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PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO
DE TUBOS HORIZONTAIS PARCIALMENTE
CHEIOS DE LÍQUIDO
JUAN ANDRÉS SANTISTEBAN HIDALGO
FEVEREIRO DE 2016
JUAN ANDRÉS SANTISTEBAN HIDALGO
FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DE TUBOS HORIZONTAIS PARCIALMENTE CHEIOS DE LÍQUIDO
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya
de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
da UFF como parte dos requisitos para a
obtenção do t ítulo de Mestre em Ciências em
Engenharia Mecânica
Orientador: Prof. Dr. Antonio Lopes Gama (PGMEC/UFF )
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE NITERÓI, 29 DE FEVEREIRO DE 2016
FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO DE TUBOS HORIZONTAIS PARCIALMENTE CHEIOS
DE LÍQUIDO
Esta Dissertação é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos
Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Prof. Antonio Lopes Gama (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense
(Orientador)
Prof. Angela Cristina Cardoso de Souza (D. Sc)
Universidade Federal Fluminense
Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco (D. Sc)
CEFET-RJ
Aos Meus Pais José Andrés e Ana Maria
Agradecimentos
A Deus, inteligência suprema e criador de todas as coisas, pela minha existência e pela
beleza do universo e dos fenômenos a serem descobertos pelo ser humano.
Ao meu orientador Antonio Gama pela sua orientação concisa e extremamente
importante para o meu crescimento acadêmico, científico e profissional.
Ao professor Roger Matsumoto Moreira que ao longo do mestrado deu grande
suporte na elaboração do meu trabalho e que com dedicação e sábia orientação contribuiu
para meu amadurecimento profissional e também pessoal, desempenhando com maestria o
papel de professor.
A CAPES e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFF pela
oportunidade e pelo apoio institucional a mim dado no desenvolvimento dos meus estudos.
Aos meus pais José e Ana Maria e à minha irmã Ana Verônica, pela paciência, pelo
apoio e por estarem sempre ao meu lado.
À Renata pelo incentivo, e seu apoio incondicional nos momentos cruciais desta
etapa concluída, caminhando sempre junto comigo.
Aos professores e amigos da UFF, em especial a Jamille e Rafael, que em pouco
tempo de amizade me apoiaram bravamente nesta reta final do mestrado.
A todos os que torceram por mim e contribuíram para que este momento fosse
realizado.
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo sobre vibrações em tubos horizontais
parcialmente cheios de líquido com o objetivo de propor uma metodologia simples para
cálculo das frequências naturais de vibração transversal considerando o efeito do
acoplamento entre o líquido interno e a parede do tubo. A partir de simulações numéricas e
testes experimentais, foram calculados coeficientes que representam quantitativamente o
acoplamento entre o líquido e a parede do tubo vibrante. A obtenção dos coeficientes
permite o cálculo das frequências naturais utilizando modelos simples de viga conhecidos
na literatura. O modelo utilizado no presente trabalho foi o de Euler-Bernoulli. Também
foram estudados os efeitos que variáveis, como: amplitude do movimento, o diâmetro do
tubo, forma da seção transversal e viscosidade do fluido, causam no acoplamento entre o
líquido e o tubo, e consequentemente nos valores de coeficientes de massa de líquido
adicionada.
Palavras chave: tubos parcialmente cheios, coeficiente de massa de líquido adicionada,
vibrações.
ABSTRACT
This work presents a study on the vibration of horizontal tubes partially filled with
liquid with the objective of proposing a simple methodology to calculate the natural
frequencies of transverse vibration considering the coupling mechanism between the liquid
and the tube. Through numerical simulations and experimental tests, coefficients that
represent the mass of liquid added to the tube were determined. These coefficients were
used in simple beam models for transversely vibrating uniform beams to calculate the
natural frequencies of horizontal tubes partially filled with liquid. The model used in this
work was the Euler-Bernoulli model. The effect of the amplitude of tube oscillation, tube
diameter and geometry of cross section, as well as the effect of liquid viscosity on the
coefficients of mass of liquid added to the tube were also investigated.
Keywords: partially filled pipes, added mass coefficients, vibrations.
SUMÁRIO
Lista de Figuras......................................................................................................................ix
Lista de Tabelas....................................................................................................................xii
Lista de Símbolos ................................................................................................................xiii
Capítulo 1. Introdução
1.1. Apresentação ............................................................................................................. 16
1.2. Objetivo do Trabalho ................................................................................................. 19
1.3. Sumário da Dissertação ............................................................................................. 20
Capítulo 2. Vibração em tubos
2.1. Introdução ...................................................................................................................... 22
2.2. Vibração Transversal de Vigas ...................................................................................... 23
2.2.1. Equação para Cálculo das Frequências Naturais do Tubo .............................. 25
2.2.2. Equação de Massa Acoplada ao Movimento de Vibração do Tubo ............... 27
Capítulo 3. Fluidodinâmica computacional
3.1. Introdução ...................................................................................................................... 30
3.2. Geometria ...................................................................................................................... 31
3.3. Modelo Matemático ....................................................................................................... 31
3.4. Modelagem Numérica ................................................................................................... 35
3.4.1 Método dos Volumes Finitos ........................................................................... 36
3.5. ANSYS CFX ................................................................................................................. 41
3.6. Problemática da modelagem do tubo ............................................................................ 44
3.7. Descrição dos procedimentos adotados para simulação ................................................ 45
3.8. Discretização do tubo em volumes finitos ..................................................................... 48
3.9. Simulação numérica ...................................................................................................... 53
3.10. Obtenção do coeficiente de acoplamento .................................................................... 56
Capítulo 4. Análise experimental
4.1. Introdução ...................................................................................................................... 58
4.2. Descrição da montagem experimental ........................................................................... 59
4.3. Procedimentos adotados para análise experimental ...................................................... 59
4.4. Testes de impacto .......................................................................................................... 61
4.5. Teste com seção de tubo de polietileno ......................................................................... 67
Capítulo 5. Resultados
5.1. Introdução ...................................................................................................................... 71
5.2. Resultados ...................................................................................................................... 72
5.3. Comparativo dos resultados obtidos .............................................................................. 77
Capítulo 6. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros.........................................87
Referências Bibliográficas .................................................................................................... 89
Lista de Figuras
Figura 1.1– Objeto de estudo ................................................................................................ 19
Figura 3.1- Geometria empregada nas simulações para a situação h=D/2. ......................... 31
Figura 3.2- Exemplo de uma malha unidimensional dividida igualmente para uma
propriedade genérica ψ ......................................................................................................... 38
Figura 3.3 – Esquemas de interpolação temporal de uma propriedade genérica ψ .............. 39
Figura 3.4 – Fluxograma das etapas de uma simulação hidrodinâmica ............................... 46
Figura 3.5 – Desenho no Ansys das formas geométricas para preparação da malha ........... 49
Figura 3.6 – Malha gerada no ANSYS para 50% de preenchimento de líquido .................. 50
Figura 3.7 – Malhas geradas para (a) 10%, (b) 20%, (c) 30%, (d) 40 %, (e) 60 %, (f) 70 %,
(g) 80 % e (h) 90 % de preenchimento. ................................................................................ 52
Figura 3.8 – Introdução das condições de contorno na fase de pré-processamento (CFX) . 53
Figura 3.9 – Resultante das forças verticais e horizontais no tubo de 25,4 mm de diâmetro
interno com 50% de água ..................................................................................................... 54
Figura 3.10 - Ilustração do (a) líquido interno ao tubo de 44,3 mm de diâmetro interno no
tempo t = 0,025s (b) detalhe da interface entre a água e o ar ............................................... 55
Figura 3.11 - Gráfico de aceleração do tubo ........................................................................ 57
Figura 4.1 – Montagem experimental para medição das frequências naturais do tubo
horizontal parcialmente cheio de líquido.............................................................................. 59
Figura 4.2 – Fluxograma das etapas de uma análise experimental ...................................... 60
Figura 4.3 – Experimento no tubo de acrílico de: (a) 25,4 mm e (b) 44,3 mm de diâmetro
interno. .................................................................................................................................. 62
Figura 4.4 – Martelo de impacto. ......................................................................................... 63
Figura 4.5 – Acelerômetro. ................................................................................................... 64
Figura 4.6 – Analisador dinâmico de sinais (ADS). ............................................................. 64
Figura 4.7 – Posições de impacto (horizontal e vertical). .................................................... 65
Figura 4.8 – Funções de Resposta de Frequência (FRF) para 50% de preenchimento de
água no tubo de acrílico de diâmetro interno 44,3 mm ........................................................ 66
Figura 4.9 – Diagrama esquemático da montagem experimental do trecho de tubo de
polietileno. ............................................................................................................................ 67
Figura 4.10 – Montagem experimental do tubo de polietileno............................................. 68
Figura 4.11 – Tubo de polietileno com os níveis de preenchimento demarcados. ............... 68
Figura 4.12 – Osciloscópio utilizado para medição de força e aceleração no tubo. ............. 69
Figura 5.1 – Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – Tubo de 25,4 mm de diâmetro .................................................................. 72
Figura 5.2 – Frequências naturais do 1º modo em função no nível de preenchimento – Tubo
de 25,4 mm de diâmetro ....................................................................................................... 73
Figura 5.3 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento - Tubo de 44,3 mm de diâmetro interno ...................................................... 74
Figura 5.4 - Frequências naturais do 1º modo em função no nível de preenchimento - Tubo
de 44,3 mm de diâmetro interno ........................................................................................... 74
Figura 5.5 - Frequências naturais dos 4 primeiros modos em função no nível de
preenchimento - Tubo de 44,3 mm de diâmetro ................................................................... 75
Figura 5.6 - Coeficientes de massa de líquido adicionada em função do nível de
preenchimento - Tubo de 200 mm de diâmetro excitado com o shaker............................... 76
Figura 5.7 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – diâmetros diferentes .................................................................................. 77
Figura 5.8 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento - diferentes amplitudes de excitação ............................................................ 78
Figura 5.9 – Ilustração do (a) líquido interno ao tubo de seção quadrada de 44,3 mm de lado
no tempo t = 0,025s (b) detalhe da interface entre a água e o ar .......................................... 79
Figura 5.10 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – comparação entre diferentes seções transversais do tubo ......................... 80
Figura 5.11 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – comparação entre líquidos de diferentes viscosidades ............................. 82
Figura 5.12 – Correlação entre o perímetro molhado e a área molhada ............................... 83
Figura 5.13 – Interior do tubo ............................................................................................... 84
Figura 5.14 – Interior do tubo de seção quadrada ................................................................ 84
Figura 5.15 – Correlação entre a área de contato e o volume de líquido em tubos de 44,3
mm de diâmetro interno ........................................................................................................ 85
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 – Valor de para a vibração transversal de uma viga livre-livre. .................. 27
Tabela 3.1 – Valores de , e .................................................................................... 44
Tabela 3.2 – Parâmetros utilizados na simulação ................................................................. 54
Lista de Símbolos
A - Área transversal do tubo, [m²]
- Área da interface por unidade de volume entre fase a e fase b, [m²]
- Área molhada, [m²]
- Área de contato entre parede e líquido do tubo, [m²]
C - Concentração de cada fase de uma mistura, adimensional
- Coeficiente do modelo de turbulência k-ε, adimensional
- Coeficiente do modelo de turbulência k-ε, adimensional
- Coeficiente do modelo de turbulência k-ε, adimensional
CFD - Fluidodinâmica computacional, em inglês
- Diâmetro de uma partícula esférica da fase b, [mm]
D - Diâmetro interno do tubo, [mm]
E - Módulo de Young, [N/m²]
- Componente da taxa de deformação do fluido, [1/s]
f - Campo de acelerações atuantes no fluido, [m/s²]
F - Força de reação na parede do tubo, [N]
g - Aceleração da gravidade, [m²/s]
h - Porção da interface gás-líquido, [mm]
I - Momento de inércia transversal, [ ]
l - Comprimento da viga, [m]
- Massa por unidade de comprimento do líquido, [kg/m]
- Massa por unidade de comprimento do líquido deslocado, [kg/m]
- Massa por unidade de comprimento total, [kg/m]
- Massa por unidade de comprimento do tubo, [kg/m]
MVF - Método dos Volumes Finitos
- Número de fases da simulação, adimensional
P - Pressão, [Pa]
RANS - Método de Reynolds – Reynolds Averaged Navier-Stokes, em inglês
S - Termo de uma equação relacionada à propriedade genérica
- Perímetro molhado, [m]
t - Tempo, [s]
u - Campo de velocidades, [m/s]
- Velocidade indicial na direção considerada, [m/s]
V - Volume, [m³]
- Volume de líquido presente no tubo, [m³]
x - Direção do eixo cartesiano
y - Direção do eixo cartesiano
- Amplitude do movimento do tubo [mm]
z - Direção do eixo cartesiano
α - Coeficiente de massa de líquido adicionada ao tubo, adimensional
β - Fator relacionado às condições de contorno da viga e do modo de vibração,
[1/m]
γ - Fator de preenchimento de líquido, adimensional
Γ - Termo que depende da propriedade relacionada a ψ
Δt - Intervalo de tempo, [s]
ε - Coeficiente de dissipação da energia cinética turbulenta, [m²/s³]
k - Energia cinética turbulenta, [m²/s²]
μ - Viscosidade dinâmica do fluido, [kg/m.s]
- Viscosidade dinâmica turbulenta do fluido, [kg/m.s]
ρ - Massa específica do fluido, [kg/m³]
- Coeficiente do modelo de turbulência k-ε, adimensional
- Coeficiente do modelo de turbulência k-ε, adimensional
- Fração de volume, adimensional
ψ - Propriedade genérica
ω - Frequência natural de vibração do tubo, [Hz]
Ω - taxa específica de dissipação da energia cinética turbulenta em térmica, [1/s]
Capítulo 1
Introdução
1.1.Apresentação
Em engenharia o assunto vibrações é recorrente e importante no que se refere a
projetos de grandes estruturas e máquinas que geralmente estão sujeitas a algum
movimento oscilatório. Problemas como ressonância, onde é possível alcançar grandes
oscilações a ponto de causar uma consequente falha, devem ser evitados e levados em
consideração. Para controle do fenômeno nas estruturas existentes em geral são feitas
análises com equipamentos ou realizadas simulações numéricas com modelagem
computacional utilizando-se de equações matemáticas desenvolvidas na literatura.
17
O conhecimento das características de vibração em sistemas parcialmente cheios de
líquido é importante para uma grande variedade de aplicações de engenharia, tais como
pode ser visto em: tanques de armazenamento, tubulações de plantas de processo e
oleodutos, entre outros exemplos. O comportamento dinâmico de tubos completamente
cheios de líquido tem sido amplamente investigado por vários autores, entretanto, poucos
estudos têm sido relatados sobre a vibração dos sistemas horizontais parcialmente cheios,
onde a superfície livre do líquido é paralela ao eixo horizontal do recipiente.
De fato, uma investigação experimental sobre as características da vibração de uma
casca cilíndrica horizontal parcialmente cheia de líquido foi realizada por Amabili e
Dalpiaz (1995). Soluções analíticas aproximadas para calcular as frequências naturais e
modos de vibração de um recipiente cilíndrico horizontal parcialmente cheio foram
propostas por Amabili (1996). As características dinâmicas de uma casca cilíndrica
horizontal parcialmente cheia e / ou submersa foram estudadas por Ergin e Temarel (2002).
O artigo de Chan e Zhang (1995) foi o único estudo encontrado sobre a vibração de um
tubo parcialmente cheio de líquido, entretanto os autores estudaram o caso da vibração livre
do tubo posicionado verticalmente, onde o mesmo pôde ser separado em duas partes, um
trecho com líquido e o outro completamente vazio.
Para o caso do tubo horizontal parcialmente preenchido com líquido, a simetria
axial é perdida, resultando num problema bastante complexo. A presença de líquido, de
fato, pode adicionar massa, rigidez e amortecimento, alterando a resposta estrutural dos
sistemas contendo líquidos. Frequências naturais de vibração transversal de tubos
completamente cheios de líquido podem ser calculadas adicionando a massa total do
líquido presente no tubo, tendo como principal consequência o aumento da massa do
18
sistema. O mesmo não pode ser dito para o caso onde o tubo horizontal é parcialmente
preenchido com líquido.
No presente trabalho, será investigada a vibração transversal de tubos horizontais
parcialmente cheios de líquido, como pode ser visto na figura 1.1. O estudo foi restrito ao
caso onde as amplitudes das oscilações transversais são pequenas.
Através de ensaios de vibração com um tubo de acrílico parcialmente cheio com
água na posição horizontal, verificou-se que as frequências naturais correspondentes aos
modos de vibração do tubo vibrando no plano vertical podem ser calculadas adicionando-se
a massa total de líquido à massa do tubo, conforme esperado. O mesmo, entretanto não foi
constatado sobre as frequências naturais de modos de vibração na vibração no plano
horizontal, pois verificou-se que apenas uma parte da massa de líquido é efetivamente
adicionada ao movimento do tubo, quando este oscila no plano horizontal.
Dois mecanismos de acoplamento entre o líquido e o tubo são considerados para
explicar estes resultados experimentais: a pressão e o atrito exercidos pelo líquido na
superfície do tubo. A pressão de líquido atuando sobre a superfície interna do tubo é devido
às forças de inércia do líquido (Amabili, 1996). O acoplamento por atrito é devido à tensão
cisalhante atuando na interface entre o líquido e a parede do tubo em resistência ao
movimento relativo entre o líquido e o tubo.
O cálculo das frequências de vibração de tubos e de reservatórios cilíndricos
horizontais parcialmente cheios de líquido torna-se bastante complicado devido à perda da
simetria axial e ao problema de interação fluido-estrutura. É neste contexto que surge a
necessidade de encontrar meios mais simples de calcular as frequências naturais,
utilizando-se, por exemplo, de coeficientes de massa acoplados ao movimento do tubo.
19
Neste trabalho, é proposto o emprego de coeficientes de massa de líquido
adicionada ao tubo para calcular as frequências naturais dos modos de vibração transversal
de tubos parcialmente cheios de líquido. Análises numéricas e experimentais serão
realizadas para determinar os coeficientes de massa adicionada para diferentes níveis de
preenchimento do tubo.
Figura 1.1– Objeto de estudo
1.2.Objetivo do Trabalho
O objetivo deste trabalho consiste em, através de análises numéricas e
experimentais, encontrar coeficientes de massa de líquido adicionada ao tubo que permitam
o cálculo de frequências naturais de diferentes modos de vibração no plano horizontal.
Posteriormente pretende-se estudar a influência das variáveis: viscosidade do fluido,
amplitude de oscilação, diâmetro do tubo e a forma da seção do mesmo nos coeficientes de
acoplamento.
20
1.3. Sumário da Dissertação
Esta dissertação encontra-se dividida em seis capítulos: Introdução, Vibração em
Tubos, Fluidodinâmica Computacional, Análise Experimental, Resultados e por último:
Considerações Finais.
O segundo capítulo, Vibração em Tubos, mostra toda a fundamentação teórica
necessária para a compreensão e formulação do problema de vibração em vigas, levando
em consideração o modelo de Euler-Bernoulli. Algumas considerações são feitas para
simplificar a análise. São mostradas as equações utilizadas e a forma de aplicação delas
para o problema estudado.
No terceiro capítulo, Fluidodinâmica Computacional, é mostrada a geometria da
seção interna do tubo que será estudada e são apresentadas as equações que regem o
movimento do líquido presente. Posteriormente é feita uma breve apresentação do Método
dos Volumes Finitos que é o utilizado pelo software comercial ANSYS CFX no presente
trabalho. Em seguida são mostradas, de forma resumida, algumas considerações necessárias
para a elaboração da simulação computacional em si, as malhas e alguns resultados das
simulações, e por fim, a forma de obtenção dos coeficientes de massa adicionada através
das simulações numéricas.
O quarto capítulo, Análise Experimental, mostra os procedimentos utilizados para a
análise em laboratório. Explica também como foi feita a montagem dos instrumentos para a
coleta dos dados, e a forma de obtenção dos principais resultados, fazendo uma breve
apresentação dos resultados obtidos pela Função Resposta em Frequência do tubo
parcialmente cheio.
21
O quinto capítulo, Resultados, mostra tudo o que foi desenvolvido e obtido neste
trabalho. Faz uma comparação entre os modelos preparados no programa de volumes
finitos (CFX®) e as condições ensaiadas no laboratório. E finalmente, apresenta todos os
resultados de acordo com as condições consideradas.
O último capítulo versa sobre perspectivas futuras e faz uma pequena análise do
trabalho como um todo, ressaltando suas principais conclusões.
Capítulo 2
Vibração em Tubos
2.1. Introdução
Para simular a vibração no tubo parcialmente cheio de líquido, é muito importante o
conhecimento do comportamento do sistema representado pelo tubo e pelo líquido em seu
interior. Existem diversas formas de modelar esse problema, entre elas métodos analíticos e
métodos numéricos como o Método dos Elementos Finitos, que hoje é uma das técnicas
mais poderosas existentes para análise de problemas reais de engenharia. Para a análise da
interação do líquido com a superfície interna do tubo, será utilizado o Método dos Volumes
Finitos, que é um método mais amplamente utilizado em problemas de fluidodinâmica
computacional (CFD) devido às suas características mais conservativas (MALISKA, 1995).
23
Neste caso, apenas os fluidos internos serão simulados e os seus efeitos nas paredes do tubo
estudados. Os tubos abordados no presente trabalho possuem distribuição de massa e
rigidez uniforme ao longo do eixo longitudinal, sendo por isso suficiente o uso de equações
simples para a sua análise.
Neste capítulo, primeiramente será abordado o tubo completamente vazio, sendo
este tratado como uma viga. Posteriormente, pretende-se mostrar o efeito do acoplamento
de massa do líquido ao movimento de vibração do tubo a fim de justificar as análises
computacionais para determinação de coeficientes de acoplamento de massa de líquido ao
tubo que serão feitas no capítulo posterior.
2.2. Vibração Transversal de Vigas
Nesta parte do trabalho são brevemente apresentadas as equações que governam o
movimento transversal de vigas e cálculo de frequências naturais, desenvolvidas por RAO
(2009) para o tubo vazio, que serão tomadas como base para cálculo de frequências e
comparadas com os resultados experimentais posteriormente tratados neste trabalho.
Também serão apresentadas as considerações adotadas neste trabalho para o cálculo das
frequências naturais de tubos horizontais parcialmente cheios de líquido.
Uma forma simples utilizada para descrever a vibração transversal de tubos é
considerá-lo como uma viga. Além disso, algumas hipóteses físicas devem ser feitas (HAN
et al., 1999):
24
Uma dimensão (x) é consideravelmente maior do que as outras duas (y-z),
neste caso o comprimento do tubo deve ser grande o suficiente (viga
esbelta).
O tubo é constituído de um material linearmente elástico (obedece à Lei de
Hooke).
O efeito Poisson é negligenciável.
A área da seção transversal é simétrica de modo que a linha neutra coincide
com o eixo centróide.
Planos perpendiculares à linha neutra permanecem planos e perpendiculares
depois da deformação.
O ângulo de rotação é muito pequeno de modo que se pode utilizar a
hipótese de pequenos ângulos.
A Teoria de Vigas de Euler-Bernoulli, considera basicamente que (RAO, 2009):
O efeito de momento de inércia de rotação é desprezado
A energia envolvida no cisalhamento é desprezada.
A viga é constituída de material homogêneo com densidade ρ.
25
2.2.1. Equação para Cálculo das Frequências Naturais do Tubo
A equação de movimento para a vibração lateral forçada de uma viga uniforme é:
( )
( )
( ) (2.1)
Nesta equação, o valor de E é o módulo de Young do tubo, ρ é a massa específica
do material da viga, I é o momento de inércia transversal e A é a área transversal do tubo e
f(x,t) o carregamento transversal.
Para o caso deste trabalho, a vibração é livre, f(x,t) = 0 e , portanto, a equação de
movimento torna-se
( )
( )
(2.2)
onde
√
(2.3)
E, utilizando-se de métodos matemáticos para resolução das equações diferenciais
obtidas, chega-se finalmente à equação para cálculo das frequências naturais de vibração do
tubo:
26
√
( ) √
(2.4)
Onde β é um fator que depende das condições de contorno da viga e do modo de
vibração e l o comprimento da viga. Os valores considerados se encontram na Tabela 2.1,
onde o valor de n se refere ao modo de vibração associado. Por exemplo, quando n = 1 a
frequência natural encontrada será correspondente ao primeiro modo de vibração, quando n
= 2 ela estará associada ao segundo modo, e assim sucessivamente.
Neste trabalho especificamente a condição de contorno utilizada é a de
extremidades livres, deste modo:
(2.5)
(
) (2.6)
27
Tabela 2.1 – Valor de para a vibração transversal de uma viga livre-livre.
Condições nas
Extremidades da
Viga
Valor de
Livre-Livre
2.2.2. Equação de Massa Acoplada ao Movimento de Vibração do Tubo
Analisando-se a equação (2.4) pode-se inferir que
(2.7)
onde representa massa por unidade de comprimento.
Para calcular a frequência natural do tubo vazio, é necessário ter a massa do mesmo
apenas. Contudo, ao se considerar a equação (2.4) para o problema do tubo parcialmente
cheio de líquido, deve-se observar que a massa por unidade de comprimento total a ser
utilizada na equação de frequência será:
(2.8)
28
Entretanto, estudos anteriores mostraram que a massa de líquido efetivamente
adicionado às paredes do tubo na mesma direção do movimento oscilatório difere nas
direções horizontal e vertical (MERINI, 2011). Quando a vibração é feita verticalmente, o
acoplamento é total entre o líquido e o tubo (SANTISTEBAN, 2013) e a equação (2.8)
pode ser aplicada na equação (2.4). Entretanto quando ocorre vibração na direção
horizontal, deve-se corrigir a equação (2.8) com um fator ao qual é chamado no presente
trabalho de coeficiente de massa de líquido adicionada (α).
(2.9)
Manipulando a equação (2.9), pode-se chegar à equação (2.10) que apresenta outra
forma de se interpretar o coeficiente α, relacionando a quantidade de líquido que
acompanha o movimento do tubo com a quantidade de líquido que efetivamente está
presente no interior do tubo.
(2.10)
significa massa por unidade de comprimento de líquido deslocado, ou seja, a
quantidade de líquido que efetivamente acompanha o movimento do tubo.
Neste trabalho foram utilizadas duas maneiras para calcular o coeficiente α, uma
delas é a partir da frequência natural de vibração (ω) que pode ser medida
experimentalmente, desta forma utilizando a equação (2.4) e a equação (2.9) com algumas
manipulações algébricas pode-se chegar à equação (2.11):
29
(
)
(2.11)
A outra forma de se obter o coeficiente α se deu a partir de simulações numéricas.
Neste caso, relacionadas com as forças que o líquido exerce nas paredes do tubo,
decorrentes do movimento oscilatório aplicado, que será explicada no capítulo seguinte.
A metodologia de obtenção dos coeficientes apresentada neste capítulo será
utilizada nas análises experimentais de vibração.
Capítulo 3
Fluidodinâmica Computacional
3.1. Introdução
No capítulo anterior foram apresentadas as equações aplicáveis à vibração de um
tubo. Neste capítulo, técnicas de fluidodinâmica computacional são aplicadas com o
objetivo de avaliar o escoamento induzido pelo movimento oscilatório da tubulação. O tubo
horizontal de seção circular é preenchido por dois fluidos (ar e água), com diferentes níveis
de preenchimento do líquido (água). São apresentados os modelos matemático e numérico
empregados para a determinação das forças atuantes na parede da tubulação, necessária
para a obtenção dos coeficientes de acoplamento.
31
3.2. Geometria
Um esquema da geometria estudada é apresentado na Figura 3.1, onde D representa
o diâmetro interno, h é a posição da interface gás-líquido e l é o comprimento do tubo. As
análises foram realizadas para a seção transversal y-z do tubo, com a finalidade de
encontrar a massa de líquido adicionada ao tubo quando este oscila horizontalmente, de
acordo com o que foi apresentado no capítulo 2.
Figura 3.1- Geometria empregada nas simulações para a situação h=D/2.
3.3. Modelo Matemático
Massa e quantidade de movimento linear são conservadas no domínio do fluido. A
equação da continuidade ou conservação de massa é dada por:
32
( ⃗ ) , (3.1)
onde ρ e ⃗ ( ) são, respectivamente, a massa específica do fluido e o campo de
velocidades do escoamento.
A equação da conservação da quantidade de movimento ou equação de Navier-
Stokes é dada por:
( ⃗⃗ )
(
( ⃗ ) ⃗ ) , (3.2)
onde P é o campo de pressões e μ a viscosidade dinâmica. O primeiro termo da equação
contém a derivada material que é referente à inercia do fluido. O segundo termo da
igualdade é consequência da soma das tensões normais, viscosas e de expansão
volumétrica, onde representa as forças de corpo atuantes no volume V. Consideraremos
que apenas a aceleração gravitacional atue externamente ao volume de controle, tal que =
(0,0,-g).
Para determinar os campos de velocidade e de pressão, uma aproximação
multifásica homogênea é utilizada, com uma fração de volume definida para o ar e o
líquido. Coordenadas cartesianas são definidas com o plano y-z na interface, de modo que o
líquido ocupe a região z ≤ 0 quando em repouso.
Para um modelo homogêneo bifásico:
33
∑ (3.3)
∑ (3.4)
onde é a fração de volume definido para ar e líquido, sendo 0 ≤ ≤ 1
Como condições de contorno do problema, são aplicadas as condições de Neumann
e Dirichlet, isto é, o tubo é rígido, impermeável e tem condição de não-deslizamento nas
paredes.
Como condição inicial do problema supõe-se o estado de repouso absoluto para a
interface ar-líquido para t=0, imediatamente seguido de uma perturbação senoidal na
direção y:
( ) ( ) (3.5)
onde é a amplitude do movimento e ω a frequência de oscilação do reservatório.
Os efeitos da turbulência são inseridos via modelo de fechamento das equações
médias espaciais e temporais de Navier-Stokes, também denominado de RANS (Reynolds
Averaged Navier-Stokes Equations). Entre os mais difundidos métodos nessa classe, e que
usam duas equações diferenciais parciais adicionais, estão os modelos k-ε e o SST (Shear
Stress Transport).
As equações diferenciais parciais adicionadas basicamente tratam do transporte de:
energia na turbulência: denominado energia cinética turbulenta (k),
dissipação turbulenta: denominado taxa de dissipação da energia cinética (ε)
34
As equações do modelo k-ε (Launder e Spalding, 1974) apresentadas a seguir são
equações utilizadas com maior frequência entre os processos reais, trata-se de um conjunto
de equações que podem ser aplicadas para um vasto número de aplicações turbulentas.
Para a energia cinética turbulenta k
( )
( )
[
] (3.6)
Para a dissipação ε
( )
( )
[
]
(3.7)
onde
(3.8)
Nessas equações há a presença de algumas constantes , , e . Seus
respectivos valores foram encontrados após numerosas iterações de dados ajustados para
uma vasta gama de escoamentos turbulentos (Versteg e Malalasekera, 1995). Deste modo
, , , , (3.9)
e o termo , corresponde a uma componente de taxa de deformação do fluido.
35
O modelo SST é uma variação do modelo de turbulência chamado k-Ω, onde há o
transporte do termo denominado taxa específica de dissipação da energia cinética
turbulenta k em energia térmica (Ω). Este modelo alia características dos modelos k-ε e k-Ω.
Basicamente envolve a transformação da equação de transporte para ε em uma formulação
de tipo k-Ω, constituindo deste modo um modelo com dois conjuntos de equações de
transporte (Freire, Ilha e Colaço, 2006). Este modelo calcula o transporte da tensão
cisalhante turbulenta e garante boa precisão na estimativa da quantidade de separação do
escoamento submetido a gradientes de pressão adversos, de modo que tal modelo foi
empregado na maior parte das simulações realizadas por este trabalho. Eventualmente foi
utilizado o modelo k-ε em casos onde não foi possível obter resultados utilizando o modelo
SST sendo necessário um modelo que demonstrasse mais equilíbrio entre precisão e
robustez (FREIRE et al. 2006).
3.4. Modelagem Numérica
O avançado desenvolvimento dos computadores nos tempos atuais permite uma
maior utilização de técnicas numéricas para solução de problemas complexos (BORTOLI,
2000).
Dentre os métodos numéricos desenvolvidos para aproximar soluções de equações
diferenciais ordinárias e parciais mais utilizados estão o Método de Diferenças Finitas
(MDF), o Método de Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Volumes Finitos (MVF).
No presente trabalho, as simulações numéricas foram realizadas no software
comercial ANSYS CFX versão 15 que utiliza o método dos Volumes Finitos (MVF) para
36
chegar à solução das equações envolvidas na modelagem. Por esse motivo, o MVF é mais
bem detalhado no item a seguir.
3.4.1 Método dos Volumes Finitos
O programa utilizado no presente trabalho (ANSYS CFX) utiliza o Método dos
Volumes Finitos (MVF) que consiste em dividir a região fluida em volumes de controle
discretizados no domínio. Uma distribuição de pontos, denominados pontos nodais, ou nós,
é determinada dentro da geometria de estudo de modo que cada nó é envolto por um
volume de controle, ou célula. De maneira comum volumes de controles são determinados
próximos às extremidades do domínio, de forma que os limites físicos coincidam com os
limites dos volumes de controle. As soluções do problema de escoamento (fração
volumétrica do fluido, velocidade, pressão, etc.) são definidas nos nós, dentro de cada
célula. A precisão da solução da fluidodinâmica computacional é governada pelo número
de células do domínio, além da marcha temporal definida para os problemas transientes.
Com o incremento do número de nós, aumenta-se também a demanda por recursos
computacionais para a solução do problema, sendo revertido em tempo de processamento.
É denominada como malha, ou grade, a distribuição destas células no domínio. Uma malha
considerada otimizada, geralmente não é uniforme, sendo caracterizada, portanto, por
maiores refinamentos nas regiões onde há maior relevância dos fenômenos procurados.
Quanto à organização dos elementos a malha pode ser classificada como estruturada e não
estruturada. Quanto à forma dos volumes de controle, é comum a divisão em elementos
tetraédricos e hexaédricos.
37
Em termos práticos o método dos volumes finitos (MVF) consiste nos seguintes
passos:
Integração das equações governantes do escoamento em todas as células do
domínio de interesse.
Substituição dos diferentes esquemas de aproximações por diferenças finitas
em termos da equação integrada representando os processos de escoamento,
como convecção, difusão e fontes. Este processo converte as equações
integrais em um sistema de equações algébricas.
Solução das equações algébricas por um método iterativo.
O primeiro passo acima descrito distingue o método dos volumes finitos (MVF) das
demais técnicas de CFD, o que acarreta na conservação das principais propriedades para
cada elemento finito, relevando uma das principais vantagens do esquema (MALISKA,
2004).
O segundo passo descrito acima se refere à determinação dos esquemas apropriados
de aproximação das derivadas presentes nas equações aplicáveis aos volumes de controle
por termos lineares.
38
Figura 3.2- Exemplo de uma malha unidimensional dividida igualmente para uma
propriedade genérica ψ
A seleção destes modelos de aproximação linear deve ser feita levando-se em
consideração as características do fenômeno de transporte envolvido. São listados a seguir
alguns:
Aproximação por diferenças centrais: recomendado para problemas de
caráter difusivo, em que o valor da propriedade ψ é tomado levando-se em
consideração a contribuição das células adjacentes, sem considerar o fluxo
do escoamento;
Esquemas upwind e exponencial: aplicáveis principalmente a problemas
advectivos, em que o valor de uma propriedade genérica ψ é calculado
39
considerando-se a contribuição do nó vizinho de maior influência
analisando-se a direção do fluxo;
Esquema upstream: formulação intermediária que pode se adequar ao
caráter difusivo ou advectivo, aproximando-se do esquema de diferenças
centrais ou upwind.
Quanto à resolução das equações integradas no domínio temporal, podem-se definir
os esquemas de interpolação como as formulações totalmente implícita, implícita e
explícita, representadas pela equação geral a seguir:
( ) (3.10)
Figura 3.3 – Esquemas de interpolação temporal de uma propriedade genérica ψ
Geralmente o campo de velocidade é desconhecido e emerge como parte da solução
global junto com todas as demais variáveis do escoamento. A solução das equações de
transporte nas direções x, y e z e da equação da continuidade apresenta alguns obstáculos:
Os termos advectivos da equação da quantidade de movimento linear
contém termos não-lineares;
40
Todas as equações são intrinsecamente acopladas, uma vez que cada
componente da velocidade aparece nas equações de conservação da
quantidade de movimento linear e da continuidade.
Sendo o escoamento compressível, a equação da continuidade pode ser utilizada
com uma equação de transporte para a densidade e temperatura através do uso de uma
equação de estado p = p(ρ,T). No caso do escoamento incompressível, a densidade é
constante e, portanto, não é vinculada à pressão. Deste modo o acoplamento entre a
velocidade e a pressão introduz uma restrição na solução do campo de escoamento: se o
campo de pressões correto é aplicado às equações da continuidade, o campo de velocidades
resultante deve satisfazer a continuidade.
O acoplamento entre o campo de velocidades e a pressão, juntamente com as não-
linearidades presentes nas equações de quantidade de movimento linear, pode ser resolvido
iterativamente através de alguns algoritmos como:
SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equation) –
Patankar & Spalding (1972);
SIMPLER (SIMPLE Revised) – Patankar (1980);
SIMPLEC (SIMPLE Consistent) – Vand Doormal & Raithbay (1984);
PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) – ISSA (1986).
Para a solução destes algoritmos, costuma-se utilizar um recurso de discretização
conhecido como arranjo co-localizado para os componentes de velocidade e de pressão. A
ideia consiste em avaliar as variáveis escalares, como pressão, massa específica e
temperatura, nos pontos nodais, e calcular os componentes da velocidade nas faces de cada
célula.
41
3.5. ANSYS CFX
O programa de fluidodinâmica computacional utilizado ANSYS CFX basicamente
apresenta as seguintes etapas para resolver o problema de valor inicial:
Pré-processamento;
Solução;
Pós-processamento.
Na fase do pré-processamento a modelagem do problema é realizada, inserindo-se
dados referentes à geometria do fluido interno ao tubo, características dos fluidos,
propriedades termodinâmicas, características de transporte, etc. Ainda durante esta fase é
realizada a discretização da malha, a atribuição dos parâmetros numéricos referentes à
velocidade e à precisão dos resultados procurada, os modelos de cálculo para turbulência,
temperatura e pressão. A segunda fase (solução) é onde todas as características descritas no
pré-processamento interagem entre si, executando-se o chamado solver do software. No
pós-processamento, realiza-se a visualização dos resultados.
Com o programa ANSYS CFX é possível realizar a modelagem em um ambiente
multifásico, ou seja, pode-se realizar simulações de um ambiente onde se encontram mais
de um fluido. Para o problema proposto por este trabalho os dois fluidos simulados no
reservatório são a água e o ar. O ANSYS CFX representa as diferentes fases do ambiente
pelas letras minúsculas a,b,c, etc.
42
Em geral, uma quantidade subscrita com a, se refere a um valor de uma fase
particular. Por exemplo, a fração volumétrica de a é denotada com . Assim, o volume
ocupado pela fase a é um pequeno volume V ao redor de um ponto da fração de volume
dado por:
, (3.11)
O número total de fases da simulação é definido como . A fração de volume de
cada fase é denotada de .
Esta definição é usada para ambos os escoamentos compressível e incompressível.
Num escoamento multifásico de abordagem Euleriana-Euleriana, dois diferentes modelos
são viáveis: o modelo homogêneo e o modelo não homogêneo (de transferência inter-
fluido).
No modelo não homogêneo, o momento de transferência interfacial, o calor e a
massa são diretamente dependentes da superfície de contato entre as duas fases. Isto é
caracterizado pela área da interface por unidade de volume entre a fase a e fase b, sabendo-
se que a densidade de área superficial é (que pode ser obtida de formas diferentes, caso
seja considerado o modelo de partícula ou modelo de mistura).
A transferência interfacial pode ser modelada usando ora partículas ou modelos
misturados. Esse promove diferentes descrições algébricas para a densidade da área
interfacial.
O modelo de partícula da transferência interfacial entre as duas fases assume que
uma das fases é continua (fase a) e outra é dispersa (fase b). A área de superfície por
43
unidade de volume é então calculada considerando que a fase b esteja presente como
partícula esférica de diâmetro .
No modelo homogêneo, um campo comum de escoamento é distribuído em todos os
fluidos, como também outros campos relevantes tais como: temperatura e velocidade. Isto
permite fazer algumas simplificações no modelo multi fluido resultante do modelo
homogêneo.
Para um dado processo de transporte, o modelo homogêneo assume que a
quantidade transportada (com exceção da fração volumétrica) seja semelhante em todas as
fases, isto é:
(3.12)
Devido à quantidade transportada estar separada no escoamento homogêneo
multifásico, é suficiente resolver os campos comuns usando equações de transporte de
volume do que resolver individualmente equações de transporte da fase.
As equações de transporte volumétricas podem ser deduzidas somando as equações
individuais de transporte de fase, dando uma única equação do transporte para Ψ
( )
( ⃗ ) , (3.13)
onde
∑ , ⃗
∑ ⃗ , ∑
(3.14)
44
e os termos Ψ,Γ e S presentes nessa equação são melhor indicados na Tabela 3.1 seguinte.
Tabela 3.1 – Valores de , e
O modelo homogêneo não necessita ser aplicado em todas as equações, por
exemplo, a velocidade do campo pode ser modelada como não homogênea, mas acoplado
com um modelo de turbulência homogênea. Por outro lado, um campo de velocidade
homogênea pode ser acoplado com um campo de temperatura não homogêneo. Variáveis
adicionais homogêneas são também permitidas no ANSYS CFX.
3.6. Problemática da modelagem do tubo
Modelar adequadamente a vibração no tubo horizontal parcialmente cheio de
líquido passa por vários problemas. Um deles é que a interação entre o fluido e a parede do
mesmo não é simples de ser representada. Para simular o problema utilizando o método dos
volumes finitos, deve-se ressaltar que as equações que regem o movimento das paredes do
tubo são diferentes das que são utilizadas para descrever a cinemática do movimento do
1 0
C ρD 0
Equação de
conservação
Massa global
Massa de um
componente
Quantidade de
movimento em y
0
μv
45
líquido. Em outras palavras, um problema de interação fluido-estrutura se apresenta neste
trabalho e deve ser cuidadosamente analisado.
Um outro problema seria a influência do centro de massa que é modificado a cada
instante em que o líquido se desloca internamente em direção às paredes concentrando-se
de maneira diferente em relação à posição inicial em repouso.
Neste trabalho, para lidar com esta problemática, a modelagem será feita em termos
apenas do líquido interno ao tubo, ou seja, as análises ficarão por conta das forças que a
parede do tubo exercerá no sistema, em oposição às forças dinâmicas do líquido na direção
horizontal, negligenciando assim o efeito das possíveis deformações que ocorram nas
paredes.
A fim de diminuir os custos computacionais e justificado pelo exposto no capítulo
anterior, a simulação será feita sobre uma seção unitária apenas, lançando mão das
condições de contorno adequadas para representar a vibração no tubo.
3.7. Descrição dos procedimentos adotados para simulação
Foram desenvolvidos procedimentos para a obtenção dos coeficientes de
acoplamento, gráficos comparativos em função dos níveis de preenchimento e dados sobre
o comportamento do líquido interno ao movimento do tubo.
Na Figura 3.4 é mostrado um fluxograma com as etapas correspondentes à
simulação hidrodinâmica realizada.
46
Posteriormente uma descrição de cada um dos procedimentos é feita.
Figura 3.4 – Fluxograma das etapas de uma simulação hidrodinâmica
Desenho: nesta etapa é feito o desenho da geometria a ser modelada
considerando os níveis de preenchimento que serão representados na análise.
Neste caso é fundamental fazer uma boa divisão dos espaços pensando no
momento da geração da malha que será mais organizada e facilitada de
acordo com a forma dos desenhos presentes.
Desenho
Condições de Contorno
Resultados
Validação dos Resultados
Malha
47
Malha: após o desenho da seção interna do tubo, procede-se à geração da
malha. No presente trabalho o desenho conforme a Figura 3.5 permitiu um
melhor aproveitamento das arestas que, criadas separadamente,
possibilitaram refinamentos nas regiões de interesse do estudo conforme
Figura 3.6.
Condições de contorno: nesta etapa são inseridos os dados de entrada, tais
como os parâmetros do movimento oscilatório, as propriedades dos fluidos
utilizados, modelos de turbulência, modelos numéricos de resolução, etc.
Resultados: esta etapa é a de resolução da simulação e obtenção dos
resultados previamente selecionados, na etapa da modelagem das condições
de contorno, para serem calculados. Estes resultados devem ser extraídos e
discutidos utilizando-se de ferramentas presentes no software tais como o
monitoramento dos erros numéricos e com a observação da cinemática do
movimento do líquido interno buscando saber se é fisicamente plausível a
resposta calculada.
Validação dos Resultados: após as etapas anteriores é necessária uma
validação. Neste caso é feito um experimento em laboratório com as mesmas
condições introduzidas no problema numérico. Geralmente as simulações
numéricas são feitas para simular um problema real conforme explicado no
inicio deste trabalho.
48
3.8. Discretização do tubo em volumes finitos
Sabendo que a frequência natural que se deseja calcular é relacionada à seção do
tubo, a modelagem feita considera apenas uma seção circular de espessura unitária.
O procedimento para modelar a seção interna do tubo pode ser resumido nas
seguintes etapas:
Divisão do conteúdo em seções (volumes maiores). A circunferência foi
dividida em regiões quadradas maiores para facilitar o controle sobre a
geração da malha e garantir que os elementos fossem todos prismas retos de
base quadrilátera. (Figura 3.5a)
Escolha do melhor posicionamento para as formas quadradas desenhadas em
função do nível de preenchimento representado. (Figura 3.5b)
Escolha das regiões onde serão concentrados os volumes. Em outras
palavras, escolher as regiões de refinamento da malha computacional. Neste
caso, os volumes estiveram concentrados na região de contato com a parede
do tubo e na superfície livre do líquido. (Figura 3.6)
49
(a)
(b)
Figura 3.5 – Desenho no Ansys das formas geométricas para preparação da malha
50
Figura 3.6 – Malha gerada no ANSYS para 50% de preenchimento de líquido
As figuras seguintes mostram outros volumes internos ao tubo representado.
51
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
52
(g) (h)
Figura 3.7 – Malhas geradas para (a) 10%, (b) 20%, (c) 30%, (d) 40 %, (e) 60 %, (f) 70 %,
(g) 80 % e (h) 90 % de preenchimento.
Em resumo as Figuras 3.6 e 3.7 apresentam as malhas utilizadas no trabalho para
todos os níveis de preenchimento estudados. De fato, foi necessária apenas a confecção dos
5 primeiros níveis de preenchimento (10, 20, 30, 40 e 50) bastando aplicar uma rotação de
180 graus em relação ao eixo x para obter os demais níveis. Todas foram geradas seguindo
os procedimentos descritos anteriormente, tornando a análise mais precisa e solicitando
menos custo computacional em comparação com malhas geradas automaticamente pelo
programa (THORLEY, 2011).
53
3.9. Simulação numérica
Após o desenho e a geração da malha, foram introduzidas condições de contorno à
seção do tubo. Os parâmetros principais de simulação são apresentados na Tabela 3.2, onde
são mostrados a frequência imposta ao movimento do tubo na direção horizontal (eixo y), a
amplitude de movimento, o tempo da simulação transiente e o intervalo de tempo
considerado.
Figura 3.8 – Introdução das condições de contorno na fase de pré-processamento (CFX)
54
Tabela 3.2 – Parâmetros utilizados na simulação
ω (Hz) 50
(mm) 0,1
t (s) 0,03
Δt (s) 0,0003
Onde se refere à amplitude do deslocamento transversal imposto, t é o tempo
total simulado, e o intervalo de tempo da simulação numérica
Na Figura 3.9 é apresentado o gráfico das resultantes das forças nas paredes do tubo
monitorados pelo programa em regime permanente.
Figura 3.9 – Resultante das forças verticais e horizontais no tubo de 25,4 mm de diâmetro
interno com 50% de água
55
A Figura 3.10 mostra o interior do tubo de 44,3 mm de diâmetro interno, com a
situação de 50 % de preenchimento interno de água, sendo um instrumento de verificação
da correta utilização da malha em seu respectivo nível de preenchimento.
(a)
(b)
Figura 3.10 - Ilustração do (a) líquido interno ao tubo de 44,3 mm de diâmetro interno no
tempo t = 0,025s (b) detalhe da interface entre a água e o ar
56
3.10. Obtenção do coeficiente de acoplamento
Para se obter os coeficientes de massa de líquido adicionada (α), objeto de estudo
deste trabalho, utilizando as simulações numéricas descritas neste capítulo, são utilizadas as
forças de reação nas paredes do tubo exercidas pelo fluido interno durante o movimento
imposto.
Neste caso, a variável inicialmente procurada é a massa de fluido deslocada que é
extraída da seguinte relação:
(3.15)
onde, F é a força resultante máxima que o líquido exerce na parede do tubo no movimento
horizontal e a a aceleração máxima presente no movimento. A força F é calculada
integrando-se a pressão, obtida nas análises de CFD, ao longo da superfície interna da seção
do tubo. No caso do presente trabalho, a força resultante foi considerada a média aritmética
da magnitude dos três picos presentes do gráfico de forças apresentado na Figura 3.9.
Neste trabalho especificamente, o movimento horizontal aplicado é senoidal:
( ) ( ) (3.16)
o qual derivando-se duas vezes, leva à equação de aceleração,
57
( ) ( ) (3.17)
de onde é possível extrair a aceleração máxima em módulo
(3.18)
Como o movimento y(t) e a força de reação na parede F(t) estão em fase, pode-se
simplesmente dividir o valor máximo em magnitude encontrado de F(t) pelo valor máximo
de a(t), conforme a equação (3.15), para obter a massa de líquido deslocada.
Consequentemente, o coeficiente α pode ser calculado de acordo com a equação (2.10).
Na Figura 3.11 é mostrado o gráfico de aceleração do tubo obtido conforme a
equação (3.17).
Figura 3.11 - Gráfico de aceleração do tubo
Capítulo 4
Análise Experimental
4.1. Introdução
Nesta parte do trabalho são descritos os procedimentos para a análise experimental
de vibração em tubos horizontais parcialmente cheios de líquido. Descreve-se
primeiramente a montagem do tubo e dos equipamentos necessários para a aquisição dos
dados de frequências naturais.
Adicionalmente ao final do capítulo, é descrito o experimento realizado com um
tubo de polietileno de diâmetro maior em relação aos de acrílico para a obtenção direta dos
coeficientes de acoplamento utilizando as forças de reação do líquido nas paredes do tubo.
Este experimento é feito com o fim de permitir uma melhor visualização do comportamento
59
cinemático interno do líquido presente, dada a maior dimensão no diâmetro, além de
utilizar outra metodologia para obtenção dos coeficientes de acoplamento.
4.2. Descrição da montagem experimental
O objeto de estudo do presente trabalho é um tubo simples posicionado
paralelamente ao plano horizontal (x-y) e parcialmente preenchido com líquido, que deve
oscilar na mesma direção do plano sem girar em relação ao seu centro. Considera-se, então,
que não há escoamento no mesmo e que, portanto, o conteúdo interno é estacionário. Uma
ilustração do modelo considerado para estudo é mostrada na Figura 4.1.
Figura 4.1 – Montagem experimental para medição das frequências naturais do tubo
horizontal parcialmente cheio de líquido.
4.3. Procedimentos adotados para análise experimental
Para a análise experimental, também devem ser adotados procedimentos para a
obtenção dos coeficientes de acoplamento.
Na Figura 4.2 é possível ver as etapas correspondentes a uma análise experimental.
60
Figura 4.2 – Fluxograma das etapas de uma análise experimental
Experimento: nesta etapa é feita uma montagem experimental, toda a
instrumentação necessária para a coleta dos dados e o teste em si.
Coleta de Dados: realizados os testes, os dados devem ser coletados e
guardados em alguma mídia de armazenamento e transferidos para o
computador.
Processamento de Dados: nesta etapa os dados devem ser processados em
um gráfico para uma melhor interpretação do usuário.
Gráficos e Comparações: esta etapa é a de comparação e confrontamento
com os dados obtidos numericamente. Por meio de gráficos, são
visualizadas as principais diferenças e semelhanças entre os resultados.
Experimento
Coleta de Dados
Processamento dos Dados
Gráficos e Comparações
61
4.4. Testes de impacto
As análises experimentais tiveram início em testes de impacto para estudo da
vibração livre em um tubo de acrílico parcialmente cheio de água com diferentes níveis de
preenchimento. A escolha pelo material acrílico foi devida à sua transparência que permite
ver o movimento do líquido durante os testes e facilita a colocação do tubo na posição
horizontal, conforme o nível do líquido ao longo do comprimento do tubo pode ser
observado e utilizado para verificar a horizontalidade. A massa específica do acrílico (1,19
kg/m³) é comparável à da água (1 kg/m³), desta forma a massa de líquido torna-se uma
porção significativa da massa total, aumentando consequentemente o efeito do líquido
sobre as frequências naturais do tubo.
Dois tubos: um com 1,844 m de comprimento, 51,1 mm de diâmetro externo e 44,3
mm de diâmetro interno e outro com 975 mm de comprimento, 31,75 mm de diâmetro
externo e 25,4 mm de diâmetro interno, fechados em ambas as extremidades com tampas de
plástico e suspensos por dois fios de nylon, foram excitados com impactos aplicados na
direção horizontal (y) e na direção vertical (z) por um martelo instrumentado modelo
086C02 da PCBTM
como pode ser visto na Figura 4.3 e na Figura 4.4.
62
(a)
(b)
Figura 4.3 – Experimento no tubo de acrílico de: (a) 25,4 mm e (b) 44,3 mm de diâmetro
interno.
63
Figura 4.4 – Martelo de impacto.
Acelerômetros com pequena massa, modelo 333B50 da PCBTM
com sensibilidade
de 1000 mV/g e intervalo de medição de 0 a 4000 Hz, fixados com cera nas paredes
externas dos tubos de acrílico, foram utilizados para medir a resposta de vibração do tubo
nas direções y e z (Figura 4.5). Os sinais provenientes do martelo de impacto instrumentado
e acelerômetros foram enviados para um analisador dinâmico de sinais (ADS) modelo
35670A da AgilentTM
para obter funções de resposta em frequência (FRFs) do tubo a fim
de determinar suas frequências naturais transversais (Figura 4.6).
64
Figura 4.5 – Acelerômetro.
Figura 4.6 – Analisador dinâmico de sinais (ADS).
Com o ADS configurado para obter FRFs a partir da média de 10 amostras, e
usando uma janela exponencial e uma janela de força, uma série de leves impactos foi
aplicada no tubo com o martelo de impacto nas mesmas direções (horizontal e vertical) dos
acelerômetros posicionados conforme as marcas da Figura 4.7. Foi observado que os leves
impactos produziam apenas ondas estacionárias muito pequenas na superfície da água.
65
Figura 4.7 – Posições de impacto (horizontal e vertical).
FRFs foram obtidas para os diferentes níveis de preenchimento do tubo, para o tubo
vazio e para o tubo completamente cheio. Para cada nível de preenchimento, foi obtida uma
FRF correspondente à relação entre a força de impacto e a aceleração medida na direção z e
uma FRF correspondente à relação entre a força de impacto e a aceleração medida na
direção y. A Figura 4.8 mostra as FRFs obtidas para o tubo de 44,3 mm de diâmetro interno
com 50% de água, onde a linha sólida representa a FRF obtida com o acelerômetro na
direção z e a linha tracejada é a FRF obtida com o acelerômetro na direção y. Quando o
tubo está parcialmente cheio, a simetria axial é perdida e modos de vibração com aspecto
semelhante podem ocorrer em diferentes frequências no plano vertical e horizontal. Assim,
os picos da FRF representada pela linha sólida na Fig. 4.8 correspondem às frequências
66
naturais associadas a diferentes modos de vibração no plano vertical, enquanto que os picos
da FRF dada pela curva tracejada correspondem às frequências naturais de vibração
associadas a diferentes modos de vibração no plano horizontal. Nota-se que as frequências
naturais determinadas a partir dos picos da FRF obtida com o acelerômetro na direção
vertical (z) (linha sólida) são menores do que as frequências naturais determinados a partir
dos picos da FRF obtida com o acelerômetro na direção horizontal (y) (linha tracejada). Por
exemplo, a primeira frequência natural que corresponde ao primeiro modo de vibração em
relação ao plano vertical (linha cheia na Fig. 4.8) é 21,5 Hz, enquanto que a primeira
frequência natural que corresponde ao primeiro modo de vibração no plano horizontal
(linha tracejada na Fig. 4.8) é 27,5 Hz.
Figura 4.8 – Funções de Resposta de Frequência (FRF) para 50% de preenchimento de
água no tubo de acrílico de diâmetro interno 44,3 mm
67
4.5. Teste com seção de tubo de polietileno
Um teste adicional com um trecho de tubo de polietileno foi realizado a partir de
outra metodologia de obtenção de resultados. Neste caso o teste foi realizado com um
atuador (shaker) preso com um parafuso à parede do trecho de tubo com a presença de um
transdutor de força e um acelerômetro colado com uma cera na parede oposta no mesmo
plano de atuação do shaker a fim de obter sinais de força e aceleração no sistema, lidos em
um osciloscópio. A Figura 4.9 mostra o diagrama detalhado da montagem do experimento.
Figura 4.9 – Diagrama esquemático da montagem experimental do trecho de tubo de
polietileno.
68
Figura 4.10 – Montagem experimental do tubo de polietileno.
O trecho de tubo possuía 180 mm de comprimento, 248,6 mm de diâmetro externo e
200 mm de diâmetro interno. Fechado em ambas as extremidades com tampas de acrílico
parafusadas e vedadas com silicone e suspenso por dois fios de nylon, foi excitado com um
shaker modelo V455 da LDSTM
, como pode ser visto na Figura 4.10.
Figura 4.11 – Tubo de polietileno com os níveis de preenchimento demarcados.
69
Acelerômetros com pequena massa, de mesmo modelo dos utilizados no tubo de
acrílico, foram usados para medir a aceleração neste trecho de tubo na direção y (Figuras
4.10 e 4.11). A seção de tubo foi excitada harmonicamente com amplitude de deslocamento
de aproximadamente 0,1 mm. Os sinais provenientes dos transdutores foram enviados para
um condicionador de sinais e posteriormente para o osciloscópio modelo TDS 210 da
TektronixTM
para obter os gráficos de força e de aceleração do tubo em canais diferentes
(Figura 4.12).
Figura 4.12 – Osciloscópio utilizado para medição de força e aceleração no tubo.
Utilizando o shaker para excitar harmonicamente o tubo, e vendo as respostas de
força e aceleração apresentadas consequentemente no osciloscópio, a partir da média de 3
amostras com diferentes frequências (10, 15 e 30 Hz), foram obtidas massas do tubo
70
parcialmente cheio de acordo com a equação (3.15) com os picos das funções obtidas.
Porém, neste caso a massa por unidade de comprimento obtida se refere ao sistema
incluindo o trecho de tubo, portanto
(4.1)
Note que neste caso considera-se que o trecho de polietileno apresenta movimento
de corpo rígido ao ser excitado pelo shaker na faixa de frequência em que os testes foram
realizados (frequência máxima de 50 Hz). Deste modo, sabendo o valor da massa do tubo
de polietileno pesado na balança (m = 3,158kg) e o valor da massa de agua presente no
nível de preenchimento considerado, foi possível obter os coeficientes de massa adicionada
de acordo com a equação (2.10).
Vale ressaltar que as frequências de excitação utilizadas para este teste também
produziram ondas estacionárias pequenas na superfície da água.
Capítulo 5
Resultados
5.1. Introdução
Neste capítulo são apresentados todos os resultados encontrados a partir da
modelagem do líquido interno ao tubo, de forma geral, utilizando os procedimentos vistos
no capítulo 3 e dos testes experimentais feitos no tubo de acrílico e no trecho de tubo de
polietileno. Ou seja, mostram-se os coeficientes de massa adicionada e as frequências
naturais calculadas através da teoria de vibração transversal de vigas de Euller-Bernoulli
conforme explicitado no capítulo 2. Juntamente com estes resultados são mostrados os
valores de frequências naturais determinados experimentalmente.
72
5.2. Resultados
Finalmente chega-se à seção de resultados onde se pode observar uma boa
concordância entre os valores encontrados numericamente e experimentalmente. Para a
obtenção dos coeficientes de massa adicionada (α) considerados experimentais, foi utilizada
a equação (2.11) para o teste de impacto no tubo de acrílico, e a equação (2.10) para o teste
no shaker. Para obter os resultados a partir das simulações numéricas (CFD), foi utilizada a
equação (2.10). Ambas as equações foram apresentadas no capítulo 2. Posteriormente
utilizando a equação (2.4) e a equação (2.9) na condição livre-livre, com os coeficientes
obtidos numericamente (CFD), foram levantados os gráficos das frequências naturais ω,
sendo estes comparados com os valores de frequência obtidos diretamente no experimento
(FRFs).
Primeiramente análises no tubo de diâmetro 25,4 mm são apresentadas.
Figura 5.1 – Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – Tubo de 25,4 mm de diâmetro
73
Figura 5.2 – Frequências naturais do 1º modo em função no nível de preenchimento – Tubo
de 25,4 mm de diâmetro
Nas figuras 5.3 e 5.4 são mostrados os resultados para o tubo de 44,3 mm de
diâmetro interno. A Figura 5.5 mostra as frequências naturais de acordo com o nível de
enchimento do tubo para diferentes modos de vibração de mais altas frequências.
74
Figura 5.3 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento - Tubo de 44,3 mm de diâmetro interno
Figura 5.4 - Frequências naturais do 1º modo em função no nível de preenchimento - Tubo
de 44,3 mm de diâmetro interno
75
Figura 5.5 - Frequências naturais dos 4 primeiros modos em função no nível de
preenchimento - Tubo de 44,3 mm de diâmetro
76
Na Figura 5.5 é possível observar que as frequências naturais calculadas sofrem
uma maior discrepância conforme é aumentado o modo de vibração.
E finalmente nas figuras seguintes são apresentados os resultados para o trecho de
tubo de polietileno de 200 mm de diâmetro, excitado com o shaker.
Figura 5.6 - Coeficientes de massa de líquido adicionada em função do nível de
preenchimento - Tubo de 200 mm de diâmetro excitado com o shaker
77
5.3. Comparativo dos resultados obtidos
Com os resultados obtidos, além da comparação dos dados experimentais com os
numéricos, podem ser feitos outros tipos de comparação com relação a algumas variáveis
relativas: ao tubo, ao movimento oscilatório ou mesmo ao líquido utilizado. Estes fatores
podem influenciar no acoplamento entre o tubo e o líquido na vibração. A Figura 5.7 a
seguir mostra os diferentes gráficos de coeficiente de massa adicionado para os diferentes
diâmetros estudados.
Figura 5.7 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – diâmetros diferentes
78
A figura 5.8 mostra os gráficos de coeficientes para diferentes amplitudes de
oscilação.
Figura 5.8 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento - diferentes amplitudes de excitação
Nos gráficos anteriores é possível observar que é praticamente desprezível a
variação no coeficiente de massa adicionada de líquido para cada nível de preenchimento,
conforme é variado o diâmetro ou a amplitude de oscilação, dentro dos limites avaliados
(25 a 200 mm de diâmetro e 0,1 mm a 1,0 mm de amplitude).
Na figura 5.10 é mostrado o resultado de uma comparação entre as simulações feitas
para o tubo de seção circular e um tubo de seção quadrada modelado no ANSYS CFX
conforme Figura 5.9.
79
(a)
(b)
Figura 5.9 – Ilustração do (a) líquido interno ao tubo de seção quadrada de 44,3 mm de lado
no tempo t = 0,025s (b) detalhe da interface entre a água e o ar
80
Figura 5.10 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – comparação entre diferentes seções transversais do tubo
81
No gráfico anterior pode-se observar que o tubo de seção quadrada tende a ter um
melhor acoplamento em relação ao tubo de seção circular, possivelmente pelo fato de haver
mais escorregamento entre o líquido e a parede no tubo de seção circular. Pode-se ver
também que a partir de um determinado nível de enchimento (80%), começa a haver
inversão nos valores de coeficiente de massa, mostrando que em níveis maiores de
preenchimento, o tubo de seção circular possui coeficientes de acoplamento maiores.
Considera-se que esta mudança se deve ao formato da seção circular, que tende a reduzir o
movimento relativo entre o tubo e o líquido em níveis de preenchimento mais elevados.
E finalmente na Figura 5.11 são apresentados os resultados para fluidos de
diferentes viscosidades e densidades. A Tabela 5.1 seguinte mostra as propriedades dos
líquidos utilizados na simulação numérica.
Tabela 5.1 – Propriedades dos diferentes fluidos
ρ (kg/m³) μ (Pa.s)
789 0,000248
780 0,000326
791 0,000597
999 0,001
918,8 0,072
956,1 0,986
1262 1,495
óleo de mamona
glicerol
Fluido
etanol
acetona
metanol
agua
óleo de milho
82
Figura 5.11 - Coeficientes de massa adicionada horizontal em função do nível de
preenchimento – comparação entre líquidos de diferentes viscosidades
É possível observar que líquidos com maior viscosidade tendem a ter um maior
valor de coeficiente de massa adicionada no mesmo nível de preenchimento. Também é
possível ver que conforme o nível de preenchimento diminui a discrepância entre os valores
de líquidos mais viscosos e menos viscosos se torna maior e mais relevante.
Primeiramente, deve-se ressaltar que conforme é diminuída a quantidade de líquido
presente no tubo, a relação entre a área da superfície de contato da parede do tubo com o
líquido e o volume interno presente no nível de preenchimento considerado (A/V) aumenta.
De fato, esta relação pode ser obtida da equação (5.1)
83
(5.1)
onde se refere à área da parede do tubo que entra em contato com o líquido,
se refere ao volume de líquido presente no tubo, é o perímetro de contato
referente à área da seção transversal do líquido (Figura 5.12) e representa a área da
seção transversal ocupada pelo líquido.
Figura 5.12 – Correlação entre o perímetro molhado e a área molhada
A partir de algumas correlações geométricas, foi possível chegar à seguinte fórmula:
(5.2)
Onde θ é o ângulo de abertura correspondente ao nível de preenchimento estudado,
é o fator de preenchimento de líquido (0 ≤ ≤ 1) e D o diâmetro interno do tubo.
84
Figura 5.13 – Interior do tubo
Para o caso do tubo de seção transversal quadrada, a correlação A/V segue a
seguinte fórmula:
(5. 3)
Onde b representa o comprimento do lado do quadrado.
Figura 5.14 – Interior do tubo de seção quadrada
85
Com isto é possível obter o seguinte gráfico ilustrado na Figura 5.15, onde são
apresentados os resultados para tubos de seção transversal circular e para tubos de seção
transversal quadrada comparativamente.
Figura 5.15 – Correlação entre a área de contato e o volume de líquido em tubos de 44,3
mm de diâmetro interno
É possível observar na Figura 5.15 que, em ambos os tipos de tubo, conforme é
diminuída a quantidade de líquido os efeitos viscosos tendem a se tornar mais importantes
em comparação com os efeitos de inércia, uma vez que, para menores quantidades de
líquido, a relação entre a superfície interna do tubo em contato com o líquido e o volume
deste aumenta consideravelmente.
86
Ao se observar atentamente a Figura 5.11, pode-se ver que em 10% de
preenchimento os fluidos de maior viscosidade têm maior valor de coeficiente em relação
aos de menor viscosidade. Em 90%, por exemplo, a diferença entre os valores de
coeficiente de massa adicionada se torna menor. Tal fenômeno se apresenta coerente com o
fato ilustrado pela Figura 5.15, onde a correlação entre a área de contato com o líquido e o
volume de líquido presente (A/V) se torna menor conforme a quantidade de líquido é
incrementada, fazendo com que os efeitos viscosos se tornem menos importante
comparativamente.
Outro detalhe importante que pode ser observado na Figura 5.15 é que nos níveis
menores de preenchimento de líquido (10% a 50%) os valores de A/V para o tubo de seção
quadrada são maiores do que os apresentados no tubo de seção circular, ou seja, os efeitos
relacionados à área de contato da parede do tubo com o líquido são maiores. Outro ponto
importante a ser observado é que essa relação é invertida a partir de níveis maiores do que
50% de preenchimento. Este fenômeno pode explicar o efeito apresentado na Figura 5.10,
onde é visto uma inversão dos valores de coeficiente de massa de líquido adicionada (α) a
partir do nível de 80% de preenchimento aproximadamente.
Capítulo 6
Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
Neste trabalho, foi feito um estudo numérico e experimental para determinação de
coeficientes de massa adicionada de líquido com o objetivo de propor uma metodologia
simples para cálculo de frequências naturais de vibração transversal de tubos horizontais
parcialmente cheios de líquido, utilizando a formulação de vigas de Euler-Bernoulli.
Os resultados mostraram que:
Os coeficientes de acoplamento encontrados numericamente são coerentes e
próximos dos resultados experimentais;
Embora estes coeficientes permitam resultados calculados de frequência
natural do 1º modo próximos dos medidos experimentalmente, observa-se
88
que quanto maior o modo considerado maior é a discrepância com os valores
experimentais;
O diâmetro do tubo não é determinante para influenciar os valores de
coeficientes de acoplamento;
A amplitude de oscilação de igual maneira não é um fator extremamente
relevante para trazer diferenças significativas nos valores de coeficientes,
desde que seja pequena;
A forma da seção transversal do tubo tem influência nos valores de
coeficientes de massa de líquido adicionada;
A viscosidade é um fator importante a ser considerado no acoplamento, pois
quanto maior é a viscosidade, maiores são os valores de coeficiente no nível
de preenchimento considerado.
Uma menor quantidade de líquido presente no tubo pode acarretar num
maior acoplamento devido a que a área de contato se torna maior que o
volume de líquido presente possibilitando que os efeitos viscosos
prevaleçam sobre os efeitos de inércia.
Como sugestão de trabalhos futuros pode-se analisar a adequação de outros modelos
de viga para o tubo, levando em consideração o efeito da deformação por esforço cortante.
A teoria de viga de Timoshenko pode ser um exemplo a ser aplicado.
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