Embed Size (px)
Citation preview
1
UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES
INSTITUTO DE PESQUISAS SÓCIO-PEDAGÓGICAS
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
MATEMÁTICA É DIFÍCIL? MITO OU REALIDADE.
Por: Lucelia Lopes dos Santos
Orientador: Prof. Ms. Marco A. Larosa.
Rio de Janeiro 2003
2
UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES - UCAM INSTITUTO DE PESQUISA SÓCIO-PEDAGÓGICAS PÓS-GRADUAÇÃO “LATO-SENSU”
MATEMÁTICA É DIFÍCIL? MITO OU REALIDADE.
Apresentação de Monografia ao
Conjunto Universitário Cândido Mendes como
condição prévia para conclusão do Curso de
Pós-graduação “Lato-sensu” em Docência do
Ensino Superior.
Por: LUCELIA LOPES DOS SANTOS
Rio de Janeiro
3
2003
AGRADECIMENTOS
... Ao meu esposo e minha filha
adorada, pela paciência e incentivo no
transcorrer do desenvolvimento deste trabalho.
4
DEDICATÓRIA
...Dedico este trabalho ao meu
irmão, o economista João Batista Lopes, que
sempre me incentivou nos desafios.
5
ÍNDICE
RESUMO _____________________________________________________ 6
INTRODUÇÃO_________________________________________________ 7
CAPÍTULO I - OS PRIMEIROS PASSOS____________________________ 8
CAPITULO II - A EVOLUÇÃO DA CIÊNCIA ________________________ 11
2.1 - SÉCULO XVII E XVIII – RENASCIMENTO E DAS CIÊNCIAS MODERNAS _______________________________________________ 15
CAPÍTULO III - O CÁLCULO ATRAVÉS DOS SÉCULOS______________ 17
3.1 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO NA INGLATERRA. ______ 17
3.2 - O CÁLCULO NA EUROPA.________________________________ 18
3.3 - DO CÁLCULO À ANÁLISE ________________________________ 19
3.4 - SÉCULO XIX - A PROFISSIONALIZAÇÃO DA CIÊNCIA _________ 20
IV - A MATEMÁTICA DA NATUREZA ____________________________ 21
CAPÍTULO V - O ENSINO DA MATEMÁTICA_______________________ 24
5.1 - O RACIOCÍNIO MATEMÁTICO _____________________________ 26
5.2 - O SIMBOLISMO MATEMÁTICO ____________________________ 28
5. 3 - A INTELIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA ___________________ 31
5.4– A MATEMÁTICA NO BRASIL _______________________________ 32
CAPÍTULO VI - A MATEMÁTICA É DIFÍCIL? _______________________ 34
6.1 – O MITO _______________________________________________ 34
6.2 - A REALIDADE__________________________________________ 36
6.3 - O QUE PENSAM OS ALUNOS _____________________________ 37 6.3.1 - METODOLOGIA DA ENQUETE__________________________ 38 6.3.2 - A RIQUEZA DAS FALAS DOS ALUNOS ___________________ 38
CONCLUSÃO ________________________________________________ 40
VII - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ___________________________ 41
7.1 - BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:____________________________ 41
7.2 - BIBLIOGRAFIA CITADA __________________________________ 42
6
RESUMO
Este trabalho pretende trazer à tela a abordagem de tema tão
polêmico a respeito da ciência matemática acrescentando elementos, fruto do
cotidiano profissional na área de docência matemática e em diferentes meios de
pesquisas afetas ao tema.
Apresenta os resultados das pesquisas desde os primórdios da
história do conhecimento da matemática até as mais recentes pesquisas da
área, analisando e discutindo as razões das dificuldades apresentadas, pelos
alunos, no decorrer da aprendizagem da matemática, baseadas em estudos já
realizados e opiniões de professores da área, objetivando também, traçar um
paralelo entre a ciência e a ferramenta matemática usada no dia-dia, procurando
mostrar que o mundo contemporâneo depende fundamentalmente desta ciência.
O autor traz a tela os fatores que contribuem para o insucesso dos discentes na
aprendizagem da matemática e insere, neste trabalho, algumas das possíveis
soluções em auxílio aos docentes da área.
Foi utilizada no desenvolvimento deste trabalho, a técnica de
entrevista do tipo Explorativa, levantamento bibliográfico, depoimentos de
professores da área, alunos, pesquisa na Internet, artigos de jornais e revistas e
livros, que foram as ferramentas de análise, as quais, delinearam e deram
suporte ao desenvolvimento do tema .
7
INTRODUÇÃO
Desde a sua origem, o homem se coloca como animal pensante. O
homem sempre procurou dominar o mundo pelo conhecimento. Já na pré-história
algumas ciências surgiram com o próprio homem. No momento em que surgiu a
necessidade de contar suas ovelhas desenhou-se o início do conhecimento
matemático.
A palavra matemática originou-se na Grécia, mathematike e do
latim “mathematica”, cujo sentido geral é a ciência que se ensina (ensinar a
aprender).Outro conceito abrangente é: matemática é o conjunto de disciplinas
lógicas que tratam das relações existentes entre grandezas e operações, reúne
métodos pelos quais essas relações são dedutíveis de outras conhecidas ou
supostas. É, em suma, a ciência das relações de grandeza, ordem, forma,
espaço e continuidade.
“A matemática é geralmente considerada uma ciência à
parte, desligada da realidade, vivendo na penumbra de um gabinete
fechado, onde não entram ruídos do mundo exterior, nem o sol, nem os
clamores do homem, porém isso só em parte é verdadeiro. (Bento de
Jesus Caraça – matemático português 1901 – 1948)”. (Castrucci -
Editora FTD, 1992)
Verificamos que a aplicação da matemática está no nosso
cotidiano, que ela realmente faz parte de nossa vida, embora não nos
apercebamos disto, dependemos fundamentalmente dela. Podemos citar, Por
exemplo, as ondas eletromagnéticas, que são responsáveis pela informação que
chega ao nosso televisor, a informação telefônica que via satélite liga pontos
distantes do nosso planeta, etc, tiveram a sua existência primeiramente
descoberta na Matemática. Enfim, fazer da matemática uma base educativa,
onde o aluno saiba raciocinar e compreender as relações quantitativas,
compreendendo a utilidade da ciência em sua vida.
8
CAPÍTULO I - OS PRIMEIROS PASSOS
A trajetória das descobertas e aperfeiçoamentos de temas
matemáticos ao longo da História tem início com os sumerianos em 2500 a.C,
quando idealizaram tabelas de multiplicação e consideravam o valor de (“pi”)
igual a três.O assunto frações, também se deve aos sumerianos no ano de 2000
a.C. quando representavam as frações com estilete vertical 1/60, 1/3600 etc...
Não há informações que possa nos assegurar de onde vieram os
sumerianos, mas trouxeram consigo uma cultura superior, plenamente
desenvolvida, uma astronomia avançada, onde seus observatórios obtinham
cálculos do ciclo lunar que diferenciam em apenas 0,4 segundos dos cálculos
atuais. Na colina de Kuyundjick, antiga Nínive, foi encontrado um cálculo, cujo
resultado final em nossa numeração corresponde a quinze casas. Isso é muito
interessante já que os gregos só conheciam números até cinco casas.
Os gregos são considerados universalmente como os primeiros
matemáticos - primeiros no sentido de que foram eles que encetaram o
desenvolvimento da matemática a partir de princípios básicos. Hípias (425 a.C.),
ou algum outro por volta de sua época, mostrou que, em termos de números
inteiros, não era possível qualquer comparação numérica exata da diagonal com
o lado, seja para um quadrado, um pentágono regular, um cubo ou um hexágono
regular - na verdade, para muitas figuras geométricas conhecidas. Foi uma
surpresa para a comunidade matemática grega tomar conhecimento de que há
coisas como segmentos de reta incomensuráveis e que a ocorrência dessa
situação é espantosamente comum - isto é, que conceitos afins ao cálculo
aparecem nas mais elementares situações.
Na cidade de Nipur, cidade localizada ao sul de Bagdá, foi
encontrada uma biblioteca sumeriana inteira, contendo inúmeras placas de barro
com inscrições denominadas cuneiformes (do termo latino cunneus, cunha).
9
A aritmética que tem por finalidade o estudar as propriedades do
conjunto dos números racionais, ou seja, aqueles chamados de números inteiros
e fracionários, e também a arte de formar e representar os números e de fazer
com auxílio deles as operações cujo objetivo é determinar quantidades através
de outras com elas relacionadas, se constituiu desde a antiguidade em auxílio
aos nossos antepassados, onde eram obrigados a recorrer a trocas e tinham a
necessidade de contar. Os dedos foram para os antigos, como o são, ainda,
para nossas crianças, os primeiros instrumentos de cálculo, sendo por este
motivo que devemos a base dez na numeração cuja denominação é a numeração
decimal.
O uso dos dedos para contar era forçosamente restrito,
reconhecendo-se a necessidade de empregar-se sinais materiais que tornassem
permanentes os resultados assim obtidos. Acredita-se que usaram por esse
motivo, para fins de contagem, grãos de trigo, que foi logo substituídos por
pedrinhas, nós de fitas e de cordas, e etc.
Pitágoras (aproximadamente de 582 a 500 a.C), criou uma
irmandade, em que a salvação dependia de um esforço humano subjetivo, e que
tinha iniciação secreta. Os números constituem a essência de todas as coisas
segundo sua doutrina, e são a verdade eterna. O número perfeito é o dez, por
causa do triângulo místico. Os astros são harmônicos. Essa irmandade se
dedicava a especulação matemática e contemplação religiosa. Era uma
verdadeira comunidade, já que os direitos entre homens e mulheres eram iguais,
a propriedade pertencia a todos, as descobertas matemáticas eram de todos os
seus membros. Estranhos a essa irmandade não participavam desses
conhecimentos. Houve depois uma divisão entre os pitagóricos em duas alas:
uma científica e outra religiosa.
Para eles os números forneciam um modelo do universo conceitual,
onde todos os seres da natureza eram determinados. Esses números eram
entidades geométricas, físicas e aritméticas compostas por pontos nos ângulos
de várias formas geométricas, chamadas de triangulares, quadrados, etc... Foi
10
Pitágoras que inventou a palavra filosofia - (amizade ao saber). A escola de
Pitágoras gerou os Pitagóricos, que procuraram aperfeiçoar o sistema filosófico
original. Eles floresceram em uma colônia grega na Itália. Pregavam o ideal da
salvação do homem, tinham um caráter místico e espiritualista, e davam à
matemática um caráter matemático. Muitos filósofos foram também matemáticos,
que atribuem ao universo a lógica dos números e em muitos pontos de sua
doutrina buscam a matemática para fundamentar a sua lógica. É uma visão
mecanicista, que identifica no mundo o raciocínio matemático.
Conhece-se muito pouco sobre a vida do filósofo Pitágoras, pois foi
uma figura legendária, e é difícil distinguir o que é verdade e o que é mentira.
Nasceu em Samos, em uma época em que na Grécia estava instituído o culto ao
deus Dioniso. Os órficos (de Orfeu) acreditavam na imortalidade da alma e em
reencarnação (metempsicose), e para se livrar desse ciclo, necessitavam da
ajuda de Dioniso, deus libertador. Pitágoras postulou como via de salvação em
vez desse deus, a matemática. Acreditava na divindade do número. O um é o
ponto, o dois determina a linha, o três gera a superfície e o quatro produz o
volume. Os pitagóricos podem concebem todo o universo como um campo em
que se contrapõe o mesmo e o outro. É de pitágoras o teorema do triângulo
retângulo.
Os diálogos de Platão mostram que os matemáticos ficaram
profundamente perturbados com a descoberta da incomensurabilidade. Sempre
que o algoritmo euclidiano para achar o máximo divisor comum de dois inteiros é
aplicado em aritmética, o processo acaba num número finito de passos, pois o
conjunto dos inteiros positivos tem um mínimo, o número 1.
Fazendo uma analogia, o esquema é aplicado com roupagem
geométrica para achar a maior medida comum entre dois segmentos de reta
incomensuráveis, cujo processo prosseguirá indefinidamente. Não há algo como
o menor segmento da reta, pelo menos não segundo a visão grega ortodoxa,
tampouco, segundo os conceitos modernos convencionais. A perspectiva de um
processo infinito perturbou os matemáticos antigos, pois se viam diante de uma
crise. Eram incapazes de replicar aos sutis paradoxos de Zenão de Eléia,
11
propostos por volta da mesma época em que se deu a devastadora descoberta
dos incomensuráveis. Aristóteles e outros filósofos gregos procuraram responder
a esses paradoxos, mas o fizeram de maneira tão pouco convincente, que os
matemáticos da época concluíram que era melhor evitar totalmente os processos
infinitos.
Zenão de Eléia - (século V a.C). nasceu na Éleia, e interviu na
política, dando leis à sua pátria. Zenão teria deixado cerca de quarenta
argumentos, sendo que nove foram conservados pelo doxógrafos. São dispostos
em problemas de grandeza, do espaço, do movimento e da percepção sensível.
Ele parte da divisibilidade infinita do espaço, pois um corpo percorrendo um
espaço infinito em um tempo finito estaria imóvel. Seus argumentos constituem-
se verdadeiras aporias (caminhos sem saída), indo até ao absurdo. Foi
considerado por Aristóteles o inventor da dialética, no sentido de diálogo que
parte das premissas do adversário e o põe em contradição, numa posição
insustentável. Defendeu as teorias do ser de seu mestre, Parmênides, contra os
seus adversários, notoriamente os pitagóricos, que pregavam o ser múltiplo e
divisível. O infinito não pode ser percorrido num tempo finito, só em um tempo
infinito. Seus argumentos ficaram conhecidos como paradoxos de Zenão.
CAPITULO II - A EVOLUÇÃO DA CIÊNCIA
Desde 1793-1759 a.C., no tempo de Hamurábi, os babilônios
possuíam um sistema de numeração e uma geometria; que nessa época sabiam
que todos os triângulos inscritos em um semicírculo são triângulos retângulos.
Conheciam também o teorema de Pitágoras.
A matemática babilônia, ou seja, o tipo de matemática usada na
antiga Mesopotâmia, que é a região entre os rios Tigre e Eufrates, onde hoje é o
Iraque, desempenhava importante papel no currículo da história da
matemática.Para se tornar um secretário, contador ou administrador, um escriba
precisava ter conhecimento de notação aritmética e seu uso na prática. Os
12
babilônios costumavam usar um sistema sexagesimal, ou seja, sistema de
numeração de base 60, enquanto que o nosso sistema é base 10.
O aluno tinha que copiar e memorizar as tábuas matemáticas
quando se encontravam em estudos avançados, como o cálculo de recíprocos,
quadrados e raízes quadradas, cubos e raízes cúbicas.Para explicar as
operações necessárias ao desenvolvimento dos cálculos, os mestres armavam
problemas exemplificativos, que incluíam a medição de terrenos de forma
irregular, o número de tijolos necessários para a construção de uma parede e a
quantidade de terra para a construção de uma rampa. Nessa época um aluno nas
últimas fases dos estudos já sabia utilizar noções elementares da álgebra e da
geometria.
A geometria babilônica era de caráter prático. Observa-se esta
característica no período de 2000 a.C. a 1600 a C. que mostra estarem os
babilônios familiarizados com as regras gerais da área do retângulo, da área do
triângulo retângulo e do triângulo isósceles, do volume do prisma reto de base
trapezoidal. Mas a marca da geometria babilônica foi seu caráter algébrico. Os
problemas mais complexos e que são expressos em terminologia geométrica
são essencialmente problemas de álgebra não triviais.
No Egito Antigo, foram obtidas inúmeras regras matemáticas que
possibilitavam a resolução de muitos problemas aritméticos e algébricos. Foi
através dos papiros que chegaram os conhecimentos que faltavam naquela
época. Para fazer os calendários, aprendia a utilizar observações astronômicas,
tais como, os eclipses periódicos do sol e da lua.
No fim do primeiro milênio a.C., um aluno considerado adiantado
nos estudos possuía bastante conhecimento da teoria matemática a ponto de
calcular o movimento dos planetas e, assim, estava apto a assessorar o rei na
confecção de calendários.
13
Os babilônios adotaram um ano lunar, constituído por 12 meses
lunares, e de três em três ou de quatro em quatro anos era intercalado um mês
extra para que houvesse sincronia do calendário com o ano solar.
Há também registro de que a civilização Maia tinha seu sistema de
numeração, que foi conhecido através de documentos decifrados. Seus números
eram representados por pontos (uma unidade) e por barras (cinco unidades).
Outro tipo de representação era um que cada número menor que vinte tinha seu
próprio símbolo, figuras semelhantes a cabeças humanas.
Os Babilônios e Assírios, por exemplo, conseguiram reunir muitos
conhecimentos de astronomia, mediante cálculos que realizavam sobre
observações sistemáticas. Eles também sabiam dividir a circunferência em arcos
iguais e tinham noções a respeito da semelhança de triângulos.
Os egípcios mediam com perfeição áreas de inúmeras figuras e os
volumes de vários poliedros. Ademais, sabiam bastante a respeito das
propriedades dos triângulos, como a do triângulo de lados 3, 4 e 5,
posteriormente chamado de triângulo egípcio. Eles também utilizavam a
numeração decimal e pesquisavam as propriedades dos números tinham um
sinal particular para representar cada unidade: uma linha vertical para representar
uma unidade simples, um círculo entreaberto para representar uma dezena, um
sinal em forma de uma folha de palmeira para uma centena, uma flor de lótus
para o milhar, um dedo invertido para dezena de milhar e etc. Para escrever um
número representavam-se as unidades de cada grupo repetindo o sinal
correspondente, tantas vezes quantos eram as unidades. Este sistema de
notação se encontra na numeração romana, com algumas simplificações.
A matemática começou a evoluir através dos gregos que atribuíram
aos egípcios a origem da geometria e aos fenícios a invenção do cálculo.
“O primeiro povo a dedicar-se à matemática, como uma
arte, por si mesma, foram os gregos. Suas invenções sobre formas
14
puras e abstratas constituíram a base da geometria de Euclides...”.
(LIFE – Pág. 39)
Uma ciência especial cuja denominação é Esférica, desenvolvida
pelos Alexandrinos, constituiu a trigonometria. A teoria das razões e das
progressões foi desenvolvida entre os séculos V e II antes de Cristo.
Os maoístas e a escola dos lógicos, tentaram desenvolver um
método científico de raciocinar para que homens de opiniões contrárias
pudessem chegar a um acordo, numa época de muitas guerras, propondo que o
argumento lógico seria o único meio de se chegar a uma unanimidade de
opiniões. Esses maoístas eram seguidores de Moti (479-881) a.C.
Porém no início da Idade Média, a matemática teórica sofreu uma
interrupção, somente mais tarde, os árabes adotaram o sistema de numeração
escrita dos hindus e utilizaram, também, na Trigonometria o seno e a tangente.
Foram obras dos Hindus as séries aritméticas, resolução da
equação do 2o grau, bem como equações lineares indeterminadas. Na realidade
os Hindus parecem ter sido os primeiros que utilizaram na numeração escrita
dois valores diferentes - um dependendo da forma e o outro dependendo da
ordem que ocupa no número escrito.
Com o surgimento da Renascença, novos métodos matemáticos
surgiram, o que deram força a essa ciência. É considerável o papel da
matemática no pensamento e na civilização contemporânea. É em suma a
ciência das relações de grandezas, ordem, forma, espaço e continuidade.
A maioria dos conceitos foram introduzidos, na matemática, através
de percepções intuitivas e possuem íntima relação com objetos materiais e com
figuras geométricas. O raciocínio foi desligando-se das figuras enquanto o
pensamento matemático foi caminhando no sentido da abstração. Assim, as
idéias antes vagas e confusas, foram adquirindo precisão.
15
2.1 - SÉCULO XVII E XVIII – RENASCIMENTO DAS CIÊNCIAS
MODERNAS
No século XVI, Viete (1540 – 1603) e Bachet (1581 – 1638)
trouxeram para o estudo da Aritmética, precisões importantes, mas foi,
sobretudo, Pierre de Fermat (1601 – 1665) quem, com sua genialidade, deu um
desenvolvimento considerado ao estudo das propriedades dos números. Enfim,
para estabelecer a Aritmética tal como concebemos hoje, formando um conjunto
de propriedades intimamente ligadas, umas às outras, por dedução. Notáveis
matemáticos aplicaram métodos, dos mais elevados das análises algébricas.
No início do séc. XVII, os estudos matemáticos foram retomados
com grande entusiasmo. René Descartes estudou as curvas não circunsféricas,
os movimentos desuniformes e contínuos e deu início à Geometria Projetiva, que
é distinta da Perspectiva do desenho, já grandemente desenvolvida pelos gregos
e pintores renascentistas. Blais e Pascal esboçou a futura Teoria da
Probabilidade, aplicando-as aos jogos de cartas.
Pierre-Simon de Laplace francês, de descendência humilde,
estudou na Academia Militar por influência de amigos. Sem grandes convicções
políticas, pouco participou de atividades revolucionárias embora tenha sido
nomeado por Napoleão para o cargo de Ministro do Interior do qual foi despojado
logo mais, pois, como dizia o próprio Napoleão, "ele transportava o espírito do
infinitamente pequeno à direção dos negócios de sua pasta". Mesmo assim,
acabada a Revolução Francesa, recebeu o título de marquês e em suas obras
procurava sempre incluir elogios fervorosos ao grupo que estivesse no poder,
procurando assim fazer as pazes com cada regime que aparecesse.
Laplace foi professor na Escola Normal e na Escola Politécnica,
participando também do Comitê de Pesos e Medidas. Seus principais resultados
foram em Teoria das Probabilidades, publicando uma obra admirável que é a
"Teoria Analítica das Probabilidades" em 1812, onde mostra ter conhecimentos
avançados de Análise. Em "Ensaio filosófico das probabilidades" escreveu que
16
"no fundo a Teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em
números". Em "Teoria Analítica" encontramos entre outros resultados, o cálculo
de pi através dos problemas das agulhas de Buffon, com o qual pode-se obter
uma aproximação probabilística para o irracional Pi, esquecido há muitos anos, e
um estudo da probabilidade inversa iniciado por Bayes.
Em "Exposição do Sistema do Mundo", de 1796, e em "Mecânica
Celeste", de 1799, Laplace apresentou sua hipótese de que o sistema solar se
originou de um gás incandescente girando em torno de um eixo que, ao esfriar,
se contraiu causando rotação cada vez mais rápida até que da camada externa
se desprenderam sucessivos anéis que formaram os planetas. O centro restante
da massa de gás, em rotação, constituiu o sol. Esta publicação marcou o auge
da teoria de Newton, explicando todas as perturbações do sistema solar, sua
estabilidade e seu movimento que é secular, não lhe parecendo mais
necessárias admitir a intervenção divina em certas ocasiões.
Para Laplace a natureza era a essência e a Matemática apenas
uma coleção de instrumentos, que ele sabia manejar com muita habilidade
sempre mantendo um sentimento de honestidade intelectual com as Ciências.
Na segunda metade do século, Isaac Newton, na Inglaterra e
Leibniz, na Alemanha, criaram o Cálculo Integral ou Infinitesimal. E Leibniz
retomou os estudos da Geometria Analítica, imprimindo a ela novos avanços.
O grande John Napier, abastado proprietário rural e matemático
amador escocês, nascido em Murchiston, perto de Edimburgo, de grande
importância da matemática e da astronomia, pela criação dos logaritmos como
artifício que simplificou os cálculos e assentou as bases para a formulação de
princípios fundamentais da análise. Entrou para a universidade Saint Andrews
(1563) para estudar Teologia e Aritmética. Viajou pelo continente europeu antes
de voltar definitivamente para o seu castelo para administrar suas grandes
propriedades e escrever sobre vários assuntos, onde ficou até a sua morte em
1617. Foi profundo estudioso de trigonometria, computação, escreveu uma obra
17
de teologia destacando-se como matemático com a invenção de vários artifícios
para o ensino da aritmética, estudo sobre a história da notação arábica e um
grande interesse que fundamentam a notação dos números. Deve-se a ele uma
das tentativas de desenvolvimento de base dois para contagem. Foi graças a sua
mais notável invenção que toda a divisão ou toda a multiplicação se reduz a uma
simples adição ou subtração de logaritmos, que são números listados em uma
tábua, em progressão aritmética e geométrica, relacionados a uma base
chamada de neperiana, de forma a simplificar os cálculos à época. A palavra
“logaritmo” criada por John Napier por meio de uma composição de duas
palavras grega (Logus – razão, Arithmos – números), ou seja, “razão de
números”.
A invenção da base decimal é atribuída a Briggs. Já Edmundo
Gunter (1581-1626), construiu réguas com uma escala logarítmica matemática do
século XVIII.
CAPÍTULO III - O CÁLCULO ATRAVÉS DOS SÉCULOS
A importância do cálculo através da história no século XVIII se deve
ao tema - o problema de seus fundamentos e as mudanças nos conceitos
fundamentais, cujo desenvolvimento é detalhado a seguir.
3.1 - O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO NA INGLATERRA.
Foi durante este século que os matemáticos britânicos tornaram-se
isolado dos progressos que ocorriam no continente europeu, tendo como
conseqüência uma paralisação no seu desenvolvimento.
Newton e Leibniz desenvolveram figuras geométricas através de
equações algébricas, representando o movimento de um ponto geométrico e
dessa maneira o cálculo algébrico. Em 1742, Colim Mac laurin (1698-1746),
professor de Matemática em Edimburgo, estabeleceu uma base para o cálculo.
18
A divergência entre a matemática britânica e a do continente
europeu girou sobre a prioridade de invenção do cálculo, que começou pouco
antes de 1700.Leibniz e Newton, cada um deles fez suas invenções
independentemente. Contemporâneos de Leibniz e Newton não diferenciavam o
trabalho de Newton (cálculo fluxional -1664/6) do de Leibniz (cálculo diferencial -
1675), a não ser com relação aos termos e à notação.
Leibniz foi acusado em 1699, pelo matemático suíço Nicholas Fatio
de Duillier, de ter plagiado Newton. Leibniz defendeu-se em várias publicações,
mas na Grã-Bretanha, era comum a idéia de que ele havia chegado a seus
resultados principais a partir de cartas enviadas a ele por Newton.
Apois após a morte de Leibniz, a matemática britânica decaiu,
principalmente no campo do cálculo infinitesimal, pois não havia matemáticos
britânicos para dar continuidade ao trabalho de Newton e desenvolvê-lo. Alguns
nomes importantes são: Cotes (1682-1716) faleceu jovem, Taylor (1685-1731)
faleceu pouco depois de Newton e Maclaurin faleceu em 1746. Eles pouco
fizeram além de escrever livros sobre o cálculo newtoniano, considerando o
trabalho de Newton como acabado.
3.2 - O CÁLCULO NA EUROPA.
O desenvolvimento do cálculo neste continente foi intenso, pois
podia contar com um número muito maior de matemáticos capazes. Através do
trabalho do próprio Leibniz, dos irmãos Bernoulli, e de L`Hopital, o cálculo
leibniziano tornou-se aceito nas primeiras décadas do século XVIII.
Na França: L'Hopital, Varignom e B. de Fontenelle foram seus
difusores.
Aléxis Claude Clairault (1713-1765), filho de um professor de
Matemática e Jean le Rond D’ Alembert (1717-1783), que havia sido encontrado
quando criança, abandonado em uma igreja. Ambos aceitaram e desenvolveram
as teorias de Newton.
19
Em Basiléia, Daniel Bernoilli; Jean Bernoilli e Leonard Euler
desenvolveram o cálculo antes estudado por Newton e Leibiniz.
Na Itália: Guido Grandi, Gabriele Manfredi, Gian Francesco
Fagnano.
Na Suíça: Johann Bernoulli reuniu em sua volta um círculo de
estudiosos, muitos dos quais eram membros de sua família, tais como Jacob
Hermann, Nikolaus Bernoulli I e Nikolaus Bernoulli II (sobrinhos), seu filho Daniel
Bernoulli e Leonhard Euler.
Johann Bernoulli foi a figura central da matemática no continente
europeu na primeira metade do século XVIII. Esta posição foi então assumida por
seu aluno mais importante, Leonhard Euler. Bernoulli e Euler não se sentiam
presos ao cálculo de Leibniz em todos os aspectos, conforme ficou claro na
mudança efetuada por eles para um estilo mais analítico.
3.3 - DO CÁLCULO À ANÁLISE
A abrangência do cálculo desenvolveu-se e ele tornou-se um campo
muito mais amplo, a análise. O cálculo transformou-se de uma disciplina
essencialmente geométrica em uma disciplina matemática independente, a
análise, que se preocupava essencialmente com fórmulas. Isto ficou claro
especialmente com o surgimento do conceito de função (desenvolvida por Euler
em seus famosos livros).
Um tratado sobre calculo diferencial e integral (Traité du calcul
différential et du calcul intégral de 1797, de Sylvestre François Lacroix) foi
traduzido para o inglês por um grupo de jovens matemáticos de Cambridge, onde
defendiam o uso dos símbolos de Leibniz em oposição aos de Newton. Através
desse trabalho interrompeu-se o declínio da matemática britânica.
20
Cauchy (1789-1857), professor da Ecole Polytechinique de Paris,
em 1816, atingiu a classificação final do conceito de limite, através de uma
reformulação em termos de funções ao invés de variáveis.
Cauchy formulou o principal objetivo de sus livros da seguinte
maneira:
"Meu principal objetivo é reconciliar o rigor, que foi o princípio-guia
de meu curso de análise com a simplicidade a ser alcançada ao considerarmos
diretamente as quantidades infinitamente pequenas".
O enfoque moderno é evidenciado quando Cauchy define a
diferencial em termos da derivada.
O conceito de integral refere-se ao limite somatório e não o inverso
da diferenciação;
Portanto, o teorema fundamental do cálculo tornou-se um teorema
que precisa ser provado, ao invés de ser um corolário da definição de integral,
como já mencionada anteriormente.
3.4 - SÉCULO XIX - A PROFISSIONALIZAÇÃO DA CIÊNCIA
Neste século, a ciência deixou de ser fruto da ociosidade das
classes dominantes, na medida em que se implantava o capitalismo industrial.
Assinalou-se ainda uma revolução na matemática (iniciada na Geometria e na
Aritmética), que, ao invadir a Lógica, levou a matemática a deixar de ser uma
Ciência de quantidades para ser a ciência das relações entre símbolos - os
números e as figuras geométricas nada mais são que símbolos mentais. Esta
revolução se processou pela mudança dos Postulados.
Além de fortalecer os fundamentos da análise, nome dado a partir
de então às técnicas do cálculo, os matemáticos do século XIX realizaram
importantes avanços nesta parte. No início do século, Gauss deu uma explicação
adequada sobre o conceito de número complexo.
21
Outra grande descoberta, que na época foi considerada abstrata e
inútil, foi a geometria não-euclidiana, porém esse tema que foi desenvolvido por
Bernhard Riemann (1826-1866), foi selecionado por Einstein como modelo para
o espaço-tempo citado em sua obra A Teoria Geral da Relatividade que foi
publicada em 1905.
A ciência, que foi, predominantemente, até o séc, XIX, fruto do
esforço pessoal, agora se tornou tão ampla que não é mais obra para uma só
cabeça. Os grandes cientistas ainda se destacam pela sua criatividade, mas a
obra final é resultado do esforço comum das equipes.
A grande revolução havida na Matemática, no século anterior, se
prolongou até o início do atual, com o desenvolvimento e o aprofundamento da
Lógica Matemática realizados por Alfred Whitehead e seu discípulo, Bertrand
Russel, na Inglaterra. Este trabalho prosseguiu com os estudos de Willard Quine,
nos USA. De mais novo, sabemos apenas das pesquisas do matemático russo
Guelfand sobre os velhos Algoritmos, já estudados por Euclides; trata-se de
estudo de imensa valia, pois compõe a base matemática da Cibernética.
O computador revolucionou a matemática e converteu-se num
elemento primordial, Este avanço deu grande impulso a certos ramos da
matemática, como a analise numérica e a matemática finita, e gerou novas áreas
de investigação, como o estudo dos algoritmos. Tornou-se, portanto, uma
poderosa ferramenta em campos tão diversos quanto a teoria numérica, as
equações diferenciais e a álgebra abstrata.
IV - A MATEMÁTICA DA NATUREZA
Com a frase “Os sentidos se deleitam com as coisas devidamente
proporcionas”.Tomás de Aquino formulou essa verdade fundamental da estética
no século XIII no livro “As matemáticas” - LIFE – pág. 88.
Há vários exemplos, dessa realidade:
22
A Gema Triangular, que é uma turmalina semipreciosa onde
observamos uma estrutura prismática do mineral, constituída por séries de
triângulos semelhantes, ou seja, que guardam entre si uma proporcionalidade
entre lados e ângulos;
O Cristal Cúbico, que é um tipo de prisma, similar a um
paralelepípedo de forma reduzida, formada pela pirita ou sulfeto de ferro cuja
denominação popular é ouro dos tolos, é achado na natureza como cubos
entrelaçados;
O nosso Sal de cozinha também é feito de cristais cúbicos;
Os Flocos de Neve mostram diversos cristais hexagonais, ou seja,
em forma de hexágono regular ou polígono de seis lados;
O Favo de Mel de abelhas consiste em hexágonos em sua forma.
Se observarmos o miolo de uma margarida, os minúsculos grãos
do miolo formam dois conjuntos de espirais opostos. Sendo 21 no sentido horário
e 34 no sentido anti-horário.Essa relação 21:34 corresponde a seqüência 21, 34
da misteriosa série de Fibonacci. As espirais formadas são também
eqüiângulares, ou seja, formadas por ângulos iguais.
A Concha do Caramujo forma uma espiral eqüiângular ou
logarítmica.Essas espirais aparecem também nas presas dos elefantes, nos
chifres de cabras selvagens e nas unhas dos canários.Na Casca do Pinheiro,
aparecem espirais opostas (5 em um sentido e 8 em outro), e na Casca do
Abacaxi (8 e 13), sendo encontrado ainda nas folhas de inúmeras árvores.
Esse fenômeno chama a atenção por causa da relação com a
seqüência matemática conhecida pelo apelido de seu descobridor na idade
média, Leonardo (Fibonacci).
Os números de Fibonacci além de estarem relacionado com a
Botânica, exerceram uma grande influência na Arte e na Arquitetura.
23
Essa relação aparece nos pentágonos, círculos e decágonos e
mais notadamente no retângulo áureo.
O homem imita a natureza.Prova disso é o desenho do arquiteto
Frank Lloyd Wright, do museu Buckmister Fuller de Los Angeles, que se baseou
na espiral helicoidal do caramujo, onde são utilizados em suas abóbadas
milhares de triângulos eqüiláteros simples.
As linhas curvas do Museu Guggenheim de Nova Iorque, projeta-se
para cima em concreto maciço em desenho também de espiral helicoidal.
Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1170 - 1250), desempenhou um
importante papel ao retificar a antiga matemática, e contribuiu significantemente
com descobertas suas. Liber abaci introduz o sistema décima Hindu/Árabe e o
uso numeração árabe, na Europa. É mais conhecido por Fibonacci. Nasceu na
Itália (provavelmente), mas foi educado no Norte de África, onde o seu pai
trabalhava, como funcionário diplomático. Viajou amplamente com o seu pai,
reconhecendo as enormes vantagens do sistema matemático utilizado, nos
países que visitou.
O Liber abaci, de Fibonacci ou Leonardo de Pisa, publicado em
1202 após o seu regresso à Itália é baseado em pedaços de aritmética e álgebra
que Fibonacci acumulou enquanto viajava. Este livro introduziu o sistema decimal
Hindu/Árabe e o uso de numeração árabe na Europa. Um problema, em Liber
abaci, levou à introdução dos números de Fibonacci, e à sucessão de Fibonacci,
pelos qual este é melhor conhecido nos dias de hoje.
Esta sucessão veio na seqüência do seguinte problema:
Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando
com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna
produtivo a partir do segundo mês?". Todo este problema considera que os
coelhos estão permanente fechados num certo local e que não ocorrem mortes.
Para tal, um indivíduo coloca um par de coelhos jovens num certo local rodeado
24
por todos os lados por uma parede. Queremos saber quantos pares de coelhos
podem ser gerados, durante um ano, por esse par, assumindo que pela sua
natureza, em cada mês dão origem a um outro par de coelhos, e no segundo mês
após o nascimento, cada novo par pode também gerar.
Leonardo (Fibonacci) prosseguiu para os cálculos: no primeiro
mês, teremos um par de coelhos que se manterá no segundo mês, tendo em
consideração que se trata de um casal de coelhos jovens; no terceiro mês de
vida darão origem a um novo par, e assim teremos dois pares de coelhos; para o
quarto mês só temos um par a reproduzir, o que fará com que obtenhamos no
final deste mês, três pares. Em relação ao quinto mês serão dois, os pares de
coelhos a reproduzir, o que permite obter cinco pares destes animais no final
deste mês. Continuando desta forma, ele mostra que teremos 233 pares de
coelhos ao fim de um ano de vida do par de coelhos com que partimos. Listando
a sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 na margem dos seus
apontamentos, ele observou que cada um dos números a partir do terceiro é
obtido pela adição dos dois números antecessores, e assim podemos fazê-lo em
ordem a uma infinidade de números de meses. Esta seqüência é conhecida
atualmente como a seqüência ou sucessão de Fibonacci.
Outros livros são Praticae geometricae (1220), contendo uma larga
coleção de geometria e trigonometria, Liber quadratorum (1225), no qual
aproxima a raiz de um cubo obtendo uma aproximação correta até à nona casa
decimal, Mis pratica e geometricae (1220) fornece uma compilação da geometria
da época e introduz alguma trigonometria (este último, não sendo dado, por fonte
segura, de sua autoria).
CAPÍTULO V - O ENSINO DA MATEMÁTICA
No século XIX as exigências do ensino da matemática se baseava
na preparação de escriturários, navegadores e engenheiros, devido a esse
fator.A matemática na escola era um tedioso adestramento cuja apreciação por
25
algumas das maiores inteligências da nossa história parecia absolutamente
inexplicável.
Poucos jovens chegavam a universidade com capacidade ou
vontade de continuar o estudo de matemática.
Os cursos que existiam para o estudo dessa disciplina tinham de
esperar até que os jovens que estavam na universidade aprendessem o
indispensável para compreendê-la.
Embora muitos matemáticos e mestres exigissem revisões
drásticas no ensino, foi o entusiasmo causado pelo lançamento pioneiro do
Sputnik na Rússia em 1957, que provocou o apoio dos Estados Unidos, a
liberação de verbas e o interesse de instituições particulares que contribuíram
para a mudança no ensino da matemática.O povo tomou consciência de que o
mundo se apóia na ciência e esta na matemática.
As necessidades não eram mais escriturários e navegadores, mas
de pessoas capazes de resolver equações para chegar a solução de problemas
e o uso de poderosos computadores e máquinas de calcular, e homens que
pudessem envolver-se nos novíssimos cálculos exigidos para lidar com a
Relatividade, com a teoria quântica e o estudo sistemático das complexas
interações sociais.
Ainda hoje a matemática é considerada pela maioria das pessoas
uma disciplina cujo processo de aprendizagem pode ser considerado até
penoso.
Onde só há esforço apenas para passar nos exames.
Segundo Professor Dienes, em seu livro “O poder da Matemática”,
o reexame do ensino da matemática pode ser classificado sob três tópicos:
- Pesquisa de currículo;
- Pesquisa do método;
26
- Pesquisa fundamental nos processos de pensamento.
Todo trabalho matemático deveria ocorrer com perfeita consciência
já que ao pisarmos em solo matemático não familiar são inúmeras as ciladas do
pensamento matemático. Essa situação poderá conduzir a uma conclusão
inconsistente.
Certamente este aumento de consciência é possível na maioria das
vezes.
O processo de aprendizagem como já dissemos deve ser
cuidadosamente planejado de maneira que os alunos aprendam os emaranhados
matemáticos necessários tornando-se conscientes deles por si mesmos
Vários fatores são apontados como causas do insucesso dos
alunos em matemática, entre os quais:
- A forma de ensinar;
- O uso da mesma estratégia para todos os alunos;
- Material pouco interessante;
- O excesso de aulas somente expositivas;
- Falta de atividades que estimulem o raciocínio lógico;
- Resolução de exercícios repetitivos e mecânicos;
- Problemas fora da realidade do aluno.
5.1 - O RACIOCÍNIO MATEMÁTICO
Ao entrarmos no campo da abstração matemática, trabalhamos
com uma estrutura matemática. Essa abstração poderá ser mais aprofundada,
embora a princípio considerarmos estarmos no limite do conhecimento.
Quando construímos algumas estruturas na escola, há um
desenvolvimento consciente em nós das relações que possivelmente haverá
entre elas.
27
Ao examinarmos com atenção a simbologia matemática,
chegamos a uma pureza de estruturas abstraídas da experiência ou da
manipulação de outras estruturas.
Segundo Z.P. Dienes.
”Por centenas de milhares de anos, nós e nossos
antepassados usufruímos os frutos produzidos pelas árvores deste
planeta; por que o cientista agora tem que analisar o fruto e suas
substâncias químicas componentes? Em parte por pura curiosidade,
mas, em parte porque, conhecendo-se a estrutura exata do fruto,
podemos tomar medidas a fim de providenciar substitutos adequados”.
Ao pesquisarmos os inúmeros detalhes lógicos, chegamos a
conclusão que isso constitui o pensamento matemático.
Compreendemos a necessidade de treino mental de uma maneira
sistemática, que fará os alunos passarem por um processo de raciocínio de
complexidade progressiva. Estes padrões deverão ser mais simples no início da
estrutura.
Recentemente, foi criado o modelo de van Hiele para o ensino de
geometria, tendo em vista as dificuldades apresentadas por seus alunos do curso
secundário na Holanda.”O modelo sugere que os alunos progridem segundo uma
seqüência de níveis de compreensão de conceitos enquanto eles aprendem
Geometria”.
O progresso de um nível para o seguinte se dá através da vivência
de atividades adequadas, e passa por cinco fases de aprendizagem. Portanto o
progresso de níveis depende mais de aprendizagem que de idade ou maturação.
Segundo van Hiele, cada nível é caracterizado por relações entre os
objetos de estudos e linguagem próprios. Consequentemente, não pode haver
compreensão quando o curso é dado no nível mais elevado do que o atingido
pelo aluno.
28
A teoria de van Hiele sugere cinco níveis hierárquicos, no sentido
de que o aluno só atinge determinado nível de raciocínio após passar por todos
os níveis inferiores.
Verificamos, que sempre que o aluno apresenta dificuldades no
processo dedutivo ou desempenho deficiente em uma linha de argumentação,
demonstração ou prova ele não atingiu o nível de van Hiele correspondente a
esse tipo de raciocínio.
Este estudo tem como objetivo adequar o ensino e sugere também
atividades a serem desenvolvidas desde as séries iniciais, a fim de proporcionar
oportunidades aos alunos a construção de conhecimentos e passar pelos
primeiros níveis antes de chegar ao curso sistemático de Geometria.
5.2 - O SIMBOLISMO MATEMÁTICO
È uma linguagem matemática adaptada especialmente a
expressão e a comunicação de tipos específicos de informação. Como outras
linguagens, é capaz de ampliar o conhecimento e estimular e descoberta de
novas conexões e relações que formarão novos símbolos.
Verificamos que no último século, a linguagem matemática tornou-
se tão rica que até alguns matemáticos podem não se familiarizar com toda ela,
disse Dienes.
Um leigo ouvindo dois matemáticos discutindo um problema
complexo poderia supor estar ouvindo uma língua estrangeira, por ser totalmente
desconhecida aquela simbologia. Desenvolveu-se uma perigosa brecha entre
aqueles que “conhecem” e os próprios homens cujos benefícios o
desenvolvimento matemático está proporcionado.
Até hoje observamos que a maioria das pessoas acha as
manipulações matemáticas difíceis de aprender, porque na realidade não sabem
o que estão manipulando.
29
Acreditamos que a razão disso seja porque os símbolos que
representa situações bem complexas são freqüentemente aprendidos, somente
na vida adulta.
Se uma criança é colocada num ambiente que só fala língua
estrangeira, ao ouvir os sons todo o tempo ela aprenderá rapidamente a língua
falada. Infelizmente o paralelo entre a aprendizagem da língua e a aprendizagem
da matemática se quebra em um ponto muito importante. Não crescemos dentro
do alcance da voz de ininteligíveis ruídos matemáticos, do mesmo modo da
língua. Mesmo que tivéssemos oportunidade de contato intenso com experiências
matemáticas através do uso de materiais estruturados, jogos matemáticos etc...
Ainda assim faltaria o vozerio matemático.
Foi observado que crianças que tinham bastante contato e
manipulação de imagens matemáticas ou materiais estruturados desenvolveram
seu próprio simbolismo.
Devemos sempre lembrar, contudo, que o processo de
aprendizagem é um processo psicológico, não é um processo lógico e uma
seqüência logicamente ordenada, não dará necessariamente, o melhor método
para aprender. Temos que observar todos os aspectos, passar das experiências
do estágio pré-simbólico ao estágio simbólico. Isto pode ser facilitado.
Diversos professores de matemática colocam os alunos em
situações cuidadosamente selecionadas, nas quais seu desejo passa ser
libertado, de forma que se domine o simbolismo matemático.
Na média das situações de aprendizagem matemática a linha entre
a realidade e a manipulação de “símbolos” é muito fina, senão definitivamente
crítica. Mesmo em situações baseadas em experiências matemáticas concretas,
esta linha pode partir. Se o professor ou o estudante tornar-se entusiastas das
propriedades formais das regras separadas das experiências matemáticas
podem perder o contato com a realidade. A realimentação constante em
situações concretas das quais as estruturas foram abstraídas preservará contra
30
este perigo. Particularmente, se uma generalização formal foi feita dentro de
certo quadro matemático formal (como, por exemplo, a generalização de índices
inteiros para fracionários), as crianças poderiam imediatamente ser testadas
sobre sua habilidade para aplicar as novas estruturas gerais a situações
concretas. O aspecto mais importante dos símbolos para o matemático é sua
função criativa, capacitando-o a armazenar uma enorme quantidade de
informação de forma compacta. Os símbolos dão-lhe o tipo de material que a
tinta dá o pintor, ou a pedra ao escultor. Através de manipulações sensatas
podem formular questões importantes, assim como, resolver problemas que
outras pessoas não foram capazes de resolver. Pode transformar em problemas
equivalentes, ou passar a problemas coligados que podem parecer mais
interessantes. Em outras palavras, há uma arte no manejo de símbolos.
Passar das experiências do estágio pré-simbólico ao estágio
simbólico pode ser facilitado através do uso de séries graduadas de símbolos,
começando com uma reprodução, digamos pitoresca do que é simbolizado, e
terminando com o simbolismo convencional matemático em uso corrente. Isto
significa que começamos a usar os símbolos como uma outra, muito próxima, da
representação da experiência matemática. Por outro lado, é possível usar
representações como símbolos. Os marcadores verdes e vermelhos que
representam os números positivos e negativos são um exemplo dessa espécie
de representação simbólica.
Considerando o uso de símbolos, temos que lembrar que o
pensamento matemático contém como parte constituinte, entre outros processos,
aqueles de abstração e generalização.
Podemos dizer que a abstração é a faceta intensiva e a
generalização a extensiva do pensamento matemático. Freqüentemente o
mesmo simbolismo é usado para estas duas facetas. Um caso simples a
respeito é a noção de número quadrado. Quando escrevemos X2, significamos
algo que é abstrato e geral. Qualquer tipo de situação em que os objetos (reais
ou idealizadores), são agrupados em tantos grupos quanto for o número de
31
objetos em cada grupo, é descrito pelo símbolo X2, onde o símbolo x representa o
número de tais grupos (ou de objeto por grupo).
Escrever X2 também implica em um grau de generalidade
estendida pelo menos a uma secção inicial dos números naturais, porém
certamente a todos os números naturais.
Esta generalidade poderia ser estendida por graus aos números
racionais e então aos números reais. Mas já no estágio de elevar os números
naturais ao quadrado, o mesmo símbolo X2 significa ambos, a abstração e
generalização, que devem ocorrer antes que o símbolo possa se tornar
operacional matematicamente.
5. 3 - A INTELIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA
Podemos fazer um confronto com o mundo dos objetos. Pois é
confrontando objetos, ordenando-os, reordenando-o e verificando sua quantidade
que o aluno adquire seu conhecimento inicial e mais fundamental sobre o domínio
lógico-matemático. O primeiro ponto a ser observado é que a inteligência lógica
– matemática rapidamente torna-se remota do mundo dos objetos materiais. O
indivíduo torna-se capaz de apreciar as ações, as afirmações que se pode
desempenhar sobre objetos, as relações que prevalecem entre as ações que se
pode fazer sobre ações reais ou potenciais e os relacionamentos entre estas
afirmações. A trajetória do desenvolvimento prossegue, prossegue-se de objetos
para afirmativas, das ações para as relações entre as ações, do domínio do
sensório motor para o domínio da pura abstração enfim os ápices da lógica e da
ciência. As raízes das regiões mais elevadas do pensamento lógico, matemático
e científico podem ser encontradas nas ações simples dos alunos sobre objetos
físicos de seu mundo.
No que diz respeito à formação e ao desenvolvimento do
pensamento lógico-matemático, a pesquisa de Piaget importantíssima. Ele
inteligentemente discerniu as origens da inteligência lógico-matemática nas
32
ações da criança sobre o mundo físico; a importância crucial da descoberta dos
números, a transição gradual da manipulação física dos objetos para
transformações interiorizadas das ações; os significados das relações entre as
próprias ações; e a natureza especial das regiões mais elevadas do
desenvolvimento, onde o indivíduo começa a trabalhar com afirmações
hipotéticas e a explorar os relacionamentos e implicações que prevalecem estas
afirmativas.
5.4– A MATEMÁTICA NO BRASIL
Por ocasião do descobrimento do Brasil a única informação de
atividades de natureza matemática foi a “Arismética” que era o catecismo e a
aritmética ensinado pelas ordens religiosas. Há informações que alguns Jesuítas
que vieram para o Brasil tinham uma boa formação matemática.
Dentre esses padres destacamos o excelente matemático, Valentin
Stancel S. J., formado em Ormuz e Praga. Stancel teve os resultados de suas
observações de cometas mencionados no Principia de Isaac Newton.
Mas, somente em 1744, temos o primeiro livro de matemática
escrito no Brasil, por José Fernando Pinto Alpoim.
Durante o período colonial o Brasil não tinha imprensa nem ensino
superior. Os que possuíam recursos estudavam na Universidade de Coimbra. Os
alunos das famílias de poucas posses encontravam nas ordens religiosas,
oportunidade de estudo.
Com a chegada da família real ao Brasil em 1808, a corte tratou de
criar uma Academia Real Militar, que passou a funcionar em 1811. Ali se criou
um curso de Ciências Físicas, Matemáticas e Naturais.
A academia Militar foi transformada em Escola Militar da Corte em
1839 e em 1842 foi instituído o grau de Doutor em Ciências Matemáticas.
33
O primeiro doutorado foi concedido a um jovem maranhense,
Joaquim Gomes de Souza (1829 – 1863), o “Sousinha”.
Sua dissertação sobre estabilidade de sistemas de equações
diferenciais foi um grande avanço para suas pesquisas. Vale acrescentar que o
mesmo obteve um grau de medicina na Sorbonne.
Com a Proclamação da República em 1889, inicia-se uma fase
que, do ponto de vista da ciência e particularmente da matemática, pouca
inovação aconteceu no país.
Alguns estudos matemáticos podem ser destacados. Houve
algumas traduções com a geometria de Legendre, a Álgebra de Clairaut, e
alguns trabalhos de brasileiros, como a Álgebra de Almeida Lisboa e os cursos
de Cálculo e Geometria Analítica de Trompowiski.
Em 1945 André Weil em São Paulo e Antonio Monteiro no Rio de
Janeiro, foram os principais responsáveis pela criação de uma comunidade
brasileira de matemáticos brilhantes.
Nos demais estados brasileiros surgem alguns matemáticos que
viriam a ter uma atuação importante nas décadas de 20 e 30. Alguns foram
estudar no Rio e em São Paulo. Em Recife lembramos Luis de Barros Freire
(1896-1963), responsável pela criação de um importante Instituto de Pesquisas
Matemáticas e a contratação dos matemáticos portugueses Manuel Zaluar
Nunes, Alfredo Pereira Gomes e Ruy Luis Gomes. Para a Universidade Federal
de Minas Gerais, fundada em 1949 em Belo Horizonte, transferiu-se da Escola de
Minas de Ouro Preto o matemático Christóvam Colombo dos Santos (1890-
1980). Da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, fundada em 1934, foram
estudar em São Paulo Antonio Rodrigues e Ary Nunes Tietbohl. Em 1948 foi
fundado em São José dos Campos o Instituto Tecnológico da Aeronáutica, cuja
organização foi inspirada no Massachusetts Institute of Technology. Foram
contratados os matemáticos Francis D. Murnagham, responsável por uma
modernização dos cursos básicos com tratamento matricial. Também foi
34
contratado o matemático chinês Kuo-Tsai Chen. Esses institutos mantinham
relativamente pouca relação entre eles. A situação mudou a partir da criação do
Conselho Nacional de Pesquisas/CNPq em 1951 e do Instituto de Matemática
Pura e Aplicada/IMPA, em 1952.
Com a criação do Conselho Nacional de Pesquisas em 1951 e, do
Instituto de Matemática Pura e Aplicada em 1952, a institucionalização da
pesquisa matemática no Brasil se consolidou. A realização bienal dos Colóquios
Brasileiros de Matemática, a partir de 1957, veio levar a pesquisa matemática a
todo o território nacional, com a formação de grupos promissores em
praticamente todos os estados do Brasil.
CAPÍTULO VI - A MATEMÁTICA É DIFÍCIL?
Os professores de matemática, em sua maioria, já devem ter
passado por essa experiência ao iniciar o ensino da matemática ao ouvir dos
alunos que o assunto que será ensinado é de difícil compreensão. O professor
certamente já conhecedor dessa faceta em relação à disciplina procura soluções
didáticas de forma a neutralizar ou pelo menos amenizar, a idéia desse mito
relativo à matemática.
6.1 – O MITO
Segundo o dicionário Michaelis, mito é utopia, ou coisa
incompreensível. Mito, também é uma forma de discurso, uma maneira de a
sociedade espelhar suas inquietações, seus paradoxos, e uma forma de buscar
uma reflexão, sendo um fenômeno de difícil compreensão. Podemos afirmar que
a palavra pode estar inserida num bloco de várias idéias.
Everaldo Rocha, diz que: “O mito teria uma forma alegórica que
deixa entrever um fato natural, histórico ou filosófico”.
O mito traz na sua essência uma mensagem cifrada...Parece que
há algo escondido.Às vezes o mito pode ser considerada uma coisa fora do
35
comum, algo sem realidade.Pode ser diferente daquilo que chamamos verdade.
”A hipótese Jungueniana dos” conteúdos “que guardamos dos mitos é um tanto
problemático, se que, para muitos, é também altamente sedutora”.(Rocha, pág 13)
Podemos verificar que o mito às vezes esconde uma grande
verdade, ou grande engano, pois, às vezes o aluno apresenta alguma dificuldade
na compreensão do assunto, mas após explicação essa se dilui, portanto a
dificuldade apresentada pelo aluno como verdade tornara-se um engano.
Em relação à matemática, uma afirmação do escritor Português
Bento de Jesus Caraça, pode ser considerada um indício do mito a respeito da
dificuldade nessa disciplina, quando diz que a matemática é geralmente uma
ciência à parte da realidade, vivendo na penumbra de um gabinete fechado, onde
não entra nem o sol. Essa idéia reforça o mito de ser uma coisa inatingível para
boa parte dos mortais.
Segundo o professor Augusto César Morgado, da Puc-Rj. A
característica do matemático deve ser gostar de pensar “Ao contrário do que os
leigos pensam, não é necessário nenhuma habilidade para fazer cálculos e lidar
com números, e sim, raciocínio lógico e linguagem precisa”. “(Jornal – A Folha
Dirigida, RJ – 27/03/2002 – pág. 10)”
Algumas pessoas começam a fazer cursos de matemática, porque
possuem habilidades de fazer contas e acreditam Ter facilidades em
matemática. No desenvolvimento do curso, porém se desencantam ao conhecer
o que é verdadeiramente Matemática, já que no curso de primeiro e segundo
graus a matéria não é tratada como deveria.
Até nos meios de comunicação é chamado de matemático,
pessoas que fazem cálculos numéricos com facilidade. A maioria das pessoas
tem dificuldade em matemática chegando a ter medo.
36
Aos professores cabe a função de mostrar ao aluno que a
matemática está em tudo, trabalhar os conteúdos de maneira que o aluno
perceba isso.
“Para entender a matemática e suas aplicações no
mundo em que vivemos é necessário um longo processo de estudo e
constante dedicação”. (Castruci, pág.4).
À medida que verificamos que a aplicação da matemática está no
nosso cotidiano desde um simples troco ao uso de sofisticados equipamentos de
informática, verificamos que nós vivenciamos a matemática.
Elon Lages Lima (Pesquisador Titular do IMPA e membro da
Academia Brasileira de Ciências), afirma que crianças até a oitava série
aprendem matemática da mesma maneira que as outras matérias, não exigindo
nada de especial. A diferença que existe entre o estudo da matemática e as
outras disciplinas, além da inteligência normal que todas devem Ter é que a
matemática requer mais, não de capacidade intelectual, mas de hábito de
trabalho, de organização, de autodisciplina, cuidado e atenção. Se no
desenvolvimento de um problema alguém comete um erro, isso vai afetar o que
vem depois.“(Jornal – A Folha Dirigida, RJ – 16/04/2002 – pág. 18)”
6.2 - A REALIDADE
A matemática pode ser até considerada como uma arte. Ao se
fazer a análise de um problema matemático percebemos o valor “estético
intrínseco” que ela possui.
Ao solucionarmos o problema percebemos se encaixando, nos
surpreendendo. Várias razões concorrem para a falta de encantamento.
A demonstração matemática nos mostra se o resultado está certo
ou errado.
37
Exatamente por causa da prova matemática, um resultado,
matemático é eterno. Será válido hoje e daqui a milhares de anos, citaremos
como exemplo, o resultado do somatório dos custos de uma empresa naquele
determinado ano, se perpetuará.
Pensamos que a matemática é uma ciência já totalmente
desenvolvida, mas a realidade é que a pesquisa matemática no Brasil, ainda,
está se desenvolvendo e, de forma extraordinária, segundo a “Internacional
Mathematical Union” que classifica os países por “ranking” de desenvolvimento
de pesquisa em matemática, o Brasil foi colocado no nível de países de primeiro
mundo como a Holanda, Suécia e Bélgica.
Recentemente, segundo reportagem da jornalista Elaina Daher do
jornal do MEC (Ministério da Educação e Cultura), a aluna do segundo ano do
ensino médio de uma escola de Fortaleza (CE), Larissa Cavalcanti Queiroz de
Lima trouxe para o Brasil uma medalha de prata, conquistada 42º Olimpíada
Internacional de Matemática realizada na cidade de Glasgow (Reino Unido),
conquistou a primeira medalha de prata dessa competição.
Cinco outros jovens brasileiros participaram dessa Olimpíada.Além
de Larissa, a primeira mulher a trazer esta medalha os outros demais
participantes conquistaram medalha de bronze.
Outro fato interessante é que existe um prêmio em matemática,
semelhante ao Prêmio Nobel que é medalha Fields que outorgada pela
“International Mathematical Union”, a cada quatro anos a quatro matemáticos
distinguidos e que tenham menos de 40 anos de idade.
6.3 - O QUE PENSAM OS ALUNOS
Trataremos nos tópicos subseqüentes, o resultado do trabalho de
campo e dos elementos obtidos em enquete efetuada com alunos da rede
particular e oficial do RJ.
38
6.3.1 - METODOLOGIA DA ENQUETE
Para verificar o que pensam, os alunos a respeito da disciplina
matemática, foram ouvidos o universo de 10 alunos de colégios da rede pública e
privada a seguir identificados, onde foi utilizado um questionário com a pergunta
“Matemática é Difícil?” - Sim ou Não – Por que.
- ADN - MÉIER;
- GPI - TIJUCA;
- PENTÁGONO – VILA VALQUEIRE;
- ESCOLA TÉCNICA REZENDE RAMMEL – LINS DE VASCONCELOS;
- COLÉGIO ESTADUAL VISCONDE DE CAIRÚ - MÉIER.
6.3.2 - A RIQUEZA DAS FALAS DOS ALUNOS
Aluno A – (2º série do ensino médio – Colégio ADN).
“Você só tem que ter um pouco mais de raciocínio, pois tem muitos
cálculos, entretanto, tem outras matérias que são mais difíceis que a matemática e
acredito que todo mundo usa matemática todos os dias”.
Aluno B – (2º série do ensino médio – Escola Técnica Rezende Rammel).
- “A matemática não é difícil, mas complicada. Quando você
compreende acaba se interessando em aprendê-la”.
Aluno C - (3º série do ensino médio – Colégio GPI).
- “Se sente atraída pela matemática, sente prazer em estuda-la,
principalmente geometria”.
Aluno D - (2º série do ensino médio – Colégio Estadual Visconde de Cairú).
- “Acho complicado tenho muita dificuldade para aprender as fórmulas e
acredito que o professor tem culpa nisso”.
Aluno E - (2º série do ensino médio – Colégio ADN).
- “Não gosto porque acho complicado, também culpa os professores”.
39
Aluno F - (2º série do ensino médio – Colégio Estadual Visconde de Cairú).
– “Não gosto e ponto final”.
Aluno G - (2º série do ensino médio – Colégio Estadual Visconde de Cairú).
- “ A matemática é interligada com outras matérias e acredito que a
minha dificuldade tem origem da aprendizagem deficiente no ensino fundamental e falta
de organização da escola.”.
Aluno H - (2º série do ensino médio – Colégio Estadual Visconde de Cairú).
- “É todo um processo. A matemática enfim se torna difícil antes de
resolver os problemas, já que ela é um” fantasma “. Acho a matéria muito difícil e os
professores deveriam procurar a raiz do problema, porque se todos tem uma certa
dificuldade o problema é com os alunos ou com a matéria”.
Aluno I - (2º série do ensino médio – Colégio Estadual Visconde de Cairú).
- “Acho matemática difícil pela quantidade de fórmulas existentes. A
matemática” puxa muito pelo raciocínio “. É complicado, as vezes gasto uma folha
inteira do caderno só para uma simples resposta ao final. Não consigo entender
porque certas operações matemáticas vão me servir no dia-a-dia”.
Aluno J - (3º série do ensino médio – Colégio Pentágono).
- “Porque são muitas fórmulas para decorar além de existirem centenas
de maneiras de resolver uma única questão. Além disso, acho aprender certas coisas
enquanto não decidimos a profissão ou a área que queremos ou cursaremos. Por
exemplo, para quem pretende cursar uma faculdade na área de humanas, não vejo
importância alguma em se aprender equações da reta, ou uma parte mais profunda de
geometria”.
Em decorrência dos dados da pesquisa acima, foi gerada a síntese
representada no gráfico a seguir, Onde 70% dos alunos entrevistados
consideraram a matemática difícil e outros 30% acharam até agradável essa
disciplina.
40
GRAFICO RESULTANTE DA ENQUETE REALIZADA ENTRE OS ALUNOS
MATEMÁTICA É DIFÍCIL?
SIM
NÃO
Diante deste resultado, que apontou que 70% dos alunos
apresentam dificuldade na aprendizagem de matemática, entre os quais, há
alunos que não conseguem vislumbrar a necessidade da aprendizagem de temas
da área, sinalizando haver a necessidade de se promover a interdisciplinaridade
no sistema de educação, promovendo a discussão e estudos desta matéria,
praticando um ensino interdisciplinar, a partir de temas práticos correlacionados
a temas atuais e do mundo em que vive o aluno, para que lhes sejam dados o
suporte necessário para que percebam que a matemática faz parte do seu dia-
a-dia.
CONCLUSÃO
Chegamos ao fim de nossa jornada através do mundo mágico da
matemática com suas maravilhas desde o aparecimento da ciência matemática,
suas descobertas, seu desenvolvimento, o seu ensino e suas dificuldades.
Tentamos verificar a origem do Mito relacionado às dificuldades de sua
aprendizagem e chegamos a realidade que está explicitada através das opiniões
30% NÃO
70% SIM
41
dos pesquisadores, professores e ouvindo também a ponta do problema, qual
seja, a importante opinião dos alunos.
No ensino da matemática deverá ser dada uma atenção especial
ao currículo ou método e o entendimento de como se forma o pensamento
matemático. O professor de matemática diante de um insucesso dos alunos
deverá examinar a forma de ensinar, avaliar se o tipo de estratégia é adequada a
todos os alunos, se os recursos didáticos disponíveis são atraentes, evitando o
excesso de aulas de caráter expositivo, procurando atividades que estimulem o
raciocínio lógico, exercícios que envolvam temas que fazem parte do dia-a-dia
dos alunos.
O entendimento da matemática exige do aluno, dedicação e
vontade de aprender.
Com este trabalho tivemos a pretensão de mostrar a importância
da matemática no nosso cotidiano, inclusive que ela está na natureza, na musica,
na engenharia e, que a rápida evolução da vida e o imenso avanço tecnológico
abraçado a ciência e o aparecimento de novas teorias. Ao termos ela como
base, conquistaremos, por certo, uma grande vitória sobre o tempo e o espaço
em benefício da humanidade.
VII - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
7.1 - BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
MACHADO, ANTONIO DOS SANTOS. Matemática na escola de 2º grau. Atual
1996.
42
RIBEIRO, MARIA LUISA SANTOS, História da Educação Brasileira; Coleção
educação universitária, Cortez & Moraes LTDA, São Paulo, 1978.
PINTO, HERBERT F. Trigonometria, Científica, 1974, 2º volume A.
HOGBEN, LANCELOT, Maravilhas da matemática, Globo, 1950.
BOYER, CARL.B, História da Matemática, editora Edgard Blucher LTDA,
Universidade de São Paulo l974.
IEZZI, GELSON, Fundamentos de Matemática Elementar, Atual Editora.
ANTUNES, CELSO, Pág.41 – Ed. Vozes.
LOPES, MARIA LAURA LEITE, Geometria na era da imagem e do movimento,
UFRJ, 1986.
INTERNET, w.w.w. ufrjs.gov.br – Grupo de pesquisa em Matemática.
INTERNET, www.professorailton.hpg.ig.com.br.
D`AMBROSIO, UBIRATAN, História da Matemática no Brasil, Saber Y Tiempo,
vol 2, nº 8, Julio-deciembre , 1999, pp 7-37.
MASON, S. F História da Ciência, Título original Main Currents of Scientific.
Thought, Globo S.A 1964.
7.2 - BIBLIOGRAFIA CITADA
GIOVANNI, JOSÉ RUY, CASTRUCCI, BENEDITO, GIOVANNI JR, JOSÉ RUY, A
conquista da matemática, Renovada, São Paulo, FTD, 1992.
BERGAMINI, DAVID, e os editores de LIFE, As Matemáticas, Biblioteca científica
LIFE, José Olympio Editora-RJ, 1965.
43
ROCHA, EVERARDO.P. GUIMARÃES, O que é mito, Brasiliense 70 edição
1994.
SIQUEIRA, MARIA CRISTINA, Matemática, uma questão de hábito, Folha
Dirigida, Rio de Janeiro, p18, 16 a 22 de abril, 2002.
GOMES, BIANCA DE ARAUJO, RIZZO, CAMILA, Roteiro das Profissões,
Matemáticas: raciocínio lógico, Caderno do Vestibular, Folha Dirigida, p 10, ano
XVI - n º 1, 2002, 27 de março a 2 de abril, 2002.
DAHER, ELAINA, conhecimento, Jornal do MEC, n 0 21, ano XV, Brasília-DF,
setembro 2002.
DIENES, ZOLTAN PAUL, O poder da matemática: Um estudo da transição da
fase construtiva para a analítica do pensamento matemático das crianças,
Editora Pedagógica e Universitária Ltda., São Paulo.
FOLHA DE AVALIAÇÃO
UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES
INSTITUTO DE PESQUISA SÓCIO-PEDAGÓGICAS
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO-SENSU”
44
Título da Monografia
MATEMÁTICA É DIFÍCIL? MITO OU REALIDADE.
Apresentada como condição prévia para conclusão do Curso de
Pós-graduação “Lato-sensu” em Docência do Ensino Superior.
Data da Entrega____________________________________________
Avaliado Por:______________________________Grau:_________________
Rio de Janeiro ________de _______________________de 2003
Coordenador do Curso
