Rafael Henrique Viana Abreu Modelo para Instabilidade e ... · análise de cargas críticas, frequências de vibração e seus respectivos modos de peças estruturais bidimensionais

Rafael Henrique Viana Abreu

Modelo para Instabilidade e Vibrações

de Placas Submetidas a Carregamentos

Conservativos e Não Conservativos

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Raul Rosas e Silva

Rio de Janeiro Dezembro de 2015

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1312976/CA


Modelo para Instabilidade e Vibrações

de Placas Submetidas a Carregamentos

Conservativos e Não Conservativos

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Cientifico da PUC-Rio. Aprovada pela comissão examinadora abaixo assinada.

Prof. Raul Rosas e Silva Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Prof. Márcio da Silveira Carvalho Coordenador Setorial do Centro

Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 11 de dezembro de 2015

DBD


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização do autor, do orientador e da universidade.


Graduou-se em Engenharia Civil no Departamento de Engenharia Civil da UNAMA (Universidade da Amazônia, PA, Brasil), em 2012. Em 2013 iniciou o curso de Mestrado em Engenharia Civil na PUC–Rio, na área de Estruturas, atuando na linha de pesquisa de Estabilidade e Dinâmica de Estruturas.

Ficha Catalográfica

COD: 624

Abreu, Rafael Henrique Viana Modelo para Instabilidade e Vibrações De Placas Submetidas a Carregamentos Conservativos e Não Conservativos / Rafael Henrique Viana Abreu; orientador: Raul Rosas e Silva. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2015. v., 84 f.: il. ; 29,7 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Placas espessas.

3. Frequências naturais. 4. Estabilidade de placas. 5. Método Rayleigh-Ritz. I Rosas e Silva, Raul. II Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV Título.

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Dedicado a minha família, em especial a minha mãe Ana Cristina, por cada um de seus ensinamentos, conselhos e,

especialmente, pelo amor e apoio incondicional que me foi oferecido ao longo de toda minha vida.

DBD


Agradecimentos

Aos professores da pós graduação em estruturas da PUC-Rio, incluindo o professor

Emil Sanchez (UFF) e Ivan Menezes (Departamento de Engenharia Mecânica da

PUC-Rio) que puderam transmitir conhecimento e experiência ao longo aulas

cursadas no mestrado da PUC-Rio.

Em especial, ao professor Raul Rosas e Silva, meu orientador, por todo apoio,

confiança, paciência, pelos momentos de descontração e pela disposição, me

guiando e compartilhando conhecimento e ensinamentos, demonstrando que além

de professor e pesquisador de excelência é um grande ser humano.

A minha alma mater, UNAMA, em especial ao meu professor e amigo Selênio Feio,

que foi o responsável por despertar em mim a centelha que me fez chegar aqui.

A todos os companheiros do mestrado, que me ajudaram a crescer como ser humano

e a conhecer a diversidade cultural e de pensamentos.

À PUC-Rio pela oportunidade de poder cursar o mestrado nesta instituição de

excelência.

Ao CNPq por incentivar-me com uma bolsa de estudos, que me possibilitou realizar

esta pesquisa.

E por fim a minha família, que sempre me deu apoio incondicional. Obrigado a

minha mãe Ana Cristina por me apoiar neste e em tantos outros desafios. A minha

irmã Suzane, meus Tios e Tias Carlaide, Dayse e Mario e minha avó Therezinha,

por estarem presentes nos momentos de necessidade e de alegria.

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Resumo

Abreu, Rafael Henrique Viana; Silva, Raul Rosas e (Orientador). Modelo para Instabilidade e Vibrações De Placas Submetidas a Carregamentos Conservativos e Não Conservativos. Rio de Janeiro, 2015. 84 p. Dissertação de Mestrado. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Neste trabalho foi desenvolvido um modelo de elementos enriquecidos para

análise de cargas críticas, frequências de vibração e seus respectivos modos de peças

estruturais bidimensionais funcionando como placas espessas sujeitas a cargas

conservativas e não conservativas. O método de aproximação empregado foi o de

Rayleigh-Ritz usando elementos finitos convencionais enriquecidos com funções de

deslocamentos adicionais internas. As funções adicionais internas são desenvolvidas

de forma a não envolver deslocamentos e rotações nodais e no contorno. No contorno

foi utilizada a interpolação usual para elementos quadriláteros isoparamétricos. Para

este estudo foram desenvolvidas duas famílias de funções internas, uma com termos

adicionais polinomiais e outra com termos adicionais com polinômios de Legendre.

Para a determinação de frequências, modos de vibração e cargas críticas com efeitos

conservativos e não conservativos são utilizadas as matrizes de rigidez elástica, rigidez

geométrica, de massa e de correção das cargas, introduzidas em problemas

generalizados de autovalores. Resultados numéricos são obtidos através de

procedimentos computacionais utilizando o software MAPLE. São comparados

resultados dos modelos com elementos para placas espessas (Teoria de Mindlin), com

três graus de liberdade por nó. Mostra-se que há certas restrições quanto às funções não

nodais adicionais e o tipo de elemento utilizado, para se ter convergência no cálculo

das cargas críticas e frequências em situações gerais. Os exemplos mostram a eficácia

desta abordagem na análise de placas espessas e trazem outro enfoque a este problema

clássico, que apresenta comparações interessantes que descrevem o efeito de

deformação de cisalhamento e no caso das vibrações o efeito das rotações inerciais,

focando na análise das frequências e modos de vibração, cargas de flambagem e uma

análise de cargas seguidoras tangenciais não conservativas na estabilidade, utilizando

o critério dinâmico é executada. Esta modelagem envolvendo combinação de funções

adicionais gerais em elementos convencionais outra é proposta como uma técnica

apropriada ao estudo de modos globais e localizados de instabilidade.

Palavras-chave

Placas espessas; carga conservativa e não conservativa; estabilidade de placas

espessas; método de Rayleigh-Ritz.

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Abstract

Abreu, Rafael Henrique Viana; Silva, Raul Rosas e (Advisor). A Model for Instability and Vibrations of Plates Subjected to Conservative and Nonconservative Loadings. Rio de Janeiro, 2015. 84 p. Msc. Dissertation. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work presents a model of enriched elements for analysis of critical loads,

vibration frequencies, and their respective modes of two-dimensional structural

components behaving as thick plates subjected to conservative and non-conservative

loads. The method employed was the Rayleigh-Ritz using conventional finite elements

enriched by internal and boundary additional displacements functions. The additional

internal functions do not involve nodal boundary displacements and rotations. The

contour functions are the usual interpolation of isoparametric quadrilateral elements.

For this study two families of internal functions were developed, one with polynomial

additional terms and other with Legendre polynomials additional terms. For the

determination of frequencies, mode shapes and critical loads with conservative and

non-conservative effects the matrices of elastic stiffness, geometric stiffness, and load

correction are stablished and introduced in generalized eigenvalue problems.

Numerical results are obtained through computational procedures using the MAPLE

software. The results obtained with the model developed herein are compared with

results using conventional elements for thick plates formulation (Mindlin theory) with

three degrees of freedom per node. It is shown that certain restrictions apply to the

additional non-nodal functions, and the element type used, in order to have

convergence in the calculation of critical loads and frequencies in general situations.

The examples show the effectiveness of this approach to the analysis of thick plates

and present another approach to this classical problem, presenting interesting

comparisons that describe the shear deformation effect, and in the case of vibrations,

the effect of rotational inertia, focusing on frequencies, vibration modes, buckling loads

and an analysis of follower tangential non-conservative loads in stability, using

dynamic criteria. This combined model, with a additional functions included in

conventional elements, is proposed as a technique applicable to the study of global and

local instability problems.

Keywords

Thick plate; conservative and non-conservative loads; stability of thick plates;

Rayleigh-Ritz method.

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Sumário

1 Introdução ........................................................................................ 17

1.1 Relevância e Justificativa da Pesquisa 17

1.2 Objetivos 21

2 Formulação Geral do Problema ..................................................... 22

2.1 Fundamentos da Teoria de Placas de Mindlin 22

2.1.1 Esforços Generalizados e Curvaturas ................................ 26

2.1.2 Equacões de Equilibrio ....................................................... 29

2.1.3 Condições de Contorno ...................................................... 30

2.2 Método de Ritz 32

2.3 Análise Dinâmica 33

2.3.1 Frequências Naturais .......................................................... 33

2.4 Carga Crítica de Flambagem 33

3 Desenvolvimento da Metodologia ................................................. 35

3.1 Considerações Gerais 35

3.2 Desenvolvimento do método dos elementos finitos 36

3.2.1 Campo de deslocamento e Graus de liberdade .................. 36

3.2.2 Funções de Forma Nodais .................................................. 37

3.3 Funções Adicionais Internas 39

3.3.1 Função Adicional Polinomial ............................................... 39

3.3.2 Função Adicional Polinomio de Legendre ........................... 41

3.4 Matriz de Rigidez 43

3.5 Matriz de Massa 44

3.6 Mariz Geométrica 44

3.7 Matriz de Imposição das Condições de Contorno 45

3.8 Frequências Naturais 46

3.9 Carga Crítica 46

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4 Comportamento das Cargas .......................................................... 47

4.1 Matriz de Carga para os Casos Estudados 50

4.1.1 Matriz de Carga Flutter ....................................................... 51

4.1.2 Matriz de Carga dependente do deslocamento .................. 52

4.2 Carga Crítica Dinâmica 52

5 Aplicações da Metodologia ............................................................ 53

5.1 Análise de Vibrações 54

5.1.1 Engastado em uma extremidade ........................................ 55

5.1.2 Completamente engastada ................................................. 62

5.2 Análise de Instabilidade 68

5.1.1 Carga crítica da placa engastada em uma extremidade ..... 69

5.2.2 Carga crítica da placa completamente engastada .............. 71

5.2.3 Análise comparativa das cargas críticas e frequências ...... 74

5.2.4 Carga crítica de Flutter ....................................................... 75

5.2.5 Carga dependente do deslocamento .................................. 77

6 Considerações Finais ..................................................................... 79

6.1 Conclusões 79

6.2 Sugestões para trabalhos futuros 80

7 Referências Bibliográficas ............................................................. 82

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Lista de Figuras

Figura 2-1: Sistema de Eixos de Referência 22

Figura 2-2: Deslocamento da superfície média (esquerda) e da normal

(direita). 23

Figura 2-3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano . 24

Figura 2-4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa. 26

Figura 2-5: Representação dos Esforços 28

Figura 2-6. Placa simplesmente apoiada. 31

Figura 2-7: Placa com bordos engastados. 31

Figura 2-8: Forças aplicadas na Placa. 34

Figura 3-1: Generalização do Elemento utilizado. 37

Figura 3-2. Funções de forma de elementos isoparamétricos

Serendipity 38

Figura 3-3. Gráfico representando cinco primeiros modos para a

função polinomial. 40

Figura 3-4. Gráfico representando os cinco primeiros modos para a

função polinomial de Legendre. 42

Figura 4-1: Representação gráfica dos tipos de instabilidade,

divergência e Flutter. 49

Figura 4-2: Representação da geometria e da atuação da carga

seguidora como componente estabilizadora. 51

Figura 4-3: Representação da geometria e da atuação da carga a

tangente superfície. 52

Figura 5-1: : Placa engastada em uma extremidade. 55

Figura 5-2: Convergência da primeira frequência da placa engastada

em uma extremidade, com espessura 5 cm. 56

Figura 5-3: Convergência da segunda frequência da placa engastada


Figura 5-4: Convergência da terceira frequência da placa engastada


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Figura 5-5: Erro relativo da primeira frequência placa engastada em

uma extremidade, com espessura 5 cm. 57

Figura 5-6: Erro relativo da segunda frequência placa engastada em


Figura 5-7: Erro relativo da terceira frequência placa engastada em


Figura 5-8: Convergência da primeira frequência da placa engastada


Figura 5-9: Convergência da segunda frequência da placa engastada


Figura 5-10: Convergência da terceira frequência da placa engastada


Figura 5-11: : Erro relativo da primeira frequência placa engastada


Figura 5-12: Erro relativo da segunda frequência placa engastada


Figura 5-13: Erro relativo da terceira frequência placa engastada


Figura 5-14: Modos de vibração da placa engastada em uma

extremidade. 61

Figura 5-15: Placa completamente engastada. 62

Figura 5-16: Convergência da primeira frequência da placa toda

engastada, com espessura 5 cm. 63

Figura 5-17: Convergência da segunda frequência da placa toda

engastada, com espessura 5 cm. 63

Figura 5-18: Convergência da terceira frequência da placa toda

engastada, com espessura 5 cm.. 64

Figura 5-19: Erro relativo da primeira frequência placa toda engastada,

com espessura 5 cm. 64

Figura 5-20: Erro relativo da segunda frequência placa toda engastada,


Figura 5-21: Erro relativo da terceira frequência placa toda engastada,


Figura 5-22:Convergência da primeira frequência da placa toda

engastada (50 cm). 66

Figura 5-23: Convergência da segunda frequência da placa toda


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Figura 5-24: Convergência da terceira frequência da placa toda


Figura 5-25: Erro relativo da primeira frequência da placa com

espessura 50 cm. 67

Figura 5-26: Erro relativo da segunda frequência da placa com

espessura 50 cm. 67

Figura 5-27: Erro relativo da terceira frequência da placa com

espessura 50 cm. 67

Figura 5-28: Modos de vibração da placa completamente engastada. 68

Figura 5-29: Placa engastada em uma extremidade sobre compressão

axial. 69

Figura 5-30: Convergência da carga crítica da placa com uma

extremidade engastada, com espessura 5 cm. 70

Figura 5-31: Erro relativo da carga crítica da placa com uma


Figura 5-32: Convergência da carga crítica da placa com uma




Figura 5-34: Placa engastada em todas as extremidades sobre

compressão axial. 71

Figura 5-35: Convergência da carga crítica da placa com todas as

extremidades engastadas, com espessura 5 cm. 72



Figura 5-37: Convergência da carga crítica da placa com todas as

extremidades engastadas, com espessura 50 cm. 73



Figura 5-39: Variação dos valores de carga crítica e frequência para

placa engastada em uma extremidade. 74

Figura 5-40: Variação dos valores de carga crítica e frequência para

placa engastada em todas as extremidades. 75

Figura 5-41: Coalescência das duas primeiras frequências da placa

espessa. 75

Figura 5-42: Modo de vibração resultante da coalescência pelo flutter. 76

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Figura 5-43: Variação da carga de flutter com relação da variação da

espessura da placa. 76

Figura 5-44: Coalescência das duas primeiras frequências da placa

espessa. 78

Figura 5-45: Modo de vibração resultante da coalescência. 78

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Lista de Tabelas

Tabela 5-1: Comparação das três primeiras frequências da placa com

espessura de 5 cm. 55







Tabela 5-5: Comparação da carga crítica da placa com espessura de

5 cm. 69


20 cm. 70


5 cm. 72


50 cm. 73

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Lista de Símbolo

Letras Latinas

, , Coordenadas cartesianas

, , Deslocamentos

Modulo de elasticidade longitudinal

Modulo de elasticidade transversal

Espessura

, , Momentos fletores

, , Momentos torsores

, , Esforços transversais

Modulo de Rigidez a Flexão

, Esforços cortantes

Fator de correção de Cisalhamento

Comprimento da placa em x

b Comprimento da placa em y

Deslocamento transversal

Momento que provoca uma rotação normal

U Energia de deformação por flexão

Energia cinética

Matriz de Rigidez

Matriz de massa

Matriz geométrica

Vetor de translações

, ,

Vetores que descrevem estas translações e

rotações

, ,

Vetores de funções básicas de interpolação

nodais

, ,

Vetores de funções adicionais internas

Número de Graus de liberdade

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ó Número de nós

Vetor Nulo Referente as Funções de Forma

Vetor Nulo Referente as Funções Adicionais

Funções de Forma

,

Função adicional polinomial simples

, Função adicional polinômio de Legendre

Número total de elementos

Matriz das Condições De Contorno

Matriz da Carga Seguidora

Letras Gregas

, , Deformações longitudinais

, , Deformações transversais

, , Rotações

, , Tensões

, , Tensões de Cisalhamento

Representação do Tensor de Tensões

Coeficiente de Poisson

, , Curvatura da superfície média

, Contribuições das Rotações

Rotação tangente

Π Energia de deformação total do sistema

Ω Energia potencial das cargas externas

Frequências

Magnitude de carga crítica

,

Vetores de translações

, Coordenadas locais isoparamétricas

Densidade do material

Derivada parcial

Vetor de deslocamentos

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1 Introdução

1.1 Relevância e Justificativa da Pesquisa

Placas retangulares, tais como lajes, pilares-parede e tabuleiros de pontes, são

estruturas bastante susceptíveis a carregamentos dinâmicos, tais como máquinas

rotativas e tráfego de pedestres. As novas tecnologias construtivas permitem

planejar e construir estruturas cada vez mais esbeltas com vãos cada vez maiores.

Para este tipo de estruturas, com deslocamentos e flexibilidade elevados, a análise

dinâmica é fundamental.

Encontrar a solução da equação diferencial parcial dinâmica de placas e

achar uma função para o deslocamento transversal é fundamental para estudar seu

comportamento dinâmico, o que nem sempre é fácil. Para placas apoiadas em

bordas opostas, a solução do problema de placa pode ser encontrada de forma

analítica. Para outras combinações das condições de contorno, alguns trabalhos

utilizam o método de Ritz (BASSILY e DICKINSON, 1972) ou o método de

Galerkin (ILANKO, 2002; AMABILI, 2004) para obter as frequências naturais ou

as cargas críticas de placas, usando, geralmente, uma soma de funções de vigas para

aproximar a solução do problema. Para a solução generalizada do problema alguns

métodos têm sido propostos por vários pesquisadores (SAHA, 2005; MACHADO,

2007).

Dentro da linha de pesquisa de Instabilidade e Dinâmica de Estruturas da

PUC-Rio, há diversas dissertações e teses sobre o assunto (SUANO, 1988, JAREK,

2007, SALAS, 2015), e neste trabalho em particular utilizou-se o método de

Rayleigh Ritz para encontrar uma solução para a análise de carga crítica de

flambagem estática e dinâmica e para a análise de vibração de placas submetidas a

diversas condições de contorno.

Os problemas mais comuns no campo da Mecânica dos Sólidos envolvem

forças do tipo conservativas, cujo trabalho não depende da trajetória do sistema;

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18

isso significa dizer que essas forças contribuem de maneira única e constante no

funcional de energia do sistema. Outro tipo de forças, chamadas de não

conservativas, são aquelas que têm a sua contribuição no funcional de energia do

sistema variável ou não conservada. Na prática, isso significa dizer que o trabalho

realizado pelas forças não conservativas depende da trajetória do movimento do

sistema entre um estado inicial e um estado final.

A análise de sistemas do tipo não conservativo é um importante estudo

associado com vários problemas na engenharia em geral, como na engenharia

aeronáutica e espacial, e também em vários campos da mecânica aplicada e

engenharia.

Os carregamentos convencionais considerados na teoria da elasticidade e na

estabilidade elástica, bem como em outros campos da mecânica aplicada são forças

conservativas as quais possuem uma única função potencial.

Tais forças satisfazem o princípio da conservação da energia e o trabalho

por elas realizado sobre um deslocamento admissível em um corpo é independente

da trajetória do corpo.

Exemplos simples, seriam as cargas permanentes que, permanecem

constantes em intensidade e direção durante a deformação e movimento do corpo.

As forças ditas não conservativas, são muito comuns. Surgem por exemplo

da interação mecânica de um sistema contínuo com o meio que o envolve. São

forças de interação, por exemplo, forças de contato que aparecem da interação com

outros corpos sobre uma certa superfície de contato. As forças de contato em geral

dependem da deformação e do movimento do corpo em que atuam e são quase

sempre, devido a sua natureza não conservativas.

As cargas que surgem oriundas de pressões causadas por gases, água ou

vento, podem ser consideradas como os mais importantes tipos de carregamentos

não conservativos que ocorrem na análise estrutural.

A solução de problemas não conservativos por métodos analíticos resolve

poucos casos, principalmente se forem não lineares.

Os primeiros estudos de problemas não conservativos considerando forças

circulatórias conforme relata BOLOTIN (1963), tiveram início com NIKOLAI

(1928). Neste trabalho estudou-se a estabilidade de uma barra flexível na forma

retilínea engastada em uma extremidade e livre na outra sujeita a uma força de

compressão e a um momento de torção aplicados na extremidade livre. Observou-

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19

se que quando o vetor do momento é tangencial, isto é, na direção da tangente do

eixo deformado da barra, nenhuma forma de equilíbrio existe além da linear.

Conclui portanto que o método usual de determinação de forças críticas não é válido

para este tipo de problema. Após desenvolver a equação para pequenas oscilações

em torno da posição de equilíbrio, desprezando o amortecimento, mostrou que a

mesma era instável qualquer que fosse o valor.

Com o passar dos anos, outros problemas interessantes foram resolvidos,

como, por exemplo, por PFLÜGER (1950) e BECK (1952). Basicamente, trata-se

da estabilidade de uma barra flexível engastada em uma extremidade e sujeita a

uma força normal de compressão tangencial à deformada da barra. Onde se

demonstrou que para estes casos não existe nenhuma posição de equilíbrio próxima

da indeformada. Outros autores a seguir, incluindo PFLÜGER (1955) consideraram

o mesmo problema apenas incluindo a massa concentrada e distribuída.

HERMANN e BUNGAY (1964) apresentam um trabalho mostrando os

vários modos de instabilidade dependendo do grau de não conservatividade da

força.

Mais recentemente, SUANNO (1988), apresentou uma metodologia para a

determinação da carga crítica de pórticos espaciais submetidos a carregamentos

não-conservativos dependentes dos deslocamentos. O método dinâmico de

determinação da carga crítica é empregado através de uma formulação matricial.

Na modelagem desenvolvida ele utilizou o elemento de viga espacial, podendo ser

consideradas cargas dependentes dos deslocamentos, conservativas ou não-

conservativas, incluindo a possibilidade de carregamento distribuído seguidor e

dirigido para ponto fixo. Resultados interessantes foram obtidos, dando destaque

para demonstração da influência do efeito do cisalhamento na carga critica

dinâmica (Flutter).

Outro pesquisador da estabilidade muito relevante, que passou a publicar

desde os anos de 1960 uma série de trabalhos foi LEIPHOLZ (1970). Pode-se

destacar entre seus vários trabalhos LEIPHOLZ e PFENDT (1982), onde

apresentam as várias formas de instabilidade de placas em função da relação entre

largura e o comprimento da mesma, quando sujeitas a forças circulatórias

uniformemente distribuídas ao longo do plano da placa.

Trabalhos como os de ADALI (1981) e KIM (1998), estudaram a estabilidade

dinâmica de placas retangulares sob a ação de forças seguidoras. O primeiro

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20

considerando a formulção de Kirkoff-Love para placas, mostrou além do efeito da

base elastica na estabilidade, uma razão de aspecto para casos de instabilidade

dinâmica. O segundo considerou a teoria de Mindlin para placas, utilizando a

formulação de elementos finitos considerando materiais isotropicos e ortotropicos,

e ainda o efeito da deformação de cisalhamento e inercia rotacional.

Através do método dos elementos finitos, a solução de problemas não

conservativos já se torna mais ampla que as soluções analíticas.

Propõem-se então modelar problemas de sistemas conservativos e não

conservativos em placas, considerando inercia rotacional e deformação de

cisalhamento, utilizando o método de Rayleigh-Ritz, baseado no método dos

elementos finitos, permitindo uma solução rápida e adequada com uso de funções

especializadas, sendo útil para projetos preliminares ou revisões de projeto.

Para avaliação do desempenho do elemento, optou-se pelo uso do elemento

isolado, e não uma malha de elementos finitos. Isto trará uma redução do tempo de

simulação do programa e permitirá melhor compreensão das qualidades e

deficiências da formulação. É claro que uma malha de elementos finitos

discretizaria melhor o problema de flambagem, principalmente, pela livre escolha

de uma região na estrutura em que a malha poderia ser refinada para gerar um

resultado com uma aproximação mais convergente. Mas, considerando trabalhos

como de JAREK (2007) e SALAS (2015), ao testar a metodologia de funções

adicionais em um elemento isolado, observa-se um bom resultado final para o

estudo de flambagem e das primeiras frequências.

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21

1.2 Objetivos

Os principais objetivos desde trabalho são:

O desenvolvimento de uma rotina em MAPLE considerando a

formulação de placas retangulares espessas (com inercia rotacional e

deformação de cisalhamento).

Realizar análise de vibrações em placas espessas avaliando a

influência dos efeitos com a variação do aumento da espessura.

Análise da estabilidade estática e dinâmica de placas sujeitas a cargas

conservativas e não conservativas.

Comparar os resultados obtidos pelo método Rayleigh–Ritz com o

método analítico e com SAP 2000, na determinação das frequências e

cargas críticas em placas espessas.

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2 Formulação Geral do Problema

O presente capítulo apresenta aspectos básicos da teoria de Mindlin para

placas espessas, os funcionais de energia utilizados para a obtenção da rigidez de

uma placa. Além disso, desenvolve-se uma formulação matricial para o estudo da

vibração e flambagem de tais estruturas apropriada para representação

computacional no formato combinado de Rayleigh-Ritz e elementos finitos.

2.1 Fundamentos da Teoria de Placas de Mindlin

A Teoria de Mindlin surge em consequência da existência de placas que não

podem ser consideradas finas para as quais os efeitos das tensões de corte transverso

podem ser significativos. Para este tipo de placas as hipóteses de Kirchhoff

consideradas válidas para as placas finas, deixam de ser admissíveis.

No caso dos deslocamentos transversais serem pequenos quando comparados

com a espessura da placa, é possível modificar a Teoria das placas de forma a incluir

a possibilidade da espessura ter dimensões mais elevadas modificando as hipóteses.

O sistema de eixos coordenados a ser considerado é o sistema cartesiano (, , ),

representado na figura 2.1, o qual é definido de modo que o plano (, ) seja

coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo () seja

normal ao plano médio da placa. A origem do sistema de eixos existe sobre o plano

médio da placa.

Figura 2.1: Sistema de Eixos de Referência.

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23

As hipóteses de Reissner-Mindlin que são consideradas válidas para placas

espessas e moderadamente espessas, utilizadas para efeitos de representação do

campo de descolamentos e das tensões em placas com isotropia total submetidas a

ações normais ao plano médio, são:

A superfície média é plana e indeformável, ou seja, as deformações

no plano são nulas ( = = = 0, para = 0).

As linhas retas inicialmente normais ao plano médio permanecem

retas, mas não necessariamente normal à superfície média fletida.

Tendo em conta isto, os deslocamentos e de um ponto P da

placa situado a uma distância do plano médio podem ser calculados

a partir dos valores das rotações e da normal que após

deformação se admitiu ser linear, mas não necessariamente normal à

superfície média fletida.

Figura 2.1: Deslocamento da superfície média (esquerda) e da normal

(direita).

A tensão na direção normal ao plano médio, é irrelevante quando

comparada com as tensões e pelo que se considera ≅ 0.

O tensor das tensões toma neste caso uma forma análoga à considerada na

Teoria Clássica de Placas que é a forma seguinte:

=

0

(2.1)

Tendo em conta a segunda hipótese, os deslocamentos e de um ponto

P da placa situado a uma distância do plano médio podem ser calculados a partir

dos valores das rotações e da normal que após deformação se admitiu ser

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24

linear mas não necessariamente normal à superfície média fletida como se

representa na figura 2.3. O vetor de deslocamentos , , no ponto P é tal

que:

Figura 2.3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano .

=

∙

− ∙

(, )

(2.2)

As deformações no plano a uma distância do plano médio da placa

atendendo a expressão (2.2) e considerando o contexto das pequenas deformações,

onde os termos de segunda ordem são eliminados, as deformações devidas à flexão

e cisalhamento são:

⎩⎪⎨

⎪⎧

⎭⎪⎬

⎪⎫

=

⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎧

−

∙

− ∙

∙

+ ∙

∙

+

− ∙

⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(2.3)

As deformações de corte transversais, nesta teoria, são consideradas

constantes ao longo da espessura e são diferentes de zero, contrariamente ao que

acontecia na Teoria Clássica das Placas. As deformações , e variam

linearmente ao longo da espessura da placa o que está de acordo com as hipóteses

de Reissner-Mindlin já referidas.

DBD


25

A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma

relação entre as tensões e deformações no plano como mostrado na relação

(2.4), sendo o modulo de Young e o coeficiente de Poisson.

⎩⎪⎨

⎪⎧

⎭⎪⎬

⎪⎫

=

1 + ∙

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1

1 − 1 − 0 0 0

1 − 1

1 − 0 0 0

0 0 12 0 0

0 0 0 12 0

0 0 0 0 12 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

⎩⎪⎨

⎪⎧

⎭⎪⎬

⎪⎫

(2.4)

Tendo em conta as equações 2.3 e 2.4 é possível relacionar as tensões com os

deslocamentos transversais do seguinte modo:

= −

1 −

+

(2.5)

= −

1 −

+

(2.6)

= −

2(1 + )

+

(2.7)

=

2(1 + ) +

(2.8)

=

2(1 + )− +

(2.9)

As tensões , e variam linearmente ao longo do eixo como se

representa na figura 2.4, sendo nulas para = 0, como seria de esperar tendo em

conta as hipóteses de Reissner-Mindlin. As tensões de cisalhamento são constantes

ao longo da espessura. Esta aproximação contraria o fato de tensões cisalhantes se

anularem na realidade para = /2 e = −/2, onde é a espessura da placa, o

que sugere a possibilidade de se considerar teorias que sejam de ordem superior.

DBD


26

Figura 2.4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa.

2.1.1 Esforços Generalizados e Curvaturas

Os esforços unitários, os momentos fletores unitários e , o momento

torsor unitário e os esforços transversos unitários e são calculados de

modo análogo ao considerado no caso das placas finas. O momento fletor unitário

, é o momento resultante por unidade de comprimento da direção das tensões

ao longo da espessura da placa, ou seja:

= ∙ /

/

(2.10)

De maneira análoga se definem momentos unitários, e que resultam

das tensões e , ou seja:

= ∙ /

/

(2.11)

= ∙ /

/

(2.12)

Os esforços transversais unitários definem-se a partir das tensões e

do seguinte modo:

= /

/

(2.13)

= /

/

(2.14)

DBD


27

Integrando as expressões 2.10 a 2.12 para os momentos, tendo em conta as

equações 2.5 a 2.7 para as tensões, obtém-se as expressões de 2.15 a 2.17, onde

= ⁄ 12 (1 − ) o modulo de rigidez à flexão da placa.

= −

+

(2.15)

= −

+

(2.16)

=1 −

2

+

(2.17)

As derivadas das rotações ⁄ , ⁄ e + ⁄⁄ são as

curvaturas da superfície média fletida as quais poderão ser designadas por ,

e respectivamente. Portanto as equações de 2.15 a 2.17 podem ser escritas em

função das curvaturas da superfície média fletida.

= −

1 0 1 0

0 0 1 − 2

(2.18)

As contribuições das rotações para as deformações de corte podem ser

designadas por e e definidas do seguinte modo:

=

⎩⎨

⎧ +

− +

⎭⎬

⎫

(2.19)

As forças cortante tomam o seguinte valor em função das rotações, onde

= 2(1 + ) , módulo de elasticidade transversal .

= 1 00 1

(2.20)

Segundo Reddy (2007), considerando que a deformação de cisalhamento é

representada como constante na espessura, logo a tensão de cisalhamento também

será constante. É sabido da teoria elementar homogênea de vigas que a tensão de

cisalhamento varia parabolicamente pela espessura da viga. Em placas a tensão de

cisalhamento varia no mínimo quadraticamente através da espessura. Essa

DBD


28

discrepância entre o real estado e o estado constante predito pela teoria de primeira

ordem é frequentemente corrigido nas forças resultantes de cisalhamento. Esse fator

de correção de cisalhamento é usualmente multiplicando nas integrais 2.13 e 2.14

gerando:

=

/

/

(2.21)

Esse fator modifica a rigidez cisalhante da placa de tal forma que a energia

de deformação devido a tensão cisalhante (equação 2.21) seja igual a energia de

deformação predita pela teoria da elasticidade tridimensional.

=

3

21 −

2

, −

2≤ ≤

2

(2.22)

Onde é a força cortante. A teoria de primeira ordem para tensão de

cisalhamento constante é dada por =

. A energia devido a tensão de

cisalhamento pelas duas teorias são:

=

1

2 (

) =3

5

(2.23)

=

1

2 (

) =

2

(2.24)

O fator de correção de cisalhamento é a razão entre 2.23 e 2.24, a qual resulta

em Κ = 56 .

Figura 2.5: Representação dos Esforços.

DBD


29

Os esforços no plano médio são , , , , e , como se

determinou e estão representados no plano médio na figura 2.5. Estes esforços são

unitários e são análogos aos considerados para efeitos de equilíbrio na teoria das

placas finas. A diferença essencial neste caso, como já descrito, resulta do fato de

deformação de cisalhamento não ser nula, o que é genericamente positivo para as

placas espessas e moderadamente espessas e de os esforços cortantes poderem ser

calculados a partir das deformações de cisalhamento conduzindo a valores

constantes da tensão de cisalhamento, pelo que se consideram fatores de correção

para efeitos de cálculo das tensões cisalhantes. Em suma a distribuição de tensões

ao longo da espessura não parece a mais adequada, embora corresponda a uma

melhoria significativa em relação à situação verificada no caso da Teoria Clássica

das Placas (REDDY, 2007).

2.1.2 Equações de Equilíbrio

As equações de equilíbrio são estabelecidas em termos dos esforços unitários

que resultam das tensões atuantes em um elemento paralelepipédico de placa de

dimensões , segundo , segundo e segundo , sendo estas equações

análogas às equações obtidas no caso da Teoria Clássica de Placas e são as equações

resultantes do equilíbrio dos esforços que na forma de:

+

=

(2.25)

+

=

(2.26)

+

= −(, )

(2.27)

onde (, ) representa a resultante de ações externas normais ao plano médio no

elemento , , sendo = e representam duas equações de equilíbrio de

momentos e uma equação de equilíbrio de forças segundo o eixo vertical.

As condições de contorno conjuntamente com as equações de equilíbrio têm

de ser verificadas.

DBD


30

Substituindo as equações 2.18 e 2.20 nas equações 2.25, 2.26 e 2.27 obtém-

se:

−

+

1 −

2

+

1 +

2

− +

= 0

(2.28)

− 1 +

2

+

1 −

2

+

−

− = 0

(2.29)

+

+

−

− (, ) = 0

(2.30)

Estas são as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos transversais

e das rotações. Neste caso a solução de um problema de placas implica na

determinação de três grandezas que devem atender as equações de equilíbrio e as

condições de contorno. Uma vez conhecidos o deslocamento transversal e as

rotações, o cálculo dos esforços, tensões e deformações pode ser realizado.

2.1.3 Condições de Contorno

Para as condições de bordo simplesmente apoiado o movimento no eixo

está impedido, podendo no entanto rodar livremente. As condições de contorno

simplesmente apoiado são:

= 0 ; = 0 ; = (2.31)

sendo o deslocamento transversal, a rotação tangente e o momento que

provoca uma rotação normal no bordo simplesmente apoiado.

Para o caso de uma placa retangular de bordos simplesmente apoiados

paralelos aos eixos coordenados e , de dimensões segundo e segundo ,

como se representa na figura 2.6. As condições de contorno ao longo dos lados

e que correspondem a = 0 e = são:

= = 0 ; = 0 ; = 0 (2.32)

e ao longo dos lados AD e BC que correspondem a = 0 e = , são:

= = 0 ; = 0 ; = 0 (2.33)

DBD


31

Figura 2.6: Placa simplesmente apoiada.

No bordo perfeitamente engastado os deslocamentos e as inclinações têm

valor nulo, ou seja:

= 0 ; = 0 ; = 0 (2.34)

No caso da placa engastada representada na figura 6.7, as condições de

contorno são:

Figura 2.7: Placa com bordos engastados.

ao longo dos lados AB e CD que correspondem a = 0 e = , representadas

através das seguintes igualdades:

= 0 ; = 0 ; = 0 (2.35)

e ao longo dos lados AD e BC que correspondem a = 0 e = , traduzem-se

do seguinte modo:

= 0 ; = 0 ; = 0 (2.36)

DBD


32

Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre

devem ser nulos os momentos fletores e os esforços transversais . Estes

esforços serão não nulos, caso exista algum esforço ou momentos aplicados no

bordo, nesse caso serão iguais a uma função de ou conhecida. No caso de bordo

livre sem cargas aplicadas ser coincidente ou paralelo ao eixo as condições de

bordo livre exprimem-se do seguinte modo, para = 0 ou = :

= 0 ; = 0 (2.37)

se for coincidente ou paralelo a as condições de bordo livre exprimem-se do

seguinte modo, para = 0 ou = :

= 0 ; = 0 (2.38)

As funções consideradas para a deformada e rotações de uma placa devem

verificar as equações de equilíbrio e as condições de contorno.

2.2 Método de Rayleigh-Ritz

A energia de deformação total do sistema Π é igual à soma da energia de

deformação por flexão U de uma placa circular e a energia potencial das cargas

externas Ω:

Π = + Ω (2.39)

A energia de deformação por flexão de uma placa considerando a deformação

cisalhante é dada por:

=1

2 + + +

+

(2.40)

A energia potencial das cargas externas Ω, para um sistema conservativo, é

igual ao trabalho realizado pelas cargas aplicadas quando a estrutura está

deformada, e é dada pela seguinte equação:

Ω = (, )

(, ) (2.41)

DBD


33

Onde é a componente do carregamento externo transversal aplicado sobre

a superfície da placa, e é a função de deformação do elemento.

2.3 Análise dinâmica

Para o problema dinâmico de placas pelo método das energias é preciso ter a

expressão da energia cinética que é dada pela seguinte expressão:

=1

2

+ +

(2.42)

Onde é a densidade da placa e o ponto acima dos campos de deslocamentos

representa a diferenciação com respeito ao tempo.

2.3.1 Frequências Naturais

O cálculo das frequências naturais e os modos de vibração conduzem a um

problema linear de autovalor e autovetor generalizado da seguinte forma.

([]− []) = 0 (2.43)

Onde os autovalores representam o quadrado das frequências naturais e os

autovalores os modos de vibração.

2.4 Carga crítica de Flambagem

Para o cálculo da carga crítica aproximada de flambagem, utiliza-se o método

Rayleigh-Ritz, obtida através da minimização do quociente de Rayleigh começando

da igualdade da energia de deformação e o trabalho das forças externas.

([]− []) = 0 (2.44)

= [][] (2.45)

A magnitude de carga crítica é representada pelo fator , portanto o valor da

carga crítica resulta da relação entre a matriz da energia de deformação geométrica

[] pela matriz da rigidez da energia de deformação elástica [].

DBD


34

A energia de deformação elástica e dada pela seguinte forma:

[]=1

2

+ +

(2.42)

Figura 2.8: Forças aplicadas na Placa (Cook, 2002).

DBD


3 Desenvolvimento da Metodologia

O presente capítulo apresenta os elementos testados, para a análise de

flambagem e vibrações, e suas respectivas propriedades relevantes que ajudaram na

escolha do elemento satisfatório. Os elementos têm os deslocamentos determinados

a partir de graus de liberdade nodais e parâmetros adicionais não nodais. Para as

funções adicionais foram consideradas duas famílias de funções, uma envolvendo

funções polinomiais simples e outras apenas com polinômios de Legendre, com o

intuito de melhor aproximar o que acontece no interior da placa. Finalmente, é

abordada a implementação computacional elaborada para análise dos cálculos,

incluindo comentários sobre como generalizar a uma malha de elementos finitos.

3.1 Considerações Gerais

A solução das equações que regem o comportamento de placas de Mindlin é

facilitada pelo uso de métodos numéricos, dentre os métodos numéricos disponíveis

para a solução de equações diferenciais definidas em domínios arbitrários, o

Método dos Elementos Finitos tem mostrado ser o mais eficiente (DINIS, 2004).

Há vários tipos de modelos de elementos finitos desenvolvidos para serem

utilizados no contexto das teorias de placas. Estes modelos podem agrupar-se em

três modelos que são: modelos baseados numa formulação em termos de

deslocamentos, modelos mistos ou híbridos e modelos de equilíbrio. Os modelos

formulados em termos dos deslocamentos são baseados no teorema dos trabalhos

virtuais sendo as equações correspondentes formuladas em termos dos

deslocamentos. Os modelos mistos ou híbridos são baseados em princípios

variacionais mistos da teoria das placas sendo as tensões e deslocamentos

aproximados de forma independente. Os modelos de equilíbrio são baseados no

princípio das forças virtuais. Dentre os modelos referidos o que é mais

frequentemente utilizado é o modelo baseado numa formulação em termos de

deslocamentos. O modelo aqui referido é deste tipo.

DBD


36

Um dos modos de encarar o método dos elementos finitos é como uma técnica

de produção de funções de aproximação para serem utilizadas em métodos

variacionais de aproximação como, por exemplo o método de Rayleigh-Ritz,

mínimos quadrados, subdomínio, etc. A escolha das funções de aproximação é em

geral condicionada a cada problema sendo no entanto possível ter vários modelos

de elementos finitos para uma dada equação.

No processo de definição de funções de aproximação há uma metodologia de

formulação muito utilizada que faz uso do conceito de elemento isoparamétrico.

Este conceito veio permitir a consideração de fronteiras do elemento com formas

mais complexas do que as usualmente permitidas por outro tipo de elementos.

Um aspecto fundamental da formulação por elementos finitos consiste na

escolha das funções a interpolar que representam as variáveis a determinar no

problema. No caso de se tratar de um elemento finito a ser considerado no âmbito

da Teoria de Mindlin de Placas as variáveis a interpolar no contexto de uma

formulação em termos dos deslocamentos são o deslocamento transversal e as

rotações e . Esta formulação conduz em geral a um sistema de equações cujas

incógnitas são os valores das funções interpoladas nos chamados pontos nodais dos

elementos finitos que constituem o domínio.

3.2 Desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos

3.2.1 Campo de deslocamentos e Graus de liberdade

O campo de deslocamentos da placa espessa é dado por três vetores que

descrevem translações no eixo , rotações

no eixo e rotações no eixo

. Como se pode ver seguir equação 3.1, os vetores que descrevem estas translações

e rotações são: , e

, vetores estes compostos basicamente pelas funções

de forma básicas de interpolação nodais, , e

, que descrevem os

deslocamentos e rotações nodais, relacionadas com a quantidade de graus de

liberdade () e nós considerados no elemento (ó); funções adicionais

internas, , e

, que são interpolações dos deslocamentos e rotações

dentro do elemento, sendo um vetor nulo referente as funções de forma entre

DBD


37

os graus de liberdade e um vetor nulo referente as funções adicionais entre os

graus de liberdade.

=

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

⎭⎪⎪⎬

⎪⎪⎫

; =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

⎭⎪⎪⎬

⎪⎪⎫

; =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

⎭⎪⎪⎬

⎪⎪⎫

(3.1)

3.2.2 Funções de Forma Nodais

Considerando o conceito de elemento isoparamétrico, então as funções de forma

são definidas em coordenadas locais e , como se representa na figura 3.1.

Figura 3.1: Generalização do Elemento utilizado.

Para elementos de quatro, oito, doze e dezesseis nós, as coordenadas de um

ponto do elemento (, ) podem ser calculadas a partir das coordenadas nodais

(, ) do seguinte modo:

=

; =

(3.2)

DBD


38

Nota-se que as dimensões do elemento isoparamétrico de 4 nós, o sistema de

eixos local são dois por dois sendo as coordenadas do canto do elemento

(−1, −1), (1, −1), (1, 1) (−1, 1). No caso do elemento de oito nós os pontos

nodais são colocados nos cantos do elemento e no meio dos lados. A representação

dos elementos utilizados se apresenta na figura 3.2, assim como as funções de forma

para os elementos isoparamétricos. Estão representados os elementos lineares,

quadráticos, cúbicos e de quarta ordem da família Serindipity.

Figura 3.2: Funções de forma de elementos isoparamétricos Serendipity.

⎩⎪⎨

⎪⎧±1 ±1

±1 0

0 ±1

1

4(1 + )(1 + )( + − 1)

1

2(1 + )(1 + )

1

2(1 + )(1 + )

±1 ±1 1

4(1 + )(1 + )

⎩⎪⎨

⎪⎧±1 ±1

±1 ±1

3

±1

3±1

1

32(1 + )(1 + )[9( + ) − 10]

9

32(1 + )(1 − )(1 + 9)

9

32(1 + )(1 − )(1 + 9)

(, )

Funções de Formas Coordenadas Nodais

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧

±1 ±1

±1 0

0 ±1

±1 ±1

2

±1

2±1

1

12(1 + )(1 + )[4( − 1) + 4( − 1) + 3]

1

2(1 + )( − 1)( − )

1

2(1 + )( − 1)( − )

3

4(1 + )(1 − )( + )

3

4(1 + )(1 − )( + )

DBD


39

Para trazer as funções de formas definidas das coordenadas isoparamétricas

normalizadas para cartesianas, basta substituir = 2 e =

2 . Essas funções

de forma nodais serão adotadas como mesma aproximação para os deslocamentos

e rotações do elemento, ou seja o vetor da interpolação dos deslocamento , será

igual ao das rotações e

, independentemente da interpolação utilizada.

= =

(3.3)

3.3 Funções Adicionais Internas

As funções adicionais internas são polinômios hierárquicos que não tem um

significado físico, mas que ajudam a descrever as deformações dentro do domínio

da placa.

Serão utilizadas funções do tipo polinomiais. Para a dedução das funções

adicionais de uma placa, pode-se partir de um elemento finito de viga

(KOTSOVOS, 1995) ou outra função unidimensional, sendo que a expressão final

para uma placa é obtida pela multiplicação de funções das duas nas direções (x, y).

Os parâmetros que definem uma função de interpolação numa estrutura são

os graus de liberdade por nó sendo, estes, uma translação () e duas rotações

, .

Neste caso foram adotadas duas famílias de funções, polinomiais simples,

partindo de uma função quadrática e polinômio de Legendre, adaptados ao

problema.

3.3.1 Função Adicional Polinomial

Em diversos livros tais como (COOK, 2002), normalmente é adotada uma

função básica polinomial de terceiro grau de uma viga. JAREK (2007), com o

intuito é reduzir o erro no resultado, inseriu ainda termos adicionais senoidais.

Aqui, fez se uso de um polinômio como mostrado em 3.4, onde a partir de

2, começando então por uma função quadrática, até o número de termos necessários

para se chegar a um resultado aceitável.

DBD


40

= + + (3.4)

Nesta expressão a equação relaciona as coordenadas normalizadas com as

globais. Para isso é necessário conhecer as constantes e substituindo as duas

condições nodais que se conhecem:

= −

2

=

2

→ = −1

→ = 1 1 = −

1

2−

(−1)

2 ; 2 = −

1

2+

(−1)

2

(3.5)

Substituindo as constantes e da equação 3.5 e o valor de na equação

3.4 obtém-se:

== −

1

2−

(−1)

2+ −

1

2+

(−1)

2 +

(3.6)

Esta série de polinômios tem sempre valores nulos nos extremos do seu

domínio. Substituindo = 2 na equação 3.6, tem-se

a função na direção

, com o respectivo índice :

= −

1

2−

(−1)

2+

2 −12

−(−1)

2

+

2

(3.7)

A seguir, a representação gráfica dos modos da equação (3.7):

Figura 3.3: Gráfico representando cinco primeiros modos para a função polinomial.

A função ao longo do eixo é obtida analogamente à obtida para o eixo

resultando em:

DBD


41

= −

1

2−

(−1)

2+

2 −12

−(−1)

2

+

2

(3.8)

Tendo em vista a obtenção das funções adicionais nos sentidos e , é

possível chegar à função adicional para a placa através da multiplicação de e

como mostra a equação (3.9).

=

(3.9)

Essa multiplicação deve ser feita entre todas as funções dos respectivos

conjuntos definidos com o número de termos necessários para se chegar a um

resultado aceitável

3.3.2 Função Adicional Polinômio de Legendre

A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida utilizando o método de

série de potências usual. A equação possui um ponto singular regular em = ± 1

então, em geral, uma solução com séries em relação a origem somente convergirá

se || < 1. Quando é um inteiro, a solução () que é regular em = 1 é

também regular em = −1, e a série para esta solução é finita, ou seja, um

polinômio.

Esta solução para valores inteiros de forma uma seqüência polinomial de

polinômios ortogonais chamados polinômios de Legendre. Cada polinômio de

Legendre () é um polinômio de n-ésimo grau. Isto pode ser expresso utilizando

a fórmula de Rodrigues.

() = −1

2!

[( − 1)]

(3.10)

Baseando-se na Formula de Rodrigues, de forma análoga a dedução anterior,

como mostrado em 3.4 a 3.7, onde também a partir de 2 até o número de termos

necessários para se chegar a um resultado aceitável, obtem-se:

=

1

2!

[( − 1)]−

(3.11)

Onde C um coeficiente para adaptar o polinômio as condições do problema,

variando em função do tipo de polinômio, par ou impar, como mostrado a seguir:

DBD


42

= 1

(3.12)

Esta série de polinômios tem sempre valores nulos nos extremos do seu

domínio. Subistituindo = 2 na equação 3.11 e 3.12, tem-se

e

na direção , com o respectivo índice :

=

1

2!

2

− 1

− 1 (3.13)

=

1

2!

2

− 1

−2

(3.14)

Para obter as mesmas equações (3.13) e (3.14), em função de y, basta fazer

as seguintes mudanças:

= ; = ; = ; = (3.15)

A seguir, a representação gráfica dos modos da equação (3.7):

Figura 3.4: Gráfico representando os cinco primeiros modos para a função polinomial de

Legendre.

Tendo em vista a obtenção das funções adicionais com os polinômios de

Legendre nos sentidos e , é possível chegar à função adicional para a placa

através da multiplicação de e

como mostra a equação (3.16), lembrando

que multiplicação deve ser feita entre todas as funções dos respectivos conjuntos

DBD


43

definidos com o número de termos necessários para se chegar a um resultado

aceitável.

= (3.16)

Ambos os conjuntos de funções adicionais internas serão adotadas como mesma

aproximação para os deslocamentos e rotações do elemento, análogo ao feito com

as funções nodais, ou seja o vetor da interpolação dos deslocamento , , será

igual ao das rotações e

, independentemente da interpolação utilizada.

= =

(3.17)

Uma outra discussão a respeito das funções adicionais internas são suas

vantagens e desvantagens. Da teoria de séries de Fourier, sabe-se das propriedades

de convergência superiores das funções trigonométricas. No entanto, as funções

polinomiais, no programa, reduzem substancialmente o tempo de simulação, assim,

é possível adicionar um maior número de funções. Um dos motivos, que o torna

mais ágil, é o fato de que a obtenção das derivadas e integrais de funções

polinomiais é bem mais rápida que no caso das trigonométricas, ainda mais

considerando um programa como o Maple.

Um outro fato importante a ressaltar é a possível deterioração do resultado em

função da não ortogonalidade das funções, fato que foi observado por JAREK

(2007). Esta limitação também pode ocorrer na combinação de polinômios e

funções trigonométricas, mas de forma menos acentuada, segundo JAREK (2007).

3.4 Matriz de rigidez

Uma vez conhecido o campo de deslocamentos e deformações da placa

espessa pode se enxergar a energia de deformação da placa espessa, sabendo que a

relação tensão deformação para uma placa elástica espessa pode ser descrida pelas

tensões (, ) que são tensões normais e (, , ) que são tensões

cisalhantes.

A matriz de rigidez pode ser construída através do princípio da energia de

deformação. Sabendo que a deformação pode ser representada de maneira vetorial,

então consideramos os seguintes elementos como vetores (, , , , )

os módulo de elasticidade longitudinal () e transversal ()são dados por:

DBD


44

=

(1 − ) ; =

2(1 − )

(3.18)

Com os valores da equação (3.18), integrando a equação (2.40) de tensões e

deformações, deixando em função das deformações de flexão e cisalhamento, tem-

se:

[]ã

= +

+

+

(3.19)

[]

= Κ +

Κ +

(3.20)

Lembrando que Κ é o fator de correção de cisalhamento, definido em (2.21),

que não atua na deformação de cisalhamento por torção (). A matriz de rigidez

total será a soma das duas matrizes definidas acima.

[]= []ã + [] (3.21)

3.5 Matriz de massa

A matriz de massa contém a ação inercial de um elemento devido as

acelerações unitárias nos graus de liberdade. Estas ações inerciais são

transformadas em forças concentradas nos nós. Substituindo os deslocamentos na

equação (2.42), obtém-se:

[]= ()

2

−2

2

−2

2

−2

+ +

(3.22)

3.6 Matriz geométrica

A matriz de rigidez geométrica para a placa pode ser obtida pelo trabalho

realizado pelas forças constantes agindo em direção axial do plano médio da placa.

DBD


45

A matriz de rigidez geométrica pode ser obtida em função da energia de deformação

das cargas externas, equação (2.42).

[]= +

+

(3.23)

3.7 Matriz de imposição das condições de contorno

O método de imposição das condições de contorno utilizado é o da

penalidade, através da adição de valores de rigidez na diagonal principal da matriz

de rigidez [] referente aos graus de liberdade do elemento. O número total de

elementos da matriz é dado por:

= ó + (3.24)

Onde é o número de graus de liberdade por nó, ó é o número de nós

e é o número total de funções adicionais, que é a multiplicação do número de

funções utilizadas em cada eixo.

A matriz de imposição das condições de contorno ([]) terá tamanho

( × ), e para conhecer os elementos da diagonal principal da matriz é

preciso conhecer além da quantidade de nós, as condições de contorno do problema.

Os demais termos desta matriz serão iguais a zero.

A imposição das condições de contorno se faz somando-se à matriz de rigidez

() a matriz de imposição das condições de contorno ([]), como mostrado

em (3.26).

[] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡(,)

0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ 0

0 ⋯ 0 (,)0 ⋱ 0

0 ⋱ 0 0 0 ⋱ 0

⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0

0 ⋯ 0 0 0 0 0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(3.25)

( × )

DBD


46

[] = []+ [] (3.26)

A diagonal principal penaliza apenas os graus de liberdade nodais, ou seja,

ela vai à (,)

, onde é o número de funções adicionais multiplicado

pelo número de graus de liberdade.

= ó (3.27)

Outro fator importante, é a rigidez das molas que se encarregarão de restringir

as rotações e translações nos nós. Esses valores podem ser calibrados para cada

problema separadamente levando em consideração a grandeza dos elementos da

matriz de rigidez, de forma a evitar possíveis erros numéricos.

3.8 Frequências naturais

As frequências podem ser obtidas através da solução da seguinte equação:

= [][] (3.28)

Onde [] é a matriz de massa e [] é a matriz elástica da placa.

Resolvendo este problema obtemos os auto valores para poder obter desta forma as

frequências naturais do sistema =

3.9 Carga crítica

Para a determinação das cargas críticas, em forma linearizada, utiliza-se a

mesma formulação já citada no capítulo 2, fazendo isso tem-se a obtenção desta

carga:

= −[][] (3.28)

Onde [] é a matriz geométrica e [] é a matriz elástica da placa.

Resolvendo este problema obtem-se os auto valores e dessa forma a carga crítica o

sistema.

DBD


4 Comportamento das Cargas

Os tipos mais comuns de forças não conservativas são as chamadas forças

circulatórias, tais como as forças e momentos seguidores (“follower”), isto é forças

não deriváveis de um potencial e não dependentes explicitamente do tempo, e que

seguem completamente ou parcialmente os deslocamentos ou rotações das

superfícies onde estão aplicados.

As forças generalizadas externas que atuam em um sistema podem ser

classificadas com relação a sua conservatividade. Pode-se definir como forças

conservativas qualquer força generalizada associada com um valor estacionário de

uma função potencial dependente dos deslocamentos generalizados. O trabalho do

sistema, para qualquer deslocamento atual depende somente da configuração inicial

e final do sistema. As forças conservativas podem ser independentes dos

deslocamentos (cargas permanentes) ou dependentes dos deslocamentos (forças

centrifugas e outras).

Considerando a definição dita acima, forças não conservativas são aquelas

que possuem um potencial dependente da velocidade ou do tempo. As forças não

conservativas estacionárias, independentes do tempo, podem ser classificadas como

dependentes da velocidade ou independentes da velocidade, isto é, dependendo

puramente do deslocamento. Nesse último caso são forças denominadas

circulatórias.

O efeito de forças não conservativas do tipo circulatórias em elementos finitos

é feita pela adição de uma matriz chamada de rigidez tangente ou de correção das

cargas, sendo esta em geral uma matriz não simétrica.

Com relação ao comportamento dos sistemas estruturais sujeitos às forças

circulatórias, dois tipos de instabilidade podem ocorrer. Em termos gerais pode-se

dizer que na análise de problemas de estabilidade elástica, a natureza dos

carregamentos externos, determina a característica do problema de autovalor a que

se chega na formulação que rege o problema. O carregamento conservativo leva a

uma solução de autovalores associados a matrizes de rigidez efetivas simétricas e

DBD


48

somente autovalores reais. Para carregamentos não conservativos, por exemplo do

tipo circulatório, chega-se a um problema de autovalor associado a uma matriz de

rigidez efetiva não simétrica, ocorrendo autovalores complexos e reais.

Pode-se distinguir duas formas de instabilidade:

"Instabilidade estática ou divergência": existindo uma configuração de

equilíbrio adjacente. A estrutura passa por uma posição de equilíbrio não

trivial antes de atingir a instabilidade, isto é, a transição da estrutura da

estabilidade para a instabilidade ocorre com um autovalor nulo. Para valores

da carga acima da de flambagem, todos os autovalores são reais, sendo que

o autovalor nulo mencionado anteriormente torna-se real e negativo.

"Instabilidade dinâmica, drapejamento ou Flutter": oscilações com

amplitudes crescentes exponencialmente acima da carga crítica. Nestes

casos a perda da estabilidade do sistema ocorre com autovalores diferentes

de zero. De fato a instabilidade do sistema manifesta-se por si mesma em

oscilações com amplitudes crescentes ilimitadamente. A perda da

estabilidade ocorre quando para um valor finito do carregamento, carga de

Flutter, pode-se observar a coalescência de pelo menos dois autovalores

consecutivos, ou seja, eles tornam-se iguais. Além deste valor o movimento

perturbado do sistema apresenta as mencionadas oscilações divergentes,

com os autovalores críticos tomando a forma de conjugados complexos.

Expressando a intensidade da carga externa por um parâmetro P, o limite da

estabilidade pode ser observado pelo comportamento dos autovalores assim que o

parâmetro da carga varia, isto é, pela relação λ = λ(P), conforme a figura 4.1, onde

λ = 1, 2, 3, são os três primeiros autovalores do problema.

Se p = 0, todos os autovalores são reais e positivos, eles são as frequências da

estrutura sem carregamento. Para valores das cargas aplicadas inferiores a crítica

todos os autovalores são positivos e reais (estável). Para a carga critica o menor dos

autovalores torna-se nulo, isto é, a curva correspondente intercepta o eixo das cargas

P, atingindo-se a carga de flambagem. Após atingir a carga crítica o autovalor torna-

se real negativo, sendo o fenômeno da divergência, ou então conforme a figura 4.1,

dois autovalores (frequência), usualmente os de mais baixo valor, aproximam-se

DBD


49

um do outro até coalescerem, tornando-se conjugados complexos para cargas além

das críticas (Flutter).

Figura 4.1: Representação gráfica dos tipos de instabilidade, divergência e Flutter.

.

Com relação ao tipo análise, os chamados métodos estáticos demonstram não

ser aplicáveis quando a análise da instabilidade do sistema apresenta uma perda de

estabilidade na forma de instabilidade dinâmica (Flutter).

Segundo JUNG (1991), com relação a forma da instabilidade, os sistemas

podem ser classificados basicamente em quatro tipos. Se as forças externas

possuem um potencial (dependente apenas dos deslocamentos), são conservativas

e a perda da estabilidade se dá apenas por instabilidade estática ou divergência. Se

as forças são não conservativas, a forma pela qual a perda de estabilidade acontece,

requer uma análise específica para cada problema. Ambas as formas de

instabilidade são possíveis neste caso, isto é, o sistema pode perder estabilidade por

divergência ou Flutter. Com relação aos tipos de sistemas de acordo com a forma

de instabilidade, os mesmos classificam-se em:

Sistemas completamente conservativos: São sistemas sujeitos a forças

externas do tipo convencional conservativas, possuindo uma matriz de

rigidez simétrica. A perda da estabilidade se dá somente na forma de

instabilidade estática, divergência. As condições de divergência

podem ser obtidas aplicando o método estático ou dinâmico.

Sistemas Não Conservativos do Tipo Divergente: São sistemas

onde as forças externas atuantes no sistema são de características não

conservativas. Entretanto, dependendo das condições de contorno um

DBD


50

outro funcional específico sem ser o da energia, apresenta

características conservativas. Nesse caso a formulação do método dos

elementos finitos, a matriz de rigidez efetiva global, certamente

permanece não simétrica. Estes sistemas constituem uma classe

excepcional dos sistemas não conservativos, os quais

mecanicamente comportam-se como os conservativos, tornando-se

instáveis por divergância e não por flutter.

Sistema Não Conservativos do Tipo Flutter: São sistemas sujeitos

a forças externas não conservativas, por exemplo do tipo circulatório,

possuindo matrizes de rigidez efetivas não simétricas. A perda da

estabilidade pode ocorrer somente na forma de Flutter, Portanto

apenas o método dinâmico é adequado a análise da estabilidade.

Sistemas do Tipo Híbrido: Este tipo especial de sistema é também

solicitado por forças não conservativas, por exemplo, também do tipo

circulatório, mas podem apresentar os casos de divergência ou Flutter.

Dependendo das relações entre os parâmetros mais relevantes,

geometria, condições de contorno, a carga critica mínima pode

corresponder a da perda de estabilidade estática ou a oscilatória.

4.1 Matriz de carga para os casos estudados

Será agora mostrado a determinação das matrizes de carga para os problemas a

serem estudados, no caso, carga seguidora (Flutter) e uma carga paralela aplicada

na área dependente do deslocamento.

4.1.1 Matriz de carga Flutter

Considerando uma placa engastada em um bordo e livre nos demais e uma

carga seguidora de compressão , matriz da carga seguidora [] não conservativa

dependerá linearmente dos deslocamentos, como pode ser visualizado na figura

abaixo:

DBD


51

Figura 4.2: Representação da geometria e da atuação da carga seguidora

como componente estabilizadora.

Basicamente, a carga seguidora gera uma componente estabilizadora vertical

que atua nos graus de liberdade de deslocamento do bordo , onde a carga

está atuando. Dessa forma [] fica sendo uma matriz não simétrica, com efeito em

todos os nós na extremidade , ou seja o número de elementos será igual ao de

nós nessa extremidade ().

, → = 1.. (4.1)

4.1.2 Matriz de carga dependente do deslocamento

Nesse caso, considerando uma placa engastada em todos os bordos e uma

carga uniforme distribuída paralela à sua superfície, como pode ser visualizado na

figura abaixo:

[] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0

0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ , 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0

0 ⋱ ⋱ 0 , ⋱ ⋮ ⋱ 0

0 ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ 0 ⋱ 0

⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ , ⋱ 0

0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ 0

⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0

0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(4.2)

( × )

DBD


52

Figura 4.3: Representação da geometria e da atuação da carga tangente a superfície.

A matriz da carga seguidora [] pode ser definida por:

[]=

−

(4.3)

4.2 Carga crítica dinâmica

Para a obtenção da carga críticas parte-se da seguinte análise:

= [[] + + ][] (4.4)

Onde [] é a matriz de correção das cargas da placa. Resolvendo o problema

de auto valores, equação 4.4, pode-se obter as frequências naturais do sistema =

, e dessa forma, fazendo um incremento da carga crítica estática, analisando a

coalescência das frequências, determina-se a carga crítica dinâmica.

DBD


5 Aplicações da metodologia

Nesse capítulo serão apresentados exemplos que visam validar a eficiência da

substituição de uma malha de elementos finitos um elemento isolado, com funções

polinomiais, além de demonstrar o bom funcionamento do programa elaborado

através do software MAPLE 15. Para cada exemplo, são fornecidas as

características geométricas da estrutura e as condições de contorno.

O resultado é o estudo do comportamento estático, dinâmico e de

instabilidade de placas. Serão apresentados os desempenhos dos tipos de funções e

dos elementos adotados cuja diferença entre eles foi citada no capítulo 3.

Para iniciar as aplicações no programa serão apresentados exemplos com

comportamento elástico que está definido pelo módulo de elasticidade =

21000 ⁄ e o coeficiente de Poisson = 0.25. Compararam os resultados

obtidos com modelos equivalente modelados no SAP2000 v15.

Os elementos utilizados na modelagem foram o Shell-Thin e Shell-Thick, em

função dos seus 6 graus de liberdade que combinam comportamento de membrana

e flexão de placas.

A principal diferença entre as formulações dos elementos de casca espessas

(Shell Thick) e finas (Shell-Thin) é basicamente a inclusão da deformação de

cisalhamento no comportamento à flexão da placa. Formulação Shell-Thin segue o

desenvolvimento da teoria de Kirchhoff, que negligencia deformação de

cisalhamento, enquanto formulação espessa segue Mindlin/Reissner, que leva em

consideração esse efeito, considerado neste trabalho, na elaboração do modelo

implementado.

Formulação de Mindlin é recomendada em geral, pois tende a ser mais exata,

embora um pouco mais rígida, mesmo para problemas de flexão de placas finas em

que a deformação de cisalhamento é verdadeiramente insignificante. No entanto,

no que se refere a modelagem, a precisão de formulação é sensível a distorção

malha e grande razão de aspecto, portanto, não deve ser usado em tais casos em que

a deformação de cisalhamento é conhecida como pequena.

DBD


54

Em geral, a contribuição de deformação de cisalhamento torna-se

significativa quando a relação entre o vão de flexão de curvatura da placa e a

espessura é de aproximadamente 1/5 a 1/10 e a formulação é adequada para razão

de aspecto abaixo de 1/5 ou 1/4. Está razão é dependente da projeção da curvatura,

e a espessura da placa pode ser maior do que as dimensões reais no plano do

elemento. O cisalhamento também pode se tornar significativo em locais de

concentração de tensões de flexão, que ocorrem próximo a mudanças bruscas de

espessura ou de condições de contorno e próximas a aberturas ou cantos reentrantes.

Nesse caso, a formulação de espessura da placa é melhor para tais aplicações.

O elemento Shell-Thick tende a ser mais rígido em relação ao de Shell-Thin,

considerando apenas componentes de flexão do elemento, e para modelos em que

a malha é muito grosseira.

Quando a malha é adequadamente descrita, ela captura a deformação de

flexão, pois elementos Shell-Thick são mais flexíveis por causa da deformação

adicional que não é capturada através de formulação de placa fina.

Considerando os aspectos mencionados acima, modelou-se as aplicações

desse trabalho com uma malha de 40 x 40 elementos, considerando as dimensões e

proporções dos exemplos. As condições de contorno e cargas foram impostas de

maneira a permitir deslocamentos de corpo rígido, permanecendo então constante

a tensão dentro do elemento, fazendo assim que o modelo do SAP2000 fique o mais

próximo possível do modelo implementado.

5.1 Análise de Vibrações

O objetivo desta aplicação é avaliar a utilização das funções adicionais

internas na determinação das frequências e modos de vibração de placas com

diferentes condições de contorno, considerasse uma densidade de massa =

8.0 10/. Determinaram as três primeiras frequências e modos de

vibração para uma placa de dimensões 500 x 500 cm, considerando dois tipos de

condição de contorno, apenas um lado engastado (Figura 5.1) e todos os lados

engastados (Figura 5.14). Fez-se ainda um estudo de convergência das funções

comparando-os com o resultado obtido no modelo do SAP2000.

DBD


55

5.1.1 Engastado em uma extremidade

Nessa aplicação serão analisados os resultados para duas espessuras de 5 e

20 , para as condições de contorno mostradas na Figura 5.1. Foi utilizado para

interpolação do contorno 12 nós, pois com menos nós impossibilitaria uma boa

aproximação.

Figura 5.1: Placa engastada em uma extremidade.

Os resultados obtidos nessa aplicação (Tabela 5.1), mostram boa

concordância entre os valores resultantes do modelo desenvolvido neste trabalho e

o modelo de comparativo, para uma espessura de 5 .

Tabela 5.1: Comparação das três primeiras frequências da placa com espessura de 5 cm.

Espessura de 5 cm

Nº DE FUNÇÕES

3 Primeiras Frequências

(Hz)

Diferença em relação ao modelo do

SAP2000 (%)

Rayleigh-Ritz (Polinômio Simples)

Rayleigh-Ritz (Polinômio de

Legendre)



Legendre)

1 10,78246 10,78225 1,317 1,315 28,14549 28,14417 4,087 4,082 98,29195 98,29030 34,275 34,273

2 10,75966 10,75948 1,102 1,101 28,02503 28,02466 3,642 3,640 90,96414 90,96345 24,265 24,264

3 10,72729 10,72711 0,798 0,797 27,98688 27,98650 3,501 3,499 84,66046 84,65765 15,653 15,650

4 10,71904 10,71886 0,721 0,719 27,83098 27,83066 2,924 2,923 83,42994 83,42786 13,972 13,970

5 10,68099 10,68084 0,363 0,362 27,70686 27,70650 2,465 2,464 78,82361 78,82193 7,680 7,677

DBD


56

6

10,67714 10,67699 0,327 0,326

27,63120 27,63095 2,185 2,184

78,28352 78,28198 6,942 6,940

7

10,66946 10,66929 0,255 0,253

27,58607 27,58397 2,018 2,011

77,35560 77,35728 5,674 5,677

8

10,66881 10,6689 0,249 0,249

27,56173 27,5576 1,928 1,913

77,28894 77,2292 5,583 5,502

Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000 são:

= 10,64 ; = 27,04 ; = 73,20 (5.1)

Abaixo, nas figuras de 5.2 a 5.4, são apresentados os gráficos referentes aos

valores das frequências definidos na tabela acima, para melhor visualização da

convergência dos resultados.

Figura 5.2: Convergência da primeira frequência da placa engastada em uma

extremidade, com espessura 5 cm.

Figura 5.3: Convergência da segunda frequência da placa engastada em uma


10,64

10,67

10,70

10,73

10,76

10,79

1 2 3 4 5 6 7 8

Primeira Frequência (1)

Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples)Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).

Número de funções adicionais ao elemento.

27,03

27,28

27,53

27,78

28,03

28,28

1 2 3 4 5 6 7 8

Segunda Frequência (2)

Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples)Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


DBD


57

Figura 5.4: Convergência da terceira frequência da placa engastada em uma extremidade,

com espessura 5 cm.

Figura 5.5: Erro relativo da primeira frequência placa engastada em uma extremidade,

com espessura 5 cm.

Figura 5.6: Erro relativo da segunda frequência placa engastada em uma extremidade,

com espessura 5 cm.

73,20

78,55

83,90

89,25

94,60

99,95

1 2 3 4 5 6 7 8

Terceira Frequência (3)

Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)

Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1 2 3 4 5 6 7 8

Erro (%) - Primeira Frequência


Erro

(%

)


0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

1 2 3 4 5 6 7 8

Erro (%) - Segunda Frequência


Erro

(%

)


DBD


58

Figura 5.7: Erro relativo da terceira frequência placa engastada em uma extremidade,

com espessura 5 cm.

Na tabela 5.2, estão os resultados obtidos para uma espessura de 20 , para

as mesmas dimensões (500 500 ), que também demonstra uma boa

convergência entre os valores resultantes dos modelos desenvolvidos neste trabalho

e o modelo de comparativo.


Espessura de 20 cm

Nº DE FUNÇÕES


(Hz) Diferença em relação ao modelo do

SAP2000 (%)



Legendre)



Legendre)

1 42,9608 42,9608 1,149 1,149

111,2388 111,2388 4,904 4,904 378,7817 378,7817 38,535 38,535

2 42,8893 42,8893 0,980 0,980

110,8867 110,8867 4,572 4,572 356,5094 356,5094 30,389 30,389

3 42,5868 42,5868 0,268 0,268

109,8222 109,8222 3,568 3,568 308,7999 308,7999 12,940 12,940

4 42,5730 42,5730 0,236 0,236

109,0648 109,0648 2,854 2,854 304,2900 304,2899 11,290 11,290

5 42,5351 42,5351 0,146 0,146

108,5213 108,5213 2,341 2,341 297,8355 297,8355 8,930 8,930

6 42,5345 42,5345 0,145 0,145

108,0975 108,0977 1,942 1,942 297,0382 297,0380 8,638 8,638

7 42,5245 42,5245 0,122 0,122

107,9531 107,9529 1,806 1,805 295,3475 295,3844 8,020 8,033

0,00

8,00

16,00

24,00

32,00

40,00

1 2 3 4 5 6 7 8

Erro (%) - Terceira Frequência


Erro

(%

)


DBD


59

8

42,5240 42,5239 0,120 0,120 107,6953 107,6934 1,562 1,561

295,1729 295,1872 7,956 7,961

Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000 para o caso com espessura 5

são:

= 42,47 ; = 106,04 ; = 273,42 (5.2)

A seguir, da figura 5.8 a 5.13, são apresentados os gráficos referentes aos

valores das frequências definidas e a diferença relativa referentes a tabela acima,

para visualização da convergência dos resultados.

Figura 5.8: Convergência da primeira frequência da placa engastada em uma


Figura 5.9: Convergência da segunda frequência da placa engastada em uma


42,47

42,60

42,72

42,85

42,97

43,10

1 2 3 4 5 6 7 8



Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


106,00

107,25

108,50

109,75

111,00

112,25

1 2 3 4 5 6 7 8



Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


DBD


60

Figura 5.10: Convergência da terceira frequência da placa engastada em uma


Figura 5.11: Diferença relativa da primeira frequência placa engastada em uma


Figura 5.12: Diferença relativa da segunda frequência placa engastada em uma


273,41

298,41

323,41

348,41

373,41

398,41

1 2 3 4 5 6 7 8



Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1 2 3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


0,00

1,25

2,50

3,75

5,00

6,25

1 2 3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


DBD


61

Figura 5.13: Diferença relativa da terceira frequência placa engastada em uma


No geral, nesse primeiro exemplo os resultados obtidos tiveram um boa

convergência com 5 e 20 , no entanto a terceira frequência teve um erro

relativo acima de 5%.

No quadro a seguir é apresentado os modos de vibração para o caso analisado

encontrados pelo modelo desenvolvido e pelo modelo comparativo.

Figura 5.14: Modos de vibração da placa engastada em uma extremidade.

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

1 2 3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


DBD


62

5.1.2 Completamente engastada

Nessa outra aplicação serão analisados os resultados para duas espessuras, de

5 e 50 , para as condições de contorno mostradas na Figura 5.15. Neste

exemplo pode-se usar como interpolação do contorno 4,8,12, ou 16 nós, pois em

virtude das condições de contorno, não impossibilitará uma boa aproximação.

Figura 5.15: Placa completamente engastada.

Abaixo estão os resultados obtidos (Tabela 5.3), que demonstram uma

concordância ainda melhor que o exemplo anterior, entre os valores resultantes do

modelo desenvolvido neste trabalho e o modelo de comparativo, uma vez que os

erros relativos das três primeiras frequências ficou abaixo de 0,5 % para uma

espessura de 5 .


Espessura de 5 cm

Nº DE FUNÇÕES


(Hz) Diferença em relação ao modelo do

SAP2000 (%)



legendre)



legendre)

3

109,8464 109,8491 0,0634 0,0659

2209,5246 2220,0098 889,0075 893,7009

3118,0799 3138,4438 848,8596 855,0565

4

109,8452 109,8480 0,0623 0,0649

226,4861 226,4933 1,3777 1,3809

330,8183 330,8092 0,6710 0,6682

5

109,8134 109,8162 0,0334 0,0359

226,1270 226,1342 1,2169 1,2201

330,8104 330,8014 0,6686 0,6658

6

109,8130 109,8158 0,0330 0,0355

223,8242 223,8314 0,1862 0,1894

329,7793 329,7682 0,3548 0,3514

DBD


63

7

109,7999 109,8019 0,0210 0,0229

223,7691 223,8056 0,1615 0,1778

329,7716 329,7640 0,3525 0,3501

8

109,7998 109,8019 0,0210 0,0228

223,7423 223,7536 0,1495 0,1546

329,7686 329,6443 0,3515 0,3137

Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000 para o caso com espessura

5 são:

= 109,77 ; = 223,41 ; = 328,61 (5.3)

Abaixo, nas figuras de 5.16 a 5.18, são apresentados os gráficos referentes aos

valores das frequências definidos na tabela acima, para melhor visualização da


Figura 5.16: Convergência da primeira frequência da placa toda engastada, com espessura 5

cm.

Figura 5.17: Convergência da segunda frequência da placa toda engastada, com espessura 5

cm.

109,78

109,79

109,81

109,83

109,84

109,86

3 4 5 6 7 8



SAP 2000

Freq

uên

cias

(

).


223,40

224,06

224,71

225,37

226,02

226,68

4 5 6 7 8



Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


DBD


64

Figura 5.18: Convergência da terceira frequência da placa toda engastada, com espessura

5 cm.

Na tabela 5.3, o número de funções começa a partir de 3, pois para 1 e 2

funções foram encontrados valores muito dispares. Considerando isso, os valores

da segunda e terceira frequência com 3 funções adicionais, foram desconsiderados

nos gráficos das frequências e dos erros relativos, figuras de 5.19 a 5.21, de forma

a não descaracterizar a visualização dos resultados.

Figura 5.19: Erro relativo da primeira frequência placa toda engastada, com espessura 5 cm.

Figura 5.20: Erro relativo da segunda frequência placa toda engastada, com espessura 5 cm.

329,55

329,82

330,09

330,36

330,63

330,90

4 5 6 7 8



Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


0,00

0,02

0,03

0,05

0,06

0,08

3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

4 5 6 7 8



Erro

(%

)


DBD


65

Figura 5.21: Erro relativo da terceira frequência placa toda engastada, com espessura 5 cm.

Na tabela 5.4, estão os resultados obtidos para uma espessura de 50 , para

as mesmas dimensões (500 500 ), que também demonstra uma boa

convergência entre os valores resultantes dos modelos desenvolvidos neste trabalho

e o modelo de comparativo.


Espessura de 50 cm

Nº DE

FUNÇÕES


(Hz)


SAP2000 (%)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio de

legendre)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio de

legendre)

3

1000,3600 1000,3601 0,5283 0,5283

2680,6675 2680,6682 41,8632 41,8633

3699,5424 3699,5406 39,8675 39,8674

4

1000,1620 1000,1622 0,5084 0,5084

1929,0160 1929,0161 2,0852 2,0852

2697,8614 2697,8600 1,9972 1,9972

5

999,2212 999,2213 0,4139 0,4139

1920,9953 1920,9953 1,6607 1,6607

2693,6774 2693,6759 1,8390 1,8390

6

999,2128 999,2129 0,4130 0,4130

1911,6123 1911,6124 1,1642 1,1642

2684,0147 2684,0104 1,4737 1,4736

7

999,0465 999,0466 0,3963 0,3963

1911,3260 1911,3272 1,1490 1,1491

2683,9718 2683,9672 1,4721 1,4719

8

999,0449 999,0450 0,3962 0,3962

1911,1812 1911,1821 1,1413 1,1414

2683,2723 2683,5033 1,4457 1,4544

0,00

0,15

0,30

0,45

0,60

0,75

4 5 6 7 8



Erro

(%

)


DBD


66

Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000, para o caso com espessura

50 são:

= 995,10 ; = 1889,61 ; = 2645,03 (5.2)

A seguir, da figura 5.22 a 5.24, são apresentados os gráficos referentes aos

valores das frequências definidos na tabela acima, para visualização da


Figura 5.22: Convergência da primeira frequência da placa toda engastada (50 cm).

Figura 5.23: Convergência da segunda frequência da placa toda engastada (50 cm).

Figura 5.24: Convergência da terceira frequência da placa toda engastada (50 cm).

995,00

996,20

997,40

998,60

999,80

1.001,00

3 4 5 6 7 8



SAP 2000

Freq

uên

cias

(

).


1.889

1.898

1.907

1.917

1.926

1.935

4 5 6 7 8



Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


2.645

2.657

2.669

2.681

2.693

2.705

4 5 6 7 8


Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)Sap 2000

Freq

uên

cias

(

).


DBD


67

Da mesma forma, como foi feito na análise da tabela 5.3, nos resultados tabela

5.4 o número de funções também começa a partir de 3, pois para 1 e 2 funções

foram encontrados valores espúrios. Considerando isso, os valores da segunda e

terceira frequência com 3 funções adicionais, novamente foram desconsiderados

nos gráficos das frequências, acima, e dos erros relativos, figuras de 5.25 a 5.27, de

forma a não descaracterizar a visualização dos resultados.

Figura 5.25: Erro relativo da primeira frequência da placa com espessura 50 cm.

Figura 5.26: Erro relativo da segunda frequência da placa com espessura 50 cm.

Figura 5.27: Erro relativo da terceira frequência da placa com espessura 50 cm.

0,00

0,12

0,24

0,36

0,48

0,60

3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

4 5 6 7 8



Erro

(%

)


0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

4 5 6 7 8



Erro

(%

)


DBD


68

No quadro abaixo, apresentam-se os modos de vibração das frequências para o

caso analisado.

Figura 5.28: Modos de vibração da placa completamente engastada.

5.2 Análise de Instabilidade

O objetivo desta aplicação é ainda avaliar a utilização das funções adicionais

internas na determinação carga crítica de placas com diferentes condições de

contorno. Determinou-se a carga crítica para uma placa de mesmas dimensões e

condições de contorno da aplicação anterior.

Em seguida fez-se uma análise comparativa da carga crítica e frequências de

placas espessas, com o objetivo de observar a influência da deformação de

cisalhamento e inercia rotacional, fazendo a relação desses resultados obtidos pela

placa de Mindlin pela teoria de Kirchhoff (placa fina).

DBD


69

Por fim, fez-se as aplicações com cargas não conservativas, considerando o

efeito de Flutter e carga dependente do deslocamento, anteriormente comentados

no capítulo 4.

5.2.1 Carga Crítica da placa engastada em uma extremidade

Nessa aplicação serão analisados os resultados para carga crítica para duas

espessuras de 5 e 20 , como indicado na Figura 5.29.

Figura 5.29: Placa engastada em uma extremidade sobre compressão axial.

Os resultados não apresentaram uma diferença significativa em relação aos

valores teóricos. A seguir estão os resultados da carga crítica obtidos (Tabela 5.5),

para uma espessura de 5 e 20 , em seguida gráficos que mostram a

convergência.

Tabela 5.5: Comparação da carga crítica da placa com espessura de 5 cm.

Espessura de 5 cm

Nº DE FUNÇÕES

Carga Critica

(KN) x10


SAP2000 (%)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

1 1,1534 1,1534 2,0348 2,0324

2 1,1455 1,1455 1,3343 1,3325

3 1,1411 1,1411 0,9451 0,9433

4 1,1406 1,1406 0,9061 0,9043

5 1,1392 1,1392 0,7775 0,7759

6 1,1388 1,1388 0,7422 0,7408

7 1,1382 1,1381 0,6860 0,6843

8 1,1380 1,1381 0,6696 0,6778

DBD


70

Figura 5.30: Convergência da carga crítica da placa com uma extremidade engastada,

com espessura 5 cm.

Figura 5.31: Erro relativo da carga crítica da placa com uma extremidade engastada, com

espessura 5 cm.


Espessura de 20 cm

Nº DE FUNÇÕES

Carga Critica

(KN) x10

Diferença em relação ao modelo

do SAP2000 (%)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

1 18,3439 18,3439 2,4546 2,4546

2 18,2465 18,2465 1,9106 1,9106

3 18,1224 18,1224 1,2176 1,2176

4 18,1105 18,1105 1,1510 1,1510

5 18,0783 18,0783 0,9709 0,9709

6 18,0744 18,0744 0,9495 0,9495

7 18,0559 18,0563 0,8461 0,8483

8 18,0546 18,0548 0,8389 0,8396

1,130

1,135

1,140

1,145

1,150

1,155

1 2 3 4 5 6 7 8

Carga Crítica


Sap 2000

Car

ga C

ríti

ca (

KN

) x1

0^-

5


0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

1 2 3 4 5 6 7 8

Erro (%) - Carga Crítica


Erro

(%

)


DBD


71

Figura 5.32: Convergência da carga crítica da placa com uma extremidade engastada,

com espessura 20 cm.


espessura 20 cm.

5.2.2 Carga Crítica da placa completamente engastada

Nessa aplicação serão analisados os resultados para carga crítica para duas

espessuras de 5 e 50 , como indicado na Figura 5.34.

Figura 5.34: Placa engastada em todas as extremidades sobre compressão axial.

17,90

18,00

18,10

18,20

18,30

18,40

1 2 3 4 5 6 7 8

Carga Crítica


Sap 2000

Car

ga C

ríti

ca (

KN

) x1

0^-

5


0,00

0,60

1,20

1,80

2,40

3,00

1 2 3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


DBD


72

A seguir estão os resultados obtidos da carga crítica axial em uma direção

(Tabela 5.7), para uma espessura de 5 e 50 em seguida gráficos que

mostram a convergência.


Espessura de 5 cm

Nº DE

FUNÇÕES

Carga Critica

(KN) x10


do SAP2000 (%)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

3 50,3060 50,3074 8,7091 8,7122

4 50,2765 50,2779 8,6454 8,6484

5 46,4588 46,4586 0,3956 0,3950

6 46,4563 46,4560 0,3900 0,3895

7 46,3113 46,3050 0,0768 0,0631

8 46,2983 46,3037 0,0487 0,0604

Da mesma forma como feito na análise de vibrações (tabela 5.3 e 5.4), o

número de funções começa a partir de 3, pois para 1 e 2 funções foram encontrados

valores espúrios. Considerando isso, os valores da carga crítica com 3 funções

adicionais, foram desconsiderados nesse exemplo.

Figura 5.35: Convergência da carga crítica da placa com todas as extremidades

engastadas, com espessura 5 cm.

46,20

47,20

48,20

49,20

50,20

51,20

3 4 5 6 7 8

Carga Crítica


Sap 2000

Car

ga C

ríti

ca (

KN

) x1

0^-

5


DBD


73


espessura 5 cm.


Espessura de 50 cm

Nº DE

FUNÇÕES

Carga Critica

(KN) x10


do SAP2000 (%)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

Rayleigh-Ritz

(Polinômio

Simples)

Rayleigh-Ritz

(Polinômios de

Legendre)

3 4257,3545 4257,3548 10,2518 10,2518

4 4109,6425 4109,6426 6,4265 6,4265

5 3881,9967 3881,9960 0,5312 0,5312

6 3873,2082 3873,2075 0,3037 0,3036

7 3865,6270 3865,6258 0,1073 0,1073

8 3865,4810 3865,4785 0,1035 0,1035

Figura 5.37: Convergência da carga crítica da placa com todas as extremidades

engastadas, com espessura 50 cm.

0,00

2,20

4,40

6,60

8,80

11,00

3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


3.861

3.961

4.061

4.161

4.261

4.361

3 4 5 6 7 8

Carga Crítica


Sap 2000

Car

ga C

ríti

ca (

KN

) x1

0^-

5


DBD


74


espessura 50 cm.

5.2.3 Análise comparativa da carga crítica e frequências

As figuras a seguir permitem uma análise de cargas críticas e frequências de

placas espessas, fazendo a proporção entre os resultados apresentados, Teoria de

Mindlin, em relação a teoria de placa Kirchhoff, obtidos com SAP2000, modelada

utilizando o elemento Shell-Thin, para as condições de contorno apresentadas.

Fica evidente que quando a espessura cresce em relação ao comprimento, a

relação entre os resultados das frequências decresce significativamente, e este

decréscimo se acentua nas frequências mais altas. A carga crítica tem um

decréscimo que acompanha o comportamento da primeira frequência, no caso da

placa com uma extremidade engastada, possivelmente pelo fato do primeiro modo

de vibração coincidir com o modo de flambagem. No caso da placa toda engastada,

a carga crítica tem um decréscimo mais acentuado que o esperado.

Figura 5.39: Variação dos valores de carga crítica e frequência para placa engastada em

uma extremidade.

0,00

2,50

5,00

7,50

10,00

12,50

3 4 5 6 7 8



Erro

(%

)


0,990

0,992

0,994

0,996

0,998

1,000

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Carga Crítica 1º Frequência 2º Frequência

Pro

po

rção

entr

e re

sult

ado

s

h/a

DBD


75

Figura 5.40: Variação dos valores de carga crítica e frequência para placa engastada em

todas as extremidades.

5.2.4 Carga crítica de Flutter

Para o cálculo da carga crítica dinâmica (flutter) sob carga axial uniforme

seguidora, que caracteriza um problema não conservativo (conforme visto no

capitulo 4), utilizou-se para a interpolação do contorno 12 nós e 8 funções

adicionais com polinômios de Legendre, em virtude dos resultados anteriores.

Foram observados os pontos de coalescência das duas primeiras frequências. Esta

coalescência é atingida, para placas finas, quando a estrutura é submetida a uma

magnitude de carga igual a aproximadamente 8.35 vezes a da carga para

carregamento de direção constante (carga estática) em placas finas.

Figura 5.41: Coalescência das duas primeiras frequências da placa espessa.

.

0,850

0,880

0,910

0,940

0,970

1,000

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Carga Crítica 1º Frequência 2º Frequência

Pro

po

rção

entr

e re

sult

ado

s

h/a

0

50

100

150

200

250

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1º Frequência (10 cm)








Freq

uên

cias

(

)

Proporção em relação a carga crítica dinâmica

DBD


76

Ao ser considerada a deformação de cisalhamento e a inércia rotatória, ou

seja, utilizando a aproximação de placas espessas, observa-se uma queda no valor

da carga de flambagem dinâmica em relação à carga estática de placa fina. Isto é

ilustrado no gráfico abaixo, e ocorre devido à carga dinâmica envolver também o

segundo modo de vibração que é mais afetado pelas deformações de cisalhamento

(Figura 5.42).

Figura 5.42: Modo de vibração resultante da coalescência pelo flutter.

A redução desse fator (quando h/a atinge o valor 0,1) é de 8,20 para cerca de

7,31. Este comportamento é semelhante ao observado por SUANNO e ROSAS E

SILVA (2009) para colunas, em que a razão Pcr(dinâmico)/Pcr(estático) é constante

e igual a 8,125 para a teoria de vigas esbeltas e ao de SALAS (2015) para placas

circulares e anulares. A pequena redução aqui observada, no caso de placas finas,

parece ser devida aos cálculos terem levado em consideração a inércia rotatória no

caso de placas finas, também notada em SALAS (2015).

Figura 5.43: Variação da carga de flutter com relação da variação da espessura da placa.

7,00

7,30

7,60

7,90

8,20

8,50

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Ccr Placa Espessa Ccr Placa Fina

Pro

po

rção

entr

e D

inâm

ico

e E

stát

ico

.

h/a

CARGA CRÍTICA DE FLUTTER

DBD


77

Um fato importante a salientar é o da influência da distribuição da carga

aplicada na borda do elemento, mantendo-se tangente à superfície média durante a

flambagem. Quando o problema foi simulado com 16 nós de interpolação foi

utilizada uma distribuição nodal equivalente, considerada como efeito de

membrana. Notou-se com mais nós que a distribuição do carregamento no caso

mostrado tem influência direta na determinação da carga crítica dinâmica. Nesse

caso, como o segundo modo de vibração é o mais associado ao modo de vibração

crítico e é um modo de torção, à medida que se aumenta a distribuição da carga

aplicada para a extremidade do elemento, nós das quinas, a carga critica dinâmica

diminuí.

5.2.5 Carga dependente do deslocamento

Para o cálculo da carga crítica dependente do deslocamento sob carga

uniforme distribuída paralela à sua superfície, da placa engastada em todos os

bordos, o que caracteriza um problema não conservativo, também utilizou-se para

a interpolação do contorno 12 nós e 8 funções adicionais com polinômios de

Legendre. Diferente da aplicação anterior onde a componente da carga seguidora é

estabilizadora, nesse caso parece ser desestabilizadora, sendo assim instável por

divergância e não por flutter. Como mostrado no Capitulo 4, há sistemas onde

as forças externas atuantes no sistema são de características não conservativas,

porém, dependendo das condições de contorno um outro funcional específico sem

ser o da energia, apresenta características conservativas. Estes sistemas

constituem uma classe excepcional dos sistemas não conservativos, os quais

mecanicamente comportam-se como os conservativos. Esse tipo de fenômeno

foi descrito na literatura, como por exemplo, NAUDASCHER e ROCKWELL

(1994).

No entanto, considerando um caso onde a carga é puramente dependente

do deslocamento, ou seja, sem a influência da matriz de rigidez geométrica,

apenas da matriz de carga, a perda da estabilidade pode ocorrer somente na forma

de Flutter. Considerando isso, foram observados os pontos de coalescência das duas

primeiras frequências.

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78

Figura 5.44: Coalescência das duas primeiras frequências da placa espessa.

Figura 5.45: Modo de vibração resultante da coalescência.

0

200

400

600

800

1000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1









Freq

uên

cias

(

)

Proporção em relação a carga crítica dinâmica

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6 Considerações Finais

6.1 Conclusões

Neste trabalho desenvolveu-se um tratamento numérico para problemas

estáticos, de vibrações e de flambagem estática e dinâmica de placas espessas. As

funções utilizadas para aproximação através do método de Rayleigh-Ritz têm como

característica especial a combinação de funções básicas nodais, que se encarregam

de atender às condições de contorno, com funções adicionais que são usadas para

enriquecer o campo de deslocamentos (polinômios) de forma simples sem afetar as

condições de contorno. Foram considerados termos de energia de placas espessas

(teoria de Reissner-Mindlin) e feitas comparações com a literatura e modelos

computacionais.

Em geral os resultados para a análise de vibrações livres e flambagem da placa

mostraram que o procedimento aqui implementado é bastante eficiente em prover

uma descrição de forma rápida e simples, com boa concordância com os resultados

do modelo comparativo e analíticos, quando disponíveis para comparação.

Com relação às funções adicionais, um fato importante a ser descrito diz

respeito à quantidade de funções inseridas no programa. Intuitivamente, quanto

maior for o número de funções incluídas mais convergentes serão os resultados

obtidos. Entretanto, como não foi tomado nenhum cuidado para ortogonalizar as

funções envolvidas, não foi possível usar um grande número de funções adicionais,

devido ao surgimento de erros numéricos. Além disso, o fato de as matrizes serem

cheias torna o processamento progressivamente mais lento, e impede na prática o

uso de grande número de funções adicionais.

No caso de vibrações livres, foi também possível validar o procedimento aqui

desenvolvido e mostrando sua conveniência de aplicação. Os resultados aqui

apresentados mostram o efeito do aumento da relação espessura/comprimento nas

frequências, em associação com a inclusão de deformações de cisalhamento e

inércia rotacional no modelo.

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A análise de flambagem estática, sob carga axial constante, da placa espessa

com duas diferentes condições de contorno para placas, mostrou resultados muito

aproximados aos valores de referência.

O problema de flambagem dinâmica (flutter) sob ação de carga constante ao

longo da borda externa e mantendo-se tangente à superfície média durante a

flambagem foi abordado com alguns resultados que tem concordância com a

literatura. Foi apresentada a variação da relação entre a carga crítica estática e a

carga crítica dinâmica (para carga seguidora), em função da relação

espessura/comprimento. Isto é explicado pela coalescência de dois modos de

vibração no caso dinâmico, diferentemente afetados pela deformação de

cisalhamento e pela inércia rotatória. Especificamente no caso da placa engastada

em uma extremidade pode-se notar que a distribuição do carregamento no caso

mostrado tem influência direta na determinação da carga crítica dinâmica. Este

resultado é particularmente interessante, estando possivelmente associado aos

modos de vibração desse exemplo, que envolvem torção e flexão. Esta questão

deverá ser estudada posteriormente.

No caso da carga dependente do deslocamento, permanecendo tangente à

superfície da placa, encontrou-se que sua perda de instabilidade se dá por

divergência. No entanto, considerando um caso hipotético de dependência

exclusiva da matriz de carga, encontrou-se uma carga critica dinâmica.

A programação elaborada, tem várias opções mas nem todas foram testadas,

por exemplo, espessura variável, comportamento em base elástica, massa

consistente e outras formas e combinações de cargas. Este programa permite

analisar de forma adaptada, por exemplo, efeitos de vento (como carregamento não

conservativo) em edifícios, cascos de navios sob pressões oriundas do empuxo da

água, efeitos do vento em tabuleiros de pontes e outros problemas.

Para isso, algumas adaptações e implementações tornam-se necessárias, em

termos de uma primeira otimização, citando entre elas possivelmente a substituição

do método de integração numérica.

De maneira geral, tentou-se criar um modelo, do qual podem-se originar

vários outros trabalhos na área não conservativa. Estes futuros trabalhos ou

pesquisas devem envolver otimizações das formulações atuais, principalmente em

se tratando do Programa elaborado que a princípio pode ser aprimorado e

posteriormente introduzidas novas rotinas.

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81

Espera-se que haja um interesse dos atuais e novos pesquisadores com relação

a este tema de grande aplicação nos mais variados ramos da Engenharia, tendo-se

ainda em conta que, se o carregamento é não conservativo, adotá-lo como

conservativo é uma simplificação que pode conduzir a soluções inseguras ou não

econômicas.

6.2 Sugestões para trabalhos futuros

A seguir apresentam-se algumas sugestões para a continuidade desta

pesquisa:

Aplicar o estudo a diferentes condições de contorno nos os bordos em

diferentes porções do contorno ou na superfície interior da placa.

Estudar o efeito da distribuição da carga na obtenção da carga crítica

dinâmica.

Considerar o efeito da placa com um material compósito ou com

gradação das propriedades.

Ampliar o estudo a problemas com não linearidade geométrica e de

materiais.

Considerar o efeito de amortecimento na análise dinâmica.

Estender a aplicação da análise dinâmica, para uma análise não linear.

Ampliar o estudo para cascas, placas sanduíches, vigas-parede.

Mais estudos sobre estratégias e comparações entre usar elementos

finitos enriquecidos com funções internas (matrizes cheias) ou

elementos simples com uma malha mais refinada (matrizes em banda)

Aplicação deste procedimento a problemas de anteprojeto e avaliação

de projetos de estruturas em que placas são importantes.

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7

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Rafael Henrique Viana Abreu Modelo para Instabilidade e ... · análise de cargas críticas, frequências de vibração e seus respectivos modos de peças estruturais bidimensionais