Aula 06 – TORÇÃO

Augusto Romanini

Sinop - MT

2017/1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS DE SINOP

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

Mecânica dos Sólidos II

Aula 01 – Teoria das Tensões

Aula 05 – Flambagem de Colunas

Aula 06 – Torção Simples/Pura

30/06/2017 2

AULAS

Aula 00 – Apresentação/Revisão

Aula 02 – Critérios de Resistência

Aula 04 – Teoria das Deformações

Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas

Mecânica dos Sólidos II30/06/2017 3

Objetivos

Conceitos

Introdução

Referências

TORÇÃO

Compreender os esforços de torção

Representar Graficamente o momento torçor.

30/06/2017 4

Objetivos

TORÇÃO30/06/2017 5

O que é torção?

Torção é a deformação por efeito do torque.

Torção é a tensão que ocorre quando é

aplicado momento sobre o eixo

longitudinal de um elemento construtivos

ou prisma mecânico, como podem ser

eixos ou, em geral, elementos onde uma

dimensão predomina sobre as outras

duas, ainda que é possível encontrá-la em

situações diversas.

Introdução

TORÇÃO30/06/2017 6

O torque é um esforço que deforma!!

Torção Simples

Torção Simples ou Torção de Saint Venant ( ou circulatória): Nela o momento torçor

é equilibrado por tensões tangenciais ( cisalhantes) que dão a volta na seção.

TORÇÃO30/06/2017 7

O torque é um esforço que deforma!!

Torção Simples

Trajetórias principais de tensão → Seguem uma curvatura helicoidal em torno da

barra.

O momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em

planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais,

simultaneamente.

TORÇÃO30/06/2017 8

O torque é um esforço que deforma!!

Torção Simples

Trajetórias principais de tensão → Seguem uma curvatura helicoidal em torno da

barra.

https://www.youtube.com/watch?v=jACWzC6MGrw&t=349s

TORÇÃO30/06/2017 9

O torque é um esforço que deforma!!

Torção Simples

Flexo-torção ou torção de

empenamento

• É a que ocorre em perfis de

paredes delgadas;

• A resistência da seção passa a

se dar através de momento fletor

e força cortante, com

consequente empenamento da

seção. ( Flambagem Local)

Conclusão: “só será estudada a torção

circulatória, mais comum em peças de

concreto estrutural.”

TORÇÃO30/06/2017 10

Torção Simples

O momento torsor em vigas usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos:

1.1) Torção de equilíbrio;

1.2) Torção de compatibilidade.

TORÇÃO30/06/2017 11

Torção Simples

1.1) Torção de equilíbrio - Torção em viga devido ao engastamento da laje

Laje é engastada na viga de apoio;

1. Flexão na laje torção na viga;

2. Torção na viga flexão no pilar.

TORÇÃO30/06/2017 12

Torção Simples

1.2) Torção de compatibilidade

A laje, ao tentar girar, aplica um momento de torção na viga que tende a girar

também, sendo impedida pela rigidez a flexão dos pilares.

TORÇÃO

DEFORMAÇÃO POR

TORÇÃO

30/06/2017 13

DEFORMAÇÕES PEQUENAS

RAIO PERMANECE O MESMO

Conceitos

TORÇÃO

FÓRMULAS DA TORÇÃO

30/06/2017 14

𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾

𝛾 = 𝜌 ∙ 𝜃 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝜌 ∙ 𝜃

O valor da cisalhante cresce com

o aumento do valor do raio

Conceitos

TORÇÃO30/06/2017 15

𝜏 = 𝐺 ∙ 𝜌 ∙ 𝜃 O valor da cisalhante cresce com o aumento do

valor do raio

Se o raio for nulo, a tensão cisalhante é nula

A tensão cisalhante máxima acontece quando o

raio apresenta seu valor máximo.

Conceitos

TORÇÃO

FÓRMULAS DA TORÇÃO

30/06/2017 16

Esforço agindo sobre dA.

𝑑𝐹 = 𝜏 ∙ 𝑑𝐴𝑑𝜏 = 𝜌 ∙ 𝑑𝐹 = 𝜌 ∙ 𝜏 ∙ 𝑑𝐴

Integrando

𝑇 = 𝐴

𝜌 ∙ 𝜏 ∙ 𝑑𝐴

Sabendo que

𝜏 = 𝜏𝑀𝐴𝑋 ∙𝜌

𝑅

Conceitos

TORÇÃO

FÓRMULAS DA TORÇÃO

30/06/2017 17

Esforço agindo sobre dA.

𝑇 = 𝐴

𝜌 ∙ 𝜏𝑀𝐴𝑋 ∙𝜌

𝑅∙ 𝑑𝐴

𝑇 =𝜏𝑀𝐴𝑋𝑅 𝐴

𝜌 ∙𝜌

1∙ 𝑑𝐴

𝐼𝑇 = 𝐴

𝜌 ∙𝜌

1∙ 𝑑𝐴

𝐼𝑇=𝜋 ∙ 𝑅4

2

𝑇 =𝜏𝑀𝐴𝑋𝑅∙ 𝐼𝑇

𝜏𝑀𝐴𝑋 =𝑇 ∙ 𝑅

𝐼𝑇

𝜏𝑀𝐴𝑋 =2 ∙ 𝑇

𝑅3∙𝜋

Para eixo

maciço

Conceitos

TORÇÃO

FÓRMULAS DA TORÇÃO

30/06/2017 18

𝐼𝑇= 𝐼𝑐ℎ𝑒𝑖𝑜−𝐼𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜

𝐼𝑇=𝜋 ∙ 𝑅4

2−𝜋 ∙ 𝑟4

2

𝐼𝑇=𝜋 ∙ (𝑅4 − 𝑟4)

2

𝑇 =𝜏𝑀𝐴𝑋𝑅∙ 𝐼𝑇

𝜏𝑀𝐴𝑋 =𝑇 ∙ 𝑅

𝐼𝑇

Conceitos

TORÇÃO

ÂNGULO DA TORÇÃO

30/06/2017 19

O ÂNGULO VARIA COM A DISTÂNCIA DO ENGASTAMENTO

Conceitos

TORÇÃO

ÂNGULO DA TORÇÃO

30/06/2017 20

𝛾 ∙ 𝑑𝑥 = 𝜌 ∙ 𝑑𝜃

𝛾 = 𝜌 ∙𝑑𝜃

𝑑𝑥

Pela lei de Hooke

𝛾 =𝜏

𝐺

𝑑𝜃 =𝜏

𝐺∙𝑑𝑥

𝜌

𝜏 =𝑇(𝑥) ∙ 𝜌

𝐼𝑇(𝑥)

𝑑𝜃 =𝑇(𝑥) ∙ 𝜌

𝐺 ∙ 𝐼𝑇(𝑥)∙𝑑𝑥

𝜌

𝜃 = 0

𝑙 𝑇(𝑥)

𝐺 ∙ 𝐼𝑇(𝑥)∙ 𝑑𝑥

Conceitos

TORÇÃO

ÂNGULO DA TORÇÃO

30/06/2017 21

𝜃 = 0

𝑙 𝑇(𝑥)

𝐺 ∙ 𝐼𝑇(𝑥)∙ 𝑑𝑥

Considerando G,It e T constantes!!

𝜃 =𝑇

𝐺 ∙ 𝐼𝑇 0

𝑙

𝑑𝑥

𝜃(𝑟𝑎𝑑) =𝑇 ∙ 𝐿

𝐺 ∙ 𝐼𝑇

Conceitos

TORÇÃO

Convenção de Sinais

30/06/2017 22

Conceitos

TORÇÃO30/06/2017 23

Formulação

TORÇÃO30/06/2017 24

Formulação

Seção Vazada

𝐼𝑇 =𝜋 ∙ 𝐷4 − 𝑑4

32

𝑊𝑇 =𝜋 ∙ 𝐷4 − 𝑑4

16 ∙ 𝐷

Seção tubular

𝐼𝑇 =4 ∙ 𝐴2𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑙𝑒𝑡𝑜

𝑆𝑡

𝑠 = 𝑏𝑛 −𝑡𝑛2−𝑡𝑛2

𝑊𝑇 = 2 ∙ 𝐴𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑙𝑒𝑡𝑜 ∙ 𝑡𝑚𝑖𝑛

𝑀𝑇 = 𝜏 ∙ 𝑤𝑇

𝜑𝑇 =𝑀𝑇 ∙ 𝐿

𝐺 ∙ 𝐼𝑇

Seção aberta

𝐼𝑇 =1

3∙ (𝑏𝑖 ∙ 𝑡𝑖

3)

𝑊𝑇 =1

3 ∙ 𝑡𝑚á𝑥∙ (𝑏𝑖 ∙ 𝑡𝑖

3)

Mecânica dos Sólidos II

Aula 01 – Teoria das Tensões

Aula 05 – Flambagem de Colunas

Aula 06 – Torção Simples/Pura

30/06/2017 25

AULAS

Aula 00 – Apresentação/Revisão

Aula 02 – Critérios de Resistência

Aula 04 – Teoria das Deformações

Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas

Mecânica dos Sólidos II30/06/2017 26

Referências

GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed.

São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 689 p.

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São

Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 641 p.

TORÇÃO30/06/2017 27

Formulação

Seção Vazada

𝐼𝑇 =𝜋 ∙ 𝐷4 − 𝑑4

32

𝑊𝑇 =𝜋 ∙ 𝐷4 − 𝑑4

16 ∙ 𝐷

Seção tubular

𝐼𝑇 =4 ∙ 𝐴2𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑙𝑒𝑡𝑜

𝑠𝑡

𝑠 = 𝑏𝑛 −𝑡𝑛2−𝑡𝑛2

𝑊𝑇 = 2 ∙ 𝐴𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑙𝑒𝑡𝑜 ∙ 𝑡𝑚𝑖𝑛

𝑀𝑇 = 𝜏 ∙ 𝑤𝑇

𝜑𝑇 =𝑀𝑇 ∙ 𝐿

𝐺 ∙ 𝐼𝑇

Seção aberta

𝐼𝑇 =1

3∙ (𝑏𝑖 ∙ 𝑡𝑖

3)

𝑊𝑇 =1

3 ∙ 𝑡𝑚á𝑥∙ (𝑏𝑖 ∙ 𝑡𝑖

3)

Mecânica dos Sólidos II30/06/2017 28

Exemplos

Exemplo 01 – Determine o momento torçor máximo para cada seção transversal ( Apresentadas abaixo).

Calcule a rotação na extremidade livre. Utilize o módulo de Elasticidade Transversal com valor de

8000,00 kN/cm² e cisalhante atuante constante de 10,00 kN/cm². Faça ao final uma avaliação entre o

consumo de material e momento torçor suportado. A situação de análise é apresentada a seguir:

Um poste de 200 centímetros tem sua base engastada e o momento torçor estará aplicado na

extremidade. O poste podem ser construído com 2 seções distintas. Apresentadas a seguir.

Seção Tubular:

a=20,00 cm

b=7,50 cm

t1=0,63 cm

t2=0,80 cm

Seção Aberta:

a=23,00 cm

b=15,00 cm

t1=0,63 cm

t2=0,45 cm

Mecânica dos Sólidos II30/06/2017 29

Exemplos

Exemplo 02 – Monte duas seções utilizando dois perfis U iguais da imagem abaixo. Você possui dois

materiais disponíveis material A possui G = 8100,00 kN/cm², e o material A possui G = 6200,00 kN/cm² e

cisalhante média de 6,50 kN/cm², obtida aritmeticamente partir da cisalhante máxima e cisalhante mínima. A

cisalhante mínima é 3,50 kN/cm². As dimensões da peça são A = 25,00 cm; B = 10,00 cm e S = 0,50 cm.

a) Momento torçor máximo para cada seção e material

b) Relação Momento torçor máximo e consumo de material para cada material

c) Qual a seção mais eficiente, independente do material, justifique tecnicamente.

d) Desenhe o gráfico do momento torçor máximo para a seção mais eficiente.

Mecânica dos Sólidos II30/06/2017 30

Exemplos

Exemplo 03 – Para a situação abaixo, pede-se:

“Qual a cisalhante máxima que o momento torçor gera?”

A seção é circular vazada e possui diâmetro externo de 10 cm e diâmetro externo

de 8 cm. O valor de cada momento torsor é 2,5 kN.cm.