UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIAFACULDADE DE MATEMÁTICA

PROJETO PIBEG

Unidade III

MÉTODO DOS MÍNIMOSQUADRADOS

Problema 1

A tabela seguinte fornece a

população do Brasil (em milhões de

habitantes) desde 1872:

Ano 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Pop. [milhões] 9.9 14.3 17.4 30.6 41.2 51.9 70.9 93.1 130 150

Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano 2000

empregando o Método dos Quadrados Mínimos.

Problema 2

Durante a reação de saponificação de quantidades equimolares de

hidróxido de sódio e acetato de etila, a concentração C (mol/L) varia

com o tempo t (min) de acordo com a equação:

na qual C0 é a concentração inicial e k (L/molxmin) é a constante da

reação. Os seguintes resultados foram obtidos em ensaio de

laboratório, a temperatura de 25°C:

ktCC

0

11

t [min] 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10.0 12.0 15.0 20.0 25.0

1/C [l/mol] 24.7 32.4 38.4 45.0 52.3 65.6 87.6 102 135 154 192

Obter a estimativa da constante de reação e da concentração inicial,

empregando o método dos mínimos quadrados.

Problema 3

Seja M a massa de um material

radioativo. Num laboratório foram

feitas as seguintes medições

Determine o instante em que teremos uma massa de 1 decigrama

sabendo-se que M(t) = M0 eat onde M0 é a massa do material no

instante t = 0.

t [anos] 1 2 3 4 5 6

M [mg] 8.75 4.5 2.38 1.75 1.34 1.0

Problema 4

Mr. K. P. Lear (1609) teve a idéia de que a terra se move ao redor do

sol em órbita elíptica, com o sol em um dos focos. Depois de muitas

observações e cálculos, obteve-se a tabela seguinte, onde r é a

distância da terra ao sol (em milhões de km) e é o ângulo (em graus)

entre a linha Terra-Sol e o eixo principal da elipse.

graus] 0 45 90 135 180

r [106 km] 147 148 150 151 152

Sabendo que uma elipse pode ser escrita

pela fórmula:

)cos(1

r

Estime os valores de ρ e ε.

Problema 5

ω/c[água/cimento] 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

σ [Resistência] 7000 6125 5237 4665 4123 3810 3107 3070 2580 2287

A resistência à compressão do

concreto, σ, decresce com o

aumento da razão água/cimento, ω/c

(em galões de água por saco de

cimento). A resistência à

compressão de três amostras de

cilindros para várias razões ω/c está

mostrada na figura ao lado e na

tabela abaixo:

Usando o método dos mínimos quadrados, ajuste σ aos dados,

utilizando uma função do tipo:c

kek

2

1

Problema 6

A tabela, ao lado, relaciona a quantidade

ideal de calorias, em função da idade e

do peso, para homens que possuem

atividade física moderada e vivem a uma

temperatura ambiente de 20° C.

p

i

25 45 65

50 2500 2350 1950

60 2850 2700 2250

70 3200 3000 2550

80 3550 3350 2800

a) Usando o método dos mínimos quadrados, encontre uma

expressão da forma:

Cal = bp + ci

que ajuste os dados para homens de 45 anos.

b) Refaça o exercício anterior considerando homens de 70 quilos.

Problema 7

Após serem efetuadas medições

num gerador de corrente contínua,

foram obtidos os seguintes valores,

indicados por um voltímetro e um

amperímetro.

a) Ajuste os dados por um polinômio de grau adequado.

b) Estime o valor a ser obtido no voltímetro quando o amperímetro

estiver marcando 3.05A

I [A] 1.58 1.80 2.15 2.5 3.01 3.5 4 4.5 4.8

V [volts] 210 195 160 120 90 60 80 120 150