UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS-UNISINOS

UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

GUILHERME FRANKLIN LAUXEN NETO

O ENSINO DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E A MÚSICA

SÃO LEOPOLDO

2014

Sumário INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 3

CONCEITO FÍSICO ....................................................................................................................... 4

FATOS HISTÓRICOS E CULTURA MUSICAL .......................................................................... 5

ESCALA TEMPERADA ................................................................................................................ 8

CONCLUSÃO ............................................................................................................................... 13

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 14

INTRODUÇÃO

Para que possamos compreender a relação intrínseca entre a matemática e a música, é

preciso compreender a evolução histórica do conhecimento da música e as diferentes formas de

se entender o que é música nas diferentes culturas e épocas.

Ao contrário do que Galileu e alguns teóricos musicais defendiam no século 16,

Vincenzo demonstrou que a música não poderia ser embasada nas ideias pitagóricas

abstratas vigentes na época de razões de números inteiros, mas sim no fenômeno físico

sonoro. (ALISSON)

Portanto, partirei de uma concepção física e ao mesmo tempo histórica e cultural da

evolução dos diferentes conceitos e formas de se entender a música e sua relação com a

matemática.

CONCEITO FÍSICO

O ser humano em busca de uma perfeição dos sons trouxe à pauta uma discussão quanto

aos conceitos físicos relacionados com a música. E isso nos levou uma compreensão, mais ampla

e rigorosa dos conceitos matemáticos envolvidos e já apresentados por Pitágoras a cerca de 500

anos antes de Cristo.

Portanto, alguns estudos, nos levaram a um entendimento físico do que chamamos de

som. Este é resultado de oscilações muito rápidas que acontecem no ar. Essas oscilações se dão

na forma de compressão e rarefação do ar, ou seja, as moléculas do ar de comprimem e se

rarefazem muita rapidamente, que pode ser interpretado com uma onda que vai se propagando no

ar. As notas músicas são, por sua vez, variações da frequência de oscilação.

Por natureza, os sons podem ser curtos ou longos, graves ou agudos, fortes ou fracos e

podem ser facilmente reconhecidos pela sua fonte sonora. Um som carrega, dentro de si, todas

essas informações simultaneamente.

Estas informações contidas no som são fundamentais para o estudo das notas musicais. A

física tem um papel fundamental na evolução da música como ciência. Pois, a partir do estudo de

frequências podemos fundamentar teoricamente experiências e fatos até então concebidos por

grandes estudiosos.

Por exemplo, se alguém emitir um som que tem uma determinada frequência de vibração

e se for emitido outro som que tem o dobro desta frequência, o ouvido humano interpreta estas

frequências sonoras como equivalentes e passa a aceitá-las como sons idênticos. Desde a

antiguidade, nas mais variadas épocas, os povos se utilizaram deste conhecimento para organizar

as suas criações musicais. Desenvolveu-se o costume de utilizar os sons que os nossos ouvidos

entendiam como equivalentes como uma espécie de espaço sonoro que poderia ser fracionado.

FATOS HISTÓRICOS E CULTURA MUSICAL

O matemático e filósofo Pitágoras realizou a primeira experiência registrada na história da

ciência. Pitágoras construiu um instrumento de uma corda distendida que poderia ser pressionada

em diferentes pontos, produzindo sons que mantinham relações aritméticas.

Foi com o monocórdio, que Pitágoras

percebeu que o som produzido por uma corda

esticada, e pela sua metade, era reconhecido

pelos nossos ouvidos como sendo o mesmo

som, mais agudo. E fazendo vibrar uma terça

parte desta corda um novo som aparecia. Os

três sons, quando tocados simultaneamente,

produziam uma agradável combinação ao ser

humano.

Dividindo simultaneamente essa corda em sua quarta

parte, quinta parte, sexta parte e assim por diante, dando

origem aos estudos das escalas musicais.

Contudo, é fundamental perceber que existem

diferentes formas de organizar e estudar a música e muitas

vezes esta organização é intrínseca à cultura do povo que a

estuda. Mas, muito provavelmente, foi de uma forma

semelhante que surgiram as escalas musicais em outras

culturas.

Foi provavelmente desta maneira que um músico chinês, a partir das sucessivas divisões

(a terça parte) do som original, começou a criar uma escala musical, até que ele se deparasse com

a sexta nota desta escala musical.

Figura 1: Monocórdio feito e usado para demonstrações no

Kings College London, no final do século 19. Imagem © o

Museu Whipple (Wh.4408).

Figura 2: Divisão sucessiva, faz-se a corda

vibrar em relações fracionárias referentes

ao seu comprimento original.

Pela primeira vez, um som não combinava com o som original.

Por sinal, eles até se pareciam excessivamente, contudo não produziam

um som agradável. O que fez com que o chinês, desse por concluído o

trabalho e criasse os cinco primeiros sons, uma escala pentatônica.

Nesta escala todos os sons

combinam entre si, para

experimentar isso qualquer um de

nós, pode se sentar à frente de um

piano e tocar apenas as teclas

pretas, que formam uma destas escalas pentatônicas.

A escala pentatônica é a escala de música oriental, é uma escala onde todos os tons tem

uma relação matemática idêntica entre si. E isso provoca um sentimento de harmonia e igualdade,

que é um sentimento, também, da cultura e arte oriental, em especial chinesa, japonesa, hindu e

também, do Blues americano.

Aquele sexto som encontrado também trás uma relação matemática com o som original,

uma vez que é quase o inteiro, ou seja, o som original. Pela extrema semelhança e pela

complexidade existente, na relação destes sons, ele foi afastado do universo sonoro chinês.

Uma maneira de se dividir este espaço entre

dois sons equivalentes, por exemplo, entre dó e dó,

é em sete partes, por gerar sete notas, criou-se a

denominação oitava para este ciclo, já que o oitavo

som passa a ser o primeiro do espaço equivalente,

dando a impressão de voltar ao início, e ,assim “até

o infinito”, sendo esta uma das forma mais

utilizadas no acidente.

Por sua vez, podemos destacar outros povos e suas contribuições na música. Os árabes

incluem na sua tradição até 24 divisões desiguais no interior da oitava, criando combinações que

levam até 133 maneiras de agrupar os sons.

Figura 4: A nota musical SI,

obtida pelas sucessivas divisões

na terça parte destonava da

primeira nota, o DÓ.

Figura 3: Escala Pentatônica

Figura 5: Representação de uma oitava.

O sistema musical do norte da Índia tem 22 notas, em intervalos muito pequenos de som

que são chamados quarto de tom e ao sul da Índia eles têm 28 intervalos. A música clássica

indiana tem 10 escalas básicas que se subdividem em 64 e a partir de uma análise combinatória

entre elas, pode-se realizar um mapeamento das diferentes combinações sonoras de forma ampla

e matemática.

ESCALA TEMPERADA

Esta escala consiste em dividir a oitava em doze porções de tamanho idêntico. Afinando

os instrumentos desta maneira, qualquer melodia, poderia ser transposta para outros lugares do

teclado, e a reconheceríamos como sendo a mesma música, mas em tons diferentes.

Para compreender esta escala é necessário retornar um pouco ao estudo de Pitágoras. As

divisões pitagóricas sugerem sons que mantinham relações aritméticas. As sequências, obtidas à

maneira pitagórica, geradas por relações aritméticas, produzem a cada oitava, não as mesmas

notas da primeira, mas outras sutilmente desiguais. Conforme ilustra a imagem a seguir.

Essa diferença faz com que a cada novo conjunto de notas,

seja diferente do primeiro. Se pensarmos em um esquema para

representar este fenômeno sonoro, as escalas pitagóricas geram,

não um círculo, mas sim, uma espiral de notas.

Figura 6: Na divisão de uma oitava em doze partes.

Figura 7: Espiral de notas nas

divisões sem temperamento.

As músicas produzidas por Bach e outros músicos de sua época, por se utilizar dos

acordes, que são notas tocadas simultaneamente, precisava de uma mesma afinação em todas as

oitavas, para que a músicas não se tornasse desafinada. Para isso, optaram por dividir a escala não

de maneira aritmética, mas sim, geométrica ou logarítmica. Na prática a escala divide a pequena

diferença existente entre o dó de uma oitava e o dó de uma seguinte, entre todas as notas da

escala. A escala temperada altera, assim, sutilmente todas as notas criando sons não naturais.

Gerando, porém, uma escala circular, em que o fim de uma oitava coincide com o início de outra.

Portanto, se a escala temperada se dá a partir de uma progressão geométrica é possível

calcular o intervalo entre as notas e a razão entre notas consecutivas. Assim, vamos supor que a

frequência da primeira nota, o Dó, é e a razão entre as frequências de duas notas consecutivas é

. Desta maneira, poderemos construir a seguinte tabela.

Figura 8: Oitavas na escala

temperada.

Tabela 1: Notas musicais e progressão geométrica.

Como cada nota corresponde a uma frequência do som. Nas frequências mais altas estão

os sons mais agudos e nas frequências mais baixas os sons mais graves. Os físicos mostraram que

a razão entre a frequência da primeira nota Dó mais aguda e da outra nota Dó mais grave é igual

a 2, o mesmo acontece para as demais notas musicais, a razão é sempre 2.

Portanto, sabemos que a frequência do segundo Dó é o dobro da frequência do primeiro

Dó ( ), que por sua vez é igual a , ou seja

como a frequência é não nula, temos que

√

Essa nova maneira de afinar os instrumentos e organizar a escolha das notas, só se tornou

possível, através de uma nova maneira de fazer cálculos, os logaritmos. Os logaritmos surgem

para estabelecer uma relação em sequência aritmética e sequências geométricas.

A sequência

é uma sequência aritmética de razão 1, pois para gerar a sequência é somado um ao elemento

anterior da sequência.

Já a sequência

é uma sequência geométrica, pois cada elemento é obtido multiplicando-se o elemento anterior

por 2.

Perceba que uma sequência numérica pode ser escrita da seguinte maneira.

Percebe-se que a sequência geométrica é formada por uma base, neste caso o 2, e os

expoentes formam uma sequência aritmética. Os logaritmos são uma maneira de associar essas

duas sequências. Portanto podemos calcular uma aproximação da razão entre duas notas

consecutivas utilizando logaritmos.

Utilizando a calculadora científica obtemos uma aproximação de .

Portanto,

Aplicando o antilogaritmo, temos

Para descobrir o valor de , ou seja, a

frequência da nota Dó, utilizaremos a nota Lá,

uma vez que ela é utilizada como parâmetro

universal no cálculo da frequência das demais

Figura 9: Relação entre sequência aritmética e sequência

geométrica.

Figura 10: Diapasão é um instrumento metálico em forma de

forquilha, que serve para afinar instrumentos e vozes através

da vibração de um som musical. Foi inventado por John

Shore (1662–1752) em 1711.

notas e também porque é tida como base na afinação dos instrumentos musicais. Existe,

inclusive, um instrumento chamado Diapasão que é afinado na frequência da nota Lá de 440 Hz.

Como a nota Lá, na tabela, corresponde a , temos

Como , obtermos, ( ) , e assim

Portanto, a frequência do Dó é aproximadamente 262 Hertz. Realizando uma breve

pesquisa na internet verifica-se que o Dó é tem frequência de aproximadamente 264 Hertz. Este

erro se dá devido às aproximações realizadas no cálculo apresentado anteriormente. Veja, a

seguir um comparativo entre as frequências das notas em três escalas diferentes.

Nesta tabela, é possível verificar que as adaptações nas notas da escala pitagórica para a

escala temperada não resultou em grandes mudanças nas frequências.

Figura 11: Tabela de frequências em diferentes escala. Obs.: a escala justa

não foi discutida neste trabalho.

CONCLUSÃO

A utilização dos conceitos da música para o ensino de progressões geométricas é, sem

dúvida, uma boa maneira de mostrar ao aluno a aplicabilidade dos conceitos estudados. Contudo,

requer, do professor, um planejamento detalhado e uma apropriação teórica sólida, uma vez que

os conceitos nem sempre são triviais.

Percebe-se neste trabalho que a música e a matemática são eternas companheiras. Por

isso, existem estudiosos que não medem esforços para encontrar novas relações matemáticas na

música, assim como, para divulgar esta magnífica relação entre arte e matemática. Na internet

podem ser encontrados diversos vídeos educativos que exploram estes conhecimentos, cabe a nós

uma busca mais detalhada e crítica destes materiais e de sua exploração em sala de aula.

REFERÊNCIAS

ALISSON, Elton. Música como ciência. Acesso em: 02 de julho de 2014. Disponível em:

<http://agencia.fapesp.br/14734>.

A origem das notas musicais. Disponível em: <http://viola-de-

arco.blogspot.com.br/search/label/ii.09.%20A%20Origem%20das%20Notas%20Musicais>.

Acesso em: 02 de julho de 2014.

BRASIL. MEC. Arte e Matemática. [vídeo]. Brasília. TV Escola. Disponível em:

<http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20

816>. Acesso em: 02 de julho de 2014.

_____________. Luthier de proporções. [vídeo]. Brasília. MAIA, Adolfo; MANZOLLI,

Jonatas. Universidade Estadual de Campinas, Campinas. Disponível em:

<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1129>. Acesso em: 02 de julho de 2014.

Monochord: an ancient musical and scientific instrument. Acesso em: 02 de julho de 2014.

Disponível em: <http://www.hps.cam.ac.uk/whipple/explore/acoustics/monochord/>.

O pato Donald no país da Matemágica. Produção de Walt Disney [vídeo]. Disponível em <

https://www.youtube.com/watch?v=TphWfs_OXkU >. Acesso em: Acesso em: 02 de julho de

2014.

TEIXEIRA, António José. Isto é Matemática: A Escala Pitagórica (T05E02). [vídeo].

Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Lisboa, Lisboa. Disponível em:

<https://www.youtube.com/watch?v=MYvaJrlpwKI>. Acesso em: 02 de julho de 2014.