Universidade Estadual do Oeste do Paraná Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica Prof. Dr. Roberto Cayetano Lotero E-mail: [email protected]@gmail.com

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Introdução aos Sistemas de Energia Elétrica


Prof. Dr. Roberto Cayetano LoteroE-mail: [email protected]

Telefone: 35767147

Centro de Engenharias e Ciências Exatas

Foz do Iguaçu

mailto:[email protected]



LINHAS DE TRANSMISSÃO– Resistência e Efeito Pelicular– Indutância de Linhas de Transmissão– Capacitância de Linhas de Transmissão– Perdas em uma linha de transmissão– Relações entre Tensão e Corrente em uma Linha de

Transmissão– Circuito Equivalente– Fluxo de potência máximo– Capacidade de carga da linha– Compensação de reativos

3



Indutância de Linhas de Transmissão• Cálculo da Indutância• Lei de Ampère

• Fluxo Concatenado• Lei de Faraday

c

c c

de

dtd

Ldi idi

e Ldt



• Fluxo concatenado com a corrente de um condutor– Lei de Ampère

0

Para um metro de comprimento:

Hdl i

B H

d BdA

d Bdx

x

1 m

etro

dx

dx

B



• Indutância devido ao fluxo interno ao condutor

22

02

02

320

2 4

30 0

40

2

2

2

2

2

2 8

x

c

R

ci

xH i

ixH x

Rix

BRix

d dxR

ixxd d dx

R R

ix idx

R

0

8L

Rx



• Indutância devido ao fluxo externo ao condutor

0

0

0

0 0 0

2

2

2

2

ln ln2 2 2

c

d d

ce RR

xH i

iB

xi

d dxx

id d dx

xi i i d

dx xx R

0 ln2

dL

R



• Raio reduzido do condutor

0 0 0

1/40 01/4

0

1ln ln

8 2 2 4

ln ln ln2 2

ln2 '

d dL

R R

d de

R Re

dL

R



• Indutância de uma linha monofásica

1 2 0i i

D

d1p d2p

P

1i 2i



1 1

' '1 1

10 1 0 111 '

1

20 2 0 112

2

10 11 '

1 2

0 11 '

1

ln2 2

ln ln2 2

ln ln2

Para tendendo a

ln2

p pd d pc R R

pc

p

pc

p

c

di idxBdx

x R

di i D

D d

di D

R d

P

i D

R

'2

202 ln

2 R

Dic



2

1

22

11

2

1

'2

'10

2

1

0

0

ln0

0ln

2 i

i

L

L

i

i

R

DR

D

c

c

H/m ln

Supondo

ln2

ln2

'0

'2

'1

'2

0'1

02211

R

DL

RR

R

D

R

DLLL



Indutância de linha trifásica

P

d23

1i

2i

3i

d12

d13

d1p

d2p

d3p

0321 iii



Indutância de linha trifásica

10 111 '

20 212

12

30 113

13

1 2 301 1 2 3'

12 13

01 1 2 3 1 1 2 2 3 3'

12 13

ln2

ln2

ln2

ln ln ln2

1 1 1ln ln ln ln ln ln

2

pc

pc

pc

p p pc

c p p p

di

Rdi

d

di

d

d d di i i

R d d

i i i i d i d i dR d d



0 quando

lnlnlnlnlnln

lnlnln

1

33

1

2233221312

332211

p

d

di

d

dididididi

dididi

p

p

p

ppppp

ppp

'323

213

10

3

233'2

121

02

133

122'1

01

1ln

1ln

1ln

2

1ln

1ln

1ln

2

1ln

1ln

1ln

2

Ri

di

di

di

Ri

di

di

di

Ri

c

c

c



3

2

1

332313

232212

131211

3

2

1

3

2

1

'2313

23'

12

1312'

0

3

2

1

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

1ln

2

i

i

i

LLL

LLL

LLL

i

i

i

Rdd

dRd

ddR

c

c

c

c

c

c



3

2

1

'13

'23

'13

0

3

2

1

231312

3

2

1

'13

23

13

'23

12

23

12

13'

13

0

3

2

1

ln00

0ln0

00ln

2

Se

lnln0

0lnln

0lnln

2

i

i

i

R

dR

dR

d

ddd

i

i

i

R

d

d

dR

d

d

dd

d

R

d

c

c

c

c

c

c



D D

1i 2i 3i

3

2

1

'

'

'

0

3

2

1

2ln2ln0

0ln0

02ln2

ln

2i

i

i

R

DR

DR

D

c

c

c



Transposição de condutores

1i

2i

3i

l/3 l/3l/3



3

'0

1

'

3

10

3'

3

10

1

'13'12'10

1

2

H/m ln2

2ln

2

2ln

6

22lnln2ln

2ln

23

1

DDDD

R

DL

R

Di

R

Di

R

Dii

R

Dii

R

Di

eq

eq

c

c



Prova dos cinco minutos 4Dada a linha trifásica transposta a seguir, escreva as expressões para determinar o RMG e o DMG com o objetivo de determinar a indutância:

a c’

b

c

b’

a’

20



Capacitância de Linhas de Transmissão• Cálculo da Capacitância• Lei de Gauss

• Cálculo da Diferença de Tensão

2

121

0

r

rrr

S

rdEVVV

VCq

lqSdE



Para condutor infinitamente longo

0 0

0

22

1 2 10 1

0

2

V/m2

ln2

ln2

S

r

r r r

d

R

EdS q l E rl

Er

rV V V Edr

r

dC V Edr

V R



Linha monofásica

D

d1pd2p

P

1 2

021



1 1

1 1

11 1

0

111 1

0 1

22 11 2

0 0 2

111

0 2

2

ln2

ln ln2 2

ln ln2

p pd d

p R R

pp

pp

p

pp

p

drv Edr

r

dv

R

d Dv

D d

dDv

R d



1 1

2 20

11 111

12 222

1 1 1 011 22

0 0

ln 01

20 ln

0

0

ln ln F/m

2 2 ln

Dv Rv D

R

v C

v C

D DR RC C C C

DR



• Efeito da terra sobre a capacitância

12

3

12

3

H1

H2 H3

H12 H13

H23

D12 D23

D13

qa

-qa

0

312 13 23

31 2 3

2 F/m

ln ln

nCH H HDMG

RMG H H H



27



Relações entre Tensão e Corrente em uma Linha de Transmissão

• Linhas de transmissão curtas: até 100 km• Linhas de transmissão médias: até 300 km• Linhas de transmissão longas: acima de 300 km

28



Linhas de transmissão curtasIR

VS

+

ZR

-

ZL=R+jL

VR

IS

-

+

100*,

,,

PCR

PCRSCR

RRS

RS

V

VVãoRegulaç

ZIVV

II

IR

VR

VS

IRRIRXLδ

Carga Indutiva

IR

VR

VS

IRR

IRXLδ

Carga Capacitiva

IR VR

VS

IRR

IRXLδ

Carga Resistiva



Prova dos cinco minutos 5Seja a linha curta, trifásica, com R=1 e XL=35, por fase, a qual alimenta uma carga de 100MW com fator de potência 0,9 atrasado à tensão de 215kV. Calcular a regulação da linha.

30



Linhas de transmissão médiasIR

VS

+

-

ZL=R+jL

VR

IS

-

+

Y/2 Y/2

RRS

RRSS

RRS

RRRS

IZY

VZY

YI

IY

VY

VI

ZIVZY

V

VZIY

VV

12

14

22

12

2

14

12

ZYYC ZB

ZYDA

DICVI

BIAVV

RRS

RRS



IR

VR

VS

ILR

ILXLδ

ϕIS

IL



, ,

,

,

,

Regulação *100

/Regulação *100

R SC R PC

R PC

S R PC

R PC

V V

V

V A V

V

S R RV AV BI

33



Linhas de transmissão longasIR

VS

+

ZR

-

zL [Ω/m]

VR

IS

-

+

V+dV

+

-

I+dI

V

+

-

I

xdx

Vydx

dI Vydxydx

dVVVdI

Izdx

dV Izdxzdx

dIIIdV

2

2

y

xyzxyz

2

2

2

2

eAeAV

yzIdx

dVy

dx

Id

yzVdx

dIz

dx

Vd

21

34



][/

1

][

21

21

21

21

xyzxyz

xyzxyz

xyzxyz

2

2

xyzxyz

eAeAyz

I

zIeAyzeAyz

yzVeAeAyzdx

Vd

eAyzeAyzdx

dV

35



yz Z sendoZIV

A ZIV

A

AAyz

I AAV

ccRRcRR

RR

/22

][/

1

21

2121

Utilizando as condiciones do extremo receptor

Assim:

yz sendo

eIZV

eIZV

I

eZIV

eZIV

V

xRcRxRcR

xcRRxcRR

2

/

2

/22

36



Forma Hiperbólica

R

xx

R

xx

c

R

xx

cR

xx

xRcRxRcR

xcRRxcRR

Iee

Vee

ZI

Iee

ZVee

V

eIZV

eIZV

I

eZIV

eZIV

V

22

1

22

2

/

2

/22

37



SxsenhZ

C

xsenhZB

unidade por xDA

IxVxsenhZ

I

IxsenhZVxV

c

c

RRc

RcR

)(1

)(

)cosh(

)cosh()(1

)()cosh(

Assim:

38



Circuito π equivalente

l

lsenhZZ

lzy

lsenhzllsenh

y

zZ

lsenhZZB c

)('

)()('

)('

2/

)2/tanh(

22

'

2tanh

1

)(

1)cosh(1

2

'

12

)('

12

''

l

lYY

l

Zlsenh

l

Z

Y

lcoshlsenhZY

lcosh YZ

A

cc

c



Prova dos cinco minutos 6Seja uma linha de comprimento médio, a qual alimenta uma carga de 100MW com fator de potência 0,9 adiantado. Desenhar o diagrama fasorial mostrando todas as correntes e tensões da linha.

40



Fluxo de potência por uma linha de transmissão

kmkmkmkkmshkmkm

kmkmkmkmkm

bsenVbbQ

senbgP

cosV VV Vg-)(

V VcosV Vg-V

mkmkkm

2

mkmkkm

2

k

Perdas ativas da linha:

Perdas reativas da linha:

2 2 2

k m k m( V V -2 V V cos )km mk km km km k mP P g g E E

2 2 2 2

k m

2 2 2

k m

( ) ( 2 V V cos )

- E E

shkm mk k m km km k m km

sh shkm k km m km

Q Q V V b b V V

b V b V b

41



Desprezando a resistência da linha

ioestacionár regime em deestabilida de limite X

V VP

senX

V VP

senV VbP

L

mk

kmL

mkkm

kmmkkmkm

max

0

Pkm

Θkm

Pkm°

k mmax

V V

L

PX

90°

0

Pkm

Θkm

Pkm°

90°

k mmax

V V

L

PX



Surge Impedance Loading - SILIR

VS

+

-

ZL=jXL

VR

IS

-

+

c

LZ

C

x x x x

x x

x x

e e e e( )

2 2

e ecosh( )

2

e esinh( )

2

R c RV x V Z I

x

x

j x -j x

j x -j x

e ecosh( ) cos( )

2

e esinh( ) sin( )

2

( ) cos( ) sin( )R c R

j x x

x j x

V x x V jZ x I

Desprezando a resistência



* 2

*

nom

( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

[cos( ) sin( )]

( )

sin( )( ) cos( )

[cos( ) sin( )]

( ) ( ) ( )

RR c R R c

c

j xR R

R

RR

c c

j xR R

c c

Rj x j x RR

c c

VV x x V jZ x I x V jZ x

Z

x j x V e V

V x V

Vj xI x V x

Z Z

V Vx j x e

Z Z

VVS x V x I x e V e

Z Z

VSIL

2

inal

cZ



k km m mk

2

k km

km m m

m km

2

km

km

2 V -g V cos V sinV

V -g V cos V sinV

g V V sin V V cos

2 V -g V cos V sinV

V -g V cos V sinV

g

kmkm km km km

kmkm k km km k km

m

kmk km km k km

km

mkkm k mk km k mk

m

mkkm m m mk km m mk

k

mk

km

Pg b

Pg b

Pb

Pg b

Pg b

P

m mV V sin V V cosk mk km k mkb

Sensibilidade



Sensibilidade

km m mk

km k k

km k m k m

km

km

2( ) -g V sin V cosV

g V sin V cosV

-g V V cos V V sin

2( ) -g V sin V cosV

g V sin V cV

shkmkm km k km km km

kmkm km km

m

kmkm km km

km

shmkkm km m k mk km k mk

m

mkm mk km m

k

Qb b V b

Qb

Qb

Qb b V b

Qb

km k m k m

os

-g V V cos V V sin

mk

mkmk km mk

km

Qb

48



Para uma linha longa: extremo receptor

)()(

)()(

º0

2

*

B

VA

B

VVIVjQP

B

VA

B

VI

VV VV

BB AAB

AVVI BIAVV

RRSRRRR

RSR

SSRR

RSRRRS

49



2

S

2

S

2

S,max

V cos( ) cos( )

B B

V sen( ) ( )

B B

cos Q

V cos( )

B B

R RR

R RR

R R R R R R R R

R RR

V A VP

V A VQ sen

P V I V I sen

V A VP

50



(β-α)(β- δ)

B

VV RS

B

VA R

2

RR jQP Q

P

Diagrama de potência

n

51



(β-α)

(β- δ)

B

VV RS

B

VA R

2

RR jQP Q

P

Diagrama de círculo

P(β-α)

R

nPmax

ΔP

ΔQ

ΔPΔQ

52



(β-α)

(β- δ)

B

VV RS

B

VA R

2

RR jQP Q

P

P(β-α)

R

53



(β-α) (β- δ)

B

VV RS

B

VA R

2

RR jQP Q

P

P(β-α)

R

n

n'

54



(β-α) (β- δ)

B

VV RS

B

VA R

2

RR jQP

Q

P

P(β-α)

55



Compensação de reativos

IR

VS

+

-

R’+jX’

VR

IS

-

+

Y’/2 Y’/2

1

4

''''1

2

'' YZYC ZB

YZDA

56



VS

+

-

IS

VR

+

-

IRZ

VS

+

-

IS

VR

+

-

IR

Y

10

1

D C

ZB A

1

01

D YC

B A

A1B1C1D1VS

+

-

IS

VR

+

-

IRZ

A2B2C2D2

2112

1212

2121

2121

DDCBD

DCCAC

DBBAB

CBAAA

57



(β-α)

(β- δ)

B

VV RS

B

VA R

2

RR jQP Q

P

P(β-α)

R

n

Prova dos cinco minutos 7Seja uma linha de transmissão cujo comportamento no extremo receptor é representado pelo diagrama de círculo da figura. Ao fazer a correção do fator de potência da carga deseja-se manter a tensão constante na mesma. O que vai ocorrer no diagrama de círculo? Que grandezas vão ser alteradas no mesmo.

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