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Aula 07 – Tensões no solo: Tensões em uma massa de solo

Augusto Romanini

Sinop - MT

2017/1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS DE SINOP

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

GEOTECNIA I

11/05/2017 Tensões no solo 2

Distribuição de Tensões no solo

Métodos de Calculo



A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito

importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são

instaladas obras de engenharia.

Experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos mostram que:

• Os acréscimos de tensões a uma certa

profundidade excedem a área de

projeção da área carregada. Nas laterais

da área carregada também ocorrem

aumentos de tensão;

• O somatório dos acréscimos de tensões

verticais é constante em qualquer

profundidade;

s0



• os acréscimos de tensões a uma

certa profundidade excedem a área

de projeção da área carregada.

Nas laterais da área carregada

também ocorrem aumentos de

tensão;

• o somatório dos acréscimos de

tensões verticais é constante em

qualquer profundidade;

• como a área de atuação aumenta,

o valor das tensões verticais

diminui com a profundidade.

sv

Variação dos acréscimos da

tensão vertical ao longo do

eixo de simetria vertical da

área carregada

s0



Ao se unir os pontos em que os acréscimos de tensão no interior do subsolo são de mesmo

valor percentual aplicado na superfície, têm-se linhas chamadas de isóbaras.

Desta forma, isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões.

P

1,00 P

0,50 P

0,10 P

s0

0,8s0

0,5s0

0,2s0

0,1s0

Bulbos de Tensão


Métodos de Cálculo

Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de

solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são

muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade

(relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke -

material de comportamento linear elástico, homogêneo e

isótropo).

Um solo é dito isotrópico se os parâmetros definidos em um

ponto são os mesmos em qualquer direção

A isotropia reduz as constantes elásticas do solo em apenas

duas: módulo de elasticidade (E) e coeficiente de Poisson (μ)

Se as constantes elásticas são as mesmas em todos os pontos

de uma massa de solo então ele pode ser considerado

homogêneo.

e

s

Δσ

Δe

ε

σE

Δ

Δ=

Teoria da Elasticidade (relação tensão-deformação do solo é

dada pela Lei de Hooke - material de comportamento linear

elástico, homogêneo e isótropo).



Entretanto, a aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois

os mesmos podem não satisfazer as hipóteses:

Comportamento linear e elástico

Para que seja válida, os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações), tal que o

estado de tensões seja muito distante da ruptura

Homogeneidade

Foge da realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta

relações tensão-deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade

Isotropia

O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição

de isotropia é válida para terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de

algumas vezes a menor dimensão da área carregada

Como ainda não há melhor alternativa para a análise do comportamento das obras e também porque tem

tido uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, a Teoria da Elasticidade é aplicada como

base de várias soluções desenvolvidas



Carga concentrada em um ponto

Carga concentrada em uma linha

Carregamento triangular distribuído

Carregamento Circular

Carregamento Retangular

Carregamento de forma Irregular

Espraiamento linear das tensões

Boussinesq – Carga pontual

Boussinesq – Carga linear

Osterberg – Carga Distribuída de Aterro

Newmark/Steinbrenner – Superfície retangular

Newmark – Superfície qualquer

Love – Área circular

Carregamento Linear distribuído Solução de Michell – Carga linear


Métodos de Cálculo Boussinesq – Carga pontual

Nesta solução foram determinadas as tensões, deformações e deslocamentos no interior de

uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície

horizontal, devido a uma carga pontual aplicada na superfície deste semi-espaço.

∆𝜎𝑧=3𝑃

2𝜋∙

𝑧3

𝑟2 + 𝑧252


Métodos de Cálculo Boussinesq – Carga pontual

𝐼0 =3

2𝜋 ∙ 1 +𝑟2

𝑧2

52

𝜎𝑣 = 𝐼0 ∙𝑄

𝑧2

𝜎ℎ = 𝜎𝑣 ∙𝑟

𝑧

2

𝜏 = 𝜎𝑣 ∙𝑟

𝑧

Boussinesq (1885) resolveu este problema em três dimensões, que tornaram-se base para

todas as outras teorias sobre o assunto. Seus aspectos bidimensionais são de interesse

neste item, fornecendo as tensões verticais e horizontais, bem como a cisalhante em ponto P,

submetido a uma carga Q.

A obtenção da tensão horizontal só é válida se o solo for considerado incompressível.



Flamant– Carga Distribuída Verticalmente

Solução para o acréscimo de tensão vertical em

qualquer ponto devido à aplicação de uma carga q

linearmente distribuída (q/M) ao longo de um

comprimento que tende ao infinito.

∆𝜎𝑧=2𝑞𝑧3

𝜋 𝑥2 + 𝑧2 2

Boussinesq – Carga linear


Métodos de Cálculo Boussinesq – Carga linear

q é a carga distribuída/m

𝐼0 =2

𝜋 ∙ 1 +𝑟2

𝑧2

2

𝜎𝑣 = 𝐼1 ∙𝑞

𝑧

𝜎ℎ = 𝜎𝑣 ∙𝑟

𝑧

2

𝜏 = 𝜎𝑣 ∙𝑟

𝑧


Métodos de Cálculo Solução de Michell – Carga linear

Foram obtidas equações, supondo a capacidade de carga

(q) é distribuída uniformemente sob uma base

infinitamente longa.

𝐼2 =𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 ∙ cos(2𝛼 + 𝛽)

𝜋

𝜎𝑣 = 𝐼2 ∙q

𝜎ℎ =2𝛽

𝜋𝑞 − 𝜎𝑣

𝜏 = 𝜎𝑣 −𝛽𝑞

𝜋

𝛼 = 𝑡𝑔−1𝑟 − 𝑏

𝑧

𝛽 = 𝑡𝑔−1𝑟 + 𝑏

𝑧− 𝛼


Métodos de Cálculo Solução de Michell – Carga linear

Foram obtidas equações, supondo a capacidade de carga

(q) é distribuída uniformemente sob a linha central.

𝐼3 =𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛽

𝜋


𝜎ℎ =2𝛽

𝜋𝑞 − 𝜎𝑣

𝜏 = 𝜎𝑣 −𝛽𝑞

𝜋𝛼 = −

𝛽

2 𝛽 = 2𝑡𝑔−1𝑏

𝑧


Métodos de Cálculo Osterberg – Carga Distribuída de Aterro

∆𝜎𝑧=𝑞0𝜋∙

𝐵1 + 𝐵2𝐵2

∙ 𝛼1 + 𝛼2 −𝐵1𝐵2

∙ 𝛼2

𝛼1 = 𝑡𝑔−1 ∙𝐵1 + 𝐵2

𝑧− 𝛼2

𝛼2 = 𝑡𝑔−1 ∙𝐵1𝑧

Osterberg ( 1957), propôs uma forma

simplificada:

∆𝜎𝑧=𝑞0𝐼5

Onde 𝐼5 é a variação de: 𝐵1

𝑍𝑜𝑢

𝐵2

𝑍, onde se obteve o gráfico a seguir.


Métodos de Calculo Osterberg – Carga Distribuída de Aterro

∆𝜎𝑧=𝑞0𝐼5

𝐼5 =𝐵1𝑍

𝐼5 =𝐵2𝑍



𝛼 = 𝑡𝑔−1𝑟 − 𝑎

𝑧

𝛽 = 𝑡𝑔−1𝑟

𝑧− 𝛼

𝜎𝑣 = 𝐼𝑠 ∙q

𝐼5 =1

2𝜋∙2𝑟

𝑎𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼



𝛼 = 𝑡𝑔−1𝑟 − 𝑎

𝑧

𝛽 = 𝑡𝑔−1𝑟

𝑧− 𝛼

𝜎𝑣 = 𝐼5 ∙q𝛼 = 𝑡𝑔−1

−𝑎

𝑧

𝛽 = −𝛼

𝐼5 =1

2𝜋∙2𝑟

𝑎𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼

𝐼5 = −𝑠𝑒𝑛2𝛼

2𝜋

𝛼 = 0𝐼5 = −

𝛽

𝜋𝛽 = 𝑡𝑔−1−𝑎

𝑧


Métodos de Calculo Love – Área circular

∆𝜎𝑧= 𝑞 ∙ 1 −1

𝑅 𝑧2+ 1

3 2


Métodos de Cálculo Love – Área circular

𝐼6 = 1 −1

1 +𝑅𝑧

2

32




A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark (1933)

desenvolveu uma solução para o cálculo das tensões provocadas no

interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por

carregamento uniformemente distribuído numa área retangular, numa

vertical passando por um dos vértices da área.

Newmark verificou que a solução era a mesma para situações em que

as relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem

as mesmas e definiu as seguintes relações:

𝑚 =𝐵

𝑧𝑛 =

𝐿

𝑧

∆𝜎𝑧= 𝑞 ∙ 𝐼7




∆𝜎𝑧= 𝑞 ∙ 𝐼7

Um ano após Newmark,

Steinbrenner propôs um método

para a determinação da tensão

vertical sob os cantos de uma área

retangular uniformemente

carregada. O método também é

baseado na Teoria de Boussinesq.




0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,01 0,10 1,00 10,00

n

Is

1,4

1,0

1,2

0,9

2,0m ≥ 101,6

0,8

m = 0,1

0,2

0,3

0,6

0,4

0,5

0,7

m = 0

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

z

am =

z

bn =

z

bm =

z

an =

ou

ou

b

a

z

x

z

sv

a.b

Qσv

y

v 0I .ss s



Métodos de Cálculo Gráfico de Influência para pressão vertical

𝑅

𝑧= 1 −

∆𝜎𝑧𝑞

−2 3

− 1

O procedimento para obtenção da pressão vertical em qualquer ponto abaixo

da área carregada é o seguinte:

1. Determine a profundidade z abaixo da área uniformemente carregada, na

qual o aumento de tensão é requerido.

2. Represente graficamente a planta com a escala z igual o comprimento

unitário do gráfico. Escala (AB)

3. Coloque a planta ( do passo 02) no gráfico de influência, de tal modo que o

ponto abaixo do qual a tensão deve ser determinada fique no centro do

gráfico.

4. Conte o número de elementos incluído na planta da área carregada.

𝜎𝑣 = ∆𝜎𝑧= 𝐼𝑉 ∙ 𝑞 ∙ 𝑀

𝜎𝑣 = ∆𝜎𝑧= 0,005 ∙ 𝑞 ∙ 𝑀


Métodos de Cálculo Espairamento

Método do espraiamento das tensões

Simplificadamente, o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade,

com um ângulo de espraiamento de 30º.

º30.2+2

2.= 0 tgzL

Lσσv

30°30°

2Lz.tg30° z.tg30°

Tensões no solo

REFERÊNCIAS

CAPUTO, H.P. Mecânica dos solos e suas aplicações - Volumes I, II, III.

DAS, B.M. Fundamentos de engenharia geotécnica. 7ª ed. Cengage Learning, 632 p., 2011.

PINTO, C.S. Curso básico de mecânica dos solos. 3ª Ed. Oficina de Textos, 356 p., 2006.

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Obrigado pela atenção.

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