Universidade Federal do Rio de Janeiro Centro de Ciências ... · 3 DEDICATÓRIA Aos meus queridos amores, meu marido Marcelo e minha filha Marie, pelo apoio, incentivo e inspiração

Universidade Federal do Rio de Janeiro Centro de Ciências Jurídicas e Econômicas

Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração COPPEAD

Natalie Haanwinckel Hurtado

ANÁLISE DE METODOLOGIAS DE GESTÃO DE ATIVOS E PASSIVOS DE PLANOS DE BENEFÍCIO DEFINIDO EM FUNDOS DE

PENSÃO: UMA ABORDAGEM FINANCEIRO-ATUARIAL

Orientador: Profº. Eduardo Saliby, Ph.D. – UFRJ/Coppead

Rio de Jeneiro Maio de 2008

Tese apresentada ao COPPEAD – Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro – como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Doutora em Administração de Empresas

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HURTADO, Natalie Haanwinckel Análise de Metodologias de Gestão de Ativos e Passivos em Planos de Benefício Definido de Fundos de Pensão: uma abordagem financeiro-atuarial / Natalie Haanwinckel Hurtado. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2008. 180p. Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração COPPEAD, 2008 Orientador: Eduardo Saliby, UFRJ/COPPEAD 1.Gestão de Ativos e Passivos. 2.Planos de Benefício Definido. 3.Fundos de Pensão 4. Atuária 5.Finanças – Tese (Doutorado – UFRJ/COPPEAD). I. Saliby, Eduardo (Orient.) II. Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração COPPEAD III. Título.

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DEDICATÓRIA

Aos meus queridos amores, meu marido Marcelo e minha filha Marie, pelo apoio,

incentivo e inspiração com que sempre norteiam a minha vida.

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AGRADECIMENTOS

Como em todo agradecimento, sempre existe o risco de esquecermos um detalhe

importante que tenha sido indispensável para a realização da tese e, com ele, alguém

que nos tenha feito atentar para este precioso detalhe. Mas, é preciso correr o risco

(sempre ele!), tentando minimizá-lo, pois uma tese de doutorado, mesmo sendo um

grande exercício de determinação e amadurecimento intelectual com alta dose de

trabalho individual, não pode ser realizado sem a colaboração, apoio e inspiração de

alguns.

Esta tese não existiria nesta forma sem a colaboração indispensável do professor

Eduardo Saliby, que desde o início acreditou em mim e aceitou navegar em águas um

tanto desconhecidas ao concordar em me orientar em uma área de pesquisa que não é

a sua. Mesmo estando fora de seu foco principal, dedicou seu tempo, atenção e

reflexão, observando sempre com clareza e objetividade os pontos chaves do problema.

Aos professores Celso Funcia Lemme, Ricardo Milton Frischtak e Santiago Ramirez

Carvajal, bem como a Jaqueline Terra Moura Marins por terem aceito o convite para

participarem da banca e por serem, cada um a seu modo, exemplos de inspiração

profissional para mim. Obrigada pelas generosas observações que sem dúvida

ajudaram-me a tornar este trabalho melhor.

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Agradeço também a colaboração indispensável do grande amigo Otávio Henrique dos

Santos Figueiredo, que foi um importante interlocutor e que por algumas vezes ajudou-

me a ter insights fundamentais para o amadurecimento da tese. A Ronaldo Calixto, pela

colaboração na elaboração e organização da planilha inicial que gerou todas as

projeções executadas; ao amigo Fábio Garrido Leal Martins pela inestimável ajuda; e ao

amigo Eduardo Luiz dos Santos da Silva por dicas especiais.

Agradeço o apoio do Instituto COPPEAD, que me permitiu obter uma das melhores

formações acadêmicas existentes neste país. Agradeço a todos os professores da casa

por apresentarem-me um novo mundo e nova forma de ensinamentos e por

compartilharem seus conhecimentos para que eu pudesse me tornar uma pesquisadora

e uma melhor professora. Aos funcionários do COPPEAD que sempre receberam muito

bem todos os alunos, não medindo esforços para que pudéssemos usufruir de todas as

facilidades acadêmicas do Instituto.

Ao Instituto de Matemática da UFRJ, meu local de trabalho, por permitir que eu possa

exercer e compartilhar com meus alunos e colegas tudo o que foi aprendido ao longo

destes anos de dedicação. A todos que me apoiaram na função de coordenadora de

graduação do curso de Ciências Atuariais, especialmente meus próprios alunos que me

fazem perseguir sempre a busca por poder oferecê-los o melhor.

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À Funenseg pelo apoio financeiro e institucional, por estar há tanto tempo oferecendo

uma valiosa parceria em minha trajetória profissional e por apoiar incondicionalmente a

pesquisa na área de seguros e previdência privada no país.

É preciso agradecer ainda o apoio dado por pessoas muito especiais que cuidaram de

minha casa, ajudaram-me com minha filhinha e cuidaram de mim mesma quando eu já

não podia mais. À minha querida sogra Nauplia Borges dos Reis; aos meus médicos,

particularmente, Dr. José Cury, Dr. Roger Levy e meu tio Emílio Cézar Zilli, muito

obrigada; e à minha equipe Rosita Alves de França e Marialinda Tolentino Dionisio. O

que vocês fizeram e ainda fazem não tem preço.

Ainda, quero agradecer meu pai, amigo e também interlocutor valioso, Maurício

Kiwielewicz, que sempre acreditou em mim e junto com minha mãe, Marilza, nunca

pouparam esforços para que eu pudesse ter a melhor educação que pudessem me

oferecer; aos meus amigos, principalmente aqueles que vivenciaram comigo estes anos

de doutorado, Carla Barros, Cristiane Gorgulho, Cecília Mattoso, Patrícia Barros e

Josete Florêncio, pelo companheirismo que tenho certeza será para toda a vida, e a

todos os outros amigos e parentes que torceram para que eu tivesse sucesso nesta

empreitada. Querido Paulinho, meu amigo Paulo José dos Reis, também não esqueci

de você e nem da enorme força que você sempre é e nos dá generosamente.

Por fim, mas muito especialmente, ao meu grande amor, meu marido Marcelo Borges

dos Reis por ser esta pessoa maravilhosa que ilumina minha estrada de vida e só me

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faz crescer, vivendo junto comigo cada momento de felicidade, angústia ou desespero,

seja para aliviar o meu fardo ou para me ajudar a ser eu mesma.

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RESUMO HURTADO, Natalie Haanwinckel. Análise de Metodologias de Gestão de Ativos e

Passivos em Planos de Benefício Definido de Fundos de Pensão: uma abordagem

financeiro-atuarial. Rio de Janeiro, 2008. Tese (doutorado em Administração de

Empresas) – Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração COPPEAD,

Centro de Ciências Jurídicas e Econômicas, Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Os principais objetivos deste trabalho são sistematizar o estado da arte das técnicas de

Asset Liability Management (ALM) para fundos de pensão, especificamente em planos

de benefício definido, e desenvolver para uma base de dados real as principais

metodologias, de modo a analisá-las e compará-las. Além disso, pretende-se a partir

desta análise comparativa, obter racionalidade sobre a decisão de alocação dos ativos

do fundo.

Os resultados foram obtidos a partir da construção de uma carteira de obrigações

imunizadas (COI) e considerando que a cada ano de projeção, realizada para um

período de 15 anos à frente, o resultado técnico ou excedente financeiro perseguido é

zero. Não foram incorporados nas avaliações para a construção da COI custos de

transação, comissão de corretagem e impostos. Os resultados indicaram que, uma vez

dimensionada a proporção da COI na carteira total de investimentos, pode-se definir se

o fundo está ou não no nível ideal. Estes resultados não variam mesmo mudando-se os

cenários para as taxas de juros.

A conclusão obtida mais relevante foi a racionalidade que deve estar por trás do gestor

do fundo: se há excesso de superávits, o gestor deve aumentar sua participação em

renda fixa; se há excesso de déficits, o gestor deve aumentar sua participação em

renda variável. É uma estratégia anti-intuitiva e inversa à gestão de fundos de

investimentos tradicionais.

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ABSTRACT HURTADO, Natalie Haanwinckel. Análise de Metodologias de Gestão de Ativos e

Passivos em Planos de Benefício Definido de Fundos de Pensão: uma abordagem

financeiro-atuarial. Rio de Janeiro, 2008. Tese (doutorado em Administração de

Empresas) – Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração COPPEAD,

Centro de Ciências Jurídicas e Econômicas, Universidade Federal do Rio de Janeiro.

The main purposes of this work are to describe the state of the art techniques on Asset

Liability Management (ALM) for defined benefit pension funds and to develop, analyze

and compare the main models for a real group of active employees. Furthermore, from a

comparative analysis, the work intends to obtain rationality for the fund assets allocation

decision.

The results were obtained from the construction of a liability immunized portfolio (LIP)

considering that for every projected year, on a 15 year period, the aimed surplus is zero.

Transaction costs, commissions and taxes were not incorporated on the LIP

calculations. The results determine the optimum proportion of LIP on the total allocation

of the fund´s investments and remained consistent on various scenario simulations.

The most important conclusion is the rationality that must be behind the fund manager:

on the positive surplus scenario, there must be an increase on treasury bonds

allocation; on the negative surplus scenario, the increased allocation must be on stocks.

This is a counter-intuitive strategy that goes against conventional pension fund

management.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Representação gráfica de um plano de benefício definido (BD) com

benefício K ..................................................................................................................... 27

Figura 2.2 – Representação gráfica de um plano de contribuição definida (CD) ........... 29

Figura 2.3 – Representação gráfica de um plano misto (PM) com benefício mínimo K . 30

Figura 2.4 – Número de planos por modalidade de plano de benefício ......................... 33

Figura 2.5 – Valor dos investimentos por modalidade de plano de benefício ................ 34

Figura 3.1 – Métodos de Custeio de Plano de Benefício ............................................... 46

Figura 3.2 – Representação gráfica de C(t) ................................................................... 49

Figura 3.3 – Representação gráfica de PN(t) ................................................................. 50

Figura 5.1 – Gráfico de Comparação das Curvas da Função Valor para as 3 Estratégias

de Investimento/Contribuição ......................................................................................... 98

Figura 6.1 – Composição do ativo de investimentos das EFPC segundo segmento de

aplicação em junho de 2007......................................................................................... 121

Figura 7.1 – Risco de Déficit em 2008 ......................................................................... 143







Figura 7.9 – Distribuição da média do custo total (%) .................................................. 144

Figura 7.10 – Risco de Déficit em 2008 ....................................................................... 144




11

LISTA DE QUADROS

Quadro 5.1a – Resultados do MatLab para as 3 Estratégias de

Investimento/Contribuição .............................................................................................. 97

Quadro 5.1b – Resultados do MatLab para as 3 Estratégias de

Investimento/Contribuição .............................................................................................. 97

Quadro 6.1 – Resumo Estatístico da Base de Dados .................................................. 101

Quadro 6.2 – Regras do Plano de Aposentadoria ........................................................ 101

Quadro 6.3 – Gráficos das Distribuições de Mortalidade Masculina ............................ 107

Quadro 6.4 – Gráficos das Distribuições de Mortalidade Feminina .............................. 109

Quadro 6.5 – Ativo de Investimentos das EFPC por segmento e detalhamento das

aplicações de investimentos em junho de 2007 ........................................................... 121

Quadro 6.6 – Fluxo de Pagamentos e Valor Presente Total de Benefícios ................. 126

Quadro 6.7 – Valores de Durations e TIR de NTN-B disponíveis em 31/12/2007 ........ 127

Quadro 6.8 – Composição e Alocação dos Ativos que formam a COI ......................... 128

Quadro 6.9 – Alocação dos Recursos Garantidores das Reservas Técnicas por

segmento de aplicação de investimentos para o fundo superavitário .......................... 129

Quadro 6.10 – Resultado da avaliação atuarial em 31/12/2007 com taxa real de

desconto igual a 6% a.a. e fundo superavitário ............................................................ 130

Quadro 6.11 – Resultado da avaliação atuarial em 31/12/2007 com taxa real de

desconto igual a 6% a.a e fundo equilibrado ................................................................ 131

Quadro 6.12 – Alocação dos Recursos Garantidores das Reservas Técnicas por

segmento de aplicação de investimentos para o fundo equilibrado ............................. 132

Quadro 7.1 – Análise Comparativa dos Resultados do Método Determinístico ........... 136

Quadro 7.2 – Análise Comparativa dos Resultados do Método Estocástico ................ 142

Quadro 8.1 – Metodologias dos Modelos ALM............................................................. 149

12

LISTA DE TABELAS 27

Tabela 2.1 – Tabela de arbitragem do plano de benefício definido (BD) ....................... 27

Tabela 2.2 – Tabela de arbitragem do plano misto (PM) ............................................... 31

Tabela 2.3 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em ativos de renda

fixa de acordo com a Resolução 3.456 .......................................................................... 38

Tabela 2.4 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em ativos de renda

variável de acordo com a Resolução 3.456.................................................................... 38

Tabela 2.5 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em ativos imóveis

de acordo com a Resolução 3.456 ................................................................................. 39

Tabela 2.6 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em empréstimos e

financiamentos a participantes e assistidos de acordo com a Resolução 3.456 ............ 39

13

Sumário

1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 16

1.1 Relevância e Objetivos ............................................................................. ...16

1.2 Histórico ...................................................................................................... 18

2. A INDÚSTRIA DE FUNDOS DE PENSÃO ............................................................. 23

2.1 Tipos de Riscos ........................................................................................... 23

2.2 Planos de Benefícios ................................................................................... 25

2.2.1 Plano de Benefício Definido ...................................................................... 26

2.2.2 Plano de Contribuição Definida ................................................................. 28

2.2.3 Plano Misto ................................................................................................ 30

2.3 Características Brasileiras ........................................................................... 31

2.4. Restrições de Investimento na Legislação Brasileira .................................. 37

3. MODELAGEM DO PASSIVO ATUARIAL .............................................................. 41

3.1 Terminologia ............................................................................................... 41

3.2 Modalidades ................................................................................................ 48

3.2.1 Método de Custeio Atuarial do Crédito Unitário ......................................... 48

3.2.2 Método de Custeio Atuarial da Idade à Entrada Normal ............................ 52

3.2.3 Método de Custeio Atuarial do Prêmio Nivelado Individual ....................... 53

4. ALM – ASSET LIABILITY MATCHING ................................................................... 55

4.1 Gestão Estática x Gestão Dinâmica ............................................................ 55

4.2 Método Determinístico ................................................................................. 56

4.3 Método Estocástico ..................................................................................... 59

4.3.1 Taxas de retorno sobre o investimento independentes e identicamente

distribuídas ......................................................................................................... 59

4.3.2 Taxas de retorno sobre o investimento autoregressivas .......................... 63

4.3.3 Taxas de retorno sobre o investimento por médias móveis ..................... 66

4.3.4 A Técnica de Simulação .......................................................................... 67

5. ALM – ASSET LIABILITY MANAGEMENT ............................................................ 75

5.1 Controle Estocástico Dinâmico ................................................................ 75

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5.2 Estudo da Equação Diferencial Estocástica ............................................ 77

5.3 Critério de Avaliação do Fundo ................................................................ 79

5.4 Proposta de um Modelo Geral ................................................................. 80

5.5 Dinâmica Ótima do Controle Estocástico ................................................. 81

5.6 Discussão sobre a Estratégia Ótima de Alocação de Ativos ................... 92

5.7 Exemplo Computacional .......................................................................... 95

6. ESTUDO DE CASO ............................................................................................. 100

6.1 Características da Base de Dados e Regras do Plano .............................. 100

6.2 Premissas Atuariais ................................................................................... 102

6.2.1 Tábua de Mortalidade ............................................................................ 102

6.2.2 Crescimento Salarial .............................................................................. 110

6.2.3 Taxa de Juros .......................................................................................... 112

6.3 Política de Investimentos ........................................................................... 113

6.3.1 Modelando a Inflação ............................................................................. 114

6.3.2 Modelando Retornos .............................................................................. 116

6.3.3 Alocação dos Ativos na Carteira de Investimentos ................................ 118

6.4 Cenários de Análise .................................................................................. 129

7. RESULTADOS E ANÁLISES CRÍTICAS ............................................................. 134

7.1 Modelo Determinístico ............................................................................... 135

7.1.1 Resultados e Análises Críticas .............................................................. 135

7.2 Modelo Estocástico ................................................................................... 139

7.2.1 Medidas de Risco de Equilíbrio .............................................................. 140

7.2.2 Resultados e Análises Críticas .............................................................. 142

8 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES .............................................................. 149

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 158

Apêndice I – A Equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) ...................................... 165

Apêndice II – Demonstrações dos parâmetros P(k), Q(k) e R(k) - 2º Caso ................. 166

Apêndice III – Demonstrações dos parâmetros P(k), Q(k) e R(k) - 3º Caso ................ 172

Apêndice IV – Programas Desenvolvidos para o Matlab ............................................ 174

Apêndice V – Descrição da Base de Dados ................................................................ 181

Apêndice VI – Programa desenvolvido no R para previsão de índice de inflação ....... 184

15

Apêndice VII – Notas do Tesouro Nacional-Série B .................................................... 187

16

1. INTRODUÇÃO

1.1 Relevância e Objetivos

Comprometidas com o empenho de buscar as melhores técnicas administrativas e de

governança corporativa, as empresas cujo objetivo final é a maximização de seu valor

de mercado devem estar atentas para simultaneamente apresentarem satisfatório

desempenho de suas operações e atenderem as restrições de seus órgãos

regulamentadores.

No entanto, paralelamente, tem sido observado pela mídia na última década um

considerável aumento no número de empresas que se tornam insolventes. As causas

são variadas, mas todas possuem um fator subjacente comum: inadequadas práticas

de gestão de riscos. Exemplos recentes que ratificam esta observação são os casos de

empresas como a Enron e a Arthur Andersen.

Em resposta a tal evidência, de uma forma praticamente universal, os gestores se

voltaram para o melhoramento de seus sistemas de controle e de gestão de riscos

financeiros a fim de reduzir suas exposições, de modo que o conceito e a prática da

gestão de riscos assume hoje o papel principal nas funções estratégicas das

organizações, sejam elas reguladoras ou auditoras contábeis e financeiras.

No caso específico de seguradoras e entidades de previdência privada, ou seja,

empresas com passivos atuariais, o tratamento integrado de ativos e passivos com o

intuito de minimizar o risco de descasamento entre eles passou a ser um componente

indispensável de qualquer estratégia de gestão de riscos financeiros. A este tratamento

integrado de ativos e passivos refere-se a incorporação do passivo nas decisões sobre

alocação de ativos e dá-se o nome geral de ALM, advindo da sua denominação Asset

Liability Management.

17

O ALM tem como principal idéia a gestão dinâmica dos fundos, focando-se,

primariamente, nos riscos de taxas de juros e na forma como estes riscos impactam os

dois lados do balanço contábil, o que não deixa de também avaliar riscos de crédito, de

liquidez e de volatilidade de margens de lucro.

No Brasil, embora a maioria das seguradoras e entidades de previdência privada

continue a analisar seus ativos isoladamente de seus passivos, atuando com base em

medidas de desempenho ex-post e, portanto, realizando uma gestão passiva dos

fundos, a tendência do mercado é justamente a oposta, seguindo o trajeto iniciado pelo

mercado internacional.

Neste sentido, vêm os principais objetivos da tese a ser desenvolvida: sistematizar o

estado da arte no que concerne a utilização de técnicas de ALM para fundos de

pensão, especificamente em planos de benefício definido, e implementar com um

estudo prático as diferentes metodologias, de modo a analisá-las e compará-las.

A escolha de se estudar os fundos de pensão deve-se ao fato de que hoje estas

entidades ganharam uma grande importância para toda a sociedade, uma vez que

representam os maiores investidores institucionais do mercado de capitais brasileiro e,

ao mesmo tempo, lidam com uma problemática de cunho social, que é a

complementação da aposentadoria oferecida pelo governo por meio do INSS a todos os

trabalhadores que contribuem para o sistema.

A restrição para planos de benefício definido, embora, como veremos mais a frente, a

maioria dos fundos de pensão hoje já migraram para planos de contribuição definida,

resulta também de uma preocupação em resgatar a credibilidade da implementação

quantitativamente confiável desta modalidade de benefício. Além disso, a aplicabilidade

da metodologia ALM só se faz necessária em planos de benefício definido ou de

contribuição definida com renda vitalícia, onde é verificado risco de descasamento entre

ativo e passivo.

18

Desta forma, esta pesquisa está organizada da seguinte forma: no capítulo 2, serão

analisados os aspectos relevantes da indústria de fundos de pensão, como os riscos

embutidos em cada um dos possíveis planos de benefícios e o atual estágio da

legislação para os investimentos de fundos de pensão brasileiros; no capítulo 3, serão

abordados os regimes financeiros e os variados métodos de custeio atuarial para

planos de benefício definido; nos capítulos 4 e 5, vem a explanação das diversas

metodologias de gestão de ativos e passivos, de modo a, no capítulo 6 desenvolver

uma aplicação prática destas diferentes metodologias para um estudo de caso

particular. Por fim, no capítulo 7 serão apresentadas as comparações e análises críticas

dos resultados e no capítulo 8, as principais conclusões e recomendações.

1.2 Histórico

Empresas seguradoras há muito já percebem que enfrentam complexidades similares

aos bancos. No entanto, dos anos 30 até meados da década de 60, as flutuações das

taxas de juros americanas observadas nos títulos de longo prazo do governo eram tão

baixas que tanto bancos quanto seguradoras viveram anos muito tranqüilos.

O ambiente era tão estável que, segundo citação da Swiss Re [2000], a informal “regra

3-6-3” representava a prática dos banqueiros da época: tomar emprestado a 3% (ao

ano), emprestar a 6% e estar no clube de golfe às 3 horas para uma partida.

No início da década de 70, contudo, ocorreu uma aceleração do processo inflacionário

que acarretou a elevação dos níveis e da volatilidade das taxas de juros. A combinação

entre taxas altas e grande volatilidade incentivou investidores a procurarem ativos que

melhor os capacitassem a acompanhar a inflação.

A Swiss Re [2000] relata que o processo atingiu empresas seguradoras americanas da

seguinte maneira: um número grande e crescente de segurados de apólices de seguro

19

de vida tomou emprestado de suas reservas, que estavam atreladas a taxas que não

acompanhavam o crescimento inflacionário, e reaplicou o capital em outros ativos que

ofereciam taxas de retorno mais elevadas. Como as seguradoras não estavam

preparadas para o aumento das taxas de juros e o conseqüente saque em massa de

suas reservas, muitas não suportaram o momento de crise e quebraram.

O que ocorreu foi que historicamente as seguradoras de vida fixavam seus prêmios

com base em hipóteses estáticas de taxas de juros e de comportamento dos segurados

e, no fim dos anos 70, esta abordagem não mais funcionou bem, uma vez que devido à

elevação das taxas de juros os segurados mudaram seus padrões de comportamento.

As apólices de seguro de vida ofereciam aos segurados muitas escolhas, tais como

opções de acordo, opções de empréstimo sobre apólices, opções de excesso de

depósitos e privilégios de renovação ou desistência1. Tais escolhas são conhecidas

como opções embutidas (embedded options). Como essas opções beneficiam os

segurados às custas das seguradoras, estas deveriam em princípio levá-las em conta

ao projetar contratos de seguro e estabelecer taxas de juros. Entretanto, naquela

época, as seguradoras davam pouca importância às opções embutidas em seus

contratos, já que elas não eram atraentes enquanto as taxas de juros se mantivessem

estáveis. Esqueceram-se de que os segurados tenderiam a exercer suas opções

baseados em circunstâncias individuais ou familiares ocasionadas pela mudança no

comportamento das taxas.

Em resumo, muitas seguradoras falharam em ajustar seus ativos e passivos de forma a

mitigar os riscos que as opções embutidas sobrepunham. 1 Opções de acordo (settlement options): permite ao beneficiário escolher a forma de pagamento do benefício, ou na forma de pecúlio ou na forma de anuidade. Opções de empréstimo sobre apólices (policy loan options): permite ao segurado tomar emprestado de sua reserva de ativos, de acordo com termos pré-especificados. Opções de excesso de depósito (over-depositing options): permite ao segurado pagar prêmios mais altos que o exigido, os quais serão investidos a uma taxa de juros pré-especificada. Privilégios de desistência (surrender privileges): permite ao segurado sair do contrato de seguro prematuramente e parar o pagamento de prêmios. Privilégios de renovação (renewal privileges):oferece ao segurado o direito de ou permanecer no contrato de seguro ou sair do contrato ao fim do período de validade da apólice.

20

Assim, conforme Dash & Kajiji [2004], a luta em busca de liquidez no fim dos anos 70 e

início dos 80 incentivou que empresas seguradoras seguissem o exemplo consagrado

pela indústria americana de bancos em desenvolver e usar modelos de ALM como meio

de mitigar efeitos nocivos da utilização ineficiente de recursos, causada por um

ambiente econômico cada vez mais complexo.

Ao fim da década de 80, os bancos já haviam conseguido avançar no que se refere aos

métodos de fronteira de ALM, especificamente na questão de estratégias

economicamente eficientes de alocação de ativos dados particulares perfis de passivo e

de plano de negócio.

Estava aberto, então, o caminho para que o ALM fosse pensado para as questões do

seguro. No meio acadêmico, foi no verão de 1981, quando houve uma conferência em

Ashland, Oregon (EUA), para considerar e sugerir desenvolvimentos tecnológicos que

pudessem ser úteis na aplicação do ALM nas empresas, que primeiramente

profissionais financeiros, reconhecidos como autoridades no campo de ALM dentro das

empresas, reuniram-se com experientes atuários acadêmicos, novatos no assunto ALM

(Babbel, 2001).

Neste encontro, sérias dúvidas e questionamentos foram expressos pelos puristas

presentes. Afinal, a teoria financeira não havia ainda dado respostas e explicações

coerentes ao ALM. Além disso, o tradicional objeto de estudo das ciências atuariais, o

risco puro, estava sendo substituído por uma abordagem sistêmica e integrada de

riscos, englobando os riscos puros e os especulativos2.

2 Os riscos são denominados puros quando, na ocorrência de determinado evento, existir a possibilidade de um agente consciente incorrer em perda, impedindo que o agente tenha interesse na ocorrência desse evento. Os riscos especulativos ocorrem quando há a possibilidade do agente incorrer em perda ou ganho na ocorrência de determinado evento, fazendo com que o agente possa concorrer para a ocorrência do evento (Hurtado, 1997).

21

Pode-se perceber que a transformação experimentada pelas ciências atuariais nestas

últimas décadas representa claramente uma mudança de paradigma no sentido dado

por Kuhn [1975], pois atende as três condições para a realização de uma revolução

científica, a saber: 1) não compartilhar pressupostos com o paradigma predominante; 2)

ser contestada por praticantes do paradigma predominante; 3) ter sido criada por

profissional não praticante do paradigma tradicional.

A Swiss Re [2000] ressalta ainda a outra resposta dada pelo mercado no início da

década 80 para competir com os investimentos que na época estavam tendo

preferência em relação aos seguros de vida - o desenvolvimento de novas anuidades e

apólices, desta vez sensíveis às taxas de juros.

Ao longo da década de 80 e 90, o mercado de anuidades e fundos de pensão se

reafirmou como líder da indústria no Japão, Alemanha e EUA no lugar do mercado de

seguro tradicional, pois o público de modo geral mudou seu foco. Ao invés de comprar

proteção por meio do seguro, passou a preferir o investimento de longo prazo.

Durante estas duas décadas, muitas outras empresas que comercializaram produtos

sensíveis a taxas de juros se mostraram incapazes de gerir os novos riscos e faliram3,

abrindo também espaço para a pesquisa e o desenvolvimento de metodologias ALM

para o mercado de anuidades e fundos de pensão.

Tomando-se o impacto que esta mudança de perspectiva sobre o risco do negócio de

empresas seguradoras e previdenciárias trouxe para o profissional diretamente a elas

relacionado – o atuário, observou-se que o atuário tradicional, preparado e treinado

para cálculos de aferição de passivos atuariais, viu-se submetido a atividades até então

restritas a outros profissionais.

3 O relatório da Swiss Re [2000] cita a falência de Baldwin-United em setembro de 1983, uma seguradora focada em anuidades diferidas com pagamentos únicos, que tinha US$9 bilhões em ativos e uma sólida reputação com investidores. Ainda, a falência da seguradora First Capital Holdings em maio de 1991, que tinha US$10 bilhões em ativos e era especializada em anuidades vitalícias e sensíveis a taxas de juros, e, na mesma época, a falência de First Executive Corporation, com ativos avaliados em US$19 bilhões e líder na emissão de anuidades com renda garantida.

22

Este novo atuário teria que estar completamente inserido nos contextos financeiros de

sua empresa e mercado, tendo que desenvolver habilidades e maior conhecimento

sobre a teoria das finanças e sobre seus mecanismos. Na literatura, o surgimento do

novo atuário foi antecipado por Bühlmann [1987] e D’Arcy [1989], que o identificaram

como atuário do terceiro tipo.

Embora o ALM ainda assuma diversos significados para seus diferentes praticantes, a

Society of Actuaries [2004] oferece uma definição muito útil e que possui um alcance

bastante abrangente: “ALM é a prática de gerir um negócio de modo que decisões e ações tomadas em

relação aos ativos e passivos são coordenadas. O ALM pode ser definido como o

processo contínuo de formular, implementar, monitorar e revisar estratégias relacionadas

a ativos e passivos para atingir os objetivos financeiros das organizações, dados o nível

de tolerância de risco da organização e outras restrições. O ALM é relevante e crítico

para a gestão confiável das finanças de qualquer organização que investe para alcançar

suas necessidades futuras de fluxo de caixa e de exigências de capital.”

Atualmente, o ALM vem se focando primariamente nos riscos associados a mudanças

nas taxas de juros, pois muitos o entendem apenas como um processo de selecionar

uma carteira de ativos de modo a compensar as exposições a riscos de taxas de juros

de um particular conjunto de obrigações. No entanto, pela definição anterior, o ALM

pode e deve considerar um espectro de riscos bem mais amplo, incluindo os riscos

mobiliários, de liquidez, legais, monetários e o risco país.

No próximo capítulo, serão estudados alguns dos tipos de riscos a que estão sujeitos os

fundos de pensão, as modalidades de planos de benefícios e as restrições impostas

pela legislação brasileira sobre as possibilidades de investimentos dos recursos

garantidores dos benefícios dos fundos de pensão.

23

2. A INDÚSTRIA DE FUNDOS DE PENSÃO

2.1 Tipos de Riscos

A fim de compreender os riscos envolvidos na administração de um fundo de pensão

sob a modalidade de planos de benefício definido, cabe analisar primeiramente as

questões mais importantes que o gestor do fundo deve enfrentar na determinação da

alocação ótima dos ativos ao longo do tempo. De acordo com Dempster et alli [2002],

temos como questões fundamentais as seguintes:

a) Natureza estocástica dos retornos dos ativos e do passivo

Tanto o fluxo de pagamentos de benefícios quanto o retorno futuro dos ativos são

desconhecidos, ou seja, são variáveis aleatórias. Os benefícios, em particular, são

gerados a partir de eventos atuariais e devem ser cobertos pelos ativos. Logo, cada

decisão de alocação dos ativos deve levar em consideração o nível das obrigações, as

quais são diretamente relacionadas à política de contribuição exigida pelo fundo.

b) Horizontes de longo prazo para os investimentos

O horizonte típico de investimento é muito longo, por volta de 30 anos. Isto significa que

a carteira do fundo terá que ser rebalanceada algumas vezes, o que pode tornar a

otimização de carteiras sob o estilo Markowitz ineficiente.

c) Risco de sub-financiamento

Existe uma exigência muito importante para monitorar e gerir a probabilidade de sub-

financiar tanto clientes individuais quanto o fundo como um todo, isto é, o nível de

confiança com a qual o fundo de pensão será capaz de atingir suas metas sem recair

na garantia da patrocinadora.

d) Restrições de gerenciamento

A gestão de um fundo de pensão é também ditada pelo atendimento a um número de

regras de solvência que são estabelecidas por autoridades regulatórias apropriadas.

Estas restrições afetam as alocações sugeridas e devem ser sempre consideradas.

24

Além disso, como a carteira do fundo deve ser ativamente gerida, os spreads de

mercado, taxas e outros elementos que afetam o fundo também devem ser modelados.

Considerando tais características dos fundos com planos de benefício definido, pode-se

definir agora os riscos mais comumente observados na gestão dos mesmos:

a) Risco de mercado

É o risco de perda no valor da carteira de investimentos, que no futuro fará jus ao

pagamento dos benefícios, fruto da não ocorrência dos retornos esperados dos

investimentos devido a flutuações nos preços de commodities, títulos e ações e nas

taxas de mercado (taxas de juros e câmbio, por exemplo).

b) Risco de crédito

Risco de mudança na qualidade do crédito seja por piora ou por default, reduzindo o

valor da carteira. Para um fundo de pensão, a maior fonte de risco de crédito são os

empréstimos a participantes, mas também existe risco de crédito em outros

instrumentos financeiros, tais como títulos de renda fixa, opções, ações e swaps.

c) Risco de liquidez

O risco financeiro oriundo de uma possível perda de liquidez pode ser de dois tipos: 1)

de mercado ou produto: quando não se consegue se desfazer de um determinado

investimento a seu preço normal de mercado, tendo que se reconhecer o prejuízo não

esperado; 2) de fluxo de caixa ou obtenção de recursos: com o advento da

portabilidade, é possível para o participante deixar o fundo ao qual está atrelado e levar

todas as suas contribuições e também as contribuições da patrocinadora para outro

fundo, podendo gerar um problema de falta de fluxo de caixa. A portabilidade pode

alterar significativamente a premissa de rotatividade e a política de investimentos do

fundo.

d) Risco demográfico

Está associado a mudanças significativas no perfil dos participantes do plano em

relação à evolução da sobrevida do grupo ou em relação às premissas de elegibilidade

aos benefícios. Estas mudanças são resultantes da ocorrência de fatos distintos

daqueles inicialmente previstos quando do desenho do plano de benefícios, pois neste

25

momento a tábua de mortalidade (ou sobrevivência) e as regras de concessão de

benefícios são definidas para o grupo em análise.

e) Risco operacional

Está associado à operação do negócio e pode ser subdividido em três tipos: risco de

pessoas (incompetência ou fraude), risco de processos e risco de tecnologia. Inclui o

risco legal, mas exclui o risco de reputação4 e o risco estratégico.

Todos estes riscos podem levar ao risco de descasamento entre ativo e passivo, uma

vez que podem gerar valores de ativo insuficientes ou excessivos para o que é exigido

como valores de reserva matemática. A seguir, uma explanação mais detalhada sobre

as diferenças entre as modalidades de planos de benefícios e os riscos envolvidos em

cada uma.

2.2 Planos de Benefícios

Uma das contribuições mais interessantes na literatura que diferencia os níveis de

responsabilidade e atribui a cada agente do plano de pensão os riscos a que está

exposto é o trabalho seminal de Sharpe [1976], que compara os vários tipos de planos

de pensão a carteiras de opções.

No caso particular em que o benefício considerado é o benefício de aposentadoria,

pode-se adotar a hipótese de que as opções que representam os diferentes tipos de

planos são do tipo européia, uma vez que um empregado ou participante do plano só

deixa a empresa em uma data especificada - a data de aposentadoria, a qual coincidirá

com a data de exercício da opção.

Muito embora a função primária de um plano de fundo de pensão seja o fornecimento

do benefício de aposentadoria, este não é o único benefício oferecido pelos planos. 4 É a possível perda potencial na forma como clientes e acionistas vêem a organização e pode levar à publicidade negativa, perda de clientes, saída de funcionários importantes, litígios caros e perda de rendimento.

26

Todos, sem exceção, oferecem pelo menos um dos seguintes outros benefícios:

benefício proporcional diferido, benefícios de invalidez e benefícios de morte.

No entanto, como o benefício mais significativo financeiramente é o de aposentadoria, o

qual normalmente é pago na forma de renda enquanto o participante ou membro do

grupo estiver vivo, será este o objeto de estudo deste trabalho.

Sob a luz deste enfoque, segue a explanação sobre cada um dos diferentes tipos de

planos de benefícios que, embora não seja exaustiva, cobre as principais

características de cada um deles.

2.2.1 Plano de Benefício Definido

Um plano de benefício definido (BD) é aquele no qual o benefício é uma quantia

definida, geralmente, em função do tempo de serviço e do salário. A entidade fechada

de previdência complementar (EFPC) assume a responsabilidade de que o benefício

assegurado pelo regulamento do plano seja pago na época devida, independentemente

de fatores de rentabilidade das aplicações das contribuições ou qualquer outro fator

externo ou interno (Winklevoss, 1993).

Ainda, segundo Haberman [1998], os esquemas ou planos BD podem ser

compreendidos como um acordo entre membros de um grupo, normalmente os

empregados de uma mesma empresa, no qual os benefícios prometidos no evento de

diversas contingências são definidos por uma expressão analítica conhecida, enquanto

as contribuições são determinadas pelo atuário como parte de um processo regular de

avaliação.

Por conseguinte, o valor da contribuição pode ser alterado sempre que necessário. Por

outro lado, qualquer ganho além do previsto para o pagamento dos benefícios ficará

27

com a EFPC. A participação na contribuição do empregador e do empregado é definida

no regulamento do plano, sendo este de caráter mutualista.

O fundo associado a tal esquema pode ser observado como uma reserva, de onde a

renda advinda de contribuições e de ganhos de investimentos entra e sai como

pagamentos nas contingências de aposentadoria, invalidez, morte e desligamento.

Neste tipo de plano, a variável dependente é a contribuição do empregado.

Graficamente, pode-se representar um plano BD da seguinte forma:

Figura 2.1 – Representação gráfica de um plano de benefício definido (BD) com benefício K

Este tipo de plano pode ser replicado utilizando-se uma put-call-parity [+P –C +S]

(Blake, 1998), isto é, estando comprado em uma opção de venda (+P) e estando

vendido em uma opção de compra (-C) dos ativos que compõem o fundo das

contribuições (S), ambos com o mesmo preço de exercício (K). Fica estabelecido que

na opção de venda o lançador é a EFPC e o titular é o participante, enquanto que na

opção de compra, o lançador é o participante e o titular é a EFPC. É claro que, na data

de aposentadoria do participante, uma das opções será exercida.

Assim, na data de exercício, ter-se-á a seguinte tabela de arbitragem:

Tabela 2.1 – Tabela de arbitragem do plano de benefício definido (BD)

Valor dos benefícios

Valor dos ativos financeiros

K BD



K BD

28

S* < K S* > K

+P* K – S* 0

-C* 0 - (S* - K)

+S* S* S*

Total K K

Se o valor do fundo for menor do que a reserva que deveria ter sido constituída,

representada pelo preço de exercício na data de exercício, isto é, S* < K,, então o plano

terá apresentado um déficit atuarial e, quando o participante exercer sua opção de

venda contra a EFPC, esta terá que cobrir o déficit fazendo o pagamento de K – S*.

Se, por outro lado, o valor do fundo exceder o preço de exercício (S* > K), então o

plano apresentará um superávit atuarial e a EFPC exercerá sua opção de compra

contra o participante e ficará com o valor S*- K.

Desta forma, repara-se que em um plano BD coexistem o risco de mercado, caso em

que a rentabilidade dos ativos não alcança o nível planejado, e o risco de crédito, caso

a patrocinadora ou a EFPC não tenham como cobrir o déficit atuarial. Portanto, é visível

que, nesta modalidade, a ocorrência conjunta destes dois riscos possam gerar o risco

de descasamento entre ativos e passivos.

2.2.2 Plano de Contribuição Definida

Um plano de contribuição definida (CD) é, conforme Winklevoss [1993], aquele no qual

uma certa (definida) quantia de contribuição do empregador e/ou do empregado é

alocada a cada ano para cada participante do plano segundo uma base sistemática,

geralmente como uma porcentagem específica do salário.

29

O benefício, sob esta abordagem, é o montante de contribuições acumuladas, com os

devidos juros, colocado em favor do empregado até a data de elegibilidade ao benefício

e o seu valor exato não é conhecido até lá.

A principal diferença destes planos para os planos BD é que, embora em nenhum dos

casos o valor final do benefício seja conhecido, nos planos BD, a fórmula de benefício é

conhecida e, nos planos CD, a fórmula de contribuição é que é conhecida.

Neste tipo de plano, que tem a mesma filosofia de poupança, a variável dependente é o

benefício. Graficamente, pode-se representar um plano de CD da seguinte forma:

Figura 2.2 – Representação gráfica de um plano de contribuição definida (CD)

Um plano CD é, portanto, representado por [+S] (Blake, 1998). Na data de exercício ou

data do início de recebimento do benefício, o valor do fundo S* deverá ser igual ao valor

atual dos benefícios a serem pagos ao participante pela EFPC.

Como este plano é financiado somente pelo rendimento da carteira de ativos,

constituída pelo acúmulo das contribuições, pode-se relacioná-lo com o plano BD. Um

plano BD será financiado por uma carteira que contém os ativos em questão (e,

portanto, será, em parte um plano CD) mais uma opção de venda menos uma opção de

compra desses ativos:

BD = K = S + P – C = CD + P – C. (2.1)



CD



CD

30

Desta forma, em um plano CD observa-se a existência do risco de mercado. Porém,

não existe o risco de crédito para a patrocinadora ou EFPC e nem o risco de

descasamento entre ativo e passivo.

2.2.3 Plano Misto

O objetivo é utilizar um plano CD para alcançar um benefício específico, que pode ser o

mesmo de um plano BD, mas que também possa se beneficiar de qualquer ganho

potencial acima do valor especificado de benefício com o valor do fundo de

contribuições acumuladas. Em outras palavras, este plano oferece um benefício

mínimo, já que possui garantia de rentabilidade mínima, mas não máximo.

Graficamente, pode-se representar um plano misto (PM) da seguinte forma:

Figura 2.3 – Representação gráfica de um plano misto (PM) com benefício mínimo K

Um plano misto pode ser replicado utilizando-se uma call sintética [+P +S] (Blake,

1998), ou seja, o participante é o titular de uma opção de venda (+P) sobre os ativos

acumulados (S), a um preço de exercício (K), lançada pela EFPC. Assim, na data de

exercício, ter-se-á a seguinte tabela de arbitragem:



K

K



PM



K

K



PM

31

Tabela 2.2 – Tabela de arbitragem do plano misto (PM)

S* < K S* > K

+P* K – S* 0

+S* S* S*

Total K S*

Na data de recebimento do benefício, o participante exercerá a opção de venda se S* <

K. Isto é, se a rentabilidade da carteira for menor que o valor mínimo de benefício

garantido, o participante deverá exercer a put e receberá o valor mínimo K. A opção

funciona como um piso para o valor de benefício recebido pelo participante.

Caso contrário, ou seja, se a rentabilidade do fundo superar as expectativas do valor

mínimo de benefício (S* > K), todo o ganho será revertido para o participante do plano,

que não exercerá a opção.

Deste modo, o valor presente de um plano misto na data de recebimento do benefício

será o maior valor entre os valores presentes fornecidos pelos planos BD e CD,

qualquer que seja o valor do fundo acumulado. Considera-se, portanto, que o benefício

mínimo será igual ao benefício fornecido pelo plano BD.

Logo, pelo que foi exposto acima e pela tabela de arbitragem, vem:

PM = + P + S = máx (K, S*) = máx (BD, CD) (2.2)

Assim, pode-se avaliar os riscos do plano misto como sendo os mesmos dos planos

BD.

2.3 Características Brasileiras

32

De acordo com dados de janeiro de 2007 da Secretaria de Previdência Complementar

(SPC) do Ministério da Previdência Social

(www.mpas.gov.br/pg_secundarias/previdencia_complementar_04_01.asp), o mercado

de fundos de pensão brasileiro conta hoje com 314 fundos, possuindo recursos totais

de cerca de R$340 bilhões e uma população de 2,5 milhões de pessoas atendidas. É,

dentre outras características, bastante concentrado. Em termos de investimentos das

EFPC, as cinco primeiras entidades detêm cerca de 51,3% do total de ativos investidos,

sendo a primeira do ranking responsável por 31,4% deste total. Destas cinco entidades,

três delas possuem patrocínio público federal e duas possuem patrocínio privado,

sendo que suas patrocinadoras principais são empresas estatais que foram

privatizadas.

Os primeiros fundos de pensão brasileiros surgiram por volta do início dos anos 70, com

exceção do maior fundo de pensão do Brasil, a Previ do Banco do Brasil, que existe

desde 1904, antes mesmo da Previdência oficial brasileira. A maioria destes fundos

estava ligada à patrocinadoras estatais e, devido à ideologia política predominante na

época que privilegiava o status provedor do Estado, oferecia benefícios de

aposentadoria arquitetados nos moldes de planos BD.

Esta modalidade continuou a se verificar em outros planos de benefícios de fundos de

pensão que surgiram desde então, no entanto a partir do fim da década de 90 houve

uma forte ação nos fundos de pensão para mudar seus modelos de aposentadoria de

plano BD para planos CD.

Muitas das empresas estatais brasileiras foram privatizadas, como em todo o mundo, e

os novos donos, empresas privadas nacionais ou estrangeiras, adotaram uma política

menos patriarcal, com menos responsabilidades para com seus empregados, uma vez

que as relações de trabalho também haviam se modificado. Empregados que entravam

para uma dada empresa já não mais esperavam trabalhar nela até o fim de sua vida

laborativa. Além disso, muitos dos fundos que ofereciam planos BD passavam por uma

http://www.mpas.gov.br/pg_secundarias/previdencia_complementar_04_01.asp�

33

crise financeira, seja devido a premissas econômico-atuariais mal formuladas ou a

investimentos ruins ao longo dos anos.

Muito embora os antigos empregados dessas empresas não fossem obrigados a aceitar

a migração de um plano BD para um plano CD ou misto, todos os novos empregados

admitidos automaticamente já entravam no fundo de pensão para o novo plano CD ou

misto, o que demonstra claramente que num plano do tipo BD a patrocinadora do plano

corre um risco maior do que ela deseja.

Ainda assim, segundo dados da SPC de julho de 2006 (Pinheiro, 2006), os planos do

tipo BD representam a maioria dos planos do mercado brasileiro, tanto em número

absoluto quanto por participação no valor dos ativos investidos, conforme pode ser

observado nas Figuras 2.4 e 2.5, respectivamente:

BD38%

CD30%

CV/Misto32%

Figura 2.4 – Número de planos por modalidade de plano de benefício

34

BD59%

CD11%

CV/Misto30%

Figura 2.5 – Valor dos investimentos por modalidade de plano de benefício

Então, surge a questão de porque estudar modelagens para planos do tipo BD em um

ambiente que cada vez mais favorece a adoção de planos tipo CD ou misto. A resposta

vai além da justificativa observada pelos gráficos 2.1 e 2.2 em que os planos do tipo BD

ainda representam a maioria do mercado, fundamentalmente quando observada a

participação dos BD nos ativos totais. A modalidade BD representa 59% (cerca de

R$200,6 bilhões), ao passo que as modalidades CD e misto juntos representam 41%

(cerca de R$139,4 bilhões).

Como outras características favoráveis ao estudo de planos BD, tem-se que estes

atendem melhor às classes de trabalhadores com baixa rotatividade, como, por

exemplo, os servidores públicos, ou às empresas que desejam reter os melhores

empregados. Os planos BD também oferecem maiores desafios de planejamento e

gestão para atuários e demais técnicos envolvidos em sua execução e manutenção, o

que fomenta o desenvolvimento profissional dos mesmos.

Dentre as falácias em relação aos planos BD, diz-se que estes são mais caros que os

CD e os mistos, que possuem necessidades de avaliações mais acuradas e que são

mais complexos para o empregado entendê-lo. Tudo isso estaria levando à substituição

dos planos BD pelos planos CD e mistos em diversos países, demonstrando a

superioridade dos últimos.

35

Em princípio, deve-se considerar o argumento de que exista uma tendência mundial à

adoção de planos CD em substituição aos planos BD, pois esta é uma meia-verdade. O

crescimento dos planos CD é um fenômeno recente, ocorrido nos Estados Unidos,

onde, por força da legislação tributária e da regulamentação baixada pelo governo

federal a partir de 1974 (ERISA – Employee Retirement Income Security Act de 1974),

houve incentivo à criação dessa modalidade de plano.

Conforme esclarece Santos [2000], a mudança foi fortemente observada dentre as

grandes empresas privadas. Na administração pública, apenas uma minoria dos

funcionários públicos dos estados e governos locais participa de planos CD. Uma parte

do crescimento dos planos CD no setor privado é atribuível à introdução do sistema de

tributação diferida, prevista na seção 401(k) do Código Tributário Americano, a partir de

1982. Também existe o fato de que o patrimônio líquido do empresário fica sujeito a

penhora em favor do Pension Benefit Guaranty Corporation para que as obrigações

assumidas pelo fundo de pensão na modalidade BD possam ser satisfeitas em caso de

o fundo ser dissolvido e seu patrimônio ser insuficiente.

Portanto, existem condições conjunturais específicas nos Estados Unidos que explicam

o crescimento dos planos CD e não uma percepção absoluta de sua superioridade

como meio de prover planos de aposentadoria para trabalhadores e, principalmente,

para servidores públicos, os quais possuem incentivos bastante distintos daqueles do

setor privado.

Outro argumento utilizado na defesa dos CD é que estes seriam planos mais baratos

que os BD porque sua gestão seria mais fácil de ser administrada. No entanto,

conforme Santos [2000], planos BD utilizados para assegurar benefícios de

aposentadoria são mais eficazes, pois, ao permitir uma alocação mais planejada das

reservas, possibilitam que suas contribuições sejam inferiores às de planos CD quando

considerados longos períodos de contribuição. Vale lembrar que nos planos CD, os

benefícios de risco são cobertos por contribuições adicionais, já que a contribuição

36

normal e o sistema de capitalização individual não contempla benefícios dessa

natureza.

Além de tudo isso, planos BD provêem benefícios de aposentadoria que não dependem

de uma escolha individual e de quanto o indivíduo está disposto a poupar. Assim, não

importa o que acontece no mercado de títulos e de capitais, quanto tempo o

participante vive depois da aposentadoria ou se sofre qualquer situação de invalidez ou

incapacidade para o trabalho, pois sua renda garantida está segura. Nos planos CD,

tudo fica na dependência das aplicações do fundo: se for rentável, o participante

receberá essa rentabilidade. Porém, como já foi observado, o objetivo da aposentadoria

complementar não é ter lucro nem prejuízo e sim a manutenção do padrão de vida.

Com essa dependência das aplicações financeiras, os planos CD ainda colocam para o

participante a responsabilidade de compreenderem o universo do mercado financeiro,

cuja complexidade pode ser maior que a de compreender o mecanismo de

funcionamento de planos BD.

Dentre tudo o que foi exposto, percebe-se que há espaço para planos BD crescerem.

Claramente observa-se que tudo depende do interesse e do tipo de relacionamento

entre empregado e empregador quando da definição da modalidade de plano BD ou CD

para um fundo de pensão e que, conseqüentemente, não é possível se generalizar

sobre a superioridade de um sobre o outro. Sabe-se, contudo, que não é possível se

falar da superioridade dos planos CD sobre os planos BD sem uma reflexão isenta de

esteriótipos e sem um aprofundamento técnico das modalidades dos planos.

O maior temor em relação a planos BD é a possibilidade de estes virem a gerar déficits,

uma vez que sendo a renda de aposentadoria garantida é imprescindível que a

evolução das reservas durante o período de acumulação esteja sempre de acordo com

a previsão de gastos futuros com o pagamento dos benefícios. Desde os primeiros

planos BD para cá, muitas alterações já foram feitas em relação à participação da

patrocinadora na contribuição e no pagamento de déficits. A tendência claramente se

37

verifica para uma menor participação da mesma, o que resulta numa maior necessidade

de se calcular com mais precisão o pagamento de contribuições e de se evitar déficits e

mesmo superávits.

Paralelamente, os órgãos reguladores estão mais exigentes para salvaguardar os

direitos dos participantes dos planos e cada vez mais requerem estudos detalhados de

reservas, investimentos e contribuições.

Conforme ressalta Cairns [2004], em um plano BD, durante muito tempo se pensou

que, se a taxa de contribuição tivesse sido muito baixa no passado, os patrocinadores

poderiam cobrir a diferença mais tarde. Enquanto esta premissa valeu irrestritamente,

esta posição confortável provavelmente retardou o progresso da matemática atuarial

para pensões por décadas, uma vez que não havia essencialmente nenhuma

penalidade para uma má avaliação.

Atualmente, as penalidades se verificam tanto para a patrocinadora quanto para o

membro do plano, o participante. Com isso, tem-se observado o desenvolvimento de

inúmeras novas abordagens de gestão de fundos de pensão, justamente com o objetivo

de melhor precisar o nível de contribuição e a probabilidade de se incorrer em déficit e,

em última instância, a probabilidade de insolvência do plano.

2.4. Restrições de Investimento na Legislação Brasileira

Pela norma brasileira, regulamentada pela Resolução CMN No. 3.456, de 01 de junho

de 20075, os recursos das reservas técnicas dos planos de benefícios de uma entidade

fechada de previdência complementar, isto é, os ativos de um fundo de pensão, podem

ser alocados em investimentos e com os limites estabelecidos de acordo com as

5 Este normativo revogou as Resoluções 3.121, de 25 de setembro de 2003, 3.142, de 27 de novembro de 2003, 3.305, de 29 de julho de 2005 e 3.357, de 31 de março de 2006.

38

Tabelas 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6. Estas tabelas são uma atualização das tabelas elaboradas

por Rieche [2005].

Tabela 2.3 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em ativos de renda fixa de

acordo com a Resolução 3.456

%RGRTa Requisitos

Carteira com baixo risco de crédito

Títulos de emissão do TN, créditos securitizados do TN e Títulos

de emissao de estados e municípios refinanciados pelo TN

d

FI / FIC aberto previdenciário RF ou ref. RF com Títulos TN e

Títulos privados de baixo risco de crédito

Até 100% e, f

Títulos de estados e municípiosb d

Títulos e emissões de instituições financeirasb e, g

Depósitos de poupança em instituição financeirab Até 80%

Papéis que atendam à Res. CMN 2.801 e emissões de S.A. b d

Obrigações de Organismos Multinacionaisb d

FIDC / FICFIDC, CCBb, c f

CRI e CCI registrados na CVMb, c Até 20% D

CPR-f com seguro, CDCA, CRAb, c Até 5% D

FI / FIC Dívida Externa Até 10% D

Carteira com médio e alto risco de crédito

Títulos de emissao de estados e municípios não refinanciados pelo

TN e os não classificados como de baixo risco de crédito

D

Títulos e emissões de instituições financeirasb e, g

Depósitos de poupança em instituição financeirab Até 20%

Papéis que atendam à Res. CMN 2.801 e emissões de S.A. b D

Obrigações de Organismos Multinacionaisb D

FIDC / FICFIDC, CCBb, c F

CRI e CCI registrados na CVMb, c Até 10% D

CPR-f com seguro, CDCA, CRAb, c Até 2% D a Os recursos garantidores das reservas técnicas (RGRTs) são os “ativos do programa de investimentos, adicionadas as disponibilidades e deduzidos os valores a pagar, classificados no exigível a longo prazo do referido programa” (Art. 1º do regulamento anexo à Res. 3.121). b Os itens selecionados são aqueles considerados como títulos de baixo risco de crédito ou títulos de médio e alto risco de crédito, conforme o caso. A classificação é feita pela própria EFPC com base em classificação efetuada por agência classificadora de risco em funcionamento no país. C Os investimentos nessas categorias são incluídos no cálculo do cumprimento dos limites de 80% (baixo risco de crédito) e 20% (médio e alto risco de crédito). d O total de emissão e/ou coobrigação de um mesmo estado ou município, própria patrocinadora ou grupo e pessoa jurídica não-financeira ou grupo não pode exceder 10% do RGRTs. e O total de aplicações em uma mesma instituição financeira ou grupo e em contas de um mesmo fundo de investimento (FI) ou fundo de investimento em cotas de fundos de investimentos (FICFI) classificados como previdenciários não pode exceder 20% do RGRTs. f Máximo de 25% do patrimônio líquido (PL) do fundo. g O total de emissão, coobrigação ou responsabilidade de uma mesma instituição não pode exceder 25% (baixo risco de crédito) ou 15% (médio e alto risco de crédito) do PL da emissora.

Tabela 2.4 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em ativos de renda variável de acordo com a Resolução 3.456

39

Carteira %RGRT Requisitosa

No conjunto dos investimentos Até 50% variáveis

Carteira de ações em mercado: ações, bônus/recibos de subscrição de ações, certificado de depósito de ações de companhia aberta adquiridos em bolsa de valores ou em mercado de balcão organizado por entidade credenciada na CVM, ações subscritas em lançamentos públicos ou em decorrência do exercício do direito de preferência e cotas de fundos de investimento (FI) previdenciários e as cotas de fundos de investimento em cotas de fundos de investimento (FICFI) previdenciários classificados como ações.

Até 50%

Até 45%

Até 40%

Até 35%

Novo Mercado ou

Nível 2b, c

Nível 1b, c

Bovespa Mais b, c

- Carteira de participações: ações e debêntures de emissão de sociedades de propósito específico (SPEs) criadas com a finalidade de financiar projetos, com prazo de duração determinado, cotas de FI em empresas emergentes e cotas de FI em participações, de acordo com regulamentação da CVM

Até 20%

d

Outros ativos: BDRs classificados nos Níveis II e III definidos na regulamentação da CVM, ações de emissão de companhias sediadas em países do Mercosul, debêntures com participação nos lucros cuja distribuição tenha sido registrada na CVM, certificados representativos de ouro físico no padrão negociado em bolsa de mercadorias e de futuros, certificados de potencial adicional de construção negociados em bolsa de valores ou em mercado de balcão organizado por entidade credenciada na CVM e as cotas de FI e cotas de FICFI classificados como fundos multimercado.

Até 3% E

a O total de aplicações em ações de uma mesma companhia não pode exceder (não se aplica aos investimentos em ações de emissão de SPEs): a.1 20% do respectivo capital volante; a.2 20% do respectivo capital total; e a.3 5% do RGRTs, podendo este limite ser majorado para até 10% no caso de ações representativas de percentual igual ou superior a 2% do Ibovespa, IbrX, IbrX-50, FGV-100, IGC ou ISE. b Para carteira de FI e FICFI previdenciários classificados como ações, os limites são: Nível 2 ou Novo Mercado – até 100% do PL do fundo Nível 1 – até 90% do PL do fundo Bovespa Mais – até 80% do PL do fundo Demais companhias abertas – até 70% do PL do fundo c O total de aplicações em um mesmo FI ou FICFI previdenciário classificado como ações não pode exceder 20% do RGRTs e 25% do PL do fundo. d O total de aplicações em um mesmo FI ou SPE não pode exceder: d.1 25% do projeto ou do PL do fundo no caso de inversões da própria EFPC; e d.2 40% do projeto ou do PL do fundo no caso de inversões da própria EFPC em conjunto com a própria patrocinadora. e O total de aplicações em cotas de um mesmo FI ou FICFI classificados como multimercado não pode exceder 25% do PL do fundo.

Tabela 2.5 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em ativos imóveis de acordo com a Resolução 3.456

Carteira Requisitos

Desenvolvimento Cada investimento: até 25% do empreendimento correspondente Aluguéis e renda - Fundos imobiliários Em um mesmo fundo: até 25% do PL do fundo Outros investimentos Único imóvel não pode representar mais de 4% do RGRTs;

manutenção de aplicações em terrenos é vedada desde 2005 Observação: o limite de recursos alocados no segmento é de 11% até 01/01/2009 e 8% a partir de 01/01/2009.

Tabela 2.6 – Alocação dos recursos dos ativos de fundos de pensão em empréstimos e financiamentos a participantes e assistidos de acordo com a Resolução 3.456

Carteira %RGRT

No conjunto dos investimentos Até 15% Empréstimos Até 15% Financiamentos imobiliários Até 10%

40

Observação: os encargos financeiros devem ser, pelo menos, equivalentes à taxa mínima atuarial, no caso de plano constituído na modalidade benefício definido, ou ao índice de referência estabelecido na política de investimentos, no caso de plano constituído em outras modalidades, somados à taxa representativa do custo administrativo e operacional da carteira.

De um modo geral, esta resolução têm como diretrizes a transparência e o controle de

riscos, obrigando a entidade a formular uma política anual de investimentos na qual há

exigências de diversificação dos investimentos e de práticas de governança corporativa.

Uma vez estudadas as restrições no lado do ativo, vamos nos voltar para as regras que

modelam o passivo. Assim, no capítulo a seguir, detalharemos os diversos métodos por

meio dos quais se pode definir o valor das contribuições em um regime financeiro de

capitalização. Estes métodos são conhecidos como métodos de custeio.

41

3. MODELAGEM DO PASSIVO ATUARIAL

3.1 Terminologia

Sob a luz dos conceitos seminados por Trowbridge [1989], partimos da idéia de que

qualquer grupo de funcionários de tamanho suficiente pode supor-se, na falta de melhor

informação, que se aproxima em dado instante de uma condição madura ou

estacionária. Por condição madura entende-se a população que cresce a taxas

constantes, determinísticas; e por condição estacionária, a população que não cresce

mais, de modo que o número de pessoas que entram no grupo é igual ao número de

pessoas que saem do mesmo grupo.

Estes conceitos são importantes para a obtenção da equação de maturidade de

Trowbridge e para compreender as diferenças conceituais entre os regimes financeiros,

os quais representam os possíveis métodos de financiamento de um plano de benefício

do tipo BD. É importante perceber que os regimes financeiros só fazem sentido quando

estudamos planos de benefício do tipo BD porque nestes planos existe uma meta a ser

atingida. Os benefícios arquitetados no modelo CD possuem um financiamento muito

mais simples, que pode ser resumido do seguinte modo: um valor monetário é pago ao

fundo por cada membro do grupo. Este valor é determinado por forças de mercado e

por quanto a empresa pode pagar por cada funcionário. Estes valores farão parte de

um fundo de acumulação individual e poderão custear o pagamento de benefícios no

futuro quando estes funcionários se tornarem elegíveis. Para os benefícios arquitetados

no modelo misto, o financiamento se aproximará das regras para os benefícios

arquitetados no modelo BD quanto maior for a garantia dada no pagamento de

benefícios.

Como em qualquer fundo, um fundo de aposentadorias terá receitas e despesas. As

receitas são as contribuições e os juros ganhos ao longo do ano e as despesas são os

42

benefícios pagos. Logo, a equação que define o comportamento de um fundo de

aposentadorias pode ser dado por:

BFdCF −⋅+=Δ , (3.1)

onde FΔ é a variação do fundo ao longo do ano,C são as contribuições pagas no início

do ano, vid ⋅= é o desconto da taxa de juros, F é o valor do fundo medido no início do

ano (antes do pagamento das contribuições e dos benefícios então devidos) e B são

os benefícios também pagos no início do ano.

Considerando a população madura (momento anterior na linha do tempo a ela se tornar

estacionária), percebe-se que eventualmente os benefícios B se tornarão estacionários.

Além disso, em todos os regimes financeiros, tem-se como característica que, quando a

população de funcionários/participantes se torna estacionária ou depois disso, a

contribuição C e o fundo F alcançam ou tendem para uma constante. Logo, a variação

do fundo ao longo do ano, FΔ , torna-se zero e a equação (3.1) fica:

,BFdC =⋅+ (3.2)

onde C, F e B são todas constantes. A equação (3.2) pode ser considerada uma

equação de maturidade. Ela é conhecida como a equação de maturidade de

Trowbridge ou simplesmente equação de maturidade.

Na equação de maturidade (3.2), B e d independem do regime financeiro utilizado.

Conseqüentemente, na situação final, os vários regimes diferem somente quanto aos

tamanhos relativos de F e de C. Logicamente, classificar estes métodos em ordem

ascendente de F ou, equivalentemente, em ordem descendente de C torna a

explanação mais clara.

Desta forma, serão considerados os regimes financeiros em ordem crescente de valor

de fundo. O fundo de investimentos existe para cobrir a obrigação gerada no passivo do

balanço patrimonial pela necessidade de constituição de reserva matemática, que por

sua vez representa a obrigação do fundo de pensão para com cada participante gerada

pela garantia de uma renda vitalícia determinada (aposentadoria programada).

43

Assim, em teoria, os regimes financeiros que podem ser utilizados no financiamento de

planos BD variam desde um regime em que o valor do fundo F é zero (o valor da

contribuição C é igual ao valor do benefício B) e conseqüentemente não há

necessidade de constituição de reserva matemática; até um regime em que o valor do

fundo é igual ao valor total reserva matemática na data da aposentadoria (o valor da

contribuição C é igual a zero) e conseqüentemente a reserva matemática está

completamente constituída desde início do plano. Estes dois regimes são conhecidos,

respectivamente, por repartição simples e capitalização inicial.

Na prática, os regimes financeiros são classificados em três possíveis categorias, aqui

dispostos em ordem crescente de valor do fundo: regime de repartição simples, regime

de capitais de cobertura (ou capitalização terminal) e regime de capitalização. O regime

de capitalização é o único regime que, pelo artigo 5º da Resolução CGPC no. 18 de

2006, pode ser utilizado para o financiamento de benefícios de aposentadoria

programada tipo BD.

No regime de repartição simples, a principal característica é que o valor atual atuarial

dos benefícios gerados e pagos num dado exercício deve ser equivalente ao valor atual

das contribuições daquele mesmo exercício. Isto acarreta que não existe a acumulação

de um fundo nem antes nem depois da elegibilidade ao benefício, embora na prática

possa se constituir uma reserva de contingência, adicionando-se uma pequena margem

na alíquota de contribuição. Neste regime financeiro, ocorre o que é conhecido como

pacto entre gerações, uma vez que os ativos de hoje pagam os benefícios dos inativos

de hoje.

No regime de repartição de capitais de cobertura, a equivalência se dá entre o valor

atual atuarial dos compromissos futuros gerados num dado exercício e o valor atual das

contribuições daquele mesmo exercício. Assim, a constituição da reserva matemática

ocorre quando da eligibilidade ao benefício ou, de outra forma, o benefício é

capitalizado quando da exigibilidade do prêmio. Por isso, este regime é também

conhecido como capitalização terminal.

44

No regime de capitalização, deve existir uma equivalência atuarial, desde o início do

plano, entre o valor atual dos compromissos futuros (o mesmo que valor atual dos

benefícios futuros - VABF) e o valor atual das contribuições futuras do participante. As

contribuições, devidamente capitalizadas, devem permitir o pagamento de seus

respectivos benefícios a cada funcionário/participante do plano, de modo que, no

momento da concessão do benefício, a reserva já deve estar completamente

constituída.

Como no regime de capitalização há a necessidade de se constituir reserva

matemática, pode-se perceber que a velocidade com que esta reserva será acumulada

pode variar, indo desde uma valocidade rápida no início e lenta no final, passando por

uma velocidade constante ao longo do tempo, até o extremo oposto, quando a

velocidade é zero inicialmente e total no final (capitalização terminal ou regime de

capitais de cobertura). Para cada uma destas diferentes velocidades de acumulação da

reserva matemática, temos um método de custeio do plano BD, que fornecerá um valor

diferente para a contribuição normal do plano de benefício, de modo a, no final do

período integral de capitalização, estar constituída toda a reserva matemática

necessária de onde sairão os pagamentos dos benefícios.

De fato, os benefícios de aposentadoria na modalidade BD são quase sempre os

únicos financiados no regime financeiro de capitalização, ou seja, pela constituição de

uma reserva matemática desde o ingresso do participante no plano de benefício do

fundo de pensão. A razão pela qual isso ocorre é o próprio impacto financeiro que

causa o pagamento de benefícios de aposentadoria, pois além de serem mais

numerosos também são os que pagam maiores valores monetários.

Outros tipos de benefícios também podem ser financiados sob o regime de

capitalização, porém na grande maioria das vezes são financiados em regimes de

repartição.

45

Haberman [1998] define de maneira simples e clara as fórmulas gerais para a renda

anual de aposentadoria e contribuição anual de um plano BD, a saber:

Renda Anual = (1/T) X (número de anos de participação no plano) X (médias dos

salários nos últimos h anos antes da aposentadoria),

Contribuição Anual = c X (percentual do salário atual),

onde T é o número de anos completos necessários para se aposentar, h é especificado

nas regras do plano e c é determinado pelo tipo de método de custeio utilizado pelo

atuário em cada avaliação.

Estas avaliações atuariais são realizadas em intervalos regulares e são usualmente

anuais. Nestes momentos, os atuários avaliam as obrigações futuras, a fim de calcular

as contribuições futuras que serão pagas à taxa c e compara este resultado com o valor

dos ativos mantidos no fundo naquele instante. Estes cálculos e outros mais detalhados

são utilizados para a determinação de c, que será mantido constante até a próxima

avaliação.

Deste modo, percebe-se que o sucesso do fundo depende criticamente de se avaliar

corretamente os valores dos ativos, das obrigações e das contribuições futuras.

A cada avaliação, o atuário deve fazer hipóteses demográficas e econômicas sobre o

futuro do plano, o que deve constituir suas melhores estimações sobre estes

parâmetros. No entanto, estas estimações não são de longo prazo, uma vez que o

atuário terá a oportunidade de revisá-las no momento da próxima avaliação. No evento

de um superávit ou de um déficit observado na avaliação, a taxa de contribuição poderá

ser ajustada para o período futuro.

Na Figura 3.1, pode-se observar as duas linhas azuis representando exemplos de

diferentes métodos de custeio. Em ambos os casos, o objetivo é, a partir da idade de

46

entrada no plano de benefícios, idade a, custear gradativamente uma reserva

matemática, de modo que na idade de aposentadoria, idade r, todo valor presente do

fluxo de benefícios a ser pago vitaliciamente (VABFr) esteja completamente constituído.

Figura 3.1 – Métodos de Custeio de Plano de Benefício

De modo mais formal, um método de custeio atuarial é um procedimento para, uma vez

determinado o valor presente atuarial dos fluxos de saída de um plano de benefício,

desenvolver um valor atuarialmente equivalente a este valor presente por determinado

período de tempo (geralmente anual), criando um mecanismo para financiar o plano

(Geraghty, 2004).

A porção do valor presente atuarial do plano de benefícios alocada para um particular

ano por um dos métodos de custeio atuarial é chamado custo normal do plano para

aquele ano e descreve o nível de contribuição que seria aplicado se todas as hipóteses

da avaliação fossem verificadas na experiência atual. O custo normal é sempre

calculado na data da avaliação atuarial, a qual usualmente é fixada para o fim ou para o

início de cada ano.

O valor presente de todos os benefícios pode ser pensado como um fluxo de custos

normais desde a concepção do plano até o fim do mesmo;

a r idade a r idade

VABFr

reserva

47

∑=

=z

xiiyy CNVPBF ),(

x = ano inicial do plano

y = ano corrente

z = ano final do plano

VPBFy = valor presente atuarial dos benefícios futuros no ano y

CN(y,i) = valor presente atuarial no ano y do custo normal do plano no ano i

O passivo atuarial acumulado descreve o valor da reserva matemática e é a porção do

valor presente atuarial dos benefícios futuros que não é fornecida pelos custos normais

futuros. Pode, então, ser pensado prospectivamente como a diferença entre o valor

presente dos benefícios futuros e o valor presente dos custos normais futuros:

∑=

−=z

yiiyyy CNVPBFPA ),(

PAy = passivo atuarial acumulado no ano y

O valor presente atuarial dos custos normais futuros é o valor na data da avaliação de

todos os custos normais futuros a serem alocados ao passivo atuarial acumulado:

yyy

z

yiiyy

VPCNFPAVPBF

CNVPCNF

+=

=∑=

),(

VPCNFy = valor presente dos custos normais futuros no ano y

O valor atuarial dos ativos é o valor, tal qual determinado pelo atuário, de caixa, de

investimentos e de outros bens de propriedade do fundo de pensão. O passivo atuarial

acumulado não capitalizado é o excesso do passivo atuarial acumulado sobre o valor

atuarial dos ativos na data da avaliação. Esta quantidade pode ser negativa (déficit

técnico), se os ativos excedem o passivo atuarial acumulado, ou positiva, no caso

contrário.

yyyy

yyy

VPCNFFPNVPBF

FPNPA

++=

+=

PNy = passivo atuarial acumulado não capitalizado no ano y

48

Fy = valor atuarial dos ativos do fundo no ano y

A contribuição anual para um determinado ano de avaliação será a soma do custo

normal mais um pagamento para o passivo atuarial acumulado não capitalizado, no

caso deste compromisso ser positivo (valor dos ativos menor que valor presente dos

benefícios futuros), ou mais um débito do mesmo, caso seja negativo (valor dos ativos

maior que valor presente dos benefícios futuros).

3.2 Modalidades

Uma vez esclarecidos os termos atuariais comumente encontrados na literatura de

pensões, justifica-se obter um entendimento mais detalhado e não exaustivo a respeito

das diferenças conceituais entre alguns dos mais conhecidos métodos de custeio,

respeitando ainda a ordenação proposta por Trowbridge [1989].

3.2.1 Método de Custeio Atuarial do Crédito Unitário Dentre os métodos que constituem reserva para os participantes ainda não

aposentados, este é o método que constitui reservas menores e, por isso, é o primeiro

a ser considerado segundo a classificação de Trowbridge [1989]. Baseia-se no princípio

de que a aposentadoria a ser concedida na idade de aposentadoria será dividida em

tantas unidades quantos forem os anos de filiação como ativo, com uma unidade

atribuída a cada ano de filiação.

Sob este método de financiamento, o passivo atuarial acumulado é igual ao valor

presente do benefício acumulado até a data de avaliação, podendo-se utilizar o salário

corrente (crédito unitário) ou o salário final (crédito unitário projetado). O custo normal é

o valor presente do benefício acumulado no ano corrente, isto é, o valor presente do

aumento do benefício devido a mais um ano de serviço. O passivo atuarial acumulado

para o participante inativo é simplesmente o valor presente dos benefícios futuros para

este grupo. Qualquer passivo atuarial não capitalizado é reconhecido imediatamente ou

49

amortizado por um período determinado, sendo o déficit técnico, sob este método,

muitas vezes referido como déficit pelo serviço passado:

∑

∑ ∑

=

= =

=

−=

+=

ativosjyjjy

yyY

ativosj inativosjyjy

CNCN

FPAPN

VPBFososacumuladVPbenefíciPA

),,(

),(

onde, CN(j,j,y) = valor presente no ano y do custo normal creditado no ano j para o participante ativo j.

Neste trabalho, seguir-se-á a proposição de Haberman [1994a], a qual considera uma

categorização dos métodos baseada nas estruturas matemáticas de suas equações

fundamentais, assim dividida em métodos de custeio individual e agregado.

Nos métodos de custeio individual, o custo normal e o passivo atuarial acumulado, ou

simplesmente passivo atuarial, são calculados separadamente para cada membro do

plano e então somados para resultar nos totais para a população em consideração. Nos

métodos de custeio agregado, pode não haver uma determinação explícita do custo

normal ou do passivo atuarial, pois todo o grupo é considerado como uma só entidade.

Sejam C(t) e F(t) a contribuição total e o nível do fundo no momento t, respectivamente.

Considerar-se-á o caso em que F(t) é medido de acordo com o valor de mercado dos

ativos subjacentes.

Para um método de custeio individual, temos:

C(t) = ΣCN(x,t) + ADJ(t) = CN(t) + ADJ(t), (3.3)

Figura 3.2 – Representação gráfica de C(t)

CN(t)

ADJ(t)

C(t)

50

onde CN(x,t) é o custo normal para um membro de idade x no momento t, CN(t) é o

custo normal total no momento t e ADJ(t) é um ajuste na taxa de contribuição no

momento t representado pela liquidação do passivo não capitalizado no momento t

(amortização de déficits ou superávits), PN(t), definido por:

PN(t) = Σ PA(x,t) – F(t) = PA(t) – F(t), (3.4)

Figura 3.3 – Representação gráfica de PN(t)

onde PA(x,t) é o passivo atuarial para um membro de idade x no momento t e PA(t) é o

total do passivo atuarial, em relação a todos os membros, no momento t.

De acordo com Haberman (1998), o termo ADJ(t) pode ser calculado por vários

métodos, sendo os dois mais usuais o método de rateio e o método de amortização das

perdas.

Sob o método de rateio, comum no Reino Unido dentre outros países, temos:

ADJ(t) = k-1 x PN(t), (3.5)

onde k é o recíproco de uma anuidade financeira à taxa de juros i6 e M o período de

rateio da dívida, ou seja, ∑−

=

−+=1

0

)1(M

j

jik .

6 Na prática, a taxa de juros i pode mudar a cada ano, conforme a estimação da projeção realizada pelo atuário na data da avaliação atuarial.

PA(t)

F(t)

PN(t)

51

A constante M pode ser estabelecida de acordo com o quão rápido o patrocinador do

fundo deseja livrar-se do déficit ou superávit, mas, normalmente, é igual ao tempo

esperado de vida laboral futura dos membros ativos do fundo.

Sob o método de amortização de perdas, comum no Canadá e EUA, deve-se introduzir

a perda atuarial experimentada durante o intervalo entre duas avaliações (t-1,t), l(t),

definida como a diferença entre PN(t) e o valor do passivo não capitalizado se todas as

hipóteses atuariais tivessem se cumprido durante o ano (t-1,t).

Assim, ADJ(t) é definido como o total das perdas atuariais, experimentadas durante os

últimos m anos, dividido pelo valor presente de uma anuidade financeira temporária por

m anos à taxa i:

im

m

j

a

jtltADJ

&&

∑−

=

−=

1

0)(

)( . (3.6)

Dufresne (1989) mostrou que, sob tais condições, PN(t) satisfaz à relação de

recorrência dada por:

PN(t) = (1+i) * [PN(t-1) – ADJ(t-1)] + l(t),

cujo resultado final é:

∑−

=

−=−=1

0),()(

m

j im

ijmjj a

aondejtltPN

&&

&&λλ (3.7)

Logo, F(t) = PA(t) – PN(t) e C(t) = CN(t) + ADJ(t).

Para um método agregado, a contribuição total em um dado momento t, C(t), é

diretamente relacionada à diferença entre o valor presente dos benefícios futuros no

momento t, VPBF(t), e o fundo acumulado no momento t, F(t). Especificamente,

52

)()()]()([)(tVPSF

tStFtVPBFtC −= (3.8)

onde S(t) é o total dos salários dos membros ativos no momento t e VPSF(t) é o valor

presente dos salários futuros dos membros ativos no momento t.

Os métodos de custeio a seguir, uma vez alcançada a condição final de maturidade,

produzem contribuições idênticas e produzem idênticas reservas. Por isso, segundo a

proposição de Trowbridge [1989], devem ser classificados em um mesmo grupo.

3.2.2 Método de Custeio Atuarial da Idade à Entrada Normal Este método, conforme seu título indica, visualiza o custo normal para qualquer

participante do plano dado como o pagamento nivelado (ou percentual nivelado de

pagamento) necessário para financiar o benefício ao longo da vida ativa do participante.

Sob este método de financiamento, o valor presente de benefícios acumulados é

calculado para cada participante ativo no momento de sua entrada no plano e o custo

normal é calculado para cada ano até o ano da avaliação como um percentual do

salário ou do tempo de serviço. O passivo atuarial acumulado é, então, igual ao valor

presente na data de avaliação da soma destes custos normais passados. O passivo

atuarial acumulado para os inativos é simplesmente o valor presente dos benefícios

futuros do grupo. Qualquer passivo atuarial não financiado é reconhecido

imediatamente ou amortizado por um período fixo de tempo, tal como descrito no

método do crédito unitário:

∑

∑ ∑ ∑

=

=

−

= =

=

−=

+=

ativosjyijy

yyY

ativosj

y

xi inativosjyjyijy

CNCN

FPAPN

VPBFCNPA

),,(

1

),(),,(

onde, CN(j,i,y) = valor presente no ano y do custo normal creditado no ano i para o participante ativo j.

53

3.2.3 Método de Custeio Atuarial do Prêmio Nivelado Individual Neste método, os benefícios são financiados, em relação a qualquer participante, a

partir da data de entrada (ou da data em que o plano for estabelecido, o que ocorrer por

último) até a data de aposentadoria como uma quantia nivelada (ou como um

percentual nivelado de pagamento). Em relação aos participantes que ingressam no

grupo após o estabelecimento do plano, este método e o da idade à entrada normal são

exatamente iguais. No entanto, para o grupo original que já tinha algum tempo de

serviço antes do estabelecimento do plano de benefício, este método tem o efeito de

cobrir o déficit técnico em relação a qualquer participante ao longo de sua vida futura

ativa.

Sob este método de financiamento, o passivo atuarial acumulado é igualado ao valor

presente dos ativos em cada ano de avaliação e o custo normal é calculado como uma

amortização do valor presente dos custos normais futuros sobre um período fixo de n

anos:

inY

YYY

Y

yy

aVPCNFCNFVPBFVPCNF

PN

FPA

&&/

0

=−=

=

=

O custo normal permanece nivelado, porém o pagamento do déficit técnico decresce a

cada ano à medida que o tempo t aumenta, até que após r-a anos todo o déficit técnico

se acha amortizado.

Conforme enfatiza Trowbridge [1989], o método do prêmio nivelado indivudual é um

caso particular do método da idade à entrada normal, no qual o déficit técnico é

amortizado ao longo de r-a anos por meio de pagamentos inicialmente elevados mas

que decrescem gradativamente. Ele ainda explica que as amortizações iniciais do

déficit técnico devem ser elevadas, dentre outras razões, para integralizar a reserva dos

primeiros aposentados.

54

Uma vez compreendidos os métodos de financiamento atuariais para planos de

benefício definido, compreendemos também as possíveis modelagens do passivo de

um fundo de pensão.

Assim, podemos voltar a atenção para a modelagem do ativo em relação a este

passivo, o que será desenvolvido nos capítulos 4 e 5 a seguir.

No capítulo 4, é proposto um método de classificação pelas diferenças epistemológicas

das metodologias de abordagem do ALM assim como são pesquisados os métodos de

gestão de ativos e passivos mais usuais. Já no capítulo 5, serão apresentados uma

metodologia mais matemática que prescinde da modelagem do passivo atuarial e ainda

alguns resultados para programas desenvolvidos especificamente para as expressões

analíticas encontradas. Esta metodologia representa o estado da arte no que tange o

ALM para fundos de pensão.

O objetivo ao se apresentar tais metodologias não é classificá-las em ordem de

importância no sentido de ao se adotar uma automaticamente poderá se exluir as

outras. De fato, elas representam evoluções na técnica ao longo do tempo, porém,

como será observado posteriomente, podem ser utilizadas em paralelo de forma a

oferecer ao analista visões por vezes particulares, por vezes mais gerais, necessárias à

compreensão do problema em momentos distintos.

55

4. ALM – ASSET LIABILITY MATCHING

4.1 Gestão Estática x Gestão Dinâmica

Em Cairns [2004] e Haberman [1998], encontram-se didaticamente divididas as mais

importantes abordagens na literatura sobre a modelagem de fundos de pensão nas

décadas mais recentes. A partir destes trabalhos, pode-se observar a evolução natural

do controle sobre as hipóteses atuariais, isto é, o alargamento e ao mesmo tempo o

relaxamento do controle sobre elas.

Basicamente, as metodologias de gestão de ativos e passivos que podem ser

classificadas como determinísticas são aquelas nas quais é considerada a abordagem

clássica para o cálculo das contribuições ajustadas pelos métodos de rateio ou de

amortização de perdas; as estocásticas são aquelas nas quais busca-se compreender a

natureza probabilística da dinâmica dos fundos de pensão e sua interação com os

métodos de financiamento utilizados; e as de controle estocástico dinâmico são aquelas

nas quais uma abordagem mais holística é utilizada por meio de métodos de controle

ótimos, que por sua vez estabelecem contribuições que otimizam um conjunto de

objetivos de desempenho.

Pode-se dizer que os modelos de gestão estática são aqueles nos quais o passivo e o

ativo são modelados individualmente e, posteriormente, é feita a integração entre os

fluxos de caixa de cada um deles. Desta forma, modelos que seguem uma abordagem

determinística e alguns de abordagem estocástica encontram-se assim classificados.

Estes são os modelos ALM nos quais a sigla em inglês significaria Asset Liability

Matching.

56

Já nos modelos de gestão dinâmica, a gestão é integrada de modo que resultados que

são funções do passivo (valores de contribuição) saem simultaneamente a valores do

ativo (nível do fundo de investimentos do plano). Claramente, os modelos que usam a

abordagem de controle estocástico e alguns de abordagem estocástica (Cairns &

Parker, 1997; Huang, 2000) se classificam como modelos dinâmicos e que

verdadeiramente podem ser chamados de ALM no sentido de Asset Liability

Management.

4.2 Método Determinístico

Com o ferramental determinístico, que tradicionalmente vem sendo utilizado no Brasil, o

controle sobre as hipóteses formuladas é completo e existe pouca intervenção externa

sobre como as bases da avaliação devem ser estabelecidas. Os órgãos reguladores,

por exemplo, apenas colocam limites mínimos e/ou máximos para as hipóteses

atuariais e o atuário responsável pelo plano é livre para fazer suas escolhas dentro de

tais limites.

Como conseqüência, os atuários tendem a errar para o lado da precaução, isto é,

estabelecem baixas taxas de juro, altas taxas de inflação e baixa mortalidade após a

aposentadoria. Tudo isto pode resultar em prudentes estimativas superavaliadas tanto

para o valor da avaliação do passivo quanto para o valor da taxa de contribuição

recomendada.

Normalmente, isso não causa muitos problemas, uma vez que o excesso de pagamento

em um ano pode ser balanceado pela redução de pagamentos nos anos subsequentes,

quando um superávit resulta do uso de bases extremamente conservadoras. O

problema que surge desta abordagem é que, na maioria das vezes, não há

racionalidade por trás do nível de conservadorismo adotado na escolha das hipóteses

atuariais, isto é, nenhuma tentativa é realizada no sentido de relacionar o nível de

conservadorismo das hipóteses com o nível de risco.

57

De acordo com Haberman [1994a] e Daykin et al. [1993], em qualquer tempo discreto t

(t=0,1,2,...), uma avaliação atuarial determinística é realizada de modo a estimar C(t) e

F(t) baseado somente no perfil dos membros do plano. As hipóteses iniciais para a

parametrização determinística estão a seguir.

a. Todas as hipóteses atuariais são consistentemente retiradas da experiência, com

exceção dos retornos sobre investimentos.

b. A população é estacionária desde o início de vigência do plano.

Alternativamente, pode-se admitir que a população é estável7 no sentido dado

por Keyfitz [1985].

c. A inflação sobre os salários é incorporada a uma taxa determinística,

considerando-se taxas de juros reais relativas aos salários. Em paralelo,

assume-se que o pagamento de benefícios aumenta na mesma taxa que os

salários. As variáveis são, portanto, consideradas em termos reais.

d. A taxa de juros, por hipótese, é fixa para fins de avaliação e igual a iv.

e. A taxa de juros real ganha pelo fundo no período (t, t+1) é i(t+1). A força de juros

real correspondente é assumida constante no intervalo (t, t+1) e igual a δ(t+1).

Logo, 1+i(t+1) = exp(δ(t+1)).

f. Define-se E[1+i(t)] = E[exp δ(t)] = 1+i. Assume-se que i = iv, onde iv é a taxa de

juros da avaliação atuarial. Isto significa que a taxa da avaliação está correta “na

média”. Esta hipótese não é matematicamente essencial, mas é coerente com a

metodologia clássica das avaliações de planos BD. A implicação desta hipótese

é que cálculos de valor presente utilizarão uma taxa anual de desconto v =

(1+E(i(t))-1 ao invés da teoricamente mais razoável v* = E(1+i(t))-1.

g. Assume-se que o recebimento das contribuições e os pagamentos dos

benefícios ocorrem no início de cada período;

h. O valor inicial do fundo é conhecido, isto é, Prob[F(0) = F0] = 1 para algum F0.

i. As avaliações são realizadas em intervalos anuais.

7 A população é estável, segundo Keyfitz [1985], quando seu número é crescente ano após ano, sendo a taxa de crescimento populacional igual a uma constante. É o mesmo que população madura no sentido dado por Trowbridge [1989].

58

As hipóteses a.,b.,c. e d. implicam que as seguintes variáveis são constantes em

relação ao tempo t (depois, é claro, da correção de acordo com o índice de inflação

sobre os salários):

CN o custo normal do plano

PA o total das obrigações atuariais

B o total de pagamento de benefícios

S o total de salário de contribuição

VPBF o valor presente dos benefícios futuros

VPSF o valor presente dos salários de contribuição futuros.

Além disso, as hipóteses a.,b.,d.,g. e i. implicam que é válida a equação de maturidade

de Trowbridge:

PA = (1+i).(PA + CN – B) ou equivalentemente B = d.PA + CN, (4.1)

onde d = i.(1+i)-1 é a taxa de desconto da taxa de juros e CN é determinado por um dos

métodos de custeio abordados no capítulo 3.

Quanto à parte do ativo, a maioria das empresas usa modelos determinísticos de

otimização de carteiras, tais como a alocação de média-variância de Markowitz. Estes

modelos possuem uma visão de curto prazo e quando utilizados a longo prazo levam a

decisões radicais de rebalanceamento de carteiras, a menos que a intuição do gestor

seja forte o suficiente para evitá-las (Dempster et alli, 2002).

Na prática, a alocação de fundos depende de oportunidades de investimentos variáveis

no tempo, do caminho percorrido pelos retornos – devido aos fluxos de caixa de

entrada e saída, custos de transação e volatilidades dependentes do tempo – e

incertezas sobre as médias condicionais dos retornos – devido a erros de estimação ou

calibração. Enfim, todas as condições necessárias para uma alocação determinística

ser dinamicamente ótima estão violadas.

59

4.3 Método Estocástico

4.3.1 Taxas de retorno sobre o investimento independentes e identicamente distribuídas

A modelagem estocástica para fundos de pensão começou a se desenvolver na década

de 80 com os trabalhos seminais de Dufresne [1988, 1989]. Nestes, os modelos para as

taxas de juros eram baseados em uma seqüência de variáveis aleatórias

independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) durante um período fixo de tempo e

buscavam fórmulas analíticas (ou semi-analíticas) para a média e variância de F(t) e

C(t), tendo como única variável de controle o período de amortização (ou rateio).

Assim, neste modelo, assume-se que as taxas reais obtidas como retorno dos

investimentos, i(t) para t ≥ 1, são variáveis i.i.d. com i(t) > -1 com probabilidade 1 e com

E(i(t)) = i =iv e Var(i(t)) = σ2<∞.

Para o método de rateio,

C(t) = CN + k.(PA – F(t)) e (4.2)

F(t +1) = (1 + i(t+1)).(F(t) + C(t) - B). (4.3)

A equação (4.2) inclui um componente negativo, no qual o estado corrente do fundo,

F(t), é comparado com uma meta PA, de modo a se tomar uma ação corretiva caso

ocorra qualquer discrepância.

Dufresne [1988] mostrou que:

)),((())(()1()1())(( 0

tFEPAkCNtCE

eqqrFqtFE

tt

−+=−−

+= (4.4)

onde q = (1+i).(1-k) e r = (1+i).(CN + k.PA – B) = (1-q).PA depois de algumas

simplificações algébricas usando (4.3), e

60

)),(())((

))((())((

2

1

2

tFVarktCVar

ejFEabtFVart

j

jt

⋅=

= ∑=

−

(4.5)

onde a = q2.(1+b) e b = σ2.(1+i)-2.

Então, M

M

a

aq

&&

&&1−

= . Portanto, se M > 1, 0 < q <1 e os seguintes limites existem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=−

=

∞→

∞→

)2.4(,))((lim

)1.4(,1

))((lim

usandoCNtCEe

usandoPAq

rtFE

t

t

(4.6)

Se a < 1, Dufresne [1988] mostrou que:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⋅⋅

=

−⋅

=

∞→

∞→

.1

))((lim

,1

))((lim

22

2

aPAkbtCVar

e

aPAbtFVar

t

t

(4.7)

Se a ≥ 1, então ambas as variâncias-limite serão infinitas. A restrição de que a < 1

implicitamente estabelece a restrição para a escolha de M:

a < 1 é equivalente a f

aM −<

11

&& onde .1

1b

vf+

=

61

Isto é equivalente a ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−++=< ∞

1)1(

1)1)(1(ln12

1

21

b

biMM r δe fornece uma restrição para

valores factíveis de M por convergência. As análises mostraram que ∞rM diminui a

medida que i e σ aumentam.

Para o método de amortização de perdas, Dufresne [1989] mostra que:

))1()1()1().()(()( 1 PAitADJtPNititl −+−−−−−=

e, usando (3.7) e (4.1), obtém-se a equação de diferenças finitas para l(t),

∑−

=

−+−−−=1

1

1 ))1()().()(()(m

jj PAijtlititl β (4.8)

onde os coeficientes bi são definidos por .m

jm

j a

a

&&

−=β

Então, E( )(tl ) = 0 para todo t ≥ 1 (4.9)

e Cov( )(sl , )1( +tl )=0 para 1 ≤ s ≤ t, de modo que os C(t) formam uma seqüência não

correlacionada.

Se ∑−

=

<1

1

22 ,1m

jjβσ então Dufresne [1989] mostra que:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=−

+=

∑

∑

−

=−∞→

∞→

−

=

−

∞→

1

0

22

2

1

1

22

222

)()(

))((lim

)())((lim

1

)1())((lim

m

jjm

mt

mt

m

jj

t

aa

xtFVar

amxtCVar

xPAitlVar

&&&&

&&

βσ

σ

(4.10)

62

Para métodos de financiamento agregado, a equação (4.3) é válida para

VPSFStFVPBFtC ))(()( −= , (4.2a)

de modo que )1()1())(( '

''

0'

qqrFqtFE

tt

−−

+= , (4.11)

onde ).)(1(),1)(1( '' BVPSFVPBFSir

VPSFSiq −×+=−+=

Deste modo, 0 < q’ < 1 e percebe-se a similaridade entre a equação (4.11) e a equação

(4.4) e ainda entre as definições de q e q’. Na verdade, definindo N como S

VPSFaN=&& ,

pode-se tomar q e q’ como sendo da mesma forma. Ainda, resultados similares aos

resultados limites de (4.6) e (4.7) se aplicam neste caso.

Para o caso de retornos sobre investimentos i.i.d., Haberman [1998] afirma que é

possível comparar os dois métodos de cálculo de ADJ(t). Suas considerações concluem

que, para períodos iguais de rateio e amortização, o método de amortização de perdas

propicia maior segurança para o fundo do que o método de rateio. Isto ocorre porque a

variância do fundo num tempo muito distante, Var F(∞), é menor sob o método de

amortização de perdas do que sob o método de rateio.

Contudo, como o objetivo maior é o de minimizar conjuntamente as variâncias do fundo

e do nível das taxas de contribuição, os resultados indicam que o método de rateio é

melhor em comparação ao método de amortização de perdas, pois a curva Var C(∞) x

Var F(∞) para o método de amortização de perdas situa-se acima da mesma curva para

o método de rateio, exceto quando o período de amortização e de rateio é igual a 1. Tal

fato não é surpreendente, uma vez que no método de amortização de perdas, o cálculo

do nível da taxa de contribuição utiliza informação acumulada das perdas do momento

atual até m anos para trás, aumentando a volatilidade das perdas e conseqüentemente

a variância das contribuições.

63

4.3.2 Taxas de retorno sobre o investimento autoregressivas Seguindo a sugestão de Panjer & Bellhouse [1980], Haberman [1992,1993] investigou

os efeitos de modelos autoregressivos para a taxa real ganha de retorno, considerando

a correspondente força (ou taxa instantânea) de juros e assumindo que essa é

constante no intervalo (t, t+1). Ele comparou diferentes métodos de custeio, calculando

os valores esperados e as variâncias do tamanho do fundo e da taxa de contribuição

dentro de um lapso de tempo.

Considerando, primeiramente, métodos de financiamento individual e o método de

rateio, nos modelos autoregressivos de primeira ordem, AR(1), a força de juros (real

ganha) é dada pelo seguinte processo autoregressivo estacionário em tempo discreto

de ordem 1:

)(])1(.[)( tett +−−+= θδϕθδ , (4.12)

onde e(t) para t = 1, 2, ... é uma seqüência de variáveis aleatórias normais

independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média 0 e variância γ2.

Este modelo sugere que taxas de juros ganhos em qualquer ano dependem das taxas

de juros ganhas no ano anterior e de algum termo constante. Box & Jenkins [1976]

mostraram que, sob o modelo representado na equação (4.12),

.1

)]([

)]([

22

2

νϕ

γδ

θδ

=−

=

=

tVar

tE

A condição para este processo ser estacionário é que ⏐ϕ⏐ < 1.

Segue-se que:

itE +=+= 1)21exp())((exp 2νθδ e

).1)).(exp(2exp())((exp 22 −+= ννθδ tVar

64

Considerando primeiramente métodos de financiamento individual e o método de rateio

para a escolha de ADJ(t), Haberman [1994a] provou que:

.)11(2

1exp)1(

,)1()1(

)()1())((

222

1

0

)(0

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+=−=

⋅⋅⋅−−

⋅+−+⋅⋅⋅−⋅=

−

−

=

−−−− ∑−

ϕϕνθϕϕν

ϕϕ

cezonde

eeckk

PAkBCNeeckFtFEt

s

zzststzztt stt

(4.13)

Ainda, se 1)1( <⋅− ck , então ))((lim tFEt ∞→

existe e é aproximadamente igual a:

.)1(1

)())((lim z

te

ckcPAkBCNtFE −

∞→⋅

−−⋅+−

≅ (4.14)

Esta exigência ( 1)1( <⋅− ck ) é equivalente a exigir que, para dados ϕ, ν e i, exista um

valor máximo de M, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=11ln1

1 vccM

δ, para o qual o limite do valor esperado do

tamanho do fundo, ))((lim tFEt ∞→

, é finito. Isto fornece uma importante restrição nos

valores factíveis do período de rateio M. Além disso, mostrou-se também que M1

decresce à medida que i, ϕ e ν crescem.

Da mesma forma, pode-se obter expressões para o valor médio das contribuições,

E(C(t)), para t finito e no limite quando t→∞.

Para métodos de financiamento individual cujo método para a especificação de ADJ(t) é

o método de amortização de perdas, a discussão se complica devido à presença de

efeitos não lineares nas equações resultantes. Neste caso, é conveniente modelar i(t),

ao invés de δ(t), como um processo estacionário AR(1):

)(])1(.[)( teitiiti +−−+= ϕ ,

onde se repete que E(i(t)) = i, ⏐ϕ⏐ < 1 e {e(t)} é uma seqüência de variáveis aleatórias

normais independentes e identicamente distribuídas com média 0 e variância σ2.

Para métodos de financiamento agregado também são encontrados resultados

similares.

65

Haberman [1994a] também analisou o caso de modelos autoregressivos estacionários

de segunda ordem, AR(2), para métodos de financiamento individual com o método de

rateio. Neste caso, a equação (4.12) é substituída por:

)())2(.())1(.()( 21 tettt +−−+−−+= θδϕθδϕθδ ,



Para o modelo AR(2), Box & Jenkins [1976] mostram que o valor esperado e a variância

de δ(t) são iguais a:

.)1(1

1))((

))((

221

22

2

2

2 νϕϕ

γϕϕδ

θδ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

=

tVar

tE

Para estacionariedade, deve-se ter:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+<<−+<−+<+

1111

2

12

21

ϕϕϕϕϕ

É, então, possível construir equações para os momentos de F(t) e C(t) num tempo finito

e no limite, quando t→∞, os quais correspondem em formato ao caso AR(1).

Uma desvantagem dos modelos autoregressivos descritos apontada por Haberman

[1994a] é que a incerteza sobre a taxa instantânea de juros, traduzida pela sua

variância, é uma constante, isto é 2)]([ νδ =tVar , e na realidade espera-se que esta

incerteza dependa de t. Para incorporar esta característica, ele propõe modelos

condicionais AR(1) ou AR(2). Nestes casos, assume-se que os retornos dos anos

anteriores (e conseqüentemente suas correspondentes taxas instantâneas) sejam

conhecidos. Espera-se, então, que os resultados assintóticos anteriormente derivados

permaneçam válidos para os processos condicionais, já que, quando ∞→t , os valores

iniciais 0δ e 1−δ se tornam cada vez mais insignificantes.

66

4.3.3 Taxas de retorno sobre o investimento por médias móveis Dufresne [1990] foi quem introduziu o uso do processo de médias móveis para

representar a taxa de retorno sobre o investimento em modelos de fundos de pensão.

Mais tarde, tais modelos foram explorados por Haberman & Wong [1997], Bedard

[1999] e Owadally & Haberman [2000].

Nos modelos de médias móveis de primeira ordem, MA(1), assume-se que a força de

juros (real ganha) é dada pelo seguinte processo de médias móveis estacionário não-

condicional em tempo discreto de ordem 1:

)1(.)()( −−+= tetet ϕθδ , (4.15)


independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média 0 e variância γ2,

sendo ϕ o parâmetro de média móvel.

A partir da equação (4.15), pode-se notar que neste modelo as taxas de juros ganhas a

cada ano dependem tanto das taxas de juros ganhas no mesmo ano quanto as do ano

anterior. Box & Jenkins [1976] mostraram que:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>−==−−=

=+=

=

.1,0;1,)](),([

)1()([

)]([

2

222

stststCov

tVar

tE

ϕγδδ

νγϕδ

θδ

Um processo de médias móveis é estacionário na segunda ordem, não importando o

valor de ϕ. A condição de invertibilidade para este modelo é que -1<ϕ<1. Segue-se,

então, das propriedades da distribuição lognormal que:

itE +=+= 1)21exp())((exp 2νθδ e

).1)).(exp(2exp())((exp 22 −+= ννθδ tVar

67

Haberman & Wong [1997] obtiveram expressões explícitas para E[F(t)], Var[F(t)], E[C(t)]

e Var[C(t)] para t finito e no limite quando t→∞.

Uma outra possibilidade estudada por Haberman & Wong [1997] é a utilização do

seguinte processo estacionário de médias móveis (não condicional) de segunda ordem

a tempo discreto, MA(2), para a força de juros (real ganha):

)2()1()()( 21 −−−−+= tetetet ϕϕθδ , (4.16)



Box & Jenkins [1976] apresentam resultados similares ao caso MA(1) para E[δ(t)] e

Var[δ(t)].

Haberman & Wong [1997] também construíram equações para os momentos de F(t) e

C(t) para t finito e no limite quando t→∞, os quais correspondem aos mesmos do caso

MA(1).

4.3.4 A Técnica de Simulação Uma vez definido o modelo para a taxa de juros i(t), deve-se utilizar a técnica de

simulação para averiguar o comportamento do fundo em todos os estados de mundo

possíveis. Desta forma, a técnica de simulação constitui-se em ferramenta essencial

para a análise global do problema e, portanto, uma compreensão mais abrangente

sobre o tema se faz relevante.

A simulação é um recurso essencial em problemas de muitas variáveis e hoje

disponível devido ao grande avanço computacional alcançado. Muitas são as razões

que justificam seu emprego em detrimento de métodos analíticos, sendo algumas

citadas por Klungle e Maluchnik [1997] de grande relevância. São elas:

• Resultados estáticos de modelos analíticos não são suficientes;

68

• Muitos modelos analíticos apenas fornecem médias e não variabilidade e

extremos;

• Modelos analíticos podem não conseguir oferecer detalhe suficiente ou identificar

interações.

A simulação computacional é uma técnica de pesquisa operacional que envolve a

criação de modelos para representar partes de sistemas das mais variadas áreas do

conhecimento, de forma a testar hipóteses por experimentos mediante cenários

possíveis e, assim, reduzindo os custos e os riscos de testes de campo envolvendo a

operação real desses sistemas (Hollocks, [1992]).

Os modelos podem ser classificados segundo a técnica que utilizam para solucionar

problemas, dividindo-se em otimizantes, de simulação ou heurísticos. Os modelos de

otimização utilizam programação matemática, determinando uma solução que otimiza o

sistema a partir de uma função objetivo e de restrições expressas matematicamente. Os

modelos de simulação envolvem experimentos amostrais numa representação do

sistema real. Os modelos heurísticos combinam o realismo obtido pela técnica de

simulação com o rigor analítico na busca de uma solução que otimiza o problema. Não

há garantia, neste caso, de que o ótimo seja encontrado, dadas as regras de busca que

restringem o seu processo de solução.

Assim como outras abordagens de modelagem, a simulação computacional é utilizada,

entre outros fatores, pelo seu reduzido custo em comparação com a mudança física

direta, que pode implicar em retrabalhos com perdas muito grandes, inclusive riscos

humanos em certos casos. A idéia básica é ter alguma ferramenta para o auxílio à

tomada de decisão, isto é, a simulação computacional tenta servir de base para inferir

questões do tipo what if.

Segundo Pidd [1996], quando é iniciada uma abordagem de modelagem, a primeira

pergunta que deve ser feita é: “Para que tipos de sistema a simulação deve ser

69

utilizada?”. A seguir tem-se uma pequena lista de características dos sistemas para os

quais a simulação computacional é recomendada:

• Dinâmicos: Os sistemas de uma forma geral tendem a se comportar como

processos estocásticos, isto é, tendem a ter um comportamento variável ao longo

do tempo. Esta variação pode estar associada a fatores controláveis, podendo

ser expressos por equações, ou a fatores não controláveis, que exigem um

tratamento estatístico para que se possa simular o comportamento desses

fatores.

• Interativos: Os sistemas deste tipo possuem componentes que interagem entre

si, afetando o comportamento do sistema como um todo.

• Complexos: Para que seja válida uma análise através da ferramenta de

simulação computacional, o problema deve ser complexo, tal que não seja trivial

a resolução deste por técnicas mais diretas.

Existem várias classificações para os modelos de simulação. Kelton & Sadowski [2002]

apresentam uma classificação seguindo três dimensões:

• Estática ou dinâmica: denominam-se como modelos estáticos os que visam

representar o estado de um sistema em um instante ou que em suas

formulações não se leva em conta a variável tempo, enquanto os modelos

dinâmicos são formulados para representarem as alterações de estado do

sistema ao longo da contagem do tempo de simulação.

• Discreta ou contínua: são modelos discretos aqueles em que o avanço da

contagem de tempo na simulação se dá na forma de incrementos cujos valores

podem ser definidos em função da ocorrência dos eventos ou pela determinação

de um valor fixo. Nesses casos, só é possível determinar os valores das

variáveis de estado do sistema nos instantes de atualização da contagem de

tempo. Já no caso dos modelos contínuos, o avanço da contagem de tempo na

70

simulação dá-se de forma contínua, o que possibilita determinar os valores das

variáveis de estado a qualquer instante.

• Determinística ou estocástica: são modelos determinísticos os que em suas

formulações não fazem uso de variáveis aleatórias, enquanto os estocásticos

podem empregar uma ou mais destas variáveis.

Portanto, neste trabalho, o modelo de simulação utilizado pode ser classificado como

estocástico (premissas econômico-financeiras), dinâmico (análise longitudinal) e

discreto (avaliações anuais).

Uma das desvantagens dos modelos de simulação é que eles não são capazes de

gerarem por si só, como os modelos de programação matemática, uma solução

otimizante. Eles servem apenas como uma ferramenta para análise do comportamento

do sistema sob condições especificadas e por isso diz-se que eles são “rodados” e não

“resolvidos”. Outras desvantagens obsevadas por Pedgen [1996] são:

- necessidade de treinamento qualificado, treinamento este específico para cada

área de aplicação. Por exemplo, as habilidades requeridas para uma simulação

financeira são muito distintas daquelas requeridas para uma simulação de um

sistema logístico.

- a qualidade dos resultados depende da qualidade dos dados utilizados como

base para a modelagem e, principalmente, da capacidade de representação e da

habilidade do modelador. A construção de um modelo é uma arte e a habilidade

de quem a pratica varia bastante;

- os resultados são usualmente de difícil interpretação. Os modelos de simulação

procuram captar a aleatoriedade da situação real, sendo às vezes difícil

determinar se os resultados do processamento foram influenciados por algumas

interações presentes ou pela aleatoriedade intrínseca do modelo.

71

- a análise dos resultados da simulação pode consumir tempo e custar caro. Uma

análise adequada pode não ser possível devido a restrições de tempo ou

recursos.

Por outro lado, Pedgen [1996] também apresenta uma lista de benefícios da utilização

da simulação, observadas a seguir:

- novas políticas, procedimentos operacionais, estruturas organizacionais, fluxos

de informação etc podem ser testados antes de serem adotados, evitando o

comprometimento do estado atual do sistema;

- quando pertinente aos objetivos do estudo, o impacto de um novo equipamento,

de mudanças no layout, no sistema de transporte etc podem ser testados antes

da aquisição dos recursos e implementação das lógicas, evitando gastos

desnecessários.

- hipóteses de como ou por quê certos fenômenos ocorrem podem ser testadas;

- os gargalos do sistema, quando pertinente, podem ser identificados;

- o fator tempo pode ser controlado (expandido ou comprimido), permitindo-se

aumentar ou diminuir a velocidade a fim de se estudar um fenômeno;

- podem ser identificadas as variáveis mais importantes para o comportamento do

sistema e verificado o efeito de suas interações;

- permite fazer comparações do sistema real com o que realmente se espera dele.

Diferentes métodos de condução de estudos de simulação foram propostos ao longo do

tempo. Law & Kelton [1991] propõem uma seqüência de 10 passos a serem executados

ao utilizar esta técnica, muitos deles comuns a outras técnicas de análise:

1. Formulação do Problema e Planejamento do Estudo: todo estudo de

simulação deve começar com a definição clara dos objetivos que se deseja

72

atingir. Se possível, os cenários a serem estudados devem ser delineados e os

critérios para avaliar a eficiência e eficácia destas alternativas definidos.Todo o

estudo deve ser planejado em relação ao número de pessoas, custo e tempo

necessário para cada atividade.

2. Coleta de Dados e Definição do Problema: devem ser coletados os dados e

informações relevantes sobre o sistema em estudo (se existir). Eles serão

utilizados para especificar os procedimentos operacionais e as distribuições

probabilísticas das variáveis aleatórias. Apesar de existirem poucas regras no

processo de modelagem, um ponto em que quase todos os autores concordam é

que é bom começar com um modelo moderado, que mais tarde pode vir a ser

detalhado, se necessário. Um modelo deve conter apenas detalhes que

permitam capturar a essência do sistema que se deseja representar. Não é

necessário que exista uma correspondência entre cada elemento do modelo e

cada elemento do sistema. Um detalhamento excessivo pode dificultar a

simulação pelo programa utilizado.

3. Validação: Law & Kelton acreditam que a validação não é apenas uma etapa e

deve ser executada ao longo de todo o estudo de simulação. Particularmente

neste ponto, ela é importante para que o modelo ganhe credibilidade junto aos

tomadores de decisão e demais pessoas envolvidas no projeto e para que seja

verificada a adequação das distribuições probabilísticas para os dados de

entrada.

4. Execução Computacional e Verificação: nesta etapa, deve ser escolhida a

linguagem de programação ou software de simulação a ser utilizado8. Em

seguida, o modelo deve ser desenvolvido em uma ferramenta computacional e

verificado.

5. Execução de Rodadas Piloto: o objetivo das rodadas pilotos é gerar dados

para a segunda etapa de validação.

8 A ferramenta utilizada para realizar as análises envolvendo simulação é o @Risk.

73

6. Validação: as rodadas podem ser utilizadas para testar a sensibilidade dos

dados de saída do modelo com base na alteração de alguns parâmetros de

entrada. Se os resultados são muito sensíveis a variações em determinados

parâmetros, estes precisam ser melhor estimados. Os resultados devem ser

analisados de modo a garantir a consistência com o sistema real; se houver

discrepância, algumas modificações podem ser necessárias.

7. Planejamento de Experimentos: deve-se decidir quais configurações

alternativas serão analisadas, uma vez que, em geral, existem mais alternativas

do que é possível simular. Para cada alternativa devem ser tomadas decisões

sobre as condições iniciais do modelo, o período de aquecimento (warm-up)

quando pertinente, a duração da simulação e o número de replicações a serem

realizadas.

8. Execução de Rodadas de Produção: estas rodadas destinam-se à produção

de resultados para a análise do desempenho do sistema.

9. Análise de Dados de Saída: são usadas técnicas estatísticas para análise dos

dados de saída das rodadas de produção. A média deve ser calculada e podem

ser construídos intervalos de confiança para medir o desempenho dos sistemas

e apoiar a decisão de qual sistema simulado é o melhor. No caso específico

deste trabalho, buscou-se também a obtenção da distribuição de probabilidade

das variáveis de interesse, além de simplesmente suas médias e intervalos de

confiança.

10. Documentação, Apresentação e Teste dos Resultados: estudos de simulação

podem ser repetidos ou estendidos ao longo do tempo. Por este motivo, é

necessário documentar todo o processo a fim de que as informações nele

contidas possam ser utilizadas no futuro. Finalmente, um projeto em que os

resultados não são testados pode ser considerado um fracasso.

Em resumo, pode-se afirmar que o ponto forte da simulação é a possibilidade de se

trabalhar com questões do tipo “o que aconteceria se”. Ou seja, é possível analisar

74

diversas situações, prevendo comportamentos do sistema. Seu ponto fraco é a falta de

uma solução ótima. No entanto, ao se proceder aos dez passos recomendados e

simular as premissas mais importantes a fim de obter o comportamento das variáveis

de interesse, poder-se-á comparar estes resultados com os obtidos por um método que

alcance a solução ótima. Este método é apresentado no capítulo 5 a seguir e esta linha

de raciocínio (de confrontação dos resultados da simulação com os resultados da

solução ótima) será seguida no capítulo 7 de análise dos resultados.

75

5. ALM – ASSET LIABILITY MANAGEMENT

5.1 Controle Estocástico Dinâmico

Apesar de todos os modelos desenvolvidos estocasticamente, o processo de tomada

de decisão ainda estava relativamente subjetivo, uma vez que não existia um objetivo

formal que apontasse a superioridade de uma estratégia específica dentro do conjunto

de estratégias eficientes. Esta situação, então, levou à introdução da teoria de controle

estocástico como um meio de assistir o processo de tomada de decisão. Trabalhos

desenvolvidos segundo este enfoque podem ser encontrados em Blake [1998] e Cairns

[2004].

Conforme explana Cairns [2004], uma vez que a função objetivo é especificada, o

controle dinâmico estocástico identifica a estratégia dinâmica de controle que é ótima

para todos os momentos e em todos os futuros estados do mundo possíveis. Esta

abordagem contrasta com a anterior no sentido em que naquela apenas um limitado

número de variáveis de controle era considerado e havia a identificação de uma

estratégia ótima para um estado do mundo somente.

No controle estocástico, não existe um procedimento automático para conduzir as

avaliações atuariais ou estabelecer as taxas de contribuição. Ao invés disso, inicia-se

com uma função objetivo que leva em conta os interesses dos diversos stakeholders do

fundo de pensão.

Cairns [2004] propôs que F(t) fosse modelado por uma equação diferencial estocástica,

a saber: ))(()())(,()()( tdZdtBdttctFtdtFtdF bbF ⋅+⋅−⋅+⋅= σδ , (5.1)

onde: dF(t) é a variação instantânea do fundo no intervalo (t, t+dt);

76

F(t).dδF(t,F(t)), ou simplesmente F(t).dδ(t), representa o ganho financeiro

instantâneo por unidade investida e contém a usual mistura dos termos drift (dt) e

movimento Browniano dZ(t). Vale lembrar que δ(t) representa a taxa instantânea de

retorno;

c(t).dt representa a contribuição paga ao fundo;

o termo entre parênteses )(( tdZdtB bb ⋅+⋅ σ ) representa o pagamento de

benefícios, o qual possui média constante e flutuações em torno da mesma que dão

conta dos riscos demográficos e de outros no pagamento de benefícios.

Assumindo-se que a taxa de contribuição c(t) e a estratégia de alocação de ativos p(t)

sejam variáveis de controle que podem ser utilizadas para otimizar a função objetivo do

fundo, pode-se definir a função objetivo como um índice ou uma função valor para um

processo geral controlado de fundo de pensão. Conforme as idéias de Bouilier et al.

[1995], define-se este índice por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫

∞− ftFdssFsFscsLeEpcftW

t

s )())(,))(,(,(),)(,( β , (5.2)

onde:

)exp( sβ− é a função de desconto,

),,( fcsL é a função perda dada quando t = s, logo F(s) = f.

A partir do tamanho atual do fundo F(t) = f, a perda esperada descontada W depende

das escolhas das estratégias de controle de c e p. Tais estratégias podem depender do

momento s da aplicação no futuro, assim como do estado do mundo naquele momento,

i.e., F(s).

A função perda L(s,c,f) mede o quão insatisfeitos estão os stakeholders com o que está

acontecendo no momento s, dados que F(s) = f e c(s) = c. A função de desconto e-βs

determina o peso relativo atribuído aos resultados nos vários momentos no futuro. Por

exemplo, um valor alto para β colocará maior ênfase no curto prazo.

77

O objetivo é, então, determinar que estratégias de c e p minimizam a função perda

W(t,f)(c,p), o que leva a:

),)(,(inf),(,

pcftWftVpc

= . (5.3)

O problema acima pode ser solucionado usando-se a equação de Hamilton-Jacobi-

Bellman (HJB) (ver Apêndice I) para determinar estratégias ótimas de contribuição e

alocação de ativos. No entanto, a questão central continua sendo qual função perda L

adotar.

5.2 Estudo da Equação Diferencial Estocástica

Tal qual como observado anteriormente, sejam F(t).dδ(t) o ganho momentâneo por

unidade de investimento do fundo, c(t).dt a parcela paga pelos investidores do fundo e

B.dt a parcela determinística paga pelo fundo aos participantes. Rigorosamente, deve-

se escrever B.dt + X, onde X representa a componente aleatória devido a efeitos

demográficos e outros.

Assim, ).()()()()( XdtBdttctdtFtdF +⋅−⋅+⋅= δ Se X for considerado movimento

browniano, tem-se que ).(tdZX bb ⋅=σ Logo, chega-se na equação (5.4): ))(()()()()( tdZdtBdttctdtFtdF bb ⋅+⋅−⋅+⋅= σδ . (5.4)

Com o objetivo de escolher uma formulação clássica para a equação diferencial

estocástica que modela a variação instantânea do fundo de investimentos do fundo de

pensão, considerar-se-á o modelo geométrico browniano

),()()()()( tdWtFtdtFtdF ⋅⋅+⋅⋅= ση (5.5)

onde η é o drift, σ a volatilidade e dW(t) um processo de Wiener.

A estratégia será identificar o dF(t) dado pela equação (5.4) com a equação diferencial

estocástica (5.1). Para isso, primeiramente, vamos linearizar a taxa de juros instatânea

δ(t). Logo, ctt δδδ +⋅=)( e, conseqüentemente, dttd ⋅= δδ )( .

78

Portanto,

).())()(()()()()()(

tdZdtBtctFtdFtdZdtBdttcdttFtdF

bb

bb

⋅−−+⋅=⋅−⋅−⋅+⋅⋅=

σδσδ

Ainda, se transformarmos o movimento browniano em um processo de Wiener através

da igualdade entre ))(tdZb e ),()( tdWtF ⋅ ter-se-á: ).()())()(()( tdWtFdtBtctFtdF b ⋅⋅−−+⋅= σδ (5.6)

Igualando (5.4) e (5.5), vem:

⎩⎨⎧

−=−+=

b

BtctFtFσσ

δη )()()( (5.7)

Da primeira equação de (5.6), pode-se calcular o valor de η como:

)()(

tFBtc −

+= δη , (5.8)

sendo η calculado no instante t’ e admitido constante quando se passa de um tempo t’

para um tempo t.

Deve-se notar que a equação diferencial estocástica possui um comportamento não

muito intuitivo, pois se pode dizer que o fundo passa de um estado (F’,t’) (valor do fundo

F’ no tempo t’) para outro estado (F,t) não de forma determinística, mas com uma

probabilidade chamada de probabilidade de transição e indicada por Prob [F, t⏐F’, t’].

Num processo geométrico browniano na forma da equação (5.4), a função de

distribuição da probabilidade de transição pode ser descrita por:

.)'(2

])')(2/()'/[ln(exp)'()'(2

1]',',[Pr 2

22

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−−×

−=

ttttFF

ttFtFtFob

σση

σπ (5.9)

79

Esta expressão representa uma distribuição lognormal. Como σ = -σb em (5.7), o sinal

negativo desaparece quando se toma o quadrado, isto é, .)( 22bσσ −=

Pode-se mostrar ainda que a média e a variância da distribuição da probabilidade de

transição valem:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−−

−

]1[)'(][

'][)'()'(22

)'(

2 tttt

tt

eeFFVar

eFFEση

η

(5.10)

5.3 Critério de Avaliação do Fundo

Nesta seção, será proposto um critério de avaliação do estado de riqueza do fundo em

termos qualitativos, de forma a observar se o fundo está prosperando ou não, podendo,

neste último caso, ter seu patrimônio diminuído ou ficado estacionário.

Considere o valor esperado de F, E[F], em (5.10). Observa-se que o fundo prospera se

η>0, pois 1)'( >−tteη e, conseqüentemente, E[F] > F’.

Reescrevendo o valor de η na equação (5.7) como βαδη −+= ; onde )()(tFtc

=α é o

valor que representa a fração do fundo relativo às contribuições e )(tF

B=β a fração

correspondente aos benefícios, pode-se observar o comportamento do fundo,

considerando os casos de retorno sobre o investimento positivo (δ>0) e negativo (δ<0).

Assim, tem-se:

80

.,0.dim,00

.,00)(,0

.,00)(,0.,00

ioestacionárfundoSeinuifundoeSe

prosperafundoeSeprosperafundoeSe

prosperafundoeSe

=<⇒<<

>⇒>−+><>⇒>−+<>

>⇒>>

ηηβαδ

ηβαδβαδηβαδβαδ

ηβαδ

5.4 Proposta de um Modelo Geral

Nesta seção, o objetivo é generalizar alguns resultados propostos na seção anterior,

seguindo o caminho fornecido por Cairns [2000]. A idéia é mudar o foco da análise de

um ativo para n ativos de risco, de modo que, na equação da variação da taxa

instantânea de retorno no intervalo de tempo t,

cdttd δδδ +⋅=)( , (5.11)

o valor cδ deixe de ser constante e se introduza um termo de movimento geométrico

browniano que correlacione todos os retornos dos ativos de risco.

A fim de generalizar o conceito de movimento browniano n-dimensional, pode-se

escrever:

.,,1,)()(1

nitdZdttdn

jjijii K=+⋅= ∑

=

σδδ (5.12)

ou na forma matricial:

dZSdttd ⋅+⋅= δδ )( , (5.13)

onde :

.),...,(

)(),...,(

))(),...,(()(

1

1,1

1

1

Tn

njniij

Tn

Tn

dZdZdZ

S

tdtdtd

=

==

=

≤≤≤≤σδδδ

δδδ

Sob esta notação, Z(t) é o movimento browniano n-dimensional e Z(t) e Zb(t) da

equação (5.1) são independentes.

81

No desenvolvimento a seguir, será observada a notação 0δ para a taxa de retorno

instantânea de um ativo livre de risco. Ainda, deve-se definir os parâmetros que

representam o prêmio de risco de cada ativo i, a matriz de covariância instantânea,

respectivamente por: T

nii ),,(, 10 λλλδδλ K=−= , (5.14)

TSSD = (5.15)

e a proporção dos ativos por .,,0)),(,( nitFtpi K= Note que 1))(,(0

=∑=

n

ii tFtp . Com o

intuito de simplificar a notação, usar-se-á: T

n tFtptFtptFtpp ))](,())(,([))(,( 1 K== (5.16)

Assim, a taxa instantânea de retorno do fundo satisfaz a:

SdZpdtpdttdpdtptd TTn

i

n

iiii ++=⋅+⋅−= ∑ ∑

= =

λδδδδ 01 1

0 )()1()( . (5.17)

5.5 Dinâmica Ótima do Controle Estocástico

Voltando à questão central de qual função perda L adotar, optou-se pela proposta

particular da formulação quadrática baseando-se no seu uso na teoria moderna de

carteiras e em concordância com os desenvolvimentos obtidos por Cairns [2000]. Serão

estudados três casos que se diferenciam pela possibilidade de escolha dos ativos

disponíveis para investimento.

1º Caso: Ausência de restrições para investimento em dinheiro

A partir de agora, deseja-se resolver o problema de encontrar os valores ótimos para a

contribuição c e para a proporção de cada ativo do fundo p, quando não há nenhum tipo

de restrição aos investimentos serem feitos em caixa ou no ativo livre de risco. Estes

valores ótimos, respectivamente c* e p*, devem minimizar a função W definida na

equação (5.2):

82

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅−= ∫

+∞

t

ftFdssFsFscsLsEpcftW ))())()),(,(,(()exp(),)(,( β .

Embutida na expressão de W estão a conduta estratégica (markoviana) de c(S, F(s)) e

a estratégia de investimento p(s, F(s)).

Seja a função V solução de W definida como a equação (5.3):

*)*,)(,(),)(,(inf),(),(

pcftWpcftWftVpc

== ,

onde c* e p* são estratégias ótimas de controle que supõe-se existir. Pode-se mostrar

que V(t,f) satisfaz a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB):

)}(21])[(),,(){exp(inf0 22

0),( bT

fffT

tpcDppfVVBcfpVfctLt σλδβ ++−++++−= , (5.18)

onde:

)(,,, 02

2

λδ Tffft p

fVV

fVV

tVV +

∂∂

=∂∂

=∂∂

= é taxa instantânea de retorno total do fundo e

)( 22b

T Dppf σ+ representa as volatilidades do fundo.

Diferenciando (5.18) em relação a p e igualando a zero, tem-se:

0)18.5( 2 =+=∂∂

fff VDpffVp

λ . 9

Daí, vem:

λ1),(* −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= D

fVV

ftpff

f (5.19)

Diferenciando (5.19) em relação a c e igualando a zero, tem-se:

0)exp()18.5( =+∂∂

−=∂∂

fVcLt

cβ , (5.20)

que resolvida fornece c* (como L é função quadrática, a derivada de L em relação a c é

função de c):

9 Do cálculo matricial, DpDpp

pT 2)( =

∂∂

.

83

.,)(),(* 1

cLLondeLVeftc ccf

t

∂∂

=⋅⋅−= −β (5.21)

O valor de p* apresenta uma característica interessante, pois ),(* ftp é proporcional a

λ1−D , o que significa que *p sempre se manterá constante qualquer que seja o nível

do fundo f .

Outra observação relevante diz respeito à escolha da função perda L. Pela equação

(5.21), nota-se a necessidade da função perda ser uma função de c estritamente

convexa, de modo a assegurar que a inversa da derivada de L, 1−cL , exista.

Tendo em vista o exposto, considere uma carteira A que consiste em uma composição

dos ativos de 1 a n, na mesma proporção de λ1−D (em termos de valores de mercado).

Então, na carteira A, para qualquer valor de fundo f , será mantida a proporção

definida por )(~ fp e, conseqüentemente, o correspondente em caixa será [ )(~1 fp− ].

Observe que a carteira A é eficiente na medida em que minimiza a função valor W e

também no sentido dado pela teoria moderna de carteiras, isto é, possui a menor

volatilidade instantânea para uma dada taxa de retorno.

Ainda, considere a função perda L uma função quadrática estritamente convexa, de

modo que a inversa da derivada primeira de L ( 1−cL ) exista:

0,))(())((2)(),,( 222 ≥−++−−+−= kffkffccccfctL ppmm ρρ (5.22)

onde pm fkc ,, e ρ são parâmetros de controle. Derivando (5.22) em relação a c, tem-

se )(2)(2 pm ffcccL

−+−=∂∂ ρ e utilizando (5.20), obtém-se:

0)](222[ =+−+−⋅−fpm

t Vffcce ρβ . (5.23)

Daí, vem:

tfpm eVffcc βρ

21)(* −−−= . (5.24)

84

Utilizando estes resultados na equação de HJB (5.18), vem:

.21))exp(

21)((

)()()21()exp(0

211

2

2

10

22

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+

−−++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−=

−−

−

bT

ff

fffffpm

fff

fTftpf

t

DDDfVV

fVVVtffc

fVfVV

DVBfVffkVet

σλλβρ

λλδβ β

(5.25)

Dada a forma da função objetivo V( f ,t) (uma cadeia de Markov homogênea), tem-se

que as estratégias ótimas c* e p* dependem somente de f e não de t . Assim, como

tentativa de resolver a equação diferencial (5.25), vai-se considerar judiciosamente para

V( f ,t):

)()exp(),( fFttfV β−= (5.26)

Assim,

.21)

21)((

)()(410

212

2

21

022

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅+−−−

+−−+−−+=

−

−

bT

ff

fffffpm

ff

fTfpf

DFF

FFFffc

FF

DFBfFffkF

σλλρ

λλδβ

(5.27)

Supondo ainda que RQfPffF ++= 2)( e ,1λλε −= DT então:

.)2))(((2

)2(21

)2)(()()()2(410

22

0222

bpm

p

PQPfffcP

QPf

QPfBfRQfPfffkQPf

σρε

δβ

++−−++

−

+−+++−−++−= (5.28)

Rearrumando os termos:

].)(44

1[

)](222[]22[0

22

22

0

022

bpmp

pmp

PQfcP

QBQRkfQ

fcPQQQPBQkfPQfPPPPkPf

σρεβ

ρρεδβρεδβ

+++−−−+−

+++−−+−−−−+−−+−+−=

(5.29)

Definindo ρεβδ 22ˆ0 −−−=P , tem-se:

85

.2

4ˆˆ)(

0ˆ

2

2

kPPkPP

PPkP

++==

=++− (5.30)

Analogamente,

ρεβδρ

−−−+−

+−−=

0)(]))(([2

)(kP

kffcBkPkQ ppm (5.31)

e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

⋅−−+−= 2

222 )()()(

4)()()(

411)( bpmp kPkQfc

PkQKBQkfkQkR σρε

β (5.32)

Voltando à equação (5.24), observa-se que a tentativa de utilizar (5.26) funcionou e

mais fpm Fffcftc21)(),(* −−−= ρ independe de t, de modo que c*(t, f ) = c*( f ).

Desta forma,

).()exp(),( 2 RQfPftftV ++⋅= β

Logo,

))(()(21)(*

))()(2(21)()(*

kPfkQfcfc

kQfkPffcfc

pm

pm

+−−+=

+−−−=

ρρ

ρ (5.33)

que pode ser escrito como:

).(*

)(21*

:*,*)(*

1

0

10

kPc

ekQfcc

ondefccfc

pm

+=

−+=

−=

ρ

ρ

Isto sugere que c*( f ) diminui com f , o que representa a amortização do passivo pelas

contribuições.

De maneira semelhante, utilizando (5.26) e substituindo em (5.19), vem:

86

,**)(*

)(2)(

)(*

)(2)(

)(*

)(2))()(2()(*),(*

10

11

1

1

ffppfp

f

DkPkQfD

fp

Df

kPkQf

fp

DfkP

kQfkPfptfp

+=

+=

+=

+−==

−−

−

−

λλ

λ

λ

(5.34)

onde p0* e p1* são vetores (n x 1) proporcionais a D-1λ, isto é, λ10 )(2)(* −= D

kPkQp e

λ11*−= Dp .

Note que se)(2)(

kPkQf −= , tem-se que p*( f ) = 0, o que significa que todo o

investimento do fundo está em caixa ou no ativo livre de risco. Este ponto é também

ponto de mínimo de RQfPffF ++= 2)( e, portanto, representa uma barreira, que pode

ser um teto ou um piso dependendo da relação entre pm fekc , , além da qual é difícil

do fundo )(tf ultrapassar. Esta observação é extremamente relevante dado que, pela

Resolução CMN No. 3456 de 01/06/2007 (vide capítulo 2), é possível investir até 100%

no segmento de renda fixa.

Além disso, se uma carteira A é composta de n ativos de risco nas proporções de λ1−D ,

como descrito anteriormente, então, dado um fundo f , deve-se manter uma proporção

]1,...,1,1[,)(2

))()(2()(*)(~ 1 =⋅⋅+

−=⋅= − TTT IondeDIfkP

kQfkPfpIfp λ ,

do fundo na carteira A e )(~1 fp− em caixa ou no ativo livre de risco.

Importante notar também que P(k) e Q(k) não dependem de bσ . Isso significa que as

estratégias de controle (contribuição e investimentos) não dependem de bσ . Logo, a

87

variabilidade demográfica é um fator que afeta somente a função V(t, f ) e, portanto,

fundos pequenos devem ser tratados da mesma forma que fundos grandes.

Em resumo, as proporções exatas de cada ativo da carteira A não dependem da forma

da função perda nem tampouco da variabilidade demográfica bσ .

2º Caso: Existência de restrições para investimentos no ativo livre de risco

Na seção anterior, trabalhou-se com a hipótese de ausência de restrições aos recursos

do fundo investidos em caixa ou no ativo livre de risco. Agora, vai-se assumir que os

investimentos possuem uma proporção fixa e pré-determinada pm em ativos com risco e

(1- pm) em caixa ou no ativo livre de risco. Contudo, existe total liberdade nas

proporções investidas nos n ativos de risco.

Recuperando a equação de HJB (5.18) para este caso, tem-se:

)},(21

])[(),,(){exp(inf0

22

0),(

bT

ff

fT

t

ppIpc

DppfV

VBcfpVfctLtm

T

σ

λδβ

+

+−++++−== (5.35)

onde TI )1,,1,1( K= e, naturalmente, ).1,,1,1( L=TI

Derivando em relação a c como anteriormente, temos:

0)exp()35.5( =+∂∂

−=∂∂

fVcLt

cβ

.,)(),(* 1

cLLondeLVeftc ccf

t

∂∂

=⋅⋅−= −β

Para minimizar sob p sujeito às restrições de alocação, vai-se usar o método de

Lagrange. A condição mT ppI = é equivalente a 0)( =− m

T ppIγ e esta abordagem

permitirá a formação do lagrangeano. Assim, minimizamos a função (5.36) sobre p e γ :

)(21),( 2

mTT

ffT

f ppIDppVfpfVpG −++= γλγ . (5.36)

88

Logo,

.0

02

=−=∂∂

=++=∂∂

mT

fff

ppIG

IDpVffVpG

γ

γλ (5.37)

Isolando p nas duas equações de (5.37), obtém-se:

IDVf

DVf

Vfpp

ffff

f ⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−== −− 12

1)(** γλ (5.38)

Tm

Ipp =* (5.39)

Igualando (5.38) e (5.39), vem:

IDIDI

VfV

pVf

Logo

IDVfI

DIVf

Vp

IDVf

DVf

VIp

IDVf

DVf

VIp

TT

ff

fm

ff

ffT

T

ff

fm

ffff

fTm

ffff

fTm

⋅⋅⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅

⋅+=

⋅−

⋅⋅⋅

−=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

−=⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−=

−−

−−

−−

−−

11

2

12

1

12

1

12

1

1

,

.1

λγ

γλ

γλ

γλ

Assim, pode-se substituir o termo ffVf ⋅

− 2

γ na equação (5.38) para obter o valor final da

proporção ótima p*:

89

.

,)(**

1)(**

1

1

110

1110

111

1

IDIDIde

IDIpd

onde

DVf

VID

VfV

ddfpp

DVf

VID

IDIDI

VfV

pfpp

T

T

Tm

ff

f

ff

f

ff

fT

T

ff

fm

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

⋅⋅⋅

−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅+==

⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅

⋅+==

−

−

−

−−

−−−

−

λ

λ

λλ

(5.40)

Percebe-se, como no 1º caso, a conexão com a teoria moderna de carteiras. Além da já

discutida relevância de λ1−D , nota-se neste caso que carteiras que investem na

proporção ID 1− possuem variância mínima desde que não tenha investimentos em

caixa ou no ativo livre de risco. Ainda, )(* fp é uma combinação linear de λ1−D e ID 1− .

Isto indica que deve-se ter duas carteiras A e B. A carteira A é constituída de uma

proporção fixa de ativos de risco de acordo com o vetor λ1−D , enquanto a carteira B é

montada em proporção ao vetor ID 1− . As carteiras assim constituídas serão carteiras

eficientes e também independentes da forma da função perda.

Novamente, devido à forma da função valor, faremos )()exp(),( fFttfV β−= .

Considerando a mesma função perda quadrática L, obtemos

fpmcft FffcLVeftc

21)()(),(* 1 −−−=⋅⋅−= − ρβ (c* tem a mesma expressão de 5.33).

Aplicando estes resultados na equação HJB (5.35), vem:

.)()(21

21)()(

)(410

210

110

2

101

0

22

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎜⎜

⎝

⎛+⎜

⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞

⋅−+⎟

⎟⎠

⎞

⋅−++

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−−−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−+++

+−−+=

−

−

bff

f

T

ff

fff

ffpmff

fT

pf

FfF

IdIdDFf

FIdIdfF

FBFffcfFf

FIdIdD

FffkF

σλλ

ρλλδ

β

(5.41)

90

Como no caso sem restrição, esta equação tem uma solução quadrática

)()()()( 2 kRfkQfkPfF ++= . As expressões de P(k), Q(k) e R(k) seguem abaixo e

encontram-se demonstradas no Apêndice II:

24ˆˆ

)( kPPkP ++= ,

onde:);()()()(

)()()()()))(((2ˆ

11

111

0

01

101

01

100

λλλ

λρλλδβ

−−+−+

+−++−−+++−=−−

−−−

edDededDed

edDededDedDededPTT

TTT

[ ]

[ ]

;

)()()()()()()()(21

2))(2(2

)(

11:

111

011

101:

1

1100

λλλλλλ

ρλλδβρ

−−+−+−−+−

+−−−+++−

⋅+⋅⋅−⋅−⋅=

−−−−

−

edDededDededDededDed

PDededPBPfPcPfk

kQ

TTTT

Tpmp

e

.)()(42

)(24

1)( 21

11

221

1

22

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−++−++= −−

bT

pmT

p PedDedP

QBQQfQQcDedP

QkfQkR σλλρλλβ

3º Caso: Estratégia ótima quando a proporção p é fixada

Neste caso, a estratégia de alocação dos ativos é fixa, isto é, p(t, f ) = p, ∀ t, f e para

algum p. Desta forma, resta apenas calcular o valor ótimo c*, aplicando para isso a

equação de HJB (5.18) para minimizar sobre c(t, f ):

).(21]

21)(

)[()(410

22

022

bT

ffffpm

Tpf

DpfpFFBFffc

fpFffkF

σρ

λδβ

++−−−−

+++−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

Supondo novamente RQfPffF ++= 2)( , obtém-se:

24ˆˆ

)(2 kPPkPP ++

== , (5.42)

DpppP TT +−+−= ρλβδ 222ˆ0 , (5.43)

ρλδβρ+−−+

−−+−== T

pmp

pkPfcBkPkf

kQQ0)(

)])(([2)( , (5.44)

91

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−+−== 222 )()()()()(

411)( bpmp kPkQfckBQkfkQkRR σρ

β. (5.45)

As demonstrações das equações (5.42) a (5.45) encontram-se no Apêndice III. Para o

cálculo de c*, deve-se lembrar que:

)),()(2(21)()(*),(*

21)()(),(* 1

kQfkPffcfcftc

VeffcLVeftc

pm

ft

pmcft

+−−−==⇒

−−−=⋅⋅−= −

ρ

ρ ββ

ou seja, c* tem a mesma formulação da equação (5.33), que pode ser escrita como:

).(*

)(21*

:*,*)(*

1

0

10

kPc

ekQfcc

ondefccfc

pm

+=

−+=

−=

ρ

ρ

A questão de como escolher o p fixo ótimo surge então. A fim de resolvê-la, escolhe-se

minimizar P(k) sobre p:

).(*

0)22()4ˆ(ˆ21

21ˆ

ˆ1

212

λ

λ

−

−

−=⇒

=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++==

Dp

DpkPPdpPd

PddP

dpdP

(5.46)

Assim, o valor fixo de p a ser escolhido para a otimização é λ1−− D , o que representa as

proporções simétricas obtidas no 1º Caso. Além disso, substituindo p por p* em P̂ ,

obtém-se:

,22

222

222

)()()(222

222ˆ

10

110

1110

1110

0

λλρβδ

λλλλρβδ

λλλλρβδ

λλλλρβδ

ρλβδ

−

−−

−−−

−−−

−−−=

=+−−−=

=+−−−=

=−−+−+−−=

=+−+−=

D

DD

DDDD

DDDD

DpppP

T

TT

TT

TT

TT

(5.47)

92

isto é, o mesmo valor de P̂ quando não existe restrições para investimentos (1º Caso).

Isso significa que para valores grandes ou pequenos de f , a perda da otimização como

resultado da fixação de p é irrelevante e, ainda, como *,*)(* 10 fccfc −= então *1c não

é afetada pela restrição na estratégia de investimento, de modo que a amortização do

déficit ou excedente também não é afetada.

5.6 Discussão sobre a Estratégia Ótima de Alocação de Ativos

Torna-se indispensável analisar o comportamento do fundo de ativos f dada a

estratégia ótima de alocação p*, conforme Cairns [2000]. Assim, é necessário partir da

taxa instantânea de retorno total do fundo. A equação (5.18) descreve esta taxa da

seguinte forma:

)(*)( 0 fpt T ⋅+= λδδ , (5.48)

onde: δ0 é a taxa de retorno instantânea do ativo livre de risco, λT é o vetor [1 x n] que

representa o prêmio de risco para cada ativo de risco e p*(f) é o vetor [n x 1] que, por

sua vez, representa a proporção ótima de alocação para cada um dos casos estudados

na seção 5.5.

Considerando, primeiramente, o caso sem restrição (1º Caso), temos, reescrevendo a

equação (5.48) utilizando o valor de p* dado pela equação (5.34):

.)(2)(

)(2)()(2)(*)(

110

100

λλλλδ

λλδλδδ

−−

−

−−=

+−=⋅+=

DfkP

kQD

DfkP

kQfkPfpt

TT

TT

(5.49)

Como D é positiva, λλ 1−DT também é positiva. P(k) é positivo e Q(k) é normalmente

negativo. Logo, )(*)( 0 fpt T ⋅+= λδδ é normalmente uma função decrescente de f, isto

é, a medida que aumenta o tamanho ou nível do fundo f, diminui a taxa instantânea de

retorno δ. Por nível de fundo entende-se a relação entre o tamanho do fundo e o

93

tamanho do fluxo de benefícios, ou melhor, a razão entre o valor presente do ativo

(VPativo) e o valor presente do fluxo de pagamento de benefícios (VPpassivo):

.)(passivo

ativo

VPVPtF = (5.50)

Analogamente, considerando o caso de restrição no ativo livre de risco (2º Caso),

usando a equação (5.40) de p* na equação (5.48), vem:

).()(2)(

)()(2

)()(2)(*)(

1111

11

00

111

000

λλλλλλδ

λλδλδδ

−+−++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++=⋅+=

−−−−

−−

IdDfkP

kQDIDdIDd

IdDfkP

kQfkPIDdfpt

TTTT

TT

(5.51)

A fim de avaliar esta taxa, deve-se avaliar o comportamento da última parcela de (5.51),

mais especificamente de )( 11 λλ −− IdDT , onde d1 é dado conforme (5.40), pois já foi

visto que fkP

kQ)(2)( é normalmente negativo.

Sabe-se que )( 11 λ−− IdDI T é igual a zero. Logo,

)()( 11

1 λλ −−− − IdDId T ).()())(( 11

11

11

1 λλλλλ −=−+−−= −−− IdDIdDIdDId TTT Ou seja,

analisar )( 11 λλ −− IdDT é equivalente a analisar )()( 1

11 λλ −−− − IdDId T . Como

0)(0,0)( 11

1 >−><−− − λλ IdeDId T , o produto dos três fatores é negativo. Ainda,

como fkP

kQ)(2)( é normalmente negativo, a última parcela se torna positiva, de modo que

)(* fpTλ é também uma função decrescente de f para este caso (quando o tamanho do

fundo ou seu nível aumenta, a taxa instantânea de retorno diminui). Para o 3º Caso,

não cabe a análise, já que o p é fixado e, conseqüentemente, não depende do nível do

fundo.

94

Uma análise da variância instantânea dos investimentos confirma que quando a taxa

instantânea de retorno diminui, a variância instantânea também diminui e então começa

a crescer quando compramos ativos de baixo risco e vendemos ativos de alto risco.

Portanto, quando o nível do fundo está baixo, deve-se investir mais em ativos de alto

risco e quando o nível do fundo aumenta, deve-se mover dos ativos de alto risco para

aqueles de baixo risco. Normalmente,esperaria-se que a estratégia fosse migrar para

ativos de baixo risco para proteger a posição quando o nível do fundo caísse, mas a

estratégia encontrada faz exatamente o contrário. A razão para isso ocorrer deve-se à

forma quadrática da função objetivo, o que de certo modo define um nível de fundo

ideal, pf , e uma taxa de contribuição ideal, mc . Se o nível do fundo estiver abaixo

deste nível ideal, então deve-se investir em ativos com maior relação risco-retorno para

aumentar as chances de se voltar rapidamente para o nível ideal. Inversamente, se o

nível do fundo estiver muito elevado, então estamos preparados para investir no que é

efetivamente uma estratégia ineficiente de baixo retorno e baixo risco, de modo a

também voltar para o nível ideal de fundo.

De fato, este esquema estaria jogando dinheiro fora, já que para o mesmo nível de risco

(mesma volatilidade de retorno) poderia-se encontrar um retorno esperado mais

elevado. Novamente, esta ineficiência pode ser explicada pela forma quadrática da

função objetivo. Nesta, é preferível uma taxa de contribuição ideal, mc , positiva do que

pagar reembolsos (equivalente a ter taxas mc negativas). Como esclarece Cairns

[2000], esta observação não é nova, pois problemas relacionados a outras áreas de

economia financeira chegaram às mesmas conclusões anti-intuitivas onde, por

exemplo, funções de utilidade quadráticas foram utilizadas.

Considerando, agora, a taxa de contribuição ótima dada na equação (5.33), que pode

ser escrita como **)(* 10 fccfc −= , podemos ainda escrevê-la como:

)(**)*(**)(* 11010 pp ffccfcfccfc −−−=−= ,

95

onde )( pff − é o excedente financeiro relativo à meta de fundo ideal pf e *1c é a taxa

com a qual remove-se (se positivo) ou amortiza-se (se negativo) este excedente.

Observando (5.33), nota-se que *1c depende de k, δ0, λ e D, mas não de mc , pf ou 2bσ .

Por outro lado, *0c depende de pf e mc , mas não de 2bσ .

Deste modo, demonstrou-se que para tal função de perda quadrática L as estratégias

ótimas de alocação de ativos e da taxa de contribuição não dependem da variabilidade

do fluxo de pagamento de benefícios, pelo menos enquanto esta incerteza for não

correlacionada com os retornos dos investimentos.

5.7 Exemplo Computacional

A elaboração dos modelos de controle estocástico foi realizada somente com fins

didáticos para exemplificar as possibilidades do que pode ser alcançado sob este

enfoque e ainda sugerir questionamentos a serem abordados futuramente, sem na

realidade pretender simular um caso real. Foram desenvolvidos três programas em

Matlab para cada um dos casos estudados na seção anterior: 1º) modelo sem restrição

de investimento no ativo livre de risco; 2º) modelo com restrição de investimento no

ativo livre de risco (pm = 1, ou seja, nada é investido no ativo livre de risco) ; 3º) modelo

com proporção de investimentos em ativos de risco fixada. Neste último modelo, fez-se

a exemplificação com o cálculo do p fixo ótimo e posteriormente para um p fixo em

20%. Os programas estão detalhados no Apêncide IV.

Em todos os modelos, alguns parâmetros são os mesmos. São eles:

• sigmab – variabilidade demográfica do fundo de pensão;

• cm – taxa de contribuição alvo em relação à folha salarial;

• k – parâmetro de controle da função perda L;

96

• xp (nas equações aparece como pf ) – meta do fundo de ativos em relação à

folha salarial;

• beta – taxa instantânea de desconto;

• ro – parâmetro de controle da função perda L;

• delta0 – taxa instantânea de retorno do ativo livre de risco;

• delta – vetor das taxas instantâneas de retorno de cada um dos ativos de risco;

• mdelta – vetor de tamanho igual ao vetor delta e que contém taxas instantâneas

de retorno do ativo livre de risco;

• lambda (delta-mdelta) – vetor dos prêmios de risco para cada ativo de risco;

• S – matriz de volatilidade instantânea dos ativos de risco;

• D (SxS’) – matriz de covariância instantânea dos ativos de risco.

Como os modelos tratam de exemplos didáticos, os parâmetros retratam valores

escolhidos arbitrariamente. Deve-se ressaltar que optou-se por trabalhar com carteiras

com um ativo livre de risco e dois ativos de risco. Esta hipótese parece razoável, uma

vez que se considerarmos títulos públicos como o ativo livre de risco, investimentos em

ações, imóveis e empréstimos e financiamentos seriam os ativos de risco.

Normalmente, os fundos de pensão investem basicamente em renda fixa (títulos

públicos) e renda variável10, de modo que os dois ativos de risco de nossa carteira

fictícia podem ser duas ações ou dois fundos de ações, por exemplo. Assim, temos

como parâmetros fixos:

• sigmab = 0,1;

• delta0 = 0,03;

• delta = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡06,004,0

;

• S = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2,005,005,005,0

;

10 Em 2005, os investimentos em renda fixa perfizeram um total de 62,7%, 30,4%, em renda variável 3,9% em investimentos imobiliários e 2,8% em operações com participantes (empréstimos e financiamentos). Em 2006, estes números foram, respectivamente, 60,71%, 33,33%, 3,3% e 2,5%; e em 2007, foram, respectivamente, 61,46%, 33,17%, 2,87% e 2,34% (Secretaria de Previdência Complementar, [2005], [2006], [2007]).

97

E como parâmetros de controle:

cm = 0,6; k = 0,001; xp = 10; beta = 0,03; ro = 0.

Todos os cálculos foram feitos para um nível de benefício igual a 1 unidade monetária.

Como o nível do fundo F(t) (nos programas representados por X(t)) é sempre a razão

entre o ativo e a taxa esperada de pagamentos de benefícios, F(t) representa de fato o

tamanho do fundo. Em cada um dos modelos, calculou-se os parâmetros P(k), Q(k) e

R(k) da função quadrática F, o valor mínimo de F e os valores ótimos da contribuição e

das proporções de investimento em cada ativo de risco.

Sob a luz destes esclarecimentos, obtêve-se os seguintes resultados resumidos nos

Quadros 5.1a e 5.1b.

P Q R F(x)

mínimo C0 C1 C*

1º modelo 0,0357 -0,8383 5,0258 0,1111 1,0192 0,0357 0,9834 2º modelo 0,0441 -0,9443 5,5107 0,4531 1,0721 0,0441 1,0281 3º modelo 0,0357 -0,8383 8,6663 3,7516 1,0192 0,0357 0,9834

Quadro 5.1a – Resultados do MatLab para as 3 Estratégias de Investimento/Contribuição

p* 1º modelo 2º modelo 3º modelo Carteira A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡7667,45333,9

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3164,46329,8

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4444,08889,0

Carteira B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−9831,3

9324,15

Quadro 5.1b – Resultados do MatLab para as 3 Estratégias de Investimento/Contribuição

O Gráfico 5.1 retrata o comportamento da função valor F( f ) com valores ótimos para

os 3 modelos:

98

Figura 5.1 – Gráfico de Comparação das Curvas da Função Valor para as 3 Estratégias de

Investimento/Contribuição

Dos Quadros 5.1a e 5.1b e da Figura 5.1, percebe-se que o modelo sem restrição (1º

caso), representado pela linha azul na Figura 5.1, apresenta solução superior aos

outros dois modelos. O modelo sem restrição e o modelo com p (ótimo) fixado, linha

amarela na Figura 5.1, são bastante similares quanto à forma e quanto à estratégia de

contribuição, mas a falta de flexibilidade na estratégia de investimento adiciona uma

penalidade fixa e substancial. O modelo com restrição (nenhum investimento no ativo

livre de risco), linha rosa na Figura 5.1, parece muito mais diferente. Como pode ser

observado, o modelo é bom para valores de x no meio do intervalo e tenta se manter

assim aplicando-se uma estratégia de amortização mais agressiva. Contudo, para

valores maiores do tamanho do fundo x, esta estratégia é mais pobre que o caso

estático (3º caso).

99

Observando a Figura 5.1, a função valor é minimizada para a estratégia de investimento

sem restrição no ponto 74,112/min =−= PQx . Neste valor, p* = 0, isto é, todo

investimento está no ativo livre de risco (títulos públicos). Logo, quando o tamanho do

fundo é 11,74 e todos os recursos estão aplicados em renda fixa, teremos alcançado

uma barreira para o fundo.

Este resultado é muito importante, pois se o comportamento dos agentes do fundo pode

ser modelado por uma função quadrática, então é possível obter o valor do nível de

fundo ideal para investir 100% em renda fixa. Este valor é Q/2P, onde Q e P são

parâmetros cuja forma analítica é conhecida.

No próximo capítulo, será apresentado um detalhamento sobre a base de dados do

caso em estudo e sobre as premissas que orientam a modelagem das principais

variáveis envolvidas no problema. Em seguida, no capítulo 7, serão implementados os

modelos de asset liability matching no caso a fim de se verificar se a hipótese do fundo

poder ser modelado por uma função quadrática se confirma.

100

6. ESTUDO DE CASO

Neste capítulo, serão apresentadas as características a respeito da base de dados a

ser modelada e as considerações sobre as premissas atuariais adotadas. Nos capítulos

seguintes, as modelagens para os métodos determinístico e estocástico serão

realizadas para esta base por um horizonte de 15 anos a frente11, observando a

evolução dos ativos e das obrigações (aposentadorias programadas) de um plano de

benefício definido, utilizando-se o método de crédito unitário projetado. Para os cenários

a serem analisados, esta base será considerada uma população fechada, isto é, não é

admitida a hipótese de novas entradas nos anos futuros.

6.1 Características da Base de Dados e Regras do Plano

A base de dados é composta por empregados ativos de uma empresa12 em 31/12/2007

e contém 8.078 observações, estando suas principais características demográficas

resumidas no Quadro 6.1. Assume-se por hipótese que o fundo está superavitário, ou

seja, assume-se que o valor presente do fundo de investimentos é maior que o valor

presente do passivo atuarial, que é calculado pela soma das reservas de participantes

ativos e inativos. No Apêndice V, encontra-se a planilha inicial (2007) com os dados

necessários para a realização das projeções 15 anos a frente.

Idade média 46,26 anos

Antigüidade média 14,49 anos

11O período de 15 anos foi escolhido em função do serviço futuro médio ser 16,23 anos. Entendeu-se que, devido a limitações computacionais que dificultavam a comportação de projeções muito longas, 15 seria um número factível e ainda próximo do serviço futuro médio. Todas as projeções e cálculos subjacentes foram realizados em planilha excell. 12 Os dados reais (a população) foram disponibilizados em caráter confidencial. Assim, a amostra do estudo de caso foi selecionada a partir desses dados por um processo de amostragem sistemática, a fim de não caracterizar a empresa cedente dos mesmos.

101

Razão ativos/inativos 13

Razão de masculinidade14 29,79%

Serviço futuro médio 16,23 anos

Salário mensal médio dos ativos $1.418,20

Ativos totais na data $2,4 Bilhões

Quadro 6.1 – Resumo Estatístico da Base de Dados

As regras do plano representam regras gerais comumente utilizadas para empregados

do serviço público (federal, estadual ou municipal), os quais ainda recebem

aposentadorias programadas de acordo com a modalidade de benefício definido. As

regras estão dividas por gênero no Quadro 6.2:

Homem Mulher

Idade mínima de aposentadoria 60 55

Tempo mínimo de contribuição 35 30

Idade máxima de entrada no plano 60 60

Fração do salário final que vai para

a aposentadoria

80% 80%

Quadro 6.2 – Regras do Plano de Aposentadoria

A idade máxima de um participante ativo é 70 anos, o que significa que ninguém na

base de dados possui mais que esta idade. Se um participante entrar no plano aos 60

anos ou em uma idade na qual sua idade de entrada mais seu tempo mínimo de

contribuição seja superior a 70 anos, obrigatoriamente este participante deverá

trabalhar até os 70 anos. Os demais participantes que ao cumprirem seu tempo mínimo

de contribuição já terão alcançado também sua idade mínima de aposentadoria podem

optar por se aposentar ou continuar trabalhando, respeitando a idade máxima de 70

anos. 13 Neste exemplo, assume-se que não há pessoas inativas nesta data. 14 Razão do número de homens em relação ao número de mulheres.

102

Outra observação importante decorrente das regras é que o tempo mínimo de

contribuição possível de ser encontrado é de 10 anos para aqueles que entram aos 60

anos e se aposentam obrigatoriamente aos 70 anos. Claramente, um participante sob

este perfil não receberá seu salário de aposentadoria integral, mas sim um salário

proporcional ao tempo em que ficou no plano (10/30, se mulher e 10/35, se homem).

Por outro lado, se algum participante tem idade de entrada no plano muito jovem, de

modo que até atingir sua idade mínima de aposentadoria terá que trabalhar além de

seu tempo mínimo de contribuição, receberá o valor integral de seu salário de

aposentadoria, porém nada a mais por ter trabalhado além de seu tempo mínimo de

contribuição. Contudo, ao optar em permanecer ativo, nenhuma contribuição será

descontada deste participante, uma vez que sua reserva matemática já deverá estar

integralmente constituída.

6.2 Premissas Atuariais

As premissas atuariais utilizadas para calcular as contribuições e as obrigações de

fundos de pensão incluem as variáveis de controle do gestor do fundo, tais como

diversas taxas de decremento aplicáveis aos membros do plano em observação,

estimativas salariais com benefícios relacionados aos salários de tais membros e taxas

futuras de retorno para os ativos do plano (Winklevoss [1993]). Neste trabalho, as

premissas de interesse estão definidas de acordo com o objeto de estudo a ser

modelado – as aposentadorias programadas.

6.2.1 Tábua de Mortalidade O decremento de mortalidade, obviamente, elimina a obrigação do benefício de

aposentadoria. Por outro lado, a mortalidade pode criar outras formas de obrigação de

benefício, como o pagamento de pensão, vitalícia ou não, ou pecúlio para os

benefíciários nomeados pelo participante. Como explicitado anteriormente, neste

trabalho o foco será apenas o benefício de aposentadoria programada. Desta forma,

103

não serão estudadas tábuas de entrada em invalidez, de mortalidade de inválidos e de

rotatividade.

Uma taxa de decremento se refere à proporção de participantes que deixam um

particular status devido a uma dada causa sob a hipótese de nenhum outro decremento

estar agindo. Se tal taxa é utilizada em um ambiente uni-decremental, ou seja, quando

nenhum outro decremento atua paralelamente, a referida taxa de decremento é

também a probabilidade do decremento. Como neste estudo os participantes saem da

condição de ativos do plano apenas pela morte ou pela aposentadoria, que possui um

caráter determinístico já que a aposentadoria está relacionada a uma idade alcançada,

o ambiente é uni-decremental e, portanto, a taxa de mortalidade em uma idade x

qualquer é também a probabilidade de morte em dada idade x15.

A mortalidade humana está intimamente relacionada à idade e segue um padrão bem

definido. As taxas de mortalidade se tornam progressivamente mais altas à medida que

a idade aumenta e, de acordo com Winklevoss [1993], começam em aproximadamente

0.05% aos 20 anos, alcançando os 2% aos 65 anos até atingir os 100% em uma idade

entre 100 e 110. Outro fator importante para a mortalidade é o gênero. As mulheres

tendem a ter taxas de mortalidade mais baixas que os homens de mesma idade.

Winklevoss [1993] comenta que estudos empíricos mostraram que, para idades

próximas à aposentadoria, um retrocesso de 5 anos na tábua masculina fornece uma

boa aproximação para a mortalidade feminina. Com um retrocesso um pouco maior, a

aproximação é boa para idades mais jovens e com um retrocesso menor, a proximação

é boa para idades mais avançadas. Outros fatores podem ser relacionados à

mortalidade, como a ocupação profissional, por exemplo, porém a menos que as

circunstâncias necessitem de fato levá-los em conta, eles são usualmente ignorados.

15 A taxa de decremento em um ambiente multi-decremental não é igual à probabilidade do decremento. Na prática, os empregados ativos vivem em um ambiente multi-decremental, estando expostos às contingências de morte, desligamento, invalidez e aposentadoria. Esta última, depedendo das regras do plano, pode estar acessível em um intervalo de idade e não em uma idade específica, tendo neste caso um caráter aleatório. Logo, a taxa de decremento não é igual à probabilidade do decremento porque as outras causas de decremento impedem os participantes ativos de estarem expostos à contingência ao longo de todo o ano. Ver Winklevoss [1993], Bowers et all [1986] e Jordan [1991].

104

A variável aleatória que descreve o comportamento da mortalidade é conhecida como

idade na morte e sua distribuição pode ser resumida em uma tábua de vida, também

chamada de tábua de mortalidade. Uma descrição probabilística da tábua de

mortalidade pode ser encontrada em Bowers et all [1986] e Jordan [1991]. Para uma

descrição mais detalhada da tábua de mortalidade e de métodos para sua construção,

veja Keyfitz [1985], Chiang [1984], Preston, Heuveline & Guillot [2001] e Schkolnikov

[2007].

Considere uma criança recém-nascida. A idade na morte deste recém-nascido, X, é

uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada F(x)

( )0),()( ≥≤= xxXPxF . Seja s(x) a função de sobrevivência definida como:

0),()(1)( ≥>=−= xxXPxFxs .

Sempre assume-se que F(0) = 0, o que implica s(0)=1. Para todo x positivo, s(x) é a

probabilidade de um recém-nascido atingir a idade x, de modo que a distribuição de X

pode ser definida tanto a partir da função s(x) como a partir da função F(x).

Na construção de tábuas de mortalidade, as tabulações são feitas para idades

individuais com base em probabilidades condicionais de morte, do tipo: “dado que uma

pessoa sobreviveu até a idade x, a probabilidade de ela morrer entre as idades x e x+1

é xq ”, sendo xq definido como:

.)(

)1(1xs

xsqx+

−=

Dificilmente será possível observar o comportamento de um grande grupo de recém-

nascidos até suas mortes a fim de calcular as probabilidades de morte em cada idade.

Ao invés disso, normalmente, as estimativas das probabilidades de morte são dadas a

partir da sobrevivência de várias idades, ou seja, de grupos de coortes distintos de uma

grande população num dado período de tempo. Freqüentemente, também, acontece de

não haver dados suficientes para se estimar xq confiavelmente para idades mais jovens.

Neste caso, se o propósito para o qual a tábua está sendo preparada é tal que não há

105

necessidade de incluir estes valores mesmo que eles sejam disponíveis, como por

exemplo em tábuas de fundos de pensão, é comum iniciar-se a tábua em idades como

20 anos.

Se a população do fundo de pensão é bastante grande16, taxas de mortalidade podem

ser desenvolvidas com base na experiência passada. No Brasil, poucos fundos

possuem tábuas próprias com taxas desenvolvidas especificamente a partir de sua

população. Normalmente, o que se usa são tábuas estrangeiras, que às vezes são

corrigidas para a população sob estudo por meio de um fator chamado improvement.

Tal fator serve para refletir antecipadamente variações futuras na mortalidade, isto é,

para incorporar a redução futura da mortaliade conseqüente da melhora na expectativa

de vida. A linha de raciocínio por trás desta prática é que a taxa de mortalidade para um

participante hoje com idade x, por exemplo, será diferente da taxa de mortalidade para

um outro participante que alcançará esta idade daqui a 10 ou 20 anos. Em Martins

[2007]17 encontra-se um estudo aprofundado em modelos de graduação18 para

construção de tábuas com base em populações brasileiras.

Evidentemente, a construção de uma tábua que reflita a própria experiência do fundo

de pensão deve ser sempre a solução a ser perseguida. No entanto, considerando o

objetivo final deste trabalho e a complexidade envolvida no tema, optou-se por realizar

a escolha das tábuas de mortalidade, masculina e feminina a serem adotadas, por meio

de avaliação comparativa dos gráficos de probabilidade (p-p plot) da distribuição

empírica da mortalidade para a base de dados sob estudo e da distribuição da

mortalidade para as diversas tábuas utilizadas no mercado. 16 A Society of Actuaries (SOA) na construção da tábua de sobrevivência RP-2000 acompanhou 11 milhões de indivíduos/ano, observando 190 mil mortes em aproximadamente 100 fundos de pensão. Já na confecção da tábua de mortalidade CSO-2001 foi observada uma exposição de 4,1 trilhões de dólares para apólices cobrindo risco do sexo masculino e 1,6 trilhão para apólices cobrindo risco do sexo feminino (Martins [2007]). 17 Neste trabalho, são estudados casos em que há pouca quantidade de dados disponíveis para a construção de tábuas por meio de métodos tradicionais paramétricos e não paramétricos de graduação em tábuas. 18 “Graduação é uma metodologia de suavização das taxas brutas de mortalidade para que as probabilidades estimadas sejam suavizadas em relação às idades, e muitas vezes também se tornem monótonas e crescentes, pois tais probabilidades crescem a partir de certa idade, geralmente na fase adulta.” (ibdem).

106

Assim sendo, foram calculadas as taxas brutas de mortalidade (número de óbitos no

ano/ número de expostos no ano) para cada idade e para cada ano de 2003 a 2006.

Em seguida, calculou-se a taxa bruta média para este período. Estas taxas brutas

médias por idade representam a distribuição empírica e cada tábua utilizada no

mercado representa a distribuição teórica. A escolha se fez, então, para aquelas tábuas

que mais próximas ficaram da bissetriz do gráfico, o que indica que mais próximas são

as probabilidades comparadas. Vale ressaltar que utilizou-se as probabilidades

pertencentes ao intervalo de 20 a 70 anos das distribuições, pois a cauda das

distribuições empíricas, que representa as idades mais avançadas, possuem raras

observações. Os resultados para o caso masculino e feminino estão resumidos nos

Quadros 6.3 e 6.4, respectivamente.

Deve-se atentar que não foi realizado o estudo do improvement, pois para ser possível

mensurar este fenômeno confiavelmente deve-se possuir uma base de dados de muitos

anos de observação, além de massa populacional suficientemente grande, o que não é

o caso avaliado presentemente. Para uma compreensão geral sobre o tema, ver

Martins [2007] e para um estudo aprofundado sobre o tema em idades mais avançadas

da tábua de mortalidade, ver Li & Chan [2005].

Logo, o modelo aqui utilizado para a tábua de mortalidade será um modelo estático,

uma vez que, ao não adotar nenhum improvement, admite-se implicitamente que o

tempo não é fator atuante na redução da mortalidade. Tal decisão foi tomada

criteriosamente, já que na falta de um estudo específico poderia-se optar pela adoção

de um fator de redução arbitrário. Porém, esta alternativa introduziria na modelagem um

viés que poderia tornar os resultados questionáveis.

107

Quadro 6.3 – Gráficos das Distribuições de Mortalidade Masculina

108

Como se pode observar pelo Quadro 6.3, no caso da tábua masculina o melhor

resultado é apresentado para a tábua GAM-71, uma vez que neste gráfico os pontos se

distribuem mais próximos à bissetriz do gráfico do que nos demais gráficos. Se todos os

pontos estivesses dispostos completamente sobre a bissetriz, então as distribuições

seriam idênticas, já que as probabilidades de morte seriam exatamente as mesmas.

Nos gráficos das demais tábuas, todos os pontos ficaram abaixo da bissetriz de seus

respectivos gráfico, indicando que as probabilidades de morte da distribuição empírica

são maiores do que as observadas nas tábuas.

109

Quadro 6.4 – Gráficos das Distribuições de Mortalidade Feminina

Já no caso da tábua feminina, conforme observado no Quadro 6.4, a melhor tábua é a

AT-83. Observa-se, neste caso, que a tábua AT-49 é a única cujas probabilidades de

morte são maiores do que as encontradas na distribuição empírica. Nos demais

gráficos, ocorre o comportamento inverso, isto é, as probabilidades da distribuição

empírica são maiores do que as da distribuição teórica.

Em resumo, a tábua de mortalidade masculina será a GAM-71 e a tábua de mortalidade

feminina será a AT-83.

Um fato de interesse surge neste ponto da análise. No Quadro 6.1, percebe-se que há

muito mais mulheres do que homens neste grupo, o que pode ser observado pela razão

de masculinidade igual a 29,79%. Ainda, no Quadro 6.2, observa-se que as mulheres

podem se aposentar mais cedo, já que a idade e o tempo de contribuição mínimos

necessários para a aposentadoria neste grupo é menor relativamente ao grupo

masculino. Além disso, pela discussão anterior sobre a escolha das tábuas apropriadas

para cada um dos grupos, observou-se que a tábua mais indicada para o grupo

feminino é uma tábua de estrutura mais longeva do que a tábua do grupo masculino,

acusando o fato de que, neste grupo ao menos, os homens de fato vivem por menos

tempo. Todos etes fatores somados levam a considerar a hipótese de que este plano

pode estar se tornando mais caro, precisando de contribuições maiores para custeá-lo,

por adotar regras diferenciadas. No entanto, esta hipótese só poderia ser testada se a

110

hipótese de independência entre gênero e distribuição salarial fosse anteriormente

confirmada. Isto se explica pelo fato de que se houver alguma correlação entre salário e

gênero, e o grupo de mulheres tender a receber salários menores, esta diferença

salarial poderia compensar o fato das mulheres receberem benefícios por mais tempo

comparativamente aos homens.

Como o objetivo deste estudo não está em analisar as regras, estas hipóteses não

serão aqui testadas, no entanto vale ressaltar a importância que existe em conhecer em

profundidade as características demográficas da massa sob investigação.

6.2.2 Crescimento Salarial Como no plano BD o benefício de aposentadoria é uma função do salário, é necessário

estimar os salários futuros dos participantes do plano. Estas estimativas envolvem a

consideração de três fatores: (1) aumento de salário devido ao mérito; (2) aumento de

salário devido a ganhos de produtividade e (3) aumento de salário devido à inflação

(Winklevoss, 1993).

O aumento salarial fruto da componente mérito é alcançado pelo participante à medida

que este vai progredindo em sua carreira, o que reflete no aumento de sua contribuição

para o fundo de pensão. Empiricamente, a taxa de aumento desta componente diminui

quando o participante se torna mais velho e ainda produz um pequeno efeito no

pagamento dos empregados como um todo e ao longo do tempo, já que a distribuição

de empregados por idade e serviço não se altera significativamente. Assim, existe uma

compensação entre os empregados atuais que se tornam mais velhos e recebem

salários maiores com os empregados novos que entram na população e que recebem

salários relativamente menores. O resultado líquido é uma distribuição estável ano a

ano dos aumentos salariais relativos ao mérito para o grupo inteiro de participantes

ativos.

A escala de mérito pode ser estimada pela comparação das diferenças salariais entre

empregados de várias idades e com diferentes períodos de serviço (antigüidade) em

111

um dado ano. Contudo, na maioria dos casos, uma taxa constante de aumento em cada

idade é usada para aproximar taxas específicas por idade de um típica escala de

mérito.

Já os ganhos de produtividade representam uma componente de difícil estimação, o

que a leva na maioria dos casos a não ser considerada. Ela tem diminuído de

importância ao longo dos anos e varia muito de acordo com a indústria.

O fator inflação é o mais significativo dentre os fatores que afetam o salário futuro de

um empregado, pois diferentemente do mérito seu impacto não diminui com a idade.

Normalmente, a inflação pode ser considerada constante ao longo dos anos ou ser

modelada conforme um processo auto-regressivo.

Em Wilkie [1995], encontra-se a descrição de alguns modelos estocásticos para a

premissa de evolução salarial baseada na evolução de índices de preço, ou seja,

considera apenas a componente inflação na projeção salarial do empregado já que esta

componente é de fato a mais relevante. O primeiro modelo para o índice salarial e o

mais utilizado é:

)}(exp{)1()( tJtWtW ⋅−= , (6.1)

de modo que )1(ln)(ln)( −−= tWtWtJ é a força salarial no ano (t-1, t), onde:

)())1(()()()1(2)(1)(

tWZWSDWMUtWNWAWMUtWNtWNtIWWtIWWtJ

⋅+−−⋅+=+−⋅+⋅=

Whitten & Thomas [1999] revisitam os modelos de Wilkie e avaliam que o modelo de

índice salarial se ajusta bem aos dados, sendo este um modelo satisfatório.

Neste trabalho, adotou-se a premissa simplificadora de que a taxa de crescimento

salarial é igual à taxa de inflação mais um percentual constante de 2% ao ano relativo à

componente mérito.

112

6.2.3 Taxa de Juros A premissa de taxa de juros ou taxa de desconto é sem dúvida aquela que causa maior

efeito nos custos de um plano de benefícios de fundos de pensão, pois é utilizada para

calcular valores presentes de benefícios devidos daqui a 30 ou 40 anos. Pela legislação

brasileira, esta taxa está limitada a um teto de 6% ao ano mais um índice de inflação.

Desta forma, é comum estabelecer a hipótese de uma taxa composta constante,

embora este seja apenas um caso particular de uma hipótese mais geral que permitiria

a taxa de juros variar ao longo do tempo.

Uma questão que se faz pertinente neste instante é qual deve ser a taxa de desconto

utilizada para o cálculo dos valores presentes de benefícios: uma taxa pré-fixada com

teto de 6% ao ano mais um índice de inflação ou a mesma taxa de rentabilidade dos

ativos da carteira do fundo?

Neste estudo, vamos considerar as duas premissas e observar quais são as

modificações que esta alteração acarreta.

Conforme Winklevoss [1993], a taxa de juros pode ser analisada como que constituída

por três componentes: (1) taxa de retorno livre de risco19; (2) prêmio pelo risco de

investimento20 e (3) prêmio por inflação21.

Como esta premissa envolve a modelagem, por métodos distintos, das variáveis

supracitadas, bem como a simulação das mesmas para um período posterior, deve-se

dedicá-la uma análise mais profunda, o que será efetuado na seção 6.3 a seguir.

19 É a taxa de um investimento completamente seguro em relação ao principal aplicado e aos rendimentos a serem obtidos. Pode ser entendida como a taxa real (descontada a inflação) de rendimento de títulos públicos. 20 É a compensação por investir em algum ativo de risco, seja na carteira corrente, seja na futura. Cada ativo ou classe de ativo de risco possui seu próprio prêmio por risco. 21 É a taxa de inflação também presente na premissa salarial.

113

6.3 Política de Investimentos

A política de investimentos de um fundo de pensão inclui a decisão de alocação de

ativos, a seleção dos investimentos e a mensuração de desempenho, sendo a alocação

dos ativos, provavelmente, a decisão mais importante que o gestor do fundo deve fazer.

Ironicamente, este aspecto é o que menos atenção recebe dentre todos os aspectos da

política de investimentos. Segundo Winklevoss [1993], as corporações americanas

dispendem grandes quantidades de esforço e dinheiro na seleção de investimentos e

na medição de desempenho, embora menos de 10% do retorno total do fundo ao longo

de um extenso período de tempo seja creditado a estes aspectos da política de

investimentos. Conseqüentemente, 90% do retorno total do fundo é devido à decisão de

alocação de ativos.

Normalmente, a decisão de alocação em ações, por exemplo, costuma ser bem inferior

do que poderia ser devido, principalmente, à crença generalizada porém errônea de

que um significativo retorno negativo no curto prazo leveria os fundos a passarem por

momentos de dramáticos aumentos em seus custos. Nesta situação, teria-se uma alta

volatilidade no valor das contribuições. Na realidade, em razão das várias técnicas de

suavização de ativos empregadas no financiamento e na contabilização dos fundos, é

possível que a maior parte deles superem graves crises de curto prazo sem afetar

dramaticamente os seus custos.

O primeiro passo em um estudo de alocação de ativos é simular os retornos das várias

classes de ativos. O método convencional consiste em estabelecer, para cada classe,

uma taxa de retorno real, a volatilidade dos retornos e a covariância ou correlação dos

ativos entre as diferentes classes. Além disso, conforme visto na seção 6.2, deve-se

também incluir a variável inflação, já que esta afeta tanto os retornos dos ativos que

compõem os investimentos do fundo quanto as obrigações do fundo.

114

6.3.1 Modelando a Inflação O modelo proposto por Winklevoss [1993] para simular a inflação é dado por:

ttt eIwwII inf1 )1( +−+= ∞− (6.2)

onde

=tI inflação no ano t

=w correlação serial das inflações de anos sucessivos

=∞I taxa de inflação no longo prazo

=teinf termo do erro pela inflação não esperada no ano t, retirada de uma distribuição

lognormal com média zero e desvio-padrão especificado.

O valor típico de w é algo em entre 0.60 e 0.75, sendo 2/3 uma escolha razoável. Este

coeficiente significa dizer que 2/3 da taxa de inflação do ano anterior é um bom preditor

para a taxa de inflação do próximo ano, enquanto 1/3 da taxa do próximo ano é

significativamente diferente da taxa do ano anterior. O processo de simulação é

realizado sorteando-se valores da distribuição da variável aleatória termo do erro e

depois somando-se estes valores à média ponderada da taxa simulada do ano anterior

com a inflação de longo prazo.

Outro modelo de inflação também muito utilizado em estudos atuariais é o modelo de

Wilkie [1995]. O modelo estabelece que se Q(t) é o valor do índice de preços do ano t,

então:

)},(exp{)1()( tItQtQ ⋅−= (6.3)

de modo que

).1(ln)(ln)1(

)(ln)( −−=−

= tQtQtQ

tQtI (6.4)

Portanto, )(tI é a força da inflação no ano (t-1, t) e é expressa por:

)(})1({)( 010 tEatIaatI ⋅+−−⋅+= σ (6.5)

onde

=0a taxa média da força de inflação,

115

=1a estrutura de covariância (correlação),

=σ desvio-padrão do termo do erro não-padronizado,

=)(tE termo do erro ou resíduo padronizado, )1,0(...~)( NdiitE .

Este modelo estabelece que a diferença entre os logaritmos do índice de inflação, ou

seja, a força de inflação, a cada ano pode ser modelada como uma série autoregressiva

de primeira ordem, AR(1), que pode ser denotada por AR1( σ,, 10 aa ). O modelo pode

ser descrito em palavras da seguinte forma: a cada ano a força de inflação é igual à sua

taxa média ( 0a ), mais ( 1a ) do desvio do ano anterior em relação à média, mais uma

inovação aleatória que tem média zero e desvio-padrão (σ ). Os parâmetros 0a , 1a e σ

são estimados a partir dos dados. Desta forma, a seqüência de índices de preço pode

ser calculada em função da seqüência de )(tI por meio da equação (6.3).

Uma observação importante é que o modelo AR(1) é também conhecido como modelo

markoviano, já que depende apenas da informação conhecida no ano anterior. Esta

observação se faz relevante especialmente na volta da previsão da força instantânea

para o índice de inflação Q(t). Ao se fazer as previsões com base no modelo AR(1),

calcula-se estas forças ano a ano, porém o que se deseja de fato é conhecer a previsão

para Q(t). Ao se fazer o cálculo da volta, deve-se atentar para o detalhe de que na

realidade todas as previsões estão condicionadas ao último índice observado, e não à

cada previsão Q(t-1) realizada para o ano anterior. Assim, o que se deve calcular ano a

ano é ])}(exp{)1([)]([ FtItQEtQE ⋅−= , onde F representa os fatos conhecidos no último

ano observado e na última previsão.

É importante ressaltar ainda que o objetivo deste modelo não é exatamente alcançar

bom desempenho em previsões de curto prazo. Como o autor relata, existem modelos

alternativos que levam em consideração variáveis exógenas conhecidas, tais como

estado da economia e políticas governamentais, que resultam em melhores previsões

de curto prazo. Porém, nestes modelos, as variáveis exógenas que melhoram a

qualidade da previsão no curto prazo dificilmente são simuláveis ou previsíveis para um

116

futuro mais distante. O propósito do modelo de Wilkie é fornecer estruturas realistas de

variância e covariância para o longo prazo e assim ser uma ferramenta satisfatória para

os propósitos para os quais os atuários podem querer utilizá-lo.

Neste trabalho, será considerada a projeção do índice de inflação realizada com base

na série histórica anual do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA)22 estimada

conforme modelo AR(1) de Wilkie acima descrito. O programa em R assim como os

resultados e análise das previsões deste modelo encontram-se no Apêndice VI.

6.3.2 Modelando Retornos O retorno nominal para uma dada classe de ativos pode ser escrito como:

15,...,1,]1))(1()1[( =+−+⋅+= teIERRRN tCA

ttt (6.6)

onde

=tRN retorno nominal no ano t,

=tRR retorno real no ano t,

=)( tIE inflação esperada no ano t,

=tCAe termo do erro para a classe do ativo (CA) no ano t, retirado de uma distribuição

lognormal com média zero e desvio-padrão especificado.

Os termos de erro para cada classe e a inflação estão relacionados por uma

covariância (ou correlação) especificada.

Existem diversas variações do modelo dado pela equação (6.6) que permitem que os

retornos reais, os termos de erro e/ou as correlações sigam um processo dinâmico ao

longo do tempo ao invés de serem estacionários. O que diferencia os modelos

22 A série histórica do IPCA foi obtida em www.ipeadata.gov.br . Este índice é calculado pelo IBGE nas regiões metropolitanas do Rio de Janeiro, Porto Alege, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba, além do Distrito Federal e do município de Goiânia. Mede a variação nos preços de produtos e serviços consumidos pelas famílias com rendas entre 1 a 40 salários mínimos e serve de referência para o governo estabelecer suas metas de política de juros. O período de coleta de preços vai do primeiro ao último dia do mês corrente, com divulgação, aproximadamente, após oito dias úteis.

117

determinísticos dos estocásticos são justamente tais variações, de modo que o modelo

determinístico pode ser analisado como um caso particular do modelo estocástico e que

ocorre quando as variáveis estão fixadas.

O valor esperado do retorno nominal da carteira total de ativos será a soma dos

retornos nominais esperados de cada classe de ativo:

15,...,1,)(][1

=⋅=∑=

tRNxREM

iitittc (6.7)

onde

=tcRE ][ taxa de retorno nominal esperado da carteira de ativos no ano t,

=itx peso da classe do ativo i na carteira total no ano t,

=tRN retorno nominal da classe do ativo i no ano t.

O desvio-padrão, que mede a volatilidade do retorno nominal da carteira total de ativos

pode ser calculado por:

15,...,1,),cov(2][21

1 1

22) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅+⋅= ∑ ∑

= =≠

tRNRNxxxRM

i

M

jijtitjtitRNittc it

σσ (6.8)

onde

=tcR ][σ desvio-padrão da taxa de retorno nominal da carteira de ativos no ano t,

=itx peso da classe do ativo i na carteira total no ano t,

=),cov( jtit RNRN covariância entre o retorno nominal da classe do ativo i e o retorno

nominal da classe do ativo j no ano t.

Antes da definição dos pesos dos ativos que formarão a carteira de investimentos, é

preciso, primeiramente, definir quais classes de ativos comporão a carteira e depois

dentro de tais classes quais ativos serão selecionados para, então, poder-se estimar os

reornos reais destes ativos, tRR . Na próxima seção, estes tópicos serão detalhados.

118

6.3.3 Alocação dos Ativos na Carteira de Investimentos O objetivo principal desta seção, e possivelmente deste capítulo, é, dadas as limitações

da legislação e mercado brasileiros, construir uma carteira ótima de ativos que atinja o

objetivo de realizar o ALM.

Existem duas principais técnicas para realizar o ALM: imunização (Redington, 1952;

Boyle, 1978) e seguro de carteira (Leland, 1980; Gatto et al., 1980; Brennan & Solanki,

1981; Rubinstein & Leland, 1981).

O propósito da imunização23 clássica é gerar um retorno garantido para os ativos do

fundo de pensão ao longo do horizonte do tempo de investimento. Conforme Blake

[1998], isto é alcançado por meio da eliminação do risco do excedente financeiro ou

resultado técnico24, que pode ser entendido como a diferença entre o valor dos ativos

em carteira e o passivo atuarial, conhecido por reserva matemática. A eliminação do

risco do excedente financeiro, por sua vez, é obtida estruturando os ativos do fundo de

pensão de modo a possuírem a mesma duration25 das obrigações (passivo) e os

retornos perfeitamente correlacionados com as variações no valor das obrigações.

As variações nos valores das obrigações decorrentes de variações inflacionárias, por

exemplo, são protegidas ao se manter na carteira de investimentos ativos perfeitamente

23 Conceitualmente, o modo mais fácil de alcançar a imunização de uma carteira é por casamento de fluxos de caixa. Uma carteira com fluxos casados é aquela que produz uma série de pagamentos que correspondem exatamente à série de obrigações devidas. Embora conceitualmente simples, uma grande desvantagem do casamento de fluxos de caixa é que deve-se investir em muitos títulos diferentes, nem todos financeiramente atraentes. Isto significa que o casamento de fluxos de caixa pode custar uma grande soma em dinheiro, sendo esta soma medida pelos investimentos mais rentáveis que se deve desistir para poder alcançar o casamento dos fluxos de caixa. O que se busca, portanto, é conseguir o casamento dos fluxos concentrando-se em poucos títulos (Haugen, 1997). 24 No capítulo 3, este valor foi chamado de passivo atuarial não capitalizado. Sendo este um termo bastante atuarial, optou-se denominá-lo daqui para diante e indiscriminadamente de excedente financeiro ou resultado técnico. Vale lembrar que este valor pode ser positivo ou negativo ou mesmo igual a zero. 25 Uma medida da sensibilidade dos valores do ativo e do passivo em relação a variações na taxa de juros (Haugen, 1997), por isso é altamente sensível ao modelo implícito de estrutura a termo das taxas de juros usadas (Boyle, 1978). .Por exemplo, modelos com alterações paralelas na curva de juros resultam em ativos de longo prazo que possuem durations substancialmente maiores do que modelos com reversão à média. Contudo, Reitano, citado por Blake [1998], mostrou que existe uma “equivalente alteração paralela na curva de juros” correspondente a toda alteração embutida em uma curva de juros, o que permite que medidas convencionais de duration tipo Macaulay sejam utilizadas.

119

correlacionados com estas variações. Logo, como parte da carteira principal, deve-se

manter uma carteira de ativos que capture exatamente toda e qualquer variação no

valor das obrigações. Esta carteira de ativos será aqui chamada de carteira de

obrigações imunizadas (COI). Embora a COI26 seja um componente de risco na carteira

como um todo, ela será livre de risco em relação às obrigações que ela imuniza e,

portanto, ela também gerará uma taxa de retorno livre de risco. Ainda, a taxa de retorno

da carteira protetora COI será zero, já que o retorno obtido com a proteção do passivo

cancela o retorno obtido no ativo.

Se a COI é construída de modo a ter retornos perfeitamente correlacionados com as

mudanças nos valores das obrigações, então os riscos específicos do ativo, do passivo

e conjunto dos dois são iguais ( FPAtPAtFt σσσ == 22 ). Além disso, se a duration do ativo é

mantida igual à duration do passivo, então o risco do excedente financeiro pode ser

eliminado27.

Já o seguro de carteira clássico remete-se às definições de modalidades de planos de

benefício segundo uma carteira de opções abordadas no capítulo 2. Lembrando que o

plano BD pode ser replicado por uma put-call-parity, por esta técnica o gestor do fundo

procura se proteger do risco de perda que enfrenta do exercício da put que foi vendida

ao participante por meio da criação e gestão de uma put protetora, tentando preservar o

potencial de ganho na carteira de ativos. Contudo, o participante enfrenta o risco oposto

e pode querer se proteger de sua possível perda por meio da criação e gestão de uma

call protetora. Assim, pode-se conceber uma estratégia de seguro de carteira que tenta

eliminar o risco de perda para ambos, gestor (representando a patrocinadora) e

26 Repare que a COI não é necessariamente única. Dependendo do mercado e do número e variedade de ativos disponíveis é possível construir diferentes COI para uma dada série de obrigações. 27 De fato, para que o risco do excedente financeiro possa ser eliminado deve-se assumir algumas premissas fortes, sendo elas: os retornos dos ativos financeiros e as taxas de crescimento são não correlacionados; o desvio-padrão da taxa de variação dos retornos dos ativos financeiros é constante ao longo do tempo; e os desvios-padrão das taxas de crescimento de ganhos, de salário de benefício, de inflação e de dividendos são todos constantes ao longo do tempo e iguais entre si ( o que implica que as quatro taxas diferem no máximo por quantidades constantes). Mais a frente, no capítulo 8, serão fornecidas medidas de risco para medir o resultado técnico, já que na prática estas premissas não são prováveis de serem verificadas no mundo real.

120

participante, porém ao custo de se eliminar também o potencial ganho de ambos os

lados. Pode-se demonstrar que a estratégia de gestão do fundo necessária para

realizar um seguro de carteira será idêntica à requerida para a imunização clássica 28.

Para definir as classes de ativos que comporão a carteira de ativos do fundo

normalmente deve-se incluir ativos de renda fixa, de renda variável, imóveis e uma

carteira de empréstimos para os participantes. Conforme observa Veiga [2003], estas

duas últimas componentes não são cotadas em mercado, o que impõe uma dificuldade

suplementar ao problema.

Assim, para a escolha das classes de ativos que formarão a carteira a ser analisada

neste trabalho, procurou-se observar a composição geral do ativo de investimentos das

EFPC com base nos dados divulgados em junho de 2007 pela Secretaria de

Previdência Complementar29, em particular a real importância das classes de imóveis e

carteira de empréstimos no total da carteira. Os dados obtidos da Secretaria de

Previdência Complementar estão resumidos na Figura 6.1 e no Quadro 6.5. O objetivo

é, pois, escolher ativos que representem as classes de maior relevância nesta

composição.

Pode-se notar pela Figura 6.1 que 94,63% da carteira do ativo de investimentos das

EFPC é composta por ativos de renda fixa e de renda variável, restando apenas 5,37%

para imóveis, operações com participantes e outros. Desta feita, fica evidente a pouca

ponderância atribuída aos ativos de difícil estimação, oportunamente retirados da

composição de nossa carteira de ativos.

28 Blake [1998] argumenta que se o fundo de pensão está sendo financiado ano após ano e a carteira de ativos está sendo imunizada continuamente em relação ao passivo (de forma que o excedente financeiro é zero), as puts e calls terão valor zero já que nenhuma será exercida.O gestor do fundo de pensão pode, então, replicar os padrões de pagamentos das puts e calls, isto é, implementar o seguro de carteira, assegurando que as obrigações sejam imunizadas continuamente ao longo do tempo por meio dos ativos investidos em uma COI. 29 Informe Estatístico, Secretaria de Previdência Complementar, junho de 2007. (www.previdencia.gov.br/pg_secundarias/previdencia_complementar.asp).

121

61,46%

33,17%

2,87%

2,34%

0,16%

Renda Fixa Renda Variável Investimentos Imobiliários

Operações com Participantes Outros Realizáveis

Figura 6.1 – Composição do ativo de investimentos das EFPC segundo segmento de aplicação em junho de 2007

Renda Fixa 61,46 Títulos de Resp.Gov. Federal 14,70 Títulos de Resp.Gov. Estaduais 0,02 Títulos de Resp.Gov. Municipais 0,00 Aplic. em Instituições Financeiras 44,71 Títulos de Empresa 1,04 Investimentos Agrícolas 0,00 Outros Invest. de Renda Fixa 0,99 Renda Variável 33,17 Mercado de Ações 20,79 Bolsa de Mercadorias e de Futuros 0,00 Mercado de Ouro 0,00 Fundos de Investimentos 12,28 Outros Invest. de Renda Variável 0,10 Investimentos Imobiliários 2,87 Terrenos 0,02 Em Construção 0,03 Edificações 1,63 Participantes 0,81 Direitos em Alien. Invest. Imobiliários 0,18 Fundos de Invest. Imobiliários 0,20 Outros Invest. Imobiliários 0,01 Operações com Participantes 2,34 Outros Realizáveis 0,16

Quadro 6.5 – Ativo de Investimentos das EFPC por segmento e detalhamento das aplicações de

investimentos em junho de 2007

122

O Quadro 6.5 mostra com maior detalhe quais ativos dentro de cada classe de ativos

têm mais participação na carteira global. Dentro da carteira de renda fixa, o maior peso

é de Aplicações em Instituições Financeiras (44,71%) e Títulos de Responsabilidade do

Governo Federal (14,70%). Já no segmento de renda variável, os ativos de maior

representatividade são Mercado de Ações (29,79%) e Fundos de Investimentos

(12,28%).

Sob a luz destas informações, as proxies utilizadas neste trabalho para substituir estes

ativos são, no segmento renda fixa, NTN–B30 e, no segmento renda variável, índice de

ações Ibovespa31,32.

No segmento renda fixa, a decisão em concentrar-se em NTN-B deu-se por dois

motivos principais. O primeiro e mais importante é que este ativo é atrelado ao IPCA,

que será o índice de reajuste utilizado para capturar a inflação neste estudo, e como os

benefícios também são reajustados por um índice de inflação a cada período, este deve

ser o ativo escolhido para formar a COI. A segunda razão é que o ativo ‘Aplicações em

Instituições Financeiras’, embore ocupe um percentual maior dentro da classe de renda

fixa, pareceu um tanto vago e passível de ser representada por vários ativos diferentes.

Uma descrição mais detalhada de como se calcula os cupons de NTN-B é feita no

Apêndice VII.

30 A série de Notas do Tesouro foi obtida em www.andima.com.br. Representam títulos de dívida do governo federal emitidos pelo Tesouro Nacional. A NTN-B possui rentabilidade vinculada à variação do IPCA, acrescida de juros definidos no momento da compra. A forma de pagamento é por cupons semestrais mais o principal no dia do vencimento do título. Estes títulos são pós-fixados, uma vez que seus valores são corrigidos pelo respectivo indexador, sendo a taxa de rentabilidade real divulgada no momento da compra. 31 A série de Ibovespa foi obtida em www.ipeadata.gov.br. O Ibovespa é um índice formado pela média dos preços das 56 ações mais negociadas na Bovespa (bolsa de valores de São Paulo). Por exemplo, quando se ouve dizer que a bolsa de São Paulo subiu 6%, quer dizer que, em média, o preço das ações aumentou 6%. A escolha do índice ao invés de ações individuais foi preferida por que cada fundo pode escolher ações diferentes e, como pretende-se dar um caráter geral na formação da carteira de investimentos, a escolha de ações individuais poderia ir no sentido contrário, particularizando por demais o exemplo. Os dados obtidos fornecem a variação mensal do índice. 32 Poderia-se utilizar outras proxies para o segmento renda variável, como o IbrX, por exemplo. Entende-se que esta escolha não é fundamental para as conclusões do trabalho, já que busca-se uma racionalidade na alocação dos ativos e não um critério a ser definido para a seleção específica dos ativos.

123

No segmento renda variável, o índice de ações Ibovespa representa a classe ‘Mercado

de Ações’ e também a classe ‘Fundos de Investimentos’. A escolha do Ibovespa atende

a necessidade de se escolher ações bastante negociadas e de primeira linha, conforme

advoga a legislação (vide capítulo 2). Além disso, qualquer outro ativo dentro desta

classe teria uma alta correlação com o Ibovespa e, com o objetivo de simplificar a

modelagem, optou-se por concentrar a análise apenas neste ativo. A série de Ibovespa

fornece a variação mensal do índice de fevereiro de 1968 a dezembro de 2007.

Contudo, para efeito de cálculo dos rendimentos nominais, a série deve começar em

1995, já que antes deste período a série do índice de preços não traz qualquer

informação relevante.

A fim de calcular os retornos nominais de cada segmento de ativos, adotou-se algumas

hipóteses simplificadoras. Sendo a escolha final da carteira os ativos NTN-B e

Ibovespa, assumiu-se que neste modelo não existe correlação entre os ativos33. A

correlação entre cada um destes ativos com o IPCA também não será levada em

consideração34. Os retornos reais ( tRR ) não serão modelados conforme descrição

realizada no capítulo 4. Neste capítulo, apenas os modelos de taxas de retorno i.i.d.,

AR e médias móveis obtiveram calculos de expressões analíticas para o valor esperado

33 Sem dúvida, esta hipótese é bastante forte. O que se observa é que, quando a taxa de inflação está num ritmo crescente, a orientação da política monetária do governo tem sido a elevação das taxas de juros, o que implica numa rentabilidade maior para os títulos públicos. Esta oferta mais generosa nas taxas de retorno dos títulos públicos aumenta a procura por este segmento de ativo, atraindo mais investidores, que possivelmente deixarão de investir em ativos de renda variável (então, existe correlação). Este efeito tem como conseqüência uma pressão para cima no valor a ser negociado por esses títulos, o que levaria a posteriori a uma queda nas taxas de retorno. Porém, como esses preços não são determinados livremente pelo mercado, uma vez que existe a interferência direta da política monetária do governo determinando as taxas de retorno, este ciclo pode não se verificar. No caso dos fundos de pensão, como são investidores especiais (não buscam apenas a maximização do lucro), não são orientados apenas pela busca de maior rentabilidade. Eles agem de acordo com a teoria de segmentação de mercado (Haugen, 1997) e, portanto, sabem que devem investir em títulos com determinadas maturidades, não importando oportunidades de retornos maiores fora de sua região de preferência. Assim, especialmente nete caso, pode-se supor a correlação zero entre estes segmentos. 34 No caso da NTN-B, a taxa de inflação medida pelo IPCA é parte da composição da rentabilidade nominal do título e, como visto anteriormente, estas duas taxas apresentam correlação positiva. Porém, como está se admitindo que os cupons são reinvestidos à mesma taxa até o vencimento, de modo que se obtenha de fato a rentabilidade real prometida quando da compra do mesmo, aceita-se a hipótese de que as variações na inflação não afetarão a rentabilidade final desta carteira. No caso do Ibovespa, a hipótese simplificadora de não existência de correlação com a inflação é mais forte. Caberia um estudo mais detalhado para melhor aferir esta correlação e obter um modelo mais eficaz, porém optou-se por realizar esta tarefa em trabalhos futuros.

124

e variância do nível do fundo, F(t), e taxa de contribuição, C(t). Para as séries

financeiras, é muito importante levar-se em conta a variabilidade na volatilidade dos

retornos (heteroscedasticidade), o que não é representado em nenhum dos modelos

referidos, como observado no próprio capítulo 4.

Assim, modelos autoregressivos condicionalmente heteroscedásticos (ARCH), cujo

mérito é modelar os clusters de volatilidade das séries, e modelos generalizados

autoregressivos condicionalmente heteroscedásticos (GARCH) poderiam ser

testados35. Como, neste trabalho, o foco principal não é exatamente obter uma previsão

acurada dos retornos financeiros, optou-se por estabelecer cenários específicos para a

volatilidade ao longo dos anos de projeção, deixando para trabalhos futuros os testes

para os outros modelos relacionando-os com a obtenção de expressões analíticas do

valor esperado e variância de F(t) e C(t).

Outras medidas adotadas para simplificar o modelo são a não consideração de custos

de transação, impostos e comissões de corretagem.

Voltando para a construção da COI, deve-se calcular as durations do ativo e do

passivo, a fim de que a imunização seja realizada. Após o cálculo das respectivas

durations, deve-se calcular o percentual ideal de NTN-B na COI para que o fluxo de

pagamentos do passivo esteja imunizado.

O pré-requisito para estabelecer a imunização é que as durations devam ser iguais,

logo tem-se a seguinte equação:

passivoativo DD = (6.9)

Como, freqüentemente, não é possível encontrar um único título que satisfaça (6.9),

pode-se reescrever a equação do seguinte modo:

passivoativoi

n

ii DDx =⋅∑

=1, (6.10)

35 Para maiores detalhes sobre estes e outros modelos de séries temporais aplicados a séries financeiras, recomenda-se Mendes & Rubem [2007].

125

onde xi é o peso de cada título i e Dativoi é a duration do título i (i = 1, ..., n).

Portanto, satisfazer a equação (6.9) ou a equação (6.10) significa garantir parcialmente

a imunização. Para garantia total, deve-se estabelecer que os dois fluxos de caixa

sejam equivalentes na data da construção da COI. Logo, tem-se que satisfazer a

condição de que, nesta data, o valor presente da parcela k da carteira total investida em

título público, ativokVP , seja igual ao valor presente do fluxo de pagamento de benefícios

futuros, passivoVP :

passivoativok VPVP = .

O valor presente da parcela k da carteira total investida em título público, ativokVP , é igual

ao somatório dos valores presentes de cada diferente título i (i = 1, ..., n), ∑=

n

iativoiVP

1,

conforme sua proporção ix definida ao obter uma duration equivalente à duration do

passivo:

∑=

⋅=n

iiativoiativok xVPVP

1

A fim de se calcular monetariamente o valor do investimento que deve ser alocado em

títulos NTN-B, então, deve-se multiplicar cada lado da equação (6.10) por seus

respectivos valores presentes. Logo, vem:

passivopassivoativoi

n

iiativoi

n

iativoiiativok DVPDxVPDxVP ⋅=⋅⋅=⋅⋅ ∑∑

== 11)( , (6.11)

Conforme comentado previamente, dependendo do mercado em que se atue, pode-se

encontrar diferentes combinações que satisfazem (6.10). No entanto, para um gestor de

investimentos de um fundo de pensão, o objetivo é encontrar uma COI com a maior

taxa interna de retorno (TIR) possível, pois quanto maior esta taxa, menor é o valor

presente do investimento alocado neste particular ativo. Assim, investindo menos neste

ativo em particular e, ao mesmo tempo, estando imunizado contra as variações nas

taxas de juros que podem afetar os valores dos benefícios ao longo do tempo, pode-se

investir mais em outros ativos que tenham taxas de retorno maiores. Outra questão,

126

também já comentada previamente e conseqüente do raciocínio anterior, é que deve-se

procurar atender à equação (6.10) utilizando a menor quantidade de títulos possível e,

desta forma, ter maior possibilidade de buscar ativos mais rentáveis. Encontrar a COI

com a maior TIR possível é um processo que deve ser feito computacionalmente por

tentativa e erro ou por meio de programação matemática, alternativa mais apropriada.

Em nosso exemplo, o valor presente das obrigações é dado pela soma dos valores

presentes de cada fluxo de caixa de benefício. Como os benefícios são indexados ao

IPCA, as taxas de desconto utilizadas para trazer cada fluxo a valor presente devem ser

as taxas projetadas para este índice. Deste modo, cada um dos fluxos de caixa e o

valor presente do fluxo de caixa total do passivo valem:

Ano IPCA Fluxos de caixa VP Benefícios2008 3,43% 1.512.239,05 542.009.780,56 2009 4,05% 3.536.659,38 2010 3,88% 5.241.709,15 2011 3,92% 7.373.124,52 2012 3,91% 9.834.769,21 2013 3,91% 13.731.160,11 2014 3,91% 20.586.027,74 2015 3,91% 26.803.026,78 2016 3,91% 40.847.565,34 2017 3,91% 62.450.786,83 2018 3,91% 86.589.219,71 2019 3,91% 101.344.764,56 2020 3,91% 122.566.678,23 2021 3,91% 145.911.380,01 2022 3,91% 173.774.331,83

Quadro 6.6 – Fluxo de Pagamentos e Valor Presente Total de Benefícios

Agora, pode-se calcular a duration do passivo pela duration de Fisher Weil, dada pela

equação (6.12). Esta medida nada mais é do que uma variação da duration de

Macaulay quando as taxas de desconto variam ao longo do tempo. Logo, a duration D

do passivo vale:

127

785,111 =×

=∑=

FC

n

tFt

VP

VPtD 36, (6.12)

onde:

=t período em que o fluxo de caixa é devido

=FtVP valor presente do fluxo de caixa do instante t

=FCVP valor presente do fluxo de caixa total.

Uma observação importante é que neste exemplo os pagamentos de benefícios são

antecipados, então, como a data base de cáculo é 31/12/2007 e o primeiro fluxo é

devido no início de 2008, o primeiro instante t é igual a 0 (zero).

Calculada a duration do passivo, resta agora calcular a duration do ativo pela mesma

equação (6.12). O ativo é, neste caso, as NTN-B. Em 31/12/2007, havia disponíveis 13

tipos de NTN-B, diferenciadas por suas datas de vencimento. Seus respectivos fluxos

de caixa estão calculados no Apêndice VII. Os valores das durations de cada NTN-B

bem como de suas respectivas TIR são dadas no Quadro 6.7:

Quadro 6.7 – Valores de Durations e TIR de NTN-B disponíveis em 31/12/2007

36 A duration do passivo é na realidade um número maior do que este, pois ele foi calculado com base em um fluxo projetado por 15 anos a frente, devido a limitações computacionais, enquanto o tempo médio de serviço futuro é de aproximadamente 16 anos. Idealmente, este fluxo de pagamento de benefícios futuros deve ser projetado até que a expectativa de pagamento seja zero para o grupo em análise.

128

Como pode ser observado no Quadro 6.7, existem dois títulos com duration maior que a

duration do passivo (11,785 anos). Assim, é necessário fazer uma composição com o

menor número possível de NTN-B de modo que a duration total dessa composição seja

exatamente igual a duration do fluxo de pagamento de benefícios. Algumas

composições podem ser obtidas, ou por tentativa e erro ou por programação

matemática, segundo esta orientação, porém a escolhida deve ser aquela que resulte

na maior TIR. Assim, a COI será formada pelos títulos dispostos no Quadro 6.8.

Título Alocação

NTN-B venc. 15/08/2012 3,32%

NTN-B venc. 15/05/2035 96,68%

Quadro 6.8 – Composição e Alocação dos Ativos que formam a COI

Considerando que os valores presentes dos ativos que formam a COI e do passivo

devem ser iguais e que na data de avaliação o valor presente do ativo total é de R$2,4

bilhões (Quadro 6.1), a proporção x que dever ir para títulos NTN-B para formar a COI

será:

%58,22000.000.400.2

56,780.009.542==x .

Monetariamente, os valores a serem investidos na NTN-B com vencimento em

15/08/2012 e na NTN-B com vencimento em 15/05/2035 serão, respectivamente,

R$18.011.016,90 (R$542.009.780,56 x3,32%) e R$523.998.763,67 (R$542.009.780,56

x 96,68%).

Conseqüentemente, o percentual a ser investido no ativo alternativo, no caso deste

estudo o Ibovespa, será 77,42%. É importante atentar que este valor, pela legislação

atualmente vigente para aplicação dos recursos garantidores dos fundos de pensão

(Resolução CMN No. 3456, de 01/06/2007) não permite alocação superior a 50% em

renda variável, conforme Tabela 2.4.

129

Assim, o gestor do fundo deveria optar por diversificar este percentual excedente a 50%

do total de 77,42% em outros ativos que não renda variável, como empréstimos aos

participantes, imóveis e até aplicar mais em outros ativos de renda fixa. Paralelamente,

poderia-se avaliar quantitativamente a penalidade imposta pela legislação por não se

poder investir o quanto seria desejado em ativos teoricamente mais rentáveis.

A composição da alocação final, então, é dada pelo Quadro 6.9:

Renda fixa Renda variável

NTN-B Ibovespa

22,58% 77,42%

Quadro 6.9 – Alocação dos Recursos Garantidores das Reservas Técnicas por segmento de aplicação de investimentos para o fundo superavitário

6.4 Cenários de Análise

Conforme seção 6.2.3, a premissa que maior efeito causa nos custos atuariais de um

plano de fundo de pensão é a taxa de desconto. Conforme colocado por Veiga [2003]:

“Segundo a legislação atual, os fluxos atuariais podem ser descontados a uma taxa máxima

de 6% (taxa anualizada) acima de um índice de inflação. Os fundos, na prática, descontam por esse

máximo. Isso equivale a uma taxa de desconto plana. Porém, ao encarar esta taxa de desconto como

uma premissa, fixada externamente ao modelo, a integração dos riscos de ativo e de passivo fica

impossibilitada. A razão para isso é que ... a curva de desconto que mais convém à medição do equilíbrio

é aquela determinada pela rentabilidade dos ativos ... cujos valores estão sujeitos à incertezas ...”

Assim, tentou-se analisar o caso de fundo superavatitário e taxa de desconto igual à

rentabilidade da carteira de investimentos, porém existe um problema de recursividade

que impossibilita a avaliação deste cenário pela metodologia seguida neste trabalho. A

questão é que, para calcular o valor presente do fluxo de pagamentos futuros na data

de 31/12/2007 e calcular sua duration para posteriormente determinar a COI e,

130

conseqüentemente, a parcela a ser investida em renda variável, deve-se utilizar a taxa

da carteira de investimentos. No entanto, esta taxa, que depende exclusivamente da

parcela investida em renda variável, só pode ser determinada após conhecermos a

parcela que será utilizada para a imunização pela COI. Ou seja, precisamos da taxa de

rentabilidade da carteira para determinar o valor presente do fluxo de pagamento de

benefícios e por conseqüência a COI, mas esta taxa só pode ser calculada após

sabermos o quanto será investido para a imunização pela COI.

Portanto, só poderão ser realizadas as análises considerando a taxa de desconto real

pré-fixada para ambos os métodos determinístico e estocástico. Dada a alocação dos

ativos em carteira conforme Quadro 6.9, tem-se os seguintes resultados na avaliação

atuarial em 31/12/2007.

2007

ATIVOSSoma dos custos normais 16.376.295,62 Folha salarial anual 148.930.623,79 Custo normal (% da Folha) 11,00%Custo suplementar (Ajuste) ‐ Custo total ‐ Custo total (% da Folha) 11,00%Reserva de ativos 307.001.652,49 INATIVOSNúmero de inativos 0Benefício pago ‐ Reserva de inativos ‐ Reserva Total 307.001.652,49 Fluxo de caixa NTN‐B 542.009.780,56 Fluxo de caixa ativo A ‐ Fluxo de caixa Ibovespa 1.857.990.219,44 Fluxo de caixa ativo B ‐ Fundo de ativos 2.400.000.000,00 Resultado técnico 2.092.998.347,51

Quadro 6.10 – Resultado da avaliação atuarial em 31/12/2007 com taxa real de desconto igual a 6% a.a. e fundo superavitário

A fim de alargar a margem de análise com o intuito de obter algum tipo de raciocínio

mais geral, procederemos de modo a obter outros cenários de análise além deste

obtido a partir da alocação do Quadro 6.9.

131

Desta forma, uma outra possibilidade de cenário a ser analisada é considerar o fundo

equilibrado. Por fundo equilibrado, neste trabalho, entende-se a situação na qual o valor

presente dos ativos não imunizados é igual ao valor da reserva matemática (de

benefícios a conceder) e o valor presente dos ativos imunizados, ou seja, o valor

presente da COI é igual ao valor presente do fluxo de pagamentos futuros na data de

avaliação37. O valor do fundo de ativos é igual à soma destes dois valores.

Na situação de fundo equilibrado, para o cenário de taxa real de desconto plana (igual a

6%a.a.), estes valores são, respectivamente, R$307.001.652,49 (Quadro 6.10),

R$542.009.780,56 (Quadro 6.6) e R$849.011.433,06. O resultado da avaliação atuarial

em 31/12/2007 para este cenário é dado no Quadro 6.11.

2007

ATIVOSSoma dos custos normais 16.376.295,62 Folha salarial anual 148.930.623,79 Custo normal (% da Folha) 11,00%Custo suplementar (Ajuste) ‐ Custo total ‐ Custo total (% da Folha) 11,00%Reserva de ativos 307.001.652,49 INATIVOSNúmero de inativos 0Benefício pago ‐ Reserva de inativos ‐ Reserva Total 307.001.652,49 Fluxo de caixa NTN‐B 542.009.780,56 Fluxo de caixa ativo A ‐ Fluxo de caixa Ibovespa 307.001.652,50 Fluxo de caixa ativo B ‐ Fundo de ativos 849.011.433,06 Resultado técnico 542.009.780,57

Quadro 6.11 – Resultado da avaliação atuarial em 31/12/2007 com taxa real de desconto igual a 6% a.a e fundo equilibrado

Neste cenário, teremos uma outra alocação para a COI e, conseqüentemente, para a

carteira total de ativos, dada pelo Quadro 6.12.

37 Esta idéia de fundo equilibrado é um tanto conservadora, mas garante ao fundo de pensão maior segurança para o pagamento dos benefícios no futuro. Caso a parte da carteira total investida em renda variável obtenha boa rentabilidade, este fundo será superavitário; caso contrário, esta parte da carteira pode chegar a rentabilidade de -1 que o pagamento dos benefícios estará garantido porque foi imunizado.

132

Renda fixa Renda variável

NTN-B Ibovespa

63,84% 36,16%

Quadro 6.12 – Alocação dos Recursos Garantidores das Reservas Técnicas por segmento de aplicação de investimentos para o fundo equilibrado

Assim, chega-se a um segundo cenário a ser analisado: taxa de desconto plana igual a

6% a.a., fundo equilibrado e carteira de investimentos formada por 63,84% de NTN-B e

36,16% de Ibovespa.

No caso de fundo equilibrado e taxa de desconto igual à rentabilidade da carteira de

investimentos, existe o mesmo problema de recursividade citado anteriormente.

Conforme colocado na seção 6.3, um cenário econômico específico será testado para a

rentabilidade do Ibovespa. Adimitir-se-á que a taxa de retorno média do Ibovespa de

2008 a 2011 será de 10% a.a. com volatilidade de 30% a.a. e de 2012 a 2022, de

14%a.a. com volatilidade também de 30% a.a38. Nos cenários do método

determinístico, apenas a parte da média da taxa de retorno é considerada para os

cálculos. Nos cenários do método estocástico, a volatilidade segue uma distribuição

normal (0,1).

Em resumo, teremos os seguintes cenários a serem testados:

1) Fundo superavitário (R$2,4 bi.)

Carteira: 22,58% em NTN-B e 77,42% em Ibovespa

Taxa de desconto real: plana e igual a 6% a.a. e taxa de rentabilidade do ativo

de 10% a.a. com voltatilidade de 30% a.a. de 2008 a 2011 e 14% a.a. com

volatilidade de 30% a.a. de 2012 a 2022.

38 O valor da volatilidade de 30% a.a. foi determinado a partir da média das volatilidades anualizadas desde 1994 até 2007 da série do Ibovespa. Já as médias foram arbitradas em valores inferiores aos observados nas rentabilidades médias anuais dos últimos anos para se adotar um perfil menos otimista.

133

2) Fundo equilibrado (R$855.020.081,43)

Carteira: 63,84% em NTN-B e 36,16% em Ibovespa

Taxa de desconto real: plana e igual a 6% a.a. e taxa de rentabilidade do ativo

de 10% a.a. com voltatilidade de 30% a.a. de 2008 a 2011 e 14% a.a. com

volatilidade de 30% a.a. de 2012 a 2022.

No próximo capítulo, serão realizados experimentos para o caso em estudo sob os

métodos determinístico e estocástico em cada um dos cenários descritos. Em ambas as

abordagens, procurar-se-á averiguar a validade do fundo ser modelado por uma função

quadrática por meio da observação empírica da evolução do fundo ao longo dos anos.

134

7. RESULTADOS E ANÁLISES CRÍTICAS

Em todas as abordagens, foi considerada a premissa de que toda vez que houvesse

um resultado técnico diferente de zero este seria amortizado a partir do início de sua

própria previsão de ocorrência e ao longo do tempo futuro do plano. O método de

amortização deste passivo atuarial não capitalizado (PN) será o método de rateio. Por

este cálculo, obtém-se o valor ADJ, que é um valor financeiro que amortiza o déficit ou

o superávit de cada resultado técnico. Estes valores foram descritos no capítulo 3.

Esta premissa é muito forte, pois fornece a possibilidade de devolução de contribuição,

o que nunca deveria ocorrer na prática. O gestor do fundo deveria preferir rever as

premissas adotadas ou investir em ativos de baixo retorno do que realizar uma

devolução, já que esta devolução implicaria em admitir que as expectativas das

premissas estão inadequadamente avaliadas ao longo de todo o tempo. Como não se

pode afirmar tal fato com pouco tempo de observação, considera-se que a devolução

de contribuições (ou aumento de benefícios) é uma medida que somente deveria ser

adotada quando de fato pudesse ser comprovada tal inadequação.

Neste trabalho, como não é considerada a possibilidade de rebalanceamento de

carteira nem de reavaliação nas premissas39, preponderou o objetivo de estabelecer

que o resultado técnico ano a ano seja zero.

Embora esta premissa não seja verificada na prática, o objetivo deste trabalho é ter um

olhar, mesmo que ainda didático e por isso simplificado, sobre o efeito na racionalidade

de alocação de investimentos do gestor do fundo de pensão sob as diferentes

abordagens de gestão de ativos e passivos e este objetivo não é afetado por esta

39 A reavaliação das premissas atuariais deve ser feita a cada ano da avaliação atuarial. Os resultados aqui apresentados são resultados de apenas uma avaliação.

135

premissa. Sendo todos os cenários submetidos a mesma regra, as análises ficam

compatíveis e os cenários podem ser comparados.

Em todas as abordagens de avaliação do plano de benefícios de aposentadoria

programada, uma vez modelados o ativo e o passivo, o objetivo é calcular o valor do

resultado técnico ou excedente financeiro. No último ano de projeção, o valor do

excedente financeiro é sempre zero.

7.1 Modelo Determinístico

O modelo determinístico pode ser analisado como um caso particular do modelo

estocástico, no qual todas as variáveis que neste possuem um comportamento

probabilístico, agora são fixadas para cada cenário possível.

A taxa de juros, por exemplo, é estabelecida em um nível que representa o retorno

esperado a ser obtido com os ativos do fundo nos anos futuros, embora não seja

incomum encontrar taxas que sejam ostensivamente mais altas ou mais baixas que tais

expectativas.

Uma desvantagem desta abordagem é que embora seja possível a análise financeira

frente a estes cenários específicos, não é permitida uma visão global de todo universo

de possibilidades dentro de cada cenário.

7.1.1 Resultados e Análises Críticas Os resultados são os valores finais (após ajustes) assumidos por algumas variáveis de

interesse ao longo da evolução do plano de benefícios. Tais variáveis são o custo

normal e o custo total, ambos como percentual da folha de salários, necessários para

custear o plano, o valor total da reserva (incluindo participantes ativos e inativos), o

valor do fundo de investimentos e o valor do resultado técnico. As medidas utilizadas

136

para comparação entre os diferentes cenários são a média e o coeficiente de variação

destas variáveis de interesse.

Quadro 7.1 – Análise Comparativa dos Resultados do Método Determinístico

Pelo Quadro 7.1, observa-se que tanto no primeiro quanto no segundo cenário, o custo

normal tem média de 11,55% da folha salarial com razoável variação relativa à média

ao longo do período de análise (30,23%). Isto se deve ao fato de as premissas atuariais

e financeiras e o passivo atuarial serem os mesmas nos dois cenários.

A diferença nos cenários aparece nas outras variáveis, o que por sua vez se deve à

diferença nos estados iniciais do fundo de investimentos e, consequentemente, nas

carteiras de investimentos obtidas de modo a garantir uma carteira de obrigações

imunizadas (COI).

Lembrando que no primeiro cenário o fundo está sobrefinanciado ($2,4 bilhões) e a

carteira de investimentos conta com 22,58% nas NTN-B com vencimento em

15/08/2012 (3,32%) e com vencimento em 15/05/2035 (96,68%) e 77,42% em Ibovespa

e que no segundo cenário o fundo está equilibrado (valor presente dos ativos igual ao

valor presente da reserva matemática mais valor presente de benefícios futuros) e a

carteira de investimentos conta com 63,84% nas NTN-B com vencimento em

15/08/2012 (3,32%) e com vencimento em 15/05/2035 (96,68%) e 36,16% em

Variáveis

Cenários

Custo normal (%)

Custo total (%) Fundo Resultado técnico

Fundo sobrefinanciado Fundo equilibrado

MédiaCoeficiente de

Variação MédiaCoeficiente de

Variação 11,55% 11,55%30,23% 30,23%

167,86%41,74%

4852,78%

-136,92% $1.106.372.728,49,$13.648.563,91

77,02%80,79%53,02%

205,02%$686.217.474,63($406.506.686,95)

137

Ibovespa, percebe-se claramente que o fundo do segundo cenário tem menos capital

disponível para aplicar em ativos que não sejam utilizados para imunizar a carteira.

Por meio do Quadro 7.1, observa-se que quanto menos recursos há disponível para

aplicar em ativos de maior risco, maior é a necessidade do fundo em captar

contribuições suplementares. Colocada a condição extrema de reajuste nas

contribuições para amortizar déficits ou superávits, observa-se que o custo total do

fundo no cenário sobrefinanciado tem média positiva e alta, indicando que na maioria

das vezes ocorre uma elevada devolução de recursos aos participantes, ao passo que

no segundo cenário, com fundo dito equilibrado, ocorre em média grandes captações

de contribuições suplementares.

Análise análoga pode ser relaizada sobre os valores médios do fundo e do resultado

técnico ao longo dos anos de projeção nos dois cenários. No cenário sobrefinanciado,

os valores médios do fundo e do resultado técnico são consideravelmente superiores

aos mesmos valores médios no cenário equilibrado.

A necessidade de ter que comprometer um percentual elevado do total da carteira de

investimentos para imunizar o fluxo de pagamento de benefícios no segundo cenário,

sob a condição extrema de reajustes a cada ano, mostrou que este fundo estaria mais

propenso a incorrer em déficits.

Para poder obter sua COI, o gestor foi obrigado a investir grande parte do patrimônio do

fundo (63,84%) em NTN-B. Com isso, restou muito pouco para investir no ativo mais

rentável, no caso do exemplo o Ibovespa. Lembrando que a COI, diante do fluxo de

pagamentos que imuniza, tem retorno zero, a taxa de rentabilidade da carteira total

ficou baixa. Conseqüentemente, o fundo incorreu em déficits altos, tornando necessário

a cobrança de custos suplementares e onerando, assim, o custo total do plano.

Desta forma, o gestor deste fundo deveria buscar uma outra estratégia de

investimentos. Esta estratégia seria adiar a imunização da carteira até que tivesse

138

recursos suficientes para que a imunização não fosse um fator para aumentar a chance

de déficit do fundo. Ao mesmo tempo, o gestor deveria investir em ativos de maior

retorno imediato para tentar ganhar o necessário para estar seguro o suficiente para

imunizar a carteira o mais breve possível.

Fica sinalizado, ainda, que, apesar de estar equilibrado, o fundo possivelmente não

estava solvente a longo prazo.

No outro lado da situação, está o fundo do primeiro cenário com elevado percentual

médio de devolução de contribuições consequente dos grandes superávits. Este

resultado pode ser entendido como um indicativo preliminar de que o plano esteja

cobrando um valor excessivo dos participantes. Certamente, a devolução do capital

não é uma alternativa considerável aos fundos de pensão. Antes disso, deve-se fazer

uma revisão nas premissas atuariais e financeiras (tábua de mortalidade e taxa de

juros). Contudo, como tudo está sendo visto sob o olhar de previsões (que não

necessariamente se farão cumprir), a melhor intuição que se pode abstrair deste

resultado é que possivelmente seja hora para um rebalanceamento da carteira, saindo

do ativo de alto risco (e maior retorno) para outros de baixo risco (e menor retorno).

Isto significa dizer que é melhor não reconhecer estes superávits (via reajustes nas

contribuições), pois eles são tomados mediante expectativas que não necessariamente

ocorrerão. O melhor seria migrar para ativos menos rentáveis e diminuir o nível do

fundo.

O momento de realizar a imunização dos fluxos de pagamentos deve ser respondido

por meio de um exercício a ser feito a cada avaliação do plano de benefícios,

observando a variação no custo total do quadro de projeções.

A seguir serão analisados os resultados obtidos para os mesmos cenários já

comentados, considerando a abordagem estocástica. Nesta modelagem, as premissas

de taxa de rentabilidade do Ibovespa e índice de inflação são consideradas variáveis

139

aleatórias. Em decorrência, todas as variáveis dependentes destas taxas também se

tornam variáveis aleatórias. Em cada avaliação, será observado o risco, entendido aqui

como probabilidade de se incorrer em déficit.

7.2 Modelo Estocástico

A metodologia é fundamentada na descrição probabilística das variáveis de interesse e

no uso de técnicas de simulação40. Seu desenvolvimento deverá, conforme Veiga

[2003], obedecer aos quatro pontos básicos de uma metodologia de risco: (1)

modelagem de ativos e passivos em função das premissas, (2) formulação de um

modelo probabilístico para as premissas, quando necessário, (3) geração de cenários

para as premissas, (4) a partir de (3), determinar as distribuições de probabilidade das

variáveis de interesse e efetuar as medidas de risco.

Para produzir os cenários do excedente financeiro ou resultado técnico, a principal

variável de interesse, é necessário dispor de cenários para o valor dos ativos e para o

valor do passivo (reserva matemática). Estes dependem de cenários para as premissas

índice de inflação e rentabilidade dos ativos. Para implementar o modelo, geram-se N1

cenários independentes para a força de inflação ( tI ) e para as taxas de retorno reais

( tRR ), a partir dos quais se calculam os cenários para o índice de inflação ( )(tQ ) e a

rentabilidade de ativos ( tRN )41.

A evolução do estado (1 = vivo ; 0 = morto) de cada participante j, definido por

)()( tJetJ aposentadovivo , sabendo que se para um dado participante j 0)( =tJvivo ,

certamente 0)1( =+tJvivo . Neste caso, geram-se N2 cenários e, assim, a variável )(tJvivo

40 A ferramenta utilizada para realizar as análises envolvendo simulação foi o @Risk. 41 Este seria o procedimento a ser seguido se tivesse sido utilizado um dos modelos de séries temporais citados no capítulo 6 para modelar a série de Ibovespa. Para a série de inflação (IPCA), este foi o procedimento seguido.

140

pode ser descrita como uma cadeia de Markov com uma matriz de transição que

depende da idade x do participante, dada por:

10

)(1)(01

10

)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=xqxq

tJvivo ,

onde a probabilidade q(x) é dada pela tábua de mortalidade.

Com estes cenários, pode-se construir cenários conjuntos, sorteando-se um cenário

econômico e um cenário para cada participante (N2 = 1 neste trabalho, dado que a

análise é realizada para o grupo como um todo). O número máximo de cenários que se

pode construir assim é NPMax NNN 21 ×= , onde NP representa o número de participantes.

No caso deste estudo, serão N1 cenários.

Para cada cenário contendo cada um a evolução temporal de todas as premissas,

calcula-se, então, um cenário para o ativo e para o passivo, o que equivale a obter um

cenário para o resultado técnico.

7.2.1 Medidas de Risco de Equilíbrio De acordo com Veiga [2003], a obtenção das distribuições de probabilidade das

variáveis aleatórias sobre as quais se definem as metas deve ser o objetivo primordial

de qualquer metodologia de avaliação de risco. Sabendo-se que uma variável aleatória

X pode ser caracterizada por meio de sua distribuição de probabilidade, garante-se que

em função dela se pode definir medidas de risco. Como a distribuição de probabilidade

pode ser aproximada pela distribuição empírica de uma amostra da variável e essa

distribuição empírica é gerada por meio de diferentes técnicas estatísticas de

simulação, neste capítulo será feita uma tentativa de se medir o risco do resultado

técnico, nossa principal variável de interesse.

Duas importantes informações podem ser retiradas de uma distribuição de

probabilidade. A primeira é a esperança matemática da variável aleatória, que é

interpretada como sendo seu valor médio quando a variável é observada por um longo

141

período de tempo. É uma estimativa pontual da variável. A outra informação diz respeito

a um limite, )(* αv , definido de forma que a probabilidade de X ≥ v* seja igual a α42.

Este v* é o valor corrigido pelo risco.

Da distribuição de probabilidade produzida para o excedente financeiro ou resultado

técnico, podem-se obter duas medidas de risco a saber (Veiga, 2003): resultado técnico

corrigido pelo risco e risco de déficit.

O resultado técnico corrigido pelo risco, denotado por RcR(α), expressa o valor do

resultado técnico, r(t), com uma dada probabilidade. Formalmente, pode-se escrever:

αα =≤= *])([Pr*,)( rtrobrRcR . (7.1)

Se positiva, esta medida representa o valor mínimo do superávit com nível de confiança

1-α. Se negativa, representa o aporte máximo necessário para equilibrar o plano, com

nível de confiança 1-α.

O risco de déficit, denotado por D, é a probabilidade de resultado técnico negativo, ou

seja, representa a probabilidade de haver a necessidade de aporte, que sabe-se pode

ser efetuado por meio de amortizações sucessivas.

Outras medidas propostas por Veiga [2003] são a reserva matemática corrigida pelo

risco, RMcR(λ,z), a meta atuarial corrigida pelo risco, McR(λ) e o risco de rentabilidade.

A reserva matemática corrigida pelo risco representa o valor mínimo da reserva

matemática com probabilidade λ, dada uma rentabilidade z para os ativos; a meta

atuarial corrigida pelo risco representa o quanto devem render constantemente os

ativos (qual deve ser a rentabilidade z dos ativos) para que a probabilidade da reserva

matemática corrigida pelo risco seja superior ao valor dos ativos em carteira seja λ; e o

risco de rentabilidade é a probabilidade da rentabilidade z dos ativos ser menor que a

meta atuarial corrigida pelo risco com probabilidade λ.

42 Exemplos da utilização deste conceito são o value at risk, VaR, de uma carteira de investimentos e a a derivação da fórmula de Black & Scholes para precificar opções européias.

142

Estas medidas são todas associadas ao risco da rentabilidade dos ativos não ser

suficiente para que os investimentos providos pelo fundo não cubram as obrigações

representadas pela reserva matemática. Ou seja, em última instância também medem o

risco de o resultado técnico ser negativo ou o risco de déficit.

7.2.2 Resultados e Análises Críticas O resultado relevante em cada ano é o valor do resultado técnico depois de realizada a

simulação43. Para esta variável, será demonstrado o risco de déficit nas avaliações de

2008, 2010, 2012, 2014, 2016, 2018, 2020 e 2021. No ano 2022, cujo resultado técnico

foi obrigado a ser igual a zero, não há distribuição de probabilidade. Também é

interessante analisar a distribuição da média do custo total (após ajustes) para observar

como os custos ao longo dos anos são afetados, em média, pelos ajustes.

2021

Ano

0,2173

0,9149

0,9831

20162018

0,5038

fundo sobrefinanciado - taxa de desconto

fixa

0,7839

0,96702020

20122014

20082010

1,00001,00001,0000

Risco de Déficit

1,00001,0000

0,35771,00001,0000

fundo equilibrado - taxa de desconto fixa

0,00130,0160

Quadro 7.2 – Análise Comparativa dos Resultados do Método Estocástico

Para o cenário de taxa real de desconto igual a 6% ao ano, nível do fundo igual a $2,4

bilhões e carteira de investimentos com 23,44% em NTN-B e 76,56% em Ibovespa,

temos os seguintes resultados:

43 Foi realizada uma simulação com 1000 iterações.

143

Distribution for Resultado técnico / 2008/C20

Val

ues

in 1

0^ -1

0

Values in Billions

012345678

Mean=1,705895E+09

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

-0,45-0,45

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

,13% 99,87% -,45 0

Mean=1,705895E+09

Figura 7.1 – Risco de Déficit em 2008

Distribution for Resultado técnico / 2010/E20

Val

ues

in 1

0^ -1

0

Values in Billions

0

1

2

3

4

5

6

Mean=1,085148E+09

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-0,9-0,9

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

1,6% 98,4% -,9 -,1 Figura 7.2 – Risco de Déficit em 2010

Distribution for Resultado técnico / 2012/G20

Val

ues

in 1

0^ -1

0

Values in Billions

012345678

Mean=5,850017E+08

-1 0 1 2 3 4 5

00

-1 0 1 2 3 4 5

21,73% 78,27% -,9 0

Mean=5,850017E+08 Mean=5,850017E+08


Distribution for Resultado técnico / 2014/I20

Val

ues

in 1

0^ -1

0

Values in Billions

0123456789

Mean=1,837647E+08

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

00

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

50,38% 49,62% 0

Mean=1,837647E+08


Distribution for Resultado técnico / 2016/K20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

Mean=-2,195444E+08

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

-1,4-1,4-1,4-1,4

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

78,39% 21,61% -1,4 0

Mean=-2,195444E+08 Mean=-2,195444E+08


Distribution for Resultado técnico / 2018/M20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

Mean=-5,239315E+08

-1,5 -0,75 0 0,75 1,5 2,25 3

-1,4-1,4

-1,5 -0,75 0 0,75 1,5 2,25 3

91,49% 8,51% -1,4 0

Mean=-5,239315E+08


144

Distribution for Resultado técnico / 2020/O20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

Mean=-6,359835E+08

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

-1,9-1,9

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

96,7% 3,3% -1,9 0

Mean=-6,359835E+08


Distribution for Resultado técnico / 2021/P20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

Mean=-5,846111E+08

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

-1,85-1,85

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

98,31% 1,69% -1,85 0

Mean=-5,846111E+08


Distribution for Custo total (% da folha desalários) / ...

0,0000,0500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,4000,4500,500

Mean=-0,3523309

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-10 -8 -6 -4 -2 0 2

5% 90% 5% -3,413 1,1487

Mean=-0,3523309

Figura 7.9 – Distribuição da média do custo total (%)

Para o cenário de taxa real de desconto constante (6% ao ano), nível do fundo

equilibrado e carteira de investimentos com 63,56% em NTN-B e 36,44% em Ibovespa,

temos os seguintes resultados:

Distribution for Resultado técnico / 2008/C20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Millions

0,0000,5001,0001,5002,0002,5003,0003,5004,0004,500

Mean=3,225928E+07

-300 -200 -100 0 100 200 300 400

00

-300 -200 -100 0 100 200 300 400

35,77% 64,23% -300 0

Mean=3,225928E+07


Distribution for Resultado técnico / 2010/E20

Val

ues

in 1

0^ -8

Values in Millions

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

Mean=-3,073775E+08

-400 -300 -200 -100

-400-400

-400 -300 -200 -100

100% -400 -100

Mean=-3,073775E+08


145

Distribution for Resultado técnico / 2012/G20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Millions

0123456789

10

Mean=-4,205871E+08

-550 -450 -350 -250

-550-550

-550 -450 -350 -250

100% -550 -250

Mean=-4,205871E+08


Distribution for Resultado técnico / 2014/I20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Millions

0

1

2

3

4

5

6

7

Mean=-5,076676E+08

-750 -600 -450 -300

-750-750

-750 -600 -450 -300

100% -750 -300

Mean=-5,076676E+08


Distribution for Resultado técnico / 2016/K20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,0000,5001,0001,5002,0002,5003,0003,5004,0004,5005,000

Mean=-6,289251E+08

-1 -0,825 -0,65 -0,475 -0,3

-1-1

-1 -0,825 -0,65 -0,475 -0,3

100% -1

Mean=-6,289251E+08


Distribution for Resultado técnico / 2018/M20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,0000,5001,0001,5002,0002,5003,0003,5004,000

Mean=-7,011923E+08

-1,2 -0,9 -0,6 -0,3

-0,32-0,32

-1,2 -0,9 -0,6 -0,3

100% -1,17 -,32

Mean=-7,011923E+08


Distribution for Resultado técnico / 2020/O20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

Mean=-6,415691E+08

-1,3 -1,025 -0,75 -0,475 -0,2

-0,22-0,22-0,22-0,22

-1,3 -1,025 -0,75 -0,475 -0,2

100% -1,26 -,22

Mean=-6,415691E+08 Mean=-6,415691E+08


Distribution for Resultado técnico / 2021/P20

Val

ues

in 1

0^ -9

Values in Billions

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

Mean=-5,44084E+08

-1,2 -0,925 -0,65 -0,375 -0,1

-1,14-1,14

-1,2 -0,925 -0,65 -0,375 -0,1

100% -1,14 -,12

Mean=-5,44084E+08


146

Distribution for Custo total (% da folha desalários) / ...

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

Mean=1,907674

1,3 1,55 1,8 2,05 2,31,3 1,55 1,8 2,05 2,3

5% 90% 5% 1,6404 2,1114

Mean=1,907674

Figura 7.18 – Distribuição da média do custo total (%)

Os números do Quadro 7.2 corroboram e alargam as idéias anteriores, conseguindo a

vantagem de representar a observação de vários diferentes exemplos de cada um dos

cenários, ao invés de apenas uma possibilidade de cada cenário. Esta é de fato a

vantagem adicional dada pela metodologia estocástica, que pode ser realizada

associada ao caso determinístico quando existir muitas dúvidas sobre as premissas, por

exemplo.

Comparando o primeiro e o segundo cenários, percebe-se a semelhança de

comportamento do resultado técnico ao longo dos anos (sempre com probabilidade

crescente), com a diferença de que a probabilidade de déficit é sempre mais agravada

no segundo cenário.

A condição extrema de ajuste nas contriibuições para que o resultado técnico seja zero

implica que tanto o fundo sobrefinanciado quanto o fundo equilibrado cheguem ao

último ano de projeção com probabilidades de déficit muito elevadas.

Conforme Quadro 7.2, no fundo equilibrado, segundo cenário, a probabilidade de déficit

já alcança seu máximo no terceiro ano de projeção. A razão para tal fato é a mesma já

esclarecida na análise do método determinístico.

No caso do fundo sobrefinanciado, as probabilidades de déficit vão aumentando ano

após ano. Embora o fundo tenha um lastro inicial alto para investir grande parte de sua

147

carteira total em ativos com bom retorno, a imposição da condição extrema, que

considera a devolução de recursos em caso de superávit, termina por penalizar

excessivamente o estado do fundo nos anos finais.

Notoriamente, a média do custo total (como percentual da folha de salários) do plano

tem distribuição assimétrica negativa no primeiro cenário, enquanto no segundo tem

distribuição aproximadamente simétrica com limites positivos para o intervalo de

confiança de 90% (Figuras 7.9 e 7.18). Isto ocorre porque no primeiro cenário o fundo

inicial está superfinanciado, levando que, ao longo do tempo, haja mais devoluções do

que complementações de contribuição, em média, e isto é vizualizado na distribuição

assimétrica negativa da média do custo total. Já no segundo cenário, o fundo inicial

está equilibrado, o que significa que tem menos recursos. Por isso, sempre há

complementações.

Quando o risco de déficit se aproxima de 1, a alternativa à variação no custo do plano é

o rebalancemanto da carteira. No entanto, nem uma nem outra alternativa é atraente ao

gestor do plano. Se aumenta ou diminui os custos continuamente, aumenta a

variabilidade dos mesmos e a insatisfação dos participantes com a gestão de seus

recursos. Se rebalanceia a carteira mais do que necessário, perde os melhores

investimentos para seu perfil, onde melhor significa mais indicado e não

necessariamente mais rentável.

Portanto, definir o intervalo satisfatório para o risco de déficit é o mesmo que minimizar

a variância do custo total do plano e obter o nível ideal (ótimo) do fundo.

No segundo cenário, como as probabilidades de déficit ao longo dos anos analisados

são maiores que no primeiro cenário, verifica-se forte necessidade de aumento dos

custos do plano.

148

Como já discutido, esta necessidade de financiamento extra poderia ter sido revertida

pela alocação maior dos ativos em investimentos de risco, ao invés de fazer a

imunização de forma imediata.

149

8. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

O primeiro objetivo deste trabalho foi analisar métodos de gestão de ativos e passivos

de planos de benefício definido de fundos de pensão. Um resumo dos objetivos de cada

método está descrito no Quadro 8.1.

Quadro 8.1 – Metodologias dos Modelos ALM

As diferenças de abordagem dos três métodos fez com que a forma de testá-los fosse

distinta, porém os resultados convergiram para idéias comuns. A fim de desenvolver a

teoria discutida no s capítulos 4 e 5, foram desenvolvidos exemplos práticos e/ou

didáticos.

Para os métodos determinístico e estocástico, foi efetuada a modelagem de um plano

para um grupo fechado a novos participantes do tipo benefício definido, no qual o

benefício de interesse foi apenas o benefício de aposentadoria programada. Neste

plano, não havia participantes inativos. O ponto de vista adotado é a posição do gestor

do fundo de pensão no momento imediatamente anterior ao início do fluxo de

pagamento de benefícios.

Modelos

ALM

Determinísticos

Estocásticos

Controle Estocástico Dinâmico

F(t) e C(t)

Variação instantânea do fundo - dF(t)

Média e variância de F(t) e C(t)

Modelos

ALM

Determinísticos

Estocásticos

Controle Estocástico Dinâmico

F(t) e C(t)

Variação instantânea do fundo - dF(t)

Média e variância de F(t) e C(t)

150

Por meio das análises realizadas para a obtenção da carteira de investimentos para tal

plano, uma consideração de senso comum foi demonstrada. Percebeu-se a importância

de se observar atentamente os “momentos” de um fundo de pensão.

Pode-se dizer que um fundo de pensão apresenta três fases distintas (“momentos”): a

fase inicial ou de acumulação, na qual não há participantes inativos; a fase

intermediária ou mista, em que há participantes ativos e inativos; e a fase terminal ou de

percepção/fruição, na qual só há participantes inativos e, portanto, pagamento de

benefícios. Cada uma destas fases requer um tratamento diferenciado no que diz

respeito à alocação dos investimentos, de maneira que o início de cada uma delas é o

momento propício para os rebalanceamentos fundamentais das carteiras.

Assim, na fase inicial do fundo, o melhor investimento é, sem dúvida, ativos de renda

variável, pois são investimentos de longo prazo que fornecem maior rentabilidade.

Como o fundo está em uma fase de acumulação, é possível suportar perdas

momentâneas, já que no longo prazo estas perdas serão superadas, desde que

recursos sejam empregados em selecionar e alocar bem os investimentos. É bom

lembrar que esta fase pode durar muitos anos, dado que o tempo mínimo de

contribuição para mulheres é de 30 anos e de homens é de 35 anos, normalmente.

Algum tempo antes de iniciar a fase intermediária, o gestor do fundo deve rebalancear

sua carteira e voltar sua atenção para investir parte dela em ativos que capturem o

mesmo comportamento da taxa de reajuste dos benefícios. A questão fundamental na

formação da carteira de investimentos no momento imediatamente anterior ao início do

fluxo de pagamento de benefícios é a obtenção da carteira de obrigações imunizadas,

aqui chamada de COI. A COI é formada por títulos de renda fixa (geralmente, títulos

públicos) que sejam indexados a um mesmo índice de correção de preços ao qual o

benefício também é indexado.

Já na fase terminal, na qual só há fluxo de pagamento de benefícios (não há mais

reserva matemática de benefícios a conceder, só reserva matemática de benefícios

151

concedidos), o gestor pode se concentrar em ter somente em sua carteira a parte

referente a COI, isto é, títulos de renda fixa.

Voltando à fase intermediária, que é o momento exato em que o gestor do plano de

benefício deste estudo está na iminência de entrar, volta-se a duas questões relativas à

obtenção da COI dentro da carteira total: a primeira é quando a COI deve ser formada e

a segunda é quanto ela deve ocupar na carteira total.

A obtenção da COI garante a imunização do fluxo de pagamento de benefícios, mas

quanto tempo antes o gestor precisa rebalancear sua carteira é uma questão que vai

depender do mercado em que atua (oferta de títulos de longo prazo) e do perfil de fluxo

de pagamentos que possui (nível de risco do fundo de pensão), que por sua vez

depende da distribuição do tempo de serviço futuro dos participantes e da perspectiva

de crescimento salarial.

Neste ponto é importante que o gestor tenha um acompanhamento periódico do cálculo

de durations dos ativos disponíveis e do seu passivo.

As questões de determinação do percentual que deve ser alocado para a COI no total

da carteira de investimentos dos ativos traz algumas reflexões relevantes. Foram

analisados dois cenários para cada um dos métodos de gestão de ativos e passivos

(determinístico e estocástico) e em todos os cenários adotou-se como premissa a busca

pelo resultado técnico igual a zero em cada exercício, de modo a não existir nem lucro

nem prejuízo para o plano. A idéia foi colocar a análise dos métodos em um mesmo

nível extremo de comparação.

Os cenários foram os seguintes: no primeiro, o fundo é considerado superavitário com

$2,4 bilhões em ativos e, no segundo, o fundo é considerado equilibrado com

$855.020.081,43 em ativos, ambos com taxa real de desconto atuarial plana e igual a

6% a.a. Não foi possível, neste trabalho, testar a taxa real de desconto igual à

rentabilidade da carteira de investimentos, porque com esta premissa ocorria um

152

problema de recursividade dada a necessidade de primeiro se calcular o percentual da

COI.

Quando o valor do fundo de ativos baixou de $2,4 bilhões para $855.020.081,43, a COI

passou a ocupar 63,84% ao invés de 22,58% do total da carteira e, na abordagem

determinística, os custos totais aumentaram. Na metodologia estocástica, observou-se

que a alocação de 63,84% em títulos públicos levou o plano a ter probabilidade de

déficit sistematicamente superior a essa mesma probabilidade no cenário do fundo

superavitário, onde a COI representa 22,58% da carteira total de ativos.

Mesmo sendo possível obter a COI, esta estratégia se mostrou pouco eficiente porque

a parcela investida no ativo de zero retorno foi alta. Em casos mais extremos, este

resultado leva a considerar que o percentual a ser alocado para a COI pode ser

superior a 100%. Ou seja, para realizar a imunização seria necessário investir mais do

que o fundo de investimentos possui. Isto significa dizer que deveria se fazer uma

alavancagem ao reverso (ficar vendido em ativos de risco para comprar ativos de baixo

risco). Claramente, sendo esta operação vedada aos fundos de pensão, seria

impossível fazer a imunização. Mesmo que possível, esta estratégia seria péssima, já

que acarretaria enorme perda financeira e mesmo a ruína do fundo, como pode ser

inferido pelos resultados obtidos nas metodologias determinística e estocástica.

A estratégia ideal seria justamente a inversa: dado que o fundo precisa de muito mais

dinheiro do que possui, o gestor deveria buscar investimentos de maior rentabilidade

para que num curto prazo se acumulasse o necessário para a obtenção da COI. É

importante observar que a COI possui rentabilidade zero na carteira total de ativos, visto

que seu retorno está imunizando o fluxo de pagamento de benefícios. A rentabilidade

do fundo de investimentos é, assim, igual à rentabilidade dos outros ativos da carteira, o

que significa dizer que o fluxo de pagamento de benefícios é não correlacionado ao

retorno da carteira de ativos.

153

Duas conclusões podem ser obtidas neste momento. Antes, é preciso lembrar o

significado de nível do fundo dado na equação (5.50). Por nível de fundo, F(t), entende-

se a razão entre o valor presente do ativo (VPativo) e o valor presente do fluxo de

pagamento de benefícios (VPpassivo):

.)(passivo

ativo

VPVPtF =

A primeira conclusão é que quando o nível do fundo está baixo (≤1), deve-se investir

mais em ativos de alto risco e assim que o nível do fundo sobe, o gestor deve

rebalancear a carteira, saindo do ativo de alto risco e ir para ativos de baixo risco. Esta

estratégia é bastante anti-intuitiva. Normalmente, espera-se que, quando o nível do

fundo cai, o gestor se volte para ativos de baixo risco para proteger sua posição. A

estratégia encontrada aqui propõe o oposto. Se o nível do fundo está abaixo de um

determinado nível (o nível ideal), então deve-se investir em ativos de alto retorno (e

também alto risco) para aumentar a chance de voltar rapidamente para o nível ideal.

Inversamente, se o nível do fundo está muito alto, então o gestor está pronto para

investir em ativos que são do tipo baixo retorno-baixo risco, perder dinheiro e voltar

novamente para o nível ideal. Esta conclusão coincide com a hipótese de se utilizar

uma função perda quadrática na função objetivo que modela o comportamento de um

fundo de investimentos de fundos de pensão na metodologia de controle estocástico

dinâmico.

No capítulo 5, onde foi abordado este modelo, foi calculado qual seria a barreira para o

nível do fundo quando todo o ativo estivesse aplicado em títulos públicos. Esta

metodologia, portanto, apresenta uma regra de cálculo do valor mínimo que o fundo

pode alcançar considerando 100% de investimento em renda fixa. Por exemplo, para

construir a COI é necessário, digamos, 40% do valor total dos ativos, porém, pela

ineficiência do gestor ou por uma crise nos mercados de capitais, deseja-se investir

100% em renda fixa. É necessário pagar um preço por essa ineficiência da carteira e

esta ineficiência é medida justamente pelo capital que deve se ter a mais no momento

desta escolha de alocação. A metodologia sugerida no capítulo 5 responde, então, qual

154

é este capital mínimo necessário para se adotar tal alocação. Repare que nesta

situação o resultado técnico em cada exercício não será nulo, será um superávit, mas

não é um superávit verdadeiro, visto que ele é necessário a longo prazo para

compensar a ineficiência da gestão.

Considerando todo o exposto, a segunda conclusão diz respeito ao que se deve

procurar obter em cada avaliação atuarial. A busca pelo resultado técnico zero parece

não ser suficiente, porém também não se deseja que este resultado seja

excessivamente positivo, já que isso representaria o fato de os participantes estarem

pagando muito mais do que deveriam.

Uma análise mais abrangente deve medir o grau de eficiência/ineficiência da carteira de

investimentos frente ao passivo atuarial do fundo de pensão. Para tanto, é necessário

poder calcular o percentual da COI no total da carteira de investimentos em cada

avaliação. A partir daí, seria possível avaliar se a gestão está sendo eficiente, situação

na qual o gestor pode obter a COI com percentual até x (conforme teto previsto na

legislação) do valor dos ativos em carteira e esta proporção é exatamente respeitada.

Equivalentemente, o percentual do total do fundo de investimentos a ser alocado em

ativos de risco seria no mínimo (1-x) e o montante que este percentual representa

capitalizado à taxa de retorno de tais ativos deveria ser suficiente para que o risco de

déficit do fundo fosse mínima. Se a gestão está sendo ineficiente, existem duas

possibilidades distintas.

Na primeira, para construir a COI seria necessário um percentual superior z (x ≤ z ≤1), o

que poderia trazer déficits ao plano. Nesta situação, a recomendação seria investir mais

em ativos de maior retorno e assim que atingir o nível mínimo de fundo, aplicar na COI

na proporção x da carteira total de investimentos.

Na segunda situação, seria possível obter a COI com proporção inferior a x, porém o

gestor decide aplicar mais do que esta proporção. Conseqüentemente, deverá ter em

155

carteira um valor superior para compensar sua ineficiência em captar recursos em

outros mercados.

Se a orientação for em direção à busca pelo resultado técnico zero, não será viável

investir 100% em renda fixa, por exemplo. Isto ocorre porque para se investir 100% em

renda fixa, há que se pagar um “pedágio”, conforme exposto. Caso contrário, este fundo

poderá entrar em déficit dentro de um curto prazo.

Portanto, o fundo ideal pode ser definido como o valor necessário para que a

construção da COI seja realizada com no máximo (x*100)% do valor do fundo, sendo x

um teto a ser estabelecido. Conseqüentemente, pode-se medir o nível de insolvência

de um fundo pelo quanto este fundo deveria investir na COI além de x. A cada ano,

pode ser realizada uma avaliação atuarial e neste momento ser recalculada a COI e

saber se o fundo está equilibrado ou não, dada esta definição.

De qualquer maneira, a busca por resultado técnico zero pode ser substituída pela

busca da construção da COI até um certo percentual da carteira de investimentos, pois

somente com a possibilidade de construção dessa carteira realmente há garantia de

que os benefícios prometidos serão efetivamente pagos.

É claro que é necessário estudar alternativas de funções perda que levem a estratégias

de alocação de ativos mais coerentes com a intuição comum. Na condição extrema de

busca de resultado técnico zero a cada exercício à custa de ajustes por contribuições

suplementares, as observações obtidas pela utilização de função perda quadrática

pareceram ser corroboradas pelo experimento, porém nada se pode garantir para a

análise realizada sob outras regras para déficits e superávits.

Outras questões a serem perseguidas na modelagem de controle estocástico dinâmico

são quais seriam as restrições (se alguma) adequadas para as contribuições (não

poder ultrapassar um teto, por exemplo) e os investimentos (impedimento para venda a

descoberto, por exemplo); a possibilidade das restrições de investimento serem

156

compensadas pelo uso prudente de derivativos; e a análise da ênfase colocada no

cálculo do passivo atuarial, quando este pode não apresentar qualquer relação com o

nível ideal de fundo sob a função objetivo otimizada. Na modelagem de controle, a

análise é feita somente com referência à função objetivo.

O trabalho apresenta algumas limitações que podem ser revistas em um trabalho futuro.

Uma delas é o número de 15 anos escolhido para a previsão do fundo de pensão. Tal

opção deveu-se a limitações computacionais. Considerando o tempo médio de serviço

futuro de aproximadamente 16 anos, o número ideal deveria ser um pouco maior do

que este. Idealmente, este fluxo de pagamento de benefícios futuros deve ser projetado

até que a expectativa de pagamento seja zero para o grupo em análise ou pelo menos

até se alcançar a fase terminal do plano.

Outra limitação do processo é que uma vez definida a alocação em 31/12/2007, não é

mais possível fazer um rebalanceamento na carteira. Todas as previsões são feitas

somente para um dado estado inicial e para aquelas variáveis ali vigentes, isto é, não é

previsto a oportunidade de novos investimentos. Assim, todas as previsões são médias

condicionais às informações de 31/12/2007. Também não foram considerados custos

de transação, comissão de corretagem e impostos para os investimentos.

Nas previsões para o IPCA, foi utilizado o modelo AR(1) e para o Ibovespa, cenários

pré-estabelecidos. Certamente, outros modelos de séries temporais podem ser

testados, porém a modelagem de tais séries não era o objetivo principal do trabalho,

dado que teríamos apenas outros cenários que não invalidariam as conclusões aqui

apresentadas. Não foi considerado um modelo de previsão de séries temporais que

levasse em consideração a covariância existente entre Ibovespa e IPCA e nem

modelos de volatilidade estocástica, sendo este um dos pontos que também se deve

analisar em projetos futuros. Mediante novos modelos de previsão, novos cenários

podem ser obtidos, como, por exemplo, cenários mais dinâmicos do que os que foram

aqui tratados.

157

Vários outros cenários poderiam ser testados, incluindo a tentativa de se observar o

efeito da utilização do improvement na tábua de mortalidade e o estabelecimento do

nível inicial do fundo sendo subfinaniado, quando o fundo possui menos recursos que o

valor presente do passivo na data de avaliação (o resultado técnico é negativo).No caso

do fundo deficitário, pode-se pensar num grupo de trabalhadores que não tenha

constituído reserva até a data corrente e por uma questão legislativa, por exemplo,

pode ser obrigado a custear seu próprio fundo de pensão a partir daquele instante. Este

seria o caso de funcionários públicos que recebem pelo Instituto Nacional de

Seguridade Social (INSS), porém sua aposentadoria pertence a alguma classe de

regime especial. Estes servidores, se obrigados fossem a ter seu próprio fundo de

pensão, teriam um passivo atuarial não capitalizado enorme, uma vez que pelo regime

atual não constituem reserva, pagando somente para os que hoje já estão inativos.

Outros pontos de interesse para futuros desdobramentos deste trabalho é a

investigação sobre o tempo ótimo de amortização de déficits e ainda estudos sobre o

reconhecimento de superávits, caso realmente sejam superávits.

158

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Apêndice I – A Equação de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)

Conforme definido:

)())(())(,()(

),)(,(inf),(

)()()),(,(,()exp(),)(,(

,

tdZdtBtcTXtdtXdX

pcxtWxtV

xtXdssXsXScSLtEpcxtW

bbX

pc

t

σδ

β

−−+=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−= ∫

∞

A equação de HJB afirma que:

,021),,( =+++−

xxxtt VnmVVxctLe θ

Onde:

.:

;

;

;

2

2

fundodoevoluçãomxVV

xVV

tVV

xx

x

t

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

Observação: m corresponde ao valor instantâneo do fundo definido por duas parcelas:

1ª – taxa de retorno do fundo X ou nível do fundo:

xpT )( 0 λδ +

2ª – valor líquido entre recebimentos e pagamentos:

))(( Btc − .

Assim,

Bcxpm T −++= )( 0 λδ

e n: termo relativo à volatilidade, que manipulado fornece:

.22b

T Dppxn σ+=

Logo, HJB:

))(21])[(),,((inf0 22

0, bT

xxxT

tt

pcDppxVVBcxpVxctLe σλδβ ++−++++= −

166

Apêndice II – Demonstrações dos parâmetros P(k), Q(k) e R(k) - 2º Caso

[ ][

)(21

])2

)(()(

))(())((2)(0:

22

0

222

bT

ff

fft

pmT

tppmmt

DppfV

VBV

effcfp

VffkffcccceHJB

σ

ρλδ

ρρ

β

β

+⋅+

+⋅−⋅−−−+⋅++

++−++−−+−= −

Lembrando que:

fft

ffft

ft

tt

ff

f

ff

f

ft

pm

FeVFeVeVfFeftV

DVf

VeD

fVV

ddfpp

Veffcc

⋅=⋅=−=⇒⋅=

⋅⋅⋅

−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=−+−

−−−−

−−

ββββ

β

β

λ

ρ

;);()(),(

;)(

;21)]()[(

1110

22

Vem:

167

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⋅+

+⋅⎥⎥⎦

⎤−−−−

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⋅++−−+=

⇒

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅+

+⋅⎥⎥⎦

⎤−⋅−−−

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅++

+⋅−⋅+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−=

−

−

−−

−

−

−−

−

−

−

−−

−−

−

−

−

−−

−−−

210

110

2

101

022

2110

110

2

101

0

22

)()(21

)2

)(()()(410

21

)2

)((

)()(210

bff

f

T

ff

fff

ff

pmff

fTpf

bff

tf

t

fft

ftT

fft

ft

fft

ft

fft

ftf

tt

pmff

tf

t

fft

ft

T

tpf

ttt

fFF

ededDfFF

ededfF

FBF

ffcffFF

ededDFffkF

DFfeFe

FfeFe

ededDDFfeFe

FfeFe

ededfFe

FeBFe

effcfFfeFe

FfeFe

ededD

FeffkFeee

σλλ

ρλλδβ

σλλ

ρλλδ

β

β

β

β

β

β

β

β

ββ

ββ

ββ

β

β

β

ββββ

Ainda, lembrando que:

PFQPxFRQfPffF

fff 2;2)( 2

=+=++=

Tem-se:

168

)(2

)2()(2

)2()(

)()2(2

)2(2

)2()(

)()()2()44(410

2)2()(

2)2()(2

21

)2()2

)2()((2

)2()(

)()()2(410

210

11

20

2

101

0

222222

210

110

2

101

0

222

CTERMOPf

QPfededDPf

QPfedfedfP

BTERMOQPfBQPfffcfPf

QPfededD

ATERMORQfPfffffkQPQffP

PfQPfededD

PfQPfededfP

QPfBQPfffcfPf

QPfededD

RQfPfffkQPf

b

T

pmT

pp

b

T

pmT

p

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−++

++⋅⎥⎥⎦

⎤−

+−+−

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⋅⋅++

+++−+−+++=

⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⋅⋅+

++⋅⎥⎥⎦

⎤−

+−−−

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⋅⋅++

+++−−++=

−

−

−

−

σλλ

ρρλλδ

β

σλλ

ρλλδ

β

Trabalhando os termos A, B e C separadamente, vem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−−+−+= RkfQQkfPQfPkPf

ATERMO

pp βββ 22

22

4]2[][0

:

169

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−+

+−−+−+−++⋅+

+−−−++⋅

⇒−⋅−

−−⋅−⋅−+⋅+⋅−⋅−+⋅+−+

+−+−+++⋅+⋅=

=+−+

−+++−

−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−++⋅⋅++=

=+⋅⎥⎥⎦

⎤−

+−+−⎢

⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+⋅⋅+

−

−−

−−

−

−−−−

−

−

BQQfQQcDedP

Q

PBPQfPQPcDedQDeQdQf

PPDedPDePdPf

BQfPB

QfPQfPfQffPfQfPQcfPcDedP

Q

fDedQfDedPfDeQdfDePdfQfP

QPfBQPfQPffQPff

QPfcP

QPfedQPfefdDQPff

QPfBQPfffcP

QPfedefdDf

BTERMO

pmT

pmTT

TT

ppmmT

TTTT

p

mT

pmT

2)(

2

]2222)(2[

]22)(222[

22

22)2(22)(2

))(2())(2()()2(2

)2(2

)2()2()2(

)2(2

)2()()2()2(

)2(2

)2(2

)2()(

:

21

1

2

11

100

211

100

2

22221

1

2

11

211

10

2100

20

2

2

101

0

101

0

ρλλ

ρρλλλδ

ρλλλδ

ρρρρλλ

λλλλλλδδ

ρρ

λλδ

ρρλλδ

170

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

+⎥⎦

⎤−−+−+−−+⎢⎣

⎡ −+

+−−+−+−+=

=+−−+−−+

+−+−−+−−+

+−+−+−+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

−

−−−−

−−−−

−−

−−−

−−−−

−

−

−

21

11

2

11

111

011

101

1

11

111

001

101

02

21

112

2

11

1

11

011

111

12

11

02

01

101

12

01

02

2110

1110

210

110

210

110

2

)()(4

)(2

)()(2

)()()(2

)()(2

)]()()()()()()()([

])()(4

)(2

)(

)(2

)()()(2

)()(

)()()()(2

)()()()([

)(2

)()(2

)()(

2)2()(

2)2()(

2)2()(

2)2()(

:

bT

TTTT

TTTT

bTT

TTT

TTTT

bTTT

b

T

b

T

PedDedP

Q

edQDededQDededDedQedDedQf

edDedPedDedPedDedPedDedPf

edDedP

QedP

QDedf

edP

QDedfedDedP

QfedDedf

edDedfedDedP

QfedDedfedDedfP

edP

QedfefdDedP

QedfedfP

PQPfedefdD

PQPfedefdP

PfQPfededD

PQPfedfedfP

CTERMO

σλλ

λλλλλλ

λλλλ

σλλλλ

λλλλλ

λλλ

σλλλλ

σλλ

σλλ

Juntando os termos A, B e C, tem-se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−++−+−++

+−−+−+−−+−+

+−−+−+−+++−−+

+−−+−+−++

+−−−+++−+=

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

21

11

221

1

22

2

11

111

011

101

1

11

100

11

111

001

101

0

211

100

22

)()(42

)(24

)](2

)()(2

)()()(2

)()(2

2222)(22[

)]()()()()()()()(

22)(222[0

bT

pmT

p

TTTT

pmTT

p

TTTT

TT

PedDedP

QBQQfQQcDedP

QRkfQ

edQDededQDededDedQedDedQ

PBPQfPQPcDedQDeQdQQkfPQf

edDedPedDedPedDedPedDedP

PPDedPDePdPPkPf

σλλρλλβ

λλλλλλ

ρρλλλδβ

λλλλ

ρλλλδβ

Calculando as expressões de P(k), Q(k) e R(k):

0)]()()()(

)()()()(2)(222[)21(

11

111

0

01

101

01

11

002

=+−−+−+

+−++−−+++−+−−−

−−−−

kedDededDed

edDededDedDedDedPPTT

TTTT

λλλ

λρλλλδβ

Seja:),()()()(

)()()()()))(((2ˆ

11

111

0

01

101

01

100

λλλ

λρλλδβ

−−+−+

+−++−−+++−=−−

−−−

edDededDed

edDededDedDededPTT

TTT

Assim, vem:

171

24ˆˆ

)(

0ˆ2

kPPkP

kPPP

++=⇒

=+⋅+−

(

[ ]

[ ])()()()()()()()(21

2))(2(2

)(

0)2222())()()()(

)()()()(212))(2([

11:

111

011

101:

1

1100

11:

111

0

11:

101

11

100

λλλλλλ

ρλλδβρ

ρλλλ

λλλρλλδβ

−−+−+−−+−

+−−−+++−

⋅+⋅⋅−⋅−⋅=⇒

=−++−+−−+−+

+−−+−+−−−+++−⋅

−−−−

−

−−

−−−

edDededDededDededDed

PDededPBPfPcPfk

kQ

PBfPPckfedDededDed

edDededDedPDededPQ

TTTT

Tpmp

pmpTT

TTT

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−++−++=⇒

−−−−++−−−−−−

=−

−−

−−

21

11

221

1

22

2

21

11

221

1

22

2

)()(42

)(24

1)(

)()(42

)(24

bT

pmT

p

bT

pmT

p

PedDedP

QBQQfQQcDedP

QkfQkR

PedDedP

QBQQfQQcDedP

QkfQR

σλλρλλβ

σλλρλλβ

172

Apêndice III – Demonstrações dos parâmetros P(k), Q(k) e R(k) - 3º Caso

[ ][

)(21

])2

)(()(

))(())((2)(0:

22

0

222

bT

ff

fft

pmT

tppmmt

DppfV

VBV

effcfp

VffkffcccceHJB

σ

ρλδ

ρρ

β

β

+⋅+

+⋅−⋅−−−+⋅++

++−++−−+−= −

Lembrando que:

fft

ffft

ft

tt

ft

pm

FeVFeVeVfFeftV

Veffcc

⋅=⋅=−=⇒⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=−+−

−−−− ββββ

β

β

ρ

;);()(),(

;21)]()[(

22

)(21)

21)((()(

41

)(21

21)()(()(

410

220

22

220

22

bT

ffffpmT

pxt

bT

ffffpmT

pxt

DppfFFFffcfpBfFffkFe

DppfFFBFffcfpFffkFe

σρλδβ

σρλδβ

β

β

+⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−++−+−−+=

=+⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−−+++−−+=

−

−

Ainda lembrando que:

PFQPxFRQfPffF

fff 2;2)( 2

=+=++=

Vem:

=+⋅+

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−−++−+++−⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡ −++=

)(221

)2()2(21)()()()2(

410

22

0222

bT

pmT

p

DppfP

QPfQPfffcfpBfRQfPfffkQPf

σ

ρλδβ

173

[ ]

[ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−−+−+

++−++−+−−−++−++−+−=

=++++−−++++

+−−++−−−+−++−+++−=

=++++−++−+++−−++−=

=+++−−++−+++−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

+

222

0022

2222

02

022222222

220

222

220

222

41

)2222()222(

2222

22)2()2()44(41

)()2())()()2(41

)()2()()()(121

2)2(

bpmp

pmT

pTT

bT

ppmmTT

pppp

bT

pmT

p

bT

pmT

p

PfQQcBQRkfQ

fPQPcQpPBQQkfPQfDpPpPPpPPkPf

PDpfPpfQffPfQfPQcfPcfQpfPp

BQPBffQfPRQfPfffffkffffkQPQffP

DppfPQPfffcfpBfRQfPfffkQPf

DppfPQPfffcfpBfRQfPfffkQPf

σρβ

ρρλδβρλδβ

σρρρρλλ

δδβββ

σρρλδβ

σρλδβ

Calculando as expressões de P(k), Q(k) e R(k):

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−+−=⇒

+−−+

−−+−=⇒

=+−+−−++−−

++=⇒

=+⋅+−

+−+−=

=++−+−+−

=+−++−+−

222

0

0

2

2

0

02

02

)())(()()(411)(

)()))(((2

)(

0))(222()(2

4ˆˆ)(

0ˆ222ˆ

0)222(

0222

bpmp

Tpmp

pmpT

TT

TT

TT

kPfckQkBQkfkQkR

pkPfcBkPkf

kQ

fcPPBkfpPQ

kPPkP

kPPP

DpppPSeja

kDpppPP

DpPpPPpPPkP

σρβ

ρλδβρ

ρρλδβ

ρλβδ

ρλβδ

ρλδβ

174

Apêndice IV – Programas Desenvolvidos para o Matlab

1º Caso:

% Modelo sem restricao de investimento no ativo livre de risco

% desvio-padrao

sigmab=0.1;

% meta de contribuicao

cm=0.6;

% parametro de controle da funcao perda

k=0.001;

% meta do fundo de ativos

xp=10;

% taxa instantanea de desconto

beta=0.03;


ro=0;

% taxa instantanea de retorno do ativo livre de risco

delta0=0.03;

delta=[0.04;0.06];

mdelta=[0.03;0.03];

lambda=delta-mdelta;

S=[0.05 0.05;0.05 0.2];

D=S*S';

epsilon=(lambda)'*(inv(D))*lambda;

% Achando os parametros P, Q e R da funcao objetivo

pchapeu=2*delta0-beta-2*ro-epsilon;

P=(pchapeu+sqrt(pchapeu^2+4*k))/2;

% Por unidade monetaria de beneficio

B=1;

175

Q=2*(P*(B-cm-ro*xp)+k*xp)/(-P+delta0-beta-ro-epsilon);

x1=(-0.25*(Q^2)+k*(xp^2)-B*Q-0.25*(Q^2)*epsilon/P);

y=(cm+ro*xp)*Q+P*(sigmab^2);

z=x1+y;

R=z/beta;

% Calculo do minimo de F(x)=Px^2+Qx+R e F(x) minimo

min=-Q/(2*P);

Fmin=P*(min^2)+Q*min+R;

% Calculo da contribuicao otima para nivel de fundo equilibrado (x=1)

c0=cm+ro*xp-Q/2;

c1=ro+P;

x=1;

c=c0-x*c1;

% Calculo da proporcao otima em ativos

p=(-(2*P*x+Q)/(2*P*x))*(inv(D))*lambda;

disp('P Q R minF(x) c0 c1 c* p*');

disp([P Q R Fmin c0 c1 c p']);

2º Caso:

% Modelo com restricao de investimento no ativo livre de risco

% desvio-padrao

sigmab=0.1;


cm=0.6;


k=0.001;


xp=10;

% taxa instatanea de desconto

beta=0.03;

176


ro=0;


delta0=0.03;

delta=[0.04;0.06];

mdelta=[0.03;0.03];


S=[0.05 0.05; 0.05 0.2];

D=S*S';

% Calculo de d0 e d1

I=[1;1];

pm=1;

d0=(pm)/(I'*inv(D)*I);

d1=(I'*inv(D)*lambda)/(I'*inv(D)*I);


pchapeu1=-beta-2*ro+2*delta0+2*(lambda'*inv(D))*(d0*I)+2*(lambda'*inv(D))*(d1*I-

lambda);

pchapeu2=(d0*I)'*inv(D)*(d0*I)+(d1*I-lambda)'*inv(D)*(d0*I)+(d0*I)'*inv(D)*(d1*I-

lambda)+(d1*I-lambda)'*inv(D)*(d1*I-lambda);

pchapeu=pchapeu1+pchapeu2;



B=1;

% Dividindo Q em partes

x=2*(k*xp-P*cm-P*ro*xp+P*B);

y1=P-beta+delta0+(lambda'*inv(D))*(d0*I)+2*(lambda'*inv(D))*(d1*I-lambda)-ro-2*P;

y2=0.5*((d1*I-lambda)'*inv(D)*d0*I+(d0*I)'*inv(D)*(d1*I-lambda)+(d1*I-

lambda)'*inv(D)*(d1*I-lambda)+(d1*I-lambda)'*inv(D)*(d1*I-lambda));

y=y1+y2;

Q=x/y;

% Dividindo R em partes

177

x1=(0.25*(Q^2)+k*(xp^2)+((Q^2)/(2*P))*(lambda'*inv(D))*(d1*I-lambda)+Q*cm+Q*ro*xp-

(Q^2)/2-B*Q);

y3=((Q^2)/(4*P))*((d1*I-lambda)'*inv(D)*(d1*I-lambda))+P*(sigmab^2);

z=x1+y3;

R=z/beta;

% Calculo do minimo de F(x)=Px^2+Qx+R e F(x) minimo

min=-Q/(2*P);


% Calculo da contribuicao otima para nivel de fundo x=1

c0=cm+ro*xp-Q/2;

c1=ro+P;

x=1;

c=c0-x*c1;

% Calculo da proporcao otima em ativos

cartB=(d0+d1*(2*P*x+Q)/(2*P*x))*inv(D)*I;

cartA=-(1+(Q/(2*P*x)))*inv(D)*lambda;

disp('P Q R minF(x) c0 c1 c*');

disp([P Q R Fmin c0 c1 c]);

disp('carteira A carteira B');

disp([cartA cartB]);

3º Caso: p ótimo

% Modelo com proporcao de investimentos em ativos com risco fixada

% desvio-padrao

sigmab=0.1;


cm=0.6;


k=0.001;


178

xp=10;


beta=0.03;


ro=0;


delta0=0.03;

delta=[0.04;0.06];

mdelta=[0.03;0.03];


S=[0.05 0.05; 0.05 0.2];

D=S*S';

p=-(inv(D)*lambda);


pchapeu=2*delta0-beta-2*ro+2*p'*lambda+p'*D*p;



B=1;

Q=-(2*(P*(B-cm-ro*xp)+k*xp))/(P-delta0+beta+ro-p'*lambda);

x1=(-0.25*(Q^2)+k*(xp^2)-B*Q);


z=x1+y;

R=z/beta;

% Calculo do minimo de F(x)=Px^2+Qx+R e minimo de F(x)

min=-Q/(2*P);



c0=cm+ro*xp-Q/2;

c1=ro+P;

x=1;

c=c0-c1*x;

179



3º Caso: p fixo = 20%

% Modelo com proporcao de investimentos em ativos com risco fixada

% desvio-padrao

sigmab=0.1;


cm=0.6;


k=0.001;


xp=10;


beta=0.03;


ro=0;


delta0=0.03;

delta=[0.04;0.06];

mdelta=[0.03;0.03];


S=[0.05 0.05; 0.05 0.2];

D=S*S';

p=[0.2; 0.2];


pchapeu=2*delta0-beta-2*ro+2*p'*lambda+p'*D*p;



B=1;

180

Q=-(2*(P*(B-cm-ro*xp)+k*xp))/(P-delta0+beta+ro-p'*lambda);

x1=(-0.25*(Q^2)+k*(xp^2)-B*Q);


z=x1+y;

R=z/beta;

% Calculo do minimo de F(x)=Px^2+Qx+R e minimo de F(x)

min=-Q/(2*P);



c0=cm+ro*xp-Q/2;

c1=ro+P;

x=1;

c=c0-c1*x;



181

Apêndice V – Descrição da Base de Dados

Na base de dados inicial, em 31/12/2007, foram dadas as seguintes informações:

matrícula, data de nascimento, data ingresso no plano, sexo e vencimento. A partir

destas informações foram calculadas as seguintes variáveis, cujo método de cálculo

também vem a seguir:

• Idade de entrada = data ingresso no plano – data nascimento

• Idade atual = data atual – data nascimento

• Salário atual anual = vencimento * 13

• Serviço atual (SA) = data atual (x) – data de ingresso no plano

• Serviço futuro (SF) = idade mínima – idade

o Se idade mínima < idade, SF = 0

• Idade no fim ano da aposentadoria (r)= idade + SF

• Serviço projetado (SP) = serviço atual + SF

o Se serviço atual + SF > tempo necessário, SP = tempo necessário.

Tempo necessário = 30, se mulher; 35, se homem.

• Salário anual projetado = salário anual x (1+ CS)^(SF), onde CS = crescimento

salarial.

• Benefício anual projetado = 80% * (salário anual projetado x (SP/35)), se homem;

80% x (salário anual projetado * (SP/30)), se mulher.

• xx

rr

x

r

vpvp

DD

**

= , fator de desconto atuarial, levando um fluxo da idade r para a idade

x; pj é a probabilidade de uma pessoa na idade j sobreviver até j+1 e v é o fator

de desconto financeiro.

• 2411)12( −=

r

rr D

Na&& , valor presente de uma renda vitalícia paga mensalmente no valor

de $1 na idade r.

182

• VABFx (Valor Atual de Benefícios Futuros na idade x) = benefício anual projetado

* )12(ra&& *

x

r

DD

• Custox = SP

VABFx

• Reservax = xVABFSPSA *

Apêndice VI – Programa desenvolvido no R para previsão de índice de inflação

IPCA:

indice<-read.csv("c:/Meus documentos/Tese/Séries/indices.csv", header=T, dec=",",

sep=";")

plot(indice[,1], indice[,3], type="l", lwd=2, col="red", xlab="Ano", ylab="Força IPCA")

acf(indice[2:13,3], type="correlation", main="Função de autocorrelação para o processo

AR(1)")

arima(indice[,3], order=c(1,0,0))

185

Call:

arima(x = indice[, 3], order = c(1, 0, 0))

Coefficients:

ar1 intercept

-0.2717 -0.1303

s.e.0.2811 0.1595

sigma^2 estimated as 0.4762: log likelihood = -12.61, aic = 31.23

IPCA.fit<-arima(indice[,3], order=c(1,0,0))

tsdiag(IPCA.fit)

Box.test(IPCA.fit$residuals,lag=1, type="Ljung-Box")

Box-Ljung test

data: IPCA.fit$residuals

X-squared = 5e-04, df = 1, p-value = 0.9827

predict(IPCA.fit, n.ahead=20)

$pred

Time Series:

Start = 14

End = 33

Frequency = 1

186

[1] -0.26074476 -0.09484268 -0.13992291 -0.12767335 -0.13100190 -0.13009744

[7] -0.13034321 -0.13027643 -0.13029457 -0.13028964 -0.13029098 -0.13029062

[13] -0.13029072 -0.13029069 -0.13029070 -0.13029070 -0.13029070 -0.13029070

[19] -0.13029070 -0.13029070

$se

Time Series:

Start = 14

End = 33

Frequency = 1

[1] 0.6900609 0.7150829 0.7168958 0.7170295 0.7170394 0.7170401 0.7170401

[8] 0.7170401 0.7170401 0.7170401 0.7170401 0.7170401 0.7170401 0.7170401

[15] 0.7170401 0.7170401 0.7170401 0.7170401 0.7170401 0.7170401

IPCA.pred<-predict(IPCA.fit, n.ahead=20)

plot(indice[,3], xlim=c(0,50), ylim=c(-5,5), type="l", lwd=2, col="blue", xlab="Ano",

ylab="Força IPCA")

lines(IPCA.pred$pred, col="red")

lines(IPCA.pred$pred+2*IPCA.pred$se, col="red", lty=3)

lines(IPCA.pred$pred-2*IPCA.pred$se, col="red", lty=3)

187

Apêndice VII – Notas do Tesouro Nacional-Série B

Os fluxos de caixa das NTN-B, assim como todas as datas de pagamento de cupons

estão dispostos nas tabelas a seguir.

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Universidade Federal do Rio de Janeiro Centro de Ciências ... · 3 DEDICATÓRIA Aos meus queridos amores, meu marido Marcelo e minha filha Marie, pelo apoio, incentivo e inspiração