UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

ROBSON DOS SANTOS FERREIRA

INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO: UMA PROPOSTA COM

O SOFTWARE SIMCALC NO ENSINO FUNDAMENTAL

SÃO PAULO

2016

F444i

Ferreira, Robson dos Santos

Introdução ao conceito de função: uma proposta com o software SIMCALC no ensino fundamental. /Robson dos Santos Ferreira. – São Paulo, 2016.

197 f.: il; 30 cm

Tese (Programa de Doutorado em Educação Matemática) – Coordenadoria de Pós-graduação, Universidade Anhanguera de São Paulo, 2016.

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Rosana Nogueira de Lima

1. Coletivos pensantes. 2. Função. 3. Obstáculos epistemológicos. 4. SimCalc. I.Título. II Universidade Anhanguera.

CDD 510.71

ROBSON DOS SANTOS FERREIRA

INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO: UMA PROPOSTA COM

O SOFTWARE SIMCALC NO ENSINO FUNDAMENTAL

Tese apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Educação Matemática da

Universidade Anhanguera de São Paulo

como requisito parcial para obtenção do

título de Doutor em Educação

Matemática.

Orientadora: Profª. Drª. Rosana Nogueira

de Lima.

SÃO PAULO

2016

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Robson dos Santos Ferreira

AGRADECIMENTOS

À Profª Drª Rosana Nogueira de Lima, orientadora, pelo empenho, paciência e

dedicação na orientação desse trabalho.

Às Profas Dras Marilena Bittar e Rúbia Barcelos Amaral pela prontidão em aceitarem

fazer parte da banca de defesa dessa tese, oferecendo contribuições indispensáveis

para o término da mesma.

Às Profas Dras, Janete Bolite Frant e Vera Helena Giusti de Souza que, para além

das contribuições como membros da banca de defesa, foram responsáveis, através

de suas aulas, pelo surgimento das questões exploradas nesta pesquisa.

À Profª Drª Verônica Yumi Kataoka, grande incentivadora do meu ingresso no

doutorado.

À coordenação e professores do Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática desta Universidade, responsáveis pela minha formação e inserção como

pesquisador na Área da Educação Matemática.

Aos Srs Anália, Débora e Guilherme, secretários do curso, pela atenção dispensada.

À professora Silvana Aparecida Domingues, ao professor e diretor João Pereira

Leite e aos alunos da EMEIF Profº Antonio Cavaglieri por compreenderem a

importância da integração entre a escola e a Universidade.

À CAPES, pela bolsa concedida, a qual ofereceu condições para a finalização deste

trabalho.

À minha família e a todos os que, direta ou indiretamente, contribuíram para a

realização deste trabalho, compreendendo minha ausência em muitos momentos,

em prol do bom desenvolvimento desta pesquisa.

Porque eu fazia do amor um cálculo matemático errado: pensava que, somando as

compreensões, eu amava. Não sabia que, somando as incompreensões é que se

ama verdadeiramente.

Clarice Lispector

RESUMO

FERREIRA, R. S. Introdução ao conceito de função: uma proposta com o software SimCalc no ensino fundamental. 2016. 197f. Tese de Doutorado em

Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 20161.

Nesta pesquisa, temos por objetivo discutir quais Obstáculos Epistemológicos apontados por Sierpinska surgem ao introduzir ideias relacionadas ao conceito de Função com alunos de 9º ano do ensino fundamental por meio de um coletivo pensante, e quais são as potencialidades do software SimCalc enquanto integrante desse coletivo que colaboram com a superação dos Obstáculos evidenciados. A pesquisa é de cunho qualitativo e foi estruturada de acordo com alguns elementos da metodologia do Design Experiment. Foram desenvolvidas nove atividades distribuídas em seis encontros com oito alunos de 9º ano do ensino fundamental de uma escola municipal da cidade de São Roque, São Paulo. Os registros do desenvolvimento das atividades foram feitos por meio de gravações e de protocolos escritos. Os resultados apontam a presença de alguns Obstáculos Epistemológicos na introdução do conceito de Função neste nível de ensino, sendo que, neste estudo, os mais frequentes foram “A Matemática não está preocupada com problemas práticos” e “Proporção é um tipo privilegiado de relação”, o que nos fez inferir que, ao se introduzir o conceito de Função no ensino fundamental, deve-se ter a consciência da incidência destes obstáculos para que assim seja possível traçar estratégias para superá-los. O software SimCalc, ao ser integrado ao grupo de trabalho, ofereceu elementos importantes para a constituição de um coletivo pensante favorável para a construção do conceito de Função, uma vez que, por meio da Matemática do Movimento, explorou uma representação de função que usualmente não é explorada no ambiente escolar, propiciando, assim, o reconhecimento de características essenciais para a construção do conceito de Função, tais como: relações entre duas variáveis, dependência, características de crescimento e decrescimento e reconhecimento dos conjuntos domínio e imagem.

Palavras-chave: Coletivos Pensantes; Função; Obstáculos Epistemológicos;

SimCalc.

1 Orientadora: Profª. Drª. Rosana Nogueira de Lima

ABSTRACT

With this research study, we aim at discuss which Epistemological Obstacles presented by Sierpinska are raised when introducing ideas related to the concept of function in 9th grade by a collective thinking, and what are the potentialities of the software SimCalc as integrating such collective that support surpassing the evidenced Obstacles. This is a qualitative study, structured according to elements of Cobb et al.’s Design Experiment. We have designed nine activities to be worked in six meetings with eight 9th grade students from a public school in São Roque, São Paulo. We have audio and written registers from students working with our activities. Results point to the presence of some Epistemological Obstacles in the introduction of the concept of function in this school level, being the most frequent ones “Mathematics is not concerned with practical problems” and “Proportion is a privileged kind of relationship”. These made us infer that, when introducing the concept of function, it is necessary to be aware of the existence of such obstacles to be possible to develop strategies to surpass them. When integrated to the work group, SimCalc constituted a favourable collective thinking to the construction of the concept of function, since, by using Mathematics of Movement, an unusual representation of function to school environment was explored making it possible to recognize essential characteristics for constructing the concept of function, such as relation between two variables, dependence, growth and recognition of image and domain sets.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Representação da pista utilizada ............................................................... 52

Figura 2. Cartesiangraph x Dynagraph..................................................................... 60

Figura 3. Tela inicial do SimCalc ............................................................................... 82

Figura 4. Disposição dos eixos do SimCalc .............................................................. 84

Figura 5. Atividade reformulada. 1 ............................................................................ 89

Figura 6. Atividade reformulada. 2 ............................................................................ 91

Figura 7. Atividade reformulada. 3 ............................................................................ 93

Figura 8. Atividade reformulada. 4 ............................................................................ 94

Figura 9. Ferramentas Criar Ator ............................................................................... 97

Figura 10. Comandos Criar Ator ................................................................................ 97

Figura 11. Layout do mundo ...................................................................................... 98

Figura 12. Atores simultâneos ................................................................................... 99

Figura 13. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 103

Figura 14. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 104

Figura 15. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 104

Figura 16. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 105

Figura 17. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 106

Figura 18. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 107

Figura 19. Resposta de C3 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 107

Figura 20. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 107

Figura 21. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 108

Figura 22. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 108

Figura 23. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 109

Figura 24. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 110

Figura 25. Resposta de C4 para a Questão E da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 111

Figura 26. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 111

Figura 27. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1 ............... 112

Figura 28. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 112

Figura 29. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113

Figura 30. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113

Figura 31. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113

Figura 32. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 113

Figura 33. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 114

Figura 34. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 114

Figura 35. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 115

Figura 36. Rascunho de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1 .............. 116

Figura 37. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1 ............... 116

Figura 38. Resposta de C2 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 116

Figura 39. Resposta de C3 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 116

Figura 40. Resposta de C1 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 117

Figura 41. Resposta de C4 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1 ................ 118

Figura 42. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 119

Figura 43. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 120

Figura 44. Sequência de C4 .................................................................................... 120

Figura 45. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 3 do Bloco 1 .............. 120

Figura 46. Resposta de C4 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 .............. 121

Figura 47. Resposta de C1 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 121

Figura 48. Resposta de C2 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 ............... 122

Figura 49. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1 .............. 122

Figura 50. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 4 do Bloco 1 .............. 124

Figura 51. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1 .............. 124

Figura 52. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 125

Figura 53. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 125

Figura 54. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 126

Figura 55. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1 ............... 126

Figura 56. História de C1......................................................................................... 128

Figura 57. História de C2......................................................................................... 129

Figura 58. História de C3......................................................................................... 130

Figura 59. História de C4......................................................................................... 131

Figura 60. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 139

Figura 61. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 139

Figura 62. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 140

Figura 63. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 140

Figura 64. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 141

Figura 65. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2 ............... 141

Figura 66. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143

Figura 67. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143

Figura 68. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143

Figura 69. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 143

Figura 70. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 144

Figura 71. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 144

Figura 72. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 144

Figura 73. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145

Figura 74. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145

Figura 75. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145

Figura 76. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 145

Figura 77. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 146

Figura 78. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 146

Figura 79. Resposta de C1 para a Questão E da Atividade 2 do Bloco 2 ............... 147

Figura 80. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 148

Figura 81. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 148

Figura 82. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 149

Figura 83. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 149

Figura 84. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 150

Figura 85. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 150

Figura 86. Mundo utilizado por C3 na Questão B da Atividade 3 do Bloco 2 .......... 151

Figura 87. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 151

Figura 88. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 151

Figura 89. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 151

Figura 90. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 152

Figura 91. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 3 do Bloco 2 ............... 152

Figura 92. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 157

Figura 93. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 158

Figura 94. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 158

Figura 95. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 158

Figura 96. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 159

Figura 97. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 159

Figura 98. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 160

Figura 99. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3 ............... 160

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 12

1 OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS ................................................................. 18

1.1 Obstáculos Epistemológicos na Perspectiva de Gaston Bachelard ............ 18

1.2 Obstáculos Epistemológicos na Educação Matemática ................................ 24

1.3 Obstáculos Epistemológicos no Ensino de Funções .................................... 27

1.4 Diferentes Visões de Obstáculos .................................................................... 33

2 O CONCEITO DE FUNÇÃO .................................................................................. 35

2.1 Perspectivas do Conceito de Função .............................................................. 35

2.2 Sierpinska e o Conceito de Função ................................................................. 41

2.2.1 Os Atos de Compreensão e o Conceito de Função ......................................... 41

2.3 Pesquisas Envolvendo Funções ...................................................................... 49

2.3.1 Funções no Ensino Fundamental ..................................................................... 50

2.3.2 Funções e o Uso da Tecnologia ....................................................................... 58

2.3.3 Funções e a Matemática do Movimento ........................................................... 62

3 A TECNOLOGIA ................................................................................................... 69

3.1 O Papel do Computador na Teoria da Reorganização ................................... 71

3.2 A Noção de Coletivo Pensante ......................................................................... 73

3.3 O Coletivo Seres-Humanos-Com-Mídias ......................................................... 76

4 MÉTODO ............................................................................................................... 80

4.1 Design Experiment ............................................................................................ 80

4.2 O Software SimCalc .......................................................................................... 82

4.3 Procedimentos Metodológicos ........................................................................ 85

4.4 Atividades .......................................................................................................... 87

5 RESULTADOS .................................................................................................... 102

5.1 Análise das atividades do Bloco 1 ................................................................. 102

5.2 Análise das atividades do Bloco 2 ................................................................. 138

5.3 Análise das atividades do Bloco 3 ................................................................. 157

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 162

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 168

APÊNDICES ........................................................................................................... 172

12

INTRODUÇÃO

Consideramos que o conceito de função tem um papel fundamental na

Matemática escolar, e isso se deve à sua vasta aplicabilidade, seja em conexões

internas à própria Matemática, em outras áreas do conhecimento, ou na resolução

de problemas do dia a dia. No entanto, pesquisas, como por exemplo, de Benedetti

(2003) e Scano (2009), apontam problemas na aprendizagem desse conceito por

alunos de ensino médio e ensino superior.

Segundo Sierpinska (1992), as dificuldades relacionadas a esse conceito não

são algo novo; ela relata que, desde a década de 1980, estudos destacam

problemas no ensino e na aprendizagem de função. Segundo a autora, essas

dificuldades se concentram principalmente na relação entre diferentes formas de

representação de uma função. Destaca que a linguagem mais comum simbolizada

por “f(x)” não é a mais eficiente, tendo em vista que, ao mesmo tempo em que

denomina uma função, também é utilizada para determinar o valor da função f em

um valor x do domínio. Desta forma, é comum que a ideia de função seja

relacionada à atividade de calcular um valor dado à fórmula.

Isso nos leva a pensar que, para além das próprias divergências internas ao

conceito, como as diferentes definições e o trabalho com as representações dele, o

desafio para os processos de ensino e de aprendizagem deste conceito se dá em

pensar nas formas de se lidar com essas dificuldades em sala de aula.

Costa (2004), ao lecionar a disciplina de Introdução ao Cálculo em um curso

de licenciatura em Matemática, observou muita dificuldade por parte dos alunos em

entender os conceitos de limite e de derivada e, após tentar entender tais

dificuldades, notou que estas estavam diretamente relacionadas à compreensões

errôneas do conceito de função. Essas evidências nos levam a pensar sobre a

persistência de dificuldades ao se trabalhar com funções no ensino superior, sendo

que o conceito é trabalhado na escola básica desde o ensino fundamental, o que

nos faz refletir sobre como se dão os processos de ensino e de aprendizagem deste

conceito na educação básica.

A importância atribuída a este conteúdo ainda no ensino fundamental não se

deve exclusivamente ao seu caráter de pré-requisito aos níveis mais elevados de

escolaridade. Devemos considerar que, segundo Braga (2006), o aluno, ao atingir

13

um maior conhecimento do conceito de função, poderá ter melhor compreensão de

seu dia a dia, uma vez que este conceito disponibiliza ferramentas úteis ao exercício

da cidadania como, por exemplo, a leitura e a interpretação de gráficos disponíveis

nas diversas mídias de comunicação que necessitam do conhecimento de variáveis

em situações do cotidiano e o estabelecimento de relações entre elas. Esse alcance

confere ao conteúdo uma relevância incontestável na Matemática escolar.

Atualmente, dentre as várias ferramentas disponíveis para o auxílio no

desenvolvimento do conceito de função, o uso da tecnologia ocupa um lugar de

destaque, tendo em vista a valorização social dela dentro e fora do ambiente

escolar.

Gutiérrez e Boero (2006), após apresentarem uma revisão de pesquisas

sobre o uso da tecnologia para o Ensino de Funções, chamam a atenção de que, ao

se propor um projeto de pesquisa que vise aprimorar e discutir os processos de

ensino e de aprendizagem de Matemática, não se pode desconsiderar algumas

importantes questões, das quais destacam as de ordem contextuais.

De acordo com esses autores, algumas características devem ser

consideradas para o alcance do sucesso de um projeto de pesquisa, das quais

destacam as especificidades de determinado conteúdo matemático; o aluno, a

cultura e o conhecimento matemático dele; o contexto no qual está inserida a

atividade pesquisada; a cultura da sala de aula; o papel do professor; a organização

dos processos de ensino e de aprendizagem em grupos ou individualmente e as

contribuições e o potencial da ferramenta informatizada a ser utilizada (GUTIÉRREZ;

BOERO, 2006, p.267).

Esta última característica, em particular, nos chama a atenção, uma vez que

vivenciamos um mundo informatizado no qual, a cada dia, as crianças têm contato e

interagem por meio de recursos tecnológicos. Sendo assim, nos é apresentado um

novo desafio, que é justamente fazer uso dessa tecnologia em prol do ensino de

conceitos matemáticos e, em particular, do conceito de função.

Borba (2002) destaca que, dentre as várias discussões feitas na Psicologia e

em particular na Psicologia da Educação Matemática, uma se refere a pensar se o

ser humano isolado se constitui em sujeito epistêmico ou se a unidade básica de

produção de conhecimento seria o ser social, composto por mais de uma pessoa.

Esta batalha, segundo ele, foi protagonizada por Piagetianos e Vygotskinianos

durante os anos 1990.

14

Em meio a esse cenário, Borba (2002) integra a tecnologia e apresenta uma

visão baseada em Lévy (1993) e Tikhomirov (1981) que, na realidade, nos remete à

ideia de coletivos pensantes. No entanto, Borba (2002) entende coletivo como sendo

composto não apenas por humanos e sim um coletivo pensante de humanos e não

humanos. Nessa perspectiva, não se enfatiza a melhoria ou não da aprendizagem

quando uma nova mídia é incorporada a esse coletivo e sim o papel dela em meio a

esse coletivo na construção do conhecimento.

Considerando as reflexões acima, propomo-nos a discutir, nesta pesquisa, a

introdução do conceito de função no ensino fundamental, fazendo uso de um

ambiente computacional, o software SimCalc. A escolha deste software se deu por

considerarmos que o aspecto dinâmico nele presente, por meio do movimento na

relação espaço-tempo, bem como suas ferramentas de gerenciamento de sala de

aula, constitui um ambiente favorável para a introdução do conceito de função. Vale

ressaltar que, segundo Sierpinska (1992), muitos pesquisadores têm discutido o

ensino e a aprendizagem de funções, e muitos deles fazem uso de algum recurso

tecnológico, tais como calculadoras e computadores. No entanto, a autora aponta

que, para avaliarmos um projeto de ensino que procure promover a compreensão do

conceito de função por parte dos alunos, devemos pensar não apenas nas

estruturas internas ao ambiente, mas também nas estruturas externas a ele.

Nessa perspectiva, temos o desafio de elaborar atividades que, ao mesmo

tempo, explorem as potencialidades do Software SimCalc para a introdução do

conceito de função e não percam de vista o contexto no qual essas atividades serão

apresentadas, considerando que os alunos podem possuir um histórico de

aprendizagem desse conceito mesmo que por vias não escolares.

Para enfrentar tal desafio, utilizamos, em nossa pesquisa, a teoria dos

Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Funções proposta por Sierpinska

(1992), que nos dará suporte para discutir o que entendemos sobre “compreensão

do conceito de função”.

É neste contexto que situamos a pertinência dessa pesquisa em meio as já

existentes no campo da Educação Matemática em torno dessa temática, uma vez

que, apesar de se tratar de um tema amplamente discutido na literatura, ainda são

poucas as pesquisas que discutem a introdução do conceito de função no ensino

fundamental sem se remeter às características de definições formais matemáticas.

Em especial, propomos introduzir esse conceito sob a perspectiva dos Obstáculos

15

Epistemológicos para o Ensino de Funções de Sierpinska (1992), o que revela a

concepção de que ele pode ser construído a partir de um conjunto de

compreensões. Sendo assim, diferentemente das pesquisas que discutem os

motivos das dificuldades e/ ou Obstáculos existentes sobre este conceito após os

alunos já terem tido contato com a definição matemática formal de função, nos

propomos a investigar quais são os Obstáculos existentes ao se introduzir este

conceito no ensino fundamental e, consequentemente, discutir como eles podem ser

superados, antes do reconhecimento de sua definição formal.

O uso da tecnologia também já é uma temática posta nas discussões em

torno de suas potencialidades quando integrada aos processos de ensino e de

aprendizagem de função; no entanto, destacamos que grande parte dessa

discussão concentra-se em duas grandes áreas: uma que considera os recursos

tecnológicos como uma ferramenta de auxílio à constituição do “pensar”

caracterizado como próprio do ser humano, dando a ela status de facilitadora da

aprendizagem, e outra, cujas ideias compartilhamos, que considera que, ao se

integrar a tecnologia aos processos de ensino e de aprendizagem, podem ser

constituídos “pensamentos” ou ideias que não seriam possíveis na sua ausência.

Pensamos que a nossa pesquisa se enquadra nesta segunda perspectiva, no

entanto, ao considerarmos o software SimCalc como integrante de um Coletivo

Pensante para a introdução do conceito de função no ensino fundamental,

particularmente, oferecemos novas contribuições a esta discussão, uma vez que,

além de evidenciarmos os primeiros “Obstáculos” existentes na construção do

conceito de função, entendendo esta construção como resultante de um “coletivo”

que integra a tecnologia, e o fazemos por meio da exploração da representação

“movimento”, o que culturalmente não é explorado no ambiente escolar.

Nesta perspectiva, e tendo como hipótese que grande parte das dificuldades

em torno deste conceito são decorrentes de Obstáculos não superados em sua

introdução, temos como objetivo, por meio desta pesquisa, discutir quais Obstáculos

Epistemológicos discutidos por Sierpinska (1992) surgem ao introduzir ideias

relacionadas ao conceito de função no 9º ano do ensino fundamental por meio de

um coletivo pensante (alunos, atividades e recurso computacional), e quais são as

potencialidades do software SimCalc enquanto integrante desse coletivo que

colaboram com a superação dos Obstáculos evidenciados.

Frente a este objetivo, surgem as seguintes questões de pesquisa:

16

Ao se introduzir o conceito de função por meio do software SimCalc no 9º ano

do ensino fundamental, quais Obstáculos levantados por Sierpinska (1992) são

observados?

Quais são as potencialidades do software para enfrentá-los?

Na busca de responder a tais questionamentos, foi elaborada uma sequência

de atividades com objetivo de introduzir o conceito de função no 9º ano do ensino

fundamental com o auxílio do software SimCalc.

Optamos por trabalhar com alunos do 9º ano, tendo em vista que a

exploração do estudo de funções está prevista para o final do 9º ano do ensino

fundamental; desta maneira, trabalhamos com alunos que provavelmente ainda não

tiveram contato com o conceito “formal” de função, isto é, elementos da definição

matemática desse conceito, oferecendo, assim, melhores condições para discutir os

“Obstáculos” que possivelmente serão observados ao explorar a introdução deste

conceito.

A fim de apresentar a pesquisa realizada, este relatório está organizado em

seis capítulos. No Capítulo 1, discutimos o conceito de Obstáculo Epistemológico

nas perspectivas de Bachelard, Brousseau e Sierpinska, sendo que esta última

oferece elementos indispensáveis para a compreensão do processo de construção

do conceito de função adotado nesta pesquisa. No Capítulo 2, apresentamos

algumas teorias utilizadas para analisar questões referentes ao ensino de função,

bem como algumas pesquisas relacionadas a este conceito, a fim de situar a

concepção adotada neste estudo em meio às principais teorias existentes que

discutem os processos de ensino e de aprendizagem de função. No terceiro

Capítulo, é apresentada a perspectiva de “coletivos-pensantes” a ser agregada na

discussão do processo de construção do conceito de função. Com o objetivo de

embasar e organizar o desenvolvimento desta pesquisa, bem como a análise de

dados produzidos, no Capítulo 4 são apresentadas as características da

metodologia Design Experiment, as características do software SimCalc que estão

em consonância com os objetivos desta pesquisa e os procedimentos

metodológicos. No quinto Capítulo, a fim de aprofundarmos as hipóteses levantadas,

no que se refere à construção do conceito de função, com ênfase à sua introdução

no ensino fundamental, tendo SimCalc como integrante de um coletivo pensante,

17

são discutidos os resultados das atividades desenvolvidas. Finalmente, com o

objetivo de oferecermos contribuições à discussão já existente na área da Educação

Matemática no que se refere a construção do conceito de função, apresentamos

nossas Considerações Finais.

18

1 OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS

Tendo em vista que o desenvolvimento desta pesquisa tem como uma das

bases teóricas os Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Funções abordados

por Sierpinska (1992), faz-se necessária uma compreensão mais aprofundada desse

construto teórico, não somente na visão apresentada pela pesquisadora, mas

também considerando o desenvolvimento desse construto teórico. Assim, neste

capítulo, fazemos uma breve explanação da perspectiva de Obstáculo

Epistemológico, desde sua origem até as ideias que o relacionam ao conceito de

função. Inicialmente apresentamos as ideias de Gaston Bachelard (1938), que teve

como princípio os Obstáculos Epistemológicos no desenvolvimento do conhecimento

científico; e posteriormente a perspectiva dos Obstáculos Epistemológicos na

Educação Matemática desenvolvida por Guy Brousseau na década de 1970.

Finalizamos com as ideias de Sierpinska sobre estes mesmos Obstáculos

relacionados ao conceito de função.

1.1 Obstáculos Epistemológicos na Perspectiva de Gaston Bachelard

Bachelard, em seu livro “Formação do espírito científico”, escrito em 1938,

discute o papel dos Obstáculos Epistemológicos na formação desse espírito. Nesta

obra, há uma preocupação em compreender que a ciência já não se contenta com o

fazer meramente fenomenológico.

O autor destaca como objetivo em sua obra:

...mostrar o grandioso destino do pensamento científico abstrato. Para isto, temos de provar que pensamento abstrato não é sinônimo de má consciência científica, como parece sugerir a acusação habitual. Será preciso provar que a abstração desobstrui o espírito, que ela o torna mais leve e mais dinâmico (BACHELARD, 1938, p.8).

Nesta obra, Bachelard (1938) aborda o conceito de Obstáculo mostrando que

o processo de abstração não é uniforme, levando em conta que as experiências

estão inseridas em um contexto inicial concreto e real, natural e imediato.

Foi em 1905, período denominado de “novo espírito científico”, momento

marcado pela teoria da Relatividade de Einstein, responsável por deformar conceitos

primordiais até então inquestionáveis que, segundo Bachelard (1938), abriu-se

19

espaço para a discussão do papel dos Obstáculos Epistemológicos na formação do

espírito científico.

No entanto, o autor destaca que a análise da evolução do pensamento

científico não está restrita a períodos históricos. Há de se considerar que as

características psíquicas que atuam no conhecimento científico são muito mais

complexas, lembrando que mesmo no homem atual permanecem vestígios de

pensamentos e crenças decorrentes de concepções antigas e, neste caso, para que

um indivíduo se insira no espírito científico, deve estar apto a reconstruir o próprio

saber.

Já que todo saber científico deve ser reconstruído a cada momento, nossas demonstrações epistemológicas só têm a ganhar se forem desenvolvidas no âmbito dos problemas particulares, sem preocupação com a ordem histórica (BACHELARD, 1938, p.10).

O autor destaca que, para o desenvolvimento de tais demonstrações

epistemológicas sobre qualquer fenômeno, é preciso seguir as etapas: imagem,

forma-geométrica, forma-abstrata, o que denomina de via psicológica normal do

pensamento científico, ou seja, as experiências partem de imagens naturais,

considerando todas as imperfeições dela decorrentes das limitações postas pela

lente que as vê. Posteriormente, é proposta a difícil tarefa de criar uma imagem que

exclua as primeiras imperfeições, isto é, uma imagem que represente o objeto em

sua essência e não mais apenas o visto que é o processo denominado por

Bachelard (1938) de geometrização. Esse processo culturalmente é custoso e, por

conta disto, muitas vezes é tido como o fim da construção do espírito científico, e

não como um estágio intermediário que finda na abstração.

Devemos considerar que, apesar de Bachelard (1938) denominar este

processo de via psicológica normal, a transição entre os estágios não ocorre de

forma natural, e é justamente no trabalho de tratar as dificuldades presentes neste

processo que surge o interesse em discutir o que Bachelard (1938) denomina de

Obstáculos Epistemológicos.

Para o autor, quando trabalhamos com questões particulares, passamos por

três grandes estados em nossa formação individual do espírito científico:

1º O estado concreto, em que o espírito se entretém com as primeiras imagens do fenômeno e se apóia numa literatura filosófica que exalta a

20

Natureza, louvando curiosamente ao mesmo tempo a unidade do mundo e sua rica diversidade. 2º O estado concreto-abstrato, em que o espírito acrescenta à experiência física esquemas geométricos e se apóia numa filosofia da simplicidade. O espírito ainda está numa situação paradoxal: sente-se tanto mais seguro de sua abstração, quanto mais claramente essa abstração for representada por uma intuição sensível. 3

o O estado abstrato, em que o espírito adota informações voluntariamente

subtraídas à intuição do espaço real, voluntariamente desligadas da experiência imediata e até em polêmica declarada com a realidade primeira, sempre impura, sempre informe. (BACHELARD, 1938, p.11)

E, para além desses três estados do pensamento científico, emergem

também três estados de alma que estão relacionados ao interesse individual:

Alma pueril ou mundana, animada pela curiosidade ingênua, cheia de assombro diante do mínimo fenômeno instrumentado, brincando com a física para se distrair e conseguir um pretexto para uma atitude séria, acolhendo as ocasiões do colecionador, passiva até na felicidade de pensar. Alma professoral, ciosa de seu dogmatismo, imóvel na sua primeira abstração, fixada para sempre nos êxitos escolares da juventude, repetindo ano após ano o seu saber, impondo suas demonstrações, voltada para o interesse dedutivo, sustentáculo tão cômodo da autoridade, ensinando seu empregado como fazia Descartes, ou dando aula a qualquer burguês como faz o professor concursado. Alma com dificuldade de abstrair e de chegar à quintessência, consciência científica dolorosa, entregue aos interesses indutivos sempre imperfeitos, no arriscado jogo do pensamento sem suporte experimental estável; perturbada a todo momento pelas objeções da razão, pondo sempre em dúvida o direito particular à abstração, mas absolutamente segura de que a abstração é um dever, o dever científico, a posse enfim purificada do pensamento do mundo. (BACHELARD, 1938, p.12-13)

Eis, então, a difícil tarefa de focar os interesses, combater o utilitarismo, voltar

o espírito do real para o artificial, do natural para o humano e finalmente da

representação para a abstração.

Ressalta-se também que a experiência pode não remeter a nenhum erro, o

que a torna monótona e verdadeira, sem discussão. Nesse sentido, a experiência

científica contradiz a experiência comum, eis que o erro, até então visto como algo

negativo, surge como um dos protagonistas do processo de construção do

pensamento científico.

Consideramos que todas essas etapas destacadas por Bachelard (1938),

ainda se mostram essenciais para a construção do conhecimento científico, no

entanto, não necessariamente nesta ordem pré-estabelecida. Independente da

ordem dessas etapas, compartilhamos das ideias de Bachelard (1938) quando diz

que, ao procurar as condições psicológicas do progresso de constituição da ciência,

21

chega-se à convicção de que o problema do conhecimento científico deve ser

discutido a partir de Obstáculos que não estão atrelados apenas a fatores externos,

e sim ao próprio âmago do ato de conhecer e por isso o autor os denomina de

Obstáculos Epistemológicos e os divide em sete tipos.

O primeiro Obstáculo surge na experiência inicial, tendo em vista que esta se

dá em um ambiente de observações repleto de imagens que são pitorescas,

concretas e naturais, e isto pode levar à falsa impressão de compreensão e,

consequentemente, a generalizações à primeira vista. Este Obstáculo pode levar à

emissão de opiniões sobre questões mal compreendidas, causando prejuízos à

formação do espírito científico, que não pode ser pautado em opiniões de questões

mal compreendidas formuladas com falta de clareza. Podemos citar como exemplo

desse primeiro Obstáculo o fato de que, durante centenas de anos, ao se observar o

céu, parecia óbvio que a Terra permanecia parada enquanto tudo se movia em sua

volta, o que deu origem ao Geocentrismo que colocava a Terra como centro do

Universo. Anos mais tarde, estudos científicos provaram que isso não era verdade.

O conhecimento geral também é visto como um Obstáculo ao conhecimento

científico. Segundo Bachelard (1938), nada foi tão prejudicial ao progresso do

conhecimento científico quanto a falsa doutrina do geral; há um perigo no prazer

intelectual baseado em generalizações apressadas. Para ele:

...o que caracteriza o cientista moderno é a objetividade e não o universalismo: o pensamento deve ser objetivo, só será universal se puder, se a realidade lhe permitir. O conhecimento a que falta precisão, ou melhor, o conhecimento que não é apresentado junto com as condições de sua determinação precisa, não é conhecimento científico. O conhecimento geral é quase fatalmente conhecimento vago. (BACHELARD, 1938, p.85-86)

Bachelard (1938) exemplifica este Obstáculo lembrando que, ao tentar

estabelecer a lei da gravitação, alguns filósofos afirmavam de forma resumida que

“todos os corpos caem”, ao invés de realizar um estudo científico detalhado sobre o

assunto.

Outro Obstáculo para o conhecimento científico é denominado Obstáculo

verbal; ele se dá quando o conhecimento científico tem suas explicações pautadas

em uma única imagem ou palavra que muitas vezes não representa o verdadeiro

conhecimento científico, inclusive atrapalhando a sua constituição, tendo em vista

que todas as conclusões ficam contaminadas por esta imagem ou palavra. Stadler et

22

al. (2012), ao analisarem um livro didático de Ciências, exemplificam a presença

deste Obstáculo quando neste livro é feita a comparação entre um átomo e um grão,

denominação que, segundo os autores se mostra inadequada, tendo em vista que

pode gerar concepções errôneas, tais como a de que o átomo pode se desenvolver

ou brotar, o que são propriedades dos grãos.

O conhecimento unitário e pragmático também é visto como um Obstáculo.

Para Bachelard (1938), o conhecimento unitário vai além das generalizações

precoces. Nele, elementos naturais são vistos como unidades perfeitas e

inquestionáveis, citando como exemplo elementos religiosos que são usados como

justificativas para determinados fenômenos naturais, a vontade de Deus.

Outro Obstáculo é o substancialista, constituído por intuições dispersas e

muitas vezes até opostas; neste caso, procura-se atribuir diversos adjetivos a um

mesmo objeto, perdendo de vista uma análise detalhada de cada um desses

adjetivos. O autor destaca que, nas ciências modernas, há um movimento contrário,

ou seja, procura-se diminuir ao máximo a quantidade de adjetivos, podendo até

trabalhar-se apenas com um, no entanto de forma específica e detalhada.

Melzer et al. (2009), ao analisarem livros didáticos de Química,

exemplificaram que, em um dos livros, foi apresentada a seguinte afirmação “Joseph

John Thomson propôs, em 1903, um novo modelo de átomo, formado por uma

“pasta” positiva “recheada” pelos elétrons de carga negativa, o que a neutralidade

elétrica do modelo atômico" (FELTRE, 2005, apud MELZER et al. 2009, p.7) (esse

modelo ficou conhecido como “pudim de passas”). Ao analisar este trecho,

concluiram que:

...o ato de dar uma propriedade pastosa às cargas positivas dos átomos e dizer que é recheada por cargas negativas caracteriza um obstáculo substancialista, caracteriza da aos (sic) prótons uma propriedade pastosa que não é verificada e trabalhando com a ideia de recheio como se estivesse se referindo a um pudim, gênero alimentício formado de massa e frutas, isso fica bem claro quando o modelo de Thomson é comparado a um pudim de passas, outro obstáculo substancialista identificado. (MELZER et al. 2009, p.7)

O sexto Obstáculo é denominado Obstáculo animista. Nele, encontra-se o

equívoco de adotar os interesses e as preocupações meramente naturais. Isso pode

até oferecer, segundo Bachelard (1938), uma satisfação imediata à curiosidade, no

entanto, se apresenta como um Obstáculo à cultura científica, uma vez que substitui

23

o conhecimento pela admiração e as ideias pelas imagens.

Para Melzer et al. (2009), este Obstáculo pode ser caracterizado por dar

características físicas, mentais e até mesmo biológicas a imagens e analogias,

criando assim uma falsa compreensão de um determinado fenômeno. Ao fazerem

uma análise de livros didáticos de Química, ressaltam que alguns ainda trazem este

tipo de Obstáculo, como por exemplo, ao retratarem a abordagem de algumas

teorias de estrutura atômica, como núcleo e eletrosfera, por meio de fenômenos

vitais, atribuindo a modelos teoricamente inanimados características físicas,

biológicas e mentais. Citam como por exemplo, a afirmação retirada de um dos livros

analisados “O átomo não é mais uma esfera, como pensavam, mas uma entidade

que tem um padrão de comportamento difuso...” (MELZER et al., 2009, p.6).

Para Bachelard (1938), o conhecimento quantitativo também não está livre

dos Obstáculos; destaca que é um engano pensar que o conhecimento quantitativo

escapa dos mesmos perigos do conhecimento qualitativo, tendo em vista que a

grandeza não é por natureza objetiva.

Uma das exigências primordiais do espírito científico é que a precisão de uma medida refira-se constantemente à sensibilidade do método de mensuração e leve em conta as condições de permanência do objeto medido. Medir exatamente um objeto fugaz ou indeterminado, medir um objeto fixo e bem determinado com um instrumento grosseiro, são dois tipos de operação inúteis que a disciplina científica rejeita liminarmente. (BACHELARD, 1938, p.261-262)

Neste caso, pode ocorrer a crença no realismo da medida mais do que na

realidade do objeto, e, desta forma, o objeto pode ser erroneamente caracterizado a

partir de suas medidas, sendo descaracterizada a sua natureza. O autor destaca

que há de se refletir para medir e não medir para refletir.

Para o alcance de uma objetividade científica, temos como ponto de partida o

movimento de especialização dos cientistas, afastando-se da generalidade imediata.

No entanto, para isto, alguns desafios devem ser superados, a saber: ruptura entre

conhecimento sensível e conhecimento científico; o erro não é visto como um mal e

passa a ser positivo, normal e útil; os processos de ensino e de aprendizagem

devem ser compartilhados por professores e alunos e o professor deve ter a

consciência de que aulas não substituem descobertas.

Apesar do foco de Bachelard (1938) se concentrar na formação do

pensamento científico sem tratar da Matemática em particular, muitos elementos

24

tratados por ele se mostraram relevantes para a construção do pensamento

matemático. Brousseau (1998) foi o responsável por tal observação e trouxe esta

discussão para o âmbito da Educação Matemática.

1.2 Obstáculos Epistemológicos na Educação Matemática

Brousseau (1998), a partir do desenvolvimento da teoria das situações

didáticas, proposta na década de 1970, trouxe para o âmbito da Educação

Matemática a discussão dos Obstáculos Epistemológicos. Para ele, o conhecimento

é o resultado da adaptação do aluno a uma determinada situação que justifica este

conhecimento, e que o torna mais ou menos eficaz, e é por meio deste

conhecimento que se dá a aprendizagem.

Para Brousseau (1998), a construção do conhecimento não se dá por meio de

um processo regular; este deve contemplar também as dificuldades que provocam a

aprendizagem e que, ao serem superadas, constituem um conhecimento

consistente.

Outro ponto abordado por Brousseau (1998) refere-se aos erros que, por

muito tempo, estiveram relacionados à ausência de conhecimento e, portanto, a

conotações negativas. No entanto, a partir das discussões sobre Obstáculos

Epistemológicos propostas por Bachelard (1938), os erros passaram a ocupar um

lugar de destaque na construção do conhecimento e assumem, em muitos casos, o

protagonismo nas discussões em torno dos processos de ensino e de aprendizagem

de Matemática.

Esta nova posição ocupada pelos erros faz com que eles também sejam

resignificados em projetos de pesquisa. Até então considerados meros acidentes

recorrentes dos resultados produzidos em torno de um projeto de pesquisa, os erros

ganham status de protagonistas e a presença deles é considerada positiva.

Nesta perspectiva, Brousseau (1998) aponta três características fundamentais

para o desenvolvimento de um projeto investigativo:

i) encontrar erros recorrentes;

ii) identificar quais são os Obstáculos referentes à Matemática;

iii) comparar quais são as barreiras históricas, no que se refere a Obstáculos

de aprendizagem, estabelecendo, assim, o seu caráter epistemológico.

Brousseau (1998) considera que, a partir do modelo de Bachelard (1938), a

25

compreensão das dificuldades dos alunos não se dá por meio de uma definição

estática e sim ao se considerar que um Obstáculo constitui-se em um conhecimento

e não em uma dificuldade ou falta de conhecimento. Assim, para se trabalhar com

respostas corretas e universais, necessitamos analisar as diferentes perspectivas. O

conhecimento constituído resiste a contradições, estabelecendo assim uma melhor

compreensão, e isto é essencial para identificar e incorporar novos conhecimentos,

após a consciência do caráter inexato de tal conhecimento.

Cognitivamente falando, os Obstáculos parecem ser ontogenéticos, ou seja,

possuem características próprias da espécie humana e da história do

desenvolvimento da aprendizagem, além das próprias características do contexto

social, epistemológico ou mesmo atrelado à própria formação cultural.

É neste contexto que Brousseau (1998) propõe uma discussão dos impactos

didáticos que Obstáculos Epistemológicos têm nos processos de ensino e de

aprendizagem de Matemática. Para ele, ao se elaborar um ambiente de

aprendizagem, deve-se levar em consideração todas as circunstâncias relevantes à

constituição do conhecimento, e esta deve ser organizada de acordo com sua

própria lógica, de modo a contemplar quesitos para além da Matemática, como por

exemplo, elementos da psicologia, sociologia, dentre outros, sem perder de vista

também a possibilidade de reprodução deste conhecimento. Para isto, o autor

destaca algumas características a serem contempladas:

i) Descrever o conhecimento bem como a compreensão de sua utilidade;

ii) Explicar quais são os benefícios adquiridos quando comparados a usos

anteriores, quais são as práticas sociais que estão presentes, quais são as técnicas,

e, se possível, quais são as concepções matemáticas envolvidas;

iii) Identificar os conceitos específicos em detrimento de outros,

especialmente aqueles que os sucedem para entender as limitações e os desafios e,

finalmente, as causas do fracasso deste projeto e ao mesmo tempo as razões para

um equilíbrio que parece durar um tempo suficiente;

iv) Identificar o momento e as razões para a quebra deste equilíbrio, podendo,

assim, analisar os traços de resistência à rejeição, e explicar a permanência de

práticas, linguagens ou projetos;

v) Além de argumentos baseados em estudos históricos de textos, técnicas e

argumentos epistemológicos, deve-se contar também com experiências

relacionadas ao aprendizado em questão; no entanto, argumentos históricos podem

26

intervir na escolha dos processos educacionais.

Frente a tais desafios, Brousseau (1998) faz os seguintes questionamentos:

Como evitar um Obstáculo? É possível evitá-lo? Como tratar aqueles que não

podem ser evitados?

Ele aponta como resposta para estas indagações um trabalho em que se

considere tanto situações de cunho didático como situações que denomina de

situações adidáticas2.

Em relação ao currículo, Brousseau (1998) relata que Obstáculos que geram

mais dificuldades do que conhecimento por parte dos alunos e Obstáculos que

geram um desgaste puramente formal e sem sentido no que se refere ao

desenvolvimento do aluno por causa de uma distância de linguagem, que não pode

ser adaptada ao aluno, podem ser ignorados na elaboração e no trabalho com o

currículo em questão. Desta maneira, a escolha de quais Obstáculos serão

trabalhados deve ser criteriosa, a fim de identificar o que realmente é factível.

Ao se trabalhar Obstáculos em um currículo, estes devem ser abordados de

maneira específica, sendo que devem ser explorados em três diferentes

perspectivas: por meio de resolução de tarefas que os contemple em situações;

como curiosidade e como um estudo de cunho científico.

Para o autor, no processo de construção do conhecimento matemático é

importante que sejam exploradas diferentes atividades que tragam à tona os

Obstáculos característicos do conceito em questão, para que possam ser discutidos,

sendo que esta discussão pode ser feita em uma única atividade ou ter continuidade

em outras dependendo da necessidade.

Para a constituição dessas atividades o professor deve levar em consideração

tanto as características internas do grupo ao qual serão aplicadas, como as

características culturais nas quais este grupo está inserido.

Quando nos referimos às características internas ao grupo, devemos

considerar que uma atividade não deve favorecer apenas os novos conhecimentos;

também deve levar em consideração as dificuldades ou “Obstáculos” emergentes de

atividades anteriores.

Para Brousseau (1998), ao se pensar em um currículo, não devemos nos ater

2 Para Brousseau (1998) uma situação adidática é um tipo de situação didática em que o aluno

assume a posição de pesquisador de um problema matemático sem a necessidade de interferências

do professor.

27

apenas a processos técnicos referentes ao conteúdo, mas considerar também que,

por meio de um diagnóstico prévio e da análise dos erros e das justificativas para

eles, bem como os encargos de professores e alunos no desenvolvimento desses

erros, possibilita-se um processo que aponta mudanças ou adaptações no currículo

em questão.

Reconhecer e conhecer Obstáculos Epistemológicos e tratá-los oficialmente

na relação didática pode levar o professor a considerar tanto as características

históricas do conhecimento de seus alunos como compreender como eles os

abordam, desestabilizando assim a mera sequência de aulas “institucionalizadas” e

limpas de Obstáculos.

Com relação às características culturais nas quais os alunos estão inseridos,

ao incorporá-las nas discussões sobre o currículo, implica-se uma mudança na

epistemologia dos professores. Tal incorporação serve como base para a

negociação entre professores e alunos assim como para a comunidade em geral.

Um conhecimento, mesmo que falso, serve como apoio para discussão e

constituição do conhecimento e a comunicação dele.

Considerando que em nossa pesquisa exploramos particularmente os

Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Funções, apresentamos a seguir as

ideias propostas por Anna Sierpinska, que discute este conceito no âmbito da

Educação Matemática.

1.3 Obstáculos Epistemológicos no Ensino de Funções

Anna Sierpinska, em seu trabalho intitulado “On understanding the notion of

function”, de 1992, descreve os resultados de uma pesquisa sobre os Obstáculos

Epistemológicos para o Ensino de Funções. Para Sierpinska (1992), é consenso

para muitos educadores que compreender um conceito matemático está muito além

da simples leitura e aplicação de uma definição. Para ela, ao falarmos em

compreensão matemática, devemos nos concentrar nos saltos de velhos para novos

caminhos de saber, que se caracterizam como uma troca qualitativa e significativa

de “velhos” para “novos” conhecimentos matemáticos na mente humana. De acordo

com Sierpinska (1992), essas trocas ou “saltos” se dão no momento em que um

sujeito toma consciência das velhas formas de conhecimento que usava e percebe

fatores que o impediam de conhecer o “novo”. Quando, no processo de

28

aprendizagem, o foco não está apenas na mediação dos erros do passado e se

lança um novo olhar sobre o que está por vir, o “salto” se constitui como novas

formas de conhecimento.

Consideramos que, quando um sujeito se depara com uma nova forma de

conhecimento, os fatores que o impedem de conhecer as “novas maneiras” são o

que a autora denomina de “Obstáculos Epistemológicos”. Esses Obstáculos

caracterizam-se como algo comum em uma determinada cultura do presente ou do

passado e não como uma característica particular e podem ser distinguidos em três

níveis, dependendo das crenças e da visão de mundo do sujeito: 1) O conhecimento

explicável e explícito, considerando que este pode ser comunicado aos outros em

declarações claras; 2) Declarações por meio de definições sem chamar a atenção

para uma justificativa que não esteja atrelada apenas a uma autoridade, tradição ou

o senso comum; 3) Formas de pensamento (principalmente inconscientes), formas

de abordar problemas, situações de interpretação, as coisas que são aprendidas por

imitação e prática no decorrer da socialização e educação do sujeito.

Para Sierpinska (1992), um Obstáculo é superado quando há um

distanciamento dos esquemas de pensamento ou crenças e o indivíduo é capaz de

visualizar as consequências ao considerar um ponto de vista diferente. Em uma

primeira análise, poderíamos pensar que Obstáculos são negativos no

desenvolvimento conceitual, devendo, assim, ser evitados nos processos de ensino

e de aprendizagem. No entanto, para a autora, assim como para Brousseau (1998),

determinados tipos de Obstáculos epistemológicos dificilmente são evitados e estes

ocupam um papel importante no pensamento de um indivíduo.

Dessa maneira, reconhecemos esses Obstáculos como parte dos processos

de ensino e de aprendizagem de Matemática e em particular nos debruçamos sobre

aqueles que se referem ao conceito de função.

Para Sierpinska (1992), a compreensão não se dá de forma única e sim por

meio de Atos de Compreensão, que são divididos por ela em quatro categorias.

A primeira categoria é descrita como a identificação de um objeto entre

outros. Algo que até então era considerado como um mero pano de fundo, de

repente aparece como o objeto principal, sendo considerado como algo digno de

interesse e estudo, muitas vezes ganhando um status científico e deixando de ter

um nome comum do dia a dia. Desconsiderando as divergências históricas,

poderíamos citar como exemplo a rotineira ação da queda de uma maçã que se

29

desprende da árvore e que, em dado momento, passa a ser protagonista na

formulação da teoria da gravidade de Newton.

A segunda categoria é a discriminação entre dois objetos. Nesta categoria,

um indivíduo deve ter consciência da existência de dois objetos separados, com

diferenças entre eles em termos de propósitos e de propriedades. Como por

exemplo, a discriminação entre os conceitos de equação e função matemática.

A terceira categoria é denominada de generalização; nesta, os indivíduos

são levados a uma consciência que os permite aumentar as possibilidades de

aplicações, algumas suposições mostram-se irrelevantes e novas formas de

interpretação são descobertas. A síntese é a percepção de ligações ou fatos até

então isolados; como resultado, os fatos, as propriedades, as relações, os objetos,

são organizados e vão constituir o todo. Como por exemplo, ao identificar o objeto

matemático “função”, há a compreensão do papel das variáveis, da dependência

entre elas, de diferentes representações.

A quarta categoria refere-se a utilidade; nesta, considera-se que um conceito

ou conceitos são utilizados como ferramenta para fins particulares para realizar e

atingir metas. Neste caso, podemos exemplificar que, a partir do momento que o

objeto função é compreendido em sua totalidade, este é utilizado como ferramenta

na resolução de problemas particulares, tais como no contexto econômico,

estatístico, dentre outros.

Sierspinka (1992) descreve dezesseis Obstáculos Epistemológicos para o

ensino de função representado por “OE(f)”3. São eles:

OE(f)-1: A Matemática não está preocupada com problemas práticos.

OE(f)-2: Técnicas computacionais usadas para produzir tabelas de relações

numéricas não são dignas de serem objeto de estudo em Matemática.

OE(f)-3: Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as coisas

mudam e ignorar o que muda.

OE(f)-4: Pensar em termos de equações e incógnitas como sendo extraídas

de funções..

OE(f)-5: Considerar irrelevante a ordem das variáveis.

OE(f)-6: Uma concepção heterogênea de número.

OE(f)-7: A filosofia pitagórica de número: Tudo é número.

3 Os Obstáculos Epistemológicos foram extraídos do texto “On understanding the notion of function”,

Sierpinska, 1992, e a tradução foi de nossa autoria.

30

OE(f)-8: Leis da Física e funções em Matemática não têm nada em comum.

Pertencem a diferentes domínios (compartimentos) de pensamento.

OE(f)-9: Proporção é um tipo privilegiado de relação.

OE(f)-10: Forte crença no poder das operações formais sobre expressões

algébricas.

OE(f)-11: Apenas as relações descritíveis analiticamente por fórmulas são

dignas de serem chamadas funções.

OE(f)-12: Definição é uma descrição de um objeto de outro modo conhecido

pelos sentidos ou por insight. A definição não determina o objeto, mas sim o objeto

determina a definição. A definição não é “amarrada” logicamente.

OE(f)-13: Funções são sequências.

OE(f)-14: Coordenadas de um ponto são segmentos de reta (não números).

OE(f)-15: A representação gráfica de uma função é um modelo geométrico da

relação funcional. Ele não precisa ser fiel, pode conter pontos (x, y) tais que a função

não é definida em x.

OE(f)-16: As mudanças de uma variável são mudanças no tempo.

Em nossa pesquisa, exploramos os Obstáculos que julgamos estar

associados à introdução do conceito de função no ensino fundamental, observando

que Sierpinska (1992) ressalta que, para se discutir a construção do conceito de

função, como é o caso na nossa pesquisa, inicialmente deve-se reconhecer que a

Matemática foi e é construída a partir de problemas práticos do mundo. Desta forma,

se os acontecimentos do mundo forem ignorados como condições necessárias para

o desenvolvimento do conceito de função, porque se acredita que não é pertinente

pensar que a Matemática deve se preocupar com problemas práticos, então o

comportamento do sujeito será de acordo com as ideias de Platão e esta atitude é o

que é descrito como sendo o primeiro Obstáculo Epistemológico a superar:

OE(f)-1: A Matemática não está preocupada com problemas práticos.

De acordo com Trindade (1996), este Obstáculo, além de ser o primeiro a ser

vencido para a construção do conhecimento de função, pode ser considerado

também como o primeiro a ser superado na construção de muitos outros conceitos

matemáticos.

Em relação ao OE(f)-2: Técnicas computacionais usadas para produzir

tabelas de relações numéricas não são dignas de serem objeto de estudo em

Matemática. Trindade (1996) destaca que é importante analisar situações cujos

31

dados são apresentados por meio de tabelas antes que sejam apresentados aos

estudantes exemplos tradicionalmente explorados de função, tais como as funções

afins ou as funções exponenciais por meio da representação algébrica.

A importância de se identificar o que muda na análise e no estudo das

próprias dependências é apontada por Sierpinska (1992) também como um

Obstáculo a ser considerado:

OE(f)-3: Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as coisas

mudam e ignorar o que muda.

Para Trindade (1996), este Obstáculo está ligado à dificuldade que os alunos

têm de observar e identificar mudanças, de forma a perceber o que está mudando e

quais são as características das variáveis que são processadas por meio da regra

que as relaciona. Para Sierpinska (1992), ao se depararem com essas situações, os

alunos as enxergam como um todo, um fenômeno como “chover” ou “nevar”, sem a

preocupação de analisar as variáveis envolvidas. Trindade (1996) destaca, por

exemplo, que,

A experiência em sala de aula mostra que os alunos têm muitas dificuldades em vários aspectos devido a essa confusão entre o gráfico da distância percorrida em função do tempo de um móvel e a sua trajetória. É difícil para os alunos entenderem, por exemplo, que o gráfico da distância percorrida em função do tempo de uma cadeirinha de roda – gigante em movimento circular - é uma reta. (TRINDADE, 1996, p.122)

Outro Obstáculo a ser considerado na introdução do conceito de função é:

OE(f) -4: Pensar em termos de equações e incógnitas como sendo extraídas

de funções.

Segundo Sierpinska (1992), após trabalhar o conceito de incógnita com os

alunos, conceito este que, segundo ela, não é simples, normalmente é introduzido o

conceito de variável como se a transição entre essas duas ideias fosse trivial ou

automática. Trindade (1996) exemplifica que:

É uma discriminação feita entre dois domínios, ele tem diferentes aspectos e diferentes papéis em cada um desses domínios. A equação, por exemplo, deixa de ser uma condição sobre a incógnita a qual permite extrair seu valor, para ser no contexto de funções o princípio ou a lei de acordo com a qual algumas variáveis se relacionam. (TRINDADE, 1996, p.124)

No que se refere a concepção de números, Sierpinska (1992) destaca dois

Obstáculos: OE(f)-6: Uma concepção heterogênea de número; e

32

OE(f)-7: A filosofia pitagórica de número: Tudo é número.

O Obstáculo OE(f)-6 pode levar o aluno a pensar que valores particulares

podem resolver problemas genéricos; enquanto que, com o Obstáculo OE(f)-7,

pode-se acreditar que os números são suficientes para resolver qualquer problema,

ou seja, tudo pode ser traduzido por meio de números.

Segundo Sierpinska (1992), matemáticos e cientistas muitas vezes, tomam

números como sendo quantidades, no entanto, uma quantidade não pode ser

interpretada como um simples número. A quantidade, segundo a autora, apresenta

elementos extra-matemáticos: como um fenômeno físico, por exemplo, um objeto em

queda, o ato de um observador ler um relógio. Desta maneira, a discriminação entre

variáveis que representam conceitos físicos (como tempo, velocidade, posição) e

variáveis numéricas é uma das condições necessárias para a compreensão do

conceito de função.

Neste contexto, é apresentado um novo Obstáculo:

OE(f)-8: Leis da Física e funções em Matemática não têm nada em comum;

pertencem a diferentes domínios (compartimentos) de pensamento.

Para Sierpinska (1992), a discriminação entre as variáveis que representam

conceitos físicos e as variáveis numéricas constitui uma condição necessária para a

construção do conceito de função.

Sierpinska (1992) destaca que existem alguns Obstáculos que estão mais

presentes quando se pretende desenvolver uma síntese geral do conceito de

função, dos quais apresentamos:

OE(f)-9: Proporção é um tipo privilegiado de relação.

Pensar que todas as relações são do tipo diretamente ou inversamente

proporcional pode ser um erro que oferece prejuízos ao entendimento do conceito

de função. Além desse, temos:

OE(f)-11: Apenas as relações descritíveis analiticamente por fórmulas são

dignas de serem chamadas funções.

Segundo Trindade (1999), no ensino e nos livros didáticos em geral, a

apresentação do conceito de função é feita por meio da sua forma analítica e a partir

dela é construída a tabela correspondente, e, a partir destes dados, é feita a

representação gráfica no plano cartesiano. O autor destaca que esta é a ordem

usualmente utilizada para se explorar as diversas formas de representação de uma

função. Tal ordem pode levar os alunos a uma supervalorização da representação

33

algébrica em detrimento das outras.

Outro Obstáculo que julgamos importante para a introdução do conceito de

função é:

OE(f)-16: As mudanças de uma variável são mudanças no tempo.

Há uma tendência em acreditar que a única variável independente possível é

o tempo. Desta forma, há dificuldade de olhar a variável x como independente em

outras perspectivas, como, por exemplo, nas relações financeiras, ou no contexto da

Física ao pensar no volume de um corpo em função da temperatura.

Destacamos os principais Obstáculos que, em nosso ponto de vista, devem

ser considerados na introdução do conceito de função. Em nossa pesquisa não

pretendemos privilegiar algum deles, no sentido de fazer com que ele se manifeste,

mas sim buscar se, deles, algum se manifestará.

1.4 Diferentes Visões de Obstáculos

Apesar do reconhecimento do papel dos Obstáculos Epistemológicos nos

processos de ensino e de aprendizagem de Matemática discutido na seção anterior,

existem críticas a tal perspectiva. Para Radford (2011), os Obstáculos presentes

nesses processos não são epistemológicos, mas sim Obstáculos Culturais, ou seja,

não estão relacionados ao conhecimento em si, mas às questões culturais que os

permeiam. Por exemplo, Radford (2011) ressalta que

Se olharmos as dificuldades que os matemáticos ocidentais medievais tiveram ao se deparar com os números negativos, e se olharmos as dificuldades encontradas pelos nossos alunos de hoje, somos levados a pensar que, efetivamente, os números positivos constituem um obstáculo para o surgimento dos números negativos. No entanto, se revisitarmos os números negativos na perspectiva dos matemáticos chineses, veremos que eles superaram a dificuldade de lidar com os números negativos por meio de uma representação muito inteligente usando varetas (barrinhas) coloridas. (RADFORD, 2011, p.87)

Desta forma, Radford (2011) afirma ser incoerente a perspectiva de

Sierpinska ao considerar os Obstáculos por ela apresentados como epistemológicos,

principalmente por não contemplarem de maneira satisfatória as questões culturais.

Para ele, “os Obstáculos Epistemológicos não são mais do que Obstáculos

Culturais”. (RADFORD, 2011, p.87)

34

Apesar de tais críticas, consideramos que Sierpinska (1992) não

desconsidera as questões culturais, uma vez que coloca os Obstáculos como algo

que impede a desconstrução de um “conhecimento velho”, conhecimento este que

inclui o que ela chama de concepções e crenças e, portanto, culturais na construção

de um “novo conhecimento”. No entanto, Sierpinska (1992) não aprofunda o seu

estudo nestas questões de ordem cultural, tendo em vista que o foco de sua

discussão é trabalhar com as dificuldades que permanecem, apesar das questões

de ordem cultural.

Em nossa pesquisa não temos como objetivo defender a ideia de que esses

Obstáculos são imutáveis; no entanto, reconhecemos, por meio de pesquisas,

indícios de que a identificação desses Obstáculos é frequente nos processos de

ensino e de aprendizagem do conceito de função, como, por exemplo, o identificado

por Baraldo (2009), que, mesmo não tratando diretamente desta perspectiva teórica,

identifica a incidência do uso da regra de três por parte dos alunos participantes

mesmo em situações que não envolvem a proporcionalidade; ou na pesquisa de

Barreto (2009) que identifica, entre outras características, que ainda é muito comum

a dificuldades por parte dos estudantes em identificar quais são os objetos variáveis

presentes no processo de mudança modelada por meio de funções.

Sierpinska (1992) concentrou seus esforços na identificação dos Obstáculos

presentes no processo de ensino de funções. Em nossa pesquisa, propomo-nos a

avançar nesta discussão com foco em discutir quais são os Obstáculos presentes na

introdução do conceito de função no ensino fundamental e como enfrentá-los por

meio da implementação de um Coletivo Pensante constituído por seres-humanos-

com-mídias.

A seguir, apresentamos uma discussão sobre algumas pesquisas que tratam

do processo de construção do conceito de função.

35

2 O CONCEITO DE FUNÇÃO

Neste capítulo, a fim de justificar a importância atribuída ao conceito de

função nas discussões no âmbito da Educação Matemática e a pertinência de

desenvolvermos mais uma pesquisa com esta temática, apresentamos inicialmente

um breve panorama histórico de como o conceito de função foi inserido no currículo

de Matemática nos moldes como hoje o conhecemos, ou seja, a partir de múltiplas

representações. Posteriormente, a fim de situarmos a nossa escolha teórica frente a

outras importantes teorias que tratam desse conceito, apresentamos pesquisas que

utilizam na análise dos dados teorias de Processo-Objeto e Múltiplas

representações, por serem consideradas as principais referências no embasamento

das pesquisas que discutem os processos de ensino e de aprendizagem do conceito

de função. Em seguida, apresentamos a perspectiva de Sierpinska (1992), no que

se refere ao processo de construção do conceito de função adotado nesta pesquisa.

Por fim, com o objetivo de situar a nossa pesquisa frente às já existentes com

alguma familiaridade, seja por nível de ensino, uso da tecnologia ou pela exploração

do movimento, discutimos algumas pesquisas que abordam este conceito.

2.1 Perspectivas do Conceito de Função

A importância atribuída ao conceito de função não é algo novo; surge com a

própria disciplina que hoje conhecemos na escola básica como Matemática. De

acordo com Braga (2006), concretizada no ano de 1929 no Brasil pelo matemático

Euclides Roxo, a disciplina escolar denominada Matemática foi resultante da

unificação de três outras disciplinas, até então independentes: a aritmética, a

álgebra e a geometria. Euclides Roxo teve como inspiração o matemático alemão

Felix Christian Klein (1849–1925), que foi o responsável por esta unificação no

cenário mundial, possibilitando a exploração do conceito de função de forma

integrada, dando início, então, a um trabalho simultâneo considerando as diferentes

representações (algébricas, geométricas e tabulares).

Cabe observar que este trabalho integrado revelou-se imprescindível para a

abordagem por ele proposta na época em que se tratava da disciplinarização do

Cálculo, que tem como cerne o conceito de função. Dessa forma, o sucesso do

ensino do Cálculo estaria intimamente ligado a um bom domínio do conceito de

36

função por parte dos alunos. Ainda mais, o entrelaçamento desses dois assuntos só

poderia vingar se o educando soubesse transitar com relativo desembaraço pelas

várias representações de função. Além disso, esta perspectiva de trabalho se

mostrou relevante na superação de dois Obstáculos apontados anteriormente,

OE(f)-11, tendo em vista que, ao desenvolver um trabalho desintegrado das

diferentes representações de uma função, pode-se levar o aluno a reconhecer

apenas as relações descritíveis analiticamente por fórmulas como dignas de serem

chamadas funções; e o OE(f)-15, uma vez que a representação gráfica de uma

função pode ser tomada como um modelo geométrico da relação funcional sem a

necessidade de ser fiel, pensando equivocadamente que esta pode conter pontos (x,

y) tais que a função não seja definida em x.

Desta maneira, é inevitável a discussão de reflexos do trabalho com funções

em níveis mais elevados de ensino, uma vez que, desde a criação da disciplina

Matemática, em 1929, os objetivos propostos para o ensino superior levam a um

repensar do ensino de Matemática na educação básica. Braga (2006) destaca que o

pensamento funcional deveria ser cultivado desde as séries iniciais, tornando o

aluno atuante sobre a ideia de variação e de dependência. Transitando aos poucos

pelas diversas representações de função, o aluno caminharia em direção a formação

do pensamento funcional.

No ensino médio, para além de sua importância nas relações sociais, o

trabalho com funções, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio (PCNEM) (BRASIL, 1999), ocupa um papel de destaque ao permitir conexões

entre as diferentes formas de pensamento matemático e a relevância dessa

diversidade dentro ou fora da Matemática.

No que se refere às funções destacam:

[...] O ensino isolado desse tema não permite a exploração do caráter integrador que ele possui. Devemos observar que uma parte importante da Trigonometria diz respeito às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente. (BRASIL, 1999, p.43)

37

Ainda destacam que, além de todas as conexões internas à própria

Matemática, o conceito de função também é um dos responsáveis pela construção,

leitura e interpretação de gráficos e, dessa forma, possibilita melhor compreensão de

fenômenos tanto do cotidiano como de outras áreas do conhecimento, como é o

caso da Física, da Geografia ou da Economia, o que pode acarretar a criação de

habilidades interdisciplinares.

O relato apresentado por Braga (2006) nos faz refletir sobre as atuais

dificuldades referentes ao trabalho com o conceito de função no cotidiano da sala de

aula. De acordo com este autor, ao apresentar uma fórmula ou uma tabela ao aluno,

é mais simples, direto e cômodo para o professor explorá-las como um recurso para

obter um valor procurado ou para se construir um gráfico do que pensar nos

diversos e pertinentes enfoques de variação e de dependência existentes nessas

representações. Assim, o pensamento funcional acaba por ser abandonado nesse

tipo de atividade (BRAGA, 2006, p.147).

Malisani e Spagnolo (2008) destacam ainda que, desde o início da década de

1980, vários pesquisadores têm estudado dificuldades dos alunos ao serem

iniciados no estudo de álgebra, ressaltando que os resultados de muitos desses

estudos já se tornaram parte da cultura de pesquisadores em Educação Matemática.

Tais dificuldades, segundo Malisani e Spagnolo (2008), são concentradas

principalmente na transição da aritmética para a álgebra, considerando que a

aritmética é habitualmente associada a números e cálculos e resolver um problema

neste contexto significa resolver uma ou mais operações com dados específicos, a

fim de se chegar a uma solução, quase sempre única.

Na álgebra elementar, por outro lado, a tarefa envolve a explicitação das

relações entre o desconhecido e os dados de um problema, bem como a

manipulação destes, a fim de se alcançar uma solução. Desta maneira, a álgebra

concentra-se nas relações entre quantidades, usando uma linguagem simbólica.

Para Malisani e Spagnolo (2008), a utilização de uma simbologia adequada facilita o

pensamento algébrico, mas na fase de transição da aritmética para a álgebra é

possível pensar algebricamente sem fazer uso de letras.

No entanto, os autores ressaltam que um dos problemas fundamentais da

aprendizagem em álgebra continua sendo o trabalho de dar sentido às letras. Este

trabalho é dificultado tendo em vista que a noção de variável tem uma pluralidade de

concepções, tais como: número generalizado, número desconhecido e de relação

38

funcional. Malisani e Spagnolo (2008) definem uma variável na relação funcional

como uma “coisa que varia” e, para eles, a denotação da variável representa uma

dificuldade para os alunos, tendo em vista que os mesmos símbolos são usados

para indicar diferentes concepções da variável. Por exemplo, x pode representar um

número desconhecido, um número generalizado, ou uma variável independente em

uma função.

Malisani e Spagnolo (2008) ressaltam que a noção de variável como uma

coisa que varia é muito antiga, mas é difícil estabelecer exatamente a origem dessa

concepção na história da álgebra. Sua evolução foi muito lenta desde o início, a

partir da relação entre os números contidos em tabelas (babilônios, índios, etc.) até

a descrição da relação entre variáveis, que levou precisamente ao conceito de

função.

A partir das características do currículo discutidas anteriormente, surgem

diferentes perspectivas teóricas com o objetivo de discutir os processos de ensino e

de aprendizagem de funções. De acordo com Akkoç (2005) duas perspectivas

teóricas são amplamente utilizadas para se discutir esses processos: as teorias de

processo-objeto e as teorias que consideram múltiplas representações.

Considerando uma teoria de processo- objeto, Souza e Campos (2007)

desenvolveram uma pesquisa utilizando a teoria da reificação, trabalhando com

cinco professores de Matemática do ensino básico da rede estadual de São Paulo,

como parte de um projeto de pesquisa denominado “Os processos de ensino-

aprendizagem na escola básica”. Dentre os conteúdos abordados neste projeto,

explorou-se o tema funções. Após a aplicação de uma dinâmica do tipo mapa

conceitual em torno da palavra “função”, e observando as frases apresentadas pelos

professores, tais como “Eu tenho pavor de gráficos”, “Eu faço imediatamente uma

tabela de valores”, dentre outras, os autores consideraram que o entendimento

desses professores sobre funções concentrava-se na concepção de processo e não

como objeto. Assim, com o objetivo de ajudá-los a avançar para a fase de

condensação e auxiliá-los, na medida do possível, a evoluir de interiorização e

condensação para a fase de reificação sobre o objeto matemático função, foi

elaborada uma sequência didática de atividades utilizando os software Cabri-

géometre II e Graphmat. Foram utilizadas algumas fases da engenharia didática

como metodologia.

A sequência didática foi composta de três atividades e aplicada em seis

39

encontros semanais consecutivos, com o objetivo de

Trabalhar o tratamento do registro gráfico e as conversões entre os registros algébrico, gráfico e da língua natural. Estimular a visualização global dos gráficos, não como um conjunto de pontos com coordenadas numéricas, mas como uma trajetória sobre a qual podemos ver a relação entre as variáveis dependente e independente. Mostrar a perda de informações que certamente ocorre quando fazemos a conversão da expressão algébrica de uma função para uma tabela de valores. (SOUZA; CAMPOS, 2007, p.5)

Em cada atividade, os professores participantes da pesquisa puderam utilizar

o software Cabri-géometre II para obter os gráficos tanto das funções classificadas

como de “referência” (x

1 n(x) sin(x), m(x) , x h(x) , x g(x) x, f(x) 32 ) como das

classificadas como “associadas”, que podiam ser obtidas a partir das de referência

por meio das operações “somar uma constante”, “multiplicar por uma constante”,

“colocar o módulo” na função de referência.

Para análise dos resultados foi feita a classificação de quatro tipos de

validação:

(1) visual, se o professor conclui algo só olhando para o gráfico; (2) gráfica, se o professor usa alguma das ferramentas do software para visualizar o que está acontecendo; (3) numérica, se o professor produz algum tipo de cálculo numérico, como uma tabela de valores, uma substituição na expressão algébrica da função ou no gráfico; (4) algébrica, se o professor faz uma verificação formal, utilizando a expressão algébrica da função. (SOUZA; CAMPOS, 2007, p.6)

A partir da análise das respostas apresentadas pelos professores, notou-se

que a validação visual foi a que prevaleceu, uma vez que nenhum dos professores

participantes procurou outro tipo de validação que não a visual. Isso se deve,

segundo as autoras, ao fato de que o registro gráfico não era usual para aqueles

professores até então.

Souza e Campos (2007) concluem que, para este grupo nas condições

ofertadas, a introdução de uma nova ferramenta, como o computador, não foi

suficiente para atingir o nível desejado de reificação. Apesar de tal constatação,

destacam que a maioria dos professores participantes atingiu um nível mais elevado

de condensação.

Baraldo (2009) desenvolveu uma pesquisa utilizando a teoria APOS (Action,

40

Process e Schema), também uma teoria de processo-objeto. Nela, analisou

questões resolvidas por alunos do curso de licenciatura em Matemática de uma

universidade pública do Rio Grande do Sul, que abordavam conceitos relacionados

a funções por meio da identificação de suas características tais como domínio,

representação gráfica e relação entre variáveis, bem como a aplicabilidade delas em

situações do cotidiano.

O foco das atividades analisadas por Baraldo (2009) foi o reconhecimento de

funções por meio de suas várias representações e, para estas, destaca que a

existência de expressões algébricas foi a característica preponderante para a

classificação como função.

Baraldo (2009) destaca que, em questões apresentadas por meio de

representações não algébricas, os alunos apresentaram mais dificuldade,

prejudicando o trabalho com as funções exploradas. Já nas questões que

exploraram a aplicação desse conceito em situações do cotidiano, o que chamou a

atenção do pesquisador foi o uso da regra de três em situações de não

proporcionalidade. Tais observações nos remetem à ocorrência de dois Obstáculos

descritos por Sierpinka (1992), a saber, o OE(f)-11 “Apenas as relações descritíveis

analiticamente por fórmulas são dignas de serem chamadas funções”; e o OE(f)-9

“Proporção é um tipo privilegiado de relação”, ou seja, os alunos parecem pensar

que todas as relações são proporcionais, o que prejudicou o raciocínio deles na

resolução do problema apresentado, e, consequentemente, ofereceu prejuízos ao

entendimento do conceito de função.

A partir das questões analisadas em seu estudo, Baraldo (2009) concluiu que

todos os alunos envolvidos possuem uma concepção de ação no que se refere ao

conceito de função, e podemos entender que, apesar de se tratar de alunos do nível

superior, nenhum deles ainda encapsulou o conceito de função. À luz da Teoria

APOS, de modo geral, os alunos participantes da pesquisa têm uma concepção

ação de função, uma vez que estão aptos apenas a substituir valores em uma

equação, fazer contas com estes números e encontrar números.

Bassoi (2006), em sua pesquisa de doutoramento, utilizou uma teoria das

múltiplas representações, a Teoria de Registros de Representação Semiótica de

Raymund Duval, com o objetivo de identificar e analisar os registros de

representação semiótica utilizados, produzidos e elaborados por uma professora e

seus alunos em aulas de Matemática e analisar os tipos de transformação,

41

tratamento e conversão dos registros de representação presentes na organização e

na condução do trabalho pedagógico da professora.

Neste trabalho, a pesquisadora entrevistou uma professora, bem como

acompanhou, gravou e anotou os registros produzidos por ela e os alunos dela,

durante aulas que abordavam o conteúdo de funções polinomiais de 1º e 2º graus.

Como parte de sua pesquisa, também analisou o livro didático adotado, do qual a

professora era coautora e mais dois livros que eram usados como apoio.

Bassoi (2006) destaca que a professora começou o trabalho com funções por

meio da busca de escritas genéricas, partindo de diferentes registros como

sequências numéricas ou pictóricas para convertê-las em escrita algébrica. Para

Bassoi (2006), esta característica foi favorável ao entendimento dos alunos,

principalmente no que se refere a essas formas de conversão, das quais destacou o

uso de tabelas, tanto como auxiliares na escrita de fórmulas como para introduzir a

noção de dependência entre variáveis. No caso de funções polinomiais do 1º grau e

funções constantes, Bassoi (2006) observou que as conversões mais utilizadas

foram de tabela em escrita algébrica. A conversão entre o gráfico e a escrita

algébrica foi contemplada na organização do conteúdo pela professora e também no

livro de que era coautora. As conversões de escrita algébrica em gráfico, no caso

das funções polinomiais do 2º grau, também foram exploradas, destacando que a

professora fez uso da propriedade geométrica da simetria da parábola, que já era

conhecida pelos alunos como ferramenta na construção da tabela e

consequentemente do gráfico.

Por meio da análise dos registros de representação semiótica utilizados,

produzidos e elaborados pela professora e os alunos, Bassoi (2006) concluiu que a

professora se empenhou durante suas aulas para que os alunos reconhecessem o

objeto matemático função em cada uma de suas representações, destacando que

houve incentivo por parte dela para que os alunos pudessem expressar como

pensavam em relação aos tratamentos e conversões realizadas nas situações

matemáticas. Em relação aos alunos, evidenciou-se que apresentaram dificuldade

nos tratamentos algébricos e numéricos, mesmo no caso de conteúdos que já

haviam recebido tratamentos em séries anteriores, como no caso das operações

com inteiros, sendo que as conversões que apresentaram maior dificuldade foram as

de gráfico de função polinomial do 1º grau para escrita algébrica e a de escrita

algébrica de funções polinomiais de 1º e 2º graus para uma representação figural.

42

Por fim, considera que a diversidade de representações de um mesmo objeto

matemático, bem como o uso de diferentes registros para representá-lo, tanto no

que se refere aos tratamentos de um mesmo objeto, como na conversão de registros

nas diferentes formas de linguagem, auxiliou na caracterização e na compreensão

dos alunos participantes em relação ao objeto matemático “função”.

Nesta seção, apresentamos algumas pesquisas baseadas em dois tipos de

teorias em Educação Matemática para o estudo sobre o aprendizado do conceito de

função. No entanto, ressaltamos que, apesar desses referenciais teóricos serem

amplamente utilizados em pesquisas que discutem os processos de ensino e de

aprendizagem de função, muitas delas acabam restringindo a discussão às ideias de

algoritmos, no caso das teorias de processo-objeto e a conversões e tratamentos de

representações, no caso da teoria de Duval. Dessa forma, fazem-se necessários

trabalhos com outras perspectivas teóricas, o que nos levou a uma discussão

diferente sobre o assunto, utilizando os Obstáculos Epistemológicos para o Ensino

de Funções propostos por Sierpinska (1992), atrelado ao uso de um software, para a

introdução do conceito de função.

Salientamos ainda que, reconhecendo a importância de se iniciar o

desenvolvimento do conceito de função no ensino fundamental, faremos esta

discussão a partir das ideias propostas por Sierpinska (1992), tendo em vista que,

apesar das diferentes perspectivas teóricas discutidas anteriormente, identificamos,

mesmo que não declaradamente, a incidência de alguns dos Obstáculos

Epistemológicos discutidos por Sierpinska (1992), o que nos leva a sugerir a sua

influência nos processos de ensino e de aprendizagem de função.

Para tanto, além de discutir o processo de construção do conceito de função,

devemos pensar sobre o que entendemos como compreensão de tal conceito e para

isto compartilhamos da perspectiva proposta por Sierpinska (1992), que

apresentamos a seguir.

2.2 Sierpinska e o Conceito de Função

Para Sierpinska (1992), há várias maneiras de pensarmos na definição do

conceito de função; uma maneira seria defini-la de forma simbólica formal. Nesta

perspectiva, o conceito não é desenvolvido ao longo de um processo e sim

apresentado e validado exatamente de acordo com o que a definição diz.

43

No entanto, de acordo com a autora, há um momento em que a noção a que

estamos nos referindo é aplicada em um contexto matemático ou matematizado e,

para isto, a linguagem informal é usada e os significados dessa linguagem informal

trazem transcendências à mera lógica da definição, frisando que existem muitos

significados diferentes do conceito, dependendo do contexto. Ainda destaca que,

quando pensamos na amplitude das variáveis nas diversas ciências, seria pouco

restringir a noção de funções apenas à definição formal. Para Sierspinska (1992),

por exemplo, “o caminho percorrido por um corpo em movimento é uma função do

tempo e da velocidade, ou ainda que o preço é uma função da quantidade de bens

adquiridos no mercado” (SIERSPINSKA, 1992, p.29), ou seja, nestes casos, não

teremos à disposição uma definição escrita formalmente nos moldes puramente

matemáticos para identificarmos o conceito de função; tal conceito é explorado a

partir da situação apresentada.

Estamos, nesse caso, falando sobre leis da Física ou leis do mercado.

Quando, em Matemática, se pensa em curvas representadas em sistemas de

coordenadas, pensa-se em relacionamentos das coordenadas do ponto que

pertencem à curva. Se a curva é conhecida, a equação “revela” a relação pré-

existente entre as coordenadas. Com isso, a função é vista de forma “estática” no

sentido de que estas “leis” não são definidas pelo sujeito que as usa, não as

criamos, ao contrário, elas são descobertas, ou seja, neste caso deve-se considerar

que resolver problemas que envolvam funções não significa que o trabalho será

iniciado por meio da definição; a situação apresentada já está modelada de acordo

com uma função pré-existente; é preciso ter a habilidade de identificá-la e fazer as

explorações necessárias.

Sierpinska (1992) destaca ainda que, ao traçamos o gráfico de uma função,

temos uma imagem dinâmica dela, uma vez que processamos variáveis

independentes para obter variáveis dependentes.

Para Sierpinska (1992), a primeira exigência para se compreender o conceito

de função é ter consciência da existência dos contextos envolvidos para além da

definição simbólica matemática, tendo em vista que a percepção de relações de

regularidades tem sido uma ferramenta importante para lidar com problemas do

cotidiano.

Segundo a autora, a noção de função pode ser considerada como o resultado

do esforço humano nas relações de dependência observadas e experienciadas no

44

mundo que nos cerca. Dessa maneira, a construção do conceito de função se dá por

meio de um processo de entendimento ou Atos de Compreensão representados por

ela por U(f)4 e que apresentamos a seguir.

2.2.1 Os Atos de Compreensão do Conceito de Função

Sierpinska (1992) apresenta inicialmente dois Atos considerados essenciais

no início do processo de construção do conceito de função U(f)-1: Identificação das

alterações observadas no mundo que nos cerca como um problema de ordem

prática a ser resolvido e U(f)-2: Identificação de regularidades nas relações entre

mudanças como uma forma de lidar com essas mudanças.

Segundo Trindade (1996), esses dois atos estão intimamente ligados e são

fundamentais para a construção do conceito de função, destacando, por exemplo, a

necessidade de analisar fenômenos, descrever regularidades, interpretar

interdependências e fazer generalizações. Desta forma, para que o conceito de

função seja construído, devemos considerar que tal conceito é resultado do esforço

humano na análise e na compreensão das mudanças observadas no mundo. Após

compreender tais mudanças e identificar suas regularidades, um terceiro Ato se

mostra importante, U(f)-3: Identificar as coisas que mudam ao estudar mudanças.

Trindade (1996), ao comparar o processo de construção do conceito de

função e a história, exemplifica que, ao invés de nos portarmos como os discípulos

de Aristóteles, que acreditavam que uma bola caía simplesmente porque tinha peso,

e que caía na terra porque todo objeto procurava o seu lugar natural, considerando

que o lugar natural dos objetos com peso era o centro da Terra, seria necessário nos

portarmos como Galileu, que buscou matematizar a relação entre a velocidade com

que a bola cai e o tempo gasto nessa queda. Desta maneira, enquanto as

considerações de Aristóteles estão pautadas em uma propriedade do objeto, o peso,

as justificativas de Galileu se concentram na mudança a partir da quantificação de

uma propriedade atribuída ao objeto.

Segundo Barreto (2009), é muito comum que estudantes, ao observarem

situações que envolvam mudanças, como por exemplo, o deslocamento de um

móvel, tenham dificuldade de identificar o que muda ou quais são os objetos

4 Os Atos de Compreensão foram extraídos do texto “On understanding the notion of function” (id. Ibid.) e a tradução foi de nossa autoria.

45

variáveis presentes no processo, isto é, tendem a não analisar a situação e sim o

todo. Desta maneira, destaca-se a importância do reconhecimento do papel das

variáveis, e, para isto, Sierpinska (1992) apresenta outro Ato, U(f)-4: Discriminação

entre dois modos de pensamento matemático: um em termos de quantidades

conhecidas e desconhecidas e o outro, de quantidades variáveis e constantes.

Segundo Trindade (1996), mesmo que um objeto seja comum a dois

domínios, devemos identificar os diferentes aspectos e papéis em cada um deles. O

autor exemplifica que, em uma equação, podemos extrair valores por meio da

incógnita; já no contexto de funções, o trabalho concentra-se no princípio ou lei de

acordo com a qual algumas variáveis se relacionam, ou seja, para a construção do

conceito de função é necessário ter a compreensão das diferenças entre considerar

letras em equações e em funções.

Para o alcance de tal compreensão, Barreto (2009) destaca que, antes de

estudar o conceito de função, o aluno deve ter oportunidades de trabalhar com

quantidades conhecidas e desconhecidas.

Assim, por exemplo, na sétima série, ele se depara com equações de uma incógnita e sistemas de duas equações com duas incógnitas. Por outro lado, ao resolver um determinado problema de álgebra, o estudante poderá diferenciar a quantidade conhecida das desconhecidas e representar esta última pela letra “x” e, em seguida, armar a equação e resolvê-la. (BARRETO, 2009, p.40)

Dessa forma, Barreto (2009) postula que o aluno, ao construir o conceito de

função, deverá também utilizar um novo modelo de pensamento, baseado em

variáveis e constantes. Sierpinska (1992) ainda coloca outro Ato no que se refere à

compreensão do papel das variáveis, U(f)-5: Discriminar variáveis dependentes e

independentes.

De acordo com Barreto (2009), ao trabalharmos com o sistema de eixos

cartesianos no contexto da Matemática, apesar de denominarmos o eixo horizontal

de x (eixo das abscissas) e o eixo vertical de y (eixo das ordenadas), essas

denominações podem ser feitas de maneira inversa. No entanto, este processo de

analogia não é válido em qualquer contexto, destacando como exemplo que em

contextos da Física, uma vez que na lei de Galileu , foi descrita a variável

“s”, esta não pode ser mudada para a variável “t”. No primeiro caso, temos que o

22

1

gts

46

conjunto 2 xy :y)(x, tem o mesmo significado do conjunto 2y x:x)(y, . Já no

caso do exemplo da Física, tal analogia não se aplica.

Logo, no contexto matemático, temos que as variáveis “x” e “y” representam

números no sentido abstrato, enquanto que no exemplo da Física, lida-se com

quantidades físicas: o espaço s é uma quantidade que possui uma qualidade a ser

medida.

Outro aspecto importante considerado por Sierpinska (1992) refere-se ao

papel dos números na construção do conceito de função e, para isto, a autora

destaca inicialmente o Ato U(f) -6: Generalização e síntese da noção de número.

Segundo Sierpinska (1992), neste ato, é proposto um delicado exercício: de um lado

trabalhar com valores numéricos para entender as ideias envolvidas, sem perder de

vista a necessidade de se generalizar; por outro lado fazer generalizações sem

perder de vista o contexto que, às vezes, por si próprio, limita os valores a serem

utilizados.

A compreensão do papel dos números é complementada por outro Ato, U(f)-

7: Discriminação entre número e quantidade. Neste caso, deve haver uma

discriminação entre variáveis que representam conceitos físicos, tais como por

exemplo tempo, velocidade, deslocamento e as variáveis numéricas. Tal

compreensão constitui-se numa condição necessária para o entendimento de

funções, ou seja, enquanto uma quantidade está atrelada a padrões físicos, um

número é um objeto abstrato.

Para a constituição do conceito de função enquanto objeto matemático, um

dos Atos apresentados é o U(f)-8: Síntese dos conceitos de lei e do conceito de

função; em particular, estar ciente da possibilidade de utilizar funções para modelar

relações entre magnitudes físicas ou outras.

Segundo Trindade (1996), o trabalho conjunto de físicos e matemáticos na

Idade Média teve papel fundamental para a percepção e o desenvolvimento de

diversos tipos de relação. A Matemática tem participação fundamental nas

conquistas da Física e de outras ciências. De forma recíproca, várias ciências

contribuem para o desenvolvimento da Matemática e, particularmente, para o

desenvolvimento do conceito de função, uma vez que apresentam novos problemas

e objetos de investigação.

Outro Ato é destacado, U(f)-9: Discriminar função das ferramentas analíticas

47

às vezes utilizadas para descrever sua lei. Quando pensamos, por exemplo, na

função definida por 2)( xxf , há de se entender que a função é “elevar ao quadrado”

e não o valor de 2x .

Devemos considerar ainda que um objeto, por exemplo, uma função

específica, é descrito a partir de um ponto de vista, e, para tal, o que prevalece são

as suas particularidades; logo, as conclusões são individualizadas. Já quando um

objeto é definido, deve-se tomar distancia das particularidades e pautar-se na

compreensão do objeto matemático em sua totalidade, ou seja, apresentando o

objeto em si. Neste sentido, são destacados dois Atos U(f)-10: Discriminação entre

definições matemáticas e descrições de objetos e U(f)-11: Síntese da concepção

geral de função como um objeto. Neste último, a conceituação de função tem de ir

além de processos e representações; o conceito deve se tornar um objeto que a

mente possa manipular como elemento.

A partir da concepção de função como um objeto matemático, Sierpinska

(1992) ainda destaca outros oito Atos que considera essenciais para a compreensão

do conceito de função. São eles:

U(f)-12: Discriminação entre os conceitos de função e de relação.

As funções devem ser compreendidas como um caso particular de relação, na

qual cada elemento do domínio possui um único representante na imagem.

U(f)-13: Discriminação entre as noções de função e de sequência.

Neste caso, é importante ter o entendimento de que a sequência é um caso

particular de função.

U(f)-14: Diferenciar as coordenadas de um ponto de uma curva e os

segmentos de reta que determinam alguma “coisa” da curva.

O ponto (3, 4) no plano, por exemplo, pode ser visto como: tem duas

coordenadas numéricas (3 na horizontal e 4 na vertical) e, ao mesmo tempo, é

determinado por dois segmentos, um medindo 3 unidades de medida na horizontal e

outro medindo 4 unidades de medida na vertical. Se colocarmos escalas diferentes

nos dois eixos, é preciso ter cuidado com estas ideias, pois em termos de

coordenadas não haverá alteração, ou seja, independente da escala utilizada,

continuará válido o ponto (3, 4); já em termos de segmento, poderá haver

alterações, pois, ao se modificar a escala, a unidade em que se mede o segmento é

modificada. Neste caso poderá haver diferença no tamanho desses segmentos, o

48

que nos impede de garantir, por exemplo, qual é o segmento maior. Vale ressaltar

que, com uma alteração na escala, pode-se manipular informações expressas por

meio da representação gráfica.

U(f)-15: Discriminar diferentes formas de representação de uma função da

própria função.

Durante sua prática profissional no magistério e em particular nas disciplinas

sobre funções, Barreto (2009) observou que, ao trabalhar um determinado gráfico de

uma relação que pode ser uma função ou não, os alunos sentem imediatamente a

necessidade de identificar a expressão algébrica dela e realizar operações formais

sobre ela, ou seja, a validação como função só é dada a partir da expressão

algébrica.

No entanto, a partir da compreensão do U(f)-11: Síntese da concepção geral

de função como um objeto, surgem condições necessárias para que o conceito de

função se sobressaia a suas representações e consequentemente o ato a seguir:

U(f)-16: Síntese das diferentes maneiras de se dar uma função, representá-la ou

falar sobre ela.

U(f)-17: Generalização da noção de variável.

A variável deve ser entendida em suas diferentes características, tais como

representando quantidade, qualidade, magnitudes físicas, dentre outras.

U(f)-18: Síntese dos papéis das noções de função e das “causas” na História

da Ciência: estar ciente do fato de que a busca por relações funcionais e causais

são ambas expressões internas da mente humana para compreender e explicar as

mudanças no mundo.

U(f)-19: Discriminação entre as noções de relações funcionais e relações

causais.

A variável independente nem sempre é o tempo, mesmo que historicamente

talvez tenha sido a primeira a aparecer. Nem sempre uma relação causal é uma

função. As relações causais podem aparecer, por exemplo, na Medicina: se um

indivíduo toma um remédio, este pode causar um efeito diferente do que em outro

indivíduo.

Nesta perspectiva, o entendimento é de que o conceito de função é

construído ao longo da vida escolar dos estudantes, ou seja, o trabalho não se

resume em apresentar o conceito por meio de uma definição em um dado momento

49

ou ano escolar e ter como premissa que, a partir daquele momento, o aluno já tenha

a compreensão do que é uma função. Notamos, nos Atos de Compreensão

apresentados, que estes permeiam conceitos desde o ensino fundamental até o

ensino superior e, desta forma, ao tentar responder o que entendemos sobre ter a

compreensão do conceito de função, é que esta compreensão é construída em

níveis, ou seja, a cada novo Ato compreendido, aprimora-se tal conceito, de forma

que a totalidade da compreensão só será alcançada após o entendimento de todos

os Atos.

Vale ressaltar ainda que estamos nos referindo a esse conjunto de Atos

apresentados por Sierpinska (1992) e que os consideramos ainda atuais, no que se

refere aos processos de ensino e de aprendizagem de funções. No entanto,

devemos considerar que, assim como destacado por Sierpinska (1992), a essência

do conceito de função está na observação das mudanças que ocorrem no mundo e,

desta maneira, entendemos que falar na totalidade da compreensão do conceito de

função é algo que nos coloca no campo da incerteza.

Nesta pesquisa, não temos a intenção e nem temos condições de estender a

discussão a tal perspectiva filosófica; e compreendemos que qualquer classificação

no sentido de “sabe” ou “não sabe”, quando nos referimos ao conceito de função em

sua totalidade, se mostra incoerente.

Desta maneira, o desafio está em propiciar um ambiente adequado para que

alguns desses Atos de Compreensão sejam contemplados e, consequentemente, o

conceito de função seja construído ao longo da vida escolar. Para tal construção,

não podemos desconsiderar que o conceito de função é tema central de diversas

pesquisas no campo da Educação Matemática e que sua exploração se dá por meio

de diferentes perspectivas teóricas. Assim, apresentamos a seguir algumas

pesquisas que discutem esta temática.

2.3 Pesquisas Envolvendo Funções

Muitas são as pesquisas existentes no campo da Educação Matemática que

discutem os processos de ensino e de aprendizagem de funções. A discussão em

torno deste conceito contempla os diferentes níveis de ensino e explora diversos

recursos pedagógicos sob a ótica de diversas perspectivas teóricas.

50

Consideramos que, ao adotarmos uma perspectiva teórica específica para o

desenvolvimento desta pesquisa, se faz necessário apresentar um panorama de

algumas pesquisas que apresentam alguma proximidade com a nossa, seja por

meio da teoria utilizada, nível de ensino ou recursos utilizados. Sendo assim,

apresentamos a seguir algumas pesquisas que discutem o conceito de função,

divididas em três seções, a saber, as que exploram este conceito no ensino

fundamental, com a finalidade de termos subsídios para entender como tem sido

proposta a introdução deste conceito neste nível de ensino; as que fazem uso da

tecnologia, no intuito de entender quais têm sido as contribuições da tecnologia para

a construção do conceito de função nos processos de ensino e de aprendizagem, e

as que exploram a perspectiva da Matemática do Movimento, para ter uma melhor

compreensão de como a representação “movimento” nas funções tem sido

explorada no ambiente escolar e, consequentemente, quais são os impactos dela na

construção deste conceito. Desta maneira, acreditamos ter mais elementos para

discutir as convergências e/ ou divergências da perspectiva adotada por nós, e

podermos ter condições de localizar a nossa investigação em meio às discussões já

postas na área.

2.3.1 Funções no Ensino Fundamental

Poucas são as pesquisas que estudam a introdução de função no ensino

fundamental. Dentre elas, está a de Vollrath (1986), que realizou um experimento

com crianças e jovens de 4 a 15 anos de idade na Alemanha. Vollrath (1986) aponta

que, no contexto alemão, esse conceito é ensinado desde o ensino fundamental em

uma abordagem em espiral, sendo retomado em diferentes etapas de ensino. Desta

forma, os alunos chegam sucessivamente a diferentes níveis de compreensão, o

que está em consonância com o sugerido no capítulo anterior, no qual entendemos

também que o conceito de função é construído por meio dos Atos de Compreensão

que devem ser explorados ao longo de toda a vida escolar. Vale ressaltar que tais

considerações estão pautadas no sistema educacional da Alemanha. Ao

considerarmos a realidade brasileira, notamos que os processos de ensino e de

aprendizagem do conceito de função ainda se encontram centralizados no ensino

médio, o que nos leva a reconhecer a importância do desenvolvimento de pesquisas

que explorem este conceito no ensino fundamental.

51

Segundo Vollrath (1986), os níveis de compreensão são caracterizados por

meio de diferentes habilidades apresentadas pelos alunos, habilidades estas que

vão desde a capacidade em perceber, em uma determinada situação, que a

quantidade y depende de outra quantidade x, até a percepção de que tal

conhecimento faz com que hipóteses sejam levantadas quando uma nova situação é

investigada por esses alunos.

O autor destaca que, para aprofundar o conhecimento sobre funções e obter

sucesso na resolução de problemas que envolvam este conceito, é necessária uma

capacidade mental que se divide em dois importantes aspectos; primeiramente,

reconhecer que dependências entre variáveis podem ser indicadas, postuladas,

produzidas e reproduzidas; e, por fim, ter consciência de que hipóteses a respeito

das dependências podem ser feitas, testadas e, se necessário, revistas.

Para Vollrath (1986), muitas sugestões têm sido feitas por educadores

matemáticos, a fim de se desenvolver o conceito de função, destacando que o

conhecimento sobre o desenvolvimento de tal conceito é discutido por meio de

estudos psicológicos. O autor exemplifica que, a partir de investigações de Piaget,

por exemplo, é sabido que a capacidade de descobrir a proporcionalidade de uma

função é uma tarefa possível de ser desenvolvida com crianças. No entanto, ao se

pesquisar este raciocínio proporcional, o autor afirma que há de se considerar

algumas etapas do pensamento funcional, que são definidas por capacidades e

limitações, tais como:

A criança sabe que a partir de uma ampliação de x resultará um alargamento de y. Mas a criança não é capaz de descobrir que uma duplicação de x leva a uma duplicação do y (VOLLRATH, 1986, p.2, tradução nossa)5.

Segundo Vollrath (1986), essas habilidades e deficiências tornam-se

aparentes em situações-problema em que o aluno é convidado a prever ou pré-

calcular um resultado.

O autor relata, por exemplo que, quando um problema de valor desconhecido

é apresentado em um experimento de Física que envolve, por exemplo, uma função

quadrática, muitas crianças assumem a proporcionalidade e têm dificuldade em

superar esta suposição. Para ser bem-sucedido em tais problemas, é, portanto,

5 “The child knows that from an enlargement of x an enlargement of y will result. But the child is not

able to discover that a doubling of x leads to a doubling of y.”

52

importante descobrir as propriedades "além da proporcionalidade". Neste exemplo,

notamos que esta dificuldade apontada por VolIrath (1986) tem relação com o

Obstáculo OE(f)-9 descrito por Sierpinska (1992), em que o aluno, ao considerar a

proporção como um tipo privilegiado de relação, terá dificuldades para estabelecer

outros tipos de relações não proporcionais, o que nos indica a importância de

discutir este Obstáculo em nossa pesquisa.

A fim de discutir suas considerações, Vollrath (1986) realizou um experimento

com crianças e jovens de 4 a 15 anos. Foi construída uma pista de madeira na qual

uma esfera de aço era lançada pelos alunos rolando para baixo a fim de

desembocar em um ponto fixo (Figura 1).

Figura 1. Representação da pista utilizada Fonte: VOLLRATH, 1986, p. 4

Após a realização do experimento, foram identificados os seguintes estágios:

Estágio 0: O lançamento da esfera é feito sempre do mesmo ponto de partida,

e é esperado que ela pare em um ponto qualquer, por acaso. O insucesso dos

resultados não fez com que o aluno mudasse a estratégia de lançamento da esfera.

Estágio 1: O lançamento é iniciado em diferentes pontos, mas sem uma

estratégia determinada. O aluno tem consciência da relação entre os pontos de

partida e de parada; no entanto, está convencido de que o ponto correto de largada

é determinado aleatoriamente. O insucesso dos resultados, ou seja, não atingir o

alvo pretendido não muda o comportamento do sujeito.

Estágio 2: O sujeito inicia o lançamento da esfera em diferentes pontos da

rampa de forma sistemática e ele sabe que, quanto mais alta a posição inicial da

esfera, maior será a velocidade dela e, consequentemente, irá mais longe.

Para Vollrath (1986), as transições entre esses estágios representam fases de

aprendizagem por tentativa e erro, destacando que o sujeito inicia com o

conhecimento do Estágio 1 e por meio dos próprios erros chega ao conhecimento do

Estágio 2.

Após algumas experiências, Vollrath (1986) notou que crianças na faixa de

10-14 anos demonstraram maior facilidade no reconhecimento da propriedade

53

monotônica (funções estritamente crescentes ou decrescentes). Sendo assim,

concentrou seu estudo nesta faixa etária, uma vez que tinha como objetivo explorar

a descoberta de tal propriedade. Tais considerações são importantes para nossa

pesquisa, uma vez que seus participantes estão dentro dessa faixa etária.

Em relação às observações relativas ao aspecto do pensamento funcional,

Vollrath (1996) observou que as crianças mais jovens, menores de 10 anos, não

estavam cientes de uma dependência entre a partida e o ponto de parada. Essas

crianças, ao realizarem o experimento, mantiveram uma variável constante e

esperaram que a outra variável mudasse por acaso. O insucesso nos resultados não

ajudou a descobrir a dependência.

A primeira tentativa dessas crianças mais jovens para superar essa limitação

foi a busca de outras posições convenientes, mas ainda usaram poucas estratégias,

no que se refere ao lançamento da esfera, para estabelecer uma relação entre as

variáveis envolvidas.

A primeira aparição de ideias relacionadas ao conceito de função pôde ser

percebida quando as crianças começaram a mudar uma variável e esperar

mudanças na outra. Notou-se que havia um grupo que, apesar de tal percepção, não

conseguiu descrever um procedimento sistemático correto, ou seja, uma relação de

dependência entre as duas variáveis; no entanto, houve um grupo que, além de

reconhecer a dependência entre as variáveis, assumiu a propriedade correta.

A partir dessas observações, Vollrath (1986) identifica três estágios do próprio

pensamento funcional e os define assim:

Estágio 0: Nenhuma correlação é vista. A dependência funcional não é

descoberta.

Estágio 1: A relação funcional é conhecida, no entanto, variações de uma

variável não levam à descoberta da propriedade monotônica.

Estágio 2: A propriedade monotônica da dependência funcional é

reconhecida.

No trabalho de Vollrath (1986) observou-se que a capacidade de descobrir a

propriedade monotônica se desenvolveu por volta de 11-12 anos de idade. No

entanto, o autor ressalta que isto não é regra geral, tendo em vista que foi

encontrada uma criança de 14 anos de idade no Estágio 0 e crianças de 7 anos no

Estágio 2. Vale ressaltar que Vollrath (1986) não se preocupou em oferecer nenhum

tipo de instrução para aqueles alunos que não conseguiram atingir o Estágio 2, por

54

isso não foi possível inferir se eles poderiam aprender ou não por meio de instrução.

Ao analisar os indivíduos bem-sucedidos nesta experiência, Vollrath (1986)

infere que tal sucesso pode estar atrelado a experiências anteriores, obtidas em

situações equivalentes, sendo que, no caso do experimento em questão, tais

experiências podem estar atreladas às brincadeiras com brinquedos como carros,

trens, andar de bicicleta, ou por experiências vivenciadas nas aulas de Ciências.

Vale ressaltar que, ao descrever estes estágios, Vollrath (1986) considerou

que o conceito de função é algo construído ao longo do desenvolvimento de um

processo, ou seja, na transição do indivíduo de um estágio a outro, até que o último

seja atingido e, consequentemente, constituindo a compreensão plena do conceito

em questão. Essa perspectiva tem relação com as ideias de Sierpinska (1992), uma

vez que, na sua perspectiva dela, o conceito de função também é construído ao

longo de um processo de superação de Obstáculos, e só assim o aluno terá um

entendimento pleno desse conceito.

Os resultados obtidos por Vollrath (1986) em sua pesquisa oferecem

importantes contribuições para o desenvolvimento de nossa investigação.

Inicialmente, destacamos as considerações de que as crianças são capazes de

estabelecer relações entre variáveis em funções cujas relações são proporcionais,

no entanto, apresentam dificuldade em estabelecer relações para outros tipos de

função, como por exemplo, para a função quadrática, o que reforça a nossa hipótese

de que existe algum Obstáculo a ser superado. Outra observação importante para o

nosso estudo foi a constatação de que, por volta dos 11-12 anos de idade, as

crianças já conseguem trabalhar com propriedades para além da proporcionalidade,

o que nos leva a inferir que este Obstáculo pode ser superado ainda no ensino

fundamental, justificando assim a nossa escolha em discutir esta temática neste

nível de ensino.

Botta (2010) discutiu a seguinte questão de pesquisa: “Como o conceito de

função pode surgir e se sedimentar com a utilização da Metodologia de Ensino-

Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas?”

(BOTTA, 2010, p.1).

Esta questão de pesquisa de Botta (2010) parece referir-se ao surgimento do

conceito de função, como se este ocorresse de forma pronta e acabada, o que é

contrário à nossa perspectiva de que esse conceito é construído ao longo de um

processo; no entanto, ao analisar o trabalho de Botta (2010), notamos que o

55

conceito de função também é tratado por ele como um processo, o que nos faz

considerar que a questão posta por Botta (2010) não reflete plenamente a pesquisa

realizada.

Em relação à Metodologia Ensino-Aprendizagem-Avaliação, Botta (2010)

considera que

O problema deve ser utilizado, sempre que possível, como ponto de partida para a construção do novo conhecimento, com o processo de ensino-aprendizagem centrado nos alunos, permitindo-lhes que utilizem suas ideias e estratégias. A avaliação contínua deve estar integrada ao ensino de modo a melhorar a aprendizagem. (BOTTA, 2010, p.186)

O autor destaca ainda que a formalização dos conceitos deve ocorrer de

forma gradativa, à medida que os problemas são resolvidos, dando tempo para que

os estudantes reflitam sobre cada ação realizada durante o processo.

Botta (2010) destaca também a importância de que professores e produtores

de currículo pensem sobre o fato de que a introdução do conceito de função, bem

como a de outros conceitos a ele relacionados, não precisa ocorrer necessariamente

na primeira série do ensino médio, podendo ser antecipada para o ensino

fundamental. Tal consideração está em consonância com os objetivos propostos em

nossa pesquisa, uma vez que também consideramos que a introdução deste

conceito deve ser iniciada no ensino fundamental. Esperamos com a nossa pesquisa

obter mais elementos para fundamentar tal consideração.

Botta (2010) realizou atividades com alunos de 6º ano do ensino fundamental

até a 3ª série do ensino médio, pertencentes à rede pública estadual de São Paulo.

As atividades foram divididas em três diferentes grupos:

Atividades do tipo I: foram realizadas por meio da resolução de problemas de

acordo com a Metodologia Ensino – Aprendizagem – Avaliação de Matemática e

desenvolvidas em grupos de até quatro alunos.

Atividades do tipo II: foram realizadas como avaliação bimestral, requerida

pela escola, após o trabalho com as atividades do tipo I e desenvolvidas

individualmente.

Atividades do tipo III: foram realizadas em grupos de até quatro alunos, por

meio do desenvolvimento de projetos interdisciplinares, com temas transversais.

Destacamos alguns dos resultados obtidos com as atividades desenvolvidas

com alunos do 7o ano do ensino fundamental, nas quais foi solicitado que, por meio

56

da ideia de proporcionalidade, determinassem ângulos correspondentes a algumas

porcentagens, como 45% de 360º. Ao analisar as respostas apresentadas, Botta

(2010) destaca que, apesar de alguns estudantes terem obtido resultados corretos e

terem mostrado conhecer a técnica operatória “regra de três”, relativa ao cálculo de

porcentagens, não é ainda possível afirmar que compreenderam o raciocínio de

proporcionalidade que dá embasamento à técnica.

No 8º ano, Botta (2010) desenvolveu atividades trabalhadas de forma menos

intuitiva e que deram ênfase ao conceito de função, visando a obtenção de uma

relação funcional. Essas atividades fizeram parte do projeto denominado Consumo e

Meio Ambiente, desenvolvido em 2004, em conjunto com as professoras de Ciências

de uma escola municipal de ensino básico, em que os alunos efetuaram o cálculo do

custo de receitas e de calorias, explorando conceitos matemáticos tais como

números decimais periódicos; razão e proporção; porcentagem; unidades de medida

e suas transformações, além de interpretação de textos e tabelas.

Nesta atividade, notamos evidências do que Sierpinska (1992) coloca como

sendo o primeiro Ato de Compreensão para o ensino de função, ou seja,

“identificação de mudanças observadas no mundo como um problema de ordem

prática a ser resolvido”, Ato este que será importante para superar o primeiro

Obstáculo “a Matemática não está preocupada com problemas práticos”.

Ao final dessas atividades, Botta (2010) concluiu que as concepções de

álgebra6 como aritmética generalizada, de álgebra como procedimento e de álgebra

como relações entre grandezas, aparecem nas respostas apresentadas com a ideia

de proporcionalidade, .

Botta (2010), ao analisar as respostas dos alunos, destaca que eles usaram

letras, ora para representar incógnitas, ora para representar variáveis, no entanto,

“não há indícios de que houve compreensão conceitual no que diz respeito à ideia

de razão e de proporcionalidade” (BOTTA, 2010, p.238).

Neste resultado, aparecem evidências de um dos Obstáculos discutidos por

Sierpinska (1992) “U(f) -4: Discriminação entre dois modos de pensamento

matemático: um em termos de quantidades conhecidas e desconhecidas e o outro,

6 Botta (2010) se remete à perspectiva de Usiskin (2004), que apresenta quatro classificações para a álgebra: A álgebra como aritmética generalizada; A álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas; A álgebra como estudo de relações entre grandezas e A álgebra como estudo de estruturas.

c

x

b

a

57

de quantidades variáveis e constantes”.

Apesar disso, Botta (2010) considera que

...os estudantes desenvolveram conexões entre o uso de números em aritmética e o uso de letras em álgebra, isto é, deram significado para os símbolos e às operações da álgebra em termos do conhecimento de aritmética que já tinham, para calcular o custo da receita, e para a obtenção de uma fórmula geral do custo desta receita em particular. (BOTTA, 2010, p.238)

Por meio das atividades desenvolvidas no 9º ano, discutiram-se padrões e

generalizações. Tais atividades envolveram o princípio da contagem, apresentaram

a álgebra como estudo de relações entre grandezas, introduziram padrões para a

obtenção de relações funcionais, além de terem introduzido aos poucos os termos e

o vocabulário relacionado ao conceito de função.

Ao analisar as respostas dos alunos, Botta (2010) destaca que foi possível

observar que, a partir de um conjunto de dados apresentados em uma tabela, os

alunos conseguiram distinguir se as variáveis envolvidas eram diretamente ou

inversamente proporcionais, descreveram uma relação funcional (algebricamente) a

partir dos dados e representaram os valores da tabela no plano cartesiano, obtendo

a representação gráfica.

Tais conclusões fazem Botta (2010) inferir que o conceito de função

trabalhado intuitivamente pode ser introduzido no decorrer do ensino fundamental II,

ou seja, com crianças na faixa etária de 11-14 anos. Em suas conclusões, Botta

(2010) recomenda que a construção do conceito de função seja realizada ao longo

da vida escolar dos alunos e, nesta perspectiva, não pode ser considerada somente

a partir da apresentação de uma definição matemática, o que normalmente ocorre

na primeira série do ensino médio.

Botta (2010) finaliza sugerindo que,

No entanto, sugerimos ao professor não esperar dos alunos da 5ª série/6° ano muito mais do que uma compreensão intuitiva da relação funcional, e que, para todas as séries, de 5ª a 8ª, (6°ano ao 9°ano) procure fazer uso de problemas que envolvam, por exemplo, proporcionalidade, recorrência, padrões e noções básicas de geometria, e que estejam relacionados tanto com pequenos temas do cotidiano, quanto com temas em evidência nas diversas mídias, para que o aluno comece a perceber desde cedo a presença da matemática em virtualmente todas as áreas do conhecimento. (BOTTA, 2010, p.339)

58

Estas considerações vêm ao encontro do que propomos desenvolver em

nossa pesquisa, ou seja, Botta (2010) parece compartilhar das ideias de Sierpinska

(1992) no se refere ao conceito de Função, ao considerar que este é construído ao

longo de um processo e que não se resume a uma mera definição matemática. Além

disso, pretendemos introduzir o conceito de função com alunos que ainda não foram

apresentados à sua definição matemática formal, com a pretensão de que, desta

maneira, esses alunos possam compreender conceitos que os ajudarão futuramente

a compreender o objeto matemático “função”.

2.3.2 Funções e o Uso da Tecnologia

Considerando que em nossa pesquisa fazemos uso da tecnologia para

discutir o processo de ensino do conceito de função e que a tecnologia protagoniza

muitas pesquisas que trabalham com este conceito, entendemos ser pertinente

apresentar algumas das que as usam.

Benedetti (2003) desenvolveu uma pesquisa com o software Graphmatica,

com o objetivo de investigar como as múltiplas representações de funções poderiam

ser trabalhadas por estudantes de ensino médio, com a atuação desse software e de

outras mídias como papel e lápis e a oralidade, na perspectiva do pensamento

coletivo de Lévy (1993). Segundo Benedetti (2003), a discussão desta temática se

mostra relevante, uma vez que contamos com softwares gráficos gratuitos e a cada

dia o tema representações múltiplas de funções se faz presente nas discussões,

tanto no currículo como no cotidiano dos alunos.

O estudo foi realizado com duas duplas de estudantes da primeira série do

ensino médio e foram exploradas tanto funções que tradicionalmente são discutidas

neste nível de ensino, polinomiais do primeiro e do segundo graus, como as que não

são normalmente discutidas neste nível de ensino, tais como x

y1

, xy , 3xy .

No caso das funções polinomiais, foi explorada a manipulação dos coeficientes e

seus reflexos na representação gráfica, bem como as características de

crescimento/decrescimento delas. Nas outras funções, foram explorados também os

conceitos de domínio e de imagem, e no caso da função x

y1

, também foi

explorada a ideia intuitiva de limite lateral quando x tende a zero.

59

Para a análise das atividades desenvolvidas foi considerada a seguinte

questão norteadora: “Como estudantes trabalham com aspectos algébricos, gráficos

e numéricos dentro de um coletivo pensante formado por estudantes, mídias e

pesquisador?”.

Em suas conclusões, Benedetti (2003) ressalta que, por meio das atividades

desenvolvidas, os estudantes puderam explorar criticamente certos conceitos e

propriedades de funções, tais como crescimento/decrescimento e múltiplas

representações, e destaca ainda que eles conseguiram transitar por noções mais

amplas de função como, por exemplo, a percepção da ideia de limite. Para Benedetti

(2003), o software Graphmatica teve um importante papel, tendo em vista que

somente com lápis e papel dificilmente os alunos esboçariam gráficos de funções

como x

y2

ou )1(

15

x

y , por exemplo.

A pesquisa de Benedetti (2003) proporcionou reflexões importantes para o

desenvolvimento de nossa pesquisa, uma vez que, assim como ele, reconhecemos

a importância de se trabalhar com diferentes tipos de função, desde o ensino

fundamental, além de compartilharmos da ideia de que pensar é um fenômeno

coletivo e que o recurso computacional tem grande potencial para a constituição de

coletivos que pensam sobre Matemática e, em particular, sobre o conceito de

função. Entretanto, o uso do Graphmatica restringiu-se à visualização de gráficos e

tabelas, o que nos motiva a verificar se a utilização de representações diferentes

destas podem oferecer diferentes resultados para a nossa pesquisa.

Sales (2008) teve como objetivo investigar as narrativas produzidas por

estudantes diante de uma abordagem matemática sobre funções utilizando um

ambiente de geometria dinâmica.

Em seu trabalho, estudantes do ensino médio interagiram com dois

micromundos, criados no Cabri Géomètre. Esses micromundos exploram de forma

dinâmica as representações gráficas de funções, tanto no plano cartesiano

convencional (Cartesiangraph), como com eixos coordenados configurados

horizontalmente (Dynagraph) (Figura 2).

60

Figura 2. Cartesiangraph x Dynagraph

Fonte: SALES, 2008, p. 52

Destacamos o trabalho com o Dynagraph, que disponibiliza aos alunos uma

representação diferente das normalmente exploradas em sala de aula, uma vez que

apresentam as representações gráficas de funções por meio dos eixos x e y, que,

neste caso, são configurados horizontalmente. Segundo Sales (2008), esses

gráficos são dinâmicos, uma vez que a variável independente pode ser

dinamicamente controlada via mouse enquanto sua imagem se move paralelamente

no eixo das ordenadas.

Em nossa pesquisa, com o uso do software SimCalc, também temos o

propósito de explorar uma representação diferente das habituais: a Janela Mundo,

que apresenta o movimento dos atores de acordo com a função criada.

Consideramos que o trabalho com essas diferentes representações pode contribuir

para a investigação de concepções ou conceitos de alunos no que se refere à ideia

de função, tendo em vista que, neste caso, podem surgir respostas mais

espontâneas do que as culturalmente constituídas no ambiente escolar.

Sales (2008) trabalhou em sua pesquisa com 10 funções divididas em quatro

grupos, a saber: funções afins, funções quadráticas, funções que possuem

assíntotas e funções descontínuas. O trabalho foi realizado com oito estudantes do

1º ano do ensino médio e dividido em três sessões de ensino.

Na primeira sessão, os alunos, inicialmente, escreveram sobre o que vinha

em suas mentes ao escutarem a palavra função. Posteriormente, foram postos a

classificar 10 funções apresentadas a eles em grupos, explicando o critério utilizado

para a classificação. Na segunda sessão, foram questionados sobre o que

aprenderam sobre função na escola. Em seguida, observaram novamente o

comportamento das 10 funções selecionadas e foi solicitado que as dividissem em

grupos contendo a explicação para os critérios utilizados para tal divisão e que

nomeassem cada grupo de funções. Na terceira sessão, os alunos participantes

61

foram postos a escrever sobre o que seria uma função no contexto da Matemática e

a associar cada expressão algébrica ao seu respectivo gráfico, tanto no Dynagraph

como no Cartesiangraph.

Sales (2008) concluiu que as narrativas dos alunos possibilitaram uma

percepção particularizada dos tipos de função, percepção esta que fez com que os

aprendizes tivessem interesse pelas atividades propostas e se envolvessem,

fazendo conexões entre propriedades e relações paradigmáticas das funções com

suas concepções matemáticas decorrentes de suas próprias histórias.

Segundo Sales (2008), ao chamar a atenção para propriedades pertinentes e

identificar comportamentos que caracterizam diferentes funções informalmente, os

participantes tiveram mais facilidade para falar e opinar sobre funções e isto ocorreu

antes mesmo de terem se apropriado de uma linguagem mais formal. Sales (2008)

destaca que,

Em relação a esse comentário, vale a pena destacar um outro do professor dos estudantes (de classe), alguns meses depois da nossa aplicação prática na escola: “De modo geral, os alunos que participaram da experiência, mostram um pouco mais de interesse em compreender a matemática e não apenas conseguir nota. Apenas um aluno, dos oito que participaram, teve seu desempenho, que era ruim, inalterado”. (SALES, 2008, p.137)

De acordo com a pesquisadora, das atividades apresentadas nas três

sessões de ensino, as que possibilitam a criação de narrativas com mais frequência

foram as que contemplaram dois aspectos: “comportamento excepcional na

representação gráfica e surpresa do estudante ao se deparar com um

comportamento desconhecido ou, em princípio, que não sabe como explicar”

(SALES, 2008, p.137). Sales (2008) destaca que, nesses momentos, os estudantes

foram desafiados a criar histórias que poderiam explicar ou tornar o comportamento

observado significativo ou compreensível. Desta maneira, para Sales (2008), “a

narrativa ajuda a organizar, construir e criar conexões entre as nossas experiências,

enfatizando um modo particular de lidar com algum fenômeno aparentemente novo”

(SALES, 2008, p.137).

Esses resultados parecem reforçar a perspectiva de Sierpinska (1992), que

considera que a compreensão matemática se dá por meio de saltos de velhos para

novos caminhos do saber, em que o indivíduo é capaz de visualizar as

consequências, ao considerar um ponto de vista diferente. No entanto, entendemos

62

que o professor tem responsabilidades no processo, para que tais pontos de vista

diferentes sejam constituídos, uma vez que, apesar de toda a bibliografia existente

sobre os processos de ensino e de aprendizagem de funções, devemos considerar

que o processo de construção do conhecimento de cada indivíduo se dá por meio de

descobertas e estas não podem se limitar à mera reprodução de descobertas já

realizadas.

Nesse sentido, acreditamos que o trabalho com o software SimCalc, em

nossa pesquisa, assim como o trabalho realizado por Sales (2008), por meio do

trabalho na conjunção dos ambientes Cartesiangraph e Dynagraph, oferecem

potencial para “novas descobertas”, diferentes das proporcionadas pelas

representações de funções habituais (Gráfica, tabular e algébrica) e,

consequentemente, oferecem novas possibilidades para o desenvolvimento do

conceito de função.

Entretanto, Sales (2008) ressalta que não são todas as funções que

possibilitam o surgimento de narrativas com muita frequência, destacando como

exemplo as funções afins que, para ela, oferecem menos possibilidades para que

narrativas surjam, tanto no que se refere à observação dos comportamentos, como

na discussão sobre a classificação. Para Sales (2008), isso ocorre uma vez que o

comportamento observado não apresenta nada de excepcional e, desta maneira,

não causa surpresa ao estudante.

O trabalho realizado por Sales (2008) nos faz refletir sobre o desafio que nos

é posto em proporcionar um ambiente em que seja possível que os alunos se

expressem de maneira mais espontânea no que se refere ao conceito de função,

tendo em vista que, ao abordar este conceito, Sierpinska (1992) relata que um dos

Obstáculos a serem superados é justamente repensar práticas nas quais apenas as

relações descritíveis analiticamente por fórmulas são dignas de serem chamadas

funções.

2.3.3 Funções e a Matemática do Movimento

Tendo em vista que em nossa pesquisa temos como objetivo explorar a

representação com “movimento” de funções, representação esta que ainda é pouco

explorada no ambiente escolar, consideramos importante apresentar algumas

pesquisas que exploram funções por meio da Matemática do Movimento.

63

Costa (2008), em sua pesquisa, cujo objetivo foi investigar o que dez

professoras de Matemática da educação básica aprenderam juntas sobre a

profissão, durante o processo de elaboração de um artigo multimídia, usou como

tema de discussão a Matemática do Movimento e utilizou, para instigar a discussão

entre as professoras participantes e a pesquisadora, a exploração da representação

gráfica no plano cartesiano de movimentos retilíneos, por meio do uso da

calculadora gráfica acoplada a um sensor (kit).

Costa (2008) escolheu a abordagem matemática do tema movimento pois,

segundo ela, esta abordagem está relacionada ao ensino de funções, envolvendo,

por exemplo, as representações no plano cartesiano dos movimentos corporais

captados por sensores, acoplados a calculadoras gráficas. Para Costa (2008),

geralmente, os conteúdos físicos que são explorados no último ano do ensino

fundamental não são trabalhados a partir de exemplos de objetos em movimento. O

estudo de funções, segundo ela, é normalmente introduzido para o aluno da

educação básica pela representação algébrica, por meio de um estudo analítico de

fórmulas matemáticas, sem relação com a representação gráfica ou de movimentos

corporais com sensores.

De acordo com Costa (2008), a representação gráfica é introduzida a partir da

apresentação de pares ordenados no plano, de forma isolada, para só depois

explorar a notação para funções. A ideia de movimento, segundo Costa (2008), não

é associada aos traçados que aparecem no plano; para ela, o currículo da escola

fundamental ainda não contempla o estudo do movimento de forma interdisciplinar

com a Física.

Em relação ao uso do kit, Costa (2008) ressalta que este enriquece o trabalho

tradicional da utilização de mídias como o lápis e papel, na discussão de significados

matemáticos. Costa (2008) usa a perspectiva da tecnologia como uma “prótese”,

permitindo ao sujeito agir e falar sobre objetos matemáticos, com um discurso

diferente, por meio da ação proporcionada pela tecnologia utilizada.

Inicialmente, as professoras foram postas a representar graficamente no

ambiente papel e lápis o problema de um percurso, realizado por um aluno fictício,

João, que envolvia idas, voltas, paradas, aumento ou decréscimo de velocidade ou

aceleração. Para Costa (2008), apesar das ações de João serem corriqueiras e

cotidianas, representá-las no gráfico cartesiano, mesmo para as professoras, era

uma novidade, uma vez que esta tarefa é diferente dos problemas sobre gráficos de

64

função usualmente explorados nos livros utilizados no dia a dia da sala de aula.

As professoras tiveram dificuldade em diferenciar e relacionar a trajetória

percorrida por João com o traço do gráfico da função que relacionava a distância

percorrida em função do tempo.

Segundo Costa (2008), ao observar a discussão das professoras foi possível

notar que elas concordavam que o tempo passava, mas o problema estava em

pensar em como voltar para o lugar de onde o menino partiu no mesmo traçado feito

pela ida, considerando a alteração do tempo. Esta dúvida, segundo Costa (2008),

permeou o pensamento das professoras na construção dos gráficos, demonstrando

como elas se sentiam fragilizadas em relação ao que sabiam de função. No caso da

fundamentação teórica de nossa pesquisa, entendemos que esta atividade

conseguiu desestabilizar o “velho” pensamento dessas professoras. Vale ressaltar

que esta dificuldade também pode surgir com o uso do SimCalc, uma vez que nele

também é permitido o uso do tempo como variável independente.

Em um segundo momento, as professoras foram postas a pensar no mesmo

problema fazendo uso do kit para a representação de movimentos. Ao analisar os

resultados, Costa (2008) destacou que algumas observações foram consenso entre

as professoras, tais como,

a representação do gráfico é definida por duas variáveis: d (distância) em função do t (tempo), o traçado paralelo ao eixo x implica que a distância não se altera enquanto o tempo aumenta – objeto parado, a representação da volta para casa intercepta o eixo x, existe diferença entre a distância da casa à escola e a distância percorrida pelo menino, função crescente sobe e vai para cima, função decrescente é o retorno de João, O tempo varia independente do movimento que se realiza. (COSTA, 2008, pp. 105 - 106)

Costa (2008) ressalta ainda que o sensor acoplado ao corpo junto com a

calculadora possibilitou uma nova experiência corpórea para as professoras, uma

vez que, ao movimentar o corpo, recebiam na tela da calculadora um gráfico como

feedback dos movimentos realizados. Nesse estudo, o uso do kit possibilitou às

professoras percepções gráficas, tais como a relação dinâmica entre as variáveis, o

que não teriam percebido sem o uso do Kit.

Em relação aos conceitos matemáticos, Costa (2008) destaca que, a partir

das interações com o kit, as professoras estabeleceram novas relações que, para

elas, eram abstratas. Exemplifica que começaram a fazer relações, tais como, do

65

movimento de ir e vir de João com os diferentes segmentos no gráfico, da reta

paralela ao eixo dos x com uma função constante, a rapidez do movimento de andar

para a frente com a inclinação do segmento, entre outras.

Nesta perspectiva, Costa (2008) concluiu que o uso de materiais apropriados

e de dispositivos como o kit facilitam a inclusão do movimento do próprio corpo na

aprendizagem de Matemática. Por exemplo, a representação gráfica de movimentos

corporais, com a utilização de sensores, trouxe novas formas de pensar o tema

movimento e os aspectos explorados, por meio da discussão, promoveram o pensar

sobre o tempo e o espaço.

Bolite Frant (2011) também desenvolveu uma pesquisa com o uso do Kit com

uma turma da primeira série do ensino médio que estava estudando funções nas

aulas de Matemática e cinemática nas aulas de Física. Para Bolite Frant (2011), a

leitura de um gráfico cartesiano pode parecer uma tarefa fácil, uma vez que todas as

informações necessárias estão postas nele; no entanto, ressalta que enxergar um

gráfico não implica ver tudo que está posto. Para isso, deve-se entender este signo

matemático.

Duas questões nortearam a pesquisa de Bolite Frant (2011):

“Que significados para o eixo tempo em gráficos cartesianos são produzidos

pelos alunos? Qual o papel da tecnologia na emergência da compreensão do eixo

tempo nestes gráficos?” (BOLITE FRANT, 2011, p.213).

Em relação ao uso da tecnologia, Bolite Frant (2011) usa a ideia de tecnologia

como prótese. Para ela, assim como uma prótese, o uso da tecnologia modifica a

percepção de quem a usa e provoca novas produções de significados.

No estudo de Bolite Frant (2011), uma professora denominada Alice, com a

ajuda de mais três professoras, inicialmente dividiu a turma, que era composta de 28

alunos, em grupos de 4 alunos. Assim como o explorado na pesquisa de Costa

(2008), inicialmente os alunos receberam a história do personagem Joãozinho, que

morava a alguns quarteirões da escola e no percurso de casa à escola fazia um

movimento de ida e de volta em alguns trechos, até finalizar o percurso e chegar à

escola. Após a leitura da história, cada grupo fez um gráfico que representava o

percurso de Joãozinho e um elemento de cada grupo o esboçou no quadro. Ao final

desta tarefa, foram apresentados cinco gráficos diferentes e, após uma discussão

com a turma toda, não conseguiram chegar a um acordo sobre qual gráfico

representaria melhor a situação. Assim como o demonstrado na pesquisa de Costa

66

(2008), Bolite Frant (2011) identificou que a maior dificuldade dos alunos

concentrou-se na representação da volta de Joãozinho para casa.

Na segunda tarefa, foram distribuídos os Kits aos alunos e o objetivo era

sobrepor um gráfico que era apresentado na tela da calculadora gráfica para,

posteriormente, voltarem a pensar nos gráficos feitos na tarefa anterior. A primeira

percepção foi de que o tempo sempre passa. Ao iniciarem a tarefa, notaram que,

mesmo parados, o gráfico começava a ser desenhado na tela por meio de uma reta

paralela ao eixo horizontal. Bolite Frant (2011) destaca que, a cada movimento que

os alunos faziam, era gerada uma representação bidimensional e, desta forma, a

prótese os ajudava a compreender a variável tempo no gráfico.

Após a realização desta tarefa, os alunos foram postos a pensar novamente

nos gráficos esboçados na primeira tarefa e, segundo Bolite Frant (2011), a tarefa foi

realizada com tranquilidade e maior compreensão por parte dos alunos. Ao final do

trabalho, Bolite Frant (2011) destaca que emergiram diferentes considerações sobre

o tempo, destacando a concepção de que “o tempo pode voltar, ser negativo ou até

parar”, “o tempo sempre anda” e a “compreensão do eixo do tempo nos gráficos d x

t”.

Bolite Frant (2011) concluiu que a teoria da cognição corporificada abriu

novas possibilidades para a compreensão da produção de significados dos alunos e

que o recurso tecnológico, trabalhado na perspectiva de prótese, além de oferecer

possibilidades de resolver o problema proposto, tornou tangível o que até então era

invisível, oferecendo um contexto bidimensional, por meio da coordenação dos eixos

no gráfico cartesiano. As reflexões propostas por meio da pesquisa de Bolite Frant

(2011) se mostraram importantes para o desenvolvimento de nossa pesquisa,

principalmente no que se refere ao papel da tecnologia na construção do

pensamento funcional, uma vez que consideramos que há convergências nas

concepções de prótese propostas por Bolite Frant e a de coletivo pensante proposta

por Lévy, tendo em vista que ambas reconhecem que, por meio do uso de recursos

tecnológicos, são impulsionados pensamentos e/ ou ideias que não seriam possíveis

na ausência desses recursos, ou seja, os sujeitos são elevados ao status de

participantes ativos na construção do conceito de função.

Ainda na perspectiva da Matemática do Movimento, Pereira (2013) realizou

uma pesquisa com o objetivo de analisar as narrativas produzidas por estudantes de

Licenciatura em Matemática, diante de uma abordagem para funções em um

67

ambiente dinâmico, bem como de observar as reações deles quando deparados

com funções representadas por animações, na janela do mundo do software

SimCalc. A pesquisa foi realizada com alunos do segundo período do curso de

Licenciatura em Matemática de uma universidade particular, localizada no sul de

Minas Gerais e as atividades desenvolvidas foram divididas em cinco sessões.

Na primeira sessão, foi apresentada aos alunos uma lista de funções

polinomiais na forma algébrica, contemplando funções de primeiro, segundo e

quarto graus, funções exponenciais, função seno, função definida por mais de uma

sentença e uma função racional. De acordo com Pereira (2013), nesta atividade, o

objetivo foi que os alunos utilizassem o software SimCalc especificamente para a

criação de atores, a partir da lei algébrica.

Segundo Pereira (2013), os alunos mostraram interesse em conhecer e

trabalhar com o programa e acharam interessante a representação animada de

atores que se movimentam em função do tempo. Pereira (2013) destaca que, nesta

primeira sessão, apareceram algumas dificuldades, no que se refere ao manuseio

do software SimCalc, que foram superadas no decorrer do trabalho.

Na segunda sessão, segundo Pereira (2013), a pretensão foi que os alunos,

utilizando as mesmas funções da sessão anterior, descrevessem o comportamento

do ator no mundo. Para Pereira (2013), por meio da observação das animações

realizadas pelas funções construídas no software SimCalc, os alunos apresentaram

“formas engraçadas” de contar o que estavam vendo na animação. Isso validou a

hipótese de que a utilização do software SimCalc permitiu aos alunos a associação

de situações e experiências do dia a dia para descrever o movimento do ator.

Pereira (2013) ainda destaca que o ato de observar as animações

proporcionou uma perspectiva de que estas podem ser vistas como um meio de

explorar e de analisar o movimento simulado e concluiu que a maioria dos alunos

expressou as ideias de acordo com o pensamento narrativo.

Na terceira sessão, foram apresentados aos alunos participantes alguns tipos

diversificados de animações, com o objetivo de que eles, ao analisarem o

movimento do ator, descobrissem características da lei algébrica da função. Pereira

(2013) notou que os alunos apontaram características que não estavam diretamente

relacionadas a ideias matemáticas de descrever o movimento dos atores e concluiu

que as respostas apresentadas estão de acordo com o pensamento narrativo.

Na quarta sessão, era esperado que os alunos criassem atores que

68

reproduzissem o mesmo movimento de atores criados pelo pesquisador e

apresentados na janela Mundo do software SimCalc. De acordo com Pereira (2013),

foi possível observar que todos os alunos imaginaram quais eram as possíveis

características da função apresentada, por meio do movimento do ator, para

reproduzir as animações. Nas discussões feitas pelos alunos, de acordo com Pereira

(2013), foi possível notar a tentativa de relacionar o movimento com a lei algébrica

da função. Nesse sentido, Pereira (2013) reafirma que a dinâmica do movimento

apresentado possibilitou aos alunos o desenvolvimento de características do

pensamento narrativo.

Na quinta sessão, foi solicitado aos alunos que, a partir de uma breve história

apresentada a eles de forma escrita, elaborassem uma animação, com um ou mais

atores, que representassem a história dada. De acordo com Pereira (2013), esta

sessão foi marcada inicialmente por muita discussão por parte dos alunos a respeito

das animações apresentadas, sendo que a grande preocupação observada se

concentrou em tentar relacionar a história com alguma forma gráfica, para

posteriormente poderem criar a animação, com o auxílio do software SimCalc.

Pereira (2013) notou que, a partir da apresentação dos pensamentos narrativos por

meio das histórias, os alunos apresentaram suas respostas por meio de modos de

pensamento paradigmáticos.

Em relação ao software SimCalc, Pereira (2013) acredita que a utilização dele

colaborou para que os alunos percebessem a relação entre o movimento e a função

que estava sendo representada e principalmente a variação da função, a partir do

movimento. Pereira (2013) destaca ainda que a sua pesquisa, assim como a

pesquisa desenvolvida por Sales (2008), aponta que o trabalho com funções

utilizando a interatividade de uma ferramenta computacional possibilita a produção

de narrativas.

A discussão provocada por estas pesquisas nos proporcionaram elementos

indispensáveis para o desenvolvimento da nossa, uma vez que nos levou a pensar

sobre o quanto a exploração do movimento, nas aulas de Matemática, pode

contribuir para a construção desse conceito. Tais considerações vêm ao encontro de

nosso objetivo, uma vez que compartilhamos das ideias de Sierpinska (1992) ao

reconhecer que a Matemática é resultante da resolução de problemas de ordem

prática, por meio da identificação das alterações observadas no mundo e, a nosso

ver, o movimento ocupa um lugar de destaque nessas alterações.

69

3 A TECNOLOGIA

Neste Capítulo, inicialmente, destacamos o papel da tecnologia tanto no que

se refere à formação básica do estudante brasileiro como no desenvolvimento de

conceitos matemáticos nesta etapa de ensino, para que localizemos a nossa

pesquisa neste contexto por meio da ideia de coletivos pensantes proposta por

Tikhomirov (1981) e Lévy (1993) e discutida no âmbito da Educação Matemática por

Borba (2002).

Inicialmente, destacamos as considerações dos Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998) quando apontam que, para além do ensino de

Matemática, as tecnologias são um dos principais agentes de transformação da

sociedade, por exercerem importantes modificações nos meios de produção e,

consequentemente, no cotidiano das pessoas. Desta forma, apresenta-se o desafio

de pensarmos como as escolas devem incorporá-las ao trabalho, que tem se

pautado amplamente na oralidade e na escrita.

Esses recursos, uma vez inseridos na escola, trazem contribuições diferentes

das tradicionalmente utilizadas, colocando-nos a repensar sobre os processos de

ensino e de aprendizagem de Matemática de forma geral, uma vez que possibilitam

aos alunos reconhecer a importância do papel da linguagem gráfica e de novas

formas de representação, permitindo estratégias diferenciadas para o tratamento de

problemas e possibilitando aos alunos a construção de uma visão mais completa da

verdadeira natureza da atividade matemática, desenvolvendo neles atitudes

positivas e integradas, diante de seus estudos.

De acordo com os PCN, a tecnologia pode possibilitar o desenvolvimento de

um trabalho que se adapta a distintos ritmos de aprendizagem, permitindo que

alunos aprendam com os próprios erros. Por outro lado, ao fazer uso do computador

em sala de aula, deve-se ter uma atenção na escolha dos softwares, para que estes

compartilhem dos mesmos objetivos e concepções de conhecimento e de

aprendizagem que orientam o processo.

Os PCN reforçam uma característica importante para o sucesso com as

experiências escolares com o computador, considerando que o uso efetivo desse

recurso pode levar ao estabelecimento de uma nova relação professor-aluno,

marcada por maior proximidade, interação e colaboração. Essa nova dinâmica

define um novo lugar para o professor, pois este profissional é retirado da posição

70

de detento absoluto do saber e é colocado a pensar em sua formação contínua e

permanente ao longo de toda a vida profissional. Longe da ideia de que o

computador viria substituir o professor, seu uso vem, sobretudo, reforçar o papel

dele na preparação, condução e avaliação dos processos de ensino e de

aprendizagem.

Nesse contexto, é esperado que

nas aulas de Matemática se possa oferecer uma educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada nas práticas sociais. (BRASIL, 1998, p.46)

Apesar dos objetivos destacados nos PCN já estarem com quase duas

décadas de existência, notamos que tais discussões ainda são atuais no campo da

Educação Matemática, uma vez que, segundo Moraes (2013), ainda são muitos os

desafios a serem superados, no que se refere ao uso da tecnologia nas aulas de

Matemática, desde a falta de apoio das instituições para equipar as escolas; a falta

de motivação do professor, que ainda tem uma carga muito grande de trabalho e

nem sempre tem tempo para explorar o potencial dos recursos tecnológicos

disponíveis; a resistência de alguns professores a este tipo de trabalho, tendo em

vista a formação insuficiente para esta nova perspectiva. Desta forma, ao nos

propormos a desenvolver uma pesquisa nesta área, que utiliza o recurso

computacional como elemento integrante no desenvolvimento do conceito de

função, uma questão se mostra essencial: Qual concepção será adotada no que se

refere ao papel desse recurso na construção de tal conhecimento? Para tentar

responder a esse questionamento, discutimos a ideia de coletivos seres-humanos-

com-mídias, proposta por Borba (2002).

Segundo Borba (2002), a introdução da informática na Educação Matemática

tem sido alvo de discussão de vários segmentos da sociedade, destacando

questões políticas, comerciais, ou pela perspectiva que visa a motivação ou melhora

da aprendizagem. Para Borba (2002), essa última perspectiva, além de ser debatida

na sociedade de um modo geral, também vem sendo debatida no ambiente

universitário. O autor destaca que, se pensássemos em motivação, estaríamos

frente a um desafio quase impossível das instituições em manterem atualizados os

71

equipamentos e compra de softwares; já em relação à melhora da aprendizagem,

destaca diversos problemas e, para fundamentar tal posição, o autor discute duas

noções, a de reorganização (TIKHOMIROV, 1981) e a de relação entre técnica,

conhecimento e história (LÉVY, 1993).

3.1 O Papel do Computador na Teoria da Reorganização

Tikhomirov (1981), no artigo denominado “As consequências psicológicas da

computerização” retrata que um dos desafios da Psicologia, no decorrer da

revolução tecnológico-científica, é estudar as consequências psicológicas

decorrentes da integração do computador.

Destaca que a possibilidade de resolver problemas com o computador,

problemas estes que eram até então resolvidos por humanos, levou acadêmicos a

concluírem que:

1) O roteiro do trabalho de um computador é uma teoria do pensamento humano. 2) A possibilidade de reprodução em uma máquina de algumas funções é o critério para a validade ou não de uma explicação psicológica de atividade. 3) Uma resposta negativa à tradicional pergunta: “uma máquina é capaz de pensar?” é “não científica e dogmática”, pois a comparação do comportamento de uma máquina e de um ser humano geralmente revela resultados idênticos (TIKHOMIROV, 1981, p.1).

Para ele, ao considerarmos essas ideias, estamos pensando no computador

como aquele que assume o lugar do ser humano na atividade intelectual, tendo em

vista que este poderia ser substituído em todas as esferas do trabalho intelectual;

esta teoria ele denomina de substituição. No entanto, essa ideia, segundo

Tikhomirov (1981), não expressa a real relação entre o pensamento humano e o

trabalho do computador.

O autor apresenta também o que denomina de abordagem informacional do

pensamento, que consiste na ideia de que qualquer comportamento pode e deve ser

estudado independentemente do estudo de seus fundamentos neurofisiológicos,

bioquímicos dentre outros e destaca que,

Apesar das diferenças entre o cérebro e o computador serem evidentes,

existem similaridades funcionais importantes. A idéia de que os processos

complexos do pensamento são constituídos de processos elementares de

manipulação de símbolos é a principal premissa da explicação do

pensamento humano no nível do processo informacional, em geral, estes

72

processos elementares são descritos como se segue: Leia o símbolo,

escreva o símbolo, copie o símbolo, apague o símbolo e compare dois

símbolos. (TIKHOMIROV, 1981, p.2)

Nessa perspectiva, segundo o autor, explica-se o pensamento humano dentro

de um sistema de conceitos idênticos ao modo de operar de uma calculadora e,

sendo assim, poderíamos pensar que o trabalho do computador suplementa o

pensamento humano no processo da informação. Essas características determinam

o que denomina de teoria da suplementação. Nela, o processamento da informação

é feito pelo ser humano, com a ajuda do computador.

No entanto, segundo Tikhomirov (1981), a ideia de pensamento não pode ser

restrita à simples capacidade de resolver problemas, mas envolve também a

formulação deles. Acrescenta que, na resolução e na formulação de problemas,

deve-se levar em conta características importantes, como a asserção de valores e,

desta forma, a teoria da suplementação não dá conta de explicar a relação ser

humano-computador, no que se refere ao pensamento.

Do ponto de vista de Tikhomirov (1981), uma perspectiva a ser considerada é

a análise da reorganização das atividades intelectuais humanas, mnemônica7,

comunicativa e criativa, quando se considera a relação ser humano-computador.

Nessa perspectiva, considera que a memória, o armazenamento e a busca de

informações são reorganizados. Além disso, destaca que novas formas de

comunicação surgem e as relações humanas passam a ser mediadas pelo

computador.

De acordo com Tikhomirov (1999), as discussões do que e como conhecemos

estão intrinsecamente ligadas às mídias disponíveis na construção de tal

conhecimento e, desta maneira, por meio do uso do computador, surgem

conjecturas que talvez não fossem possíveis sem ele. Dessa forma, entendemos

que, ao adotar a teoria da reorganização da atividade humana e as novas formas de

mediação, a concepção é a de que o pensamento é um fenômeno coletivo.

Para Kalinke (2009), ao adotarmos esta perspectiva do coletivo ser humano-

computador, somos postos a pensar também nas novas relações professor-aluno,

tendo em vista que novas maneiras de legitimar e de justificar descobertas surgem

7 Mnemônico é um conjunto de técnicas utilizadas para auxiliar o processo de memorização.

Consiste na elaboração de suportes como os esquemas, gráficos, símbolos, palavras ou frases

relacionadas com o assunto que se pretende memorizar.

(Fonte:http://www.significados.com.br/?s=mnem%C3%B4nico)

73

em sala de aula, reforçando, assim, a importância e a aplicabilidade dessa

perspectiva na área da Educação. De acordo com Tikhomirov (1999), o uso do

computador nesta perspectiva gera novas dinâmicas em sala de aula, resignificando

os papéis do computador, do aluno e do professor.

Culturalmente, no ambiente escolar, o conceito de função é explorado por

meio das representações algébrica, gráfica e tabular. Em nossa pesquisa, ao

explorarmos o conceito de função por meio do movimento do ator proporcionado

pelo Software SimCalc, acreditamos que ideias já desenvolvidas no decorrer da vida

escolar desses alunos, tais como relação entre duas grandezas, proporcionalidade,

dependência, dentre outras, serão reorganizadas, dando margem para a construção

de “novas” formas de pensamento e, desta maneira, constituindo um coletivo alunos-

software SimCalc, que potencializará a construção do conceito de função na

perspectiva de Sierpinska (1992).

3.2 A Noção de Coletivo Pensante

Para Lévy (1993), emerge, no final do século XX, com o surgimento das

tecnologias digitais e em especial, do computador, um conhecimento por simulação

que os epistemologistas até então não previam. O estudo do conhecimento estava

pautado principalmente na oralidade e na escrita. Lévy (1993) destaca que, frente a

esta nova perspectiva de construção do conhecimento, o desafio seria inventar

novas estruturas discursivas, descobrir novas formas de argumentações

comunicativas até então desconhecidas, em um esquema dinâmico de textos e de

imagens animadas; conceber representações diretas das ideias, por meio de figuras

gráficas que são as “imagens” do objeto, com as quais as cores, o som e o

movimento se associarão para dar significado. Destaca ainda que:

A simulação, que podemos considerar como uma imaginação auxiliada por computador, é, portanto, ao mesmo tempo uma ferramenta de ajuda ao raciocínio muito mais potente que a velha lógica formal que se baseava no alfabeto. (LÉVY, 1993, p.125)

Entretanto, ressalta que o conhecimento por simulação só tem validade

dentro de um quadro epistemológico relativista, em detrimento do idealismo e do

universalismo platônico; e, ao considerarmos esta perspectiva, surgem também

novos desafios pedagógicos, no que se refere à construção do conhecimento.

74

Segundo Lévy (1993), há de se reconhecer que as resistências sociais a essa

nova perspectiva existem e são fundamentadas, uma vez que, desde a introdução

da informatização nas escolas, muitos foram os objetivos políticos e muitos deles

perseguidos, sem se pensar na real utilização e na qualidade de ensino. Em muitos

casos, não houve preocupação, por exemplo, com a qualificação dos profissionais,

com o espaço físico adequado, entre outros. O autor destaca que

A escola é uma instituição que há cerca de cinco mil anos se baseia no falar/ditar do mestre, na escrita manuscrita do aluno e, há quatro séculos, em um uso moderado de impressões. Uma verdadeira integração da informática supõe, portanto, o abandono de um hábito antropológico mais que milenar o que não pode ser feito em apenas alguns anos. (LÉVY, 1993, p.8)

Ao tentar abandonar tal hábito, um novo desafio é posto em discussão. “O

que acontece com a distinção bem marcada entre o sujeito e o objeto do

conhecimento, quando nosso pensamento encontra-se profundamente moldado por

dispositivos e coletivos sociotécnicos?” (LÉVY, 1993, p.10).

Desta maneira, Lévy (1993) nos leva ao seguinte questionamento “Quem

pensa?” e apresenta o conceito de ecologia cognitiva, no qual defende a ideia de um

coletivo pensante, homens-coisa, coletivo este que é dinâmico e povoado por

singularidades atuantes e subjetividades mutantes, distinguindo-se, assim, do sujeito

exangue da epistemologia e das estruturas formais.

Lévy (1993) destaca que o computador se tornou hoje um dispositivo técnico

pelo qual percebemos o mundo e isto não apenas em um plano empírico,

considerando elementos como os fenômenos aprendidos graças aos cálculos,

perceptíveis na tela, ou traduzidos em listagens pela máquina, mas também em um

plano transcendental, pois, segundo ele, hoje, cada vez mais, concebemos o social,

os seres vivos ou processos cognitivos sob a ótica de uma matriz de leitura

informática. Destaca, ainda, que os coletivos compostos de indivíduos, instituições e

técnicas não são somente meios ou ambientes para o pensamento, mas sim seus

verdadeiros sujeitos.

Atualmente, o computador tem se tornado cada vez mais presente nesse

processo como ator deste coletivo pensante e isso, segundo Lévy (1993), ocorre

porque, assim como o livro em épocas anteriores, o computador se tornou uma

mídia de massa.

75

Para Lévy (1993), muitos dos aspectos culturais da sociedade estão fundados

sobre as lembranças dos indivíduos e a inteligência pauta-se na memória. Memória

esta que vem sendo modificada ao longo do tempo; inicialmente, valorizava-se a

memória auditiva e, posteriormente, a escrita também passou a ser valorizada.

Atualmente, discute-se como e por que diferentes tecnologias intelectuais geram

estilos de pensamento distintos.

Para discutir tal questão, Lévy (1993) destaca que, ao compreender o lugar

fundamental das tecnologias da comunicação e da inteligência na história cultural,

somos levados a olhar de uma nova maneira a razão, a verdade e a história,

ameaçadas de perder sua proeminência na civilização do computador. Frente a tal

realidade, destaca que o desafio dos autores e dos editores deste século está

pautado em inventar novas estruturas discursivas, descobrir as retóricas ainda

desconhecidas do esquema dinâmico, do texto da geometria variável e da imagem

animada, conceber ideografias nas quais as cores, o som e o movimento se

associarão para significar.

Apesar das novas expectativas que giram em torno dos modelos digitais, vale

ressaltar que, de acordo com Lévy (1993), um modelo digital normalmente não é

verdadeiro nem falso, nem mesmo testável, em um sentido estrito. Ele apenas será

mais ou menos útil mais ou menos eficaz ou pertinente em relação a este ou aquele

objetivo específico. Alguns fatores, segundo ele, muitos deles distantes da ideia de

verdade, podem intervir na avaliação de um modelo como, por exemplo, a facilidade

de simulação, a velocidade de realização e de modificação, as conexões possíveis,

dentre outros.

O autor ressalta, no entanto, que a fragilidade da verdade não significa que, a

partir de agora, qualquer coisa será aceita sem uma análise, mas sim que lidaremos

com modelos variáveis, obtidos e simulados de forma mais ou menos rápida e cada

vez mais independente daquele horizonte da verdade, no qual podíamos aderir

firmemente. O desafio atual concentra-se não apenas em criticar determinados

modelos, tendo em vista que a pretensão à verdade diminui e sim em corrigir e fazer

as adaptações necessárias nos erros detectados. Nessa vertente,

A inteligência ou a cognição são o resultado de redes complexas onde interage um grande número de atores humanos, biológicos e técnicos. Não sou “eu” que sou inteligente, mas “eu” com o grupo humano do qual sou membro, com minha língua, com toda uma herança de métodos e tecnologias intelectuais. (LÉVY, 1993, p.137)

76

O ser pensante é constituído na perspectiva de que “o pensamento se dá em

uma rede na qual neurônios, módulos cognitivos, humanos, instituições de ensino,

línguas, sistemas de escrita, livros e computadores se interconectam, transformam e

traduzem as representações” (LÉVY, 1993, p.137).

Sendo assim, para Lévy (1993), o pensar é um dever coletivo no qual se

misturam homens e coisas, justificando que os artefatos têm o seu papel nos

coletivos pensantes. “Da caneta ao aeroporto, das ideografias à televisão, dos

computadores aos complexos de equipamentos urbanos, o sistema instável e

pululante das coisas participa integralmente da inteligência dos grupos” (LÉVY,

1993, p.137).

3.3 O Coletivo Seres-Humanos-Com-Mídias

Segundo Borba (1999), no âmbito da Psicologia da Educação Matemática tem

havido acalorados debates entre aqueles que defendem que o sujeito epistêmico é o

ser humano isolado e os que defendem que a produção de conhecimento se dá

essencialmente no social, ou seja, na composição de mais de uma pessoa.

Para se posicionar sobre tal debate, Borba (1999) compartilha das ideias de

Lévy (1993), considerando que o pensamento é constituído de forma coletiva, sendo

que tal coletivo é constituído não apenas por seres humanos, mas sim de homens e

coisas, tais como instituições ou recursos tecnológicos e desta maneira considera

que o pensar é um dever coletivo. Vale ressaltar que Lévy (1993) considera que, ao

longo da história, vários recursos tecnológicos tiveram um papel importante na

construção do conhecimento, destacando, por exemplo, a comunicação por meio da

linguagem escrita e verbal.

De acordo com Borba (1999), cada recurso tecnológico tem suas

características próprias, no que se refere às suas influências no pensar matemático

e, com a inserção dos recursos computacionais no processo de construção do

pensamento matemático, características que até então não eram levadas em

consideração, principalmente as novas dinâmicas de simulações, movimentos e

representações, passam a fazer parte do pensar matemático. Para sustentar tal

perspectiva, Borba (1999) compartilha das ideias de Tikhomirov (1981),

77

considerando que de fato o pensar é um dever coletivo composto por homens-

coisas.

Neste contexto, Borba (1999) apresenta a perspectiva de que o pensamento

matemático é constituído pelo coletivo seres-humanos-com-mídias; para ele, nas

discussões em torno dos processos que envolvem o pensamento, pouca ênfase é

dada ao papel ocupado pelas mídias disponíveis. Tais discussões, na maioria dos

casos, têm em sua centralidade o ser humano, sendo que, muitas vezes, são

limitadas a uma única parte dele: a cabeça. Para Borba (1999), devemos considerar

os limites de tal perspectiva, uma vez que, segundo ele, após a inserção da

tecnologia, novas formas de pensamento surgiram por meio dos sistemas seres-

humanos-com computadores.

Segundo Borba (2002), uma vez que a informática está se tornando cada vez

mais presente em nossas práticas cotidianas, devemos considerar as

transformações no conhecimento, decorrentes da inserção desta nova mídia. Para o

autor, há três grandes técnicas associadas à memória e ao conhecimento: a

oralidade, a escrita e a informática e, assim como a oralidade e a escrita são

consideradas extensões da memória, hoje, a informática se apresenta também, com

suas particularidades, como uma extensão da memória. Destaca “que esta [(a

informática)] permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de

pensar, baseados na simulação, na experimentação, e uma “nova linguagem” que

envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea” (BORBA, 2002,

p.138).

Nesta perspectiva, Borba (1999) considera que o conhecimento matemático

também está condicionado às mídias disponíveis em um determinado momento e,

desta forma, destaca, por exemplo, que a ênfase das demonstrações matemáticas é

influenciada fortemente pela disponibilidade da escrita e dos materiais disponíveis,

tais como lápis, papel, quadro negro e giz, ou seja, tais demonstrações alcançaram

suas validades em decorrência também das mídias disponíveis; por exemplo o

sistema ser-humano-lápis-e-papel e, desta forma, de acordo com Borba (2002),

devemos considerar que as novas mídias da informática também modificam os

caminhos que nos levam às verdades matemáticas e que a presença dessas novas

mídias, portanto, pode alterar o pensamento matemático.

Frente a este novo desafio, Borba (2002) discute tais ideias no campo da

Educação Matemática, adotando uma perspectiva teórica que se apoia na noção de

78

que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-

mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias. Nessa perspectiva, destaca que,

Em outras palavras, tal noção é adequada para mostrar como o pensamento se reorganiza e com a presença das tecnologias da informação e que tipos de problemas são gerados por coletivos que incluem seres humanos e mídias como o lápis e papel e diversas facetas das tecnologias da informação. (BORBA, 2002, p.139)

Segundo Borba (2002), a informática no campo da Educação Matemática é

vista como uma mídia diferente da linguagem do ponto de vista qualitativo,

reorganizando o pensamento de uma forma particular. Nessa perspectiva, não há

interesse em discutir se nosso pensamento é pior ou melhor quando interagimos

com as mídias informáticas, ressaltando que “o que importa do ponto de vista

educacional é que pensemos que tipo de problema pode ser gerado e/ou resolvido

por um sistema formado por ser-humano-computador” (BORBA, 2002, p.137).

Para Borba (2002), o foco está no processo de como o pensamento se

reorganiza com a presença das tecnologias da informação com destaque a que tipos

de problemas são gerados por coletivos que incluem seres-humanos e mídias como

o lápis e papel e diversas facetas das tecnologias da informação. Tais

considerações sugerem novas mudanças nas práticas pedagógicas

Acredito, então, que a metáfora ser-humano-mídias possa nos dar suporte às mudanças de ênfase em atividades didático-pedagógicas centradas na mídia escrita, para aquelas que incorporem a informática enquanto mídia. Entendendo que, desta forma, é possível estar teoricamente equipado para compreender as mudanças que poderão ocorrer quando o uso dessas novas tecnologias se tornar mais disseminado e, talvez, evitar que sejam repetidas práticas de épocas em que as mídias predominantes eram outras. (BORBA, 1999)

A partir das considerações de Tikhomirov (1999), Lévy (1993) e Borba (1999),

compartilhamos da ideia de que o pensar é uma tarefa coletiva. Consideramos que

um coletivo pensante se constitui por meio das contribuições oferecidas por

diferentes atores, sejam eles humanos ou não. Cada um dialoga a sua maneira com

os outros na constituição do pensar, enquanto construção coletiva. Considerando

esta perspectiva e as recomendações dos PCN, escolhemos para esta pesquisa o

trabalho com o Software SimCalc. Acreditamos que este software, por explorar uma

representação diferente das habituais (movimento), ao compor um coletivo

79

pensante, proporcionará novas discussões, no que se refere à construção do

conceito de função, na perspectiva de Sierpinska (1992).

80

4 MÉTODO

Neste capítulo, apresentamos a metodologia do Design Experiment (COBB,

CONFREY, DISESSA, LEHRER, SCHAUBLE, 2003), adotada para o

desenvolvimento desta pesquisa, bem como os procedimentos metodológicos

utilizados em nossa coleta de dados. Destacamos que, como parte desses

procedimentos, apresentamos alguns resultados de duas aplicações- piloto

realizadas cada uma delas com um aluno de 9º ano do ensino fundamental, com a

finalidade de rediscutir e reformular as atividades inicialmente elaboradas, conforme

previsto no Design Experiment. Para a compreensão das atividades trabalhadas,

apresentamos o software SimCalc e as características dele utilizadas em nossa

pesquisa.

4.1 Design Experiment

Segundo Cobb et al. (2003), o desenvolvimento de uma pesquisa baseada

em design ocorre por meio de ciclos contínuos que contemplam o design das

atividades a serem exploradas, a interação e a aplicação delas, a análise dos

resultados e o redesign das atividades, caso seja necessário.

Essas características fazem com que esse tipo de pesquisa não considere

apenas os sucessos ou as falhas que surgem em seu desenvolvimento, mas sim as

interações entre as atividades propostas e os participantes que contribuam para a

compreensão dos fatores de aprendizagem envolvidos, e, desta forma, a pesquisa

pauta-se no desenvolvimento de relatos fidedignos sobre os métodos que possam

documentar e conectar os processos de interação aos resultados de interesse, tendo

em vista que o foco deve estar nas interações.

Um aspecto determinante em qualquer experimento de design, segundo Cobb

et al. (2003), é que o pesquisador tenha o cuidado de realizar os procedimentos

associados, como desenvolver um design inicial, conduzir a experiência e extrair

uma análise retrospectiva e sistemática dela. Salienta-se que o experimento é

adaptável à produção dos alunos, ou seja, pode ser remodelado durante o processo.

Desta maneira, pensamos que essa metodologia mostra-se coerente com os

objetivos do presente estudo, tendo em vista que o professor-pesquisador, por meio

de adaptações necessárias nas atividades, terá possibilidade de sustentar e/ou

81

proporcionar modificações nos esquemas matemáticos dos alunos participantes, no

decorrer do estudo. Assim, em nossa pesquisa, não partiremos da premissa de que

alguns dos Obstáculos Epistemológicos levantados por Sierpinska (1992) ocorrerão,

mas sim, faremos uma discussão, a partir dos Obstáculos que surgirem no decorrer

da aplicação das atividades, tendo ainda a possibilidade de reformulação destas, no

caso de manifestação de algum destes Obstáculos.

Em nossa pesquisa, como temos por objetivo discutir quais Obstáculos

Epistemológicos discutidos por Sierpinska (1992) surgem ao introduzir ideias

relacionadas ao conceito de função no ensino fundamental, por meio de um coletivo

pensante e quais são as potencialidades do software SimCalc, enquanto integrante

desse coletivo, que colaboram com a superação dos Obstáculos, optamos por uma

das modalidades do design que considera um experimento de ensino aplicado a um

pequeno grupo de estudantes, para que tenhamos condições de elaborar e analisar

com mais profundidade e com riqueza de detalhes as atividades propostas.

Existem outras vertentes de design, dependendo do objetivo da pesquisa a

ser desenvolvida, a destacar: experimentos voltados ao desenvolvimento em salas

de aula, em que uma equipe de investigadores auxilia o professor, que pode ser ou

não um membro desta equipe de investigação; estudos voltados a professores em

formação; estudos voltados a professores atuantes para o desenvolvimento de uma

comunidade profissional; e modelos que objetivam grandes reestruturações,

envolvendo equipes de pesquisadores, professores, gestores escolares e outras

partes interessadas em auxiliar na organização.

Para Cobb et al. (2003), todas as modalidades possuem pontos

convergentes, dos quais destaca o desenvolvimento de uma classe de teoria em

pequena escala, representando a descrição de um modelo do entendimento dos

estudantes em relação a um conceito matemático, em particular a consideração de

que este modelo é de natureza intervencionista, uma vez que a meta do Design

Experiment é propor novas formas de aprendizagem; e que, nesta intervenção,

surgem duas características, uma de ordem prospectiva, tendo em vista que há a

implementação de uma hipótese e outra de ordem reflexiva, uma vez que há

conjecturas elaboradas durante a condução do experimento.

82

Vale ressaltar que todas essas ideias são desenvolvidas levando em

consideração o caráter cíclico, aliado a uma construção iterativa, bem como o

caráter pragmático, inerente a essa metodologia.

Em nossa pesquisa, conduzimos as sessões com uma turma de 20 alunos de

9o ano do ensino fundamental, no entanto, levando em consideração que nosso

objetivo envolve analisar de forma mais detalhada aspectos relacionados à

introdução do conceito de função, fizemos uma análise mais detalhada de um

pequeno grupo de oito estudantes, evidenciando, com profundidade, as construções

e evoluções apresentadas por estes participantes.

As atividades trabalhadas com esses alunos serão estudadas com a

utilização do software SimCalc. Dessa forma, antes de descrevê-las, é necessário

apresentar as características do software que utilizamos para o desenvolvimento da

pesquisa e é o que faremos na próxima seção.

4.2 O Software SimCalc

O Software SimCalcMath Worlds foi desenvolvido no Centro de Pesquisa e

Inovação em Educação para Ciências Exatas, o KAPUT CENTER, da Universidade

de Massachusetts em Darthmouth (EUA), tendo como propósito democratizar o

acesso ao trabalho matemático que lida com as variações, incluindo as ideias

subjacentes ao Cálculo. Na Figura 3, apresentamos a tela inicial desse software.

Figura 3. Tela inicial do SimCalc

83

O Software SimCalc foi idealizado a partir da Matemática da Mudança e da

Variação que, segundo Roschelle, Kaput e Stroup (2000), se constitui em um

fenômeno central no contexto do século XXI.

Apesar de tal importância atribuída a esta Matemática, os autores ressaltam

que os currículos tradicionais ainda excluem as crianças do trabalho com conceitos

de taxa de variação, acumulação, aproximação, continuidade e limite, dentre outros,

destacando que estes são conceitos fundamentais para que as crianças possam

participar de experiências físicas e das ciências, bem como de tomada de decisões

em suas vidas pessoais e políticas.

Segundo Roschelle, Kaput e Stroup (2000), apesar dos conceitos da

Matemática da Mudança e da Variação ocuparem um lugar central na Matemática,

eles ainda são negligenciados em currículos e, desta forma, o acesso de estudantes

ao desenvolvimento destes conceitos é limitado.

É nesta perspectiva que Roschelle, Kaput e Stroup (2000) propõem o projeto

SimCalc, com a missão de proporcionar às crianças oportunidades comuns,

experiências e recursos necessários para o desenvolvimento, a compreensão e a

habilidade com a Matemática da Mudança e da Variação. Ao propor tal projeto,

ressaltam que o acesso a este tipo de Matemática não se limita simplesmente à

escolha da mídia a ser explorada, mas pretende criar as condições necessárias para

que os alunos possam crescer em suas experiências e na capacidade de resolver

problemas.

Roschelle, Kaput e Strout (2000) destacam três importantes características do

software SimCalc: procura definir colaborativamente uma “matemática de mudança e

variação”, que é apropriada para o desenvolvimento das crianças desde o ensino

fundamental até a universidade; proporciona um acesso democrático, a partir da

compreensão das experiências das crianças; e coloca a tecnologia no papel de

mediadora, no processo de investigação.

O SimCalc apresenta importantes características. Em relação à viabilidade da

organização do trabalho em sala de aula, destacamos que oferece a possibilidade

de trabalhar com até 30 computadores em uma rede com ou sem fio e, desta forma,

possibilita que professores possam desenvolver atividades para serem realizadas

com a sala toda. A interface dele explora conceitos algébricos, dos quais se

84

destacam a possibilidade da exploração de várias representações, para além das

tradicionalmente trabalhadas (tabelas, gráficos, expressões). A simulação do

movimento de Atores segundo a função explorada possibilita o trabalho com uma

álgebra mais dinâmica e interativa, bem como a simulação de vários modelos

baseados no tempo como, por exemplo, posição, velocidade, finanças, entre outros.

Essas características possibilitam o desenvolvimento de novos modelos de

atividades matemáticas, proporcionando novas formas de ensino de álgebra, desde

o ensino fundamental até o superior, oferecendo novas ferramentas para o

professor, para aumentar a participação e a motivação dos alunos no trabalho

realizado em sala de aula.

Para a nossa pesquisa, utilizamos a janela Mundo, na qual exploramos o

movimento do “Ator” (movimento de um personagem, que pode ser horizontal ou

vertical, segundo uma função previamente escolhida). Nesta mesma janela, é

possível obter as representações gráfica, tabular e algébrica.

Ao abrir um novo arquivo, este pode dispor a representação horizontal ou

vertical (Figura 4).

Figura 4. Disposição dos eixos do SimCalc

85

Neste ambiente, é possível criar atores por meio da expressão algébrica, de

tabelas ou por menus de funções pré-estabelecidas, tais como ator quadrático,

linear, dentre outros. No menu Professor é disponibilizada, por meio da janela

Gerenciamento de Sala de Aula, a possibilidade de que o professor/ pesquisador

poste para os alunos apenas as representações desejadas para uma determinada

atividade, além de permitir que, a qualquer momento, ele possa pausar a atividade

para uma intervenção ou discussão com o grupo. Em nossa pesquisa não utilizamos

este menu, pois, para a utilização dele, os computadores precisam estar conectados

a uma rede e como o nosso trabalho foi realizado em uma escola da zona rural, os

computadores não estavam em rede e apenas alguns deles tinham conexão à

internet.

A seguir, apresentamos os procedimentos metodológicos adotados para a

coleta de dados de nossa pesquisa. As características do software SimCalc nos

deram embasamento para a elaboração das atividades aplicadas aos alunos.

4.3 Procedimentos Metodológicos

Inicialmente, selecionamos um aluno do 8º ano do ensino fundamental para a

participação em um instrumento de estudo piloto (Apêndice A), que teve como

objetivo analisar as questões que seriam desenvolvidas no estudo principal e suas

possíveis adaptações, em concordância com a metodologia de Design Experiment.

Em um segundo momento, foi feito um convite para uma turma do 8º ano do

ensino fundamental para a aplicação do estudo principal. Sete alunos aceitaram

participar das atividades (Apêndice B), que ocorreram no contra turno escolar. No

primeiro encontro, apareceram seis dos sete participantes, no segundo apareceram

apenas três e a partir do quarto encontro apenas um aluno participou de todos os

encontros. Desta maneira, fizemos uma análise do desenvolvimento desse aluno, e

consideramos esta aplicação como sendo uma segunda aplicação piloto, o que foi

proveitoso, pois passamos a ter como objetivo também observar como esse aluno

desenvolveria as atividades propostas e se as alterações realizadas nas atividades

da primeira aplicação teriam os efeitos pretendidos.

Finalmente, para coletar os dados da pesquisa, no início do terceiro bimestre

do ano letivo de 2015, fizemos o convite de participação, por meio da assinatura do

86

termo de responsabilidade da instituição (Apêndice C), à direção de uma escola

pública da rede municipal de São Roque, São Paulo. Com a assinatura deste termo,

foi feito o convite aos alunos de 9º ano do ensino fundamental dessa escola, que

aceitaram participar e trouxeram o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

assinado pelos responsáveis (Apêndice D). A faixa etária destes alunos era de 14-15

anos.

As atividades foram aplicadas a uma turma de 20 alunos do 9º ano do ensino

fundamental, que foram divididos em duplas para a realização do estudo principal.

Dessas duplas selecionamos para a nossa análise as quatro que participaram de

todos os encontros. A escola contava apenas com uma turma do 9º ano e não houve

necessidade de escolha de turma para a aplicação.

As atividades foram divididas em três blocos, sendo que, para os dois

primeiros, foram necessários dois encontros cada um e, para o terceiro bloco, um

encontro. Cada encontro teve a duração de duas horas/aula (100 minutos) e todos

aconteceram no período regular no laboratório de informática durante as aulas de

informática da turma.

A cada encontro, foi realizada, para a análise, a coleta dos seguintes dados:

captura das telas geradas no SimCalc por meio do software Active Presenter e

filmagem dos sujeitos, para analisar quais são os indícios da constituição do Coletivo

Pensante Atividades-SimCalc-Alunos por meio da interação dos alunos com os

ambientes propostos na construção do conceito de função; a produção escrita dos

alunos, para identificar e discutir quais foram as ideias expressas por eles que

indicam Atos de Compreensão do conceito de função. Destacamos que, em

decorrência da incompatibilidade dos sistemas operacionais dos computadores,

algumas gravações, tanto de telas como dos alunos, foram perdidas no decorrer do

desenvolvimento das atividades, prejudicando, assim, a análise de algumas

questões.

A análise das respostas escritas e das gravações foi feita em dois níveis; um,

para evidenciar a influência do Coletivo Atividades-SimCalc-Alunos, na perspectiva

de Borba (2002), nas respostas expressas pelos alunos em relação ao conceito de

função; e o outro para identificarmos os Obstáculos Epistemológicos, discutidos por

Sierpinska (1992), que aparecessem e analisar o potencial do software SimCalc

para superá-los. Nesta perspectiva, faz parte de nossos objetivos evidenciar as

dificuldades e/ou os Obstáculos presentes no processo de construção do conceito

87

de função e, desta maneira, a incidência desses Obstáculos não é visto como algo

negativo em nossa pesquisa e sim como ponto essencial para desestabilizar

“velhas” formas de pensar.

Ao propormos este trabalho por meio do pensar coletivo, estamos

considerando também a mediação do professor pesquisador representada nas

atividades propostas.

4.4 Atividades

Apresentamos, nesta seção, o conjunto das nove atividades que fazem parte

do Coletivo Pensante, que inclui o software SimCalc, por meio da janela “Mundo” e

os oito alunos do 9º ano do ensino fundamental para a aplicação do estudo principal,

bem como os objetivos de cada uma delas. Elas foram divididas em três sessões,

desenvolvidas em seis encontros de uma hora e quarenta minutos cada.

Bloco 1.

Para o desenvolvimento das atividades desse bloco, foi disponibilizada aos

alunos apenas a janela Mundo, na qual é possível visualizar o movimento do ator

que foi constituído a partir da função que será explorada. A fim de familiarizar os

alunos com a janela Mundo, foram apresentadas a eles as ferramentas que seriam

utilizadas neste ambiente, como, por exemplo, o menu Animação, que oferece a

possibilidade de colocar o ator em movimento, tanto de forma contínua no intervalo

explorado, como passo a passo, por meio de comandos manuais. Foi apresentado

aos alunos também como movimentar a tela de animação para poder visualizar

trechos que inicialmente podem não estar visíveis.

Após esta familiarização com o software SimCalc, que teve uma duração de

aproximadamente 30 minutos, iniciou-se a aplicação das atividades deste bloco com

duração de dois encontros de 2 horas/aula (1h40min) cada um, num total de

3h20min.

Neste Bloco, foram explorados os movimentos de dois atores, sendo um

criado por meio de uma função polinomial do segundo grau e outro por uma função

polinomial do primeiro grau. Era esperado que os alunos percebessem as

características do movimento de cada um deles e que conseguissem estabelecer

relações espaço-tempo, tanto analisando cada um dos atores separadamente como

88

comparando o movimento simultâneo dos atores. Desta maneira, esperávamos ter

elementos para analisar quais conceitos, como o de relação, proporcionalidade,

velocidade, crescimento/decrescimento emergiriam a partir das atividades propostas,

para posteriormente termos condições de discutir como a presença desses

conceitos contribuiria ou não para a construção do conceito de função, na

perspectiva de Sierpinska (1992).

Tínhamos também como objetivo analisar se e quais Obstáculos surgiriam e

de que forma as atividades propostas, desenvolvidas por meio do coletivo aluno-

Simcalc, contribuiriam ou não para a superação deles.

Atividade 1

Tínhamos como objetivo nesta atividade perceber e discutir se os alunos

participantes, por meio do movimento do palhaço modelado pela função 2)( xxf ,

conseguiriam descrever uma relação geral entre o espaço e o tempo, após terem

feito relações pautadas no movimento visível em tela e algumas projeções de

intervalos não visíveis na tela. Era esperado ainda que os alunos percebessem que

as grandezas envolvidas (espaço e tempo) não cresciam proporcionalmente e

consequentemente a velocidade de deslocamento do palhaço não era constante.

Na aplicação do primeiro estudo piloto, notamos, nas respostas apresentadas

pelo aluno, a presença do Obstáculo OE(f)- 9: “Proporção é um tipo privilegiado de

relação”, uma vez que o aluno estabeleceu relações no intervalo visível em tela,

percebeu que a velocidade do palhaço não é constante neste caso; no entanto,

quando tentou projetar valores para intervalos não visíveis em tela, usou ideias de

proporcionalidade. Tal constatação também foi observada nas respostas

apresentadas pelo aluno na aplicação do segundo estudo piloto. Desta forma,

também tínhamos como objetivo discutir se para o grupo de alunos do estudo

principal este Obstáculo se caracterizava como um Obstáculo Epistemológico para o

Ensino de Funções, como previsto por Sierpinska (1992). Vale destacar que, nas

duas primeiras aplicações, a atividade inicial apresentava uma função linear e

decidimos trocar para trabalhar com uma não linear logo de início, para observar se

tal mudança poderia reverter este quadro de manifestação do Obstáculo OE(f)- 9.

89

Nesta atividade, o ator foi criado segundo a função 2)( xxf , no intervalo

[0;6,5]. Foi postada para o aluno apenas a janela Mundo em que o autor se

movimenta (Figura 5).

Figura 5. Atividade reformulada. 1

Foram feitos os seguintes questionamentos:

A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Quantos metros ele terá caminhado após: a) 2 segundos? b) 4 segundos?

Justifique as suas respostas.

C) Quanto tempo será necessário para que ele atinja: a) 1m? b) 9m?

Justifique as suas respostas.

D) Para que o palhaço percorra uma distância de 4 metros há alguma

diferença entre o percurso dos 4 primeiros metros e os mesmos 4 metros no

intervalo de 20m a 24m? (justifique a sua resposta)

E) Quantos metros o palhaço terá caminhado após 9 segundos? Justifique a

sua resposta.

F) Andando neste ritmo, é possível identificar quantos metros ele terá

caminhado após 33 segundos? Como você chegou a esta conclusão?

G) Quanto tempo será necessário para ele atingir 144 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

90

H) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o

palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?

Na Questão (A), era esperado que os alunos reconhecessem as

características do movimento por meio da velocidade do ator; nas Questões (B) e

(C), optamos por explorar intervalos visíveis em tela e expressos por números

inteiros a fim de proporcionar conclusões plausíveis de serem exploradas ou

verificadas por meio da visualização do movimento do ator. Na Questão (D),

tínhamos como objetivo que, por meio da observação do movimento em tela, fossem

reconhecidas as diferenças entre espaços percorridos em diferentes intervalos,

tendo em vista as características da velocidade do ator. Nas Questões (F) e (G),

tínhamos como objetivo notar se, por meio das conclusões decorrentes das

questões anteriores, seriam feitas projeções para intervalos não visíveis em tela por

meio da relação espaço-tempo. Tanto na Questão (C) como na (G) optamos por

trabalhar com quadrados perfeitos, tendo em vista que, por se tratar de uma relação

não familiar aos alunos, esta exploração poderia facilitar a observância da relação

espaço-tempo. Na Questão (G), o propósito foi identificar características da função

2)( xxf , bem como de sua inversa, por meio do movimento observado nas

primeiras questões e as projeções para intervalos não visíveis em tela propostas nas

últimas questões.

Atividade 2

Nesta atividade, o objetivo foi que os alunos participantes, a partir do

movimento do palhaço modelado por meio da função , fossem capazes de

fazer relações entre o espaço percorrido e o tempo. Inicialmente, era esperado que

esta relação fosse feita apenas por meio da visualização do movimento na tela; em

um segundo momento, que apresentassem relações para intervalos não visíveis na

tela; e, por fim, que descrevessem uma relação geral do espaço percorrido em

função do tempo. Era esperado ainda que os alunos percebessem que as duas

grandezas envolvidas (espaço e tempo) crescem proporcionalmente.

Tanto na primeira como na segunda aplicação do estudo piloto, notamos que

foi possível aos alunos estabelecer uma relação entre espaço e tempo e projetar

valores para intervalos não visíveis na tela, sendo que, na segunda aplicação, o

91

aluno chegou a descrever uma regra geral, relacionando o espaço em função do

tempo. Com isso, por meio da atividade que solicita que os alunos descrevam uma

regra geral e que façam a relação entre o espaço e o tempo, teremos elementos

importantes para tentarmos compreender quais os conceitos explicitados pelos

alunos, na resolução desta atividade, no que se refere à função afim.

O ator foi criado segundo a função , no intervalo [0;6,5]. Foi postado

para o aluno apenas a janela Mundo em que o ator se movimenta (Figura 6)

Figura 6. Atividade reformulada. 2

Os seguintes questionamentos foram feitos:

A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Você(s) nota(m) alguma similaridade com o movimento do palhaço da

atividade anterior? Se sim quais?

C) Você(s) nota(m) alguma diferença entre este movimento e o do palhaço da

atividade anterior? Se sim quais?

D) Observando o movimento do palhaço, quantos metros ele caminha em: a)

2 segundos? b) 4 segundos?

E) Quanto tempo é necessário para que o palhaço caminhe: a) 7m? b) 21m?

F) Se o palhaço continuar caminhando, quantos metros ele terá caminhado

após 13 segundos? Como você chegou a esta conclusão?

92

G) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 98 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

H) Quantos metros ele terá caminhado após 53 segundos? Como você

chegou a esta conclusão?

I) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o

palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?

Nesta Atividade, assim como na anterior, tivemos a preocupação de explorar

tanto os intervalos visíveis como os nãos visíveis em tela.

Atividade 3

Nesta atividade, o objetivo é potencializar as observações feitas nas

Atividades 1 e 2, tendo em vista que os alunos observarão o movimento simultâneo

dos dois palhaços. Espera-se que os alunos notem que, por conta do "palhaço azul"

(aquele que representa a função quadrática) caminhar em uma velocidade

crescente, encontrará o "palhaço vermelho" (representado pela função linear) em 7

segundos e que, a partir deste movimento, passará na frente do vermelho, ou seja,

mesmo que de maneira intuitiva, esperamos que os alunos, por meio do movimento

simultâneo dos palhaços, reconheçam as características do crescimento de cada

uma das funções, identificando o ponto em que x=7 como a intersecção das duas

funções, no intervalo explorado.

Com o objetivo de perceber quais foram as relações (espaço-tempo)

estabelecidas pelos alunos, foi solicitado que fizessem algumas conjecturas sobre o

movimento dos atores em intervalos que não estavam visíveis na tela.

Ao propor esta Atividade, pensamos em duas hipóteses. No caso dos alunos

terem percebido, nas atividades anteriores, as diferenças existentes entre o

movimento dos dois atores, estas servirão para validar suas respostas, uma vez que

terão a visualização dos movimentos simultâneos, o que facilitará a percepção das

diferenças entre as velocidades dos atores.

No caso de não terem percebido que um dos atores tem velocidade constante

e o outro não, pensamos que a visualização do movimento simultâneo pode

contribuir para tal percepção. Vale ressaltar que, segundo Sierpinska (1992), é por

meio da desestabilização de “velhos” conceitos que proporcionamos condições para

o desenvolvimento de “novos” conceitos. Desta maneira, acreditamos que a

93

visualização do movimento simultâneo dos dois atores pode se constituir em uma

importante ferramenta para a percepção das diferenças desses movimentos, e

consequentemente para a superação do OE(f)-9, caso este seja evidenciado nas

respostas dos alunos participantes.

Nesta Atividade, foi postada a tela de movimento dos atores das Atividades 1

e 2 simultaneamente, seguido dos seguintes questionamentos (Figura 7).

Figura 7. Atividade reformulada. 3

A) Coloque os palhaços em movimento, observe e descreva como são esses

movimentos.

B) Ao comparar o movimento dos palhaços, o que você observa sobre a

velocidade deles? Existe alguma diferença? Se sim qual(is)?

C) Qual dos palhaços atinge a marca de 30 metros primeiro? Justifique sua

resposta.

D) Qual dos dois palhaços você acha que atingirá a marca de 70 metros

primeiro? Justifique sua resposta.

E) Após 10 segundos de caminhada quem estará na frente? Justifique sua

resposta.

F) Os dois palhaços se encontrarão em algum ponto? Se sim, quanto tempo

será necessário para que eles se encontrem? Em que ponto eles se encontrarão?

94

G) O que você pode dizer sobre o movimento desses palhaços: Um deles

sempre estará na frente? Se sim, qual deles? Por quê? Se não, descreva o que

acontece.

Atividade 4

Nesta atividade, a fim de investigar os conceitos explicitados pelos alunos no

movimento simultâneo dos dois palhaços, apresentamos uma “história” envolvendo

o movimento e fazemos questionamentos similares aos feitos na Atividade 3, com o

objetivo de perceber se o fato do movimento estar atrelado a uma situação “mais

contextualizada” faz com que surjam ideias até então não explicitadas nas atividades

anteriores.

Segundo Sierpinska (1992), uma das condições para que seja construído o

conceito de função é reconhecer que este surge a partir dos problemas práticos do

mundo e, se negada tal premissa, constitui-se o OE(f)-1: “A Matemática não está

preocupada com problemas práticos”. Sendo assim, ao propormos esta atividade,

também temos como objetivo analisar as evidências de tal Obstáculo, tendo em vista

que, na segunda aplicação do estudo piloto, notamos evidências dele nas respostas

apresentadas. Destacamos também que, nesta atividade, o aluno é posto a pensar

sobre as relações causais e que, por se tratar de uma disputa, outras variáveis

podem ser discutidas, além da relação espaço-tempo, tais como as características

fisiológicas de cada atleta, condições do clima, dentre outras. A Atividade foi

apresentada da seguinte forma.

Existem algumas estratégias para se realizar uma maratona (Figura 8)

Figura 8. Atividade reformulada. 4

Fonte: Página do Freepik8.

8 Disponível em: <http://br.freepik.com/index.php?goto=2&searchform=1&k=maratona> Acesso em:

Nov. 2013.

95

A seguir, apresentamos quatro estratégias destacadas em um estudo

realizado na Escola de Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo

conforme a distribuição da velocidade ao longo da prova:

a) Estratégia constante - o atleta mantém (ou altera pouco) a

velocidade ao longo da prova; b) estratégia negativa ou

decrescente - o atleta inicia a prova em alta velocidade e

diminui ao longo da prova; c) estratégia positiva ou

crescente - o atleta inicia a prova em velocidades baixa e

aumenta gradualmente até o final; d) estratégias variáveis - a

distribuição da velocidade não segue um padrão bem definido

(CARMO et al., 2012, p.352).

Suponha que os palhaços da Atividade 1 estejam em uma disputa a fim de

verificar quem atingirá a marca de 60 metros primeiro.

A) O que você diria sobre a estratégia de corrida de cada um deles? Há

alguma semelhança com as estratégias apresentadas no estudo da Escola de

Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo?

B) Qual corredor terá mais sucesso, ou seja, vencerá a disputa? Justifique a

sua resposta.

C) No caso de disputas com outras distâncias (menores e maiores do que 60

metros) a estratégia que foi considerada a melhor para vencer a disputa de 60

metros permanecerá sendo a melhor estratégia? O que você pensa sobre isto ao

observar o movimento dos palhaços?

D) Devemos considerar que, no caso de uma disputa entre atletas reais,

outros fatores devem ser considerados, como, por exemplo, os limites fisiológicos de

cada atleta. Se estas mesmas estratégias utilizadas por estes dois palhaços forem

adotadas por atletas de verdade, quais serão os pontos positivos e os negativos de

cada uma delas, dependendo da distância a se percorrer?

Nesta Atividade, optamos por simular uma corrida de 60 metros, para

explorarmos tanto o intervalo em que o palhaço criado por meio da função xxf 7)(

96

estivesse na frente do criado pela função 2)( xxf , o ponto de encontro dos dois,

como a ultrapassagem por parte do palhaço 2)( xxf .

Atividade 5

Esperamos, nesta atividade, que os alunos, ao escreverem uma história que

envolva o movimento dos dois palhaços, sem estarem pensando necessariamente

em regras matemáticas, tragam ideias não explicitadas nas atividades anteriores.

Ideias tais como as características do crescimento de cada uma das funções, ponto

de intersecção entre elas e a percepção de que as ideias relacionadas à

proporcionalidade, que servem como base para modelar a relação espaço-tempo no

caso do palhaço vermelho, não dá conta de modelar a relação espaço-tempo no

caso do palhaço azul.

Para esta Atividade, foi disponibilizado aos alunos o mesmo arquivo da

Atividade 3. A Atividade 5 foi apresentada da seguinte forma:

Escreva uma história que envolva o movimento dos palhaços da Atividade 3.

Bloco 2.

Para o desenvolvimento das atividades dos Blocos 2 e 3, além da janela

Mundo, foi disponibilizada a janela Álgebra, na qual é apresentada a representação

algébrica e um intervalo do domínio da função explorada.

Neste Bloco, o objetivo foi perceber quais são as relações feitas pelos alunos

entre o intervalo do domínio e a imagem das funções exploradas. Não houve a

pretensão de apresentar estas nomenclaturas aos alunos; essas observações foram

feitas apenas por meio da manipulação do intervalo de tempo que dura o movimento

do ator disponível na janela “Álgebra” e a percepção de elementos como distância

percorrida, ponto inicial, ponto final, por meio da visualização do movimento dos

atores.

Pensamos que a exploração mais detalhada de um intervalo do domínio faria

com que os alunos analisassem quais são as mudanças no movimento do ator, a

partir das alterações feitas no domínio da função explorada, a partir da janela

Mundo. Como nas atividades anteriores os alunos apenas manipularam o

movimento dos atores em um intervalo de tempo fixo, pode parecer que isto se

97

constitui em um fenômeno fixo e inalterável, o que pode contribuir para a incidência

do OE(f)-03: “Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as coisas

mudam e ignorar o que muda”. Caso isto ocorra, acreditamos que este conjunto de

atividades tem potencial para superá-lo.

Foram necessários para o desenvolvimento deste bloco, dois encontros de 2

horas/aula cada um, totalizando 3h20min.

Atividade 1. (Atividades de familiarização)

Por meio desta Atividade, o objetivo foi familiarizar os alunos participantes

com a utilização da ferramenta de criação de atores por meio de parâmetros pré-

estabelecidos, bem como a alteração do intervalo do domínio.

A) Abra o SimCalc

B) No canto inferior esquerdo click no menu “criar ator” (Figura 9).

Figura 9. Ferramentas Criar Ator

Em nossas atividades utilizamos para criar os atores os seguintes comandos

(Figura 10):

Figura 10. Comandos Criar Ator

C) Crie um ator utilizando um desses comandos.

98

Agora click no menu “Ver” disponível na barra de ferramentas. Nele, é

possível visualizar três diferentes representações: “Mundo”, “Função” e “Tabela”. Em

nossas atividades, trabalhamos apenas com o “Mundo” e a “Função” (Figura 11).

Figura 11. Layout do mundo

Na janela “Função” todos os números que estão dentro dos retângulos (ex

) podem ser alterados.

D) Coloque o ator que você criou em movimento. Observe e descreva como é

este movimento.

Altere o intervalo de tempo, coloque o peixe em movimento e observe o que

acontece.

E) Altere os outros números, coloque o peixe em movimento e veja o que

acontece.

F) Altere a escala e observe o que acontece.

É possível criar mais de um ator no mesmo “Mundo”. Crie os quatro tipos de

atores utilizando os menus “Ator Linear Paramétrico”, “Ator Quadrático Paramétrico”,

“Periódico Paramétrico” e “Exponencial Paramétrico”. Ao clicar sobre o ator é

apresentada a sua tela “Função”. Cada um dos atores é representado por uma cor

(Figura 12).

99

Figura 12. Atores simultâneos

H) Coloque os atores (peixes) em movimento. Descreva o que acontece.

Nesta Atividade, ao criar o ator utilizando os comandos pré-estabelecidos,

este é representado automaticamente pelo personagem “peixe”.

Atividade 2

Nesta atividade, o objetivo foi fazer com que os alunos, por meio da

manipulação do intervalo do domínio, estabelecessem relações entre o intervalo de

tempo e a distância percorrida.

Crie um ator usando a ferramenta “Criar Ator Exponencial Paramétrico”

A) Coloque-o em movimento, observe e descreva suas características.

B) Altere o intervalo [0, 3] e descreva o que acontece com o movimento do

peixe.

C) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-8, 3]?

D) Existe algum intervalo de modo que ele parta de um valor negativo?

Justifique a sua resposta.

E) Quantos metros ele percorre em 1 segundo? E em dois segundos? A

distância percorrida no primeiro segundo é a mesma da percorrida no segundo? O

que você pensa sobre isto?

Atividade 3.

Nesta atividade, o objetivo foi discutir as diferenças entre espaço percorrido e

distância entre ponto inicial e final após um tempo de movimentação do peixe. Em

uma questão similar na segunda aplicação do estudo piloto, notamos que o aluno

conseguiu identificar as características do movimento do ator, bem como distinguiu

100

as diferenças entre espaço percorrido e ponto inicial e ponto final, evidenciando,

desta maneira, a possibilidade de se trabalhar por meio da exploração do software

SimCalc com funções que culturalmente só seriam exploradas no ensino médio.

A) Crie um ator utilizando “Ator Periódico Paramétrico”.

B) Coloque-o em movimento, observe e descreva como é esse movimento.

C) Quantos metros ele percorre em 4 segundos? Justifique a sua resposta.

D) Após 20 segundos, quantos metros ele terá percorrido? Em que ponto ele

estará?

E) Em algum momento ele passará pela marca de 30 metros? Justifique a sua

resposta.

F) Altere o intervalo (0,3) e descreva o que acontece com o seu movimento.

Bloco 3.

Neste bloco, era esperado termos condições de perceber como os alunos

fariam uso dos conceitos desenvolvidos até então, por meio da resolução do

problema proposto. Acreditávamos que, desta forma, teríamos mais elementos para

analisar, ao final das atividades, quais são os conceitos e os Obstáculos presentes e

suas consequências, na construção do conceito de função por esses alunos.

Para o desenvolvimento deste bloco, foi necessário um encontro de 2

horas/aula, totalizando 1h40min.

Atividade 1.

Tínhamos como objetivo, por meio desta Atividade, que os alunos voltassem

a pensar nas atividades iniciais, agora tentando “modelar” uma função, mesmo com

as limitações disponíveis, a partir da observação do movimento, ou seja, fariam uso

das ferramentas de criação de função, exploradas nas atividades anteriores, e

explorariam as alterações, tanto do intervalo de tempo como dos coeficientes. Foram

apresentados os seguintes questionamentos:

A) Crie um Ator que descreva o mesmo movimento do Palhaço da atividade 1

(Bloco1). Crie um roteiro explicativo de como o criou.

B) Crie um Ator que descreva o mesmo movimento do Palhaço da atividade 2

(Bloco 1). Crie um roteiro explicativo de como o criou.

101

Era esperado que este conjunto de atividades, ao serem desenvolvidas pelos

coletivos pensantes Alunos-Atividades-SimCalc, oferecessem contribuições para a

discussão da introdução do conceito de função no ensino fundamental e,

consequentemente, para a sua construção no decorrer da vida escolar. Para tal,

apresentamos no capítulo seguinte, a análise dos resultados obtidos ao término da

aplicação do conjunto das nove Atividades.

102

5 RESULTADOS

Neste capítulo, apresentamos a análise dos resultados das produções dos

coletivos pensantes Alunos-Atividades-SimCalc, no que se refere às ideias

relacionadas à introdução do conceito de função. Para essa análise, consideramos

duas perspectivas: as potencialidades decorrentes do pensar coletivo, apontadas

por Lévy (1993) e a constituição de Atos de Compreensão que são impulsionados

pela superação dos Obstáculos Epistemológicos existentes no processo de Ensino

de Funções, na perspectiva de Sierpinska (1992).

Por acreditar que o saber é algo coletivo, consideramos que as respostas

descritas pelas duplas D1, D2, D3 e D4 expressam ideias que não são oriundas

apenas dessas duplas e sim do coletivo pensante constituído pelos alunos, pelo

SimCalc e pelas atividades propostas. Assim, para esta análise, ao invés de

utilizarmos a nomenclatura D1, D2, D3 e D4 para nos referirmos às duplas, fazemos

referência a esses coletivos, denominando-os como C1, C2, C3 e C4,

respectivamente, entendendo que todas as respostas apresentadas são decorrentes

de um pensar coletivo.

5.1 Análise das atividades do Bloco 1

Neste bloco, era esperado que os participantes, por meio da análise das

características do movimento de cada um dos atores, conseguissem estabelecer

relações entre o espaço percorrido e o tempo, expressando quais conceitos, tais

como o de relação, proporcionalidade, velocidade, crescimento/decrescimento

emergiriam a partir das atividades propostas. O objetivo foi analisar como a

presença desses conceitos contribuiria, ou não, para a construção do conceito de

função na perspectiva de Sierpinska (1992), bem como identificar quais Obstáculos

surgiriam ao longo das atividades propostas e quais seriam as contribuições do

trabalho coletivo para superá-los.

Em geral, no trabalho dos alunos participantes, houve a percepção de que há

uma diferença entre os movimentos dos atores apresentados, mas nem todos os

grupos conseguiram explicitar essa diferença ou uma "regra" que relacionasse a

posição do ator no tempo, para ambos os casos. Além disso, a percepção dessa

diferença não foi suficiente para que todos superassem o Obstáculo da

103

Proporcionalidade (OE(f)-9), que foi o mais evidenciado neste bloco. Apesar desta

dificuldade, foram reconhecidas as características do comportamento do

crescimento das funções exploradas, por meio do movimento dos atores.

Notamos também a presença do OE(f)-1 “A Matemática não está preocupada

com problemas práticos”, uma vez que, em algumas atividades, houve o

reconhecimento da relação espaço-tempo por meio do movimento; no entanto, em

alguns casos, foram consideradas pelos alunos como não plausíveis de serem

generalizadas, por apresentarem movimentos diferentes dos que são normalmente

explorados no ambiente escolar.

Nas próximas seções, detalhamos e analisamos os dados obtidos em cada

atividade deste bloco.

Atividade 1

O objetivo principal desta atividade era analisar se o OE(f)-9: “Proporção é um

tipo privilegiado de relação” se constitui como um Obstáculo Epistemológico para o

Ensino de Funções, tendo em vista que notamos indícios dele nas respostas

apresentadas pelos participantes do estudo piloto. Para atingir este objetivo,

pretendíamos analisar se seria constituída a relação entre o espaço e o tempo,

representada pelo movimento do ator, depois de feitas as relações pautadas na

simulação proporcionada pelo SimCalc, bem como algumas projeções de intervalos

não visíveis na tela, para chegar à conclusão de que as grandezas envolvidas na

atividade (espaço e tempo) não cresciam proporcionalmente, neste caso.

Na Questão (A), quando postos a pensar sobre as características do

movimento do palhaço, C1 expressa que (Figura 13):

Figura 13. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1

“Ele caminha até o 42m num tempo de 06,50 segundos. Ele começa em um

ritmo mais de vagar (sic), mas depois o ritmo começa a aumentar”.

104

Entendemos que esta resposta evidencia que C1 notou que a velocidade do

palhaço não é constante. Tal reconhecimento foi levado em consideração também

ao responderem a Questão (B), quando questionados sobre quantos metros o

palhaço caminharia após 2 e 4 segundos. C1 respondeu corretamente esta questão,

referindo-se a 4 e 16 metros respectivamente, justificando que “...tendo um ganho de

12 metros em 2 segundos. Pois sua velocidade aumenta conforme o tempo” (Figura

14).

Figura 14. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1

Neste caso, notamos que o coletivo C1, ao fazer a relação do espaço que o

palhaço percorreria após 2 e 4 segundos, reconheceu a necessidade de levar em

consideração que, por conta da velocidade aumentar, a distância percorrida em um

mesmo intervalo de tempo também aumenta.

Notamos, nas justificativas de C2, que esse coletivo tem a percepção de que

somente a partir de seis metros é que o palhaço altera a velocidade, ficando mais

rápido. Essa percepção é reforçada na fala de um dos alunos quando diz “olha aqui

depois do seis ele fica mais rápido”.

C3 também se remete à velocidade do palhaço para descrever as

características do movimento, no entanto, refere-se a ele como sendo uniforme

(Figura 15).

Figura 15. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 1

“Seu movimento é uniforme, e altera sua velocidade conforme o tempo”.

Neste caso, é possível notar que, ao dizer “movimento uniforme”, o coletivo

C3 refere-se à uniformidade da aceleração e não da velocidade, ou seja, mesmo

105

que intuitivamente, percebeu que se trata de um Movimento Uniformemente

Acelerado9. Estes três coletivos, nas questões (B) e (C), quando foram postos a

estabelecer relações em um intervalo visível na tela, não apresentaram dificuldades.

Já na questão (C), apesar de não solicitado, C1 demonstrou, por meio de rascunhos,

uma preocupação em tentar representar uma sequência que relacionasse a

distância percorrida em função do tempo (Figura 16).

Figura 16. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1

“Para que ele atinja 1m ele vai levar 1 segundo e para atingir 9m ele vai levar

3 segundos. Tendo o intervalo de 2 segundos de 1m a 9m, devido à aceleração do

passo”.

Foi possível notar no esquema apresentado que C1 conseguiu estabelecer

uma regularidade ao descrever que, para determinar o próximo elemento, deveria

somar a razão anterior mais duas unidades, ou seja, trabalhou com a ideia de uma

Progressão Aritmética de segunda ordem cuja razão é 2. No entanto, teve

dificuldade de estender a ideia para distâncias maiores. É nosso entendimento que

tal dificuldade se deve ao fato de que, para o intervalo de 0 a 6 segundos, o SimCalc

foi mais atuante na discussão, tendo em vista que era possível testar as hipóteses

por meio do movimento do palhaço; já para as distâncias maiores, tal observação

não estava disponível, ou seja, o questionamento feito por meio da atividade

proposta levou a dupla a observar o movimento do palhaço proporcionado pelo

SimCalc. Tal observação fez com que a dupla levantasse hipóteses sobre a

regularidade desse movimento, explicitando-a por meio de uma sequência numérica.

9 Em Física, um movimento uniformemente acelerado é aquele em que a variação de velocidade é sempre igual em intervalos de tempo iguais, ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero (Fonte: http://www.sofisica.com.br).

106

A observação dessa simulação, após a conjectura de tais hipóteses, levou à

descrição da sequência numérica (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 42, 46, 50). Para analisá-la,

nós a dividimos em dois intervalos; o intervalo em que a simulação foi

disponibilizada [0;6,5] e o intervalo em que a simulação não estava disponível ]6,5;

∞[. Observamos que a constituição do Coletivo compostos por seres-humanos-com-

mídias, neste caso por meio do SimCalc, possibilitou que as hipóteses de relação

espaço-tempo fossem observadas a partir da simulação do movimento do ator. Isso

possibilitou a descrição da sequência das distâncias percorridas pelo ator nos

instantes 1s, 2s, 3s, 4s, 5s e 6s, (0,1,4,9,16,25,36). Como consequência, chegaram,

para os instantes 7s, 8s e 9s, à sequência (42, 46, 50) que não condiz com a

distância percorrida nesses instantes.

A partir da questão (E), na qual os alunos foram postos a fazer projeções para

intervalos não visíveis em tela, ou seja, não há uma resposta direta do SimCalc para

confirmar as hipóteses levantadas, ele apenas oferece elementos do movimento

inicial do ator, ficando a cargo do coletivo desenvolver um raciocínio mais

generalizado. Notamos que os três coletivos apresentaram ideias relacionadas à

proporcionalidade. C1, por exemplo, na questão (F), na qual era necessário pensar

na distância percorrida em 33 segundos, expressou que o palhaço caminharia 210

metros, uma vez que, se em 6,5 segundos o palhaço caminha 42 metros, em 5

vezes 6,5, que seria 32,5, o palhaço teria caminhado 210 metros (Figura 17).

Figura 17. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1

“Em aproximadamente 32,5 segundos, ele terá caminhado por volta de 210

metros. Chegamos a esta conclusão usando o tempo e a quilometragem disponível,

a multiplicando até chegarmos ao tempo estimado”.

107

Nesta mesma questão, C2 justificou que “se ele percorre o dobro” de 42m,

que é 84m, ele também percorrerá o dobro de segundos, no caso, aproximadamente

em 33 segundos, ele percorrerá 215m (Figura 18).

Figura 18. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1

Para C3, “Ele terá caminhado 99 metros, cheguei a essa conclusão a partir de

que 03,00 ele percorre 9 metros então em 33 cabem 11 partes de 3 segundos e fiz

11 multiplicado pelo valor de metros a cada 3,00 segundos” (Figura 19).

Figura 19. Resposta de C3 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1

Tais dificuldades se refletiram na resposta da questão (H), na qual os

coletivos pensantes foram postos a pensar em uma regra geral que relacionasse

espaço-tempo. Para C3, era possível descrever uma regra “Sim. A cada 2 metro

(sic) e leva um segundo para percorrer” (Figura 20).

Figura 20. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1

Para C2, também era possível descrever uma regra geral (Figura 21)

108

Figura 21. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1

“Após ele ter começado a andar rápido se você souber quantos metros ele

esta andando por segundo, já se pode ter uma base, no caso ele está andando 12m

por segundo”.

Já para C1, não era possível descrever uma regra geral, tendo em vista que a

velocidade do palhaço não era constante “Não, não é possível estabelecer uma

regra, pois a velocidade do palhaço se alterna entre o decorrer do percurso. É

possível somente achar estimativas de resultado usando a lógica e o cronômetro

disponível” (Figura 22).

Figura 22. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1

Notamos, por meio dessas respostas, indícios da presença do OE(f)-09 nas

ideias desenvolvidas pelos coletivos C1, C2 e C3, uma vez que, apesar de

reconhecerem as características do movimento do palhaço, quando foram postos a

pensar em intervalos não visíveis na tela, recorreram a ideias relacionadas à

proporcionalidade para apresentarem suas respostas. Uma dificuldade parecida foi

apontada por Vollrath (1986), que identificou que, quando apresentado um problema

de valor desconhecido em um experimento de Física modelado por meio de um a

função quadrática, as crianças assumem a proporcionalidade e têm dificuldade em

superar tal suposição. Além disso, notamos evidências deste Obstáculo também na

pesquisa de Baraldo (2009), quando observou que a regra de três foi utilizada em

situações de não proporcionalidade.

109

As ideias de proporcionalidade surgem de diferentes maneiras para os três

coletivos. A resposta de C3 teve como base a visualização inicial, na qual o palhaço

caminhava 4 metros após 2 segundos. C2 teve como base que, a partir de um

determinado momento, o palhaço aumentaria sua velocidade, no entanto, a

considerou constante (12m/s). Já na resposta apresentada por C1, foi possível

observar que a concepção deles é a de que só seria possível descrever a relação se

a velocidade fosse constante, ou seja, considerou, mesmo que intuitivamente, que

apenas as relações proporcionais são plausíveis de serem descritas por meio de

uma lei algébrica.

C4, desde a primeira atividade, reconheceu as características do movimento

do palhaço, e já na questão (B), quando questionado sobre quantos metros o

palhaço caminharia após 2 e 4 segundos, tentou estabelecer uma regra que

determinasse o total percorrido em função do tempo (Figura 23).

Figura 23. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 1

“a) 4 metros, pois nos primeiros metros que o palhaço anda de 1 a 4 metros ele anda 2 metros a cada segundo. b) 16 metros, pois o palhaço a cada 4 metros aumenta sua velocidade em 2 metros a cada 1 segundo, sendo assim 1 segundo é igual a 2 metros, 2 segundos 4 metros, 3 segundos 10 metros, 4 segundos 16 metros”.

Notamos, assim, que houve o reconhecimento de que a velocidade do

palhaço era alterada ao longo do tempo; no entanto, consideraram-na constante em

diferentes intervalos. Esta constatação nos faz inferir que, mesmo pensando nesses

diferentes intervalos, o coletivo C4 recorreu às ideias de proporcionalidade para

tentar descrever uma regra que relacionasse espaço e tempo. Notamos tal

observação na resposta da questão (C), uma vez que houve uma tentativa de utilizar

a regra estabelecida na questão anterior, chegando à conclusão de que, para

caminhar 1 metro, seria necessário 0,5 segundo, já que o palhaço caminhava 2

110

metros a cada segundo. Para percorrer 9 metros, responderam que seriam

necessários 2,8 segundos, pois “de 4 a 8 metros ele caminha 6 metros a cada

segundo” (Figura 24).

Figura 24. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 1 do Bloco 1

Na discussão entre os participantes deste coletivo sobre quantos metros o

palhaço caminharia após 9 segundos, na questão (E), inicialmente voltaram a

pensar na conclusão apresentada na questão (B), na qual reconheceram que havia

alteração na velocidade; mas a percepção foi a de diferentes intervalos com

velocidades constantes diferentes e não se sentiram confiantes em usá-la para fazer

a projeção da distância percorrida em 9 segundos; no entanto, notamos que após a

interação dos alunos de C4 com o SimCalc, simulando o movimento do ator, um

aluno expressou por meio de sua fala que “anda trinta e seis em seis, cinquenta e

oito em oito” e que “não sei vou chutar que vai dar noventa”. Seu parceiro propôs

“vamos apertar o botão direito para prosseguir ver se vai para próxima fase, isto

funciona na maioria dos joguinhos da internet”, mas perceberam que tal estratégia

não funcionava. Após interagirem um pouco mais com o SimCalc, por meio de

simulações do movimento, o aluno que tinha proposto chutar a resposta inicialmente

chegou a uma nova conclusão “espera um pouco, duas vezes dois é igual a quatro,

quatro vezes quatro é igual a dezesseis, cinco vezes cinco é igual a vinte e cinco. Já

descobri é tudo ao quadrado logo nove vezes nove é igual a oitenta e um” e o seu

parceiro complementou “é isto mesmo, somos um gênio”, chegando à conclusão de

que a distância percorrida era obtida por meio do quadrado do tempo (Figura 25).

111

Figura 25. Resposta de C4 para a Questão E da Atividade 1 do Bloco 1

“81 metros, pois 7s=49m, 8s=64m e 9s=81m”.

Neste caso, notamos que tal conclusão se deu por meio do diálogo dos

participantes, considerando como participantes não só os alunos, uma vez que o

SimCalc esteve presente em tal discussão, apresentando, ou poderíamos dizer

“falando” à sua maneira aos alunos que “após dois segundos se caminha quatro

metros”, “após três segundos se caminha nove metros”, etc. O que nos leva a inferir

que a percepção da regra “elevar ao quadrado” de fato foi consequência de um

pensar coletivo, neste caso, reforçando o potencial da constituição do coletivo seres-

humanos-com-mídias na desestabilização das “velhas” formas de pensar desse

coletivo no que se refere à relação espaço-tempo discutida nesta atividade.

Após tal constatação, esse coletivo demonstrou facilidade em responder as

questões (F) e (G), pois foi utilizada a relação descoberta na atividade anterior. Na

questão (F), em que se questionava a distância que seria percorrida após 33

segundos, C4 respondeu “ele terá caminhado 1089m, a cada segundo sua

velocidade se eleva ao quadrado, sendo assim 6s=36m, 7s=49m, 8s=64m, assim

em diante, ou seja, 1089332 ” (Figura 26).

Figura 26. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 1 do Bloco 1

Por meio das justificativas apresentadas, percebemos que este coletivo

conseguiu estabelecer a relação espaço-tempo e tal relação foi descrita na resposta

da questão (H) (Figura 27).

112

Figura 27. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 1

“Sim, pois o número de metros que o palhaço anda equivale ao número de

segundos ao quadrado”.

Neste caso, notamos que, para este coletivo, também houve, inicialmente, a

incidência do Obstáculo OE(f)-9: “Proporção é um tipo privilegiado de relação”, no

entanto, por meio da resolução do conjunto de tarefas propostas na Atividade 1, foi

possível desestabilizar as considerações iniciais, levando-o à constituição de uma

“nova” forma de estabelecer a relação espaço–tempo.

Atividade 2

Nesta atividade, tínhamos como objetivo observar quais seriam as ideias

constituídas pelos coletivos no que se refere às relações entre o espaço e o tempo a

partir do movimento do palhaço. Por se tratar de uma relação de proporcionalidade,

que a priori não teria a incidência do OE(f)-09, teríamos elementos para analisar se

os alunos teriam mais facilidade em identificar uma regra geral que relacionasse o

espaço percorrido em função do tempo.

Quando posto a descrever as características do movimento do palhaço na

questão (A), C3 apresentou dificuldade, apontando apenas que “O movimento é

rápido” (Figura 28).

Figura 28. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1

C1, C2 e C4 tiveram facilidade. Para C1 “Ele se movimenta de modo regular,

e permanece com a mesma velocidade durante todo o percurso” (Figura 29).

113

Figura 29. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1

Para C2, (Figura 30).

Figura 30. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1

“Na mesma velocidade que ele começou ele continuou até atingir 46m, isso

em 6,50m”. Para C4, “É um movimento constante” (Figura 31).

Figura 31. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 1

No caso desses três coletivos, notamos que, por meio do uso de termos como

“regular”, “mesma velocidade” e “movimento constante”, todos reconheceram o

movimento do palhaço como sendo um Movimento Uniforme10.

Ao descreverem as diferenças entre o movimento deste palhaço e o da

atividade anterior, C1, C2 e C4 fizeram menção à aceleração. C4, por exemplo, na

questão (C), quando questionado se existiam diferenças entre os movimentos,

responde (Figura 32).

Figura 32. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1

10 Em Física, quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um movimento uniforme (Fonte: http://www.sofisica.com.br).

114

“sim, pois este palhaço tem movimento constante e o outro um movimento

acelerado”.

C3, apesar das dificuldades na questão (A), também identificou as

diferenças, respondendo “Sim, ele anda mais rápido, e na atividade anterior ele

começa lento e vai aumentando gradativamente, já na atividade 2 ele já começa na

mesma velocidade (movimento uniforme)” (Figura 33).

Figura 33. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 1

Nas questões (D) e (E), por se tratar de intervalos visíveis na tela, os coletivos

não tiveram dificuldade.

Nas questões seguintes, por se tratar de intervalos não visíveis na tela,

tiveram um pouco mais de dificuldade. C2, por exemplo, na questão (F), quando

questionado sobre quantos metros o palhaço caminharia em 13 segundos, a partir

do movimento visível em tela, projetou uma resposta aproximada de 93 metros,

quando a resposta correta seria 91 metros (Figura 34).

Figura 34. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 2 do Bloco 1

“Se ele anda 16m a cada 02,20s em 13 segundos ele andara 93 metros”.

Ao darem esta resposta, não recorreram a nenhum registro no papel para

efetuar cálculos e também não fazem comentários sobre como chegam a esse

resultado. Logo, sugerimos que a resposta teve como base apenas um cálculo

115

mental utilizando valores aproximados. C1 também conseguiu projetar uma resposta

aproximada por meio do movimento visualizado em tela (Figura 35).

Figura 35. Resposta de C1 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1

“Ou seja se ele caminha 45m em 6,5 segundos ele irá caminhar 90m em 13 segundos, já que para obtermos 13 segundos multiplicamos o tempo final do primeiro percurso por dois, fizemos o mesmo com a metragem, e chegamos a 90m em 13 segundos”.

Neste caso, observamos que os valores utilizados por este coletivo foram

decorrentes das limitações da visualização do movimento na tela, tendo em vista

que, em 6,5 segundos o ator havia caminhado 45,5 metros e para os cálculos

consideraram 45 metros, o que demonstra um pensamento resultante das

possibilidades compartilhadas entre as possibilidades oferecidas pela mídia

disponível, neste caso, o movimento no SimCalc por meio da janela Mundo e a

percepção visual dos alunos, considerando o potencial e as limitações de cada uma

das partes e apresentando como resposta o resultado de um pensar coletivo seres-

humanos-com-mídias; no entanto utilizam corretamente a ideia de proporcionalidade

para chegarem à resposta apresentada, ou seja, 90 metros.

C4 foi o único coletivo que, ao responder as questões que tratavam de

intervalos cuja simulação não estava disponível na tela, chegou a respostas exatas,

tendo em vista que, desde as primeiras questões, já identificou a relação que havia

entre o espaço percorrido e o tempo, conforme o rascunho esboçado na Figura 36.

116

Figura 36. Rascunho de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1

Na justificativa apresentada na questão (F), C4 já demonstrou conhecer a

regra geral que relaciona o espaço percorrido ao tempo (Figura 37).

Figura 37. Resposta de C4 para a Questão F da Atividade 2 do Bloco 1

“13s = 91m pois, a cada um segundo ele anda 7m”

Na questão (I), quando postos a pensar sobre uma regra geral que

relacionasse a quantidade de metros em função do tempo, C2 e C3 apresentaram

dificuldade. C2 esboçou o raciocínio apresentado na Figura 38:

Figura 38. Resposta de C2 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1

“Sim. Observando em quanto tempo ele anda a cada metro e assim vice-

versa vendo em quantos metros ele anda por segundo”.

C3 responde “Sim, a regra é que a cada 2 segundos ele percorre 15 metros”

(Figura 39):

Figura 39. Resposta de C3 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1

117

No caso deste coletivo, notamos que a resposta tem como princípio a

percepção inicial da visualização do movimento na tela, na qual era difícil notar

exatamente os 14 metros percorridos, considerando desta maneira para os cálculos

a distância de 15 metros. Apesar desses dois coletivos não terem chegado à

conclusão de que o palhaço percorria 7 metros a cada segundo, é possível notar

que se remetem à ideia de que é possível fazer a projeção para intervalos não

visíveis em tela por meio da proporcionalidade.

C1 e C4 não tiveram dificuldades. C1 descreveu (Figura 40)

“sim, com base no cronometro e na metragem podemos concluir que o

palhaço anda 7m por segundo. Dessa maneira podemos descrever a regra

da seguinte maneira: Cada 7 metros corresponderá a 1 segundo de seu

percurso”.

Figura 40. Resposta de C1 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1

Apesar de ter apresentado, nas questões anteriores, respostas aproximadas,

baseadas apenas no visualizado em tela, C1 consegue, ao final desta atividade,

identificar a correspondência de 7 metros por segundo. Ao observar a fala de um

dos participantes deste coletivo “olhando direito parece que em um segundo o

palhaço anda sete metros”, notamos que, ao explorar o movimento do ator, C1 nota

a relação espaço-tempo existente.

Para C4, “Sim, pois é um movimento retilíneo uniforme para uma distância

correta através do tempo que o palhaço anda, basta multiplicar o tempo por sete (7),

por exemplo, 20s=140 metros” (Figura 41).

118

Figura 41. Resposta de C4 para a Questão I da Atividade 2 do Bloco 1

Notamos, nestas respostas, que surgiram termos que são usualmente

utilizados em Física, tais como movimento retilíneo uniforme e que na fala dos

alunos é possível perceber que fazem uma relação com a aula de Ciências, como

por exemplo, a fala de um dos alunos de C4 ao pensar na resposta da questão (I)

“Isto parece com aquele bagulho de movimento retilíneo uniforme que estudamos

em Ciências” e seu parceiro (aluno) complementa “vamos escrever que fica bonito”.

Esta constatação nos faz pensar que este coletivo já tentou relacionar

situações de outras áreas para a formulação de uma “regra” matemática, o que pode

ser um indício de que pensar que “Leis da Física e funções em Matemática não têm

nada em comum; pertencem a diferentes domínios (compartimentos) de

pensamento”, pode não ser um Obstáculo Epistemológico no desenvolvimento do

Conceito de Função para este coletivo, tendo em vista que, neste discurso, é

perceptível o reconhecimento de elementos da aula de Ciências (conceitos,

atividades, professor, etc.) também como integrantes deste coletivo na resolução

das atividades propostas.

Atividade 3

Nesta Atividade, por meio da interação do SimCalc, disponibilizando a

visualização simultânea dos dois palhaços das atividades anteriores, era esperado

que, por meio das características da velocidade dos palhaços, fosse percebido pelos

alunos que eles se encontrariam em 7 segundos e que, a partir deste momento, o

palhaço “azul” passaria à frente do palhaço “vermelho”, ou seja, mesmo que de

forma intuitiva, houvesse a caracterização do comportamento do crescimento de

cada uma das funções identificando o ponto de abscissa como intersecção das

duas funções no intervalo explorado.

Na hipótese dos participantes de nossa pesquisa já terem percebido nas

atividades anteriores as diferenças existentes entre o movimento dos dois atores,

pensamos que esta atividade serviria para validar suas respostas por meio desta

7x

119

nova forma de interação do SimCalc com os movimentos simultâneos dos palhaços.

Caso não tivessem ainda percebido essas características, pensamos que a

visualização do movimento simultâneo poderia contribuir para tal percepção.

Nesta segunda hipótese, era esperado que a visualização simultânea dos

dois atores pudesse desestabilizar os “velhos” conceitos, proporcionando condições

para o desenvolvimento de “novos” conceitos e, consequentemente, contribuindo

para a superação do OE(f)-9, caso este tenha sido evidenciado nas respostas

apresentadas até então.

Nesta atividade, o palhaço azul foi criado por meio da função 2)( xxf e o

palhaço vermelho por meio da função xxf 7)( .

Tendo em vista que os quatro coletivos conseguiram identificar as

características do movimento dos palhaços nas atividades anteriores, não tiveram

dificuldades nesta atividade. Na questão (A), apenas reforçaram tais considerações,

como, por exemplo, o respondido por C1 (Figura 42).

Figura 42. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 1

“O de vermelho mantém a mesma velocidade do início ao fim e o azul começa

devagar e depois começa a andar mais rápido”.

Neste caso, houve a referência ao início e ao fim como sendo o intervalo de

tempo que estava limitado no SimCalc de 0 a 6,5 segundos.

Quando questionados sobre qual dos palhaços atingiria a marca de 30 metros

primeiro, intervalo este que era visível na tela, todos os coletivos identificaram o

palhaço vermelho por estar na frente neste intervalo. Notamos que C4, mesmo se

tratando de um intervalo visível na tela, em sua resposta já descreveu a

característica geral do movimento simultâneo dos palhaços (Figura 43).

120

Figura 43. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 1

“O vermelho, pois o vermelho tem uma velocidade constante desde o início, já o

palhaço azul só irá alcançar o palhaço vermelho em 49 metros assim o

ultrapassando”.

Notamos que esta resposta teve como base as duas sequências numéricas

descritas espontaneamente pelo coletivo logo no início desta atividade,

representando as características das relações espaço-tempo de cada um dos

palhaços (Figura 44).

Figura 44. Sequência de C4

É possível notar que C4 erra ao apresentar 48 como sendo o último valor de

P2 quando o valor correto seria 49, no entanto, ao observar a fala de um dos

participantes “sete vezes sete igual a quarenta e oito”, constatamos que este erro foi

decorrente de uma falha de multiplicação. Quando questionados sobre quem

atingiria a marca de 70 metros, mesmo se tratando de um intervalo não visível na

tela, todos os coletivos identificaram o palhaço azul, justificando que, neste intervalo,

ele era mais rápido do que o vermelho.

Na questão (F), quando questionados se os palhaços se encontrariam em

algum ponto, C1, C3 e C4 conseguiram identificar que os palhaços se encontrariam

na marca de 7 segundos. C2 entendeu que a pergunta era se os palhaços se

encontraram no intervalo simulado, e responde como apresentado na Figura 45.

Figura 45. Resposta de C2 para a Questão F da Atividade 3 do Bloco 1

121

“Não 00,30 milésimos, assim eles se encontrariam aos 48 m, mais ou menos”.

Mesmo não tendo entendido a pergunta, é possível notar que estes alunos

reconheceram que existe um ponto de intersecção entre as funções e fizeram uma

estimativa para ele.

Na questão (G), quando questionados se um dos palhaços sempre estaria na

frente, C4 identificou o ponto exato em que as posições se invertem e reconheceu

que, a partir de 7 segundos, o palhaço azul estaria sempre à frente do palhaço

vermelho (Figura 46).

Figura 46. Resposta de C4 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1

“Sim, a partir dos 7 s o palhaço azul sempre estará na frente, já antes dos 7s

o vermelho ficará na frente”.

C1 também descreveu tal característica, no entanto, não se remeteu ao ponto

exato em que as posições se invertem ao responder “Sim, pois as velocidades são

diferentes, inicialmente o vermelho, mas depois consequentemente o azul passará à

sua frente devido ao aumento da sua velocidade” (Figura 47).

Figura 47. Resposta de C1 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1

C2 chega à conclusão de que “No começo o vermelho começa na frente e

mais ou menos nos 50 metros o azul passaria na frente por que (sic) a partir de 30m

o azul vai aumentando a velocidade” (Figura 48).

122

Figura 48. Resposta de C2 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1

Neste caso, percebe-se que houve referência a valores aproximados a partir

do observado na tela, tanto no que se refere ao ponto de ultrapassagem como na

percepção de que o palhaço azul aumenta a sua velocidade a partir dos 30 metros,

uma vez que, no início do trajeto, por meio apenas da visualização do movimento, é

difícil perceber que a velocidade do palhaço não é constante.

C3 respondeu que “Não, pois o segundo até 10 segundos o palhaço vermelho

está na frente, mais depois de 40 metros o palhaço azul ultrapassa o vermelho”

(Figura 49).

Figura 49. Resposta de C3 para a Questão G da Atividade 3 do Bloco 1

Apesar de ter identificado na questão (F) que os palhaços se encontrariam

após 7 segundos, C3 apontou que apenas a partir de 10 segundos é que as

posições se inverteriam.

Nas atividades anteriores, os coletivos já haviam, mesmo que intuitivamente,

percebido que, no caso da primeira atividade, cujo ator foi modelado pela função

2)( xxf , tratava-se de um movimento acelerado e que na segunda atividade, na

qual o ator foi modelado pela função xxf 7)( , de um movimento constante. Nesta

atividade, ao explorarem o movimento simultâneo dos dois atores, notamos que

reforçaram as observações feitas nas atividades anteriores e ainda reconheceram,

mesmo que de forma intuitiva, por meio do movimento dos atores, características do

crescimento das funções, ao expressarem que no intervalo de tempo [0,7] o

crescimento da função 2)( xxf era menor do que o da função xxf 7)( e que a

123

partir deste intervalo esta característica era invertida, demonstrando assim o

potencial do coletivo constituído por seres-humanos-com-mídias, uma vez que neste

caso a mídia utilizada, SimCalc, possibilitou a simulação do movimento simultâneo

dos dois atores, característica esta que proporcionou uma forma de pensar própria

deste coletivo.

Apesar destas constatações, notamos que esta atividade não atingiu

plenamente os objetivos esperados, uma vez que já no desenvolvimento da primeira

atividade constatamos a presença do Obstáculo da proporcionalidade OE(f)-09, já

que, quando postos a projetar valores fora do intervalo disponibilizado em tela,

apenas C4 conseguiu estabelecer uma relação fazendo uso de propriedades além

da proporcionalidade. O reconhecimento das características do movimento dos

atores, nesta terceira atividade, não foi suficiente para superar tal Obstáculo e, desta

maneira, inferimos que seria necessária a inserção de mais questões nesta

atividade, que colocassem os coletivos a pensar novamente na projeção de valores

fora da visualização em tela, após terem simulado o movimento simultâneo, ou seja,

neste caso notamos que a atividade, nos moldes como foi apresentada, não

ofereceu as contribuições necessárias para a constituição do pensar coletivo, no que

se refere à constituição de propriedades para além da proporcionalidade.

Atividade 4

Nesta atividade, tínhamos como objetivo perceber e discutir quais ideias

surgiriam ao atrelar o movimento simultâneo dos palhaços da atividade anterior a

uma situação “mais contextualizada”, isto é, uma situação posta em meio a um

contexto para além do meramente matemático, tendo em vista que, segundo

Sierpinska (1992), uma das condições para que seja construído o conceito de

função é reconhecer que este surge a partir dos problemas práticos do mundo, e, se

negada tal premissa, constitui-se o OE(f)-01: “A Matemática não está preocupada

com problemas práticos”.

Sendo assim, também tínhamos como objetivo analisar as evidências deste

Obstáculo nas respostas apresentadas e o potencial desta atividade na superação

dele. Destacamos também que, nesta atividade, os coletivos foram postos a pensar

sobre relações causais que, neste caso, por se tratar de uma disputa, poderiam

surgir, como por exemplo, outras variáveis para além da relação espaço-tempo, tais

124

como as características fisiológicas de cada atleta, condições do clima, dentre

outras.

Nesta perspectiva, pensamos que, ao reconhecer o “Saber Matemático” como

um fenômeno coletivo, estamos agregando elementos pertencentes “aos problemas

práticos” como participantes da constituição desse saber e tal reconhecimento por si

próprio já se constitui como uma importante ferramenta na superação do OE(f)-01.

Na questão (A), todos os coletivos conseguiram estabelecer uma relação

entre as características do movimento dos palhaços e as estratégias de corrida

apresentadas; ou seja, o palhaço azul, que foi criado por meio da função 2)( xxf ,

tinha relação com a estratégia crescente; e o palhaço vermelho, que foi criado por

meio da função xxf 7)( , tinha relação com a estratégia constante. Apenas C1,

apesar de ter reconhecido nas atividades anteriores a velocidade do palhaço

vermelho, relacionou-o à estratégia decrescente ao responder “Sim o palhaço azul

usa a estratégia c, positiva ou crescente e o palhaço vermelho usa a estratégia b,

negativa ou decrescente” (Figura 50).

Figura 50. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 4 do Bloco 1

Na questão (B), quando questionados sobre qual corredor teria mais sucesso,

ou seja, venceria a corrida de 60 metros, todos apontaram o palhaço azul como

vencedor. C1 justificou que “O azul, porque ele não vai cansar tão rápido como o

vermelho” (Figura 51).

Figura 51. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1

Por meio desta resposta, foi possível notar que, em sua justificativa, este

coletivo não levou em conta apenas a relação matemática espaço-tempo que

caracteriza o movimento, mas fez menção também a outro fator que poderia

125

influenciar a disputa, neste caso fez referência ao cansaço. C4 pautou a sua

justificativa nas relações deduzidas nas atividades anteriores: “O palhaço azul, pois

ao usar a estratégia positiva a partir dos 7s ele começará a ultrapassar o vermelho,

pois essa velocidade aumentará a cada segundo muito mais que o vermelho”

(Figura 52).

Figura 52. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 4 do Bloco 1

Na questão (C), quando questionados se independente da distância a se

percorrer a estratégia utilizada pelo vencedor da corrida de 60 metros seria a

melhor, todos identificaram que, dependendo da distância, a estratégia do palhaço

vermelho poderia ser melhor como o exemplificado na resposta de C3 “Não, em

distâncias menores o vermelho vencerá” (Figura 53).

Figura 53. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 4 do Bloco 1

Quando são postos a descrever as características positivas e negativas das

estratégias utilizadas por cada um dos palhaços quando pensamos em disputas com

distância menores ou maiores do que 60m metros, na questão (D), notamos que

todos os coletivos incluíram em suas justificativas outras variáveis além da distância

e o tempo. Para C1, por exemplo,

“Estratégia do azul – pontos positivos: ele não cansará tão rápido e vai conseguir uma boa distância. Pontos negativos – depois de um tempo ele começa a cansar e perder velocidade. Estratégia do vermelho – pontos positivos: ele vai conseguir sair na frente. Pontos negativos: ele cansará mais rápido e vai perder velocidade e será ultrapassado” (Figura 54).

126

Figura 54. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1

Neste caso, além de levar em consideração o fator cansaço, esses alunos

fizeram com que isto descaracterizasse o movimento original dos palhaços.

Mesmo para C4, que até então tinha baseado suas respostas apenas nas

relações matemáticas, houve a inserção de outras variáveis em suas justificativas.

Se for uma distancia (sic) muito longa o corredor com a estratégia constante ganhará, mas se for uma disputa de pouca distancia (sic) quem ganhará será o corredor que usar a estratégia positiva. Por isso o corredor que usar a estratégia constante cansará menos tendo mais chance de ganhar, mas se usar a estratégia positiva o corredor cansará mais. Tendo menos probabilidade de ganhar (Figura 55).

Figura 55. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 4 do Bloco 1

Nestas respostas notamos que, ao considerar a variável cansaço, tal

consideração se sobressaiu às características das relações matemáticas descritas

inicialmente, nos dando indícios da presença do Obstáculo EO(f)-1, ou seja, há uma

127

dificuldade em se discutir conceitos matemáticos a partir do reconhecimento de

outras variáveis. Tais evidências podem ser observadas na fala de um dos

participantes de C4, quando, ao responder a última questão, questiona o professor

pesquisador “professor esta questão está falando de um corredor de verdade ou do

corredor palhaço?” e depois diz ao seu parceiro “bom se for uma corrida de verdade

em um percurso muito longo o azul que adotou a estratégia positiva perderá, pois irá

cansar”. Estas falas nos fazem inferir que os participantes reconheceram as

variáveis causais, no entanto, ainda não diferenciaram-nas das variáveis funcionais

quando são postos a resolver problemas.

A inserção desta atividade evidencia mais uma vez o quão complexo é o

trabalho de se discutir conceitos matemáticos a partir da simulação de situações

vivenciadas pelos alunos em suas rotinas cotidianas, uma vez que, neste caso, as

respostas passam a ser imprevisíveis e devemos estar abertos a pensar em como

direcioná-las para a tentativa de construir “novas” formas de pensar.

Atividade 5

Era esperado, nesta atividade, que, por meio da escrita de uma história

envolvendo o movimento simultâneo dos dois palhaços sem pensar

necessariamente em regras matemáticas, os participantes de nossa pesquisa

explicitassem ideias até então não evidenciadas nas atividades anteriores; no

entanto, notamos que, com a inclusão desta atividade, a discussão concentrou-se

em torno das variáveis causais, fazendo com que os participantes se distanciassem

das características oriundas do movimento simulado no SimCalc. Isso nos levou a

identificar a incidência do U(f)-19: Discriminação entre as noções de relações

funcionais e relações causais, uma vez que os participantes apresentaram facilidade

na identificação e reconhecimento das variáveis causais, no entanto, apresentaram

dificuldade em direcioná-las em prol da resolução do problema proposto.

Para esta atividade, a História de C1 foi apresentada conforme explicitado na

Figura 56.

128

Figura 56. História de C1

“Um dia dois amigos resolveram apostar uma corrida para ver na casa de quem seria a festa. A corrida foi marcada para uma semana antes da festa para dar tempo de preparar tudo. O dia da corrida chegou já estava tudo pronto para começar. A corrida começou e o palhaço vermelho saiu em disparada na frente do palhaço azul, que logo começa a aumentar sua velocidade e ficar mais próximo do palhaço vermelho que começa a diminuir sua velocidade, pois já está se cansando. O palhaço azul vê que o outro já está se cansando e aumenta sua velocidade e o ultrapassa rapidamente aproximando ainda mais da linha de chegada e em instantes ganha a corrida”.

Notamos que a consideração da variável cansaço fez com que C1

considerasse que o palhaço vermelho diminuía a sua velocidade enquanto o azul

aumenta para assim poder ultrapassá-lo, mesmo não estando condizente com o

movimento simulado no SimCalc.

História de C2 (Figura 57):

129

Figura 57. História de C2

Em um belo dia dois amigos resolveram brincar de corrida em um espaço de 50m duas vezes na primeira vez Ronaldo ganhou e na segunda também ai João pensou como ele poderia ganhar. Se ele sair na frente percebeu que quando ele sai na frente ele cansa muito e vai perdendo velocidade assim ele fez o teste começou devagar e foi aumentando a velocidade com o tempo e ganhou a corrida e percebeu que nem sempre quem sai na frente ganha é questão de lógica e continuarão ganhando e com empates e com vitórias e derrotas (Figura 57).

C2 também pareceu ter dificuldades em reconhecer em sua história que o

palhaço modelado pela função xxf 7)( tinha velocidade constante e que apenas o

fato do palhaço azul aumentar a sua velocidade era suficiente para que o vermelho

fosse ultrapassado. Ao observarmos a fala de um dos participantes, “olha o

vermelho vai perdendo posição para o azul”, pensamos que o fato de terem relatado

na história que o vermelho vai “perdendo velocidade” se deu um detrimento do

movimento simultâneo no qual, por conta da diferença entre as distâncias dos dois

atores, diminuir ao longo do tempo pode dar a impressão errônea de que ao passo

que um ator aumenta a sua velocidade, o outro diminui. Tal impressão ainda foi

potencializada pelo fato de que neste momento estava presente no discurso dos

alunos a variável cansaço atrelada ao fato de ganhar ou perder a disputa.

História de C3 (Figura 58):

130

Figura 58. História de C3

Era uma vez, dois vizinhos palhaços, um era muito apressado pois não esperava seu vizinho palhaço, todo dia eles saião (sic) juntos mas o apressadinho sempre chegava ao trabalho primeiro. Certo dia, o amigo do palhaço apressado se cansou de ficar para trás e resolveu dar uma lição no amigo, no dia seguinte o amigo apressado saiu normalmente, mas no meio do caminho ficou cansado e parou para descansar, e nesse instante seu vizinho que andava sempre calmo mantendo o equilíbrio da velocidade o passou e consequentemente chegou antes que o apressadinho no trabalho (Figura 58).

Para C3 o palhaço vermelho precisaria parar para que o azul pudesse

ultrapassá-lo.

A história descrita por este coletivo pareceu não ter muito a ver com as

relações matemáticas deduzidas anteriormente. Neste caso, foram pautadas apenas

nos fatores fisiológicos e de inferência de justiça.

História de C4 (Figura 59):

131

Figura 59. História de C4

Em um dia três amigos começaram a discutir para ver quem corria mais rápido, sendo assim resolveram fazer uma competição melhor de três. A corrida consistia de cinquenta metros a outra de cem metros e a outra de duzentos metros quem ganhace (sic) duas corridas iria vencer quando foram disputar a primeira corrida de cinquenta metros o José que começou muito rápido ganhou, já na segunda corrida de cem metros Pedro que manteve uma velocidade constante ganhando, cançando (sic) menos que José, já na terceira corrida de duzentos metros Gleydson ganhou, pois começou a corrida devagar e começou a acelerar aos poucos, cansando menos que José e sendo mais rápido que Pedro, ou seja no fim deu empate, então os três perceberam que nem sempre a velocidade é a mais importante e sim a estratégia para cada tempo de corrida.

Apesar de ser sido solicitado que a história tivesse como base o movimento

simultâneo dos dois palhaços da atividade 2, C4 pareceu não pautar a sua história

em tal simulação e sim nas diferentes estratégias para se obter êxito em uma

competição.

Notamos que os quatro coletivos, ao escreverem suas histórias, não tiveram

como base apenas as relações matemáticas que modelam o movimento dos

palhaços, todos levaram em consideração outros fatores; tais como o cansaço físico

e a inferência de justiça.

A partir das histórias apresentadas, destacamos alguns pontos a serem

132

considerados. Inicialmente, percebemos que todos os participantes sentiram a

necessidade de transpor para as suas histórias elementos que não se restringem ao

movimento simulado no SimCalc.

Esta constatação nos leva a inferir que há indícios do Obstáculo OE(f)-01: A

Matemática não está preocupada com problemas práticos, uma vez que, apesar da

tentativa de fazer relações entre os movimentos modelados por funções puramente

matemáticas, ao tentar transpor tais ideias, os coletivos pensantes participantes de

nossa pesquisa não as levam totalmente em consideração, ou seja, as histórias têm

fortes justificativas nas relações causais em detrimento das relações funcionais, e,

desta forma, põe-se o desafio proposto no Ato U(f)-19: Discriminação entre as

noções de relações funcionais e relações causais.

Tais constatações nos levaram a concluir que, ao propormos esta atividade,

incluímos inferências de causa ao coletivo pensante, que se sobressaíram à

visualização proporcionada pelo SimCalc, centralizando as discussões em torno das

relações causais, o que deixou em segundo plano as relações funcionais discutidas

nas atividades anteriores.

Esta atividade, portanto, nos remete ao OE(f)-01: “A Matemática não está

preocupada com problemas práticos”, uma vez que, ao tentarmos contextualizar um

conteúdo matemático, temos que partir do contexto real e discutir quais são as

limitações a serem feitas para uma simulação em sala de aula e não o inverso, ou

corremos o risco de na tentativa de superar tal Obstáculo, potencializá-lo, uma vez

que, segundo Sierpinska (1992), uma das condições para que seja construído o

conceito de função é reconhecer que este surge a partir dos problemas práticos do

mundo. E, nesta perspectiva, não há como omitir esta discussão, uma vez que

acreditamos que o “Pensar Matemático” é um fenômeno coletivo.

Considerações sobre as Atividades do Bloco 1

Nesta seção, destacamos algumas características que surgiram ao longo do

desenvolvimento dessas cinco atividades e que consideramos importantes para a

construção do conceito de função, tanto no que se refere às compreensões (Atos de

Compreensão) como aos desafios a serem superados (Obstáculos) pelos coletivos

pensantes compostos por Atividades-Alunos-SimCalc. Inicialmente apresentamos

um resumo das principais características observadas nas respostas de cada um dos

Coletivos.

133

C1: Na primeira atividade, reconheceu que a velocidade do palhaço não é

constante, e considerou, mesmo que de maneira informal, as características do

movimento no estabelecimento da relação espaço-tempo. No entanto, quando posto

a pensar em intervalos não visíveis na tela, teve dificuldade no estabelecimento da

relação espaço-tempo considerando a proporcionalidade para fazer projeções para

intervalos não visíveis em tela, chegando à conclusão de que não é possível

descrever uma regra geral que relacione espaço-tempo por se tratar de um

movimento acelerado. Na segunda atividade, fez menção à aceleração para

descrever o movimento, usou valores aproximados para fazer projeção para

intervalos não visíveis em tela e descreveu a relação tempo distância igual a tempo

multiplicado por sete. Na Atividade 3, identificou que os palhaços se encontrarão

após sete segundos, reconheceu que após algum tempo as posições se invertem,

não apontando o ponto exato para esta inversão. Na quarta atividade, usou variáveis

causais, apontando, por exemplo, que o palhaço azul ganhará disputas maiores,

pois não fica cansado, reconheceu que em distâncias menores o vermelho ganhará

a disputa. Na quinta atividade, com a forte presença das variáveis causais,

apresentou dificuldade em retomar o problema proposto, o que fez com que

chegasse à conclusão de que era necessário que a velocidade do palhaço vermelho

diminuísse para que o azul pudesse ultrapassá-lo.

C2: Na primeira atividade, reconheceu que a velocidade não é constante,

considerou, mesmo que de maneira informal, as características do movimento no

estabelecimento da relação espaço-tempo. Quando posto a pensar e fazer

projeções para intervalos não visíveis na tela, teve dificuldade e considerou a

proporcionalidade. Para descrever a regra geral, recorreu a conceitos de

proporcionalidade. Na atividade dois, reconheceu o movimento como sendo

uniforme, usou valores aproximados para fazer projeções para intervalos não

visíveis em tela e usou a proporcionalidade para descrever uma regra geral. Na

terceira atividade, reconheceu que, após algum tempo, as posições se invertem, não

apontando o ponto exato dessa inversão. Na quarta atividade, fez menção às

variáveis causais, reconheceu que, em distâncias menores, o palhaço vermelho

vencerá a disputa e quando foi posto a pensar nas melhores estratégias, surgiram

as variáveis causais, apresentando dificuldade em retomar o problema proposto. Na

quinta atividade, a variável cansaço fez com que chegasse à conclusão de que era

necessário que a velocidade do palhaço vermelho diminuísse para que o azul

134

pudesse ultrapassá-lo.

C3: Na primeira atividade, reconheceu que a velocidade não é constante,

considerou, mesmo que de maneira informal, as características do movimento no

estabelecimento da relação espaço-tempo; no entanto, quando posto a pensar em

intervalos não visíveis na tela, teve dificuldade e considerou a proporcionalidade,

fazendo menção a ela para descrever a regra geral. Na segunda atividade,

reconheceu o movimento como sendo uniforme, usou valores aproximados para

fazer projeções para intervalos não visíveis em tela e fez menção à

proporcionalidade para descrever uma regra geral. Na terceira atividade, identificou

que os palhaços se encontrarão após sete segundos, reconheceu que, após algum

tempo, as posições se invertem, não apontando o ponto exato dessa inversão. Na

quarta atividade, há o apontamento de variáveis causais; reconheceu que, em

distâncias menores, o palhaço vermelho vencerá a disputa, e quando é posto a

pensar nas melhores estratégias, a discussão em torno das variáveis causais fez

com que tivesse dificuldade em retomar o problema proposto. Na quinta atividade, a

variável cansaço fez com que chegasse à conclusão de que era necessário que o

palhaço vermelho parasse para que o azul pudesse ultrapassá-lo.

C4: Na primeira atividade, apresentou dificuldade no reconhecimento das

características do movimento, considerando-o uniforme em diferentes intervalos. No

entanto, por meio da exploração do SimCalc, conseguiu desestabilizar tal

concepção, descrevendo que a regra geral da distância percorrida é igual a tempo

ao quadrado. Na atividade dois, fez menção à aceleração para descrever o

movimento, usou valores aproximados para fazer projeção para intervalos não

visíveis em tela, chegando à relação distância percorrida igual a tempo vezes sete.

Na terceira atividade, identificou que os palhaços se encontrarão após sete

segundos e reconheceu este ponto como sendo o ponto exato da inversão das

posições. Na quarta atividade, houve apontamento de variáveis causais, reconheceu

que, para distâncias maiores, o palhaço azul vencerá a disputa, justificando que a

partir de 7 segundos ele sempre estará na frente. Reconheceu também que, em

distâncias menores, o palhaço vermelho vencerá a disputa, e quando foi posto a

pensar nas melhores estratégias, a referência às variáveis causais prevaleceu,

apresentando dificuldade em retomar o problema proposto. Na quinta atividade, a

história apresentada não estabeleceu conexões com o movimento simulado.

135

Destacamos que, por meio da análise das respostas expressas pelos

coletivos, o principal Obstáculo a ser superado é o OE(f)-9: “Proporção é um tipo

privilegiado de relação”. Notamos que este Obstáculo se mostrou presente para os

quatro coletivos; no entanto, C4 conseguiu superá-lo no decorrer das atividades

propostas. Os outros três coletivos, mesmo percebendo as características dos

movimentos de cada um dos atores, quando postos a pensar em intervalos não

visíveis na tela ou na descrição de uma regra geral que relacionasse espaço em

função do tempo, fizeram uso de ideias relacionadas à proporcionalidade para

apresentarem as suas respostas. Neste caso, parece-nos que a concepção de que

todo tipo de generalização é feito por meio de relações proporcionais realmente

pode se manifestar com frequência e isto pode ser uma evidência de que esses

alunos têm pouca familiaridade em buscar e reconhecer padrões que envolvam

ideias não proporcionais.

Para além das observações das respostas obtidas em nossa pesquisa,

notamos evidências deste Obstáculo também na pesquisa de Baraldo (2009),

quando observou que a regra de três foi utilizada em situações de não

proporcionalidade. Isso e a evidência desse Obstáculo em outras pesquisas nos leva

a conjecturar que a superação deste Obstáculo ainda se constitui como ponto

fundamental para a construção do conceito de função. Observamos que a

introdução do conceito de função ainda está fortemente atrelada a situações de

proporcionalidade, como o observado na pesquisa de Botta (2010), que afirma que

no 7º ano é possível introduzir o conceito de função, por meio da exploração de

atividades relacionadas à ideia de proporcionalidade, a partir do uso de regra de três

para o cálculo de porcentagem.

Apesar da presença do OE(f)-9, notamos que, por meio da constituição do

Coletivo Pensante seres-humanos-com-mídias, particularmente fazendo uso da

mídia janela Mundo do software SimCalc, foram constituídas importantes

características do conceito de função, uma vez que, mesmo nas respostas dos

coletivos com mais dificuldade, houve o reconhecimento das diferenças entre os

movimentos dos palhaços e, mesmo que de maneira intuitiva, expressaram as

características do comportamento do crescimento de cada uma das funções, ou

seja, neste caso não foi usado este termo e nem era a intenção usá-lo; no entanto,

todos identificaram por meio do movimento possibilitado pela mídia disponível, que

no intervalo [0,7] o palhaço modelado por meio da função xxf 7)( era mais rápido

136

do que o palhaço modelado pela função 2)( xxf e que, a partir de 7 segundos, a

situação era invertida constituindo desta maneira um pensar próprio deste coletivo.

Outra observação é de que a presença do OE(f)-9 fez com que os

participantes se remetessem às relações de proporcionalidade para tentarem fazer

projeções para os intervalos não visíveis na tela, no entanto, demonstram ter a

compreensão do U(f)-3 “Identificar as coisas que mudam ao estudar mudanças”, ou

seja, a resposta apresentada não tem como base apenas a posição dos atores no

decorrer do movimento; os participantes têm a percepção de que o espaço

percorrido depende do tempo, como o apresentado em uma das respostas de C3 na

primeira atividade que, mesmo não tendo acertado a questão, responde “Ele

caminhará 45 metros em 9 segundos, pois a cada 03,00 segundos ele caminha 9

metros”.

Para esta mesma questão, nos chamou a atenção a resposta de C1 “Não,

não é possível estabelecer uma regra, pois a velocidade do palhaço se altera entre o

decorrer do percurso. É possível somente achar estimativas de resultado usando a

lógica...”, neste caso foi possível notar as evidências do OE(f)-09. Notou-se que o

SimCalc, ao proporcionar a simulação, fez com que este coletivo, mesmo não

conseguindo descrever a regra geral, percebesse que havia uma relação espaço-

tempo posta por meio do movimento dos atores, ou seja, de acordo com a resposta

apresentada, existia uma “lógica”; lógica esta que, aparentemente, neste nível de

ensino, ainda não foi considerada como “Matemática formal” ou “Matemática

escolar”.

Essas evidências nos fizeram inferir a presença de outro Obstáculo, o OE(f)-1

“A Matemática não está preocupada com problemas práticos”, uma vez que, por

mais que a relação esteja posta por meio do movimento, tal relação, para esses

alunos, não é plausível de ser generalizada. Notamos também uma relação entre

esses dois Obstáculos na pesquisa de VolIrath (1986), que já apontava que, para

ser bem-sucedido na resolução de problemas que envolvam o conceito de função,

havia a necessidade de se descobrir propriedades além da proporcionalidade.

Para a superação deste Obstáculo, segundo Sierpinska (1992), seria

necessário o desenvolvimento de dois Atos de Compreensão, U(f) -1 “Identificação

das alterações observadas no mundo que nos cerca como um problema de ordem

prática a ser resolvido” e U(f) -2 “Identificação de regularidades nas relações entre

137

mudanças como uma forma de lidar com essas mudanças”. Tais atos pareciam ter

sido compreendidos por C4 ao final deste bloco de atividades, uma vez que a

resposta nesta mesma questão “... o número de metros que o palhaço anda equivale

ao número de segundos ao quadrado”, demonstrou que C4 teve muita clareza da

relação matemática espaço-tempo. Ao analisarmos como chegou a tal conclusão,

percebemos que esta se deu em função do diálogo constante deste coletivo, seja na

expressão da fala dos alunos, nos questionamentos postos por meio das atividades

ou pela simulação do SimCalc, chegando desta forma à conclusão de que a

distância era obtida por meio do tempo ao quadrado, ou seja, consideramos que tal

conclusão é resultante do pensar coletivo decorrente das potencialidades e

limitações tanto dos alunos como das mídias disponíveis.

Outro ponto a ser destacado refere-se às histórias descritas na Atividade 5.

Parece que, quando estes coletivos foram colocados a pensar a partir de um novo

ambiente “Escrever histórias”, que não é comum nas aulas de Matemática, as ideias

se distanciaram um pouco da proposta inicial, o relato a partir do movimento pré-

existente dos atores, o que nos levou a conjecturar que há uma falta de

compreensão do Ato U(f)-19 “Discriminação entre as noções de relações funcionais

e relações causais”, descrito por Sierpinska (1992).

A seguir apresentamos um quadro- resumo com as principais características

dos Obstáculos identificadas ao longo do desenvolvimento das atividades deste

Bloco.

138

Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade 4 Atividade 5

C1 Considerou proporcionalidade para intervalos não visíveis em tela

Reconheceu a relação entre tempo e distância

Identificou o momento de encontro dos atores

Presença de variáveis causais

Presença de variáveis causais

C2 Considerou proporcionalidade para intervalos não visíveis em tela

Uso de proporcionalidade para descrever regra geral

Identificou que as posições se invertem, mas não o momento de encontro

Presença de variáveis causais

Presença de variáveis causais

C3 Considerou proporcionalidade para intervalos não visíveis em tela

Uso de proporcionalidade para descrever regra geral.

Identificou o momento de encontro dos atores

Presença de variáveis causais

Presença de variáveis causais

C4 Observou a relação entre movimento e o tempo

Reconheceu a relação entre tempo e distância

Identificou o momento de encontro dos atores e percebeu esse mesmo momento como de inversão dos atores

Justificou a partir da relação entre os palhaços no software

História sem relação com o movimento simulado

5.2 Análise das atividades do Bloco 2

Neste Bloco, os participantes demonstraram facilidade e entusiasmo na

exploração das ferramentas do SimCalc no que se refere à criação de atores

utilizando comandos pré-estabelecidos (“Linear Paramétrico”, “Quadrático

Paramétrico”, “Periódico Paramétrico” e “Exponencial Paramétrico”)11.

Para além desta familiarização, houve o reconhecimento das características

dos conjuntos domínio e imagem das funções exploradas (exponencial e

trigonométrica), com destaque para suas particularidades.

11 Ao serem criados, os atores assumem funções específicas. O ator “Linear Paramétrico” foi

automaticamente representado pela função , o “Quadrático Paramétrico” por o “

Periódico Paramétrico” por e o “Exponencial Paramétrico” por ,todos no intervalo de tempo (0,3).

xy 4 xxy 42

)4( xCosy xey 4

139

Atividade 1

Nesta atividade, cujo objetivo foi proporcionar uma familiarização das

ferramentas de criação de atores por meio de parâmetros pré-estabelecidos e a

possibilidade de fazer alterações do intervalo do domínio, além dos questionamentos

entregues aos alunos, foi apresentada a ferramenta “mudar a arte do mundo” que

possibilitou a exploração de diversos personagens disponíveis12 no SimCalc.

Na questão (C), foi solicitado que criassem um ator utilizando um dos

comandos apresentados e, na questão (D), que descrevessem o ator criado.

Quando foram postos a descrever as características do ator que criaram na questão

(C), C1 e C4, que criaram seus atores por meio do “Ator Linear Paramétrico”, fizeram

menção à velocidade constante como exemplificado na resposta de C4 “O ator linear

paramétrico tem um movimento constante, ou seja, independente do tempo e metros

não mudará sua velocidade” (Figura 60).

Figura 60. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2

C2, que criou seu ator por meio do comando “Quadrático paramétrico”,

respondeu “não tem velocidade nem tempo certo conforme vai aumentando os

metros andados por segundo ele vai aumentando” (Figura 61).

Figura 61. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 1 do Bloco 2

Demonstrou, desta forma, ter reconhecido que se tratava de um movimento

com velocidade acelerada. C3 não respondeu esta questão.

12 Esta opção só está disponível na licença de professor. Para este estudo, como o laboratório de informática da escola não tinha internet em todas as máquinas, disponibilizamos a licença de professor aos alunos para aumentar as possibilidades de ferramentas a serem exploradas.

140

Na questão H, quando foram postos a criar e observar o movimento

simultâneo dos quatro tipos diferentes de atores, C1 respondeu:

O verde – Linear paramétrico – Ele anda o percurso todo na mesma velocidade, sendo ela 100 km/h. O azul – Quadrático paramétrico – Ele começa devagar e depois vai almentando (sic) a sua velocidade e como sua velocidade é maior ele acaba andando mais que o verde. O laranja – Periódico paramétrico – Ele faz o movimento vai e volta. O magenta – Ele sai em disparada na frente dos outros cachorros, e anda sempre na mesma velocidade. (Figura 62)

Figura 62. Resposta de C1 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2

Neste caso, notamos que C1 se remete à velocidade para descrever as

características de três dos quatro atores, sendo que no caso da função exponencial

não percebeu que se tratava de uma velocidade acelerada, destacando que o ator

caminhava rápido em velocidade constante. Já no caso da função trigonométrica,

este coletivo não fez referência à velocidade. O que chamou a atenção dele foi o

movimento de “vai e volta. Uma das falas de um aluno desse coletivo externa que “O

movimento desse peixe não é normal, parece que está louco”.

C2 também fez referência à velocidade ao responder “O tempo e os metros

são iguais, eles não andam juntos porque não são a mesma velocidade” (Figura 63).

Figura 63. Resposta de C2 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2

141

Para C3

“O Linear Paramétrico é o mais lento, menos do que o periódico paramétrico que tem movimento “retardado”, ou seja fica indo e voltando. Já o quadrático paramétrico é o segundo mais rápido, pois demora certo tempo para passar o limite do quadrado. E o ator exponencial paramétrico é sem duvida (sic) o mais rápido demora 0,60 segundos para sumir no quadrado” (Figura 64).

Figura 64. Resposta de C3 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2

C4 respondeu:

“Josh – Linear / Rui – quadrático/ Gleyd – periódico/ Pop – exponencial. Pop tem um movimento acelerado. Gleyd tem um movimento para frente e para traz. (sic) Rui tem um movimento que começa devagar e fica rápido. Josh tem um movimento constante” (Figura 65).

Figura 65. Resposta de C4 para a Questão H da Atividade 1 do Bloco 2

C4 também, ao descrever as características do ator criado por meio da função

exponencial, classificou-a como tendo velocidade constante. Tal conclusão pode

estar atrelada às limitações da visualização disponibilizada em tela, tendo em vista

que a observação do movimento dos quatro atores ocorreu simultaneamente e,

neste contexto, o ator exponencial foge do campo de visão rapidamente. Para C4,

142

assim como para C1, o movimento do ator periódico não foi descrito por meio da

velocidade e sim pela característica de “ida e volta”.

Consideremos que o objetivo de familiarizar os alunos com as ferramentas de

criação de atores por meio dos parâmetros pré-estabelecidos foi atingido e, para

além desse objetivo, destacamos que a inserção dessa ferramenta ofereceu

contribuições para a construção do “pensar coletivo”, uma vez que, a partir das

justificativas apresentadas, podemos notar a inserção de frases que reforçam as

características das relações espaço-tempo estabelecidas nas atividades anteriores

como a apresentada por C4 na questão (D) “O ator linear paramétrico tem um

movimento constante, ou seja, independente do tempo e metros não mudará sua

velocidade”.

Destacamos ainda que as respostas apresentadas nesta atividade refletem

um tipo de pensar característico do coletivo seres-humanos-com-mídia, uma vez que

a mídia disponível, software SimCalc, possibilitou a exploração de movimentos

modelados por meio de funções que normalmente não são exploradas neste nível

de ensino e a visualização destes movimentos proporcionou um “pensar coletivo”

diferente do explicitado nas outras funções. Notamos esta evidência quando, ao

explorarem a função trigonométrica, para as descrições das características

diferentes das demais, não fizeram referência à velocidade, tendo como foco o

movimento de “vai e volta”, o que nos leva a conjecturar que, apesar de

presenciarmos os vários tipos de movimento em nossas atividades cotidianas, esses

movimentos não são explorados no ambiente escolar. A fala de um dos participantes

“O movimento desse peixe não é normal, parece que está louco” pode evidenciar

mais uma vez presença do OE(f)-1 “A Matemática não está preocupada com

problemas práticos”. Neste contexto, destacamos que há uma dificuldade em

reconhecer a realidade tanto do movimento de um animal peixe em seu ambiente

natural como o movimento do personagem peixe em seu ambiente virtual,

considerando as semelhanças e as diferenças de cada uma dessas realidades em

prol da resolução de problemas matemáticos.

Atividade 2

Nesta atividade, o ator foi criado por meio do “Ator Exponencial Paramétrico”

e o objetivo foi fazer com que, por meio da manipulação do intervalo do domínio,

fossem estabelecidas relações entre o intervalo de tempo e a distância percorrida.

143

Na questão (A), quando posto a descrever as características do movimento

do ator, C1 respondeu que “Ele anda muito rápido, percorre todo percurso na

mesma velocidade” (Figura 66).

Figura 66. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2

Para C2, “O inicio dele já e rapido (sic) e ele mantem (sic) a velocidade

constante” (Figura 67).

Figura 67. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2

Assim como na atividade anterior, esses coletivos não reconheceram que no

caso deste ator a velocidade não era constante.

Já para C3 “super veloz, aumenta levemente a velocidade faz 40 metros em

0,90 segundos” (Figura 68).

Figura 68. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2

Para C4, “Ele começa devagar nos primeiros 0,5 segundos logo após ele

acelera absurdamente” (Figura 69).

Figura 69. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 2 do Bloco 2

Neste caso, notamos que os participantes reconheceram as características do

movimento acelerado, caracterizando a alta variação da velocidade quando dizem

144

que o ator “acelera absurdamente”, ou seja, por meio do movimento destacam as

características do crescimento desta função.

Na questão (B), quando postos a explorar a simulação em diferentes

intervalos de tempo e a descrever o que acontece com o movimento do ator,

notamos que C2, que na questão anterior não havia reconhecido as características

da velocidade, respondeu que “E um movimento acelerado começando em uma

velocidade media e depois ele altera e passa dos 200 metros” (Figura 70).

Figura 70. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2

Desta forma, C2 reconheceu que se tratava de um movimento acelerado; já

para C1, que teve a mesma dificuldade, a opinião permanece a mesma,

respondendo que “continua da mesma maneira e só corre mais tempo durante o

percurso” (Figura 71).

Figura 71. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2

C3 e C4, que já haviam reconhecido as características do movimento,

descreveram que houve uma alteração do espaço percorrido em função das

alterações feitas no intervalo do tempo. C4 respondeu, por exemplo, que “muda o

tempo do início e do fim da corrida dele” (Figura 72).

Figura 72. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 2 do Bloco 2

Neste caso, é possível observar que, mesmo de forma intuitiva, C3 e C4

notaram que, ao alterar o intervalo de tempo, houve como consequência uma

alteração no intervalo da distância percorrida.

145

Na questão (C), quando fizeram a simulação do movimento no intervalo [-8,3],

C1 respondeu que “Ele só começa a andar depois que o tempo fica positivo, pois

quando está negativo ele não sai do lugar” (Figura 73),

Figura 73. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2

C2 “no intervalo de -8, 3 ele ficou parado e a partir do 0,00 positivo ele

começa a andar bem rápido” (Figura 74),

Figura 74. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2

C3 “O peixe fica -08,00 segundos parado e depois dispara na mesma

velocidade anterior, 4 metros demora 0,90 segundos” (Figura 75).

Figura 75. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2

C4 “Do -8 ao 0 ele anda parado, depois do 0 ele volta a mesma situação da

ultima vez” (Figura 76).

Figura 76. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 2 do Bloco 2

Estas respostas nos levam a inferir que, por meio da observação e da

descrição do movimento do ator, há a identificação de características dos conjuntos

146

domínio e imagem da função exponencial, neste caso, representadas por ,

como por exemplo, a percepção de que o ator só se movimenta no lado positivo.

Na questão (D), quando questionados se existia algum intervalo em que o

ator partisse de um valor negativo C1, C2 e C3 respondem que não com base na

simulação observada, como o exemplificado na resposta de C1 “Não, pois quando

está negativo ele não se movimenta, ele só passa a andar quando o valor é positivo”

(Figura 77).

Figura 77. Resposta de C1 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2

Apenas C4 responde “Sim, o -1, pois começa a andar a partir daí” (Figura 78).

Figura 78. Resposta de C4 para a Questão D da Atividade 2 do Bloco 2

No entanto, ao observarmos o diálogo dos participantes, ao dizerem que

“Parece que no menos um ele já começa a andar, ou seria depois do zero? Não sei,

mas parece que no menos um ele já arranca, põem para andar de novo, não sei

vamos por menos um”, entendemos que essa resposta se deu em decorrência das

limitações do movimento observado na tela. Desta forma é possível notar que, por

meio do movimento, há o reconhecimento de que independente do intervalo de

tempo utilizado o ator só se movimenta no lado positivo.

Na questão (E), quando postos a pensar sobre a distância percorrida pelo ator

em um segundo em dois diferentes intervalos, todos reconhecem que, por conta do

aumento da velocidade, o ator percorre distâncias diferentes. C1, que nas atividades

anteriores não tinha reconhecido o movimento acelerado, nesta questão responde

que

Em um segundo com uma velocidade de 10 km/h e aceleração de 4, ele percorre 550m. E em 2 segundos mantendo a mesma velocidade, ele percorre uma metragem que não se pode visualizar na régua, mais ultrapassando os 2.000 metros. (Figura 79).

xexf 4)(

147

Figura 79. Resposta de C1 para a Questão E da Atividade 2 do Bloco 2

Neste caso, apesar de não termos elementos para analisar como chegaram a

esta resposta ou como decidiram por uma velocidade de 10km/h, tendo em vista que

o arquivo que continha a gravação foi corrompido, notamos na resposta apresentada

que quando este coletivo se refere à mesma velocidade, não está considerando a

velocidade constante e sim a aceleração constante, uma vez que notou a diferença

nas distâncias percorridas.

Para além das características dos conjuntos domínio e imagem, de modo

geral, notamos que todos descreveram características do crescimento da função

exponencial fazendo menção às “altas variações” do aumento da velocidade. Apesar

de tais características, o objetivo, que era fazer com que, por meio da manipulação

do intervalo do domínio, fossem estabelecidas relações entre o intervalo de tempo e

a distância percorrida, não foi plenamente atingido, uma vez que as respostas

apresentadas limitaram-se ao visualizado em tela, prejudicando assim o

aprofundamento da discussão em torno da relação espaço-tempo.

Tal limitação nos leva a inferir que, por se tratar de um movimento modelado

por uma função pouco explorada neste nível de ensino, houve evidências da

presença do OE(f)-03 “Considerar mudanças como fenômenos, focar em como as

coisas mudam e ignorar o que muda”, no entanto, julgamos que a atividade no

molde como foi apresentada não contribuiu para a superação de tal percepção, uma

vez que pouco contribuiu na construção de um “pensar” mais aprofundada no que se

refere à relação entre as variáveis envolvidas.

Atividade 3

Nesta atividade, o ator foi criado por meio do “Ator Periódico Paramétrico”

com o objetivo discutir as diferenças entre espaço percorrido e distância entre ponto

inicial e final após a movimentação do peixe.

148

Notamos, em atividades anteriores que, quando postos a caracterizar o

movimento dos atores, o foco dos coletivos foi a velocidade em que os atores se

moviam. No caso da questão (A), quando postos a descrever as características do

movimento do ator, o que chamou a atenção desses coletivos foi o movimento de

“ida e volta” citado por todos eles. Para C1, “O movimento é incerto, pois o peixe vai

para o lado negativo e volta para o lado positivo e por mais 1 vez” (Figura 80).

Neste caso, notamos que o fato do movimento não ser unicamente do sentido

negativo para o positivo faz com que seja classificado como “incerto”, o que nos leva

a inferir que este tipo de movimento ainda é pouco explorado no ambiente escolar,

tendo em vista que no ensino fundamental o foco na exploração do movimento

concentra-se no movimento retilíneo uniforme, o que acaba reforçando o OE(f)-09.

Figura 80. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2

Para C2 “Ele vira de um lado para outro anda entre 1m e o -1 isso em três

segundos” (Figura 81). Neste caso, C2 reconheceu as características do conjunto

imagem desta função, ou seja, [-1,1].

Figura 81. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 3 do Bloco 2

Nesta questão o foco se concentrou em “como as coisas mudam” em

detrimento “do que muda” evidenciando, neste caso, o OE(f)-3 “Considerar as

mudanças como fenômenos, focar em como as coisas mudam e ignorar o que

muda”. Esta constatação nos faz pensar na necessidade de que, por meio de mídias

diferentes, vários tipos de funções sejam explorados, ainda no ensino fundamental e

que esta exploração contemple várias representações, considerando as que já são

normalmente exploradas (Algébrica, tabular e gráfica), assim como o movimento.

Desta forma os alunos terão mais elementos para reconhecer os diferentes tipos de

149

movimento como plausíveis de serem estudados em Matemática, estabelecendo

relações com outras disciplinas e não os considerando como movimentos

irregulares.

Na questão (B), quando questionados sobre quantos metros o ator percorreria

em quatro segundos, destacamos as respostas de C1 e C4. C1 responde que “4

metros, porque ele vai do 0 ao 1, 4 vezes seguidos” (Figura 82).

Figura 82. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2

Ao observar a fala de um dos alunos de C1 “temos que contar quantas vezes

ele anda do zero ao um positivo”, percebemos que ele considera como espaço

percorrido apenas o trecho positivo, demonstrando que, para este coletivo, ainda é

difícil identificar a distância percorrida quando se trata do lado negativo do percurso.

Isto nos faz conjecturar que tanto nas aulas de Ciências como nas aulas de

Matemática no ensino fundamental é mais comum a exploração de deslocamento no

sentido positivo, o que pode gerar um Obstáculo na exploração de deslocamentos

no sentido negativo. Esta prática docente está tão enraizada que mesmo na

elaboração das atividades desta pesquisa notamos, durante esta análise, que esta

atividade foi a única que explorou o movimento no lado negativo. Todas as outras

exploraram apenas o lado positivo. Para C4 “10 metro (sic), pois ele vai em 1 metro

depois para o -1 fazendo esse movimento varias (sic) vezes sempre passando pelo

0” (Figura 83).

Figura 83. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2

Durante a realização desta atividade, um dos alunos de C4 disse “aumenta aí

para quatro segundos, para mim é cinco”. Seu parceiro respondeu “isso! é cinco!

vamos para a próxima” e ele, observando um pouco mais, diz “não, não é! do um até

o menos um tem o zero; ele percorre um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito,

150

nove, dez”, ou seja, notaram que do menos um ao um o ator percorreu um espaço

de dois metros.

C2 e C3 não conseguiram responder esta questão, tiveram mais dificuldade.

Para C2 “Ele começa andando do 1 ao -1 e se por exemplo colocar no 5 ele anda do

5 ao -5” (Figura 84),

Figura 84. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2

Para C3, “Ele percorre 24 metros em 4 segundos, pois mesmo ele

movimentando para frente e para trás continua percorrendo os metros” (Figura 85).

Figura 85. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 3 do Bloco 2

Ao analisarmos a fala de um dos alunos de C3 “Bom em um segundo parece

que ele anda seis metros, então em quatro segundos é só multiplicar quatro vezes

seis”, notamos que tiveram a percepção errada de que o ator caminhava seis metros

a cada segundo; tal consideração pode ser decorrente do fato de que, neste

momento, estavam utilizando uma “arte do mundo” (Figura 86) com uma escala

muito grande, o que prejudicou a observação do movimento no intervalo [-1, 1].

Apesar desse prejuízo, é possível notar que perceberam as características do

espaço percorrido quando relatam que, independente do movimento ser para frente

ou para trás, deve-se contar os metros percorridos.

151

Figura 86. Mundo utilizado por C3 na Questão B da Atividade 3 do Bloco 2

Na questão (C), que solicitava o espaço percorrido pelo ator após vinte

segundos, C1 respondeu “20 metros, ele vai estar no zero” (Figura 87). Utilizando o

mesmo raciocínio realizado na questão (B).

Figura 87. Resposta de C1 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2

C2 descreveu apenas as características do movimento e do conjunto imagem

ao responder que “Em 20s ele estará andando do -1 ao 1 mas bem rápido” (Figura

88).

Figura 88. Resposta de C2 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2

Para C3, “Ele terá percorrido 120 metros em 20 segundos. Ele estará no

ponto 0” (Figura 89).

Figura 89. Resposta de C3 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2

152

Neste caso, notamos influências do raciocínio apresentado na questão

anterior; e, para C4, “50 metros, ele está no ponto -1” (Figura 90).

Figura 90. Resposta de C4 para a Questão C da Atividade 3 do Bloco 2

Um dos alunos de C4 diz que “se em quatro segundos ele anda 10 metros,

vinte é quatro vezes cinco, logo em vinte segundos ele andará 10 vezes cinco que é

igual a cinquenta”.

Na questão (D), quando questionados se havia algum momento em que o ator

passaria na marca de trinta metros, todos descrevem que não, fazendo menção às

características do conjunto imagem limitado pelo intervalo [-1,1], como o

exemplificado na resposta de C2, “Não após criar o autor ele apenas andou do 1 ao

-1” (Figura 91), que mesmo não tendo reconhecido as características do conjunto

imagem na questão (B) agora as reconhece, após terem explorado um pouco mais o

movimento no SimCalc.

Figura 91. Resposta de C2 para a Questão D da Atividade 3 do Bloco 2

Na questão (E), quando postos a descrever o que aconteceria com o

movimento do ator quando alterado o intervalo de tempo [0,3], todos relatam que

não há alterações nas características do movimento, ficando a percepção de que,

independente do intervalo de tempo utilizado, o ator se movimentava apenas do -1

ao 1.

Apesar da presença do OE(f)-03 no início desta atividade, em consequência

de um movimento não familiar aos alunos no ambiente escolar, consideramos que

os objetivos pensados para esta atividade, de proporcionar uma discussão das

diferenças existentes entre espaço percorrido e distância entre ponto inicial e final,

após a movimentação do peixe, foram satisfatórios, uma vez que todos os coletivos

reconheceram as características dos conjuntos domínio e imagem mesmo que de

maneira intuitiva, ou seja, mesmo sem ainda conhecerem as características formais

destes dois conjuntos. Por meio da manipulação do intervalo de tempo, fizeram

153

relações com as características de movimento do ator em questão, como por

exemplo, percebendo que, independentemente do intervalo de tempo utilizado, o

movimento do ator limitava-se ao intervalo [-1,1]. Destacamos que o conjunto de

questões exploradas nesta atividade não foi suficiente para superar o OE(f)-03; no

entanto, não tínhamos esta pretensão nesta atividade, uma vez que há indícios de

que essa foi a primeira vez que estes alunos foram postos a explorar este tipo de

movimento no ambiente escolar e, desta maneira, com esta atividade, apenas

iniciamos um processo que poderá futuramente agregar novos elementos, a fim de

superar o Obstáculo.

Considerações sobre as atividades do Bloco 2

Inicialmente apresentamos um resumo das respostas apresentadas pelos

coletivos.

C1: Na primeira atividade, ao descrever as características do movimento dos

atores, fez referência à velocidade, exceto no caso da função exponencial, na qual o

movimento de ida e volta foi o que chamou a atenção e foi classificado como

“anormal”. Na segunda atividade, o movimento modelado por meio da função

exponencial foi classificado como rápido e constante, o coletivo identificou que o ator

só começa a andar depois que o tempo fica positivo, houve, também, o

reconhecimento de que, para se percorrer a mesma distância em intervalos

diferentes, são necessários tempos diferentes. Na terceira atividade, na qual o ator

foi modelado por meio da função trigonométrica, o movimento foi classificado como

incerto do lado negativo para o positivo, reconheceu as diferenças de ponto inicial e

final a partir do conceito de distância percorrida, no entanto, para o cálculo de

distância percorrida considerou apenas o lado positivo, reconheceu que,

independente do tempo do movimento, o ator se movimenta apenas no intervalo de

distância de -1 ao 1.

C2: Na primeira atividade, reconheceu que os atores modelados por

diferentes funções não andam juntos, pois têm velocidades diferentes, fazendo

menção à velocidade do ator exponencial como sendo constante. Na Atividade 2,

quando é posto a pensar no deslocamento do ator em diferentes intervalos,

reconheceu que o movimento é acelerado, fez referência a que o ator fica parado

quando usado um intervalo de tempo negativo e que anda muito rápido no tempo

positivo. Na terceira atividade, reconheceu que, independente do intervalo de tempo,

154

a imagem é limitada no intervalo [-1, 1].

C3: Na primeira atividade, fez referência à velocidade para caracterizar o

movimento dos atores, exceto para o ator paramétrico, que é classificado como

retardado. Na segunda atividade reconheceu as características do movimento

acelerado do ator exponencial, identificou que, em intervalos diferentes, o ator

percorre distâncias diferentes, apontou que o ator não se movimenta no intervalo de

tempo negativo. Na terceira atividade, em que foi explorado o ator periódico

paramétrico, reconheceu as características da distância percorrida identificando que,

independente do tempo, o movimento do ator limita-se ao intervalo [-1, 1].

C4: Na primeira atividade, fez menção à aceleração para classificar o

movimento do ator, exceto para o ator periódico em que o que chamou a atenção foi

o movimento de ida e volta. No caso do ator exponencial, classificou o movimento

como sendo constante. Na segunda atividade, descreveu que o ator exponencial

começa o movimento devagar e depois acelera “absurdamente”, reconheceu que o

ator, para percorrer a mesma distância em intervalos diferentes, necessita de

tempos diferentes, relatou que, no lado negativo, o ator anda parado. Na terceira

atividade, na qual foi explorado um ator periódico, conseguiu calcular distâncias

percorridas a partir do tempo dado e reconheceu as características da imagem

limitada ao intervalo [-1,1].

Neste Bloco de atividades, principalmente por meio da análise das respostas

apresentadas na Atividade 3, cujo ator foi modelado por meio da função ,

notamos evidências do OE(f)-3 “Considerar mudanças como fenômenos, focar em

como as coisas mudam e ignorar o que muda”, inferimos que a presença deste

Obstáculo se deve ao fato de que, em atividades cotidianas, nos deparamos com

movimentos de tipos variados; no entanto, quando o tema “movimento” é abordado

no ambiente escolar, aparentemente são apresentados inicialmente aos alunos

apenas movimentos retilíneos, com características crescentes, ou seja, no ambiente

escolar, estes movimentos acabam sendo considerados “normais” e movimentos

como o proposto por esta função, como o expressado por um dos coletivos, podem

ser considerados “retardados”, o que demonstra o potencial do SimCalc na

desestabilização dessas concepções enquanto mídia integrante do Coletivo

Pensante.

Desta maneira, ao tentarmos contextualizar ou fazer relações da Matemática

xy 4cos

155

por meio de exemplos que classificamos como do cotidiano, devemos levar em

consideração e dar ciência aos alunos das limitações e/ou potencialidades da

situação apresentada, em relação às situações do cotidiano, levando em conta suas

irregularidades. Caso contrário, corremos o risco de, por meio de uma situação que

julgamos ser do cotidiano, potencializar o OE(f)-1 “A Matemática não está

preocupada com problemas práticos”, tendo em vista que seus resultados e

características não são condizentes com o experienciado no cotidiano.

Essas evidências nos sugerem a importância de explorar os vários tipos de

funções no ambiente escolar, desde o ensino fundamental, tirando o foco apenas

das funções decorrentes de relações proporcionais. Sales (2008), por exemplo, já

apontava que, ao explorar funções por meio do movimento, as funções afins

ofereciam menos possibilidades de trabalho com os alunos, uma vez que o

comportamento observado não apresentava nada de excepcional e, desta maneira,

não causava surpresa aos estudantes. Nesta perspectiva, destacamos o potencial

do trabalho com o Coletivo seres-humanos-com-mídias na exploração do conceito

de função, uma vez que cada tipo de mídia possibilita diferentes reflexões aos

alunos e, no caso do software SimCalc, por meio dos diferentes movimentos

disponibilizados em sua janela Mundo, possibilitou reflexões diferentes das

normalmente exploradas no ambiente escolar e, neste caso, a inclusão deste

software na constituição dos coletivos pensantes, assim como na pesquisa de Costa

(2008) com o uso do kit, utilizando a ideia do recurso tecnológico como prótese,

possibilitou aos participantes um “pensar” sobre funções diferente do constituído

sem o uso destas tecnologias.

Tais características reforçam o potencial do software SimCalc no

reconhecimento do conceito de função por meio do movimento, como apontado por

Pereira (2013), ao destacar a fala de um dos participantes de sua pesquisa “Então,

por trás desse movimento existe uma função que é estabelecida em sua parte

gráfica e algébrica, nossa! Que legal!” (PEREIRA, 2013, p.116), o que nos leva a

inferir que a utilização do SimCalc pode auxiliar nos processos de ensino e de

aprendizagem de função.

No que se refere ao conceito de função, destacamos que, apesar da presença

do OE(f)-3: Considerar as mudanças como fenômenos, focar em como as coisas

mudam e ignorar o que muda, por meio do movimento dos atores, há a concepção

das características dos conjuntos domínio e imagem das funções exploradas no

156

caso da atividade 1 cujo ator foi modelado pela função ,com e

e que no caso da função , explorada na atividade 3

a imagem limitava-se a .

A seguir apresentamos um quadro- resumo com as principais características

dos Obstáculos identificadas ao longo do desenvolvimento das atividades deste

Bloco.

Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3

C1 Referência à velocidade Espanto com função trigonométrica

Movimento exponencial como rápido e constante Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes

Movimento trigonométrico é “incerto” Imagem limitada

C2 Referência à velocidade

Movimento exponencial é acelerado Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes

Imagem limitada

C3 Referência à velocidade

Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes

Imagem limitada

C4 Referência à aceleração

Ator só anda para valores positivos Velocidades diferentes em intervalos diferentes

Imagem limitada

xey 4 }{)( RfDom

0/)Im( yRyf xy 4cos

}11/{)Im( yRyf

157

5.3 Análise das atividades do Bloco 3

Neste bloco, tínhamos como objetivo analisar como os alunos fariam uso dos

conceitos desenvolvidos nas atividades anteriores para reproduzir atores que

apresentassem o mesmo movimento dos atores das atividades 1 (modelado por

meio da função 2xy ) e 2 (modelado por meio da função xy 7 ) do Bloco A. Nas

respostas apresentadas, notamos que os participantes, ao criarem os atores,

utilizaram, além das ferramentas apresentadas na atividade de familiarização ao

SimCalc, a ferramenta “criar expressão da função ator”, uma vez que perceberam

que poderiam criar o ator com a possibilidade de alterar qualquer um dos elementos

da expressão algébrica gerada, bem como o intervalo do tempo.

Atividade 1

Nesta atividade, esperávamos que as respostas fossem baseadas na

observação e na comparação da velocidade dos atores; no entanto, já na questão

(A), quando solicitado que criassem um ator que descrevesse o mesmo movimento

do palhaço da Atividade 1 do Bloco 1 (modelado por meio da função ),

observamos que os coletivos, ao explorarem as ferramentas do SimCalc,

descobriram as características da representação algébrica da função explorada e

que estas poderiam ser reproduzidas por meio do menu “criar expressão da função

ator”, como o exemplificado na resposta de C1 “Usamos “criar expressão da função

ator” e fizemos as alterações da seguinte maneira: mudamos o tempo de 3 para 6,5

e a fórmula. Fiz alteração dessa função : para ” (Figura 92).

Figura 92. Resposta de C1 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3

2xy

x*4 2^x

158

C2 respondeu “Coloquei em velocidade constante de 2 em 2 metros e ele

andar por 6,5s o ator que eu selecionei andou 10m expreção (sic) usada: ( )”

(Figura 93).

Figura 93. Resposta de C2 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3

Apesar da análise desta resposta ter ficado prejudicada, uma vez que o

arquivo da gravação foi corrompido, notamos que, quando se referem à expressão

usada como sendo , há indícios de que também utilizaram a ferramenta “criar

expressão da função ator”.

C4 relata que “Primeiro criamos um ator, usando a ferramenta de criar a

expressão da função ator, usando a expressão , replicamos o palhaço da

atividade 1 onde sua posição era o tempo ao quadrado” (Figura 94).

Figura 94. Resposta de C4 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3

Apenas C3 apresentou uma resposta desconexa com a proposta “Eu criei um

ator linear paramétrico, observei o movimento e o intervalo ai (sic) só criei outro ator

igual” (Figura 95).

Figura 95. Resposta de C3 para a Questão A da Atividade 1 do Bloco 3

Observamos, nas gravações, que C3 respondeu esta questão aleatoriamente;

os alunos estavam neste momento mexendo em outras coisas no computador.

2^x

2^x

2^xy

159

Notamos, nesta questão, que, apesar de não estar previsto nos objetivos

iniciais, os participantes, por meio da exploração das ferramentas do SimCalc,

mesmo que de forma intuitiva, utilizaram o nome “função” relacionando-o com

expressões algébricas, como por exemplo · Consideramos que tal

reconhecimento contribuirá para a compreensão desta representação quando esta

for apresentada aos alunos nos anos escolares posteriores.

A ferramenta “criar a expressão da função ator” também foi utilizada na

questão (B) por C4, quando solicitado que criassem um ator que descrevesse o

mesmo movimento do palhaço da Atividade 2 do Bloco 1 (modelado por meio da

função ) ao responder: “Criando um ator, usando a ferramenta de criar a

expressão da função do ator, usando a expressão , replicamos o palhaço da

atividade 2, onde sua posição será o tempo vezes 7 tendo velocidade constante”

(Figura 96).

Figura 96. Resposta de C4 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3

C1, ao reconhecer as características do movimento do ator, respondeu:

“Mudamos o y de um para 7 e o tempo para 6,5, e o x+ de 4 para 0. E usamos “Criar

ator linear paramétrico”” (Figura 97).

Figura 97. Resposta de C1 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3

Já C2 respondeu que “Já na atividade 2 ele tem uma velocidade constante

mais rápida e também colocando 6,5s, ele andou 21m. Expressão usada ( )”

(Figura 98).

2^xy

xy 7

xy *7

2^xy

160

Figura 98. Resposta de C2 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3

Ao analisar as gravações, percebemos que C2 acabou abrindo o arquivo

errado; eles abriram o mesmo arquivo da questão (A), o que prejudicou a resposta

desta questão. C3 descreve que “Eu criei uma expressão da função ator e coloquei

7 no , e [0;6,5]” (Figura 99).

Figura 99. Resposta de C3 para a Questão B da Atividade 1 do Bloco 3

A análise das respostas apresentadas nesta atividade ficou limitada, uma vez

que inferimos que seria necessário inserir mais atividades a fim de discutir com os

participantes as características das expressões algébricas apresentadas, bem como

suas relações com as características dos movimentos dos atores, no entanto, em

função da limitação do tempo para a conclusão da pesquisa isto não foi possível.

Todavia, acreditamos que a exploração da representação algébrica, mesmo neste

caso feita superficialmente, ao ser atrelada ao movimento dos atores, pode contribuir

para a construção do conceito de função como objeto ao longo da vida escolar

desses estudantes, uma vez que não a apresentamos de modo isolado, sua

exploração esteve diretamente relacionada à representação “movimento”.

Considerações sobre as atividades do Bloco 3

Neste Bloco de atividades, inicialmente era esperado que os participantes

criassem os atores por meio das características dos movimentos dos atores. No

entanto, notamos que, uma vez constituído um coletivo pensante, não temos mais

controle sobre as estratégias de resolução que serão desenvolvidas por este

coletivo. No caso das respostas apresentadas neste bloco, percebemos que a

estratégia de resolução se deu por meio não da comparação das características da

velocidade, e sim pela comparação das funções disponíveis na janela álgebra.

y

161

Na exploração do SimCalc, algumas características das funções trabalhadas

foram identificadas, tais como, no caso da função que esta poderia ser

representada por meio da expressão , representação esta que também é

utilizada em outros ambientes tecnológicos, como por exemplo, nas calculadoras

científicas e no caso da função duas características chamaram a atenção: o

reconhecimento do coeficiente angular com a característica “o tempo deve ser

multiplicado por sete”, identificado nas primeiras atividades e que, neste caso, o

coeficiente linear deveria ser igual a zero, como foi destacado por C1.

Sendo assim, consideramos que, por meio da exploração do SimCalc, houve

o reconhecimento de algumas características da representação algébrica das

funções exploradas. Consideramos que não há necessidade de se apresentar

primeiro a representação algébrica de uma função para posteriormente explorar as

suas outras representações; o trabalho pode ser iniciado por meio de qualquer uma

de suas representações. No caso de nossa pesquisa, a proposta foi iniciar por meio

da exploração do movimento. Consideramos ainda que a introdução do conceito de

função, por meio do movimento, constitui uma estratégica ferramenta pedagógica

para a superação OE(f)-11: Apenas as relações descritíveis analiticamente por

fórmulas são dignas de serem chamadas funções e, consequentemente, para a

construção do conceito de função, ao longo da vida escolar dos estudantes.

A partir dos resultados e da análise feita sob a perspectiva dos Obstáculos

Epistemológicos para o Ensino de Funções de Sierpinska (1992) e dos Coletivos

Pensantes na perspectiva de Lévy (1993), apresentamos as considerações finais

desta tese, fazendo uma retomada de cada uma das questões de pesquisa, bem

como refletindo sobre os objetivos propostos nesta pesquisa.

2xy

2^xy

xy 7

162

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Tentar entender a incidência da dificuldade dos alunos no trabalho com

funções, ao término da educação básica e no início da superior foi o que nos

impulsionou a desenvolver esta pesquisa. Vimos, em capítulos anteriores, que

pesquisas apontam que os alunos, ao iniciarem o ensino superior, apresentam muita

dificuldade em trabalhar com o conceito de função. Assim, ao iniciarmos esta

pesquisa, nos questionamos como esta dificuldade pode persistir durante toda a

educação básica, passando para a superior, tratando-se de um conceito que é

bastante explorado na educação básica.

Ainda antes de fazer o experimento com os alunos, ao definirmos as

referências que deram embasamento à nossa pesquisa, algumas inquietações foram

parcialmente respondidas, uma vez que, ao compreendermos o conceito de função

como uma construção ao longo de toda a vida escolar, como proposto por

Sierpinska (1992), algumas concepções se desestabilizaram, uma vez que fomos

postos a pensar sobre a qual concepção nos referimos ao tratar o conceito de

função, tendo em vista que ainda é frequente, no ambiente escolar, a concepção de

que ter o conceito de função resume-se a conhecer sua definição formal

matemática.

Mas, como apontado por Sierpinska (1992), ao desestabilizamos os nossos

“velhos conhecimentos”, estamos aptos a construir “novos” e é nesta perspectiva de

quem também está aos poucos reconstruindo a concepção do conceito de função e

sob a proposição de que grande parte das dificuldades que permeiam este conceito

concentra-se em Obstáculos não superados em sua introdução, apresentamos as

considerações finais dessa pesquisa.

Tínhamos como objetivo discutir quais Obstáculos Epistemológicos

identificados por Sierpinska (1992) surgiriam ao introduzir ideias relacionadas ao

conceito de Função no 9º ano do ensino fundamental, compondo quatro Coletivos

Pensantes, e quais seriam as potencialidades do software SimCalc, enquanto mídia

integrada nesse coletivo, que colaborariam para a superação dos Obstáculos

evidenciados. A fim de alcançar estes objetivos, constituímos quatro Coletivos

Pensantes, cada um deles composto por dois alunos do 9º ano do ensino

fundamental, o software SimCalc e um conjunto de nove atividades que envolvem

ideias relacionadas ao conceito de função. A análise dos dados teve como base as

163

características dos Obstáculos Epistemológicos para o Ensino de Função, na

perspectiva de Sierpinska (1992), bem como as ideias de Coletivo Pensante,

propostas por Lévy (1993) e Borba (2002).

A partir dessas considerações retomamos as nossas questões de pesquisa.

Retomando as questões de pesquisa

Na primeira questão da pesquisa nos questionamos: Ao se introduzir o

conceito de função por meio do software SimCalc no 9º ano do ensino fundamental,

quais Obstáculos levantados por Sierpinska (1992) são observados?

Após a análise dos dados desta pesquisa, passados mais de 30 anos das

considerações feitas por Sierpinska (1992) acerca dos Obstáculos Epistemológicos

para o Ensino de Funções, apesar das divergências teóricas existentes, que

questionam se esses Obstáculos são epistemológicos ou didáticos, constatamos

que estes ainda se mostram presentes, e, neste estudo, pudemos evidenciar a

presença de alguns deles.

O OE(f)-9: “Proporção é um tipo privilegiado de relação” foi o que mais se fez

presente no trabalho com os alunos participantes de nossa pesquisa, uma vez que

ideias relacionadas à proporcionalidade direta foram transpostas para situações de

não proporcionalidade, no decorrer das atividades desenvolvidas, o que nos leva a

inferir que, ao se iniciar a introdução do conceito de função no ensino fundamental,

devemos ter consciência da incidência deste Obstáculo, para que assim possamos

traçar estratégias para superá-lo. Destacamos que a presença desse obstáculo só

pode ser evidenciada pelas nossas escolhas de iniciar o trabalho com funções a

partir de uma que não apresenta um comportamento proporcional, e também não é

usualmente a função a ser discutida na introdução desse conceito.

Outro Obstáculo que se mostrou bastante presente foi o OE(f)-1 “A

Matemática não está preocupada com problemas práticos”. Pensamos que, na

tentativa de contextualizar a Matemática, devemos ter clareza de todas as limitações

postas em simulações feitas no ambiente escolar. Em nosso trabalho, não

exploramos atividades que propiciassem a discussão de tais limitações com os

alunos, no entanto, reconhecemos a importância de tal discussão no processo de

superação deste Obstáculo. Entendemos que a superação do OE(f)-1 está muito

além da inserção da Matemática na resolução de problemas práticos, há de se

pensar na difícil tarefa de fazer uma integração entre as características dos

164

fenômenos naturais e as simulações destes fenômenos, feitas no ambiente escolar,

por meio da tecnologia. No caso desta pesquisa, há de se compreender as

diferenças existentes entre os movimentos presenciados no dia a dia com suas

características desuniformes, curvilíneas e sinuosas e o movimento simulado no

SimCalc, que possibilita a exploração dos movimentos retilíneos uniformes e

uniformemente variados.

Destacamos ainda que, mesmo pensando apenas nos movimentos simulados

no SimCalc, devemos ter a preocupação de explorar movimentos variados, gerados

a partir de diferentes funções, uma vez que o OE(f)-3 “Considerar as mudanças

como fenômenos, focar em como as coisas mudam e ignorar o que muda” também

foi identificado em nossa pesquisa quando propusemos um movimento gerado por

meio de uma função trigonométrica e foi classificado por um dos coletivos como

“movimento retardado”. Esta também é uma função não usualmente apresentada na

introdução desse conceito.

Na segunda questão, foi levantado o seguinte questionamento: Quais são as

potencialidades do software para enfrentar os Obstáculos citados na primeira

questão?

Consideramos que, ao integrar o software SimCalc ao grupo de trabalho,

constitui-se um coletivo pensante favorável, tanto para a identificação, como para

exploração de alguns Obstáculos Epistemológicos presentes na introdução do

conceito de função no ensino fundamental, dos quais destacamos o OE(f)-9:

“Proporção é um tipo privilegiado de relação”, que emergiu já a partir da primeira

atividade na qual foi explorado o movimento do ator criado por meio do “Ator

Quadrático Paramétrico”, confrontando o movimento proporcionado pelo SimCalc e

o pensamento proporcional apresentado pelos alunos, confronto este que iniciou o

processo de desestabilização do pensar proporcional apresentado pelos alunos. A

exploração do movimento do “Ator Linear Paramétrico” proporcionou, por meio do

movimento de “ida e volta”, a identificação do OE(f)-3: “Considerar mudanças como

fenômenos, focar em como as coisas mudam e ignorar o que muda”, o que

demonstra o potencial desta mídia por propiciar a exploração de um movimento

pouco explorado no ambiente escolar constituindo desta forma um pensar próprio do

coletivo que inclui esta mídia. Quando postos a pensar nas semelhanças e

diferenças existentes entre movimentos rotineiros do dia a dia e os movimentos

simulados no SimCalc, levando em consideração a realidade de cada ambiente,

165

identificamos a presença do OE(f)-1: “A Matemática não está preocupada com

problemas práticos”.

Ressaltamos ainda que a identificação e exploração desses Obstáculos

contribuem para a construção do conceito de função, uma vez que, por meio da

Matemática do Movimento, explorou-se uma representação de função que

normalmente não é explorada no ambiente escolar. Ao pensarmos na perspectiva de

Sierpinska (1992), que destaca como primeiro Obstáculo a ser superado, na

construção do conceito de função, “A Matemática não está preocupada com

problemas práticos”, consideramos que o movimento é algo presente no cotidiano

dos alunos e, portanto, deve ser mais explorado no ambiente escolar. Desta

maneira, consideramos que a constituição do Coletivo seres-humanos-com-mídias

se mostrou fundamental tanto para identificação como para a exploração dos

Obstáculos citados anteriormente, uma vez que a mídia escolhida, SimCalc, por

meio das características da janela “mundo”, propiciou um ambiente favorável para o

desenvolvimento do conceito de função, uma vez que a exploração dos movimentos

dos atores, modelados por diferentes funções, trouxe à tona os Obstáculos

anteriormente citados, contribuindo assim para que “velhos” conhecimentos fossem

desestabilizados, ainda que não na totalidade.

Destacamos ainda que, por meio do trabalho Coletivo, mesmo sem que os

alunos participantes conhecessem uma definição formal matemática de o que é uma

função, surgiram ideias que julgamos fundamentais para a construção do conceito

de função, tais como relação entre duas variáveis, dependência, características de

crescimento e reconhecimento dos conjuntos domínio e imagem. A partir de tais

respostas, retomamos a pertinência desta pesquisa no campo da Educação

Matemática.

Pertinência do estudo

A identificação de alguns dos Obstáculos apontados por Sierpinka (1992)

mesmo em meio a um trabalho Coletivo que inclui seres-humanos-com-mídias pode

reforçar as suas características epistemológicas, em detrimento das didáticas, na

perspectiva explorada por Sierpinska (1992). Desta maneira, evidencia-se a

importância e a pertinência dessa perspectiva teórica, na discussão dos processos

de ensino e de aprendizagem de função e, em particular, na sua introdução ainda no

ensino fundamental, uma vez que, ao respondermos as questões de pesquisa,

166

notamos fundamentos para a nossa premissa inicial de que muitas das dificuldades

relacionadas ao conceito de função podem ter origem em Obstáculos não

superados, neste nível de ensino.

A nosso ver, o primeiro passo para que um Obstáculo seja superado é a sua

identificação e o reconhecimento da importância de sua superação, no processo de

construção do conceito de função e, para tal, reconhecemos a pertinência dessa

pesquisa ao integrar o software SimCalc ao Coletivo Pensante, uma vez que a

simulação de movimentos, proporcionada na janela “Mundo”, mostrou-se

fundamental para que estes Obstáculos viessem à tona, lembrando ainda que,

segundo Lévy (1993), por meio da simulação computacional, são constituídos

raciocínios diferentes daqueles decorrentes da velha lógica formal, baseada

unicamente no alfabeto, no caso desta pesquisa, a constituição do raciocínio

relacional entre duas variáveis por meio de uma representação dinâmica de funções

proporcionada pela representação “movimento”.

Assim, evidenciamos nesta pesquisa, algumas características que

consideramos relevante para a construção do conceito de função frente à discussão

já posta na área da Educação Matemática; destacamos inicialmente que, ao propor

a introdução desse conceito de função no ensino fundamental por meio de um

trabalho Coletivo seres-humanos-com-mídias, exploramos este conceito por meio de

raciocínios próprios deste Coletivo, uma vez que possibilitou a exploração de

funções não habituais, neste nível de ensino, tais como, funções quadrática,

exponencial e trigonométrica, possibilitando aos alunos pensar em relações para

além da proporcionalidade, o que trouxe a tona o OE(f)-9.

Além de trabalhar com diferentes tipos de funções, as exploramos em uma

ordem diferente da usual (iniciada sempre com funções lineares), o que colaborou

para a desestabilização do pensar proporcional apresentado pelos alunos,

descaracterizando o status dado às relações de proporcionalidade neste nível de

ensino em detrimento das relações não proporcionais, contribuindo assim para o

início do processo de superação do OE(f)-9. Destacamos ainda que o trabalho

desenvolvido por meio da mídia, software SimCalc, possibilitou a exploração da

representação “movimento” que normalmente não é explorada no ambiente escolar

nas aulas de Matemática, propiciando aos alunos um pensar sobre a relação entre

duas variáveis próprio deste ambiente pela característica dinâmica. Este conjunto de

características atreladas a uma perspectiva teórica que não resume o entendimento

167

do conceito de função apenas ao reconhecimento de uma definição matemática

formal, considerando-o como uma construção que se dá ao longo da vida escolar,

nos faz pensar que esta pesquisa oferece novas reflexões no que se refere ao

processo de construção do conceito de função.

Reconhecemos que ainda são muitos os desafios relacionados ao

desenvolvimento desse conceito nesta perspectiva, uma vez que, quando nos

remetemos ao conceito de função, ainda é muito presente no ambiente escolar a

concepção de que este se resume à definição formal matemática e, no que se refere

ao uso da tecnologia, devemos considerar todas as limitações existentes no

ambiente escolar, seja pela precariedade dos equipamentos, pela falta de

conectividade, como foi o caso da escola participante dessa pesquisa, ou por

concepções teóricas inadequadas aos objetivos propostos.

Por fim, consideramos que, ao encarar o desenvolvimento do conceito de

função nesta perspectiva, estamos constituindo um recurso pedagógico favorável à

introdução do conceito de função no ensino fundamental e, consequentemente, para

a sua construção ao longo dos anos posteriores.

Perspectivas futuras

As reflexões apresentadas nesta pesquisa nos levam a inferir a necessidade

de um aprofundamento na discussão da incidência dos Obstáculos Epistemológicos

para o Ensino de Função no ensino fundamental, bem como os reflexos dessa

incidência no processo de construção deste conceito, ao longo da vida escolar.

Considerando que cada mídia possibilita um pensar próprio do ambiente explorado,

há a necessidade de pesquisas que discutam nos diferentes níveis de ensino, por

meio da constituição de diferentes Coletivos seres-humanos-com-mídias se todos os

Obstáculos identificados por Sierpinska (1992) ainda se constituem como

Epistemológicos no processo de ensino de funções ou se até mesmo outros surgem.

Também destacamos a necessidade de outras pesquisas que explorem o potencial

do software SimCalc para o processo de superação dos Obstáculos presentes na

construção do conceito de função.

168

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172

APÊNDICES

APÊNDICE A - Estudo Piloto: Primeira Aplicação

Bloco 1.

Atividade 1

Para o estudo desta atividade, foi criado um ator segundo a função ,

no intervalo [0,6]. Foi postado para o aluno apenas a tela em que o ator se

movimenta.

Os seguintes questionamentos foram feitos:

A) Coloque o ator em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Se o ator continuar caminhando, quantos metros ele terá caminhado após

13 segundos? Como você chegou a esta conclusão?

C) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 14 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

D) E para caminhar 20 metros, quanto tempo será necessário? Justifique a

sua resposta.

173

E) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 98 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

Atividade 2

Nesta atividade, o ator foi criado segundo a função , no intervalo

[0,6]. Foi postado para o aluno apenas a tela em que o autor se movimenta.

Foram feitos os seguintes questionamentos:

A) Coloque o ator em movimento, observe e descreva como é esse movimento. Você(s)

nota(m) alguma similaridade com o movimento do ator anterior? Se sim quais?

Nota(m) diferenças? Se sim quais?

B) Quanto tempo será necessário para ele atingir 16 metros? Como você

chegou a essa conclusão?

C) Quanto tempo será necessário para ele atingir 35 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

D) Quanto tempo será necessário para ele atingir 144 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

E) Quantos metros ele terá caminhado após 5 segundos? Justifique a sua

resposta.

F) Andando neste ritmo, é possível identificar quantos metros ele terá

caminhado após 10 segundos? Como você chegou a esta conclusão?

174

Considerações desse Bloco de atividades

Notamos neste bloco, que, na primeira atividade proposta, que descreve o

movimento do ator por meio de uma função afim, o aluno, mesmo sem reconhecer a

função que descreve o movimento do ator, é capaz de fazer relações espaço-tempo

a partir do movimento observado. Esta observação nos leva a concluir que, por um

lado, a atividade do modo como foi apresentada contribui para o reconhecimento do

papel da Matemática na resolução de problemas práticos, uma vez que o aluno é

capaz de partir do problema apresentado, procurar conceitos matemáticos para a

resolução do mesmo e apresentar a resposta solicitada. Por outro lado, notamos

que, pelo fato desta atividade ser a primeira, pode ter reforçado a incompreensão no

entendimento das relações de proporcionalidade como um caso particular de

relação.

A segunda atividade, que descreve o movimento do ator por meio de uma

função quadrática nos revela o aparecimento de um obstáculo, ou seja, a questão da

proporcionalidade está muito forte na forma de pensar do aluno, o que o impede de

abandonar esta forma de pensar para desenvolver um pensar “novo”.

Bloco 2.

Atividade 1

Nesta Atividade, foi postada a tela de movimento dos dois atores das

atividades anteriores simultaneamente, seguido dos seguintes questionamentos.

Olhando para o movimento simultâneo dos dois atores responda:

A) Qual dos atores atinge a marca de 30 metros primeiro? Justifique sua

resposta.

B) Qual dos dois atores você acha que atingirá a marca de 60 metros

primeiro? Justifique sua resposta.

C) Os dois atores se encontrarão em algum ponto? Se sim, quanto tempo

será necessário para que eles se encontrem? Em que ponto eles se encontrarão?

D) Após 10 segundos de caminhada quem estará na frente? Justifique sua

resposta.

175

E) O que você pode dizer sobre o movimento desses atores: Um deles

sempre estará na frente? Se sim, qual deles? Por quê? Se não, descreva o que

acontece.

Atividade 2

Nesta Atividade, o ator foi criado segundo a função no

intervalo [0;9,4] e o aluno, nesse caso, teve acesso também apenas à janela Mundo.

A) Quantos metros o ator percorre em 4 segundos? Justifique a sua resposta.

Após 10 segundos, quantos metros ele terá percorrido? Em que ponto ele

estará?

B) Você nota alguma semelhança ou diferença do movimento desse ator com

os dois anteriores? Quais?

Atividade 3

Existem algumas estratégias para se realizar uma maratona.

Veja algumas estratégias destacadas em um estudo realizado na Escola de

Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo.

Neste estudo, são apresentados quatro diferentes tipos de estratégias,

conforme a distribuição da velocidade ao longo da prova:

176

a) Estratégia constante - o atleta mantém (ou altera pouco) a velocidade ao longo da prova; b) estratégia negativa ou decrescente - o atleta inicia a prova em alta velocidade e diminui ao longo da prova; c) estratégia positiva ou crescente - o atleta inicia a prova em velocidades baixa e aumenta gradualmente até o final; d) estratégias variáveis - a distribuição da velocidade não segue um padrão bem definido (CARMO et al., 2012, p.352).

Suponha que os atores da Atividade 1 estejam disputando uma maratona de

60 Km.

A) O que você diria sobre a estratégia de corrida de cada um deles? Há

alguma semelhança com as estratégias apresentadas no estudo da Escola de

Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo? Neste caso, qual

corredor terá mais sucesso, ou seja, vencerá a disputa? Justifique a sua resposta.

B) No caso de maratonas com outras distâncias (menores e maiores do que

60 km) a estratégia que foi considerada melhor para vencer a maratona de 60 km

permanecerá sendo a melhor estratégia? O que você pensa sobre isto ao observar o

movimento dos atores?

C) Devemos considerar que, no caso de uma maratona, outros fatores devem

ser considerados, como, por exemplo, os limites fisiológicos de cada atleta. Se estas

mesmas estratégias utilizadas por estes dois atores forem adotadas por atletas de

verdade, quais serão os pontos positivos e os negativos de cada uma delas,

dependendo da distância a se percorrer.

Considerações deste Bloco de atividades

177

Notamos, neste bloco de atividades, que, inicialmente, quando trabalhamos o

movimento dos dois atores simultaneamente no software, o aluno apresentou

dificuldades em reconhecer que a partir de um determinado intervalo de tempo o

Ator 2 passaria à frente do Ator 1. No entanto, notamos, nas respostas apresentadas

na Atividade 3, que, quando o aluno foi posto a pensar em uma situação do mesmo

movimento em uma situação de disputa real, ele passou a reconhecer esta

característica.

Esta identificação nos revela que reconhecer a Matemática como uma ciência

que resolve problemas práticos é um Obstáculo a ser superado, e esta atividade se

mostra importante para a superação de tal Obstáculo.

Notamos, desta forma, que este bloco de atividades oferece elementos que,

se complementados com novas atividades, poderão desestabilizar as respostas

pautadas apenas nas ideias proporcionais, dando margem à consideração de novas

formas de pensar sobre as mesmas situações, e contribuir para a construção do

conceito de função.

A partir destas observações, julgamos importantes algumas alterações neste

bloco de atividades, a saber:

1) exclusão da Atividade 2, que deverá ser explorada em um outro bloco de

atividades que trabalhe outros tipos de funções com movimentos diferenciados, uma

vez que notamos que as idéias proporcionais apresentadas no Bloco 1 não foram

desestabilizadas, e que a Atividade 3 mostrou potencial nessa tentativa de

desestabilização. Desta maneira, constituiremos um segundo bloco iniciado pela

Atividade 3, e a Atividade 2, que propõem uma discussão diferente, será explorada

em um bloco posterior.

2) reformulação da Atividade 3, que deverá explorar uma corrida que discuta

a distância em metros e não em quilômetros. Isso será necessário para a realização

da simulação da disputa no SimCalc, que trabalha em metros, e

3) inserção de uma nova atividade que propicie a simulação no software desta

disputa em um intervalo de tempo maior que 7 segundos e coloque os alunos a

rediscutir as respostas apresentadas nas questões anteriores deste bloco.

Esperamos que a partir da realização desta nova Atividade, os alunos percebam que

há incoerências entre as respostas apresentadas nas Atividades do Bloco 1 e as

respostas apresentadas na primeira questão do Bloco 2, e pensamos que neste

momento o pensamento “velho” (todas as relações são proporcionais) pode ser

178

desestabilizado e dar espaço para a construção do pensamento “novo” (a relação de

proporcionalidade como um caso particular de relação).

Bloco 3.

Neste momento, o professor pesquisador apresentou ao aluno a janela de

representação algébrica da função que descreve o movimento, e explicou como o

intervalo de tempo do movimento pode ser alterado.

Atividade 1

Foi postada ao aluno a função , no intervalo de [0,4] com as

janelas: Mundo, Gráfico e Álgebra.

Com os seguintes questionamentos:

A) Altere o intervalo [0,4] e faça alguns testes do movimento do ator com

intervalos diferentes. O que ocorre com o movimento do ator? O que você observa?

O movimento é o mesmo? Há alguma diferença?

B) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-2,2]?

C) Qual intervalo deveria ser utilizado para que o foguete partisse do ponto

zero? Justifique a sua resposta.

179

D) Para que o foguete parta do ponto 10 e pare no ponto 100, qual intervalo

deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a

sua resposta.

E) Para que o foguete parta do ponto 10 e percorra uma distância de 93 m,

que intervalo é necessário utilizarmos? Quanto tempo ele gastará para fazer este

percurso? Justifique a sua resposta.

Atividade 2

Foi postada aos alunos a função , no intervalo de [-4,4] com o movimento,

a representação gráfica e a representação algébrica.

Com os seguintes questionamentos:

A) Altere o intervalo [-4,4] e faça alguns testes do movimento do ator com

intervalos diferentes. O que ocorre com o movimento do ator? O que você observa?

O movimento é o mesmo? Há alguma diferença?

B) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-10,5]?

C) Existe algum intervalo que faça com que o foguete parta de um ponto

inferior a zero? Justifique a sua resposta.

D) Para que o foguete parta do ponto 8 e pare no ponto 64, qual intervalo

deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a

sua resposta.

180

E) Para que o foguete parta do ponto 4 e percorra uma distância de 124 m.

Que intervalo é necessário utilizar? Quanto tempo ele gastará para fazer este

percurso? Justifique a sua resposta.

Considerações deste Bloco de atividades

Notamos que, apesar das dificuldades apresentadas em relação às situações

que envolvem relações não proporcionais, o aluno apresenta importantes

características no reconhecimento do domínio e da imagem das funções exploradas.

Isso nos remete às ideias apontadas por Sierpinska (1992) quando retrata que o

desenvolvimento dos conceitos matemáticos não pode estar pautado apenas no

trabalho por meio de definições matemáticas.

Vale ressaltar que, neste bloco, o aluno é posto a fazer relações a partir da

concepção inicial de domínio e imagem. Por exemplo, quando, na Atividade 2,

responde que para iniciar o movimento no ponto 8 metros o intervalo de tempo deve

ser iniciado no 3 segundos, ou seja, reconhece que para se atingir o marco 8

metros, primeiro deve fixar o início do intervalo de tempo em 3 segundos, e neste

caso notamos que há uma preocupação com a ordem das variáveis, demonstrando

indícios do reconhecimento de um dos Obstáculos descritos por Sierpinska (1992),

OE(f)-5: Considerar irrelevante a ordem das variáveis.

181

APÊNDICE B - Estudo Piloto: Segunda Aplicação

A partir das necessidades de alteração citadas anteriormente e as sugestões

da banca de qualificação que ocorreu após a aplicação e análise deste primeiro

estudo piloto reformulamos as atividades e aplicamos a outro aluno do oitavo ano do

ensino fundamental.

Bloco 1.

Atividade 1

O ator será criado segundo a função , no intervalo [0;6,5]. Será

postado para o aluno apenas a tela em que o ator se movimenta.

Os seguintes questionamentos serão feitos:

A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Observando o movimento do palhaço, quantos metros ele caminha em: a)

2 segundos? b) 4 segundos? c) 6 segundos?

C) Quanto tempo é necessário para que o palhaço caminhe: a) 7m? b) 21m?

c) 35m?

182

D) Se o palhaço continuar caminhando, quantos metros ele terá caminhado

após 13 segundos? Como você chegou a esta conclusão?

E) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 98 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

F) Quanto tempo será necessário para ele caminhar 14 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

G) E para caminhar 20 metros, quanto tempo será necessário? Justifique a

sua resposta.

H) Quantos metros ele terá caminhado após 53 segundos? Como você

chegou a esta conclusão?

I) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o

palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?

Atividade 2

Nesta atividade, o ator será criado segundo a função , no intervalo

[0;6,5]. Será postado para o aluno apenas a tela em que o autor se movimenta.

Serão feitos os seguintes questionamentos:

A) Coloque o palhaço em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Você(s) nota(m) alguma similaridade com o movimento dos palhaços das

atividades anteriores? Se sim quais?

C) Você(s) nota(m) alguma diferença entre este movimento e os dos palhaços

das atividades anteriores? Se sim quais?

D) Quantos metros ele terá caminhado após: a) 2 segundos? b) 4 segundos?

c) 6 segundos? Justifique as suas respostas.

E) Quanto tempo será necessário para que ele atinja: a) 1m? b) 9m? c) 25m?

Justifique as suas respostas.

183

F) Quantos metros o palhaço terá caminhado após 9 segundos? Justifique a

sua resposta.

G) Andando neste ritmo, é possível identificar quantos metros ele terá

caminhado após 33 segundos? Como você chegou a esta conclusão?

H) Quanto tempo será necessário para ele atingir 35 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

I) Quanto tempo será necessário para ele atingir 144 metros? Como você

chegou a esta conclusão?

J) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o

palhaço andou conhecendo o tempo e vice-versa?

Considerações deste Bloco de atividades

Na primeira atividade o aluno conseguiu a partir do movimento do palhaço

estabelecer que a distância percorrida pudesse ser obtida multiplicando o tempo por

sete. Na última questão descreveu uma regra pertinente relatando que seria

necessário saber quantos metros o palhaço percorreria em 1 segundo e depois

bastaria multiplicar este valor por 6, acreditamos que citou 6 por uma distração,

tendo em vista que em na resposta apresentada na questão H já tinha relatado que

deveria multiplicar o tempo por 7 “...vi quantos metros ele anda em 1 segundo (7

metros) e multipliquei por 53 que deu 371”.

Na segunda atividade O aluno reconhece as características do movimento do

palhaço, ou seja, nota que a velocidade não é constante. No entanto na questão F

respondeu que o tempo para caminhar os primeiros 4 metros seria o mesmo para se

caminhar os mesmos 4 metros no intervalo de 20m a 24m. Quando posto a pensar

no tempo de caminhada em um intervalo que não estava disponível na tela (33m)

responde “não, pois passos quase incontáveis já o tempo é contável mas o ritmo

que ele anda não é possível decifrar muito bem quantos metros ele andaria em 33

segundos. No entanto na hora de descrever uma regra geral (questão K) notamos

que o aluno usa a mesma justificativa apresentada na questão 1 quando responde

“sim é só você saber quantos metros ele anda em 1 segundo...”.

Essas evidências nos levam a concluir assim como na primeira aplicação do

estudo piloto evidências do OE(f)-9: “Proporção é um tipo privilegiado de relação”. A

partir das respostas apresentadas concluímos que as atividades desenvolvidas

184

podem contribuir para a superação de tal Obstáculo, no entanto não foram

suficientes para desestabilizar totalmente tal concepção.

Bloco 2.

Atividade 1

Nesta Atividade, será postada a tela de movimento dos atores das atividades

1 e 3 simultaneamente, seguido dos seguintes questionamentos.

A) Coloque os palhaços em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) O que você observa sobre a velocidade dos palhaços? Existe alguma

diferença? Se sim qual(is)?

C) Quanto tempo será necessário para que cada um dos palhaços caminhe:

a) 10 m? b) 20m? c) 30m?

D) Qual dos palhaços atinge a marca de 30 metros primeiro? Justifique sua

resposta.

E) Qual dos dois palhaços você acha que atingirá a marca de 70 metros

primeiro? Justifique sua resposta.

F) Após 10 segundos de caminhada quem estará na frente? Justifique sua

resposta.

185

G) Os dois palhaços se encontrarão em algum ponto? Se sim, quanto tempo

será necessário para que eles se encontrem? Em que ponto eles se encontrarão?

H) O que você pode dizer sobre o movimento desses palhaços: Um deles

sempre estará na frente? Se sim, qual deles? Por quê? Se não, descreva o que

acontece.

Atividade 2

Escreva uma história que envolva o movimento dos palhaços da Atividade 1.

Atividade 3

Existem algumas estratégias para se realizar uma maratona.

A seguir apresentamos quatro estratégias destacadas em um estudo

realizado na Escola de Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo

conforme a distribuição da velocidade ao longo da prova:

a) Estratégia constante - o atleta mantém (ou altera pouco) a velocidade ao longo da prova; b) estratégia negativa ou decrescente - o atleta inicia a prova em alta velocidade e diminui ao longo da prova; c) estratégia positiva ou crescente - o atleta inicia a prova em velocidades baixa e aumenta gradualmente até o final; d) estratégias variáveis - a distribuição da velocidade não segue um padrão bem definido (CARMO et al., 2012, p.352).

Suponha que os palhaços da Atividade 1 estejam em uma disputa a fim de

verificar quem atingirá a marca de 60 metros primeiro .

A) O que você diria sobre a estratégia de corrida de cada um deles? Há

alguma semelhança com as estratégias apresentadas no estudo da Escola de

Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo?

186

B) Qual corredor terá mais sucesso, ou seja, vencerá a disputa? Justifique a

sua resposta.

C) No caso de disputas com outras distâncias (menores e maiores do que 60

metros) a estratégia que foi considerada melhor para vencer a disputa de 60 metros

permanecerá sendo a melhor estratégia? O que você pensa sobre isto ao observar o

movimento dos palhaços?

C) Devemos considerar que, no caso de uma disputa entre atletas reais,

outros fatores devem ser considerados, como, por exemplo, os limites fisiológicos de

cada atleta. Se estas mesmas estratégias utilizadas por estes dois palhaços forem

adotadas por atletas de verdade, quais serão os pontos positivos e os negativos de

cada uma delas, dependendo da distância a se percorrer?

Atividade 4

Nesta Atividade, será postada a tela de movimento dos dois atores da

atividade 1 simultaneamente, agora no intervalo de [0,15].

Escreva uma história a partir da observação do movimento dos palhaços.

Para o desenvolvimento das atividades dos blocos 3 e 4 além da janela

Mundo também foi disponibilizada para visualização dos alunos a janela Álgebra,

onde é apresentada a representação algébrica e o intervalo do domínio da função

explorada. Para o desenvolvimento destas atividades, além das ferramentas

apresentadas anteriormente o professor pesquisador apresentou aos alunos como

alterar a intervalo do domínio.

Após esta familiarização se iniciou as atividades dos blocos 3 e 4.

Considerações deste Bloco de atividades

Na atividade 1 o aluno identifica as diferenças entre os movimentos dos dois

atores e reconhece que a partir de um determinado momento o palhaço azul

passará na frente no vermelho, sendo capaz de fazer a projeção que para percorrer

distâncias cuja movimentação não era visível na tela como por exemplo 70 metros, o

azul teria vantagens sobre o vermelho. Essas constatações foram confirmadas na

atividade 2 onde era solicitado que o aluno descrevesse uma história que ilustrasse

a disputa dos dois atores.

187

Na atividade 3 tal percepção também se confirma, principalmente quando

relata que a estratégia do palhaço azul é a melhor e quando questionado se essa

estratégia seria a melhor independente da distância a ser percorrida responde

“não...nos 40 metros o palhaço vermelho chegaria primeiro por começar rápido...e

nos 58 o azul chegaria por ir aumentando a velocidade. Tal constatação é

confirmada na resposta apresentada na questão 4 quando em sua história relata que

a estratégia de cada um deles é melhor ou pior dependendo da distância a ser

percorrida, logo a priori nenhuma delas pode ser considerada melhor de forma

absoluta.

As respostas apresentadas neste bloco de tarefas nos levam a concluir a

influência novamente de dois Obstáculos discutidos anteriormente. Inicialmente

notamos que o aluno tem clareza das diferenças entre os movimentos dos dois

atores, no entanto, notamos já no bloco 1 que quando é necessário fazer algum

cálculo para expressar a sua resposta recorre as ideias de proporcionalidade, ou

seja, de fato há a incidência do Obstáculo de que a proporção é um tipo privilegiado

de relação. Nota-se também que ao analisar uma situação que aparentemente está

fora do contexto escolar descreve com clareza as características do movimento de

cada um dos atores, ou seja, isso nos leva a conjecturar que na construção dos

conceitos matemáticos no ambiente escolar os problemas do “mundo” podem não

estarem sendo explorados adequadamente e desta forma evidenciando o Obstáculo

de considerar que a Matemática não está preocupada com os problemas práticos.

Bloco 3.

Atividade 1

Será postada ao aluno a função , no intervalo de [0,4].

188

Com os seguintes questionamentos:

A) Coloque o elevador em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Altere o intervalo [0,4] e faça alguns testes com o movimento do foguete

com intervalos diferentes. O que você observa? O que ocorre com o movimento do

elevador? O movimento permanece o mesmo? Há alguma diferença? O que muda e

o que permanece igual?

C) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-2,2]?

D) Qual intervalo deveria ser utilizado para que o foguete partisse do ponto

zero? Justifique a sua resposta.

E) Para que o elevador parta do ponto 10 e pare no ponto 100, qual intervalo

deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a

sua resposta.

F) Para que o elevador parta do ponto 10 e percorra uma distância de 93 m,

que intervalo é necessário utilizarmos? Quanto tempo ele gastará para fazer este

percurso? Justifique a sua resposta.

G) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o

elevador andou conhecendo o tempo e vice-versa?

189

Atividade 2

Nesta atividade temos os mesmos objetivos descritos para a atividade

anterior, aqui explorado por meio de uma função que envolve uma relação de duas

grandezas não proporcionais.

Será postada aos alunos a função , no intervalo de [-4,4].

Com os seguintes questionamentos:

A) Coloque o foguete em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Altere o intervalo [-4,4] e faça alguns testes do movimento do ator com

intervalos diferentes. O que você observa? O que ocorre com o movimento do

foguete? O movimento é o mesmo? Há alguma diferença?

C) O que ocorre quando utilizado o intervalo [-10,5]?

D) Existe algum intervalo que faça com que o foguete parta de um ponto

inferior a zero? Justifique a sua resposta.

E) Para que o foguete parta do ponto 8 e pare no ponto 64, qual intervalo

deve ser utilizado? Quanto tempo ele gastará para fazer este percurso? Justifique a

sua resposta.

190

F) Para que o foguete parta do ponto 4 e percorra uma distância de 124 m.

Que intervalo é necessário utilizar? Quanto tempo ele gastará para fazer este

percurso? Justifique a sua resposta.

G) É possível descrever uma regra capaz de determinar quantos metros o

foguete andou conhecendo o tempo e vice-versa?

Considerações deste Bloco de atividades

Neste bloco, novamente o aluno percebe as diferenças entre os movimentos

dos dois atores nota a dependência da distância percorrida em função do intervalo

de tempo, no entanto quando é posto a pensar sobre uma regra geral que

descrevesse o movimento dos atores tem facilidade na atividade 1 e continua

transferindo as mesmas ideias de proporcionalidade para tentar justificar a regra do

ator da atividade 2 que foi projetado por meio de uma função exponencial.

Bloco 4.

Atividade 1

Nesta atividade o objetivo é discutir as diferenças entre espaço percorrido e

distância entre ponto inicial e final após um tempo de movimentação do peixe.

Nesta Atividade, o ator será criado segundo a função no

intervalo [0;9,4] e o aluno terá acesso apenas à janela Mundo.

191

A) Coloque o peixe em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Quantos metros o peixe percorre em 4 segundos? Justifique a sua

resposta.

C) Após 20 segundos, quantos metros ele terá percorrido? Em que ponto ele

estará?

D) Em algum momento o carrinho passará pela marca de 30 metros?

Justifique a sua resposta.

Atividade 2

Nesta atividade esperamos que os alunos percebam e discutam as

características de uma função “por partes”. Esperamos que neste caso, esta

discussão esteja pautada principalmente na observação de que no intervalo [0,2] a

velocidade do carrinho é constante e que no intervalo ]2,10] a velocidade não é

constante.

Nesta Atividade, o ator será criado segundo a função

e o aluno e terá acesso também apenas à janela

Mundo.

192

A) Coloque o carro em movimento, observe e descreva como é esse

movimento.

B) Quanto tempo é necessário para que o carro percorra os primeiros 8

metros?

C) Quanto tempo é necessário para que o carro percorra os mesmos 8 metros

no intervalo de 8m até 16m?

D) Tente escrever uma história a que represente o movimento do carro.

Considerações deste Bloco de atividades

Na primeira atividade identifica as características do movimento do peixe e

consegue distinguir as diferenças entre ponto inicial e ponto final e a distância

percorrida, notamos esta evidência na resposta apresentada na questão 1 C quando

é questionado sobre quantos metros o peixe percorreria após 20 segundos e em que

ponto estaria, responde que percorreria 240m, justificando que a cada 1 segundo

percorre 12 metros e que estaria no ponto 5,5 metros.

A análise da questão 2 ficou um pouco prejudicada, tendo em vista que os

questionamentos feitos não foram suficientes para gerar uma reflexão além do

movimento visualizado e desta forma o aluno apenas colocou o carro em movimento

e suas respostas pautaram-se a penas no visualizado.

193

APÊNDICE C - Termo De Responsabilidade da Instituição

194

APÊNDICE D - TCLE

Carta de esclarecimento sobre o Projeto e a Pesquisa

Pesquisa: Introdução ao Conceito de Função: Uma discussão a partir de uma

proposta com o software SimCalc no Ensino Fundamental.

Pesquisadores responsáveis: Robson dos Santos Ferreira RG 42985571-0 e

Rosana Nogueira de Lima RG: 11.536.099-2

Informações sobre a pesquisa:

Esta pesquisa está sendo desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, tendo como

objetivo principal analisar quais são as potencialidades do software SimCalc na

construção do pensamento funcional, tendo como base teórica os Obstáculos

Epistemológicos para o ensino de função descritos por Sierpinska e os Coletivos

Pensantes seres-humanos-com-mídias propostos por Borba. Na pesquisa, o aluno

responderá a sete questões, divididas em três encontros com duração aproximada

de uma hora e trinta minutos cada um, a serem realizados no laboratório de

informática da escola no contra turno escolar.

Ao preencher estes instrumentos de pesquisa, você estará consentindo que

estes dados sejam utilizados apenas para os fins desta pesquisa. Ressaltamos que

não há interesse de identificá-lo.

Desde já agradecemos sua contribuição, porque ela será de extrema

importância para que os objetivos deste trabalho sejam atingidos.

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Eu, _______________________________________________________________,

portador(a) do RG:___________________________________ responsável pelo

aluno ______________________________________________________, residente

na ____________________________________________________, com número

de telefone _______________e e-mail _____________________, abaixo assinado,

dou meu consentimento livre e esclarecido para a participação do aluno acima

referenciado como voluntário(a) da pesquisa supra citada, sob a responsabilidade

dos pesquisadores Robson dos Santos Ferreira e Rosana Nogueira de Lima.

Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:

1) O objetivo principal dessa pesquisa é analisar quais são as potencialidades do

software SimCalc na construção do pensamento funcional, tendo como base teórica

195

os Obstáculos Epistemológicos para o ensino de função descritos por Sierpinska e

os Coletivos Pensantes seres-humanos-com-mídias proposta por Borba;

2) Durante o estudo, o aluno sob minha responsabilidade realizará oito atividades

divididas em três encontros de aproximadamente uma hora e trinta minutos cada.

Assim que for terminada a pesquisa, o aluno sob minha responsabilidade terá

acesso aos resultados globais do estudo;

3) O aluno sob minha responsabilidade está livre para interromper, a qualquer

momento, sua participação nesta pesquisa;

4) A participação nesta pesquisa é voluntária, sendo que estou ciente que o aluno sob

minha responsabilidade não receberá qualquer forma de remuneração;

5) O risco desta pesquisa é mínimo e restringe-se ao constrangimento de não saber

responder os problemas propostos ou a lembrança de algum evento desagradável

durante sua experiência escolar com a própria Matemática.

6) Os dados pessoais do aluno sob minha responsabilidade serão mantidos em sigilo e

os resultados obtidos com a pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os

objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica especializada;

7) Sempre que julgar necessário poderei entrar em contato com pesquisador Robson

dos Santos Ferreira, no telefone (19)98370-4376 ou pelo e-mail:

robson1santos@yahoo.com.br e a pesquisadora Rosana Nogueira de Lima, no

telefone (11)98210-9949 ou pelo e-mail: rosananlima@gmail.com.

8) Obtive todas as informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre

a participação do aluno sob minha responsabilidade na referida pesquisa;

9) Este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma

permanecerá em meu poder e a outra com os pesquisadores responsáveis.

_____________________, ______de ____________________ de 2015.

Assinatura do Responsável pelo aluno:___________________________________

Assinatura do Pesquisador Responsável pelo estudo: _______________________

Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics (2a ed.). /the nettherlands: kluwer

academic publishers.