UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOSCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

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H

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eR RR

VOL

Esta tela é uma

demonstração. Clique em

cada um dos botões. Para

voltar clique em

Sistema de coordenadas Números reais são associados aospontos de uma reta de tal modo quea cada número corresponda um

ponto e a cada pontocorresponda um número real. Tal associação estabelece uma

correspondência biunívocaentre o conjunto dos númerosreais (R) e os pontos da reta.

VOL

-2 -1 0 1 2

-1,7 -0,5 0,6 1,8

Eixo orientado é a reta, orientada, na qual se escolhe um

ponto, arbitrário,como origem e a ele se associa

o número real 0 (zero).0

À esquerda de 0 escrevemosos números negativos e, à

direita, os positivos:

0 ½ 1-1 -¼ 2

VOL

Um sistema de coordenadas é denominado

cartesiano ou retangular se associarmos duas retas orientadas,

uma perpendicular à outra,interceptando-se na origem.

eixo y ou eixodas ordenadas

eixo x ou eixodas abscissas

H

VOL

Eixos coordenados são as duas retas.Origem é o ponto de intersecção entre elas.

eixos coordenados

origem doseixos

VOL

Cada ponto marcado no planotem um endereço que indica suaposição em relação aos dois eixos.

P(a; b)

x

y

a

b

VOL

O símbolo P(a; b)denota o ponto P

com abscissa iguala a e ordenada

igual a b.

P(a; b)

abscissa

ordenada

P é onome do

ponto

VOL

Todo ponto sobre o eixo x tem y = 0.

Todo ponto sobre o eixo y tem x = 0.

P(2; 0)

x

y

2

y

x

3 P(0; 3)

VOL

Marque, no papel, os pontos abaixo no plano cartesiano:

a) A(-1; 0)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-8; -½)

e) E(3; -¼)

RR

VOL

Responda, no papel, considerando o gráfico ao lado:

a) quais as coordenadas do ponto B?

b) qual a abcissa do ponto E?

c) qual a ordenada do ponto E?

d) quais os pontos cuja ordenada é nula?

A

B

C D

E

p q

r

s t

u

x

y

RR

VOL

Função

O conceito de função é um dos mais úteis na Matemática.

No dia-a-dia estamos rodeados porfunções.

VOL

o preço é função do produto em um Super-Mercado;

o gasto de energia elétrica de uma residência é função do número

de lâmpadas, da potência das lâmpadas, do tempo em que ficam ligadas, do preço do kilowat-hora,

entre outros.

o valor pago no semestre pelo aluno da UNISINOS é função do

número de disciplinas em que se matriculou;

VOL

Produtos Preços

R$43,00

R$1,58

R$18,50

R$3,50

R$97,50

R$1,20

o preço é função do produto em um Super-Mercado

É função porque o conjunto Produtos (todos os produtos

vendidos) e o conjunto Preços (todos os preços dos produtos

vendidos) de um Super-Mercado:

VOL

estão em uma relação muito especial, um com o outro.

Produtos Preços

R$43,00

R$1,58

R$18,50

R$3,50

R$97,50

R$1,20

Esta é uma representação,por meio de diagramas,

da funçãoF: Produtos Preços.

VOL

não podem sobrar produtos no conjunto Produtos e

todo elemento do conjunto Produtos deve se relacionar com um e apenas um preço do conjunto Preços.

H

Assim, para que seja uma função :

VOL

Está na sua hora. É agora!Clique sobre o Bloco de Notas e relacione, pelo menos,5 exemplos de função. Faça o diagrama para analisar

melhor. Imprima e discuta com um colega.

Tente! Faça! Discuta!

VOL

VOL

A relação S de todos os Professores e todos os Alunos, na UNISINOS, representa uma função?

A relação R de Alunos em Classes de uma sala de aula representa uma função?

RR

RR

VOL

Clique no Bloco de Notas e escreva5 relações entre dois conjuntos.

Identifique aquelas que representamfunção, justificando através do diagrama.

Discuta a solução com seu (ou sua) colega. Peça ajuda

ao professor. Tente!

VOL

Uma função F: A B (lê-se: funçãoF de A com imagens em B) é o conjunto

dos pares ordenados (x, y) de tal modoque para todo x pertencente ao conjuntoA existe um e apenas um y pertencente

ao conjunto B.

Essa relação entre os elementos dosdois conjuntos pode ser expressa por uma(ou mais) lei matemática do tipo y = f(x).

H

H

VOL

A função representada pelo

diagramatem os elementos de A relacionados aos

elementos de B pela lei

y = x + 1

2

4

1

3

-1

0

5

A B

VOL

É a expressão matemática y = x + 1

que nos dá arelação entre os

elementos de A e B.

2

4

13

-1

0

5

A B

se x = 3, y = 3 + 1 = 4;se x = 1, y = 1 + 1 = 2;se x = -1, y = -1 + 1 = 0.

(3; 4), (1; 2), e (-1; 0) sãopontos da funçãoF: A B, y = x + 1.

VOL

Chamamos dedomínio da função: aos elementos de A;contradomínio da função: aos elementos de B;imagem da função: aos valores de y dos pares ordenados da função.

2

4

1

3

-1

0

5

A B

dom f = A cdom f = B

im f = {0; 2; 4}

VOL

a) qual o domínio?b) o contradomínio?c) a imagem da função?d) o que diferencia imagem de contradomínio?e)qual a lei matemática que relacionaos elementos dos dois conjuntos?

0

2

13

0

-1

5

A B

RR

Em relação ao diagrama, abra o Bloco deNotas e responda:

VOL

VOL

Clique em cada figura.

Determine a lei matemática de F: {0; 1; 4} Z, cujos elementos são os pares ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}. Calcule domínio, contradomínio e imagem da função. Faça o gráfico.

A relação R2: N N, dada pela lei y = x - 1 é função? Justifique. O que é preciso alterar na definição da função para que ela represente uma função? RR

RR

Verifique se a relação R1: {-1; 0; 1} {0; 1; 2; 3}, dada pela lei y = x + 1, é função. Justifique. Se afirmativo calcule domínio, contradomínio e imagem da função.

RR

VOL

Clique em cada figura.

VOL

A relação R3 : N R, dada pela lei y = x2 é função? Por que? Faça o gráfico.

A relação R4: R R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico.

RR

RR

VOL

Identifique nos gráficos abaixo os que representam função.Se afirmativo, calcule domínio e imagem.

x

y

x

y

x

y

x

y

b c

a

d

2

b c

d

a

RR

RR

RR

RR

RVOL

CRIAÇÃO E MONTAGEM:

PROFª NARA SARAIVA

O endereço do ponto é dado pelo par ordenado (a; b).

A idéia é semelhante ao endereço de uma residência:

é ele que dá a posição do morador no mapa da cidade.

Rua Mal. Floriano, 614, aptp 711, Centro, Porto Alegre,RS, Brasil.

VOL

Marcar um ponto significa colocar no plano coordenado o ponto P de coordenadas a

(abscissa) e b (ordenada), representando-o por um (ponto) na posição apropriada.

x

y

a

b

VOL


a) A(-1; 3)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-3; -½)

e) E(3; -¼)

x

y

1 2 3 4 -3 -2 -1

3

2

1

2

-3

A

BC

D

E

Não esqueça de orientar o eixo x

e colocar seunome

Não esqueçade orientar o eixo y

e colocar seunome

Respostas da Rapidinhas 1

VOL


Responda, considerando o gráfico ao lado:

a) quais as coordenadas do ponto B? (q; r)

b) qual a abcissa do ponto E? x = t

c) qual a ordenada do ponto E? y = u

d) quais os pontos cuja ordenada é nula? A, C e D

A

B

C D

E

p q

r

s t

u

x

y

VOL

Sobrar significa dizer que o elemento não se relaciona com um

elemento do outro conjunto.

VOL

A B

Não é função porque tem um elemento do conjunto A que se relaciona com mais do que um elemento do

conjunto B.


VOL

BA

É função porque cada elemento do conjunto A se relaciona com um único elemento do

conjunto B.


VOL

BA

É função porque cada elemento do conjunto A se relaciona com um único elemento do conjunto B.


VOL

BA

Não é função porque tem um elemento do conjunto A que não se relaciona com um elemento do

conjunto B.


VOL

Chamamos de função a uma F: Produtos Preços se todo produto do conjunto

Produtos se relaciona com um e apenas um elemento do conjunto Preços.

VOL


Sim porque cada aluno existente na sala de aula se acomoda em uma e

apenas uma classe

Alunos Classes

Observe que podem sobrar classes porém

não podem sobraralunos sem classes!

A relação R de Alunos em

Classes de uma sala de aula

representa uma função?

VOL


Não é função porque cada

professor tem mais do que um aluno.Professores Alunos

Observe que cada professor tem mais do que um aluno em sua

sala de aula!

A relação S de todos os Professores e

todos os Alunos, na UNISINOS,

representa uma função?

VOL

O termo cartesiano é usado em homenagemao matemático e filósofo francês René Descartes

(1596 - 1650) que foi um dos primeiros autilizar tal sistema de coordenadas.



VOL

Alguns autores usam plotar o ponto (do inglês to plot)

ao invés de marcar o ponto.

VOL

A natureza e o conceito de função

As primeiras idéias sobre o conceito de funçãosurgiram no início do século XVII, quando o estudo da natureza começou a se basear aobservação dos fenômenos e nas leis que

procuravam explicá-lo.

A natureza e o conceito de função

As primeiras idéias sobre o conceito de funçãosurgiram no início do século XVII, quando o estudo da natureza começou a se basear aobservação dos fenômenos e nas leis que

procuravam explicá-lo.

VOL

Galileu Galilei (1564 - 1642) e Isaac Newton (1642 - 1727) utilizaram em seus trabalhos as

noções de lei e dependência entre fenômenos,que estão diretamente

ligadas ao conceito de função.

Galileu Galilei (1564 - 1642) e Isaac Newton (1642 - 1727) utilizaram em seus trabalhos as

noções de lei e dependência entre fenômenos,que estão diretamente

ligadas ao conceito de função.

VOL

Jean Bernonilli (1667 - 1748), no século XVIII,

matemático suíço, usou o termo função para

indicar valores obtidos de operações entre variáveis e

constantes.

Jean Bernonilli (1667 - 1748), no século XVIII,

matemático suíço, usou o termo função para

indicar valores obtidos de operações entre variáveis e

constantes.

VOL

A definição que mais se aproximou

da atualmente aceita foi a de

Peter Dirichlet (1805-1859), matemático alemão, na

primeira metade doséculo XIX.

A definição que mais se aproximou

da atualmente aceita foi a de

Peter Dirichlet (1805-1859), matemático alemão, na

primeira metade doséculo XIX.

No século XVIII, o matemático Leonhard Euler também fez

uso do conceito de função.

No século XVIII, o matemático Leonhard Euler também fez

uso do conceito de função.

VOL

A definição de função, dada pelo matemático

alemão Peter Dirichlet (1805 - 1859) e apresentada na primeira metade do século XIX, se diferencia da atual pelo fato de, na época, ainda não ter sido desenvolvida a

Teoria dos Conjuntos.

A definição de função, dada pelo matemático

alemão Peter Dirichlet (1805 - 1859) e apresentada na primeira metade do século XIX, se diferencia da atual pelo fato de, na época, ainda não ter sido desenvolvida a

Teoria dos Conjuntos.

VOL

O conceito de função, modernamente,baseia-se na idéia elementar de

par ordenado e no estabelecimentode relações entre conjuntos.

O conceito de função, modernamente,baseia-se na idéia elementar de

par ordenado e no estabelecimentode relações entre conjuntos.

VOL

É a expressão matemática y = x + 1

que nos dá arelação entre os

elementos de A e B.

se x = 3, y = 3 + 1 = 4;se x = 1, y = 1 + 1 = 2;se x = -1, y = -1 + 1 = 0.

(3; 4), (1; 2), e (-1; 0) sãopontos da funçãoF: A B, y = x + 1.

2

4

13

-1

0

5

A B

Substituindo na expressão y = x + 1 o valor de x pelos elementos do

conjunto A verificamos que o valor de y obtido é um elemento do conjunto B.

Substituindo na expressão y = x + 1 o valor de x pelos elementos do

conjunto A verificamos que o valor de y obtido é um elemento do conjunto B.

VOL

a) qual o domínio? Dom f = A

b) o contradomínio? C-dom f = B.

c) a imagem da função? {-1; 0; 2}.

d) o que diferencia imagem de contradomínio? Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem são os valores de y que se relacionam com os valores de x.

e)qual a lei matemática que relacionaos elementos dos dois conjuntos?A lei é y = x - 1.

0

2

13

0

-1

5

A B


VOL

a) qual o domínio? Dom f = A

b) o contradomínio? C-dom f = B.

c) a imagem da função? {-1; 0; 2}.

d) o que diferencia imagem de contradomínio? Contradomínio são todos os elementos de B. Imagem são os valores de y que se relacionam com os valores de x.

e)qual a lei matemática que relacionaos elementos dos dois conjuntos?A lei é y = x - 1.

0

2

13

0

-1

5

A B


1 2 3

1

2

3

4

5

-1 x

y Gráfico da função

Elementos da função: {(0;-1),(1;0),(3;2)}

VOL

A função representada pelo diagrama tem os elementos de A

relacionados aoselementos de B pela

lei y = x + 1.

y = x + 1Na lei y = x + 1 o x designa os

elementos que pertencem a A e o y os elementos que pertencem a B.

Na lei y = x + 1 o x designa os

elementos que pertencem a A e o y os elementos que pertencem a B.

2

4

1

3

-1

0

5

A B

VOL

Identifique os diagramas que representam uma função de A B.

Rapidinhas 6

A B

4

8

0

2-5

4

0

RR

VOL


Rapidinhas 6

A B

5

4

-2

25

16

4 8

RR

VOL


Rapidinhas 6

0

14

0-2-1

2

B

RR

VOL


Rapidinhas 6

A4

2

-2B

RR

VOL

Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se corresponde com apenas um

elemento do conjunto B.dom f = A; cdom f = B; im f = {0; 1; 2}

Verifique se a relação R1: {-1; 0; 1} {0; 1; 2; 3}, dada pela lei y = x + 1, é função. Justifique. Se afirmativo calcule domínio, contradomínio e imagem da função.

Resposta da Rapidinhas 7

-1

0

1

0

1

2

3

VOL

Determine a lei matemática de F: {0; 1; 4} Z, cujos elementos são os pares ordenados {(0; 0); (1; 1); (4; 2)}. Calcule domínio, contradomínio e imagem da função. Faça o gráfico.


Lei: dom f = (0; 1; 4}cdom f = Zim f = {0; 1; 2}

y

x

xy

1 2 3 4

21

VOL

A relação R2: N N, dada pela lei y = x - 1 é função? Justifique. O que é preciso alterar na definição da função para que ela represente uma função?


Não, porque se x = 1, y = 1 - 1 =0 e 0 não pertence ao conjunto N, contradomínio da função. Para representar uma função poder-se-ia, por exemplo, alterar

• o domínio para N - {1} ou

• o contradomínio para N {0} ou

• a lei para, por exemplo, y = x

VOL

Retire do conjunto A o menor número de elementos para que o diagrama represente função. Escreva o domínio da função.

A B

12 3

1

23

RR

VOL


A B

12 3

1

23 Dom f = {1; 2}Dom f = {1; 2}

VOL


A B

3

2

6 74


RR

VOL

A B

3

2

6 74



Dom f = {2}Dom f = {2}

VOL

A B

12 5

38 1


RR

VOL

A B

12 5

38 1



Dom f = {1; 2}Dom f = {1; 2}

VOL

A B

1 24

+1-1 3 2-2


RR

VOL

A B

1 24

+1-1 3 2-2


Rapidinhas 8 Resposta da Rapidinhas 8

Dom f = {2}Dom f = {2}

VOL

A relação R3 : N R, dada pela lei y = x2 é função? Por que? Faça o gráfico.


Sim, é função porque todo elemento do conjunto N se relaciona com apenas um elemento do conjunto R.

Sim, é função porque todo elemento do conjunto N se relaciona com apenas um elemento do conjunto R.

1 2 3 x

y

4321

VOL


Sim, é função.

x

y

A relação R4: R R, dada pela lei y = x é função? Faça o gráfico.

VOL


x

y

b c

a

d


Sim, é função.

Dom f = [b; c]

im f = [d; a]

VOL


x

y

2

Sim, é função.

Dom f = R

im f = {2}


VOL


x

y

Rapidinhas 10

Não é função.


VOL


x

y

b c

d

a

Sim, é função.

Dom f = [b; c]

im f = [d; a]


VOL

x

y

x

y

x

y

3a

b

c

d

RR

RRRR


R

VOL

x

y

3


Rapidinhas 10

Não é função.


VOL

x

y


Sim, é função.

Dom f = R

im f = (0; )


VOL

x

y

ab

c

d

g)


Sim, é função.

Dom f = [a; b]

im f = [d; c]


VOL

Se nem todo elemento do conjunto à esquerda se relaciona com um e

apenas um elemento do conjunto da direita temos apenas uma relação

e não uma função.

VOL


a) A(-1; 0)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-8; -½)

e) E(3; -¼)

Rapidinhas 1

RR

VOL


a) A(-1; 3)

b) B( 4; 0)

c) C(0; 0)

d) D(-3; -½)

e) E(3; -¼)

x

y

1 2 3 4 -3 -2 -1

3

2

1

2

-3

A

BC

D

E

Não esqueça de orientar o eixo x

e colocar seunome

Não esqueçade orientar o eixo y

e colocar seunome


VOL





VOL

Marcar um ponto significa colocar no plano coordenado o ponto P de coordenadas a

(abscissa) e b (ordenada), representando-o por um ponto na posição apropriada.

x

y

a

b

VOL








H





eR RR

Esta tela é uma



voltar clique em

VOL








H





Esta tela é uma



voltar clique em

eR RR

VOL

A B

Identifique se o diagrama representa uma função F: A B. Responda, no Bloco de Notas, justificando.

RR

VOL

BA

RR


VOL

BA

RR


VOL

BA

RR


VOL

Valor numérico de uma função

Se você realiza um trabalho, por hora, para alguém e cobraR$1,50 a hora ao término de 2 horas, qual é o valor cobrado?

R$3,00 é o valor numérico da função valor(horas) = horas . 1,50

quando substituímos a variável horas por 2.

O valor numérico de uma função y = f(x) é o valor de y quando substituímos o x por um número.

VOL

4 é o valor numérico da função quando x é igual a 3 f(3) = 4


0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1 f(-1)= 0

2

4

13

-1

0

5

A B

É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação entre os elementos

de A e B.

VOL



0 é o valor numérico da função quando x é igual a -1 f(-1)= 0

2

4

13

-1

0

5

A B

É a expressão matemática y = x + 1 que nos dá a relação entre os elementos

de A e B.

O valor numérico de uma função y = f(x) é o valor de y quando substituímos

o x por um número.

O valor numérico de uma função y = f(x) é o valor de y quando substituímos

o x por um número.

VOL



A B

4

8

0

2-5

4

0

Sim, é função porque cada elemento do conjunto A se

corresponde com um e apenas um elemento do conjunto B.



VOL


A B

5

4

-2

25

16

4 8






VOL


0

14

0-2-1

2

B

RRSim, é função porque cada elemento do conjunto A se





VOL


A4

2

-2B

Não é função porque o elemento do conjunto A não se corresponde com um e apenas

um elemento do conjunto B.

Não é função porque o elemento do conjunto A não se corresponde com um e apenas

um elemento do conjunto B.


VOL

CRIAÇÃO E MONTAGEM:

PROFª NARA SARAIVA

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