Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Prova Específica de Matemática

Prova Modelo do Exame de Acesso ao Ensino Superior

Estudantes internacionais

Duração: 2h+ 30min tolerância

Primeira Parte

- As cinco questões desta parte são de escolha múltipla.

- Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.

- Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à sua resposta, para cada questão.

- Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada.

- Não apresente cálculos.

1. Seja o espaço de resultados associado a uma determinada experiência aleatória se A, B

são dois acontecimentos incompatíveis tais que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,25. Então, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) é:

(A) 0 (B) 0,1 (C) 0,25 (D) Nenhuma das respostas anteriores

2. O conjunto solução da inequação 𝑥 − 1

𝑥≤ 0 , em ℝ, é

(A) ] − ∞, 0[ (B) ] − ∞, −1] ∪ ]0,1] (C) ] − 1, +∞[ (D) Nenhuma das respostas anteriores

3. Considere a função real de variável real 𝑓, de domínio ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .

A expressão 𝑓(𝑥) × 𝑓′(𝑥) é igual a

(A) 1

2 (B)

𝑐𝑜𝑠 𝑥

2 (C)

sen 𝑥

2 (D) Nenhuma das respostas anteriores

4. Se (𝑢𝑛) 𝑛∈ℕ é a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = 𝑛+3

𝑛3+2 , então o lim

𝑛→∞𝑢𝑛 é

(A) 0 (B)3

2 (C) +∞ (D) Nenhuma das respostas anteriores

5. Se α ∈ ]𝜋

2,

3

2𝜋 [ e 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

3

5 , então o valor de 𝑡𝑔 𝛼 é

(A) 1

5 (B) −

3

4 (C)

4

5 (D) Nenhuma das respostas anteriores

Segunda Parte

Nas questões desta parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver

de efetuar e todas as justificações necessárias.

6. Na sequência de um estudo sobre os alunos que ingressaram em duas licenciaturas da UTAD no

ano letivo 2017/2018, registaram-se os seguintes dados para uma amostra de 50 mulheres e 50

homens: género do aluno e número de irmãos do aluno. No gráfico seguinte apresenta-se o

número de irmãos dos alunos dessas licenciaturas por género:

6.1. Identifique a caraterística (variável) em estudo e classifique-a quanto ao tipo.

6.2. Com base nos dados fornecidos e independentemente do género, elabore uma tabela com as

frequências absolutas, frequências relativas em percentagem, frequências absolutas

acumuladas e frequências relativas acumuladas em percentagem.

6.3. Determine a média, a moda e a amplitude do conjunto de dados para cada um dos géneros.

Explique o respetivo significado prático, no contexto do problema, e indique o que pode

concluir.

6.4. Indique, justificando:

6.4.1. Qual a percentagem de alunos (independentemente do género) que, no máximo, têm

um irmão

6.4.2. Qual a percentagem de alunos do género feminino que não têm irmãos.

20

16

8

6

12

20

11

7

0

1

2

3

Nú

me

ro d

e ir

mão

s

Mulheres Homens

7. Na figura ao lado está representado um

triângulo [ABC], em que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑐; 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑎; 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑏 e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = ℎ

7.1. Suponha que 𝛽 = 𝜋

6

7.1.1 Caracterize o ∆[𝐴𝐵𝐶] quanto aos lados.

7.1.2 Fazendo ℎ = √3 mostre que 𝑎 = 2

7.2. Determine a área do triângulo [ABC], considerando 𝛼 = 𝜋

6 e 𝑐 = 2√3

8. Considere a função f, real de variável real, cujo gráfico está representado na figura seguinte:

8.1. Relativamente à função f , indique:

8.1.1. o domínio e o contradomínio;

8.1.2. o(s) zero(s), caso existam;

8.1.3. o(s) intervalo(s) onde é estritamente crescente;

8.1.4. o(s) extremos absolutos de f, caso existam;

8.1.5. a expressão analítica de 𝑓, para −1 ≤ 𝑥 < 0.

8.2. Diga, justificando, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa:

“A função f é contínua em 𝑥 = 0.”

9. Considere a função quadrática f , definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ.

9.1. Determine os valores do parâmetro real c de modo a que f não tenha zeros em ℝ.

9.2. Considerando o valor de c = 0,

9.2.1. Faça um esboço do gráfico de f ;

9.2.2. Determine o conjunto solução da inequação 𝑓(𝑥) ≥ 0.

9.2.3. Diga, justificando, se a função f é injetiva para 𝑥 > 0.

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Cotação da Primeira Parte:

Cada resposta certa ……………………………………………………………………………………....10 pontos

Cada resposta errada, anulada ou não respondida ………………………………………...... 0 pontos

Cotação da Segunda Parte:

6…………………………………………………………………………………………………………………. 45 pontos

7…………………………………………………………………………………………………………………. 35 pontos

8…………………………………………………………………………………………………………………. 40 pontos

9…………………………………………………………………………………………………………………. 30 pontos