Universidade Federal de Sergipe - Webnode

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia

Núcleo de Engenharia Mecânica

REDIMENSIONAMENTO DE DENTES DE RETROESCAVADEIRAS POR ANÁLISE DE TENSÕES

USANDO SISTEMA CAD/CAE

por

LUCIANO DA SILVA

Trabalho de Conclusão de Curso

São Cristóvão - SE

Julho de 2011

I

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia

Núcleo de Engenharia Mecânica



Trabalho de Conclusão do Curso de Engenharia Mecânica, entregue como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

LUCIANO DA SILVA

São Cristóvão - SE

Julho de 2011

II

É concedida à Universidade Federal de Sergipe permissão para reproduzir cópias desta monografia e emprestar e vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte deste trabalho acadêmico pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

Luciano da Silva

Silva, Luciano da.

Redimensionamento de Dentes de Retroescavadeiras por Análise de Tensões usando Sistema CAD/CAE. / Luciano da Silva. São Cristóvão, 2011.

49 p. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso.Centro de Ciências Exatas e Tecnologia. Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão.

1.Redimensionamento – CAD/CAE. I. Universidade Fedral de Sergipe. CCET. NMC.

II. Título.

III



LUCIANO DA SILVA

‘Esse documento foi julgado adequado para a obtenção do Título de Engenheiro Mecânico e aprovado em sua forma final pelo colegiado do Curso de Engenharia

Mecânica da Universidade Federal de Sergipe.’

______________________________________

Douglas Bressan Riffel, Dr.

Coordenador do Trabalho de Conclusão de Curso

Banca Examinadora:

Nota

______________________________________ André Luiz de Moraes Costa, Dr.

Orientador

______________________________________ Alessandra Goes Luciano de Azevedo, Dra.

______________________________________ Seyyed Said Dana, Dr.

Média Final...:

IV

RESUMO

Na escavação de valas para assentamento de redes de abastecimento de água as

restroescavadeiras, em muitos casos, têm seus dentes quebrados precocemente.

Utilizando o software SolidWorks 2009, construíram-se os modelos propostos e

através do seu aplicativo SimulationXpress analisou-se os três modelos, e o que

obteve um resultado satisfatório foi o modelo com a seção quadrada de encaixe

reduzida, com um ganho de aproximadamente 18%. Para uma carga que deixe o

coeficiente de segurança igual a um e, utilizando cargas combinadas, variou-se o

raio no modelo real e este apresentou uma melhora no seu desempenho de

aproximadamente 27%. Simulando com o raio ideal um há aumento de 35% no

dente da seção reduzida.

Palavras-chave: Dente de retroescavadeira. Elementos finitos. Escavação.

Simulação.

V

ABSTRACT

In the excavation of treches for laying water supply networks to bulldozer tractor in

many cases. Have their teeth knocked out early. Using the SolidWorks 2009

software, built the proposed models and throught their application. simulationXpress

analyzed for the three models, and Who obtained a satisfactory result was the model

with the docking small square section, with a gain of approximately 18%. To have a

load factor of safety equal to one and, using combined loads, the radius was varied in

the model and this presented a true improvement in peformance of approximately

27%. Simulating with the ideal range for 35% increase in the tooth of the reduced

section.

Keyworks: Tooth backhoe. Finite Elements. Dig. Simulation.

VI

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 5

2 REVISÃO DA LITERATURA .................................................................................. 7

2.1 Caracterização do problema de campo ...................................................... 7

2.2 Critério de falha ......................................................................................... 7

2.2.1 Círculo de Mohr ............................................................................ 7

2.2.2 Teoria da energia de distorção máxima – Teoria de Von Mises.... 9

2.3 Elementos finitos ...................................................................................... 12

2.3.1 Fundamentos .............................................................................. 12

2.3.2 Método dos elementos finitos ..................................................... 12

2.3.3 Formulação do elemento tetraédrico de dez nós ........................ 13

3 METODOLOGIA ................................................................................................... 18

3.1 Análise do material ................................................................................... 18

3.2 Método utilizado ....................................................................................... 20

3.2.2 Modelos ....................................................................................... 21

3.2.2 Simulação ................................................................................... 23

3.2.2.1 Software ......................................................................... 23

3.2.2.2 Principais parâmetros utilizados na simulação .............. 23

3.2.2.2.1 Malha ............................................................... 23

3.2.2.2.2 Condições de contorno ................................... 24

3.2.2.2.3 Posicionamento das forças .............................. 25

3.2.2.2.4 Cálculo da tensão do simulador ....................... 26

4 RESULTADOS ....................................................................................................... 28

4.1 Simulação do modelo real ...................................................................... 28

4.2 Simulação do modelo dente com a seção reduzida no encaixe dos parafusos................................................................................................................... 34

4.3 Simulação do modelo dente com o aumento da chapa superior ............. 37

4.4 Simulação do modelo dente híbrido.......................................................... 39

4.5 Comparações de outras simulações e resultados ................................... 43

4.6 Simulação com variação do raio na seção quadrada ............................... 44

4.7 Simulação com montagem - sugestão ..................................................... 48

4.8 Força de escavação no campo ................................................................ 48

5 CONCLUSÃO ....................................................................................................... 49

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 50

1

1 INTRODUÇÃO

No interior do Estado de Sergipe, mais precisamente nesses últimos dez anos

houve uma forte campanha para a colocação de água em todas as casas. Vários

projetos e obras foram executados ou estão sendo executados. Na execução dessas

obras é necessário a implantação de sistemas de abastecimento de água em todo o

povoado, para isso há mobilização e contratação de pessoas, equipamentos,

máquinas para a execução dos serviços. Para as escavações dos solos são

utilizadas máquinas retroescavadeiras que possui uma ótima produção.

Porém foram verificadas em todas essas cidades escavações em solos de

primeira, segunda e terceira categoria, sendo que nas formações de primeira

categoria os solos são caracterizados como soltos e de fácil escavação e os dentes

das retroescavadeiras são gastos por abrasão utilizando-o até o dente virar um

pequeno “toco”. Nos solos de terceira categoria são utilizados explosivos e martelos

hidráulicos, ficando de fora as retroescavadeiras. No entanto, nos solos de segunda

categoria há uma mistura de terra e pedregulhos e devido ao impacto da máquina

muitos dentes entram em colapso, reduzindo muito sua vida útil e perda de tempo na

substituição dos dentes, pois a maioria das vezes uma parte do dente quebra mas o

resto da peça não se parte, fica na concha, assim o operador tem o trabalho de

retirar o pedaço e outro trabalho de colocar a nova lâmina.

Nesse contexto o presente trabalho busca encontrar uma melhor modelagem

para o encaixe dos parafusos nos dentes de retroescavadeiras, pois no projeto atual

constatou-se através de estudos dos materiais testados e de simulações numéricas

que utiliza métodos de elementos finitos, concentrações de tensões nos cantos da

seção quadrada onde são colocados os parafusos, criando microfissuras que se

tornam trincas, propagando-se, fazendo com que a peça entre em colapso. Foram

coletados dentes de retroescavadeiras das cidades de Itabaiana, Lagarto, Poço

Verde e Itaporanga, todos esses tratores trabalhando na abertura de valas para

assentamento de tubos para o abastecimento de água das pequenas comunidades.

Na cidade de Poço Verde, sertão sul sergipano, há uma maior quantidade de solos

de segunda categoria, a obra de implantação de água nos povoados dessa cidade

2

durou mais de um ano, e constatou-se uma grande quebra dos dentes, seja na parte

inferior onde existe uma maior concentração de tensões no encaixe de seção

quadrada dos parafusos, como também em sua parte superior no local dos furos;

existem casos em que houve quebra de parafusos, mas poucos.

Através de pesquisa científica e estudos realizados no ano de 2009 e 2010

foram analisados alguns desses dentes e chegou-se a conclusão que não era o tipo

de material que era ruim e sim a modelagem geométrica dos encaixes que cria

concentração de tensões levando a peça ao rompimento.

Dessa forma o objetivo trabalho consiste em estudar, modelar e avaliar um

novo formato para o encaixe dos parafusos de forma a reduzir ou eliminar essas

concentrações sem, no entanto, encarecer ou dificultar o arranjo atual dos dentes de

retroescavadeiras. Para chegar nessa meta será utilizado o software de simulação e

desenho SolidWorks 2009 e seu aplicativo de simulação o SimulationXpress que

utiliza o método dos elementos finitos e como análise de ruptura o critério de falha

de Von Mises.

3

2 REVISÃO DA LITERATURA

2.1 Caracterização do problema de campo

No interior do Estado diversas obras de saneamento estão sendo executadas.

Redes de abastecimento de água são colocadas no solo através de escavações

realizadas por retroescavadeiras em diversos tipos de solos. Nos solos de 2°

categoria (terra mais pedaços de pedras) os dentes quebram precocemente.

Figura 1 - Retroescavadeira com dentes quebrados. Povoado Pururuca, Lagarto - SE.

Na Figura 1 uma retroescavadeira em serviço, está sendo subutilizada pelo fato

de trabalhar com falta de dentes em sua concha. Essa quebra precoce de dentes

atrasa a obra. Pode-se ver na Figura 2 o solo de segunda categoria, onde há muitas

pedras misturadas com a areia. Quando se vai fazer um serviço desse não dá para

se saber qual tipo de solo a máquina vai escavar, por isso é importante ter um tipo

de dente que possa agüentar da melhor maneira essa tarefa. Esses exemplos foram

do povoado Pururuca em Lagarto - SE.

4

Figura 3 - Retroescavadeira com dentes quebrados no Povoado Pururuca em Lagarto - SE.

Na Figura 3 a máquina está parada para o início da troca dos dentes. No

Povoado Matapoã no município de Itabaiana - SE. O operador perde tempo para a

troca.

5

Figura 3 - Parada para troca de dentes. Povoado Matapoã em Itabaiana - SE.

Figura 4 - Colocação de dentes novos. Povoado Matapoã em Itabaiana - SE.

Na Figura 4 o operador colocou dois dentes novos (os que estão de vermelho)

para poder continuar a escavação.

6

Figura 5 - O dente do meio está partido em dois locais. Povoado Matapoã em Itabaiana - SE.

Na Figura 5 mostra que o dente do meio está partido.

Figura 6 - Depósito com dentes quebrados no município de Poço Verde - SE.

Na Figura 6 dá para ver a grande quantidade de dentes inutilizados, fraturados

em partes diferentes.

7

2.2 Critério de falha

2.2.1 Círculo de Mohr

O círculo de Mohr segundo Beer (1995) é construído em um sistema de eixos

retilíneos com o eixo horizontal (eixo das abscissas) representando a tensão normal

σ e o eixo vertical (eixo das ordenadas) representando a tensão cisalhante τ. Todo

ponto do círculo de Mohr corresponde às tensões σ e τ em um plano particular; para

o ponto genérico N, as tensões são (σn,τn), este sistema foi criado com o intuito de

se calcular os estados de tensões de forma gráfica, Figura 7. Para enfatizar isto,

denominam-se os pontos no círculo de Mohr, Figura 8, com a mesma denominação

que a face representada por aquele ponto. O plano x está representado pelo ponto X

no círculo; o plano n está representado pelo ponto N e assim, sucessivamente. Ao

se usar as equações para obtenção de σθ e τθ, as convenções de sinais para as

tensões devem ser cuidadosamente observadas:

• as tensões normais de tração são positivas

• a tensão de cisalhamento, τyx, é positiva quando atua no sentido positivo do

eixo y

• a tensão de cisalhamento, τθ, é positiva quando atua no sentido horário. n τyx

> 0

Figura 7 - Estado plano de tensões e tensões principais. (HIBBELER, 2000).

Figura

É importante saber que nos cálculos de projetos e engenharia a máxima ou a

mínima tensão que uma peça pode suportar as tensões principais representam a

máxima e a mínima tensão normal que atuam no plano para um dado p

nenhuma tensão de cisalhamento atua sobre os planos principais. As tensões

principais são calculadas pela seguinte equação:

A tensão máxima no plano é dada por:

Tensão média:

Figura 8 - Círculo de Mohr. (HIBBELER, 2000).



máxima e a mínima tensão normal que atuam no plano para um dado p


principais são calculadas pela seguinte equação:

A tensão máxima no plano é dada por:

8



máxima e a mínima tensão normal que atuam no plano para um dado ponto,


(1)

(2)

(3)

Os elementos estruturais e os componentes de máquinas são projetados de

modo que o material que os compõem, sendo material dúctil, não venha a escoar

pela ação dos carregamentos esperados. E s

Quando precisa elaborar um projeto com um material específico, o

engenheiro deve estabelecer um limite superior para o estado de tensão

que defina a falha do material. Se o material for dúctil, geralmente a falha

será es

especificada pela fratura. (HIBBELER , 2000, p.413)

Na prática da Engenharia estudam

um material submetido a um estado multiaxial de tensões

para se calcular as tensões admissíveis descritas em muitas normas de projeto. A

simulação neste trabalho utiliza o critério de Von Misses este critério será explorado

a seguir.

2.2.2 Teoria da energia de distorção máxima

Embora a teoria da tensão cisalhante máxima forneça uma hipótese razoável

para o escoamento em materiais dúcteis, a teoria da energia de distorção máxima se

correlaciona melhor com os dados

preferida. Nesta teoria, considera

associada à mudança de forma de um corpo sob carregamento multiaxial for igual à

energia de distorção em um corpo de prova de tração, q

na tensão de escoamento uniaxial,

Considere a energia de deformação armazenada em um elemento de volume,

como mostrado na Figura

Figura 9 - Estado triaxial



pela ação dos carregamentos esperados. E sendo frágeis não venham a fraturar.




será especificada pelo início do escoamento; se o material for frágil, ela será

especificada pela fratura. (HIBBELER , 2000, p.413)

Na prática da Engenharia estudam-se quatro teorias para prever a ruptura de

um material submetido a um estado multiaxial de tensões. Utilizam



2.2.2 Teoria da energia de distorção máxima – Teoria de Von Mises



correlaciona melhor com os dados experimentais e, deste modo, é geralmente

preferida. Nesta teoria, considera-se que o escoamento ocorre quando a energia


energia de distorção em um corpo de prova de tração, quando o escoamento ocorre

na tensão de escoamento uniaxial, σy. (LIMA, 2011, p. 12).


como mostrado na Figura 9.

Estado triaxial de tensões, variação de volume e distorção. (LIMA, 2011).

9



endo frágeis não venham a fraturar.




pecificada pelo início do escoamento; se o material for frágil, ela será

se quatro teorias para prever a ruptura de

. Utilizam-se estas teorias



Teoria de Von Mises



experimentais e, deste modo, é geralmente

se que o escoamento ocorre quando a energia


uando o escoamento ocorre


de tensões, variação de volume e distorção. (LIMA, 2011).

10

A densidade de energia de deformação devida ao carregamento multiaxial é

dada pela equação abaixo, que pode ser escrita, usando os três eixos principais, na

forma:

(4)

Combinando-se esta equação com a Lei de Hooke, obtém-se,

(5)

Uma parcela desta energia de deformação pode estar associada à variação de

volume do elemento e o restante da energia de deformação está associado à

variação de forma, ou seja, à distorção. A variação de volume é produzida pela

tensão média. As tensões resultantes produzem distorção sem qualquer variação no

volume.

Ensaios mostraram, conforme Lima (2011, p. 13), que materiais não escoam

quando estão submetidos a pressões hidrostáticas de valores extremamente altos.

Assim, postulou-se que as tensões que realmente causam escoamento são as

tensões que produzem distorção. Esta hipótese constitui o critério de escoamento

(de falha) da energia de distorção máxima, que enuncia:

“O escoamento de um material dúctil ocorre quando a energia de distorção por

unidade de volume iguala ou excede a energia de distorção por unidade de volume

quando o mesmo material escoa em um ensaio de tração simples”. (LIMA, 2011, p.

13).

O critério de falha da energia de distorção máxima pode ser enunciado em

termos das três tensões principais como:

11

(6)

Para o caso de tensão plana, as expressões correspondentes para o critério

de falha da energia de distorção máxima podem ser facilmente obtidas das

equações acima:

(7)

Esta é a equação de uma elipse no plano σ1 – σ2. Com o intuito de

comparação, o hexágono de falha para a teoria de escoamento da tensão cisalhante

máxima (teoria de Tresca) também está mostrado, em linhas tracejadas. Nos seis

vértices do hexágono, as duas teorias de falha coincidem, ou seja, ambas as teorias

predizem que o escoamento ocorrerá se o estado de tensão (plano) em um ponto

corresponde a qualquer um destes seis estados de tensão. Por outro lado, a teoria

da tensão cisalhante máxima dá uma estimativa mais conservadora (ou seja, um

valor menor) para as tensões necessárias para produzir escoamento, pois o

hexágono se situa sobre ou dentro da elipse, Figura 10.

Figura 10 - Elipse de falha de Von Mises. (LIMA, 2011).

12

Um modo conveniente de aplicar a teoria da energia de distorção máxima

conforme Lima (2011) é tirar a raiz quadrada dos termos do lado esquerdo da para

obter uma quantidade equivalente de tensão que é chamada de tensão equivalente

de Von Mises.

(8)

ou

(9)

13

2.3 Elementos finitos

2.3.1 Fundamentos

O pensamento sobre elementos finitos não está vinculado apenas a uma

pessoa, vários estudiosos contribuíram para esse método (ASSAN, 1999). “O

desenvolvimento do método dos elementos finitos (MEF) teve suas origens no final

do século XVIII, quando Gauss propôs a utilização de funções de aproximação para

a solução de problemas matemáticos” (OLIVEIRA, 2000, p. 196). “Durante mais de

um século, diversos matemáticos desenvolveram teorias e técnicas analíticas para a

solução de problemas, entretanto, pouco se evoluiu devido à dificuldade e à

limitação existente no processamento de equações algébricas” (RESENDE, 2005, p.

4).

Somente no século XX foi que a ideia foi concretizada. “O desenvolvimento

prático desta análise ocorreu por volta de 1950, com o advento da computação. Isto

permitiu a elaboração e a resolução de sistemas de equações complexas”.

(RESENDE, 2005, p. 5). Como disse Oliveira (2000, p. 196), em 1956, Turner,

Clough, Martins e Topp, trabalhando em um projeto de aeronaves para a Boeing,

propuseram um método de análise estrutural, similar ao MEF. Mais tarde, em 1960,

estes autores utilizaram pela primeira vez o nome de Método dos Elementos Finitos,

descrevendo-o. A partir de então, seu desenvolvimento foi exponencial, sendo

aplicado em diversas áreas da Engenharia, Medicina, e áreas afins.

2.3.2 Método dos elementos finitos

O método dos elementos finitos comumente utilizado é baseado no método de

Rayleigh-Ritz e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo, em um número

finito de pequenas regiões denominadas elementos finitos, tornando o meio contínuo

em discreto.

Figura

Essa divisão do domínio dá

Figura 11. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída variando o

tamanho dos elementos finitos.

Em linhas gerais, podequal um meio contínuo é discretizado (subdividido) em elementos que mantém as propriedades de quem os originou. Esses elementos são descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos para que sejam obtidos os resultados desejados. (LOT

Os pontos de interseção das linhas dessa rede são chamados de nós. As

funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento finito. Para cada

elemento finito i, é mostrado um funcional

funcional II para todo o domínio:

A função aproximadora

O funcional II fica sendo expresso por:

A condição de estacionariedade gera, como no método de Rayleigh

sistema de equações lineares, tal como:

Figura 11 - Rede de elementos finitos. (ASSAN, 1999).

Essa divisão do domínio dá-se o nome de rede de elementos finitos, conforme

. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída variando o

tamanho dos elementos finitos.

Em linhas gerais, pode-se definir o MEF como um método matemático, no ual um meio contínuo é discretizado (subdividido) em elementos que

mantém as propriedades de quem os originou. Esses elementos são descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos para que sejam obtidos os resultados desejados. (LOT



elemento finito i, é mostrado um funcional que, somados aos demais formam o

para todo o domínio:

tem a forma;

fica sendo expresso por:

A condição de estacionariedade gera, como no método de Rayleigh

sistema de equações lineares, tal como:

14

Rede de elementos finitos. (ASSAN, 1999).

se o nome de rede de elementos finitos, conforme

. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída variando o

finir o MEF como um método matemático, no ual um meio contínuo é discretizado (subdividido) em elementos que

mantém as propriedades de quem os originou. Esses elementos são descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos para que sejam obtidos os resultados desejados. (LOTTI, 2006, p. 36).



que, somados aos demais formam o

(10)

(11)

(12)

A condição de estacionariedade gera, como no método de Rayleigh-Ritz, um

15

� ∏�� ∑ � ∏ �� ∑ ∑ ��

∏ ��

�� 0�

��

(13)

A solução do sistema dá os valores dos parâmetros nodais �� que podem ser

deslocamento, forças internas ou ambos.

Quando o estudo trata de componentes em que nenhuma das

dimensões seja pequena em relação às demais, ou não se respeita as hipóteses

das teorias simplificadas, os elementos tridimensionais devem ser utilizados

(CALTAROSSO, 2008, p. 137). A formulação dos elementos utilizados no método

dos elementos finitos pode ser encontrada em obras especificas no assunto,

contudo o presente trabalho traz a formulação do elemento tetraédrico linear ,

utilizado na grande maioria dos casos e no decorrer desse trabalho de conclusão

de curso.

2.3.3 Formulação do elemento tetraédrico de dez nós

O elemento finito tetraédrico de dez nós, conforme Figura 12, e seus

movimentos podem ser descritos pelas componentes u, v e w, pois a definição,

segundo a teoria da elasticidade, de deslocamentos em um sólido sob o estado

triaxial de tensão é efetuada por três componentes de deslocamento. Assim o

elemento tetraédrico parabólico apresenta dez nós, possui 3 graus de

liberdade em cada nó,possuindo um total de 30 graus de liberdade, com isso a

matriz coluna representada pelas forças nodais, ou seja, forças atuantes nos nós,

tem dimensão 30 x 1, e da mesma forma a matriz coluna representada pelos

deslocamentos nodais tem dimensão 30 x 1. (CALTAROSSO, 2008, p. 141) A

consequência é uma matriz de rigidez, que relaciona o comportamento entre as

forças e os deslocamentos, tem dimensão 30 x 30, como segue:

16

Figura 12 - Peça dividida em elementos finitos. (CALTAROSSO, 2008).

��

(14)

Figura 7 - Elemento finito tetraédrico de 10 nós. (CALTAROSSO, 2008).

17

Na formulação da modelagem, segue três principais passos (CALTAROSSO, 2008, p. 138):

a) Definição das funções de interpolação b) Cálculo das deformações c) Cálculo das tensões

a) Funções de interpolação

O grau do polinômio de interpolação é definido pelo número de graus de

liberdade do elemento tetraédrico, assim, o polinômio escolhido deverá conter

30 coeficientes desconhecidos. No estado triaxial de tensões, o deslocamento

de um ponto qualquer é definido pelas componentes u, v e w nas direções x, y

e z respectivamente e o deslocamento do ponto depende da localização do mesmo

no sólido. Como se tem três componentes de deslocamento em cada nó, tem-se

três funções para representar o campo de deslocamentos. Assim, com os 30

coeficientes, tem-se três funções para os deslocamentos u, v e w

respectivamente e cada função utilizará quatro coeficientes. Como cada uma

das funções depende de x, y e z, ou seja, o deslocamento varia linearmente

com x, com y e com z, as funções serão de três variáveis. (CALTAROSSO,

2008, p. 138) O conjunto das três funções é expressa por:

��, , !� � �� " �#� " �� " �$! " �%� " �&�! " �' ! " �(�²" �) ²" ��!²

��, , !� � �� " ��#� " �� " ��$! " ��%� " ��&�! " ��' ! " ��(�²" ��) ²" �#�!²

��, , !� � �#� " �##� " �#� " �#$! " �#%� " �#&�! " �#' ! " �#(�²" �#) ²" ��!²

(15)

b) Cálculo das deformações

Na teoria da elasticidade, pode-se calcular as deformações em qualquer

ponto dentro do elemento finito sólido, dentro das hipóteses das funções de

interpolação adotadas. Tem-se então:

*� � +� , *, � -

, , *. � /. , 0�, � +

, " -� , 0�. � +

. " -� , 0,. � +

. " -,

18

Essas funções contêm derivadas parciais, assim, efetuando as derivadas

das funções u, v e w que fornecem o deslocamento em todos os pontos, tem-se:

*� � +� � �# " �% " �&! " 2�(�

(16)

*, � -, � �� " ��%� " ��'! " 2��(

(17)

*. � /. � �#$ " �#&� " �#' " 2��!

(18)

0�, � +, " -

� � �� " �%� " �'! " 2�) " ��# " ��% " ��&! " 2��(�

(19)

0�. � +. " -

� � �$ " �&� " �' " 2��! " �## " �#% " �#&! " 2�#(�

(20)

0,. � +. " -

, � ��$ " ��&� " ��' " 2�#�! " �#� " �#%� " �#'! " 2�#)

(21)

Assim o elemento sólido tetraédrico parabólico é um elemento de deformações

que variam linearmente com x, y e z.

c) Cálculo das deformações

O cálculo das tensões decorre imediatamente a partir do cálculo das

deformações, utilizando, da teoria da elasticidade, a equação:

�2��, , !�� 3�. �*��, , !��

(22)

Onde [D] é a matriz de elasticidade para o estado triaxial de tensões dada por:

19

�3� �5�1 7 8�

�1 " 8��1 7 28� .

9:::::::::::; 1

81 7 8

81 7 8

81 7 8 1

81 7 8

81 7 8

81 7 8 1

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

1 7 282�1 7 8� 0 0

01 7 28

2�1 7 8� 0

0 01 7 28

2�1 7 8�<===========>

(23)

Na exemplificação, o calculo da tensão 2� em qualquer ponto do elemento é

efetuado pelo produto matricial acima, assim a tensão 2� é dada por:

2� � ?��@-��A-��@#-� �*� " -

�@- *, " -�@- *.�

(24)

As expressões para o cálculos das tensões são válidas para qualquer

ponto submetido a um estado triaxial de tensões e, foi desenvolvido a partir

da teoria da elasticidade. Em particular no caso do elemento tetraédrico, foram

utilizados os valores de deformações *�, *,e *. que resultam no campo de

deslocamento.

3. METODOLOGIA

3.1 Análise do material

O material de estudo é o dente de retroescavadeira cujo tipo de aço é

microligado ao boro, sendo um material de alta

térmico o dente foi temperado e revenido, possuindo uma dureza na faixa de 440 a

500 HB. Outras características mecânicas são descritas abaixo:

a) Módulo elástico = 210000 MPab) Módulo de cisalhamento = 8000 MPac) Densidade = 0,0078d) Resistência a tração = 1550 MPae) Limite de escoamento = 1250 MPa

Esses dados foram fornecidos pela a empresa Metisa que é a fabricante dessas peças.

Através do estudo das técnicas de metalografia, ver Figura

descobrir, por exemplo, o tipo de fratura de colapso, o modo de fabricação de uma

peça, os defeitos, concentrações de tensões, os vários tipos de microtrincas e

outros. A partir do ataque químico com iodo, foi possível conhecer o modo de

fabricação. Os furos foram feitos pelo processo de estampagem, a chapa usada

provém de um processo de laminação, a parte superior é dobrada, conforme as

linhas de fluxo deixadas pela laminação evidenciadas pela metalografia.(ANDRADE,

2011).

Figura 13 - Dente de retroescavadeira cortado na longitudinal, linhas de fluxo. (ANDRADE, 2011).

Análise do material


microligado ao boro, sendo um material de alta resistência. Com o tratamento


500 HB. Outras características mecânicas são descritas abaixo:

Módulo elástico = 210000 MPa Módulo de cisalhamento = 8000 MPa Densidade = 0,007858 g/mm³ Resistência a tração = 1550 MPa Limite de escoamento = 1250 MPa

Esses dados foram fornecidos pela a empresa Metisa que é a fabricante

Através do estudo das técnicas de metalografia, ver Figura




ão. Os furos foram feitos pelo processo de estampagem, a chapa usada



de retroescavadeira cortado na longitudinal, linhas de fluxo. (ANDRADE, 2011).

20


resistência. Com o tratamento


Esses dados foram fornecidos pela a empresa Metisa que é a fabricante

Através do estudo das técnicas de metalografia, ver Figura 13, é possível




ão. Os furos foram feitos pelo processo de estampagem, a chapa usada



de retroescavadeira cortado na longitudinal, linhas de fluxo. (ANDRADE, 2011).

Figura

A Figura 14, Figura 1

dentes. No contato entre o parafuso e o dente aparecem microfissuras que durante o

serviço se propagam devido ao impacto do dente com as pedras existentes no

terreno. Por meio dessa análise foram mudadas as condições d

restrição nos dentes, deixando a análise mais próxima da realidade.

Figura 14 - Verificação das condições de contorno, contato porca

Figura 15 – Linhas de fluxo oriundas da Laminação. (ANDRADE, 2011).

Figura 14 - Linhas de fluxos. (ANDRADE, 2011).

, Figura 15 e Figura 16 evidenciam como ocorre o colapso dos



terreno. Por meio dessa análise foram mudadas as condições d


Verificação das condições de contorno, contato porca-dente e parafuso

Linhas de fluxo oriundas da Laminação. (ANDRADE, 2011).

21

evidenciam como ocorre o colapso dos



terreno. Por meio dessa análise foram mudadas as condições de contorno de


dente e parafuso-dente.

Linhas de fluxo oriundas da Laminação. (ANDRADE, 2011).

22

3.2 Método utilizado

No trabalho proposto desenvolveu-se três modelos com a possível ideia de um

rendimento superior ao existente, e junto com este foram avaliados e analisados

através do software de simulação CAE/CAD SolidMorks 2009.

No estudo metalográfico dos dentes detectou-se um surgimento e propagação

de trincas. Segundo Calister (2003, p.135), a amplificação das trincas não está só

sujeita a defeitos microscópicos, podendo ocorrer em cantos vivos, entalhes e

outros. Dessa forma uma das preocupações na modelagem foi medir de forma mais

precisa o raio da seção quadrada de encaixe dos parafusos. Como não havia um

instrumento preciso e que encaixasse de forma satisfatória no local, o raio desses

“cantos vivos” foi medido no microscópio eletrônico do laboratório de materiais,

Figura 16.

Figura 16 - Exemplo de uma das medidas do diâmetro do raio da seção quadrada.

O raio médio usado na modelagem é r = 1.35 mm.

23

3.2.1 Modelos

O primeiro modelo proposto tem como característica a redução da área da

seção de encaixe dos parafusos, diminuindo assim a concentração de tensões local.

O modelo é denominado DENTE SEÇÃO RED. A seção atual do dente é de 17 mm

x 19 mm, Figura 17. O modelo proposto tem 13 mm x 15 mm. Conforme foi descrito

na introdução o objetivo é transformar o parafuso em “bucha” (ser o elemento mais

frágil) fazendo com que ele rompa antes que o dente no impacto. Uma maneira de

isso acontecer é reduzindo a seção do dente e consequentemente a seção do

parafuso. O critério utilizado para diminuir a seção é encontrar no comércio uma

bitola menor e mais próxima que é a mais utilizada. O dente atual utiliza um parafuso

de diâmetro de 5/8” e, o encontrado no mercado, nas condições acima, foi o de 1/2”.

Figura 17 - 1° Modelo: dente com a seção reduzida.

O segundo protótipo virtual tem a peculiaridade de ter a parte superior

aumentada de 8 mm para 12 mm, aproximadamente (1/2”), Figura 18. Como ocorre

colapso nos furos superiores, a ideia de aumentar a chapa traria uma maior

resistência aos esforços. Ele será chamado de DENTE CHAPA.

24

Figura 18 - 2° Modelo: dente com a chapa superior a umentada em 50%.

E a terceira modelagem consiste em um modelo híbrido, com as duas

características adotadas nos outros modelos acima, Figura 19. Ele será chamado de

DENTE TOTAL.

Figura 19 - 3° Modelo: dente com a chapa superior a umentada e seção reduzida.

25

3.2.2 Simulação

3.2.2.1 Software

O software utilizado foi o simulador de tensões do Solidworks 2009, o

Simulation Xpress. O Simulation Xpress é parte integrante da plataforma

paramétrica para projetos SolidWorks CAD 3D. É uma poderosa ferramenta que

permite proceder a uma análise estrutural primária de um projeto de peças simples.

Todas essas ferramentas utilizam o método de análises por elementos finitos (MEF),

que desde sua aplicação efetiva na engenharia de projetos, permitiu a esta um

grande avanço.

3.2.2.2 Principais parâmetros utilizados na simulação

3.2.2.2.1 Malha

O processo de aplicação do método dos elementos finitos consiste em gerar

um modelo matemático idêntico ao modelo estrutural, constituindo-se, porém, este

primeiro, em uma malha de elementos, que conforme a natureza da estrutura do

modelo poderão ser elementos bidimensionais (elementos 2-D), ou tridimensionais

(elementos 3-D), ou ainda elementos unidimensionais (elementos 1-D), como mostra

a Figura 20. Os números junto ao elemento indicam o número de nós de cada um.

Cada nó, dependendo do elemento, possui 3 ou 6 graus de liberdade. O

SimulationXpress, dado as suas limitações trabalha apenas com o elemento sólido

Tetraédrico de 10 nós (3 graus de liberdade por nó), que porém permite um

excelente resultado, pois é um elemento de alta qualidade (FIALHO, 2007).

Figura 20 - Tipos de malhas de elementos finitos. (FIALHO, 2007).

26

Na análise da peça deve-se identificar as condições de contorno e a

localização das forças. Foi utilizado também para montar algumas tabelas e

pequenos desenhos o software AutoCad 2010.

3.2.2.2.2 Condições de contorno

Na peça a fixação se dá nas bordas inferiores da seção quadrada onde há o

contato entre o parafuso e a peça. Na parte superior se dá na área circular que a

porca entra em contato com a peça, entretanto a porca só toca as laterais da peça.

Como fica difícil simular tal situação fez-se uma superposição da área utilizada na

porca na peça e fez-se um filete na borda, deixando a simulação mais perto da

realidade, conforme Figura 21.

Figura 21 - Detalhamento da borda, para a condição de contorno.

Depois dessa adaptação aplicaram-se as condições de contorno, conforme as

Figuras 22.a e 22.b:

Figura 22.a - Aplicação das condições de contorno.

Figura 22.b - Aplicação das condições de contorno

3.2.2.2.3 Posicionamento das forças

A posição das forças na peça é muito importante, e neste trabalho elas foram

simuladas de três maneiras: força normal a área aplicada frontalmente ao dente na

ponta da lâmina, Figura 23

24 e por fim uma combinação das duas forças atuando na peça, Figura 2

Aplicação das condições de contorno, parte superior e parte superior.

3.2.2.2.3 Posicionamento das forças



, Figura 23; força normal a área da face que está inclinada, Figura

uma combinação das duas forças atuando na peça, Figura 2

Figura 23 - Aplicação da carga frontal.

27

, parte superior e parte superior..



; força normal a área da face que está inclinada, Figura

uma combinação das duas forças atuando na peça, Figura 25.

28

Figura 24 - Aplicação da carga inclinada.

Figura 25 - Aplicação das cargas combinadas.

3.2.2.2.4 Cálculo da tensão do simulador

O SimulationXpress calcula a tensão de Von Mises e o fator de segurança:

2BC � 2�D� �2E�F. G

29

onde:

Tensão admissível → 2�D�

Tensões normais nos eixos X, Y, e Z → 2�, 2, H 2.

Tensões tangenciais → I�,, I,. H I.�

Coeficiente de segurança → (F. G J 1)

Tensão limite do material (dúctil ou frágil) → 2E�

Materiais Dúcteis (2E� = Tensão de escoamento)

Materiais Frágeis (2E� = Tensão de ruptura)

A estrutura de cálculo em termos de análise do MEF, para solução dos

problemas segue sempre o mesmo principio a seguir:

a) Construção do modelo matemático

b) Construção do modelo de elementos finitos (malha)

c) Resolução do modelo (solver)

d) Análise de resultados.

30

4 RESULTADOS

O primeiro passo para estudar o comportamento da peça foi analisar cada caso

simulando a máxima força que os modelos virtuais conseguem suportar, utilizando

C.S = 1. Foram analisados para os quatros casos a atuação de forças

independentes e combinadas. A ordem de simulação é esta: a primeira simulação se

faz com a força na posição frontal (Figura 23), a segunda utiliza-se uma força na

face inclinada (Figura 24) e por fim a combinação das cargas (Figura 25). A tensão

de escoamento do material é de 1250 MPa.

4.1 Simulação do modelo real

A primeira simulação foi feita no modelo real designado por DENTE.

Caso 1 – Força na posição frontal, Figura 26. Carga encontrada: 70500 N.

Figura 26 - a) Aplicação da carga frontal . b) Ponto crítico.

Na parte superior do dente não aparece esforço algum. Na ponta do dente há

uma deformação e no primeiro furo de encaixe do parafuso aparece o local da

máxima força aplicada.

a b

31

Caso 2 – Força na posição inclinada, Figura 27. Carga encontrada: 21500 N.

Figura 27 - a) Aplicação da carga inclinada . b) Ponto crítico.

Apesar de a máxima força ser aproximadamente no mesmo local de aplicação

da força frontal, aparece na chapa dos furos superiores uma tensão, e em certos

casos os dentes romperam nesse local.

Caso 3 – Forças combinadas, Figura 28. Carga encontrada: 17400 N.

Figura 28 - a) Aplicação da carga inclinada . b) Ponto crítico.

a b

a b

A aplicação das duas forças de

malha. O ponto crítico não sofreu mudança. A Figura 2

dente inutilizado nas escavações em solos de segunda categoria encontrado no

município de Poço Verde

Figura 29 -

A TABELA 1 resume os resultados obtidos nessa primeira simulação.

A aplicação das duas forças de mesma intensidade gera esse resultado na

malha. O ponto crítico não sofreu mudança. A Figura 29 mostra uma fenda em um


município de Poço Verde.

- Dente com fenda, da obra da cidade de Poço Verde


32

mesma intensidade gera esse resultado na

mostra uma fenda em um


da obra da cidade de Poço Verde - SE.


33

4.2 Simulação do modelo dente com a seção reduzida no encaixe do parafuso

Essa modelagem foi criada com o objetivo de diminuir as concentrações de

tensões nos cantos das duas seções quadradas dos furos de encaixe dos parafusos,

muitos dentes constatados na pesquisa quebraram nessa parte. Na cidade de

Itabaiana foi constatada falha nessa área.


Figura 30 – a) Aplicação da carga frontal. b) Ponto crítico.

O nome dessa simulação é DENTE SEÇÃO RED. Apesar de o ponto crítico

parecer semelhante ao primeiro caso, é interessante observar o aumento de tensão

no segundo furo do dente.

a b

34


Figura 31 - a) Aplicação da carga inclinada. b) Ponto crítico na face superior.

Nesse caso para a força inclinada a maior solicitação se dá na parte superior

da peça.

Caso 3 – Forças combinadas, Figuras 32 e 33. Carga encontrada: 20500 N.

Figura 32 - Aplicação da carga inclinada.

Pode-se perceber que na parte de cima da peça, no local dos furos superiores,

há uma concentração de tensão, porém o ponto crítico se dá na parte inferior,

conforme Figura 33.

a b

35

Figura 33 - Ponto crítico na face inferior.

Na aplicação dessa carga cria-se uma maior tensão no segundo furo da seção

quadrada, fenômeno que ocorreu no caso 1. Abaixo está a TABELA 2 resumindo o

que foi feito.

36

4.3 Simulação do modelo dente com o aumento da chapa superior

Esse modelo foi proposto com o intuito de combater a quebra que se dá na

parte superior dos dentes que foi constatado em muitos casos na cidade de Poço

Verde.


Figura 34 - a) Aplicação da carga frontal. b) Ponto crítico no canto da seção quadrada.

A aplicação da força frontal faz aparecer a maior tensão no canto da seção

quadrada do encaixe do primeiro parafuso.


Figura 35 - a) Ponto crítico no canto da seção quadrada. b) Tensão na parte superior.

a b

a b

37

Apesar da aplicação da força ser inclinada a maior tensão se dá no canto

inferior da seção quadrada de encaixe do primeiro parafuso. Para o mesmo caso no

DENTE SEÇÃO RED a ruptura se deu no na parte superior.


Figura 36 - a) Ponto crítico no canto da seção quadrada. b) Tensão na parte superior.

O colapso da peça se dá no canto da seção quadrada. Abaixo segue resumo na

TABELA 3.

a b

38

4.4 Simulação do modelo dente híbrido

Esta simulação combina a proposta do segundo modelo, que consiste na

redução da seção quadrada; com a proposta do terceiro modelo, que consiste no

aumento da espessura da chapa. Essa a priori seria a melhor solução.


Figura 37 - a) Ponto crítico no canto da 2°seção q uadrada. b) Tensão no 2° furo.

a b

39

Nessa simulação ocorre algo inédito: a maior tensão se localiza na seção

quadrada do segundo furo.


Figura 38 - a) Ponto crítico no canto da 2°seção q uadrada. b) Tensão no 2° furo.

No caso 2 o ponto crítico ocorre aproximadamente no mesmo local, no segundo

furo.


Figura 39 - Ponto crítico no canto do 2°furo da s eção quadrada.

a b

40

O resultado se repete na terceira simulação: colapso no último furo. Esse fato

pode se explicado porque esse último modelo é o que possui a maior massa,

aumentando assim sua rigidez. Dessa forma aplicando-se a combinação de forças, a

peça romperá no maior momento (maior distância) gerado que é justamente no

concentrador de tensão do encaixe do último parafuso, Figura 40. Esse modelo

possui o pior resultado, inclusive pior que o modelo atual. Abaixo a TABELA 4

resumo.

Figura 40 - A: primeiro parafuso e B: segundo ou último parafuso.

B A

41

Na TABELA 5 faz-se um comparativo das forças frontais e inclinadas em cada

simulação, a comparação da performance se faz em relação ao modelo real. Nesse

caso a tensão de escoamento da peça é igual a tensão de Von Mises utilizando

coeficiente de segurança igual a 1 (um). O melhor modelo é o que suporta a maior

força. Na aplicação da força frontal o modelo DENTE CHAPA é o melhor; na

aplicação da força inclinada o melhor modelo é o DENTE SEÇÃO RED de forma

geral este deve ser escolhido pois na força inclinada os modelos se rompem sob

uma força pequena em comparação com a força frontal. Assim o modelo DENTE

SEÇÃO RED possui a melhor resposta a solicitação suportando uma força e

aproximadamente 25000 N.

42

Na TABELA 6 está retratada de forma simples a maior solicitação de forças

combinadas de mesmo módulo que cada modelo suporta. A tensão de escoamento

é igual a tensão de Von Mises. O resultado confirma o modelo DENTE SEÇÃO RED

como o modelo que consegue suportar a maior combinação de forças, a maior força

suportada foi de 20500 N. Este possui uma melhora de desempenho de 17,82%.

4.5 Simulação com força constante

Na TABELA 7, os quatros modelos estão submetidos a uma força adotada de

3000 N. A menor tensão se dá no segundo modelo mostrando ser essa a melhor

solução. Na coluna variação faz-se um comparativo em relação ao modelo real

mostrando o quanto há uma melhora em cada caso. Todavia na quarta simulação

acontece o contrário, ocasionando o pior resultado.

43

4.6 Simulação com variação do raio na seção quadrada

Na TABELA 8 está representada uma simulação só com o modelo DENTE

variando o pequeno raio da seção quadrada. No primeiro caso o raio adotado foi de r

= 1,50 mm, o segundo raio utilizado foi de r = 2,00 mm e o terceiro caso foi usando

um raio de r = 3,00 mm. Raios maiores que r = 3,00 mm deformam muito a seção

quadrada podendo deixar a ferramenta escorregar na hora do aperto da porca

quando o dente for colocado na concha da retroescavadeira. O melhor resultado foi

da simulação r = 3,00 mm.

44

Na TABELA 9 mostra a simulação da variação do raio do modelo mais

adequado para a substituição do modelo real, o modelo DENTE SEÇÃO RED. Por

diminuir a seção quadrada imaginou-se que um raio menor seria também mais

viável, porém com um raio de r = 1,30 mm o modelo ficou pior (teve um aumento de

tensão de 7,20%). Dessa forma utilizou-se um raio de 1,50 mm mostrando mais uma

vez um resultado inadequado (teve um aumento de tensão de 97, 96%). O melhor

resultado encontrado foi a simulação com um raio de 1,40 mm onde o dente

consegue uma melhora de 10,4%.

45

Na TABELA 10 há um comparativo entre o modelo DENTE SEÇÃO RED

utilizando um raio de r = 1,35 mm com um raio otimizado de r = 1,40 mm. Porém

simulando o modelo com o raio de 1,40 mm e utilizando a tensão de escoamento

como a tensão de Von Mises encontrou-se uma força de 235500 N, representando

um ganho de resistência de solicitação de forças de 14,88%.

46

Na TABELA 11 faz-se uma comparação do modelo DENTE com o modelo

DENTE SEÇÃO RED utilizando o raio otimizado de 1,40 mm. E essa comparação

traz um resultado positivo, mostrando uma melhora de 35,34%.

47

4.7 Simulação com a montagem - sugestão

A simulação perfeita seria com a montagem dos dentes parafusos e a concha

da retroescavadeira. O número de considerações e variáveis aumentariam bastante,

o percentual de melhoramento feito nas simulações podem diminuir um pouco, no

entanto fica como sugestão para trabalhos futuros as simulações com o conjunto.

4.8 Força de escavação no campo

A solução mais adequada se encontra na segunda simulação, que se chama

DENTE SEÇÃO RED. De fato, quando se reduz a seção e otimiza o raio diminui as

concentrações de tensão e a peça possui espaço para distribuir melhor as tensões

sofridas pelo carregamento. Por outro lado a seção do parafuso de diminui e assim

quem sofrerá maiores esforços serão os parafusos. Os dados apresentados são

coerentes com os esforços que os tratores suportam, a título de exemplo, a

retroescavadeira BL70 da Volvo possui uma força de escavação de 6076 kgf que dá

aproximadamente 60760 N (MAKINAS, 2011). Comparando o resultado com o

melhor modelo encontrado, que é o DENTE SEÇÃO RED, com o raio de 1,40 mm,

onde a máquina utilizará aproximadamente 39% de sua força para que possa

ocorrer um colapso.

48

5 CONCLUSÃO

Pode-se apreender diante do exposto que o dente atual utilizado nas

escavações possui uma modelagem não muito adequada para o serviço de

escavação em solos mais abrasivos. O material possui uma alta resistência ao

desgaste, porém absorve pouca energia; nesse sentido deve-se ter um controle

rigoroso na fabricação da seção quadrada, pois essa lâmina atual ainda sai da

fabrica com um considerável valor de concentrador de tensões.

Nos três modelos propostos a impressão que se tinha era que a melhor

solução seria a da quarta simulação que se chama DENTE TOTAL, pois esse

modelo contemplava as duas melhores soluções juntas, entretanto após a análise

constatou-se que a melhor proposta para a otimização do dente atual é o modelo de

seção quadrada reduzida chamado DENTE SEÇÃO RED com uma melhora de

aproximadamente 35%, evidenciando dessa forma a importância deste trabalho.

49

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRADE, C. E. C. Estudo comparativo de dentes de retroescavadeiras . Trabalho de conclusão de curso. 2011.

ASSAN, A. E. Métodos dos Elementos Finitos: Primeiros Passos , UNICAMP, Campinas, 1999. p.57-58.

BEER, F. P. e JOHNSTON, JR., E. R. Resistência dos Materiais , 3.º Ed., Makron Books, 1995.

CALLISTER, W. D. Fundamentos da Ciência e Engenharia de Materiais , 2ª ed. LTC, 2006.

CALTAROSSO, F. Análise de tensões em equipamentos de moagem de cana de açúcar usando o método de elementos finitos . Dissertação de mestrado. USP São Carlos, 2008.

FIALHO, A. B. Tutorial CosmosXpressSW2007 . Max3D

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais , 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

Internet - LIMA, L. R. O. Critérios de ruptura . Apostila,cap. 2, 2011. Acesso em 6/6/2011.

Internet - MAKINAS. Arquivo de retroescavadeiras. Acesso em 28/05/2011.

LOTTI, R. S. Aplicabilidade científica do método dos elementos f initos . R dental Press Ortodon Ortop Facial, Maringá V.11, n°2, p 35 -43. março / abril 2006.

OLIVEIRA, E. J. Biomecânica básica para ortodontistas . 1. ed. Belo Horizonte:

UFMG,2000. 196 p.

RESENDE, V. O Método de Galerkin. Dissertação de mestrado. Universidade

Estadual de Maringá. Paraná, 2005. P 4-5.

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