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CHRISTIAN LUIZ PERLIN
PROCEDIMENTOS SIMPLIFICADOS DE PROJETO PARA AS ESTR UTURAS DE
EDIFÍCIOS DE PEQUENO PORTE
CUIABÁ
MARÇO / 2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
FACULDADE DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TECNOLOGIA
COORDENAÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA CIVIL
TRABALHO DE GRADUAÇÃO
CHRISTIAN LUIZ PERLIN
PROCEDIMENTOS SIMPLIFICADOS DE PROJETO PARA AS ESTR UTURAS DE
EDIFÍCIOS DE PEQUENO PORTE
Trabalho de Graduação submetido ao corpo docente da Faculdade de Arquitetura, Engenharia e Tecnologia da Universidade Federal de Mato Grosso como requisito parcial para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Prof. Dr. Manoel Santinho Rodrigues Júnior
Orientador
CUIABÁ
MARÇO / 2014
Dados Internacionais de Catalogação na Fonte.
Ficha catalográfica elaborada automaticamente de acordo com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).
Permitida a reprodução parcial ou total, desde que citada a fonte.
P451p Perlin, Christian Luiz.Procedimentos simplificados de projeto para as estruturas de
edifícios de pequeno porte / Christian Luiz Perlin. -- 201467 f. : il. ; 30 cm.
Orientador: Manoel Santinho Rodrigues Júnior.TCC (graduação em Engenharia Civil) - Universidade Federal de
Mato Grosso, Faculdade de Arquitetura, Engenharia e Tecnologia,Cuiabá, 2014.
Inclui bibliografia.
1. Concreto armado. 2. Projeto de estruturas de pequeno porte. 3.Métodos de cálculo aproximado. I. Título.
AGRADECIMENTOS
À minha família, meus pais Luiz e Rosa, meus irmãos Carlos e Caroline, minha avó
Ernesta e minha tia Arlene, pelo apoio e paciência.
Aos amigos feitos no curso, pela amizade e incentivo durante os anos de faculdade.
Ao professor Manoel Santinho, pela orientação e ensino, e ao professor Alberto
Dalmaso, pela disponibilização e ajuda com os programas utilizados neste trabalho.
Ao Senhor Jesus, pelo amor e auxílio em todos os momentos.
RESUMO
Nas últimas décadas, com os avanços na microeletrônica e nos computadores, os
procedimentos de cálculo estrutural exato puderam ser implementados em programas
comerciais, facilitando o trabalho dos projetistas de estruturas. Contudo, devido ao alto custo
destes programas, os métodos de cálculo aproximado ainda são bastante utilizados nos casos
de estruturas de pequeno porte. Este trabalho realiza uma comparação dos esforços
solicitantes e deformações elásticas, obtidos por métodos de cálculo exato e aproximado, em
estruturas de concreto armado. A análise foi feita considerando as limitações indicadas pelo
Instituto Brasileiro do Concreto (IBRACON) para as estruturas de pequeno porte, sendo os
seguintes elementos estruturais estudados: lajes maciças, vigas e pilares, todos com geometria
e carregamento arbitrários. De forma geral, os métodos aproximados utilizados mostraram-se
satisfatórios na obtenção dos esforços – simplificadamente, a média dos valores variou de
20% menor a 15% maior que os encontrados pelo método exato. Para o cálculo das
deformações, as aproximações foram insatisfatórias, com os melhores valores 30% abaixo das
deformações obtidas pelo método exato.
Palavras chave: Concreto armado. Projeto de estruturas de pequeno porte. Métodos de cálculo
aproximado.
ABSTRACT
In recent decades, with advances in microelectronics and computers, the exact structural
calculation procedures could be implemented in commercial programs, facilitating the work
of designers of structures. However, due to the high cost of these programs, the approximate
calculation methods are still widely used in cases of small structures. This paper makes a
comparison of internal forces and elastic deformations obtained by exact and approximate
calculation methods in reinforced concrete structures. The analysis was performed
considering the limitations indicated by the Brazilian Concrete Institute (IBRACON) for
small structures, with the following structural elements studied: solid slabs, beams and
columns, each with arbitrary geometry and loading. In general, the approximate methods used
were satisfactory in obtaining internal forces - simply, the average values ranged from 20%
lower to 15% higher than found by the exact method. To calculate the deformations, the
approaches were unsatisfactory, with the best values below 30% of the deformations obtained
by the exact method.
Keywords: Reinforced concrete. Design of small structures. Approximate calculation
methods.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Valores aproximados dos momentos fletores em lajes unidirecionais contínuas ...15 Figura 2 – Largura útil das faixas de laje calculadas como viga .............................................16 Figura 3 – Pórtico plano e pilar com rigidez equivalente ........................................................17 Figura 4 – Comportamento das lajes ........................................................................................19 Figura 5 – Consolo ...................................................................................................................21 Figura 6 – Discretização do consolo em elementos finitos ......................................................22 Figura 7 – a) planta de fôrmas de um pavimento, com lajes e vigas; e b) grelha equivalente que representa o pavimento ......................................................................................................23 Figura 8 – Comportamento de uma grelha equivalente com: a) muitos elementos e b) poucos elementos .................................................................................................................................24 Figura 9 – Compatibilização dos momentos fletores nas lajes contínuas ................................28 Figura 10 – Cálculo das reações nas vigas pelo processo das áreas ........................................29 Figura 11 – Comportamento da ligação perfeitamente rígida ..................................................30 Figura 12 – Deslocamentos de estruturas com ligações rígidas, nos casos de: a) carregamento vertical e b) carregamento horizontal .......................................................................................31 Figura 13 – Arredondamento do diagrama de momentos fletores ...........................................32 Figura 14 – Modelo estrutural para o cálculo do momento fletor decorrente da ligação rígida entre viga e pilar nos apoios extremos .....................................................................................35 Figura 15 – Simbologia dos esforços nas vigas .......................................................................41 Figura 16 – Laje L1 ..................................................................................................................42 Figura 17 – Laje L2 ..................................................................................................................43 Figura 18 – Laje L3 ..................................................................................................................44 Figura 19 – Laje L4 ..................................................................................................................45 Figura 20 – Arranjo de lajes para o cálculo da Situação 5 .......................................................46 Figura 21 – Simbologia dos esforços nas lajes da Situação 5 ..................................................47 Figura 22 – Planta de fôrmas do edifício fictício analisado na Situação 7 ..............................57
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Esforços obtidos para a Situação 1 .......................................................................42 Quadro 2 – Esforços obtidos para a Situação 2 .......................................................................43 Quadro 3 – Esforços obtidos para a Situação 3 .......................................................................44 Quadro 4 – Esforços obtidos para a Situação 4 .......................................................................45 Quadro 5 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR1 para a Situação 5 ........................47 Quadro 6 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR2 para a Situação 5 ........................47 Quadro 7 – Esforços nas lajes obtidos com o método MS1 para a Situação 5 ........................48 Quadro 8 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR1 para a Situação 5 .......................48 Quadro 9 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR2 para a Situação 5 .......................49 Quadro 10 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS1 para a Situação 5 .....................49 Quadro 11 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR1 para a Situação 6 ......................51 Quadro 12 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR2 para a Situação 6 ......................51 Quadro 13 – Esforços nas lajes obtidos com os métodos MS1 e MS2 para a Situação 6 .......51 Quadro 14 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR1 para a Situação 6 .....................52 Quadro 15 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR2 para a Situação 6 .....................52 Quadro 16 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS1 para a Situação 6 .....................53 Quadro 17 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS2 para a Situação 6 .....................53 Quadro 18 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR1 para a Situação 6 ..................54 Quadro 19 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR2 para a Situação 6 ..................54 Quadro 20 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS1 para a Situação 6 ...................55 Quadro 21 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS2 para a Situação 6 ...................55 Quadro 22 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR1 para a Situação 7 ......................58 Quadro 23 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR2 para a Situação 7 ......................58 Quadro 24 – Esforços nas lajes obtidos com os métodos MS1 e MS2 para a Situação 7 .......58 Quadro 25 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR1 para a Situação 7 .....................59 Quadro 26 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR2 para a Situação 7 .....................60 Quadro 27 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS1 para a Situação 7 .....................61 Quadro 28 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS2 para a Situação 7 .....................62 Quadro 29 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR1 para a Situação 7 ..................63 Quadro 30 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR2 para a Situação 7 ..................63 Quadro 31 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS1 para a Situação 7 ...................64 Quadro 32 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS2 para a Situação 7 ...................64
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 10
1.1 TEMA ............................................................................................................................. 10 1.2 DELIMITAÇÃO DO TEMA ......................................................................................... 11 1.3 PROBLEMA .................................................................................................................. 11 1.4 HIPÓTESES ................................................................................................................... 11 1.5 OBJETIVO GERAL ....................................................................................................... 12 1.6 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................................................... 12 1.7 JUSTIFICATIVA ........................................................................................................... 12
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................... 13 2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS SEGUNDO A COMPLEXIDADE ............ 13
2.1.1 Simplificações permitidas para o cálculo de estruturas de nível 1 (IBRACON) ... 14 2.1.1.1 Lajes ................................................................................................................. 14 2.1.1.2 Vigas ................................................................................................................. 16 2.1.1.3 Pilares ............................................................................................................... 16
2.2 CÁLCULO DAS LAJES ................................................................................................ 18 2.2.1 Métodos elásticos ................................................................................................... 19
2.2.1.1 Método dos elementos finitos ........................................................................... 21 2.2.1.2 Analogia de grelha ............................................................................................ 23 2.2.1.3 Uso de tabelas ................................................................................................... 26
2.2.1.3.1 Bases do método e simplificações necessárias .......................................... 26 2.2.1.3.2 Compatibilização de momentos fletores em lajes contínuas ..................... 27 2.2.1.3.3 Reações de apoio nas vigas ....................................................................... 28
2.3 CÁLCULO DE VIGAS E PILARES ............................................................................. 30 2.3.1 Continuidade das estruturas de concreto armado.............................................. 30 2.3.2 Modelagem da estrutura ....................................................................................... 31
2.3.2.1 Redução dos momentos fletores nas vigas ....................................................... 32 2.3.2.2 Momento de inércia das seções ........................................................................ 33 2.3.2.3 Condições de apoio ........................................................................................... 34
2.3.2.3.1 Divisão em vigas contínuas isoladas ......................................................... 34 2.3.2.3.2 Divisão em pórticos planos ....................................................................... 35
3 MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................... 36 3.1 ESTRUTURA E ELEMENTOS EM ESTUDO ............................................................. 36 3.2 OBSERVAÇÕES GERAIS ............................................................................................ 36 3.3 MÉTODOS DE CÁLCULO UTILIZADOS .................................................................. 37 3.4 COMBINAÇÕES DE ESFORÇOS SOLICITANTES .................................................. 39 3.5 CARREGAMENTOS ..................................................................................................... 39
9
3.5.1 Lajes ........................................................................................................................ 39 3.5.2 Vigas ........................................................................................................................ 39
3.6 SOLICITAÇÕES MÍNIMAS ......................................................................................... 40 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ...................................................................................... 41
4.1 SIMBOLOGIA E UNIDADES ...................................................................................... 41 4.2 PROJETO DAS LAJES ................................................................................................. 41
4.2.2 Situação 1: laje isolada de pequenos vãos, com apoios indeslocáveis ............... 42 4.2.3 Situação 2: laje isolada de pequenos vãos, com apoios deslocáveis .................. 43 4.2.4 Situação 3: laje isolada de grandes vãos, com apoios indeslocáveis .................. 44 4.2.5 Situação 4: laje isolada de grandes vãos, com apoios deslocáveis ..................... 45 4.2.6 Situação 5: arranjo de lajes contínuas ................................................................. 46
4.3 PROJETO DE VIGAS E PILARES ............................................................................... 50 4.3.1 Situação 6: arranjo simples de lajes contínuas, com 4 pavimentos .................. 50 4.3.2 Situação 7: edifício residencial fictício de 4 pavimentos .................................... 56
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES ...................................................................................... 65 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 66
10
1 INTRODUÇÃO
O concreto armado como é conhecido atualmente tem sua história iniciada em 1849,
quando o agricultor francês Joseph-Louis Lambot passou a utilizar cimento reforçado com
ferros para a construção de tanques e barcos (CARVALHO, 2008). A técnica começou a
difundir-se em outros meios, sendo utilizada na confecção de vasos de jardinagem, tubos e,
por fim, na construção civil.
A primeira teoria consistente sobre o dimensionamento das peças de concreto armado
foi publicada em 1901 pelo engenheiro alemão Emil Mörsch (CARVALHO, 2008). Os
cálculos estruturais necessários para o projeto dos edifícios eram realizados de forma manual,
demandando, portanto, várias simplificações para permitir tal fato. Mesmo assim, no início do
século passado (década de 1920), várias obras no Brasil detiveram recordes mundiais em vão
e altura (BASTOS, 2006), comprovando a eficácia dos métodos de cálculo aproximado
utilizados.
Mais recentemente, com os avanços tecnológicos ocorridos na área dos
microcomputadores, surgiram os programas eletrônicos para o cálculo das estruturas. Dessa
forma, puderam ser utilizados, de forma comercial, os métodos de cálculo exato, que
demandam grande quantidade de operações matemáticas. Contudo, o alto custo desses
programas pode inviabilizar seu uso para os casos de estruturas de pequeno porte, haja vista
que os métodos de cálculo aproximado fornecem soluções razoáveis mesmo sendo menos
dispendiosos.
Assim sendo, este trabalho objetiva estudar os métodos de cálculo aproximado
utilizados no projeto de estruturas de concreto armado, realizando uma comparação dos
esforços obtidos por estes métodos com o método de cálculo exato.
1.1 TEMA
O tema do Trabalho de Graduação é “Projeto de Estruturas de Concreto Armado”,
para o qual foram determinados os esforços solicitantes e deformações elásticas em peças
11
estruturais de concreto armado de um edifício por métodos diferentes e realizada uma
comparação entre estes.
1.2 DELIMITAÇÃO DO TEMA
A pesquisa consistiu na obtenção dos esforços solicitantes e deformações elásticas em
elementos estruturais de concreto armado de um edifício. Estes valores foram determinados
por meio de métodos exatos e métodos aproximados, sendo feita posterior comparação dos
resultados.
As peças estruturais analisadas foram lajes, vigas e pilares, com geometria e
carregamentos típicos dos existentes nos edifícios, em especial nos de pequeno porte.
Considerou-se que estas peças pertençam ao sistema estrutural de um edifício residencial de
quatro pavimentos, que é classificado como estrutura de nível 1 de complexidade.
Foram analisadas 7 situações por meio de 4 métodos de cálculo. Na comparação dos
resultados da última Situação, que tratou da estrutura completa de um edifício, levou-se em
conta os valores mínimos de solicitações nos elementos, que são aqueles resistidos pelas
peças armadas com as taxas mínimas de armação.
1.3 PROBLEMA
Na determinação das solicitações e deformações nas peças de concreto armado de um
edifício de pequeno porte, os métodos de cálculo aproximado fornecem resultados
satisfatórios?
1.4 HIPÓTESES
Os métodos de cálculo aproximado fornecem resultados de esforços solicitantes e
deformações até 15% superiores, em média, aos obtidos pelo método exato.
12
1.5 OBJETIVO GERAL
O objetivo geral é contribuir para a melhoria dos processos aproximados de projeto
pela produção de resultados vindos da comparação dos esforços e deslocamentos das peças
estruturais de concreto armado de um edifício residencial, alguns obtidos por métodos de
cálculo aproximado e outros realizados com o método exato.
1.6 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
São os seguintes:
a) definir geometria e carregamento das peças estruturais;
b) calcular as solicitações e deformações nas peças estruturais do edifício empregando
método de cálculo aproximado;
c) calcular as solicitações e deformações nas peças estruturais do edifício com o uso do
método de cálculo exato e
d) comparar os resultados obtidos.
1.7 JUSTIFICATIVA
Os projetos de estruturas de concreto armado envolvem um grande número de
operações matemáticas. Os programas de cálculo estrutural utilizados pelos computadores
conseguem realizar estas operações de forma rápida, porém são bastante onerosos, de difícil
acesso para os pequenos escritórios de projeto, que lidam com o projeto de estruturas de
pequeno porte. Por outro lado, os procedimentos aproximados de cálculo apresentam a grande
vantagem de possuir um custo muito menor que estes programas, fornecendo (para estruturas
de pequeno porte) valores de armaduras pouco superiores aos obtidos pelos métodos exatos.
Esta pesquisa contribuirá para o aperfeiçoamento dos métodos aproximados por meio da
comparação dos resultados calculados pelos dois métodos.
13
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS SEGUNDO A COMPLEXIDADE
O Instituto Brasileiro do Concreto (IBRACON) classifica as estruturas de concreto
armado de edifícios em três níveis de complexidade. O objetivo desta classificação é o de
permitir certas simplificações no projeto das estruturas mais simples, sem, contudo, prejudicar
os quesitos de segurança e economia.
As estruturas mais simples são classificadas como de nível 1 (também chamadas de
estruturas de pequeno porte), e estão sujeitas às seguintes limitações:
a) estruturas de até quatro pavimentos, regulares e sem protensão, não situadas em
ambientes quimicamente agressivos;
b) sobrecargas de utilização de até 3kN/m²;
c) pilares com lances de altura inferior a 4 m;
d) vãos das vigas inferiores a 6 m; e
e) vãos principais de lajes inferiores a 4 m ou 2 m no caso de balanços.
No cálculo destas estruturas, pode-se desconsiderar o efeito do vento, desde que
existam contraventamentos nas duas direções do conjunto estrutural. As simplificações
permitidas no cálculo dos elementos estruturais serão abordadas nos tópicos seguintes.
Para as estruturas de nível 2, as liberdades são menores, podendo existir protensão e
sendo obrigatória a consideração do efeito do vento. Enquadram-se neste grupo as estruturas
simétricas, com pórticos bem delineados nas duas direções principais, de vãos moderados e
coeficiente γz menor que 1,10. Simplificadamente, o vão de uma viga é considerado grande
quando a flecha imediata, sob carga total, supera 1/250 do vão.
As estruturas que não se encaixam em nenhum desses níveis são classificadas como de
nível 3, não cabendo nenhuma simplificação no projeto.
14
2.1.1 Simplificações permitidas para o cálculo de estruturas de nível 1 (IBRACON)
O cálculo dos esforços solicitantes pode ser efetuado em regime elástico-linear, exceto
em casos de instabilidade elástica (cálculo dos pilares). Quanto às variações de temperatura,
supõe-se que sejam uniformes ao longo da estrutura, salvo quando a diferença entre partes do
conjunto seja muito acentuada. A variação de temperatura do concreto devido à sazonalidade
deve ser considerada entre ± 5°C e ± 10°C.
O efeito da retração do concreto pode ser considerado como equivalente a uma queda
de temperatura de 15°C.
2.1.1.1 Lajes
As reações das lajes nas vigas podem ser calculadas de acordo com o processo das
áreas, que será explicado na seção 2.2.1.3.3.
As lajes armadas nas duas direções podem ser calculadas em regime elástico-linear,
pela Teoria da Elasticidade. As lajes contínuas armadas em uma única direção podem ser
tratadas como vigas contínuas livremente apoiadas. Nas situações em que Lmenor ≥ 0,8.Lmaior,
podem ser adotados os valores aproximados da Figura 1, sendo p o carregamento
uniformemente distribuído total sobre a laje.
15
Figura 1 – Valores aproximados dos momentos fletores em lajes unidirecionais contínuas.
Fonte: FUSCO, 1995.
Quando houver cargas concentradas ou parcialmente distribuídas aplicadas sobre a
laje, seus efeitos (momentos fletores, forças cortantes e reações sobre vigas) devem ser
calculados sobre larguras colaborantes efetivas, como mostra a Figura 2.
16
Figura 2 – Largura útil das faixas de laje calculadas como viga.
Fonte: FUSCO, 1995.
2.1.1.2 Vigas
Em edifícios, pode-se considerar as vigas contínuas sem ligações rígidas com os
apoios. Contudo, quando a viga for solidária com um pilar-parede intermediário que possui a
maior dimensão da seção na direção longitudinal da viga, ela deve ser calculada como
perfeitamente engastada nesse apoio. Também é permitido o arredondamento do diagrama de
momentos fletores nos apoios monolíticos, assumindo para o valor máximo negativo a média
entre o máximo calculado e a semi-soma dos momentos nas faces do pilar.
Nos casos em que não haja cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares
com a viga, deve-se considerar, obrigatoriamente, que haja nos apoios extremos um momento
fletor calculado segundo o item 14.6.7.1-c da NBR 6118:2007, que será estudado mais
adiante, na seção 2.3.2.3.1. Além disso, o alívio de carregamento no apoio adjacente ao apoio
extremo, decorrente do momento fletor negativo neste último, deve ser considerado pela
metade.
2.1.1.3 Pilares
O IBRACON permite simplificações apenas nos cálculos dos pilares das estruturas de
nós fixos, que são as estruturas com parâmetro de instabilidade α < α1, sendo:
Eq. 2.1 ccs
ktot IE
NHα∑
=
17
Eq. 2.2
em que:
n – número de andares acima da fundação ou de um nível indeslocável do subsolo;
Htot – altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível
indeslocável do subsolo;
ΣNk – somatório das forças verticais (valor característico) no nível considerado para o cálculo
de Htot;
Ecs – módulo de elasticidade secante do concreto;
Ic – somatório da rigidez de todos os pilares na direção considerada, ou somatório da inércia
de um pilar equivalente na direção considerada. Considera-se no cálculo a seção bruta de
concreto.
Um pilar equivalente a um pórtico pode ser definido como um pilar que tenha a
mesma rigidez que o pórtico (CARVALHO; PINHEIRO, 2013). Isso equivale a dizer que o
deslocamento horizontal no topo do pórtico e do pilar equivalente (que possuem a mesma
altura) é o mesmo, quando submetidos ao mesmo carregamento horizontal (com a notação da
Figura 3, δpilar = δpórtico).
Figura 3 – Pórtico plano e pilar com rigidez equivalente.
Fonte: CARVALHO; PINHEIRO, 2013.
6,0n1,02,0α1 ≤⋅+=
18
Para as estruturas de nós fixos, conhecidos os momentos fletores nas extremidades de
um pilar, pode-se estudá-lo isoladamente, sob o efeito dos esforços atuantes (força normal e
momento fletor), admitindo-se um diagrama linear de momento. Considera-se implicitamente
que o pilar não está submetido a forças horizontais.
Nos casos de pilares de canto e pilares de extremidade, estes devem ser calculados,
respectivamente, sob flexão composta oblíqua e normal, com um momento fletor de primeira
ordem calculado de forma semelhante ao momento negativo nas vigas (item 14.6.7.1-c da
NBR 6118:2007, discutido na seção 2.3.2.3.1).
O momento mínimo de primeira ordem a se considerar é dado por
Eq. 2.3
sendo h a altura da seção transversal do pilar na direção considerada e 0,015 em metros. No
caso de flexão oblíqua, pelo menos um dos momentos deve respeitar o mínimo.
Quanto aos efeitos de segunda ordem, pode-se desconsiderá-los para os pilares com λ
< λlim, sendo λlim = 25 + 12,5.e1/h, com:
35 ≤ λlim ≤ 90
e1 - excentricidade de primeira ordem (e1 = M1d/Nd);
h – altura da seção transversal na direção considerada.
Para os pilares com λlim ≤ λ ≤ 90, o momento de segunda ordem pode ser calculado
pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada, presente no item 15.8.3.3.2 da NBR
6118:2007. Não são abordados pelo IBRACON pilares com λ > 90.
2.2 CÁLCULO DAS LAJES
Lajes são elementos planos em que duas dimensões são predominantes em relação a
uma terceira, denominada espessura. O carregamento incidente sobre as lajes é
preponderantemente normal ao seu plano, mas elas também possuem papel importante no
mecanismo resistente às ações horizontais, comportando-se como um diafragma rígido que
)h03,0015,0(NM dmin,d1 +⋅=
19
distribui os esforços entre os pilares do edifício (FRANÇA et al., 2001). A Figura 4 ilustra o
comportamento das lajes. Nas estruturas usuais de edifícios, as lajes maciças são responsáveis
por aproximadamente 50% do consumo total de concreto (PINHEIRO, 2007).
Figura 4 – Comportamento das lajes.
Fonte: FUSCO, 1995.
Existem dois grandes grupos de métodos de cálculo de esforços em lajes (MONTOYA
et al., 1979). Os métodos elásticos fundamentam-se na hipótese do concreto não fissurado sob
cargas de serviço. Os métodos de ruptura fundamentam-se nos mecanismos de ruptura das
lajes, considerando o material como rígido-plástico perfeito. Serão discutidos brevemente, no
presente trabalho, apenas os métodos elásticos.
2.2.1 Métodos elásticos
Também chamados de clássicos ou de teoria de placas delgadas, consideram o
concreto como material isótropo, homogêneo, elástico, linear fisicamente (ou seja, as
deformações são proporcionais às tensões) e de pequenos deslocamentos. A fissuração é
desconsiderada, o que leva a valores de deslocamentos subestimados (CARVALHO;
FIGUEIREDO FILHO, 2012).
Os métodos elásticos baseiam-se nas equações de equilíbrio de um elemento
infinitesimal de placa e em suas relações de compatibilidade de deformações. Esta teoria foi
desenvolvida por Lagrange, com base nas hipóteses de Kirchhoff, válidas para placas finas,
isótropas e submetidas a carregamentos normais ao plano médio (DINIS, 2004):
20
a) uma linha reta normal ao plano médio antes da deformação permanece reta e normal
ao plano médio após a deformação;
b) a componente de tensão normal ao plano médio da placa é irrelevante quando
comparada com as outras, sendo portanto considerada nula.
Assim sendo, pode-se expressar os esforços nas placas em função dos deslocamentos
verticais w (MONTOYA et al., 1979). Os esforços por unidade de comprimento são dados
pelas equações:
m� = −D ������� + ν. ������ � – momento fletor na direção x (ao redor do eixo y);
m� = −D ������� + ν. ������ � - momento fletor na direção y (ao redor do eixo x);
m�� = −D�1 − ν� � �������� – momento torsor;
v� = −D. ��� ������� + ���
��� � – cortante na direção x;
v� = −D. ��� ������� + ���
��� � – cortante na direção y.
em que:
w – deslocamento vertical;
x,y – coordenadas de um ponto genérico da placa;
D = �.�³��.(����) – rigidez a flexão da placa de espessura h;
E – módulo de elasticidade;
ν – coeficiente de Poisson.
Por meio do equilíbrio de forças verticais em um elemento da placa, pode-se escrever
Eq. 2.4
em que p(x,y) representa o carregamento no ponto (x,y). Substituindo nessa equação os
valores anteriores, o resultado é a conhecida equação de Lagrange, ou equação diferencial das
placas:
0)y,x(py
v
x
v yx =+∂∂
+∂∂
21
Eq. 2.5
Existem poucos casos em que haja uma função w(x,y) que satisfaça esta equação
diferencial e as condições de contorno. Dessa forma, é comum dispor-se de soluções
alternativas, baseadas na teoria de Lagrange, para a obtenção dos esforços nas lajes. Entre
estas soluções, destacam-se a analogia de grelha, o método dos elementos finitos e o uso de
coeficientes presentes em tabelas para dimensionamento.
2.2.1.1 Método dos elementos finitos
Nos vários problemas pertencentes ao ramo da Engenharia de Estruturas, é comum
utilizar-se de abordagens que envolvem considerar apenas um elemento infinitesimal do
componente estrutural, estudando o comportamento deste face aos fenômenos em questão. As
relações entre as variáveis do problema, obtidas desta forma, podem ser extrapoladas para o
todo, um procedimento muitas vezes complexo e dispendioso.
O método dos elementos finitos (MEF) consiste na discretização do componente
estrutural em elementos de dimensão reduzida, porém mensurável (ou seja, finitos), em
contrapartida ao uso de infinitesimais. Os pontos de interligação destes elementos finitos são
denominados nós. As Figuras 5 e 6 exemplificam o uso do método, considerando o problema
de determinação das tensões em um consolo sujeito ao carregamento de uma viga
(SORIANO, 2003).
Figura 5 – Consolo.
Fonte: SORIANO, 2003.
D
p
y
w
yx
w2
x
w4
4
22
4
4
4
=∂∂+
∂∂∂+
∂∂
22
Em relação a estes elementos estruturais, a NBR 6118:2007 define os consolos como
peças em balanço em que a carga é aplicada a uma distância da face do apoio menor ou igual
à altura útil do consolo. Assim sendo, uma das hipóteses das teorias de cálculo de vigas
(elementos com uma dimensão preponderante em relação às outras duas) não se aplica a este
caso. Por este motivo, é necessário o uso de outro método para a resolução do problema,
podendo ser utilizado o método dos elementos finitos.
Figura 6 – Discretização do consolo em elementos finitos.
Fonte: SORIANO, 2003.
Segundo Soriano (2003), o comportamento dos elementos finitos adotados
(geralmente retangulares ou triangulares) é arbitrado de forma que o conjunto ou malha de
elementos comporte-se de forma aproximadamente semelhante ao original em estudo. Desta
forma, substitui-se o equilíbrio infinitesimal pelo equilíbrio do elemento finito, escrevendo-se
as equações de compatibilidade e equilíbrio relativas aos nós da malha. A resolução do
problema passa agora pela solução de equações algébricas ao invés de equações diferenciais.
No caso dos esforços em lajes, os deslocamentos w são expressos por funções
polinomiais, cujos coeficientes podem ser encontrados pelos valores da função e de suas
derivadas nos vértices do elemento, juntamente com as condições de contorno e
compatibilidades de deformações (MONTOYA et al., 1979). Conhecidos os valores de w, os
esforços nas lajes são calculados por meio da teoria de Lagrange.
Este método utiliza-se, portanto, da resolução numérica de uma equação diferencial
para a qual não existe solução analítica. Contudo, observando que os resultados obtidos
convergem para o valor exato, à medida que se aumenta o número de elementos finitos
utilizados, e tendo em vista a precisão necessária requerida pelos problemas de engenharia,
23
pode-se considerar o método como exato para os casos em que haja uma discretização
razoável dos componentes estruturais em questão.
O método dos elementos finitos foi especialmente desenvolvido para implementação
computacional e é o mais utilizado em programas de análise estrutural em todo o mundo.
2.2.1.2 Analogia de grelha
Este processo consiste em representar a laje por uma grelha equivalente de vigas.
Pode-se utilizá-lo, também, para calcular todo o pavimento de um edifício de forma integrada,
mesmo que este pavimento possua geometria diferenciada ou outras particularidades como
lajes lisas ou nervuradas (CARVALHO, 1994). As lajes são divididas em faixas nas duas
direções, sendo estas faixas discretizadas como elementos de barra (vigas), que irão compor a
grelha.
A Figura 7 mostra a planta de fôrmas de um pavimento e este discretizado em uma
grelha equivalente.
Figura 7 – a) planta de fôrmas de um pavimento, com lajes e vigas; e b) grelha equivalente que representa o pavimento.
Fonte: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2012.
24
Para representar a laje de forma precisa, é necessário que a grelha equivalente
apresente, sob o mesmo carregamento que a laje, os mesmos esforços solicitantes e
deformações nas seções correspondentes (HAMBLY, 1991). Devido às diferenças entre os
dois tipos de estrutura (visto que uma placa não se comporta de forma semelhante à uma
grelha), isso acontece apenas de forma aproximada. Contudo, pode-se utilizar um maior
número de elementos na grelha para que a aproximação seja mais adequada ao caso em
questão. A Figura 8 mostra a alteração no comportamento de uma grelha equivalente
ocasionada pelo aumento do número de elementos.
Figura 8 – Comportamento de uma grelha equivalente com: a) muitos elementos e b) poucos elementos.
Fonte: HAMBLY, 1991.
Os elementos que compõe a grelha equivalente tem suas inércias a flexão If e à torção
It calculadas considerando altura h igual a espessura da laje e largura b igual a soma da
metade dos espaços entre elementos vizinhos. Distinguem-se dois tipos de elementos. Os que
representam a laje são chamados de elementos placa; segundo Carvalho e Figueiredo Filho
(2012), suas inércias podem ser calculadas pelas fórmulas:
Eq. 2.6
Eq. 2.7
Os elementos que representam as vigas do pavimento são chamados de elementos
viga-placa, tendo esta denominação devido ao fato de parte da laje atuar como mesa da viga.
Dependendo da posição, a seção pode ter a forma de T ou meio T. A inércia à flexão deve ser
calculada de acordo com a largura colaborante (seção 14.6.2.2 da NBR 6118:2007). A inércia
12
hbI
3
f
⋅=
6
hbI2I
3
ft
⋅=⋅=
25
à torção pode ser calculada de maneira simplificada, sem levar em conta a contribuição da
laje, pela fórmula (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2012):
Eq. 2.8
As cargas distribuídas se dividem entre as vigas da grelha de acordo com sua área de
influência, podendo ser consideradas uniformemente distribuídas ao longo das barras ou, caso
a malha seja muito densa, concentradas nos nós. Segundo Hambly (1991), os elementos da
grelha equivalente não devem ter espaçamento maior que 1/4 do vão da laje.
A maior dificuldade encontrada em se substituir a análise de uma placa pela análise de
uma grelha está em se desconsiderar a deformação transversal das barras, uma das principais
características da placa (CARVALHO, 1994). A rigidez de uma placa de largura b e espessura
h à flexão é dada por
Eq. 2.9
sendo E o módulo de elasticidade do material e ν o coeficiente de Poisson. A diferença para a
rigidez de uma viga é o termo 1/(1- ν²), o que leva a placa a ser mais rígida que a viga.
Na análise da grelha equivalente, o valor de ν influencia os deslocamentos
indiretamente, por estar relacionado com o módulo de elasticidade transversal G (BEER et al.,
2011):
Eq. 2.10
A rigidez à torção dos elementos de grelha é proporcional a G. Dessa forma,
mantendo-se o valor de E constante, os deslocamentos na grelha aumentam com o aumento de
ν, enquanto que na placa diminuem.
O processo da analogia de grelha, assim como o método dos elementos finitos, é
utilizado apenas em programas computacionais, devido à grande quantidade de equações de
equilíbrio e de compatibilidade a serem resolvidas.
3
hbI
3
t
⋅=
)ν1(12
hbED
2
3
−⋅
⋅⋅=
)ν1(2
EG
+⋅=
26
2.2.1.3 Uso de tabelas
2.2.1.3.1 Bases do método e simplificações necessárias
Neste método, utiliza-se do artifício de substituir o carregamento p(x,y) por uma série
de Fourier dupla (superposição de carregamentos com a forma bissenoidal), resultando em
uma função w, para carga uniforme:
Eq. 2.11
em que:
p – carregamento uniformemente distribuído sobre a laje;
a e b – dimensões da placa;
m e n – número de retângulos em que se divide a placa, cada um com lados a/m e b/n.
Pode-se encontrar um desenvolvimento sucinto da equação anterior em Carvalho e
Figueiredo Filho (2012).
O uso de séries para o cálculo de lajes possibilita a confecção de tabelas práticas para a
determinação de momentos fletores e de flechas, a partir das condições de vinculação e da
geometria, permitindo que o projeto seja realizado sem programas sofisticados de análise
estrutural. Este é, portanto, o principal método aproximado de cálculo de lajes abordado neste
trabalho.
Para o uso dessas tabelas, devem ser feitas algumas simplificações:
a) as lajes devem ser calculadas como isoladas, de acordo com sua vinculação com as
demais;
b) as vigas em que se apoiam as lajes são consideradas como indeslocáveis
verticalmente;
c) não é levada em conta a rigidez à torção das vigas; e
∑∑
+⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
m n6
²b
²n
²a
²mnm
b
yπnsen
a
xπmsen
D.π
p16)y,x(w
27
d) as bordas são consideradas como totalmente engastadas ou totalmente apoiadas, sem a
possibilidade de apoios intermediários.
As tabelas para cálculo de lajes podem ser encontradas em obras de diversos autores,
entre eles Carvalho e Figueiredo Filho (2012), Pinheiro (2007) e Montoya et al. (1979).
2.2.1.3.2 Compatibilização de momentos fletores em lajes contínuas
Nos casos de lajes contínuas, é comum considerar que a presença da laje adjacente
torna a borda engastada, impedindo a rotação da seção. No entanto, como são calculadas
como painéis isolados, normalmente encontram-se valores diferentes para o momento fletor
negativo no apoio de lajes contínuas. Assim sendo, é necessário fazer uma compatibilização,
tomando para dimensionamento o maior valor entre a média dos momentos e 80% do maior
(PINHEIRO, 2007).
Ao se fazer a compatibilização, deve-se realizar uma correção no valor do momento
positivo nos vãos das lajes, segundo a direção considerada. Se essa correção tende a reduzir o
valor do momento, ela é desprezada (a favor da segurança); nos outros casos, toma-se como
acréscimo do momento fletor positivo a média das variações do momento fletor negativo nos
apoios, conforme a Figura 9. Quando um dos apoios levar a um decréscimo de momento e
outro levar a um acréscimo (caso da laje L3 da figura) ignora-se o decréscimo e considera-se
apenas o acréscimo.
Uma diferença significativa entre os momentos negativos na borda comum pode levar
à consideração de borda engastada para uma das lajes e apoiada para outra. Segundo Pinheiro
(2007), este recurso é válido quando m’1/m’2 ≥ 2, sendo m’1 o maior momento negativo e m’2
o menor.
28
Figura 9 – Compatibilização dos momentos fletores nas lajes contínuas. Os momentos positivos são representados por m, os negativos por m’ e o índice * representa os momentos corrigidos.
Fonte: PINHEIRO, 2007.
2.2.1.3.3 Reações de apoio nas vigas
As reações das lajes nas vigas de apoio podem ser calculadas por meio de séries e
utilizando-se a equação diferencial das lajes. No entanto, não existem referências
bibliográficas em que haja um modo prático para se obter essas reações (CARVALHO;
FIGUEIREDO FILHO, 2012). No estado elástico, a ação das lajes nas vigas se dá de forma
variável ao longo de seu comprimento, sendo influenciada pelas condições de vinculação e
pela relação entre os vãos.
Entretanto, simplificadamente, pode-se considerar a reação de apoio nas vigas como
um carregamento uniformemente distribuído, utilizando-se o processo das áreas, conforme o
item 14.7.6.1 da NBR 6118:2007. Apesar de a transferência de esforços se dar em regime
elástico, este método baseia-se na posição das linhas de ruptura da laje em regime plástico,
conhecidas como charneiras plásticas. Segundo o referido item da norma, as reações em cada
29
apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios delimitados pelas
charneiras plásticas, e podem ser consideradas como uniformemente distribuídas ao longo das
vigas.
Quando não for efetuada a análise plástica, as charneiras podem ser aproximadas por retas
inclinadas, a partir dos vértices das lajes, com os ângulos:
a) 45° entre apoios do mesmo tipo;
b) 60° a partir do apoio engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; e
c) 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
A Figura 10 ilustra como calcular o carregamento que as lajes transferem às vigas,
simbolizado pela letra q. O valor de p é igual ao carregamento uniformemente distribuído na
laje, A representa a área delimitada pela charneira e a hachura indica que a borda é engastada.
As reações também podem ser calculadas por meio de tabelas, como as encontradas
em Carvalho e Figueiredo Filho (2012) e Pinheiro (2007). Nestas últimas foram feitas
correções em relação ao processo das áreas, prevendo-se a possibilidade de os momentos nos
apoios atuarem com intensidade reduzida (engastes parciais). Tal situação acarreta a
minoração do alívio na borda oposta, havendo o risco de considerarem-se reações de apoio
menores que as ocorrentes na prática; dessa forma, os alívios foram considerados pela metade.
Figura 10 – Cálculo das reações nas vigas pelo processo das áreas.
Fonte: o autor.
30
2.3 CÁLCULO DE VIGAS E PILARES
2.3.1 Continuidade das estruturas de concreto armado
Na execução das estruturas de concreto armado, o concreto é lançado nas fôrmas do
pavimento em uma mesma operação. As armaduras dos elementos estruturais não terminam
no fim destes elementos, estendendo-se para as peças adjacentes. Quando se realiza o reinício
da concretagem, segundo a NBR 14931:2004, deve-se proceder a uma limpeza das juntas e
apicoamento da superfície, de modo a deixar o agregado graúdo aparente, além de prever
armaduras para a ligação do concreto novo com o antigo (arranque).
Desta forma, verifica-se que as estruturas de concreto armado possuem ligações
rígidas entre os elementos estruturais, ou seja, ligações que impedem a rotação relativa dos
elementos, sendo por isso capazes de transmitir momentos fletores. Pode-se dizer, portanto,
que estas estruturas são contínuas ou monolíticas, configurando pórticos espaciais ou planos
quando se consideram apenas as vigas e os pilares. A Figura 11 mostra o comportamento
idealizado das ligações rígidas, na qual φ representa a rotação entre a viga e o pilar.
Figura 11 – Comportamento da ligação perfeitamente rígida.
Fonte: PFEIL; PFEIL, 2011.
Pelo fato de as estruturas de concreto armado serem monolíticas, a aplicação de uma
carga num ponto da estrutura causa tensões e deformações em todos os outros pontos
(WINTER; NILSON, 1979), conforme a Figura 12-a. Como as ligações são rígidas, a rotação
θ4 do nó 4 leva ao surgimento de deformações nos elementos não carregados concorrentes no
nó, que por sua vez as transmitem aos outros nós da estrutura. A intensidade das deformações
(e, portanto, também dos esforços) diminui à medida que se considera os pontos mais
distantes do elemento carregado.
31
Figura 12 – Deslocamentos de estruturas com ligações rígidas, nos casos de: a) carregamento vertical e b) carregamento horizontal.
Fonte: WINTER; NILSON, 1979.
No caso de estruturas submetidas a esforços horizontais, como o vento, as
deformações são mostradas na Figura 12-b. Todos os elementos se deformam, mesmo que o
carregamento se dê apenas em um dos lados da estrutura; no entanto, as deformações são
semelhantes para os membros correspondentes, variando pouco com a distância ao ponto de
carregamento (WINTER; NILSON, 1979).
2.3.2 Modelagem da estrutura
Para realizar a modelagem de uma estrutura, devem ser feitas certas idealizações para
que o modelo criado seja passível de análise, tanto nos casos de cálculo manual quanto
computacional. Assim, as barras são representadas por seus eixos centroidais, as vinculações
entre as peças são admitidas como rígidas ou rotuladas, entre outras simplificações.
Em relação às estruturas tridimensionais, é comum dividi-las em estruturas planas
trabalhando independentes entre si, apesar de interagirem umas com as outras (WINTER;
NILSON, 1979). Esse artifício permite que a análise dos esforços seja facilitada, considerando
o conjunto estrutural como pórticos planos ou vigas contínuas, portanto passíveis de resolução
de forma manual ou utilizando programas simples. A divisão da estrutura nestes dois
esquemas estruturais serão os principais métodos aproximados estudados nesse trabalho.
32
No caso das estruturas de concreto armado, deve-se estudar com mais atenção as
questões relativas à redução dos momentos fletores nas vigas, momentos de inércia das seções
e condições de apoio.
2.3.2.1 Redução dos momentos fletores nas vigas
A NBR 6118:2007 permite que seja realizado o arredondamento do diagrama de
momentos fletores sobre os apoios, pontos de aplicação de forças concentradas e nós de
pórticos, conforme a Figura 13. A redução no momento fletor negativo, proporcionada pelo
arredondamento do diagrama, está baseada no fato de a reação de apoio ser distribuída ao
longo da extensão deste (GLORIA, 2003), e não uma carga pontual como é considerada
simplificadamente. O valor de redução ΔM’ indicado pela NBR 6118:2007 admite que a
reação R é uniformemente distribuída ao longo da largura t do apoio. O desenvolvimento da
equação utilizada pela norma é encontrado em Gloria (2003).
Figura 13 – Arredondamento do diagrama de momentos fletores.
Fonte: NBR 6118:2007.
Winter e Nilson (1979) admitem uma redução no momento, utilizando a notação da
NBR 6118:2007, ΔM’ = Rt/6, considerando também uma redução de mesmo valor para o
momento positivo no vão. Além disso, o momento de inércia da seção transversal da viga, na
região entre a face do apoio e o centro deste último, pode ser considerado como infinito
33
comparado ao do vão livre; por este motivo, os mesmos autores indicam utilizar o momento
negativo na face do apoio para o projeto, com ΔM’ = Rt/3, visto que uma seção de altura
infinita resiste à solicitação a partir desse ponto. Para Gloria (2003), isto é válido se houver
mísulas na região dos apoios.
Estas reduções nos valores de momentos fletores são significativas para estruturas com
pilares de grandes dimensões. Nos casos abordados por este trabalho, que são de estruturas de
pequeno porte, os pilares tem dimensões reduzidas, possibilitando alterações pequenas nas
solicitações encontradas pelo método tradicional.
2.3.2.2 Momento de inércia das seções
Segundo o IBRACON, para as estruturas de nível 1, pode-se calcular os esforços
solicitantes na estrutura por meio de uma análise elástico-linear (as tensões no elemento são
proporcionais às deformações). Para este tipo de análise, a NBR 6118:2007, no item 14.5.2,
admite que as características geométricas possam ser determinadas pela seção bruta de
concreto dos elementos.
De acordo com Winter e Nilson (1979), não é o valor absoluto da rigidez dos
elementos que influencia a distribuição de esforços, mas sim o valor relativo. Estes valores
relativos são pouco afetados quando se utiliza a seção bruta de concreto em detrimento da
seção fissurada; além disso, a contribuição das armaduras no momento de inércia da seção é
desprezada, o que compensa em parte o fato de não se considerar a fissuração. No caso dos
pilares, há justificativa para considerar o efeito da armadura na rigidez da seção, visto que as
taxas de armação são maiores que nas vigas e normalmente não há fissuração (seção
totalmente comprimida). No entanto, a prática usual é de calcular o momento de inércia dos
pilares da mesma forma que para as vigas, utilizando a seção bruta de concreto.
No caso de vigas de seção T, as seções resistentes nas regiões de momentos positivos e
negativos possuem formatos diferentes (T e retangular, respectivamente). Entretanto, é
comum a existência de armadura na região comprimida da viga, nos locais de momento
negativo, visto serem normalmente situados próximos aos apoios. Para garantir a ancoragem
da diagonal de compressão pertencente ao mecanismo resistente aos esforços de
cisalhamento, é necessário que parte da armadura positiva do vão estenda-se até os apoios
34
(CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2012). Dessa forma, pode-se utilizar a seção bruta de
concreto, incluindo a mesa de compressão, para o cálculo do momento de inércia, e utilizá-lo
como representativo de todo o vão (WINTER; NILSON, 1979).
Este momento de inércia poderia ser determinado calculando, para cada caso
específico, a posição da linha neutra da seção T; todavia, pode-se estimar o momento de
inércia da seção assimétrica como um múltiplo do momento de inércia da seção retangular.
Winter e Nilson (1979) sugerem, para as seções usuais, considerar este multiplicador como 2.
No caso de vigas localizadas na borda do edifício (configurando uma seção L), é razoável
multiplicar a inércia da viga retangular por 1,5.
2.3.2.3 Condições de apoio
Ao se dividir a estrutura tridimensional em estruturas planas para o estudo deve-se dar
atenção especial às condições de apoio que serão consideradas na análise.
2.3.2.3.1 Divisão em vigas contínuas isoladas
Quando se estuda cada viga contínua isoladamente, a NBR 6118:2007 permite que ela
seja considerada simplesmente apoiada nos pilares. Segundo o item 14.6.7.1-c da norma, para
os pilares extremos deve ser considerado um momento fletor decorrente da ligação rígida
entre a viga e o pilar. Este momento tem valor igual ao momento de engastamento perfeito
multiplicado pelos seguintes coeficientes:
a) viga: infsupvig
infsup
rrr
rr
++
+
b) tramo superior do pilar: infsup
sup
rrr
r
vig ++
c) tramo inferior do pilar: infsup
inf
rrr
r
vig ++
com ri = Ii / Li, onde ri é a rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada conforme a
Figura 14, e I o momento de inércia da seção bruta de concreto.
35
Figura 14 – Modelo estrutural para o cálculo do momento fletor decorrente da ligação rígida entre viga e pilar nos apoios extremos.
Fonte: NBR 6118:2007.
Os pilares serão calculados sob o esforço normal proveniente da soma das reações de
apoio de cada viga que se apoia no referido pilar. Nos pilares de centro, deve-se considerar o
momento mínimo segundo a NBR 6118:2007 (item 11.3.3.4.3). Para os pilares de
extremidade, considera-se o momento das ligações com as vigas conforme explicado
anteriormente, admitindo uma variação linear ao longo do elemento.
2.3.2.3.2 Divisão em pórticos planos
Outro modelo de cálculo que pode ser utilizado é o de desmembrar a estrutura
tridimensional em pórticos planos. Neste caso, os pilares e vigas serão calculados com os
esforços obtidos na análise estrutural do pórtico. Para os pilares que fazem parte de mais de
um pórtico (sendo estes pórticos em planos diferentes, portanto), somam-se os esforços de
força normal e momento fletor obtidos em cada análise, levando em conta a direção do
momento fletor.
Quando as vigas do pórtico analisado apoiam-se sobre vigas de outro pórtico
perpendicular ao primeiro, pode-se desprezar a rigidez à torção das vigas de apoio, admitindo
a vinculação como uma rótula. É razoável considerar a restrição ao deslocamento vertical
como um apoio simples, desprezando a flexibilidade das vigas de suporte.
36
3 MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 ESTRUTURA E ELEMENTOS EM ESTUDO
Como já citado no capítulo 1, este estudo se deu em torno de uma estrutura de
concreto armado típica de um edifício residencial de quatro pavimentos. Os elementos
estruturais analisados estão limitados às dimensões e carregamentos das estruturas de nível 1,
de modo que a estrutura seja passível das simplificações de projeto apresentadas pelo
IBRACON.
Os elementos estudados foram lajes, vigas e pilares da estrutura, com geometria e
carregamentos condizentes com o tipo e utilização do edifício. Em certas ocasiões, como no
caso do projeto das lajes, considerou-se um elemento isolado e condições particulares de
análise estrutural, visando observar e explicar de forma mais precisa as variações obtidas nos
resultados. Não se consideraram os esforços de segunda ordem nem os efeitos de fissuração e
fluência nos elementos, sendo as deformações obtidas por análise elástico-linear.
As propriedades do concreto consideradas no cálculo são:
fck = 25 MPa
Eci = 5600.�f�� = 28.000 MPa
Ecs = 0,85. Eci = 23.800 MPa
Gc = 0,40.Ecs = 9.520 MPa
ν = 0,20
3.2 OBSERVAÇÕES GERAIS
Com o objetivo de assemelhar os cálculos deste trabalho aos realizados nos escritórios
de projetos, fizeram-se algumas simplificações comumente utilizadas pelos projetistas, sem
prejuízo da correspondência entre modelo computacional e estrutura real.
A rigidez à torção das vigas foi desprezada em todos os métodos de cálculo utilizados.
A NBR 6118:2007 permite esta simplificação nos casos de torção de compatibilidade, em
37
virtude da pequena magnitude da solicitação e também da baixa rigidez à torção destes
elementos (apenas 15% da rigidez elástica, devido à fissuração, conforme item 14.6.7.2 da
norma).
Na obtenção dos esforços, não se considerou o desaprumo dos elementos verticais
(pilares). Nas propriedades das barras dos modelos computacionais foi considerada a rigidez à
flexão da seção bruta de concreto, levando em conta a presença da largura colaborante de laje
da seguinte forma:
a) momento de inércia de seções L (vigas pertencentes à borda do edifício): momento de
inércia da seção retangular multiplicado por 1,5; e
b) momento de inércia de seções em T (demais vigas): momento de inércia da seção
retangular multiplicado por 2.
Foi considerada a mesma seção transversal para todos os vãos das vigas contínuas,
mesmo nos pontos de momento fletor negativo.
Não se utilizou o arredondamento do diagrama de momentos fletores nos apoios, pois,
devido às dimensões reduzidas destes, o arredondamento não proporcionaria variações
significativas nos resultados.
3.3 MÉTODOS DE CÁLCULO UTILIZADOS
Neste trabalho foram analisadas 7 Situações, por meio de 4 métodos de cálculo:
a) MR1 - Pórtico espacial com placas - consideração da estrutura como pórtico espacial e
das lajes como placas (considerado como método exato);
b) MR2 - Pórtico espacial com grelha - consideração da estrutura como pórtico espacial e
das lajes como grelhas;
c) MS1 - Pórticos planos - divisão da estrutura em pórticos planos e cálculo das lajes
com o uso de tabelas; e
d) MS2 - Vigas contínuas isoladas - divisão da estrutura em vigas contínuas isoladas,
apoiadas sobre os pilares, sendo as lajes calculadas com o uso de tabelas.
38
Os métodos foram divididos em requintados (MR1 e MR2), denominados assim por
serem utilizados por meio de programas computacionais complexos, e simplificados (MS1 e
MS2), sendo estes últimos passíveis de serem efetuados manualmente ou com o uso de
programas simples.
No cálculo da estrutura pelo método MR1, foi utilizado o MEF por meio de um
programa comercial destinado à análise de estruturas. Apesar de não ser um método
matematicamente exato, foi neste trabalho considerado como tal, haja vista que os resultados
convergem para o valor exato com o aumento da discretização utilizada. Além disso, para os
problemas tratados nesse trabalho, a precisão dos valores obtidos com o MEF é suficiente.
O cálculo da estrutura como pórtico espacial, utilizando a analogia de grelha para o
cálculo das lajes, foi realizado com um programa comercial destinado ao projeto de estruturas
de concreto armado.
Para os dois métodos simplificados, utilizou-se o programa de uso público,
desenvolvido pela PUC-Rio, denominado Ftool, destinado a uso acadêmico. Também foram
empregadas planilhas eletrônicas especialmente desenvolvidas para esta monografia. As
tabelas utilizadas no cálculo das lajes foram as de Carvalho e Figueiredo Filho (2012), que
adaptaram os resultados de Richard Bares para ν = 0,2. Estas tabelas foram empregadas para
os cálculos dos momentos fletores e flechas nas lajes e também para a determinação das
reações de apoio nas vigas.
As reações de apoio nas vigas, quando calculadas pelo método dos elementos finitos e
por meio da analogia de grelha (métodos requintados), não tem valor uniforme ao longo do
elemento. O método simplificado (uso de tabelas) considera essas reações como
uniformemente distribuídas, conforme explicado na Revisão Bibliográfica. Para efeito de
comparação, nas Situações de número 1 a 4, foi determinado um carregamento
uniformemente distribuído equivalente para os métodos MR1 e MR2, determinado como a
soma das forças transmitidas pela laje para a viga dividida pelo comprimento desta última.
39
3.4 COMBINAÇÕES DE ESFORÇOS SOLICITANTES
Nos cálculos dos esforços solicitantes (estado limite último – ELU), foi utilizada a
combinação normal de ações.
Para a verificação de deformações elásticas utilizou-se a combinação quase
permanente de serviço, com o valor de ψ2 correspondente a edifícios residenciais. Ressalta-se
que, apesar de os carregamentos terem sido determinados com uma combinação de serviço,
não foi realizada uma análise de estado limite de serviço (ELS), que envolveria considerações
adicionais sobre a rigidez das peças em estádio II e também sobre a fluência do concreto.
3.5 CARREGAMENTOS
Conforme o indicado na Revisão Bibliográfica pelo IBRACON para estruturas de
nível 1 de complexidade, o efeito do vento foi desconsiderado. Dessa forma, as cargas
atuantes na estrutura são as cargas verticais permanentes (peso próprio da estrutura, peso de
revestimentos e alvenaria etc.) e a carga vertical variável decorrente do uso da construção. Os
valores estão de acordo com a NBR 6120:1980, considerando os elementos estruturais
pertencentes a estruturas de edifícios residenciais.
3.5.1 Lajes
Em todas as situações de projeto foram considerados os carregamentos nas lajes:
a) peso próprio;
b) carregamento permanente g = 1,0 kN/m²; e
c) carga acidental q = 2,0 kN/m².
3.5.2 Vigas
Os carregamentos incidentes sobre as vigas serão o peso próprio e um carregamento
permanente referente à alvenaria, com valor gk,alv = 5 kN/m.
40
3.6 SOLICITAÇÕES MÍNIMAS
Pelo fato de as estruturas em estudo serem de pequeno porte, os esforços nos
elementos estruturais são de pequena intensidade, fazendo com que muitas vezes a armadura
encontrada no dimensionamento seja menor que a mínima permitida por norma. É possível
associar estas armaduras mínimas As,min com solicitações mínimas Sd,min resistidas pelo
elemento, ou seja, mesmo que o esforço seja menor que Sd,min, este último será utilizado no
dimensionamento da peça (obtendo uma armadura As,min).
Portanto, na última situação analisada, a qual tratou da estrutura completa de um
edifício fictício, foram considerados estes valores mínimos de solicitação nas comparações,
haja vista que valores menores que os mínimos não teriam significado prático (o consumo de
aço dos elementos será o mesmo que o obtido com o esforço mínimo).
As taxas de armação mínimas utilizadas como base para obter Sd,min foram as
indicadas pela NBR 6118:2007. As armaduras foram calculadas de acordo com parâmetros
usuais de projeto para o aço e a altura útil das seções.
Quanto aos pilares, o esforço normal mínimo foi calculado com a seção sujeita a
compressão centrada, com coeficiente de majoração de esforços γn = 1,95 – 0,05.b para
elementos com b < 19 cm. O valor dos momentos fletores mínimos foi obtido diretamente, a
partir da equação da norma apresentada na seção 2.1.1.3, sendo considerado que pelo menos
um dos momentos (Mx,d ou My,d) atende ao mínimo.
41
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
4.1 SIMBOLOGIA E UNIDADES
Nesta seção foram utilizados os seguintes símbolos e unidades:
Md – momento fletor positivo de projeto na viga (kN.m);
M’ d – momento fletor negativo de projeto na viga (kN.m);
md – momento fletor positivo de projeto na laje, por unidade de comprimento (kN.m/m);
m’d – momento fletor negativo de projeto na laje, por unidade de comprimento (kN.m/m);
pk – carregamento uniformemente distribuído sobre a laje, valor característico (kN/m²);
q – reação da laje na viga ou reação equivalente da laje na viga (kN/m);
Vd – esforço cortante de projeto na viga (kN);
w – flecha máxima na laje (mm);
δ – flecha máxima na viga (mm).
Para as lajes, x é a direção principal. Para as vigas, A indica o esforço (cortante ou
momento fletor) no início do tramo e B no final do tramo, conforme a Figura 15.
Figura 15 – Simbologia dos esforços nas vigas.
4.2 PROJETO DAS LAJES
Comparou-se os valores obtidos segundo os métodos anteriormente citados para as
seguintes situações:
a) Situação 1: laje isolada de pequenos vãos, com apoios indeslocáveis;
42
b) Situação 2: laje isolada de pequenos vãos, com apoios deslocáveis;
c) Situação 3: laje isolada de grandes vãos, com apoios indeslocáveis;
d) Situação 4: laje isolada de grandes vãos, com apoios deslocáveis;
e) Situação 5: arranjo de lajes contínuas, com apoios deslocáveis.
Os resultados para os métodos simplificados (MS1 e MS2) são iguais para as lajes, por
isso apenas um valor será apresentado (MS).
4.2.2 Situação 1: laje isolada de pequenos vãos, com apoios indeslocáveis
Considerou-se, neste caso, uma laje de 2,7 x 2,0 m e 8 cm de espessura, apoiada em
vigas indeslocáveis verticalmente. O carregamento uniformemente distribuído vale pk =
25.0,08 + 1,0 + 2,0 = 5,0 kN/m². Os resultados são mostrados no Quadro 1.
Figura 16 – Laje L1
Quadro 1 – Esforços obtidos para a Situação 1.
Laje L1 Viga V1a=V1b Viga V1c=V1d
md,x (kN.m/m)
md,y (kN.m/m)
w (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
MEF (MR1) 1,961 1,249 0,374 5,561 6,613 4,152 - 2,976 4,538 3,846 -
Grelha (MR2) 2,856 1,512 0,630 4,284 5,554 4,299 - 2,016 2,842 2,744 -
Tabelas (MS) 1,940 1,224 0,367 4,019 5,954 4,410 - 1,750 3,500 3,500 -
MR2/MR1 1,456 1,211 1,684 0,770 0,840 1,035 - 0,677 0,626 0,714 - MS/MR1 0,989 0,980 0,981 0,723 0,900 1,062 - 0,588 0,771 0,910 -
Para as lajes, os dados obtidos pelo uso de tabelas foram semelhantes aos encontrados
com o método exato; com o uso da analogia de grelha obteve-se esforços superiores. Em
43
ambos os métodos (MR2 e MS) houve uma diferença de aproximadamente 30% nos esforços
nas vigas de menor vão. A diferença nos valores de momento fletor nas vigas pode ser
explicada pelo fato de que a reação da laje não tem valor uniforme ao longo da viga, sendo
maior no centro e diminuindo ao prosseguir-se para as extremidades. Dessa forma, o
momento encontrado pelo método exato tem maior intensidade.
Por meio dos valores de q, percebe-se certa igualdade em relação aos quinhões de
carga nas vigas, novamente com mais proximidade entre os métodos MR1 e MS.
4.2.3 Situação 2: laje isolada de pequenos vãos, com apoios deslocáveis
Situação idêntica à anterior, porém considerando-se as vigas deslocáveis
verticalmente, com seção 12 x 40 cm. Como esta distinção não é feita no cálculo pelo uso de
tabelas, os valores obtidos serão os mesmos. O Quadro 2 mostra os resultados.
Figura 17 – Laje L2
Quadro 2 – Esforços obtidos para a Situação 2.
Laje L2 Viga V2a=V2b Viga V2c=V2d
md,x (kN.m/m)
md,y (kN.m/m)
w (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
MEF (MR1) 1,973 1,485 0,495 5,285 6,321 4,117 0,139 2,877 4,423 3,889 0,053
Grelha (MR2) 2,912 1,456 0,660 3,934 5,558 4,356 0,060 2,016 2,814 2,674 0,020
Tabelas (MS) 1,940 1,224 0,367 4,019 5,954 4,410 0,164 1,750 3,500 3,500 0,049
MR2/MR1 1,476 0,980 1,333 0,744 0,879 1,058 0,432 0,701 0,636 0,687 0,377 MS/MR1 0,983 0,824 0,741 0,760 0,942 1,071 1,177 0,608 0,791 0,900 0,929
44
Não houve mudança significativa nos resultados obtidos, mostrando que a
deslocabilidade dos apoios tem pouca influência neste caso. As deformações calculadas pela
analogia de grelha para as vigas ficaram distantes das calculadas pelo MEF (redução de cerca
de 60%).
4.2.4 Situação 3: laje isolada de grandes vãos, com apoios indeslocáveis
Com o intuito de verificar o cálculo por método aproximado em placas de grandes
vãos, analisa-se neste caso uma laje de 6,0 x 4,0 m e 12 cm de espessura, apoiada em vigas
indeslocáveis verticalmente. O carregamento uniformemente distribuído vale pk = 25.0,12 +
1,0 + 2,0 = 6,0 kN/m². Os resultados são mostrados no Quadro 3.
Figura 18 – Laje L3
Quadro 3 – Esforços obtidos para a Situação 3.
Laje L3 Viga V3a=V3b Viga V3c=V3d
md,x (kN.m/m)
md,y (kN.m/m)
w (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
MEF (MR1) 10,625 5,812 2,608 67,974 36,620 10,511 - 29,207 21,909 9,432 -
Grelha (MR2) 15,624 6,160 4,310 63,294 33,642 11,097 - 19,642 15,120 7,560 -
Tabelas (MS) 10,564 5,712 2,540 50,350 33,566 11,189 - 16,800 16,800 8,400 -
MR2/MR1 1,470 1,060 1,653 0,931 0,919 1,056 - 0,673 0,690 0,801 - MS/MR1 0,994 0,983 0,974 0,741 0,917 1,065 - 0,575 0,767 0,891 -
45
Os resultados são semelhantes ao da Situação 1, porém com uma aproximação melhor
no caso das vigas de maior vão. Os valores mais discordantes são os esforços nas vigas V3c e
V3d.
4.2.5 Situação 4: laje isolada de grandes vãos, com apoios deslocáveis
Situação idêntica à anterior, porém considerando-se as vigas deslocáveis
verticalmente, com seção 12 x 60 cm. Outra vez, os valores obtidos pelo uso de tabelas serão
os mesmos. O Quadro 4 mostra os resultados.
Figura 19 – Laje L4
Quadro 4 – Esforços obtidos para a Situação 4.
Laje L4 Viga V4a=V4b Viga V4c=V4d
md,x (kN.m/m)
md,y (kN.m/m)
w (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
Md (kN.m)
Vd (kN)
q (kN/m)
δ (mm)
MEF (MR1) 10,532 8,822 4,762 61,213 33,351 10,305 2,454 27,530 21,018 9,742 0,502
Grelha (MR2) 14,952 7,336 5,150 58,464 34,076 11,359 1,150 20,132 14,336 7,168 0,220
Tabelas (MS) 10,564 5,712 2,540 50,350 33,566 11,189 1,510 16,800 16,800 8,400 0,298
MR2/MR1 1,420 0,832 1,081 0,955 1,022 1,102 0,469 0,731 0,682 0,736 0,438 MS/MR1 1,003 0,647 0,533 0,823 1,006 1,086 0,615 0,610 0,799 0,862 0,594
46
Novamente, os resultados alteraram-se pouco ao ser considerada a deformação das
vigas. Contudo, ocorreu um aumento razoável na deformação da laje, fato não computado
pelo método simplificado (Tabelas). De forma similar à Situação 2, a maior discrepância
continua sendo o valor de δ, mostrando que o comprimento dos vãos da laje não afetou
significativamente a aproximação.
4.2.6 Situação 5: arranjo de lajes contínuas
Nesta situação será estudado um arranjo composto por três lajes, conforme a Figura
19. As lajes tem espessura de 10 cm, as vigas de apoio tem seção 14x40 cm e os pilares tem
seção 14x30 cm. O carregamento uniformemente distribuído vale pk = 25.0,1 + 1,0 + 2,0 =
5,5 kN/m².
Figura 20 – Arranjo de lajes para o cálculo da Situação 5.
O valor de momento negativo M’d é o mesmo para os dois tramos das vigas contínuas,
haja vista que não está sendo considerada a ligação entre vigas e pilares e, portanto, há
ocorrência de momento negativo apenas nas proximidades do apoio central.
47
Figura 21 – Simbologia dos esforços nas lajes da Situação 5.
Os resultados das lajes são apresentados nos Quadros 5 a 7.
Quadro 5 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR1 para a Situação 5.
Laje MEF (MR1)
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm)
L1 6,314 -11,456 3,292 0,000 1,748
L2 3,569 -11,456 3,480 -3,442 1,202
L3 2,012 -3,442 2,345 -11,456 0,561
Quadro 6 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR2 para a Situação 5.
Laje Analogia de grelha (MR2) MR2/MR1
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm) md,x m'd,x md,y m'd,y w
L1 7,728 -10,752 2,632 0,000 2,290 1,224 0,939 0,800 1,000 1,310
L2 3,696 -10,752 3,416 -5,320 1,140 1,036 0,939 0,982 1,546 0,948
L3 2,352 -5,320 1,848 -10,752 0,440 1,169 1,546 0,788 0,939 0,784
Média 1,143 1,141 0,856 1,161 1,014
Desvio padrão 0,079 0,286 0,089 0,273 0,220
48
Quadro 7 – Esforços nas lajes obtidos com o método MS para a Situação 5.
Laje Tabelas (MS) MS/MR1
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm) md,x m'd,x md,y m'd,y w
L1 12,243 -8,904 1,688 0,000 1,337 1,939 0,777 0,513 1,000 0,765
L2 2,651 -8,904 3,105 -5,686 0,626 0,743 0,777 0,892 1,652 0,521
L3 2,170 -5,686 1,251 -8,904 0,275 1,079 1,652 0,533 0,777 0,490
Média 1,253 1,069 0,646 1,143 0,592
Desvio padrão 0,504 0,412 0,174 0,371 0,123
Os resultados obtidos por meio da analogia de grelha foram melhores que os obtidos
por tabelas. Mesmo assim, estes últimos foram satisfatórios, excetuando-se os valores de w e
md,y. Os momentos negativos calculados pelo método simplificado foram semelhantes aos
outros dois métodos, comprovando a eficácia do procedimento aproximado utilizado na
compatibilização.
Os Quadros 8 a 10 mostram os resultados das vigas.
Quadro 8 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR1 para a Situação 5.
Viga MEF (MR1)
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
V1a 7,769 -11,016 8,937 12,683 0,234
V1b 6,746 -11,016 11,814 7,974 0,192
V2 16,727 -5,986 16,870 18,140 0,561
V3a 7,574 -9,108 8,737 10,766 0,231
V3b 5,199 -9,108 9,008 6,368 0,138
V4a 5,269 -10,195 6,765 15,790 0,119
V4b 5,859 -10,195 16,416 7,356 0,136
V5a 5,621 -26,739 9,891 37,725 0,055
V5b 20,418 -26,739 44,946 21,281 0,685
V6a 1,511 -8,190 2,989 8,021 0,007
V6b 8,145 -8,190 11,650 8,885 0,269
49
Quadro 9 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR2 para a Situação 5.
Viga Analogia de grelha (MR2) MR2/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
Md M'd VA,d VB,d Md
V1a 4,634 -7,042 5,922 7,938 0,090 0,596 0,639 0,663 0,626 0,385
V1b 5,026 -7,042 8,526 6,734 0,100 0,745 0,639 0,722 0,844 0,521
V2 17,458 0,000 15,330 24,780 0,290 1,044 0,000 0,909 1,366 0,517
V3a 4,788 -6,188 6,076 7,336 0,100 0,632 0,679 0,695 0,681 0,433
V3b 3,836 -6,188 6,804 5,418 0,070 0,738 0,679 0,755 0,851 0,507
V4a 5,362 -8,638 5,642 14,826 0,100 1,018 0,847 0,834 0,939 0,840
V4b 5,208 -8,638 14,644 5,474 0,100 0,889 0,847 0,892 0,744 0,735
V5a 5,418 -25,270 13,020 38,766 0,140 0,964 0,945 1,316 1,028 2,545
V5b 22,918 -25,270 49,644 31,010 0,470 1,122 0,945 1,105 1,457 0,686
V6a 0,938 -5,824 1,582 5,264 0,010 0,621 0,711 0,529 0,656 1,429
V6b 6,664 -5,824 8,680 6,622 0,150 0,818 0,711 0,745 0,745 0,558
Média 0,835 0,695 0,833 0,903 0,832
Desvio padrão 0,176 0,245 0,210 0,267 0,607
Quadro 10 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS para a Situação 5.
Viga Tabelas (MS) MS/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
Md M'd VA,d VB,d δ
V1a 4,248 -7,552 6,473 10,789 0,120 0,547 0,686 0,724 0,851 0,513
V1b 4,248 -7,552 10,789 6,473 0,120 0,630 0,686 0,913 0,812 0,625
V2 25,935 0,000 29,640 29,640 0,959 1,550 0,000 1,757 1,634 1,709
V3a 4,366 -7,240 6,563 10,700 0,127 0,576 0,795 0,751 0,994 0,550
V3b 3,780 -7,240 9,986 5,849 0,104 0,727 0,795 1,109 0,918 0,754
V4a 4,895 -8,702 8,702 14,503 0,102 0,929 0,854 1,286 0,918 0,857
V4b 4,895 -8,702 14,503 8,702 0,102 0,835 0,854 0,883 1,183 0,750
V5a 5,022 -25,941 13,994 34,746 0,022 0,893 0,970 1,415 0,921 0,400
V5b 21,873 -25,941 45,801 30,978 0,699 1,071 0,970 1,019 1,456 1,020
V6a 0,676 -5,552 2,183 6,625 0,001 0,447 0,678 0,730 0,826 0,143
V6b 5,031 -5,552 10,217 7,045 0,163 0,618 0,678 0,877 0,793 0,606
Média 0,802 0,724 1,042 1,028 0,721
Desvio padrão 0,297 0,252 0,311 0,267 0,384
Os métodos aproximados apresentaram resultados, em média, menores que os do
método exato. Em relação ao segundo método (MR2), isto pode ser explicado em parte pelo
modo como o carregamento é considerado pelo programa, visto que este considera o
carregamento das lajes apenas na área delimitada pelas faces das vigas, ao passo que o
programa utilizado no primeiro método (MR1) admite a laje carregada até as bordas
50
(coincidentes com os eixos das vigas). A essa diferença de área corresponderia, portanto, uma
diferença no carregamento total que responderia por uma parcela da diferença entre os valores
encontrados.
Em relação ao uso de tabelas, as médias de momento fletor e força cortante permitem
atribuir a diferença à distribuição de carga nas vigas. Essa distribuição, considerada
simplificadamente como uniformemente distribuída, possui maior intensidade nas partes
centrais dos apoios das lajes quando se aplica o método exato. Essa diferença altera pouco o
valor de Vd no tramo, porém influencia bastante o valor de Md. Como exemplo, pode-se
comparar o momento fletor e o esforço cortante em duas vigas biapoiadas de vão L, sujeitas a
um carregamento uniformemente distribuído q e a uma carga concentrada P = q.L,
respectivamente. Embora Vd seja igual nos dois casos, o valor de Md para o segundo caso
(carga mais concentrada no centro do vão) é o dobro do primeiro.
4.3 PROJETO DE VIGAS E PILARES
Analisaram-se os resultados obtidos pelos métodos descritos anteriormente para casos
de estruturas de 4 pavimentos, estes últimos admitidos com pé-direito de 2,80 m. As situações
de projeto analisadas serão:
a) Situação 6: arranjo simples de lajes contínuas, com 4 pavimentos; e
b) Situação 7: edifício fictício de 4 pavimentos.
4.3.1 Situação 6: arranjo simples de lajes contínuas, com 4 pavimentos
Nesta Situação, será analisado o mesmo arranjo da Situação 5, porém agora composto
por 4 pavimentos. Considerar-se-á apenas os maiores esforços nos elementos
correspondentes, haja vista que, por racionalidade de execução, seriam os utilizados no
dimensionamento da estrutura.
Os Quadros 11 a 13 mostram os resultados das lajes.
51
Quadro 11 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR1 para a Situação 6.
Laje Pórtico espacial e placas (MR1)
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm)
L1 6,228 -10,042 3,631 0,000 2,168
L2 3,825 -10,042 4,070 -4,278 1,683
L3 2,291 -4,278 2,703 -10,042 1,090
Quadro 12 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR2 para a Situação 6.
Laje Pórtico espacial e grelha (MR2) MR2/MR1
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm) md,x m'd,x md,y m'd,y w
L1 10,752 -15,064 3,864 0,000 2,260 1,726 1,500 1,064 1,000 1,043
L2 5,150 -15,064 4,480 -7,336 1,400 1,346 1,500 1,101 1,715 0,832
L3 3,080 -7,336 2,968 -12,992 0,620 1,344 1,715 1,098 1,294 0,569
Média 1,472 1,572 1,088 1,336 0,815
Desvio padrão 0,180 0,101 0,017 0,293 0,194
Os esforços nas lajes calculados pelos métodos MS1 e MS2 são obtidos da mesma
forma (com o uso de tabelas), portanto são iguais. Por esse motivo, optou-se por apresentá-los
de maneira conjunta.
Quadro 13 – Esforços nas lajes obtidos com os métodos MS1 e MS2 para a Situação 6.
Laje
Pórticos planos (MS1) / Vigas contínuas isoladas (MS2)
MS1/MR1 = MS2/MR1
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm) md,x m'd,x md,y m'd,y w
L1 12,243 -8,904 1,688 0,000 1,337 1,966 0,887 0,465 1,000 0,617
L2 2,651 -8,904 3,105 -5,686 0,626 0,693 0,887 0,763 1,329 0,372
L3 2,170 -5,686 1,251 -8,904 0,275 0,947 1,329 0,463 0,887 0,252
Média 1,202 1,034 0,564 1,072 0,414
Desvio padrão 0,550 0,209 0,141 0,188 0,152
Comparando os resultados das Situações 5 e 6, percebe-se que os valores obtidos com
o MEF se alteraram menos que os calculados com a analogia de grelha ao se considerar a
presença de múltiplos andares na estrutura. A deslocabilidade vertical dos pilares, desprezada
na Situação 5, levou a um aumento de esforços nas lajes nestes dois métodos.
Os resultados das vigas estão nos Quadros 14 a 17.
52
Quadro 14 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR1 para a Situação 6.
Viga Pórtico espacial e placas (MR1)
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
V1a 13,208 -18,368 -14,756 28,736 22,001 0,554
V1b 12,861 -14,756 -16,318 21,456 28,669 0,533
V2 19,774 -12,786 -22,369 23,934 44,212 0,734
V3a 12,528 -16,952 -14,539 29,142 21,346 0,486
V3b 11,248 -14,539 -12,974 20,231 24,798 0,457
V4a 11,201 -4,743 -12,969 19,390 22,877 0,332
V4b 11,615 -12,969 -4,072 24,175 19,060 0,340
V5a 8,213 -18,159 -22,487 35,340 39,073 0,338
V5b 25,137 -22,487 -26,329 50,591 51,511 0,911
V6a 5,873 -5,055 -10,951 15,722 15,798 0,351
V6b 17,579 -10,951 -6,414 23,736 24,162 0,752
Quadro 15 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR2 para a Situação 6.
Viga Pórtico espacial e grelha (MR2) MR2/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
Md M'A,d M'B,d VA,d VB,d δ
V1a 9,450 -6,776 -17,500 19,362 23,730 0,290 0,715 0,369 1,186 0,674 1,079 0,523
V1b 9,674 -17,500 -7,420 24,248 20,524 0,300 0,752 1,186 0,455 1,130 0,716 0,563
V2 20,244 -13,916 -11,620 27,286 39,998 0,530 1,024 1,088 0,519 1,140 0,905 0,723
V3a 9,198 -8,498 -16,506 20,286 22,344 0,290 0,734 0,501 1,135 0,696 1,047 0,597
V3b 9,072 -16,506 -5,180 22,470 18,298 0,270 0,807 1,135 0,399 1,111 0,738 0,591
V4a 9,800 -2,058 -17,962 16,170 31,122 0,240 0,875 0,434 1,385 0,834 1,360 0,723
V4b 9,142 -17,962 -1,008 27,608 14,672 0,220 0,787 1,385 0,248 1,142 0,770 0,648
V5a 5,054 -7,070 -34,720 25,410 49,980 0,190 0,615 0,389 1,544 0,719 1,279 0,562
V5b 27,146 -34,720 -14,392 67,200 46,760 0,660 1,080 1,544 0,547 1,328 0,908 0,724
V6a 3,192 -1,428 -16,464 9,464 19,152 0,080 0,544 0,282 1,503 0,602 1,212 0,228
V6b 14,154 -16,464 -1,680 25,872 18,900 0,430 0,805 1,503 0,262 1,090 0,782 0,572
Média 0,794 0,893 0,835 0,951 0,981 0,587
Desvio padrão 0,150 0,475 0,491 0,238 0,218 0,133
53
Quadro 16 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS1 para a Situação 6.
Viga Pórticos planos (MS1) MS1/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
Md M'A,d M'B,d VA,d VB,d δ
V1a 10,853 -11,718 -14,237 24,238 25,531 0,294 0,822 0,638 0,965 0,843 1,160 0,530
V1b 10,853 -14,237 -11,718 25,531 24,238 0,294 0,844 0,965 0,718 1,190 0,845 0,551
V2 26,012 -14,767 -14,767 42,346 42,346 0,471 1,315 1,155 0,660 1,769 0,958 0,642
V3a 10,958 -11,601 -14,074 24,230 25,499 0,295 0,875 0,684 0,968 0,831 1,195 0,607
V3b 10,429 -13,982 -11,491 24,813 23,535 0,285 0,927 0,962 0,886 1,226 0,949 0,623
V4a 12,934 -4,442 -14,129 23,391 28,823 0,307 1,155 0,937 1,089 1,206 1,260 0,923
V4b 12,934 -14,129 -4,442 28,823 23,391 0,307 1,114 1,089 1,091 1,192 1,227 0,903
V5a 9,135 -18,887 -20,266 38,697 38,313 0,412 1,112 1,040 0,901 1,095 0,981 1,217
V5b 31,275 -23,213 -22,416 55,189 55,731 0,593 1,244 1,032 0,851 1,091 1,082 0,651
V6a 5,277 -2,892 -11,489 13,909 19,563 0,281 0,899 0,572 1,049 0,885 1,238 0,801
V6b 15,615 -12,998 -4,800 27,100 23,088 0,457 0,888 1,187 0,748 1,142 0,956 0,607
Média 1,018 0,933 0,902 1,134 1,077 0,732
Desvio padrão 0,167 0,200 0,141 0,246 0,139 0,199
Quadro 17 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS2 para a Situação 6.
Viga Vigas contínuas isoladas (MS2) MS2/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
Md M'A,d M'B,d VA,d VB,d δ
V1a 11,425 -5,515 -20,311 17,816 29,694 0,251 0,865 0,300 1,376 0,620 1,350 0,453
V1b 11,425 -20,311 -5,515 29,694 17,816 0,251 0,888 1,376 0,338 1,384 0,621 0,471
V2 35,359 -7,892 -7,892 42,346 42,346 0,690 1,788 0,617 0,353 1,769 0,958 0,941
V3a 11,537 -5,515 -20,013 17,904 29,607 0,255 0,921 0,325 1,377 0,614 1,387 0,525
V3b 10,978 -20,013 -5,426 28,509 17,206 0,241 0,976 1,377 0,418 1,409 0,694 0,528
V4a 10,565 -1,453 -18,782 18,782 31,303 0,173 0,943 0,306 1,448 0,969 1,368 0,521
V4b 10,565 -18,782 -1,453 31,303 18,782 0,173 0,910 1,448 0,357 1,295 0,985 0,510
V5a 6,982 -3,711 -35,086 19,933 48,930 0,018 0,850 0,204 1,560 0,564 1,252 0,053
V5b 29,333 -35,086 -10,241 63,093 42,575 0,490 1,167 1,560 0,389 1,247 0,827 0,538
V6a 3,255 -0,641 -16,472 9,015 22,193 0,014 0,554 0,127 1,504 0,573 1,405 0,040
V6b 13,833 -16,472 -1,883 29,017 19,605 0,358 0,787 1,504 0,294 1,222 0,811 0,476
Média 0,968 0,831 0,856 1,061 1,060 0,460
Desvio padrão 0,294 0,581 0,548 0,397 0,286 0,232
Os esforços nas vigas obtidos pelos métodos aproximados tiveram, na média, valores
próximos aos do método exato. Quanto aos momentos fletores negativos, os desvios padrão
foram próximos a 0,5 para o método MS2. Percebe-se que a variação se deve aos valores
encontrados para o momento de ligação entre a viga e o pilar. Em algumas vigas, houve
redução de até 70% em relação aos resultados calculados pelo MR1, questionando a eficácia
do procedimento aproximado da NBR 6118:2007.
54
As deformações obtidas pelo MS1 mostraram-se as mais próximas dos valores obtidos
pelo MR1, sendo, em média, 27% menores.
Os Quadros 18 a 21 apresentam os resultados dos pilares.
Quadro 18 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR1 para a Situação 6.
Pilar Pórtico espacial com placas (MR1)
Nd (kN)
Mx,d (kN.m)
My,d (kN.m)
P1 -192,982 2,420 0,464
P2 -402,267 3,639 0,296
P3 -214,994 2,450 0,744
P4 -297,521 0,695 1,274
P5 -560,507 1,972 0,825
P6 -363,773 3,642 0,721
P7 -191,920 2,649 0,784
P8 -323,603 2,719 0,057
P9 -166,530 1,712 0,718
Quadro 19 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR2 para a Situação 6.
Pilar Pórtico espacial com grelha (MR2) MR2/MR1
Nd (kN)
Mx,d (kN.m)
My,d (kN.m)
Nd Mx,d My,d
P1 -150,864 1,036 0,000 0,782 0,428 0,000
P2 -387,450 1,526 0,000 0,963 0,419 0,000
P3 -172,298 1,358 0,112 0,801 0,554 0,151
P4 -294,126 0,994 1,036 0,989 1,430 0,813
P5 -599,718 0,518 0,560 1,070 0,263 0,679
P6 -353,360 1,610 0,602 0,971 0,442 0,835
P7 -159,390 1,834 0,490 0,831 0,692 0,625
P8 -289,114 1,470 0,000 0,893 0,541 0,000
P9 -125,314 0,602 0,462 0,753 0,352 0,643
Média 0,895 0,569 0,416
Desvio padrão 0,103 0,326 0,348
55
Quadro 20 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS1 para a Situação 6.
Pilar Pórticos planos (MS1) MS1/MR1 Nd
(kN) Mx,d
(kN.m) My,d
(kN.m) Nd Mx,d My,d
P1 -206,613 1,626 0,535 1,071 0,672 1,153
P2 -433,201 2,369 0,000 1,077 0,651 0,000
P3 -206,341 1,626 0,592 0,960 0,664 0,796
P4 -233,229 0,000 0,000 0,784 0,000 0,000
P5 -540,869 2,671 0,716 0,965 1,354 0,868
P6 -372,054 2,671 0,338 1,023 0,733 0,469
P7 -206,662 1,596 0,535 1,077 0,602 0,682
P8 -356,748 2,690 0,023 1,102 0,989 0,404
P9 -165,681 1,609 0,335 0,995 0,940 0,467
Média 1,006 0,734 0,538
Desvio padrão 0,093 0,344 0,362
Quadro 21 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS2 para a Situação 6.
Pilar Vigas contínuas isoladas (MS2) MS2/MR1
Nd (kN)
Mx,d (kN.m)
My,d (kN.m)
Nd Mx,d My,d
P1 -172,665 1,379 0,363 0,895 0,570 0,782
P2 -433,343 2,560 0,000 1,077 0,703 0,000
P3 -176,211 1,379 0,471 0,820 0,563 0,633
P4 -264,454 0,000 0,000 0,889 0,000 0,000
P5 -621,510 1,973 0,000 1,109 1,001 0,000
P6 -392,696 1,973 0,000 1,080 0,542 0,000
P7 -173,017 1,379 0,363 0,902 0,521 0,463
P8 -331,409 0,928 0,000 1,024 0,341 0,000
P9 -129,889 1,357 0,160 0,780 0,793 0,223
Média 0,953 0,559 0,233
Desvio padrão 0,115 0,265 0,296
A pequena magnitude das solicitações de momento fletor nos pilares levam os
resultados da comparação relativa (Mi/MR1) a serem pouco conclusivos. Alguns métodos
desprezam esses momentos, dependendo da direção em que se encontram; ao serem
comparados com os dados obtidos por outros métodos, mesmo que baixos, acabam por levar a
um decréscimo da média e aumento do desvio padrão.
No entanto, em relação ao esforço normal, os três métodos (MR2, MS1 e MS2)
apresentaram resultados bastante satisfatórios, principalmente em relação ao valor do desvio
padrão. Como os pilares são elementos de grande importância na estrutura de um edifício,
56
faz-se necessário que os métodos de cálculo utilizados assegurem certo nível de segurança a
todo o conjunto destas peças.
4.3.2 Situação 7: edifício residencial fictício de 4 pavimentos
Nesta Situação será feita a análise dos esforços em uma estrutura fictícia, suposta de
um edifício residencial de 4 pavimentos. Será considerada a presença das vigas baldrame, que
receberão apenas os carregamentos de alvenaria e peso próprio. Continua-se utilizando a
mesma simbologia para os esforços, ou seja:
a) lajes: eixo x é o eixo de menor vão; e
b) vigas: A indica a extremidade esquerda do tramo e B a direita.
Utilizou-se as seguintes dimensões para os elementos estruturais:
a) pilares: 14x40 cm;
b) vigas: 14x50 cm; e
c) lajes: h=10 cm.
A Figura 22 mostra a planta de fôrmas do pavimento tipo. Em virtude da simetria do
edifício, serão analisados apenas os elementos numerados na planta. As cotas referem-se aos
eixos das vigas.
57
Figura 22 – Planta de fôrmas do edifício fictício analisado na Situação 7.
Como explicado anteriormente, para esta Situação serão levadas em conta as
solicitações mínimas nas peças, cujos valores são:
a) momento fletor positivo nas lajes: md,min = 2,929 kN.m/m;
b) momento fletor negativo nas lajes: m’d,min = – 4,371 kN.m/m;
c) momento fletor nas vigas: Md,min = ± 19,734 kN.m;
d) esforço cortante nas vigas: Vd,min = 69,587 kN;
e) força normal nos pilares: Nd,min = – 755,267 kN; e
f) momento fletor nos pilares: calculado para cada pilar com base em Nd.
Os valores em itálico nos quadros seguintes (22 a 32) indicam os esforços mínimos de
projeto. Nos Quadros 22 a 24 estão os resultados das lajes.
58
Quadro 22 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR1 para a Situação 7.
Laje Pórtico espacial com placas (MR1)
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm)
L1 2,975 -6,222 3,220 -5,698 3,159
L2 5,726 -8,802 5,788 -10,533 4,908
L3 2,929 -6,380 2,929 -5,945 1,759
L4 3,505 -5,915 4,012 -8,287 1,385
L5 2,929 -7,009 2,929 -10,556 0,509
L6 4,097 -5,431 4,489 -5,944 3,014
L7 2,929 -5,197 3,868 -4,371 1,729
L8 3,202 -5,279 2,929 -4,686 1,316
Quadro 23 – Esforços nas lajes obtidos com o método MR2 para a Situação 7.
Laje Pórtico espacial com grelha (MR2) MR2/MR1
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm) md,x m'd,x md,y m'd,y w
L1 3,192 -7,336 2,929 -4,536 1,318 1,073 1,179 0,910 0,796 0,417
L2 5,264 -9,688 3,528 -8,176 3,610 0,919 1,101 0,610 0,776 0,736
L3 3,528 -5,992 2,929 -5,208 0,630 1,205 0,939 1,000 0,876 0,358
L4 2,929 -5,264 2,929 -8,176 1,003 0,836 0,890 0,730 0,987 0,724
L5 2,929 -4,371 2,929 -8,120 0,265 1,000 0,624 1,000 0,769 0,521
L6 4,088 -4,371 3,024 -5,208 1,433 0,998 0,805 0,674 0,876 0,475
L7 2,929 -4,371 2,929 -4,371 0,875 1,000 0,841 0,757 1,000 0,506
L8 3,584 -4,371 2,929 -4,371 0,380 1,119 0,828 1,000 0,933 0,289
Média 1,019 0,901 0,835 0,877 0,503
Desvio padrão 0,107 0,164 0,150 0,086 0,149
Quadro 24 – Esforços nas lajes obtidos com os métodos MS1 e MS2 para a Situação 7.
Laje
Pórticos planos (MS1) / Vigas contínuas isoladas (MS2)
MS1/MR1 = MS2/MR1
md,x
(kN.m/m) m'd,x
(kN.m/m) md,y
(kN.m/m) m'd,y
(kN.m/m) w
(mm) md,x m'd,x md,y m'd,y w
L1 2,929 -7,959 2,929 -4,610 0,417 0,985 1,279 0,910 0,809 0,132
L2 5,643 -7,959 2,929 -5,638 1,182 0,986 0,904 0,506 0,535 0,241
L3 2,929 -7,885 2,929 -4,610 0,367 1,000 1,236 1,000 0,775 0,209
L4 2,929 -4,795 2,929 -5,638 0,261 0,836 0,811 0,730 0,680 0,189
L5 3,139 -4,371 2,929 -5,638 0,076 1,000 0,624 1,000 0,534 0,149
L6 3,320 -5,159 2,929 -4,610 0,417 0,810 0,950 0,652 0,776 0,138
L7 2,929 -4,850 2,929 -4,371 0,064 1,000 0,933 0,757 1,000 0,037
L8 2,929 -4,371 2,929 -4,371 0,284 0,915 0,828 1,000 0,933 0,216
Média 0,941 0,946 0,819 0,755 0,164
Desvio padrão 0,073 0,204 0,175 0,157 0,060
59
Pode-se notar que, em boa parcela dos casos, o esforço encontrado no cálculo foi
menor que o mínimo e apenas este último foi considerado. Isso contribuiu para que os
resultados fossem bastante desejáveis, com médias altas e desvios padrão baixos. Novamente,
as deformações destoam do restante dos dados, oferecendo valores distantes dos de referência.
Os Quadros 25 a 28 apresentam os resultados das vigas.
Quadro 25 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR1 para a Situação 7.
Viga Pórtico espacial com placas (MR1)
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
V1a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,676
V1b 19,734 -19,734 -20,359 69,587 69,587 0,473
V1c 19,734 -20,359 -19,734 69,587 69,587 0,473
V1d 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,676
V2 19,734 -65,630 0,000 69,587 69,587 1,758
V3a 37,682 -19,734 -63,550 69,587 87,864 0,940
V3b 37,682 -63,550 -19,734 87,864 69,587 0,940
V4 19,734 -67,120 0,000 69,834 69,587 1,681
V5a 28,612 0,000 -90,665 69,587 87,525 0,985
V5b 28,612 -90,665 0,000 87,525 69,587 0,985
V6a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,649
V6b 22,836 -19,734 -42,960 69,587 69,587 0,538
V6c 22,836 -42,960 -19,734 69,587 69,587 0,538
V6d 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,649
V7a 19,734 -30,264 -19,734 69,587 69,587 0,546
V7b 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,260
V7c 19,734 -19,734 -25,215 69,587 69,587 0,524
V8a 58,023 -83,435 -88,000 91,934 77,391 2,657
V8b 56,757 -92,536 -81,508 83,511 93,803 2,733
V9 19,734 0,000 0,000 69,587 69,587 1,316
V10 24,787 0,000 0,000 69,587 69,587 0,509
V11 75,010 -72,452 -103,575 69,587 114,634 3,886
60
Quadro 26 – Esforços nas vigas obtidos com o método MR2 para a Situação 7.
Viga Pórtico espacial com grelha (MR2) MR2/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
Md M'A,d M'B,d VA,d VB,d δ
V1a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,070 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,104
V1b 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,200 1,000 1,000 0,969 1,000 1,000 0,423
V1c 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,200 1,000 0,969 1,000 1,000 1,000 0,423
V1d 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,070 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,104
V2 19,734 -28,756 0,000 69,587 69,587 0,625 1,000 0,438 1,000 1,000 1,000 0,356
V3a 33,516 -19,734 -71,792 69,587 88,116 0,560 0,889 1,000 1,130 1,000 1,003 0,596
V3b 33,516 -71,792 -19,734 88,116 69,587 0,560 0,889 1,130 1,000 1,003 1,000 0,596
V4 19,734 -30,016 -19,734 69,587 69,587 0,615 1,000 0,447 1,000 0,996 1,000 0,366
V5a 25,214 -19,734 -93,702 69,587 92,848 0,810 0,881 1,000 1,033 1,000 1,061 0,822
V5b 25,214 -93,702 -19,734 92,848 69,587 0,810 0,881 1,033 1,000 1,061 1,000 0,822
V6a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,050 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,077
V6b 19,734 -19,734 -29,918 69,587 69,587 0,300 0,864 1,000 0,696 1,000 1,000 0,558
V6c 19,734 -29,918 -19,734 69,587 69,587 0,300 0,864 0,696 1,000 1,000 1,000 0,558
V6d 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,050 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,077
V7a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,270 1,000 0,652 1,000 1,000 1,000 0,495
V7b 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,140 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,539
V7c 19,734 -19,908 -19,734 69,587 69,587 0,270 1,000 1,009 0,783 1,000 1,000 0,516
V8a 66,178 -52,864 -114,016 70,182 88,634 1,640 1,141 0,634 1,296 0,763 1,145 0,617
V8b 61,264 -116,662 -51,058 94,388 72,254 1,630 1,079 1,261 0,626 1,130 0,770 0,596
V9 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,380 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,289
V10 24,892 0,000 0,000 69,587 69,587 0,265 1,004 1,000 1,000 1,000 1,000 0,521
V11 82,642 -61,964 -61,166 69,587 81,830 2,430 1,102 0,855 0,591 1,000 0,714 0,625
Média 0,982 0,915 0,960 0,998 0,986 0,458
Desvio padrão 0,073 0,204 0,153 0,059 0,084 0,213
61
Quadro 27 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS1 para a Situação 7.
Viga Pórticos planos (MS1) MS1/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
Md M'A,d M'B,d VA,d VB,d δ
V1a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,287 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,425
V1b 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,214 1,000 1,000 0,969 1,000 1,000 0,451
V1c 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,214 1,000 0,969 1,000 1,000 1,000 0,451
V1d 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,287 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,425
V2 21,708 -19,734 0,000 69,587 69,587 0,304 1,100 0,301 1,000 1,000 1,000 0,173
V3a 46,988 -19,734 -44,210 69,587 81,188 0,926 1,247 1,000 0,696 1,000 0,924 0,985
V3b 46,988 -44,210 -19,734 81,188 69,587 0,926 1,247 0,696 1,000 0,924 1,000 0,985
V4 21,708 -19,734 0,000 69,587 69,587 0,304 1,100 0,294 1,000 0,996 1,000 0,181
V5a 70,804 0,000 -44,728 69,587 88,614 1,368 2,475 1,000 0,493 1,000 1,012 1,388
V5b 70,804 -44,728 0,000 88,614 69,587 1,368 2,475 0,493 1,000 1,012 1,000 1,388
V6a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,397 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,611
V6b 28,095 -19,740 -31,287 69,587 69,587 0,389 1,230 1,000 0,728 1,000 1,000 0,724
V6c 28,095 -31,287 -19,740 69,587 69,587 0,389 1,230 0,728 1,000 1,000 1,000 0,724
V6d 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,397 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,611
V7a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,278 1,000 0,652 1,000 1,000 1,000 0,509
V7b 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,149 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,574
V7c 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,278 1,000 1,000 0,783 1,000 1,000 0,531
V8a 50,586 -64,702 -81,766 71,999 80,053 3,378 0,872 0,775 0,929 0,783 1,034 1,271
V8b 66,223 -91,132 -75,756 95,383 88,660 3,886 1,167 0,985 0,929 1,142 0,945 1,422
V9 19,734 0,000 0,000 69,587 69,587 0,094 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,071
V10 32,900 0,000 0,000 69,587 69,587 0,370 1,327 1,000 1,000 1,000 1,000 0,728
V11 89,495 -77,134 -77,134 96,540 96,540 2,483 1,193 1,065 0,745 1,387 0,842 0,639
Média 1,212 0,862 0,921 1,011 0,989 0,694
Desvio padrão 0,415 0,230 0,137 0,100 0,038 0,386
62
Quadro 28 – Esforços nas vigas obtidos com o método MS2 para a Situação 7.
Viga Vigas contínuas isoladas (MS2) MS2/MR1
Md (kN.m)
M'A,d (kN.m)
M'B,d (kN.m)
VA,d (kN)
VB,d (kN)
δ (mm)
Md M'A,d M'B,d VA,d VB,d δ
V1a 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,036 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,053
V1b 19,734 -19,734 -19,928 69,587 69,587 0,134 1,000 1,000 0,979 1,000 1,000 0,283
V1c 19,734 -19,928 -19,734 69,587 69,587 0,134 1,000 0,979 1,000 1,000 1,000 0,283
V1d 19,734 -19,734 -19,734 69,587 69,587 0,036 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,053
V2 21,625 -19,734 0,000 69,587 69,587 0,149 1,096 0,301 0,000 1,000 1,000 0,085
V3a 30,773 -19,734 -69,788 69,587 89,813 0,177 0,817 1,000 1,098 1,000 1,022 0,188
V3b 30,773 -69,788 -19,734 89,813 69,587 0,177 0,817 1,098 1,000 1,022 1,000 0,188
V4 21,625 -19,734 0,000 69,587 69,587 0,149 1,096 0,294 1,000 0,996 1,000 0,089
V5a 39,879 0,000 -79,004 69,587 97,183 0,471 1,394 1,000 0,871 1,000 1,110 0,478
V5b 39,879 -79,004 0,000 97,183 69,587 0,471 1,394 0,871 1,000 1,110 1,000 0,478
V6a 19,734 -19,734 -21,373 69,587 69,587 0,013 1,000 1,000 1,083 1,000 1,000 0,020
V6b 23,482 -21,373 -34,460 69,587 69,587 0,260 1,028 1,083 0,802 1,000 1,000 0,484
V6c 23,482 -34,460 -21,373 69,587 69,587 0,260 1,028 0,802 1,083 1,000 1,000 0,484
V6d 19,734 -21,373 -19,734 69,587 69,587 0,013 1,000 1,083 1,000 1,000 1,000 0,020
V7a 18,832 -19,734 -22,675 69,587 69,587 0,325 0,954 0,652 1,149 1,000 1,000 0,595
V7b 19,734 -22,675 -22,675 69,587 69,587 0,011 1,000 1,149 1,149 1,000 1,000 0,042
V7c 19,734 -22,675 -19,734 69,587 69,587 0,325 1,000 1,149 0,783 1,000 1,000 0,621
V8a 115,314 -62,245 -174,841 75,507 137,986 2,787 1,987 0,746 1,987 0,821 1,783 1,049
V8b 82,159 -174,841 -56,531 136,873 69,744 1,910 1,448 1,889 0,694 1,639 0,744 0,699
V9 19,734 0,000 0,000 69,587 69,587 0,094 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,071
V10 32,900 0,000 0,000 69,587 69,587 0,370 1,327 1,000 1,000 1,000 1,000 0,728
V11 144,810 -50,506 -50,506 96,540 96,540 4,583 1,931 0,697 0,488 1,387 0,842 1,180
Média 1,151 0,945 1,008 1,044 1,023 0,371
Desvio padrão 0,305 0,310 0,261 0,159 0,179 0,330
Os comentários a serem feitos sobre os esforços nas vigas são semelhantes aos
realizados anteriormente sobre as lajes. Uma parcela considerável das solicitações
encontradas foi menor que a mínima correspondente, justificando o fato de serem utilizados
métodos simplificados no projeto das estruturas de pequeno porte, tendo em vista que não
estão submetidas a carregamentos significativos.
Em relação às deformações, o terceiro método (divisão da estrutura em pórticos
planos), por outra vez mostrou-se o mais próximo dos resultados obtidos pelo método exato.
Por fim, os Quadros 29 a 32 mostram os resultados dos pilares.
63
Quadro 29 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR1 para a Situação 7.
Pilar Pórtico espacial com placas (MR1)
Nd (kN)
Mx,d (kN.m)
My,d (kN.m)
P1 -755,267 20,392 0,583
P2 -755,267 20,392 0,405
P3 -755,374 20,395 0,000
P4 -755,267 20,392 0,068
P5 -1027,704 27,748 0,940
P6 -1219,658 32,931 0,000
P7 -755,267 20,392 0,146
P8 -988,312 26,684 0,120
P9 -755,267 20,392 0,551
P10 -755,267 20,392 0,421
P11 -755,267 20,392 0,044
Quadro 30 – Esforços nos pilares obtidos com o método MR2 para a Situação 7.
Pilar Pórtico espacial com grelha (MR2) MR2/MR1
Nd (kN)
Mx,d (kN.m)
My,d (kN.m)
Nd Mx,d My,d
P1 -755,267 20,392 0,126 1,000 1,000 0,216
P2 -755,267 20,392 0,098 1,000 1,000 0,242
P3 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 1,000
P4 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
P5 -1044,036 28,189 0,672 1,016 1,016 0,715
P6 -1189,412 32,114 0,000 0,975 0,975 1,000
P7 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
P8 -943,026 25,462 0,000 0,954 0,954 0,000
P9 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
P10 -755,267 20,392 0,182 1,000 1,000 0,432
P11 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
Média 0,995 0,995 0,328
Desvio padrão 0,016 0,016 0,384
64
Quadro 31 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS1 para a Situação 7.
Pilar Pórticos planos (MS1) MS1/MR1 Nd
(kN) Mx,d
(kN.m) My,d
(kN.m) Nd Mx,d My,d
P1 -755,267 20,392 0,300 1,000 1,000 0,515
P2 -755,267 20,392 0,195 1,000 1,000 0,481
P3 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 1,000
P4 -755,267 20,392 0,023 1,000 1,000 0,338
P5 -999,773 26,994 0,934 0,973 0,973 0,994
P6 -1153,887 31,155 0,000 0,946 0,946 1,000
P7 -755,267 20,392 0,023 1,000 1,000 0,158
P8 -784,615 21,185 0,000 0,794 0,794 0,000
P9 -755,267 20,392 0,312 1,000 1,000 0,566
P10 -755,267 20,392 0,371 1,000 1,000 0,881
P11 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
Média 0,974 0,974 0,539
Desvio padrão 0,059 0,059 0,372
Quadro 32 – Esforços nos pilares obtidos com o método MS2 para a Situação 7.
Pilar Vigas contínuas isoladas (MS2) MS2/MR1
Nd (kN)
Mx,d (kN.m)
My,d (kN.m)
Nd Mx,d My,d
P1 -755,267 20,392 0,163 1,000 1,000 0,280
P2 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
P3 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 1,000
P4 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
P5 -1345,101 36,318 0,810 1,309 1,309 0,862
P6 -1207,604 32,605 0,000 0,990 0,990 1,000
P7 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
P8 -871,194 23,522 0,000 0,881 0,882 0,000
P9 -755,267 20,392 0,163 1,000 1,000 0,296
P10 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
P11 -755,267 20,392 0,000 1,000 1,000 0,000
Média 1,016 1,016 0,312
Desvio padrão 0,098 0,098 0,408 A consideração dos esforços mínimos levou à obtenção de valores semelhantes para os
4 métodos. Todos os momentos fletores calculados estiveram abaixo do mínimo preconizado
pela NBR 6118:2007, fazendo com que as diferenças nos valores sejam decorrentes do valor
de Nd, com o qual Md,min está relacionado. Como, segundo o IBRACON, apenas o momento
em uma das direções deve respeitar o mínimo, os valores relativos de My,d foram novamente
influenciados pela intensidade reduzida das solicitações.
65
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Os métodos aproximados estudados neste trabalho mostraram-se satisfatórios na
obtenção dos esforços em estruturas de concreto armado de pequeno porte, sendo válido seu
uso em projeto. Pode-se dizer, simplificadamente, que a média dos valores de solicitação
calculados de maneira aproximada variou de 20% menor a 15% maior que a encontrada pelo
método exato, comprovando apenas em parte a hipótese admitida inicialmente (resultados
15% superiores).
As diferenças entre os resultados foram ligeiramente superiores no caso do momento
fletor nas vigas, haja vista que ele é mais influenciado pela distribuição dos quinhões de carga
nas vigas de apoio das lajes do que o esforço cortante. Os valores de momento fletor nos
pilares são de pequena intensidade, normalmente menores que os mínimos indicados pela
NBR 6118:2007, mesmo quando calculados pelo método exato de cálculo. A consideração
das imperfeições geométricas da estrutura (desaprumo), que não foi feita neste trabalho,
poderia levar a esforços maiores que os mínimos nestes casos.
Entretanto, em relação aos valores de deformações elásticas, os métodos aproximados
se afastaram muito dos resultados obtidos por método exato, principalmente no caso das lajes.
Quanto às vigas, o método de divisão da estrutura espacial em pórticos planos foi o que se
destacou nas aproximações de deformação, com valores cerca de 30% inferiores aos de
referência. Vale lembrar que não foram utilizados os valores de estado limite de serviço
(ELS), pois não foi feita a análise não-linear e também não se considerou o efeito da fluência.
Pode ser realizado futuramente, tendo em vista o aprofundamento do assunto e
visando explicar melhor os valores aqui obtidos, um estudo mais apurado sobre os métodos
aproximados no cálculo das deformações, levando em conta a análise não-linear na obtenção
dos resultados.
66
REFERÊNCIAS
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