Embed Size (px)
Citation preview
Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica
Gabriel Andrade Alves
A conta que fecha a reportagem palco e bastidores em trecircs casos de
matemaacutetica aplicada
Satildeo Paulo
Fevereiro de 2019
Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica
Gabriel Andrade Alves
A conta que fecha a reportagem palco e bastidores em trecircs casos de
matemaacutetica aplicada
Trabalho de Formatura feito sob a orientaccedilatildeo do Prof Dr Eduardo Colli e apresentado agrave Universidade de Satildeo Paulo para a obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Bacharel em Matemaacutetica Aplicada e Computacional
Satildeo Paulo
Fevereiro de 2019
1
Sumaacuterio Agradecimentos 3
Introduccedilatildeo 4
Previsatildeo do tempo 6
O matemaacutetico Saulo Barros 8
A matemaacutetica aacuteguas rasas 11
Referecircncias 21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas 22
O matemaacutetico Seacutergio Oliva 25
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS 27
Referecircncias 34
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo 36
O matemaacutetico Renato Vicente 38
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo 41
Referecircncias 48
Discussatildeo 49
Anexos 50
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave 50
waterwavem 50
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave 53
espalhamentom 53
sirm 56
eulerm 56
sirdm 56
seirdm 57
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave 57
altruismom 57
plotarvksm 61
plotarerrosm 62
plotarlinhasm 62
2
Agradecimentos Este trabalho de formatura teve a participaccedilatildeo crucial de muitas pessoas A primeira a quem devo
agradecer eacute o professor Eduardo Colli por aceitar me orientar e por compartilhar comigo o interesse por
divulgaccedilatildeo cientiacutefica Eacute uma referecircncia que sempre terei
Agradeccedilo aos professores Renato Vicente Saulo Barros e Seacutergio Oliva pela paciecircncia e por aceitarem
ser entrevistados para este projeto e ao William Mur que desenhou e formatou os infograacuteficos aqui
apresentados
Agradeccedilo agrave professora Socircnia Garcia e ao professor Manuel Garcia por sempre acreditarem em mim e
no meu trabalho
Agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha esposa Caroline por todo o suporte dado nos uacuteltimos
anos
Agradeccedilo aos meus colegas e ex-colegas de trabalho da Folha de SPaulo especialmente agrave Mariana
Versolato e ao Ricardo Mioto pelo incentivo agrave realizaccedilatildeo deste projeto e agrave minha formaccedilatildeo no IME
Por fim agradeccedilo aos colegas que estudaram comigo no BMAC com quem sempre aprendi muito Satildeo
todos fontes de inspiraccedilatildeo para mim
Muito obrigado a todos
3
Introduccedilatildeo Falar de matemaacutetica eacute um desafio para profissionais de comunicaccedilatildeo Depois de quase cinco anos na
editoria de ciecircncia de um dos maiores jornais do paiacutes a Folha de SPaulo constatei que uma das aacutereas
de conhecimento que mais me fascinava raramente aparecia em nossas paacuteginas
Quando escrevemos um texto buscamos tornaacute-lo atraente e suficientemente faacutecil de ler mesmo para
quem natildeo tenha conhecimentos avanccedilados sobre o tema Se o assunto for genocircmica por exemplo agraves
vezes precisamos passar a ideia de como funciona o sequenciamento de DNA As bases nitrogenadas
nessa metaacutefora tornam-se letras sequenciar um genoma seria anaacutelogo a soletrar Um gene nada mais
seria do que uma ldquofraserdquo com um sentido bioloacutegico bem-definido como a siacutentese de uma proteiacutena
No caso da matemaacutetica sinto que nosso repertoacuterio de metaacuteforas eacute insuficiente Tambeacutem insuficiente eacute a
bagagem da populaccedilatildeo que muitas vezes soacute associa a matemaacutetica agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e se
muito ao caacutelculo de aacutereas e de proporccedilotildees
Haacute algumas maneiras de tentar amenizar esse quadro A exposiccedilatildeo ao raciociacutenio matemaacutetico desde a
infacircncia eacute uma delas Um exemplo eacute o esforccedilo na promoccedilatildeo de olimpiacuteadas como a Obmep (Olimpiacuteada
Brasileira de Matemaacutetica das Escolas Puacuteblicas) que jaacute conseguiu despertar jovens com vocaccedilatildeo para a
matemaacutetica Sozinhos provavelmente eles natildeo perceberiam esse potencial
Outra possibilidade de atenuar as barreiras entre o saber acadecircmico e o do puacuteblico leigo eacute mostrar que
a matemaacutetica pode ser visualizada e compreendida na forma de objetos frutos dessa linguagem Eacute o
que faz a Matemateca da USP comandada pelo professor Eduardo Colli que tambeacutem se dedica a
outros temas ligados agrave divulgaccedilatildeo matemaacutetica como este trabalho de formatura que ele orientou
Este trabalho nasceu com a proposta de a partir de questotildees ligadas ao mundo real apresentar o
potencial da matemaacutetica para ajudar a compreender o cotidiano e responder questotildees importantes para
outras aacutereas do conhecimento A diversidade de linhas de pesquisa no Departamento de Matemaacutetica
Aplicada do IME foi oportuna
Escolhemos aqui tratar de temas que do ponto de vista jornaliacutestico teriam potencial para se
transformarem em reportagem Aleacutem da fraccedilatildeo do conhecimento a ser potencialmente consumida pelo
grande puacuteblico exploramos com um pouco mais de profundidade a linguagem e a modelagem baacutesicas
dessas aacutereas de pesquisa
Os trecircs assuntos abordados satildeo estes previsatildeo do tempo disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas e
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Os dois primeiros tecircm aplicabilidade mais oacutebvia no dia a dia enquanto o uacuteltimo eacute
uma das questotildees evolutivas mais importantes inclusive considerada por Charles Darwin
4
De posse de ao menos parte do repertoacuterio matemaacutetico que embasa essas questotildees acreditamos ser
possiacutevel fazer um trabalho de divulgaccedilatildeo mais completo que conecte matemaacuteticos e puacuteblico leigo de
uma maneira mais rica e eficiente
5
Previsatildeo do tempo Levar o guarda-chuva ou deixaacute-lo em casa E o casaco Se chover ou fizer frio eacute praga de matildee ou
azar Existe muita matemaacutetica por traacutes da aacuterea que se conhece como meteorologia que estuda o
comportamento da atmosfera e a previsatildeo do tempo
Dias chuvosos podem estragar a praia do final de semana e uma seca pode fazer despencar a
produtividade da lavoura de feijatildeo O planejamento do futuro depende desse tipo de informaccedilatildeo que
tambeacutem pode significar mais seguranccedila eacute sempre bom saber quais as chances de um furacatildeo estar a
caminho (felizmente o Brasil natildeo sofre tanto com esses eventos extremos embora vejamos vez ou
outra grandes ressacas em nossa costa)
O primeiro passo para saber o que vem adiante eacute a obtenccedilatildeo de boas informaccedilotildees relativas ao tempo
no presente as chamadas ldquocondiccedilotildees iniciaisrdquo Para isso satildeo usadas milhares de estaccedilotildees
meteoroloacutegicas em terra que aferem entre outras coisas umidade temperatura de superfiacutecie direccedilatildeo e
velocidade do vento e precipitaccedilatildeo Tambeacutem satildeo usadas informaccedilotildees coletadas por milhares de navios
boias aviotildees balotildees atmosfeacutericos e sateacutelites
Com esse conjunto de dados eacute possiacutevel alimentar modelos matemaacuteticos de como o futuro do tempo
poderia ser Como o total de contas a serem realizadas eacute gigantesco satildeo usados supercomputadores
Caso as contas fossem feitas ldquoagrave matildeordquo ou em computadores como aqueles que temos em casa ou no
trabalho as previsotildees demorariam muito para ficarem prontas ou seja seriam ldquoprevisotildeesrdquo do passado
Perder-se-ia portanto a finalidade mais praacutetica da previsatildeo do tempo de ajudar no planejamento das
atividades cotidianas (embora isso natildeo anulasse seu valor cientiacutefico)
Atualmente os modelos globais mais utilizados fazem boas previsotildees para um prazo de sete a dez dias
Mas como sabemos as previsotildees agraves vezes erram e o tamanho do erro tende a ser maior quanto mais
no futuro tentamos enxergar A matemaacutetica tambeacutem explica isso
Pequenos erros ou imprecisotildees nas medidas das condiccedilotildees iniciais mdashcomo temperatura cobertura de
nuvens ou pressatildeo atmosfeacutericamdash num prazo de apenas alguns dias podem gerar previsotildees nada
condizentes com a realidade
Isso porque a atmosfera pode ser definida como o que os matemaacuteticos chamam de sistema caoacutetico ou
seja no qual pequenas mudanccedilas nas condiccedilotildees iniciais podem acarretar um futuro completamente
diverso
Na deacutecada de 1960 o matemaacutetico Edward Lorenz a partir de modelos simplificados de equaccedilotildees que
regem a dinacircmica atmosfeacuterica chegou a um sistema que ilustra bem a questatildeo Pequeniacutessimas
6
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica
Gabriel Andrade Alves
A conta que fecha a reportagem palco e bastidores em trecircs casos de
matemaacutetica aplicada
Trabalho de Formatura feito sob a orientaccedilatildeo do Prof Dr Eduardo Colli e apresentado agrave Universidade de Satildeo Paulo para a obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Bacharel em Matemaacutetica Aplicada e Computacional
Satildeo Paulo
Fevereiro de 2019
1
Sumaacuterio Agradecimentos 3
Introduccedilatildeo 4
Previsatildeo do tempo 6
O matemaacutetico Saulo Barros 8
A matemaacutetica aacuteguas rasas 11
Referecircncias 21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas 22
O matemaacutetico Seacutergio Oliva 25
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS 27
Referecircncias 34
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo 36
O matemaacutetico Renato Vicente 38
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo 41
Referecircncias 48
Discussatildeo 49
Anexos 50
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave 50
waterwavem 50
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave 53
espalhamentom 53
sirm 56
eulerm 56
sirdm 56
seirdm 57
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave 57
altruismom 57
plotarvksm 61
plotarerrosm 62
plotarlinhasm 62
2
Agradecimentos Este trabalho de formatura teve a participaccedilatildeo crucial de muitas pessoas A primeira a quem devo
agradecer eacute o professor Eduardo Colli por aceitar me orientar e por compartilhar comigo o interesse por
divulgaccedilatildeo cientiacutefica Eacute uma referecircncia que sempre terei
Agradeccedilo aos professores Renato Vicente Saulo Barros e Seacutergio Oliva pela paciecircncia e por aceitarem
ser entrevistados para este projeto e ao William Mur que desenhou e formatou os infograacuteficos aqui
apresentados
Agradeccedilo agrave professora Socircnia Garcia e ao professor Manuel Garcia por sempre acreditarem em mim e
no meu trabalho
Agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha esposa Caroline por todo o suporte dado nos uacuteltimos
anos
Agradeccedilo aos meus colegas e ex-colegas de trabalho da Folha de SPaulo especialmente agrave Mariana
Versolato e ao Ricardo Mioto pelo incentivo agrave realizaccedilatildeo deste projeto e agrave minha formaccedilatildeo no IME
Por fim agradeccedilo aos colegas que estudaram comigo no BMAC com quem sempre aprendi muito Satildeo
todos fontes de inspiraccedilatildeo para mim
Muito obrigado a todos
3
Introduccedilatildeo Falar de matemaacutetica eacute um desafio para profissionais de comunicaccedilatildeo Depois de quase cinco anos na
editoria de ciecircncia de um dos maiores jornais do paiacutes a Folha de SPaulo constatei que uma das aacutereas
de conhecimento que mais me fascinava raramente aparecia em nossas paacuteginas
Quando escrevemos um texto buscamos tornaacute-lo atraente e suficientemente faacutecil de ler mesmo para
quem natildeo tenha conhecimentos avanccedilados sobre o tema Se o assunto for genocircmica por exemplo agraves
vezes precisamos passar a ideia de como funciona o sequenciamento de DNA As bases nitrogenadas
nessa metaacutefora tornam-se letras sequenciar um genoma seria anaacutelogo a soletrar Um gene nada mais
seria do que uma ldquofraserdquo com um sentido bioloacutegico bem-definido como a siacutentese de uma proteiacutena
No caso da matemaacutetica sinto que nosso repertoacuterio de metaacuteforas eacute insuficiente Tambeacutem insuficiente eacute a
bagagem da populaccedilatildeo que muitas vezes soacute associa a matemaacutetica agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e se
muito ao caacutelculo de aacutereas e de proporccedilotildees
Haacute algumas maneiras de tentar amenizar esse quadro A exposiccedilatildeo ao raciociacutenio matemaacutetico desde a
infacircncia eacute uma delas Um exemplo eacute o esforccedilo na promoccedilatildeo de olimpiacuteadas como a Obmep (Olimpiacuteada
Brasileira de Matemaacutetica das Escolas Puacuteblicas) que jaacute conseguiu despertar jovens com vocaccedilatildeo para a
matemaacutetica Sozinhos provavelmente eles natildeo perceberiam esse potencial
Outra possibilidade de atenuar as barreiras entre o saber acadecircmico e o do puacuteblico leigo eacute mostrar que
a matemaacutetica pode ser visualizada e compreendida na forma de objetos frutos dessa linguagem Eacute o
que faz a Matemateca da USP comandada pelo professor Eduardo Colli que tambeacutem se dedica a
outros temas ligados agrave divulgaccedilatildeo matemaacutetica como este trabalho de formatura que ele orientou
Este trabalho nasceu com a proposta de a partir de questotildees ligadas ao mundo real apresentar o
potencial da matemaacutetica para ajudar a compreender o cotidiano e responder questotildees importantes para
outras aacutereas do conhecimento A diversidade de linhas de pesquisa no Departamento de Matemaacutetica
Aplicada do IME foi oportuna
Escolhemos aqui tratar de temas que do ponto de vista jornaliacutestico teriam potencial para se
transformarem em reportagem Aleacutem da fraccedilatildeo do conhecimento a ser potencialmente consumida pelo
grande puacuteblico exploramos com um pouco mais de profundidade a linguagem e a modelagem baacutesicas
dessas aacutereas de pesquisa
Os trecircs assuntos abordados satildeo estes previsatildeo do tempo disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas e
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Os dois primeiros tecircm aplicabilidade mais oacutebvia no dia a dia enquanto o uacuteltimo eacute
uma das questotildees evolutivas mais importantes inclusive considerada por Charles Darwin
4
De posse de ao menos parte do repertoacuterio matemaacutetico que embasa essas questotildees acreditamos ser
possiacutevel fazer um trabalho de divulgaccedilatildeo mais completo que conecte matemaacuteticos e puacuteblico leigo de
uma maneira mais rica e eficiente
5
Previsatildeo do tempo Levar o guarda-chuva ou deixaacute-lo em casa E o casaco Se chover ou fizer frio eacute praga de matildee ou
azar Existe muita matemaacutetica por traacutes da aacuterea que se conhece como meteorologia que estuda o
comportamento da atmosfera e a previsatildeo do tempo
Dias chuvosos podem estragar a praia do final de semana e uma seca pode fazer despencar a
produtividade da lavoura de feijatildeo O planejamento do futuro depende desse tipo de informaccedilatildeo que
tambeacutem pode significar mais seguranccedila eacute sempre bom saber quais as chances de um furacatildeo estar a
caminho (felizmente o Brasil natildeo sofre tanto com esses eventos extremos embora vejamos vez ou
outra grandes ressacas em nossa costa)
O primeiro passo para saber o que vem adiante eacute a obtenccedilatildeo de boas informaccedilotildees relativas ao tempo
no presente as chamadas ldquocondiccedilotildees iniciaisrdquo Para isso satildeo usadas milhares de estaccedilotildees
meteoroloacutegicas em terra que aferem entre outras coisas umidade temperatura de superfiacutecie direccedilatildeo e
velocidade do vento e precipitaccedilatildeo Tambeacutem satildeo usadas informaccedilotildees coletadas por milhares de navios
boias aviotildees balotildees atmosfeacutericos e sateacutelites
Com esse conjunto de dados eacute possiacutevel alimentar modelos matemaacuteticos de como o futuro do tempo
poderia ser Como o total de contas a serem realizadas eacute gigantesco satildeo usados supercomputadores
Caso as contas fossem feitas ldquoagrave matildeordquo ou em computadores como aqueles que temos em casa ou no
trabalho as previsotildees demorariam muito para ficarem prontas ou seja seriam ldquoprevisotildeesrdquo do passado
Perder-se-ia portanto a finalidade mais praacutetica da previsatildeo do tempo de ajudar no planejamento das
atividades cotidianas (embora isso natildeo anulasse seu valor cientiacutefico)
Atualmente os modelos globais mais utilizados fazem boas previsotildees para um prazo de sete a dez dias
Mas como sabemos as previsotildees agraves vezes erram e o tamanho do erro tende a ser maior quanto mais
no futuro tentamos enxergar A matemaacutetica tambeacutem explica isso
Pequenos erros ou imprecisotildees nas medidas das condiccedilotildees iniciais mdashcomo temperatura cobertura de
nuvens ou pressatildeo atmosfeacutericamdash num prazo de apenas alguns dias podem gerar previsotildees nada
condizentes com a realidade
Isso porque a atmosfera pode ser definida como o que os matemaacuteticos chamam de sistema caoacutetico ou
seja no qual pequenas mudanccedilas nas condiccedilotildees iniciais podem acarretar um futuro completamente
diverso
Na deacutecada de 1960 o matemaacutetico Edward Lorenz a partir de modelos simplificados de equaccedilotildees que
regem a dinacircmica atmosfeacuterica chegou a um sistema que ilustra bem a questatildeo Pequeniacutessimas
6
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Sumaacuterio Agradecimentos 3
Introduccedilatildeo 4
Previsatildeo do tempo 6
O matemaacutetico Saulo Barros 8
A matemaacutetica aacuteguas rasas 11
Referecircncias 21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas 22
O matemaacutetico Seacutergio Oliva 25
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS 27
Referecircncias 34
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo 36
O matemaacutetico Renato Vicente 38
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo 41
Referecircncias 48
Discussatildeo 49
Anexos 50
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave 50
waterwavem 50
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave 53
espalhamentom 53
sirm 56
eulerm 56
sirdm 56
seirdm 57
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave 57
altruismom 57
plotarvksm 61
plotarerrosm 62
plotarlinhasm 62
2
Agradecimentos Este trabalho de formatura teve a participaccedilatildeo crucial de muitas pessoas A primeira a quem devo
agradecer eacute o professor Eduardo Colli por aceitar me orientar e por compartilhar comigo o interesse por
divulgaccedilatildeo cientiacutefica Eacute uma referecircncia que sempre terei
Agradeccedilo aos professores Renato Vicente Saulo Barros e Seacutergio Oliva pela paciecircncia e por aceitarem
ser entrevistados para este projeto e ao William Mur que desenhou e formatou os infograacuteficos aqui
apresentados
Agradeccedilo agrave professora Socircnia Garcia e ao professor Manuel Garcia por sempre acreditarem em mim e
no meu trabalho
Agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha esposa Caroline por todo o suporte dado nos uacuteltimos
anos
Agradeccedilo aos meus colegas e ex-colegas de trabalho da Folha de SPaulo especialmente agrave Mariana
Versolato e ao Ricardo Mioto pelo incentivo agrave realizaccedilatildeo deste projeto e agrave minha formaccedilatildeo no IME
Por fim agradeccedilo aos colegas que estudaram comigo no BMAC com quem sempre aprendi muito Satildeo
todos fontes de inspiraccedilatildeo para mim
Muito obrigado a todos
3
Introduccedilatildeo Falar de matemaacutetica eacute um desafio para profissionais de comunicaccedilatildeo Depois de quase cinco anos na
editoria de ciecircncia de um dos maiores jornais do paiacutes a Folha de SPaulo constatei que uma das aacutereas
de conhecimento que mais me fascinava raramente aparecia em nossas paacuteginas
Quando escrevemos um texto buscamos tornaacute-lo atraente e suficientemente faacutecil de ler mesmo para
quem natildeo tenha conhecimentos avanccedilados sobre o tema Se o assunto for genocircmica por exemplo agraves
vezes precisamos passar a ideia de como funciona o sequenciamento de DNA As bases nitrogenadas
nessa metaacutefora tornam-se letras sequenciar um genoma seria anaacutelogo a soletrar Um gene nada mais
seria do que uma ldquofraserdquo com um sentido bioloacutegico bem-definido como a siacutentese de uma proteiacutena
No caso da matemaacutetica sinto que nosso repertoacuterio de metaacuteforas eacute insuficiente Tambeacutem insuficiente eacute a
bagagem da populaccedilatildeo que muitas vezes soacute associa a matemaacutetica agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e se
muito ao caacutelculo de aacutereas e de proporccedilotildees
Haacute algumas maneiras de tentar amenizar esse quadro A exposiccedilatildeo ao raciociacutenio matemaacutetico desde a
infacircncia eacute uma delas Um exemplo eacute o esforccedilo na promoccedilatildeo de olimpiacuteadas como a Obmep (Olimpiacuteada
Brasileira de Matemaacutetica das Escolas Puacuteblicas) que jaacute conseguiu despertar jovens com vocaccedilatildeo para a
matemaacutetica Sozinhos provavelmente eles natildeo perceberiam esse potencial
Outra possibilidade de atenuar as barreiras entre o saber acadecircmico e o do puacuteblico leigo eacute mostrar que
a matemaacutetica pode ser visualizada e compreendida na forma de objetos frutos dessa linguagem Eacute o
que faz a Matemateca da USP comandada pelo professor Eduardo Colli que tambeacutem se dedica a
outros temas ligados agrave divulgaccedilatildeo matemaacutetica como este trabalho de formatura que ele orientou
Este trabalho nasceu com a proposta de a partir de questotildees ligadas ao mundo real apresentar o
potencial da matemaacutetica para ajudar a compreender o cotidiano e responder questotildees importantes para
outras aacutereas do conhecimento A diversidade de linhas de pesquisa no Departamento de Matemaacutetica
Aplicada do IME foi oportuna
Escolhemos aqui tratar de temas que do ponto de vista jornaliacutestico teriam potencial para se
transformarem em reportagem Aleacutem da fraccedilatildeo do conhecimento a ser potencialmente consumida pelo
grande puacuteblico exploramos com um pouco mais de profundidade a linguagem e a modelagem baacutesicas
dessas aacutereas de pesquisa
Os trecircs assuntos abordados satildeo estes previsatildeo do tempo disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas e
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Os dois primeiros tecircm aplicabilidade mais oacutebvia no dia a dia enquanto o uacuteltimo eacute
uma das questotildees evolutivas mais importantes inclusive considerada por Charles Darwin
4
De posse de ao menos parte do repertoacuterio matemaacutetico que embasa essas questotildees acreditamos ser
possiacutevel fazer um trabalho de divulgaccedilatildeo mais completo que conecte matemaacuteticos e puacuteblico leigo de
uma maneira mais rica e eficiente
5
Previsatildeo do tempo Levar o guarda-chuva ou deixaacute-lo em casa E o casaco Se chover ou fizer frio eacute praga de matildee ou
azar Existe muita matemaacutetica por traacutes da aacuterea que se conhece como meteorologia que estuda o
comportamento da atmosfera e a previsatildeo do tempo
Dias chuvosos podem estragar a praia do final de semana e uma seca pode fazer despencar a
produtividade da lavoura de feijatildeo O planejamento do futuro depende desse tipo de informaccedilatildeo que
tambeacutem pode significar mais seguranccedila eacute sempre bom saber quais as chances de um furacatildeo estar a
caminho (felizmente o Brasil natildeo sofre tanto com esses eventos extremos embora vejamos vez ou
outra grandes ressacas em nossa costa)
O primeiro passo para saber o que vem adiante eacute a obtenccedilatildeo de boas informaccedilotildees relativas ao tempo
no presente as chamadas ldquocondiccedilotildees iniciaisrdquo Para isso satildeo usadas milhares de estaccedilotildees
meteoroloacutegicas em terra que aferem entre outras coisas umidade temperatura de superfiacutecie direccedilatildeo e
velocidade do vento e precipitaccedilatildeo Tambeacutem satildeo usadas informaccedilotildees coletadas por milhares de navios
boias aviotildees balotildees atmosfeacutericos e sateacutelites
Com esse conjunto de dados eacute possiacutevel alimentar modelos matemaacuteticos de como o futuro do tempo
poderia ser Como o total de contas a serem realizadas eacute gigantesco satildeo usados supercomputadores
Caso as contas fossem feitas ldquoagrave matildeordquo ou em computadores como aqueles que temos em casa ou no
trabalho as previsotildees demorariam muito para ficarem prontas ou seja seriam ldquoprevisotildeesrdquo do passado
Perder-se-ia portanto a finalidade mais praacutetica da previsatildeo do tempo de ajudar no planejamento das
atividades cotidianas (embora isso natildeo anulasse seu valor cientiacutefico)
Atualmente os modelos globais mais utilizados fazem boas previsotildees para um prazo de sete a dez dias
Mas como sabemos as previsotildees agraves vezes erram e o tamanho do erro tende a ser maior quanto mais
no futuro tentamos enxergar A matemaacutetica tambeacutem explica isso
Pequenos erros ou imprecisotildees nas medidas das condiccedilotildees iniciais mdashcomo temperatura cobertura de
nuvens ou pressatildeo atmosfeacutericamdash num prazo de apenas alguns dias podem gerar previsotildees nada
condizentes com a realidade
Isso porque a atmosfera pode ser definida como o que os matemaacuteticos chamam de sistema caoacutetico ou
seja no qual pequenas mudanccedilas nas condiccedilotildees iniciais podem acarretar um futuro completamente
diverso
Na deacutecada de 1960 o matemaacutetico Edward Lorenz a partir de modelos simplificados de equaccedilotildees que
regem a dinacircmica atmosfeacuterica chegou a um sistema que ilustra bem a questatildeo Pequeniacutessimas
6
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Agradecimentos Este trabalho de formatura teve a participaccedilatildeo crucial de muitas pessoas A primeira a quem devo
agradecer eacute o professor Eduardo Colli por aceitar me orientar e por compartilhar comigo o interesse por
divulgaccedilatildeo cientiacutefica Eacute uma referecircncia que sempre terei
Agradeccedilo aos professores Renato Vicente Saulo Barros e Seacutergio Oliva pela paciecircncia e por aceitarem
ser entrevistados para este projeto e ao William Mur que desenhou e formatou os infograacuteficos aqui
apresentados
Agradeccedilo agrave professora Socircnia Garcia e ao professor Manuel Garcia por sempre acreditarem em mim e
no meu trabalho
Agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha esposa Caroline por todo o suporte dado nos uacuteltimos
anos
Agradeccedilo aos meus colegas e ex-colegas de trabalho da Folha de SPaulo especialmente agrave Mariana
Versolato e ao Ricardo Mioto pelo incentivo agrave realizaccedilatildeo deste projeto e agrave minha formaccedilatildeo no IME
Por fim agradeccedilo aos colegas que estudaram comigo no BMAC com quem sempre aprendi muito Satildeo
todos fontes de inspiraccedilatildeo para mim
Muito obrigado a todos
3
Introduccedilatildeo Falar de matemaacutetica eacute um desafio para profissionais de comunicaccedilatildeo Depois de quase cinco anos na
editoria de ciecircncia de um dos maiores jornais do paiacutes a Folha de SPaulo constatei que uma das aacutereas
de conhecimento que mais me fascinava raramente aparecia em nossas paacuteginas
Quando escrevemos um texto buscamos tornaacute-lo atraente e suficientemente faacutecil de ler mesmo para
quem natildeo tenha conhecimentos avanccedilados sobre o tema Se o assunto for genocircmica por exemplo agraves
vezes precisamos passar a ideia de como funciona o sequenciamento de DNA As bases nitrogenadas
nessa metaacutefora tornam-se letras sequenciar um genoma seria anaacutelogo a soletrar Um gene nada mais
seria do que uma ldquofraserdquo com um sentido bioloacutegico bem-definido como a siacutentese de uma proteiacutena
No caso da matemaacutetica sinto que nosso repertoacuterio de metaacuteforas eacute insuficiente Tambeacutem insuficiente eacute a
bagagem da populaccedilatildeo que muitas vezes soacute associa a matemaacutetica agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e se
muito ao caacutelculo de aacutereas e de proporccedilotildees
Haacute algumas maneiras de tentar amenizar esse quadro A exposiccedilatildeo ao raciociacutenio matemaacutetico desde a
infacircncia eacute uma delas Um exemplo eacute o esforccedilo na promoccedilatildeo de olimpiacuteadas como a Obmep (Olimpiacuteada
Brasileira de Matemaacutetica das Escolas Puacuteblicas) que jaacute conseguiu despertar jovens com vocaccedilatildeo para a
matemaacutetica Sozinhos provavelmente eles natildeo perceberiam esse potencial
Outra possibilidade de atenuar as barreiras entre o saber acadecircmico e o do puacuteblico leigo eacute mostrar que
a matemaacutetica pode ser visualizada e compreendida na forma de objetos frutos dessa linguagem Eacute o
que faz a Matemateca da USP comandada pelo professor Eduardo Colli que tambeacutem se dedica a
outros temas ligados agrave divulgaccedilatildeo matemaacutetica como este trabalho de formatura que ele orientou
Este trabalho nasceu com a proposta de a partir de questotildees ligadas ao mundo real apresentar o
potencial da matemaacutetica para ajudar a compreender o cotidiano e responder questotildees importantes para
outras aacutereas do conhecimento A diversidade de linhas de pesquisa no Departamento de Matemaacutetica
Aplicada do IME foi oportuna
Escolhemos aqui tratar de temas que do ponto de vista jornaliacutestico teriam potencial para se
transformarem em reportagem Aleacutem da fraccedilatildeo do conhecimento a ser potencialmente consumida pelo
grande puacuteblico exploramos com um pouco mais de profundidade a linguagem e a modelagem baacutesicas
dessas aacutereas de pesquisa
Os trecircs assuntos abordados satildeo estes previsatildeo do tempo disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas e
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Os dois primeiros tecircm aplicabilidade mais oacutebvia no dia a dia enquanto o uacuteltimo eacute
uma das questotildees evolutivas mais importantes inclusive considerada por Charles Darwin
4
De posse de ao menos parte do repertoacuterio matemaacutetico que embasa essas questotildees acreditamos ser
possiacutevel fazer um trabalho de divulgaccedilatildeo mais completo que conecte matemaacuteticos e puacuteblico leigo de
uma maneira mais rica e eficiente
5
Previsatildeo do tempo Levar o guarda-chuva ou deixaacute-lo em casa E o casaco Se chover ou fizer frio eacute praga de matildee ou
azar Existe muita matemaacutetica por traacutes da aacuterea que se conhece como meteorologia que estuda o
comportamento da atmosfera e a previsatildeo do tempo
Dias chuvosos podem estragar a praia do final de semana e uma seca pode fazer despencar a
produtividade da lavoura de feijatildeo O planejamento do futuro depende desse tipo de informaccedilatildeo que
tambeacutem pode significar mais seguranccedila eacute sempre bom saber quais as chances de um furacatildeo estar a
caminho (felizmente o Brasil natildeo sofre tanto com esses eventos extremos embora vejamos vez ou
outra grandes ressacas em nossa costa)
O primeiro passo para saber o que vem adiante eacute a obtenccedilatildeo de boas informaccedilotildees relativas ao tempo
no presente as chamadas ldquocondiccedilotildees iniciaisrdquo Para isso satildeo usadas milhares de estaccedilotildees
meteoroloacutegicas em terra que aferem entre outras coisas umidade temperatura de superfiacutecie direccedilatildeo e
velocidade do vento e precipitaccedilatildeo Tambeacutem satildeo usadas informaccedilotildees coletadas por milhares de navios
boias aviotildees balotildees atmosfeacutericos e sateacutelites
Com esse conjunto de dados eacute possiacutevel alimentar modelos matemaacuteticos de como o futuro do tempo
poderia ser Como o total de contas a serem realizadas eacute gigantesco satildeo usados supercomputadores
Caso as contas fossem feitas ldquoagrave matildeordquo ou em computadores como aqueles que temos em casa ou no
trabalho as previsotildees demorariam muito para ficarem prontas ou seja seriam ldquoprevisotildeesrdquo do passado
Perder-se-ia portanto a finalidade mais praacutetica da previsatildeo do tempo de ajudar no planejamento das
atividades cotidianas (embora isso natildeo anulasse seu valor cientiacutefico)
Atualmente os modelos globais mais utilizados fazem boas previsotildees para um prazo de sete a dez dias
Mas como sabemos as previsotildees agraves vezes erram e o tamanho do erro tende a ser maior quanto mais
no futuro tentamos enxergar A matemaacutetica tambeacutem explica isso
Pequenos erros ou imprecisotildees nas medidas das condiccedilotildees iniciais mdashcomo temperatura cobertura de
nuvens ou pressatildeo atmosfeacutericamdash num prazo de apenas alguns dias podem gerar previsotildees nada
condizentes com a realidade
Isso porque a atmosfera pode ser definida como o que os matemaacuteticos chamam de sistema caoacutetico ou
seja no qual pequenas mudanccedilas nas condiccedilotildees iniciais podem acarretar um futuro completamente
diverso
Na deacutecada de 1960 o matemaacutetico Edward Lorenz a partir de modelos simplificados de equaccedilotildees que
regem a dinacircmica atmosfeacuterica chegou a um sistema que ilustra bem a questatildeo Pequeniacutessimas
6
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Introduccedilatildeo Falar de matemaacutetica eacute um desafio para profissionais de comunicaccedilatildeo Depois de quase cinco anos na
editoria de ciecircncia de um dos maiores jornais do paiacutes a Folha de SPaulo constatei que uma das aacutereas
de conhecimento que mais me fascinava raramente aparecia em nossas paacuteginas
Quando escrevemos um texto buscamos tornaacute-lo atraente e suficientemente faacutecil de ler mesmo para
quem natildeo tenha conhecimentos avanccedilados sobre o tema Se o assunto for genocircmica por exemplo agraves
vezes precisamos passar a ideia de como funciona o sequenciamento de DNA As bases nitrogenadas
nessa metaacutefora tornam-se letras sequenciar um genoma seria anaacutelogo a soletrar Um gene nada mais
seria do que uma ldquofraserdquo com um sentido bioloacutegico bem-definido como a siacutentese de uma proteiacutena
No caso da matemaacutetica sinto que nosso repertoacuterio de metaacuteforas eacute insuficiente Tambeacutem insuficiente eacute a
bagagem da populaccedilatildeo que muitas vezes soacute associa a matemaacutetica agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e se
muito ao caacutelculo de aacutereas e de proporccedilotildees
Haacute algumas maneiras de tentar amenizar esse quadro A exposiccedilatildeo ao raciociacutenio matemaacutetico desde a
infacircncia eacute uma delas Um exemplo eacute o esforccedilo na promoccedilatildeo de olimpiacuteadas como a Obmep (Olimpiacuteada
Brasileira de Matemaacutetica das Escolas Puacuteblicas) que jaacute conseguiu despertar jovens com vocaccedilatildeo para a
matemaacutetica Sozinhos provavelmente eles natildeo perceberiam esse potencial
Outra possibilidade de atenuar as barreiras entre o saber acadecircmico e o do puacuteblico leigo eacute mostrar que
a matemaacutetica pode ser visualizada e compreendida na forma de objetos frutos dessa linguagem Eacute o
que faz a Matemateca da USP comandada pelo professor Eduardo Colli que tambeacutem se dedica a
outros temas ligados agrave divulgaccedilatildeo matemaacutetica como este trabalho de formatura que ele orientou
Este trabalho nasceu com a proposta de a partir de questotildees ligadas ao mundo real apresentar o
potencial da matemaacutetica para ajudar a compreender o cotidiano e responder questotildees importantes para
outras aacutereas do conhecimento A diversidade de linhas de pesquisa no Departamento de Matemaacutetica
Aplicada do IME foi oportuna
Escolhemos aqui tratar de temas que do ponto de vista jornaliacutestico teriam potencial para se
transformarem em reportagem Aleacutem da fraccedilatildeo do conhecimento a ser potencialmente consumida pelo
grande puacuteblico exploramos com um pouco mais de profundidade a linguagem e a modelagem baacutesicas
dessas aacutereas de pesquisa
Os trecircs assuntos abordados satildeo estes previsatildeo do tempo disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas e
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Os dois primeiros tecircm aplicabilidade mais oacutebvia no dia a dia enquanto o uacuteltimo eacute
uma das questotildees evolutivas mais importantes inclusive considerada por Charles Darwin
4
De posse de ao menos parte do repertoacuterio matemaacutetico que embasa essas questotildees acreditamos ser
possiacutevel fazer um trabalho de divulgaccedilatildeo mais completo que conecte matemaacuteticos e puacuteblico leigo de
uma maneira mais rica e eficiente
5
Previsatildeo do tempo Levar o guarda-chuva ou deixaacute-lo em casa E o casaco Se chover ou fizer frio eacute praga de matildee ou
azar Existe muita matemaacutetica por traacutes da aacuterea que se conhece como meteorologia que estuda o
comportamento da atmosfera e a previsatildeo do tempo
Dias chuvosos podem estragar a praia do final de semana e uma seca pode fazer despencar a
produtividade da lavoura de feijatildeo O planejamento do futuro depende desse tipo de informaccedilatildeo que
tambeacutem pode significar mais seguranccedila eacute sempre bom saber quais as chances de um furacatildeo estar a
caminho (felizmente o Brasil natildeo sofre tanto com esses eventos extremos embora vejamos vez ou
outra grandes ressacas em nossa costa)
O primeiro passo para saber o que vem adiante eacute a obtenccedilatildeo de boas informaccedilotildees relativas ao tempo
no presente as chamadas ldquocondiccedilotildees iniciaisrdquo Para isso satildeo usadas milhares de estaccedilotildees
meteoroloacutegicas em terra que aferem entre outras coisas umidade temperatura de superfiacutecie direccedilatildeo e
velocidade do vento e precipitaccedilatildeo Tambeacutem satildeo usadas informaccedilotildees coletadas por milhares de navios
boias aviotildees balotildees atmosfeacutericos e sateacutelites
Com esse conjunto de dados eacute possiacutevel alimentar modelos matemaacuteticos de como o futuro do tempo
poderia ser Como o total de contas a serem realizadas eacute gigantesco satildeo usados supercomputadores
Caso as contas fossem feitas ldquoagrave matildeordquo ou em computadores como aqueles que temos em casa ou no
trabalho as previsotildees demorariam muito para ficarem prontas ou seja seriam ldquoprevisotildeesrdquo do passado
Perder-se-ia portanto a finalidade mais praacutetica da previsatildeo do tempo de ajudar no planejamento das
atividades cotidianas (embora isso natildeo anulasse seu valor cientiacutefico)
Atualmente os modelos globais mais utilizados fazem boas previsotildees para um prazo de sete a dez dias
Mas como sabemos as previsotildees agraves vezes erram e o tamanho do erro tende a ser maior quanto mais
no futuro tentamos enxergar A matemaacutetica tambeacutem explica isso
Pequenos erros ou imprecisotildees nas medidas das condiccedilotildees iniciais mdashcomo temperatura cobertura de
nuvens ou pressatildeo atmosfeacutericamdash num prazo de apenas alguns dias podem gerar previsotildees nada
condizentes com a realidade
Isso porque a atmosfera pode ser definida como o que os matemaacuteticos chamam de sistema caoacutetico ou
seja no qual pequenas mudanccedilas nas condiccedilotildees iniciais podem acarretar um futuro completamente
diverso
Na deacutecada de 1960 o matemaacutetico Edward Lorenz a partir de modelos simplificados de equaccedilotildees que
regem a dinacircmica atmosfeacuterica chegou a um sistema que ilustra bem a questatildeo Pequeniacutessimas
6
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
De posse de ao menos parte do repertoacuterio matemaacutetico que embasa essas questotildees acreditamos ser
possiacutevel fazer um trabalho de divulgaccedilatildeo mais completo que conecte matemaacuteticos e puacuteblico leigo de
uma maneira mais rica e eficiente
5
Previsatildeo do tempo Levar o guarda-chuva ou deixaacute-lo em casa E o casaco Se chover ou fizer frio eacute praga de matildee ou
azar Existe muita matemaacutetica por traacutes da aacuterea que se conhece como meteorologia que estuda o
comportamento da atmosfera e a previsatildeo do tempo
Dias chuvosos podem estragar a praia do final de semana e uma seca pode fazer despencar a
produtividade da lavoura de feijatildeo O planejamento do futuro depende desse tipo de informaccedilatildeo que
tambeacutem pode significar mais seguranccedila eacute sempre bom saber quais as chances de um furacatildeo estar a
caminho (felizmente o Brasil natildeo sofre tanto com esses eventos extremos embora vejamos vez ou
outra grandes ressacas em nossa costa)
O primeiro passo para saber o que vem adiante eacute a obtenccedilatildeo de boas informaccedilotildees relativas ao tempo
no presente as chamadas ldquocondiccedilotildees iniciaisrdquo Para isso satildeo usadas milhares de estaccedilotildees
meteoroloacutegicas em terra que aferem entre outras coisas umidade temperatura de superfiacutecie direccedilatildeo e
velocidade do vento e precipitaccedilatildeo Tambeacutem satildeo usadas informaccedilotildees coletadas por milhares de navios
boias aviotildees balotildees atmosfeacutericos e sateacutelites
Com esse conjunto de dados eacute possiacutevel alimentar modelos matemaacuteticos de como o futuro do tempo
poderia ser Como o total de contas a serem realizadas eacute gigantesco satildeo usados supercomputadores
Caso as contas fossem feitas ldquoagrave matildeordquo ou em computadores como aqueles que temos em casa ou no
trabalho as previsotildees demorariam muito para ficarem prontas ou seja seriam ldquoprevisotildeesrdquo do passado
Perder-se-ia portanto a finalidade mais praacutetica da previsatildeo do tempo de ajudar no planejamento das
atividades cotidianas (embora isso natildeo anulasse seu valor cientiacutefico)
Atualmente os modelos globais mais utilizados fazem boas previsotildees para um prazo de sete a dez dias
Mas como sabemos as previsotildees agraves vezes erram e o tamanho do erro tende a ser maior quanto mais
no futuro tentamos enxergar A matemaacutetica tambeacutem explica isso
Pequenos erros ou imprecisotildees nas medidas das condiccedilotildees iniciais mdashcomo temperatura cobertura de
nuvens ou pressatildeo atmosfeacutericamdash num prazo de apenas alguns dias podem gerar previsotildees nada
condizentes com a realidade
Isso porque a atmosfera pode ser definida como o que os matemaacuteticos chamam de sistema caoacutetico ou
seja no qual pequenas mudanccedilas nas condiccedilotildees iniciais podem acarretar um futuro completamente
diverso
Na deacutecada de 1960 o matemaacutetico Edward Lorenz a partir de modelos simplificados de equaccedilotildees que
regem a dinacircmica atmosfeacuterica chegou a um sistema que ilustra bem a questatildeo Pequeniacutessimas
6
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Previsatildeo do tempo Levar o guarda-chuva ou deixaacute-lo em casa E o casaco Se chover ou fizer frio eacute praga de matildee ou
azar Existe muita matemaacutetica por traacutes da aacuterea que se conhece como meteorologia que estuda o
comportamento da atmosfera e a previsatildeo do tempo
Dias chuvosos podem estragar a praia do final de semana e uma seca pode fazer despencar a
produtividade da lavoura de feijatildeo O planejamento do futuro depende desse tipo de informaccedilatildeo que
tambeacutem pode significar mais seguranccedila eacute sempre bom saber quais as chances de um furacatildeo estar a
caminho (felizmente o Brasil natildeo sofre tanto com esses eventos extremos embora vejamos vez ou
outra grandes ressacas em nossa costa)
O primeiro passo para saber o que vem adiante eacute a obtenccedilatildeo de boas informaccedilotildees relativas ao tempo
no presente as chamadas ldquocondiccedilotildees iniciaisrdquo Para isso satildeo usadas milhares de estaccedilotildees
meteoroloacutegicas em terra que aferem entre outras coisas umidade temperatura de superfiacutecie direccedilatildeo e
velocidade do vento e precipitaccedilatildeo Tambeacutem satildeo usadas informaccedilotildees coletadas por milhares de navios
boias aviotildees balotildees atmosfeacutericos e sateacutelites
Com esse conjunto de dados eacute possiacutevel alimentar modelos matemaacuteticos de como o futuro do tempo
poderia ser Como o total de contas a serem realizadas eacute gigantesco satildeo usados supercomputadores
Caso as contas fossem feitas ldquoagrave matildeordquo ou em computadores como aqueles que temos em casa ou no
trabalho as previsotildees demorariam muito para ficarem prontas ou seja seriam ldquoprevisotildeesrdquo do passado
Perder-se-ia portanto a finalidade mais praacutetica da previsatildeo do tempo de ajudar no planejamento das
atividades cotidianas (embora isso natildeo anulasse seu valor cientiacutefico)
Atualmente os modelos globais mais utilizados fazem boas previsotildees para um prazo de sete a dez dias
Mas como sabemos as previsotildees agraves vezes erram e o tamanho do erro tende a ser maior quanto mais
no futuro tentamos enxergar A matemaacutetica tambeacutem explica isso
Pequenos erros ou imprecisotildees nas medidas das condiccedilotildees iniciais mdashcomo temperatura cobertura de
nuvens ou pressatildeo atmosfeacutericamdash num prazo de apenas alguns dias podem gerar previsotildees nada
condizentes com a realidade
Isso porque a atmosfera pode ser definida como o que os matemaacuteticos chamam de sistema caoacutetico ou
seja no qual pequenas mudanccedilas nas condiccedilotildees iniciais podem acarretar um futuro completamente
diverso
Na deacutecada de 1960 o matemaacutetico Edward Lorenz a partir de modelos simplificados de equaccedilotildees que
regem a dinacircmica atmosfeacuterica chegou a um sistema que ilustra bem a questatildeo Pequeniacutessimas
6
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
variaccedilotildees nas coordenadas do ponto de partida levam a comportamentos bastante distintos com
padrotildees de movimentos complexos e natildeo repetitivos
Um meio de tentar garantir a confiabilidade das previsotildees no meacutedio prazo explica Saulo Barros
professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP que trabalha com o tema eacute fazer as
projeccedilotildees tambeacutem com pequenas perturbaccedilotildees nas condiccedilotildees iniciais a chamada previsatildeo por
conjuntos realizadas haacute cerca de 25 anos
Se essas previsotildees forem bastante parecidas entre si haacute confianccedila de que a realidade seraacute muito
parecida com a meacutedia desse conjunto Se as pequenas variaccedilotildees gerarem previsotildees muito divergentes
o futuro torna-se mais cinzento figurativamente falando
Outra maneira de tentar acertar mais do que errar eacute com melhores modelos matemaacuteticos aacuterea na qual
a atuaccedilatildeo de matemaacuteticos engenheiros meteorologistas e outros cientistas eacute intensa
ldquoNingueacutem faz modelagem partindo da coisa mais complexa Dessa forma dificilmente se entenderia o
problema ou haveria desenvolvimentordquo diz Barros
Um exemplo didaacutetico para ilustrar a complexidade de modelos eacute a queda livre de um objeto via de regra
utiliza-se uma equaccedilatildeo conhecida como movimento uniformemente acelerado Dependendo do
tamanho da queda e do formato do objeto eacute possiacutevel que passe a ser importante incluir um termo na
equaccedilatildeo referente agrave resistecircncia do ar mdash sob risco de que a previsatildeo sobre a queda (tempo que vai levar
para o objeto tocar o solo) se torne muito equivocada e de certo modo imprestaacutevel
Em sua pesquisa Barros estudou um modelo simplificado denominado equaccedilotildees de aacutegua rasa que tecircm
aplicaccedilotildees na dinacircmica atmosfeacuterica ao descreverem o comportamento da superfiacutecie de fluidos ldquoElas
capturam informaccedilotildees relevantes para o modelo globalrdquo O trabalho do matemaacutetico eacute encontrar um
modo eficiente de resolver essas equaccedilotildees
Haacute outras camadas de complexidade que podem entrar em jogo como a radiaccedilatildeo solar e o
comportamento das nuvens Quanto mais complexidade poreacutem mais poder computacional eacute
necessaacuterio para solucionar as equaccedilotildees e maiores tambeacutem as possiacuteveis fontes de erros
Para poder fazer as contas e a previsatildeo propriamente dita (ou no jargatildeo matemaacutetico integrar o
modelo) eacute necessaacuterio antes fazer previsotildees para uma malha de pontos teoacutericos espalhados de modo
uniforme pelo globo terrestre [veja no infograacutefico] Eacute preciso ter informaccedilotildees das condiccedilotildees iniciais
(temperatura pressatildeo direccedilatildeo do vento etc) para cada um deles Soacute entatildeo tenta-se descobrir o que
vem adiante
Buscar a melhor maneira de estabelecer as condiccedilotildees iniciais de um sistema por si soacute jaacute eacute uma aacuterea de
pesquisa conhecida como inicializaccedilatildeo de modelos
7
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Os melhores modelos da atualidade explica Barros tecircm resoluccedilatildeo de cerca de 10 km Isso quer dizer
que cada ponto dessa malha teoacuterica estaacute localizado 10 km distante dos outros mais proacuteximos dele Ter
uma resoluccedilatildeo menor (e melhor) de 1 km por exemplo pode ser vantajoso para ter uma previsatildeo mais
acurada mas o preccedilo disso novamente eacute o custo computacional ou seja pode natildeo ser pragmaacutetico
fazer essas contas de rotina
Uma das fronteiras da dinacircmica meteoroloacutegica satildeo os chamados cloud-resolving models (CRM ou
modelos de resoluccedilatildeo de nuvens em traduccedilatildeo livre) que buscam com uma resoluccedilatildeo baixa (como 1
km por exemplo) entender o comportamento das nuvens mdash cruciais para o tempo vale lembrar
Se houver uma maneira eficaz de resolver essa questatildeo conta o matemaacutetico eacute possiacutevel que os
modelos sejam complementados com essa informaccedilatildeo e se tornem ainda mais precisos
Por ora existem outras aacutereas de pesquisas que tentem capturar essas informaccedilotildees como cobertura de
nuvens radiaccedilatildeo solar e convecccedilatildeo a partir de outras grandezas ou seja de forma indireta mdash eacute a
chamada parametrizaccedilatildeo
Outro elemento no qual eacute possiacutevel haver otimizaccedilatildeo eacute a chamada computaccedilatildeo paralela mdash fazer um
supercomputador com vaacuterios nuacutecleos de processamento trabalhar da maneira mais eficiente para
resolver um problema Barros explica ldquoNem sempre eacute possiacutevel fazer dez pessoas fazerem dez vezes
mais raacutepido o trabalho de uma Na verdade raramente isso acontece uma tem que esperar a outra
acabar a parte dela elas tecircm de se comunicar etcrdquo
O matemaacutetico Saulo Barros
Saulo Barros natildeo seguiria uma carreira que natildeo fosse de exatas ldquoAteacute por falta de opccedilatildeordquo como conta
jaacute que quando teve de escolher pela aacuterea de estudo no antigo segundo grau deixou para traacutes as
humanidades (o chamado curso claacutessico) e as bioloacutegicas
Como boa parte dos interessados por exatas Barros optou pela engenharia e entrou na Escola
Politeacutecnica da USP embora tambeacutem tivesse pensado em cursar fiacutesica mdash o ano era 1976 Durante seis
meses levou o curso a seacuterio ldquoDepois decidi que ia cair fora Natildeo me imaginava engenheiro Aleacutem disso
o curso de fiacutesica que tive foi muito ruim No ano seguinte pulei pra caacute [IME-USP onde cursou
matemaacutetica aplicada]rdquo
Seraacute que dessa vez entatildeo Barros ficaria satisfeito ldquoParcialmente nessa idade eu tinha interesses
diversos Algumas partes do meu curso eu fiz com dedicaccedilatildeo a seacuterio Outras a gente fazia para
cumprir tabela Havia uns cursos bons e outros nem tanto Eu fui me dedicar mais quando decidi fazer
mestrado mdash aiacute ou tinha de fazer de verdade ou natildeo fazia sentidordquo
8
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
A descoberta sobre a aacuterea na qual iria trabalhar mdash anaacutelise numeacuterica campo relativamente amplo na
matemaacutetica mdash veio soacute ao longo do mestrado feito tambeacutem na USP No doutorado Barros foi para a
Alemanha na Universidade de Bonn onde defendeu sua tese em 1989
Anaacutelise numeacuterica eacute uma aacuterea da matemaacutetica que estuda meacutetodos para fornecer boas aproximaccedilotildees
numeacutericas para diversos problemas como a resposta de concreto e accedilo a vibraccedilotildees a dispersatildeo de
poluentes nos mares e na atmosfera a estipulaccedilatildeo de preccedilos de passagens aeacutereas aleacutem da proacutepria
previsatildeo do tempo aacuterea agrave qual o matemaacutetico se dedica
Nos cursos de formaccedilatildeo em anaacutelise numeacuterica satildeo geralmente trabalhadas as equaccedilotildees claacutessicas natildeo
aplicaccedilotildees especiacuteficas ldquoO lado vantajoso de trabalhar com essa abstraccedilotildees eacute que coisas que muitas
vezes aparentemente natildeo tecircm nada a ver uma com a outra satildeo essencialmente o mesmo problema
matemaacutetico assim como a teacutecnica para contar laranjas e maccedilatildes eacute a mesmardquo
O pesquisador se queixa que hoje se solicita que tudo seja contextualizado ldquoMuitas vezes os exemplos
satildeo ruins artificiais mdash os bons exemplos satildeo mais complicados Aiacute o aluno perde a chance de exercitar
a abstraccedilatildeo que faz parte do raciociacutenio matemaacuteticordquo
Com relaccedilatildeo agrave formaccedilatildeo da populaccedilatildeo Barros diz que ldquoinfelizmente estamos em uma sociedade na
qual as pessoas acham lindo dizer que natildeo sabem nada de matemaacutetica Agraves vezes a pessoa eacute culta e
letrada e natildeo tem vergonha de dizer que natildeo sabe nada de matemaacutetica mdashmatemaacutetica elementar digo
Eacute um problema seacuterio da nossa formaccedilatildeo como sociedaderdquo
ldquoEacute preciso agir laacute embaixo na base Vocecirc pega uma crianccedila do Ensino Fundamental I (e elas natildeo tecircm
viacutecios a princiacutepio) Por que na maioria das vezes natildeo eacute despertado o interesse pelo raciociacutenio
matemaacutetico O professor pode natildeo saber lidar com temas elementares da matemaacutetica ou ter receio de
a abordar outros Esse medo essa aversatildeo se transmiterdquo
9
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
10
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
A matemaacutetica aacuteguas rasas
As equaccedilotildees de aacuteguas rasas uma das aacutereas de pesquisa de Saulo Barros podem ser compreendidas
como aquelas que regem o comportamento de massa drsquoaacutegua nas quais a extensatildeo da superfiacutecie eacute
muito maior do que a profundidade O mesmo modelo vale para outros liacutequidos incompressiacuteveis
Nesse sentido um oceano com alguns poucos quilocircmetros de profundidade pode curiosamente ser
chamado de ldquoaacutegua rasardquo graccedilas aos milhares de quilocircmetros de extensatildeo de superfiacutecie
Baseados nas notas do curso ldquoDynamics of the Atmosphererdquo de Alan Plumb do MIT e na modelagem
computacional de Clever Moler comeccedilar o raciociacutenio em duas dimensotildees ( e ) A densidade eacute
uniforme e o fluxo eacute considerado inviacutescido (isto eacute sem viscosidade) e independente da dimensatildeo
espacial (transversal ao papel no esquema abaixo) Tambeacutem consideramos que a aacutegua eacute tatildeo rasa
que o fluxo de velocidade eacute constante em relaccedilatildeo agrave profundidade e que a pressatildeo atmosfeacuterica
eacute constante e uniforme na superfiacutecie localizada na altura
Figura 1 Esquema das forccedilas envolvidas no comportamento de aacuteguas rasas em duas dimensotildees
Consideramos aqui o volume de entre as superfiacutecies e localizadas em e
respectivamente A massa desse volume (por unidade de comprimento ) eacute Como a
massa natildeo pode ser criada ou destruiacuteda a uacutenica maneira de ela mudar eacute por meio do fluxo de massas
atraveacutes das superfiacutecies e
Na figura 2 abaixo considerando que a velocidade em eacute e que no tempo todo o fluxo passa
entre e que distam a aacuterea (ou o volume por unidade de comprimento de ) que
atravessa eacute e a massa eacute
11
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 2 Esquema de bloco de liacutequido como movimento atraveacutes das superfiacutecies A e Arsquo
Assim o fluxo de massas que atravessa por unidade de tempo por unidade de comprimento em eacute
O fluxo de massas na interface eacute (considerando a direccedilatildeo
positiva de para fora do volume)
Dessa forma a taxa de acumulaccedilatildeo de massa (por unidade de comprimento em ) dentro do volume
definido por eacute
Como temos
Podemos cancelar os termos e
12
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Agora vamos reescrever o lado direito da equaccedilatildeo com a regra do produto
(1)
Esta eacute a equaccedilatildeo de continuidade que representa a mudanccedila da altura em termos de duas
contribuiccedilotildees
representa a advecccedilatildeo da altura
representa a convergecircncia de volume
Nesta proacutexima fase vamos considerar o balanccedilo de momento da aacutegua no volume Precisamos
conhecer a distribuiccedilatildeo de na aacutegua Pelos princiacutepios de hidrostaacutetica sabemos que a pressatildeo em uma
determinada aacuterea aumenta com a profundidade de acordo com a coluna de aacutegua imediatamente acima
No caso da Fig 1 a pressatildeo em uma profundidade qualquer abaixo da superfiacutecie pode se
descrita como
(2)
na qual eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade e que assim como eacute constante O termo
representa a massa de aacutegua acima do niacutevel
13
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Aplicando a lei de Newton ao volume de aacutegua temos que na qual eacute a forccedila resultante
(por unidade de comprimento em ) aplicada ao volume As forccedilas em questatildeo satildeo representadas na
Fig 4
Figura 3 Esquema de forccedilas agindo em um bloco de liacutequido considerando a inclinaccedilatildeo da superfiacutecie
A accedilatildeo sobre volume ao longo da interface A (tendendo a aceleraacute-lo na no sentido positivo de ) eacute
igual a uma forccedila por unidade de comprimento de eacute Em B (no sentido
negativo de ) temos
Haacute ainda uma terceira componente na superfiacutecie livre representada por na Fig 4 A pressatildeo
atmosfeacuterica exerce uma forccedila normal agrave superfiacutecie de por unidade de e na qual eacute a largura
desse volume ao longo da superfiacutecie
Como essa superfiacutecie eacute inclinada haacute um componente natildeo nula agindo no sentido positivo
de sendo o acircngulo dessa superfiacutecie em relaccedilatildeo ao plano horizontal Como a
contribuiccedilatildeo dessa forccedila em eacute Se temos
A forccedila resultante no volume de aacutegua por unidade de pode ser descrito como
14
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Mas de (2) temos que
Daiacute
mdashmdash-
A aceleraccedilatildeo do volume eacute dada por
e como independe de todos os termos que envolviam foram cancelados A forccedila resultante no
volume se deve apenas aos gradientes dentro da aacutegua que por causa do equiliacutebrio hidrostaacutetico se
devem inteiramente aos gradientes na superfiacutecie
Como temos
ou seja
15
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Como aplicamos a regra da cadeia
A equaccedilatildeo de movimento na forma claacutessica entatildeo eacute a seguinte
(3)
Da mesma forma que a equaccedilatildeo (1) ela atrela a taxa de mudanccedila de velocidade a dois termos a) o
termo de pressatildeo do gradiente e b) a advecccedilatildeo de momento
As equaccedilotildees (1) e (3) satildeo preditivas em relaccedilatildeo agraves variaacuteveis desconhecidas e Aiacute
bastaria determinar como o sistema se desenvolve graccedilas agraves condiccedilotildees iniciais e agraves condiccedilotildees de
contorno
Como as equaccedilotildees satildeo natildeo lineares apesar da forma simples como satildeo escritas suas propriedades
satildeo complexas
No caso o conjunto de equaccedilotildees que regem o comportamento das aacuteguas rasas seria formado por (1) e
(3)
ou
16
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Vamos agora apresentar o caso em trecircs dimensotildees
Figura 4 Esquema de bloco de liacutequido considerando as trecircs dimensotildees
No exemplo de um determinado oceano vamos considerar e as coordenadas bidimensionais de
sua superfiacutecie e sendo o tempo Essas satildeo as variaacuteveis independentes
As variaacuteveis dependentes seriam a profundidade as velocidades e nas duas dimensotildees da
superfiacutecie A forccedila que age no fluido eacute a gravidade g
Tanto a massa (que eacute proporcional a ) quanto o momento (proporcional a e ) satildeo conservados
A massa desse volume de aacutegua eacute dada por Recuperando o raciociacutenio apresentado na
figura 3 temos que
(4)
17
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
ou ainda se adotarmos
Se temos
(5)
Combinando 4 e 5 temos a
(6)
ou ainda
Se expandirmos (6) temos
ou
Na modelagem aqui adotada as equaccedilotildees parciais que regem o modelo de aacuteguas rasas satildeo escritas na
seguinte forma
18
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Se adotarmos
entatildeo as equaccedilotildees podem ser representadas na forma vetorial compacta
Para a modelagem eacute preciso definir as chamadas condiccedilotildees de contorno que definem o que acontece
quando o modelo chega agraves bordas como praias ou encostas no caso de um oceano No exemplo que
usaremos aqui consideramos uma pequena regiatildeo quadrada supondo que haja uma reflexatildeo nas
bordas ou seja na vertical e na horizontalCarregando Carregando
Em um instante inicial as variaacuteveis representam soluccedilotildees no centro dessa grade finita
Figura 5 Esquema de malha usada no caacutelculo
Usaremos o meacutetodo de Lax-Wendroff conforme para achar uma soluccedilatildeo numeacuterica aproximada
O termo representa um vetor com trecircs componentes na ceacutelula i j que evolui com o passo n
Cada passo envolve duas etapas O primeiro estaacutegio eacute um ldquomeio passordquo no qual os valores de satildeo
encontrados para o instante e nos pontos intermediaacuterios das bordas
19
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 6 Esquema de pontos usados no caacutelculo apoacutes meio passo
A segunda etapa envolve o uso desses caacutelculos para calcular os novos valores no centro de cada
ceacutelula voltando agrave figura 5 formando o passo completo
20
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 7 Imagem de simulaccedilatildeo de aacuteguas rasas implementada em MATLAB A perturbaccedilatildeo inicial eacute feita na forma de algumas ldquogotasrdquo Eacute
possiacutevel alterar paracircmetros como a gravidade e obter resultados diferentes
Referecircncias Holton James R An Introduction to Dynamic Meteorology 4ordf Ed Burlington (MA) Elsevier 2004
Mole Clever Shallow Water Equations Disponiacutevel em lthttpswwwmathworkscomcontentdam
mathworksmathworks-dot-commolerexmchapterswaterpdfgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Encyclopedia of Mathematics ldquoLax-Wendroff methodrdquo Disponiacutevel em
lthttpwwwencyclopediaofmathorgindexphptitle=Lax-Wendroff_methodampoldid=22713gt Acesso em 7
de fevereiro de 2019
Plumb Alan Notas do curso Dynamics of the Atmosphere Disponiacutevel em
lthttpeapsmitedu~rapcourses12333gt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
21
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas infecciosas Doenccedilas infecciosas satildeo uma das maiores preocupaccedilotildees globais de sauacutede especialmente em paiacuteses
tropicais e em desenvolvimento nos quais o Aedes aegypti e outros mosquitos transmissores de
doenccedilas proliferam-se com facilidade
Todos os anos 390 milhotildees de pessoas tecircm dengue e centenas de milhares sofrem com chikungunya
doenccedila incapacitante que cada vez mais parece se aproximar dos grandes centros urbanos Ainda haacute a
zika cujo surto recente assustou o Brasil e o mundo graccedilas aos nascimentos de bebecircs com
microcefalia e outras maacutes-formaccedilotildees ligadas agrave infecccedilatildeo
Se por um lado eacute preciso atacar a raiz do problema buscar vacinas e novos tratamentos outra
trincheira envolve compreender quantas pessoas satildeo afetadas como elas e mosquitos transmitem as
doenccedilas para as outras e no fim das contas qual eacute o tamanho da encrenca mdashe se os recursos
disponiacuteveis satildeo capazes de ajudar a reverter o quadro
Em um estudo publicado na revista Scientific Reports o matemaacutetico Seacutergio Oliva do Instituto de
Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP e pesquisadores do Canadaacute e da China avaliaram que a estrateacutegia de
usar mosquitos contaminados com a bacteacuteria Wolbachia para reduzir o espalhamento de arboviroses
poderia ser melhorada
A bacteacuteria tem a interessante propriedade de atrapalhar a reproduccedilatildeo de insetos como o Aedes ao agir
em seus ovaacuterios e testiacuteculos Aleacutem disso os insetos que carregam Wolbachia tambeacutem se infectam e
transmitem menos o viacuterus da dengue Uma iniciativa australiana ldquoEliminate Denguerdquo aposta na
estrateacutegia para combater a doenccedila
Se uma fecircmea com Wolbachia encontra um macho selvagem os ovos produzidos tambeacutem carregaratildeo
Wolbachia (o mesmo que acontece quando dois insetos com Wolbachia acasalam) Se um macho com
Wolbachia encontra uma fecircmea selvagem poreacutem os ovos simplesmente natildeo nascem
A mudanccedila proposta por Oliva e colaboradores baseados em um modelo matemaacutetico da propagaccedilatildeo
de zika eacute restringir a soltura de mosquitos apenas aos machos Diferentemente do que acontece nos
cruzamentos de fecircmeas com Wolbachia e machos selvagens os ovos resultantes do encontro entre
machos com Wolbachia e fecircmeas selvagens natildeo satildeo viaacuteveis mdasho que leva agrave reduccedilatildeo da populaccedilatildeo
No caso da liberaccedilatildeo conjunta de machos e fecircmeas eventualmente eacute possiacutevel atingir a meta de que
todos os insetos no local adquiram a bacteacuteria mas soacute a liberaccedilatildeo de um grande nuacutemero de machos
teria potencial para acabar com o mosquito
Em seu trabalho os pesquisadores com dados disponiacuteveis do surto de zika em 2016 concluiacuteram que
seria possiacutevel reduzir o pico de casos que chegou a 16 mil em uma semana para 12 mil ao liberar
22
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
machos e fecircmeas com Wolbachia e para 106 mil usando apenas os machos Isso considerando apenas
a liberaccedilatildeo durante o proacuteprio surto como uma espeacutecie de medida de emergecircncia
No caso de uma proposta de erradicaccedilatildeo a proporccedilatildeo de machos com Wolbachia liberados deveria ser
cinco vezes aquela de machos selvagens mdashtarefa que pode ter uma logiacutestica complicada jaacute que natildeo eacute
trivial separar larvas machos e fecircmeas
A alternativa proposta por Oliva e colaboradores ainda natildeo eacute considerada pelo projeto da Wolbachia
que afirma ter como objetivo principal bloquear a transmissatildeo viral natildeo a eliminar os mosquitos
Um outro resultado de modelagem matemaacutetica para entender a dinacircmica da zika abordou o caso da
Polineacutesia Francesa onde houve um grande surto entre 2013 e 2014 que chegou a afetar 82 da
populaccedilatildeo em algumas regiotildees do territoacuterio A principal conclusatildeo eacute que demoraria entre 12 e 20 anos
para que um nuacutemero de indiviacuteduos susceptiacuteveis fosse grande o suficiente para permitir novamente o
espalhamento da doenccedila
Nessa modelagem natildeo foi considerada por exemplo a possibilidade de transmissatildeo sexual da doenccedila
que apesar de pequena em comparaccedilatildeo agrave transmissatildeo via mosquito natildeo eacute negligenciaacutevel e pode
piorar o surto e atrasar seu teacutermino Daiacute surge a necessidade de providecircncias como o estiacutemulo ao uso
de preservativos e o diagnoacutestico acurado de casos suspeitos
Um fator que atrapalha a construccedilatildeo de modelos mais fidedignos eacute a indisponibilidade de dados Natildeo se
sabe no Brasil por exemplo quantas pessoas jaacute tiveram cada um dos quatro tipos de dengue e mesmo
assim os casos da doenccedila satildeo muito heterogecircneos mdashvaacuterios satildeo assintomaacuteticos ou seja a pessoa nem
sabe que foi infectada Aleacutem disso a maior parte dos casos leves nem eacute oficialmente reportada lembra
Oliva
A maior ameaccedila para a sauacutede eacute quando uma pessoa pega dengue pela segunda vez Pode acontecer o
chamado antibody-dependent enhancement (ADE reforccedilo dependente de anticorpos em traduccedilatildeo
livre) em que os anticorpos produzidos contra um dos tipos da dengue em vez de ajudarem a combater
os demais tipos acabam agravando a doenccedila
Alguns pesquisadores propotildeem que o ADE possa explicar a gravidade de casos de zika (o viacuterus
causador eacute um flaviviacuterus da mesma famiacutelia dos viacuterus da dengue) Esse eacute outro desafio de modelagem
que Oliva e seus orientandos de poacutes-graduaccedilatildeo enfrentam
O que torna o desafio mais penoso eacute que ningueacutem sabe quantos mosquitos existem por aiacute O uso de
armadilhas pode ajudar na estimativa mas natildeo existe um esforccedilo sistematizado nesse sentido no Brasil
Antes de se aventurar pela aacuterea da epidemiologia Oliva trabalhava com os chamados modelos de
reaccedilatildeo-difusatildeo que explicam entre outras coisas o surgimento de padrotildees como as manchas na pele
23
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
de animais como na onccedila-pintada um dos temas ao qual se dedicou o matemaacutetico britacircnico Alan
Turing
A primeira dificuldade para entrar em uma nova aacuterea eacute a linguagem explica Oliva ldquoNatildeo tinha ideia do
que as pessoas falavam o que era incidecircncia prevalecircnciahelliprdquo No caso incidecircncia eacute quantidade de
novos casos de uma doenccedila em um determinado periacuteodo prevalecircncia eacute fraccedilatildeo de uma determinada
populaccedilatildeo que tem a doenccedila
Aleacutem disso para bolar um modelo de espalhamento de doenccedilas eacute importante ter (ou estimar) a
probabilidade de uma pessoa infectada passar a doenccedila para outras O mesmo raciociacutenio vale para a
probabilidade de um mosquito fecircmea se infectar enquanto caccedila humanos por exemplo
ldquoDemora ateacute entender que perguntas satildeo razoaacuteveis Eacute muito faacutecil natildeo fazer nada de relevante quando
atuamos na intersecccedilatildeo de duas aacutereas [epidemiologia e matemaacutetica no caso] Eacute muito faacutecil ficar no
meio do caminho em questotildees que natildeo satildeo relevantes nem na matemaacutetica nem na aplicaccedilatildeo
propriamente ditardquo
Haacute um grande risco de o modelo matemaacutetico desenvolvido na verdade ser um profeta do passado ou
seja explicar muito bem o que jaacute aconteceu e natildeo ser uacutetil para tomar providecircncias em relaccedilatildeo ao que
vem adiante
O sucesso afirma Oliva depende da colaboraccedilatildeo de indiviacuteduos com formaccedilotildees distintas No caso para
entender o que o achado significa para a doenccedila eacute ver se ele tem alguma correspondecircncia cliacutenica
Uma das grandes apostas da aacuterea eacute o chamado modelo baseado em agente (agent-based model)
Funciona como se fosse uma espeacutecie de SimCity [jogo eletrocircnico em que o objetivo eacute gerenciar uma
cidade] epidemioloacutegico No programa planeja-se o comportamento de cada indiviacuteduo se vai agrave escola
se viaja quem encontrahellip ldquoRequer o trabalho de imaginar tudo o que pode acontecer eacute quase um
trabalho para Deusrdquo brinca Oliva
Com uma base de ateacute milhotildees de indiviacuteduos cada um com seu comportamento eacute necessaacuterio um
grande poder computacional para rodar esses modelos
Esses modelos podem ser interessantes jaacute que consideram a dinacircmica espacial dos agentes viagens
de aviatildeo entre outros comportamentos Mas a sofisticaccedilatildeo vem com um preccedilo pode ser desafiador
fazer previsotildees consistentes com a realidade
24
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
O matemaacutetico Seacutergio Oliva
Graccedilas ao engenheiro e matemaacutetico Waldyr Muniz Oliva 86 a famiacutelia natildeo estranhou quando o jovem
Seacutergio decidiu cursar matemaacutetica A presenccedila do tio ajudou um pouquinho ldquoEle sempre foi um
apaixonado pela matemaacutetica e isso influenciou bastanterdquo
Seacutergio 53 conta que morava no mesmo preacutedio em que o tio ldquoEle se dedicava agrave matemaacutetica com
paixatildeo e estava sempre presente Como ele era pesquisador vaacuterios estrangeiros apareciam por laacute Na
hora de eu escolher uma carreira natildeo foi uma decisatildeo tatildeo absurdardquo
Ainda no comeccedilo do mestrado tambeacutem no IME em 1987 Oliva foi contratado como professor Logo
comeccedilou a dar aula para os alunos da Escola Politeacutecnica ldquoEu tinha quase a mesma idade que elesrdquo
lembra ldquoAs turmas eram diferentes das de hoje eles se dispersavam menos Naquela eacutepoca o pior que
acontecia era algueacutem ler um jornal durante a aula Natildeo que hoje as pessoas sejam menos dedicadas
mas acho que a capacidade de concentraccedilatildeo diminuiurdquo
O doutorado com sistemas de reaccedilatildeo-difusatildeo foi cursado nos EUA no Instituto de Tecnologia da
Georgia sob orientaccedilatildeo de Jack Hale um amigo de seu tio Os amigos latinos adoravam uma festa
conta Oliva mas tambeacutem trabalhavam bastante
ldquoTem gente que faz pesquisa soacute pensando no artigo mesmo sem gostar das pessoas com quem
trabalha Eu natildeo consigo Gosto de sentar discutir um problema com algueacutem e construir algo Isso eacute
divertido eacute o que me atrai independentemente de ser na matemaacutetica ou em outra aacuterea A academia
permite essas uniotildees que natildeo servem para ganhar dinheiro mas para produzir algo em conjuntordquo
Uma dessas colaboraccedilotildees aconteceu durante seu doutorado quando trabalhou com um engenheiro que
tentava resolver um problema de rotores de helicoacutepteros denominado ldquorotating stallrdquo que fazia a turbina
parar de funcionar O piloto entatildeo aumentava a potecircncia a turbina funcionava menos ainda aquecia e
explodia Como resultado da parceria surgiu o um modelo matemaacutetico que ajudava a descrever o
problema ldquoNatildeo tinha nada a ver com a minha tese mas foi divertidordquo
Oliva jaacute publicou um artigo em que modela a dinacircmica da inflamaccedilatildeo em feridas diabeacuteticas (um
problema seacuterio para quem tem a doenccedila) e no momento trabalha com cientistas do Instituto Butantan
para compreender o impacto da vacina contra a dengue que estaacute em fase final de desenvolvimento
ldquoEstamos tentando ajudar mas o ritmo eacute outro Nem sempre a velocidade que a gente consegue fazer
bate com a velocidade que eles precisam mas temos uma conversa com eles bem proacuteximardquo
O matemaacutetico eacute um entusiasta da profissatildeo que segundo ele se justifica tambeacutem pelo baixo
investimento necessaacuterio ldquoA gente faz matemaacutetica porque gosta E tudo o que precisamos eacute de recurso
para visitar um colega de fora do paiacutes de vez em quando Custamos muito poucordquo
25
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
26
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
A matemaacutetica modelos SIR e SEIRS
Um dos modelos matemaacuteticos que permitem o estudo de caracteriacutesticas de epidemias eacute o chamado
SIR Cada letra S I e R representa um compartimento ou um subconjunto da populaccedilatildeo a saber o
nuacutemero de susceptiacuteveis agrave doenccedila de infectados e de recuperados em funccedilatildeo do tempo
Figura 1 Esquema do modelo SIR as taxas e satildeo os uacutenicos inputs aleacutem das condiccedilotildees iniciais
No esquema representa a taxa de disseminaccedilatildeo da doenccedila ou seja a quantidade de novos
infectados a partir do contato com algueacutem jaacute com a doenccedila E representa a taxa de
recuperaccedilatildeo na qual eacute a meacutedia de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo
No caso o modelo SIR pode ser representado pelo seguinte conjunto de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias (EDO)
A soma eacute constante ao longo do tempo ou seja natildeo assumimos
nenhuma grande variaccedilatildeo de tamanho da populaccedilatildeo Logo
Um dos paracircmetros mais importantes que emergem desse modelo eacute o chamado o chamado
ldquonuacutemero reprodutivo baacutesicordquo ou ainda ldquolimiar epidemioloacutegicordquo Vale notar que natildeo tem relaccedilatildeo direta
com o nuacutemero de recuperados e sim com o surgimento de novos infectados ou seja a segunda
equaccedilatildeo do sistema acima
27
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Em outras palavras essa quantidade representaria o potencial de novas infecccedilotildees a partir de um uacutenico
indiviacuteduo Se a infecccedilatildeo tem potencial de disseminaccedilatildeo caso contraacuterio tende a se autolimitar
Considerando que praticamente 100 da populaccedilatildeo no iniacutecio de um surto eacute susceptiacutevel podemos
simplificar a equaccedilatildeo do para essa situaccedilatildeo em particular
Ou seja se soubermos de antematildeo os valores de e de temos condiccedilotildees de saber o potencial de
disseminaccedilatildeo Essa medidas geralmente satildeo feitas em campo e satildeo particularmente uacuteteis nos modelos
que tratamos aqui nesta seccedilatildeo
Por exemplo o sarampo tem altiacutessimo Isso pode ser interpretado como uma crianccedila
infectada que passa a doenccedila para outras 15 em uma sala de aula
Outras doenccedilas como a gripe tem Taxa semelhante se daacute na dengue mas nesse caso haacute
outros fatores que tambeacutem entram na conta como a taxa de picadas para cada Aedes aegypti fecircmea e
a chance de haver essa transmissatildeo
Com informaccedilotildees como essa eacute possiacutevel tambeacutem estabelecer metas de vacinaccedilatildeo mdashquanto maior a
fraccedilatildeo imune da populaccedilatildeo mais difiacutecil eacute uma doenccedila se espalhar
Vamos observar a dinacircmica do SIR Na simulaccedilatildeo abaixo realizada no MATLAB
28
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 2 Simulaccedilatildeo do tipo SIR ao longo de 150 dias Foi utilizado a funccedilatildeo ode45 para obter as quantidades S I e R no periacuteodo desejado Os
paracircmetros usados foram No instante o nuacutemero de infectados equivale a um milioneacutesimo da populaccedilatildeo e natildeo haacute
recuperados
Enquanto haacute um transiente de infectados a populaccedilatildeo tende a se tornar cada vez mais mais imune
(recuperada) com esse nuacutemero perto de 100 Como natildeo haacute entrada ou saiacuteda de elementos nessa
populaccedilatildeo a partir de um certo patamar natildeo haveraacute mais mudanccedilas haacute estabilidade epidemioloacutegica
No caso foi usada a funccedilatildeo preacute-implementada no MATLAB ode45 que usa uma forma do meacutetodo de
Runge-Kutta para resolver o sistema de equaccedilotildees diferenciais Mas eacute possiacutevel resolver o problema de
forma menos sofisticada (ou ldquomais manualrdquo) usando o meacutetodo de Euler por exemplo
29
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 3 Esquema de resoluccedilatildeo numeacuterica pelo meacutetodo de Euler Sabendo as condiccedilotildees iniciais e com a definiccedilatildeo do nuacutemero de passos e do
intervalo de interesse eacute possiacutevel calcular cada ponto intermediaacuterio e chegar a uma aproximaccedilatildeo da funccedilatildeo a ser estudada
Figura 4 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com o meacutetodo de Euler As cruzes representam os pontos em cada um dos 300 segmentos
(passo de 05) utilizados nesta simulaccedilatildeo Com passos menores eacute possiacutevel chegar a uma soluccedilatildeo mais proacutexima da real
Eacute possiacutevel sofisticar o modelo-base SIR de algumas formas Uma delas eacute inserir a dinacircmica vital ou
seja incluir uma taxa de nascimento e de mortalidade A partir do modelo SIR anterior adicionamos as
taxas de natalidade e de mortalidade em todos os compartimentos
30
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 5 Esquema do modelo SIR com dinacircmica vital Aleacutem das taxas e satildeo necessaacuterias e taxa de nascimento e de mortalidade
respectivamente
No caso o sistema de equaccedilotildees pode ser expresso da seguinte maneira
Para manter a populaccedilatildeo constante vamos adotar Em nossa simulaccedilatildeo consideramos a taxa de
mortalidade proacutexima agravequela observada no Brasil de 608 a cada 1000 pessoas por ano Para ela entrar
no modelo ela teve de ser transformada numa taxa meacutedia diaacuteria de entrada e saiacuteda de indiviacuteduos da
populaccedilatildeo (mais uma simplificaccedilatildeo jaacute que o fluxo de novos bebecircs varia de acordo com a eacutepoca do ano
assim como o de mortes)
O impacto desse fluxo de pessoas eacute perceptiacutevel numa escala de tempo um maior Observa-se que
apesar da oscilaccedilatildeo a populaccedilatildeo caminha para um estado estacionaacuterio no qual as quantidades
e permanecem constantes
31
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 6 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo haacute
oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande semelhanccedila
como cenaacuterio apresentado na Fig 2 (os paracircmetros e satildeo os mesmos)
Eacute possiacutevel levar em conta outros fatores na hora de formatar um modelo epidemioloacutegico como esses
que tratamos aqui Por exemplo eacute possiacutevel inserir o tempo que um indiviacuteduo eacute inoculado com o
patoacutegeno (ldquoexpostordquo nessa nomenclatura) e considerar a chance de ele vir ou natildeo a se tornar de se
tornar infectado (ie capaz de passar a doenccedila para outros) Tambeacutem eacute possiacutevel considerar o fato de a
imunidade contra a doenccedila ter uma duraccedilatildeo meacutedia Ou seja os indiviacuteduos recuperados podem voltar a
ser susceptiacuteveis
No esquema abaixo consideramos a taxa de conversatildeo de susceptiacuteveis em expostos e a taxa de
conversatildeo de expostos em infectados A taxa representa a transformaccedilatildeo dos recuperados em
susceptiacuteveis (como acontece por exemplo na gripe) Esse modelo eacute o chamado SEIRS -
Susceptiacuteveis-Expostos-Infectados-Recuperados-Susceptiacuteveis
32
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 7 Esquema do modelo SEIRS que considera um novo compartimento o de indiviacuteduos expostos e a conversatildeo de recuperados em
susceptiacuteveis
Podemos escrever o sistema SEIRS da seguinte forma
No exemplo abaixo consideramos a taxa igual agrave dos casos anteriores O periacuteodo meacutedio de
incubaccedilatildeo aqui considerado eacute de 4 dias ou seja O tempo meacutedio de duraccedilatildeo da infecccedilatildeo eacute
de 10 dias e a conversatildeo de recuperados em susceptiacuteveis demora em meacutedia 100 dias para acontecer
ou seja Nota-se que apoacutes uma oscilaccedilatildeo inicial novamente o modelo caminha para um
equiliacutebrio endecircmico e manteacutem um certo niacutevel de infectados aqui perto do patamar de 7
33
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 8 Resoluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees SIR com dinacircmica vital (nascimentos e mortes ) Graccedilas ao influxo e efluxo de populaccedilatildeo
haacute oscilaccedilatildeo nas quantidades e Ainda assim elas caminham para um equiliacutebrio endecircmico Nos instantes iniciais haacute grande
semelhanccedila com o cenaacuterio apresentado na Fig 2
Outra limitaccedilatildeo desses modelos aqui tratados eacute a ausecircncia de estratificaccedilatildeo social ou modelagem
especiacutefica por faixa etaacuteria mdash o comportamento das doenccedilas pode diferir bastante entre elas (eg idosos
podem perder a imunidade para certas doenccedilas a uma taxa mais raacutepida do que os mais jovens)
Referecircncias
Barker Christopher A Numerical Methods for Solving Differential Equations Disponiacutevel em
lthttpcalculuslabdeltacollegeeduODE7-C-17-C-1-a-mahtmlgt Acesso em 5 de feveriro de 2019
Cofee Megan R0 for Determining the Spread of Disease Disponiacutevel em
lthttpswwwverywellhealthcomsome-diseases-spread-some-dont-how-to-know-which-will-1958758gt
Acesso em 5 de fevereiro de 2019
Edmunds WJ et al The pre-vaccination epidemiology of measles mumps and rubella in Europe
implications for modelling studies
34
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Smith David e Lang Moore The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
Epidemiol Infect 2000
Weisstein Eric W Kermack-McKendrick Model Disponiacutevel em
lthttpmathworldwolframcomKermack-McKendrickModelhtmlgt Acesso em 5 de fevereiro de 2019
35
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Imagine uma regiatildeo na qual existam tribos em guerra constante Nesse contexto em um dos grupos
emerge uma curiosa caracteriacutestica comportamental e alguns indiviacuteduos passam a se sacrificar em prol
dos demais levando o grupo a ter melhor desempenho nesse ambiente belicoso
Se um determinado grupo derrota outro ele o coloniza mdashe isso eacute compatiacutevel com o que se observa na
histoacuteria quando por exemplo todos os homens de uma tribo satildeo mortos e suas mulheres tecircm filhos
dos vencedores explica Renato Vicente professor do Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP
Dessa forma aquele traccedilo de altruiacutesmo tem chance de se perpetuar seja ele transmitido
horizontalmente ou seja entre os membros do grupo ou verticalmente para os descendentes da
mesma forma que acontece com uma nova mutaccedilatildeo geneacutetica
A transmissatildeo vertical seja geneacutetica ou comportamental (matematicamente natildeo haacute prejuiacutezo em supor
nenhuma das duas) eacute o que se pode chamar de ldquopior casordquo explica Vicente Eacute nessa modalidade em
que esse traccedilo tem mais dificuldade para se propagar jaacute que indiviacuteduos altruiacutestas se arriscam e podem
ateacute mesmo morrer
Assim se for possiacutevel mostrar que mesmo no cenaacuterio mais desfavoraacutevel haacute espaccedilo para o altruiacutesmo
florescer estaria mais claro o modo que essa importante caracteriacutestica surgiu entre os animais e
especialmente entre os homens
Esse eacute um dos temas estudados por Vicente que mostrou que eacute possiacutevel modelar matematicamente a
evoluccedilatildeo do altruiacutesmo mdashtema do interesse de bioacutelogos antropoacutelogos cientistas sociais e agora por que
natildeo de matemaacuteticos
Macacos insetos morcegos lobos camarotildees e ateacute organismos unicelulares demonstram
comportamento altruiacutestico mdashque pode ser definido como aquele no qual um indiviacuteduo arrisca ou abre
matildeo de seu sucesso reprodutivo em prol dos descendentes de seus pares
Nesse sentido natildeo haacute a obrigatoriedade de se considerar a intenccedilatildeo por traacutes dos atos generosos visto
que alguns indiviacuteduos altruiacutestas nem ceacuterebro tecircm mdashe outros certamentes natildeo satildeo capazes de raciociacutenio
simboacutelico elaborado como o humano
Uma das explicaccedilotildees para esse comportamento seria que na verdade os muitos dos genes que seratildeo
transmitidos adiante pelos sobreviventes satildeo compartilhados entre todo o grupo Daiacute tambeacutem decorre o
fato de que o comportamento altruiacutesta eacute mais forte entre pais e filhos por exemplo Essa relaccedilatildeo
tambeacutem pode ser escrita matematicamente e levada em conta na dinacircmica do altruiacutesmo
36
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
O bioacutelogo Richard Dawkins apresenta em seu claacutessico livro ldquoO Gene Egoiacutestardquo a ideia de que os
organismos e grupos funcionam como maquinaacuterio como meio para permitir a autorreplicaccedilatildeo de genes
mdashque essencialmente podem sobreviver por geraccedilotildees e geraccedilotildees ao passo que o indiviacuteduo eacute muito
mais efecircmero
Assim em um aparente paradoxo o comportamento egoiacutesta dos genes pode ter encontrado uma saiacuteda
altruiacutestica para continuarem a existir
Um dos exemplos lembrados por Vicente satildeo os insetos da ordem Hymnoptera como abelhas vespas
e formigas O grau de altruiacutesmo observado eacute tatildeo grande que culmina na perda total da capacidade de
reproduccedilatildeo da maioria da colocircnia Tatildeo devotado sacrifiacutecio pode ser explicado pelo alto coeficiente de
parentesco entre seus membros
Aleacutem de mostrar um caminho viaacutevel para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo Vicente e colaboradores tambeacutem
mostraram como outros fatores podem intervir nesse processo como a migraccedilatildeo de indiviacuteduos
mimetizando o que pode acontecer em grupos reais
A grande espinha dorsal da atuaccedilatildeo acadecircmica de Vicente eacute a aacuterea conhecida como mecacircnica
estatiacutestica que teve origem com os estudos do poliacutemata belga Adolphe Queacutetelet (1796-1874) que
formulou pela primeira vez o conceito de normalidade ou seja que populaccedilotildees apesar das variaccedilotildees
individuais convergem para uma meacutedia que tende a ser estaacutevel com o tempo ou muda muito
vagarosamente
Por exemplo a altura sabe-se que a de homens brasileiros na meacutedia eacute 171 cm por mais que
indiviacuteduos muito maiores e menores possam existir Na aacuterea da fiacutesica o comportamento meacutedio de
moleacuteculas de gases tambeacutem pode ser pensado nesse sentido do micro para o macro a fim de se obter
uma lei que explique seu comportamento
Vicente lembra que a claacutessica equaccedilatildeo na qual volume e pressatildeo se relacionam com a
temperatura e quantidade de gaacutes pode ser interpretada dessa forma Supondo uma certa quantidade de
gaacutes dentro de uma caixa as moleacuteculas cada uma de um jeito se chocam contra as paredes ldquoEsses
inuacutemeros piparotes formam a pressatildeo que nada mais eacute do que uma meacutedia de forccedila aplicada por aacutereardquo
O pesquisador almeja obter leis de funcionamento anaacutelogas mdashque se baseiam no comportamento do
elemento micro para derivar o comportamento do macromdash aplicaacuteveis a questotildees como a evoluccedilatildeo do
altruiacutesmo e tambeacutem para um outro problema o surgimento de hierarquia em grupos
Em grupos pequenos humanos a navegabilidade social depende de conhecer as relaccedilotildees entre os
indiviacuteduos Ou seja eacute bom saber quem conhece quem para pedir ajuda numa caccedila ou para medir as
consequecircncias na hora de arrumar uma briga
37
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Nessa conta entatildeo para o indiviacuteduo podem pesar dois tipos de custo um pequeno custo de conhecer
essas relaccedilotildees entre indiviacuteduos e de guardaacute-las na memoacuteria e um possivelmente grande custo de ter
esse ldquomapa socialrdquo mal memorizado
Em matemaacutetica situaccedilotildees que envolvem reduccedilatildeo de custos satildeo conhecidos como problemas de
otimizaccedilatildeo A ideia entatildeo eacute encontrar quais satildeo os modelos de interaccedilatildeo entre indiviacuteduos que reduzem
na meacutedia esse custo
Os resultados apontam que a partir de um determinado nuacutemero de indiviacuteduos vale mais a pena
restringir o quanto de pessoas se conhece jaacute que a soma de todos os pequenos custos cognitivos se
torna imensa Se num grupo de 4 pessoas haacute 6 relaccedilotildees entre os indiviacuteduos num grupo de 15 esse
nuacutemero jaacute sobe para 105
ldquoExiste muita diferenccedila entre viver num grupo pequeno do ponto de vista da navegaccedilatildeo social e em um
grupo grande Vocecirc natildeo usa as mesmas estrateacutegias para viver num grupo de cem ou num de trecircs ou
quatro pessoasrdquo diz Vicente
Mas esse valor criacutetico a partir do qual as relaccedilotildees mais horizontais e menos hierarquizadas se
transformam mdashe alguns indiviacuteduos viram pontos de referecircncia ou ldquohubsrdquo de conexotildees depende do
ambiente
Em um local onde abundam recursos a transiccedilatildeo eacute mais lenta em um meio mais pobre essa
hierarquizaccedilatildeo eacute mais raacutepida
O mais interessante eacute que os resultados batem com os dados do ldquoAtlas Etnograacuteficordquo compilado pelo
antropoacutelogo George P Murdock em 1967 que reuacutene informaccedilotildees de 1167 culturas seu tamanho niacutevel
de hierarquizaccedilatildeo e tipo do clima em que viviam entre muitas outras caracteriacutesticas (natildeo utilizadas no
modelo) Mais um ponto para a matemaacutetica
O matemaacutetico Renato Vicente
O heroacutei de infacircncia de Renato Vicente 47 era o astrocircnomo Carl Sagan (1934-1996) famoso por seu
trabalho de divulgaccedilatildeo cientiacutefica tanto na forma de livros quanto da seacuterie televisiva Cosmos (que em
2014 ganhou uma versatildeo com o astrofiacutesico Neil DeGrasse Tyson)
ldquoCarl Sagan era sensacional falava de vaacuterios assuntos muacutesica arte ciecircncia e matemaacutetica Tudo
misturadordquo lembra Vicente que queria ser uma mistura de Carl Sagan com astronauta quando
crescesse
38
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Depois que assistia aos episoacutedios de Cosmos corria para as enciclopeacutedias procurar os verbetes que
acabara de aprender Sua matildee por um tempo trabalhou no Ciacuterculo do Livro empresa que fornecia
acesso a livros por preccedilos bem abaixo do de mercado
Nem na adolescecircncia o lado nerd deixou de dar as caras Um de seus projetos desenvolvido no ensino
teacutecnico foi o de criar foguetes experimentais Contou com a ajuda do capitatildeo Basiacutelio Baranoff da
Aeronaacuteutica que apadrinhou o projeto
Volta e meia tinha que ir ao ITA em busca de livros que o ajudariam a entender a matemaacutetica e a fiacutesica
necessaacuteria para o lanccedilamento do foguete Entre os temas teve que dominar caacutelculo termodinacircmica e
claro a famigerada mecacircnica estatiacutestica
Sua parte especificamente consistia em projetar o compartimento que armazenaria combustiacutevel do
foguete De acordo com a geometria dessa peccedila o desempenho mdash o quatildeo alto o dispositivo poderia ir
mdash seria alterado Infelizmente (ou felizmente) os testes foram interrompidos por questotildees de
seguranccedila jaacute que os combustiacuteveis que seriam testados eram altamente explosivos ldquoA brincadeira jaacute
estava ficando perigosardquo
Quando entrou em fiacutesica na USP (logo se transferiria para o curso de Ciecircncias Moleculares) jaacute tinha
bom conhecimento de mecacircnica estatiacutestica ldquoDescobri que ela poderia explicar coisas diferentes era um
meacutetodo para estudar sistemas que envolvessem a agregaccedilatildeo de pequenas partesrdquo
Um exemplo do que pode ser estudado com essa estrateacutegia eacute o ceacuterebro Seu mestrado orientado por
Nestor Caticha do Instituto de Fiacutesica envolveu a otimizaccedilatildeo de algoritmos para trabalhar com redes
neurais mdashisso entre 1995 e 1997 antes mesmo da popularizaccedilatildeo da internet e do Google no paiacutes
Fez doutorado na Universidade de Aston em um dos grupos mais importantes de aprendizado de
maacutequina (ou machine learning) do mundo e depois de uma passagem no banco Itauacute ingressou de vez
na carreira docente
Hoje tambeacutem eacute diretor de data science da Serasa Experian onde trabalha com aprendizado de maacutequina
e big data a fim de resolver problemas relevantes para os serviccedilos de anaacutelise de creacutedito e de apoio a
empresas realizados pela companhia
Na parte acadecircmica orienta projetos que buscam entender como se daacute o aprendizado de maacutequina e
quais satildeo os melhores meios de isso acontecer seja o algoritmo que que consegue extrair mais
informaccedilatildeo seja o algoritmo que eacute mais eficiente energeticamente ldquoNatildeo sei dizer por quecirc mas
provavelmente natildeo devem ser o mesmordquo profetiza Vicente
39
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
40
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
A matemaacutetica modelo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Em sua tese de livre-docecircncia intitulada ldquoAltruiacutesmo Moralidade e Hierarquia - Modelos Quantitativosrdquo
Renato Vicente adota apresenta um modelo para a evoluccedilatildeo do altruiacutesmo
Vamos aqui trabalhar com as ideias iniciais deste processo
Suponhamos um nuacutemero fixo de grupos de tamanho fixo compostos por dois tipos de indiviacuteduos
de ldquoaltruiacutestardquo ou de ldquonaturalrdquo) Nessa modalidade os indiviacuteduos satildeo haploides (ie soacute haacute uma
coacutepia do material geneacutetico que define o tipo ou o tipo ) a reproduccedilatildeo eacute assexuada e natildeo haacute
intersecccedilatildeo entre as geraccedilotildees
Num grupo com indiviacuteduos do tipo define-se a aptidatildeo relativa dos indiviacuteduos altruiacutestas como
Analogamente num grupo com indiviacuteduos a aptidatildeo relativa de um indiviacuteduo seria esta
O paracircmetro representa a forccedila de seleccedilatildeo natural sobre esses genes naturais ou altruiacutestas As
quantidades e representam a recompensa (ou ldquopayoffrdquo) da determinada condiccedilatildeo no ciclo de
vida desses indiviacuteduos Convenciona-se que e por conseguinte que
Note que tanto as aptidotildees relativas dos indiviacuteduos naturais e altruiacutestas dependem do nuacutemero de
altruiacutestas no grupo No fim das contas essa aptidatildeo vai ser importante para um indiviacuteduo prevalecer na
populaccedilatildeo e deixar descendentes
Cada passo nesta modelagem (processo de Writgh-Fisher em dois niacuteveis) se daacute em duas etapas a de
competiccedilatildeo entre os grupos mdashque vatildeo poder servir de matrizes para os grupos da geraccedilatildeo
seguintemdash e dentro de cada grupo Tambeacutem ocorre uma migraccedilatildeo com taxa
A reproduccedilatildeo de cada grupo depende da aptidatildeo relativa calculada pela meacutedia do grupo
em que
Na geraccedilatildeo cada grupo ldquoescolherdquo seu grupo paterno do conjunto de grupos da geraccedilatildeo
anterior com uma probabilidade dada por
41
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Ou seja a aptidatildeo relativa de cada grupo perante a dos demais eacute o que define a probabilidade de ele
originar grupos na geraccedilatildeo seguinte
As posiccedilotildees nos novos grupos seratildeo preenchidas com probabilidades proporcionais agrave aptidatildeo de
cada indiviacuteduo de acordo com uma distribuiccedilatildeo binomial na qual denota uma variaacutevel
aleatoacuteria com distribuiccedilatildeo binomial que corresponde a tentativas com probabilidade de sucesso
Dessa forma eacute possiacutevel que o nuacutemero de altruiacutestas e de naturais a cada geraccedilatildeo aumente ou diminua
de acordo com as probabilidades que dependem essencialmente das expressotildees que definem os
payoffs e
Essas funccedilotildees podem ter diversos tipos e elas podem atender a algumas condiccedilotildees a depender do
caso
(C1) ou de forma que um indiviacuteduo de fenoacutetipo solitaacuterio tenha aptidatildeo menor
do que a de um indiviacuteduo em grupos sem nenhum altruiacutesta
(C2) ou de forma que indiviacuteduos do tipo tenham aptidatildeo relativa maior
quando em grupos homogecircneos do que indiviacuteduos do tipo
(C3) ie para de forma que a aptidatildeo do grupo seja
maximizada quando ele eacute formado apenas por altruiacutestas
(C4) ou eacute crescente para de forma que para altruiacutestas eacute sempre mais vantajoso
estarem cercados de mais altruiacutestas
(C5) ou eacute crescente com de forma que para natildeo altruiacutestas eacute sempre vantajoso
explorar mais altruiacutestas
(C6) ou eacute crescente com de forma que os membros de um grupo estatildeo em meacutedia
melhores quando haacute mais altruiacutestas no grupo
Suponha uma populaccedilatildeo inicialmente formada por indiviacuteduos naturais Se ocorre uma mutaccedilatildeo
em um indiviacuteduo e ela for neutra ou seja se o nuacutemero esperado de altruiacutestas com o passar das
geraccedilotildees eacute constante igual a 1 A probabilidade de que o traccedilo altruiacutesta se fixe eacute Assim se
houver grupos muito grandes a probabilidade de acontecer a fixaccedilatildeo desse traccedilo passa a ser cada vez
42
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
mais improvaacutevel Com o nuacutemero esperado de altruiacutestas a partir de um uacutenico indiviacuteduo passa a
ser maior que 1
Neste texto vamos citar trecircs entre as possibilidades de payoffs trabalhadas por Renato Vicente
Modelo de Public Goods Game (PG)
para constantes positivas e
Neste modelo a um custo C cada altruiacutesta produz um benefiacutecio B dividido igualmente para todos os
outros membros do grupo Por exemplo altruiacutestas poderiam ser indiviacuteduos que adotassem um
haacutebito de higiene custoso para si proacuteprio mas beneacutefico para o grupo
Interaccedilotildees diaacutedicas (General Linear Fitness GLF)
Neste cenaacuterio supomos que os membros do grupo interagem aos pares durante sua vida Denota-se por
com o payoff de um tipo i que interage com um tipo j Cada indiviacuteduo contribui para
seu proacuteprio payoff com O payoff final seraacute uma composiccedilatildeo das contribuiccedilotildees da cada par possiacutevel
Eacute possiacutevel reescrever a funccedilatildeo de custos adotando e
e benefiacutecios assumindo que
ou seja que relaccedilotildees entre indiviacuteduos natildeo geram benefiacutecio extra para os
demais
Modelo de Limiar (THR)
43
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Para constantes positivas e e um inteiro
Neste cenaacuterio os altruiacutestas estatildeo expostos a um custo C mas a partir de um determinado nuacutemero
deles no grupo eles podem desfrutar de um benefiacutecio Jaacute os naturais teriam um benefiacutecio nas
mesmas condiccedilotildees
Figura 1 Payoffs para os tipos selvagens (ldquoNrdquo) satildeo representados em verde e para os tipos altruiacutestas (Ardquo) aparecem em azul O
primeiro painel mostra uma remuneraccedilatildeo do tipo ldquoPublic Goodsrdquo com e o segundo uma do tipo ldquoInteraccedilotildees Diaacutedicasrdquo
com e o uacuteltimo uma do tipo ldquoLimiarrdquo com e
Implementamos o modelo de evoluccedilatildeo do altruiacutesmo usando a linguagem de programaccedilatildeo
MATLABOctave Adotando um niacutevel de altruiacutestas aleatoacuterios de cerca de 10 na primeira geraccedilatildeo (
) niacutevel de migraccedilatildeo forccedila de seleccedilatildeo tamanho de grupo e nuacutemero de
grupos e acima obtivemos os seguintes resultados em 30 experimentos considerando ateacute
a quinquageacutesima ou centeacutesima geraccedilatildeo
44
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 2 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) e de Limiar (THR) conforme
paracircmetros apresentados na figura anterior Adotando um nuacutemero inicial altruiacutestas aleatoacuterio entre 0 e 4 indiviacuteduos por grupo e taxa de migraccedilatildeo
(demais paracircmetros acima) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta apenas no modelo GLF em 10 casos (nos demais casos o gene foi extinto) e no
modelo THR em todos os casos No caso do primeiro modelo (PG) em poucas geraccedilotildees os altruiacutestas desapareceram Barras indicam
desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que natildeo faz
sentido nesse contexto)
Para estudarmos melhor o comportamento dos modelos de payoffs PG e GLF inicializamos nosso
programa com uma taxa de altruiacutestas fixa de 35 em cada grupo (7 em um total de 20) Houve uma
mudanccedila importante de comportamento nos dois casos
45
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 3 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) e Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com quantidade de altruiacutestas
de pouco mais de um terccedilo (35 em cada grupo) No caso PG em 4 dos 30 experimentos houve estabilizaccedilatildeo do gene altruiacutestas no niacutevel de
100 nos demais foi a 0 Para o caso GLF em pouco mais de 10 geraccedilotildees todos os indiviacuteduos da populaccedilatildeo jaacute eram altruiacutestas Barras
indicam desvio-padratildeo em cada geraccedilatildeo (devido agrave grande variabilidade os extremos chegam a valores negativos ou superiores a 100 o que
natildeo faz sentido nesse contexto)
Outro paracircmetro ao qual os modelos satildeo sensiacuteveis eacute a taxa de migraccedilatildeo Abaixo apresentamos um
breve estudo usando o modelo de interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) do efeito de migraccedilatildeo com
e No primeiro caso equivale a dizer que natildeo existe migraccedilatildeo entre grupos e no
uacuteltimo que estamos tratando de um uacutenico grupo do tamanho total da populaccedilatildeo (400 no nosso
exemplo)
46
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Figura 4 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Interaccedilotildees Diaacutedicas (GLF) com variando entre 0 01 e 1 Houve reduccedilatildeo
expressiva do nuacutemero necessaacuterio de geraccedilotildees para a fixaccedilatildeo de perto de 20 no primeiro caso para 4 no uacuteltimo Barras indicam desvio-padratildeo
em cada geraccedilatildeo
Mesmo com uma taxa de migraccedilatildeo igual a zero eacute possiacutevel que o gene altruiacutesta se espalhe na
populaccedilatildeo Isso acontece porque a cada geraccedilatildeo cada grupo filho descende em meacutedia dos grupos
paternos mais aptos mdasha aptidatildeo cresce conforme a fraccedilatildeo de altruiacutestas cresce
Se variarmos a taxa ateacute mesmo o modelo de payoffs com pior performance ateacute o momento (no
sentido de promover o espalhamento de altruiacutestas na populaccedilatildeo) o de Public Goods pode ser
incrementado
Figura 5 Resultado da simulaccedilatildeo para os modelos de payoffs de Public Goods (PG) variando a taxa de migraccedilatildeo entre 10 50 e 80 No
uacuteltimo caso em todos os experimentos (30) houve fixaccedilatildeo do gene altruiacutesta na populaccedilatildeo contra apenas um no primeiro
Entre outras limitaccedilotildees este conjunto de simulaccedilotildees natildeo levou em conta o interessante caso em que
apenas um indiviacuteduo altruiacutesta surge na populaccedilatildeo mdashnos experimentos realizados (natildeo mostrados)
nunca havia fixaccedilatildeo do traccedilo
O modelo adotado tambeacutem considera que a heranccedila do altruiacutesmo eacute haploide Nossa espeacutecie na
verdade eacute diploide ou seja carrega duas coacutepias de cada gene Dessa forma a depender da
47
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
caracteriacutestica do ldquogene do altruiacutesmordquo se dominante ou recessivo poderia haver implicaccedilotildees diferentes
daquelas observadas aqui
Outra condiccedilatildeo que adotamos eacute o tamanho dos grupos fixo e o nuacutemero de grupos tambeacutem fixo o que
dificilmente condiz com a realidade Essa construccedilatildeo entretanto simplifica bastante a realizaccedilatildeo dos
experimentos de simulaccedilatildeo
Referecircncias
Okasha Samir Biological Altruism The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition)
Edward N Zalta (ed) Disponiacutevel em lthttpsplatostanfordeduarchivesfall2013entries
altruism-biologicalgt acesso em 5 de fevereiro de 2019
Vicente Renato Tese de Livre Docecircncia Altruiacutesmo Moralalidade e Hierarquia - Modelos
Quantitativos Instituto de Matemaacutetica e Estatiacutestica da USP 2016
48
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Discussatildeo Natildeo eacute trivial falar sobre matemaacutetica para a populaccedilatildeo mdash isso eacute uma certeza No entanto eacute possiacutevel
sim abordar o conhecimento de maneira ao menos um pouco mais aprofundada em relaccedilatildeo ao que
observamos cotidianamente ao inserir elementos que aproximem o puacuteblico do conhecimento que eacute
produzido em universidades e institutos de pesquisa Mostramos isso trecircs vezes
No texto sobre previsatildeo do tempo depreende-se o quanto a precisatildeo das medidas meteoroloacutegicas eacute
importante para uma projeccedilatildeo confiaacutevel Mesmo com uma variaccedilatildeo inicial baixa pode haver
discrepacircncia nos resultados Com isso eacute possiacutevel aprender um pouco sobre o que eacute o caos
matematicamente
O instinto de autopreservaccedilatildeo faz com que todos saibamos ao menos um pouco sobre doenccedilas Mas
muitas vezes esse conhecimento natildeo eacute sistematicamente organizado Em nossa abordagem satildeo
apresentados quais satildeo os passos para que uma epidemia ocorra que esses requisitos podem ser
quantificados e que isso permite estabelecer prognoacutesticos atraveacutes de modelos
Por fim no capiacutetulo sobre altruiacutesmo foi apresentado como um tema complexo e relevante do ponto de
vista antropoloacutegico bioloacutegico e evolutivo pode ser formatado matematicamente e estudado Questotildees
do tipo ldquode onde viemosrdquo tecircm um apelo natural entre as pessoas e podem servir como ponte para a
introduccedilatildeo de temas filosoficamente relacionados
Em cada caso aleacutem de uma breve explicaccedilatildeo sobre algum dos temas matemaacuteticos relacionados
apresentamos uma simulaccedilatildeo computacional o que de certa forma materializa aquele conhecimento em
figuras e graacuteficos Cremos que esse tipo de demonstraccedilatildeo seja beneacutefico no sentido de aumentar o
interesse pela matemaacutetica por meio de programaccedilatildeo competecircncias hoje de alto valor no mercado de
trabalho e que jaacute eacute ensinada desde cedo em algumas escolas
Vale ressaltar que a divulgaccedilatildeo cientiacutefica tem limitaccedilotildees Muitas vezes natildeo eacute possiacutevel apresentar todo
um conjunto de ideias por uma questatildeo de espaccedilo Quando o texto ou viacutedeo eacute longo ou saturado de
informaccedilotildees e detalhes pode haver rejeiccedilatildeo por parte do consumidor Haacute de se pensar no contexto em
que esses conteuacutedos satildeo apresentados para maximizar o impacto de cada iniciativa
Daiacute a importacircncia da pluralidade de abordagens que podem ir desde textos na imprensa a viacutedeos
divulgados pela internet ou mostras educativas Cada uma delas tem seu papel na construccedilatildeo do
repertoacuterio daqueles que satildeo expostos a esses conhecimentos
No caso especiacutefico da matemaacutetica mostramos que eacute possiacutevel inseri-la em textos noticiosos usando
como arcabouccedilo ou como veiacuteculo suas aplicaccedilotildees Permanece poreacutem o desafio de como tratar de
temas puramente matemaacuteticos de uma maneira relevante para quem vive distante desse universo
49
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Anexos
Aacuteguas rasas - Coacutedigo MATLABOctave
waterwavem function waterwave ( ) WATER WAVE 2D Shallow Water Model Lax-Wendroff finite difference method Reflective boundary conditions Random water drops initiate gravity waves Surface plot displays height colored by momentum Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation An exact solution to the conservation law would have constant tv Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv Author Cleve Moler Reference httpenwikipediaorgwikiShallow_water_equations httpwwwamathwashingtonedu~rjlresearchtsunamis httpwwwamathwashingtonedu~dgeorgetsunamimodelinghtml httpwwwamathwashingtonedu~clawapplicationsshallowwww Parameters n = 64 grid size g = 98 gravitational constant dt = 002 hardwired timestep dx = 10 dy = 10 nplotstep = 8 plot interval ndrops = 3 maximum number of drops dropstep = 500 drop interval D = droplet(121) simulate a water drop Initialize graphics [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) Outer loop restarts while get(stopvalue) == 0 set(startvalue0)
50
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
H = ones(n+2n+2) U = zeros(n+2n+2) V = zeros(n+2n+2) Hx = zeros(n+1n+1) Ux = zeros(n+1n+1) Vx = zeros(n+1n+1) Hy = zeros(n+1n+1) Uy = zeros(n+1n+1) Vy = zeros(n+1n+1) ndrop = ceil(randndrops) nstep = 0 Inner loop time steps while get(startvalue)==0 ampamp get(stopvalue)==0 nstep = nstep + 1 Random water drops if mod(nstepdropstep) == 0 ampamp nstep lt= ndropdropstep w = size(D1) i = ceil(rand(n-w))+(1w) j = ceil(rand(n-w))+(1w) H(ij) = H(ij) + randD end Reflective boundary conditions H(1) = H(2) U(1) = U(2) V(1) = -V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = U(n+1) V(n+2) = -V(n+1) H(1) = H(2) U(1) = -U(2) V(1) = V(2) H(n+2) = H(n+1) U(n+2) = -U(n+1) V(n+2) = V(n+1) Take a half time step to estimate derivatives at middle time x direction i = 1n+1 j = 1n height Hx(ij) = (H(i+1j+1)+H(ij+1))2 - dt(2dx)(U(i+1j+1)-U(ij+1)) x momentum Ux(ij) = (U(i+1j+1)+U(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (U(ij+1)^2H(ij+1) + g2H(ij+1)^2)) y momentum Vx(ij) = (V(i+1j+1)+V(ij+1))2 - dt(2dx)((U(i+1j+1)V(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (U(ij+1)V(ij+1)H(ij+1))) y direction i = 1n j = 1n+1 height
51
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
Hy(ij) = (H(i+1j+1)+H(i+1j))2 - dt(2dy)(V(i+1j+1)-V(i+1j)) x momentum Uy(ij) = (U(i+1j+1)+U(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)U(i+1j+1)H(i+1j+1)) - (V(i+1j)U(i+1j)H(i+1j))) y momentum Vy(ij) = (V(i+1j+1)+V(i+1j))2 - dt(2dy)((V(i+1j+1)^2H(i+1j+1) + g2H(i+1j+1)^2) - (V(i+1j)^2H(i+1j) + g2H(i+1j)^2)) Now take a full step that uses derivatives at middle point i = 2n+1 j = 2n+1 height H(ij) = H(ij) - (dtdx)(Ux(ij-1)-Ux(i-1j-1)) - (dtdy)(Vy(i-1j)-Vy(i-1j-1)) x momentum U(ij) = U(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)^2Hx(ij-1) + g2Hx(ij-1)^2) - (Ux(i-1j-1)^2Hx(i-1j-1) + g2Hx(i-1j-1)^2)) - (dtdy)((Vy(i-1j)Uy(i-1j)Hy(i-1j)) - (Vy(i-1j-1)Uy(i-1j-1)Hy(i-1j-1))) y momentum V(ij) = V(ij) - (dtdx)((Ux(ij-1)Vx(ij-1)Hx(ij-1)) - (Ux(i-1j-1)Vx(i-1j-1)Hx(i-1j-1))) - (dtdy)((Vy(i-1j)^2Hy(i-1j) + g2Hy(i-1j)^2) - (Vy(i-1j-1)^2Hy(i-1j-1) + g2Hy(i-1j-1)^2)) Update plot if mod(nstepnplotstep) == 0 C = abs(U(ij)) + abs(V(ij)) Color shows momemtum t = nstepdt tv = norm(Cfro) set(surfplotzdataH(ij)cdataC) set(topstringsprintf(t = 62f tv = 62fttv)) drawnow end if all(all(isnan(H))) break end Unstable restart end end close(gcf) return
52
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
end ------------------------------------ function D = droplet ( height width ) DROPLET 2D Gaussian D = droplet(heightwidth) [ x y ] = ndgrid ( -1(2(width-1))1 ) D = height exp ( -5 ( x^2 + y^2 ) ) return end ------------------------------------ function [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) INITGRAPHICS Initialize graphics for waterwave [surfplottopstartstop] = initgraphics(n) returns handles to a surface plot its title and two uicontrol toggles clf shg set(gcfnumbertitleoffnameShallow_water) x = (0n-1)(n-1) surfplot = surf(xxones(nn)zeros(nn)) grid off axis([0 1 0 1 -1 3]) caxis([-1 1]) shading faceted c = (164)64 cyan = [0c c c] colormap(cyan) top = title(Click start) start = uicontrol(position[20 20 80 20]styletogglestringstart) stop = uicontrol(position[120 20 80 20]styletogglestringstop) return end
Disseminaccedilatildeo de doenccedilas - Coacutedigos MATLABOctave
espalhamentom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Espalhamento de doenccedilas infecciosas - modelo SIR
53
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
clear clc Se S=susceptiacuteveis I=infectados e R=recuperados nosso sistema pode ser escrito como S=-betaSI I=betaSI-gamaI R=gamaI global beta gama sigma tmax mu nu zeta tmax = 150 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo D = 10 nuacutemero meacutedio de dias que uma pessoa fica infectada Ds = 4 dia meacutedio que uma pessoa fica incubando a doenccedila t_i = 100 tempo meacutedio de duraccedilatildeo da imunidade (em dias) gama = 1D taxa de recuperaccedilatildeo beta = 05 nordm de novos infectados que um infectado gera por dia sigma = 1Ds taxa de conversatildeo de infectados (SEIR) zeta = 1t_i taxa de conversatildeo de suscetiacuteveis (SEIR) s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis i0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) mu = 5510^-5 taxa de mortalidade diaacuteria - supondo 2 ao ano nu = 5510^-5 taxa de natalidade diaacuteria - idem R0 = betagama No nosso caso as quantidades S I e R estaratildeo empacotadas no vetor w w0 = [s0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais Aqui calculamos as soluccedilotildees do sistema no intervalo entre 0 e tmax com a funccedilatildeo embutida no matlab ode23 [tw]=ode45(sir[0tmax]w0) para fins didaacuteticos separamos os componentes da matriz w em vetores com as soluccedilotildees de s i e r s=w(1) i=w(2) r=w(3) plotamos os graacuteficos hold off plot(tsr) hold on plot(tib) plot(trg ) title(Modelo SIR) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) disp(Continue para plotar a aproximaccedilatildeo de Euler) pause euler chama o arquivo eulerm para plotar manualmente uma soluccedilatildeo disp(Continue para inserirmos a dinacircmica vital)
54
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
pause tmax = 15000 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_dw_sird]=ode45(sird[0tmax]w0) s_d=w_sird(1) i_d=w_sird(2) r_d=w_sird(3) plotamos o graacutefico hold off plot(t_ds_dr) hold on plot(t_di_db) plot(t_dr_dg) title(Modelo SIR com dinacircmica vital) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) axis([0 15000 0 1]) --------------------------------------- disp(Continue para plotar o graacutefico do modelo SEIR com dinacircmica vital) pause s0 = 1 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos suscetiacuteveis e0 = 110^-6 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos expostos i0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos infectados r0 = 0 fraccedilatildeo inicial de indiviacuteduos recuperados (imunes) w0_seird = [s0e0i0r0] nosso vetor de condiccedilotildees iniciais tmax = 300 nuacutemero de dias na nossa simulaccedilatildeo [t_seirdw_seird]=ode45(seird[0tmax]w0_seird) s_seir=w_seird(1) e_seir= w_seird(2) i_seir=w_seird(3) r_seir=w_seird(4) plotamos o graacutefico hold off plot(t_seirds_seirr) hold on plot(t_seirde_seirm) plot(t_seirdi_seirb) plot(t_seirdr_seirg) title(Modelo SEIRS) legend(susceptiacuteveisexpostosinfectadosrecuperados) ylabel(Fraccedilatildeo da populaccedilatildeo) xlabel(Tempo (dias)) END
55
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
sirm function wlinha=sir(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama wlinha=[-betaw(1)w(2) betaw(1)w(2) - gamaw(2) gamaw(2)]
eulerm eacute possiacutevel calcular tambeacutem com meacutetodo de Euler por exemplo n = 300 nuacutemero de intervalos delta = tmaxn passo t_e=zeros(1n) for j=1n+1 t_e(j)=(j-1)delta end inserir condiccedilotildees iniciais s_e(1)=s0 i_e(1)=i0 r_e(1)=r0 for j=2n+1 wlinha_e=sir(t_e(j-1)[s_e(j-1)i_e(j-1)r_e(j-1)]) s_e(j)=s_e(j-1)+wlinha_e(1)delta i_e(j)=i_e(j-1)+wlinha_e(2)delta r_e(j)=r_e(j-1)+wlinha_e(3)delta end plot(t_es_er+) plot(t_ei_eb+) plot(t_er_eg+) legend(susceptiacuteveisinfectadosrecuperados)
sirdm function wlinha=sird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu
56
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
wlinha=[ nu(w(1)+w(2)+w(3))-betaw(1)w(2)-muw(1) betaw(1)w(2) - gamaw(2) - muw(2) gamaw(2)-muw(3)]
seirdm function wlinha=seird(tw) Lado direito do sistema de equaccedilotildees diferencias dw(1)dt= dw(2)dt= dw(3)dt= em que x=w(1) y=w(2) e z=w(3) w e wlinha satildeo vetores global beta gama mu nu sigma zeta wlinha=[ -betaw(1)w(3) + zetaw(4) betaw(1)w(3) - sigmaw(2) sigmaw(2) - gamaw(3) gamaw(3) - zetaw(4)]
Evoluccedilatildeo do altruiacutesmo - Coacutedigos MATLABOctave
altruismom Gabriel Andrade Alves - BMAC - TCC - ndeg USP 5892669 Evoluccedilatildeo do Altruiacutesmo Vamos fazer uma simulaccedilatildeo da evoluccedilatildeo do altruiacutesmo baseado na exposiccedilatildeo de Renato Vicente em sua tese de Livre Docecircncia clear clc N = 20 Nuacutemero de grupos n = 20 Tamanho dos grupos A = floor(4rand(1N)) aleatoacuterio de 0 a 3 A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial delta = 08 forccedila de seleccedilatildeo m = 01 taxa de migraccedilatildeo entre 0 e 1 Tmax = 50 nuacutemero maacuteximo de geraccedilotildees Nmax = 30 nuacutemero de experimentos i=01n possiblidades de altruiacutestas em cada grupo C=1 B=5 parametros dos modelos Blinha = 2 a1= 05 d=005 dlinha=0065 mais paracircmetros blinha=2 b=blinha mais paracircmetros Ck = Ci^a1 Bk=bi^2(1+di^2) parametros do modelo VCB Bklinha=blinhai^2(1+dlinhai^2) parametros do modelo VCB teta=3 Azao=10 Azaolinha=Azao parametros do modelo THR Public Goods (PG) vkPG_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs PG para altruiacutestas
57
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
vkPG_N = iB(n-1) payoffs PG para naturais Interaccedilotildees Diaacutedicas General Linear Fitness (GLF) vkGLF_A = -C + (i-1)B(n-1) payoffs GLF para altruiacutestas vkGLF_N = iBlinha(n-1) payoffs GLF para naturais Modelo de Limiar (THR) vkTHR_A=zeros(1n) vkTHR_N=zeros(1n) for j=1n+1 if (j-1)ltteta vkTHR_A(j)=-C vkTHR_N(j)=0 else vkTHR_A(j)=-C+Azao vkTHR_N(j)=Azaolinha end end --------------------------------------------------------------- plotarvks chama plotarvksm para plotar os vks --------------------------------------------------------------- selecionamos aqui a funccedilatildeo v de interesse e calculamos o w aqui estatildeo todos os wks possiacuteveis de 0 a 20 wkA = 1 + deltavkPG_A wkN = 1 + deltavkPG_N --------------------------------------------------------------- W=zeros(1N) inicializar vetores para poupar memoacuteria wA=zeros(1N) wN=zeros(1N) Wrel=zeros(1N) Wreli=zeros(1N) R=zeros(NmaxTmax+1) R(1)=sum(Ai) - uacutetil quando natildeo haacute loop de fora (1Nmax) esta iteraccedilatildeo eacute feita uma vez fora do loop porque eacute necessaacuteria nos caacutelculos iniciais na ordem planejada for k=1Nmax A = floor(5rand(1N)) gera A aleatoacuterio de 0 a 4 indiviacuteduos por grupo A(1)=7 para fixar A inicial se conveniente A = zeros(1N) inicializa vetor de altruiacutestas A(ceil(10rand)) = 1 um indiviacuteduo mutante surge em um grupo Ai = A registra A inicial R(k1)=100sum(Ai)(Nn) for j=1N percorre grupos wA(j) = A(j)wkA(A(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-A(j))wkN(A(j)+1) aptidatildeo total dos naturais
58
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wreli(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end for t=1Tmax Vamos calcular as aptidotildees relativas de cada grupo Vamos calcular uma vetor P com as probabilidades cumulativas de um certo grupo ser selecionado como pai de outro Paux=0 Y=Wsum(W) P=zeros(1N) for u=1N P(u)=Y(u)+Paux Paux=P(u) end Sorteio de um pai o iacutendice paterno eacute escolhido de acordo com a presenccedila de elementos A Quanto mais As maior a chance de um grpuo ser escolhido Dois ou mais grupos podem ter o mesmo pai Atemp = ones(1N) y=rand(1N) casa=zeros(1N) for j=1N for z=1N if P(z) lt= y(j) casa(j) = z+1 end end end for j=1N if casa(j)==0 casa(j)=1 end Atemp(j)= A(casa(j)) end Novo vetor A dos pais de cada filho for j=1N percorre grupos wA(j) = Atemp(j)wkA(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos altruiacutestas wN(j) = (n-Atemp(j))wkN(Atemp(j)+1) aptidatildeo total dos naturais W(j) = wA(j)+wN(j) aptidatildeo meacutedia pro grupo Wrel(j) = wA(j)W(j) aptidatildeo relativa dos altruiacutestas no grupo end
59
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
BIN=zeros(n+1N) for v=1N for u=1n+1 vamos comeccedilar do 0 BIN(uv)= binocdf(u-1nWrel(v)) Wrel eacute a do impacto do altruismo no grupo end end escolha dos nuacutemeros de altruiacutestas para cada grupo na prox geraccedilatildeo index=ones(1N) x=rand(1N) for v=1N for u=1n+1 if BIN(uv)ltx(v) index(v)=u+1 end end end A=index-1 atualiza nuacutemero de altruiacutestas por grupo INIacuteCIO - Sorteio Vamos definir quantos migrantes haveraacute em cada grupo V1=zeros(1N) for j=1N for l=1n if rand()lt=m todos tem chance m de mudar de grupo V1(j)=V1(j)+1 end end end Totmigrantes = sum(V1) Guardamos o total de migrantes Vamos calcular o total de altruiacutestas migrantes em cada grupo V3=zeros(1N) for j=1N if V1(j)gt0 for l=1V1(j) if rand()lt=A(j)n V3(j)=V3(j)+1 end end end end Tmigalt=sum(V3) Criamos uma vetor zerado com o comprimento igual ao nuacutemero de migrantes V2=zeros(1Totmigrantes) Vamos atualizar V2 nas primeiras com os altruiacutestas e depois embaralhar for j=1Tmigalt V2(j)=1
60
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
end V2=V2(randperm(length(V2))) Vamos percorrer o V2 e as vagas de cada grupo (tem que casar) e atualizar o valor de A de cada grupo j=1 iacutendice do vetor V2 for l=1N vamos percorrer vetor V1 de grupos com nordm de migrantes de cada if V1(l)==0 j=j+1 else for q=1V1(l) A(l)=A(l)+V2(j+q-1) atualizamos os migrantes end end if A(l)gt20 A(l)=20 restriccedilatildeo de tamanho maacuteximo em cada grupo end end FIM do sorteio R(kt+1)= 100sum(A)(Nn) Guardando o nuacutemero de altruiacutestas na populaccedilatildeo end end Rmedio=zeros(1Tmax+1) for u=1(Tmax+1) Rmedio(u)=mean(R(u)) Erro(u)=std(R(u)) end plotarerros chama plotarerrosm para plotar graacutefico de erros plotarlinhas chama plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas END
plotarvksm plotar os vks sz=25 subplot (131) scatter (ivkPG_Aszbfilled) hold on scatter (ivkPG_Nszgfilled) title (Public Goods (PG)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1])
61
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
subplot (132) scatter (ivkGLF_Aszbfilled) hold on scatter (ivkGLF_Nszgfilled) title (Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) subplot (133) scatter (ivkTHR_Aszbfilled) hold on scatter (ivkTHR_Nsz gfilled) title (Modelo de Limiar (THR)) xlabel(k) ylabel(payoff) grid on grid minor pbaspect([1 1 1]) legend(v_k^Av_k^NLocationsoutheast)
plotarerrosm END para plotar graacutefico de erro if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG) elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off errorbar(0Tmax RmedioErro) title (Simulaccedilatildeo com modelo de Public Goods (PG)) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1]) x = [1 2 3 4 5] ymin = [001 002 003 004 005] lower error bar position ymax = [002 003 004 005 006] upper error bar position draw error bar from minimum value to maximum value errorbar(x(ymin+ymax)2(ymax-ymin)2)
plotarlinhasm para plotar graacutefico de linhas if wkA==1 + deltavkPG_A modelo= Public Goods (PG)
62
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
elseif wkA==1 + deltavkVPG_A modelo= Interaccedilotildees diaacutedicas (GLF) elseif wka==1 + deltavkTHR_A modelo= Limiar (THR) end hold off for j=1Nmax plot (0Tmax R(j)) hold on end title ([Simulaccedilatildeo com modelo de modelo]) xlabel(Geraccedilatildeo) ylabel(Fraccedilatildeo de altruiacutestas ()) grid on pbaspect([1 1 1])
63
