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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso
COMPARAÇÃO DE TRÊS SOFTWARES DE GEOMETRIA DINÂMICA USANDO UM PROBLEMA DE HOMOTETIA
PATRICIA CAMPOS
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o
Florianópolis/SC - 2003
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso
COMPARAÇÃO DE TRÊS SOFTWARES DE GEOMETRIA
DINÂMICA USANDO UM PROBLEMA DE HOMOTETIA
PATRICIA CAMPOS
Florianópolis/SC - 2003
PATRICIA CAMPOS
COMPARAÇÃO DE TRÊS SOFTVVARES DE GEOMETRIA DINÂMICA USANDO UM PROBLEMA DE HOMOTETIA
Monografia apresentada ao curso de
Matemática - Habilitação Licenciatura,
como requisito para obtenção do grau de Licenciado em Matemática.
Florianópolis/SC - 2003
Esta monografia foi julgada adequada como Trabalho de
Conclusão de Curso no curso de matemática-Habilitação
Licenciatura, e aprovada em sua forma final pela Banca
Examinadora designada pela Portaria n° 1 4/SCG/03.
Prof. Nereu Estanislau Burin
Professor da Disciplina
Banca Examinadora:
Gilson Braviano, Dr - Orientador
) 16W-niti LQ,,, t,6.4to YL,4 1 i C iet)tat, Prof' joSiane Wanderlinde Vieira, - Membro
Prof. Méricles Tadeu Moretti, - Membro
d wine& de ludo — (Deus , que sempre iluminoa esia Longo ¡ornada.
minht mile, razilo do- mea oioer, a ooei men eterno e oerdadeiro
minha irmilos, sobrinha 1, eanhadas, em espeeial minim eunhada &lane pela amizade vie me teem
c;ft amfrllfa, bron'ai'" gam Ado& 0,r;inikz e @Maio
&Winn fipthzM4 que aim ineentioo e sugesaes eontribuiram para realizaçãO &We tralgalho.
a Sandra que eo n ineessantes palaoras de otiminno, aeu earinh o- e amizade, bnpulsionou-me à realização Aide e
poi( MO-WU deseobertas, a mei melt earinho-, rewito e amizade.
Senhor (Domingo& Secoio. 2cmeanaro, Ada Ilia conzpreensilo e sua eolaboraça na realização- desk trabalho, a cod mat respeito- e
aim pr4essore&gosiane70anderlinderOieira e JIlirielesgadea por disporem-s e a ezaminarem eom &mink) este trabalho.
c;1 (la 61r.a, Re& earinho e ealaborac o
d "minha guia", eterna 11109(12201, a nod mat eterno anus, e minha gratidão.
meu orientador, meu Ourct, &litho" hon Bray& no-, cabe-me the que o- oerdadeiro- maim o- (pm amina, mat o- que
4pn oeci Oth1911., encontrei mais. gar impipardo-, am oerdadeiro- amigo-.
c;1 m4, to& meu papeito-, admipartio- e valid& ...
todo-1, que de alqamu /alma, participaram datn 61115,1a, pnal que cleat& ao- apnea, tortiant-le malt momento porbn
alenciaiL e inaquedoeii.
"Para chegarmos onde chegamos, no chegamos sozinhos. Com certeza em algum l770trJel7t0 de nossas vidas, houve quem ".guiasse - nossos passos... -
Aos passos amigos, A05 passos Aos passos de amor.
Aos passos que p- se 6ram, AOS passos anônimos...
todos os p45505 que comigo seguiram a caminho desse sonho, toda minha gratidão...
ÍNDICE
].INTRODUÇÃO 01
1.1 Relevância 06
1.2 Objetivo 08
2. GEOMETRIA DINÂMICA 09
2.1 Um breve histórico sobre Geometria Dinâmica 09
2.2 Softwares de Geometria Dinâmica mais utilizados 10
2.2.1 Cabri-Géomètre 10
2.2.2 The Geometer's Sketchpad 11
2.2.3 Cinderella 12
3. USO DA HOMOTETIA NOS SOFTWARES 13
3.1 Homotetia 13
3.2 Exercício Proposto 13
3.3 Resolução do Exercício com o auxilio do Cabri-Géometre 14
3.4 Resolução do Exercício com o auxilio do Cinderella 24
3.5 Resolução do exercício com o auxilio do The Geometer's
Sketchpad 34
3.6 Comparação dos softwares: Cabri-Gémetre; Cinderella; The
Geometer's Sketchpad 44
3.6.1 Quanto as ações realizadas na execução do exercício no
Cabri-Géornètre 44
3.6.2 Quanto as ações realizadas na execução do exercício no
The Geometer's Sketchpad 45
3.6.3 Quanto as ações realizadas na execução do exercício no
Cinderella 47
3.6.4 Quanto a interatividade no Cabri-Géométre 49
3.6.5 Quanto a interatividade no The Geometer's Sketchpad 50
3.6.6 Quanto a interatividade no Cinderella 51
3.6.7 Quanto a verificação da área do triângulo homotético no
Cabri-Géornètre 52
3.6.8 Quanto a verificação da área do triângulo homotético no
The Geometer's Sketchpad 53
3.6.9 Quanto a verificação da área do triângulo homotetico no
Cinderella 54
4. CONCLUSÃO 55
5. BIBLIOGRAFIA 56
CAPÍTULO I — INTRODUÇÃO
Segundo Gravina Se Santarosa (1998), na história do desenvolvimento da
matemática observa-se que a mesma possui duplo aspecto:
- o de ferramenta, onde as teorias matemáticas são usadas na
resolução de problemas práticos nas mais variadas áreas de
conhecimento.
- o de geração de conceitos e teorias, sendo que algumas irão
constituir uma estrutura que objetiva a descoberta de regularidades e
de invariantes. Trata-se da investigação no plano puramente
matemático.
Ambos estes aspectos relacionam-se permanentemente, ou seja, a
partir da busca de soluções de problemas em outras áreas do
conhecimento surge o desenvolvimento da matemática de caráter
puramente abstrato. Os desenvolvimentos puramente teóricos acabam
apresentando-se como ferramentas para tratabilidade de problemas em
outras areas do conhecimento. A história da evolução da Geometria nos
mostra bem este duplo aspecto da matemática. Na antiguidade a
Geometria surge como ciência pratica na solução de problemas de
medidas; com os gregos torna-se conhecimento de caráter abstrato,
tomando como ponto de partida axiomas indiscutíveis sob o ponto de
vista intuitivo; com as geometrias não-euclidianas, no século XIX, tem-
se o caráter abstrato ao extremo, já que os axiomas aceitos não se
baseiam mais na intuição imediata; e finalmente tem-se a aplicação
1
destas geometrias no entendimento e explicação de fenômenos,
notadamente na área da física.
No processo educativo, estes dois aspectos da matemática devem ser
enfatizados igualmente. Um dos grandes desafios para os educadores
matemáticos é encontrar os caminhos que levem seus alunos a
apropriarem-se do conhecimento. Na aquisição do conhecimento, as
ações concretas sobre objetos concretos respondem pela constituição
dos esquemas, e no último estágio, as ações abstratas (operações)
sobre objetos concretos respondem pela constituição dos conceitos.
Diz Fischbein (1994 apud Gravina 8z Santarosa, 1998): 'Axiomas, deEinições,
teorias e demonstrações devem ser incorporados como componentes ativos do processo de pensar. Eles devem ser inventados ou aprendidos, organizados, testados e usados pelos alunos. Entendimento no sentido de rigor do raciodnio dedutivo, o sentimento de coerência e consistência, a capacidade de pensar proporcionalmente, no so aquisições espontâneas.
Na teoria piagetiana todas estas capacidades esto relacionadas com idade — o estio das operações formais. Estas capacidades no s'a-o mais do que potencialidades que somente um processo educativo é capaz de moldar e transformar em realidades mentais ativas."
Piaget (1967 apud Gravina & Santarosa, 1998) confirma que a
aprendizagem é um processo construtivo, que depende de modo
fundamental das ações do sujeito e de suas reflexões sobre estas ações:
"Todo conhecimento é ligado A ação, e conhecer um objeto ou evento a
assimilá-lo A um esquema de ação... Isto é verdade do mais elementar
nível sensório-motor ao mais elevado nível de operações lógico-
matemáticas".
2
Conforme Gravina e Santarosa (1998), no processo de ensino-
aprendizagem, a transição na natureza dos objetos sobre os quais os
alunos aplicam as ações é uma questão central. 0 mundo físico é rico
em objetos concretos para inicio da aprendizagem em matemática, no
geral de caráter espontâneo. Mas se o objetivo é a construção de
conceitos mais complexos e abstratos, estes não tem suporte
materializado, entrando em jogo a "concretização mental", que nem
sempre é simples, mesmo para o matemático profissional. Este tipo de
aprendizagem nem sempre tem caráter espontâneo e exige muitas
vezes a construção de conceitos que são até mesmo, num primeiro
momento, pouco intuitivos, portanto dependendo de muita ação mental
por parte do aluno.
Um exemplo ilustrativo, ao extremo, encontra-se na própria história do
desenvolvimento da geometria: dois mil anos foram necessários para as
mudanças de concepções que tornaram naturais as geometrias não-
euclidianas. Este obstáculo explica-se pelo caráter pouco intuitivo dos
axiomas que definiriam estas geometrias.
Obstáculos e sua superação permeiam a história do desenvolvimento da
matemática, assim como o processo de ensino-aprendizagem.
Os ambientes informatizados apresentam-se como ferramentas de
grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao processo de
aprendizagem, possibilitando "mudar os limites entre o concreto e o
formal", Papert (1988 apud Gravina & Santarosa, 1998).
3
Ou inci, segundo Hebenstreint (1987 apud Gravina (gz Santarosa, 1998), "o computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos conc./et05-cib5ti?to5. Concretos porque existem r te[ do computador e podem ser manipulados; abstratos poi- se tratarem ce realizações feitas a partir de construções mentais".
Quando existe a possibilidade de ações sobre objetos físicos, a
transposição destes objetos para ambientes informatizados apresenta
vantagens como a possibilidade de realizar grande variedade de
experimentos em pouco tempo, diferentemente da manipulação
concreta. E a primazia de ação favorecendo o processo de investigação e
abstração, com a conseqüente construção de conceitos e relações.
Historicamente os sistemas de representação do conhecimento
matemático tem caráter estático, observando os livros ou assistindo
uma aula expositiva. Este caráter estático muitas vezes dificulta a
construção do conhecimento, fazendo com que o significante seja um
conjunto de simbolos e palavras ou figura a ser memorizada.
A instancia física de um sistema de representação afeta
substancialmente a construção de conceitos e teoremas. As novas
tecnologias oferecem instancias físicas em que a representação passa a
ter caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos processos cognitivos,
particularmente no que diz respeito As concretizações mentais. (Gravina
e Santarosa, 1998).
Nos ambientes informatizados, um mesmo objeto matemático passa a
ter representação mu-tax/el, diferentemente da representação estática
obtida por "lapis e papel", "giz e quadro-negro", ou "régua e compasso".
4
O dinamismo é obtido através de manipulação direta sobre as
representações que se apresentam na tela do computador, permitindo
ao aluno a variação do objeto.
Um aspecto importante do pensamento matemático é a abstração da
invariância, e para o seu reconhecimento e entendimento nada é mais
próprio que a variação.
0 dinamismo da representação destaca os invariantes.
Diz Kaput (1992 apud Gravina & Santarosa, 1998): "a transição continua
entre estados intermediários é um recurso importante dos programas de
representação dinâmicos, sob o ponto de vista cognitivo". Gravina
(1996) exemplifica, mostrando concretização mental inadequada: após
uma apresentação estática do conceito de altura de um triângulo os
alunos registram que "a altura de um triângulo é da base até a parte
mais alta do mesmo" ou "altura é a linha vertical que une a base do
triângulo ao vértice oposto".
Para Gravina (1996) em um meio dinâmico, um triângulo com
correspondente segmento de altura, pode ser manipulado mantendo-se
um lado fixo do triângulo e fazendo-se o vértice oposto deslocar-se
numa paralela a este lado. Obtém-se assim uma família de desenhos
com triângulos e segmentos de alturas em diversas situações, o que
favorece a concentração mental em harmonia com o conceito
matemático de altura de um triângulo.
5
Gravina (1996) diz: Tanto no caso de formaça -o de conceitos, quanto de cleduça-o de propriedades, podemos concluir que grande parte das dificuldades se originam no aspecto estatico do desenho. Se passamos para
um tratamento de "desenhos em movimento", as particularidades cia contingência de representa00 fisica mudam, e o que emerge so os invariantes, ou seta as reais propriedades geométricas da configura0o. Um dos aspectos importantes na investigaçaeo matematic.a é a abstraao cia invarra'ncia, mas para reconhece-fa, para ver o que permanece igual, devemos ter a variaça-o, o movimento.
Há algum tempo surgiu uma ferramenta capaz de proporcionar tal
movimento: a GEOMETRIA DINÂMICA.
Segundo Gravina (i996), os programas construi-dos dentro dos princípios da Geometria Dina'mica so ferramentas de construça . o: desenhos de ob¡etos e configurações geOtitat -iCas 50 reitOS a partir das propriedades que Os definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõem o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situaça. o. Assim, para um dado ob(eto ou propriedade, temos associada uma coieço de "desenhos em movimento", e os invariantes que ai aparecem correspondem as propriedades geométricas intrinsicas ao problema. E este é o recurso didatico importante oferecido: a variedade de desenhos estabelece harmonia entre os aspectos conceituais e figuras; configurações geométricas cia- ssicas passam a ter multiplicidade de representações; propriedades geométricas so descobertas a partir dos invariantes no movimento.
.1 RELEVÂNCIA
Diante do exposto observa-se que a Geometria Dinâmica refere-se a
uma ferramenta de grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao
processo de ensino-aprendizagem da Geometria. Desta forma o uso do
computador pode trazer grandes benefícios ao ensino de matemática,
portanto é necessário escolher softwares adequados a determinadas
situações e uma metodologia que permita extrair o melhor do software.
6
Existem hoje vários softwares que implementam a Geometria Dinâmica,
podemos citar alguns:
s> Dr. Genius;
Euklid;
Géo Specif;
Geometria Inventor;
• Geometric Supposer;
• Cinderella;
Cabri-Géomètre;
• The Geometer's Sketchpad.
Por se tratarem de programas que têm em seus projetos de construção
preocupações de caráter pedagógico, isto 6, são softwares projetados
com propósitos educativos, no sentido de oferecerem recursos que
auxiliem o aluno na construção de conhecimento e superação de
dificuldades inerentes ao processo de aprendizagem da matemática, é
que escolheu-se três desses softwares listados acima, para um estudo
mais aprofundado. Sao eles:
CINDERELLA;
• CABRI-GÉOMÈTRE;
». THE GEOMETER 'S SKETCHPAD.
A escolha desses três softwares dá-se pelo fato dos mesmos serem os
que mais se destacam na geometria dinâmica como programas que
7
seguem a linha construtivista, de acordo com Winroth (1999 apud
Abreu, 2002).
1.2 OBJETIVO
Este trabalho tem o intuito de conhecer, bem como comparar os
software s CINDERELLA, CABRI-GtOMÈTRE e THE GEOMETER'S
SKETCHPAD, realizando uma verificação das diferenças entre eles para
posterior auxilio numa tomada de decisão quanto a uma possível
adoção de um deles. Para isso utilizar-se-á um estudo da homotetia
aplicada A resolução de um problema usando esses três softwares.
8
CAPÍTULO II - GEOMETRIA DINÂMICA
2.1 UM BREVE HISTÓRICO SOBRE A GEOMETRIA DINÂMICA
Em meados da última década do século XX, mais precisamente, em
1985 na cidade de Grenoble (França), nasceu o Cabri-Geomètre e
simultaneamente surgiu também, nos Estados Unidos, o Visual
Geometry Project (atualmente denominado de THE GEOMETER'S
SKETCHPAD), que são ferramentas computacionais para realização de
desenhos de maneira precisa usando régua e compasso eletrônicos,
possibilitando a abordagem da Geometria de modo efetivamente
dinâmico (Braviano & Rodrigues, 2002).
Sendo assim a Geometria dinâmica não é uma nova Geometria, pois não
se baseia em outros axiomas ou proposições nem em novas relações de
espaço-forma, mas sim um termo usado para designar um modo
dinâmico e interativo de trabalhar a Geometria e suas propriedades
usando editores gráficos construidos para esse fim.
0 termo "Dinamic Geometry" 6, na verdade, marca registrada da Key
Curriculum Press, responsável pela comercialização do The Geometer's
Sketchpad, um dos programas de Geometria Dinâmica existente no
mercado (Braviano & Rodrigues, 2002), e alvo de pesquisa deste
trabalho.
Posto que os programas Cabri-Geomètre, The Geometer's Sketchpad e
Cinderella serão objetos de pesquisa deste trabalho, devido ao fato de
9
seguirem a linha do pensamento construtivista Winroth (1999 apud
Abreu, 2002), descreveremos a seguir um pouco a respeito de cada um
deles.
2.2 SOFTWARES DE GEOMETRIA DINÂMICA MAIS UTILIZADOS
2.2.1 CABRI-GtOMÈTRE
É um programa computacional educativo desenvolvido por Yves Baulac,
Franck Bellemain e Jean Marie Laborde na Universidade Joseph Fourier
em Grenoble, França, Laborde & Bellemain (1994 apud Abreu, 2002).
É uma ferramenta especialmente criada para gerar construções
geométricas Dispõe de "régua e compasso eletrônicos", sendo a
interface de menus de construção em linguagem clássica da geometria.
Os desenhos de objetos geométricos são feitos a partir das
propriedades que os definem. Através de deslocamentos aplicados aos
elementos que compõe o desenho, este se transforma, mantendo as
relações geométricas que caracterizam a situação. Assim, para um dado
conceito ou teorema temos associada uma coleção de "desenhos em
movimento", e as características invariantes que ai aparecem
correspondem as propriedades em questão. Apresenta interface
dinâmica e interativa (Gravina 81 Santarosa, 1998).
1 0
Funcionando como um caderno de rascunho interativo (em francês:
Cahier de Brouillon Intéractif) é voltado para o uso em sala de aula.
(Braviano & Rodrigues, 2002).
0 Cabri-Geométre II, versão mais avançada do Cabri-Géomètre, é
dotado de novos recursos como construção de certos lugares
geométricos, de cônicas por cinco pontos, a associação de elementos de
geometria analítica As construções, a ilustração de características
dinâmicas através de animações, entre outros, e parece ser o software
de geometria dinâmica mais utilizado no Brasil. (Braviano & Rodrigues,
2002)
Pode-se localizar material e informações referentes ao Cabri-Géometre
no site: http://www.cabri.com.br .
2.2.2 THE GEOMETER'S SKETCHPAD
É um software criado por Nicholas Jakin nos Estados Unidos da América
e é comercializado pela Key Curriculum Press. Possui funcionalidades
muito próximas as do Cabri, mas com menu de opções propositalmente
reduzido. Uma diferença entre este e o Cabri é que os elementos devem
ser escolhidos antes de selecionar a construção a ser realizada.
Na home page da Key Curriculum Press (http://www.keypress.com )
pode ser obtida uma versão demonstração gratuita do software.
11
2.2.3 CINDERELLA
Desenvolvido na Alemanha por jiirgen Richter Gebert e Ulrich
Kortenkamp, teve o inicio de sua comercialização em maio de 1999.
Richter Gebert e Ulrich Kortenkamp (1999 apud Schmidt, 2002).
Diferentemente dos softwares anteriormente citados, o Cinderella, como
destaca Burgiel (1999 apud Braviano & Rodrigues, 2002), foi
exclusivamente desenvolvido por e para pesquisadores matemáticos,
permitindo o trabalho com geometrias euclidiana, hiperbólica e elíptica.
(Braviano & Rodrigues, 2002).
12
• HA' HB' HC' • = • •
HA HB HC • , F' ̀IL
O 1 • •
A , ft,........ •
• • %,.......... • •
.• % IL
CAPÍTULO Ill - USO DA HOMOTETIA NOS SOFTWARES
3.1 HOMOTETIA
Homotetia é a transformação de uma figura F em outra semelhante F'.
Sejam um ponto H fixo no plano, um número real k * 0, e uma figura F,
a homotetia é a transformação que associa cada ponto de F tal que :
Onde,
H: Centro de homotetia;
K: Razão de homotetia.
A transformação por homotetia preserva:
• Paralelismo; • Ângulos; > Razão de seção;
As figuras F e F' são ditas figuras homologas.
Direção; > Alinhamento.
13
3.2 EXERCÍCIO PROPOSTO
Visando realizar uma comparação dos softwares CINDERELLA, CABRI-
GEOMÈTRE e THE GEOMETER'S SKETCHPAD quanto as suas habilidades
na resolução de problemas de homotetia, resolveu-se usar o seguinte
exercício:
Exercício proposto: Dado um triângulo qualquer com urna determinada
area, encontre um segundo triângulo, semelhante ao primeiro, que
possua o quádruplo da area do triângulo inicial,
3.3 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO COM 0 AUXILIO DO CABRI-GEOMETRE
0 objetivo é construir um triângulo A'B'C' homotético ao triângulo ABC
dado, de tal forma que S' = 4 x 5, onde S é a área do triângulo ABC.
A primeira etapa, e também primeira dificuldade, foi construir um
triângulo qualquer.
Ao navegar pela barra de ferramentas do CABRI encontramos na Caixa
de Ferramentas Reta a opção Triângulo. Clicando sobre esta e levando o
cursor até a janela de desenho construímos um triângulo qualquer,
conforme desejado.
14
ca°1=!malm222!11, 1111.1.1m...
;J, -1.1( JAI jj 7.11 Cow. a.pow
L11 ,a11 • ft I s•••■•ft I softie.
Tellsgsla
!down %vie,
As figuras 1 e 2 ilustram esses primeiros passos.
POIMO
41y4,1 • W.111
IX ear samba..
• ia
figura 1 figura 2
Neste momento precisamos definir o centro de homotetia e a razão de
homotetia (k).
Nossa maior dificuldade foi localizar a razão de homotetia, a qual o
CABRI denomina de fator de expansão, pois esta é uma "medida linear",
ou seja, é proporcional a segmentos e não à área como desejamos.
Sabendo que a Area de um triangulo depende de sua altura e de sua
base, e sendo esta dada por: s =—b.h
e ainda que as figuras homotéticas 2
são semelhantes e apresentam seus elementos lineares homólogos
paralelos, pensou-se então em expandir a altura e a base do triângulo
dado.
Mediante a propriedade de homotetia descrita no item 3.1,
transcrevendo esta para nosso problema temos que:
H — _ •te
%.
A
B '
h AC
h' A' C'
is
Isolando fr. h=( AC )11 1 A'C'
Sendo que a area do triângulo procurado é
(1)
S' = 4xS , fazendo as
substituições necessárias em (1), conforme a propriedade observada
anteriormente temos:
h' .A' C' h.AC AC .h' AC \ ■ , r = 4 1111. hl .A 1 C' = 4. ,r.A'C'. A'C'=4,h7.AC. AC A' A' I
A A' C =4 (
A110617 t1 (741--"-)l C 4. (
)
o (I = 2 l —2
C (T
(T)
HA' —HB'
= k , concluímos Logo, da propriedade de homotetia:
HA HB HC que k=2 é a razão de homotetia.
E, portanto para obtermos o triângulo procurado teremos 1 como fator
de expansão, dado este que sell fornecido ao Cabri através da edição
numérica.
Resolvido este problema, ou seja encontrado o fator de expansão (razão
de homotetia, k), vamos a construção do nosso triângulo homotético
com o auxilio do Cabri.
Escolhendo, na caixa de ferramenta a opção homotetia, informando
desta forma ao Cabri a ação que desejamos realizar, e com o cursor
sobre o triângulo inicial o Cabri nos fornece a informação "dilatar este
triângulo", interagindo assim com o usuário. Basta então clicar sobre
triângulo, e o mesmo é selecionado.
Sendo que os elementos necessários para realização da homotetia são,
o fator de expansão, o centro de homotetia e o objeto (figura) a ser
expandido, precisamos ainda selecionar o fator de expansão e o centro.
16
13 firyoEdtaQpçes i *de
-.1t1L1)21jEd AA,
Fator de Expansio: 2
Passando o cursor sobre o centro desejado o Cabri informa que sera
"com relação a este ponto", então nos resta clicar sobre ele, e o mesmo
é selecionado. E por último, com o cursor sobre o fator de expansão o
Cabri informa: "usando este fato?'. E ao clicar sobre ele é fornecido
automaticamente o triângulo homotético.
Observamos que o Cabri interage com o usuário fornecendo alguma
informação na janela de desenho.
A figura 3 nos mostra o triangulo homotético procurado.
Ahici.111 A C4 al:11
0:1 Ceiba Griamatre II - IF... 141)Doomento1 -Microsoft W..]
Cate-gambits II » 314 4E,
figura 3
Supomos que o triângulo obtido possui o quádruplo da área do
triângulo inicial, porém gostaríamos de verificar se realmente o
triângulo homotético possui esta propriedade.
0 CABRI nos oferece ainda em sua caixa de ferramenta "distância e
comprimento" a possibilidade de obtermos a área do triângulo
17
homotitico, bem como a do triângulo inicial, verificando assim se o
homotético possui o quádruplo da Area do inicial. Para isto, basta
inicialmente indicar a ação que se deseja executar, selecionando na
referida caixa, a opção "Area" e em seguida informar o objeto onde a
ação deve ser realizada. Com o cursor sobre o objeto (triângulo) o CABRI
interage: "este triângulo". Após a interação do CABRI é necessário
apenas clicar sobre o triângulo. Obtem-se, desta forma, as areas dos
triângulos inicial (dado) e do triângulo homotético (procurado),
conforme ilustra a figura 4.
WilE=INCEMEI -1212.c &Rive FAN (Ink. {wets Node .1d121_
13 JLi LIN JA
H. ilithithahh., Fetar de Expens a : 2
i
8=
h
_J Paveio
'imam) # AC-awl Giceedire II tenant -Mrooloe Wied f Cdeigeornthe Aiisi 42, 1234
figura 4
Mas essa informação ainda não é suficiente para verificarmos se
realmente o triângulo homotético é o triângulo procurado, ou seja, se
S'= 4xS
Tendo "em mãos" S e S', basta multiplicar S por 4 e comparar o
resultado com S' fornecido pelo CA SRI. Para efetuar esta multiplicação o
,• C'
18
EiL$n77"1_111111r ,_.Jdlj 25_1
2t1 JW2J;__J-1:12t1 Ij
Fator de &Tartan: 2 S = 23.69 cm'
CABRI, fornece ainda a ferramenta calculadora. As figuras Se 6 ilustram
a execução desta tarefa pelo CA SRI.
EaCM=MOZZIMEM1111.1111=1.1111.111. &oLivo Oar Opeass ,anela Aiulta
.Llt (,,T_A LIE jt Distilneis e Comprimento
—Area Inclines:5o
_J Equaglio e Coordenadas
Mi-diFuladora planilha
Fator de Expansgo: 2
=5.92 an*
;i164-40--
alfackai, 1 *1 b-2PtcAm . I tp......11—&—brLo c.abd-géo.NTell ,g,f am
figura 5
'St
==110111.11.1.1111.11.101 Off Limper 11a * 4 LL.j 23.69 cm*
Inv' rani coal ten] 1 In 1 log 1 absi p11 ( 1)121 - 1 x 12] = 1
I j Q*69.6.6b. »Fa! :4 Li —
311IaidaJLmJJj » joc2 I 111CAPIT... I 11)M:cum I (4-761—bgi... 2006
figura 6
19
row Awing...I. 2
4
Li Ji:Li ;Lae .A16 .1111 4..00
1
Air:» 11■■■ • jhoe sJiJ
Yam Ow Lb*. 40, ,' • 1- X
f IN - 1.1-X
4••
1176 • 4.00
op..±1. t;; fisibuo wpm.
Figura 9
_ J
corowww . .3.1 4s r at a 1) crILLittj
Figura 10 c.a.... 34 4a not
O resultado obtido confere com a Area S'do triângulo homotético, isto 6,
SP= 4xS
Todavia, sell que a propriedade S'=4xS é intrínseca ao triângulo
homotético? Quer-se saber se independente de qualquer variação que
ocorra no triângulo inicial a mesma continuará constante?
Realizando uma sucessão de modificações no triângulo inicial, pois o
homotético é um objeto dependente ao inicial não sendo permitido
assim movimentá-lo. E alterando também o centro homotético
percebemos que realmente a Area 5' será sempre 4 vezes a Area do
triângulo inicial. As figuras 7, 8, 9, 10e 11 nos mostram este fato.
,11
- • r4 AP'', I 41 Asb•wi • figura 7
melor_r_
figura 8
C.11" 34
20
rall=====.111.1.11111.11W .11V1Jc ARM EAh QP:F.• dde dide .1e12.J6
1121 AlA
Faun de Expanelia: 2
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Fatima
SAY_i__16. A td1 :21 11 1..2 itn°"""i fkiC Caedpkwairal '31.1 la 21 00
figura 11
Suponhamos que gostaríamos agora de encontrar um triângulo
homotético com a área 9 vezes maior que a do triângulo inicial. Como
deveríamos proceder para obter o triângulo desejado utilizando
o CA BR!?
Bem, para que isso ocorra é preciso modificarmos a razão (k) de
homotetia (fator de expansão).
Mediante ao cálculo já exposto anteriormente, sabemos que:
fic . A'C'
AC
Portanto, nosso novo fator de expansão (k) sera: 3.
As figuras 72, 73, e 74 ilustram os passos realizados para obtenção do
triângulo desejado.
21
Rótula
Comenados
EdIcSo Numerics
.AL12,11-JIi EA
MI6 \tel..\•
Welpie Anima*
Fat.
Marta de Angola
Flee/Uwe Rasto 04011 ArtimstAlo
001====.11111.1161 6"PiYe Erks, QP.g. ANSI.
SIS = 4.00
T 61000
» i!J0Ht c .. BACAP...1. Eclu
figura 12
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Cabrivicenkrell 124 1,2.
Clni Géomi•Ire II Fiesta ell
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figura 13
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2.Jt 111,6
Fator de Expansio: 31 :
} I
I f 1 EckaoNurnarica
41, '44 al Aj Moul Tc;r7e5
Calld-Orantare II . 1 a4.121 2339
figura 14
Na figura 75 temos representada a comprovação de que realmente a
área do triângulo homotético é 9 vezes aquela do triângulo inicial.
S . =
Fader de Expsnallo: 3
ZIMMIIIM11.11.0.11.111111111.111.1 25.1 Of if Limper a j 131 EI1S.00
21111) coili _Lain ELlt 21 ILI, Jog] abis jail jj _11 2L111 211
Calculadora
31111_a_lioier t.'J AjALEciaL. Eau .1 t Cadligaoratra II » ;,214 2a17
figura 15
23
3.4 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO COM 0 AUXÍLIO DO CINDERELLA
0 Cinderella não dispõe da ferramenta homotetia, ou seja, não há um
"botão" no qual ao clicarmos este fornecerá automaticamente o
homotético. Assim, é necessário construirmos passo a passo nosso
triângulo homotético procurado.
Para realizarmos a construção do triângulo inicial, precisamos
inicialmente definir os pontos na janela de desenho (se estiver
selecionado em propriedades o Rótulo de Elementos a cada ponto
"criado", o Cinderella rotula automaticamente seguindo a ordem
alfabética). Em seguida é necessário selecionarmos o botão "definir um
polígono" e sobre os tris pontos _Id desenhados, constrói-se o triângulo
inicial. Estes passos diferem do Cabri, pois na caixa de ferramenta reta,
há a opção triângulo, após ser selecionada (com um clique na janela de
desenho) faz surgir o primeiro ponto do nosso triângulo. Ao
movimentar o cursor para um local desejado da janela, e dando o
segundo clique, estará criado automaticamente um dos lados do
triângulo (repetindo estes movimentos obteremos o triângulo inicial).
Nas figuras 16, 17 e 18 temos a interface do Cinderella ilustrando a
construção do triângulo inicial, descrita acima.
24
• •
k • •
2cJ Artily° &ear Propriadsclas Crommarla Vistas Modos Monster Ajuda
-1)\\
ABC CA, k
GB
eA
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Hyp Eli
Adicionando um ponto tInico com o mouse
_titcc2 GCabriG.1 1_0Docum
Cablilganhite II a..f 1514
figura 1 6
e Cindoustio =111_111<J
Arqui'm Edgar Proprtedadeo Oeorostria Mates Modos Formats Nuclei
o A
oc
yp Ell
Mar nos pontos para aennir urn potigono
iniciar Aj cREso Ai wa .0..1 ItClocura....1 Z.' Cabri-giorrAtte II " 1514
figura 17
25
Arakivo EdMr PropioderMs OeornotrM Yldas Modos Formder
:Li _•
: o„ . (s) 7.3 ̂s":1 ABC 4
Euc Hyp Ell
Clicar nos pantos para donna um pollgonp
:Al lnkia, J " ]RESO.J JJ tco2 CaiC.ljDcctiis Cind... Cnbn-gbombne II » 422, 1515
figura 18
Neste momento passaremos a realizar a construção do nosso triângulo
homotético de forma explicita, isto 6, passo a passo.
Teremos 2 como razão de homotetia (já encontrada anteriormente ao
tentar solucionar o exercício utilizando Cabri-Geomètre).
Com o auxilio do compasso transferimos esta medida sobre os raios
homólogos de homotetia. As figuras 19 e 20 nos mostram as
transfer6ncias das medidas.
26
41M,1111111111111P Arquivo Edtar Progriedados olsorostria Vistas Modos Forroater Nude
— t - '
k 17—JR .6-4) )-11•'; Qi • -• v'' "-if), ABC C•- ,p •-••-• ,
Cinderella DEMO--%•wAv cinderella de
, es a. :53 Hyp' ni ,
Selecione o primeiro ponto para o compasso
Alniciar .A4 " incindeid&ornote...il • TRIANG-4.C... Labri-géomèae II » 11.4 1733
1111ANG-4 COY
MAW'S COY
Arquvo Editor Propiedades Ocomettia Vistas Modos Fcvmatar AMda
?-
• t ,•-- •;:._k - • f•i)it • C -3--) • k
• ." ABC
Cinderella DEMO— wervccinderelle.de
,j1t. jc
as — • Bic liyp Ell
Selecionar elementos clIcando neles (.shtit para reter a seleigo)
Inici » j4 15c2 _loindeveliahorooted(
cabri-26.4wi. 54 la 1 -736
Compasso eletrônico
figura 19
figura 20
27
hit Flyp I-11 • -
NCtD F& hoorloasJet (•sonnt.na Vitus Wor ,ormater 406
.4,
C Ind 011 Ha DEMO WAMCCIndltells.dil
t:a
/40MI000nd0 urn OW an Ice cam o MOUS8
criEso .ãjoa I (Eut.is..1 ca.*. ! A_ ...10
•pr.reo Eater Prconsames OcortmAne vet= moSIs
_ . Li LI 5.4 ,
_ Fttc Hyp Eli
ACIMIOMM,d. um Ponto into Como moues
atiolot %;./ CRUD- J46.2 I (11CobliG ntipol Y TRl . Clbo.p.onnno
Como já foi observado anteriormente, para construir um polígono
utilizando o Cinderella, é necessário desenhar inicialmente os pontos
que o definirão. No caso do nosso triângulo homotético terá seus
pontos localizados na intersecção das circunferências com os raios
homólogos. As figuras 21, 22e 23 ilustram os passos desta construção.
figura 21
figura 22
8
61 UN 4111111 - Eusj Hyp Ell
\6:14
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Cinderella DEMO --- v/AW.cinderella.de
C
Arquivo Editor Propriedades Gamerla Vistas Modos Formatar Ajuda
Clicar nos pantos para definir um polkono
31
Inicia _44 " RESO. J cc2 je; Cabfi G...I jcidefe.,lii H Cabrivéomittre II » 114 _0 c) 1559
figura 23
Aparentemente obtemos o nosso triângulo homotético procurado. Para
termos certeza de que se trata realmente do triângulo procurado,
devemos verificar sua área, bem como a do triângulo inicial
certificando-nos de que 5' 4x5.
0 Cinderella possui um botão que nos fornece a área dos triângulos,
porem este software não contém a ferramenta "calculadora" como o
Cabri-Géomètre.
Caberá então a nós realizarmos, após obtermos a área de cada triângulo
fornecida pelo Cinderella, os cálculos necessários para verificarmos se
S'= 4 x 5.
Na figura 24 podemos observar a área fornecida pelo Cinderella.
C)
•
Dk Qk *6) •;./ --Jx¡P=Q: <11 ABC ( cL, (V •
Cinderella DEMO — cinderelle de
1 MANG-5 CDY
Arquivo Edda/ Propriedades Oaarostris 'Vistas Modos Formats: Ajuda
Selecionar elementos cliCando neles (sh ift para rater 0 sele*)
Attic/NI !!;;J tcc2 4Cabli 6...1
,cabk,6.40. II -7.3t Ig 16:20
figura 24
Efetuando a multiplicação da área do triângulo inicial por 4, obtemos o
seguinte resultado 34,4, o qual confere com a área do triângulo
homotético fornecida pelo Cinderella. Logo, este é realmente o triângulo
procurado.
Porém se realizarmos algumas modificações em nosso triângulo inicial,
o triângulo homotético permanecerá com sua área quatro vezes maior
que a do inicial? Observando as figuras 25 e 26, nas quais foram
realizadas modificações no centro de homotetia, bem como no
triângulo inicial, percebemos que a área do triângulo homotético será
sempre quatro vezes maior que a do triângulo dado, ou seja, 5' = 4 x S.
30
-7-2":%" •''
•..Z. , ABC 31
re.
ligt44yp EI
rulANG-5.COY. ..1111111111111111111111k ,A.12-41
ArdLivo Edgar Propriededea Geornetrie Vistas Modos Formate/ /Oda
_Li- .„ • , (3„ 0„ -6, • it n )2(
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ctnaerenii DEMO vnw. a de
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Euc Hyp En
Selecionar elementos clIcando neles (., shlft pare rater a seleigo)
,j :4J tec2 I CRESOLUDID D ' cab6-96.4a,.11 41 17;37
111=21=11.11.M11.11.111111111111196P.F.'2!::- -: Aropvivo Eemet Propriededes Geometria Vistes Modos Formatar Nude
\,421' -I) 7 2.
• k k k n:k .r.FN) 7- k
Mover elementos livres arrastando o mouse
ji Inkier i .rij Ajtce.2 cREsowao Caba-ghoovktre II " 0_ 33
figura 25
figura 26
31
Arw. EA*, Proodededes °week. vales Make ronneter And,
sF:t -
1 . k . k • t • ' V-; tj.72. 7) .111C
• • f.; -.. — + uc Hyp Ell
Soleclone cols ooOlos ova deer* suo Ones dO conosOo GueçOo)
Sabemos da propriedade de homotetia que os triângulos inicial e o
homotético são semelhantes e que além disto seus lados
correspondentes são paralelos. Observando, por exemplo a figura 26,
vemos que os lados dos triângulos aparentemente são paralelos, mas
sera que não se trata de uma ilusão de ótica, isto 6, serão eles
realmente paralelos? Como poderíamos verificar esta propriedade, com
o auxilio do Cinderella?
0 Cinderella não dispõe de uma ferramenta que nos forneça esta
informação, ou seja não é possível fazer uma checagem automática.
Uma alternativa, para verificar esta propriedade, é definir uma reta
qualquer passando pelos pontos que definem um lado do triângulo
inicial e por um dos pontos do triângulo homotetico, ou vice-versa.
Portanto é necessário antes fazer passar pelos lados dos triângulos uma
reta ("definir linha de conexão de pontos" que definem um lado do
tridngulo) visto que o Cinderella não traça reta paralela a partir de
segmentos conforme ilustra a figura 27
1111siokaa
1 Áj " iJAnZ fil)RESOLUC_ 1111130canteet TRANS.. Cabdutunice 11 "' aNt figura 27
32
• \ /-•
_ ) Euc Hyp Ell
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Cinderella DEMO www.clnderella de
b
C
Mover elementos livres arrestando o mouse
tniciad » J cc2 T R IAN G Docurnerbal Mi„.1 Cribri,giomdtte II » d44 112?. 16:23
Na figura 28, podemos verificar que os segmentos e as retas são
coincidentes, garantindo assim que são realmente paralelos. Portanto, a
propriedade é verificada e o triângulo encontrado é realmente o
procurado.
ai I
Aridity° agar Propriedades Geometria Vistas Modos Formatar Nude
figura 28
33
3.5 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO COM 0 AUXÍLIO DO GEOMETER'S
SKETCHPAD
Este software assemelha-se ao Cabri no que refere-se a sua interface.
Ele também possui a ferramenta homotetia (Dilate). Porém, o usuário
deverá saber, ou deduzir, que para obter o homotético de um objeto, é
preciso selecionar o objeto a ser "dilatado".
Selecionando o 'botão" onde contém figuras de segmento e setas, e
posicionando o cursor na janela de desenho, dando um clique seguido
de um movimento com o mouse para onde se deseja, teremos um dos
lados do triângulo, repetindo este movimento até o encontro do
primeiro ponto, construiremos o nosso triângulo inicial. As figuras 29 e
30 ilustram a construção do triângulo inicial.
C. I ho. 1,eometeet Sketchpad • ISkeich01 x
R Ele Edit Qivita Ecentmat Dlestfatli 5.16t1so Work WA?
•
I From Point A
Calxi GAO.. 1111]RESOUJC 1 J 9otxiemø 1[0 The Goo—
"
Calxi-gloradas II" 4 34,9 1458
figura 29
34
" I he Geom.:tees Sketchpad•- Pketch111.gsPI file Ed. Pisplay Constn.ct I,a, foun easufe .graph work Help
figura 30
Precisamos agora "desenhar" e definir nosso centro de homotetia. Feito
isto, partiremos para obtenção do triângulo homotético procurado. Para
isto, é necessário selecionarmos todos os objetos constituintes da figura
a ser dilatada, isto 6, os pontos e os lados do triângulo inicial, bem
como o centro de homotetia. A seleção se cld da seguinte forma: antes é
preciso estar com o "botão" que contém uma seta, que se encontra no
"topo" da barra de ferramenta vertical, acionado. Mantendo-se a tecla
"shift" pressionada e corn o auxilio do mouse, clicaremos sobre os
pontos e segmentos do triângulo inicial. E por último seleciona-se o
centro de homotetia no menu Transform, onde teremos a opção: marcar
centro "D", e ao clicar sobre eia o centro é automaticamente
selecionado, abrindo em seguida uma caixa de mensagem na qual
informaremos a razão de homotetia (NEW).
35
1111NREINOI I 1.07•13
Afatk yectot "C.,D"
Mgfk Acde -8-CO" MRkfl att2
Mak Qesia"03" ChtsF Meek 6110( 1" CattG
Makyeciot
Matk An* -CD" Mak Flatv "kit'
Obtendo assim o triângulo homotético.
As figura 31, 32 e 33 representam estes passos. Na figura 34, temos o
triângulo homotético.
It listicacteis Sketchpad • ISketchal.gidd
[..±1 De Eck Camay& transform Meatuie
Damian.. Baste. Vale .
fitioh 1.■_Votk Met.
Ii nickel ! '4;1 Al Cabri G I IC PESO i TCC-P . I 4'W—is ... C eIJ 17Q5
"
figura 31
1h., Sinnoteler's Sketchpad • ISkatish01401
;manta Tree:turn Measure .a ■ aoh Iusudate Maisie
Work Li* fie E
QaPiaY
- ATCC•12...1 elMse". rabnpaomitite II ''' 17:06
jeltdciat
figura 32
36
:Jill Al Al
c..56,260.uno » acze 148 » (14Cal:d11.1 CRESO... 'AJTCDP... fIQ The
The tienmetces Sketchpad - /Skeicil01 gap/
figura 33
'e.■ The Geometers Sketchpad - ISketchlOtop] Ede gat Qispley 1ons Iransfo,m Measure 2reph Work Met
25J
I Select & Translate II iniciari al _14 " (IACabri G...I IERESO... I 4Mrlf—se Cabligeombirell » j ,g4,9 17 Os
figura 34
37
fie Edit Display Construct Transform Measure Graph Work Help
rOIY ,S Mle rr cg
° D
Resta saber se o triângulo fornecido pelo Sketchpad é o nosso triângulo
procurado. Para termos certeza devemos encontrar as areas de ambos
os triângulos, a fim de verificarmos se 5' = 4 x S.
Percebe-se que o Sketchpad não fornece a area de um objeto sem que
este esteja com seu interior "hachurado''. Para "preenchermos" o interior
de nossos triângulos precisamos selecionar os pontos que os definem e
no menu Construção, seleciona-se "Polígono interior".
Tem-se nas figuras 35e 36 estes passos exemplificados.
.' 4. I he Geometer's Sketchpad - ISketchgl gspi 1.1.12-1C .1.,j1_911C1
II 111 Inkier I .4_4 f",;i1 jj » (gCabe G.. CRESO... I TCC-P... I
G The
Cabri.geometre II » 74 0. 1 55
figura 35
38
Opt*r°2122112917MiliMM"1.1.11ortsbuct ansfonn hiee fireph Wok Et* .IC2E1
0°
1 Select & Translate 0 ;slinkier' it '44 cab,' G I CREso... rcDP I Cabd-gbornibe II E lass
figura 36
Pode-se agora obter as áreas do triângulo inicial e do homotético, para
posterior comparação e verificação da propriedade. A figura 37 mostra
os passos para obtermos as áreas dos referidos triângulos.
if!, 1 h, ng9ee+. Sketchpad ISketchni.gspl ,J.C112.15 D Ege Edt 12epley .Cerkence banekcm fasahae arePh Wak Jieb
'D
ESIIMeifit
Er.ica.
Z____________ ,
c
- oacabria..] AITCCR.-.14rF—te alfi, 16:11
figura 37
39
Stiniciedll a *1 :A CaigéomõzelI » 4 2412,: 4; 16:14 Cebri G.. CUM.. TCC-P... 011-- ie
the tieometet's Sketchpad - (Sketchatospi
Be Edit splay Lanstruct
Area CA lEr = 40,65 cm 2
Area CAB = 10,16 cm 2
Irenstorm Measure graph Waik UsIP
0 0
Select &Translate
Na figura 38 temos as areas já fornecidas pelo Sketchpad.
figura 38
O Skechtpad oferece ainda, calculadora como ferramenta para efetuar
automaticamente os cálculos necessários a fim de verificar se 5' = 4 x 5,
S ' ou seja, se : —=4 .
As figuras 39, 40 e 41 ilustram estes passos.
40
I Remove
ÇCartcel
IJIDOWIJ DLEJLICI CIDDI DI2JD
Inc . s Cabri.Orindire II " :P 1 616 "' CaiG.. j CRESO.. I ..4;j rccp... I 10 -irn•
Setunetees Sketchpad iSketch01.0•1 6r Do ME,81..tat Qtaph V,etk Helo
MEN ht jc
2_c I
ti
•
oi<
(Area CA1Y) (Arse CAB) •
• Math Format Text Format
The Geometer' She:1c -
[-; Ede d4 24c4c6, gottecd Datitfon
Area CA13' = 40,65 cm 2
Area CAB= 10,16 cm 2
Mauve 16P11 ek He
■ 1.1, .•
0 0
» Cabli G. I PARES°. AI TCDP...1 eln-of Cabn.gthomigte It " g Q 1615
figura 39
fig ura 40
41
Area C'A'= 40,65 cm 2
Area CAB= 10,16 cm2
(Area CAE ) , „,„ (Area CAB) ""
° D
Temos na figura 47 a confirmação de que 5' = 4 x S.
.fi`. he fieometer's Sketchpad - ISketchOl.gspi
Fe Ed* 12itoloy Qonseuct 'rainstorm Measure Eraph Wok Hein ,11.9_12C1 ,.Laij2g
Select &Translate 11
Inicsa. 4 ti.;,-1:-.1.:4J " GCabri G...I RESO... I TCC-P... I CD -n---he...
figura 47
Cabrivornètre II " 1&19
Realizando algumas modificações no triângulo inicial, bem como no
centro de homotetia, observa-se que a area do triângulo homotético
sera sempre S' = 4 x S, garantindo assim que o triângulo homotético
fornecido pelo Sketchpad é o nosso triângulo homotético procurado.
Vejamos nas figuras 42 e 43.
42
[21 Ede
Meanie 5.1aPh Wcdk Help
Area C'A'13 = 41,52 cm 2
Area ABC = 10,38 cm2
(Area C'A'B') (Area ABC) —4,00
°D
Area CA'B' = 31.29 cm 2
Area ABC = 7,82 cm2
(Area CAS') — 4.00 (Area ABC)
o r ,
4!". The Goometees Sketchpad— ISketchtli' —
"Iniciail " (14Cabc..1 CRES...1 Calui-g6ortAre II ') NE A...2a. 17: 57
figura 42
tieothetet's Sketchpad ISketehOl gspl
Li „Len Ai
fia Edit 004Y gondnot pane= Measure GOO Wrxk
Select &Translate
Alnieiar 2) " Mcebt.1 Ect-L-1
figura 43
cabrilpsornfte II 1758
43
3.6 COMPARAÇÃO DOS SOFTVVARES: CABRI-GÉOMETRE, CINDERELLA E
THE GEOMETER'S SKETCHPAD
3.6.1 QUANTO AS AÇÕES REALIZADAS NO CABRI PARA A EXECUÇÃO DO
EXERCÍCIO
4,01 tabu Géomabe II - IFiguta *21 61cluIuo • E '44
cri ii tJ iti
AÇA0 Chamamos de aoo a utiliza0o da barra de ferramentas, ou seta, quando acionamos alyuma oKlo das va. rias ficaixinhas" de ferramentas estamos "informando ao software que ação deseiamos realizar.
No Cabri todas as ações estão concentradas na barra de
ferramenta.
Ponteuo
jrn
Inicia _, ajTCC-Patitha 111124 compalacaoji
Cabri Géessia...
Cebo-gliométre II » 5,¡ 41 . P 10 (18
1 0 . Desenhar o triângulo;
2 0 . Desenhar o centro de homotetia (caso o centro não seja um
dos vértices do triângulo, logo esta ação é opcional);
3°. Informar o fator de expansão,
4 0 • Escolher a opção Homotetia, localizada na Caixa de
Ferramenta Transformar.
44
J cabigionaire 3•1 234;cas 14,00 411 Iniciar I ,g■ '..;;;VA j,,j gspdemol %PA co. 04 Cabfi G...I
•", :-;.:urtieters S'kelchpad ISketchOl.gsp]
.=_111_11
As ações estão dispostas tanto na barra de
ferramenta quanto na barra de menu.
Para finalizar deve-se selecionar os elementos envolvidos na construção
(triângulo, centro de homotetia e fator de expansão). A seleção ocorre
utilizando somente o mouse, o uso do teclado se faz necessário para
digitar o fator de expansão.
Terminada a seleção dos objetos o Cabri fornece automaticamente o
triângulo homotético.
Logo, é necessário realizar quatro ações para a construção do triângulo
homotético.
3.6.2 QUANTO AS AÇÕES REALIZADAS NO SKETCHPAD PARA A
EXECUÇÃO DO EXERCÍCIO
45
1'. Desenhar o triângulo,
2'. Desenhar o centro de homotetia (caso o centro não seja um
dos vértices do triângulo, logo esta ação é opcional);
3°. Marcar o centro de homotetia;
4'. Dilatar o triângulo, informando o fator de escala, na caixa
que aparecerá automaticamente na tela ao escolher a opção
dilatar na caixa de ferramenta transformação.
É necessário selecionar os objetos antes de informar a ação a ser
executada. Sendo que é preciso selecionar todos os elementos que
compõem o triângulo: vértices e segmentos, pois se deixarmos de
selecionar algum elemento do triângulo este não sera dilatado.
Para selecionar mais de um objeto simultaneamente é preciso utilizar
além do mouse a tecla Shift, o que não é intuitivo sem um conhecimento
prévio do software, pois este não informa o usuário sobre isto.
Realizado os passos acima é fornecido automaticamente o triângulo
homotético.
Obs.. - 0 ponto que desejarmos ser o centro de homotetia deverá ser o
último ponto selecionado, pois o último ponto selecionado sera o qual
ficará registrado como centro na caixa de ferramenta transformação.
Este fato não é muito intuitivo, para perceber que isto ocorria foi
necessário realizar a construção algumas vezes.
Na figura 44 deixamos de selecionar um dos segmentos do triângulo e
conseqüentemente este não foi dilatado.
46
12M112===MORIEWS-'- Qtypiey fxnatruct 'woken Etoenue lad+ Wod, tick,
A1111211
...10.1 2jt
a
» 34 j Cthn SIIQThe
Categkwaell 1-21-1-4ili
figura 44
3.6.3 QUANTO AS AÇÕES REALIZADAS NO CINDERELLA PARA A
EXECUÇÃO DO EXERCÍCIO
(7 Cinderella
.112J2E1
Arquivo Ease Propriedades Geornalrle Vida* Modes figaig. Aiuda
' LI s..41
ABC 3v, -7
Todas as ações estão disponíveis nas barras
de ferramentas.
ps
Adicionando um ponto único com o mouse
Euc Hyp Ell
Inicat 2„ » 2JTCC-Patinha I 13.4 comparaeao ...1 Cinderela Cabageomalie II » _714 -2a *21
47
O Cinderella não possui a ferramenta homotetia automática, é preciso
construir passo a passo o triângulo homotético
1°. Criar pontos;
2°. Desenhar sobre os pontos o triângulo;
3°. Definir retas passando pelo centro e os vértices do
triângulo;
4°. Marcar sobre as retas, com o auxilio do compasso, o raio
de homotetia (razão de homotetia);
5°. Marcar os pontos de intersecção entre as circunferências e
as retas;
6°. Desenhar sobre os pontos de intersecção o triângulo
homólogo.
Foi preciso realizar duas ações a mais do que no Cabri e no Sketchpad,
fato previsível, visto que o Cinderella não possui a ferramenta de
homotetia automática.
48
skfriciwIJ TheGscm...1 11133.4comps..1 • addle& I Calxi-gdombbell ;814 17:12
2
3.6.4 QUANTO A INTERATIVIDADE NO CABRI
EMZ=1113:2213=11.1111111MIMIIIIIMIM;.•-: : Vfii ttig"vo Etta 2976es limeb 441
_LILU 1211
O Cabri interage com o usuário fornecendo informações através do
cursor. Ao passar o cursor sobre um determinado objeto, surge na tela
alguma informação a respeito deste. A informação fornecida pelo cursor
é concisa e clara e está vinculada a ação selecionada. A mensagem que é
fornecida na barra de ferramenta inferior restringe-se somente a
informar ao usuário a ação que está selecionada no momento.
49
3.6.5 QUANTO A INTERATIVIDADE NO SKETCHPAD
j.,J " Aiggdemoi ,,FiEquati . I 41rEPSD... F193.4 co . The Cabfiviomète II " 0. 14 17
A interação do Sketchpad (versão demo) com o usuário ocorre através
da barra de ferramenta inferior, a qual pode ser deslocada para janela
de desenho, porém as informações nela contidas limitam-se a dizer
somente a função de cada caixa de ferramenta, não sendo suficiente
para o usuário decidir que ação tomar para realizar sua construção.
Quando a barra de ferramenta de menu está ativa, as informações na
barra inferior deixam de aparecer.
As informações são fornecidas em inglês, o que pode não ser muito útil
para um usuário que não domina esta lingua.
Obs.. - Na construção do triângulo observa-se que na barra inferior é
informado a origem de cada segmento.
50
Arquivo Ed itai Propriedades Geometria Vlstas Modos Formate( Ajuda
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Seleclonar slementos clicanao neles (*shill para reter a seleçeo)
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3.6.6 QUANTO A INTERATIVIDADE NO CINDERELLA
A interação se dá através do cursor e da barra de ferramenta inferior.
Com cursor parado aproximadamente dois segundos sobre um
determinado "botão" surge uma "caixinha" informando o que este
realiza. Ao acioná-lo, clicando sobre ele, na barra de ferramenta inferior
ficarão disponíveis ao usuário as instruções que ele deverá seguir para
realizar sua construção. Visto que a interação concentra-se na barra de
ferramenta inferior, com informações intuitivas, sendo mais instrutivas
que as fornecidas pelo Sketchpad.
51
2.1
Ponteiro
311 !.:41 :A —14 " . 14:44
4
3.6.7 QUANTO A VERIFICAÇÃO DA AREA DO TRIÂNGULO HOMOTETICO
NO CABRI
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2
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26.26 cm"
6.57 cm'
Acionado a ação área e com o cursor sobre os triângulos dando um
clique no mouse, conforme ilustram as figuras acima, a área é fornecida
automaticamente. Permitindo-nos assim verificar que S' = 4 x S, sendo
de fácil verificação.
52
pip=sw, Arquivo Editor Propriedades Oeconetria Vistas Modos Formate,. Apda
, 17 - 4- Hyp Ell
r-Dk -(`\--;) /.
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Cinderella DEI/110 cinderelta
./ iPoly1j= -34,39
medir área
Selecionar elementos clicando miles (4.8hHt para rater a aeleç ao)
19 ¡racial J _44» CREs0... I Ajtor.2 I A_Cobri G...I Ceindere...11 TRIA... Cebri-o(xsmètre II » nsi 4:4P 16:20
3.6.8 QUANTO A VERIFICAÇÃO DA AREA DO TRIÂNGULO HOMOTETICO
NO CINDERELLA
No Cinderella basta acionar o "botão" medir área e selecionar o
triângulo, a área é fornecida automaticamente, veja a figura acima.
Verificamos que o triângulo homotético encontrado é o triângulo
procurado, com S' = 4 x S.
53
C‘4•• 0AS,, •etacm,•oneor•
• IL •!. -AL
3.6.9 QUANTO A VERIFICAÇÃO DA AREA DO TRIÂNGULO HOMOTETICO
NO SKETCHPAD
'
* C4:13 4 jtas VIESO - TAL:_,C, 4 348
Já no Sketchpad não foi tão fácil realizar esta tarefa. Foi preciso
imaginar que a Area é uma medida relacionada com o interior de um
objeto. Observando nosso triângulo percebemos que era uma figura
"vazada" seu interior não estava 'preenchido". Então percebemos que
selecionando os vértices do triângulo, ficava disponível no menu
construção a opção "polígono interior", que ao clicar sobre nosso
triângulo era automaticamente "preenchido". Agora com o triângulo
preenchido e selecionado, no menu "measure" (de medidas), fica
disponível a opção Area, que ao clicar sobre ela o Sketchpad fornece-a
automaticamente.
E por fim verificamos que S. ' = 4 x S.
54
4. CONCLUSÃO
Este trabalho de conclusão de curso não teve a pretensão de se tornar
um manual, mas sim de auxiliar o usuário num primeiro contato com os
três softwares: Cabri géornêtre, Cinderella e The Geometer's Sketchpad,
resaltando inclusive, aspectos pouco intuitivo para usuários
principiantes.
Utilizou-se uma grande quantidade de figuras para familiarizar o leitor
com as interfaces dos softwares estudados.
De modo geral, cada software tem suas vantagens e desvantagens mas
pareceu-me, através da comparação realizada, que o The Geometer's
Sketchpad é menos intuitivo, o que pode atrapalhar um usuário
principiante.
0 Cinderella, por sua vez, não apresenta possibilidade de construção
automática de figuras homotéticas, o que exige mais ações por parte do
usuário. Contudo é ainda mais intuito que o Sketchpad.
Dos três softwares analisados, o Cabri é o mais intuitivo, interage mais
com o usuário.
Assim, o Cabri me pareceu mais fácil de ser usado por um usuário
principiante.
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BIBLIOGRAFIA
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Géométre. Trabalho de Conclusão de Curso, (Licenciatura em
Mate mática).
Orientador: Gilson Braviano. UFSC, Florianópolis, 2002.
BRAVIANO, G. & RODRIGUES, M.H.W.L Geometria Dinâmica: Uma nova
geometria?, RPM: Revista do Professor de Matemática, n. 49, p 22-26,
SBM, 2002.
GRAVINA, M. A., Geometria Dinâmica: Uma abordagem para o
aprendizado da Geometria, Anais do VII Simpósio Brasileiro de
Informática na Educação, p. 1-1 3, Belo Horizonte, MG, 1996. Disponível
em: <http://www.matufgs.bri —edumateciartigos/artigos.htm>
GRAVINA, M. A. & SANTAROSA, L. M., A aprendizagem da matemática
em ambientes informatizados, Anais do IV Congresso lbero-americano
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PUTNOKI, J. C, Elementos de Geometria & Desenho Geométrico - v.2, 2 4
ed., Editora Scipione, São Paulo,] 995.
SCHMIDT, A., 0 uso da Geometria Dinâmica na transformação de
figuras. Trabalho de Conclusão de Curso, (Licenciatura em Matemática).
Orientador: Gilson Braviano. UFSC, Florianópolis, 2002.
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