UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÕS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

SÍNTESE ANALÍTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS PLANOS DE QUATRO BARRAS PARA TRÊS E QUATRO POSIÇÕES

MULTIPLAMENTE SEPARADAS

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA Ã UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

WELINGTON JOSË MEIRELES

FLORIANÓPOLIS SANTA CATARINA - BRASIL

MARÇO - 19 86

ii

SÍNTESE ANALÍTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS PLANOS DE■' iQUATRO BARRAS PARA TRÊS E QUÀTRO POSIÇÕES

MULTIPLAMENTE SEPARADAS

WELINGTON JOSÊ MEIRELES

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO TlTULO DE

MESTRE EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA E APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE POS-GRADUAÇÃO

3 S Y - 1P r o fT - iJose-'Carlo:

y

; Za.rh.ni, Ph.D. - O r ie n t a d o r

P r o f . C l o v i s r4íi nftndo M ^ iis k a , Ph.D.

Coordep<íci<5r

BANCA EXAMINADORA:

h v e __________P r o f . Nelson Dj^efgenes do V a l l e , Dr. Ing.

A Magali

Aos meus pais e irmãos

iv

AGRADECIMENTOS

- Ao professor José Carlos Zanini, pela orientação prestada duran te a realização deste trabalho, além da grande amizade surgida neste convívio.

- Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológi­co, pela bolsa de estudos durante grande parte da realização des te trabalho, e à Indústria de Fundição Tupy S.A., em especial aos profissionais do CPqD, Engenharia de Fundição e ao Eng. (Ph.D.) Adalberto Bierrenbach de Souza Santos, pelo apoio concedido pa­ra a conclusão deste trabalho.

- Pela amizade e excelente trabalho de dissertação de mestrado, que serviu de orientação para a elaboração deste, quero_agrade­cer ao Udo.

- Ao João Flãvio, Ricardo e funcionários do Núcleo de Processamen to de Dados, que sempre estiveram prontos a auxiliar no desen­volvimento computacional do programa.

- Pelo trabalho de datilografia, meus agradecimentos â Lizete Ma­ria Schwalbe e Rosane Batista, e pela confecção dos desenhos, a gradeço a James Augusto Purey.

- Aos professores e colegas de curso, que de alguma forma contri- buiram para a realização deste trabalho, em especial aos amigos Osmar, Carlos Henrique e Francisco Cota, pela grande amizade du rante todos os momentos.

- Aos meus familiares, pelo incentivo.- Ã Magali, pelo constante acompanhamento, incentivo e compreen­

são, que muito contribuíram para a elaboração deste trabalho.

V

S U M Ã R I 0

LISTA DE QUADROS .......................... ............... viiiLISTA DE FIGURAS .......................................... ixRESUMO ..................................................... xiiABSTRACT..... ............................................ xiii

1 - INTRODUÇÃO ................................................ 11.1 - Introdução .......................................... 11.2 - Revisão bibliográfica .............................. 31.3 - Objetivo deste trabalho ............................ 3

2 - TEORIA DAS POSIÇÕES MULTIPLAMENTE SEPARADAS .............. 52.1 - Introdução .......................................... 52.2 - Especificação das posições multiplamente separadas .. 72.3 - Coeficientes generalizados da curvatura ............ 17

3 - SOLUÇÃO GRÁFICA.......... ................................ 193.1 - Introdução .......................................... 193.2 - Solução dos problemas da ordem e inversão geométrica

para as Posições Finitamente Separadas (PFS)........ 193.2.1 - Duas posições: P-P ................ ......... 193.2.2 - Três posições: P-P-P ....................... 213.2.3 - Quatro posições: P-P-P-P .................... 2 3

3.3 - Os problemas da ordem e inversão geométrica para asPosições Multiplamente Separadas (PMS) ............. 253.3.1 - Inversão geométrica....................... 253.3.2 - Ordem ......................... ............ 26

4 - SOLUÇÃO ANALÍTICA.......................................... ...294.1 - Introdução ........................................... ...294.2 - Teoria 'PMS' ......... ............. .....................29

4.2.1 - Posições de projeto ......................... ...294.2.2 - Centro de curvatura para as PMS ................304.2.3 - Restrição linear para as P M S ................ ...32

4.3 - Solução para três PMS .............................. 344.3.1 - Introdução ................ ................. 344.3.2 - Pontos característicos ..................... 344.3.3 - Localização dos pivôs moveis ............... 364.3.4 - Problema da inversão geométrica ............ 41

4.4 - Solução para quatro PMS ....................... ...... 444.4.1 - Introdução ............................. . ... 444.4.2 - Pontos característicos ...................... 454.4.3 - Curva de pontos de círculo ................. 474.4.4 - Problema da inversão geométrica ............ 554.4.5 - Problema da ordem...... .................... 57

4.5 - Análise do mecanismo resultante .................... 5 7

5 - PROCEDIMENTOS CUMPUTACIONAIS ......... .................... 595.1 - Introdução .................................. ....... 595.2 - Solução para três PMS .............................. 59

5.2.1 - Introdução ............. .................... 595.2.2 - Determinação dos pivôs moveis .............. 60

5.3 - Solução para quatro PMS ............................ 6 35.3.1 - Introdução .................................. 635.3.2 - Curva de pontos de círculo ................. 6 35.3.3 - Problema da inversão geométrica ............ 665.3.4 - Problema da ordem.......................... 69

6 - APLICAÇÕES PRÁTICAS ........................................ 726.1 - Introdução .......................................... 726.2 - Exemplo 1 .................................... ...... 72

6.2.1 — Introdução ................................. 726.2.2 - Especificação do problema .................. 736.2.3 - Resultados ..... :........................... 76

6.3 - Exemplo 2 ........................ .................. 776.3.1 - Introdução ................................. 776.3.2 - Especificação do problema.................. 786.3.3 - Resultados . ................................. 81

vi

vii

7 - CONCLUSOES E RECOMENDAÇÕES ...................... ......... 82c7.1 - Conclusões .......................................... 827.2 - Recomendações ....................................... 84REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................ 85APÊNDICE 1. O programa 'PMS34' ........................... 87APÊNDICE 2. A equação de Euler-Savary e o círculo de infle­

xão ........................................... 10 2APÊNDICE 3. Sistema especial de referência ............... 10 8APÊNDICE 4. A transformação da curvatura ...... ........... 110APÊNDICE 5. Listagem da solução dos exemplos ............. 113

Exemplo 1 ..................... ............... 113Exemplo 2 ..................................... 120

viii

LISTA DE QUADROS

1 - Mecanismos Grashof ..................................... 582 - Procedimento utilizado na orientação sequencial da curva 6 53 - Exemplo 1: Definição analítica das 3 posições de projeto.. 744 - Exemplo 1: Região de solução ....................... . 755 - Exemplo 1: ângulo s de transmissão extremos .............. " 756 - Exemplo 1: dimensões limites das barras ............... 767 - Exemplo 2: definição analítica para o caso PP-P-P ..... 798 - Exemplo 2: região de solução ........................... 809 - Exemplo 2: ângulos de transmissão extremos ............ 8010- Exemplo 2: dimensões limites das barras ............... 8011- Dados de entrada para o processamento da primeira etapa

do programa ...... ..................................... 9712- Dados de entrada para o processamento da primeira etapa

do programa, nos casos de três PMS ....... ............ 10013- Dados de entrada para o processamento da primeira etapa

do programa, nos casos de quatro PMS.................. 10014- Dados de entrada para o processamento da segunda etapa

do programa, nos casos de três PMS, quando resolvidospelo método 3 ......................................... 101

15- Dados de-entrada para o processamento das etapas.2 e 3,nos casos de quatro PMS ............................... 102

ix

LISTA DE ' FIGURAS-

1 - Mecanismo articulado de quatro barras .................. 12 - Mecanismo articulado para conduzir a tampa de uma caixa.. 23 - Transformação de coordenadas ........................... 54 - Indicação das PFS do plano mõvel .............. ......... 85 - Representação do pólo de rotação de 2 PFS ............ . . 86 - Representação do pólo de rotação para 2 PIS ............ 97 - Círculo de inflexão com tangente e normal ao pólo ...... 128 - A cúbica de curvatura estacionária ..................... 159 - Degeneração da cúbica de curvatura estacionária ........ 1710- Mecanismo articulado para 2 PFS ............... »......'.. 2011- Linhas de Filemon...................................... 2012- Mecanismo articulado para 2 PFS ........................ 2013- Mecanismo articulado para 3 PFS ........................ 2114- Convenção de sinal para ^ ..................... ....... 2215- Região não permissível (hachurada) para a localização ~do

pivô mõvel da contra-manivela - 3 PFS ............. . 2 316- Curva de pontos de círculo com seus pontos característicos 2 417- Curva de pontos de círculo com seus pontos característicos 2518- Região não permissível (hachurada) para a escolha do pri­

meiro pivô mõvel (da contra-manivela) ............... . 26

19- Representação geométrica da interseção da curva de pontosde círculo com uma das circunferências de poios imagem .. 28

20- Especificação dos parâmetros representativos das PMS ... 3021- Interpretação gráfica da localização dos planos fixo e

mõvel ..... ........................................... . 3522- Determinação do põlo imagem ...................... 3523- Metodologia utilizada para a escolha de pontos como pri­

meiro pivô mõvel (contra manivela) do mecanismo articulado para três PMS ....................................... 37

24- Critério para a determinação de DELI .................. 3725- Metodologia utilizada para a escolha de pontos como se -

gunao pivô mõvel (da manivela) do mecanismo articulado para três PMS, onde DEL = % DELI, tal que % = PER (per­centual arbiti.ido para solução do problema) ........... 38

X

26- Exemplo demonstrativo da variação angular da barra moto- ,ra no movimento de um mecanismo não-Grashof ........... 40

27- Para um ponto conhecido do plano acoplador, representa -ção do deslocamento angular ....................... 42

2 8- Localização da contra manivela R na posição i em relação ao sistema de coordenadas U t V e ao plano acoplador, ca racterizado pela barra D .............................. 43

29- Representação geométrica do traçado das retas de Filemon 4430- Representação geométrica da localização do ponto de Bali

para quatro PIS .................................. ...... 4531- Representação geométrica da determinação do ponto de Bali 4632- A curva de pontos de círculo .......................... 4833- Representação dos sistemas de eixos coordenados ....... 4934- A curva de pontos de círculo .......................... 5235- Representação geométrica da curva de pontos de círculo.. 5336- Degeneração da curva: circunferência e reta ........... 5437- Degeneração da curva: hipérbole........................ 5538- Mecanismo articulado resultante .... ................... 5639- Representação geométrica dos ângulos de transmissão mini

mo e máximo ............................................ 5840- Diagrama de blocos representando a solução para a esco -

lha de pontos como primeiro pivô móvel para três PMS.... 6141- Diagrama de blocos representando, a solução para a escolha

de pontos com o segundo pivô móvel para três PMS ...... 6242- Curva de pontos de círculo.... ......................... 6 443- Degeneração da curva de pontos de círculo ............. 6 64 4- Diagrama de blocos representando a solução da primeira

etapa do problema da inversão geométrica ........ . 6845- Diagrama de blocos representando a solução do problema

da ordem no ramo aberto da curva .......... ............ 7046- Diagrama de blocos representando a solução do problema

da ordem no ramo fechado da curva ..................... 7147- Caçamba do caminhão nas 3 posições do seu movimento de

basculamento ........................................... 7348- Exemplo 1: definição gráfica do problema .............. 74

49- Mecanismo articulado escolhido para o movimento da ca­çamba . ............................................... 76

50- Mesa da prensa representada nas posições de deslocamento 7851- Exemplo 2: definição gráfica das posições de projeto pa

ra o caso PP-P-P, onde (UP, VP)= centro instantâneo de rotação do plano na posição inicial .................. 79

52- Mecanismo articulado escolhido para o movimento da mesa 8153- O fluxograma do programa 1PMS3 4' ...... . .............. 9554- Definição de aceleração centrípeta .................... 10255- Mecanismo articulado com o ponto do acoplador E ...... 10356- O movimento do ponto do acoplador do centrodo mõvel.... 1035 7-0 ponto E sobre o circulo de inflexão ................. 10558- 0 ponto E dentro do círculo de inflexão .............. 10559- Representação das trajetórias côncava e cc^vexa para o

ponto E ................ .......................... 10760- Representação do deslocamento do centro instantâneo re­

lacionado ao movimento do plano mõvel ................ 10861- Representação do novo sistema z*eferencial X x Y, o si's-

teirií. especial de referência .......................... 10962- O deslocamento do plano mõvel ....... ................. 11063- O binário articulado ..... ............................ 1116 4- 0 quadrilátero articulado .... . . ............... 112

xi

JRESUMO

Tendo como base a Teoria das Posições Multipla- mente Separadas - Teoria 'PMS* - vima solução analítica da sínte­se de mecanismos articulados planos de quatro barras ê apresenta­da para analisar os problemas da ordem e inversão geométrica, nos projetos que envolvem três e quatro posições multiplamente separa das do plano móvel. Os casos a serem tratados são, considerando 'PP' duas posições infinitesimalmente separadas (2 PIS) e ' P-P1 duas posições finitamente separadas (2 PFS): PPP, PP-P, P-P-P, PPPP, PPP-P, PP-PP, PP-P-P, P-P-P-P.

A solução destes problemas já se encontra desen volvida de forma gráfica e o que se pretende conseguir é uma maior precisão e rapidez na. obtenção dos resultados, sem contudo impos­sibilitar a participação do projetista nas etapas de desenvolvi - mento do projeto.

A utilização dos coeficientes generalizados, de senvolvidos em relação ao sistema referencial móvel para o estudo analítico das fPMS', permitiu uma grande simplificação na obten - ção das expressões analíticas utilizadas no programa computacio - nal. Para os casos que envolvem as posições infinitesimalmente se paradas, é utilizado o procedimento para uma especificação automã tica dos parâmetros representativos de tais posições.

O processo ê todo computacional e dois exemplos serão apresentados para demonstrar a validade da retodologia ana­lítica acui desenvolvida.

xiii

ABSTRACT

An analytical solution to the order and branch problems, based on the Multiply Separated Positions Theory — 'MSP Theory' - is developed for mechanisms for 3 and 4 MSP. The MSP cases considered in this work for linkage synthesis are : PPP, PP-P, P-P-P, PPPP, PPP-P, PP-PP, PP-P-P, P-P-P-P, where 'P-P' and 'PP' means, respectively, two finitely (2 FSP) and two infinitesimally (2 ISP) separated positions of the moving plane.

A graphical solution for these problems is available but its implementation is tedious and inaccurate. The analytical methods provide solutions more accurate and in a very little time when programmed for the computer, allowing the designer to participate on the development of the whole project.

The use of the-generalised motion coefficients allowed a single and simplified body of analytics, independent of the motion combination of FSP and ISP. The whole analytical method is computer oriented and two examples are given indetail in order to illustrate the method.

1. INTRODUÇÃO

1.1. Introdução

A síntese de mecanismos aqui apresentada consis­te de uma análise cinemática no projeto de mecanismos articulados planos, que venham atender certos requisitos de movimento, não se baseando em características de resistência estrutural. O mecanismo articulado plano de quatro barras, objetivo deste trabalho, possui uma barra fixa 'D' que ê a base da articulação e outras três bar­ras moveis, sendo a barra acionante 'A' denominada manivela, a bar ra acionada 'C1 a contra-manivela e a barra intermediária 'B' a a- copladora. Estas barras estão ligadas entre si por meio de pares cinemáticos do tipo rotativo, como mostra a figura 1 .

FIG. 1: Mecanismo articulado plano de quatro barras

Dentro das aplicações da síntese cinamãtica [l , 17], a metodologia aqui desenvolvida se refere ã síntese coplanar, que trata do projeto de mecanismos articulados que guiam um plano através de posições pré-estabelecidas. A especificação destas pos_i ções engloba simultaneamente deslocamentos finitos e infinitesimais, com a utilização da Teoria das Posições Multiplamente Separadas (Te oria PMS). Um exemplo de aplicação está ilustrado na figura 2, atra vês do deslocamento da tampa de uma caixa.

A síntese analítica baseada na teoria de Burmes- ter fundamenta-se no ponto de precisão, ou seja, a solução deseja­da e a real são exatamente as mesmas neste ponto. Contudo, ocorrem

2

FIG. 2: Mecanismo articulado para conduzir a tampa de uma caixa

problemas relacionados à ordem de deslocamento do plano móvel(pia no do acoplador) [6 , 8] e â possibilidade de deslocamento do sis­tema articulado através das posições de projeto (inversão geomé­trica) [7, 8], que devem ser solucionados quando no projeto do me canismo. A solução destes problemas consiste na localização de re giões do plano móvel que,irão permitir a escolha de pontos como pivôs móveis do mecanismo articulado sem a presença de tais pro­blemas [5, 8 ].

Na especificação dos parâmetros representativos das posições do plano móvel (posições de projeto) referentes âs po sições infinitesimalmente separadas (PIS) . ê utilizado um proce­dimento automatizado [4], que requer o perfeito entendimento da Teoria das Posições Infinitesimalmente Separadas (Teoria PIS) [4,11, 12, 17].cÊ utilizado o sistema geral de referência e, para o caso de quatro PIS o sistema especial, que possibilita uma gran­de simplificação na utilização dos coeficientes generalizados da curvatura T3]. Dentre outros aspectos, também são considerados a qualidade de transmissão de movimento (critério de Alt) e o ti­po de mecanismo resultante (critério de Grashof) [15, 16].

3

1.2. Revisão bibliográfica

Na década de 60, Hartenberg e Denavit [15] e Beyer [16] fizeram estudos sobre a síntese geométrica.

Em 1967 e 1968, Tesar [11/ 12] desenvolveu uma teoria analítica da síntese coplanar de mecanismos que considera­va simultaneamente deslocamentos finitos e infinitesimais, dentro da Teoria PMS.

Em 1975, Zanini [17] apresentou iinterpretações do significado geométrico das PIS.

De 19 75 a 19 77, Waldron [6-8] desenvolveu todo um procedimento gráfico para a solução dos problemas da -inversão geométrica e da ordem no projeto de mecanismos articulados para quatro PFS.

Em 1977, Waldron [5] apresentou uma solução grá fica para a solução dos problemas da inversão geométrica e da or­dem na síntese de mecanismos para as PMS.

A unificação da Teoria PMS em teumos dos coefi­cientes generalizados da curvatura foi realizada por Riso[3], em 19 80.

Valle [4] , em 1983, apresentou uma sistemática a nalítica para a especificação das PIS.

Em 1984, Wondracek [l] desenvolveu a síntese ana lítica para quatro PFS, incluindo a solução dos problemas da in - versão geométrica e da ordem.

Nesta dissertação, é realizado vim desenvolvimen­to analítico para a síntese coplanar de mecanismos articulados planos para as PMS, com a unificação da Teoria PMS â solução dos problemas da inversão geométrica e da ordem.

1.3. Objetivo deste trabalho

A síntese gráfica consiste de um procedimento que requer um trabalho cuidadoso no traçado de sua solução, para que a imprecisão na obtenção dos resultados seja minimizada.

O que se pretende com este trabalho é apresentar um desenvolvimento de vima sistemática analítica para analisar os problemas da inversão geométrica e da ordem no projeto de mecanis mos articulados planos para três e quatro PMS, utilizando o mesmo

4

procedimento das PFS e fazendo uso da Teoria PílS para analisar os deslocamentos finitos e infinitesimais, simultaneamente. Com is­to, os resultados podem ser obtidos com maior rapidez e precisão sem, contudo, impossibilitar a participação do projetista nas etapas de desenvolvimento do projeto.

Os casos a serem tratados serão, considerando 'PP' duas posições infinitesimalmente separadas e 'P-P1 duas posi_ ções finitamente separadas: PPP, PP-P, P-P-P, PPPP, PPP-P, PP-PP, PP-P-P, P-P-P-P.

O processo é todo computacional e exemplos se - rão apresentados para demonstrar a validade da metodologia analí­tica aqui desenvolvida.

1

5

2. TEORIA DAS POSIÇÕES MULTIPLAMENTE SEPARADAS - TEORIA 'PMS*

2.1. Introdução

O conceito de posiçoes multiplamente separadas (PMS) envolve vima combinação de deslocamentos finitos (P-P) e in­finitesimais (PP) de um plano móvel [3, 15]. Esses deslocamentos múltiplos, relacionados a uma posição inicial de referência, cons tituem-se no aspecto fundamental da teoria PMS.

No sentido de unificar a notação desta teoriá, foram utilizadas expressões para a determinação automatizada dos parâmetros representativos das posições infinitesimalmente separa das (PIS) do plano móvel [4] e também os coeficientes generali­zados da curvatura [3].

A transformação de coordenadas, figura 3, entre os sistemas coordenados fixo e móvel ê fundamental para o trata­mento analítico da síntese coplanar.

FIG. 3; Transformação de coordenadas

Para um ponto qualquer E (X, Y) do plano mõvel X x Y,as coordenadas em relação ao plano fixo ü * v sao definidas pe las expressões (1 ), onde y ê tomado como o parâmetro independen - te.

6

U = X cos y - Y sen y + aV = X sen y + Y cos y + b (1)

Considerando duas posições finitamente separadas (PFS) do plano móvel, de acordo com (1) tem-se:

Ü1 “ X1 cos Y1 yl sen Y1 + al

V1 = X1 sen Y1+ Y! cos Y1 + bl

uo = Xo cos Yo - Yo sen Yo + aoVo = Xo sen Yo + Yo cos Yo + bo (2)

O deslocamento de um ponto do plano móvel serádado por:

A U = Un - U1 oA V = V - Vo (3)

As expressões para um deslocamento infinitèsi - mal são consideradas quando a y se dã um acréscimo A y.

A U = U ( y + A y ) “ U ( y )A V = V ( y + A Y ) “ V ( Y ) (4)

Considerando as equações (1) e (4) tem-se:

A U = - X seny Ay - Y c o s y Ay + a ( y+ Ay ) - a ( y )A V = X cosy Ay - Y seny Ay + b (. y + Ay ) - b (y)

A partir das equações acima, fazendo Ay -*• 0, tem- -se as equações que representam um deslocamento infinitesimal de um ponto do plano móvel [3, 4, 11, 12] , considerando limites so­bre A U e A V.

" l i * Ü = -ÉÍL = u 'A y*K) A y dyu m iLV = _dv. = v ,Ay-K) A y dy

(5)

7

O tratamento analítico unificado para PFS e PIS resulta nas expressões gerais (6) da transformação fundamental da teoria PMS.

U(j,k,£) = dk [x*cos Y- Y*sen yJ y _ y + dk ía ( Y ) . l .y _ Y _ (6) d Y k j d Y k j

V( j ,k,£) = dk I X - sen y + Y - cos y ! _ + d k | b ( Y ) 1“ k L JY_ Yj “ k L J Y - Y jd y J d YOs índices j, k, t são prõprios da teoria PMS e

foram utilizados para caracterizar as posições finitamente e infjL nitesimalmente separadas. Quando k = 0 as expressões (6) darão indicação das PFS e para k / 0 se referem âs PIS, de tal forma que para 3 e 4 PMS:

j = contador do numero de PFS, podendo assumir os valores 0, 1, 2, 3.

k = contador do nümero de PIS, correspondente a uma dada po­sição finita, podendo assumir os valores 0, 1, 2, 3.

Z = contador do número total de PMS, podendo assumir os valo res 0, 1, 2, 3.

O tratamento das PIS leva âs derivadas da fun­ções U ( y ) e V ( Y), que são de primeira ordem para 2 PIS, de segunda ordem para 3 PIS, de terceira ordem para 4 PIS e de quar­ta ordem para 5 PIS [4, 17] .

Nas expressões (6) o movimento do sistema mõvel pode ser expresso em termos do parâmetro independente y , de acor do com as expressões (7) .

a o = dk [a <r>]1 d Y k L J Y " Yj : (7)

d y J

2.2. especificação das posições multipiamente separadas - ;PMS;

Consiste na definição das posições que o plano

8

acoplador de um mecanismo a ser gerado deve ocupar durante o seu movimento, representadas por movimentos mistos de posições finita mente separadas (PFS) e infinitesimalmente separadas (PIS), dentro de uma sistemática analítica válida para todos os tipos de movi­mentos, simultaneamente.

As PFS de um plano mõvel podem ser definidas a- travês de uma reta deste plano, caracterizado pelos seus parâme­tros linear e angular em relação a um sistema referencial fixo, de acordo com a figura 4.

FIG. 4: Indicação das PFS do plano mõvel

Cada par de posições finitamente separadas do plano mõvel (P-P) define um polo de rotação 'P', sendo este o üni co ponto que não se desloca quando há o movimento do plano mõvel entre estas duas posições [15, 16]. Portanto, de (3) tem-se Aup=

A Vp = 0 (figura 5). i

FIG. 5; Representação do polo de rotação para duas PFS

9

Para as PIS,devem ser definidos alguns parâmetrosque permitirão a indicação destas posições através de uma especifjLcação automatizada.

Duas posições infinitesimalmente separadas doplano móvel (PP) definem um centro instantâneo de rotação [15, 16].Neste deslocamente infinitesimal os arcos A An e B B da figura 5o 1 o 1 3se tornam elementos de arcos dSA e dSB e as linhas/que foram os seg mentos de círculo e b 0b jlj se tornaIn tangentes tA e tg aos des­locamentos representados pelos elementos de arcos, figura 6 .

FIG. 6 : Representação do polo de rotação para 2 PIS

As tangentes âs trajetórias de dois pontos defi­nem o movimento do plano movei instantaneamente. O polo P para as duas PIS ê o centro instantâneo de rotação, tal que, das equações (5) '

U* = V' = 0P P

A partir de (5) obtêm-se as coordenadas do cen - tro instantâneo de rotação em relação ao sistema mõvel

X = a, sen y - b. cos y P 1

Y = a, cos y + b, sen y (8)p 1 1

Substituindo (8) em (1), obtêm-se as coordenadas do centro instantâneo de rotação em relação ao sistema fixo.

10

No caso de duas PIS, além de a , b , y , q»ue sãoo o oos parâmetros representativos da posição finita tomada como refe - rência, é necessário a indicação do tipo de deslocamento infinite simal desejado, através da especificação das coordenadas do centro instantâneo de rotação. A partir das expressões (9) serão determi­nados os parâmetros a^ e b^, representativos da posição infinite- simalmente separada [4].

Nas expressões (9) tem-se:1) Se a = b = y = 0 os planos mõvel e fixo coincidirão e ü eo _ _o > p

Vp serão funções exclusivas de a^ e b^:

U = - b, , V = an p 1 # p 1

2) Se aQ = b = a^ = b^ = 0 o polo estã na origem do sistema fixo e os planos fixo e mõvel possuem uma origem comum. Contudo, o plano mõvel girara instantaneamente sobre a origem.

U - 0, V = 0 P P3) Se a^ -s- ® e b^ ->■ « o movimento do plano mõvel irã resul­

tar numa translação instantânea:

U = 00 , V =00 P PNo caso de três PIS, além de a , b , y * ai / b,, é■ o o o 1 1

necessário a especificação dos parâmetros a2 e brepresentativos do segundo deslocamento infinitesimal correspondente a uma dada po sição finita [4],

Das expressões (6), para k = 2 tem-se:

U- = u'' = - X cos y + Y sen y + a_1 o o z

= V'' = - X sen Y - Y cos Y + b02 o o 2

Considerando a curva desejada (requisito de pro­jeto) e a gerada (resultante do mecanismo articulado obtido), a aproximação entre elas se dã pela sua intersecção nos pontos de precisão. Para três PIS isto representa um contato de segunda or - dem e fica definido instantaneamente um raio de curvatura do cír

11

culo que contem as três PIS, sendo a curvatura da trajetória ex - plicitada conforme apresentado na expressão abaixo [4, 17]:

K U ' V ' ' - V'U'[u'2 + v 1 ]

(10)

Se K = 0, significa que o numerador da expressão (1 0) será igual a zero e consequentemente o raio de curvatura do circulo tendera a “ ,.ou seja:

U'V'' - U' 'V' = 0 (11)

Considerando as equações (6) e substituindo em(1 1 ) tem-se:

TX -2

+ WY -2 2

T2 + W2 + 4 a2b x - 4 a ^(12)

que é a equação de uma circunferência, onde

T = b_ sen y + a, sen y^ + a» cos y - b. cos y2 o 1 o 2 o 1 o

W = b_ cos y + a, cos y - a_ sen y + b, sen y2 o 1 o 2 o 1 o

(13)

O lugar geométrico dos pontos do plano móvel as­sim definidos é denominado círculo de inflexão, cuja circunferên - cia divide o plano em duas regiões, cada uma delas ^proporcionando as trajetórias dos seus pontos com curvaturas opostas uma em rela­ção âs outras.

O centro e o raio da circunferência com coordena das em relação ao plano móvel, são definidos pelas expressões:

cen

ralo:

tro: , Wj

[s

f (a2, b2)

1

22 + W2 + 4 a2b1 - 4 alb 2 ]

1/2

Portanto, conhecendo-se as coordenadas do centro da circunferência do círculo de inflexão, a2 e b2 podem ser deter-

12

minados. A determinação deste círculo se dã pela aplicação da equa ~ * çao de Euler-Savary a dóis pontos E e F, a seus centros de curva­tura 0E e 0F e ao polo P [4, 15, 16] , conforme mostra a figura 7.

FIG. 7: Círculo de inflexão com tangente e normal ao polo

A partir da equação de Euler-Savary ê possível de terminar-se e Jp. Com os pontos P, Je 0 JF determina-se aequação da circunferência que passa por estes três pontos e acha - se o seu centro (T/2, W/2). Substituindo estes valores nas equações (14) e com a^, b^, y q conhecidos, determina-se e ^ * As ec2ua " ções (13) podem se apresentar como

a_ = b, + T cos y - W sen Y z 1 o o

i

b 0 = T ‘sen Y + W cos Y - a. (14)2 o o 1

Conseqüentemente, na especificação de três PIS ê necessário conhecer a curvatura da trajetória de dois pontos E, F, alêm da localização do centro instantâneo de rotação P. Tem-se :

(*) Ver apêndice 2

13

E = ponto do acoplador0E = centro de curvatura do ponto EP = centro instantâneo de rotação F = ponto arbitrado para se obter o círculo de

inflexãom = coeficiente real que posiciona Op sobre a re

ta que passa por FP: é um parâmetro de otimi. zação (m = FOp/FP)

Op = centro de curvatura do ponto F

Define-se o significado de m ( - 00 , + “ ) atra­vés das seguintes considerações:a) se m <0, F está entre 0p e P;b) se m = 0, 0_ estã sobre F, significa o raio de curvatura nulo para or

ponto F, na formação de uma cúspide na trajetória gerada pelo ponto F; nes­te instante da trajetória, o ponto F estã sobre o centro instantâneo de ro­tação P;

c) se m estã entre (0,1), 0_ está entre F e P;rd) se m = 1, Op estã sabre P e o ponto F se encontra na tangente ao polo P;re) se m >1, P estã entre F e 0F ;f) se m = 00 , 0 ponto Op estã no infinito sendo também infinito o

raio de curvatura (FO^) para a trajetória de F, o qüe significarum deslocamento do ponto F sobre uma reta e F estarã sobre a circunferência do círculo de inflexão, portanto F está sobre Jp, conforme a equação de Euler-Savary.

Nas expressões (14) são possíveis algumas simplj.ficações:1) Quando a origem dos planos fixo e móvel coincidem, ou seja,

a = b = y = 0 tem-se 0 0 0

a2 = + T , ' b2 = W - a

2) Quando a = b = a, = b, = y = 0, os planos móvel e fixo te-o o 1 1 orão uma origem comum e portanto o polo estarã também nesta ori­gem dos dois planos.

a 2 = T , b 2 = ”

14

3) Quando a = b = a = b = a„ = y =0, somente b„ e deixado pa0 0 . 1 1 2 o 2 —ra ser determinado. Como o polo está sobre a .circunferência, sua tangente è normal fornecem um novo sistema de referência on de b^ é o diâmetro da circunferência.

ã 2 = 0 , b^ = 2 raio = W

4) Com as características do item 3, reduzindo â unidade o diâme­tro da circunferência tem-se

a2 = ° ' b 2 = 1

No caso de quatro PIS, alem de a , b , Y , a,,^ ' o o o 1 'b^, , b 2 & necessário a especificação dos parâmetros a^ e b^, re presentativos do terceiro deslocamento infinitesimal corresponden te a uma dada posição finita [4].

Das expressões (6), para k = 3 tem-se:

U-, = U 1'' = X sen y + Y cos Y + a_3 o o 3V-> = V 1 1 ' = - X cos y + Y sen Y + b_3 o o 3

Para quatro PIS, a intersecção das curvas deseja da e gerada define um contato de terceira ordem [4, 17]. Uma nova derivação da equação (1 0) define a variação de curvatura K 1 como

_ dk _{U ' 2 + V'2 } (U'V 1 ' - V^U'1') - 3 (U'V' ' - V'U") {U'U' ,+V'V'' ■dY ÍU' 2 + V'2 } 5/2W + V i ( 1 5 )

Se k ' = 0, significa que o numerador da expres - são (15) serã igual a zero, o que leva ao conceito importante da cúbica de curvatura estacionária [15, 16],

Para reduzir o numero de termos envolvidos quan­do da aplicação de íc' = 0 , optou-se pela utilização do sistema es­pecial de referência*, isto ê , a = b = a., = b. = a~ = Y = 0,re0 0 1 1 2 o —sultando na expressão da cübica de curvatura estacionária (16), cu ja representação grafica ê mostrada na figura 8 ..

(*) ver apêndice 3

15

FIG. 8 : A cúbica de curvatura estacionaria

(X2 + Y2) (a3 X + b3 Y) + 3 b2 X (X2 + Y2 - b2 Y) = 0 (16)

Na expressão (16) fazendo

X = r cos © , Y = r sen ©irã resultar:

onde :M sen © N cos 0

(17)

r =

© =

distância de um ponto da cúbica à origem do sistema especial de referencia posição angular de um ponto da cúbica no sis tema especial de referência.

A expressão (17) ê a equação da cúbica de curva tura estacionária em coordenadas polares, onde:

3 (b9) M = --: —

162

(a3 + 3 b2)(18)

3 (b, ) 2 N = ----

b3que são os diâmetros das circunferências que osculam a cúbica no polo, figura 8.

Para os dois pontos E (rE , 6 E) e F (r^, e^Jdo plano móvel, é aplicada a equação (17), resultando no sistema:

1 . 1 1

M sen 6 E N cos 0 E rE(19)

1

M, sen 0„ N cos e„ rTr r x

Resolvido o sistema (19), através das equações(2 0) são determinados a^ e b^.

a" = 3 (b2 )23 ---- -— - 3 b,M

( 20 )2

N

Nas expressões (20) tem-se:

1) Se M = » , a cúbica se transforma em uma circunferência de raio = N/2 e na reta que contêm a tangente t, figura 9.a;

2) Se N = ® , a cúbica se transforma em uma circunferência de raio = M/2 e na reta que contém a normal n, figura 9.b.

17

2.3. Coeficientes Generalizados da Curvatura

No sentido de unificar a utilização da Téoria PMS através de uma notação completamente abrangente, são utiliza­dos os coeficientes generalizados da curvatura [3], que possibili tam a especificação dos movimentos combinados de PFS e PIS dentro de uma filosofia analítica válida para todos os tipos de movimen­tos, simultaneamente.

Estes coeficientes são expressões utilizadas no problema da transformação da curvatura - determinação dos pontos do plano móvel que assumem posições sobre circunferências no pla­no fixo [3] - e como posição de referência é considerada a posi­ção inicial do plano móvel. Seus valores dependem do valor de £ (1, 2, 3), equação (6) e do caso PMS. Foram desenvolvidos por Ri­so [3], sendo definidos como:

18

AU = A 1 1 (j' k) = ^

d y

k

2 , 2 2 , 2 a + b - an - bn

Y = y .

d ya cos y + b sen y “ a cos y +o o

- b sen yo o I y = Yj•]

A2£ = A 21 (j' k) = â.d y

- a sen y + b cos y + sen y

- b cos y o 1• ]

Y = y

A3£ = A3£ ( ' k) =d y

C O S y - C O S y

• 1 Y = Y

a a p = A a O/ k) = d___ sen y ~ sen y41 Al

A5£ = A5l (j' k)

A 61 = H l (j' k)

d y

= d a - a“ k l cd y

= dk fb - b

Y — Y j

Y - Y j

Y = Y j

19

3. SOLUÇÃO GRÃFICA

3.1. Introdução

Como é conhecido, a aplicação da teoria de Bur- mester [15, 16] na síntese de mecanismos articulados, não garante os mecanismos resultantes isentos dos problemas da inversão geomé­trica - impossibilidade de deslocamento através das posições de pro jeto - e da ordem - sequência de deslocamento do plano acoplador quando acionado por uma manivela [1 , 6-8].

No sentido de se obter uma melhor compreensão do tratamento analítico a ser apresentado para a solução dos problemas da ordem e inversão geométrica, neste capítulo estes serão aborda­dos de forma gráfica. Com o objetivo de serem analisadas as posi - ções multiplamente separadas (PMS) primeiramente serão apresenta das as soluções para as posições finitamente separadas (PFS) de tal forma que estas serão generalizadas para as posições multipla­mente separadas.

3.2. Solução dos problemas da ordem e inversão geométrica para as * PFS 1

3.2.1. Duas Posições: P-P _

Até mesmo para este caso mais simples, o proble ma da inversão geométrica está presente. A figura 10 apresenta um problema de duas PFS no qual as duas posições não podem ser alcan­çadas pelo deslocamento do mecanismo.

Na solução deste problema, qualquer ponto do plano mõvel pode ser escolhido inicialmente como pivô mõvel da con tra manivela (primeiro pivô mõvel), sendo o seu respectivo centro (pivô fixo) escolhido sobre a mediatriz da reta que une as duas po sições do pivô mõvel escolhido (A - A^), figura 10. Para este pri meiio pivô mõvel, são traçadas as linhas de Filemon [7, 8 ], delimi­tando a região permissível à escolha do segundo pivô mõvel (da ma­nivela) figura 11 [5]. A figura 12 mostra uma solução alternativa para o problema apresentado na figura 1 0 .

FIG. 10: Mecanismo articulado para 2 PFS

FIG. 12: Mecanismo articulado para 2 PFS

21

3.2.2. Três Posições: P-P-P

Para este caso, a princípio, qualquer ponto do plano movei pode ser escolhido como primeiro pivô móvel, da con - tra manivela. Sao determinadas as outras duas posições, e o cen - tro da circunferência que passa pelos três pontos será o respectif vo pivô fixo, figura 13.

A, B = pivôs fixos A0 , A-j, A2 , Bq ,B2 = pivôs móveis re­presentados nas 3 po­sições .

FIG. 13: Mecanismo articulado para 3 PFS, representado nas 3 posições

Contudo, existem regiões do plano móvel em que tal pivô móvel não pode ser escolhido pois,irã resultar em meca - nismos que apresentarão o problema da inversão geométrica, indife rente à escolha do segundo pivô móvel, da manivela.

Na obtenção de soluções sem o problema da in - versão geométrica, a rotação 4»^ da barra acopladora em relação à contra manivela deve ser menor que 180 graus, quando o mecanismo articulado se movimenta através das posições "i" e "j".Esta rota ção ê determinada através da posição dos poios imagem, figura 14 [7, 8 ], Em se tratando de amplitudes de rotação menores do que 180 graus, isto se refere às articulações oscilatórias dos diversos ti­pos de mecanismos. Os que satisfazem o critério de GRASH0F[15] pos suem duas articulações rotativas e duas oscilatórias e os que não sa f tisfazem GRASHOF, todas são oscilatórias [5, 15]. Desde que a am-

22

plitude de rotação das articulações oscilatórias, na ausência dainversão geométrica, é sempre menor do que 180 graus, os pivôs mó veis para estas articulações devem ser selecionados dentro de regiões em que não ê necessário uma rotação maior que 180 graus, quandoo mecanismo conduz o plano móvel através das posições de projeto.

Com isto, a delimitação de regiões permissíveis para a escolha de pivôs móveis da contra-manivela se refere às ar ticulações oscilatórias do mecanismo. Para os ... duplo balancim GRASHOF, o que caracteriza a não ocorrência da inversão geométri­ca é que a posição angular de um dos ângulos das articulações fi­xas (oscilatórias), tenha o mesmo sinal em todas as posições de projeto. Contudo, através de uma simples inversão também é possí­vel se analisar o problema da inversão geométrica para estes mecanismos [5, 8].

No caso de três PFS, a condição que deve ser satisfeita para uma rotação menor que 180 graus é que sei|> . . e são positivos então i> também deve ser positivo.Uma

1 3 D ~ lievez que \jj , um valor negativo de dado pela fjLgura 14 indica que + ^jk > <3ue/ pela convenção de si -nal adotada, ê considerado negativo [5]. Esta verificação é feita para cada par de poios imagem, delimitando a região permissível pa ra a escolha do primeiro pivô móvel (contra manivela), figura 15.

Para um pivô móvel escolhido dentro da região permissível, figura- 1 5 ,- seu respectivo pivô fixo ê determinado e a região do plano móvel para a escolha do pivô móvel da manivela é delimitada através do traçado das linhas de Filemon [7, 8 ],

0 problema da ordem não está presente para três PFS, uma vez que a ordem de deslocamento do plano móvel só está relacionada ao sentido de giro da manivela [6 , 8 ].

FIG. 14: Convenção de sinal para ÿ

23

FIG. 15: Região não permissível (hachurada) para a localização do pivô móvel da contra-manivela - 3 PFS

3.2.3. Quatro Posições: P-P-P-P

No caso de quatro posições do plano móvel, a escolha de pontos como pivôs móveis do mecanismo articulado se faz na curva de pontos de círculo C15, 16]. Sobre esta curva são deli mitados trechos, através de alguns pontos característicos, para a escolha de pivôs móveis que resultarão em mecanismos i.articülados livres dos problemas da inversão geométrica e da. ordem.

O problema da inversão geométrica é divi­dido em duas etapas.

Primeiramente deve ser feita a delimitação dos segmentos da curva de pontos de círculo para a escolha de um pon to como pivô móvel da contra manivela (primeiro pivô móvel), pro­cedimento realizado através da localização dos pontos Q'ij ” de” limitam segmentos cuja ordem de rotação do acoplador em relação à contra manivela é constante - e ^ij ” delimitam segmentosem que o deslocamento angular barra acopladora relativoãcontra manivela é menor que 180 graus - figura 16 [7, 8].

A segunda etapa da solução consiste em elimi-

24

nar os pontos de círculo que implicarão no problema da inversão geométrica, dependendo da localização do pivô move1 da manivela(se gundo pivô mõvel), estabelecendo todos os pontos de círculo . qufe resultarão em mecanismos cujos ângulos da acopladora em relação â contra manivela, nas posições de projeto, possuem o mesmo sinal.Es­ta etapa ê realizada utilizando-se a construção das linhas de Fi- lemon [7, 8].

~FIG. 16: Curva de pontos de círculo com seus pontos característi­cos

A solução do problema da ordem estã relaciona­da à delimitação de segmentos da curva de pontos de círculo cuja ordem de rotação da barra acionante (manivela) relativo à barra fi_ xa (base) ê constante, cuja identificação ê feita através da loca lização dos poios imagem Uma vez que a barra acionante estãligada â barra acopladora pelo pivô móvel, elas possuem a mesma or dem de deslocamento. Com isto, o segundo,pivô mõvel (da manivela) deve ser escolhido em segmentos da curva onde a ordem de desloca­mento do plano acoplador seja a desejada pelo projetista, figura 17 [6, 8].

25

FIG. 17: Curva de pontos de círculo com seus pontos característicos

3.3. Os problemas da ordem e inversão geométrica para as *PMS1\

3.3.1. Inversão Geométrica

A inversão geométrica é uma característica exclu siva das posiçoes finitamente separadas. Portanto, na solução dos problemas de posiçoes multiplamente separadas, o procedimento utir \ lizado para analisar a inversão geométrica sõ depende do número de posiçoes de projeto separadas finitamente [5J.

Os casos PP-P, PPP-P e PP-PP são analisados pelo mesmo método do caso P-P descrito anteriormente. Do mesmo modo, o caso PP-P-P ê analisado pelo método descrito para P-P-P, figura 18*

26

2

PosicÕes de

projeto

\

.0.1

/

3

FIG. 18: Região não permissível (hachurada) para a escolha do pri meiro pivô móvel (da contra-manivela)

3.3.2. Ordem

ciócínio utilizado para as PFS [6 , 8 ], atendo-se somente aos casos em que envolvem no mínimo quatro posições de projeto. Consiste na seleção de pontos (pivôs móveis) que resultarão em mecanismos ar ticulados que passam através de posições prê-estabelecidas numa ordem desejada, quando acionados por uma barra girando continua - mente.

Nos casos de PMS, o centro instantâneo de rota - ção de duas PIS ê um polo de rotação e, pelo fato de duas posições serem coincidentes, hã a superposição de alguns poios de rotação, figura 18. Se "i" e "j" são duas PIS e "i" e "k" duas PFS, então P^j ê o centro instantâneo e P ^ e pj]ç sao poios coincidentes.

ra 1 8, onde "i", "j" e "k" são as PFS e e "i" as PIS. Supondoque a barra acionante (manivela) gira uniformemente de tal forma que passa através das PFS na ordem "ijk", se a barra acopladora gi.

A solução do problema da ordem segue o mesmo ra-

Considere-se o caso PP-P-P, apresentado na figu-

27

rar sobpre o centro instantâneo no mesmo sentido de giro da barra acionante, a barra acopladora irá passar através das PIS na or­dem "£i". Logo, a ordem total serã "i j k Z " . Se a barra acoplado­ra girar sobre o centro instantâneo P ^ no sentido oposto ao giro da barra acionante, a barra acopladora irã passar através das Pis na ordem "i Z" . Logo, a ordem total serã "i Z j k".

Como se nota pelas considerações acima, a cordem controla o sentido de rotação do plano acoplador sobre o _ centro instantâneo. Pode-se compreender tal fato, uma vez que as PIS de­vem se apresentar simultaneamente em qualquer ordem possível de a-. contecer. Para o caso PP-P-P citado são possíveis as ordens "Z i j k", ”1 i k j", "i Z j k", "i Z k j". Mas "Z i j k" = "i Z k j" e " Z i k j" = "i Z j k", somente diferindo no sentido de rotação. Por tanto, as duas seqüências são "i j k Z" e "i Z j k".

Na determinação da ordem nos segmentos da curva de pontos de círculo limitados pelos poios imagem, deve-se proceder co mo realizado para as PFS [6 , 8 ]. Seguindo sobre a curva de pontos de círculo, quando se transpor os poios coincidentes, a troca das posições de acordo com os índices dos poios imagem deve proceder primeiramente com os índices dos poios que se referem âs posições sucessivas na ordem atual, figura 19.. Quando a curva de pontos de círculo se dividir em dois ramos, torna-sé necessário a utilização de uma das circunferências -de poios imagem para a determinação da ordem em um dos segmentos [6 , 8 ]. Em se tratanto de poios coinci - dentes nesta circunferência, ela ê tangente â curva de pontos de círculo no ponto que se refere aos poios coincidentes, figura 19.

No caso PP-PP, a ordem de deslocamento do plano móvel irã indicar se o seu sentido de rotação sobre os dois centros instantâneos de rotação serão iguais ou opostos, quando o mecanis­mo resultante ê acionado por uma barra girando continuamente. Se­jam "i, j" e "k, Z" o par de PIS e "i, k" o par de PFS. Uma vez que as PIS devem se apresentar simultaneamente em qualquer ordem possível de acontecer, as ordens de deslocamento do plano móvel podem ser "i j k £", "i j Z k", "j i k Z" e "j i Z k". Mas "i j k Z" = "j i Z k" e "i j Z k" = "j i k Z " , somente diferindo no sentido de rotação. Portanto, as duas seqüências são "i j k Z"

p'03P1r13

FIG. 19: Representação geométrica da interseção da curva de pon­tos de círculo com uma das circunferências de poios ima gem

29

4. SOLUÇÃO ANALÍTICA

4.1. Introdução

O procedimento geométrico da síntese gráfica de Burmester foi analisado, resultando nas formas algébricas desen - volvidas para a estruturação da síntese analítica. A sistemática aqui apresentada consiste na especificação dos parâmetros repre - sentativos das posições de projeto, na determinação dos coeficien tes generalizados da curvatura, dos pontos característicos, das regiões permissíveis para a escolha de pontos considerados como pi vôs mõveis, das retas de Filemon e da análise dos mecanismos re - sultantes.

O desenvolvimento desta metodologia analítica tor nou possível a automatização na determinação de mecanismos articu lados que satisfaçam requisitos de projeto pré-estabelecidos. Es­te procedimento pode ser dividido em duas etapas. A primeira es­tá relacionada com a escolha de pontos do plano mõvel considera­dos como primeiro pivô môvel do mecanismo articulado, o pivô mõvel da barra de saída (barra conduzida). A segunda trata da escolha de pontos cano segundo pivô movei, da barra de entrada (barra motora) do mecanismo.

4.2. Teoria' PMS

4.2,1 - Posições de projeto

Na especificação dos requisitos de projeto, é definida pelo projetista a localização das posições de um plano movei. Através do movimento do mecanismo articulado a ser deter­minado, a barra acopladora irá conduzir o plano mõvel âs posições pré-estabelecidas.

As PFS podem ser indicadas pela definição de re­tas que representam tais posições, caracterizadas pelos seus parâ metros linear e angular em relação a um sistema referencial fi­xo, figura 2 0.

Para as PIS, conforme apresentado na seção 2.2 , em relação ao sistema referencial fixo, são especificados os parâ metros que permitirão as suas indicações através de uma especifi-

30

cação automatizada, figura 2 0.

VCIRCULO 0E

E

V,P

b --

IU

FIG. 20: Especificação dos parâmetros representativos das PMS

4.2.2. Centro de curvatura para as PMS

A restrição circular para a determinação dos pon­tos do plano móvel que assumem três PMS sobre um arco de circunfe rência G (U, V) ê dada por

onde: Z = 0 , 1 , 2

Q0, Q-jy Q2 / Q3 = coeficientes da equação da circunferênciaa serem determinados.

3 (21)

Na posição inicial, £ = j = k = 0 , a equação (21)fica

90 <u0 ' V = Q0 <U0 + Vo' + 2 Q1U0 + 2 Q2v 0 + °3 = 0 <22)Para se obter uma expressão livre do coeficiente Q /

a equação (2 1 ) ê subtraída da (2 2) ficandoJc r*

L g . Gt (D, V) = Í-5J Q0 (u2 + V2 - u2 - v2) + 2 Q (U - U > +d L I

2 Q, (V - V ) = 0 : X23)á2 Y = Y

onde £ = 1 , 2

Usando a transformação fundamental (06) e intro­duzindo os coeficientes generalizados da curvatura, seção 2 .3 , a equação (2 3) torna \ a forma

Gt ÜJ, V» = co (Aot + A U X + a2£y) + Ql (A3£x - a4£y + am ) +

Q2 (A4£X + A U Y + Aw ) = 0 (24)

onde l = 1 , 2

FazendoR l ” Aol-+ A 1 £X + A 2lY

S l ~ A3lX A4lY + A5l

T l A4lX + A3ZY + A 6l

a equação (24) toma a forma

G t (U, V) = Q0R4 + QjS^ + Q 21 l = 0 (25)

onde & = 1 , 2

Para as posições l = 1,2, a equação (25) resul­ta no sistema

32

Resolvendo o sistema acima, obtem-se as coordena­das (U , V ) do centro de curvatura de um ponto (X, Y) do plano mó c cvel que assume três PMS sobre um arco de circunferência [3J.

Qn R., T0 - R0 T.L

(26)U = - Jl = . 1 2 2 1

QO S 1 T 2 “ S 2 T1

Vc - _ R2 S 1 ~ R1 5 2

Q0 S 1 T 2 “ S 2 T 1

Para oz pontos que assumem quatro PMS sobre um ar co de circunferência, estes se localizam na curva de pontos de cír culo [15, 16], Seus respectivos centros de curvatura são determina dos pela equação (26), uma vez que o arco de circunferência para três PMS também está garantido pela adição da quarta posição, que forma o problema de quatro PMS.

4.2.3 - Restrição linear para as PMS

Consiste na determinação do circulo de poios ima­gem [15, 16] para três PMS. Qualquer ponto sobre a circunferência que contem os poios tomado como pivô móvel de um mecanismo articu­lado, irã ocupar três PMS sobre uma reta quando este mecanismo se movimenta através das três PMS.

Uma reta do plano fixo pode ser descrita por

L0 U + Lx V + L2 = 0

Sendo (U^, V^), l = 0,1,2, as coordenadas de umponto qualquer em relação ao sistema referencial fixo, para cada posição especificada do plano móvel, tem-se

L0 U JL + Lx V£ + L2 = 0 (27)

Para t — 1,2 e subtraindo de-£ = 0, obtem-se o sis­tema abaixo, livre do coeficiente

L 0 (Ux ü0) + L^Vj, - V„> = 0

L 0 <U2 - V + L1 (V2 - V = 0

(28)

Usando a transformação fundamental (06) e introdu zindo os coeficientes generalizados da curvatura, seção 2-3, a re­solução do sistema (28) leva a [3] :

A_, X — A.. Y +'AC, 31 ,41 .51

A32 X ~ A42 Y + A52

A41X + A31 Y + A61

A42X + A32 Y + A62= 0

(29)

Desenvolvendo o determinante de (29), tem-se

A 31A42 ~ A32 A41 +Y )+ A31 A62 + A42 A51A32 A61 “ A41 A52 X + A32 A51 + A42 A61 " A31 A52

A41 A 62} Y + (A51 A62 ” A52 A61) ° (30)que é a equação de uma circunferência, cuja localizacão em rela ção ao sistema móvel ê dada por

Xc = A32 A6í + A41 A52 ~ A31 A62 ~ A42 A512 (A31 A42 - A 32 A41)

A* i A r a ^ A i q A,- a — A~ »s. A r — A * A^.^Y = 31 52 41 62 32 51 42 61 c ---------------------------------------2 (A3] A42 - A 32 A41)

(31)

Sendo de conhecimento a localização desta circun­ferência, estão delimitadas as regiões do plano móvel para a esco­lha de pivôs móveis que assumem curvaturas opostas quando situados dentro ou fora dela.

34

4.3. - Solução para três PMS

4.3.1 - Introdução

O problema da transformação da curvatura paratrês PMS [3] ê satisfeito por todos os pontos do plano móvel,pois cada ponto que assume três posições neste plano define um arco de circunferência sobre o plano fixo. Na solução destes problemas, a determinação dos mecanismos articulados, que venham satisfazer os requisitos de projeto,deve atender ao problema da inversão geomé­trica, como citado no capítulo 2 .

bre o plano móvel da forma mais abrangente possível, os procedi - mentos utilizados para a escolha dos pivôs móveis do mecanismo(da contra manivela e manivela) foram efetuados de modo diferente, co mo será apresentado na seção 4.3.3.

4.3.2 - Pontos característicos

auxiliares utilizados na solução dos problemas de três PMS. Cons­tam dos poios de rotação origem e imagem [15, 16]..

rotação do plano móvel quando este se movimenta da posição "i" â posição "j", cujas coordenadas jã foram definidas em [1 ] e são da das por

Na tentativa de efetuar uma procura de pontos so

São chamados de pontos característicos os pontos

Os poios de rotação origem P.. são os centros de

2 2cotg ~ Yi

2 (32)

2cotg Yi - yi

2

onde (a,b, -y ) são os parâmetros lineares e angular,respectivamente, representativos da localização das PFS do plano móvel.

35

Os poios de rotação imagem são determinados quan- ' do hã uma inversão na fixação dos planos fixo e móvel, com a fixa­ção do plano inicialmente móvel e a liberação do inicialmente fixo, figura 2 1 [15] . E mais comum esta inversão ocorrer com a fixação do plano móvel na primeira das posições de projeto previamente es­tabelecidas. A notação dos poios imagem serã indicada por uma apóstrofe : Pí .iD

E-IG. 21: Interpretação gráfica da localização dos planos fixo e móvel - — ■

Analiticamente a determinação da localização do polo imagem P ^ é feita através da reflexão de P ^ sobre a retaPij Pik *-1-* ' fi9ura 22*

FIG. 22: Determinação do poio imagem P ^

36

V.. - V, .a = arctg ik____iiU., - ;u. .ik X3 .

No novo sistema referencial U'xV' tem-seX* = (U.. - U..) 'cos a + (V.. - V. .) sen a Dk 13 u Dk m

Y' = (V., - V. .) cosa'.- (n - U. .) sen a jk i:) i:j

e as coordenadas do polo imagem no sistema referencialUxVsão

U' = X* cos a + Y* sen a+ U. . ]k xj

V' = X 1 sen a - Y' cos a + V. . Dk 1 D(33)

4.3.3 - Localização dos pivôs móveis

Sobre o plano móvel, os pivôs móveis devem se si­tuar dentro de regiões que re sultarão em mecanismos articulados livres do problema da inversão geométrica, conforme apresentado no capítulo 3. -

Na escolha de pontos como primeiro pivô.móvel (da contra manivela) foi seguido um critério para a procura de pontos permissíveis como mostra a figura 23. Para um ponto inicial (XE,YE) escolhido automaticamente ou dado pelo projetista, ê efetuada uma variação circular ao redor deste, caso ele resulte num mecanismo articulado que não atenda aos requisitos de projeto ou no caso em que se deseje variar a região de procura de soluções.

37

FIG. 23: Metodologia utilizada para a escolha de pontos como pri­meiro pivô móvel (da contra-manivela) do mecanismo arti­culado para três PMS

As linhas tracejadas delimitam a região de solu­ção. A variação circular adotada está relacionada ao grau de difi culdade dos requisitos de projeto, de tal modo que o incremento DELI, utilizado na variação circular para a procura de pontos co­mo primeiro pivô móvel, tenha um valor percentual em relação â re gião de solução, figura 24. Como toda a região do plano móvel po­de atender ao problema da transformação da.curvatura para três PMS [3], no caso de restrições exigentes na procura de soluções , a variação circular deve ser mais apurada, ou seja, DELI deve ter um valor que varie inversamente proporcional ao grau de dificulda de dos requisitos de projeto.

FIG. 24: Critério para a determinação de DELI, tal que % = PERl (percentual arbitrado para solução do problema)

38

Os requisitos de projeto aqui mencionados se refe rem, além da garantia da ausência dos problemas da ordem e inver - são geométrica, ã localização do mecanismo articulado resultante dentro da região de solução, tipo de mecanismo desejado e qualida­de de transmissão de movimento, que serão apresentados na seção 4.5.

Para cada ponto escolhido como primeiro pivô mó­vel é determinado seu respectivo centro, traçadas as linhas de Fi- lemon [1 ,2] no sentido de delimitar a região permissível â escolha de pontos como segundo pivô móvel do mecanismo. Na região permissí vel de Filemon é seguido um critério para a escolha destes, onde é feita uma mudança no sistema de referência, sendo a abscissa deste novo sistema referencial a bissetriz da região permissível de File mon, conforme mostra a figura 25.

FIG. 25: Metodologia utilizada para a escolha de pontos -comosegundo pivô móvel (da manivela) do mecanismo articulado para três PMS, onde DEL = % DELI, tal que % = PER (per­centual arbitrado para solução do problema)

Da figura 25:

I

39

Al = XT + DEL , Bl= YTA2 = XT - DEL , B2= YT (34)A3 = XT , B3= YT + DELA4 -- XT , B4= YT - DEL

onde

1' ^2 ~ ângulos -e inclinação das retas de Filemon= ângulo de inclinação da bissetriz da região permissível

de Filemon (XT,YT) = ponto de referênciaDEL = incremento utilizado para a procura de pontos como segun

do pivô móvel

Para um ponto de referência (XT, YT) dentro da região permissível ê,iniciado o processo de busca de pontos para a determinação final do mecanismo, segundo os pontos (Ai,Bi), i= 1,4, indicados em (34). Cada ponto (Ai,Bi) resulta em um meca­nismo articulado cujos resultados são comparados entre si e aque­le que apresentar a melhor solução quanto â qualidade de transmis; são de movimento (critério de Alt) [15, 16],serã o novo ponto de referên cia (XT,YT) ao redor do qual serão pesquisados novos mecanismos. Esta verificação-é feita separadamente-para cada primeiro pivô mó vel escolhido.

Caso nenhum dos pontos (Ai,Bi) verificado atender aos requisitos de projeto, é feita uma mudança automática no pon­to de referência (XT,YT) para que seja efetuada uma nova pesquisa de soluções sobre uma outra área da região permissível.

Quando o tipo de mecanismo desejado for um mani vela-balancim ou dupla-manivela, na escolha do segundo pivô móvel, é seguida uma metodologia para a fixação do novo ponto de referên cia (XT,YT),caso nenhum dos pontos (Ai,Bi) verificados resultar em mecanismos articulados que estejam de acordo com o tipo desejado.

Se o mecanismo desejado for do tipo manivela-ba- lancim e nenhum dos pontos (Ai,Bi) verificados resultar em meca - nismos manivela-balancim, o novo ponto (XT,YT) passará a ser um dos (Ai,Bi) que resultar em um mecanismo dupla—manivela, pois, ao redor deste, ter-se-ã maiores possibilidades de se conseguir um. mani­vela-balancim, já que é necessário uma barra motora com rotação

40

completa e um dupla-manivela atende a este requisito. Caso nenhum dos pontos (Ai, Bi) resultar também em mecanismos dupla-manivela,o novo ponto (XT, YT) passará a ser um dos (Ai, Bi) que resultar num mecanismo não-Grashof que possuir a maior rotação da barra mo tora [15], de acordo com o apresentado na figura 26.

No caso do mecanismo desejado ser do tipo dupla- -manivela e nenhum dos pontos (Ai, Bi) verificados resultar em me canismos dupla-manivela, é feita uma verificação análoga à descri_ ta anteriormente para a escolha do novo ponto de referência (XT, YT) .

\\

/

/

Comprimento dasbarras: A = 40

B = 45C = 50D = 39

Para: Y = 09 « = 13,39 a = 346,79

Y = 1809

Logo: <*min = 13,39, = 346 , 79 + ^ = 333 ,49

FIG. 26: Exemplo demonstrativo da variação angular da barra moto­ra no movimento de um mecanismo não-Grashof

41

4.3.4 - Problema da inversão geométrica

No projeto de mecanismos articulados que atendam ao requisito de três PMS de um plano móvel, a solução do problema da inversão geométrica consiste na verificação da localização do primeiro pivô móvel (da contra manivela) dentro de regiões permis síveis, somente para os casos de três PFS e no traçado das retas de Filemon para delimitar as regiões permissíveis à escolha do se gundo pivô móvel (da manivela).

A verificação na escolha do primeiro pivô móvel para três PFS, seção 3.2.2/ figura 15, é efetuada segundo um critério de cálculo de distâncias. Cada par de poios imagem, calculado pe las expressões (33) , corresponde a um círculo.

Al= (xpi0i + xpi02)/ 2 ' Bl= <YPI01+ YPI0 2) / 2

> to II (XPÍqi + xpii2)/ 2 a toII

<YPI01+ y p i i2) / 2

A 3= <XPI02 + XPI12)/ 2 , b 3= (ÏPÏ02 + YPI1 2 ) / 2

Rl= <XPI01 - XPI02)2 + (YPI01 - VPI02>2

R2= (X p í 0 1 " XPI12)2 + (YPI01 " YPI12)2

R3- (XPIQ2 - XPI12) + (ypi02 - ypi12)

onde

(XPI, YPI) = coordenadas dos poios imagem(A. ,B..) = coordenadas do centro das circunferências

r = raio das circunferencias

Para cada ponto escolhido inicialmente como pri­meiro pivô móvel é verificada sua localização, se dentro ou fora de cada circunferência, através do calculo da distância deste pon­to ao seu centro.

0 procedimento utilizado para o traçado das re­tas de Filemon é o mesmo desenvolvido por Wondracek [1] .

42

Sendo os ângulos <j> os deslocamentos angulares da contra manivela em relação à barra acopladora, guando o meca­nismo se movimenta da posição "i" â posição "j", as retas de File mon são determinadas a partir do menor e maior valor de . . para

* — ^ »•i = 0 e j= 1, (NPFS-1), isto é, pelos deslocamentos angulares mí­nimo (ou máximo negativo) e máximo a partir da posição "0", plano tomado como referência na inversão angular.

Os deslocamentos angulares . ., i= 0 e j= 1 , (NPFS--1) , estão representados na figura 27, calculados a partir da equação (35)

2 2 2 or _ _ D + R - H . = TT - arc c o s ------------ (35)1 2/;d R

onde D ,R ,H estão representados na figura 28.

FIG. 27: Para um ponto conhecido do plano acoplador, representação do deslocamento angular ^oj

f4e\ Mnmr — -C -í J J-V / im xtx'o — i a u i i i c x. KJ v x c p u o j . y u c o x. j - i i j_ ucijuic:j.i u c o c j j a i a u a d

43

Aj (a;, bj )

FIG. 28; Localização da contra manivela R na posição i em relação ao sistema de coordenadas UxV e ao plano acoplador, ca­racterizado pela barra D.

Fazendo-se

(36)

a inclinação das retas de Filemon em relação ao sistema referencial adotado serã dada por

tg ÇSm = m tg pfm

onde ÇSt = 6 j. ií)0 Oi-'menorçs =m 0 + Tp

0 + 0j .Jmaior

CD O ll inclinação da contra manivela R na

posição "0'

Uma vez que estas retas se interceptam no ponto de círculo Cq (Xq , Yq ) f suas equações são dadas por

y = m^x + b , y= mm x + b,

ondeh i = y 0 ~ x 0 ' b:m

m

xn m o

44

O ângulo compreeJCtdido entre as retas de Filemon, da região não permissível para a escolha do segundo pivô mõvel, é

^£m = ^oj . ” ^0i (37)Jmaior -m enor 1

cuja representação geométrica se encontra na figura 29.

UFIG. 29; Representação geométrica do traçado das retas de Filemon

4.4. Solução para quatro PMS

4.4.1. IntroduçãoDevido â condição adicional representada pela.quar

ta posição, o problema da transformação da curvatura para quatro PMS [3] restringe a região de solução do plano mõvel aos pontos de uma curva: a curva de pontos de círculo. Por definição, esta curva é o lugar geométrico dos pontos do plano mõvel que assumem quatro PMS sobre uma circunferência no plano fixo[15, 16}.

A determinação dos mecanismos articulados, que ve­nham satisfazer os requisitos de projeto,deve atender aos problemas da ordem e inversão geométrica, como citados no capítulo 2. A solu ção consiste na delimitação de segmentos da curva de pontos de cír culo que permitam a escolha de pontos como pivôs moveis, resultando em mecanismos articulados que satisfaçam tais problemas.

45

4.4.2. Pontos característicos

São alguns pontos importantes para a^solução dos problemas da ordem de deslocamento do plano móvel nos casos de quatro PMS. Constam dos poios de rotação origem, imagem e do pon-, to de Bali [15, 16],

0 cálculo dos poios de rotação origem e imagem segue o mesmo procedimento descrito na seção 4.3.2.

O ponto de Bali, - ponto de círculo cuja trajetó­ria descreve uma curvatura de raio infinito [15] , é a intersecção da curva de pontos de círculo com o círculo de inflexão. É o úni­co ponto de círculo em que as quatro posições de projeto estarão localizadas sobre uma reta.

No caso de quatro PIS, figura 30, o ponto de Bali pode ser determinado a partir da equação (17) e da expressão do círculo de inflexão.

d = diâmetro do círcu­lo de inflexão

B = ponto de Bali

0B= posição angular do ponto de Bali no sistema especial de referência

FIG. 30: Representação geométrica da localização do ponto de Bali para quatro PIS.

46

Da figura 30sen erB = d

M sen0T

B+ 1

N ' cos 0TB B BAgrupando as duas equações acima

1

M seno

tg eB =

1 __

B rCOS9B NM - dN

1

d sem B(38)

dMPara os casos restantes de quatro PMS, o procedi­

mento utilizado para o cálculo do ponto de Bali segue a representa ção geométrica da figura 31. Para dois grupos de três PMS são de - terminados seus respectivos círculos de pólos imagem[15]e a inter­secção destes dois círculos, além do pólo imagem comum, será o pon to de Bali.

a) PPP-P

d) P-P-P-P

FIG. 31: Representação geométrica da determinação do ponto de Bali

47

Analiticamente, as circunferências que contém os poios imagem podem ser definidas através do estudo da restrição linear para o deslocamento de três PMS [3] , como apresentado na seção 4.2.3. Com os dois grupos de três PMS englobando as posições "0,1,2" e "0,2,3", os centros das circunferências dos poios imagem são C^ e C^,respectivamente, cujas coordenadas são calculadas pe­las expressões (31). Pela representação geométrica apresentada na figura 31, pode-se determinar o ponto de Bali pela reflexão do polo P02' comum aos dois grupos de três PMS, sobre a reta que passa pe­lo centro das duas circunferências, utilizando o mesmo procedimento analítico apresentado na seção 4.3.2,, figura 22.

4.4.3. Curva de pontos de circulo

O lugar geométrico dos pontos do plano móvel que podem ser tomados como pivôs móveis do mecanismo articulado, a ser determinado a partir de quatro PMS do plano acoplador, é chamado curva de pontos de círculo.

Âlgebricamente, esta curva é uma equação cúbica de duas variáveis que é determinada considerando-se a expressão da forma geral do círculo no plano fixo, seção 4.2.2, expressão (21), para £ = 0,1,2,3 [3], resultando na expressão geral (39) em relação ao sistema referencial móvel X x Y, figura 32.

A (X3 + XY2) + B (X2Y + Y3) + C X2 +

+ D Y2 + E XY + F X + G Y + H = 0 (39)

Na expressão acima, os coeficientes "A, B, C, D, E, F, G, H" são expressões desenvolvidas em função da utilização dos coeficientes generalizados da curvatura, seção 2.3 [3], de tal forma que se apresentam como

48

FIG. 32: A curva de pontos de círculo

A ZZZ aA 1 1

+ b A 12 + c A13B - a A 2 1

+ b A22 + c A2 3——C = a A0l + b A 02 + c A0 3 + d

A1 1+ e A 12 + f A13

D = a A01 + b AÍ2 + c A03 + g A 21 + h A22 + i A23E = g A 1 1

+ h A12 + i A13 + dA2 1 + e A 22 + f A23

F = d A 01 + e A 02 + f A03 + j A11+ k A12 + 1

A13

G r= g A01+ h A02 + i A0 3 + j A21 + k A22 + 1

A23

H = j A01+ k A02 + 1

A03

tal que

a = A 32 A 43 - A 33 A 42

b = A33 A41 “ A31 A43

c = Ã 3 1 a42 - A32 a41

d “ A32 A63 " A42 A53 + A43 A52 " A33 A62

49

e A33 A61 " A43 A51+

A41 A53 A31 A63

f = A31 A62 " A41 A52+ A42 A51 A32 A61

g = A33 A52 A42 A63 + A4 3 A62 A32 A53

h = A31 A53 A43 A61+

A41 A63 A33 A51

i A32 A51 " A41 A62 + A42 A61 “ A31 A52

j = A52 A6 3 A53 A62

k= A53 A61 " A51 A63

1= A51 A62 A52 A61

Com o objetivo de facilitar a identificação de pontos com as características inerentes â ordem de deslocamento e inversão geométrica [8 ], na solução analítica>ê necessário gerar os pontos sobre a curva de forma sequencial. Este procedimento é realizado através da expressão da equação (39) em relação a um no vo sistema referencialx x'y, figura 33, em que a expressão geral da curva de pontos de círculo se apresenta de uma forma mais simpli­ficada.

FIG. 33: Representação dos sistemas de eixos coordenados

50

Na figura 33

U x. V : sistema referencial fixo (geral)X x Y : sistema referencial móvel

x y :-sistema referencial onde a equação da curva de pontos de circulo se apresenta mais simplificada.

(a^íb^)/ Y q : coordenadas linear e angular do plano móvel na posi ção inicial

(U0 ,V0) : origem do novo sistema referencial x x y (U,V),(X,Y): ponto arbitrário da curva de pontos de círculo nos

sistemas fixo e móvel, respectivamente.6 , a : direção do sistema referencial x x y em relação aos

sistemas fixo e móvel, respectivamente.

Seja:

X = x cos a - y sen a + Xq Y = x sen a + y cos a + Yq

Substituindo as expressões (40) em (39) obtem-se a expressão geral da curva de pontos de círculo em relação ao no­vo "sistema" referencial x x y

A' (x^ + xy2) + B'(x2y + y^) + C'x2 + D'y2 ++ .E' xy + F 1 x + G'y + H' = 0 (41)

onde

A' = A ‘cos a + B sen a B' = A sen a + B cos a 2C = (2a1 cos a + A) Xq+ (2A1 sen ct + B) Yq + C cos a +

+ D sen2 a + E sen a cos a D' = (-2B1 sen a + A) XQ +(2B* cosa + B) YQ + C sen2 cx +

+ D cos2 a - E sen a cosa E' = (-2a1 sen a + 2B' cosa ) Xq + (2A'cosa + 2B 1 sen a ) Yq +

+ o cosa - p sen a = (A'+ 2a cosa )Xq + 2n XqYq + p. Xq + ; o Yq + F c o s a + G s e n a

F' = (A '+ 2a cosa ) Xq + (A' + 2B sen a ) Y q +

51

2 2 G' = (B' - 2a sen a ) Xg + (B' + 2B cosa ) Y g ++ 2m XqYq + q Xq + tYq - F sena + G cosa

H ’ = A(Xg + XqYq) + B(Xq Y0 + Yq ) + CXq + D Yq ++ e x0y0 + f::xq + g yq + h

tal que

m = A cosa - B sena n = A sena + b cosa o = 2D sena + e cosa p = 2 C cosa + E sena q = -2C sena + E cosa r = 2 D cosa - E sena

Para A'

a = arctg ( "A ) (42)

que é o ângulo da direção assintõtica da curva de pontos de círcu­lo [12] . 0 ponto (Xq Yg) é um ponto arbitrário sobre a reta assín tota,sendo a origem do novo sistema referencial no sistema móvel, onde A'= C'= 0. Com isto, a expressão (41) se reduz à expressão (43), cuja representação geométrica se encontra na figura 34.

B" (x2 y + y3) + D 1 y2 + E ' x y + F 1 x + G ' y + H ' = 0(43)

52

FIG. 34: A curva de pontos de círculo

A equação acima pode ser escrita na forma quadrãtica

2- a x + b x + C = 0 - (44)

onde a = B ' yb = E' y + F 1 (4 5)c = B 1 y 3 + D ' y2 + G 1 y + H '

Atribuindo-se valores a y na equação (44), resulta rão duas raizes x^ e x2,que,juntamente com y,correspondem a dois pontos pertencentes â curva de pontos de círculo. Dando valores in

^ *| crementais a y, através de um procedimento adequado,os pontos sobre a curva são locados sequencialmente.

A curva de pontos de círculo pode se apresentar como mostra a figura 35.

53

a ) um ramo

FIG. 35; Representação geométrica da curva de pontos de círculo

A verificação dos tipos de curva apresentados_ na figura 35 ê realizada através do cálculo das raízes de (44)

x = b - \/b2 - 4 ac2a

Segundo um valor arbitrado a 'y1 em (45) pararaízes iguais (x, = x-) , ou seja, somente um ponto sobre a curva,

2 ~(b - 4ac) deve se anular, resultando na expressão

4 B ' 2 y4 + 4 B'D1 y3 + (4 B 'G ' - E |2) y2 ++ (4B1H ' - 2 E'F') y - F ' 2 = 0 (46)

Be (46), para:. 4 raízes y. reais, a curva irá se apresentar em 2 ramos, figura

35-b; ^. 2 raízes reais e 2 imaginárias, a curva irá se apresentar em um só ramo, figura 35-a;

54

. caso sejam 4 raízes reais,mas 2 iguais, a curva irã apresentar o ponto duplo, figura 35-c.

Analisando a expressão geral da curva de pontos de círculo no sistema referencial móvel (39), pode-se deparar com casos de degeneração [1 2]

Da expressão (39)a) se

4 A B E - A2(3 D - C) - B2 (3C - D) - 0

a curva irã se degenerar em uma circunferência e uma reta dada pe­la inclinação da assíntota onde

v _ D - 3C v _ C - 3DA0 ~ ' 0 ------

8A 8Bserá o centro da circunferência e a origem do novo sistema referen ciai x x y, figura 36.

FIG. 36: Degeneração da curva: circunferência e reta

b) se A = B = 0a curva irã se degenerar em uma hipérbole, tendo duas direções as- sintõticas e o ponto

55

2 DF - EG 2CG - EFX0 “ 2 ' Yn ~ 2U E - 4CD ü E - 4CD

será o centro da hipérbole e a origem do novo sistema referencial x x y , figura 37.

FIG. 37; Degeneração da curva: hipérbole

4.4.4 - Problema da inversão geométrica

Determinada a equação da curva de pontos de círcu lo de tal forma que os pontos sobre ela se apresentem de forma se­quencial, é necessário delimitar os segmentos sobre esta curva on­de a escolha de pontos como pivôs móveis irá resultar em mecanis - mos articulados livres da inversão geométrica. O procedimento ana­lítico é realizado através do traçado das retas de Filemon [1,8] , diferentemente daquele proposto por Wondracek [l],que se baseou no procedimento geométrico.

56

Na escolha do primeiro pivô móvel, a delimitação dos segmentos permissíveis segue a verificação da variação angu - lar <J j, i= 0 e j= 1, (NPFS-1) , para cada ponto da curva ordenada sequencialmente, como apresentado na seção 4.3.4. Pontos que re - sultarem no deslocamento angular (do acoplador relativo àcontra manivela) maior do que 1809, expressão (37), figura 29, irão indicar os segmentos da curva em que não ê permitida a esco­lha de pivôs móveis da contra manivela, pois acarretariam no pro­blema da inversão geométrica, indiferentemente â escolha do segun­do pivô móvel (da manivela).

Uma vez determinados os segmentos da curva per - missíveis â escolha do primeiro pivô móvel, para cada ponto dentro destes segmentos, ê realizada a delimitação das regiões de Filemon, permitindo a identificação dos segmentos onde podem ser escolhidos pontos como segundo pivô móvel, que irão resultar em mecanismos ar ticulados livres do problema da inversão geométrica, figura 38.

FIG. 38: Mecanismo articulado resultante

57

4.4.5 - Problema da ordem

A solução do problema da ordem se baseia na deter minação da localização dos poios imagem na curva de pontos de cír­culo e na verificação da ordem de deslocamento em cada segmento desta curva, limitados por estes poios. Outro ponto que ê também locado ê o ponto de Bali, porém sua presença sõ é importante no caso da ordem, na indicação da sequência correta de deslocamento ,da barra acionante [6 ,8] .

O procedimento analítico consiste na identifica - ção da ordem de deslocamento nos segmentos da curva, baseando-se no controle dos índices dos poios imagem e na localização do ponto de Bali.

Para o caso de quatro PFS do plano móvel, o proce­dimento ê o mesmo desenvolvido por Wondracek ti] •

Como apresentado na seção 3.3.2 , a ordem de des­locamento do plano móvel para os casos PP-PP e PP-P-P se restringe â duas sequências possíveis para cada caso isoladamente. Com isto, uma vez determinada a ordem em um segmento, o procedimento para a verificação dos segmentos restantes se limita somente â mudança da ordem em cada passagem sobre um polo imagem.

4.5. Análise do mecanismo resultante

Na escolha dos pivôs móveis do mecanismo, os pi - vôs fixos correspondentes são determinados através das expressões (26), como apresentado na seção 4.2.2.

As dimensões das barras são determinadas pela equação da distância entre dois pontos. Sendo M a barra de maior dimensão e N a de menor dimensão, os mecanismos que satisfazem o critério de Grashof [15] são aqueles que atendem ao critério (47)

M + N < P + Q (47)

onde P e Q são as dimensões das barras intermediárias. Os tipos de mecanismos.Grashof podem ser classificados de acordo com a posicao que ocupa a barra menor, quadro 1 .

58

barra menor tipo de mecanismoManivela manivela balancimbarra acopladora duplo balancimcontra manivela balancim manivelabarra fixa dupla manivela

QUADRO 1: Mecanismos Grashof

Os mecanismos que não satisfazem o critério de Grashof sao sempre- do tipo duplo balancim.

O ângulo de transmissão de um mecanismo, figura 39, é um parâmetro de análise do mecanismo resultante quanto ao seu aspecto cinemãtico (critério de Alt) [15]. A análise dos ân­gulos de transmissão mínimo e máximo,que o mecanismo pode atingir ao longo de seu movimento,é realizada através do procedimento de­senvolvido por Wondracek [1 ] .

FIG. 39; Representação geométrica dos ângulos de transmissão mínimo e máximo

59

5. PROCEDIMENTOS COMPUTACIONAIS

5.1. Introdução

Os procedimentos computacionais da elaboração de^ t.e trabalho consistem do manuseio das expressões analíticas desen volvidas para a utilização da Teoria PMS [3, 4, 11, 12] e das anã lises geométricas apresentadas por Waldron [5-8].

A solução analítica foi elaborada de tal modo que o projetista pode ou nao participar na escolha dos pivôs mó­veis do mecanismo articulado. O projeto pode ser resolvido em três métodos.

- Método 1: o primeiro e segundo pivôs móveis do mecanismo articulado são determinados automaticamente, sem a partici­pação do projetista, sendo resolvido em uma só etapa.

- Método 2: o primeiro pivô móvel é escolhido pelo projetista e osegundo automaticamente; para os problemas de .^quatro PMS, ê dividido em duas etapas ; já para os de três PMS, ê resolvido em uma etapa, sendo que a escolha de um ponto como primeiro pivô móvel ê um dado de entrada da primeira etapa. ' .

- Método 3: tanto o primeiro quanto o segundo pivôs móveis são escolhidos pelo projetista; para os problemas de quatro PMS é dividido em três etapas, de tal forma que o pro­jetista possa ter acesso â escolha dos pivôs; já para os de, três PMS,ê resolvido em duas etapas.

Uma vez escolhido um ponto como pivô móvel do mecanismo e este não atender aos requisitos de projeto, todo o processo de busca de novos pontos serã feito automaticamente.

5.2. Solução pára três PMS

5.2.1. Introdução

0 desenvolvimento analítico, para a solução dos

60

problemas de três, PMS, fundamenta-se na utilização de expressões para a verificação de todo o plano movei à procura de pontos co­mo pivôs móveis de um mecanismo articulado,que venha atender aos requisitos de projeto prê-estabelecidos. Os requisitos de proje to se referem basicamente a que o tipo de mecanismo resultante de sejado, dentro de uma região de restrição, transporte um plano móvel através de três PMS sem a ocorrência da inversão geométri­ca [5],

5.2.2. Determinação dos pivôs móveis

Como citado na seçao 4.3, os procedimentos utili_ zados para a escolha do primeiro e segundo pivôs móveis foram re alizados diferentemente.

Baseando-se na variação circular da figura 23, pa ra a escolha de pontos como primeiro pivô móvel do mecanismo art.i culado (da contra-manivela), é iniciada uma série de verificações para cada ponto inicialmente escolhido, direcionando o desenvolvi mento analítico do projeto às etapas subseqüentes, como apresenta do no diagrama de blocos da figura 40. Para cada pivô móvel da contra manivela que satisfaça estas verificações, é efetuado o tra çado das retas de Filemon, delimitando a região permissível para a escolha de pontos como segundo pivô móvel do mecanismo articula do (da manivela). De acordo com o apresentado na figura 25, e ini­ciada uma série de verificações para cada ponto escolhido, dando prosseguimento ao projeto, como mostra o diagrama de blocos da f_i gura 4i.

61

/ Escolher um ponto como 19 pivô mô- jvel do mecanismo (variação circular)

Cálculos: pivo fixo e dimensão da barra

A

i \

Prosseguir os cálculos (determinação do 29 pivô mõvel do mecanismo articulado)

FIG. 40: Diagrama de blocos representando a solução para a escolha de pontos como primeiro pivô mõvel para três PMS.

62

FIG. 4

Í Escolher um ponto como 29 pivô mó­vel do mecanismo (critério de Alt)

Prosseguir os cálculos (deter­minação de novos mecanismos)

1 : Diagrama de blocos representando a solução para a esco lha de pontos como segundo pivô môvel para tres PMS.

63

5.3. Solução para quatro PMS

5.3.1. Introdução

Na solução dos problemas de quatro PMS, o desen­volvimento analítico fundamenta-se na utilização de expresões pa­ra analisar a curva de pontos de círculo, ordenada de forma se­quencial, â procura de pontos como pivôs móveis de um mecanismo ar ticulado que atenda aos requisitos de projeto, transportando um plano móvel através de quatro PMS na ordem de deslocamento deseja da, sem a ocorrência da inversão geométrica [5].

5.3.2. Curva: de pontos de círculo

Através da expressão quadrática (44) é, realizada a orientação seqüencial da curva de pontos de círculo, onde arbi­trando-se um valor à ordenada y resultará em duas raízes x^ e no eixo das abscissas. Para isto, ê feito um controle sobre o in­cremento Ay dado â ordenada e a escolha adequada de uma das raí - zes da quadrática. De acordo com o tipo de curva apresentado, es­ta ê dividida em segmentos que são limitados pelas raízes da ex - pressão (46), figura 42, sendo designado um valor constante K pa­ra cada segmento e que está associado ao controle do valor incre­mental A y e à escolha correta das raízes da quadrática, para a orientação seqüêncial dos pontos da curva.

Para a posição da curva representada na figura 42, o incremento inicial A y ê positivo. Caso a curva não esteja nes ta posição, o incremento inicial A y é negativo, ou seja, é rea­lizada uma reflexão em relação ao eixo das abscissas. No quadro 2 está esquematizado o procedimento adotado ao incremento A y para a orientação seqüencial de cada tipo de curva.

64

FIG. 42: Curva de pontos de circulo

65

FIGURASEGMENTO

KINCREMENTO

__ . à yRAlZ

X

1 positivo menor42-a2 negativo maiore 3 negativo menor42-b . . .4 positivo maior

42-b 5 positivo menor6 negativo maior

1 positivo menor2 positivo maior3 negativo menor42-c 4 negativo maior5 negativo menor

...... 6 ....positivo maior

QUADRO 2: Procedimento utilizado na orientação seqüencial da cur­va

No caso de degeneração da curva de pontos de cír culo em uma circunferência e uma reta, a orientação segue a se qüência utilizada para o tipo de curva de um só ramo, figura 42-a. Inicialmente o incremento é realizado sobre o eixo das abscissas a tê se atingir a circunferência, quando é iniciado vim incremento sobre o seu contorno, como apresentando pelos valores da constan te K para cada segmento na figura 43-a. Para o caso de degenera­ção em uma hipérbole, o incremento segue a orientação indicada pe la figura 4 3-b. Se a hipérbole não estiver nesta posição é reali zada uma reflexão sobre o eixo das abscissas.

Os pontos da curva calculados seqüencialmente, da forma como foi apresentada, são alocados em vetores. A etapa se­guinte ê a determinação da localização dos pontos característicos dentro destes vetores. Para isto, em cada intervalo entre dois pon tos consecutivos e verificada a existência de um ou mais pontos ca racterísticos, que foram calculados separadamente. O procedimento utilizado para efetuar este rastreamento da curva é o desenvolvi-

66

FIG. 43: Degeneração da curva de pontos de círculo

mento analítico de Wondracek [lj. Desta forma obtem-se um vetor contendo todos os pontos de círculo calculados, ordenados seqüen­cialmente, o que ê de grande importância na delimitação de segmen­tos adequados ao problema da ordem e inversão geométrica [5-8].

5.3.3. Problema da inversão geométrica

0 desenvolvimento analítico para a solução des­

67

te problema consta basicamente na verificação da variação angular exPressao < figura 29, que dã indicação da inclinação

das retas de Filemon referentes â cada ponto escolhido como pivô mõvel.

A primeira etapa está relacionada à delimitação de segmentos da curva de pontos de círculo para a escolha dopivô mõvel da contra manivela, de acordo com o diagrama de blo­cos da figura 44. Uma vez delimitados estes segmentos, seus res - pectivos pontos são alocados em vetores. Na segunda etapa, esco - lha do pivô mõvel da manivela, para cada ponto destes vetores,são novamente traçadas as retas de Filemon permitindo a identificação dos segmentos da curva dentro da região permissível, como ilustra do na figura 38.

68

/ Registro sequencial da |curva de pontos de círculo

v

| Incremento 'n'"}1f

Cálculos: pivô fixo nação das retas de

e incli- Filemon

Identificar os pontos que correspondem a esta varia­ção angular menor que 180o

Determinação dos segmentos da curva permissíveis à escolha

de pontos como 19 pivô móvel

FIG. 44: Diagrama de blocos representando a solução da primeira etapa do problema da inversão geométrica.

69

5.3.4. Problema da ordem

A metodologia aqui desenvolvida se baseia no pro cedimento grafico de Waldron [5, 6 , 8], que consiste basicamente na determinação da ordem de deslocamento em um segmento da curva limitado por dois poios imagem e na verificação da localização des, tes poios, para a determinação da ordem nos segmentos restantes. Uma vez delimitados os segmentos adequados para a solução do pro­blema, seus respectivos pontos de círculo são alocados em vetores, no sentido de otimizar o procedimento de escolha dos pivôs moveis da manivela de um mecanismo articulado, que resulte num . movimento com a ordem de deslocamento do plano mõvel prê-estabelecida.

A análise do caso de quatro PFS ê feita através do desenvolvimento analítico de Wondracek [1 ].

De acordo com o apresentado na seção 3.3.2, on­de para os casos restantes de quatro PMS a ordem de deslocamento se restringe somente a duas seqüências possíveis de acontecer, o desenvolvimento analítico consta das etapas apresentadas pelos dia gramas de blocos das figuras 45 e 46. 0 caso da figura 46/ se a- plica somente para o ramo fechado da curva, quando esta se apre - sentar em dois ramos.

Deve-se lembrar que somente ê importante a ordem de deslocamento, uma vez que duas seqüências de deslocamento com sentido oposto podem ser solução do problema pois, diferem somente no sentido de giro da barra acionante (a manivela).

70

Í Registro sequencial da urva de pontos de círculo

Estabelecimento da ordem no seg­mento que se estende ao infinito

{ Mudança da ordernj

....

Identificar os pontos que correspondem a este segmento

Determinação dos segmentos da curva com ordem de deslo­camento adequada ao problema

n

FIG. 4 5: Diagrama de blocos representando a solução do problema da ordem no ramo aberto da curva

71

/ Registro sequencial da |curva de pontos de círculo

Determinação de um círculo de poios imagem que tenha dois poios sobre o ramo fechado

.. 1r. "Mudança da ordem

r------- > ..... *

Identificar os pontos que corres­pondem ao segmento com ordem de deslocamento adequada ao problema

FIG. 46? Diagrama de blocos representando a solução do problema da ordem no ramo fechado da curva.

72

6 . APLICAÇÕES PRÃTIÇAS

6.1. Introdução

A metodologia analítica desenvolvida, para o pro jeto de mecanismos articulados planos de quatro barras para 3 e 4 PMS, é aqui utilizada na resolução de dois exemplos práticos, nu ma demonstração de sua potencialidade na obtenção de resultados precisos e com rapidez.

A apresentação das aplicações práticas consta da utilização da Teoria PMS para a especificação de dois problemas, como descritos a seguir:a) o primeiro está relacionado ao projeto de um mecanismo de acio

namento de uma caçamba de caminhão, especificado através de tres posiçoes, sendo resolvido sem a participação do projetis. ta na escolha dos pivôs (METO = 1);

b) o segundo trata do movimento da mesa de uma prensa, especifi­cado através de quatro posiçoes, havendo participação do pro­jetista na escolha do primeiro pivô mõvel, da contra-manivela (METO = 2). .

6.2. Exemplo 1

6.2.1 - Introdução

Deseja-se projetar um caminhão basculante que de verã ter o movimento de basculamento da caçamba efetuado através de um mecanismo articulado plano de quatro barras. O que se pre­tende com este projeto é uma substituição do tradicional aciona­mento de simples rotação, visando movimentar a caçamba através de posições mais distantes do corpo do caminhão, fazendo com que o escoamento da carga seja efetuado de tal forma que não ocorra con tato com componentes da estrutura do caminhão.

A especificação de três PMS 'P-P-P', caso 3,foi utilizada para a abordagem deste projeto, como mostra a figura 47. 0 método 1 (METO = 1) foi utilizado para esta resolução, sen do o problema resolvido em uma etapa, com as escolhas dos pivôs

73

efetuadas automaticamente pelo prõprio programa e são admitidas soluçoes os vinte mecanismos que primeiro satisfizerem os re - quisitos de projeto.

FIG. 471 Caçamba do caminhão nas 3 posiçoes do seu movimento de basculamento.

6.2.2 - Especificação do problema

A especificação dos dados de projeto podem ser divididos em dois grupos, que consistem nos parâmetros relaciona­dos para a elaboração da síntese, propriamente dita, e nos que se referem às restrições impostas aos mecanismos articulados r e ­sultantes.

G quadro 3 apresenta a definição analítica das

74

3 posições de projeto, ilustradas na figura 48, que representam o posicionamento da caçamba da figura 47. Na especificação destes dados foi adotada uma escala apropriada para os valores dimensio­nais: 1/1 0 0 0.

FIG. 48: Definição gráfica das 3 posições de projeto

QUADRO 3: Definição analítica das 3 posições de projeto

POSIÇÃO COORDENADASü

(f 1000) V

INCLINAÇÃO Y [<?]

0

o*o o o 0 , 0

1 -1,5 1 , 0 15,0• ■ • ■ 2 ....... ...... -3,0..... -2,5 1 0 0 , 0

Os dados seguintes se referem às restrições im - postas aos mecanismos resultantes.

- Tipo de mecanismo desejado:

Nao ê imposta nenhuma restrição quanto ao tipo de mecanismo resultante.

75

- Região de solução:

Se refere â região do plano escolhida para a lo­calização dos pivôs fixos e inoveis do mecanismo resultante, na primeira posição de projeto, de acordo com os dados do quadro 4.

QUADRO 4; Região de solução

. . LIMITE..... COORDENADAS. ( f . .1 0 0 0). . [mm]

.., : .....‘ . 7 7 ; u ‘ . v 7'77 ,7"77'~.'~ 7inferior - 1,00 - 3,00

. . superior . . . . . 4,00 ........ 3,00...........

- Ângulo de transmissão

Os mecanismos resultantes aceitos serão aqueles em que a variação angular do ângulo de transmissão, durante o mo­vimento do mecanismo, esteja compreendida entre os valores mínimo e mãximo apresentados no quadro 5. Estes valores estão relaciona­dos a uma boa qualidade de transmissão de movimento, uma vez que neste projeto hã necessidade da elevação e transporte de cargas- pesadas,

QUADRO 5 : Ângulos de transmissão extremos

ip.. „ .... mmxmo.55,0

- ,. [9]. máximo. 125,0

- Dimensões das barras:

Serão aceitos os mecanismos cujas dimensões das barras estejam compreendidas entre os limites inferior e superior apresentados no quadro 6 .

76

QUADRO 6 : Dimensões limites das barras

DIMENSÃO BARRAS (t.1 0 0 0) [ mm]mínima maximá

U,5U 4,UU

6,2.3 - Resultados

Dentre as soluções obtidas, o mecanismo resul­tante escolhido estã esquematizado na figura 49. Este mecanismo não satisfaz o critério de Grashof, sendo do tipo duplo balan - cim com a variação angular do ângulo de transmissão compreendida entre 58,589 e 121,269. As dimensões das barras são:

O A = A = 3019 mm, A AC = B = 1500 mm

OçC = C = 2 32 4 mm, O^Oç ~ D = 1015 mm

A = barra motora (manivela)

\\\\

PIG. 49: Mecanismo articulado escolhido para o movimento da caçam ba.

77

6.3. Exemplo 2

6.3.1 - Introdução

0 posicionamento de peças para operações de vaza mento em prensas torna-se perigoso quando executado ma­nualmente. Com a finalidade de melhorar este procedimento, preten de-se projetar um mecanismo articulado plano de quatro barras,que movimente a mesa da prensa para uma posição de mais fãcil acesso ao posicionamento de novas peças, logo após ter sido executada a operação de vazamento. Com isto, também serã possível um melhor aproveitamento da capacidade da prensa, uma vez que um maior nume ro de peças poderão ser posicionadas de uma sõ vez, limitando-se somente a aspectos dimensionais, 1

Para um perfeito assentamento da mesa com a es - trutura de apoio da prensa, optou-se pela especificação de qua - tro PMS 'PP-^P-P1, caso 7, onde a posição inicial da mesa, apoiada para receber o impacto da prensa, deve se deslocar infinitesimalmsn- te sobre trajetórias perpendiculares â superfície de apoio, como apresenta a figura 50. Outro fator a ser considerado é a não in - terferência do deslocamento da mesa com a estrutura superior da prensa. Para esta resolução foi utilizado o método 2 (METO = 2), sendo resol vido em duas etapas, com a participação do projetista na escolha do primeiro pivô móvel (da contra-manivela). Caso este pivô esco - Ihido não apresentar soluções ou não preencher as vinte soluções possíveis, automaticamente ocorrera a escolha sucessiva de novos pivôs, dando prosseguimento ã procura de soluções.

78

FIG. 50: Mesa da prensa representada nas posições de deslocamento

6.3,2 t Especificação do problema

As posições de projeto, que representam o movimento da mesa da prensa, estão definidas analiticamente no quadro 7, cuja re presentação gráfica se encontra na figura 51, Notar que os parâme tros representativos da segunda posição estão relacionados à de­finição do centro instantâneo de rotação. Escala adotada: 1/100,

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FIG. 51; Definição gráfica das posições de projeto para o caso PP- P-P, onde (UP, VP) = centro instantâneo de rotação do plano na posição inicial

QUADRO 7; Definição analítica para o caso PP-P-P

POSIÇÃO COORDENADAS INCLINAÇAOCt 100) [mm] Y [9]

• • •.....*........ U V •' • • ■ ■ • • • ■ •' ..............0 o o oo o o

1 oo oo o*o

2 COo COo 350,03 3,5 oo 340,0

,(.up.,. v p ): .. . ..: :20.,.0 . .;. o.,.o.. . : .

Quanto âs restrições impostas aos mecanismos re­sultantes:

■s* Tipo de mecanismo desejado:

Qualquer tipo de mecanismo ê permitido.

■*-. Porri ar\— » W V * fcJ V» o. V* Y •

Quanto a localização dos pivôs do mecanismo, na posição inicial, deve-se atender a região delimitada através dos

80

dados do quadro 8.

QUADRO 8: Região de solução

LIMITE COORDENADAS (•£ 100} [mm].... ........ ' ..... U ......■ V .......inferior - 2,0 - 5,0s.upe.ri.or. .". ... . 4,5'. . .7 .9.,.5 .'

- Ângulo de transmissão

A variação angular deve situar^-se entre os valo res mínimo e máximo apresentados no quadro 9.

QUADRO 9; Ângulos de transmissão extremos

Ui f . mínimo.1 0 ,0. 17.0,0

- Dimensões das barras

Devem estar compreendidas entre os valores limi­tes do quadro 10,

QUADRO 10; Dimensões limites das barras s ■' N ' " 'v s ‘ •' .............DIMENSÃO BARRAS (? 100) [mm]

Mínima ........Máxima• • ' ........ 0 /5........ •....... 5/0....

Analisando os resultados obtidos pelo processa - mento da primeira etapa, como primeiro pivô môvel foi escolhido o ponto de índice 95 do ramo aberto da curva de pontos de círculo . Caso este ponto não apresentar soluções satisfatórias, automatica mente será efetuada a escolha de um novo ponto, seguindo a ordena ção sequencial do vetor dos pontos da curva.

81

6.3.3 - Resultados

0 mecanismo articulado escolhido dentre os resul­tantes da síntese estã esquematizado na figura 52, sendo do tipo duplo balancim não Grashof, com a variação angular do ângulo de transmissão na faixa de 25,109 a 157,109. As dimensões das barras são:

O^A - A = 130,4 mm, AC =, B = 455,1 mm

Õ~C = C = 126,4 mm, °a °C = D ~ 443,3 mm

A = barra motora (manivela)

FIG; 52 ; Mecanismo articulado escolhido para o movimento da mesa .

82

7• CONCLUSÕES e recomendações

7.1. Conclusões

a. Como resultado do trabalho apresentado, constatou-se que a me todologia analítica aqui desenvolvida, para a solução dos pro blemas de três e quatro PMS de um plano móvel, representa uma ferramenta de grande utilidade na síntese de mecanismos arti­culados, permitindo uma obtenção de resultados com maior rapi dez e precisão.

b. Sendo de conhecimento a potencialidade da utilização da Teo­ria PMS, conseguiu-se desenvolver uma análise ainda mais completa para o projeto de mecanismos articulados que atendam aos requisitos dos problemas de PMS, uma vez que a Teoria PMS ê aqui abordada juntamente com a especificação automatizada dos parâmetros representativos das PIS [4], além da verifica­ção dos problemas da ordem de deslocamento do plano acoplador e da inversão geométrica.

c. A utilização dos coeficientes generalizados da curvatura na abordagem deste trabalho, veio cont-ri-buir de forma simples— e pratica para a solução dos problemas de PMS. Pode-se notar cia ramente a facilidade do tratamento simultâneo dos deslocamen­tos finitos e infinitesimais de um plano móvel.

d. A primeira especificação dos parâmetros representativos das PMS raramente leva a resultados satisfatórios. Devido â rapi­dez e precisão na obtenção dos resultados, ê possível se fa­zer uma avaliação gradativa dos resultados obtidos e através de modificações paulatinas dos parâmetros representativos dos requisitos de projeto, é que o projetista pode esperar resul­tados mais condizentes com a solução desejada.

e. Os conceitos que envolvem os deslocamentos infinitesimalmente separados, são de grande interesse para o estudo de certas par ticularidades de movimento. Contudo, a especificação dos pro blemas que envolvem PIS necessita de certos conhecimentos por

83

parte do projetista, quanto ao significado geométrico destes deslocamentos infinitesimais, além dos conceitos de centro ins tantâneo de rotação e, principalmente, círculo de inflexão.

&. Como a transformação da curvatura para os problemas de três PMS pode ser satisfeita por todos os pontos do plano mõvel, o. mapeamento deste plano deve ser tão mais rigoroso quanto maior forem as exigências dos requisitos de projeto, o que foi cons tatado pela necessidade da introdução dos valores 'PERI1 e 'PER', seção 4.3.3, como dados de entrada do programa 'PMS34', associados ao grau de dificuldade para a obtenção de soluções que atendam aos requisitos pré-estabelecidos.

g. A metodologia analítica aqui desenvolvida se situa numa fase de ligação para a solução dos problemas de cinco PMS, dentro da utilização da Teoria PMS, visto que estes problemas de cin co posições podem ser resolvidos através da construção da cur va de pontos de círculo para dois grupos de quatro PMS, esco­lhidos convenientemente [5]. Entao, a solução passa a ser a verificação da localização dos pontos representativos da in­terseção das duas curvas. Quanto ao problema da ordem, veri­ficar se um mesmo ponto (=interseção) está localizado dentro de segmentos das duas curvas com a mesma ordem desejada. Na inversão geométrica, para um ponto dentro da região permissí- Vel de uma curva, verificar a influência da adição da quinta posição, que não foi utilizada no traçado da curva, se a vari­ação angular do acoplador relativo â contra-manivela irá ul­trapassar 180°. Na solução dos problemas de cinco PMS, o pro­cedimento analítico se refere basicamentes na utilização de todo o procedimento aqui desenvolvido para três e quatro PMS.

ft.-A síntese analítica aqui assistida por computador, tornou mu_i to mais acessível o projeto de mecanismos articulados a proje tistas que tenham conhecimentos restritos sobre o assunto, sem necessidade de detalhamentos adicionais, uma vez que o procès so de especificação das PIS é bastante simplificado e integra do à Teoria PMS.

84

7.2. Recomendações

a. A síntese de mecanismos aqui apresentada trata da analise ci­nemática do projeto de mecanismos articulados planos, nao se baseando em características de resistência estrutural. Desen­volvimentos adicionais poderiam ser criados, através de subro tinas, e anexados a este trabalho, analisando o problema sobo aspecto de dimensionamento estrutural, tornando ainda mais completa esta metodologia de projeto de mecanismos articula­dos .

b. O comportamento da rotação dos pivôs dos mecanismos articula­dos ê uma característica do tipo de mecanismo analisado, se­gundo o critério de Grashof, e que pode ser considerado para auxiliar a procura de soluções de um tipo de mecanismo deseja do. Deste modo, utilizando o mapeamento de regiões através do triângulo de poios imagem, referência [9], a seleção de pon­tos como pivôs móveis de mecanismos articulados de um tipo de sejado, seria realizada através de um procedimento otimizado.

c. A solução para os problemas de cinco PMS poderia ser uma con­tinuação deste trabalho, uma vez que estes problemas basica­mente se referem â construção da curva de pontos de círculo para dois grupos de quatro PMS. Utilizando a metodologia do programa 'SIMAPM' [4] para a determinação das interseções das duas curvas analisadas, a verificação da localização ' destes pontos C=interseções) dentro de segmentos da curva, satisfa­tórios quanto aos problemas da ordem e inversão geométrica , seria realizada através de uma manipulação da metodologia de­senvolvida neste trabalho, pelo programa 'PMS34'.

d. Técnicas de programação mais apuradas poderiam ser utilizadas para a otimização do programa 'PMS34', com o objetivo de se obter uma redução do tempo de processamento, visto que o de­senvolvimento exclusivamente computacional não é o objetivo deste trabalho.

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REFERÊNCIAS BIBLTOGRAFTC AS

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2 - ZANINI,J.C. & WONDRACEK,U. Analytical solution of branch andorder problems of linkage synthesis. In: Congress Theory of Machines and Mechanisms, Nova Delhi,India, dez. 1983.

3 - RISO,B.G. Síntese de: mecanismos' com a Utilização da teoria dasposições mult i/piamente separadas. Dissertação de mestrado em Engenharia Mecânica. Universidade Federal de Santa Cata­rina, 1980.

4 - VALLE,P .G . Desenvolvimento de uma sistemática de especificaçãopara posições inf initesimalmente separadas'- na síntese de me­canismos articulados. Dissertação de mestrado em Engenharia Mecânica. Universidade Federal de Santa Catarina, 19 83.

5 - WALDRON,K.J. Graphical solution of the branch and order problemsof linkage synthesis for multiply separated positions. Journal of Engineering for Industry, 99 (3) : 591-7, 'ago.1977.

6 - WALDRON,K.J. The order problem of burmester linkage synthesis.Journal of Engineering for Industry, 97 (4): 1405-6, nov.1975.

7 - WALDRON,K.J. Elimination of the branch problem in graphicalburmester mechanisms for four finitely separated positions. Journal of Engineering for Industry, 98 (1) : 176-82, fev. 1976.

8 - WALD RON, K.J. Improved solutions of the branch and order problemsof burmester linkage synthesis. Mechanisms and fMachine Theory, 13 (2): 199-207, 1978.

86

9 - STRONG/R.T. & WALDRON,K.J. Joint displacements T ,iiri linkage synthesis solutions. Journal of' Mechanical Design (101) : 477-87, jul. 1979.

10- TESAR,D. & ESCHENBACH, P . W . Four multiply separated positionsin coplanar motion. Journal1 of Engineering for Industry: 231-4, may 1967.

11- TESAR,D. The generalized concept of three multiply separatedpositions in coplanar motion. Journal of Mechanisms (2) : 461-74, 1967.

12- TESAR,D. The generalized concept of four multiply separatedpositions in coplanar motion. Journal of Mechanisms (3): 11-23, 1968.

13- FILEMON,E. In addition to the burmester theory. In: WorldCongress for theory of Machines and Mechanisms, 3. ,Kupari, Yugoslavia, set. 19 71.

14- GONÇALVES,Z .M. Asslntotas. In: Geometria- Ana:lit:i:ca Plana. Riode Janeiro, Editora Cientifica, 1969. cap. 26, p.284-293.

15- HARTENBERG,R.S & DENAVIT,J. Kinematic synthesis of linkages,New York, McGraw-Hill, 19 64. 4 35p.

16- BEYER,R. The kinematic synthesis of mechanisms. London, Chapmanand Hall, 1963. 353p.

17- ZANINI,J.C. Investigation of methods of linkage synthesis.Tese de doutorado. Victoria University of Manchester, 19 75.

87

APÊNDICE 1

O PROGRAMA lPMS34'

O programa 'PMS34' se refere a uma linguagem com putacional Fortran IV, que trata da metodologia analítica desen - volvida para o projeto de mecanismos articulados, dentro dos re quisitos apresentados neste trabalho. Tem como base a metodologia analítica constante nos programas 'SIMAPM' [4] e 'PFS4' [ 1] .

Foi elaborado para se utilizar a Teoria PMS de tal forma que os coeficientes da curvatura se referem ao sistema referencial mõvel na posição inicial e para os problemas de qua­tro PIS, ao sistema especial. Com isto, as expressões desenvolvi­das se apresentam de uma forma mais simplificada.

A seguir são apresentadas as funções do programa principal e de cada subrotina.

Programa PRINCIPAL

Este gerencia a execução do programa. Faz a lei­tura dos dados de entrada referentes aos requisitos do projeto, chaman do as subrotinas que dão prosseguimento às etapas subseqüentes.

Subrotina MUDA \

Esta subrotina faz uma alteração em alguns dados de saída, atribuindo-lhes valores que excedem o cámpo permissível de impressão destas variáveis, de tal forma que é possível se fa­zer uma identificação do caso de PMS que está sendo analisado.

Subrotina PISEP

Esta determina os parâmetros representativos das posições infinitesimalmente separadas, completando a especificaçãD das posições multiplámente separadas do plano mõvel. Para o caso de quatro PIS calcula as coordeiiãcicis cio ponto de i all.

88

Para os problemas de três PMS, esta subrotina alo ca o vetor coluna (3) dos parâmetros representativos das posições de projeto, dentro de uma matriz (3, 3) , associando o conceito de derivadas de primeira e segunda ordem âs PIS, o que serã utiliza­do na subrotina EQUATN.

Subrotina C4APBP ,

Idem â subrotina C3APBP, para os problemas de quatro PMS, alocando um vetor coluna (4) dentro de uma matriz (4, 4), associando o conceito de derivadas de primeira, segunda e ter ceira ordem âs PIS, para utilização na subrotina EQUATN.

Subrotina EQUATN

Esta subrotina identifica o caso especificado de PMS e calcula os coeficientes generalizados da curvatura, que são utilizados em outras subrotinas.

Subrotina POLOS __

A subrotina POLOS determina as coordenadas dos poios de rotaçao e poios imagem relativos ao plano móvel na posi Ça° inicial. Para o caso de tres PFS, calcula os centros e raios das circunferencias sobre os lados do triângulo de poios imagem. Para os casos de quatro PMS, calcula as coordenadas do ponto de Bali. Aqui é chamada a subrotina IMAGEM.

Subrotina TESTUM

Para os problemas de três PMS, esta subrotina ge rencia o critério de variação adotado para a escolha do primeiro pivô móvel do mecanismo articulado. Faz a leitura dos dados de en trada para a etapa 2 do método 3. Ainda sao chamadas as subroti - nas ROCKER, FILEMO, TESTDO .

Subrotina C3APBP

89

Para os problemas de três PMS, a subrotina TESTDO gerencia o critério de variação adotado para a escolha do segundo pivô móvel do mecanismo articulado. Aqui são chamadas as subroti­nas ROCKER, BARRA3 , CRIALT.

Subrotina BARRA3

Aqui são dimensionadas as barras componentes dos mecanismos articulados gerados para atender aos problemas de três PMS. É feito um controle para evitar uma repetição na escolha do segundo pivô móvel, referente ao primeiro pivô móvel escolhido.São também determinados os ângulos de transmissão máximo e mínimo e é chamada a subrotina GRASHO.

Subrotina CRIALT

Esta subrotina analisa a qualidade de transmis - são de movimento dos mecanismos articulados gerados para atender aos problemas de três PMS, de acordo com o critério de Alt [15j/ii recionando a escolha de pontos como segundo pivô móvel dentro da subrotina TESTDO.

Subrotina CUBICA

Para os problemas de quatro PMS, a subrotina CU­BICA determina a inclinação da reta assíntota e faz uma análise do do tipo de curva de pontos de círculo, a partir do cálculo de seus coeficientes, que também são calculados no novo sistema referenci al transformado. Forma o vetor de pontos característicos neste novo sistema.

Subrotina ZPOLR

Ê um software da IBM que trata do cálculo das raj£ zes reais e complexas de um polinómio com coeficientes reais (La guerrel. 0 caso aqui analisado se refere a um polinómio do quar­to grau.

Subrotina TESTDO

90

Aqui são construidos vetores, cujo conteúdo são as coordenadas de todos os pontos calculados do ramo aberto e do ramo fechado (dependendo do tipo de curva), ordenados seqüencial­mente. O sistema de coordenadas utilizado para o calculo da posi^- ção dos pontos na curva ê o sistema transformado, onde o eixo das abscissas estã alinhado â reta assíntota. Ainda são chamadas as subrotinas VETAFL, INVER, ORDIRA, ORDIRF, ORDEM.

Subrotina VETAFL

Através de um processo de desigualdades são inse ridos nos vetores determinados na subrotina VETAIN, as coordenadas dos pontos característicos nos intervalos adequados. São criadas duas variáveis para identificação da ordem de ocorrência dos pon­tos característicos nos ramos da curva e da posição destes pontos na curva.

Subrotina INVER

Esta subrotina estabelece os extremos dos segmen tos da curva de pontos de círculo cujos pontos possibilitarão so- luçoes sem o problema da inversão geométrica. Aqui são chamadas as subrotinas ROCKER, FILEMO. \

Subrotina ORDIRA

A subrotina ORDIRA estabelece para o ramo aberto da curva de pontos de círculo, nos casos 6 e 7, os limites dos seçr mentos da curva, cuja ordem de deslocamento do plano acoplador do mecanismo articulado resultante em relação ao sistema de coorde­nadas referencial, seja aquela desejada, isto é, 1-2-3-4 ou 1-4-3-2.

Subrotina ORDIRF

Para o ramo fechado da curva de pontos de círcu­lo, nos casos 6 e 7, esta subrotina estabelece os limites dos sec[

Subrotina VETAIN

91

mentos da curva, cuja ordem de deslocamento do plano acoplador se ja 1-2-3-4 ou 1-4-3-2, quando há o movimento do mecanismo articu­lado através das posições de projeto. ,

Subrotina ORDEM

Esta subrotina estabelece, para os casos de qua­tro PFS do plano mõvel, os limites dos segmentos da curva de pon­tos de círculo, cuja ordem de deslocamento do plano acoplador se­ja aquela desejada, isto é, 1-2-3-4 ou 1-4-3-2. Aqui são chamadas as subrotinas MUDAR, ÍNDICE.

Subrotina ÍNDICE

Esta subrotina define os índices dos pontos ca - racterísticos, a partir das suas posições nos vetores das coorde­nadas destes pontos.

Subrotina MUDAR

Para o estabelecimento da ordem na subrotina OR­DEM, esta subrotina faz a mudança e a verificação da ordem, a ca­da polo imagem encontrado ao longo da curva de pontos de círculo.

Subrotina SUBPRG '

Para os casos de quatro PMS do plano mõvel, esta subrotina gerencia a segunda e terceira etapas do programa e faz a leitura dos dados resultantes da.etapa um, que se encontram nos arquivos um , dois, três, quatro e oito, além dos pivôs mõveis es colhidos pelo projetista nas etapas dois e três.

Subrotina FILEMO

Esta subrotina resolve o problema da inversão ge omêtrica, através da solução de Filemon [7, 8], e cria uma variá­vel contendo as coordenadas de todos os pontos que podem ser toma dos como o segundo pivô mõvel do mecanismo articulado, sem o pro­blema da inversão geométrica.

92

De acordo com o mecanismo desejado, esta subrotjL na determina todos os pontos sobre a curva de pontos de círculo pa ra a escolha do segundo pivô mõvel, de tal forma que o ..mecanismo tenha o movimento na ordem desejada e seja limitado a uma certa re gião de projeto.

Subrotina RESULT

A subrotina RESULT gerencia o processamento final da síntese de mecanismos para os casos de quatro PMS, através da chamada ordenada das subrotinas ROCKER e BARRA4.

Subrotina BARRA4

Nesta subrotina são dimensionadas as barras com­ponentes dos mecanismos gerados para atender os problemas de qua­tro PMS. São também determinados os ângulos de transmissão máximo e mínimo e ê chamada a subrotina GRASHO,

Subrotina GRASHO _

Esta subrotina classifica os mecanismos resultan tes de acordo com o critério de Grashof [ 15J . \

Subrotina ROCKER

Escolhido o pivô mõvel do balancim ou da manive­la do mecanismo a ser gerado, esta subrotina determina a localiza çao do pivô fixo correspondente, além das coordenadas do pivô mó­vel escolhido nas outras posições, associadas aos deslocamentos fi nitamente separados do plano móvel. Aqui são chamadas as subroti­nas CENTRO, IMAGEM.

Subrotina CENTRO

Utilizando a definição d,e centro de curvatura pa jra as PMS, seção 4.2.2, aqui são determinados o centro e o raio da

Subrotina PPM2

93

circunferência que passa por três PMS.

Subrotina IMAGEM

Esta subrotina executa a reflexão de um ponto em relação a uma reta, que ê definida pelas coordenadas de dois pon­tos .

Subrotina SAÍDA

A subrotina SAÍDA gera a saída dos dados calcula dos, por impressão de listagens nas etapas um, dois e três,eem arquivos gravados nas etapas um e dois, para os métodos utili­zados dois ou três. Ê chamada a subrotina ÍNDICE.

O diagrama de fluxo apresentado na figura 53 mos tra a estrutura lógica do programa ’PMS34'.

O programa 'PMS34' estã capacitado para resol - ver oito casos de três e quatro PMS, como mostrados a seguir:

CASO 1 PPP

CASO 2 PP-P

CASO 3 P-P-P

CASO 4 PPPP

CASO 5 PPP-P

CASO 6 PP-PP

CASO 7 PP-P-P

£ 0 1 2 k 0 1 2 j 0 0 0

£ 0 1 2 k 0 1 0 j 0 0 1

£ 0 1 2 k 0 0 0 j 0 1 2

£ 0 1 2 3 k 0 1 2 3 j 0 0 0 0

£ 0 1 2 3 k 0 1 2 0 j 0 0 0 1

£ 0 1 2 3 k 0 1 0 1 j 0 0 1 1

£ 0 1 2 3 k 0 1 0 0 j 0 0 1 2

CASO 8 P-r-p-p-p £ 0 1 2 3 k 0 0 0 0 j. 0 1 2 3

9 5

OI —1Pu

53: 0

fluxograma

do programa

'PMS

34'

Os dados de entrada para o programa 1PMS34' es­tão divididos em etapas, de acordo com o modo de resolução adota do para a abordagem do caso de PMS a ser analisado.

0 quadro 11 apresenta a relação dos dados de en trada comuns aos problemas de três e quatro PMS, para o processa mento da primeira etapa do programa.

QUADRO 11:•• Dados de entrada para o processamento da primeira e- tapa do programa

CARTÃO COLUNAS VARIÁVEL VALOR DEFINIÇÃO

1 1 a 72 QCI)I = 1,9

- Nome do projeto, 0 programa lê e im prime Ccentralizar no cartão)

1 PPP2 PP-P3 P-P-P Casos de posições multipla-

1 a 2 NCASE 4 PPPP merite separadas a serem ana-- 5 PPP-P. lisados. 0 formato de leitu

6 PP-PP ra das variáveis: 122 7 PP-P-P \

8 P-P-P-P '3 a 4 NTP -

Número total de posições multipla- mente separadas. Leitura: 12

5 a 6 NPFS - Número de posições finitamente sepa radas. Formato de leitura: 12

9 7

CARTÃO COLUNAS VARIÃVEL VALOR DEFINIÇÃOOs pivôs móveis são

1 escolhidos automati­camente. Requer 1entrada no programaO 19 pivô mõvel seráescolhido pelo proje Método de reso

3 1 METO 2 tista. Requer 1 en- lução a ser a-trada para os casos dotado. Forina-de 3 PMS e 2 para os to de leitura:casos de 4 PMS 11Os pivôs mõveis se­rão escolhidos pelo

3 projetista. Requer 2entradas para 3 PMSe 3 para 4 PMSEtapa de procedimento do projeto.Executa a 19- etapa do programa. Nos

4 1 IETP 1 casos do método 1 e para 3 PMS o mêtodo 2, são. executadas todas as etapas. Formato de leitura: 11

1 manivela-balancim Tipo de mecanismo5 1 ITIP 2 dupla-manivela resultante, deseja

3 qualquer tipo do Leitura: 11Indica a escala adotada nos valores

6 1 a 10 ESCALA -- de entrada, de processamento e desaída. Formato de leitura: FIO.5

1 a 10 PA (1) -- Abscissa do pon­7 11 a 20 PA (2) - to A± (i=l,NTP), Recomenda-se a es­

21 a 30 PA (3) - plano móvel: po­ pecificação com no31 a 40 PA (4) - sições projeto máximo 2 números1 a 10 PB (1) - Ordenada do pon­ inteiros. Formato

8 11 a 20 PB (2) - to B± Ci=l,NTP) , de leitura das va­21 a 30 PB (3) ann mr rol • j--- --— --- * riáveis : F10.5

| 31 a 4.0 PB (4) | - sições projeto

98

CARTÃO COLUNAS VARIÃVEL VALOR DEFINIÇÃO

91 a 10 P(l) - Ângulo de inclinação do plano mõvel

nas posições de projeto, em relação a um sistema referencial fixo. For­mato de leitura: FIO.5

11 a 20 P (2) -21 a 30 P (3) -31 a 40 P (4) -

10

1 a 10 XMI - Limites inferior e superior na co ordenada 'x': re gião de solução

Os pivôs moveis e fixos serão esco­lhidos dentro da região limitada por estas coordena das. Formato de leitura das variá­veis: FIO. 5

11 a 20 XMA -

21 a 30 YMI - Limites inferior e superior na co ordenada 'yl: re gião de solução

31 a 40 YMA -

111 a 10 GAMAI - Ângulo de transmis­

são mínimo admitido Formato de lei­tura: FIO . 311 a 20 GAMA 2 - Ângulo de transmis­

são máximo admitido

121 a 10. BME - Dimensão mínima ad­

mitida das barras Formato de lei­tura : FIO„311 a 2 0. EMA_ - Dimensão máxima ad­

mitida das barras

13

1 a 10 UE - Abscissa do ponto ' E'

Formato de leitura: FIO. 5

11 a 20 VE - Ordenada do ponto 1E 121 a 30 UF - Abscissa do ponto 'F'31 a 40 VF - Ordenada do ponto 1 F'41 a 50 UOE - Abscissa do ponto 'OE'51 a 60 VOE - Ordenada do ponto 'OE'

14

1 a 10 UP1 - Abscissa do polo 1

Formato de leitura: FIO. 5

11 a 20 VP1 - Ordenada do polo 121 a 30 UP 2 - Abscissa do polo 231 a 40 VP2 - Ordenada do polo 2

41 a 50 M -Parâmetro que divide o segmento FP numa razão dada: OF sobre FP

99

Os dados de entrada restantes para a primeira e- tapa do programa estão relacionados nos quadros 12 e 13, diferen­ciando-se para os problemas de três e quatro PMS.

QUADRO 12: Dados de entrada para o processamento da primeira eta pa do programa, nos casos de três PMS

CARTÃO COLUNAS VARIÃVEL VALOR DEFINIÇÃO

151 a 10 PERl -

Taxa de variação para a escolha do 19 pivô móvel. Porcentagem da regi­ão de solução. Leitura: FIO.5

11 a 20 PER -Taxa de variação para a escolha do 2Ç pivô móvel. Porcentagem do valor de PERl. Formato de leitura: FIO.5

161 a 10 XE ‘ - Abscissa do ponto esco­

lhido como 19 pivô móvelPara os mê todos 2 e 3. Leitu­ra: FIO. 5

11 a 20 YE -Ordenada do ponto esco­lhido como 19 pivô móvel

\

QUADRO 13; Dados de entrada para o processamento da primeira eta pa do programa, nos casos de quatro PMS

CARTÃO COLUNAS VARIÃVEL VALOR DEFINIÇÃO

15

L— —....

1 a 10 DELTAY

......

Incremento do eixo 'y1, no sistema referencial transformado, na deter­minação da curva de pontos de círcu lo. Caso não seja adequado, serã a- justado automaticamente. Formato deleitura: FIO.5 t-.... ... ..... — __ _________j

100

Para a resolução das etapas subsequentes do pro­grama, os dados de entrada estão relacionados nos quadros 14 e 15,

QUADRO 14: Dados de entrada para o processamento da segunda eta­pa do programa, nos casos de três PMS, quando resolvi dos pelo método 3

CARTÃO COLUNAS VARIÃVEL VALOR DEFINIÇÃO

1 1 a 72 Q (I)I = 1,9

- Nome do projeto. 0 programa lê e im prime (centralizar no cartão)

2

1 a 2 NCASE1 PPP Casos de três PMS a serem

analisados. Formato de lei­2 PP-P3 P-P-P tura: 12 |

3 a 4 NTP 3 Número total de posições múltipla- j mente separadas. Leitura: 12 j

5 a 6 NPFS - Número de posições finitamente sepaj radas. Formato de leitura: 12

3 1 METO 3 Define o método de resolução adota—j do. Formato de leitura: 11 ,

4 1 IETP 2 Executa a 29- etapa do método 3. For mato de leitura: 11

51 a 10 XE 2 - Abscissa do ponto esco­

lhido como 29 pivô mõvelSomente pa ra o méto­do 3. Lei­tura FIO. 5

11 a 20 YE2 - Ordenada do ponto esco­lhido como 29 pivô mõvel

101

QUADRO 15: Dados de entrada para o processamento das etapas 2 e 3, nos casos de quatro PMS

CARTÃO COLUNAS VARIÁVEL VALOR DEFINIÇÃO

1 1 a 72 Q C D

I = 1,9-

Nome do projeto. 0 programa le e im prime (centralizar no cartão)

21 a 2 NCASE

4 PPPPCasos de posições multipla- mente separadas a serem ana lisados. Leitura: 12

5 PPP-P6 PP-PP7 PP-P-P8 P-P-P-P

3 a 4 NTP 4 Número total de posições multipla- mente separadas. Leitura: 12

5 a 6 NPFS - Número de posições finitamente sepa radas. Formato de leitura: 12

3 1 METO2 Define o método que o programa deve

rã prosseguir. Os valores indepen­dem do método indicado na etapa 13

4 1 IETP2

Executa a 29- etapa. No caso método 2 é também executada a etapa 3

Etapa do programa a executar3 Executa a 39* etapa. So

mente para o método 3

51 a 3 J -

índice do pivô móvel escolhido para integrar o mecanismo resultante. Formato de leitura: 13

4 IRAMO1 Ramo aberto Ramo da curva onde foi

escolhido o pivô móvel Formato de leitura: 112 Ramo fechado

102

APÊNDICE 2

A EQUAÇÃO DE EULER-SAVARY E O CÍRCULO DE INFLEXÃO

A determinação da trajetória de um ponto do aco plador E é de suma importância quando da necessidade de certas par ticularidades de movimento. Para se determinar a curvatura da tra jetôria traçada por este ponto, pode-se proceder como [15] :

a) a partir do cálculo das velocidades e aceleração centrípeta do ponto E, o raio de curvatura e o seu centro podem ser determi­nados, segundo o esquema apresentado na figura 54 e equação (48-).

2a - VE (método indireto) (48)c

P

A v

Av

ponto E

a_ = lim A vnA t-*0 A t

direcionada para o centro de curvatura

FIG, 54; Definição de aceleração centrípeta

b) utilizando a equação de Euler-Savary (método direto), conside­rando a cinemática instantânea como mostra a figura 55, onde pa ra um ponto do acoplador E tem-se a trajetÕria e seu raio de curvatura.

Considerando o movimento do ponto E, ligado ao■ centrodo móvel [4, 15], figura 56, o centro de curvatura instan tâneo está em 0 ,. 0 ponto E desloca-se para E' girando o cen - trodo móvel de <5¥ .

10 3

FIG. 55: Mecanismo articulado com o ponto do acoplador E

FIG. 56; 0 movimento do ponto do acoplador do centrodo móvel

104

fornecem

onde

chegando-se

Os triângulos semelhantes

A O P S e A o„ E E 1E E

o ee EE *0EP PS

ro„ - rE . . r„ 6ÿ rTr ôX sen ( y — ô E) ôx

E Tt Sen *(49)

Para 61. 0

■ d ï-- = --- - v7 velocidade angular da bar-61 dt - ,ra movei

v velocidade do polo (centro61 dt P , ,- «ínstantaneo).

Substituindo em (49)

r r„ .... w .oE Er . r„ v sen YoE E p

-ÍL. = .i = constante, para uma dada posiçãov d

ï equação de Euler-Savary

Se C>E tender para o infinito, de tal forma que a trajetória de E torna-se uma reta

1 1 1 j — - — = --------------------- ■ - > r „ = d sen Yrß oo d sen 4»

que fornece um circulo de diâmetro d, passando por P, chamado cír culo de inflexão, figura 57. Todos os pontos ligados ao centrodo móvel e sobre este círculo estão se deslocando instantaneamente so bre linhas retas. A figura 58 apresenta o ponto E com seu raio de curvatura finito.

FIG. 57; O ponto E sobre o círculo de inflexão

FIG.' 58; O ponto E dentro do círculo de inflexão

106

entao,

que resulta

Tem-se para o pontohj

PJ = d sen VE

r° E %

ou, 1 1PE PO„ PJE E

onde, r„ - PE = - EP' E

rOE = P0E = " EP + E0E

PJ = - EP + EJ E” - E

entao, 1 ....1 _ 1•EP -EP + EO„ -EP + E j„E E

EOE . EJe = (EP)2 '(50)

sendo uma outra forma de expressar a equação de Euler-Savary.Da expressão (50),. fica estabelecido que para um

ponto qualquer E, seu respectivo centro de curvatura 0„ e o pontoXjJE estarão sempre do mesmo lado de E. Isto leva â afirmação de que se o ponto E estiver dentro do círculo de inflexão, a curvatura se rã convexa a partir do ponto P e se estiver fora serã côncava,con forme a figura 59.

107

FIG,, 59; Representação das trajetórias côncava e convexa para o ponto E

10 8

APÊNDICE 3

SISTEMA ESPECIAL DE REFERÊNCIA

No sistema especial de referência, o.:.môvimento do centro instantâneo de rotação P ê que irã definir os novos parâme tros (a, b) que representarão o deslocamento do plano movei, uma vez que o centro instantâneo pertence ao plano móvel. Quando o pia no móvel, representado pelo ponto E# se desloca para E', o centro instantâneo P referente ã posição E irã se deslocar para uma posj. ção P', como mostra a figura 60 .

FIG. 60; Representação do deslocamento do centro instantâneo rela cionado ao movimento do plano móvel

Na especificação do sistema especial de referên­cia, hã o deslocamento da origem do plano móvel da posição inicial para o centro instantâneo, de tal forma que a abscissa seja a tangente ao círculo de inflexão, figura 61.

109

pontos de circulo

círculo de inflexão

curva de

FIG. 61: Representação do novo sistema referencial X x Y ,o sistema especial de referência

Neste sistema referencial,os parâmetros represen­tativos das posições de projeto (a, b) se referem ao posicionamen­to do centro instantâneo de rotação, de tal forma que

resultando numa expressão mais simples para a curva de pontos de círculo, que no caso de 4'PIS' ê denominada cúbica de curvatura es tacionãria [15, 16].

110

APÊNDICE 4

A TRANSFORMAÇÃO DA CURVATURA

O conceito de transformação da curvatura será a- presentado, para o caso plano, no sentido de esclarecer a metodo­logia utilizada na síntese cinemática.

Na figura 62 tem-se os planos fixo F e môvel M , representados pelos sistemas referenciais !U x V e XxY, respectiva­mente. O posicionamento do plano móvel M sobre o plano fixo F na especificação de um movimento de 'PMS1 a ser obtido, ê realizado através do conjunto de parâmetros linear e angular (a, b r Y )^,pa ra cada posição Z, sendo t o contador do número de "PMS1.

Para um ponto A pertencente ao plano móvel, ele irá assumir uma posição A^ para cada posicionamento £ deste plano móvel. Se A é um ponto de círculo, suas respectivas posições A^ irão descrever uma circunferência no plano fixo com centro em O^, figura 63.

FIG. 62: 0 deslocamento do plano móvel

111

FIG. 63: O binãrio articulado

Com isto, a transformação da curvatura consiste, a partir da especificação dos parâmetros de movimento (a, b, na determinação dos pontos A(X, Y) do plano mõvel que assumem po sições A£ sobre- circunferências do plano fixo com centro0A (U, V). Utilizando esta transformação por duas vezes, são obti_ dos dois pares (A, 0^) e (B, 0g), que resultam na construção do mecanismo articulado de quatro barras apresentado na figura 64, cujo movimento faz com que o plano acoplador assuma as posições £ prê--estabelecidas através dos parâmetros (a, b,

112

FIG. 64: O quadrilátero articulado

APÊNDICE 5

LISTAGEM DA SOLUÇÃO DOS EXEMPLOS

Exemplo 1:

MECANISMO ARTICULADO PARA O MOVIMENTO DA CAÇAMBA DE UM CAMINHÃO

\

<ú o O 0 0 0 0 0 o O 0 o m o114

tf * « *0 » «1 **— * ■J) •#2 * Cl *• ' I ■»— *

»l» * *o *< *« íO *•* •» n•» Ui *» H * « .* Z *# i j * a■jfr z * M# < » H* J * M«■ a ■» w ■n X* «* ■» u U* ♦*» * 11 UJ a Q 1« J » »- H < o 1* D * tf) 2 ■u -J < t•» 4 * U UJ * a. u o o »•» * > X m4 -j < < o O o 1* </) * •-4 aj «£ H* •* U ♦ a u. < uj o ‘D O 1* o ♦ J 1- - • O 1•» u » v i Q O ott -» « Q Z o z z 1* :/) * a *»* « < *-« 1 CJ* J * o -í 1* Ü. * < « o a 1 u

■* X o O O I* * ~4 u *-« u o '-1 1 -i* ro •» a a o cn > o o m » o* * y c N «t • to* * ■zi -> - UI O o -« n t

< •» >jj UJ Z < 1 1 UJ•* a •» í/í a z 1 Q* < ■» vc UJ UJ 1* a * Lt o II í»> a t O* •* * tí 1 <c* !/> ■» a UJ Ví o a o 1 •-4* < * . F-* < «t u 'V 1■* !X * u z O Q V x o U> <-> 1 UJ•ft X •* a < < • atf < * < h* r~ O o »’1 i■* 3 * <N J a < 1 1 t* •fr >-< J o !* o * -J V) - < — < o -* üC * w UJ N < J* H» * r- ce < <-< u \* « ■» O -I •-* •M íO 1■» -A ■» u V** O * O 2 >j U o 1* * O VI vi a a 1* ai * o ai j•fr a ■* r* Z#■ * yj . <* </> -* r. O•* o * UJ* Q »■ã < *•* J * Ui» D * O* O *

-« » O*■ K- * a* a *•* < * H*

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OO u

< >H a >-«

ÜLX 1 w tO 1 1M« J o< —• 1 S X 1 o

o 1 Q < 1 zO o 1 u z. 1 < £ 1O O 1 X ** 1 1 o

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1 £ — « » X t 11 ifl 1 < <t 11 y OJ ^ • 2. <1 11 < 1 % 1 11 a ai 1 OJ D 1 1

O Ki 1 A <1 1 1O -3 1 *4 o 1 < 1

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Exemplo 2:

MECANISMO ARTICULADO PARA MOVIMENTAR A MESA DE UMA PRENSA

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