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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL
PROGRAMA DE PÓS
AVALIAÇÃO DO RISCO DE RUPTURA EM ANÁLISES DE ESTABILIDADE DE
TALUDES DE BARRA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
AMANDA VIEIRA E SILVA
AVALIAÇÃO DO RISCO DE RUPTURA EM ANÁLISES DE ESTABILIDADE DE
TALUDES DE BARRAGENS DE TERRA UTILIZANDO NÚMEROS
FORTALEZA 2015
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
AVALIAÇÃO DO RISCO DE RUPTURA EM ANÁLISES DE ESTABILIDADE DE
GENS DE TERRA UTILIZANDO NÚMEROS FUZZY
AMANDA VIEIRA E SILVA
AVALIAÇÃO DO RISCO DE RUPTURA EM ANÁLISES DE ESTABILIDADE DE
TALUDES DE BARRAGENS DE TERRA UTILIZANDO NÚMEROS FUZZY
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Civil, do Centro de Tecnologia da
Universidade Federal do Ceará, como requisito
parcial para obtenção do Título de Mestre em
Engenharia Civil. Área de concentração:
Geotecnia.
Orientador: Prof. Dr. Silvrano A. Dantas Neto
Co-orientador: Prof. Dr. Francisco de Assis de
Souza Filho
FORTALEZA 2015
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará
Biblioteca de Pós-Graduação em Engenharia - BPGE
S578a Silva, Amanda Vieira e.
Avaliação do risco de ruptura em análises de estabilidade de taludes de barragens de terra utilizando números fuzzy / Amanda Vieira e Silva. – 2015.
126 f. : il., enc. ; 30 cm. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Departamento de
Engenharia Hidráulica e Ambiental, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil: Geotecnia, Fortaleza, 2015.
Área de Concentração: Geotecnia. Orientação: Prof. Dr. Silvrano Adonias Dantas Neto. Coorientação: Prof. Dr. Francisco de Assis de Souza Filho. 1. Geotecnia. 2. Lógica difusa. 3. Barragens - Segurança. I. Título.
CDD 624.1513
Ao meu pai, Ubirajara (in memorian).
Obrigada eternamente por toda a dedicação,
companheirismo e carinho. A conquista deste
mestrado é igualmente sua... Meu inesquecível
melhor Amigo e companheiro de aventuras...
Ao meu Abba, que me chamou pelo nome
antes de eu nascer e não me tira da memória
um só segundo. Que me fez sentir segura e
amparada ao me carregar em Seu abraço de
Pai, quando enfrentei os furacões dessa
jornada...
AGRADECIMENTOS
Ao meu Abba, que, em meu conceito, foi o primeiro (e continua sendo o melhor)
Engenheiro (de todos os tempos!), capaz de bolar uma solução matemática que mantém
firmes até hoje os fundamentos da terra, assentes sobre uma matriz abissal de magma. A Ele,
que fez da areia um limite para o impetuoso mar, sem esquecer de lhe dar alguns graus de
liberdade – para viver e permitir que nele se viva. Para Ti, meu Amado, vai meu primeiro e
maior agradecimento. E nele, meu amor e gratidão eternos.
Ao meu pai, Ubirajara (in memorian), meu melhor e mais querido amigo, o grande
incentivador da minha carreira acadêmica, talentosíssimo idealizador de traquinices (na
companhia de quem eu me arrisquei a cometer várias delas), exímio contador de “causos” e
poço infindável de histórias, todas elas motes perfeitos pra gargalhadas memoráveis. Como o
senhor me faz falta! E como eu gostaria de ter tido o prazer de gastarmos, eu, você, Davi e
mamãe, ao menos mais uma tarde juntos, soltando pipa na praia, deixando todo mundo
confuso: “o que vocês tanto olham pro céu, se já tá de noite e não dá pra ver nada lá?”. A
gente sempre caía na gargalhada e apontava pro lugar onde estavam nossas pipas. Toda vez
que eu olhar pro céu com pipas no entardecer, vou te mandar um beijo cheinho de saudade, e
todo o meu carinho de filha, conselheira n° 1 e companheira de traquinices.
À minha mãe, Iolanda, por todas as vezes que tomou conta de tudo (inclusive do lindo
Davi), enquanto eu estava mergulhada nas “nuvens” fuzzy dessa dissertação, ou nas minhas
reuniões com meus orientadores. A senhora tem um peso de importância tão grande quanto
meu orientador neste trabalho, mesmo sem ter colocado uma vírgula nele. Sem você,
certamente eu não teria condições de ter ido tão longe. Obrigada, Mãe, por ser tão paciente e
generosa comigo. E por todos os sacrifícios em meu favor ao longo de toda a minha vida. Eu
tenho plena consciência de que não mereço nem a metade deles.
Ao meu filho, Davi Samuel, um presente do céu que veio pra mim em forma de bebê. Seu
sorriso é inconfundível. Inesquecível. Dos mais marcantes que eu já vi. Você tem essa
habilidade de amar as pessoas só com o olhar, e me amou desse jeito desde o primeiro
instante em que pus meus olhos em você na maternidade, e beijei seu pezinho miúdo. Por
todas as horas em que você me arrancou de perto desse computador, porque estava com fome
ou porque queria brincar comigo, e acabou me concedendo momentos incríveis, nessa
aventura de tirar o fôlego que é ser sua Mãe. Você é encantador, meu filho. E ser Mãe pra
você é intergalacticamente bom demais!
À Taka, Tuga e HF, que em nenhum outro momento da minha vida fixaram tanto os olhos
em mim, à espera de que eu finalmente os percebesse e atendesse a seus pedidos. Água nova,
ração com franguinho ou só um carinho. Juntos, vocês me deram mais razões que o Davi pra
largar meu trabalho pela metade! E, em troca, me proporcionaram momentos em que eu pude
relaxar; meu merecido descanso. E também amor sem reservas, um milhão de lambeijos e
dezenove netinhos: my cute, little Puglets!
À minha “irmã de alma”, Ivana Vieira. Menina, distância pra nós não existe. Estamos perto
todos os dias, mesmo quando não nos falamos. Seu coração e o meu estão sempre em
sintonia, nos nossos tão frequentes “transmimentos de pensação”. Obrigada por ser a melhor
irmã de todas as amigas, e por me lembrar sempre de quem eu realmente sou na essência: a
eterna Menina, irmã de alma da outra Menina!
Às minhas irmãs do coração, Francinalda Xavier, Lara Rachel Pace, Sonia Foley e Linda
Ruttle. Tempo e alguns oceanos de distância pra nós jamais arrefeceu o cuidado que temos
uma com a outra. O amor e o apoio de vocês é um presente de Deus que recebo todos os dias.
Vocês são parte fundamental da minha vida. Thank you, my prayer warriors and always
present supporters!
Ao meu orientador, Professor Silvrano Dantas. Obrigada pelas experiências nestes sete
anos de convivência. O senhor foi um dos professores que mais marcaram minha vida
acadêmica, com quem aprendi muito, e ainda aprendo, todo dia. Obrigada por ter me
compreendido e acolhido no momento mais difícil da minha vida, quando pouquíssimas
pessoas o fizeram. O senhor tem meu carinho, consideração, admiração e gratidão,
eternamente!
Ao Professor Assis Souza Filho, meu co-orientador, com quem muito aprendi e continuo
aprendendo. O senhor figura na lista dos professores que mais admiro, em quem eu sempre
enxerguei um senso de dever muito apurado, e um forte compromisso com seus colegas de
departamento, com a nossa universidade e com a formação dos seus alunos. Um exemplo
ímpar pra mim!
Aos Professores Adriano Frutuoso e Guilherme Barreto, por toda a ajuda, incentivo e
reuniões de aclaramento de ideias, mas muito mais por aceitarem a missão de avaliar este
trabalho, contribuindo com suas valiosas impressões e considerações.
Ao Professor Rodrigo Codes, amigo de tão longa (e ao mesmo tempo tão curta!) data,
pelos sacrifícios em meu favor durante a graduação (não me esqueci deles), pelos tantos
artigos e livros sobre lógica fuzzy comutados, e pelo carinho de sempre, que não diminui,
mesmo apesar do tempo e dos encontros agora tão curtos e raros. Você é uma pessoa que eu
tenho em alta consideração!
Ao Professor Raimundo Oliveira de Souza, pela ajuda com as impressões técnicas acerca
das nossas hipóteses fuzzy, que nos proporcionaram mais claridade no raciocínio.
À Professora Lucy Vidal, do Departamento de Computação da UFC, por ter me guiado a
um dos fuzzy experts que conhecia, o Professor Júlio Tôrres, e a este, obrigada pelos livros
sobre lógica fuzzy cedidos, e pela aula inesquecível sobre fuzzy e fractais, tão insólita e
reveladora!
Ao Professor Alfran Sampaio, pelas conversas orientativas e tão úteis, e pelos conselhos,
sempre tão práticos e diretos. O senhor é um exemplo de professor e de profissional pra mim,
e meu carinho e consideração por sua pessoa são absolutamente indiscutíveis!
Ao Professor Chagas Filho, como professor do curso de Geotecnia, por todo o
conhecimento transmitido, e pelas boas risadas que demos juntos, em sala de aula e fora dela!
Ao meu colega de departamento, Daniel Cid, pelo valioso pontapé inicial na viagem fuzzy
que eu fiz através dessa dissertação, e por toda a cooperação e carinho de sempre!
Aos meus amigos Taqueiros: Carla Beatriz Costa, Viviane Agostinho, Flávia Mendes,
Shirley Gomes, Neuza Firmino, Mariana Vela e Yan Carlos (Cubano). Pelos encontros e
horas de estudo juntos, varando a madrugada, e por toda a ajuda, incentivo e risadas que me
concederam ao longo destes anos de convivência. Vocês valem ouro!
Aos meus amigos, Fabíola Costa e Rosiel Leme, meu companheiros de jornada no ofício
mais importante que recebemos da vida: sermos pais/mães ainda enquanto mestrandos e
doutorandos. Fico feliz de poder trocar com vocês experiências do meu aprendizado pessoal
de mãe, e de ter, em vocês dois, gente de bem com quem eu sei que posso contar, sempre que
precisar. Por todo o carinho e apoio (principalmente, nas horas complicadas), obrigada!
Aos meus colegas de turma: Antônio Nunes, Alex Duarte, Victor Hugo Bonan, Ícaro
Sampaio, Ygor Carvalho e Fernando Monteiro. Vocês são aquelas figurinhas do meu álbum
de recordações do mestrado – raras, difíceis de achar, e que eu vou guardar na memória pra
sempre! Obrigada por serem estas pessoas tão incríveis!
Aos queridos servidores do DEHA, Shirley, Neuza, Erivelton, Monalisa, Nayara, Jovi, e
Terezinha, a espinha dorsal desse departamento, pela disposição em ajudar e orientar,
cooperando pra que tudo sempre saísse da melhor forma possível pra nós, os alunos. Vocês
são imprescindíveis e muito queridos!!
Aos amigos do Laboratório de Mecânica dos Solos e Pavimentação da UFC, Roberto
Cordeiro, Carlos Germano, Ana Queiroz e demais colaboradores, pela paciência em me
ensinar, desde os rudimentos, a prática laboratorial de Geotecnia, e pela recepção sempre tão
amável que eu recebia quando por lá aparecia. Obrigada!
Aos servidores e estagiários da Biblioteca de Pós-Graduação em Engenharia (BPGE), em
especial à queridíssima Marlene Rocha, por todo o apoio, solicitude, simpatia e disposição de
nos ajudar, quando necessário. Fica o meu agradecimento a vocês todos e às dezenas de
livros, com os quais eu convivi por tantas semanas, que me nutriram de todo o saber contido
neles!
Ao meu laptop, velho de guerra, que suportou (sem travar!!) o “info-rally” da minha
habilidade feminina de fazer vinte e cinco coisas ao mesmo tempo, e que, mesmo tendo
perdido a visão e um bocado da celeridade tão característica ao longo do caminho, ainda foi
capaz de me acompanhar heroicamente até o final desta dissertação, sem nunca desistir de
seguir além. Para os terabits e avante!
À UFC, a academia que me acolheu pela primeira vez ainda muito jovem, aos 17 anos,
onde me graduei cirurgiã-dentista e engenheira civil, e agora, mestre em geotecnia. Casa que
eu aprendi a amar com tanto zelo, e a defender com toda a garra. Minha universidade do
coração desde sempre... e pro resto da minha vida!
E a todos aqueles que, mesmo sem ter sido nominalmente citados, caminharam ao meu
lado durante esta fase da minha vida, e que experimentaram comigo tanto as rebordosas
quanto as vitórias que ela me trouxe. A vocês, todo o meu carinho e gratidão.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pelo auxílio
financeiro concedido durante o curso, o que permitiu que eu me dedicasse integralmente ao
mestrado, e possibilitou a materialização desta dissertação.
“Fuzzy Logic is pretty compatible with human
reasoning; everything is a matter of degree.”
Jacques G. Ganoulis (adaptado)
RESUMO
Análises de estabilidade de taludes podem ser realizadas com base: (a) no equilíbrio limite; e
(b) no comportamento tensão-deformação de uma massa de solo. A avaliação do risco de
falha de taludes pode ser feita através de abordagens probabilísticas, gerando valores
aleatórios e assumindo distribuições de probabilidade específicas para os parâmetros
geotécnicos de interesse. Esta pesquisa tem como objetivo desenvolver e implementar uma
metodologia de avaliação do risco de ruptura de taludes de barragens de terra, através da
aplicação dos conceitos de operações com números fuzzy às expressões de obtenção do fator
de segurança à ruptura dos métodos de Fellenius (1936) e de Bishop Simplificado (1955),
como alternativa aos métodos probabilísticos. O caso da Barragem Olho d'Água, construída
no Município de Várzea Alegre, Estado do Ceará, foi o escolhido para a aplicação e validação
do modelo proposto, considerando operação com fluxo estacionário e carga hidráulica atuante
máxima. Tendo seus resultados comparados àqueles obtidos para a mesma barragem por
Araújo (2013), que assumiu distribuições de probabilidade gama para a coesão e beta para o
ângulo de atrito, os modelos fuzzy, que empregaram funções de pertinência trapezoidais e
triangular, mantiveram a tendência de conservadorismo peculiar às vertentes determinísticas
dos dois métodos de análise de estabilidade de taludes utilizados. O modelo fuzzy para Bishop
Simplificado (1955) indicou índices de falha de 1% e 8% para o talude de jusante do
barramento, sinalizando risco real de ruptura (confirmado por seu desempenho de campo,
insatisfatório desde o início da operação), cenário não revelado pelas análises probabilísticas,
que apontaram probabilidade de falha nula. A metodologia fuzzy ora apresentada não requer a
adoção de funções de densidade de probabilidade para os parâmetros geotécnicos de interesse,
e propicia a realização de análises de estabilidade de taludes em um tempo computacional
muito menor, sem perdas na qualidade nos resultados, necessitando apenas dos dados de
alguns ensaios de laboratório, do julgamento técnico de um especialista e de uma planilha de
cálculo. Isto torna a abordagem fuzzy uma alternativa mais simples e rápida que a
probabilística, e de futuro promissor na aplicação às análises feitas na prática cotidiana de
Geotecnia.
Palavras-chave: Análise de estabilidade de taludes. Incertezas. Lógica Fuzzy. Método de
Fellenius. Método de Bishop Simplificado. Fator de Segurança. Barragem Olho d’Água.
ABSTRACT
Slope stability analyzes can be performed based on: (a) the limit equilibrium; and (b) the
stress-strain behavior of the soil mass. The evaluation of the risk of slope failure can be
performed through probabilistic approaches, generating random values and assuming specific
probability distributions for the geotechnical parameters of interest. This research aims to
develop and implement a methodology for assessing the risk of slope failure in earth dams,
through applying the rules of operation with fuzzy numbers to the expressions for the factor of
safety of Fellenius (1936) and Bishop Simplified (1955) methods, as an alternative to
probabilistic methods. The case of Olho d'Água Dam, built in the city of Várzea Alegre, State
of Ceará, was chosen for the application and validation of the proposed methodology,
considering operation with steady-state flow and maximum hydraulic load. Compared with
the results, for the same dam, obtained by Araújo (2013), who assumed probability
distributions, gamma for cohesion and beta for the friction angle, the fuzzy models, which
employed trapezoidal and triangular membership functions, maintained the conservatism
trend, peculiar to the deterministic approaches of both used methods of slope stability
analysis. The fuzzy model for Bishop Simplified (1955) reported failure rates of 1% and 8%
for the dam downstream slope, indicating a real risk of failure (confirmed by its field
performance, unsatisfactory since the start of operation), scenario not revealed by
probabilistic analyses, which pointed out a zero probability of failure. The fuzzy methodology
presented herein does not require the adoption of probability density functions for the
geotechnical parameters of interest, and provides the realization of slope stability analyses
within a much smaller computational time, without quality losses in the results, requiring only
the data of some laboratory tests, the technical judgment of an expert, and a spreadsheet. This
makes the fuzzy approach a simpler alternative and faster than the probabilistic one, and with
a promising future in its application to the analyses performed in everyday Geotechnical
practice.
Keywords: Slope Stability Analysis. Uncertanties. Fuzzy Logic. Fellenius Method. Bishop’s
Simplified Method. Factor of Safety. Olho d’Água Dam.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Funções de pertinência: (a) triangular, (b) trapezoidal, (c) gaussiana, (d) sino
generalizada, (e) sigmoide, (f) forma de Z, (g) forma de S e (h) forma de π......................... 36
Figura 2.2 – Representação da função de pertinência trapezoidal do número fuzzy C� . ............ 37
Figura 2.3 – Representação de uma função de pertinência triangular. ..................................... 38
Figura 2.4 – Representação de um número fuzzy como intervalo para um nível de pertinência
h. ............................................................................................................................................. 39
Figura 2.5 – Representação de dois conjuntos fuzzy, (a) Ãe (b)B�, e os respectivos extremos
do intervalo para um mesmo grau de pertinência (h-level). ................................................... 40
Figura 3.1 – Vista geral da Barragem Olho d’Água. ................................................................ 47
Figura 3.2 – Seção transversal considerada para a Barragem Olho d’Água. ........................... 48
Figura 3.3 – Condições de contorno para o desenvolvimento dos métodos de análise da
estabilidade de taludes baseados na condição de equilíbrio limite da massa de solo. ........... 50
Figura 3.4 – Critério de ruptura de Mohr-Coulomb. ................................................................ 51
Figura 3.5 – Funções de pertinência para o número fuzzy c'� – Caso 1. .................................... 59
Figura 3.6 – Funções de pertinência para o número fuzzy φ'� – Caso 1. .................................... 60
Figura 3.7 – Funções de pertinência para o número fuzzy c'� – Caso 2. ................................... 61
Figura 3.8 – Funções de pertinência para o número fuzzy φ'� – Caso 2. ................................... 61
Figura 3.9 – Funções de pertinência para o número fuzzy c'� – Caso 3. ................................... 62
Figura 3.10 – Funções de pertinência para o número fuzzy φ'� – Caso 3. ................................. 63
Figura 4.1 – Linhas equipotenciais, superfície potencial de ruptura e resultados das análises
determinística e probabilística pelo Método de Fellenius (1936). ......................................... 66
Figura 4.2 – Linhas equipotenciais, superfície potencial de ruptura e resultados das análises
determinística e probabilística pelo Método de Bishop Simplificado (1955). ....................... 66
Figura 4.3 – Função de pertinência para o FS obtido para o Caso 1 (função trapezoidal). ...... 69
Figura 4.4 – Função de pertinência para o FS obtido para o Caso 2 (função trapezoidal com
menos incertezas). .................................................................................................................. 69
Figura 4.5 – Função de pertinência para o FS obtido para o Caso 3 (função triangular). ........ 69
Figura 4.6 – Comparação entre as funções de pertinência do fator de segurança obtidas pelo
método de Bishop Simplificado (1955) para os Casos 1 e 2. ................................................. 70
Figura 4.7 – Índice de falha (Rf) e função de distribuição acumulada obtidos para as análises
probabilística e fuzzy, usando o método de Bishop Simplificado (1955). ............................. 71
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Propriedades geotécnicas dos solos do maciço compactado e de fundação. ....... 49
Tabela 3.2 – Propriedades geotécnicas dos materiais do maciço compactado e do solo de
fundação utilizadas nos modelos determinísticos. ................................................................. 56
Tabela 4.1 – Dados gerais das superfícies de ruptura resultantes da utilização dos métodos de
Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955). .................................................................... 67
Tabela 4.2 – Fatores de segurança obtidos através dos modelos fuzzy para os métodos de
Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955). .................................................................... 68
Tabela 4.3 – Relação entre nível de desempenho, índice de confiabilidade (RI) e
probabilidade de falha (PF). .................................................................................................... 74
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
BADD Basic defuzzification distributions (distribuições básicas de defuzzificação),
método de defuzzificação
CoA Center of area (centro da área), método de defuzzificação
COGERH Companhia de Gestão dos Recursos Hídricos
FM Fuzzy mean (média fuzzy), método de defuzzificação
FS Fator de segurança
LoM Largest of maximum (maior dos máximos), método de defuzzificação
MoM Mean of maximum (média dos máximos), método de defuzzificação
PDF Função de densidade de probabilidade
PEM Point Estimate Method
RME Rock Mass Excavability
SC-CL Areia argilosa de baixa compressibilidade
SC-SM Areia argilosa com silte
SoM Smallest of maximum (menor dos máximos), método de defuzzificação
USACE U. S. Army Corps of Engineers
LISTA DE SÍMBOLOS
A Ação externa atuante na massa de solo deslizante
A Braço de alavanca da força A
� Ângulo que a base de cada fatia faz com a direção horizontal
c′ Coesão efetiva do solo da base da fatia
c'� Coesão efetiva fuzzy
D Ação externa atuante na massa de solo deslizante
d Braço de alavanca da força D
e Braço de alavanca da força kW
f Braço de alavanca da força N
FS� Fator de segurança fuzzy
FSi(h) Limite inferior do intervalo do fator de segurança
FSf(h) Limite superior do intervalo do fator de segurança
FSave Fator de segurança médio do intervalo ( FSi(h), FSf(h) ) FSc Fator de segurança crítico
φ′ Ângulo de atrito efetivo do solo da base da fatia
ϕ'� Ângulo de atrito efetivo fuzzy
h Nível de pertinência (h-level)
k Coeficiente de conversão de ação sísmica para a ação estática equivalente
L Comprimento da base de cada fatia
M� Momentos resistentes
M� Momentos solicitantes
μ�(x) Grau de pertinência do elemento x ao conjunto A
N Força normal atuante na base da fatia
N� Força normal fuzzy
Ni(h) Limite inferior do intervalo da normal
N�(h) Limite superior do intervalo da normal
PF Probabilidade de falha
R Raio da superfície potencial de ruptura circular adotada
Rf Índice de falha
RI Índice de confiabilidade (Reliability Index)
σ Tensão normal
σ� Tensão normal principal maior
σ� Tensão normal principal menor
τ Tensão cisalhante
τ�á� Tensão cisalhante máxima
u Poropressão atuante na base da fatia
U Universo de discurso fuzzy
W Peso da fatia
x Braço de alavanca da força W
X� Variável fuzzy genérica
X�(h) Intervalo do número fuzzy X no nível de pertinência h
xi (h) Valor mínimo da variável X no nível de pertinência h
xf (h) Valor máximo da variável X no nível de pertinência h
XL Forças interfatias cisalhantes à esquerda da fatia
XR Forças interfatias cisalhantes à direita da fatia
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 18
1.1. Motivação da pesquisa ............................................................................................. 18
1.2. Objetivos ................................................................................................................... 20
1.3. Metodologia empregada .......................................................................................... 21
1.4. Escopo do trabalho .................................................................................................. 22
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 24
2.1. Risco e Incertezas em Geotecnia ............................................................................. 24
2.2. Lógica fuzzy .............................................................................................................. 28
2.1.1. Breve histórico ................................................................................................... 28
2.1.2. Estudos aplicando a teoria fuzzy a problemas de Engenharia ........................ 29
2.1.3. Definindo e representando conjuntos e números fuzzy ................................... 33
2.1.4. Operações com números fuzzy .......................................................................... 40
2.1.5. Defuzzificação .................................................................................................... 43
2.3. Considerações Parciais ............................................................................................ 44
3. METODOLOGIA .............................................................................................................. 46
3.1. Barragem Olho d’Água ........................................................................................... 46
Maciço Compactado ............................................................................................................... 49
Solo de Fundação .................................................................................................................... 49
3.2. Definição do problema ............................................................................................. 49
3.2.1. Modelos determinísticos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955) ....... 56
3.3. Definição e fuzzificação das variáveis de entrada ................................................. 57
3.3.1. Caso 1: Função de pertinência trapezoidal ........................................................... 58
3.3.2. Caso 2: Função de pertinência trapezoidal com estreitamento do intervalo de
valores extremos .................................................................................................................. 60
3.3.3. Caso 3: Função de pertinência triangular ............................................................. 61
3.4. Defuzzificação ........................................................................................................... 63
3.5. Comparação entre os resultados dos modelos determinístico e fuzzy ................. 64
3.6. Considerações Parciais ............................................................................................ 64
4. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ....................................................................... 65
4.1. Avaliação da estabilidade da Barragem Olho d'Água via metodologias
determinística e probabilística ........................................................................................... 65
4.2. Modelos fuzzy para os métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955)
................................................................................................................................... 67
4.3. Avaliação do risco de falha da Barragem Olho d'Água ....................................... 70
4.4. Considerações Parciais ............................................................................................ 74
5. CONCLUSÕES .................................................................................................................. 76
5.1. Conclusões ................................................................................................................ 76
5.2. Sugestões para pesquisas futuras ........................................................................... 78
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 81
APÊNDICE A MEMORIAL DE CÁLCULO PARA OS MODELOS
DETERMINÍSTICOS MÉTODOS DE FELLENIUS (1936) E BISHOP
SIMPLIFICADO (1955) .................................................................................................... 83
APÊNDICE B MEMORIAL DE CÁLCULO MODELO FUZZY PARA O MÉTODO
DE FELLENIUS (1936) ..................................................................................................... 86
APÊNDICE C MEMORIAL DE CÁLCULO MODELO FUZZY PARA O MÉTODO
DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) ........................................................................... 105
18
1. INTRODUÇÃO
1.1. Motivação da pesquisa
As análises de estabilidade de taludes, cujos resultados são expressos por um fator
de segurança à ruptura, podem ser feitas utilizando diferentes metodologias, podendo-se citar:
os métodos que se baseiam na condição de equilíbrio limite de uma massa de solo – a
exemplo de Fellenius (1936), Bishop Simplificado (1955), Morgenstern-Price (1965), Spencer
(1967), dentre outros –, e os métodos que consideram o comportamento tensão-deformação da
massa de solo, destacando-se a análise elastoplástica com redução dos parâmetros,
desenvolvida por Griffiths e Lane (1999).
Normalmente, estas metodologias são aplicadas na avaliação da estabilidade dos
taludes de forma determinística, na qual os modelos são alimentados por valores únicos para
os parâmetros geotécnicos, fornecendo também um único valor para o fator de segurança
correspondente. Da forma como é realizada, pode-se observar que, segundo esta metodologia,
a avaliação do risco de ruptura fica prejudicada, uma vez que o fator de segurança por si só
não consegue expressar as incertezas e variabilidades próprias dos parâmetros geotécnicos
utilizados, indicando segurança apenas no que se refere ao equilíbrio da massa de solo.
A avaliação do risco de ruptura de um talude também pode ser feita utilizando-se
uma abordagem probabilística, em razão da variabilidade inerente aos valores dos parâmetros
geotécnicos. Neste tipo de abordagem, são gerados valores aleatórios para os parâmetros
geotécnicos de interesse, assumindo-se uma distribuição de probabilidades específica. Em
seguida, para cada combinação feita entre os parâmetros, é calculado um fator de segurança,
obtendo-se, ao final do processo, um conjunto de valores.
Este conjunto de valores para o fator de segurança pode, então, ser utilizado para
se determinar a probabilidade de ruptura, ou seja: a probabilidade de o fator de segurança ser
inferior a 1,0, permitindo, assim, a avaliação da probabilidade de ruptura do talude em função
da variabilidade dos dados de entrada.
A principal dificuldade ou limitação do emprego dos métodos probabilísticos
reside no elevado tempo computacional necessário para se realizar este tipo de análise, e no
fato de ser necessária a adoção de uma função de probabilidade que seja representativa da
variabilidade de cada um dos parâmetros geotécnicos considerados.
Sabe-se, no entanto, que, de uma forma geral, não existe em Engenharia um
modelo capaz de representar fidedignamente qualquer que seja o cenário analisado. Isto
19
ocorre devido aos vários tipos de incertezas existentes, relacionadas tanto à variabilidade
inerente aos dados de entrada, quanto às hipóteses simplificadoras assumidas para o modelo
considerado.
No caso da Engenharia Geotécnica, especificamente no que se refere à análise de
estabilidade de taludes, isto se torna ainda mais relevante, uma vez que os solos são materiais
bastante heterogêneos, e a reprodutibilidade dos ensaios utilizados para a definição dos
parâmetros pode ser questionada.
Além disso, os métodos de análise de estabilidade de taludes foram desenvolvidos
considerando um grande número de hipóteses simplificadoras, em especial aqueles baseados
na condição de equilíbrio limite da massa de solo, que correspondem à grande maioria dos
métodos utilizados na prática cotidiana.
Em função disto, verifica-se, de modo cada vez mais contundente, a necessidade
de se desenvolver e utilizar ferramentas e metodologias simples, que permitam considerar as
incertezas envolvidas nas análises dos problemas, bem como os riscos consequentes. Neste
contexto, uma das teorias que permite definir e quantificar incertezas em Engenharia é a teoria
dos números fuzzy, que possibilita modelar e manipular matematicamente informações que
carregam alguma incerteza.
Com base nas propriedades dos números fuzzy, e em suas regras de operação,
bastante simples e bem definidas, variáveis com incertezas envolvidas podem ser
transformadas em números fuzzy, e, a partir daí, consideradas em um determinado modelo
constitutivo, cuja resposta represente o comportamento do material. Assim sendo, a resposta
do modelo, apresentada também na forma de um número fuzzy, carregará consigo as
incertezas inerentes às variáveis de entrada.
Seguindo este raciocínio, a utilização da teoria dos números fuzzy nas análises de
estabilidade de taludes, no caso específico de taludes de barragens, pode ser feita, como
alternativa ao emprego dos métodos probabilísticos, permitindo a quantificação do risco de
ruptura de forma mais simples e com menor tempo computacional.
Nestas análises, o fator de segurança à ruptura, determinado pelos métodos
anteriormente citados, pode ser calculado em função dos números fuzzy definidos para as
variáveis de entrada fuzzificáveis, tornando-se também um número fuzzy, a partir do qual é
possível quantificar o risco de ruptura de qualquer talude da barragem, e em qualquer
condição de operação.
Desta forma, esta pesquisa tem como objetivo o desenvolvimento e a aplicação de
uma metodologia que permita avaliar o risco de ruptura de taludes em barragens de terra, por
20
meio da aplicação de regras de operação com números fuzzy, como alternativa ao uso de
métodos probabilísticos.
Para a aplicação e validação da metodologia, foi considerado o caso da Barragem
de Olho d’Água, construída no Município de Várzea Alegre, Estado do Ceará. Para tal estudo
de caso, foi considerada a condição de operação com fluxo em regime permanente e máxima
carga hidráulica atuante.
A aplicação dos conceitos dos números fuzzy na avaliação do risco de ruptura na
análise da estabilidade de taludes de barragens, da forma como foi desenvolvida, se estende a
qualquer dos métodos de análise de estabilidade de taludes existentes, sendo uma alternativa
simples e que requer um tempo computacional significativamente menor que as metodologias
probabilísticas.
1.2. Objetivos
Esta pesquisa tem por objetivo geral desenvolver uma ferramenta de avaliação do
risco de ruptura de taludes de terra, a partir do emprego da teoria dos números fuzzy a
métodos tradicionais de análise de estabilidade de taludes, baseados na teoria de equilíbrio
limite, a saber: Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Esta ferramenta se propõe a ser uma alternativa aos métodos probabilísticos, que
possa ser utilizada na prática cotidiana de Geotecnia, nos casos em que o profissional
disponha de poucos dados de campo (ou resultados de laboratório), e quando estes trazem
consigo um razoável grau de incertezas.
Como objetivos específicos deste trabalho podem ser citados:
(a) Definir o risco de ruptura da Barragem Olho d’Água, que tem origem também
nas incertezas existentes nos parâmetros geotécnicos disponíveis para se avaliar
a estabilidade dos taludes;
(b) Comparar a probabilidade de ruptura resultante da utilização da teoria dos
números fuzzy na avaliação do risco de ruptura de taludes de barragens de terra,
com a probabilidade de ruptura obtida a partir da aplicação de métodos
probabilísticos;
21
(c) Verificar se a tendência de conservadorismo, peculiar a cada método de
estabilidade de taludes analisado, Fellenius (1936) e Bishop Simplificado
(1955), também se reflete nos valores obtidos com os modelos fuzzy
desenvolvidos para os referidos métodos;
(d) Avaliar se as funções de pertinência triangulares – muito mais simples e que
requerem um volume menor de dados –, apresentam resultados compatíveis com
aqueles provenientes de funções de pertinência trapezoidais, e se há ou não
perda significativa da qualidade das respostas quando são utilizadas funções
triangulares;
(e) Mostrar a aplicabilidade das operações com números fuzzy na análise de
estabilidade de taludes, a partir da fuzzificação de dois parâmetros geotécnicos
de resistência ao cisalhamento dos solos, coesão e ângulo de atrito;
(f) Averiguar se é possível realizar a fuzzificação das expressões de métodos
usuais de análise de estabilidade de taludes, Fellenius (1936) e Bishop
Simplificado (1955), para a obtenção de fatores de segurança na forma de
números fuzzy; e
(g) Avaliar o risco de ruptura dos taludes em função do grau de incertezas
existentes nos valores dos parâmetros adotados, de uma forma mais simples que
quando da utilização dos métodos probabilísticos convencionais.
1.3. Metodologia empregada
A metodologia empregada na realização desta pesquisa compreende inicialmente
um levantamento bibliográfico com respeito a risco e incertezas em Geotecnia, fazendo
menção às características mais gerais das metodologias determinísticas e probabilísticas, as
mais comumente empregadas em análise de estabilidade de taludes, e enfocando, de modo
mais pormenorizado, os conceitos relacionados à definição, representação e operação com
números fuzzy.
A etapa seguinte corresponde à coleta de informações acerca da Barragem Olho
d'Água, proveniente dos trabalhos de Dantas Neto e Carneiro (2013) e Araújo (2013),
utilizadas como dados de entrada dos modelos fuzzy apresentados nesta pesquisa para os
métodos de análise de estabilidade de taludes de Fellenius (1936) e de Bishop Simplificado
(1955).
22
As análises probabilísticas realizadas por Araújo (2013) foram reexecutadas,
mantendo os mesmos parâmetros e funções de distribuição de probabilidade assumidos por
aquele autor. As superfícies potenciais de ruptura obtidas nesta análise foram admitidas como
válidas para a implementação dos modelos fuzzy de ambos os métodos de estabilidade.
Da mesma forma, os fatores de segurança e as probabilidades de falha
convencionais, obtidos por Araújo (2013) via métodos probabilísticos, foram armazenados
para posterior comparação com os resultados dos modelos fuzzy, a fim de avaliar o risco de
ruptura apontado pelas duas metodologias (convencional e fuzzy).
Foram, então, concebidos os modelos fuzzy para os métodos de Fellenius (1936) e
de Bishop Simplificado (1955), a partir da fuzzificação das variáveis coesão e ângulo de
atrito, que figuram nas equações de determinação do fator de segurança contra a ruptura dos
citados métodos.
Por fim, a metodologia proposta foi aplicada, empregando os modelos fuzzy
desenvolvidos ao caso da Barragem Olho d'Água, considerando três cenários distintos, que
compreendiam diferentes graus de incerteza e quantidade de resultados de ensaios de
laboratório.
As respostas obtidas nestes três cenários foram comparadas àquelas obtidas pelas
metodologias probabilísticas utilizadas por Araújo (2013), objetivando definir o risco de
ruptura da Barragem Olho d’Água e mostrar a aplicabilidade das operações com números
fuzzy em análise de estabilidade de taludes, através da comparação entre os resultados da
aplicação da teoria dos números fuzzy à avaliação do risco de ruptura de taludes de barragens,
e a probabilidade de ruptura obtida com a aplicação das tradicionais metodologias
probabilísticas.
1.4. Escopo do trabalho
Esta dissertação está estruturada em cinco capítulos. O presente capítulo apresenta
uma breve introdução acerca do tema análise de estabilidade de taludes e das incertezas
envolvidas na avaliação do risco de ruptura dos mesmos, e delineia a indicação de uma
metodologia fuzzy como alternativa aos métodos probabilísticos, bem como aponta a
descrição dos objetivos gerais e específicos e a estruturação geral desta pesquisa.
O segundo capítulo apresenta a revisão bibliográfica, que fundamenta a base
teórica de todo o trabalho, ao abordar assuntos como risco e incertezas em Geotecnia,
23
mencionando pontos relevantes das abordagens determinística e probabilística de
determinação do fator de segurança contra a ruptura de taludes de terra. Este capítulo reporta
também alguns trabalhos que aplicaram a lógica fuzzy a problemas de Geotecnia, e trata mais
detalhadamente dos conceitos relativos à lógica fuzzy – seu histórico, definição e
representação números e conjuntos fuzzy, além de operações com os mesmos e de métodos
usuais de defuzzificação.
A metodologia utilizada na pesquisa é retratada no capítulo terceiro. São
apresentados dados referentes à Barragem Olho d’Água, utilizada como caso de estudo da
metodologia fuzzy proposta, incluindo informações concernentes à fase de construção,
materiais empregados e suas características, patologias observadas durante a fase de operação,
além de descrição dos meios utilizados para a obtenção dos dados de entrada empregados nos
modelos fuzzy, e do desenvolvimento e obtenção das versões finais dos mesmos.
No quarto capítulo, são apresentados os resultados obtidos com a implementação
da metodologia proposta, e no capítulo quinto, as conclusões da presente pesquisa, apontando
os resultados obtidos e os objetivos alcançados, assim como as sugestões para pesquisas
futuras.
Por último, são apresentadas as referências bibliográficas citadas no texto, bem
como os Apêndices A, B e C. No Apêndice A, é apresentado o memorial de cálculo
determinístico dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), cujos
resultados foram utilizadas na comparação com as respostas dos modelos fuzzy desenvolvidos.
No Apêndice B, é apresentado o memorial de cálculo referente ao modelo fuzzy proposto para
o método de Fellenius (1936), e no Apêndice C, o memorial de cálculo para o modelo fuzzy
do método de Bishop Simplificado (1955).
24
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo, são apresentados aspectos relevantes para o tema da pesquisa,
pavimentando a consolidação de uma base teórica que permita a análise coerente da
metodologia proposta e dos resultados obtidos a partir de sua utilização.
Um dos assuntos aqui tratados está relacionado ao risco e às inevitáveis
incertezas, com os quais o engenheiro se depara em diversos momentos da prática profissional
cotidiana, e de modo mais contundente, na fase de definição de valores para os parâmetros de
entrada dos modelos utilizados.
O capítulo comenta as principais características das metodologias mais
comumente utilizadas em análise de estabilidade de taludes – os métodos determinísticos com
base no equilíbrio limite –, cujas respostas carregam consigo diversas incertezas, acumuladas
ao longo de todo o processo de modelagem.
Também são apresentadas duas alternativas aos métodos determinísticos: a Teoria
das Probabilidades, mencionada de modo breve através de alguns de seus traços mais gerais, e
a Teoria Fuzzy, a quem é conferido maior enfoque, sendo explicitados os conceitos básicos a
ela relacionados, bem como descritas as definições e operações fundamentais com números e
conjuntos desta natureza.
2.1. Risco e Incertezas em Geotecnia
A diferenciação entre o significado dos termos risco e incerteza é razão de
controvérsias (VIEIRA, 2005). A palavra “risco” traz à mente a ideia de perigo ou
possibilidade de que algo – em geral, negativo – aconteça.
Para Raftery (1994), o risco tem atributos mensuráveis, característica não
apresentada pela incerteza. Para este autor, o risco estaria sempre atrelado a uma função de
probabilidades, associação não permitida ao conceito de incerteza.
Segundo o U. S. Army Corps of Engineers – USACE (1996), o risco envolve
exposição à possibilidade de injúria ou perda, o que conduz à necessidade de se descrever e
lidar com as incertezas.
Vieira (2005) também afirma que as incertezas que cercam o ser humano em sua
vida cotidiana são a fonte geradora dos riscos que o ameaçam, admitindo-as como pano de
fundo onde são percebidos os riscos.
25
Toda obra de Engenharia apresenta seus riscos, e nela estão embutidas inúmeras
incertezas (VIEIRA, 2005), de forma que jamais será possível determinar, antecipadamente e
com toda a certeza, se o desempenho da mesma será positivo ou se apresentará falhas.
O risco da ocorrência de desastres envolvendo estruturas de terra tem, em razão da
relativamente alta frequência de ocorrência e da seriedade dos consequentes danos, levado os
especialistas em Geotecnia a buscar maior compreensão acerca do comportamento dos solos,
das variáveis que o influenciam e de formas de modelá-los. Surge, assim, a necessidade de se
conceber modelos que sejam capazes de representar e prever, de modo congruente, o
comportamento real de campo das obras geotécnicas.
Na concepção destes modelos, a estimativa dos parâmetros se torna ponto crucial,
considerando que escolhas incorretas nesta fase de definição de parâmetros implicarão em
desvios graves na modelagem, conduzindo-a para longe da intenção inicial de se representar
de modo concorde a realidade analisada.
Baker (1990 apud DODAGOUDAR e VENKATACHALAM, 2000) salienta que
praticamente todos os parâmetros em Engenharia devem, até certo ponto, ser considerados
como variáveis incertas, e que sua imprescindível definição deve ser feita reconhecendo-se
que as incertezas inerentes a eles jamais serão de todo apropriadamente compreendidas e
avaliadas, de sorte que, a somatória delas ao longo do processo de modelagem, culminará na
adoção de valores para os parâmetros que serão apenas aproximados, e não valores reais,
como se a princípio se poderia almejar.
As incertezas relacionadas aos modelos e a seus parâmetros são provenientes de
diversas fontes:
∼ Coleta inadequada de amostras (solo e outros materiais);
∼ Erro no levantamento de dados de campo;
∼ Simplificações na formulação dos modelos e ajustes nas soluções
numéricas;
∼ Equívocos na assunção de hipóteses e condições de contorno, e na escolha
das metodologias de cálculo;
∼ Má aferição dos equipamentos;
∼ Julgamento interpretativo errôneo e imprecisão linguística do operador; e
∼ Vícios na execução de procedimentos experimentais (em desconformidade
com a norma que os preconiza).
26
Em meio a tantas fontes de incertezas, mesmo os resultados dos métodos e
modelos mais sofisticados e apropriados para o cenário representado devem ser encarados
apenas como estimativas (VELLOSO e LOPES, 2011). Dodagoudar e Venkatachalam (2000)
apontam inclusive que, mesmo nos casos de solos considerados como homogêneos, as
incertezas associadas aos parâmetros de resistência ao cisalhamento ainda são bastante
significativas.
Somado a tudo isto, o engenheiro cotidianamente se depara com investigações
geotécnicas insuficientes, tanto em termos quantitativos quanto qualitativos. Diante deste
quadro, torna-se quase impossível executar amostragem satisfatória, que seja capaz de bem
representar um parâmetro qualquer, diante da “pobreza” dos dados de campo de que o
engenheiro frequentemente dispõe. Isto possivelmente resultará em estimativas errôneas para
os parâmetros requeridos, levando a discrepâncias graves entre a previsão realizada e o
comportamento real de campo da estrutura avaliada.
Nestes casos, Lambe e Whitman (1969) advertem que o geotécnico necessita de
alguma experiência prévia e de uma dose razoável de intuição e julgamento interpretativo,
para conseguir realizar a seleção adequada e coerente dos parâmetros. Para Lambe (1973),
isto torna atribuição privativa do engenheiro a avaliação da confiabilidade de cada parâmetro
adotado no projeto por ele conduzido, assim como o saber lidar com dados insuficientes ou
conflitantes, e que podem variar dentro de um intervalo muito amplo de valores.
Destarte, o estudo mais aprofundado das incertezas inerentes à adoção dos
parâmetros nos modelos de Geotecnia torna-se cada vez mais necessário, a fim de que seja
possível quantificá-las e, assim, controlar, de modo mais adequado e com maior segurança, as
variáveis envolvidas, minimizando os riscos da ocorrência de falhas.
A estabilidade de taludes é tema de grande importância para o geotécnico, em
razão do risco real de perdas, econômicas e de vidas humanas, resultantes de desastres
envolvendo a ruptura de estruturas geotécnicas, não raro de grandes proporções,
cotidianamente noticiados pelos meios de comunicação.
Decorre que a previsão da ocorrência de deslizamentos de terra se converte em
temática essencial, todavia ainda mais difícil de ser realizada, em face das inúmeras variáveis
condicionantes de fenômenos desta natureza (SILVA, 2008), como por exemplo: estrutura e
umidade dos solos, clima e relevo da região, padrão de drenagem natural, ocorrência e grau de
avanço do desmatamento e de outros tipos de atividades antrópicas, só para citar alguns.
Em análise de estabilidade de taludes, os métodos mais amplamente utilizados são
os determinísticos com base no equilíbrio limite. Neles, as incertezas não são explicitamente
27
consideradas (DODAGOUDAR e VENKATACHALAM, 2000), mas um valor único – em
geral, a média –, é assumido para os parâmetros de interesse do modelo, sem levar em conta a
variabilidade a eles inerente.
A resposta dos modelos determinísticos é, assim, um valor único, pontual, e que
carrega consigo todo o desconhecimento acumulado durante o processo de definição dos
parâmetros de entrada e da modelagem propriamente dita, o que faz soar razoável a busca por
métodos de desempenho diferenciado.
Gomes (2001) aponta que, como alternativas aos métodos determinísticos,
existem duas outras metodologias aplicáveis ao tratamento do problema das incertezas e
variabilidade intrínseca dos parâmetros. Uma delas é o uso da Teoria das Probabilidades,
primeira ferramenta utilizada para representar a incerteza em modelagens matemáticas.
A Teoria das Probabilidades trata da variabilidade nos parâmetros de modo
quantitativo (em termos de média e variância), e assume que as incertezas se comportam
randomicamente. Sabe-se, no entanto, que nem toda incerteza é randômica, e que alguns tipos
de incertezas não conseguem ser manipulados de modo satisfatório por esta teoria (KLIR e
FOLGER, 1988; DODAGOUDAR e VENKATACHALAM, 2000).
Outra característica importante da Teoria das Probabilidades é que ela depende de
um histórico de dados bastante robusto e consistente, o que nem sempre é possível na prática
rotineira de Geotecnia. Na realidade, corriqueiramente o geotécnico dispõe de um número
muito reduzido de dados, advindos de poucos ensaios de laboratório realizados nas amostras
de solo coletadas em campo.
Esta coleção insuficiente de dados, somada à concomitante dificuldade, apontada
por Dodagoudar e Venkatachalam (2000), de definição do tipo de distribuição de
probabilidade mais adequada a cada variável geotécnica, são dois quesitos que tornam o uso
dos métodos probabilísticos relativamente inconveniente.
Neste sentido, a segunda opção apontada por Gomes (2011) é a Teoria Fuzzy, que
tem se mostrado capaz de preencher de modo mais eficiente as lacunas deixadas pelos
métodos tradicionais, e que não exige um banco de dados tão amplo (GANOULIS, 1994),
caracterizando-a como uma excelente ferramenta para a análise de cenários complexos, em
especial, quando não se tem um bom conhecimento dos mecanismos e das condições de
contorno a eles associados.
28
2.2. Lógica fuzzy
2.1.1. Breve histórico
A principal característica da lógica fuzzy é a representação de uma ideia vaga
sobre o valor de uma determinada grandeza. Assim, ao invés de se atribuir à mesma um valor
único, pontual, passa-se a atribuir um conjunto de valores que podem ser representativos desta
grandeza, dentro de um dado nível de pertinência.
O início dos estudos com respeito à lógica fuzzy foi motivado pela necessidade de
se encontrar uma alternativa capaz de definir valores intermediários que expressassem uma
ideia vaga (não-precisa), contrapondo-se à dicotomia da lógica booleana (pertence ou não
pertence, verdadeiro ou falso), e complementando os valores extremos nela considerados.
Na realidade, um conjunto booleano se constitui em um caso particular do
conjunto fuzzy mais genérico, para o qual somente dois graus de pertinência (0 e 1) são
permitidos (ZADEH, 1965; KLIR & FOLGER, 1988).
A ideia da lógica fuzzy é poder representar não apenas o que é “certo” ou
“errado”, “verdadeiro” ou “falso”, mas também algo “meio certo” ou “mais ou menos
verdadeiro”, que seja capaz de expressar a incerteza na definição de alguma coisa.
Os conceitos abordados no desenvolvimento da lógica fuzzy tiveram seu início
com o trabalho de Jan Lukasiewcz e seus seguidores, na década de 1920, que desenvolveu
inicialmente o conceito da lógica trivalorada (DUBOIS et al., 2007). Esta preconizava a
existência de um valor intermediário – igual a ½ –, adicional aos valores 1 (verdadeiro) e 0
(falso) admitidos na lógica booleana.
Posteriormente, Lukasiewicz propôs outros sistemas lógicos multivalorados, nos
quais o valor intermediário ½ foi expandido, podendo assumir qualquer valor no intervalo
[0,1]. Pode-se considerar, então, que, tanto a lógica trivalorada como a lógica multivalorada
marcaram o início da lógica dos conceitos “vagos”, vindo a ser o embrião da lógica fuzzy
(DUBOIS et al., 2007; KOSKO, 1995).
Em 1937, o matemático logicista Max Black (1937) definiu, em seu artigo
“Vagueness: An Exercise in Logical Analysis”, o primeiro conjunto fuzzy da forma como hoje
se conhece, ainda que de maneira muito incipiente, mas seu trabalho foi ignorado pela
comunidade científica e filosófica de então (KOSKO, 1995).
Somente anos depois, em 1965, é que a ideia dos conjuntos fuzzy foi formalmente
introduzida, com a publicação do artigo “Fuzzy Sets”, do Professor Lotfi Asker Zadeh, da
29
Universidade da Califórnia em Berkeley, onde ele, motivado por problemas relacionados à
classificação de padrões e ao processamento da informação (DUBOIS et al., 2007), discorria
acerca do aspecto vago e impreciso da informação, aplicando a lógica multivalorada de
Lukasiewicz a conjuntos ou grupos de objetos (KOSKO, 1995).
A lógica fuzzy se apresentou como um novo arcabouço formal para se capturar
graus de imprecisão na representação da informação (graus de semelhança, níveis de
incerteza, graus de preferência etc.), dando nova perspectiva ao tratamento matemático das
incertezas, incorporando a imprecisão cotidiana do linguajar e do pensamento humanos
(VIEIRA, 2005).
Ainda na década de 1980, a lógica fuzzy começou a ser efetivamente utilizada em
aplicações industriais. Algumas das primeiras pertenciam à Fuji Electric, um tratamento de
água, de 1983, e à Hitachi, um sistema de metrô inaugurado em 1987 (ABAR, 2011).
Já no início da década de 1990, Japão e Coreia do Sul haviam se tornado líderes
no uso da lógica fuzzy em aplicações industriais, detendo 30 das 38 patentes fuzzy que o
Escritório de Patentes e Marcas Registradas dos Estados Unidos havia concedido até aquele
ano (KOSKO, 1995).
Em decorrência das possibilidades práticas dos sistemas fuzzy e do sucesso de
suas aplicações, a lógica fuzzy é considerada hoje uma técnica padrão, de ampla aceitação na
área de controle de processos industriais, sendo também cada vez mais empregada em
Engenharia Civil como ferramenta de avaliação de incertezas e riscos.
2.1.2. Estudos aplicando a teoria fuzzy a problemas de Engenharia
Desde que a lógica fuzzy foi melhor detalhada por Zadeh (1965), um número
considerável de estudos tem utilizado esta teoria no trato de incertezas em diferentes ramos da
Engenharia, podendo-se citar: Juang et al. (1992), Doudagoudar e Venkatachalam (2000),
Fontenelle e Vieira (2001), Silva (2008), Hamidi et al. (2010), Gomes (2011), Sales et al.
(2014), dentre outros.
Juang et al. (1992) apresentaram um modelo qualitativo de baixo custo que
utilizou a análise de conjuntos fuzzy no mapeamento do potencial de deslizamento de taludes
na região do Monte So-San, na China. A área de estudo foi dividida em diversas subáreas,
para as quais um risco de ruptura individual foi calculado, considerando a influência na
30
estabilidade de encostas naturais de diversos fatores, tais como a origem geológica dos solos,
topografia dos taludes, características meteorológicas e condições ambientais.
As informações de cada subárea foram, ao final, reunidas, compondo um mapa
que definia macrorregiões com diferentes riscos de deslizamento. Os autores concluíram que
o modelo fuzzy por eles proposto se mostrou bastante eficiente na solução do problema
geotécnico do mapeamento de áreas com risco de deslizamento, pois seus resultados foram
bastante compatíveis com os registros oficiais de rupturas de taludes ocorridas nas regiões
analisadas.
Dodagoudar e Venkatachalam (2000) propuseram uma metodologia de análise de
estabilidade de taludes, considerando coesão, ângulo de atrito e poropressão – parâmetros
geotécnicos de entrada com incertezas envolvidas – como números fuzzy trapezoidais, na
forma de intervalos para cada nível de pertinência, e determinando o fator de segurança
através do método de Bishop Simplificado (1955). Esta metodologia permitiu avaliar a
probabilidade de um talude apresentar probabilidade de falha maior que a probabilidade de
falha da superfície de ruptura crítica (determinística).
O modelo fuzzy proposto por Dodagoudar e Venkatachalam (2000) resultou,
segundo eles, em uma probabilidade de falha fuzzy, que forneceu estimativas confiáveis de
segurança em relação à estabilidade de encostas, e foi capaz de fornecer mais informações do
que o valor do FS determinístico isoladamente.
Apesar de os autores empregarem o termo “probabilibade” a esta estimativa fuzzy
de ruptura de encostas, Ganoulis (1994) afirma que os números fuzzy são, na realidade,
consistentes com a noção física de possibilidade de ocorrência de um valor, o que não
determina a probabilidade de que ele ocorra.
Vieira (2005), por sua vez, pontua que o risco fuzzy não é comparável ao risco
probabilístico. Assim, para um parâmetro qualquer, o grau de pertinência 0,4, por exemplo,
define um intervalo de valores que têm possibilidade de ser assumidos pelo referido
parâmetro, enquanto que uma probabilidade de 0,4 denota uma chance de 40% de que aquele
valor específico ocorra.
Ganoulis (1994) ressalta ainda que, se numa análise intervalar, os axiomas e
hipóteses da Teoria da Probabilidade forem, de fato, verificados, o procedimento
probabilístico, tal como o de Dodagoudar e Venkatachalam (2000), se torna uma extensão da
análise intervalar.
O modelo desenvolvido por Dodagoudar e Venkatachalam (2000), apesar de não
ter sido recomendado pelos autores como substituto às abordagens convencionais de
31
confiabilidade, foi indicado como uma alternativa bastante viável, com a finalidade de
comparar projetos desenvolvidos pelas duas metodologias: determinística e fuzzy.
Fontenelle e Vieira (2001) apresentaram uma análise de risco aplicada à
estabilidade do talude de jusante da Barragem de Benguê, Estado do Ceará, para a condição
de operação com reservatório cheio, através do método de Bishop Simplificado.
Em suas análises, foram considerados determinísticos os parâmetros poropressão,
peso específico, coesão e ângulo de atrito, para os seguintes solos: areia do dreno vertical,
aluvião da fundação, e rockfill. Para o solo compactado do maciço, apenas a coesão e o
ângulo de atrito foram assumidos como números fuzzy, do tipo triangular, e poropressão e
peso específico permaneceram considerados como determinísticos.
Os autores utilizaram o software XSTABL, da Universidade de British Columbia,
no Canadá, de cunho determinístico, que forneceu os fatores de segurança utilizados nas
análises probabilísticas, através de cinco diferentes metodologias: (a) simulação de Monte
Carlo com distribuição triangular (100 análises); (b) simulação de Monte Carlo com
distribuição normal (100 análises); (c) simulação de Monte Carlo com parâmetros
interdependentes, pela metodologia de Larson (100 análises); (d) point estimate method –
PEM (4 análises); e (e) teoria dos conjuntos fuzzy (9 análises).
As simulações de Monte Carlo foram realizadas para gerar pares aleatórios de
coesão e ângulo de atrito para solo compactado do maciço, e estes serviram de inputs para o
XSTABL. O software realizou as análises fazendo uso de cada par coesão-ângulo de atrito a
ele fornecido, determinando os fatores de segurança correspondentes, e ao final, a distribuição
de frequências dos mesmos.
A análise fuzzy foi feita considerando quatro níveis de pertinência (0; 0,25; 0,50;
1,0), obtendo uma função de pertinência triangular, que indicou um FS médio de 1,867, e um
risco fuzzy de 19% para FS<1,8, valor que ficou dentro da faixa de variação das
probabilidades resultantes das demais metodologias, e probabilidade de 0% para FS<1,0,
indicando risco nulo de rompimento da barragem.
Silva (2008) desenvolveu um modelo que utilizava regras de inferência fuzzy para
fornecer uma previsão qualitativa do risco de escorregamento de taludes em solos residuais no
Estado do Rio de Janeiro. O modelo considerava diversos fatores que influenciam os
processos de instabilização de encostas (geomorfologia, litologia, pluviosidade, drenagem,
cobertura vegetal, ocupação da encosta etc.), assim como a forma pela qual os mesmos se
inter-relacionam.
32
Como experiência do especialista, Silva (2008) contou com um extenso histórico
de casos de escorregamentos ocorridos no Rio de Janeiro, documentados pela Fundação Geo-
Rio, de onde foram colhidas informações baseadas apenas nas observações de campo do
técnico responsável pela vistoria: tipo de vegetação, natureza do terreno, tipo de drenagem,
características do talude, condições do sistema de drenagem etc.
Estes laudos da Geo-Rio, no entanto, não continham informações relacionadas aos
parâmetros geotécnicos dos materiais envolvidos nos deslizamentos, e não foram utilizadas no
modelo, o que o tornou uma alternativa de baixo custo (por não exigir a execução de ensaios
de laboratório), interessante apenas para uma análise preliminar do risco de escorregamentos.
A fim de confrontar a resposta do modelo fuzzy com a do método determinístico,
o autor apresentou um caso documentado de escorregamento na Serra da Misericórdia, Estado
do Rio de Janeiro. Os resultados mostraram boa congruência entre os resultados das duas
metodologias, para as situações de pós-escorregamento (antes das ações de estabilização da
encosta) e de pós-estabilização, indicando o modelo como uma boa ferramenta de
monitoramento preventivo para encostas localizadas em áreas de risco no Rio de Janeiro.
Hamidi et al. (2010) aplicaram o sistema de inferência Mamdani ao índice RME
(Rock Mass Excavability) de classificação de rochas, para selecionar a técnica e o
equipamento mais apropriados de perfuração de túneis em rocha, a partir da avaliação das
características do material a ser penetrado.
Os autores usaram funções trapezoidais e triangulares, e desenvolveram um
modelo que indicava a facilidade de escavação da rocha avaliada, e observaram que a teoria
dos conjuntos fuzzy se mostrou eficiente na minoração das incertezas e subjetividade
envolvidas na classificação de rochas da forma como é usualmente realizada.
Em sete dos nove casos apresentados no artigo, o modelo fuzzy proposto por
Hamidi et al. (2010) foi mais condizente com os dados medidos em campo para a taxa de
avanço médio de perfuração em rocha do que o sistema de previsão convencional, levando os
autores a concluir que a teoria fuzzy tem confiabilidade aceitável para ser empregada ao caso
dos sistemas de classificação de rochas.
Gomes (2011) propôs uma metodologia, baseada em uma modelagem matemática
dos processos de transporte de poluentes em rios naturais, definindo os parâmetros envolvidos
como funções de pertinência, com o objetivo de solucionar a equação da difusão advectiva
bidimensional, e de determinar o risco de falha e a garantia de sustentabilidade dos rios
sujeitos a lançamentos de poluentes.
33
Seus resultados mostraram que a utilização da metodologia fuzzy proposta pode se
tornar uma alternativa eficiente na avaliação dos impactos decorrentes da contaminação dos
cursos d’água por agentes poluidores, configurando-se como uma ferramenta útil à tomada de
decisão na gestão de recursos hídricos.
Sales et al. (2014), por sua vez, propuseram metodologia para quantificar as
incertezas inerentes aos processos de transporte de poluentes em rios sujeitos a variados tipos
de lançamentos, e suas relações com os mecanismos hidráulicos e hidrológicos que os
influenciam, usando os conceitos da teoria fuzzy como alternativa para estudar o risco de
degradação de sistemas hídricos sujeitos a lançamentos de efluentes.
Os resultados de Sales et al. (2014) indicaram que a formulação por eles proposta
pode se tornar uma alternativa consistente na avaliação dos impactos causados por
derramamento de substâncias poluidoras em cursos d’água, dando lugar a uma gestão mais
apropriada dos recursos hídricos.
2.1.3. Definindo e representando conjuntos e números fuzzy
Oliveira Jr. (1999) afirma que a característica mais importante da lógica fuzzy é a
possibilidade de não “engessar” o grau de dispersão dos dados de diversas situações de
Engenharia, pois que fornece uma base matemática para se tratar imprecisões e incertezas,
intrínsecas a qualquer processo de modelagem, e tão comumente encontradas em Engenharia
(SILVA, 2008).
Segundo Zadeh (1965), um conjunto fuzzy, empregado para representar uma
determinada grandeza, é definido por um grupo de objetos, caracterizado por uma função que
atribui a cada objeto pertencente a um universo U, um grau de pertinência que varia no
intervalo contínuo [0,1]. Ou, tal como definem Juang et al. (1992): um conjunto fuzzy é uma
coleção de pares de números, que consiste em membros do conjunto associados a graus de
“suporte” (ou pertinência) dos mesmos ao referido conjunto.
Deve-se entender, então, cada objeto do conjunto fuzzy como sendo a
representação de um valor do universo U com certo grau de pertinência – situado no intervalo
[0,1] – ao referido conjunto. Assim, um conjunto fuzzy A pode ser expresso como mostra a
Equação 2.1:
34
A = {(x, μ�(x)) | x∈ U, μ�(x) ∈ [0, 1] } (2.1)
em que:
x = valor atribuído a qualquer elemento pertencente ao universo U; e
μ�(x) = grau de pertinência do valor x do universo U ao conjunto A.
A função característica de um conjunto fuzzy é denominada função de pertinência,
e associa, a cada elemento no universo de discurso U, um número real no intervalo [0,1],
conforme indica a Equação 2.2, a seguir:
μ�(x) : U � [0,1] (2.2)
Na lógica fuzzy, a determinação do grau de pertinência de um elemento a um
conjunto fuzzy qualquer é feita a partir do conhecimento do especialista consultado (sendo, em
decorrência disto, um processo subjetivo), ou através da análise de uma série previamente
conhecida de valores para os elementos de um conjunto considerado.
A lógica fuzzy foi desenvolvida de forma a permitir fazer inferências utilizando
variáveis linguísticas, que podem apresentar palavras ou sentenças como valores. A
fuzzificação de uma variável linguística consiste em atribuir a ela um valor ou sentença, como
por exemplo: “muito baixo”, “mais ou menos quente”, “pouco provável” etc.
Seja o exemplo de um conjunto fuzzy B, que representa a variável linguística
“altura” de uma pessoa. A esta variável linguística pode-se atribuir as seguintes variáveis
fuzzy: “baixo” e “alto”. Agora considere uma pessoa com 1,50 m de altura. A esta pessoa, um
especialista pode classificar como baixa, e a esta classificação, ser atribuído um grau de
pertinência 1,0 ao conjunto fuzzy representativo da variável fuzzy “baixo”.
Entretanto, uma pessoa com 1,63 m, pode não ser baixa de acordo com a
percepção do especialista, mas, por outro lado, também pode não ser considerada alta. Então
para este valor, pode ser atribuído um grau de pertinência de 0,6, por exemplo, ao conjunto
representativo da variável fuzzy “baixo”.
Uma pessoa com 1,80 m de altura, entretanto, sendo classificada pelo especialista
como uma pessoa alta, terá à sua altura atribuído um grau de pertinência igual a zero para o
conjunto da variável fuzzy “baixo”. De acordo com estas informações, o conjunto fuzzy B
poderia ser definido como na Equação 2.3:
35
B = {(1,40 , 1); (1,50 , 1); (1,63 , 0,6); (1,80 , 0)} (2.3)
Ao conjunto de valores para os graus de pertinência atribuídos aos valores de uma
variável fuzzy dá-se o nome de função de pertinência, que pode se apresentar de formas
variadas: triangular, trapezoidal, gaussiana (normal), sino generalizada (Gumbell), sigmoidal,
forma de S, Z e π, e variações destas (MATHWORKS, 2008). Todas as formas irão traduzir a
experiência do especialista a respeito do processo investigado. A Figura 2.1, mais adiante,
exibe a representação dos tipos de funções de pertinência acima citados.
Segundo Ganoulis (1994), um número fuzzy X� é um caso especial de um conjunto
fuzzy, diferindo deste por apresentar as seguintes características:
a) Ao contrário das variáveis linguísticas, aos valores constituintes de um número
fuzzy são atribuídos valores numéricos pertencentes ao conjunto dos números reais;
b) Sua função de pertinência apresenta sempre valor máximo igual a 1,0 no intervalo
[0,1] no qual está definida, devendo também ser completamente convexa neste
intervalo: para a, b e c reais quaisquer, com a < b < c, μ�(b)≥min(μ�(a), μ�(c)); c) Sua função de pertinência é sempre unimodal, ou seja, apresenta uma parte
crescente, e a outra parte decrescente; e
d) Eles podem ser submetidos a operações aritméticas e cálculo de funções de uma
forma geral, permitindo, assim, que sejam realizadas análises de incertezas, e que se
estabeleçam modelos de previsão, dentre outras possibilidades.
Do ponto de vista formal, um número fuzzy pode ser definido de forma muito
semelhante à de um conjunto fuzzy como mostra a Equação 2.4 (GANOULIS, 1994):
X� = {(x, μ$�(x)) | x∈ R, μ%�(x) ∈ [0, 1]} (2.4)
36
Figura 2.1 – Funções de pertinência: (a) triangular, (b) trapezoidal, (c) gaussiana, (d) sino
generalizada, (e) sigmoide, (f) forma de Z, (g) forma de S e (h) forma de π.
(a) Triangular (b) Trapezoidal
(c) Gaussiana (d) Sino generalizada
(e) Sigmoide (f) Forma de Z
(g) Forma de S (h) Forma de π
Fonte: Elaborado pela Autora.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 5 10 15 20
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a -µ
Variável X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 5 10 15 20
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Variável X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 4 8 12
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Variável X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 4 8 12
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Variável X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 4 8 12
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Variável X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 4 8 12
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Variável X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 4 8 12
Gra
u d
e P
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ênci
a - µµ µµ
Variável X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 4 8 12
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Variável X
37
Seja agora o exemplo da representação da coesão de um solo na forma de um
número fuzzy. Neste caso, o universo R, conteria todos os números reais possíveis para os
valores da coesão de um solo. Assim, o conjunto fuzzy que representaria os valores de coesão
de um solo específico, construído a partir dos resultados de três ensaios de laboratório, nos
quais tenham sido obtidos os valores de 5 kPa, 8 kPa e 10 kPa, poderia ser dado pela Equação
2.5:
C� = {(0 , 0); (5,0 , 1); (8,0 , 1); (10,0 , 1); (15,0 , 0)} (2.5)
De acordo com esta representação, os valores 5 kPa, 8 kPa e 10 kPa do universo R
apresentam grau de pertinência 1,0 ao conjunto representativo do número fuzzy C� , e os valores
0 e 15 kPa, por não terem sido obtidos nos ensaios realizados, apresentariam grau de
pertinência zero.
Estes limites de 0 e 15 kPa foram definidos segundo a experiência do especialista,
e qualquer valor entre 0 kPa e 5 kPa, por exemplo, tem possibilidade de ocorrer dentro do
conjunto anteriormente definido, mas a este valor é atribuído um grau de pertinência menor
do que 1,0, uma vez que existe apenas uma possibilidade de o mesmo existir, ou seja: de
figurar entre os resultados de ensaios de laboratório realizados para aquele tipo específico de
solo.
Para o conjunto representativo do número fuzzy C� , apresentado na Equação 2.5, a
função de pertinência pode ser representada por uma função trapezoidal, denotada pela tétrade
[a, b, c, d], onde a e d correspondem aos extremos (mínimo e máximo) da função, que têm
graus de pertinência & = 0, e b e c, aos graus de pertinência & = 1, conforme a Figura 2.2.
Figura 2.2 – Representação da função de pertinência trapezoidal do número fuzzy C� .
Fonte: Elaborado pela Autora.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 5 10 15 20
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Coesão (kPa)
Função de Pertinência
38
Seja agora outro exemplo de representação da coesão de um solo como um
número fuzzy, de forma a representar as incertezas existentes quando se realiza apenas um
único ensaio para a determinação do seu valor. Suponha que o valor obtido para a coesão no
ensaio realizado seja de 8 kPa.
Neste caso, dependendo das características peculiares ao tipo de solo avaliado, o
Geotécnico poderia determinar, segundo sua experiência pessoal, os valores mínimo de 0 kPa
e máximo de 15 kPa para a função de pertinência, atribuindo, assim, um grau de pertinência
zero para estes dois valores. Já o valor de 8,0 kPa, obtido do ensaio realizado, receberia um
grau de pertinência igual a 1,0.
A função de pertinência assim descrita seria, desta forma, triangular, e denotada
pela tríade [a, b, c], onde a e c corresponderiam aos extremos da função para & = 0 (valores
mínimo e máximo), e b, ao pico da função, associado ao grau de pertinência & = 1, o valor
mais provável (VIEIRA, 2005), conforme demonstra a Figura 2.3.
Figura 2.3 – Representação de uma função de pertinência triangular.
Fonte: Elaborado pela Autora.
A partir deste exemplo citado para a coesão, pode-se perceber claramente que o
risco envolvido na definição de qualquer função de pertinência para um número fuzzy
dependerá muito: (a) da habilidade ou experiência do especialista sobre o assunto a ser
modelado; (b) do grau de investigação realizado; e (c) da variabilidade inerente ao parâmetro
considerado.
Uma vantagem da adoção das funções de pertinência para representar um
determinado número fuzzy é que, ao contrário do que ocorre com as abordagens
probabilísticas, não há a necessidade de se adotar nenhum tipo de distribuição de
probabilidades para o parâmetro considerado.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 5 10 15 20
Gra
u d
e P
ertin
ênci
a - µµ µµ
Coesão (kPa)
Função de Pertinência Triangular
39
Além da forma de representação apresentada na Equação 2.4, um número fuzzy
pode ser representado por meio da definição de um intervalo para cada nível de pertinência h
desejado. Esta análise intervalar é, segundo Ganoulis (1994), o método mais simples de se
considerar as incertezas em um modelo, e, quanto mais informações se tem sobre as
incertezas envolvendo qualquer de seus parâmetros, mais apropriadamente o especialista
consegue ajustá-lo, de modo que se torna possível determinar a possibilidade de que o
parâmetro assuma um certo valor dentro daquele intervalo especificado.
Seja, por exemplo, um número fuzzy X�, representado pela função de pertinência
apresentada na Figura 2.4. Considerando o nível de pertinência h = 0,4, o número fuzzy X�
pode ser representado pelo seguinte intervalo (Equação 2.6):
X�(h)= X�(0,4) = [xi (h), xf (h)] (2.6)
em que:
xi (h) = valor mínimo da variável X, no intervalo correspondente ao nível de pertinência h; e
xf (h) = valor máximo da variável X, no intervalo correspondente ao nível de pertinência h.
Esta forma de representação, apresentada na Figura 2.4, é muito útil quando da
realização de operações com números fuzzy, conforme será visto a seguir.
Figura 2.4 – Representação de um número fuzzy como intervalo para um nível de pertinência h.
Fonte: Elaborado pela Autora.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 4 8 12
Gra
u d
e P
erti
nên
cia
Variável X
xi (h) xf (h)
X� (h)=X� (0,4)
40
2.1.4. Operações com números fuzzy
Na forma como são definidos, os números fuzzy X�podem ser aritmeticamente
manipulados, permitindo a realização de operações básicas, tais como: soma, subtração,
multiplicação e divisão entre os mesmos. Segundo Ganoulis (1994), as operações entre
números fuzzy podem ser feitas considerando-os como intervalos definidos para cada grau de
pertinência, e utilizando as regras da matemática intervalar.
Sejam, então, dois números fuzzy, A� e B�, representados por meio dos seguintes
intervalos, definidos para um dado grau de pertinência (h-level), nas Equações 2.7 e 2.8:
A�(h)= [ai (h), af (h)] (2.7)
B�(h)= [bi (h), bf (h)] (2.8)
A fim de facilitar a compreensão, os conjuntos fuzzy A� e B� acima definidos são
exibidos graficamente na Figura 2.5, abaixo, sendo indicados nos mesmos os respectivos
valores extremos dos intervalos determinados pelas funções de pertinência do conjunto A�
(��, �) e do conjunto B� (��, �), para o mesmo grau de pertinência h em ambos, conforme
segue:
Figura 2.5 – Representação de dois conjuntos fuzzy, (a) A� e (b)B�, e os respectivos
extremos do intervalo para um mesmo grau de pertinência (h-level).
(a) Conjunto fuzzy A� (b) Conjunto fuzzy B�
Fonte: Elaborado pela Autora.
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
Gra
u d
e
Pe
rtin
ên
cia
-µµ µµ
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
h
� ��
A� B�
h
� ��
41
A soma dos números fuzzy A� e B� será também um número fuzzy C� , obtido como a
soma dos intervalos A�(h) e B�(h), para cada grau de pertinência desejado. Assim, o intervalo
representativo para o número fuzzy C��A�⊕B�, no nível de pertinência h, será dado como
mostra a Equação 2.9:
C(h �A�(h ⊕B�(h = [ai(h) + bi(h), af(h) + bf(h)] (2.9)
A subtração de dois números fuzzy A� e B� não é uma operação aritmética possível
de ser realizada diretamente por meio das regras da matemática intervalar. Neste caso, a
operação deve ser feita, para cada grau de pertinência considerado, como a soma entre o
intervalo representativo do número fuzzy A�, e o oposto do intervalo representativo do número
fuzzy B�, qual seja: B��(h)= [–bf (h), –bi (h)].
Assim, a subtração entre os números fuzzy A� e B�, denotada por C��A�⊝B�, será
dada, para o nível de pertinência h, como na Equação 2.10:
C(h �A�(h ⊕B�–(h)= [ai(h) – bf(h), af(h) – bi(h)] (2.10)
A multiplicação entre os números fuzzy A� e B� será também um número fuzzy C� . Neste caso, utilizando a matemática intervalar para cada nível de pertinência, o número fuzzy
C��A�⊗B�pode ser representado pelo intervalo C�(h), conforme a Equação 2.11:
C(h �A�(h ⊗B�(h)= [ai(h).bi (h), af(h).bf(h)] (2.11)
A divisão de dois números fuzzy A� e B�, denotada como C��A� (: B�, é feita a partir
da multiplicação do número fuzzy A� pelo inverso do número fuzzy B�, ou seja, C��A�⊗B���. O
número fuzzy B���, dado na forma intervalar para um dado nível de pertinência h, é definido
como (Equação 2.12):
B�–1(h)= � 1
bf(h),
1
bi(h)� (2.12)
Assim, a divisão entre números fuzzy A� e B�, representadas na forma intervalar, é
dada por (Equação 2.13):
42
C�(h��A(h�(:�B–1(h�= [ai(h) / bf (h), af(h) / bi(h)] (2.13)
Além das operações descritas anteriormente, Ganoulis (1994) cita o princípio da
extensão de Zadeh, o qual pode ser empregado para calcular funções de pertinência de
números fuzzy que sejam função de outros números fuzzy. Para descrever o princípio da
extensão de Zadeh, considere dois conjuntos clássicos X e Y, com uma função f que
estabelece a seguinte relação entre os elementos de X e Y (Equação 2.14):
f = x → y, ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y (2.14)
De acordo com o princípio da extensão de Zadeh, se X� é um número fuzzy cuja
função de pertinência é μX�(x�, a imagem de X� em Y será um número fuzzy Y�, com a função de
pertinência dada pela Equação 2.15:
μX�(x�� �sup�μX�(x�;y�f(x�,x∈X,y∈Y�0,nosdemaiscasos ) (2.15)
Conforme apresentado por Ganoulis (1994), se o número fuzzy X� for definido
como um produto entre dois outros números fuzzy, a função de pertinência μX�(x� na Equação
2.15 deve ser considerada conforme a Equação 2.16:
μX�(x�� �sup�min(μX�(x��;y�f(x�,x∈X,y∈Y�0,nosdemaiscasos ) (2.16)
Os procedimentos descritos anteriormente mostram que, utilizando as regras da
matemática intervalar para cada nível de pertinência h, e o princípio da extensão de Zadeh, as
operações com números fuzzy podem ser realizadas, permitindo a utilização da teoria dos
números fuzzy em diversos modelos de previsão de comportamento de materiais e estruturas,
o que inclui os solos.
43
2.1.5. Defuzzificação
A aplicação de regras de inferência ou de operações com números ou conjuntos
fuzzy conduzem a um resultado (output) que também é fuzzy (VIEIRA, 2005). Uma vez obtido
o conjunto fuzzy de saída, o passo seguinte consiste da defuzzificação.
Segundo Hamidi et al. (2010), a defuzzificação é a maneira pela qual um valor
numérico determinístico (crisp) é extraído de um conjunto fuzzy de saída, como um valor
representativo do mesmo, e que permite tirar conclusões sobre as operações fuzzy realizadas.
Uma gama considerável de métodos de defuzzificação é descrita na literatura.
Dentre os mais comumente citados, e utilizados por autores como Zhao e Govind (1991),
Yager e Filev (1993), Hamidi et al. (2010) etc., são nomeados os seguintes métodos:
i. Centroide (Center of area – CoA);
ii. Média dos máximos (Mean of maximum – MoM);
iii. Mínimo dos máximos (Smallest of maximum – SoM);
iv. Maior dos máximos (Largest of maximum – LoM);
v. Valor fuzzy médio (Fuzzy mean – FM); e
vi. Método básico de distribuição (Basic defuzzification distributions – BADD).
Dentre estes, o método do centroide (CoA) é o mais difundido, principalmente em
razão da simplicidade de seu cálculo (HAMIDI et al., 2010). O conjunto fuzzy resultante das
operações realizadas é representado por um valor único, que corresponde ao centro gravidade
da área delimitada pela curva que representa a função de pertinência, em escala e dentro da
faixa da variável ou conjunto de saída.
O método CoA de defuzzificação em um domínio contínuo é definido pela
Equação 2.17 (HAMIDI et al., 2010):
CoA = � μ�(z)zdz ���
���
� μ�(z)dz ���
���
(2.17)
em que:
CoA = valor do centroide da área delimitada pela função de pertinência da variável ou
conjunto de saída;
μ�(z) = função de pertinência do conjunto de saída;
44
z = valor da variável linguística; e
xmin e xmax = valores extremos da variável linguística (mínimo e máximo).
Segundo Tanscheit (2003), as formas das funções de pertinência dos conjuntos
fuzzy são melhor interpretadas quando a defuzzificação é feita pelo método do centroide, já
que toda a função de pertinência é levada em consideração na defuzzificação. Para Bandemer
e Gottwald (1995), o método do centroide é o que retorna a melhor correlação entre os
múltiplos valores de saída (outputs) do modelo fuzzy empregado. Isto é particularmente
interessante para os casos de conjuntos fuzzy convexos.
Outros métodos de defuzzificação, em especial aqueles do tipo “máximo”, tais
como o média dos máximos (MoM), mínimo dos máximos (SoM) e maior dos máximos
(LoM), ignoram a informação concernente à função de pertinência fora do trecho de máximo,
e, quando avaliam vários conjuntos de saída concomitantemente, tendem a privilegiar aqueles
que exibam funções de pertinência com valores mais altos (BANDEMER & GOTTWALD,
1995; TANSCHEIT, 2003).
Neste trabalho, o método do centroide foi eleito como o método de defuzzificação
padrão, por ser simples e prático, e não exigir a introdução de qualquer preferência do usuário
(CHEN, 2005), tal como ocorre no MoM, LoM e SoM, vindo a ser um dos que melhor
interpreta as formas das funções de pertinência dos conjuntos de saída (TANSCHEIT, 2003).
2.3. Considerações Parciais
Neste capítulo de revisão bibliográfica, foram abordados os temas relevantes para
o entendimento da metodologia utilizada no presente trabalho, a saber: risco e incertezas,
métodos tradicionais de equilíbrio limite para análise de estabilidade de taludes, bem como
uma descrição mais detalhada da teoria dos conjuntos fuzzy: esboço histórico, formulação
básica, além da definição e representação de números e conjuntos fuzzy, e das operações com
os mesmos.
Sendo o risco inerente a praticamente todos os processos em Engenharia, torna-se
necessário conceber modelos que o levem em consideração, e que sejam capazes de bem
representar e prever o comportamento de campo das obras geotécnicas. Na concepção destes
modelos, a estimativa dos parâmetros se torna ponto crucial, já que estes são variáveis
incertas, que podem assumir valores dentro de um intervalo de variação relativamente amplo.
45
Em Geotecnia, a análise da estabilidade de taludes é tema de grande importância,
em razão do risco real de perdas – econômicas e de vidas humanas –, resultantes de eventual
ruptura das estruturas geotécnicas consideradas.
Em análise de estabilidade de taludes, os métodos mais comumente utilizados são
os determinísticos com base no equilíbrio limite, cuja resposta carrega consigo uma série de
incertezas. Como alternativa a eles, em geral, outras duas metodologias são utilizadas: a
Teoria das Probabilidades e, mais recentemente, a Teoria Fuzzy.
Em relação à teoria fuzzy, foram explicitados, no presente capítulo, a definição e a
forma de representação de números e conjuntos fuzzy, e de suas funções de pertinência, assim
como foram também mostrados princípios de operação com números fuzzy e alguns métodos
de defuzzificação, conceitos utilizados na implementação do modelo fuzzy que será
apresentado no Capítulo 3.
46
3. METODOLOGIA
Neste capítulo, são apresentadas as etapas de desenvolvimento dos modelos fuzzy
para os métodos determinísticos de análise de estabilidade de taludes de Fellenius (1936) e
Bishop Simplificado (1955), para a avaliação do risco de ruptura de taludes de barragens de
terra.
Este modelo fuzzy desenvolvido foi aplicado ao caso da Barragem Olho d’Água,
localizada no distrito de São Vicente do Município de Várzea Alegre, Estado do Ceará, na
condição de operação com fluxo permanente e máxima carga hidráulica atuante, a partir da
definição de três cenários distintos, que representam situações enfrentadas pelo geotécnico na
prática cotidiana de projeto.
Na definição da problemática analisada, são apresentadas as formulações
determinísticas para os métodos de Fellenius (1936) e de Bishop Simplificado (1955), assim
como a formulação referente aos modelos fuzzy desenvolvidos para ambos os métodos de
análise de estabilidade de taludes.
3.1. Barragem Olho d’Água
A Barragem de Olho d’Água (Figura 3.1) é do tipo zoneada, formada por solos
classificados segundo os critérios do Sistema Unificado de Classificação dos Solos (SUCS)
como SC-CL (areia argilosa de baixa compressibilidade) e SC-SM (areia argilosa com silte),
com altura máxima de aproximadamente 24 metros, e talude de montante com inclinação de
1(V) : 3(H), e de jusante com inclinação de 1(V) : 2,5(H).
Como sistema de drenagem interna, foi inicialmente projetado um filtro vertical
combinado com um dreno horizontal, conectado ao rockfill. No projeto original da barragem,
foi ainda prevista a execução de um tapete impermeável de montante, a fim de controlar o
fluxo de água através do solo de fundação, composto basicamente por um solo de aluvião com
espessura variando de 10 a 30 metros, conforme as sondagens de simples reconhecimento
realizadas na fase de elaboração do projeto.
Concluída em 1998, a barragem sofreu uma série de modificações em relação ao
projeto original, mudanças estas que incluíram a definição dos materiais utilizados no aterro
compactado e até alterações mais significativas, tais como a redução do comprimento do
47
tapete impermeável de montante de 120 m para 16 m, sem que tenha sido feito qualquer
registro com respeito às modificações realizadas e aos materiais efetivamente utilizados.
Como consequência destas alterações, no ano de 2009, apareceram os primeiros
problemas na barragem, relacionados a um considerável fluxo de água através do solo de
fundação, com elevadas surgências de água aparecendo no pé do talude de jusante, e diversos
registros de ocorrência do fenômeno de areia movediça a jusante do barramento.
A partir dos problemas ocorridos, foram tomadas algumas providências, com o
intuito de se ter uma melhoria no comportamento da barragem e de monitorar as condições de
fluxo na estrutura. Estas medidas consistiram basicamente da execução de um dreno
longitudinal e de vários poços de alívio a jusante da barragem, de forma a atenuar as
poropressões devidas ao fluxo de água através do solo de fundação, diminuindo, em
consequência, os gradientes hidráulicos atuantes.
Além disto, foram instalados vários medidores de nível de água e piezômetros ao
longo do barramento, a fim de monitorar as poropressões no interior do maciço, obtendo,
assim, informações que pudessem ser utilizadas na avaliação da estabilidade dos taludes.
Informações mais detalhadas com respeito à Barragem Olho d'Água podem ser encontradas
nos trabalhos de Dantas Neto e Carneiro (2013) e de Araújo (2013).
Figura 3.1 – Vista geral da Barragem Olho d’Água.
Fonte: COGERH (2014).
48
Araújo (2013) desenvolveu um estudo a respeito da avaliação da segurança da
Barragem Olho d’Água, aplicando uma metodologia para avaliar a probabilidade de ruptura
da barragem, levando em conta a gama de incertezas existentes no que se refere: (i) aos
materiais utilizados na execução do maciço compactado; (ii) às propriedades dos materiais de
fundação; e (iii) às alterações implementadas em campo em relação ao projeto executivo
original.
Em seu trabalho, Araújo (2013) utilizou os resultados das retroanálises das
condições de fluxo da barragem, feitas por Dantas Neto e Carneiro (2013), a partir do
conhecimento de leituras piezométricas realizadas no barramento desde o ano de 2009. A
Figura 3.2 mostra a seção transversal máxima considerada por Araújo (2013) em suas
análises, também tomada como referência por esta pesquisa.
Figura 3.2 – Seção transversal considerada para a Barragem Olho d’Água.
Fonte: Araújo (2013).
De acordo com as informações levantadas por Araújo (2013), no projeto
executivo da Barragem Olho d’Água, foram estudadas três jazidas de solo, destinadas à
execução do maciço de solo compactado. Destas três jazidas, em amostras de apenas uma
delas foram realizados dois ensaios de cisalhamento direto, para a determinação dos
parâmetros de resistência ao cisalhamento dos materiais (coesão e ângulo de atrito).
Semelhantemente, para o solo de fundação, apenas dois ensaios de cisalhamento
direto foram realizados, em amostras indeformadas, obtidas a partir da cravação no terreno
natural de um amostrador de parede fina do tipo Shelby.
A Tabela 3.1 apresenta os parâmetros de resistência ao cisalhamento para as duas
amostras ensaiadas do solo do maciço compactado, e as duas do solo de fundação.
2.51
16.00 m
44.52 m
31
21
11
2.51
320,40
334.76NA 2
327.61 PZ 3 327.07
PZ 4PZ 2
PZ 1
NA 3
355.40
331.7 333.56332.25
324.74
COTA DE PROJETO = 350 m
COTA MÍNIMA = 344.5 m
NA 1
DAM(COMPACTED SOIL)
DAM SOILFOUNDATION
24.58 m6.00 m6.00 m
39.25 m 26.00 m
6.00 m
SOLO DO MACIÇO
SOLO DE FUNDAÇÃO
49
Tabela 3.1 – Propriedades geotécnicas dos solos do maciço compactado e de fundação.
Propriedade Maciço Compactado Solo de Fundação
Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 1 Ensaio 2
� ′′′′ (kPa) 37,0 33,0 0,0 17,0
φφφφ′′′′(graus) 31,5 27,3 31,9 40,5
Fonte: Araújo (2013).
Uma análise rápida com relação às informações existentes sobre o projeto e
construção da Barragem Olho d’Água aponta prejuízos à confiança em qualquer resultado de
análise de estabilidade de taludes que tenha sido realizada com base em metodologias
determinísticas.
Nem mesmo as análises probabilísticas, como aquelas realizadas por Araújo
(2013), são plenamente confiáveis, pois, de posse apenas de dois dados de ensaios de
laboratório, torna-se difícil a definição satisfatória de grandezas estatísticas que permitam a
geração de um conjunto de valores aleatórios segundo uma distribuição de probabilidades
qualquer, tal como é necessário para a aplicação de metodologias probabilísticas empregadas
em análises de estabilidade de taludes.
Daí a utilidade dos conceitos apresentados anteriormente em relação aos números
fuzzy, uma vez que os mesmos podem ser criados a partir do conhecimento do especialista
sobre valores coerentes e adequados para um dado universo em análise, sendo atribuídos, a
todos os outros valores, graus de pertinência que expressam as incertezas envolvidas,
conforme exemplificado anteriormente para o conjunto fuzzy que representava a coesão de um
solo.
3.2. Definição do problema
O problema tratado nesta pesquisa consiste na utilização de modelos baseados nas
operações com números fuzzy, para a avaliação da estabilidade de taludes de terra, a partir do
emprego de dois métodos que consideram o equilíbrio limite de uma massa de solo, a saber:
Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
As principais hipóteses assumidas no desenvolvimento dos métodos de análise de
estabilidade de taludes que consideram a condição de equilíbrio limite de uma massa de solo
são:
50
(a) É necessária a definição prévia de uma superfície potencial de ruptura;
(b) Os materiais constituintes do talude se comportam segundo um modelo rígido
perfeitamente plástico do tipo Mohr-Coulomb;
(c) A massa de solo encontra-se em condições limite de equilíbrio estático;
(d) O fator de segurança à ruptura é único ao longo de toda a superfície de
ruptura; e
(e) Para todos os solos envolvidos, o fator de segurança é igual para as
componentes coesiva e de atrito, que são as responsáveis pela resistência ao
cisalhamento dos solos.
A avaliação da estabilidade de um talude através dos métodos de equilíbrio limite
é feita, então, considerando-se o equilíbrio estático da massa de solo submetida a um conjunto
de forças externas, conforme mostrado na Figura 3.3 (caso mais geral).
Figura 3.3 – Condições de contorno para o desenvolvimento dos métodos de análise da
estabilidade de taludes baseados na condição de equilíbrio limite da massa de solo.
Fonte: Modificado de Krahn (2004).
Por definição, o fator de segurança (FS) em cada ponto, e em cada plano,
considerado ao longo da superfície de ruptura, é igual à razão entre a resistência ao
cisalhamento oferecida pelo solo e a tensão de cisalhamento mobilizada (atuante) neste
mesmo plano, conforme representado na Figura 3.4.
51
A Figura 3.4 apresenta o estado de tensões atuantes em um ponto qualquer, e a
envoltória de ruptura de Mohr-Coulomb, considerada como representativa da resistência ao
cisalhamento do solo no presente caso.
Quando esta relação entre a resistência ao cisalhamento oferecida pelo solo e a
tensão de cisalhamento mobilizada é maior que 1,0, o solo apresenta resistência suficiente
para suportar os esforços aos quais está submetido, e a massa de solo se mantém estável, não
entrando em ruptura. Em contrapartida, se a relação resulta menor que 1,0, as tensões atuantes
são maiores que as tensões resistentes, fazendo com que haja ruptura no ponto ao longo do
plano considerado.
Figura 3.4 – Critério de ruptura de Mohr-Coulomb.
Fonte: Elaborado pela Autora.
Neste trabalho, serão utilizados os métodos de Fellenius (1936) e Bishop
Simplificado (1955) para a avaliação da estabilidade dos taludes da Barragem Olho d'Água,
descrita anteriormente.
O método de Fellenius (1936) foi considerado em razão de sua referência
histórica, e porque o portfólio de projetos mais antigos desenvolvidos com base nele ainda é
relativamente numeroso (USACE, 2003), não sendo tão raras as ocasiões em que o geotécnico
se depara com algum deles. Ademais, por sua simplicidade, o método permite que seus
cálculos sejam feitos manualmente, utilizando apenas uma calculadora eletrônica, e fornece
um resultado que pode ser utilizado como estimativa inicial para as iterações do método de
Bishop Simplificado (1955).
O método de Bishop Simplificado (1955) foi adotado por ser, ainda hoje, um dos
métodos de análise de estabilidade de taludes mais utilizados em todo o mundo (USACE,
2003), muito bem conceituado, e amplamente recomendado, por diversos autores, para a
52
prática geotécnica rotineira, a exemplo de Lambe e Whitman (1969), USACE (2003), Krahn
(2004), Cornforth (2005) e Das (2007).
As principais hipóteses assumidas no desenvolvimento da formulação do método
de Fellenius (1936) são:
(a) As forças interfatias cisalhantes (XL e XR, mostradas na Figura 3.3) são
desconsideradas;
(b) O método satisfaz apenas à condição de equilíbrio de momentos para toda a
massa de solo; e
(c) O valor da força normal é obtido fazendo-se o equilíbrio de forças na direção
normal à base de cada fatia.
Já para o método de Bishop Simplificado (1955), as principais hipóteses são:
(a) As forças interfatias cisalhantes (XL e XR) são consideradas como sendo de
mesma magnitude (portanto, anulando-se mutuamente nos cálculos, e
culminando em uma resultante igual a zero);
(b) O método satisfaz apenas à condição de equilíbrio de momentos para toda a
massa de solo; e
(c) O valor da força normal é obtido fazendo-se o equilíbrio de forças na direção
vertical.
Ambos os métodos de análise de estabilidade de taludes assumem superfícies
potenciais de ruptura circulares em suas hipóteses de desenvolvimento. Esta condição pode
ser assumida com muito pouca inacurácia para a grande maioria dos casos, a menos que
existam particularidades geológicas que constranjam a superfície potencial de ruptura de
assumir um formato circular (DODAGOUDAR e VENKATACHALAM, 2000).
Considerando as condições de contorno e carregamentos mostrados na Figura 3.3,
e fazendo-se o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C, obtém-se a expressão mostrada
na Equação 3.1 para o fator de segurança (FS):
FS�∑�c'.L.R �N-u.L�.R.tanϕ'�
∑W.x- ∑N.f ∑kW.e�D.d�A.a (3.1)
em que:
53
FS = Fator de segurança em relação ao equilíbrio de momentos [adimensional];
c′, φ′= Coesão e ângulo de atrito efetivos (parâmetros da resistência ao cisalhamento) do
solo da base de cada fatia [kPa];
φ′= Ângulo de atrito efetivo (parâmetro de resistência ao cisalhamento) do solo da base de
cada fatia [radianos];
L = Comprimento da base de cada fatia [m];
R = Raio da superfície potencial de ruptura circular adotada [m];
N = Força normal atuante na base de cada fatia [kN];
u = Poropressão atuante na base de cada fatia [kPa];
W = Peso de cada fatia [kN];
k = Coeficiente de conversão de ação sísmica para a ação estática equivalente
[adimensional];
D, A = Ações externas atuantes na massa de solo deslizante [kPa]; e
x, f, e, d, a = Braços de alavanca das forças W, N, kW, D e A, respectivamente [m].
Pelo método de Fellenius (1936), a força normal N, atuante na base de cada fatia,
é obtida fazendo-se o equilíbrio de forças na direção normal à base da fatia, obtendo-se a
Equação 3.2:
N = W. cosα + D. sinα (3.2)
em que:
� = Ângulo que a base de cada fatia faz com a direção horizontal [radianos].
Já pelo método de Bishop Simplificado (1955), a força normal atuante na base de
cada fatia é obtida fazendo-se o equilíbrio de forças na direção vertical, culminando na
Equação 3.3:
N =W -
c'.L.sinα – u.L.sinα.tanϕ'FS
cosα + sinα.tanϕ'
FS
(3.3)
Nas Equações 3.1 e 3.3, os termos L, R, a, x, f, e, d e α referem-se à geometria da
superfície de ruptura adotada, e podem, portanto, ser considerados como grandezas
54
determinísticas na avaliação da estabilidade do talude. Entretanto, as grandezas relacionadas
ao comportamento do solo, especificamente no que se refere à sua resistência ao cisalhamento
(c′ e φ′), carregam consigo incertezas que dependem basicamente do tipo, quantidade e
qualidade da investigação geotécnica realizada.
Desta forma, assumindo-se estas grandezas com incertezas envolvidas como
sendo números fuzzy, denominados como c'�e ϕ'�, o fator de segurança FS e a força normal N
considerados no método de Bishop Simplificado (1955) serão também números fuzzy,
conforme mostrado nas Equações 3.4 e 3.5, abaixo.
No caso da aplicação do método de Fellenius (1936), apenas o fator de segurança
FS é um número fuzzy. A força normal N permanece sendo considerada apenas como uma
grandeza escalar, uma vez que não é calculada em função de variáveis fuzzy, como pode ser
confirmado na Equação 3.2.
FS�=∑�c'�.L.R+�N�-u.L�.R.tanϕ'��
∑W.x- ∑N�.f+∑kW.e$D.d$A.a (3.4)
em que:
N�=W- c'
�.L.sinα–u.L.sinα.tanϕ'�FS�
+D.sinα
cosα+ sinα.tanϕ'�
FS�
(3.5)
Destarte, sendo o FS pelos métodos de Fellenius (1936) e de Bishop Simplificado
(1955) números fuzzy (FS�), definidos conforme a Equação 3.4, seu cálculo pode ser feito
considerando os intervalos definidos para cada nível de pertinência h
(FS((((h+=,FSi(h+,FSf(h+.), por meio da utilização do princípio da extensão de Zadeh (1965)
e das regras de operação para soma, subtração, multiplicação e divisão entre intervalos,
anteriormente apresentadas.
Considerando os números fuzzy c'�e ϕ'�, representados pelos respectivos intervalos
para um dado grau de pertinência h como c'/(h) = [c'i(h),c'f(h)] e ϕ'/(h) = [φ'i(h),φ'f(h)], e
assumindo como circular a superfície potencial de ruptura analisada (f = 0), os valores
extremos do intervalo do fator de segurança, para cada nível de pertinência (h-level) são
obtidos de acordo com as Equações 3.6 e 3.7.
55
FSi(h��∑c'i(h�.L.R�Ni(h�.R.tanϕi(h�-u.L.R.tanϕ'f(h��
∑W.x– ∑ kW.e�D.d�A.a (3.6)
FSf(h��∑c'f(h�.L.R�Nf(h�.R.tanϕf(h�-u.L.R.tanϕ'#(h��
∑W.x– ∑ kW.e�D.d�A.a (3.7)
em que:
Ni(h��W.FSi(h�-L.sinα.c'f(h��u.L.sinα.tanϕ'i(h��D.sinα
cosα.FSf(h��sinα.tanϕ'f(h� (3.8)
Nf(h��W.FSf(h�-L.sinα.c'i(h��u.L.sinα.tanϕ'f(h��D.sinα
cosα.FSi(h��sinα.tanϕ'i(h� (3.9)
No caso em que a força normal na base da fatia não é um número fuzzy, como no
método de Fellenius (1936), as Equações 3.8 e 3.9 não são utilizadas para o cálculo das
Equações 3.6 e 3.7. Neste caso, a normal é calculada conforme mostra a Equação 3.2.
A menos do método de Fellenius (1936), a obtenção do valor do fator de
segurança FS em todos os métodos de análise de estabilidade de taludes requer um processo
iterativo, já que este fator de segurança é necessário ao cálculo da força normal N, e esta, por
sua vez, faz parte da expressão de determinação do próprio fator de segurança.
Isto foi levado em consideração no processo de fuzzificação da expressão para o
fator de segurança do método de Bishop Simplificado (1955), como pode ser verificado nas
Equações 3.8 e 3.9.
Na forma como estão apresentadas as Equações 3.8 e 3.9, observa-se que a
convergência do processo iterativo para a obtenção de um fator de segurança para cada
extremo do intervalo (FSi(h� e FSf(h�) de um dado nível de pertinência h não ocorre. Isto se
dá porque os valores extremos do intervalo obtido para o fator de segurança para cada nível
de pertinência h são interdependentes, ou seja: para toda iteração realizada, a convergência do
limite inferior do intervalo automaticamente afeta o limite superior, alterando, por sua vez, o
limite inferior, e assim sucessivamente.
Deste modo, como forma de possibilitar a convergência dos valores extremos do
intervalo considerado para o fator de segurança, foi realizada uma modificação nas Equações
3.8 e 3.9, que consistiu em substituir os valores de FSi(h) e FSf(h) pelo valor médio do
intervalo (FSave), dado pela Equação 3.10.
56
FSave�FSi(h��FSf(h�
2 (3.10)
Este procedimento faz com que ocorra a convergência dos limites do intervalo, a
partir da adoção de uma grandeza única (o FSave), representativa do referido intervalo para
cada grau de pertinência h adotado. Partindo-se desta hipótese, os valores de Ni(H) e Nf(h),
utilizados no cálculo das Equações 3.8 e 3.9, passam a ser (Equações 3.11 e 3.12):
Ni(h��W.FSave-L.sinα.c'f(h��u.L.sinα.tanϕ'i(h��D.sinα
cosα.FSave�sinα.tanϕ'f(h� (3.11)
Nf(h��W.FSave-L.sinα.c'i(h��u.L.sinα.tanϕ'f(h��D.sinα
cosα.FSave�sinα.tanϕ'i(h� (3.12)
3.2.1. Modelos determinísticos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955)
No cálculo do FS via modelos determinísticos, os valores de coesão e ângulo de
atrito utilizados, para os solos do maciço compactado e de fundação, serão a média dos
valores obtidos com os dois ensaios de laboratório realizados, conforme consta da Tabela 3.1.
A Tabela 3.2, a seguir, exibe os valores médios que serão utilizados como dados de entrada
dos métodos determinísticos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Tabela 3.2 – Propriedades geotécnicas dos materiais do maciço compactado e do solo de
fundação utilizadas nos modelos determinísticos.
PropriedadePropriedadePropriedadePropriedade MaciçoCompactadoMaciçoCompactadoMaciçoCompactadoMaciçoCompactado SolodeFundaçãoSolodeFundaçãoSolodeFundaçãoSolodeFundação
( ′′′′ (kPa) 35,0 8,5
φφφφ′′′′(graus) 29,4 36,2
Fonte: Araújo (2013).
A fim de permitir a avaliação dos resultados dos modelos fuzzy propostos por esta
pesquisa, os valores dos FS resultantes da aplicação da metodologia determinística serão
tomados como “controle” em relação aos resultados obtidos com os modelos fuzzy para os
métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), descritos a seguir.
57
3.3. Definição e fuzzificação das variáveis de entrada
Dodagoudar e Venkatachalam (2000) afirmaram que os parâmetros de resistência
ao cisalhamento dos solos são fuzzy, em função das incertezas relacionadas à obtenção e
determinação dos mesmos. Estas variáveis podem, assim, ser representadas por uma
distribuição de possibilidades ou função de pertinência apropriada, admitindo, portanto, o
emprego dos conceitos e operações com números fuzzy às análises de estabilidade de taludes.
Assim sendo, as expressões para o FS dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop
Simplificado (1955) apresentam, na realidade, quatro variáveis fuzzificáveis: peso específico,
poropressão, coesão e ângulo de atrito.
Não existem, no entanto, grandes incertezas relacionadas ao parâmetro peso
específico, já que os valores que o mesmo pode assumir estão confinados num intervalo
relativamente pequeno, quando comparado àquele dentro do qual variam coesão e ângulo de
atrito.
E em relação à poropressão, decidiu-se não considerá-la como variável fuzzy nos
modelos, e mantê-la como determinística, já que a intenção principal deste trabalho era avaliar
a influência das incertezas envolvendo apenas coesão e ângulo de atrito nos resultados dos
modelos fuzzy propostos para os dois métodos de análise de estabilidade de taludes.
Ante o exposto, no modelo fuzzy ora apresentado, o peso específico foi assumido
como sendo constante (à semelhança dos dados geométricos), para todas as fatias
constituintes da massa de solo potencialmente deslizante, e a poropressão, admitida como
termo determinístico, com cada fatia possuindo um valor individual para esta grandeza.
Os outros dois parâmetros de resistência, coesão e ângulo de atrito, foram
assumidos no modelo desenvolvido como sendo variáveis fuzzy, e considerados como
intervalos (com um valor mínimo e um valor máximo) para cada nível de pertinência (h-level)
contemplado. Esta assunção se deu por dois motivos principais.
O primeiro deles foi a investigação geotécnica realizada durante a elaboração do
projeto executivo da barragem ter sido insuficiente, em termos de quantidade e de qualidade,
e aquém do que seria realmente necessário para a adequada definição dos valores assumidos
para os parâmetros nas análises de estabilidade realizadas.
Um segundo motivo para a admissão dos parâmetros de resistência como
variáveis fuzzy, é que, em decorrência da não-existência de um relatório “As built”, não há
comprovação formal de que os materiais investigados nas etapas de projeto básico e executivo
foram, de fato, utilizados na execução propriamente dita do barramento.
58
Os dois supramencionados aspectos culminam em uma série de incertezas
relacionadas à definição dos referidos parâmetros, e, consequentemente, na confiabilidade dos
prognósticos de estabilidade oficialmente apontados para a obra.
Assim sendo, no processo de fuzzificação das variáveis coesão efetiva (c′) e o
ângulo de atrito efetivo (φ′) dos materiais constituintes do maciço compactado e do solo de
fundação da barragem, foram adotadas três funções de pertinência diferentes, com base nos
resultados dos ensaios de cisalhamento direto realizados, conforme anteriormente descrito na
Tabela 3.1.
As funções de pertinência assumidas foram denominadas Caso 1, Caso 2 e Caso
3, sendo duas do tipo trapezoidal (Casos 1 e 2), com valores extremos (máximo e mínimo)
distintos, para representar diferentes graus de incerteza acerca do conhecimento dos
parâmetros geotécnicos utilizados, e uma função do tipo triangular (Caso 3), forma que vem
ganhando certa popularidade nos últimos anos, em razão de sua simplicidade e facilidade de
utilização (ABRAMSON et al., 2002).
Esta análise foi realizada considerando seis diferentes níveis de pertinência (h-
levels) na obtenção dos conjuntos de saída para o fator de segurança FS, a saber: h = 0,0,
h = 0,2, h = 0,4, h = 0,6, h = 0,8, e h = 1,0. Para tanto, foi necessário obter, para cada
intervalo, os valores mínimo e máximo a ele correspondentes.
De posse destes valores, foi possível aplicar as operações com números fuzzy às
expressões dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), obtendo, ao final,
os fatores de segurança fuzzy, conforme metodologia apresentada no item 3.2, posteriormente
submetidos à defuzzificação.
Os cenários analisados para cada uma das funções de pertinência assumidas são
descritos em maiores detalhes a seguir.
3.3.1. Caso 1: Função de pertinência trapezoidal
No Caso 1, foram adotadas funções de pertinência trapezoidais para as variáveis c′
e φ′, para as quais foram atribuídos graus de pertinência iguais a 1,0 para os valores da coesão
e do ângulo de atrito obtidos nos dois ensaios de laboratório realizados (ver Tabela 3.1).
Também foram atribuídos graus de pertinência iguais a zero para os valores
máximo e mínimo das funções de pertinência para ambos os parâmetros, arbitrados consoante
59
a experiência do especialista, de modo que os mesmos fossem coerentes com o tipo de solo
analisado.
Esta atribuição dos graus de pertinência acima descritos foi feita de forma a
representar as incertezas existentes em relação aos valores para ambos os parâmetros.
As Equações 3.13 a 3.16 caracterizam os números fuzzy c'� e φ'� adotados, para os
solos do maciço compactado e de fundação, nas análises do Caso 1, e as Figuras 3.5 e 3.6
apresentam graficamente as funções de pertinência representativas dos mesmos.
• Maciço compactado:
c' � = {20; 33; 37; 50} (3.13)
ϕ'� = {15°; 27,3°; 31,5°; 40°} (3.14)
• Solo de fundação:
c' � = {0; 0; 17; 40} (3.15)
ϕ'� = {20°; 31,9°; 40,5°; 50°} (3.16)
Figura 3.5 – Funções de pertinência para o número fuzzy c'� – Caso 1.
(a) Maciço compactado
(b) Solo de Fundação
Fonte: Elaborado pela Autora.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 15 30 45 60
Gra
u d
e P
ertin
ên
cia
Coesão (kPa)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 15 30 45 60
Gra
u d
e P
ert
inê
nc
ia
Coesão (kPa)
60
Figura 3.6 – Funções de pertinência para o número fuzzy ϕ'� – Caso 1.
(a) Maciço compactado
(b) Solo de Fundação
Fonte: Elaborado pela Autora.
3.3.2. Caso 2: Função de pertinência trapezoidal com estreitamento do intervalo de
valores extremos
No Caso 2, foram assumidas funções de pertinência trapezoidais para as variáveis
c′ e φ′, para as quais foram atribuídos graus de pertinência iguais a 1,0 para os valores da
coesão e do ângulo de atrito obtidos nos dois ensaios de laboratório realizados (ver Tabela
3.1), e graus de pertinência iguais a zero para os valores máximo e mínimo das funções de
pertinência para ambos os parâmetros.
Novamente, estes valores extremos do intervalo para o grau de pertinência igual a
zero (máximo e mínimo das funções) foram arbitrados segundo o juízo do especialista, de
modo que os mesmos permanecessem condizentes com o tipo de solo analisado, mas
abrangendo um intervalo menor entre os extremos, expressando, desta maneira, uma menor
incerteza nos valores adotados (quando comparados àqueles considerados no Caso 1).
As Equações 3.17 a 3.20 caracterizam os números fuzzy c'� e φ'� adotados, para os
solos do maciço compactado e de fundação, nas análises realizadas no Caso 2. E as Figuras
3.7 e 3.8 demonstram graficamente as funções de pertinência representativas dos mesmos.
• Maciço compactado:
c' � = {25; 33; 37; 45} (3.17)
ϕ'� ={20°; 27,3°; 31,5°; 37°} (3.18)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50
Gra
u d
e P
ertin
ên
cia
Ângulo de atrito (graus)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50
Gra
u d
e P
ert
inê
nc
ia
Ângulo de atrito (graus)
61
• Solo de fundação:
c' �={0; 0; 27; 30} (3.19)
ϕ'� = {25°; 31,9°; 40,5°; 45°} (3.20)
Figura 3.7 – Funções de pertinência para o número fuzzy c'� – Caso 2.
(a) Maciço compactado
(b) Solo de Fundação
Fonte: Elaborado pela Autora.
Figura 3.8 – Funções de pertinência para o número fuzzy ϕ'� – Caso 2.
(a) Maciço compactado (b) Solo de Fundação
Fonte: Elaborado pela Autora.
3.3.3. Caso 3: Função de pertinência triangular
No Caso 3, foram adotadas funções de pertinência triangulares para as variáveis c′
e φ′, para as quais foram atribuídos graus de pertinência iguais a 1,0 à média dos valores da
coesão e do ângulo de atrito obtidos nos dois ensaios de laboratório realizados, cujos
resultados estão mostrados na Tabela 3.1, e graus de pertinência iguais a zero para os valores
máximo e mínimo das funções dos dois parâmetros.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 15 30 45 60
Gra
u d
e P
ert
inê
nci
a
Coesão (kPa)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 15 30 45 60
Gra
u d
e P
ert
inên
cia
Coesão (kPa)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50
Gra
u d
e P
ert
inên
cia
Ângulo de atrito (graus)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50
Gra
u d
e P
ert
inên
cia
Ângulo de atrito (graus)
62
Esta situação poderia ser aplicada ao caso em que o geotécnico disporia de apenas
um único ensaio para a definição dos parâmetros de resistência ao cisalhamento requeridos,
sendo atribuído um grau de pertinência igual a 1,0 para o valor resultante do ensaio, e um grau
de pertinência dentro do intervalo fechado [0, 1] para os demais os valores compreendidos
entre o máximo e o mínimo da função, definidos pelo especialista, o que representaria a
incerteza em torno do valor do parâmetro considerado.
As Equações 3.21 a 3.24 caracterizam os números fuzzy c'� e φ'� adotados, para o
solo do maciço compactado e para o solo de fundação, nas análises do Caso 1. Já as Figuras
3.9 e 3.10 demonstram graficamente as funções de pertinência representativas dos mesmos.
• Maciço compactado:
c'� = {20; 35; 50} (3.21)
ϕ'� ={15°; 29,4°; 40°} (3.22)
• Solo de fundação:
c' �= {0; 8,5; 20} (3.23)
ϕ'� = {30°; 40°; 50°} (3.24)
Figura 3.9 – Funções de pertinência para o número fuzzy c'� – Caso 3.
(a) Maciço compactado
(b) Solo de Fundação
Fonte: Elaborado pela Autora.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 15 30 45 60
Gra
u d
e P
ert
inê
nc
ia
Coesão (kPa)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50
Gra
u d
e P
ertin
ênc
ia
Coesão (kPa)
63
Figura 3.10 – Funções de pertinência para o número fuzzy ϕ'� – Caso 3.
(a) Maciço compactado
(b) Solo de Fundação
Fonte: Elaborado pela Autora.
3.4. Defuzzificação
De posse dos resultados da utilização do modelo fuzzy desenvolvido, a etapa
seguinte consiste da defuzzificação, entendida como a interpretação do número (ou conjunto)
fuzzy obtido, e sua representação por meio de um valor numérico ou linguístico, que permita
tirar conclusões sobre as operações fuzzy realizadas.
Nesta pesquisa, o método de defuzzificação eleito como padrão foi o do centroide,
por ser simples e prático, não exigir a introdução de qualquer preferência do usuário (tal como
MoM, LoM e SoM exigem), vindo a ser um dos métodos que melhor interpreta de maneira
global as formas das funções de pertinência dos conjuntos de saída, sem privilegiar nenhum
trecho (BANDEMER e GOTTWALD, 1995; TANSCHEIT, 2003), o que é particularmente
interessante para os casos de conjuntos fuzzy convexos.
Pelo método do centroide, após passar pela defuzzificação, o conjunto resultante
das operações fuzzy realizadas é representado por um valor único, que corresponde ao centro
geométrico (de gravidade) da área delimitada pela curva que representa a função de
pertinência do conjunto de saída obtido.
No caso dos modelos fuzzy ora apresentados, os dados de entrada consistem de
valores numéricos nítidos (crisp). Assim sendo, a defuzzificação deve realizar a “conversão”
dos resultados dos modelos fuzzy para valores numéricos nítidos, não-fuzzy, semelhantes aos
de entrada.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50
Gra
u d
e P
ertin
ênc
ia
Ângulo de atrito (graus)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 10 20 30 40 50
Gra
u d
e P
ert
inê
nc
ia
Ângulo de atrito (graus)
64
3.5. Comparação entre os resultados dos modelos determinístico e fuzzy
A priori, serão calculados, com base na formulação tradicional dos métodos de
Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), os FS determinísticos para o caso da
Barragem Olho d'Água. Estes valores determinísticos serão tomados como resultados de
controle em ulterior comparação com os resultados obtidos através dos modelos fuzzy
desenvolvidos para os métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Cada um dos três cenários analisados (Caso 1, Caso 2 e Caso 3) será usado como
input para os modelos fuzzy desenvolvidos para os métodos de análise de estabilidade de
taludes empregados nesta pesquisa – Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Os valores dos FS obtidos com estes modelos fuzzy para ambos os métodos serão,
então, comparados aos resultados provenientes da metodologia determinística tradicional,
para fins de avaliação dos modelos ora apresentados.
A intenção é demonstrar a aplicabilidade das operações com números fuzzy às
formulações dos métodos de equilíbrio limite de análise de estabilidade de taludes, e, para
além desta comparação com os resultados determinísticos, confrontar os resultados do uso da
teoria dos números fuzzy com aqueles obtidos através dos métodos probabilísticos na
avaliação do risco de ruptura do talude de jusante da Barragem Olho d'Água.
3.6. Considerações Parciais
Neste capítulo, foi apresentada a descrição de toda a problemática envolvendo as
fases de projeto, construção e operação da Barragem Olho d'Água, tomada como caso de
estudo para a aplicação dos modelos fuzzy desenvolvidos.
Foram apresentadas, também, as hipóteses assumidas e a formulação matemática
da metodologia determinística para os métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado
(1955), que serviram de base para o desenvolvimento da formulação de modelos fuzzy para os
referidos métodos, modelos estes que serão utilizados na avaliação do risco de ruptura de
taludes da Barragem Olho d'Água.
Por fim, foram apresentados os três cenários que servirão de inputs para os
modelos fuzzy desenvolvidos, assim como a descrição do método de defuzzificação escolhido
para a obtenção dos valores dos FS fuzzy, e da comparação que será feita entre os resultados
obtidos com a metodologia determinística e aqueles obtidos através dos modelos fuzzy.
65
4. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo, são apresentados os resultados da avaliação da estabilidade do
talude de jusante da Barragem Olho d'Água, decorrentes das análises probabilísticas
realizadas por Araújo (2013), a partir da aplicação dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop
Simplificado (1955) ao caso da referida barragem.
Em seguida, são apresentados os resultados da metodologia fuzzy proposta por
esta pesquisa, de avaliação da segurança à ruptura do barramento, considerando as mesmas
superfícies de ruptura e os mesmos métodos de análise de estabilidade de taludes utilizados
por Araújo (2013).
Ao final, também é apresentada a comparação dos resultados dos modelos fuzzy
desenvolvidos com aqueles obtidos por Araújo (2013), e também o índice de falha (Rf) e o
índice de confiabilidade (RI) para as funções de pertinência dos Casos 1 e 2 (trapezoidais),
considerando a aplicação do método de Bishop Simplificado (1955), a fim de avaliar a
coerência dos prognósticos das análises probabilística e fuzzy com o desempenho real in loco
da barragem.
4.1. Avaliação da estabilidade da Barragem Olho d'Água via metodologias determinística
e probabilística
As Figuras 4.1 e 4.2 mostram as linhas equipotenciais para a condição de fluxo
permanente (considerando a máxima carga hidráulica atuante) e as superfícies potenciais de
ruptura obtidas na condição de fluxo estacionário, a partir da aplicação dos métodos de
Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955) respectivamente.
Tais resultados advieram da aplicação das metodologias probabilísticas utilizadas
por Araújo (2013), considerando os valores médios dos parâmetros de resistência ao
cisalhamento dos solos do maciço compactado e de fundação, obtidos com os ensaios de
laboratório realizados (conferir Tabela 3.1), e distribuições de probabilidade gama para a
coesão, e beta para o ângulo de atrito.
66
Figura 4.1 – Linhas equipotenciais, superfície potencial de ruptura e resultados das
análises determinística e probabilística pelo Método de Fellenius (1936).
Fonte: Elaborado pela autora, com base nos dados de Araújo (2013).
Figura 4.2 – Linhas equipotenciais, superfície potencial de ruptura e resultados das análises determinística e probabilística pelo Método de Bishop Simplificado (1955).
Fonte: Elaborado pela autora, com base nos dados de Araújo (2013).
Os dados relativos às superfícies potenciais de ruptura do talude de jusante da
Barragem Olho d'Água assumidas no cálculo dos fatores de segurança (FS), através dos
métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), podem ser visualizados na Tabela
4.1.
FS (deterministic) = 1.95FS (mean) = 2.13PF = 0.00%RI (normal) = 1.69RI (lognormal) = 2.32
FS (deterministic) = 1.95FS (mean) = 2.13PF = 0.00%RI (normal) = 1.69RI (lognormal) = 2.32
FS (deterministic) = 1.95FS (mean) = 2.13PF = 0.00%RI (normal) = 1.69RI (lognormal) = 2.32
FS (deterministic) = 1.95FS (mean) = 2.13PF = 0.00%RI (normal) = 1.69RI (lognormal) = 2.32
15.60
13.6511.05
8.45 5.85
1.30
FS (deterministic) = 2.13FS (mean) = 2.27PF = 0.00%RI (normal) = 2.20RI (lognormal) = 3.14
FS (deterministic) = 2.13FS (mean) = 2.27PF = 0.00%RI (normal) = 2.20RI (lognormal) = 3.14
FS (deterministic) = 2.13FS (mean) = 2.27PF = 0.00%RI (normal) = 2.20RI (lognormal) = 3.14
FS (deterministic) = 2.13FS (mean) = 2.27PF = 0.00%RI (normal) = 2.20RI (lognormal) = 3.14
15.60
13.6511.05
8.45 5.85
1.30
67
Tabela 4.1 – Dados gerais das superfícies de ruptura resultantes da utilização dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Método de Análise Fellenius Bishop Simplificado
N° de fatias 25 25 Forma da Superfície Circular Circular Coordenadas do centro da
superfície de ruptura x = 133,067 m y = 44,576 m
x = 135,523 m y = 54,400 m
Raio da superfície 53,193 m 59,963 m Área total das fatias 1.014,64 m2 806,64 m2 Fator de segurança 1,95 2,13
Fonte: Elaborado pela Autora.
Os valores dos FS determinísticos na Tabela 4.1, obtidos por Araújo (2013) com a
utilização dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), foram assumidos
como “controle” para fins de comparação com os resultados dos modelos fuzzy propostos para
os dois métodos de estabilidade de taludes.
Estes resultados para os FS determinísticos mostraram que o FS obtido por Bishop
Simplificado (1955) resultou cerca de 10% maior que o de Fellenius (1936). Isto condiz com
o esperado, já que Bishop fez uso de formulação mais rigorosa, o que conduz a um FS menos
conservador, e, em consequência, pouco maior que aquele apontado por Fellenius (1936).
A análise probabilística realizada por Araújo (2013) obteve FS de 2,13 pelo
método de Fellenius (1936) e de 2,27 por Bishop Simplificado (1955), com ambos os métodos
apresentando probabilidade de falha de 0,00%, conforme mostram as Figuras 4.1 e 4.2.
O memorial de cálculo relativo aos resultados do tratamento determinístico dos
dois métodos de análise de estabilidade de taludes empregados nesta pesquisa pode ser
encontrado no Apêndice A.
4.2. Modelos fuzzy para os métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955)
A implementação da metodologia fuzzy de avaliação da segurança à ruptura do
talude de jusante da Barragem Olho d’Água foi feita considerando exatamente as mesmas
superfícies de ruptura assumidas pela modelagem de Araújo (2013), conforme mostram as
Figuras 4.1 e 4.2, utilizando, de modo idêntico, os métodos de Fellenius (1936) e de Bishop
Simplificado (1955).
68
No cálculo dos FS através dos modelos fuzzy para Fellenius (1936) e Bishop
Simplificado (1955), os valores utilizados para coesão e ângulo de atrito advieram dos dois
ensaios de laboratório realizados nas amostras dos solos do maciço compactado e de
fundação, conforme anteriormente explicitado (ver Tabela 3.1).
Em relação à defuzzificação, o método escolhido para os dois métodos de
estabilidade de taludes empregados nos Casos 1, 2 e 3 analisados, foi o do centroide,
apresentado nos Capítulos 2 (item 2.1.5) e 3 (item 3.5). Os resultados numéricos da
defuzzificação para os três casos podem ser encontrados na Tabela 4.2, mais adiante.
O memorial de cálculo referente aos modelos fuzzy para os métodos de Fellenius
(1936) e Bishop Simplificado (1955) pode ser encontrado nos Apêndices B e C.
Tabela 4.2 – Fatores de segurança obtidos através dos modelos fuzzy para os métodos
de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Modelos fuzzy
Caso 1 (trapezoidal)
Caso 2 (trapezoidal, menor incerteza)
Caso 3 (triangular)
Fellenius Bishop Fellenius Bishop Fellenius Bishop
2,19 2,44 2,08 2,31 2,22 2,44
Fonte: Elaborado pela Autora.
Conforme mostra a Tabela 4.2, os FS obtidos com os modelos fuzzy para ambos
os métodos foram pouco maiores que aqueles obtidos com a metodologia determinística (1,95
e 2,13). Isto se deu em razão de os métodos determinísticos não levarem em conta as
incertezas relacionadas aos parâmetros de resistência ao cisalhamento, devendo, portanto,
fornecer resultados mais conservadores (em favor da segurança).
Na análise determinística, o fator de segurança obtido pelo método de Bishop
Simplificado (1955) se mostrou cerca de 10% maior que aquele resultante do método de
Fellenius (1936). Esta tendência se manteve quando foram comparados os valores dos FS
obtidos por Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955) nos modelos fuzzy, para todos os
três casos analisados. Deduz-se, então, que o conservadorismo peculiar aos dois métodos de
estabilidade de taludes em sua concepção determinística também se refletiu nos resultados dos
modelos fuzzy apresentados.
Para efeito de comparação, as Figuras 4.3, 4.4 e 4.5 apresentam as funções de
pertinência do FS dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), para os
69
Casos 1, 2 e 3 considerados nesta análise, indicando os FS obtidos com a defuzzificação via
método do centroide (CoA).
Figura 4.3 – Função de pertinência para o FS obtido para o Caso 1 (função trapezoidal).
Fonte: Elaborado pela Autora.
Figura 4.4 – Função de pertinência para o FS obtido para o Caso 2
(função trapezoidal com menos incertezas).
Fonte: Elaborado pela Autora.
Figura 4.5 – Função de pertinência para o FS obtido para o Caso 3 (função triangular).
Fonte: Elaborado pela Autora.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 1 2 3 4 5
Gra
u d
e P
erti
nên
cia
Fator de Segurança
BISHOP
FELLENIUS
BishopCoA (2,44)
Fellenius CoA (2,19)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 1 2 3 4
Gra
u d
e P
erti
nên
cia
Fator de Segurança
BISHOP
FELLENIUS
Bishop CoA (2,31)
Fellenius CoA (2,08)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 1 2 3 4 5
Gra
u d
e P
erti
nên
cia
Fator de Segurança
BISHOP
FELLENIUS
Bishop CoA (2,44)
Fellenius CoA (2,22)
70
As funções de pertinência obtidas foram também condizentes com o aspecto de
convexidade dos conjuntos fuzzy de saída. Para os três casos analisados, foi cumprida a
condição requerida: para a, b e c reais, com a < b < c, μ��b�≥min�μ��a�, μ��c��.
A Figura 4.6 mostra a comparação entre as funções de pertinência obtidas para o
FS nos Casos 1 e 2. Considerando que o Caso 2 representa uma situação em que as incertezas
nos dados de entrada são menores, para todos os níveis de pertinência considerados,
observou-se que isto se refletiu tanto na função de pertinência do FS e quanto no valor do
centroide obtidos.
Desta forma, pode-se inferir que, quanto menor o grau de incertezas em relação
aos dados de entrada do modelo (neste caso, aos parâmetros geotécnicos coesão e ângulo de
atrito), a tendência é de que se obtenha uma resposta dentro de um intervalo menor de
variação, o que ficou evidenciado pelo formato mais estreitado da função de pertinência do
Caso 2.
Figura 4.6 – Comparação entre as funções de pertinência do fator de segurança
obtidas pelo método de Bishop Simplificado (1955) para os Casos 1 e 2.
Fonte: Elaborado pela Autora.
4.3. Avaliação do risco de falha da Barragem Olho d'Água
Fontenelle e Vieira (2001) afirmaram que, em função da variabilidade inerente ao FS
em análise de estabilidade de taludes, associar a avaliação de seu resultado à análise de risco
se torna altamente aconselhável e apropriado. Nesta abordagem, o risco de ruptura do talude é
definido através de níveis de pertinência para o FS, calculado considerando as variáveis fuzzy
envolvidas.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 1 2 3 4 5
Gra
u d
e P
erti
nên
cia
Fator de Segurança
Caso 1
Caso 2
Caso 1(2,44)
Caso 2 (2,31)
71
De acordo com Ganoulis (1994), o conhecimento da função de pertinência que
representa um determinado sistema ou variável pode ser utilizado para estabelecer um índice
de falha (Rf) para uma margem de segurança que expresse a diferença entre o carregamento e
a resistência do sistema. A Equação 4.1 mostra a definição do índice de falha para o número
fuzzy FS�, com função de pertinência µFS�(m) para um dado grau de pertinência m.
Rf=� µFS�(m)dFS
FS=1
���-∞
� µFS�(m)dFSFS=+∞
���-∞
(4.1)
O conceito do índice de falha apresentado por Ganoulis (1994) também pode ser
utilizado na definição da possibilidade de falha de um talude, considerando que a falha
(ruptura) ocorre quando o FS for inferior a um determinado valor crítico. Destarte,
conhecendo-se a função de pertinência para o FS, o índice de falha Rf é calculado pela divisão
entre a área delimitada pela função de pertinência definida até o valor do FS estipulado como
crítico (FScrit = 1,0) e a área total delimitada pela função de pertinência.
A Figura 4.7 mostra a curva de distribuição para o índice de falha Rf obtido, a
partir das funções de pertinência dos FS, obtidas para os Casos 1 e 2 (funções trapezoidais),
considerando a aplicação do método de Bishop Simplificado (1955).
Figura 4.7 – Índice de falha (Rf) e função de distribuição acumulada obtidos para as análises probabilística e fuzzy, usando o método de Bishop Simplificado (1955).
Fonte: Elaborado pela Autora.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
0 1 2 3 4 5
PF
(%)
Rf
(%)
Fator de Segurança
Bishop - Caso 1
Bishop - Caso 2
Bishop - Probabilistic
72
Inicialmente, merece destaque o fato de as curvas de distribuição para o índice de
falha Rf do modelo fuzzy (representado pelos Casos 1 e 2 na Figura 4.7) apresentaram formato
bastante semelhante àquele obtido para a curva de distribuição de probabilidade acumulada
obtida pelas análises probabilísticas de Araújo (2013).
Conforme pode ser percebido na Figura 4.7, as análises probabilísticas apontaram
um índice de falha Rf de 0% para o FS crítico (aquele que designa a deflagração da ruptura do
talude, equivalente a 1,0). O modelo fuzzy, por sua vez, sinalizou índices de falha Rf de 8%
para o Caso 1, e de 1% para o Caso 2, prenunciando um risco real de ruptura da barragem,
cenário não revelado pelas análises probabilísticas de Araújo (2013).
Pode-se apreender, portanto, que o modelo fuzzy proposto foi capaz de expressar,
de modo adequado e menos conservador que as análises probabilísticas de Araújo (2013), o
risco concreto de ruptura da Barragem Olho d'Água, possibilidade esta corroborada pelo
desempenho in loco do barramento, com diversas patologias detectadas desde o início da
operação, tanto no maciço quanto em áreas a jusante, dentre elas: artesianismo, liquefação
(sand boils), processo erosivo bastante avançado e risco de ocorrência de piping, problemas
que já foram alvo de diversas intervenções corretivas.
A maioria destes problemas apresentados pela Barragem Olho d'Água está
relacionada ao regime de fluxo de água através da fundação e a problemas de erosão no talude
de jusante, resultado tanto da carência de mecanismos de proteção dos taludes quanto de um
sistema eficiente de drenagem (DANTAS NETO e CARNEIRO, 2013; ARAÚJO, 2013).
Convém frisar também que esta probabilidade de ruptura nula encontrada por
Araújo (2013) é algo bastante questionável, numa situação em que foram realizados apenas
dois ensaios de laboratório para a definição dos parâmetros geotécnicos, e na qual não se tem
certeza sobre a utilização efetiva dos materiais ensaiados na construção propriamente dita da
barragem.
Araújo (2013) dispunha, portanto, de um número muito pequeno de dados, em
decorrência da parcimônia de registros formais das fases de projeto e de construção do
barramento. E apesar de a metodologia fuzzy ter apresentado resultados mais condizentes com
o comportamento de campo da Barragem Olho d'Água que as análises deste autor, não é
possível afirmar categoricamente que ela tem desempenho superior à metodologia
probabilística por ele empregada.
Muito possivelmente, este aparente desempenho inferior da metodologia
probabilística ocorreu em razão do tipo de abordagem adotada – uma vertente mais
frequencialista, que teve por base um conjunto amostral bastante modesto como matriz para a
73
geração de amostras via simulação de Monte Carlo, que é “escravo” da observação e não é
capaz de “aprender” à medida que as amostras são geradas.
Na realidade, este conjunto amostral com poucos dados não é adequado a este tipo
de abordagem (frequencialista), por não ser capaz de representar de maneira adequada a
variabilidade concreta dos parâmetros considerados (coesão e ângulo de atrito), incorporando,
desta forma, um nível de incerteza maior, e culminando em resultados que, confirmando esta
hipótese, se apresentaram menos congruentes com a realidade do barramento do que aqueles
obtidos com a metodologia fuzzy.
E considerando a possibilidade de variação nos níveis de incerteza, as simulações
fuzzy dos Casos 1 e 2 buscaram representar exatamente isto: cenários com níveis de incerteza
diferentes em relação aos parâmetros de entrada.
Comparando-se os dois casos, foi possível observar que o Caso 2, que simulada
um nível de incerteza menor, redundou em um índice de falha Rf de 1%, bem menor que o do
Caso 1 (de 8%), sugerindo que, quando se lida com menos incertezas, o índice de falha Rf
resulta consideravelmente menor.
Estes dados comprovam, então, que, quanto maior o grau de conhecimento acerca
dos parâmetros de entrada de um modelo, consideravelmente menores serão as incertezas
envolvidas nos resultados obtidos, e assim também, menor a possibilidade de falha apontada
pelo modelo para o cenário avaliado.
Os resultados obtidos nesta análise reiteram também a alegação de que, caso
Araújo (2013) tivesse à sua disposição um conjunto maior de dados amostrais de coesão e
ângulo de atrito, certamente a resposta de seu modelo probabilístico teria sido mais
condizente com a performance de campo da barragem, apontando, semelhantemente aos
modelos fuzzy, um risco efetivo de ruptura de seus taludes.
Outra forma de avaliação do nível de risco de ruptura de taludes é o índice de
confiabilidade (Reliability Index – RI), definido como a indicação do número de desvios-
padrão que separa a média do FS (obtido nas análises) do FS crítico assumido, calculado
admitindo distribuição normal ou log-normal. Quanto menor o RI, menor será a
confiabilidade do sistema (YEN, 1987 apud VIEIRA, 2005).
Os resultados de Araújo (2013) para as análises determinística e probabilística
apontaram FS maiores que 1,5, indicando condições seguras de operação para a Barragem
Olho d'Água. Entretanto, os valores dos índices de confiabilidade (RI) por ele obtidos – 1,69 e
2,32 para Fellenius (1936), e 2,20 e 3,14 para Bishop Simplificado (1955) –, caracterizaram
74
um nível de desempenho categorizado como insatisfatório, pobre ou abaixo da média, de
acordo com classificação do U. S. Army Corps of Engineers, mostrada na Tabela 4.3, abaixo.
A Tabela 4.3 mostra a correlação entre o nível de desempenho da estrutura, o
índice de confiabilidade (RI) e a probabilidade de falha (PF). Esta última denota a
probabilidade de o fator de segurança FS ser menor que um fator de segurança crítico (FSc).
Tabela 4.3 – Relação entre nível de desempenho, índice de confiabilidade (RI) e
probabilidade de falha (PF).
Nível de desempenho Índice de confiabilidade (RI)
Probabilidade de falha PF = P (FS < FSc)
Alto 5,0 2,871x10-7 Bom 4,0 3,169x10-5 Acima da média 3,0 0,00135 Abaixo da média 2,5 0,00621 Pobre 2,0 0,02275 Insatisfatório 1,5 0,06681 Perigoso 1,0 0,15866
Fonte: U. S. Army Corps of Engineers (1997 apud ABRAMSON et al., 2002).
Ao apontar a existência de um risco real de ruptura para o barramento (não
denunciado pelas análises probabilísticas), o modelo fuzzy proposto se mostrou concordante
tanto com o desempenho real de campo da Barragem Olho d'Água quanto com o indicativo de
performance aquém do desejável, indicado pelo índice de confiabilidade do U. S. Army Corps
of Engineers (2003), apresentando-se como excelente alternativa aos métodos determinísticos
e probabilísticos, com resposta bastante coerente e possibilidades promissoras de utilização na
prática cotidiana de Geotecnia.
4.4. Considerações Parciais
Neste capítulo, foram apresentados os resultados da implementação da
metodologia fuzzy para os métodos de análise de estabilidade de taludes de Fellenius (1936) e
de Bishop Simplificado (1955) ao caso da Barragem Olho d'Água, e sua comparação com os
resultados das análises probabilísticas realizadas por Araújo (2013).
Os FS obtidos por este autor, através dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop
Simplificado (1955), foram assumidos como “controle” para fins de comparação com os
75
resultados dos modelos fuzzy ora propostos para os referidos métodos de estabilidade de
taludes.
Os três cenários analisados (Casos 1, 2 e 3) apresentaram resultados bem
semelhantes àqueles obtidos através de métodos determinísticos e probabilísticos, porém
pouco maiores.
A tendência de conservadorismo peculiar aos dois métodos de análise de
estabilidade em suas versões tradicionais também se refletiu nos resultados dos modelos
fuzzy. Além disso, para os três cenários avaliados, a condição necessária de convexidade dos
conjuntos fuzzy de saída também foi cumprida.
Na comparação entre as funções de pertinência obtidas para o FS nos Casos 1 e 2
por Bishop Simplificado (1955), a função de pertinência do Caso 2 apresentou formato mais
estreitado, com os valores possíveis para o FS variando dentro de um intervalo menor que na
função de pertinência para o FS no Caso 1.
Na avaliação do risco de falha da Barragem Olho d'Água, as análises
probabilísticas de Araújo (2013) apontaram um índice de falha (Rf) de 0% para o FS crítico,
enquanto que o modelo fuzzy sinalizou índices de falha Rf de 8% e 1%, prevendo um risco
real de ruptura da barragem, o que não foi apontado pelas análises probabilísticas.
Os resultados apresentados mostraram que a metodologia fuzzy proposta por esta
pesquisa se mostrou capaz de expressar, de modo bastante adequado e eficiente, a existência
de um risco efetivo de ruptura da Barragem Olho d'Água, mas a comparação entre seus
resultados e aqueles da abordagem empregada por Araújo (2013) sinalizou que esta última
apresentava algum tipo de deficiência, o que muito provavelmente estava relacionado a um
conjunto amostral exíguo, aquém do que seria realmente necessário a uma modelagem
probabilística.
Os prognósticos fuzzy se revelaram bastante coerentes com o desempenho
insatisfatório de campo da Barragem Olho d'Água, configurando-se, assim, como alternativa
de resultados muito interessantes, e bastante atrativa ao geotécnico, em razão da economia de
tempo computacional e da simplificação do procedimento tradicional de análise de
estabilidade de taludes de terra.
76
5. CONCLUSÕES
Neste capítulo final, são apresentadas as conclusões do trabalho, ressaltando os
objetivos alcançados e os resultados obtidos com os modelos desenvolvidos, depreendidos das
análises realizadas, e apresentadas nos capítulos anteriores.
Ao final, são destacadas as sugestões para pesquisas futuras, necessárias à
complementação e seguimento dos estudos desenvolvidos nesta dissertação.
5.1. Conclusões
O objetivo principal desta pesquisa era desenvolver uma ferramenta de avaliação
do risco de ruptura de taludes de terra, a partir do emprego da teoria dos números fuzzy a
métodos tradicionais de análise de estabilidade de taludes, baseados na teoria de equilíbrio
limite, a saber: Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Esta ferramenta se propunha a ser uma alternativa viável ao uso dos métodos
probabilísticos, e que pudesse ser utilizada na prática cotidiana de Geotecnia, nos casos em
que o profissional dispusesse apenas de alguns dados de campo (resultados de ensaios de
laboratório), e quando estes carreassem um grau razoável de incertezas.
Os resultados da metodologia fuzzy apresentada foram comparados àqueles
obtidos por Araújo (2013), que assumiu distribuições de probabilidade do tipo gama e beta
para os parâmetros coesão e ângulo de atrito, e aplicou metodologia probabilística aos
métodos de Fellenius (1936) e de Bishop Simplificado (1955).
De forma geral, os objetivos propostos nesta dissertação, apresentados no
Capítulo 1, foram alcançados. Foi possível comprovar a aplicabilidade das operações com
números fuzzy na análise de estabilidade de taludes, a partir da bem-sucedida fuzzificação dos
parâmetros geotécnicos de resistência ao cisalhamento dos solos, coesão e ângulo de atrito,
constantes das expressões dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955) para
a obtenção de fatores de segurança (FS) contra a ruptura.
Os resultados obtidos também mostraram que é possível definir, através da
aplicação dos modelos fuzzy desenvolvidos, o risco de ruptura para taludes de terra. No estudo
de caso realizado nesta pesquisa, foi analisado o talude de jusante da Barragem Olho d’Água,
localizada no Município de Várzea Alegre, Estado do Ceará.
77
Com o uso da metodologia fuzzy, foi possível avaliar, de uma forma mais simples
e rápida que quando da utilização das metodologias mais tradicionais (determinísticos e
probabilísticos), o risco de ruptura do talude de jusante do barramento, e também definir um
grau de incerteza para as variáveis dos métodos empregados, decorrentes das incertezas
inerentes ao procedimento de definição de valores para os parâmetros de resistência de
interesse.
Nas análises realizadas, foi possível perceber que a tendência de conservadorismo,
peculiar às vertentes determinísticas dos métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado
(1955), também se refletiu nos valores obtidos com os modelos fuzzy desenvolvidos para os
mesmos, a partir da obtenção dos FS defuzzificados pelo método do centroide.
Dentre as principais vantagens do emprego dos conjuntos e números fuzzy na
avaliação do risco de ruptura de taludes estão: (a) o menor tempo computacional necessário
para a realização das análises; e (b) a prescindibilidade da adoção de funções de densidade de
probabilidade (PDFs) para os parâmetros geotécnicos dos modelos.
Também foi possível verificar a resposta dos modelos ao uso das funções de
pertinência triangulares dos casos analisados, que apesar de muito mais simples (quando
comparadas às funções normal, sigmoide, Gumbell etc.), apresentam perda significativa da
qualidade das respostas em razão da exiguidade dos dados de entrada utilizados para
alimentar os modelos.
Além disso, o modelo fuzzy para o método de Bishop Simplificado (1955)
apontou um índice de falha não-nulos (de 8% e 1%) para a Barragem Olho d'Água,
sinalizando um risco real de ruptura do talude de jusante da mesma.
Ao apontar a existência de um risco efetivo de ruptura do barramento, o modelo
fuzzy proposto foi, portanto, capaz de expressar, de modo adequado e realista, este risco
efetivo de ruptura da barragem, e se mostrou concordante com seu desempenho de campo
aquém do desejável – reiterado pelo índice de confiabilidade do USACE – e insatisfatório
desde o início da operação, tendo, desde então, apresentado diversas patologias, tanto no
maciço quanto em áreas a jusante.
Os resultados mostraram que a utilização dos conceitos relativos aos números
fuzzy em análise da estabilidade de taludes foi capaz de proporcionar, sem perda da qualidade
nos resultados obtidos, mais simplicidade ao processo, já que, para sua implementação, são
necessários apenas os resultados de alguns ensaios de laboratório, o julgamento técnico de um
especialista e uma simples planilha de cálculo.
78
A metodologia apresentada contribui também para a realização de análises de
estabilidade de taludes mais rápidas, já que um tempo computacional menor é requerido, e
permite que o geotécnico considere de modo mais apropriado as incertezas intrínsecas aos
parâmetros de resistência ao cisalhamento dos solos, em especial quando o mesmo dispõe de
poucos resultados de ensaios de laboratório.
Obviamente, outros estudos de caso são necessários para respaldar o modelo de
modo mais contundente, mas os resultados ora obtidos já demonstraram a plena aplicabilidade
da abordagem fuzzy para a estimativa do FS contra a ruptura de taludes de terra, tornando-a
promissora ferramenta na avaliação do risco de ruptura de estruturas geotécnicas constituídas
de solos, aflorando como alternativa prática e de resposta coerente.
5.2. Sugestões para pesquisas futuras
Ao longo do desenvolvimento deste trabalho, foi possível identificar algumas
possibilidades de melhoria do mesmo, assinaladas a seguir, através de proposições para
futuras pesquisas, que deem continuidade àquilo que já foi realizado. Sugere-se, assim:
� Assumir, junto com a coesão e o ângulo de atrito, o peso específico e a
poropressão de água nos solos como variáveis fuzzy nas expressões dos métodos
de estabilidade de taludes de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955);
� Usar novamente a metodologia proposta por Araújo (2013), numa abordagem
probabilística bayesiana, que permite a incorporação da informação do
especialista, e é melhor “educada” pela base de dados à medida que o modelo vai
sendo utilizado, a fim de avaliar o grau de melhoria nos resultados assim obtidos;
� Utilizar um sistema de inferência fuzzy com regras que considerem as seguintes
variáveis condicionantes dos fenômenos de deslizamento de massas de solo:
estrutura do solo, umidade do solo, clima da região, topografia, padrão de
drenagem natural, grau de avanço do desmatamento, dentre outras, podendo o
mesmo, inclusive, ser associado com ferramentas do tipo “árvore de decisões”;
� Implementar um modelo fuzzy de avaliação do risco de ruptura que simule a
variação sazonal da carga hidráulica nas poropressões, contemplando outros
79
cenários para o reservatório: nível d’água baixo, médio e em condição de
sangramento, além do rebaixamento rápido (fase de alto risco de ruptura, já que o
solo é submetido a um aumento de tensões muito brusco);
� Aplicar a metodologia de avaliação de risco utilizando números fuzzy para
outros métodos de estabilidade de taludes baseados nas teorias de equilíbrio
limite, como os de Janbu Simplificado, Janbu Generalizado e Lowe-Karafiath, por
exemplo;
� Assumir funções de probabilidade do tipo gama para representar a coesão, e
beta para o ângulo de atrito, e outros tipos de funções não-lineares (p. ex., normal,
Gumbell, sigmoide etc.) para as variáveis peso específico e poropressão de água,
avaliando o desempenho das mesmas como funções de pertinência da modelagem
fuzzy dos métodos de análise de estabilidade de taludes baseados na teoria do
equilíbrio limite;
� Comparar, de modo mais acurado, o desempenho da função de pertinência
triangular em relação ao da trapezoidal. Para tanto, o ideal seria tornar os
extremos (limites mínimo e máximo) da função de pertinência triangular
coincidentes com os da trapezoidal, e assumir os resultados da função trapezoidal
como “controle” na avaliação do desempenho da triangular;
� Empregar funções de pertinência triangulares a mais cenários, de modo a
investigar melhor seu desempenho, e confirmar a hipótese aventada de uso
pertinente da mesma nas situações em que só se dispõe de um único resultado de
ensaio de laboratório;
� Aplicar a metodologia desenvolvida para outros tipos de taludes em condições
de risco de ruptura, tais como encostas naturais e aterros de base e sub-base de
rodovias (em especial das pavimentadas), sujeitos a deslizamentos quando do
contato com águas pluviais não apropriadamente canalizadas para os sistemas de
drenagem;
� Aplicar a metodologia fuzzy à avaliação da capacidade de carga de fundações
diretas, realizando a fuzzificação da expressão proposta por Terzaghi (1943 apud
80
DAS, 2007), onde figuram como variáveis os parâmetros coesão, ângulo de atrito
e peso específico;
� Aplicar as operações com números fuzzy a qualquer metodologia em Geotecnia
que se utilize dos resultados de ensaios SPT (Standard Penetration Test), já que o
mesmo apresenta um amplo leque de fontes de incertezas;
� Aplicar a metodologia das operações com números fuzzy a estimativas de
recalque de solos em projetos de fundações, em especial aqueles realizados com
base nos resultados de ensaios SPT, por se tratar de uma correlação entre um
fenômeno dinâmico (o ensaio propriamente dito) e um estático (a aplicação do
carregamento); e
� Reaplicar os modelos fuzzy apresentados aos casos de outras barragens, a fim
de avaliar se seus resultados serão condizentes com aqueles obtidos por esta
pesquisa, onde a metodologia fuzzy apontou um risco de ruptura real para o
barramento estudado, o que não foi denunciado pelos métodos probabilísticos,
mas confirmado pelo desempenho de campo da estrutura.
81
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85
APÊNDICES
86
APÊNDICE A
MEMORIAL DE CÁLCULO PARA OS MODELOS DETERMINÍSTICOS
MÉTODOS DE FELLENIUS (1936) E BISHOP SIMPLIFICADO (1955)
87
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – DETERMINÍSTICO Solo Fatia L (m) R (m) α (°) α (rad) W (kN) c' (kPa) φφφφ' (°) φφφφ' (rad) u (kPa) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ' (kNm) x (m) W.x (kNm)
SOL
O D
O M
AC
IÇO
(J
AZ
IDA
) 1 7,01 53,19 63,11 1,10 198,39 35,00 29,40 0,51 -75,92 89,72 31.702,47 47,44 9.411,67
2 5,71 53,19 56,26 0,98 539,70 35,00 29,40 0,51 -32,90 299,79 25.244,68 44,23 23.870,53
3 4,99 53,19 50,49 0,88 744,59 35,00 29,40 0,51 0,14 473,67 23.457,31 41,04 30.557,40
4 4,52 53,19 45,38 0,79 888,04 35,00 29,40 0,51 25,32 623,80 23.674,56 37,86 33.618,37
5 4,18 53,19 40,69 0,71 995,98 35,00 29,40 0,51 43,96 755,19 24.910,47 34,68 34.538,67
6 3,94 53,19 36,32 0,63 1.075,93 35,00 29,40 0,51 63,25 866,94 25.849,62 31,50 33.893,52
7 3,75 53,19 32,18 0,56 1.132,69 35,00 29,40 0,51 78,44 958,71 26.899,71 28,33 32.084,77
SOL
O D
E F
UN
DA
ÇÃ
O
8 3,63 53,19 28,21 0,49 1.178,80 8,50 36,20 0,63 89,50 1.038,83 29.442,74 25,14 29.634,22
9 3,51 53,19 24,36 0,43 1.198,12 8,50 36,20 0,63 93,78 1.091,44 31.264,54 21,94 26.286,91
10 3,42 53,19 20,63 0,36 1.234,43 8,50 36,20 0,63 97,69 1.155,26 33.527,79 18,74 23.135,04
11 3,34 53,19 16,99 0,30 1.240,21 8,50 36,20 0,63 102,70 1.186,08 34.320,91 15,54 19.276,58
12 3,29 53,19 13,42 0,23 1.193,13 8,50 36,20 0,63 107,50 1.160,55 32.911,86 12,34 14.728,87
13 3,42 53,19 9,81 0,17 1.227,18 8,50 36,20 0,63 113,09 1.209,24 33.566,07 9,06 11.118,98
14 3,39 53,19 6,14 0,11 1.168,18 8,50 36,20 0,63 117,56 1.161,48 31.237,33 5,69 6.646,14
15 3,37 53,19 2,50 0,04 1.094,51 8,50 36,20 0,63 119,39 1.093,47 28.416,13 2,32 2.537,18
16 3,37 53,19 -1,13 -0,02 1.006,38 8,50 36,20 0,63 118,91 1.006,18 25.091,87 -1,05 -1.059,82
17 3,38 53,19 -4,77 -0,08 903,81 8,50 36,20 0,63 116,25 900,68 21.289,08 -4,42 -3.998,73
18 3,41 53,19 -8,43 -0,15 784,20 8,50 36,20 0,63 110,84 775,74 17.040,73 -7,80 -6.113,30
19 3,45 53,19 -12,12 -0,21 665,95 8,50 36,20 0,63 103,21 651,11 13.057,84 -11,17 -7.436,65
20 3,11 53,19 -15,65 -0,27 467,11 8,50 36,20 0,63 93,44 449,80 7.616,58 -14,35 -6.701,74
21 3,16 53,19 -19,03 -0,33 410,29 8,50 36,20 0,63 81,86 387,87 6.448,61 -17,34 -7.114,07
22 3,24 53,19 -22,47 -0,39 344,27 8,50 36,20 0,63 68,12 318,12 5.265,31 -20,33 -6.999,48
23 3,33 53,19 -26,01 -0,45 263,63 8,50 36,20 0,63 51,64 236,93 4.038,77 -23,32 -6.148,83
24 3,44 53,19 -29,65 -0,52 169,06 8,50 36,20 0,63 32,92 146,91 2.864,44 -26,32 -4.449,07
25 3,58 53,19 -33,44 -0,58 59,07 8,50 36,20 0,63 11,50 49,29 1.934,29 -29,31 -1.731,25
Σ = 541.073,73 Σ = 279.585,92
FS = 1,935
88
MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) – DETERMINÍSTICO
Solo Fatia L (m) R (m) α (°) α (rad) W (kN) c' (kPa) φφφφ' (°) φφφφ' (rad) u (kPa) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ' x (m) W.x (kNm) SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 56,30 0,98 170,49 35,0 29,40 0,513 0,00 112,79 16.564,66 49,88 8.504,62
2 5,34 59,96 50,84 0,89 469,60 35,0 29,40 0,513 0,00 479,99 27.423,35 46,49 21.832,65
3 4,85 59,96 45,97 0,80 647,64 35,0 29,40 0,513 0,00 666,85 32.711,76 43,11 27.919,42
4 4,50 59,96 41,50 0,72 774,91 35,0 29,40 0,513 6,30 790,77 35.207,37 39,73 30.788,91
5 4,24 59,96 37,32 0,65 871,24 35,0 29,40 0,513 23,57 884,28 35.397,40 36,36 31.674,33
6 4,04 59,96 33,37 0,58 941,86 35,0 29,40 0,513 35,71 944,62 35.516,40 32,98 31.062,11
7 3,88 59,96 29,59 0,52 990,34 35,0 29,40 0,513 49,56 983,76 34.882,21 29,60 29.318,55
8 3,75 59,96 25,94 0,45 1.019,24 35,0 29,40 0,513 58,77 1.002,78 34.303,17 26,23 26.734,83
SOL
O D
E F
UN
DA
ÇÃ
O
9 3,29 59,96 22,58 0,39 935,25 8,50 36,20 0,632 62,33 907,14 32.477,86 23,02 21.529,03
10 3,23 59,96 19,46 0,34 972,79 8,50 36,20 0,632 59,31 936,69 34.353,63 19,98 19.433,29
11 3,30 59,96 16,34 0,29 1.001,67 8,50 36,20 0,632 62,53 963,70 34.908,54 16,87 16.898,23
12 3,26 59,96 13,21 0,23 950,33 8,50 36,20 0,632 69,75 917,44 31.952,01 13,70 13.017,87
13 3,22 59,96 10,11 0,18 926,53 8,50 36,20 0,632 76,17 898,81 30.319,32 10,53 9.753,14
14 3,19 59,96 7,05 0,12 876,46 8,50 36,20 0,632 80,64 856,13 27.892,85 7,35 6.446,30
15 3,18 59,96 4,00 0,07 815,49 8,50 36,20 0,632 83,09 803,63 25.296,50 4,18 3.411,49
16 3,17 59,96 0,97 0,02 743,80 8,50 36,20 0,632 83,78 740,93 22.472,16 1,01 752,56
17 3,17 59,96 -2,06 -0,04 661,45 8,50 36,20 0,632 82,61 667,35 19.400,70 -2,16 -1.428,58
18 3,18 59,96 -5,10 -0,09 566,33 8,50 36,20 0,632 79,43 579,74 15.967,69 -5,33 -3.019,29
19 3,20 59,96 -8,15 -0,14 476,03 8,50 36,20 0,632 74,17 495,41 12.947,90 -8,50 -4.047,63
20 3,23 59,96 -11,23 -0,20 356,97 8,50 36,20 0,632 67,10 377,45 8.692,67 -11,67 -4.167,53
21 3,27 59,96 -14,34 -0,25 306,79 8,50 36,20 0,632 58,05 332,51 7.923,01 -14,85 -4.554,76
22 2,94 59,96 -17,31 -0,30 226,57 8,50 36,20 0,632 47,50 253,11 6.473,38 -17,84 -4.041,22
23 2,99 59,96 -20,14 -0,35 173,02 8,50 36,20 0,632 35,74 200,46 5.628,67 -20,65 -3.572,35
24 3,05 59,96 -23,03 -0,40 110,51 8,50 36,20 0,632 22,91 134,72 4.398,91 -23,46 -2.592,24
25 3,13 59,96 -25,98 -0,45 38,47 8,50 36,20 0,632 7,98 53,70 2.855,47 -26,27 -1.010,66
FS (output) = 2,13 Σ = 575.967,57 Σ = 270.643,08
FS = 2,13
89
APÊNDICE B
MEMORIAL DE CÁLCULO
MODELO FUZZY PARA O MÉTODO DE FELLENIUS (1936)
90
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 1)
Grau de pertinência: µµµµ =0,0
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 20,0 50,0 0,268 0,839 -75,92 47,44 9.411,67 89,72 32.502,33 30.244,30
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 20,0 50,0 0,268 0,839 -32,90 44,23 23.870,53 299,79 18.730,93 31.242,44
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 20,0 50,0 0,268 0,839 0,14 41,04 30.557,40 473,67 12.023,89 34.390,26
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 20,0 50,0 0,268 0,839 25,32 37,86 33.618,37 623,80 8.590,45 38.219,61
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 20,0 50,0 0,268 0,839 43,96 34,68 34.538,67 755,19 7.006,94 42.209,46
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 20,0 50,0 0,268 0,839 63,25 31,50 33.893,52 866,94 5.432,17 45.613,17
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 20,0 50,0 0,268 0,839 78,44 28,33 32.084,77 958,71 4.530,87 48.565,15
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 0,0 40,0 0,364 1,192 89,50 25,14 29.634,22 1.038,83 -467,52 67.283,39
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 0,0 40,0 0,364 1,192 93,78 21,94 26.286,91 1.091,44 269,41 70.280,95
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 0,0 40,0 0,364 1,192 97,69 18,74 23.135,04 1.155,26 1.213,48 74.038,77
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 0,0 40,0 0,364 1,192 102,70 15,54 19.276,58 1.186,08 1.202,09 75.650,70
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 0,0 40,0 0,364 1,192 107,50 12,34 14.728,87 1.160,55 72,94 73.719,21
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 0,0 40,0 0,364 1,192 113,09 9,06 11.118,98 1.209,24 -1.103,85 76.442,12
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 0,0 40,0 0,364 1,192 117,56 5,69 6.646,14 1.161,48 -2.770,19 73.122,79
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 0,0 40,0 0,364 1,192 119,39 2,32 2.537,18 1.093,47 -4.357,69 68.694,52
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 0,0 40,0 0,364 1,192 118,91 -1,05 -1.059,82 1.006,18 -5.925,55 63.193,28
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 40,0 0,364 1,192 116,25 -4,42 -3.998,73 900,68 -7.480,60 56.677,92
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 40,0 0,364 1,192 110,84 -7,80 -6.113,30 775,74 -8.915,48 49.111,63
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 40,0 0,364 1,192 103,21 -11,17 -7.436,65 651,11 -9.943,14 41.719,85
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 40,0 0,364 1,192 93,44 -14,35 -6.701,74 449,80 -9.688,72 29.501,94
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 40,0 0,364 1,192 81,86 -17,34 -7.114,07 387,87 -8.906,58 26.304,44
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 40,0 0,364 1,192 68,12 -20,33 -6.999,48 318,12 -7.815,94 22.783,66
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 40,0 0,364 1,192 51,64 -23,32 -6.148,83 236,93 -6.305,28 18.772,27
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 40,0 0,364 1,192 32,92 -26,32 -4.449,07 146,91 -4.337,97 14.441,45
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 0,0 40,0 0,364 1,192 11,50 -29,31 -1.731,25 49,29 -1.659,03 9.951,59
Σ = 279.585,92 Σ = 11.897,98 1.182.174,86
FS = 0,04 4,23
91
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 1)
Grau de pertinência: µµµµ =0,2
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 22,6 47,4 0,315 0,790 -75,92 47,44 9.411,67 89,72 32.297,03 30.358,10
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 22,6 47,4 0,315 0,790 -32,90 44,23 23.870,53 299,79 19.770,26 30.131,39
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 22,6 47,4 0,315 0,790 0,14 41,04 30.557,40 473,67 13.888,80 32.455,79
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 22,6 47,4 0,315 0,790 25,32 37,86 33.618,37 623,80 11.060,58 35.674,55
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 22,6 47,4 0,315 0,790 43,96 34,68 34.538,67 755,19 9.939,14 39.193,24
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 22,6 47,4 0,315 0,790 63,25 31,50 33.893,52 866,94 8.777,97 42.176,48
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 22,6 47,4 0,315 0,790 78,44 28,33 32.084,77 958,71 8.196,02 44.802,23
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 0,0 35,4 0,441 1,115 89,50 25,14 29.634,22 1.038,83 5.148,41 60.789,97
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 0,0 35,4 0,441 1,115 93,78 21,94 26.286,91 1.091,44 6.120,48 63.582,00
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 0,0 35,4 0,441 1,115 97,69 18,74 23.135,04 1.155,26 7.346,52 67.081,54
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 0,0 35,4 0,441 1,115 102,70 15,54 19.276,58 1.186,08 7.501,54 68.545,24
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 0,0 35,4 0,441 1,115 107,50 12,34 14.728,87 1.160,55 6.308,32 66.691,06
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 0,0 35,4 0,441 1,115 113,09 9,06 11.118,98 1.209,24 5.469,61 69.043,50
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 0,0 35,4 0,441 1,115 117,56 5,69 6.646,14 1.161,48 3.654,44 65.879,65
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 0,0 35,4 0,441 1,115 119,39 2,32 2.537,18 1.093,47 1.804,15 61.717,11
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 0,0 35,4 0,441 1,115 118,91 -1,05 -1.059,82 1.006,18 -131,43 56.583,02
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 35,4 0,441 1,115 116,25 -4,42 -3.998,73 900,68 -2.152,97 50.530,07
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 35,4 0,441 1,115 110,84 -7,80 -6.113,30 775,74 -4.166,67 43.534,93
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 35,4 0,441 1,115 103,21 -11,17 -7.436,65 651,11 -5.797,82 36.735,40
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 35,4 0,441 1,115 93,44 -14,35 -6.701,74 449,80 -6.642,32 25.697,86
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 35,4 0,441 1,115 81,86 -17,34 -7.114,07 387,87 -6.243,82 22.869,45
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 35,4 0,441 1,115 68,12 -20,33 -6.999,48 318,12 -5.598,90 19.776,11
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 35,4 0,441 1,115 51,64 -23,32 -6.148,83 236,93 -4.622,73 16.276,41
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 35,4 0,441 1,115 32,92 -26,32 -4.449,07 146,91 -3.266,90 12.528,81
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 0,0 35,4 0,441 1,115 11,50 -29,31 -1.731,25 49,29 -1.286,49 8.702,26
Σ = 279.585,92 Σ = 107.373,23 1.071.356,16
FS = 0,38 3,83
92
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 1)
Grau de pertinência: µµµµ =0,4
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 25,2 44,8 0,362 0,743 -75,92 47,44 9.411,67 89,72 32.161,83 30.518,83
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 25,2 44,8 0,362 0,743 -32,90 44,23 23.870,53 299,79 20.852,53 29.069,13
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 25,2 44,8 0,362 0,743 0,14 41,04 30.557,40 473,67 15.785,78 30.578,22
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 25,2 44,8 0,362 0,743 25,32 37,86 33.618,37 623,80 13.559,30 33.196,73
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 25,2 44,8 0,362 0,743 43,96 34,68 34.538,67 755,19 12.900,50 36.255,32
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 25,2 44,8 0,362 0,743 63,25 31,50 33.893,52 866,94 12.152,69 38.827,12
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 25,2 44,8 0,362 0,743 78,44 28,33 32.084,77 958,71 11.890,90 41.134,63
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 0,0 30,8 0,524 1,043 89,50 25,14 29.634,22 1.038,83 10.929,36 54.519,58
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 0,0 30,8 0,524 1,043 93,78 21,94 26.286,91 1.091,44 12.148,45 57.120,38
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 0,0 30,8 0,524 1,043 97,69 18,74 23.135,04 1.155,26 13.671,09 60.379,17
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 0,0 30,8 0,524 1,043 102,70 15,54 19.276,58 1.186,08 13.997,43 61.701,28
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 0,0 30,8 0,524 1,043 107,50 12,34 14.728,87 1.160,55 12.730,82 59.914,43
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 0,0 30,8 0,524 1,043 113,09 9,06 11.118,98 1.209,24 12.232,58 61.902,28
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 0,0 30,8 0,524 1,043 117,56 5,69 6.646,14 1.161,48 10.253,18 58.876,98
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 0,0 30,8 0,524 1,043 119,39 2,32 2.537,18 1.093,47 8.121,83 54.959,20
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 0,0 30,8 0,524 1,043 118,91 -1,05 -1.059,82 1.006,18 5.797,23 50.167,16
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 30,8 0,524 1,043 116,25 -4,42 -3.998,73 900,68 3.285,03 44.547,65
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 30,8 0,524 1,043 110,84 -7,80 -6.113,30 775,74 665,78 38.090,93
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 30,8 0,524 1,043 103,21 -11,17 -7.436,65 651,11 -1.593,67 31.852,63
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 30,8 0,524 1,043 93,44 -14,35 -6.701,74 449,80 -3.568,30 21.952,87
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 30,8 0,524 1,043 81,86 -17,34 -7.114,07 387,87 -3.559,79 19.483,24
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 30,8 0,524 1,043 68,12 -20,33 -6.999,48 318,12 -3.366,79 16.806,54
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 30,8 0,524 1,043 51,64 -23,32 -6.148,83 236,93 -2.931,18 13.806,93
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 30,8 0,524 1,043 32,92 -26,32 -4.449,07 146,91 -2.192,23 10.630,83
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 0,0 30,8 0,524 1,043 11,50 -29,31 -1.731,25 49,29 -913,69 7.457,04
Σ = 279.585,92 Σ = 205.010,67 963.749,12
FS = 0,73 3,45
93
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 1)
Grau de pertinência: µµµµ =0,6
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 27,8 42,2 0,412 0,698 -75,92 47,44 9.411,67 89,72 32.091,38 30.732,12
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 27,8 42,2 0,412 0,698 -32,90 44,23 23.870,53 299,79 21.979,23 28.054,39
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 27,8 42,2 0,412 0,698 0,14 41,04 30.557,40 473,67 17.720,82 28.751,77
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 27,8 42,2 0,412 0,698 25,32 37,86 33.618,37 623,80 16.095,91 30.777,09
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 27,8 42,2 0,412 0,698 43,96 34,68 34.538,67 755,19 15.902,81 33.384,19
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 27,8 42,2 0,412 0,698 63,25 31,50 33.893,52 866,94 15.570,32 35.551,37
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 27,8 42,2 0,412 0,698 78,44 28,33 32.084,77 958,71 15.631,22 37.546,93
SO
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8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 0,0 26,2 0,612 0,976 89,50 25,14 29.634,22 1.038,83 16.956,65 48.411,36
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 0,0 26,2 0,612 0,976 93,78 21,94 26.286,91 1.091,44 18.438,29 50.832,95
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 0,0 26,2 0,612 0,976 97,69 18,74 23.135,04 1.155,26 20.276,58 53.865,82
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 0,0 26,2 0,612 0,976 102,70 15,54 19.276,58 1.186,08 20.781,57 55.051,16
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 0,0 26,2 0,612 0,976 107,50 12,34 14.728,87 1.160,55 19.430,91 53.321,95
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 0,0 26,2 0,612 0,976 113,09 9,06 11.118,98 1.209,24 19.280,05 54.947,04
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 0,0 26,2 0,612 0,976 117,56 5,69 6.646,14 1.161,48 17.118,31 52.044,40
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 0,0 26,2 0,612 0,976 119,39 2,32 2.537,18 1.093,47 14.683,25 48.352,67
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 0,0 26,2 0,612 0,976 118,91 -1,05 -1.059,82 1.006,18 11.942,47 43.881,02
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 26,2 0,612 0,976 116,25 -4,42 -3.998,73 900,68 8.908,14 38.670,46
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 26,2 0,612 0,976 110,84 -7,80 -6.113,30 775,74 5.647,71 32.725,22
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 26,2 0,612 0,976 103,21 -11,17 -7.436,65 651,11 2.726,05 27.023,26
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 26,2 0,612 0,976 93,44 -14,35 -6.701,74 449,80 -425,81 18.230,68
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 26,2 0,612 0,976 81,86 -17,34 -7.114,07 387,87 -818,93 16.113,93
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 26,2 0,612 0,976 68,12 -20,33 -6.999,48 318,12 -1.090,12 13.848,28
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 26,2 0,612 0,976 51,64 -23,32 -6.148,83 236,93 -1.208,40 11.343,46
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 26,2 0,612 0,976 32,92 -26,32 -4.449,07 146,91 -1.099,92 8.734,43
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 0,0 26,2 0,612 0,976 11,50 -29,31 -1.731,25 49,29 -535,78 6.211,33
Σ = 279.585,92 Σ = 306.002,69 858.407,28
FS = 1,09 3,07
94
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 1)
Grau de pertinência: µµµµ =0,8
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 30,4 39,6 0,463 0,654 -75,92 47,44 9.411,67 89,72 32.081,17 31.004,49
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 30,4 39,6 0,463 0,654 -32,90 44,23 23.870,53 299,79 23.152,55 27.086,55
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 30,4 39,6 0,463 0,654 0,14 41,04 30.557,40 473,67 19.700,60 26.971,30
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 30,4 39,6 0,463 0,654 25,32 37,86 33.618,37 623,80 18.680,39 28.407,29
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 30,4 39,6 0,463 0,654 43,96 34,68 34.538,67 755,19 18.958,66 30.569,09
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 30,4 39,6 0,463 0,654 63,25 31,50 33.893,52 866,94 19.045,74 32.336,36
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 30,4 39,6 0,463 0,654 78,44 28,33 32.084,77 958,71 19.433,64 34.024,63
SO
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8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 0,0 21,6 0,708 0,913 89,50 25,14 29.634,22 1.038,83 23.326,44 42.405,39
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 0,0 21,6 0,708 0,913 93,78 21,94 26.286,91 1.091,44 25.090,67 44.657,74
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 0,0 21,6 0,708 0,913 97,69 18,74 23.135,04 1.155,26 27.269,08 47.477,11
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 0,0 21,6 0,708 0,913 102,70 15,54 19.276,58 1.186,08 27.962,88 48.528,73
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 0,0 21,6 0,708 0,913 107,50 12,34 14.728,87 1.160,55 26.515,74 46.847,46
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 0,0 21,6 0,708 0,913 113,09 9,06 11.118,98 1.209,24 26.724,25 48.107,30
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 0,0 21,6 0,708 0,913 117,56 5,69 6.646,14 1.161,48 24.358,46 45.311,98
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 0,0 21,6 0,708 0,913 119,39 2,32 2.537,18 1.093,47 21.591,57 41.829,40
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 0,0 21,6 0,708 0,913 118,91 -1,05 -1.059,82 1.006,18 18.400,17 37.659,44
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 21,6 0,708 0,913 116,25 -4,42 -3.998,73 900,68 14.803,29 32.837,34
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 21,6 0,708 0,913 110,84 -7,80 -6.113,30 775,74 10.855,23 27.381,87
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 21,6 0,708 0,913 103,21 -11,17 -7.436,65 651,11 7.226,44 22.197,17
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 21,6 0,708 0,913 93,44 -14,35 -6.701,74 449,80 2.831,57 14.492,98
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 21,6 0,708 0,913 81,86 -17,34 -7.114,07 387,87 2.019,05 12.727,77
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 21,6 0,708 0,913 68,12 -20,33 -6.999,48 318,12 1.264,40 10.872,98
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 21,6 0,708 0,913 51,64 -23,32 -6.148,83 236,93 570,67 8.864,24
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 21,6 0,708 0,913 32,92 -26,32 -4.449,07 146,91 25,79 6.825,57
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 0,0 21,6 0,708 0,913 11,50 -29,31 -1.731,25 49,29 -147,39 4.960,16
Σ = 279.585,92 Σ = 411.741,06 754.384,36
FS = 1,47 2,70
95
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 1)
Grau de pertinência: µµµµ =1,0
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
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MA
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O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 33,0 37,0 0,516 0,613 -75,92 47,44 9.411,67 89,72 32.127,51 31.343,51
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 33,0 37,0 0,516 0,613 -32,90 44,23 23.870,53 299,79 24.375,42 26.165,73
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 33,0 37,0 0,516 0,613 0,14 41,04 30.557,40 473,67 21.732,61 25.232,26
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 33,0 37,0 0,516 0,613 25,32 37,86 33.618,37 623,80 21.323,74 26.079,51
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 33,0 37,0 0,516 0,613 43,96 34,68 34.538,67 755,19 22.081,79 27.799,85
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 33,0 37,0 0,516 0,613 63,25 31,50 33.893,52 866,94 22.595,07 29.169,82
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 33,0 37,0 0,516 0,613 78,44 28,33 32.084,77 958,71 23.316,16 30.553,88
SO
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ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 0,0 17,0 0,813 0,854 89,50 25,14 29.634,22 1.038,83 30.156,79 36.439,42
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 0,0 17,0 0,813 0,854 93,78 21,94 26.286,91 1.091,44 32.229,28 38.530,61
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 0,0 17,0 0,813 0,854 97,69 18,74 23.135,04 1.155,26 34.779,11 41.146,68
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 0,0 17,0 0,813 0,854 102,70 15,54 19.276,58 1.186,08 35.675,39 42.065,78
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 0,0 17,0 0,813 0,854 107,50 12,34 14.728,87 1.160,55 34.116,93 40.422,38
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 0,0 17,0 0,813 0,854 113,09 9,06 11.118,98 1.209,24 34.702,81 41.309,66
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 0,0 17,0 0,813 0,854 117,56 5,69 6.646,14 1.161,48 32.106,58 38.606,39
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 0,0 17,0 0,813 0,854 119,39 2,32 2.537,18 1.093,47 28.972,70 35.317,47
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 0,0 17,0 0,813 0,854 118,91 -1,05 -1.059,82 1.006,18 25.287,01 31.433,02
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 17,0 0,813 0,854 116,25 -4,42 -3.998,73 900,68 21.075,84 26.982,57
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 17,0 0,813 0,854 110,84 -7,80 -6.113,30 775,74 16.380,14 22.000,20
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 17,0 0,813 0,854 103,21 -11,17 -7.436,65 651,11 11.985,63 17.319,31
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 17,0 0,813 0,854 93,44 -14,35 -6.701,74 449,80 6.259,00 10.697,08
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 17,0 0,813 0,854 81,86 -17,34 -7.114,07 387,87 5.001,97 9.287,03
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 17,0 0,813 0,854 68,12 -20,33 -6.999,48 318,12 3.736,22 7.848,85
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 17,0 0,813 0,854 51,64 -23,32 -6.148,83 236,93 2.435,58 6.344,80
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 17,0 0,813 0,854 32,92 -26,32 -4.449,07 146,91 1.203,40 4.888,36
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 0,0 17,0 0,813 0,854 11,50 -29,31 -1.731,25 49,29 257,78 3.697,86
Σ = 279.585,92 Σ = 523.914,50 650.682,02
FS = 1,87 2,33
96
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 2)
Grau de pertinência: µµµµ =0,0
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
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O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 25,0 45,0 0,364 0,754 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32403,13 30690,16
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 25,0 45,0 0,364 0,754 -32,90 44,23 23870,53 299,79 20925,79 29319,29
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 25,0 45,0 0,364 0,754 0,14 41,04 30557,40 473,67 15772,16 30905,53
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 25,0 45,0 0,364 0,754 25,32 37,86 33618,37 623,80 13497,49 33596,43
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 25,0 45,0 0,364 0,754 43,96 34,68 34538,67 755,19 12813,01 36721,74
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1075,93 25,0 45,0 0,364 0,754 63,25 31,50 33893,52 866,94 12039,52 39350,16
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1132,69 25,0 45,0 0,364 0,754 78,44 28,33 32084,77 958,71 11761,39 41705,03
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8 3,627 53,19 28,205 0,492 1178,80 0,0 30,0 0,466 1,000 89,50 25,14 29634,22 1038,83 8498,31 52991,46
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1198,12 0,0 30,0 0,466 1,000 93,78 21,94 26286,91 1091,44 9566,96 55491,10
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1234,43 0,0 30,0 0,466 1,000 97,69 18,74 23135,04 1155,26 10905,32 58622,64
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1240,21 0,0 30,0 0,466 1,000 102,70 15,54 19276,58 1186,08 11159,47 59907,00
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1193,13 0,0 30,0 0,466 1,000 107,50 12,34 14728,87 1160,55 9993,54 58211,20
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1227,18 0,0 30,0 0,466 1,000 113,09 9,06 11118,98 1209,24 9422,82 60184,58
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1168,18 0,0 30,0 0,466 1,000 117,56 5,69 6646,14 1161,48 7615,80 57305,00
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1094,51 0,0 30,0 0,466 1,000 119,39 2,32 2537,18 1093,47 5701,70 53555,73
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1006,38 0,0 30,0 0,466 1,000 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 3639,08 48956,60
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 30,0 0,466 1,000 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 1431,32 43553,28
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 30,0 0,466 1,000 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 -842,00 37332,50
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 30,0 0,466 1,000 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 -2770,89 31309,47
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 30,0 0,466 1,000 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 -4280,30 21682,54
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 30,0 0,466 1,000 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 -4153,96 19256,03
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 30,0 0,466 1,000 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 -3835,76 16617,48
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 30,0 0,466 1,000 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 -3263,07 13650,41
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 30,0 0,466 1,000 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 -2382,66 10495,74
25 3,584 53,19 -33,4392 -0,584 59,07 0,0 30,0 0,466 1,000 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 -970,26 7318,15
Σ = 279.585,92 Σ = 174647,88 948729,27
FS = 0,62 3,39
97
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 2)
Grau de pertinência: µµµµ =0,2
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
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(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 26,6 43,4 0,393 0,724 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32298,64 30776,75
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 26,6 43,4 0,393 0,724 -32,90 44,23 23870,53 299,79 21579,76 28651,29
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 26,6 43,4 0,393 0,724 0,14 41,04 30557,40 473,67 16931,56 29732,52
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 26,6 43,4 0,393 0,724 25,32 37,86 33618,37 623,80 15028,89 32050,38
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 26,6 43,4 0,393 0,724 43,96 34,68 34538,67 755,19 14629,46 34888,85
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1075,93 26,6 43,4 0,393 0,724 63,25 31,50 33893,52 866,94 14110,88 37261,02
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1132,69 26,6 43,4 0,393 0,724 78,44 28,33 32084,77 958,71 14029,90 39417,40
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8 3,627 53,19 28,205 0,492 1178,80 0,0 27,4 0,528 0,969 89,50 25,14 29634,22 1038,83 12423,94 49720,76
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1198,12 0,0 27,4 0,528 0,969 93,78 21,94 26286,91 1091,44 13671,68 52135,69
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1234,43 0,0 27,4 0,528 0,969 97,69 18,74 23135,04 1155,26 15225,96 55160,12
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1240,21 0,0 27,4 0,528 0,969 102,70 15,54 19276,58 1186,08 15596,48 56372,59
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1193,13 0,0 27,4 0,528 0,969 107,50 12,34 14728,87 1160,55 14363,70 54693,86
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1227,18 0,0 27,4 0,528 0,969 113,09 9,06 11118,98 1209,24 14006,96 56459,53
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1168,18 0,0 27,4 0,528 0,969 117,56 5,69 6646,14 1161,48 12063,25 53624,56
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1094,51 0,0 27,4 0,528 0,969 119,39 2,32 2537,18 1093,47 9934,15 49975,49
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1006,38 0,0 27,4 0,528 0,969 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 7583,40 45526,60
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 27,4 0,528 0,969 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 5018,54 40320,44
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 27,4 0,528 0,969 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 2311,77 34352,45
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 27,4 0,528 0,969 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 -59,94 28600,26
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 27,4 0,528 0,969 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 -2334,34 19565,49
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 27,4 0,528 0,969 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 -2461,58 17334,91
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 27,4 0,528 0,969 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 -2434,46 14926,75
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 27,4 0,528 0,969 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 -2206,85 12239,41
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 27,4 0,528 0,969 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 -1716,60 9408,18
25 3,584 53,19 -33,4392 -0,584 59,07 0,0 27,4 0,528 0,969 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 -741,52 6606,82
Σ = 279.585,92 Σ = 238853,64 889802,10
FS = 0,85 3,18
98
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 2)
Grau de pertinência: µµµµ =0,4
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 28,2 41,8 0,423 0,695 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32220,01 30883,92
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 28,2 41,8 0,423 0,695 -32,90 44,23 23870,53 299,79 22251,27 28002,15
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 28,2 41,8 0,423 0,695 0,14 41,04 30557,40 473,67 18105,79 28579,99
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 28,2 41,8 0,423 0,695 25,32 37,86 33618,37 623,80 16574,90 30527,74
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 28,2 41,8 0,423 0,695 43,96 34,68 34538,67 755,19 16461,65 33082,87
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1075,93 28,2 41,8 0,423 0,695 63,25 31,50 33893,52 866,94 16198,66 35201,59
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1132,69 28,2 41,8 0,423 0,695 78,44 28,33 32084,77 958,71 16315,76 37162,03
SO
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DE
FU
ND
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ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1178,80 0,0 24,8 0,592 0,939 89,50 25,14 29634,22 1038,83 16514,57 46444,75
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1198,12 0,0 24,8 0,592 0,939 93,78 21,94 26286,91 1091,44 17950,34 48776,78
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1234,43 0,0 24,8 0,592 0,939 97,69 18,74 23135,04 1155,26 19731,43 51696,47
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1240,21 0,0 24,8 0,592 0,939 102,70 15,54 19276,58 1186,08 20223,23 52836,89
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1193,13 0,0 24,8 0,592 0,939 107,50 12,34 14728,87 1160,55 18918,66 51172,21
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1227,18 0,0 24,8 0,592 0,939 113,09 9,06 11118,98 1209,24 18782,73 52726,75
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1168,18 0,0 24,8 0,592 0,939 117,56 5,69 6646,14 1161,48 16693,43 49932,01
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1094,51 0,0 24,8 0,592 0,939 119,39 2,32 2537,18 1093,47 14337,27 46379,03
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1006,38 0,0 24,8 0,592 0,939 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 11683,26 42076,41
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 24,8 0,592 0,939 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 8743,31 37063,55
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 24,8 0,592 0,939 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 5582,09 31344,88
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 24,8 0,592 0,939 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 2746,92 25861,19
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 24,8 0,592 0,939 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 -324,32 17420,06
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 24,8 0,592 0,939 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 -714,39 15387,80
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 24,8 0,592 0,939 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 -988,60 13213,29
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 24,8 0,592 0,939 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 -1117,83 10810,16
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 24,8 0,592 0,939 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 -1030,54 8308,13
25 3,584 53,19 -33,4392 -0,584 59,07 0,0 24,8 0,592 0,939 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 -506,22 5890,74
Σ = 279.585,92 Σ = 305353,38 830781,41
FS = 1,09 2,97
99
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 2)
Grau de pertinência: µµµµ =0,6
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 29,8 40,2 0,453 0,667 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32165,99 31013,07
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 29,8 40,2 0,453 0,667 -32,90 44,23 23870,53 299,79 22940,70 27371,61
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 29,8 40,2 0,453 0,667 0,14 41,04 30557,40 473,67 19296,31 27446,59
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 29,8 40,2 0,453 0,667 25,32 37,86 33618,37 623,80 18137,78 29026,38
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 29,8 40,2 0,453 0,667 43,96 34,68 34538,67 755,19 18312,42 31301,10
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1075,93 29,8 40,2 0,453 0,667 63,25 31,50 33893,52 866,94 18306,24 33168,64
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1132,69 29,8 40,2 0,453 0,667 78,44 28,33 32084,77 958,71 18622,76 34935,31
SO
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FU
ND
AÇ
ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1178,80 0,0 22,2 0,661 0,910 89,50 25,14 29634,22 1038,83 20804,87 43149,84
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1198,12 0,0 22,2 0,661 0,910 93,78 21,94 26286,91 1091,44 22439,35 45400,49
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1234,43 0,0 22,2 0,661 0,910 97,69 18,74 23135,04 1155,26 24460,24 48217,44
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1240,21 0,0 22,2 0,661 0,910 102,70 15,54 19276,58 1186,08 25079,23 49285,27
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1193,13 0,0 22,2 0,661 0,910 107,50 12,34 14728,87 1160,55 23697,12 47631,40
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1227,18 0,0 22,2 0,661 0,910 113,09 9,06 11118,98 1209,24 23790,52 48970,15
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1168,18 0,0 22,2 0,661 0,910 117,56 5,69 6646,14 1161,48 21545,21 46211,00
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1094,51 0,0 22,2 0,661 0,910 119,39 2,32 2537,18 1093,47 18947,73 42750,06
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1006,38 0,0 22,2 0,661 0,910 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 15972,52 38590,07
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 22,2 0,661 0,910 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 12636,02 33767,19
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 22,2 0,661 0,910 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 8995,24 28295,26
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 22,2 0,661 0,910 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 5671,87 23078,81
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 22,2 0,661 0,910 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 1765,21 15235,51
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 22,2 0,661 0,910 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 1100,97 13405,15
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 22,2 0,661 0,910 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 512,79 11469,03
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 22,2 0,661 0,910 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 12,19 9356,38
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 22,2 0,661 0,910 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 -319,37 7191,47
25 3,584 53,19 -33,4392 -0,584 59,07 0,0 22,2 0,661 0,910 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 -262,65 5168,42
Σ = 279.585,92 Σ = 374631,28 771435,65
FS = 1,34 2,76
100
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 2)
Grau de pertinência: µµµµ =0,8
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
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DO
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O
(JA
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A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 31,4 38,6 0,484 0,640 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32135,49 31165,70
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 31,4 38,6 0,484 0,640 -32,90 44,23 23870,53 299,79 23648,55 26759,49
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 31,4 38,6 0,484 0,640 0,14 41,04 30557,40 473,67 20504,69 26331,07
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 31,4 38,6 0,484 0,640 25,32 37,86 33618,37 623,80 19719,89 27544,29
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 31,4 38,6 0,484 0,640 43,96 34,68 34538,67 755,19 20184,75 29540,93
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1075,93 31,4 38,6 0,484 0,640 63,25 31,50 33893,52 866,94 20437,15 31159,05
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1132,69 31,4 38,6 0,484 0,640 78,44 28,33 32084,77 958,71 20954,85 32733,72
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ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1178,80 0,0 19,6 0,734 0,882 89,50 25,14 29634,22 1038,83 25335,88 39820,65
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1198,12 0,0 19,6 0,734 0,882 93,78 21,94 26286,91 1091,44 27181,77 41991,14
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1234,43 0,0 19,6 0,734 0,882 97,69 18,74 23135,04 1155,26 29457,91 44707,00
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1240,21 0,0 19,6 0,734 0,882 102,70 15,54 19276,58 1186,08 30211,24 45701,23
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1193,13 0,0 19,6 0,734 0,882 107,50 12,34 14728,87 1160,55 28744,89 44054,58
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1227,18 0,0 19,6 0,734 0,882 113,09 9,06 11118,98 1209,24 29078,11 45171,48
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1168,18 0,0 19,6 0,734 0,882 117,56 5,69 6646,14 1161,48 26664,55 42442,96
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1094,51 0,0 19,6 0,734 0,882 119,39 2,32 2537,18 1093,47 23808,89 39070,05
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1006,38 0,0 19,6 0,734 0,882 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 20491,14 35049,35
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 19,6 0,734 0,882 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 16732,55 30413,73
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 19,6 0,734 0,882 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 12582,23 25186,88
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 19,6 0,734 0,882 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 8741,03 20237,59
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 19,6 0,734 0,882 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 3952,42 12999,41
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 19,6 0,734 0,882 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 3000,18 11375,91
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 19,6 0,734 0,882 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 2082,61 9684,57
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 19,6 0,734 0,882 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 1192,84 7870,80
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 19,6 0,734 0,882 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 422,90 6053,43
25 3,584 53,19 -33,4392 -0,584 59,07 0,0 19,6 0,734 0,882 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 -8,78 4438,15
Σ = 279.585,92 Σ = 447257,72 711503,15
FS = 1,60 2,54
101
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 2)
Grau de pertinência: µµµµ =1,0
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 33,0 37,0 0,516 0,613 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32127,51 31343,51
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 33,0 37,0 0,516 0,613 -32,90 44,23 23870,53 299,79 24375,42 26165,73
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 33,0 37,0 0,516 0,613 0,14 41,04 30557,40 473,67 21732,61 25232,26
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 33,0 37,0 0,516 0,613 25,32 37,86 33618,37 623,80 21323,74 26079,51
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 33,0 37,0 0,516 0,613 43,96 34,68 34538,67 755,19 22081,79 27799,85
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1075,93 33,0 37,0 0,516 0,613 63,25 31,50 33893,52 866,94 22595,07 29169,82
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1132,69 33,0 37,0 0,516 0,613 78,44 28,33 32084,77 958,71 23316,16 30553,88
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1178,80 0,0 17,0 0,813 0,854 89,50 25,14 29634,22 1038,83 30156,79 36439,42
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1198,12 0,0 17,0 0,813 0,854 93,78 21,94 26286,91 1091,44 32229,28 38530,61
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1234,43 0,0 17,0 0,813 0,854 97,69 18,74 23135,04 1155,26 34779,11 41146,68
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1240,21 0,0 17,0 0,813 0,854 102,70 15,54 19276,58 1186,08 35675,39 42065,78
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1193,13 0,0 17,0 0,813 0,854 107,50 12,34 14728,87 1160,55 34116,93 40422,38
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1227,18 0,0 17,0 0,813 0,854 113,09 9,06 11118,98 1209,24 34702,81 41309,66
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1168,18 0,0 17,0 0,813 0,854 117,56 5,69 6646,14 1161,48 32106,58 38606,39
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1094,51 0,0 17,0 0,813 0,854 119,39 2,32 2537,18 1093,47 28972,70 35317,47
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1006,38 0,0 17,0 0,813 0,854 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 25287,01 31433,02
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 17,0 0,813 0,854 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 21075,84 26982,57
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 17,0 0,813 0,854 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 16380,14 22000,20
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 17,0 0,813 0,854 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 11985,63 17319,31
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 17,0 0,813 0,854 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 6259,00 10697,08
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 17,0 0,813 0,854 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 5001,97 9287,03
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 17,0 0,813 0,854 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 3736,22 7848,85
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 17,0 0,813 0,854 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 2435,58 6344,80
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 17,0 0,813 0,854 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 1203,40 4888,36
25 3,584 53,19 -33,4392 -0,584 59,07 0,0 17,0 0,813 0,854 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 257,78 3697,86
Σ = 279.585,92 Σ = 523914,50 650682,02
FS = 1,87 2,33
102
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 3)
Grau de pertinência: µµµµ =0,0
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 20,0 50,0 0,268 0,839 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32502,33 30244,30
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 20,0 50,0 0,268 0,839 -32,90 44,23 23870,53 299,79 18730,93 31242,44
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 20,0 50,0 0,268 0,839 0,14 41,04 30557,40 473,67 12023,89 34390,26
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 20,0 50,0 0,268 0,839 25,32 37,86 33618,37 623,80 8590,45 38219,61
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 20,0 50,0 0,268 0,839 43,96 34,68 34538,67 755,19 7006,94 42209,46
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 20,0 50,0 0,268 0,839 63,25 31,50 33893,52 866,94 5432,17 45613,17
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 20,0 50,0 0,268 0,839 78,44 28,33 32084,77 958,71 4530,87 48565,15
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ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 0,0 20,0 0,577 1,192 89,50 25,14 29634,22 1038,83 11322,86 59740,02
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 0,0 20,0 0,577 1,192 93,78 21,94 26286,91 1091,44 12656,95 62812,97
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 0,0 20,0 0,577 1,192 97,69 18,74 23135,04 1155,26 14325,36 66617,95
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 0,0 20,0 0,577 1,192 102,70 15,54 19276,58 1186,08 14663,69 68198,85
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 0,0 20,0 0,577 1,192 107,50 12,34 14728,87 1160,55 13244,83 66213,41
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 0,0 20,0 0,577 1,192 113,09 9,06 11118,98 1209,24 12620,69 68415,04
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 0,0 20,0 0,577 1,192 117,56 5,69 6646,14 1161,48 10412,22 64995,42
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 0,0 20,0 0,577 1,192 119,39 2,32 2537,18 1093,47 8052,85 60535,91
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 0,0 20,0 0,577 1,192 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 5494,31 55059,22
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 0,0 20,0 0,577 1,192 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 2741,84 48619,37
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 0,0 20,0 0,577 1,192 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 -111,12 41202,60
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 0,0 20,0 0,577 1,192 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 -2553,24 34016,22
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 0,0 20,0 0,577 1,192 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 -4583,66 22904,07
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 0,0 20,0 0,577 1,192 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 -4504,33 19999,88
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 0,0 20,0 0,577 1,192 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 -4205,35 16838,53
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 0,0 20,0 0,577 1,192 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 -3616,23 13282,01
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 0,0 20,0 0,577 1,192 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 -2670,54 9494,44
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 0,0 20,0 0,577 1,192 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 -1099,61 5671,05
Σ = 279.585,92 Σ = 171009,12 1055101,33
FS = 0,61 3,77
103
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 3)
Grau de pertinência: µµµµ =0,2
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
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DO
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O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 23,0 47,0 0,323 0,778 -75,92 47,44 9411,67 89,72 32149,64 30381,08
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 23,0 47,0 0,323 0,778 -32,90 44,23 23870,53 299,79 19902,25 29901,88
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 23,0 47,0 0,323 0,778 0,14 41,04 30557,40 473,67 14198,74 32051,26
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 23,0 47,0 0,323 0,778 25,32 37,86 33618,37 623,80 11496,52 35136,73
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 23,0 47,0 0,323 0,778 43,96 34,68 34538,67 755,19 10468,21 38549,92
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 23,0 47,0 0,323 0,778 63,25 31,50 33893,52 866,94 9390,75 41440,11
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 23,0 47,0 0,323 0,778 78,44 28,33 32084,77 958,71 8872,51 43992,80
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8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 1,7 17,7 0,625 1,111 89,50 25,14 29634,22 1038,83 15677,66 53992,24
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 1,7 17,7 0,625 1,111 93,78 21,94 26286,91 1091,44 17153,22 56841,35
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 1,7 17,7 0,625 1,111 97,69 18,74 23135,04 1155,26 18994,34 60370,68
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 1,7 17,7 0,625 1,111 102,70 15,54 19276,58 1186,08 19445,32 61803,31
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 1,7 17,7 0,625 1,111 107,50 12,34 14728,87 1160,55 18000,10 59909,59
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 1,7 17,7 0,625 1,111 113,09 9,06 11118,98 1209,24 17655,39 61800,25
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 1,7 17,7 0,625 1,111 117,56 5,69 6646,14 1161,48 15373,92 58560,95
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 1,7 17,7 0,625 1,111 119,39 2,32 2537,18 1093,47 12859,64 54386,14
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 1,7 17,7 0,625 1,111 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 10071,94 49291,35
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 1,7 17,7 0,625 1,111 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 7020,61 43324,92
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 1,7 17,7 0,625 1,111 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 3787,12 36483,56
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 1,7 17,7 0,625 1,111 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 939,32 29885,39
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 1,7 17,7 0,625 1,111 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 -1913,40 19849,30
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 1,7 17,7 0,625 1,111 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 -2120,23 17284,28
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 1,7 17,7 0,625 1,111 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 -2157,15 14512,38
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 1,7 17,7 0,625 1,111 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 -1974,89 11418,04
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 1,7 17,7 0,625 1,111 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 -1499,02 8152,97
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 1,7 17,7 0,625 1,111 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 -473,03 4915,67
Σ = 279.585,92 Σ = 253319,47 954236,17
FS = 0,91 3,41
104
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 3)
Grau de pertinência: µµµµ =0,4
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
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A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 26,0 44,0 0,379 0,720 -75,92 47,44 9411,67 89,72 31902,55 30585,27
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 26,0 44,0 0,379 0,720 -32,90 44,23 23870,53 299,79 21136,54 28633,96
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 26,0 44,0 0,379 0,720 0,14 41,04 30557,40 473,67 16418,89 29798,49
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 26,0 44,0 0,379 0,720 25,32 37,86 33618,37 623,80 14441,60 32156,52
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 26,0 44,0 0,379 0,720 43,96 34,68 34538,67 755,19 13968,42 35010,31
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 26,0 44,0 0,379 0,720 63,25 31,50 33893,52 866,94 13387,13 37401,12
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 26,0 44,0 0,379 0,720 78,44 28,33 32084,77 958,71 13252,55 39566,92
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8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 3,4 15,4 0,675 1,036 89,50 25,14 29634,22 1038,83 20044,98 48542,64
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 3,4 15,4 0,675 1,036 93,78 21,94 26286,91 1091,44 21666,51 51184,36
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 3,4 15,4 0,675 1,036 97,69 18,74 23135,04 1155,26 23686,05 54458,10
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 3,4 15,4 0,675 1,036 102,70 15,54 19276,58 1186,08 24250,08 55751,30
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 3,4 15,4 0,675 1,036 107,50 12,34 14728,87 1160,55 22772,39 53939,95
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 3,4 15,4 0,675 1,036 113,09 9,06 11118,98 1209,24 22701,82 55531,56
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 3,4 15,4 0,675 1,036 117,56 5,69 6646,14 1161,48 20338,20 52455,86
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 3,4 15,4 0,675 1,036 119,39 2,32 2537,18 1093,47 17659,95 48543,36
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 3,4 15,4 0,675 1,036 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 14633,87 43802,54
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 3,4 15,4 0,675 1,036 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 11274,27 38276,41
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 3,4 15,4 0,675 1,036 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 7651,17 31971,95
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 3,4 15,4 0,675 1,036 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 4390,68 25924,27
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 3,4 15,4 0,675 1,036 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 714,06 16906,76
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 3,4 15,4 0,675 1,036 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 224,15 14664,49
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 3,4 15,4 0,675 1,036 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 -144,13 12263,90
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 3,4 15,4 0,675 1,036 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 -362,21 9611,06
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 3,4 15,4 0,675 1,036 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 -347,44 6846,08
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 3,4 15,4 0,675 1,036 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 145,82 4171,53
Σ = 279.585,92 Σ = 335807,90 857998,69
FS = 1,20 3,07
105
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 3)
Grau de pertinência: µµµµ =0,6
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
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A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 29,0 41,0 0,438 0,665 -75,92 47,44 9411,67 89,72 31750,88 30865,94
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 29,0 41,0 0,438 0,665 -32,90 44,23 23870,53 299,79 22435,82 27435,80
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 29,0 41,0 0,438 0,665 0,14 41,04 30557,40 473,67 18694,25 27621,21
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 29,0 41,0 0,438 0,665 25,32 37,86 33618,37 623,80 17441,28 29262,48
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 29,0 41,0 0,438 0,665 43,96 34,68 34538,67 755,19 17527,47 31569,73
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 29,0 41,0 0,438 0,665 63,25 31,50 33893,52 866,94 17445,02 33471,37
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 29,0 41,0 0,438 0,665 78,44 28,33 32084,77 958,71 17697,65 35259,66
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8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 5,1 13,1 0,727 0,966 89,50 25,14 29634,22 1038,83 24454,13 43341,25
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 5,1 13,1 0,727 0,966 93,78 21,94 26286,91 1091,44 26227,10 45789,69
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 5,1 13,1 0,727 0,966 97,69 18,74 23135,04 1155,26 28431,91 48825,05
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 5,1 13,1 0,727 0,966 102,70 15,54 19276,58 1186,08 29110,23 49986,19
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 5,1 13,1 0,727 0,966 107,50 12,34 14728,87 1160,55 27594,03 48248,80
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 5,1 13,1 0,727 0,966 113,09 9,06 11118,98 1209,24 27794,49 49550,68
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16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 5,1 13,1 0,727 0,966 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 19212,25 38543,17
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 5,1 13,1 0,727 0,966 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 15533,09 33428,89
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 5,1 13,1 0,727 0,966 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 11508,78 27628,47
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 5,1 13,1 0,727 0,966 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 7825,82 22099,35
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 5,1 13,1 0,727 0,966 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 3317,91 14052,63
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22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 5,1 13,1 0,727 0,966 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 1847,96 10076,01
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 5,1 13,1 0,727 0,966 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 1232,76 7848,23
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 5,1 13,1 0,727 0,966 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 791,27 5565,70
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 5,1 13,1 0,727 0,966 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 759,45 3435,87
Σ = 279.585,92 Σ = 419005,96 765603,85
FS = 1,50 2,74
106
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 3)
Grau de pertinência: µµµµ =0,8
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 32,0 38,0 0,499 0,613 -75,92 47,44 9411,67 89,72 31686,38 31233,98
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 32,0 38,0 0,499 0,613 -32,90 44,23 23870,53 299,79 23803,52 26306,02
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 32,0 38,0 0,499 0,613 0,14 41,04 30557,40 473,67 21036,05 25510,17
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 32,0 38,0 0,499 0,613 25,32 37,86 33618,37 623,80 20512,58 26439,73
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 32,0 38,0 0,499 0,613 43,96 34,68 34538,67 755,19 21166,88 28209,06
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 32,0 38,0 0,499 0,613 63,25 31,50 33893,52 866,94 21589,86 29628,04
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 32,0 38,0 0,499 0,613 78,44 28,33 32084,77 958,71 22236,28 31045,36
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 6,8 10,8 0,781 0,900 89,50 25,14 29634,22 1038,83 28934,29 38344,88
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 6,8 10,8 0,781 0,900 93,78 21,94 26286,91 1091,44 30865,20 40612,14
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 6,8 10,8 0,781 0,900 97,69 18,74 23135,04 1155,26 33263,36 43423,92
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 6,8 10,8 0,781 0,900 102,70 15,54 19276,58 1186,08 34058,09 44459,08
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 6,8 10,8 0,781 0,900 107,50 12,34 14728,87 1160,55 32497,27 42788,04
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 6,8 10,8 0,781 0,900 113,09 9,06 11118,98 1209,24 32967,67 43807,16
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 6,8 10,8 0,781 0,900 117,56 5,69 6646,14 1161,48 30411,33 41015,81
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 6,8 10,8 0,781 0,900 119,39 2,32 2537,18 1093,47 27374,60 37571,81
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 6,8 10,8 0,781 0,900 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 23838,48 33469,91
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 6,8 10,8 0,781 0,900 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 19826,42 28743,03
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 6,8 10,8 0,781 0,900 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 15386,66 23418,62
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 6,8 10,8 0,781 0,900 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 11268,56 18380,98
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 6,8 10,8 0,781 0,900 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 5916,24 11265,70
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 6,8 10,8 0,781 0,900 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 4860,47 9631,87
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 6,8 10,8 0,781 0,900 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 3832,46 7933,46
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 6,8 10,8 0,781 0,900 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 2820,22 6118,07
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 6,8 10,8 0,781 0,900 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 1923,68 4304,60
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 6,8 10,8 0,781 0,900 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 1370,20 2706,22
Σ = 279.585,92 Σ = 503446,77 676367,65
FS = 1,80 2,42
107
MÉTODO DE FELLENIUS (1936) – FUZZY (Caso 3)
Grau de pertinência: µµµµ =1,0
Solo Fatia L (m) R (m) α
W (kN) c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad)
u (kPa) x (m) W.x (kN.m) N (kN) c'.L.R + (N-u.L). R.tanφφφφ
α (°) α (rad) ci cf tanφφφφi tanφφφφf INICIAL FINAL
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 7,013 53,19 63,113 1,102 198,39 35,0 35,0 0,563 0,563 -75,92 47,44 9411,67 89,72 31702,47 31702,47
2 5,710 53,19 56,257 0,982 539,70 35,0 35,0 0,563 0,563 -32,90 44,23 23870,53 299,79 25244,68 25244,68
3 4,986 53,19 50,494 0,881 744,59 35,0 35,0 0,563 0,563 0,14 41,04 30557,40 473,67 23457,31 23457,31
4 4,515 53,19 45,376 0,792 888,04 35,0 35,0 0,563 0,563 25,32 37,86 33618,37 623,80 23674,56 23674,56
5 4,183 53,19 40,690 0,710 995,98 35,0 35,0 0,563 0,563 43,96 34,68 34538,67 755,19 24910,47 24910,47
6 3,936 53,19 36,317 0,634 1.075,93 35,0 35,0 0,563 0,563 63,25 31,50 33893,52 866,94 25849,62 25849,62
7 3,747 53,19 32,178 0,562 1.132,69 35,0 35,0 0,563 0,563 78,44 28,33 32084,77 958,71 26899,71 26899,71
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
8 3,627 53,19 28,205 0,492 1.178,80 8,5 8,5 0,839 0,839 89,50 25,14 29634,22 1038,83 33515,41 33515,41
9 3,509 53,19 24,361 0,425 1.198,12 8,5 8,5 0,839 0,839 93,78 21,94 26286,91 1091,44 35611,91 35611,91
10 3,416 53,19 20,631 0,360 1.234,43 8,5 8,5 0,839 0,839 97,69 18,74 23135,04 1155,26 38212,87 38212,87
11 3,343 53,19 16,991 0,297 1.240,21 8,5 8,5 0,839 0,839 102,70 15,54 19276,58 1186,08 39127,02 39127,02
12 3,286 53,19 13,420 0,234 1.193,13 8,5 8,5 0,839 0,839 107,50 12,34 14728,87 1160,55 37515,28 37515,28
13 3,420 53,19 9,808 0,171 1.227,18 8,5 8,5 0,839 0,839 113,09 9,06 11118,98 1209,24 38256,50 38256,50
14 3,389 53,19 6,140 0,107 1.168,18 8,5 8,5 0,839 0,839 117,56 5,69 6646,14 1161,48 35588,65 35588,65
15 3,373 53,19 2,498 0,044 1.094,51 8,5 8,5 0,839 0,839 119,39 2,32 2537,18 1093,47 32355,26 32355,26
16 3,370 53,19 -1,134 -0,020 1.006,38 8,5 8,5 0,839 0,839 118,91 -1,05 -1059,82 1006,18 28544,22 28544,22
17 3,381 53,19 -4,771 -0,083 903,81 8,5 8,5 0,839 0,839 116,25 -4,42 -3998,73 900,68 24183,65 24183,65
18 3,406 53,19 -8,428 -0,147 784,20 8,5 8,5 0,839 0,839 110,84 -7,80 -6113,30 775,74 19311,32 19311,32
19 3,447 53,19 -12,119 -0,212 665,95 8,5 8,5 0,839 0,839 103,21 -11,17 -7436,65 651,11 14742,35 14742,35
20 3,106 53,19 -15,649 -0,273 467,11 8,5 8,5 0,839 0,839 93,44 -14,35 -6701,74 449,80 8526,60 8526,60
21 3,164 53,19 -19,025 -0,332 410,29 8,5 8,5 0,839 0,839 81,86 -17,34 -7114,07 387,87 7183,72 7183,72
22 3,237 53,19 -22,473 -0,392 344,27 8,5 8,5 0,839 0,839 68,12 -20,33 -6999,48 318,12 5822,25 5822,25
23 3,328 53,19 -26,009 -0,454 263,63 8,5 8,5 0,839 0,839 51,64 -23,32 -6148,83 236,93 4410,00 4410,00
24 3,442 53,19 -29,655 -0,518 169,06 8,5 8,5 0,839 0,839 32,92 -26,32 -4449,07 146,91 3056,11 3056,11
25 3,584 53,19 -33,439 -0,584 59,07 8,5 8,5 0,839 0,839 11,50 -29,31 -1731,25 49,29 1980,27 1980,27
Σ = 279.585,92 Σ = 589682,21 589682,21
FS = 2,11 2,11
108
APÊNDICE C
MEMORIAL DE CÁLCULO
MODELO FUZZY PARA O MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955)
109
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 1
Grau de pertinência: µµµµ = 0,0 FS = 2,416 FS (output)= 2,416
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 20,0 50,0 0,27 0,84 0,00 49,9 8.504,62 2,416 159,10 310,78 1,56 2,04 78,04 198,78 8.541,75 28.220,87
2 5,34 59,96 0,89 469,6 20,0 50,0 0,27 0,84 0,00 46,5 21.832,65 2,416 927,52 1.051,74 1,73 2,18 426,19 606,74 13.251,10 46.535,85
3 4,85 59,96 0,80 647,6 20,0 50,0 0,27 0,84 0,00 43,1 27.919,42 2,416 1.390,27 1.494,92 1,87 2,28 609,10 798,63 15.604,15 54.726,53
4 4,50 59,96 0,72 774,9 20,0 50,0 0,27 0,84 6,30 39,7 30.788,91 2,416 1.728,03 1.828,27 1,99 2,37 730,53 920,13 15.709,40 59.336,45
5 4,24 59,96 0,65 871,2 20,0 50,0 0,27 0,84 23,57 36,4 31.674,33 2,416 1.992,60 2.104,35 2,08 2,43 820,00 1.009,91 13.229,96 61.917,49
6 4,04 59,96 0,58 941,9 20,0 50,0 0,27 0,84 35,71 33,0 31.062,11 2,416 2.185,74 2.297,66 2,17 2,48 881,62 1.061,23 11.751,44 63.181,00
7 3,88 59,96 0,52 990,3 20,0 50,0 0,27 0,84 49,56 29,6 29.318,55 2,416 2.322,35 2.433,97 2,23 2,52 923,30 1.089,87 9.816,09 63.371,54
8 3,75 59,96 0,45 1.019 20,0 50,0 0,27 0,84 58,77 26,2 26.734,83 2,416 2.406,30 2.510,57 2,29 2,54 947,50 1.096,43 8.631,22 62.865,09
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0,0 40,0 0,36 1,19 62,33 23,0 21.529,03 2,416 2.237,67 2.353,50 2,37 2,69 832,35 992,79 3.494,09 74.361,72
10 3,23 59,96 0,34 972,8 0,0 40,0 0,36 1,19 59,31 20,0 19.433,29 2,416 2.330,48 2.426,24 2,40 2,68 871,20 1.011,26 5.340,97 75.823,03
11 3,30 59,96 0,29 1.001 0,0 40,0 0,36 1,19 62,53 16,9 16.898,23 2,416 2.404,01 2.489,31 2,42 2,65 905,90 1.028,30 5.007,17 76.895,36
12 3,26 59,96 0,23 950,3 0,0 40,0 0,36 1,19 69,75 13,7 13.017,87 2,416 2.285,13 2.357,85 2,44 2,62 870,73 968,21 2.770,20 72.039,66
13 3,22 59,96 0,18 926,5 0,0 40,0 0,36 1,19 76,17 10,5 9.753,14 2,416 2.231,56 2.289,82 2,44 2,59 862,37 937,54 1.290,08 69.364,87
14 3,19 59,96 0,12 876,5 0,0 40,0 0,36 1,19 80,64 7,4 6.446,30 2,416 2.113,35 2.155,19 2,44 2,54 830,74 882,41 -280,18 65.094,26
15 3,18 59,96 0,07 815,5 0,0 40,0 0,36 1,19 83,09 4,2 3.411,49 2,416 1.968,07 1.992,19 2,44 2,49 789,36 817,98 -1.645,75 60.309,95
16 3,17 59,96 0,02 743,8 0,0 40,0 0,36 1,19 83,78 1,0 752,56 2,416 1.796,50 1.802,36 2,42 2,44 737,55 744,22 -2.888,86 54.987,67
17 3,17 59,96 -0,04 661,4 0,0 40,0 0,36 1,19 82,61 -2,2 -1.428,58 2,416 1.599,19 1.586,81 2,40 2,37 674,34 660,81 -4.013,24 49.108,70
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 0,0 40,0 0,36 1,19 79,43 -5,3 -3.019,29 2,416 1.371,39 1.341,46 2,37 2,30 596,13 565,04 -5.058,18 42.493,28
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0,0 40,0 0,36 1,19 74,17 -8,5 -4.047,63 2,416 1.155,99 1.109,93 2,34 2,22 520,11 474,34 -5.624,80 36.392,46
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0,0 40,0 0,36 1,19 67,10 -11,7 -4.167,53 2,416 872,25 812,11 2,30 2,14 408,03 353,26 -6.595,05 28.262,40
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0,0 40,0 0,36 1,19 58,05 -14,8 -4.554,76 2,416 756,50 685,15 2,25 2,05 369,80 304,43 -5.504,29 25.456,49
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0,0 40,0 0,36 1,19 47,50 -17,8 -4.041,22 2,416 567,29 497,85 2,20 1,95 290,60 226,46 -3.646,18 20.190,46
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0,0 40,0 0,36 1,19 35,74 -20,6 -3.572,35 2,416 445,84 374,13 2,14 1,86 239,97 174,59 -2.405,45 17.319,44
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 0,0 40,0 0,36 1,19 22,91 -23,5 -2.592,24 2,416 304,80 234,38 2,08 1,76 173,46 112,63 -1.212,09 13.844,06
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0,0 40,0 0,36 1,19 7,98 -26,3 -1.010,66 2,416 143,75 79,94 2,01 1,65 87,14 39,72 120,35 9.791,02
Σ = 270.643,08
Σ = 75.683,91 1.231.889,6
FS = 0,28 4,55
FSave = 2,416
110
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 1
Grau de pertinência: µµµµ = 0,2 FS = 2,362 FS (output)= 2,362
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 22,6 47,4 0,31 0,79 0,00 49,9 8504,6 2,362 163,04 288,43 1,57 1,97 82,86 183,45 9798,03 25959,41
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8 3,75 59,96 0,45 1.019 22,6 47,4 0,31 0,79 58,77 26,2 26734,8 2,362 2360,01 2446,51 2,26 2,47 955,67 1081,77 12668,45 57726,39
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0 35,4 0,44 1,11 62,33 23,0 21529,0 2,362 2199,09 2296,91 2,35 2,61 842,93 977,21 8592,76 66860,19
10 3,23 59,96 0,34 972,8 0 35,4 0,44 1,11 59,31 20,0 19433,3 2,362 2287,84 2368,78 2,37 2,60 880,49 997,75 10521,17 68458,18
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12 3,26 59,96 0,23 950,3 0 35,4 0,44 1,11 69,75 13,7 13017,9 2,362 2241,26 2302,52 2,40 2,55 877,49 959,23 8047,32 65001,53
13 3,22 59,96 0,18 926,5 0 35,4 0,44 1,11 76,17 10,5 9753,1 2,362 2187,46 2236,46 2,40 2,52 867,70 930,77 6574,65 62542,21
14 3,19 59,96 0,12 876,5 0 35,4 0,44 1,11 80,64 7,4 6446,3 2,362 2070,28 2105,42 2,40 2,48 834,49 877,87 4872,65 58626,63
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17 3,17 59,96 -0,04 661,4 0 35,4 0,44 1,11 82,61 -2,2 -1428,6 2,362 1562,22 1551,82 2,34 2,32 673,28 661,88 306,07 44027,13
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 0 35,4 0,44 1,11 79,43 -5,3 -3019,3 2,362 1337,76 1312,61 2,31 2,25 593,62 567,40 -1183,51 37980,74
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0 35,4 0,44 1,11 74,17 -8,5 -4047,6 2,362 1125,58 1086,83 2,28 2,18 516,30 477,62 -2208,55 32427,68
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0 35,4 0,44 1,11 67,10 -11,7 -4167,5 2,362 846,81 796,10 2,23 2,10 403,28 356,86 -3820,16 24967,37
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0 35,4 0,44 1,11 58,05 -14,8 -4554,8 2,362 732,56 672,22 2,18 2,01 364,01 308,48 -3059,52 22532,24
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23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0 35,4 0,44 1,11 35,74 -20,6 -3572,4 2,362 428,90 367,63 2,07 1,83 233,89 177,98 -956,04 15415,32
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25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0 35,4 0,44 1,11 7,98 -26,3 -1010,7 2,362 134,53 78,70 1,93 1,63 82,28 40,78 512,14 8699,87
Σ = 270.643,08
Σ = 162.279,2 1.116.284,5
FS = 0,600 4,125
FSave = 2,362
111
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 1
Grau de pertinência: µµµµ = 0,4 FS = 2,322 FS (output)= 2,322
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 25,2 44,8 0,36 0,74 0,00 49,9 8.504,6 2,322 169,36 268,46 1,59 1,91 88,85 168,86 11.113,32 23.844,28
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SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0 30,8 0,52 1,04 62,33 23,0 21.529,0 2,322 2.173,98 2.253,84 2,35 2,54 854,42 961,08 13.991,38 59.728,79
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19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0 30,8 0,52 1,04 74,17 -8,5 -4.047,6 2,322 1.101,68 1.070,20 2,22 2,15 512,25 481,15 1.230,93 28.539,95
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0 30,8 0,52 1,04 67,10 -11,7 -4.167,5 2,322 826,16 784,85 2,18 2,07 398,24 360,75 -1.057,71 21.715,08
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0 30,8 0,52 1,04 58,05 -14,8 -4.554,8 2,322 712,70 663,32 2,12 1,99 357,87 312,88 -640,98 19.641,88
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0 30,8 0,52 1,04 47,50 -17,8 -4.041,2 2,322 531,29 482,75 2,06 1,91 278,65 234,22 9,76 15.690,52
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0 30,8 0,52 1,04 35,74 -20,6 -3.572,4 2,322 414,21 363,35 2,00 1,82 227,47 181,71 455,36 13.529,95
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 0 30,8 0,52 1,04 22,91 -23,5 -2.592,2 2,322 279,06 228,07 1,93 1,73 161,40 118,04 695,01 10.822,99
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0 30,8 0,52 1,04 7,98 -26,3 -1.010,7 2,322 125,79 77,95 1,86 1,63 77,15 41,96 863,87 7.612,85
Σ = 270.643,08
Σ = 251.630,1 1.005.225,2
FS = 0,930 3,714
FSave = 2,322
112
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 1
Grau de pertinência: µµµµ = 0,6 FS = 2,296 FS (output)= 2,296
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 27,8 42,2 0,41 0,70 0,00 49,9 8.504,6 2,296 178,08 250,88 1,62 1,85 96,03 155,20 12.501,18 21.869,36
2 5,34 59,96 0,89 469,6 27,8 42,2 0,41 0,70 0,00 46,5 21.832,7 2,296 903,47 963,09 1,77 1,99 453,82 544,37 20.105,71 36.282,48
3 4,85 59,96 0,80 647,6 27,8 42,2 0,41 0,70 0,00 43,1 27.919,4 2,296 1.339,76 1.390,00 1,89 2,10 638,78 734,73 23.858,39 43.009,13
4 4,50 59,96 0,72 774,9 27,8 42,2 0,41 0,70 6,30 39,7 30.788,9 2,296 1.661,02 1.709,35 1,99 2,18 761,30 857,94 25.114,74 46.578,66
5 4,24 59,96 0,65 871,2 27,8 42,2 0,41 0,70 23,57 36,4 31.674,3 2,296 1.916,83 1.971,17 2,08 2,25 852,38 949,75 23.931,48 47.987,97
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8 3,75 59,96 0,45 1.019 27,8 42,2 0,41 0,70 58,77 26,2 26.734,8 2,296 2.310,65 2.361,83 2,24 2,37 975,03 1.052,14 21.104,67 48.056,73
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0 26,2 0,61 0,98 62,33 23,0 21.529,0 2,296 2.162,43 2.224,25 2,35 2,49 866,81 944,50 19.786,69 52.907,72
10 3,23 59,96 0,34 972,8 0 26,2 0,61 0,98 59,31 20,0 19.433,3 2,296 2.244,38 2.295,74 2,37 2,49 901,38 969,21 21.872,76 54.759,39
11 3,30 59,96 0,29 1.001 0 26,2 0,61 0,98 62,53 16,9 16.898,2 2,296 2.311,04 2.356,56 2,38 2,48 932,69 992,07 22.128,26 55.659,85
12 3,26 59,96 0,23 950,3 0 26,2 0,61 0,98 69,75 13,7 13.017,9 2,296 2.194,22 2.232,61 2,38 2,46 892,61 940,02 19.454,30 51.785,55
13 3,22 59,96 0,18 926,5 0 26,2 0,61 0,98 76,17 10,5 9.753,1 2,296 2.138,85 2.169,34 2,37 2,43 879,58 916,20 17.914,08 49.668,93
14 3,19 59,96 0,12 876,5 0 26,2 0,61 0,98 80,64 7,4 6.446,3 2,296 2.021,42 2.043,19 2,35 2,40 842,83 868,07 15.845,26 46.360,23
15 3,18 59,96 0,07 815,5 0 26,2 0,61 0,98 83,09 4,2 3.411,5 2,296 1.877,84 1.890,35 2,33 2,36 796,20 810,24 13.755,97 42.712,97
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17 3,17 59,96 -0,04 661,4 0 26,2 0,61 0,98 82,61 -2,2 -1.428,6 2,296 1.515,90 1.509,47 2,27 2,26 670,94 664,24 9.277,50 34.234,84
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 0 26,2 0,61 0,98 79,43 -5,3 -3.019,3 2,296 1.293,95 1.278,35 2,23 2,20 588,12 572,61 6.780,96 29.229,39
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0 26,2 0,61 0,98 74,17 -8,5 -4.047,6 2,296 1.084,24 1.060,08 2,19 2,13 507,98 484,93 4.735,59 24.691,30
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0 26,2 0,61 0,98 67,10 -11,7 -4.167,5 2,296 810,26 778,40 2,13 2,06 392,94 364,94 1.723,50 18.474,30
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0 26,2 0,61 0,98 58,05 -14,8 -4.554,8 2,296 696,85 658,49 2,07 1,98 351,43 317,65 1.777,02 16.758,33
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0 26,2 0,61 0,98 47,50 -17,8 -4.041,2 2,296 517,71 479,64 2,01 1,90 272,22 238,62 1.808,11 13.457,53
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0 26,2 0,61 0,98 35,74 -20,6 -3.572,4 2,296 401,73 361,32 1,94 1,82 220,78 185,78 1.841,59 11.648,12
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 0 26,2 0,61 0,98 22,91 -23,5 -2.592,2 2,296 268,28 227,03 1,87 1,73 154,96 121,17 1.592,76 9.320,28
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0 26,2 0,61 0,98 7,98 -26,3 -1.010,7 2,296 117,53 77,68 1,80 1,64 71,82 43,25 1.176,25 6.526,57
Σ = 270.643,08
Σ = 344.869,5 897.926,8
FS = 1,274 3,318
FSave = 2,296
113
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 1
Grau de pertinência: µµµµ = 0,8 FS = 2,285 FS (output)= 2,285
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 30,4 39,6 0,46 0,65 0,00 49,9 8.504,6 2,285 189,35 235,86 1,65 1,81 104,48 142,69 13.977,63 20.028,81
2 5,34 59,96 0,89 469,6 30,4 39,6 0,46 0,65 0,00 46,5 21.832,7 2,285 909,07 947,16 1,80 1,95 466,10 525,65 22.671,08 33.304,28
3 4,85 59,96 0,80 647,6 30,4 39,6 0,46 0,65 0,00 43,1 27.919,4 2,285 1.341,71 1.373,80 1,92 2,06 651,75 715,16 26.933,65 39.580,46
4 4,50 59,96 0,72 774,9 30,4 39,6 0,46 0,65 6,30 39,7 30.788,9 2,285 1.661,21 1.692,26 2,02 2,14 774,48 838,56 28.590,91 42.805,74
5 4,24 59,96 0,65 871,2 30,4 39,6 0,46 0,65 23,57 36,4 31.674,3 2,285 1.917,03 1.952,29 2,10 2,21 865,93 930,66 27.841,97 43.809,80
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8 3,75 59,96 0,45 1.019 30,4 39,6 0,46 0,65 58,77 26,2 26.734,8 2,285 2.308,63 2.342,19 2,26 2,34 986,16 1.037,62 25.559,95 43.499,32
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0 21,6 0,71 0,91 62,33 23,0 21.529,0 2,285 2.165,50 2.209,02 2,38 2,46 880,12 927,57 26.096,22 46.341,48
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20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0 21,6 0,71 0,91 67,10 -11,7 -4.167,5 2,285 799,40 777,12 2,10 2,06 387,40 369,44 4.558,72 15.211,86
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0 21,6 0,71 0,91 58,05 -14,8 -4.554,8 2,285 685,24 658,07 2,04 1,99 344,73 322,80 4.223,45 13.852,70
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0 21,6 0,71 0,91 47,50 -17,8 -4.041,2 2,285 507,21 479,75 1,97 1,91 265,57 243,39 3.613,04 11.207,87
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0 21,6 0,71 0,91 35,74 -20,6 -3.572,4 2,285 391,56 361,73 1,90 1,83 213,87 190,22 3.217,18 9.753,51
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 0 21,6 0,71 0,91 22,91 -23,5 -2.592,2 2,285 258,95 227,53 1,83 1,75 148,34 124,60 2.463,83 7.808,99
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0 21,6 0,71 0,91 7,98 -26,3 -1.010,7 2,285 109,76 77,94 1,74 1,65 66,36 44,69 1.450,42 5.437,33
Σ = 270.643,08
Σ = 443.331,6 793.626,3
FS = 1,638 2,932
FSave = 2,285
114
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 1
Grau de pertinência: µµµµ = 1,0 FS = 2,291 FS (output)= 2,291
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 33,0 37,0 0,52 0,61 0,00 49,9 8.504,6 2,291 203,51 223,74 1,70 1,78 114,27 131,57 15.561,48 18.316,90
2 5,34 59,96 0,89 469,6 33,0 37,0 0,52 0,61 0,00 46,5 21.832,7 2,291 922,65 939,21 1,85 1,92 480,07 508,52 25.423,40 30.531,92
3 4,85 59,96 0,80 647,6 33,0 37,0 0,52 0,61 0,00 43,1 27.919,4 2,291 1.354,67 1.368,62 1,96 2,03 666,37 697,06 30.222,49 36.376,09
4 4,50 59,96 0,72 774,9 33,0 37,0 0,52 0,61 6,30 39,7 30.788,9 2,291 1.674,62 1.688,37 2,06 2,12 789,22 820,47 32.291,25 39.257,82
5 4,24 59,96 0,65 871,2 33,0 37,0 0,52 0,61 23,57 36,4 31.674,3 2,291 1.932,17 1.948,31 2,13 2,19 880,90 912,65 31.979,14 39.847,57
6 4,04 59,96 0,58 941,9 33,0 37,0 0,52 0,61 35,71 33,0 31.062,1 2,291 2.116,56 2.133,11 2,20 2,25 940,54 970,83 31.798,31 40.166,60
7 3,88 59,96 0,52 990,3 33,0 37,0 0,52 0,61 49,56 29,6 29.318,6 2,291 2.246,99 2.263,82 2,25 2,29 979,15 1.007,43 30.914,37 39.672,39
8 3,75 59,96 0,45 1.019 33,0 37,0 0,52 0,61 58,77 26,2 26.734,8 2,291 2.324,15 2.340,03 2,29 2,33 998,25 1.023,66 30.215,20 39.111,37
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0,0 17,0 0,81 0,85 62,33 23,0 21.529,0 2,291 2.185,22 2.209,98 2,43 2,44 894,36 910,42 33.066,58 39.976,27
10 3,23 59,96 0,34 972,8 0,0 17,0 0,81 0,85 59,31 20,0 19.433,3 2,291 2.262,20 2.283,11 2,43 2,44 925,37 939,22 35.293,31 42.062,96
11 3,30 59,96 0,29 1.001 0,0 17,0 0,81 0,85 62,53 16,9 16.898,2 2,291 2.326,26 2.344,47 2,43 2,44 953,87 965,95 35.900,50 42.767,98
12 3,26 59,96 0,23 950,3 0,0 17,0 0,81 0,85 69,75 13,7 13.017,9 2,291 2.206,74 2.221,53 2,42 2,43 909,79 919,48 32.699,54 39.337,75
13 3,22 59,96 0,18 926,5 0,0 17,0 0,81 0,85 76,17 10,5 9.753,1 2,291 2.148,07 2.159,46 2,40 2,41 893,03 900,49 30.952,91 37.443,70
14 3,19 59,96 0,12 876,5 0,0 17,0 0,81 0,85 80,64 7,4 6.446,3 2,291 2.026,99 2.034,96 2,37 2,38 852,23 857,41 28.333,75 34.610,82
15 3,18 59,96 0,07 815,5 0,0 17,0 0,81 0,85 83,09 4,2 3.411,5 2,291 1.879,50 1.884,03 2,34 2,35 801,49 804,41 25.530,11 31.564,97
16 3,17 59,96 0,02 743,8 0,0 17,0 0,81 0,85 83,78 1,0 752,6 2,291 1.706,77 1.707,87 2,30 2,31 740,44 741,14 22.474,45 28.240,32
17 3,17 59,96 -0,04 661,4 0,0 17,0 0,81 0,85 82,61 -2,2 -1.428,6 2,291 1.509,65 1.507,31 2,26 2,26 668,36 666,88 19.144,91 24.613,32
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 0,0 17,0 0,81 0,85 79,43 -5,3 -3.019,3 2,291 1.284,00 1.278,26 2,21 2,21 582,05 578,48 15.413,73 20.548,37
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0,0 17,0 0,81 0,85 74,17 -8,5 -4.047,6 2,291 1.070,92 1.061,80 2,15 2,15 498,86 493,27 12.142,94 16.949,42
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0,0 17,0 0,81 0,85 67,10 -11,7 -4.167,5 2,291 794,20 781,75 2,09 2,08 381,67 374,24 7.490,10 11.890,42
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0,0 17,0 0,81 0,85 58,05 -14,8 -4.554,8 2,291 678,41 662,69 2,02 2,01 337,82 328,32 6.733,01 10.892,24
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0,0 17,0 0,81 0,85 47,50 -17,8 -4.041,2 2,291 500,17 483,57 1,95 1,93 258,72 248,55 5.449,07 8.917,22
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0,0 17,0 0,81 0,85 35,74 -20,6 -3.572,4 2,291 383,98 364,94 1,87 1,86 206,80 195,05 4.599,86 7.827,37
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 0,0 17,0 0,81 0,85 22,91 -23,5 -2.592,2 2,291 251,24 229,81 1,79 1,77 141,60 128,35 3.318,49 6.276,91
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0,0 17,0 0,81 0,85 7,98 -26,3 -1.010,7 2,291 102,55 78,82 1,70 1,69 60,85 46,27 1.688,48 4.340,81
Σ = 270.643,08
Σ = 548.637,4 691.541,5
FS = 2,027 2,555
FSave = 2,291
115
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 2
Grau de pertinência: µµµµ = 0,0 FS = 2,247 FS (output)= 2,247
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 25,0 45,0 0,36 0,75 0,00 49,9 8.504,6 2,247 155,56 256,69 1,55 1,87 83,03 165,65 10.921,83 23.882,47
2 5,34 59,96 0,89 469,6 25,0 45,0 0,36 0,75 0,00 46,5 21.832,7 2,247 868,86 951,67 1,70 2,00 433,73 559,42 17.470,25 39.685,03
3 4,85 59,96 0,80 647,6 25,0 45,0 0,36 0,75 0,00 43,1 27.919,4 2,247 1.298,26 1.368,03 1,82 2,10 617,18 750,25 20.741,92 46.989,56
4 4,50 59,96 0,72 774,9 25,0 45,0 0,36 0,75 6,30 39,7 30.788,9 2,247 1.613,79 1.680,78 1,92 2,18 739,53 873,58 21.607,04 51.000,30
5 4,24 59,96 0,65 871,2 25,0 45,0 0,36 0,75 23,57 36,4 31.674,3 2,247 1.864,04 1.939,07 2,01 2,24 830,77 965,90 19.970,10 52.902,01
6 4,04 59,96 0,58 941,9 25,0 45,0 0,36 0,75 35,71 33,0 31.062,1 2,247 2.045,28 2.120,60 2,08 2,29 892,73 1.021,10 19.019,86 53.884,05
7 3,88 59,96 0,52 990,3 25,0 45,0 0,36 0,75 49,56 29,6 29.318,6 2,247 2.173,66 2.248,92 2,13 2,33 934,48 1.053,99 17.524,01 53.891,36
8 3,75 59,96 0,45 1.019 25,0 45,0 0,36 0,75 58,77 26,2 26.734,8 2,247 2.251,51 2.321,87 2,18 2,35 957,99 1.065,17 16.569,98 53.435,87
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0,0 30,0 0,47 1,00 62,33 23,0 21.529,0 2,247 2.100,32 2.180,33 2,25 2,46 854,23 967,39 11.574,00 58.189,16
10 3,23 59,96 0,34 972,8 0,0 30,0 0,47 1,00 59,31 20,0 19.433,3 2,247 2.183,35 2.249,61 2,27 2,45 890,51 989,28 13.426,53 59.770,38
11 3,30 59,96 0,29 1.001 0,0 30,0 0,47 1,00 62,53 16,9 16.898,2 2,247 2.249,97 2.308,88 2,29 2,44 923,03 1.009,38 13.420,20 60.689,29
12 3,26 59,96 0,23 950,3 0,0 30,0 0,47 1,00 69,75 13,7 13.017,9 2,247 2.137,27 2.187,29 2,29 2,42 884,62 953,44 11.113,25 56.675,08
13 3,22 59,96 0,18 926,5 0,0 30,0 0,47 1,00 76,17 10,5 9.753,1 2,247 2.085,03 2.124,98 2,29 2,39 873,25 926,34 9.706,60 54.477,22
14 3,19 59,96 0,12 876,5 0,0 30,0 0,47 1,00 80,64 7,4 6.446,3 2,247 1.972,38 2.001,01 2,29 2,35 838,35 874,86 7.992,33 50.999,89
15 3,18 59,96 0,07 815,5 0,0 30,0 0,47 1,00 83,09 4,2 3.411,5 2,247 1.834,35 1.850,84 2,27 2,31 793,65 813,89 6.354,44 47.133,90
16 3,17 59,96 0,02 743,8 0,0 30,0 0,47 1,00 83,78 1,0 752,6 2,247 1.671,80 1.675,80 2,25 2,26 738,57 743,30 4.720,06 42.843,69
17 3,17 59,96 -0,04 661,4 0,0 30,0 0,47 1,00 82,61 -2,2 -1.428,6 2,247 1.485,30 1.476,83 2,23 2,21 672,23 662,63 3.079,22 38.109,74
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 0,0 30,0 0,47 1,00 79,43 -5,3 -3.019,3 2,247 1.270,55 1.250,06 2,20 2,15 591,18 569,08 1.368,30 32.778,24
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0,0 30,0 0,47 1,00 74,17 -8,5 -4.047,6 2,247 1.067,55 1.035,94 2,16 2,08 512,63 480,01 88,97 27.900,83
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0,0 30,0 0,47 1,00 67,10 -11,7 -4.167,5 2,247 801,31 759,88 2,11 2,01 398,80 359,59 -1.855,42 21.310,86
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0,0 30,0 0,47 1,00 58,05 -14,8 -4.554,8 2,247 691,74 642,33 2,06 1,93 358,52 311,57 -1.366,43 19.256,91
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0,0 30,0 0,47 1,00 47,50 -17,8 -4.041,2 2,247 515,99 467,53 2,01 1,85 279,24 233,00 -573,50 15.356,33
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0,0 30,0 0,47 1,00 35,74 -20,6 -3.572,4 2,247 402,52 351,95 1,95 1,77 228,03 180,58 -37,23 13.220,54
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 0,0 30,0 0,47 1,00 22,91 -23,5 -2.592,2 2,247 271,38 220,95 1,89 1,68 161,86 117,19 332,00 10.562,76
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0,0 30,0 0,47 1,00 7,98 -26,3 -1.010,7 2,247 122,44 75,53 1,82 1,58 77,41 41,60 669,53 7.419,75
Σ = 270.643,08
Σ = 223.837,8 992.365,2
FS = 0,827 3,667
FSave = 2,247
116
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 2
Grau de pertinência: µµµµ = 0,2 FS = 2,243 FS (output)= 2,243
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 26,6 43,4 0,39 0,72 0,00 49,9 8.504,6 2,243 162,97 247,91 1,57 1,85 88,25 157,75 11.772,96 22.661,70
2 5,34 59,96 0,89 469,6 26,6 43,4 0,39 0,72 0,00 46,5 21.832,7 2,243 873,61 943,17 1,72 1,98 441,73 547,96 18.928,79 37.679,87
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SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0,0 27,4 0,53 0,97 62,33 23,0 21.529,0 2,243 2.104,71 2.174,15 2,27 2,44 861,47 956,22 15.327,61 54.476,69
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Σ = 270.643,08
Σ = 283.129,1 931.132,1
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FSave = 2,243
117
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 2
Grau de pertinência: µµµµ = 0,4 FS = 2,245 FS (output)= 2,245
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
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SO
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FU
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AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0,0 24,8 0,59 0,94 62,33 23,0 21.529,0 2,245 2.114,96 2.173,65 2,30 2,43 869,11 944,91 19.307,92 50.810,67
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Σ = 270.643,08
Σ = 344.769,3 870.630,7
FS = 1,274 3,217
FSave = 2,245
118
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 2
Grau de pertinência: µµµµ = 0,6 FS = 2,254 FS (output)= 2,254
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 29,8 40,2 0,45 0,67 0,00 49,9 8.504,6 2,254 181,03 233,61 1,63 1,81 100,27 143,53 13.583,59 20.388,01
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3 4,85 59,96 0,80 647,6 29,8 40,2 0,45 0,67 0,00 43,1 27.919,4 2,254 1.319,54 1.355,82 1,89 2,05 644,90 716,44 26.193,59 40.343,66
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7 3,88 59,96 0,52 990,3 29,8 40,2 0,45 0,67 49,56 29,6 29.318,6 2,254 2.198,25 2.238,44 2,18 2,29 960,19 1.024,99 25.336,61 45.112,52
8 3,75 59,96 0,45 1.019 29,8 40,2 0,45 0,67 58,77 26,2 26.734,8 2,254 2.275,12 2.312,78 2,23 2,32 981,23 1.039,39 24.551,06 44.613,11
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 0,0 22,2 0,66 0,91 62,33 23,0 21.529,0 2,254 2.132,07 2.179,77 2,33 2,43 877,18 933,52 23.557,98 47.181,42
10 3,23 59,96 0,34 972,8 0,0 22,2 0,66 0,91 59,31 20,0 19.433,3 2,254 2.210,95 2.250,68 2,35 2,43 910,46 959,61 25.639,61 49.067,98
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Σ = 409.218,6 810.691,5
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FSave = 2,254
119
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 2
Grau de pertinência: µµµµ = 0,8 FS = 2,285 FS (output)= 2,285
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
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O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 30,4 39,6 0,46 0,65 0,00 49,9 8.504,6 2,285 189,35 235,86 1,65 1,81 104,48 142,69 13.977,63 20.028,81
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5 4,24 59,96 0,65 871,2 30,4 39,6 0,46 0,65 23,57 36,4 31.674,3 2,285 1.917,03 1.952,29 2,10 2,21 865,93 930,66 27.841,97 43.809,80
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7 3,88 59,96 0,52 990,3 30,4 39,6 0,46 0,65 49,56 29,6 29.318,6 2,285 2.231,02 2.266,80 2,22 2,31 965,75 1.023,10 26.333,88 44.016,59
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SO
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25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0 21,6 0,71 0,91 7,98 -26,3 -1.010,7 2,285 109,76 77,94 1,74 1,65 66,36 44,69 1.450,42 5.437,33
Σ = 270.643,08
Σ = 443.331,6 793.626,3
FS = 1,638 2,932
FSave = 2,285
120
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 2
Grau de pertinência: µµµµ = 1,0 FS = 2,291 FS (output)= 2,291
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
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(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 33,0 37,0 0,52 0,61 0,00 49,9 8.504,6 2,291 203,51 223,74 1,70 1,78 114,27 131,57 15.561,48 18.316,90
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SO
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DE
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9 3,29 59,96 0,39 935,3 0,0 17,0 0,81 0,85 62,33 23,0 21.529,0 2,291 2.185,22 2.209,98 2,43 2,44 894,36 910,42 33.066,58 39.976,27
10 3,23 59,96 0,34 972,8 0,0 17,0 0,81 0,85 59,31 20,0 19.433,3 2,291 2.262,20 2.283,11 2,43 2,44 925,37 939,22 35.293,31 42.062,96
11 3,30 59,96 0,29 1.001 0,0 17,0 0,81 0,85 62,53 16,9 16.898,2 2,291 2.326,26 2.344,47 2,43 2,44 953,87 965,95 35.900,50 42.767,98
12 3,26 59,96 0,23 950,3 0,0 17,0 0,81 0,85 69,75 13,7 13.017,9 2,291 2.206,74 2.221,53 2,42 2,43 909,79 919,48 32.699,54 39.337,75
13 3,22 59,96 0,18 926,5 0,0 17,0 0,81 0,85 76,17 10,5 9.753,1 2,291 2.148,07 2.159,46 2,40 2,41 893,03 900,49 30.952,91 37.443,70
14 3,19 59,96 0,12 876,5 0,0 17,0 0,81 0,85 80,64 7,4 6.446,3 2,291 2.026,99 2.034,96 2,37 2,38 852,23 857,41 28.333,75 34.610,82
15 3,18 59,96 0,07 815,5 0,0 17,0 0,81 0,85 83,09 4,2 3.411,5 2,291 1.879,50 1.884,03 2,34 2,35 801,49 804,41 25.530,11 31.564,97
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18 3,18 59,96 -0,09 566,3 0,0 17,0 0,81 0,85 79,43 -5,3 -3.019,3 2,291 1.284,00 1.278,26 2,21 2,21 582,05 578,48 15.413,73 20.548,37
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0,0 17,0 0,81 0,85 74,17 -8,5 -4.047,6 2,291 1.070,92 1.061,80 2,15 2,15 498,86 493,27 12.142,94 16.949,42
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 0,0 17,0 0,81 0,85 67,10 -11,7 -4.167,5 2,291 794,20 781,75 2,09 2,08 381,67 374,24 7.490,10 11.890,42
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0,0 17,0 0,81 0,85 58,05 -14,8 -4.554,8 2,291 678,41 662,69 2,02 2,01 337,82 328,32 6.733,01 10.892,24
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0,0 17,0 0,81 0,85 47,50 -17,8 -4.041,2 2,291 500,17 483,57 1,95 1,93 258,72 248,55 5.449,07 8.917,22
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0,0 17,0 0,81 0,85 35,74 -20,6 -3.572,4 2,291 383,98 364,94 1,87 1,86 206,80 195,05 4.599,86 7.827,37
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 0,0 17,0 0,81 0,85 22,91 -23,5 -2.592,2 2,291 251,24 229,81 1,79 1,77 141,60 128,35 3.318,49 6.276,91
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0,0 17,0 0,81 0,85 7,98 -26,3 -1.010,7 2,291 102,55 78,82 1,70 1,69 60,85 46,27 1.688,48 4.340,81
Σ = 270.643,08
Σ = 548.637,4 691.541,5
FS = 2,027 2,555
FSave = 2,291
121
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 3
Grau de pertinência: µµµµ = 0,0 FS = 2,442 FS (output)= 2,442
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 20,0 50,0 0,27 0,84 0,00 49,9 8.504,6 2,442 163,53 315,21 1,58 2,05 79,65 199,77 8.567,63 28.270,77
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8 3,75 59,96 0,45 1.019 20,0 50,0 0,27 0,84 58,77 26,2 26.734,8 2,442 2.432,80 2.537,08 2,31 2,56 949,20 1.096,80 8.658,48 62.883,91
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
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10 3,23 59,96 0,34 972,8 0,0 20,0 0,58 1,19 59,31 20,0 19.433,3 2,442 2.390,87 2.451,53 2,49 2,70 885,66 982,64 16.987,88 67.462,08
11 3,30 59,96 0,29 1.001 0,0 20,0 0,58 1,19 62,53 16,9 16.898,2 2,442 2.461,05 2.515,35 2,51 2,68 918,76 1.003,81 17.042,61 68.540,41
12 3,26 59,96 0,23 950,3 0,0 20,0 0,58 1,19 69,75 13,7 13.017,9 2,442 2.335,79 2.382,56 2,51 2,65 881,54 949,48 14.284,56 63.889,45
13 3,22 59,96 0,18 926,5 0,0 20,0 0,58 1,19 76,17 10,5 9.753,1 2,442 2.276,14 2.313,91 2,51 2,61 870,99 923,56 12.621,72 61.364,93
14 3,19 59,96 0,12 876,5 0,0 20,0 0,58 1,19 80,64 7,4 6.446,3 2,442 2.150,72 2.177,98 2,49 2,57 836,94 873,15 10.563,16 57.305,76
15 3,18 59,96 0,07 815,5 0,0 20,0 0,58 1,19 83,09 4,2 3.411,5 2,442 1.997,64 2.013,39 2,48 2,52 792,97 813,06 8.578,47 52.767,64
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18 3,18 59,96 -0,09 566,3 0,0 20,0 0,58 1,19 79,43 -5,3 -3.019,3 2,442 1.375,65 1.356,18 2,38 2,33 591,33 569,59 2.402,68 35.765,41
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 0,0 20,0 0,58 1,19 74,17 -8,5 -4.047,6 2,442 1.152,09 1.122,31 2,34 2,25 512,42 480,55 763,52 29.956,35
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21 3,27 59,96 -0,25 306,8 0,0 20,0 0,58 1,19 58,05 -14,8 -4.554,8 2,442 738,24 693,13 2,22 2,07 356,49 311,80 -1.233,98 19.628,47
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 0,0 20,0 0,58 1,19 47,50 -17,8 -4.041,2 2,442 546,80 503,74 2,16 1,98 276,59 233,24 -413,28 15.357,47
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 0,0 20,0 0,58 1,19 35,74 -20,6 -3.572,4 2,442 421,87 378,63 2,09 1,88 224,13 180,83 116,24 12.808,06
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25 3,13 59,96 -0,45 38,5 0,0 20,0 0,58 1,19 7,98 -26,3 -1.010,7 2,442 115,04 80,94 1,94 1,67 68,76 41,67 598,89 5.863,11
Σ = 270.643,08
Σ = 203.650,6 1.118.183,9
FS = 0,752 4,132
FSave = 2,442
122
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 3
Grau de pertinência: µµµµ = 0,2 FS = 2,386 FS (output)= 2,386
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 23,0 47,0 0,32 0,78 0,00 49,9 8.504,6 2,386 169,15 290,50 1,59 1,97 85,82 182,44 10.041,09 25.636,44
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SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 1,7 17,7 0,62 1,11 62,33 23,0 21.529,0 2,386 2.258,38 2.316,90 2,44 2,63 858,85 948,36 18.842,52 58.957,00
10 3,23 59,96 0,34 972,8 1,7 17,7 0,62 1,11 59,31 20,0 19.433,3 2,386 2.341,90 2.390,05 2,46 2,62 893,95 972,41 21.081,79 61.009,95
11 3,30 59,96 0,29 1.001 1,7 17,7 0,62 1,11 62,53 16,9 16.898,2 2,386 2.409,85 2.452,96 2,47 2,60 926,12 994,94 21.278,11 62.021,65
12 3,26 59,96 0,23 950,3 1,7 17,7 0,62 1,11 69,75 13,7 13.017,9 2,386 2.286,75 2.323,86 2,47 2,58 887,50 942,49 18.456,79 57.708,09
13 3,22 59,96 0,18 926,5 1,7 17,7 0,62 1,11 76,17 10,5 9.753,1 2,386 2.227,60 2.257,57 2,46 2,54 875,66 918,22 16.800,26 55.372,86
14 3,19 59,96 0,12 876,5 1,7 17,7 0,62 1,11 80,64 7,4 6.446,3 2,386 2.104,04 2.125,66 2,44 2,50 840,20 869,52 14.649,08 51.641,29
15 3,18 59,96 0,07 815,5 1,7 17,7 0,62 1,11 83,09 4,2 3.411,5 2,386 1.953,36 1.965,85 2,42 2,46 794,80 811,07 12.515,41 47.488,83
16 3,17 59,96 0,02 743,8 1,7 17,7 0,62 1,11 83,78 1,0 752,6 2,386 1.776,55 1.779,59 2,40 2,40 738,88 742,67 10.314,47 42.867,18
17 3,17 59,96 -0,04 661,4 1,7 17,7 0,62 1,11 82,61 -2,2 -1.428,6 2,386 1.574,34 1.567,92 2,36 2,34 671,52 663,83 8.028,76 37.752,45
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 1,7 17,7 0,62 1,11 79,43 -5,3 -3.019,3 2,386 1.342,22 1.326,77 2,32 2,28 589,26 571,64 5.564,59 31.971,63
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 1,7 17,7 0,62 1,11 74,17 -8,5 -4.047,6 2,386 1.122,79 1.099,16 2,27 2,20 509,34 483,51 3.590,34 26.696,78
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 1,7 17,7 0,62 1,11 67,10 -11,7 -4.167,5 2,386 836,49 805,90 2,22 2,12 393,81 363,24 640,00 19.492,47
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 1,7 17,7 0,62 1,11 58,05 -14,8 -4.554,8 2,386 716,96 681,15 2,16 2,04 352,02 315,79 872,15 17.384,41
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 1,7 17,7 0,62 1,11 47,50 -17,8 -4.041,2 2,386 530,12 495,92 2,09 1,95 272,19 237,04 1.190,02 13.671,34
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 1,7 17,7 0,62 1,11 35,74 -20,6 -3.572,4 2,386 408,06 373,68 2,02 1,86 219,66 184,54 1.413,06 11.458,04
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Σ = 270.643,08
Σ = 283.103,2 1.008.190,1
FS = 1,046 3,725
FSave = 2,386
123
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 3
Grau de pertinência: µµµµ = 0,4 FS = 2,343 FS (output)= 2,343
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 26,0 44,0 0,38 0,72 0,00 49,9 8.504,6 2,343 176,99 268,00 1,62 1,90 93,19 165,90 11.592,44 23.197,28
2 5,34 59,96 0,89 469,6 26,0 44,0 0,38 0,72 0,00 46,5 21.832,7 2,343 918,08 992,61 1,77 2,04 450,49 559,69 18.563,98 38.256,43
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8 3,75 59,96 0,45 1.019 26,0 44,0 0,38 0,72 58,77 26,2 26.734,8 2,343 2.352,45 2.414,86 2,27 2,42 971,30 1.062,53 18.405,70 50.764,88
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
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11 3,30 59,96 0,29 1.001 3,4 15,4 0,67 1,04 62,53 16,9 16.898,2 2,343 2.371,80 2.403,94 2,44 2,54 933,89 985,98 25.615,66 55.915,27
12 3,26 59,96 0,23 950,3 3,4 15,4 0,67 1,04 69,75 13,7 13.017,9 2,343 2.250,17 2.277,84 2,44 2,52 893,77 935,41 22.706,75 51.899,76
13 3,22 59,96 0,18 926,5 3,4 15,4 0,67 1,04 76,17 10,5 9.753,1 2,343 2.191,20 2.213,54 2,43 2,49 880,56 912,79 21.037,66 49.727,65
14 3,19 59,96 0,12 876,5 3,4 15,4 0,67 1,04 80,64 7,4 6.446,3 2,343 2.068,82 2.084,94 2,41 2,45 843,62 865,82 18.773,47 46.289,52
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18 3,18 59,96 -0,09 566,3 3,4 15,4 0,67 1,04 79,43 -5,3 -3.019,3 2,343 1.316,10 1.304,59 2,27 2,24 587,11 573,76 8.694,36 28.338,29
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 3,4 15,4 0,67 1,04 74,17 -8,5 -4.047,6 2,343 1.099,60 1.081,99 2,22 2,17 506,15 486,58 6.373,30 23.561,60
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25 3,13 59,96 -0,45 38,5 3,4 15,4 0,67 1,04 7,98 -26,3 -1.010,7 2,343 103,87 83,49 1,81 1,65 62,85 46,11 1.631,39 4.740,97
Σ = 270.643,08
Σ = 363.980,6 904.292,2
FS = 1,345 3,341
FSave = 2,343
124
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 3
Grau de pertinência: µµµµ = 0,6 FS = 2,314 FS (output)= 2,314
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 29,0 41,0 0,44 0,67 0,00 49,9 8.504,6 2,314 187,21 247,88 1,65 1,84 101,88 150,41 13.241,48 20.941,14
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SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 5,1 13,1 0,73 0,97 62,33 23,0 21.529,0 2,314 2.204,87 2.233,84 2,42 2,51 879,34 924,75 27.426,49 47.188,98
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17 3,17 59,96 -0,04 661,4 5,1 13,1 0,73 0,97 82,61 -2,2 -1.428,6 2,314 1.525,23 1.522,06 2,29 2,28 669,63 665,72 14.964,79 29.620,67
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 5,1 13,1 0,73 0,97 79,43 -5,3 -3.019,3 2,314 1.297,86 1.290,22 2,24 2,22 584,89 575,93 11.812,65 24.833,18
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 5,1 13,1 0,73 0,97 74,17 -8,5 -4.047,6 2,314 1.083,00 1.071,31 2,19 2,15 502,86 489,72 9.130,48 20.523,14
20 3,23 59,96 -0,20 357,0 5,1 13,1 0,73 0,97 67,10 -11,7 -4.167,5 2,314 803,60 788,46 2,13 2,08 386,03 370,47 5.245,78 14.541,20
21 3,27 59,96 -0,25 306,8 5,1 13,1 0,73 0,97 58,05 -14,8 -4.554,8 2,314 686,36 668,63 2,06 2,00 342,69 324,25 4.929,89 13.069,93
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 5,1 13,1 0,73 0,97 47,50 -17,8 -4.041,2 2,314 505,55 488,60 1,99 1,92 263,04 245,14 4.265,22 10.416,96
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 5,1 13,1 0,73 0,97 35,74 -20,6 -3.572,4 2,314 387,12 370,06 1,92 1,84 210,39 192,51 3.887,86 8.838,41
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 5,1 13,1 0,73 0,97 22,91 -23,5 -2.592,2 2,314 251,48 235,38 1,85 1,75 143,56 127,56 3.137,93 6.737,21
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 5,1 13,1 0,73 0,97 7,98 -26,3 -1.010,7 2,314 99,03 85,47 1,76 1,66 59,76 48,51 2.115,93 4.178,01
Σ = 270.643,08
Σ = 446.943,4 805.727,2
FS = 1,651 2,977
FSave = 2,314
125
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 3
Grau de pertinência: µµµµ = 0,8 FS = 2,299 FS (output)= 2,299
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 32,0 38,0 0,50 0,61 0,00 49,9 8.504,6 2,299 199,82 230,16 1,69 1,79 111,89 136,13 15.008,65 18.852,77
2 5,34 59,96 0,89 469,6 32,0 38,0 0,50 0,61 0,00 46,5 21.832,7 2,299 922,26 947,11 1,84 1,93 478,52 515,09 24.563,99 31.108,32
3 4,85 59,96 0,80 647,6 32,0 38,0 0,50 0,61 0,00 43,1 27.919,4 2,299 1.356,36 1.377,29 1,96 2,04 665,27 703,90 29.214,59 36.938,41
4 4,50 59,96 0,72 774,9 32,0 38,0 0,50 0,61 6,30 39,7 30.788,9 2,299 1.677,51 1.697,56 2,05 2,13 788,24 827,08 31.180,96 39.823,90
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8 3,75 59,96 0,45 1.019 32,0 38,0 0,50 0,61 58,77 26,2 26.734,8 2,299 2.329,01 2.349,87 2,29 2,34 997,16 1.028,10 28.926,85 39.755,12
SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 6,8 10,8 0,78 0,90 62,33 23,0 21.529,0 2,299 2.198,06 2.212,51 2,42 2,47 890,44 913,21 31.972,48 41.818,06
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11 3,30 59,96 0,29 1.001 6,8 10,8 0,78 0,90 62,53 16,9 16.898,2 2,299 2.338,21 2.348,86 2,43 2,46 950,70 968,22 34.729,76 44.733,96
12 3,26 59,96 0,23 950,3 6,8 10,8 0,78 0,90 69,75 13,7 13.017,9 2,299 2.217,32 2.226,48 2,42 2,44 907,29 921,29 31.566,51 41.206,39
13 3,22 59,96 0,18 926,5 6,8 10,8 0,78 0,90 76,17 10,5 9.753,1 2,299 2.157,63 2.165,03 2,40 2,42 891,08 901,92 29.812,20 39.286,56
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17 3,17 59,96 -0,04 661,4 6,8 10,8 0,78 0,90 82,61 -2,2 -1.428,6 2,299 1.514,53 1.512,95 2,27 2,27 668,64 666,68 18.465,91 25.768,72
18 3,18 59,96 -0,09 566,3 6,8 10,8 0,78 0,90 79,43 -5,3 -3.019,3 2,299 1.287,48 1.283,67 2,22 2,21 582,61 578,12 14.940,04 21.427,99
19 3,20 59,96 -0,14 476,0 6,8 10,8 0,78 0,90 74,17 -8,5 -4.047,6 2,299 1.072,97 1.067,14 2,16 2,15 499,50 492,91 11.880,07 17.556,83
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25 3,13 59,96 -0,45 38,5 6,8 10,8 0,78 0,90 7,98 -26,3 -1.010,7 2,299 94,71 87,93 1,72 1,67 56,64 50,99 2.581,82 3.609,29
Σ = 270.643,08
Σ = 532.658,7 711.789,5
FS = 1,968 2,630
FSave = 2,299
126
MODELO FUZZY -- MÉTODO DE BISHOP SIMPLIFICADO (1955) -- Caso 3
Grau de pertinência: µµµµ = 1,0 FS = 2,297 FS (output)= 2,297
Solo
Fat
ia
L (m)
R (m)
α (rad)
W (kN)
c' (kPa) tan φ φ φ φ' (rad) u (kPa)
x (m)
W.x (kN.m)
FS inicial
W.FSave - L.sinαααα.c''''+ u.L.sinαααα.tgφφφφ'+ D.sinαααα
cosαααα.FSave+ sinαααα.tgφφφφ'
N (kN) [c'.L.R + (N-
u.L).R.tanφφφφ''''] /] /] /] / W.x-kW.e+D.d+A.a
ci cf tanφφφφi tanφφφφf Inic. Final In. Fin. Ni Nf Inicial Final
SO
LO
DO
MA
CIÇ
O
(JA
ZID
A)
1 6,08 59,96 0,98 170,5 35,0 35,0 0,56 0,56 0,00 49,9 8.504,6 2,297 214,65 214,65 1,74 1,74 123,13 123,13 16.913,90 16.913,90
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SO
LO
DE
FU
ND
AÇ
ÃO
9 3,29 59,96 0,39 935,3 8,5 8,5 0,84 0,84 62,33 23,0 21.529,0 2,297 2.203,66 2.203,66 2,44 2,44 901,99 901,99 36.730,31 36.730,31
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21 3,27 59,96 -0,25 306,8 8,5 8,5 0,84 0,84 58,05 -14,8 -4.554,8 2,297 672,12 672,12 2,02 2,02 333,11 333,11 8.869,67 8.869,67
22 2,94 59,96 -0,30 226,6 8,5 8,5 0,84 0,84 47,50 -17,8 -4.041,2 2,297 492,99 492,99 1,94 1,94 253,67 253,67 7.230,30 7.230,30
23 2,99 59,96 -0,35 173,0 8,5 8,5 0,84 0,84 35,74 -20,6 -3.572,4 2,297 375,29 375,29 1,87 1,87 200,95 200,95 6.254,47 6.254,47
24 3,05 59,96 -0,40 110,5 8,5 8,5 0,84 0,84 22,91 -23,5 -2.592,2 2,297 241,03 241,03 1,79 1,79 134,98 134,98 4.828,50 4.828,50
25 3,13 59,96 -0,45 38,5 8,5 8,5 0,84 0,84 7,98 -26,3 -1.010,7 2,297 90,85 90,85 1,70 1,70 53,53 53,53 3.031,96 3.031,96
Σ = 270.643,08
Σ = 621.802,0 621.802,0
FS = 2,297 2,297
FSave = 2,297
