Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 77Unidade 4 - Vibraes Foradas sob Condies Gerais 4.1 - Introduo NaUnidade3,foiestudadaavibraoforadadesistemasdeumgraudeliberdadesobaaodeforas harmnicas.Nestecaptulo,esteestudoserestendidoparaforasdequalquernatureza.Inicialmenteserestudadaa atuao de foras peridicas que so combinaes de foras harmnicas associadas atravs das Sries de Fourier que, em sistemas lineares, podem ser consideradas como vrias foras harmnicas atuando sobre o sistema e a resposta pode ser obtida utilizando o Princpio da Superposio dos Efeitos. Para a determinao da resposta a foras no peridicas, conhecidacomorespostatransiente,seroutilizadasferramentasmatemticascomoaIntegraldeConvoluo(ou Integral de Duhamel) ea Transformada de Laplace. O conceito de espectro de resposta tambm ser abordado nesta Unidade. Em todos os casos o sistema ser de um grau de liberdade com amortecimento viscoso.4.2 - Resposta a Uma Fora Peridica Uma fora peridica pode ser expressa em Sries de Fourier na forma ( ) ==+ + =1 10sin cos2 jjjjt j b t j aat F (4.1) com ( )( )= == =00, 2 , 1 sin2, 2 , 1 , 0 cos2KKj dt t j t F bj dt t j t F ajj(4.2) onde=2 o perodo da funo peridica.A equao do movimento do sistema que sofre a ao de uma fora peridica ==+ + = + +1 10sin cos2 jjjjt j b t j aakx x c x m & & &(4.3) Utilizando-se o Princpio da Superposio dos Efeitos a eq. (4.3) pode ser decomposta nas equaes === + += + += + +13 3 312 2 201 1 1sincos2jjjjt j b kx x c x mt j a kx x c x makx x c x m& & && & && & &(4.4) e sua soluo particular ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t x t x tp p p p= + +1 2 3 , em que ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )==+ |.|

\|=+ |.|

\|==12 22 2312 22 2201sin2 1cos2 12jjjpjjjppt jr j r jkbt xt jr j r jkat xkat x (4.5) com 2e ,12tan2 21= =||.|

\|=njrr jr j(frequncia fundamental) A resposta de regime permanente do sistema (ou soluo particular da equao diferencial) Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 78( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ==+ |.|

\|+ + |.|

\|+ =12 22 212 22 20sin2 1cos2 12 jjjjjjpt jr j r jkbt jr j r jkakat x (4.6) Os denominadores dos segundo e terceiro termos da eq. (4.6) se aproximam de zero quando o amortecimento pequeno e j = n o que implicar em grandes amplitudes de vibrao. Isto descortina a possibilidade do fenmeno da ressonnciaacontecernosomentequandoafrequnciafundamentalforigualfrequncianaturaldosistemamas, tambm,quandoosmltiplosdestafrequnciafundamental(chamadosdefrequnciasharmnicas)foremtambm iguais frequncia natural do sistema de um grau de liberdade.Exemplo4.1-Noestudodevibraodevlvulasusadasemsistemasdecontrolehidrulico,avlvulaeasuahaste elsticasomodeladoscomoumsistemamassa-molacomomostraaFig.4.1a.Almdasforasdemolae amortecimento, h uma fora da presso fluida na vlvula que varia com a abertura da mesma. Encontrar a resposta de regimepermanentedavlvulaquandoapressonacmaravariacomoindicadonaFig.4.1b.Assumirquek=2500 N/m, c = 10 N.s/m e m = 0,25 kg. O dimetro da tubulao 50 mm. cdp(t)mkx(t)0 1 2 3 4p(t) (N/m2)t (seg)50000(a)(b) Figura 4.1 - Vlvula sob presso peridica. Soluo: A fora exercida sobre a vlvula, resultante da presso fluida dada por ( ) ( ) Ft A p t =em que A a rea da seo vazada da cmara, dada por 2 42 2m 10 25 , 6405 , 04 == =dADa Fig. 4.1b, = 2 s erad/s22 2 = = =A fora atuante na vlvula obtida pela representao da funo em Sries de Fourier, na forma ( ) t j b t j aat Fjjjj ==+ + =1 10sin cos2 Da Fig. 4.1b, a fora externa pode ser dada como ( )( )FtAt tA t t= 50000 0250000 22 parapara Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 79Os coeficientes aj so obtidos por( ) a At dt A t dt A001122250000 50000 2 50000 = + = ( ) + =2110sin 2 50000 cos 5000022dt t j t A dt t j At aj onde as integrais so resolvidas por partes resultando em aAjjjj= 2 10052 2para imparpara par AfunomostradanaFig.4.1bumafunopar(f(t)=f(-t)),oqueacaracterizacomoumafunoque representadaporumasrieexclusivamentedecossenos.Destaformaoscoeficientesbjsonulos.Umafunompar(f(t) = -f(-t)) representada por uma srie de senos e possui os coeficientes aj nulos.A fora , ento, dada por ( )= =12 25impar para cos1 10 225000jj t jjAA t F A resposta de regime permanente ( )( ) ( )( )=+ =12 22 2225impar para cos2 1110 2 25000jj pj t jr j r jjkAkAt x Se a frequncia natural rad/s 10025 , 02500= = =mknA frequncia fundamental da fora peridica = rad/seg, ento rn= = =1000 0314 ,O fator de amortecimento obtido a partir dos parmetros do sistema por = = =cmn2102 0 25 1000 2,,Os ngulos de fase podem ser obtidos por ( )jjrj rjjjj=|\

|.| = |\

|.|| =|\

|.| tan tan, ,,tan,,12 212212212 0 2 0 03141 0 03140 01261 0 000987 e a resposta de regime permanente do sistema ser dada por ( )( )( ) ( )=+ =12 22 2impar para000158 , 0 000987 , 0 1cos0159 , 0 0196 , 0jjpjj j jt jt x Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 804.3 - Resposta a Uma Fora Peridica Irregular F(t)F1 F2F3FN-1FNtN-1tNt1t2t3t4F4t = Nt2t Figura 4.2 - Fora peridica de forma irregular. Quando a fora atuante no possuir uma forma tal que possa ser expressa por uma expresso analtica (quando resultadodeumamedio,porexemplo),adeterminaodoscoeficientesdaSriedeFourierdeverserrealizada numericamente. Neste caso a Srie assume a forma = |.|

\|= = |.|

\|=====,..., 2 , 1 para2 2,..., 2 , 1 para2cos221110jt jsen FNbjt jFNaFNaNii jNii jNii(4.7) Exemplo4.2- Encontrar a resposta de regime permanente da vlvula do exemplo 4.1, se as flutuaes de presso na cmara so peridicas. Os valores da presso so medidas com intervalos de 0,01 s (Tabela 4.1). tempo (s) 00,010,020,030,040,050,060,070,080,090,100,110,12p (kN/m2)02034424953706036221670 Tabela 4.1 - Presso em uma vlvula hidrulica. Soluo: Como as flutuaes de presso se repetem a cada 0,12 s, o perodo = 0,12 s e a frequncia fundamental da sriedeFourier=2/0,12=52,3599rad/s.Comoonmerodevaloresobservadosemcadaperodo 12, da eq. (4.7) obtm-se os coeficientes = == = =121210N/m 68167122 2jiNiip pNa6 ,..., 2 , 1 para12 , 02sin122 2sin26 ,..., 2 , 1 para12 , 02cos122 2cos2121 1121 1=||.|

\|= |.|

\|==||.|

\|= |.|

\|= = == =jt jpt jpNbjt jpt jpNaiiNii jiiNii j Introduzindoestescoeficientesnaexpresso(4.1),aSriedeFouriermontadaata6harmnica.Em virtudedesetratardeumafunodiscretizada,amximafreqnciaharmnicapresentedeveserafreqnciade Nycquist, dada por Hz 5001 , 0 2121===tfNycquist O que, sendo a freqncia fundamental Hz 33 , 812 , 01 1= = =f , atingido pela sexta harmnica Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 81( )t tt tt tt tt tt t t p159 , 314 sin 0 159 , 314 cos 667 , 166799 , 261 sin 131 , 641 799 , 261 cos 30 , 2170440 , 209 sin 06 , 2165 440 , 209 cos 333 , 583080 , 157 sin 33 , 2333 080 , 157 cos 33 , 5833720 , 104 sin 44 , 3608 720 , 104 cos 67 , 14163599 , 52 sin 80 , 8307 3599 , 52 cos 0 , 26996 3 , 34083+ + + + ++ = N/m2 Sendo n = 100 rad/seg, ento r = 52,3599/100 = 0,523599, e = 0,2, do exemplo 4.1. Area da cmara de presso tambm obtida do exemplo 4.1, como A = 0,000625 m2. Os ngulos de fase so dados por ||.|

\|=2 2112tanr jr jj1 = 0,280916 rad 2 = -1,34409 rad 3 = -0,404565 rad 4 = -0,242513 rad 5 = -0,177017 rad 6 = -0,140762 rad A resposta de regime permanente ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) m 141 , 0 314 sin 0 141 , 0 314 cos 0000146 , 0177 , 0 262 sin 0000847 , 0 177 , 0 262 cos 000287 , 0243 , 0 209 sin 000487 , 0 243 , 0 209 cos 000131 , 0405 , 0 157 sin 00115 , 0 405 , 0 157 cos 00287 , 034 , 1 105 sin 00659 , 0 34 , 1 105 cos 00259 , 0281 , 0 4 , 52 sin 00864 , 0 281 , 0 4 , 52 cos 0281 , 0 0268 , 0+ + + ++ + + + + + + + + + + + =t tt tt tt tt tt t t xp 4.4 - Resposta a Uma Fora No Peridica Paraadeterminaodarespostadeumsistemadeumgraudeliberdadesobaaodeumaforano peridica, os mtodos utilizados so: 1.Integral de Convoluo. 2.Transformada de Laplace. 3.Transformada de Fourier. 4.Integrao Numrica. 4.4.1 - Integral de Convoluo AFig.4.3bmostraumaforaquetemumadeterminadamagnitudefinitaeaplicadaemumintervalode tempo extremamente pequeno. Esta fora chamada de fora impulsiva. O Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento estabelece que Impulso=Ft mx mx = & &2 1 Em um intervalo de tempo t o impulso dado por $F Fdttt t=+ (4.8) O impulso unitrio definido por $lim f Fdt Fdtt tt t= = =+01(4.9) Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 82mk cF(t)(a)F(t)FtFt = 1tx(t) = g(t) t2n (b)(c) Figura 4.3 - Resposta ao impulso de sistemas de um grau de liberdade. Resposta ao Impulso A equao que descreve o movimento do sistema mostrado na Fig. 4.3a mx cx kx && & + + = 0(4.10) cuja soluo ()x t e x tv xtntdndd= ++

((00 0cos sen(4.11) () ()x tF emt F g tntdd= =$sen$(4.12) Se, um instante antes do sistema sofrer a ao da fora impulsiva, o mesmo estiver em repouso, pode-se dizer que em ( ) ( )t x t x t = = = = = 0 0 0 0 & , e o Princpio do Impulso e da Quantidade de Movimento permite dizer que, sob a aplicao de um impulso de magnitude unitria ( ) ( )$& & f mx t mx t = = = =+ 1 0 0 (4.13) e como ( )& x t v = =+00, ento $f mv vm= = = 110 0 (4.14) Como o movimento comeou no repouso x0 = 0 e a resposta do sistema se torna () ()x temt g tntdd= = sen(4.15) queconhecidacomofunorespostaaoimpulsounitrio.Comoosistemalinear,arespostaaumimpulsode magnitudenounitriaobtidapelamultiplicaodarespostaaoimpulsounitriopelamagnitudedoimpulso, resultando Se o impulso for aplicado em um tempo t=, a resposta tambm ficar defasada no tempo, na forma () ( )( )( )x t F g tF emtntdd= = $$sen (4.16) Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 83(a)x(t) t(b)F(t)FtFt = FF g(t-) Figura 4.4 - Resposta a um impulso aplicado em t=. Resposta a Uma Fora Geral Uma funo geral pode ser considerada como uma superposio de impulsos, como mostra a Fig. 4.5.F(t)tF() + t Figura 4.5 - Funo geral, no peridica. A resposta de um sistema a uma fora aplicada desta forma ser a soma das respostas aos impulsos aplicados aolongodotempo.Searespostaaoimpulsounitrioaplicadonotempot=iguala( ) g t ,ento,aplicandoo Princpio da Superposio dos efeitos a resposta produzida pelo impulso F(), aplicado em t = , Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 84( ) ( ) ( ) x t F g t = (4.17) A resposta geral obtida pela soma das respostas parciais como ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t F g t = = (4.18) Levando ao limite para 0 chega-se a( ) ( ) ( ) x t F g t dt= 0(4.19) que conhecida como Integral de Convoluo ou Integral de Duhamel. Para um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso, onde a resposta ao impulso unitrio dada na eq. (4.14), a equao (4.19) torna-se () ( )( )( )x tmF e t ddtdtn= 10 sen(4.20) Resposta Excitao Impulsiva na Base Emalgunscasos(umcarropassandoporumburacoouumalombada,porexemplo),aexcitaonabasedo sistematemcaractersticasgerais,enestecaso,aequaodomovimentorelativo(3.69)temsuasoluomodificada para( ) ( )( )( ) = tdtdd t sen e y t zn01 & &(4.21) Exemplo 4.3 - Uma mquina de compactao, modelada como um sistema de um grau de liberdade, mostrada na Fig. 4.6a.Aforaatuantenamassam(queincluiasmassasdopisto,daplataformaedomaterialqueestsendo compactado) devido a uma aplicao sbita da presso, pode ser idealizada como uma fora degrau como mostra a Fig. 4.6b. Determinar a resposta do sistema. Soluo: De acordo com o mostrado na Fig. 4.6b, a fora externa igual a ( ) F F =0 Introduzindo na eq. (4.20) tem-se ( )( )( ) x tmFe t ddtdtn= 100 sen que integrada por partes, resultando ()( ) x tFke tntd=

((( 02111 cosonde=|\

|.||tan121.Omovimentoproduzidoporestaexpresso est mostrado na Fig. 4.6c e se caracteriza por ser um movimento harmnico com a posio de equilbrio deslocada da sua posio original em Fk0. Se o sistema no possuir amortecimento, com = = 0ed n a resposta transforma-se em()| | x tFktn= 01 cosem que o deslocamento mximo ocorre quandocosnt = 1 sendo xFkmax =20 oquepodeserclaramentevistonaFig.4.6d.Omovimentoharmnicocomamplitude Fk0ecomaposiode equilbrio deslocada da posio de equilbrio original tambmFk0, de forma que o deslocamento mximo em relao ao referencial adotado, que a posio de equilbrio original, o dobro deste valor. Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 85F(t)x(t)k/2 k/2c(a)PlataformaMaterial sendocompactadoCilindroPistomF(t)x(t)x(t)ttt(b)(c)(d)F0OOO20FkFk020FkFk0 Figura 4.6 - Fora degrau em uma mquina de compactao. Exemplo4.4-AchararespostadamquinadecompactaomostradanaFig.4.6quandoamesmaestsubmetida fora mostrada na Fig. 4.7. F(t)t F0t0 Figura 4.7 - Fora degrau com tempo de atraso.Soluo: A soluo anloga do exemplo 4.3, apenas substituindo t por t-t0 na eq. 4.20, resultando ()( )( )| |x tFke t tnt td= `) 0201110 cose, quando o sistema for no amortecido ( = = 0ed n) ()( )| | { }x tFkt tn= 001 cos Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 86Exemplo 4.5 - Se a mquina de compactao mostrada na Fig. 4.6a est submetida a uma fora constante com tempo de durao limitado00 t t(Fig. 4.8a), determinar a resposta da mquina. F(t)tF0t0x(t)t0 > n/2tt0 < n/2(a) (b) Figura 4.8 - Fora pulso retangular. Soluo:ComoosistemalinearaforapodeserconsideradacomoumasuperposiodeumaforadegrauF0 aplicadaemt=0eumaoutraforadegrau-F0,aplicadaemt=t0.Arespostaemt>t0serasuperposiodas respostas a cada uma das foras quando aplicadas isoladamente. Estas respostas foram determinadas nos exemplos 4.3 e 4.4, resultando em ()( )| |( ){ }x tFeke t t tnnttd d= 02010 cos coscom=|\

|.||tan121 Para sistemas sem amortecimento a resposta ()( )| |x tFkt t tn n= 00cos cos Exemplo 4.6 - Determinar a resposta da mquina de compactao mostrada na Fig. 4.9a quando for aplicada uma fora que varia linearmente (Fig. 4.9b), devido ao movimento do came.Soluo: A equao da fora aplicada, mostrada na Fig. 4.9b ( ) F F =onde F a taxa de crescimento da fora na unidade de tempo. A equao (4.20), neste caso, torna-se ()( )( )x tFme t ddtdtn= sen0

cuja integral resolvida por partes, resultando ( ) x tFkt e t tntndd nn ddn= + |\

|.|

(((`) 2 22 2 22cos senPara sistemas sem amortecimento ( ) ( ) x tFkt tnn n= senUnidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 87F(t)x(t)k/2 k/2c(a)PlataformaMaterial sendocompactado mx(t)t(c)F/kOCameSeguidorMovimento docame1F(t)t(b)FO12n4n Figura 4.9 - Mquina de compactao sob fora variando linearmente. 4.4.2 - Transformada de Laplace Definio O mtodo da Transformada de Laplace aplicado para resolver equaes diferenciais ordinrias, lineares, com coeficientesconstantes.Apresentacomovantagensseraplicvelaqualquertipodefunodeexcitao,desdeque integrveis, tratar funes descontnuas sem dificuldades e levar em conta automaticamente as condies iniciais, o que significativo quando se trata de resolver um problema do valor inicial. A definio da Transformada de Laplace ( ) ( ) ( ) x t xs e x t dtst= =0(4.22) onde s chamada de varivel subsidiria, complexa eest o ncleo da transformao. Transformao de Derivadas A transformada da derivada obtida atravs de uma integrao por partes, na forma () ()()( )() ( ) ( )dx tdtedx tdtdt e x t s e x t dt x s xsst st st= = = + 00 00 (4.23) onde x(0) o valor inicial de x(t).A segunda derivada obtida seguindo o mesmo caminho. Chega-se a( ) ( )( ) ( ) ( )dx tdtedx tdtdt x s x s xsst2222020 0 = = +& (4.24) onde( )& x 0 o valor inicial da derivada de x(t).Transformao de Equaes Diferenciais Ordinrias A equao diferencial do movimento de um sistema de um grau de liberdade viscosamente amortecido ( ) ( )( ) ( ) m dx tdtc dx tdtkx t Ft22+ + = (4.25) Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 88AplicandoaTransformadadeLaplaceemambososladosdaequao(4.25)eutilizandoosresultadosde (4.23) e (4.24) tem-se ( ) ( ) ( )| |( ) ( )| |( ) ( ) m s xs s x x c s xs x k xs Fs20 0 0 + + = & (4.26) Como cmn= 2 , kmn= 2, a equao (4.26) pode ser resolvida para se calcular a transformada de Laplace da resposta( ) xs , na forma ( )( )( ) ( ) ( ) xsm s sFsss sxs sxn nnn n n n=+ ++++ +++ +122201202 2 2 2 2 2 & (4.27) quechamadaequaosubsidiriadaequaodiferencial.Paraobterarespostadosistemax(t),sedevecalculara transformada inversa de Laplace do resultado da equao (4.27). Transformao Inversa de Laplace Atransformaoinversaenvolveumaintegraldelinhanodomniocomplexodedifcilsoluo.Poreste motivoseprocuratransformarafunoobtidanaeq.(4.27)emfunesquetenhamasuatransformadainversa conhecida. Esta a essncia do mtodo das fraes parciais, descrito a seguir. As funes resultantes sero comparadas com funes que possuem transformadas conhecidas, relacionadas na Tabela 4.2.Consideremos o caso em que( ) xs pode ser escrita na forma ( )( )xsA sBs=( ) (4.28) onde tanto A(s) como B(s) so polinmios em s. Geralmente B(s) um polinmio de maior ordem que A(s). Chamando de s = ak (k = 1, 2,..., n) as razes de B(s), o polinmio pode ser escrito como ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) B s s a s a s a s a s ak n kkn= = = 1 21L L(4.29) onde o smbolo do produto. As razes s = ak so conhecidas como plos simples de( ) xs . A expanso em fraes parciais de (4.28) tem a forma ( )xscs acs acs acs acs akknnkk kn=++ ++ +==1122 1L L(4.30) onde os coeficientes ck so dados pela frmula ( ) ( )| |( )( )c s a xsA sB sks aks akk= ==lim (4.31) onde( ) B s a derivada de B(s) em relao a s. Como es aatkk=1 (4.32) segue-se que -11s aekatk= (4.33) onde (4.32) e (4.33) constituem um par de Laplace. Considerando as equaes (4.31) e (4.33) a transformada inversa de ( ) xs , eq. (4.30), se torna ()( )( )( )( )x tA sB seA sB ses aatknsts aknkkk====== 1 1 (4.34) Freqentemente, mais simples considerar a eq. (4.30) e escrever A(s) na forma Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 89 ( )( ) ( ) ( ) ( ) A s c s a c s a c s a c s ai iiininn iinn iii knkn= + + + = == === 1 2122 211 1L(4.35) Comparandooscoeficientesdesj-1(j=1,2,...,n),emambososladosde(4.35),obtm-seumsistemade equaes algbricas que podem ser resolvidas para a determinao dos coeficientes ck (k = 1, 2, ... , n). Integral de Convoluo. Teorema de Borel. Considere-seduasfunesf1(t)ef2(t),definidasparat>0.Assuma-se,tambm,quef1(t)ef2(t)possuem transformadas de Laplace( ) f s1 e( ) f s2, respectivamente, e considere-se a integral () ( ) ( ) ( ) ( )x t f f t d f f t dt= = 1 2 1 20 0 (4.36) Afunox(t),chamadadeconvoluodasfunesf1ef2nointervalo0 < < t .Olimitesuperiordas integraisem(4.36)sointercambiveisporquef2(t-)=0para>t,queomesmoquet- t. Aseguir,seintroduzatransformaot- = nasegundaintegral,eobservandoqueparat=tem-se = 0, escrevendo-se ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )xs f d e f t dt f d e f de f d e f d f s f sst sts s= == = + 1 201 20 0102 1 20 (4.38) Das equaes (4.36) e (4.38), segue-se que x(t) = -1( ) xs= -1( ) ( ) f s f s1 2 (4.39) ento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t f f t d f t f dt t= = 1 2 1 20 0 (4.40) A segunda integral na eq. (4.40) vlida porque no importa de que maneira ocorre o acrscimo de tempo.Teorema de Borel AtransformaoinversadeLaplacedoprodutodeduastransformadasigualconvoluodassuas transformadas inversas. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ( ) ( ) f s f t e dtst=0 f(t) 1 ( ) ( ) c f s cgs1 2+ ( ) ( ) c f t cg t1 2+2 fsa|\

|.| ( ) f ata 3 ( ) ( ) f sgs( ) ( ) f t g dt 0 4 ( )( )s f s sd f tdtn n jjjtjn==1101 ( ) d f tdtnn 5 ( )1sf sn( ) L L f d dt t 0 0 6 ( ) f s a + ( ) e f tat Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 9071( ) t= degrau unitrio aplicado em t = 0 8 esas u(t) = impulso unitrio aplicado em t=a9 1sn(n = 1,2, ...) ( )tnn11 ! 10 1s a + eat 11 ( )12s a + teat 12 ( )1s an+(n = 1,2, ...) ( )111nt en at ! 13 ( )1s s a + ( )11aeat 14 ( )12s s a + ( )112ae atat + 1512 2s a + 1aat sen16 12 2s a 1aat senh17 ss a2 2+ cos at 18 ss a2 2 cosh at 19 ( )12 2s s a +( )112aat cos20 ( )12 2 2s s a +( )13aat at sen21 ( )12 22s a +( )123aat at at sen cos 22 ( )ss a2 22+ taat2sen23 ( )s as a2 22 22+ t at cos24 ( )as s a + 1eat 25 s as+2 1+ at26 ( )as s a22+ ( )at eat 127 ( )s bs s a++ baabeat1 1 |\

|.|`) 28 ( )as s a22 2+ 1 cosat29 122 2s sn n+ + 1dtde tnsen30 ss sn n2 22 + + ( ) ndtde tnsen1 Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 9131 ss snn n++ +222 2 ( ) ndtde tn+ sen1 32 ( ) nn ns s s22 22 + +( ) 11 + ndtde tnsen33 ( )ss s snn n++ + 2 22 ( ) e tntd+ sen1 Tabela 4.2 - Transformadas de Laplace. Exemplo4.7-Achararespostadamquinadecompactaodoexemplo4.5,assumindo0 0000 A transformada de Laplace de F(t) obtida como ( ) ( ) | |Fs e Ft dt e Fdt F e dtFseesFst sttst sttt s= = = = = |\

|.| 000000000001 Utilizando (4.27), a transformada da resposta ser( )( )( )( ) ( ) xsF ems s sss sxs sxt sn nnn n n n=+ ++++ +++ +02 2 2 2 2 2122201200 & Atransformadasinversasdosegundoedoterceirotermodaequaosoobtidasutilizandodiretamenteos resultados 31 e 29 da Tabela 4.2. A transformada inversa do primeiro termo obtida do resultado 32 da mesma Tabela 4.2 considerando que a multiplicao da transformada de uma funo por e-as implica no deslocamento a da funo no domnio do tempo. Ento a transformada inversa torna-se ( )( )( )| |( )xtFmetFmet tx etx xentnnt tnnntnn nnnnnn( ) sensensen&= +

((( +`)

(((+ +|\

|.| 0222102220 10222210 02211111111210 ( )tnt sen 12

((( onde( ) 11=cos , e a resposta da mquina de compactao pode ser expressa na forma ( )( )( )| | { }( )( )( )x tFme t e t txe tx xe tntnt tnntnnntnn nn n( ) sen sensen&sen= + + +

(( ++

(( 02 22120 102 2210 02211 1112110 4.4.3 - Integral de Fourier Na seo 4.2 viu-se que uma funo peridica pode ser representada por uma srie de Fourier, que so sries infinitas de funes harmnicas de frequnciasjonde=2 a frequncia fundamental. Fazendo o perodo se aproximardoinfinito,deformaqueoprimeirointervalodetemposealonguesemlimites,afunosetornano peridica.Destamaneira,ointervalodefrequnciatendeparazerodeformaqueasfrequnciasharmnicas, originalmente discretas se tornam contnuas. Nesta situao as sries de Fourier se tornam integrais de Fourier. Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 92Uma funo peridica pode ser representada por sries de Fourier na sua forma complexa ( ) f t Cejij tj==(4.41) onde os coeficientes Cj so obtidos por ()C f t e dt jjij t= = 10 1 222, , , ,paraL(4.42) Introduzindo a notao j = j, (j + 1) - j = = j, as equaes (4.41) e (4.42) se tornam ( ) ( ) ( )f t C e C eji tjji tjjj j= === 1 12 (4.43) ()C f t e dtjij t=22 (4.44) Fazendo o perodo tender ao infinito , a varivel j se transforma na varivel contnua e, levando ao limite, se substitui a soma pela integral e se obtm( ) ( ) ( ) f t C e F e djjji tjji t= = =lim 01212(4.45) ( )( )()F C f t e dtjji t = =lim 0 (4.46) Aequao(4.45)implicaqueumafunoarbitrriaf(t)podeserdescritaporumaintegralrepresentando contribuiesdecomponentesharmnicospossuindoumespectrodefrequnciacontnuoentre + e.A quantidadeF()dpodeserconsideradacomoumacontribuiodasharmnicasqueestonointervaloentree + d funo f(t). A equao (4.46) conhecida como a Transformada de Fourier de f(t), de forma que as integrais ( ) ( ) F f t e dti t= (4.47) () ( )f t F e di t=12 (4.48) representamumpardetransformadasdeFourier,ondef(t)conhecidacomoaTransformadaInversadeF().As equaes (4.47) e (4.48) contm a informao sobre a composio em frequncia da funo f(t), que no peridica.Se aeq. (4.41) representauma funo excitadora, ento a resposta de regime permanente do sistema pode ser escrita na forma ( ) x t HCej jij tj== (4.49) onde Hj a resposta em frequncia complexa associada frequncia j. Seguindo um procedimento similar ao utilizado para f(t), conclui-se que a resposta do sistema a uma excitao arbitrria tambm pode ser escrita na forma de um par de transformadas de Fourier, como segue ( ) ( ) X x t e dti t= (4.50) () ( )x t X e di t=12 (4.51) onde a transformada de Fourier da resposta ( ) ( ) ( ) X H F = (4.52) que simplesmente o produto da resposta em frequncia complexa pela transformada de Fourier da funo excitadora. Normalmente a transformada de Fourier no muito utilizada para calcular a resposta do sistema pela equao (4.51),poisfreqentementeasuasoluoexigeintegraesnoplanocomplexooquepodesetornarextremamente complicado.AintegraldeconvoluoeatransformadadeLaplacesomaisfceisdeseutilizarnestescasos. Entretanto,quandosepretendeanalisarocomportamentonodomniodafrequnciaaintegral(4.50)normalmente Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 93fcil de ser obtida (quando a funo cumpre as condies de existncia da integral) e fornece uma ferramenta de anlise muito til. Existe um algoritmo para calcular a integral (4.50) de forma rpida conhecido como Fast Fourier Transform (FFT) de larga utilizao na engenharia. Exemplo 4.8 - Calcular a resposta de um sistema de um grau de liberdade no amortecido excitao na forma de um pulso retangular mostrado na Fig. 4.10, usando o mtodo da transformada de Fourier. Fazer o grfico dos espectros de frequncia das funes excitadora e de resposta. F(t)tF0T - T Figura 4.10- Funo pulso retangular. Soluo: A funo excitadora pode ser escrita mostrada na Fig. 4.10 pode ser escrita como ( ) f tF T t Tt T t T= < 00 para para, (a) Como f(t) possui apenas descontinuidades finitas no intervalo, a sua integral existe sendo possvel escrever a sua transformada de Fourier na forma ( ) () ( ) F f t e dt F e dt Fie ei t i tTTi T i T = = = 0 01(b) Para sistemas sem amortecimento, a resposta em frequncia complexa, eq. (3.49), se torna ( ) Hn= |\

|.|112 (c) Inserindo as equaes (b) e () na eq. (4.52) tem-se ( ) ( ) ( )X H FFke eii T i Tn = = |\

|.|

(((021(d) Ento a resposta pode ser escrita na forma da transformada inversa de Fourier como () ( )x t X e dFk ie ee di ti T i Tni t= = |\

|.|

((( 1212102 (e) Antesdetentarcalcularaintegralacima,convenienteconsideraroseguintedesenvolvimentoemfraes parciais: ( ) ( )111 12122 |\

|.|

(((= +nn n(f) de forma que a eq. (e) se torna Unidade 4 Vibraes Foradas sob Condies Gerais 94( )( ) ( )( ) ( )| |x tFk ie e dn ni t T i t T= +

(((+ 0121 1212 (g) Oclculodasintegraisenvolvidasnaeq.(g)exigeaexecuodeintegraisdecontornonoplanocomplexo. Comoistorequerconhecimentomatemticosuperior(aonvelexigidoparaumengenheiro),aquisoapresentados apenas os resultados ediedi eedi eiini tini tnn =