UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO DE EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

Messenas Miranda Rocha

UM ESTUDO DO DESENVOLVIMENTO DE ATIVIDADES INVESTIGATIVAS NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NO

ENSINO MÉDIO

Vitória 2009

MESSENAS MIRANDA ROCHA

UM ESTUDO DO DESENVOLVIMENTO DE ATIVIDADES INVESTIGATIVAS NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NO

ENSINO MÉDIO

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito para obtenção do grau de mestre em Educação, na linha de pesquisa Educação e Linguagens, sublinha de Linguagem Matemática vinculada ao campo científico de Educação Matemática.

Orientadora: Profª. Drª Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner.

Vitória 2009

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

Rocha, Messenas Miranda, 1972- R672e Um estudo do desenvolvimento de atividades investigativas

na aprendizagem de matemática no ensino médio / Messenas Miranda Rocha. – 2009.

211 f. : il. Orientadora: Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade

Federal do Espírito Santo, Centro de Educação. 1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Ensino médio. 3.

Educação. 4. Matemática emocional. 5. Resolução de problemas. I. Santos-Wagner, Vânia Maria Pereira dos. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Educação. III. Título.

CDU: 37

Um educador que não sabe amar seus educandos não é apto para educá-los. A educação é sobretudo obra do coração.

São Marcelino Champagnat

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela graça de conquistar mais uma vitória em minha vida.

À minha esposa Valéria e aos meus filhos André e Bianca, pelo apoio, incentivo e compreensão nos momentos em que estive ausente.

À dona Creuza que sempre me apoiou nessa caminhada do mestrado me ouvindo e pedindo a intercessão de Deus nos momentos difíceis.

Aos professores (as) do Programa de Pós-Graduação, pelo que aprendemos com eles.

À turma de 1º ano de ensino médio que participou da pesquisa, por ter colaborado com meu crescimento profissional.

Aos professores colaboradores e à escola estadual em que realizamos a pesquisa de campo, por todo o apoio e colaboração que ofereceram ao longo do trabalho.

Aos amigos que conquistei durante essa caminhada como mestrando e membro do Grupo de Estudos sobre a prática pedagógica e avaliação.

Aos colegas e amigos do Colégio Marista e da Universidade Presidente Antônio Carlos que sempre me apoiaram e me ajudaram nos momentos que estive ausente e me substituíram.

À minha orientadora Vânia Maria P. dos Santos-Wagner, por acreditar em mim e que sempre esteve ao meu lado nos momentos mais difíceis desse trabalho. Pelo que aprendi não só em conhecimentos acadêmicos, mas também como exemplo de vida e trabalho.

RESUMO

Esta pesquisa de mestrado vinculada ao campo científico de educação matemática foi desenvolvida no Programa de Pós-Graduação do Centro de Educação da Universidade Federal do Espírito Santo. Estudamos o desenvolvimento de atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas na aprendizagem de matemática em uma turma de primeiro ano de ensino médio. Além disso, procuramos conduzir uma intervenção em sala de aula trabalhando com essas atividades para explorar alguns conceitos matemáticos. Essa investigação aconteceu em uma escola pública da rede estadual no município de Baixo Guandu (ES) por nove meses. Este estudo de natureza qualitativa caracterizou-se como uma pesquisa-ação, onde se procurou identificar e analisar algumas crenças e concepções de alunos sobre a matemática e seu processo educativo. Os estudos de Gómez Chacón; Polya; Ponte, Oliveira e Segurado; Santos e Santos-Wagner ofereceram aportes teóricos para este trabalho. Os dados foram coletados através de aulas observadas e ministradas, questionários respondidos pelos alunos e professores, e atividades resolvidas pelos alunos. Os procedimentos de análise ocorreram à luz dos autores citados. Os alunos foram estimulados a registrar suas observações, estabelecer relações, conjecturar e argumentar sobre suas conclusões durante a realização de atividades de natureza investigativa. A experiência com essas atividades pode contribuir para uma mudança de atitude, tornando os sujeitos mais reflexivos e mais interessados na procura de solução para os problemas matemáticos. Acreditamos que, havendo compromisso por parte dos professores e alunos, essas atividades podem servir de grande ferramenta para o ensino da matemática. Percebemos que alguns alunos mudaram algumas crenças, concepções e atitudes sobre a matemática, seu ensino e aprendizagem e que causamos uma instabilidade no modelo de aula tradicional. Os alunos da turma, os professores colaboradores e o pesquisador perceberam indícios com essa pesquisa de que outros modelos de aula de matemática podem servir para os processos de ensino e aprendizagem de matemática.

Palavras-chave: Crenças e concepções; investigação matemática; resolução de problemas; ensino médio; educação matemática.

ABSTRACT

This master research linked to the scientific field of mathematics education was developed at the Graduate Program of Education at Federal University of Espírito Santo. We studied the development of inquiry and problem solving activities in mathematics learning in a first grade class of secondary school. In addition to that, we tried to conduct a classroom intervention while working with such activities in order to explore some mathematical concepts. This investigation occurred in a state public school in the city of Baixo Guandu (ES) during nine months. This study of qualitative nature was characterized as an action research, in which we searched to identify and analyze some students´ beliefs and conceptions about mathematics and its educational process. The studies of Gómez Chacón; Polya; Ponte, Oliveira e Segurado; Santos e Santos-Wagner offered the theoretical support to this work. The data was collected through classroom observations and lessons, questionnaires answered by the students and teachers, and activities solved by students. The analysis procedure occurred in light of the cited authors. The students were stimulated to record their observations, to establish relationships, to conjecture and to argue about their conclusions during the development of the inquiry activities. The experience with these activities may contribute to a change in attitude, letting the subjects more reflexive and more interested in searching solution to mathematical problems. We believe that, when there is commitment from teacher and students, these activities may serve as a great tool for mathematics teaching. We perceived that some students changed some beliefs, conceptions and attitudes towards mathematics, its teaching and learning and that we caused instability in the traditional model of lessons. The students of this secondary class, the collaborator teachers and the investigator perceived evidence with this research that other model of mathematics lessons may help the processes of mathematics teaching and learning.

Keywords: Beliefs and conceptions; mathematics inquiry; problem solving; secondary school; mathematics education.

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA 1 – Vista parcial da escola, foto tirada em 10/11/2008 ............................... 64

FIGURA 2 - Corredor central da escola .................................................................... 64

FIGURA 3 – Aplicando o instrumento 1B em 28/02/2008 ......................................... 65

FIGURA 4 – Ilustração do momento em que o aluno A13 apresenta suas conjecturas. (Foto tirada pelo professor L) .............................................................. 134

FIGURA 5 - Representação do aluno A1 ................................................................ 138

FIGURA 6 – Representação do aluno A13 ............................................................. 140

FIGURA 7 – Representação do aluno A7 ............................................................... 141

FIGURA 8 – Resposta do aluno A7 ......................................................................... 144

FIGURA 9 – Resposta do aluno A13 ...................................................................... 145

FIGURA 10 – Observações do aluno A9 ................................................................. 152

FIGURA 11 – Justificativa do aluno A9 ................................................................... 152

FIGURA 12 – Generalização do aluno A9 ............................................................... 153

FIGURA 13 – Observações do aluno A13 ............................................................... 154

FIGURA 14 – Justificativa do aluno A13 ................................................................. 154

FIGURA 15 – Justificativa do aluno A13 ................................................................. 154

FIGURA 16 – Justificativa do aluno A30 ................................................................. 155

FIGURA 17 – Generalização do aluno A30 ............................................................. 156

FIGURA 18 – Solução do aluno A1 ......................................................................... 166

FIGURA 19 – Solução do aluno A9 ......................................................................... 167

FIGURA 20 – Solução do aluno A13 ....................................................................... 168

FIGURA 21 – Solução do aluno A13 ....................................................................... 169

FIGURA 22 – Solução do aluno A26 ....................................................................... 170

FIGURA 23 – Solução do aluno A30 ....................................................................... 171

ÍNDICE DE QUADROS

QUADRO 1 – Quadro sinóptico com aulas observadas e trabalhadas na pesquisa de campo ....................................................................................................................... 75

QUADRO 2 – Concepções da turma sobre a matemática ........................................ 89

QUADRO 3 – Analise da turma sobre instrumento 1A em 31/03/2008 ................... 103

QUADRO 4 – Metáforas dos nove alunos selecionados da turma em dois momentos ................................................................................................................................ 107

QUADRO 5 - Metáforas dos alunos no início e no final da pesquisa de campo ..... 115

QUADRO 6 - Crenças e concepções sobre os professores e atitudes dos alunos em relação à matemática .............................................................................................. 125

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 13

1.1. Motivação e justificativa .............................................................................. 18

1.2. A problemática e o problema ...................................................................... 21

2. ENQUADRAMENTO TEÓRICO E REVISÃO DA PRODUÇÃO ACADÊMICA ... 27

2.1. Reflexão sobre a prática do professor ........................................................ 27

2.2. A matemática e as emoções: atitudes, crenças e concepções ................... 29

2.2.1. Fatores afetivos e emocionais ............................................................. 31

2.2.2. Crenças ............................................................................................... 33

2.2.3. Concepções ......................................................................................... 36

2.3. Vygotsky e a aprendizagem ........................................................................ 38

2.3.1. Mediação ............................................................................................. 39

2.3.2. Processo de internalização .................................................................. 40

2.3.3. Zona de Desenvolvimento Proximal .................................................... 41

2.4. Atividades investigativas em aula de matemática ....................................... 43

2.4.1. Atividade de natureza investigativa ...................................................... 44

2.4.2. Desenvolvendo uma aula de investigação ........................................... 46

2.5. Resolução de problemas ............................................................................ 48

2.5.1. Método de tentativa e erro ................................................................... 53

2.5.2. Método de padrões .............................................................................. 54

2.5.3. Método de resolver um problema mais simples ................................... 55

3. PERCURSOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA .......................................... 58

3.1. Acesso à instituição e aos professores colaboradores ............................... 61

3.2. A escola ...................................................................................................... 63

3.3. A turma ....................................................................................................... 65

3.4. Os professores colaboradores .................................................................... 66

3.4.1. O professor L ....................................................................................... 66

3.4.2. O professor C ....................................................................................... 67

3.5. Instrumentos utilizados na coleta e análise dos dados ............................... 68

3.5.1. Caderno de bordo ................................................................................ 69

3.5.2. Entrevistas semi-estruturadas.............................................................. 70

3.5.3. Gravações de áudio ............................................................................. 71

3.5.4. Metáforas ............................................................................................. 71

3.5.5. Materiais impressos ............................................................................. 72

3.5.6. Reflexões escritas e compartilhadas ................................................... 73

3.5.7. Discriminação das aulas da pesquisa .................................................. 73

4. O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA E ANÁLISE DOS DADOS ................ 85

4.1. Crenças, concepções e atitudes dos alunos ............................................... 87

4.2. Analisando as metáforas com a turma ...................................................... 102

4.3. Retomando o instrumento sobre as crenças, concepções e atitudes ....... 105

4.4. Metáforas dos alunos no início e no final da pesquisa de campo ............. 114

4.5. Crenças dos alunos sobre o papel dos professores na aprendizagem e atitudes dos alunos frente a sua aprendizagem .................................................. 124

4.6. Primeira atividade de natureza investigativa ............................................. 129

4.6.1. O planejamento da aula ..................................................................... 129

4.6.2. A realização da aula de investigação ................................................. 131

4.6.3. Procedimentos matemáticos utilizados pelos alunos na realização da tarefa e algumas dificuldades demonstradas ................................................... 135

4.6.4. Papéis assumidos pelos alunos durante a realização desta investigação ..................................................................................................... 136

4.6.5. Papéis assumidos pelo professor-pesquisador na realização desta tarefa ................................................................................................................136

4.6.6. Tentando validar suas conjecturas .................................................... 142

4.7. Investigando o Triângulo de Pascal .......................................................... 147

4.7.1. Planejando e executando a segunda aula de investigação ............... 147

4.7.2. Procedimentos matemáticos utilizados pelos alunos na realização da tarefa e algumas dificuldades demonstradas ................................................... 150

4.7.3. Papéis assumidos pelo professor pesquisador na realização desta tarefa ..... .......................................................................................................... 151

4.8. Conversando com alguns alunos da turma sobre as aulas com atividades de natureza investigativa ..................................................................................... 157

4.8.1. Informações que podem fornecer indícios da preocupação dos alunos com o conteúdo programático .......................................................................... 158

4.8.2. Afirmações que parecem apontar falhas durante a execução das atividades ......................................................................................................... 158

4.8.3. Comentários que podem valorizar o trabalho com natureza investigativa e que trazem intrínsecos os próprios objetivos das aulas investigativas .................................................................................................... 159

4.9. Atividade de resolução de problemas ....................................................... 160

4.9.1. Procedimentos adotados durante a aula e material utilizado ............. 162

4.9.2. O desenvolvimento da aula e os resultados encontrados .................. 162

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 173

5.1. Reflexões finais e aprendizados ............................................................... 181

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 185

ANEXOS ................................................................................................................. 190

ANEXO A ............................................................................................................. 190

Instrumento 1A (Crenças, concepções e atitudes sobre a matemática) .............. 190

Instrumento 1B (Questionamentos sobre professores de matemática e suas atitudes em relação à matemática) ...................................................................... 190

Instrumento 2 (Atividade de natureza investigativa) ............................................ 190

Instrumento 3 (Atividade de resolução de problemas) ......................................... 191

Instrumento 4 ....................................................................................................... 191

Instrumento 5 (Tarefa de natureza investigativa) ................................................. 191

ANEXO B ............................................................................................................. 192

Transcrição das aulas da pesquisa de campo ..................................................... 192

13

1. INTRODUÇÃO

Iniciei minha vida profissional como professor de matemática no Curso Técnico em

Contabilidade, em 1991, na rede privada de ensino na Escola de 1º e 2º graus

Brasil, no município de Baixo Guandu, estado do Espírito Santo (ES). Nessa época

ainda não possuía diploma de ensino superior e sentia que precisava de uma

formação universitária. Como já exercia função administrativa em uma empresa

multinacional no ramo de laticínios, ingressei em 1994 no curso de Administração de

Empresas na FACEC (Faculdade de Ciências Econômicas de Colatina-ES).

Realizava uma jornada dupla de trabalho: durante o dia trabalhava como auxiliar

administrativo, e à noite, como professor. Dessas duas funções, identificava-me mais

com a do magistério, porque sentia prazer em compartilhar meus conhecimentos de

matemática com meus alunos.

Em final de 1996, desliguei-me da empresa multinacional de laticínios e fundei em

início de 1997, a primeira escola particular de Baixo Guandu/ES, que funcionava

desde a pré-escola ao ensino fundamental, cujo nome era Centro Educacional Jean

Piaget. O projeto dessa escola particular funcionou apenas durante três anos

porque algumas dificuldades econômicas levaram ao seu encerramento. Durante

esse período de 1997 a 1999, atuando como gestor, eu fui também professor nessa

escola particular e professor contratado em Designação Temporária (DT) no

município. Em 1998 surgiu a oportunidade de ingressar no curso de Licenciatura

Plena em Matemática do Projeto Habilitar. Esse projeto oferecia a possibilidade de

graduar professores que já atuavam no interior do estado sem terem a devida

titulação. O curso iniciou suas atividades no segundo semestre de 1998, sendo

ministrado pela Universidade Federal do Espírito Santo, nas instalações do

CEFETES (Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo), no

município de Colatina-ES. Foi a partir da experiência de quatro anos cursando a

licenciatura no Projeto Habilitar, que pude aprofundar meus conhecimentos

matemáticos e conhecimentos teóricos sobre educação, didática geral e didática de

matemática.

14

Agora em 2009, quando procuro relatar minha experiência profissional ao longo de

18 anos, analisando e refletindo sobre minha atuação como professor de

matemática, eu percebo alguns pontos de destaque nos quatro momentos

marcantes na minha vida profissional. Ou seja, sinto que preciso rever, pensar e

refletir sobre como agia enquanto professor antes de ingressar no Projeto Habilitar,

durante os quatro anos estudando no mesmo, após a conclusão desse Projeto

Habilitar, e a partir dos estudos realizados no mestrado. Tenho percebido nestes

momentos de reflexão que, durante toda essa caminhada profissional de 18 anos,

existem alguns pontos relevantes na minha trajetória que foram fundamentais para o

desenvolvimento dessa pesquisa. Quando recordo os primeiros sete anos atuando

como professor, percebo que havia um bom relacionamento com meus alunos,

explicando os conteúdos de uma maneira tradicional. Dentro desse contexto, parecia

que, alguns alunos conseguiam aprender e se mostravam interessados, mas que

uma maioria não.

Recordando o que ocorreu durante meus estudos no Projeto Habilitar, sinto que

aprofundei meus estudos em matemática e aprendi algumas metodologias de ensino

para utilizar nas aulas da disciplina, que favoreceram na aprendizagem dos meus

alunos. No entanto, também me recordo que, mesmo dispondo de mais

conhecimentos matemáticos e pedagógicos, nem tudo funcionava em sala de aula.

Percebia a existência de pelo menos três grupos de alunos em minhas turmas de

ensino médio. O primeiro grupo era formado por alguns alunos que participavam

quase sempre das aulas, demonstravam interesse e parece que aprendiam os

conteúdos do curso. Já o segundo grupo, não evidenciava muito interesse em

participar das aulas, mas também parece que aprendiam os conteúdos propostos. O

terceiro grupo de alunos era o que não demonstrava nenhum interesse em aprender

a matéria e que me deixava incomodado e sem saber o que fazer. Durante essa

fase da minha vida profissional, de 1998 até 2002, alguns questionamentos

começaram a surgir: Será que não estou conseguindo explicar de maneira correta

os conteúdos de matemática? Será que esse desinteresse acontece porque eles

acreditam que não sejam capazes de aprender matemática? Que tipo de aula ou

metodologia conseguiria envolver os alunos de maneira ativa na construção dos

seus conhecimentos?

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Concluindo, durante esses anos de trabalho e estudos no Projeto Habilitar e

posterior ao mesmo, antes de ingressar no mestrado, nunca tinha parado

conscientemente para pensar, questionar-me e tentar compreender o que poderia

estar por trás da facilidade e do interesse de alguns alunos com a matemática, e da

dificuldade e do desinteresse mostrados por outros. Acreditava na validade de uma

aula expositiva de matemática e no treino como importante para a aprendizagem,

desde que não o utilizássemos como único modo de ensinar. Seguia um modelo de

aula tradicional, que defino como sendo uma aula em que o professor expõe os

conceitos, as definições, os teoremas, explica os exemplos, passa exercícios para

os alunos, corrige-os no quadro e procura cobrar em seus testes e avaliações algo

semelhante ao que foi exposto nas aulas (SANTOS, 1997). Essa aula tradicional,

que tem a sua importância, acaba por ser insuficiente para cobrir todas as

demandas e os desafios de uma sala de aula.

Nas leituras, estudos e discussões desenvolvidas durante o mestrado em suas

diversas disciplinas, e participando desde 2007 de um grupo de estudos1 e de

pesquisa sobre a prática pedagógica, percebi a importância de me conhecer

profissionalmente, de refletir sobre minhas aulas e dar importância ao papel do aluno

na construção de seu conhecimento. Nessa trajetória de estudo e de vivências com

outros professores, aprendi que existem diferentes possibilidades para explorar e

trabalhar conceitos matemáticos, interagir com os alunos, solicitar que eles

trabalhem individualmente e em pequenos grupos, e de avaliar com diversos

instrumentos se ocorreu algum tipo de aprendizagem (SANTOS, 1997). Ou seja, foi

procurando me conhecer profissionalmente no grupo de estudos e, ao mesmo

tempo, buscando ler, estudar e compreender alguns autores, que vários horizontes

foram se abrindo em minha prática profissional. E também procurando ouvir,

conhecer e compreender o que meus alunos pensam da matemática e de seu

ensino foi que aprendi que diferentes meios e não somente os fins de uma atividade

podem ajudar os meus alunos no processo de aprendizagem.

1 Grupo de estudos sobre prática pedagógica e avaliação, que iniciou na UFES em 2006, coordenado

pela Profª. Vânia M. Pereira dos Santos-Wagner. Este grupo conta com a participação de professores de matemática das redes pública e privada.

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Nas reuniões de conselho de classe nas escolas, nós, professores, que atuamos no

ensino médio verificamos que nem sempre os alunos que apresentam bons

resultados em matemática na escola conseguem o mesmo desempenho em outros

tipos de avaliações. Por exemplo, quando esses alunos se deparam com outros

exames, como o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), não conseguem

resultados satisfatórios. Será que nós, que atuamos como professores de

matemática, estamos realmente preparando esses alunos para outros tipos de

avaliações e para os desafios futuros que eles precisam de enfrentar? Para Santos

(1997, p. 3), é necessário refletir sobre quais são as vantagens e desvantagens de

trabalharmos com os modelos pedagógicos de uma aula tradicional e de uma aula

inovadora. Onde na aula tradicional o professor transmite conhecimentos, é a

autoridade do saber, apresenta modelos prontos de resolução de questões e diz

como estas devem ser feitas. E em que o aluno trabalha individualmente, é passivo,

depende do professor para avaliar seu conhecimento, constrói conhecimento

„‟fraco‟‟, um conhecimento superficial e momentâneo, sem um significado real, e

tornando-se menos autônomo. E, além disso, que avalia sempre de formas

semelhantes às que foram trabalhadas em sala de aula.

Segundo Santos (1997), é importante que os alunos sintam o desejo de aprender

matemática, percebam sua importância no processo de aprendizagem e sejam

responsáveis ativos por esse processo de construção do conhecimento matemático,

que ocorre em um contexto de interações sociais entre professor-aluno e aluno-

aluno. Foi a partir dessa leitura, das conversas com os colegas no grupo de estudo

sobre o livro de Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática: métodos

alternativos (SANTOS, 1997) e no desenrolar dessa pesquisa que comecei a

questionar-me sobre a forma como sempre atuei ao ensinar matemática no ensino

médio, interessando-me em experimentar outras formas de trabalho e em explorar

seu potencial para os processos de ensinar, de aprender e de avaliar matemática.

Quando olhava para minha prática em 2007, comentando com os colegas do

mestrado sobre o interesse de alguns jovens e o desinteresse de outros, percebia

que minha atuação nas aulas também poderia estar interferindo nessa atitude dos

educandos do ensino médio. Ao ensinar, por exemplo, ensinava progressões em

turmas do 1º ano do ensino médio, iniciava definindo o conteúdo, mostrando as

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fórmulas, resolvendo exemplos e fornecendo listas de exercícios para que os alunos

fizessem seguindo os mesmos modelos trabalhados. Observo agora que esse

modelo de aula parecia e parece não ativar a curiosidade de alguns jovens, não lhes

desperta vontade de aprender, nem um espírito investigativo.

Creio que nós, educadores, devemos trabalhar com esses jovens, não só

conteúdos, mas também ajudar-lhes a desenvolver algumas competências e

habilidades requeridas pela sociedade atual e pelo mercado de trabalho. Atualmente

e provavelmente na sociedade do futuro, cada vez mais, vamos querer cidadãos que

sejam criativos, autônomos e também capazes tanto de solucionar quanto de

formular problemas. Ou seja, esses alunos precisarão desenvolver competências

para aprender a analisar suas ações, estabelecer relações com e entre objetos, para

poder interpretar fenômenos. Essas competências podem auxiliar o desenvolvimento

de raciocínio, de interpretação e de intervenção. Necessitarão adquirir habilidades

que decorrem das competências obtidas, tais como, o saber praticar e o saber

transferir em outros contextos o que aprenderam, e o saber formular situações e

problemas para resolver de modo independente e autônomo. Esses tipos de

habilidades e de competências serão cada vez mais importantes, em detrimento à

repetição de tarefas rotineiras.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio [PCNEM]

(BRASIL, 2002, 2002a), o ensino médio está passando por uma transformação

acelerada. A facilidade que tem o jovem atualmente de acessar, selecionar e

processar informações na mídia e na internet está permitindo alcançar novas

fronteiras do conhecimento. O acesso às informações, a partir dos meios

tecnológicos, que favorecem a simulação de situações e o estudo de novos

problemas, tem estimulado os alunos a desenvolverem um espírito de investigação,

dando a eles a possibilidade de desempenharem um papel mais ativo no processo

de ensino-aprendizagem. Acredito que o papel do professor é o de oferecer

oportunidade para que o aluno de posse dessas informações adquira uma nova

postura em sala de aula (SANTOS, 1997). Ao defender seu ponto de vista,

argumentar, discutir em grupos, o aluno tem a oportunidade de assumir um papel

mais ativo na sua aprendizagem. Sobre esse discurso, Ponte (2007) também afirma:

18

Acredito que têm aparecido formas de interação em que os alunos têm um papel mais significativo no debate, nas argumentações e na apresentação de trabalhos, embora o professor continue a ser o elemento preponderante de todo esse processo. Portanto, eu diria que tem ocorrido uma evolução para um ensino um pouco mais aberto. Um estudo feito em 1998, pela Associação de Professores de Matemática, chamado Projeto Matemática 2001, documenta esse processo de maneira bastante clara. Nota-se que já houve evolução, mas continua existindo muita coisa para se mudar no nível da prática (p. 10).

Com essa postura de tentar dialogar com os alunos sobre seu papel na sua

aprendizagem, é que concordamos com o documento PCNEM (BRASIL, 2002, p.

208), quando relata que o aprendizado não deve ser centrado na interação individual

de alunos com materiais instrucionais, nem se resumir à exposição ao discurso

professoral, mas que deve se realizar pela participação ativa de cada um e do

coletivo educacional numa prática de elaboração cultural. Criando alternativas de

trabalhos nas aulas de matemática com atividades investigativas e de resoluções de

problemas, acreditamos que podemos diversificar as formas de dialogar e comunicar

entre professor e alunos. Pois vamos procura passar de um modelo de aula em que

a maior parte da comunicação no processo de ensino-aprendizagem é voltada para

o professor para um modelo onde a comunicação esteja mais voltada para os

alunos, seus argumentos e pensamentos quando procuram resolver e investigar

situações matemáticas.

1.1. Motivação e justificativa

Um dos mais importantes deveres do professor é o de auxiliar os seus alunos, o que não é fácil, pois exige tempo, prática, dedicação e princípios firmes (Polya, 1995/1945

2, p. 1).

Durante o desenvolvimento de uma atividade de matemática, temos verificado com a

prática como é difícil auxiliar de maneira adequada os alunos, sem ajudá-los demais,

para que resolvam a tarefa que lhes cabe. Segundo a Teoria de Vygotsky, essa

2 Original publicado em inglês em 1945, com o título ―How to solve it‖, traduzido e publicado

posteriormente em português desde 1975. Usamos neste trabalho a edição de 1995.

19

possibilidade de alteração do desempenho de uma pessoa pela interferência de

outra é fundamental para a aprendizagem. Para Oliveira (1993, p. 60), o

desenvolvimento individual se dá num ambiente social determinado e a relação com

o outro, nas diversas esferas e níveis da atividade humana, é essencial para o

processo de construção do ser psicológico individual. É preciso conhecer o nível em

que o aluno se encontra, mas quando entramos em sala de aula, parece que alguns

de nós, professores, desconsideramos esse fato. Algumas vezes nós vamos logo

resolvendo os exercícios no quadro, sem incentivarmos a análise do problema pelos

alunos para percebermos o que eles compreendem. Ou seja, acabamos por nem

procurar perceber onde cada aluno se encontra na atividade, quer seja na fase de

leitura, de compreensão e de análise do problema a resolver. Em outro instante,

fornecemos diretamente os dados do problema e resolvemos sem nenhuma

discussão prévia. Com essas nossas atitudes em aulas, em que às vezes ficamos

sem observar como pensam os nossos alunos e sem dar-lhes tempo e chance de

resolver algo, porque resolvemos tudo rapidamente no quadro, acabamos,

provavelmente, deixando alguns alunos para trás, que não conseguem desenvolver

com êxito e satisfação suas tarefas, ocasionando com isso um desinteresse pela

disciplina.

Estamos percebendo que, desde o segundo semestre de 2007, valorizando uma

prática diferenciada na introdução de um conteúdo, outras possibilidades de

questionamentos podem ocorrer e os alunos parecem participar de maneira mais

ativa. Trabalhando com atividades investigativas e de resolução de problemas em

que os alunos não ficam presos aos algoritmos, às equações e aos teoremas, eles

questionam mais surgindo reflexões que os ajudam na compreensão daquele

assunto. Vejo que tem sido produtivo propor aos alunos atividades e problemas que

deixem de ter o intuito apenas de achar a solução para um problema, ou várias

soluções para um mesmo problema, usando algoritmos, fórmulas e teoremas já

vistos anteriormente. É por essas razões que temos alterado a prática em sala de

aula, em busca de ações mais criativas que favoreçam discussões em grupo e

análise sobre o papel de cada um, professor e aluno, na realização das atividades.

Pretendemos compreender se existem ou não influências dos procedimentos de

ensino e modelos de aula de matemática usados por nós, professores de

20

matemática, sobre as concepções dos alunos em relação à matemática quando

buscamos desenvolver atividades em sala de aula que utilizem outros

procedimentos e modelos de aula. Queremos também entender se os alunos

conseguirão utilizar seus conhecimentos matemáticos quando estiverem trabalhando

com atividades abertas. Ponte, Oliveira, Cunha e Segurado (1998) comentam que

propor atividades com certo grau de abertura e sem interrogações propriamente

ditas dentro da atividade investigativa é algo fundamental no trabalho dos alunos.

Segundo os autores, a ideia de que as situações a propor devem ser abertas, no

sentido de estimularem o aluno a colocar as suas próprias questões, é um dos

aspectos mais fortes das tarefas de natureza investigativa (p. 19). Acreditamos que,

se os alunos conseguirem usar seus conhecimentos matemáticos para propor

questionamentos próprios e para resolver essas atividades de natureza investigativa

de cunho aberto que poderão compreender melhor novos conceitos que surgirão

das observações da atividade e dos questionamentos que se colocarem para

resolver.

Quando modificamos o modelo de nossas aulas, os alunos percebem, fazem

comentários se gostaram ou não. É nesse momento que devemos promover

reflexões sobre o que realmente compreenderam da atividade, e podemos aprender

com essa mudança de prática e de atitude. Segundo Silva (2007, p. 15), quando

discuto com o aluno, algum problema, por exemplo, tudo fica mais lento, mais

“complicado”. É muito mais difícil trabalhar com o inesperado que surge de uma

discussão que toma rumos desconhecidos sem serem planejados.

Vislumbram-se algumas potencialidades da atividade investigativa que, segundo

Love (19883, citado por Ponte, 1998, et al., p. 15), é [uma] atividade em que o aluno

tem a oportunidade de identificar e iniciar seus próprios problemas, expressar suas

idéias, defender seus argumentos, testar suas hipóteses, receber críticas

ponderadas dos colegas. Essas atividades diferem das outras tarefas usuais como

exercícios e problemas rotineiros ou não, pelo fato de serem de cunho aberto, em

que o aluno não busca somente uma solução ou várias soluções para a tarefa, mas

que levará em consideração todo o processo de descoberta das regularidades. Ou

3 Love, E. Evaluating mathematical activity. In D. Pinn (ed.). Mathematics, teachers and children: A

reader, 1988, p. 249-262. London: Hodder & Stoughton.

21

seja, são tarefas que propiciam ao aluno a oportunidade de criar novas atividades a

partir de uma situação estabelecida por ele próprio, por um colega ou pelo professor.

Levando em consideração o próprio conceito de atividade investigativa, não

devemos utilizá-la apenas como forma para introduzir ou ensinar conteúdos de

matemática, mas também como um modo privilegiado para o aluno desenvolver

ações semelhantes às de um matemático. Desejamos que o aluno vá percebendo

que as ações de um matemático envolvem atividades de formular problemas,

levantar hipóteses ou conjecturas4 (FERREIRA, 1986, p. 454), observar padrões e

regularidades, procurar generalizar, estabelecer provas ou demonstrações e tirar

conclusões. Acreditamos que dessa forma podemos proporcionar aos alunos uma

aprendizagem com significados e, ao mesmo tempo, aquisição de conhecimento de

procedimentos matemáticos riquíssimos.

Sempre pensamos em como podemos incentivar nossos alunos e propiciar-lhes uma

matemática que possa ser interessante. Polya (1995/1945, p. 72) destaca que a

matemática é interessante na medida em que ocupa as nossas faculdades de

raciocínio e de invenção. Mas nada se aprenderá sobre raciocínio ou invenção se a

motivação e a finalidade de passo mais notável permanecer incompreensível.

Acreditamos que precisamos estimular e favorecer um ensino de matemática com

qualidade para o aluno, em que ele perceba a importância da matemática para

outras ciências e também para a interpretação que ele pode fazer do mundo. Dessa

forma acreditamos que o aluno terá suporte para intervir no meio em que vive.

1.2. A problemática e o problema

Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender; Não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino; Enquanto ensino continuo buscando, reprocurando; Ensino por que busco, porque indaguei, porque indago e me indago; Pesquiso para constatar, constatando, intervenho, intervindo educo e me educo; Pesquiso para conhecer o que ainda não conheço e comunicar ou anunciar a novidade (FREIRE, 2006/1996

5, p. 29).

4 Conjecturas. Significa juízo ou opinião sem fundamento preciso; suposição, hipótese.

5 A primeira edição foi publicada em 1996 pela editora Paz e Terra, com o título ―Pedagogia da

autonomia‖, usamos a 34ª edição de 2006.

22

Ao olharmos para o próprio trabalho durante nossas aulas de matemática,

percebemos que, utilizando uma didática tradicional, seguindo linearmente o livro e

procurando cumprir rigorosamente o programa da disciplina, sem abrir espaço para

discussões e indagações, parece que fica mais fácil para o professor (Silva, 2007, p.

16). Uma aula de investigação e de resolução de problemas, em que acontecem

debates, questionamentos e reflexões sobre algum argumento matemático utilizado

pelo aluno, pode trilhar caminhos não esperados e produzir debates que vão além

do programa proposto. Pensando nesses modos diferenciados de atuar em sala de

aula, percebemos que surgem questionamentos do tipo: O uso de uma abordagem

exploratório-investigativa no ensino da matemática, diversificando nosso modelo de

aula, contribui para melhorar ou atrapalhar o processo de ensino-aprendizagem? O

que podemos identificar que melhora e o que podemos identificar que atrapalha?

Quando utilizamos uma metodologia, com a qual estamos acostumados a trabalhar

de maneira sistemática, podemos transmitir mais confiança para o aluno ou não? E

quando alteramos nossa metodologia de trabalho, o que transmitimos aos alunos?

Aprender a rever nossos atos e refletir sobre nossas ações dentro do contexto

escolar é importante para alunos e professores. Quando simplesmente ―damos aula‖

e não nos preocupamos com as dúvidas de nossos alunos, com os caminhos que

eles percorreram para tentar resolver uma situação problema, com seus erros e

acertos, não estamos refletindo sobre nossa prática. Segundo Santos (1994), é

importante que os indivíduos construam com significado real seu conhecimento

matemático. Para que isso ocorra, é importante que os alunos sintam o desejo de

aprender matemática e sejam responsáveis ativos por esse processo de construção

de conhecimento matemático. É importante considerar que este processo de

construção ocorre num contexto de interações sociais entre professor-aluno e aluno-

aluno, sendo mediado o tempo todo pela compreensão real da linguagem

matemática empregada na situação didática.

Para Ponte (2002), o ensino é mais do que uma atividade rotineira onde se aplicam

simplesmente metodologias pré-determinadas. Trata-se, simultaneamente, de

atividade intelectual, de política e de gestão de pessoas e recursos. Torna-se

necessária a exploração constante da prática e a sua permanente avaliação e

reformulação. Diversificar e reformular nossas aulas, procurar adaptar as atividades

23

à realidade do aluno, apresentar-lhes problemas que geram discussões sobre

conceitos matemáticos, pode ser um caminho para motivá-los na compreensão dos

conteúdos matemáticos. Reconhecemos, porém, que isso não é tarefa fácil e que

não existem receitas mágicas a serem seguidas.

Faz-se necessário problematizar tanto para o professor quanto para o aluno por que

a matemática escolar é importante. Ela não pode ser considerada como um conjunto

de regras e símbolos que precisam ser memorizados, como se fosse um ritual. É

preciso considerar que durante a aprendizagem de matemática, outras habilidades

podem ser e são adquiridas pelo aluno. Por exemplo, habilidades tais como de

organização de pensamentos, de formulação de conjecturas e de generalização,

permitindo ao aluno interpretar fenômenos e informações. Com isso, possibilitando

ao educando que aprenda, além da descrição da realidade, também a interpretação

e elaboração de modelos matemáticos. Busca-se, dessa maneira, verificar como o

conhecimento assim construído por ele pode ser efetivado, a partir de uma

demonstração de sua autonomia de pensamento, julgamento e atitudes diante de

situações-problema que podem se aproximar bastante das condições reais.

Quando os alunos não percebem outros significados para a matemática, podem

memorizar os procedimentos e cálculos para conseguir uma nota satisfatória em

uma tarefa ou avaliação. Por outro lado, se a matemática escolar for compreendida,

argumentada, discutida de maneira que leve os alunos a refletirem sobre suas

afirmações e conclusões, as habilidades pessoais poderão ser construídas nas

interações aluno-aluno e aluno-professor e poderão ser internalizadas pelo

indivíduo.

A partir da reflexão sobre nossa trajetória profissional de nossas indagações sobre

interesse e participação de alunos em aulas de matemática de ensino médio, de

nossos estudos e experiências em turmas de ensino médio ao longo do mestrado, e

de alguns dos autores com os quais dialogamos (BRASIL, 2002, 2002a; FREIRE,

2006/1996; POLYA, 1995/1945; PONTE, 1995, 1999, 2002; PONTE; OLIVEIRA;

CUNHA; SEGURADO, 1998, SANTOS, 1994, 1995, 1997; SILVA, 2007),

acreditamos que podemos contribuir com a área de educação matemática ao

investigarmos sistematicamente o que ocorre em uma turma de 1º ano de ensino

médio ao usarmos atividades de natureza investigativa. Podemos dizer também que

24

estamos buscando estudar e compreender o que acontece em sala de aula de

ensino médio, quando professor e alunos trabalham de forma diferenciada, em que

professor e alunos procuram explorar a matemática por meio de atividades de

natureza investigativa e procuram interagir na aula com modelos que se aproximem

de uma aula inovadora (SANTOS; 1997). Porque, ao buscarmos em 2007 em um

estudo exploratório atuar com uma postura diferenciada em relação aos alunos e ao

processo de ensino-aprendizagem em alguns momentos em turmas de ensino

médio, percebemos como poderíamos influenciar e sermos influenciados

significativamente por estas novas formas de agir e interagir em aulas de

matemática. Assim, desenvolvendo ações que levem os alunos a refletirem sobre

sua aprendizagem, seus argumentos, e que os levem a aprender a compartilhar os

conhecimentos com o grupo. Sendo assim procuramos responder neste estudo de

mestrado à seguinte questão central:

Em que aspectos o trabalho com atividades de natureza investigativa pode

contribuir para a aprendizagem de matemática no 1º ano de ensino médio?

Ao procurarmos responder a essa questão norteadora do estudo, percebemos que

precisávamos esclarecer também os seguintes questionamentos:

1) Que crenças, concepções e atitudes os alunos apresentam em relação à

matemática, ao seu ensino e a seus professores de matemática dos anos anteriores

ao início deste estudo? Como eles se perceberam ao final da pesquisa de campo?

2) O que podemos aprender em relação ao processo de ensino-aprendizagem de

matemática no 1º ano de ensino médio, quando propomos um trabalho diferenciado

do modelo tradicional utilizando atividades de natureza investigativa e de resolução

de problemas?

3) Que conceitos matemáticos os alunos conseguem identificar, relacionar e utilizar?

O que revelam as atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas

acerca dos conhecimentos e capacidades dos alunos?

Em decorrência de nossas questões de pesquisa, nosso objetivo geral consiste em:

25

Estudar se as atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas

possibilitam que os alunos relacionem conceitos matemáticos já estudados e iniciem

a construção de outros conceitos matemáticos. Estudar também se essas atividades

possibilitam que os alunos expressem suas próprias idéias e hipóteses, e as

defendam com argumentos lógicos e racionais em suas conclusões. Ou seja,

investigar, analisar e examinar o potencial das atividades de natureza investigativa e

de resolução de problemas.

Para a consecução do objetivo geral, pretendemos alcançar os seguintes objetivos

específicos:

A) Conhecer, investigar e examinar que crenças, concepções e atitudes os alunos

possuem frente à matemática;

B) Estimular a interação dos alunos a partir de atividades investigativas e de

situações-problema em grupo, que permitam aos alunos a troca de experiências e

de conceitos matemáticos;

C) Apresentar atividades e situações-problema que desafiem e estimulem os alunos

a defenderem suas idéias e conclusões, promovendo uma atitude crítica sobre suas

idéias e as de seus colegas.

Para melhor compreender as relações que existem entre os objetivos e os nossos

questionamentos podemos relacioná-los da seguinte forma: O objetivo A tem uma

relação direta com nossos questionamentos colocados na pergunta 1 sobre as

crenças, concepções e atitudes dos alunos frente à matemática e de seus

professores de matemática das séries anteriores e posterior ao estudo. Os objetivos

B e C relacionam-se com as perguntas dois e três, porque envolvem o trabalho

direto de aplicação e execução das atividades de natureza investigativa e de

resolução de problemas em ambiente escolar de trabalhos em grupos, porque esse

é o momento em que os alunos trocam experiências e apresentam suas idéias e

observações matemáticas.

Um professor investigador de sua própria prática e do que ocorre em sua sala de

aula se propõe a compreender uma situação ou um questionamento referente à sua

prática, e busca possíveis caminhos ou soluções que possam responder ao mesmo.

26

É necessário acreditar que, mesmo não sendo possível resolver a situação por

completo ou encontrar as respostas desejadas, será indispensável que o professor

concentre seus esforços em procurar responder e compreender a situação da

prática que provocou este desejo de investigar o seu próprio trabalho.

Precisamos entender que talvez não consigamos solução para todos os problemas

que propusermos, mas devemos acreditar que na busca por soluções aprendemos a

compreender melhor nosso aluno e a forma como trabalhamos. E é acreditando

nessas possibilidades que escrevemos esse trabalho. Fiorentini e Lorenzato (2006)

postulam que:

Para a pesquisa educacional não é suficiente descrever e descobrir fatos. Precisamos buscar as explicações que permitam compreendê-los e elucidá-los. Isso requer uma interação dialética entre o pesquisador e a realidade física e social, de modo que o primeiro explique a segunda, pois pesquisar não significa reproduzir a realidade, mas sim reconstruí-la baseada no conhecimento e significado do pesquisador (p. 33).

Tentamos evidenciar esse nosso desejo ao escrevermos essa introdução,

demonstrando que todo o interesse pela pesquisa surgiu das observações vindas do

cotidiano da sala de aula do pesquisador e das inquietações em relação ao modelo

de aula que o mesmo idealizava. Com o intuito de apresentar aportes teóricos,

buscamos dissertações e autores que esclarecessem os conceitos e argumentos

aqui utilizados. No capítulo 2, construímos um enquadramento teórico a partir de

uma revisão da literatura, na qual são abordados alguns estudos mais recentes e

relevantes sobre os termos centrais que versam nesta pesquisa. No capítulo 3,

apresentamos a metodologia utilizada neste estudo, o perfil dos participantes, a

escola, os instrumentos utilizados na coleta e análise de dados e um resumo sobre

as aulas observadas e analisadas. Apresentamos, no capítulo 4, os resultados e a

análise dos dados, a partir de informações coletadas com os participantes e de uma

descrição com detalhes sobre as aulas em que utilizamos os instrumentos de coleta

de dados. No capítulo 5, trazemos nossas considerações finais, as limitações e

dificuldades encontradas durante o processo de investigação, os principais

resultados obtidos, e alguns esclarecimentos sobre as indagações iniciais e

objetivos propostos na pesquisa.

27

2. ENQUADRAMENTO TEÓRICO E REVISÃO DA PRODUÇÃO

ACADÊMICA

Para buscar um enquadramento teórico para este estudo, procuramos tanto na

literatura de educação, quanto da área de educação matemática alguns trabalhos

que apresentassem interfaces com a temática dessa investigação. Analisamos

artigos em periódicos científicos, em sites da internet, dissertações e livros sobre os

temas de reflexão do professor, crenças, atitudes e concepções sobre a matemática,

a teoria de Vygotsky e o estudo de atividades de natureza investigativa e resolução

de problemas. A leitura, estudo e compreensão desses trabalhos tornaram possível

o diálogo com alguns autores para contextualizar e desenvolver essa pesquisa.

2.1. Reflexão sobre a prática do professor

Considerando as transformações aceleradas que acontecem na escola sobre a

concepção de ensino e do papel do professor no processo de ensino-aprendizagem,

percebemos que hoje se exige da profissão docente, não apenas domínio dos

conteúdos específicos das disciplinas e conhecimentos de natureza didática, mas

principalmente, investimentos na sua formação profissional e pessoal. São através

de aprendizagens e de atitudes profissionais como participação em formações

continuadas e discussões em grupos de estudo com outros professores, que

podemos aprender como nossa reflexão sobre a prática e a partir dela podem

influenciar em nosso trabalho. Esses fatores têm influenciado os educadores a

reverem suas práticas. Para Oliveira e Serrazina (2002)

A ideia de reflexão surge associada ao modo como se lida com problemas da prática profissional, à possibilidade da pessoa aceitar um estado de

28

incerteza e estar aberta a novas hipóteses dando, assim, forma a esses problemas, descobrindo novos caminhos, construindo e concretizando soluções (p. 32).

Diante dessa necessidade de conscientização, é de grande importância considerar a

reflexão do professor sobre sua prática e seu desenvolvimento profissional como um

dos caminhos para se construir e concretizar soluções para os desafios que enfrenta

durante sua prática docente. A partir das leituras, conseguimos conceber reflexão

como sendo um olhar sobre si mesmo, vaivém permanente, analisando e avaliando

as ações e pensamentos, tentando compreender os significados das experiências

vividas (PEREZ, 2004; SANTOS, 1994, 1997; SILVA, 2007). Para Perez (2004, p.

252), a reflexão é vista como um processo em que o professor analisa sua prática,

compila dados, descreve situações, elabora teorias, implementa e avalia projetos e

partilha suas ideias com colegas e alunos, estimulando discussão em grupo.

Um grande número de professores, diante da correria do dia-a-dia, e da carga

excessiva de aulas semanais que ministra, trabalhando com diversas turmas com

aspectos bem diferentes, pelos mais variados motivos, não consegue tempo para

avaliar suas ações, compartilhar e discutir com outros colegas as experiências

vividas. Devemos ter consciência de que é preciso parar por um momento, refletir,

discutir com os envolvidos no processo de aprendizagem sobre o que foi realizado.

Perez (2004) vê esse problema da seguinte maneira:

Os professores lidam diariamente com situações complexas e considerando o ritmo acelerado das atividades e as múltiplas variáveis em interação, há pouca oportunidade para que eles possam refletir sobre os problemas e trazer seus conhecimentos à tona para analisá-los e interpretá-los (p. 260).

Devemos compreender que os possíveis benefícios para nosso conhecimento

profissional como professor e para os alunos em sua aprendizagem são fatores que

devemos considerar como motivadores para o ato de refletir. Gomes (2005, p. 30)

lembra que um professor reflexivo deve encorajar, reconhecer e dar valor à dúvida

não só dos alunos, mas à própria dúvida no processo de ensinar.

A partir de uma prática reflexiva, o professor pode ser provocado a abrir novas

possibilidades para suas ações e quem sabe conduzir com mais qualidade o que

precisa fazer. Defendemos as mesmas ideias de Oliveira e Serrazina (2002), pois

acreditam que:

29

Na verdade, a reflexão pode ter como principal objetivo fornecer ao professor informação correta e autêntica sobre a sua ação, as razões para a sua ação e as consequências dessa ação; mas essa reflexão também pode apenas servir para justificar a ação, procurando defender-se das críticas e justificar-se. Assim, a qualidade e a natureza da reflexão são mais importantes do que a sua simples ocorrência (p. 34).

Precisamos ter consciência de que a partir da reflexão conseguiremos compreender

melhor algumas de nossas ações, sejam elas boas para aprendizagem dos alunos

ou não, devemos estar abertos a críticas e sugestões. Em relação ao processo de

reflexão sobre a prática, Perez (2004) usa Schön (2000)6 comentando que a

reflexão-na-ação do professor, que ocorre simultaneamente na prática, deve ser

sustentada por diálogo, anotações e na interação com as experiências, em que será

necessário elaborar um diagnóstico rápido, improvisar e tomar decisões diante da

ambiguidade. Esses registros servem para que após a ação seja possível fazer uma

reflexão-sobre-a-ação, o que, segundo esse mesmo autor, se refere ao pensamento

deliberado e sistemático, que ocorre após a ação, quando o professor faz uma

pausa para refletir sobre a experiência vivida em sua prática. Pensamos que

qualquer tipo de reflexão, seja durante ou após a realização de uma aula, só terá

sentido, se fizer parte do cotidiano do professor. Ele deve acreditar nas

potencialidades dessa reflexão para as mudanças de sua prática. Para Silva (2007,

p. 23) o professor que reflete sobre sua prática e percebe as fragilidades de seus

conhecimentos teóricos e didáticos tem a oportunidade de modificá-la.

2.2. A matemática e as emoções: atitudes, crenças e concepções

A matemática tem sido vista cada vez menos como um sistema estático, pronto e

acabado. Pois tanto a matemática como seu ensino vêm sofrendo alterações ao

longo dos tempos e sendo interpretados e medidos por diversos fatores. Por

exemplo, fatores históricos, sociais, culturais, étnicos e outros são levados em conta

6 SCHÖN, D. A. Educando o profissional reflexivo: um novo design para o ensino e a

aprendizagem. Tradução de Roberto Cataldo Costa de Educating the reflectice practitioner. New York: Jossey-Bass, 1998. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.

30

quando pensamos em matemática e seu ensino. Além disso, os resultados

acadêmicos de alunos e professores em testes de larga escala, como as provas do

SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica), concursos para professores e

exames de vestibulares, seguem medindo aspectos cognitivos. Alguns professores,

educadores e pesquisadores já percebem e concebem matemática e os processos

de ensino, aprendizagem e avaliação de matemática como sendo sistemas

dinâmicos em que fatores cognitivos, sociais, culturais, históricos e emocionais

interferem o tempo todo (ERNEST, 1989; GÓMEZ CHACÓN, 2003; SANTOS, 1994,

1995, 1997). Ernest (1989), em artigo intitulado The impact of beliefs on the teaching

of mathematics (O impacto de crenças e concepções no ensino de matemática),

enfatiza que crenças e concepções são fatores determinantes da prática do

professor. A prática de ensino de matemática depende de diferentes fatores, Ernest

(1989) enfatiza notavelmente:

Os conteúdos ou esquemas mentais do professor, particularmente o sistema de crenças e concepções relativas à matemática, seu ensino e aprendizagem; o contexto social da situação de ensino, particularmente os obstáculos e oportunidades que fornece; e o nível de processos de pensamento e reflexão do professor (p. 249).

O conhecimento de matemática e o sistema de crenças e concepções sobre a

matemática e os processos de ensino, aprendizagem e avaliação destacam-se entre

vários fatores que influenciam e determinam como cada professor vai trabalhar em

sala de aula. Segundo Santos (1994) podemos definir metacognição como sendo

pensar sobre seus pensamentos, gerenciar e controlar seus pensamentos,

identificando tanto o que sabe como o que não sabe. Um professor que procure

pensar e refletir em nível consciente sobre como ele aprendeu matemática, os

conceitos matemáticos que domina e aqueles que ele tem dificuldades, assim como

se recordar onde sentiu dificuldades de aprendizagem, e que procure pensar em

como seus alunos aprendem e ultrapassam dificuldades que surjam em aulas de

matemática, está procurando desenvolver a sua metacognição. Além disso, Gómez

Chacón (2003) enfatiza que os resultados afetivos, procedentes da metacognição e

da dimensão afetiva do indivíduo, são fatores que determinam a qualidade de ensino

e de aprendizagem. Ela ressalta que em certos momentos esses fatores são

desconsiderados e professor e alunos perdem oportunidades de conhecimentos

matemáticos fossem compartilhados de modo significativo. Esse novo olhar de

alguns autores sobre os aspectos afetivos e outros começaram a ter destaque por

31

causa da relevância dos mesmos e de sua influência nos sujeitos (professor/aluno)

do processo de ensino e aprendizagem.

A partir de alguns estudos desenvolvidos por pesquisadores como Ernest (1989),

Santos (1994, 1995, 1997), Ponte (1999), Gómez Chacón (2003) e outros que

consideram os fatores emocionais no ensino e na aprendizagem, percebe-se na

escola pouca importância é dada aos aspectos afetivos. O que temos vivenciado

durante nossa prática de sala de aula é que as emoções, atitudes, crenças e

concepções que alunos e professores trazem do ensino e, especialmente do ensino

da matemática, estão enraizadas nesses sujeitos e podem influenciar no processo

de ensino-aprendizagem. Portanto, não é possível deixar questões referentes ao

emocional fora de nossas aulas e reflexões. Tais aspectos não poderão facilmente

ser modificados apenas pela imposição de um conteúdo ou disciplina. Então,

quando pensamos nessas relações deveríamos nos perguntar se seria possível

relacionar e aprender com esta questão afetiva em nossas práticas em sala de aula.

E se conseguiríamos estabelecer significados para estes afetos nas atividades

matemáticas.

2.2.1. Fatores afetivos e emocionais

Estamos concebendo como fatores afetivos e emocionais na aprendizagem, e de

maneira especial na aprendizagem matemática, todos aqueles que, interligados,

podem estruturar ou causar desequilíbrio na aprendizagem, pois não são estáticos e

que os resultados tendem a ser compreendidos sob uma nova perspectiva do fazer

matemático. Menduni (2003, p. 60), em seu trabalho sobre emoções que emergem

da prática avaliativa em matemática, afirmou que os componentes do domínio

afetivo não se desenvolvem de maneira isolada e sim apresentando uma interseção

entre eles. Estaremos considerando, como domínio afetivo em nosso estudo,

conjunto de fenômenos que se traduzem nas relações entre professores/alunos e a

32

disciplina de matemática, que se manifestam em forma de sentimentos, de

satisfação ou insatisfação, de alegria ou tristeza, de afeição ou não.

Procurando compreender o que seriam atitudes em relação à matemática, devemos

inicialmente entender que atitude segundo Gómez Chacón (2003) seria:

... uma predisposição avaliativa (isto é, positiva ou negativa) que determina as intenções pessoais e influi no comportamento. Consta, portanto, de três componentes: um cognitivo, que se manifesta nas crenças implícitas em tal atitude; um componente afetivo, que se manifesta nos sentimentos de aceitação ou de repúdio da tarefa ou da matéria; e um componente intencional ou de tendência a um certo tipo de comportamento (p. 21).

Essa definição de atitude é do tipo geral e serve para qualquer atividade que nosso

aluno possa submeter-se independentemente de qual for seu objeto ou tarefa. Se

estivermos considerando como objeto a matemática e seu ensino, duas categorias

devem ser diferenciadas: suas atitudes em relação à matemática e suas atitudes

matemáticas. Considerando essas duas possibilidades Gómez Chacón (2003)

esclarece que:

As atitudes em relação à matemática referem-se à valorização e ao apreço desta disciplina, bem como ao interesse por essa matéria e por sua aprendizagem, sobressaindo mais o componente afetivo do que o cognitivo; o componente afetivo manifesta-se em termos de interesse, satisfação, curiosidade, valorização, etc (p. 21).

Para Silva (2007, p. 29) o conceito de atitudes ficará sempre ligado a uma emoção

moderada que permite o surgimento de opiniões favoráveis ou desfavoráveis sobre

determinado objeto de estudo em sala de aula. Segundo Brito (1998, p. 112) atitude

é uma disposição pessoal, idiossincrática, presente em todos os indivíduos, dirigida

a objetos, eventos ou pessoas que assume diferente direção e intensidade de

acordo com as experiências do indivíduo. Ela julga que os principais atributos de

uma atitude em relação à matemática são a sua direção, podendo ser positiva ou

negativa, e sua intensidade de gostar ou não desta disciplina. Acreditamos que uma

atitude negativa poderá ser demonstrada por um aluno com uma apatia para

aprendê-la, a partir do momento que esse não compreende como aplicá-la e não

percebe os benefícios que essa disciplina pode trazer para seu cotidiano. No

entanto, cabe ao professor oferecer condições de diálogo e reflexão para que o

aluno tenha chance de evidenciar novas experiências e evitar a concretização desse

tipo de atitude. É importante compreender que nossas atitudes enquanto

33

educadores e a maneira como direcionamos a aula proporcionarão aos alunos uma

pré-avaliação em relação a estarmos preparados emocionalmente para o que nos

propomos a fazer. Precisamos compreender que nossas atitudes podem influenciar

no ensino, na aprendizagem e na própria atitude desses alunos frente à matemática.

2.2.2. Crenças

Segundo o dicionário Aurélio, o vocábulo crença7, tem uma conotação baseada

numa convicção íntima em que os sentimentos de cada indivíduo são construídos a

partir do que crê. No entanto, para entendermos o que as crenças representariam

para Educação Matemática buscamos alguns autores. Para Gómez Chacón (2003,

p. 20) as crenças matemáticas são um dos componentes do conhecimento subjetivo

e implícito do indivíduo sobre a matemática, seu ensino e sua aprendizagem. Tal

conhecimento está baseado na experiência. Seria o conceito que cada indivíduo

possui da matemática e de seu ensino, a partir de sua experiência de vida, que

muitas vezes, de forma inconsciente, está diretamente ligada a componentes

afetivos.

Segundo Garofalo e Lester (19858 apud GÓMEZ CHACÓN, 2003, p. 61) as crenças

e as intuições constituem o ponto de vista matemático sobre si mesmo, sobre o

contexto, sobre o tema e sobre a matemática que determina a conduta de um

indivíduo. Diversos estudos consideram o termo crença como um dos descritores do

domínio afetivo. Alba G. Thompson9 (1992, apud por Gómez Chacón, 2003, p. 61)

define as concepções como uma estrutura mental geral, que abrange crenças,

significados, conceitos, proposições, regras, imagens mentais, preferências e

7 Crença: 1. Ato ou efeito de crer. 2.Fé religiosa. 3.Convicção íntima. 4. Opinião adotada com fé e

convicção (FERREIRA, 2005, p. 275). 8 GAROFALO, J; LESTER, F. Metacognition cognitive monitoring, and mathematical performace.

Journal for research in Mathematics Education, 16, 1985, p. 163-176. 9 THOMPSON, A. G. Teachers‘ Beliefs and conceptions: a synthesis of research. In: GROWS,

Douglas A. (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan, NCTM, 1992, p. 127-146.

34

semelhanças. Há autores que abordam crenças e concepções como sendo

similares. Para Ponte (1999, p. 3), a distinção entre crenças e concepções não é

importante em si mesma, mas sim com relação a outras estruturas como atitudes,

conhecimento e prática. Ainda nesse mesmo pensamento Ponte (1992) distinguiu

crenças (domínio metacognitivo) de concepções (domínio cognitivo), onde as

concepções seriam construções cognitivas que podem ser vistas como organizador

de conceitos. Destaca também que a crença desempenha um papel importante

quando é impossível a verificação do conhecimento; ou seja, quando não

conseguimos formular raciocínios lógicos, definir conceitos com precisão e organizar

de maneira coerente os dados da experiência. Que embora a crença seja importante

e fundamental para um indivíduo, pois sem ela o mesmo não poderia agir, o objetivo

do ensino estaria em nos distanciar cada vez mais das crenças para irmos à busca

do conhecimento.

Cañon (199510 apud Gómez Chacón, 2003, p. 63) define que a crença é a certeza

de que nos encontramos, sem saber como, nem por onde entramos nela... Não

chegamos a ela após um trabalho de entendimento, mas já atuam fundo em nós

quando nos propomos a pensar em algo.

Em suma as crenças seriam as verdades pessoais que surgem das experiências ou

fantasias do indivíduo, são conhecimentos subjetivos não fundamentados

racionalmente, que seriam utilizados para explicar ou justificar situações do cotidiano

do indivíduo. Para o ensino da matemática devemos considerar as crenças dentro

da ótica do aluno e do professor como fatores que influenciam na aprendizagem,

uma vez que são fatores afetivos baseados na experiência de cada um. Segundo

Gómez Chacón (2003), as crenças do estudante devem ser consideradas a partir

das crenças sobre matemática (o objeto), sobre si mesmo; sobre o ensino da

matemática e sobre o contexto em que essa matemática acontece. Essa mesma

autora concebe que as concepções ou sistema de crenças do professor sobre a

natureza da matemática estão arraigados nas diferentes visões de filosofia da

matemática. Acredita que auxiliar o professor a confrontar-se com as próprias

10

CAÑON, C. Modas e creencias en epistemología matemática. Sua relevancia para la didáctica. Em Actas de las VII JAEN, Jornada para el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas Emma Castelnueovo. Madri, 1995, p. 27-31.

35

concepções epistemológicas da matemática, que influenciam na sua prática de

ensino, é um dos desafios atuais para educação matemática.

Ernest (1989) assinala três tipos de visão sobre a matemática:

Primeiro, existe uma visão instrumentalista da matemática como sendo um acúmulo de fatos, regras e habilidades a serem usadas para atingir a uma finalidade externa. Logo, para essas pessoas, matemática é um conjunto de regras e fatos desconectados, não relacionados.

Segundo, existe a visão platônica como um corpo estático e unificado de conhecimentos. Matemática é descoberta e não criação. Há uma terceira visão da matemática como resolução de problemas, sendo algo dinâmico, um campo continuamente em expansão, produto da criação e invenção humanas, ou seja, um produto cultural. Matemática é um processo de investigação ou questionamentos, algum conhecimento a ser desvelado, ser construído, não um produto acabado, por isso seus resultados permanecem abertos para revisão (p. 100).

Acreditamos que as crenças do professor em relação à matemática de certa forma

podem influenciar em sua prática de ensino. Para Thompson (1997/1984)11 que

estudou a influência das crenças e concepções mantidas pelo professor em seu

modo de ensinar, o papel que o professor assume em sala de aula poderá ser

explicado a partir da visão predominante em relação à matemática. Assim, ela

considera que: a) um instrumentalista ensina de maneira prescritiva, enfatizando

regras e procedimentos; b) um platônico ensina enfatizando o significado

matemático dos conceitos e da lógica dos procedimentos matemáticos; c) um

matemático que estiver na linha de resolução de problemas enfatizará atividades

que levem o estudante a interessar-se por processos gerativos da matemática.

Acreditamos que o papel do professor é permeado por cada um deles, nos diversos

momentos de prática, e que poderá ter influência a partir da experiência vivida por

ele, como aluno anterior à formação inicial e continuada. Para Gómez Chacón

(2003, p. 65) há dois aspectos a serem levados em consideração nas relações entre

crenças do professor e o impacto dessas crenças nas práticas de ensino: a) A

grande influência do contexto social; b) O nível de consciência das próprias crenças.

Considerando as crenças dos alunos sobre os professores para Gómez Chacón

(2003, p. 71) as mais destacadas são: o professor como transmissor de

conhecimentos e o professor como fonte de respostas. Para essa mesma autora, o

11

Em 1984 este artigo foi publicado em inglês com o título ‗The relationship of teachers – Conceptions

of mathematics and mathematics teaching to instructional practice‘ na revista Educational Studies in Mathematics 15, (1984), p. 105-127. A publicação deste texto em português aconteceu em 1997.

36

professor que assume o papel de um simples transmissor de conhecimento

matemático, é aquele que se preocupa exclusivamente em passar conteúdos e em

seguida fornece as respostas dos problemas propostos. Nessa visão o aluno

esforça-se para entender tudo aquilo que o professor é capaz de transmitir-lhe,

ficando limitado no conhecimento exclusivamente do professor e deixa de considerar

a relação de aprendizagem entre aluno/aluno. A disciplina está formalizada

basicamente na aquisição de conceitos, dando-lhes uma finalidade somente

informativa. Entendemos que não há entre os envolvidos no processo de ensino-

aprendizagem um espaço para discussão, reflexão e avaliação do trabalho

realizado. Segundo Santos (1997. p. 11) o aluno precisa ouvir o professor e os

outros alunos, pois a sala de aula de matemática é, e deve ser uma comunidade

matemática onde todos aprendem através do diálogo, do compartilhar

conhecimentos e dos argumentos bem justificados por conhecimento já adquiridos.

Para Gómez Chacón (2003) essa tendência a uma metodologia tradicional começou

a mudar com a incorporação da perspectiva construtivista da aprendizagem, na qual

o processo assume o papel de incentivador da aprendizagem. Para que essa

mudança ocorra é necessário que o aluno dê um significado ao que aprende, sendo

consciente de sua participação no processo de aprendizagem. Isso só poderá

ocorrer se a atividade proposta for organizada no sentido de buscar respostas para

determinadas questões. Devemos ter consciência que mudanças nas tendências

didáticas causarão um impacto na sala de aula e nas expectativas dos alunos, cuja

crença é de que o professor é o único transmissor e responsável pelo conhecimento.

2.2.3. Concepções

Na busca de compreender que concepções os sujeitos da pesquisa trazem sobre a

matemática e seu ensino e de acordo com algumas leituras sobre o tema,

constatamos que professores e alunos já trazem, inconscientemente, alguns

conceitos abstratos sobre esses pontos. De alguma maneira essas concepções

podem influenciar diretamente no processo de ensino-aprendizagem dessa

37

disciplina. Verificamos que a partir de algumas de nossas atitudes essas

concepções acontecem de maneira automática em nível inconsciente.

Para Ponte (1992),

As concepções baseiam-se no pressuposto de que existe um substrato conceitual que joga um papel determinante no pensamento e na ação. Este substrato é de uma natureza diferente dos conceitos específicos — não diz respeito a objetos ou ações bem determinadas, mas antes constitui uma forma de os organizar, de ver o mundo, de pensar (p. 185).

Esse pressuposto afirma que certos conceitos poderão funcionar como uma forma

de separar algo que não achamos conveniente e interessante, pois organizam em

nossos pensamentos os sentidos que damos para as coisas. Em contrapartida,

poderá atuar como um elemento que bloqueia nossas relações com coisas novas,

limitando, assim, nosso universo de possibilidades de entendimento. Para Silva

(2007, p. 25) a concepção que o professor possui sobre a aprendizagem matemática

poderá ser transmitida para seus alunos inconscientemente. Por isso, precisamos

estar cientes e conscientes de nossas concepções sobre a matemática e seu ensino

e compreender aquelas que os alunos têm sobre a matemática. O professor deve

ter consciência de que a partir de suas concepções sobre o ensino de matemática

poderá condicionar novas atitudes, positivas ou negativas, para aprendizagem do

aluno, precisamos compreender que todo processo de reconhecimento e de

mudança de concepções pode ser demorado e complexo. Nessa perspectiva, Ponte

(1992) afirmou que os professores são os responsáveis pela elaboração e execução

de experiências de aprendizagem dos alunos e que podem influenciar as crenças e

concepções dos mesmos.

Nesse mesmo sentido, Thompson (1997/1984) também afirma que,

... se os padrões de comportamento dos professores são em função de seus pontos de vista, crenças e preferências sobre o conteúdo e seu ensino, então qualquer esforço para melhorar a qualidade do ensino de matemática deve começar por compreender as concepções sustentadas pelos professores e pelo modo como estas estão relacionadas com sua prática pedagógica (p. 14).

Assim, dentre os vários fatores que interagem entre si e influenciam o

comportamento dos professores podemos destacar suas concepções, crenças e

38

preferências. Um professor que tem a concepção de que a matemática já está

pronta e acabada, dificilmente será capaz de arriscar a desenvolver uma didática

diferenciada, por não acreditar em suas potencialidades. Mas Silva (2007) reforça

em sua pesquisa que se o professor tiver uma consciência de sua concepção,

poderia assumi-la diante de seus alunos e declarar a existência de outras formas de

―ver‖ a matemática. Devemos ter consciência de que estamos em uma posição

privilegiada, pois podemos ter a possibilidade de influenciar as concepções de

nossos alunos se organizarmos conscientemente as nossas. E com isso, poderemos

transmitir a eles novas formas de ver e tentar aprender matemática.

2.3. Vygotsky e a aprendizagem

Segundo Vygotsky (1984, p. 101) a aprendizagem está relacionada ao

desenvolvimento desde o início da vida humana, como sendo um aspecto

necessário e universal do processo de desenvolvimento das funções psicológicas

culturalmente organizadas e especificamente humanas.

No desenvolvimento da aprendizagem percebemos que diversas relações podem

ocorrer entre os sujeitos (professor/aluno e aluno/aluno) e tudo isso acontece dentro

de um ambiente escolar socialmente constituído. Nesse contexto o aluno tem a

possibilidade de desenvolver sua capacidade de abstração, deduzir, planejar

estratégias para resolução de problemas futuros, defender suas ideias e aprender a

controlar seu comportamento. Por isso, acreditamos que o professor tem a

oportunidade de assumir a tarefa de intermediar as relações, incentivar os alunos

em suas tarefas, trabalhar como facilitador de aprendizagem e gerenciar trabalhos

em grupo. Na tentativa de compreender como ocorrem os processos de interação

entre alunos e entre professor/aluno e de como o professor atua como intermediador

de relações, incentivador, facilitador. Vamos considerar como principais constructos

da teoria de Vygotsky neste trabalho a mediação, o processo de internalização e a

zona de desenvolvimento proximal.

39

2.3.1. Mediação

Um conceito central para compreensão das concepções de Vygostky (1998/1978)12

sobre o funcionamento psicológico é o conceito de mediação. A partir de suas idéias

podemos conceber a mediação como um processo de intervenção de um elemento

intermediário numa relação, que deixa de ser direta e passa a ser mediada por esse

elemento. Durante boa parte do desenvolvimento mental do indivíduo as relações

mediadas passam a predominar sobre as relações diretas. Segundo Oliveira (1993,

p. 27), Vygotsky trabalha, então com a noção de que a relação do homem com o

mundo não é uma relação direta, mas, fundamentalmente, uma relação mediada.

Contudo a mediação caracteriza-se em compreender os mecanismos mentais mais

complexos, inerentes aos seres humanos e que envolvem o controle consciente do

comportamento, a ação intencional e a liberdade em relação às características do

momento e do espaço presente. Essa atividade mediadora acontece a todo o

momento no cotidiano da sala de aula, quer seja entre professor-aluno, aluno-aluno,

com materiais didáticos e outros instrumentos como as tecnologias. Assim, boa parte

dos diálogos em sala de aula entre professor e alunos, e entre alunos e boa parte

das atividades e materiais usados em sala de aula podem exercer uma função de

elemento mediador para aprendizagem do aluno.

Vygotsky procura distinguir dois tipos de elementos mediadores: os instrumentos e

os signos. Os instrumentos, ao utilizá-los, o homem estaria modificando a natureza,

e ao fazê-lo, acabaria por modificar a si mesmo. Para Oliveira (1993, p. 30) a

invenção e o uso de signos, como meios auxiliares para solucionar um dado

problema psicológico (lembrar, comparar coisas, relatar, escolher, etc.), é análoga à

invenção e uso de instrumentos, só que agora no campo psicológico. Seria então,

um instrumento psicológico por excelência, e ao utilizá-lo estaria mediatizando e

provocando mudanças nos objetos. Segundo Vygotsky (1991)13, apud MOYSÉS,

1997, p. 22) dentre os signos, estão incluídos a linguagem, os vários sistemas de

contagem, as técnicas mnemônicas, os sistemas simbólicos algébricos, os

12

A primeira edição dessa obra em português ocorreu em 1978. 13

VYGOTSKY, L. S. Psicologia e Pedagogia. Bases psicológicas da aprendizagem e do desenvolvimento. São

Paulo: Moraes, 1991, p. 137.

40

esquemas, diagramas, mapas, desenhos e todo tipo de signo convencional. Sua

ideia básica é a de que, ao usá-lo, o homem modifica as suas próprias funções

psíquicas superiores.

2.3.2. Processo de internalização

Segundo Oliveira (1993), quando o individuo aproveita objetos externos que atuam

como marca em seu pensamento, esses transformam-se aos poucos em processos

internos de mediação. A esse mecanismo Vygotsky chama de internalização.

Quando os alunos são incentivados a desenvolver uma determinada atividade no

quadro, ou explicar com detalhes os recursos e procedimentos que utilizaram na

resolução de uma situação problema, outros colegas passam a refletir e a imitar o

processo de resolução. Desta forma esses alunos procuram interagem na busca de

uma melhor compreensão do problema. No entanto, o que pode parecer uma

simples imitação, para Vygotsky representa a reconstrução interna pelo indivíduo do

que foi observado externamente. A partir de suas observações esse indivíduo inicia

um processo de interiorização fazendo uma análise mais detalhada das afirmações

que ele vivenciou e a partir daí para (MOYSÉS, 1997, p. 29) cada função psíquica

que vai sendo internalizada implica uma nova reestruturação mental. Segundo

Oliveira (1993, p. 35), ao longo desse processo de interiorização, o indivíduo deixa

de necessitar de marcas externas e passa a utilizar signos internos, ou seja,

representações mentais que substituem os objetos do mundo real.

Vygotsky (1991, apud MOYSÉS, 1997) formulou o que considerava a lei genética

geral do desenvolvimento cultural, ou seja,

Qualquer função presente no desenvolvimento cultural da criança aparece duas vezes, ou em dois planos distintos. Primeiro, aparece no plano social, e depois, então, no plano psicológico. Em princípio, aparece entre as pessoas e como uma categoria interpsicológica, para depois aparecer na criança, como uma categoria intrapsicológica. Isso é válido para atenção voluntária, a memória lógica, a formação de conceitos e o desenvolvimento da vontade. [...] a internalização transforma o próprio processo e muda a

41

estrutura e funções. As relações sociais ou relações entre as pessoas estão na origem de todas as funções psíquicas superiores (p. 28).

Esse mesmo autor procura deixar claro que toda função psicológica interna, que

seria algo própria da estrutura psíquica do sujeito, foi antes uma função social, que

surgiu a partir de um processo de interação do sujeito com o ambiente em que ele

vive. Explica, ainda, que a passagem do plano externo para o plano interno não se

dá a partir de uma simples cópia ou imitação, ao contrário, para (MOYSÉS, 1997, p.

29) ela transforma o próprio processo e muda sua estrutura e funções. Podemos

interpretar que cada função psíquica que vai sendo internalizada gera uma nova

reestruturação mental, implicando um psico-intelectual. Acreditamos que a imitação

seria uma forma que a criança tem de desempenhar ações que estariam além de

suas capacidades, o que contribuiria para o seu desenvolvimento intelectual.

2.3.3. Zona de Desenvolvimento Proximal

Uma das tarefas mais importantes na função do professor é saber auxiliar os seus

alunos. Necessitamos compreender o que eles são capazes de fazer sozinhos, o

que não é fácil. Uma tarefa que exige tempo e dedicação. Segundo educadores

como Polya (1995/1945, p. 12), o estudante deve adquirir tanta experiência pelo

trabalho independente quanto lhe for possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem

ajuda ou com auxílio insuficiente, é possível que não experimente qualquer

progresso. Para Vygotsky (1984), o que uma criança consegue fazer sem o auxílio

do outro, seria o que considera como sendo de nível de conhecimento real. Para ele

o nível real caracteriza o desenvolvimento de forma retrospectiva, ou seja, são as

etapas já alcançadas ou conquistadas pela criança. Não basta conhecer o nível de

conhecimento real do aluno, faz-se necessário compreender adequadamente o nível

de desenvolvimento potencial, ou seja, a capacidade de desempenhar tarefas com a

ajuda de adulto (professor) ou de outros companheiros mais capazes. A diferença

entre esse dois níveis de desenvolvimento é o que define como a zona de

desenvolvimento proximal. Pensamos, então, que a zona de desenvolvimento

42

proximal seria o caminho que o indivíduo precisa percorrer para desenvolver funções

psicológicas que estão em fase de amadurecimento. A partir do momento que o

professor consegue perceber ou detectar o nível de conhecimento real do aluno, tem

a oportunidade de criar situações e/ou condições que podem favoreçam uma

interação com outros indivíduos mais desenvolvidos, que poderão ajudar os colegas

ainda em desenvolvimento. Para Vygotsky (1984),

A zona de desenvolvimento proximal define aquelas funções que ainda não amadureceram, mas que estão em processo de maturação, funções que amadurecerão, mas que estão presentemente em estado embrionário. Essas funções poderiam ser chamadas de ―brotos‖ ou ―flores‖ do desenvolvimento, ao invés de frutos do desenvolvimento (p. 97).

Acreditamos que a partir do momento que o professor consegue compreender em

que nível o aluno encontra-se para a realização de uma tarefa com ou sem a ajuda

de outro colega, ou seja, detectando zonas de desenvolvimento proximal. Esse

professor tem a oportunidade de criar situações de relacionamentos entre esses

alunos que poderiam ajudar os mesmos em algumas funções psicológicas que ainda

não estariam completamente desenvolvidas. Para Oliveira (2007), a zona de

desenvolvimento proximal, em termos de atuação pedagógica, traz consigo a ideia

de que o papel explícito do professor é de provocar avanços que não ocorreriam

espontaneamente, causando uma interferência no desenvolvimento do aluno. A

escola, local em que ocorre o processo de interação professor/aluno e aluno/aluno,

deverá privilegiar o ensino voltado para a compreensão, sendo assim, o professor

precisa atuar sempre como um mediador, um facilitador de aquisição e construção

de conhecimento. Moysés (1997) interpretando Vygotsky esclarece sobre essa

relação na aprendizagem ao comentar que

... o professor, trabalhando com o aluno, explicou, deu informação, questionou, corrigiu o aluno e o fez explicar. Destacando uma a uma as expressões, entendemos: a) trabalhando com o aluno. A preposição com já revela uma atitude de interação. Trabalham professor e aluno. E o que é esse trabalho? O autor prossegue discriminando inicialmente o trabalho do professor; b) explicou e deu informação. Explicar é muito mais do que fazer uma mera exposição. É buscar na estrutura cognitiva dos alunos as ideias relevantes que servirão como ponto de partida para o que se quer ensinar. É caminhar com base nessas ideias, ampliando os esquemas mentais já existentes, modificando-os ou substituindo-os por outros mais sólidos e abrangentes. Nessa tarefa desempenham papel fundamental a exemplificação e o enriquecimento do que está sendo explicado com um número suficiente de informações; c) questionou e corrigiu o aluno, isto é, procurou verificar se sua fala havia sido compreendida e, diante de possíveis erros vai corrigindo-os (p. 37).

43

Pensando em termos cognitivos, os questionamentos e as correções, na ótica de

quem ensina, devem desempenhar um papel relevante na aprendizagem. A partir do

momento que o professor passa a reconhecer a zona de desenvolvimento proximal

do aluno, poderá fazer perguntas que podem provocar um desequilíbrio na sua

estrutura cognitiva, possibilitando que o aluno progredir em seu conhecimento.

2.4. Atividades investigativas em aula de matemática

Uma atividade matemática rica por parte dos alunos surge, em especial, quando o professor valoriza a realização, discussão e avaliação de atividades de investigação por parte dos alunos (Ponte, Oliveira, Cunha e Segurado, 1998, p. 9).

Nós professores temos a oportunidade de mudar uma prática tradicional,

respeitando as atitudes dos alunos, suas diferenças e valorizando o que eles

conseguem desenvolver dentro das suas potencialidades, provavelmente estamos

formando mais do que alunos repetidores de conceitos matemáticos. Estamos

construindo com esses alunos um conceito de escola, que valoriza suas

experiências e tornando os momentos da sala de aula como espaços privilegiados

para uma aprendizagem com mais significado. Durante a realização de uma aula

com atividades de investigação devemos trabalhar basicamente em três etapas: i)

inicia-se a atividade apresentando à turma oralmente e por escrito a tarefa; ii)

pedimos aos alunos que façam observações livres e as registrem individualmente ou

em pequenos grupos e iii) coordenamos uma discussão com a turma sobre os

resultados e conclusões obtidas. Os autores sinalizam que é preciso planejar essas

aulas para aconteceram em aulas de horário duplo, pois uma hora aula de 40 ou 50

minutos torna-se inapropriada para que as três etapas sejam trabalhadas. Caso o

professor tenha as suas aulas semanais sempre isoladas em aulas de apenas 40 ou

50 minutos, sugere-se que em uma aula trabalhe com seus alunos as duas primeiras

etapas e reserve outra aula para trabalhar a etapa de culminância onde a turma vai

apresentar e discutir as regularidades observadas, as hipóteses e conjecturas

registradas e levantadas, os conceitos matemáticos que perceberam.

44

Em aulas de investigação o papel do professor como mediador é fundamental, pois

segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2005):

Existe, por vezes, a ideia de que, para que o aluno possa, de fato, investigar, é necessário deixá-lo trabalhar de forma totalmente autônoma e, como tal, o professor deve ter somente um papel de regulador da atividade. No entanto, o professor continua a ser um elemento-chave mesmo nessas aulas, cabendo-lhe ajudar o aluno a compreender o que significa investigar e aprender a fazê-lo (p. 26).

Portanto devemos ressaltar a importância do papel do professor como mediador

nesses momentos iniciais principalmente quando a turma tem pouca ou nenhuma

experiência com essas atividades investigativas.

2.4.1. Atividade de natureza investigativa

Investigar é procurar conhecer o que não se sabe (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p. 13).

No livro Histórias de investigações matemáticas de João Pedro da Ponte, Hélia

Oliveira, Maria Helena Cunha e Maria Irene Segurado (1998) nós aprendemos sobre

o que são atividades de investigação, e o que essas têm em comum e de diferente

com outras atividades matemáticas e como propor investigações na aula de

matemática. Segundo esses autores ―As investigações matemáticas são parte do

que alguns autores designam por “actividade matemática”, o que corresponde a

identificar aprender Matemática com fazer Matemática (p. 15, os grifos foram dos

autores).‖ Os autores seguem dizendo que:

Um conceito muito próximo de investigação matemática é o de resolução de problemas. Os dois termos são usados muitas vezes de modo indistinto. Ambas as noções se referem a processos matemáticos complexos e ambas envolvem actividade fortemente problemática. A resolução de problemas envolve uma grande variedade de tarefas, tanto de cunho mais fechado como mais aberto, tanto relativas a situações puramente matemáticas como referentes a situações da vida real. ―Actividades investigativas‖ ou ―investigações matemática‖ designam, no contexto deste projeto, um tipo de actividade que dá ênfase a processos matemáticos tais como procurar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas, refletir e generalizar. São actividades de cunho aberto, referentes a contextos variados (embora com predominância para os exclusivamente matemáticos) que podem ter como ponto de partida uma questão ou uma situação proposta quer pelo professor, quer pelos alunos (Ponte et al., 1998, p. 15).

45

Partindo do significado da palavra investigar14 (FERREIRA, 2005, p. 965), podemos

dizer que essa palavra está associada a procurar, a descobrir, a encontrar e

examinar. Analisando, dentro do contexto da aprendizagem matemática, poderíamos

dizer que são propostas de atividades de cunho aberta e em contextos variados. E

apresentam como características que: i) na formulação e apresentação da situação

problemática não está explicito o caminho a seguir ou resposta a encontrar; ii) as

hipóteses levantadas pelos alunos poderão gerar uma nova problemática; iii)

deverão ser atividades que sejam desafiadoras e que possam despertar o interesse

dos alunos; iv) devem proporcionar nos alunos a experiência da descoberta. Durante

a execução dessas atividades o aluno passa a compartilhar as suas hipóteses e

desenvolve uma característica muito importante que é a de se comunicar

matematicamente. Segundo Love15 (1988, citado por Ponte, et al., 1998, p.15),

nesse tipo de atividade os alunos devem ter a oportunidade de: a) identificar e iniciar

os seus próprios problemas; b) expressar as suas próprias ideias e desenvolvê-las

ao resolver problemas; c)testar suas idéias e hipóteses de acordo com experiências

relevantes; d) defender racionalmente as suas ideias e conclusões e submeter as

ideias dos outros à critica ponderada.

As atividades investigativas diferem claramente das tarefas usuais como exercícios,

problemas práticos e problemas não rotineiros, pelo fato de serem atividades de

cunho aberto, em que o aluno não busca somente a solução para tarefa. Deve

observar regularidades, criar novas situações e conjecturas a partir de uma tarefa

pré-estabelecida, permitindo que coloque as suas próprias questões e estabeleça o

caminho a seguir. Segundo Ponte et al. (1998) numa atividade investigativa parte-se

de uma situação que,

... é preciso compreender ou de um conjunto de dados que é preciso organizar e interpretar. A partir daí formulam-se questões, para as quais se procura fazer conjecturas. O teste desta conjecturas e a recolha de mais dados pode levar à formulação de novas conjecturas ou à confirmação das conjecturas iniciais. Neste processo podem surgir também novas questões a investigar (p. 16).

14

Investigar: [Do lat. Investigare.]. v.t.d. 1.Seguir os vestígios de. 2. Fazer diligências para achar;pesquisar,indagar, inquirir: investigar as causas de um fato. 3. Examinar com atenção. 15

LOVE, E. Evaluating mathematical activity. In D. Pimm (Ed.), Mathematics, teachers and children:

a reader. London: Hodder & Stoughton, 1988, p. 249-262.

46

Realizando uma atividade de investigação, não temos como objetivo somente

procurar uma resposta de uma situação problema, mas devemos considerar os

processos e os caminhos que levaram o aluno a compreender o conjunto de dados e

informações, organizando e interpretando. As investigações matemáticas

caracterizam-se, igualmente, pelo estímulo que fornecem ao aluno para este

justificar e provar as suas afirmações, explicitando matematicamente as suas

argumentações perante os seus colegas e o professor (PONTE et al., 1998).

Durante a execução dessas atividades o aluno tem a oportunidade de compartilhar

suas hipóteses, analisar e julgar as observações dos colegas, desenvolvendo sua

capacidade de se comunicar matematicamente. As capacidades de argumentação e

prova são dois aspectos destacados da capacidade de comunicar matematicamente

(Ponte et al., 1998, p. 16). O desenvolvimento desta capacidade é, também, um dos

grandes objetivos educacionais do ensino da Matemática, segundo Normas

profissionais para o ensino da Matemática [NCTM]16.

Para Amorim & Matos (1990), as atividades investigativas deverão ser constituídas

de questões abertas, com propostas bem orientadas e exploratórias no início, mas

sempre mantendo uma margem de liberdade que favoreça em diferentes níveis, um

grau diferenciado de desenvolvimento na aprendizagem.

2.4.2. Desenvolvendo uma aula de investigação

O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes das investigações (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p. 23).

Nas atividades de natureza investigativa como em qualquer outra atividade, faz-se

necessário programar todo seu desenvolvimento, sua execução e objetivos que se

pretende alcançar. Portanto, quando pensamos no desenvolvimento dessas

16

National Council of Teachers of Mathematics [Conselho Nacional de Professores de Matemática], Normas para o currículo e a avaliação em Matemática escolar. Tradução portuguesa da Associação Professores de Matemática do original publicado em inglês em 1989. Lisboa: APM, 1991.

47

atividades não podemos deixar de considerar alguns momentos ou fases. Para

Ponte, Brocardo e Oliveira (2005), é necessário considerar os quatro momentos

importantes no desenvolvimento da investigação matemática. O primeiro seria

aquele em que o aluno tenta reconhecer a situação, fazendo explorações iniciais e

formulando algumas questões. O segundo momento refere-se ao processo de

formulação e registro de suas conjecturas. O terceiro inclui a realização de teste

para validação e refinamento destas conjecturas. E, finalmente, o quarto momento

diz respeito à argumentação, à demonstração e toda avaliação do trabalho

realizado. Porém, dado que os programas de ensino médio atual se centram nos

conteúdos, organizados de uma forma linear e compartimentados, o professor tem

que procurar trabalhar as investigações matemáticas em ligação com os conteúdos.

Para Ponte et al. (1998), a maior ou menor ligação das atividades de investigação

com os conteúdos pode ser um dos fatores que restringe ou amplia o tempo

disponível para a sua realização. Mas a atividade que o aluno realiza, de maneira

particular e única, pode originar outras questões, seguir por caminhos inusitados e

acabar por se relacionar com muitos outros temas. No entanto, devemos procurar

um ponto de equilíbrio entre a preocupação de cumprir os conteúdos e a realização

de atividades investigativas.

Essa articulação com o currículo leva também o professor a questionar em que

momento e medida podem as atividades investigativas ser propostas em sala de

aula. Ou seja, seria mais apropriado propor essas atividades no início, durante ou no

fim de um determinado conteúdo? Devemos ainda articular as atividades de acordo

com o nível de desenvolvimento matemático dos alunos.

Uma atividade de natureza investigativa pode ser oportuna em qualquer momento

de uma aula, no entanto, segundo Ollerton17 (1994, citado por Ponte et al.,1998),

existem questões e situações que são potencialmente ricas, que merecem a atenção

para escolha da atividade. Ou seja, devemos aguardar um momento oportuno para

propor situações, questões, atividades matemáticas que:

i) sejam um começo apropriado para todos na aula trabalharem; ii) forneçam oportunidades ricas para muitos desenvolvimentos; iii) possibilitem que sejam trabalhadas uma variedade de competências de conteúdo; iv) criem

17

OLLERTON, M. Contexts and strategies for learning mathematics. In: Selinger, M. (ed.). Teaching mathematics. London: The Open University.1994, p. 63-72.

48

oportunidade para os alunos explorarem ideias e colocarem questões; v) apóiem diferentes tipos de intervenções do professor desde o colocar questões ao explicar e expor; vi) permitam aos alunos tomar a maior parte da responsabilidade no seu desenvolvimento; vii) tenham uma variedade de resultados, alguns dos quais podem ser inesperados; viii) permitam que o conteúdo seja processado; ix) extraiam contextos transcurriculares ―reais‖, tais como usar de informação de um jornal, ou contextos de resolução de problemas; x) sempre que possível tenham um começo prático de forma a prover experiências concretas a partir das quais abstrações possam ser feitas (p. 18).

É importante que o professor saiba conduzir essas etapas e mostrar aos alunos que

várias outras questões podem surgir a partir das observações que eles realizam, ou

seja, o professor tem que mostrar abertura e flexibilidade em seus procedimentos de

ensino. Com este comportamento e atitude o professor estará propiciando aos

alunos perceberem que nem sempre em matemática tudo está pronto e acabado, e

estará fornecendo outros olhares sobre a disciplina de matemática para eles.

2.5. Resolução de problemas

A resolução de problemas ainda é, na minha opinião, a espinha dorsal do ensino secundário e me constrange que algo tão evidente precise ser ressaltado (Polya, 1995/1945, p. 13).

A resolução de problemas é um processo muito complexo, em qualquer um dos

aspectos que se queira abordá-la: na aprendizagem, no ensino e na investigação,

como uma tendência em educação matemática. Levando em consideração as várias

definições apresentadas a partir da década de 1980; destacam-se quatro aspectos

diferentes. Segundo Schoenfeld (1997/198018) temos: i) Conhecimentos de fatos, de

algoritmos, e de matemática em geral que um indivíduo possui; ii) Conhecimento de

estratégias de resolução de problemas, também identificadas por muitos autores

como estratégias heurísticas19; iii) Conhecimento de estratégias de verificação ou de

18

1980 é a data da publicação em inglês desse trabalho, 1997 é a data dessa publicação em português. 19

Heurística: Estudo dos métodos e das regras da descoberta e da invenção. In: POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978, p. 86. Heurística: 1.Conjunto de regras e métodos que conduzem à descoberta, à invenção e à resolução de problemas; 2. Procedimento pedagógico pelo qual se leva o aluno a descobrir por si mesmo a verdade que lhe querem incultar. In: FERREIRA,1986, p. 891.

49

controle, que tem a ver com a forma como um indivíduo utiliza e gere a informação

que está ao seu alcance; e iv) Pré-conceitos ou percepções que se relacionam com

a visão que cada um tem de si próprio, da matemática, dos problemas e do mundo

em geral. Isso nos mostra que, se pretendemos obter resultados significativos com a

resolução de problemas na aprendizagem de matemática, devemos lidar com os

quatro aspectos citados acima.

O mais importante desses aspectos apresentados é que três deles - heurística,

verificação (controle) e pré-conceitos (percepções) – relacionam-se diretamente com

o que designamos por metacognição. Esses fatos já seriam uma boa justificativa

para nos preocuparmos com os aspectos metacognitivos no ensino/aprendizagem

de matemática e na resolução de problemas. Portanto, um dos objetivos centrais é

tentar compreender como as pessoas organizam, integram, aplicam e relacionam

seus conhecimentos e capacidades quando lhes é apresentada uma situação-

problema.

Segundo Santos (1994) a metacognição envolve o pensar sobre o pensamento e o

gerenciar do mesmo. A metacognição também auxilia a compreensão de conceitos

matemáticos e a aquisição de processos mais complexos de raciocínio, pois oferece

ao indivíduo possibilidades de ser desafiado a construir (e/ou reconstruir) seu próprio

conhecimento e analisar e gerenciar seus conhecimentos. Estamos considerando

também que a metacognição é um constructo de natureza psicológica quando

procuramos de algum modo compreender os processos de pensamentos, sobre a

nossa própria maneira de pensar. Então, quando procuramos conscientemente

analisar e avaliar um plano que utilizamos na resolução de um determinado

problema, ou mesmo as estratégias que delimitamos na resolução, nós estamos

envolvidos em atividades e ações metacognitivas.

Santos (1995) comenta que Garofalo & Lester (1985)20 identificaram dois aspectos

distintos na metacognição. O primeiro eles designaram por conhecimentos dos

conhecimentos. Este primeiro aspecto refere-se aos conhecimentos do indivíduo

sobre suas capacidades cognitivas, dos processos e recursos que o indivíduo

domina e pode utilizar para ―enfrentar‖ os problemas a resolver; bem como as idéias

ou pré-conceitos que ele tem sobre a matemática; sobre si como utilizador dos

20

GAROFALO, J.; LESTER, F. K., Jr. Metacognition, cognitive monitoring, and mathematics performance. Journal for Research in Mathematics Education, 16(3), p. 163-176.

50

conhecimentos matemáticos ou sobre os vários aspectos de tudo o que o rodeia. O

segundo aspecto nós podemos nomear de gestão ou verificação de conhecimentos;

trata-se da maneira como o indivíduo administra e seleciona a aplicação de

estratégias21 (COLLINS COBUILD, 2009) e táticas que venham a ajudá-lo na

resolução de uma situação problema. Selecionar e avaliar a eficiência de uma

estratégia, ou pensar que há outra estratégia que poderá facilitar a resolução de um

determinado problema, é um exemplo típico de aspecto metacognitivo.

Nesta perspectiva e em pesquisa realizada pelo próprio Schoenfeld (1997/1980) em

resolução de problemas, aponta-se que os alunos possuem estruturas mentais que

utilizam de forma sistemática para interpretar o que lhes ensinamos. Isto nos tem

mostrado que o que se ensina e o que realmente se aprende não é necessariamente

a mesma coisa: muito depende das suas estruturas mentais e, ainda, dos pré-

conceitos ou percepções; e é isso, segundo esse investigador, um dos aspectos que

dá dimensão e importância à metacognição e lhe confere lugar de relevo em

educação matemática e, de maneira particular, na resolução de problemas.

A importância dada à metacognição tem, na verdade, levado alguns educadores em

educação matemática a acentuar a importância de orientar o ensino da matemática,

de forma a que os alunos não se limitem a memorizar fatos e procedimentos de

configuração mecânica, mas que eles possam compreender os conceitos e os

processos que lhes procuramos transmitir e com isso entenderem o verdadeiro

sentido de sua aprendizagem. Para Siqueira Filho (1999, p. 77), o pensar sobre seu

próprio pensamento, o monitorar seu próprio pensamento, [que são] pontos centrais

da metacognição, podem fazer com que o indivíduo estabeleça, por exemplo,

através da resolução de problemas, uma espécie de comunicação matemática,

verbal ou escrita.

Santos (1994) comenta que algumas investigações revelam que o ensino explícito

desses aspectos metacognitivos com alunos de vários níveis tem obtido resultados

significativos e positivos na compreensão e utilização de conceitos matemáticos e,

consequentemente, na resolução de problemas. Se considerarmos tais estudos

21

Estratégia: 1. É um plano geral ou conjunto de planos propostos para alcançar algo especialmente sobre um período longo. 2. É a arte de planejar o melhor caminho para tirar vantagem ou atingir sucesso especialmente em guerra.

51

como positivos, poderemos considerar as melhorias em três níveis: i) os alunos

tornam-se mais conscientes acerca dos seus conhecimentos e utilizam-nos de forma

mais sistemática e organizada; ii) os alunos revelam-se mais capazes de utilizarem

uma diversidade de estratégias de uma forma mais flexível e eficaz; iii) os alunos

podem corrigir pré-conceitos e idéias erradas que muitas vezes adquirem acerca da

matemática e dos problemas. Mas, segundo Santos (1995), para que todo esse

processo de aprendizagem utilizando como ferramenta a metacognição possa

funcionar, é necessário que os professorandos/as [e professores] desenvolvam e

aperfeiçoem suas habilidades de reconhecer e pensar sobre eles mesmos em

termos de suas dificuldades, fortalezas e limitações como alunos e professores em

potencial (p. 2).

Ainda segundo Santos (1995) é necessário conceber a metacognição de forma mais

abrangente. No caso da formação matemática do professor, nós devemos

considerar a consciência metacognitiva dos futuros professores e dos indivíduos que

fazem parte do processo de ensino. Segundo a autora a consciência metacognitiva

das pessoas deve incluir o:

a) pensar sobre seu próprio processo de pensamento durante a resolução de problemas; b) pensar sobre suas próprias fortalezas e limitações no que diz respeito a certos tópicos matemáticos e procedimentos; c) pensar sobre seu próprio conhecimento matemático; d) pensar suas crenças e concepções enquanto aluno de matemática e futuro professor de matemática; e) pensar sobre suas próprias atitudes sobre a aprendizagem de matemática, o ensino da matemática, e a avaliação como aluno enquanto futuro professor;... g) pensar sobre sua própria motivação para aprender matemática e para superar dificuldades de aprendizagem em matemática em comparação com o seu futuro trabalho como professor para motivar os alunos a aprender e a superar as dificuldades de aprendizagem; e h) pensar sobre o monitoramento e controle de seu próprio esforço para resolver problemas matemáticos (SANTOS, 1995, p. 2-3).

Ela ainda destaca que os pesquisadores devem analisar o potencial que tais

inovações têm no desenvolvimento da consciência metacognitiva dos alunos do

conhecimento matemático, tanto sobre os pontos fortes quanto como também as

limitações deste conhecimento (p. 3), na perspectiva dos alunos e futuros

professores.

Dentre os pontos destacados pela pesquisadora, gostaríamos de enfatizar o que

consideramos essencial para a aprendizagem matemática, ou de qualquer outra

disciplina, o aluno precisa ter vontade de querer aprender e superar suas

52

dificuldades e conflitos. Contudo, mesmo considerando o fato de que algumas

pessoas argumentam que ninguém motiva outra pessoa, por acreditarem que

motivação é apenas verdadeira quando é interior ao indivíduo, nós sabemos que é

necessário despertar interesse, e desejo em cada aluno e aluna de aprender.

Acreditamos que nós, professores, podemos agir e atuar como motivadores externos

de nossos alunos. Por isso nós, professores, devemos criar condições em aula onde

os alunos percebam o entusiasmo e a motivação que temos e que sentimos de que

eles aprendam determinado conteúdo ou procedimento. É importante considerar que

a motivação do professor poderá de certa maneira influenciar no envolvimento do

aluno e despertar o desejo interno e a motivação interior de cada aluno e cada aluna

em sala de aula. É por isso que temos que demonstrar entusiasmo e amor pelo que

nós fazemos em nossa profissão de professores. Essas características são

observadas pelos alunos e fazem a diferença em qualquer momento do ensino e da

aprendizagem.

Com o objetivo de acrescentar de forma positiva algumas estratégias utilizadas com

sucesso em sala de aula por alguns professores com atividades de resolução de

problemas. Acreditamos que esse tipo de atividade é eficaz no sentido de tornar a

aprendizagem significativa a partir do momento que elas são capazes de levar o

aluno a buscar estratégias, que ele possa avaliar qual o melhor caminho para

resolução do problema que está sendo propostos. Para Musser &

Shaughnessy22(1997/1980, p. 189), ao adotarmos um ponto de vista baseado em

estratégias. Devemos sempre que considerar alguns questionamentos do tipo: i)

Que técnicas empregamos na resolução de problemas? ii) Que estratégias de

resolução de problemas empregamos na matemática escolar?iii) De que maneira

poderemos incentivar a resolução de problemas na sala de aula?

Fazendo uma breve análise dos questionamentos acima, consideramos que a

maneira pela qual conduzimos os alunos a se motivarem na resolução de qualquer

problema é o caminho inicial para desenvolver com sucesso qualquer tipo de

atividade. Essa motivação deve partir no primeiro do professor e de como ele vai

externar sua vontade e prazer na condução de qualquer atividade e a partir daí pode

conseguir resultados semelhantes com seus alunos.

22

O trabalho foi publicado originalmente em inglês em 1980 e publicado em português em 1997.

53

Existem várias estratégias de resolução de problemas que podem ser utilizadas nas

salas de aula. Rocha e Castro (2007) estudaram vários autores americanos e

brasileiros que desenvolveram pesquisas envolvendo resolução de problemas. As

ideias de diversos autores investigando resolução de problemas nos proporcionaram

uma panorâmica do que tinha sido realizado de investigações nos anos 80 nos

Estado Unidos. Além disso, nos motivaram a desenvolver investigações usando

resolução de problemas (ROCHA; CASTRO, 2007). Os autores Musser &

Shaughnessy (1997/1980, p. 189 e 190) sugerem algumas estratégias que podem

nos ajudar durante o desenvolvimento de uma aula em que utilizaremos atividades

de resolução de problemas. As estratégias sugeridas por esses autores são: i)

tentativa-e-erro; ii) padrões ; iii) resolver um problema mais simples; iv) trabalhar em

sentido inverso; e v) simulação.

2.5.1. Método de tentativa e erro

Para Musser & Shaughnessy (1997/1980) esse método de tentativa-e-erro talvez

seja o mais direto para a resolução de problemas: envolve simplesmente a aplicação

das operações pertinentes às informações dadas (p. 189). Na verdade esse método

ou estratégia consiste de irmos experimentando e testando valores ou operações em

uma determinada situação problema e tentarmos ir verificando sistematicamente se

os resultados satisfazem as condições do problema. Esse método pode ser ilustrado

pelo exemplo abaixo:

■ Resolver os seguintes criptogramas23 aritméticos. Musser e Shaughnessy

(1997/1980, p. 190).

Em cada problema, as letras representam um único dígito apenas.

a) (HE)2 = SHE b) W R O N G

+ W R O N G

R I G H T

23

Criptograma, segundo o dicionário Koogan/Houaiss (Rio de Janeiro: Seifer, 2000), é uma

mensagem lavrada em caracteres secretos.

54

Pistas para as soluções:

a) Podemos inferir que o algarismo das unidades de E2 é E; assim E = 0, 1, 5 ou 6.

Mas E≠ 0, pois, caso contrário, (HE)2 terminaria em dois zeros e H seria igual a E, o

que não é possível. Além disso, H<4, uma vez que SHE é um número de três

dígitos. Agora tente alguns valores.

b) Visto que não há transporte de uma coluna para outra, W = 1, 2, 3 ou 4. Então, 2≤

R ≤9. Tente W=1 e R=2. Então, I é 4 ou 5. Continue.

2.5.2. Método de padrões

Com a estratégia de padrões segundo Musser & Shaughnessy (1997/1980),

considera casos particulares do problema. Generalizando-se a partir desses casos,

chega-se à solução (p. 192). No exemplo abaixo, procuramos demonstrar essa

característica.

■Calcule a soma dos n primeiros números ímpares.

Pistas para solução:

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

e assim por diante. Obtém-se uma solução melhor ainda geometricamente,

considerando as disposições de pontos da figura abaixo.

55

2.5.3. Método de resolver um problema mais simples

Segundo Musser & Shaughnessy (1997/1980) estas estratégias pode envolver a

resolução de um “ caso particular “ de um problema, ou um recuo temporário de um

problema complicado para uma versão resumida (p. 194). Quando se trabalha com

problemas mais complexos e absolutamente novos, sempre é possível estabelecer

uma estratégia em um caminho temporário mais simples por uma versão mais

resumida e a partir dessa idéia padrão, podemos estabelecer ligações com o

problema mais simples para se chegar a uma solução satisfatória. Segundo Polya

(1995/1945) ao resolvermos um problema proposto, podemos muitas vezes utilizar a

resolução de um problema análogo mais simples: pode nos ser possível utilizar seu

método, o seu resultado ou ambos (p. 32). No exemplo abaixo podemos perceber

essa estratégia.

■De quantas formas diferentes, podemos sair de A e ir até B, na rede da figura a

seguir ?

Solução: Primeiro considere a rede 1x1 de a figura a seguir. Há apenas dois

caminhos aqui. Depois, considere a rede 2x2. Cada número dessa rede indica o

número de caminhos ao ponto respectivo. Assim, há seis caminhos de A até B.

Raciocinando dessa maneira, conclui-se que há setenta caminhos ao todo na rede

4x4.

A

B

A

B

A

B

56

A ideia de inserir estratégias e habilidades de resolução de problemas ao longo de

um período maior na vida escolar do aluno pode vir a favorecer e melhorar o seu

desempenho. Geralmente os problemas não são apresentados de maneira que

motive os alunos, pois são encarados como meros exercícios de desafio. Ou os

professores focalizam excessivamente nos procedimentos e nas 4 (quatro) fase de

resolução de problemas destacadas por Polya (1995/1945) e repetidas às vezes

automaticamente por alguns deles. E alguns professores apontam excessivamente

para os erros dos alunos ou para as respostas deixadas em branco a solução de

problemas, sem pensar nos efeitos negativos que tal atitude deles pode trazer para

os alunos e o desejo deles de aprender matemática. Brito (2006) comenta que

Uma grande preocupação no ensino da matemática é a pouca atenção dada pelos professores à linguagem no contexto dos problemas. [...] Por isso, quando o aluno desiste de resolver um problema do qual apenas leu o enunciado, sem nada ter esboçado, pode-se deduzir o obstáculo está na compreensão dos conceitos e significados que o enunciado apresenta (p. 34-35).

Temos convicção de que o aluno aprende a solucionar problemas quando as

atividades de resolução de problemas tornam-se rotina em sala de aula, e os alunos

devem, portanto, estar resolvendo sempre problemas, quer sejam problemas

rotineiros, quer sejam não-rotineiros, quer sejam desafiadores. A utilização

constante de problemas, aliado ao contato com situações problema fora dos

padrões, estimula o aluno a desenvolver suas habilidades e estratégias, ou seja,

desenvolver suas faculdades cognitivas para a resolução de problemas.

Até a pouco tempo, ensinar a resolver problemas se caracterizava em apresentar

situações-problema, e talvez oferecer uma solução técnica específica (ONUCHIC,

1999). Esta autora também afirma que a intenção de ensinar matemática por meio

de resolução de problemas é

... de passar de um papel de atividade limitada de engajar os alunos, depois da aquisição de certos conceitos de determinadas técnicas, para ser tanto um meio de adquirir novo conhecimento como um processo no qual pode ser aplicado àquilo que previamente havia sido construído (p. 208).

Segundo esse argumento aprender matemática é resolver problemas, e este olhar já

vem sendo trabalho desde os anos 80. Beatriz D‘ Ambrósio (1989) já comentava

que:

57

... a resolução de problemas é encarada como uma metodologia de ensino em que o professor propõe ao aluno situações problemas caracterizadas por investigação e exploração de novos conceitos. Essa proposta, mais atual, visa à construção de conceitos matemáticos pelo aluno através de situações que estimulam a sua curiosidade matemática (p. 16).

Quando tentamos resolver um problema é sempre importante considerar que

mudamos continuamente de opinião sobre a estratégia que utilizaremos para

encontrar a solução. Mas segundo Polya (1995/1945, p. 3) é provável que a nossa

concepção do problema seja muito incompleta no princípio; a nossa perspectiva é

outra depois de feito algum progresso; ela é ainda diferente quando estamos quase

a chegar à solução. Logo este mesmo autor destaca a importância de tentarmos

estabelecer algumas estratégias que poderão nos conduzir para um caminho que

venha facilitar a qualquer um que queira resolver um problema. Para tentar organizar

as informações e as semelhanças percebidas de imediato sobre o problema, e com

objetivo de relacionar estas informações tentando solucioná-lo, Polya (1995/1945)

sugere que se sigam as seguintes etapas: i) compreender o problema (temos que

perceber claramente o que está sendo proposto; ii) temos de ver como os diversos

itens estão inter-ligados (como a incógnita está ligada aos dados, para termos a

idéia da resolução, para estabelecermos um plano), iii) executaremos o nosso plano,

e iv) fazermos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a.

Precisamos considerar cada uma das etapas, porém, não devemos estabelecê-las

de forma rígida e seguindo uma única sistemática.

58

3. PERCURSOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA

A pesquisa de campo foi desenvolvida em uma turma do 1º ano do ensino médio, no

turno matutino, de uma escola pública estadual no município de Baixo Guandu (ES),

e contou com a participação de dois professores, entre os meses de fevereiro a

novembro de 2008. Em fevereiro de 2009, voltamos à escola para conferir alguns

dos dados coletados anteriormente e darmos retorno de nossas interpretações aos

alunos e professores. Assim, garantiu-se a fidedignidade do material coletado e de

nossas análises. O professor L atuou na turma de fevereiro a julho de 2008 e o

professor C de final de julho de 2008 a dezembro desse mesmo ano. Tal mudança

ocorreu devido ao concurso realizado pelo governo estadual. Realizamos uma

pesquisa de natureza qualitativa ao procurar responder os nossos questionamentos

que foram: a) Que crenças, concepções e atitudes os alunos apresentam em relação

à matemática, a seu ensino e a professores de matemática dos anos anteriores no

início do estudo? b) Como eles se perceberão ao final da pesquisa? c) O que

podemos aprender em relação ao processo de ensino-aprendizagem de matemática

no 1º ano de ensino médio, quando propomos um trabalho diferenciado utilizando

atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas? d) Que conceitos

matemáticos os alunos conseguem identificar, relacionar e utilizar? e) O que revelam

as atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas acerca dos

conhecimentos e capacidades dos alunos?

Utilizamos coleta de dados em que as informações que obtivemos eram de natureza

subjetiva, uma vez que estávamos trabalhando dentro de uma ótica em que

buscamos compreender fatores como crenças, concepções e atitudes dos alunos

frente à matemática e a seus professores de matemática das séries atuais e

anteriores. Coletamos também informações sobre os pensamentos, reflexões e

opiniões dos alunos sobre o desenvolvimento de atividades investigativas e de

resolução de problemas. A partir dessa perspectiva e dos procedimentos que foram

utilizados, podemos considerar essa investigação dentro de uma concepção de

pesquisa de natureza qualitativa. Inicialmente, nos aventuramos em ir diretamente

para sala de aula onde começamos a observar duas aulas de matemática

semanalmente. Sempre estávamos na expectativa se iríamos dar conta de

59

responder os questionamentos da pesquisa e como poderíamos aprender com essa

caminhada na busca de melhorias na aprendizagem de matemática dos alunos.

Dentro do ambiente escolar encontramos pessoas de culturas diferentes, com

realidades sociais diversas, que trazem conhecimentos e problemas peculiares.

Logo, percebemos que estava configurado um ambiente complexo. Para Barbier

(2002, p. 70) ―não há pesquisa-ação sem participação coletiva‖. É preciso que nós

pesquisadores sejamos parte integrante e verdadeiramente envolvidos com a

experiência, na integralidade de nossa vida emocional, sensorial, imaginativa e

racional. Quando nos inserimos nesse ambiente podemos modificar alguns

comportamentos nossos e dos sujeitos. De acordo com Fiorentini & Lorenzato

(2006):

Considerando a educação matemática como uma prática social, o trabalho de campo torna-se uma opção importante, pois fornece elementos que nos permitem compreendê-la e, então, transformá-la. Além disso, são as informações que nos levam a criar e desenvolver conhecimentos a partir da prática e nos impedem que inventemos explicações ou suposições irreais e totalmente imaginárias ou fantasmagóricas (p.101).

Em consonância com os autores acima, decidimos nos colocar no ambiente da sala

de aula, com o intuito de procurar respostas às nossas perguntas e compreender o

ambiente em que estávamos envolvidos. Fizemos isso procurando, dentro do

possível, compreender a situação escolar de uma turma de 1º ano de ensino médio

sem inventar explicações ou suposições para situações que vivenciamos. De início,

foi o mesmo que se lançar para uma sala de aula, agora não apenas como professor

de matemática, mas sim com um olhar de um pesquisador iniciante. A aproximação

com o ambiente e com os envolvidos na pesquisa (alunos e professores

colaboradores), a aprendizagem de observar e notar incidentes com o cotidiano na

sala de aula, ao fazer anotações, assim como a aprendizagem de analisar e

colaborar com o professor nas orientações dos alunos durante as tarefas e

exercícios nas aulas, nos proporcionaram um olhar mais crítico sobre o que vem a

ser uma pesquisa participativa. Ao retornar nas horas de planejamento com o

professor, nos momentos em que conversávamos e refletíamos sobre o que

realmente conseguimos de resultados para aprendizagem de matemática de nossos

alunos. Se a aula foi boa ou não, o que deu certo ou o que poderíamos melhorar,

permitiram que redirecionássemos alguns pontos para a otimização da pesquisa.

60

Observando o desenvolvimento das atividades feitas pelos alunos, e o

direcionamento dado por eles a cada tarefa, conseguimos, a partir desse momento,

nos sentir realmente um pesquisador. Podemos dizer que essa foi a primeira ação

que desenvolvemos na pesquisa de campo.

Os pesquisadores Fiorentini & Lorenzato (2006) apresentam uma definição para

esse tipo de pesquisa como uma aproximação crítica em que o pesquisador insere-

se no ambiente educacional não só para compreendê-lo e estudá-lo, mas também

para mudá-lo em direções que permitam aos participantes maior liberdade de ação e

de aprendizagem. Essa provável aproximação crítica-sociológica apresenta-se como

transformadora, libertadora, provocando possíveis mudanças de significados.

No caminhar da pesquisa foi possível perceber que estávamos desenvolvendo uma

pesquisa-ação com caráter colaborativo, uma vez que estávamos inseridos no

ambiente escolar, em que colhemos as informações. No desenvolvimento da

pesquisa começamos a planejar semanalmente nossas aulas com os professores

colaboradores e em algumas situações, quando ocorreu a falta dos professores,

atuávamos como professor regente responsável pela turma. Em outros momentos

da pesquisa quando propomos atividades de resolução de problemas ou atividades

de natureza investigativa agimos também como professor regente.

Durante os trabalhos de transcrição e organização de dados coletados, percebemos

que detalhes como as falas dos alunos, discursos e observações dos professores,

sempre algum ponto se esquivava dos nossos olhares e escrita, por mais atentos e

cuidadosos que procurássemos ser. Por isso, cientes da complexidade que é a ação

no campo da pesquisa, estávamos conscientes de que não devemos inventar sobre

a realidade, nem considerar que conseguimos esgotar sua totalidade de

informações. Na busca por respostas sobre o que realmente estávamos

desenvolvendo em nossa pesquisa de campo e na tentativa de compreendermos

melhor o que seria o caminhar de uma pesquisa-ação, encontramos em Fiorentini &

Lorenzato (2006) a seguinte definição:

A pesquisa-ação é um tipo especial de pesquisa participante, em que o pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e compreendê-lo, mas sobretudo para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e maior liberdade de ação e de aprendizagem dos

61

participantes. Ou seja, é uma modalidade de atuação e observação centrada na reflexão-ação (p. 112).

Percebemos, durante a realização da pesquisa de campo e das leituras

apresentadas acima, que podemos caracterizá-la como uma pesquisa-ação

colaborativa. Para Barbier (2004), essa pesquisa-ação representa um tipo que é

utilizado e concebido com a intenção de favorecer algumas mudanças intencionais

decididas pelo pesquisador que intervém de maneira militante, em função de uma

mudança cujos fins ele define com a estratégia. Essa mudança não é imposta de

fora, e sim, a partir de uma atividade na qual os atores (pesquisador e professor) se

debruçam sobre eles mesmos.

3.1. Acesso à instituição e aos professores colaboradores

Tínhamos a possibilidade de escolher duas escolas que ofereciam o ensino médio.

Optamos pela Escola ―A‖ onde o pesquisador já tinha sido aluno durante o ensino

fundamental e professor contratado, de designação temporária, da disciplina de

matemática nos cursos: científico, técnico em secretariado e técnico em

administração de empresas. O fato de ter sido aluno e professor nessa instituição de

ensino facilitou bastante o acesso à escola e em alguns contatos com o diretor,

supervisor e professores colaboradores da pesquisa. O primeiro contato aconteceu

em dezembro de 2007 com o diretor, para o agendamento de um encontro para

conversarmos sobre a possibilidade de uma pesquisa de campo em uma turma do

1º ano do ensino médio, trabalhando com atividades de natureza investigativa e de

resolução de problemas.

Após a conversa inicial com o diretor da escola, que demonstrou entusiasmo e

interesse pela proposta do estudo, iniciaram-se os preparativos do trabalho a ser

desenvolvido. O próximo passo foi dado no início do ano letivo de 2008, quando

voltei à escola na primeira semana de aula e conversei com o professor de

matemática para apresentar-lhe a proposta da pesquisa e a maneira como

62

pretendíamos desenvolvê-la. Expliquei que seria uma pesquisa em uma turma de 1º

ano de ensino médio, por duas aulas semanais, durante um período de

aproximadamente dez meses, entre fevereiro e novembro de 2008. O principal

objetivo seria trabalhar atividades investigativas e de resolução de problemas e

estudarmos as contribuições dessas atividades na aprendizagem de matemática

desses alunos. O professor demonstrou interesse em participar e colaborar com a

pesquisa no que fosse necessário. Acrescentou que não fazia nem idéia do que

seriam atividades de natureza investigativas, mas as atividades de resolução de

problemas, disse que já as utilizava com seus alunos e que sempre gostava de

trabalhar com problemas, desafios e alguns exercícios das Olimpíadas de

Matemática da Escola Pública. O professor colaborador L aceitou nossa proposta de

trabalho e iniciamos na semana seguinte assistindo a duas de suas aulas. No

segundo semestre letivo, a partir de agosto de 2008, tivemos mudança de professor

de matemática da turma pesquisada, devido ao fato de o professor L ter sido

aprovado em concurso público para lecionar em outra cidade. Sabendo da

importância de darmos continuidade com o trabalho de investigação com a turma,

que estava em andamento desde fevereiro de 2008, conversamos com o professor

C. Este professor já atuava na instituição, era regente das turmas de ensino

fundamental e tinha conhecimento da pesquisa que estávamos realizando na escola.

O próximo passo foi marcar uma reunião com o professor C juntamente com o

professor L e o pesquisador para colocá-lo a par do andamento da pesquisa, do que

ainda estava faltando para completá-la e principalmente dos seus objetivos. Quando

contamos com educadores, que são preocupados com a aprendizagem de seus

alunos, que enxergam a importância do trabalho de uma pesquisa que pretende

ajudar os alunos na aprendizagem de matemática, fica mais fácil a aceitação de um

trabalho como esse. Não encontramos dificuldades de adaptação com o novo

professor da turma que assumiu em julho de 2008. Isso permitiu a continuidade da

pesquisa dentro das mesmas condições estabelecidas com o outro professor

colaborador. Vale a pena lembrar que, às vezes, no primeiro semestre de 2008,

durante as conversas do pesquisador e do professor L no período do recreio, o

professor C participava, dos diálogos. Ou seja, o professor C não era uma pessoa

que chegou novata na escola sem nenhuma referência do trabalho que estávamos

realizando.

63

3.2. A escola

A instituição de ensino escolhida que denominaremos por Escola A pertence ao

estado e atende a alunos de diversos bairros para o ensino fundamental II e médio.

Atualmente, a escola possui uma área de 10.518,86 m2 totalmente murada e com

5.580 m2 de área construída. No ano letivo de 2008, a escola atendia 1.340 alunos,

oferecendo ensino fundamental do 6º ao 9º ano no período matutino, ensino médio

nos três turnos, curso técnico em Vendas e Gestão Empresarial no período noturno.

Abaixo segue a relação de salas, ambientes e laboratórios disponíveis para

desenvolvimento das atividades escolares.

● Um laboratório de informática com 31 máquinas interligadas à internet, 1

impressora a laser, ar condicionado e um quadro branco de pincel;

● Dezessete salas de aulas com aproximadamente 40 m2, com dois ventiladores de

teto em todas, duas salas de coordenação, sala para técnicos educacionais, sala

para os professores, sala de secretaria, sala para diretor, sala para arquivos da

secretaria e sala para almoxarifado;

● Uma quadra poliesportiva coberta, recentemente construída para prática de vários

esportes;

● Uma biblioteca com mais de 2000 exemplares das mais diversas áreas do

conhecimento;

● Um data-show, um notebook e dois retroprojetores.

64

FIGURA 1 – Vista parcial da escola, foto tirada em 10/11/2008

FIGURA 2 - Corredor central da escola

65

3.3. A turma

A turma do 1º ano de ensino médio, na qual desenvolvemos a investigação era

constituída por 34 alunos regularmente matriculados, mas durante a realização das

atividades tínhamos em média a presença de 30 alunos. Do total de 34 alunos

tínhamos cinco alunos vindos da zona rural do município e os demais eram da sede

do município de Baixo Guandu (ES). Buscando informações na secretaria sobre a

origem escolar desses alunos, levantamos que somente 15 alunos fizeram o ensino

fundamental na instituição onde foi desenvolvida a pesquisa. Os demais alunos

concluíram o ensino fundamental em outras escolas no município de Baixo Guandu,

na zona urbana e rural. Constatamos que essa turma, com características bem

comuns a todas do ensino médio, era heterogênea e com dois ou três alunos que se

destacavam em relação aos demais, em conteúdos e na participação durante as

atividades. Não tínhamos alunos com problemas de indisciplina. O comportamento

era bom durante as aulas que foram observadas e naquelas em que foram

desenvolvidas as atividades da pesquisa. Existiam conversas paralelas como em

toda turma de adolescentes, mas os professores sempre conseguiam contornar a

situação logo no início dos trabalhos.

FIGURA 3 – Aplicando o instrumento 1B em 28/02/2008

66

3.4. Os professores colaboradores

Resguardando o sigilo ético necessário na pesquisa, identificamos os professores

colaboradores como professor L e professor C como nós já mencionamos

anteriormente. Passamos a conhecê-los melhor a partir das informações que foram

concedidas em uma entrevista que se encontra em anexo. Também tínhamos

informações fornecidas a partir de conversas informais, que ocorreram durante

nossos encontros de planejamentos e o que pudemos relatar no caderno de bordo

do pesquisador sobre nossas conversas, reflexões e relatos de experiências durante

o cotidiano deles em sala de aula. Com a intenção de preservar a identidade e

respeitando seus pontos de vistas, após o relatório final da pesquisa, os procuramos

para que tivessem ciência do que foi relatado e nos informassem se tinham algo a

acrescentar ou se discordavam de algum ponto que havíamos relatado. Procuramos

desenvolver a nossa pesquisa seguindo os princípios éticos que devem ser

preservados nos mesmos (SANTOS-WAGNER, 2008, 2009).

3.4.1. O professor L

É formado em Licenciatura Plena em Matemática pela Faculdade de Ciências e

Letras de Carangola/MG, desde 2002, possui uma experiência de onze anos de

magistério atuando somente na rede pública de ensino. Cursou o magistério e o

curso técnico em contabilidade. Durante sua graduação em matemática percebeu

que não tinha a base necessária para o ensino médio, tendo que estudar algumas

vezes sozinho os conteúdos. Gosta de explicar principalmente funções do 1º e 2º

graus, progressões e geometria plana. Procura diferentes meios de abordar um

assunto com o objetivo de dar oportunidades de aprendizagem a um número

máximo de alunos. Não gosta de seguir livro didático, prefere elaborar listas de

exercícios. Em anos anteriores, considerava-se um professor mecânico, mas

67

atualmente tenta mostrar que a matemática é uma ferramenta para se viver num

mundo bem flexível. Acredita na educação como a única maneira de transformar o

ser humano e tenta passar isso para seus alunos. Vê suas aulas como uma

oportunidade de aprendizagem para todos. Tenta seguir algumas características

positivas de seus ex-professores de matemática, como a paciência, justiça e procura

tratar com igualdade seus alunos. Em suas aulas, não segue o modelo mecânico, de

seus ex-professores de matemática, que não davam oportunidades de

questionamentos para os alunos e se achavam o dono da verdade. Entende que

aprender a ensinar matemática significa observar mais seus alunos, como eles

reagem durante suas aulas, produzem seus conhecimentos e como realmente

aprendem. Está sempre aberto a experimentar novas metodologias e aprendizagens

que possam favorecer o desenvolvimento de seus alunos. Gostaria que seus alunos

aprendessem, enxergando que a verdadeira essência da matemática está na

liberdade de pensamento. Para ele, a matemática é uma ferramenta de multiuso que

está a disposição de todos para a resolução dos diversos problemas do cotidiano.

3.4.2. O professor C

O professor C concluiu o curso de Licenciatura Plena em Matemática pela

Universidade de Uberaba/MG, em fevereiro de 2009, tem menos de 5 anos no

magistério e lecionou somente em escolas públicas. Gosta de lecionar

principalmente os conteúdos de progressões (PA e PG), matrizes e trigonometria.

Durante sua prática na sala de aula, procura explicar quantas vezes forem

necessárias e não passa adiante enquanto todos não entenderem o assunto

abordado (ao menos dizer que entenderam, é claro). O que considera negativo é o

fato de não dar tempo para estudar todo conteúdo programático, caso tenha

permanecido por um tempo maior em um mesmo conteúdo. Considerava-se, em

anos anteriores, um professor muito rígido, hoje se percebe mais tranqüilo. Suas

aulas são descontraídas, sem perder a seriedade. Esse é um dos fatores que levam

os alunos a perceberem um professor de temperamento flexível, ora severo, ora

68

maleável. Seus ex-professores de matemática sempre estiveram preocupados com

seu futuro, isso ele considerava positivo, embora às vezes, o excesso de rigidez de

alguns deles o deixavam apreensivo. Acredita que para aprender a ensinar

matemática é necessário observar o andamento das aulas para melhorá-las, e que é

preciso buscar métodos mais eficientes a cada dia, pesquisar e utilizar experiências

que deram certo. Durante sua formação, aprendeu matemática sem nenhuma

conexão com o cotidiano, não havendo ligação da teoria com a prática. Gostaria que

seus alunos aprendessem com aulas mais práticas, que estimulassem mais o

raciocínio lógico e a interpretação de situações diversas do cotidiano. Se essas

habilidades e competências de raciocínio e interpretação forem desenvolvidas

durante as aulas, facilitariam a vida do aluno durante os vestibulares e concursos

que irão enfrentar. A matemática significa um elo entre praticamente todas as

disciplinas e também uma maneira de resolver situações do dia a dia de maneira

direta, sem a necessidade de se resolver problemas por tentativas e erros.

3.5. Instrumentos utilizados na coleta e análise dos dados

Os procedimentos de coleta de dados e os instrumentos usados foram sendo

construídos, articulados de acordo com as necessidades apresentadas no

desenrolar da pesquisa, sempre com o objetivo de procurar responder os

questionamentos propostos. Os dados foram coletados através de diversos

instrumentos e recursos. Usamos inicialmente (a) respostas de algumas metáforas

que segundo Chapman (1997, p. 209)24 são mais do que objetos lingüísticos. Elas

representam conhecimento corporificado fundamentado na experiência (citado em

Chapman, 2005). Da mesma forma consideramos que as metáforas contribuem para

compreendermos qual o conceito e a relação afetiva que esses alunos trazem da

matemática e do seu ensino em sua experiência de vida escolar. Coletamos (b)

materiais impressos como provas, listas de exercícios, atividades do livro didático

24

CHAPMAN, O. Metaphors in the teaching of mathematical problem solving. Educational Studies in Mathematics, 32 (3), 1997, p. 201-228.

69

adotado pela escola, atividades investigativas e de resolução de problemas.

Realizamos (c) entrevistas semi-estruturadas aplicadas aos alunos e professores

colaboradores. Construímos um (d) caderno de bordo do pesquisador. Realizamos e

redigimos (e) reflexões compartilhadas com a orientadora e professores

colaboradores, a partir de conversas por telefone, internet via email(s) e por Skype

(internet falada). Além disso, fizemos (f) registros das atividades dos alunos; (g)

gravações de áudio de alguns encontros com a turma; (h) gravações de áudio dos

encontros com a orientadora pessoalmente e por telefone; e (i) registros durante as

aulas como fotos dos alunos e dos professores durante o desenvolvimento das

atividades de campo.

Apresentamos a seguir a maneira como foram pensados e elaborados os

instrumentos da investigação. Descrevemos suas procedências e seus objetivos

para que o leitor possa obter uma idéia panorâmica sobre os mesmos.

3.5.1. Caderno de bordo

O caderno de bordo foi um instrumento utilizado desde a primeira aula observada,

conforme sugestão e pedido da minha orientadora, sendo possível registrar alguns

detalhes das aulas. Essa preocupação com o registro de tudo que estava

acontecendo no desenrolar da pesquisa sempre foi colocada como prioridade pela

minha orientadora. Para Santos-Wagner (2008) o caderno de bordo é onde

registramos quase tudo que realizamos na pesquisa de campo, ou seja, o que se

pensa, o que se planeja, o que se sente e o que acontece ao longo de todo o

trabalho. Nesse caderno registramos todas as aulas, instrumentos utilizados,

anotamos as falas e comentários dos alunos e dos professores sobre as atividades

que foram realizadas. Anotamos também alguns de nossos pensamentos, sugestões

e reflexões sobre o que estávamos fazendo e de algumas leituras que realizamos

paralelamente com a pesquisa que poderiam ajudar a responder a pergunta e os

objetivos propostos. Fiorentini & Lorenzato (2006) dizem que:

70

Um dos instrumentos mais ricos de coleta de informações durante o trabalho de campo é o diário de bordo. É nele que o pesquisador registra observações e fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários, descreve episódios ou retrata diálogos. Quanto mais próximo do momento da observação for feito o registro maior será a acuidade da informação (p.118 e 119).

A partir da leitura dessas informações e registros é que podemos perceber o quanto

evoluímos no caminhar do estudo e em nossas observações, registros e análise.

Fizemos uma numeração das páginas e registramos as aulas observadas e as

reuniões que tínhamos com os professores colaboradores durante nossos

planejamentos. Temos consciência de que não conseguimos anotar todos os

detalhes de cada aula ou reunião, mas os fragmentos ou recortes nos levam à

lembrança de detalhes sobre o que aconteceu de fato. Esses registros foram

importantes durante o desenrolar da pesquisa para fazermos uma retrospectiva do

que realmente conseguimos desenvolver e realizar em nossas aulas e na pesquisa

como um todo.

3.5.2. Entrevistas semi-estruturadas

Realizamos entrevistas semi-estruturadas individuais com alunos e professores

colaboradores, com o objetivo de buscar informações sobre os mais diversos

assuntos que estavam sendo abordados na pesquisa de campo:

a) Satisfação dos alunos em relação às atividades de natureza investigativa;

b) Questionários para os professores com perguntas abertas, fechadas e mistas,

para conhecermos melhor sua formação e que tipo de influências sua formação

pode trazer para prática docente.

71

3.5.3. Gravações de áudio

Com a autorização prévia dos participantes da pesquisa e dos professores

colaboradores realizamos algumas gravações de análise de instrumentos feitos com

a turma sobre as metáforas. Porque muitas vezes não conseguíamos anotar tudo

que era necessário e no momento certo, quando fazíamos uma análise em conjunto

com turma. Os recursos utilizados nessas gravações foram um notebook e um

aparelho de MP3. Em alguns momentos, a fala não ficou muito clara, mesmo assim

utilizamos os resultados desse material durante as análises dos instrumentos feitos

com a turma. Não descrevemos na íntegra essas gravações, elas nos serviram para

lembrarmos detalhes que não tínhamos conseguido anotar naquele momento. As

gravações feitas em conversas com a orientadora foram de muita importância para

ouvirmos e refletirmos sobre o que realmente estávamos realizando e o que havia

sido solicitado. Só a partir dessas reflexões é que conseguíamos perceber o que não

tínhamos feito e quais os caminhos que deveríamos trilhar.

3.5.4. Metáforas

No início do ano letivo, com turmas novas e alunos vindos de várias escolas públicas

e particulares do município, sempre fica difícil fazermos um levantamento da relação

desses discentes com a matemática e os professores das séries anteriores.

Achamos interessante a utilização de metáforas para conhecermos melhor esses

alunos e sua relação com a matemática, seus professores e sua aprendizagem.

O uso dessas metáforas está baseado nas ideias de Thompson (1997/1984), Gómez

Chacón (2003), Chapman (2005, 2006), e de um seminário que participei sobre

matemática emocional com minha orientadora. Além disso, a experiência com as

metáforas também era proveniente de trabalhos realizados por colegas do mestrado

que abordaram esse tema, e em discussões realizadas no grupo de estudos com

outros professores de matemática, do qual participava desde 2007 (OLIVEIRA,

2007; SILVA, 2007; CASTRO, 2009). Além dessas situações de estudos e de

72

vivência com o uso de metáforas, tivemos a oportunidade de realizar um trabalho em

2007 com os alunos de ensino médio a partir das metáforas. Percebi nessa atividade

que foi possível levá-los a refletir sobre ensino de matemática e sua relação com

seus professores.

Utilizamos as metáforas em que os alunos comparavam conceitos sobre a

matemática com outras coisas como objetos, animais ou situações do seu cotidiano.

Sabemos que essas metáforas podem ser utilizadas com vários objetivos e

propósitos. Em nossa investigação direcionamos o uso das mesmas apenas para

conhecer um pouco melhor nossos alunos e suas relações com a matemática.

3.5.5. Materiais impressos

Como os alunos não possuíam livro didático, os professores colaboradores

entregavam-lhes folhas reproduzidas com os conteúdos e exercícios que seriam

trabalhados durante as aulas. A escola disponibiliza um livro didático que fica na

escola para uso coletivo dos alunos nos três turnos. Para utilizá-lo, o professor

solicitava ao coordenador de turno os livros para os alunos, e ao término da aula

estes eram recolhidos. Para complementar o livro didático, os professores

distribuíam listas de exercícios, testes avaliativos e tarefas para serem feitas em

casa. Devido a essa prática, tivemos a oportunidade de elaborar, aplicar e analisar,

com os professores, materiais contendo atividades investigativas, resolução de

problemas e exercícios de revisão para as diversas avaliações que propusemos aos

alunos. Todo esse material era reproduzido pela escola e cada professor possuía

uma determinada cota de cópias mensais para reprodução.

73

3.5.6. Reflexões escritas e compartilhadas

Durante os diversos momentos da investigação, fizemos alguns relatos e reflexões

que foram transcritos no caderno de bordo. Os contatos por telefone, internet e

skype com minha orientadora e os diálogos com os professores colaboradores,

foram registrados no caderno de bordo e serviram de instrumentos para

direcionarmos os trabalhos realizados na pesquisa. Sabemos que não existe uma

receita pronta, do que poderia dar certo ou não, mas essas conversas e a troca de

experiência enriqueceram o trabalho. Uma das tarefas do pesquisador, que se

encontra inserido no contexto da pesquisa, é a de trazer informações com a maior

riqueza de detalhes para serem compartilhadas com sua orientadora. Essas

informações e reflexões serviram de parâmetros para reformulação e adaptação de

alguns instrumentos na coleta de dados.

3.5.7. Discriminação das aulas da pesquisa

Com o propósito de fornecer informações resumidas sobre as aulas que observamos

e em que aplicamos instrumentos para coleta e análise de dados, apresentamos

abaixo um quadro sinóptico com o resumo das atividades contendo, datas, alguns

comentários importantes, assuntos abordados e as principais metodologias

utilizadas pelos professores e o pesquisador no desenvolvimento dessas aulas.

Como a pesquisa de campo foi desenvolvida ao longo de 10 meses, os horários

dessas aulas tiveram algumas mudanças, por esse motivo não seguem uma ordem

cronológica do mesmo dia da semana. Tivemos feriados, atestados médicos e

abonos dos professores, trocas de horários da escola e de atividades que participei

durante o mestrado, que impossibilitaram realização da pesquisa em alguns dias. No

capítulo 4, de análises dos dados, selecionamos algumas aulas que foram

74

relevantes para pesquisa, em que descrevemos com mais detalhes todo o processo

de elaboração, execução e análise.

75

QUADRO 1 – Quadro sinóptico com aulas observadas e trabalhadas na pesquisa de campo

AULA DATA ASSUNTOS DESENVOLVIDOS/COMENTÁRIOS METODOLOGIA UTILIZADA

1ª 21/02 Nessa aula o professor trabalhou uma atividade envolvendo os Problemas das Olimpíadas de Matemática de Escolas Públicas de anos anteriores. Nesse dia fui apresentado para turma. Juntamente com o professor, comecei a circular pela sala para ajudar os grupos a resolverem os problemas propostos. Este foi um momento rico para aproximação do pesquisador com a turma, percebíamos que muitos alunos solicitaram ajuda para resolução dos problemas propostos.

Aula expositiva e dialogada. Foi entregue aos alunos uma lista de problemas das olimpíadas de matemática para que eles resolvessem em grupo de no máximo 4 alunos por grupo.

2ª 25/02/2008

Problemas das Olimpíadas de Matemática (Escola Pública) continuação da aula anterior. A aula foi desenvolvida no Laboratório de Informática. Percebemos uma maior participação dos alunos nessa aula, talvez pelo interesse que eles demonstram quando utilizamos outras ferramentas nas aulas de matemática. Nesse caso, eles foram para outro ambiente e utilizaram o computador.

Os alunos foram orientados para formarem duplas. A atividade seria analisar as respostas que eles encontraram com as respostas propostas pelo professor. O professor elaborou uma apresentação em Power-point com todas as resoluções. Com essa apresentação os alunos seguiam os cálculos passo a passo.

3ª 28/02 Questionário 1 caracterizado como instrumento 1A (Crenças, concepções e atitudes sobre a matemática) e Questionário 2 caracterizado como instrumento 1B (Questionamentos sobre professores de matemática e suas atitudes em relação à matemática). Conversamos com os alunos sobre os principais objetivos desses instrumentos que era para que pudéssemos conhecê-los melhor, sabendo um pouco da relação de cada aluno com a matemática e seus professores de matemática anteriores. As informações que eles (os alunos) estavam fornecendo serviriam de orientações para o caminho que poderíamos seguir para melhor auxiliá-los em sua aprendizagem de matemática.

Um questionário contendo perguntas sobre as crenças, concepções e atitudes em relação à matemática. As perguntas foram respondidas individualmente.

Outro questionário também foi respondido individualmente sobre a opinião e atitude dos alunos sobre a matemática e professores anteriores.

4ª 05/03 Filme da série Numbers com episódio utilizando a Hipótese de Riemann que retrata o uso da lógica para quebra de sigilo com códigos na internet. Duração de 45 minutos. Pedimos aos alunos que anotassem alguns detalhes sobre o filme e que na próxima aula faríamos alguns comentários do filme e das dúvidas que eles tiveram.

Utilizamos um filme para representar a utilização da matemática no cotidiano.

5ª 10/03 Resolução de problemas envolvendo a teoria de conjuntos e correção de exercícios da aula anterior sobre conjuntos numéricos. Durante a correção dos exercícios o professor sempre interroga muito os alunos e motiva a participação deles na resolução dos problemas. Os alunos interagiram bastante nesta aula.

Folha com problemas envolvendo a teoria de conjuntos.

76

AULA DATA ASSUNTOS DESENVOLVIDOS/COMENTÁRIOS METODOLOGIA UTILIZADA

6ª 13/03 Conjuntos Numéricos. O professor precisou adiantar a aula em outra turma que estava com aula vaga. Os alunos resolveram exercícios do livro adotado pela escola em dupla. Nessa aula o professor colaborador não estava presente. O professor pesquisador ficou supervisionando os alunos e tirando as dúvidas que surgiam.

Atividade em dupla. Os alunos resolveram os exercícios em dupla e alguns alunos foram no quadro fazer correção para turma.

7ª 17/03 Atividade de natureza investigativa com números (Instrumento2) foi trabalhada nesse dia. Ficou evidente que, com apenas uma aula, não seria possível completar as tarefas propostas. Conversamos com os grupos e decidimos que retornaríamos na próxima aula para que todos pudessem terminar. No geral houve uma ótima participação dos alunos. Sendo que no início alguns alunos não sabiam o que era para fazer. Começamos a circular pelos grupos orientando os alunos nos grupos. Informávamos como deveriam fazer dizendo a todos que era inicialmente uma atividade de livre observação. Eles deveriam anotar tudo que estavam observando naquela seqüência numérica.

Grupo de quatro alunos. Para cada aluno fornecemos uma folha com uma seqüência numérica.

8ª 24/03 O professor precisou adiantar a aula em outra turma e o pesquisador ficou com a turma para terminar a atividade investigativa sobre números que havíamos começado na aula anterior. Colocamos para os alunos a importância dessa atividade em que eles deveriam desenvolver uma série de habilidades e competências. Como por exemplo: a escrita de suas idéias, a busca por algo desconhecido, usar a sua criatividade e seu senso de observação.

Atividade em grupo com 4 alunos. Apresentação das relações no quadro por um representante de cada grupo.

9ª 26/03 Avaliação com a turma da atividade investigativa com números. Solicitamos aos alunos que realizassem por aproximadamente 20 minutos algumas observações individuais sobre a atividade com números. Nessa aula relacionamos na lousa as observações que a turma falava. Foi um momento muito rico e importante para socializarmos as observações. Os alunos se sentiram muito à vontade para comentar as observações dos colegas.

Transcrevemos as observações da turma no quadro sobre a atividade investigativa de números.

10ª 31/03 Retorno das metáforas sobre a matemática respondidas pelos alunos para trocarmos idéias sobre com a turma sobre as respostas. Iniciamos a aula falando um pouco sobre a importância do trabalho em equipe e o importante papel que cada membro tem na equipe. Conversamos um pouco sobre como era importante que eles estivessem motivados em participar da atividade.

Elaboramos algumas telas de power-point com as respostas da turma sobre as metáforas. Solicitamos que eles nos ajudassem a interpretar as respostas dos colegas sem identificá-los.

11ª 03/04 Atividade avaliativa sobre teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos. Lista de 10 exercícios objetivos revisando toda a matéria anterior de conjuntos.

Atividade avaliativa desenvolvida em dupla.

77

AULA DATA ASSUNTOS DESENVOLVIDOS/COMENTÁRIOS METODOLOGIA UTILIZADA

12ª 07/04 Continuação da análise com a turma sobre as metáforas. Sentimos a necessidade de continuarmos analisando com a turma as metáforas feitas em aula anterior, pois os alunos estavam também percebendo como os outros colegas pensavam e se relacionavam com a matemática. Os alunos gostaram na maneira que apresentamos a todos suas informações e a maneira como fizemos democraticamente as interpretações, aceitando a opinião de todos que queriam explicar o que estavam conseguindo analisar.

Utilizamos as apresentações feitas em Power-point sobre as metáforas da turma. O professor colaborador digitava na íntegra as interpretações da turma.

13ª 24/04 Conjuntos numéricos, problemas envolvendo conjuntos e início do conteúdo de funções. Observamos que sempre algum aluno assumia a liderança do grupo e tentava envolver os demais membros na tarefa. Circulamos dentre os grupos auxiliando-os quando éramos solicitados.

Atividade avaliativa em grupo para fechamento da nota do 1º bimestre.

14ª 28/04 Entrega das avaliações e inicio da recuperação paralela. Os alunos que não conseguiram a média refizeram a atividade avaliativa sobre conjuntos, conjuntos numéricos e conceito de função.

Atividade desenvolvida em grupo com os alunos que não conseguiram média.

15ª 05/05 Introdução ao conceito de função. O professor colaborador pediu para o professor pesquisador conduzir a aula, porque ele não estava se sentindo bem. Utilizamos o livro texto da turma para exemplificar as aplicações do conceito de função no cotidiano. Usamos exemplos envolvendo salários, impostos e movimentos da Física que são representados por funções.

Aula expositiva e dialogada.

16ª 08/05 A turma foi dispensada pela falta de água na escola. Tivemos aula somente até o recreio e o professor colaborador estava com dengue. Aproveitei a oportunidade para conversar com a diretora sobre a vida de escola desde a fundação até o dia de hoje.

17ª 12/05 Conceito de domínio e imagem das funções reais. Dividimos a turma em grupos. Pedimos que eles indicassem alguns colegas que eles achavam que tinham facilidade em matemática que poderiam ser representantes de cada grupo. Conseguimos dividir a turma em oito grupos tendo em cada grupo um aluno representante.

Resolução de exercícios do livro em grupos. Cada grupo possuía um monitor.

18ª 22/05 Os assuntos abordados foram domínio, imagem, contradomínio e valor numérico de uma função no ponto. O professor colaborador envolve a turma na resolução dos exercícios fazendo muitas perguntas sobre o enunciado e o que realmente cada exercício estava pedindo.

Aula expositiva e dialogada com base em uma lista de exercícios para aprofundamento do assunto de funções.

78

AULA DATA ASSUNTOS DESENVOLVIDOS/COMENTÁRIOS METODOLOGIA UTILIZADA

19ª 26/05 O tema aborda foi de função e suas várias representações a partir de fórmulas, tabelas e gráficos. O professor colaborador utiliza a metáfora de uma máquina que tem uma entrada de dados, o seu processamento e sua saída (fórmula que representa a função).

Problemas do livro didático que utilizam máquinas para representar o conceito de função e caracterizarem as fórmulas das funções.

20ª 29/05 Representar problemas a partir de fórmulas que representam funções; verificar se diagramas e gráficos representam ou não funções; calcular o valor de uma função dado o domínio da mesma. Observamos que muitos alunos não tinham o hábito de resolver os exercícios em casa. Parece que eles costumavam fazer a tarefa em casa somente quando o professor avisava que daria visto na aula seguinte. Acreditamos que houve uma boa participação da turma durante as correções dos exercícios, várias perguntas surgiram durante as aulas. Percebemos dificuldades quando os alunos tinham que, a partir de um problema, explicitar a função.

Resoluções e comentários dos exercícios da lista sobre funções reais.

21ª 05/06 Revisão sobre funções reais. Decidimos que traríamos alguns alunos para o quadro para que resolvessem os exercícios para turma. No início houve receio de ir ao quadro. Incentivamos alguns alunos a participarem resolvendo no quadro. Um aluno se ofereceu e foi até o quadro e resolveu o exercício proposto. Isso incentivou para que outros alunos viessem e resolvessem mais exercícios.

Resolução dos alunos no quadro da lista de exercícios sobre funções.

22ª 09/06 Avaliação individual sobre funções reais. No final da aula perguntamos a alguns alunos que estavam no corredor sobre o que eles achavam de ter dois professores aplicando prova. Um respondeu que era legal, porque poderiam tirar algumas dúvidas sobre enunciados ou questões com dois professores. E um outro aluno disse que era muito difícil colar com dois professores circulando pela sala.

Avaliação individual sem consulta.

23ª 12/06 Não houve aula, porque estava acontecendo jogos internos na escola. Como já estava programada essa atividade esportiva, ficamos sem ter a aula. Mesmo assim fomos participar com a turma, pois era uma oportunidade que tínhamos de estarmos presente com nossos alunos em outros momentos fora de sala de aula. Momento em que foi possível observar como os alunos se comportavam, falavam e reagiam em outro contexto fora das aulas de matemática.

Atividades esportivas na escola.

24ª 16/06 Construção dos gráficos das funções reais no plano cartesiano xôy. O professor colaborador sugeriu para o pesquisador iniciar este assunto com turma. Aceitamos a proposta e preparamos a aula com base no livro didático da turma. O professor colaborador fez as anotações no caderno de bordo do pesquisador.

Aula expositiva e dialogada sobre construções de gráficos utilizando com instrumento uma régua de madeira.

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AULA DATA ASSUNTOS DESENVOLVIDOS/COMENTÁRIOS METODOLOGIA UTILIZADA

25ª 19/06 Nessa aula tivemos uma atividade avaliativa em grupo sobre os seguintes assuntos: par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e gráficos de funções reais. O professor distribuiu para cada grupo uma lista com 10 exercícios para serem resolvidos naquela aula. Havia uma grande interação entre os alunos, porque era uma tarefa avaliativa para fechamento do bimestre. Circulamos pelos grupos tirando dúvidas.

Avaliação em grupo.

26ª 23/06 Revisão de frações. Durante a correção das atividades avaliativas o professor colaborador percebeu que a turma apresentava dificuldades com os exercícios que estavam relacionados com frações. O professor colaborador elaborou uma atividade que abordava os conceitos mais relevantes sobre frações e suas operações, para ser desenvolvida no laboratório de informática.

Laboratório de informática, atividade realizada em dupla.

27ª 31/07 Gráfico da função quadrática. Aula expositiva e dialogada sobre construções de gráficos no eixo xôy.

28ª 06/08 Vértice da função quadrática. Trabalhamos alguns exemplos de aplicação do vértice da parábola na Física em lançamento oblíquo, para mostrar uma das aplicações da matemática. Procuramos mostrar a importância de saber calcular o ponto de máximo e identificar o alcance da parábola.

Lista de exercícios e comentários sobre a resolução das atividades da aula anterior.

29ª 07/08 Atividade de resolução de problemas envolvendo função quadrática. Apresentamos para a turma um problema de aplicação da função quadrática, que chamaremos de instrumento 3 que encontra-se em anexo. Sugerimos que eles resolvessem da maneira que eles achassem conveniente usando fórmulas, funções ou não. Percebemos que a maior parte da turma tentou inicialmente resolver pelo método de tentativas e erros.

Exercícios de aplicação de funções. Os alunos deveriam resolver em grupo ou individualmente o problema. No final da aula socializamos com a turma as respostas encontradas.

30ª 14/08 Valores de máximos e mínimos da função do 2º grau. Realizamos com a turma uma reflexão sobre a solução encontrada para o problema da aula anterior com a aplicação dos valores de máximos ou mínimos da função quadrática.

Aula expositiva e dialogada sobre problemas envolvendo função quadrática.

31ª 21/08 Problema de máximos ou mínimos das funções quadráticas. Retomamos com a turma o problema proposto na aula do dia 07/08 e juntamente com a turma construímos a função quadrática que resolveria o problema. Fomos construindo com a turma as estratégias de resolução passo a passo, até chegarmos em uma função que determinaria o valor máximo.

Aula expositiva em que comentamos as diversas maneiras que foram utilizadas pela turma para resolver o problema proposto na aula do dia 07/08/2008.

80

AULA DATA ASSUNTOS DESENVOLVIDOS/COMENTÁRIOS METODOLOGIA UTILIZADA

32ª 22/08 Aplicação do instrumento 4 da pesquisa. A opinião da turma sobre as atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas.

Questionário com perguntas sobre atividade investigativas e de resolução de problemas.

33ª 04/09 Estudo dos sinais da função quadrática. Com o objetivo de resolver as inequações do 2º grau nós aprofundamos o estudo de sinais em funções quadráticas utilizando mais listas de exercícios e resoluções dos mesmos pelos alunos no quadro.

Lista de exercícios.

34ª 10/09 Avaliação sobre função quadrática Avaliação individual.

35ª 17/09 Estudo dos sinais da função quadrática. Resolução de exercícios do livro didático.

35ª 24/09 Inequações do 2º grau. Lista de exercícios.

36ª 08/10 Inequações do 2º grau. Durante a resolução dos exercícios percebemos que os alunos erravam com muita freqüência a resolução de produtos notáveis quando era necessário na resolução de equações do 2º grau. Resolvemos a partir dessa aula desenvolver com eles uma atividade de natureza investigativa que contemplaria o Triângulo de Pascal.

Aula expositiva e dialogada.

37ª

(Dois tempos de aula)

09/10 Triângulo de Pascal. Atividade de natureza investigativa sobre o Triângulo de Pascal, que identificaremos como instrumento 5 em ANEXO, e sua aplicação para os produtos notáveis. Dividimos essa atividade em três momentos: no primeiro foram feitas observações livres, no segundo direcionamos algumas perguntas sobre conclusões que poderíamos extrair do triângulo de Pascal e no terceiro solicitamos a opinião dos alunos sobre o desenvolvimento da atividade.

Atividade individual de natureza investigativa.

38ª 29/10 Questionários sobre metáforas e professores de matemática em 2009. Aplicamos novamente a nove alunos as metáforas sobre as crenças, concepções e atitudes dos alunos sobre a matemática. Esse instrumento foi aplicado fora do horário regular de aulas. Tínhamos como objetivo observar se ocorreram algumas mudanças sobre esses fatores com esses alunos depois de desenvolvermos a pesquisa.

Questionário individual.

39ª 30/10 Comentários com os nove alunos sobre as respostas deles aos instrumentos 1A e 1B que tinham sido reaplicados. Tivemos como objetivo investigar a relação dos nove alunos com sua aprendizagem de matemática, sua relação com a disciplina de matemática e com os professores, já em fase final de pesquisa com o propósito de observarmos se houve alguma mudança em relação a suas crenças, concepções e

Questionário individual.

81

AULA DATA ASSUNTOS DESENVOLVIDOS/COMENTÁRIOS METODOLOGIA UTILIZADA atitudes.

40ª 06/11 Introdução do conceito de função exponencial. Iniciamos este conteúdo evidenciando a aplicação dessa função no cotidiano, como por exemplo, no cálculo de juros compostos, na depreciação de bens como carro e outros que desgastam com em função do tempo.

Aula expositiva e dialogada.

82

No desenrolar da pesquisa, percebemos que algumas aulas que foram

observadas serviram para uma aproximação do pesquisador com o ambiente

da pesquisa e que outras, efetivamente, foram elaboradas para tentar

responder os questionamentos propostos na investigação. Para que possamos

ter uma panorâmica das quarenta aulas de acordo com sua importância, no

desenvolvimento e análise dos dados da pesquisa, segue abaixo a

classificação das aulas agrupadas por categorias. Pensamos que organizando

o total de aulas em diversos blocos poderíamos destacar aulas em que

observamos os alunos e os professores colaboradores, aulas em que

trabalhamos sozinhos por sugestão do professor colaborador, aulas em que

aplicamos alguns dos instrumentos de pesquisa de coleta de dados.

I) Bloco de aulas iniciais e outras aulas que serviram para conhecermos melhor a turma e a maneira como os professores colaboradores gostavam de conduzir suas aulas (Total de 21 aulas)

Aulas 01 e 02 - Problemas das Olimpíadas de Matemática. Trabalhamos na segunda aula com os alunos a resolução dos problemas das olimpíadas da aula anterior no laboratório de informática;

Aula 04 – Passamos um filme sobre a série americana Numbers, onde podemos constatar algumas das aplicações da matemática no cotidiano.

Aulas 05 e 06 - Resolução de problemas sobre teoria de conjuntos. Conjuntos numéricos atividade realizada em grupo.

Aulas 11 e 14 – Atividade avaliativa sobre teoria dos conjuntos. Entrega e comentário das avaliações da turma.

Aula 17 – Conceito de domínio e imagem de uma função real.

Aulas 18, 19, 20 e 21 – Atividades de funções com exercícios utilizando gráficos e tabelas. Algumas atividades traziam a aplicação do conceito de função em outros ramos de conhecimento.

Aulas 22 e 25 – Avaliação individual sobre funções reais. Atividade avaliativa em grupo.

Aula 26 - O professor L percebeu a dificuldade que alguns alunos demonstravam com o conceito de frações e suas operações. Por isso, elaborou uma atividade para explorar estes conceitos e ser realizada no laboratório de informática.

83

Aulas 27 e 28 – Construção de gráfico da função quadrática e aplicações da mesma em Física.

Aulas 33 e 35 – Estudo dos sinais das funções quadráticas e inequações do 2º grau.

Aula 34 – Avaliação sobre função quadrática.

Aulas 36 – Inequações do 2º grau.

II) Bloco de aulas em que o professor pesquisador conduziu as aulas por sugestão do professor colaborador (Total de 3 aulas)

Aula 13 – Auxiliamos o professor na orientação de exercícios sobre números.

Aula 15 – Introdução ao conceito de função.

Aula 24 – Construção de gráficos de funções reais.

III) Bloco de aulas que foram utilizadas para responder e comentar os questionários sobre crenças, concepções e atitudes frente a matemática e de seus professores atuais e das série anteriores (Total de 5 aulas)

Aula 03 – Aplicação dos instrumentos 1A e 1B para investigar crenças, concepções a atitudes dos alunos em relação à matemática e seus professores.

Aulas 10 e 12 – Interpretação e análise com a turma dos questionários respondidos por todos os alunos.

Aula 38 – Reaplicação dos instrumentos 1A e 1B, questionário sobre as metáforas.

Aula 39 – Interpretação e análise com os nove alunos sobre as respostas aos instrumentos 1A e 1B que tiveram como objetivo investigar a relação dos alunos com sua aprendizagem e sua relação com a disciplina de matemática ao final da pesquisa de campo.

IV) Bloco de aulas em realizamos as atividades de natureza investigativa (Total de 5 aulas)

Aulas 07, 08 e 09 - Atividade de natureza investigativa com números distribuídos em linhas e colunas. Aula para apresentação das observações realizadas por cada grupo. Aula em que os alunos realizaram novas observações sobre números individualmente.

Aula 32 – Questionário sobre a opinião dos alunos durante a realização de uma atividade de natureza investigativa.

Aula 37 – Atividade investigativa com o triângulo de Pascal.

84

V) Aulas em que realizamos as atividades de resolução de problemas (Total de 2 aulas)

Aula 29 – Atividade de resolução de problemas envolvendo função quadrática.

Aula 30 – Retornamos e analisamos com a turma as resoluções encontradas pela turma do problema da aula 29.

No quadro anterior de aulas e no ANEXO B também trazemos alguns

comentários sobre o que foi realizado e o que fomos observando sobre os

alunos, conteúdos trabalhados e os tipos de aulas que os professores

colaboradores realizaram. Esse conjunto de quarenta aulas que registramos e

procuramos analisar no contexto global da pesquisa nos permitiu ter

consciência de uma riqueza de detalhes que passam às vezes despercebidos

ao olhar de um professor por não ter o hábito de registrar, reler e refletir

posterior aos momentos das aulas. Alguns detalhes como elaboração,

execução, análise e conclusão de algumas dessas aulas com seus respectivos

instrumentos encontram-se no capítulo 4 desse trabalho.

85

4. O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA E ANÁLISE DOS DADOS

... É o olhar de curiosidade e indagação do investigador acompanhado de sistematicidade, planejamento, avaliação contínua ao longo do processo de pesquisa, coerência ao interpretar, analisar e categorizar à luz dos questionamentos da pesquisa que permitem que o processo seja árduo, intenso e muito interessante (SILVA; SANTOS-WAGNER, 1999, p. 20).

Essa etapa de análise das informações obtidas na pesquisa é uma fase que

exige sistematicidade e critérios para seleção de material relevante da

pesquisa de campo com o objetivo de obter resultados convincentes e

satisfatórios. Para Fiorentini & Lorenzato (2006) é um processo trabalhoso e

meticuloso que implica, além de múltiplas leituras do material disponível, na

tentativa de buscar unidades de significados e em uma busca por padrões e

regularidades para, depois, agrupá-los em categorias.

Com o intuito de fornecer ao leitor uma idéia geral sobre como desenvolvemos

e aplicamos os instrumentos da pesquisa, passamos a descrevê-los a seguir.

Aplicamos em fevereiro 2008 um instrumento para saber das crenças,

concepções e atitudes dos alunos em relação à matemática e a seus

professores. Logo após a aplicação desse instrumento, tabulamos os dados e

convidamos os alunos para que eles tentassem analisar as respostas da turma.

Mesmo sabendo que seria uma análise inicial e sobre a ótica de um aluno,

conseguimos aprender muito com essa ação. Esse trabalho nos proporcionou

uma aproximação com a turma e o professor. Percebemos que eles se

sentiram sujeitos participantes da pesquisa. Reaplicamos em outubro o mesmo

instrumento com nove alunos selecionados a partir de critérios que serão

especificados com detalhes no momento em que descrevermos esse

instrumento. Achamos insuficientes essas informações e percebemos a

necessidade de retornarmos em fevereiro de 2009 para coletar os dados com

os demais alunos da turma. Feito isso, fechamos essa parte da pesquisa sobre

crenças, concepções e atitudes. Desenvolvemos com a turma duas atividades

de natureza investigativa, sendo uma a partir de uma sequência numérica de

86

números naturais dispostos em linhas e colunas e outra atividade com o

Triângulo de Pascal. Com essas atividades investigativas, tentávamos

aprender como seria trabalhar com uma atividade mais aberta e, ao mesmo

tempo, observar e aprender como esses alunos utilizariam os conceitos

matemáticos até então estudados e ainda como conseguiriam relacioná-los

durante a realização da tarefa. Concluindo os trabalhos com as atividades,

propusemos aos alunos uma tarefa de resolução de problemas. Escolhemos

um problema prático, dando oportunidades aos alunos para encontrarem

diversos caminhos para a resolução do mesmo. Dentre os vários objetivos que

iremos descrever no desenvolvimento da aula, o principal era verificar se eles

relacionariam os conteúdos que estavam estudando na resolução do problema.

Devido ao pouco tempo disponível para transcrever e analisar os instrumentos

de coleta de dados com todos os alunos, nós fizemos uma seleção de nove

alunos da turma de acordo com dois critérios que explicamos a seguir. Como

primeiro critério de seleção nós tivemos o pesquisador e os professores

colaboradores procurando identificar três alunos que apresentassem

desempenhos muito bom (aluno A13), regular (aluno A1) e com baixo

desempenho (aluno A3). Essa classificação referiu-se às notas tiradas em

avaliações aplicadas durante os meses de fevereiro a setembro; e também nos

diversos trabalhos realizados (testes individuais, em grupo, correção de

exercícios que exigiam participação no quadro, etc.). E, ainda, com base em

informações coletadas durante os conselhos de classe e nas conversas entre o

pesquisador e os professores colaboradores sobre o desempenho dos alunos

nas aulas de matemática. Para escolher os outros seis alunos solicitamos que

todos os alunos verificassem em seus cadernos se tinham participado de todas

as tarefas da pesquisa de campo, e que nos informassem quais deles

gostariam de participar da aplicação de novos instrumentos. Assim

selecionamos os alunos A6, A7, A9, A22, A26 e A30.

87

4.1. Crenças, concepções e atitudes dos alunos

Os instrumentos aplicados para investigar crenças, concepções e atitudes dos

alunos foram construídos a partir das idéias de Ernest (1989), Thompson

(1997/1984), Chapman (2005, 2006), Gómez Chacón (2003), Oliveira (2007) e

Silva (2007). Acreditamos que esses instrumentos, quando aplicados em

momentos diferentes durante o ano letivo, podem sinalizar para o professor o

que os alunos acreditam sobre a matemática. Indicando, também, algumas

formas que o professor poderia trabalhar com seus discentes que demonstram

uma boa relação com a matemática e seu ensino, como também poderia ajudar

àqueles alunos que, de certo modo, demonstravam medo ou aversão à

disciplina. Com essas observações e constatações sobre as ideias que os

alunos têm de seus professores de matemática e da própria matemática é que

poderemos compreender melhor certas atitudes dos alunos. Quando, por

exemplo, realizamos um trabalho em grupo, alguns dos alunos que apresentam

um pouco de afinidade com a disciplina de matemática sempre querem

resolver tudo sozinhos. Em contrapartida, encontramos também alunos que se

isolam por acreditarem que não serão capazes de realizar o que está sendo

proposto e, em alguns casos, nem querem sequer participar nos grupos.

No final da pesquisa de campo, reaplicamos o mesmo instrumento sobre as

metáforas, que tinha sido aplicado inicialmente em fevereiro de 2008, agora

fazendo questionamentos sobre seus professores atuais, pois durante o

caminhar da pesquisa a turma contou com a colaboração de dois professores e

do pesquisador. A intenção era utilizar as informações coletadas para

aprendermos e compreendermos um pouco como esses alunos externam seus

pensamentos e suas expectativas sobre aprendizagem de matemática, seus

professores e o ensino de matemática. E, também, verificar como esses alunos

concebem o papel do professor de matemática durante sua aprendizagem.

Durante minha trajetória como aluno, percebia que alguns de meus professores

de matemática sempre foram considerados como aqueles que não se

preocupavam muito com a relação professor-aluno e aluno-aluno. Essa relação

à qual me refiro é aquela de tentar compreender as potencialidades de seus

88

alunos e os sentimentos que esses demonstravam em relação à matemática.

Alguns desses professores de matemática se sentiam até mais valorizados em

relação a outras disciplinas, pelo fato de a matemática reprovar um maior

número de alunos do que outras matérias. Outros, parece inclusive que, se

sentiam como donos do saber. Por outro lado, as experiências que tive com o

estudo exploratório com meus alunos de ensino médio em 2007 e com essa

pesquisa de campo em 2008, me permitiram refletir e perceber alguns

detalhes. Percebi, por exemplo, como é importante que professor e alunos

tomem consciência do que sentem sobre a disciplina de matemática e de como

concebem a mesma, seu ensino e sua aprendizagem. Pude perceber como as

metáforas auxiliaram que professor e alunos se conhecessem e tomassem

consciência de como se relacionam com a matemática.

Vamos trazer um exemplo, que ocorreu durante a pesquisa de campo em

2008, para sinalizar a importância que pode ter este tipo de trabalho de

investigação de crenças, concepções e atitudes de alunos com relação à

matemática, seu ensino e aprendizagem, usando as metáforas. Esse tipo de

pesquisa pode nos ajudar a compreender o aluno e ficar ao seu lado. Quando

digo ―ficar ao lado do aluno‖, estou querendo dizer que é usar as metáforas

como um meio de realmente tentar compreender gostos, capacidades e

limitações de aprendizagem de matemática e de qualquer outra matéria do

contexto escolar para cada aluno. Podemos relatar uma frase que nos marcou

(pesquisador, professor L e colegas de sala) quando estávamos aplicando

novamente as metáforas, em março de 2009, para os alunos, agora já no

segundo ano de ensino médio. Quando fomos analisar as respostas e as

metáforas com a turma, o aluno A30 disse: Quem me dera se o professor de

Química fizesse isso com a gente. O mesmo aluno ainda complementou

dizendo: talvez, nós, alunos, não teríamos tanto medo da matéria e do

professor e acho que conseguiríamos aprender mais. E todos os alunos que

estavam presentes concordaram com a fala do colega de sala e externaram

seus sentimentos de maneira semelhante. A seguir trazemos o quadro 2 com

as respostas na íntegra dos alunos ao instrumento 1A, que foi aplicado

inicialmente em 28/02/2008. Depois do quadro apresentamos algumas de

nossas interpretações iniciais.

89

QUADRO 2 – Concepções da turma sobre a matemática

Aluno A Matemática é como... Por quê?

Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A1 Uma maneira de vida. Porque ela está presente no nosso dia-a-dia. Precisamos da matemática sempre. Muitas pessoas odeiam a disciplina de matemática, mas eu faço um grande esforço de me dar bem com ela. E estou conseguindo.

O animal mais inteligente. Porque a matemática é algo que precisa de muita inteligência para desvendar os mistérios dela.

Ela é um desafio, e que eu procuro vencê-la, em todos os testes e exercícios na sala de aula, ou no meu dia-a-dia.

A2 Se fôssemos vencer vários obstáculos da vida. O nome já diz obstáculos temos que vencer e a matemática também.

Leão. Pois o leão é bastante bravo e para buscar a matemática tem que ter garra e brigar e lutar pelo aprendizado.

Nossa até falar da matemática é complicado, mas o nome já diz tudo matemática. Não tenho que dizer.

A3 Cálculo. Procura dos sinais, das somas, divisões, multiplicações e subtrações.

Uma zebra. Embaraço-me nos cálculos.

Que tenho dificuldades em alguns cálculos.

A4 Uma motivação, porque eu vou precisar dela no futuro.

Uma bicha bem esperta, porque é preciso inteligência, calma para aprendê-la.

Que gosto muito de matemática sempre tirei notas boas. E ela vai servir para uma profissão no futuro, afinal para tudo é preciso matemática.

A5 Para mim é como uma parte da vida. Suponhamos que para entrar em um emprego você precisa saber no mínimo de matemática.

Não imagino o que ela seria !!!. Me desculpe.

Que eu não gosto dela, mas apesar de tudo ela não é ruim.

A6 Tudo que se relaciona a números ou até mesmo palavras. Porque em tudo que existe há um pouco de matemática.

Um quati . Porque é um animal o qual as letras iniciais do seu nome são parecidas com as letras inicias de um número.

A matemática é uma matéria que nós utilizamos em nosso dia-a-dia.

A7 Uma estrada sem fim. Porque quanto mais aprendo mais tenho que aprender.

Uma serpente. Porque quando menos se espera você erra porque esqueceu uma coisinha para trás.

É a segunda matéria mais difícil para mim.

A8 Um jogo. Porque você tem que estudar primeiro. Não sei. Porque nunca pensei nisso.

É uma boa matéria, porém, você precisa estudar.

A9

Dificuldade. Por que tenho um pouco de dificuldade em aprender.

Uma cobra. Porque toda hora ela pode dar um bote.

Nada.

90

Aluno A Matemática é como... Por quê?

Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A10 Números. Problemas, adição, subtração, divisão e multiplicação.

Águia. Porque tem que calcular um pouco.

Nada.

A11 Algo muito ruim para mim. Porque não consigo aprender ela.

Um bicho de sete cabeças. Porque muitas coisas são difíceis.

Às vezes, é muito ruim , às vezes, é legal.

A12 Um leão. Não sei. Leão. Não sei. Muito legal.

A13 Um meio de deixar a vida mais fácil. Porque ela ajuda a fazer da vida mais fácil, seja onde for.

Um cachorro. É sempre fiel quando precisamos, e eu gosto muito.

Que ela sempre estará comigo, pois eu adoro a matemática e me ajuda muito.

A14 Conta. Porque é uma coisa que eu não saberia explicar

Gato e cachorro, porque gosto muito desses animais.

Uma experiência de vida para nós.

A15 Um bicho de sete cabeças. Porque, têm pessoas que têm dificuldades de aprender matemática e outras têm mais facilidade, têm mais interesse e etc.

Cachorro. Eu gosto e me dou bem com cachorro.

O aluno deixou em branco a resposta.

A16 Um ensino para mim. Porque ela me ajuda ao mercado de trabalho.

Um bicho de sete cabeças. Porque tem muitos deveres que nem imaginava existir na minha vida.

Muito boa porque ela nos ensina, as pessoas a aprendem melhor.

A17 Um quebra cabeça. Porque é difícil de entender. Difícil demais. Porque tem que ter muita capacidade para aprender.

Difícil de entender, algumas vezes é bom e algumas vezes não são boas.

A18 Apenas um problema a ser resolvido. Porque todo problema tem que ser resolvido e a matemática é um grande problema.

Um coelho. Porque ela facilita nossa vida, fazendo coisas mais rápidas.

Ela complica e descomplica a nossa vida, e é como um cigarro basta apenas uma tragada e você vicia nela.

A19 Trabalhar, porque é muito complicado. Um cachorro, porque é enjoado.

Que ela ensina várias coisas.

A20 Uma experiência. Porque eu não paro de aprender.

Um leão. É muito difícil de ser domado e a matemática é muito difícil de se aprender.

Que ela é muito legal e sem ela não somos nada.

A21 Água mole em pedra dura, tanto bate até que Um leão marinho. Todos os dias É muito importante em nossas vidas, porque em todo

91

Aluno A Matemática é como... Por quê?

Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

fura. Porque quando você começa a estudá-la, você não tem noção nenhuma, mas quando você começa a trabalhá-la mais e mais você aprende.

tem um desafio diferente, como o leão marinho que todos os dias tem que fugir dos tubarões.

lugar você precisa dela, no supermercado, em casa, etc.

A22 Um desafio. Porque a cada dia procuro aprender mais e mais.

Macaco. Porque o macaco tem uma capacidade muito grande de aprender coisas.

Que a cada dia a matemática vem evoluindo e facilitando a nossa vida.

A23 Um ser novo em minha mente. Sinto-me encaixando tudo dentro dela.

O macaco. Porque pula de galho em galho, e soma os nossos objetivos.

Sem ela não resolveríamos nossos problemas.

A24 Cheio de cálculos. Porque todos os deveres de matemática exigem, conhecimentos e inteligência.

Um bicho de sete cabeças. Porque eu não sou muito chegado à matemática, mas eu tento me esforçar.

Um obstáculo.

A25 Uma dificuldade que eu tenho. Porque, às vezes, não entendo os problemas e também fico perdida nas explicações é uma dificuldade muito grande para mim.

Papagaio. Sempre ensinando e aprendendo.

Gostaria de entender um pouco mais sobre ela.

A26 Uma ciência. Porque é cheia de detalhes e é necessário estudá-la.

Elefante. Porque é grande e notável.

Algo importante para o homem.

A27 Complicada. Porque envolve muita coisa, em uma matéria.

Uma cobra. Porque a cobra fica quieta e depois dá o bote, e a matemática começa fácil e depois é que são elas (complica).

Uma matéria como todas as outras, que precisamos nos dedicar ao máximo para aprender.

A28 Um meio de ensino que precisamos. Porque quando formos assumir um emprego em um banco, etc.

Cachorro. Parece bravo mas na verdade não morde.

Uma coisa que precisamos para nosso dia-a-dia.

A29 Um bom amigo que acompanha você a todo momento.

Uma vaca que dá leite, carne e a matemática lhe dá sabedoria e facilidade de se arrumar na vida.

É uma coisa complicada, mas essencial no dia-a-dia.

A30 Um livro. Porque é como se eu descobrisse a cada dia um novo mistério, aprendesse um pouquinho mais cada dia, um livro cada dia você lê e compreende a parte dele e a matemática

Um cachorrinho. Porque um cachorro nos compreende quando a gente manda ele sair, e a gente compreende ele quando quer

Que apesar de ter dificuldade, eu tenho vontade de compreendê-la cada vez mais, eu sempre me esforcei e me esforço até hoje para compreendê-la melhor a cada vez, mas e para mim é a melhor matéria que existe até

92

Aluno A Matemática é como... Por quê?

Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

também é assim, em minha opinião. brincar. hoje, porque não é enjoativa, cada dia descubro mais coisas.

93

Fazendo a análise desse primeiro instrumento que denominamos 1A,

respondido pela turma em 28/02/2008, destacamos em letra com formato itálico

as palavras ou frases desses alunos que nos ajudaram a fazer as primeiras

interpretações procurando compreender as respostas dos alunos. Os trabalhos

de Ernest (1989), Gómez Chacón (2003), Oliveira (2007) e Silva (2007) que

lemos sobre crenças, concepções e atitudes e o que fomos aprendendo dos

alunos ao longo da pesquisa foram cruciais para os vários momentos de

interpretação desses dados. Esse processo de interpretação foi lento e só

concluímos o mesmo no relatório final da pesquisa já em meados de junho de

2009. Tivemos várias fases de interpretação das respostas dos alunos a esse

instrumento 1A durante os nove meses da investigação em 2008. Inicialmente

colocamos nossas interpretações das respostas dos 30 alunos a cada uma das

três perguntas que foram apresentadas aos alunos nesse instrumento 1A. Em

alguns casos só conseguimos ter alguma percepção do que os alunos pensam

sobre a matemática e de como se relacionam com a mesma ao confrontarmos

suas respostas aos três questionamentos.

Foi possível perceber nos relatos de alguns alunos o que priorizavam e

consideravam associado com a matemática. Por exemplo, o aluno A1 dizendo

que a matemática é como uma maneira de vida, porque ela está presente no

dia-a-dia. Já o aluno A4 falando que matemática é como motivação, porque eu

preciso dela no futuro. No relato do aluno A5 quando disse que a matemática é

como uma parte da vida, porque suponhamos que para você entrar no

emprego você precisa saber no mínimo de matemática. O aluno A13 dizendo

que a matemática é como um meio de deixar a vida mais fácil, porque ela ajuda

a fazer a vida mais fácil, seja onde for. O aluno A16 argumentando que a

matemática é um ensino para mim, porque ela me ajuda ao mercado de

trabalho. O aluno A28 que relata que a matemática é como um meio de ensino

que precisamos, porque quando formos assumir um emprego em um banco,

etc. Parece-nos, pelas respostas desses alunos, que esse grupo de seis alunos

percebe a matemática como algo utilitário, uma caixa de ferramentas e uma

possibilidade de ingressarem no mercado de trabalho e conseguir um emprego.

Estas respostas estão de acordo com as afirmativas de Ernest (1989) e Gómez

94

Chacón (2003). Ernest (1989, p. 249) quando enfatiza que existe uma visão

instrumentalista de matemática como sendo um acúmulo de fatos, regras e

habilidades a serem usadas para atingir uma finalidade externa. Logo

matemática é um conjunto de regras e fatos utilitários não relacionados. Gómez

Chácon (2003, p. 64) comenta a partir das idéias de Ernest que A matemática

torna-se acumulativa na medida em que existem objetivos externos que ela

pode ajudar a conseguir.

Quando os alunos demonstram essas concepções de que a matemática é útil

para a vida, acreditamos que isto seja favorável à aprendizagem de

matemática. Provavelmente, um dos fatores que levam esses alunos a terem

essa visão acumulativa é devido ao momento de suas vidas. Eles sofrem

pressão da família que cobra deles uma inserção no mercado de trabalho para

ajudar no orçamento doméstico. Sabemos que parte desses jovens, nas idades

entre 15 e 18 anos, já está no mercado de trabalho. Alguns estão fazendo

estágios em empresas particulares ou em órgãos do governo ou trabalhando

como ajudante de vários profissionais autônomos como: pedreiros, carpinteiros,

pintores e outros. Existem empresas, como bancos e escritórios da cidade, que

solicitam da escola o encaminhamento para estágios remunerados dos alunos

com bom desempenho em notas e comportamento.

Ainda nessa primeira pergunta sobre a matemática, observamos um grupo de

alunos que relataram que a matemática é fazer cálculo e está relacionada com

números. Ou seja, percebemos que esses alunos depois de cursarem oito anos

de ensino fundamental ingressaram no primeiro ano de ensino médio com uma

visão bem limitada do que seja a matemática. Constatamos essa visão no

aluno A3 quando diz a matemática é cálculo, porque, é a procura de sinais das

somas, divisões, multiplicações e subtrações. O aluno A6 já relata que a

matemática é como tudo que se relaciona a números ou até mesmo palavras.

Porque em tudo que existe há um pouco de matemática. No relato do aluno

A10 temos que a matemática é como números, problemas de adição,

subtração, divisão e multiplicação. O aluno A14 nos diz que a matemática é

como conta, porque é uma coisa que eu não saberia explicar. Já para o aluno

A24 a matemática é cheia de cálculos, porque, todos os deveres de

95

matemática exigem, conhecimentos e inteligência. Como já mencionamos o

que mais nos chamou atenção nas respostas desses cinco alunos é o fato de

esses alunos chegarem ao ensino médio com uma idéia de que a matemática é

apenas cálculo e, principalmente, de operações fundamentais como adição,

subtração, multiplicação e divisão. Eles não mencionaram sequer a geometria,

nem noções de probabilidade, tratamento da informação (gráficos, tabelas e

outros). É verdade que os meios de comunicação, como jornais (escrito e

falado), revistas, propagandas e internet sempre apresentam essas outras

perspectivas que fazem parte da matemática. Esses alunos vivem em um

mundo cheio de formas geométricas e representações gráficas. São nesses

momentos que devemos refletir: que tipo de ensino de matemática e

abordagens nós estamos trabalhando com esses alunos no ensino

fundamental? Sabemos que eles estudaram essas outras áreas da matemática

como: geometria, noções de probabilidade e tratamento da informação. O que

nos deixou triste e impressionados é que em nenhum momento foram citadas

essas outras perspectivas da matemática.

Selecionamos outro grupo de quatro alunos que nos parece possuírem

concepções que favorecem atitudes positivas frente à matemática. Nesses

alunos podemos perceber uma relação de conforto, relações positivas com sua

vida e a matemática. O aluno A21 diz que a matemática é água mole em pedra

dura, tanto bate até que fura, porque quando você começa a estudá-la, você

não tem noção nenhuma, mas quando você começa a trabalhá-la mais e mais

você aprende. Já o aluno A23 quando diz que a matemática é como um ser

novo em minha mente, porque me sinto encaixando tudo dentro dela. Para o

aluno A29 a matemática é como um bom amigo que lhe acompanha a todo o

momento. O aluno A30 diz que a matemática é como um livro, porque é como

se eu descobrisse a cada dia um novo mistério, aprendesse um pouquinho

mais a cada dia, um livro cada dia você lê e compreende a parte dele e a

matemática também é assim, em minha opinião.

Observamos, também, outro grupo de cinco alunos que demonstrou possuir

concepções que favorecem atitudes negativas e alunos que responderam com

poucas palavras que não forneceram pistas ou indicações diretas sobre sua

96

relação com a matemática. Com esse perfil, selecionamos o aluno A2,

afirmando que a matemática é como se fôssemos vencer vários obstáculos da

vida, porque o nome já diz obstáculos temos que vencer. O aluno A9 ao dizer

que a matemática é como dificuldade, porque tenho um pouco de dificuldade

em aprender. O aluno A12 chama atenção pela falta de detalhes nos seus

argumentos, pois ele responde dizendo que a matemática é como um leão,

porque não sei. Quando esse aluno diz que a matemática é um leão, podemos

ter interpretações diversas. Por exemplo, podemos pensar que para ele a

matemática é como leão, pois leão seria algo feroz e difícil de ser domado ou

que lhe transmite medo. Também poderíamos pensar que o leão é o rei dos

animais e é o mais forte da selva. Portanto para ele a matemática poderia ser a

rainha das disciplinas. Mas ficamos sem saber em quais das duas

possibilidades esse aluno se encontra em seus pensamentos e relações com a

matemática ao olharmos apenas para sua resposta. O aluno A25 dizendo que

a matemática é como uma dificuldade que eu tenho, porque, às vezes, não

entendo os problemas e também fico perdido nas explicações é uma grande

dificuldade para mim. O aluno A27 informou que a matemática é complicada,

porque envolve muita coisa em uma matéria. Esses alunos podem estar

sinalizando para nós, professores, que necessitam de um atendimento mais

direcionado em aulas de matemática.

O professor precisa tentar dialogar com esses alunos de forma especial, talvez

individualizada, buscando informações mais detalhadas sobre suas atitudes,

crenças e concepções sobre a matemática e seu ensino. Acreditamos que o

caminho inicial para nós, professores, seria o de conversar com esses alunos,

argumentando que é possível aprender a matemática e tentar mostrar para

eles os vários caminhos de explorar e abordar os conteúdos matemáticos. Um

dos fatores que ajudaria na aprendizagem desses alunos, que demonstram não

ter uma boa relação com a matemática, são as possíveis mudanças em suas

concepções, crenças e atitudes em relação à disciplina que poderiam ocorrer

se a matemática fosse ensinada e avaliada de múltiplas formas.

Um dos prováveis fatores positivos que tem contribuído para a aprendizagem

da turma é que poucos alunos apresentaram idéias negativas sobre a

97

matemática. Sabemos que somente a aplicação desse instrumento de

pesquisa é apenas um passo para termos uma análise da turma em relação às

concepções, crenças e atitudes sobre a matemática. Contudo, essas

informações, associadas a conversas individuais e uma relação bem

transparente com esses alunos sobre o que eles realmente aprenderam ou não

sobre determinados conteúdos, poderão nos ajudar a compreender melhor o

caminho que devemos trilhar para favorecer o processo ensino-aprendizagem

de matemática desses discentes.

Analisando a segunda pergunta do instrumento 1A: Se a matemática fosse

um animal, ela seria... Por quê? De modo geral, parece que os alunos da

turma pesquisada procuraram associar a matemática a diversos animais. Em

alguns casos, foi possível inferir pelo animal e justificativa dada para esse

animal a relação que expressam com a matemática. Parece-nos que se a

relação desse aluno frente à matemática for positiva ele a compara com um

animal que considera ter uma relação de amizade, um bom convívio ou que

considera como um animal inteligente. Por exemplo, os alunos A1 e A4 não

colocaram nome de nenhum animal em particular, mas trouxeram em suas

respostas evidências da importância que relacionam com a matemática. O

aluno A1 disse O animal mais inteligente. Porque a matemática é algo que

precisa de muita inteligência para desvendar os mistérios dela. Já o aluno A4

comenta que a matemática seria uma bicha bem esperta, porque é preciso

inteligência e calma para aprendê-la. O aluno A6 escolheu o animal quati, pois

percebeu que o nome desse animal inicia-se com três letras que usamos em

matemática para redigir alguns números. Para os alunos A13, A14, A15, A28 e

A30 a matemática seria um cachorro e trouxeram explicações que nos fazem

acreditar que possuem um bom relacionamento com a matemática e com esse

animal. Comportamento semelhante nós observamos na resposta do aluno A14

quando diz que a matemática seria como gato e cachorro, por que gosto muito

desses animais. O aluno A18 também parece ter um bom relacionamento com

a matemática ao dizer que a matemática seria um coelho. Porque ela facilita

nossa vida, fazendo coisas mais rápidas. Os alunos A22 e A23 disseram que a

matemática seria um macaco e também trouxeram argumentos que nos levam

a acreditar que possuem uma boa relação com a matemática. O aluno A25

98

disse que a matemática seria um papagaio. Sempre ensinando e aprendendo.

A resposta do aluno A26 nós também interpretamos como positiva, pois disse

que a matemática seria um elefante. Porque é grande e notável. Finalizamos

com o aluno A29 quando respondeu Uma vaca que dá leite, carne e a

matemática lhe dá sabedoria e facilidade de se arrumar na vida. Acreditamos

que esses quatorze alunos relacionam-se positivamente com matemática por

suas escolhas de animais e justificativas como comentamos.

Entretanto, se a relação desses alunos frente à matemática não é boa, eles

procuram associá-la com um animal que pode lhes trazer perigo, que eles têm

medo ou mesmo desconhecem ou que não gostam. Procuramos separar os

alunos que apresentaram o mesmo animal e que justificaram a escolha do

animal de forma bem parecida. Ao olharmos novamente as respostas dos

alunos A2 e A20, quando informaram que a matemática seria um leão, que eles

trazem argumentos ressaltando a dificuldade de aprender matemática.

Incluímos também o aluno A3 nesse grupo de alunos, que não apresentam

uma boa relação com a matemática, pelo fato de esse aluno justificar que a

matemática seria uma zebra, porque ele se embaraça nos cálculos.

Encontramos o aluno A7 associando a matemática a uma serpente e os alunos

A9 e A27 associando a matemática com cobra. Esses três alunos fazem

associações entre o perigo e bote que esses animais nos oferecem com as

dificuldades e os erros que podem ocorrer com os estudos de matemática. Os

alunos A11, A16 e A24 disseram que a matemática seria um bicho de sete-

cabeças e trazem em suas explicações as dificuldades que enfrentam com a

matemática. O aluno A21 parece também ter uma relação complicada com a

matemática, pois em sua resposta colocou Um leão marinho. Todos os dias

tem um desafio diferente, como o leão marinho que todos os dias tem que fugir

dos tubarões. Destacamos que o aluno A19 também comparou a matemática

com um cachorro, mas percebemos que esse aluno não tem uma relação

positiva nem com cachorro nem com matemática. Porque o aluno A19 diz: Um

cachorro, porque é enjoado. Observamos que esses onze alunos associaram a

matemática com animais que lhes oferecem perigo, desconforto, desafios e

cuidados.

99

No entanto dos trinta alunos da turma ainda temos cinco alunos que não

podemos inferir claramente o relacionamento que possuem com a matemática

a partir dessa metáfora com o animal. Por exemplo, ficamos sem possibilidade

de interpretar as respostas dos alunos quando esses não associaram a

matemática a animal nenhum como ocorreu com o aluno A5 não imagino o que

ela seria !!!; aluno A8 não sei. Porque nunca pensei nisso; e o aluno A17 difícil

demais. O aluno A12 associou a matemática ao leão mas disse não sei o

porque. Esse já tinha dado essa resposta na primeira pergunta. Temos também

o aluno A10 que comparou a matemática com um animal, mas não nos deixou

pistas de seus motivos. Ele disse matemática seria águia. Porque tem que

calcular um pouco. Essa comparação nos deixou sem saber o que ele pensa e

como se relaciona com a matemática.

No momento em que solicitamos que completassem o pensamento: O que eu

gostaria de dizer sobre a matemática é..., percebemos que alguns alunos

defenderam a utilidade e importância da matemática. Constatamos inicialmente

cinco alunos com justificativas semelhantes. Por exemplo, o aluno A4 diz que

ela vai servir para uma profissão no futuro, afinal para tudo é preciso

matemática. Na resposta do aluno A6 ele afirma que A matemática é uma

matéria que nós utilizamos em nosso dia-a-dia. Respostas semelhantes nós

encontramos nos alunos A21 e A28. O aluno A29 relata que: É uma coisa

complicada, mas essencial no dia-a-dia. Outros quatro alunos nos levam a

pensar que percebem a importância da matemática para a vida do homem. Por

exemplo, o aluno A14 quando disse uma experiência de vida para nós. O aluno

A16 dizendo que a matemática é muito boa porque ela nos ensina, as pessoas

a aprendem melhor. O aluno A20 comentando que ela é muito legal que sem

ela não somos nada. O aluno A26 dizendo algo importante para o homem. Já o

aluno A22 nos traz um pensamento que destaca a importância da matemática

e de seus conhecimentos continuarem evoluindo, pois completa o pensamento

assim O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é que a cada dia a

matemática vem evoluindo e facilitando nossa vida. Este aluno parece estar

percebendo a matemática como resolução de problemas, pois segundo Ernest

(1989, p. 249) nesta visão filosófica percebe-se a matemática como sendo algo

dinâmico, como um campo de criação e invenção humana expandindo-se

100

continuamente, um produto cultural. Consideramos essas visões de utilidade,

de importância e de resolução de problemas associadas com a matemática

como sendo concepções positivas desses dez alunos, porque eles associaram

a matemática a algo que poderá trazer-lhes benefícios como um emprego, ou

solução para problemas rotineiros da vida ou como sendo algo importante para

aprendermos, para usarmos em nossa vida e criarmos novos conhecimentos.

Analisando o que esses alunos responderam, podemos pensar ou argumentar

que poderia ser relevante para a aprendizagem deles, a exploração em aulas

de situações do cotidiano ou problemas que possam representar ou simular

algo do dia-a-dia desses alunos. Também acreditamos que ainda precisamos

explorar provavelmente em sala de aula situações que simulem problemas não

rotineiros, que levem aos alunos a propor novos problemas e a sentirem a

necessidade de novos conhecimentos. Ou seja, cremos que precisamos

estimular nossos alunos a perceberem que o ser humano está continuamente

necessitando formular novos problemas, simular situações e criar novos

conceitos matemáticos que possam resolver problemas complexos em diversas

áreas do conhecimento. Pois nos incomodou perceber que tivemos apenas um

aluno no início do ensino médio percebendo que a matemática é um produto

cultural.

Destacamos que ocorreram outros tipos de respostas quando solicitamos que

os alunos completassem esse terceiro pensamento. Tivemos um grupo de sete

alunos trazendo respostas diferentes, mas que nos transmitem informações

positivas com respeito a matemática. Por exemplo, o aluno A8 dizendo

matemática é uma boa matéria, mas, porém você precisa estudar; o aluno A12

muito legal; o aluno A13... adoro a matemática e me ajuda muito; o aluno A19

que ela ensina várias coisas; o aluno A23 sem ela não resolveríamos nossos

problemas; o aluno A25 gostaria de entender um pouco mais; o aluno A27 uma

matéria como todas as outras, que precisamos nos dedicar ao máximo.

Tivemos seis alunos A2, A3, A5, A7, A17 e A24 colocando algo relativo a

matemática como sendo uma dificuldade ou obstáculo. Os alunos A9 e A10

respondendo nada e o aluno A15 que deixou em branco a resposta. Os alunos

A11 e A18 destacando os dois lados da matemática um ruim e às vezes legal e

101

o outro ela complica e descomplica nossa vida. O aluno A1 dizendo que a

matemática é um desafio que procura vencer e o aluno A30 que diz que apesar

de ter dificuldade tenho vontade de compreendê-la cada vez mais, eu sempre

me esforcei e me esforço até hoje... . Concluindo, deste total de treze alunos

tivemos três que não nos permitem saber o que pensam, pois não

responderam ou redigiram simplesmente a palavra nada. Dos outros dez

alunos destacando algo relativo a dificuldade e obstáculo, temos dois alunos

que procuram vencer e compreender suas dificuldades e dois alunos falando

tanto da dificuldade como da facilidade da matemática.

Ao analisarmos as três perguntas desse instrumento, verificamos que uma

pergunta complementa a outra, nos fornecendo uma possível ideia sobre o que

esses alunos pensam da matemática e do seu ensino, e de como se

relacionam com a disciplina. Nesse instrumento as próprias perguntas já foram

propostas pensando na possibilidade de triangular as mesmas para

confrontarmos as informações obtidas (CHAPMAN, 2006; SANTOS-WAGNER,

2008, 2009). Por exemplo, os alunos A5, A8 e A17 só nos permitem

compreender um pouco do que pensam e sentem com respeito a matemática e

seu ensino quando confrontamos suas respostas aos três questionamentos

feitos no instrumento 1A. Destacamos as respostas do aluno A5. Ele

respondeu o questionamento 1 dizendo a matemática para mim é como uma

parte da vida. Suponhamos que para entrar em um emprego você precisa

saber no mínimo de matemática. Se olhássemos apenas para essa resposta

poderíamos pensar que esse aluno considera a matemática como algo

importante e necessário para a vida e para o trabalho. Já em sua resposta ao

segundo questionamento, se a matemática fosse um animal ela seria... Por

quê?, nós ficamos surpresos por não podermos interpretar sua resposta. Ele

nos respondeu Não imagino o que ela seria!!!. Me desculpe. Apenas ao

olharmos para sua resposta ao seu terceiro questionamento conseguimos

perceber que esse aluno não tinha uma boa relação com a matemática, mas

estava consciente da importância da mesma. Pois ele nos disse: O que eu

gostaria de dizer sobre a matemática é que eu não gosto dela, mas apesar de

tudo ela não é ruim. Só a partir do momento que olhamos novamente suas três

respostas e todas as palavras colocadas na primeira e terceira resposta é que

102

conseguimos compreender um pouco de como esse aluno pensa sobre a

matemática.

4.2. Analisando as metáforas com a turma

Em conversa com minha orientadora, achamos que seria importante socializar

com todos os alunos e o professor colaborador as respostas que cada aluno

forneceu sobre as metáforas colocadas no primeiro instrumento. Essa análise

com a turma aconteceu no dia 31/03/08 pela primeira vez e sentimos a

necessidade de retomarmos no dia 07/04/2008. Seria uma maneira que

teríamos para auxiliar alunos e professores de se conhecerem melhor.

Também seria um momento de compartilhar com os alunos a importância da

participação deles na pesquisa de campo. Dessa forma, os alunos poderiam

perceber que existem diferentes possibilidades, pois alguns colegas gostam de

matemática, outros evidenciam algumas angústias sobre seu ensino, e outros

até mesmo demonstram alguma dificuldade em relação à matéria. Para nós,

como pesquisadores, seria a oportunidade que teríamos de mostrar para esses

alunos que eles estavam fazendo parte da pesquisa tanto na coleta de dados e

informações como também nos procedimentos de análises desses

instrumentos.

Na realização dessa aula de análise do instrumento 1A com a turma, levamos

um notebook onde já tínhamos preparado em power-point um quadro com

todas as respostas da turma. Identificamos cada aluno por um código e

pedimos que eles não se identificassem. O pesquisador solicitou que os alunos

fizessem a leitura das respostas de alguns colegas e procurassem interpretar

as mesmas. O professor colaborador L digitava no mesmo instante no

notebook as opiniões que a turma chegava a um consenso, sobre aquele aluno

que estava em pauta. Não conseguimos fazer a interpretação e análise das

103

respostas de toda turma, porque o tempo não foi suficiente, apesar de termos

usado duas aulas para essa atividade. Achamos, contudo, que foi gratificante

esse trabalho com a turma pelo depoimento de alguns alunos que disseram

que se sentiram mais valorizados quando participaram dando sua opinião

sobre algum tema ou atividade realizada em sala de aula. Segue abaixo o

quadro com as respostas de alguns colegas da turma sobre as atitudes,

crenças e concepções de alguns colegas sobre a matemática. Não houve

nenhum critério de escolha dos alunos que seriam analisados, fomos passando

a tabela com os dados dos alunos e a turma indicava qual o aluno seria

analisado aleatoriamente.

As interpretações da turma encontram-se em itálico logo abaixo das respostas

e indicadas por uma seta.

QUADRO 3 – Analise da turma sobre instrumento 1A em 31/03/2008

Aluno

A Matemática é como... Por quê?

Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A1 Uma maneira de vida. Porque ela está presente no nosso dia-a-dia. Precisamos da matemática sempre. Muitas pessoas odeiam a disciplina de matemática, mas eu faço um grande esforço de me dar bem com ela. E estou conseguindo. Esse aluno vê a matemática como uma forma de resolver os problemas da vida. É um aluno que tem suas dificuldades, mas se esforça para superá-las.

O animal mais inteligente. Porque a matemática é algo que precisa de muita inteligência para desvendar os mistérios dela. Não existe animal mais inteligente.

Ela é um desafio, e que eu procuro vencê-la, em todos os testes e exercícios na sala de aula, ou no meu dia-a-dia. Gosta da disciplina e procura resolver as dificuldades que ela tem.

A5 Para mim é como uma parte da vida. Suponhamos que para entrar em um emprego você precisa saber no mínimo de matemática.

Não temos que gostar, somos obrigados a estudar. Não tem nada a ver, pois tem muita gente que trabalha e não sabe matemática. Ex. Alguém que trabalha num restaurante mexe com comida e não com matemática.

Não imagino o que ela seria !!!. Me desculpe. Este aluno não tem conhecimento de matemática; o aluno acha a matemática misteriosa e não tem nem noção de que animal seria.

Que eu não gosto dela, mas apesar de tudo ela não é ruim. Não gosta. Mas não é ruim, pois no futuro ela pode precisar; Ela gosta de alguns assuntos e outros não.

A18 Apenas um problema a ser resolvido. Porque todo problema tem que ser resolvido

Um coelho. Porque ela facilita nossa vida, fazendo coisas mais

Ela complica e descomplica a nossa vida, e é como um

104

Aluno

A Matemática é como... Por quê?

Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

e a matemática é um grande problema. A vê como um grande mistério a ser resolvido; Ele entende, mas acha difícil; Cada vez mais avançado, e quanto mais estudo mais surgem coisas novas e mais difíceis

rápidas. Em cada parte da vida vamos aprendendo conteúdos que nos ajudarão no futuro.

cigarro basta apenas uma tragada e você vicia nela. Acha complicada, mas ela ajuda a resolver nossos problemas no dia-a-dia na escola e na vida; No momento que conhecemos e aprendemos vamos usar todos os dias, com isso avançamos em nossos conhecimentos.

A19 Trabalhar, porque é muito complicado. Este aluno apresenta característica de um aluno preguiçoso.

Um cachorro, porque é enjoado. Ele não gosta da matemática assim como não gosta de cachorro; Ele deve achar a matemática um tédio, ou será a aula, o professor talvez ele acha enjoado por que está sempre presente em tudo.

Que ela ensina várias coisas. Ele sabe que a matemática é muito importante, mas não gosta; Acho que ele não entende, pois não falou quase nada; É uma pessoa fechada não gosta de admitir suas dificuldades, vai que eu pergunto e a sala acha que minha pergunta é idiota.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador:

Observando as análises da turma podemos identificar que os alunos tentaram

interpretar ou responder de maneira diferente, ou seja, tentaram com outras

palavras dizer exatamente o que o colega já tinha escrito. Por exemplo: a)

Quando aluno A1 diz que a matemática é como uma maneira de vida. Porque

ela está presente no nosso dia-a-dia. A turma analisa que esse aluno vê a

matemática como uma forma de resolver os problemas da vida.

Podemos dizer que conseguimos compreender um pouco sobre as relações

que existiam entre esses alunos. A maneira como eles tentavam interpretar os

dados era de certa forma procurar adivinhar quem tinha escrito. Eles faziam

julgamentos a partir do que liam de quem era o colega. Eles procuravam dizer,

sabemos que essa ideia é de fulano porque gosta de matemática. Ou diziam

105

pensamos que é ciclano porque não gosta e apresenta um pouco de

dificuldade com a disciplina. Assim foi possível estabelecer um relacionamento

mais franco com a turma sobre diversos aspectos do cotidiano de sala de aula.

Por exemplo, conseguimos identificar alunos que poderiam de certa forma

ajudar outros colegas. Concluímos com essa atividade de interpretação

realizada pelos alunos que foi possível conhecê-los melhor. Já esperávamos

uma análise superficial dos alunos, pois estamos percebendo como é uma

tarefa complexa realizar interpretações e análises de informações de outras

pessoas na pesquisa. Uma das intenções dessa atividade era de mostrar aos

alunos a importância de realizar uma tarefa coletivamente. Percebemos na

prática que a atividade foi mesmo mais uma forma de aproximá-los e mostrar-

lhes a importância para a aprendizagem do grupo, a partir do momento em que

todos se conhecessem e soubessem reconhecer as crenças, concepções e

atitudes dos colegas. Conversamos com os alunos sobre a importância de

respeitarmos os limites de cada um, porque em grupo podemos ajudar e

solicitar ajuda. Pois um grande objetivo de atividades em grupo é ter todos

participando e ajudando todos a aprender.

4.3. Retomando o instrumento sobre as crenças, concepções e atitudes

Em 29/10/2008, explicamos aos nove alunos que tinham sido selecionados, de

acordo com os critérios estabelecidos no início desse capítulo, que eles já

conheciam o instrumento 1A. Lembramos aos alunos que já tinham respondido,

em fevereiro de 2008, aos mesmos questionamentos envolvendo as metáforas

e atitudes deles frente à matemática. O professor C continuou desenvolvendo a

aula naquele dia com os demais alunos que não foram responder o

questionário. Para não prejudicar os alunos, que estavam respondendo o

questionário, havíamos preparado uma lista de exercícios sobre a aula anterior

para os alunos que ficaram na sala de aula. Os alunos que estavam

106

respondendo o questionário se comprometeram em resolver os exercícios em

casa e em trazer as dúvidas que tivessem para nós na próxima aula. Os alunos

A1, A3, A6, A7, A9, A13, A22, A26 e A30 foram responder o questionário e

ficaram sob a responsabilidade do pesquisador, que os conduziu para uma sala

separada disponibilizada pela escola. Os alunos completaram os três

questionamentos em aproximadamente 25 minutos. Depois esses nove alunos

retornaram para a sala de aula e participaram do restante da aula.

Enquanto respondiam as perguntas do instrumento 1A em outubro de 2008, os

alunos não tiveram acesso ao que tinham redigido anteriormente em fevereiro

de 2008. Esperávamos, a partir das novas informações, que esses alunos

fornecessem pistas e indícios sobre algumas mudanças que poderiam ou não

ter ocorrido em suas crenças, concepções e atitudes deles em relação à

matemática e seu ensino. Nesse dia 29/10/2008, também combinamos com

esses nove alunos um novo encontro para fazermos um diálogo com eles

sobre as respostas que tinham colocado em fevereiro e em outubro nos

questionamentos do instrumento 1A. Esse encontro aconteceu no dia

04/11/2008, após o horário normal de aulas que se encerra às 11h 30min. Para

facilitar esse momento coletivo com esses alunos para interpretar e analisar

suas respostas foi necessário digitar outra tabela com suas respostas nestes

dois momentos. Nenhum aluno foi identificado, fizemos a leitura das respostas

dos nove alunos, mas conseguimos apenas dialogar sobre três colegas,

identificados como sendo os alunos A1, A26 e A30. Os comentários desses

nove alunos sobre esses três colegas encontram-se abaixo das respostas dos

alunos especificados com letra em itálico e indicado por uma seta.

107

QUADRO 4 – Metáforas dos nove alunos selecionados da turma em dois momentos

Aluno/ Mês

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A1/fev/2008

Uma maneira de vida. Porque ela está presente no nosso dia-a-dia. Precisamos da matemática sempre. Muitas pessoas odeiam a disciplina de matemática, mas eu faço um grande esforço de me dar bem com ela. E estou conseguindo.

O animal mais inteligente. Porque a matemática é algo que precisa de muita inteligência para desvendar os mistérios dela.

Ela é um desafio, e que eu procuro vencê-la, em todos os testes e exercícios na sala de aula, ou no meu dia-a-dia.

A1/out/2008

Um mistério, algo muito perfeito e que requer muita atenção. Porque a cada momento que pensamos nela conseguimos descobrir algo diferente, mas ela é divertida e interessante. Vê a matemática como um conteúdo normal, divertida, demonstrando mais interesse.

Um animal bem interessante e bem inteligente. Porque a matemática é isso, interessante e muito curiosa. Professor adotou métodos diferentes, já mudou a atitude, será o que causou a mudança no método.

Eu não gostava dela, achava a matéria mais chata, mais nojenta e eu não sabia nada. Mas agora que eu estou precisando dela, resolvemos ficar amigas, hoje me dou muito bem com ela, mesmo não sendo ―CDF‖,é só ter um pouco de interesse. Fazia por obrigação, está fazendo por gostar, a vê como algo interessante.

A3/fev/2008 Cálculo. Uma Procura dos sinais, das somas, divisões, multiplicações e subtrações.

Uma zebra. Embaraço-me nos cálculos.

Que tenho dificuldades em alguns cálculos.

A3/out/2008 Uma caixa de surpresas. Sempre descobrimos coisas novas, sem saber que existe.

Onça. É muito feroz e difícil de ser domada.

Difícil de aprender, mas não é impossível.

A6/fev/2008 Tudo que se relaciona a números ou até mesmo palavras. Porque em tudo que existe há um pouco de matemática.

Um quati. Porque é um animal o qual as letras iniciais do seu nome são parecidas com as letras inicias de um número.

A matemática é uma matéria que nós utilizamos em nosso dia-a-dia.

A6/out/2008 Um iceberg, Porque o olho humano só consegue ver uma parte do todo o seu tamanho e complexidade.

Um camaleão, Porque se apresenta de várias maneiras e em situações em que ela parece estar ausente.

Está em todos os lugares e é essencial e complexa.

A7/fev/2008 Uma estrada sem fim. Porque quanto mais aprendo mais tenho que aprender.

Uma serpente. Porque quando menos se espera, você erra porque esqueceu uma coisinha para trás.

É a segunda matéria mais difícil para mim.

108

Aluno/ Mês

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A7/out/2008 Uma família. Porque você tem que entender e

compreender para gostar cada vez mais dela. Cachorro. Porque se você não é amigo dele, provavelmente ele irá te morder.

Uma das matérias que eu mais gosto, pois a partir do momento que tentamos aprender, e nos esforçamos, conseguimos aprender, pois a matemática não é difícil só complicada, mas ao entender ela fica fácil.

A9/fev/2008

Dificuldade. Por que tenho um pouco de dificuldade em aprender.

Uma cobra. Porque toda hora ela pode dar um bote.

Nada.

A9/out/2008 Um labirinto. Porque há vários caminhos de se chegar a uma única resposta.

Um cachorro. Porque ela ladra, mas não morde; ou seja, ao vê-la e se relacionar com ela pela primeira vez há certa aversão, que desaparece ao conhecê-la a fundo.

Que apesar de ser complexa às vezes, temos que aprendê-la, pois constitui um aspecto essencial para as nossas vidas.

A13/fev/2008

Um meio de deixar a vida mais fácil. Porque ela ajuda a fazer da vida mais fácil, seja onde for.

Um cachorro. É sempre fiel quando precisamos, e eu gosto muito.

Que ela sempre estará comigo, pois eu adoro a matemática e me ajuda muito.

A13/out/2008 É interessante e confiável. Porque nos incentiva a cada vez mais nos interessar e descobrir coisas novas e a confiar nela para fazer nossa vida mais simples.

Um cachorro. Porque sempre nos acompanha aonde vamos e sempre que precisamos dela está ao nosso lado.

Que apesar de se ter preconceito com ela, por ser mais difícil, ela pode ser muito simples, é só ter atenção com ela, que você entenderá ela muito bem.

A22/fev/2008 Um desafio. Porque a cada dia procuro aprender mais e mais.

Macaco. Porque o macaco tem uma capacidade muito grande de aprender coisas.

Que a cada dia a matemática vem evoluindo e facilitando a nossa vida.

A22/out/2008 É um dos meios de achar raízes, decifrar equações, etc. Porque a cada dia as coisas vão evoluindo como a matemática. Antes os professores não cobravam muito com isso os empregos não exigiam muito, mas hoje em dia para ter empregos, é preciso ter o ensino básico completo. Com isso a cada dia a matemática evolui ano após ano.

Um macaco. Porque tem-se a possibilidade de aprender em pouco tempo, ou seja, os macacos são tão inteligentes quanto o ser humano.

Uma forma variável de descobrir áreas, perímetros, etc.

109

Aluno/ Mês

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A26/fev/2008 Uma ciência. Porque é cheia de detalhes e é

necessário estudá-la. Elefante. Porque é grande e notável.

Algo importante para o homem.

A26/out/2008

Um caminho difícil que chega ao lugar importante. Porque assim como um caminho é importante que passamos pela matemática para chegarmos a um lugar importante (realização profissional). Está observando a matemática como algo além da escola. Antes a enxergava só na escola, agora já pensa no seu futuro.

Um mosquito. Porque se pode encontrar em todos os lugares, às vezes chato. Elefante é grande e notável (matemática), como o mosquito ela está em todos os lugares, só que agora é um pouco chato.

Para mim um desafio, porque tenho facilidade em aprender, mas nas provas nem sempre vou bem mesmo fazendo os exercícios. Só via a matemática para as pessoas, agora a vê como algo para ele.

A30/fev/2008 Um livro. Porque é como se eu descobrisse a cada dia um novo mistério, aprendesse um pouquinho mais cada dia, um livro cada dia você lê e compreende a parte dele e a matemática também é assim, em minha opinião.

Um cachorrinho. Porque um cachorro nos compreende quando nós pedimos para ele sair e sai, e a gente compreende ele quando quer brincar.

Que a apesar de ter dificuldade, eu tenho vontade de compreendê-la cada vez mais, eu sempre ma esforcei e me esforço até hoje para compreendê-la melhor a cada vez, mais e para mim é a melhor matéria que existe até hoje, porque não é enjoativa, cada dia descubro mais coisas.

A30/out/2008 Um livro. Porque a cada página nos traz uma nova descoberta. Esse aluno gosta de ler, a vê como algo desconhecido.

Um leão. Porque é um animal difícil de lidar (assim como a matemática) é meio complicadinho. No início achava que era fácil, ele não estava com muito entusiasmo, por isso achava que ia ser fácil. Percebeu que precisa de mais atenção e força de vontade.

Para mim ela é como uma matéria como outra qualquer, só que muitos alunos não gostam dela porque ela exige muito esforço, tem que pensar, somar, acho que eles ficam com preguiça. Tem característica de uma pessoa esforçada, e passou a se preocupar com esforço e o pensamento dos colegas. Seus colegas têm dificuldade por não se esforçarem nos estudos.

110

Interpretações, comentários e análises do pesquisador:

No relato do aluno A1, observamos que em fev/08 ele pensava que a

matemática era como uma maneira de vida, e citou que existiam pessoas que

odiavam a mesma. Já em out/2008 passa a conceituar a matemática como um

mistério, que precisa ser desvendado. Ele continuou afirmando que a

matemática é um animal inteligente e acrescenta que é bem interessante.

Quando analisamos as respostas desse aluno A1, somente com as

informações obtidas em fevereiro, nós tínhamos relacionado ele como sendo

um aluno que apresentava atitudes positivas sobre a matemática. Mas agora

em outubro, quando procuramos relacionar as perguntas desses dois

momentos, é que percebemos que nossa interpretação inicial tinha sido falha.

Ele nos trouxe muitas outras informações quando disse que não gostava dela,

achava a matéria chata, mais nojenta e eu não sabia nada. Observamos nesse

trecho que o mesmo fornece indícios e informações sobre suas primeiras

crenças e concepções sobre a matemática como sendo negativas. Com o

andamento da pesquisa e nos momentos vivenciados durante as atividades

realizadas no trabalho de campo, acreditamos que houve alguma mudança na

maneira como esse aluno percebe a matemática. Em seu relato em outubro do

que gostaria de dizer sobre a matemática ele completou o pensamento anterior

dizendo Mas agora que estou precisando dela resolvemos ficar amigas, hoje

me dou muito bem com ela, mesmo não sendo ―CDF‖, é só ter um pouco de

interesse. Ou seja, ele começou a fornecer informações sobre e indícios de

sua relação com a matemática. A interpretação coletiva dos nove alunos sobre

o aluno A1 no quadro 4, com as informações colocadas em itálico, nos mostra

que eles trouxeram interpretações que se alinham com nossas análises acima.

O aluno A3 em seu relato em fev/08 considerava a matemática somente como

cálculo e procura de sinais, agora em out/08 a concebe como uma caixa de

surpresas, onde sempre descobrimos coisas novas. Ele muda a comparação

de matemática com o animal zebra, porque se embaraçava nos cálculos, para

onça, porque é muito feroz e difícil de ser domado. Continua afirmando que

matemática é difícil de aprender, mas que não é impossível. Já o aluno A6

passava a ideia de uma matemática utilitária, que estava presente no dia-a-dia.

111

Percebia relação da matemática com números e letras, nos levando a pensar

que poderia estar associando números e letras com a álgebra ou combinatória.

Procurou associar a matemática com um animal que poderia ser lembrado a

partir de um número. Como parece que pensou no número quatro, quarenta ou

quatrocentos, falou do animal quati. Esse mesmo aluno em outubro começa a

observar a matemática como algo que aparece de várias maneiras e que para

ele a matemática está em todos os lugares e é essencial e complexa, não no

sentido de dificuldade, mas como algo abrangente.

O aluno A7 nos fornece pistas de que a aprendizagem de matemática era algo

difícil de ser alcançado como uma estrada sem fim, algo traiçoeiro como uma

serpente e dizia é a segunda matéria mais difícil para mim. Acreditamos

também que o trecho uma estrada sem fim quer nos chamar a atenção de que

ele estava preocupado com a quantidade de conteúdos de matemática que

precisava aprender. Esse aluno em outubro passa a ver a matemática como se

fosse uma família, ou seja, algo que você precisa compreender para começar a

gostar e que envolve entrelaçamentos, quem sabe por já perceber que alguns

conceitos matemáticos estão relacionados entre si. Ele começa a descrever

com mais detalhes sua relação com a matemática. Além disso, o aluno A7

mudou bastante na sua escolha de animais para comparar com a matemática,

passando de compará-la com uma serpente em fevereiro para compará-la com

um cachorro em outubro. E nos diz matemática é como um cachorro. Porque

se você não é amigo dele, provavelmente ele irá te morder. Segue dizendo que

a matemática é uma das matérias que eu mais gosto, pois a partir do momento

que tentamos aprender, e nos esforçamos, conseguimos aprender, pois a

matemática não é difícil só complicada, mas ao entender ela fica fácil. Ou seja,

o aluno A7 nos informa acreditar que a partir do momento que nós nos

esforçarmos para compreendê-la conseguimos aprender.

O relato do aluno A9 em fevereiro fornece poucos indícios sobre sua relação

com a matemática, disse que sentia uma dificuldade com a matemática e a

considera uma cobra e que não gostaria de dizer nada sobre a matemática. No

momento em que observamos suas ideias em outubro percebemos que ele

considera a matemática como um labirinto. Porque há vários caminhos de se

112

chegar a uma única resposta. Essa comparação do aluno A9 de matemática

com labirinto não está negativa como antes, e sim por ter começado a perceber

que podemos trabalhar a matemática por vários caminhos quando procuramos

resolver situações de exercícios, problemas e outras atividades matemáticas

que admitam resposta única. Em outubro, o animal passou a ser um cachorro,

que ladra, mas não morde. E que esse medo da matemática pode desaparecer

quando você passa a conhecê-la melhor. Em seu relato o aluno A26 em

fevereiro/2008 considerava a matemática como uma ciência cheia de detalhes,

associou a matemática a um elefante, porque é grande e notável e como algo

importante para o homem. Em outubro/2008, fornece indícios de que a

matemática poderia ser um caminho difícil que devemos trilhar para chegarmos

a uma realização profissional. Se ela fosse um animal seria como um mosquito,

porque podemos encontrá-la em todos os lugares, às vezes chato. Parece

fornecer pistas de que gosta da matemática, mas que em alguns momentos

como nas avaliações não consegue tanto sucesso. Acreditamos que esse

aluno, tanto em fevereiro como em outubro, manteve sua opinião sobre a

matemática, como algo útil que está presente em diversos lugares e em muitas

profissões, como também em tarefas rotineiras do dia-a-dia. Se olharmos as

conclusões que seus colegas tiveram para o aluno A26 percebemos que são

coerentes com as conclusões que tivemos desse aluno.

O aluno A30 manteve a ideia de que a matemática é como um livro, em

fevereiro e outubro, porque é como se cada página nos traz uma nova

descoberta. Percebemos indícios de possíveis mudanças quando olhamos sua

fala em fevereiro: que apesar de ter dificuldade, eu tenho vontade de

compreendê-la cada vez mais, que sempre se esforça para compreendê-la

melhor a cada vez e que a cada dia descobre coisas novas. Em outubro

considera a matemática como outra matéria qualquer, só que muitos alunos

não gostam dela, porque exige muito esforço. Esse aluno começa a

compreender e compartilhar das angústias de alguns colegas sobre a

aprendizagem de matemática, nos transmitindo a ideia de que passou a

compreender que cada um pode apresentar certo grau de afinidade e

dificuldade com a disciplina. Na avaliação da turma esse aluno começou a

perceber que a matemática é uma disciplina que exige do aluno um pouco mais

113

de atenção e força de vontade. A análise da turma parece indicar que durante

as interpretações da visão que cada um tem da matemática e de seu ensino é

que muitos deles podem deixar pistas sobre como cada um pode contribuir

para ajudar os colegas. Transmitindo a ideia de companheirismo quando eles

relatam que o aluno A30 passou a se preocupar com esforço e pensamento

dos colegas. O comportamento desses nove alunos neste momento de

interpretação coletiva das respostas deles trás novamente a importância da

interação e mediação entre eles como comentada por Vygotsky.

Os relatos dos alunos A13, A22, A26 e A30 aos três questionamentos sobre a

matemática já nos pareciam positivo em fevereiro de 2008. Quando olhamos

seus posicionamentos em outubro de 2008, percebemos que eles seguem com

posicionamentos positivos sobre a matemática. Em linhas gerais dizem que

gostam de estudar a mesma e que depende do empenho do aluno para

entender a matemática. Além disso, em alguns casos usaram o mesmo animal

para comparar com a matemática (A22) ou utilizaram-se de um mesmo objeto

para comparar com a matemática como fez o aluno (A30), mas trouxeram

explicações e argumentos diferenciados.

Analisando as respostas desses nove alunos, nesses dois momentos,

encontramos alguns indícios e pistas de uma provável influência da pesquisa

sobre a concepção deles em relação à matemática. Procuramos analisar cada

aluno no momento inicial e no momento final da pesquisa e buscamos também

refletir sobre o que aconteceu de fevereiro até final de outubro de 2008 em

nosso estudo. Consideramos também todo conhecimento que fomos

construindo desses alunos ao longo das quarenta aulas que compartilhamos

em 2008. Sentimos que os alunos A1, A3, A7 e A9 mudaram suas opiniões em

outubro com respeito à matemática, seu ensino e aprendizagem. Em

fevereiro/2008, eles pareciam ter crenças e atitudes negativas com respeito à

matemática, como reflexo de suas experiências escolares nos oito anos do

ensino fundamental. Ou seja, ao longo de toda a investigação foi possível

observar e refletir sobre esses nove alunos e seus colegas trabalhando com os

professores colaboradores e conosco. Além disso, acreditamos que o trabalho

diferenciado que realizamos em alguns momentos com os professores durante

114

as aulas e o nosso trabalho de pesquisa envolvendo formas de conhecer os

alunos, tarefas de natureza investigativa e atividades de resolução de problema

podem ter contribuído para as mudanças de visão e percepção da matemática

dos alunos A1, A3, A7 e A9.

4.4. Metáforas dos alunos no início e no final da pesquisa de campo

Aplicamos o instrumento 1A sobre metáforas em relação à matemática em três

momentos: em fev/2008 com toda a turma; em out/2008 somente com os nove

alunos selecionados a partir de critérios que foram especificados com detalhes

já anteriormente; e em uma terceira data. Achamos insuficientes essas

informações e percebemos a necessidade de retornarmos em fevereiro de

2009 para coletarmos os dados com os demais alunos da turma. Feito isso,

fechamos essa parte da pesquisa sobre crenças, concepções e atitudes. No

quadro abaixo estão representadas as respostas, nossas interpretações,

análises e comentários. Como não foi possível retornarmos a escola para

convalidar com esses alunos suas respostas e apresentar-lhes as nossas

interpretações, análises e comentários, acreditamos que perdemos a

oportunidade de verificar ainda melhor nossas interpretações. Contudo

acreditamos que as respostas desses alunos estão mais próximas possíveis de

suas opiniões, porque em momento algum eles tiveram acesso aos

questionários respondidos anteriormente.

115

QUADRO 5 - Metáforas dos alunos no início e no final da pesquisa de campo

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A3/fev/2008 Cálculo. Uma Procura dos sinais, das somas, divisões, multiplicações e subtrações.

Uma zebra. Embaraço-me nos cálculos.

Que tenho dificuldades em alguns cálculos.

A3/out/2008 Uma caixa de surpresas. Sempre descobrimos coisas novas, sem saber que existe.

Onça. É muito feroz e difícil de ser domada.

Difícil de aprender, mas não é impossível.

A3/fev/2009 Um jeito de resolver cálculo muito usado no dia-a-dia das pessoas. Porque com ela resolvemos tudo que é necessário.

Uma cobra. Perigosa e indomável.

Que sem ela a vida das pessoas ficaria muito mais difícil.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No seu relato no início da pesquisa o aluno parecia perceber a matemática como uma disciplina que privilegia o uso de algoritmos e operações matemáticas fundamentais. Podemos perceber que ao final da pesquisa que esse aluno parece nos dar pistas que existe uma matemática não acabada como uma caixa de surpresas com coisas novas a serem descobertas e passível de aplicação no dia-a-dia. Ele nos fornece indícios de que, apesar de comparar a matemática com animais que parecem representar algo de feroz e indomável, reconhece que é possível aprender.

A4**/fev/2008 Uma motivação, porque eu vou precisar dela no futuro.

Uma bicha bem esperta, porque é preciso inteligência, calma para aprendê-la.

Que gosto muito de matemática sempre tirei notas boas. E ela vai servir para uma profissão no futuro, afinal para tudo é preciso matemática.

A4**/fev/2009 O aluno não respondeu. Uma serpente. Porque precisa de inteligência para aprendê-la.

Que eu gosto de matemática.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No seu relato esse aluno nos dá indícios de que para aprender matemática é preciso ser inteligente e ter calma. Que matemática nunca foi uma disciplina em que ele teve dificuldades de aprender e reconhece a matemática como algo que está presente no cotidiano de várias formas.

A5**/fev/2008 Para mim é como uma parte da vida. Suponhamos que para entrar em um emprego você precisa saber no mínimo de matemática.

Não imagino o que ela seria !!!. Me desculpe.

Que eu não gosto dela, mas apesar de tudo ela não é ruim.

A5**/fev /2009 Uma matéria que você tem que levar com você para sempre.

Um cachorro. Porque se a pessoa chamar ele com carinho

Muito chata, mas tenho que vencê-la.

116

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

ele atenderá, mas se o cachorro fizer algo errado e a pessoa chamá-lo com tom de voz alto ele não atenderá.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Esse aluno parece reconhecer a matemática como uma disciplina que pode ficar marcada na vida de cada um, por representar algo que cada um vai necessitar durante seu trabalho. Parece continuar acreditando que a matemática não é algo bom para ele, mas que tem se esforçado para vencer as suas dificuldades com essa disciplina.

A6*/fev/2008 Tudo que se relaciona a números ou até mesmo palavras. Porque em tudo que existe há um pouco de matemática.

Um quati. Porque é um animal o qual as letras iniciais do seu nome são parecidas com as letras inicias de um número.

A matemática é uma matéria que nós utilizamos em nosso dia-a-dia.

A6*/out/2008 Um iceberg, Porque o olho humano só consegue ver uma parte do todo o seu tamanho e complexidade.

Um camaleão, Porque se apresenta de várias maneiras e em situações em que ela parece estar ausente.

Está em todos os lugares e é essencial e complexa.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Olhar comentários já feitos sobre esse aluno no capítulo 4 item 4.3.

A7/fev/2008 Uma estrada sem fim. Porque quanto mais aprendo mais tenho que aprender.

Uma serpente. Porque quando menos se espera, você erra porque esqueceu uma coisinha para traz.

É a segunda matéria mais difícil para mim.

A7/out/2008 Uma família. Porque você tem que entender e compreender para gostar cada vez mais dela.

Cachorro. Porque se você não é amigo dele, provavelmente ele irá te morder.

Uma das matérias que eu mais gosto, pois a partir do momento que tentamos aprender, e nos esforçamos, conseguimos aprender, pois a matemática não é difícil só complicada, mas ao entender ela fica fácil.

A7/fev/2009 Nossa vida. Porque quanto mais se aprende, mais temos para aprender.

Cachorro. Porque temos que o conhecer para que não avance em nós e sim nos ajude muito.

Um desafio que estou conseguindo vencer a cada dia um pouco e espero continuar vencendo.

117

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Esse aluno nos dá indícios inicialmente que a matemática é como algo difícil de ser alcançado e que com o caminhar da pesquisa parece perceber a matemática como uma família fazendo parte da nossa vida. Inicialmente considerava a matemática como uma serpente algo traiçoeiro, mudou no mês de outubro/2008 para cachorro e manteve o mesmo animal em fev/2009, parece nos dar ideia da matemática ainda como um animal feroz, mas quando você a conhece e compreende é possível que ela vire nossa amiga.

A9/fev/2008

Dificuldade. Por que tenho um pouco de dificuldade em aprender.

Uma cobra. Porque toda hora ela pode dar um bote.

Nada.

A9/out/2008 Um labirinto. Porque há vários caminhos de se chegar a uma única resposta.

Um cachorro. Porque ela ladra, mas não morde; ou seja, ao vê-la e se relacionar com ela pela primeira vez há certa aversão, que desaparece ao conhecê-la a fundo.

Que apesar de ser complexa às vezes, temos que aprendê-la, pois constitui um aspecto essencial para as nossas vidas.

A9/fev/2009 Uma matéria complicada. Porque você aprende e sempre surgem coisas mais difíceis.

Uma cobra. Porque sempre dá o bote.

Estudar. Quando estudo, percebo que aprendo um pouco mais, que às vezes ela é chata e legal ao mesmo tempo. É muito importante na nossa vida.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Em seu relato em fev/2008 esse aluno fornece poucas pistas sobre sua relação com a matemática, já em outubro ele consegue fornecer mais detalhes sobre sua relação com a matemática, parece que nos dá indícios de mudança de sua concepção quando muda sua visão da matemática de dificuldade para labirinto e quando troca o animal de cobra que estaria pronta para te dar o bote para cachorro que você passa a não ter aversão quando você passa conhecê-lo melhor. Em fev/2009 parece que esse aluno está oscilando com suas opiniões e sentimentos do que diz a respeito da matemática. Por outro lado essas informações nos mostram que ele percebe que pode aprender matemática e que quando ele estuda um pouco ele aprende. Quando surgem coisas mais difíceis ele está associando a matemática à cobra que está sempre pronta para dar o bote.

A10**/fev/2008 Números. Problemas, adição, subtração, divisão e multiplicação.

Águia. Porque tem que calcular um pouco.

Nada.

A10**/fev/2009 Fácil. Porque acho fácil. Macaco. Porque é uma matéria que está em quase todos os lugares.

Gosto de aprendê-la.

118

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No seu relato em fev/2008 parecia ter uma visão limitada da matemática e forneceu poucos indícios sobre sua relação com a matemática. Em fev/2009 ele nos fornece informações de que está conseguindo ter uma boa relação com a matemática. Diz também que gosta de aprendê-la. Associa a matemática com o macaco porque o percebe em todos os locais e considera que a matéria matemática também está em quase todos os lugares.

A13/fev/2008

Um meio de deixar a vida mais fácil. Porque ela ajuda a fazer da vida mais fácil, seja onde for.

Um cachorro. É sempre fiel quando precisamos, e eu gosto muito.

Que ela sempre estará comigo, pois eu adoro a matemática e me ajuda muito.

A13/out/2008 É interessante e confiável. Porque nos incentiva a cada vez mais nos interessar e descobrir coisas novas e a confiar nela para fazer nossa vida mais simples.

Um cachorro. Porque sempre nos acompanha aonde vamos e sempre que precisamos dela está ao nosso lado.

Que apesar de se ter preconceito com ela, por ser mais difícil, ela pode ser muito simples, é só ter atenção com ela, que você entenderá ela muito bem.

A13/fev/2009 Um desafio. Porque sempre me auto desafio a resolver as questões mais difíceis.

Um cachorro. Pois é sempre leal a você e te acompanha a vida toda.

Que ela sempre estará comigo.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Esse aluno manteve coerência em todos os momentos da pesquisa sobre sua concepção a respeito da matemática. Comparou sempre a matemática com cachorro e trouxe explicações semelhantes em todos os casos. Quando comenta o que eu gostaria de dizer sobre a matemática trouxe comentários positivos sobre a matemática e procurou em out/2008 encorajar os colegas com dificuldade falando que a matemática pode ser simples e com atenção você entenderá ela muito bem.

A14**/fev/2008 Conta. Porque é uma coisa que eu não saberia explicar

Gato e cachorro, porque gosto muito desses animais.

Uma experiência de vida para nós.

A14**/fev/2009 Um bicho de sete cabeças. Porque é muito complicado.

O aluno deixou em branco. Muito bom.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador O aluno iniciou em fev/2008 com uma visão limitada de matemática, pois a comparou com contas sem dar explicações. Comparou a matemática com animais que gosta. Depois de um ano parece que algo está fazendo mudar de opinião sobre a matemática quando diz que a matemática é como um bicho de sete cabeças. Com as respostas breves fornecidas pelo aluno em fev/2009 não conseguimos indícios sobre o que realmente está acontecendo ou pensando sobre a matemática.

A17**/fev/2008 Um quebra cabeça. Porque é difícil de entender Difícil demais. Porque tem que ter muita capacidade para

Difícil de entender, algumas vezes é bom e algumas vezes não são boas.

119

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

aprender.

A17**/fev/2009 Uma dor de cabeça. Porque quanto mais você estuda só dá dor de cabeça.

Um animal indomável. Porque é difícil de entender suas características.

Que ela é muito difícil de entender.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Esse aluno demonstra que não sentia-se confortável com a matemática em fev/2008 e um ano depois parece seguir com as mesmas dificuldades.

A18**/fev/2008 Apenas um problema a ser resolvido. Porque todo problema tem que ser resolvido e a matemática é um grande problema.

Um coelho. Porque ela facilita nossa vida, fazendo coisas mais rápidas.

Ela complica e descomplica a nossa vida, e é como um cigarro basta apenas uma tragada é você vicia nela.

A18**/fev/2009 Minha vida. Cheia de problemas. Uma praga tipo mosquito de dengue Aedes aegypti. Porque só dá problema.

Uma matéria complicada, mas é bom aprender matemática.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No relato inicial esse aluno parecia ter uma relação positiva com a matemática a partir das três respostas. Nas entrelinhas de suas respostas podemos pensar que ele olhava também a matemática em suas dificuldades, pois comentou que é apenas um problema a ser resolvido. Porque todo problema tem que ser resolvido e a matemática é um grande problema. Além disso, falou que ela complica e descomplica nossa vida. Já agora no início do 2º ano do ensino médio em fev/2009 parece que só está percebendo o lado complicado da matemática e trás em suas três respostas informações que nos levam a pensar que está percebendo a matemática com uma visão negativa.

A21**/fev/2008 Água mole em pedra dura, tanto bate até que fura. Porque quando você começa a estudá-la, você não tem noção nenhuma, mas quando você começa a trabalhá-la mais e mais você aprende.

Um leão marinho. Todos os dias tem um desafio diferente, como o leão marinho que todos os dias tem que fugir dos tubarões.

É muito importante em nossas vidas, porque em todo lugar você precisa dela, no supermercado, em casa, etc.

A21**/fev/2009 Um jogo. Porque é cheia de desafios. Um leão. Porque manda na área, e assim como os bichos precisam do leão, nós precisamos da matemática em todas as matérias.

Aprender matemática é um desafio.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No seu relato esse aluno parece perceber a matemática como uma disciplina importante para outras matérias, manteve idéias positivas sobre a matemática e consegue perceber sua aplicação no cotidiano.

120

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A22/fev/2008 Um desafio. Porque a cada dia procuro aprender mais e mais.

Macaco. Porque o macaco tem uma capacidade muito grande de aprender coisas.

Que a cada dia a matemática vem evoluindo e facilitando a nossa vida.

A22/out/2008 É um dos meios de achar raízes, decifrarem equações, etc. Porque a cada dia as coisas vão evoluindo como a matemática. Antes os professores não cobravam muito com isso os empregos não exigiam muito, mas hoje em dia para ter empregos, é preciso ter o ensino básico completo. Com isso a cada dia a matemática evolui ano após ano.

Um macaco. Porque se tem a possibilidade de aprender em pouco tempo, ou seja, os macacos são tão inteligentes quanto o ser humano.

Uma forma variável de descobrir áreas, perímetros, etc.

A22/fev/2009 Depende do ponto de vista de cada pessoa. Para mim é mais uma disciplina que se usa no seu dia a dia. Porque por exemplo para construirmos uma casa tem que se ter a matemática, etc.

Girafa. Porque ela enxergaria bem longe e alcançaria os lugares mais altos com facilidade.

Ela é um novo caminho.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No seu relato nos três momentos esse aluno parece reconhecer a importância da matemática no cotidiano quando diz para construirmos uma casa tem que se ter a matemática. Parece compreender que a matemática evolui na medida em que o mundo também cobra das pessoas alguma mudança. Esse aluno parece ter uma boa relação com a matemática, porque comparou a matemática com animais que não transmitem perigo ou ameaça. Percebe-se nesse aluno de fev/2008 para fev/2009 que ele começa a refletir que para compreender e gostar ou não da matemática vai depender do ponto de vista de cada um, podemos constatar isso quando ele diz responde a primeira pergunta informando matemática depende do ponto de vista de cada pessoa.

A23**/fev/2008 Um ser novo em minha mente. Sinto-me encaixando tudo dentro dela.

O macaco. Porque pula de galho em galho, e soma os nossos objetivos.

Sem ela não resolveríamos nosso problemas.

A23**/fev/2009 Um bicho de sete cabeças. Porque a cada dia que se passa você aprende coisas novas que nunca, nem sonhávamos em ver.

Um papagaio. Porque envolve letras.

Que ela está presente em nosso cotidiano.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Nas suas respostas a essas três perguntas nesses dois momentos parece que podemos perceber uma influência das atividades investigativas desde fev/2008 a fev/2009 quando ele diz que a matemática é um bicho de sete cabeças não no sentido negativo, mas como algo novo e desconhecido, porque ele diz a cada dia que se passa você aprende coisas novas que nunca, nem sonhávamos em ver. Em relação aos animais parece não demonstrar com os animais que escolheu nenhum tipo de pensamento negativo em relação à matemática.

121

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A24**/fev/2008 Cheio de cálculos. Porque todos os deveres de matemática exigem, conhecimentos e inteligência.

Um bicho de sete cabeças. Porque eu não sou muito chegado a matemática, mas eu tento me esforçar.

Um obstáculo.

A24**/fev/2009 Cheio de números. Porque matemática envolve bastante números e porcentagens, etc.

Um bicho de sete pernas. Porque quando você tenta resolver um problema, você precisa ter uma lógica de tudo o que você está imaginando naquele problema.

Que a matemática está em nosso presente, nosso alcance.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No seu relato inicial esse aluno parece possuir uma visão limitada da matemática apenas como uma disciplina que desenvolve algoritmos. Parece nos dar pistas que houve alguma mudança de concepção quando em fev/2008 dizia que a matemática era um bicho de sete cabeças, porque eu não sou muito chegado a matemática, mas eu tento me esforçar, agora após um ano muda para um bicho de sete pernas, porque você precisa ter uma lógica de tudo que você está imaginando naquele problema. Acreditamos que algumas dessas mudanças ocorreram porque em vários momentos durante a aplicação das atividades investigativas os alunos foram incentivados a expressar suas ideias para os grupos talvez isso o tenha influenciado. Esse aluno em fev/2008 dizia que matemática era um obstáculo, já em fev/2009 parece deixar de acreditar nessa concepção e começa a perceber a matemática como algo que está ao alcance de todos.

A25**/fev/2008 Uma dificuldade que eu tenho. Porque, às vezes, não entendo os problemas e também fico perdida nas explicações é uma dificuldade muito grande para mim.

Papagaio. Sempre ensinando e aprendendo.

Gostaria de entender um pouco mais sobre ela.

A25**/fev/2009 Uma maneira de visualizar os problemas de outra maneira e solucioná-lo. Porque é um monte de fórmulas e possui várias soluções.

Macaco. Porque é muito inteligente.

Muito interessante.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Nas respostas desse aluno podemos perceber que em fev/2008 quando ele diz que matemática é uma dificuldade que eu tenho parece que sua relação com a matemática apresenta características negativas. Já em fev/2009 esse aluno parece nos fornecer indícios que essa ideia da matemática como algo negativo começa a perder espaço. Ele enxerga a matemática como uma ferramenta de visualização de uma situação problema e que podem existir várias soluções para um mesmo problema. Em relação aos animais ele associou tanto em fev/2008 quanto em fev/2009 a matemática a animais que são inteligentes e sempre estão aprendendo. Parece que nossa pesquisa e as aulas todas do primeiro ano do ensino médio influenciaram o novo olhar de matemática desse aluno.

A26*/fev/2008 Uma ciência. Porque é cheia de detalhes e é necessário estudá-la.

Elefante. Porque é grande e notável.

Algo importante para o homem.

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Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

A26*/out/2008

Um caminho difícil que chega ao lugar importante. Porque assim como um caminho é importante que passamos pela matemática para chegarmos a um lugar importante (realização profissional).

Um mosquito. Porque se pode encontrar em todos os lugares, às vezes chato.

Para mim um desafio, porque tenho facilidade em aprender, mas nas provas nem sempre vou bem mesmo fazendo os exercícios.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Olhar comentários já feito sobre esse aluno no capítulo 4 item 4.3.

A27**/fev/2008 Complicada. Porque envolve muita coisa, em uma matéria.

Uma cobra. Porque a cobra fica quieta e depois dá o bote, e a matemática começa fácil e depois é que são elas. (complica)

Uma matéria como todas as outras, que precisamos nos dedicar ao máximo para aprender.

A27**/fev/2009 Uma matéria complicada. Porque é difícil de entender. Cobra. Porque ela fica esperando para dar o bote. A matemática no começo eu entendo tudo depois fica complicado.

Uma matéria complicada que exige muita atenção.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No relato desse aluno durante a fase inicial da pesquisa em fev/2008 e também em fev/2009 percebemos que ele parece não apresentar nenhum tipo de mudança sobre suas crenças e concepções sobre a matemática, pois continuou repetindo que a matemática é algo difícil de entender. Associou nesses dois momentos a matemática à cobra no sentido de algo que vai sempre prejudicá-lo. Parece perceber que para aprender matemática seria necessária muita atenção e dedicação.

A29**/fev/2008 Um bom amigo que acompanha você a todo o momento.

Uma vaca que dá leite, carne e a matemática lhe dá sabedoria e facilidade de se arrumar na vida

É uma coisa complicada, mas essencial no dia-a-dia.

A29**/fev/2009 É essencial na nossa vida. Porque em qualquer lugar que estamos nós usamos a matemática sem notar.

Um cachorro. Porque a matemática é fiel e sempre está a nossa disposição.

A matemática nos leva a descobrir coisas que nem imaginamos que existia.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador No seu relato esse aluno nos dá indícios de que tem uma boa relação com matemática quando analisamos essas três perguntas, foi possível perceber quando ele relata que a matemática é como um bom amigo que acompanha você a todo o momento. Podemos também perceber uma boa relação no

123

Aluno Mês /ano

A Matemática é como... Por quê? Se a matemática fosse um animal, ela seria... Por quê?

O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é...

momento que ele compara a matemática a um cachorro, porque é fiel e sempre está a nossa disposição. Os argumentos apresentados anteriormente nos dão pistas que esse aluno apresenta uma visão positiva da matemática. Parece que esse aluno foi influenciado pelas dinâmicas diferenciadas que realizamos com as atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas, quando diz a matemática nos leva a descobrir coisas que nem imaginamos que existia.

A30/fev/2008 Um livro. Porque é como se eu descobrisse a cada dia um novo mistério, aprendesse um pouquinho mais cada dia, um livro cada dia você lê e compreende a parte dele e a matemática também é assim, em minha opinião.

Um cachorrinho. Porque um cachorro nos compreende quando nós pedimos para ele sair e sai, e a gente compreende ele quando quer brincar.

Que a apesar de ter dificuldade, eu tenho vontade de compreendê-la cada vez mais, eu sempre ma esforcei e me esforço até hoje para compreendê-la melhor a cada vez, mais e para mim é a melhor matéria que existe até hoje, porque não é enjoativa, cada dia descubro mais coisas.

A30/out/2008 Um livro. Porque a cada página nos traz uma nova descoberta.

Um leão. Porque é um animal difícil de lidar (assim como a matemática) é meio complicadinho.

Para mim ela é como uma matéria como outra qualquer, só que muitos alunos não gostam dela porque ela exige muito esforço, tem que pensar, somar, acho que eles ficam com preguiça.

A30/fev/2009 Um livro. Porque em cada página desvendamos e aprendemos algo.

Um cachorrinho. Porque precisa de atenção.

Que me entendo cada vez mais com ela.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador Em seu relato esse aluno manteve durante os três momentos da pesquisa a visão da matemática como um livro em que podemos encontrar coisas novas em cada página, ou seja, sendo algo a ser desvendado em cada uma de suas páginas. Quando olhamos a resposta de sua terceira pergunta, parece que esse aluno nos fornece indícios de que está conseguindo melhorar sua relação com a matemática a cada dia. Em fev/2008 dizia que apesar de ter dificuldade, eu tenho vontade de aprendê-la cada vez mais. Agora em fev/2009 diz que me entendo cada vez mais com ela. Observando o animal que ele escolheu nos três momentos percebemos que ele iniciou dizendo que a matemática é como um cachorro que precisamos compreender e termina com a visão novamente de um cachorrinho, porque precisa de atenção.

* Alunos que responderam as perguntas sobre as metáforas em fev/2008 e out/2008. ** Alunos que responderam as perguntas sobre as metáforas em fev/2008 e fev/2009. Os alunos A1, A2, A8, A11, A12, A15, A16, A19, A20 e A22 não comparecem nesse dia em fevereiro de 2009 e temos respostas dos mesmos apenas em fevereiro de 2008. Essas informações encontram-se no quadro 2 no item 4.1.

124

4.5. Crenças dos alunos sobre o papel dos professores na aprendizagem e atitudes dos alunos frente a sua aprendizagem

Mostraremos com o instrumento 1B da pesquisa de campo, as crenças dos

alunos sobre qual o papel dos professores na sua aprendizagem e algumas

atitudes dos alunos nesse processo. Esses questionamentos foram aplicados

em dois momentos da pesquisa. No início em fevereiro de 2008, foi com o

intuito de saber o que esses alunos traziam de experiências dos professores e

do ensino de matemática das séries anteriores. Na fase final, em outubro de

2008, foi para verificarmos se houve alguma mudança nessas visões dos

alunos sobre o papel dos professores em seu processo de aprendizagem. As

perguntas colocadas nesse instrumento e as interpretações das respostas dos

alunos foram orientadas pelos trabalhos de Gómez Chacón (2003) e Oliveira

(2007).

125

QUADRO 6 - Crenças e concepções sobre os professores e atitudes dos alunos em relação à matemática

ALUNO DATA Meus professores de matemática da escola eram...

O melhor que um professor pode fazer por mim é...

Para ser bom em matemática é necessário...

Minhas motivações para fazer matemática é...

A1 28/02

31/10

Inteligentíssimos; parece que já nasceram com a matemática no cérebro.

Muito inteligentes! Pareciam pessoas de outro planeta.

Ensinar-me a matemática com paciência, repetir as explicações.

Explicar mais de uma vez.

Reflexão, muita concentração, e de um professor capacitado.

Ter interesse na matéria e vontade de vencer as dificuldades.

Desafiá-la

Mostrar a mim mesmo que posso ser igual aos meus colegas da escola.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Parece demonstrar admiração pelo professor nos dois momentos em que os dados foram coletados. Esse aluno parece acreditar que ao ser capaz de memorizar e repetir os procedimentos realizados pelo professor está aprendendo matemática. Essa é uma prática comum que alguns alunos incorporam em suas crenças a partir de modelos de aula tradicional onde o professor tinha incentivado memorização de fatos, regras e fórmulas e cobrando o uso das mesmas em exercícios e avaliações . A partir das análises do instrumento 1A do quadro 4 e das perguntas feitas no quadro 6, esse aluno parece indicar uma tendência em acordo com a visão que Ernest (1989) e Thompson (1997/1984) denominam de visão instrumental da matemática, sendo essa mesma visão denominada de utilitária por Gómez Chacón (2003). Sua motivação em aprender matemática parte da vontade de querer estar entre o grupo de colegas que ele julga saber a matéria.

A3 28/02

31/10

Bons explicam bem.

Legais.

Ajudar-me quando tenho dificuldade.

Ajudar-me quando tenho dificuldade.

Saber tabuada.

Prestar atenção.

Quando temos que fazer cálculos para resolver.

Não ter outra escolha.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Com as informações e relatos apresentados por esse aluno no instrumento 1A e observando as respostas acima, ele parece nos transmitir a ideia de que a matemática é uma disciplina na qual ele tem dificuldades. Parece conceber a matemática como uma disciplina obrigatória do currículo escolar, algo que ele precisa cumprir. Espera sempre que seu professor o auxilie durante suas dificuldades. Em fevereiro acreditava que para aprender matemática era necessário saber a tabuada, acreditamos que esse aluno mesmo fornecendo poucas pistas sobre o que seria necessário para ser bom em matemática pode ter ampliado sua ideia quando diz que é necessário prestar atenção.

A6 28/02

Experientes e instruídos Ensinar a questionar resoluções e me ensinar a pensar.

Prática e garra. Raciocínio e facilidade de compreensão

126

ALUNO DATA Meus professores de matemática da escola eram...

O melhor que um professor pode fazer por mim é...

Para ser bom em matemática é necessário...

Minhas motivações para fazer matemática é...

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Esse aluno não estava presente no dia 31/10 quando reaplicamos o instrumento 1B. Parece que sua ideia em fev/2008 era de aprender com significado internalizando os conhecimentos.

A7 28/02

30/10

Super legal.

Muito inteligentes e explicavam a matéria muito bem.

Explicar a matéria mais de uma vez, até que eu entenda.

Motivar-me mais a estudar com projetos legais como este.

Se dedicar muito e tentar compreender o máximo.

Que eu adoro essa matéria.

Para no futuro eu conseguir passar em um concurso.

Não respondeu.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Parece demonstrar uma concepção da matemática como uma disciplina que é possível aprender mecanicamente.

A9 28/02

Instruídos. Ensinar-me e orientar-me. Atenção e dedicação.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Esse aluno não estava presente em 31/10 quando aplicamos novamente esse instrumento. Em seus relatos iniciais deixa poucos indícios sobre sua concepção. Parece-nos que ele concebe uma função diferenciada para o professor não só como aquele que transmite o conteúdo, mas alguém que deve também orientá-lo.

A13 28/02

30/10

Bem explicativos, pelo menos a maioria.

Difíceis às vezes.

Explicar mais a matéria escrevendo no quadro.

Fazer mais pressão na matéria.

Prestar atenção e não se distrair.

Interesse.

Um dia me formar na UFES em matemática e ser professor.

Meu futuro.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Esse aluno parece ter demonstrado que sua relação com seus professores sofreu variações de opinião frente ao comportamento dos professores. Parece defender a ideia de que prestando atenção é suficiente para que ocorra aprendizagem. Demonstra uma visão utilitária da matemática.

A22 28/02

30/10

Legais.

Insistentes para me ensinar.

Ensinar.

Ajudando-me ou explicar com muitos detalhes.

Bastante estudo.

Não é necessário muita coisa, ou seja, a matemática não tem mistério para se aprender.

Boas.

Meus professores.

127

ALUNO DATA Meus professores de matemática da escola eram...

O melhor que um professor pode fazer por mim é...

Para ser bom em matemática é necessário...

Minhas motivações para fazer matemática é...

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Parece demonstrar uma boa relação com a matemática e seus professores. Concebe a matemática como uma disciplina sem mistério para aprender. Parece acreditar que a aprendizagem depende do seu interesse. A contribuição do professor para sua a aprendizagem limita-se em uma boa explicação dos conteúdos.

A26 28/02

30/10

Ótimos.

Ótimos.

Ensinar com motivação.

Se interessar para ensinar-me.

Estudar.

Se interessar.

Querer aprender.

Minha realização profissional.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Esse aluno nos fornece indícios de que a aprendizagem passa pelos incentivos do professor e da motivação de cada um para querer aprender.

A30

A30

28/02

30/10

Meus professores anteriores sempre explicaram com clareza de forma que todos entendesse.

Muito inteligentes.

Sempre explicar a matemática bem devagar, e ser claro nas explicações.

Explicar a matéria devagar para que eu entenda.

Muita atenção e força de vontade para aprender.

Prestar atenção nas aulas e ir além do que esta ali, é pesquisar, procurar sobre, etc.

Eu tenho que aprender, pois preciso dela para tudo.

Depende da explicação do professor.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador: Parece conceber uma ideia de que o professor precisa ser instrumentalista para que a aprendizagem aconteça, é que as ações do professor podem incentivar a sua busca para aprendizagem. Reconhece que precisa da matemática para suas ações no dia-a-dia, dando a visão de uma matemática utilitária.

128

Interpretações, comentários e análises do pesquisador:

Percebemos que os alunos acreditam que a aprendizagem de matemática

depende unicamente de seus esforços tirando um pouco a responsabilidade do

professor nesse processo de ensino-aprendizagem. Não encontramos nenhum

aluno que escrevesse que partes da culpa, que eles sentiam por eles não

terem aprendido certos conteúdos ou assuntos de matemática, fosse do

professor. Talvez porque esses alunos não tenham consciência que vários

fatores como: professor, aluno, as experiências vividas em anos anteriores com

a matemática e seus professores de matemática, os colegas, a situação

econômica e social em que eles estão inseridos podem influenciar na

aprendizagem da matemática ou de qualquer outro conteúdo.

129

4.6. Primeira atividade de natureza investigativa

Durante o planejamento dessa aula de natureza investigativa, que foi realizada

em 17/03/2008, estávamos conscientes de que essas atividades investigativas

são flexíveis e abertas. Escolhemos uma atividade com números, porque o

pesquisador já havia realizado uma tarefa idêntica de natureza investigativa e

de resolução de problemas durante um seminário no mestrado, e aplicou-a em

suas turmas do ensino médio no ano de 2007. Sabendo dessa flexibilidade nas

atividades de natureza investigativa, tínhamos naquele momento o objetivo de

mostrar aos alunos que mesmo sendo uma atividade numérica, que a mesma

oferecia diversas possibilidades de solução. Aparentemente a atividade não

trazia grandes desafios e complicações, mas seria possível que os alunos

observassem regularidades e tirassem várias conclusões importantes sobre a

mesma. A partir de agora, descrevemos como planejamos, executamos e

analisamos as respostas dos alunos ao procurarem resolver estas tarefas.

Fomos inspirados nos procedimentos de análise dessas atividades pelos

trabalhos de Ponte, Oliveira, Cunha e Segurado (1998) e de Ponte, Brocardo e

Oliveira (2005).

4.6.1. O planejamento da aula

Essa aula foi planejada em início de março durante o horário de planejamento

que nós, professor colaborador e pesquisador, tínhamos nas quartas-feiras

antes do horário das aulas. Concluímos esse planejamento após o

encerramento das aulas desse dia. Achamos melhor dividir a turma em grupos

de três alunos, pois teríamos um número reduzido de alunos por grupo, e

poderíamos ter um aproveitamento melhor da discussão entre os participantes.

130

Porque acreditamos na teoria de Vygotsky e que nesse ambiente social de

trabalho em grupo o aluno tem oportunidades de interagir com seus colegas e

professores e ao mesmo tempo intermediar as relações sociais e a sua

construção de conhecimento. Decidimos que ficaria melhor dessa forma porque

a turma tinha 34 alunos matriculados, mas com apenas 30 alunos frequentando

em média. Na aula anterior de 13/03/2008, com a ajuda do professor

colaborador L e com indicações dos próprios colegas, fizemos as divisões dos

grupos a partir da experiência e da convivência que o professor L tinha em

relação a seus alunos. Procuramos separá-los de modo que sempre em um

grupo houvesse um aluno que demonstrasse interesse em participar das aulas

de matemática e que apresentara um resultado satisfatório em avaliações

anteriores. Fizemos uma separação de onze alunos que o professor e a turma

consideravam ter um bom rendimento. Acreditávamos que esses alunos

poderiam influenciar os outros colegas a participarem melhor da atividade que

estávamos desenvolvendo. Quando pensamos nessa interação entre os

alunos, estávamos considerando a importância que Vygotsky dá ao papel da

interação social no desenvolvimento dos indivíduos. Essa concepção é a de

que é o aprendizado que possibilita o despertar de processos internos do

indivíduo. Está ligado diretamente ao desenvolvimento da pessoa e à sua

relação com o ambiente sócio-cultural em que vive e à situação de organismo,

que não se desenvolve plenamente sem o suporte de outro indivíduo de sua

espécie.

Selecionados os alunos representantes, pedimos que eles escolhessem os

demais para formarem os grupos. O aluno escolhido passaria a representar um

papel de liderança, com o objetivo de tornar mais eficiente os trabalhos de

registro, coordenando os debates entre os elementos do grupo, solicitando a

ajuda do professor quando necessário. Anotamos na lousa os nomes de todos

os elementos dos grupos para que na próxima aula, durante a realização da

tarefa, ganhássemos tempo para o desenvolvimento efetivo da atividade

proposta. Observamos que além das indicações dos alunos e do professor L,

esses grupos eram formados por afinidade, sendo que eles já sentavam

próximos durante as aulas. Conversamos com eles sobre a possibilidade de

trocas futuras, porque dessa forma poderíamos ter um rodízio dos alunos entre

131

os grupos de maneira que todos pudessem trocar suas experiências de

convivência e aprendizagem.

4.6.2. A realização da aula de investigação

Como já tínhamos realizado a divisão dos grupos na aula anterior, iniciamos

em 17/03/2008 falando que faríamos uma atividade matemática de natureza

investigativa. Percebemos que logo no início, alguns alunos achavam que seria

uma atividade avaliativa ou teste para verificar conteúdos que eles estudaram

de 5ª a 8ª série, porque o professor L havia realizado com eles uma revisão de

alguns conteúdos que seriam relevantes para o início do ensino médio. Os

conteúdos trabalhados nessa revisão foram: potenciação, radiciação, equações

do 1º e 2º graus, e conjunto dos números reais, porque a turma iniciava o

estudo do conceito de função.

Distribuímos para cada aluno uma folha em que constava a atividade a ser

desenvolvida e uma folha de papel A4 em branco para que cada aluno fizesse

suas observações. Abaixo escrevemos a atividade denominada Explorações

com números, selecionada do livro Investigações Matemáticas na Sala de Aula

(Ponte, Brocardo e Oliveira, 2005, p. 27).

Procure descobrir relações entre os números:

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

... ... ... ...

132

Registre as conclusões que for obtendo.

Realizamos a atividade durante duas aulas de cinqüenta minutos em dias

diferentes, dividindo essa aula em três momentos. No primeiro momento eles

fariam observações individuais, no segundo momento trocariam ideias com seu

grupo e no terceiro momento seria a socialização das ideias com a turma e

tentativa de provar algumas conjecturas.

Orientamos que eles deveriam olhar a sequência de números dada e

estabelecessem relações entre esses números que estavam dispostos em

linhas e colunas. Todos se empenharam por aproximadamente 40 minutos,

período disponível para as observações individuais e a troca de informações

entre os elementos do grupo. Após esse período de tempo, percebemos alguns

alunos mais desatentos, pois era a última aula e alguns professores de outras

turmas liberaram os alunos mais cedo. Como a sala ficava exatamente no final

do corredor de saída da escola, percebemos que eles perderam um pouco a

concentração no que estavam fazendo, mesmo assim achamos que foi muito

válida a participação nessa fase inicial da primeira aula de investigação.

Observamos que nessa fase introdutória da investigação, o período em que os

alunos ficam livres para fazer suas observações e compartilhar com os demais

colegas do grupo, não deve exceder a uma aula, para não perder o interesse

pela tarefa. Era importante, nesse momento da tarefa, que o professor-

pesquisador sempre estivesse disponível para tirar algumas dúvidas iniciais

dos grupos. Encontramos alunos que não sabiam o que era para fazer. Eles

perguntavam o que tinham que fazer, porque não estavam entendendo o que

deviam calcular. Como eles nunca tinham realizado uma atividade dessa

natureza, aceitamos com naturalidade essas perguntas. Começamos a circular

pela sala tentando observar o que realmente estavam conseguindo fazer e

respondemos alguns questionamentos pontuais, sobre algumas de suas

observações iniciais.

Foi possível notar que os alunos escolhidos para representar o grupo,

assumiram um espírito de liderança positiva envolvendo os demais colegas na

execução da tarefa. Essa atitude facilitou o desenrolar da atividade. Como já

133

citamos anteriormente, o segundo momento após a fase inicial de observações

dos alunos, em que os mesmos registraram suas conclusões individuais e em

grupo, decidimos que direcionaríamos uma aula para que todos pudessem

apresentar suas observações e conclusões. Exigimos que durante essas

apresentações, outro aluno que não fosse o líder pudesse apresentar as

conclusões do grupo.

A proposta era que toda a turma observasse e analisasse os relatos dos

colegas, tentando validar ou não as observações e conclusões. Essa era uma

fase importante das atividades de natureza investigativa. Porque é o momento

em que os alunos defendiam suas conjecturas, opinavam sobre os trabalhos

dos colegas e podiam analisar juntos com os colegas o que escreveram. Era

uma oportunidade para se expressarem oralmente defendendo com

argumentos matemáticos o que conseguiram concluir.

Percebemos que a turma não estava acostumada a trabalhar em grupo, era o

início do período letivo, como seria a primeira atividade investigativa que eles

estavam realizando, achamos melhor desenvolver parte dessa atividade em

grupo e com poucos alunos em cada. Acreditamos que o sucesso da atividade

só seria possível com o máximo de empenho e participação do grupo. Pedimos

aos alunos que realizassem inicialmente suas observações individualmente e

que, posteriormente, eles teriam um momento para trocarem ideias sobre suas

observações. Depois que cada grupo tivesse concluído suas observações, eles

teriam que socializar suas conjecturas e conclusões com a turma em forma de

uma plenária. No momento final de exposição das conjecturas de cada grupo, a

turma deveria fazer perguntas sobre as observações apresentadas e verificar a

validade das conclusões dos colegas, dando palpite ou levantando

questionamentos sobre o que eles não concordassem ou que não estivesse

claro.

Inicialmente, os grupos ficaram com receio de participar desse momento, foi

preciso incentivar alguns alunos a iniciarem a discussão. Mesmo com essa

dificuldade inicial, todos relataram suas observações. As observações que os

alunos falavam eram anotadas no quadro e os outros já as analisavam se eram

válidas ou não. Nessa fase, foi possível perceber que a turma concentra-se nas

134

ideias defendidas pelo líder do grupo, é uma forma deles refutarem as ideias

apresentadas e defenderem seu ponto de vista sobre o que foi dito. A foto

abaixo mostra o momento em que um aluno apresenta as observações

realizadas pelo seu grupo.

FIGURA 4 – Ilustração do momento em que o aluno A13 apresenta suas conjecturas. (Foto tirada pelo professor L)

Descrevemos abaixo alguns comentários que os alunos relataram a respeito

dessa atividade de natureza investigativa. Não temos a intenção de categorizá-

los, mas é uma forma de organizar os pensamentos para facilitar nossas

análises sobre a tarefa realizada. As respostas abaixo foram transcritas a partir

das anotações do caderno de bordo do pesquisador e a partir de conversas

que realizamos com alguns alunos.

135

4.6.3. Procedimentos matemáticos utilizados pelos alunos na

realização da tarefa e algumas dificuldades demonstradas

Nessa fase inicial os alunos, em uma generalidade, revelaram que não

estavam conseguindo entender o que eles tinham que fazer e encontraram

dificuldades na interpretação da tarefa. Acreditamos que esse tipo de atitude

seria pelo fato de que eles ainda não tinham realizado nenhum tipo de tarefa de

cunho aberto.

Os alunos não valorizaram os raciocínios que desenvolveram durante as

explorações individuais, apagavam o que tinham escrito, procurando apenas

deixar registrados os resultados corretos, que os outros colegas tinham

observado. Segundo Polya (1995/1945, p. 3) se a mesma indagação for

proveitosamente repetida, dificilmente o estudante deixará de notá-la e será

induzido a formular, ele próprio, essa indagação em situação semelhante. Foi

acreditando nessa postura de Polya que procuramos incentivar os alunos a

fazer suas observações e registros mesmo sendo esta uma primeira tarefa

para eles. Os alunos não manifestaram nenhuma preocupação em generalizar

suas conclusões. Observamos que nenhum grupo tentou validar suas

observações. Alguns alunos manifestaram receio em expor as suas ideias para

turma e, quando os questionamos sobre a forma como podiam relatar os seus

raciocínios, apenas um grupo se propôs a apresentar.

As narrativas abaixo, destacando os papeis desempenhados por professores e

alunos, indicam o caminho percorrido pelos alunos e o professor pesquisador

durante a realização dessa atividade investigativa. O nosso objetivo é deixar

claro com alguns detalhes o que realmente conseguimos perceber e aprender

sobre as situações de ensino-aprendizagem efetivamente vividas durante a

realização dessa atividade investigativa.

136

4.6.4. Papéis assumidos pelos alunos durante a realização desta

investigação

Nessa primeira atividade os alunos, de uma forma geral, revelaram pouca

autonomia relativa ao professor, o que pudemos perceber pelo fato do número

de vezes que solicitaram nossa presença, sobretudo para validar suas

observações, perguntando se as mesmas estariam certas ou erradas; atitude

que revela uma concepção de que só existem duas possibilidades para

argumentos matemáticos. Isso lembra o que Santos (1997) comenta sobre os

alunos necessitando sempre do professor como agente externo para dizer que

algo que estão fazendo em matemática esteja certo ou errado. Como dividimos

os grupos colocando um líder em cada um, ao longo da atividade esses alunos

assumiram um papel de destaque, funcionando como líder e coordenador dos

trabalhos. Os alunos envolveram-se com entusiasmo na realização desta tarefa

e até alunos considerados ―mais fracos‖, manifestaram interesse em construir

seus argumentos.

4.6.5. Papéis assumidos pelo professor-pesquisador na realização

desta tarefa

Nessa primeira tarefa o papel do professor foi bastante relevante para

desenvolvimento e conclusão da atividade, uma vez que fomos muito

solicitados no sentido de: (a) explicar com detalhes o que eles precisavam

realizar; (b) procurar mostrar de que modo eles poderiam começar a explorar

uma situação. Então, sentamos entre os alunos nos diferentes grupos,

tentando estimular a curiosidade, a criatividade e conduzi-los a uma

investigação. Sabemos da importância do papel do professor, pois segundo

Ponte, Brocardo e Oliveira (2005, p. 26), o professor tem de garantir que todos

os alunos entendem o sentido da tarefa proposta e aquilo que deles se espera

no decurso da atividade. O cuidado posto nesses momentos iniciais tem

137

especial relevância quando os alunos têm pouca ou nenhuma experiência com

as investigações.

Fomos também solicitados a (c) gerir a atividade visando o bom funcionamento

dos grupos. Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2005, p. 49) o professor procura

acompanhar o mais possível o trabalho de um deles. Ao chegar junto de um

grupo, um dos seus objetivos é recolher informações sobre o desenrolar da

investigação. Também observamos que (d) não conseguimos atender de

maneira satisfatória a todos os grupos no momento em que solicitavam. Às

vezes, era preciso chamar a atenção de alguns grupos que conversavam

muito, atrapalhando os demais. Foi preciso, além disso, (e) colocar questões

mais abertas ou mais restritas no sentindo de motivá-los a prosseguir nos seus

raciocínios. Seguindo os ensinamentos de Polya (1995/1945) de que um

professor deve sempre colocar questionamentos que o aluno pode responder e

que estejam ao alcance do mesmo. Procurando focalizar a atenção do aluno na

tarefa e no que precisava pensar para seguir resolvendo a mesma. Foi

necessário (f) administrar o momento das apresentações das conjecturas,

porque eles queriam falar todos ao mesmo tempo. Percebemos a

complexidade que foi a de (g) validar as respostas obtidas pelos diferentes

grupos. A experiência adquirida com a realização dessa atividade mesmo após

o arranque da investigação nos possibilitou refletirmos que precisamos

continuar desafiando os alunos no decorrer de toda atividade de maneira que

essa avance de maneira natural.

Descrevemos a seguir algumas relações encontradas por 3 alunos da turma,

com objetivo de aprendermos como podemos explorar suas conclusões, as

potencialidades da atividade e compreendermos um pouco melhor os caminhos

utilizados por eles em suas observações. Além disso, as soluções desses

alunos ofereceram uma panorâmica das soluções da turma como um todo.

Verificaremos também que conteúdos matemáticos, relações e representações

matemáticas esses alunos utilizaram para expor suas ideias.

I) Observações do aluno A1:

138

a) Existe uma fileira (vertical) de números pares e outra de ímpares, e as

fileiras (horizontais) começam com par e terminam com ímpar; b) Os números,

na vertical, são dados de 4 em 4; c) A diagonal de 0 a 15 é dividida por 5 e a

diagonal de 3 a 12 é divida por 3; d) A diagonal de 4 a 19, só terão números

terminados em 4 e 9, como a diagonal de 0 a 15 só terão números terminados

em 0 e 5; e) A soma dos elementos de uma linha, o resultado está sempre na

terceira coluna; f) A soma das verticais são 40, 45, 50 e 55 respectivamente, as

das horizontais são 6, 22, 38, 54 e 70 respectivamente.

FIGURA 5 - Representação do aluno A1

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Esse aluno realizou nove observações a partir da sequência de números

apresentada, associando a esses números a ideia de par e ímpar, múltiplos e

divisores, procurou realizar a soma desses números em linha e coluna. Buscou

evidenciar em suas observações os conteúdos que estavam sendo estudados

sobre os conjuntos numéricos e suas propriedades e operações. Conseguiu

escrever de forma clara e organizada suas conclusões, utilizou no seu

esquema traçados para facilitar a visualização de suas observações. Escreveu

que os números 0, 5, 10 e 15 e também 3, 6, 9 e 12 estão em diagonais, o que

aparentemente não é verdade, mas foi a palavra que naquele momento ele

tinha como adequada para tentar explicar a relação entre esses números. Além

das observações em linhas e colunas de números pares e ímpares que maior

parte da sala também conseguiu relatar, esse aluno fez uma observação que

nenhum outro ainda havia feito, relatou que os números:

139

4 + 1 + 6 + 3 e 0 + 5 + 2 + 7 possuem a mesma soma de 14 o mesmo

acontece se somarmos da mesma forma a segunda e a terceira linha utilizando

o mesmo critério. Simplesmente teremos somas com resultados diferentes que

aumentam de 16 em 16. Podemos observar esses detalhes na figura de sua

representação acima. Esse aluno não procurou justificar suas relações, mesmo

sendo motivado em alguns momentos. Mas compreendemos essa atitude do

aluno, uma vez que ele estava realizando esse tipo de tarefa pela primeira vez

e de que nunca tinha sido solicitado por professores anteriormente para validar

e justificar algum argumento matemático.

140

II) Observações do aluno A13

FIGURA 6 – Representação do aluno A13

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Analisando as sete observações que o aluno realizou nessa atividade, foi

possível perceber que ele recorreu à ideia de números e suas operações como

a maior parte da turma. A existência entre esses números de múltiplos de 4, 3

e 5. Os números quadrados perfeitos. Observou as sequências de colunas

pares e ímpares, observação feita também pela maioria dos colegas. Tentou

justificar de maneira elementar, mas que podemos considerar como uma

141

tentativa de validar uma conjectura, quando ele explica que os números

seguem em colunas de 4 em 4, pelo fato de os números estarem dispostos em

4 colunas. Fez uma observação que os demais colegas não fizeram, sobre a

posição dos números quadrados perfeitos que estão na primeira e segunda

coluna alternadamente.

III) Observações do aluno A7

FIGURA 7 – Representação do aluno A7

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Este aluno fez algumas observações que foram padrão para turma, sobre o

que ele considerou como diagonais da direita e da esquerda serem

respectivamente múltiplos de 3 e 5, as filas (carreiras) de número pares e

ímpares, os números naturais que envolvem essa relação de números.

Observou de maneira particular que o primeiro número da 2ª linha somado com

os números da linha de cima é igual aos números de baixo formando um

desenho de um triângulo, o mesmo acontece com as linhas abaixo.

Questionamos esse aluno e o grupo, no momento em que compartilhávamos

com a turma sobre a validade dessa conjectura e eles chegaram à conclusão

da maneira que representaram no quadro que se segue na figura abaixo, só

seria possível com a segunda linha da tabela.

142

Evidenciamos nas relações desse aluno, o que não conseguimos observar nos

colegas, quando utilizou a ideia que o professor tinha explicado sobre a

aplicação das máquinas para definir as fórmulas de algumas funções.

Observamos que olhando a figura da máquina e nos cálculos ao lado, que ele

inicia atribuindo valores para x (x=0, x=1), que depois considera como n,

tentando apresentar uma fórmula para representar os números dispostos na

primeira coluna. Acreditamos que os conhecimentos adquiridos tomam valor

para os alunos quando sentem que precisam deles para realizar uma tarefa

que lhes foi proposta. A partir do momento em que o aluno em questão

necessitou justificar algo que tinha observado, recorreu ao conteúdo de função,

que estava sendo trabalhado pelo professor colaborador, para estabelecer uma

relação entre os números que estão na primeira coluna. Podemos perceber a

partir das observações feitas por esse aluno, que é bem comum o aluno tentar

relacionar suas observações com os conteúdos que eles estejam estudando.

Quando procurou verificar o que acontece com a função quando ela assume os

diversos valores possíveis para n ele não descreveu de maneira correta o valor

da função no ponto, ou seja, quando representou f (x ) = 1. 4 para n =1 deveria

ter escrito f(1)= 4.1.

4.6.6. Tentando validar suas conjecturas

As duas primeiras etapas de observação e validade das conjecturas foram

tarefas fáceis para os grupos para os casos particulares. Quando conversamos

sobre a hipótese de tentarmos provar essas conjecturas, percebemos que eles

143

ficaram um pouco assustados, como iriam provar tudo que tinham observado.

Eles achavam que ao testar em algumas de suas observações alguns

exemplos particulares que já estavam provando sua validade. Conversamos

um pouco sobre o que seria uma demonstração e prova, e como podemos

utilizar recursos da Álgebra e do raciocínio lógico para provar verdades em

matemática. Aparentemente eles entenderam a importância da ―prova‖. Para

conseguir convencê-los da necessidade e da importância dessas

demonstrações, utilizei como exemplo a idéia de representação dos números

pares, poderá ser do tipo 2n, e os ímpares 2n+1 ou 2n-1. Então levantei alguns

questionamentos:

(i) A soma de um número par com um número ímpar é igual a um número par

ou ímpar?

(ii) A soma de um número ímpar com um ímpar é igual a um número par ou

ímpar?

Fizemos algumas demonstrações sobre esses questionamentos e eles

gostaram desse exercício. Voltando para nossa atividade, aproveitei a

observação do aluno A7, quando utilizou o conceito de função para representar

que na primeira coluna os números podem ser escritos da forma 4n. A partir da

ideia desse aluno, perguntamos para turma: como podemos representar a

próxima coluna, em função da letra n? Alguns alunos responderam que se os

números da segunda coluna são uma unidade a mais do que os números da

primeira coluna, então seria 4n + 1. Escrevemos no quadro então que em cada

coluna, os números podem ser representados por: 4n, 4n +1, 4n+2, 4n+3.

Aproveitando a observação do aluno A1, que escreveu: A soma dos elementos

de uma linha, o resultado está sempre na terceira coluna. Lançamos o desafio

para turma de tentar provar essa conjectura. A seguir apresentamos caminhos

seguidos por alguns alunos tentando demonstrar a conjectura acima.

144

Tentativa de demonstração do aluno A7:

FIGURA 8 – Resposta do aluno A7

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Analisando os caminhos que esse aluno utilizou para tentar justificar a

conjectura, percebemos que não houve uma conclusão algébrica, mesmo não

conseguindo uma prova formal, ele usou o argumento da sequência iniciar pelo

zero como justificativa da soma desses números estarem na terceira coluna.

Alguns pesquisadores, segundo Nasser & Tinoco (2003), defendem a prova

ingênua, isto é, uma argumentação aceitável, que pode ter diversos níveis de

rigor, dependendo da idade e do estágio de escolaridade em que o aluno se

encontra. Acreditamos que esse aluno não conseguindo demonstrar por meios

algébricos, deduziu que como os números iniciaram com 0 e a disposição do

número tem exatamente quatro colunas, inferiu que a soma estaria na terceira

coluna. Sabemos que sua dedução não seguiu os caminhos desejados para

uma demonstração rigorosa, mas que essa situação forçou-o a buscar outros

recursos matemáticos como comparação, validação e generalização em busca

de sua demonstração.

145

Tentativa de demonstração do aluno A13:

FIGURA 9 – Resposta do aluno A13

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Esse aluno foi praticamente o único que conseguiu finalizar a demonstração,

verificamos que ele soma os quatro números que representam as colunas em

função de n, realiza uma soma algébrica com esses termos, e por final tenta

escrever o resultado com a representação da terceira coluna que é 4n +3.

Podemos ainda observar que ele teve a preocupação de testar o valor

encontrado com valores numéricos e verificar se realmente o resultado

encontrado está na terceira coluna.

Ao longo dessa fase de prova de conjecturas, percebemos que alguns alunos

não estiveram motivados como na fase de descoberta e da validação das

argumentações e observações iniciais. Para mim, como pesquisador iniciante

com esse tipo de atividade, confesso que foi uma das fases mais difíceis do

146

trabalho com atividades investigativas. Esse trabalho de justificativa da

conjectura foi muito importante, porque durante essa fase de apresentação das

conclusões pelos grupos, alguns alunos perceberam, a partir de

contraexemplos, que algumas conjecturas não eram verdadeiras. Este fato

levou-os a compreender a importância do processo de justificativa das

conjecturas. De acordo com Nasser & Tinoco (2003):

A prova ou demonstração tem diversas funções. A mais usada é de validar um resultado, isto é, comprovar que é verdadeiro. Essa função é, sem dúvida alguma, fundamental na Matemática, mas nem sempre é motivadora para os alunos da escola básica. Muitas vezes, o resultado é óbvio para eles, que não vêem necessidade alguma de verificar sua veracidade (p. 3).

Segundo essas mesmas autoras, tal função se torna altamente motivadora

quando há alguma dúvida sobre um argumento, ou seja, quando é preciso

validar ou refutar uma afirmação ou conjectura. Mas é com esse tipo de

trabalho que o aluno vai conhecendo as estruturas da matemática, para no

futuro dominar o processo dedutivo, e em alguns casos, ser capaz de fazer

demonstrações por si mesmo. Mesmo sabendo do pouco tempo destinada a

essa parte da tarefa e das dificuldades que encontramos, quando os alunos

diziam que não estavam conseguindo colocar no papel suas demonstrações,

não escondemos dos alunos as dificuldades encontradas e o motivo de alguns

passos que devem ser tomados no desenvolvimento de uma demonstração.

Podemos avaliar como produtivo, uma vez que determinados alunos

começaram a caminhar em algumas demonstrações. Sabemos que em alguns

momentos eles procuraram caminhos que podem não ter sido o ideal e

forçaram uma justificativa. Foi o que aconteceu quando o aluno A13 procurou

escrever 4.(4n+1)+2 como 4n +2, não justificando como 4n+1 pode ser trocado

por n. Parece-nos que o aluno pensou que 4n+1 poderia ser um valor arbitrário

k e portanto 4.(4n+1)+2 poderia ser entendido como 4.k +2 e colocou sua

conclusão 4n+2.

147

4.7. Investigando o Triângulo de Pascal

Com a proposta de encerrar as atividades de natureza investigativa, realizamos

no dia 09/10/2008 uma segunda atividade de investigação matemática com

observações feitas a partir do Triângulo de Pascal. A ideia surgiu em uma aula

que relatei do professor C (aula do dia 08/10/2008), em que o assunto

abordado era sobre inequações do 2º grau. Observamos que alguns alunos

erravam exatamente as inequações, no momento em que tinham de

desenvolver os produtos notáveis, como, por exemplo, a inequação do tipo

(x+4)20 . Percebemos que boa parte dos alunos apresentavam como solução

x2+160. Conversando com os alunos um pouco sobre a resolução desses

produtos notáveis, constatamos que muitos não se lembravam como resolviam

esses cálculos algébricos em questão. Foi a partir daí que tivemos a ideia de

fazer uma investigação no Triângulo de Pascal, em que poderíamos mostrar

como as linhas desse triângulo se relacionam com os coeficientes numéricos

dos produtos notáveis.

Buscando uma referência nos trabalhos acadêmicos que tratavam do tema,

encontramos na pesquisa de mestrado de Rosangela Perussi de Camargo

(2006), na Universidade Federal do Paraná, uma experiência com alunos da 8ª

série com atividade de natureza investigativa sobre o Triângulo de Pascal.

Fizemos algumas adaptações e modificações para a nossa realidade e

começamos a desenvolver a nossa aula. Abaixo descrevemos com mais

detalhes todo o procedimento utilizado.

4.7.1. Planejando e executando a segunda aula de investigação

No dia 08/10/2008 durante nosso horário de planejamento conversamos um

pouco sobre as dificuldades que determinados alunos apresentaram na

148

resolução de alguns produtos notáveis no momento em precisavam resolver

algumas inequações do 2º grau. Nesse dia apresentei ao professor C uma

proposta de realizarmos uma nova atividade investigativa utilizando o Triângulo

de Pascal, em que tentaríamos mostrar para os alunos a relação que existe

entre os coeficientes numéricos dos produtos notáveis com as linhas do

referido triângulo. O professor gostou da ideia e concordou em ajudar na

elaboração e execução dessa atividade. Conseguimos naquele mesmo dia

planejar toda a atividade e percebemos que seriam necessárias duas aulas,

para realizarmos toda a tarefa. Como uma professora da turma estava de

licença, utilizamos a aula disponível para concluir toda a tarefa em um único

dia, no segundo e terceiro horário de aula. As ideias que foram registradas

antes do acontecimento da aula foram: (a) decidimos que faríamos um breve

comentário sobre a vida e obra de Blaise Pascal, com o objetivo de situarmos

os alunos no contexto histórico em que ele vivia e quais suas principais

contribuições para ciência. (b) Após essa conversa inicial, colocaríamos na

lousa os seguintes produtos notáveis: 0ba , 1ba , 2ba e 3ba ,

desenvolveríamos cada um deles com a turma. Como está representado

abaixo, fizemos uma relação dos coeficientes numéricos desses produtos

notáveis com as linhas do Triângulo de Pascal.

Produtos Notáveis Triângulo de Pascal

(a+b)0 = 1 1

(a+b)1= a + b 1 1

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 1 2 1

(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 1 3 3 1

A ideia era despertar nesses alunos a curiosidade e incentivá-los a buscar

relações entre esses números que estavam dispostos em forma de um

triângulo. Enquanto conversávamos sobre a atividade, o professor C disse que

achou bem interessante essa abordagem e acreditava que os alunos poderiam

mostrar interesse para esse fato. Não sabíamos se seria o melhor caminho

149

para ativar a curiosidade desses alunos, de qualquer forma, resolvemos

arriscar, e de acordo com que descrevemos abaixo, parece que deu certo.

Listamos o material e os procedimentos que foram adotados durante a

realização dessa aula de investigação. Os materiais utilizados foram três folhas

de papel A4 em duas delas conforme ANEXO A existiam tarefas previamente

elaboradoras para serem executadas e uma folha só para rascunho.

Os procedimentos para a realização da tarefa foram: (a) copiar o Triângulo de

Pascal no quadro para uma melhor visualização; (b) que os alunos

executassem as tarefas propostas individualmente. No final da primeira aula,

como foi feita na tarefa investigativa 1 sobre números, os alunos tiveram um

momento para compartilhar suas observações com o grupo; (c) separar as

folhas e entregar a primeira folha que chamamos de tarefa 1, contendo um

pequeno texto sobre a vida de Blaise Pascal e os números dispostos formando

um triângulo. O tempo estipulado para essa primeira tarefa foi de 20 minutos.

Como tínhamos trabalhado outra atividade investigativa com números,

explicamos que eles deveriam realizar observações livres sobre esses números

agora dispostos em forma de um triângulo. Transcorrido o tempo previsto

fizemos um momento de socialização das ideias e observações de todos.

Pedimos a um aluno que anotasse no quadro as observações dos colegas.

Na segunda aula, durante a execução da tarefa 2, fizemos algumas perguntas

que direcionavam para observações bem pontuais sobre o Triângulo de Pascal.

O objetivo era motivá-los a validar algumas conjecturas. O tempo estipulado

para essa tarefa foi de 20 minutos. Durante o desenvolvimento da atividade

percebemos que a ideia de mostrar-lhes a relação do Triângulo de Pascal com

os produtos notáveis funcionou. Esse fato foi constatado a partir de seus

olhares e nas perguntas que surgiam durante nossa explicação dos produtos

notáveis e sua relação com esses cálculos algébricos. Percebemos que eles

estavam interessados pelo que estávamos falando. Com a caminhada da

pesquisa e com a atividade realizada em março com números, constatamos

que alguns alunos iniciaram as observações sem mesmo fazermos algum

pedido. Os alunos reclamaram a respeito do tempo destinado a cada tarefa,

alegando que não era suficiente. Eles gostariam de ter mais tempo para

150

realizar suas observações e conclusões, sinalizaram que esta é a fase de que

mais gostam.

4.7.2. Procedimentos matemáticos utilizados pelos alunos na

realização da tarefa e algumas dificuldades demonstradas

A experiência adquirida com a realização da primeira atividade investigativa

com números fez com que essa segunda atividade ficasse mais simples de ser

conduzida e conseguimos observar um maior envolvimento dos alunos em

todas as etapas da atividade, ou seja, na fase de observação, registro e

validação de suas conjecturas. Passamos a descrever com mais detalhes os

procedimentos realizados pelos alunos.

i) Os alunos, como um todo, revelaram estar mais familiarizados com este tipo

de atividade, solicitando em poucos momentos a ajuda do professor;

ii) No momento de discussão sobre suas conjecturas, alguns alunos revelaram

ter melhorado sua capacidade para comunicar suas ideias, por escrito e

oralmente, e as conclusões obtidas;

iii) Os alunos solicitaram bem menos a presença do professor para validar suas

observações, mesmo que alguns alunos apresentaram durante a fase de

validação com a turma, afirmações que não eram válidas;

iv) Um número reduzido de alunos demonstrou ter espírito crítico face às

conclusões apresentadas por outros colegas. Foi preciso incentivá-los a

perguntar mais sobre as observações de cada um;

v) A maior parte dos alunos, ainda, não consegue compreender que se uma

conjectura serve para alguns casos, não significa que servirá para todos os

151

outros casos, mesmo assim observamos alguns alunos demonstrando certo

interesse em convalidar suas conjecturas.

4.7.3. Papéis assumidos pelo professor pesquisador na realização

desta tarefa

Nessa segunda atividade de natureza investigativa, continuamos assumindo

um papel relevante, mas já observamos algumas mudanças no comportamento

dos alunos, individualmente e em grupos, pois conseguiram prosseguir com a

atividade quase que sozinhos durante a fase de observações. Apenas alguns

grupos solicitaram nossa ajuda para validar suas conjecturas, mas nenhum

grupo teve dificuldade em realizar a tarefa. Acreditamos que esse processo

inicial de reconhecer as particularidades de uma tarefa investigativa, sendo de

cunho mais aberto em que eles se preocuparam em tentar observar e registrar

suas hipóteses e não somente de procurar uma resposta única para um

determinado problema, parece-nos que essa fase já foi superada pela turma. O

nosso principal papel foi de:

i) Recordar certos conteúdos de matemática importantes para a realização da

tarefa;

ii) Conduzir os debates e a tentativa de mostrar a validade de conjecturas

durante a apresentação dos grupos;

iii) Sentar junto aos grupos para incentivá-los cada vez mais a acharem outras

regularidades.

Selecionamos abaixo as respostas da atividade de alguns alunos, para que

possamos tecer comentários e analisarmos determinadas relações que os

alunos fizeram.

152

A primeira tarefa da atividade consistia em:

Procure descobrir relações entre os números acima, registre as

conclusões que for obtendo.

Observações feitas pelo aluno A9

FIGURA 10 – Observações do aluno A9

a) Sempre há um número 1 nos extremos;

b) A 2ª coluna segue uma ordem consecutiva, começando no número 1;

c) A cada nova linha se acrescenta um algarismo;

d) A 2ª transversal de cima para baixo também está em ordem consecutiva;

e) A soma das linhas é o dobro da soma da linha anterior;

f) A soma das linhas está em ordem crescente de potências de base 2, sendo

que a 1ª é 20, a 2ª é 21 e assim sucessivamente.

Justificando o processo de construção das linhas

FIGURA 11 – Justificativa do aluno A9

153

Generalizando uma conjectura

FIGURA 12 – Generalização do aluno A9

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Esse aluno descreveu observações que foram comuns a outros colegas da

turma, como o número 1 aparece em todos os extremos, a soma das linhas é o

dobro da soma da linha anterior, na segunda coluna segue uma ordem

consecutiva, começando no número 1. Gostaria de destacar que as

observações feitas na primeira atividade com números, influenciaram boa parte

dos alunos, percebemos que eles já faziam somas e relacionavam os

resultados, o que podemos verificar quando ele soma os resultados de cada

linha, e durante suas observações na procura de relações entre essas somas.

Verificamos que mesmo sem solicitar na atividade ele escreve a próxima linha,

demonstrando que está procurando generalizar a forma de escrever as linhas

subsequentes. É um aluno que demonstra domínio da linguagem matemática e

consegue descrever de maneira clara suas conclusões, tanto na questão 1,

sobre justificativa da escrita das linhas, como na questão 2, em que procura

relações entre a soma das linhas.

Observações do Aluno A13

a) Na segunda coluna há uma sequência de números de 1 em 1;

b) Os números que estão nas linhas começando do 1 ao 14641 são as potências do número 11, veja : 110=1 111= 11 112= 121 113=1331 e 114=14641;

c) A primeira coluna repete sempre o número 1, e na última transversal a direita também aprecem somente número 1;

d) Na segunda transversal há uma sequência de 1 em 1 em sequência;

e) As transversais vão se repetindo nas colunas em número e ordem.

154

FIGURA 13 – Observações do aluno A13

f) Há uma soma dos números acima para obtermos os números abaixo.

Justificando o processo de construção das linhas

FIGURA 14 – Justificativa do aluno A13

Generalizando uma conjectura

FIGURA 15 – Justificativa do aluno A13

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Verificamos que algumas de suas observações são semelhantes no momento

em que relata sobre a localização do 1 no triângulo, quando efetua algumas

somas para projetar os elementos de uma outra linha. Gostaríamos de

considerar uma observação bem criativa do aluno, quando relata que de 1 ao

14.641 são as potências do número 11. Devemos acreditar que alguns alunos

começaram a ter um olhar mais criterioso, que desenvolveram algumas

155

observações que não são de um aluno que simplesmente busca informações

simples, mas sim de quem consegue investigar em um determinado padrão.

Esse fato demonstra que esse aluno possui um olhar mais crítico, quando

desenvolve uma atividade investigativa na procura de regularidades numéricas.

Quando tenta justificar a formação da linha seguinte do triângulo, em que diz

―Primeiro coloque o 1 no início e no fim, após é só somar que dará o número de

baixo, assim é possível escrever a linha de baixo‖, ele não deixa claro que seria

a soma dos números da linha anterior, mas quando recorremos à figura acima,

compreendemos que está dizendo que seria a soma dos números acima. No

momento em que tenta estabelecer uma relação para encontrar a soma dos

elementos de qualquer linha desse triângulo, ele simplesmente escreve a

fórmula sem nenhuma justificativa. Acreditamos que seja pelo fato de o

enunciado em questão dizer que poderia ser simplesmente uma fórmula.

Pedimos para que ele tentasse justificar, mas ele não relatou nada.

Observações do Aluno A30

a) O triângulo em volta só tem número 1;

b) Da mesma forma que na segunda linha (vertical) os números se seguem 1,

2, 3,... na segunda transversal acontece o mesmo.

Justificando o processo de construção das linhas

01) Como podemos escrever uma linha seguinte, a partir dos números da linha anterior?

FIGURA 16 – Justificativa do aluno A30

Generalizando uma conjectura

156

FIGURA 17 – Generalização do aluno A30 Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Esse aluno fez poucas observações na primeira tarefa, sinalizou informações

simples com a presença do número 1 em volta do triângulo, que existe uma

sequência na horizontal e na vertical de maneira idêntica ( 1, 2, 3 ...). Quando

tentou generalizar recorreu a um desenho para justificar que somando alguns

números é possível escrever outros, mas se verificarmos a partir do seu

desenho podemos perceber que ele não conseguirá escrever todos os

elementos de cada linha da forma como ele propõe a soma. Quando

analisamos a segunda pergunta sobre a soma dos elementos de uma linha,

percebemos que ele começa atribuindo valores numéricos, procurando

justificar os resultados obtidos até caracterizar a fórmula 2x-1. Esse aluno não

fez uma demonstração formal, utilizando recursos algébricos mais complexos,

começou testando a veracidade da afirmativa com base apenas em alguns

casos particulares, esse tipo de estratégia é que Nasser & Tinoco (2003, p. 4)

chamam de justificativa pragmática.

Quando iniciamos os estudos sobre atividade de natureza investigativa,

percebemos que, durante nossas discussões com colegas no grupo de estudo

e nas reuniões pedagógicas das instituições que trabalho, alguns colegas

diziam que não trabalhavam com esse tipo de atividade de cunho aberto,

porque fica muito difícil limitar o conteúdo a ser abordado. Disseram ainda que,

dependendo do desenrolar da atividade, isso poderá atrasar os conteúdos que

são propostos pela escola. Acreditamos que quando o professor se propõe a

adaptar uma atividade a sua realidade, ele poderá desenvolver o trabalho sem

157

nenhuma sombra de dúvida. Ao finalizar essa atividade com Triângulo de

Pascal, podemos dizer que dentre os conteúdos que exploramos sobre

potenciação e produtos notáveis, percebemos potencialidade em trabalhar

com: função exponencial, logaritmos, progressões aritméticas, geométricas e

outros. Talvez fosse interessante ter trabalhado uma atividade investigativa que

abordasse outros ramos da matemática, como: geometria, estatística ou

probabilidade. Dessa forma, poderíamos verificar como seriam os resultados

dos alunos frente a esses outros ramos da Matemática. Mas, como estávamos

tentando adaptar as atividades aos conteúdos que estavam sendo abordados,

decidimos aplicar outra atividade com números.

4.8. Conversando com alguns alunos da turma sobre as aulas com atividades de natureza investigativa

Acreditando que é necessário ouvir um pouco dos alunos a sua opinião sobre a

realização das atividades de natureza investigativas, solicitamos aos alunos

que escrevessem sobre o trabalho realizado com essas atividades. Vamos

destacar alguns comentários feitos por eles a respeito da realização das

atividades investigativas, tentando não categorizar suas respostas, mas com o

objetivo apenas de organizá-las de maneira que seja possível analisar o

impacto das tarefas. Adaptamos essas categorias a partir da ideia de Cristovão

(2006).

158

4.8.1. Informações que podem fornecer indícios da preocupação dos alunos com o conteúdo programático

A1 – O que não gostei, acho que é de girar muito tempo numa mesma questão!

Mas é bom por que cada vez que tentamos descobrimos mais coisas.

A13- O que não gostei era quando as aulas não rendiam tanto quanto outras.

A7 – Achei que algumas aulas demoravam muito com o mesmo conteúdo,

como não sei se o ano que vem vamos continuar, acho que seria interessante

juntar investigação com os conteúdos que devemos estudar.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Percebemos uma preocupação dos alunos em relação aos conteúdos e com o

tempo que destinamos as aulas de investigação. Verificamos que mesmo

conversando com eles sobre o desenvolvimento das atividades e quais

conteúdos foram abordados, alguns não conseguiram compreender que esse

tipo de atividade leva mais tempo, mas que conseguem desenvolver

habilidades como observação, argumentação, generalização que não são

comuns em uma aula que só corrigimos exercícios.

4.8.2. Afirmações que parecem apontar falhas durante a execução das atividades

A1 – Achei complicado quando além de observar, precisava explicar e provar.

A7 – No início com as atividades, eu não estava entendendo nada do que os

professores explicavam, e para mim aquilo tudo não fazia sentido nenhum.

A9 – A interferência de alguns alunos quando tentava observar algo.

159

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Quando iniciamos os trabalhos com investigação, pretendíamos deixar os

alunos bem à vontade, no sentido de incentivá-los a viajarem na busca de

observação. Deixamos as primeiras discussões em grupos pequenos, talvez

algum aluno tenha influenciado as observações dos outros. Percebemos,

também, que durante as primeiras atividades os alunos ficavam realmente

perdidos, pelo fato de nunca terem experimentado esse tipo de aula.

4.8.3. Comentários que podem valorizar o trabalho com natureza

investigativa e que trazem intrínsecos os próprios objetivos

das aulas investigativas

A1- É muito diferente e legal. Parece que as aulas passavam mais rápido,

porque a cada aula nós descobríamos algo diferente, algo em que ficamos

estudando o tempo todo e, às vezes, já havíamos decorado como resolver,

mas não sabíamos o porquê. Por isso, foi interessante tentar provar os nossos

resultados.

A6 - Essas atividades investigativas me influenciaram na aprendizagem dos

teoremas e a desenvolver processos e meios de avaliar diversas situações.

A9 – Durante as atividades, percebi que devo resolver os processos por partes

e trabalhar primeiramente com as informações que me foram dadas.

A13- Essas aulas me influenciaram em fazer com que nós ―treinássemos‖

nossa percepção de ver coisas invisíveis a olho nu, assim durante problemas

matemáticos, conseguimos ver coisas que não víamos antes.

160

A23 – De ser igual a um detetive, enquanto não investigar tudo, até achar o

bendito dos números, não desistia.

A30 – Melhorei meu modo de pensar sobre a Matemática bastante, na hora de

responder qualquer atividade eu passei a querer entender, saber por que era

assim, por que tinha que dar aquilo, etc.

Interpretações, comentários e análises do pesquisador

Analisando as informações que os alunos descreveram acima conseguimos

detectar nos depoimentos deles que alguns dos objetivos das atividades

investigativas foram atingidos, como a elaboração de conjecturas, refinamento

das questões, demonstração e comunicação dos resultados obtidos. As

respostas desses cinco alunos trazem indícios de que para eles, mesmo esse

número reduzido de duas atividades de natureza investigativa que realizamos

com a turma, houve impacto no processo de aprendizagem de matemática e

nas estratégias que eles usam quando se deparam com tarefas matemáticas.

Para Pontes, Brocardo e Oliveira (2005) o envolvimento ativo do aluno é

condição fundamental da aprendizagem. O educando aprende quando mobiliza

os seus recursos cognitivos e afetivos com vistas a atingir um objetivo.

4.9. Atividade de resolução de problemas

Durante o horário do nosso planejamento no dia 06/08/2008, decidimos

elaborar uma atividade de resolução de problemas, sobre o assunto função

quadrática, pois era o conteúdo que os alunos estavam estudando. Convém

destacar que os dois professores colaboradores trabalharam em diferentes

aulas de fev/2008 a out/2008 com atividades de resolução de problemas e com

os alunos resolvendo os mesmos individualmente ou em grupo. Por isso,

acreditamos que seria também proveitoso nessa pesquisa termos uma

atividade planejada com essa finalidade de observar como os alunos

161

resolveriam a mesma e relacionariam com o conteúdo estudado. Para

selecionar essa atividade, procuramos algumas bibliografias do ensino médio

que abordam o assunto por meio de uma situação problema. Segundo Dante

(1998), um problema matemático é qualquer situação que exija a maneira

matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-lo.

Selecionamos um problema que não havíamos trabalhado em sala e em que

não estivesse explicito o uso do conteúdo de funções, como uma das formas

de resolvê-lo. A proposta era deixá-los livres para resolver a situação problema

da maneira que eles achassem mais conveniente, utilizando os diversos

caminhos possíveis para tal. Sabíamos que seria o momento propício para

perceber se os alunos seriam capazes de relacionar a situação dada com o

conteúdo que eles estavam estudando. Acreditamos que exercícios rotineiros e

artificiais, por mais elaborados que sejam, podem não possuir um sentido para

o aluno; pensamos que por meio de um problema prático seria possível buscar

motivação dos alunos para matemática. Segundo Polya (1995/1945):

Um professor de matemática terá uma grande oportunidade. Se ele preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos em operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiçando, dessa maneira, a sua oportunidade. Mas se desafiar a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações estimulantes, poderá incutir-lhes o gosto pelo raciocínio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcançar este objetivo (p. 12).

Devemos criar situações que possam despertar interesse e motivar os alunos

com problemas reais, se for possível. Temos consciência de que nem todos os

conteúdos matemáticos podem ter uma aplicação direta no cotidiano de um

jovem de ensino médio. Por outro lado sabemos que os jovens sentem-se

curiosos e interessados quando trazemos problemas reais que eles percebem

que podem existir certas aplicações no seu cotidiano. Precisamos oferecer

condições para que eles resolvam com seus conhecimentos matemáticos, e

que percebam nesses conteúdos uma utilidade. Com esse objetivo,

elaboramos e desenvolvemos uma aula a partir de um problema prático. Todos

os detalhes serão descritos abaixo.

162

4.9.1. Procedimentos adotados durante a aula e material utilizado

Foi entregue aos alunos uma folha contendo um problema e folhas para

rascunho. Não foi estipulado nenhum tempo para a resolução desse problema.

Ficou combinado que caso eles não conseguissem terminar nessa aula,

faríamos as conclusões e apresentações das soluções encontradas em outra

aula. A proposta era de que eles resolvessem individualmente por um

determinado período e depois sentassem em grupos com três alunos, para

compartilharem as soluções encontradas. O professor e o pesquisador

começaram a circular entre os grupos esclarecendo algumas dúvidas e

questionamentos feitos pelos alunos. O problema escolhido encontra-se abaixo

e foi selecionado do livro Matemática (Ensino Médio) de Smole & Diniz (2003).

Dispomos de uma tela de arame com 28 metros de comprimento para cercar

uma área retangular. Quais devem ser as medidas dos lados do retângulo para

que a área seja máxima?

4.9.2. O desenvolvimento da aula e os resultados encontrados

Procuramos observar e aprender como os alunos conseguem relacionar seus

conhecimentos de matemática em situações-problema. Queríamos identificar

as estratégias utilizadas e como eles registravam suas tentativas e resoluções.

Tivemos alguns alunos que não conseguiram identificar no problema, o que

realmente era para ser calculado. Nesse momento, percebemos que seria

necessário interrogá-los sobre alguns dados do problema. Segundo Polya

(1995/1945), o professor que deseja desenvolver nos estudantes a capacidade

de resolver problemas deve incutir em suas mentes algum interesse por

problemas. Além disso, deve dramatizar um pouco as suas ideias e fazer a si

163

próprio as mesmas indagações que utiliza para ajudar os alunos. Graças a esta

orientação, o estudante acabará descobrindo o uso correto das indagações e

sugestões e com isso adquirirá algo mais importante do que o simples

conhecimento de um fato matemático qualquer.

Iniciamos as indagações sobre qual é a figura que o problema retrata e quais

seriam suas possíveis dimensões e que outros valores estão envolvidos. Essas

informações foram fornecidas na primeira fase da resolução do problema, em

que não estávamos preocupados em utilizar os conceitos de função na sua

resolução. Observamos que quase todos os alunos iniciaram a resolução

procurando valores numéricos que satisfizessem as condições do problema,

cujo objetivo principal era encontrar dois números para as dimensões do

retângulo, o perímetro fosse 28 m e que seu produto que representaria sua

área fosse o maior possível. Tivemos perguntas se os números poderiam ser

decimais, durante esse questionamento aproveitamos a oportunidade para

dizer aos alunos que em nosso cotidiano utilizamos os diversos tipos de

números inteiros, decimais, fracionários. Entretanto, na resolução de um

problema, podemos encontrar resultados que nem sempre são de números

naturais.

Enquanto circulávamos pela sala, observávamos que a maior parte dos alunos

iniciava a resolução desenhando um retângulo e atribuindo valores numéricos

aleatórios em suas dimensões. Não encontramos nenhum aluno que tentou

relacionar perímetro e área, através de equações algébricas. Dois grupos

perceberam que poderia ser 7m x 7m, mas descartaram essa possibilidade por

acreditarem que a figura formada não seria um retângulo e sim um quadrado.

Nesse momento, questionamos aos grupos qual a definição que a eles tinham

de retângulo e de quadrado. Os alunos foram destacando as propriedades do

retângulo, como lados opostos paralelos, quatro ângulos retos. Fizemos as

duas figuras no quadro e eles chegaram à conclusão de que o quadrado

também poderia ser um retângulo. Finalizamos essa aula com soluções

corretas de alguns alunos e outros que ainda estavam tentando encontrar os

valores. Combinamos que na próxima aula devolveríamos para eles todo esse

material e eles teriam a oportunidade de concluir a tarefa.

164

Dando prosseguimento ao trabalho realizado na aula dia 07/08/2008, pedimos

aos alunos que conseguiram encontrar as respostas que relatassem aos

colegas o que tinham feito para resolver o problema. Os alunos explicaram

suas estratégias e caminhos que tinham percorrido para encontrar a solução.

Solicitamos que interpretassem seus resultados e descrevessem com a maior

riqueza de detalhes os procedimentos algébricos, aritméticos (operações) ou

geométricos (figuras) utilizados na resolução, que seria muito interessante que

todos os grupos tentassem entender e interpretar suas respostas. Percebemos

que houve uma maior riqueza de detalhes na fala do que na escrita. Avaliamos

essa parte da aula como produtiva, verificamos que eles conseguiram resolver

o problema pelo método de tentativas e erros. Para Polya (1995/195, p. 4) o

aluno precisa compreender o problema, mas não só isto: deve também desejar

resolvê-lo. Se lhe faltar compreensão e interesse, isto nem sempre será culpa

sua. Buscando inspiração nas ideias de Polya, começamos um diálogo com os

alunos com o intuito de encontrar uma representação do problema dentro de

um contexto de função quadrática. Elaboramos algumas perguntas que os

levariam a encontrar uma função, que seria outro caminho para solução do

problema. Abaixo segue o diálogo entre o pesquisador e a turma. Pedimos

ajuda do professor C para anotar as nossas perguntas e, simultaneamente, as

respostas dos alunos. Durante as perguntas, quando surgiam várias respostas,

com o mesmo sentido ou não, chegávamos num consenso com a turma e o

professor anotava a resposta. Indicaremos por P: a fala do pesquisador e T: a

resposta da turma.

Primeiramente, desenhamos um retângulo no quadro e iniciamos o diálogo

com os alunos perguntando:

P: Como poderíamos representar as dimensões desse retângulo?

T: Por letras.

P: Quais letras?

T: Por x e y.

P: O que seria o perímetro dessa figura?

165

T: A soma de todos os seus lados.

P. Então nesse caso como seria o perímetro?

T: P = 2x + 2y = 28

P: Como podemos calcular a área de um retângulo?

T: Multiplicando comprimento e largura.

P: Como podemos representar a área desse retângulo?

T: A= x.y

P: Temos agora que relacionar o perímetro e a área desse retângulo. Como

podemos estabelecer essa relação?

Nesse momento, houve um silêncio na turma. Foi preciso uma intervenção do

pesquisador e do professor, dando mais algumas dicas.

P: Quantas incógnitas vocês estão procurando?

T: Duas.

P: Quais incógnitas e o que elas representam?

T: x e y, elas representam o comprimento e a largura.

P: Quantas equações vocês já conseguiram construir?

T: Duas, do perímetro e da área.

P: Agora vocês deverão utilizar essas duas equações para encontrar os valores

desconhecidos.

Demos um tempo para que eles resolvessem o sistema encontrado,

descrevemos abaixo as soluções encontradas por alguns alunos.

166

Resolução do aluno A1

FIGURA 18 – Solução do aluno A1

Interpretações, comentários e análises do pesquisador sobre a resolução do aluno A1

Esse aluno explicou com detalhes o que chama de 1ª fase da sua resolução,

relatando os procedimentos de tentativa que utilizou. Representou com figuras

geométricas essas tentativas, desenhando retângulos com medidas diferentes,

em que concluiu que deveria chegar ao 7m. Na segunda fase da resolução,

descreve que provou o resultado encontrado com funções, mas não

desenvolveu algebricamente as medidas e nem desenvolveu as equações que

representam o perímetro e a área. Provavelmente, esse aluno já estava

convencido e satisfeito com a sua resolução encontrada. O interessante é que

mesmo sem considerar a função algebricamente, ele representa a resolução

construindo o gráfico da função, destacando os pontos xv e yv que representam

as dimensões e a área máxima. Concluímos que esse aluno conseguiu

resolver o problema pelo método de tentativas e erros, utilizou também outros

167

recursos como gráfico, desenhos e argumentações que explicaram sua

solução.

Resolução do aluno A9

FIGURA 19 – Solução do aluno A9

168

Interpretações, comentários e análises do pesquisador da resolução do aluno A9

Esse aluno não estava presente na primeira aula, no momento em que os

alunos foram incentivados a resolver o problema pelos caminhos que

quisessem. Como esse aluno participou somente do momento em que fizemos

as indagações à turma para construção da função que relacionava o perímetro

e a área da figura, percebemos que ele resolveu utilizando diretamente o

conceito de função e não optou por utilizar o método de tentativas e erros,

como fizeram outros colegas. Percebemos que ele desenvolveu de maneira

correta os cálculos algébricos. Quando percebeu que tinha determinado x em

função de y, justificou essa mudança e de forma correta inverteu os valores das

variáveis no plano cartesiano. Podemos perceber que existem alunos que

conseguem seguir rigorosamente as orientações do professor, o que às vezes

pode limitar a criatividade deles. Talvez tenhamos errado quando não o

motivamos a procurar outras formas de resolver o problema.

Resolução do aluno A13

FIGURA 20 – Solução do aluno A13

169

Outra resolução do aluno A13

FIGURA 21 – Solução do aluno A13

Interpretações, comentários e análises do pesquisador da resolução do aluno A13

Como a maioria dos colegas, esse aluno apresentou uma solução por

tentativas e conseguiu justificar sua resolução por esse método. Destacou a

dificuldade que teve quando acreditava que um quadrado não poderia ser um

retângulo. Essa atitude indica que ele está iniciando um processo de reflexão

sobre seus cálculos e suas ações. Parece-nos que esse aluno está iniciando o

desenvolvimento de seu processo metacognitivo, começando a pensar sobre

suas ações quando resolve o problema e o que sabe (SANTOS, 1994). Na

segunda parte da aula, consegue utilizar os recursos algébricos para

determinar a área máxima.

170

Resolução do aluno A26

FIGURA 22 – Solução do aluno A26

171

Interpretações, comentários e análises do pesquisador da resolução do aluno A26

Os procedimentos utilizados por ele são semelhantes aos dos colegas que já

apresentamos, mas achamos necessário destacar que ele conseguiu explicar a

forma como utilizou o método de tentativa e erros, mostrando a partir do gráfico

da parábola que os outros pontos menores que o ponto de máximo,

representaria as tentativas de determinar a área máxima.

Resolução do aluno A30

FIGURA 23 – Solução do aluno A30

172

Interpretações, comentários e análises do pesquisador da resolução do aluno A30

Conseguimos observar, em sua justificativa final, que a partir do momento em

que definimos com a turma a função quadrática para determinar a área

máxima, o problema ficou mais fácil. Ele começa a questionar sobre o

resultado encontrado, quando pergunta: Por que sete? Esse tipo de reflexão,

quando o aluno busca compreender o que fez e como poderia utilizar outros

recursos matemáticos para resolução de uma situação-problema, favorece uma

aprendizagem significativa. E também demonstra o início do desenvolvimento

de processos metacognitivos.

Quando propusemos essa atividade de resolução de problema, nossos

objetivos eram: verificar o que eles conseguiriam fazer sozinhos; provocar o

desenvolvimento de metacognição, uma vez que eles tinham que explicar o

que fizeram para resolver o problema, e com isso, seriam obrigados a rever o

que haviam feito e analisar a solução encontrada; e verificar que um problema

do cotidiano pode ser resolvido com conhecimentos matemáticos escolares.

Assim sendo, os alunos deveriam resolver uma situação do cotidiano aplicando

o conteúdo de função quadrática. Poderíamos também observar e

compreender outros caminhos que os alunos tivessem usado para encontrar a

solução dos problemas sem usar os conceitos de função. Conseguimos

perceber que eles foram capazes de relatar e registrar suas ideias, buscar

outros caminhos na resolução de um problema, a partir da combinação dos

diversos conteúdos estudados. Observamos assim que essa atividade

possibilitou o desenvolvimento de criatividade e de raciocínio lógico dos alunos.

173

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Desenvolvemos esse trabalho buscando respostas às nossas indagações e

inquietações como professores de ensino médio. Sabemos também que as

mesmas correspondem aos questionamentos de outros profissionais. Tudo que

realizamos nessa investigação foi na tentativa de compreender o que

aconteceria em uma turma de 1º ano de ensino médio quando as aulas de

matemática são trabalhadas usando modelos que não sejam apenas o modelo

tradicional comentado na introdução desse trabalho. Além disso, procuramos

compreender como os alunos reagiriam ao trabalhar com algumas situações de

resolução de problemas e atividades de natureza investigativa. Tudo isso foi

feito com o desejo de oferecer um ensino de matemática com qualidade para

nossos alunos.

Desenvolvemos um trabalho que nos ensinou ser necessário considerar os

fatores emocionais e afetivos envolvidos no processo de ensino-aprendizagem

e promover reflexões nas pessoas envolvidas (professores/alunos e

aluno/aluno). Além disso, descobrimos que é importante que os alunos se

proponham a trabalhar junto ao professor como parceiro para que a

aprendizagem aconteça. Verificamos, ainda, que não basta o professor ter

conhecimentos matemáticos e didáticos, ou que trabalhe apenas com alunos

inteligentes e que já trazem uma motivação interior grande para aprender

matemática com a ajuda do professor ou sozinhos. O professor precisa

trabalhar com todos os alunos que ele tiver em sua sala, sejam eles muito

inteligentes ou não, muito interessados ou não, muito autônomos ou não.

Sobretudo, o aluno precisa acreditar e sentir que o professor será capaz de

considerá-lo como um ser humano capaz de aprender, mas que ao mesmo

tempo possui limitações. Na realidade, o professor precisa em sala de aula

incentivar o aluno, despertar o interesse e curiosidade do mesmo através de

atividades desafiadoras estimulando sua participação e favorecendo o

estabelecimento de um clima de cooperação entre todos. Nós, professores,

precisamos estar cientes que nem todos chegam às aulas de matemática já

com motivação interior para o estudo dessa disciplina. Compete a nós

174

planejarmos aulas diferenciadas e, além disso, termos atitudes em sala de aula

e em nossas interações com os alunos que despertem interesse e desejo em

nossos alunos de aprender. Acreditamos que podemos agir como motivadores

externos de nossos alunos. Nesta pesquisa tivemos vários momentos que nos

comprovam isso. Enfim, este estudo foi realizado procurando responder a

nossa questão central e a outros questionamentos que se relacionavam com

essa.

Questão central: Em que aspectos o trabalho com atividades de natureza

investigativa pode contribuir para a aprendizagem de matemática no 1º

ano de ensino médio?

Outros questionamentos: 1) Que crenças, concepções e atitudes os alunos

apresentam em relação à matemática, ao seu ensino e a seus professores de

matemática dos anos anteriores ao início deste estudo? Como eles se

perceberam ao final da pesquisa de campo? 2) O que podemos aprender em

relação ao processo de ensino-aprendizagem de matemática no 1º ano de

ensino médio, quando propomos um trabalho diferenciado do modelo

tradicional utilizando atividades de natureza investigativa e de resolução de

problemas? 3) Que conceitos matemáticos os alunos conseguem identificar,

relacionar e utilizar? O que revelam as atividades de natureza investigativa e

de resolução de problemas acerca dos conhecimentos e capacidades dos

alunos?

Pelos estudos de Gómez Chacón (2003), Oliveira (2007) e Silva (2007), nós

sabemos que as atitudes dos alunos diante de algumas tarefas ou situações do

cotidiano da sala de aula como provas, apresentações de trabalhos e

realização de algumas tarefas que não seguem a rotina de uma prática

tradicional, podem ser influenciadas pela maneira como o professor irá

apresentar e conduzir essa atividade. Durante nossa pesquisa de campo

realizada em 2008, quando aplicamos as atividades de natureza investigativa,

percebemos no primeiro momento que alguns alunos ficaram sem saber o que

era para fazer, e se surpreenderam com aquele tipo de atividade. No momento

em que pedimos para apresentarem suas resoluções e conclusões, se

surpreenderam novamente, porque não era hábito do professor da turma usar

175

aquele tipo de procedimento. Esse fato chamou a atenção dos alunos. Com o

caminhar da pesquisa, as coisas aconteceram com mais naturalidade.

Conseguimos observar ao longo do estudo que as aulas em que utilizamos as

atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas motivaram

algumas mudanças de comportamento no aluno. Trazemos alguns trechos de

aulas que observamos e aulas que ministramos em conjunto com o professor

colaborador para compartilhar alguns indícios de mudança de comportamento

que aconteceram.

Em relação ao comportamento da turma no primeiro dia da atividade de

natureza investigativa (17/03/2008) pudemos perceber que, durante a

realização da tarefa em grupo, aconteceu um pouco de conversa em sala e que

alguns alunos não estavam contribuindo. Concluímos naquele momento que

talvez o melhor fosse que eles tentassem inicialmente fazer as verificações

individuais e só após este trabalho concluído é que poderíamos organizá-los

em grupos para troca de experiências e de suas observações individuais. Por

outro lado nos sentimos satisfeitos de termos continuado essa atividade em

outras duas aulas (24/03/2008 e 26/03/2008) com os alunos trabalhando em

grupo, pois percebemos que essa conversa era necessária para que os alunos

interagissem entre si e fossem formulando e registrando suas observações,

questionamentos e conjecturas. Fernandes, Fiorentini e Cristovão (2006)

quando comentam sobre algumas investigações matemáticas que realizaram

com alunos de uma turma de 6ª série confirmam o que observamos com

nossos alunos ao destacarem o problema de conversas e aparente indisciplina

em sala de aula.

Sobre o problema da indisciplina no contexto de aulas investigativas, é preciso, primeiramente, (re) conceituá-la, pois os alunos, quando estão investigando, principalmente em uma sala de 40 alunos, agem como as abelhas que produzem mel. Todos querem falar, colocar suas idéias e interpretações e defender seus pontos de vista em relação às tarefas. Esse processo produtivo pode parecer bagunça aos olhos de quem está de fora, mas, para quem está acompanhando o que efetivamente acontece em classe, esse é um modo disciplinado de estudar e produzir conhecimento (FERNANDES; FIORENTINI; CRISTOVÃO; p. 243).

176

Na aula de 12/05/2008 o professor colaborador e o professor pesquisador

tinham trocado ideias sobre a aula passada, de sexta-feira dia 08/05/2008, na

qual os alunos tinham trabalhado em duplas sobre o assunto de introdução de

função. Nessa aula do dia 12/05/2008 decidimos separar os alunos em grupo,

tendo de três alunos a no máximo cinco por grupo. A proposta inicial foi que os

próprios alunos indicassem oito colegas que eles acreditassem ter mais

facilidade em matemática. Assim os alunos sugeriram o primeiro membro de

cada grupo. A partir daí os alunos foram se distribuindo em oito grupos de

acordo com sua afinidade. Explicamos que a partir daquele momento, por mais

ou menos dois ou três meses, os grupos deveriam ser os mesmos. Dissemos

isso, por acreditarmos que um grupo só se constitui como grupo se eles

trabalharem por mais tempo juntos e se conhecerem (SANTOS, 1997).

Dissemos também que resolvemos avaliar as atividades executadas pelos

grupos e depois faríamos uma avaliação individual sobre os assuntos

abordados, e a nota final seria calculada a partir da média de sua nota

individual e a nota do grupo. Esta foi uma mudança compartilhada pelos

professores em introduzir a rotina de trabalhos em grupo nas aulas de

matemática, pois já tínhamos percebido que os alunos interagem mais entre si

quando desenvolvem atividade de livros didáticos, atividades investigativas,

listas de exercícios e outras tarefas matemáticas em pequenos grupos.

Percebemos que a socialização de ideias ocorre de modo natural quando os

alunos têm oportunidade de compartilhar seus conhecimentos, pensamentos e

dúvidas em grupos e compartilham posteriormente a posição do grupo com a

turma toda (FERNANDES; FIORENTINI; CRISTOVÃO, 2006; SANTOS, 1994,

1997; VYGOTSKY, 1984).

Esclarecemos a importância de que no grupo todos participassem da resolução

e aprendizagem dos conteúdos e tarefas propostas, ou seja, todos os membros

do grupo têm algo a contribuir para a aprendizagem de cada participante do

grupo. Ressaltamos também a necessidade de que cada membro do grupo se

envolva na atividade para que ocorra a participação de todos.

No dia 22/05/2008, durante o desenvolvimento da tarefa os alunos trocavam

explicações entre si, até de grupo em grupo. A aula foi desenvolvida com muita

177

naturalidade, todos participando e sem muita conversa fora do assunto da

atividade. Nós passamos de grupo em grupo esclarecendo as dúvidas e

lançando perguntas sobre os exercícios propostos do livro didático.

Mudanças ocorridas no comportamento e na aprendizagem dos alunos foram

evidenciadas pelo papel diferenciado que os alunos passaram a assumir tendo

que compreender que não lhes são dirigidas perguntas diretas, mais sim

situações mais abertas, em que eles tinham que observar, registrar, interpretar,

analisar e validar suas conclusões. Logo nas primeiras atividades os alunos

manifestavam uma grande dependência do professor, mas conseguiram evoluir

e se tornaram mais independentes. Consideramos, portanto, que eles

desenvolveram alguma autonomia em relação ao professor. Evidenciamos uma

melhoria gradativa na forma de comunicar suas ideias quer seja oralmente ou

por escrito.

Os alunos foram adquirindo certa criatividade e destreza na procura por

determinados padrões e relações numéricas. Dentre os vários exemplos,

podemos citar, quando o aluno A13, evidencia que nas quatro primeiras linhas

do Triângulo de Pascal, os resultados representam as potências de base 11, ou

seja, 1 = 11º, 11 = 111, 121 = 112, 1331 = 113 e que 14641= 114. Esse aluno

demonstrou certo refinamento em suas observações, uma vez que esse

mesmo aluno nas primeiras atividades fez observações relativamente simples e

sempre em consonância com os demais colegas.

Percebemos que na medida em que íamos desenvolvendo as atividades

investigativas, tanto os alunos, quanto nós professores diminuímos nosso

receio em trabalhar com questões tão abertas. Observamos um aprendizado e

um aperfeiçoamento no modo de trabalhar em grupo, principalmente nos

momentos em que cada grupo apresentava suas conclusões. Foi possível

entender que o trabalho investigativo, dando liberdade ao aluno, permite que

ele escolha o curso de ação e sua referência será o limite de seus

conhecimentos e a forma como se envolve na busca de suas observações.

Constatamos que os alunos ficam mais seguros para trabalhar com atividades

que sejam o mais livre possível, que não limitam sua linha de ação e

observação. Verificamos esse fato no momento em que aplicamos a primeira

178

atividade com números, pois simplesmente eles fizeram as observações livres.

Na segunda atividade com o Triângulo de Pascal percebemos que alguns

alunos não estavam conseguindo justificar as generalizações que solicitamos.

Mas os alunos já conseguiam nessa segunda atividade investigativa de modo

independente observar e registrar diversas regularidades e padrões.

Apesar de os alunos terem desenvolvido habilidades como observação,

estabelecimento de relações, conjecturas e argumentações, mostrando

criatividade, no entanto, no momento de validação de suas conjecturas,

percebemos alguns com dificuldades. Podemos considerar que para nós

professores a validação das conjecturas foi a etapa mais difícil de ser realizada.

Acreditamos que talvez nós devêssemos experimentar primeiro trabalhar

algumas tarefas mais simples, e então levá-los a tentar justificar e validar suas

próprias conjecturas em situações mais diretas. Uma vez que durante a fase de

observações essas conjecturas aparecem de diversas maneiras. Em alguns

momentos observamos que era exigido dos alunos um grau de abstração

superior ao que eles eram capazes. Percebemos que nos diferentes momentos

em que eles apresentavam suas conclusões, alguns alunos ainda não

conseguiam perceber a diferença entre verificar suas conjecturas para alguns

casos particulares e verificar se seria possível para outros. Eles reclamavam do

pouco tempo que era dado para o momento de suas observações e achavam

excesso de tempo para validar suas conjecturas. Mesmo assim, alguns alunos

demonstraram maior confiança durante a etapa de elaboração de estratégia,

análise de resultados e resolução de problemas e também na hora de

comunicar suas ideias matematicamente.

Durante a realização de atividades de natureza investigativa e de resolução de

problemas o professor deve assumir um importante papel de mediador dos

significados construídos e discutidos pelos alunos individualmente e em

grupos. Em nossa pesquisa de campo, e em algumas aulas os professores

colaboradores também trabalharam com atividades de resolução de problemas

(21/02/08, 25/02/08, 10/03/08, 06/08/08, 07/08/2008), assim como nós quando

aplicamos as atividades da pesquisa aqui relatadas. Em todos esses

momentos foi importante a mediação que realizamos entre os alunos para que

179

eles construíssem os significados matemáticos que pretendíamos

(VYGOTSKY, 1984). Devemos tentar conduzir o aluno a pensar como um

matemático, oportunizando-lhe o prazer da descoberta. Precisamos controlar

nossa ânsia de querer resolver tudo para nossos alunos. Para que tudo isso

aconteça, as nossas práticas deverão assumir características bem diferentes

das aulas tradicionais. Segundo Fosnot (1996, p. 9) esse tipo de aula diferente

da aula tradicional sugere uma abordagem do ensino que oferece aos alunos

oportunidades de uma experiência concreta e contextualmente significativa,

através da qual eles podem procurar padrões, levantar questões e construir os

seus próprios modelos, conceitos e estratégias. Durante as primeiras

atividades investigativas o professor pesquisador foi frequentemente solicitado,

os alunos necessitavam validar suas observações, recordar alguns conteúdos

que eles esqueceram. Era nesse momento que os conhecimentos adquiridos

passavam a ter valor, quando sentiam que precisavam deles para determinada

situação e resolução de problemas.

Os alunos sempre procuravam evidenciar em suas observações os conteúdos

que eles estavam estudando naquele momento. Esse fato pode ter dificultado

para alguns alunos a busca por outros caminhos e o notar conscientemente

novas observações. Por exemplo, quando realizamos a primeira atividade

investigativa com números em fevereiro/2008, os alunos estavam estudando os

conjuntos numéricos. Se analisarmos suas observações nós perceberemos

que as mesmas giravam em torno de números naturais, reais, múltiplos e

divisores. Durante a realização da segunda atividade investigativa eles citavam

os conceitos de funções e outras relações que envolviam dependência

numérica entre grandezas.

Vemos que uma prática diferenciada pode influenciar nas concepções dos

alunos em relação à matemática. Realizando as análises sobre as crenças e

concepções dos alunos em relação à matemática e em relação aos

professores, percebemos que em sua maioria eles pareciam acreditar em um

ensino voltado para a memorização de procedimentos. Deram indícios de que

se o professor explicasse devagar várias vezes o conteúdo que haveria

possibilidade de aprendizagem. Percebiam a importância da matemática para o

180

dia a dia, tanto para arrumar um emprego, quanto para aplicação no cotidiano.

Reforçavam, assim, o que Gómez Chacón (2003) e Ernest (1989) comentam

como sendo uma visão utilitarista da matemática. Consideravam seus

professores como sendo pessoas capacitadas e inteligentes, mas não

percebiam a influência que o professor exercia na aprendizagem deles.

Acreditavam que sua aprendizagem não dependia do professor e dos seus

métodos, somente do seu próprio esforço.

Claro que um trabalho de pesquisa ao longo de nove meses não vai alterar

todas as crenças e concepções dos alunos frente à matemática depois de

terem estudado matemática e acreditado em algumas visões sobre as mesmas

ao longo de oito anos do ensino fundamental. Contudo, acreditamos que

causamos certa instabilidade em algumas crenças e concepções dos alunos

frente à matemática e na crença de que só conseguem aprender matemática

em uma aula no modelo tradicional. Indícios dessa análise aparecem em todo o

trabalho durante as explicações dos alunos e suas conclusões. Sobre as

reflexões que realizamos como professores, acreditamos que se estivermos

conscientes de nossas crenças e concepções, seremos capazes de

compreender melhor nossos alunos, modificar nossa prática e favorecer ainda

mais a aprendizagem deles. Ao longo de todas as etapas dessa pesquisa

durante seu planejamento, desenvolvimento, análise de dados e esse relato

final, nós podemos afirmar que estamos tomando mais e mais consciência de

nossas crenças, concepções e atitudes frente à matemática e seus processos

de ensino, aprendizagem e avaliação.

Durante as aulas de matemática, em turmas de ensino médio, em que

utilizamos atividades de natureza investigativa e de resolução de problemas,

tanto em nível exploratório em 2007 quanto na pesquisa de campo em 2008,

constatamos alguns aspectos. Observamos por exemplo que, nos momentos

em que os alunos precisavam descrever o processo de resolução e não só os

cálculos, que eles tiveram a oportunidade de discutir suas hipóteses, formular

conjecturas e tentar validar as mesmas. Eles interagiram muito mais do que em

aulas seguindo um modelo tradicional. Ou seja, todos nós, os professores

(pesquisador e professores colaboradores) e alunos tiveram a oportunidade de

181

argumentar, de interagir, de questionar e de refletir sobre conceitos

matemáticos. Foram momentos em que vivenciamos, na prática, situações de

reflexões sobre os conceitos matemáticos envolvidos. Como em alguns

momentos justificamos que o tempo é um dos fatores que nos impede de

refletir, então perguntamos o porquê da não utilização de alguns momentos de

nossas aulas para trabalharmos e aprendermos, junto com nossos alunos, o

ato de refletir. Acreditamos que em nossa vida profissional e pessoal a reflexão

é um dos elementos mais importantes do processo de aprendizagem.

5.1. Reflexões finais e aprendizados

Antes de entrar no mestrado mantinha um modelo de aula expositiva

caracterizada por uma comunicação que era feita apenas por mim. Chegava à

sala de aula, escrevia no quadro os conteúdos que íamos trabalhar naquele

momento e que poderia ser uma correção de exercícios ou trabalhar com

novos conteúdos. Definia o assunto, explicava todos os exercícios ou exemplos

propostos, tirava algumas dúvidas que os alunos iam perguntando, enfim,

parece que eu estabelecia-me como o centro das atenções dentro do processo

de ensino-aprendizagem.

Atualmente procuro reavaliar meu papel como professor, busco uma

participação ativa dos meus alunos desde a introdução do conteúdo até mesmo

durante a correção de exercícios. Por exemplo, quando vou introduzir qualquer

conceito novo, começo pedindo a todos os alunos que tentem lembrar-se de

uma palavra ou qualquer coisa que os remeta ao assunto e vou escrevendo no

quadro tudo o que eles vão dizendo. Faço perguntas sobre os diversos

conceitos que eles fornecem e procuro desenvolver o conteúdo a partir das

informações apresentadas e, assim, tenho conseguido bons resultados.

Quando termino de explicar qualquer assunto, principalmente quando estou

terminando algum tópico ou capítulo, peço a meus alunos que escrevam em

seus cadernos o que mais gostaram e o que aprenderam daquele conteúdo

182

abordado como também o que menos gostaram de estudar. Peço que anotem

suas principais dúvidas e no final de cada aula socializo com todos os alunos

da turma suas escritas, sem forçar ninguém a falar ou comentar, tento deixar

todos bem à vontade para responder ou perguntar. São atitudes simples como

essas que têm facilitado bastante meu trabalho de sala de aula.

Antes de iniciar os estudos no mestrado e de participar do grupo de estudo e

pesquisa recordo-me que a preparação das aulas seguia sempre a mesma

lógica. Pensava nos assuntos que pretendia trabalhar naquele dia, olhava no

livro adotado se tinha algum exercício que poderia ser de difícil resolução,

tentava resolvê-lo antes ou olhava no manual do professor a resposta.

Trabalhava os exercícios que estavam no livro didático e quase não preparava

material extra, acredito até mesmo pela falta de tempo em produzi-los. Na

ocasião não percebia a importância de apresentar vários tipos de exercícios

para meus alunos. Quando tinha que aplicar algum teste ou atividade

avaliativa, fazia sempre uma revisão antes, pontuando no quadro os pontos

mais relevantes e tentava resolver os exercícios que julgava mais importantes

sobre o assunto. Esses exercícios e conteúdos eram provavelmente os que

iriam aparecer nas minhas avaliações. Tenho percebido que essas atitudes

podiam ajudar alguns alunos, e vejo que outros alunos não conseguiam

aprender somente dessa maneira.

É importante criar alternativas de aulas, exercícios, atividades e maneiras de

conduzir nossas aulas que talvez venham a favorecer a aprendizagem de todos

ou quase todos. Quando penso e reflito sobre essas várias hipóteses de

trabalho e caminhos para fazer Matemática em nossas salas de aula, e do que

eu fazia antes, e do que fiz durante a pesquisa de campo, percebo que eu

estou concordando com o que está sendo afirmado no documento do PCNEM

(BRASIL, 2002)

É consensual a idéia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática (p. 42).

183

É importante ressaltar que situações que levem o aluno a refletir e que dão

respostas a alguns ―porquês‖ podem contribuir para um olhar mais crítico de

sua aprendizagem. Essa conversa franca e honesta com o aluno sobre o que

ele realmente aprendeu e o que não aprendeu é que faz a diferença. Essa é a

nova atitude que tenho procurado seguir em minha prática docente e que fui

aprendendo ao longo do mestrado principalmente com essa pesquisa que

estou finalizando.

Na busca por respostas aos vários questionamentos propostos por este

trabalho e fazendo reflexão sobre o meu papel na pesquisa, percebi em alguns

momentos que minhas ações eram idênticas às de meus alunos. Por exemplo,

ao finalizar o relato dessa pesquisa estou percebendo um comportamento

semelhante ao de meus alunos quando eu não conseguia cumprir uma tarefa

solicitada ou sugerida por minha orientadora. Em alguns casos deixava de

realizar a tarefa, não porque essa fosse difícil, mas porque deixava o

cumprimento da mesma para a última hora, ou mesmo por não ter

compreendido seu objetivo e não ter tido a coragem de procurá-la para maiores

esclarecimentos.

Penso que este trabalho pode servir como incentivo para outros professores

promoverem uma autoavaliação de seu papel em sala de aula e reconhecerem

que o aperfeiçoamento profissional é uma necessidade. Aproveito também a

oportunidade para deixar alguns questionamentos no afã de incentivar novas

pesquisas:

Como poderíamos articular o trabalho investigativo e associá-lo a outras

atividades de aprendizagem, buscando a resolução de problemas e

estabelecendo uma relação com situações práticas do cotidiano?

De que maneira o trabalho investigativo pode promover uma mudança nas

concepções dos alunos em relação à matemática, e como ocorreria o

desenvolvimento das diversas habilidades e competências em matemática,

quando o mesmo for desenvolvido desde as séries iniciais?

184

Enfim, deixo o relato desse estudo como estímulo para outros que, assim como

eu, buscam um ensino de matemática com qualidade e criatividade. Um ensino

que propicie ao aluno oportunidade de reflexão e desenvolvimento da

criatividade tão necessária a um aprimoramento acadêmico satisfatório e

produtivo.

185

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VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente, São Paulo: Martins Fontes, 1984.

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ANEXOS

ANEXO A

Instrumento 1A (Crenças, concepções e atitudes sobre a matemática)

Nome: _______________________- Idade:___ Data 28/02/2008 – 10:40

Local onde mora: sede Interior

01) A matemática é como ... Por quê ? 02) Se a matemática fosse um animal, ela seria ... Por quê ? 03) O que eu gostaria de dizer sobre a matemática é ...

Instrumento 1B (Questionamentos sobre professores de matemática e suas atitudes em

relação à matemática)

Nome: _______________________- Idade:___ Data 28/02/2008 – 10:40

Local onde mora: sede Interior

Considerando suas próprias atitudes em relação à matemática, complete as frases com as palavras que estão faltando: 01)Meus professores de matemática da escola eram ... 02) Minhas capacidades em matemática são ... 03) Para ser bom em matemática é necessário ... 04) Poderia aprender mais matemática se ... 05) Minha motivação para fazer matemática é ...

Instrumento 2 (Atividade de natureza investigativa)

Explorações com números

Procure descobrir relações entre os números:

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 17 18 19

... ... ... ...

Registre as conclusões que for obtendo.

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Instrumento 3 (Atividade de resolução de problemas)

Problema prático - Dispomos de uma tela de arame com 28 metros de comprimento para cercar uma área retangular. Quais devem ser as medidas dos lados do retângulo para que a área seja máxima?

Instrumento 4 (Questionário sobre atividades investigativas e resolução de problemas)

01) O que eu gostaria de dizer sobre as aulas de Matemática após o início dos trabalhos com as atividades investigativa é ...

02) O que você mais gostou nas aulas em que trabalhamos atividades investigativas? Por quê?

03) O que você menos gostou nas aulas de investigação matemática? Por quê?

04) Em que essas atividades investigativas influenciou na sua aprendizagem matemática ?

Instrumento 5 (Tarefa de natureza investigativa)

Nome : _____________________________ Data: 09/10/2008 – Horário: 7h50min às 9:30

Blaise Pascal- (Clermont-Ferrand, Puy-de-Dôme, 19 de Junho de 1623 -

Paris, 19 de Agosto de 1662) foi um filósofo, físico e matemático francês de curta existência, que como filósofo e místico criou uma das afirmações mais pronunciadas pela humanidade nos séculos posteriores, O coração tem razões que a própria razão desconhece, síntese de sua doutrina filosófica: o raciocínio lógico e a emoção. Filho de um professor de matemática, Etienne Pascal, foi educado sob forte influência religiosa e tornou-se extremamente ascetista, escrevendo várias obras religiosas. Seu talento precoce para as ciências físicas levou a família para Paris, onde ele se dedicou ao estudo da matemática.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

Em 1653, o matemático francês Blaise Pascal escreveu uma obra intitulada Traité du triangle arithmétique, na qual analisa as propriedades combinatórias e binomiais do triângulo aritmético, que ficou conhecido como triângulo de Pascal. Livro: Matemática : Construção e significado Coordenação: José Luiz Pastore Mello –1ª ed. – São Paulo, Moderna : 2005, p.369

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Tarefa 01 (20 minutos) - INVESTIGAÇÕES NO TRIÂNGULO DE PASCAL 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 4 10 10 5 1

... ... ... ... ... ...

Procure descobrir relações entre os números acima, registre as conclusões que for obtendo.

Tarefa 02 (25 minutos) – Registros de investigações no Triângulo de Pascal. Com base em suas anotações e observando com mais detalhes o Triângulo de Pascal, responda : 1) Explique como podemos escrever novas linhas desse Triângulo, utilizando os valores da(s) linha(s) anterior(es). 2) Procure estabelecer uma relação( ou fórmula) para encontrar a soma de qualquer linha desse triângulo.

ANEXO B Transcrição das aulas da pesquisa de campo Aula 01 - Data 21/02/2008 - Horário: 9h 50min. Assunto: Problemas das olimpíadas de matemática da escola pública. Ao iniciar a aula, após todos os alunos estarem acomodados nos seus devidos lugares, o professor apresentou-me à classe dizendo meu nome e que eu era também professor de Matemática e que estaria a partir daquela data, participando de algumas aulas desenvolvendo juntamente com eles algumas atividades e procedimentos para uma pesquisa em educação matemática. Pediu, também que todos me recebessem com muito carinho, pois era mais um professor que veio colaborar para a aprendizagem deles. O professor iniciou a aula fazendo a chamada, pelo motivo de não conhecer ainda todos pelo nome, porque necessita memorizá-los o mais rápido possível, mas que usualmente procurar fazer pelo número do aluno, Características da turma e espaço físico utilizado: Esta é uma turma que tem 34 alunos e que em média estão presentes em torno de 30 alunos. O espaço físico da sala é de 50 m

2, onde os alunos podem se acomodar muito bem, as

cadeiras utilizadas são do tipo ―universitárias‖ e todas em bom estado de conservação. A sala de aula tem boa ventilação e possui ainda dois ventiladores de teto funcionando perfeitamente. Todas as salas de aula da escola passaram recentemente por uma reforma de pintura e troca de piso, os quadros estão em perfeito estado de conservação.

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Segundo o professor, esta turma tem alunos vindos de várias escolas da rede municipal e estadual de ensino, alguns são do interior e outros da sede do município. De acordo sua avaliação inicial, é uma turma com características bem heterogêneas. Mas que não apresenta dificuldades de relacionamentos, entre alunos → alunos e alunos → professor, suas atitudes e comportamentos durante as aulas de matemática são normais e com nenhum fator negativo. Desenvolvimento da atividade: Após uma revisão de duas semanas de aula, em que apresentou para os alunos conteúdos das quatro séries anteriores do ensino fundamental, que ele julgava essenciais, desde expressões numéricas até a resolução de equações do 1º e 2º graus, o professor sugeriu que fizessem grupos livremente sem nenhum critério de divisão. Assim, iriam resolver de alguns problemas. Cada aluno recebeu a folha com os problemas e começaram a desenvolver a atividade. Estes problemas foram extraídos do Bando de Questões da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática da Escola Pública), o ano e nem a série foram mencionados. O professor passou a circular pela sala tirando algumas dúvidas e em muitos grupos a orientação inicial foi somente a leitura em voz alta dos primeiros problemas e indagava aos alunos algumas perguntas que facilitavam a compreensão dos mesmos. O professor procura atender a todos os grupos sempre que é solicitado, mas independentemente disto, circula o tempo todo durante os trabalhos. Alguns grupos começam a ter dificuldade de compreensão de determinados itens do problema e o professor mostrava os possíveis caminhos que devem seguir para que encontrassem e compreendessem o enunciado. Mesmo sem dizer que esta atividade tenha algum tipo de pontuação, os alunos apresentam interesse em resolvê-las, após um momento inicial de leitura, alguns alunos começam a circular pela sala procurando trocar algumas informações e respostas já encontradas pelos colegas. Como esta aula tem duração de apenas de 50 minutos e o tempo se esgota, o professor pede que todos tentem resolver os problemas propostos em casa. Aula 02 – Dia 25/02/2008 – Horário: 8h. 40min. Assunto: Comentários do professor sobre a resolução dos alunos e apresentação do gabarito para eles. O professor orienta os alunos como seria a aula do dia, em que todos seriam conduzidos para o laboratório de informática, e que ele havia feito em Power Point a resolução dos problemas apresentados na aula anterior, e que deveriam levar suas anotações e resoluções dos problemas apresentados na aula anterior para fizessem comparações de suas soluções com a dele (professor). No laboratório de informática existem 32 máquinas interligadas via internet, todas funcionando e com excelente estado de conservação e atualização e o ambiente é refrigerado. Há no laboratório um funcionário responsável que estará auxiliando o professor durante todo o processo. O professor entregou a esse funcionário o material que seria utilizado na aula, e este instalou o arquivo em todos os computadores. Como havia apenas 31 máquinas, os alunos não puderam utilizar as máquinas individualmente, mas mesmo assim, alguns computadores ficaram com dois alunos e ainda sobrou uma máquina sem ser usada. A partir desta localização dos alunos, alguns começaram a executar a apresentação e muitos começaram a copiar a resolução ali apresentada. O professor começa a circular na sala tirando algumas dúvidas de sua resolução para os alunos. Segundo o professor, ele já tinha utilizado esta dinâmica em suas turmas de 1º ano em 2007 com o assunto de funções, não houve muito para o questionamento dos alunos porque o tempo da aula terminou. O translado e a acomodação dos alunos ao laboratório de informática levou em torno de 15 minutos da aula. Aula 03 – Data: 28/02/2008 – Horário: 10h. 40 min. Assunto: Questionário 1 sobre metáforas - primeiro instrumento para coleta de dados.

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A turma era do 1º ano C do ensino médio, e estavam presentes 30 alunos. Todos os alunos já me conheciam, pois haviam participado de duas aulas anteriores com o professor L e com a minha presença. Os questionários seriam aplicados na 5ª horário, quando tocou o sinal para iniciar a aula, eu já me encontrava no corredor em direção à sala, encontrei o prof. Leandro e pedi a ele que deixasse a parte inicial desta aula para aplicação dos instrumentos de pesquisa. O professor L se dirigiu para sala de professores para buscar uma máquina fotográfica. Neste momento, pedi aos alunos que se dirigissem para a sala, pois alguns se encontravam ainda no corredor. Segundo informação dos colegas, 3 alunos foram embora naquela 5ª aula, mas em momento algum nenhum deles sabia que seriam aplicadas tais perguntas. Cumprimentei a todos e comecei explicando os procedimentos iniciais desta aula, em que iríamos fazer algumas perguntas a partir de questionários que seriam entregues a eles posteriormente. Reforcei a todos que nenhum aluno seria identificado, que gostaria de contar com a maior sinceridade de todos. E que o objetivo neste momento seria para que eu e Leandro pudéssemos conhecê-los melhor e como poderíamos buscar caminhos para auxiliá-los em sua aprendizagem. Para tanto seria necessário conhecer as idéias iniciais que eles traziam da Matemática, do ensino da matemática e do professor de matemática. Comecei conversando como tinha sido a semana para eles, se estavam gostando e motivados em estudar naquela escola, pois muitos alunos são novatos, oriundos de outras escolas da região. Percebi que foi bom esta conversa para que aquele momento não se tornasse estressante e anormal, pois sabia que como não era o professor da turma, havia necessidade desta conversa informal. Todos se mostraram extremamente à vontade, e só então direcionei as perguntas. As perguntas foram entregues por etapa, uma a uma e foi dado um tempo para eles respondessem cada uma delas. Após o termino do tempo seria recolhida a pergunta e entregue outra. Tudo transcorreu na maior normalidade, nenhum aluno se opôs ao questionário. Houve algumas perguntas, tais como: se poderiam responder a lápis ou caneta. Perguntaram também sobre o significado de algumas palavras: abstrato, procedimentos. Consegui visualizar que todos estavam respondendo com tranqüilidade que não havia quase nenhuma comunicação entre eles. Aula 04 – Dia 05/03 – Horário: 8h. 40 min. Assunto: Filme da série NUMBERS – Hipótese de Riemann Nesta aula, após conversa com os alunos do dia 28/02, a de ter apresentado o professor L os DVD(s) da série NUMBERS que relata a utilização de argumentos matemáticos para desvendar vários casos do FBI, ficou combinado que passaríamos um episódio da série para os alunos. Escolhemos um episódio que retrata o uso da Hipótese de Riemann para quebrar códigos da internet. Pedimos alunos que assistissem ao filme e fizessem observações livres e que na próxima aula utilizaríamos em torno de 15 minutos para trocarmos as idéias e observações que acharam interessantes. Aplicamos também o segundo questionário sobre as atitudes dos alunos em relação à matemática. Aula 05 - Dia 10/03/2008 – Horário: 10h. 40min. Professor inicia a aula fazendo a chamada e pede aos alunos que peguem o material de matemática e organizem-se para o início da aula. Assunto abordado: Conjuntos com aplicações em Resolução de Problemas, número de alunos presentes 31. Inicia corrigindo exercícios da aula anterior. O professor pede sempre a colaboração dos alunos em relação às conversas e que necessita de silêncio para o início da aula. Ele inicia a correção e dá uma dica aos alunos que começam a resolução construindo uma tabela com os valores dados. Pude observar que durante a correção de todos os exercícios o professor sempre interroga os alunos com perguntas do tipo: ―Quem acertou?‖ Alguns alunos levantam a mão e ele diz: ―É, o grupo ainda está pequeno‖. Ao iniciar a resolução do problema 2, ele interroga: ―Quem conseguiu fazer e acha que acertou?‖ Teve a resposta de uma aluna que disse acreditar te acertado. Consegui aprender uma boa estratégia com este professor na resolução de problemas envolvendo conjunto. Ele inicia sempre diminuindo já de imediato a interseção dos conjuntos dados, isto facilita a compreensão melhor dos dados do problema. O professor diz a um aluno que é sempre bom falar o que errou, pois esta informação pode ajudar outros colegas que não errem. Percebo que o professor sempre faz pergunta para classe durante suas aulas, com isso tenta buscar a participação de todos. Durante a resolução do problema 3, conforme folha

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anexo, o que achei interessante foi a fala de uma aluna que relatou: ―Hoje vai chover, por ter resolvido este problema sem a ajuda de nenhum colega‖. Durante a correção dos exercícios, o professor pede sempre que um aluno(a) faça a leitura do mesmo. Logo após a leitura, começam sua perguntas:―Por onde começar?‖ Uma aluna diz eu comecei do 11 que é a interseção de todos os conjuntos, isto ela relata durante a resolução do problema 4. ―Com fazer?‖ Pergunta outra vez o professor, ―será que seria somar tudo e verificar o restante?‖. ―O que colocamos é verdade de acordo com o enunciado?‖ Logo após ele pergunta: ―Alguém acertou?‖ Ninguém respondeu. Este exercício possui características mais complexas em relação aos anteriores, por se tratar de mais informações. Neste momento, ele começa a resolver o problema e responde a letra a, e pede a todos que respondam a b e c. Este professor procurar trabalhar até o último minuto e nesta aula, utilizou todo tempo na correção dos exercícios. Verifico que esta sala, por possuir janelas de vidro bem grandes e ser localizada exatamente do corredor em que os alunos saem da escola, sempre nos minutos finais, quando começa a saída de alunos de outras turmas, muitos se dispersam. No final de cada aula ele sempre entrega mais lista de exercícios para próxima aula. Devido a este fato, um aluno diz: ―Assim professor, o senhor desanima qualquer um! Como o professor L gosta de folhinha! Para que isso tudo professor?‖ Problemas resolvidos e comentados nessa aula: PROBLEMA 01 Numa pesquisa de mercado verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas? PROBLEMA 02 Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? PROBLEMA 03 Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Nestas condições, pede-se o número de pacientes cujo sangue tem o antígeno O. PROBLEMA 04 Num grupo de 99 desportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:

a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Aula 06 – Dia 13/03/2008 – Horário: 9h. 50 min. Compareci como de costume e estava programado que iria participar dessa aula somente observando os procedimentos preparados pelo professor L, anotarei algumas falas dos alunos e do professor sobre o assunto que seria apresentado. Estava na sala dos professores e por volta de 8h. o professor informou-me que já havia adiantado sua aula no 1 ano . Ele justificou que na semana anterior só tinha dado apenas 1 aula na turma, os motivos eram diversos: falta de água na escola, dispensa e adiantamento de aula, pois a escola estava sem professor de educação física.

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AULA 07 - Dia : 17/03/2008 – Horário: 8h. 40 min. Iniciei dizendo que nesta aula faríamos uma atividade de natureza investigativa. Pedi aos alunos que se dividissem em grupos de 4 componentes no máximo, distribuí uma folha com uma seqüência numérica pedi a todos que procurassem relações entre esses números. Logo de início, percebi que muitos não estavam conseguindo entender o que realmente era para ser feito, mas aos poucos alguns grupos já faziam anotações em uma folha entregue no início da atividade. Foi concedido um tempo de 25 minutos para as observações iniciais. Como havia transcorrido aproximadamente 10 minutos para formação dos grupos e orientações iniciais, os 15 minutos finais ficaram para que os grupos apresentassem suas observações e relações para os demais. O que ficou evidente que realmente uma aula foi insuficiente para realização desta tarefa. Após o término da aula, ficou uma proposta para continuarmos na próxima aula neste ponto da tarefa, ou seja, o momento das apresentações. Em relação ao comportamento da turma durante a realização da tarefa em grupo, pude perceber um pouco de conversa em sala e que alguns alunos não estavam contribuindo. Concluímos que talvez o melhor seria que eles tentassem inicialmente fazer as verificações individuais e só após este trabalho concluído e que poderíamos organizá-los em grupos para troca de experiências e de suas observações individuais. Nesta fase final da aula com aproximadamente 15 minutos, cada grupo passou a expor suas observações e passei a registrá-las no quadro, mas somente 3 grupos dos 8 formados puderam relatar. AULA 08 – Dia: 24/03/2008 - Horário: 7h. 50 min. Nesse dia houve a necessidade do professor L adiantar sua aula em outra turma, ele perguntou se eu poderia ficar com eles para que concluíssem a atividade de investigação. Disse que para mim tudo bem. Iniciei a aula pedindo a colaboração de todos nos trabalhos que iríamos realizar nessa aula, e tentei mostrar a todos a importância desse tipo de atividade, em que iriam desenvolver uma série de habilidades e competências como: a escrita de suas idéias, a busca por algo desconhecido, a criatividade e seu senso de observação. Como essa é uma atividade com característica de deixar o aluno livre para suas observações e conclusões. Por não tratar-se de um exercício ou problema que ele deveria buscar a solução. Mas que nessa aula todos deveriam fazer suas observações individualmente, pude constatar que 3 alunos não participaram da aula anterior em que fizemos as observações em grupo. Foi necessário fazer um melhor detalhamento do que era a atividade para esses alunos e de como eles deveriam proceder nesta fase de observação. O tempo estipulado para observação nesta aula foi de 20 minutos, houve perguntas em relação permissão ou não em anotar algumas observações que eles já tinham feito em grupo, respondi que sim, se eles conseguissem lembrar que não devolveria naquele momento a folha entregue em grupo. Após o termino dessa parte da atividade, comecei a anotar no quadro as observações feitas por cada um que não repetia de acordo com o colega anterior. Pude perceber que apenas 3 alunos dos 30 presentes não demonstraram interesse ou motivação em participar na atividade de forma mais efetiva. Na saída, consegui conversar pelo corredor com professor L e seu relato foi de que esses alunos realmente não procuram participar de quase nada que é proposto. Achei importante definir para esses alunos a idéia de conjectura e que em aula posterior faríamos esta nova fase da investigação. AULA 09 – Dia:26/03/2008 – Horário: 8h. 40 min. Avaliação com a turma da atividade investigativa com números. Solicitamos aos alunos que realizassem por aproximadamente 20 minutos algumas observações individuais sobre a atividade com números. Nessa aula, relacionamos na lousa as observações que a turma falava. Foi um momento muito rico e importante para socializarmos as observações. Os alunos se sentiram muito à vontade para comentar as observações dos colegas. AULA 10 - Dia: 31/03/2008 – 9h. 50 min. Desejamos nessa aula, conforme combinado com minha orientadora, de deixar os alunos da turma interpretar os argumentos que tinham descrito. O procedimento seria o de apresentar em um quadro já digitado todas as opiniões. Como a escola disponibiliza um datashow, resolvi

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preparar um material e já ir descrevendo as interpretações de todos simultaneamente. Eu e professor L ficamos o período do recreio preparando todo ambiente para que tudo isso aconteça. A turma teve que deslocar-se para uma sala com ambiente mais escuro, apesar desse fato, tudo ocorreu com normalidade, os alunos começaram a perguntar o que faríamos com todo aquele material diferenciado, datashow, som e telão. Seria necessária a grande participação de todos nessa atividade uma vez que representa a idéia de toda turma, mas sabíamos que alguns alunos sempre têm maior participação. Iniciamos a atividade com 2 vídeos que mostram a importância do trabalho em equipe e da importância que cada um tem durante um trabalho em equipe e percebemos a necessidade de motivá-los a participar da atividade. Esse trabalho de interpretação das metáforas teria como principal objetivo conhecê-los melhor e mais tarde podermos ajudá-los em algumas dificuldades que descreveram e tentar utilizar metodologia que gostam durante a aprendizagem. Conversamos um pouco sobre o que é estar motivado e iniciamos a análise das respostas do 1º instrumento da pesquisa. Conseguimos analisar somente as concepções e crenças de 4 alunos. Tivemos uma boa participação de todos e percebemos que alguns alunos se mantiveram calados em alguns momentos e de cabeça baixa. Bateu o sinal para troca de professores e a próxima aula seria de educação física, muitos alunos já estavam eufóricos. Essa disciplina eles adoram. Mesmo assim um grupo de 9 alunos pediu se seria possível continuar com o trabalho na medida do possível, disse a eles que teria que conversar com o professor de educação física vendo a possibilidade de liberá-los, uma vez que tudo já estava preparado. Com a liberação do professor de educação física, continuamos até 11h. 25min. trabalhando com esse grupo. Os alunos mostraram grande interesse na atividade, pois a todo momento os deixamos bem à vontade para seus relatos e observações. Percebi que com um grupo menor conseguiu fazer, com certeza, um trabalho melhor. No final, esses alunos gostaram tanto que pediram para fazer uma análise melhor, principalmente, das suas respostas. Finalizamos a aula agradecendo a todos pela participação na atividade e que todos estavam de parabéns. Aula 11 - Dia 03/04/2008 – Horário: 9h. 50 min. Professor iniciou a aula fazendo a correção dos exercícios que havia passado no quadro na aula anterior. Fatos emocionais acontecem a todo momento, o professor se irritou um pouco com as conversas que estavam acontecendo no início da aula. ―Temos uma proposta e um conteúdo a render‖ (fala do Prof. L) Iniciou a aula corrigindo o exercício 3 que era um retângulo de dimensões 6 e 4 cm e pedia qual seria o perímetro e a área do mesmo. Observei que sempre que necessita de um argumento que exigi conhecimento das séries anteriores o professor sempre faz uma retomada. A turma sempre tem um bom comportamento durante as aulas, vejo como o professor tem a preocupação de manter os alunos atentos e participativos. Durante a explicação de um dos exercícios havia muita conversa e o professor diz: ―Espera aí pessoal, não vamos quebrar o nosso raciocínio‖. O professor L pediu que sempre que fosse necessário eu poderia intervir na sua explicação, dando uma nova dica em certos exercícios que possam facilitar a aprendizagem do aluno. No final da aula estava sentado no meio da sala e perguntei a dois alunos que estavam próximos de mim: ―Qual a sensação de vocês terem dois professores de matemática durante aula?‖ Aluno A: ―Acho legal para que ficarmos mais seguro, às vezes, você fica tão quietinho que nem percebemos.‖

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Aluno B: ―Desde que o professor L te apresentou, para mim, você seria um estagiário, mas você tem tirado algumas dúvidas de nós durante os exercícios e isso é bom, pois temos dois professores.‖ No final da aula distribuí aos alunos o questionário 3 sobre ―Opiniões sobre a matemática‖. Aula 12 – Dia 07/04/2008 – Horário: 8h. 40 min. Nesse dia, conforme combinamos em reunião, trouxemos as metáforas respondidas pela turma e gostaríamos que os alunos ajudassem na interpretação. Procedimento: Preparamos a sala de aula com data-show, fizemos um quadro com todas as respostas das metáforas, não identificando os alunos, estabelecendo uma numeração para cada um diferente daquela que existe no diário de classe. Fomos analisando alguns alunos juntamente com eles, e o professor L foi digitando as falas desses alunos. Conseguimos analisar, em uma aula, 4 alunos e combinamos que em outra faríamos dos demais alunos. Aula 13 - Dia 24/04/2008 – Horário: 9h. 50min. Fiquei praticamente 3 semanas sem participar das aulas devido ao trabalho que precisava terminar para qualificação. Nessa aula, o professor L aplicou uma atividade avaliativa para ser feita em grupo. Essa atividade era composta de 10 questões objetivas, sobre todo assunto abordado no bimestre (conjuntos numéricos, problemas envolvendo conjuntos e início do conceito de funções). A atividade avaliativa seria feita em grupo de 3 alunos no máximo, não houve nenhum critério de separação dos grupos, os alunos se dividiram por afinidade. Como também em minhas aulas, percebemos nesses grupos apenas um ou dois alunos trabalhando realmente para resolução dos exercícios e que alguns não demonstram o interesse pela resolução dos exercícios. Aí vem uma pergunta: ―Como envolver todos nesses trabalhos em grupo?‖ Vamos tentar circular pela sala observando e ajudando alguns grupos na tarefa, estou conseguindo uma melhor aproximação e ganhando a confiança deles. Aula 14 – Dia: 28/04/2008 – Horário: 8h. 40min. Assunto: Entrega das avaliações do bimestre, recuperação paralela. Estamos no final do bimestre e o professor esta fechando as notas e ele precisava fazer uma recuperação com os alunos que não conseguiram a nota mínima de 60%. A tarefa para esses alunos foi: - Refazer a tarefa proposta na aula anterior, e os grupos eram agora formados por alunos que não conseguiram a média. Nessa aula o professor entregou as provas e trabalhos para todos pedindo a todos que refizessem as questões que não tinham acertado. Duas alunas falaram : ― Vai dar temporal, eu não vou ter que refazer o teste! ― Vamos refazer esses trabalhos e na próxima aula teremos uma avaliação para recuperação paralela. Passamos a circular pela sala orientando e tirando dúvidas de todos que solicitavam. Aula 15 - Dia 05/05/2008 – Horário: 8h. 40 min.

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Nesse dia quem deu aula foi professor Messenas e o professor L fez as anotações. Tema: Introdução do conceito de função. Distribuímos os livros de matemática para cada aluno. Anotações do professor L sobre a aula. Professor Messenas explicou qual é o seu tema do trabalho de pesquisa, disse que irá aprofundar com eles um estudo sobre investigações matemáticas e resoluções de problemas. Explicou o que é cada item e disse como pretende trabalhar em nossas aulas. Iniciou o conceito de função, fazendo uma introdução pedindo a eles que pensassem em grandezas que se relacionam. Fez um desenho de quadrados formados por pontos como o que está representado abaixo. Pediu a eles que calculassem a área de cada quadrado de acordo com seu lado.

L=1 L=2 L=3 L=5 A=1 A=4 A=9 A=25 Citou a importância de estabelecer quais variáveis são dependentes e independentes. Em linguagem matemática como podemos estabelecer a relação entre a área e o lado. A = L

2.

Como podemos representar funções: Fórmulas, tabelas, diagramas e gráficos. Incentivou os alunos a estudarem. Falou sobre a importância de se ler os conceitos dos livros e entendê-los. Pediu a duas alunas para lerem duas definições diferentes em dois livro didáticos. Concluiu a idéia de relação, exemplificou, questionou os alunos. Pediu que as alunas conceituassem função. Aula 16 – Dia: 8/05/2009 – Horário: 8h. 40min. Hoje compareci a escola no horário habitual para quinta-feira às 10h. 40min., mas os alunos já tinham sido dispensados pois professor L estava com Dengue. Aproveitei a oportunidade e fui conversar com a diretora sobre um possível acesso aos documentos sobre a vida da escola, e infelizmente, o que ouvi é que eles não têm nada que relate a vida da escola. A sugestão foi de que procurássemos o professor Elizeu que ainda está vivo, trabalhou na escola por 40 anos, ele poderia dizer alguma coisa sobre a fundação de escola e outros relatos. Aula 17 - Dia 12/05/2008 – Horário: 9h. 50min. Nós, professores, conversamos durante o intervalo do recreio um pouco sobre a última aula na sexta-feira dia 9/05. Os alunos receberam o livro didático adotado e fizeram alguns exercícios em dupla sobre o assunto de introdução a função. Discriminando a atividade: A noção intuitiva de função, exercícios do livro didático adotado pág. 4 e pág. 46, os exercícios de 1 ao 10. Nessa aula decidimos separar os alunos de no máximo 5 por grupo, a proposta inicial foi que os próprios alunos indicassem 8 colegas que eles acreditem ter mais facilidade em matemática. Nós não sugerimos nenhum nome ou critério de escolha, os alunos indicados foram os primeiros de cada grupo relacionado abaixo.

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GRUPOS: 1 – A13, A6, A9 e A10; 2- A17, A8, A20 e A15; 3- A12, A24, A30, A11 e A7 4- A1, A3, A25 e A18 5- A2, A5, A4 e A22 6- A14, A16, A19 e A21 7- A23, A26 e A28 8- A27, A29, A30 e A31 Explicamos que a partir de agora, por mais ou menos dois ou três meses, os grupos deverão ser os mesmos. Por acreditarmos que um grupo só se constitui grupo se eles trabalharem por mais tempo. Resolvemos avaliar as atividades executadas pelos grupos e depois faríamos uma avaliação individual sobre os assuntos abordados, e a nota final de cada aluno seria feita a partir da nota individual pela média de todos. Esclarecemos a importância de todos do grupo participarem da resolução e aprendizagem dos conteúdos e tarefas propostas, ou seja, todos têm a contribuir para aprendizagem. Ressaltamos também a capacidade que cada grupo se envolverá para participação de todos e a atividade. Durante o desenvolvimento da tarefa os alunos trocavam explicações entre si, até de grupo em grupo. A aula foi desenvolvida com muita naturalidade, todos participando e sem muita conversa. Nós passamos de grupo em grupo esclarecendo dúvida e lançando perguntas sobre os exercícios propostos do livro didático. Aula 18 - Dia 22/05/2008 – Horário: 9h. 50min. Comentário do professor antes de começar a aula: Prof.: Parece que não está rendendo. Pesquisador: Só nessa turma? Prof. : Não, em todas. Esse assunto de função parece que não rende. Nesse momento fiz um comentário para ele que pela minha experiência em lecionar o assunto de função, tenho percebido que esses conceitos iniciais são sempre relevantes para compreensão de todos os assuntos posteriores. Quando ele iniciar as funções de 1 e 2º graus, conseguirá adiantar um pouco o conteúdo. O professor entregou a todos os alunos uma folha contendo uma série de exercícios sobre funções em envolvendo os seguintes assuntos: - Domínio, imagem, contradomínio e valor numérico de uma função no ponto. O professor L distribuiu a lista orientando os alunos que nesse momento inicial cada um tentasse resolver as atividades individualmente e em outro momento eles se agrupariam para discussão dos exercícios feitos por cada um. Um dos objetivos da atividade era aprofundar no conceito matemático de função e tentar escrever algumas relações matemáticas em fórmulas que caracterizam funções. O professor começa orientando o primeiro exercícios cujo anunciado é: Num triângulo retângulo a medida do lado é representada por x e a medida do perímetro é representada por y. Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre x e y? O professor L pergunta: ―O que é um triângulo eqüilátero? Alunos alguém sabe o que é?‖ Uma aluna responde é um triângulo que tem todos os lados iguais. E outro aluno responde que viu isso também em física. Prof.: ―Vou fazer o número 1, talvez fazendo, posso esclarecer algumas dúvidas de vocês. Vamos fazer uma reflexão e análise do exercício. Quem depende de quem? O perímetro depende do lado ou é o lado que depende do perímetro?‖ Todos responderam em coro que é o perímetro que depende do lado.

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Tenho observado algo interessante que os alunos têm me considerado um professor deles, mesmo assim em algumas aulas não procuro intervir orientando-os para poder observar e aprender com a prática do colega. Gostaria de verificar como seria uma aula da turma sem a minha presença. Percebo uma característica muito importante do professor L, ele é bem atento em todas as aulas, interage com todos os alunos, está sempre atento a solicitação dos alunos e se preocupa muito com a aprendizagem dos seus alunos no momento da aula. Perguntas feitas durante nosso planejamento: R = resposta do professor L. - Como você procura escolher os exercícios feitos durante as aulas? R: Procuro nos meus livros didáticos que contém os exercícios mais relevantes e que envolvem os principais assuntos, faço uma montagem de vários exercícios e reproduzo para eles. - Como você avalia este tipo de atividade? R: Gosto de fazer este tipo de tarefa, acredito que durante minhas aulas é o melhor momento para fazer esses alunos estudarem, procuro fazer bastante coisa para que eles produzam em sala, gosto que eles façam muitos exercícios com orientação, é claro. - De que maneira poderíamos buscar uma melhor participação de todos durante aula? R: Acredito que envolvendo todos com diversas atividades e maneiras diferentes de ministrar nossas aulas, levá-los ao quadro, com atividades em grupo, no laboratório de informática, etc. Aula 19 - Dia 26/05/2008 – Horário 8h. 40min. O professor L sempre distribui folhas de exercícios quase sempre duas vezes por semana, dependendo do assunto estudado e do desenvolvimento da turma sobre assunto. Nesse dia, foi dado continuação na correção dos exercícios sobre domínio, imagem e contradomínio. Sempre nesse momento inicial da mudança de professor de uma aula para outra, é de costume dos alunos se retirarem da sala até o professor chegar. Eles saem quase todos, apenas 3 ou 4 alunos ficam da sala a espera do professor. Com isso, o professor leva em torno de 10 a 15 minutos chamando a atenção de todos e fazendo com comecem a focar o desenvolvimento da aula. Professor: ―Gente não dá para competir com 30 falantes!‖ O professor tem grande tranqüilidade e desenvoltura na hora da aula, tenta sempre envolver todos sobre o assunto a ser abordado na aula, possui uma grande organização no quadro durante sua explicação, preocupa-se sempre com detalhes nos exercícios e procura chamar a atenção de todos para esses detalhes. Nessa aula o professor irá utilizar uma metáfora das máquinas para explicar alguns conceitos de função, em que um dos objetivos seria construir a função a partir de uma situação problemas, veja:

Y = x + 1 O professor pergunta é uma função? Prof. ―O importante para mim é que cada um x tenha apenas uma ligação‖.

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O conjunto B é conhecido como conjunto de chegada. Prof.: ―Vamos fazer um metáfora imagine o número zero olhando no espelho vê-se um‖. Os alunos começaram a fazer seus exercícios e nós passamos a ajudá-los orientando e tirando dúvidas quando solicitados. Aula 20 – Dia: 29/05/2008 – Horário: 9h. 50min. Dando continuidade as duas aulas anteriores, combinamos que vamos tentar nessa aula encerrar as correções dos exercícios entregues no dia 22/05. Nessa lista de exercícios, o objetivo era resumir todos os assuntos iniciais de função. Segue abaixo a quantidade de exercícios e o assunto que cada sequência aborda. ●Representar problemas a partir de fórmulas que represente função – 4 exercícios. ● Verificar se diagramas e fórmulas representam ou não função - 6 exercícios. ● Apresentam a definição de domínio, imagem, contradomíno e calcular o valor da função no ponto – 9 exercícios. Temos observado que muitos alunos não têm o hábito de fazer os exercícios em casa. Somente o dia em que o professor fala que vai dar visto nos cadernos é que alguns alunos fazem. Essa lista de exercícios foi entregue dia 22/05, nós deixamos os alunos fazerem em grupo ou individualmente esses exercícios durante todo tempo nas aulas. E ficou combinado que vamos circular pela sala tirando as dúvidas deles. Levamos para sala alguns livros que a escola disponibiliza para consulta da 8ª e da 7ª série, porque alguns exercícios serão utilizados alguns conceitos geométricos que talvez eles tenham esquecido. Para concluir, pedimos a eles que relacionassem os exercícios que encontraram mais dificuldades e que na próxima aula vamos pedir aos colegas que conseguiram resolver, que venham ao quadro para explicar como conseguiram fazer e apresentar sua resolução para todos. A aula foi bem produtiva, houve boa participação de todos os alunos, várias perguntas surgiram, mas os exercícios que eram problemas que tinham que relacionar com funções, os alunos apresentaram mais dificuldades. Vamos citar como exemplo o exercício 2: Numa circunferência a medida do raio é representada por x e a medida do comprimento da circunferência por y. Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre x e y? Foi necessário recorrer a alguns livros que a escola disponibiliza para consulta da 7ª série e pedir que eles pesquisassem sobre a relação entre comprimento e raio. Logo, eles

conseguiram descobrir e um aluno externou que era só usar a fórmula C=2 R . Todos já

tinham o conhecimento que é uma constante e aproximadamente 3,14.

Aula 21 – Dia: 05/06/2009 – Horário: 8h. 40min.

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Representar problemas a partir de fórmulas que representam funções; verificar se diagramas e gráficos representam ou não funções; calcular o valor de uma função dado o domínio da mesma. Observamos que muitos alunos não têm o hábito de resolver os exercícios em casa, eles costumam fazer somente quando o professor avisa que dará visto. Houve uma boa participação da turma durante as correções dos exercícios, várias perguntas surgiram durante as aulas. Percebemos dificuldades quando os alunos tinham a partir de um problema explicitar a função. Aula 22 – Dia: 09/06/2008 – Horário: 9h. 50min. Estava programada nesse dia uma avaliação individual sobre o assunto de função, já tínhamos trabalhado bastante todos os conceitos, corrigidos os todos os exercícios que eles tinham dúvida, os colegas foram no quadro resolver alguns exercícios também. Achamos que já era o momento para uma avaliação. Quando vamos aplicar algum trabalho avaliativo, olhando a turma e prestando assistência aos alunos quando há alguma dúvida. Percebo que alguns alunos, às vezes, demonstram um pouco de receio com a minha presença na hora das avaliações. No final da aula, já no corredor, perguntei a um grupo de alunos que estava próximo a porta. O que vocês acham da minha presença na hora da prova, ajuda ou não! Um aluno respondeu que acha legal por que posso ajudar em algum esclarecimento de enunciado ou coisa que talvez não esteja claro. Mas que fica muito difícil colar com dois professores aplicando prova e só na turma deles que isso acontece. Respondi que também só a turma deles tem dois professores de matemática, eles começaram a rir, e disseram que era verdade. Aula 23 - Data 12/06/2008 – Horário: 10h. 40min. Nesse dia não houve aula de matemática, estava acontecendo na escola os jogos de interclasse com os alunos após o recreio, fui na escola e participei assistindo os jogos e torcendo para turma. Estava programada essa atividade o professor L já tinha me comunicado, mas fui assim mesmo, era uma oportunidade que teria de estar presente em outros momentos de turma, além das atividades de matemática em sala. Foi bem produtivo, pude conversar um pouco com os alunos da turma e fazer mais um laço de amizade com eles. Aula 24 – Data:16/06/2008 – Horário: 8h. 40min. Durante nosso planejamento de quinta-feira passada, o professor L sugeriu que se possível, e se eu aceitasse, que iniciasse com os alunos o conteúdo de construção de gráficos de funções que ele havia comentado só algo bem elementar sobre plano cartesiano em uma aula anterior, mas que deixaria para depois o aprofundamento do assunto. Aceitei a proposta e preparamos a aula com base no livro utilizado por eles. Plano de aula - Definir plano cartesiano XÔY; - Identificar os valores de x como domínio e y como imagem da função; - Construir a partir de valores em tabela o gráfico de algumas funções. - Vamos fazer alguns exemplos de gráficos no quadro e propor alguns exercícios para eles. Essa aula tem um perfil bem tradicional (definição, exemplo e exercícios). Foi uma reflexão que fizemos durante nosso planejamento. Era importante que os alunos assistissem a alguma aula minha bem tradicional, porque até agora eu não tinha trabalhado com eles sozinhos nenhuma aula dessa forma. O professor L citou também da importância da aula ser conduzida por mim, porque mostraria que eles poderiam contar com mais um professor que, talvez, com outra maneira de explicar, os ajudasse também a compreender os assuntos com outro olhar. Ficou combinado que o professor L faria as anotações e observações durante essa aula. Passo a descrever abaixo exatamente como professor L escreveu no caderno do pesquisador.

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Fala do professor L: Bom dia! Gente essa aula será conduzida pelo professor Messenas, o assunto será sobre representação gráfica de funções. Espero que vocês aproveitem bastante. ● Plano cartesiano XÔY; ● Domínio; ● Imagem. Observações:

1) RRf : Foi uma oba exploração, pois nas aulas anteriores estas observações não

ficaram tão claras. 2) Gostei da maneira que o professor Messenas chamou o gráfico de um função ―Desenho da função‖ 3) Destacou o cuidado em dividir as unidades nos eixo x e y ( de 1 em 1cm, de 0,5 em 0,5 cm, etc) 4) O aluno A10 ficou copiando uma outra coisa na hora das explicações; 5) O aluno A8 disse que no ano passado (8ª série) ela fez exercícios de tabela, gráfico etc., mas ela não sabia que o que estava fazendo era função; 6) Percebi que alguns alunos ficaram preocupados em anotar o que o professor desenvolvia e não conseguiam acompanhar;

7) No exemplo: Construir o gráfico da função RRf : definida por

2,2

2,)(

xse

xsexxf

os alunos se assustaram no início, mas depois achavam fácil. O professor Messenas aproveitou para falar já: função constante e função crescente. 8) Permitiu que os alunos perguntassem alguma coisa, mas ninguém perguntou. 9) O professor disse que 8 alunos não prestaram atenção nas exemplificações; 10) Depois dos exemplos, passou um exercício. Exercícios:

1) Dadas as funções abaixo de RRf : , construir seus gráficos:

a) 2)( xxf b)

1,2

1,3)(

xsex

xsexf

11) Nos exercícios o professor Messenas e o professor L auxiliaram os alunos que tiveram dúvidas; 12) A maioria dos alunos da turma se interessou em fazer o exercícios; 13) Tivemos uma breve conversa sobre alguns alunos sem ―senso numérico‖, ficamos de pensar algo diferenciado para tentar nivelar os mesmos. Aula 25 – Dia: 19/06/2008 – HORÁRIO: 10h. 40min. Como já se aproximava o final do 2º bimestre, o professor L necessitava de aplicar uma atividade avaliativa, então decidiu que faria nessa aula. Os alunos se agruparam em no máximo 4 componentes, havia alguns grupos com mais de 4 pessoas e o professor exigiu que fosse feito algum remanejamento de alunos para grupos menores. O professor distribuiu apenas uma atividade para cada grupo, explicou que tinha várias questões objetivas e apenas os exercícios 9 e 10 são de construção de gráficos. Os participantes obedeceram a formação que foi definida para atividade de investigação. Como cada grupo recebeu apenas uma folha, percebi que havia muita conversa, mas de qualquer forma, havia uma interação e participação de todos do grupo tentando resolver o que foi proposto. Em dois dos 8 grupos formados, havia em cada grupo, um aluno que assumiu a resolução sozinha pelo fato dos outros colegas não mostrarem interesse em resolver.

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O professor percebe que um grupo estava usando calculadora para resolução dos exercícios e pede para guardá-la. Após o professor se retirar de perto do grupo, uma aluna do outro grupo fala: ―Nunca vi numa aula de matemática não usar calculadora, quando que poderemos usar?‖ Nessa aula fiquei observando o trabalho dos grupos, só após uns 30 minutos é que comecei a circular pela sala juntamente com professor que já estava tirando dúvidas e orientando alguns caminhos que eles poderiam seguir. Aula 26 – Dia: 23/06/09 – Horário: 9h. 50min. Era final do bimestre o professor L necessita fechar as notas, então preparou uma atividade surpresa para turma. Sobre assunto função e função do primeiro grau. Será uma atividade para ser individualmente. Professor diz: ―Vamos organizar nossa sala de modo que se tenha apenas 4 filas. Não sei se posso chamar essa atividade de prova, porque está muito fácil. Vocês não terão dúvidas às questões são apenas problemas bem simples sobre os assuntos que já trabalhamos.‖ Na lista de exercícios no final aparece uma frase bem interessante, perguntei ao professor quem falou, ele não soube me responder. ― A verdadeira essência da matemática está na liberdade!‖ Durante a atividade o professor estava bem atento e atendia a todos quando solicitado. A minha presença nesta turma já se tornou rotina e os alunos já me perguntam algumas dúvidas com muita naturalidade, até me pedem para ir ao banheiro, fico sem jeito de deixar, digo para pedirem ao professor L. Como professor passou no concurso do estado e ele será transferido para Aracruz e esta será sua última semana na escola. Alguns alunos estão preparando uma despedida para professor e me convidaram para participar. Durante nosso planejamento após o término dessa aula, disse ao professor L se poderia responder algumas perguntas referentes à pesquisa.

1) Gostaria que ele relatasse um pouco sobre o período que passamos juntos pesquisando na sala e de que ele gostou, o que aprendeu, o que contribuiu para nossa pesquisa?

2) Como foi a experiência de ter outro professor pesquisando e atuando em suas aulas?

Os alunos demonstram muito respeito pelo professor, ele tem uma presença marcante durante suas aulas, consegue controlar os alunos facilmente. Aula 27 – Dia: 31/07/2008 - Horário: 9h. 50min. Assunto: Gráfico da função quadrática ou 2º grau. Tivemos uma mudança de professor após o recesso de julho. O professor que assumiu recebeu-me muito bem, ficou combinado que conversaríamos melhor no planejamento. O professor iniciou a aula fazendo a chamada e começou corrigindo um exercício que tinha passado para os alunos na aula anterior.

Construir o gráfico da função quadrática: 86)( 2 xxxf

Começou explicando que seria necessário atribuir valores para variável x na função dada e encontrar seus correspondentes valores de y. Os valores escolhidos para essa função foram: x=0, x=1, x=2 , x=3 e x=4. O professor construiu o gráfico a partir dos valores encontrados.

Sugeriu aos alunos que construíssem o gráfico da função 124)( 2 xxxf .

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Os alunos construíram o gráfico proposto e um aluno foi ao quadro fazer a construção a partir do que tinha feito no seu caderno, o professor mencionou alguns pontos importantes do gráfico como o vértice, onde está localizado as raízes. Este professor tem menos experiência que o anterior, eu pretendo ajudá-lo também em alguns momentos. É um professor com pouca experiência e que demonstra muita vontade de aprender e compartilha suas dúvidas e ideias sempre sobre os assuntos de suas aulas. É um professor que está sempre disposto a discutir suas aulas e a ouvir a minha opinião sobre o que ele apresentou em sala. Aula 28 – Dia: 06/08/2008 – Horário: 10h. 40min. Assunto: Função do 2º grau. Esta aula é uma continuação do assunto sobre função quadrática, com ênfase no estudo do vértice. Este professor sempre inicia a aula fazendo a chamada, percebi que eles faz a partir de números aleatórios, procurando chamar atenção dos alunos na hora de responder. Iniciou a aula fazendo correção dos exercícios da aula anterior sobre as raízes da função do 2º grau. Nessa aula tivemos a participação de um estagiário que está fazendo complementação pedagógica em matemática. Fiquei um pouco preocupado com a presença de tantos professores, preferi ficar só observando e o professor C e o estagiário A conduziram à aula. O estagiário passou alguns exercícios sobre cálculo das raízes das funções quadráticas. Tenho percebido um desinteresse maior da turma quando o professor C desenvolve a explicação da matéria ou correção dos exercícios. É uma situação difícil de administrar quando estamos participando de uma pesquisa de natureza qualitativa (pesquisa ação), em que ocorre uma mudança de professor no decorrer do ano letivo, apresentando características tão diferentes. O professor L apesar de também trabalhar em outras escolas, prepara listas de exercícios para os alunos quase duas vezes por semana, com aproximadamente 20 a 30 exercícios. O professor C utiliza um livro diferente do que é adotado pela escola e passa o conteúdo e exercícios todos no quadro. Na explicação da matéria sobre raízes das funções, o professor C fala para os alunos que este assunto é uma revisão de alguns conceitos já visto na 8ª série, contudo acredita ser relevante fazer esta revisão sobre a resolução das equações do 2º grau. Exemplos de funções do 2º grau apresentadas nos exercícios. a) y = x

2 – 5x + 4 b) y = x

2 -100

Aula 29 – Dia: 07/08/2008 – Horário: 10h. 40min. A proposta de trabalho para esta aula, conforme reunião com professor C em 06/08 seria tentar trazer alguma situação problema para que os alunos desenvolverem com base nas funções quadráticas, assunto atual que eles estão estudando. Para selecionar esta atividade procurei algumas bibliografias do ensino médio que abordam o assunto por meio de uma situação problema que não caracterizasse de início que seria possível resolver a partir de funções e, principalmente, quadrática. Com esse objetivo deixaria os alunos livres para resolver a situação da maneira que eles achassem mais conveniente, seria também um momento propício para perceber se eles seriam capazes de relacionar a situação dada, com algum assunto estudado. Procedimentos adotados na aula e material utilizado.

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Foi entregue aos alunos uma folha contendo dois problemas, mas a orientação inicial é que eles concentrassem em tentar resolver o primeiro e descrever quais foram as estratégias utilizadas na resolução do problema. Não foi estipulado nenhum tempo e ficou combinado que se eles não conseguissem terminar, faríamos nas próximas aulas que seria na próxima semana (quarta e quinta-feira). As situações problemas foram: 01) Dispomos de uma tela de arame com 28 metros de comprimento para cercar uma área retangular. Quais devem ser as medidas dos lados do retângulo para que a área seja máxima? Matemática (Ensino Médio) – volume 1 - pág. 148 Autores: Kátia Stocco Smole e Maria Inez Diniz Achamos melhor que eles trabalhassem em dupla e alguns alunos pediram se seria possível que fizessem grupos com 3 alunos, concordamos e iniciamos a tarefa. Todos participaram e interagiram durante o trabalho. Estávamos sempre atentos às perguntas e aos questionamentos dos alunos e circulamos pela sala esclarecendo algumas dúvidas. Foi possível nessa aula trabalhar somente o problema 1, como já tínhamos previsto. Pretendia o continuar o trabalho de investigação, procurando observar e aprender como os alunos conseguem relacionar seus conhecimentos de matemática na resolução de situações-problemas não rotineiras. Queríamos verificar também o que o trabalho já desenvolvido com atividades do tipo ou de natureza investigativa, poderia ajudar na execução dessa tarefa. Na verdade, queria identificar as estratégias utilizadas nas atividades investigação anteriores, poderiam ajudá-los no entendimento da situação o planejamento. Tentar analisar as desde como desenvolvê-la e tentar analisar que as conclusões que eles conseguem chegar à fase inicial. Pude perceber em alguns alunos, que durante as avaliações do professor e mesmo nas aulas apresentam um pouco de dificuldade, sentaram juntos e formaram um grupo e uma pergunta que me marcou desse grupo foi: ―Nós vamos ter que explicar aí na frente como chegamos a esses resultados?‖. Neste momento pedi a eles que tentassem pelo menos descrever no papel os procedimentos utilizados e que depois nos iríamos socializar as respostas e os procedimentos utilizados por todos. Vejo que já existe uma preocupação do aluno em qual momento vai acontecer esta fase de comunicar o seu pensamento e de explicarem verbalmente e por escrito suas conclusões e procedimentos para resolverem as tarefas em matemática. Também era desejo deles saberem se esta prática continuará ocorrendo nas outras aulas de matemática. Como esta aula tem duração de apenas 50 minutos, ficou para próxima aula os comentários das diferentes estratégias de como compreenderam e refinamento das conclusões de todos. Observações feitas enquanto percorria os grupos e ia interagindo sobre o primeiro problema. Alguns grupos não conseguiram no primeiro momento, nem identificar o quer realmente era para ser feito. Pedi que eles fizessem a leitura em voz alta e comecei a interrogá-los. Uma das reações iniciais, o que, qual é a figura e quais dimensões, possíveis, qual objeto está faltando? Quais informações foram dadas na primeira frase, vamos usar ou não, esta dizendo que vai fazer com arame, que forma será feito, que medidas iremos usar do retângulo? Consegui que eles percebessem que resolver o problema, deveriam encontrar os valores para medidas dos lados que tornassem a área retangular a maior possível seria encontrar valores para as medidas dos lados que tornam a área retangular maior possível. Todos os grupos, sem exceção, fizeram por tentativa estipulando valores para medidas (lados) e procurando quais medidas eles obteriam teriam o maior produto. Alguns perguntaram se poderiam ser números decimais, disse que como problema. Eu disse não fez nenhuma restrição numérica, eles poderiam utilizar qualquer número real. Na vida real você pode usar qualquer valor de medida. Que situações acontecem? Use situações semelhantes a essa. Que situações podem utilizar na vida? Eles desenharam o retângulo e atribuindo valores. Apenas dois grupos de imediato perceberam que poderia ser 7 x 7, mas descartaram essa possibilidade por acreditarem que a figura formada não seria um retângulo e sim um quadrado. Nesse momento, questionei a eles a definição que tinham de retângulo e por unanimidade responderam que seria uma figura em que o comprimento e a largura eram diferentes livros de avaliação. Fiz o desenho e tentei mostrar a definição, paralelogramo. Como a biblioteca da escola fica quase ao lado da nossa

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sala, pedi a um aluno que buscasse um livro de 7ª série de matemática para que todos pudessem definir realmente o que seria um retângulo. Este mesmo aluno leu para todos os colegas a definição que o livro trazia: Retângulo é um quadrilátero que possui todos os ângulos retos. Logo um aluno disse então que um quadrado também pode ser um retângulo. Agora acho que consigo definir quais as medidas que preciso ter para que essa área seja máxima. Aula 30 – Data: 14/08/2008 – Horário 9h. 40min. Valores de máximos e mínimos da função do 2º grau. Realizamos com a turma uma reflexão sobre a solução encontrada para o problema da aula anterior com a aplicação dos valores de máximos ou mínimos da função quadrática. Aula 31 – Data: 21/08/2008 – Horário 10h 40min Assunto: Aplicação da função quadrática – Problemas sobre máximos e mínimos. Valores de máximos e mínimos da função do 2º grau. Realizamos com a turma uma reflexão sobre a solução encontrada para o problema da aula anterior com a aplicação dos valores de máximos ou mínimos da função quadrática. Os alunos tiveram a oportunidade de compartilhar suas soluções com os colegas. Aula 31 – Dia: 21/08/2008 – Horário: 9h. 40min. Problema de máximos ou mínimos das funções quadráticas. Retomamos com a turma o problema proposto na aula do dia 07/08 e juntamente com a turma, construímos a função quadrática que resolveria o problema. Fomos construindo passo a passo até chegarmos a uma função que determina o valor máximo. Aula 32 – Dia: 22/08/2009 – Horário: 10h. 40min. Utilizamos parte dessa aula para aplicar um instrumento sobre a relação dos alunos com as atividades natureza investiga. Aula 33 – Dia: 04/09/2008 – Horário: 9h. 50min. Estudo dos sinais da função quadrática. Com o objetivo de resolver as inequações do 2º grau, aprofundamentos o assunto de estudo dos sinais com mais listas de exercícios e resoluções no quadro, feitos pelos próprios alunos. Os demais colegas poderiam questionar sobre os resultados encontrados. Aula 34 – Dia 10/09/2008 – Horário: 10h. 40min. Nessa aula o professor C aplicou uma avaliação sobre o assunto de função quadrática. Aula 35 – Dia 24/09/2008 – Horário: 9h. 50min. Trabalhamos com os alunos uma revisão da avaliação sobre inequações do 2º grau, discutimos as questões e tivemos a oportunidade de observar o que alguns alunos não conseguiram entender a importância de fazer um esboço do gráfico para determinar os sinais da função. Aula 36 – Dia 08/10/2009 – Horário: 10h. 40min. Assunto: Inequações do 2º grau. Durante a resolução dos exercícios percebemos que os alunos erravam com muita freqüência a resolução de produtos notáveis quando era necessário na resolução de equações do 2º grau. Resolvemos desenvolver com eles uma atividade de natureza investigativa que contemplaria o Triângulo de Pascal. Aula 37 – Dia 09/10/2008 – Horário: 9h. 50min. Atividade do Triângulo de Pascal. Atividade de natureza investigativa sobre o Triângulo de Pascal que identificaremos como instrumento 6, em anexo, e sua aplicação para os produtos

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notáveis. Dividimos essa atividade em três momentos: no primeiro foram feitas observações livres, no segundo direcionamos algumas perguntas sobre conclusões e provas que podemos extrair do triângulo de Pascal. Os maiores detalhes dessa atividade esta transcrito no capítulo 4 da análise dos dados. Aula 38 – Dia 29/10/2008 – Horário 10h 40min Reaplicamos o instrumento sobre metáforas. Aplicamos novamente as metáforas sobre as crenças, concepções e atitudes dos alunos sobre a matemática e seus professores de matemática. Tínhamos como objetivos observar algumas mudanças sobre esses fatores que poderiam ocorrer com a turma depois de desenvolvermos a pesquisa.

Aula 39 – Dia 30/10/2008 – Horário 9h. 50min.

Aplicação do instrumento 7 que tem como objetivo investigar a relação dos alunos com sua aprendizagem de matemática e sua relação com a disciplina de matemática, já em fase final de pesquisa, com o propósito de observarmos se houve alguma mudança em relação suas crenças, concepções e atitudes.

Aula 40 – Dia 06/11/2008 – Horário:10h. 40min.

Introdução a função exponencial. Iniciamos este conteúdo evidenciando a aplicação dessa função no cotidiano, como por exemplo, no cálculo de juros compostos, na depreciação de bens como carro e outros que desgastam com em função do tempo.

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TERMO DE AUTORIZAÇÃO DE PARTICIPAÇÃO EM PESQUISA

Prezado aluno (a), eu, professor Messenas Miranda Rocha, gostaria de convidá-lo a participar de uma pesquisa em educação matemática. Para tanto gostaria de solicitar a sua autorização para participar como sujeito dessa pesquisa em educação que estarei iniciando com vocês. Essa pesquisa vai focalizar a realização de atividades matemática de natureza investigativa e de resolução de problemas, com o objetivo de diversificar o cotidiano da sala de aula, visando interpretar e compreender as relações matemáticas estabelecidas nessas atividades na tentativa de facilitar o ensino e aprendizagem de matemática na escola. Em qualquer momento, o aluno poderá desistir de participar desta investigação. Todas as informações que forem compartilhadas e analisadas irão permanecer em sigilo. Além disso, informo que todos os nomes e informações para identificarem o aluno (a) serão mantidos em sigilo. No relato final da investigação, nós utilizaremos um código para identificação dos alunos. Desde já agradeço a todos que tanto tem colaborado conosco. Nome: __________________________________________________ Local : _______________________________ Data: __/___/ 2008 Assinatura : ___________________________________________

TERMO DE AUTORIZAÇÃO DE PARTICIPAÇÃO EM PESQUISA

Prezado professor, eu, professor Messenas Miranda Rocha, gostaria de pedir a sua autorização para desenvolver uma pesquisa em educação matemática na sua sala de aula. Para tanto solicito a permissão para a participação na pesquisa, dos seus alunos, como sujeitos da minha pesquisa em educação matemática que estou iniciando. Essa pesquisa vai focalizar a realização de atividades matemática de natureza investigativa e de resolução de problemas, com o objetivo de diversificar o cotidiano da sala de aula, visando interpretar e compreender as relações matemáticas estabelecidas nessas atividades na tentativa de facilitar o ensino e aprendizagem de matemática na escola. Tentarei fazer com que o aluno, juntamente com sua ajuda, perceba como essas atividades e a maneira que conduziremos suas realizações possam facilitar a aprendizagem matemática. Ao longo da pesquisa compartilharemos os dados coletados e analisados. Dessa forma espero trabalhar de forma colaborativa e compartilhar das informações e resultados encontrados em todas as fases dessa pesquisa. Em qualquer momento, o professor poderá desistir de participar dessa investigação por qualquer motivo que venha a apresentar. As informações que forem compartilhadas sobre os alunos, o professor, assim como sobre as aulas, vão permanecer em sigilo. Informo ainda que todos os nomes e informações para identificar o professor e o local de trabalho serão mantidos em sigilo. No relato final da investigação, nós utilizaremos um código para identificação de todos que participaram dessa pesquisa. Desde já agradeço a todos que tanto tem colaborado conosco. Nome: __________________________________________________ Local : _______________________________ Data: __/___/ 2008 Assinatura : ___________________________________________

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TERMO DE AUTORIZAÇÃO DE PARTICIPAÇÃO EM PESQUISA

Prezado diretor, eu, professor Messenas Miranda Rocha, gostaria de pedir a sua autorização para desenvolver uma pesquisa em educação matemática neste estabelecimento de ensino. Gostaria então de solicitar a permissão para participação na pesquisa, do professor de matemática da escola, os alunos da turma que será pesquisada, como sujeitos da minha pesquisa em educação que estou iniciando. Essa pesquisa vai focalizar a realização de atividades matemática de natureza investigativa e de resolução de problemas, com o objetivo de diversificar o cotidiano da sala de aula, visando interpretar e compreender as relações matemáticas estabelecidas nessas atividades na tentativa de facilitar o ensino e aprendizagem de matemática na escola. Tentarei fazer com que o aluno, juntamente com sua ajuda do professor colaborador, perceba como essas atividades e a maneira que conduziremos suas realizações possam facilitar a aprendizagem matemática. Ao longo da pesquisa compartilharemos os dados coletados e analisados. Dessa forma espero trabalhar de forma colaborativa e compartilhar das informações e resultados encontrados em todas as fases dessa pesquisa. Em qualquer momento, a escola poderá desistir de participar desta investigação. Todas as informações que forem compartilhadas sobre o professor, alunos e o local de trabalho serão mantidos em sigilo. No relato final da investigação, nos utilizaremos nomes fictícios combinados posteriormente. Desde já agradeço a todos que tanto tem colaborado conosco. Nome: __________________________________________________ Local : _______________________________ Data: __/___/ 2008 Assinatura : ___________________________________________