UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE de … · fluxo de potência trifásico em redes radiais tanto na frequência ... method of the Ladder type to perform the three-phase

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE de ENGENHARIA ELÉTRICA e de COMPUTAÇÃO

THIAGO PRINI FRANCHI

FLUXO DE POTÊNCIA TRIFÁSICO HARMÔNICO BASEADO NO MÉTODO

BACKWARD/FORWARD SWEEP PARA O ESTUDO DOS HARMÔNICOS GERADOS

POR CARGAS INDUSTRIAIS E RESIDENCIAIS

Campinas

2017

THIAGO PRINI FRANCHI

FLUXO DE POTÊNCIA TRIFÁSICO HARMÔNICO BASEADO NO MÉTODO

BACKWARD/FORWARD SWEEP PARA O ESTUDO DOS HARMÔNICOS GERADOS

POR CARGAS INDUSTRIAIS E RESIDENCIAIS

Dissertação de mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica

e de Computação como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do

título de Mestre em Engenharia Elétrica na área de Energia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto Favarin Murari

Este exemplar corresponde à versão final da

dissertação defendida pelo aluno Thiago Prini Franchi,

orientado pelo Prof. Dr. Carlos Alberto Favarin Murari

_____________________________________

Campinas

2017

COMISSÃO JULGADORA - DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Candidato: Thiago Prini Franchi RA: 095481

Data da Defesa: 05 de maio de 2017 Título da Tese: “Fluxo de Potência Trifásico Harmônico baseado no Método

Backward/Forward Sweep para o Estudo dos Harmônicos Gerados por Cargas Industriais e

Residenciais”

Prof. Dr. Carlos Alberto Favarin Murari (Presidente, FEEC / UNICAMP) Prof. Dr. José Carlos de Melo Vieira Junior (EESC / USP - São Carlos) Profa. Dra. Fernanda Caseño Trindade Arioli (FEEC / UNICAMP) A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

“Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes”

Isaac Newton

AGRADECIMENTOS

Agradeço inicialmente a Deus por ter me dado o dom da vida e as faculdades necessárias para

realizar este trabalho e completar mais esta etapa em minha vida profissional.

Ao Professor Dr. Carlos Alberto Favarin Murari por toda dedicação, disponibilidade,

orientação, sabedoria e conhecimento compartilhado.

Aos meus pais Luiz Aparecido Franchi Sobrinho e Cleuza Maria Prini Franchi e ao meu

irmão Thales Prini Franchi que me incentivaram e auxiliaram nos momentos difíceis com

muito amor e carinho para que eu pudesse concluir este trabalho.

RESUMO

Com o aumento de cargas eletrônicas em geral, dos equipamentos ferromagnéticos e dos

dispositivos a arco (cargas com características não lineares) conectados nas redes de

distribuição de energia elétrica, intensificou o aparecimento de distúrbios e distorções nas

formas de onda da tensão e da corrente degradando a qualidade da energia elétrica, sendo este

o foco da pesquisa que norteou esta tese de mestrado. Foi desenvolvido um algoritmo

fundamentado no método backward/forward sweep do tipo Ladder para realizar o cálculo do

fluxo de potência trifásico em redes radiais tanto na frequência fundamental como nas

frequências harmônicas. É descrita uma modelagem matemática das cargas não lineares

industriais e residenciais (motor de indução trifásico, forno elétrico a arco, lâmpada

fluorescente compacta e os sistemas de cargas de baterias para veículos elétricos), bem como,

são apresentadas as formas de onda da tensão e da corrente nas barras da rede devido ao

conteúdo harmônico proveniente dessas cargas não lineares e relatados os efeitos dos

harmônicos nos componentes da rede elétrica, as distorções harmônicas e uma análise

referente às principais normas nacionais e internacionais vigentes sobre harmônicos. Através

deste estudo verificou-se que: nos ramos da rede as perdas são maiores no tronco principal

(ramos que ligam a carga não linear a barra da subestação) e apresentam um comportamento

semelhante ao conteúdo harmônico da carga não linear; nos bancos de capacitores há um

aumento da potência reativa e da perda devido à presença das tensões harmônicas; a distorção

harmônica total para a tensão é maior para as barras mais próximas da barra com a carga não

linear (estando ou não no tronco principal); e a distorção harmônica total para a corrente é

maior nos ramos que formam o tronco principal.

Palavras Chaves: Backward/forward sweep do tipo Ladder, motor de indução, forno elétrico

a arco, lâmpada fluorescente compacta, sistema de carga de baterias para veículo elétrico.

ABSTRACT

With the increase of electronic loads in general, ferromagnetic equipment, and arc devices

(loads with nonlinear characteristics) in the electrical energy distribution grid, it was verified

the appearance of disturbances and distortions at the voltage and current waveforms damaging

the quality of the electrical energy. Due to the concernment with the quality of the electrical

energy, this work intends to develop an algorithm founded on the backward/forward sweep

method of the Ladder type to perform the three-phase power flux calculus in radial grids, both

in fundamental frequency and harmonics frequencies. In this dissertation it is presented an

industrial nonlinear loads mathematical modeling and residential (three phase induction

motor, electric arc furnaces, compact fluorescent lamps and battery load systems for electric

vehicles), as well as, the voltage and current waveforms at the electric grid bars due to the

harmonic content originated from nonlinear loads, the effects of the harmonics at the

electrical grid components, the harmonic distortion and an analysis referring to the current

main national standards about harmonics. Through this study it was verified that: the loses at

the grid ramification is greater than the main stem (ramifications link the nonlinear load to the

substation bar) and present a similar behavior to the nonlinear load harmonic content;

capacitor banks present an increase at the reactive power and the loses caused by the presence

of harmonic voltage; the voltage total harmonic distortion is greater for the bars closer to the

bars with the nonlinear load (being or not in the mains stem); and the current total harmonic

distortion is greater in the ramifications that form the main stem.

Key Words: Backward/forward sweep of the Ladder type, induction motor, electric arc

furnace, compact fluorescent lamp, load systems for electric vehicles batteries.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 2.1 – Rede fictícia de cinco barras. .................................................................................. 26

Figura 2.2 – Modelo do motor de indução. Adaptado de (Ruppert & Almeida, 1997). .............. 37

Figura 2.3 – Modelo do motor. Adaptado de (Zaninelli, 1992). ................................................. 37

Figura 2.4 – Modelo do motor. Adaptado de (Sharaf, 1992) ...................................................... 38

Figura 2.5 – Modelo do motor de indução. Adaptado de (Frank et al, 2012). ............................ 40

Figura 2.6 – Modelo harmônico do motor para as seq. (a) positiva e negativa e (b) zero.

Adaptado de (Frank et al, 2012). ................................................................................................. 40

Figura 2.7 – Circuito de alimentação do forno. Adaptado de (Bellido & Gómez, 1997). .......... 42

Figura 2.8 – Circuito de Chua. Adaptado de (Sousa et al, 2005). ............................................... 43

Figura 2.9 – Circuito de alimentação do forno. Adaptado de (Mayordomo et al, 1997). ........... 45

Figura 2.10 – Componentes da lâmpada fluorescente. Adaptado de (Siqueira, 2011)................ 46

Figura 2.11 – Modelo da lâmpada fluorescente. Adaptado de (Carrillo & Cidrás, 1998). ......... 47

Figura 2.12 – Sistema de carga de baterias não controlado. Adaptado de (Yang et al, 2011). ... 51

Figura 2.13 – Sistema de carga de baterias controlado por PWM. Adaptado de (Yang et al,

2011). .......................................................................................................................................... 51

Figura 2.14 – Sistema de carga de baterias. Adaptado de (Haidar & Muttaqi, 2014). ................ 52

Figura 3.1 – Representação do teorema de Fortescue. Adaptado de (Leão et al, 2014). ............ 56

Figura 4.1 – Representação dos condutores e suas imagens. Adaptado de (Kersting, 2002). ..... 63

Figura 4.2 – Posições dos cabos da rede de distribuição de energia. Adaptado de (Kersting,

2002). .......................................................................................................................................... 65

Figura 4.3 – Modelo completo da linha de distribuição. Adaptado de (Kersting, 2002). ........... 67

Figura 4.4 – Modelo simplificado da linha de distribuição. Adaptada de (Kersting, 2002). ...... 70

Figura 4.5 – Representação geral do transformador. Adaptado de (Kersting, 2002). ................. 72

Figura 4.6 – Transformador triângulo–estrela aterrado. Adaptado de (Kersting, 2002). ............ 73

Figura 4.7 – Ligação do secundário do transformador ∆ − 𝑌. Adaptado de (Kersting, 2002).... 76

Figura 4.8 – Ligação do primário do transformador ∆ − 𝑌. Adaptado de (Kersting, 2002). ...... 77

Figura 4.9 – Transformador estrela aterrada–estrela aterrada. Adaptado de (Kersting, 2002). .. 81

Figura 4.10 – Ligação do secundário do transformador 𝑌 − 𝑌. Adaptado de (Kersting, 2002). 81

Figura 4.11 – Banco de capacitores ligado em estrela. Adaptado de (Kersting, 2002). .............. 85

Figura 4.12 – Representação do banco de capacitores em 𝑌 para o fluxo de potência trifásico . 86

Figura 4.13 – Banco de capacitores em triângulo. Adaptado de (Kersting, 2002). ..................... 87

Figura 4.14 – Representação do banco de capacitores em ∆ para o fluxo de potência trifásico. 88

Figura 4.15 – Modelo do capacitor. Adaptado de (Silva & Rossi, 2012). .................................. 89

Figura 4.16 – Diagrama de impedância do modelo do capacitor. ............................................... 89

Figura 4.17 – Representação da carga linear. .............................................................................. 90

Figura 4.18 – Representação da carga não linear através do equivalente (a) Thevenin, adaptado

de (Ahmed et al, 1999); e (b) Norton, adaptado de (Rylander & Grady, 2010). ......................... 91

Figura 4.19 – Carga linear trifásica ligada em estrela. Adaptado de (Kersting, 2002). .............. 92

Figura 4.20 – Carga linear trifásica ligada em triângulo. Adaptado de (Kersting, 2002). .......... 95

Figura 4.21 – Representação (a) do estator e (b) da forma da onda da f.m.m. Adaptado de (Bim,

2009). ........................................................................................................................................ 100

Figura 4.22 – Representação (a) do estator de 2 pólos e (b) da forma de onda da f.m.m.

Adaptado de (Bim, 2009). ......................................................................................................... 101

Figura 4.23 – Modelo do motor para a frequência fundamental. Adaptado de (Fitzgerald et al,

2008). ........................................................................................................................................ 102

Figura 4.24 – Modelo do motor de indução. Adaptado de (Pedra et al, 2006). ........................ 103

Figura 4.25 – Modelo harmônico do motor para inserção no fluxo de potência. Adaptado de

(Chang, 2001) ............................................................................................................................ 106

Figura 4.26 – Circuito simplificado para o cálculo das tensões e correntes no motor. ............. 106

Figura 4.27 – Forma de onda e espectro de amplitude das correntes no motor. ....................... 108

Figura 4.28 – Impedância do motor para frequência fundamental. ........................................... 109

Figura 4.29 – Representação do motor para quinta harmônica. ................................................ 109

Figura 4.30 – Representação do motor para sétima harmônica................................................. 109

Figura 4.31 – Representação do motor para décima primeira harmônica. ................................ 110

Figura 4.32 – Representação do motor para décima terceira harmônica. ................................. 110

Figura 4.33 – Representação do motor para décima sétima harmônica. ................................... 110

Figura 4.34 – Circuito equivalente com as correntes do motor de indução. Adaptado de (Pedra et

al, 2006)..................................................................................................................................... 111

Figura 4.35 – Modelo do circuito de alimentação do forno elétrico. Adaptado de (Sousa et al,

2005). ........................................................................................................................................ 112

Figura 4.36 – Circuito simplificado do forno elétrico a arco para frequência fundamental.

Adaptado de (Ahmed et al, 1999). ............................................................................................ 113

Figura 4.37 – Forma de onda e espectro de amplitude da tensão do arco elétrico. ................... 114

Figura 4.38 – Circuito simplificado para o cálculo da corrente harmônica. ............................. 115

Figura 4.39 – Modelo harmônico do forno para determinação da tensão na barra do forno.

Adaptado de (Ahmed et al, 1999). ............................................................................................ 116

Figura 4.40 – Forma de onda da tensão e da corrente do arco. Adaptado de (Montanari et al,

1994). ........................................................................................................................................ 116

Figura 4.41 – Modelo do forno elétrico a arco para a frequência fundamental. ....................... 118

Figura 4.42 – Modelo do forno elétrico a arco para a terceira harmônica. ............................... 118

Figura 4.43 – Modelo do forno elétrico a arco para a quinta harmônica. ................................. 118

Figura 4.44 – Modelo do forno elétrico a arco para a sétima harmônica. ................................. 118

Figura 4.45 – Modelo do forno elétrico a arco para a nona harmônica. .................................... 119

Figura 4.46 – Modelo do forno elétrico a arco para a décima primeira harmônica. ................. 119

Figura 4.47 – Área de passagem da corrente contínua na seção do condutor. Adaptado de (Paul,

2008). ........................................................................................................................................ 119

Figura 4.48 – Área de passagem da corrente alternada na seção do condutor. Adaptado de (Paul,

2008). ........................................................................................................................................ 120

Figura 4.49 – Área de passagem da corrente alternada para (a) 𝑓1 e (b) 𝑓2. Adaptado de (Paul,

2008). ........................................................................................................................................ 120

Figura 4.50 – Representação da espessura pelicular. Adaptado de (Paul, 2008). ..................... 121

Figura 4.51 – Circuito equivalente de Norton. Adaptado de (Rylander & Grady, 2010). ........ 122

Figura 4.52 – Circuito utilizado para determinação dos parâmetros do modelo. Adaptado de

(Abdelkader et al, 2001). ........................................................................................................... 122

Figura 4.53 – Circuito harmônico simplificado para o cálculo das tensões e correntes............ 125

Figura 4.54 – Forma de onda, espectro de amplitude e fase da corrente na lâmpada. .............. 126

Figura 4.55 – Modelo da lâmpada fluorescente compacta para terceira harmônica. ................ 127

Figura 4.56 – Modelo da lâmpada fluorescente compacta para quinta harmônica. .................. 127

Figura 4.57 – Modelo da lâmpada fluorescente compacta para sétima harmônica. .................. 127

Figura 4.58 – Sistema dimplificado de carga das baterias. Adaptado de (Monteiro et al, 2012).

................................................................................................................................................... 128

Figura 4.59 – Sistema monofásico de carga de bateria. Adaptado de (Monteiro et al, 2012). .. 129

Figura 4.60 – Forma de onda, espectro de amplitude e fase da corrente no sistema de carga

monofásico. ............................................................................................................................... 129

Figura 4.61 – Sistema trifásico de carga de bateria. Adaptado de (Monteiro et al, 2012). ....... 129

Figura 4.62 – Sistema trifásico de carga de baterias sem controle de retificação. Adaptado .... 130

de (Yang et al, 2011). ................................................................................................................ 130

Figura 4.63 – Sistema trifásico de carga das baterias com reticação controlada por PWM.

Adaptado de (Yang et al, 2011). ............................................................................................... 130

Figura 4.64 – Forma de onda, espectro de amplitude e fase da corrente no sistema de carga

trifásico controlado. ................................................................................................................... 131

Figura 4.65 – Modelo do sistema de carga das baterias para frequência fundamental. ............ 131

Figura 4.66 – Modelo harmônico do sistema de cargas das baterias. Adaptado de (Aljanad &

Mohamed, 2016). ...................................................................................................................... 132

Figura 4.67 – Representação do sistema de carga para frequência fundamental. ..................... 133

Figura 4.68 – Representação do sistema de carga para terceira harmônica. ............................. 134

Figura 4.69 – Representação do sistema de carga para quinta harmônica. ............................... 134

Figura 4.70 – Representação do sistema de carga para sétima harmônica. ............................... 134

Figura 4.71 – Representação do sistema de carga para nona harmônica. ................................. 134

Figura 5.1 – Representação de um ramo da rede para o fluxo de potência trifásico. Adaptado de

(Kersting, 2002). ....................................................................................................................... 137

Figura 5.2 – Representação da rede de 5 barras. ....................................................................... 138

Figura 5.3 – Representação do processo de renumeração das barras. ....................................... 138

Figura 5.4 – Representação da numeração dos ramos. .............................................................. 138

Figura 5.5 – Representação da etapa backward sweep para frequência fundamental. .............. 139

Figura 5.6 – Fluxo de corrente para a frequência fundamental na barra 2. ............................... 141

Figura 5.7 – Representação da etapa forward sweep para frequência fundamental. ................. 141

Figura 5.8 – Fluxograma do método backward/forward sweep do tipo Ladder........................ 142

Figura 5.9 – Rede com a carga não linear modelada através da fonte de corrente.................... 144

Figura 5.10 – Rede com a carga não linear modelada através da fonte de tensão. ................... 144

Figura 5.11 – Iteração backward/forward sweep para inicialização das tensões. Adatptada de

(Kersting, 2002). ....................................................................................................................... 144

Figura 5.12 – Fluxo da corrente harmônica na rede. ................................................................. 146

Figura 5.13 – Tronco principal da rede para carga não linear na barra 4. ................................. 146

Figura 5.14 – Análise dos ramos do tronco principal (barras 3 e 4). ........................................ 147

Figura 5.15 – Ramo fora do tronco principal da rede. .............................................................. 147

Figura 5.16 – Análise dos ramos fora do tronco principal (barras 2 e 5). ................................. 147

Figura 5.17 – Fluxo de corrente harmônica na barra 2. ............................................................ 148

Figura 5.18 – Fluxograma do algoritmo para a frequência fundamental e harmônica. ............. 149

Figura 5.19 – Disposição dos cabos no poste. Adaptado de (Kersting, 2002). ......................... 151

Figura 5.20 – Comportamento do erro (em p.u.) para cada iteração do algoritmo. .................. 152

Figura 5.21 – Perfil de tensão da rede de 5 barras para a frequência fundamental. .................. 153

Figura 5.22 – DHT para as tensões na rede de 5 barras. ........................................................... 153

Figura 5.23 – Perfil de corrente da rede de 5 barras para a frequência fundamental. ............... 154

Figura 5.24 – DHT para as correntes na rede de 5 barras. ........................................................ 154

Figura 5.25 – Formas de onda da tensão para as fases A na barra 277. .................................... 155

Figura 5.26 – Formas de onda da tensão para as fases A na barra 250. .................................... 155

Figura 6.1 – Diagrama unifilar da rede de 13 barras do IEEE. Adaptado de (Testfeeders, 2016).

................................................................................................................................................... 157

Figura 6.2 – Comportamento do erro (pu) para a rede de 13 barras do IEEE. .......................... 162

Figura 6.3 – Perfil de tensões da rede de 13 barras do IEEE. ................................................... 162

Figura 6.4 – Perfil de correntes da rede de 13 barras do IEEE. ................................................ 162

Figura 6.5 – Comparação das magnitudes das tensões da rede de 13 barras. ........................... 164

Figura 6.7 – Comportamento dos erros das magnitudes das tensões da rede de 13 barras. ...... 164

Figura 6.8 – Comportamento dos erros dos ângulos das tensões da rede de 13 barras. ............ 165

Figura 6.9 – Diagrama unifilar da rede com o motor de indução. Adaptado de (Testfeeders,

2016). ........................................................................................................................................ 166

Figura 6.10 – Comportamento do erro (p.u.) para rede de 13 barras com o motor. .................. 167

Figura 6.11 – Perfil de tensão para rede com o motor .............................................................. 168

Figura 6.12 – DHT para as tensões nas barras da rede com o motor. ....................................... 169

Figura 6.13 – Perfil de corrente no ramos da rede com o motor. .............................................. 170

Figura 6.14 – DHT para as correntes nos ramos da rede com o motor. .................................... 171

Figura 6.15 – Forma de onda da tensão e da corrente para as barras: (a) 634, (b) 671, (c) 675, (d)

652, (e) 650 e (f) 680. ................................................................................................................ 172

Figura 6.16 – Comportamento das perdas harmônicas nos ramos da rede com o motor. ......... 174

Figura 6.17 – Perdas para a frequência fundamental e total nos ramos da rede com o motor. . 174

Figura 6.18 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com o motor. ....................... 175

Figura 6.19 – Comportamento da perdas harmônicas nos capacitores da rede com o motor. .. 176

Figura 6.20 – Perdas para frequência fundamental e total no motor. ........................................ 177

Figura 6.21 – Comportamento do torque produzido pelo motor de indução. ........................... 177

Figura 6.22 – Comportamento do escorregamento. .................................................................. 177

Figura 6.23 – Rede com o forno conectado na barra 634. Adaptado de (Testfeeders, 2016). .. 178

Figura 6.24 – Comportamento do erro (p.u.) devido ao forno elétrico a arco. .......................... 179

Figura 6.25 – Perfil de tensões nas barras da rede com o forno. ............................................... 180

Figura 6.26 – DHT para as tensões nas barras da rede com o forno. ........................................ 181

Figura 6.27 – Perfil de corrente os ramos da rede com o forno. ............................................... 182

Figura 6.28 – DHT para as correntes nos ramos da rede com o forno. ..................................... 182


650 e (e) 634. ............................................................................................................................. 184

Figura 6.30 – Comportamento das perdas harmônica nos ramos da rede com o forno............. 185

Figura 6.31 – Perdas nos ramos da rede com o forno para a frequência fundamental e total. .. 186

Figura 6.32 – Percentual de aumento de perdas nos ramos da rede com o forno. .................... 186

Figura 6.33 – Comportamento das perdas dos capacitores da rede com o forno. ..................... 187

Figura 6.34 – Espessura pelicular cabos de alimentação do forno. ........................................... 188

Figura 6.35 – Perdas harmônicas nos cabos de alimentação do forno. ..................................... 188

Figura 6.36 – Perdas perdas acumuladas no cabos de alimentação do forno. ........................... 189

Figura 6.37 – Rede com o conjunto de lâmpadas conectada na barra 634. Adaptado de

(Testfeeders, 2016). ................................................................................................................... 189

Figura 6.38 – Comportamento do erro (p.u.) devido as lâmpadas fluorescentes. ..................... 190

Figura 6.39 – Perfil das tensões da rede com as lâmpadas. ....................................................... 192

Figura 6.40 – DHT para as tensões da rede com as lâmpadas. ................................................. 193

Figura 6.41 – Perfil de corrente nos ramos da rede com as lâmpadas. ...................................... 194

Figura 6.42 – DHT para as correntes nos ramos da rede com as lâmpadas. ............................. 195


650 e (e) 634. ............................................................................................................................. 196

Figura 6.44 – Comportamento das perdas nos ramos da rede com as lâmpadas. ...................... 197

Figura 6.45 – Perdas nos ramos da rede com as lâmpadas para frequência fundamental e total.

................................................................................................................................................... 198

Figura 6.46 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com as lâmpadas. ................. 198

Figura 6.47 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede com as lâmpadas. ........................... 199

Figura 6.48 – Rede com os sistemas de carga de bateria conectados na barra 634. Adaptado de

(Testfeeders, 2016). ................................................................................................................... 199

Figura 6.49 – Comportamento do erro (p.u.) para a rede com os sistemas de carga de bateria

monofásico. ............................................................................................................................... 200

Figura 6.50 – Perfil das tensões para rede com os sistemas de carga de bateria monofásico. .. 202

Figura 6.51 – DHT para tensão da rede com os sistemas de carga de baterias monofásico. .... 203

Figura 6.52 – Perfil de corrente nos ramos da rede com os sistemas de carga de bateria

monofásico. ............................................................................................................................... 204

Figura 6.53 – DHT para corrente da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico. ... 205

(e) .............................................................................................................................................. 206


650 e (e) 634. ............................................................................................................................. 206

Figura 6.55 – Comportamento das perdas nos ramos da rede com os sistemas de carga de bateria

monofásico. ............................................................................................................................... 207

Figura 6.56 – Perdas nos ramos da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico. ..... 208

Figura 6.57 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com os sistemas de carga de

bateria monofásico. ................................................................................................................... 208

Figura 6.58 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede com os sistemas de carga de bateria

monofásico. ............................................................................................................................... 209

Figura 6.59 – Comportamento do erro (p.u.) para rede com o sistema de carga de bateria

trifásico. ..................................................................................................................................... 210

Figura 6.60 – Perfil das tensões para rede com o sistema de carga de bateria trifásico. ........... 211

Figura 6.61 – DHT para as tensões da rede com o sistema de carga de bateria trifásico. ......... 212

Figura 6.62 – Perfil de corrente nos ramos da rede com o sistema de carga de bateria trifásico.

................................................................................................................................................... 213

Figura 6.63 – DHT para as correntes nos ramos da rede com o sistema de carga de bateria

trifásico. ..................................................................................................................................... 214


650 e (e) 634. ............................................................................................................................. 215

Figura 6.65 – Comportamento das perdas nos ramos da rede com o sistema de carga de bateria

trifásico. ..................................................................................................................................... 216

Figura 6.66 – Perdas nos ramos da rede com o sistema trifásico. ............................................. 217

Figura 6.67 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com o sistema trifásico. ....... 217

Figura 6.68 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede com o sistema trifásico. ................. 218

Figura 6.69 – Rede com o motor e o forno nas barras 680 e 634. Adaptado de (Testfeeders,

2016). ........................................................................................................................................ 218

Figura 6.70 – Comportamento do erro (p.u.) devido motor e o forno. ...................................... 219

Figura 6.71 – Perfil de tensões nas barras da rede devido ao motor e ao forno. ....................... 220

Figura 6.72 – DHT para as tensões devido ao motor e ao forno. .............................................. 221

Figura 6.73 – Perfil de corrente nos ramos da rede devido ao motor e ao forno....................... 223

Figura 6.74 – DHT para as correntes devido ao motor e ao forno. ........................................... 223


650, (e) 680 e (f) 634. ............................................................................................................... 224

Figura 6.76 – Comportamento das perdas nos ramos devido ao motor e o forno. .................... 225

Figura 6.77 – Perdas nos ramos devido ao motor e o forno. ..................................................... 226

Figura 6.78 – Aumento percentual de perdas nos ramos devido ao motor e o forno. ............... 226

Figura 6.79 – Perdas harmônicas dos capacitores devido ao motor e o forno. ......................... 227

Figura 6.80 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com as cargas não lineares. .................... 229

Figura 6.81 – Comportamento das perdas nos ramos devido as cargas não lineares. ............... 229

Figura 6.82 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede devido as cargas não lineares. ........ 230

Figura 6.83 – Potências reativas dos capacitores da rede com as cargas não lineares. ............. 231

Figura 6.84 – Perdas totais nos ramos da rede devido aos sistemas de cargas de baterias........ 233

Figura 6.85 – Efeito nas (a) perdas dielétricas e (b) na potência reativa devido aos sistemas de

cargas de baterias. ..................................................................................................................... 233

Figura 6.86 – Perdas totais nos ramos para as redes com o motor e com o motor e o forno. ... 234

Figura 6.87 – Perdas nos ramos para as redes com o motor e com o motor e o forno. ............. 234

Figura 6.88 – Comportamento das perdas no tronco principal da rede com o motor. .............. 235

Figura 6.89 – Comportamento das perdas no tronco principal da rede com o motor e o forno. 235

Figura 6.90 – Perdas harmônicas nos capacitores para as redes com o motor e com o motor e o

forno. ......................................................................................................................................... 236

Figura 6.91 – Potência reativa dos capacitores da rede com o motor e com o motor e o forno.237

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Definição da sequência para cada ordem harmônica (Leão et al, 2014). ............... 57

Tabela 3.2 – Limites de dist. para corrente – Norma IEEE 519-1992 (IEEE Std. 519, 1992). ... 58

Tabela 3.3 – Limites de dist. para tensão – Norma IEEE 519-1992 (IEEE Std. 519, 1992). ...... 59

Tabela 3.4 – Limites de DHI para tensão (ordem ímpar) – Norma IEC 610002-2 (IEC 61000-2-

2, 2002). ...................................................................................................................................... 59

Tabela 3.5 – Limites de DHI para a tensão (ordem par) – Norma IEC 610002-2 (IEC 61000-2-

2, 2002). ...................................................................................................................................... 59

Tabela 3.6 – Limites de DHI para a tensão (ordem ímpar) – Norma IEC 610003-6 (IEC Std.

61000-3-6, 2008). ........................................................................................................................ 60

Tabela 3.7 – Limites de DHI para a tensão (ordem par) – Norma IEC 610003-6 (IEC Std.

61000-3-6, 2008). ........................................................................................................................ 60

Tabela 3.8 – Limites de DHI para a tensão – Norma EN 50160 (EN Std. 50160, 2008). ........... 60

Tabela 3.9 – Limites de DHT para tensão – Módulo 8 do Prodist (Prodist, 2012). .................... 61

Tabela 3.10 – Limites de DHI para a tensão – Módulo 8 do Prodist (Prodist, 2012). ................ 61

Tabela 4.1 – Correntes harmônicas no motor de indução (Duque, 2013). ................................ 105

Tabela 4.2 – Tensões harmônicas para o forno elétrico a arco (Zheng et al, 1998). ................. 113

Tabela 4.3 – Impedância e corrente harmônica para as lâmpadas fluorescentes (Rylander &

Grady, 2010). ............................................................................................................................ 124

Tabela 4.4 – Correntes harmônicas do sist. de carga monofásico (Balcells & Garcia, 2010). .. 129

Tabela 4.5 – Correntes harmônicas do sistema de carga trifásico controlado por PWM (Yang et

al, 2011)..................................................................................................................................... 130

Tabela 5.1 – Parâmetros da topologia da rede de 5 barras. ....................................................... 139

Tabela 5.2 – Magnitude e ângulo da tensão de fase na rede de 5 barras. .................................. 150

Tabela 5.3 – Especificação da potência das cargas da rede de 5 barras. ................................... 150

Tabela 5.4 – Configuração das cargas. ...................................................................................... 150

Tabela 5.5 – Especificação dos ramos da rede de 5 barras. ...................................................... 151

Tabela 5.6 – Especificação da configuração e dos cabos da rede de 5 barras. .......................... 151

Tabela 5.7 – Parâmetros dos cabos. .......................................................................................... 151

Tabela 5.8 – Dados do motor de indução trifásico para rede de 5 barras. ................................. 151

Tabela 5.9 – Correntes harmônicas do motor de indução trifásico (Duque, 2013). .................. 152

Tabela 5.10 – Magnitudes e ângulos das tensões na nas barras da rede de 5 barras. ................ 152

Tabela 5.11 – DHI e DHT para a tensão nas barras da rede de 5 barras. .................................. 153

Tabela 5.12 – Magnitudes e ângulos das correntes nos ramos da rede de 5 barras. .................. 154

Tabela 6.1 – Magnitudes e ângulos das tensões para rede de 13 barras. ................................... 157

Tabela 6.2 – Especificações das cargas da rede de 13 barras. ................................................... 158

Tabela 6.3 – Especificações das cargas combinadas da barra 671. ........................................... 158

Tabela 6.4 – Dados de comprimento e configuração dos ramos da rede de 13 barras. ............. 158

Tabela 6.5 – Especificações dos cabos utilizados na rede de 13 barras. ................................... 159

Tabela 6.6 – Parâmetros dos cabos da rede de 13 barras. ......................................................... 159

Tabela 6.7 – Posições dos cabos de fase e de neutro utilizados na rede de 13 barras. .............. 159

Tabela 6.8 – Dados do transformador da rede de 13 barras. ..................................................... 159

Tabela 6.9 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede de 13 barras. ........................ 160

Tabela 6.10 – Magnitude e ângulo das correntes nos ramos da rede de 13 barras. ................... 161

Tabela 6.11 – Comparação entre as tensões. ............................................................................. 163

Tabela 6.12 – Parâmetros do motor de indução trifásico utilizado na rede de 13 barras. ......... 166

Tabela 6.13 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede com o motor. ..................... 167

Tabela 6.14 – DHI e DHT para tensão na rede com o motor. ................................................... 168

Tabela 6.15 – Magnitude e ângulo das correntes nos ramos da rede com o motor. .................. 170

Tabela 6.16 – Contribuição das correntes harmônicas do motor na barra 650. ........................ 171

Tabela 6.17 – Perdas nas linhas de distribuição da rede com o motor. ..................................... 173

Tabela 6.18 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com o motor. ................. 175

Tabela 6.19 – Perdas e torque desenvolvido. ............................................................................ 176

Tabela 6.20 – Dados do transformador da rede de 13 barras. ................................................... 178

Tabela 6.21 – Parâmetros do forno elétrico a arco. ................................................................... 178

Tabela 6.22 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede com o forno. ...................... 179

Tabela 6.23 – DHI e DHT para as tensões na rede com o forno. .............................................. 180

Tabela 6.24 – Magnitude e ângulo das correntes nos ramos da rede com o forno. ................... 182

Tabela 6.25 – Contribuição das correntes harmônicas oriundas do forno na barra 650. ........... 183

Tabela 6.26 – Perdas nas linhas de distribuição da rede com o forno. ...................................... 185

Tabela 6.27 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com o forno. .................. 187

Tabela 6.28 – Comportamento dos cabos de alimentação do forno. ......................................... 188

Tabela 6.29 – Dados do transformador da rede com as lâmpadas. ........................................... 190

Tabela 6.30 – Parâmetros das lâmpadas fluorescentes compactas. .......................................... 190

Tabela 6.31 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede com as lâmpadas. .............. 191

Tabela 6.32 – DHI e DHT para tensão na rede com as lâmpadas. ............................................ 192

Tabela 6.33 – Magnitude e ângulo das correntes na rede com as lâmpadas. ............................ 194

Tabela 6.34 – Contribuição das correntes harmônicas das lâmpadas na barra 650. .................. 195

Tabela 6.35 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com as lâmpadas. ................................... 197

Tabela 6.36 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com as lâmpadas. .......... 198

Tabela 6.37 – Dados do transformador da rede com o sistema de carga das baterias. .............. 200

Tabela 6.38 – Parâmetros do sistema de carga monofásico. ..................................................... 200

Tabela 6.39 – Magnitude e ângulo das tensões na rede com os três sistemas de carga de baterias

monofásicos. .............................................................................................................................. 201

Tabela 6.40 – DHI e DHT para tensão na rede com os três sistemas de carga de baterias

monofásicos. .............................................................................................................................. 202

Tabela 6.41 – Magnitudes e ângulos das correntes na rede com os três sistemas de carga de

baterias monofásicos ................................................................................................................. 204

Tabela 6.42 – Contribuição das correntes harmônicas dos sistemas de carga de baterias

monofásicos que chegam na barra 650...................................................................................... 205

Tabela 6.43 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com os três sistemas de carga de baterias

monofásico. ............................................................................................................................... 207

Tabela 6.44 – Efeito nos bancos de cap. da rede com os sistemas de carga de bateria

monofásico. ............................................................................................................................... 208

Tabela 6.45 – Parâmetros do sistema de cargas trifásico (Balcells & Garcia, 2010). ............... 209

Tabela 6.46 – Magnitude e ângulo das tensões da rede com o sistema de carga de bateria

trifásico. ..................................................................................................................................... 210

Tabela 6.47 – DHI e DHT para tensão na rede com o sistema de carga de bateria trifásico. ... 211

Tabela 6.48 – Magnitudes e ângulos das correntes na rede com o sistema de carga de bateria

trifásico ...................................................................................................................................... 213

Tabela 6.49 – Contribuição das correntes harmônicas dos sistemas de carga de baterias trifásico

controlado por PWM na barra 650. ........................................................................................... 214

Tabela 6.50 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com o sistema de carga trifásico. ........... 216

Tabela 6.51 – Efeito nos bancos de cap. da rede com o sistema de carga trifásico. ................. 217

Tabela 6.52 – Dados do transformador da rede de 13 barras. ................................................... 219

Tabela 6.53 – Dados do motor de indução trifásico. ................................................................. 219

Tabela 6.54 – Parâmetros do forno elétrico a arco. ................................................................... 219

Tabela 6.55 – Magnitude e ângulo das tensões da rede com o motor e o forno. ....................... 220

Tabela 6.56 – DHI e DHT para as tensões na rede com o motor e o forno ............................... 221

Tabela 6.57 – Magnitude e ângulo das correntes da rede com o motor e o forno. ................... 222

Tabela 6.58 – Contribuição das correntes harmônicas do motor e do forno na barra 650. ....... 224

Tabela 6.59 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com o motor e o forno. ......................... 225

Tabela 6.60 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com o motor e o forno. . 227

Tabela 6.61 – Perdas harmônicas nos ramos da rede para às cargas não lineares. .................... 228

Tabela 6.62 – Perdas nos ramos da rede para às cargas não lineares. ....................................... 230

Tabela 6.63 – Perda no dielétrico dos capacitores devido às cargas não lineares. .................... 230

Tabela 6.64 – Potências reativas nos bancos de capacitores para as cargas não lineares. ........ 231

Tabela 6.65 – Perdas no dielétrico dos capacitores para as cargas não lineares. ...................... 232

Tabela 6.66 – Potências reativas dos capacitores para as cargas não lineares. ......................... 232

Tabela 6.69 – Perdas nos capacitores da rede devido ao motor e o forno. ................................ 236

Tabela 6.70 – Potência dos capacitores devido ao motor e o forno. ......................................... 236

SUMÁRIO

Capítulo 1 ...................................................................................................................... 23 Introdução ..................................................................................................................... 23

Capítulo 2 ...................................................................................................................... 26

Estado da Arte .............................................................................................................. 26 2.1 Fluxo de Potência Trifásico............................................................................................... 26

2.2 Fluxo de Potência Trifásico Harmônico ............................................................................ 32

2.3 Modelagem das Cargas Não Lineares ............................................................................... 36

2.3.1 Motor de Indução Trifásico ........................................................................................ 36

2.3.2 Forno Elétrico a Arco ................................................................................................ 40

2.3.3 Lâmpadas Fluorescentes ............................................................................................ 46

2.3.4 Sistema de Carga de Baterias para os Veículos Elétricos ......................................... 50

Capítulo 3 ...................................................................................................................... 54 Qualidade da Energia Elétrica .................................................................................... 54

3.1 Medidas de Distorção Harmônica ..................................................................................... 54

3.1.1 Distorção Harmônica Individual ................................................................................ 55

3.1.2 Distorção Harmônica Total ........................................................................................ 55

3.2 Componentes Simétricas ................................................................................................... 56

3.2.1 Harmônicos ................................................................................................................ 57

3.3 Normas Relativas aos Harmônicos ................................................................................... 58

Capítulo 4 ...................................................................................................................... 63 Modelagem Matemática dos Componentes da Rede de Distribuição de Energia

Elétrica ........................................................................................................................... 63 4.1 Matriz Impedância Primitiva e Matriz Impedância de Fase .............................................. 63

4.2 Modelo Matemático das Linhas de Distribuição ............................................................... 66

4.2.1 Efeitos dos Harmônicos nas Linhas de Distribuição .................................................. 71

4.3 Modelo Matemático dos Transformadores........................................................................ 72

4.3.1 Transformador Triângulo–Estrela Aterrado ............................................................... 73

4.3.2 Transformador Estrela Aterrado–Estrela Aterrado .................................................... 80

4.3.3 Efeitos dos Harmônicos nos Transformadores ........................................................... 84

4.4 Modelo Matemático do Banco de Capacitores .................................................................. 85

4.4.1 Banco Trifásico de Capacitores Conectados em Estrela ............................................ 85

4.4.2 Banco Trifásico de Capacitores Conectados em Triângulo ....................................... 86

4.4.3 Banco Monofásico ou Bifásico de Capacitores .......................................................... 88

4.4.4 Efeitos dos Harmônicos nos Bancos de Capacitores .................................................. 88

4.5 Modelo Matemático das Cargas ....................................................................................... 90

4.5.1 Cargas Lineares .......................................................................................................... 91

4.5.1.1 Carga Trifásica Conectada em Estrela ................................................................ 92

4.5.1.1.1 Carga de Potência Constante ...................................................................... 92

4.5.1.1.2 Carga de Impedância Constante ................................................................. 92

4.5.1.1.3 Carga de Corrente Constante ...................................................................... 93

4.5.1.1.4 Carga Combinada em Y ............................................................................. 93

4.5.1.2 Carga Trifásica Conectada em Triângulo ............................................................ 95

4.5.1.2.1 Carga de Potência Constante ...................................................................... 96

4.5.1.2.2 Carga de Impedância Constante ................................................................. 96

4.5.1.2.3 Carga de Corrente Constante ...................................................................... 97

4.5.1.2.4 Carga Combinada em Δ .............................................................................. 97

4.5.1.3 Carga Monofásica ou Bifásica ........................................................................... 99

4.5.1.4 Cargas Lineares no Fluxo de Potência Trifásico Harmônico ............................. 99

4.5.2 Cargas Não Lineares ................................................................................................ 100

4.5.2.1 Motor de Indução Trifásico ............................................................................... 100

4.5.2.1.1 Efeitos dos Harmônicos nos Motores de Indução .................................... 110

4.5.2.2 Forno Elétrico a Arco ........................................................................................ 112

4.5.2.2.1 Efeitos dos Harmônicos nos Cabos de Alimentação ................................ 119

4.5.2.3 Lâmpadas Fluorescentes Compactas ................................................................. 121

4.5.2.4 Sistema de Carga de Baterias para os Veículos Elétricos ................................. 128

Capítulo 5 .................................................................................................................... 136

Introdução ao Fluxo de Potência Trifásico .............................................................. 136 5.1 Fluxo de Potência Trifásico Versão Tradicional ............................................................ 136

5.2 Inicialização das Tensões Harmônicas ........................................................................... 142

5.3 Fluxo de Potência Trifásico Harmônico .......................................................................... 145

Capítulo 6 .................................................................................................................... 156 Estudo de Caso ............................................................................................................ 156

6.1 Validação do Fluxo de Potência Trifásico ...................................................................... 156

6.2 Fluxo de Potência Trifásico Harmônico .......................................................................... 165

6.2.1 Simulação com o Motor de Indução Trifásico ......................................................... 165

6.2.2 Simulação com o Forno Elétrico a Arco .................................................................. 178

6.2.3 Simulação com a Lâmpada Fluorescente Compacta ................................................ 189

6.2.4 Simulação com o Sistema de Carga de Baterias para Veículos Elétricos ................ 199

6.2.4.1 Sistema de Carga Monofásico de Baterias para os Veículos Elétricos ............. 200

6.2.4.2 Sistema de Carga de Bateria Trifásico Controlado por PWM para os Veículos

Elétricos ......................................................................................................................... 209

6.2.5 Simulação devido ao Aumento de Cargas Não Lineares ......................................... 218

6.3 Análise dos Efeitos dos Harmônicos na Rede Elétrica ................................................... 227

6.3.1 Comparação entre as Cargas não lineares ................................................................ 228

6.3.2 Comparação entre os Sistemas de Carga de Baterias para Veículos Elétricos ......... 232

6.3.3 Comparações devido ao Aumento de Cargas Não Lineares .................................... 233

Capítulo 7 .................................................................................................................... 238 Conclusões e Trabalhos Futuros ............................................................................... 238

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 242

ANEXO A .................................................................................................................... 249

ANEXO B .................................................................................................................... 254

23

Capítulo 1

Introdução

O conceito de qualidade de energia elétrica incorpora dois aspectos importantes que

correspondem à continuidade do fornecimento de energia elétrica e à qualidade da tensão

(Delgado, 2010).

A continuidade do fornecimento de energia elétrica compreende as condições de

tensão e corrente que permitem a operação sem interrupção, perda de rendimento e

degradação de equipamentos, sistemas e instalações elétricas. A qualidade da tensão deve

possuir características como: amplitude, frequência, forma de onda senoidal e simetria. Estes

parâmetros são importantes devido aos transformadores, máquinas e aparelhos elétricos serem

projetados para estas condições de alimentação (Leão et al, 2014).

A amplitude pode ser afetada por três principais fenômenos: elevação, afundamento

e flutuação da tensão. A elevação da tensão pode ocorrer devido a saída de cargas da rede

elétrica, a conexão de bancos de capacitores e a ocorrência de falhas nos alimentadores

(Deckmann & Pomilio, 2016). O afundamento da tensão pode ocorrer quando, por exemplo,

um motor de grande porte é ligado à rede provocando queda de tensão (superior a 10% do

valor nominal) de curta duração. A flutuação da tensão, geralmente, ocorre quando há cargas

do tipo forno a arco e laminadores ligados à rede, provocando o efeito flicker (efeito de

tremulação na iluminação) (Delgado, 2010).

Caso a frequência da tensão de alimentação não esteja ajustada no respectivo valor

nominal, surgem anomalias no funcionamento de máquinas rotativas, mais especificamente,

na regulação da velocidade em motores que necessitam de precisão, assim como na

dissintonia dos filtros passivos conectados à rede elétrica (Delgado, 2010).

A forma de onda da tensão é afetada principalmente pelas correntes harmônicas

oriundas de cargas não lineares, que consequentemente geram quedas de tensões harmônicas

que somadas à componente fundamental resultam na distorção na forma de onda o que

matematicamente pode ser representado através das séries de Fourier (Delgado, 2010).

Idealmente, uma rede elétrica trifásica é classificada como simétrica se as tensões (de

linha ou de fase) tiverem a mesma magnitude e defasagem de 120° entre si. Esta simetria

pode ser alterada quando a rede possuir cargas desequilibradas (monofásicas ou bifásicas) ou

cargas não lineares. A consequência da presença destas cargas na rede são as gerações das

24

chamadas correntes inversas cuja explicação é apresentada nos tópicos que seguem através da

teoria das componentes simétricas de Fortescue (Oliveira et al, 2000; e Delgado, 2010).

É importante salientar que uma onda periódica distorcida compreende a sobreposição

de uma série de ondas senoidais, sendo uma componente fundamental e um conjunto de ondas

denominadas harmônicas. A presença das componentes harmônicas e o agravamento da

deformação nas formas de onda da tensão e da corrente na rede de energia elétrica ocorrem

devido ao uso cada vez maior de cargas não lineares. Estas cargas são responsáveis pela

geração de harmônicos na rede de distribuição de energia elétrica e podem ser divididas em:

dispositivos eletrônicos de potência (conversores), dispositivos ferromagnéticos

(transformadores e máquinas rotativas) e dispositivos a arco (lâmpadas fluorescentes e fornos

elétricos a arco) (Leão et al, 2014).

Formas de onda de tensão e corrente distorcidas (não senoidais) afetam o

desempenho de dispositivos da rede de distribuição de energia elétrica. Em motores e

geradores, verifica-se que as componentes harmônicas aumentam o aquecimento devido às

perdas no ferro e no cobre, diminuindo a vida útil devido à degradação do material isolante

nos enrolamentos do rotor. Em transformadores, as componentes harmônicas de tensão

aumentam as perdas no núcleo enquanto as componentes harmônicas de corrente aumentam

as perdas no cobre. E em relés de proteção há um aumento de temperatura ocasionando a

operação indesejada e redução da vida útil (Duque, 2013).

Aspectos associados às distorções harmônicas anteriormente citadas justificam a

importância do estudo das consequências do uso cada vez maior de cargas não lineares.

Portanto, esta dissertação teve por finalidade elaborar um estudo dos harmônicos

gerados pelas cargas não lineares: motor de indução trifásico, forno elétrico a arco, lâmpadas

fluorescentes compactas e os sistemas de carga de baterias para veículos elétricos utilizando o

fluxo de potência trifásico para a versão tradicional (frequência fundamental) e harmônica.

Este trabalho também contempla a modelagem matemática dos dispositivos da rede de

distribuição de energia elétrica, das cargas lineares e não lineares (geradoras de harmônicos) e

do método utilizado para realizar o fluxo de potência trifásico. Esta dissertação segue a

estrutura descrita a seguir.

O segundo capítulo, Estado da Arte, é destinado à revisão literária através da

pesquisa em livros, teses, dissertações e artigos acadêmicos relacionados ao fluxo de potência

trifásico para redes radiais, ao fluxo de potência trifásico harmônico, à modelagem

matemática dos motores de indução trifásicos, dos fornos elétricos a arco, das lâmpadas

fluorescentes compactas e dos sistemas de carga de baterias para veículos elétricos.

25

No terceiro capítulo, Qualidade de Energia, tem-se a obtenção dos índices de

distorção harmônica visando à qualidade da energia elétrica e uma descrição das principais

normas nacionais e internacionais vigentes atualmente.

O quarto capítulo, Modelagem Matemática dos Componentes da Rede de

Distribuição de Energia Elétrica, é destinado à descrição da modelagem matemática dos

dispositivos da rede de distribuição e das cargas lineares e não lineares. Estes modelos foram

definidos para serem utilizados no fluxo de potência trifásico nas versões tradicional e

harmônica.

No quinto capítulo, Introdução ao Fluxo de Potência, é apresentado o método

utilizado para realizar o fluxo de potência trifásico para as versões tradicional e harmônica. O

método proposto é fundamentado na técnica backward/forward sweep do tipo Ladder

(Kersting, 2002; e Archundia & Mota, 2010).

No sexto capítulo, Estudo de Caso, tem-se a simulação das cargas não lineares

(motor de indução trifásico, forno elétrico a arco, lâmpada fluorescente compacta e os

sistemas de carga de baterias para veículos elétricos) na rede radial de 13 barras do IEEE

(Testfeeders, 2016).

O sétimo capítulo, Conclusões e Trabalhos Futuros, contempla uma análise sobre as

conclusões averiguadas com os modelos matemáticos aplicados nos estudos de casos e a

citação de possíveis pesquisas para trabalhos futuros.

26

Capítulo 2

Estado da Arte

Neste capítulo são apresentadas as revisões literárias elaboradas através de pesquisas

a livros, teses, dissertações e artigos acadêmicos sobre o fluxo de potência trifásico em redes

radiais, o fluxo de potência trifásico harmônico e a modelagem matemática das cargas não

lineares: motor de indução trifásico, forno elétrico a arco, lâmpada fluorescente compacta e

sistemas de carga de baterias para veículos elétricos.

2.1 Fluxo de Potência Trifásico

O cálculo do fluxo de potência compreende o estudo matemático de sistemas de

potência em regime permanente com a finalidade de determinar o estado da rede (magnitude e

ângulo das tensões nodais) e as distribuições dos fluxos de potência nas linhas.

A Figura 2.1 representa uma rede fictícia com cinco barras (duas de geração e três de

carga) com as principais características para a aplicação do fluxo de potência.

Figura 2.1 – Rede fictícia de cinco barras.

Na Figura 2.1, 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, 𝑉4 e 𝑉5 correspondem às tensões nodais; 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4 e 𝑆5

são as potências aparentes nas barras; e 𝑧12, 𝑧15, 𝑧31, 𝑧35, 𝑧41, 𝑧42 𝑧54 são os parâmetros dos

ramos da rede elétrica.

As principais características necessárias para solução do fluxo de potência são: a

topologia, os parâmetros da rede, os valores iniciais das tensões nodais e as potências (ativa e

reativa).

Para realizar o fluxo de potência é necessária a utilização de métodos computacionais

que resolvem um sistema de equações e inequações algébricas que constituem o modelo

estático da rede (Monticelli, 1983).

27

Os métodos de fluxo de potência tradicionais como Newton-Raphson e Gauss-Seidel

(Yang et al, 2008; e Gilbert et al, 1998) consideram o sistema equilibrado e não apresentam

boa convergência para redes de distribuição devido à presença de cargas e circuitos

monofásicos ou bifásicos (Trindade, 2005), à alta relação R/X que não é encontrada em

sistemas de alta tensão (sistemas de transmissão de energia) (Cespedes, 1990; e Khodr et al,

2006) e à característica topológica radial da rede de distribuição (Cheng & Shirmohammadi,

2005). Devido às condições apresentadas, surgiram estudos que propuseram outros modelos

para o fluxo de potência trifásico em redes desequilibradas e radiais como ocorre no sistema

de distribuição de energia elétrica.

Um dos artigos mais importantes que propõem métodos de solução do fluxo de

potência para redes de distribuição e transmissão pouco malhadas foi elaborado por

Shirmohammadi et al. (Shirmohammadi et al, 1988). É proposto um método de solução

utilizando técnicas de compensação com as formulações básicas das leis de Kirchhoff

aplicável a redes com poucas malhas, e portanto para alguns casos é necessário converter a

rede com muitas interligações em uma rede radial através do processo de interrupção em

pontos estratégicos da rede onde são inseridas injeções de corrente para que não afete a

condição de operação. O método se baseia na varredura backward (determinação das

correntes nos ramos) e forward (atualização das tensões), este procedimento é elaborado até

que o critério de convergência seja atingido (mismatches de potência ativa e reativa). O

método proposto foi testado e analisado para redes de 244, 544 e 1.411 barras e convergiu

com poucas iterações, mostrando ser rápido, robusto e eficiente.

Cespedes (Cespedes, 1990) apresentou um novo método para a solução do fluxo de

potência em redes de distribuição radial, que se baseia no circuito equivalente da rede e na

eliminação dos ângulos das tensões (devido à baixa diferença angular). Neste método as

cargas e as perdas são somadas em cada barra partindo da barra final em direção à barra fonte

para, posteriormente, recalcular as tensões partindo da barra fonte em direção às barras finais

e assim recalcular as perdas para realizar a comparação com a tolerância especificada. Este

método apresenta boa característica de convergência, fácil programação e aplicável em redes

radiais monofásicas ou trifásicas, sendo testado em uma rede de 29 barras.

Cheng e Shirmohammadi (Cheng & Shirmohammadi, 2005) apresentaram uma

extensão do método proposto por Shirmohammadi et al (Shirmohammadi et al, 1988), sendo

uma solução para o fluxo de potência trifásico em redes de distribuição em tempo real. A

extensão proposta compreende as redes fracamente malhadas com ênfase na modelagem da

geração distribuída, desequilibrada e com reguladores de tensão. Enquanto alguns métodos

28

utilizam a matriz admitância e uma iteração similar ao método de Newton-Raphson (Yang et

al, 2008) para resolver o fluxo de potência, o método proposto é baseado na compensação das

barras PVs (barras com os valores de potência ativa e tensão conhecidas) para eliminar os

mismatchs de tensão nestas barras. O algoritmo inicia convertendo a rede pouco malhada em

uma rede radial abrindo os laços e a barra fonte é considerada uma barra do tipo slack com

tensão e ângulo conhecidos. Para as outras barras do sistema admitem-se valores iniciais de

tensão iguais ao da barra slack. Os procedimentos adotados para a solução do algoritmo

baseiam-se em: cálculo das injeções de corrente nodal (definem-se as injeções de correntes

conhecendo os valores das potências, tensões e as admitâncias dos elementos shunt);

posteriormente, é realizada uma varredura backward para somar as correntes (inicia na barra

mais afastada e segue em direção a barra slack); varredura forward para atualizar as tensões

em cada nó (iniciando na barra slack em direção às barras terminais). Para verificar a

convergência calculam-se os mismatches de potência e se houver algum valor maior que o

critério adotado, o algoritmo deve ser executado com os valores atualizados a cada iteração.

Caso o fluxo de potência tenha convergido e as tensões nas barras PVs não tenham valores

próximos ao valor programado, é necessário realizar a correção da potência reativa. O

processo iterativo para a correção das tensões nas barras PVs ocorre através dos passos

descritos a seguir: cálculo dos mismatches de tensão para todas as barras PVs; definição das

injeções de corrente reativa para as barras PVs; cálculo da potência reativa requerida; e

comparação com os limites inferior e superior. Estes passos são executados até ocorrer a

convergência. A interação entre estes dois algoritmos e a modelagem abordada para

dispositivos da rede de distribuição faz com que o método proposto seja robusto para a

convergência e rápido, portanto adequado para análise em tempo real. O método proposto foi

testado para um sistema de 1.419 barras.

Garcia e Zago (Garcia & Zago, 1996) propuseram uma extensão da teoria

apresentada por Monticelli (Monticelli et al, 1990) que teve por objetivo o desenvolvimento

do Fluxo de Carga Desacoplado Rápido (FCDR) trifásico voltado para aplicação em redes de

distribuição. O FCDR é bastante conhecido e aplicado em estudos em redes de transmissão,

porém é adotada a hipótese de que os sistemas são perfeitamente equilibrados, o que não pode

ser aceito nas redes de distribuição de energia elétrica. O método proposto foi comparado com

os métodos de Newton-Raphson (Yang et al, 2008) e Desacoplado de Arrilaga e Arnold

(Arrilaga & Arnold, 1983) para um sistema de 7 barras e outro de 34 barras do IEEE

(Testfeeders, 2016). Verificou-se que o seu desempenho foi superior nos casos testados.

29

Costa et al (Costa et al, 1999) propuseram uma formulação baseada em injeções de

corrente descritas através de coordenadas retangulares para o fluxo de potência através do

método de Newton-Raphson (Yang et al, 2008). Uma das características do método proposto

está na matriz Jacobiana e na matriz admitância que possuem a mesma estrutura (para as

barras PVs os elementos fora da diagonal principal da matriz Jacobiana são iguais aos

elementos da matriz admitância). O algoritmo inicia com a formação da matriz admitância da

rede e define os valores iniciais de magnitude e ângulo das tensões nas barras, para então

obter as injeções de corrente e os mismatches de potência ativa e reativa. Caso o critério de

convergência não seja satisfeito, procede-se à correção das tensões nas barras e o processo

deve voltar ao cálculo das injeções de corrente e prosseguir no algoritmo até a convergência.

As redes utilizadas para avaliar o desempenho do algoritmo foram de 730, 1.653 e 2.111

barras. Como resposta, verificou-se que houve semelhança entre os resultados obtidos com o

programa ANAREDE (Análise de Redes Elétricas) do CEPEL (Centro de Pesquisas de

Energia Elétrica) e que ele é mais rápido que o método convencional de Newton-Raphson

(Yang et al, 2008).

Veira (Vieira, 1999) apresentou uma metodologia paralela para o fluxo de potência

trifásico em redes de distribuição, baseado no método Zbus Gauss. Com os métodos

desenvolvidos neste estudo verificou-se através da utilização de sistemas de distribuição reais

que os resultados apresentados são de mesma qualidade que o método convencional Zbus

Gauss, porém com melhor desempenho computacional podendo ser útil na operação e

planejamento das redes de distribuição.

Garcia et al. (Garcia et al, 2001) apresentaram uma proposta que corresponde a uma

extensão do método apresentado por Martins et al. (Costa et al, 1999). O fluxo de potência

trifásico por injeção de corrente (MICT) baseia-se nos cálculos dos resíduos de corrente para

as três fases nas barras PQ (barras com valores de potência ativa e reativa conhecidas), sendo

necessário calcular os desvios de potência ativa e reativa para, posteriormente, aplicar o

método de Newton-Raphson (Yang et al, 2008). O método foi aplicado a uma rede

desequilibrada de 37 barras e se apresentou mais rápido que o método de Newton-Raphson

(Yang et al, 2008) e mais robusto que o método backward/forward sweep (Kersting, 2002).

Kersting (Kersting, 2002) propôs um método de solução do fluxo de potência

trifásico baseado na técnica backward/forward sweep do tipo Ladder para redes de

distribuição de energia elétrica. Para este método faz-se uso de duas equações (uma para a

definição da corrente e outra para a tensão) para a etapa backward sweep e de uma equação

para o forward sweep (para atualização das tensões). Com o backward sweep são

30

determinadas as correntes nos ramos partindo das barras terminais em direção à barra fonte

(subestação) e no forward sweep são atualizadas as tensões nas barras partindo da barra fonte

em direção às barras terminais. A cada término do backward sweep a tensão da barra fonte é

comparada com o valor especificado e caso esta comparação satisfaça o critério de

convergência, o processo é finalizado e o estado da rede é determinado.

Trindade (Trindade, 2005) prôpos cálculo do fluxo de potência trifásico para redes de

distribuição de energia elétrica utilizando o método da soma de potências, porém com uma

modificação que considera o acoplamento magnético entre as fases da rede para o cálculo das

tensões nodais e para isso são inseridas fontes fictícias de tensão na rede elétrica. O sistema

trifásico é resolvido como sendo três sistemas monofásicos e as fontes fictícias são inseridas

nos cálculos de perdas de potência nas linhas. A potência equivalente para uma barra é

determinada através da soma das potências das cargas com as perdas nos ramos que estão a

jusante da barra de interesse (este processo ocorre no sentido da barra terminal para a barra

fonte). Com a potência equivalente calculada, inicia-se o cálculo das tensões que partem da

barra fonte em direção às barras terminais. Na barra que se deseja determinar o valor da

tensão nodal é conectada uma fonte fictícia, tendo-se como objetivo determinar o valor da

fonte para que a corrente residual seja nula. Caso a corrente residual não seja nula ou não

satisfaça o critério de convergência, é necessário determinar o valor da correção da tensão da

fonte fictícia. Para a determinação da correção da tensão substitui-se da fonte fictícia de

tensão por uma fonte de corrente com a magnitude da corrente residual, a fonte de tensão da

rede (barra da subestação) por um curto-circuito e as cargas por impedâncias equivalentes. A

correção da tensão consiste na diferença de potencial da fonte de corrente para a rede alterada.

Com esta modificação no cálculo do fluxo de potência trifásico obteve-se valores de tensões

nodais mais próximos do real.

Khodr et al. (Khodr et al, 2006) apresentaram um novo método rápido, robusto e

eficiente para a solução do fluxo de potência para redes de distribuição equilibradas e

desequilibradas, baseando-se na metodologia proposta por Zarborsky e Ilic-Spong (Zaborsky

& Ilic-Spong, 1981) com uma adaptação para as redes de distribuição. O processo iterativo

envolve a soma das cargas com as perdas em cada barra partindo das barras mais afastadas em

direção à barra fonte para então realizar o processo inverso para determinar a tensão em cada

barra. Inicialmente, são determinadas as perdas nos ramos e as potências ativa e reativa

supondo que a tensão nas barras é de 1 p.u. (na primeira iteração) e após a concentração das

potências e das perdas em cada barra determinam-se as correntes e as tensões (magnitude e

ângulo) em cada nó, através da potência calculada anteriormente. Para avaliar o método

31

proposto foram utilizadas redes de 12, 23, 28, 69 e 201 barras e as respostas obtidas foram

comparadas com os métodos de Ghosh & Das (Ghosh & Das, 1999), Shirmohammadi

(Shirmohammadi et al, 1988), Cespedes (Cespedes, 1990), Jovanovic e Milicevic (Jovanovic

& Milicevic, 2000). Verificou-se que a metodologia proposta convergiu com um menor

número de iterações que os outros métodos sendo mais rápido e robusto para convergência e

com maior simplicidade na programação.

Pereira e da Costa (Pereira & Costa, 2007) apresentaram um estudo comparativo para

analisar o número de iterações necessárias para satisfazer o critério de convergência através

das formulações polar, retangular e injeção de corrente na solução do fluxo de potência

trifásico utilizando-se o método de Newton-Raphson (Yang et al, 2008).

O método proposto para a solução do fluxo de potência polar utiliza equações que

comtemplam as potências ativa e reativa representadas através de coordenadas polares. O

método de fluxo de potência trifásico retangular utiliza equações com as potências ativa e

reativa nodais na forma retangular, porém as barras PVs possuem um tratamento especial que

compreende a inclusão de uma equação não linear referente a este tipo de barra no problema

de fluxo de potência (na matriz Jacobiana as linhas referentes à potência reativa das barras

PVs devem ser eliminadas através da inserção de um valor muito alto como 1020

). O método

de fluxo de potência trifásico via injeção de corrente utiliza expressões de corrente separadas

em parte real e imaginária para solucionar o fluxo de potência e para as barras PVs uma

restrição de tensão deve ser imposta.

A solução do fluxo de potência para qualquer um dos três métodos apresentados

acima (polar, retangular e via injeção de corrente) deve inicialmente, determinar a matriz

admitância nodal trifásica da rede para, posteriormente, realizar os cálculos dos resíduos de

potência ativa e reativa para as metodologias polar e retangular e os resíduos de corrente para

o método da injeção de corrente. Obtidos os resíduos, eles devem ser comparados com a

tolerância especificada para verificar a convergência. Para análisar a característica de

convergência destes métodos, foram utilizadas duas redes, uma de 11 barras mal condicionada

e outra de 37 barras (ambas com equilíbrio e desequilíbrio). Para redes bem condicionadas

(equilibradas e desequilibradas) todas as metodologias apresentaram desempenho semelhante

com os mesmos números de iterações e mesmo ponto de solução. Em redes mal

condicionadas houve cenários em que a metodologia polar não convergiu e as metodologias

retangular e via injeção de corrente convergiram para a mesma solução.

Henriques et al. (Henriques et al, 2007) implementaram uma formulação trifásica

para o cálculo do fluxo de potência em redes de distribuição de energia elétrica através do

32

método das injeções de corrente com a possibilidade de interação entre diversos programas de

análises de sistemas de distribuição apresentando maior dinâmica computacional e otimização

do banco de dados. O método de injeção de correntes trifásicas foi escolhido por atender bem

aos sistemas malhados e a geração dispersa, mostrando-se mais rápido que o método de

Newton-Raphson (Yang et al, 2008) e mais robusto que o tradicional método

backward/forward sweep (Kersting, 2002).

O método apresentado corresponde a uma formulação esparsa para a solução de

fluxo de potência trifásico através do método de Newton-Raphson (Yang et al, 2008)

apresentando as equações de injeção de correntes na forma de coordenadas retangulares

resultando numa matriz Jacobiana que possui a mesma estrutura da matriz admitância.

Os resultados obtidos com o algoritmo foram satisfatórios e não houve problema

com convergência. O algoritmo também foi testado com redes típicas da Light. As vantagens

do uso desta proposta são: pequeno número de elementos da matriz Jacobiana recalculados e

para sistemas que possuem somente barras do tipo PQ a matriz Jacobiana pode ser

considerada constante.

2.2 Fluxo de Potência Trifásico Harmônico

Nas redes de distribuição de energia elétrica cada vez mais se fazem presentes as

cargas do tipo não linear, como por exemplo: fontes chaveadas, pontes conversoras, fornos

elétricos a arco, lâmpadas fluorescentes, motores de indução e equipamentos eletrônicos,

ressaltando a necessidade do estudo de desempenho harmônico (Araujo et al, 2005; e Xia &

Heydt,1982).

As cargas não lineares são responsáveis por distorcer a forma de onda da corrente e

da tensão nas redes de energia elétrica, o que contribui para a redução da eficiência da rede

(aumento das perdas provocadas pelo efeito pelicular), o mau funcionamento de circuitos

eletrônicos, vibrações, ruídos e fadiga mecânica em transformadores, reatores e motores.

A análise harmônica na rede de energia elétrica pode ser realizada utilizando

formulações matemáticas no domínio do tempo ou da frequência. A análise harmônica no

domínio do tempo consiste no emprego de métodos iterativos para obter a solução de um

conjunto de equações diferenciais, fornecendo resultados precisos, mas com um esforço

computacional muito grande, acarretando num elevado tempo de simulação. A formulação no

domínio da frequência opera diretamente com fasores de tensão e corrente, diminuindo o

33

esforço computacional e o tempo de simulação, mas apresentando limitações com relação à

representação das cargas não lineares (Variz et al, 2008).

Xia e Heydt (Xia & Heydt, 1982) propuseram uma reformulação do método de

Newton-Raphson (Yang et al, 2008) para possibilitar a inclusão de cargas não lineares e assim

realizar o estudo de harmônicos no sistema elétrico. A reformulação assume que a potência

aparente e as características harmônicas das cargas não lineares são conhecidas. O algoritmo

apresentado é uma extensão do algoritmo tradicional de Newton-Raphson, incluindo-se mais

duas expressões de mismatches (conservação da corrente e da potência aparente), além das

expressões utilizadas pelo método tradicional (potências ativa e reativa). O algoritmo

apresentado possui algumas limitações como: as cargas lineares são modeladas como

impedâncias; os efeitos nos componentes não lineares do sistema de transmissão são

desconsiderados; e as cargas não lineares devem ser modeladas separadamente. As vantagens

apresentadas pelo algoritmo compreendem as novas informações disponíveis como: as formas

de onda da corrente na linha de transmissão e da tensão na barra e a variação das perdas.

Valcárcel e Mayordomo (Valcárcel & Mayordomo, 1993) desenvolveram um fluxo

de potência harmônico para sistemas desequilibrados que possui duas etapas. A primeira etapa

corresponde ao fluxo de potência para a frequência fundamental com as cargas não lineares

representadas por fontes de correntes e na segunda etapa é utilizado o método de Newton-

Raphson (Yang et al, 2008) no domínio da frequência. O procedimento do cálculo do fluxo de

potência harmônico consiste na execução iterativa de subprogramas que determinam o fluxo

de potência desequilibrado e a análise de harmônicos. Após a inicialização do fluxo de

potência harmônico com a leitura dos dados da rede determina-se os parâmetros para o fluxo

de potência desequilibrado através do método de Newton-Raphson (Yang et al, 2008) para a

frequência fundamental. Este passo é importante para substituir as cargas por impedâncias

com a finalidade de obter o equivalente Thevenin que é utilizado para análise de harmônicos.

Se as tensões para a frequência fundamental obtidas para as barras com cargas não lineares

não satisfazerem o critério de convergência, as correntes obtidas são consideradas as novas

correntes para as cargas não lineares e desta maneira o processo se repete até atingir o critério

de convergência, obtendo-se a respectiva solução.

Manjure e Makram (Manjure & Makran, 2002) apresentaram um estudo realizado

em redes de distribuição (desequilibradas) com a presença de harmônicos. As simulações

foram desenvolvidas no software ATP (Alternative Transient Program) e o espectro de

frequência das formas de onda distorcidas são obtidos através da transformada de Fourier

(Hsu, 1973). Cada harmônica foi decomposta em componentes simétricas para o estudo da

34

relação dos harmônicos com o grau de desequilíbrio da rede e, adicionalmente, é apresentado

o desempenho de diferentes modelos de forno elétrico a arco. Verificou-se que para o sistema

equilibrado a variação da carga gera a presença de harmônicas características como a quinta,

sétima e décima primeira. Para o sistema desequilibrado, a alteração da carga gera harmônicas

incomuns aumentando o grau de desequilíbrio da rede com consequente aumento na

magnitude das harmônicas incomuns e diminuição nas magnitudes das harmônicas

características.

Tostes et al. (Tostes et al, 2003) apresentaram um fluxo de potência trifásico

harmônico baseado no método de injeção de corrente. Com as informações gerais da rede e

com as cargas representadas por fontes de corrente inicia-se o cálculo das correntes e estima-

se um valor inicial de tensão nas barras. A determinação das injeções de corrente e das

correntes nos ramos ocorre através do cálculo que parte dos ramos conectados às barras

terminais em direção à barra fonte para cada fase. Para calcular as tensões, o processo é

realizado a partir da barra fonte em direção às barras mais afastadas. A convergência é

determinada através do cálculo dos mismatches de potência ativa e reativa. O método

proposto foi aplicado à rede de 13 barras do IEEE (Testfeeders, 2016) e verificou-se que os

valores obtidos foram satisfatórios, não apresentando problemas de convergência. A

convergência do programa de fluxo de carga para a frequência fundamental ocorreu em 14

iterações e para as harmônicas ocorreu com 30 iterações.

Kagan et al (Kagan et al, 2005) descreveram as principais características do

algoritmo desenvolvido para realizar simulações de desequilíbrio e distorções harmônicas no

sistema da CELPE (Companhia de Eletricidade de Pernambuco, atualmente Companhia

Energética de Pernambuco) para avaliação da qualidade de energia na sub-transmissão. O

programa possui um conjunto de recursos como tratamento de dados, estimador VTCDs

(Variações de Tensão de Curta Duração) e ferramentas estatísticas para análise e avaliação do

impacto de novas cargas no sistema. A avaliação de harmônicos permite determinar o impacto

causado à rede devido à presença de cargas não lineares. O cálculo de fluxo de potência

harmônico é realizado em duas etapas: inicialmente considera-se a frequência fundamental da

rede utilizando o algoritmo aplicado no desequilíbrio obtendo os valores de tensão e corrente

no sistema e posteriormente, obtém-se o ângulo da corrente a ser injetada para cada ordem

harmônica e desta maneira determinam-se os fluxos de potência para todas as ordens

harmônicas. Os resultados provenientes do programa de desequilíbrios foram comparados

com os do software ATP (Alternative Transient Program) e os resultados obtidos com o

35

programa de avaliação de harmônicos foram comparados com os do SuperHarm mostrando a

consistência do programa desenvolvido.

Araujo et al. (Araujo et al, 2005) propuseram uma metodologia trifásica baseada em

coordenadas de fase para a análise de harmônicos em redes de energia elétrica com ênfase no

desequilíbrio entre as fases devido aos ramais monofásicos, bifásicos e às cargas

desequilibradas. Os resultados obtidos com o estudo dos harmônicos através da modelagem

trifásica foram comparados com a modelagem monofásica com o objetivo de demonstrar a

importância da modelagem trifásica para alguns sistemas. A comparação com a modelagem

monofásica ocorreu para sistemas com e sem desequilíbrios para verificar quais casos

possuem equivalência. A metodologia proposta não apresentou restrições quanto à dimensão

ou complexidade do sistema, sendo que o estudo do comportamento harmônico calcula as

distorções harmônicas para as tensões e correntes. Através dos resultados verificou-se que as

distorções harmônicas podem ser consideravelmente diferentes nos casos de sistemas com e

sem desequilíbrio.

Variz et al. (Variz et al, 2008) apresentaram uma metodologia baseada nas equações

de injeção de corrente para o cálculo do fluxo de potência trifásico harmônico em sistemas

equilibrados e desequilibrados. O método iterativo para a solução do sistema de equações não

lineares baseou-se no método de Newton-Raphson (Yang et al, 2008). A metodologia

proposta realiza o cálculo do fluxo de potência harmônico trifásico através da injeção de

corrente, seguindo as características da formulação no domínio da frequência. As inovações

apresentadas foram: representação trifásica dos elementos da rede através de componentes de

fase, inclusão de acoplamentos harmônicos e utilização de um sistema matricial baseado em

equações de injeção de corrente. Para realizar a simulação do comportamento harmônico da

rede de maneira coerente, foi necessário representar de maneira precisa os componentes

lineares e não lineares. A metodologia proposta foi testada no sistema de 14 barras do IEEE

(Testfeeders, 2016). adaptado para análise harmônica com a inclusão de componentes

trifásicos e cargas desequilibradas. Para este cenário verificou-se que as respostas obtidas com

a metodologia proposta no domínio da frequência foram próximas dos valores simulados no

domínio do tempo através do software ATP, porém com um esforço computacional menor.

Archundia e Mota (Archundia & Mota, 2010) propuseram uma formulação baseada

no algoritmo backward/forward sweep para a solução do fluxo de potência trifásico

harmônico em redes de distribuição de energia elétrica. A metodologia proposta consiste em

quatro passos: solução do fluxo de potência para a frequência fundamental; modelamento das

cargas lineares para as frequências harmônicas de interesse; inicialização das tensões

36

harmônicas; e determinação do estado da rede para as frequências harmônicas de interesse. O

cálculo do fluxo de potência para a frequência fundamental consiste na determinação das

correntes nas barras com cargas ou elementos shunt. Com as correntes nodais determinadas,

inicia-se o processo denominado backward sweep que calcula as correntes nos ramos,

partindo das barras mais afastadas (terminais) em direção à barra fonte (subestação).

Finalizado o processo backward sweep inicia-se o forward sweep que consiste na correção

das tensões nas barras partindo da barra fonte em direção às barras mais afastadas. Estes dois

processos devem se repetir até que o critério de convergência seja atingido. Com o estado da

rede determinado para a frequência fundamental, deve-se determinar as tensões harmônicas

através do processo de inicialização. Este processo assume que os únicos elementos shunts da

rede devem ser as cargas não lineares. O processo de inicialização das tensões harmônicas

consiste em uma iteração backward sweep e outra forward sweep. Com os valores das tensões

harmônicas oriundos da inicialização deve-se utilizar novamente o método backward/forward

sweep. O método proposto foi testado em uma rede de 8 barras e apresentou resultados

semelhantes ao método de injeção de corrente.

Duque (Duque, 2013) realizou uma adaptação no Método Iterativo de Correção de

Tensão Trifásico para determinação de uma versão harmônica. O objetivo desta proposta

compreende possibilidade de inserção de cargas não lineares (motor de indução trifásico) no

fluxo de potência trifásico para determinação do estado da rede elétrica para frequência

fundamental e para as frequências harmônicas de interesse e os efeitos dos harmônicos na

rede elétrica.

2.3 Modelagem das Cargas Não Lineares

Neste tópico são apresentados os estudos relacionados as cargas não lineares

utilizadas neste trabalho, que correspondem ao motor de indução trifásico, forno elétrico a

arco, lâmpadas fluorescentes e os sistemas de cargas de baterias para os veículos elétricos.

2.3.1 Motor de Indução Trifásico

Quando uma carga não linear é alimentada por uma fonte senoidal com frequência

constante, a forma de onda da corrente é distorcida e provoca uma queda de tensão não

senoidal, portanto, causa distorção na tensão, sendo as cargas não lineares as principais

geradoras de harmônicos (Arrilaga & Watson, 2007). Por ser amplamente utilizado no setor

industrial o motor de indução, é uma das principais cargas não lineares do sistema elétrico

37

(Carmona & Ruiz, 2010). Na literatura, para os estudos que envolvem fluxo de potência

harmônico da rede de energia elétrica, penetração harmônica e estabilidade do sistema

(Zaninelli, 1992), este tipo de motor é representado através do modelo clássico do circuito

equivalente em T, como representado na Figura 2.2.

Figura 2.2 – Modelo do motor de indução. Adaptado de (Ruppert & Almeida, 1997).

Na Figura 2.2, 𝑅1 representa a resistência e 𝑋1 a reatância de dispersão nos

enrolamentos do estator; 𝑋𝑚 a reatância de magnetização; 𝑅𝑚 a resistência de perda no ferro;

𝑅2 a resistência elétrica e 𝑋2 a reatância de dispersão nos enrolamentos do rotor (Ruppert &

Almeida, 1997).

Zaninelli (Zaninelli, 1992) prôpos um modelo para o motor de indução para estudo

do fluxo de potência harmônico através da utilização de parâmetros variáveis com a

frequência. O modelo do motor proposto é representado por impedâncias em série, como está

representada pela Figura 2.3.

Figura 2.3 – Modelo do motor. Adaptado de (Zaninelli, 1992).

Na Figura 2.3, 𝑅𝑠 corresponde à resistência do estator, 𝐿𝑘𝑟 é a indutância do rotor, 𝑅𝑟

é resistência do rotor e 𝑠𝑘 é o escorregamento para cada harmônica de interesse. Este modelo

foi obtido através de testes em 53 motores diferentes possibilitando uma maneira de

representa-los no fluxo de potência harmônico.

Sharaf (Sharaf, 1992) desenvolveu um modelo harmônico para o motor de indução.

Este modelo foi utilizado para o estudo da penetração harmônica e para o fluxo de potência

harmônico. O modelo é desenvolvido a partir do modelo equivalente em T do motor de

indução proposto por Yamamura (Yamamura, 1986), para substituir o modelo que utiliza

parâmetros do rotor bloqueado. O modelo do motor de indução está representado na Figura

2.4.

38

Figura 2.4 – Modelo do motor. Adaptado de (Sharaf, 1992)

Na Figura 2.4, 𝑅1 representa a resistência e 𝑋1 a reatância de dispersão nos

enrolamentos do estator; 𝑋𝑚 a reatância de magnetização; X2 a reatância de dispersão nos

enrolamentos do rotor; e 𝛼 corresponde à relação entre a reatância de dispersão e a reatância

de magnetização. O modelo proposto por Sharaf (Sharaf, 1992) é baseado na transformação

das equações do motor de indução para se referir ao ramo do rotor e da magnetização para o

lado do estator, possibilitando uma maneira diferente de representa-lo no fluxo de potência

trifásico harmônico que usualmente utiliza o modelo do rotor bloqueado.

Ruppert e Almeida (Ruppert & Almeida, 1997) propuseram um método para

determinação dos parâmetros dos motores de indução através da geração de valores pseudos-

aleatórios e da solução simultânea para cada condição de operação. Para determinar os

parâmetros utilizam-se ensaios para a condição de rotor livre, rotor bloqueado e para a

condição intermediária utiliza-se uma função interpolante do tipo spline cúbica. O método

apresentado foi testado com motores de 3 a 2.250 CV e os resultados obtidos comprovam a

eficiência da metodologia.

Kersting (Kersting, 2002) propôs um modelo matemático para a representação do

motor de indução trifásico utilizando uma aproximação do circuito equivalente para as

sequências positiva e negativa. Com estes valores determina-se a matriz impedância de

sequência e consequentemente a matriz admitância, através da qual obtêm-se as correntes para

a sequência zero, positiva e negativa. Conhecendo as definições das tensões e correntes de

sequência determina-se a matriz admitância de fase. Esta matriz admitância de fase

compreende a uma matriz 3x3 que representa o motor de indução trifásico para a frequência

fundamental.

Ferreira et al. (Ferreira et al, 2004) descrevem a modelagem dos motores de indução

para inserção no fluxo de potência trifásico baseado no método de Newton-Raphson (Yang et

al, 2008). Os motores de indução foram representados através da inserção de uma barra PQ

para cada motor de indução. O método proposto foi implementado no programa de análise de

redes ANAREDE do CEPEL, para a área de Rio de Janeiro/Espírito Santo que possui 340

barras, sendo 273 de carga das quais 134 possuem grandes motores de indução. Com os

39

resultados obtidos verificou-se que a proposta se mostrou atraente devido à representação

direta na matriz Jacobiana, a robustez apresentada, a flexibilidade e a fácil simulação.

Pedra et al. (Pedra et al, 2006) propuseram uma modelagem matemática para o motor

de indução trifásico a ser utilizada em programas de fluxo de potência trifásico harmônico. A

modelagem proposta baseou-se no circuito equivalente para determinar as impedâncias de

sequência positiva e negativa. Utilizando um procedimento semelhante ao processo

matemático descrito por Kersting (Kersting, 2002) determina-se a matriz admitância de fase,

porém o diferencial proposto pelo método de Pedra et al. (Pedra et al, 2006) está na

modelagem para as frequências harmônicas, ou seja, este método determina as impedâncias

para as sequências positiva e negativa para as componentes harmônicas e consequentemente

as matrizes admitâncias.

Carmona e Rauiz (Carmona & Ruiz, 2010) apresentaram uma revisão crítica de

alguns modelos do motor de indução trifásico utilizados no fluxo de potência e no estudo da

estabilidade da tensão. Os modelos revisados foram: representação convencional do motor

como uma carga estática com potência constante; modelo com potência ativa constante (a

potência ativa é mantida constante e a potência reativa e o escorregamento são atualizados a

cada iteração); modelo com potência ativa constante a dois nós (a potência ativa é mantida

constante e utiliza dois nós para transformar o circuito equivalente do motor de indução com

impedâncias ligadas em estrela para delta); modelo com escorregamento constante para

inclusão na matriz Jacobiana (o modelo proposto mantém o escorregamento constante e altera

as equações de potência ativa e reativa para incluir na matriz Jacobiana); modelo com

escorregamento constante como uma impedância constante; modelo com escorregamento

constante utilizando uma barra adicional; modelo com escorregamento constante. Com a

simulação dos modelos dos motores de indução verificou-se que os modelos propostos

apresentaram valores coerentes.

Frank et al (Frank et al, 2012) propuseram modelos alternativos para a representação

do motor de indução para o estudo das perdas no fluxo de potência convencional e harmônico.

O modelo adotado para a representação do motor possui parâmetros constantes que gera uma

imprecisão no cálculo das perdas devido à presença de harmônicos ou tensões

desequilibradas. Para a frequência fundamental, o motor de indução foi modelado através do

modelo ZIP (com os parâmetros ajustados através do método dos mínimos quadrados) e do

circuito equivalente como está representado pela Figura 2.5.

40

Figura 2.5 – Modelo do motor de indução. Adaptado de (Frank et al, 2012).

No circuito, 𝑅1 representa a resistência do enrolamento do estator, 𝑅2 a resistência do

enrolamento do rotor, 𝐿1 a indutância do enrolamento do estator, 𝐿2 a indutância do

enrolamento do rotor, 𝑅𝑐 a resistência das perdas no núcleo, 𝐿𝑀 a indutância de magnetização,

𝑅𝑑𝑖𝑠𝑝 a resistência que representa as perdas de dispersão e 𝑅𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 representa a resistência de

carga. Para as frequências harmônicas utilizou-se um circuito equivalente simplificado para as

sequências positiva, negativa e zero, como mostra a Figura 2.6 (Frank et al, 2012).

(a)

(b)

Figura 2.6 – Modelo harmônico do motor para as seq. (a) positiva e negativa e (b) zero. Adaptado de (Frank et

al, 2012).

Na Figura 2.6, 𝑅ℎ e 𝐿ℎ compreendem a resistência e indutância equivalente do

circuito, respectivamente. Estes valores são obtidos através da combinação da impedância do

rotor, do estator e da impedância de dispersão. A componente 𝑍𝑁 corresponde à impedância

do neutro (Frank et al, 2012). Para verificar a eficiência destes modelos foram simulados em

uma rede de 3 barras, sendo uma de geração, uma de carga não linear com THDI de 20% e a

outra barra referente ao motor. Os resultados da simulação apontam que o modelo proposto é

uma alternativa mais precisa que o modelo tradicional de parâmetros constantes utilizado no

fluxo de potência convencional.

2.3.2 Forno Elétrico a Arco

O forno elétrico a arco é um forno industrial que desempenha um papel importante

na produção de aço, sendo que a corrente elétrica passa através dos metais (sucata), o que

resulta na produção de aço e outras ligas metálicas de modo rápido e eficiente (Sousa et al,

2005).

41

Este tipo de forno estabelece um arco elétrico utilizado para derreter a sucata através

da transferência de calor (do arco elétrico) por radiação e convecção. A ignição ocorre quando

os eletrodos são abaixados para obter o curto-circuito entre pelo menos dois eletrodos e o

movimento dos eletrodos tem a função de estabelecer o arco elétrico (Leão et al, 2014).

A utilização de fornos a arco gera distúrbios de tensão na rede elétrica como, por

exemplo, o efeito flicker, distorções harmônicas e desequilíbrios (Tavares et al, 2005). Isto

ocorre devido à não linearidade da relação entre a corrente e a tensão e às diferenças entre as

etapas de operação do forno. Outro problema gerado pelos fornos elétricos a arco corresponde

ao fenômeno de ressonância que causa um aumento significativo na magnitude da tensão e

acarreta no mau funcionamento ou em danos nos equipamentos sensíveis conectados à rede

elétrica (Bellido & Gómez, 1997).

Em geral, os métodos de modelagem do forno elétrico a arco baseiam-se em análises

no domínio do tempo, no domínio da frequência e no balanço da potência (Andrei et al,

2011).

O método de modelagem através do domínio do tempo pode ser dividido em três

modelos: resistência não linear; fonte de corrente; e fonte de tensão. O modelo da resistência

não linear realiza uma aproximação das características de tensão e corrente do arco elétrico

através de equações diferenciais. O modelo de fonte de corrente determina as características

da corrente do arco elétrico através da série de Fourier (Fourier, 1822) para representar a

injeção de correntes harmônicas. O modelo de fonte de tensão utiliza o circuito equivalente

Thévenin, sendo que a impedância representa os cabos de alimentação juntamente com os

eletrodos e a fonte de tensão o comportamento da tensão do arco elétrico (Andrei et al, 2011).

O método de análise no domínio da frequência representa a tensão e a corrente do

arco elétrico através de componentes harmônicas. O circuito equivalente do forno consiste de

uma fonte de tensão harmônica em série com a impedância do sistema para cada frequência

de interesse. A tensão harmônica da fonte é originada através da aplicação da transformada de

Fourier (Hsu, 1973) na forma de onda da tensão do arco elétrico e a corrente harmônica é

obtida através da relação entre a fonte de tensão e a impedância do circuito equivalente

(Andrei et al, 2011).

O método de balanço de potência baseia-se na solução de equações diferenciais não

lineares. O modelo do arco elétrico é desenvolvido através da equação do balanço de energia

que é definida como uma equação diferencial não linear do comprimento e da corrente do

arco elétrico (Andrei et al, 2011).

42

Bellido e Gómez (Bellido & Gómez, 1997) apresentaram um novo modelo de forno

elétrico a arco trifásico no domínio do tempo que aborda dois dos principais tipos de

distúrbios que afetam a qualidade da energia elétrica: flutuação da tensão e harmônicos. O

modelo apresentado é baseado na natureza estocástica do arco elétrico e nas características de

tensão e corrente, tendo sido estimado através de valores experimentais. O circuito de

alimentação do forno compreende a ligação de um gerador para um transformador (passa a

tensão de alta para média) e para outro transformador (passa a tensão de média para baixa)

para ser ligado ao forno a arco através dos cabos de alimentação.

O circuito elétrico desta ligação está representado pela Figura 2.7 (Bellido & Gómez,

1997).

Figura 2.7 – Circuito de alimentação do forno. Adaptado de (Bellido & Gómez, 1997).

Os eletrodos são representados através de resistências em série com indutâncias e o

arco elétrico é modelado através das características não lineares de tensão e corrente. O

modelo do arco elétrico varia com o tempo devido ao movimento dos eletrodos e da sucata

(representação através de processo estocástico). Para a estimação dos parâmetros da

impedância e da magnitude da tensão do arco elétrico para cada fase do modelo proposto foi

elaborado um algoritmo. As etapas do algoritmo de estimação dos parâmetros do forno inicia-

se com o armazenamento inicial dos valores de resistência e indutância; determinação da

amplitude do arco elétrico; estimativa dos valores de resistência e indutância através das

formas de onda da tensão e corrente; e verificação do critério de convergência. Para verificar

a eficácia do modelo proposto foi elaborada uma comparação entre um caso real e teórico.

Nesta comparação verificou-se que há um bom ajuste entre o modelo teórico e real

apresentando apenas algumas discrepâncias no espectro da densidade de potência. Quanto à

comparação da geração da corrente harmônica verificou-se que os valores teóricos e reais são

muito próximos para o espectro de corrente.

Mokhtari e Hejri (Mokhtari & Hejri, 2002) desenvolveram um modelo de forno

elétrico a arco trifásico no domínio do tempo através das equações de Cassie e Mayr (Tseng et

al, 1997) para determinar a condutância do arco. Com este novo modelo é possível simular a

não linearidade, o efeito flicker, os harmônicos e as tensões e correntes desequilibradas. Para

verificar a eficiência do modelo proposto foram elaboradas simulações no Matlab

obtendo

43

como resposta: a curva da tensão pela corrente; as formas de onda de tensão e corrente do

forno; e o comportamento da condutância do arco no tempo.

Yongning et. al (Yongning et al, 2004) propuseram um modelo no domínio do tempo

para o forno elétrico a arco trifásico, não linear e variante no tempo obtido através das

características de tensão e corrente utilizando o software Matlab

. A rede elétrica utilizada

para a simulação com o forno compreende a um transformador de alta para média tensão

ligado a uma linha de transmissão de 1 km. Ao final desta linha há um transformador que

reduz para baixa tensão com a finalidade de alimentar o forno. Através da simulação obteve-

se como resposta as formas de onda da tensão e da corrente e as porcentagens das correntes

harmônicas injetadas na rede elétrica, comprovando que o modelo proposto é adequado para

a pesquisa de harmônicos no sistema elétrico.

Sousa et. al (Sousa et al, 2005) propuseram uma modelagem no domínio do tempo

para o forno elétrico a arco através da teoria do caos juntamente com equações diferenciais

para representar o seu comportamento. Neste modelo observa-se a representação das

características dinâmicas, determinísticas, não lineares e multivalores da tensão e da corrente.

No artigo são descritos: o comportamento dinâmico, onde são definidas as equações

diferenciais através da lei da conservação da energia; a resposta caótica dos fornos a arco,

representado através do circuito de Chua; e o modelo do forno. O circuito de Chua está

representado pela Figura 2.8.

Figura 2.8 – Circuito de Chua. Adaptado de (Sousa et al, 2005).

Na Figura 2.8, os termos 𝐶1 e 𝐶2 correspondem aos capacitores, 𝐿 é um indutor, 𝑅 é

um resistor e 𝑁𝑅 compreende ao diodo de Chua que corresponde ao elemento não linear do

circuito. O modelo do forno é determinado através da solução das equações diferenciais

juntamente com o sinal caótico de baixa frequência oriundo do circuito de Chua. A

modulação destes dois sinais determina as tensões no forno elétrico que é representado através

de uma fonte de tensão controlada por corrente. O modelo desenvolvido foi simulado numa

rede radial de 4 barras onde foi verificada a capacidade do modelo em descrever o

comportamento do forno e reproduzir as flutuações de tensão associadas ao efeito flicker

(Sousa et al, 2005).

44

Tavares et. al (Tavares et al, 2005) apresentaram uma metodologia analítica para

implementação computacional do comportamento dinâmico dos fornos elétricos a arco

trifásicos no domínio do tempo. O modelo no domínio do tempo foi elaborado através dos

dados experimentais obtidos numa usina siderúrgica de 48 MVA e a partir da análise dos

dados foram desenvolvidas duas expressões para a potência. Para quantificar os níveis de

severidade da cintilação utilizou-se o índice Pst (Probability short term) que possibilita a

representação da cintilação verificada num período de 10 minutos. Para a simulação do

modelo proposto foi utilizada uma rede de 76 barras, porém somente 3 barras foram utilizadas

para ilustrar o efeito da carga dinâmica sobre a flutuação da tensão e do desequilíbrio. Com os

resultados verificou-se que os níveis de desequilíbrio estão dentro dos 2% exigidos pelo ONS

(Operador Nacional do Setor Elétrico), porém os níveis de Pst provocaram uma violação

nestes limites. Esta violação indica a necessidade de técnicas de mitigação de harmônicos

gerados pelo forno.

Alves et al. (Alves et al, 2007) apresentaram o modelo no domínio do tempo do

forno elétrico a arco trifásico baseado no circuito de Chua para a representação do sinal

caótico e a modelagem de um compensador estático do tipo reator controlado a tiristor para

eliminar o efeito flicker. A tensão do arco elétrico é obtida através da solução de equações

diferenciais moduladas com o sinal caótico. Para lidar com as perturbações no sistema elétrico

de potência devido à presença do forno, apresentou-se o modelo dos compensadores estáticos

reativos que apesar de sua baixa eficiência apresentam uma solução atraente devido à baixa

relação custo/benefício. Com a resposta através das simulações com o software ATP

verificou-se que o modelo compensado se comportou de maneira adequada para a simulação

de distúrbios causados pelo forno, comprovando que o modelo é suficientemente flexível para

o estudo do impacto da instalação de fornos no sistema e auxilia no dimensionamento de

compensadores para mitigar o efeito flicker.

Hui et. al. (Hui et al, 2010) propuseram um modelo no domínio do tempo para o

forno elétrico a arco trifásico baseado na variação da resistência do arco com o tempo,

simulando as características elétricas do forno devido à resistência do arco elétrico ser

altamente não linear. Para representar a resistência do arco elétrico é utilizado um

potenciômetro, porém para modelar esta resistência é necessário determinar alguns

parâmetros que são utilizados pela modelagem proposta por Xiao-he et al (Xiao-he et al,

1994). Para verificar a eficiência do modelo proposto foram elaboradas simulações através do

software Matlab

e como resultados foram obtidas as formas de onda da corrente, tensão e o

espectro harmônico.

45

Mayordomo et. al (Mayordomo et al, 1997) propuseram a modelagem no domínio da

frequência para os fornos elétricos a arco monofásicos e trifásicos no domínio da frequência

para análise dos harmônicos. A alimentação do forno utiliza dois transformadores, sendo o

primeiro (𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜1) para baixar a alta tensão para média e o segundo (𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜2) para transformar

a média tensão em baixa (normalmente é no primário do segundo transformador onde são

instalados compensadores), como pode ser observado pela Figura 2.9.

Figura 2.9 – Circuito de alimentação do forno. Adaptado de (Mayordomo et al, 1997).

O modelo proposto foi introduzido no fluxo de potência baseado no método de

Newton-Raphson (Yang et al, 2008), tendo sido aplicado em uma rede puramente reativa e

em uma rede de transmissão de energia elétrica espanhola de 700 barras e 7 fornos.

Ahmed et. al (Ahmed et al, 1999) propuseram a representação do forno elétrico a

arco trifásico no domínio da frequência através do circuito equivalente de Thevenin que é

composto por uma fonte de tensão em série com uma impedância. A fonte de tensão

representa o comportamento da tensão do arco elétrico e a impedância corresponde aos cabos

que alimentam o forno. A forma de onda da tensão do arco elétrico é quadrada e não depende

da magnitude da corrente elétrica, sendo definida através de três componentes: a queda de

tensão nos eletrodos; o comprimento do arco elétrico; e a queda de tensão por comprimento

do arco.

Haruni et. al (Haruni et al, 2007) apresentaram um estudo comparativo de seis

modelos de fornos elétricos a arco trifásicos sendo quatro modelos no domínio do tempo e

dois no domínio da frequência. Um primeiro modelo é representado por uma fonte de tensão

controlada baseada numa aproximação linear da curva característica de tensão por corrente. O

segundo é baseado numa aproximação linear da curva característica V-I. O terceiro assume

uma queda de tensão exponencial durante a ignição do arco elétrico e o quarto representa a

curva característica V-I, sendo a tensão do arco determinada através dos valores de corrente.

O quinto é baseado no modelo Mayr (Cano & Tacca, 2005) e o sexto e último modelo utiliza

o domínio da frequência para representar as componentes de tensão e corrente do forno

elétrico a arco. Como resposta foram obtidos os percentuais das tensões harmônicas para cada

modelo, comprovando também que os modelos propostos são de fácil implementação

computacional.

46

Chang et. al (Chang et al, 2008) apresentaram uma revisão dos modelos clássicos e

avançados (no domínio do tempo e da frequência) para a representação do forno elétrico a

arco trifásico no fluxo de potência trifásico harmônico. Neste estudo foram utilizados valores

experimentais para modelagem. Os modelos clássicos estudados foram baseados na injeção de

corrente harmônica e na fonte de tensão harmônica, e modelos avançados baseiam-se na

interpolação cúbica spline e na função de base radial. O modelo de injeção de corrente

harmônica utiliza fontes de corrente ligadas em paralelo para representação da corrente

harmônica do arco elétrico e o modelo de fonte de tensão foi representado através de uma

impedância em série com uma fonte de tensão harmônica. A impedância representa os cabos

de alimentação do forno e a fonte de tensão o comportamento da tensão do arco elétrico. O

modelo de interpolação cúbica spline é baseado num polinômio cúbico não linear da

condutância do arco elétrico e o modelo de função de base radial utiliza redes neurais

artificiais.

2.3.3 Lâmpadas Fluorescentes

As lâmpadas fluorescentes tradicionais são compostas por um tubo de vidro

internamente revestido por um material à base de fósforo e preenchido com gás a baixa

pressão (Torres et al, 2007). A Figura 2.10 representa a lâmpada fluorescente que utiliza

dispositivos como starter e reator ligada à rede elétrica (Siqueira, 2011).

Figura 2.10 – Componentes da lâmpada fluorescente. Adaptado de (Siqueira, 2011).

Este tipo de lâmpada foi introduzida no mercado em 1938 e no Brasil seu uso foi

intensificado durante a crise energética de 2002 (Torres et al, 2007) através de programas de

eficiência energética promovidos pelas concessionárias e pela queda dos preços (Teixeira et

al, 2005). Isto ocorreu devido a características como: luminosidade, economia e eficiência

energética quando comparadas com as lâmpadas incandescentes. O ponto fraco destas

lâmpadas está nas distorções apresentadas devido à geração de harmônicos além de operarem

com um baixo fator de potência, causando problemas de operação em sistemas elétricos

sensíveis (Torres et al, 2007; e Gonos et al, 1999).

47

Carrillo e Cidrás (Carrillo & Cidrás, 1998) desenvolveram um método de

modelagem através da injeção de corrente harmônica causada pelo uso de lâmpadas

fluorescentes com reator e starter. A proposta apresentada corresponde a uma extensão do

algoritmo Iterative Harmonic Analysis (Arrilaga et al, 1997) para calcular a injeção de

corrente harmônica.

Na Figura 2.11 tem-se o circuito utilizado para o modelo matemático (Carrillo &

Cidrás, 1998).

Figura 2.11 – Modelo da lâmpada fluorescente. Adaptado de (Carrillo & Cidrás, 1998).

Neste circuito, 𝐶𝐴 é a capacitância apresentada no modelo, 𝑅 e 𝐿 são a resistência e a

indutância, respectivamente. Nesta representação também estão presentes a lâmpada e o

starter (Carrillo & Cidrás, 1998).

Com a definição da tensão e da corrente determina-se a característica não linear da

lâmpada através da linearização da curva de tensão por corrente. Com os elementos da

lâmpada modelados utilizou-se um algoritmo iterativo para determinar o espectro harmônico

da tensão e da corrente. Inicialmente, o algoritmo desenvolvido trata o tubo da lâmpada

fluorescente como uma resistência que é determinada através de valores experimentais. A

tensão no tubo e a correção das características também são calculadas, sendo este último

baseado no comportamento da corrente e da tensão. Este processo é importante para atualizar

o valor da tensão no tubo e para, posteriormente, calcular a corrente no reator. Os espectros da

corrente e tensão são determinados através da transformada rápida de Fourier. O modelo

proposto apresentou pequenas variações na tensão, porém verificou-se a possibilidade da

utilização em simulações com o efeito flicker (Carrillo & Cidrás, 1998).

Gonos et al (Gonos et al, 1999) investigaram a distorção harmônica na rede de

distribuição devido à inserção de lâmpadas fluorescentes compactas e lâmpadas fluorescentes

com reatores. Os dados obtidos através de um sistema de aquisição foram enviados para o

Matlab

onde determinou-se o espectro harmônico da corrente através da análise de Fourier.

No sistema estudado, verificou-se que nas lâmpadas fluorescentes compactas não

apresentaram uma distorção harmônica na corrente tão significativa quanto as lâmpadas

fluorescentes com reatores. Em ambos os tipos de lâmpadas notou-se somente a presença de

harmônicas ímpares.

48

No artigo de Chang et al. (Chang et al, 2001) são abordadas as correntes geradas

pelas lâmpadas fluorescentes com reatores eletromagnéticos assim como o seu

comportamento não linear e a distorção harmônica para a tensão. A forma de onda da corrente

nas lâmpadas fluorescentes são altamente não senoidais devido ao mecanismo de descarga e

ao reator magnético. O modelo utilizado para a representação da lâmpada fluorescente

compreende ao equivalente Norton e com a análise dos resultados obtidos, verificou-se a

eficiência da proposta e a possibilidade da aplicação deste modelo em outras cargas não

lineares como motores de indução e fornos a arco.

Lucache et al (Lucache et al, 2003) propuseram uma modelagem para lâmpadas

fluorescentes que utilizam um starter magnético. Para descrever o comportamento das

lâmpadas utilizam-se equações do tipo Duffing (Nemescu & Lucache, 2002) que

compreendem a propriedade do caos e do fenômeno ressonante. Portanto, neste artigo são

descritas as condições ressonantes no momento em que a lâmpada é ligada. A utilização do

starter magnético acarreta na definição de uma função polinomial de terceira ordem para

representar a corrente. Para verificar a eficiência do método há uma comparação entre os

dados experimentais e simulados constatando-se uma boa aderência na semelhança entre as

respostas.

Teixeira et al. (Teixeira et al, 2005) estudaram o impacto causado pela utilização

maciça de lâmpadas fluorescentes compactas (LFC) na rede de distribuição de energia elétrica

com ênfase na distorção harmônica, e para isso foi necessária a implementação de um modelo

computacional que representasse o funcionamento de maneira fiel. Para a elaboração do

estudo foram realizados ensaios laboratoriais, modelagem das LFCs, medições de campo e

simulações computacionais. Na primeira etapa, foi elaborado o ensaio laboratorial e o

modelamento das LFCs utilizando o software Matlab

levando em consideração: a

modelagem no domínio do tempo e a validação computacional do modelo implementado. Na

segunda etapa, foram realizadas as medições de campo em um alimentador do sistema de

distribuição da COPEL (Companhia Paranaense de Energia), antes e após a instalação das

LFCs para análise dos parâmetros elétricos. Com a substituição das lâmpadas incandescentes

pelas LFCs verificou-se que não houve uma significativa redução do comportamento médio

da curva de carregamento do transformador, porém houve uma redução expressiva do

consumo de energia elétrica e um aumento de 11,6% na distorção harmônica para a tensão e

21,5% na distorção harmônica para a corrente. Na terceira etapa, verificou-se que as formas

de onda simuladas e experimentais apresentaram grande similaridade tornando o modelo

computacional eficaz.

49

Torres et al. (Torres et al, 2007) com o objetivo de avaliar as distorções na forma de

onda da corrente provenientes de lâmpadas fluorescentes, foram realizados testes com

lâmpadas incandescentes de 60 W, lâmpadas fluorescentes compactas de 15 W, lâmpadas

fluorescentes tubulares de 40 W com reator indutivo e starter, e, lâmpadas fluorescentes

tubulares de 40 W com reator eletrônico de partida rápida e alto fator de potência. Para as

lâmpadas citadas foram avaliados o fator de potência, a iluminância a 1 m de distância (lux) e

a distorção harmônica total (DHT) para a corrente. Quanto ao fator de potência constatou-se

que a lâmpada incandescente tem fator de potência unitário, as lâmpadas fluorescentes

compactas e tubulares com reator indutivo e starter apresentaram valores menores que 0,5 e a

lâmpada fluorescente com reator eletrônico apresentou o valor de 0,9. Com relação à

iluminância, a lâmpada fluorescente tubular com reator de partida rápida apresentou o melhor

resultado seguido das lâmpadas fluorescentes tubulares com reator indutivo, starter e das

compactas e, como esperado, a lâmpada incandescente foi a que apresentou o pior resultado.

No quesito DHT para a corrente, a lâmpada fluorescente compacta apresentou o pior

resultado, seguido da lâmpada fluorescente tubular com reator de partida rápida, lâmpada

fluorescente tubular com reator indutivo e starter e como esperado, a lâmpada incandescente

apresentou o melhor resultado.

Chang e Liu (Chang & Liu, 2008) desenvolveram um modelo para as lâmpadas

fluorescentes de 10 W e 20 W através da descrição das características de tensão e corrente,

associando-se um polinômio cúbico para representar a característica não linear da lâmpada. O

método apresentado compreende a interpolação cúbica do tipo spline (Gisela & Frank, 1996)

para as medidas de condutância. Para verificar a eficiência do modelo desenvolvido, foi

realizada uma comparação entre os resultados obtidos através de ensaios com as lâmpadas

fluorescentes e os valores simulados pelo método, constatando-se uma similaridade entre as

características de tensão e corrente assim como na resposta do espectro harmônico para ambos

os tipos de lâmpadas.

Rylander e Grady (Rylander & Grady, 2010) propuseram a modelagem de cargas

como computador, ar condicionado, lâmpada compacta fluorescente e incandescente. A

modelagem destes dispositivos foram obtidas através do modelo equivalente de Norton que

determina a impedância e a corrente em cada frequência harmônica de interesse. A

impedância equivalente para cada ordem harmônica é determinada através do cálculo da

variação de tensão dividida pela variação da corrente (variação entre as duas condições de

operação) e a corrente é determinada através da lei de Kirchhoff para as correntes no circuito

equivalente de Norton.

50

Sharma e Sunderman (Sharma et al, 2011) motivados pelo uso generalizado de

lâmpadas fluorescentes que possuem um alto teor harmônico, visaram quantificar o aumento

da distorção harmônica na subestação devido à substituição das lâmpadas incandescentes por

lâmpadas fluorescentes. Neste contexto, as lâmpadas fluorescentes foram divididas em três

grupos para o modelamento harmônico: lâmpadas com baixo fator de potência de 0 até 0,509;

lâmpadas com fator de potência médio de 0,510 a 0,735 e lâmpadas com alto fator de potência

de 0,736 a 0,926. Para a simulação do sistema trifásico com aspectos harmônicos utilizou-se o

OpenDSS e com a substituição das lâmpadas incandescentes (20% da carga total) por

lâmpadas fluorescentes verificou-se que as lâmpadas com baixo fator de potência

introduziram maior impacto na distorção harmônica para a corrente acarretando em um

aumento de 1 a 2 % na distorção harmônica total.

2.3.4 Sistema de Carga de Baterias para os Veículos Elétricos

Segundo a CETESB (Companhia Ambiental do Estado de São Paulo), as áreas

metropolitanas apresentam problemas de poluição do ar geradas principalmente por veículos a

combustão. A poluição causada por estes veículos é composta por monóxido de carbono,

óxidos de nitrogênio, hidrocarbonetos, óxidos de enxofre e materiais particulados. Estas

substâncias quando entram em contato com o sistema respiratório produzem vários problemas

de saúde (Cetesb, 2016). Apontados como alternativa sustentável para a redução de poluentes

na atmosfera e ajudar na diminuição do aquecimento global, os veículos elétricos estão cada

vez mais presentes (Abve, 2016).

Apesar dos benefícios encontrados com a utilização dos veículos elétricos verifica-se

que na rede elétrica o sistema de carga de baterias afeta a qualidade de energia elétrica devido

a geração de distorções harmônicas. A geração de distorções harmônicas ocorre devido ao

sistema de carga ser constituído basicamente por um retificador conectado a um conversor.

Basicamente, este sistema pode ser dividido em: monofásico, trifásico com e sem controle de

retificação.

Yang et al (Yang et al, 2011) descrevem dois modelos de carregadores trifásicos para

veículos elétricos. O primeiro modelo é formado por um retificador trifásico não controlado

conectado a um conversor CC/CC (este modelo apresenta altas correntes harmônicas para

quinta, sétima, décima primeira e décima terceira ordem), como mostra a Figura 2.12.

51

Figura 2.12 – Sistema de carga de baterias não controlado. Adaptado de (Yang et al, 2011).

O segundo modelo de carregador é formado por um retificador trifásico controlado

por PWM conectado a um conversor CC/CC (este modelo apresenta baixa injeção de corrente

harmônica na rede elétrica e alto fator de potência), como mostra a Figura 2.13.

Figura 2.13 – Sistema de carga de baterias controlado por PWM. Adaptado de (Yang et al, 2011).

Através da simulação em uma rede de 9 barras com ambos os sistemas de cargas de

bateria, verificou-se que o carregador não controlado excede os limites de distorção para a

décima primeira e a décima terceira harmônicas e os carregadores controlados não excedem

os limites de distorção harmônica.

Carter et al. (Carter et al, 2012) descreveram o comportamento da distorção

harmônica total para dois modelos de carregadores monofásicos (13 A e 32 A) conectados na

rede de distribuição. A simulação foi elaborada através dos softwares OpenDSS e Matlab

na

rede do Reino Unido. Através das simulações verificou-se que a distorção individual

harmônica para tensão na barra da subestação excede a norma EN 6100-3-2 (EN Std. 61000-

3-2, 2009).

Boribun et al. (Boribun et al, 2013) propuseram um modelo para o sistema de carga

de baterias para o veículo elétrico visando a inserção no fluxo de potência trifásico para

analisar os impactos gerados na rede de distribuição de energia elétrica. O modelo proposto

determina que o sistema de carga deve ser representado como uma carga de potência

constante para a frequência fundamental e através deste estudo verificou-se que o aumento do

uso dos veículos elétricos provoca um aumento da quantidade de cargas no sistema elétrico o

que acarrenta no aumento significativo das perdas e na degradação da qualidade da tensão da

rede elétrica.

52

Haidar e Muttaqi (Haidar & Muttaqi, 2014) descreveram a modelagem do sistema de

carga de baterias para inserção no fluxo de potência trifásico através do modelo que adota

como constante os parâmetros como impedância, corrente e potência complexa. O sistema de

carga das baterias é composto por um filtro conectado a um retificador CA/CC e este a um

conversor CC/CC. Este sistema é gerenciado por um dispositivo denominado controlador de

carga, como está representado pela Figura 2.14.

Figura 2.14 – Sistema de carga de baterias. Adaptado de (Haidar & Muttaqi, 2014).

Para determinar os parâmetros do modelo proposto utilizou-se o método dos

mínimos quadrados para, posteriormente, determinar as potências ativa e reativa. Este método

foi testado na rede de 69 barras do IEEE. Atravé dos resultados verificou-se que o modelo

proposto quando configurado corretamente apresenta o comportamento mais próximo do real

gerando menores perdas e demanda de energia que o modelo de potência constante (Haidar &

Muttaqi, 2014).

Janiga et al. (Janiga et al, 2016) descreveram o comportamento do sistema de carga

de baterias para os veículos elétricos, sendo eles os carregadores de uso doméstico e o fast

charger. Este estudo foi elaborado com a finalidade de analisar os principais parâmetros dos

carregadores que afetam a rede elétrica (corrente, tensão, distorções e fator de potência).

Através deste estudo verificou-se que na fase de carga das baterias com carregador doméstico

são necessárias em torno de seis horas para a carga completa, o fator de potência varia de 0,95

a 0,99 e a distorção harmônica total da corrente é de 8,58 %. Com o fast charger não há

distorção na forma de onda da tensão, a distorção harmônica total na corrente é menor que 8

%, com uma presença mais significante da sétima harmônica.

Balcells e Garcia (Balcells & Garcia, 2010) apresentaram um estudo dos impactos na

rede elétrica devido ao processo de carga de baterias para os veículos híbridos e elétricos.

Para realizar a simulação foi utilizada uma estação de carga para veículos elétricos com vinte

carregadores monofásicos e cinco trifásicos. Nesta simulação, os sistemas de cargas de

baterias para os veículos elétricos foram determinados através da injeção de correntes

53

harmônicas. Notou-se que os principais problemas gerados estão presentes nas estações

monofásicas por apresentar alto teor harmônico para a componente de terceira ordem.

Aljanad e Mohamed (Aljanad & Mohamed, 2016) descreveram o efeito dos

harmônicos gerados pelo sistema de carga dos veículos híbridos na rede de 37 barras do IEEE

(Testfeeders, 2016). Para a representação do sistema de carga de baterias foi utilizado o

circuito equivalente de Norton que consiste de uma fonte de corrente em paralelo com uma

impedância. Com a alocação dos veículos elétricos na rede de 37 barras verificou-se um

aumento significativo de 9,5 % e 50 % na distorção harmônica para tensão e corrente,

respectivamente.

Wenxiong et al (Wenxiong et al, 2016) descrevem a modelagem do sistema de carga

de baterias para o veículo elétrico trifásico não controlado no domínio da frequência. Nesta

proposta a característica não linear que está no domínio do tempo é transformada para o

domínio da frequência para representar a relação entre as correntes e tensões harmônicas.

Neste artigo são apresentadas o espectro harmônico da corrente para diferentes potências de

carregamento. O modelo matemático proposto é comparado com o sistema de carga real

obtendo valores muito próximos.

Neste capítulo, destinado à revisão literária, visou-se destacar as características:

de cada um dos métodos existentes para as modelagens do fluxo de potência trifásico nas

versões tradicional e harmônica aplicáveis em redes de distribuição de energia elétrica

radiais;

e das cargas não lineares (motor de indução trifásico, forno elétrico a arco, lâmpadas

fluorescentes compactas e os sistemas de cargas de baterias para o veículo elétrico) para

assim definir as técnicas adotadas nesta pesquisa, descritas nos próximos capítulos.

54

Capítulo 3

Qualidade da Energia Elétrica

Neste capítulo são apresentados os conceitos básicos sobre a qualidade da energia

elétrica e com base nos conceitos sobre harmônicos (Anexo A) é discutida a formulação das

medidas de distorção harmônica para avaliação da qualidade da energia elétrica e a

importância destes indicadores segundo a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL),

sendo apresentado também um estudo das componentes simétricas e a descrição das

principais normas internacionais e nacionais vigentes atualmente.

3.1 Medidas de Distorção Harmônica

Com base nos conceitos propostos pela teoria da Série Trigonométrica de Fourier

(Fourier, 1822) disponível no Anexo A, um sinal de tensão ou corrente pode ser descrito

através das equações (3.1) e (3.2), respectivamente (Leão et al, 2014).

𝑣(𝑡) = 𝑉0 + ∑ 𝑉𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑛)

∞

𝑛=1

(3.1)

𝑖(𝑡) = 𝐼0 + ∑ 𝐼𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝛿𝑛)

∞

𝑛=1

(3.2)

Nas equações (3.1) e (3.2), 𝑉0 e 𝐼0 são as componentes contínuas de tensão e

corrente, 𝑉𝑛 e 𝐼𝑛 são os valores de pico das componentes harmônicas para tensão e corrente,

respectivamente. A frequência fundamental é representada por 𝑓, 𝑛 corresponde à ordem

harmônica e os termos 𝜑𝑛 e 𝛿𝑛 são os ângulos para a tensão e corrente, respectivamente (Leão

et al, 2014).

Através dos conceitos apresentados pode-se determinar a distorção harmônica

individual e total para tensão e corrente para avaliar a qualidade da energia elétrica.

Estes indicadores de distorção são de suma importância para a avaliação da

qualidade da energia elétrica, para a qual é necessário obter dados da rede através de um

sistema de medição que deve conter medidores agregados a transformadores de potencial e

corrente, painéis de medição, canais de comunicação, sistema de coleta de dados e

gerenciamento da medição (Leão et al, 2014).

55

O sistema de medição deve mensurar e registrar dados de energia ativa e reativa,

tensão e corrente, fatores de perda de transformação e de qualidade de energia (Leão et al,

2014).

Os dados oriundos dos medidores são coletados pelo Sistema de Coleta de Dados

(SCD) e processados para a avaliação da qualidade da energia, obtendo-se os valores de

distorção harmônica, desequilíbrio de tensão e cintilação (Leão et al, 2014).

3.1.1 Distorção Harmônica Individual

A Distorção Harmônica Individual (DHI) corresponde a um indicador que mede a

distorção causada por cada componente harmônica com relação à fundamental. Este indicador

é calculado tanto para a tensão quanto para a corrente através da equação (3.3) (Leão et al,

2014).

𝐷𝐻𝐼 = 𝐶𝑛

𝐶1. 100% (3.3)

Na equação (3.15), 𝐶𝑛 refere-se à componente harmônica de interesse, 𝐶1 é a

componente fundamental e 𝑛 corresponde à ordem harmônica (Leão et al, 2014).

3.1.2 Distorção Harmônica Total

O indicador de Distorção Harmônica Total (DHT) mede o desvio total da onda

distorcida em relação à componente fundamental. Em outras palavras, o DHT compreende a

medida do grau de distorção de uma onda deformada em relação a uma sinusoide pura. A

equação (3.4) determina o cálculo da Distorção Harmônica Total para a tensão (Leão et al,

2014).

𝐷𝐻𝑇𝑉 =√∑ 𝑉𝑛

2𝑛≠1

𝑉1 (3.4)

Em (3.4), 𝑉1 corresponde à tensão da componente fundamental e 𝑉𝑛 é a tensão das

componentes harmônicas (Leão et al, 2014).

De modo semelhante à Distorção Harmônica Total para a tensão, tem-se a Distorção

Harmônica Total para a corrente, representada pela equação (3.5) (Leão et al, 2014).

𝐷𝐻𝑇𝐼 =√∑ 𝐼𝑛2𝑛≠1

𝐼1 (3.5)

56

Na equação (3.5), 𝐼1 corresponde à corrente da componente fundamental e 𝐼𝑛 é a

corrente das componentes harmônicas (Leão et al, 2014).

Observando e analisando as equações (3.4) e (3.5) verifica-se que se a onda em

análise não possui componentes harmônicas os valores de 𝐷𝐻𝑇𝑉 ou 𝐷𝐻𝑇𝐼 são nulos. Isto

ocorre devido ao numerador da fração só envolver componentes harmônicas na somatória

(Leão et al, 2014).

3.2 Componentes Simétricas

O sistema elétrico com 𝑛 fases desequilibradas pode ser decomposto em

componentes simétricas equilibradas como foi demonstrado por Charles LeGeyt Fortescue,

em 1918. A Figura 3.1 representa a demonstração que Fortescue que ficou conhecida como o

Teorema de Fortescue (Leão et al, 2014).

Figura 3.1 – Representação do teorema de Fortescue. Adaptado de (Leão et al, 2014).

Nota-se que a sequência positiva possui a mesma sequência de fase dos fasores

originais, com fasores de mesma magnitude e defasados de 120°; a sequência negativa

corresponde à sequência oposta dos fasores originais, com fasores de mesma magnitude e

defasagem de 120°; as componentes de sequência zero possuem mesma magnitude e a

defasagem nula (Duque, 2013).

A Figura 3.1 pode ser representada através de conceitos matemáticos, conforme

indicado pela equação (3.6) (Oliveira et al, 2000).

[𝑉𝐴

𝑉𝐵

𝑉𝐶

] = 𝑉0. [111] + 𝑉1. [

1𝛼2

𝛼] + 𝑉2. [

1𝛼𝛼2

] (3.6)

57

Em (3.6), α é definido como 1∠120°. O primeiro termo desta equação compreende a

sequência zero, o segundo a sequência positiva e o terceiro a sequência negativa. A equação

(3.6) pode ser reescrita de forma comprimida através da equação (3.7) (Oliveira et al, 2000).

[𝑉𝐴

𝑉𝐵

𝑉𝐶

] = [1 1 11 𝛼2 𝛼1 𝛼 𝛼2

] . [𝑉0

𝑉1

𝑉2

] (3.7)

3.2.1 Harmônicos

Em um sistema trifásico equilibrado que contém cargas não lineares verifica-se a

presença de harmônicos. As equações (3.8), (3.9) e (3.10) representam através das Séries de

Fourier as tensões harmônicas equilibradas nas fases A, B e C, respectivamente (Leão et al,

2014).

𝑉𝐴 = 𝑉1. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑1) + 𝑉2. 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜑2) + 𝑉3. 𝑐𝑜𝑠(3𝜔𝑡 + 𝜑3)+ 𝑉4. 𝑐𝑜𝑠(4𝜔𝑡 + 𝜑4) + 𝑉5. 𝑐𝑜𝑠(5𝜔𝑡 + 𝜑5)+ 𝑉6. 𝑐𝑜𝑠(6𝜔𝑡 + 𝜑6) + ⋯

(3.8)

𝑉𝐵 = 𝑉1. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑1 − 120°) + 𝑉2. 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜑2 + 120°)+ 𝑉3. 𝑐𝑜𝑠(3𝜔𝑡 + 𝜑3) + 𝑉4. 𝑐𝑜𝑠(4𝜔𝑡 + 𝜑4 − 120°)+ 𝑉5. 𝑐𝑜𝑠(5𝜔𝑡 + 𝜑5 + 120°) + 𝑉6. 𝑐𝑜𝑠(6𝜔𝑡 + 𝜑6) + ⋯

(3.9)

𝑉𝐶 = 𝑉1. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑1 + 120°) + 𝑉2. 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜑2 − 120°)+ 𝑉3. 𝑐𝑜𝑠(3𝜔𝑡 + 𝜑3) + 𝑉4. 𝑐𝑜𝑠(4𝜔𝑡 + 𝜑4 + 120°)+ 𝑉5. 𝑐𝑜𝑠(5𝜔𝑡 + 𝜑5 − 120°) + 𝑉6. 𝑐𝑜𝑠(6𝜔𝑡 + 𝜑6) + ⋯

(3.10)

Na Tabela 3.1 tem-se a ordem harmônica com a respectiva sequência (Leão et al,

2014).

Tabela 3.1 – Definição da sequência para cada ordem harmônica (Leão et al, 2014).

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Seq. + - 0 + - 0 + - 0 + - 0 + - 0

n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Seq. + - 0 + - 0 + - 0 + - 0 + - 0

n 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Seq. + - 0 + - 0 + - 0 + - 0 + - 0

A Tabela 3.1 é definida através de três equações (Duque, 2013), sendo elas a

equação (3.11) que determina as ordens harmônicas de sequência positiva; a (3.12) que

determina as ordens harmônicas de sequência negativa e a (3.13) que determina as ordens

harmônicas de sequência zero.

𝑛 = 3. 𝑘 + 1 (3.11)

58

𝑛 = 3. 𝑘 + 2 (3.12)

𝑛 = 3. 𝑘 + 3 (3.13)

Nestas equações, 𝑛 corresponde à ordem harmônica e 𝑘 aos números inteiros de zero

a infinito (Duque, 2013).

3.3 Normas Relativas aos Harmônicos

A maioria dos países desenvolveram suas próprias normas ou recomendações para as

condições locais. Porém, com a globalização verificou-se que equipamentos produzidos em

um país deve obedecer às normas estabelecidas em outros países. Por esta razão estabeleceu-

se um esforço para a determinação das normas internacionais (Arrilaga et al, 1997).

As normas relacionadas aos harmônicos visam a determinação de limites de emissão

e tolerância aceitáveis. As ênfases destas normas compreendem aos níveis de harmônicas que

podem ser tolerados no sistema elétrico através da limitação dos níveis de tensão e corrente

(Arrilaga et al, 1997).

As normas são documentos que contêm especificações técnicas ou critérios para

serem utilizados como regras ou diretrizes. As instituições reconhecidas internacionalmente

no desenvolvimento das normas são: IEC (International Electrotechnical Commission) e

IEEE (The Institute of Electrical and Electronics Engineers). No Brasil, o órgão responsável

pela regulamentação do setor elétrico é a ANEEL (Leão et al, 2014).

Na norma IEEE 519-1992 são encontradas as identificações das principais fontes de

harmônicos no sistema elétrico, as respectivas formas de onda, as ordens harmônicas, os

níveis de distorções para cada componente e a descrição dos efeitos dos harmônicos nos

componentes do sistema elétrico de potência (IEEE Std. 519-1992, 1992).

A Tabela 3.2 apresenta os níveis de distorção de corrente aceitáveis pela norma IEEE

519-1992 no ponto de conexão comum (PCC) para redes com tensão de 120 V a 69 kV (IEEE

Std. 519-1992, 1992).

Tabela 3.2 – Limites de dist. para corrente – Norma IEEE 519-1992 (IEEE Std. 519, 1992).

Harmônicas de Ordem Ímpares TDD (%)

Icc/I1 h < 11 11 ≤ h < 17 17 ≤ h < 23 23 ≤ h < 35 35 ≤ h

< 20* 4,0 2,0 1,5 0,6 0,3 5,0

20 < 50 7,0 3,5 2,5 1,0 0,5 8,0

50 < 100 10,0 4,5 4,0 1,5 0,7 12,0

100 < 1000 12,0 5,5 5,0 2,0 1,0 15,0

>1000 15,0 7,0 6,0 2,5 1,4 20,0

59

Na Tabela 3.2, Icc é a corrente máxima de curto circuito, I1 a corrente média da carga

e TDD a distorção de demanda total. Esta norma define que as harmônicas pares são limitadas

a 25 % dos limites dos harmônicos ímpares imediatamente superiores (Leão et al, 2014).

Valores de Icc/I1 menores que 20 estão relacionados a todo equipamento de geração que é

limitado a esses valores de distorção de corrente independente da relação.

Na Tabela 3.3 têm-se os limites de distorção para tensão no PCC para cada nível de

tensão (IEEE Std. 519-1992, 1992).

Tabela 3.3 – Limites de dist. para tensão – Norma IEEE 519-1992 (IEEE Std. 519, 1992).

Tensão de Barra Limite Máximo Individual Vh/V1 (%) Máximo DHTV (%)

≤69 kV 3,0 5,0

115 kV a 161 kV 1,5 2,5

>161 kV 1,0 1,5

A norma IEC 610002-2 (IEC Std. 61000-2-2, 2002) determina os níveis de

compatibilidade para sistemas públicos de distribuição de energia elétrica em corrente

alternada para tensão de até 690 V. As Tabelas 3.4 e 3.5 contêm as distorções harmônicas

individuais para a tensão de ordem ímpar e par, respectivamente. O nível aceitável de

distorção harmônica total para a tensão é inferior a 8,0 %.

Tabela 3.4 – Limites de DHI para tensão (ordem ímpar) – Norma IEC 610002-2 (IEC Std.

61000-2-2, 2002).

Harmônicas ímpares não múltiplas de 3 Harmônicas ímpares múltiplas de 3

Ordem h Harmônica de tensão % Ordem h Harmônica de tensão %

5 6,0 3 5,0

7 5,0 9 1,5

11 3,5 15 0,4

13 3,0 21 0,3

17 ≤ h ≤ 49 2,27.(17/h) – 0,27 21< h ≤ 45 0,25.(10/h) – 0,25


61000-2-2, 2002).

Harmônicas pares

Ordem h Harmônica de tensão %

2 2,0

4 1,0

6 0,5

8 0,5

10 ≤h≤50 0,25.(10/h)+0,25

A norma IEC 610003-6 (IEC Std. 61000-3-6, 2008) determina o percentual de

distorção harmônica para tensão em redes de média tensão (1 kV a 35 kV), alta tensão (35 kV

a 230 kV) e extra-alta-tensão (superior a 230 kV). Os limites de distorção harmônica total

60

para tensão em redes de média tensão é de 6,5 % e para as redes de alta e extra-alta-tensão

este limite é de 3%. As Tabelas 3.6 e 3.7 representam os limites de distorção harmônicos para

as componentes ímpares e pares, respectivamente (Leão et al, 2014).

Tabela 3.6 – Limites de DHI para a tensão (ordem ímpar) – Norma IEC 610003-6 (IEC Std.

61000-3-6, 2008).

Harmônicas ímpares

Não Triplas Triplas

Ordem h Harmônica de Tensão (%)


MT AT-EAT MT AT-EAT

5 5,0 2,0 3 4,0 2,0

7 4,0 2,0 9 1,2 1,0

11 3,0 1,5 15 0,3 0,3

13 2,5 1,5 21 0,2 0,2

17 ≤ h ≤ 49 1,9.(17/h)-0,2 1,2.(17/h) 17 < h ≤ 49 0,2 0,2


61000-3-6, 2008).

Harmônicas pares


MT AT-EAT

2 1,8 1,4

4 1,0 0,8

6 0,5 0,4

8 0,5 0,4

10 ≤ h ≤ 50 0,25.(10/h)+0,22 0,19.(10/h)+0,16

A norma europeia EN 50160 (EN Std. 50160, 2008) determina os níveis de

harmônicos individuaisl para tensão no PCC para sistemas de baixa e média tensão. A

distorção harmônica total estabelecida por esta norma deve ser inferior a 8% (Leão et al,

2014).

A Tabela 3.8 representa os limites de distorção para as componentes harmônicas

pares e ímpares (Leão et al, 2014).

Tabela 3.8 – Limites de DHI para a tensão – Norma EN 50160 (EN Std. 50160, 2008).

Harmônicas ímpares Harmônicas pares

Não múltiplas de 3 Múltiplas de 3 Ordem h Tensão relativa (%)

Ordem h Tensão relativa (%) Ordem h Tensão relativa (%)

5 6,0 3 5,0 2 2,0

7 5,0 9 1,5 4 1,0

11 3,5 15 0,5 6 0,5

13 3,0 21 0,5 8 0,55

17 2,0 > 21 0,2 10 0,5

19 1,5

12 0,2

23 1,5 > 12 0,2

25 1,5

61

A ANEEL define um conjunto de regulamentos para o sistema de distribuição de

energia elétrica denominado Procedimentos de Distribuição de Energia Elétrica no Sistema

Elétrico Nacional (Prodist). O módulo 8 do Prodist (Prodist, 2012) determina os limites de

distorção harmônica individual e total para o sistema de baixa, média, alta e extra-alta-tensão

(Leão et al, 2014).

As Tabelas 3.9 e 3.10 mostram os níveis de distorção harmônica total e individual

para a tensão, respectivamente (Leão et al, 2014).

Tabela 3.9 – Limites de DHT para tensão – Módulo 8 do Prodist (Prodist, 2012).

Tensão nominal do barramento DHTV(%)

𝑉𝑁 ≤1 kV 10

1 kV< 𝑉𝑁 ≤ 13,8 kV 8

13,8 kV < 𝑉𝑁 ≤69 kV 6

69 kV < 𝑉𝑁 ≤230 kV 3

Tabela 3.10 – Limites de DHI para a tensão – Módulo 8 do Prodist (Prodist, 2012).

Ordem DHIV (%)

𝑽𝑵 ≤1 kV 1 kV< 𝑽𝑵 ≤ 13,8 kV 13,8 kV < 𝑽𝑵 ≤69 kV 69 kV < 𝑽𝑵 ≤230 kV

Ímpares não múltiplas de 3

5 7,5 6,0 4,5 2,5

7 6,5 5,0 4,0 2,0

11 4,5 3,5 3,0 1,5

13 4 3,0 2,5 1,5

17 2,5 2,0 1,5 1,0

19 2 1,5 1,5 1,0

23 2 1,5 1,5 1,0

25 2 1,5 1,5 1,0

> 25 1,5 1,0 1,0 0,5

Ímpares múltiplas de 3

3 6,5 5,0 4,0 2,0

9 2 1,5 1,5 1,0

15 1 0,5 0,5 0,5

21 1 0,5 0,5 0,5

> 25 1 0,5 0,5 0,5

Pares

2 2,5 2,0 1,5 1,0

4 1,5 1,0 1,0 0,5

6 1 0,5 0,5 0,5

8 1 0,5 0,5 0,5

10 1 0,5 0,5 0,5

12 1 0,5 0,5 0,5

Com a definição dos conceitos de qualidade da energia elétrica e das normas

nacionais e internacionais realizou-se uma análise destinada às simulações com diferentes

cargas não lineares dispostas na rede de 13 barras do IEEE (Testfeeders, 2016). Esta análise

62

compreende a verificação da conformidade dos níveis de distorção harmônica individual e

total para tensão com as normas vigentes atualmente. No próximo capítulo são apresentados

modelos matemáticos dos componentes da rede de distribuição de energia elétrica para

inserção no fluxo de potência trifásico

63

Capítulo 4

Modelagem Matemática dos Componentes da Rede de

Distribuição de Energia Elétrica

Este capítulo é destinado à determinação dos modelos matemáticos dos componentes

da rede de distribuição de energia elétrica para inserção no fluxo de potência trifásico. Os

componentes em estudo são: linhas de distribuição, transformadores, bancos de capacitores,

cargas lineares e não lineares. As cargas não lineares (motor de indução trifásico, forno

elétrico a arco, lâmpadas fluorescentes compactas e os sistemas de cargas de baterias para os

veículos elétricos) são responsáveis pela geração de harmônicos na rede de distribuição.

4.1 Matriz Impedância Primitiva e Matriz Impedância de Fase

A impedância dos cabos é representada pelas componentes real e imaginária que

correspondem à resistência e à reatância indutiva do condutor, respectivamente.

Para determinar as impedâncias dos cabos utiliza-se as equações de Carson

modificadas. Para formulação destas equações Carson assume que a terra possui uma

superfície uniforme com resistividade constante e utiliza condutores imagens para determinar

as impedâncias (Kersting, 2002).

A Figura 4.1 representa os condutores e suas imagens (Kersting, 2002).

Figura 4.1 – Representação dos condutores e suas imagens. Adaptado de (Kersting, 2002).

As equações de Carson modificadas (Kersting, 2002) determinam a impedância

própria e a mútua entre os condutores 𝑖 e 𝑗, representadas pelas equações (4.1) e (4.2),

respectivamente.

𝑧𝑖𝑖 = 𝑟𝑖 + 0,09530 + 𝑗0,12134. [𝑙𝑛 (1

𝐺𝑀𝑅𝑖) + 7,93402]Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 (4.1)

𝑧𝑖𝑗 = 0,09530 + 𝑗0,12134. [𝑙𝑛 (1

𝐷𝑖𝑗) + 7,93402]Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 (4.2)

64

Nas equações (4.1) e (4.2), 𝑟𝑖 compreende a resistência do condutor 𝑖 (Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎),

𝐺𝑀𝑅𝑖 é o raio médio geométrico do condutor 𝑖 (𝑓𝑡) e 𝐷𝑖𝑗 é a distância entre os condutores

(𝑓𝑡).

As equações (4.1) e (4.2) são utilizadas para determinar os elementos da matriz

impedância primitiva como está representada de forma expandida pela equação (4.3)

(Kersting, 2002).

[𝑍𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎] =

[ 𝑧𝑎𝑎 𝑧𝑎𝑏 𝑧𝑎𝑐 ∙ 𝑧𝑎𝑛1

𝑧𝑎𝑛2𝑧𝑎𝑛𝑚

𝑧𝑏𝑎 𝑧𝑏𝑏 𝑧𝑏𝑐 ∙ 𝑧𝑏𝑛1𝑧𝑏𝑛2

𝑧𝑏𝑛𝑚

𝑧𝑐𝑎 𝑧𝑐𝑏 𝑧𝑐𝑐 ∙ 𝑧𝑐𝑛1𝑧𝑐𝑛2

𝑧𝑐𝑛𝑚

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙𝑧𝑛1𝑎 𝑧𝑛1𝑏 𝑧𝑛1𝑐 ∙ 𝑧𝑛1𝑛1

𝑧𝑛1𝑛2𝑧𝑛1𝑛𝑚

𝑧𝑛2𝑎 𝑧𝑛2𝑏 𝑧𝑛2𝑐 ∙ 𝑧𝑛2𝑛1𝑧𝑛2𝑛2

𝑧𝑛2𝑛𝑚

𝑧𝑛𝑚𝑎 𝑧𝑛𝑚𝑏 𝑧𝑛𝑚𝑐 ∙ 𝑧𝑛𝑚𝑛1𝑧𝑛𝑚𝑛2

𝑧𝑛𝑚𝑛𝑚]

Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 (4.3)

A matriz primitiva determinada pela equação (4.3) pode ser particionada como

indicado em (4.4) (Kersting, 2002).

[𝑍𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎] = [[𝑧𝑖𝑗] [𝑧𝑖𝑛]

[𝑧𝑛𝑗] [𝑧𝑛𝑛]] (4.4)

Utilizando a técnica de redução de Kron especificada por Kersting (Kersting, 2002)

através da equação (4.5), determina-se a matriz impedância de fase em Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎.

[𝑧𝑎𝑏𝑐] = [𝑧𝑖𝑗] − [𝑧𝑖𝑛]. [𝑧𝑛𝑛]−1. [𝑧𝑛𝑗] (4.5)

A equação (4.6) corresponde à forma expandida da matriz impedância de fase

(Kersting, 2002).

[𝑧𝑎𝑏𝑐] = [

𝑧𝑎𝑎 𝑧𝑎𝑏 𝑧𝑎𝑐

𝑧𝑏𝑎 𝑧𝑏𝑏 𝑧𝑏𝑐

𝑧𝑐𝑎 𝑧𝑐𝑏 𝑧𝑐𝑐

]Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 (4.6)

A formulação da matriz impedância de fase é de suma importância para a

modelagem das linhas de distribuição. Portanto, para exemplificar a formação das matrizes

impedância primitiva e de fase, é considerada uma linha de distribuição trifásica com a

posição dos cabos indicada pela Figura 4.2 (Kersting, 2002).

65

Figura 4.2 – Posições dos cabos da rede de distribuição de energia. Adaptado de (Kersting, 2002).

Os condutores de fase são 336,400 26/7 ASCR, com GMR de 0,024 ft e ri de

0,306 Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 e o condutor neutro é 4/0 6/1 ASCR, com GMR de 0,00814 ft e ri de 0,592 Ω/

𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 (Kersting, 2002).

Para determinar a matriz primitiva utiliza-se as equações (4.1) e (4.2) que

correspondem aos termos próprios e mútuos da impedância primitiva, respectivamente.

Porém, para utilizar a equação (4.2) é necessário determinar a distância entre os cabos 𝑖 e 𝑗

(𝐷𝑖𝑗) através da equação (4.7).

𝐷𝑖𝑗 = 𝑝𝑗 − 𝑝𝑖 (4.7)

Na equação (4.7), 𝑝𝑖 e 𝑝𝑗 correspondem às posições dos cabos 𝑖 e 𝑗, respectivamente.

Como na equação (4.2) utiliza-se o módulo da distância entre os cabos é necessário utilizar a

equação (4.8).

|𝐷𝑖𝑗| = √𝐷𝑖𝑗𝑥

2 + 𝐷𝑖𝑗𝑦

2 (4.8)

Com as distâncias entre os cabos calculadas pela equação (4.8) determina-se a matriz

impedância primitiva em Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎.

[𝑧𝑝𝑟𝑖𝑚] = [

0,4013 + 𝑗1,4133 0,0953 + 𝑗0,8515 0,0953 + 𝑗0,7266 0,0953 + 𝑗0,75240,0953 + 𝑗0,8515 0,4013 + 𝑗1,4133 0,0953 + 𝑗0,7802 0,0953 + 𝑗0,78650,0953 + 𝑗0,7266 0,0953 + 𝑗0,7802 0,4013 + 𝑗1,4133 0,0953 + 𝑗0,76740,0953 + 𝑗0,7524 0,0953 + 𝑗0,7865 0,0953 + 𝑗0,7674 0,6873 + 𝑗1.5465

]𝛺

𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠

A matriz impedância primitiva deve ser particionada para se obter a matriz

impedância de fase através da redução de Kron. A forma particionada corresponde às matrizes

[𝑧𝑖𝑗], [𝑧𝑖𝑛], [𝑧𝑛𝑛] e [𝑧𝑛𝑗].

66

[𝑍𝑖𝑗] = [

0,4013 + 𝑗1,4133 0,0953 + 𝑗0,8515 0,0953 + 𝑗0,72660,0953 + 𝑗0,8515 0,4013 + 𝑗1,4133 0,0953 + 𝑗0,78020,0953 + 𝑗0,7266 0,0953 + 𝑗0,7802 0,4013 + 𝑗1,4133

]𝛺/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎

[𝑧𝑖𝑛] = [

0,0953 + 𝑗0,75240,0953 + 𝑗0,78650,0953 + 𝑗0,7674


[𝑧𝑛𝑛] = [0,6873 + 𝑗1.5465] 𝛺/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎

[𝑧𝑛𝑗] = [0,0953 + 𝑗0,7524 0,0953 + 𝑗0,7865 0,0953 + 𝑗0,7674]𝛺/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎

Aplicando a redução de Kron representada pela equação (4.5) determina-se a matriz

impedância de fase.

[𝑍𝑎𝑏𝑐] = [

0,4576 + 𝑗1,0780 0,1560 + 𝑗0,5017 0,1535 + 𝑗0,38490,1560 + 𝑗0,5017 0,4667 + 𝑗1,0482 0,1580 + 𝑗0,42360,1535 + 𝑗0,3849 0,1580 + 𝑗0,4236 0,4615 + 𝑗1,0651


4.2 Modelo Matemático das Linhas de Distribuição

Neste tópico é descrito o processo matemático que determina o modelo da linha de

distribuição para ser utilizado no fluxo de potência trifásico através do método

backward/forward sweep do tipo Ladder. Para inserir a linha de distribuição no fluxo de

potência trifásico é necessário representa-la através das matrizes [𝑎], [𝑏], [𝑐], [𝑑], [𝐴] e [𝐵]

(Kersting, 2002).

As equações (4.9) e (4.10) são utilizadas para o processo backward sweep (Kersting,

2002).

[𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝑎]. [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑏]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.9)

[𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝑐]. [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑑]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.10)

Em (4.9) e (4.10), [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] corresponde ao vetor de tensão de fase e [𝐼𝑎𝑏𝑐] ao vetor

de corrente de linha. Através da tensão e da corrente na barra final 𝑚 determina-se a tensão e

a corrente para a barra inicial 𝑛 através das equações (4.9) e (4.10), respectivamente

(Kersting, 2002).

Para o processo forward sweep utiliza-se a equação (4.11) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐]𝑚 = [𝐴]. [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐]𝑛 − [𝐵]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.11)

Com os valores de corrente oriundos do backward sweep atualizam-se as tensões nas

barras finais através da equação (4.11) (Kersting, 2002).

67

A Figura 4.3 representa o modelo completo da linha de distribuição (Kersting, 2002).

Figura 4.3 – Modelo completo da linha de distribuição. Adaptado de (Kersting, 2002).

Na Figura 4.3, 𝑉𝐿𝐺 corresponde à tensão de fase e [𝑌𝑎𝑏𝑐] a matriz admitância shunt

da linha de distribuição.

Observando os nós do lado 𝑚 e aplicando a lei de Kirchhoff para as correntes

determinam-se as correntes 𝐼𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 para as três fases do sistema através da equação (4.12)

(Kersting, 2002).

[𝐼𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 +1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚

(4.12)

Aplicando a lei de Kirchhoff para as tensões no modelo representado pela Figura 4.3

determinam-se as tensões no nó 𝑛 através da equação (4.13) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.13)

Sabendo que as correntes que saem do nó 𝑛 são as mesmas que chegam no nó 𝑚, ou

seja, [𝐼𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑎𝑏𝑐]𝑛 é igual a [𝐼𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑎𝑏𝑐]𝑚 e substituindo a definição da corrente oriunda da

equação (4.12) em (4.13), determina-se a equação (4.14) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 +1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.14)

Aplicando a multiplicação da matriz [𝑍𝑎𝑏𝑐] em (4.14) define-se a equação (4.15)

(Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 +1

2. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.15)

Colocando o vetor [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 em evidência em (4.15) determina-se a equação (4.16)

(Kersting, 2002).

68

[𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝑈] +1

2. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝑌𝑎𝑏𝑐] . [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.16)

Em (4.16), [𝑈] é uma matriz identidade 3x3 como indicado em (4.17).

[𝑈] = [1 0 00 1 00 0 1

] (4.17)

Desta forma, determinam-se as primeiras matrizes que são utilizadas nas equações

gerais para o cálculo do fluxo de potência trifásico através do método backward/forward

sweep do tipo Ladder para representar as linhas de distribuição quando as susceptâncias shunt

não são desprezadas. Comparando a equação (4.16) com a equação (4.9) determina-se que as

matrizes [𝑎] e [𝑏] devem ser calculadas de acordo com às equações (4.18) e (4.19),

respectivamente (Kersting, 2002).

[𝑎] = [𝑈] +1

2. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝑌𝑎𝑏𝑐] (4.18)

[𝑏] = [𝑍𝑎𝑏𝑐] (4.19)

Para determinar as matrizes [𝑐] e [𝑑] deve-se seguir as passagens matemáticas

descritas a seguir.

Com base na Figura 4.3 e aplicando a lei de Kirchhoff para as correntes no nó 𝑛

determinam-se as correntes que chegam no nó através da equação (4.20) (Kersting, 2002).

[𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝐼𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑎𝑏𝑐]𝑚 +1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 (4.20)

Substituindo em (4.20) a definição de 𝐼𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑎𝑏𝑐 representada em (4.12) chega-se à

equação (4.21) (Kersting, 2002).

[𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 +1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 +

1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 (4.21)

Substituindo em (4.21) a definição de [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 da equação (4.16) obtém-se (4.22)

(Kersting, 2002).

69

[𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 +1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚

+1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑈] +

1

2. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝑌𝑎𝑏𝑐] . [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚

+ [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚

(4.22)

Manipulando a equação (4.22) para deixar os termos [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 e [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 em

evidência, determina-se a equação (4.23) (Kersting, 2002).

[𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑛 = [𝑌𝑎𝑏𝑐] +1

4. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝑌𝑎𝑏𝑐] . [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚

+ [𝑈] +1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑍𝑎𝑏𝑐] . [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚

(4.23)

Comparando a equação (4.23) com a equação (4.10) determina-se (4.24) e (4.25) que

correspondem às matrizes [𝑐] e [𝑑], respectivamente.

[𝑐] = [𝑌𝑎𝑏𝑐] +1

4. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝑌𝑎𝑏𝑐] (4.24)

[𝑑] = [𝑈] +1

2. [𝑌𝑎𝑏𝑐]. [𝑍𝑎𝑏𝑐] (4.25)

A equação (4.9) determina a tensão no nó 𝑛 e através da manipulação descrita em

(4.26) determina-se da tensão no nó 𝑚 (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 = [𝑎]−1. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 − [𝑏]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.26)

Aplicando a multiplicação do termo [𝑎]−1 em (4.26) define-se a equação (4.27).

[𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑚 = [𝑎]−1. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐]𝑛 − [𝑎]−1. [𝑏]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (4.27)

Através da comparação entre as equações (4.27) e (4.11) determinam-se as matrizes

[𝐴] e [𝐵] através das equações (4.28) e (4.29), respectivamente (Kersting, 2002).

[𝐴] = [𝑎]−1 (4.28)

[𝐵] = [𝑎]−1. [𝑏] (4.29)

Nas linhas de distribuição aéreas as admitâncias shunt possuem valores muito baixos

e podem ser desprezadas. A Figura 4.4 corresponde à representação das linhas de distribuição

negligenciando as admitâncias shunt (Kersting, 2002).

70

Figura 4.4 – Modelo simplificado da linha de distribuição. Adaptada de (Kersting, 2002).

Para representar esta simplificação utiliza-se a equação (4.30).

[𝑌𝑎𝑏𝑐] = [0 0 00 0 00 0 0

] (4.30)

Com a inserção desta matriz nula nas equações (4.18), (4.19), (4.24), (4.25), (4.28) e

(4.29) tem-se a representação do modelo da linha de distribuição para inserção no fluxo de

potência trifásico através do método backward/forward sweep do tipo Ladder. As matrizes

[𝑎], [𝑏], [𝑐], [𝑑], [𝐴] e [𝐵] estão definidas pelas equações (4.31), (4.32), (4.33), (4.34), (4.35)

e (4.36).

[𝑎] = [𝑈] (4.31)

[𝑏] = [𝑍𝑎𝑏𝑐] (4.32)

[𝑐] = [0] (4.33)

[𝑑] = [𝑈] (4.34)

[𝐴] = [𝑈] (4.35)

[𝐵] = [𝑍𝑎𝑏𝑐] (4.36)

Para exemplificar os conceitos desenvolvidos neste tópico utiliza-se a linha de

distribuição descrita através do exemplo calculado no item 4.1 cuja matriz impedância de fase

é apresentada a seguir.

[𝑧𝑎𝑏𝑐] = [

0,4576 + 𝑗1,0780 0,1560 + 𝑗0,5017 0,1535 + 𝑗0,38490,1560 + 𝑗0,5017 0,4667 + 𝑗1,0482 0,1580 + 𝑗0,42360,1535 + 𝑗0,3849 0,1580 + 𝑗0,4236 0,4615 + 𝑗1,0651

]Ω/𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎

Para representar a linha de distribuição no fluxo de potência trifásico através do

método backward/forward sweep do tipo Ladder é necessário determinar as matrizes [𝑎], [𝑏],

71

[𝑐], [𝑑], [𝐴] e [𝐵] através das equações (4.31), (4.32), (4.33), (4.34), (4.35) e (4.35),

respectivamente.

Portanto, para esta linha de distribuição as matrizes que a representam

matematicamente são as seguintes:

[𝑎] = [1 0 00 1 00 0 1

]

[𝑏] = [

0,4576 + 𝑗1,0780 0,1560 + 𝑗0,5017 0,1535 + 𝑗0,38490,1560 + 𝑗0,5017 0,4667 + 𝑗1,0482 0,1580 + 𝑗0,42360,1535 + 𝑗0,3849 0,1580 + 𝑗0,4236 0,4615 + 𝑗1,0651

]

[𝑐] = [0 0 00 0 00 0 0

]

[𝑑] = [1 0 00 1 00 0 1

]

[𝐴] = [1 0 00 1 00 0 1

]

[𝐵] = [

0,4576 + 𝑗1,0780 0,1560 + 𝑗0,5017 0,1535 + 𝑗0,38490,1560 + 𝑗0,5017 0,4667 + 𝑗1,0482 0,1580 + 𝑗0,42360,1535 + 𝑗0,3849 0,1580 + 𝑗0,4236 0,4615 + 𝑗1,0651

]

4.2.1 Efeitos dos Harmônicos nas Linhas de Distribuição

Com o fluxo de correntes harmônicas nas linhas de distribuição de energia elétrica

aumentam-se as perdas. Este aumento das perdas ocorre devido à presença das correntes

harmônicas que produzem o aumento do valor eficaz da corrente e provocam o efeito

pelicular. O efeito pelicular consiste na diminuição da área do condutor por onde a corrente

flui, esta diminuição acarreta no aumento da resistência contribuindo desta maneira para o

aumento das perdas. Outro efeito verificado com a presença de correntes harmônicas nas

linhas de distribuição compreende a geração das quedas de tensão nas impedâncias da rede

(Arrilaga & Watson, 2007).

Arrilaga e Watson (Arrilaga & Watson, 2007) determinam que as perdas harmônicas

nas linhas devem ser calculadas através da equação (4.37).

𝑃𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎ℎ = 𝑅ℎ. (𝐼ℎ)2 (4.37)

72

Em (4.37), 𝑃𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎ℎ é a perda harmônica na linha, ℎ a ordem harmônica, 𝑅ℎ a

resistência das linhas considerando o efeito pelicular e 𝐼ℎ as correntes harmônicas.

Papathanassiou et al (Papathanassiou et al, 2007) determinam que a resistência das

linhas considerando o efeito pelicular deve ser calculada através da equação (4.38).

𝑅ℎ = 𝑅1. √ℎ (4.38)

Em (4.38), 𝑅1 corresponde à resistência da linha para a frequência fundamental e o

termo √ℎ representa o efeito pelicular. É importante salientar que para os cálculos das perdas

nas linhas de distribuição utilizou-se as mútuas impedâncias.

4.3 Modelo Matemático dos Transformadores

Para as redes de distribuição de energia elétrica, os transformadores são os

equipamentos eletromagnéticos que adequam os níveis de tensão da transmissão (ou sub-

transmissão) aos níveis de tensão da distribuição. Os transformadores mais comuns

encontrados em subestações são os que possuem ligação triângulo–estrela aterrado e estrela

aterrado–estrela aterrado. Estes transformadores possibilitam a alimentação de cargas

monofásicas, bifásicas e trifásicas.

A Figura 4.5 corresponde a uma representação geral de um transformador trifásico

(Kersting, 2002).

Figura 4.5 – Representação geral do transformador. Adaptado de (Kersting, 2002).

As equações (4.39) e (4.40) representam as tensões de fase e as correntes de linha no

nó 𝑛 em função das tensões e correntes do nó 𝑚, respectivamente. Estas equações são

utilizadas no processo backward sweep (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝑎𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] + [𝑏𝑡]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.39)

[𝐼𝐴𝐵𝐶] = [𝑐𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] + [𝑑𝑡]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.40)

73

A equação (4.41) representa a tensão de fase no nó 𝑚 em função dos valores da

tensão e corrente do nó 𝑛. Esta equação é utilizada no processo forward sweep (Kersting,

2002).

[𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] − [𝐵𝑡]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.41)

Estas equações são utilizadas para calcular o fluxo de potência trifásico através do

método backward/forward sweep do tipo Ladder utilizado neste trabalho, e nos tópicos a

seguir tem-se a formulação matemática das matrizes [𝑎𝑡], [𝑏𝑡], [𝑐𝑡], [𝑑𝑡], [𝐴𝑡] e [𝐵𝑡] para os

transformadores mais utilizados na rede distribuição de energia: triângulo–estrela aterrado e

estrela aterrado–estrela aterrado (Kersting, 2002).

4.3.1 Transformador Triângulo–Estrela Aterrado

O esquema elétrico do transformador triângulo–estrela aterrado está representado na

Figura 4.6.

Figura 4.6 – Transformador triângulo–estrela aterrado. Adaptado de (Kersting, 2002).

A relação entre os enrolamentos primário e secundário (relação de espiras) é

representada por 𝑛𝑡 e a relação de transformação é expressa por 𝑎𝑡. Para calcular cada uma

destas relações utilizam-se as equações (4.42) e (4.43), respectivamente (Kersting, 2002).

𝑛𝑡 =𝑉𝐿𝐿(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎)

𝑉𝐿𝑁(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎) (4.42)

𝑎𝑡 =𝑉𝐿𝐿(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎)

𝑉𝐿𝐿(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎) (4.43)

Nas equações (4.42) e (4.43), 𝑉𝐿𝐿 corresponde à tensão de linha e 𝑉𝐿𝑁 a tensão de

fase. Com as definições da relação de espiras e de transformação, a equação (4.45) determina

𝑎𝑡 em termos de 𝑛𝑡 (Kersting, 2002).

𝑎𝑡 =𝑉𝐿𝐿

𝑉𝐿𝐿=

𝑉𝐿𝐿𝑉𝐿𝑁

√3

(4.44)

74

𝑎𝑡 =𝑛𝑡

√3 (4.45)

A tensão de linha no primário é calculada através da relação de espiras e da tensão

ideal no secundário, como pode ser observado em (4.46) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐴𝐵

𝑉𝐵𝐶

𝑉𝐶𝐴

] = [

0 −𝑛𝑡 00 0 −𝑛𝑡

−𝑛𝑡 0 0] . [

𝑉𝑡𝑎

𝑉𝑡𝑏

𝑉𝑡𝑐

] (4.46)

Através da equação (4.46) determina-se a matriz [𝐴𝑉], representada em (4.47)

(Kersting, 2002).

[𝐴𝑉] = [

0 −𝑛𝑡 00 0 −𝑛𝑡

−𝑛𝑡 0 0] (4.47)

A equação (4.46) compreende a relação entre a tensão de linha do primário e a tensão

de fase ideal no secundário. Pela formulação do método backward/forward sweep do tipo

Ladder as tensões utilizadas compreendem às tensões de fase e por esta razão utiliza-se a

teoria das componentes simétricas. A equação (4.48) determina a tensão de linha para

sequência positiva, negativa e zero através da tensão de linha para cada fase (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝐿0

𝑉𝐿𝐿1

𝑉𝐿𝐿2

] = [1 1 11 𝑎𝑠2 𝑎𝑠1 𝑎𝑠 𝑎𝑠2

]

−1

. [𝑉𝐿𝐿𝐴

𝑉𝐿𝐿𝐵

𝑉𝐿𝐿𝐶

] (4.48)

Em (4.48), 𝑎𝑠 corresponde a 1∠120°. A matriz [𝐴𝑠] é determinada em (4.49)

(Kersting, 2002).

[𝐴𝑠] = [1 1 11 𝑎𝑠2 𝑎𝑠1 𝑎𝑠 𝑎𝑠2

] (4.49)

Para transformar a tensão de linha na forma sequencial para a tensão de fase também

na forma sequencial utiliza-se a equação (4.50) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝑁0

𝑉𝐿𝑁1

𝑉𝐿𝑁2

] = [1 1 11 𝑡𝑠∗ 𝑡𝑠1 𝑡𝑠 𝑡𝑠∗

] . [𝑉𝐿𝐿0

𝑉𝐿𝐿1

𝑉𝐿𝐿2

] (4.50)

75

Em (4.50), 𝑡𝑠 corresponde a 1

√3∠30°. A matriz [𝑇] é definida em (4.51) (Kersting,

2002).

[𝑇] = [1 1 11 𝑡𝑠∗ 𝑡𝑠1 𝑡𝑠 𝑡𝑠∗

] (4.51)

Para calcular a tensão de fase no primário a partir da tensão ideal no secundário

descrita na forma sequencial, utiliza-se a equação (4.52) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝑠]. [𝑉𝐿𝑁012] (4.52)

Substituindo a equação (4.50) em (4.52) define-se (4.53).

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝑠]. [𝑇]. [𝑉𝐿𝐿012] (4.53)

Substituindo a equação (4.48) em (4.53) determina-se (4.54) (Kersting, 2002). que

corresponde à transformação da tensão de linha do primário em tensão de fase.

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝑠]. [𝑇]. [𝐴𝑠]−1. [𝑉𝐿𝐿𝐴𝐵𝐶] (4.54)

A multiplicação das matrizes [𝐴𝑠] por [𝑇] e [𝐴𝑠]−1 determina a matriz [𝑊], como

definida pela equação (4.55) (Kersting, 2002)..

[𝑊] = [𝐴𝑠]. [𝑇]. [𝐴𝑠]−1 =1

3 . [

2 1 00 2 11 0 2

] (4.55)

Substituindo a equação (4.46) em (4.54) define-se a relação entre a tensão de fase no

primário e a tensão ideal de fase no secundário, como pode ser observado através da equação

(4.56) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝑊]. [𝐴𝑉]. [𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] (4.56)

A equação (4.57) substitui o termo [𝑊]. [𝐴𝑉] pela sua definição [𝑎𝑡].

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝑎𝑡]. [𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] (4.57)

Com esta definição obtém-se a primeira matriz para a modelagem do transformador

triângulo–estrela aterrado, que corresponde à matriz [𝑎𝑡]. Esta matriz é determinada através

da equação (4.58).

76

[𝑎𝑡] = [𝑊]. [𝐴𝑉] = −𝑛𝑡

3. [

0 2 11 0 22 1 0

] (4.58)

Para determinar a matriz [𝑏𝑡] utiliza-se a Figura 4.7 e as passagens matemáticas

descritas a seguir.

Figura 4.7 – Ligação do secundário do transformador ∆ − 𝑌. Adaptado de (Kersting, 2002).

Com a aplicação a lei de Kirchhoff para as tensões no circuito da fase 𝑎 pode-se

determinar a tensão ideal de fase no secundário do transformador através da equação (4.59)

(Kersting, 2002).

𝑉𝑡𝑎 = 𝑉𝑎𝑛 + 𝑍𝑡𝑎. 𝐼𝐴 (4.59)

A equação (4.59) pode ser reescrita na forma matricial que envolve as três fases

como indicado em (4.60) (Kersting, 2002).

[𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] = [𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝐴𝐵𝐶] + [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] (4.60)

A matriz impedância é determinada através da equação (4.61) (Kersting, 2002)..

[𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐] = [

𝑍𝑡𝑎 0 00 𝑍𝑡𝑏 00 0 𝑍𝑡𝑐

] (4.61)

Substituindo a equação (4.60) em (4.57) define-se [𝑏𝑡] através da equação (4.65).

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝑎𝑡]. [𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝐴𝐵𝐶] + [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] (4.62)

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝑎𝑡]. [𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝐴𝐵𝐶] + [𝑎𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] (4.63)

Reordenando os termos em (4.63) determina-se a equação (4.64).

[𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] = [𝑎𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] + [𝑎𝑡]. [𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝐴𝐵𝐶] (4.64)

77

Comparando as equações (4.64) e (4.39) define-se a matriz [𝑏𝑡] através de (4.65)

(Kersting, 2002).

[𝑏𝑡] = [𝑎𝑡]. [𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐] = −𝑛𝑡

3. [

0 2. 𝑍𝑡𝑏 𝑍𝑡𝑐

𝑍𝑡𝑎 0 2. 𝑍𝑡𝑐

2. 𝑍𝑡𝑎 𝑍𝑡𝑏 0] (4.65)

Para determinar as matrizes [𝑐𝑡] e [𝑑𝑡] deve-se observar a Figura 4.8 que

corresponde à ligação em triângulo do primário.

Figura 4.8 – Ligação do primário do transformador ∆ − 𝑌. Adaptado de (Kersting, 2002).

Aplicando a lei de Kirchhoff para as correntes no nó 1 determina-se a corrente de

linha na fase A através das correntes de fase como indicado na equação (4.66) (Kersting,

2002).

𝐼𝐴 = 𝐼𝐴𝐶 − 𝐼𝐵𝐴 (4.66)

A equação (4.66) pode ser reescrita para as três fases através da forma matricial

representada em (4.67) (Kersting, 2002).

[𝐼𝐴𝐼𝐵𝐼𝐶

] = [1 −1 00 1 −1

−1 0 1] . [

𝐼𝐴𝐶

𝐼𝐵𝐴

𝐼𝐶𝐵

] (4.67)

A forma condensada da equação (4.67) está representada em (4.68) (Kersting, 2002).

[𝐼𝐴𝐵𝐶] = [𝐷]. [𝐼𝐷𝐴𝐵𝐶] (4.68)

A matriz que relaciona as correntes no secundário com as correntes no primário é

determinada pela equação (4.69).

[𝐼𝐴𝐶

𝐼𝐵𝐴

𝐼𝐶𝐵

] =1

𝑛𝑡[1 0 00 1 00 0 1

] . [𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐

] (4.69)

A forma condensada da equação (4.69) é descrita através da equação (4.70)

(Kersting, 2002).

[𝐼𝐷𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝐼]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.70)

78

Substituindo a equação (4.70) em (4.68) define-se (4.71) (Kersting, 2002).

[𝐼𝐴𝐵𝐶] = [𝐷]. [𝐴𝐼]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.71)

Comparando a equação (4.71) com a equação (4.40) verifica-se que não existe o

termo na equação (4.71) que multiplica o vetor de tensão [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐], desta maneira determina-

se que a matriz [𝑐𝑡] é nula (Kersting, 2002). A equação (4.72) define a matriz [𝑐𝑡] (Kersting,

2002).

[𝑐𝑡] = [0 0 00 0 00 0 0

] (4.72)

Através da comparação descrita anteriormente, determina-se a matriz [𝑑𝑡] através da


[𝑑𝑡] = [𝐷]. [𝐴𝐼] =1

𝑛𝑡. [

1 −1 00 1 −1

−1 0 1] (4.73)

Para determinar as matrizes [𝐴𝑡] e [𝐵𝑡], inicialmente determina-se a tensão de fase

ideal no secundário do transformador a partir da tensão de linha no primário como indicado

em (4.74) (Kersting, 2002).

[𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑉]−1. [𝑉𝐿𝐿𝐴𝐵𝐶] (4.74)

A tensão de linha no primário é determinada através da respectiva tensão de fase,

como pode ser observado em (4.75) (Kersting, 2002)..

[𝑉𝐿𝐿𝐴𝐵𝐶] = [𝐷]. [𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] (4.75)

Substituindo a definição de [𝑉𝐿𝐿𝐴𝐵𝐶] da equação (4.75) em (4.74) determina-se

(4.76) e consequentemente a matriz [𝐴𝑡] através da equação (4.78), como pode ser observado

através das passagens matemáticas apresentadas a seguir (Kersting, 2002).

[𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑉]−1. [𝐷]. [𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] (4.76)

[𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] (4.77)

[𝐴𝑡] =1

𝑛𝑡. [

1 0 −1−1 1 00 −1 1

] (4.78)

79

Igualando a equação (4.78) com (4.60), define-se (4.79) (Kersting, 2002).

[𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝐴𝐵𝐶] + [𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] (4.79)

Reordenando os termos da equação (4.79) e seguindo o padrão da equação (4.41),

determina-se (4.80) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝑁𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑡]. [𝑉𝐿𝑁𝐴𝐵𝐶] − [𝑍𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝐴𝐵𝐶] (4.80)

Através da comparação entre as equações (4.80) e (4.41) determina-se a matriz [𝐵𝑡]

através da equação (4.81) (Kersting, 2002).

[𝐵𝑡] = [


] (4.81)

Para exemplificar o cálculo das matrizes gerais do transformador triângulo–estrela

aterrado, considera-se um transformador de 5000 kVA, 138kV/12,47kV com uma impedância

de 0,2304 + 𝑗2,6335 Ω (Kersting, 2002).

As matrizes gerais [𝑎𝑡], [𝑏𝑡], [𝑐𝑡], [𝑑𝑡], [𝐴𝑡] e [𝐵𝑡] estão representadas pelas

equações (4.58), (4.65), (4.72), (4.73), (4.78) e (4.81). Inicialmente, deve-se calcular a relação

de espiras do transformador através da equação (4.42).

𝑛𝑡 =138

7,2= 19,1678

Utilizando a equação (4.58) determina-se a matriz [𝑎𝑡].

[𝑎𝑡] = −19,1678

3. [

0 2 11 0 22 1 0

]

[𝑎𝑡] = [0 −12,7786 −6,3893

−6,3893 0 −12,7786−12,7786 −6,3893 0

]

A matriz [𝑏𝑡] é determinada pela equação (4.65).

[𝑏𝑡] = −19,1678

3. [

0 2. (0,2304 + 𝑗2,6335) 0,2304 + 𝑗2,6335

0,2304 + 𝑗2,6335 0 2. (0,2304 + 𝑗2,6335)

2. (0,2304 + 𝑗2,6335) 0,2304 + 𝑗2,6335 0]

80

[𝑏𝑡] = [

0 −2,9441 − 𝑗33,6518 −1,4721 − 𝑗16,8259−1,4721 − 𝑗16,8259 0 −2,9441 − 𝑗33,6518−2,9441 − 𝑗33,6518 −1,4721 − 𝑗16,8259 0

]

A equação (4.72) determina a matriz [𝑐𝑡].

[𝑐𝑡] = [0 0 00 0 00 0 0

]

A matriz [𝑑𝑡] é determinada pela equação (4.73).

[𝑑𝑡] =1

19,1678. [

1 −1 00 1 −1

−1 0 1]

[𝑑𝑡] = [0,0522 −0,0522 0

0 0,0522 −0,0522−0,0522 0 0,0522

]

Para determinar a matriz [𝐴𝑡] utiliza-se a equação (4.78).

[𝐴𝑡] =1

19,1678. [

1 0 −1−1 1 00 −1 1

]

[𝐴𝑡] = [0,0522 0 −0,0522

−0,0522 0,0522 00 −0,0522 0,0522

]

A matriz [𝐵𝑡] é determinada pela equação (4.81).

[𝐵𝑡] = [

0,2304 + 𝑗2,6335 0 00 0,2304 + 𝑗2,6335 00 0 0,2304 + 𝑗2,6335

]

4.3.2 Transformador Estrela Aterrado–Estrela Aterrado

Este tipo de transformador é utilizado por permitir a alimentação de cargas e

circuitos monofásicos, bifásicos e trifásicos em sistemas a quatro fios. O modelo do

transformador em questão é representado pela Figura 4.9 (Kersting, 2002).

81

Figura 4.9 – Transformador estrela aterrada–estrela aterrada. Adaptado de (Kersting, 2002).

A relação de espiras 𝑛𝑡 é definida pela equação (4.82) (Kersting, 2002).

𝑛𝑡 =𝑉𝐿𝑁(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎)

𝑉𝐿𝑁(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎) (4.82)

Observando a Figura 4.10 e aplicando a lei de Kirchhoff para as tensões determina-se

as tensões de fase no secundário, como indicado em (4.83) (Kersting, 2002).

Figura 4.10 – Ligação do secundário do transformador 𝑌 − 𝑌. Adaptado de (Kersting, 2002).

[𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] = [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐] + [𝑧𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.83)

As tensões de fase no primário estão relacionadas com as tensões no secundário


[𝑉𝐿𝐺𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝑉]. [𝑉𝑡𝑎𝑏𝑐] (4.84)

A matriz [𝐴𝑉] está definida em (4.85) (Kersting, 2002).

[𝐴𝑉] = [

𝑛𝑡 0 00 𝑛𝑡 00 0 𝑛𝑡

] (4.85)

Substituindo a equação (4.83) em (4.84), determina-se (4.86) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝐺𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝑉]. [𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐] + [𝐴𝑉]. [𝑧𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.86)

Comparando as equações (4.86) e (4.39) determinam-se as matrizes [𝑎𝑡] e [𝑏𝑡]

através das equações (4.87) e (4.88), respectivamente (Kersting, 2002).

82

[𝑎𝑡] = [

𝑛𝑡 0 00 𝑛𝑡 00 0 𝑛𝑡

] (4.87)

[𝑏𝑡] = [

𝑛𝑡 . 𝑍𝑡𝑎 0 00 𝑛𝑡. 𝑍𝑡𝑏 00 0 𝑛𝑡 . 𝑍𝑡𝑐

] (4.88)

As correntes de linha no primário e no secundário são relacionadas através da


[𝐼𝐴𝐵𝐶] = [𝑑𝑡]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.89)

Comparando a equação (4.89) com (4.40), verifica-se que não há nenhum termo

multiplicando o vetor de tensão. Portanto, a matriz [𝑐𝑡] é nula, como indicado em (4.90)

(Kersting, 2002).

[𝑐𝑡] = [0 0 00 0 00 0 0

] (4.90)

A matriz de transformação das correntes no secundário para o primário [𝑑𝑡] é

definida em (4.91) (Kersting, 2002).

[𝑑𝑡] =

[ 1

𝑛𝑡0 0

01

𝑛𝑡0

0 01

𝑛𝑡]

(4.91)

Manipulando-se a equação (4.86) determina-se a equação (4.92) (Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝐺𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑉]−1. [𝑉𝐿𝐺𝐴𝐵𝐶] − [𝑧𝑡𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (4.92)

Comparando as equações (4.92) e (4.41), define-se [𝐴𝑡] e [𝐵𝑡] através das equações

(4.93) e (4.94), respectivamente (Kersting, 2002).

83

[𝐴𝑡] =

[ 1

𝑛𝑡0 0

01

𝑛𝑡0

0 01

𝑛𝑡]

(4.93)

[𝐵𝑡] = [


] (4.94)

Para exemplificar a modelagem do transformador estrela aterrado–estrela aterrado

utiliza-se um transformador de 500 kVA, 4,16kV/480V com impedância de 0,0051 +

𝑗0,0092 Ω.

Inicialmente, é necessário determinar a relação dos enrolamentos através da equação

(4.82).

𝑛𝑡 = 8,6670

A matriz [𝑎𝑡] é determinada pela equação (4.87).

[𝑎𝑡] = [8,6670 0 0

0 8,6670 00 0 8,6670

]

A definição da matriz [𝑏𝑡] utiliza equação (4.88).

[𝑏𝑡] = [

8,6670. (0,0051 + 𝑗0,0092) 0 00 8,6670. (0,0051 + 𝑗0,0092) 0

0 0 8,6670. (0,0051 + 𝑗0,0092)]

[𝑏𝑡] = [

0,0442 + 𝑗0,0797 0 00 0,0442 + 𝑗0,0797 00 0 0,0442 + 𝑗0,0797

]

A matriz [𝑑𝑡] é determinada pela equação (4.91).

[𝑑𝑡] =

[

1

8,66700 0

01

8,66700

0 01

8,6670]

84

[𝑑𝑡] = [0,1154 0 0

0 0,1154 00 0 0,1154

]

Através da equação (4.93) verifica-se que a matriz [𝐴𝑡] é idêntica à matriz [𝑑𝑡].

[𝐴𝑡] = [0,1154 0 0

0 0,1154 00 0 0,1154

]

A matriz [𝐵𝑡] é determinada pela equação (4.94).

[𝐵𝑡] = [

0,0051 + 𝑗0,0092 0 00 0,0051 + 𝑗0,0092 00 0 0,0051 + 𝑗0,0092

]

4.3.3 Efeitos dos Harmônicos nos Transformadores

O conteúdo harmônico presente nos transformadores causa um aquecimento

adicional devido às perdas harmônicas causadas pela corrente. Problemas envolvendo a

isolação podem surgir devido ao aquecimento e em alguns casos são verificadas pequenas

vibrações (Arrilaga & Watson, 2007).

As tensões harmônicas são responsáveis pelo aumento das perdas por histerese e

correntes parasitas. As correntes harmônicas são responsáveis pelo aumento das perdas no

cobre e por correntes parasitas nos enrolamentos (Leão et al, 2014).

Para representar a admitância do transformador no fluxo de potência trifásico

harmônico utiliza-se a equação (4.95) (Arrilaga & Watson, 2007).

𝑌𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜ℎ =

1

𝑅√ℎ + 𝑗𝑋. ℎ (4.95)

Em (4.95), 𝑅 e 𝑋 representam a resistência e a reatância do transformador para a

frequência fundamental, respectivamente (Arrilaga & Watson, 2007).

Para calcular as perdas harmônicas no transformador utiliza-se a equação (4.96).

𝑃𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜ℎ = √ℎ. 𝑅. 𝐼ℎ

2 (4.96)

Na equação (4.96), o termo 𝑃𝑡𝑟𝑎𝑓𝑜ℎ corresponde à perda harmônica no transformador,

o termo √ℎ representa o efeito pelicular e 𝐼ℎ é a corrente harmônica.

85

4.4 Modelo Matemático do Banco de Capacitores

Os bancos de capacitores são utilizados para regulação da tensão e para alimentação

de reativos na rede elétrica. Estes bancos de capacitores assim como as cargas podem ser

monofásicas, bifásicas ou trifásicas. A modelagem dos bancos trifásicos é elaborada através

da susceptância constante ligada em estrela ou triângulo (Kersting, 2002).

O cálculo da susceptância e da corrente de linha nos bancos de capacitores ligados

em estrela e triângulo estão definidos nos tópicos seguintes.

4.4.1 Banco Trifásico de Capacitores Conectados em Estrela

A Figura 4.11 representa a ligação do banco de capacitores em estrela juntamente

com as correntes de linha, tensões de fase e as suas susceptâncias (Kersting, 2002).

Figura 4.11 – Banco de capacitores ligado em estrela. Adaptado de (Kersting, 2002).

A susceptância por fase é calculada através da equação (4.97) (Kersting, 2002).

𝐵 =𝑄

𝑉𝐿𝑁2. 1000 (4.97)

Em (4.97), 𝐵 corresponde ao valor da susceptância (S), 𝑉𝐿𝑁 é a tensão de fase (kV)

e 𝑄 é a potência reativa (kVAr) (Kersting, 2002).

A corrente de linha que circula no banco de capacitores é computada pela equação

(4.98) (Kersting, 2002).

𝐹𝑎𝑠𝑒 𝐴: 𝐼𝐴 = 𝑗𝐵𝐴. 𝑉𝐴𝑁

𝐹𝑎𝑠𝑒 𝐵: 𝐼𝐵 = 𝑗𝐵𝐵. 𝑉𝐵𝑁

𝐹𝑎𝑠𝑒 𝐶: 𝐼𝐶 = 𝑗𝐵𝐶 . 𝑉𝐶𝑁

(4.98)

Para exemplificar o cálculo do banco de capacitores ligado em estrela utiliza-se uma

barra 𝑘 com as tensões de fase de 2,4 𝑘𝑉 com os ângulos de 0°, −120° e 120° para as fases

86

A, B e C, respectivamente. Nesta barra está ligado um banco de capacitores conectado em

estrela 200 𝑘𝑉𝐴𝑟 por fase.

Inicialmente, é necessário calcular a susceptância através da equação (4.97).

𝐵 =200

2,42. 1000

𝐵 = 34,69. 10−3 𝑆

A Figura 4.12 representa o modelo do banco de capacitores da barra 𝑘 com os

respectivos valores de suscetância para elaborar o cálculo da corrente de linha.

Figura 4.12 – Representação do banco de capacitores em 𝑌 para o fluxo de potência trifásico

Para calcular a corrente de linha no banco de capacitores utiliza-se a equação (4.98)

representada a seguir na forma matricial.


] = [

𝑗34,69. 10−3 0 0

0 𝑗34,69. 10−3 0

0 0 𝑗34,69. 10−3

] . [2400∠0°

2400∠ − 120°2400∠120°

]

Portanto, as correntes de linha no banco de capacitores correspondem a:


] = [83,3∠90°

83,3∠ − 30°83,3∠ − 150°

] A

4.4.2 Banco Trifásico de Capacitores Conectados em Triângulo

A Figura 4.13 representa a ligação do banco de capacitores em triângulo juntamente

com as correntes de linha e fase, as tensões de linha e as susceptâncias (Kersting, 2002).

87

Figura 4.13 – Banco de capacitores ligado em triângulo. Adaptado de (Kersting, 2002).

A susceptância é calculada através da equação (4.99) (Kersting, 2002).

𝐵 =𝑄

𝑉𝐿𝐿2. 1000 (4.99)

Em (4.99), 𝐵 corresponde ao valor da susceptância (S), 𝑉𝐿𝐿 é a tensão de linha (kV)

e 𝑄 é a potência reativa (kVAr) (Kersting, 2002).

A corrente de fase que circula no banco de capacitores é computada pela equação

(4.100) (Kersting, 2002).

Fase A: 𝐼𝐴𝐵 = 𝑗𝐵𝐴. 𝑉𝐴𝐵

Fase B: 𝐼𝐵𝐶 = 𝑗𝐵𝐵. 𝑉𝐵𝐶

Fase C: 𝐼𝐶𝐴 = 𝑗𝐵𝐶 . 𝑉𝐶𝐴

(4.100)

Para calcular as correntes de linha na ligação em triângulo utiliza-se a equação

(4.101) que corresponde à lei de Kirchhoff para as correntes nos nós do banco de capacitores

ligado em triângulo (Kersting, 2002).

[𝐼𝑐𝐴𝐼𝑐𝐵

𝐼𝑐𝐶

] = [1 0 −1

−1 1 00 −1 1

] . [

𝐼𝑐𝐴𝐵

𝐼𝑐𝐵𝐶

𝐼𝑐𝐶𝐴

] (4.101)

Para exemplificar o cálculo das correntes de linha no banco de capacitores utiliza-se

uma barra 𝑘 com as tensões de 2,4 𝑘𝑉. Nesta barra está ligado o banco de capacitores

conectado em triângulo de 100 𝑘𝑉𝐴𝑟 para cada fase.

Inicialmente, calcula-se a susceptância do banco através da equação (4.99).

𝐵 =100

2,42. 1000

𝐵 = 17,35. 10−3 𝑆

88

A Figura 4.14 representa o modelo do banco de capacitores da barra 𝑘 com os

valores de suscetância.

Figura 4.14 – Representação do banco de capacitores em ∆ para o fluxo de potência trifásico.

O cálculo das correntes de fase utiliza a equação (4.100) representada a seguir na

forma matricial.

[

𝐼𝐴𝐵

𝐼𝐵𝐶

𝐼𝐶𝐴

] = [

𝑗17,35. 10−3 0 0

0 𝑗17,35. 10−3 0

0 0 𝑗17,35. 10−3

] . [2400∠0°

2400∠ − 120°2400∠120°

]

[

𝐼𝐴𝐵

𝐼𝐵𝐶

𝐼𝐶𝐴

] = [83,3∠90°

83,3∠ − 30°83,3∠ − 150°

] A

Para determinar as correntes de linha, utilizadas no fluxo de potência trifásico, é

necessário aplicar a equação (4.101), como indicado a seguir.

[

𝐼𝐴𝐼𝐵𝐼𝐶

] = [1 0 −1

−1 1 00 −1 1

] . [83,3∠90°

83,3∠ − 30°83,3∠ − 150°

]


] = [72,1∠60°

72,1∠ − 60°72,1∠180°

] A

4.4.3 Banco Monofásico ou Bifásico de Capacitores

Para realizar a modelagem do banco de capacitores monofásico ou bifásico é

necessário seguir o modelo da ligação em estrela ou triângulo. Em outras palavras, para os

bancos de capacitores monofásicos utiliza-se a equação (4.97) para determinar a susceptância

e (4.98) para as correntes de linha, já para os bancos de capacitores bifásicos utiliza-se a

equação (4.99) para a susceptância, (4.100) para a corrente de fase e (4.101) para a corrente

de linha (Kersting, 2002).

4.4.4 Efeitos dos Harmônicos nos Bancos de Capacitores

Para estudar as perdas no dielétrico dos bancos de capacitores verifica-se que uma

das maneiras de se representar um capacitor pode ser elaborada através do modelo que utiliza

89

uma capacitância em série com uma resistência, como está representada pela Figura 4.15

(Silva & Rossi, 2012).

Figura 4.15 – Modelo do capacitor. Adaptado de (Silva & Rossi, 2012).

Esta resistência é oriunda da condução dos elétrons no dielétrico, ou seja, a

resistência tem a função de representar as perdas no dielétrico. Um bom capacitor possui

baixa resistência e um ruim capacitor alta resistência. Através deste modelo pode-se

determinar o diagrama de impedância, representada através da Figura 4.16.

Figura 4.16 – Diagrama de impedância do modelo do capacitor

Através da Figura 4.16, determina-se o fator de perda em (4.102).

𝑡𝑔(𝛿) =𝑅

𝑋𝑐 (4.102)

Na equação (4.102), 𝑡𝑔(𝛿) corresponde ao fator de perda. Como o fator de perda

depende da resistência que é oriunda da característica do material, pode-se concluir que este

depende do material que compõe o banco de capacitores. Na rede de distribuição de energia

elétrica, os bancos de capacitores são normalmente de polipropileno que possui o fator de

perda igual a 0,0002 (Vishay, 2016).

A presença das distorções na tensão (oriundo do conteúdo harmônico na tensão)

provoca o aumento de perdas no dielétrico. A perda total (considerando as componentes

harmônicas) é determinada através da equação (4.103) (Arrilaga & Watson, 2007).

𝑃𝑐ℎ = ∑ 𝐶. 𝑡𝑔(𝛿). ℎ. 𝜔. (𝑉ℎ)2

∞

𝑛=1

(4.103)

Em (4.103), 𝑃𝑐ℎ é a perda harmônica no dielétrico, 𝐶 a capacitância, ℎ a ordem

harmônica, 𝜔 velocidade angular e 𝑉ℎ a tensão para a componente harmônica (Arrilaga &

Watson, 2007).

90

Além de aumentar as perdas no dielétrico a presença das tensões harmônicas nos

bancos de capacitores também aumenta a potência reativa. Arrilaga e Watson (Arrilaga &

Watson, 2007) determinam o cálculo da potência reativa devido à presença de harmônicos

através da equação (4.104).

𝑄 = ∑ 𝑄ℎ

∞

𝑛=1

(4.104)

No fluxo de potência as informações dos bancos de capacitores fornecidas pela rede

compreende a potência reativa e a tensão, por esta razão utiliza-se a equação (4.105) para

determinar a susceptância (Kersting, 2002).

𝐵 =𝑄

𝑉2 (4.105)

Em (4.105), 𝐵 é a susceptância, 𝑄 a potência reativa e 𝑉 a tensão para a frequência

fundamental. Sabendo que a susceptância corresponde ao inverso da reatância capacitiva,

determina-se a potência reativa (𝑄ℎ) para cada componente harmônica através da equação

(4.106) (Arrilaga & Watson, 2007).

𝑄ℎ = ℎ.𝜔. 𝐶. (𝑉ℎ)2 (4.106)

4.5 Modelo Matemático das Cargas

Na rede de distribuição de energia elétrica as cargas são divididas em lineares e não

lineares. Nas cargas lineares a corrente possui o mesmo comportamento senoidal da tensão,

ou seja, não produzem distorções nas formas de onda. Normalmente estas cargas são

especificadas através da potência consumida (Kersting, 2002).

A Figura 4.17 mostra a representação do modelo da carga conectado a rede elétrica.

Figura 4.17 – Representação da carga linear.

Os parâmetros das cargas lineares podem ser descritos através de características

como: potência aparente e fator de potência; ou potência ativa e fator de potência; ou potência

ativa e reativa. Estas cargas podem ser monofásicas, bifásicas ou trifásicas (Kersting, 2002).

91

A modelagem destas cargas pode ser divida em:

Potência constante;

Impedância constante;

Corrente constante;

As cargas não lineares produzem correntes harmônicas que geram a deformações na

forma de onda da corrente que por sua vez provoca quedas de tensões harmônicas afetando a

forma de onda da tensão nas barras da rede elétrica. Para representação das cargas não

lineares no algoritmo do fluxo de potência trifásico harmônico utiliza-se o circuito

equivalente Thévenin ou Norton dependendo das características da carga não linear em

estudo.

A Figura 4.18 representa os modelos adotados para a representação das cargas não

lineares no fluxo de potência harmônico (Ahmed et al, 1999; e Rylander & Grady, 2010).

(a)

(b)

Figura 4.18 – Representação da carga não linear através do equivalente (a) Thevenin, adaptado de (Ahmed et al,

1999); e (b) Norton, adaptado de (Rylander & Grady, 2010).

Os próximos tópicos determinam as modelagens das cargas lineares (potência

constante, impedância constante e corrente constante) configuradas em estrela e triângulo e as

cargas não lineares (motor de indução trifásico, forno elétrico a arco, lâmpada fluorescente

compacta e o sistema de carga de baterias para o veículo elétrico).

4.5.1 Cargas Lineares

Como foi citado anteriormente as cargas lineares não geram correntes harmônicas e

consequentemente não deformam a forma de onda da tensão. Estas cargas podem ser

monofásicas, bifásicas ou trifásicas e divididas em: cargas de potência constante, de

impedância constante ou de corrente constante. As cargas trifásicas podem estar ligadas em

estrela ou triângulo (Kersting, 2002).

92

4.5.1.1 Carga Trifásica Conectada em Estrela

A Figura 4.19 representa a carga ligada em estrela e a equação (4.107) determina a

potência e a tensão para cada fase (Kersting, 2002).

Figura 4.19 – Carga linear trifásica ligada em estrela. Adaptado de (Kersting, 2002).

Fase A: 𝑆𝐴∠𝜃𝐴 = 𝑃𝐴 + 𝑗𝑄𝐴 𝑒 𝑉𝐴𝑁∠𝛿𝐴

Fase B: 𝑆𝐵∠𝜃𝐵 = 𝑃𝐵 + 𝑗𝑄𝐵 𝑒 𝑉𝐵𝑁∠𝛿𝐵

Fase C: 𝑆𝐶∠𝜃𝐶 = 𝑃𝐶 + 𝑗𝑄𝐶 𝑒 𝑉𝐶𝑁∠𝛿𝐶

(4.107)

Com estas definições de potência e tensão determinam-se as correntes de linha para

os modelos de carga de potência constante, impedância constante e corrente constante na

ligação estrela (Kersting, 2002).

4.5.1.1.1 Carga de Potência Constante

Para a carga trifásica em estudo ligada em estrela a corrente de linha é determinada


Fase A: 𝐼𝐴 = (𝑆𝐴

𝑉𝐴𝑁)∗

Fase B: 𝐼𝐵 = (𝑆𝐵

𝑉𝐵𝑁)∗

Fase C: 𝐼𝐶 = (𝑆𝐶

𝑉𝐶𝑁)∗

(4.108)

4.5.1.1.2 Carga de Impedância Constante

Para carga em estrela com impedância constante é necessário determinar o valor da

impedância da carga através da equação (4.109) (Kersting, 2002).

93

𝑍𝐴 =|𝑉𝐴𝑁|2

𝑆𝐴∗

𝑍𝐵 =|𝑉𝐵𝑁|2

𝑆𝐵∗

𝑍𝐶 =|𝑉𝐶𝑁|2

𝑆𝐶∗

(4.109)

Com as especificações de tensão e impedância determinam-se as correntes de linha


Fase A: 𝐼𝐴 =𝑉𝐴𝑁

𝑍𝐴

Fase B: 𝐼𝐵 =𝑉𝐵𝑁

𝑍𝐵

Fase C: 𝐼𝐶 =𝑉𝐶𝑁

𝑍𝐶

(4.110)

4.5.1.1.3 Carga de Corrente Constante

Para a carga ligada em estrela com corrente constante é necessário calcular a

magnitude da corrente através da equação (4.111) (Kersting, 2002).

𝐼𝐴 = (𝑆𝐴

𝑉𝐴𝑁)∗

𝐼𝐵 = (𝑆𝐵

𝑉𝐵𝑁)∗

𝐼𝐶 = (𝑆𝐶

𝑉𝐶𝑁)∗

(4.111)

O ângulo da corrente é determinado pela subtração do ângulo da tensão de fase pelo

ângulo da potência, como está representada pela equação (4.112) (Kersting, 2002).

Fase A: 𝐼𝐴 = |𝐼𝐴|∠(𝛿𝐴 − 𝜃𝐴)

Fase B: 𝐼𝐵 = |𝐼𝐵|∠(𝛿𝐵 − 𝜃𝐵)

Fase C: 𝐼𝐶 = |𝐼𝐶|∠(𝛿𝐶 − 𝜃𝐶)

(4.112)

4.5.1.1.4 Carga Combinada em Y

Uma carga pode possuir as três características (potência constante, impedância

constante e corrente constante) simultaneamente. Para realizar a modelagem desta carga é

94

necessário calcular a corrente para cada característica da carga através das equações

apresentadas anteriormente e multiplicar pelo percentual de cada característica.

Para exemplificar o cálculo das correntes que circulam na carga ligada em estrela,

considere uma carga cujas potências são dadas por 2000 + 𝑗1000 kVA, 2200 + 𝑗1200 kVA e

1900 + 𝑗900 kVA para as fases A, B e C, respectivamente. As tensões de fase da barra onde a

carga está conectada são 7,2 𝑘𝑉 com os ângulos de 0° para fase A, −120° para fase B e 120°

para fase C. A carga é constituída pelas seguintes características: 50% de potência constante,

20% de impedância constante e 30% de corrente constante (Kersting, 2002).

Com estes dados determina-se a corrente de linha para cada porcentagem de carga

através das equações apresentadas anteriormente.

A equação (4.108) é utilizada para determinar a corrente para a porcentagem de

carga com a potência constante. Como esta corrente compreende a 50 % da corrente total,

deve-se multiplicar a equação (4.108) por 0,5, como está representado.

𝐼𝑃𝑄 = (𝑆

𝑉𝑓)

∗

. 0,5

[


]

𝑃𝑄

= [155,3∠ − 26,6°174,0∠ − 148,6°

146,0∠94,7°] A

Para calcular a corrente devido à porcentagem da carga com impedância constante

utiliza-se a equação (4.109) para determinar a impedância da carga.

𝑍 =|𝑉𝑓|

2

𝑆∗

[

𝑍𝐴

𝑍𝐵

𝑍𝐶

] = [

20,7 + 𝑗10,418,2 + 𝑗9,922,3 + 𝑗10,6

] Ω

Com os valores das impedâncias e das tensões, calculam-se as correntes através da

equação (4.110). Esta equação é multiplicada por 0,2 devido ao percentual de corrente com

impedância constante.

𝐼𝑍 =𝑉𝑓

𝑍. 0,2


]

𝑍

= [62,1∠ − 26,6°69,6∠ − 148,6°

22,3∠94,7°]A

95

Para calcular a corrente devido à porcentagem de carga com corrente constante

utiliza-se a equação (4.111) para determinar a magnitude da corrente e ela deve ser

multiplicada pelo percentual deste tipo de carga.

𝐼𝐼 = (𝑆

𝑉𝑓)

∗

. 0,3


]

𝐼

= [93,2104,487,6

]A

Porém, os ângulos são determinados subtraindo-se os ângulos das tensões de fase dos

ângulos das potências. Portanto, as correntes devido à carga de corrente constante

correspondem a:


]

𝐼

= [93,2∠ − 26,6°

104,4∠ − 148,6°87,6∠94,7°

] A

As correntes de linha na carga são determinadas pela soma fasorial das correntes

calculadas anteriormente, como indicado a seguir.

[𝐼] = [𝐼]𝑃𝑄 + [𝐼]𝑍 + [𝐼]𝐼

[


] = [310,6∠ − 26,6°348,1∠ − 148,6°

292,0∠94,7°] A

4.5.1.2 Carga Trifásica Conectada em Triângulo

Para a carga ligada em triângulo, representada pela Figura 4.20, a equação (4.113)

especifica a potência e a tensão para cada fase (Kersting, 2002).

Figura 4.20 – Carga linear trifásica ligada em triângulo. Adaptado de (Kersting, 2002).

96

Fase A: 𝑆𝐴𝐵∠𝜃𝐴𝐵 = 𝑃𝐴𝐵 + 𝑗𝑄𝐴𝐵 𝑒 𝑉𝐴𝐵∠𝛿𝐴𝐵

Fase B: 𝑆𝐵𝐶∠𝜃𝐵𝐶 = 𝑃𝐵𝐶 + 𝑗𝑄𝐵𝐶 𝑒 𝑉𝐵𝐶∠𝛿𝐵𝐶

Fase C: 𝑆𝐶𝐴∠𝜃𝐶𝐴 = 𝑃𝐶𝐴 + 𝑗𝑄𝐶𝐴 𝑒 𝑉𝐶𝐴∠𝛿𝐶𝐴

(4.113)

Com estas considerações iniciais pode-se determinar a modelagem da carga ligada

em triângulo para os modelos de potência constante, corrente constante, impedância constante

e através das combinação destes modelos.

4.5.1.2.1 Carga de Potência Constante

Para carga trifásica ligada em triângulo com potência constante a corrente de fase é

determinada pela equação (4.114) (Kersting, 2002).

Fase A: 𝐼𝐴𝐵 = (𝑆𝐴𝐵

𝑉𝐴𝐵)∗

Fase B: 𝐼𝐵𝐶 = (𝑆𝐵𝐶

𝑉𝐵𝐶)∗

Fase C: 𝐼𝐶𝐴 = (𝑆𝐶𝐴

𝑉𝐶𝐴)∗

(4.114)

4.5.1.2.2 Carga de Impedância Constante

Para carga em triângulo com impedância constante é necessário determinar o valor

da impedância da carga através da equação (4.115) (Kersting, 2002).

𝑍𝐴𝐵 =|𝑉𝐴𝐵|2

𝑆𝐴𝐵∗ 𝑍𝐵𝐶 =

|𝑉𝐵𝐶|2

𝑆𝐵𝐶∗ 𝑍𝐶𝐴 =

|𝑉𝐶𝐴|2

𝑆𝐶𝐴∗ (4.115)

Com as especificações de tensão e impedância determinam-se as correntes de fase


Fase A: 𝐼𝐴𝐵 =𝑉𝐴𝐵

𝑍𝐴𝐵

Fase B: 𝐼𝐵𝐶 =𝑉𝐵𝐶

𝑍𝐵𝐶

Fase C: 𝐼𝐶𝐴 =𝑉𝐶𝐴

𝑍𝐶𝐴

(4.116)

97

4.5.1.2.3 Carga de Corrente Constante

Para a carga ligada em triângulo com corrente constante é necessário calcular a

magnitude da corrente através da equação (4.117) (Kersting, 2002).

𝐼𝐴𝐵 = (𝑆𝐴𝐵

𝑉𝐴𝐵)∗

𝐼𝐵𝐶 = (𝑆𝐵𝐶

𝑉𝐵𝐶)∗

𝐼𝐶𝐴 = (𝑆𝐶𝐴

𝑉𝐶𝐴)∗

(4.117)

O ângulo da corrente é determinada pela subtração do ângulo da tensão de fase com

o ângulo da potência, como está representado pela equação (4.118) (Kersting, 2002).

Fase A: 𝐼𝐴𝐵 = |𝐼𝐴|∠(𝛿𝐴 − 𝜃𝐴)

Fase B: 𝐼𝐵𝐶 = |𝐼𝐵|∠(𝛿𝐵 − 𝜃𝐵)

Fase C: 𝐼𝐶𝐴 = |𝐼𝐶|∠(𝛿𝐶 − 𝜃𝐶)

(4.118)

4.5.1.2.4 Carga Combinada em Δ

Para exemplificar o cálculo das correntes em cargas ligadas em triângulo, considere

uma barra com as tensões de linha:

𝑉𝐴𝐵 = 4160∠0° V 𝑉𝐵𝐶 = 4160∠ − 120° V 𝑉𝐶𝐴 = 4160∠120° V

A carga possui as potências:

𝑆𝐴𝐵 = 2048,1∠30,1° kVA 𝑆𝐵𝐶 = 2000,9∠33,5° kVA 𝑆𝐶𝐴 = 1985,7∠29,8° kVA

Esta carga é composta por 40% de potência constante, 20% de impedância constante

e 40% de corrente constante.

Para determinar a corrente devido à porcentagem da carga com potência constante

utiliza-se a equação (4.114) multiplicada pela porcentagem correspondente.

𝐼𝑃𝑄 = (𝑆

𝑉𝑓)

∗

. 0,4

[

𝐼𝐴𝐵

𝐼𝐵𝐶

𝐼𝐶𝐴

]

𝑃𝑄

= [196,9∠ − 30,1°192,4∠ − 153,5°

190,9∠90,2°] A

98

Utiliza-se a equação (4.115) para determinar a impedância para o modelo de carga

com impedância constante.

𝑍 =|𝑉𝐿|

2

𝑆∗

[

𝑍𝐴𝐵

𝑍𝐵𝐶

𝑍𝐶𝐴

] = [

7,3 + 𝑗4,27,2 + 𝑗4,87,5 + 𝑗4,3

] Ω

A equação (4.116) é multiplicada pela porcentagem correspondente para determinar

a corrente oriunda da carga com impedância constante.

𝐼𝑍 =𝑉𝐿

𝑍. 0,2

[

𝐼𝐴𝐵

𝐼𝐵𝐶

𝐼𝐶𝐴

]

𝑍

= [98,8∠ − 29,9°96,1∠ − 153,7°

96,2∠90,2°] A

O módulo da corrente para a porcentagem da carga de corrente constante é

determinado seguindo a equação (4.117) e multiplicada pelo seu percentual.

𝐼𝐼 = (𝑆

𝑉𝑓)

∗

. 0,3

[

𝐼𝐴𝐵

𝐼𝐵𝐶

𝐼𝐶𝐴

]

𝐼

= [196,9192,4190,9

] A

Os ângulos das correntes correspondem à subtração dos ângulos das tensões com os

ângulos das potências. Portanto, as correntes de fase para a parcela da carga com corrente

constante correspondem a:

[

𝐼𝐴𝐵

𝐼𝐵𝐶

𝐼𝐶𝐴

]

𝐼

= [196,9∠ − 30,1°192,4∠ − 153,5°

190,9∠90,2°] A

A corrente total de fase é a soma fasorial das correntes calculadas anteriormente,

como indicado a seguir.

[𝐼] = [𝐼]𝑃𝑄 + [𝐼]𝑍 + [𝐼]𝐼


] = [492,6∠ − 30,0°480,9∠ − 153,5°

478,0∠90,2°] A

99

Como as correntes calculadas correspondem às correntes de fase, é necessário

transformá-las em correntes de linha para que possam ser utilizadas no fluxo de potência

trifásico. Portanto, é necessário utilizar a equação (4.101) que compreende a lei de Kirchhoff

para as correntes, para converter as correntes de fase em correntes de linha (Kersting, 2002).


] = [1 0 −1

−1 1 00 −1 1

] . [492,6∠ − 30,0°480,9∠ − 153,5°

478,0∠90,2°]

[


] = [841,4∠ − 59,4°857,6∠ − 177,8°

814,5∠58,2°] A

4.5.1.3 Carga Monofásica ou Bifásica

Para a modelagem das cargas monofásicas ou bifásicas devem-se seguir os modelos

das ligações estrela ou triângulo. Para as cargas monofásicas utiliza-se as equações da ligação

em estrela, pois a carga está ligada entre uma fase e o neutro. Para as cargas bifásicas utiliza-

se as equações da ligação em triângulo para determinar as corrente, pois a carga está ligada

entre duas fases (Kersting, 2002).

4.5.1.4 Cargas Lineares no Fluxo de Potência Trifásico Harmônico

Para representar as cargas lineares trifásicas, bifásicas ou monofásicas no fluxo de

potência trifásico harmônico deve-se, inicialmente, representa-las através do modelo de

impedância constante. Para as cargas trifásicas com ligação estrela utiliza-se a equação

(4.109) para representar sua impedância e para cargas com ligação em triângulo utiliza-se a

equação (4.115).

Definidas as impedâncias das cargas para a frequência fundamental deve-se

multiplicar a resistência pela raiz quadrada da ordem harmônica e a reatância pela ordem

harmônica para determinar a impedância harmônica da carga (𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎ℎ ), como está

representada pela equação (4.119) (Arrilaga & Watson, 2007).

𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎ℎ = √ℎ. 𝑅𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 + 𝑗ℎ. 𝑋𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 (4.119)

Este procedimento é de suma importância, pois através dele é possível representar no

fluxo de potência trifásico harmônico o comportamento da carga para uma gama de

frequência harmônica de interesse (Arrilaga & Watson, 2007).

100

4.5.2 Cargas Não Lineares

As cargas não lineares estudadas são: motor de indução trifásico, forno elétrico a

arco, lâmpada fluorescente compacta e os sistemas de cargas de baterias para veículos

elétricos. Os tópicos a seguir têm a função de explanar sobre a modelagem destas cargas.

4.5.2.1 Motor de Indução Trifásico

No motor de indução trifásico, quando os enrolamentos do estator são alimentados

estabelece-se uma distribuição de campo magnético que gira com uma velocidade

denominada de velocidade síncrona. A velocidade síncrona depende das características

construtivas da máquina de indução (pares de pólos) e das características de alimentação

(frequência).

A equação (4.120) determina, matematicamente, o valor da velocidade síncrona (Del

Toro, 1994).

𝜔𝑠 =120. 𝑓

𝛾 (4.120)

Em (4.120), 𝜔𝑠 corresponde à velocidade síncrona (rpm), 𝑓 é a frequência (Hz) e 𝛾 é

o número de pares de pólos (Del Toro, 1994).

A força magnetomotriz (f.m.m.) produzida pelo estator gera a distribuição de campo

magnético que concatena com o enrolamento do rotor produzindo correntes e tensões. As

correntes do rotor produzem forças magnétomotrizes que estabelecem fluxos magnéticos que

interagem com os fluxos do estator produzindo o torque (Bim, 2009).

Um motor de dois pares de pólos formados por duas bobinas idênticas ligadas em

série está representada pela Figura 4.21 (a) e (b) corresponde à forma de onda da f.m.m. (Bim,

2009).

(a)

(b)

Figura 4.21 – Representação (a) do estator e (b) da forma da onda da f.m.m. Adaptado de (Bim, 2009).

Matematicamente, esta forma de onda da força magnetomotriz apresentada na Figura

4.21 (b) pode ser expressa através da série trigonométrica de Fourier, como definido através

da equação (4.121) (Bim, 2009).

101

𝑓𝑚𝑚(𝑡, 𝜃) =2

𝜋. 𝑛𝑠. 𝑖𝑎𝑠(𝑡) ∑

1

ℎ. 𝑠𝑒𝑛 (ℎ.

𝜋

2) . cos (ℎ. 𝜃)

í𝑚𝑝𝑎𝑟

ℎ=1

(4.121)

Em (4.121), 𝑖𝑎𝑠(𝑡) corresponde à corrente na bobina, 𝑛𝑠 é o número de espiras e ℎ é

a ordem harmônica. A Figura 4.22 (a) representa um motor de dois pólos, trifásico,

constituído de bobinas distribuídas em doze ranhuras e (b) a forma de onda da força

magnétomotriz (Bim, 2009).

(a)

(b)

Figura 4.22 – Representação (a) do estator de 2 pólos e (b) da forma de onda da f.m.m. Adaptado de (Bim,

2009).

A equação (4.122) (Bim, 2009) representa a série trigonométrica de Fourier para a

forma de onda descrita pela Figura 4.22 (b).

𝑓𝑚𝑚(𝑡, 𝜃) =2. 𝑛𝑐𝑜𝑛𝑗. 𝑖𝑎𝑠(𝑡)

𝑞. 𝜋∑

1

ℎ. 𝑠𝑒𝑛 (ℎ.

𝜋

2) . cos ℎ. [(𝑞 − 1). 𝛼 − 𝜃]

í𝑚𝑝𝑎𝑟

ℎ=1

(4.122)

Em (4.122), 𝑛𝑐𝑜𝑛𝑗 corresponde ao o número de espiras do conjunto e 𝑞 é o número

de ranhuras por polo por fase (Bim, 2009).

Observando as forças magnetomotrizes produzidas pelos dois motores pode se

verificar o conteúdo harmônico presente nos motores em seu funcionamento. Estas forças

magnetomotrizes geram um campo magnético com conteúdo harmônico.

A força magnetomotriz é determinada, matematicamente, através da lei de Ampère.

Segundo a lei de Ampère a soma algébrica das correntes que fluem através de uma superfície

é igual a força magnetomotriz, como pode ser observado através da equação (4.123).

𝑓𝑚𝑚 = ∮𝐻. 𝑑𝑙 = ∑𝑖 (4.123)

Em (4.123), 𝐻 corresponde ao campo magnético e 𝑖 à corrente elétrica.

102

Conhecendo o campo magnético determina-se a densidade do fluxo magnético

através da equação (4.124).

𝐵 = 𝜇𝑜 . 𝜇𝑟 . 𝐻 (4.124)

Em (4.124), 𝐵 é a densidade do fluxo magnético, 𝜇𝑜 a permeabilidade magnética do

vácuo e 𝜇𝑟 a permeabilidade relativa do meio. Com a densidade do campo magnético

determina-se o fluxo magnético através da equação (4.125).

𝜑 = ∫𝐵. 𝑑𝐴 (4.125)

Em (4.125), 𝜑 corresponde ao fluxo magnético. Os fluxos magnéticos geram forças

eletromotrizes que são determinadas através da lei de Faraday, como pode ser observada pela

equação (4.126).

𝑒(𝑡) =𝜕𝑁

𝜕𝑡. 𝜑 (4.126)

Em (4.126), 𝑁 corresponde ao número de espiras do estator. A distribuição espacial

com conteúdo harmônico da força magnetomotriz gera uma distorção no campo magnético

que afeta a densidade de fluxo magnético, o fluxo magnético e consequentemente a tensão

induzida (Bim, 2009).

Esta é uma das maneiras que ocorre a geração de harmônicos por parte dos motores

de indução trifásicos. A outra maneira ocorre devido à assimetria elétrica presente em alguns

motores de indução. Um exemplo de assimetria compreende ao motor que possui os

enrolamentos do rotor desequilibrados e os enrolamentos do estator equilibrados, esta

configuração produz correntes de sequência positiva e negativa gerando campos magnéticos

de diferentes direções e consequentemente tensões induzidas distorcidas (Arrilaga & Watson,

2007).

Para o estudo do motor de indução trifásico para a frequência fundamental utiliza-se

o modelo representado pela Figura 4.23.

Figura 4.23 – Modelo do motor para a frequência fundamental. Adaptado de (Fitzgerald et al, 2008).

103

Uma das características do motor de excitação única compreende a velocidade do

rotor não ser igual à velocidade síncrona devido às perdas por atrito. Esta diferença entre as

velocidades é chamada de escorregamento e seu cálculo está representado através da equação

(4.127) (Del Toro, 1994).

𝑆 =𝜔𝑠 − 𝜔𝑟

𝜔𝑠 (4.127)

Em (4.127), 𝑆 corresponde ao escorregamento (normalmente representado em

porcentagem), 𝜔𝑠 é a velocidade síncrona (rpm) e 𝜔𝑟 é a velocidade do rotor (rpm) (Del Toro,

1994).

Para calcular a impedância equivalente do motor para a frequência fundamental

utiliza-se a equação (4.128) (Kersting, 2002).

𝑍𝑚 = 𝑅1 + 𝑗𝑋1 + (1

𝑗𝑋𝑚+

1𝑅2

𝑆+ 𝑗𝑋2

)

−1

(4.128)

Para estudar o comportamento harmônico da rede de distribuição devido a presença

do motor utiliza-se o circuito proposto por Pedra et al (Pedra et al, 2006) para representa-lo.

A Figura 4.24 representa o modelo do motor de indução para uma fase (Pedra et al,

2006).

Figura 4.24 – Modelo do motor de indução. Adaptado de (Pedra et al, 2006).

Na Figura 4.24, ℎ corresponde à ordem harmônica e 𝑆ℎ é o escorregamento para a

ordem harmônica (Pedra et al, 2006). O cálculo da impedância harmônica do motor está

determinado pela equação (4.129).

𝑍𝑚ℎ = 𝑅1 + 𝑗ℎ. 𝑋1 + (

1

𝑗ℎ. 𝑋𝑚+

1𝑅2

𝑆ℎ+ 𝑗ℎ. 𝑋2

)

−1

(4.129)

O escorregamento para as componentes harmônicas podem ser de sequência positiva

como mostra a equação (4.130) ou de sequência negativa como representado em (4.131)

(Pedra et al, 2006).

104

𝑆ℎ =ℎ.𝜔𝑠 − 𝛾.𝜔𝑚

ℎ.𝜔𝑠 (4.130)

𝑆ℎ =ℎ.𝜔𝑠 + 𝛾.𝜔𝑚

ℎ.𝜔𝑠 (4.131)

Em (4.130) e (4.131), 𝛾 corresponde aos pares de polos.

Sabendo que a admitância do motor compreende ao inverso da impedância,

determina-se a corrente de sequência do motor através da equação (4.132) (Kersting, 2002).

[𝐼𝑀012] = [𝑌𝑀012

]. [𝑉𝐿𝑁012] (4.132)

A equação (4.132) pode ser expandida para a equação (4.133).

[

𝐼𝑀0

𝐼𝑀1

𝐼𝑀2

] = [

1 0 00 𝑌𝑀1

0

0 0 𝑌𝑀2

] . [

𝑉𝐿𝑁0

𝑉𝐿𝑁1

𝑉𝐿𝑁2

] (4.133)

Observando a equação (4.133) verifica-se a presença do elemento unitário, este

termo está presente devido à ligação do motor ser em triângulo ou estrela. A equação (4.134)

determina o valor da tensão de fase de sequência a partir da tensão de linha de sequência

(Kersting, 2002).

[

𝑉𝐿𝑁0

𝑉𝐿𝑁1

𝑉𝐿𝑁2

] = [1 0 00 𝑡𝑠

∗ 00 0 𝑡𝑠

] . [

𝑉𝐿𝐿0

𝑉𝐿𝐿1

𝑉𝐿𝐿2

] (4.134)

Em (4.134), 𝑡𝑠 compreende a 1

√3∠30° e ela é comprimida para a equação (4.135)

(Kersting, 2002).

[𝑉𝐿𝑁012] = [𝑇]. [𝑉𝐿𝐿012

] (4.135)

Substituindo a definição da equação (4.135) em (4.132) determina-se (4.136)

(Kersting, 2002).

[𝐼𝑀012] = [𝑌𝑀012

]. [𝑇]. [𝑉𝐿𝐿012] (4.136)

Para determinar a corrente de fase do motor de indução trifásico utiliza-se a equação

(4.137) que transforma as correntes de sequência em correntes de fase (Kersting, 2002)..

[𝐼𝑀𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑠]. [𝐼𝑀012

] (4.137)

105

O termo [𝐴𝑠] é definido pela equação (4.138) (Kersting, 2002).

[𝐴𝑠] = [

1 1 11 𝑎𝑠

2 𝑎𝑠

1 𝑎𝑠 𝑎𝑠2] (4.138)

Em (4.138), 𝑎𝑠 compreende a 1∠120°. Substituindo a equação (4.136) em (4.137),

determina-se (4.139) (Kersting, 2002).

[𝐼𝑀𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑠]. [𝑌𝑀012

]. [𝑇]. [𝑉𝐿𝐿012] (4.139)

A equação (4.140), determina a transformação da tensão de linha de fase em tensão

de linha de sequência.

[𝑉𝐿𝐿012] = [𝐴𝑠]

−1. [𝑉𝐿𝐿𝑎𝑏𝑐] (4.140)

Substituindo a definição da equação (4.140) em (4.139), determina-se (4.141)

(Kersting, 2002)..

[𝐼𝑀𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑠]. [𝑌𝑀012

]. [𝑇]. [𝐴𝑠]−1. [𝑉𝐿𝐿𝑎𝑏𝑐

] (4.141)

Desta maneira a equação (4.142), determina o cálculo da admitância de fase do

motor para as componentes harmônicas (Kersting, 2002)..

[𝑌𝑀𝑎𝑏𝑐] = [𝐴𝑠]. [𝑌𝑀012

]. [𝑇]. [𝐴𝑠]−1 (4.142)

Para determinar as correntes do motor para a frequência fundamental utiliza-se a

impedância do motor determinada pela equação (4.128) e a tensão de alimentação. A equação

(4.143) define o cálculo da corrente para a frequência fundamental (Kersting, 2002).

[𝐼1] = [𝑍𝑚1 ]−1. [𝑉1] (4.143)

Para calcular as tensões e as correntes do motor para as componentes harmônicas é

necessário utilizar a Tabela 4.1 que representa as porcentagens da corrente harmônica em

relação à corrente fundamental.

Tabela 4.1 – Correntes harmônicas no motor de indução (Duque, 2013).

h p (%)

1 100,0

5 3,0

7 2,5

11 1,5

13 1,0

17 0,2

106

Na Tabela 4.1, h corresponde à ordem harmônica e p é a porcentagem da corrente

fundamental para cada componente harmônica.

As correntes para as componentes harmônicas são determinadas através da equação

(4.144).

[𝐼ℎ] =𝑝ℎ

100. [𝐼1] (4.144)

Em (4.144), 𝑝ℎ corresponde à porcentagem de corrente para cada componente

harmônica definida pela Tabela 4.1.

Chang et al (Chang et al, 2001) citam o circuito equivalente de Norton pode ser

utilizado para representar o motor de indução trifásico para as frequências harmônicas, como

está representado na Figura 4.25.

Figura 4.25 – Modelo harmônico do motor para inserção no fluxo de potência. Adaptado de (Chang, 2001)

Para determinar a corrente injetada na rede elétrica utiliza-se o circuito descrito pela

Figura 4.26.

Figura 4.26 – Circuito simplificado para o cálculo das tensões e correntes no motor.

Para determinar a tensão na barra 𝑘 (barra onde o motor de indução está instalado) é

necessário calcular a impedância equivalente que compreende a impedância da rede em

paralelo com a impedância do modelo da carga, como pode ser observado através da Figura

4.26. A impedância da rede é determinada através da soma das impedâncias dos ramos desde

a barra onde a carga não linear está instalada até a barra da subestação, ou seja, é somada as

impedâncias do tronco principal da rede para a carga não linear.

A equação (4.145) determina o cálculo da impedância equivalente.

107

𝑍𝑒𝑞ℎ =

𝑍𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ . 𝑍ℎ

𝑍𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ + 𝑍ℎ

(4.145)

Em (4.145), 𝑍𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ corresponde à soma das impedâncias harmônicas da rede para o

tronco principal e 𝑍ℎ é a impedância harmônica do motor que é determinada através do

inverso da equação (4.142).

A equação (4.146), determina a tensão harmônica na barra 𝑘.

𝑉𝑘ℎ = 𝑍𝑒𝑞

ℎ . 𝐼ℎ

(4.146)

A corrente que passa pela impedância do modelo matemático do motor de indução é

determinada pela equação (4.147).

𝐼𝑍ℎ =

𝑉𝑘ℎ

𝑍ℎ (4.147)

A corrente que é injetada na rede elétrica é uma parcela da corrente oriunda da fonte

de corrente do modelo matemático do motor de indução trifásico. Esta corrente é importante,

pois ela é utilizada no fluxo de potência trifásico harmônico. A corrente injetada na rede é

determinada através da lei de Kirchhoff para as correntes na barra onde o motor está

instalado, como determina a equação (4.148).

𝐼𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ = 𝐼ℎ − 𝐼𝑍

ℎ (4.148)

Para determinar a forma de onda da tensão na barra 𝑘 utiliza-se a equação (4.149).

𝑣(𝑡) = √2. 𝑉1. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑉1) + √2 ∑ 𝑉ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑉

ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.149)

Em (4.149), os termos 𝜑𝑉1 e 𝜑𝑉

ℎ são os ângulos da tensão para a componente

fundamental e harmônica, respectivamente. Estes valores são oriundos do fluxo de potência

trifásico na versão tradicional e harmônica.

A forma de onda da corrente em relação ao tempo é determinada pela equação

(4.150).

𝑖(𝑡) = √2. 𝐼1. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝐼1) + √2 ∑ 𝐼ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝐼

ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.150)

108

Em (4.150), os termos 𝜑𝐼1 e 𝜑𝐼

ℎ são os ângulos da corrente para a componente

fundamental e harmônica, respectivamente. Estes valores também são oriundos do fluxo de

potência trifásico na versão tradicional e harmônica.

Nas equações (4.149) e (4.150), o termo √2 é utilizado para determinar os valores de

pico.

A forma de onda e o espectro de amplitude da corrente para um motor de indução

trifásico está representada pela Figura 4.27.

Figura 4.27 – Forma de onda e espectro de amplitude das correntes no motor.

Para exemplificar a modelagem do motor de indução trifásico para a frequência

fundamental e para as componentes harmônicas utiliza-se um motor de 6 pólos com uma

potência no eixo de 5,22 kW e velocidade síncrona de 1200 rpm. A velocidade de rotação é de

1176 rpm, a resistência do estator é de 0,294 Ω e do rotor é de 0,144 Ω. A reatância do estator

é de 0,503 Ω, a do rotor é de 0,209 Ω e a reatância de magnetização de 13,25 Ω. A tensão de

alimentação é de 127 V (Fitzgerald et al, 2008).

Inicialmente, utiliza-se a equação (4.127) para determinar o escorregamento para

frequência fundamental para posteriormente calcular a impedância através da equação

(4.128).

O escorregamento para frequência fundamental é igual a 0,02 e a Figura 4.28

representa o modelo do motor de indução para frequência fundamental através da impedância.

109

Figura 4.28 – Impedância do motor para a frequência fundamental.

Através da equação (4.143) determina-se o valor da corrente para frequência

fundamental.

[

𝐼𝐴1

𝐼𝐵1

𝐼𝐶1

] = [18,78∠ − 32,26°18,78∠ − 152,26°

18,78∠87,74°] A

Para a quinta harmônica, os escorregamentos para sequência positiva e negativa são

de 0,412 e 1,588, respectivamente. Estes valores foram determinados através das equações

(4.130) e (4.131). A matriz impedância do motor é determinada através do inverso da equação

(4.142) e a Figura 4.29 representa o modelo do motor de indução para quinta harmônica.

Figura 4.29 – Representação do motor para a quinta harmônica

Os escorregamentos para sequência positiva e negativa são determinados através das

equações (4.130) e (4.131) e para sétima harmônica estes valores são de 0,580 e 1,420,

respectivamente. A Figura 4.30 representa o modelo do motor de indução para sétima

harmônica.

Figura 4.30 – Representação do motor para a sétima harmônica

Para a décima primeira harmônica, os valores de escorregamento são de 0,733 para a

sequência positiva e 1.267 para sequência negativa, definidos pelas equações (4.130) e

110

(4.131), respectivamente. A Figura 4.31 representa o modelo do motor para a décima primeira

harmônica com a impedância sendo definida através do inverso da equação (4.142).

Figura 4.31 – Representação do motor para a décima primeira harmônica.

Para décima terceira harmônica, os escorregamentos para sequência positiva e

negativa são de 0,774 e 1,226, respectivamente. A Figura 4.32 representa o modelo do motor

de indução para décima terceira harmônica.

Figura 4.32 – Representação do motor para a décima terceira harmônica

Para décima sétima harmônica, os escorregamentos para sequência positiva e

negativas são de 0,827 e 1,173, respectivamente. A Figura 4.33 representa o modelo do motor

de indução para décima sétima harmônica.

Figura 4.33 – Representação do motor para a décima sétima harmônica

4.5.2.1.1 Efeitos dos Harmônicos nos Motores de Indução

As correntes harmônicas presentes nos enrolamentos do estator induzem torques na

mesma direção e contrários ao torque desenvolvido pela corrente fundamental. As harmônicas

de sequência positiva produzem torques na mesma direção do torque para frequência

fundamental enquanto as harmônicas de sequência negativa produzem torques no sentido

contrário (Arrilaga & Watson, 2007).

111

A Figura 4.34 representa o circuito equivalente do motor de indução trifásico para

uma fase com as respectivas correntes.

Figura 4.34 – Circuito equivalente com as correntes do motor de indução. Adaptado de (Pedra et al, 2006).

Para a frequência fundamental ℎ (ordem harmônica) é igual a 1. O torque mecânico

para frequência fundamental é definido pela equação (4.151) (Fitzgerald et al, 2008).

𝑇1 =𝑃𝑔

𝜔𝑠 (4.151)

Em (4.151), 𝑇1 corresponde ao torque mecânico (N.m), 𝑃𝑔 é a potência transferida

através do entreferro (W) e 𝜔𝑠 é a velocidade síncrona angular do (rad/s) (Fitzgerald et al,

2008).

A equação (4.151) pode ser transformada em (4.153) através da substituição da

potência transferida 𝑃𝑔 determinada pela equação (4.152) (Fitzgerald et al, 2008).

𝑃𝑔 = 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠. (𝑅2

𝑆1) . 𝐼2

2 (4.152)

Em (4.152), 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠 corresponde ao número de fases e 𝑆1 é o escorregamento para

frequência fundamental. Com estas definições o torque mecânico para frequência fundamental

é determinado pela equação (4.153) (Fitzgerald et al, 2008).

𝑇1 = 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠.(𝑅2

𝑆1) . 𝐼2

2

𝜔𝑠 (4.153)

O torque mecânico harmônico (𝑇ℎ) é calculado através da equação (4.154) onde é

levado em consideração a corrente harmônica no rotor (𝐼2ℎ), a ordem harmônica (ℎ) e o

escorregamento harmônico (𝑆ℎ) (Arrilaga & Watson, 2007).

𝑇ℎ = 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠.𝑅2. (𝐼2

ℎ)2

ℎ. 𝑆ℎ (4.154)

Estes cálculos não levam em consideração as perdas rotacionais e por ventilação.

112

Segundo Arrilaga e Watson (Arrilaga & Watson, 2007) o torque harmônico é

insignificante devido ao escorregamento harmônico ser praticamente unitário e as correntes

harmônicas serem muito menores que a corrente de frequência fundamental.

Outro efeito importante corresponde ao aumento das perdas no estator e no rotor,

observando a Figura 4.34 pode-se calcular as perdas no estator (𝑃11) e no rotor (𝑃2

1) para

frequência fundamental através das equações (4.155) e (4.156), repectivamente (Fitzgerald et

al, 2008).

𝑃11 = 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠. 𝑅1. 𝐼1

2

(4.155)

𝑃21 = 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠. 𝑅2. 𝐼2

2 (4.156)

Para as componentes harmônicas de interesse as perdas harmônicas no estator (𝑃1ℎ) e

no rotor (𝑃2ℎ) são definidas através das equações (4.157) e (4.158), respectivamente.

𝑃1ℎ = 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠. 𝑅1. (𝐼1

ℎ)2

(4.157)

𝑃2ℎ = 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑒𝑠. 𝑅2. (𝐼2

ℎ)2 (4.158)

Nos motores de indução trifásicos a presença de harmônicos aumenta as perdas no

estator e no rotor que acarreta no aquecimento provocando a diminuição do rendimento e da

vida útil devido a deteriorização do material isolante presente nos enrolamentos.

4.5.2.2 Forno Elétrico a Arco

O forno elétrico a arco é caracterizado como uma carga não linear que produz

correntes harmônicas, inter-harmônicas e flutuações nas tensões conhecida como efeito flicker

(Leão et al, 2014). O efeito flicker ocorre devido à mudança brusca do comprimento do arco

elétrico oriundo do movimento dos eletrodos produzindo um espalhamento da frequência de

0,1 Hz a 30 Hz em cada componente harmônica da tensão e da corrente (Arrilaga & Watson,

2007). A instalação típica de um forno elétrico a arco em uma rede elétrica segue o modelo

descrito por Sousa et al (Sousa et al, 2005), como representado pela Figura 4.35.

Figura 4.35 – Modelo do circuito de alimentação do forno elétrico. Adaptado de (Sousa et al, 2005).

113

Uma das metodologias mais utilizadas para modelar o arco elétrico do forno

corresponde ao método da característica de tensão e corrente. No artigo do Hui et al (Hui et al,

2010) o arco elétrico é modelado como uma resistência variável no tempo. Arrilaga e Watson

(Arrilaga & Watson, 2007) descrevem que a corrente do arco elétrico é limitada pela

impedância dos cabos de alimentação fazendo com que o arco seja representado como uma

fonte de corrente harmônica estável.

O sistema de alimentação do forno elétrico pode ser simplificado através do teorema

de Thévenin, como pode ser observado pela Figura 4.36 (Ahmed et al, 1999).

Figura 4.36 – Circuito simplificado do forno elétrico a arco para frequência fundamental. Adaptado de (Ahmed

et al, 1999).

Segundo Ahmed et al (Ahmed et al, 1999) a tensão do arco é dependente da tensão

do anodo (𝐴), da queda de tensão do catodo (𝐶), do comprimento médio do arco (𝐿𝑎) e da

queda média da tensão por unidade de comprimento (𝐵).

A equação (4.159) (Ahmed et al, 1999) determina a tensão do arco elétrico.

𝑉𝑎1 = (𝐴 + 𝐶) + 𝐵. 𝐿𝑎 (4.159)

A metodologia utilizada para modelar o forno elétrico a arco consiste em representa-

lo através de uma fonte de tensão harmônica em série com uma impedância. A fonte de tensão

descreve o comportamento do arco elétrico e a impedância representa os cabos de

alimentação. As tensões harmônicas do arco elétrico estão definidas através da Tabela 4.2

(Zheng et al, 1998).

Tabela 4.2 – Tensões harmônicas para o forno elétrico a arco (Zheng et al, 1998).

h p (%)

1 100,0

3 33,3

5 19,9

7 14,2

9 11,0

11 8,9

114

A Figura 4.37 representa a forma de onda e o espectro de amplitude da tensão do

arco elétrico.

Figura 4.37 – Forma de onda e espectro de amplitude da tensão do arco elétrico.

Para efetuar o cálculo da corrente para a frequência fundamental utiliza-se o

princípio proposto por Chang et al (Chang et al, 2008) que corresponde a calcular a corrente

através da diferença de potencial nos cabos de alimentação dividido pela impedância dos

cabos.

A equação (4.160) determina o cálculo da corrente para a frequência fundamental.

𝐼1 =𝑉𝑘

1 − 𝑉𝑎1

𝑍1

(4.160)

Em (4.160), 𝐼1 corresponde à corrente, 𝑉𝑘1 é a tensão na barra 𝑘, 𝑉𝑎

1 é a tensão do

arco elétrico e 𝑍1 é a impedância dos cabos para a frequência fundamental.

A equação (4.161), determina o cálculo da impedância dos cabos de alimentação

para as componentes harmônicas.

𝑍ℎ = √ℎ. 𝑅𝑐 + 𝑗ℎ. 𝑋𝑐 (4.161)

115

Em (4.161), 𝑅𝑐 e 𝑋𝑐 correspondem à resistência e à reatância dos cabos,

respectivamente. O termo √ℎ representa o efeito pelicular e ℎ é a ordem harmônica.

A equação (4.162) determina o cálculo da tensão do arco elétrico para as

componentes harmônicas.

𝑉𝑎ℎ =

𝑝ℎ

100. 𝑉𝑎 (4.162)

Em (4.162), 𝑝ℎ corresponde à porcentagem da tensão fundamental para a

componente harmônica e 𝑉𝑎ℎ é a tensão do arco elétrico para componente harmônica de

interesse.

Para determinar a corrente harmônica utiliza-se o circuito representado pela Figura

4.38.

Figura 4.38 – Circuito simplificado para o cálculo da corrente harmônica.

Inicialmente, deve-se somar as impedâncias da rede que ligam a barra onde o forno

elétrico a arco está localizado até a barra fonte (subestação). Posteriormente, soma-se a

impedância da rede com a impedância dos cabos de alimentação do forno.

A equação (4.163) representa o cálculo da impedância total.

𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙ℎ = 𝑍𝑟𝑒𝑑𝑒

ℎ + 𝑍ℎ (4.163)

Em (4.163), 𝑍𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ corresponde à impedância harmônica da rede (tronco principal) e

𝑍ℎ é a impedância harmônica dos cabos de alimentação.

A corrente harmônica do arco elétrico é determinada através da divisão da tensão do

arco elétrico pela impedância total. A equação (4.164) define o cálculo da corrente harmônica

para o forno.

𝐼ℎ =𝑉𝑎

ℎ

𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙ℎ

(4.164)

Para determinar a tensão harmônica da barra onde o forno elétrico a arco está

conectado deve-se observar os princípios descritos pela Figura 4.39.

116

Figura 4.39 – Modelo harmônico do forno para determinação da tensão na barra do forno. Adaptado de (Ahmed

et al, 1999).

Matematicamente, para o cálculo da tensão harmônica na barra 𝑘 deve-se utilizar a

equação (4.165) que corresponde à subtração da tensão harmônica da fonte pela queda de

tensão dos cabos, obedecendo a lei de Kirchhoff para as tensões.

𝑉𝑘ℎ = 𝑉𝑎

ℎ − 𝑍ℎ. 𝐼ℎ (4.165)

A Figura 4.40 definida por Montanari et al (Montanari et al, 1994) representa as

formas de onda da tensão e da corrente do forno elétrico a arco descritas no tempo.

Figura 4.40 – Forma de onda da tensão e da corrente do arco. Adaptado de (Montanari et al, 1994).

Observando a Figura 4.40, verifica-se que no momento em que há a inversão da

tensão a corrente cruza o zero, para modelar esta característica Haruni et al (Haruni et al,

2007) descrevem que a equação da corrente descrita no tempo deve possuir uma defasagem

angular 𝜑𝑐. A defasagem angular da corrente do arco elétrico é definida através da equação

(4.166) (Haruni et al, 2007).

𝜑𝑐ℎ = 𝑡𝑔−1 (

ℎ. 𝑋𝑐

𝑅𝑐) (4.166)

A equação (4.167) descreve a corrente do arco elétrico em função do tempo.

𝑖(𝑡) = 𝐼. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑖 + 𝜑𝑐) + ∑ 𝐼ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑖 + 𝜑𝑐ℎ)

∞

ℎ=1

(4.167)

117

Para descrever o efeito flicker na tensão utiliza-se a equação (4.168) que corresponde

à modulação em amplitude da componente fundamental da tensão (Pomilio & Deckmann,

1998).

𝑣(𝑡) = √2. 𝑉. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑣). [1 + 𝑚. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓𝑖 . 𝑡)]

+ √2 ∑ 𝑉ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑣ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.168)

Elaborando a multiplicação do termo √2. 𝑉. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡) em (4.168) e utilizando a

propriedade da multiplicação dos senos, determina-se a equação (4.169) que é utilizada para

descrever matematicamente a forma de onda da tensão do arco elétrico.

𝑣(𝑡) = √2. 𝑉. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑣) +√2. 𝑉.𝑚

2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 − 2. 𝜋. 𝑓𝑖 . 𝑡 + 𝜑𝑣)

−√2. 𝑉.𝑚

2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 2. 𝜋. 𝑓𝑖. 𝑡 + 𝜑𝑣)

+ √2 ∑ 𝑉ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑣ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.169)

Em (4.169), 𝑚 compreende ao índice de modulação, 𝑓𝑖 compreende a frequência do

efeito flicker, 𝜑𝑣 é o ângulo da tensão para frequência fundamental e 𝜑𝑣ℎ é o ângulo da tensão

para as componentes harmônicas.

A equação (4.170) determina o efeito flicker para a corrente.

𝑖(𝑡) = √2. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑖 + 𝜑𝑐) −√2. 𝐼.𝑚

2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 − 2. 𝜋. 𝑓𝑖 . 𝑡 + 𝜑𝑖 + 𝜑𝑐)

+√2. 𝐼.𝑚

2. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 2. 𝜋. 𝑓𝑖. 𝑡 + 𝜑𝑖 + 𝜑𝑐)

+ √2 ∑ 𝐼ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑖ℎ + 𝜑𝑐

ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.170)

Em (4.170), 𝜑𝑖 é o ângulo da corrente para a frequência fundamental e 𝜑𝑖ℎ é o

ângulo da corrente para as componentes harmônicas.

Para exemplificar a modelagem do forno elétrico a arco é utilizado um sistema com

375,3 V de tensão que alimenta um forno com cabos de (0,31 + 𝑗3) 𝑚Ω de impedância. Os

parâmetros do forno (A, B e C) possuem os valores típicos de 30 V, 12 V/cm e 10 V e a

distância entre os eletrodos do forno é de aproximadamente 19,9 cm (Ahmed et al, 1999).

Para a frequência fundamental o forno elétrico a arco é representado pelo circuito

equivalente Thevénin. A impedância do circuito equivalente é determinada pela impedância

dos cabos e a tensão do arco elétrico é calculada através da equação (4.159).

118

As figuras a seguir representam o modelo do forno elétrico a arco para a fase A. A

Figura 4.41 representa o o forno elétrico a arco para a frequência fundamental.

Figura 4.41 – Modelo do forno elétrico a arco para a frequência fundamental

Para a terceira harmônica a impedância dos cabos e a tensão do arco elétrico são

determinados através das equações (4.161) e (4.162), como mostra a Figura 4.42.

Figura 4.42 – Modelo do forno elétrico a arco para a terceira harmônica

Para a quinta harmônica utiliza-se a equação (4.161) e a (4.162) para determinar a

impedância dos cabos e a tensão harmônica do arco, repectivamente. A Figura 4.43 representa

o o forno elétrico a arco para a quinta harmônica.

Figura 4.43 – Modelo do forno elétrico a arco para a quinta harmônica

A impedância harmônica de sétima ordem é determinada através da equação (4.161)

e a tensão harmônica do arco elétrico através da equação (4.162), como mostra a Figura 4.44 .

Figura 4.44 – Modelo do forno elétrico a arco para a sétima harmônica

119

Para a nona harmônica calculam-se as impedâncias dos cabos e a tensão do arco

elétrico através das equações (4.161) e (4.162). A Figura 4.45 representa o o forno elétrico a

arco para a nona harmônica.

Figura 4.45 – Modelo do forno elétrico a arco para a nona harmônica

Para a décima primeira harmônica calculam-se as impedâncias dos cabos através da

equação (4.161) e a tensão do arco elétrico através da equação (4.162), como pode ser

observado através da Figura 4.46.

Figura 4.46 – Modelo do forno elétrico a arco para a décima primeira harmônica

4.5.2.2.1 Efeitos dos Harmônicos nos Cabos de Alimentação

Devido às correntes harmônicas injetadas na rede pelo forno elétrico a arco verifica-

se nos cabos de alimentação a presença do efeito pelicular.

Em condutores homogêneos quando uma corrente contínua constante o percorre ela

se distribui uniformemente pela área da seção (Robert, 2000), como mostra a Figura 4.47.

Figura 4.47 – Área de passagem da corrente contínua na seção do condutor. Adaptado de (Paul, 2008).

Na Figura 4.47 𝑟𝑒 corresponde ao raio do condutor.

A corrente alternada não distribui uniformemente pelo condutor, como ocorre na

corrente contínua (Robert, 2000). A corrente possui maior densidade na superfície, como

mostra a Figura 4.48.

120

Figura 4.48 – Área de passagem da corrente alternada na seção do condutor. Adaptado de (Paul, 2008).

Na Figura 4.48 𝑟𝑖 corresponde ao raio interno do condutor.

A concentração da corrente elétrica na superfície do condutor é chamado de efeito

pelicular. O efeito pelicular ocorre devido ao campo elétrico, a velocidade angular e a

condutividade do condutor (Robert, 2000).

Com a redução da área de passagem da corrente elétrica verifica-se um aumento das

perdas devido a elevação da resistência, como pode ser comprovado através da segunda lei de

Ohm.

A equação (4.171) representa a composição matemática da segunda lei de Ohm.

𝑅 = 𝜌.𝑙

𝐴 (4.171)

Em (4.171), 𝜌 corresponde à resistividade, 𝑙 é o comprimento e 𝐴 é a área da seção

do condutor.

Com o aumento da frequência diminui a área por onde flui a corrente do condutor,

como pode ser observado pela Figura 4.49.

(a)

(b)

Figura 4.49 – Área de passagem da corrente alternada para (a) 𝑓1 e (b) 𝑓2. Adaptado de (Paul, 2008).

A Figura 4.49 representa as áreas das seções transversais de um condutor por onde

flui uma corrente (a) com uma frequência 𝑓1 e (b) com uma frequência 𝑓2 maior que 𝑓1.

Para determinar a espessura pelicular e consequentemente a resistência para as

componentes harmônicas deve-se observar as características representadas na Figura 4.50

(Paul, 2008).

121

Figura 4.50 – Representação da espessura pelicular. Adaptado de (Paul, 2008).

A espessura pelicular é determinada através da equação (4.172) (Paul, 2008).

𝛿 =1

√𝜋. 𝜎. 𝑓. 𝜇 (4.172)

Em (4.172), 𝛿 corresponde à espessura pelicular, 𝜎 é a condutividade elétrica do

material, 𝜇 é a permeabilidade relativa e 𝑓 é a frequência (Paul, 2008).

A resistência para cada componente harmônica do condutor é determinada através da

equação (4.173).

𝑅ℎ =𝑙

2. 𝑟𝑒. √

ℎ. 𝑓. 𝜇0

𝜋. 𝜎 (4.173)

Em (4.173), 𝑅ℎ corresponde à resistência do condutor para cada componente

harmônica de interesse e 𝜇0 é a permeabilidade magnética do vácuo (Paul, 2008).

As perdas harmônicas nos cabos de alimentação são calculadas através da equação

(4.174) (Arrilaga & Watson, 2007).

𝑃ℎ = 𝑅ℎ. (𝐼ℎ)2 (4.174)

Em (4.174), 𝑃ℎ corresponde à perda harmônica e 𝐼ℎ é a corrente harmônica (Arrilaga

& Watson, 2007).

4.5.2.3 Lâmpadas Fluorescentes Compactas

As lâmpadas fluorescentes compactas são representadas para as frequências

harmônicas através do circuito equivalente de Norton. O circuito equivalente de Norton

corresponde a uma fonte de corrente em paralelo com uma impedância, como representado

pela Figura 4.51 (Rylander & Grady, 2010).

122

Figura 4.51 – Circuito equivalente de Norton. Adaptado de (Rylander & Grady, 2010).

Para uma rede linear os parâmetros do modelo equivalente de Norton (magnitude da

corrente e a impedância harmônica) são calculados de maneira direta conhecendo a tensão de

circuito aberto e a corrente de curto-circuito, porém para redes com fontes harmônicas o

processo não é elaborado de forma direta devido à complexibilidade da determinação da

corrente de curto-circuito em circuitos com fontes harmônicas (Abdelkader et al, 2001).

Portanto, uma maneira alternativa de se determinar os parâmetros do circuito

equivalente de Norton para redes que possuem cargas não lineares compreende a utilização

dos parâmetros de tensão e corrente para duas condições de operação (Abdelkader et al,

2001).

Para se determinar o modelo harmônico adotado para representação das lâmpadas

fluorescentes compactas (circuito equivalente de Norton) no fluxo de potência trifásico

harmônico Abdelkader et al (Abdelkader et al, 2001) propõem que estes parâmetros 𝑍ℎ e 𝐼ℎ

(do circuito equivalente de Norton) sejam determinados através de duas condições de

operação obtidas com o chaveamento de um capacitor, como está representado pela Figura

4.52.

Figura 4.52 – Circuito utilizado para determinação dos parâmetros do modelo. Adaptado de (Abdelkader et al,

2001).

Na Figura 4.52, 𝑉𝑟ℎ corresponde à tensão para a rede simplificada, 𝑍𝑟

ℎ é a

impedância equivalente da rede, 𝐶 é o capacitor, 𝑐ℎ é a chave utilizada para obter as duas

condições de operação, 𝑉ℎ é a tensão na barra, 𝐼𝑁ℎ é a corrente injetada na rede e 𝐼𝑐

ℎ é a

corrente que passa pelo impedância do modelo. Os termos 𝑉ℎ e 𝐼𝑁ℎ correspondem à tensão e

123

à corrente utilizadas para determinar os parâmetros do circuito equivalente de Norton (a

impedância 𝑍ℎ e a fonte de corrente 𝐼ℎ) (Abdelkader et al, 2001; e Ali, 2011).

Através do chaveameto do capacitor o valor da corrente 𝐼𝑁ℎ e a tensão 𝑉ℎ são

alterados. A corrente 𝐼ℎ encontra duas impedâncias em paralelo (𝑍𝑟ℎ e 𝑍ℎ) e como 𝑍ℎ é

normalmente maior que a impedância equivalente da rede, a maior parcela da corrente 𝐼ℎ que

corresponde a 𝐼𝑁ℎ segue em direção à rede elétrica (Abdelkader et al, 2001; e Ali, 2001).

A corrente 𝐼𝑁ℎ para a primeira condição (chave 𝑐ℎ aberta) é determinada através da

equação (4.175) (Abdelkader et al, 2001).

𝐼𝑁ℎ(1) = 𝐼ℎ − 𝐼𝑐

ℎ(1) (4.175)

A corrente 𝐼𝑁ℎ para a segunda condição (chave 𝑐ℎ fechada) é determinada através da

equação (4.176) (Abdelkader et al, 2001).

𝐼𝑁ℎ(2) = 𝐼ℎ − 𝐼𝑐

ℎ(2) (4.176)

A corrente na impedância equivalente de Norton (𝑍ℎ) é calculada para as duas

condições de operação (chave ch aberta e fechada) através das equações (4.177) e (4.178),

respectivamente (Abdelkader et al, 2001).

𝐼𝑐ℎ(1) =

𝑉ℎ(1)

𝑍ℎ (4.177)

𝐼𝑐ℎ(2) =

𝑉ℎ(2)

𝑍ℎ (4.178)

Substituindo a equação (4.177) em (4.175) determina-se o primeiro parâmetro do

modelo que corresponde ao valor da fonte de corrente harmônica através da equação (4.180),

como pode ser observado através das passagens matemáticas descritas (Abdelkader et al,

2001).

𝐼𝑁ℎ(1) = 𝐼ℎ −

𝑉ℎ(1)

𝑍ℎ (4.179)

𝐼ℎ = 𝐼𝑁ℎ(1) +

𝑉ℎ(1)

𝑍ℎ (4.180)

124

Substituindo as equações (4.178) e (4.180) em (4.176) determina-se a impedância do

circuito equivalente de Norton através da equação (4.183), como indicado a seguir

(Abdelkader et al, 2001).

𝐼𝑁ℎ(2) = 𝐼𝑁

ℎ(1) +𝑉ℎ(1)

𝑍ℎ−

𝑉ℎ(2)

𝑍ℎ (4.181)

𝑉ℎ(1) − 𝑉ℎ(2)

𝑍ℎ= 𝐼𝑁

ℎ(2) − 𝐼𝑁ℎ(1) (4.182)

𝑍ℎ =𝑉ℎ(1) − 𝑉ℎ(2)

𝐼𝑁ℎ(2) − 𝐼𝑁

ℎ(1) (4.183)

Portanto, para inserir o modelo da lâmpada fluorescente compacta (através do

circuito equivalente de Norton) no fluxo de potência trifásico harmônico é necessário

conhecer a impedância e a fonte de corrente para cada componente harmônica. Através do

procedimento matemático descrito anteriormente Rylander e Grady (Rylander & Grady,

2010) determinam-se os valores de impedância e corrente através da Tabela 4.3.

Tabela 4.3 – Impedância e corrente harmônica para as lâmpadas fluorescentes (Rylander &

Grady, 2010).

h Impedância Corrente

|𝒁| (Ω) 𝜽 (°) 𝒑 (%) 𝝋 (°)

3 59,0 2,0 79,7 83,0

5 28,0 -62,0 50,9 -31,0

7 31,0 -87,0 24,8 -127,0

Portanto, com os parâmetros determinados em (Rylander & Grady, 2010) e com os

dados fornecidos pelos fabricantes das lâmpadas fluorescentes compactas (potência ativa,

fator de potência e tensão de alimentação), determinam-se as correntes para a frequência

fundamental através do procedimento descrito a seguir.

Inicialmente, determina-se a potência aparente através da equação (4.184).

𝑆 =𝑃

𝐹𝑃 (4.184)

O ângulo da potência aparente é oriundo do fator de potência, como determina a

equação (4.185).

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1(𝐹𝑃) (4.185)

O módulo da corrente para a frequência fundamental é determinada através da

equação (4.186).

125

𝐼 = (𝑆

𝑉)∗

(4.186)

Em (4.186) o ângulo da corrente é oriundo da Tabela 4.3.

Com o valor da corrente para a frequência fundamental, determinam-se as

componentes harmônicas através da equação (4.187).

𝐼ℎ =𝑝ℎ

100. 𝐼∠𝜑ℎ

(4.187)

Em (4.187), 𝑝ℎ compreende a porcentagem da corrente e 𝜑ℎ ao ângulo para a

componente harmônica de interesse.

O circuito equivalente para o cálculo das componentes harmônicas está representado

pela Figura 4.53.

Figura 4.53 – Circuito harmônico simplificado para o cálculo das tensões e correntes

Para determinar a tensão harmônica (para ser utilizada no fluxo de potência

harmônico) na barra onde a lâmpada está instalada é necessário calcular a impedância

equivalente que compreende a impedância da rede em paralelo com a impedância do modelo

da carga, como pode ser observado através da Figura 4.53. A impedância da rede corresponde

à soma das impedâncias do tronco principal da rede e a equação (4.188) determina o cálculo

da impedância equivalente.

𝑍𝑒𝑞ℎ =

𝑍𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ . 𝑍ℎ

𝑍𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ + 𝑍ℎ

(4.188)

A equação (4.189) determina a tensão harmônica na barra onde a lâmpada

fluorescente compacta está instalada e a corrente na impedância do modelo matemático da

lâmpada é determinada pela equação (4.190).

𝑉𝑘ℎ = 𝑍𝑒𝑞

ℎ . 𝐼ℎ

(4.189)

𝐼𝑐ℎ =

𝑉𝑘ℎ

𝑍ℎ (4.190)

126

A corrente que é injetada na rede elétrica é uma parcela da corrente oriunda da fonte

de corrente do modelo proposto. Esta corrente é importante, pois ela é utilizada no fluxo de

potência trifásico harmônico. A corrente injetada na rede é determinada através lei de

Kirchhoff para as correntes na barra 𝑘.

A equação (4.191) determina cálculo da corrente injetada na rede.

𝐼𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ = 𝐼ℎ − 𝐼𝑍

ℎ (4.191)

Para determinar a forma de onda da tensão e da corrente utilizam-se as equações

(4.192) e (4.193), respectivamente.

𝑣(𝑡) = √2. 𝑉1. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑉1) + √2 ∑ 𝑉ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑉

ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.192)

𝑖(𝑡) = √2. 𝐼1. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝐼1) + √2 ∑ 𝐼ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝐼

ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.193)

Para a construção da forma de onda da corrente oriunda diretamente da lâmpada os

termos 𝜑𝐼1 e 𝜑𝐼

ℎ da equação (4.193) são do espectro harmônico da lâmpada.

A forma de onda e o espectro de amplitude da corrente estão na Figura 4.54

(Rylander & Grady, 2010).

Figura 4.54 – Forma de onda, espectro de amplitude e fase da corrente na lâmpada.

127

Para exemplificar a modelagem matemática da lâmpada fluorescente compacta

utiliza-se uma lâmpada de 52 W com um fator de potência de 0,87 alimentada por uma tensão

de 127 V.

Para a frequência fundamental a lâmpada é modelada como uma carga de potência

constante. Para determinar a potência aparente e o ângulo da potência utilizam-se as equações

(4.184) e (4.185), respectivamente. O módulo da corrente para a frequência fundamental (𝐼𝑙1)

é determinada através da equação (4.186) e o ângulo é especificado através da Tabela 4.3.

𝐼𝑙1 = 0,47∠29,5° 𝐴

Para a terceira harmônica a impedância é determinada através da Tabela 4.3 e a

corrente pela equação (4.187), como mostra a Figura 4.55.

Figura 4.55 – Modelo da lâmpada fluorescente compacta paraa terceira harmônica

Para a quinta harmônica o modelo é definido utilizando a Tabela 4.3 e a equação

(4.187), como indicado na Figura 4.56.

Figura 4.56 – Modelo da lâmpada fluorescente compacta para a quinta harmônica

O modelo da lâmpada fluorescente compacta para sétima harmônica é determinado

pelos valores da Tabela 4.3 e pela equação (4.187), como representado através da Figura 4.57.

Figura 4.57 – Modelo da lâmpada fluorescente compacta para a sétima harmônica.

128

4.5.2.4 Sistema de Carga de Baterias para os Veículos Elétricos

O primeiro veículo elétrico foi construído na Grã-Bretanha por Robert Davidson, em

1873 e o veículo a combustão interna surgiu somente doze anos depois. O principal motivo

que levou os veículos elétricos a ficarem em segundo plano foi a eficiência dos veículos a

combustão. O interesse pelos veículos elétricos ressurgiu com força em meados da década de

70, devido à crise do petróleo e a preocupação com o meio ambiente (Chan et al, 1998).

A preocupação ambiental devido aos problemas como efeito estufa e aquecimento

global, ambos causados pela emissão de CO2 na atmosfera, trouxeram os veículos elétricos

para o palco principal. A maior fonte de emissão de CO2 na atmosfera oriundos dos veículos à

combustão (Boribun et al, 2013).

Surgindo como uma alternativa para reduzir a emissão de CO2, os veículos elétricos

possuem alta eficiência energética e baixa emissão de gás carbônico no meio ambiente

(Boribun et al, 2013).

Com os benefícios ambientais e econômicos do uso do veículo elétrico sua

popularidade vem aumentando, assim como a utilização da rede de distribuição de energia

para recarga das suas baterias. O sistema de carga das baterias é composto basicamente por

um retificador CA/CC, um conversor CC/CC e um conjunto de baterias.

A Figura 4.58 representa um diagrama simplificado da composição do sistema de

carga dos veículos elétricos (Monteiro et al, 2012).

Figura 4.58 – Sistema simplificado de carga das baterias. Adaptado de (Monteiro et al, 2012).

O impacto da crescente utilização dos carregadores de bateria na rede de distribuição

de energia elétrica pode levar ao aumento das distorções na tensão e na corrente devido ao

conteúdo harmônico gerado por estes dispositivos.

Atualmente, há diversos tipos de carregadores para os veículos elétricos. A diferença

entre eles está na tecnologia embarcada em cada sistema. Estes sistemas são divididos

basicamente em monofásicos e trifásicos com e sem controle.

O sistema de carga monofásico é constituído por um retificador CA/CC monofásico

conectado a um conversor CC/CC, como mostra o diagrama de bloco representado na Figura

4.59 (Monteiro et al, 2012).

129

Figura 4.59 – Sistema monofásico de carga de bateria. Adaptado de (Monteiro et al, 2012).

Para o sistema monofásico de carga de baterias para os veículos elétricos Balcells e

Gárcia (Balcells & Garcia, 2010) determinam o conteúdo harmônico através da Tabela 4.4.

Tabela 4.4 – Correntes harmônicas do sist. de carga monofásico (Balcells & Garcia, 2010).

A Figura 4.60 representa as componentes e a forma de onda da corrente resultante

em função do tempo, o espectro de amplitude e o espectro de fase para o sistema de carga

monofásico.

Figura 4.60 – Forma de onda, espectro de amplitude e fase da corrente no sistema de carga monofásico.

No sistema trifásico o retificador CA/CC possui três entradas (trifásico) e pode ser

com ou sem controle de retificação. A Figura 4.61 representa o diagrama de blocos do sistema

de carga de baterias trifásico para o veículo elétrico.

Figura 4.61 – Sistema trifásico de carga de bateria. Adaptado de (Monteiro et al, 2012).

h p (%) 𝝋 (°)

1 100,0 0,0

3 73,9 144,8

5 35,3 321,0

7 2,9 127,4

9 12,4 134,8

130

O sistema de carga trifásico de baterias sem controle de retificação é composto por

um retificador (trifásico) CA/CC formado por diodos conectado a um conversor CC/CC para

alimentar as baterias, como está representado pela Figura 4.62 (Yang et al, 2011).

Figura 4.62 – Sistema trifásico de carga de baterias sem controle de retificação. Adaptado de (Yang et al, 2011).

O terceiro tipo de sistema de carga de bateria para veículos elétricos compreende ao

sistema trifásico com retificação controlada por PWM. Este sistema se diferencia do sistema

anterior devido à utilização de transistores que permite a retificação controlada por PWM,

como pode ser observado pelo circuito simplificado da Figura 4.63 (Yang et al, 2011).

Figura 4.63 – Sistema trifásico de carga das baterias com retificação controlada por PWM. Adaptado de (Yang et

al, 2011).

Este sistema apresenta um baixo conteúdo harmônico como pode ser observado

através da Tabela 4.5 (Yang et al, 2011).

Tabela 4.5 – Correntes harmônicas do sistema de carga trifásico controlado por PWM (Yang

et al, 2011).

A Figura 4.64 representa as componentes e a forma de onda da corrente resultante

em função do tempo, o espectro de amplitude e o espectro de fase para o sistema de carga

trifásico controlado por PWM.

h p (%)

1 100,00

3 0,80

5 0,20

7 0,13

9 0,21

131

Figura 4.64 – Forma de onda, espectro de amplitude e fase da corrente no sistema de carga trifásico controlado.

A modelagem matemática do sistema de carga de bateria para o veículo elétrico

conectado à rede de distribuição de energia elétrica para a frequência fundamental é definida

como uma carga de potência constante. A utilização deste tipo de modelagem leva em

consideração que as potências e as tensões são conhecidas, como está representada pela

Figura 4.65.

Figura 4.65 – Modelo do sistema de carga das baterias para frequência fundamental.

Para determinar a potência aparente utilizam-se os valores da potência ativa e do

fator de potência, como está indicado pela equação (4.194).

𝑆 =𝑃

𝐹𝑃 (4.194)

O ângulo da potência aparente é determinado através do fator de potência, como está

determinado pela equação (4.195).

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1(𝐹𝑃)

(4.195)

A corrente para a frequência fundamental é determinada através da equação (4.196).

𝐼1 = (𝑆

𝑉)∗

(4.196)

132

Para as componentes harmônicas a carga é representada através do circuito

equivalente de Norton (Aljanad & Mohamed, 2016), como pode ser observado através da

Figura 4.66.

Figura 4.66 – Modelo harmônico do sistema de cargas das baterias. Adaptado de (Aljanad & Mohamed, 2016).

As correntes harmônicas são determinadas através da multiplicação da componente

fundamental pela porcentagem da corrente para o tipo de sistema de carga de baterias (sistema

de carga monofásico, trifásico de carga não controlado ou trifásico de carga controlado por

PWM) e para cada componente harmônica de interesse.

A injeção de correntes harmônicas é definida, matematicamente, através da equação

(4.197).

𝐼ℎ =𝑝ℎ

100. 𝐼∠𝜑ℎ

(4.197)

Nesta modelagem utilizada neste definiu-se a impedância para cada componente

harmônica através da transformação da carga de potência constante em impedância constante

para, posteriormente, ser utilizada no fluxo de potência trifásico harmônico.

A impedância para frequência fundamental é determinada através da equação

(4.198).

𝑍1 =|𝑉|2

𝑆∗ (4.198)

Com a impedância definida, multiplica-se a reatância pela ordem harmônica para

determinar seu modelo harmônico, como pode ser visualizado pela equação (4.199).

𝑍ℎ = 𝑅 + 𝑗ℎ. 𝑋 (4.199)

Para determinar a corrente injetada na rede elétrica deve-se somar as impedâncias da

rede desde barra onde o sistema de carga de baterias para o veículo elétrico está conectado até

a barra da subestação. Através de um divisor de corrente determina-se a corrente na carga e a

corrente injetada na rede de distribuição de energia elétrica para cada componente harmônica.

Este método é semelhante ao utilizado na modelagem do motor e na lâmpada fluorescente

compacta.

133

Com os valores oriundos do fluxo de potência trifásico harmônico (magnitude e

ângulo das tensões e correntes) determinam-se as formas de onda da tensão e da corrente

através das equações (4.200) e (4.201), respectivamente.

𝑣(𝑡) = √2. 𝑉1. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑉1) + √2 ∑ 𝑉ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝑉

ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.200)

𝑖(𝑡) = √2. 𝐼1. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝐼1) + √2 ∑ 𝐼ℎ. 𝑠𝑒𝑛(2. ℎ. 𝜋. 𝑓. 𝑡 + 𝜑𝐼

ℎ)

5,7,…

ℎ=3

(4.201)

Na equação (4.200), 𝑉1 corresponde à tensão para a frequência fundamental, 𝑉ℎ é a

tensão para as frequências harmônicas de interesse, ℎ é a ordem harmônica, 𝜑𝑉1 é o ângulo da

tensão para a frequência fundamental e 𝜑𝑉ℎ é o ângulo da tensão para as componentes

harmônicas. Na equação (4.201), 𝐼1 corresponde à corrente para a frequência fundamental, 𝐼ℎ

é a corrente para as frequências harmônicas de interesse, ℎ é a ordem harmônica, 𝜑𝑖1 é o

ângulo da corrente para a frequência fundamental e 𝜑𝑖ℎ é o ângulo da corrente para as

componentes harmônicas.

Para exemplificar a modelagem do sistema de carga das baterias do veículo elétrico

utiliza-se para um carregador monofásico de 1,4 kW com um fator de potência de 0,95

alimentado por uma tensão de 127∠0° 𝑉.

Para a frequência fundamental o sistema de carga de baterias para o veículo elétrico

na fase A é representado por uma carga de potência constante, como está indicado pela Figura

4.67.

Figura 4.67 – Representação do sistema de carga para a frequência fundamental

Para calcular o módulo da corrente para frequência fundamental utiliza-se a equação

(4.196) e o ângulo disposto na Tabela 4.4.

𝐼𝑣1 = 11,604∠0° 𝐴

134

A impedância para a frequência fundamental é determinada através da equação

(4.198) e para a terceira harmônica utiliza-se a equação (4.199). A corrente é determinada

pela equação (4.197), como mostra a Figura 4.68.

Figura 4.68 – Representação do sistema de carga para a terceira harmônica

Para a quinta harmônica a impedância e a injeção de corrente harmônica são

determinadas pelas equações (4.199) e (4.197), respectivamente. A Figura 4.69 representa o

modelo para a quinta harmônica.

Figura 4.69 – Representação do sistema de carga para a quinta harmônica

Para sétima harmônica o modelo do sistema de carga das baterias para o veículo

elétrico como está representado pela Figura 4.70 é definido através das equações (4.199) e

(4.197).

Figura 4.70 – Representação do sistema de carga para a sétima harmônica

O modelo do sistema de cargas das baterias para o veículo elétrico para a nona

harmônica é determinado através das equações (4.199) e (4.197), como mostra a Figura 4.71.

Figura 4.71 – Representação do sistema de carga para a nona harmônica

135

Com as modelagens dos dispositivos da rede elétrica (linhas de distribuição,

transformadores e bancos de capacitores) e das cargas lineares e não lineares definiu-se a

representação de cada um dos componentes no fluxo de potência trifásico.

O Capítulo 5 (Introdução ao Fluxo de Potência Trifásico) é destinado a descrição

detalhada do fluxo de potência trifásico para as versões tradicional (frequência fundamental) e

harmônica adotado neste trabalho.

136

Capítulo 5

Introdução ao Fluxo de Potência Trifásico

Segundo Leão et al (Leão et al, 2014), o fluxo de potência trifásico tradicional e

harmônico possui a finalidade de determinar as correntes de linha e as tensões de fase nas

barras para as componentes fundamental e harmônicas. Em outras palavras, o fluxo de

potência trifásico tradicional e harmônico determina o estado da rede para a frequência

fundamental e para as componentes harmônicas de interesse. Este capítulo é destinado à

descrição de maneira ordenada e detalhada do método utilizado para a solução do fluxo de

potência trifásico tradicional (frequência fundamental) baseado em Kersting (Kersting, 2002),

e na versão harmônica baseado em Archundia e Mota (Archundia & Mota, 2010).

Como as redes de distribuição possuem topologia radial com alta relação R/X e com

cargas e circuitos monofásicos, bifásicos e trifásicos, métodos clássicos como Gauss-Siedel

(Gilbert et al, 1998) e Newton-Raphson (Yang et al, 2008) não apresentam boas

características de convergência. Por estes motivos o método utilizado nesta dissertação para

solução do fluxo de potência trifásico na versão tradicional e harmônica é baseada no

backward/forward sweep (Kersting, 2002; Archundia & Mota, 2010).

5.1 Fluxo de Potência Trifásico Versão Tradicional

O método utilizado para calcular o fluxo de potência trifásico corresponde ao

backward/forward sweep do tipo Ladder (Kersting, 2002). Este método realiza o cálculo das

correntes nos ramos partindo das barras terminais da rede elétrica em direção à barra inicial

que é representada pela subestação (backward sweep), com os valores da tensão nodal na

barra inicial e das correntes nos ramos adquirido com o processo backward sweep inicia-se a

atualização das tensões nas barras do sistema partindo da barra inicial (subestação da rede de

distribuição) em direção as barras terminais (forward sweep). Em outras palavras, a solução

do fluxo de potência trifásico é dividida em duas etapas. A primeira etapa, o backward sweep

calcula as tensões e as correntes partindo das barras terminais em direção à barra inicial e a

segunda etapa, o forward sweep atualiza as tensões das barras com os valores de corrente

(oriundo do backward sweep), esta etapa parte da barra inicial em direção as barras finais.

Este método é simples e eficiente para redes de distribuição que seguem a topologia radial

(Kersting, 2002).

137

A Figura 5.1 representa a componente série entre duas barras da rede de distribuição

de energia elétrica. Esta figura é utilizada para descrever as equações gerais do fluxo de

potência trifásico para o método backward/forward sweep do tipo Ladder (Kersting, 2002).

Figura 5.1 – Representação de um ramo da rede para o fluxo de potência trifásico. Adaptado de (Kersting, 2002).

Observando a Figura 5.1 verifica-se a presença da componente série da rede elétrica

de distribuição (componente que pode representar um regulador de tensão, transformador ou

uma linha de distribuição), a barra 𝑛 (barra inicial), a barra 𝑚 (barra final onde está localizada

a carga), as correntes no ramo e as tensões nas barras (Kersting, 2002).

As equações (5.1) e (5.2) representam o cálculo da tensão e da corrente da barra 𝑛

através dos valores de tensão e corrente da barra 𝑚, equações utilizadas no processo

backward sweep (Kersting, 2002).

[𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 = [𝑎]. [𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑏]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (5.1)

[𝐼𝐴𝐵𝐶]𝑛 = [𝑐]. [𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑑]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (5.2)

A equação (5.3) determina a tensão na barra 𝑚 através da tensão e corrente da barra

𝑛, equação utilizada no processo forward sweep (Kersting, 2002).

[𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 = [𝐴]. [𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 − [𝐵]. [𝐼𝐴𝐵𝐶]𝑛 (5.3)

Esta técnica possui algumas características importantes como: o equacionamento

utiliza tensões de fase, correntes de linha e as matrizes [𝑎], [𝑏], [𝑐], [𝑑], [𝐴] e [𝐵] são

modeladas de acordo com a componente da rede. Estas matrizes estão definidas no Capítulo

4, Modelagem Matemática dos Componentes da Rede de Distribuição de Energia Elétrica

(Kersting, 2002).

Para a descrição mais detalhada do método backward/forward sweep do tipo Ladder

utiliza-se a rede fictícia de 5 barras representada pela Figura 5.2. Todos os passos necessários

para solução do fluxo de potência trifásico na versão tradicional e harmônica estão descritos

através desta rede.

138

Figura 5.2 – Representação da rede de 5 barras.

A rede da Figura 5.2 possui uma subestação representada pela barra 233, e duas

cargas que estão localizadas nas barras 250 e 277.

Inicialmente, deve-se renumerar as barras, numerar os ramos, determinar a

quantidade de ligações de cada barra, definir quais são as barras a jusante e a montante e as

matrizes [𝑎], [𝑏], [𝑐], [𝑑], [𝐴] e [𝐵] para cada componente série da rede elétrica. Com estes

dados computados pode-se iniciar o fluxo de potência trifásico para a versão tradicional.

Para renumerar as barras da rede de distribuição de energia elétrica utilizou-se o

método descrito por Pereira (Pereira, 1993). Este método determina que a numeração inicie na

barra da subestação, que recebe o número 1, e as outras barras são numeradas a partir da barra

inicial seguindo a sequência de ligação. Este procedimento é importante, pois facilita o

processo computacional. A Figura 5.3 representa a rede com a numeração externa (oriunda

da rede original) e interna.

Figura 5.3 – Representação do processo de renumeração das barras.

Após a renumeração das barras é necessário numerar os ramos. Para realizar este

procedimento utiliza-se a numeração interna e os ramos a montante recebem a numeração das

barras finais, como pode ser observado pela Figura 5.4 (Pereira & Costa, 2007).

Figura 5.4 – Representação da numeração dos ramos.

139

Com a renumeração das barras e a numeração dos ramos definidas é necessário

identificar quantas ligações possui cada barra e em quais barras elas estão conectadas. Para

realizar esta tarefa é necessário utilizar os dados da rede como: barra inicial e barra final. Com

estas informações oriundas dos dados da rede é possível determinar a Tabela 5.1.

Tabela 5.1 – Parâmetros da topologia da rede de 5 barras.

Barra Número de

Ligações

Barra

conectada 1

Barra

conectada 2

Barra

conectada 3

1 1 2 0 0

2 3 3 5 1

3 2 4 2 0

4 1 0 0 0

5 1 0 0 0

Esta tabela é de suma importância, pois é através dela que se definem a sequência e a

quantidade de operações que o fluxo de potência deve realizar em cada etapa do método

backward/forward sweep do tipo Ladder. A função da Tabela 5.1 é descrita, posteriormente,

na explicação do cálculo do fluxo de potência trifásico.

Antes de iniciar o cálculo do fluxo de potência é necessário montar as matrizes [𝑎],

[𝑏], [𝑐], [𝑑], [𝐴] e [𝐵] para cada ramo da rede (Kersting, 2002). Para esta rede de 5 barras são

necessárias a elaboração de 24 matrizes (seis matrizes para cada um dos quatro ramos) antes

de iniciar o método backward/forward sweep. A importância da numeração dos ramos é vista

na identificação das matrizes de cada ramo, pois as matrizes são identificadas de acordo com

os ramos onde elas estão localizadas.

Com a realização dos passos descritos anteriormente, inicia-se o cálculo do fluxo de

potência trifásico para versão tradicional (frequência fundamental).

A Figura 5.5 representa o cálculo do fluxo de potência utilizando o processo

backward sweep.

Figura 5.5 – Representação da etapa backward sweep para frequência fundamental.

140

O processo backward sweep inicia nas barras terminais e seu cálculo segue em

direção à barra inicial (barra da subestação) que é representada pela barra 1, através da

numeração interna. Para identificar quais são as barras terminais é necessário verificar na

Tabela 5.1 (campo “Barra conectada 1”), as barras que possuem o valor zero neste campo são

as barras terminais. Observando a Tabela 5.1 verifica-se que as barras 4 e 5 são barras

terminais, fato que pode ser comprovado através da análise da Figura 5.2.

Na primeira iteração as tensões utilizadas compreendem as tensões iniciais da rede e

realizando uma varredura de baixo para cima no campo “Barra conectada 1” da Tabela 5.1

verifica-se que a primeira barra terminal compreende a barra 5, portanto deve-se determinar a

corrente na barra 5 através dos valores das tensões e das potências da carga cujos dados são

oriundos das informações da rede. Com a análise da Tabela 5.1 (varredura dos campos “Barra

conectada 1”, “Barra conectada 2” e “Barra conectada 3”) verifica-se que ela possui uma

ligação com a barra 2 (ligação identificada através do campo “Barra”), portanto com os

valores de tensão e corrente da barra 5, determina-se os valores de corrente e tensão para a

barra 2 através das equações (5.1) e (5.2). A barra 2 possui três ligações devido à presença de

outros dois ramos ligados a ela, portanto neste ponto o algoritmo deve buscar outra barra

terminal através da varredura na Tabela 5.1.

A segunda barra terminal compreende à barra 4 que possui uma ligação com a barra

3 (esta ligação é identificada através dos campos “Barra conectada 1” e “Barra”). Na barra 4 é

necessário calcular a corrente na carga. Com a lei de Kirchhoff para as correntes, determina-

se o valor da corrente da barra 4 que é utilizada para calcular a tensão de fase e a corrente de

linha para a barra 3 através das equações (5.1) e (5.2).

A barra 3 possui duas ligações, uma com a barra 4 (verificada em “Barra conectada

1” da Tabela 5.1) e outra com a barra 2 como é especificado em “Barra conectada 2”. A

ligação entre as barras 3 e 4 já foi calculada, então é necessário calcular a ligação entre as

barra 3 e 2. O cálculo das correntes e das tensões na barra 2 é elaborado novamente através

das equações (5.1) e (5.2).

A barra 2 possui três ligações sendo que duas delas já foram calculadas (ligações

entre as barras 2 e 5 e entre as barras 2 e 3), portanto o último cálculo a ser elaborado para

esta rede na etapa backward sweep compreende aos valores de tensão e corrente para a barra

1. Antes de calcular as correntes e tensões na barra 1 deve-se verificar o trecho da rede

representada pela Figura 5.6 que apresenta o sentido das correntes para frequência

fundamental.

141

Figura 5.6 – Fluxo de corrente para a frequência fundamental na barra 2.

Nota-se através da Figura 5.6 e da aplicação da lei de Kirchhoff para as correntes na

barra 2 que a corrente da subestação é a soma das correntes nos ramos entre as barras 2 e 3 e

entre as barras 2 e 5. Portanto, para realizar os cálculos de tensão e corrente utilizam-se

novamente as equações (5.1) e (5.2), porém a corrente que segue para a barra 1 é a soma das

correntes nos ramos conectados a barra 2 e a sua tensão compreende ao último valor

computado.

Quando a tensão na barra inicial é determinada ela deve ser comparada com a tensão

especificada. Se o critério de convergência for atendido o fluxo de potência trifásico é

finalizado e o estado da rede é determinado, porém se o critério de convergência não for

atendido atualiza-se a tensão da barra inicial com os valores especificados e utilizando as

correntes determinadas pelo processo backward sweep inicia-se o forward sweep.

A Figura 5.7 representa a sequência de cálculos referentes ao forward sweep.

Figura 5.7 – Representação da etapa forward sweep para frequência fundamental.

Com a tensão da barra inicial especificada é necessário buscar na Tabela 5.1 qual a

barra que está conectada na barra 1. Observando o campo “Barra conectada 1” verifica-se que

a barra 2 está conectada a ela. Com os valores de corrente oriundos do backward sweep e a

tensão especificada na barra 1, determina-se a tensão na barra 2 através da equação (5.3).

Após a determinação da tensão nodal na barra 2 verifica-se através da Tabela 5.1 que

ela possui três ligações, portanto esta barra compreende a união de três ramos. Utilizando o

142

campo “Barra conectada 1” determina-se o cálculo da tensão na barra 3 através da equação

(5.3). Seguindo a barra 3 verifica-se que a barra 4 compreende a barra conectada a ela, esta

verificação pode ser observada através do campo “Barra conectada 1” da Tabela 5.1. Os

valores de tensão da barra 4 são determinados através da equação (5.3). Como a barra 4

compreende a uma barra terminal o cálculo das tensões deve voltar para barra que possui mais

de duas ligações, ou seja, a barra 2. Através do campo “Barra conectada 2” verifica-se que a

barra 2 está conectada na barra 5 e os valores de tensão nesta barra são determinados

utilizando a equação (5.3).

Com o fim dos cálculos do forward sweep e utilizando os valores de tensão obtidos

nesta etapa, o processo volta ao cálculo do backward sweep. O processo é repetido até que a

tensão da barra inicial esteja dentro da tolerância especificada.

A Figura 5.8 representa o fluxograma de todo processo descrito acima para solução

do fluxo de potência trifásico utilizando o método backward/forward sweep do tipo Ladder

(Kersting, 2002).

Figura 5.8 – Fluxograma do método backward/forward sweep do tipo Ladder.

5.2 Inicialização das Tensões Harmônicas

Archundia e Mota (Archundia & Mota, 2010) descrevem um método simples e

eficiente para determinar o fluxo de potência trifásico harmônico para redes de distribuição de

energia elétrica. Este método é baseado na técnica backward/forward sweep, porém o

143

diferencial apresentado por este método está num processo adicional denominado de

inicialização das tensões harmônicas nas barras da rede elétrica.

O processo de inicialização das tensões harmônicas utiliza dados computados pelo

fluxo de potência trifásico para a frequência fundamental. Os dados necessários para realizar

este processo são as matrizes [𝑎], [𝑏], [𝑐], [𝑑], [𝐴] e [𝐵] das componentes séries da rede

elétrica que devem ser preparadas para a versão harmônica, os dados da Tabela 5.1

(parâmetros topológicos da rede) e as tensões das barras.

Com a análise dos trabalhos de Duque (Duque, 2013), Pereira (Pereira & Costa,

2007) e Arrilaga e Watson (Arrilaga & Watson, 2007), a preparação das matrizes compreende

a alteração das matrizes [𝑏] e [𝐵], pois estas representam as impedâncias dos ramos da rede.

A alteração consiste em multiplicar a raiz da ordem harmônica pela parte real e a parte

imaginária dos elementos pela ordem harmônica de interesse, representada por ℎ. As outras

matrizes [𝑎], [𝑐], [𝑑] e [𝐴] permanecem inalteradas. As equações (5.4) e (5.5) descrevem as

alterações nas matrizes [𝑏] e [𝐵], respectivamente.

[𝑏]ℎ = √ℎ. [𝑏]𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑗𝑛. [𝑏]𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 (5.4)

[𝐵]ℎ = √ℎ. [𝐵]𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑗𝑛. [𝐵]𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 (5.5)

Com as alterações das matrizes é necessário determinar a inicialização das tensões

harmônicas para ser utilizada posteriormente na determinação do estado da rede através da

versão harmônica do fluxo de potência trifásico.

Archundia e Mota (Archundia & Mota, 2010) descrevem que para o processo de

inicialização das tensões harmônicas os únicos dispositivos shunts da rede devem ser as

correntes injetadas devido as cargas não lineares. Devido a esta condição e as modelagens

harmônicas das cargas não lineares utilizarem o circuito equivalente de Norton e Thévenin

determinou-se a corrente harmônica injetada na rede através de dois procedimentos diferentes.

Para as cargas não lineares representadas através do circuito equivalente Norton

(motor de indução, lâmpada fluorescente compacta e o sistema de carga das baterias do

veículo elétrico) a impedância harmônica da rede está em paralelo com a impedância

harmônica da carga não linear e com a fonte de corrente harmônica, como pode ser observado

pela Figura 5.9.

144

Figura 5.9 – Rede com a carga não linear modelada através da fonte de corrente.

A corrente inserida na rede de distribuição é determinada através da Lei de Kirchhoff

para as correntes, pois o circuito equivalente da rede possui o princípio de funcionamento do

divisor de corrente.

Para a representação da carga não linear através do equivalente Thévenin (forno

elétrico a arco) a impedância harmônica da rede está em série com a impedância harmônica da

carga e com a fonte de tensão harmônica, como pode ser observado pela Figura 5.10.

Figura 5.10 – Rede com a carga não linear modelada através da fonte de tensão.

A corrente inserida na rede de distribuição é determinada através da Lei de Kirchhoff

para as tensões, pois o circuito equivalente da rede trabalha como um divisor de tensão.

Com as correntes harmônicas injetadas na rede (𝐼𝑟𝑒𝑑𝑒ℎ ) determinadas, verifica-se que

o sentido da corrente é contrário ao sentido da corrente para a frequência fundamental. Devido

a este comportamento as equações utilizadas para realizar o fluxo de potência para frequência

fundamental devem ser alteradas para determinar as tensões harmônicas iniciais.

A Figura 5.11 é utilizada para descrever o cálculo das correntes e tensões para o

método backward/forward sweep do tipo Ladder para a etapa da inicialização das tensões

harmônicas.

Figura 5.11 – Iteração backward/forward sweep para inicialização das tensões. Adaptada de (Kersting, 2002).

145

Para realizar a iteração backward sweep deve-se conhecer a corrente injetada na rede,

portanto para o cálculo das tensões e correntes na barra 𝑛 utilizam-se as equações (5.6) e

(5.7), com base na análise de Leão et al (Leão et al, 2014) e Arrilaga e Watson (Arrilaga &

Watson, 2007).

[𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 = [𝑎]. [𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 − [𝑏]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (5.6)


Se comparar a equação (5.6) com (5.1) verifica-se o sinal negativo, isto ocorre

devido à tensão na barra 𝑛 ser igual à tensão na barra 𝑚 menos a queda de tensão no

componente série da rede de distribuição de energia elétrica. A equação (5.7) é semelhante à

equação (5.2), pois a corrente que sai da barra 𝑚 é igual à corrente que chega a barra 𝑛. Isto

ocorre devido à linha de distribuição desprezar os elementos shunt.

Analisando a Figura 5.11 e com base em Leão et al (Leão et al, 2014) e Arrilaga e

Wattson (Arrilaga & Watson, 2007) a formulação matemática que determina a tensão na barra

𝑚, utilizada no processo forward sweep é determinada através da equação (5.8).

[𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 = [𝐴]. [𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 + [𝐵]. [𝐼𝐴𝐵𝐶]𝑛 (5.8)

Comparando a equação (5.8) com (5.3) verifica-se que a parcela da equação que era

negativa se tornou positiva na equação (5.8). Isto ocorre devido à tensão na barra 𝑚 ser igual

à tensão na barra 𝑛 mais a queda de tensão no elemento série da rede de distribuição de

energia elétrica. Estas modificações ocorrem devido ao sentido da corrente harmônica na

rede.

Através das novas equações a inicialização das tensões harmônicas é determinada

após ser realizada uma iteração do processo backward sweep e outra forward sweep

(Archundia & Mota, 2010).

Com as tensões harmônicas determinadas pelo processo de inicialização, inicia-se o

cálculo do fluxo de potência trifásico harmônico através do método backward/forward sweep

descrito no tópico seguinte (Archundia & Mota, 2010).


Para realizar o fluxo de potência trifásico harmônico deve-se utilizar as tensões

determinadas pelo processo de inicialização, as matrizes alteradas das componentes séries da

rede e todas as cargas devem estar presentes na rede. O método backward/forward sweep do

146

tipo Ladder deve ser aplicado até atingir o critério de convergência e desta maneira

determinar o estado da rede para as frequências harmônicas de interesse (Archundia & Mota,

2010).

A maior parte da corrente harmônica segue em direção à subestação, pois do ponto

de vista da fonte de harmônicos este é o caminho de menor impedância (Dugan et al, 2004).

Para análise das correntes harmônicas na rede elétrica considera-se a carga na barra 277 (barra

4 na numeração interna) como uma carga não linear. A Figura 5.12 representa as correntes

harmônicas circulando pela rede de 5 barras.

Figura 5.12 – Fluxo da corrente harmônica na rede.

A Figura 5.12 é de suma importância para determinar o estado da rede para as

componentes harmônicas de interesse, pois através de uma análise criteriosa do sentido das

correntes e das quedas de tensões harmônicas verificam-se duas regiões distintas na rede em

estudo. Uma região compreende ao tronco principal da rede para carga não linear e a outra

região corresponde aos ramos que derivam do tronco principal da rede.

A Figura 5.13 representa o tronco principal da rede para carga não linear.

Figura 5.13 – Tronco principal da rede para carga não linear na barra 4.

Para a iteração backward sweep nos ramos que compõem o tronco principal da rede,

verifica-se que as equações (5.1), (5.2) e (5.3) devem ser alteradas para elaboração do método.

A Figura 5.14 representa o ramo entre as barras 3 e 4 (dentro do tronco principal).

147

Figura 5.14 – Análise dos ramos do tronco principal (barras 3 e 4).

Através da análise da Figura 5.14 verifica-se que a tensão na barra 3 (𝑉3ℎ) é igual à

tensão na barra 4 (𝑉4ℎ) menos a queda de tensão na linha (Δ𝑉ℎ). Por esta razão as equações

para a etapa backward sweep no tronco principal devem ser as equações (5.9) e (5.10).

[𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 = [𝑎]. [𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 − [𝑏]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (5.9)


Através da análise da Figura 5.14 verifica-se que para iteração forward sweep a

tensão na barra 4 (𝑉4ℎ) é a soma da queda de tensão da linha (Δ𝑉ℎ) com a tensão na barra 3

(𝑉3ℎ), portanto para esta etapa no tronco principal utiliza-se a equação (5.11).

[𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 = [𝐴]. [𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 + [𝐵]. [𝐼𝐴𝐵𝐶]𝑛 (5.11)

A Figura 5.15 destaca o ramo que deriva do tronco principal.

Figura 5.15 – Ramo fora do tronco principal da rede.

A Figura 5.16 representa a corrente harmônica, as tensões harmônicas e as quedas de

tensão harmônica na linha do ramo entre as barras 2 e 5 (ramo que deriva do tronco principal).

Figura 5.16 – Análise dos ramos fora do tronco principal (barras 2 e 5).

148

Para iteração backward sweep a tensão na barra 2 (𝑉2ℎ) é a soma da tensão da barra 5

(𝑉5ℎ) com a queda de tensão da linha (Δ𝑉ℎ). Através da lei de Kirchhoff para as tensões e para

as correntes, portanto verifica-se que para este ramo que deriva do tronco principal é

necessário utilizar as equações (5.12) e (5.13).

[𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 = [𝑎]. [𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 + [𝑏]. [𝐼𝑎𝑏𝑐]𝑚 (5.12)


Para iteração forward sweep utiliza-se a equação (5.14), pois a tensão na barra 5 (𝑉5ℎ)

corresponde à tensão na barra 2 (𝑉2ℎ) menos a queda de tensão harmônica na linha (Δ𝑉ℎ).

[𝑉𝑎𝑏𝑐]𝑚 = [𝐴]. [𝑉𝐴𝐵𝐶]𝑛 − [𝐵]. [𝐼𝐴𝐵𝐶]𝑛 (5.14)

A iteração backward sweep é semelhante ao processo descrito para a frequência

fundamental. A diferença está no ordenamento dos cálculos, ou seja, para a versão harmônica

esta iteração deve iniciar nas barras que possuem cargas não lineares e as equações que regem

as tensões e correntes dependem do ramo da rede elétrica, pois o equacionamento das tensões

e das correntes para as barras e ramos que estão no tronco principal da rede são diferentes das

barras e ramos que estão fora do tronco principal. Outro ponto importante consiste na

aplicação da lei de Kirchhoff para as correntes na barra 2, como pode ser observado pela

Figura 5.17.

Figura 5.17 – Fluxo de corrente harmônica na barra 2.

Na última passagem da etapa backward sweep a corrente direcionada para a

subestação não é a soma da corrente nos ramos, como no fluxo de potência trifásico

tradicional. Para a versão harmônica a corrente que vai para a subestação, segundo a lei de

Kirchhof para as correntes, é determinada como a corrente do ramo entre as barras 2 e 3

menos a corrente do ramo entre as barras 2 e 5. Este fato ocorre devido ao sentido das

correntes harmônicas.

149

Na iteração forward sweep verifica-se novamente dois comportamentos distindos

para a rede, um para as barras que estão no tronco principal da rede e outro para as barras que

estão fora. Por esta razão, o algoritmo que realiza o fluxo de potência trifásico harmônico

deve levar em consideração estas condições para determinar o estado da rede para frequências

harmônicas de interesse.

Após a determinação do estado da rede para as frequências fundamental e

harmônicas, determina-se as perdas nos ramos e nos bancos de capacitores da rede elétrica

através de subprogramas que utilizam os dados (tensão e corrente) oriundos do fluxo de

potência trifásico para versão tradicional e harmônica e dos valores das impedâncias dos

ramos para as frequência fundamental e harmônica e das susceptâncias dos bancos de

capacitores instalados na rede.

A Figura 5.18 representa o fluxograma de todo o processo, desde a renumeração das

barras até os efeitos do conteúdo harmônico na rede elétrica.

Figura 5.18 – Fluxograma do algoritmo para a frequência fundamental e harmônica.

150

Para exemplificar o cálculo do fluxo de potência trifásico na versão tradicional e

harmônica utiliza-se a rede de 5 barras representada pela Figura 5.2. Os dados de magnitude e

ângulo da tensão para cada fase estão determinados através da Tabela 5.2.

Tabela 5.2 – Magnitude e ângulo da tensão de fase na rede de 5 barras.

Barra Tipo Tensão

A (V)

Tensão

B (V)

Tensão

C (V)

Ângulo

A (°)

Ângulo

B (°)

Ângulo

C (°)

233 Slack 2401,7 2401,7 2401,7 0 -120 120

247 0 2401,7 2401,7 2401,7 0 -120 120

256 0 2401,7 2401,7 2401,7 0 -120 120

277 PQ 2401,7 2401,7 2401,7 0 -120 120

250 PQ 2401,7 2401,7 2401,7 0 -120 120

Os valores de potência da carga em cada fase das barras da rede estão definidos pela

Tabela 5.3.

Tabela 5.3 – Especificação da potência das cargas da rede de 5 barras.

Barra Modelo Pot. Ativa

A (kW)

Pot. Reativa

A (kVAr)

Pot. Ativa

B (kW)

Pot. Reativa

B (kVAr)

Pot. Ativa

C (kW)

Pot. Reativa

C (kVAr)

Carga

Combinada

233 0 0 0 0 0 0 0 0

247 0 0 0 0 0 0 0 0

256 0 0 0 0 0 0 0 0

277 MIT 0 0 0 0 0 0 0

250 Y-PQ 50 40 35 20 80 70 0

No campo “Modelo” verifica-se a presença de um código referente ao tipo de carga

não linear, a Tabela 5.4 descreve com maiores detalhes.

Tabela 5.4 – Configuração das cargas.

Modelo Descrição

0 Sem carga

Y-PQ Carga ligada em estrela com potência ativa e reativa constante

Y-Z Carga ligada em estrela com impedância constante

Y-I Carga ligada em estrela com corrente constante

Δ-PQ Carga ligada em triângulo com potência ativa e reativa constante

Δ-Z Carga ligada em triângulo com impedância constante

Δ-I Carga ligada em triângulo com corrente constante

MIT Motor de indução trifásico

FEA Forno elétrico a arco

LFC Lâmpada fluorescente compacta

SCB-M Sistema de carga de baterias monofásico para o veículo elétrico

SCB-T Sistema de carga de baterias trifásico controlado por PWM para o veículo elétrico

A Tabela 5.5 determina a especificação das linhas de distribuição.

151

Tabela 5.5 – Especificação dos ramos da rede de 5 barras.

Barra Inicial Barra Final Comprimento (milha) Configuração

233 247 100 601

247 256 250 601

247 250 225 601

256 277 300 601

A configuração 601 compreende a especificação apresentada pela Tabela 5.6.

Tabela 5.6 – Especificação da configuração e dos cabos da rede de 5 barras.

Configuração Fases Cabo de Fase Cabo de Neutro

601 BACN ACSR#556,500-26/7 ACSR#4/0-6/1

A Figura 5.19 determina a disposição dos cabos no poste e na Tabela 5.7 representa

as especificações dos cabos utilizados na configuração 601.

Figura 5.19 – Disposição dos cabos no poste. Adaptado de (Kersting, 2002).

Tabela 5.7 – Parâmetros dos cabos.

Tipo Resistência (Ω) Diâmetro (in) GMR (ft) Capacidade (A)

ACSR#556,500-26/7 0,1859 0,927 0,0313 730

ACSR#4/0-6/1 0,592 0,563 0,00814 340

A Tabela 5.8 determina a especificações do motor e na Tabela 5.9 tem-se os valores

das porcentagens de correntes harmônicas em função da corrente fundamental utilizada pelo

modelo harmônico do motor de indução trifásico.

Tabela 5.8 – Dados do motor de indução trifásico para rede de 5 barras.

Barra Pot. Eixo

(kW)

Rend.

(%) F.P.

ωs

(rpm)

ωr

(rpm)

Rs

(Ω) Rr

(Ω) Xs

(Ω) Xr

(Ω) Xm

(Ω) Pólos

277 226,4 95,9 0,844 1200 1182 1,25 1,05 1,97 1,97 120 6

152

Tabela 5.9 – Correntes harmônicas do motor de indução trifásico (Duque, 2013).

h p (%)

5 3,0

7 2,5

11 1,5

13 1,0

17 0,2

Com as especificações da rede de 5 barras inicia-se a solução do fluxo de potência

trifásico para versão tradicional e harmônica. De acordo com a explicação apresentada

anteriormente deve-se, inicialmente, determinar o estado da rede para frequência fundamental

através do fluxo de potência trifásico para a versão convencional.

Para uma tolerância de 0,0005 p.u. o algoritmo convergiu com duas interações para

frequência fundamental e suas componentes harmônicas, como mostra a Figura 5.20.

Figura 5.20 – Comportamento do erro (em p.u.) para cada iteração do algoritmo.

Na Tabela 5.10 tem-se os valores das magnitudes e ângulos das tensões nas barras da

rede elétrico.

Tabela 5.10 – Magnitudes e ângulos das tensões na nas barras da rede de 5 barras.

DADOS Freq. Fund. 5° h 7° h 11° h 13° h 17° h

B. F. U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°)

233 A 2401,777 0,00 0,233 38,19 0,241 37,71 0,193 39,58 0,144 40,93 0,035 43,56

233 B 2401,778 -120,00 0,216 -101,40 0,216 -100,67 0,167 -96,12 0,124 -93,57 0,030 -89,00

233 C 2401,776 120,00 0,199 152,22 0,203 151,85 0,159 154,15 0,118 155,77 0,028 158,92

247 A 2401,249 -0,01 0,287 38,80 0,302 38,39 0,245 40,01 0,184 41,22 0,045 43,59

247 B 2401,514 -120,01 0,264 -93,38 0,270 -92,23 0,216 -87,88 0,161 -85,61 0,040 -81,63

247 C 2400,753 119,99 0,259 155,28 0,270 155,05 0,217 157,03 0,162 158,41 0,039 161,11

256 A 2400,361 -0,03 0,424 39,65 0,452 39,30 0,376 40,59 0,284 41,60 0,070 43,64

256 B 2400,859 -120,03 0,396 -82,42 0,419 -81,31 0,347 -77,96 0,262 -76,23 0,065 -73,15

256 C 2399,865 119,97 0,411 159,00 0,438 158,77 0,363 160,20 0,273 161,27 0,067 163,43

277 A 2399,296 -0,05 0,587 40,15 0,633 39,83 0,532 40,91 0,403 41,81 0,100 43,66

277 B 2400,074 -120,06 0,564 -76,29 0,606 -75,49 0,510 -72,95 0,388 -71,55 0,096 -68,99

277 C 2398,800 119,94 0,594 160,95 0,640 160,66 0,538 161,73 0,407 162,63 0,101 164,52

250 A 2400,861 -0,03 0,287 38,78 0,301 38,37 0,245 40,00 0,184 41,20 0,045 43,58

250 B 2401,508 -120,01 0,264 -93,38 0,270 -92,23 0,216 -87,88 0,161 -85,62 0,040 -81,63

250 C 2399,252 119,97 0,259 155,27 0,269 155,04 0,217 157,02 0,162 158,41 0,039 161,11

A Figura 5.21 representa o perfil de tensões para a frequência fundamental.

0

0,1

0,2

1 2Erro

(p

.u.)

Iterações

Freq. Fundamental

Quinta harmônica

Sétima harmônica

Décima primeira harmônica

Décima terceira harmônica

Décima sétima harmônica

153

Figura 5.21 – Perfil de tensão da rede de 5 barras para a frequência fundamental.

A Tabela 5.11 apresenta as distorções harmônicas individuais e totais para a tensão

nas barras da rede.

Tabela 5.11 – DHI e DHT para a tensão nas barras da rede de 5 barras.

DADOS DHIv (%) DHTv

(%) B. F. 5o h 7o h 11o h 13o h 17o h

233 A 0,010 0,010 0,008 0,006 0,001 0,017

233 B 0,009 0,009 0,007 0,005 0,001 0,015

233 C 0,008 0,008 0,007 0,005 0,001 0,014

247 A 0,012 0,013 0,010 0,008 0,002 0,022

247 B 0,011 0,011 0,009 0,007 0,002 0,019

247 C 0,011 0,011 0,009 0,007 0,002 0,019

256 A 0,018 0,019 0,016 0,012 0,003 0,033

256 B 0,016 0,017 0,014 0,011 0,003 0,030

256 C 0,017 0,018 0,015 0,011 0,003 0,031

277 A 0,024 0,026 0,022 0,017 0,004 0,046

277 B 0,023 0,025 0,021 0,016 0,004 0,044

277 C 0,025 0,027 0,022 0,017 0,004 0,046

250 A 0,012 0,013 0,010 0,008 0,002 0,022

250 B 0,011 0,011 0,009 0,007 0,002 0,019

250 C 0,011 0,011 0,009 0,007 0,002 0,019

A Figura 5.22 apresenta os valores de distorção harmônica total para a tensão nas

barras da rede através de um gráfico de barras.

Figura 5.22 – DHT para as tensões na rede de 5 barras.

0

1000

2000

3000

233 247 256 277 250

U (

V)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

233 247 256 277 250

DH

Tv (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

154

As magnitudes e ângulos das correntes nos ramos da rede para a frequência

fundamental e as componentes harmônicas de interesse estão dispostos na Tabela 5.12.

Tabela 5.12 – Magnitudes e ângulos das correntes nos ramos da rede de 5 barras.

DADOS Freq. Fund. 5° h 7° h 11° h 13° h 17° h DHTi

(%) B. I. B. F. F I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°)

233 247 A 64,374 -32,931 1,01847 -38,049 0,80679 -39,515 0,44464 -40,072 0,28729 -39,742 0,05495 -38,711 2,181

233 247 B 54,730 -149,156 1,01682 -158,353 0,80424 -159,887 0,44192 -160,500 0,28518 -160,171 0,05444 -159,119 2,558

233 247 C 81,759 84,466 1,01656 81,771 0,80459 80,268 0,44270 79,681 0,28584 80,011 0,05461 81,054 1,713

247 256 A 37,933 -28,885 1,01933 -38,035 0,80746 -39,504 0,44501 -40,063 0,28752 -39,734 0,05500 -38,703 3,705

247 256 B 37,945 -148,891 1,01739 -158,346 0,80469 -159,881 0,44216 -160,494 0,28533 -160,166 0,05447 -159,113 3,692

247 256 C 37,925 91,107 1,01783 81,785 0,80557 80,278 0,44322 79,689 0,28617 80,018 0,05468 81,061 3,697

256 277 A 37,933 -28,885 1,01933 -38,035 0,80746 -39,504 0,44501 -40,063 0,28752 -39,734 0,05500 -38,703 3,705

256 277 B 37,945 -148,891 1,01739 -158,346 0,80469 -159,881 0,44216 -160,494 0,28533 -160,166 0,05447 -159,113 3,692

256 277 C 37,925 91,107 1,01783 81,785 0,80557 80,278 0,44322 79,689 0,28617 80,018 0,05468 81,061 3,697

247 250 A 26,670 -38,692 0,00089 -22,014 0,00069 -26,342 0,00037 -29,352 0,00024 -29,677 0,00005 -29,558 0,005

247 250 B 16,785 -149,754 0,00059 -145,332 0,00045 -148,750 0,00024 -150,065 0,00016 -149,725 0,00003 -148,632 0,005

247 250 C 44,306 78,784 0,00129 92,337 0,00099 88,401 0,00052 86,037 0,00033 85,993 0,00006 86,600 0,004

A Figura 5.23 apresenta o perfil de corrente nos ramos da rede para a frequência

fundamental.

Figura 5.23 – Perfil de corrente da rede de 5 barras para a frequência fundamental.

A Figura 5.24 apresenta os níveis de distorção harmônica total para corrente nos

ramos da rede.

Figura 5.24 – DHT para as correntes na rede de 5 barras.

Com os valores de tensão e corrente para frequência fundamental e suas

componentes harmônicas, determinam-se as formas de onda da tensão e corrente para a fase A

nas barras da rede que possuem carga (barras 250 e 277).

0

50

100

233-247 247-256 256-277 247-250

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

0,0

2,0

4,0

233-247 247-256 256-277 247-250

DH

Ti (

%)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

155

A Figura 5.25 representa a forma de onda da tensão e da corrente para a fase A na

barra 277 (que compreende a barra 4 na numeração interna) onde está localizada a carga não

linear (motor de indução trifásico).

Figura 5.25 – Formas de onda da tensão para as fases A na barra 277.

A Figura 5.26 representa a forma de onda da tensão e da corrente para a fase A na

barra 250 (que compreende a barra 5 na numeração interna) onde está localizada a carga

linear.

Figura 5.26 – Formas de onda da tensão para as fases A na barra 250.

Analisando as formas de onda da tensão e da corrente nas barras 277 (barra 4) e 250

(barra 5) verifica-se que a forma de onda da tensão sofre pouca variação devido aos baixos

valores de distorção harmônica total para tensão (Tabela 5.14) o que acarreta num silhueta

praticamente senoidal, o mesmo ocorre quando é realizada a análise da corrente, pois também

apresenta baixos valores de distorção harmônica total (Tabela 5.15).

Portanto, as barras que estão mais afastadas da barra 277 (barra onde está localizada

a carga não linear) sofrem menor influência das componentes harmônicas se comparadas com

as barras mais próximas, como pode ser observado através das distorções harmônicas totais

para a tensão e corrente oriundas das Tabelas 5.14 e 5.15, respectivamente.

Este capítulo é de suma importância, pois através do método proposto para realização

do fluxo de potência trifásico para as versões tradicional e harmônica pode-se elaborar as

simulações e as análises apresentadas no Capítulo 6 (Estudo de Caso).

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

t(s)

U(V

) e I

x10(A

)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

x20(A

)

Tensão

Corrente

156

Capítulo 6

Estudo de Caso

Este capítulo é destinado às simulações com o algoritmo desenvolvido para realizar o

fluxo de potência trifásico para as versões tradicional e harmônica com diferentes cenários

(cargas não lineares) para análise dos impactos dos harmônicos nos dispositivos da rede de

distribuição de energia elétrica.

A rede utilizada compreende a rede de 13 barras do IEEE (Testfeeders, 2016) com

diferentes cargas, como indicado a seguir.

Somente com cargas lineares para validação do algoritmo desenvolvido.

Motor de indução trifásico instalado na barra 680.

Forno elétrico a arco em funcionamento na barra 634.

Conjunto de trezentas lâmpadas fluorescentes compactas instaladas na barra

634.

Três sistemas de cargas de baterias monofásicos para o veículo elétrico

conectados na barra 634

Um sistema de carga de baterias trifásico controlado por PWM para veículos

elétricos instalado na barra 634.

Motor de indução trifásico instalado na barra 680 e o forno elétrico a arco na

barra 634 funcionando simultaneamente.

Inicialmente, o método proposto foi validado através da comparação entre as

respostas obtidas com o método backward/forward sweep do tipo Ladder e a solução do fluxo

de potência trifásico para a rede de 13 barras do IEEE (Testfeeders, 2016). Após a validação

do fluxo de potência trifásico elaborou-se um estudo dos harmônicos gerados pelas cargas não

lineares para os cenários mencionados anteriormente. O objetivo deste capítulo é elaborar um

estudo avançado sobre os harmônicos gerados por determinadas cargas não lineares e os

impactos causados na rede elétrica.

6.1 Validação do Fluxo de Potência Trifásico

Este tópico tem a finalidade de comprovar a eficiência do algoritmo desenvolvido

para realizar o cálculo do fluxo de potência trifásico baseado no método backward/forward

157

sweep do tipo Ladder. Para realizar esta validação foram comparadas as respostas obtidas

com o algoritmo desenvolvido e a solução do fluxo de potência trifásico para a rede de 13

barras do IEEE (Testfeeders, 2016). A comparação é elaborada através do cálculo do erro

percentual para a magnitude e ângulo da tensão em cada barra da rede.

A Figura 6.1 representa a estrutura da rede através de um diagrama unifilar.

Figura 6.1 – Diagrama unifilar da rede de 13 barras do IEEE. Adaptado de (Testfeeders, 2016).

As tensões iniciais nas barras da rede estão na Tabela 6.1.

Tabela 6.1 – Magnitudes e ângulos das tensões para rede de 13 barras.

Barra Tipo Tensão(V) Ângulo(°)

Fase A Fase B Fase C Fase A Fase B Fase C

650 Slack 2550, 7 2521,9 2567,5 0 -120 120

632 0 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

633 0 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

634 PQ 277,1 277,1 277,1 0 -120 120

645 PQ 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

646 PQ 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

671 PQ 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

675 PQ 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

680 0 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

684 0 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

611 PQ 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

652 PQ 2401,8 2401,8 2401,8 0 -120 120

As cargas das barras estão representadas em forma de potência ativa e reativa através

da Tabela 6.2.

158

Tabela 6.2 – Especificações das cargas da rede de 13 barras.

Barra Modelo Potência Ativa(kW) Potência Reativa(kVAr) Carga

Combinada Fase A Fase B Fase C Fase A Fase B Fase C

650 - 0 0 0 0 0 0 0

632 - 0 0 0 0 0 0 0

633 - 0 0 0 0 0 0 0

634 Y-PQ 160 120 120 110 90 90 0

645 Y-PQ 0 170 0 0 125 0 0

646 D-Z 0 230 0 0 132 0 0

671 - 0 0 0 0 0 0 1

675 Y-PQ 485 68 290 190 60 212 0

680 - 0 0 0 0 0 0 0

684 - 0 0 0 0 0 0 0

611 Y-I 0 0 170 0 0 80 0

652 Y-Z 128 0 0 86 0 0 0

A carga combinada compreende a cargas de diferentes modelos conectadas na

mesma barra. Isto ocorre devido as cargas da barra 692 e as cargas distribuídas (no ramo entre

as barras 632 e 671) serem acumuladas na barra 671, como pode ser observado pela Tabela

6.3.

Tabela 6.3 – Especificações das cargas combinadas da barra 671.

Barra Modelo Potência Ativa(kW) Potência Reativa(kVAr)

Fase A Fase B Fase C Fase A Fase B Fase C

671

D-PQ 385 385 385 220 220 220

D-I 0 0 170 0 0 151

Y-PQ 17 66 117 10 38 68

Nesta rede há dois bancos de capacitores, um trifásico de 200 kVAr (por fase)

localizado na barra 675 e outro monofásico de 100 kVAr (fase C) na barra 611.

Os dados de configuração e comprimento dos ramos estão especificados na Tabela

6.4.

Tabela 6.4 – Dados de comprimento e configuração dos ramos da rede de 13 barras.

Barra Inicial Barra Final Comprimento (milha) Configuração

650 632 2000 601

632 633 500 602

632 671 2000 601

632 645 500 603

633 634 0 997

645 646 300 603

671 675 500 606

671 684 300 604

671 680 1000 601

684 611 300 605

684 652 800 607

159

Na Tabela 6.4 tem-se os dados dos comprimentos dos ramos especificados em milhas

devido aos parâmetros dos cabos (Tabela 6.6) estarem expressos em Ω/milha.

A Tabela 6.5 apresenta a configuração das fases da rede e as especificações dos

cabos utilizados; a Tabela 6.6 contém os parâmetros dos cabos da rede; na Tabela 6.7 tem-se

as posições dos cabos de fase e neutro e informações relativas ao transformador estão na

Tabela 6.8.

Tabela 6.5 – Especificações dos cabos utilizados na rede de 13 barras.

Configuração Fases Cabo da Fase Cabo do Neutro

601 BACN ACSR#556,500-26/7 ACSR#4/0-6/1

602 CABN ACSR#4/0-6/1 ACSR#4/0-6/1

603 CBN ACSR#1/0 ACSR#1/0

604 ACN ACSR#1/0 ACSR#1/0

605 CN ACSR#1/0 ACSR#1/0

606 ABCNG AA#250,000-VEJA_LAY Copper#14-AWG_SLD

607 ANG AA#1/0-CLASS_A Copper#1/0-7_STRD

Tabela 6.6 – Parâmetros dos cabos da rede de 13 barras.

Tipo Resistência (Ω/milha) Diâmetro (in) GMR (ft) Capacidade (A)

ACSR#556,500-26/7 0,1859 0,927 0,0313 730

ACSR#1/0 1,12 0,398 0,00446 230

ACSR#4/0-6/1 0,592 0,563 0,00814 340

AA#250,000-VEJA_LAY 0,41 0,567 0,0171 329

AA#1/0-CLASS_A 0,97 0,368 0,0111 202

Copper#14-AWG_SLD 14,8722 0,0641 0,00208 20

Copper#1/0-7_STRD 0,0607 0,368 0,01113 310

Tabela 6.7 – Posições dos cabos de fase e de neutro utilizados na rede de 13 barras.

Configuração Fase A Fase B Fase C Neutro

x (ft) y (ft) x (ft) y (ft) x (ft) y (ft) x (ft) y (ft)

BACN 2,5 29 0 29 7 29 4 25

CABN 2,5 29 7 29 0 29 4 25

CBN - - 7 29 0 29 4 25

ACN 0 29 - - 7 29 4 25

CN - - - - 0 30 0,5 25

ABCNG 0 -1 0,5 -1 1 -1 0 -1

ANG 0 0 0 0 0,25 0 - -

Tabela 6.8 – Dados do transformador da rede de 13 barras.

Tipo Pot. Aparente

(kVA)

Tensão (V) Resistência

(%)

Reatância

(%) Primário Secundário

Y-Y 500 4160 480 1,1 2,0

160

Com os parâmetros iniciais da rede definidos, inicia-se o cálculo do fluxo de

potência trifásico para a versão tradicional através do método backward/forward sweep do

tipo Ladder. Para uma tolerância de 0,0005 p.u. o programa convergiu com quatro iterações e

na Tabela 6.9 tem-se as magnitudes e os ângulos das tensões nas barras da rede para cada

iteração do algoritmo.

Tabela 6.9 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede de 13 barras.

DADOS 1° Iteração 2° Iteração 3° Iteração 4° Iteração

B. F. U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°)

650 A 2.560,129 3,18 2.563,568 -0,22 2.551,199 0,05 2.550,910 0,00

650 B 2.476,067 -117,74 2.522,164 -120,14 2.521,453 -120,00 2.521,819 -120,00

650 C 2.571,728 122,75 2.575,518 119,78 2.567,861 120,03 2.567,556 120,00

632 A 2.466,221 0,73 2.464,983 -2,66 2.451,951 -2,43 2.451,569 -2,48

632 B 2.451,566 -119,48 2.500,179 -121,79 2.499,643 -121,64 2.500,046 -121,64

632 C 2.453,080 120,48 2.454,934 117,54 2.446,652 117,77 2.446,351 117,74

633 A 2.459,026 0,67 2.457,743 -2,72 2.444,668 -2,50 2.444,282 -2,55

633 B 2.446,839 -119,52 2.495,611 -121,83 2.495,089 -121,69 2.495,494 -121,69

633 C 2.446,839 120,48 2.448,699 117,53 2.440,385 117,76 2.440,086 117,73

634 A 277,130 0,00 276,978 -3,39 275,432 -3,17 275,387 -3,22

634 B 277,130 -120,00 282,863 -122,29 282,802 -122,14 282,850 -122,14

634 C 277,130 120,00 277,349 117,06 276,371 117,28 276,336 117,26

645 A - - - - - - - -

645 B 2.405,839 -119,92 2.478,312 -121,93 2.478,025 -121,82 2.478,397 -121,81

645 C 2.406,625 119,96 2.449,159 117,62 2.442,197 117,78 2.441,986 117,76

646 A - - - - - - - -

646 B 2.401,777 -120,00 2.474,370 -122,01 2.474,082 -121,89 2.474,454 -121,89

646 C 2.401,777 120,00 2.444,443 117,66 2.437,481 117,82 2.437,271 117,80

671 A 2.416,783 0,24 2.403,965 -5,45 2.380,088 -5,19 2.379,909 -5,27

671 B 2.396,336 -119,83 2.519,608 -122,32 2.518,147 -122,21 2.518,744 -122,20

671 C 2.406,309 119,99 2.361,188 115,39 2.346,477 115,68 2.346,150 115,64

675 A 2.401,777 0,00 2.388,943 -5,70 2.364,926 -5,45 2.364,746 -5,53

675 B 2.401,777 -120,00 2.524,936 -122,48 2.523,523 -122,37 2.524,116 -122,36

675 C 2.401,777 120,00 2.356,473 115,40 2.341,738 115,69 2.341,412 115,65

680 A 2.401,777 0,00 2.402,860 -5,42 2.379,993 -5,19 2.379,893 -5,27

680 B 2.401,777 -120,00 2.519,194 -122,33 2.518,209 -122,21 2.518,740 -122,20

680 C 2.401,777 120,00 2.361,011 115,40 2.346,452 115,68 2.346,151 115,64

684 A 2.401,777 0,00 2.398,195 -5,45 2.375,197 -5,22 2.375,049 -5,29

684 B - - - - - - - -

684 C 2.406,493 120,14 2.357,227 115,28 2.341,565 115,58 2.341,263 115,53

611 A - - - - - - - -

611 B - - - - - - - -

611 C 2.401,777 120,00 2.352,412 115,13 2.336,718 115,43 2.336,415 115,38

652 A 2.401,777 0,00 2.383,764 -5,44 2.360,764 -5,17 2.360,465 -5,25

652 B - - - - - - - -

652 C - - - - - - - -

161

Nota-se através da Tabela 6.9 que algumas células não possuem valores. Isto ocorre

devido a configuração da rede elétrica, ou seja, esta rede não possui todas as fases em todos os

ramos. A Tabela 6.10 apresenta os valores das magnitudes e ângulos das correntes nos ramos

da rede elétrica.

Tabela 6.10 – Magnitude e ângulo das correntes nos ramos da rede de 13 barras.

DADOS 1° Iteração 2° Iteração 3° Iteração 4° Iteração

B. I. B. F. F I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°)

650 632 A 553,270 -23,92 560,254 -29,15 565,115 -28,85 565,250 -28,91

650 632 B 423,867 -138,88 408,196 -142,41 409,278 -142,36 409,108 -142,37

650 632 C 579,668 97,68 586,042 94,38 588,491 94,69 588,615 94,66

632 633 A 80,842 -34,51 80,886 -37,90 81,340 -37,68 81,353 -37,73

632 633 B 62,453 -156,87 61,187 -159,16 61,201 -159,01 61,190 -159,01

632 633 C 62,453 83,13 62,404 80,19 62,625 80,41 62,633 80,39

633 634 A 700,627 -34,51 701,011 -37,90 704,946 -37,68 705,063 -37,73

633 634 B 541,262 -156,87 530,291 -159,16 530,406 -159,01 530,317 -159,01

633 634 C 541,262 83,13 540,835 80,19 542,749 80,41 542,818 80,39

632 645 A - - - - - - - -

632 645 B 144,096 -141,02 139,875 -143,03 139,891 -142,91 139,870 -142,91

632 645 C 63,779 60,16 61,908 58,16 61,915 58,28 61,906 58,28

645 646 A - - - - - - - -

645 646 B 63,779 -119,84 61,908 -121,84 61,915 -121,72 61,906 -121,72

645 646 C 63,779 60,16 61,908 58,16 61,915 58,28 61,906 58,28

632 671 A 474,037 -22,12 480,467 -27,68 484,901 -27,37 485,019 -27,44

632 671 B 221,850 -132,49 210,610 -137,19 211,606 -137,23 211,457 -137,26

632 671 C 471,785 104,31 478,426 100,61 480,817 100,92 480,918 100,89

671 675 A 201,977 1,18 203,062 -4,51 205,124 -4,26 205,140 -4,34

671 675 B 64,802 -55,91 61,641 -58,39 61,676 -58,28 61,661 -58,27

671 675 C 120,847 117,63 123,171 113,03 123,946 113,32 123,963 113,28

671 680 A 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00

671 680 B 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00

671 680 C 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00

671 684 A 64,206 -33,90 64,691 -39,34 65,321 -39,07 65,329 -39,15

671 684 B - - - - - - - -

671 684 C 71,269 126,71 72,765 121,84 73,253 122,14 73,263 122,09

684 611 A - - - - - - - -

684 611 B - - - - - - - -

684 611 C 71,269 126,71 72,765 121,84 73,253 122,14 73,263 122,09

684 652 A 64,206 -33,90 64,691 -39,34 65,321 -39,07 65,329 -39,15

684 652 B - - - - - - - -

684 652 C - - - - - - - -

162

Na Figura 6.2 tem-se o comportamento do erro em função das iterações; na Figura

6.3 o perfil de tensões nas barras e na Figura 6.4 o perfil de correntes nos ramos da rede a

partir do algoritmo desenvolvido.

Figura 6.2 – Comportamento do erro (pu) para a rede de 13 barras do IEEE.

Figura 6.3 – Perfil de tensões da rede de 13 barras do IEEE.

Figura 6.4 – Perfil de correntes da rede de 13 barras do IEEE.

Na Tabela 6.11 são apresentados os valores das tensões nas barras da rede elétrica

após a convergência, ou seja, para a quarta iteração. Nesta tabela também são apresentados o

estado da rede (Testfeeders, 2016) e o erro percental. A finalidade desta tabela consiste em

comprovar a eficiência algoritmo desenvolvido através do cálculo do erro percentual para as

tensões nas barras da rede, realizado através da equação (6.1).

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 2 3 4

Erro

(p

.u.)

Iterações

0

1.000

2.000

3.000

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

U (

V)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

0100200300400500600700800

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

163

𝑒(%) =|𝑉𝑡 − 𝑉𝑠|

𝑉𝑡. 100% (6.1)

Em (6.1) 𝑉𝑡 e 𝑉𝑠 correspondem aos valores teóricos e simulados, respectivamente.

Tabela 6.11 – Comparação entre as tensões.

Rede Elétrica Backward/forward sweep IEEE

Erro

(%)

Barra Fase U (V) U (pu) θ (°) U (pu) θ (°) U θ

650 A 2.550,910 1,062 0,00 1,063 0,00 - -

650 B 2.521,819 1,050 -120,00 1,050 -120,00 - -

650 C 2.567,556 1,069 120,00 1,069 120,00 - -

632 A 2.451,569 1,021 -2,48 1,021 -2,49 0,00 0,32

632 B 2.500,046 1,041 -121,64 1,042 -121,72 0,10 0,07

632 C 2.446,351 1,019 117,74 1,017 117,83 0,20 0,08

633 A 2.444,282 1,018 -2,55 1,018 -2,56 0,00 0,51

633 B 2.495,494 1,039 -121,69 1,040 -121,77 0,10 0,07

633 C 2.440,086 1,016 117,73 1,015 117,82 0,10 0,07

634 A 275,387 0,994 -3,22 0,994 -3,23 0,00 0,22

634 B 282,850 1,021 -122,14 1,022 -122,22 0,10 0,06

634 C 276,336 0,997 117,26 0,996 117,34 0,10 0,07

645 A - - - - - - -

645 B 2.478,397 1,032 -121,81 1,033 -121,90 0,10 0,07

645 C 2.441,986 1,017 117,76 1,016 117,86 0,10 0,08

646 A - - - - - - -

646 B 2.474,454 1,030 -121,89 1,031 -121,98 0,10 0,08

646 C 2.437,271 1,015 117,80 1,013 117,90 0,20 0,08

671 A 2.379,909 0,991 -5,27 0,990 -5,30 0,10 0,58

671 B 2.518,744 1,049 -122,20 1,053 -122,34 0,38 0,11

671 C 2.346,150 0,977 115,64 0,978 116,02 0,10 0,33

675 A 2.364,746 0,985 -5,53 0,984 -5,56 0,10 0,63

675 B 2.524,116 1,051 -122,36 1,055 -122,52 0,38 0,13

675 C 2.341,412 0,975 115,65 0,976 116,03 0,10 0,33

680 A 2.379,893 0,991 -5,27 0,990 -5,30 0,10 0,60

680 B 2.518,740 1,049 -122,20 1,053 -122,34 0,38 0,11

680 C 2.346,151 0,977 115,64 0,978 116,02 0,10 0,33

684 A 2.375,049 0,989 -5,29 0,988 -5,32 0,10 0,53

684 B - - - - - - -

684 C 2.341,263 0,975 115,53 0,976 115,92 0,10 0,33

611 A - - - - - - -

611 B - - - - - - -

611 C 2.336,415 0,973 115,38 0,974 115,78 0,10 0,34

652 A 2.360,465 0,983 -5,25 0,983 -5,25 0,00 0,00

652 B - - - - - - -

652 C - - - - - - -

164

A Figura 6.5 apresenta uma comparação do estado da rede obtido como o método

proposto e com as respostas da rede do IEEE para as magnitudes de tensão em cada fase da

rede elétrica e a Figura 6.6 para os ângulos das tensões.

Figura 6.5 – Comparação das magnitudes das tensões da rede de 13 barras.

Figura 6.6 – Comparação dos ângulos das tensões da rede de 13 barras.

Comparando os resultados do algoritmo desenvolvido com a resposta da rede de 13

barras do IEEE através das Figuras 6.5 e 6.6, nota-se a aderência do algoritmo ao

comportamento da rede. As Figuras 6.7 e 6.8 apresentam os erros porcentuais para as

magnitudes e ângulos das tensões nas barras da rede elétrica, respectivamente.

Figura 6.7 – Comportamento dos erros das magnitudes das tensões da rede de 13 barras.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 684 684

Mag

. d

a Te

nsã

o (

pu

)

Barras

Fase A - Backward/forward sweep

Fase A - IEEE

Fase B - Backward/forward sweep

Fase B - IEEE

Fase C - Backward/forward sweep

Fase C - IEEE

-150

-100

-50

0

50

100

150

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

Ân

gulo

das

Te

nsõ

es

(°)

Barras

Fase A - Backward/forward sweep

Fase A - IEEE

Fase B - Backward/forward sweep

Fase B - IEEE

Fase C - Backward/forward sweep

Fase C - IEEE

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

Erro

mag

. (%

)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

165

Figura 6.8 – Comportamento dos erros dos ângulos das tensões da rede de 13 barras.

Observando a Tabela 6.11 verifica-se que os maiores erros percentuais estão abaixo

de 0,38 % para a magnitude e 0,63 % para o ângulo da tensão, estes valores comprovam a

eficácia do algoritmo desenvolvido.

Com a validação do método proposto novos estudos de caso são adotados para

realizar o estudo do fluxo de potência tradicional e harmônico. Utilizando a rede de 13 barras

do IEEE (Testfeeders, 2016) foram elaborados estudos orientados para a geração de

harmônicos oriundos das cargas não lineares e para a análise dos impactos dos harmônicos na

rede elétrica.


Este tópico é destinado ao estudo dos harmônicos gerados pelas cargas não lineares,

mais especificamente, o motor de indução trifásico, o forno elétrico a arco, as lâmpadas

fluorescentes compactas e os sistemas de carga de baterias para os veículos elétricos.

Os tópicos que seguem apresentam os valores adquiridos com o fluxo de potência

trifásico na versão tradicional e harmônica para diferentes as cargas não lineares inseridas na

rede elétrica, os níveis de distorção harmônica, as análises referentes às principais normas

vigentes atualmente, os impactos dos harmônicos na rede elétrica e para finalizar a

representação das formas de onda da tensão e da corrente para a fase A de cada barra da rede

que possui carga (linear ou não linear).

6.2.1 Simulação com o Motor de Indução Trifásico

Para o estudo do motor de indução trifásico (MIT) é utilizada a rede de 13 barras do

IEEE (Testfeeders, 2016). O diferencial desta simulação para simulação de validação do

algoritmo desenvolvido compreende a inserção do motor de indução trifásico na barra 680.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

Erro

ân

g. (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

166

A Figura 6.9 representa o diagrama unifilar da rede de 13 barras do IEEE

(Testfeeders, 2016) com o motor de indução trifásico instalado na barra 680.

Figura 6.9 – Diagrama unifilar da rede com o motor de indução. Adaptado de (Testfeeders, 2016).

Os parâmetros do motor de indução trifásico estão na Tabela 6.12.

Tabela 6.12 – Parâmetros do motor de indução trifásico utilizado na rede de 13 barras.

Barra 680

Pot. do Eixo (kW) 229,5

Rend. (%) 95,7

F.P. 0,853

Velocidade Síncrona (rpm) 1200

Rotor (rpm) 1182

Resistência Estator (Ω) 1,05

Rotor (Ω) 1,05

Reatância

Estator (Ω) 1,25

Rotor (Ω) 1,25

Magnetização (Ω) 120

Pólos 6

Com as configurações da rede e da carga não linear (motor de indução trifásico)

especificadas inicia-se a solução do fluxo de potência trifásico. Para uma tolerância de 0,0005

p.u. o algoritmo convergiu com quatro iterações para a frequência fundamental e de sete a

onze iterações para as componentes harmônicas de interesse, como está representado na

Figura 6.10.

167

Figura 6.10 – Comportamento do erro (p.u.) para rede de 13 barras com o motor.

A Tabela 6.13 apresenta os valores das magnitudes e ângulos das tensões para a

frequência fundamental e todas as harmônicas de interesse.

Tabela 6.13 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede com o motor.



650 A 2551,117 0,00 0,973 44,17 1,100 47,91 1,012 51,74 0,793 52,87 0,206 54,39

650 B 2521,751 -120,00 0,857 -92,38 0,974 -87,70 0,903 -83,08 0,709 -81,76 0,185 -80,00

650 C 2567,577 120,00 0,847 152,50 0,953 156,85 0,875 161,29 0,685 162,60 0,178 164,44

632 A 2439,668 -2,63 1,533 33,68 1,730 36,81 1,585 39,50 1,239 40,13 0,320 40,78

632 B 2497,642 -121,84 1,611 -83,30 1,835 -79,58 1,709 -76,26 1,345 -75,43 0,352 -74,51

632 C 2435,343 117,67 1,403 152,22 1,579 155,82 1,443 159,15 1,128 160,04 0,291 161,17

633 A 2432,347 -2,70 1,527 33,58 1,723 36,71 1,579 39,41 1,234 40,05 0,319 40,70

633 B 2493,094 -121,89 1,608 -83,39 1,831 -79,67 1,705 -76,35 1,342 -75,52 0,351 -74,59

633 C 2429,043 117,66 1,399 152,22 1,574 155,84 1,440 159,18 1,125 160,06 0,291 161,20

634 A 273,975 -3,38 0,171 32,69 0,192 35,87 0,176 38,65 0,137 39,32 0,035 40,04

634 B 282,568 -122,35 0,181 -83,97 0,206 -80,22 0,192 -76,84 0,151 -75,98 0,039 -75,02

634 C 275,037 117,18 0,158 151,61 0,177 155,26 0,162 158,66 0,126 159,58 0,033 160,75

645 A - - - - - - - - - - - -

645 B 2475,976 -122,02 1,598 -83,58 1,820 -79,87 1,694 -76,54 1,333 -75,71 0,349 -74,78

645 C 2430,967 117,69 1,400 152,15 1,575 155,75 1,440 159,08 1,125 159,97 0,291 161,10

646 A - - - - - - - - - - - -

646 B 2472,030 -122,09 1,596 -83,68 1,817 -79,97 1,691 -76,64 1,331 -75,81 0,348 -74,88

646 C 2426,251 117,73 1,397 152,16 1,571 155,76 1,436 159,10 1,122 159,98 0,290 161,12

671 A 2356,789 -5,61 2,136 28,68 2,413 31,49 2,215 33,59 1,731 33,96 0,447 34,13

671 B 2514,332 -122,61 2,423 -79,16 2,765 -75,81 2,580 -72,99 2,031 -72,36 0,532 -71,77

671 C 2324,490 115,47 1,975 152,36 2,223 155,63 2,032 158,44 1,586 159,13 0,409 159,94

675 A 2340,949 -5,87 2,130 28,22 2,407 30,94 2,209 32,90 1,727 33,20 0,446 33,27

675 B 2520,102 -122,79 2,424 -79,46 2,765 -76,14 2,580 -73,39 2,032 -72,80 0,532 -72,26

675 C 2319,756 115,49 1,975 152,11 2,223 155,32 2,031 158,05 1,585 158,70 0,409 159,45

680 A 2352,785 -5,67 2,501 28,89 2,830 31,75 2,602 33,97 2,035 34,41 0,526 34,72

680 B 2511,160 -122,70 2,841 -77,05 3,243 -73,71 3,026 -70,87 2,382 -70,22 0,623 -69,56

680 C 2321,132 115,40 2,340 153,70 2,640 156,95 2,419 159,78 1,890 160,49 0,488 161,34

684 A 2351,870 -5,64 2,133 28,66 2,410 31,47 2,212 33,60 1,729 33,98 0,447 34,17

684 B - - - - - - - - - - - -

684 C 2319,337 115,37 1,973 152,11 2,222 155,33 2,031 158,05 1,585 158,69 0,409 159,43

611 A - - - - - - - - - - - -

611 B - - - - - - - - - - - -

611 C 2314,206 115,22 1,971 151,79 2,220 154,95 2,029 157,58 1,584 158,18 0,409 158,85

652 A 2337,152 -5,60 2,123 28,60 2,399 31,41 2,202 33,53 1,721 33,91 0,445 34,11

652 B - - - - - - - - - - - -

652 C - - - - - - - - - - - -

0

0,2

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Er

ro (

p.u

.)

Iterações

Fundamental

Quinta harmônica

Sétima harmônica




168

O perfil de tensão para a frequência fundamental está representado na Figura 6.11.

Figura 6.11 – Perfil de tensão para rede com o motor

A Tabela 6.14 apresenta os valores de distorção harmônica individual e total para a

tensão.

Tabela 6.14 – DHI e DHT para tensão na rede com o motor.

DADOS DHIv (%) DHTv

(%) B. F. 5o h 7

o h 11

o h 13

o h 17

o h

650 A 0,038 0,043 0,040 0,031 0,008 0,077

650 B 0,034 0,039 0,036 0,028 0,007 0,069

650 C 0,033 0,037 0,034 0,027 0,007 0,066

632 A 0,063 0,071 0,065 0,051 0,013 0,126

632 B 0,064 0,073 0,068 0,054 0,014 0,132

632 C 0,058 0,065 0,059 0,046 0,012 0,115

633 A 0,063 0,071 0,065 0,051 0,013 0,126

633 B 0,064 0,073 0,068 0,054 0,014 0,132

633 C 0,058 0,065 0,059 0,046 0,012 0,115

634 A 0,062 0,070 0,064 0,050 0,013 0,125

634 B 0,064 0,073 0,068 0,053 0,014 0,131

634 C 0,057 0,064 0,059 0,046 0,012 0,115

645 A - - - - - -

645 B 0,065 0,073 0,068 0,054 0,014 0,132

645 C 0,058 0,065 0,059 0,046 0,012 0,115

646 A - - - - - -

646 B 0,065 0,074 0,068 0,054 0,014 0,132

646 C 0,058 0,065 0,059 0,046 0,012 0,115

671 A 0,091 0,102 0,094 0,073 0,019 0,182

671 B 0,096 0,110 0,103 0,081 0,021 0,197

671 C 0,085 0,096 0,087 0,068 0,018 0,170

675 A 0,091 0,103 0,094 0,074 0,019 0,183

675 B 0,096 0,110 0,102 0,081 0,021 0,197

675 C 0,085 0,096 0,088 0,068 0,018 0,171

680 A 0,106 0,120 0,111 0,087 0,022 0,214

680 B 0,113 0,129 0,120 0,095 0,025 0,232

680 C 0,101 0,114 0,104 0,081 0,021 0,203

684 A 0,091 0,102 0,094 0,074 0,019 0,183

684 B - - - - - -

684 C 0,085 0,096 0,088 0,068 0,018 0,170

611 A - - - - - -

611 B - - - - - -

611 C 0,085 0,096 0,088 0,068 0,018 0,171

652 A 0,091 0,103 0,094 0,074 0,019 0,183

652 B - - - - - -

652 C - - - - - -

0

1000

2000

3000

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

U (

V)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

169

Através da análise da Tabela 6.14 verifica-se que a barra 680 (barra onde o motor

indução trifásico está instalado) possui os maiores valores de distorção harmônica individual e

total para a tensão. É verificado também que a sétima harmônica provoca a maior distorção

dentre as harmônicas de interesse. Nota-se através da distorção harmônica total para a tensão

que as barras mais afetadas são as barras mais próximas a barra 680 (estando ou não no tronco

principal da rede elétrica).

A Figura 6.12 representa os níveis de distorção harmônica total para a tensão nas

barras da rede.

Figura 6.12 – DHT para as tensões nas barras da rede com o motor.

Através da análise do comportamento das distorções harmônicas individuais e totais

para tensão verifica-se que estes valores não excedem os limites estabelecidos pela norma

IEEE 519-1992 que estipula que os valores devem ser menores que 3,0 % e 5,0 % para DHIv

e DHTv, respectivamente. O mesmo ocorre para as normas IEC 610003-6, EN 50160 e pela

regulamentação da ANEEL através do módulo 8 do Prodist. Portanto, para este motor de

indução verifica-se que os valores de distorção harmônica para tensão não excedem as

principais normas nacionais e internacionais vigentes atualmente e por esta razão não é

necessária a aplicação de métodos para mitigação dos harmônicos.

A Tabela 6.15 apresenta os valores das magnitudes e ângulos das correntes para a

frequência fundamental e todas as harmônicas de interesse.

A Figura 6.13 representa o perfil de corrente da rede para a frequência fundamental.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

DH

Tv (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

170

Tabela 6.15 – Magnitude e ângulo das correntes nos ramos da rede com o motor.

DADOS Freq. Fund. 5° h 7° h 11° h 13° h 17° h DHTi


650 632 A 610,401 -30,05 0,537 -54,44 0,436 -53,17 0,256 -52,87 0,170 -53,11 0,034 -53,85 0,12

650 632 B 447,721 -142,82 0,605 -170,52 0,489 -169,00 0,287 -168,20 0,191 -168,23 0,038 -168,61 0,19

650 632 C 632,950 93,17 0,518 65,66 0,419 67,21 0,245 67,90 0,162 67,82 0,032 67,33 0,12

632 633 A 81,773 -37,89 0,015 -24,27 0,013 -25,33 0,008 -27,67 0,005 -28,71 0,001 -30,53 0,03

632 633 B 61,252 -159,22 0,011 -143,16 0,010 -143,47 0,006 -144,93 0,004 -145,69 0,001 -147,10 0,03

632 633 C 62,929 80,31 0,010 92,42 0,009 92,00 0,005 90,56 0,003 89,87 0,001 88,67 0,02

633 634 A 708,695 -37,89 0,131 -24,27 0,110 -25,33 0,067 -27,67 0,045 -28,71 0,009 -30,53 0,03

633 634 B 530,847 -159,22 0,098 -143,16 0,082 -143,47 0,051 -144,93 0,034 -145,69 0,007 -147,10 0,03

633 634 C 545,381 80,31 0,090 92,42 0,075 92,00 0,045 90,56 0,030 89,87 0,006 88,67 0,02

632 645 A - - - - - - - - - - - - -

632 645 B 140,007 -143,11 0,027 -126,12 0,023 -126,55 0,014 -128,29 0,010 -129,17 0,002 -130,79 0,03

632 645 C 61,967 58,07 0,013 74,26 0,011 73,42 0,007 71,09 0,005 70,00 0,001 68,05 0,03

645 646 A - - - - - - - - - - - - -

645 646 B 61,967 -121,93 0,013 -105,74 0,011 -106,58 0,007 -108,91 0,005 -110,00 0,001 -111,95 0,03

645 646 C 61,967 58,07 0,013 74,26 0,011 73,42 0,007 71,09 0,005 70,00 0,001 68,05 0,03

632 671 A 529,512 -28,84 0,550 -53,65 0,447 -52,41 0,263 -52,16 0,174 -52,41 0,035 -53,17 0,15

632 671 B 249,604 -138,69 0,635 -168,34 0,515 -166,80 0,304 -166,02 0,202 -166,06 0,040 -166,46 0,36

632 671 C 523,258 98,61 0,540 66,36 0,437 67,84 0,257 68,44 0,170 68,32 0,034 67,78 0,15

671 675 A 207,181 -5,87 0,084 28,33 0,081 31,00 0,059 32,93 0,042 33,23 0,010 33,28 0,07

671 675 B 69,055 -55,79 0,060 -69,03 0,058 -69,80 0,044 -70,16 0,032 -70,28 0,007 -70,58 0,14

671 675 C 125,493 110,48 0,047 146,82 0,045 149,07 0,033 150,24 0,023 150,21 0,005 149,76 0,06

671 680 A 38,223 -37,18 0,665 -44,77 0,543 -42,68 0,322 -40,73 0,214 -40,19 0,043 -39,49 2,47

671 680 B 40,796 -154,22 0,699 -162,15 0,571 -159,97 0,338 -157,94 0,225 -157,37 0,045 -156,64 2,43

671 680 C 37,709 83,88 0,650 76,10 0,531 78,24 0,315 80,24 0,209 80,79 0,042 81,51 2,44

671 684 A 65,981 -39,49 0,018 -27,75 0,015 -29,23 0,009 -32,30 0,006 -33,66 0,001 -36,04 0,04

671 684 B - - - - - - - - - - - - -

671 684 C 73,669 119,54 0,028 152,40 0,027 155,32 0,020 157,77 0,014 158,33 0,003 158,94 0,06

684 611 A - - - - - - - - - - - - -

684 611 B - - - - - - - - - - - - -

684 611 C 73,669 119,54 0,028 152,40 0,027 155,32 0,020 157,77 0,014 158,33 0,003 158,94 0,06

684 652 A 65,981 -39,49 0,018 -27,75 0,015 -29,23 0,009 -32,30 0,006 -33,66 0,001 -36,04 0,04

684 652 B - - - - - - - - - - - - -

684 652 C - - - - - - - - - - - - -

Figura 6.13 – Perfil de corrente nos ramos da rede com o motor.

Através da Tabela 6.15 verifica-se que as correntes harmônicas que circulam na rede

elétrica possuem maior magnitude no ramo diretamente ligado ao motor de indução trifásico.

Isto ocorre devido à carga não linear injetar a corrente harmônica que se divide entre os ramos

0200400600800

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

171

da rede elétrica. Por este motivo a distorção harmônica total da corrente é maior no ramo

diretamente ligado à barra do motor do que nos demais ramos da rede.

A Figura 6.14 representa os níveis de distorção harmônica total para a corrente nos

ramos da rede.

Figura 6.14 – DHT para as correntes nos ramos da rede com o motor.

Através da análise da Figura 6.14 verifica-se que as maiores distorções harmônicas

para a corrente estão no tronco principal da rede para a carga não linear devido ao

comportamento da corrente harmônica. Nota-se também que a presença do motor de indução

trifásico localizado na barra 680 gera uma distorção harmônica local para corrente com níveis

de aproximadamente 2,4 %, porém estas correntes harmônicas injetadas pelo motor

contribuem para uma deformação nas formas de onda (tensão e corrente) na barra da

subestação (barra 650) como pode ser comprovado através dos níveis de distorção harmônica

total para corrente que são de aproximadamente 0,12 %, 0,19 % e 0,12 % (para as fases A, B

e C, respectivamente). Esta análise na subestação é importante devido à presença dos

equipamentos de medição e proteção.

A Tabela 6.16 mostra a porcentagem das correntes harmônicas (oriundas do motor)

que chegam na subestação com relação à fundamental.

Tabela 6.16 – Contribuição das correntes harmônicas do motor na barra 650.

Barra Fase Contribuição das Correntes Harmônicas (%)

5° h 7° h 11° h 13° h 17° h

650

A 0,088 0,071 0,042 0,028 0,006

B 0,135 0,109 0,064 0,043 0,008

C 0,082 0,066 0,039 0,026 0,005

Nota-se através da Tabela 6.16 que a quinta harmônica contribui com maiores

porcentagens de corrente na subestação (barra 650) devido a este ser o maior conteúdo

harmônico inserido pelo motor.

As deformações nas formas de onda da tensão e da corrente refletem nos valores de

distorção harmônica, ou seja, quanto maior deformação na forma de onda a maior a distorção.

0,0

1,0

2,0

3,0D

HTi

(%

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

172

A Figura 6.15 apresenta as formas de onda da corrente e da tensão nas barras que

possuem carga na fase A.

(a)

(b)

(c)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6.15 – Forma de onda da tensão e da corrente para as barras: (a) 634, (b) 671, (c) 675, (d) 652, (e) 650 e

(f) 680.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

x5(A

)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

t(s)

U(V

) e I

x10(A

)

Tensão

Corrente

173

Observando os níveis de distorção harmônica total para corrente apresentados na

Figura 6.14 e comparando com as formas de onda da corrente (Figura 6.15) verifica-se que a

maior distorção está na barra onde a carga não linear está instalada, isto ocorre devido a maior

deformação na forma de onda da corrente ser ocasionada pelas correntes harmônicas oriundas

do motor de indução trifásico. Apesar da distorção harmônica total para a tensão ser maior na

barra onde o motor de indução trifásico está instalado ela não apresenta o mesmo perfil da

distorção harmônica total da corrente. Este fenômeno ocorre devido às cargas não lineares

injetarem correntes harmônicas na rede elétrica que provocam quedas de tensões distorcidas e

consequentemente tensões distorcidas, portanto a deformação na tensão é um efeito

secundário e depende das impedâncias da rede elétrica. Por esta razão a distorção harmônica

total para a tensão não possui o mesmo perfil da distorção harmônica total da corrente.

Portanto, verificam-se dois comportamentos distintos para as tensões e correntes

harmônicas. Através da análise da Figura 6.12 verifica-se que as barras vizinhas a barra com

a carga não linear são as que sofrem maiores influencias das tensões harmônicas (estando ou

não no tronco principal). As correntes harmônicas influenciam os ramos mais próximos que

estão no tronco principal da rede para a carga não linear, como pode ser observado pela

Figura 6.14.

As perdas harmônicas nos ramos da rede elétrica ocorrem devido às correntes

harmônicas oriundas da carga não linear (motor de indução trifásico) na barra 680. A corrente

harmônica acarreta no aumento das perdas nas linhas de distribuição, como pode ser

observado pela Tabela 6.17.

Tabela 6.17 – Perdas nas linhas de distribuição da rede com o motor.

Bi Bf Perdas (W)

Freq. Fund. 5° h 7° h 11° h 13° h 17° h Perda harm. Total

650 632 241.407,002 0,51056491 0,39553419 0,17068530 0,08152131 0,00366999 1,161976 241.408,164

632 633 1.446,475 0,00010357 0,00008657 0,00004024 0,00001963 0,00000091 0,000251 1.446,475

633 634 72,983 0,00000522 0,00000437 0,00000203 0,00000099 0,00000005 0,000013 72,983

632 645 3.407,642 0,00029138 0,00025227 0,00012298 0,00006104 0,00000291 0,000731 3.407,643

645 646 668,995 0,00006263 0,00005496 0,00002715 0,00001353 0,00000065 0,000159 668,995

632 671 153.122,642 0,55155439 0,42955508 0,18649941 0,08924813 0,00402917 1,260886 153.123,903

671 675 8.435,637 0,00386071 0,00420634 0,00285450 0,00161053 0,00009466 0,012627 8.435,649

671 680 562,498 0,37430953 0,29565224 0,13013882 0,06256918 0,00284717 0,865517 563,363

671 684 852,174 0,00021936 0,00022093 0,00013688 0,00007496 0,00000422 0,000656 852,175

684 611 409,861 0,00013593 0,00014566 0,00009713 0,00005446 0,00000317 0,000436 409,861

684 652 871,922 0,00014344 0,00012116 0,00005676 0,00002771 0,00000128 0,000350 871,922

A Figura 6.16 apresenta o comportamento das perdas nas linhas para as componentes

harmônicas de interesse.

174

Figura 6.16 – Comportamento das perdas harmônicas nos ramos da rede com o motor.

Observando a Tabela 6.17 e Figura 6.16 verifica-se que os ramos que apresentam as

maiores perdas harmônicas são, em ordem decrescente, os ramos entre as barras 632 e 671,

650 e 632 e entre a barras 671 e 680. Este comportamento ocorre devido às impedâncias dos

ramos e às correntes harmônicas possuírem maiores magnitudes nestes ramos (tronco

principal da rede para o motor de indução trifásico) e se ramificarem pela rede, porém através

desta análise fica comprovado que a maior porcentagem das correntes harmônica injetadas

estão no tronco principal da rede elétrica.

A característica de decaimento das curvas de perdas descritas na Figura 6.16 ocorre

devido ao conteúdo harmônico do motor de indução que diminui com o aumento da ordem

harmônica (Tabela 4.1).

A Figura 6.17 representa as perdas para a frequência fundamental e totais para cada

ramos da rede.

Figura 6.17 – Perdas para a frequência fundamental e total nos ramos da rede com o motor.

Através da análise das perdas observadas na Figura 6.17 verifica-se que não houve

um aumento significativo. Este fato é explicado devido as correntes harmônicas na rede em

estudo serem muito menores que as correntes para a frequência fundamental.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

5 7 9 11 13 15 17

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

650-632

632-633

633-634

632-645

645-646

632-671

671-675

671-680

671-684

684-611

684-652

050

100150200250300

Pe

rdas

(kW

)

Ramos

Freq. Fundamental

Total

175

O aumento das perdas nos ramos é maior no ramo entre as barras 671 e 680

chegando ao valor de aproximadamente 0,1539 %, seguidos pelos ramos entre as barras 632 e

671 com 0,0008 % e entre as barras 650 e 632 com 0,0005 %, como pode ser verificado

através da Figura 6.18. Fato explicado devido aos valores das correntes harmônicas e as

impedâncias da rede.

Figura 6.18 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com o motor.

Com a injeção de correntes harmônicas na rede verifica-se o aumento das quedas de

tensões nos ramos da rede e consequentemente o aumento das deformações nas tensões nas

barras. As tensões harmônicas alteram o comportamento dos capacitores instalados na rede.

A Tabela 6.18 apresenta os valores de perdas no dielétrico e de potência reativa para

a frequência fundamental e para as componentes harmônicas de interesse.

Tabela 6.18 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com o motor.

h Cap. 675 Cap. 611

Perdas (W) Q (VAr) Perdas (W) Q (VAr)

1 119,353 596762,529 18,568 92840,748

5 0,00050 2,480 0,00007 0,337

7 0,00089 4,459 0,00012 0,598

11 0,00119 5,972 0,00016 0,785

13 0,00087 4,337 0,00011 0,566

17 0,00008 0,383 0,00001 0,049

TOTAL 119,356 596780,160 18,569 92843,083

A Figura 6.19 apresenta o comportamento das perdas no dielétrico dos bancos de

capacitores para cada ordem harmônica.

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

Au

me

nto

do

pe

rce

ntu

al d

e

pe

rdas

(%

)

Ramos

176

Figura 6.19 – Comportamento da perdas harmônicas nos capacitores da rede com o motor.

Analisando as tensões nas barras onde os bancos de capacitores estão instalados

(Tabela 6.13) verifica-se que as magnitudes de tensão harmônicas aumentam da quinta para a

décima primeira harmônica e possuem uma característica de decaimento para as demais

harmônicas. Porém, o que ocasiona o maior valor das perdas para décima primeira harmônica

compreende ao valor significativo desta tensão e da sua ordem harmônica, uma vez que as

perdas no dielétrico são diretamente proporcionais ao quadrado da tensão harmônica e a

ordem harmônica.

Através da Tabela 6.18 verifica-se que a presença de harmônicos na rede elétrica

afeta o comportamento dos bancos de capacitores. No banco de capacitores instalado na barra

675 há um aumento de 0,0029 % nas perdas e no aumento da potência reativa e no banco de

capacitores da barra 611 este aumento é de 0,0025 %.

No motor de indução trifásico as correntes harmônicas acarretam no aumento das

perdas no estator e no rotor. Este aumento das perdas é proporcional ao quadrado da corrente

harmônica no estator e do rotor. A correntes harmônicas também geram forças

magnetomotrizes no mesmo sentido e contrário à força magnetomotriz desenvolvida pela

corrente na frequência fundamental.

A Tabela 6.19 apresenta as perdas e o torque produzido pelo motor de indução.

Tabela 6.19 – Perdas e torque desenvolvido.

h

Perdas (W) Torque

(N.m) Estator Rotor Total

1 4774,727 3507,683 8282,410 1860,884

5 1,421 1,392 2,812 -0,34661

7 0,948 0,929 1,877 0,11634

11 0,333 0,326 0,659 -0,03257

13 0,147 0,144 0,292 0,01032

17 0,006 0,006 0,012 -0,00036

TOTAL 4777,582 3510,480 8288,062 1860,631

0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

5 7 9 11 13 15 17P

erd

as (

W)

Ordem harmônica

B. Cap. 675

B. Cap. 611

177

Através da Tabela 6.19 verificou-se um aumento de 0,06 % nas perdas do estator,

0,08 % nas perdas do rotor acarretando num aumento das perdas totais de 0,07 %, como

indicado na Figura 6.20.

Figura 6.20 – Perdas para frequência fundamental e total no motor.

A Figura 6.21 mostra o comportamento do torque produzido pelo motor de indução.

Figura 6.21 – Comportamento do torque produzido pelo motor de indução.

Para entender o comportamento do torque produzido pelo motor é necessário

observar o comportamento do escorregamento para cada componente harmônica, como está

representado pela Figura 6.22. É importante salientar que o escorregamento para a frequência

fundamental é igual a 0,015.

Figura 6.22 – Comportamento do escorregamento.

O torque produzido pelo motor de indução trifásico é proporcional ao quadrado da

corrente do rotor e inversamente proporcional à multiplicação da ordem harmônica pelo

escorregamento. O torque é inexpressivo devido ao escorregamento ser aproximadamente

0

2000

4000

6000

8000

10000

Estator Rotor Total

Pe

rdas

(W

)

Freq. Fundamental

Total

1860,5

1860,6

1860,7

1860,8

1860,9

1861,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Torq

ue

(N

.m)

Ordem harmônica

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Esco

rre

gam

en

to

Ordem harmônica

178

unitário e a corrente harmônica diminuir com o aumento da ordem harmônica. Devido a

presença das correntes harmônicas verificou-se que houve uma redução de 0,0136 % no

torque produzido pelo motor de indução, isto ocorre devido as harmônicas de sequência

negativa produzirem torques contrários e as harmônicas de sequência positiva produzem

torques no mesmo sentido do torque desenvolvido para a frequência fundamental.

6.2.2 Simulação com o Forno Elétrico a Arco

Para o estudo do forno elétrico a arco (FEA) é utilizada a rede de 13 barras do IEEE

(Testfeeders, 2016). A Figura 6.23 representa a localização do forno elétrico a arco na rede

elétrica.

Figura 6.23 – Rede com o forno conectado na barra 634. Adaptado de (Testfeeders, 2016).

Os parâmetros do transformador estão na Tabela 6.20 e os do forno elétrico a arco

estão na Tabela 6.21.


Tipo Pot. Aparente

(MVA)


(%)

Reatância


Y-Y 4,0 4160 480 1,1 2,0

Tabela 6.21 – Parâmetros do forno elétrico a arco.

Barra Pot. Aparente

(MVA)

Cabos A

(V)

B

(V/cm)

C

(V)

La

(cm) R (mΩ) X (mΩ)

634 3,63 0,35 35 30 12 10 5

Para uma tolerância de 0,0005 p.u. o algoritmo convergiu com quatro iterações para

a frequência fundamental e de oito a doze iterações para as componentes harmônicas de

interesse. A Figura 6.24 representa o comportamento do algoritmo para determinação do

estado da rede para a frequência fundamental e suas componentes harmônicas e na Tabela

6.22 tem-se os valores das magnitudes e ângulos das tensões nas barras da rede em estudo.

179

Figura 6.24 – Comportamento do erro (p.u.) devido ao forno elétrico a arco.

Tabela 6.22 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede com o forno.



650 A 2550,910 0,00 3,233 164,11 1,901 166,77 1,346 168,23 1,038 169,21 0,838 169,91

650 B 2521,567 -119,99 3,353 55,28 1,995 57,89 1,422 59,28 1,101 60,17 0,891 60,84

650 C 2567,281 120,01 3,575 -74,57 2,108 -72,22 1,496 -70,91 1,155 -70,09 0,932 -69,50

632 A 2351,162 -1,18 34,165 53,64 27,602 40,29 22,555 30,86 18,722 24,21 15,745 19,34

632 B 2380,774 -121,15 27,682 -50,76 22,281 -64,94 18,172 -74,41 15,092 -80,92 12,716 -85,59

632 C 2324,499 118,66 36,970 168,09 29,911 154,24 24,369 144,70 20,159 138,08 16,900 133,32

633 A 2314,428 -0,53 45,899 53,44 37,146 41,52 30,374 32,79 25,222 26,56 21,217 22,01

633 B 2338,425 -120,49 37,213 -56,62 30,149 -69,26 24,644 -78,05 20,483 -84,16 17,263 -88,56

633 C 2286,184 119,47 50,110 164,80 40,517 152,27 33,024 143,33 27,338 137,07 22,936 132,55

634 A 261,684 0,08 6,957 52,35 5,640 40,91 4,615 32,43 3,834 26,37 3,226 21,96

634 B 264,363 -119,87 5,701 -60,33 4,629 -72,31 3,787 -80,82 3,148 -86,77 2,653 -91,05

634 C 258,529 120,08 7,444 165,71 6,023 153,77 4,913 145,13 4,070 139,04 3,417 134,65

645 A - - - - - - - - - - - -

645 B 2358,090 -121,35 27,447 -51,05 22,084 -65,25 18,004 -74,72 14,948 -81,23 12,592 -85,90

645 C 2320,073 118,68 36,934 168,04 29,881 154,18 24,342 144,63 20,135 138,01 16,879 133,25

646 A - - - - - - - - - - - -

646 B 2353,945 -121,43 27,411 -51,15 22,054 -65,36 17,979 -74,83 14,925 -81,34 12,572 -86,01

646 C 2315,132 118,73 36,877 168,02 29,831 154,15 24,300 144,61 20,099 137,99 16,848 133,23

671 A 2272,411 -4,28 32,508 49,62 26,183 35,89 21,383 26,04 17,744 18,93 14,916 13,63

671 B 2403,291 -121,77 27,873 -52,26 22,350 -66,54 18,249 -76,08 15,195 -82,71 12,842 -87,51

671 C 2211,814 116,40 34,293 164,47 27,414 150,28 22,165 140,44 18,226 133,55 15,200 128,54

675 A 2255,745 -4,54 32,367 49,21 26,091 35,38 21,316 25,43 17,692 18,24 14,874 12,87

675 B 2409,115 -121,95 27,899 -52,56 22,363 -66,88 18,259 -76,45 15,203 -83,11 12,849 -87,95

675 C 2206,356 116,43 34,249 164,30 27,384 150,03 22,142 140,12 18,207 133,17 15,184 128,12

680 A 2272,374 -4,28 32,508 49,62 26,183 35,89 21,383 26,04 17,744 18,93 14,916 13,63

680 B 2403,299 -121,77 27,873 -52,26 22,350 -66,54 18,249 -76,08 15,195 -82,71 12,842 -87,51

680 C 2211,800 116,40 34,293 164,47 27,414 150,28 22,165 140,44 18,226 133,55 15,200 128,54

684 A 2267,353 -4,31 32,461 49,58 26,151 35,86 21,361 26,01 17,729 18,91 14,906 13,63

684 B - - - - - - - - - - - -

684 C 2206,068 116,30 34,238 164,26 27,379 150,00 22,141 140,10 18,209 133,15 15,188 128,09

611 A - - - - - - - - - - - -

611 B - - - - - - - - - - - -

611 C 2200,362 116,14 34,188 163,99 27,347 149,65 22,119 139,69 18,192 132,68 15,175 127,58

652 A 2252,086 -4,26 32,300 49,54 26,025 35,80 21,257 25,94 17,641 18,84 14,831 13,56

652 B - - - - - - - - - - - -

652 C - - - - - - - - - - - -

0

0,2

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Er

ro (

p.u

.)

Iterações

Fundamental

Terceira harmônica

Quinta harmônica

Sétima harmônica

Nona harmônica


180

A Figura 6.25 representa o perfil de tensão da rede com o forno elétrico a arco

conectado na barra 634 e na Tabela 6.23 tem-se os valores de distorção harmônica individual

e total para as tensões nas barras da rede.

Figura 6.25 – Perfil de tensões nas barras da rede com o forno.

Tabela 6.23 – DHI e DHT para as tensões na rede com o forno.

DADOS DHIv (%) DHTv

(%) B. F. 3o h 5o h 7o h 9o h 11o h

650 A 0,127 0,075 0,053 0,041 0,033 0,165

650 B 0,133 0,079 0,056 0,044 0,035 0,174

650 C 0,139 0,082 0,058 0,045 0,036 0,181

632 A 1,453 1,174 0,959 0,796 0,670 2,344

632 B 1,163 0,936 0,763 0,634 0,534 1,870

632 C 1,590 1,287 1,048 0,867 0,727 2,562

633 A 1,983 1,605 1,312 1,090 0,917 3,203

633 B 1,591 1,289 1,054 0,876 0,738 2,572

633 C 2,192 1,772 1,445 1,196 1,003 3,531

634 A 2,659 2,155 1,764 1,465 1,233 4,300

634 B 2,156 1,751 1,432 1,191 1,004 3,492

634 C 2,879 2,330 1,900 1,574 1,322 4,643

645 A - - - - - -

645 B 1,164 0,937 0,764 0,634 0,534 1,871

645 C 1,592 1,288 1,049 0,868 0,728 2,564

646 A - - - - - -

646 B 1,164 0,937 0,764 0,634 0,534 1,872

646 C 1,593 1,289 1,050 0,868 0,728 2,566

671 A 1,431 1,152 0,941 0,781 0,656 2,302

671 B 1,160 0,930 0,759 0,632 0,534 1,863

671 C 1,550 1,239 1,002 0,824 0,687 2,469

675 A 1,435 1,157 0,945 0,784 0,659 2,311

675 B 1,158 0,928 0,758 0,631 0,533 1,860

675 C 1,552 1,241 1,004 0,825 0,688 2,472

680 A 1,431 1,152 0,941 0,781 0,656 2,302

680 B 1,160 0,930 0,759 0,632 0,534 1,863

680 C 1,550 1,239 1,002 0,824 0,687 2,469

684 A 1,432 1,153 0,942 0,782 0,657 2,305

684 B - - - - - -

684 C 1,552 1,241 1,004 0,825 0,688 2,472

611 A - - - - - -

611 B - - - - - -

611 C 1,554 1,243 1,005 0,827 0,690 2,476

652 A 1,434 1,156 0,944 0,783 0,659 2,309

652 B - - - - - -

652 C - - - - - -

0

1000

2000

3000

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

U (

V)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

181

A Figura 6.26 apresenta os valores de distorção harmônica total para as tensões nas

barras da rede em estudo.

Figura 6.26 – DHT para as tensões nas barras da rede com o forno.

Verifica-se através da análise da Figura 6.26 e da Tabela 6.23 que os maiores níveis

de distorção harmônica individual e total para a tensão ocorrem na barra onde o forno elétrico

a arco está instalado e que terceira harmônica corresponde à componente que causa a maior

distorção. Nota-se também que as barras mais próximas da barra com a carga não linear

possuem maiores níveis de distorções harmônicas para tensão do que as que estão mais

afastadas. Isto ocorre devido ao comportamento da corrente harmônica produzida pelo forno

elétrico a arco e das quedas de tensão na rede.

Através dos limites apresentados pela norma IEEE 519-1992 e pelo Módulo 8 do

Prodist verifica-se que os níveis de distorção harmônica individual e total não são excedidos

no ponto de conexão comum quando o forno elétrico a arco está em funcionamento, já pelas

normas IEC 610002-2, IEC 610003-6 e EN 50160 verifica-se que os níveis de distorção

harmônica individual para tensão na nona harmônica não seguem os limites estabelecidos

apresentando para as fases A, B e C valores de 1,465 %, 1,191 % e 1,574 %, respectivamente.

A Tabela 6.24 apresenta os fluxos de correntes nos ramos da rede de 13 barras do

IEEE (Testfeeders, 2016); na Figura 6.27 tem-se o perfil de corrente nos ramos da rede para a

frequência fundamental e a Figura 6.28 apresenta a distorção harmônica total para a corrente

nos ramos.

0

2

4

6

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

DH

Tv (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

182

Tabela 6.24 – Magnitude e ângulo das correntes nos ramos da rede com o forno.

DADOS Freq. Fund. 3 ° h 5° h 7° h 9° h 11° h DHTi


650 632 A 898,944 -59,18 51,979 -33,26 25,513 -47,37 14,939 -57,02 9,656 -63,73 6,648 -68,57 6,779

650 632 B 750,651 178,28 46,219 -153,73 22,537 -168,00 13,152 -177,58 8,489 175,82 5,842 171,09 7,203

650 632 C 920,958 64,31 51,580 85,72 25,175 71,67 14,696 62,09 9,480 55,45 6,516 50,68 6,553

632 633 A 532,996 -89,34 54,678 -30,73 26,982 -44,75 15,841 -54,22 10,259 -60,72 7,075 -65,35 12,048

632 633 B 541,830 150,71 47,391 -151,07 23,303 -165,13 13,647 -174,58 8,825 178,96 6,080 174,38 10,259

632 633 C 522,598 30,66 54,678 89,27 26,982 75,25 15,841 65,78 10,259 59,28 7,075 54,65 12,288

633 634 A 4619,299 -89,34 473,874 -30,73 233,841 -44,75 137,289 -54,22 88,912 -60,72 61,319 -65,35 12,048

633 634 B 4695,862 150,71 410,722 -151,07 201,956 -165,13 118,278 -174,58 76,482 178,96 52,696 174,38 10,259

633 634 C 4529,184 30,66 473,874 89,27 233,841 75,25 137,289 65,78 88,912 59,28 61,319 54,65 12,288

632 645 A - - - - - - - - - - - - -

632 645 B 147,020 -142,44 0,777 -86,85 0,413 -107,79 0,253 -121,41 0,168 -130,81 0,118 -137,66 0,638

632 645 C 65,075 58,73 0,358 114,04 0,193 92,59 0,119 78,55 0,080 68,82 0,056 61,72 0,668

645 646 A - - - - - - - - - - - - -

645 646 B 65,075 -121,27 0,358 -65,96 0,193 -87,41 0,119 -101,45 0,080 -111,18 0,056 -118,28 0,668

645 646 C 65,075 58,73 0,358 114,04 0,193 92,59 0,119 78,55 0,080 68,82 0,056 61,72 0,668

632 671 A 513,469 -27,75 3,581 9,10 1,895 -6,83 1,174 -15,78 0,798 -21,28 0,576 -24,88 0,844

632 671 B 222,262 -136,50 1,700 -92,43 0,964 -111,45 0,606 -121,26 0,414 -126,69 0,299 -129,85 0,949

632 671 C 514,726 99,40 4,183 135,90 2,255 117,43 1,402 106,72 0,951 99,90 0,683 95,24 0,989

671 675 A 215,091 -6,15 1,782 49,44 1,113 35,48 0,768 25,49 0,562 18,28 0,428 12,90 1,091

671 675 B 65,062 -57,66 0,919 -30,95 0,604 -56,44 0,421 -70,11 0,310 -78,75 0,237 -84,72 1,907

671 675 C 132,890 107,95 1,177 160,20 0,728 144,74 0,496 133,87 0,359 126,10 0,271 120,30 1,157

671 680 A 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000

671 680 B 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000

671 680 C 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000

671 684 A 68,473 -38,16 0,445 0,21 0,236 -20,55 0,144 -34,70 0,096 -44,77 0,067 -52,28 0,784

671 684 B - - - - - - - - - - - - -

671 684 C 77,281 117,46 0,702 165,28 0,435 150,25 0,298 140,05 0,216 132,93 0,163 127,76 1,189

684 611 A - - - - - - - - - - - - -

684 611 B - - - - - - - - - - - - -

684 611 C 77,281 117,46 0,702 165,28 0,435 150,25 0,298 140,05 0,216 132,93 0,163 127,76 1,189

684 652 A 68,473 -38,16 0,445 0,21 0,236 -20,55 0,144 -34,70 0,096 -44,77 0,067 -52,28 0,784

684 652 B - - - - - - - - - - - - -

684 652 C - - - - - - - - - - - - -

Figura 6.27 – Perfil de corrente os ramos da rede com o forno.

Figura 6.28 – DHT para as correntes nos ramos da rede com o forno.

010002000300040005000

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

0

5

10

15

DH

Ti (

%)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

183

Através da análise da distorção harmônica total para a corrente verifica-se que o

maior valor de distorção está nos ramos entre as barras 633 e 634 e entre as barra 632 e 633.

Outro ponto importante refere-se aos valores de distorção nestes ramos serem iguais, isto

ocorre devido à barra 633 não possuir carga, ou seja, a barra 633 corresponde a uma barra de

passagem. Nota-se também que os ramos que estão no tronco principal da rede e mais

próximos da barra com a carga não linear possuem maiores distorções.

As correntes harmônicas inseridas pelo forno elétrico a arco geram deformações nas

formas de onda da corrente acarretando em significativos níveis de distorção harmônica para

corrente na barra da subestação.

A Tabela 6.25 apresenta as contribuições das correntes harmônicas oriundas do forno

na barra da subestação.

Tabela 6.25 – Contribuição das correntes harmônicas oriundas do forno na barra 650.


3° h 5° h 7° h 9° h 11° h

650

A 5,782 2,838 1,662 1,074 0,740

B 6,157 3,002 1,752 1,131 0,778

C 5,601 2,734 1,596 1,029 0,708

Nota-se através da Tabela 6.25 que as contribuições das correntes harmônicas

oriundas do forno elétrico a arco na barra da subestação são maiores que as contribuições do

motor, isto ocorre devido ao alto conteúdo harmônico existente no forno. Observa-se também

que o maior conteúdo harmônico é oriundo da terceira harmônica.

Portanto, pode-se verificar que a tensão harmônica gera maiores distorções de tensão

nas barras vizinhas (estando ou não no tronco principal da rede) e as correntes harmônicas

geram maiores distorções harmônicas nos ramos vizinhos que estão no tronco principal da

rede.

A Figura 6.29 apresenta as formas de onda da tensão e da corrente para as barras da

rede que possuem carga na fase A.

184

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 6.29 – Forma de onda da tensão e da corrente para as barras: (a) 671, (b) 675, (c) 652, (d) 650 e (e) 634.

Analisando a Figura 6.29 (e) que apresenta as formas de onda oriundas do forno

elétrico a arco observa-se que a tensão do arco elétrico compreende a uma onda quadrada e a

tensão na barra se aproxima de uma senóide, fato explicado devido as quedas de tensões nos

cabos de alimentação. Nesta figura também é possível verificar a presença do efeito flicker.

Observando os níveis de distorção harmônica total para a tensão (Figura 6.26) e

corrente (Figura 6.28) verifica-se que as maiores deformações ocorrem na barra onde a carga

não linear está instalada e no ramo diretamente conectado a esta barra, como pode ser

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

x5(A

)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

t(s)

Uarc

x15(V

), U

barr

ax10(V

) e I

(A)

Tensão da Barra

Tensao do Arco

Corrente do Arco

185

comprovado através da comparação das formas de onda da Figura 6.29 (e) com a (d) que

corresponde às barras 634 e 650, respectivamente.

As correntes harmônicas oriundas do forno elétrico a arco acarretam no aumento de

perdas nos ramos da rede de distribuição, como mostra a Tabela 6.26.

Tabela 6.26 – Perdas nas linhas de distribuição da rede com o forno.

Bi Bf Perdas (W)

Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h 11° h Perdas harm. Total

650 632 549.991,430 3.216,934 992,889 401,186 189,623 99,239 4.899,871 554.891,301

632 633 85.366,502 1.429,457 448,504 182,676 86,805 45,621 2.193,062 87.559,563

633 634 539,050 9,027 2,832 1,154 0,548 0,288 13,849 552,899

632 645 3.757,629 0,184 0,068 0,030 0,015 0,008 0,305 3.757,934

645 646 737,799 0,039 0,015 0,007 0,003 0,002 0,065 737,863

632 671 143.585,157 14,275 5,332 2,436 1,275 0,731 24,048 143.609,206

671 675 9.060,585 1,247 0,635 0,357 0,216 0,138 2,594 9.063,178

671 680 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

671 684 928,895 0,104 0,048 0,025 0,015 0,009 0,201 929,096

684 611 451,039 0,065 0,032 0,018 0,011 0,007 0,131 451,170

684 652 939,034 0,069 0,025 0,011 0,006 0,003 0,113 939,147

É importante salientar para este caso que a barra 680 não possui carga, portanto não

há corrente nem perdas no ramo entre as barras 671 e 680.

O comportamento das perdas para cada ramo em cada componente harmônica de

interesse está representado pela Figura 6.30.

Figura 6.30 – Comportamento das perdas harmônica nos ramos da rede com o forno.

Nota-se através de uma análise detalhada da Figura 6.30 com a Tabela 6.26 que as

maiores perdas ocorrem para terceira harmônica, este fato é justificado devido às correntes de

terceira harmônica possuírem maior magnitude que as componentes posteriores (Tabela 6.24),

ou seja, a magnitude das correntes decrescem com o aumento da ordem harmônica o que

também justifica o comportamento das perdas. É importante observar também que as maiores

perdas não ocorrem no ramo diretamente ligado a barra da carga e sim no ramo entre as barras

0

1.000

2.000

3.000

4.000

3 5 7 9 11

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

650-632

632-633

633-634

632-645

645-646

632-671

671-675

671-680

671-684

684-611

684-652

186

650 e 632 e no ramo entre as barras 632 e 633. O fato do ramo diretamente conectado a barra

com o forno não possui as maiores perdas ocorre devido a este ramo possuir um

transformador que tem uma impedância muito baixa se comparada com as impedâncias dos

outros ramos da rede.

A Figura 6.31 mostra a diferença das perdas da rede com e sem as componentes

harmônicas.

Figura 6.31 – Perdas nos ramos da rede com o forno para a frequência fundamental e total.

Através da análise das perdas observadas na Figura 6.31 verifica-se um aumento

significativo, sendo que na Figura 6.32 tem-se o aumento percentual das perdas nos ramos da

rede elétrica em estudo.

Figura 6.32 – Percentual de aumento de perdas nos ramos da rede com o forno.

Apesar do ramo diretamente ligado à carga não linear não possuir as maiores perdas,

ele juntamente com o ramo entre as barras 632 e 633 são os que possuem os maiores

percentuais de aumento de perdas com valores de aproximadamente 2,57 % seguidos pelo

ramo entre as barras 650 e 632 com 0,89 %.

Os efeitos das tensões harmônicas afetam os bancos de capacitores conectados nas

barras 611 e 675. O comportamento dos conteúdos harmônicos sobre as perdas e o aumento

da potência reativa estão dispostos na Tabela 6.27.

0

200

400

600

Pe

rdas

(kW

)

Ramos

Freq. Fundamental

Total

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Au

me

nto

do

pe

rce

ntu

al

de

pe

rdas

(%

)

Ramos

187

Tabela 6.27 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com o forno.

h Cap. 675 Cap. 611


1 109,284 546420,734 16,786 83931,061

3 0,062 311,933 0,012 60,786

5 0,067 334,707 0,013 64,824

7 0,062 310,177 0,012 59,372

9 0,055 273,226 0,010 51,637

11 0,047 235,258 0,009 43,913

TOTAL 109,577 547886,037 16,842 84211,593

O comportamento das perdas harmônicas no dielétrico dos capacitores estão

representados através da Figura 6.33.

Figura 6.33 – Comportamento das perdas dos capacitores da rede com o forno.

Nota-se através da análise da Figura 6.33 juntamente com a Tabela 6.27 que para o

banco de capacitores das barras 675 e 611 as maiores perdas estão na quinta harmônica. Este

fato ocorre devido as tensões harmônicas (Tabela 6.22) possuírem magnitudes muito

próximas verificando a forte influência da ordem harmônica para determinar o

comportamento do banco de capacitores.

Nota-se através da análise da Tabela 6.27 que para o banco de capacitores da barra

675 houve um aumento percentual das perdas do dielétrico e da potência reativa em torno de

0,268 % enquanto para o banco de capacitores da barra 611 o aumento de perdas da potência

reativa é de 0,334 %. Apesar do aumento das perdas e da potência reativa serem maiores no

banco de capacitores da barra 611 verifica-se que os maiores valores estão no banco de

capacitores da barra 675, justifica-se este valor devido ao banco de capacitores da barra 675

ser trifásico e o da barra 611 ser monofásico.

A Tabela 6.28 apresenta o comportamento dos cabos de alimentação do forno

elétrico a arco.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

3 5 7 9 11

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

B. Cap. 675

B. Cap. 611

188

Tabela 6.28 – Comportamento dos cabos de alimentação do forno.

h Espessura

pelicular (cm) Perdas (W)

Perdas

acumuladas (W)

1 0,0086 1629,5036 1629,504

3 0,0050 15,7540 1645,258

5 0,0038 3,8288 1649,086

7 0,0033 1,3180 1650,404

9 0,0029 0,5523 1650,957

11 0,0026 0,2626 1651,219

A Figura 6.34 mostra a espessura por onde a corrente passa pelos cabos de

alimentação para cada ordem harmônica.

Figura 6.34 – Espessura pelicular cabos de alimentação do forno.

A Figura 6.35 mostra o comportamento das perdas harmônicas causadas em cada

ordem harmônica nos cabos de alimentação do forno elétrico a arco.

Figura 6.35 – Perdas harmônicas nos cabos de alimentação do forno.

A Figura 6.36 mostra o comportamento das perdas acumuladas causadas pelas

correntes harmônicas nos cabos de alimentação do forno elétrico a arco.

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

1 3 5 7 9 11

Esp

ess

ura

(cm

)

Ordem harmônica

0

5

10

15

20

3 4 5 6 7 8 9 10 11Pe

rdas

har

mô

nic

as (

W)

Ordem harmônica

189

Figura 6.36 – Perdas acumuladas nos cabos de alimentação do forno.

Nota-se através da Figura 6.34 que com o aumento da ordem harmônica diminui-se a

região por onde a corrente passa (espessura pelicular) ocasionando o aumento a resistência

dos cabos. Porém, analisando a Figura 6.35 verifica-se que as perdas em cada componente

harmônica diminui com o aumento da ordem harmônica, este fato é justificado através da

análise da Tabela 6.24. Através da Tabela 6.24 verifica-se que a diminuição da corrente para

cada componente harmônica é maior que o aumento da resistência para cada componente

harmônica, desta maneira predominando a característica de decaimento das perdas nos cabos

de alimentação.

Porém, nota-se através da Figura 6.36 que há um aumento das perdas devido ao

acumulo das perdas harmônicas.

6.2.3 Simulação com a Lâmpada Fluorescente Compacta

Para o estudo da lâmpada fluorescente compacta (LFC) foi utilizada a rede de 13

barras do IEEE (Testfeeders, 2016) com o conjunto de lâmpadas localizadas na barra 634,

como está representada pela Figura 6.37. Porém, alterou-se os dados do transformador devido

as características de alimentação das cargas não lineares.

Figura 6.37 – Rede com o conjunto de lâmpadas conectada na barra 634. Adaptado de (Testfeeders, 2016).

Os dados do transformador estão na Tabela 6.29.

1620

1630

1640

1650

1660

1 3 5 7 9 11P

erd

as a

cum

ula

das

(W

) Ordem harmônica

190

Tabela 6.29 – Dados do transformador da rede com as lâmpadas.

Tipo Pot. Aparente

(kVA)


(%)

Reatância


Y-Y 500 4160 220 0,1 0,2

Os dados das lâmpadas fluorescentes compactas utilizadas para realizar a simulação

estão representados pela Tabela 6.30.

Tabela 6.30 – Parâmetros das lâmpadas fluorescentes compactas.

Barra P (W) FP Qdade/fase

634 52 0,87 100

Para esta simulação foram utilizadas um total de trezentas lâmpadas distribuídas

igualmente entre as três fases da barra 634, portanto cem lâmpadas por fase.


frequência fundamental e com seis iterações para as componentes harmônicas de interesse. A

Figura 6.38 representa o comportamento do algoritmo para determinação do estado da rede

para a frequência fundamental e suas componentes harmônicas.

Figura 6.38 – Comportamento do erro (p.u.) devido as lâmpadas fluorescentes.

A Tabela 6.31 apresenta os valores de magnitude e ângulo da tensão nas barras da

rede.

0

1

2

1 2 3 4 5 6

Erro

(p

.u.)

Iterações

Fundamental

Terceira harmônica

Quinta harmônica

Sétima harmônica

191

Tabela 6.31 – Magnitude e ângulo das tensões nas barras da rede com as lâmpadas.

DADOS Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h

B. F. U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°)

650 A 2550,920 0,00 0,737 169,08 0,796 57,29 0,556 -36,91

650 B 2521,781 -120,00 0,764 23,51 0,812 -88,67 0,562 177,00

650 C 2567,540 120,00 0,603 -66,10 0,651 -177,50 0,455 88,60

632 A 2469,480 -2,24 1,872 179,28 1,994 67,57 1,382 -27,06

632 B 2510,996 -121,41 1,736 60,80 1,836 -50,86 1,272 -145,34

632 C 2459,259 117,90 1,869 -55,63 1,987 -167,37 1,374 98,05

633 A 2469,465 -2,25 2,099 -165,94 2,238 83,31 1,550 -10,91

633 B 2510,980 -121,42 2,064 74,08 2,201 -36,67 1,525 -130,89

633 C 2459,214 117,90 2,107 -45,96 2,247 -156,71 1,557 109,06

634 A 130,598 -2,25 0,132 -166,24 0,141 83,13 0,098 -11,04

634 B 132,793 -121,42 0,130 73,78 0,139 -36,85 0,096 -131,02

634 C 130,055 117,89 0,133 -46,26 0,142 -156,90 0,098 108,93

645 A - - - - - - - -

645 B 2489,430 -121,59 1,723 60,54 1,822 -51,14 1,261 -145,62

645 C 2454,925 117,92 1,867 -55,66 1,984 -167,41 1,372 98,01

646 A - - - - - - - -

646 B 2485,505 -121,66 1,721 60,45 1,820 -51,24 1,259 -145,72

646 C 2450,229 117,96 1,863 -55,64 1,981 -167,39 1,369 98,03

671 A 2396,709 -5,03 1,787 175,92 1,896 63,97 1,313 -30,96

671 B 2533,854 -121,99 1,728 59,19 1,816 -52,65 1,256 -147,24

671 C 2357,581 115,87 1,757 -58,33 1,853 -170,34 1,276 94,83

675 A 2381,249 -5,28 1,781 175,57 1,891 63,52 1,310 -31,50

675 B 2539,604 -122,17 1,729 58,95 1,817 -52,93 1,256 -147,56

675 C 2352,968 115,89 1,756 -58,51 1,852 -170,59 1,275 94,52

680 A 2396,679 -5,03 1,787 175,92 1,896 63,97 1,313 -30,96

680 B 2533,853 -121,99 1,728 59,19 1,816 -52,65 1,256 -147,24

680 C 2357,585 115,87 1,757 -58,33 1,853 -170,34 1,276 94,83

684 A 2391,884 -5,06 1,785 175,89 1,894 63,95 1,311 -30,96

684 B - - - - - - - -

684 C 2352,578 115,77 1,755 -58,51 1,852 -170,58 1,275 94,53

611 A - - - - - - - -

611 B - - - - - - - -

611 C 2347,608 115,63 1,753 -58,75 1,850 -170,89 1,274 94,17

652 A 2377,412 -5,02 1,777 175,85 1,885 63,90 1,305 -31,03

652 B - - - - - - - -

652 C - - - - - - - -

A Figura 6.39 apresenta o perfil das tensões nas barras da rede para a frequência

fundamental e na Tabela 6.32 tem-se os valores de distorção harmônica individual e total para

as tensões nas barras da rede.

192

Figura 6.39 – Perfil das tensões da rede com as lâmpadas.

Tabela 6.32 – DHI e DHT para tensão na rede com as lâmpadas.

DADOS DHIv (%) DHTv

(%) B. F. 3o h 5o h 7o h

650 A 0,029 0,031 0,022 0,048

650 B 0,030 0,032 0,022 0,050

650 C 0,023 0,025 0,018 0,039

632 A 0,076 0,081 0,056 0,124

632 B 0,069 0,073 0,051 0,113

632 C 0,076 0,081 0,056 0,124

633 A 0,085 0,091 0,063 0,139

633 B 0,082 0,088 0,061 0,135

633 C 0,086 0,091 0,063 0,140

634 A 0,101 0,108 0,075 0,166

634 B 0,098 0,105 0,072 0,161

634 C 0,102 0,109 0,075 0,167

645 A - - - -

645 B 0,069 0,073 0,051 0,113

645 C 0,076 0,081 0,056 0,124

646 A - - - -

646 B 0,069 0,073 0,051 0,113

646 C 0,076 0,081 0,056 0,124

671 A 0,075 0,079 0,055 0,122

671 B 0,068 0,072 0,050 0,111

671 C 0,075 0,079 0,054 0,121

675 A 0,075 0,079 0,055 0,122

675 B 0,068 0,072 0,049 0,110

675 C 0,075 0,079 0,054 0,121

680 A 0,075 0,079 0,055 0,122

680 B 0,068 0,072 0,050 0,111

680 C 0,075 0,079 0,054 0,121

684 A 0,075 0,079 0,055 0,122

684 B - - - -

684 C 0,075 0,079 0,054 0,121

611 A - - - -

611 B - - - -

611 C 0,075 0,079 0,054 0,121

652 A 0,075 0,079 0,055 0,122

652 B - - - -

652 C - - - -

0

2000

4000

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652U

(V

) Barras

Fase A

Fase B

Fase C

193


barras da rede.

Figura 6.40 – DHT para as tensões da rede com as lâmpadas.

Através da análise dos valores de distorção harmônica individual e total apresentados

pela Tabela 6.32 e verificados pela Figura 6.40, comprova-se que as maiores distorções

harmônicas estão na barra 634 (barra onde o conjunto de lâmpadas estão instaladas) seguida

pelas barra 633 e 632. Este fato é explicado devido as correntes harmônicas serem injetadas

pela carga não linear e se distribuírem pelos ramos da rede, portanto as barras vizinhas a barra

com a carga não linear possui maiores tensões harmônicas.

Através da análise das normas IEEE 519-1992, IEC 610002-2, IEC 610003-6, EN

50160 e o módulo 8 do Prodist (ANEEL) verifica-se que não há violação das distorções

harmônicas individuais e totais para tensão.

A Tabela 6.33 apresenta os valores da magnitude e ângulo da corrente nos ramos da

rede juntamente com a distorção harmônica total.

O perfil de corrente para a frequência fundamental está representado na Figura 6.41 e

a Figura 6.42 apresenta os valores de distorção harmônica total para a corrente nos ramos da

rede de distribuição de energia elétrica.

0,000

0,100

0,200

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

DH

Tv (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

194

Tabela 6.33 – Magnitude e ângulo das correntes na rede com as lâmpadas.

DADOS Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h DHTi

(%) B. I. B. F. F I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°)

650 632 A 483,747 -27,15 1,767 108,88 1,126 -5,11 0,555 -100,96 0,45

650 632 B 348,004 -137,52 1,774 -10,94 1,127 -124,77 0,555 139,58 0,62

650 632 C 528,696 96,24 1,772 -131,77 1,127 114,33 0,555 18,58 0,41

632 633 A 2,420 29,51 1,927 111,67 1,240 -2,11 0,614 -97,64 98,01

632 633 B 2,380 -90,47 1,895 -8,31 1,219 -122,09 0,604 142,38 98,01

632 633 C 2,430 149,48 1,935 -128,36 1,245 117,87 0,617 22,34 98,01

633 634 A 45,767 29,51 36,437 111,67 23,443 -2,11 11,618 -97,64 98,01

633 634 B 45,010 -90,47 35,834 -8,31 23,055 -122,09 11,426 142,38 98,01

633 634 C 45,957 149,48 36,589 -128,36 23,540 117,87 11,666 22,34 98,01

632 645 A - - - - - - - - -

632 645 B 139,249 -142,68 0,044 24,74 0,031 -93,67 0,016 167,69 0,04

632 645 C 61,631 58,51 0,020 -134,36 0,014 106,71 0,007 7,66 0,04

645 646 A - - - - - - - - -

645 646 B 61,631 -121,49 0,020 45,64 0,014 -73,29 0,007 -172,34 0,04

645 646 C 61,631 58,51 0,020 -134,36 0,014 106,71 0,007 7,66 0,04

632 671 A 482,421 -27,39 0,184 139,50 0,129 24,97 0,068 -69,56 0,05

632 671 B 207,977 -134,55 0,104 25,38 0,077 -92,33 0,041 172,11 0,07

632 671 C 479,838 100,52 0,182 -91,95 0,128 152,26 0,067 56,97 0,05

671 675 A 203,693 -4,50 0,088 175,79 0,072 63,63 0,042 -31,43 0,06

671 675 B 69,767 -54,74 0,051 80,57 0,044 -42,50 0,026 -141,22 0,10

671 675 C 123,543 111,93 0,053 -62,60 0,043 -175,87 0,025 88,28 0,06

671 680 A - - - - - - - - -

671 680 B - - - - - - - - -

671 680 C - - - - - - - - -

671 684 A 64,864 -38,91 0,022 126,53 0,015 7,55 0,008 -91,67 0,04

671 684 B - - - - - - - - -

671 684 C 72,716 120,85 0,032 -57,45 0,026 -170,29 0,015 94,53 0,06

684 611 A - - - - - - - - -

684 611 B - - - - - - - - -

684 611 C 72,716 120,85 0,032 -57,45 0,026 -170,29 0,015 94,53 0,06

684 652 A 64,864 -38,91 0,022 126,53 0,015 7,55 0,008 -91,67 0,04

684 652 B - - - - - - - - -

684 652 C - - - - - - - - -

Figura 6.41 – Perfil de corrente nos ramos da rede com as lâmpadas.

0

200

400

600

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

195

Figura 6.42 – DHT para as correntes nos ramos da rede com as lâmpadas.

Através da análise da Tabela 6.33 verifica-se que o conjunto de lâmpadas

fluorescentes compactas provocam uma distorção harmônica local para corrente de 98,01 %

para as fases A, B e C. Também é verificado que estas injeções de corrente harmônica

oriundas das lâmpadas provocam distorções nas formas de onda da corrente na barra da

subestação (barra 650) com valores de 0,45 %, 0,62% e 0,41 % para as fases A, B e C,

respectivamente. Estes valores são relativamente baixos devido a magnitude das correntes

harmônicas serem baixas para as lâmpadas.

A Tabela 6.34 descreve a contribuição harmônica das correntes das lâmpadas que

chegam na barra da subestação.

Tabela 6.34 – Contribuição das correntes harmônicas das lâmpadas na barra 650.


3° h 5° h 7° h

650

A 0,365 0,233 0,115

B 0,510 0,324 0,159

C 0,335 0,213 0,105


oriundas das lâmpadas na barra da subestação são baixas e que o maior conteúdo harmônico é

oriundo da terceira harmônica.

Nota-se também através do comportamento da corrente (grande parte direcionada a

barra da subestação) que as barras que sofrem maiores distorções harmônica para a corrente

são aquelas que estão no tronco principal da rede e mais próximas a carga não linear.

Diferente do comportamento da distorção harmônica para tensão que afeta as barras vizinhas,

estando ou não no tronco principal.



0

50

100

150

DH

Ti (

%)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

196

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


Analisando a distorção harmônica total para a corrente na barra 634 através da

Tabela 6.33 juntamente com a forma de onda da Figura 6.43 (e) verifica-se que o maior valor

de distorção e consequentemente a maior deformação estão na barra 634. A formas de onda

da tensão e da corrente nas outras barras da rede são pouco deformadas (Figura 6.43) como

pode ser comprovado através dos valores de DHTv (Tabela 6.32) e DHTi (Tabela 6.33), isto

ocorre devido as baixas magnitudes das tensões e das correntes harmônicas nestas barras.

A presença das correntes harmônicas na rede de distribuição geram um aumento nas

perdas nos ramos. A Tabela 6.35 apresenta os valores das perdas na rede em estudo.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

x5(A

)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

t(s)

U(V

) e I

x0,5

(A)

Tensão

Corrente

197

Tabela 6.35 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com as lâmpadas.

Bi Bf Perdas (W)

Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h Perda harm. Total

650 632 157.345,033258 4,033099 2,107932 0,605462 6,7465 157.351,7798

632 633 1,748888 1,920008 1,026045 0,298161 3,2442 4,9931

633 634 0,001687 0,001852 0,000990 0,000288 0,0031 0,0048

632 645 3.370,838426 0,000585 0,000371 0,000119 0,0011 3.370,8395

645 646 661,761074 0,000122 0,000080 0,000026 0,0002 661,7613

632 671 125.762,691169 0,033287 0,021671 0,007147 0,0621 125.762,7533

671 675 8.194,226995 0,003043 0,002700 0,001095 0,0068 8.194,2338

671 680 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000 0,0000

671 684 827,292878 0,000224 0,000176 0,000067 0,0005 827,2933

684 611 399,330506 0,000131 0,000113 0,000045 0,0003 399,3308

684 652 842,640651 0,000167 0,000106 0,000034 0,0003 842,6410

A Figura 6.44 apresenta o comportamento das perdas para cada ramo em cada

componente harmônica.

Figura 6.44 – Comportamento das perdas nos ramos da rede com as lâmpadas.

Analisando a Figura 6.44 verifica-se que as maiores perdas harmônicas da rede estão

nos ramos do chamado tronco principal (ramos que ligam a carga não linear a barra da

subestação) que neste caso são os ramos entre as barras 650 e 632 e entre as barras 632 e 633.

Isto ocorre devido as maiores correntes harmônicas estarem no tronco principal da rede.

Através da análise da Tabela 6.33 verifica-se que as correntes harmônicas diminuem

sua magnitude com o aumento da ordem harmônica o que explica o comportamento das

perdas.

A Figura 6.45 apresenta os valores de perdas para frequência fundamental e total.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

3 4 5 6 7

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

650-632632-633633-634632-645645-646632-671671-675671-680671-684684-611684-652

198

Figura 6.45 – Perdas nos ramos da rede com as lâmpadas para frequência fundamental e total.

Nota-se através da Figura 6.45 que as perdas harmônicas são insignificantes quando

comparadas com as perdas para frequência fundamental. Estas perdas são insignificantes

devido as correntes harmônicas oriundas da lâmpada fluorescente compacta possuírem baixa

magnitude. Porém, apesar das perdas harmônicas serem baixas os aumentos percentuais

harmônicos de perdas são maiores nos ramos entre as barras 650 e 632 e entre as barras 632 e

634 chegando a um aumento de aproximadamente 185,5 %, como mostra a Figura 6.46.

Figura 6.46 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com as lâmpadas.

As tensões harmônicas produzidas pelo conjunto de lâmpadas fluorescentes

compactas impactam os bancos de capacitores através das perdas no dielétrico e no aumento

da potência reativa.

A Tabela 6.36 especifica as perdas dielétricas e as potências reativas dos bancos de

capacitores da rede elétrica e na Figura 6.47 tem-se o comportamento das perdas dielétricas

harmônicas nos capacitores.

Tabela 6.36 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com as lâmpadas.

h Cap. 675 Cap. 611


1 122,432 612162,480 19,108 95540,121

3 0,00019 0,962 0,000032 0,160

5 0,00036 1,787 0,000059 0,297

7 0,00024 1,193 0,000039 0,197

TOTAL 122,433 612166,422 19,108 95540,774

050

100150200

Pe

rdas

(kW

)

Ramos

Freq. Fundamental

Total

0

50

100

150

200

Au

me

nto

pe

rce

ntu

al

de

pe

rdas

(%

)

Ramos

199

Figura 6.47 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede com as lâmpadas.

Através da Figura 6.47 juntamente com os valores de tensões harmônicas nas barras

611 e 675 (Tabela 6.31) verifica-se um leve aumento nas tensões para a quinta harmônica,

afetando desta maneira o comportamento das perdas harmônicas e do aumento da potência

reativa nos bancos de capacitores. Como as perdas no dielétrico são proporcionais ao

quadrado da tensão e a ordem harmônica verifica-se um aumento maior nas perdas da terceira

para a quinta harmônica e uma diminuição da quinta para sétima harmônica. E como as

tensões harmônicas possuem baixas magnitudes verifica-se que as perdas no dielétrico e o

aumento da potência reativa dos bancos de capacitores possuem um aumento percentual

insignificante chegando a 0,00064 % e 0,00068 % para os bancos das barras 675 e 611,

respectivamente.

6.2.4 Simulação com o Sistema de Carga de Baterias para Veículos Elétricos

Para o estudo do sistema de carga de baterias para o veículo elétrico (SCBVE) é

utilizada a rede de 13 barras do IEEE (Testfeeders, 2016), porém com uma alteração no

transformador. A Figura 6.48 representa a rede com a localização do sistema de carga de

baterias na barra 634.

Figura 6.48 – Rede com os sistemas de carga de bateria conectados na barra 634. Adaptado de (Testfeeders,

2016).

Os dados do transformador estão na Tabela 6.37.

0,00000

0,00020

0,00040

3 4 5 6 7

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

B. Cap. 675

B. Cap. 611

200

Tabela 6.37 – Dados do transformador da rede com o sistema de carga das baterias.

Tipo Pot. Aparente

(kVA)


(%)

Reatância


Y-Y 500 4160 220 0,1 0,2

Para o estudo dos sistemas de cargas são realizadas duas simulações uma com o

sistema monofásico e outra com o sistema trifásico controlado por PWM, como está descrito

pelos itens que seguem.

6.2.4.1 Sistema de Carga Monofásico de Baterias para os Veículos

Elétricos

A potência dos sistemas de cargas das baterias (Hydro Quebec, 2016) estão

representados pela Tabela 6.38.

Tabela 6.38 – Parâmetros do sistema de carga monofásico.

Barra P (kW) Qdade/fase

634 1,4 3

Nesta simulação são utilizados três sistemas de carga, o algoritmo convergiu com

quatro iterações para a frequência fundamental e de cinco a sete iterações para as

componentes harmônicas de interesse, como pode ser observado pela Figura 6.49.

Figura 6.49 – Comportamento do erro (p.u.) para a rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

A Tabela 6.39 apresenta os valores das magnitudes e ângulos das tensões nas barras

da rede em estudo devido aos três sistemas de carga de baterias monofásicos.

0

0,5

1 2 3 4 5 6 7

Erro

(p

.u.)

Iterações

Fundamental

Terceira harmônica

Quinta harmônica

Sétima harmônica

Nona harmônica

201

Tabela 6.39 – Magnitude e ângulo das tensões na rede com os três sistemas de carga de

baterias monofásicos.

DADOS Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h

B. F. U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°)

650 A 2550,921 0,00 0,202 -130,31 0,161 48,30 0,019 -144,11 0,102 -135,86

650 B 2521,781 -120,00 0,208 89,49 0,163 -92,14 0,019 75,37 0,101 83,54

650 C 2567,540 120,00 0,173 -6,97 0,138 172,02 0,016 -20,18 0,087 -11,80

632 A 2469,359 -2,23 0,453 -138,48 0,358 40,08 0,041 -152,65 0,225 -144,79

632 B 2510,766 -121,40 0,464 103,21 0,364 -78,38 0,042 88,98 0,228 96,97

632 C 2459,086 117,91 0,446 -15,71 0,351 162,77 0,041 -29,93 0,220 -21,99

633 A 2469,331 -2,23 0,638 -135,61 0,505 43,85 0,059 -148,42 0,319 -140,23

633 B 2510,737 -121,41 0,628 105,22 0,497 -75,32 0,058 92,40 0,313 100,60

633 C 2459,049 117,91 0,641 -15,46 0,507 164,00 0,059 -28,28 0,320 -20,09

634 A 130,589 -2,23 0,038 -135,77 0,030 43,76 0,004 -148,49 0,019 -140,28

634 B 132,778 -121,41 0,038 105,06 0,030 -75,42 0,003 92,33 0,019 100,54

634 C 130,045 117,91 0,039 -15,62 0,031 163,90 0,004 -28,35 0,019 -20,14

645 A - - - - - - - - - -

645 B 2489,198 -121,58 0,460 102,95 0,361 -78,66 0,042 88,70 0,226 96,69

645 C 2454,753 117,93 0,445 -15,74 0,350 162,72 0,040 -29,98 0,219 -22,04

646 A - - - - - - - - - -

646 B 2485,273 -121,65 0,459 102,86 0,360 -78,75 0,042 88,60 0,226 96,59

646 C 2450,056 117,97 0,445 -15,73 0,350 162,74 0,040 -29,96 0,219 -22,02

671 A 2396,584 -5,03 0,432 -141,80 0,340 36,54 0,039 -156,49 0,213 -148,93

671 B 2533,621 -121,98 0,462 101,49 0,360 -80,32 0,042 86,92 0,225 94,77

671 C 2357,395 115,88 0,418 -18,39 0,327 159,86 0,038 -33,07 0,203 -25,36

675 A 2381,123 -5,27 0,430 -142,14 0,339 36,10 0,039 -157,02 0,213 -149,54

675 B 2539,371 -122,16 0,462 101,25 0,360 -80,60 0,042 86,60 0,225 94,41

675 C 2352,781 115,90 0,418 -18,56 0,326 159,61 0,038 -33,38 0,203 -25,71

680 A 2396,553 -5,02 0,432 -141,80 0,340 36,54 0,039 -156,49 0,213 -148,93

680 B 2533,620 -121,98 0,462 101,49 0,360 -80,32 0,042 86,92 0,225 94,77

680 C 2357,399 115,88 0,418 -18,39 0,327 159,86 0,038 -33,07 0,203 -25,37

684 A 2391,758 -5,05 0,431 -141,83 0,339 36,52 0,039 -156,50 0,213 -148,93

684 B - - - - - - - - - -

684 C 2352,391 115,78 0,418 -18,57 0,326 159,62 0,037 -33,37 0,203 -25,71

611 A - - - - - - - - - -

611 B - - - - - - - - - -

611 C 2347,421 115,64 0,417 -18,81 0,326 159,31 0,037 -33,73 0,202 -26,12

652 A 2377,286 -5,01 0,429 -141,86 0,338 36,47 0,039 -156,56 0,212 -148,99

652 B - - - - - - - - - -

652 C - - - - - - - - - -

A Figura 6.50 mostra o perfil das tensões para frequência fundamental nas barras da

rede elétrica e na Tabela 6.40 tem-se os valores de distorção harmônica individual e total para

a tensão nas barras da rede.

202

Figura 6.50 – Perfil das tensões para rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

Tabela 6.40 – DHI e DHT para tensão na rede com os três sistemas de carga de baterias

monofásicos.

DADOS DHIv (%) DHTv

(%) B. F. 3o h 5o h 7o h 9o h

650 A 0,00792 0,00630 0,00073 0,00398 0,01090

650 B 0,00823 0,00645 0,00074 0,00402 0,01123

650 C 0,00675 0,00536 0,00062 0,00339 0,00928

632 A 0,01835 0,01448 0,00168 0,00910 0,02514

632 B 0,01846 0,01448 0,00167 0,00908 0,02522

632 C 0,01814 0,01427 0,00165 0,00893 0,02480

633 A 0,02586 0,02045 0,00237 0,01290 0,03548

633 B 0,02501 0,01978 0,00229 0,01248 0,03432

633 C 0,02607 0,02062 0,00239 0,01301 0,03578

634 A 0,02943 0,02327 0,00270 0,01468 0,04038

634 B 0,02846 0,02251 0,00261 0,01420 0,03905

634 C 0,02967 0,02347 0,00272 0,01480 0,04071

645 A - - - - -

645 B 0,01848 0,01449 0,00167 0,00909 0,02524

645 C 0,01815 0,01427 0,00165 0,00893 0,02481

646 A - - - - -

646 B 0,01849 0,01450 0,00167 0,00909 0,02524

646 C 0,01814 0,01427 0,00165 0,00892 0,02480

671 A 0,01803 0,01417 0,00164 0,00889 0,02465

671 B 0,01822 0,01420 0,00164 0,00889 0,02480

671 C 0,01775 0,01385 0,00159 0,00860 0,02415

675 A 0,01808 0,01422 0,00165 0,00893 0,02473

675 B 0,01818 0,01417 0,00163 0,00887 0,02475

675 C 0,01777 0,01387 0,00159 0,00861 0,02419

680 A 0,01803 0,01417 0,00164 0,00889 0,02465

680 B 0,01822 0,01420 0,00164 0,00889 0,02480

680 C 0,01775 0,01385 0,00159 0,00860 0,02415

684 A 0,01804 0,01418 0,00164 0,00890 0,02466

684 B - - - - -

684 C 0,01777 0,01387 0,00159 0,00861 0,02418

611 A - - - - -

611 B - - - - -

611 C 0,01778 0,01388 0,00160 0,00862 0,02420

652 A 0,01806 0,01420 0,00164 0,00891 0,02470

652 B - - - - -

652 C - - - - -

0

1500

3000

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652U

(V

) Barras

Fase A

Fase B

Fase C

203


barras da rede.

Figura 6.51 – DHT para tensão da rede com os sistemas de carga de baterias monofásico.

Através da análise dos valores de distorção harmônica individual e total para a tensão

apresentados na Tabela 6.40 e na Figura 6.51 verificam-se que as maiores distorções

harmônicas (individual e total) estão na barra 634 (barra onde os três sistemas de cargas de

baterias estão instalados). Nota-se também que as maiores distorções harmônicas individuais

para tensão ocorrem para a terceira harmônica, fato explicado devido a terceira harmônica

possuir a maior injeção de corrente dentre as harmônicas de interesse.

Com base nas normas IEEE 519-1992, IEC 610002-2, IEC 610003-6, EN 50160 e no

módulo 8 do Prodist (ANEEL) verifica-se que não há violação das distorções harmônicas

individuais e totais para tensão dos limites estabelecidos para todas as barras da rede, portanto

não é necessária aplicação de estratégias para mitigação de harmônicos.

A Tabela 6.41 apresenta as magnitudes e ângulos das correntes nos ramos da rede

juntamente com a distorção harmônica total; o perfil de corrente para a frequência

fundamental está representado na Figura 6.52; e na Figura 6.53 tem-se os valores de distorção

harmônica total para os ramos da rede de distribuição de energia elétrica.

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

DH

Tv (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

204

Tabela 6.41 – Magnitudes e ângulos das correntes na rede com os três sistemas de carga de

baterias monofásicos

DADOS Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h DHTi

(%) B. I. B. F. F I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°)

650 632 A 482,9674 -27,350 0,3859 138,441 0,1828 -45,714 0,0151 120,198 0,0638 127,201 0,0895

650 632 B 346,9569 -137,774 0,3860 19,241 0,1816 -164,831 0,0150 1,255 0,0631 8,422 0,1244

650 632 C 527,8201 96,063 0,3850 -102,006 0,1818 74,005 0,0150 -119,942 0,0633 -112,825 0,0816

632 633 A 0,5670 -2,233 0,4190 142,531 0,2001 -41,243 0,0166 125,083 0,0703 132,499 82,8785

632 633 B 0,5576 -121,407 0,4120 23,357 0,1968 -160,416 0,0163 5,909 0,0691 13,325 82,8785

632 633 C 0,5693 117,909 0,4207 -97,327 0,2010 78,900 0,0167 -114,775 0,0706 -107,359 82,8785

633 634 A 10,7207 -2,233 7,9221 142,531 3,7842 -41,243 0,3141 125,083 1,3293 132,499 82,8785

633 634 B 10,5439 -121,407 7,7915 23,357 3,7218 -160,416 0,3089 5,909 1,3074 13,325 82,8785

633 634 C 10,7655 117,909 7,9553 -97,327 3,8000 78,900 0,3154 -114,775 1,3348 -107,359 82,8785

632 645 A - - - - - - - - - - -

632 645 B 139,2623 -142,671 0,0117 67,156 0,0061 -121,192 0,0005 42,018 0,0023 47,113 0,0096

632 645 C 61,6364 58,514 0,0054 -91,949 0,0028 79,188 0,0002 -118,015 0,0011 -113,244 0,0100

645 646 A - - - - - - - - - - -

645 646 B 61,6364 -121,486 0,0054 88,051 0,0028 -100,812 0,0002 61,985 0,0011 66,756 0,0100

645 646 C 61,6364 58,514 0,0054 -91,949 0,0028 79,188 0,0002 -118,015 0,0011 -113,244 0,0100

632 671 A 482,4541 -27,379 0,0438 -178,499 0,0228 -2,613 0,0020 164,856 0,0090 173,635 0,0104

632 671 B 207,9989 -134,541 0,0271 69,806 0,0150 -117,854 0,0013 48,344 0,0060 56,702 0,0152

632 671 C 479,8802 100,527 0,0442 -52,984 0,0230 121,305 0,0020 -72,119 0,0089 -63,972 0,0106

671 675 A 203,7041 -4,497 0,0213 -141,917 0,0130 36,201 0,0013 -156,958 0,0061 -149,492 0,0126

671 675 B 69,7587 -54,733 0,0137 122,868 0,0087 -70,165 0,0009 92,940 0,0041 98,775 0,0241

671 675 C 123,5534 111,939 0,0126 -22,663 0,0076 154,326 0,0007 -39,626 0,0035 -32,791 0,0123

671 680 A 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000

671 680 B 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000

671 680 C 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000

671 684 A 64,8671 -38,904 0,0053 168,808 0,0028 -19,885 0,0002 142,799 0,0010 147,394 0,0094

671 684 B - - - - - - - - - - -

671 684 C 72,7213 120,854 0,0075 -17,514 0,0046 159,914 0,0004 -33,369 0,0021 -25,870 0,0125

684 611 A - - - - - - - - - - -

684 611 B - - - - - - - - - - -

684 611 C 72,7213 120,854 0,0075 -17,514 0,0046 159,914 0,0004 -33,369 0,0021 -25,870 0,0125

684 652 A 64,8671 -38,904 0,0053 168,808 0,0028 -19,885 0,0002 142,799 0,0010 147,394 0,0094

684 652 B - - - - - - - - - - -

684 652 C - - - - - - - - - - -

Figura 6.52 – Perfil de corrente nos ramos da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

0

100

200

300

400

500

600

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

205

Figura 6.53 – DHT para corrente da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

Através da Figura 6.53 verifica-se que as maiores distorções harmônicas totais para

corrente ocorrem nos ramos diretamente conectados a barra onde o sistema de carga das

baterias está localizado. Este fato ocorre devido a corrente harmônica ser injetada pela carga

não linear.

Outro ponto importante que deve ser ressaltado compreende a deformação na forma

de onda da corrente causada pelo sistema de carga de baterias para o veículo elétrico na barra

local e na subestação. Devido as injeções de correntes harmônicas o nível de distorção

harmônica para corrente na barra 634 é de 82,8785 % para as três fases e na subestação esta

distorção é de 0,0895 %, 0,1244 % e 0,0816 % para as fases A, B e C respectivamente.

A Tabela 6.42 descreve a contribuição harmônica das correntes dos sistemas de carga

monofásicos de baterias para os veículos elétricos que chegam na barra da subestação.


monofásicos que chegam na barra 650.


3° h 5° h 7° h 9° h

650

A 0,080 0,038 0,003 0,013

B 0,111 0,052 0,004 0,018

C 0,073 0,034 0,003 0,012


oriundas dos três sistemas de carga de baterias monofásico na barra da subestação são baixas

e que o maior conteúdo harmônico é oriundo da terceira harmônica.



0

20

40

60

80

100

DH

Ti (

%)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

206

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


Analisando a distorção harmônica total para a corrente (Tabela 6.41) juntamente com

as formas de onda (Figura 6.56) verifica-se que a maior deformação e consequentemente a

maior distorção estão na barra 634 que compreende a corrente dos sistemas de carga de

baterias monofásico para o veículo elétrico. As outras barras da rede que possuem carga na

fase A possuem baixos valores de DHTv e DHTi o que é comprovado pelas formas de onda

próximas da onda senoidal.

Devido à presença das correntes harmônicas na rede de distribuição ocorre um

aumento nas perdas nos ramos como pode ser observado através Tabela 6.43 que apresenta os

valores das perdas nos ramos da rede em estudo.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

x5(A

)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

207

Tabela 6.43 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com os três sistemas de carga de baterias

monofásico.

Bi Bf Perdas (W)

Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h Perda harm. Total

650 632 156.749,311542 0,19125709 0,05505677 0,00044408 0,00895847 0,25571642 156.749,5673

632 633 0,095968 0,09076635 0,02673681 0,00021795 0,00442629 0,12214740 0,2181

633 634 0,000093 0,00008757 0,00002580 0,00000021 0,00000427 0,00011785 0,0002

632 645 3.371,467102 0,00004168 0,00001454 0,00000013 0,00000278 0,00005912 3.371,4672

645 646 661,884645 0,00000873 0,00000312 0,00000003 0,00000061 0,00001250 661,8847

632 671 125.782,838029 0,00197779 0,00070712 0,00000651 0,00014604 0,00283746 125.782,8409

671 675 8.194,996107 0,00018465 0,00009023 0,00000102 0,00002651 0,00030242 8.194,9964

671 680 0,000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,0000

671 684 827,397958 0,00001283 0,00000553 0,00000006 0,00000144 0,00001986 827,3980

684 611 399,387775 0,00000743 0,00000351 0,00000004 0,00000101 0,00001198 399,3878

684 652 842,730255 0,00000979 0,00000339 0,00000003 0,00000064 0,00001385 842,7303

A Figura 6.55 apresenta o comportamento das perdas em cada ramo para cada


Figura 6.55 – Comportamento das perdas nos ramos da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

Analisando a Figura 6.55 juntamente com a Tabela 6.43, verifica-se que as maiores

perdas harmônicas da rede estão nos ramos do chamado tronco principal (ramos que ligam a

carga não linear a barra da subestação) que neste caso são os ramos entre as barras 650 e 632

e entre as barras 632 e 633. O comportamento das perdas nos ramos possui um decaimento

mais acentuado na sétima harmônica devido as correntes para esta harmônica possuírem

baixas magnitudes (Tabela 6.41).

A Figura 6.56 apresenta os valores de perdas para frequência fundamental e total

para todos os ramos da rede.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

3 4 5 6 7 8 9

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

650-632

632-633

633-634

632-645

645-646

632-671

671-675

671-680

671-684

684-611

684-652

208

Figura 6.56 – Perdas nos ramos da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

Através da Figura 6.56 verifica-se que as perdas harmônicas são insignificantes

quando comparadas com as perdas para a frequência fundamental. Estas perdas são

insignificantes devido às correntes harmônicas possuírem baixa magnitude. Apesar das perdas

harmônicas serem baixas os aumentos dos percentuais harmônicos das perdas são maiores nos

ramos entre as barras 632 e 633 e entre as barras 633 e 634 chegando a um aumento de

aproximadamente 127,28 %, como mostra a Figura 6.57.

Figura 6.57 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

As tensões harmônicas produzidas pelos sistemas de cargas de baterias monofásicos

impactam os bancos de capacitores através das perdas no dielétrico e no aumento da potência

reativa.


capacitores.

Tabela 6.44 – Efeito nos bancos de cap. da rede com os sistemas de carga de bateria

monofásico.

h Cap. 675 Cap. 611


1 122,4140 612070,0776 19,1050 95524,8681

3 0,00001193 0,05963571 0,00000181 0,00906063

5 0,00001216 0,06077925 0,00000184 0,00920595

7 0,00000023 0,00113216 0,00000003 0,00017035

9 0,0000085 0,0427352 0,0000013 0,0063884

TOTAL 122,414 612070,242 19,105 95524,893

050

100150200

Pe

rdas

(kW

)

Ramos

Freq. Fundamental

Total

050

100150

Au

me

nto

p

erc

en

tual

de

p

erd

as (

%)

Ramos

209

A Figura 6.58 mostra o comportamento das perdas dielétricas harmônicas nos bancos

de capacitores.

Figura 6.58 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede com os sistemas de carga de bateria monofásico.

Analisando a Figura 6.58 juntamente com os valores de tensões harmônicas nas

barras 611 e 675 (Tabela 6.39) verifica-se o afundamento das curvas de perdas harmônicas no

dielétrico dos capacitores para a sétima harmônica, isto ocorrem devido a esta ordem

harmônica possuir a menor magnitude de tensão, ocasionada devido à baixa magnitude de

corrente harmônica injetada pela carga não linear. Nota-se também um aumento maior das

perdas da terceira para a quinta harmônica e uma diminuição mais acentuada da quinta para

sétima harmônica. E como as tensões harmônicas são muito baixas, as perdas no dielétrico

dos bancos de capacitores e aumento da potência reativa possuem um aumento percentual

pouco significativo. Para o banco de capacitores da barra 675 o aumento percentual das

perdas e aumento da potência reativa é de 0,000027 %. Para o banco de capacitores da barra

611 o aumento percentual de perdas e de potência reativa é de 0,000026 %.

6.2.4.2 Sistema de Carga de Bateria Trifásico Controlado por PWM para

os Veículos Elétricos

Para realizar a simulação com o sistema de carga de bateria foi adotada a potência

indicada na Tabela 6.45 (Balcells & Garcia, 2010).

Tabela 6.45 – Parâmetros do sistema de cargas trifásico (Balcells & Garcia, 2010).

Barra P (kW) Qdade

634 6,6 1

Nesta simulação foi utilizado como carga não linear um sistema de carga de bateria

com retificador controlado por PWM. Para esta simulação o algoritmo convergiu com quatro

iterações para a frequência fundamental e de cinco a sete iterações para as componentes

harmônicas, como pode ser observado pela Figura 6.59. Na Tabela 6.46 tem-se os valores das

magnitudes e ângulos das tensões nas barras da rede em estudo; a Figura 6.60 mostra o perfil

das tensões para frequência fundamental nas barras da rede elétrica e a Tabela 6.47 apresenta

os valores de distorção harmônica individual e total para a tensão nas barras da rede.

0,000000

0,000010

0,000020

3 4 5 6 7 8 9Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

B. Cap. 675

B. Cap. 611

210

Figura 6.59 – Comportamento do erro (p.u.) para rede com o sistema de carga de bateria trifásico.

Tabela 6.46 – Magnitude e ângulo das tensões da rede com o sistema de carga de bateria

trifásico.

DADOS Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h

B. F. U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°)

650 A 2550,921 0,00 0,00344 84,90 0,00143 87,26 0,00130 88,52 0,00257 89,34

650 B 2521,781 -120,00 0,00353 -55,31 0,00145 -53,18 0,00131 -52,02 0,00257 -51,29

650 C 2567,540 120,00 0,00295 -151,76 0,00122 -149,02 0,00111 -147,56 0,00221 -146,61

632 A 2469,324 -2,23 0,00771 76,73 0,00318 79,04 0,00289 79,96 0,00570 80,39

632 B 2510,756 -121,41 0,00788 -41,59 0,00324 -39,43 0,00293 -38,41 0,00578 -37,86

632 C 2459,053 117,91 0,00759 -160,51 0,00312 -158,28 0,00283 -157,32 0,00557 -156,82

633 A 2469,279 -2,23 0,01086 79,59 0,00450 82,80 0,00408 84,18 0,00807 84,93

633 B 2510,710 -121,41 0,01068 -39,58 0,00442 -36,37 0,00402 -35,00 0,00794 -34,24

633 C 2458,994 117,91 0,01091 -160,27 0,00452 -157,06 0,00410 -155,68 0,00811 -154,93

634 A 130,585 -2,24 0,00065 79,43 0,00027 82,70 0,00025 84,11 0,00049 84,87

634 B 132,776 -121,41 0,00064 -39,74 0,00027 -36,47 0,00024 -35,07 0,00048 -34,30

634 C 130,041 117,91 0,00066 -160,43 0,00027 -157,15 0,00025 -155,75 0,00049 -154,98

645 A - - - - - - - - - -

645 B 2489,188 -121,58 0,00782 -41,85 0,00321 -39,71 0,00291 -38,70 0,00573 -38,15

645 C 2454,720 117,93 0,00758 -160,54 0,00312 -158,32 0,00282 -157,37 0,00555 -156,87

646 A - - - - - - - - - -

646 B 2485,263 -121,65 0,00782 -41,93 0,00321 -39,80 0,00290 -38,80 0,00572 -38,24

646 C 2450,023 117,97 0,00756 -160,52 0,00311 -158,31 0,00281 -157,35 0,00554 -156,85

671 A 2396,546 -5,03 0,00735 73,40 0,00302 75,50 0,00274 76,12 0,00540 76,25

671 B 2533,611 -121,99 0,00785 -43,30 0,00320 -41,37 0,00289 -40,48 0,00571 -40,07

671 C 2357,359 115,88 0,00712 -163,19 0,00291 -161,19 0,00262 -160,47 0,00514 -160,19

675 A 2381,085 -5,28 0,00732 73,06 0,00301 75,05 0,00273 75,59 0,00539 75,64

675 B 2539,361 -122,16 0,00785 -43,54 0,00320 -41,65 0,00289 -40,80 0,00571 -40,42

675 C 2352,746 115,90 0,00711 -163,36 0,00291 -161,44 0,00262 -160,77 0,00513 -160,54

680 A 2396,516 -5,03 0,00735 73,40 0,00302 75,50 0,00274 76,12 0,00540 76,25

680 B 2533,611 -121,99 0,00785 -43,30 0,00320 -41,37 0,00289 -40,48 0,00571 -40,07

680 C 2357,364 115,88 0,00712 -163,19 0,00291 -161,19 0,00262 -160,47 0,00514 -160,19

684 A 2391,720 -5,05 0,00734 73,37 0,00302 75,48 0,00274 76,11 0,00539 76,25

684 B - - - - - - - - - -

684 C 2352,356 115,78 0,00711 -163,37 0,00290 -161,43 0,00261 -160,76 0,00513 -160,54

611 A - - - - - - - - - -

611 B - - - - - - - - - -

611 C 2347,385 115,63 0,00710 -163,61 0,00290 -161,74 0,00261 -161,13 0,00513 -160,95

652 A 2377,248 -5,01 0,00731 73,34 0,00301 75,42 0,00272 76,05 0,00537 76,18

652 B - - - - - - - - - -

652 C - - - - - - - - - -

0

0,2

0,4

1 2 3 4 5 6 7Er

ro (

p.u

.)

Iterações

Fundamental

Terceira harmônica

Quinta harmônica

Sétima harmônica

Nona harmônica

211

Figura 6.60 – Perfil das tensões para rede com o sistema de carga de bateria trifásico.

Tabela 6.47 – DHI e DHT para tensão na rede com o sistema de carga de bateria trifásico.

DADOS DHIv (%) DHTv

(%) B. F. 3o h 5o h 7o h 9o h

650 A 0,000135 0,000056 0,000051 0,000101 0,000185

650 B 0,000140 0,000057 0,000052 0,000102 0,000190

650 C 0,000115 0,000048 0,000043 0,000086 0,000157

632 A 0,000312 0,000129 0,000117 0,000231 0,000425

632 B 0,000314 0,000129 0,000117 0,000230 0,000426

632 C 0,000309 0,000127 0,000115 0,000226 0,000419

633 A 0,000440 0,000182 0,000165 0,000327 0,000601

633 B 0,000425 0,000176 0,000160 0,000316 0,000581

633 C 0,000444 0,000184 0,000167 0,000330 0,000606

634 A 0,000501 0,000207 0,000188 0,000372 0,000684

634 B 0,000484 0,000200 0,000182 0,000360 0,000661

634 C 0,000505 0,000209 0,000190 0,000375 0,000689

645 A - - - - -

645 B 0,000314 0,000129 0,000117 0,000230 0,000427

645 C 0,000309 0,000127 0,000115 0,000226 0,000419

646 A - - - - -

646 B 0,000314 0,000129 0,000117 0,000230 0,000427

646 C 0,000309 0,000127 0,000115 0,000226 0,000419

671 A 0,000307 0,000126 0,000114 0,000225 0,000417

671 B 0,000310 0,000126 0,000114 0,000225 0,000419

671 C 0,000302 0,000123 0,000111 0,000218 0,000408

675 A 0,000308 0,000127 0,000115 0,000226 0,000418

675 B 0,000309 0,000126 0,000114 0,000225 0,000418

675 C 0,000302 0,000124 0,000111 0,000218 0,000408

680 A 0,000307 0,000126 0,000114 0,000225 0,000417

680 B 0,000310 0,000126 0,000114 0,000225 0,000419

680 C 0,000302 0,000123 0,000111 0,000218 0,000408

684 A 0,000307 0,000126 0,000114 0,000226 0,000417

684 B - - - - -

684 C 0,000302 0,000123 0,000111 0,000218 0,000408

611 A - - - - -

611 B - - - - -

611 C 0,000303 0,000124 0,000111 0,000219 0,000409

652 A 0,000307 0,000126 0,000115 0,000226 0,000418

652 B - - - - -

652 C - - - - -

0

1000

2000

3000

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

U (

V)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

212

Nota-se através da Tabela 6.47 que as maiores distorções harmônicas individuais e

totais para as tensões ocorrem na barra onde o sistema de carga das baterias do veículo

elétrico está conectado. Verifica-se também que a maior distorção harmônica individual

ocorre para a terceira harmônica. A Figura 6.61 apresenta os valores de distorção harmônica

total para a tensão nas barras da rede.

Figura 6.61 – DHT para as tensões da rede com o sistema de carga de bateria trifásico.

Nota-se através das distorções harmônicas para a tensão (Figura 6.61) que os

harmônicos de tensão influenciam as barras mais próximas estando ou não no tronco principal

da rede para a carga não linear.

Através da análise das normas IEEE 519-1992, IEC 610002-2, IEC 610003-6, EN

50160 e o módulo 8 do Prodist (ANEEL) verifica-se que não há violação das distorções

harmônicas individuais e totais para tensão dos limites estabelecidos.

A Tabela 6.48 apresenta os valores das magnitude e ângulos das correntes nos ramos

da rede juntamente com a distorção harmônica total.

O perfil de corrente para a frequência fundamental está representado na Figura 6.62.

E a Figura 6.63 apresenta os valores de distorção harmônica total para as correntes nos ramos

da rede.

0,0000

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

DH

Tv (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

213

Tabela 6.48 – Magnitudes e ângulos das correntes na rede com o sistema de carga de bateria

trifásico

DADOS Freq. Fund. 3 ° h 5 ° h 7 ° h 9 ° h DHTi

(%) B. I. B. F. F I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°)

650 632 A 483,269 -27,34 0,00656 -6,36 0,001628 -6,77 0,001054 -7,20 0,001618 -7,64 0,00146

650 632 B 347,265 -137,76 0,00657 -125,56 0,001617 -125,88 0,001044 -126,15 0,001599 -126,42 0,00202

650 632 C 528,130 96,07 0,00655 113,19 0,001619 112,95 0,001047 112,65 0,001605 112,33 0,00133

632 633 A 0,891 -2,24 0,00713 -2,27 0,001782 -2,29 0,001158 -2,32 0,001782 -2,34 0,85835

632 633 B 0,876 -121,41 0,00701 -121,44 0,001752 -121,47 0,001139 -121,49 0,001752 -121,52 0,85835

632 633 C 0,895 117,91 0,00716 117,87 0,001789 117,85 0,001163 117,82 0,001789 117,80 0,85835

633 634 A 16,847 -2,24 0,13477 -2,27 0,033691 -2,29 0,021899 -2,32 0,033691 -2,34 0,85835

633 634 B 16,569 -121,41 0,13254 -121,44 0,033135 -121,47 0,021538 -121,49 0,033135 -121,52 0,85835

633 634 C 16,918 117,91 0,13533 117,87 0,033832 117,85 0,021991 117,82 0,033832 117,80 0,85835

632 645 A - - - - - - - - - - -

632 645 B 139,263 -142,67 0,00020 -77,64 0,000054 -82,24 0,000037 -85,38 0,000058 -87,72 0,00016

632 645 C 61,637 58,51 0,00009 123,25 0,000025 118,14 0,000017 114,59 0,000027 111,92 0,00016

645 646 A - - - - - - - - - - -

645 646 B 61,637 -121,49 0,00009 -56,75 0,000025 -61,86 0,000017 -65,41 0,000027 -68,08 0,00016

645 646 C 61,637 58,51 0,00009 123,25 0,000025 118,14 0,000017 114,59 0,000027 111,92 0,00016

632 671 A 482,463 -27,38 0,00074 36,70 0,000203 36,34 0,000140 37,46 0,000227 38,81 0,00017

632 671 B 208,001 -134,54 0,00046 -74,99 0,000134 -78,90 0,000094 -79,05 0,000152 -78,13 0,00025

632 671 C 479,888 100,53 0,00075 162,22 0,000205 160,26 0,000141 160,49 0,000227 161,20 0,00017

671 675 A 203,707 -4,50 0,00036 73,28 0,000115 75,16 0,000088 75,65 0,000154 75,68 0,00021

671 675 B 69,758 -54,73 0,00023 -21,93 0,000078 -31,21 0,000060 -34,46 0,000105 -36,06 0,00039

671 675 C 123,555 111,94 0,00022 -167,46 0,000068 -166,72 0,000052 -167,02 0,000089 -167,62 0,00020

671 680 A 0,000 0,00 0,00000 0,00 0,000000 0,00 0,000000 0,00 0,000000 0,00 0,00000

671 680 B 0,000 0,00 0,00000 0,00 0,000000 0,00 0,000000 0,00 0,000000 0,00 0,00000

671 680 C 0,000 0,00 0,00000 0,00 0,000000 0,00 0,000000 0,00 0,000000 0,00 0,00000

671 684 A 64,868 -38,91 0,00009 24,01 0,000024 19,07 0,000017 15,41 0,000026 12,57 0,00015

671 684 B - - - - - - - - - - -

671 684 C 72,722 120,85 0,00013 -162,31 0,000041 -161,13 0,000031 -160,76 0,000053 -160,70 0,00020

684 611 A - - - - - - - - - - -

684 611 B - - - - - - - - - - -

684 611 C 72,722 120,85 0,00013 -162,31 0,000041 -161,13 0,000031 -160,76 0,000053 -160,70 0,00020

684 652 A 64,868 -38,91 0,00009 24,01 0,000024 19,07 0,000017 15,41 0,000026 12,57 0,00015

684 652 B - - - - - - - - - - -

684 652 C - - - - - - - - - - -

Figura 6.62 – Perfil de corrente nos ramos da rede com o sistema de carga de bateria trifásico.

0

200

400

600

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

214

Figura 6.63 – DHT para as correntes nos ramos da rede com o sistema de carga de bateria trifásico.

Devido às maiores correntes harmônicas serem oriundas da carga não linear, os

ramos que possuem maiores deformações na forma de onda da corrente e consequentemente

as maiores distorções harmônicas para a tensão nas barras são os ramos e barras que

compõem o tronco principal da rede. Em outras palavras, as barras e os ramos entre as barras

632 e 633 e entre as barras 633 e 634, como pode ser comprovado através da análise das

Figuras 6.61 (distorção harmônica total para a tensão) e 6.63 (distorção harmônica total para a

corrente).

É importante salientar que as correntes harmônicas injetadas pelo sistema de carga de

bateria trifásico controlado por PWM para o veículo elétrico contribuem mais para as

distorções harmônicas locais (nas barras vizinhas) do que na barra da subestação, isto ocorre

devido ao comportamento da corrente harmônica na rede elétrica.

A Tabela 6.49 descreve a contribuição harmônica das correntes dos sistemas de carga

de bateria trifásico controlado por PWM para os veículos elétricos que chegam na barra da

subestação.


trifásico controlado por PWM na barra 650.


3° h 5° h 7° h 9° h

650

A 0,00136 0,00034 0,00022 0,00033

B 0,00189 0,00047 0,00030 0,00046

C 0,00124 0,00031 0,00020 0,00030


oriundas dos sistemas de carga trifásico controlado por PWM de baterias na barra da

subestação são baixas e que o maior conteúdo harmônico é oriundo da terceira harmônica.



0,0

0,5

1,0

DH

Ti (

%)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

215

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


A Figura 6.64 (e) determina a forma de onda da tensão e da corrente para a barra

634, com o nível de distorção harmônica total para a corrente de 0,858 %; e para a barra 675

que compreende a Figura 6.64 (b) o nível de distorção harmônica total para corrente é de

0,00021 %. Estas informações comprovam que as correntes harmônicas influenciam

fortemente as barras vizinhas à barra com a carga não linear.

As presenças das correntes harmônicas na rede de distribuição geram um aumento

nas perdas nos ramos. A Tabela 6.50 contém os valores das perdas.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

x5(A

)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

216

Tabela 6.50 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com o sistema de carga trifásico.

Bi Bf Perdas (W)

Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h Perdas harm. Total

650 632 156.955,631146 0,00005534661 0,00000436421 0,00000215873 0,00000575493 0,00006762448 156.955,6312

632 633 0,236992 0,00002626614 0,00000211934 0,00000105947 0,00000284338 0,00003228834 0,2370

633 634 0,000229 0,00000002534 0,00000000204 0,00000000102 0,00000000274 0,00000003115 0,0002

632 645 3.371,494940 0,00000001206 0,00000000115 0,00000000063 0,00000000179 0,00000001563 3.371,4949

645 646 661,890117 0,00000000253 0,00000000025 0,00000000014 0,00000000039 0,00000000330 661,8901

632 671 125.786,829075 0,00000057240 0,00000005606 0,00000003163 0,00000009384 0,00000075393 125.786,8291

671 675 8.195,230561 0,00000005344 0,00000000715 0,00000000497 0,00000001703 0,00000008259 8.195,2306

671 680 0,000000 0,00000000000 0,00000000000 0,00000000000 0,00000000000 0,00000000000 0,0000

671 684 827,422303 0,00000000371 0,00000000044 0,00000000028 0,00000000093 0,00000000536 827,4223

684 611 399,398743 0,00000000215 0,00000000028 0,00000000019 0,00000000065 0,00000000327 399,3987

684 652 842,757135 0,00000000283 0,00000000027 0,00000000015 0,00000000041 0,00000000366 842,7571

A Figura 6.65 apresenta o comportamento das perdas para cada ramos em cada


Figura 6.65 – Comportamento das perdas nos ramos da rede com o sistema de carga de bateria trifásico.


nos ramos do tronco principal (ramos que ligam a carga não linear a barra da subestação) que

neste caso são os ramos entre as barras 650 e 632 e entre as barras 632 e 633, isto ocorre

devido ao comportamento da corrente harmônica e do ramo entre as barras 633 e 634 possuir

um transformador de baixa impedância. Também através da Figura 6.65 verifica-se que as

perdas para terceira harmônica são as maiores devido as correntes desta componente

harmônica possuir a maior magnitude.

A Figura 6.66 apresenta os valores de perdas para a frequência fundamental e com o

acréscimo das perdas harmônicas através de um gráfico de barras.

0,00000

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

3 5 7 9

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

650-632

632-633

633-634

632-645

645-646

632-671

671-675

671-680

671-684

684-611

684-652

217

Figura 6.66 – Perdas nos ramos da rede com o sistema trifásico.

Verifica-se através da análise da Figura 6.66 que as perdas harmônicas são

insignificantes quando comparadas com as perdas para a frequência fundamental. Este fato

ocorre devido as correntes harmônicas oriundas do sistema de carga das baterias trifásico

possuírem baixa magnitude (Tabela 6.48). Porém, apesar das perdas harmônicas serem baixas

o aumento percentual harmônico de perdas são maiores nos ramos entre as barras 632 e 633 e

entre as barras 633 e 634 chegando a um aumento de aproximadamente 0,0136 %. Fato

justificado devido a estes ramos possuírem as maiores correntes harmônicas, como mostrado

na Figura 6.67.

Figura 6.67 – Aumento percentual de perdas nos ramos da rede com o sistema trifásico.


capacitores.

Tabela 6.51 – Efeito nos bancos de cap. da rede com o sistema de carga trifásico.

h Cap. 675 Cap. 611


1 122,411262 612056,309387 19,104390 95521,947730

3 0,00000000345 0,0000173 0,00000000052 0,0000026

5 0,00000000096 0,0000048 0,00000000015 0,0000007

7 0,00000000110 0,0000055 0,00000000017 0,0000008

9 0,00000000549 0,0000275 0,00000000082 0,0000041

TOTAL 122,411 612056,309 19,104 95521,948

0

50

100

150

200

Pe

rdas

(kW

)

Ramos

Freq. Fundamental

Total

0

0,005

0,01

0,015

Au

me

nto

pe

rce

ntu

al d

e

pe

rdas

(%

)

Ramos

218


de capacitores.

Figura 6.68 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede com o sistema trifásico.


barras 611 e 675 (Tabela 6.46), verifica-se que as perdas no dielétrico dos capacitores

possuem uma leve diminuição da terceira para a sétima harmônica que ocorre devido ao

comportamento da tensão. Observa-se também que as perdas possuem um aumento da sétima

para nona harmônica que é justificada devido ao aumento da tensão e da ordem harmônica.

6.2.5 Simulação devido ao Aumento de Cargas Não Lineares

Para verificar o comportamento da rede devido ao aumento de cargas não lineares foi

elaborada uma simulação utilizando a rede de 13 barras do IEEE (Testfeeders, 2016) com o

motor de indução trifásico na barra 680 e o forno elétrico a arco na barra 634, como pode ser

observado através da Figura 6.69.

Figura 6.69 – Rede com o motor e o forno nas barras 680 e 634. Adaptado de (Testfeeders, 2016).

Os parâmetros do transformador estão na Tabela 6.52.

0,000000000

0,000000002

0,000000004

0,000000006

3 5 7 9

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

B. Cap. 675

B. Cap. 611

219


Tipo Pot. Aparente

(MVA)


(%)

Reatância


Y-Y 4,0 4160 480 1,1 2,0

Os parâmetros do motor de indução trifásico estão na Tabela 6.53 e os dados do

forno elétrico a arco estão na Tabela 6.54.

Tabela 6.53 – Dados do motor de indução trifásico.

Barra 680

Pot. Do Eixo (kW) 229,5

Rend. (%) 95,7

F.P. 0,853

Velocidade Síncrona (rpm) 1200

Rotor (rpm) 1182

Resistência Estator (Ω) 1,05

Rotor (Ω) 1,05

Reatância

Estator (Ω) 1,25

Rotor (Ω) 1,25

Magnetização (Ω) 120

Pólos 6

Tabela 6.54 – Parâmetros do forno elétrico a arco.

Barra Pot. Aparente

(MVA)

Cabos A

(V)

B

(V/cm)

C

(V)

La

(cm) R (mΩ) X (mΩ)

634 3,63 0,35 35 30 12 10 5


a frequência fundamental e de nove a cinquenta e sete iterações para as componentes

harmônicas de interesse. A Figura 6.70 representa o comportamento do algoritmo para

determinação do estado da rede para a frequência fundamental e suas componentes

harmônicas.

Figura 6.70 – Comportamento do erro (p.u.) devido motor e o forno.

A Tabela 6.55 apresenta os valores de magnitude e ângulo da tensão para as barras

da rede em estudo.

0

10

20

1 9 17 25 33 41 49 57

Erro

(p

.u.)

Iterações

Fundamental

Terceira harmônica

Quinta harmônica

Sétima harmônica

Nona harmônica




220

Tabela 6.55 – Magnitude e ângulo das tensões da rede com o motor e o forno. DADOS Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h 11° h 13° h 17° h

B. F. U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°) U (V) θ (°)

650 A 2550,95 0,00 3,23 164,00 1,90 166,69 1,34 168,15 1,04 169,13 0,84 169,78 0,75 53,75 0,20 55,29

650 B 2521,54 -119,99 3,35 55,09 1,99 57,71 1,42 59,06 1,10 60,00 0,89 60,63 0,68 -81,49 0,18 -79,71

650 C 2567,24 120,01 3,57 -74,68 2,11 -72,36 1,50 -71,03 1,16 -70,24 0,93 -69,59 0,65 163,68 0,17 165,46

632 A 2342,91 -1,29 33,64 53,19 25,70 40,59 20,98 31,47 17,41 25,02 14,65 20,31 1,11 42,17 0,29 42,79

632 B 2374,82 -121,32 27,41 -51,73 20,79 -66,63 16,89 -75,90 13,99 -82,29 11,76 -86,87 1,18 -75,70 0,31 -74,78

632 C 2316,78 118,53 36,51 167,79 28,21 154,90 22,99 145,59 19,05 139,07 15,99 134,36 0,99 160,71 0,26 161,73

633 A 2306,42 -0,64 45,37 53,09 35,25 41,78 28,80 33,31 23,93 27,26 20,14 22,84 1,08 42,27 0,28 42,88

633 B 2332,63 -120,66 36,98 -57,42 28,70 -70,76 23,38 -79,38 19,40 -85,39 16,32 -89,71 1,15 -75,77 0,30 -74,87

633 C 2278,65 119,34 49,67 164,52 38,81 152,63 31,64 143,88 26,22 137,71 22,02 133,24 0,97 161,01 0,25 161,99

634 A 260,79 -0,03 6,90 52,04 5,42 41,05 4,43 32,78 3,68 26,86 3,10 22,55 0,12 42,34 0,03 42,94

634 B 263,72 -120,04 5,68 -61,00 4,47 -73,58 3,64 -81,96 3,02 -87,83 2,55 -92,05 0,13 -75,70 0,03 -74,82

634 C 257,69 119,95 7,39 165,47 5,83 154,07 4,75 145,58 3,94 139,56 3,31 135,21 0,11 161,08 0,03 162,05

645 A - - - - - - - - - - - - - - - -

645 B 2352,09 -121,52 27,18 -52,02 20,60 -66,94 16,73 -76,22 13,85 -82,61 11,65 -87,18 1,17 -76,01 0,31 -75,08

645 C 2312,35 118,55 36,48 167,74 28,18 154,84 22,97 145,52 19,02 139,00 15,97 134,29 0,99 160,64 0,25 161,66

646 A - - - - - - - - - - - - - - - -

646 B 2347,94 -121,60 27,14 -52,12 20,58 -67,05 16,71 -76,33 13,83 -82,72 11,63 -87,29 1,17 -76,12 0,31 -75,20

646 C 2307,40 118,60 36,42 167,72 28,13 154,82 22,93 145,50 18,99 138,98 15,94 134,27 0,98 160,66 0,25 161,68

671 A 2255,45 -4,52 31,50 48,62 22,37 35,98 18,20 26,74 15,09 20,03 12,69 15,03 1,58 35,29 0,41 35,42

671 B 2391,34 -122,12 27,38 -54,03 19,42 -70,28 15,71 -79,44 13,01 -85,84 10,95 -90,47 1,83 -72,24 0,48 -71,67

671 C 2196,21 116,12 33,38 163,87 23,95 151,42 19,35 142,08 15,94 135,40 13,32 130,50 1,41 159,36 0,36 160,04

675 A 2238,61 -4,79 31,36 48,20 22,29 35,46 18,14 26,12 15,05 19,33 12,66 14,25 1,57 34,47 0,41 34,47

675 B 2397,18 -122,31 27,41 -54,32 19,43 -70,61 15,71 -79,81 13,02 -86,24 10,96 -90,90 1,83 -72,71 0,48 -72,21

675 C 2190,67 116,15 33,33 163,70 23,92 151,15 19,33 141,75 15,92 135,02 13,31 130,07 1,41 158,88 0,36 159,49

680 A 2251,61 -4,58 31,26 48,31 21,33 35,61 17,31 26,51 14,34 19,88 12,06 14,93 1,87 35,77 0,48 36,04

680 B 2388,35 -122,21 27,29 -54,42 18,76 -71,51 15,14 -80,60 12,52 -86,98 10,53 -91,59 2,16 -69,91 0,56 -69,27

680 C 2193,00 116,05 33,13 163,69 22,90 151,55 18,47 142,38 15,22 135,79 12,72 130,94 1,70 160,81 0,44 161,56

684 A 2250,35 -4,55 31,46 48,57 22,35 35,95 18,18 26,72 15,08 20,02 12,68 15,02 1,58 35,31 0,41 35,46

684 B - - - - - - - - - - - - - - - -

684 C 2190,38 116,01 33,32 163,65 23,92 151,13 19,33 141,73 15,93 135,00 13,31 130,05 1,41 158,88 0,36 159,47

611 A - - - - - - - - - - - - - - - -

611 B - - - - - - - - - - - - - - - -

611 C 2184,59 115,86 33,27 163,38 23,89 150,77 19,31 141,31 15,91 134,52 13,30 129,53 1,41 158,31 0,36 158,82

652 A 2234,97 -4,51 31,30 48,53 22,24 35,89 18,09 26,65 15,00 19,94 12,62 14,95 1,57 35,24 0,41 35,39

652 B - - - - - - - - - - - - - - - -

652 C - - - - - - - - - - - - - - - -

A Figura 6.71 mostra o perfil das tensões nas barras da rede elétrica.

Figura 6.71 – Perfil de tensões nas barras da rede devido ao motor e ao forno.

Para as tensões nas barras da rede, a Tabela 6.56 apresenta os valores de distorção

harmônica individual e total, e na Figura 6.72 tem-se os valores de distorção harmônica total.

0

1000

2000

3000

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

U (

V)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

221

Tabela 6.56 – DHI e DHT para as tensões na rede com o motor e o forno

DADOS DHIv (%) DHTv

(%) B. F. 3o h 5o h 7o h 9o h 11o h 13o h 17o h

650 A 0,127 0,075 0,053 0,041 0,033 0,030 0,008 0,167

650 B 0,133 0,079 0,056 0,044 0,035 0,027 0,007 0,176

650 C 0,139 0,082 0,058 0,045 0,036 0,025 0,007 0,183

632 A 1,436 1,097 0,895 0,743 0,625 0,047 0,012 2,239

632 B 1,154 0,875 0,711 0,589 0,495 0,050 0,013 1,789

632 C 1,576 1,218 0,992 0,822 0,690 0,043 0,011 2,471

633 A 1,967 1,528 1,249 1,037 0,873 0,047 0,012 3,099

633 B 1,585 1,230 1,002 0,832 0,700 0,049 0,013 2,493

633 C 2,180 1,703 1,389 1,151 0,967 0,042 0,011 3,441

634 A 2,644 2,079 1,700 1,413 1,189 0,046 0,012 4,197

634 B 2,153 1,694 1,382 1,147 0,965 0,049 0,013 3,415

634 C 2,869 2,261 1,845 1,530 1,286 0,042 0,011 4,554

645 A - - - - - - - -

645 B 1,156 0,876 0,711 0,589 0,495 0,050 0,013 1,790

645 C 1,577 1,219 0,993 0,823 0,691 0,043 0,011 2,473

646 A - - - - - - - -

646 B 1,156 0,876 0,711 0,589 0,495 0,050 0,013 1,790

646 C 1,578 1,219 0,994 0,823 0,691 0,043 0,011 2,474

671 A 1,397 0,992 0,807 0,669 0,563 0,070 0,018 2,087

671 B 1,145 0,812 0,657 0,544 0,458 0,076 0,020 1,707

671 C 1,520 1,091 0,881 0,726 0,607 0,064 0,017 2,275

675 A 1,401 0,996 0,810 0,672 0,565 0,070 0,018 2,095

675 B 1,143 0,810 0,656 0,543 0,457 0,076 0,020 1,704

675 C 1,522 1,092 0,882 0,727 0,608 0,064 0,017 2,278

680 A 1,388 0,947 0,769 0,637 0,535 0,083 0,021 2,029

680 B 1,143 0,785 0,634 0,524 0,441 0,090 0,024 1,674

680 C 1,511 1,044 0,842 0,694 0,580 0,077 0,020 2,215

684 A 1,398 0,993 0,808 0,670 0,564 0,070 0,018 2,089

684 B - - - - - - - -

684 C 1,521 1,092 0,882 0,727 0,608 0,064 0,017 2,278

611 A - - - - - - - -

611 B - - - - - - - -

611 C 1,523 1,094 0,884 0,728 0,609 0,065 0,017 2,281

652 A 1,400 0,995 0,809 0,671 0,565 0,070 0,018 2,093

652 B - - - - - - - -

652 C - - - - - - - -

Figura 6.72 – DHT para as tensões devido ao motor e ao forno.

0

1

2

3

4

5

650 632 633 634 645 646 671 675 680 684 611 652

DH

Tv (

%)

Barras

Fase A

Fase B

Fase C

222

Através da análise dos valores de distorção harmônica individual e total para as

tensões (Tabela 6.56 e Figura 6.72) verifica-se que as maiores distorções harmônicas

(individual e total) estão na barra 634 (barra com o forno elétrico a arco) e mais sutilmente na

barra 680 (barra onde o motor de indução está localizado). O maior nível compreende à

terceira harmônica, devido a esta componente ser oriunda do forno elétrico a arco que tem

maiores magnitudes de correntes harmônicas quando comparadas com as do motor de indução

trifásico.

Com base nos limites especificados pelas normas IEEE 519-1992 e pelo Módulo 8

do Prodist (regulamentação da ANEEL) verifica-se que os níveis de distorção harmônica

individual e total para as tensões não são excedidos no ponto de conexão comum quando o

motor e o forno elétrico a arco estão em funcionamento. Com os valores de distorção

harmônica individual para tensão verifica-se que a nona harmônica excede os limites

estabelecidos pelas as normas IEC 610002-2, IEC 610003-6 e EN 50160 com valores de

1,413 %, 1,147 % e 1,530 % para as fases A, B e C, respectivamente.

A Tabela 6.57 apresenta os valores das magnitudes e ângulos das correntes nos

ramos da rede juntamente com a distorção harmônica total.

Tabela 6.57 – Magnitude e ângulo das correntes da rede com o motor e o forno.

DADOS Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h 11° h 13° h 17° h DHTi

(%) B. I. B. F. F I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°) I (A) θ (°)

650 632 A 935,002 -58,31 51,412 -33,74 24,097 -47,50 14,092 -56,89 9,108 -63,45 6,273 -68,17 0,135 -52,86 0,027 -54,00 6,37

650 632 B 785,801 179,54 45,820 -154,47 21,233 -169,09 12,358 -178,42 7,968 175,12 5,481 170,49 0,151 -168,27 0,030 -168,99 6,73

650 632 C 957,149 65,00 50,956 85,25 23,681 71,79 13,819 62,49 8,919 56,00 6,136 51,32 0,127 67,49 0,025 66,63 6,15

632 633 A 530,048 -89,45 54,678 -30,84 26,982 -44,86 15,841 -54,33 10,259 -60,83 7,075 -65,46 0,031 -47,61 0,006 -47,03 12,12

632 633 B 539,695 150,53 47,391 -151,24 23,303 -165,31 13,647 -174,75 8,825 178,79 6,080 174,21 0,033 -165,65 0,006 -164,78 10,30

632 633 C 519,824 30,53 54,678 89,14 26,982 75,12 15,841 65,65 10,259 59,15 7,075 54,52 0,027 71,13 0,005 72,09 12,35

633 634 A 4593,751 -89,45 473,874 -30,84 233,841 -44,86 137,289 -54,33 88,912 -60,83 61,319 -65,46 0,265 -47,61 0,052 -47,03 12,12

633 634 B 4677,356 150,53 410,722 -151,24 201,956 -165,31 118,278 -174,75 76,482 178,79 52,696 174,21 0,282 -165,65 0,056 -164,78 10,30

633 634 C 4505,138 30,53 473,874 89,14 233,841 75,12 137,289 65,65 88,912 59,15 61,319 54,52 0,237 71,13 0,047 72,09 12,35

632 645 A - - - - - - - - - - - - - - - - -

632 645 B 147,395 -142,62 0,774 -87,82 0,388 -109,48 0,236 -122,90 0,157 -132,19 0,110 -138,94 0,009 -129,48 0,002 -131,10 0,62

632 645 C 65,242 58,56 0,356 113,07 0,181 90,89 0,111 77,06 0,074 67,44 0,052 60,44 0,005 69,68 0,001 67,73 0,65

645 646 A - - - - - - - - - - - - - - - - -

645 646 B 65,242 -121,44 0,356 -66,93 0,181 -89,11 0,111 -102,94 0,074 -112,56 0,052 -119,56 0,005 -110,32 0,001 -112,27 0,65

645 646 C 65,242 58,56 0,356 113,07 0,181 90,89 0,111 77,06 0,074 67,44 0,052 60,44 0,005 69,68 0,001 67,73 0,65

632 671 A 553,963 -28,64 4,223 7,07 3,116 -23,95 1,872 -34,66 1,232 -41,11 0,863 -45,30 0,166 -51,89 0,033 -52,72 1,04

632 671 B 261,347 -139,51 2,296 -95,67 2,185 -135,63 1,316 -147,36 0,864 -154,25 0,602 -158,63 0,191 -166,04 0,038 -166,49 1,38

632 671 C 553,196 98,03 4,827 132,42 3,432 97,83 2,070 86,56 1,367 79,70 0,959 75,15 0,159 68,18 0,031 67,60 1,17

671 675 A 216,774 -6,71 1,753 48,43 0,965 35,56 0,664 26,19 0,486 19,37 0,369 14,28 0,042 34,49 0,010 34,49 1,01

671 675 B 64,640 -58,34 0,912 -32,71 0,530 -60,18 0,366 -73,46 0,268 -81,88 0,204 -87,67 0,031 -70,20 0,007 -70,53 1,80

671 675 C 134,007 107,21 1,162 159,60 0,645 145,86 0,440 135,50 0,319 127,94 0,241 122,26 0,023 150,40 0,005 149,81 1,09

671 680 A 36,580 -36,09 0,693 1,75 1,602 -41,54 0,966 -55,03 0,630 -63,72 0,436 -69,90 0,205 -39,10 0,041 -38,40 5,87

671 680 B 38,801 -153,73 0,605 -100,98 1,409 -148,66 0,845 -162,14 0,551 -170,58 0,381 -176,42 0,214 -156,89 0,043 -156,15 4,86

671 680 C 35,628 84,53 0,734 117,13 1,720 74,40 1,031 60,84 0,669 52,19 0,460 46,11 0,198 81,44 0,039 82,16 6,44

671 684 A 68,998 -38,40 0,438 -0,79 0,205 -20,46 0,125 -33,99 0,083 -43,67 0,058 -50,88 0,006 -32,33 0,001 -34,76 0,74

671 684 B - - - - - - - - - - - - - - - - -

671 684 C 77,828 116,78 0,694 164,67 0,386 151,38 0,264 141,67 0,192 134,77 0,145 129,71 0,014 158,45 0,003 158,92 1,12

684 611 A - - - - - - - - - - - - - - - - -

684 611 B - - - - - - - - - - - - - - - - -

684 611 C 77,828 116,78 0,694 164,67 0,386 151,38 0,264 141,67 0,192 134,77 0,145 129,71 0,014 158,45 0,003 158,92 1,12

684 652 A 68,998 -38,40 0,438 -0,79 0,205 -20,46 0,125 -33,99 0,083 -43,67 0,058 -50,88 0,006 -32,33 0,001 -34,76 0,74

684 652 B - - - - - - - - - - - - - - - - -

684 652 C - - - - - - - - - - - - - - - - -

223

Através da análise da Tabela 6.57 verifica-se que as correntes para a terceira e nona

harmônicas são oriundas somente do forno elétrico arco (para estas harmônicas o tronco

principal compreende aos ramos entre as barras 650 e 632, 632 e 633 e entre as barras 633 e

634). Para a décima terceira e décima sétima harmônica as correntes são originadas pelo

motor de indução trifásico definindo o tronco principal como os ramos entre as barras 650 e

632 632 e 671 e entre as barras 671 e 680. As demais harmônicas (quinta, sétima e décima

primeira) as correntes harmônicas são oriundas tanto do motor de indução quanto do forno

elétrico a arco, determinando desta maneira dois troncos principais.

O perfil de corrente para a frequência fundamental está representado na Figura 6.73.

Figura 6.73 – Perfil de corrente nos ramos da rede devido ao motor e ao forno.

A Figura 6.74 apresenta os valores de distorção harmônica total para os ramos da

rede de distribuição de energia elétrica.

Figura 6.74 – DHT para as correntes devido ao motor e ao forno.

Nota-se que a distorção harmônica total para a corrente é maior nos ramos entre as

barras 632 e 633 e entre as barras 633 e 634 devido a presença do forno elétrico a arco (carga

não linear de maior potência e conteúdo harmônico) na barra 634.

Através das distorções harmônicas paras as correntes nota-se também o efeito do

aumento das cargas não lineares localmente (ramos próximos as cargas não lineares) e na

barra da subestação, as correntes harmônicas injetadas pelas cargas não lineares contribuem

para deformação da forma de onda da corrente na subestação chegando a valores de DHTi de

6,37 %, 6,73 % e 6,15 % para as fases A, B e C, respectivamente. A Tabela 6.58 descreve a

contribuição harmônica devido ao funcionamento simultâneo do motor com o forno na barra

da subestação.

0200040006000

I (A

)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

05

1015

DH

Ti (

%)

Ramos

Fase A

Fase B

Fase C

224

Tabela 6.58 – Contribuição das correntes harmônicas do motor e do forno na barra 650.


3° h 5° h 7° h 9° h 11° h 13° h 17° h

650

A 5,499 2,577 1,507 0,974 0,671 0,014 0,003

B 5,831 2,702 1,573 1,014 0,697 0,019 0,004

C 5,324 2,474 1,444 0,932 0,641 0,013 0,003


oriundas do motor e do forno na barra da subestação são altas, devido principalmente ao

forno, e que o maior conteúdo harmônico porvém da terceira harmônica. Na Figura 6.75 tem-

se as formas de onda da tensão e da corrente para as barras da rede com carga na fase A.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6.75 – Forma de onda da tensão e da corrente para as barras: (a) 671, (b) 675, (c) 652, (d) 650, (e) 680 e

(f) 634.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

t(s)

U(V

) e I

x5(A

)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

t(s)

U(V

) e I

(A)

Tensão

Corrente

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

t(s)

U(V

) e I

x10(A

)

Tensão

Corrente

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

t(s)

Ubarr

ax5 (

V),

Uarc

x10(V

) e I

(A)

Tensão da Barra

Tensao do Arco

Corrente do Arco

225

Analisando a distorção harmônica total para a corrente na barra 634 juntamente com

a Figura 6.75 (d) verifica-se que o maior valor de distorção e a maior deformação estão na

barra 634 devido a corrente oriunda do forno. As outras barras da rede que possuem carga na

fase A possuem baixos valores de DHTv e DHTi o que é comprovado através formas de onda

que são próximas da onda senoidal.

As presenças das correntes harmônicas na rede de distribuição geram um aumento

nas perdas nos ramos da rede. A Tabela 6.59 apresenta os valores das perdas na rede em

estudo.

Tabela 6.59 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com o motor e o forno.

Bi Bf Perdas (W)

Freq. Fund. 3° h 5° h 7° h 9° h 11° h 13° h 17° h Perda harm. Total

650 632 596.577,758 3.148,532 881,950 355,406 167,963 87,937 0,05090 0,002294 4.641,842 601.219,599

632 633 84.530,003 1.429,457 448,504 182,676 86,805 45,621 0,00099 0,000045 2.193,063 86.723,066

633 634 533,769 9,027 2,832 1,154 0,548 0,288 0,00001 0,000000 13,849 547,617

632 645 3.776,849 0,183 0,060 0,026 0,013 0,007 0,00006 0,000003 0,289 3.777,138

645 646 741,578 0,038 0,013 0,006 0,003 0,002 0,00001 0,000001 0,061 741,639

632 671 169.190,398 19,946 14,560 6,248 3,075 1,666 0,07936 0,003580 45,578 169.235,976

671 675 9.189,292 1,212 0,485 0,271 0,164 0,104 0,00160 0,000094 2,238 9.191,530

671 680 508,786 0,297 2,079 0,888 0,427 0,225 0,05660 0,002575 3,975 512,761

671 684 942,569 0,102 0,037 0,020 0,011 0,007 0,00007 0,000004 0,177 942,746

684 611 457,447 0,063 0,025 0,014 0,008 0,005 0,00005 0,000003 0,116 457,562

684 652 953,473 0,067 0,019 0,008 0,004 0,002 0,00003 0,000001 0,100 953,573

A Figura 6.76 apresenta o comportamento das perdas para cada ramo em cada


Figura 6.76 – Comportamento das perdas nos ramos devido ao motor e o forno.


nos ramos do chamado tronco principal (ramos que ligam a carga não linear a barra da

subestação) da carga que possui maior corrente para frequência fundamental e conteúdo

harmônico que neste caso são os ramos entre as barras 650 e 632 e entre as barras 632 e 633.

No ramo entre as barra 650 e 632 verifica-se que as perdas para terceira harmônica são as

maiores devido as correntes desta componente possuir a maior magnitude (Tabela 6.57).

0

1.000

2.000

3.000

4.000

3 5 7 9 11 13 15 17

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

650-632

632-633

633-634

632-645

645-646

632-671

671-675

671-680

671-684

684-611

684-652

226

A Figura 6.77 apresenta os valores de perdas para a frequência fundamental e total.

Figura 6.77 – Perdas nos ramos devido ao motor e o forno.

Verifica-se através da análise da Figura 6.77 que as perdas harmônicas são

significantes quando comparadas com as perdas para as frequências fundamentais. Os

aumentos percentuais harmônicos das perdas harmônicas são maiores nos ramos entre as

barras 632 e 633, entre as barras 633 e 634 com um aumento de 2,59 %, seguido pelo ramo

entre as barras 671 e 680 com 0,78 % e pelo ramo entre as barras 650 e 632 de 0,77 %, como

mostra a Figura 6.78.

Figura 6.78 – Aumento percentual de perdas nos ramos devido ao motor e o forno.

O comportamento do aumento das perdas harmônicas é maior entre os ramos das

barras 632 e 633 e entre as barras 633 e 634 devido as correntes harmônicas originadas pelo

forno elétrico a arco serem maiores que as correntes harmônicas do motor de indução.

As tensões harmônicas produzidas pelas cargas não lineares (forno elétrico a arco e o

motor de indução trifásico) impactam os bancos de capacitores através das perdas no

dielétrico e no aumento da potência reativa.

A Tabela 6.60 especifica as perdas dielétricas e as potências reativas dos capacitores.

0100200300400500600700

Pe

rdas

(kW

)

Ramos

Freq. Fundamental

Total

0,00,51,01,52,02,53,0

Au

me

nto

pe

rce

ntu

al d

e

pe

rdas

(%

)

Ramos

227

Tabela 6.60 – Perdas e potências dos bancos de capacitores da rede com o motor e o forno.

h Cap. 675 Cap. 611


1 107,874 539369,949 16,546 82732,490

3 0,059206 296,028 0,011516 57,578

5 0,050163 250,816 0,009896 49,478

7 0,046093 230,465 0,009049 45,247

9 0,040526 202,631 0,007901 39,507

11 0,034884 174,420 0,006749 33,745

13 0,000704 3,521 0,000090 0,449

17 0,000062 0,311 0,000008 0,039

TOTAL 108,106 540528,141 16,592 82958,532


de capacitores.

Figura 6.79 – Perdas harmônicas dos capacitores devido ao motor e o forno.


barras 611 e 675 (Tabela 6.55) verifica-se que as perdas no dielétrico dos bancos de

capacitores possuem uma queda brusca a partir da décima primeira harmônica devido a estas

tensões serem originadas somente pelo motor de indução trifásico. Para as frequências

harmônicas de interesse menores que a décima terceira harmônica o forno elétrico a arco está

atuando sozinho ou juntamente com o motor de indução, e por esta razão verificam-se perdas

maiores nesta região.

Para este caso verifica-se que o aumento percentual das perdas no dielétrico e da

potência reativa para o banco de capacitores na barra 675 são de 0,21 % e para o banco de

capacitores da barra 611 o aumento percentual é de 0,27%.

6.3 Análise dos Efeitos dos Harmônicos na Rede Elétrica

Neste tópico são elaboradas análises dos efeitos dos harmônicos sobre a rede de

distribuição de energia elétrica através do comportamento das perdas nos ramos e nos bancos

de capacitores. Estas análises são elaboradas através de três comparações, sendo a primeira

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

3 5 7 9 11 13 15 17

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

B. Cap. 675

B. Cap. 611

228

através dos efeitos das cargas não lineares na rede elétrica, a segunda entre os sistemas de

cargas de baterias para o veículo elétrico e a terceira e última devido ao aumento de cargas

não lineares na rede elétrica (comparações do efeito dos harmônicos na rede oriundo do motor

e do motor e forno funcionando simultaneamente).

6.3.1 Comparação entre as cargas não lineares

Neste tópico são elaborados estudos sobre o efeito dos harmônicos gerados pelas

cargas não lineares (motor de indução trifásico, forno elétrico a arco, lâmpadas fluorescentes

compactas e sistemas de carga de baterias para os veículos elétricos) na rede de energia

elétrica. Para analisar os efeitos dos harmônicos na rede de distribuição de energia elétrica

deve-se, inicialmente, verificar os efeitos das correntes harmônicas nos ramos da rede.

A Tabela 6.61 apresenta as perdas harmônicas em cada ramo da rede para cada carga

não linear.

Tabela 6.61 – Perdas harmônicas nos ramos da rede para às cargas não lineares.

Barras Perdas harmônicas

Bi Bf MIT (W) FEA (x0,002W) LFC (W) SCBVE - 1Ф (W) SCBVE - 3Ф (W)

650 632 1,16198 9,79974 6,74649 0,255716 0,0000676245

632 633 0,00025 4,38612 3,24421 0,122147 0,0000322883

633 634 0,00001 0,02770 0,00313 0,000118 0,0000000312

632 645 0,00073 0,00061 0,00107 0,000059 0,0000000156

645 646 0,00016 0,00013 0,00023 0,000012 0,0000000033

632 671 1,26089 0,04810 0,06210 0,002837 0,0000007539

671 675 0,01263 0,00519 0,00684 0,000302 0,0000000826

671 680 0,86552 0,00000 0,00000 0,000000 0,0000000000

671 684 0,00066 0,00040 0,00047 0,000020 0,0000000054

684 611 0,00044 0,00026 0,00029 0,000012 0,0000000033

684 652 0,00035 0,00023 0,00031 0,000014 0,0000000037

Na Tabela 6.61 verifica-se que os valores das perdas harmônicas para o forno

elétrico a arco são multiplicados por 0,002 enquanto os demais não. Esta alteração adotada na

Tabela 6.61 é para melhoria visual da Figura 6.80.

A Figura 6.80 apresenta os valores das perdas harmônicas oriundos da Tabela 6.61

estão dispostos num gráfico de barras.

229

Figura 6.80 – Perdas harmônicas nos ramos da rede com as cargas não lineares.

Através da análise da Figura 6.80 verifica-se que as maiores perdas ocorrem nos

ramos do tronco principal da rede elétrica (para cada carga não linear), ou seja, para o motor

de indução trifásico que está conectada na barra 680 as maiores perdas estão nos ramos entre

as barras 680 e 671, 671 e 632 e entre as barras 632 e 650; para as demais cargas não lineares

(forno elétrico a arco, lâmpada fluorescente compacta e os sistemas de cargas de baterias) que

estão na barra 634 as maiores perdas estão nos ramos entre as barras 633 e 632 e entre as

barras 632 e 650. Fato justificado devido ao comportamento da corrente harmônica na rede

elétrica.

É importante salientar que as perdas entre as barras 633 e 634 (apesar de estar no

tronco principal da rede para algumas cargas não lineares) não possui as maiores perdas

devido a este ramo possuir um transformador que tem baixa impedância.

A Figura 6.81 apresenta o comportamento das perdas harmônicas totais nos ramos da

rede para cada componente harmônica de interesse.

Figura 6.81 – Comportamento das perdas nos ramos devido as cargas não lineares.

A Tabela 6.62 apresenta as perdas totais nos ramos da rede para cada carga não

linear.

02468

1012

Pe

rdas

Ramos

MIT (W)

FEA (x0,002W)

LFC (W)

SCBVE - 1Ф (W)

SCBVE - 3Ф (W)

0

2

4

6

8

10

3 5 7 9 11 13 15 17

Pe

rdas

har

mô

nic

as

Ordem harmônica

MIT (W)

FEA (x0,002W)

LFC (W)

SCBVE - 1Ф (W)

SCBVE - 3Ф (W)

230

Tabela 6.62 – Perdas nos ramos da rede para às cargas não lineares.

Dispositivo Perdas harmônicas (W)

Fundamental harmônica Total

MIT 411.257,831 3,30360 411.261,134

FEA 795.357,120 7.134,23865 802.491,358

LFC 297.405,566 10,06514 297.415,631

SCBVE - 1Ф 296.830,109 0,38124 296.830,491

SCBVE - 3Ф 297.040,891 0,00010 297.040,891

Verifica-se que as perdas nos ramos com funcionamento do motor de indução

trifásico compreendem a 51,25 % das perdas causadas pelo forno elétrico a arco, de maneira

análoga, as perdas devido as lâmpadas fluorescentes compactas correspondem a 37,06 % e os

sistemas de carga das baterias do veículo elétrico monofásico e trifásico compreendem a

aproximadamente 37,0 %.

A análise dos efeitos das tensões harmônicas é elaborada através das perdas no

dielétrico dos bancos de capacitores e das potências reativas. A Tabela 6.63 apresenta os

valores das perdas harmônicas cada banco de capacitores.

Tabela 6.63 – Perda no dielétrico dos capacitores devido às cargas não lineares.

Dispositivos Perdas Harmônicas (W)

MIT FEA (x 0,02) LFC SCBVE - 1Ф SCBVE - 3Ф

B. Capacitores – 675 0,00353 0,00586 0,00079 0,0000329 0,0000000110

B. Capacitores – 611 0,00047 0,00112 0,00013 0,0000050 0,0000000017

A Figura 6.82 apresenta os valores das perdas harmônicas nos dielétrico dos

capacitores (Tabela 6.63) através de um gráfico de barras.

Figura 6.82 – Perdas harmônicas dos capacitores da rede devido as cargas não lineares.

É importante salientar que as perdas nos bancos de capacitores devido aos

harmônicos gerados pelo forno elétrico a arco possui altos valores quando comparados com os

0,00000,00100,00200,00300,00400,00500,00600,0070

Pe

rdas

har

mô

nic

as (

W)

B. Capacitores da barra 675


231

harmônicos gerados pelas demais cargas não lineares e para uma melhor visualização da

Figura 6.87 seus valores foram multiplicados por 0,02.

Nota-se através da Figura 6.82 que as maiores perdas harmônicas nos dielétricos dos

capacitores ocorrem no funcionamento do forno elétrico a arco, seguido pelo motor de

indução, conjunto de lâmpada fluorescente compacta, sistema de carga de baterias monofásico

e trifásico controlado por PWM para o veículo elétrico. Verifica-se também que os valores do

banco de capacitores da barra 675 são maiores que o banco da barra 611, fato justificado

devido ao banco da barra 675 ser trifásico e o banco da barra 611 ser monofásico.

A Tabela 6.64 apresenta os valores das potências reativas para cada banco de

capacitores em cada rede.

Tabela 6.64 – Potências reativas nos bancos de capacitores para as cargas não lineares.

Dispositivos Potência Reativa Harmônica(VAr)

MIT FEA (x 0,02) LFC SCBVE - 1Ф SCBVE - 3Ф

B. Capacitores – 675 17,632 29,306 3,942 0,164 0,000055

B. Capacitores – 611 2,335 5,611 0,653 0,025 0,000008

A Figura 6.83 apresenta as potências reativas harmônicas descritas na Tabela 6.64

através de um gráfico de barras.

Figura 6.83 – Potências reativas dos capacitores da rede com as cargas não lineares.

Como as perdas nos dielétricos e o aumento da potência reativa harmônica nos

bancos de capacitores são proporcionais ao quadrado da tensão harmônica, verifica-se que as

cargas que mais influenciam o funcionamento dos capacitores são aquelas que possuem

maiores tensões harmônicas (forno elétrico a arco e o motor de indução trifásico).

A Tabela 6.65 apresenta os valores das perdas harmônicas nos dielétricos e as perdas

totais.

0

5

10

15

20

25

30

35

Po

tên

cia

reat

iva

har

mô

nic

a (V

Ar)



232

Tabela 6.65 – Perdas no dielétrico dos capacitores para as cargas não lineares.

Dispositivo Perdas harmônicas (W)

Fundamental Harmônica Total

MIT 137,9207 0,003993338 137,9246

FEA 126,0704 0,349166942 126,4195

LFC 141,5405 0,000918997 141,5414

SCBVE - 1Ф 141,5190 0,000037822 141,5190

SCBVE - 3Ф 141,5157 0,000000013 141,5157

Através da Tabela 6.65 verifica-se que as perdas harmônicas dos bancos de

capacitores para rede com o motor de indução trifásico compreendem a 1,14 % das perdas

harmônicas para a rede com o forno, de maneira análoga, as perdas devido ao conjunto de

lâmpadas fluorescentes compactas, ao sistema de carga monofásico e trifásico controlado por

PWM são de 0,26 %, 0,011 % e 0,0000036 %, respectivamente.

A Tabela 6.66 apresenta os valores das potências reativas harmônicas e totais nos

bancos de capacitores.

Tabela 6.66 – Potências reativas dos capacitores para as cargas não lineares.

Dispositivo Potência Reativa (VAr)

Fundamental Harmônica Total

MIT 689.603,2765 19,966691 689.623,2432

FEA 630.351,7949 1.745,834712 632.097,6296

LFC 707.702,6013 4,594986 707.707,1963

SCBVE - 1Ф 707.594,9456 0,189108 707.595,1348

SCBVE - 3Ф 707.578,2571 0,000063 707.578,2572

Através da Tabela 6.66 verifica-se que as maiores potências reativas harmônicas dos

bancos de capacitores são produzidas pelo forno elétrico a arco seguido pelo motor de

indução trifásico, conjunto de lâmpadas fluorescentes compactas e pelos sistemas de carga de

baterias monofásico e trifásico para o veículo elétrico.

6.3.2 Comparação entre os Sistemas de Carga de Baterias para Veículos Elétricos

Neste estudo é discutido o efeito dos harmônicos para os diferentes tipos de sistemas

de cargas de baterias para os veículos elétricos.

Analisando as injeções de correntes harmônicas através das Tabelas 4.4 e 4.6

verifica-se que os sistemas de cargas monofásicos apresentam alto conteúdo harmônico para a

terceira harmônica enquanto a maior porcentagem de corrente harmônica para os sistemas

trifásicos controlados por PWM são muito baixas.

233

A Figura 6.84 representa as perdas totais nos ramos da rede devido ao funcionamento

dos sistemas de cargas de baterias (monofásico e trifásico) na barra 634.

Figura 6.84 – Perdas totais nos ramos da rede devido aos sistemas de cargas de baterias.

Através da análise da Tabela 6.62 verifica-se que as perdas nos ramos para

frequência fundamental é maior para o sistema trifásico e para as componentes harmônicas

para o sistema monofásico. Isto ocorre devido à demanda de corrente e ao baixo conteúdo

harmônico do sistema de carga de bateria trifásico. Porém, como as perdas harmônicas são

baixas (em ambos sistemas) predomina os valores das perdas para frequência fundamental

(que no caso as do sistema trifásico são maiores) justificando o comportamento descrito pela

Figura 6.84.

A Figura 6.85 representa o efeito dos harmônicos gerados pelos sistemas de carga

(monofásico e trifásico) de baterias nos bancos de capacitores da rede elétrica.

(a)

(b)

Figura 6.85 – Efeito nas (a) perdas dielétricas e (b) na potência reativa devido aos sistemas de cargas de baterias.

Através da análise das Tabelas 6.65 e 6.66 verifica-se que as maiores perdas e

potências reativas nos bancos de capacitores para a frequência fundamental e as componente

harmônicas são maiores para os sistemas de carga de baterias monofásicos (devido as maiores

magnitudes de tensão serem oriundas deste sistema) o que explica o comportamento descrito

pelos gráficos das Figuras 6.85 e 6.86.

6.3.3 Comparações devido ao Aumento de Cargas Não Lineares

Para verificar o comportamento da rede de distribuição de energia elétrica devido ao

aumento de cargas não lineares foi comparada a rede com o motor de indução trifásico de

296,7

296,8

296,9

297,0

297,1

Pe

rdas

to

tais

n

os

ram

os

(kW

)

SCBVE - 1Ф

SCBVE - 3Ф

141,5120

141,5140

141,5160

141,5180

141,5200

Pe

rdas

(W

)

SCBVE - 1Ф

SCBVE - 3Ф

707,56

707,57

707,58

707,59

707,60

Po

t. R

eat

iva

(kV

Ar)

SCBVE - 1Ф

SCBVE - 3Ф

234

229,5 kW na barra 680 com a rede com o mesmo motor instalado na barra 680 juntamente

com o forno de 3,63 MVA na barra 634.

As perdas totais nos ramos da rede quando a única carga não linear é somente o

motor compreende a 411,261 kW e quando o motor e o forno elétrico a arco estão em

funcionamento, esta perda aumenta para 874,303 kW, como mostra a Figura 6.86.

Figura 6.86 – Perdas totais nos ramos para as redes com o motor e com o motor e o forno.

Através da Figura 6.89 pode-se observar o aumento das perdas nos ramos devido ao

aumento das cargas não lineares. Verifica-se também (através das perdas descritas pelas

Tabelas 6.17 e 6.59) que as maiores perdas ocorrem nos ramos do tronco principal da rede

para cada uma das cargas não lineares.

A Figura 6.87 representa as perdas harmônicas em cada ramo da rede quando a carga

não linear compreende somente ao motor e quando as cargas não lineares são o motor e o

forno em funcionamento.

Figura 6.87 – Perdas nos ramos para as redes com o motor e com o motor e o forno.

Nota-se através da Figura 6.87 que para rede com o motor na barra 680 as principais

perdas estão no tronco principal (ramos entre as barras 650 e 632, 632 e 671 e entre as barras

671 e 680) e para rede com o motor e o forno as perdas são maiores no tronco principal da

carga não linear de maior potência e conteúdo harmônico que no caso compreende ao forno

0

200

400

600

800

1000

Cargas não lineares

Pe

rdas

no

s ra

mo

s (k

W)

Motor

Motor e Forno

0

1

2

3

4

5

Pe

rdas

har

mô

nic

as

Ramos

Motor (W)

Motor e Forno (kW)

235

elétrico a arco. Portanto, para simulação com o motor e o forno elétrico a arco os ramos que

possuem maiores perdas são os ramos entre as barras 650 e 632 e entre as barras 632 e 633.

A Figura 6.88 representa as perdas harmônicas no tronco principal da rede para o

motor na barra 680.

Figura 6.88 – Comportamento das perdas no tronco principal da rede com o motor.

Para a rede com o motor verifica-se que as maiores perdas harmônicas estão no ramo

entre as barras 632 e 671, isto ocorre devido a maior parte da corrente harmônica ser

direcionada para a barra da subestação (barra 650), fato explicado devido a este caminho

possuir menor impedância.

A Figura 6.89 representa o comportamento das perdas para rede elétrica para o

funcionamento do motor de indução trifásico juntamente com o forno elétrico a arco.

Figura 6.89 – Comportamento das perdas no tronco principal da rede com o motor e o forno.

Através do comportamento das perdas harmônicas nas linhas da rede verifica-se que

as maiores perdas ocorrem nos ramos entre as barras 650 e 632, entre as barras 632 e 633 e

entre as barras 633 e 634. As maiores perdas ocorrem para a terceira harmônica devido às

correntes para esta componente harmônica possuirem maior magnitude. Para a décima

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

5 7 9 11 13 15 17

Pe

rdas

(W

)

Ordem harmônica

650-632

632-671

671-680

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

3 5 7 9 11 13 15 17

Pe

rdas

har

mo

nic

as (

W)

Ordem harmônica

650-632

632-633

633-634

236

terceira e décima sétima harmônica as perdas são menores, pois a corrente para estas

harmônicas são oriundas do motor de indução trifásico.

As tensões harmônicas afetam as perdas no dielétrico dos capacitores. A Tabela 6.67

representa as perdas nos dielétricos dos capacitores quando a carga não linear corresponde ao

motor e quando as cargas não lineares compreendem ao motor e o forno.

Tabela 6.67 – Perdas nos capacitores da rede devido ao motor e o forno.

Bancos de

Capacitores

Perdas (W)

Freq. Fundamental Harmônica Total

Motor 137,9207 0,0040 137,9246

Forno & Motor 124,4200 0,2768 124,6968

A Figura 6.90 representa o comportamento das perdas harmônicas no dielétrico dos

capacitores instalados na rede em estudo.

Figura 6.90 – Perdas harmônicas nos capacitores para as redes com o motor e com o motor e o forno.

Verifica-se que as tensões harmônicas para a rede com o motor são menores o que

provoca menores perdas harmônicas nos bancos de capacitores, porém com o aumento de

cargas não lineares conectadas na rede houve um aumento nas tensões harmônicas

acarretando em um aumento nas perdas nos bancos de capacitores, como pode ser observado

através da Figura 6.90. Porém, com o aumento de cargas (lineares ou não lineares) na rede

verificou-se que diminui as tensões nas barras dos capacitores acarretando na diminuição das

perdas para a frequência fundamental.

A Tabela 6.68 representa o comportamento das potências reativas nos bancos de

capacitores.

Tabela 6.68 – Potência dos capacitores devido ao motor e o forno.

Bancos de Capacitores Potência reativa (VAr)

Freq. Fundamental Harmônica Total

Motor 689.603,2765 19,9667 689.623,2432

Forno & Motor 622.102,4390 1.384,2350 623.486,6740

0,00

0,01

0,02

0,03


Pe

rdas

h

arm

ôn

icas

no

d

ielé

tric

o d

os

cap

acit

ore

s (W

)

Motor

Motor & Forno (x0,1)

237

A Figura 6.91 apresenta as potências reativas totais harmônicas para cada cenário

estudado anteriormente.

Figura 6.91 – Potência reativa dos capacitores da rede com o motor e com o motor e o forno.

Verifica-se que com o aumento das cargas não lineares (motor e forno) diminui-se as

tensões para frequência fundamental nas barras dos bancos de capacitores, porém aumenta-se

as tensões harmônicas. Este comportamento das tensões para frequência fundamental e suas

componentes harmônicas provocam uma diminuição das potências reativas para frequência

fundamental e um aumento nas componentes harmônicas, como pode ser observado pela

Tabela 6.68.

Por esta razão as perdas e as potências reativas totais nos bancos de capacitores são

maiores na rede com o motor do que na rede com o motor e o forno funcionando

simultaneamente.

Portanto, neste capítulo constam as simulações realizadas com o algoritmo

desenvolvido para realizar o fluxo de potência trifásico nas versões tradicional e harmônica

com diferentes cenários (cargas não lineares) para análise dos impactos dos harmônicos nos

dispositivos da rede de distribuição de energia elétrica. As cargas não lineares anlisadas

foram:

a) Motor de indução trifásico.

b) Forno elétrico a arco.

c) Lâmpadas fluorescentes compactas

d) Sistema de carga de baterias monofásico

e) Sistema de carga de baterias trifásico controlado por PWM

No próximo capítulo são apresentadas algumas conclusões e propostas para trabalhos

futuros.

0

50

100

150


Po

tên

cia

reat

iva

har

mô

nic

a (V

Ar)

Motor

Motor & Forno (x0,1)

238

Capítulo 7

Conclusões e Trabalhos Futuros

Com os estudos propostos neste trabalho verificaram-se as características da

modelagem dos dispositivos da rede de distribuição de energia elétrica (linhas de distribuição,

transformadores e bancos de capacitores), das cargas lineares e não lineares e do fluxo de

potência trifásico tradicional e harmônico, ambos baseados no método backward/forward

sweep.

A modelagem dos dispositivos da rede elétrica (linhas de distribuição,

transformadores e bancos de capacitores) foi elaborada visando a inserção direta dos modelos

matemáticos no algoritmo desenvolvido. As cargas modeladas compreendem as cargas

lineares e não lineares. As cargas não lineares estudadas compreendem ao motor de indução

trifásico, ao forno elétrico a arco, a lâmpada fluorescente compacta e aos sistemas de carga de

bateria monofásicos e trifásicos controlados por PWM para os veículos elétricos.

O fluxo de potência trifásico utilizado é baseado no método backward/forward sweep

do tipo Ladder que utiliza duas equações (que determinam a corrente e a tensão na barra

montante) para realizar o processo backward sweep e uma equação (que determina a tensão

na barra jusante) para o processo forward sweep. Para comprovar a eficiência do algoritmo

desenvolvido comparou-se o resultado obtido com a resposta da rede de 13 barras do IEEE.

Com as respostas obtidas com algoritmo verificou-se que o método proposto foi eficiente

devido ao maior erro percentual obtido ser menor que 0,63 % para o ângulo e que 0,38 % para

a magnitude da tensão. O algoritmo desenvolvido mostrou-se eficiente, versátil (pois permite

elaborar estudos de distorção harmônica, formas de onda de tensão e corrente e a inserção de

novas cargas não lineares) e robusto com boas características de convergência para diferentes

cargas não lineares.

Através deste estudo observou-se os harmônicos gerados pelas cargas não lineares e

o comportamento na rede de distribuição de energia elétrica. Notou-se através dos resultados

que a maior parcela das correntes harmônicas seguem em direção a subestação, isto ocorre

devido a este caminho ser o de menor impedância para a fonte de harmônicos. Com este

comportamento das correntes harmônicas pode-se comprovar que as DHTi são maiores nos

ramos que estão dentro do tronco principal da rede (ramos que ligam a carga não linear a

subestação) e as DHTv são maiores nas barras mais próximas (estando ou não dentro do

tronco principal) da barra com a carga não linear.

239

Com um motor de indução trifásico de 229,5 kW conectado a barra 680 da rede de

13 barras do IEEE (Testfeeders, 2016) verificou-se que as correntes harmônicas presentes nos

enrolamentos provocam o aumento nas perdas do estator e do rotor que geram o aumento da

temperatura e consequentemente na diminuição do rendimento e da vida útil devido a

degradação do material isolante. Para o torque verificou-se que houve uma diminuição

insignificante como é previsto por Arrilaga e Watson (Arrilaga & Watson, 2007). Como as

correntes harmônicas injetadas pelo motor na rede elétrica possuem baixa magnitude

verificou-se baixos níveis de tensões harmônicas na rede, como pode ser comprovado

analisando as Tabelas 6.15 e 6.13, respectivamente. Estas pequenas magnitudes de tensão e

corrente harmônica provocam baixas distorções harmônicas, não violando nenhuma das

normas de qualidade da energia elétrica vigentes atualmente. Devido à presença das correntes

harmônicas verificou-se um aumento nas perdas nos ramos da rede e devido as tensões

harmônicas houve um aumento nas perdas do dielétrico e na potência reativa dos capacitores

instalados nas barras 675 e 611.

Para um forno elétrico a arco de 3,6 MVA conectado à barra 634 da rede elétrica

verificou-se a presença do efeito pelicular nos cabos de alimentação e consequentemente o

aumento nas perdas. O conteúdo harmônico gerado pelo forno elétrico a arco provoca

distúrbios na rede elétrica como: deformações nas formas de onda da tensão e da corrente

refletindo nos níveis de distorções harmônicas, efeito flicker (como pode ser verificada

através da Figura 6.29), aumento significativo das perdas nos ramos e nos bancos de

capacitores. Através da análise dos níveis de distorção harmônica para tensão (Tabela 6.23)

verifica-se que no ponto de conexão comum os níveis de distorção harmônica total para

tensão estão abaixo de 4,643 %. Porém através da análise das distorções harmônicas

individuais para a tensão verifica-se que a nona harmônica excede os limites estabelecidos

pelas normas vigentes atualmente.

Para um conjunto de trezentas lâmpadas fluorescente compactas de 52 W distribuídas

igualmente pelas fases da rede na barra 634 provocam altos níveis de distorções harmônicas

para corrente no ponto de conexão comum (como pode ser observado pela Tabela 6.33),

porém os níveis de distorção harmônica para tensão no ponto de conexão são baixos (como

pode ser observado pela Tabela 6.32). Estes valores de distorção harmônica para tensão e para

corrente são explicados devido às deformações nas formas de onda representadas pela Figura

6.43 (e). Devido à injeção de correntes harmônicas serem baixas e provocarem baixas tensões

harmônicas verifica-se um aumento insignificante nas perdas nos ramos, nas perdas no

dielétrico e na potência reativa dos capacitores da rede.

240

Para três sistemas de carga monofásicos de baterias para o veículo elétrico de 1,4 kW

igualmente distribuídos pelas fases da rede na barra 634 verificou-se baixos níveis de

distorção harmônica para tensão (Tabela 6.40) devido à baixa magnitude da corrente

harmônica, porém através da análise da Figura 6.54 (e) verifica-se uma deformação

significativa na forma de onda da corrente o que acarreta em altos níveis de distorção

harmônica (Tabela 6.41). Com as baixas magnitudes das tensões e correntes harmônicas

verificam-se também insignificantes aumentos nas perdas nos ramos, nas perdas e na potência

reativa nos bancos de capacitores.

Para um sistema de carga trifásico controlado por PWM de baterias para o veículo

elétrico de 6,6 kW instalado na barra 634 verifica-se que no ponto de conexão comum os

níveis de distorção harmônica total para tensão e corrente são baixos. Estes níveis são baixos

devido as correntes harmônicas oriundas deste sistema de carga de baterias serem de baixa

magnitude, como pode ser observado pela Figura 6.64 (e). Como a magnitude das tensões e

correntes são baixas as perdas harmônicas nos ramos e nos bancos de capacitores também são

baixos.

Na comparação entre os sistemas de cargas de baterias para os veículos elétricos

verificou-se que o sistema de carga monofásico possui maior conteúdo harmônico que o

sistema de carga trifásico controlado por PWM. Porém, a demanda de corrente para

frequência fundamental é maior para o sistema de carga de baterias trifásico ocasionando as

maiores perdas nos ramos da rede elétrica. Devido as maiores tensões serem oriundas do

sistema de carga monofásico verifica-se que para os bancos de capacitores os efeitos são

maiores quando os sistemas de cargas monofásicos estão em funcionamento.

Analisando a rede com o motor de 229,5 kW na barra 680 e a rede com o mesmo

motor na barra 680 juntamente com um forno elétrico a arco de 3,63 MVA na barra 634,

verifica-se que o aumento das cargas não lineares na rede de distribuição de energia elétrica

gera um aumento significativo nas perdas nos ramos. Nos bancos de capacitores verificou-se

que a rede com menos carga (motor de indução trifásico) eleva a tensão provocando um

aumento das perdas e da potência reativa na frequência fundamental, porém com o aumento

de cargas não lineares (motor de indução trifásico e forno elétrico a arco) aumentou-se as

tensões harmônicas da rede acarretando em um aumento das perdas e das potências reativas

harmônicas nos bancos de capacitores. Devido a este comportamento notou-se que a rede com

o motor tem a maior perda e potência reativa nos bancos de capacitores para frequência

fundamental e as menores perdas e potências reativas para as componentes harmônicas.

241

Através das simulações verificou-se que o algoritmo utilizado para a realização do

cálculo do fluxo de potência para a versões tradicional e harmônicas (baseado no método

backward/forward sweep) se mostrou atraente devido a facilidade de implementação,

apresentando resultados esperados devido ao comportamento dos harmônicos na rede elétrica.

Verificou-se também que as cargas não lineares utilizadas na rede elétrica não geraram

grandes problemas de distorção harmônica para tensão nas barras da rede elétrica. Com cargas

não lineares de maior potência ou com o aumento das cargas não lineares na rede elétrica

verifica-se o aumento das perdas nos ramos da rede. Nos bancos de capacitores verificou-se

que para a frequência fundamental há um aumento das perdas e da potência reativa quando se

tem menos carga (linear ou não linear) na rede elétrica, mas com cargas não lineares de maior

conteúdo harmônico ou com ao aumento destas cargas as perdas e da potência reativa

apresentam uma diminuição para frequência fundamental e um aumento para as componentes

harmônicas.

Possíveis estudos futuros podem ser voltados a modelagem matemática dos

reguladores de tensão, novas cargas não lineares, geração distribuída e as estratégias de

mitigação de harmônicos com análise do efeito na rede de distribuição de energia elétrica.

242

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249

ANEXO A

A.1 ANÁLISE DE HARMÔNICOS

A Série de Fourier, postulada em 1822 por Jean Joseph Baptist Fourier (Fourier,

1822), possibilita determinar as componentes que formam uma onda não senoidal. Leão et al.

(Leão et al, 2014) definem a Série de Fourier como um processo de conversão da forma de

onda no domínio do tempo em componentes com diferentes frequências (componentes

harmônicas), ou seja, uma função qualquer 𝑠(𝑡) pode ser descrita, matematicamente, por uma

Série Trigonométrica que realiza a superposição de senos e cossenos com uma combinação de

amplitudes e frequências.

A equação (A.1) define a Série Trigonométrica de Fourier.

𝑠(𝑡) = 𝑎0

2+ ∑ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡)

∞

𝑛=1

(A.1)

Na equação (A.1), 𝑎0

2 corresponde ao respectivo valor médio da função 𝑠(𝑡)

(componente contínua), 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 são as amplitudes das componentes harmônicas, 𝑓 é a

frequência fundamental e 𝑛 é a ordem harmônica (Leão et al, 2014).

O desenvolvimento da somatória na equação (A.1) resulta na equação (A.2) (Hsu,

1973).

𝑠(𝑡) = 𝑎0

2+ 𝑎1. 𝑐𝑜𝑠(2.1. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + 𝑏1. 𝑠𝑒𝑛(2.1. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + 𝑎2. 𝑐𝑜𝑠(2.2. 𝜋. 𝑓. 𝑡)

+ 𝑏2. 𝑠𝑒𝑛(2.2. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + 𝑎3. 𝑐𝑜𝑠(2.3. 𝜋. 𝑓. 𝑡)+ 𝑏3. 𝑠𝑒𝑛(2.3. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + ⋯

(A.2)

A seguir tem-se o procedimento matemático que define as equações dos coeficientes

𝑎0, 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛.

A Figura A.1 representa uma função 𝑠(𝑡) periódica.

250

Figura A.1 – Representação da função s(t).

A determinação do coeficiente 𝑎0 ocorre através da integral de –𝑇

2 a

𝑇

2 como está

indicado em (A.3) (Hsu, 1973).

∫ 𝑠(𝑡). 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

= ∫ 𝑎0

2+ ∑ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡)

∞

𝑛=1

𝑇

2

−𝑇

2

. 𝑑𝑡 (A.3)

Separando as integrais da equação (A.3) tem-se a equação (A.4).


𝑇

2

−𝑇

2

= ∫𝑎0

2

𝑇

2

−𝑇

2

. 𝑑𝑡 + ∑ ∫ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

∞

𝑛=1

+ ∑ ∫ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

∞

𝑛=1

(A.4)

Na equação (A.4), os termos ∑ ∫ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡𝑇

2

−𝑇

2

∞𝑛=1 e

∑ ∫ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡𝑇

2

−𝑇

2

∞𝑛=1 são nulos por se tratarem de cálculo de integrais de limites

simétricos das funções seno e cosseno (condições de ortogonalidade) (Hsu, 1973). Portanto,

eliminando estes termos em (A.4) a determinação de 𝑎0 é simplificada para a equação (A.5).


𝑇

2

−𝑇

2

= ∫𝑎0

2

𝑇

2

−𝑇

2

. 𝑑𝑡 (A.5)

Com a solução da integral e isolando o termo 𝑎0 tem-se a expressão (A.6) para o

cálculo do primeiro coeficiente da Série Trigonométrica de Fourier (Hsu, 1973).

𝑎0 =2

𝑇∫ 𝑠(𝑡). 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

(A.6)

251

Para determinar o segundo coeficiente da Série Trigonométrica de Fourier (𝑎𝑛), na

equação (A.1) multiplica-se ambos os lados da igualdade por 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) e integra-os

com os limites de –𝑇

2 a

𝑇

2, como pode ser observado na equação (A.7) (Hsu, 1973).

∫ 𝑠(𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

= ∫ 𝑎0

2+ ∑ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + 𝑏𝑛 . 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡)

∞

𝑛=1

𝑇

2

−𝑇

2

. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

(A.7)

Aplicando a multiplicação do termo 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) e separando as integrais chega-

se na equação (A.8).

∫ 𝑠(𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

= ∫𝑎0

2

𝑇

2

−𝑇

2

. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡 + ∑ ∫ 𝑎𝑛 . 𝑐𝑜𝑠2(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

∞

𝑛=1

+ ∑ ∫ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

∞

𝑛=1

(A.8)

Na equação (A.8), verifica-se que os termos ∫𝑎0

2

𝑇

2

–𝑇

2

. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡 e

∑ ∫ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡𝑇

2

−𝑇

2

∞𝑛=1 são nulos (condições de ortogonalidade) e

a solução do termo ∑ ∫ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠2(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡𝑇

2

−𝑇

2

∞𝑛=1 compreende a

𝑎𝑛.𝑇

2 (Hsu, 1973). Desta

maneira o cálculo do coeficiente 𝑎𝑛 ocorre através da equação (A.9).

𝑎𝑛 =2

𝑇∫ 𝑠(𝑡). 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

(A.9)

Para determinar o cálculo do terceiro coeficiente da Série Trigonométrica de Fourier

(𝑏𝑛), na equação (A.1) multiplica-se ambos os lados da igualdade por 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) e

integra-os com os limites de –𝑇

2 a

𝑇

2, como pode ser observado pela equação (A.10) (Hsu,

1973).

252

∫ 𝑠(𝑡). 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

= ∫ 𝑎0

2+ ∑ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) + 𝑏𝑛 . 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡)

∞

𝑛=1

𝑇

2

−𝑇

2

. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

(A.10)

Aplicando a multiplicação do termo 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) e separando as integrais

determina-se a equação (A.11).

∫ 𝑠(𝑡). 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

= ∫𝑎0

2

𝑇

2

−𝑇

2

. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡 + ∑ ∫ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

∞

𝑛=1

+ ∑ ∫ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛2(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

∞

𝑛=1

(A.11)

Na equação (A.11), verifica-se que os termos ∫𝑎0

2

𝑇

2

–𝑇

2

. 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡 e

∑ ∫ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡𝑇

2

−𝑇

2

∞𝑛=1 são nulos (condições de ortogonalidade) e

o termo ∫ ∑ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛2(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡∞𝑛=1

𝑇

2

–𝑇

2

compreende a 𝑏𝑛.𝑇

2 (Hsu, 1973). Portanto, o cálculo

do coeficiente 𝑏𝑛 ocorre através da equação (A.12).

𝑏𝑛 =2

𝑇∫ 𝑠(𝑡). 𝑠𝑒𝑛(2. 𝑛. 𝜋. 𝑓. 𝑡) . 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

(A.12)

Todas as passagens matemáticas apresentadas são utilizadas para definir a Série

Trigonométrica de Fourier. Os cálculos de 𝑎0, 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 definem as amplitudes do sinal

contínuo e das componentes harmônicas, respectivamente.

A forma de onda da tensão do arco elétrico produzido em fornos elétricos a arco

possui o mesmo formato da Figura A.2.

Figura A.2 – Forma de onda da tensão do arco elétrico em fornos a arco.

253

Através dos cálculos apresentados anteriormente obtêm-se as componentes

harmônicas para este sinal representadas na Figura A.3.

Figura A.3 – Componentes harmônicas que compõem a função s(t).

A Figura A.4 representa a tensão do arco elétrico descrita no tempo através da Série

Trigonométrica de Fourier.

Figura A.4 – Representação da função 𝑠(𝑡) através da série trigonométrica de Fourier.

Observando a Figura A.4 verifica-se um fenômeno peculiar existente na Série de

Fourier denominado de Efeito Gibbs. Segundo Thomas et al. (Thomas et al, 2003) este efeito

compreende as oscilações da forma de onda presentes nas transições da função. Com o

aumento de componentes harmônicas este efeito é atenuado, mas não é totalmente eliminado.

254

ANEXO B

Divulgação da Pesquisa

Franchi, T. P.; Murari, C. A. F. “Estudo dos Efeitos dos Harmônicos devido ao Aumento de

Cargas Não Lineares na Rede de Distribuição de Energia Elétrica”, XXI Congresso Brasileiro

de Automática - CBA2016, Vitória - ES, 3 a 7 de outubro, 2016.

Franchi, T. P.; Murari, C. A. F. “Fluxo de Potência Trifásico Harmônico para Estudo dos

Harmônicos Gerados por Cargas Industriais”, XLIV CONGRESSO BRASILEIRO DE

EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, Natal – RN, 27 a 30 de setembro de 2016.

Franchi, T. P.; Murari, C. A. F. "Impacto Causado por Lâmpadas Fluorescentes Compactas e

de LED na Rede de Distribuição". Aceito para o XII CBQEE - Conferência Brasileira de

Qualidade de Energia Elétrica, Curitiba, 21 a 23 de agosto 2017.

Documents

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE de … · fluxo de potência trifásico em redes radiais tanto na frequência ... method of the Ladder type to perform the three-phase