiaridade com esses tópicos pode possibilitar aos alunos um
entendimento da representação, da interpretação e das implicações de afirmações
probabilísticas.
O segundo elemento cognitivo, Cálculos Probabilísticos, é representado pelas
formas de encontrar ou estimar a probabilidade de eventos. Nesse caso, os alunos
devem se familiarizar com os diferentes caminhos para o cálculo de probabilidade
dos eventos, para que, desta maneira, possam entender as afirmações
probabilísticas feitas por outras pessoas, gerar estimativas sobre a possibilidade dos
eventos e ter condições de se comunicar.
O terceiro elemento cognitivo, Linguagem, refere-se aos métodos utilizados
para comunicar resultados probabilísticos. O domínio de probabilidade requer
familiaridade com vários conceitos complexos, especialmente variabilidade,
aleatoriedade, independência, previsibilidade e certeza, chance, possibilidade ou
risco. Entretanto, na maioria das vezes, esses termos abstratos não têm definições
triviais que possam ser explicadas em linguagem simples ou por meio de referências
a objetos reais. Por essa razão, os seus significados muitas vezes só podem ser
entendidos depois de um processo acumulativo.
31
O quarto elemento cognitivo, Contexto, revela a importância da compreensão
do papel e dos significados de mensagens probabilísticas em diferentes contextos,
para desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e
intervenção no mundo real.
O quinto elemento cognitivo, Perguntas Críticas, tem como propósito possibilitar
ao estudante refletir e questionar criticamente uma estimativa ou uma declaração
probabilística. Segundo Gal (2012), os alunos tendem a estimar probabilidades
utilizando-se de certos métodos, sem necessariamente pensar sobre aleatoriedade,
variedade, independência ou os riscos que podem surgir ao utilizar caminhos
diferentes daqueles provenientes de aspectos formais.
Na próxima seção, serão descritos os estudos presentes na literatura científica
que colaboraram para a construção deste trabalho.
1.3 Revisão de Literatura
Nesta seção, são apresentados os trabalhos que tratam do conteúdo de
probabilidade condicional e que contribuíram para a construção do presente estudo.
A opção por analisar tais trabalhos segue as problemáticas inerentes ao estudo de
probabilidade condicional, evidenciadas por Tversky e Kahneman (1980), Falk
(1986), Diaz e La Fuente (2006) e Borovcnik (2012). Para isso, o ponto de partida é
a organização das problemáticas proposta por Falk (1986), que identificou
problemas relacionados às relações entre causa e condicionamento, à determinação
do evento condicionante, às falácias da conjunção e da condicional transposta. São
descritos, também, estudos que recomendam o uso de recursos didáticos e
tecnológicos para o ensino da probabilidade condicional.
1.3.1 As relações entre causa e condicionamento
A maneira como os alunos compreendiam a probabilidade condicional foi
objeto de investigação da pesquisadora da área de psicologia da Universidade
Hebraica, Rumma Falk (1986). Em seu estudo, a autora apresentou aos sujeitos a
seguinte situação-problema:
32
Uma urna contém duas bolas brancas e duas bolas pretas. Denotaremos o evento “sair bola branca” por (A) e o evento “sair bola preta” por (B). Ao retirarmos aleatoriamente duas bolas, uma após a outra e sem reposição, qual a probabilidade de a segunda bola ser branca dado que a primeira foi branca? Ou seja, P(A2 I A1)? (FALK, 1986, p. 292, tradução nossa).
Figura 1: A urna de Falk
Fonte: Acervo próprio
Falk (1986) constatou que os sujeitos de sua pesquisa consideraram o
problema de fácil resolução e apresentaram como resposta o valor correto
.
Ao propor a probabilidade inversa, P(A1 I A2), Falk (1986) constatou que alguns
sujeitos consideraram o problema sem sentido, alegando inclusive que não seria
permitido o condicionamento da probabilidade de um resultado de um evento que
ocorre depois. Entre os sujeitos que apresentaram uma resolução, a maioria
respondeu
, enquanto o correto seria
.
Em relação às respostas dadas pelos sujeitos de sua pesquisa, a autora
observou a recusa deles em aceitar evidências como a ocorrência posterior de um
evento, a formação de julgamentos probabilísticos equivocados e a falta de reflexão
em relação a situações que envolvem causalidade.
Enquanto o resultado do segundo sorteio depende causalmente do que
resulta o primeiro, o inverso não é verdadeiro. Ainda assim, temos o impacto
informacional que a condicionalidade de A2 em A1 é a mesma que de A1 em A2.
Segundo Falk (1986), psicologicamente esses dois problemas não são
percebidos como simétricos e o centro do problema está na forma como este é
direcionado ao nosso estado do conhecimento. A partir do momento em que
soubermos que a segunda retirada resultou em uma bola branca, teremos avançado
além do estágio inicial, ou seja, perceberemos que, neste caso,
P(A2 I A1) = P(A1 I A2)=
.
Ao analisar esses resultados, a pesquisadora concluiu que os sujeitos do
estudo basearam sua resposta apenas na composição da urna, desde o início da
experiência, não considerando a informação sobre o resultado posterior. Os sujeitos
da pesquisa argumentaram que, antes da primeira retirada, o segundo sorteio ainda
33
não havia sido realizado, e o resultado da primeira bola não sofreria interferência se
o resultado da segunda fosse branca ou preta.
Falk (1986) classifica a dificuldade de considerar a evidência após a
ocorrência do evento, ou seja, de assumir que o evento condicionado deve preceder
o evento condicional temporariamente, como falácia do eixo temporal.
Como sugestão para amenizar essa dificuldade, a autora indicou a
apresentação aos alunos de alguns exemplos de situações cotidianas ou de
situações recentemente resolvidas a partir da informação utilizada, para modificar as
avaliações anteriores da probabilidade de eventos incertos.
Borovcnik (2012) utilizou em seu estudo o mesmo problema proposto por Falk
(1986), evidenciando que seus sujeitos, assim como os de Falk, revelaram que a
probabilidade de sair uma bola branca na segunda retirada era
, considerando,
assim, somente a composição inicial da urna. Os sujeitos não observaram que a
probabilidade seria de
, uma vez que haveria a possibilidade de se extrair somente
mais uma bola branca dentre as três restantes na urna. Diante disso, a partir da
produção dos sujeitos, Borovcnik (2012) concluiu que as causas precedem os
efeitos.
Para a obtenção da condicional inversa, Borovcnik (2012) afirmou que a
diversidade de estratégias pessoais é de conhecimento geral, especialmente para a
percepção de uma interferência causal. Dessa forma, considerando que no primeiro
sorteio havia duas bolas brancas e duas bolas pretas, a probabilidade de obter a
primeira bola branca, sabendo que a segunda era branca, era dada pelos sujeitos
como
, ou seja, eles acreditavam que essa probabilidade não se alterava na
realização de eventos posteriores. Para os sujeitos, a probabilidade posterior não
poderia influenciar a probabilidade do evento anterior, ao contrário do que ocorre
com a condicional inversa.
Para Borovcnik (2012), este pensamento é característico de um paradigma
causal, ou seja, para os sujeitos, primeiro ocorre a causa e a consequência ocorre
posteriormente. Além disso, essas variações da urna no problema de Falk (1986)
indicam que parece haver certa divisão em dois níveis entre essas duas ideias. Para
o autor, o nível mais alto atua por meio das razões lógicas, isto é, dos esquemas
causais, e outro mais baixo, atua por meio do raciocínio probabilístico.
34
Diaz e La Fuente (2006), ao utilizarem a mesma situação-problema,
observaram que os sujeitos apresentaram o mesmo tipo de dificuldade. Elas
consideraram que, na primeira situação, a primeira inferência causal é natural e
compatível com o eixo do tempo. Já a segunda "inferência para trás" parece criar
uma dificuldade para o raciocíonio probabilístico, uma vez que é indiferente à ordem
temporal.
Em relação a mesma problemática, Tversky e Kahneman (1980) investigaram
os julgamentos da probabilidade condicional de um evento X, dado em
relação a D. Ao realizar uma análise, os autores relataram que é possível distinguir
diferentes tipos de relações entre o juízo concebido entre D e X. Se D é percebido
como causa de X, então D é uma referência causal. Por outro lado, se X é tratado
como uma possível causa de D, D é tratado como um dado diagnóstico. Em um
tratamento da probabilidade condicional, uma distinção entre os vários tipos de
relação de D para X é imaterial e o impacto dos dados depende unicamente de sua
informatividade.
Tversky e Kahneman (1980) mostraram, em estudo que tratou da mesma
problemática, que o impacto psicológico dos dados depende criticamente do papel
deles sobre um esquema causal. Devido à prevalência de esquemas causais em
nossa percepção do mundo, os dados causais têm maior impacto na nossa
inferência probabilística do que outros dados de igual informatividade.
Esses autores propuseram um problema no qual foi solicitado aos sujeitos
que comparassem duas probabilidades condicionais, e para um
par de eventos positivamente correlacionados X e Y, de tal modo que X era
naturalmente visto como uma causa de Y, com = (tal como no
exemplo anterior das duas retiradas). Foi observado nesse estudo que a maior parte
dos sujeitos julgou uma relação causal mais forte do que a inversa (de diagnóstico),
relacionando erroneamente que > .
Esses autores contextualizaram essa situação com o seguinte exemplo:
Considerando que as proporções de olhos azuis nas duas gerações de uma família são iguais, qual a probabilidade de uma menina ter olhos azuis sabendo que sua mãe tem olhos azuis? (TVERSKY E KAHNEMAM, 1980, p.118, tradução nossa).
Diante dessa situação, a maior parte dos sujeitos da pesquisa considerou que
a probabilidade de uma menina ter olhos azuis se a mãe tem olhos azuis, era maior
que a probabilidade de a mãe ter olhos azuis se sua filha tem olhos azuis, embora
35
tenham sido consideradas as proporções de indivíduos de olhos azuis nas duas
gerações como iguais.
Essas situações trazem à luz conhecimentos psicológicos e didáticos
envolvidos nesses casos das condicionais, porém, consideramos que o exemplo de
Falk (1986) das duas retiradas (em que os dois eventos são negativamente
correlacionados) fornece um caso de maior impacto na análise de desempenho das
provas causais em relação às provas de diagnóstico, devido à total negação, por
parte dos sujeitos da pesquisa, da relevância deste último tipo de prova.
1.3.2. A problemática da determinação do evento condicionante
A problemática da determinação do evento condicionante consiste na
dificuldade de determinar que a probabilidade do evento em questão deve ser
condicionada ao evento imediato, dado como ponto de referência no problema, e
não em algum evento inferido. Essa problemática também foi destacada por
diversos autores, tais como Gardner (1959), Freund (1965), Mosteller (1965), Falk
(1978), Betteley (1979), Bar-Hillel e Falk (1982) e Falk (1986).
Falk (1986) evidenciou essa problemática ao propor a seguinte situação,
conhecida como o problema das três cartas.
Três cartas estão em um chapéu. Uma carta é azul em ambos os lados, outra é verde em ambos os lados, e a outra é azul de um lado e verde do outro. Retiramos uma carta ao acaso de dentro do chapéu e colocamos em cima da mesa. O lado visível da carta retirada é azul. Qual é a probabilidade de que o lado oculto também seja azul? (FALK, 1986, p. 293, tradução nossa).
Analisando o espaço amostral, verificam-se os seis resultados do
experimento, ou seja, as seis faces das três cartas, as quais têm a mesma
probabilidade de representar a face superior sobre a mesa, como garantido pelo
procedimento experimental.
Segundo Falk (1986), a maioria dos sujeitos de sua pesquisa forneceu
espontaneamente a resposta
, enquanto o correto seria
. Eles condicionaram o
cálculo desse evento ao fato de a carta com as duas faces verdes estar fora da
análise e acabaram considerando que a probabilidade de sair face azul seria dada
por um caso dentre as duas que tinham faces azuis. A autora revelou que, embora
os sujeitos estivessem certos ao considerarem que a dupla carta verde não poderia
36
ser a carta que estava sobre a mesa e que não seria o caso condicionar a
probabilidade do evento em questão, esse acontecimento condicionado não foi
definido no espaço amostral, ou seja, não foi relacionado entre os possíveis
resultados desse experimento.
A resolução desse problema é apresentada a seguir.
Frente Verso
ou
Figura 2 – Resolução do problema das três cartas de Falk Fonte: Acervo próprio
Ao analisar as dificuldades dos sujeitos, Falk (1986) observou que os sujeitos
não identificaram que a situação consistia em uma série de experiências sucessivas.
A este respeito, a autora afirmou que existem dois tipos de situações relacionadas à
probabilidade condicional, as situações sincrônicas e as situações diacrônicas.
As situações sincrônicas são situações estáticas, isto é, são realizadas
simultaneamente e, nesse caso, as probabilidades se mantêm. Nas situações
diacrônicas, ou seja, situações nas quais uma experiência é efetuada após a outra,
as probabilidades se alteram.
O problema a seguir, que se trata de uma situação diacrônica, proposto por
Tversky e Kahneman (1980), indica a extração das probabilidades condicionais, por
meio da análise do resultado de um exame diagnóstico, amniocentese, para verificar
as possibilidades dos sexos dos fetos, em caso de gêmeos.
Situação
3/6
3/6
1/3
2/3
1/3
2/3
A1
A1
V1
A2
V2
V1
A2
A1
V1
A1
V1
V2
37
Uma mulher está grávida de gêmeos. Ao considerarmos as três combinações possíveis de gêmeos - dois meninos (XY e XY), duas meninas (XX e XX), um menino e uma menina (XY e XX) – estes resultados são conhecidos por serem equiprováveis. Um teste cromossômico é realizado em células aleatórias da bolsa amniótica e os resultados mostram que é um menino. Qual é a probabilidade de que a mulher esteja esperando dois meninos? (TVERSKY E KAHNEMAM, 1980, p.118, tradução nossa).
Figura 3 – Possibilidades de gêmeos Fonte: Adaptado de HowStuffWorks, 2005
Da mesma forma do problema das cartas, citado anteriormente, sabemos
que, embora seja verdade que a possibilidade de duas meninas está descartada
pelo resultado do teste, as outras duas possibilidades não são igualmente prováveis.
Se a mulher está grávida de dois meninos, o resultado do teste é duas vezes mais
provável do que no caso em que ela está esperando um menino e uma menina.
Portanto, a probabilidade de serem dois meninos, sabendo que o teste demonstrou
como resultado “menino”, é de
.
O foco principal das duas versões, das cartas no chapéu e do exame para
identificar o sexo dos fetos, é a probabilidade de o evento alvo ser condicionado ao
evento imediato, dado como ponto de referência no problema e não em algum
evento inferido. O evento condicionado não deve coincidir com a conclusão válida "o
cartão com as duas faces verdes está fora" ou "duas meninas estão fora". Ele deve
ser definido diretamente pelo procedimento experimental do problema, ou seja, "um
lado selecionado aleatoriamente de um cartão é azul" ou “um feto selecionado
aleatoriamente a partir de uma gravidez de gêmeos é um menino”.
Para analisar a importância do raciocínio condicional, Borovcnik (2012),
investigou o conceito de probabilidade com o uso de ideias convergentes e de
estratégias de resolução. Para isso, recorreu à exploração de contextos médicos,
além de situações condicionais existentes na literatura acadêmica. O autor utilizou o
problema acima, que possui resolução análoga ao problema das cartas no chapéu,
citado anteriormente.
38
Ainda com relação ao uso de contextos médicos para a exploração de
probabilidades, o autor destaca que além da equiparação dos resultados das
condicionais, ainda temos o problema da interpretação entre causa e efeito.
Nesse sentido, Borovcnik (2012) afirma que o cálculo de probabilidades
condicionais corresponde às intuições das pessoas, unindo tanto estratégias não
probabilísticas como probabilísticas em problemas bayesianos. Para o autor, as
estratégias de ensino devem explorar essas condicionais sem envolver tempo e
causa, apresentando-as como um conceito amplo para integrar qualquer tipo de
tomada de decisão para avaliar uma probabilidade.
Segundo Falk (1986), o método pelo qual obtemos os dados é crucial na
determinação de um novo evento condicionado, ou seja, o importante não é apenas
determinarmos o que sabemos, mas também determinarmos como conhecemos.
Para Falk (1986), os exemplos das cartas no chapéu e da possibilidade de
gêmeos do mesmo sexo destacam o papel vital do conceito básico explorado a partir
de experimentos probabilísticos, ou seja, os resultados desses experimentos
auxiliam a definir o novo espaço amostral do experimento. Assim, para a autora,
uma forma de promover o ganho de conhecimentos referentes a tais problemas
consiste na utilização de um dispositivo de modelos experimentais, a fim de explicar
o procedimento exato que gerou os dados para descobrir pressupostos ocultos.
1.3.3. Falácia da conjunção
A falácia da conjunção foi evidenciada por Tversky e Kahneman (1980) como
a crença de que é mais provável a intersecção de dois acontecimentos do que a
probabilidade de qualquer um dos acontecimentos que constituem essa situação, ou
seja, a probabilidade da intersecção é considerada maior do que a probabilidade
isolada de cada evento, P(AB) > P(A) e P(AB) > P(B).
Nesse mesmo sentido, Tversky e Kahneman (1980), Falk (1986), Einhorn e
Hogarth (1986), Pollatsek, Well, Konold e Hardiman (1987), Ojeda (1995) e Diaz e
La Fuente (2006) afirmam que a confusão entre as probabilidades condicional e da
intersecção está relacionada com essa falácia.
Pollatsek, Well, Konold e Hardiman (1987) reforçaram as afirmações de Falk
(1986). Nesse estudo, os autores evidenciaram que muitos dos problemas que os
sujeitos apresentaram na compreensão da probabilidade condicional foram
39
decorrentes de dificuldades de compreensão dos enunciados das tarefas. Nesse
estudo, os pesquisadores verificaram que os alunos confundiam os significados das
probabilidades condicionais e da intersecção, isto é, P(A | B) com P(A ∩ B),
confusão que se tornou particularmente evidente quando da interpretação de
enunciados de problemas que implicavam a identificação destas probabilidades.
Einhorn e Hogarth (1986) propuseram um problema a vinte e quatro alunos,
com frases que utilizavam a conjunção "e". Por exemplo, foi proposta a seguinte
questão: "Qual é a probabilidade de eles irem ao supermercado e comprarem
café?". Os autores concluíram que 9 dos 24 alunos interpretaram essa questão
como uma situação condicional, entendendo-a como P(comprar café │ ir ao
supermercado). Os autores observaram que esses tipos de frases podem levar os
sujeitos a confundir a probabilidade da intersecção com a probabilidade condicional.
Ojeda (1995) realizou uma pesquisa que consistiu em questões que
envolviam a intersecção de eventos e eventos condicionais. Os sujeitos desse
estudo consideraram que as questões sobre a probabilidade da intersecção são
mais complexas que as de probabilidade condicional. Além disso, o autor apontou
como resultado que mais da metade dos sujeitos de seu estudo interpretou a
interseção como condicional. Ao final da pesquisa, o autor concluiu que essa
confusão está ligada a dificuldades de interpretação, compreensão e execução de
tarefas que envolvem situações condicionais.
Tversky e Kahneman (1983) propuseram aos estudantes de um curso de
formação em Estatística a situação apresentada a seguir, que também foi utilizada
posteriormente por Diaz e La Fuente (2006).
Quadro 5 – Problema 8 Fonte: Assessing Psychology Students Difficulties with conditional probability and Bayesian reasoning - Diaz e La Fuente, 2006 – p. 7
Foi realizada uma pesquisa em um grupo de homens de uma população e como resultado dessa pesquisa, obtivemos os seguintes resultados:
Menos de 55 anos Mais de 55 anos Total
Sofreu ataque cardíaco 29 75 104
Não sofreu ataque cardíaco 401 275 676
Total 430 350 780
Ao escolhermos ao acaso um desses homens: a) Qual o percentual de homens que tem mais de 55 anos que sofreu um ou mais ataques
cardíacos?
b) Qual o percentual de homens apresentou um ou mais ataques cardíacos?
40
Tversky e Kahneman (1983) relataram que a maior parte dos sujeitos indicou
que (a) é mais provável que (b), o que viola a regra da intersecção. Além disso, eles
relataram taxas similares de violações em várias variações dessa questão, inclusive
injetando mais alternativas e usando um personagem fictício diferente. Os autores
afirmaram que essa dificuldade, a falácia da conjunção, está associada ao fato de
considerar um dos resultados do conjunto como o mais representativo da população,
gerando, dessa forma, cada evento separadamente, bem como o fato de que ao
pensar na intersecção, os sujeitos pensam ou imaginam uma categoria ou modelo
mais restrito.
Tanto Tversky e Kahneman (1980) quanto Diaz e La Fuente (2006)
constataram que seus sujeitos deram uma porcentagem mais elevada para a
primeira pergunta do que para a segunda.
1.3.4. Falácia da condicional transposta
Falk (1986) defende que o problema da condicional está associado ao fato de
que muitos alunos não diferenciam adequadamente os dois sentidos da
probabilidade condicional | e | . Esse erro foi denominado por esse
autor como falácia da condicional transposta.
Segundo Diaz e La Fuente (2006), fatores que geram dúvida na maioria dos
alunos estão relacionados às situações sincrônicas (simultâneas) e as diacrônicas
(sequenciais). As sincr�