UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS - fec.unicamp.brnilson/apostilas/CV511-resumo.pdf · UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL Departamento de Estruturas RESUMO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Departamento de Estruturas

RESUMO DE MECNICA DOS SLIDOS II

Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia

PED: Elias Antonio Nicolas Bruno Fernandes (Rev. 2017)

PAD: Bianca Lopes de Oliveira Renato Saldanha Victor (Rev. 2008, 2009)

Campinas, 2006 (Reviso 2017)

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitria Zeferino Vaz - Distrito Baro Geraldo - Caixa Postal 6021

Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas SP

2

SUMRIO

Introduo ..................................................................................................................................................... 4 1. Flexo geral .............................................................................................................................................. 5

1.1 Geometria das massas ......................................................................................................................... 5 1.1.1 Momentos de segunda ordem .......................................................................................................... 5 1.1.2 Rotao dos eixos (u,v) ................................................................................................................... 6 1.1.3 Crculo de Mohr .............................................................................................................................. 7 1.1.4 Exerccios ........................................................................................................................................ 8 1.2 Tenses Normais Seo Transversal ............................................................................................. 11 1.2.1 Flexo Pura .................................................................................................................................... 11 1.2.2 Flexo Oblqua Pura ...................................................................................................................... 12 1.2.3 Exerccios ...................................................................................................................................... 14 1.2.4 Flexo Composta ........................................................................................................................... 17 1.2.5 Flexo Oblqua Composta ............................................................................................................. 17 1.2.6 Exerccios ...................................................................................................................................... 18 1.2.7 Ncleo central de figuras planas .................................................................................................... 19 1.2.8 Exerccios ...................................................................................................................................... 20

2. Toro ..................................................................................................................................................... 21 2.1 Toro em barras de seo circular .................................................................................................. 21 2.1.1 Tenses de cisalhamento Lei de Hooke ...................................................................................... 22 2.1.2 Clculo do giro relativo (): .......................................................................................................... 24 2.2 Seo circular de parede espessa (grossa) ........................................................................................ 25 2.3 Seo circular de parede fina (delgada) ............................................................................................ 26 2.4 Exemplo de Diagramas de Momento Torsor .................................................................................... 27 2.4.1 Exerccios ...................................................................................................................................... 27 2.4.2 Momento de toro uniformemente distribudo (m): ..................................................................... 28 2.4.3Momento de toro linearmente distribudo (m): ........................................................................... 28 2.5 Exerccios ......................................................................................................................................... 29 2.6 Toro em barras de seo qualquer ................................................................................................. 31 2.6.1 Deformao (rotao elstica) .................................................................................................... 34 2.6.2 Exerccios ...................................................................................................................................... 36 2.7 Analogia de membrana ..................................................................................................................... 36 2.7.1 Toro em sees celulares ........................................................................................................... 38 2.7.2 Exerccios ...................................................................................................................................... 39

3. Centro de Cisalhamento em Sees Simtricas ...................................................................................... 42 3.1 Tenses tangenciais nas sees delgadas abertas ............................................................................. 42 3.2 Centro de cisalhamento em sees delgadas simtricas ................................................................... 47 3.3 Exerccios ......................................................................................................................................... 49

4. Teoria das tenses .................................................................................................................................. 53 4.1 Estado simples (linear/unidimensional) de tenso ............................................................................ 55 4.1.1 Crculo de Mohr ............................................................................................................................ 56 4.2 Estado plano (duplo/bidimensional) de tenses ................................................................................ 57 4.2.1 Crculo de Mohr ............................................................................................................................ 58 4.2.2 Tenses principais ( 1 2): ........................................................................................................... 58 4.3 Exerccios ......................................................................................................................................... 59

5. Teoria das deformaes .......................................................................................................................... 64 5.1 Coeficiente de Poisson: .................................................................................................................... 64 5.2 Lei de Hooke: ................................................................................................................................... 64 5.3 Exerccios ......................................................................................................................................... 66

6. Energia de Deformao .......................................................................................................................... 70 6.1 Definio .......................................................................................................................................... 71 6.2 Clculo pelas tenses ........................................................................................................................ 71 6.3 Clculo pelos esforos solicitantes ................................................................................................... 73 6.4 Clculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron) ................................................................................. 74






3

6.5 Teorema de Maxwell ........................................................................................................................ 74 6.6 Teorema de Castigliano .................................................................................................................... 76 6.7 Teorema de Menabrea ...................................................................................................................... 78 6.8 Exerccios ......................................................................................................................................... 79

7. Critrios de Resistncia .......................................................................................................................... 84 7.1 Estados Limites ................................................................................................................................ 84 7.2 Critrios de resistncia ..................................................................................................................... 84 7.2.1 Critrio de Rankine (critrio da maior tenso normal) .................................................................. 85 7.2.2 Critrio de Tresca (critrio da maior tenso de cisalhamento) ...................................................... 85 7.2.3 Critrio de Saint Venant (critrio de maior deformao normal): ................................................. 86 7.2.5 Critrio de Mohr: ........................................................................................................................... 86 7.2.6 Critrio de Coulomb: ..................................................................................................................... 87 7.2.7 Critrio da Energia de Distoro (critrio de Von Mises): ............................................................ 88 7.3 Exerccios ......................................................................................................................................... 91

8. Flambagem ............................................................................................................................................. 94 8.1 Teoria de 1 ordem ............................................................................................................................ 94 8.2 Teoria de 2 ordem ............................................................................................................................ 95 8.3 Teoria de 3 ordem ............................................................................................................................ 95 8.4 Mtodo de equilbrio ........................................................................................................................ 95 8.5 Barra bi-articulada (articulada-articulada) ........................................................................................ 96 8.6 Comprimento de flambagem (lfl) ou comprimento crtico (lcr) ......................................................... 96 8.7 Contraventamentos ........................................................................................................................... 97 8.8 Raio de girao (i) ............................................................................................................................ 98 8.9 ndice de esbeltez (i) ......................................................................................................................... 98 8.10 Tenso de flambagem ou crtica ..................................................................................................... 98 8.11 Flambagem elstica e plstica ........................................................................................................ 98 8.12 Exerccios ....................................................................................................................................... 99

9. Referncias Bibliogrficas .................................................................................................................... 102






4

Introduo Esta apostila tem por objeto dar ao aluno que frequenta o curso de Mecnica dos

Slidos II (CV511) um material que o auxilie no acompanhamento das aulas regulares.

No tem por meta substituir outras apostilas ou livros de Mecnica dos Slidos ou

Resistncia dos Materiais. Constitui-se como notas de um caderno de um aluno, com a

colocao de alguns exemplos adicionais.






5

1. Flexo geral 1.1 Geometria das massas

1.1.1 Momentos de segunda ordem

Sendo e eixos centrais de inrcia. Momentos de inrcia centrais:

2

2

Produto de inrcia:

2

2

2 2 2

2 2

Momento esttico

S = 0 em relao ao c.g.

2

c2

c

Sendo e c coordenadas do c.g. em relao ao sistema ( ).






6

1.1.2 Rotao dos eixos (u,v)

Matriz de transformao de coordenadas:

u

v

cos sen

sen cos

u cos sen v sen cos

u v2

u ( sen cos )2

u 2 sen2

2 cos2

2 sen cos

u sen2 cos

2 2 sen cos

v u2

( cos sen )2

v cos2 sen

2 2 sen cos

uv uv

( cos sen )( sen cos )

uv sen cos ( cos2 sen

2 )

Utilizando Arcos duplos:

sen 2 2 sen cos

cos2 sen2 cos 2

cos2 sen2 1

Tem-se:

u

2

2 cos 2 sen2

v

2

2 cos 2 sen2






7

uv

2sen2 cos 2

u

2

2

2 cos 2 sen2

2

uv 2

2sen2 cos 2

2

u

2 2

uv2

2 2

2

Pela equao da circunferncia:

2 2 2

Com:

osio do centro

1.1.3 Crculo de Mohr

I1 = momento de inrcia mximo

I2 = momento de inrcia mnimo.

Em I1 e I2 tem-se: Iuv = 0.

uv

2sen2 cos 2

tg2 2

Propriedade:

u v 1 2

Valores de I1 e I2:

1

2

2 2

2

2

2

2 2

2






8

1.1.4 Exerccios

1) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inrcia e suas direes ( 1 e 2).



4) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inrcia e suas direes ( 1 e 2)






9

Resoluo do Exerccio 4:

Diviso da seo em reas:

Centro de gravidade (c.g.):

i i

i 1 1 11 12

(1 11 12) cm

i i i

1 11 12

(1 11 12) cm

Momento de inrcia de cada seo:

rea 1:

1 1

12 1 cm

1 1

12 1 cm






10

1 seo retangular

Rotao dos eixos da rea 1:

1 u

2

2 cos 2 sen2

1 2 cos ( ) cm

1 v

2

2 cos 2 sen2

1 2 cos ( ) cm

1 uv

2sen2 cos 2

1 2 sen( ) cm

rea 2:

2 11

12 12 cm

2 11

12 cm

2 seo retangular

rea 3:

12

12 2 cm

12

12 1 cm

seo retangular

Momento de inrcia total:

2 1 12 1

2 11 2

2 12 1 cm

22 1 12

2 11 1

2 12 1 2 cm

2 1 ( 12) 1 11 12 cm

Direes principais:

tg2 2

2

1 2 1

12 2

1 2 2

Momentos principais de inrcia:

1 2

2

2 2

2

1 2 1 1 2

2

1 1 2

2 2

( )2






11

1 cm

2 1 cm

1.2 Tenses Normais Seo Transversal

1.2.1 Flexo Pura

Seja:

Tem-se a Flexo Pura - quando atua apenas o momento fletor (N=V=0).

Considera-se as seguintes hipteses:

1. A distribuio da tenso normal na seo linear.

2. O material isotrpico e segue a lei de Hooke ( ). 3. As sees planas permanecem planas aps o carregamento.

Tenso ( ):

Da hiptese (1):

(variao linear) onde constante Sabe-se que:

O que resulta em:

Sabemos que:






12

Assim:

2

2 2

Como:

e

Desta forma, tem-se que:

1.2.2 Flexo Oblqua Pura

Neste caso o lano de cargas inclinado de um ngulo em relao ao lano

vertical. O vetor momento inclinado do mesmo ngulo em relao ao eixo z.

Essa flexo tratada como a superposio de duas flexes normais (Mz e My):

cos

sen

A tenso normal ser:

Onde:






13

Logo:

Sabe-se que:

( )

( 2 )

( 2)

( )

2

( )

( 2 )

( 2)

( )

2

Como o sistema yz central de inrcia, ou seja, u v (momentos principais de inrcia), tem-se:

uv

v v

v

v

u u

u

u

Assim:

u v

v

vu

u

uv

A linha neutra o lugar geomtrico dos pontos da seo transversal onde as

tenses normais so nulas.

v

vu

u

uv v

v

u

u

vu

Sendo:

u sen

v cos Substituindo:

v cos

sen

u

vu

v 1

tg

u

vu






14

Essa a equao da linha neutra.

v 1

tg

u

vu

Se:

tg 1

tg

u

v

v tg u

1.2.3 Exerccios

1) Calcular os valores extremos de tenso (trao e compresso) que surgiro na viga. O peso prprio desprezado. A carga P vertical e passa pelo c.g. da seo. Dados:

12 .1 cm 1. 2 cm

e 1 . cm .

2) Qual deve ser o valor do momento fletor admissvel num plano que forma com o

eixo y um ngulo de ? Dados:

1 cm 2 cm

- cm e 1 tf cm2.






15

3) Determinar na seo crtica a linha neutra e calcular a flecha mxima em A.

2 tf cm2.

Resoluo do exerccio 1

Calcular os valores extremos de (trao e compresso) que surgiro na viga. O peso

prprio desprezado. A carga P vertical e passa pelo c.g. da seo. Dados:

12 .1 cm 1. 2 cm

e 1 . cm .

Soluo:

a) Caractersticas Geomtricas Clculo do CG: Como a seo simtrica a posio do c.g. bvia.

Momentos Totais de Inrcia e suas direes:






16

tg2 2

2 1

1 2 12 1 2

1 2

2

2 2

2

1 2 cm

2 2 cm

Eixos u e v:

u

2

2 cos 2 sen2 u 2 cm

u 2

v 1

b) Tenses

Pela regra da mo direita temos:

u

uv

v

vu

Onde:

2

u sen tf.cm

v cos 1 1 1 tf.cm

2 v

1 1 1

2 u

Para a Linha Neutra = 0

2 v

1 1 1

2 u

Podemos calcular a LN de duas formas:

Admitindo pontos na equao de tenso:

u v

v 1 v 2 Pelo clculo do ngulo:

v tg u






17

tg 1

tg

u

v

Para a obteno dos pontos mais solicitados ser necessrio fazer uma mudana

de base, onde ser utilizado a matriz de transformao:

u

v

cos sen

sen cos

Ponto A:

2 cm

u 2 1 cm

1 1 cm

2 1 1

1 1 1

2 ( 2 1) tf cm2

Ponto B:

2 cm

u 2 1 cm

1 1 cm

2 1 1

1 1 1

2 2 1 tf cm2

ssim os valores e tremos de so:

C tf cm

2

tf cm2

1.2.4 Flexo Composta

Quando atuam no trecho o momento e a fora axial (F). Neste caso, tem-se:

Flexo-compresso (F < 0);

Flexo-trao (F > 0). Na flexo composta tem-se a excentricidade (e). Quando e = 0 tem-se a flexo-

compresso ou flexo-trao centrada. Quando no for igual a 0, deve-se considerar a

excentricidade.

1.2.5 Flexo Oblqua Composta

Neste caso, tem-se duas excentricidades:

eu=excentricidade em relao ao eixo u.

ev=excentricidade em relao ao eixo v.

v

vu

u

uv

Superposio de efeitos:






18

Nesse caso:

u sen e sen eu

v cos e cos ev Linha Neutra:

v

vu

u

uv

1

e cos

vu

e sen

uv

v u

e sen tg u

v cte tg u cte a lin a neutra no assa elo c.g. 1.2.6 Exerccios

1) Calcular F, sendo c gf cm2 e t 1 gf cm

2. Dados:

1 . cm . cm

-2 . 2 cm e cm2.

2) Determinar a carga admissvel P sabendo que

c 12 gf cm2 t gf cm

2 e l. Dados:

1 . cm e 1 . cm

- . 1 cm .

3) Traar o diagrama de tenses normais na situao mais crtica. Dados:

1 . 2 cm e . cm

-1 . 2 cm 1 e m.






19

4) Determinar a posio e o valor de uma carga P de trao que provoca a linha neutra

indicada na figura abaixo. A tenso no ponto A vale 1 gf cm2.

1.2.7 Ncleo central de figuras planas a regio da seo transversal onde aplicada uma fora normal, sua linha neutra

no corta a seo. Como consequncia, a seo s ter tenses de um mesmo sinal

(compresso ou trao) de acordo com o sinal da fora. importante para materiais com

baixa resistncia a trao (murros de arrimo, chamins, pilares, etc).

Determinao do ncleo central:

v

vu

Com: u ev

ev

vu

Linha neutra:

ev

vu

1

ev

vu u

v

ev

Observaes:

i. Cada figura plana tem seu ncleo central que no depende de N. ii. A cada par de lados consecutivos do polgono circunscrito corresponder a um lado do

polgono que constitui o ncleo central.






20

iii. O ponto de aplicao de N e a LN consequente ficam em semiplanos opostos delimitados pelos eixos centrais (antipolos da LN).

iv. O ncleo central ter tantos lados quantos forem os lados (ou vrtices) do polgono convexo circunscrito.

1.2.8 Exerccios 1) Traar o ncleo central para a seo da figura abaixo.

2) Traar o ncleo central para a seo da figura abaixo. Dados:

2 cm2 u 1.22 .1 1 cm v . 1 cm

e - .






21

2. Toro 2.1 Toro em barras de seo circular

Seja uma barra de seo circular engastada numa extremidade e solicitada na

extremidade livre por um momento torsor Mt. No engastamento, surgir um momento

de mesmo valor com sentido oposto.

Na deformao elstica, cada seo da barra ter uma rotao (ngulo de

toro). arecer assim em cada seo da arra tenses de cisal amento .

Hipteses bsicas:

i. As tenses de cisalhamento esto dirigidas perpendicularmente ao raio e seus valores so proporcionais ao mesmo.

r

r

a (2.1)

ii. As sees executam rotaes elsticas como se fossem corpos rgidos.

Seja:






22

A tenso aplicada na face 34, e a mesma tenso (reativa) na face oposta 12 so

insuficientes para equilibrar o elemento porque as duas foras provocadas por elas

formam um binrio. Assim, devem existir tenses longitudinais de cisalhamento ( l).

O Teorema de Cauchy diz que as tenses em planos perpendiculares so iguais.

r t l r t

l

2.1.1 Tenses de cisalhamento Lei de Hooke

Aps a aplicao do momento torsor Mt, os pontos 3 e 4 passaro a ocupar as osies e devido a distoro .

No caso da flexo, a tenso normal :

Analogamente, na toro, a tenso de cisalhamento ser:

(2.2)

Onde G o mdulo de elasticidade transversal.

Para materiais isotrpicos, podemos facilmente determinar o mdulo de

elasticidade transversal, conforme mostrado na equao abaixo:

2(1 )

Onde o coeficiente de Poisson.

Para exemplificar, temos os seguintes valores para o ao:

21 . a

. a






23

De 2.1 e 2.2 tem-se:

r r

a

Obtm-se o momento torsor Mt, calculando-se o momento resultante das foras

elementares aplicadas na seo. Em um anel circular (figura abaixo) de espessura r, o momento t dado ela resultante das tenses na rea elementar A.

Sendo:

t r r

2 r r Temos:

t r

a 2 rr r

t 2 r r

a

Integrando a equao acima, obtem-se o momento torsor:

t t 2 r r

a

a

2 r

a

a

a

2

Desta equao, podemos determinar a tenso de cisalhamento ( ) em funo do

momento torsor ( t) e do dimetro (D):

2 t

a

Como a=D/2, para seo circular, tem-se:

t

Da teoria de flexo, temos a tenso normal ( ) em funo do momento fletor

(M) e momento de inrcia (I), conforme equao abaixo:

Sendo W o mdulo de resistncia flexo.






24

Fazendo uma analogia da Teoria de Flexo com a Teoria de Toro, temos a

tenso de cisalhamento ( ) em funo do momento torsor ( t), conforme equao

abaixo:

1 t

D

t

D

1

t

t

Da equao acima, podemos determinar o mdulo de resistncia toro para

seo circular cheia:

t D

1

2.1.2 Clculo do giro relativo ():

Da teoria de pequenos deslocamentos, sabemos que o arco se aproxima da

tangente.

Como muito pequeno, pode-se aproximar o arco de uma tangente. A partir

da figura acima e da teoria de pequenos deslocamentos, temos:

tg a ( muito e ueno)

Dessa relao temos:

a

Para calcularmos o giro relativo bastar integrar a equao acima:

l

a

l

Da integrao vem:

al

Sendo:






25

l

a

Aplicando a equao acima para o caso da seo circular temos:

1 tl

D D2

Simplificando temos:

2 tl

D

tl

D

2

Ou:

tl

t com t

D

2

Resumindo, para seo circular cheia:

t

t t

D

1

tl

t t

D

2

2.2 Seo circular de parede espessa (grossa)

Com as expresses obtidas anteriormente e considerando a = D/2, tem-se:

r

r

D2 r

r

D2 r

t r r

2 r r






26

t r 2 r r r

t r 2 r2 r

t

D 2 2 r r

Para obtermos o momento torsor basta integrar a equao acima, logo:

t t

D2

d2

D 2 2 r r

D2

d2

Finalmente, momento torsor resultante:

t 2

D 2 D

2

d

2

Assim a tenso ser:

t

t

Com:

t

D D

2

d

2

Resumindo, temos:

tl

t

t

2(D d

)

2.3 Seo circular de parede fina (delgada)

Refere-se as sees nas quais t






27

dm

2 t dm t

dm

2 t

dm2 t

2 t

t

dm2 t

2

Assim:

t

t

t t dm

2

2

E:

tl

t

t t dm

2.4 Exemplo de Diagramas de Momento Torsor

Com um momento de toro aplicado, tem-se:

2.4.1 Exerccios

1) Traar o diagrama de momento torsor:






28

2) Traar o diagrama de momento torsor:

2.4.2 Momento de toro uniformemente distribudo (m):

t m m t l ml

2.4.3Momento de toro linearmente distribudo (m):

t m






29

Onde:

m tg m

l

t m

l

Logo:

t m 2

2 l

E:

t( l) m l

2

2 l m l

2

2.5 Exerccios

1) Traar o diagrama de momento torsor para a estrutura isosttica.

m1

2 a m2

a

2) Traar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperesttica.

m

a

3) Traar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperesttica. Dados: M = 5 kN.m; m = 0,3 kN.m/m e L = 1,2 m.






30

4) Calcular o giro relativo

.

5) Calcular o giro relativo

.

6) Calcular o dimetro d e o giro

. Dados: M = 120 N.m; m = 40 N.m/m; a = 1,2 m;

b = 0,8 m; adm 1 m2 e G = 80000 MN/m

2.






31

7) Determinar o momento torsor M. Dados: E = 21000 kN/cm2; G = 7000 kN/cm2;

arra

1 cm adm 12 cm2 e adm cm

2.

2.6 Toro em barras de seo qualquer

As barras de seo circular sofrem rotaes elsticas e permanecem planas. J as barras de seo qualquer: sofrem empenamento.






32

Hipteses:

i. A espessura t = t(s), pode variar com s, mas constante em x. ii. As tenses de cisalhamento igualmente distribudas sobre a espessura t e dirigindo-se

paralelas s bordas so funes de s, (s), mas independentes de x.

Obs: considerando-se o empenamento nulo tem-se a toro livre (toro de Saint

Venant).

Equilbrio de foras:

1t1 2t2

1t1 2t2 (s) t(s) cte

(s) t(s) flu o de cisal amento

Momento Mt:

t (s) t(s) ds

Com:

ds

2 ds 2 d

t (s) t(s) 2 d






33

t t

(s) t(s) 2 d

t 2 (s) t(s)

(s) t

2 t(s)

(s) t

t

Com:

t 2 t(s)

Exemplos:

Seo quadrada:

a2

t(s) t

t 2 a2 t

Seo circular:

dm

2

t(s) t

t t dm

2

2

Na seo qualquer, se t = t(s):

t

t e t 2 t(s)

m t

tmin tmin 2 tmin

(s) t(s) flu o de cisal amento






34

2.6.1 Deformao (rotao elstica)

Para definir a deformao precisam ser apresentados alguns conceitos de

trabalho/energia:

U = energia = T = trabalho

d

2

d

1

2 t (carregamento lento)

Se:

t (cargas r idas) U=energia de deformao (interna)

T=trabalho externo

A carga (F, M) produz esforos (M, V, N e Mt) e tenses ( ).

1

2 (s) t(s) d ds

Pela Lei de Hooke:

Logo:






35

1

2 (s)

2 t(s) d ds

Tem-se:

(s) t

2 t(s)

1

2

t

2 t(s) 2

t(s) d ds

t

2

2 t(s)

d ds

t

2

2 d

ds

t(s)

t

2

2 d

l

ds

t(s)

Igualando-se o trabalho do esforo Mt com o das tenses tem-se:

U=T

t2 l

2

ds

t(s) 1

2 t

t l

2

ds

t(s)

t l

t

t

2

dst(s)

Como t normalmente constante, ds o permetro. Exemplo:

t

2

dst(s)

(a )

2

2(a )t

2 (a )

2 t

(a )






36

2.6.2 Exerccios

1) Calcular e e It. Dados: Mt = 100 tf.cm; t = 0,1 cm e adm 1 tf cm2.

2) Calcular a. Dados: Mt = 250 tf.cm e adm 1 tf cm

2

2.7 Analogia de membrana

Imaginemos uma membrana homognea, com o mesmo contorno da seo

transversal do elemento sujeito toro e solicitada por uma trao uniforme nas bordas

e por presso uniforme.






37

Equao diferencial da superfcie deformada de uma membrana.

2

2 2

2

Verifica-se que a equao diferencial da superfcie elstica da membrana

deformada tem a mesma forma da equao diferencial que determina a distribuio das

tenses ao longo da barra solicitada toro.

Equao diferencial da toro:

2

2 2

2

Analogia entre as equaes diferenciais se:

Onde:

p=presso lateral por unicidade de rea;

K= fora de trao por unicidade de comprimento da barra;

=ngulo de toro por unicidade de comprimento.






38

2.7.1 Toro em sees celulares

Equao de equilbrio da membrana:

ds

t

Placa 1:

1 1

e1 a c a

e ( 2 1)(c)

Placa 2:

2 2

e2 a c a

e ( 2 1)(c)

Tenso tangencial:

t

2

e

Assim:

1 t

2 1

1 1

e1

2 t

2 2

2 2

e2

t

2

2 2 1

e

Momento de inrcia toro:

t

ngulo de giro:

t l

t

t l






39

2.7.2 Exerccios

1) Calcular t e a . Dados: G = 800 kN/cm2 e adm cm

2.

2) Determinar: a) Wta/Wtf e b) esforo no cordo de solda, sendo Mt = 100 tf.cm.

3) Calcular o deslocamento do ponto A. Dados: t = 0,1 cm; Mt=150 kN.cm e G = 8000

kN/cm2.






40

Resoluo do exerccio 3:

Placa 1 (=Placa 3)

( )

2

1 1

1 2 2

1 1 2

Placa 2

1 2

1 1 2

1 1 2 2

1 1

2






41

Volume:

2 1 2 2 1 2

2 2 1

1

2 2

Inrcia toro:

t

2 2

1 cm

Giro:

t l

t 1 1

1 2 rad

Coordenadas do ponto A em relao ao c.g.

cm cm

v ( 2 ) cm

v ( 2 ) 21 cm

Deslocamento:

v v 2 v 2 2 cm






42

3. Centro de Cisalhamento em Sees Simtricas 3.1 Tenses tangenciais nas sees delgadas abertas

Dado um elemento de viga obtido por duas sees: x e x + dx

( )

( )

t ( )

( )

As resultantes das traes exercidas sobre o elemento geralmente no sero

iguais:

t ( ) ( ) t

t

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )






43

O equilbrio exige, ento, que exista uma fora horizontal, que ser:

t (s) e(s )

( )

(s) e(s )

(s) ( )

e(s )

( )

e(s )

(s) ( )

e(s )

(s) ( )

e(s )

Onde:

: tenso de cisal amento

V: fora cortante na seo em estudo;

e: espessura da seo;

Iz: momento de inrcia com relao ao eixo neutro z;

S: momento esttico da parte da seo estudada com relao ao eixo neutro z.7

(s) e(s)

(s) e(s)

( )

e(s ) e(s)

Geralmente e(s ) e(s) constante. ssim:

( )

(s) s

Exemplo 1:






44

(s) ( )

e(s)

( )

e(s) e

e

12 2

e 2

12 2 e

2 2

Variao nas mesas:

(s) e s

2

(s) (s)

( )

e(s)

(s) e s

2

Tem-se:

Obs.: As tenses tangenciais verticais v so desprezadas.






45

v ( )

2

(s) ( )

e(s)

e 2 v (s)

Para S2 (outra posio de S) na alma:

Momento esttico

(s) e s

2 s

e

O momento esttico acumulativo.

(s) e s

2 e s2

2 e

(s) (s)

Exemplo 2:

(s) e s

2 (mesa)

(s) e s

2 s

e (mesa alma)

(s)

s e

2 e s

2

ma e

2

2 e

2

2 2

e

2






46

ma e

2

e

2

(s) (s)

e

12 2

e

12 e

2 2

1

(s) s

1

(s) s

e s

2

s e

2

1

e 2

2

(s) s

(s) e s

2 e s2

2 e

2

(s) s

e s

2 e s2

2 e

2 s

e

e

e

2

2






47

2

e

2 e

e

2

2

e

12 2

e 12

e 2 2

e e 2 ( )

3.2 Centro de cisalhamento em sees delgadas simtricas

O centro de cisalhamento ou centro de toro o ponto do plano da seo em

relao ao qual o momento de todas as resultantes das tenses devidas a nulo. o

ponto por onde deve passar o plano que contm a resultante de V atuante na seo, para

que no haja toro.

f tenso de cisal amento devido Foras de cisalhamento na seo

1

(s) s

(s) e s

2

1

e s

2 s

e 2

2

e s

2 e s2

2 e

2 s

e

e

e

2

2

1

e

12 2

e

12 e

2

e e






48

Condies de equivalncia:

1 c

c 1

c

e 2

c 2 e

2

c f e no de ende de .

e

12 e

2

2

Obs.:

1. Se a cortante passar pelo C.C. no haver momento na seo, pois h equivalncia entre Vc e M0.

2. e c amarmos de flu o de tenses o roduto por t, podemos imaginar uma analogia entre flu o de tenses ue ercorre a seo e flu o de gua ue ercorreria

um encanamento com a forma da seo analisada.






49

t t

t

t (c )

t f (tenso de cisal amento resultante)

t

t

e

Centro de Cisalhamento de Cantoneiras:

3.3 Exerccios

1) Determinar a posio do centro de cisalhamento e calcular as tenses tangenciais. Dado: Iz=2806 cm

4.






50

2) Calcular m . Dado: Iz=895.914 cm4.

3) Determinar as tenses principais no ponto A da seo mais solicitada. Dado: Iy=27.937 cm

4.


1

1

2 . 1

t 1

i ti

1

1

1 2 21 21 2 cm

t t

tm

1 cm






51

( )

(s) s

1 1 s s

2 s

s2

2

1

s

s2

2 s 2 12

1

2 1 s 1 1 s

2

1 s s

2

2 2 1 2 1 c

2 12

c

c 2 2. 1 .

2 . 2 cm

t (1 c)

1 2

f

e

2 . 1 2

t f 2 1






52

1 2

2

2 2

2

1 2

2

2 2

( 1 )2

1

2 1






53

4. Teoria das tenses

limd

d

d tenso normal

limd

d

d tenso tangencial ou tenso de cisal amento

limd

d

d

t

(t) 2 2






54

Obs.: A tenso definida no ponto.

2

2 2

2

Teorema de Cauchy Genericamente:

i i i

So seis as tenses no caso tridimensional. Porm, aqui, estudaremos apenas o

caso plano (bidimensional).

Caso linear:

Caso plano:

Ensaio de trao:

l

l






55

4.1 Estado simples (linear/unidimensional) de tenso

Considere uma barra sem peso, tracionada pela extremidade livre por uma fora

centrada. uma seo genrica a arecero tenses normais 1 de modo que se tenha

o equilbrio da seo cortada.

Equilbrio de foras:

cos 1 cos






56

1 cos2

cos 1 sen

1 sen cos

De outra maneira:

cos2 1 cos 2

2

1

2 1

2cos 2

sen cos s 2

2

1

2s 2

1

2 2

1

2cos 2

2

2 1

2s 2

2

1

2 2

2 1

2 2

Tenses principais:

Tenso mxima: 1

Tenso mnima: 2


Nos planos principais (

e

) a tenso tangencial vale zero.

Obs:

1. Planos ou direes principais.

2. O ponto do grfico para o qual convergem todos os planos representativos de cortes

na barra chamado plo.

Conveno de sinais:

> 0 TRAO

< 0 COMPRESSO






57

4.2 Estado plano (duplo/bidimensional) de tenses

Considere um elemento infinitesimal com solicitao geral de tenses.

Equilbrio de foras:

d d coscos 2. d sencos d sensen

cos2 2 sencos sen

2

d d sen cos

d cos cos d sen sen d cos sen

d sencos

cos2 sen2

Arcos duplos:

2

2 cos 2 sen2

2sen2 cos2

2 2

2cos 2 sen2

2

( )2

2sen2 cos2

2






58

2 2

( )2

2

2


Centro do crculo:

2

Raio do crculo:

2

2

2

Portanto:

1

2

ma

2

2

ma

4.2.2 Tenses principais ( 1 2):

1 2

2

2 2

2

Na orientao principal, o cisalhamento nulo, portanto:

2sen cos2

tg21 2

Direes principais:

e






59

Propriedade:

1 2 cte

Expresso Matricial das tenses:

cos sen

sen cos :matri de transformao de coordenadas.

4.3 Exerccios

1) Calcular as tenses principais e suas direes, e desenhar o crculo de Mohr. x =

160 kN/cm2 , y = 60 kN/cm

2 e xy = 40 kN/cm

2

2) Calcular as tenses de cisalhamento nos cortes I, II e III. Dados:

1 cm2 cm

2 -1 cm2.

3) Calcular as tenses principais e suas direes.






60

4) Calcular as tenses principais e suas direes. Dados:

a cm2 1 cm

2 c cm2

5) Calcular as tenses principais e suas direes nos pontos 1 e 2 indicando os planos onde elas atuam. Estes pontos esto na seo transversal do apoio B.


A obteno das tenses (normal e tangencial) nos pontos 1 e 2 da seo

transversal do apoio B, exige a determinao do momento fletor e da fora cortante

nessa seo obtidos a seguir:






61

2 2 1 2

2

1 2

2 1 2

Caractersticas geomtricas da seo transversal:

1

12 1

2 1 2

12 1 2

2 .1 cm

1 cm

2 1 1 11 1. 2 cm

Clculo das Tenses

Ponto 1

(1) 1

(1)

1

12

1 11 cm2

A tenso (1) ser negativo porque o ponto 1 est abaixo da linha neutra, regio

da seo em que MB causar compresso (ver diagrama de momento fletor).

1 2

2

2 2

2

1

2 . ( cm2)

Estado de Tenso






62

Ponto 2

1

1 . 2 1 2

1 1 cm2

1

12

1 1 cm2

O estado de tenses em torno do ponto 2 pode ser representado por um elemento

de rea como se mostra na figura e respeitados as convenes de sinais para esforos

solicitantes e tenses, resultam os sentidos indicados.

Estado de Tenso no ponto 2

1 2

1

2

1

2 2

2

1

2 . ( cm2)

Obs.: xy > 0 e V < 0, isto ocorre devido conveno de sinais adotados para tenso

tangencial e fora cortante.

Crculo de Mohr

Ponto 1: no necessrio determinar as direes principais, visto que, (1) e y =

0

Ponto 2:

tg21 2

1 2

1 1






63






64

5. Teoria das deformaes

Deformaes Normais:

u

v

1 tg

1 u

2 tg

2 v

1

2 v

u

Onde:

=deformao tangencial ou distoro.

5.1 Coeficiente de Poisson:

Considerando solicitao apenas na direo x, temos:

Em materiais isotrpicos (que tm o mesmo comportamento elstico em todas as

direes): 0 < < 0,5

5.2 Lei de Hooke:

A lei de Hooke estabelece que a tenso aplicada provoque deformao

proporcional.

Pode-se afirmar ento que se em todos os pontos de um slido elstico atua

tenso de direo constante um com rimento l, sofrer, na direo da tenso, uma

variao de comprimento:

l l

Considerando agora que ocorra solicitao em mais de uma direo, pode-se

avaliar o efeito de cada tenso isoladamente:

l l

Tenso apenas na direo x:

l

l






65

l

l

l

l

Tenso apenas na direo y:

l

l

l

l

l

l

Tenso apenas na direo z:

l

l

l

l

l

l

Por superposio de efeitos:

l

l

l

l

Analogamente, ocorre nas outras direes.

Alm disso, para a distoro, tem-se:

Onde G o mdulo de elasticidade transversal:

2(1 )

Num estado triplo de deformaes, temos:

Num estado plano de deformaes, temos apenas:






66

Para calcular a deformao ( ) de um plano inclinado de em relao ao ei o

original x, tem-se:

2

2 cos 2

2sen2

2

2 cos 2

2sen2

sen 2 cos2

Deformaes principais ( 1 e 2):

1

2

2

2 2

2 2

5.3 Exerccios

1) Calcular as tenses e .

2) Calcular lx do slido I.

1 cm2 cm

2 1 cm2 e .






67

3) Qual o deslocamento total em y e a carga mxima. Dados: E = 100 tf/cm2 e .

4) Determinar as tenses. Dados: a = 200 x 10

-6; b = 300 x 10

-6 a= 2; E=20.000

kN/cm2 e .

5) Para o tubo de parede fina; calcular Mt e F. Dados:

a -1 1 - 1

- 21. cm2

6) Desenhar o crculo de Mohr. Dados: - 1 - 1 1

- e

1

-2 rad.






68

7) No ponto O da viga indicada na figura foram medidas as deformaes nas direes A

e B e encontrados: a 1 - 1

- Sabendo-se que essa viga est solicitada apenas por M e V, calcular esses valores. Dados:

cm2 21. cm2 .


Estgio 1:

e

l 2 cm

l l

2 2

1

1

( )

1 1

1 .

1 tf

1

( )

1 1

1

1

Estgio 2:

e

l 2 cm

l l

2 2

1

1

( )

1 1

1 .

1

( )






69

1

1 .

1 . 1

1

Resolvendo o sistema:

1 tf cm2

1 tf

Carga Total:

total 1 2 1 1 1 1 tf

1

( )

1

1 1 1

. 1

Deslocamento total em y:

l l 12 cm






70

6. Energia de Deformao Na mecnica, uma fora realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx na

mesma direo dela.

Por exemplo, ao calcular o trabalho realizado por uma fora axial aplicada na

extremidade da barra.

Como a fora N aumenta gradualmente de 0 at P, o deslocamento varia de 0 at

l. Se o material comportar-se de maneira linear-elstica, a fora ser diretamente

proporcional ao deslocamento, ou seja:

Onde:

constante

Pela Lei de Hooke:

1

( ) sendo

l

l

l

l l

O trabalho realizado ser:

l

l

l

2

2 l

2






71

1

2 l

Sendo U a energia de deformao (carregamento lento). O carregamento lento

o carregamento aplicado de zero at o valor final.

Em caso de carregamentos rpidos (carregamentos instantneos), temos:

l, uma vez que o grfico apresenta-se como um retngulo.

Exemplos:

Carregamento lento: peso prprio da estrutura.

Carregamento rpido: ao do vento.

6.1 Definio

Energia de deformao definida como a capacidade de produzir trabalho. A

energia armazenada em slidos elsticos devido deformao dos elementos sob aes

externas igual ao trabalho interno.

Objetivos:

i. Calcular deslocamentos; ii. Calcular incgnitas hiperestticas.

Mtodos de clculo da energia de deformao:

i. Pelas tenses; ii. Pelos esforos solicitantes;

iii. Pelas cargas.

6.2 Clculo pelas tenses

Seja um elemento no estado triplo de tenses. Efeito total = somatrio dos

efeitos parciais (superposio de efeitos).

Modelo de clculo:

Trabalho fora por deslocamento. Se o elemento de volume est submetido

tenso x temos:

Fora:

Deslocamento:

Trabalho:

d 1

2

( olume)






72

1

2

Analogamente:

1

2

1

2

Efeito total:

i

i 1

2

1

2

1

2

Dividindo ambos os lados por :

i

i

Sendo:

=Energia especfica de deformao (s as tenses normais).

Para um elemento de volume, a tenso de cisalhamento provoca deformao no

elemento.

Assim, a energia de deformao armazenada no elemento :

1

2

1

2

1

2

Efeito total:

i

i

i

Sendo:

= Energia especfica de deformao (s as tenses de cisalhamento).

Efeito global:






73

i i

volume

volume

Ou seja:

1

2 (

)

d v

6.3 Clculo pelos esforos solicitantes

Considere uma viga:

od

v

o 1

2( )

Pela Lei de Hooke:

e

o 1

2

2

2

1

2 1

2

1

2

o 1

2 1

2

2 2

2

2 2

1

2

2

2 2

o 1

2 1

2

2 2

2

2 2

1

2

2

2 2

l

Resolvendo as integrais de rea, temos:






74

1

2 2

2

1

2 c

2

l

Onde c o fator de forma:

c 2

2 2

Observao:

No caso da Toro:

t

t t

tt

Ou seja:

1

2 2

2

1

2 c

2

t2

2 t

l

1

2

2

2

c 2

t2

t

estrutura

6.4 Clculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron)

t

t

onde tra al o.

T = U onde U = energia de deformao.

Observao:

Teoria de 1a ordem: pontos Ai e Bi muito prximos.

i 1

2 ivi

Ou genericamente:

1

2 ivi

Pode-se, portanto, calcular o deslocamento no ponto e na direo da fora ou

momento aplicado, com esse teorema. A aplicao bastante limitada, pois apenas uma

fora externa ou momento pode atuar na estrutura.

6.5 Teorema de Maxwell

Trata de uma estrutura elstica com duas cargas Pi e Pk.

Seja a viga abaixo. Por superposio de efeitos:

Considere a teoria de 1

a ordem.






75

Observao:

n indica o deslocamento, sendo o 1 ndice, n, a posio do deslocamento e o 2

ndice, j, ndica a posio da carga que provocou o deslocamento.

Assim:

vi i ii i

v i i Calcula-se agora o trabalho executado pelas cargas, que deve ser igual a energia

de deformao acumulada na viga deformada. Existem duas formas de carregamento:

1a forma de carregamento:

Aplica-se apenas Pi que varia de 0 at Pi.

Numa segunda fase de carregamento, Pi permanece constante enquanto Pk cresce

de 0 at Pk.

Apenas as parcelas correspondentes as cargas crescentes levam o fator 1/2, no

aquelas referentes as cargas constantes. Assim o trabalho executado vale:

1 1

2 i i ii 1 i i

1

2

2 forma de carregamento:

Portanto o trabalho executado vale:

2 1

2

1

2 i i ii 1 i i

Porm o trabalho realizado o mesmo: T1 = T2.

Substituindo os valores, tem-se que:

1 2






76

1

2 i i ii 1 i i

1

2

1

2

1

2 i i ii 1 i i

1 i i 1 i i

i i Observaes:

Se substituirmos as foras Pi e Pk por um grupo de foras, temos o Teorema de

Betti. O Teorema de Maxwell vale se substituirmos foras por momentos.

Enunciado: O deslocamento de um ponto i na direo i quando aplicada uma

carga no ponto k igual ao deslocamento de um ponto k na direo k quando aplicada

uma carga no ponto i.

6.6 Teorema de Castigliano

derivada arcial da energia de deformao em relao a uma carga Pk igual

ao deslocamento elstico vk do onto de a licao da carga (vk definido como a

projeo do deslocamento sobre a direo da carga).

Este teorema enuncia derivada parcial porque U funo de muitas variveis.

Considerando as cargas como variveis independentes, os deslocamentos so funes

lineares delas:

v1 1 11 i 1i 1 n 1n vi 1 i1 i ii i n in v 1 1 i i n n

1

2 ivi

n

i 1

1

2

i

vi

n

i 1

i vi

n

i 1

Na primeira soma:

i

i

Na segunda soma: v1

1

v2

2

Portanto:

1

2 v 1 1 2 2

Mas:

v 1 1 2 2






77

E pelo teorema de Maxwell, tem se:

i i

Assim:

1

2 v v

v

Como:

1

2

2

2

c 2

2

t

est

Assim:

i

i

1

2

2

2

c 2

2

t

est

i

i

i c

i

t

i

est

i

c

t

est

importante lembrar que ao determinar N, M, V e T da estrutura, devemos

deix-los em funo de kP (ela existindo ou no), para s no final dos clculos (aps a

fase da integrao) a substituirmos por seu valor original (seja ele nulo ou no).

Observao prtica:

Para facilitar os clculos, para certos tipos especiais de estrutura, podemos

desconsiderar certas parcelas da energia, j que so muito menores que as outras.

Vigas e prticos planos:

Aqui, o momento fletor responsvel por gerar uma energia muito maior que as

geradas pela normal, cortante e momento toror.

Portanto, simplificaremos para:

v

est

Trelias e tirantes:

Neste caso, as barras sofrem somente solicitao normal, ou seja:

v

t

est






78

v

est

Como a fora normal nas barras uma funo de grau zero (um valor constante

na barra toda), podemos dizer que N independe de x, ou seja:

l

l

l

Onde l o comprimento da barra.

Considerando que o mesmo vale para

temos:

v

trelia

arra i

n

i 1

v

l

Observaes:

No caso de um prtico atirantado, devemos usar:

v

rtico

tirante

Como o teorema de Maxwell vale se substituirmos foras por momentos (e,

naturalmente, deslocamentos (translao) por giros (rotao), podemos assim

determinar, ao invs do deslocamento kv de um ponto, o seu giro absoluto (para

vigas e prticos planos):

estrutura

Sendo o momento no ponto k desejado, de mesmo sentido do giro k .

6.7 Teorema de Menabrea

Usado para resolver problemas hiperestticos, ele nada mais que o teorema de

Castigliano usado com o propsito inverso (num ponto onde o deslocamento j

conhecido e a fora l atuante, no).

Num apoio fixo, por exemplo, temos reaes em duas direes. Ou seja,

sabemos que esse ponto tem deslocamento, nessas duas direes, nulo. Sendo assim,

podemos descobrir uma das reaes da seguinte forma:

v






79

Neste caso, a prpria reao do apoio uma incgnita hiperesttica.

6.8 Exerccios

1) Calcular o deslocamento vertical do ponto A.

2) Calcular o deslocamento vertical no meio do vo.

3) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do vo.

4) Determinar as reaes dos apoios da viga.

5) Calcular a fora na barra e o deslocamento vertical do ponto B. Dados: Viga (E e I)

e Barra (Eb e Ab).






80

6) Calcular o deslocamento vertical do n 5 (EA = constante).

7) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do balano. Dados: E = 2.100

tf/cm2; I = 1000 cm

4 e P = 2 tf.

8) Calcular a fora no tirante. Arco: meia-circunferncia (raio = r).

9) Calcular as foras nas barras e o deslocamento vertical do ponto A.






81

10) Calcular as foras nas barras e seus alongamentos. Dados: A1 = A2 = 1 cm2; L1 =

100 cm; L2 = 200 cm; E = 2.100.000 tf/cm2; Iviga = 5.557,3 cm

4; Aviga = 112 cm

2 e L

= 200 cm.

11) Calcular o deslocamento horizontal e vertical no ponto de aplicao da carga P.

Dado: c = constante da mola.


Foi escolhida como incgnita hiperesttica o apoio mvel vertical (R).

2

1 2






82

Trecho 1:

Trecho 2:

2 1 2 2

2 2

1

2

2

Trecho 3:

1

2

2

l

1

2

2

l






83

l

l

( )( ) 1

2 2

2

2

( )( ) 2

2

Para P = 2 tf, temos R = 0,3 tf.

Substituindo R nas equaes dos momentos, temos:

Trecho 1:

Trecho 2:

2

2

2

2

1

2 1

2

1 1

Trecho 3:

2

2

v

l

v ( )( ) 1

1 1

1 1

2

2

2

1

v 1

1

2.1 1 1 2 1 12 1

m 1 12 mm






84

7. Critrios de Resistncia 7.1 Estados Limites

So os estados limites:

a) Estado limite ltimo: ruptura.

b) Estado limite de utilizao:

c) Estado limite de estabilidade:

7.2 Critrios de resistncia

Descrevem-se, a seguir, os critrios de resistncia obsoletos (Critrios de

Rankine, Tresca e Saint-Venant) e atuais (Critrios de Mohr, Coulomb e von Mises):






85

7.2.1 Critrio de Rankine (critrio da maior tenso normal)

A maior tenso normal o limite para a resistncia da estrutura. Adota-se, com

certa segurana, a tenso normal mxima, a partir de experimentao e das condies de

aplicao. Critrio adequado para materiais dcteis.

Observao:

ma

C adm( )

1 ( ) (critrio das tenses admiss veis)

Material dctil:

esc

C

Material frgil:

ru

C

Envoltria de ruptura:

7.2.2 Critrio de Tresca (critrio da maior tenso de cisalhamento)

Em um ensaio de trao no ao o que causa o rompimento do ao a presena

da tenso de cisal amento ue corta a su erf cie da estrutura. Observao: critrio

utilizado para materiais dcteis (ao).







86

7.2.3 Critrio de Saint Venant (critrio de maior deformao normal):


coeficiente de Poisson.

Tanto para materiais dcteis como para materiais frgeis.

7.2.5 Critrio de Mohr:

Envoltria de segurana:






87

Critrio utilizado para diversos materiais (concreto e ferro fundido).

c t fc ft Resistncia compresso: fc.

Resistncia trao: ft.

7.2.6 Critrio de Coulomb:

O critrio de Coulomb um critrio definido por dois parmetros fsicos:

=ngulo de atrito interno;

c=tenso de coeso.

Este critrio utilizado para areias, argilas e siltes.

a) Materiais sem coeso (areia)

A partir da anlise da localizao do crculo de Mohr pode-se verificar se h, ou

no segurana.

c=0

Critrio de segurana:

sen sen

b) Materiais com coeso (argila).

c

Mesmo princpio de funcionamento que o anterior.

Resistncia compresso: fc.

Resistncia trao: ft.






88

ft fc

sen

ft2d

tg c

d ft2

d tg tg ft

2 c

d cft2tg

tg

sen

fc2

fc ft2 d

sen sen Envoltria de segurana:

7.2.7 Critrio da Energia de Distoro (critrio de Von Mises):

Utilizado para materiais dcteis com ft fc. Critrio baseado nos conceitos de energia de deformao.

Seja:

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