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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
MODELO PROBABILÍSTICO DE DISTRIBUIÇÃO TRIDIMENSIONAL DE DESCONTINUIDADES EM
MACIÇOS ROCHOSOS FRATURADOS
CARLOS ALBERTO LAURO VARGAS
ORIENTADOR: ANDRÉ PACHECO DE ASSIS
TESE DE DOUTORADO EM GEOTECNIA
PUBLICAÇÃO: G.TD-008A/01
BRASÍLIA / DF: DEZEMBRO / 2001
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
MODELO PROBABILÍSTICO DE DISTRIBUIÇÃO TRIDIMENSIONAL DE DESCONTINUIDADES EM
MACIÇOS ROCHOSOS FRATURADOS
CARLOS ALBERTO LAURO VARGAS
TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR. APROVADA POR: _________________________________________ Prof. ANDRÉ PACHECO DE ASSIS, PhD (UnB) (ORIENTADOR) _________________________________________ Prof. MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) _________________________________________ Prof. ERALDO LUPORINI PASTORE, DSc (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) _________________________________________ Prof. AUGUSTO CÉSAR BITTENCOURT PIRES, PhD (UnB) (EXAMINADOR EXTERNO) _________________________________________ Prof. TARCÍSIO BARRETO CELESTINO, PhD (USP-SC) (EXAMINADOR EXTERNO) DATA: BRASÍLIA/DF, 18 DE DEZEMBRO DE 2001. FICHA CATALOGRÁFICA
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LAURO VARGAS, CARLOS ALBERTO Modelo Probabilístico de Distribuição Tridimensional de Descontinuidades em
Maciços Rochosos Fraturados (2001). xxv, 253 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Doutor, Geotecnia, 2001) Tese de Doutorado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1. Descontinuidades 2. Mecânica das Rochas 3. Probabilidade Geométrica 4. Métodos Estatísticos I. ENC/FT/UnB II. Título (série) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA LAURO, C.A. (2001). Modelo Probabilístico de Distribuição Tridimensional de Descontinuidades em Maciços Rochosos Fraturados. Tese de Doutorado, Publicação G.TD-008A/01, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 253 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Carlos Alberto Lauro Vargas TÍTULO DA TESE DE DOUTORADO: Modelo Probabilístico de Distribuição Tridimensional de Descontinuidades em Maciços Rochosos Fraturados GRAU / ANO: Doutor / 2001 É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta tese de Doutorado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese de doutorado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. _____________________________ Carlos Alberto Lauro Vargas Calle Peral # 206 Cercado, Arequipa Arequipa - Perú
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DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho com muito carinho aos meus pais Juan Lauro e Nancy Vargas de Lauro, que sempre me apoiaram e acreditaram em mim.
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AGRADECIMENTOS Agradeço a ajuda financeira com a bolsa de doutorado, fornecida pelo Concelho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) do Brasil. Aos professores da Geotecnia (UnB) pelo apoio constante antes e durante a execução do trabalho. Em especial agradeço ao meu orientador o professor André Pacheco de Assis, pelas sugestões, orientação e motivação, ao Professor Johannes C. J. M. Derks do departamento de Mecânica da UFPA, pelo apoio no desenvolvimento do programa gráfico em AutoLISP e ao colega Aldo Durand Farfan pela disponibilidade dos arquivos de dados necessários para esta tese, muito obrigado. Aos colegas da geotecnia, Evaldo, Ana Cristina, Marisaides, Lílian, Patrícia, Cláudia, Manoel, Silvrano, Silvana, André Fahel, César, Luis Abel, Luis Guilherme, Ircílio, Luís Fernando, Maurício, Terezinha, Janaina, Luciana, Suzana, André Brasil, Ana Karina, Maruska, Paula, Márcia, Marta, Hector e Íris é possível ter esquecido de alguém, mas estará sempre presente nos meus pensamentos, valeu galera!!! Aos colegas peruanos que compartilharam comigo momentos de lembranças peruanas e de alegria, assim como trabalho e apoio mútuo nos momentos difíceis, Nestor, Julio, Aldo, Reneé, Carlos Carrión, Cira, Armando, Carlos Rendon, Mónica, Érika, Karen, José, Eduardo, Henry, Oscar, Kurt, e outros mais, obrigado. Ao povo brasileiro que me ensinou uma forma de viver mais alegre e animada, cheia de companheirismo e amizade que levo comigo, aos meus amigos Ruanito, Rodrigo, Julio, Rafael, Sonia, Anamelia, Gracieli, Benoit, e outros que sempre estarão presentes em mim, em especial a Renata. A minha família, meus pais Juan e Nancy, minhas irmãs Nilde e Paola, que sempre me apoiaram e alentaram para chegar até onde estou. Minha vida e sucessos são produto de seu carinho, obrigado por tudo. Por último e mais importante a Deus, porque sem ele nada do que vivi e fiz teria acontecido e por esta razão continuo trabalhando, obrigado.
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RESUMO
O comportamento mecânico de maciços rochosos é muito influenciado pela presença
das descontinuidades, De acordo com sua densidade, tamanho e orientação, as
descontinuidades podem definir o tipo de ruptura do maciço, o tamanho dos blocos, fluxo de
água etc. Nos maciços rochosos, pode-se ter dois tipos de descontinuidades, as principais
(falhas, diques etc.) e as secundárias (fissuras, contatos, juntas etc.), tendo sempre presente a
escala do projeto. A variabilidade geométrica das descontinuidades secundárias, pode ser
analisada com métodos estatísticos para descrever sua distribuição no domínio de sua
amostragem e posteriormente, com a probabilidade geométrica, pode-se modelar a possível
distribuição das descontinuidades no espaço 3D. A análise estatística das descontinuidades
secundárias apresenta muitas incertezas pelos erros de tendência ou bias, dependendo do tipo
de amostragem (por scanline ou superficial), estes erros ou bias podem ser corrigidos com
aplicação da probabilidade geométrica. Neste trabalho o maciço fraturado é considerando
homogêneo e isotrópico e desta forma as descontinuidades podem ser consideradas como
discos circulares planos, com diâmetro, orientação, espaçamento e centro determinados.
A correta inferência dos parâmetros em 3D das descontinuidades garante uma correta
simulação da distribuição das descontinuidades no espaço, assim também uma ampliação da
modelagem do tamanho médio do traço (ou interseção das descontinuidades com a superfície
de amostragem) é implementada ao modelo possibilitado o cálculo de traços da
descontinuidade a partir de amostragens em superfícies com qualquer inclinação. Esta
formulação implementada é uma generalização e satisfaz o próprio caso particular.
Uma vez definido o modelo probabilístico de cada parâmetro da descontinuidade, são
gerados os parâmetros das descontinuidades aplicando o método de Monte Carlo.
Posteriormente aplicando a ferramenta gráfica AutoCAD (AutoLISP), foram construídos os
modelos em 3 dimensões para o caso estudo da Mina de Timbopeba, os dois taludes e as 3
galerias. O maior aporte deste modelo probabilístico é que mostra a provável estrutura no
volume do maciço rochoso e assim a inferência da distribuição das descontinuidades em
futuras escavações ou cortes no próprio maciço, como verificado no caso estudo. Este modelo
se apresenta como uma ferramenta de auxílio ao projetista na determinação de situações
críticas onde a densidade de descontinuidades pode ser mais alta do que a média, o que
normalmente não é considerado em projetos tradicionais determinísticos, onde unicamente
são utilizados valores médios de tamanho, orientação e espaçamento das descontinuidades.
vi
ABSTRACT The mechanical behavior of rock masses is very influenced by the presence of joints,
and together with its density, size and orientation, they can define, the type of rupture for the
rock mass, the size of blocks, the water flow path etc. The rock masses had two joint types,
the main ones (faults, dikes etc.) and the secondary ones (fissures, contacts, little fractures
etc.), but always considering the scale project.
The geometric variability of secondary joints can be analyzed with statistical methods
to describe its distribution on it’s sampling domain and later model the possible distribution
of the joints in the 3D space, with the geometric probability. The statistical analysis of the
secondary joints presents many uncertainties for the tendency mistakes or bias, depending on
the sampling type (scanline or surface), which can be corrected with application of the
geometric probability. In this work the fractured rock mass is considered homogeneous and
isotropic hence the joints are represented as circular plane disks, with diameter, orientation,
spacing and center determined,.
The correct inference of the parameters in 3D of the joints guarantees a correct
simulation of the joint distribution in space, for this I purpose an ampliation of mean trace
size model (trace or intersection of the joint with the sampling surface) is implemented for the
model that allows the calculation of joint traces starting from samplings in surfaces with
variable inclination, not just only for samplings in vertical surfaces. This implemented
formulation is a generalization of the particular case and it satisfies the own particular case
too.
Once defined the probabilistic model of each parameter of the joint each parameter is
generated applying Monte Carlo's Method. Later on applying the programing graphic tool
AutoCAD (AutoLISP), the models were built in 3 dimensions for the case-study of the
Timbopeba mine, two slopes and 3 galleries.
This probabilistic model shows the verification possibility of the structure inside the
rock volume and the inference of joints distribution in future excavations or rock cuts in the
same rock mass, as verified in the case-study, also this model is presented as an aid tool for
the designer for the determination of critical situations where the joints density can be higher
than the average, what is not usually considered in traditional deterministic projects where
only mean values of size, orientation and spacing of the joints are used.
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ÍNDICE Capítulo Página 1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1 1.1 MOTIVAÇÃO DA PESQUISA..................................................................................... 2 1.2 OBJETIVO DA PESQUISA .......................................................................................... 3 1.3 METODOLOGIA DA PESQUISA................................................................................ 3 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ............................................................................. 4 2 MODELOS PROBABILÍSTICOS DE DESCONTINUIDADES EM 2D E
3D ................................................................................................................................... 5 2.1 ANÁLISE ESTATÍSTICA DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ................................... 5 2.2 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .............................. 8 2.3 PARÂMETROS DESCRITIVOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE..... 12 2.4 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL .......................................................................... 18 2.5 TESTES DE POPULAÇÕES NORMAIS ................................................................... 19 2.6 TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV K-S........................................................... 21 2.7 ANÁLISE DE DADOS DIRECIONAIS CIRCULARES............................................ 24 2.8 ANÁLISES DE DADOS ESFÉRICOS........................................................................ 27 2.8.1 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE VETORES.................................................... 31 2.8.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS ESFÉRICOS....................................... 37 2.8.3 DISTRIBUIÇÃO DE FISHER..................................................................................... 38 2.8.4 TESTE DE HIPÓTESE DE UNIFORMIDADE DE DADOS ESFÉRICOS............... 40 2.9 MODELOS PROBABILÍSTICOS DAS DESCONTINUIDADES............................. 41 2.9.1 CORREÇÃO DE BIAS................................................................................................ 44 2.9.2 MODELO DE BAECHER ........................................................................................... 45 2.9.3 MODELO DE VENEZIANO....................................................................................... 47 2.9.4 MODELO DE DERSHOWITZ.................................................................................... 49 2.9.5 MODELO DE KULATILAKE .................................................................................... 51 2.9.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS.................................................................. 52 3 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE GEOMÉTRICA ................................ 53 3.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................ 54 3.2 NOÇÃO DE MEDIDA GEOMÉTRICA ..................................................................... 55 3.3 ESCOLHA DE UMA MEDIDA DE PROBABILIDADE........................................... 61 3.4 PONTOS NO ESPAÇO EUCLIDIANO DE N DIMENSÕES.................................... 62 3.5 DENSIDADE E MEDIDA PARA O CONJUNTO DE PONTOS .............................. 63 3.5.1 OBSERVAÇÕES DA DENSIDADE........................................................................... 65 3.5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL.............................................................................................. 66 3.6 DENSIDADE E MEDIDA DE LINHAS RETAS ....................................................... 69 3.7 LINHAS RETAS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA .......................................... 71 3.8 PLANOS ALEATÓRIOS ............................................................................................ 72 3.9 PLANOS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA ....................................................... 74 3.10 DISTRIBUIÇÃO DO TAMANHO DAS PARTÍCULAS ........................................... 75 3.11 FIGURAS NUM ESPAÇO DE TRÊS DIMENSÕES ................................................. 80 4 TALUDE DA MINA DE TIMBOPEBA................................................................... 83 4.1 GEOMETRIA LOCAL E GEOMETRIA DOS TALUDES DA MINA DE
TIMBOPEBA............................................................................................................... 83
viii
4.2 CARACTERÍSTICAS DAS DESCONTINUIDADES DOS TALUDES SUL E SUDESTE..................................................................................................................... 90
4.3 DESCRIÇÃO E CARACTERÍSTICAS GEOMECÂNICAS DOS TALUDES.......... 90 5 MODELAGEM DO COMPRIMENTO DO TRAÇO MÉDIO ............................. 98 5.1 MODELO MATEMÁTICO PARA O COMPRIMENTO DE TRAÇO MÉDIO........ 99 5.2 RELAÇÃO ENTRE O ÂNGULO DE MERGULHO APARENTE (qA) E A
ORIENTAÇÃO ENTRE O PLANO DA DESCONTINUIDADE E O PLANO DE AMOSTRAGEM ................................................................................................. 103
5.3 DERIVAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO TRAÇO MÉDIO.......................................... 109 5.4 APLICAÇÃO DO MODELO DO TRAÇO MÉDIO AOS DADOS DO CASO
ESTUDADO............................................................................................................... 113 5.5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA...................................................................... 114 6 MODELAGEM PROBABILÍSTICA DAS DESCONTINUIDADES EM 3D.... 118 6.1 AMOSTRAGEM DOS DADOS................................................................................ 119 6.2 REGIÃO ESTATISTICAMENTE HOMOGÊNEA .................................................. 119 6.3 DETERMINAÇÃO DAS FAMÍLIAS DE DESCONTINUIDADES DE CADA
REGIÃO..................................................................................................................... 122 6.4 ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES........................................................ 128 6.4.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA POR ORIENTAÇÃO...................... 129 6.4.2 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES ...................... 135 6.5 TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES.............................................................. 138 6.5.1 CORREÇÃO DE ERROS DE TENDÊNCIA DO COMPRIMENTO DO
TRAÇO....................................................................................................................... 141 6.5.2 DIÂMETRO DA DESCONTINUIDADE ................................................................. 144 6.6 ESPAÇAMENTO DAS DESCONTINUIDADES .................................................... 146 6.6.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA E DENSIDADE LINEAR DAS
DESCONTINUIDADES............................................................................................ 147 6.6.2 DENSIDADE VOLUMÉTRICA DAS DESCONTINUIDADES ............................. 151 6.6.3 NÚMERO DE DESCONTINUIDADES ................................................................... 152 6.7 MODELAGEM PROBABILÍSTICA DA DESCONTINUIDADE EM 3D.............. 153 6.8 MODELAGEM DO NÚMERO DE DESCONTINUIDADES.................................. 154 6.9 MODELAGEM DA LOCALIZAÇÃO DOS CENTROS DAS
DESCONTINUIDADES............................................................................................ 155 6.10 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES ...................... 156 6.11 MODELAGEM DO DIÂMETRO DAS DESCONTINUIDADES ........................... 159 7 VERIFICAÇÃO DO MODELO DAS DESCONTINUIDADES.......................... 160 7.1 GERAÇÃO VISUAL DOS MODELOS EM 3D....................................................... 160 7.2 MODELOS 3D DAS CINCO REGIÕES ANALISADAS ........................................ 162 7.3 VERIFICAÇÃO DA PREVISÃO DO MODELO 3D ............................................... 167 8 CONCLUSÕES......................................................................................................... 175 8.1 MODELO PROBABILÍSTICO DAS DESCONTINUIDADES EM 3D .................. 175 8.2 GENERALIZAÇÃO DO MODELO DO TAMANHO DO TRAÇO ........................ 177 8.3 PREVISÃO DO MODELO 3D.................................................................................. 177 8.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS ........................................................ 178 REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 179
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A ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES..................................................... 183 B TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES ........................................................... 209 C DENSIDADE DAS DESCONTINUIDADES......................................................... 224 D MODELAGEM DAS DESCONTINUIDADES..................................................... 227 E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA .................................................................. 247
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LISTA DE TABELAS Tabela Página 2.1 Distribuições de probabilidade mais comuns (modificado - Ang & Tang, 1975).......... 17 2.2 Colocação das hipóteses ................................................................................................. 19 2.3 Testes estatísticos mais comuns, sua funções e condições de aplicação. ....................... 21 2.4 Valores críticos do teste estatístico de K-S, para distribuição de uma e duas
caudas (modificado - Davis, 1986) ................................................................................. 23 2.5 Valores críticos de R para o teste de uniformidade de uma distribuição esférica.
(modificado - Davis, 1986)............................................................................................. 42 2.6 Características das descontinuidades de alguns modelos ............................................... 52 4.1 Coluna estratigráfica do Pré-Cambriano no Quadrilatero Ferrífero (modificado –
Durand, 1995) ................................................................................................................. 84 4.2 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sul.................................... 86 4.3 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sudeste............................. 87 4.4 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sul
(modificado - Durand, 1995). ......................................................................................... 92 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste
(modificado - Durand, 1995). ......................................................................................... 93 5.1 Resultados dos coeficientes A e B calculados numericamente. ................................... 117 5.2 Traço médio µ considerando amostragem por superfície. ............................................ 117 6.1 Quantidade de descontinuidades secundárias mapeadas por região............................. 120 6.2 Componentes dos eixos cartesianos dos dados direcionais da Galeria G13................. 121 6.3 Cálculo do teste de uniformidade das cinco regiões analisadas ................................... 121 6.4 Quantidade de famílias por região e quantidade de dados por família......................... 128 6.5 Valores estatísticos dos dados de orientação das famílias de descontinuidades .......... 136 6.6 Teste de ajuste c2 dos dados de orientação com a distribuição de Fisher .................... 138 6.7 Resultados dos teste de ajuste não paramétricos (c2 e K-S) dos dados de
comprimento do traço. .................................................................................................. 140 6.8 Freqüência e traço médio das famílias de descontinuidades considerando
amostragem por scanline. ............................................................................................. 143 6.9 Traço médio para um plano infinito considerando amostragem por superfície. .......... 144 6.10 Espaçamento médio e densidade linear corrigidos para cada família de
descontinuidades........................................................................................................... 148 6.11 Resultado dos teste de ajuste de curva para as distribuições do espaçamento das
descontinuidades de cada família. ................................................................................ 149 6.12 Densidade 3D das famílias de descontinuidades (scanline e superficial)..................... 152 6.13 Número médio de descontinuidades para amostragem por scanline e por superfície
...................................................................................................................................... 153 7.1 Arquivo de dados do modelo e das descontinuidades da galeria 12 e família 10 ........ 162 7.2 Quantidade de descontinuidades gerada pelo modelo por região e por família de
descontinuidades........................................................................................................... 163
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LISTA DE FIGURAS Figura Página 2.1 Distribuição de freqüência da variável aleatória de resistência última de ensaio de
cisalhamento (modificado - Ang & Tang, 1975).............................................................. 6 2.2 Distribuição de freqüência e de probabilidade normal da variável aleatória de
dados de densidade máxima (modificado - Ang & Tang, 1975). ..................................... 8 2.3 Distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas (modificado –
Ang &Tang, 1975)............................................................................................................ 9 2.4 Aplicação do nível de significância da hipótese nula (H0) para um caso bilateral ........ 20 2.5 Procedimento de Kolmogorov-Smirnov para teste ajuste de curva, linha tracejada
é a amostra e linha contínua é modelo hipotético (modificado - Davis, 1986) .............. 23 2.6 Direções das estratificações glaciais: (a) Direções em vetores unitários; (b)
Direções em diagrama de rosetas (modificado - Davis, 1986). ...................................... 25 2.7 Uso do comprimento da resultante para representar o grau de dispersão do grupo
de vetores unitários (modificado - Davis, 1986). ........................................................... 26 2.8 Efeito de duplicar a direção angular para calcular a direção média. (modificado -
Davis, 1986).................................................................................................................... 28 2.9 Sistema de notação de vetores no espaço de três dimensões: (a) vetor no espaço
cartesianos X, Y e Z; (b) Vetor no espaço esférico f e q (modificado - Davis, 1986). .............................................................................................................................. 29
2.10 Notação de direção de mergulho (dip direction) e mergulho (dip) para vetores em três dimensões (modificado - Davis, 1986). ................................................................... 30
2.11 Projeção do vetor (a, b) no vetor (u, v) (modificado - Davis, 1986). ............................. 32 2.12 Projeção de dois vetores opostos diametralmente no vetor próprio [b2]. As
distâncias d1 e d2 são idênticas e atuam no mesmo sentido rotacional (modificado - Davis 1986). ................................................................................................................. 35
2.13 Padrões de distribuição de vetores na esfera unitária. (a) parcialmente regular; (b) unimodal; (c) bimodal; (d) completamente regular e (e) uniforme (modificado - Davis, 1986).................................................................................................................... 36
2.14 Classificação dos padrões de vetores na esfera unitária com relação a K = ln (λ1/λ2) / ln (λ2/λ3) (modificado - Davis, 1986). ........................................................... 36
2.15 Vetores dentro do hemisfério superior da esfera unitária e suas projeções num diagrama polar de igual área (modificado - Davis, 1986). ............................................. 37
2.16 Desenhos dos pólos do plano: (a) Plano com seus pólos na esfera unitária. (b) Pólos de um plano projetado no estereograma (modificado - Davis, 1986)................... 38
2.17 Distribuição acumulada de dados de direção e a distribuição de Fisher acumulada. ..... 40 2.18 Orientação das descontinuidades, direção e mergulho (strike / dip), direção de
mergulho e mergulho (dip direction / dip)...................................................................... 43 2.19 Comparação das distribuições adotadas com dados observados: (a) distribuição
acumulada lognormal e gamma com dados de comprimento do traço; (b) distribuição acumulada exponencial com dados de espaçamento (modificado - Baecher, et al., 1977). ..................................................................................................... 46
2.20 Modelo de Beacher, com descontinuidades em forma de discos com extremos em rocha intacta ou na interseção com outras descontinuidades. (Dershowitz e Einstein, 1988). ............................................................................................................... 47
2.21 Modelo de Veneziano: (a) Traços gerados pelo processo de Poisson; (b) Processo de geração das descontinuidades não persistentes (modificado - Dershowitz &
xii
Einstein, 1988). ............................................................................................................... 48 2.22 Modelo de Veneziano bidimensional ............................................................................. 49 2.23 Geração das descontinuidades do modelo de Dershowitz (modificado -
Dershowitz & Einstein, 1988). ....................................................................................... 50 3.1 Rearranjo da distribuição das agulhas numa circunferência........................................... 55 3.2 Representação geométrica do problema de Buffon: (a) localização da agulha entre
as linhas LA e LB; (b) domínio (q, x) das agulhas que estão entre as linhas LA e LB. .................................................................................................................................. 56
3.3 Representação geométrica do problema de Bertrand: (a) PRIMEIRO, probabilidade de 1/3; (b) SEGUNDO, probabilidade de ½; (c) TERCEIRO, probabilidade de ¼ (modificado - Langevin, 1997) ....................................................... 57
3.4 Plano convexo K e densidade dos pontos P externos a K .............................................. 66 4.1 Planta do talude (SE-NW) contendo os taludes sul e sudeste (modificado -
Durand, 1995). ................................................................................................................ 85 4.2 Plano do talude sul setorizado mostrando as galerias de exploração e as duas
descontinuidades notáveis de cisalhamento no maciço 06 (modificado - Durand, 1995) ............................................................................................................................... 88
4.3 Plano do talude sudeste setorizado mostrando as 9 bermas (modificado - Durand, 1995) ............................................................................................................................... 89
5.1 Intersecção da descontinuidade com a janela de amostragem retangular
(modificado - Kulatilake & Wu, 1984)......................................................................... 102 5.1 Intersecção da descontinuidade com a janela de amostragem retangular
(modificado - Kulatilake & Wu, 1984)......................................................................... 100 5.2 Componentes cartesianas do vetor normal a qualquer plano no espaço....................... 103 5.3 Relação geométrica entre os planos da descontinuidade, da janela de amostragem
e do plano horizontal de referencia............................................................................... 104 5.4 Ângulo d, definido entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho da
janela de amostragem.................................................................................................... 107 5.5 Descontinuidade com ambos extremidades censurados, h/senθA ≤ x ≤ ∞, e
θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984) ................................................. 109 5.6 Descontinuidade com ambas extremidades censuradas, 0 ≤ x ≤ h/senθA, e
θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984). ................................................ 111 5.7 Descontinuidade com ambas extremidades visíveis, 0 ≤ x < h/senθA, e
θA ≥ tg-1 (h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984). ............................................... 112 6.1 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sudeste .......... 123 6.2 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades do Talude
Sudeste .......................................................................................................................... 123 6.3 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 11.................. 124 6.4 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades da Galeria
11 .................................................................................................................................. 124 6.5 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 12.................. 125 6.6 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 12 .. 125 6.7 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 13.................. 126 6.8 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 13 .. 126 6.9 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sul ................. 127
xiii
6.10 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades do Talude Sul ................................................................................................................................. 127
6.11 Histograma bivariacional dos dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste.... 128 6.12 Família de descontinuidades intersectada pela linha de amostragem ou scanline
(modificado - Priest, 1985) ........................................................................................... 130 6.13 Posição da descontinuidade e a janela de amostragem quando o canto P toca um
ponto do perímetro da descontinuidade (modificado – Wathugala et al., 1990). ......... 132 6.14 Distribuição da freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 134 6.15 Histograma bivariacional dos dados de orientação corrigidos da família 1 do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 135 6.16 Teste de ajuste não paramétrico c2 da distribuição de Fisher para os dados de
orientação corrigidos da família 1 do Talude Sudeste.................................................. 137 6.17 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste....... 139 6.18 Comprimento de traço médio para a família 1 do Talude Sudeste: (a) Freqüência
média; (b) Comprimento médio.................................................................................... 142 6.19 Distribuição de probabilidade discretizada do diâmetro P(D), a função de
probabilidade do diâmetro g(D) e média , da família 1 do Talude Sudeste. ............... 146 6.20 Histograma do espaçamento, família 1 do Talude Sul, ajustada à função
Lognormal..................................................................................................................... 149 6.21 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 11.......................... 155 6.22 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste. .................................... 156 6.23 Histograma bivariacional de orientação dos dados observado e modelados do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 157 6.24 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste ........ 158 6.25 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste......... 158 6.26 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste. ........................... 159 7.1 Esquema de geração do volume do modelo com orientação definida da superfície
ou janela de amostragem............................................................................................... 163 7.1 Esquema de geração do volume do modelo com orientação definida da superfície
ou janela de amostragem............................................................................................... 161 7.2 Disco da descontinuidade intersectando o volume do modelo. .................................... 161 7.3 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sudeste da
Mina de Timbopeba (dimensões em metros)................................................................ 165 7.4 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 11 da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 165 7.5 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 12 da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 166 7.6 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 13 da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 166 7.7 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sul da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 167 7.8 Modelo do Talude Sul com a escavação das 3 galerias e da galeria transversal de
ligação........................................................................................................................... 168 7.9 Modelo do Talude Sul com as Galerias 11, 12 e 13. .................................................... 168 7.10 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 11 (as linhas
tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 11). ..................................... 169 7.11 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 12 (as linhas
tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 12). ..................................... 169
xiv
7.12 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 13 (as linhas tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 13). ..................................... 170
7.13 Verificação do Modelo com a Galeria 11: (a) Galeria 11 tirada do Modelo do Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 11; e (c) Modelo da Galeria 11. ................................................................................................................................. 171
7.14 Verificação do Modelo com a Galeria 12: (a) Galeria 12 tirada do Modelo do Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 12; e (c) Modelo da Galeria 12. ................................................................................................................................. 173
7.15 Verificação do Modelo com a Galeria 13: (a) Galeria 13 tirada do Modelo do Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 13; e (c) Modelo da Galeria 13. ................................................................................................................................. 174
8.1 Modelo determinístico e probabilístico da distribuição das descontinuidades
mostrando a diferencia nas densidades para regiões próximas no mesmo modelo. ..... 176 A.1 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 184 A.2 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 2 do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 184 A.3 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 3 do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 185 A.4 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 10 do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 185 A.5 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da
Galeria 11...................................................................................................................... 186 A.6 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 2 da
Galeria 11...................................................................................................................... 186 A.7 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 10 da
Galeria 11...................................................................................................................... 187 A.8 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da
Galeria 12...................................................................................................................... 187 A.9 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 10 da
Galeria 12...................................................................................................................... 188 A.10 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da
Galeria 13...................................................................................................................... 188 A.11 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do
Talude Sul ..................................................................................................................... 189 A.12 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste...... 190 A.13 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 2 do Talude Sudeste...... 190 A.14 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 3 do Talude Sudeste...... 190 A.15 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 do Talude Sudeste.... 191 A.16 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 11.............. 191 A.17 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 2 da Galeria 11.............. 191 A.18 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 da Galeria 11............ 192 A.19 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 12.............. 192 A.20 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 da Galeria 12............ 192 A.21 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 13.............. 193 A.22 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sul............. 193 A.23 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 193
xv
A.24 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 2 do Talude Sudeste.............................................................................................................. 194
A.25 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 3 do Talude Sudeste.............................................................................................................. 194
A.26 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 10 do Talude Sudeste.............................................................................................................. 194
A.27 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da Galeria 11...................................................................................................................... 195
A.28 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 2 da Galeria 11...................................................................................................................... 195
A.29 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 10 da Galeria 11...................................................................................................................... 195
A.30 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da Galeria 12...................................................................................................................... 196
A.31 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 10 da Galeria 12...................................................................................................................... 196
A.32 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da Galeria 13...................................................................................................................... 196
A.33 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 do Talude Sul ..................................................................................................................... 197
A.34 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sudeste ................................................. 198 A.35 Teste de ajuste χ2 para a família 2 do Talude Sudeste ................................................. 199 A.36 Teste de ajuste χ2 para a família 3 do Talude Sudeste ................................................. 200 A.37 Teste de ajuste χ2 para a família 10 do Talude Sudeste ............................................... 201 A.38 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 11 ......................................................... 202 A.39 Teste de ajuste χ2 para a família 2 da Galeria 11 ......................................................... 203 A.40 Teste de ajuste χ2 para a família 10 da Galeria 11 ....................................................... 204 A.41 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 12 ......................................................... 205 A.42 Teste de ajuste χ2 para a família 10 da Galeria 12 ....................................................... 206 A.43 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 13 ......................................................... 207 A.44 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sul ........................................................ 208 B.1 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste....... 210 B.2 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 2 do Talude Sudeste....... 210 B.3 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 3 do Talude Sudeste....... 211 B.4 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 do Talude Sudeste..... 211 B.5 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 11............... 212 B.6 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 2 da Galeria 11............... 212 B.7 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 da Galeria 11............. 213 B.8 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 12............... 213 B.9 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 da Galeria 12............. 214 B.10 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 13............... 214 B.11 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sul.............. 215 B.12 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sudeste..................................... 216 B.13 Comprimento de traço médio da família 2 do Talude Sudeste..................................... 216 B.14 Comprimento de traço médio da família 3 do Talude Sudeste..................................... 216 B.15 Comprimento de traço médio da família 10 do Talude Sudeste................................... 217 B.16 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 11............................................. 217 B.17 Comprimento de traço médio da família 2 da Galeria 11............................................. 217 B.18 Comprimento de traço médio da família 10 da Galeria 11........................................... 218
xvi
B.19 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 12............................................. 218 B.20 Comprimento de traço médio da família 10 da Galeria 12........................................... 218 B.21 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 13............................................. 219 B.22 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sul ............................................ 219 B.23 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 do Talude
Sudeste .......................................................................................................................... 219 B.24 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 2 do Talude
Sudeste .......................................................................................................................... 220 B.25 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 3 do Talude
Sudeste .......................................................................................................................... 220 B.26 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 do Talude
Sudeste .......................................................................................................................... 220 B.27 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria
11 .................................................................................................................................. 221 B.28 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 2 da Galeria
11 .................................................................................................................................. 221 B.29 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da
Galeria 11...................................................................................................................... 221 B.30 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria
12 .................................................................................................................................. 222 B.31 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da
Galeria 12...................................................................................................................... 222 B.32 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria
13 .................................................................................................................................. 222 B.33 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 do Talude
Sul ................................................................................................................................. 223 C.1 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 11 .............................................. 225 C.2 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 12 .............................................. 225 C.3 Histograma do espaçamento da família 10 da Galeria 12 ............................................ 225 C.4 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 13 .............................................. 226 C.5 Histograma do espaçamento da família 1 do Talude Sul.............................................. 226 D.1 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sudeste.................... 228 D.2 Modelo do número de descontinuidades da família 2 do Talude Sudeste.................... 228 D.3 Modelo do número de descontinuidades da família 3 do Talude Sudeste.................... 228 D.4 Modelo do número de descontinuidades da família 10 do Talude Sudeste.................. 229 D.5 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 11............................ 229 D.6 Modelo do número de descontinuidades da família 2 da Galeria 11............................ 229 D.7 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 11.......................... 230 D.8 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 12............................ 230 D.9 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 12.......................... 230 D.10 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 13............................ 231 D.11 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sul........................... 231 D.12 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste ..................................... 231 D.13 Modelo de localização em y da família 1 do Taludes Sudeste ..................................... 232 D.14 Modelo de localização em z da família 1 do Taludes Sudeste ..................................... 232 D.15 Modelo de localização em x da família 2 do Taludes Sudeste ..................................... 232 D.16 Modelo de localização em y da família 2 do Taludes Sudeste ..................................... 233 D.17 Modelo de localização em z da família 2 do Taludes Sudeste ..................................... 233
xvii
D.18 Modelo de localização em x da família 3 do Taludes Sudeste ..................................... 233 D.19 Modelo de localização em y da família 3 do Taludes Sudeste ..................................... 234 D.20 Modelo de localização em z da família 3 do Taludes Sudeste ..................................... 234 D.21 Modelo de localização em x da família 10 do Taludes Sudeste ................................... 234 D.22 Modelo de localização em y da família 10 do Taludes Sudeste ................................... 235 D.23 Modelo de localização em z da família 10 do Taludes Sudeste ................................... 235 D.24 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do
Talude Sudeste.............................................................................................................. 235 D.25 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da
Galeria 11...................................................................................................................... 236 D.26 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da
Galeria 12...................................................................................................................... 236 D.27 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da
Galeria 13...................................................................................................................... 237 D.28 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do
Talude Sul ..................................................................................................................... 237 D.29 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste ........ 238 D.30 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste......... 238 D.31 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 11................ 239 D.32 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 11................. 239 D.33 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 12................ 240 D.34 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 12................. 240 D.35 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 13................ 241 D.36 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 13................. 241 D.37 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sul ............... 242 D.38 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sul................ 242 D.39 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste ............................ 243 D.40 Histograma do diâmetro modelado da família 2 do Talude Sudeste ............................ 243 D.41 Histograma do diâmetro modelado da família 3 do Talude Sudeste ............................ 243 D.42 Histograma do diâmetro modelado da família 10 do Talude Sudeste .......................... 244 D.43 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 11 .................................... 244 D.44 Histograma do diâmetro modelado da família 2 da Galeria 11 .................................... 244 D.45 Histograma do diâmetro modelado da família 10 da Galeria 11 .................................. 245 D.46 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 12 .................................... 245 D.47 Histograma do diâmetro modelado da família 10 da Galeria 12 .................................. 245 D.48 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 13 .................................... 246 D.49 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sul ................................... 246
xviii
LISTA DE ABREVIAÇÕES, NOMENCLATURAS E SIMBOLOGIA
(ξ1, η1) coordenadas do ponto de tangência A1.
(λi)j densidade ou freqüência linear da família de descontinuidades j na linha de
amostragem i.
[dx dy] multiplicação exterior ou derivada de vetores.
1/λ espaçamento médio das descontinuidades observadas.
1D espaço de uma dimensão.
2D espaço de duas dimensões.
3D espaço de três dimensões.
A valor esperado do cosseno aparente da descontinuidade com o plano de
amostragem.
A, D ângulos de direção de mergulho e de mergulho do plano da descontinuidade.
ABGE Associação Brasileira de Geologia de Engenharia e Ambiental.
Aj área da descontinuidade.
As área do plano de amostragem.
B valor esperado do seno aparente da descontinuidade com o plano de amostragem.
b1, b2 e b3 vetores próprios do conjunto de dados de direção, ortogonais entre si.
bias erro de amostragem ou erro por tendência.
c altura máxima da janela de amostragem para a análise do comprimento do traço.
C curva plana.
C ponto médio do traço da descontinuidade.
Ca comprimento da corda que atravessa o centro da descontinuidade elíptica
orientada a um certo ângulo α.
CBMR Comitê Brasileiro de Mecânica das Rochas.
CDF Distribuição de probabilidade acumulada.
Cmax comprimento da corda máxima de uma descontinuidade elíptica
Cmin comprimento da corda mínima de uma descontinuidade elíptica
Cov(X) Covariância esperada da variável X.
CVRD Companhia Vale do Rio Doce.
d extremidade do traço da descontinuidade terminando em outra descontinuidade.
d diferença máxima do teste de ajuste de Kolmogorov-Smirnof.
xix
d vetor de máximo mergulho do plano da descontinuidade.
df graus de liberdade do teste de ajuste qui quadrado.
dj comprimento de influência da descontinuidade.
ds comprimento de influência do plano de amostragem.
D diâmetro médio da descontinuidade.
D matriz de covariâncias.
D diâmetro da descontinuidade.
Dj diâmetro da descontinuidade discretizado em faixas de valores.
DNPM Departamento Nacional de Produção Mineral.
ea espaçamento aparente das descontinuidades.
er espaçamento real das descontinuidades.
E Este.
E’(x) espaçamento médio corrigido em base ao comprimento L de scanline.
E(X) Média esperada da variável X.
E(Y|X=x) valor esperado da direção de mergulho da distribuição bivariacional.
E(λv) densidade média das descontinuidades em 3D.
f(x) distribuição de probabilidade do traço das descontinuidades.
f(x, I) distribuição de probabilidade do comprimento do traço quando acontece a
interseção com o plano de amostragem.
f(x|D,I) distribuição de probabilidade condicional do comprimento x quando ocorre o
diâmetro D e a interseção I.
f(θ) distribuição de probabilidade de Fisher.
f(θ, α) distribuição bivariacional de θ e α.
fa(θ, α) distribuição bivariacional do mergulho θ e da direção de mergulho α.
fX(x) Distribuição de probabilidade da variável X contínua.
fuzzy lógica não bouleana ou nebulosa.
F teste estatístico F das variâncias.
F(a) distribuição de probabilidade de área a de uma figura plana.
F(r) distribuição de probabilidade acumulada de diâmetros r.
FX(x) função da distribuição de probabilidade acumulada da variável X para o valor x.
g(D) distribuição de probabilidade do diâmetro da descontinuidade inferido pela
probabilidade geométrica.
g(X) função da variável X.
xx
G linha reta.
h comprimento da altura da janela de amostragem.
h vetor unitário paralelo à direção do plano da descontinuidade.
H altura do plano ou janela de amostragem retangular.
H0 hipótese estatística nula.
H1 hipótese estatística alternativa.
I interseção da descontinuidade com o plano de amostragem.
ISMR Associação Internacional de Mecânica das Rochas.
K-S teste de ajuste estatístico não paramétrico de Kolmogorov-Smirnov.
l segmentos lineares.
l comprimento do traço médio numa superfície infinita.
l número de traços com ambos extremos visíveis.
L comprimento da linha de amostragem scanline.
L comprimento do círculo.
l1, l2 comprimento médio do semitraço pelo método de Priest &Hudson (1981) e
Cruden (1977), respectivamente.
li comprimento médio dos semitraços.
m número de traços com um extremo visível.
m vetor unitário de mergulho aparente do plano da descontinuidade.
m(C, L) medida da curva plana C sobre a linha L.
m(R) medida de probabilidade ou de Lebesgue de uma região limitada em R.
M(E) medida de probabilidade do conjunto E para um número aleatório de elementos.
MG Minas Gerais.
Mm momento da distribuição de probabilidade F(r).
mm momento da distribuição de probabilidade φ(x).
n número de dados.
nd vetor unitário normal ao plano da descontinuidade.
ne vetor unitário na direção de medida do espaçamento aparente ea.
ni vetor resultante do produto escalar entre os vetores unitários n (normal ao plano
da descontinuidade) e o vetor i paralelo à linha de amostragem.
nj vetor unitário normal ao plano de amostragem.
N Norte.
N número total de traços observados no plano de amostragem.
xxi
N0 número total de traços observados com ambas extremidades censuradas.
N1 número total de traços observados com uma extremidade censurada.
N2 número total de traços observados com ambas extremidades visíveis.
p1 vetor unitário perpendicular ao plano da descontinuidade.
p2 vetor unitário perpendicular ao plano ou janela de amostragem.
pX(x) Distribuição de probabilidade da variável X discreta.
P(Dj) distribuição de probabilidade discretizada do diâmetro da descontinuidade Dj.
P(E) medida de probabilidade E para um número fixo de elementos.
P(I|D) distribuição de probabilidade condicional de interseção quando ocorre o diâmetro
D.
P(X ≤ x) Probabilidade da variável aleatória X de ser menor que o valor x.
P0(W) probabilidade da descontinuidade intercepte a janela de amostragem e que ao
mesmo tempo não apresente nenhum extremo visível.
P1(W) probabilidade da descontinuidade intercepte a janela de amostragem e que ao
mesmo tempo apresente um extremo visível.
PDF Distribuição de probabilidade dos dados contínuos.
PMF Distribuição de probabilidade dos dados discretos.
r0 diâmetro médio de uma esfera.
r extremidade de descontinuidade terminando em rocha intacta.
r vetor unitário paralelo ao comprimento horizontal do plano ou janela de
amostragem.
r número total de descontinuidades com semitraços menores que c.
R resultante dos vetores direção.
R0 relação entre o número de traços censurados (ambas extremidades não visíveis) e
o número total de traços.
R1 resultante do conjunto de amostras 1.
R2 resultante do conjunto de amostras 2.
R2 relação entre o número de traços não censurados (ambas extremidades visíveis) e
o número total de traços.
RMR Classificação de Beniawski.
Rp resultante do conjunto de amostras 1 e 2.
RU valor gerado aleatoriamente entre 0 e 1.
R resultante média dos vetores direção.
xxii
s desvio padrão das observações ou amostras.
s vetor unitário paralelo à altura do plano ou janela de amostragem.
s2 variância dos dados observados ou amostrados.
s20 variância circular dos vetores de direção.
scanline linha de amostragem na superfície do maciço rochoso.
se erro padrão.
S Sul.
S* variância dos dados direcionais.
t teste estatístico de Student.
t1, t2 comprimento das tangentes PA1 e PA2 respectivamente.
v ângulo entre o plano da descontinuidade e o plano de amostragem.
V volume total de influencia, V1 + V2.
V(X) coeficiente de variação da variável X.
V1 volume de influencia da descontinuidade.
V2 volume de influencia do plano de amostragem.
Var(X) Variância esperada da variável X.
Var(Y|X=x) variância esperada da direção de mergulho da distribuição bivariacional.
w comprimento da base da janela de amostragem.
w fator de correção de freqüência dos dados de direção.
w' fator de correção de freqüência global dos dados de direção.
W comprimento horizontal do plano ou janela de amostragem retangular.
W Oeste.
x’, y’, z’ coordenadas cartesianas da transformada das coordenadas x, y, z.
x extremidade de descontinuidade externa ou não visível.
x comprimento do traço.
xi medida observado ou amostrada.
xm mediana das observações ou amostras x
x média das observações ou amostras x.
Xi, Yi, Zi coordenadas cartesianas do vetor direção.
Xr, Yr, Zr coordenadas cartesianas do vetor resultante.
Z valor normalizado da variável X e teste estatístico Z.
Zα valor da probabilidade Z para um certo nível de significância α.
α nível de significância do teste estatístico.
xxiii
α erro relativo do espaçamento médio estimado.
α direção de mergulho do plano de descontinuidade.
αd direção de mergulho do plano da descontinuidade.
αj direção de mergulho do plano de amostragem.
αn direção do vetor normal ao plano da descontinuidade.
αs direção da linha de amostragem (scanline).
βs mergulho da linha de amostragem (scanline).
βn mergulho do vetor normal ao plano da descontinuidade.
δ ângulo agudo entre a direção do scanline e o vetor normal à família de
descontinuidades
δ ângulo entre os planos da descontinuidade média e o plano de amostragem.
δ ângulo entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho do plano de
amostragem.
δX coeficiente de variação esperado da variável X.
θA ângulo de mergulho aparente da descontinuidade.
θ ângulo de mergulho da descontinuidade.
θ, φ coordenadas esféricas.
θj mergulho do plano do plano de amostragem.
θ ângulo da direção média no espaço horizontal.
κ coeficiente de concentração dos vetores direção.
λ freqüência real dos dados de direção.
λ1, λ2 e λ3 valores próprios do conjunto de dados de direção.
λa número médio corrigido de traços por unidade de área.
λs freqüência observada dos dados de direção que interceptam uma linha de s.
λv densidade volumétrica das descontinuidades.
λVT densidade volumétrica total ou de todas as descontinuidades do modelo.
µX, σX média e desvio padrão do mergulho
µY, σY média e desvio padrão da direção de mergulho
µ média da distribuição ou da população de uma variável qualquer.
µ freqüência média do comprimento do traço l.
µ comprimento de traço médio para uma superfície de amostragem infinita.
xxiv
µ1, µ2 freqüência média do traço l1 e l2 respectivamente.
µi freqüência média do comprimento do semitraço li.
ν graus de liberdade da variável analisada estatisticamente.
π constante pi.
ρ coeficiente de correlação de duas variáveis.
ρ raio de curvatura.
σ desvio padrão da distribuição ou da população
σ2 variância da distribuição ou da população de qualquer variável.
σc resistência à compressão uniaxial simples da rocha intacta.
φ mergulho do plano de descontinuidade.
φ(α) distribuição de probabilidade acumulada da área α da projeção da área a sobre um
plano fixo.
φ(x), F(x) distribuição de probabilidade acumulada do diâmetro dos círculos ou do
comprimento x.
ϕ ângulo da direção perpendicular à tangente.
χ2 teste de ajuste estatístico não paramétrico qui quadrado.
ω ângulo entre A1PA2.
xxv
Capítulo 1
1 INTRODUÇÃO
Com freqüência os engenheiros geotécnicos enfrentam decisões com certo nível de
incerteza. O solo e a rocha de forma natural apresentam uma variabilidade inerente, pelo que
uma das mais difíceis tarefas é a escolha razoável de parâmetros representativos do material.
Tradicionalmente têm sido utilizadas aproximações determinísticas para análises simples, já
que o conhecimento de ferramentas estatísticas e probabilísticas não é abrangente a ponto de
modelar adequadamente a variabilidade das propriedades do solo e/ou rocha (Lee, 1993).
O solo e a rocha são materiais formados pela natureza e suas propriedades físicas
variam de ponto a ponto (também com o tempo) como resposta à alteração de agentes
externos, como os processos tectônicos, condições ambientais durante e após a sua formação,
carregamentos, entre outros.
Para uma análise estatística em Geotecnia se deverá ter presente as seguintes
características:
• Dispersão dos dados - é a dispersão dos valores sobre uma média devido à variação das
medidas num mesmo ponto (não repetibilidade) e à variação das propriedades de um ponto
para outro (variabilidade espacial).
• Erros sistemáticos ou de tendência (bias) - originados de uma má amostragem ou
tratamento das observações, resultando numa medida observada diferente da medida
esperada (ou real). Na estrutura das rochas, este erro pode ocorrer na medida da orientação,
espaçamento ou tamanho das descontinuidades.
• Erro humano – ocorre quando é feita uma escolha errada do modelo mecânico ou
probabilístico que descreve o fenômeno.
O elemento estrutural mais importante do maciço rochoso é a descontinuidade, que
determina o tamanho dos blocos e o grau de fraturamento do maciço rochoso, tendo assim um
material não contínuo. Entre as descontinuidades, são formados os blocos de rocha que terão
um comportamento mecânico e hidráulico muito influenciado pelas características
geométricas e mecânicas das descontinuidades. Considerando, no maciço rochoso, dois tipos
de descontinuidades, as principais (falhas, diques etc.) e as secundárias (fissura, contatos entre
camadas, juntas etc.) e tendo presente a escala do projeto, as descontinuidades principais
1
podem ser tratadas de forma determinística, como uma única descontinuidade, enquanto que
as descontinuidades secundárias devem ser tratadas de forma estatística. Para muitos projetos
de engenharia civil, de minas e de petróleo, em níveis superficiais, o maciço contém só
algumas descontinuidades principais com características únicas e de tratamento
determinístico. Por outro lado a maior parte será de descontinuidades secundárias, que pelo
seu caráter inerente de variabilidade espacial e mecânica, devem ser tratadas de forma
estatística (Kulatilake, 1993). Para uma análise estatística das descontinuidades secundárias,
várias incertezas podem ocorrer no processo de amostragem, sendo que para a medida do
comprimento das descontinuidades as seguintes são as principais:
• Erro de truncamento - Ao escolher um comprimento mínimo a ser medido, para registrar o
comprimento (geralmente um metro).
• Erro de comprimento - Ocorre quando é adotado o método de scanline para o
levantamento das medidas de comprimento, sendo que as descontinuidades de maior
comprimento terão maior chance de interceptar uma linha de amostragem e por
conseguinte de ser amostrada. Sugere-se uma distribuição exponencial para a análise deste
erro (Mostyn & Li, 1993).
1.1 MOTIVAÇÃO DA PESQUISA
Considerando o maciço rochoso fraturado e descontínuo, a caracterização
probabilística de suas propriedades geométricas e estruturais é muito mais complexa do que
para os maciços de solo, em geral. Considerando ainda a limitação da medida das
descontinuidades no maciço rochoso, no caso de observações em afloramentos rochosos,
superfícies de escavações ou testemunhos de sondagem, se faz importante a modelagem
probabilística para definir a distribuição geométrica das descontinuidades no volume do
maciço rochoso não acessível. Com este modelo probabilístico da estrutura do maciço
rochoso será possível aperfeiçoar a capacidade de previsões de estabilidade, fluxo ou tensão-
deformação de projetos em maciços rochosos fraturado.
1.2 OBJETIVO DA PESQUISA
O objetivo desta tese de doutorado é desenvolver um modelo probabilístico para a
representação da distribuição tridimensional de descontinuidades, com base em vários
procedimentos estatísticos e probabilísticos apresentados por vários autores, além disso a
2
implementação da formulação geral para o cálculo do tamanho das descontinuidades que são
consideradas como discos circulares planos, por tratar-se de maciços rochosos isotrópicos e
homogêneos, e que possuem como parâmetros a orientação, o diâmetro e a localização do
centro do disco (ou densidade). Também é objetivo apresentar uma aplicação prática do
modelo na inferência da estrutura do maciço rochoso para futuras escavações de túneis ou
taludes.
1.3 METODOLOGIA DA PESQUISA
Primeiramente realizou-se uma revisão bibliográfica dos modelos probabilísticos
existentes na atualidade. Também foi feita uma revisão dos diferentes métodos de modelagem
das descontinuidades e feita a comparação entre eles. Foi revisado mais profundamente o
modelo probabilístico de Kulatilake (1993) para ser usado como base para o desenvolvimento
deste trabalho e a contribuição nas formulações de seus parâmetros. A seguir foi feita uma
revisão de Probabilidade Geométrica, como sendo um assunto de importância para a criação
do modelo 3D.
Foi adotado como caso estudo a Mina de Timbopeba, onde já foram feitos
levantamentos estruturais dos taludes e das galerias do maciço rochoso por Durand (1995).
Neste caso estudo adotado, foi aplicado passo a passo o procedimento do modelo de
Kulatilake (1993), sendo necessária a implementação de uma formulação mais geral para o
cálculo do comprimento médio do traço das descontinuidades.
Feita a implementação da formulação geral do traço médio, seguiu-se com a geração
dos demais parâmetros das descontinuidades utilizando o método de Monte Carlo. Com os
parâmetros de localização, diâmetro e orientação das descontinuidades (ou discos circulares
planos), foi gerado o modelo 3D com ajuda do programa AutoLISP, para poder visualizar a
estrutura do modelo interno do maciço, no caso de futuras escavações de túneis e taludes.
Com a implementação visual dos modelos se fez uma comparação do modelo do
Talude Sul com as Galerias, onde foi verificada a capacidade de inferência do modelo, ao
simular as escavações das galerias existentes neste talude e compará-las com os modelos das
próprias galerias, confirmando assim a boa capacidade de previsão do modelo e sua aplicação
no auxílio de projetos.
3
1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Este trabalho está dividido em oito capítulos resumidamente descritos a seguir:
O Capítulo 1 (INTRODUÇÃO) expõe a importância e motivação para o estudo do
tema proposto, os principais objetivos que foram atingidos e a metodologia adotada para
alcançar a meta proposta. No Capítulo 2 (MODELOS PROBABILÍSTICOS DE
DESCONTINUIDADES EM 2D E 3D) se faz uma abordagem dos diferentes modelos
existentes para a modelagem das descontinuidades, assim como uma revisão das principais
ferramentas estatísticas que são utilizadas nos modelos.
O Capítulo 3 (FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE GEOMÉTRICA) apresenta
um dos assuntos chave para o entendimento dos modelos. No Capítulo 4 (TALUDE DA
MINA DE TIMBOPEBA) se faz uma descrição geológica e geotécnica da mina de
Timbopeba apresentando alguns dados de interesse para a aplicação do modelo das
descontinuidades proposto para este caso estudo.
O Capítulo 5 (MODELAGEM DO COMPRIMENTO DO TRAÇO MÉDIO) é um
aporte ao modelo de Kulatilake (1993) na generalização do cálculo do traço médio das
descontinuidades, onde com ajuda da análise vetorial é explicada a derivação das fórmulas
assim como também é verificada a formulação final com o caso particular de Kulatilake &
Wu (1984a).
O Capítulo 6 (MODELAGEM PROBABILÍSTICA DAS DESCONTINUIDADES
EM 3D) apresenta o modelo de Kulatilake (1993), explicando passo a passo o cálculo de cada
um dos parâmetros necessários para sua implementação no caso estudo da Mina de
Timbopeba, junto com a generalização desenvolvida no capítulo anterior.
No Capítulo 7 (VERIFICAÇÃO DO MODELO DAS DESCONTINUIDADES) é feita
a apresentação dos modelos em 3D com ajuda do programa AutoLISP, assim como também é
testada a capacidade de inferência do modelo, simulando a escavação das galerias no modelo
do talude Sul e comparando-a com o mapeamento em campo. No Capítulo 8
(CONCLUSÕES) são apresentadas as principais conclusões e recomendações, às quais se
chegou na análise do modelo gerado e as sugestões para futuras pesquisas.
4
Capítulo 2
2 MODELOS PROBABILÍSTICOS DE
DESCONTINUIDADES EM 2D E 3D
A estatística é uma ciência que tem por objetivo a coleção, análise e interpretação de
dados numéricos a respeito de fenômenos coletivos ou de massa assim como sua
representação numérica e comparativa dos resultados das análises desses fenômenos, em
tabelas ou gráficos. Na maioria das áreas das geociências, os estudos enfocam a parte externa
do globo terrestre, baseando suas análises em observações da superfície e a certa
profundidade da crosta terrestre. Como estas observações têm muitas incertezas devido à
própria formação heterogênea da Terra, a análise estatística é uma importante ferramenta de
pesquisa nesta área. Na geotecnia os parâmetros estudados se enquadram dentro de uma
variabilidade tal que a análise estatística constitui-se numa maneira lógica e sistemática de
considerar esta variabilidade de cada parâmetro, que deve refletir nos resultados finais os
parâmetros geotécnicos ou parâmetros geométricos de descontinuidades.
Por outro lado, a probabilidade é o grau com que se pode esperar ou prever
justificadamente a ocorrência de um evento ou resultado aparentemente casual. A
probabilidade é determinada a partir da freqüência relativa dos sucessos do mesmo gênero,
antes fornecida pela análise estatística. Em outras palavras, a análise probabilística permite
modelar o possível comportamento de um determinado fenômeno que se enquadra dentro de
uma variabilidade previamente descrita e nesta tese modela a ocorrência variável de
descontinuidades em 3D.
Para coletar, descrever e modelar parâmetros geotécnicos, são úteis as seguintes
ferramentas estatísticas.
2.1 ANÁLISE ESTATÍSTICA DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
As medidas de uma variável aleatória são agrupadas em classes que geralmente são
selecionadas em ordem crescente. O número de vezes que um valor aparece no domínio de
uma classe é denominado de freqüência da variável e a representação gráfica destas
5
freqüências é conhecida como distribuição de freqüência da variável aleatória, que oferece
uma melhor visualização e compreensão dos dados. Existem vários tipos de distribuição de
freqüência e uma das mais conhecidas é a distribuição normal (Figura 2.1).
0 350 420 490
30
20
10
0
n = 41x = 396,5s = 6,2
Resistência última cisalhante, MPa
Freq
üênc
ia (%
)
Figura 2.1 Distribuição de freqüência da variável aleatória de resistência última de ensaio de
cisalhamento (modificado - Ang & Tang, 1975).
As variáveis aleatórias podem ser também descritas aproximadamente em termos de
quantidades principais, sendo as mais importantes destas as medidas de tendência central e as
medidas de dispersão da variável aleatória. Além disso, ainda quando a distribuição de
freqüência não é conhecida, as quantidades principais continuam sendo úteis, já que elas
fornecem informações das propriedades da variável aleatória que são importantes em
aplicações práticas. Também os parâmetros da distribuição podem ser derivados em função
destas quantidades, ou elas próprias podem representar parâmetros de distribuição. As
medidas de tendência central são:
A Média que é a média aritmética das observações amostradas, representada por x .
n
xx
n
ii∑
== 1 (2.1)
Onde:
x - média aritmética da variável.
xi - medida das observações amostradas
n - número de dados observados
6
A Moda é o valor da variável aleatória com máxima freqüência ou valor mais medido,
a Mediana é o valor da variável para a qual valores acima e abaixo dela têm igual valor de
freqüência acumulada. Em geral, a Média, Moda e Mediana de uma variável aleatória são
diferentes, especialmente se a distribuição de freqüência não for simétrica, mas no caso de
uma distribuição simétrica, estas três medidas de tendência central serão as mesmas.
As outras quantidades principais são as medidas de dispersão (ou desvio). Estas são as
quantidades que medem quão distantes estão os valores da distribuição de freqüência em
relação aos valores de tendência central. Se o desvio é calculado com relação à Média, então
uma medida razoável e apropriada da dispersão será a variância s2, calculada como:
( )
11
2
2
−
−=
∑=
n
xxs
n
ii
(2.2)
Onde: s2 – é a variância das observações.
De forma dimensional uma medida mais conveniente da dispersão é a raiz quadrada
da variância que é o desvio padrão (s). Existem outras medidas de caracterização da
distribuição das observações como o valor máximo e mínimo, o coeficiente de skewness ou de
assimetria, que mede a assimetria da distribuição, a curtose ou coeficiente de achatamento que
revela quão plano ou aguda é a distribuição.
A população é o conjunto total do universo de medidas e possui os valores reais da
distribuição, como a média (µ), variância (σ2) e o desvio padrão (σ), sendo que estas serão
apresentadas geralmente com as letras gregas correspondentes. No entanto as amostras
coletadas que representam unicamente um subconjunto da população possuem quantidades
principais aproximadas as quais são apresentadas com letras minúsculas como média ( x ),
variância (s2) e desvio padrão (s).
Dificilmente pode-se afirmar com base na variância ou no desvio padrão, se a
dispersão dos dados é grande ou pequena. Para este propósito, a medida de dispersão relativa
a uma medida central é mais útil. Em outras palavras, se a dispersão é grande ou pequena tem
significado somente quando relacionada ao valor central e por esta razão, define-se o
coeficiente de variação V(X), que é dado por:
( )X
XXVµσ
= (2.3)
7
Onde:
V(X) – é o coeficiente de variação da população da variável X
µX e σX – são a média e o desvio padrão da população da variável X respectivamente.
Freqüentemente o coeficiente de variação é preferido como a conveniente medida
adimensional da dispersão ou variabilidade.
2.2 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
A estatística calcula as quantidades principais que descrevem e visualizam melhor o
comportamento de dados amostrais de uma variável aleatória. Com base na análise estatística
pode-se definir qual seria o comportamento mais provável da respectiva população ou
universo desta variável aleatória. Então o primeiro passo é definir qual é a distribuição de
probabilidade que melhor se ajusta à distribuição de freqüência observada e a seguir testada
com os testes estatísticos, assumindo que a distribuição de freqüência é representativa do
universo.
Considerando que cada valor da variável aleatória está relacionado com um valor de
freqüência ou freqüência relativa ou medida de probabilidade, então a regra para descrever as
medidas de probabilidade relacionadas a todos os valores de uma variável aleatória é a
distribuição de probabilidade ou lei de probabilidade. Esta distribuição de probabilidade pode
ter muitas formas matemáticas, como ilustrado na Figura 2.2.
80 90 100 1100
5
10
15
20
25
30
Densidade máxima em laboratorio (%)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
211 Observações
Normalµ = 94,5%σ = 5,7%
Figura 2.2 Distribuição de freqüência e de probabilidade normal da variável aleatória de
dados de densidade máxima (modificado - Ang & Tang, 1975).
8
Se X é uma variável aleatória, sua distribuição de probabilidade pode ser descrita pela
sua função de distribuição acumulada (CDF, cumulative distribution function), a qual é:
( ) ( )xXPxFX ≤≡ para todo x (2.4)
Onde:
FX (x) - função de distribuição acumulada da variável aleatória X, para um valor x
P(X ≤ x) - probabilidade da variável aleatória X de ser menor o igual que o valor x
X será uma variável aleatória discreta se somente certos valores de x apresentam
probabilidade. Por outro lado X será uma variável aleatória contínua se para qualquer valor de
x existe um valor de probabilidade. Uma variável aleatória pode ter ambos tipos de valor,
discreto ou contínuo. Um exemplo disso é a mistura destas variáveis aleatórias como
amostrado a Figura 2.3 onde, pX(x) e fX(x) são as distribuições de probabilidade para uma
variável discreta e uma variável contínua respectivamente. FX(x) é distribuição acumulada
para dados discretos (PMF) e dados contínuos (PDF).
x 5x 4x 3x 2
P (x )X i
x0
PMF
F (x)X1.0
x0 x 1
f (x)X
x0
F (x)X1.0
x
CDF
1.0
f (x)XP (x )X i or
Discreta X Contínua X(a) (b)
Distribução Mixta(c)
x 1 x 2 x 3
PArea = 1 - P
x 1 x 2 x 3
CDF
F (x)X
Figura 2.3 Distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas (modificado –
Ang &Tang, 1975).
A notação padrão define uma variável aleatória com letras maiúsculas, e o valor da
variável aleatória com sua correspondente letra minúscula (Ang &Tang, 1975).
Para uma variável aleatória discreta X, sua distribuição de probabilidade pode ser
descrita também em termos da função de probabilidade de massa (PMF, probability mass
9
function), a qual é simplesmente uma função que expressa a probabilidade da variável X ser
igual a x, P(X = x) para todo x. Por conseguinte, se X é uma variável aleatória discreta com
PMF pX(xi) ≡ P(X = xi) , sua distribuição de probabilidade acumulada será.
( ) ( ) ( ) ( )∑∑≤≤
===≤=xx
iXxx
iXii
xpxXPxXPxF (2.5)
Onde:
FX(x) – é a distribuição acumulada da variável discreta X para um valor x.
P(X ≤ x) – é a probabilidade da variável X ser menor ou igual a x
Se X é contínua, a probabilidade estará relacionada unicamente a intervalos na linha
real, desde que os eventos estejam definidos em intervalos na linha real e, conseqüentemente,
para um valor específico de X, como X = x, somente será definida uma densidade de
probabilidade. Então, para uma variável aleatória contínua, a lei de probabilidade poderá ser
descrita em termos da função da densidade de probabilidade (PDF, probability density
function), então se fX (x) é a PDF de X, então a probabilidade da variável contínua X no
intervalo (a, b], P(a < X ≤ b), será:
(2.6) ( ) (∫=≤<b
aX dxxfbXaP )
Onde:
fX (x) - é a distribuição de probabilidade da variável contínua X e
P(a < X ≤ b) – é a probabilidade da variável contínua X estar no intervalo entre a e b
Seguindo estas definições as seguintes funções de distribuição serão validas:
(2.7) ( ) ( ) ( )∫∞−
=≤=x
XX dfxXPxF ξξ
Onde ξ é uma variável qualquer com distribuição de probabilidade igual a fX (ξ)
10
Se FX (x) tem uma primeira derivada, da Equação 2.7, então:
( ) ( )dx
xdFxf XX = (2.8)
Deve-se reiterar que fX (x) não é a probabilidade, e sim, fX(x)dx = P(x < X ≤ x+dx) que
é a probabilidade de que a variável X esteja entre os valores de (x, x+dx]. Deve ser enfatizado
que qualquer função usada para representar a distribuição de probabilidade de uma variável
aleatória deve necessariamente satisfazer os axiomas das leis de probabilidade (Ang & Tang,
1975). Por esta razão, a função tem que ser não negativa e a somatória das probabilidades
relacionadas com todos os possíveis valores da variável aleatória deve alcançar a soma de 1,0.
Em outras palavras, se FX (x) é a função de distribuição acumulada de X, então deve ter as
seguintes propriedades:
• FX ( - ∞) = 0; FX ( + ∞) = 1,0
• FX (x) ≥ 0, e não decresce com x
• FX (x) é contínua com x.
Reciprocamente, qualquer função que possua estas propriedades será uma verdadeira
função de distribuição acumulada. Em virtude destas propriedades e das Equações 2.4 a 2.6,
PMF e PDF são funções não negativas de x, onde a probabilidade de CDF atingirá um valor
máximo de 1,0, e a área total baixo da PDF será também igual a 1,0. A Figura 2.3 apresenta
exemplos gráficos de distribuições de probabilidade legítimas. A Figura 2.3 também ilustra
as características gráficas da distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias discretas,
contínuas e misturadas.
Pode-se observar que a Equação 2.6 também pode ser escrita como:
(2.9) ( ) ( ) ( )∫∫∞−∞−
−=≤<a
X
b
X dxxfdxxfbXaP
Similarmente, para valores de X discretos, tem-se que:
( ) ( ) ( )∑∑≤≤
−=≤<ax
iXbx
iXii
xpxpbXaP (2.10)
11
Onde: pX(xi) – distribuição de probabilidade da variável discreta X para o valor xi.
Então pelas Equações 2.4 e 2.6:
( ) ( ) ( )aFbFbXaP XX −=≤< (2.11)
Onde:
FX(a), FX(b) – probabilidade acumulada da variável X para os valores a e b respectivamente.
2.3 PARÂMETROS DESCRITIVOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Destacam-se alguns valores centrais, como a média. Em particular, devido a que os
diferentes valores da variável aleatória estão relacionados a diferentes distribuições de
probabilidade ou densidades de probabilidade, a média ponderada (weighted average) será de
especial interesse, conhecido como valor médio ou valor esperado (expected value) da
variável aleatória, neste caso uma variável aleatória X pode ser a orientação, o tamanho ou o
espaçamento da descontinuidade. Então, para uma variável aleatória discreta X, com PMF =
pX (xi), o seu valor da média esperada, E(X) (expected) será dado por:
( ) ( )∑=ix
iXi xpxXE (2.12a)
Onde: E(X) – valor médio esperado da variável discreta X.
De maneira similar, para uma variável aleatória contínua X, com PDF = fX (x), o seu
valor médio ou esperado será.
(2.12b) ( ) ( )∫∞
∞
=-
dxxxfXE X
Onde: E(X) – valor médio esperado da variável contínua X.
12
A notação da média esperada pode ser generalizada para uma função de X. Dada uma
função g(X), seu valor esperado E[g(X)], obtém-se como uma generalização da Equação 2.12
(Se X é discreta):
( )[ ] ( ) ( )∑=ix
iXi xpxgXgE (2.13a)
Onde:
g(X) – função qualquer da variável X.
E[g(X)] – valor médio esperado da função g(X).
Por outro lado, se X é contínua tem-se que:
(2.13b) ( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞
=-
dxxfxgXgE X
Em ambos os casos, E[g(X)] é conhecido como valor esperado matemático
(mathematical expectation) de g(X). Outras quantidades que também são utilizadas para
designar o valor central de uma variável aleatória incluem a moda e mediana, similares às
medidas centrais da estatística, com a diferença que estas são calculadas com base na
distribuição de probabilidade.
A moda é o valor mais provável de uma variável aleatória, isto é, é o valor da variável
aleatória com a maior probabilidade ou o máximo valor de densidade de probabilidade. A
mediana é o valor da variável aleatória para o qual os valores abaixo e acima dela são
igualmente prováveis, isto é, se xm é a mediana de X, então:
( ) 50,0=mX xF (2.14)
Onde: xm – mediana da variável X
Em geral, a média, mediana e moda da variável aleatória são diferentes, especialmente
se a função de densidade não é simétrica. Embora, se a PDF é simétrica e unimodal (único
13
valor central), estas três quantidades coincidem com aquelas na distribuição de freqüências da
estatística.
Aqui também tem-se as medidas de dispersão da distribuição de probabilidade que são
as quantidades que fazem uma medida de quão dispersos estão os valores da distribuição de
probabilidade, com relação ao valor central. Se o desvio é calculado com relação ao valor
médio esperado, a medida apropriada da dispersão é a variância. Para uma variável aleatória
discreta X com PMF = pX(xi), a variância de X, Var(X), será:
( ) ( ) ( )∑ −=ix
iXXi xpxXVar todo
2µ (2.15)
Onde: µX ≡ E(X) - valor esperado da variável X.
Observa-se na Equação 2.15 que esta é simplesmente a média ponderada do desvio ao
quadrado, ou em concordância com a Equação 2.13, é o valor esperado matemático de g(X) =
(X - µX)2. Por conseguinte, de acordo com a Equação 2.13, se X é continuo com PDF = fX (x), a
variância será:
(2.16) ( ) ( ) ( )∫∞
∞
−=-
2 dxxfxXVar XXµ
Onde: Var(X) – variância da variável X contínua.
Expandindo a integral da Equação 2.16, tem-se que:
(2.17a) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 22
-
22
2
2
XX
XXX
XEXE
dxxfxxXVar
µµ
µµ
+−=
+−= ∫∞
∞
Então uma relação útil para a variância é:
( ) ( ) 22XXEXVar µ−= (2.17b)
14
Na Equação 2.17b, o termo E(X2) é conhecido como valor da média quadrada de X.
Uma medida mais conveniente da dispersão será a raiz quadrada da variância, ou o desvio
padrão σ que é.
( )XVarX =σ (2.18)
Para saber se a medida da dispersão é grande ou pequena faze-se uma relação da
dispersão com o valor esperado, Assim tem-se o coeficiente de variação para a distribuição de
probabilidade (δX).
( )( )XE
XVarX =δ (2.19)
Onde: δX – é o coeficiente de variação da variável X
Caso seja de interesse investigar, não uma, mas várias variáveis aleatórias, então se
terá X1, X2, ... Xm, e portanto o vetor de variáveis aleatórias X,= (X1, X2, ... Xm), em vez do
escalar X. Neste caso, a distribuição unidimensional (na linha ou eixo real de X) é substituída
por uma distribuição de probabilidade multidimensional, no espaço de m variáveis. A
distribuição multidimensional fornece a probabilidade de cada uma das quantidades: X1, X2, ...
Xm. Adequadamente, o centro de massa no caso multidimensional será dado pelo vetor
matemático da expectância E(X).
O grau de dispersão das variáveis estudadas agora será caracterizado não por um único
número de Var(X), se não pela matriz de variância ou covariância. A construção desta matriz
procede como segue: nos elementos da diagonal principal se encontram as variâncias de cada
variável enquanto que nos demais elementos estão as respectivas covariâncias Cov(X1,X2),
esta matriz é dada por:
( ) ( ) ( )( ) ( ) (
( ) ( ) ( )
=
mmm
m
m
XVarXXCovXXCov
XXCovXVarXXCovXXCovXXCovXVar
D
...,,............
,...,,...,
21
2221
1211
) (2.20)
15
Onde:
D – é a matriz de covariâncias
Cov(X1,X2), - é a covariância das variáveis X1 e X2
A covariância entre as variáveis Xp e Xk é a expectância matemática do produto de
seus desvios com seus respectivos centros de massa, como o expresso por:
( ) ( ) ( )( ) ( )∑ −−=i
, kXXikpXXipkp xpxxpxXXCovkkpp
µµ (2.21)
A covariância fornece uma descrição clara da conexão linear entre as variáveis
aleatórias Xp e Xk. Se a covariância é dividida pela multiplicação dos respectivos desvios
padrão, então será obtido o coeficiente de correlação ρ, dado por:
( )
kp XX
kp XXCovσσ
ρ,
= (2.22)
O coeficiente de correlação é a medida da relação linear entre as variáveis aleatórias
Xp e Xk. Na análise probabilística existe muitas outras ferramentas que nos permitem
comparar grupos de dados e testar o ajuste de curva da distribuição de probabilidade com os
dados reais, através de testes paramétricos e não paramétricos (Davis, 1986). Dependendo do
tipo de variável, independente ou dependente, seqüencial, de superfície ou 3D, tem-se uma
ferramenta determinada para avaliar e testar a adequabilidade e confiabilidade do modelo
probabilístico selecionado com o tipo de variável modelada. Algumas das distribuições de
probabilidade mais comuns e seus parâmetros (média esperada e variância) são apresentados
na Tabela 2.1 .
Para fazer comparações de amostras com dados populacionais utilizando uma
distribuição de probabilidade normal é comum utilizar uma padronização da variável
aleatória. Isto é realizado utilizando a seguinte relação:
s
xxZ i −= (2.23)
Onde:
Z – é o valor normalizado da variável X,
16
xi – é a observação original,
x – é a média da amostra e
s – é o desvio padrão da amostra.
Assim este valor pode ser comparado com uma distribuição de probabilidade normal
com média µ igual a zero e desvio padrão σ igual a um. A seguir são apresentados alguns
teoremas, testes e ferramentas que serão utilizados nos capítulos seguintes.
Tabela 2.1 Distribuições de probabilidade mais comuns (modificado - Ang & Tang, 1975)
Distribuição
Equação pX(x) – PMF; fX(x) – PDF
Valor Esperado E(X)
Variância Var(X)
Binomial ( ) ( ) ( ) xxnX pp
xnxnxp −−−
= 1! !
! np ( )pnp −1
Geométrica ( ) ( ) 11 −−= xX ppxp 1/p ( )
2
1p
p−
Poisson ( ) µµ −= ex
xpx
X !
µ µ
Exponencial ( ) 0 ≥= − xexf xX
λλ λ1 21 λ Gamma ( ) ( )
( ) 0 1
≥Γ
=−−
xk
exxfxk
X
ννν k/ν k/ν2
Normal ( ) ( )
∞<<∞−
−−=
x
xxf X
2
exp2
12
2
σµ
πσ µ σ2
Lognormal ( ) ( )
0
ln2
1exp2
1 2
2
≥
−−=
x
xx
xf X µσπσ
+ 2
21exp σµ ( )1
222 −+ σσ ee u
Uniforme ( ) bxaab
xf X <<−
= 1
σµ
σµµ
3
3 ;2
+=
−=+
=
b
aba
( )12
2ab −
Beta ( ) ( )( ) ( )
( )bxa
abxbax
rqBxf rq
rq
X
≤≤−
−−= −+
−−
,
11
11
( )ab
rqqa −+
+ ( ) ( )
( )2
2 1ab
rqrqqr
−+++
2.4 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Se amostras aleatórias são obtidas de qualquer população de distribuição não normal e
as médias das amostras forem calculadas, observa-se que a distribuição das médias das
amostras tenderão a uma distribuição normal. Esta tendência será tanto maior quanto maior o
17
numero de amostras. Com este teorema se podem formular testes baseados nas características
da distribuição normal mesmo que a população amostrada tenha distribuição diferente da
normal. Estudos teóricos revelam as seguintes propriedades:
e 2
2 nσsx xx == µ (2.24)
Onde:
µ, σ2 – média e variância da população
xx , 2xs – média e variância das médias das amostras
n – tamanho da amostra
Deste teorema define-se a variável erro padrão se como:
n
se
2σ= (2.25)
Onde: se – é o erro padrão.
A comparação entre as médias da amostra e da população, considerada como uma
distribuição normal, pode ser feita da seguinte maneira:
n
xs
xZe 1σ
µµ −=
−= (2.26)
2.5 TESTES DE POPULAÇÕES NORMAIS
Para fazer os testes de populações se considera que as amostras cumprem o teorema
do limite central e já estejam padronizadas. Estes pré-requisitos permitem formular testes
baseados nas características de curvas normais e aplicar esses testes mesmo em circunstancias
nas quais a população amostrada não possui distribuição normal. O teste estatístico consta de
duas fases:
18
i. Formulação das Hipóteses – formular uma hipótese apropriada com relação à variável em
análise. Tradicionalmente isto é feito com a hipótese nula ou da não diferença (H0). Se,
por exemplo, quer-se comparar a média das amostras com a da população, a hipótese nula
seria H0: µ1 = µ0, que significa que a média das amostras é igual a média da população.
Tendo formulado a hipótese nula, a hipótese alternativa ou oposta será H1: µ1 ≠ µ0, que
significa que a média da amostra é diferente da média da população. Depois de
especificar as hipóteses pode-se escolher a estatística do teste (comparar amostra com
população, ou amostra com amostra etc.).
ii. Nível de Significância do teste – junto com as hipóteses formuladas pode-se tomar
decisões de aceitá-las ou rejeitá-las com base no teste estatístico. Como existem duas
hipóteses (H0 e H1) e duas respostas podem ocorrer do teste (correto ou incorreto), então
tem-se quatro possíveis respostas que estão representadas na Tabela 2.2 .
Quando a hipótese nula é rejeitada e a hipótese alternativa é correta um erro tipo I ou
α terá acontecido. Na estatística padrão, a probabilidade de ocorrer o erro tipo I é chamado de
nível de significância (α), o qual deve ser fixado antes de realizar o teste. A Figura 2.4 mostra
o conceito da aplicação do nível de significância e a localização da hipótese nula dentro da
distribuição de probabilidade normal.
Tabela 2.2 Colocação das hipóteses
Hipótese correta Hipótese incorreta Hipótese nula (H0) é aceita Decisão correta Erro tipo II, β
Hipótese nula (H0) é rejeitada Erro tipo I α Decisão correta
0
α/2α/2
Área de aceitação de H
Área de rejeição de H
Área de rejeição de H
0
00
Figura 2.4 Aplicação do nível de significância da hipótese nula (H0) para um caso bilateral
Um dos testes mais usados é o teste estatístico Z que é calculado da seguinte maneira:
19
n
xZ o
1σµ−
= (2.27)
Onde:
µo, σ - são a média e o desvio padrão da população respectivamente e
x , n - são a média da amostra e o número de dados respectivamente.
Este teste apresenta as seguintes características: (1) Compara a média da amostra com
da população; (2) E necessário conhecer os parâmetros da população (média e desvio padrão);
e (3) A área da rejeição é dividida em duas porções simétricas. Para um determinado nível de
significância α e um desvio padrão σ, da população, encontra-se o valor padronizado do teste
Zcrit que define o limite da área de aceitação e rejeição da hipótese nula (Figura 2.4 ). O teste
Z calculado com a fórmula anterior poderá cair dentro da área de aceitação de H0 ou fora da
área de aceitação de H0, e assim aceita-se ou rejeita-se a hipótese nula, respectivamente.
Como este teste, existem outros que tem certas funções e condições diferentes, como os
apresentados na Tabela 2.3 .
Tabela 2.3 Testes estatísticos mais comuns, sua funções e condições de aplicação.
TESTE FUNÇÃO EQUAÇÃO CONDIÇÃO GRAUS DE LIBERDADE
Z Compara a x com a µ n
xZ o
1σµ−
= Assume µ e σ conhecidos Nenhum
"t" de Student Mede o tamanho da amostra ns
xt o
1µ−
= Média µ hipotética 1−= nν
F Compara s2 de duas amostras 2
2
21
ssF =
0
22
21
≥>
Fss
11
22
11
−=−=
nn
νν
2χ Compara o valor da amostra com o
valor esperado
( )∑ =
−=
k
jj
jj
EEO
1
22χ
Testa dados nominais, teste não paramétrico
3−= kν
20
2.6 TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV K-S
Um teste de extrema utilidade dentro do grupo dos não paramétricos, é o teste de
Kolmogorov-Smirnov (K-S). Dentro de suas tantas aplicações, pode ser usado para ajuste de
curva ou seja uma outra alternativa do χ2. Embora o teste de ajuste de curva χ2 seja não
paramétrico no sentido que pode ser aplicado a observações que sigam qualquer classe de
distribuição, o teste de K-S é superior em certas circunstâncias. A maior vantagem é que não
precisa agrupar as observações em categorias arbitrárias e por esta razão é mais sensível que o
teste de χ2, para as análises nas caudas da distribuição, onde as freqüências são baixas.
A Figura 2.5 ilustra como funciona o procedimento de K-S. Primeiro seleciona-se
uma amostra de uma população e então deseja-se testar o seu ajuste de curva a um modelo
hipotético. Ambos a amostra e o modelo hipotético são apresentados juntos de forma
acumulada e escalada para uma somatória de 1,0 (normalizados). Pode-se observar uma
máxima diferença entre os dois o que é conhecido como a estatística de Kolmogorov-
Smirnov, K-S. A Tabela 2.4 apresenta os valores críticos para a estatística de K-S, e pode ser
utilizada para hipóteses de uma calda ou duas caudas.
A hipótese nula para duas caudas estabelece que as classes da distribuição que são
obtidas das amostras são iguais a aquelas do modelo hipotético para todos os valores de x. Na
maioria dos casos, usa-se a hipótese nula e alternativa para distribuição de duas caudas. Em
geral, o teste de K-S é mais recomendado quando o modelo hipotético pode ser totalmente
especificado. Isto é, os parâmetros da distribuição são conhecidos (ou assumidos) de outras
informações que as contidas na amostra propriamente dita. Uma variação feita por Lilliefors
(1967), permite utilizar o processo de K-S para testar o ajuste da amostra à distribuição
normal com uma média e variância, não determinadas. No processo de Lilliefors, deve-se
primeiro converter os dados observados a uma forma normalizada, pela transformação de Z,
tal como:
s
xxZ i
i−
= (2.28)
A média e variância da amostra são calculadas da maneira usual. A distribuição
normalizada e os valores de Zi deverão ser plotados em forma acumulada como se vê na
Figura 2.5 . No teste K-S a máxima diferença entre a distribuição acumulada dos dados
21
observados e da função teórica, sobre a extensão da variável, é a medida de discrepância entre
o modelo teórico e os dados observados. Seja esta diferença máxima d tem-se:
( ) ( )xSxFd −= max (2.29)
Onde: F(x), S(x) : distribuição acumulada da função teórica sugerida e da distribuição
acumulada dos dados observados normalizados, respectivamente.
Teoricamente d é uma variável aleatória cuja distribuição depende do tamanho da
amostra n. Para um certo nível de significância α o teste K-S compara a diferencia máxima
observada da Equação 2.29 com o valor crítico dα da seguinte relação de probabilidade:
( ) αα −=≤ 1ddP (2.30)
Valores críticos de dα para vários níveis de significância e valores de n estão
apresentados na Tabela 2.4 . Embora a tabela chegue só até n = 40, valores aproximados para
valores mais altos de n poderão ser calculados pelas formulas apresentadas na Tabela 2.4. Se
o valor observado d é menor que o valor crítico dα, a distribuição testada é aceitável no nível
de significância α especificado, caso contrario, a distribuição testada será rejeitada. Por
exemplo para n = 48 e nível de significância de α = 0,10, o valor crítico de K-S na Tabela 2.4
será 0,17. Então o cálculo de K-S da Figura 2.5 deverá ser menor que 0,17, para que o teste
da amostra, de distribuição normal, não caia na região crítica ou seja rejeitada. Desta forma,
não pode-se rejeitar a hipótese nula que a amostra foi colhida de uma população com
distribuição normal.
K-S
x
1
22
Figura 2.5 Procedimento de Kolmogorov-Smirnov para teste ajuste de curva, linha tracejada é
a amostra e linha contínua é modelo hipotético (modificado - Davis, 1986)
Tabela 2.4 Valores críticos do teste estatístico de K-S, para distribuição de uma e duas caudas
(modificado - Davis, 1986)
Teste para uma calda α = 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 α = 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005
Teste para duas caudas α = 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 α = 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01
n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,900 0,684 0,565 0,493 0,447 0,410 0,381 0,358 0,339 0,323 0,308 0,296 0,285 0,275 0,266 0,258 0,250 0,244 0,237 0,232
0,9500,7760,6360,5650,5090,4680,4360,4100,3870,3690,3520,3380,3250,3140,3040,2950,2860,2790,2710,265
0,975 0,842 0,708 0,624 0,563 0,519 0,483 0,454 0,430 0,409 0,391 0,375 0,361 0,349 0,338 0,327 0,318 0,309 0,301 0,294
0,9900,9000,7850,6890,6270,5770,5380,5070,4800,4570,4370,4190,4040,3900,3770,3660,3550,3460,3370,329
0,9950,9290,8290,7340,6690,6170,5760,5420,5130,4890,4680,4490,4320,4180,4040,3920,3810,3710,3610,352
n = 2122232425262728293031323334353637383940
0,2260,2210,2160,2120,2080,2040,2000,1970,1930,1900,1870,1840,1820,1790,1770,1740,1720,1700,1680,165
0,2590,2530,2470,2420,2380,2330,2290,2250,2210,2180,2140,2110,2080,2050,2020,1990,1960,1940,1910,189
0,287 0,281 0,275 0,269 0,264 0,259 0,254 0,250 0,246 0,242 0,238 0,234 0,231 0,227 0,224 0,221 0,218 0,215 0,213 0,210
0,321 0,314 0,307 0,301 0,295 0,290 0,284 0,279 0,275 0,270 0,266 0,262 0,258 0,254 0,251 0,247 0,244 0,241 0,238 0,235
0,3440,3370,3300,3230,3170,3110,3050,3000,2950,2900,2850,2810,2770,2730,2690,2650,2620,2580,2550,252
Aproximaçãopara n > 40
n07,1
n22,1
n36,1
n
52,1
n63,1
2.7 ANÁLISE DE DADOS DIRECIONAIS CIRCULARES
Os dados direcionais são muito importantes em geociências, como as orientações das
estruturas geológicas ou de descontinuidades (diques, fraturas etc.). Seguindo a prática dos
geógrafos, deve-se diferenciar orientação de direção, onde direção pode ser o movimento de
um carro na direção norte e a estrada onde está o carro tem orientação norte – sul.
Os dados direcionais podem ser plotados como vetores unitários num mapa horizontal
ou dentro de um círculo de raio unitário. Este círculo pode ser dividido em segmentos e
calculado o número de vetores em cada segmento. Este resultado pode ser representado com o
diagrama de rosetas ou histograma circular como mostra a Figura 2.6 , mas para o cálculo
23
estatístico, que permita descrever as características do conjunto total de vetores, deve-se
trabalhar diretamente com a medida dos mesmos.
Considerando a medida do ângulo positiva a partir do norte magnético no sentido
horário, a direção dominante num conjunto de vetores pode ser achada com o cálculo do vetor
resultante. Primeiramente serão calculadas as coordenadas X e Y do ponto extremo do vetor
unitário com direção dada pelo ângulo θ, como:
ii
ii
YX
θθ
sencos
==
(2.31)
Onde:
Xi, Yi – são as coordenadas cartesianas x e y do vetor de direção
θi – é o ângulo de direção do vetor
Então as componentes do vetor resultante serão a soma dos senos e cossenos dos
vetores unitários:
(2.32) ∑
∑
=
=
=
=
n
iir
n
iir
Y
X
1
1
sen
cos
θ
θ
Onde:
Xr, Yr – são as coordenadas cartesianas x e y do vetor resultante
n – número de vetores
Da resultante pode-se obter a direção média θ , como:
( )
== ∑∑
==
−−n
ii
n
iirr XY
11
11 cossentg tg θθθ (2.33)
Onde: θ - é o ângulo da direção média
24
360
90
180
270
(a)
(b)
0
360
90
180
270
0
12 10 8 6 4 2
Figura 2.6 Direções das estratificações glaciais: (a) Direções em vetores unitários; (b)
Direções em diagrama de rosetas (modificado - Davis, 1986).
A magnitude do comprimento da resultante depende da quantidade de vetores e assim
para comparar amostras de tamanhos diferentes é necessário fazer uma padronização destas
componentes, conforme dado pelas expressões abaixo:
∑
∑
=
=
==
==
n
iir
n
iir
nnYS
nnXC
1
1
sen1
cos1
θ
θ (2.34)
Onde: S ,C - são as coordenadas cartesianas x e y do vetor resultante unitário
Estas coordenadas representam o centro de gravidade de todos os vetores unitários
considerados. A resultante média não somente representa a direção média do conjunto mas
também pelo seu comprimento representa o grau de dispersão dos vetores ao redor da média.
A Figura 2.7 a mostra três vetores (a, b e c) que estão pouco desviados da direção média. A
resultante R é quase igual ao comprimento da soma dos comprimentos dos três vetores. Por
outro lado, outros três vetores na Figura 2.7 b estão muito dispersos com relação à direção
média e o comprimento de sua resultante R é muito pequeno.
25
R
a
bc
R
a
b
c
(a) (b)
Figura 2.7 Uso do comprimento da resultante para representar o grau de dispersão do grupo
de vetores unitários (modificado - Davis, 1986).
O comprimento da resultante R, dado pelo teorema de Pitágoras, é:
2n
1i
2n
1i
22 sencos
+
=+= ∑∑
== iirr YXR θθ (2.35)
O comprimento da resultante também pode ser padronizado com a divisão pelo
número de observações ou também pode ser calculada em termos de coordenadas
padronizadas.
22 SCnRR +== (2.36)
A quantidade R é chamada de comprimento da resultante média e varia de zero a 1.
Para observações pouco dispersas o valore de R será alto o que significa pouca variância,
enquanto que para uma dispersão de dados alta o valore de R estará próximo de zero que
significa variância alta. Com o objetivo de ter uma medida de dispersão ou variância que deva
aumentar com o aumento da dispersão dos dados, a dispersão ou variância circular será
representada pelo complemento de R , como:
( ) nRnRs −=−= 120 (2.37)
Onde: - é a variância circular dos dados de direção. 20s
26
Para o caso de medidas unicamente de orientação, duas representações com sentidos
opostos são capazes de identificar esta orientação. Para eliminar este inconveniente,
Krumbein (1939) deu uma solução a este problema. Se as duas possíveis direções de uma
orientação foram duplicadas, o mesmo ângulo seria obtido. Trabalhando com estas medidas
duplicadas pode-se calcular a direção média, o comprimento da resultante média e a variância
circular, sendo que para recuperar a direção média verdadeira basta dividir o resultado achado
por dois. A Figura 2.8 a mostra medidas de orientação plotadas como vetores direcionais. A
direção da resultante média é 285o e o comprimento é próximo de zero ( R = 0,08). A Figura
2.8b mostra medidas de orientação plotadas como vetores direcionais depois dos ângulos
serem duplicados. A distribuição não é mais bimodal. A resultante reflete a tendência correta
dos ângulos duplicados e o comprimento é próximo da unidade (a direção média é 162o; R =
0,97). Na Figura 2.8c mostra orientações plotadas nos ângulos originais e na direção da
resultante verdadeira (81o) encontrada tendo a resultante na Figura 2.8b.
2.8 ANÁLISES DE DADOS ESFÉRICOS
Exemplos de dados direcionais em três dimensões em geociências incluem medidas de
direções e mergulhos tirados de análises estruturais, medidas vetoriais de campos magnéticos;
medidas da direção de permeabilidade em amostras de reservatórios de petróleo e, para
descontinuidades, podemos usar a direção de máximo mergulho de sua superfície, ou a
direção do vetor normal ao plano da descontinuidade.
(a) (b)
(c) 27
Figura 2.8 Efeito de duplicar a direção angular para calcular a direção média. (modificado -
Davis, 1986).
Do mesmo modo que para dados em duas dimensões, primeiramente deve-se
estabelecer um método de notação padrão. Pode-se relacionar observações direcionais em três
dimensões como sendo vetores. Como o maior interesse são as relações angulares, estes
vetores podem ser considerados de comprimento unitário. Se todas as medidas de direção de
uma área são coletadas juntas, na mesma origem, as extremidades dos vetores unitários
estarão na superfície de uma esfera, por conseguinte tem-se o termo de distribuição esférica.
Algumas características de dados de orientação não têm uma representação de direção
e serão denominados de eixos. Exemplos incluem as linhas de interseção entre duas famílias
de descontinuidades, eixos de revolução e eixos perpendiculares a planos de
descontinuidades. Alem disso algumas vezes é vantajoso não relacionar a direção com os
vetores e trata-os como eixos (Davis, 1986).
A notação matemática padrão utiliza três coordenadas cartesianas para descrever um
vetor no espaço. (Figura 2.9a). A direção do vetor OP está especificada pelos cossenos dos
ângulos entre o vetor e cada eixo das coordenadas (ângulo a, b e c). As coordenadas do ponto
P são iguais a:
cZbYaX cos , cos , cos === (2.38)
Como o vetor tem comprimento unitário, se cumpre que:
1222 =++ ZYX (2.39)
Usando os ângulos esféricos, pode-se definir a direção do vetor OP com o ângulo φ
entre o eixo X e a projeção do vetor OP no plano X-Y mais o ângulo θ da inclinação do vetor
OP com o eixo Z (Figura 2.9b). A relação entre as coordenadas polares esféricas e as
coordenadas cartesianas é:
θφθφθ cos ,sensen , cossen === ZYX (2.40)
28
Se o extremo positivo do eixo X é relacionado com o norte, o extremo positivo do eixo
Y corresponderá ao Leste e o extremo positivo do eixo Z à vertical descendente. Assim
define-se um sistema cartesiano no qual o mergulho está já representado como um ângulo
positivo.
Esta notação está ilustrada na Figura 2.10, para um vetor OP definido pela direção
(strike) e mergulho de seu plano incluso. A linha ON é o azimute ou projeção de OP no plano
horizontal X-Y e é perpendicular à linha de direção (strike), a linha ON também é conhecida
como direção de mergulho (dip direction). O ângulo A é o ângulo da direção de mergulho (dip
direction), medido a partir do norte magnético no sentido horário e D é o mergulho (dip),
medido como ângulo positivo a partir de ON para baixo. As coordenadas X, Y e Z de P serão:
DZDAYDAX sen ,cossen , coscos === (2.41)
a b
c
O Y
X
Z
N
P
(a) θ
O Y
X
Z
N
P
φ
(b)
Figura 2.9 Sistema de notação de vetores no espaço de três dimensões: (a) vetor no espaço
cartesianos X, Y e Z; (b) Vetor no espaço esférico φ e θ (modificado - Davis, 1986).
X = Norte
Y = Leste
A
NO
D
P
Z = Vertical descendo
plano da descontinuidade
vetor de máximo mergulho
linha horizontal de direção(strike)
29
Figura 2.10 Notação de direção de mergulho (dip direction) e mergulho (dip) para vetores em
três dimensões (modificado - Davis, 1986).
Após ter as medidas esféricas em termos das coordenadas X, Y e Z das extremidades
dos vetores, será simples calcular a direção média e a variância esférica. Isto é feito de
maneira análoga ao cálculo da média e variância circular. A direção média é dada pela
resultante R, dos vetores unitários, como:
( ) ( ) ( )222 ∑∑∑ ++= iii ZYXR (2.42)
Em forma normalizada, esta será nRR = . A direção da resultante, com relação aos
três eixos de coordenadas, está dada pelos cossenos dos ângulos entre a resultante e estes
eixos, que são:
∑∑∑ === RZZRYYRXX iii cos ,cos , cos (2.43)
Se as observações estão agrupadas de forma compacta ao redor de uma direção
comum, a resultante R terá um número grande, aproximando-se a n. Se as observações estão
dispersas, R será pequeno. Como no caso de distribuições circulares, R pode ser usado como
medida de concentração e pode ser expressa como a variância esférica, como:
( ) ( )RnRnss −=−= 1 2 (2.44)
Estes métodos para determinar a direção média e a variância esférica funcionam bem
se os vetores não estão muito dispersos. Porém, para certas condições, a direção média pode
resultar desorientada. Suponha que são medidos mergulhos de camadas quase horizontais, um
pequeno mergulho suave para o oeste, outros, com poucos graus para o leste. Como o
mergulho é considerado um vetor direcional apontando ao hemisfério inferior, o vetor
resultante dos mergulhos do leste e oeste será verticalmente descendente, e o comprimento da
resultante será próximo de zero, então a variância esférica será grande, indicando uma
dispersão extremamente alta entre os vetores.
30
Se estes mergulhos são considerados como eixos não direcionais ao invés de vetores,
seus dois extremos se projetarão em ambos hemisférios, superior e inferior, e então ficará
aparente que as linhas representando os mergulhos leste e oeste são muito relacionadas.
2.8.1 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE VETORES
Pode-se assumir que as colunas de uma matriz podem ser representadas graficamente
por vetores, bem como, medidas da direção de vetores podem ser expressas em forma
matricial. Os valores próprios e os vetores próprios destas matrizes fornecerão informações
sobre o arranjo dos vetores no espaço. Embora, para poder expressar um conjunto de vetores
na forma matricial apropriada, deva-se primeiramente revisar alguns pontos de geometria,
começando no espaço de duas dimensões.
A relação geométrica que fornece a projeção de um vetor em outro é o produto escalar
dos dois vetores (Figura 2.11). Se os vetores (a, b) e (u, v) são assumidos como vetores
unitários, as coordenadas cartesianas de suas extremidades são as mesmas que seus cossenos
diretores com relação aos eixos X e Y e a projeção do vetor (a, b) em (u, v) será:
bvaul += (2.45)
Onde: l é o comprimento da projeção do vetor (a, b) no vetor (u, v), ou o comprimento da
projeção de (u, v) em (a, b).
a, ba, b
u, v
d
lX
Y
Figura 2.11 Projeção do vetor (a, b) no vetor (u, v) (modificado - Davis, 1986).
31
Como observado na Figura 2.11, o vetor (a, b) é a hipotenusa do triângulo reto cujos
lados são a projeção l no vetor (u, v) e a distância perpendicular d. Aplicando o teorema de
Pitágoras tem-se que:
( )222 1 1 bvauld +−=−= (2.46)
Onde:
(a, b) (u, v) - vetores no plano XY,
l - comprimento da projeção de (a, b) em (u, v)
d - distância da ponta do vetor (a, b) ao vetor (u, v)
Qualquer número de vetores pode ser projetado no vetor (u, v) com a Equação 2.45 e
determinar suas distâncias quadradas à linha (u, v) com a Equação 2.46. Considerando a soma
destas distâncias quadradas como M, então:
(2.47) (∑∑==
+−==n
iii
n
ii vbuandM
1
2
1
2 )
)
M pode ser relacionado como o momento de inércia das extremidades dos vetores ao
redor da linha (u, v). Esta equação pode ser generalizada para três dimensões introduzindo a
terceira coordenada espacial. Assim tem-se que:
(2.48) (∑∑==
++−==n
iiii
n
ii wcvbuandM
1
2
1
2
É possível expressar a Equação 2.48 de forma matricial. Primeiro, as coordenadas da
linha são dadas como vetores coluna [U], tal como:
(2.49) [ ]
=
wvu
U
Também define-se uma matriz [B], como:
32
[ ] [ ] [ ]TInB −= (2.50)
A matriz [T] é uma matriz 3 X 3 da soma dos quadrados e produtos cruzados dos
cossenos diretores dos vetores, a qual é dada por:
[ ]
=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2
2
2
iiiii
iiiii
iiiii
cbcbccbbabcabaa
T (2.51)
A matriz [B] por conseguinte tem a seguinte forma.
[ ]
−−
−=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2
2
2
iiiii
iiiii
iiiii
cnbcbccbbnabcabaan
B (2.52)
O momento de inércia dos vetores sobre a direção [U] é dado por:
[ ] [ ][ ]UBUM 1−= (2.53)
Em lugar de determinar o momento sob uma linha arbitrária [U], pode-se achar uma
única linha ao redor da qual o momento de inércia será o máximo ou mínimo possível. As
coordenadas desta linha estarão dadas pelo primeiro vetor próprio da matriz [B]. Se λ1 é o
primeiro valor próprio de [B] e [bi] é o seu vetor próprio associado, então pode-se calcular λ1
como:
[ ] [ ][ ]11
11 bBb −=λ (2.54)
Isto é, λ1 é o momento de inércia dos vetores sobre o primeiro vetor próprio. Isto
significa que a soma das distâncias quadradas das extremidades dos vetores ao primeiro vetor
próprio é a máxima ou mínima possível, ou ao mesmo tempo, o vetor próprio é quase
perpendicular a todos os vetores tanto quanto possível.
33
O momento de inércia sobre o segundo vetor próprio é o maior possível para qualquer
linha que seja ortogonal ao primeiro vetor próprio. O terceiro vetor próprio deve ser ortogonal
aos outros dois, e deve considerar todas as distâncias quadradas das extremidades dos vetores
restantes. Como os três vetores próprios definem uma estrutura ortogonal completamente
equivalente ao conjunto original de eixos cartesianos. O terceiro vetor próprio deve definir
uma linha ao longo da qual o momento de inércia é mínimo, isto é, será orientado a ser
simultaneamente tão próximo quanto possível a todos os vetores.
Se dois vetores são diametralmente opostos, como na Figura 2.12, ambos terão a
mesma distância perpendicular ao vetor próprio [b2] (distâncias d1 e d2 na Figura 2.12) e terão
exatamente a mesma influência na localização do vetor próprio. Isto significa que o sentido de
direção dos vetores está perdido; e portanto são definitivamente eixos. Por esta razão, o
método de vetores próprios é de preferência aplicado para o exame de dados de distribuição
esférica, para casos onde resulte ambigüidade da distância arbitrária entre vetores nos
hemisférios, superior e inferior.
Os valores próprios fornecem informação direta sobre a distribuição dos vetores.
Mardia (1972) identificou quatro casos:
• λ1 é grande, enquanto que λ2 e λ3 são ambos pequenos. Isto significa que a soma dos
quadrados das perpendiculares entre as extremidades dos vetores e os eixos
correspondentes ao primeiro vetor próprio é muito grande. Muitas das observações devem
estar no plano contendo os vetores próprios 2 e 3, formando uma distribuição de formato
regular (Figura 2.13a).
• λ1 e λ2 são ambos grandes, enquanto que λ3 é pequeno. A distância perpendicular das
extremidades aos primeiro e segundo vetores próprios deve ser muito grande, mas as
distâncias ao terceiro vetor próprio devem ser pequenas. As observações estão agrupadas
ao redor da extremidade do terceiro vetor próprio (Figura 2.13b,c). Qualquer distribuição,
modal ou bi modal, fornecerá o mesmo resultado. Elas podem ser diferenciadas pelo valor
de R , que será grande para o caso uni modal.
• Dois vetores próprios são idênticos. Este é uma variação do caso 1. As observações
formam uma malha simétrica ao redor do eixo correspondente ao único valor próprio
(Figura 2.13d).
• Todos os três valores próprios são idênticos. A distribuição é uniforme, assim como as
direções perpendiculares das extremidades são as mesmas para todos os três eixos
34
ortogonais. Não existe um arranjo preferencial das extremidades na esfera unitária (Figura
2.13e). b1
b2d1
d2
Figura 2.12 Projeção de dois vetores opostos diametralmente no vetor próprio [b2]. As
distâncias d1 e d2 são idênticas e atuam no mesmo sentido rotacional (modificado - Davis
1986).
Woodcock (1977) generalizou esta classificação no gráfico de logaritmos dos índices
dos valores próprios (ln (λ1/λ2) versus ln (λ2/λ3)). No seu gráfico, todos os possíveis padrões
de extremidades na esfera caem numa região específica. A Figura 2.14 mostra um dos
gráficos de Woodcock.
1
2
3
(a)
1
2
3
(b)1
2
3
(c)
1
2
3
(d)
1
2
3
(e)
35
Figura 2.13 Padrões de distribuição de vetores na esfera unitária. (a) parcialmente regular; (b)
unimodal; (c) bimodal; (d) completamente regular e (e) uniforme (modificado - Davis, 1986).
0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
2
4
6
K = 1
K = 0.5
K = 0.2
K = 2K = 5K = 0ln
( /
)
λ 1λ 2
K = 0
ln( / )λ2 λ3
Figura 2.14 Classificação dos padrões de vetores na esfera unitária com relação a K = ln
(λ1/λ2) / ln (λ2/λ3) (modificado - Davis, 1986).
2.8.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS ESFÉRICOS
Convencionalmente, vetores em três dimensões são representados pela projeção das
suas extremidades num plano. Como as extremidades estão sobre a superfície da esfera,
representa-las em duas dimensões requer o uso de uma equação de projeção. Geólogos têm
usado tradicionalmente a projeção estereográfica polar de igual área de Lambert, a qual será
referida como o Estereograma de Schmidt, outras aplicações preferem a projeção
estereográfica polar de igual ângulo ou o Estereograma de Wulff.
A Figura 2.15 mostra um conjunto de vetores dentro do hemisfério superior da esfera
unitária e sua projeção no estereograma de igual área. É necessário diferenciar entre vetores
que vão para o hemisfério superior e aqueles que vão para o hemisfério inferior. Devido a que
36
os geólogos freqüentemente descrevem vetores em termos do seu mergulho (plunge), uma
palavra com conotação de descida.
Figura 2.15 Vetores dentro do hemisfério superior da esfera unitária e suas projeções num
diagrama polar de igual área (modificado - Davis, 1986).
Estes vetores podem ser usados para representar a orientação em três dimensões de
planos como descontinuidades. Se um plano é colocado através do centro de uma esfera
unitária, sua interseção como a esfera formará um círculo grande (Figura 2.16a). Embora isto
seja facilmente representando através do pólo, que é a interseção entre o vetor perpendicular
ao plano, que passe pela origem e a superfície da esfera. Convencionalmente, os geólogos
desenham a interseção de um pólo no hemisfério inferior o que foi adotado neste trabalho.
Então, por exemplo, a projeção do pólo de um plano que mergulha para o oeste será plotado
para o leste como mostra o pólo b na Figura 2.16b.
Uma quantidade grande de dados em três dimensões, pode fornecer diagramas com
muitos pontos onde não pode ser observado um padrão geral. Nestes casos a distribuição da
densidade local de pontos pode ser representada, contando o número de pontos que estão
dentro de uma área pequena do diagrama estereográfico. Isto pode ser feito convenientemente
se uma projeção estereográfica de igual área é usada.
37
a
b
a
b
(b)(a)
N
SO
L
N
S
LO
Figura 2.16 Desenhos dos pólos do plano: (a) Plano com seus pólos na esfera unitária. (b)
Pólos de um plano projetado no estereograma (modificado - Davis, 1986).
2.8.3 DISTRIBUIÇÃO DE FISHER
A ampliação da distribuição normal para o caso de dados direcionais, que variam de 0o
a 360o com relação ao norte, deu origem à distribuição de Von Mises. Posteriormente dados
de direção esférica, identificados por uma direção de mergulho (de 0o a 360o) e o mergulho
(de 0o a 90o), foram representados, com a ampliação da distribuição de Von Mises, para dados
bi-variacionais, gerando assim uma nova distribuição conhecida como a distribuição de Fisher
(Mardia 1972).
Fisher (1953) definiu um fator κ que é uma medida da dispersão das direções e que
pode ser estimado para uma amostra a partir da resultante dos vetores direcionais R e da
quantidade de dados n da amostra, utilizando a seguinte relação:
( ) ( )Rnn −−= 1κ (2.55)
Se todos os dados direcionais são quase paralelos, então a resultante R se aproximará a
n e em conseqüência κ se aproximará ao infinito. Se as direções estão distribuídas de forma
aleatória então R e κ serão pequenos. Na teoria o valor mínimo de κ é próximo da unidade e
na prática raramente este valor é menor que 5 (Priest 1985).
Fisher (1953) assume que a população de vetores direcionais está distribuída
aleatoriamente ao redor de uma direção verdadeira. Fisher também assume que a
38
probabilidade P(θ) que um vetor, selecionado aleatoriamente da população, faça um ângulo
sólido, entre θ e θ + dθ com a orientação verdadeira, seja definido pela seguinte distribuição
de probabilidade:
( ) θθκθ θκκκ de
eeP sen cos
−−= (2.56)
Onde:
κ - fator de dispersão de Fisher
θ - ângulo sólido formado entre a variável direcional e a direção média verdadeira
Quando κ tem valores altos a distribuição de probabilidade da Equação 2.56 tende a
formar uma distribuição Gausiana isotrópica bidimensional com variância 1/κ e para valores
altos de n podemos utilizar a seguinte distribuição de probabilidade acumulada para fazer
alguns testes estatísticos.
( ) ( ) θθ θκ deP 1 cos1−−−=< (2.57)
A inversa da Equação 2.57 será:
( )[ ]κ
θθ <−+=
P1ln1cos (2.58)
As Equações 2.57 e 2.58 podem ser usadas para testar o ajuste de curva de uma
amostra com a distribuição de Fisher assumindo que a resultante média da amostra representa
a direção média verdadeira da população e desenhando a distribuição dos dados amostrados
com a distribuição de Fisher correspondente como se vê na Figura 2.17.
39
G11-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30
θ (o)
P (
<)
Dados Originais
Fisher
Figura 2.17 Distribuição acumulada de dados de direção e a distribuição de Fisher acumulada.
2.8.4 TESTE DE HIPÓTESE DE UNIFORMIDADE DE DADOS ESFÉRICOS
Os mais simples testes de orientação de dados em três dimensões, são extensão
daqueles usados com dados circulares. Como nesses casos, aqui também precisa-se de um
modelo de probabilidade de características conhecidas com o qual possa-se fazer um teste.
Um modelo muito usado é a distribuição de Fisher, como uma extensão da distribuição de von
Mises ou uma equivalência esférica da curva normal. A distribuição de Fisher está
caracterizada por dois parâmetros: um vetor de direção média θ e uma dispersão κ. Como
está-se trabalhando com três dimensões, o vetor médio tem três elementos ou cossenos
diretores com relação aos três eixos de coordenadas.
O vetor médio é estimado pelo cosseno diretor da resultante das amostras (Equação
2.42). A dispersão pode ser aproximada com a seguinte relação:
( ) ( )Rnn −−= 2κ (2.59)
A estimativa de κ considera os possíveis erros por tendência, consistência, eficiência
e suficiência (Ang & Tang 1975) a que toda amostra está sujeita. Lembrando que os dados
direcionais são representados por duas variáveis (mergulho e direção de mergulho) a
dispersão κ será afetada por (n – 2) na Equação 2.59 e não por (n – 1) como na Equação 2.55,
40
segundo Mardia (1972), esta relação é suficientemente exata, se κ é grande, ou maior que 10.
Mardia (1972) apresenta uma tabela de estimativas mais exatas baseadas no tamanho da
resultante normalizada R .
Para testar a aleatoriedade, como no caso circular, a hipótese simples que pode ser
testada é, que os dados estão distribuídos uniformemente em todas as direções o que é
equivalente a dizer que o parâmetro de concentração κ é zero. As hipóteses, nula e alternativa
são:
0:0:
1
0
>=
κκ
HH
(2.60)
O teste estatístico é calculado da mesma maneira que com os dados circulares e
consiste no calculo da resultante normalizada R . Esta estatística é depois comparada a um
valor crítico de R para o nível de significância desejado. A tabela de valores críticos é a
Tabela 2.5. Se o valor calculado de R excede o valor da tabela, a hipótese que as observações
estão uniformemente distribuídas é rejeitada ao nível de significância especificado.
Também é possível testar hipóteses sobre uma direção específica do vetor médio, e de
construir um cone de confiança ao redor do vetor. Estes testes, contudo, requerem tabelas
extensas como aquelas publicadas por Stephens (1967) e Mardia (1972). Testes de duas
amostras para a equivalência da direção média dos dois conjuntos de observações também
podem ser realizados.
2.9 MODELOS PROBABILÍSTICOS DAS DESCONTINUIDADES
Para este trabalho foram consideradas unicamente as descontinuidades secundárias ou
menores, como juntas, planos de contato, foliação e fissuras, que apresentam um
comportamento estatístico na sua distribuição espacial, porém denominadas aqui
simplesmente descontinuidades. As descontinuidades principais ou maiores, como falhas ou
diques, são tratadas por análise determinística já que seus parâmetros de distribuição
geométrica são determinados especificamente para cada uma.
41
Tabela 2.5 Valores críticos de R para o teste de uniformidade de uma distribuição esférica.
(modificado - Davis, 1986).
Nível de Significância, α (%) Número de Observações, n 10 5 2 1
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50
100
0,637 0,583 0,541 0,506 0,478 0,454 0,433 0,415 0,398 0,384 0,371 0,359 0,349 0,339 0,330 0,322 0,314 0,307 0,300 0,294 0,288 0,260 0,240 0,230 0,220 0,200 0,140
0,700 0,642 0,597 0,560 0,529 0,503 0,480 0,460 0,442 0,427 0,413 0,400 0,388 0,377 0,367 0,358 0,350 0,342 0,334 0,328 0,321 0,290 0,270 0,260 0,240 0,230 0,160
0,765 0,707 0,659 0,619 0,586 0,558 0,533 0,512 0,492 0,475 0,460 0,446 0,443 0,421 0,410 0,399 0,390 0,382 0,374 0,366 0,359 0,330 0,310 0,290 0,270 0,260 0,180
0,805 0,747 0,698 0,658 0,624 0,594 0,568 0,546 0,526 0,507 0,491 0,476 0,463 0,450 0,438 0,428 0,418 0,408 0,400 0,392 0,384 0,360 0,330 0,310 0,290 0,280 0,190
Para o tratamento estatístico das descontinuidades, primeiramente se determina a
maior região de amostragem onde a distribuição estatística das variáveis aleatórias
geométricas analisadas, tenha um comportamento homogêneo com relação à região total de
estudo, ou seja, que esta região apresente comportamento homogêneo e representativo da
população. Este processo é a determinação de regiões estatisticamente homogêneas. Por
conseguinte cada uma destas regiões deverá ser representada por um modelo de distribuição
geométrico das descontinuidades.
Para cada região estatisticamente homogênea, deve-se conhecer o número de famílias
de descontinuidades presentes e para cada família de descontinuidades deve-se conhecer sua
densidade ou espaçamento, orientação ou atitude, tamanho e localização. Estes parâmetros
das descontinuidades apresentam muita variabilidade e são considerados inerentemente
estatísticos assim sua quantificação demandará ser feita com a aplicação de processos
estocásticos.
42
A densidade - é a medida do número de descontinuidades por unidade de volume. Para
fazer esta medida pode-se considerar um volume unitário e contar o número das
descontinuidades (ou a soma dos traços das descontinuidades) presentes e dividir pelo volume
unitário selecionado.
A orientação - considerando à descontinuidade como uma superfície perfeitamente
plana, seja um polígono ou disco, a orientação representa a direção, em 3D, do vetor unitário
normal ao plano da descontinuidade, expressa pelos cossenos diretores do vetor. Também é
usada a direção e mergulho da descontinuidade (strike, dip), ou também direção de mergulho
e mergulho da descontinuidade (dip direction, dip) que é mais usado na geologia estrutural,
como mostra a Figura 2.18.
direção de mergulho(dip direction)
mergulho(dip)
direção
(strike)
α
φ
(strike / dip) = (α − 90 / φ )(dip direction / dip) = (α / φ )
Figura 2.18 Orientação das descontinuidades, direção e mergulho (strike / dip), direção de
mergulho e mergulho (dip direction / dip).
O tamanho - determina a extensão da descontinuidade, pode ser a maior dimensão da
mesma como o diâmetro, no caso de descontinuidade circular. Numa amostragem superficial
mede-se o traço da descontinuidade para depois fazer a transformação para o diâmetro ou a
maior dimensão da descontinuidade.
A localização - é a posição espacial (x, y, z) do centro de gravidade do plano da
descontinuidade com relação a um ponto de observação. A partir do espaçamento pode-se
inferir a densidade e a locação das descontinuidades.
Geralmente os dados coletados em campo das descontinuidades estão sujeitos a erros
de medida, sistemáticos ou tendenciosos, representando unicamente propriedades uni e bi
43
dimensionais. Por esta razão antes de fazer qualquer análise estatística dos dados crus de
campo, estes deverão passar por um processo de correção dos erros de medição em campo.
Em adição os parâmetros das famílias de descontinuidades em 3D, deverão ser inferidos a
partir de parâmetros em 1D e 2D, com ajuda de procedimentos da probabilidade geométrica.
2.9.1 CORREÇÃO DE BIAS
A medida dos parâmetros geométricos das descontinuidades é afetada por erros de
medição ou amostragem também conhecidos como erros sistemáticos, que neste trabalho
serão denominados de bias. O motivo principal de ocorrência dos bias é a interpretação e
transformação incorreta dos parâmetros 2D para parâmetros 3D e a dificuldade de
amostragem dos dados 3D de forma direta.
A densidade é muito afetada por não se conhecer o tamanho real da descontinuidade e
se basear unicamente na medida do espaçamento e do traço, que é o comprimento da
interseção da descontinuidade com a superfície de amostragem, a qual não necessariamente
representa o comprimento máximo da descontinuidade nem o espaçamento verdadeiro da
família de descontinuidades. Então a densidade nos permite ter uma medida relativa do
espaçamento, medido na direção do vetor de orientação médio normal ao plano da família de
descontinuidades. Os bias possíveis são ocasionados pela medida incorreta do espaçamento
unicamente no plano de amostragem que, na verdade, não é o plano do vetor de orientação
médio normal à descontinuidade e para evitar este tipo de bias é necessário fazer uma
correção do verdadeiro espaçamento na direção deste vetor de orientação médio.
A orientação da descontinuidade é o parâmetro que depende muito da posição relativa
entre o plano da descontinuidade e o plano de amostragem e para sua correta medida, será
necessário fazer várias medições de orientação da mesma família de descontinuidades em
planos de amostragem com diferente orientação, de preferência planos de amostragem
perpendiculares. Considerando também que a superfície das descontinuidades não é
perfeitamente plana, mas sim uma superfície ondulada, então, a medição deste parâmetro tem
que ser calculada da medida de orientação de várias descontinuidades da mesma família (o
que define a orientação como uma medida que varia em torno a um valor médio).
O tamanho é muito influenciado pela limitação da amostragem em campo, geralmente
em planos de amostragem em 2D, e por não poder assumir diretamente o traço como o valor
da dimensão máxima da descontinuidade. Para este parâmetro serão aplicadas algumas
44
condições de contorno probabilísticas para poder inferir valores 3D a partir do traço 2D. Os
bias possíveis são:
• Truncamento - que é a dimensão mínima de traço de descontinuidade a ser registrada, ou
seja os traços com dimensões iguais ou menores a esta dimensão de truncamento serão
desprezados, por assumir que não tem influência na análise global do maciço ou da área de
estudo.
• Censura - gerada pelas limitações do plano de amostragem, que não permite a medida total
do comprimento do traço, como é o caso das dimensões reduzidas das paredes e piso de
uma galeria de exploração ou a altura pequena do talude ou o tamanho reduzido do
afloramento que em resumo não permitem visualizar um ou ambas extremidades do traço.
A localização é um valor pouco utilizado em seu verdadeiro valor e para fins
geomecânicos é usado um valor de localização relativo, expressado através do espaçamento
das descontinuidades ou da densidade.
Com estes parâmetros geométricos das descontinuidades corretamente medidos e
corrigidos por bias ainda tem-se a própria variabilidade deles que terá que ser tratada
estatisticamente para ter uma melhor visualização das variáveis e conhecer seus verdadeiros
parâmetros estatísticos. Posteriormente se aplicarão métodos de probabilidade geométrica
para poder definir qual o modelo probabilístico mais apropriado que represente estes
parâmetros geométricos. Na literatura se tem desenvolvido alguns modelos probabilísticos
como os que são apresentados a seguir.
2.9.2 MODELO DE BAECHER
Baecher & Lanney (1978) desenvolveram um modelo probabilístico que foi usado por
Warburton (1980), ele se baseia na forma plana circular ou elíptica da descontinuidade. Como
os raios ou as cordas de uma elipse não são medidas diretamente em campo, a escolha da
distribuição de probabilidade, para o tamanho das descontinuidades, foi pura conveniência,
que para uma distribuição exponencial ou log-normal do raio, corresponde uma distribuição
log-normal do traço. Para o espaçamento escolheu a distribuição exponencial com melhor
ajuste para a grande quantidade de dados analisados como mostra a Figura 2.19. Desta forma,
os centros das descontinuidades apresentam uma distribuição aleatória e independente no
espaço, seguindo assim um processo de Poisson. Este modelo assume que o raio e o mergulho
das descontinuidades não estão correlacionados e que o raio e a distribuição espacial também
45
não apresentam correlação (são estatisticamente independentes). Embora estas condições
estejam ainda abertas a questionamentos foram assumidas como ponto de partida para o
desenvolvimento do modelo (Baecher et al., 1977).
O tamanho da descontinuidade elíptica é definido com dois parâmetros, o
comprimento da corda máxima e mínima, Cmax e Cmin, para cordas que atravessam o centro da
descontinuidade. O comprimento da corda, Ca, que atravessa o centro da descontinuidade
orientada a um certo ângulo α da corda máxima, será:
( )5,0
22max
2min
2
tg1 tg1
+
+=
α
α
C
CCa (2.61)
0 20 40 600
20
40
60
80
100
Distribuição GammaDistribuição Log-normalFrequência Observada
COMPRIMENTO DA DESCONTINUIDADES (ft.)
PRO
BA
BIL
IDA
DE
AC
UM
ULA
DA
(%)
(a)
0 1 2 30
20
40
60
80
100
Média = 0,5969Desvio Padrão = 0,683Tamanho da amostra = 484
ESPAÇAMENTO (ft.)
PRO
BA
BIL
IDA
DE
AC
UM
ULA
DA
(%)
(b)
1 - e-(1,68)s
Figura 2.19 Comparação das distribuições adotadas com dados observados: (a) distribuição
acumulada lognormal e gamma com dados de comprimento do traço; (b) distribuição
acumulada exponencial com dados de espaçamento (modificado - Baecher, et al., 1977).
Como resultado da localização das descontinuidades, pelo processo de Poisson e
considerando o modelo de Baecher com o tamanho e forma de círculo ou elipse adotados, foi
assumido que as descontinuidades podem terminar em rocha intacta ou nas intercessões com
outras descontinuidades como mostra a Figura 2.20. A aplicação deste modelo depende da
existência de descontinuidades com formas circulares ou elípticas, fato que segundo
Dershowitz & Einstein (1988) foi verificado em vários documentos, e que também tem
explicação na mecânica da fratura.
46
Descontinuidades com forma de disco somente poderão formar blocos no caso de
terem o tamanho necessário para cortar toda a região cúbica considerada. Para alguns casos o
tamanho do disco terá que ser igual ou maior à maior diagonal do volume cúbico considerado,
o que no ocorre na Figura 2.20. Neste sentido para maciços que apresentam uma clara
formação de blocos será evidente que o tamanho das descontinuidades circulares ou elípticas
tenham dimensões consideráveis para poder cortar toda a região considerada. Uma
desvantagem deste modelo é que não se pode afirmar categoricamente que as
descontinuidades que apresentam traços com extremidades finais em rocha intacta possuam
forma circular ou elíptica. Outra desvantagem é que este modelo considera as
descontinuidades perfeitamente planas eliminando assim vários possíveis comportamentos
mecânicos de formação de blocos.
Figura 2.20 Modelo de Beacher, com descontinuidades em forma de discos com extremos em
rocha intacta ou na interseção com outras descontinuidades. (Dershowitz e Einstein, 1988).
2.9.3 MODELO DE VENEZIANO
Este modelo foi desenvolvido por Veneziano (1978) e foi aplicado para problemas de
estabilidade de taludes e de hidrologia unicamente para o caso 2D. Priest & Hudson (1976)
foram os primeiros a relacionar a geometria da distribuição das descontinuidades com a
geometria dos planos e linhas gerados pela distribuição de Poisson estudadas pela matemática
no campo da probabilidade geométrica. As soluções analíticas disponíveis para a geometria
47
estocástica, especialmente aquelas de Miles (1971) e Santaló (1976), fazem da distribuição de
linhas (Figura 2.21a) ou de planos pelo processo de Poisson convenientes para sua utilização.
Como se mostra na Figura 2.21a, o tamanho das descontinuidades é considerado infinito e
para poder considerar as terminações das descontinuidades em rocha intacta, Veneziano
(1978) introduz um método para adaptar o conceito de geração de planos das
descontinuidades com a distribuição de Poisson para descontinuidades com terminações em
rocha intacta. A Figura 2.21b mostra a geração do modelo para o sistema de descontinuidades
de Veneziano. Este modelo requer 3 processos estocásticos consecutivos. Primeiramente, os
planos das descontinuidades serão gerados com a distribuição de Poisson. Estas
descontinuidades são localizadas no espaço por meio de uma distribuição uniforme mas
poderão ter qualquer distribuição de orientação desejada. Como segundo passo pelo processo
de Poisson são geradas linhas em cada plano de descontinuidade, que dividiram o plano da
descontinuidade em regiões poligonais. Finalmente, alguns polígonos de cada plano da
descontinuidade são aleatoriamente marcados como PA ou descontinuidades, enquanto que os
polígonos restantes são definidos como rocha intacta, desta maneira PA corresponde à
persistência.
48
Figura 2.21 Modelo de Veneziano: (a) Traços gerados pelo processo de Poisson; (b) Processo
de geração das descontinuidades não persistentes (modificado - Dershowitz & Einstein,
1988).
No plano 2D onde é registrado o traço das descontinuidades, o modelo de Veneziano
reconstrói o modelo de Baecher, com a exceção de que as descontinuidades são representadas
por segmentos de linhas co-planares (Figura 2.22), ao contrário de unicamente uma linha.
Alem disso Veneziano (1978) demonstrou que este modelo está muito relacionado com a
distribuição exponencial para o comprimento do traço das descontinuidades, que está em
contrapartida com a distribuição lognormal achada no modelo de Baecher. Com relação às
terminações das descontinuidades, no modelo de Veneziano, as descontinuidades em cada
plano são definidas por um processo independente das linhas de Poisson. Então, a definição
de descontinuidades em cada plano é independente das interseções das descontinuidades.
Figura 2.22 Modelo de Veneziano bidimensional
Blocos de rocha podem ser gerados com este modelo de Veneziano, se as
descontinuidades são 100% persistentes e sem terminações em rocha intacta. Nesse caso as
descontinuidades vão cruzar-se entre elas e não terminarão. No caso de não persistentes, o
modelo de Veneziano, com terminações, poderá ser simulado, mas usualmente não produzirá
blocos.
49
2.9.4 MODELO DE DERSHOWITZ
Dershowitz (1984), corrigiu o problema do modelo de Veneziano, onde as interseções
das descontinuidades e os cantos das mesmas não coincidem. Como o modelo de Veneziano,
o modelo de Dershowitz é baseado num sistema de geração de planos pelo processo de
Poisson que melhor representam os planos das descontinuidades. Em lugar de precisar de três
processos separados, o modelo de Dershowitz precisa só de dois processos (Figura 2.23). O
primeiro é a definição dos planos das descontinuidades com o processo de planos de Poisson
com localização uniformemente distribuída, e de orientações que seguem uma distribuição
específica. As interseções entre estes planos definem um processo de linhas em cada plano de
descontinuidades, as quais dividem cada plano em polígonos. O segundo processo é a seleção
e marcação dos polígonos de descontinuidades em cada plano, e os polígonos restantes serão
considerados como rocha intacta. Da mesma forma que no modelo de Veneziano, isto é
realizado com um processo estocástico no qual cada descontinuidade potencial tem uma
probabilidade igual de ser marcada como uma descontinuidade aberta.
Os cantos das descontinuidades são definidos pelas interseções dos planos das
descontinuidades e como resultado todas as interseções das descontinuidades acontecem nos
cantos das descontinuidades. Também, as descontinuidades correspondem diretamente às
faces ou aos lados dos poliedros que a sua vez são definidos pelos próprios planos das
descontinuidades. Como resultado os lados dos poliedros são completamente intactos ou
completamente fraturados (descontínuos) e os blocos de rocha poderão ser relativamente
modelados com facilidade.
50
Figura 2.23 Geração das descontinuidades do modelo de Dershowitz (modificado -
Dershowitz & Einstein, 1988).
A vantagem do modelo de Dershowitz é de poder definir blocos de qualquer tamanho
e adicionalmente a isso, permite uma distribuição da orientação muito flexível. Então uma
variedade de formas poligonais de descontinuidades e formas de blocos poderão ser
modelados. Pode-se dizer que este modelo de Dershowitz apresenta-se com maiores
vantagens que os anteriores para representar blocos diferenciados, descontinuidades
poligonais e uma orientação dispersa. O modelo de Dershowitz também poderá ser utilizado
para modelar um sistema de descontinuidades que não apresenta formação de blocos, com as
terminações das descontinuidades em rocha intacta, (Dershowitz & Einstein 1988).
Como no modelo de Veneziano, as descontinuidades no modelo de Dershowitz são
co-planares e o modelo não é acurado para modelos de descontinuidades com terminações em
rocha intacta não co-planares. Em resumo este modelo apresenta as mesmas vantagens e
desvantagens que o modelo de Baecher.
Existem ainda outros modelos menos utilizados como o modelo de mosaicos que
trabalha com formas regulares e que não permite simular de forma mais abrangente a
variabilidade da geometria das descontinuidades na maioria de casos.
51
2.9.5 MODELO DE KULATILAKE
Kulatilake (1993) identifica primeiramente a região estatisticamente homogênea, ou
seja, a maior região de amostragem do maciço total que seja representativa e a seguir
determina o número de famílias ou grupos de famílias presentes nesta região. Para cada
família analisa separadamente cada parâmetro geométrico das descontinuidades e para cada
parâmetro se acha uma distribuição de probabilidade que melhor se ajuste aos dados
amostrados considerando uma prévia correção de bias. A forma da descontinuidade é circular
plana como a do modelo de Baecher e a distribuição da localização das descontinuidades é
feita com relação à localização do centro do círculo. A intensidade das descontinuidades é
gerada pela distribuição de Poisson e a orientação é gerada por uma distribuição
bivariacional.
Este modelo tanto como os anteriores carece de um processo mais confiável na
determinação da região estatisticamente homogênea e na determinação do número de
famílias de descontinuidades.
2.9.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS
O mais importante ou de maior interesse para o usuário é a correta seleção do modelo
apropriado para cada caso em particular. Os modelos agregados apresentados anteriormente
permitem caracterizar melhor o maciço devido ao fato de que eles capturam a
interdependência dos parâmetros geométricos das descontinuidades e descrevem a geometria
do maciço como uma entidade, um sistema, o que está mais próximo da realidade
(Dershowitz & Einstein, 1988). Estes modelos foram desenvolvidos para resolver problemas
de mecânica do maciço rochoso como, estabilidade, interação entre blocos etc. Existem outros
modelos para ser aplicados a problemas de fluxo nas fraturas e que apresentam um conceito
de idealização diferente.
O modelo de Beacher é restrito a existência de descontinuidades circulares, as quais
unicamente formarão blocos se forem maiores que a região considerada. Em alguns casos a
dimensão do disco terá que ser igual ou maior que a região cúbica gerada. O modelo de
Veneziano, por não trabalhar com descontinuidades circulares mas sim com planos infinitos,
tem maior facilidade para gerar blocos, tendo presente que as descontinuidades sejam 100%
persistentes e co-planares. O modelo de Dershowitz considera também uma superfície infinita
como o modelo de Veneziano mais acrescenta ao modelo a possibilidade de representar
52
diferentes valores de persistência da descontinuidade, apresentando assim maior flexibilidade
também na orientação das descontinuidades. O modelo de Kulatilake apresenta a mesma
dificuldade para gerar blocos que o modelo de Beacher, mas também apresenta uma ampla
correção dos erros de bias como também uma seleção da região estatisticamente homogênea
mais criteriosa. Na Tabela 2.6 são apresentadas algumas características dos modelos
apresentados anteriormente.
Tabela 2.6 Características das descontinuidades de alguns modelos
CARACTERÍSTICAS DA DESCONTINUIDADE MODELO
forma tamanho Terminação na Rocha intacta Co-planaridade Orientação
Baecher Circular ou elíptica Finito Não Não Variável
Veneziano Poligonal Finito Na interseção Sim Variável
Dershowitz Poligonal Finito Sim Sim Variável
Kulatilake Circular Finito Não não Variável
53
Capítulo 3
3 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE
GEOMÉTRICA
A probabilidade geométrica procura a probabilidade de ocorrência de figuras
geométricas dentro de um domínio determinado, tendo como limite às condições de contorno
para cada problema, como é o caso das descontinuidades que podem ser representadas como
polígonos planos no espaço. Uma das primeiras publicações sobre o assunto de probabilidade
geométrica foi feita na França por Deltheil em 1926, citado em Langevin (1997),
posteriormente até os anos 60, a maioria dos livros de probabilidade ignoraram
completamente esse assunto. Alguns autores como Kendal & Moran (1963) atribuem este fato
aos resultados obtidos por volta de 1900 por Morgan Crofton, os quais foram considerados
como suficientes para cobrir este assunto. Na realidade numerosos problemas têm surgido
precisando de soluções baseadas em tudo aquilo que foi desenvolvido no passado sobre
probabilidade geométrica assim como provocando um maior desafio na busca de novas
soluções, ou seja, o assunto renasceu. O livro de Kendal & Moran (1963) mostra exemplos
que ilustram o amplo campo de aplicação da probabilidade geométrica na década dos 60
como astronomia, física atômica, biologia, crystalografía, petrografia, teoria da amostragem
etc. Neste capítulo da tese procura-se apresentar as ferramentas de probabilidade geométrica
aplicadas à distribuição de probabilidade de descontinuidades ou figuras geométricas planas
no espaço 3D.
Dentro da probabilidade geométrica o termo geometria integral é muito importante, (o
qual foi introduzido por Blaschke no século XVIII; citado em Langevin, 1997). De fato, pelo
uso de conceitos de probabilidade, Morgan Crofton foi o primeiro a obter algumas equações
integrais importantes para figuras planas convexas, de características puramente geométricas,
onde a teoria de probabilidade virou um acidente. Alem disso a teoria de Probabilidade
Geométrica fez ressurgir o problema de achar a medida do conjunto de objetos geométricos
(pontos, linhas retas, cônicas, pares de pontos etc.) com propriedades invariáveis, sob um
conjunto de transformações, o que representa o problema central da Geometria Integral
(Santaló, 1953).
53
Uma vez achada as medidas invariáveis, a Geometria Integral tenta deduzir
conseqüências geométricas para a figura (em particular no domínio convexo) no espaço, no
qual o conjunto opera. Na caracterização estrutural do maciço rochoso, a geometria das
descontinuidades pode ser considerada como figuras circulares planas ou discos planos
aleatoriamente distribuídos no espaço. O mapeamento das descontinuidades é feito através da
medida das características geométricas das linhas ou traços, no plano de amostragem. Tais
traços são gerados pela interseção das descontinuidades com o plano de amostragem. O plano
de amostragem pode ser a face de um talude, a parede e piso de uma galeria, um afloramento
rochoso etc. A probabilidade geométrica permite analisar a distribuição aleatória dos planos
das descontinuidades no espaço de três dimensões assim como a probabilidade da interseção
entre elas ou como outro volume.
Primeiramente apresenta-se os conceitos de probabilidade geométrica e a seguir a
análise de probabilidade geométrica para pontos, retas e planos no espaço 2D e 3D.
3.1 INTRODUÇÃO
Em 1777 Buffon publicou seu Essai d’aritmétique morale (Teste de moral de
aritmética), onde descreveu o experimento das agulhas "A medida de incerteza está neste
objeto: Eu vou jogar ele e dar algumas regras para registrar o cálculo da veracidade, o grau de
probabilidade, o peso das tentativas, a influência da sorte, a inconveniência de riscos e julgar
o real valor dos nossos medos e nossas expectativas ao mesmo tempo". Buffon provou que,
quando uma agulha é lançada aleatoriamente nas tábuas de um assoalho, a probabilidade que
esta caia entre duas tábuas é de 2/π, isto se o comprimento da agulha é igual à largura da
tábua. Admite-se sem a menor dúvida que a medida da probabilidade correta, no espaço da
posição da agulha, é a medida de ( ) [ ]θπ ddx 2 1− , onde a presença da constante π esconde um
círculo. O Físico Paul Langevin em 1908, citado em Langevin (1997), apresentou um
procedimento para visualizar a demonstração de Buffon. Após o lançamento de milhares de
agulhas e se elas são movidas unicamente por translação paralela ou perpendicular às tábuas
por uma distância igual a um inteiro múltiplo da largura da tábua. Como todas as posições
relativas são possíveis de ocorrer (ângulo de orientação, distância da agulha às linhas do
contorno da tábua), podem-se rearranjar as agulhas ao longo de um círculo grande como se
mostra na Figura 3.1. Tendo essencialmente o mesmo número N de agulhas sobre qualquer
54
ponto do círculo, o número total de agulhas é próximo a NL, onde L é o comprimento do
círculo. Então o número de agulhas que cruzam a linha entre duas tábuas está próximo a:
N . (número de pontos de interseção das linhas com o círculo) (3.1)
Isto é 2ND, onde D é o diâmetro do círculo. Então a probabilidade apropriada será
2ND/(NL) = 2ND/(NDπ) = 2/π.
D
1
1
Figura 3.1 Rearranjo da distribuição das agulhas numa circunferência.
Cem anos seriam necessários para esclarecer o critério de probabilidade envolvido
nesta demonstração da física (Langevin, 1997). Antes de chegar a isso, observe-se uma
demonstração convencional confirmando o problema de Buffon. Localize a posição da agulha
no piso pela posição de uma de suas pontas e o ângulo que faz a agulha com a direção
horizontal. Aplicando uma translação paralela aos contornos das tábuas, ou múltiplos da
largura das tábuas, pode-se supor que a agulha tem sua ponta no segmento vertical AB (Figura
3.2a). Assumindo que AB tem comprimento 1 e chamando de x a distância entre a ponta da
agulha e o ponto A, tem-se que o conjunto das posições possíveis das agulhas está entra AB
considerando sua inclinação, assim a agulha cortará a linha LB se (x + sen θ) ≥ 1 e a linha LA
se (x + sen θ) ≤ 0. A relação entre a área sombreada e a área do retângulo entre 0, 1 e 0, π
como mostra a Figura 3.2b será de 2/π (Langevin, 1997).
3.2 NOÇÃO DE MEDIDA GEOMÉTRICA
Crofton em 1868, citado em Langevin (1997), esclareceu a noção de medida no
conjunto de linhas afins, citando Crofton: A expressão "ao acaso (aleatório)" numa linguagem
comum tem um significado muito claro e definido; que não pode ser mais bem transmitido
como a expressão "de acordo com nenhuma lei ..." Sempre há uma referência direta entre o
conjunto de figuras ou objetos geométricos que pertencem a um mesmo grupo, do qual mede-
55
se todos eles e pode-se proceder a resumir e analisar os casos favoráveis. Mas existe
variedade de classes ou questões em que a totalidade de casos não é meramente infinita, mas
de uma natureza inconcebível. Pode-se assim supor, continuamente variações da experiência e
para cada variação resulta uma infinidade nova de casos. Então Crofton justifica a escolha da
medida no plano que significa: “para uma infinidade de linhas posicionadas ao acaso num
plano, qual é a natureza deste grupo, ao acaso?. Primeiro, desde que qualquer direção é tão
provável quanto às outras, muitas das linhas são paralelas a qualquer direção das outras
linhas. Como este sistema infinito de paralelas são posicionadas ao acaso, elas são dispostas
densamente ao longo de qualquer parte da perpendicular ou ao longo de qualquer outra
direção”. Crofton fundou a resposta correta. Não obstante, na passagem do século a escolha
de uma medida não é óbvia, porque havia muitas possibilidades (Langevin, 1997).
0 θ
1
x
2ππ
(b)
θ
1
x
B
A
LB
LA
(a)
1
Figura 3.2 Representação geométrica do problema de Buffon: (a) localização da agulha entre
as linhas LA e LB; (b) domínio (θ, x) das agulhas que estão entre as linhas LA e LB.
Em 1907, quando a geometria integral estava próxima a desaparecer, o probabilista J.
Bertrand deu três respostas diferentes, a um mesmo problema de geometria elementar. A
questão foi: Qual é a probabilidade para que a corda de um círculo de raio 1, tomada
aleatoriamente, seja maior que o comprimento do lado do triângulo eqüilátero inscrito, ou seja
maior a 3 ?, as três respostas diferentes propostas por Bertrand são de três formas diferentes
de escolha da corda (Figura 3.3):
• PRIMEIRO: Qualquer corda intercepta um círculo em dois pontos, assim pode-se supor
com uma distribuição de probabilidade uniforme sobre a circunferência ou perímetro do
círculo. Sem perder generalidade pode-se supor que um dos pontos está fixo no vértice do
triângulo eqüilátero inscrito e que o outro ponto estará no comprimento de arco entre os
lados do triângulo eqüilátero, como mostrado a Figura 3.3a. Há então 1/3 da circunferência
56
ou 1/3 do perímetro do círculo no qual o outro ponto pode se localizar, para que a corda
resultante tenha comprimento maior a 3 , isto gera uma probabilidade de 1/3.
• SEGUNDO: O comprimento da corda depende da distância da corda com relação ao centro
do círculo, mas não da sua direção. Pode-se então supor que este tem uma direção fixa
perpendicular a um diâmetro determinado do círculo e seu ponto de interseção com este
diâmetro tem uma distribuição uniforme. Para que a corda tenha um comprimento maior a
3 , a distância do ponto de interseção ao centro do círculo deve ser menor a 1/2, e isto
gera uma probabilidade de 1/2 com relação ao comprimento do diâmetro (Figura 3.3b).
• TERCEIRO: Qualquer corda é unicamente definida pela sua distância perpendicular ao
centro do círculo. A interseção da distância do centro do círculo perpendicular à corda com
a própria corda, é um ponto uniformemente distribuído sobre o círculo. A probabilidade da
corda cair em qualquer região de área A é Aπ-1 (considerando que a área total do círculo é
π). Para que a corda tenha um comprimento maior que 3 , o ponto de interseção da corda
terá que estar dentro de um círculo de raio 1/2, por conseguinte a probabilidade será de 1/4
com relação à área total do círculo (Figura 3.3c).
A
B
0
1/2
-1/2
0
(a) (b) (c)
Figura 3.3 Representação geométrica do problema de Bertrand: (a) PRIMEIRO,
probabilidade de 1/3; (b) SEGUNDO, probabilidade de ½; (c) TERCEIRO, probabilidade de
¼ (modificado - Langevin, 1997)
Todas as três soluções estão corretas, mas verdadeiramente se referem a problemas
diferentes. Em todas as questões que envolvem probabilidade geométrica primeiramente se
tem que definir o significado o termo aleatório. Se a corda é considerada como sendo
determinada pelo ângulo θ que ela faz com uma direção fixa e pela sua distância p do centro
do círculo à corda (distância perpendicular), a determinação do significado do termo aleatório
57
é equivalente a determinar uma densidade de probabilidade conjunta para θ e p na sua faixa
de variações que são de πθ 20 <≤ e 0 1≤≤ p . Na primeira solução do exemplo de Bertrand
considere-se a α e β como as coordenadas angulares dos extremos da corda, assim tem-se que
πβα 2,0 ≤≤ e a distribuição de probabilidade em conjunto será ( ) βαπ dd 2 2− . Também
obtém-se que:
p (3.2) 1cos, −±=θβα
Fazendo a troca de variáveis vê-se que a distribuição de probabilidade em conjunto de
θ e p deve ser dada por:
212
p
ddp−πθ (3.3)
Similarmente para o segundo caso, a distribuição de p e θ será dada por:
( ) θπ ddp 2 1− (3.4)
E para o terceiro caso por:
( ) θπ ddpp 1− (3.5)
Em geral para definir a distribuição de um objeto geométrico deve-se primeiramente
determinar o sistema de coordenadas que definem de forma única o objeto e depois definir a
distribuição de probabilidade na faixa destas coordenadas. Como exemplo de tais sistemas de
coordenadas pode-se considerar os seguintes:
• Pontos no espaço euclidiano de um, dois, três ou mais dimensões poderão ser definidos
pelas suas coordenadas cartesianas. Aqui os parâmetros do espaço coincidem com os do
espaço dos elementos.
• Linhas em espaços de duas dimensões podem ser definidas pela sua interseção com um dos
eixos e o ângulo que elas fazem com este eixo, ou pelo ângulo e a mínima distância da
linha à origem. Similarmente, linhas em três dimensões podem ser definidas pelas
58
coordenadas de sua interseção com um plano e pela sua direção. Elas então precisam de
quatro coordenadas para sua completa determinação. Isto faz com que a determinação da
medida de probabilidade para cada caso, de maior dimensão, seja mais difícil e é quase
sempre desejável representar um objeto geométrico nas coordenadas no espaço de tal
forma a não ter unicamente uma correspondência um a um, mas que a dimensionalidade
correspondente a todos os possíveis objetos tenham a mesma dimensionalidade das
coordenadas do espaço.
• Um plano em três dimensões pode ser determinado pelos coeficientes (u, v, w) de sua
representação como uma equação linear em coordenadas cartesianas, 01 =+++ wzvyux ,
ou o que é mais conveniente, pela sua distância p da origem e suas coordenadas polares θ e
φ da perpendicular traçada desde a origem ao plano. Em qualquer caso o espaço das
coordenadas deve ser de três dimensões.
• Uma translação em três dimensões pode ser representada pelas três coordenadas, (a, b, c),
do ponto que é tomado como a nova origem de coordenadas.
• Uma rotação em três dimensões pode também ser representada por três coordenadas. Estas
podem ser tomadas como as coordenadas polares θ, φ do eixo de rotação, junto com o
ângulo, ψ, de rotação. Alternativamente, desde que qualquer rotação em três dimensões
pode ser representada por uma matriz ortogonal, pode-se tomar qualquer grupo de três
elementos desta matriz, que sejam independentes, para representar esta rotação (desde que
esta matriz seja determinada por qualquer destes três elementos).
Nota-se que em todos os exemplos acima, com exceção da rotação, o conjunto de
possíveis coordenadas tem uma medida ou volume infinito. Por outro lado, se mais restrições
são colocadas nos objetos geométricos, pode-se obter conjuntos limitados nas coordenadas do
espaço em que se está trabalhando. Então, por exemplo, as coordenadas correspondentes a
todos os planos em três dimensões que interceptam uma figura formam um contorno entre
elas mesmas, formando assim um conjunto limitado.
Se tivermos um número fixo de objetos geométricos, pode-se definir sua distribuição
de probabilidade conjunta, no espaço de coordenadas escolhidas. Supondo que as
coordenadas que definem o elemento geométrico sejam (z1..., zk) no espaço Ω, que pode ou
não ser limitado e representando as coordenadas pelo vetor z, considerando que tem-se uma
medida não negativa P(E), definida numa classe aditiva de conjuntos E no espaço Ω, tal que:
( ) 1==Ω ∫ΩdPP (3.6)
59
Na maioria dos casos, P(E) será a integral de Lebesgue de uma função continua sobre
os conjuntos E e a classe aditiva pode ser tomada como todos esses conjuntos que são
mensuráveis no critério de Lebesgue (Kendal & Moran, 1963).
A distribuição de probabilidade de um número fixo de elementos geométricos que são
independentes pode ser tomada como o produto de tais distribuições. Embora, também se
deva considerar casos onde o número de elementos seja por si só uma variável aleatória. A
suposição mais freqüente é que o número de elementos em qualquer subconjunto específico E
de Ω obedece à distribuição de Poisson independente do número de variáveis em qualquer
outro conjunto separado. Então o número N de elementos em E tem probabilidade e-λ λN (N!)-
1, onde λ depende de E. Isto é uma definição consistente desde que a soma de duas variáveis
independentes que seguem a distribuição de Poisson é por si própria uma variável de Poisson.
Por conseguinte define-se uma medida M(E) que está no espaço Ω de todos os
possíveis pontos. Esta medida usualmente não está limitada, isto é M(Ω) pode ser infinito,
mas σ-infinito, quer dizer que Ω pode ser decomposto num finito ou infinito número contável
de conjuntos E1, E2,... como este (Kendal & Moran, 1963):
...21 ++=Ω EE (3.7)
M(Ei) é finito para cada i. Considerando, por exemplo, pontos aleatórios numa linha e
supondo que o número de ocorrências em qualquer intervalo de comprimento igual a 1 é uma
variável de Poisson com média 1, sendo esta média independente do que aconteça fora deste
intervalo. Então M(E) será igual a medida de Lebesgue para qualquer conjunto E mensurável
de Lebesgue na linha, embora M(Ω) é o comprimento de toda a linha no infinito, Ω pode ser
representada como a soma de um número contável de intervalos de comprimento finito.
Seja N o número de elementos geométricos com parâmetros correspondentes ao
conjunto de parâmetros de E no espaço. N será uma variável de Poisson com média igual a:
( ) ∫==EdMEMλ (3.8)
E por conseguinte tem uma função de origem (forma exponencial):
60
( ) ∫=−EdMz λ1exp (3.9)
Com a condição, que de fato existem exatamente N destes elementos. A distribuição
em conjunto das coordenadas z1,...,zN será:
( ) ( )( ) N
E
N
zdM
zdMzdM
∫...1 (3.10)
Assim para N = 1 tem-se uma relação entre a medida M(E) e a correspondente integral
induzida de Lebesgue P(E). Quando M(E) não seja a integral de sua derivada, a Equação 3.10
poderá ser interpretada, de forma similar, quando integrada sobre qualquer subconjunto G, de
E. Então a probabilidade de ocorrência de um único elemento com coordenadas em G, se se
conhece que está em E, será (Kendal & Moran, 1963):
( )( )( )∫
∫=E
GE
zdM
zdMEGp (3.11)
Onde GE é o conjunto comum a E e G. Observe que a probabilidade p(G|E) é um
conjunto de funções composto de dois conjuntos E e G.
Por conseguinte, um problema de probabilidade geométrica, não estará definido
enquanto não for escolhida a medida de probabilidade, P(E) no caso de um número fixo de
elementos distribuídos independentemente, ou uma medida de probabilidade M(E) no caso de
um número aleatório. Em geral, esta escolha é um pouco arbitraria e o erro no
reconhecimento deste fato nos leva aos paradoxos (controvérsias). Embora, algumas medidas
escolhidas são mais úteis e mais intuitivamente sensíveis que outras, precisa-se considerar
alguns critérios de escolha.
3.3 ESCOLHA DE UMA MEDIDA DE PROBABILIDADE
Muitos dos problemas de probabilidade geométrica estão definidos para elementos
geométricos no espaço Euclidiano, com propriedades invariáveis para um conjunto de
transformações, o que é apropriado para um espaço Euclidiano, isto para as translações,
61
rotações e reflexões. Então considerando um conjunto A de objetos geométricos no espaço
Euclidiano, obtém-se todas as translações pela transformação de coordenadas adicionando as
constantes de translação e para todas as rotações e reflexões aplicando uma transformação
ortogonal. Por exemplo, num espaço de três dimensões, as coordenadas, x, y, z, serão
transformadas em novas coordenadas x', y', z' com as seguintes relações.
,,
,
3332310
2322210
1312110
zayaxazzzayaxayy
zayaxaxx
+++=′+++=′
+++=′
(3.12)
Onde aij é uma matriz ortogonal e o conjunto A será transformado num novo conjunto A'.
Se o conjunto de parâmetros dos pontos correspondentes a A estão nos parâmetros do
espaço E, então os conjuntos correspondentes a A' estarão em E'. A transformação do
conjunto E induzida pela transformação no espaço Euclidiano mais a escolha de P(E) ou
M(E), permite impor naturalmente a condição de P(E') = P(E), ou M(E') = M(E). Desta forma
a escolha destas medidas depende das propriedades preservadas das medidas de tais conjuntos
de transformações.
3.4 PONTOS NO ESPAÇO EUCLIDIANO DE N DIMENSÕES
Para este caso o parâmetro do espaço é o mesmo que o espaço do elemento e se a
medida do conjunto é invariável para a aplicação de translações e rotações, a medida natural a
ser utilizada será a medida de Lebesgue. Se a distribuição de um único ponto, ou um número
finito de pontos for considerado, não se pode assumir que o ponto esteja distribuído sobre a
totalidade de qualquer conjunto com medida infinita, mas deverá confina-lo a uma região do
espaço com medida limitada dentro do espaço limitado (por exemplo, o interior de um cubo
ou uma esfera). Caso esta região seja R e sua medida de Lebesgue seja m(R), então se pode
considerar P(E), a probabilidade que o ponto esteja dentro do conjunto E, contido em R, o que
é dado por:
( ) ( )( )RmEmEP = (3.13)
62
Considerando um número de pontos arbitrários (aleatório), pode-se supor que o
número de tais pontos no conjunto E com medida de Lebesgue finita, é uma variável de
Poisson com média igual a λm(E) = M(E), onde λ é uma constante. Se o número de tais
pontos é n, a distribuição condicional para que estes pontos estejam nos conjuntos E1,...,En,
contidos em E, dado o número n, será dada por:
( ) ( )( )
,...1n
n
EmEmEm (3.14)
Fornecendo um sufixo para cada um deles para que possam ser identificados.
3.5 DENSIDADE E MEDIDA PARA O CONJUNTO DE PONTOS
Seja x e y as coordenadas cartesianas ortogonais do ponto P. O conjunto de giro e
translação M no plano está representado pelas equações:
αααα
cos*sen*sen*cos*
yxbyyxax
++=−+=
(3.15)
Sendo que esta transformação é ortogonal pode-se considerar x* = J x onde ∂x/∂x* =
|J| = 1 aqui J também é conhecido como o Jacobiano da transformada.
Deseja-se definir a medida dos conjuntos X dos pontos P invariáveis sobre a
transformação de M e considerando que as medidas podem ser expressas por integrais
múltiplas da seguinte forma:
( ) ( )∫=X
dxdyyxfXm , (3.16)
Ou em outras palavras, tem-se que determinar a função f(x,y) com a condição que
m(X) seja invariável com relação às transformações M. Conseqüentemente deve ser verdade
que:
( ) ( ) ** **, ,*
dydxyxfdydxyxfXX∫∫ = (3.17)
63
Por outro lado, pelas regras de troca de variáveis em integrais múltiplas, tem-se que:
( ) ( ) ** , ,*
dydxyxfdydxyxfXX∫∫ = (3.18)
Como na Equação 3.15 tem-se que ( )( ) 1
**
****,
,==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂ J
yy
xy
yx
xx
yxyx (determinante do
Jacobiano), então com as Equações 3.17 e 3.18 obtém-se:
( ) ( ) ** **,** ,**
dydxyxfdydxyxfXX∫∫ = (3.19)
Considerando que esta igualdade é valida para qualquer conjunto X* deverá ser
verdade que:
( ) ( )**,, yxfyxf = (3.20)
Como os pontos x, y podem ser transformados por uma translação a qualquer outro
ponto x*, y*, a Equação 3.20 significa que f(x,y) tomará o mesmo valor para todos os pontos
no plano. Isto é:
( ) constante, =yxf (3.21)
Fazendo esta constante igual a 1, tem-se que a medida de um conjunto X de pontos
P(x,y) será definida por:
( ) ∫=X
dxdyXm (3.22)
64
Até um fator constante, esta medida é única e invariável sob um conjunto de
transformações no plano. A forma integral dentro do símbolo de integração é chamada de
densidade para o conjunto de pontos e será representada por dP.
3.5.1 OBSERVAÇÕES DA DENSIDADE
A densidade dP foi definida como a forma diferencial dentro do símbolo de integração
na Equação 3.22. Em conseqüência pode-se expressa-la em função de outras variáveis, u e v,
definidas como:
( ) ( )vuy yvuxx , , , == (3.23)
Assim obtém-se:
( )( ) dvduJdvdu
vuyxdydxdP
,, =
∂∂
== (3.24)
Onde |J| é o determinante do jacobiano da transformada de x, y em u, v.
Então, no lugar da multiplicação ordinária das diferenciais dx = xu du + xv dv, dy = yu
du + yv dv, pode-se aplicar a Equação 3.24. Neste caso pode-se dizer que a multiplicação de
dx vezes dy é exterior. Para esclarecer melhor esta diferença, alguns autores utilizam os
parênteses [dx dy], e outros autores utilizam o seguinte símbolo dx ∧ dy. Neste trabalho são
utilizados os parênteses para indicar multiplicação exterior;. Assim escreve-se:
[ ]dydxdP = (3.25)
As regras para a multiplicação exterior de formas diferenciais, que são úteis para
muitas aplicações importantes quando comparadas com o cálculo da determinante do
jacobiano (Equação 3.24), são:
• O produto é igual a zero se qualquer par de fatores for igual
• O produto não muda se for realizada uma permutação par dos fatores, e muda para
negativo se uma permutação ímpar for feita.
65
Por exemplo, no caso da Equação 3.24 tem-se que:
dvyduydydvxduxdx vuvu +=+= , (3.26)
Realizando a multiplicação exterior tem-se que: [du du] = 0, [dv dv] = 0, [du dv] = -
[dv du], então obtém-se:
[ ] ( )[ ] [ ]dvduJdvduyxyxdydx uvuu =−= (3.27)
Esta observação sobre a densidade, para o conjunto de pontos, é apropriada para todas
as densidades que se apresentam neste trabalho que serão sempre formas diferenciais
exteriores. Ainda mais, como densidades negativas são excluídas, sempre toma-se as
densidades como valor absoluto.
3.5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL
Como aplicação dos conceitos anteriores, considere a curva convexa plana K com
tangente em todos seus pontos, sendo O um ponto interior a K, como mostra a Figura 3.4 .
Para cada ponto P exterior a K, podem ser traçadas duas tangentes a K, PA1 e PA2.
Para cada uma destas tangentes correspondem os ângulos φ1 e φ2 formados pelas
perpendiculares OH1 e OH2 com a direção fixa Ox. Em consequência, os dois ângulos φ1 e φ2
determinam o ponto P. Busca-se expressar a densidade dP em termos das coordenadas φ1, φ2.
P (x, y)ω
O x
y
ϕ1
ϕ2 H1
H2
A1
A2
(ξ , η )1 1
(ξ , η )2 2
K
Figura 3.4 Plano convexo K e densidade dos pontos P externos a K
66
Seja (ξ1, η1) as coordenadas do ponto de tangência A1 e (x, y) as coordenadas de P,
então a equação da linha reta PA1 é dada por:
( ) ( ) 0sencos 1111 =−+− ϕηϕξ yx (3.28)
Similarmente para a segunda tangente PA2 a equação da linha reta é:
( ) ( ) 0sencos 2222 =−+− ϕηϕξ yx (3.29)
Pela diferenciação da Equação 3.28 obtém-se:
( ) ( )( ) 11111111111 cossensencossencos ϕϕηϕξηϕξϕϕϕ dyxdddydx −−−=−−+ (3.30)
Como PA1 é tangente a K e seu coeficiente angular tem o valor de –cotφ1, tem-se que
dη1/dξ1 = -cotφ1; isto é, cosφ1dξ1 + senφ1dη1=0. Além disso, se t1 representa o comprimento
da tangente PA1, observa-se a seguinte relação:
( ) ( ) 111111 cossen tPAyx −=−=−−− ϕηϕξ (3.31)
Em conseqüência a Equação 3.30 e a Equação 3.31 podem ser escritas como:
1111 sencos ϕϕϕ dtdydx −=+ (3.32)
2222 sencos ϕϕϕ dtdydx −=+ (3.33)
Por multiplicação exterior obtém-se das duas últimas equações a seguinte relação:
( )[ ] [ ]212112 sen ϕϕϕϕ ddttdydx =− (3.34)
Além disso, φ2 – φ1 = π – ω, onde ω é o ângulo A1PA2 formado pelas tangentes que
passam pelo ponto P. Então obtém-se:
67
[ ] [ 2121
sen ϕϕω
ddttdydxdP == ] (3.35)
Pode-se escrever a equação diferencial da seguinte forma:
[ 2121
sen ϕϕ ]ω dddPtt
= (3.36)
Integrando ambos lados desta relação para todos os possíveis valores diferentes das
variáveis, observa-se que P pode variar sob todos os pontos exteriores a K e φ1, φ2 podem
variar de 0 a 2π. Porém, se em cada posição permuta-se φ1 e φ2, obtém-se o mesmo ponto P;
em conseqüência, para contar cada ponto P uma única vez, deve-se dividir o resultado por 2.
Portanto obtém-se (Santaló, 1953):
2
21
2
sen πω=∫ ∉KP
dPtt
(3.37)
Esta equação integral devida a Crofton é muito notável por sua ampla generalidade, já
que seu membro direito não depende da curva convexa K. Para a Equação 3.37 muitas outras
equações integrais podem ser obtidas. Por exemplo, se K tem um raio de curvatura contínuo ρ,
pode-se definir:
222111 , dsddsd == ϕρϕρ (3.38)
Onde ds1, ds2 são os comprimentos de arco de K em A1 e A2.
Então a Equação 3.36 pode ser escrita como:
[ 212121
sen dsdsdPtt
=ρρ ]ω (3.39)
Realizando a integração em ambos lados sob todos os possíveis valores diferentes das
variáveis, obtém-se (Santaló, 1953):
68
221
21 21
sen LdP
ttKP
=∫∉
ρρω (3.40)
Onde L é o comprimento de K.
3.6 DENSIDADE E MEDIDA DE LINHAS RETAS
Uma linha reta G no plano pode ser determinada pelas suas coordenadas normais p e
φ, onde a equação de G será:
0sencos =−+ pyx ϕϕ (3.41)
Pela medida do conjunto X de linhas retas G, deve-se entender uma integral da
seguinte forma:
( ) ( )∫=X
ddppfXm ϕϕ , (3.42)
Esta integral deve ser invariável sob as transformações do grupo de translações M
(Equação 3.15). Pelas translações da Equação 3.15 a Equação 3.41 transforma-se em uma das
seguintes equações:
( ) ( ) 0sencos*sen*cossen*cos* =−+++−+ pyxbyxa ϕααϕαα (3.43)
( ) ( ) ( ) 0sencossen*cos* =−−−−+− ϕϕαϕαϕ bapyx (3.44)
Comparando esta equação com a Equação 3.31, vê-se que sob uma translação (a, b, α)
as coordenadas p, φ da linha reta G se transformam em:
αϕϕϕϕ −=−−= * ,sencos* bapp (3.45)
Se m(X) é invariável, deve-se obter:
( ) ( ) ϕϕϕϕ ddppfddppfXX
,* * **,*
∫∫ = (3.46)
69
Por outro lado:
( )( ) 1
10cossen1
,**,
=−
=∂
∂ ϕϕϕϕ ba
pp (3.47)
E da Equação 3.45 obtém-se:
( ) ( ) ϕϕϕϕ ddppfddppfXX
**,* * **,*
∫∫ = (3.48)
Das Equações (3.46) e (3.48), obtém-se:
( ) ( ) ϕϕϕϕ ddppfddppfXX
**, , ∫∫ = (3.49)
Se esta igualdade é valida para qualquer conjunto X, deverá ser verdade que f(p,φ) =
f(p*,φ*). Como qualquer linha reta G(p,φ) pode ser transformada em outra qualquer G(p*,φ*)
por uma translação, então da última equação resulta que f(p, φ) deve ter o mesmo valor para
qualquer linha reta do plano; isto é, f(p, φ) = constante. Tomando esta constante igual a 1,
tem-se que na medida m(X) do conjunto X de linhas retas G(p, φ) está definida pela seguinte
equação:
( ) ∫=X
ddpXm ϕ (3.50)
Até um fator constante, esta medida é a única invariável sob um conjunto de
transformações no plano. A forma diferencial dentro do símbolo de integração é chamada de
densidade para linhas retas e será representada por dG:
[ ]ϕddpdG = (3.51)
Os colchetes indicam que é uma multiplicação exterior e de acordo com as
observações no Item 3.5.1 dG será tomada sempre como valor absoluto.
70
3.7 LINHAS RETAS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA
Seja C é uma curva fixa composta de um número finito de arcos com tangente em
todos os pontos. Assumindo que C tem um comprimento finito L, pode-se escrever sua
equação da seguinte maneira:
( ) ( )syysxx == , (3.52)
Onde o parâmetro s é o comprimento de arco. Considerando uma linha reta G que
intersecta C, no ponto x, y, que forma com a tangente neste ponto um ângulo θ, o
comprimento s correspondente ao ponto x, y e o ângulo θ determinam a linha reta G.
Expressando a densidade dG em termos das coordenadas s, θ em lugar de p, φ, tem-se que:
2πτθϕ −+= (3.53)
Onde τ é o ângulo entre a tangente a C e o eixo x. Como (x, y) é um ponto de G, tem-
se:
ϕϕ sencos yxp += (3.54)
Portanto:
( ) ϕϕϕϕϕ dyxdydxdp cossen sen cos +−++= (3.55)
Considerando o fato que dx = cos τ ds e dy = sen τ ds, obtém-se:
( ) ( ) ϕϕϕτϕ dyxdsdp cossen cos +−+−= (3.56)
Aplicando a multiplicação exterior [dp dφ] obtém-se:
[ ] ( )[ ]ϕτϕϕ ddsddp cos −= (3.57)
71
Com relação à Equação 3.53 dφ = dθ + τ' ds, porque τ é função única de s. Em
conseqüência tem-se:
[ ] [ ]ϕϕϕ ddsddpdG sen == (3.58)
Onde |sen ϕ | está em valor absoluto porque está sendo assumido que toda densidade é
positiva. Integrando ambos lados da Equação 3.58 sob todas as linhas retas G que interceptam
C obtêm-se para o lado direito a seguinte expressão:
LddsL
2sen00
=∫∫π
θθ (3.59)
Para o lado esquerdo, cada linha reta G é contada tantas vezes quantos pontos de
interseções tenham com C. Chamando a este número de n obtém-se:
LdGn 2 =∫ (3.60)
Onde a integral estende-se sob todas as linhas retas do plano e n será nula (0) para as
linhas G que não interceptam C.
3.8 PLANOS ALEATÓRIOS
A medida de planos mais apropriada está definida para um sistema de coordenadas
polares, como x senθ cos φ + y senθ senφ + z cosθ = p, e a medida do plano será:
dpdd sen φθθ (3.61)
Utilizando a representação de ux + vy + wz + 1 = 0, o correspondente elemento de
medida será:
( )2222
wvu
dwdvdu++
(3.62)
72
Destes resultados pode-se obter a medida do conjunto de planos que atendam qualquer
condição específica. Então considerando o conjunto de todos os planos que interceptam um
segmento linear de comprimento L. Tomando este segmento ao longo do eixo z e usando
coordenadas polares, então p será uniformemente distribuído entre 0 e Lcosθ, e a medida do
conjunto de planos será:
(3.63) LddpdL
sencos
0
2
0
2
0
πθθφθππ
=∫∫∫
Isto pode ser generalizado para uma curva de comprimento L. Seja N(θ, φ, p) o
número de interseções de um plano de coordenadas (θ, φ, p) com uma curva, então quebrando
a curva num conjunto de elementos aproximadamente lineares e somando-os, tem-se que:
( ) LdpddpN ,, πφθφθ =∫ ∫ ∫ (3.64)
Esta equação pode receber outra interpretação. Considere a projeção da curva no plano
perpendicular ao vetor direção n e suponha que este tem um comprimento L(n), e sendo L a
média de ( )nL sobre todas as direções, então:
( )∫ ∫= dwnLL 41π
(3.65)
Onde dw é o elemento de ângulo sólido. Então dividindo a curva em pequenas partes
que são aproximadamente lineares obtém-se:
LL 12 −= π (3.66)
Este resultado pode ser obtido do anterior, considerando a curva projetada no plano
perpendicular a n. Este resultado tem comprimento L(n) igual a π/2 vezes o número médio de
interseções da curva torcida com os planos aleatórios perpendiculares ao plano de projeção.
Integrando agora sobre todas as direções de n, tem-se que:
73
( ) ( ) ( ) LdwnLL 11 2 4 −− == ∫ ππ (3.67)
Integrando em todas as direções de n, cada plano no espaço foi contido duas vezes,
gerando então um fator de 2π. Este resultado é similar ao resultado obtido por Steinhaus
(Kendall & Moran, 1963).
3.9 PLANOS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA
Considere agora a medida do conjunto de todos os planos que interceptam uma curva
convexa fechada C que se encontra num plano fixo. Como cada plano que intercepta esta
curva deve faze-lo em dois pontos, a partir da Equação 3.64 nota-se que a medida de todos
aqueles planos é ½ πL, onde L é o perímetro de C.
Antes de ampliar isto à medida de planos interceptando figuras convexas em geral, é
interessante descrever outro resultado devido a Barnier (1860), que generaliza de forma mais
simples. Em vez de obter a medida de todos os planos que interceptam o plano da figura
convexa, obtém-se a integral, sobre o conjunto de todos aqueles planos, do comprimento da
interseção. Tal plano é dado por:
pzyx =++ θφθφθ cossensencossen (3.68)
Com um plano fixo em z = 0, a linha de interseção é dada por:
θ
φφsen
sencos ,0 pxz =+= (3.69)
Seja C o comprimento da corda formada por esta linha, então seja S a área da figura
convexa tem-se que:
∫ = SdpCθsen
, (3.70)
Então a integral total sobre todos os planos de intersecção é:
74
S dSdpCdddddpC 22
0
22
0
22
0 21 sen 2
sen sen sen πθθπ
θθθφφθθ
πππ
=== ∫∫∫∫∫ ∫ ∫ (3.71)
Esta abordagem atribui a cada plano um peso igual ao comprimento de sua interseção
com a figura convexa plana. Para qualquer superfície regular razoável no espaço com área
finita, e sendo L(θ, φ, p) o comprimento da curva de interseção com qualquer plano, então a
integral de L sobre o conjunto de todos os planos de interseção será igual à área de superfície
multiplicada por ½ π2.
3.10 DISTRIBUIÇÃO DO TAMANHO DAS PARTÍCULAS
Considerando o problema de determinar a distribuição do tamanho das partículas
embutidas num meio obscuro a partir da medida das figuras formadas por suas interseções
com uma linha aleatória. Este problema tem aplicação em vários campos da ciência, e tem
sido estudado por vários autores como Kendall & Moran (1963) e outros.
Primeiro assumindo que as partículas são todas esféricas e distribuídas de tal forma
que o número médio de centros por unidade de volume é λ, pode-se tratar os centros como
sendo distribuídos num campo de Poisson, embora as esferas não se sobreponham como os
planos de interseção e são, por conseguinte, escolhidas aleatoriamente. Tendo a distribuição
de probabilidade de diâmetros, uma densidade F(r), tal que (r sendo usada como diâmetro):
(3.72) ( )∫a
drrF0
A Equação 3.72 é a probabilidade que uma esfera escolhida ao acaso, tenha diâmetro
menor que a. O número esperado de esferas com diâmetros na faixa de (r, r + dr) e que
interceptam um plano arbitrário por área unitária, será λrF(r)dr, e portanto a densidade de
probabilidade da distribuição de diâmetros das esferas que interceptam o plano será:
( ) ( )
( )
( )0
0
rrrF
drrrF
rrFrf ==
∫∞ (3.73)
75
Onde r0 é o diâmetro médio de uma esfera escolhida aleatoriamente. Se uma esfera de
diâmetro r intersecta o plano, a probabilidade que seu centro esteja a uma distância y do
plano, é 2r-1dy (0 ≤ y ≤ ½ r), e o diâmetro x do círculo de interseção é (r2 – 4y2). Por
conseguinte o número esperado de esferas com diâmetros na faixa de (r, r + dr) que
interceptam o plano num círculo de diâmetro x, com centro na área unitária, será:
( ) ( ) drdxxrxFr 21
2210
−− −×λ (3.74)
A distribuição de probabilidade, φ(r)dr, dos diâmetros dos círculos de interseção,
quando é conhecida que a esfera intersecta o plano, será:
( ) ( )( )∫
∞
−=
x
dxdrxr
rFrxdxx
220
φ (3.75)
Como φ(x) pode ser encontrado por observação, pode-se determinar F(r) pela seguinte
integral:
( ) ( )( )∫
∞
−=
x
drxr
rFrxx
220
φ (3.76)
Escrevendo F(r) = r F1(r2) obtém-se:
( ) ( )( )∫
∞
−=
22
1
0
2 x xz
dzzFrxxφ (3.77)
Esta é uma integral do tipo de Abel, com a seguinte solução:
( ) ( ) ( )( )∫∞
−−−−=
x
dxxxxdxdrzxzF 2 1
02
121
φπ (3.78)
Logo obtém-se a seguinte equação:
76
( ) ( ) ( )( )∫∞
−−−−=
2
21
2 1220
x
dxxxdxdrxrrrF φ
π (3.79)
Com dados observados de diâmetros de círculos, pode-se estimar a distribuição φ(x) e
em conseqüência calcular F(x) da Equação 3.79. Integrando por partes e aplicando métodos
numéricos é provavelmente a melhor opção para o cálculo da Equação 3.79.
F(r) e φ(x) são ambas distribuições de densidade de probabilidade. É interessante
expressar os momentos de uma distribuição em termos dos momentos da outra distribuição.
Sejam Mn e mn estes momentos, então resultam em:
(3.80) ( ) ( )dxxxmdrrFrM nn
nn ∫∫
∞∞
==00
, φ
Usando a Equação 3.75 obtém-se:
( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞ ∞
+−∞
−==0
22110
0
21
x
-nnn dx drrFxrxrdxxxm φ (3.81)
Invertendo a ordem de integração obtém-se:
( ) ( )∫∫−+
∞+− −=
1
0
21
0
110
21
1 dwwwdrrFrrm nnn (3.82)
A segunda integral será da seguinte forma:
par é se ,2....4.2
1....5.3.1
impar é se ,....5.3
1....6.4.2 sen21
0
n
n
J
nn
n
nnnd
=
⋅−
=
−=∫
π
θθπ
(3.83)
Então:
77
(3.84) 11
1111
0 +−
+++− == nnnnn MMJMJrm
Como r0 = M1. isto fornece outro método para determinar a distribuição de densidade,
desde que seja possível estimar m1, m2,... de dados observados e assim calcular M2M1-1, M3M1
-
1,... então restará unicamente o problema de achar M1 = r0. Uma forma de fazer isto é usando
o fato que r0, a média do diâmetro das esferas, é igual a ½ π vezes a média harmônica dos
diâmetros observados. Para demonstrar isto tem-se r0 (média harmônica dos diâmetros
observados) como:
( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞ ∞
−∞
− −==0
22
0
10 2
1
x
drdxrFxrdxxxr φ (3.85)
( ) ( ) ( ) ππ 21
021
0 0
22 21
==−= ∫∫ ∫∞∞
− drrFdxxrrFdrr
(3.86)
É interessante notar que é possível que coincida φ(x) = F(x) de uma distribuição
verdadeira e de diâmetros observados. Isto ocorre quando:
( ) 2
2
2 2exp
σσxxxF −= (3.87)
21
0 21
= πσr (3.88)
Aplicando o teorema de Minkowski obtém-se:
( )
( )( )
2
2
2
2
222
221
2exp
2exp2
1
21
σσ
σσπσφ
xx
drrxrxxxx
−=
−−= ∫∞
−
(3.89)
A Equação 3.76 também aparece na teoria do problema globular de grupos em
Astronomia. Um grupo globular é uma coleção de estrelas, distribuídas ao redor de um centro
comum, de camadas de esferas de igual densidade. A relação de densidade das camadas como
78
função da distância radial e a densidade de um anel circular na projeção sobre um plano, será
novamente dada pela equação integral da forma da Equação 3.76.
Wicksell em 1926, citado em Langevin (1997), tem considerado o caso de partículas
elípticas. Supondo que estas sejam todas do mesmo tamanho, forma e que uma delas esteja
cortada por algum plano, a interseção é uma elipse e como diâmetro desta elipse considerou
( )21ξξ=x , onde ξ1 e ξ2 são os eixos maior e menor da elipse. Se os eixos, maior e menor,
da seção elíptica através do centro do corpo são σ1 e σ2 define-se similarmente ( )21σσρ =
como o diâmetro desta seção. Então se y é duas vezes a distância do plano da seção ao centro
do corpo, e h é a distância entre os dois planos tangentes paralelos a seção, obtém-se:
( )
ρρ 22 x
hy −
= (3.90)
Então pode-se escrever:
( ) ( )( )∫
∞
−=
022 x
dfxxρρ
ρρϕ (3.91)
Onde φ(x) é a distribuição de probabilidade dos diâmetros das seções observadas e f(ρ)
é a distribuição de probabilidade dos diâmetros ρ das seções centrais de aquelas partículas
que interceptam o plano, sendo os valores de ρ medidos no plano paralelo à seção que passa
através do centro da partícula. O principal problema é relacionar f(ρ) com distribuição de
tamanho e forma das partículas. Considerando que ρ somente será o diâmetro de uma elipse,
formada por um plano aleatório que corta uma partícula, quando a partícula seja uma esfera,
assim tem-se como resultado análises bastante complicadas.
3.11 FIGURAS NUM ESPAÇO DE TRÊS DIMENSÕES
Figuras planas e segmentos de linha finitos distribuídos aleatoriamente no espaço, e
também as projeções de segmentos lineares num plano fixo são considerados. Supondo
primeiramente que discos circulares de diâmetro r estão distribuídos de forma aleatória no
espaço e que estão cortados por um plano aleatório em interseções de comprimento x. Seja
79
F(r) a densidade de probabilidade da distribuição de diâmetros, e similarmente φ(x) a
densidade de probabilidade da distribuição dos comprimentos de x. A probabilidade que um
dado disco seja cortado pelo plano é claramente proporcional a r, e portanto se f(r) é a
densidade de probabilidade da distribuição de diâmetros dos discos que interceptam o plano,
tem-se que:
( ) ( )
( )
( )0
0
rrrF
drrrF
rrFxf ==
∫∞ (3.92)
Onde r0 é o diâmetro médio dos discos escolhidos aleatoriamente. Se o plano corta o
disco de diâmetro r a uma distância y do seu centro, a distribuição de y é 2r-1dy (0 ≤ y ≤ ½ r),
e a distribuição do comprimento da interseção x, será então:
( )( )22
xrr
dxxxf−
= (3.93)
Então se obtém:
( ) ( )( )∫
∞−
−=
x xrrxFrx
22
10φ (3.94)
Esta é a mesma Equação 3.75 e pode ser tratada pelos mesmos métodos.
Agora considere as projeções de segmentos e figuras planas. Supondo que segmentos
lineares de comprimento l estão distribuídos no espaço com direções aleatórias e são tais que
cada comprimento l tem uma distribuição de probabilidade com densidade F(l). Seja x o
comprimento da projeção do segmento num plano aleatório, θ o ângulo entre o segmento e a
normal ao plano, assim obtém-se uma distribuição ½ senθ dθ (0 ≤ θ ≤ π). Conhecendo l, a
distribuição de probabilidade da projeção x = l senθ será então:
( ) ( lxdxxlxl ≤≤−−− 0 ,2
1221 ) (3.95)
80
A densidade de probabilidade da distribuição das projeções de x, φ(x), será dada pela
seguinte relação:
( ) ( )( )∫
∞−
−=
x xll
dllFxx21
22
1φ (3.96)
Esta equação tem a mesma forma que a Equação 3.91, que é a equação usada por
Krumbein na sua aproximação. A Equação 3.96 pode ser reduzida a uma equação integral do
tipo de Abel e sua solução será:
( ) ( )( )∫
∞
−
−=
21
22
22
xl
dxxx
dxdllF φ
π (3.97)
Para figuras planas de áreas a distribuídas com orientação aleatória no espaço, e que a
área a tenha uma densidade de probabilidade F(a), considerando as áreas α, como projeções
sobre um plano fixo e supondo que as áreas α têm uma distribuição com densidade de
probabilidade φ(α), obtém-se que α = a |cosθ|, e |cosθ| é uniformemente distribuído na faixa
de 0 ≤ |cosθ| ≤ 1, de tal forma que:
( ) ( )∫∞
=α
αφ daaaF (3.98)
A solução da Equação 3.98 é:
( ) ( )αφα ′= aF (3.99)
Aqui se trabalha com discos circulares de diâmetro r (que podem representar uma
descontinuidade plana), que são cortados aleatoriamente por outros planos (que podem
representar taludes ou superfícies de afloramento rochoso), gerando então interseções de
comprimento x (ou traços observados nos afloramentos rochosos). Como mostrado até aqui
está teoria será aplicada nos capítulos seguintes, para, a partir de traços ou interseções
81
observadas em campo determinar a distribuição das descontinuidades ou superfícies planas,
consideradas aqui discos planos.
82
Capítulo 4
4 TALUDE DA MINA DE TIMBOPEBA
Como caso estudo desta pesquisa serão utilizados os taludes em rocha da mina de
Timbopeba. A mina de ferro de Timbopeba é propriedade da Companhia Vale do Rio Doce
(CVRD) e se situa no Distrito de Antônio Pereira, Município de Ouro Preto, Minas Gerais
(MG). O acesso à mina é por rodovia asfaltada a partir da cidade de Mariana (MG), com 40
km de extensão. O minério de ferro extraído é transportado pela estrada de ferro Vitória-
Minas, com uma extensão de 651 km até o Porto de Tubarão em Vitória, Espírito Santo.
A lavra a céu aberto segue a direção NW-SE com geometria de cone invertido,
chegando o desnível de lavra aproximadamente, entre 400 a 500 m da cota de superfície
natural mais alta. No extremo NW o talude segue aproximadamente a atitude da foliação
(037/55), e no extremo SE a atitude do talude varia de (035/45) a (065/45).
A estabilidade dos taludes da mina de Timbopeba vem sendo estudada desde 1987 e o
talude está formado basicamente por dois tipos de maciços: itabirito e quartzito. O presente
capítulo apresenta alguns aspectos gerais do maciço da mina de Timbopeba, assim como as
características gerais da distribuição das descontinuidades do maciço como um todo. Um
estado detalhado destas descontinuidades é descrito no trabalho de Durand (1995). Como
primeiro passo o maciço será divido em dois taludes sul e sudeste, sendo cada uma destas
regiões estatisticamente homogêneas.
4.1 GEOMETRIA LOCAL E GEOMETRIA DOS TALUDES DA MINA DE
TIMBOPEBA
O local da escavação é formado por camadas de quartzito (inferior) do grupo Maquiné
e camadas ferríferas (superior) do Grupo Itabira (Formação Cauê) cobertas por canga (Tabela
4.1), conformando um relevo topográfico acidentado com desníveis bruscos de até 300 m. A
drenagem é feita principalmente pelo córrego da Serragem (DNPM, 1986).
83
Tabela 4.1 Coluna estratigráfica do Pré-Cambriano no Quadrilatero Ferrífero (modificado –
Durand, 1995)
Grupo Itacolomi
Grupo Piracicaba Formação Sabará
Formação Barreiro
Formação Tabões
Formação Fecho de Funil
Formação Cercadinho
Grupo Itabira Formação Garandela
Formação Cauê
Grupo Caraça Formação Batatal
Formação Moeda
P R O T E O Z Ó I C O
SUPER GRUPO
MINAS
Grupo Tamanduá Formação Cambotas
Grupo Maquiné Formação Casa Forte
Formação Palmital
SUPER GRUPO RIO
DAS VELHAS Grupo Nova Lima Unidade Metasedimentar Clástica
Unidade Metasedimentar Química
Unidade Metavulcânica
A R Q U E A N O
Embasamento Cristalino
A geologia local dos taludes formados pela escavação da jazida, é constituída
basicamente por quartzitos e xistos do grupo Maquiné do Super Grupo Rio das Velhas,
composto por quartzo, sericita, cianita e outros minerais (Figueiredo Ferraz, 1990). A sericita
se encontra orientada segundo a xistozidade e a cianita aparece raramente com seus cristais
orientados segundo a xistozidade, além de estar constituídos por xistos e filitos do Grupo
Nova Lima completamente intemperizados.
O talude SE-NW está dividido em duas partes para uma melhor descrição: talude sul
(extremo NW) e talude sudeste (extremo SE). O taludes sul e sudeste foram divididos em
setores (Figura 4.1) em função dos aspectos geomecânicos visuais constatados em campo e
das revisões de estudos geológico-geotécnicos anteriores (Durand, 1995).
84
Figura 4.1 Planta do talude (SE-NW) contendo os taludes sul e sudeste (modificado - Durand,
1995).
85
Segundo Durand (1995), na epoca do desenvolvimento do seu mestrado, o talude
apresentava a seguinte conformação. O talude sul era constituído por quatro bancadas com
orientação global aproximada de 030o/52o e altura total aproximada de 245 m, distribuídas
conforme mostra a Tabela 4.2, com bermas que variavam de 3 a 20 m de altura. A estrutura
destas bancadas era dominada principalmente pela foliação com mergulho em direção ao
corte. O talude sudeste era constituído por nove bancadas, com altura de bancada aproximada
de 17 m e berma de 5 m somando um total de 142 m . A geometria e descrição dos taludes sul
e sudeste estão na Tabela 4.2 e Tabela 4.3, respectivamente. Hoje estes taludes já se
aproximam dos 500 m de altura.
Tabela 4.2 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sul
GEOMETRIA E DESCRIÇÃO DOS MACIÇOS TALUDE BANCADA COTA BASE MACIÇO
No H (m) Média
ATITUDE (o) LITOLOGIA
01 1280 31 30
27,4 29,0
039/53 070/46
Quartzo/filito Quartzo/filito
02 1264 31a 30a
10,4 3,6
030/43 054/30
Quartzo/filito Quartzo/filito
03 1242
31b 30b 12 12a
26,1 26,1 24
15,2
044/49 044/49 025/41 031/44
Quartzo/filito Quartzo/filito
Quartzito Quartzito
S
U
L
04 1070 30b 06 05
Variável Variável
200,0
039/48 039/48 039/48
Quartzo/filito Quartzito Quartzito
No mapeamento superficial dos taludes sul e sudeste os maciços foram setorizados por
inspeção visual, segundo padrões geológicos e estruturais predominantes e similares (Figura
4.2 e Figura 4.3), resultando no talude sul 10 setores e no talude sudeste 36 setores conforme
as Tabela 4.2 e 4.3. Cada um destes setores foi mapeado objetivamente descrevendo as
descontinuidades presentes numa área representativa do maciço ou no mínimo de 5m x 5m,
para condições de difícil acesso. A descrição das descontinuidades foi feita segundo os
parâmetros sugeridos pela ISRM (orientação, espaçamento, persistência, rugosidade,
resistência das paredes, abertura preenchimento, percolação, número de famílias e tamanho
dos blocos), conforme ABGE/CBMR (1983).
86
Tabela 4.3 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sudeste.
GEOMETRIA E DESCRIÇÃO DOS MACIÇOS TALUDE BANCADA COTA BASE MACIÇO
No H (m) Média
ATITUDE (o) LITOLOGIA
01 1259 08 07
13,7 13,7
053/56 053/56
Quartzito Filito
02 1243 08a 07a
16,7 17,4
043/50 053/51
Quartzito Filito
03 1224 08b 09
07b
20,0 16,4 16,4
042/53 056/50 056/50
Quartzito Quartzito
Filito 04 1207 10
08c 07c 11
~15 17,0 14,9 14,9
~036/50 043/48 060/43 060/43
~Quartzito Quartzito
Filito Quartzito
05 1191 19 08d 15
07d 14 13
15,5 15,5 17,8 14,9 15,0 15,0
036/50 036/45 044/50 050/49 060/47 060/47
Quartzito Quartzito Quartzito
Filito Quartzito Quartzito
06 1174 20 21 22 07e 23 42
13,0 16,9 16,8 17,3 17,2 17,2
060/47 042/48 035/45 052/51 059/50 059/50
Quartzito Quartzito Quartzito
Filito Quartzito Quartzito
07 1154 24a 24 26 25
10,0 20,4 19,6 18,0
051/50 051/50 035/59 053/56
Solo Quartzito Quartzito Quartzito
08 1135 27 28 29 40 41
12,0 17,5 16,0 17,0 14,8
055/49 045/48 050/47 032/45 053/49
Quartzito Quartzito Quartzito Quartzito Quartzito
S
U
D
E
S
T
E
09 1120 43 44 45 46
6,8 15,7 15,7 14,8
070/54 050/47 032/45 053/49
Quartzo/xisto Quartzo/xisto
Quartzito Quartzito
87
Figura 4.2 Plano do talude sul setorizado mostrando as galerias de exploração e as duas
descontinuidades notáveis de cisalhamento no maciço 06 (modificado - Durand, 1995)
88
Figura 4.3 Plano do talude sudeste setorizado mostrando as 9 bermas (modificado - Durand,
1995)
89
4.2 CARACTERÍSTICAS DAS DESCONTINUIDADES DOS TALUDES SUL E
SUDESTE
Foram descritos quantitativamente os parâmetros de orientação, espaçamento,
persistência, abertura, preenchimento e percolação para cada um dos maciços, sul e sudeste.
Os resultados da avaliação de cada um destes parâmetros dos maciços setorizados estão
apresentados nas Tabela 4.4 e 4.5 respectivamente.
A obtenção da orientação das descontinuidades foi obtida da média de pelo menos 5
leituras para cada família de descontinuidades e nas Tabela 4.4 e 4.5 são apresentados os
valores médios das mesmas.
4.3 DESCRIÇÃO E CARACTERÍSTICAS GEOMECÂNICAS DOS TALUDES
O maciço do talude Sul é constituído principalmente por quartzito, com blocos de
tamanho médio, com a presença de uma família de descontinuidades de foliação persistente e
fechada, mais descontinuidades ocasionais. A foliação contida no maciço apresenta dobras
acilíndricas e paredes com ondulação irregular com preenchimento localizado não sistemático
das descontinuidades. O quartzito intacto é uma rocha muito dura (σc = 182 MPa). Resultados
de classificação geomecânica deram valores de RMR entre 55 e 75. É de fato confirmado que
o comportamento mecânico do maciço de quartzito está dominado por uma única família de
descontinuidades que é a foliação (Durand, 1995).
Os modos de ruptura de taludes em rocha são bem mais complexos do que aqueles
observados em taludes em solos. Isto porque boa parte das rupturas em rochas é condicionada
por certas descontinuidades, em função do posicionamento das descontinuidades em relação à
face do talude, os modos de ruptura de taludes em rochas mais importantes são: Ruptura
planar ou escorregamento plano (bloco simples), quando a descontinuidade é paralela e com
mergulho inferior à face do talude. Ruptura de cunha quando a superfície de ruptura é bi-
planar, sendo a inclinação das superfícies de deslizamento definida pela geometria da cunha e
Ruptura por Tombamento de blocos, que ocorre quando as direções da face do talude e da
descontinuidade são paralelas e o mergulho da descontinuidade é contrário ao mergulho da
face do talude e o vetor peso cai fora da base do bloco ou da coluna considerada.
No talude sul não existe condições básicas para ocorrer um escorregamento plano
devido à ausência de descontinuidades que se prolonguem até a crista do talude ou
inexistência de blocos não confinados. No caso de escorregamento por cunha é improvável
90
devido à inexistência de duas famílias de descontinuidades que se cortem obliquamente na
face do talude. Estes modos de ruptura não foram identificados de forma global no talude,
porém ocorrem de forma localizada em áreas fraturadas devido ao efeito de lavra e às
detonações.
O talude sudeste é constituído por um conjunto variado de qualidades de maciço
variando desde muito ruim a bons segundo o estudo de classificação geomecânica realizada
por Durand (1995). Este talude apresenta também o padrão de foliação do talude sul e nos
setores 14, 25, 41 e 46 apresentam rupturas localizadas do tipo circular, eminente para regiões
compostas de solo. As paredes das descontinuidades de foliação apresentam alteração e têm a
presença de descontinuidades localizadas importantes. Analises de estabilidade de taludes
com parâmetros preliminares do maciço forneceram fatores de segurança menores que 1,1.
Segundo Durand (1995) este fato sugere campanhas de amostragem em campo para obter
parâmetros reais deste maciço.
Os dados apresentados neste capítulo são importantes na geração do modelo. Mais
especificamente a partir dos dados de orientação são identificadas as famílias de
descontinuidades e a distribuição de probabilidade de orientação de cada família. Dos dados
de comprimento de traço é modelado o tamanho da descontinuidade e do espaçamento a
densidade e locação das descontinuidades. Todo este procedimento é realizado com a
aplicação de vários processos estatísticos que estão espalhados na literatura e que nesta tese
foram juntados de forma lógica. O detalhamento destes processos está no seguinte capítulo.
91
Tabela 4.4 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sul (modificado - Durand, 1995).
PREENCHIMENTO TA- LU- DE
MA-CI- ÇO No
ORIENTAÇÃO DAS
DESCONT.
ESPAÇA- MENTO
(m)
PERSIS- TÊNCIA
(m)
ABER- TU- RA
(mm)
ESPES- SURA (mm)
TIPO DE MATERIAL
PER- CO- LA- ÇÃO
OBSERVAÇÕES
S U L
30 30a 30b 31 31a 31b 12 12a 5 6
S1: 037/64 S1: 044/60 S1: 038/62 --- --- S1: 027/62 S1: 040/50 S1: 13/45 S1: 025/47 J1: 280/53 S1: 028/44 J1: 017/35 J2: 045/42 J3: 160/70 S1: 040/50 J1: 006/80 J2: 285/72 J3: 375/80 J4: 344/80
0,01 0,01 0,20 --- --- --- 0,04 0,04 8,00 0,15 0,20 0,20 2,00 0,15 4,00 4,00 único único
x x x x x x x x 5(r) 5(r) 5(r) x 3 1(r) 85(r) 90(r)
--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- 25 25
--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- <1,0 --- --- --- <1,0 --- ---
--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- Sericita (S1) --- --- --- Sericita (S1) --- --- --- ---
--- --- --- --- --- --- W1 W1 W1 W3 W1 W1 W1 W3 W1 W1 W1 W1
Foliação alterada Foliação fechada Foliação fechada Foliação fechada Foliação fechada Foliação fechada Foliação ondulada Juntas fechadas Juntas fechadas Juntas fechadas Foliação ondulada Juntas fechadas Juntas fechadas Cisalhamento Cisalhamento
PERSISTÊNCIA ou tipo de terminação: r: em rocha intacta, d: em outra descontinuidade, x: não visível. PERCOLAÇÃO no material de preenchimento: W1: seco, W2: úmido, W3: úmido e gotejando, W4: fluxo contínuo de água, W5: fluxo considerável com pressão.
92
Tabela 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste (modificado - Durand, 1995).
PREENCHIMENTO TA- LU- DE
MA-CI- ÇO No
ORIENTAÇÃO DAS
DESCONT.
ESPAÇA-MENTO
(m)
PERSIS- TÊNCIA
(m)
ABER- TU- RA
(mm)
ESPES- SURA (mm)
TIPO DE MATERIAL
PER- CO- LA- ÇÃO
OBSERVAÇÕES
S U D E S T E
7 7a 7b 7c 7d 7e 8 8a 8b 8c
--- --- --- --- --- --- S1: 070/27 J1: 020/50 J3: 295/45 S1: 050/55 J1: 300/30 J2: 160/65 S1: 058/40 J1: 176/70 J2: 285/55 S1: 040/45 J1: 185/70 J2: 000/60
--- --- --- --- --- --- 0,15 0,15 única 0,03 4,00 0,45 0,03 0,35 7,00 0,06 1,50 8,00
x x x x 7(r) 4 x x x x x x
--- --- --- --- --- --- --- --- 10 --- --- --- --- --- --- --- --- ---
--- --- --- --- --- --- < 1 --- --- < 1 60 --- < 5 < 5 120 < 5 < 5 500
--- --- --- --- --- --- Sericita (S2) --- --- Sericita (S2) Sericita (S2) --- Sericita (S2) Sericita (S2) Argila/silte Sericita (S2) Sericita (S2) Argila/silte
--- --- --- --- --- --- W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1
Foliação ondulada Junta fechada Foliação ondulada Foliação ondulada Foliação ondulada
PERSISTÊNCIA ou tipo de terminação: r: em rocha intacta, d: em outra descontinuidade, x: não visível. PERCOLAÇÃO no material de preenchimento: W1: seco, W2: úmido, W3: úmido e gotejando, W4: fluxo contínuo de água, W5: fluxo considerável com pressão.
93
Tabela 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste (modificado - Durand, 1995) (continuação).
PREENCHIMENTO TA- LU- DE
MA-CI- ÇO No
ORIENTAÇÃO DAS
DESCONT.
ESPAÇA-MENTO
(m)
PERSIS- TÊNCIA
(m)
ABER- TU- RA
(mm)
ESPES- SURA (mm)
TIPO DE MATERIAL
PER- CO- LA- ÇÃO
OBSERVAÇÕES
S U D E S T E
8d 9 10 11 13 14 15
S1: 040/40 J1: 310/55 --- J1: 345/70 J2: 200/70 S1: 052/45 S1: 035/55 J1: 160/65 S1: 025/35 J1: 048/56 J2: 150/60 S1: 055/48
0,08 8,00 --- 0,50 1,50 0,04 0,01 0,04 0,14 0,04 0,14 0,04
x x 1,5 1 x x x x x 2(r) x
--- --- --- --- --- --- --- < 10 --- 20 ---
< 1 80 --- --- < 5 < 1 < 60 --- --- --- < 5
Sericita (S2) Sericita --- --- Sericita Sericita Argila/silte --- --- --- Sericita
W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 --- --- --- W1
Foliação ondulada
PERSISTÊNCIA ou tipo de terminação: r: em rocha intacta, d: em outra descontinuidade, x: não visível. PERCOLAÇÃO no material de preenchimento: W1: seco, W2: úmido, W3: úmido e gotejando, W4: fluxo contínuo de água, W5: fluxo considerável com pressão.
94
Tabela 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste (modificado - Durand, 1995) (continuação).
PREENCHIMENTO TA- LU- DE
MA-CI- ÇO No
ORIENTAÇÃO DAS
DESCONT.
ESPAÇA-MENTO
(m)
PERSIS- TÊNCIA
(m)
ABER- TU- RA
(mm)
ESPES- SURA (mm)
TIPO DE MATERIAL
PER- CO- LA- ÇÃO
OBSERVAÇÕES
S U D E S T E
19 20 21 22 23 24 24a
S1: 040/55 J1: 285/55 J1: 165/55 --- S1: 038/60 J1: 160/55 J2: 295/53 J3: 145/28 J4: 134/56 S1: 035/60 J1: 320/83 J2: 145/45 J3: 300/55 J4: 148/53 S1: --- J1: 310/65 ---
única 4,00 1,50 --- 1,50 8,00 2,50 único único 0,14 2,50 2,50 7,00 único --- único ---
x x x x x 30 x x x 5 10 x x x ---
250 40 5,0 --- 120,0 20,0
--- --- --- --- < 5 --- 40 --- 2600 < 1 --- --- < 5 900 --- 800 ---
--- Silte arenoso --- --- Sericita (S2) --- Quartzo --- Mica/silte Sericita (S2) --- --- Sericita (S2) Mica/silte --- Quartzo ---
W1 W1 --- --- W1 --- W1 --- W1 W1 --- --- W1 W1 W1 W1 ---
Bloco instável Foliação plana Selada Foliação concava Junta fechada Junta fechada Foliação ondulada Selada Solo
PERSISTÊNCIA ou tipo de terminação: r: em rocha intacta, d: em outra descontinuidade, x: não visível. PERCOLAÇÃO no material de preenchimento: W1: seco, W2: úmido, W3: úmido e gotejando, W4: fluxo contínuo de água, W5: fluxo considerável com pressão.
95
Tabela 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste (modificado - Durand, 1995) (continuação).
PREENCHIMENTO TA- LU- DE
MA-CI- ÇO No
ORIENTAÇÃO DAS
DESCONT.
ESPAÇA-MENTO
(m)
PERSIS- TÊNCIA
(m)
ABER- TU- RA
(mm)
ESPES- SURA (mm)
TIPO DE MATERIAL
PER- CO- LA- ÇÃO
OBSERVAÇÕES
S U D E S T E
25 26 27 28 29 40
S1: 045/55 J1: 305/55 J2: 185/65 S1: 025/55 S1: 070/35 J1: 195/75 J2: 295/50 J3: 100/40 S1: 055/5 J1: 100/85 --- S1: 045/45 J1: 285/65 J2: 330/38 J3: 300/54 J4: 305/50 J5: 290/45 J6: 303/53
0,30 12,00 37,00 0,20 1,00 1,50 único único 0,04 único --- 0,04 único único único único único único
x x x x 5 8 x x x 8 x 20(d) 15(d) r 15 x r
--- --- --- --- --- 100 --- --- --- --- --- --- --- ---
< 1 --- 1500 < 5 < 1 < 1 10 150 < 5 --- --- --- 30 80 --- --- --- 50
Sericita (S2) --- Argila (S2) Sericita Sericita (S2) Sericita (S2) Argila Argila Sericita (S2) --- --- --- Argila Argila --- --- --- Quartzo
W1 --- W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W2 W2 W1 W1 W1 W1
Foliação ondulada Junta fechada Foliação ondulada Foliação Junta fechada Junta fechada Junta fechada Junta selada
PERSISTÊNCIA ou tipo de terminação: r: em rocha intacta, d: em outra descontinuidade, x: não visível. PERCOLAÇÃO no material de preenchimento: W1: seco, W2: úmido, W3: úmido e gotejando, W4: fluxo contínuo de água, W5: fluxo considerável com pressão.
96
Tabela 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste (modificado - Durand, 1995) (continuação).
PREENCHIMENTO TA- LU- DE
MA-CI- ÇO No
ORIENTAÇÃO DAS
DESCONT.
ESPAÇA-MENTO
(m)
PERSIS- TÊNCIA
(m)
ABER- TU- RA
(mm)
ESPES- SURA (mm)
TIPO DE MATERIAL
PER- CO- LA- ÇÃO
OBSERVAÇÕES
S U D E S T E
41 42 43 44 45 46
S1: 030/43 S1: 043/58 J1: 185/27 J2: 155/50 J3: 290/48 J4: 160/65 J5: 286/60 S1: 033/58 J1: 123/58 --- S1: 054/52 S1: --- J1: 295/54 J2: 300/54 S1: 045/60 J1: 028/48
0,14 0,14 único único único único 0,40 0,40 único --- 0,14 0,14 único único 0,14 0,14
x x 20(d) x x 15(d) 10 3(d) x x x x x x x
--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---
< 1 < 1 30 --- --- --- 20 --- 2000 --- < 1 < 1 10 --- < 1 < 1
Argila Argila Quartzo --- --- --- Quartzo --- Mica/silte --- Sericita Sericita Quartzo --- Sericita Sericita
W2 W2 W1 W1 W1 W1 W1 --- W1 --- W1 W1 W1 W1 W1 W1
Junta selada Junta fechada Junta fechada Junta fechada Junta selada Foliação fechada Foliação ondulada Junta fechada
PERSISTÊNCIA ou tipo de terminação: r: em rocha intacta, d: em outra descontinuidade, x: não visível. PERCOLAÇÃO no material de preenchimento: W1: seco, W2: úmido, W3: úmido e gotejando, W4: fluxo contínuo de água, W5: fluxo considerável com pressão.
97
Capítulo 5
5 MODELAGEM DO COMPRIMENTO
DO TRAÇO MÉDIO
Segundo Kulatilake & Wu (1984), o tamanho do traço das descontinuidades
observadas em afloramentos rochosos delimitados, está sujeita a erros de tendência, os quais
deverão ser corrigidos para a estimativa do comprimento do traço médio. Kulatilake & Wu
(1984) apresentam uma técnica que corrige os erros de tendência com o objetivo de estimar o
comprimento do traço médio em superfícies de amostragem verticais e retangulares
claramente delimitadas. Esta técnica é ampliada nesta tese para superfícies de amostragem
com qualquer orientação ou mergulho e direção de mergulho próprios.
O método de Kulatilake & Wu (1984) é aplicado a descontinuidades cuja orientação é
descrita por uma função de distribuição de probabilidade onde é conhecida a quantidade de
descontinuidades, com as duas extremidades visíveis, com uma extremidade visível e com as
duas extremidades censuradas. Este mesmo método assume que os centros das
descontinuidades estão distribuídos uniformemente dentro da superfície vertical amostrada.
Este método é agora generalizado para superfícies de amostragem com qualquer inclinação. É
assumida também uma independência estatística entre os parâmetros de comprimento do traço
e orientação das descontinuidades.
Considerando que as descontinuidades podem ser caracterizadas pela localização,
orientação, espaçamento e persistência, de modo geral, estes parâmetros são medidos em
afloramentos rochosos ou seja exposições bidimensionais. Já o traço das descontinuidades
está relacionado com a persistência das descontinuidades, a qual depende da forma, tamanho
e orientação da descontinuidade, do ângulo entre o plano da descontinuidade e o plano de
amostragem ou afloramento rochoso e das dimensões do afloramento. Robertson (1970)
encontrou que os comprimentos das descontinuidades na direção de máximo mergulho e na
direção do strike são aproximadamente iguais, para o caso de maciços homogêneos e
isotrópicos, assim discos circulares planos têm sido propostos para modelar as
descontinuidades.
98
A amostragem do tamanho do traço apresenta os seguintes erros devido as seguintes
causas: (1) Erro por tamanho, onde grandes descontinuidades têm maior probabilidade de
serem amostradas do que descontinuidades pequenas; (2) Erro por truncamento onde os
comprimentos menores a um certo valor limite previamente definido não serão registrados;
(3) Erro por censura onde descontinuidades cujos extremidades não são visíveis e fornecem
estimativas limitadas do seu comprimento verdadeiro.
O segundo erro de truncamento pode ser eliminado considerando um comprimento de
truncamento pequeno com relação ao comprimento médio das descontinuidades e ao interesse
da análise em questão, tal como fluxo nas descontinuidades, estabilidade de blocos etc. Os
outros erros são considerados a seguir.
5.1 MODELO MATEMÁTICO PARA O COMPRIMENTO DE TRAÇO MÉDIO
Considerando uma descontinuidade com orientação descrita pela função de
probabilidade ( )αθ ,f com ul θθθ ≤≤ e ul ααα ≤≤ , onde θ e α são o ângulo de mergulho e
o ângulo de direção de mergulho, respectivamente e os sub-índices l e u referem-se aos
limites inferior e superior, respectivamente. Também é assumida a independência estatística
entre o comprimento do traço e a orientação da descontinuidade. Considerando o problema da
descontinuidade com comprimento de traço x e ângulo de mergulho aparente θA,
interceptando uma janela de amostragem de comprimento w e altura h (Figura 5.1a). Pode-se
definir três tipos de interseção ou traço dependendo da posição da descontinuidade: (1)
quando ambas extremidades estão censuradas, (2) quando uma extremidade censurada, e (3)
quando ambas extremidades são visíveis na janela de amostragem. Os pontos A, B, C, D, E e
F são os pontos médios dos traços das descontinuidades representadas por círculos sólidos
que tocam somente com uma extremidade o contorno da janela de amostragem. Para que um
traço intercepte a janela, o ponto médio do traço deverá estar dentro da região definida pelas
linhas tracejadas ABCDEFA, como mostra a Figura 5.1a. Então o cálculo desta área será:
( ) ( ) ( ) αθαθθθλ dddxfxfhxwxwhn AA ,cossen ++= (5.1)
Onde: x é o comprimento do traço e n é o número esperado de descontinuidades que
interceptam a janela de amostragem.
99
Para todos os valores possíveis de θ, α e x o número total de descontinuidades que
interceptam a janela de amostragem é achado pela integração da equação anterior:
(5.2) ( ) ( ) (∫ ∫ ∫∞
++=u
l
u
l
dddxfxfhxwxwhN AA
α
α
θ
θ
αθαθθθλ0
,cossen )
Como e = comprimento médio do traço, então a equação
anterior pode ser reduzida para:
( ) 1 0
=∫∞
dxxf ( )dxxxf 0∫∞
=µ
11 AhBwwhN µλµλλ ++= (5.2a)
Onde:
(5.2b) ( ) [∫ ∫ ==u
l
u
l
AA EddfAα
α
θ
θ
θαθαθθ cos,cos1 ]
] (5.2c) ( ) [∫ ∫ ==u
l
u
l
AA EddfBα
α
θ
θ
θαθαθθ sen,sen1
A B
C
DE
F
θA
x
h
w
(a)
w
h
θAtg (h/w)
−1x = h
/ sen
θA
(b)
Figura 5.1 Intersecção da descontinuidade com a janela de amostragem retangular
(modificado - Kulatilake & Wu, 1984)
Sejam N0 e N2 os números de descontinuidades que interceptam a janela de
amostragem com ambas extremidades censuradas e com ambas extremidades visíveis,
100
respectivamente, é necessário considerar separadamente dois casos: (a) θA ≥ tg-1(h/w) e (b) θA
< tg-1(h/w) como apresentado na Figura 5.1b. Para o caso (a) as derivadas apresentadas por
Kulatilake & Wu (1984), resultam nas seguintes equações:
whBwAhNN λµλµλ −+=− 2220 (5.3a)
Onde:
(5.3b) ( ) ( )∫ ∫=ua
la
ua
la
ddfA aA
α
α
θ
θ
αθαθθ ,cos2
(5.3c) ( ) ( )∫ ∫=ua
la
ua
la
ddfB aA
α
α
θ
θ
αθαθθ ,sen2
O sub-índice a indica que os limites de α, θ e a distribuição f(θ,α) estão na faixa de
variação de θA para o caso (a). Se defini-se que R0 = N0/N; R1 = (N - N0 - N2)/N e R2 = N2/N
determinam a quantidade de descontinuidades com ambas extremidades censuradas, uma
extremidade censurada e ambos extremidades visíveis, respectivamente e utilizando as
Equações 5.3a e 5.2b obtém-se:
11
2220
AhBwwhwhBwAh
NNN
µλµλλλµλµλ
++−+
=− (5.4)
( )( )( )110222
201hAwBRRwBhA
RRwh+−++
−+=µ (5.5)
Se f(θ,α) = fa(θ,α), θl = θla, θu = θua, αl = αla e αu = αua então A1 = A2 = A e B1 = B2 =
B, a Equação 5.5 se reduz a:
( )( )( )hAwBRR
RRwh++−
−+=
20
20
11µ (5.6a)
Onde:
101
(5.6b) ( )∫ ∫=u
l
u
l
ddfA A
α
α
θ
θ
αθαθθ ,cos
(5.6c) ( )∫ ∫=u
l
u
l
ddfB A
α
α
θ
θ
αθαθθ ,sen
Para o caso (b), aplicando o mesmo procedimento anterior, se obtem:
whBwAhNN λµλµλ −+=− 3320 (5.7a)
Onde:
(5.7b) ( )∫ ∫=ub
lb
ub
lb
ddfA bA
α
α
θ
θ
αθαθθ ,cos3
(5.7c) ( )∫ ∫=ub
lb
ub
lb
ddfB bA
α
α
θ
θ
αθαθθ ,sen3
11
3320
AhBwwhwhBwAh
NNN
µλµλλλµλµλ
++−+
=− (5.8)
( )( )( )110233
201hAwBRRwBhA
RRwh+−++
−+=µ (5.9)
O sub-índice b indica que os limites de α, θ e a distribuição f(θ,α) estão na faixa de
variação de θA para o caso (b).
Se f(θ,α) = fb(θ,α), θl = θlb, θu = θub, αl = αlb e αu = αub então A1 = A3 = A e B1 = B3 =
B, a Equação 5.9 se reduz à Equação 5.6. Então não é necessário considerar o caso (a) e (b)
separados, desde que µ seja calculado pela Equação 5.6.
Deve-se ressaltar que o cálculo de µ com a Equação 5.6 está baseado nos valores de
R0 e R2 e a medida do comprimento dos traços não é necessária. Por conseguinte µ não
contém erros devidos a censura das extremidades dos traços. Para calcular A e B na Equação
5.6, θA deve-se expressar em termos de θ e α. O cálculo de A e B deve ser feito
numericamente e a demonstração do cálculo de θA em termos da orientação da
descontinuidade e da orientação da janela de amostragem é apresentada a seguir.
102
5.2 RELAÇÃO ENTRE O ÂNGULO DE MERGULHO APARENTE (θA) E A
ORIENTAÇÃO ENTRE O PLANO DA DESCONTINUIDADE E O PLANO DE
AMOSTRAGEM
Utilizou-se um sistema de coordenadas cartesianas, com o eixo x orientado ao Norte e
o eixo y ao Leste e adotando a regra da mão direita, o eixo z resulta no sentido vertical
descendente, como pode-se observar na Figura 5.2. Considerando um plano qualquer pode-se
definir suas componentes cartesianas do vetor normal deste plano com ajuda do ângulo de
direção de mergulho (α) e o ângulo de mergulho (θ). Com estas componentes pode-se definir
a orientação de qualquer plano (Figura 5.2), como um disco circular ou plano da
descontinuidade ou uma janela de amostragem retangular.
Nortex
y
z
α
θn: vetor normal ao planod: vetor de maximo mergulhoθ: mergulhoα: direção de mergulhonx, ny e nz: componentes cartesianas do vetor normalh: vetor horizontal paralelo à direção do plano
plano
n
d
nx
ny
nz
Leste
h90 − θ
Figura 5.2 Componentes cartesianas do vetor normal a qualquer plano no espaço
Assim pode-se definir ndx, ndy e ndz como as componentes do vetor normal da
descontinuidade e θd e αd como direção de mergulho e mergulho da descontinuidade. Por
outro lado njx, njy e njz são as componentes do vetor normal da janela de amostragem e θj e αj
as direções de mergulho e mergulho da janela de amostragem. Todas estas componentes
cartesianas são calculadas com as seguintes relações:
103
ddz
dddy
dddx
n
nn
θ
αθαθ
cos
sensencossen
−=
==
(5.10)
jjz
jjjy
jjjx
n
n
n
θ
αθ
αθ
cos
sensen
cossen
−=
=
=
(5.11)
Com as componentes cartesianas define-se ou vetor normal ao plano da
descontinuidade (nd), da janela de amostragem (nj) e do plano horizontal de referência como
mostra a Figura 5.3. Nesta distribuição geométrica (Figura 5.3) identifica-se o ângulo de
mergulho aparente (θA), o vetor de mergulho aparente (m) e o vetor paralelo à direção
horizontal da janela de amostragem (h), este último vetor h tem as seguinte componentes
cartesianas:
( )( )
0
cos90sen
sen90cos
=
−=−=
=−=
z
jjy
jjx
h
h
h
αα
αα
(5.12)
A'
θAnd
nj
m
ndnj
h nd: vetor normal ao plano da descontinuidadenj: vetor normal ao plano da janela de amostragemh: vetor paralelo à direção horizontal da janela de amostragemm: vetor de mergulho aparenteθA: mergulho aparenteABCD: plano da janela de amostragemPQRS: plano da descontinuidadeAA'B'B: plano horizontal de referência
D'
DC
C'
B'BA
P
Q
R
S
Figura 5.3 Relação geométrica entre os planos da descontinuidade, da janela de amostragem e
do plano horizontal de referencia.
O vetor m é calculado utilizando o produto vetorial entre os vetores nd e nj onde se
obtém a seguinte relação:
104
(5.13) ( ) ( ) (kmjmimm
knnnnjnnnninnnnm
nnm
zyx
jxdyjydxjzdxjxdzjydzjzdy
jd
++=
−+−+−=
×=
)
Substituindo as Equações 5.10 e 5.11 na Equação 5.13 se obtém:
( )(
( )( ) k
j
im
jddjjd
jjdjdd
) cossen-sencossensen
cossencossencoscos
sensencoscossensen
jdjdjd ααααθθ
θθαθαθ
θαθθθα
++−
++−=
(5.14)
Para obter o cosseno do ângulo de mergulho aparente (θA) aplicou-se as propriedades
do produto escalar entre dois vetores neste caso o vetor de mergulho aparente (m) e o vetor
horizontal paralelo à direção da janela de amostragem (h). Como o vetor h é unitário seu
modulo será igual à unidade ( 1=h ), assim chega-se à seguinte equação.
mhm
hmhm
hmhmhmhmhmhm
A
zzyyxx
A
⋅=
⋅=
++=⋅
=⋅
θ
θ
cos
cos (5.15)
O seno do ângulo de mergulho aparente é calculado usando as propriedades do
produto vetorial entre os mesmos vetores m e h, resultando assim a seguinte equação.
m
hmhmhm
hmhm
A
A
×=
×=
=×
θ
θ
sen
sen (5.16)
Para o cálculo das equações anteriores é preciso ter o modulo de m que será calculado
com a seguinte relação:
105
( )( )
(( ))( )( )[ ] 212
21
2jdjdjd
2
2
cossensencoscos1
cossen-sencossensen
cossencossencoscos
sensencoscossensen
jdjdjd
jddjjd
jjdjdd
m
m
ααθθθθ
ααααθθ
θθαθαθ
θαθθθα
−+−=
++−
++−
= (5.17)
Substituindo as Equações 5.12, 5.14 e 5.17 nas Equações 5.15 e 5.16 e fazendo as
respectivas simplificações obtém-se:
( )( )( )[ ] 212cossensencoscos1
coscossensencos cos
jdjdjd
jdjdjdA
ααθθθθ
ααθθθθθ
−+−
−−= (5.18)
( )
( )( )[ ] 212cossensencoscos1
sensen sen
jdjdjd
jddA
ααθθθθ
ααθθ
−+−
−= (5.19)
As Equações 5.18 e 5.19 representam o cálculo do mergulho aparente, θA, para
qualquer orientação de descontinuidade e para qualquer orientação da janela de amostragem,
este resultado é uma generalização do caso particular apresentado por Kulatilake & Wu
(1984), Sendo este uma equação geral, demonstra-se a seguir, como a partir desta formulação
geral chegamos ao caso particular de amostragem numa janela vertical. Considerando então
um plano de amostragem com um ângulo de mergulho igual a 90 (θj = 90, parede vertical) e
substituindo na Equação 5.18, obtém-se:
( )( )( )[ ] 212cos90sensen90coscos1
cos90cossen90sencos cos
jddd
jdddA
ααθθ
ααθθθ
−°+°−
−°−°= (5.20)
( )( )[ ] 212cossen1
cos cosjdd
dA
ααθ
θθ−−
= (5.21)
Kulatilake & Wu (1984) definem o ângulo δ como sendo o ângulo formado entre a
direção do plano da descontinuidade e a direção de mergulho do plano da janela de
amostragem, como mostra a Figura 5.4.
106
αd
αj
δ
Norte
ndnj
A
A'
B
B'
C
C'D
D'
P
Q
R
S
nd: vetor normal da descontinuidadenj: vetor normal da janela de amostragemABCD: plano da janela de amostragemPQRS: plano da descontinuidadeαd: direção de megulho da descontinuidadeαj: direção de mergulho da janela de amostragemδ: ângulo entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho da janela de amostragem
Figura 5.4 Ângulo δ, definido entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho da
janela de amostragem.
A seguinte equação relaciona o ângulo δ com as direções de mergulho da
descontinuidade e a janela de amostragem como:
°−=−
°=+−
90
90
δαα
δαα
jd
dj (5.22)
Substituindo o valor de δ na Equação 5.21 obtém-se:
( )( )[ ] 21290cossen1
cos cos°−−
=δθ
θθd
dA (5.23)
Desenvolvendo o cosseno da diferença de dois ângulos e simplificando a expressão
obtém-se o seguinte:
[ ] 2122 sensen1cos cos
δθθθ
d
dA
−= (5.24)
( )21
222 cos1tg
cos1
1 cos
−−
=
δθθ
θ
dd
A (5.25)
107
2122
2
2
2 costgcossen
cos1
1 cos
+−
=
δθθθ
θ
θ
dd
d
d
A (5.26)
[ ] 2122 costg11 cos
δθθ
d
A+
= (5.27)
Que é o mesmo resultado obtido por Kulatilake &Wu (1984) para o cosθA. Da mesma
maneira substituindo o mergulho de 90o (θj = 90o) para a janela de amostragem vertical na
equação do seno do ângulo de mergulho aparente (Equação 5.19) se obtém:
( )( )[ ] 2122 90cossen1
90sensen sen°−−
°−=
δθ
δθθd
dA (5.28)
Expandindo o seno da diferencia de dois ângulos e simplificando a equação se obtém:
[ ] 2122 sensen1cossen sen
δθδθθ
d
dA
−= (5.29)
( ) 21
22
22
cossencos1sen1
1 sen
−−=
δθδθ
θ
d
d
A (5.30)
21
22
222
cossencossensen1
1 sen
+−=
δθδθθ
θ
d
dd
A (5.31)
21
22
2
cossencos1
1 sen
+
=
δθθ
θ
d
d
A (5.32)
[ ] 2122 seccot11 sen
δθθ
dA
+= (5.33)
Que é o mesmo resultado obtido por Kulatilake & Wu (1984) para o senθA.
108
5.3 DERIVAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO TRAÇO MÉDIO
Voltando para a Equação 5.3, mostra-se como Kulatilake & Wu (1984) chegaram a
esses resultados. Considerando primeiramente o caso (a) θA ≥ tg-1(h/w), temos duas
possibilidades (1) h/senθA ≤ x ≤ ∞, e (2) 0 ≤ x ≤ h/senθA. Para a primeira possibilidade (Figura
5.5) considere-se os traços E e F com pontos médios e e f respectivamente (Figura 5.5a).
Qualquer traço com comprimento x, mergulho aparente θA e com ponto médio entre os pontos
e e f terá ambas extremidades censuradas.
f
e
x
θA
F
E
h
g
x senθA - h
h
w
(a) (b)
(c)
d
hf
c e g
h
w
h
d
D
b
zθA
f
eac
AC
Z se
cθA
x - Z
sec
θA
x / 2
w
B
Figura 5.5 Descontinuidade com ambos extremidades censurados, h/senθA ≤ x ≤ ∞, e
θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984)
109
Similarmente têm-se os traços G e H que para ter ambas extremidades censuradas seus
pontos médios devem estar dentro da zona efgh. A área desta zona é (w - h cot θA) (x senθA –
h). A seguir, considerou-se os traços A e B, com pontos médios a e b (Figura 5.5b) e com
ambas extremidades censuradas. Qualquer traço com comprimento x, mergulho aparente θA e
com seu ponto médio entre os pontos a e b terá ambas extremidades censuradas. Então,
qualquer traço à esquerda de e, f, terá ambas extremidades censuradas se seus pontos médios
estão dentro da zona cdfe. Esta área pode ser calcula com a seguinte relação:
(5.34) ( ) dzzx A
h
A
A
senseccot
0
θθθ
∫ −
A área sombreada na Figura 5.5c determina a zona que contem os pontos médios dos
traços com ambos extremidades censurados. Assim, o valor esperado (n01) de
descontinuidades com x ≤ x ≤ x+dx, θ ≤ θ ≤ θ+dθ, α ≤ α ≤ α+dα que interceptem a janela de
amostragem com ambas extremidades censuradas, será:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) αθαθθθλ
αθαθθθλθ
dddxfxfdzzx
dddxfxfhxhwn
a
h
AA
aAA
A
,sensec2
,sencotcot
0
01
−+
−−=
∫ (5.35)
Para a segunda possibilidade (2) 0 ≤ x ≤ h/senθA, esta apresentada na Figura 5.6. Os
traços A e B com pontos médios a e b, têm ambas extremidades censuradas. Qualquer outro
traço com comprimento x, mergulho aparente θA e com seu ponto médio entre a e b terá
ambas extremidades censuradas. Então os traços com os pontos médios dentro de cde e c’d’e’
terão ambas extremidades censuradas. A área de cde ou c’d’e’ será calculada como:
(5.36) ( ) dzzxnAx
AA senseccos
002 ∫ −=
θ
θθ
110
z
x - z
secθ
A
x / 2
e
b
cad
θA
h
w
c' d'
e'
Figura 5.6 Descontinuidade com ambas extremidades censuradas, 0 ≤ x ≤ h/senθA, e
θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984).
Então o número esperado (n02) de descontinuidades com x ≤ x ≤ x+dx, θ ≤ θ ≤ θ+dθ, α
≤ α ≤ α+dα que interceptam a janela de amostragem com ambas extremidades censuradas, é:
(5.37) ( ) ( ) ( ) αθαθθθλθ
dddxfxfdzzxn a
x
AA
A
, sensec2cos
002
−= ∫
Integrando as Equações 5.35 e 5.37 para todos os possíveis θ, α e x se obtém o
número esperado (N0) de descontinuidades que interceptam a janela com ambas extremidades
censuradas como:
(5.38)
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) αθαθθθλ
αθαθθθλ
αθαθθθλ
α
α
θ
θ
θ θ
α
α
θ
θ θ
θ
α
α
θ
θ θ
dddz dxfxfzx
dddz dxfxfzx
dddxfxfhxhwN
a
h x
AA
ah
h
AA
ah
AA
ua
la
ua
la
A A
ua
la
ua
la A
A
ua
la
ua
la A
,sensec2
,sensec2
,sencot
sen
0
cos
0
sen
cot
0
sen0
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
−+
−+
−−=
∞
∞
111
Para um traço com 0 ≤ x ≤ h/senθA, é possível ter ambas extremidades visíveis (Figura
5.7). A e B são dois traços com ambas extremidades visíveis. Um traço com comprimento x,
mergulho aparente θA e com pontos médios entre a e b terá ambas extremidades visíveis.
Similarmente, traços com pontos médios dentro de cde terão ambas extremidades visíveis.
h cotθA
z
z secθA - x
DA
EC
BθA
h
w
h - x senθA
e' c'
d'
xe
abc
d
Figura 5.7 Descontinuidade com ambas extremidades visíveis, 0 ≤ x < h/senθA, e θA ≥ tg-
1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984).
Então, para intersectar a janela de amostragem com ambas extremidades visíveis, o
ponto médio do comprimento do traço da descontinuidade deverá estar em dcd’c’. A área
ed’e’d é (w - h cotθA)(h - x senθA) e a área ecd é:
(5.39) ( )∫ −=A
A
h
xAAecd dzxzA
θ
θ
θθcot
cos
sensec
O número esperado (n2) de descontinuidades intersectando a janela de amostragem
com ambas extremidades visíveis, será:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) αθαθθθλ
αθαθθθλθ
θ
dddxfxfdzxz
dddxfxfAxhhwn
a
h
AA
aA
A
, sensec2
,sencotcot
xcos
2
A
−+
−−=
∫ (5.40)
112
Onde x ≤ x ≤ x+dx, θ ≤ θ ≤ θ+dθ e α ≤ α ≤ α+dα.
Para todas os possíveis valores de θ, α e x, o número esperado de (N2)
descontinuidades interceptando a janela de amostragem com ambas extremidades visíveis,
será:
(5.41)
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
−+
−−=
ua
la
ua
la
A A
A
ua
la
ua
la
A
h h
xaAA
a
h
AA
dddxdzfxfxz
dddxfxfhwxhN
α
α
θ
θ
θ θ
θ
α
α
θ
θ
θ
αθαθθθλ
αθαθθθλ
sen/
0
cot
cos
sen/
02
,sensec2
,cotsen
A partir das Equações 5.38 e 5.41 obtém-se:
(5.42)
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
−+
−+
−−=−
∞
∞
ua
la
ua
la
A A
ua
la
ua
la A
A
ua
la
ua
la
h h
aAA
h
h
aAA
aAA
dddxdzfxfzx
dddxdzfxfzx
dddxfxfhxhwNN
α
α
θ
θ
θ θ
α
α
θ
θ θ
θ
α
α
θ
θ
αθαθθθλ
αθαθθθλ
αθαθθθλ
sen/
0
cot
0
sen/
cot
0
020
,sensec2
,sensec2
,sencot
Esta última equação pode ser reduzida à Equação 5.3. Para o caso (b) com θA < tg-
1(h/w). Segue-se o mesmo procedimento, como se observa no trabalho de Kulatilake & Wu
(1984), para chegar na Equação 5.7.
5.4 APLICAÇÃO DO MODELO DO TRAÇO MÉDIO AOS DADOS DO CASO
ESTUDADO
O cálculo do comprimento médio com a Equação 5.6 precisa da função de orientação
da família de descontinuidades para obter os valores de A e B, Neste trabalho foi usada a
distribuição bi-variacional normal. Estes valores são calculados aplicando uma integração
numérica dupla, como será apresentado a seguir. Considerando a distribuição bi-variacional
normal apresentada em Ang & Tang (1975), tem-se que:
113
( )
−+
−
−−
−−−
×
−=
22
2
2
212
1exp
121),(
α
α
α
α
θ
θ
θ
θ
αθ
σµα
σµα
σµθρ
σµθ
ρ
ρσπσαθaf
(5.43)
Onde: as duas variáveis são θ e α que representam o mergulho e a direção de
mergulho da descontinuidade, respectivamente e µ, σ e ρ representam a média o desvio
padrão e o coeficiente de correlação das duas variáveis.
Com esta distribuição de probabilidade, mais a Equação 5.6 e mais a integração
numérica de variável dupla, pode-se calcular os traços médios das famílias de
descontinuidades do caso-estudo.
5.5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA
Considerando uma integral dupla da seguinte forma:
( )∫∫R
dAyxf , , (5.44)
Define-se R como uma região retangular no plano, ou seja:
( ) dycbxayxR ≤≤≤≤= ,|, (5.45)
Para ilustrar a técnica de integração numérica utilizou-se a regra de Simpson, sendo
que outras poderiam ser usadas, mas esta se apresenta mais simples e de fácil entendimento e
cumpre o objetivo aqui proposto. Escolhendo os inteiros m e n para determinar os tamanhos
dos passos h = (b–a)/2n e k = (d–c)/2m. Escrevendo a integral dupla como uma integral por
etapas se tem:
(5.46) ( ) ( ) dxdyyxfdAyxfb
a
d
cR
,, ∫ ∫∫∫
=
114
Considerando x como constante. Tomando yj = c+j·k para cada j = 0, 1, ..., 2m, se
obtém:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )4
44
21
12
1
120
,180
,,4,2,3
,
yxfkcd
yxfyxfyxfyxfkdyyxf m
m
jj
m
jj
d
c
∂∂−
−
+++= ∑∑∫
=−
−
=
µ (5.47)
Expandindo para qualquer valor de µ em (c, d) tem-se que:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∫
∫∑∫
∑∫∫∫ ∫
∂∂−
−
++
++=
=−
−
=
b
a
b
am
m
j
b
aj
m
j
b
aj
b
a
dxyxfkcd
dxyxfkyxfk
dxyxfkdxyxfkdxdyyxf
4
44
21
12
1
120
b
a
d
c
,180
,3
,3
4
,3
2 ,3
,
µ
(5.48)
A regra composta de Simpson se emprega agora em cada integral da Equação 5.48.
Tomando xi = a + i·h para cada i = 0, 1, ..., 2n se obtém para cada j = 0, 1, ..., 2m a seguinte
equação:
( ) ( ) ( ) ( ) (
( )
)
( )jj
jn
n
i
n
ijijijj
yxfhab
yxfyxfyxfyxfhdxyxf
,180
,,4,2,3
,
4
44
2
1
1 11220
b
a
ξ∂∂−
−
+++= ∑ ∑∫
−
= =−
(5.49)
Para qualquer ξj em (a, b), a aproximação resultante terá a seguinte forma:
115
( )
( ) ( ) ( ) (
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
+
+++
++
++
++
+++
+++
≈
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑ ∑
∫∫
=−
−
=
=−
= =−−
=
−
=−
=−
−
=
−
= =−
−
=
−
=
−
=
−
= =−
mn
n
imi
n
imim
m
jjn
m
j
n
iji
m
j
n
iji
m
jj
m
jjn
m
j
n
iji
m
j
n
iji
m
jjn
n
n
i
n
iii
d
c
yxf
yxfyxfyxf
yxfyxf
yxfyxf
yxfyxf
yxfyxfyxf
yxfyxfyxfyxf
hkdxdyyxf
22
1212
1
12220
1122
1 11212
1
1
1122
1120
1
122
1
1 1212
1
1
1
122
1
12002
02
1
1 10120200
b
a
,
,4,2,
,4,16
,8,4
,2,8
,4,2,
,,4,2,
9 ,
)
(5.50)
O termo de erro, E, é dado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )∫
∑∑
∂∂−
−
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂∂−−
==
−−−
=
b
a
mmm
j
jjm
j
jj
dxyxfkcd
xyf
xyf
xyf
xyfhabkE
,180
,,4
,2,
540
4
44
422
4
14
121241
14
224
400
44
µ
ξξξξ
(5.51)
Se ∂4f/∂x4 e ∂4f/∂y4 são contínuas em R, o termo de erro pode ser representado pela
seguinte equação:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
∂∂
+∂∂−−−
=
∂∂−−
−
∂∂−−
=
µηµη
µηµη
ˆ,ˆ,180
ˆ,ˆ180
,6540
4
44
4
44
4
44
4
44
yfk
xfhabcd
yfkabcd
xfmhabkE
(5.52)
Para aplicar o cálculo da Equação 5.50 foi implementado um programa em
FORTRAN (Apêndice E) que possui de forma implícita a Equação 5.43 da distribuição
bivariacional normal e unicamente precisa mudar internamente os parâmetros de αj, θj, µθd, σθd
, µαd, σαd e ρ das Equações 5.18 e 5.19, no momento de rodar o programa perguntará os limites
de integração a, b, c e d da Equação 5.50 e como saída se terá o resultado das Equações 5.18 e
116
5.19 ou os valores de A e B, respectivamente para as diferentes famílias de descontinuidades
(Tabela 5.1), finalmente o traço médio µ é calculado com a Equação 5.6 (Tabela 5.2). Os
valores do comprimento do traço médio (µ) estão em metros e os valores variam entre 65 a
9200 m. Estes valores são conseqüência do tamanho da janela de amostragem considerada no
caso-estudo, onde os taludes Sul e Sudeste têm janelas de amostragem de 250 x 150 m a 400
x 210 m. No entanto, as janelas de amostragem das galerias têm dimensões menores da ordem
de 70 x 3 m. O comprimento do traço é um valor geométrico que não pode ser negativo e
portanto para o caso dos valores calculados assumiu-se todos os valores como positivos.
Tabela 5.1 Resultados dos coeficientes A e B calculados numericamente.
Região Família αj θj µθd σθd µαd σαd ρ A B 1 49,14 49,75 49,13 6,48 49,33 11,60 -0,20 0,107 0,00092 41,1 48,60 52,04 5,89 297,28 8,36 0,007 0,607 -0,787 3 45,99 48,46 55,88 7,58 154,51 11,47 0,567 0,610 0,7856
T. Sudeste
10 46,96 49,32 47,84 23,03 80,10 108,81 0,2105 0,3408 0,20291 300,0 90,0 41,64 9,28 41,55 12,14 -0,009 0,7507 0,63992 300,0 90,0 71,75 7,60 159,93 10,99 0,0049 0,4605 -0,855 G11
10 300,0 90,0 68,28 17,17 81,20 96,80 0,2978 0,3826 0,11131 300,0 90,0 42,86 8,36 56,97 22,27 -0,085 0,7806 0,5912G12
10 300,0 90,0 65,74 15,98 118,49 93,57 -0,011 0,4964 -0,028 G13 1 300,0 90,0 47,49 8,97 42,01 13,29 0,428 0,6848 0,7122
T. Sul 1 41,32 45,34 42,44 8,86 38,56 12,87 0,180 0,2576 -0,108
Tabela 5.2 Traço médio µ considerando amostragem por superfície.
Região Família R0 R2 w h A B µ (m) 1 0,85 0,15 112,5 26,63 0,107 0,0009 5820 2 0,83 0,17 105 26,63 0,607 -0,787 -210 3 0,82 0,18 82,5 25,04 0,610 0,7856 116
T. Sudeste
10 0,8 0,2 107,5 24,04 0,3408 0,2029 345 1 0,99 0,01 70 2,5 0,7507 0,6399 500 2 0,98 0,02 70 2,5 0,4605 -0,855 -144 G11
10 0,96 0,04 70 2,5 0,3826 0,1113 540 1 0,98 0,02 70 2,5 0,7806 0,5912 192 G12
10 0,9 0,1 70 2,5 0,4964 -0,028 -4014 G13 1 0,94 0,06 70 2,5 0,6848 0,7122 65
T. Sul 1 0,89 0,11 375 269,13 0,2576 -0,108 29758
117
Capítulo 6
6 MODELAGEM PROBABILÍSTICA
DAS DESCONTINUIDADES EM 3D
Para a implementação deste modelo probabilístico das descontinuidades foram
utilizados os dados do mapeamento realizado por Durand (1995) da mina de Timbopeba. O
mapeamento da mina foi realizado nos taludes sul e sudeste e nas três galerias G11, G12 e
G13, onde cada dado de descontinuidade contém as seguintes medidas: espaçamento, traço e
orientação (mergulho e direção de mergulho) da descontinuidade, orientação do plano de
amostragem, tipo de material e tipo de descontinuidade (falha, dique, foliação, fissura etc.).
Neste mapeamento foram identificadas duas falhas (descontinuidades primárias, J3 e J4), no
maciço do Talude Sul, as quais tem que ser tratadas de forma determinística o que está fora do
objetivo desta tese. Os passos seguintes são aplicados para o tratamento estatístico das
descontinuidades secundárias (foliações, fraturas, contatos etc):
i. Determinação das regiões estatisticamente homogêneas, com relação à orientação das
descontinuidades, usando análise de dados direcionais e determinando assim o número
de famílias de descontinuidades.
ii. Correção dos erros de tendência por orientação para cada família de descontinuidades.
iii. Modelagem da distribuição de orientação verdadeira, para cada família de
descontinuidades.
iv. Estimativa da distribuição do comprimento do traço (dado 2D) para cada família de
descontinuidades, levando em conta a correção por erros de tendência.
v. Inferir a distribuição do tamanho das descontinuidades (dado 3D) para cada família de
descontinuidades, considerando a correção por tendência, assumindo as
descontinuidades como discos circulares planos e assim determinando o diâmetro das
mesmas.
vi. Determinar a distribuição do espaçamento das descontinuidades ao longo dos scanlines
ou em superfície (dado 2D), levando em conta a correção por erros de tendência.
118
vii. Inferir a distribuição do espaçamento ao longo da direção do vetor de pólo médio
(espaçamento verdadeiro) ou densidade linear (dado 3D) para cada família de
descontinuidades.
viii. Estimar a média da densidade volumétrica dos centros das descontinuidades em 3D
(número de centros de descontinuidades/volume) para cada família de
descontinuidades.
ix. Obter a distribuição da variável aleatória referente ao número de centros das
descontinuidades por volume determinado (dado 3D).
x. Sugerir o modelo geométrico estocástico das descontinuidades em 3D pela descrição
dos parâmetros geométricos para cada família de descontinuidades;
Os parâmetros geométricos das descontinuidades a serem descritos são:
• Número de famílias de descontinuidades;
• Distribuição da localização dos centros das descontinuidades para cada densidade e cada
família de descontinuidades;
• Distribuição da orientação para cada família de descontinuidades;
• Distribuição do tamanho (diâmetro dos discos circulares planos) para cada família de
descontinuidades.
6.1 AMOSTRAGEM DOS DADOS
Considerando a pouca variação da geologia dos taludes e as características de
localização dos mesmos, foram consideradas as seguintes regiões: Talude Sul, Talude Sudeste
e três galerias G11, G12 e G13, tendo assim cinco regiões a serem modeladas. Neste
mapeamento foram registradas as descontinuidades principais J3 e J4 de duas falhas no
Talude Sul especificamente no maciço 06, as quais são separadas do estudo das
descontinuidades secundárias. A Tabela 6.1 mostra a quantidade de descontinuidades
secundárias mapeadas em cada região.
6.2 REGIÃO ESTATISTICAMENTE HOMOGÊNEA
Nesta primeira parte foram utilizados os dados de orientação ou dados direcionais, que
são o mergulho e a direção de mergulho. Como passo preliminar estes dados foram
submetidos ao teste de uniformidade, visto no Item 2.8.4, para determinar a existência de
119
concentração de direções. Posteriormente a este teste de uniformidade foram definidas as
regiões estatisticamente homogêneas.
Tabela 6.1 Quantidade de descontinuidades secundárias mapeadas por região
Região Quantidade de dados Talude Sudeste
Galeria G11 Galeria G12
Galeria G13 Talude Sul
103 178 51 17 20
Total 369
O teste de uniformidade requer o cálculo do coeficiente de concentração κ da
distribuição de Fisher e a resultante media R . Para isto primeiramente foram calculados os
valores das componentes cartesianas dos dados de orientação (mergulho e direção de
mergulho) aplicando a Equação 2.40, fazendo a somatória para cada eixo cartesiano calculou-
se a resultante R com a Equação 2.42 e finalmente com a resultante e o numero de dados foi
calculado o coeficiente de concentração κ e a resultante media R , aplicando as Equações
2.55 e 2.42, como mostra o exemplo da Tabela 6.2 para os dados direcionais da Galeria G13.
Este mesmo procedimento foi aplicado para os dados direcionais das outras 4 regiões
analisadas.
Dos dados da Tabela 6.3 a resultante para a Galeria 13 é R = 16,613, a resultante
média R = 0,977, os cossenos diretores da resultante média são x0 = 0,49, y0 = 0,436 e z0 =
0,755, a variância dos dados direcionais é S* = 0,0227 e o coeficiente de concentração é κ =
38,799.
O teste de uniformidade consiste em determinar para cada numero de dados, n e com
um certo nível de confiança (α = 5 %, adotado) o valor da resultante media R crítica, a qual é
obtida da Tabela 2.7. Então com esses dois dados (n e α) foram obtidos os valores das
resultantes medias R críticas para cada uma das regiões analisadas na Tabela 2.5. Os
resultados para cada região estão apresentados na Tabela 6.3.
A Tabela 6.3 apresenta valores de R entre 0,83 e 0,97, que indicam concentração de
dados ou existência de uma ou mais direções preferenciais. Valores altos do parâmetro de
dispersão κ indicam, maior concentração dos dados ou a presença de uma direção
preferencial. Já para valores pequenos de κ ou próximos de zero indicam que a concentração
dos dados é menor (dados distribuídos uniformemente). Esta estatística compara R com um
120
valor de R crítico para o nível de significância de 5 %. Se o valor de R excede o valor de R
crítico, a hipótese que as observações estão uniformemente distribuídas é rejeitada, como
acontece com todas as amostras e leva a afirmar a existência de uma ou mais direções
preferenciais dos dados.
Tabela 6.2 Componentes dos eixos cartesianos dos dados direcionais da Galeria G13.
N Mergulho Dir. Mergulho xi yi zi 1 55 050 0,369 0,439 0,819 2 45 040 0,542 0,455 0,707 3 50 040 0,492 0,413 0,766 4 33 045 0,593 0,593 0,545 5 48 073 0,196 0,640 0,743 6 40 030 0,663 0,383 0,643 7 65 050 0,272 0,324 0,906 8 40 015 0,740 0,198 0,643 9 35 045 0,579 0,579 0,574
10 55 055 0,329 0,470 0,819 11 55 044 0,413 0,398 0,819 12 40 030 0,663 0,383 0,643 13 50 045 0,455 0,455 0,766 14 59 048 0,345 0,383 0,857 15 43 030 0,633 0,366 0,682 16 50 030 0,557 0,321 0,766 17 58 056 0,296 0,439 0,848 Σ 8,136 7,239 12,546
Tabela 6.3 Cálculo do teste de uniformidade das cinco regiões analisadas
Região n R R Mergulho Dir. Mergulho S* κ R
crítico T. Sudeste 103 85,58 0,8309 68 040 0,1691 5,798 < 0,16 G11 178 157,50 0,8849 60 051 0,1151 8,587 < 0,16 G12 51 46,12 0,9043 54 056 0,0957 10,044 0,22 G13 17 16,61 0,9773 49 042 0,0227 38,799 0,388 T. Sul 20 19,02 0,9512 51 035 0,0488 18,461 0,358
Para a determinação das regiões estatisticamente homogêneas é importante ter uma
grande quantidade de dados para poder aplicar o método de Mahtab & Yegulalp (1984). Este
método não foi aplicado e a determinação das regiões estatisticamente homogêneas foi feita
com base nas características geológicas e geotécnicas da inspeção visual em campo, ficando
121
assim separadas nas cinco regiões antes definidas (Talude Sudeste, Talude Sul, Galeria 11, 12
e 13).
6.3 DETERMINAÇÃO DAS FAMÍLIAS DE DESCONTINUIDADES DE CADA
REGIÃO
A identificação dos grupos de descontinuidades com direção preferencial, ou famílias
de descontinuidades, pode ser feita de várias formas. Kulatilake et al. (1990a) apresenta uma
versão modificada do método de Miller (1983), que procura grupos de descontinuidades com
intensidade de distribuição de orientação, similares. Muitos destes métodos estatísticos
precisam ainda de uma interpretação visual da distribuição das orientações, para a
determinação final dos grupos homogêneos. Por tal motivo uma distribuição de pólos de
descontinuidades numa projeção estereográfica de igual área (Item 2.8.2), permite uma
observação mais real da distribuição de pólos (Mardia, 1972), a qual será adotada neste
trabalho como apoio à distribuição de densidade de pólos ou concentração de pólos pelo
Programa DIPS (Hoek & Diederichs, 1989). Ainda existe outro método baseado na
classificação de dados com a utilização da lógica fuzzy (Hammah & Curran, 1998).
Para cada região foram plotadas projeções estereográficas de igual área dos pólos das
descontinuidades assim como dos contornos de densidade dos pólos, como mostram as Figura
6.1, 6.3, 6.5, 6.7 e 6.9. Estes contornos de densidade de pólos mostram grupos de
concentração de dados os quais são separados e identificados com suas direções médias, como
mostram as Figura 6.2, 6.4, 6.6, 6.8 e 6.10. Desta maneira foram selecionadas as famílias de
descontinuidades para cada uma das cinco regiões antes definidas, os pólos das
descontinuidades que não fazem parte de nenhuma família e se encontram de forma espalhada
no estereograma foram agrupados na família 10 como sendo a família de descontinuidades
com pouca consistência ou representatividade, assim a Tabela 6.4 mostra a quantidade de
famílias por região e a quantidade de dados, n, por família.
122
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 4Contour Interval = 4Max.Concentration = 25.5
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
103 Poles Plotted103 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUDESTE (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
Figura 6.1 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sudeste
1m
1m
2m
2m
3m
3m
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
MAJOR PLANESORIENTATIONS
# DIP/DIR. 1 m 49/046 2 m 53/296 3 m 58/157
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
103 Poles Plotted103 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUDESTE (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
1
2
3
Figura 6.2 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades do Talude
Sudeste
123
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 3.5Contour Interval = 3.5Max.Concentration = 23.5
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
178 Poles Plotted178 Data Entries
STEREONET: GALERIA 11 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
Figura 6.3 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 11
1m
1m
2m
2m
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
MAJOR PLANESORIENTATIONS
# DIP/DIR. 1 m 42/041 2 m 73/162
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
178 Poles Plotted178 Data Entries
STEREONET: GALERIA 11 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
1
2
Figura 6.4 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades da Galeria
11
124
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 2.5Contour Interval = 2.5Max.Concentration = 17.4
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
51 Poles Plotted51 Data Entries
STEREONET: GALERIA 12 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
Figura 6.5 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 12
1m
1m
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
MAJOR PLANESORIENTATIONS
# DIP/DIR. 1 m 41/055
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
51 Poles Plotted51 Data Entries
STEREONET: GALERIA 12 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
1
Figura 6.6 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 12
125
N
E
S
W
STEREONET: GALERIA 13 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 5Contour Interval = 5Max.Concentration = 34.4
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
17 Poles Plotted17 Data Entries
Figura 6.7 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 13
1m
1m
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
MAJOR PLANESORIENTATIONS
# DIP/DIR. 1 m 48/043
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
17 Poles Plotted17 Data Entries
STEREONET: GALERIA 13 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
1
Figura 6.8 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 13
126
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 6Contour Interval = 6Max.Concentration = 40.3
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
20 Poles Plotted20 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUL (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
Figura 6.9 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sul
1m
1m
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
MAJOR PLANESORIENTATIONS
# DIP/DIR. 1 m 48/038
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
20 Poles Plotted20 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUL (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
1
Figura 6.10 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades do Talude
Sul
127
Tabela 6.4 Quantidade de famílias por região e quantidade de dados por família
Região Família n 1 59 2 18 3 11 Talude Sudeste
10 15 1 113 2 41 Galeria 11
10 24 1 41 Galeria 12 10 10
Galeria 13 1 17 Talude Sul 1 19
As famílias de descontinuidades assim definidas serão analisadas separadamente com
relação aos parâmetros geométricos antes especificados e como auxílio a esta análise foi
plotado o histograma bivariacional dos dados de orientação como mostra a Figura 6.11 para a
família 1 do Talude Sudeste, os histogramas bivariacionais das demais famílias estão no
Apêndice A nas Figuras A.12 a A.22. Posteriormente a orientação de cada família será
corrigida dos erros de tendência como é detalhado a seguir.
Talude Sudeste família 1
Figura 6.11 Histograma bivariacional dos dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste.
6.4 ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES
Dependendo do domínio de amostragem os dados de orientação geralmente são
medidos em uma dimensão (1D) ou em duas dimensões (2D), como testemunhos de
128
sondagem, superfícies de túneis ou afloramentos rochosos. As chances para que uma
descontinuidade intercepte um dos domínios de amostragem depende de 3 fatores: (1)
orientação relativa da descontinuidade com relação ao domínio de amostragem, (2) tamanho e
forma da descontinuidade e (2) tamanho e forma do domínio de amostragem. Num maciço
rochoso os primeiros dois fatores podem mudar bastante e sua medida em campo é pouco
exata e até impossível como é o caso da orientação relativa entre a descontinuidade e o plano
de amostragem. Considerando ainda que, na prática, mais de um domínio de amostragem
pode ser utilizado, então as freqüências dos dados das descontinuidades, medidas em campo,
não representam as freqüências verdadeiras em 3D. Isto é chamado de erros por tendência de
orientação. Nesta tese é considerado o domínio de amostragem em 2D, como as superfícies de
taludes ou as paredes de um túnel.
6.4.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA POR ORIENTAÇÃO
Geralmente é desejável um grande número de medidas de orientação de um certo local
para, dessa forma, permitir o uso da análise estatística. Em vista disso é importante que o
processo de amostragem seja o mais objetivo possível. Num afloramento rochoso é comum o
uso de uma amostragem linear com a medida de orientação das descontinuidades que
interceptam uma linha de amostragem ou scanline, desenhada no afloramento. Geralmente
esta scanline é uma linha horizontal ou vertical desenhada na superfície do afloramento
rochoso, ou num caso mais geral uma linha inclinada, com direção e mergulho medidos.
Numa scanline se pode calcular a freqüência de descontinuidades λs, a qual será menor que a
freqüência real de descontinuidades λ do maciço, como pode ser mostrado na Figura 6.12
(Priest, 1985). Nesta figura se apresenta uma família de descontinuidades num afloramento
rochoso intersectada por uma linha normal ao traço das descontinuidades e a linha de
amostragem ou scanline, com orientação arbitraria.
O ângulo agudo formado entre o vetor normal à descontinuidade e o vetor paralelo a
direção do sanline é δ. A linha de comprimento l paralela ao vetor normal à descontinuidade,
intersecta um número total N de descontinuidades, então a freqüência real será:
lN λ= ou lN
=λ (6.1)
129
δl
linha de amostragem" scanline"
linha normal à descontinuidade
λs
λ
Figura 6.12 Família de descontinuidades intersectada pela linha de amostragem ou scanline
(modificado - Priest, 1985)
Para uma linha de amostragem, que faz ângulo δ com o vetor normal à
descontinuidade, tem-se uma freqüência observada menor que a freqüência real, devido ao
maior comprimento necessário para conter o mesmo número de descontinuidades (ls = l/cosδ).
Assim a freqüência observada λs será:
l
Ns
δλ cos= ou δλλ cos=s (6.2)
Uma linha de amostragem em geral, com um ângulo δ com o vetor normal à
descontinuidade terá um comprimento maior e por conseguinte uma freqüência menor. Para
corrigir isto, Priest (1985) propôs o seguinte procedimento. Na prática comum, as
descontinuidades nunca estão orientadas em grupos perfeitamente paralelos, então será
necessário tratar cada descontinuidade separadamente. Cada descontinuidade é considerada
com uma freqüência unitária como se a família de descontinuidades tivesse uma única
descontinuidade. Depois esta freqüência é corrigida por um peso (w) igual a 1/cosδ quando
aplicado a uma descontinuidade, assim:
δcos
1=w (6.3)
130
Este fator de correção w pode ser calculado analiticamente como segue, para cada
orientação da linha de amostragem e para cada orientação da descontinuidade:
( ) snsnsn
wββββαα sensencoscoscos
1+−
= ou ( )ns
snw
⋅=
1 (6.4)
Onde αs e βs são a direção e o mergulho da linha de amostragem (scanline) e αn e βn
são a direção e o mergulho do vetor normal ao plano da descontinuidade que podem ser
calculados do mergulho e direção de mergulho da descontinuidade.
Outra forma de calcular o fator de correção w é com ajuda do produto escalar do vetor
normal á descontinuidade n e do vetor paralelo a linha de amostragem . Para ângulos de δ
próximos de 90
so, o valor de w será muito alto produzindo uma concentração de normais,
levando as vezes a interpretações erradas, como também é mencionado em Terzaghi (1965).
Isto pode ser corrigido utilizando mais duas linhas de amostragem em dois planos de
amostragem ortogonais do mesmo maciço rochoso, ou colocando um valor máximo para δ,
segundo a observação em campo.
Assim são calculados os valores de w para cada descontinuidade, ou seja, para cada
descontinuidade tem-se um wj, onde j = 1, 2, 3, ...N. Então a somatória de wj deverá ser igual a
N, número total de descontinuidades consideradas. Assim:
onde, ∑=
′=N
jjwN
1 w
jj N
Nww =′ (6.5)
Onde Nw é a somatória dos wj. Aplicando este procedimento, pode-se multiplicar este
fator de correção w’j a cada componente, das coordenadas cartesianas, do vetor normal ao
plano das descontinuidades, para depois fazer uma análise estatística e probabilística dos
dados de orientação corrigidos.
Para o caso de amostragem da orientação em superfície (amostragem numa janela ou
afloramento rochoso), Kulatilake (1984) e Wathugala et al. (1990) apresentam uma correção
de erros de tendência por orientação, considerando o volume de amostragem envolvido por
cada uma das descontinuidades e o tamanho da superfície de amostragem ou janela de
amostragem, geralmente retangular.
131
Wathugala et al. (1990) apresentou um método para a correção dos erros de tendência
da orientação para amostragem superficial, em planos com qualquer orientação. A freqüência
corrigida é calculada atribuindo um peso para cada valor de descontinuidade, através de uma
função de ponderação inversamente proporcional à probabilidade de intersecção entre a
descontinuidade e o plano de amostragem. A probabilidade de interseção é proporcional ao
volume no qual o centro do domínio de amostragem estaria intersecionando a
descontinuidade.
Considerando uma descontinuidade com forma de pentágono que intercepta um plano
de amostragem retangular no ponto P (Figura 6.13), o volume total de influência será
separado em dois. O primeiro volume V1 é gerado pelo deslocamento do plano de amostragem
retangular ao longo do perímetro da descontinuidade, que corresponde ao movimento horário
dos quatro cantos do plano de amostragem ao longo do perímetro da descontinuidade. O
segundo volume V2 é gerado pelo deslocamento da descontinuidade ao longo do perímetro do
plano de amostragem retangular. Então o volume total será V = V1 + V2 no qual o centro do
plano de amostragem retangular ou janela O está presente, isto pode-se visualizar melhor na
Figura 6.13, onde a forma da descontinuidade é representada por um pentágono embora a
forma da descontinuidade não é considerada no cálculo geral do volume V.
O
R I
S
J
H
Q
GP
D
E
F
C
P2
P1
descont.
janela
ds
dj
vetor unitario normal ao plano da janela
vetor unitario normal ao plano da descontinuidade
A
B
Figura 6.13 Posição da descontinuidade e a janela de amostragem quando o canto P toca um
ponto do perímetro da descontinuidade (modificado – Wathugala et al., 1990).
Aplicando uma formulação vetorial, Wathugala et al. (1990), chegou a seguinte
relação para o cálculo dos volumes V1 e V2, assumindo como Aj a área da descontinuidade e As
a área do plano de amostragem, então V1 e V2 são:
132
µsen41 j
s dAV
= µsen
22
= s
jdAV (6.6)
Onde dj e ds são comprimentos de influência da janela de amostragem e da
descontinuidade como podem ser observados na Figura 6.13 e µ é o ângulo diedro formado
entre o plano da janela de amostragem e o plano da descontinuidade. Conseqüentemente o
volume V será:
( ) µsensjjs dAdAV += (6.7)
Para uma superfície de amostragem retangular de comprimento W e largura H e
adotando uma descontinuidade de forma circular com diâmetro d tem-se as seguintes relações
para o cálculo de V:
WHAs = [ spHrpWd j ]⋅+⋅= 11sen1
µ (6.8)
4 2dAj
π= dds = (6.9)
Onde é o vetor unitário perpendicular ao plano da descontinuidade (Figura 6.13), 1p
r e são os vetores unitários paralelos às direções de W e H da janela de amostragem
respectivamente.
s
Assumindo que a probabilidade de interseção do plano de amostragem com a
descontinuidade é inversamente proporcional ao volume antes calculado, então pode-se
definir o fator de correção wi, como o inverso deste volume. Assim:
V
wi1
= (6.10)
Como o fator de correção wi afeta a freqüência de cada descontinuidade, a somatória
das freqüências corrigidas tem que ser igual a N ou ao total de descontinuidades, então o fator
definitivo de correção w’i será:
133
iN
ii
i ww
Nw∑
=
=′
1
sendo que (6.11) ∑=
′=N
iiwN
1
Considerando cada dado de descontinuidade com freqüência original igual a 1/N, a
freqüência corrigida para cada descontinuidade será calculada multiplicando a freqüência
original vezes o fator de correção w’i. Multiplicando com este fator de correção w’i cada
componente das coordenadas cartesianas do vetor normal ao plano das descontinuidades,
pode-se fazer uma análise estatística e probabilística dos dados de orientação corrigidos.
A Figura 6.14 apresenta a distribuição de freqüência original e corrigida da família de
descontinuidades 1 do Talude Sudeste da mina de Timbopeba, onde pode-se observar a
influência da correção dos erros de tendência com os dois métodos aqui descritos. O método
de Watugala et al., 1990, para amostragem em superfície (aplicado nesta tese) e o método de
Priest 1985 para amostragem por scanline, apresentado só com fins ilustrativos. Os gráficos
de correção por orientação, das demais famílias de descontinuidades, estão no Apêndice A
(Figuras A.1 a A.11).
Talude Sudeste
familia 1
Priest, 1985 Wathugala et al., 1990
Figura 6.14 Distribuição da freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do
Talude Sudeste.
134
6.4.2 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES
Fazendo uma análise estatística dos valores de orientação corrigidos, foram
calculados, para cada família de descontinuidades, os parâmetros de; orientação média, S* e
κ, segundo Mardia (1972) e como mostra a Figura 6.15 no histograma bivariacional dos dados
de orientação, corrigidos pelo método de superfície (Wathugala et al., 1990) da família 1 do
Talude Sudeste, existe uma concentração de dados numa região bem definida, justificando
assim adotar a distribuição de Fisher. Os demais histogramas bivariacionais das outras
famílias estão no Apêndice A (Figuras A.23 a A.33). A Tabela 6.5 mostra os parâmetros da
distribuição de Fisher obtidos para cada família.
Talude Sudeste familia1
Figura 6.15 Histograma bivariacional dos dados de orientação corrigidos da família 1 do
Talude Sudeste
A seguir foi realizado o teste de ajuste não paramétrico χ2, para a distribuição de
Fisher com os dados de orientação corrigidos. A Figura 6.16 mostra o ajuste para a família 1
do Talude Sudeste, os demais ajustes para as demais famílias de descontinuidades estão no
Apêndice A (Figuras A.34 a A.44). Estes resultados permitem adotar a distribuição de Fisher
(ou Normal Esférica) para a modelagem probabilística da orientação das descontinuidades.
135
Tabela 6.5 Valores estatísticos dos dados de orientação das famílias de descontinuidades
Região Família N Método Mergulho Dir Mergulho. S* κ
MÉDIA 50 47 0,015 63,87 P 50 47 0,009 102,07 1 59
W 49 49 0,012 80,99 MÉDIA 54 296 0,008 108,25
P 53 296 0,008 110,80 2 18
W 52 297 0,007 133,86 MÉDIA 59 155 0,013 64,96
P 58 155 0,013 62,43 3 11
W 56 155 0,014 59,91 MÉDIA 88 154 0,248 3,50
P 86 10 0,339 2,55
TSUD
10 15
W 48 80 0,239 3,62 MÉDIA 43 41 0,024 40,75
P 41 42 0,025 39,79 1 113
W 42 42 0,025 39,90 MÉDIA 73 162 0,010 95,52
P 73 159 0,011 83,79 2 41
W 72 160 0,010 92,23 MÉDIA 78 79 0,064 14,26
P 71 82 0,126 7,28
G11
10 24
W 68 81 0,056 16,40 MÉDIA 46 55 0,048 19,97
P 44 59 0,050 18,99 1 41
W 43 57 0,048 19,85 MÉDIA 86 139 0,079 10,18
P 75 113 0,078 10,31
G12
10 10
W 66 118 0,082 9,78 MÉDIA 49 42 0,023 38,80
P 48 42 0,024 36,29 G13 1 17
W 47 42 0,023 37,87 MÉDIA 49 37 0,022 40,40
P 47 42 0,022 41,13 TSUL 1 19
W 42 39 0,023 38,39 MÉDIA: dados originais; P: correção de Priest, 1985; W: correção de Wathugala et al., 1990
Para o teste de ajuste χ2 foi utilizada a distribuição de Fisher representada pela
seguinte relação:
( ) θκκκ
θκθ cossen eee
f −−= (6.12)
Onde:
κ - coeficiente de concentração e
136
θ - ângulo sólido entre a direção media e outra medida de direção esférica.
Para o teste se utilizou a distribuição acumulada de Fisher que define qual é a
probabilidade de ocorrer alguma descontinuidade dentro de um determinado ângulo sólido θ
para o parâmetro κ determinado, esta distribuição está representada por:
( ) ( )θκθ cos11 −−−=< eP (6.13)
Portanto com a distribuição acumulada dos dados de orientação observados e a
distribuição acumulada de Fisher se obtém a Figura 6.16, onde pode-se apreciar o bom ajuste
dos dados com a distribuição de Fisher.
TSUD-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30
θ (o)
P(<
)
Wathugala et al., 1990Fisher
Figura 6.16 Teste de ajuste não paramétrico χ2 da distribuição de Fisher para os dados de
orientação corrigidos da família 1 do Talude Sudeste.
Os resultados do teste de ajuste com cada uma das famílias de descontinuidades está
apresentado na Tabela 6.6, onde se pode apreciar que muitas das famílias se ajustam à
distribuição de Fisher. Para este teste foi adotada a hipótese nula H0: χ2 < χ2crítico onde χ2 é a
probabilidade acumulada dos dados observados (Tabela 2.3) e χ2crítico é a probabilidade
teórica da distribuição acumulada de χ2 para um nível de significância de α = 5% e graus de
liberdade ν = 7, assim o valor de χ2crítico é 14,07.
137
Tabela 6.6 Teste de ajuste χ2 dos dados de orientação com a distribuição de Fisher
Região Família N Método ν Χ2 χ2crítico
Aceita H0
MÉDIA 7 23,01 14,07 não P 7 9,80 14,07 sim 1 59
W 7 12,56 14,07 sim MÉDIA 7 9,74 14,07 sim
P 7 19,51 14,07 não 2 18
W 7 18,44 14,07 não MÉDIA 7 11,93 14,07 sim
P 7 13,77 14,07 sim 3 11
W 7 6,29 14,07 sim MÉDIA 7 11,78 14,07 sim
P 7 14,55 14,07 não
TSUD
10 15
W 7 15,53 14,07 não MÉDIA 7 20,14 14,07 não
P 7 10,41 14,07 sim 1 113
W 7 17,01 14,07 não MÉDIA 7 36,34 14,07 não
P 7 33,23 14,07 não 2 41
W 7 24,64 14,07 não MÉDIA 7 173,66 14,07 não
P 7 41,45 14,07 não
G11
10 24
W 7 45,49 14,07 não MÉDIA 7 16,08 14,07 não
P 7 9,12 14,07 sim 1 41
W 7 19,99 14,07 não MÉDIA 7 28,47 14,07 não
P 7 12,84 14,07 sim
G12
10 10
W 7 22,94 14,07 não MÉDIA 7 6,81 14,07 sim
P 7 8,98 14,07 sim G13 1 17
W 7 10,76 14,07 sim MÉDIA 7 12,06 14,07 sim
P 7 40,79 14,07 não TSUL 1 19
W 7 25,19 14,07 não MÉDIA: dados originais; P: correção de Priest, 1985; W: correção de Wathugala et al., 1990; ν: graus de liberdade
6.5 TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES
A medida do comprimento dos traços das descontinuidades foi realizada por Durand,
(1995), para cada bancada e para cada sub-região. Nesse levantamento algumas
descontinuidades apresentam a descrição do traço padronizada pela Associação Internacional
para Mecânica das Rochas (ISRM, 1978). Onde, por exemplo, o valor de 8dx significa um
138
traço com comprimento de 8 m, com um extremo não visível ou fora do limite da janela de
amostragem (altura ou comprimento da bancada) e o outro extremo terminando na interseção
com outra descontinuidade.
Para traços com ambos extremos não visíveis, o comprimento foi calculado
indiretamente com aplicação da análise vetorial, considerando o tamanho de cada bancada
(altura H e comprimento W), a orientação da descontinuidade e a orientação do plano de
amostragem, obtendo assim dados aproximados de traço. Histogramas, dos dados de
comprimento do traço (Figura 6.17) foram ajustados para as distribuições: Normal,
Lognormal, Exponencial Negativa e Gamma, os histogramas com seus respectivos ajustes de
curva para cada família de descontinuidades estão no Apêndice B (Figuras B.1 a B.11). A
Tabela 6.7 mostra os resultados do ajuste de curva, com os testes K-S e χ2, para cada família
de descontinuidades e a distribuição que melhor se ajustou ressaltada em negrito, a qual
posteriormente será adotada para a análise probabilística. Para o teste K-S foi calculada a
diferença máxima d com a Equação 2.29 e a Probabilidade P com a Equação 2.30. O teste χ2
calcula a Probabilidade P para o valor de χ2 observado (Tabela 2.3). A distribuição de
probabilidade com maior probabilidade de teste P, ou menor valor de d ou χ2 foi escolhida
como a distribuição de probabilidade que melhor se ajusta aos dados observados.
Expected
Variable TSUD_1 ; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0728350, p = n.s.
Chi-Square: 5,309008, df = 4, p = ,2570605 (df adjusted)
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
Figura 6.17 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste
139
Tabela 6.7 Resultados dos teste de ajuste não paramétricos (χ2 e K-S) dos dados de
comprimento do traço.
Kolmogorov-Smirnov χ2 Região Família Distribuição d P χ2 df P
Normal 0,102 n.s. 7,065 5 0,2158896 Lognormal 0,075 n.s. 5,719 4 0,2211863 Exponential 0,459 < 0,01 146,507 5 0
1
Gamma 0,073 n.s. 5,309 4 0,2570606 Normal 0,121 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,105 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,538 < 0,01 ------ 0 1
2
Gamma 0,106 n.s. ------ 0 1 Normal 0,239 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,236 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,586 < 0,01 ------ 0 1
3
Gamma 0,227 n.s. ------ 0 1 Normal 0,122 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,101 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,454 < 0,01 ------ 0 1
TSUD
10
Gamma 0,099 n.s. ------ 0 1 Normal 0,152 < 0,05 63,283 10 0 Lognormal 0,132 < 0,05 56,015 10 0 Exponential 0,566 < 0,01 689,186 3 0
1
Gamma 0,139 < 0,05 59,698 10 0 Normal 0,182 < 0,15 6,609 1 0,0101484 Lognormal 0,168 < 0,20 5,366 1 0,0205428 Exponential 0,612 < 0,01 ------ 0 1
2
Gamma 0,171 < 0,20 5,581 1 0,0181634 Normal 0,157 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,154 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,621 < 0,01 ------ 0 1
G11
10
Gamma 0,151 n.s. ------ 0 1 Normal 0,200 < 0,10 19,181 3 0,0002515 Lognormal 0,181 < 0,15 20,977 2 0,000028 Exponential 0,576 < 0,01 248,852 1 0
1
Gamma 0,188 < 0,15 22,089 2 0,000016 Normal 0,219 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,230 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,581 < 0,01 ------ 0 1
G12
10
Gamma 0,222 n.s. ------ 0 1 Normal 0,178 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,177 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,587 < 0,01 ------ 0 1
G13 1
Gamma 0,184 n.s. ------ 0 1 Normal 0,181 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,204 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,272 < 0,20 ------ 0 1
TSUL 1
Gamma 0,175 n.s. ------ 0 1 d: diferença máxima; P: probabilidade; df: graus de liberdade
140
6.5.1 CORREÇÃO DE ERROS DE TENDÊNCIA DO COMPRIMENTO DO TRAÇO
O cálculo do traço médio considerando uma superfície de amostragem infinita e
levando em conta a correção dos erros de tendência (truncamento e censura), foi dividido em
dois tipos, para comprimentos de traços amostrados, usando linhas de amostragem ou
scanlines (Cruden, 1977 e Priest & Hudson, 1981) e para comprimentos de traço amostrados
em superfície (Kulatilake & Wu, 1984).
Segundo Cruden (1977) e Priest & Hudson (1981), o cálculo do traço médio,
considerando a medida do comprimento dos traços utilizando linhas de amostragem e a
correção dos erros de tendência (truncamento e censura), podem ser calculados para
comprimentos de traços semicensurados ou seja traços com uma extremidade visível e a outra
não visível. Defini-se assim a proporção numérica da interseção de descontinuidades com
traços semicensurados menores que o limite de amostragem c (altura máxima da janela de
amostragem) como r/n, onde r é o número total de descontinuidades com semitraços menores
que c e n o número total de medidas, considerando que os dados de traço não corrigidos,
seguem uma distribuição exponencial negativa, pode-se definir que:
cenr µ−−=1 ou cen
rn µ−=− (6.14)
Onde µ é a freqüência média do traço ( l1=µ , l é o traço médio) e em conseqüência
se obtém a seguinte relação para uma distribuição exponencial negativa:
c
nrn
−
−=
lnµ (6.15)
Outra aproximação para o comprimento médio do traço semicensurado, considerando
também uma distribuição exponencial negativa, assume que a média dos traços
semicensurados tem a seguinte relação:
( )( )c
c
i ece
µ
µ
µµ −
−
−−=
111 (6.16)
141
Onde µi é a freqüência média do semitraço (µi = 1/li, li é o semitraço médio),
substituindo a Equação 6.14 na Equação 6.16 chegamos à seguinte relação para o traço médio.
−
+=
nrncli
1µ (6.17)
As Equações 6.15 e 6.17 foram desenvolvidas considerando que o comprimento dos
traços tem uma distribuição exponencial negativa mas de duas perspectivas diferentes. Para
obter o valor do traço médio l bastará calcular a inversa de µ das Equações 6.15 e 6.17 aqui
denominadas de l1 = 1/µ1 e l2 = 1/µ2, respectivamente. A Figura 6.18 mostra o cálculo de µ1 e
µ2 (freqüência média para uma distribuição do traço exponencial negativa) l1 e l2 com a
variação do limite de amostragem c, para a família 1 do Talude Sudeste, o cálculo de µ1, µ2, l1, e l2 para as demais famílias de descontinuidades estão no Apêndice B (Figuras B.12 a
B.22). A Tabela 6.8 mostra os comprimentos de traço médio obtido para cada família de
descontinuidades.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0 20 40 60 80 100
c (m)
m-1
)
µ1
µ2
0
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60 80 100
c (m)
l (m
)
l1l2
(a) (b)
Figura 6.18 Comprimento de traço médio para a família 1 do Talude Sudeste: (a) Freqüência
média; (b) Comprimento médio.
Os dados obtidos na Tabela 6.8 para os Taludes Sudeste e Sul tem que ser
multiplicados por um fator de proporção que represente sua altura verdadeira e não as das
bancadas separadamente.
142
Tabela 6.8 Freqüência e traço médio das famílias de descontinuidades considerando
amostragem por scanline.
Região Família c (m) r li µ1 µ2 l1 (m) l2 (m) 1 84,5 59 24,47 0,05 0,04 19,74 24,47 2 36 18 27,73 0,09 0,04 11,76 27,73 3 36,25 11 28,30 0,05 0,04 20,38 28,30
TSUD
10 55,4 15 26,76 0,05 0,04 19,65 26,76 1 6,08 113 3,99 0,57 0,25 1,77 3,99 2 4,925 41 2,87 0,77 0,35 1,29 2,87 G11
10 4,011 22 2,89 0,62 0,31 1,61 3,26 1 6,852 41 4,30 0,45 0,23 2,20 4,30 G12
10 10,1 10 3,88 0,24 0,26 4,21 3,88 G13 1 4,89 17 3,54 0,61 0,28 1,65 3,54
TSUL 1 482,3 19 114,96 0,01 0,01 155,31 114,96
Segundo Kulatilake & Wu (1984) o cálculo do traço médio de dados amostrados numa
superfície vertical infinita, pode-se obter com a seguinte relação:
( )
( )( )hAwBRRRRwh
l++−
−+=
20
20
11
(6.18)
( ) 2122 costan1
1cosδθ
θ+
== AA ; ( ) 2122 seccot1
1senδθ
θ+
== AB (6.19)
Onde w e h são as dimensões da janela retangular de amostragem (w é a base e h a
altura), R0 e R2 são a quantidade relativa de dados de traço censurados (sem nenhuma
extremidade visível) e não censurados (com ambas extremidades visíveis) respectivamente, θ
e δ são os ângulos de mergulho da descontinuidade e o ângulo entre os planos da
descontinuidade média e o plano de amostragem respectivamente.
Este cálculo depende, principalmente, do tamanho da janela (w e h) e da quantidade de
dados censurados e não censurados, não considerando assim nenhuma medida de
comprimento do traço. Neste trabalho o tamanho da maioria das janelas de amostragem
(bancadas) é menor que o comprimento médio dos traços, sendo assim o valor de R2 é muito
baixo, fornecendo assim valores muito grandes para a média do traço.
Por outro lado a Equação 6.18 permite calcular o comprimento do traço médio numa
superfície infinita para o caso de janelas de amostragem unicamente verticais, fato que limita
para uma aproximação os resultados do caso de estudo. A Tabela 6.9 mostra os resultados
obtidos de traço médio aproximado para as diferentes famílias de descontinuidades e as
143
Tabelas 5.1 e 5.2 apresentam os resultados do traço médio num plano infinito para qualquer
inclinação da superfície de amostragem desenvolvido no capítulo 5 superando assim as
limitações do modelo original de Kulatilake & Wu (1984).
Tabela 6.9 Traço médio para um plano infinito considerando amostragem por superfície.
Região Família R0 R2 w h δ Cós(θA) sen(θA) l (m) 1 0,85 0,15 112,5 26,63 89,81 1 0 614,96 2 0,83 0,17 105 26,63 13,82 0,63 0,78 141,88 3 0,82 0,18 82,5 25,04 18,52 0,58 0,81 113,82
TSUD
10 0,8 0,2 107,5 24,04 56,86 0,86 0,52 135,76 1 0,99 0,01 70 2,5 11,55 0,75 0,66 409,48 2 0,98 0,02 70 2,5 50,07 0,46 0,89 110,4 G11
10 0,96 0,04 70 2,5 51,2 0,54 0,84 66,63 1 0,98 0,02 70 2,5 26,97 0,77 0,64 150,42 G12
10 0,9 0,1 70 2,5 88,49 1 0,06 239,72 G13 1 0,94 0,06 70 2,5 12,01 0,68 0,73 53,04
TSUL 1 0,89 0,11 375 269,13 87,25 1 0,04 3006,49
6.5.2 DIÂMETRO DA DESCONTINUIDADE
Para inferir o diâmetro da descontinuidade (ou tamanho da descontinuidade), utilizam-
se os conceitos de probabilidade geométrica (Kendall & Moran, 1963; Santoló, 1976 e
Langevin, 1997) onde é definida a relação entre a distribuição de probabilidade do
comprimento do traço da descontinuidade e a distribuição de probabilidade do diâmetro da
descontinuidade, ou seja a inferência de um parâmetro bidimensional a partir de um
unidimensional. Como o modelo utilizado é para um disco circular bastará representar a
distribuição de probabilidade de seu diâmetro.
Para o cálculo do diâmetro a partir do comprimento do traço corrigido, são
apresentadas formulações por Beacher et al. (1977) e Kulatilake & Wu (1986). Estes últimos
apresentaram a seguinte formulação matemática. Considerando a função de probabilidade
para os dados corrigidos de comprimento do traço f(x,I), antes calculada, para um plano
vertical infinito, onde I é o evento de interseção da descontinuidade com o plano de
amostragem e x é o comprimento do traço resultante, então para o modelo do disco circular, a
função de probabilidade para o diâmetro será g(D). Onde g(D) está relacionada com f(x,I)
através da seguinte função:
144
(6.20) ( ) ( ) ( ) ( )dDDgDIPIDxfIxfx
| ,|, ∫∞
=
Onde P(I|D) é a probabilidade condicional de que a descontinuidade intercepte o plano
vertical de amostragem quando seu diâmetro seja D. Esta probabilidade pode ser representada
por uma constante de proporcionalidade C como demonstra Kulatilake & Wu (1986).
Segundo Kendall & Moran (1963) f(x|D,I) é a densidade de probabilidade do comprimento do
traço x, quando seu diâmetro é D e tem interseção I. Ela será dada pela Equação 3.93 aqui
reproduzida novamente como:
( )( ) 2122
,|xDD
xIDxf−
= (6.21)
Substituindo na primeira equação e aplicando as condições de contorno respectivas
para cada uma, se obtém a seguinte equação:
( )( )
dDDgxD
xC
Ixfx
)( 1, 2122∫∞
−= (6.22)
Onde C é a constante de proporcionalidade da probabilidade de interseção do disco de
diâmetro D com o plano de amostragem vertical. Integrando a equação e resolvendo
numericamente, a probabilidade para que o traço x esteja entre xj-1 e xj, j = 1, 2, 3, ... n, será
obtida pela seguinte equação:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dDDgdxxD
xC
dDDgdxxD
xC
dxIxf j
j jj
j
j
j
j
x
x
D
xx
x
x
x
x 1 1 ,
1 11121222122 ∫ ∫∫ ∫∫
− −−−
−+
−=
∞
(6.23)
Escrevendo a equação anterior de forma discretizada se obtém:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] (∑+=
−−− −+−−−=
+ n
jijjjijiji
jj DPxDC
DPxDxDC
Ixx
P1
2121
221222121
21 1 1,2
) (6.24)
145
njxx
D jjj ... ,3 ,2 ,1 e
21 =
+= − (6.25)
Desta forma tem-se um sistema de equações simultâneas que pode ser resolvido
numericamente para obter os valores de P(D1), P(D2), ... P(Dn) que constituem a
representação discretizada de g(D). Diferentes valores da constante C devem ser testados,
para resolver o sistema de equações, até que o correto valor de C resulte em:
(6.26) ( ) 11
=∑=
n
iiDP
A Figura 6.19 mostra a probabilidade discretizada P(Dj), a função de densidade de
probabilidade do diâmetro g(D) e também o valor do diâmetro médio D para a família 1 do
Talude Sudeste, as demais famílias estão apresentadas no Apêndice B (Figuras B.23 a B.33).
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 20 40 60 80 100
D (m)
P(D
) P(Dj)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 20 40 60 80 100
D (m)
g(D
) g(Dj)
D
Figura 6.19 Distribuição de probabilidade discretizada do diâmetro P(D), a função de
probabilidade do diâmetro g(D) e média D , da família 1 do Talude Sudeste.
6.6 ESPAÇAMENTO DAS DESCONTINUIDADES
O espaçamento das descontinuidades é a distância perpendicular aos planos de duas
descontinuidades consecutivas pertencentes, da mesma família. Este valor não é diretamente
obtido em campo já que o plano de amostragem não é sempre perpendicular aos planos das
descontinuidades. Por tal motivo é necessário obter o espaçamento real antes de realizar
qualquer análise.
O espaçamento real er pode ser calculado com ajuda da análise vetorial onde o
espaçamento aparente ea é projetado num plano perpendicular à família da descontinuidade,
146
este processo é realizado com o produto escalar de dois vetores, considerando então nd o vetor
unitário normal ao plano da descontinuidade e ne o vetor unitário na direção de medida do
espaçamento aparente ea e θ o ângulo entre os dois vetores, então temos que o ângulo θ será
tirado da seguinte relação: nd . ne = cosθ e por tanto a projeção de ea no plano perpendicular a
descontinuidade será: θcosar e=e . Este procedimento foi aplicado a todos os dados de
espaçamento medidos.
6.6.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA E DENSIDADE LINEAR DAS
DESCONTINUIDADES
A estimativa do espaçamento médio ou a freqüência linear média (inversa do
espaçamento médio) são baseadas em medidas realizadas em linhas de amostragem finitas,
mesmo que medidas de espaçamento não tendencioso devam ser tomadas de linhas de
amostragem infinitas. Sen & Kazi (1984) e Kulatilake (1988 e 1993) trataram este problema e
apresentaram um procedimento para corrigir este erro de tendência para o espaçamento médio
que segue uma distribuição exponencial negativa, onde E’(x) é o espaçamento médio baseado
no comprimento finito da linha de amostragem L e o espaçamento médio 1/λ, é baseado num
comprimento infinito da linha de amostragem. Portanto, o espaçamento médio E’(x) e a
percentagem de erro relativo α do espaçamento médio estimado, estão definidos como:
( ) ( )( )
+−
−=′ −
−L
L eLe
xE λλ λ
λ11
111 ,
( )
′−=
λ
λα1
1
100xE
(6.27)
Aplicando esta correção por tendência para espaçamentos medidos na faixa de 0,12 m
a 0,20 m e comprimentos de linha de amostragem maior ou igual a 5,0 m (dimensão da janela
mínima adotada por Durand, 1995), o erro é praticamente desprezível, considerando assim a
não existência de erros por tendência nos dados utilizados. Os resultados de espaçamento
médio são apresentados na Tabela 6.10 de amostragem por scanline.
147
Tabela 6.10 Espaçamento médio e densidade linear corrigidos para cada família de
descontinuidades
Amostragem por scanline Amostragem superficial
Região Família N-esp µ E’(x) N-traço l m n ΣP0 ΣP1 λa
1 ---- 0,14 0,14 59 1 1 57 0,938 57,878 1,0138
2 ---- 0,14 0,14 18 3 1 14 1 14,05 1,003
3 ---- 0,14 0,14 11 2 2 7 1,999 7,003 1,000 TSUD
10 ---- 0,14 0,14 15 7 1 7 0,947 7,149 1,006
1 110 0,16 0,16 113 0 0 113 0 113,283 1,003
2 ---- 0,14 0,14 41 0 0 41 0 41,001 1,000 G11
10 ---- 0,14 0,14 22 0 0 22 0 26,505 1,104
1 34 0,08 0,08 41 0 0 41 0 41,345 1,008 G12
10 6 0,08 0,08 10 0 0 10 0 10,385 1,038
G13 1 13 0,05 0,05 17 0 0 17 0 17,002 1,000
TSUL 1 8 0,16 0,16 19 0 1 19 0,820 25,414 1,381
Com os dados disponíveis de espaçamento foi obtido o histograma para a
família 1 da Galeria 11, como mostra a Figura 6.20, juntamente foi desenhada a função de
probabilidade que mais se ajusta à distribuição dos dados. Os histogramas de espaçamento
para as demais famílias estão no Apêndice C nas Figuras C.1 a C.5 onde as famílias 1, 2, 3 e
10 do Talude Sudeste e as famílias 2 e 10 da Galeria 11 não têm registros de medidas de
espaçamento, motivo pelo qual foi adotado um espaçamento médio de 0,14 m que está
registrado nos documentos das visitas em campo destas regiões. A Tabela 6.11 mostra os
resultados do teste de ajuste de curva K-S e χ2 para o espaçamento corrigido com as funções
Normal, Lognormal, Exponencial negativa e Gamma. Para o teste K-S foi calculada a
diferença máxima d com a Equação 2.29 e a Probabilidade P com a Equação 2.30. O teste χ2
calcula a Probabilidade P para o valor de χ2 observado (Tabela 2.3). A distribuição de
probabilidade com maior probabilidade de teste P, ou menor valor de d ou χ2 foi escolhida
como a distribuição de probabilidade que melhor se ajuste aos dados observados.
148
Expected
Variable G11_1 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,2593353, p < ,01
Chi-Square: 270,6567, df = 7, p = 0,000000 (df adjusted)
Espaçamento (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,0800,102
0,1230,145
0,1660,188
0,2090,231
0,2520,274
0,2950,317
0,3380,360
Figura 6.20 Histograma do espaçamento, família 1 do Talude Sul, ajustada à função
Lognormal.
Tabela 6.11 Resultado dos teste de ajuste de curva para as distribuições do espaçamento das
descontinuidades de cada família.
Kolmogorov-Smirnov Chi-Square: Região Fam. Distribuição d P χ2 df P
Normal 0,302 < 0,01 277,1229 7 0 Lognormal 0,259 < 0,01 270,6567 7 0 Exponential 0,436 < 0,01 432,1913 6 0
G11 1
Gamma 0,276 < 0,01 263,0852 7 0 Normal 0,366 < 0,01 52,49634 2 0 Lognormal 0,343 < 0,01 12,6721 2 0,0017735 Exponential 0,410 < 0,01 72,41378 2 0
G12 1
Gamma 0,356 < 0,01 12,94788 2 0,0015452 Normal 0,296 n.s. ------ 0 --- Lognormal 0,304 n.s. ------ 0 --- Exponential 0,230 n.s. ------ 0 ---
10
Gamma 0,323 n.s. ------ 0 --- Normal 0,293 < 0,20 ------ 0 --- Lognormal 0,231 n.s. ------ 0 --- Exponential 0,214 n.s. ------ 0 ---
G13 1
Gamma 0,260 n.s. ------ 0 --- Normal 0,391 < 0,15 ------ 0 --- Lognormal 0,391 < 0,15 ------ 0 --- Exponential 0,292 n.s. ------ 0 ---
TSUL 1
Gamma 0,406 < 0,15 ------ 0 ---
Para o caso de amostragem de espaçamento em superfície, Kulatilake & Wu (1984),
apresentam uma correção por erros de tendência, este método considera a densidade que é
149
definida como o número de pontos médios dos traços por unidade de área da superfície de
amostragem. É calculada a probabilidade que o ponto médio C, do traço, esteja dentro da
janela de amostragem e depois esta é usada como fator de correção (ou peso) para calcular a
densidade do traço.
A probabilidade que o ponto médio C, de um traço, intersecte a janela de amostragem
e ao mesmo tempo apresente só uma extremidade visível será P1(W) definida por:
( )( )
( )∫∫
∞=
a
a
a
dxxf
dxxfWP
2
1 (6.28)
Onde f(x) é a densidade de probabilidade do traço e a é o comprimento da interseção.
A probabilidade que o ponto médio C esteja dentro da janela de amostragem,
considerando traços sem nenhuma extremidade visível será P0(W) e aplicando a probabilidade
geométrica, se obtém a seguinte relação:
( )( )
( )( )
( )∫∫
∫∫
∞
∞
∞+
−=
a
a
a
a
a
dxxfdxxf
dxxfax
a
dxxfWP
2
20
1
1 (6.29)
Onde as integrais podem ser calculadas numericamente. Finalmente o número médio
corrigido de traços por unidade de área será λa e pode ser calculado com a seguinte relação:
( )[ ] ( )[ ]
nml
CPCPln
jj
n
ii
a ++
++=
∑∑== 1
01
1
λ (6.30)
Onde l é o número de traços com ambos extremos visíveis, m o número de traços com
um extremo visível e n o número de traços sem nenhum extremo visível.
Esta densidade corrigida de amostragem em superfície foi calculada para cada família
de descontinuidades, aplicando a integração numérica para as funções de probabilidade
correspondentes, os resultados obtidos de amostragem em superfície são apresentados na
Tabela 6.10.
150
6.6.2 DENSIDADE VOLUMÉTRICA DAS DESCONTINUIDADES
Oda (1982) tem expressado o número de descontinuidades circulares que interceptam
um comprimento unitário da linha de amostragem i (scanline), quando a orientação da
descontinuidade n (vetor unitário normal ao plano da descontinuidade), é independente da sua
dimensão r (raio do círculo). Levando em conta uma família de descontinuidades j na direção
normal ao plano médio da família, pode-se determinar a densidade volumétrica desta família
(λv)j, com a seguinte relação:
( )( )
( ) ( )i
jijv nEDE 2
4π
λλ = (6.31)
Onde (λi)j é a densidade ou freqüência linear da família j na direção da linha de
amostragem i, E(.) é o valor esperado da função entre parênteses, D é o diâmetro da
descontinuidade e ni é o produto escalar do vetor n com o vetor unitário na direção da linha de
amostragem i (ni = n · i).
Então para amostragem linear com scanline, a densidade de descontinuidades em 3D
do maciço será a somatória das densidades volumétricas de todas as famílias de
descontinuidades presentes no maciço, como:
(6.32) ( )∑=
=n
jjvVT
1λλ
Para amostragem do espaçamento em superfície, existe outro procedimento descrito
por Kulatilake (1993), que relaciona a densidade de descontinuidades média em 2D (número
médio de centros de descontinuidades por unidade de área) e a intensidade média da família
de descontinuidades em 3D. Assim para estimativa da densidade em 3D de cada família de
descontinuidades é usada a seguinte equação:
( ) ( )( ) vEDE
EE av sen
λλ = (6.33)
Onde λa é a densidade de descontinuidades em 2D, D é o diâmetro da descontinuidade
e v é o ângulo entre o plano da descontinuidade e o plano de amostragem.
151
Os resultados destes dois procedimentos, tanto para amostragem por scanline como
para superfície estão na Tabela 6.12, onde pode-se apreciar uma grande diferença nos
resultados, mostrando assim uma pouca consistência no cálculo deste parâmetro.
Com a caracterização deste último parâmetro, a geometria da descontinuidade está
quase completa, incluindo a caracterização da orientação, o diâmetro e a densidade
volumétrica.
Tabela 6.12 Densidade 3D das famílias de descontinuidades (scanline e superficial).
Amostragem por scanline Amostragem por superfície
Região Família N-esp µ λl E(D2) E(|n.i|) λv λ VT N-traço E(λα) E|senv| E(λν) λVT
1 ---- 0,14 6,67 595,38 0,075 0,190 59 1,014 0,756 0,055
2 ---- 0,14 6,67 807,99 0,751 0,014 18 1,003 0,788 0,045
3 ---- 0,14 6,67 839,84 0,761 0,013 11 1 0,828 0,042 TSUD
10 ---- 0,14 6,67 654,00 0,562 0,023 0,240 15 1,006 0,741 0,053 0,194
1 110 0,16 6,25 16,77 0,635 0,770 113 1,003 0,664 0,368
2 16 0,14 7,14 8,83 0,621 1,659 41 1 0,95 0,354 G11
10 15 0,14 7,14 11,12 0,589 1,389 3,819 22 1,104 0,929 0,357 1,079
1 34 0,08 12,50 18,53 0,576 1,528 41 1,008 0,68 0,344 G12 10 6 0,08 12,50 11,55 0,703 1,998 3,526 10 1,038 0,912 0,335 0,680
G13 1 13 0,05 20,00 13,20 0,7 2,654 2,654 17 1 0,737 0,373 0,373 TSUL 1 8 0,16 6,25 2948,34 0,086 0,032 0,032 19 1,381 0,975 0,038 0,038
6.6.3 NÚMERO DE DESCONTINUIDADES
O número médio de descontinuidades representa à densidade volumétrica da
descontinuidade, antes calculada, então o número médio de descontinuidades é obtido
multiplicando a densidade volumétrica de cada família de descontinuidades pelo volume
correspondente ao maciço analisado. Este volume é calculado com relação às dimensões da
janela de amostragem (W, H) e do diâmetro máximo (Dmax) presente no maciço (Tabela 6.13):
( )( )2maxmax 33 DHDWVolume ++= (6.34)
O fato de acrescentar em 3 vezes Dmax as dimensões da janela é para garantir prováveis
descontinuidades com centros de disco fora da janela de amostragem. Nesta tese foram
considerados volumes menores considerando somente as dimensões da janela de amostragem,
152
assim como também densidades mínimas das descontinuidades, com objetivo de diminuir o
número de descontinuidades a ser geradas nos arquivos de representação visualização gráfica.
Tabela 6.13 Número médio de descontinuidades para amostragem por scanline e por
superfície
Scanline Superfície
Região Família W H Dmax Volume λv N (desc.) E(λn) N (desc.)
1 112,50 26,63 24,40 1850769 0,190 488183 0,055 141340
2 105,00 26,63 28,43 2382797 0,014 35963 0,045 115130
3 82,50 25,04 28,98 2124795 0,013 34157 0,042 107236 TSUD
10 107,50 24,04 25,57 1870370 0,023 59373 0,053 136564
1 70,00 2,50 4,10 17988 0,770 13859 0,368 6627
2 70,00 2,50 2,97 10279 1,659 29845 0,354 6375 G11
10 70,00 2,50 3,33 12506 1,389 24986 0,357 6414
1 70,00 2,50 4,30 19695 1,528 30087 0,344 6784 G12 10 70,00 2,50 3,40 12927 1,998 39352 0,335 6601
G13 1 70,00 2,50 3,63 14530 2,654 38555 0,373 5425
TSUL 1 156,58 79,63 54,30 18790808 0,032 594888 0,038 708071
6.7 MODELAGEM PROBABILÍSTICA DA DESCONTINUIDADE EM 3D
A geração do modelo será feita com base no volume que representa a janela de
amostragem utilizada em campo, a profundidade deste volume é determinada em função da
menor dimensão da janela de amostragem e o diâmetro máximo calculado das famílias de
descontinuidades correspondentes. Posteriormente, são modelados para cada família de
descontinuidades os seguintes parâmetros: (a) Número de descontinuidades, considerando
uma distribuição de probabilidade de Poisson e uma média da densidade volumétrica antes
calculada; (b) Localização dos centros (x, y, z) das descontinuidades consideradas como
discos planos, utilizando uma distribuição de probabilidade uniforme, o número de
descontinuidades e as dimensões do volume do modelo; (c) Orientação das descontinuidades
em função da distribuição bi-variacional normal do mergulho e direção de mergulho com os
parâmetros de média e desvio antes calculados e (d) Diâmetro das descontinuidades em
função da distribuição de probabilidade correspondente para cada família. Todos estes
parâmetros foram modelados aplicando o método de Monte Carlo onde foram rodadas entre
50 a 60 iterações, monitorando o resultado das diferenças entre os parâmetros de média,
153
desvio padrão e coeficiente de correlação de cada rodada do modelo com os parâmetros
adotados.
O método de Monte Carlo é a técnica mais utilizada para a geração de valores
aleatórios X de uma determinada distribuição de probabilidade, este método utiliza a
distribuição de probabilidade acumulada, que por definição varia entre 0 e 1, para qualquer
variável contínua uniformemente distribuída. Por conseguinte, se for gerado um valor
aleatório, RU, de 0 a 1, o valor da variável X pode ser calculado da inversa da distribuição de
probabilidade acumulada, desde que se suponha que o valor de RU gerado seja igual à
distribuição de probabilidade acumulada. Este procedimento é repetido a maior quantidade de
vezes possíveis para assim gerar a quantidade de valores X necessários que representem a
distribuição de probabilidade selecionada. Resumindo em alguns passos: (1) geração do valor
aleatório RU entre 0 e 1, (2) supor que o valor RU é da distribuição de probabilidade
acumulada escolhida e (3) calcular o valor inverso da distribuição de probabilidade ou seja o
valor da variável X simulada, que corresponde ao valor da distribuição de probabilidade
acumulada adotada.
6.8 MODELAGEM DO NÚMERO DE DESCONTINUIDADES
Foi adotada a distribuição de Poisson, como a distribuição que modela o
comportamento do número de descontinuidades, por causa de ser unimodal e trabalhar com
dados discretos, Para esta distribuição foi adotada a média igual a média do número das
descontinuidades, antes calculada e o desvio padrão igual a raiz quadrada da média, tendo
assim definida a distribuição de probabilidade. Posteriormente aplicou-se o método de Monte
Carlo para modelar o número de descontinuidades, considerando 50 valores de número de
descontinuidades e variando o conjunto de valores de 50 a 60 vezes até achar o conjunto de
valores com média e desvio padrão mais próximos dos parâmetros da distribuição adotada. A
Figura 6.21 mostra o histograma obtido com o modelo para o número de descontinuidades da
família 10 da Galeria 11, os histogramas das demais famílias de descontinuidades estão no
Apêndice D nas Figuras D.1 a D.11. As médias das distribuições modeladas são quase as
mesmas das médias das distribuições adotadas para o modelo, finalmente foram escolhidas as
médias iniciais.
154
Expected
Variable G11_10 ; distribution: Poisson l = 197,16Kolmogorov-Smirnov d = ,0292927, p = n.s.Chi-Square: 1,812538, df = 5, p = ,8744235
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240
Figura 6.21 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 11.
6.9 MODELAGEM DA LOCALIZAÇÃO DOS CENTROS DAS
DESCONTINUIDADES
Para a modelagem dos centros das descontinuidades foram consideradas as dimensões
do volume (comprimento em x, largura em y e altura em z) e a distribuição de probabilidade
Uniforme devido a que na determinação do número já está entendido o espaçamento das
descontinuidades e a distribuição uniforme permitirá colocar as descontinuidades de forma a
manter este espaçamento. Para esta modelagem foram gerados pontos de localização (x, y, z)
dos centros das descontinuidades aplicando o método de Monte Carlo com uma distribuição
de probabilidade Uniforme, uma quantidade de valores, igual ao número de descontinuidades
antes definido para cada família. Novamente foram testados vários conjuntos de valores
gerados aleatoriamente até achar o conjunto que melhor se ajuste a distribuição adotada. A
Figura 6.22 mostra o modelo gerado para a localização em x da família 1 do Talude Sudeste
ajustada com a Distribuição Uniforme, alguns modelos de localização dos centros das
descontinuidades estão no Apêndice D nas Figuras D.12 até D.23.
155
Expected
Variable TSD_1_X ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1052632, p < ,10
Chi-Square: 55,60811, df = 17, p = ,0000055
Posição em x
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura 6.22 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste.
6.10 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES
A orientação das descontinuidades foi caracterizada estatisticamente com a
distribuição de Fisher ou distribuição Normal Esférica. Esta distribuição pode ser também
representada por uma distribuição bi-variacional normal ou seja as duas distribuições de
probabilidade normais para cada parâmetro de orientação (mergulho e direção de mergulho).
Para cada uma das variáveis foi calculado, o parâmetro de média e desvio padrão da
distribuição normal assim como também a covariância e o coeficiente de correlação das duas
variáveis.
A simulação começa com a variável X (mergulho), onde primeiramente é gerado um
valor aleatório RU entre 0 e 1, este valor é assumido como a probabilidade normal acumulada
para a variável X (com parâmetros µX, σX ), finalmente com o cálculo da inversa da
distribuição de probabilidade normal é obtido o valor de mergulho x. Para a simulação da
variável Y (direção de mergulho) primeiramente é gerado outro valor aleatório RU entre 0 e 1
o qual também é assumido como a probabilidade normal acumulada da variável Y com a
diferença de que esta distribuição de probabilidade normal tem novos parâmetros de media
E(Y|X=x) e variância Var(Y|X=x) calculados em função do valor x, com as Equações 6.35 e
6.36, finalmente com o cálculo da inversa desta nova distribuição de probabilidade normal é
obtido o valor y de direção de mergulho. Desta forma foram gerados tantos pares de dados x, y
quanto o número de descontinuidades para cada família e ao mesmo tempo foram gerados
vários conjuntos de dados diferentes até achar o que melhor se ajuste à distribuição adotada.
156
( ) ( )( )XXYY xxXYE µσσρµ −−==| (6.35)
( ) ( )22 1| ρσ −== YxXYVar (6.36)
Onde:
µX, σX – são a média e desvio padrão do mergulho
µY, σY – são a média e desvio padrão da direção de mergulho
ρ - é o coeficiente de correlação,
A Figura 6.23 mostra a distribuição bi-variacional dos dados medidos e modelados do
Talude Sudeste para uma quantidade de dados igual a quantidade dos dados observados, com
o objetivo de poder fazer uma comparação visual dos dados observados com os modelados, os
histogramas bivariacionais das demais regiões estão no Apêndice D, Figuras D.23 a D.28.
Assim mesmo a Figura 6.24 e a Figura 6.25 mostram as projeções estereográficas de igual
área dos dados de orientação observados e modelados do Talude Sudeste respectivamente, os
estereogramas das demais regiões estão no Apêndice D, Figuras D.29 a D.38.
Talude Sudeste (dados observados) Talude Sudeste (dados modelados)
Figura 6.23 Histograma bivariacional de orientação dos dados observado e modelados do
Talude Sudeste
157
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 4Contour Interval = 4Max.Concentration = 25.5
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
103 Poles Plotted103 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUDESTE (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
Figura 6.24 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 3.5Contour Interval = 3.5Max.Concentration = 23.9
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
103 Poles Plotted103 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUDESTE MODELO (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES
Figura 6.25 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste
158
6.11 MODELAGEM DO DIÂMETRO DAS DESCONTINUIDADES
Os diâmetros para cada família das descontinuidades foram modelados com base em
sua respectiva distribuição de probabilidade antes definida (Normal, Lognormal, Exponencial
negativa ou Gamma), aplicando o método de Monte Carlo. Este procedimento, ao igual que os
anteriores, consistiu em primeiramente gerar um valor aleatório RU entre 0 e 1, este valor foi
assumido como a probabilidade acumulada da variável, posteriormente com o cálculo da
inversa da distribuição de probabilidade acumulada, para o valor de probabilidade adotado,
foi obtido o valor de diâmetro para a família de descontinuidades correspondente. Estes dados
de diâmetro foram gerados tantas vezes como o número de dados para cada família de
descontinuidades. Nesta modelagem foi encontrado um bom ajuste dos dados modelados com
a distribuição correspondente como pode ser observado na Figura 6.26.
Expected
Variable TSUD_1_D; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,0388238, p = n.s.
Chi-Square: 14,94708, df = 12, p = ,2444073 (df adjusted)
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
2 4 6 8 10121416182022242628303234363840424446485052545658
Figura 6.26 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste.
159
Capítulo 7
7 VERIFICAÇÃO DO MODELO DAS
DESCONTINUIDADES
Com os dados gerados do modelo das descontinuidades passou-se a representação
visual do maciço rochoso. Para isto foi desenvolvido um programa gráfico em AutoCAD,
utilizando a sua linguagem de programação interna, AutoLISP. Este programa permite
desenhar discos no espaço 3D com diâmetro e orientação determinada, também como
volumes que determinem a tamanho do maciço analisado.
Neste capítulo são apresentados os volumes modelados das cinco regiões analisadas e
é efetuada a comparação com os dados amostrados em campo no levantamento de Durand
(1995). Serão apresentadas também algumas deduções práticas do modelo para serem
utilizadas no projeto de estabilidades de taludes e escavações subterrâneas.
7.1 GERAÇÃO VISUAL DOS MODELOS EM 3D
Para a representação visual das famílias de descontinuidades foi preciso a utilização
de um programa gráfico que permita a leitura de um arquivo de dados com os parâmetros da
janela de amostragem e os parâmetros das descontinuidades. Com este fim foi desenvolvido
um programa de desenho gráfico, na linguagem de programação AutoLISP, que faz parte do
programa AutoCAD.
Com a definição do volume do modelo (comprimento, largura e altura), explicada no
Capitulo 6, gerou-se o volume do maciço (ou paralelepípedo). Tendo em conta a
generalização do modelo pode-se considerar a orientação da superfície ou janela de
amostragem. Para isto utilizou-se o comprimento, largura e altura do volume do modelo e a
orientação da superfície de amostragem. A orientação da superfície de amostragem é
fundamental para dar a correta posição do volume com relação ao Norte, bem como a
inclinação do talude ou da parede de amostragem que representa a generalização do modelo
desenvolvida neste trabalho (Figura 7.1)
160
Cada família de descontinuidades de cada região analisada foi colocada em seu
volume de modelo correspondente e com a orientação da superfície de amostragem foi
corrigida a posição do ponto central dos discos das descontinuidades, com relação a direção
do volume do modelo, como se mostra na Figura 7.2.
B
A
C
D
A'
B'
C'
D'
ABCD: superfície ou janela de amostragemαj: direção de mergulho da janela de amostragemθj: mergulho da janela de amostragem
αj
θj
Figura 7.1 Esquema de geração do volume do modelo com orientação definida da superfície
ou janela de amostragem.
disco da descontinuidade
interseção da descontinuidadecom o volume do modelo
Figura 7.2 Disco da descontinuidade intersectando o volume do modelo.
161
Em resumo são necessários os parâmetros de comprimento, largura e altura do volume
do modelo, também a direção de mergulho e o mergulho da superfície de amostragem. Para as
descontinuidades representadas como discos são necessárias as posições do centro do disco
(x, y, z) no espaço 3D, o diâmetro do disco e a direção de mergulho e o mergulho, todos estes
valores já foram calculados nos items 6.7 a 6.11. Com todos estes parâmetros (Tabela 7.1) e o
procedimento antes mencionado são gerados os modelos em 3D para cada região analisada
como se mostra a seguir.
7.2 MODELOS 3D DAS CINCO REGIÕES ANALISADAS
Para a geração dos volumes analisados são necessários arquivos de dados com os
parâmetros antes definidos. Estes arquivos de dados foram gerados em Excel e posteriormente
convertidos em arquivos de texto (*.txt) como mostra a Tabela 7.1. A quantidade de dados
por família de descontinuidades e por região analisada está na Tabela 7.2. Para as regiões
analisadas gerou-se a visualização 3D das diferentes famílias de descontinuidades
consideradas (Figura 7.3 a 7.7.), aplicando o programa em AutoLISP, disco.lsp (Apêndice E).
Tabela 7.1 Arquivo de dados do modelo e das descontinuidades da galeria 12 e família 10
região / família G12_10
numero de descont. 15
direção janela de amostragem 300
Volume
LADO X LADO Y LADO Z DIAM. MÁX. DIP DIP. DIR. 80 12 12 1620 90 300
Descontinuidade
X Y Z Diâmetro DIP DIP. DIR. 21,95 11,19 6,14 731,85 64,75 132,66
47,21 1,72 7,68 647,06 71,01 203,33
62,32 4,03 9,80 435,06 44,36 147,63
13,25 5,27 9,93 1553,23 66,57 99,01
23,40 4,27 11,47 730,48 71,43 262,40
51,43 5,66 3,88 655,99 86,70 296,85
21,48 9,41 5,92 815,09 63,38 172,57
70,34 9,60 3,73 786,54 49,25 18,71
16,91 2,07 10,60 365,98 46,03 73,95
14,35 5,44 8,28 334,45 16,32 219,97
50,72 0,27 2,36 1169,27 77,32 295,04
17,37 8,87 3,16 745,50 71,76 321,59
59,58 8,99 11,54 1419,52 69,14 24,02
42,51 8,03 1,59 1167,92 75,01 289,71
48,74 8,51 1,66 1623,88 74,55 2,51
162
Tabela 7.2 Quantidade de descontinuidades gerada pelo modelo por região e por família de
descontinuidades.
Região Família n 1 691 2 1451 3 2340 T. Sudeste
10 846 1 33 2 82 Galeria 11
10 25 1 86 Galeria 12 10 15
Galeria 13 1 237 T. Sul 1 1001
O Talude Sudeste modelado na Figura 7.3 apresenta uma altura máxima de 57,52 m
que é menor aos 142 m do talude real, por causa do pouco espaço de fundo do volume do
modelo (50 m) e o valor do mergulho da superfície de amostragem (de 45o a 50o). Para uma
altura real do talude ter-se-ia precisado de quase 150 m de fundo, implicando isto num maior
volume do modelo, um maior número de descontinuidades e uma maior quantidade de
memória do computador não disponível no momento. Desta forma está-se considerando
somente 57,52 m de altura do Talude Sudeste a partir da base do talude real. No Talude
Sudeste modelado na Figura 7.3 pode-se observar a distribuição das 4 famílias de
descontinuidades onde a orientação da maioria das descontinuidades é quase ortogonal à
superfície ou janela de amostragem do Talude Sudeste. Os demais traços das
descontinuidades apresentam uma distribuição também ortogonal ao plano de amostragem
mas com menor densidade. Existem outros traços de descontinuidades com distribuição
aleatória que podem representar a família 10 ou família de traços com orientação dispersa. O
tamanho das descontinuidades é muito maior às dimensões do volume do modelo gerando
assim descontinuidades que cortam o volume de extremo a extremo, por conseguinte existe
grande formação de blocos. O espaçamento das descontinuidades é muito pequeno, sobre todo
comparado com as dimensões do volume do modelo, gerando assim blocos de pequenas
dimensões.
A Galeria 11 modelada na Figura 7.4 foi gerada com uma seção transversal de 12m x
12m, seção maior à seção real da Galeria 11 (3m x 3m). Isto foi feito com o objetivo de ter-se
uma superfície de observação maior das paredes da galeria. Na Galeria 11 observa-se a
distribuição de duas famílias principais, uma paralela ao mergulho do talude sudeste e a outra
com mergulho oposto ao mergulho do talude sudeste, o restante das descontinuidades
163
apresentam uma orientação aleatória e em menor quantidade, novamente para este modelo o
tamanho das descontinuidades supera a extensão máxima do volume do modelo o que é
coerente com o observado em campo e a densidade das descontinuidades é muito similar com
a do Talude Sudeste mas pela dimensão menor do volume do modelo da Galeria parece menor
a densidade de descontinuidades na Galeria 11 que no Talude Sudeste.
Da mesma maneira a Galeria 12 foi modelada na Figura 7.5 com uma seção
transversal de 12m x 12m. Na Galeria 12 observa-se uma distribuição de descontinuidades
principal com mergulho um pouco menor ao mergulho da descontinuidade principal da
Galeria 11. Novamente o tamanho das descontinuidades supera a extensão máxima do volume
do modelo o que esta coerente com o observado em campo e a densidade das
descontinuidades é similar à Galeria 11.
A Galeria 13 foi modelada na Figura 7.6 também com uma seção transversal de 12m x
12m, onde observa-se uma distribuição da descontinuidade principal com mergulho mais
íngreme que as descontinuidades da Galeria 11 e ao mesmo tempo paralela com a face do
Talude Sul. O tamanho das descontinuidades também supera a extensão do volume do modelo
e a densidade da família principal é alta, mostrando claramente a presença de foliação.
O Talude Sul modelado (Figura 7.7) apresenta uma altura máxima de 60 m que é
menor aos 245 m do talude real. Para uma altura real do talude ter-se-ia precisado de quase
250 m de altura, implicando isto num maior volume do modelo e novamente uma maior
quantidade de memória do computador não disponível no momento. Portanto está-se
considerando somente 60 m de altura do Talude Sul a partir da base do talude real. No Talude
Sul modelado na Figura 7.7 pode-se observar a distribuição da descontinuidade principal com
orientação paralela à orientação do plano de amostragem mostrando assim a presença do
plano de foliação do maciço rochoso. Devido às dimensões do Talude Sul e o espaçamento
médio das descontinuidades de 14 cm a visibilidade das descontinuidades na parede lateral
está muito densa. A quantidade de descontinuidades presentes neste maciço é muito maior do
que no Talude Sudeste mostrando uma maior densidade de descontinuidades ou um maciço
mais fraturado. É importante observar que mesmo com a alta densidade se observam regiões
nos volumes dos modelos, onde se tem maior densidade de descontinuidades e regiões onde o
maciço tem menor densidade de descontinuidades ou um maciço de melhor qualidade. Esta
foliação presente no Talude Sul está também presente no modelo das Galerias 11, 12 e 13
respectivamente.
164
Figura 7.3 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sudeste da Mina
de Timbopeba (dimensões em metros).
Figura 7.4 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 11 da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros).
165
Figura 7.5 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 12 da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros).
Figura 7.6 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 13 da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros).
166
Figura 7.7 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sul da Mina de
Timbopeba (dimensões em metros).
7.3 VERIFICAÇÃO DA PREVISÃO DO MODELO 3D
Para verificar a previsão do modelo foram feitas comparações entre o modelo do
talude Sul, os modelos das Galerias 11, 12 e 13, e o mapeamento em campo realizado por
Durand (1995). No modelo 3D do Talude Sul foi feita a escavação das Galerias 11, 12 e 13,
simulando a escavação de 3 volumes de paralelepípedos com base quadrada de 12m x 12 m e
comprimento de 80 m na horizontal com direção de 210o com relação ao Norte . Estas três
galerias estão interligadas no final por uma galeria transversal a todas elas, como se mostra na
Figura 7.8. A Figura 7.9 mostra o resultado final do modelo com as três galerias.
167
G - 11
G - 12
G - 13
Galeria transversal
Figura 7.8 Modelo do Talude Sul com a escavação das 3 galerias e da galeria transversal de
ligação.
G - 11
G - 12
G - 13
Figura 7.9 Modelo do Talude Sul com as Galerias 11, 12 e 13.
168
Para fazer a comparação com os dados reais medidos em campo por Durand (1995) se
fizeram cortes verticais no modelo 3D do Talude Sul seguindo os eixos das Galerias 11, 12 e
13 como mostram as Figura 7.10, 7.11 e 7.12. As linhas tracejadas indicam a real dimensão
das paredes das Galerias 11, 12 e 13, de 3,0 m.
101,2
100
100
12
Figura 7.10 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 11 (as linhas
tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 11).
101,2
100
200 12
Figura 7.11 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 12 (as linhas
tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 12).
169
101,2
100
30012
Figura 7.12 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 13 (as linhas
tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 13).
Na Figura 7.13 se mostram os resultados da Galeria 11 tirada do modelado do Talude
Sul, com o mapeamento em campo da mesma Galeria 11 (Durand, 1995) e com o modelo da
própria Galeria 11, onde as linhas tracejadas nas Figura 7.13a e 7.13c, representam a
verdadeira altura da parede da Galeria 11 a qual foi modela com altura maior com fins de
visibilidade maior. Pode-se observar que na Figura 7.13a identifica-se uma família de
descontinuidades principal com orientação paralela a face do talude o que está concordando
com a Figura 7.13b do mapeamento em campo, com a diferença que no mapeamento em
campo unicamente são registradas as descontinuidades principais de 5 m em 5 m sem mostrar
a densidade real de descontinuidades na parede da Galeria. Além disso tem-se algumas
descontinuidades menos íngremes no final da Figura 7.13a que também concordam com a
Figura 7.13b. A Figura 7.13c apresenta duas famílias principais de descontinuidades uma
paralela a face do Talude Sul e a outra com mergulho oposto que pode ser uma segunda
família de descontinuidade não muito representativa pelo que não foi registrada no
mapeamento em campo na Figura 7.13b.
170
80
12
(a)
(b)
80
12
(c)
Figura 7.13 Verificação do Modelo com a Galeria 11: (a) Galeria 11 tirada do Modelo do
Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 11; e (c) Modelo da Galeria 11.
171
Na Figura 7.14 se mostram os resultados da Galeria 12 tirada do modelado do Talude
Sul, com o mapeamento em campo da mesma Galeria 12 (Durand, 1995) e com o modelo da
própria Galeria 12. A Galeria 12 (Figura 7.14a) apresenta uma família de descontinuidades
principal com orientação também paralela a face do talude, concordando com a parte inicial
da Figura 7.14b do mapeamento em campo. A Figura 7.14a também apresenta algumas
descontinuidades menos íngremes que estão mais presentes no mapeamento na Figura 7.14b,
No entanto, o modelo da própria Galeria 12 (Figura 7.14c) apresenta claramente as famílias
de descontinuidades menos íngremes que são registradas no mapeamento em campo na Figura
7.14b. Este modelo da galeria 12 está mais concordante com o mapeamento em campo mas
possivelmente com maior densidade que a do mapeamento em campo.
A Figura 7.15 apresenta os resultados da Galeria 13 tirada do modelo do Talude Sul,
com o mapeamento em campo da mesma Galeria 13 (Durand, 1995) e com o modelo da
própria Galeria 13. A Galeria 13 tirada a partir do modelo do Talude Sul (Figura 7.15a)
apresenta uma família de descontinuidades principal com orientação também paralela a face
do talude, concordando com parte do mapeamento em campo da Figura 7.15b. A Figura 7.15a
também apresenta uma segunda família de descontinuidades menos íngreme que representa à
mapeada em campo (Figura 7.15b). No caso do modelo da Galeria 13 (Figura 7.15c) as duas
famílias de descontinuidades do mapeamento (Figura 7.15b) estão presentes no modelo com
maior densidade mostrando inclusive uma concentração na parte final da Galeria 13 (Figura
7.15c).
Como pode ser observado nestas três comparações, dos modelos previstos com o
mapeamento em campo, existe sempre a correta representação da família principal de
descontinuidades. Por outro lado, as famílias secundárias não estão presentes no mapeamento
em campo, o que não permitiu uma completa comparação do modelo com o real, sendo que
no mapeamento em campo somente foram registradas as famílias de descontinuidades mais
importantes com objetivo de análise de estabilidade e não para um modelo de distribuição de
descontinuidades probabilístico.
172
80
12
(a)
(b)
80
12
(c)
Figura 7.14 Verificação do Modelo com a Galeria 12: (a) Galeria 12 tirada do Modelo do
Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 12; e (c) Modelo da Galeria 12.
173
80
12
(a)
(b)
80
12
(c)
Figura 7.15 Verificação do Modelo com a Galeria 13: (a) Galeria 13 tirada do Modelo do
Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 13; e (c) Modelo da Galeria 13.
174
Capítulo 8
8 CONCLUSÕES
A presente tese foi desenvolvida com o objetivo de produzir uma ferramenta útil para
determinar a provável estrutura geomecânica do maciço rochoso que permita definir o
tamanho de blocos, planos de fraqueza possíveis, direções de fluxo etc. Para o cumprimento
deste objetivo se fez estudo das ferramentas estatísticas e probabilísticas necessárias para esta
análise, ferramentas pouco usuais na engenharia, mas que com o tempo cada vez mais
demonstram sua utilidade, sobretudo no campo das geociências. Sendo uma ferramenta pouco
explorada na engenharia civil, em especial a probabilidade geométrica, demanda tempo seu
correto estudo e compreensão para então fazer uma correta aplicação desta. As principais
conclusões que se pode tirar deste trabalho estão divididas em assuntos separados e
explicados a seguir.
8.1 MODELO PROBABILÍSTICO DAS DESCONTINUIDADES EM 3D
O modelo apresentado e melhorado neste trabalho está baseado principalmente nas
pesquisas de Kulatilake. O mesmo apresenta grandes vantagens para quando se têm dados
mapeados em campo através de amostragem por scanlines como para dados mapeados através
de amostragem em superfície (ou janela de amostragem). A determinação da região
estatisticamente homogênea é talvez a parte mais importante para o sucesso do modelo, desde
que este modelo trabalhe com uma discretização da geologia estrutural, ou seja ele é valido
unicamente em regiões com a mesma geologia estrutural e para uma região com diferente
geologia estrutural se terá definir um modelo novo. A identificação das famílias de
descontinuidades dentro de cada região estatisticamente homogênea é muito importante para
determinar uma concentração representativa de cada família de descontinuidades e simular
satisfatoriamente a distribuição da orientação com o uso da distribuição bi-variacional
normal. A probabilidade Geométrica ou integração geométrica é uma ferramenta essencial
para realizar a correção dos erros de tendência (bias) e para transformar dados lineares ou em
1D, que são geralmente coletados em campo, para dados em dois até três dimensões do
modelo.
175
Os cálculos de densidade neste modelo apresentam valores altos gerando assim
modelos em 3D muito densos e difíceis de analisar, isto é devido a que as dimensões do
modelo, em especial do Talude Sul (400 x 250 x 100 m), o que dificulta uma observação de
espaçamentos de 14 cm em média.
O modelo do Talude Sul das Figuras 7.13a, 7.14a e 7.15a descrevem de forma
satisfatória a família principal das descontinuidades das paredes das galerias mas não as
famílias secundárias, que podem estar ocultas no modelo. Também isto pode ser devido à
falta de mapeamentos mais rigorosos quanto à identificação das descontinuidades com
extremos visíveis ou não.
É muito importante observar que o modelo probabilístico gera uma distribuição
tridimensional de descontinuidades onde ocorrem zonas com alta densidade de
descontinuidades e zonas com baixa densidade de descontinuidades, isto é produto da
interação probabilística dos diferentes parâmetros das descontinuidades (orientação, tamanho
e densidade), assim como também das dimensões do projeto. Em campo está demonstrado
claramente que não é comum encontrar condições médias de distribuição das
descontinuidades ou seja considerando unicamente dados médios de orientação e
espaçamento, mas sim condições onde o maciço apresente zonas críticas ou com alta
concentração de descontinuidades como as geradas pelo modelo probabilístico e
exemplificadas na Figura 8.1.
Modelo probabilístico(distribuição não uniforme)
densidade baixadensidade alta
Modelo determinístico(distribuição uniforme)
regiões com igual densidade
176
Figura 8.1 Modelo determinístico e probabilístico da distribuição das descontinuidades
mostrando a diferencia nas densidades para regiões próximas no mesmo modelo.
8.2 GENERALIZAÇÃO DO MODELO DO TAMANHO DO TRAÇO
A principal contribuição deste trabalho está na generalização da formulação para o
cálculo do comprimento do traço médio das descontinuidades a partir de uma janela de
amostragem inclinada (ou com orientação variável), o que nos permite ampliar a aplicação
deste modelo a superfícies de amostragem de taludes ou qualquer outra superfície que não
seja inclinada.
A partir da generalização, a verificação da formulação, foi satisfatória ao chegar as
equações particulares, para amostragem numa parede vertical, a partir desta generalização,
coincidindo com as formulações apresentadas por Kulatilake & Wu (1984).
8.3 PREVISÃO DO MODELO 3D
Nas Figuras 7.13 a 7.15 se pode observar que tanto o modelo das galerias e da
previsão das galerias tirado do modelo do Talude Sul apresenta concordância com o
mapeamento em campo. Este resultado é satisfatório na determinação das famílias de
descontinuidades principais presentes no maciço.
O modelo de previsão das galerias a partir do modelo do Talude Sul tem restrições no
reconhecimento das famílias de descontinuidades secundárias. Isto pode ser devido à falta de
observação de algumas descontinuidades quando somente trabalha-se com um único plano de
amostragem, o que leva a considerar que para uma melhor modelagem do volume é
recomendável realizar a medida das descontinuidades de dois planos de amostragem de
preferência perpendiculares entre eles.
O modelo desenvolvido considera o maciço rochoso como homogêneo e isotrópico,
desta forma as descontinuidades assumem um formato circular, já para maciços não
homogêneos e anisotrópicos, a aplicação deste modelo estará restrita.
A geologia estrutural da região deverá ser analisada previamente, para assim poder,
dentro de uma mesma geologia estrutural, identificar as regiões estatisticamente homogêneas.
Numa mesma região estrutural pode-se encontrar varias regiões estatisticamente homogêneas
e a união de todos estes modelos, deverá reproduzir a geologia estrutural da região.
177
8.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS
No modelo probabilístico tridimensional das descontinuidades foram modelados
basicamente três parâmetros; orientação, tamanho e densidade. O primeiro parâmetro
apresentou uma capacidade satisfatória em reproduzir as condições em campo, por outro lado
o tamanho e a densidade ainda não apresentaram total coerência com o esperado.
Nesse sentido é necessário desenvolver formulações para o tamanho das
descontinuidades que considerem outras distribuições de probabilidade como log-normal e
normal, para posteriormente serem aplicadas aos métodos de probabilidade geométrica para
poder modelar o diâmetro dos discos em 3D.
Para o caso da densidade é necessário realizar uma investigação da influencia dos
dados de comprimento do tamanho (ou persistência) nos dados de espaçamento, que
posteriormente influenciaram o cálculo da densidade linear e volumétrica. Isto porque é
possível a existência de uma relação de dependência entre estes dados (espaçamento e traço).
Por fim vale sugerir acoplar seções típicas previstas pelo modelo probabilístico a
análises de comportamento de taludes e túneis, verificando o impacto na previsão do sistema
de suporte.
Trabalhar com diferentes geometrias do plano da descontinuidade, como a elíptica,
para poder simular o comportamento de maciços rochosos não homogêneos e anisotrópicos,
ampliando assim a faixa de aplicação do modelo.
Desenvolver ferramentas gráficas para uma melhor visualização virtual do
comportamento do maciço fraturado desenvolvido pelo modelo.
178
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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179
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180
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182
A APÊNDICE A
ORIENTAÇÃO DAS
DESCONTINUIDADES
Neste apêndice são apresentadas, as distribuições de freqüência corrigidas das famílias
de descontinuidades de cada região analisada (Figura A.1 a Figura A.11), os histogramas
bivariacinais dos dados de orientação originais (Figura A.12 a Figura A.22) e dos dados de
orientação corrigidos (Figura A.23 a Figura A.33) e os testes de ajuste χ2 com a distribuição
de Fisher de todas as famílias de descontinuidades (Figura A.34 aFigura A.44).
183
Talude Sudestefamilia 1
Priest, 1985 Wathugala et al., 1990
Figura A.1 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do
Talude Sudeste
Figura A.2 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 2 do
Talude Sudeste
184
Figura A.3 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 3 do
Talude Sudeste
Figura A.4 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 10 do
Talude Sudeste
185
Figura A.5 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da
Galeria 11
Figura A.6 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 2 da
Galeria 11
186
Figura A.7 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 10 da
Galeria 11
Figura A.8 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da
Galeria 12
187
Figura A.9 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 10 da
Galeria 12
Figura A.10 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da
Galeria 13
188
Figura A.11 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do
Talude Sul
189
Talude Sudeste família 1
Figura A.12 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste
Talude Sudeste família 2
Figura A.13 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 2 do Talude Sudeste
Talude Sudeste família 3
Figura A.14 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 3 do Talude Sudeste
190
Talude Sudeste família 10
Figura A.15 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 do Talude Sudeste
Galeria 11 família 1
Figura A.16 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 11
Galeria 11 família 2
Figura A.17 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 2 da Galeria 11
191
Galeria 11 família 10
Figura A.18 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 da Galeria 11
Galeria 12 família 1
Figura A.19 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 12
Galeria 12 família 10
Figura A.20 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 da Galeria 12
192
Galeria 13 família 1
Figura A.21 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 13
Talude Sul família 1
Figura A.22 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sul
Talude Sudeste família 1
Figura A.23 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 do
Talude Sudeste
193
Talude Sudeste família 2
Figura A.24 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 2 do
Talude Sudeste Talude Sudeste família 3
Figura A.25 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 3 do
Talude Sudeste Talude Sudeste família 10
Figura A.26 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 10 do
Talude Sudeste
194
Galeria 11 família 1
Figura A.27 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da
Galeria 11 Galeria 11 família 2
Figura A.28 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 2 da
Galeria 11 Galeria 11 família 10
Figura A.29 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 10 da
Galeria 11
195
Galeria 12 família 1
Figura A.30 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da
Galeria 12 Galeria 12 família 10
Figura A.31 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 10 da
Galeria 12 Galeria 13 família 1
Figura A.32 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da
Galeria 13
196
Talude Sul família 1
Figura A.33 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 do
Talude Sul
197
TSUD-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40
θ (ο)
P(<
)
Dados OriginaisFisher
TSUD-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40
θ (o)
P(<
)
Priest , 1985Fisher
TSUD-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30
θ (o)
P(<
)
Wathugala et al., 1990Fisher
Figura A.34 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sudeste
198
TSUD-F2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15
θ (o)
P(<
)
Dados OriginaisFisher
TSUD-F2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15θ (o)
P(<
)
Priest , 1985Fisher
TSUD-F2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20
θ (o)
P(<
)
Wathugala et al, 1990Fisher
Figura A.35 Teste de ajuste χ2 para a família 2 do Talude Sudeste
199
TSUD-F3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20
θ (o)
P(<
)
Dados OriginaisFisher
TSUD-F3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20
θ (o)
P(<
)
Priest, 1985Fisher
TSUD-F3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20
θ (o)
P(<
)
Wathugala et al, 1990Fisher
Figura A.36 Teste de ajuste χ2 para a família 3 do Talude Sudeste
200
TSUD-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100
θ (o)
P(<
)
Dados OriginaisFisher
TSUD-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80
θ (o)
P(<
)
Priest, 1985Fisher
TSUD-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100
θ (o)
P(<
)
Wathugala et al, 1990Fisher
Figura A.37 Teste de ajuste χ2 para a família 10 do Talude Sudeste
201
G11-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30q (o)
P (q
<)
Dados Originais
Fisher
G11-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30
q (o)
P (q
<)
Priest, 1985
Fisher
G11-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30
q (o)
P (q
<)
Wathugala et al., 1990
Fisher
Figura A.38 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 11
202
G11-F2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30
q (o)
P (q
<)
Dados Originais
Fisher
G11-F2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Priest, 1985
Fisher
G11-F2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Wathugala et al.,1990
Fisher
Figura A.39 Teste de ajuste χ2 para a família 2 da Galeria 11
203
G11-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80
q (o)
P (q
<)
Dados Originais
Fisher
G11-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80
q (o)
P (q
<)
Priest, 1985
Fisher
G11-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80
q (o)
P (q
<)
Wathugala et al., 1990
Fisher
Figura A.40 Teste de ajuste χ2 para a família 10 da Galeria 11
204
G12-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40
q (o)
P (q
<)
Dados Originais
Fisher
G12-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40q (o)
P (q
<)
Priest, 1985
Fisher
G12-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40
q (o)
P (q
<)
Wathugala et al., 1990
Fisher
Figura A.41 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 12
205
G12-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50
q (o)
P (q
<)
Dados Originais
Fisher
G12-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50 60
q (o)
P (q
<)
Priest, 1985
Fisher
G12-F10
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50 60
q (o)
P (q
<)
Wathugala et al., 1990
Fisher
Figura A.42 Teste de ajuste χ2 para a família 10 da Galeria 12
206
G13-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Dados Originais
Fisher
G13-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Priest, 1985
Fisher
G13-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Wathugala et al., 1990
Fisher
Figura A.43 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 13
207
TSUL-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Dados Originais
Fisher
TSUL-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Priest, 1985
Fisher
TSUL-F1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25
q (o)
P (q
<)
Wathugala et al., 1990
Fisher
Figura A.44 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sul
208
B APÊNDICE B
TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES
Neste apêndice são apresentados os histogramas do comprimento de traço de todas as
famílias de descontinuidades (Figura B.1 a Figura B.11), o comprimento de traço médio para
amostragem por scanlines de todas as famílias de descontinuidades (Figura B.12 a Figura
B.22) e a distribuição de probabilidade do diâmetro também de todas as famílias de
descontinuidades (Figura B.23 a Figura B.33).
209
Expected
Variable TSUD_1 ; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0728350, p = n.s.
Chi-Square: 5,309008, df = 4, p = ,2570605 (df adjusted)
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
Figura B.1 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste
Expected
Variable TSUD_2 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,1048542, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Figura B.2 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 2 do Talude Sudeste
210
Expected
Variable TSUD_3 ; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,2269139, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Figura B.3 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 3 do Talude Sudeste
Expected
Variable TSUD_10 ; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0988944, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
Figura B.4 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 do Talude Sudeste
211
Expected
Variable G11_1 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,1322802, p < ,05
Chi-Square: 56,01464, df = 10, p = ,0000000 (df adjusted)
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2
Figura B.5 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 11
Expected
Variable G11_2 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,1675985, p < ,20
Chi-Square: 5,365706, df = 1, p = ,0205428 (df adjusted)
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3,00 3,11 3,22 3,33 3,44 3,55 3,66 3,77 3,88 3,99 4,10
Figura B.6 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 2 da Galeria 11
212
Expected
Variable G11_10 ; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,1509423, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
3,050 3,106 3,161 3,217 3,272 3,328 3,383 3,439 3,494 3,550
Figura B.7 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 da Galeria 11
Expected
Variable G12_1 ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,1998170, p < ,10
Chi-Square: 19,18110, df = 3, p = ,0002515 (df adjusted)
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8
Figura B.8 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 12
213
Expected
Variable G12_10 ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,2187463, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
2,6502,703
2,7552,808
2,8602,913
2,9653,018
3,0703,123
3,1753,227
3,2803,332
3,3853,438
3,4903,543
3,5953,648
3,700
Figura B.9 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 da Galeria 12
Expected
Variable G13_1 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,1770004, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3
Figura B.10 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 13
214
Expected
Variable TSUL_1 ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,1805694, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Traço (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
0,0005,454
10,90716,361
21,81527,268
32,72238,175
43,62949,083
54,53660,000
Figura B.11 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sul
215
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.12 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sudeste
0
0,01
0,020,03
0,04
0,05
0,06
0,070,08
0,09
0,1
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38c (m)
(-1)
µ1µ2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
20 25 30 35 40
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.13 Comprimento de traço médio da família 2 do Talude Sudeste
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
23 25 27 29 31 33 35 37c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
50
100
150
200
250
300
22 24 26 28 30 32 34 36 38c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.14 Comprimento de traço médio da família 3 do Talude Sudeste
216
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0 10 20 30 40 50 60
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
50
100
150
200
250
10 20 30 40 50 60
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.15 Comprimento de traço médio da família 10 do Talude Sudeste
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6
c (m)
,5
(m-1)
µ1µ2
0
50
100
150
200
250
300
350
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.16 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 11
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
3 3,5 4 4,5 5 5,5
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
5
10
15
20
25
3 3,5 4 4,5 5 5,5
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.17 Comprimento de traço médio da família 2 da Galeria 11
217
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
10
20
30
40
50
60
70
3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.18 Comprimento de traço médio da família 10 da Galeria 11
0
0,05
0,10,15
0,2
0,25
0,3
0,350,4
0,45
0,5
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
10
20
30
40
50
60
70
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.19 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 12
00,050,1
0,150,2
0,250,3
0,350,4
0,450,5
2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 7,7 8,7 9,7 10,7
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
2
4
6
8
10
12
14
2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 7,7 8,7 9,7 10,7
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.20 Comprimento de traço médio da família 10 da Galeria 12
218
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
10
20
30
40
50
60
3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.21 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 13
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 100 200 300 400 500 600
c (m)
(m-1)
µ1µ2
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400 500 600
c (m)
l (m
)
l1
l2
Figura B.22 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sul
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Dj (m)
P(D
j)
P(Dj)
g(Dj)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
D
Figura B.23 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 do Talude
Sudeste
219
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Dj (m)
P(D
j) P(Dj)
g(Dj)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.24 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 2 do Talude
Sudeste
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Dj (m)
P(D
j)
P(Dj)
g(Dj)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.25 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 3 do Talude
Sudeste
P(Dj)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 10 20 30 40 50 60
Dj (m)
P(D
j)
P(Dj)
g(Dj)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 10 20 30 40 50 60
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.26 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 do
Talude Sudeste
220
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7
Dj (m)
P(D
j)
P(Dj)
g(Dj)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 1 2 3 4 5 6 7
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.27 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria
11
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6
Dj (m)
P(D
j)
P(Dj)
g(Dj)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.28 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 2 da Galeria
11
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Dj (m)
P(D
j)
P(Dj)
g(Dj)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.29 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da
Galeria 11
221
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4 5 6 7
Dj (m)
P(D
j) P(Dj)
g(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.30 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria
12
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 2 4 6 8 10 12
Dj (m)
P(D
j)
P(Dj)
g(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 2 4 6 8 10 12
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.31 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da
Galeria 12
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6
Dj (m)
P(D
j) P(Dj)
g(Dj)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 1 2 3 4 5 6
Dj (m)
g(D
j) g(Dj)
µ
Figura B.32 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria
13
222
P(Dj)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
P(Dj)
g(Dj)
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
g(Dj)
µ
Figura B.33 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 do Talude
Sul
223
C APÊNDICE C
DENSIDADE DAS DESCONTINUIDADES
Neste apêndice são apresentados os histogramas do espaçamento de algumas famílias
de descontinuidades, juntamente com a distribuição que melhor se ajusta (Figura C.1 a Figura
C.5).
224
Expected
Variable G11_1 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,2593353, p < ,01
Chi-Square: 270,6567, df = 7, p = 0,000000 (df adjusted)
Espaçamento (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,0800,102
0,1230,145
0,1660,188
0,2090,231
0,2520,274
0,2950,317
0,3380,360
Figura C.1 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 11
Expected
Variable G12_1 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,3425569, p < ,01
Chi-Square: 12,67210, df = 2, p = ,0017735 (df adjusted)
Espaçamento (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0,040,05
0,060,07
0,080,09
0,100,11
0,120,13
0,140,15
0,160,17
0,180,19
0,200,21
0,22
Figura C.2 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 12
Expected
Variable G12_10 ; distribution: ExponentialKolmogorov-Smirnov d = ,2295354, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Espaçamento (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14
Figura C.3 Histograma do espaçamento da família 10 da Galeria 12
225
Expected
Variable G13_1 ; distribution: ExponentialKolmogorov-Smirnov d = ,2141271, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Espaçamento (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
Figura C.4 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 13
Expected
Variable TSUL_1 ; distribution: ExponentialKolmogorov-Smirnov d = ,2920678, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Espaçamento (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21
Figura C.5 Histograma do espaçamento da família 1 do Talude Sul
226
D APÊNDICE D
MODELAGEM DAS
DESCONTINUIDADES
Neste apêndice é apresentada a modelagem de cada um dos parâmetros das
descontinuidades, primeiro temos os histogramas de número de descontinuidade dos dados
modelados de todas as famílias de descontinuidades (Figura D.1 a Figura D.11), depois está a
modelagem da localização dos centros das descontinuidades em x, y e z para algumas famílias
de descontinuidades (Figura D.12 a Figura D.23), a seguir apresenta-se os histogramas
bivariacionais dos dados de orientação originais e modelados para todas as famílias de
descontinuidades (Figura D.24 a Figura D.28), depois estão os estereogramas dos dados de
orientação originais e modelados para todas as famílias de descontinuidades (Figura D.29 a
Figura D.38) e por último são apresentados os dados de diâmetro modelados de todas as
famílias de descontinuidades (Figura D.39 a Figura D.49).
227
Expected
Variable TSUD_1 ; distribution: Poisson l = 2068,5Kolmogorov-Smirnov d = ,2872061, p < ,01Chi-Square: 18,33379, df = 1, p = ,0000186
Número de descontinuidades
Num
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
16721716
17601804
18481892
19361980
20242068
21122156
22002244
22882332
2376
Figura D.1 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sudeste
Expected
Variable TSUD_2 ; distribution: Poisson l = 1704,8Kolmogorov-Smirnov d = ,2200047, p < ,05Chi-Square: 21,71194, df = 2, p = ,0000194
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
1408 1452 1496 1540 1584 1628 1672 1716 1760 1804 1848 1892
Figura D.2 Modelo do número de descontinuidades da família 2 do Talude Sudeste
Expected
Variable TSUD_3 ; distribution: Poisson l = 1589,8Kolmogorov-Smirnov d = ,2379684, p < ,01Chi-Square: 57,12845, df = 2, p = ,0000000
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
12321276
13201364
14081452
14961540
15841628
16721716
17601804
1848
Figura D.3 Modelo do número de descontinuidades da família 3 do Talude Sudeste
228
Expected
Variable TSUD_10 ; distribution: Poisson l = 1980,8Kolmogorov-Smirnov d = ,2027800, p < ,05Chi-Square: 35,91085, df = 2, p = ,0000000
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
14401485
15301575
16201665
17101755
18001845
18901935
19802025
20702115
21602205
22502295
Figura D.4 Modelo do número de descontinuidades da família 10 do Talude Sudeste
Expected
Variable G11_1 ; distribution: Poisson l = 198,60Kolmogorov-Smirnov d = ,0859791, p = n.s.Chi-Square: 2,551255, df = 5, p = ,7687542
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220 224 228
Figura D.5 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 11
Expected
Variable G11_2 ; distribution: Poisson l = 198,36Kolmogorov-Smirnov d = ,0665966, p = n.s.Chi-Square: 7,551623, df = 6, p = ,2728602
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220 224 228 232
Figura D.6 Modelo do número de descontinuidades da família 2 da Galeria 11
229
Expected
Variable G11_10 ; distribution: Poisson l = 197,16Kolmogorov-Smirnov d = ,0292927, p = n.s.Chi-Square: 1,812538, df = 5, p = ,8744235
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240
Figura D.7 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 11
Expected
Variable G12_1 ; distribution: Poisson l = 198,36Kolmogorov-Smirnov d = ,0577198, p = n.s.Chi-Square: 1,864819, df = 5, p = ,8675115
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220
Figura D.8 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 12
Expected
Variable G12_10 ; distribution: Poisson l = 200,08Kolmogorov-Smirnov d = ,0696948, p = n.s.Chi-Square: 1,195278, df = 5, p = ,9453264
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
152156
160164
168172
176180
184188
192196
200204
208212
216220
224228
232
Figura D.9 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 12
230
Expected
Variable G13_1 ; distribution: Poisson l = 201,72Kolmogorov-Smirnov d = ,0623770, p = n.s.Chi-Square: 4,714954, df = 6, p = ,5808638
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220 224 228 232 236
Figura D.10 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 13
Expected
Variable TSUL_1 ; distribution: Poisson l = 7771,9Kolmogorov-Smirnov d = ,3435246, p < ,01
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Número de descontinuidades
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
62286401
65746747
69207093
72667439
76127785
79588131
83048477
86508823
8996
Figura D.11 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sul
Expected
Variable TSD_1_X ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1052632, p < ,10
Chi-Square: 55,60811, df = 17, p = ,0000055
Posição em x
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.12 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste
231
Expected
Variable TSD_1_Y ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1280228, p < ,05
Chi-Square: 56,37838, df = 17, p = ,0000042
Posição em y
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.13 Modelo de localização em y da família 1 do Taludes Sudeste
Expected
Variable TSD_1_Z ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1105975, p < ,10
Chi-Square: 54,58108, df = 17, p = ,0000081
Posição em z
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.14 Modelo de localização em z da família 1 do Taludes Sudeste
Expected
Variable TSD_2_X ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1061331, p < ,15
Chi-Square: 40,57851, df = 17, p = ,0010775
Posição em x
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.15 Modelo de localização em x da família 2 do Taludes Sudeste
232
Expected
Variable TSD_2_Y ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1278817, p < ,05
Chi-Square: 62,24793, df = 17, p = ,0000005
Posição em y
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.16 Modelo de localização em y da família 2 do Taludes Sudeste
Expected
Variable TSD_2_Z ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1052632, p < ,15
Chi-Square: 37,12397, df = 17, p = ,0032504
Posição em z
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0123456789
1011121314
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.17 Modelo de localização em z da família 2 do Taludes Sudeste
Expected
Variable TSD_3_X ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1052632, p < ,20
Chi-Square: 51,53572, df = 17, p = ,0000246
Posição em x
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.18 Modelo de localização em x da família 3 do Taludes Sudeste
233
Expected
Variable TSD_3_Y ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1052632, p < ,20
Chi-Square: 70,19643, df = 17, p = ,0000000
Posição em y
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.19 Modelo de localização em y da família 3 do Taludes Sudeste
Expected
Variable TSD_3_Z ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1132519, p < ,15
Chi-Square: 52,89286, df = 17, p = ,0000150
Posição em z
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0123456789
1011121314
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Figura D.20 Modelo de localização em z da família 3 do Taludes Sudeste
Expected
Variable TSD_10_X; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,0952381, p < ,05
Chi-Square: 75,50000, df = 19, p = ,0000000
Posição em x
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
02468
10121416182022242628
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Figura D.21 Modelo de localização em x da família 10 do Taludes Sudeste
234
Expected
Variable TSD_10_Y; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,0952381, p < ,05
Chi-Square: 54,29808, df = 19, p = ,0000301
Posição em y
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Figura D.22 Modelo de localização em y da família 10 do Taludes Sudeste
Expected
Variable TSD_10_Z; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1221154, p < ,01
Chi-Square: 88,92307, df = 38, p = ,0000059
Posição em z
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-3-2
-10
12
34
56
78
910
1112
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
3132
3334
3536
37
Figura D.23 Modelo de localização em z da família 10 do Taludes Sudeste
Talude Sudeste (dados observados) Talude Sudeste (dados modelados)
Figura D.24 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do
Talude Sudeste
235
Galeria 11 (dados observados) Galeria 11 (dados modelados)
Figura D.25 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da
Galeria 11
Galeria 12 (dados observados) Galeria 12 (dados modelados)
Figura D.26 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da
Galeria 12
236
Galeria 13 (dados observados) Galeria 13 (dados modelados)
Figura D.27 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da
Galeria 13
Talude Sul (dados observados) Talude Sul (dados modelados)
Figura D.28 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do
Talude Sul
237
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 4Contour Interval = 4Max.Concentration = 25.5
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
103 Poles Plotted103 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUDESTE (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.29 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 3.5Contour Interval = 3.5Max.Concentration = 23.9
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
103 Poles Plotted103 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUDESTE MODELO (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.30 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste
238
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 3.5Contour Interval = 3.5Max.Concentration = 23.5
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
178 Poles Plotted178 Data Entries
STEREONET: GALERIA 11 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.31 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 11
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 4Contour Interval = 4Max.Concentration = 25.5
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
178 Poles Plotted178 Data Entries
STEREONET: GALERIA 11 TALUDE SUL MODELO (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.32 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 11
239
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 2.5Contour Interval = 2.5Max.Concentration = 17.4
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
51 Poles Plotted51 Data Entries
STEREONET: GALERIA 12 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.33 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 12
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 4Contour Interval = 4Max.Concentration = 25.2
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
51 Poles Plotted51 Data Entries
STEREONET: GALERIA 12 TALUDE SUL MODELO (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.34 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 12
240
N
E
S
W
STEREONET: GALERIA 13 (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 5Contour Interval = 5Max.Concentration = 34.4
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
17 Poles Plotted17 Data Entries
Figura D.35 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 13
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 6Contour Interval = 6Max.Concentration = 39.3
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
17 Poles Plotted17 Data Entries
STEREONET: GALERIA 13 TALUDE SUL MODELO (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.36 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 13
241
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 6Contour Interval = 6Max.Concentration = 40.3
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
20 Poles Plotted20 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUL (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.37 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sul
N
E
S
W
POLE LEGEND
POLES
CONTOUR LEGENDFISHER POLE
CONCENTRATIONS% of total per
1.0 % areaMinimum Contour = 6Contour Interval = 6Max.Concentration = 39.6
EQUAL AREALOWER HEMISPHERE
19 Poles Plotted19 Data Entries
STEREONET: TALUDE SUL MODELO (TIMBOPEBA)
DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.38 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sul
242
Expected
Variable TSUD_1_D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0383537, p = n.s.
Chi-Square: 17,13179, df = 12, p = ,1447767 (df adjusted)
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
2 4 6 8 10121416182022242628303234363840424446485052545658
Figura D.39 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste
Expected
Variable TSUD_2_D; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,0610942, p = n.s.
Chi-Square: 22,45707, df = 8, p = ,0041450 (df adjusted)
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Figura D.40 Histograma do diâmetro modelado da família 2 do Talude Sudeste
Expected
Variable TSUD_3_D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0496009, p = n.s.
Chi-Square: 6,575993, df = 6, p = ,3618695 (df adjusted)
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
Figura D.41 Histograma do diâmetro modelado da família 3 do Talude Sudeste
243
Expected
Variable TSUD_10D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0433965, p = n.s.
Chi-Square: 14,64117, df = 14, p = ,4031578 (df adjusted)
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
5
10
15
20
25
30
46
810
1214
1618
2022
2426
2830
3234
3638
4042
4446
4850
5254
5658
6062
6466
68
Figura D.42 Histograma do diâmetro modelado da família 10 do Talude Sudeste
Expected
Variable G11_1_D ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,4326567, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
4
3,600 3,818 4,036 4,255 4,473 4,691 4,909 5,127 5,345 5,564 5,782 6,000
Figura D.43 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 11
Expected
Variable G11_2_D ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,2051471, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
Figura D.44 Histograma do diâmetro modelado da família 2 da Galeria 11
244
Expected
Variable G11_10_D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,2250656, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
Figura D.45 Histograma do diâmetro modelado da família 10 da Galeria 11
Expected
Variable G12_1_D ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,3233638, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Diâmertro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
3
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8
Figura D.46 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 12
Expected
Variable G12_10_D; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,2130626, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Figura D.47 Histograma do diâmetro modelado da família 10 da Galeria 12
245
Expected
Variable G13_1_D ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,2884967, p = n.s.
Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
1
2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2
Figura D.48 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 13
Expected
Variable TSUL_1_D; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,1686884, p < ,01
Chi-Square: 228,0484, df = 7, p = 0,000000 (df adjusted)
Diâmetro (m)
Núm
ero
de o
bser
vaçõ
es
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
021
4162
83103
124145
165186
206227
248268
289310
330351
372392
413434
454475
495516
537557
578599
619640
Figura D.49 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sul
246
E APÊNDICE E
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA
Neste apêndice é apresentada a listagem do programa de integração dupla utilizado para
obter os parâmetros A e B do cálculo do diâmetro das descontinuidades numa superfície de
amostragem infinita. Este programa considera de forma implícita a distribuição bivariacional
para o parâmetro de orientação e as formulações para o calculo de cosθA e senθA, apresentadas
no Capítulo 6, este programa foi desenvolvido para a linguajem de programação FORTRAN.
Também é apresentada a listagem do programa disco.lsp desenvolvido em AtuoLISP para a
geração visual dos modelos em 3D das regiões analisadas e a seguir é apresentado um
exemplo de arquivo de dados, *.txt, este arquivo de dados segui a mesma ordem dos dados da
Tabela 7.1.
247
PROGRAMA PARA INTEGRAÇÃO DUPLA
MODULE NumUtils IMPLICIT NONE CONTAINS FUNCTION SIMP( A, B, C, D, H, K, Fung ) REAL, INTENT(IN) :: A, B, C, D, H, K REAL SIMP INTEGER I, J, N, M INTERFACE FUNCTION Fung(X, Y) REAL Fung REAL, INTENT(IN) :: X, Y END FUNCTION Fung END INTERFACE SIMP = 0 N = NINT( (B-A) / (2 * H) ) ! 2N panels now M = NINT( (D-C) / (2 * K) ) ! 2M panels now ! using notation defined in text DO I = 1, N-1 SIMP=SIMP+2*Fung(A+2*I*H,C)+2*Fung(A+2*I*H,D) END DO DO I = 1, N SIMP=SIMP+4*Fung(A+(2*I-1)*H,C)+4*Fung(A+(2*I-1)*H,D) END DO DO J = 1, M-1 SIMP=SIMP+2*Fung(A,C+2*J*K)+2*Fung(B,C+2*I*K) END DO DO J = 1, M SIMP=SIMP+4*Fung(A,C+(2*J-1)*K)+4*Fung(B,C+(2*J-1)*K) END DO DO J = 1, M-1 DO I = 1, N-1 SIMP=SIMP+4*Fung(A+2*I*H,C+2*J*K) END DO END DO DO J = 1, M-1 DO I = 1, N SIMP=SIMP+8*Fung(A+(2*I-1)*H,C+2*J*K) END DO END DO DO J = 1, M DO I = 1, N-1 SIMP=SIMP+8*Fung(A+2*I*H,C+(2*J-1)*K) END DO END DO DO J = 1, M DO I = 1, N SIMP=SIMP+16*Fung(A+(2*I-1)*H,C+(2*J-1)*K) END DO END DO SIMP=((H*K)/9)*(Fung(A,C)+Fung(B,C)+Fung(A,D)+Fung(B,D)+SIMP)
248
END FUNCTION SIMP END MODULE NumUtils FUNCTION F(X, Y) REAL F, PI, CC, DD, UX, SX, UY, SY, RR REAL, INTENT(IN) :: X, Y PI = 3.141592654 CC = 31.0 * PI/180 !(DIP DIR) PLANO DD = 88.40 * PI/180 !(DIP) PLANO UX = 69.21 * PI/180 !MEDIA (DIP) SX = 17.47 * PI/180 !DESVIO. (DIP) UY = 90.06 * PI/180 !MEDIA (DIP DIR) SY = 105.40 * PI/180 !DESVIO. (DIP DIR) RR = 0.0422 !COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DIP E DIPDIR F = (COS(X)*SIN(DD)-SIN(X)*COS(DD)*COS(Y-CC))/ * (SQRT(1-(COS(X)*COS(DD)+SIN(X)*SIN(DD)*COS(Y-CC))**2))* * 1/(2*PI*SX*SY*SQRT(1-RR**2))*EXP(-1/(2*(1-RR**2))* * (((X-UX)/SX)**2-2*RR*((X-UX)/SX)*((Y-UY)/SY)+((Y-UY)/SY)**2)) END FUNCTION F FUNCTION G(X, Y) REAL G, PI, CC, DD, UX, SX, UY, SY, RR REAL, INTENT(IN) :: X, Y PI = 3.141592654 CC = 31.0 * PI/180 !(DIP DIR) PLANO DD = 88.40 * PI/180 !(DIP) PLANO UX = 69.21 * PI/180 !MEDIA (DIP) SX = 17.47 * PI/180 !DESVIO. (DIP) UY = 90.06 * PI/180 !MEDIA (DIP DIR) SY = 105.40 * PI/180 !DESVIO. (DIP DIR) RR = 0.0422 !COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DIP E DIPDIR G = (SIN(X)*SIN(Y-CC))/ * (SQRT(1-(COS(X)*COS(DD)+SIN(X)*SIN(DD)*COS(Y-CC))**2))* * 1/(2*PI*SX*SY*SQRT(1-RR**2))*EXP(-1/(2*(1-RR**2))* * (((X-UX)/SX)**2-2*RR*((X-UX)/SX)*((Y-UY)/SY)+((Y-UY)/SY)**2)) END FUNCTION G !A main program to put this all together is then: PROGRAM INTEE USE NumUtils IMPLICIT NONE REAL A, B, C, D, H, K, X, Y REAL PI, CC, DD, UX, SX, UY, SY, RR INTEGER PRE
249
INTEGER I, J, N, M INTERFACE FUNCTION F(X, Y) REAL F REAL, INTENT(IN) :: X, Y END FUNCTION F END INTERFACE INTERFACE FUNCTION G(X, Y) REAL G REAL, INTENT(IN) :: X, Y END FUNCTION G END INTERFACE PRINT*, "Enter A, B, C, D, H, K:" READ*, A, B, C, D, H, K PRINT "(' Integral:', F12.8)", SIMP( A, B, C, D, H, K, F ) PRINT "(' Integral:', F12.8)", SIMP( A, B, C, D, H, K, G ) END PROGRAM INTEE PROGRAMA disco.lsp EM AutoLISP PARA A GERAÇÃO VISUAL DOS MODELOS EM
3D
(defun g:dtr(ang) (* pi (/ ang 180.0))) (defun g:cx (pti ptf) (command "BOX" pti ptf)) (defun g:cilin (ptc diam esp) (command "CYLINDER" ptc "d" diam esp)) (defun g:rot (ult eje ptb ang) (if (= eje "x") (progn (command "UCS" "X" 90) (command "UCS" "Y" 90) ) ) (if (= eje "y") (progn (command "UCS" "Z" 180) (command "UCS" "X" 90) ) ) (command "ROTATE" ult "" ptb ang) (command "UCS" "") ) ; (command "ROTATE3D" ult "" eje ptb ang "")) (defun g:move (ult pti ptf) (command "MOVE" ult "" pti ptf)) (defun g:view (ww ) (command "ZOOM" "C" '(0 0 0) (* 2.0 ww)) (command "VPOINT" '(0.6124 -0.6124 0.50)) (command "UCSICON" "NO") (command "BOX" '(0 0 0) '(40 20 20))
250
(setq g:giro 45)) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (VOLUME) :::::::::::::::::::::::: (defun VOLUME (w_x w_y w_z w_dia w_d w_dd); / pt_i pt_f) (command "ZOOM" "C" '(0 0 0) (* 2.0 w_dia)) (command "VPOINT" '(0.6124 -0.6124 0.50)) (command "UCSICON" "NO") ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (setq pt_f (list w_x (- 0 (+ w_x w_y w_z)) (+ w_z w_y w_z)));;caixa inclinada (g:cx '(0 0 0) pt_f) ;;caixa inclinada (setq ult1 (entlast) ; pt_i (list 0 w_y) x_ang (- w_d 90) z_ang (- 90 w_dd) ; g:giro z_ang ) ; (g:move ult1 pt_i '(0 0 0)) ;;mover caixa inclinada (if (/= x_ang 0) ;;girar caixa inclinada em x (dip-janela) (g:rot ult1 "x" '(0 0 0) x_ang) ) (if (/= z_ang 0) ;;girar caixa inclinada em z (dipdir-janela) (g:rot ult1 "z" '(0 0 0) z_ang) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (setq pt_f (list w_x w_y w_z)) ;;caixa modelo (g:cx '(0 0 0) pt_f) ;;caixa modelo (setq ult2 (entlast) ) (if (/= z_ang 0) ;;girar caixa modelo em z (dipdir-janela) (g:rot ult2 "z" '(0 0 0) z_ang) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (command "SUBTRACT" ult2 "" ult1 "") ;;volume do talude (command "COPY" ult2 "" '(0 0 0) '(0 0 0)) ;;duplica. volume do talude ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (setq f_p (* 2.0 w_dia) ;;caixa externa f_n (- 0 f_p) pt_i (list (- f_n (/ w_x 2)) (- f_n (/ w_y 2)) (- f_n (/ w_z 2))) pt_f (list (+ f_p (/ w_x 2)) (+ f_p (/ w_x 2)) (+ f_p (/ w_x 2))) ) (g:cx pt_i pt_f) ;;caixa externa (setq ult3 (entlast) ) (command "SUBTRACT" ult3 "" ult2 "") ;;volume do talude ; (setq ult4 (entlast) ; ) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (JOINTS) :::::::::::::::::::::::: (defun JOINTS (j_x j_y j_z j_dia j_d j_dd );/ pt_c pt_f) (setq pt_c (list j_x j_y j_z) pt_x (list j_y j_z j_x) ; giro (- 90 w_dd) ) (if (/= g:giro 0) (setq cosg (cos (g:dtr g:giro)) seng (sin (g:dtr g:giro)) m_x (- (* j_x cosg) (* j_y seng)) m_y (+ (* j_x seng) (* j_y cosg)) m_z j_z
251
pt_c (list m_x m_y m_z) pt_x (list m_y m_z m_x) ) ) (g:cilin pt_c j_dia 0.01) (setq x_ang j_d z_ang (- 90 j_dd) ) (if (/= x_ang 0) ;;girar joint em x (dip-joint) (g:rot (entlast) "x" pt_x x_ang) ) (if (/= z_ang 0) ;;girar joint em z (dipdir-joint) (g:rot (entlast) "z" pt_c z_ang) ) (setq ultj (ssadd (entlast) ultj)) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (TRAÇOS) ::::::::::::::::::::: (defun TRACO ( ) (command "COPY" ult3 "" '(0 0 0) '(0 0 0) "SUBTRACT" ultj "" (entlast) "") ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (DADOS) ::::::::::::::::::::: (defun G:DDIR ( ) (setq dfil (getfiled "Directory Listing" "C:\\carlos\\D4\\PhD-2\\01-01(b)\\" "txt" 2)) (princ (strcat "\nVariable 'dfil' set to selected file " dfil )) (princ) ) (defun C:CARPER( ) (g:ddir) (setq arq (open dfil "r") line (read-line arq) nn (atoi line) line (read-line arq) g:giro (- 90 (atof line)) conta 1 rep 5 ;; ff (* 5 (/ (1+ nn) 5)) ;; res (- (1+ nn) ff) ) ;; (while (<= conta (1+ nn)) (while (< conta (1+ nn)) (if (>= conta ff) (setq rep res)) (setq ultj nil ultj (ssadd) ) (repeat rep (setq line (read-line arq) data1 (atof line) line (g:str line) data2 (atof line) line (g:str line) data3 (atof line) line (g:str line) data4 (atof line) line (g:str line) data5 (atof line) line (g:str line) data6 (atof line) )
252
(if (= conta 1) (VOLUME data1 data2 data3 data4 data5 data6) (JOINTS data1 data2 data3 data4 data5 data6) ) (setq conta (1+ conta) ) ) (TRACO ) ) (command "erase" ult3 "") (close arq) ) (defun g:str (lin ) (setq poss (vl-string-search " " lin) anula 0 ) (while (and (= poss 0) (/= (strlen lin) 0)) (setq anula (1+ anula) lin (substr lin anula (strlen lin)) poss (vl-string-search " " lin) ) ) (substr lin (1+ poss) (strlen lin)) ) EXEMPLO DE ARQUIVO DE DADOS (*.txt) PARA O PROGRAMA disco.lsp
15.00 300.00 80.00 12.00 12.00 1620.00 90.00 300.00 21.95 11.19 6.14 731.85 64.75 132.66 47.21 1.72 7.68 647.06 71.01 203.33 62.32 4.03 9.80 435.06 44.36 147.63 13.25 5.27 9.93 1553.23 66.57 99.01 23.40 4.27 11.47 730.48 71.43 262.40 51.43 5.66 3.88 655.99 86.70 296.85 21.48 9.41 5.92 815.09 63.38 172.57 70.34 9.60 3.73 786.54 49.25 18.71 16.91 2.07 10.60 365.98 46.03 73.95 14.35 5.44 8.28 334.45 16.32 219.97 50.72 0.27 2.36 1169.27 77.32 295.04 17.37 8.87 3.16 745.50 71.76 321.59 59.58 8.99 11.54 1419.52 69.14 24.02 42.51 8.03 1.59 1167.92 75.01 289.71 48.74 8.51 1.66 1623.88 74.55 2.51
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