Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos …. Circuitos de segunda ordem pode ser obtidos por redes RLC e LC ou associações de redes RC e RL ou por redes com dois capacitores

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Circuitos Elétricos I - EEL420

Módulo 7

Musschenbroek Green Gauss

Edison Tesla Lorentz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pieter_van_Musschenbroek

http://en.wikipedia.org/wiki/George_Green

http://pt.wikipedia.org/wiki/Gauss

http://pt.wikipedia.org/wiki/Thomas_Alva_Edison

http://pt.wikipedia.org/wiki/Nikola_Tesla

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Antoon_Lorentz

Conteúdo

7 - Circuitos de Segunda Ordem.................................................................................................1

7.1 - Circuito RLC linear e invariante no tempo....................................................................1

7.1.1 - Resposta à excitação zero.......................................................................................1

7.1.2 - Resposta ao estado zero..........................................................................................4

7.1.2.1 - Resposta ao degrau.........................................................................................5

7.1.2.2 - Resposta ao impulso.......................................................................................7

7.2 - Oscilação, resistência negativa e estabilidade..............................................................10

7.3 - O método do estado-espaço.........................................................................................11

7.3.1 - Equações de estado e trajetória.............................................................................12

7.3.2 - Redes lineares e invariantes.................................................................................15

7.4 - Circuitos não lineares e variáveis com o tempo...........................................................17

7.4.1 - Caso linear variável com o tempo........................................................................18

7.4.2 - Caso não linear.....................................................................................................19

7.5 - Dualidade e Analogias.................................................................................................21

7.6 - Exercícios.....................................................................................................................23

7.7 - Soluções.......................................................................................................................31

Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ 2

7 Circuitos de Segunda Ordem

7.1 Circuito RLC linear e invariante no tempo

7.1.1 Resposta à excitação zero

iCiRiL=0

C⋅dvdt

vRiL=0

como a tensão sobre todos os componentes é a mesma temos que

v=L⋅di L

dt, assim

C⋅L⋅d 2 iL

dt2

LR⋅

diL

dtiL=0 ou

d 2 iL

dt2 +1

R⋅C⋅

diL

dt+

1C⋅L

⋅iL=0

cujas condições iniciais são

iL 0=I 0 e

diL 0

dt=

v L 0

L=

vC 0

L=

V 0

L.

Se, por conveniência, definirmos

=1

2⋅R⋅C (parâmetros de amortecimento – para o circuito paralelo)


e ω0=1

√L⋅C (frequência de ressonância)

a equação anterior pode ser reescrita como

d 2 iL

dt2 +2⋅α⋅diL

dt+ω0

2⋅iL=0 .

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea de coeficientes

constantes. O polinômio característico para esta equação diferencial é

s2+2⋅α⋅s+ω0

2=0 .

Os zeros do polinômio característico são chamados de raízes características ou,

melhor dizendo, frequências naturais do circuito:

s1,2=−±2−0

2 .

Estas raízes dependem de e 0 , os dois parâmetros que caracterizam o

comportamento da rede de segunda ordem. Desta forma podem existir quatro respostas

distintas dependendo da posição das: raízes reais e diferentes, reais e iguais, complexo

conjugadas, com parte real nula.

a) Raízes reais (s1 e s2), negativas e diferentes (α>ω0) – circuito superamortecido

iLt =k 1⋅es1⋅tk 2⋅e

s2⋅t

onde k1 e k2 são constantes reais que dependem das condições iniciais.

b) Raízes reais (s1 e s2), iguais e negativas (α=ω0) – circuito criticamente amortecido

iLt =k1k 2⋅t ⋅e−⋅t

onde k1 e k2 são constantes reais que dependem das condições iniciais.

c) Raízes complexo conjugadas negativas (α<ω0) – circuito subamortecido


iLt =k 1⋅e−⋅t⋅cos d⋅t ou

iL(t )=k1⋅e−α⋅t⋅cos (ωd⋅t)+k 2⋅e

−α⋅t⋅sen (ωd⋅t)

onde e d são constantes reais que formam as raízes ( s1,2=−± j⋅d ), k1 e θ (ou

k1 e k2) são constantes reais que dependem das condições iniciais.

d) Raízes imaginárias (α=0) – circuito LC sem perdas (ressonante)

iLt =k 1⋅cos d⋅t ou

iLt =k 1⋅cos d⋅t k 2⋅sen d⋅t

onde d é uma constante real que determina as raízes ( s1,2=± j⋅d=± j⋅0 ), k1 e θ

(ou k1 e k2) são constantes reais que dependem das condições iniciais.

Alguns detalhes sobre estas soluções precisam ficar evidentes:

1. Para qualquer das soluções acima as duas contantes que devem ser

determinadas (k1 e k2 ou k1 e θ) podem ser obtidas pelas condições iniciais do

problema.

2. Com exceção da solução criticamente amortecida todas as demais apresentam

duas exponenciais. Para os circuitos subamortecido e sem perdas as exponenciais são

complexas.

3. O caso sem perdas apresenta resistência infinita em paralelo com L e C

paralelos ou resistência nula em série com L e C série.

4. A energia total armazenada no circuito é igual a soma das energias acumuladas

em campo elétrico e magnético. Com o passar do tempo a energia é trocada entre o

capacitor e o indutor. Se houver resistência parte da energia será dissipada nela até que

a energia armazenada seja nula.


5. Circuitos de segunda ordem pode ser obtidos por redes RLC e LC ou

associações de redes RC e RL ou por redes com dois capacitores ou dois indutores

independentes. Redes RC e RL passivas não apresentam resposta natural oscilatórias.

Além dos termos e 0 , que apresentam relação direta com a resposta temporal,

outras constantes poderiam ter sido definidas para equação característica evidenciando

elementos da resposta em frequência da rede. Um parâmetro muito comum quando se trata de

resposta em frequência, e que possui uma relação direta com a resposta temporal, é o chamado

fator de mérito. O fator de mérito ou fator de qualidade, Q, é uma forma de determinar o

amortecimento relativo em uma oscilação amortecida.

Q=0

2⋅

Para circuitos RLC

Q=ω0⋅C⋅R=R

ω0⋅L=

R

√L⋅C−1

Quanto menos amortecimento maior o Q. Para o caso de α=0, Q=∞ . Quando Q<1/2

o sistema é superamortecido. Quando Q=1/2 (raízes reais e iguais) o sistema é criticamente

amortecido. Quando Q>1/2 o sistema é subamortecido.

7.1.2 Resposta ao estado zero.

iCiRiL= I

C⋅L⋅d 2 iL

dt2

LR⋅

diL

dtiL= I , com condições iniciais

iL0=0 e


diL 0

dt=

v L0

L=

vC 0

L=0

A solução pode ser obtida a partir da soma entre a solução homogênea e particular,

phL i+i=i , da mesma forma que para os circuitos de primeira ordem.

Também é valida a propriedade de linearidade da resposta ao estado zero, cuja

demonstração é análoga à realizada para circuitos de primeira ordem.

7.1.2.1 Resposta ao degrau

Quando I t =u t e as raízes da equação característica são reais e iguais a resposta

geral da rede é da forma

iLt =k1k 2⋅t ⋅es2⋅t1 .

Se as raízes são distintas a solução geral é da forma

iLt =k 1⋅es1⋅tk 2⋅e

s2⋅t1


então

iL0=k 1k 21=0 .

Derivando a resposta geral e analisando para t=0

diL 0

dt=k1⋅s1k 2⋅s2=0 .

Resolvendo o sistema de equações determinam-se as constantes

k 1=s2

s1−s2

e k 2=−s1

s1−s2

.

A resposta ao degrau unitário é, portanto

i Lt =[ 1s1−s2

⋅s2⋅es1⋅t−s1⋅es2⋅t1]⋅u t .

No caso subamortecido as frequências naturais são complexas

s1,2=−± j⋅d (na forma retangular)

s1,2=0⋅e± j⋅2 (na forma polar)


onde

∣s1∣=∣s2∣=0= 2d

2

e =arctan d .

Se estas raízes complexo conjugadas forem substituídas na solução do problema

obtém-se

iLt =[1−0

d

⋅e−⋅t⋅cos d⋅t−]⋅u t .

vC t =u t ⋅ LC⋅0

d

⋅e−⋅t⋅sen d⋅t .

7.1.2.2 Resposta ao impulso

No circuito da figura abaixo, uma fonte de corrente impulsiva carrega o capacitor no

instante t=0 e depois torna-se nula. A partir deste ponto, o resultado é idêntico à resposta a

excitação zero.


Alternativamente, em redes lineares, a resposta ao impulso pode ser obtida pela

derivada da resposta ao degrau.

O equacionamento do problema já foi apresentado

L⋅C⋅d 2 iLt

dt 2

LR⋅

diLt

dtiL=t

e a solução para esta equação é da forma

iLt =k 1⋅e−⋅t⋅cosd⋅t .

Para o cálculo dos coeficientes k1 e θ é necessário conhecer a derivada da resposta

diL t

dt=−⋅k1⋅e−⋅t⋅cos d⋅t−k1⋅e

−⋅t⋅send⋅t⋅d .

A corrente iL0+ não pode ser diferente de zero, caso contrário sua derivada seria um

impulso e a segunda derivada seria uma função dublê. Desta maneira a equação de iL não teria

como ser satisfeita pois não seria possível igualar a função dublê. Assim sendo

iL0+=0

Apesar disto, a corrente no capacitor pode variar rapidamente e carregar

instantaneamente o capacitor. Nesta situação

vC 0+=

1C⋅∫ iC t dt=

1C⋅∫t ⋅dt=

1C

como

v L=L⋅diL 0

+

dt

então


diL 0+

dt=

1C⋅L

Assim podemos calcular as constantes que nos faltam:

iL0+=0=k1⋅cos

diL 0+

dt=

1L⋅C

=−⋅k 1⋅cos – k1⋅sen ⋅d

uma possível solução é obtida fazendo

=900

assim

1L⋅C

=−k 1⋅d

logo k 1=−0

2

d

O resultado é, portanto

iLt =0

2

d

⋅e−⋅t⋅send⋅t ⋅u t


7.2 Oscilação, resistência negativa e estabilidade

Para o caso particular do circuito de segunda ordem sem perdas, com =0 ou

Q=∞ (são a mesma coisa), qualquer excitação que contenha uma componente espectral de

frequência senoidal igual a 0=1/L⋅C faz o circuito oscilar com a frequência de 0 . Este

circuito é chamado de ressonante ou sintonizado. Na prática, tanto o capacitor quanto o

indutor, e principalmente este último, apresentam perdas que impedem este circuito de ser um

oscilador. No máximo é possível obter um circuito subamortecido com Q de algumas

centenas. Por outro lado, se o resistor que forma o circuito RLC for negativo, então o valor de

será negativo. Neste caso as raízes do polinômio característico podem ser:

a) se ∣∣0 as duas raízes são números complexo conjugados e a solução do

problema é da forma k⋅e⋅t⋅cos d⋅t .

b) se ∣∣0 as duas soluções serão reais e positivas o que leva a solução ser uma

soma de exponenciais com expoente positivo da forma k 1⋅e∣s1∣⋅tk 2⋅e

∣s2∣⋅t .

Daí é possível deduzir que o resistor de valor negativo é um elemento ativo que

fornece energia para o sistema. Este resistor ativo pode ser obtido por diferentes

procedimentos como o uso de um diodo túnel ou o uso de técnicas de realimentação de

sistemas. Estas técnicas, entretanto só aproximam o modelo deste resistor linear para uma

determinada faixa de valores de tensão e corrente. Assim, não é incomum que, com o aumento

dos valores de tensão e corrente, o modelo de resistência negativa deixe de ser válido. Na

maioria dos casos devemos levar em conta este comportamento não linear dos circuitos e

modificar o resultado matemático obtido pela aproximação linear. Por esta razão o uso de

resistores negativos em conjunto com um circuito ressonante pode resultar em uma oscilação

não linear ou terminar queimando algum elemento do circuito por excessiva dissipação

térmica em função das elevadas tensões e correntes.

Considerando o caso genérico do circuito RLC paralelo, em relação a sua característica

oscilatória, é possível dividir o circuito em três categorias distintas com relação ao plano S.


a) As frequências naturais estão no semiplano esquerdo. Neste caso a resposta pode ser

amortecida, criticamente amortecida ou subamortecida, sempre com uma exponencial

amortecida que faz destes circuitos assintoticamente estáveis, ou seja, na resposta a excitação

zero as variáveis de rede tendem a zero a medida que tempo tende a infinito.

b) As frequências naturais estão sobre o eixo j⋅ . Neste caso a resposta corresponde

a um sistema sem perdas que oscila infinitamente com frequência 0 como resposta a

excitação zero as variáveis de rede são oscilantes.

c) As frequências naturais estão no semiplano direito. As raízes da equação

característica apresentam parte real positiva, o que implica em exponenciais crescentes. Neste

caso a resposta a excitação zero se torna ilimitada quando o tempo tende a infinito.

7.3 O método do estado-espaço

Variáveis de estado são aquelas que determinam o estado de um circuito. Formalmente

um conjunto de dados se qualificam como estado desde que atendam as seguintes condições:

1. A qualquer instante de tempo, digamos t1, o estado em t1 e as formas de onda

de excitação (especificadas a partir de t1) determinam univocamente o estado a

qualquer instante t>t1;

2. O estado no instante t e as excitações no instante t (e às vezes algumas de suas

derivada) determinam univocamente o valor no instante t de qualquer variável de rede.

Desta forma existem infinitos modos de representar os estados de cada rede. De um

modo geral o estado de qualquer rede fica determinado por todas as tensões nos capacitores

(ou cargas) e por todas as correntes nos indutores (ou fluxo). Algumas vezes são necessárias

informações adicionais para descrever o estado da rede como a posição de uma chave ou o

estado do núcleo de indutores (saturado ou não).

O uso destas variáveis permitem que o comportamento do circuito seja descrito por um

sistema de equações diferenciais de primeira ordem do tipo

x= f x , w , t


onde x é um vetor de estados da rede, w é um vetor que representa o conjunto de

excitação e t é o tempo.

Há três razões para este tipo de representação:

1. Facilita a programação computacional;

2. A extensão dos conceitos para redes não lineares e variáveis é mais simples;

3. Nessa forma vários conceitos teóricos de sistemas são imediatamente

aplicáveis às redes.

7.3.1 Equações de estado e trajetória

O circuito RLC abaixo apresenta um indutor e um capacitor por isso podemos

equacionar esta rede em função da corrente no indutor e da tensão no capacitor (variáveis de

estado). Como as equações serão integro diferenciais, opta-se pelo equacionamento das

derivadas das variáveis de estado em função das outras variáveis ou das entradas da rede.

diL t

dt=

1L⋅vC

dvC t

dt=−

1C⋅iL –

1R⋅C

⋅vC

onde iL e vC determinam o estado do circuito no instante t.

O estado inicial fica determinado pelas condições iniciais

iL0= I 0

vC t =V 0


Se desenharmos um gráfico de vC versus iL temos a trajetória estado-espaço e o

plano é chamado estado-espaço. As figuras abaixo mostram o espaço de estados para um caso

criticamente amortecido e outro subamortecido respectivamente.

Utilizando notação matricial, este sistema de equações pode ser reescrito como

dx t dt

=A⋅x t para t≥0

x 0= x0

onde


A=[ 01L

−1C

−1

R⋅C] , x=[ iL t

vCt ] e x0=[ I 0

v0]

Assim como a solução para a equação diferencial escalar de primeira ordem, o sistema

de equações diferenciais de primeira ordem também tem como resposta uma função

exponencial.

x t = x 0⋅eA⋅t para t≥0

Para calcular estas exponenciais, cujo expoente é uma matriz, é possível utilizar a

seguinte aproximação pela série de Taylor:

e⋅t=1⋅t

2⋅t 2

2!

3⋅t3

3 !...

e A⋅t= IA⋅t

A2⋅t 2

2 !

A3⋅t3

3 !...

Numericamente podemos determinar o estado-espaço da seguinte forma

dx 0dt

=A⋅x0

x t ≈ x 0dx 0

dt⋅ t= x0A⋅x0⋅ t

dx t dt

=A⋅x t

x 2⋅ t ≈ x t A⋅x t ⋅ t

x [ k1⋅ t ]≈ x k⋅ t A⋅x k⋅ t ⋅ t , para k=0, 1, 2, 3, ...

x [k1⋅ t ]≈ I t⋅A⋅x k⋅ t ⋅ t


Esta solução é semelhante ao método de Euler para solução de equações diferenciais

de primeira ordem. Quando t tende a zero os valores calculados desta forma tendem aos

valores reais.

Para o caso de excitação não nula o equacionamento do problema torna-se

dx t dt

=A⋅x t b⋅w

onde

A=[ 01L

−1C

−1

R⋅C] , x=[ iL t

vC t ] , b=[01C ] , w=I e x0=[ I 0

v0]

A solução temporal pode ser obtida pela equação geral

x= x0⋅eA⋅t∫

0

t

e A⋅ t−t ' ⋅b⋅w t ' ⋅dt '

7.3.2 Redes lineares e invariantes

Para equacionar um sistema a partir das equações de estado é possível seguir a

seguinte regra:

1. Escolher uma árvore (subgrafo ligado, contém todos os nós do grafo ligado

original e não possui nenhum percurso fechado) contendo todos os capacitores e

nenhum indutor;

2. Usar as tensões de braço da árvore nos capacitores e as correntes de enlace

(braços que não pertencem a árvore escolhida) nos indutores como variáveis;

3. Escrever uma equação de corte para cada capacitor em função das outras

variáveis escolhidas no item anterior;


4. Escrever uma equação de percurso fechado fundamental para cada indutor em

função das variáveis escolhidas no item 2.

Exemplo: Escrever as equações de estado para o circuito abaixo

Passo 1: Todos os braços que não possuem indutor.

Passo 2: vC1, i1, i2.

Passo 3: C⋅dvC1

dt=−i1−i2

Passo 4:

L1⋅di 1

dt=−R1⋅i1 – vsvC1

L2⋅di2

dt=−R2⋅i2vC1

Assim, estas três equações descrevem os estados do circuito acima em função de

equações diferenciais de primeira ordem. Tradicionalmente estas equações são reescritas

utilizando-se equações matriciais de forma que

[dvC1

dtdi 1

dtdi 2

dt]=[

0 −1C

−1C

1L1

−R1

L1

0

1L2

0 −R2

L2

]⋅[vC1

i1

i2][

0

−14

0]⋅vs


ou seja na forma

x=A⋅xb⋅w

onde A e b dependem da topologia da rede.

Para completar a descrição do sistema basta estipular as condições iniciais

x0= x 0=[vC1 0i10i 20

]Observe que a descrição do problema, tal como posto, não caracteriza as tensões de nó

nem as correntes de malha. Apesar disto qualquer destas variáveis de rede pode ser obtida

como uma função do estado e da excitação. Por exemplo, a tensão do nó 1 pode ser escrita

como

v1t =R1⋅i1t vs t

De uma forma geral, se y é uma resposta ela pode ser expressa como uma combinação

linear do vetor estado e da excitação w (para os sistemas impróprios a resposta depende das

derivadas da excitação w). Assim

y=cT⋅xd 0⋅w

onde c é um vetor constante, e d0 um escalar. Para o caso anterior

v1=[0 R1 0]⋅[vC1

i 1

i 2]1⋅vs

7.4 Circuitos não lineares e variáveis com o tempo.

Os circuitos de segunda ordem não lineares e variáveis com tempo só apresentam

solução analítica em alguns poucos casos particulares. Uma possível solução consiste em

linearizar o problema por partes, o que é útil apenas quando não se possui recurso


computacional. Alternativamente podemos descrever as não linearidades e utilizar métodos

numéricos para solucionar os problemas que se apresentam. Uma boa maneira para resolver

estes problemas passa pelo uso de equações de estado

7.4.1 Caso linear variável com o tempo

Considerando o circuito abaixo contendo todos os elementos lineares e variantes com

o tempo

v R1t =R1t ⋅iR1t

1t =L1t ⋅i1t

q t =C t ⋅v t

2t =L2⋅i2t

v R2t =R2t ⋅iR2t

[q t 1t

2t ]=[

0 −1

L1t −

1L2 t

1C t

−R1t

L1t 0

1C t

0 −R2t

L2 t ]⋅[ qt 1t

2t ][ 0

−10 ]⋅vs t

Via de regra, para sistemas lineares variáveis com o tempo, é mais simples escrever as

equações de estado em função de carga e do fluxo caso contrário teremos que calcular


derivadas de L e C pois v L t =d [L t⋅i t ]

dt e iC t =

d [C t ⋅v t ]dt

. Além disto, desde que

as correntes nos capacitores não incluam impulsos, a carga é uma função contínua do tempo.

7.4.2 Caso não linear

Para simplificar também escrevemos equações de iL= f L , vC= f C q e

v R= f Ri ou iR= f Rv .

Exemplo 1:

Passo1: Todos os braços que contenham todos os capacitores e nenhum indutor

Passo2: q, 1 e 2

Passo 3:

q=−i1−i2

q=− f L1 1− f L2 2

Passo 4:

1=vC – v R1−vs

1= f C q− f R1 [ f L1 1]−vs

e


2=vC−vR2

2= f C q− f R2[ f L22]

Assim, deixando explícita a dependência das variáveis com o tempo, as equações de

estado têm a forma

q=− f L1 1− f L2 2

1= f C q− f R1 [ f L1 1]−vs

2= f C q− f R2[ f L22]

Exemplo 2:

Considerando os resistores definidos pelas relações iR1= f R1vR1 e v R2= f R2iR2 .

Passo1: Todos os braços que contenham todos os capacitores e nenhum indutor

Passo2: q1, q2,

Passo 3:

Para o primeiro capacitor

q1=−iR1=− f R1vR1

q1=− f R1vC1vC2−vs

q1=− f R1[ f C1q1 f C2 q2−vs]


e para o segundo capacitor

q2= q1−iL

q2=− f R1[ f C1q1 f C2q2−vs ]− f L

Passo 4:

=vC2−vR2

= f C2q2− f R2 [ f L ]

assim as equações de estado são

q1t =− f R1 [ f C1q1t f C2q2t −vs t ]

q2t =− f R1[ f C1 q1t f C2 q2t −vs t ]− f L t

= f C2q2− f R2 [ f L ]

7.5 Dualidade e Analogias

O circuito RLC série abaixo pode ser equacionado como segue

iL=iR=iC=i

v Lv RvC=v

L⋅didtR⋅iV 0

1C⋅∫

0

t

i t ' ⋅dt '=v

com


iL0= I 0 e vC 0=V 0

Considerando vC como a variável de interesse temos

vC=V 01C⋅∫

0

t

i t ' ⋅dt ' e

i=C⋅dvC

dt

assim

L⋅C⋅d 2 vC

dt 2 R⋅C⋅dvC

dtvC=v

com

vC 0=V 0 e

dvC 0

dt=

iL 0

C=

I 0

C

Observa-se que há uma semelhança muito grande entre esta equação e aquela obtida

para a corrente do indutor no circuito RLC paralelo. Esta semelhança se deve a chamada

dualidade ou seja circuitos diferentes com equações de mesmo formato. A tabela abaixo

mostra como as variáveis devem são transformadas na dualidade.

Rede Original Rede DualNó Malha

Nó terra Malha externaCorte Percurso fechado

Braços série Braços em paraleloTensões de nó Correntes de malha

LCK LTKTensão CorrenteCarga Fluxo

Resistência CondutânciaIndutância Capacitância

Fonte de tensão Fonte de correnteCurto circuito Circuito aberto


Observe que no circuito série

α=R

2⋅L e ω0=

1

√L⋅C

De forma semelhante a dualidade sistemas análogos podem ser obtidos quando se

compara a equação de um circuito elétrico com a equação de um outro sistema físico ou

químico.

Exemplo: Seja um bloco de massa M conectado a uma mola de constante elástica K

presa a uma parede. A massa repousa sobre uma superfície plana e horizontal com coeficiente

de atrito B. Uma força Fs atua puxando a massa para em direção contrária a da parede onde a

mola está presa. Equacionar o problema.

F S−F K−F B=M⋅dvdt

F S=F K x F BvM⋅dvdt

F S=K⋅xB⋅dxdtM⋅

d 2 x

dt 2

Sistema Mecânico Sistema Elétrico

Massa f =M⋅dvdt

Capacitor i=C⋅dvdt

Atrito f =b⋅v Condutor i=G⋅v

Mola f = f 0K⋅∫ v t ⋅dt Indutor i=i 01L⋅∫ v t ⋅dt

7.6 Exercícios

Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a

simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das

simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em

infinito.


1) O circuito de segunda ordem estava descarregado quando a chave foi fechada em

t=0. Sabendo-se que a tensão sobre o capacitor é da forma ( )φ+tωek+k ta ⋅⋅⋅ ⋅ cos21 , para t>0.

Calcule os parâmetros desconhecidos.

2) Para o circuito abaixo determine I1(t) para t≥0. Para t<0 o circuito está em regime

permanente.

3) No circuito abaixo determine io(t). Dados ( )

+⋅

⋅⋅= Vpg t

CLVtv θ1

cos ,

( ) ( )tuIti pg ⋅=

4) Calcule vR5(t), dado iL(0)=1A e vC(0)=1V; b) Quais as frequências naturais do

circuito.


5) Determinar VR2(t) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t≥0.

Escrever a resposta como soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.

6) Encontrar a resposta completa vC(t) para t>0 para o circuito abaixo. Assuma que o

circuito estava em regime permanente para t=0- quando a chave S1 troca de posição.

7) Calcule a corrente que atravessa a rede RC e a tensão nos seus terminais. Em t(0_) o

circuito está em regime permanente. Em t(0) a chave S1 abre e a chave S2 troca de posição.

Em t=2s as chaves retornam as posições originais.


8) Equacione o circuito abaixo utilizando variáveis de estado: wBxAx ⋅+⋅=˙ . R6 é

um elemento linear e invariante no tempo.

9) Encontrar a corrente que passa pelo capacitor para t>0. Assuma regime permanente

antes do fechamento da chave, em t=0. Indique as frequências naturais, a resposta forçada e a

resposta natural do circuito. Considere que em t=0 o capacitor estava descarregado.

10) Considere o circuito linear e invariante abaixo. a) Escreva as equações de estado

para os capacitores e; b) mostre que as demais saídas da rede (tensões e correntes) podem ser

obtidas por uma combinação linear do vetor de estados e da excitação. *As condições iniciais

do problema são: iL1(0)=2A, iL2(0)=9A, iL3(0)=0A, vC4(0)4V e vC5(0)=6V. A fonte é is=5cos(t).


11) O circuito da figura 3 está em regime permanente quando, em t=0, a chave abre.

Determine vC(t).

12) O circuito da figura abaixo está operando em regime permanente. Determine

Vab(t) conforme indicado no circuito e esboce o gráfico.

13) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre,

também, que é possível determinar todas as correntes de braço em função do vetor de estado e

da excitação. Redesenhe o circuito e marque o sentido e o nome de cada corrente de braço.

14) Determine, para o circuito abaixo, I R1t e I R3t . O circuito estava em regime

permanente para t<0.


15) No circuito abaixo, a chave S1 troca de posição em t=0. Escreva um conjunto de

equações de estado que descreva o comportamento do circuito para t>0. A partir deste sistema

de equações determine o valor de R4 para que a tensão sobre o indutor seja oscilatória sem

amortecimento.

16) O circuito abaixo está em regime permanente para t<0. Determinar a tensão Vx(t)

para t>0.

17) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre que a

corrente pela fonte V5 pode ser obtida a partir das variáveis de estado e das fontes.


18) Calcule VX para t>0s. Considere V2=18·δ(t). Simplificando o circuito é possível

obter a equação diferencial sem resolver nenhum sistema de equações. Para t<0s considere

regime permanente.

19) No circuito abaixo, a chave S1 fecha em t=21s. Calcular VR6 para t>0s. Considere

I2=5u(t) ou I2=5r(t) se quiser disputar um ponto extra. Para t<0s considere regime

permanente.


20) Para t 0=160ms a chave S1 fecha. Calcule I L2 t para t≥0s . Considere que

d t =t e d t−t0 =t−t 0

21) No circuito abaixo a chave S1 abre em t=1s , fecha em t=2s e abre novamente

em t=3s . Determine V C t para t≥0s .

22) Para t0s o circuito estava em repouso. Determinar V ABt para t≥0 .

I 3=2⋅cost ⋅ut .

a) considere I 4=12⋅t ;

b) considere I 4=0 .


23) A chave S2 abre em t=0s e a chave S3 em t=0,05s. Determine a expressão de

I R7 t . Use equações de estado para o equacionamento.

7.7 Soluções

Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a

simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das

simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em

infinito.

1) O circuito de segunda ordem estava descarregado quando a chave foi fechada em

t=0. Sabendo-se que a tensão sobre o capacitor é da forma ( )φ+tωek+k ta ⋅⋅⋅ ⋅ cos21 , para t>0.

Calcule os parâmetros desconhecidos.


2) Para o circuito abaixo determine I1(t) para t≥0. Para t<0 o circuito está em regime

permanente.

O circuito Norton formado por L11 e F1 pode ser transformado no seu Thèvenin

equivalente

L11 '=L11

F1 '=L11⋅dI 2

dt=2⋅

dI 2

dt

Equacionando a malha de I1

H 2−E1+6⋅I 1+(L10+L11 ' )⋅dI 1

dt+2⋅

dI 2

dt=2⋅

dI 2

dt+2⋅I 2+4⋅

dI 1

dt+6⋅I 1=12 (1)

Equacionando a malha de I2

−H 1−E2+V C1+V R1=−I 1−24+ I 2+∫ I 2⋅dt=0

dI 2

dt I 2=

dI 1

dt(2)

Multiplicando a equação 2 por -2 e somando com a equação 1

4⋅dI 1

dt+6⋅I 1=12−2⋅

dI 1

dt


dI 1

dtI 1=2

Para t=∞ os indutores são um curto e o capacitor um circuito aberto

I 2∞=0

I 1 ∞=K=E1

R1

=2A

Para t=0+ , os indutores são um circuito aberto e o capacitor é um curto circuito.

Nesta condição particular, a corrente da fonte F1 se divide igualmente pelos dois indutores

I L11(0+)= I L10(0

+)=

I 2(0+)

2

I 1=−I 2

2

I 20+=

E2H 1

R2

=24 I 10

+

1=24I 10

+

−I 10+=

24I 10+

2=8A

I 1 t =A⋅e−tK

I 1 0=A2=−8

A=−10

I 1 t =−10⋅e−t2

3) No circuito abaixo determine io(t). Dados ( )

+⋅

⋅⋅= Vpg t

CLVtv θ1

cos ,

( ) ( )tuIti pg ⋅=


4) Calcule vR5(t), dado iL(0)=1A e vC(0)=1V; b) Quais as frequências naturais do

circuito.

5) Determinar VR2(t) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t≥0.

Escrever a resposta como soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.

6) Encontrar a resposta completa vC(t) para t>0 para o circuito abaixo. Assuma que o

circuito estava em regime permanente para t=0- quando a chave S1 troca de posição.


Solução:

Supondo V A a tensão entre o indutor e R5 e V B a tensão entre o indutor e R4 então

V A−V 1

R1

1L⋅∫ f V A−V B⋅dtI L 0

C⋅dV A

dt=0 (1)

V B−0

R2

1L⋅∫V B−V A⋅dt−I L 0=0 (2)

Somando 1 e 2

V A

R1

−V 1

R1

V B

R2

C⋅dV A

dt=0 (3)

Derivando 1

1R1

⋅dV A

dt–

1R1

⋅dV 1

dt

V A

L–

V B

LC⋅

d 2 V A

dt 2 =0

V B=LR1

⋅dV A

dt–

LR1

⋅dV 1

dtV AL⋅C⋅

d 2V A

dt2 =0 (4)

Substituindo 4 em 3

V A

R1

–V 1

R1

L

R1⋅R2

⋅dV A

dt–

LR1⋅R2

⋅dV 1

dt

V A

R2

L⋅CR2

⋅d 2V A

dt 2 C⋅dV A

dt=0

L⋅CR2

⋅d 2 V A

dt 2 [ LR2⋅R1

C ]⋅dV A

dt[ 1

R2

1R1 ]⋅V A=

LR2⋅R1

⋅dV 1

dt

V 1

R1

0,0416⋅d 2V A

dt0,291⋅

dV 1

dt0,416⋅V A=0,0416⋅

dV 1

dt0,25⋅V 1

d 2 V A

dt7⋅

dV A

dt10⋅V A=

dV 1

dt6⋅V 1


Raízes da equação característica:

s1=−2 e s2=−5

vC 0+ =vC 0

–=10

46⋅6=6V

I L 0+=I L 0

–=

1046

=1A

C⋅dV C 0

+

dt=I R5 – I L 0

–=

V 1−V C 0–

R1

– 1=5−6

4–1=−1,25 A

dV C 0+

dt=−1,250,25

=−5V⋅s−1

V C ∞=3V

V C t =k1⋅e−2⋅tk 2⋅e

−5⋅tk 3

V C ∞=3=k3

V C 0+=6=k 1k 23

k 1k 2=3

dV C 0+

dt=−5=−2⋅k1 – 5⋅k 2

−2⋅k1 – 5⋅k 2=−5

k 1=3,33 , k 2=−0,33 e k 3=3

7) Calcule a corrente que atravessa a rede RC e a tensão nos seus terminais. Em t(0_) o

circuito está em regime permanente. Em t(0) a chave S1 abre e a chave S2 troca de posição.

Em t=2s as chaves retornam as posições originais.


8) Equacione o circuito abaixo utilizando variáveis de estado: wBxAx ⋅+⋅=˙ . R6 é

um elemento linear e invariante no tempo.

9) Encontrar a corrente que passa pelo capacitor para t>0. Assuma regime permanente

antes do fechamento da chave, em t=0. Indique as frequências naturais, a resposta forçada e a

resposta natural do circuito. Considere que em t=0 o capacitor estava descarregado.

10) Considere o circuito linear e invariante abaixo. a) Escreva as equações de estado

para os capacitores e; b) mostre que as demais saídas da rede (tensões e correntes) podem ser

obtidas por uma combinação linear do vetor de estados e da excitação. *As condições iniciais

do problema são: iL1(0)=2A, iL2(0)=9A, iL3(0)=0A, vC4(0)4V e vC5(0)=6V. A fonte é is=5cos(t).


11) O circuito da figura 3 está em regime permanente quando, em t=0, a chave abre.

Determine vC(t).

12) O circuito da figura abaixo está operando em regime permanente. Determine

Vab(t) conforme indicado no circuito e esboce o gráfico.

13) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre,

também, que é possível determinar todas as correntes de braço em função do vetor de estado e

da excitação. Redesenhe o circuito e marque o sentido e o nome de cada corrente de braço.

supondo as correntes de cima para baixo e da esquerda para a direita


C2⋅dvC

dt

vC

R4

I 1iL2=0

L⋅diL2

dt=vC – iL2 – gm⋅vC ⋅R5

dvC

dt=−

vC

R4⋅C2

–iL2

C 2

–I 1

C2

diL2

dt=1gm⋅R5⋅vC

L2

−iL2⋅R5

L2

equacionar as demais correntes em função dos componentes, vC e i L2 .

14) Determine, para o circuito abaixo, I R1t e I R3t . O circuito estava em regime

permanente para t<0.

Equacionando a malha V1, R1, L1 e R3.

v1=R1⋅I R1R3⋅I R3L1⋅dIR3

dt

180u t =30⋅I R130⋅I R3120⋅dIR3

dt

4⋅dI R3

dt I R3=6u t − I R1 (1)

Equacionando a malha V1, R1, R2, C2.


v1=R1R2⋅I R1 – R2⋅I R31C1

⋅∫ I R1⋅dt –1C1

⋅∫ I R3⋅dt

180u t =90⋅I R1 – 60⋅I R315⋅∫ I R1⋅dt – 15⋅∫ I R3⋅dt

12⋅t =60⋅dI R1

dt– 4⋅

dI R3

dt I R1−I R3

12⋅t =60⋅dI R1

dtI R1 –4⋅dI R3

dt I R3

12⋅t =6⋅dI R1

dtI R1 – 6⋅u t – I R1

2⋅t 6⋅u t =dI R1

dt

I R1

3 (2)

A equação 2 é uma equação diferencial de primeira ordem. Uma vez determinado I R1

(equação 2) esta informação pode ser utilizada na equação 1, outra equação diferencial de

primeira ordem.

I R10=v1

R1R2

I R1∞=I R3∞=v1

R1R3

I R30=0

15) No circuito abaixo, a chave S1 troca de posição em t=0. Escreva um conjunto de

equações de estado que descreva o comportamento do circuito para t>0. A partir deste sistema

de equações determine o valor de R4 para que a tensão sobre o indutor seja oscilatória sem

amortecimento.


C3⋅dvC3

dtiL1

vC3

R3

=0 (1)

L1⋅diL1

dtiL1⋅R3 – vC3=0 (2)

As equações de estado

dvC3

dt=−vC3

R3⋅C3

–iL1

C3

(3)

diL1

dt=

vC3

L1

–R4

L1

⋅iL1 (4)

De 2 temos que

vC3=L⋅diL1

dtiL1⋅R3 (5)

Derivando 5

dvC3

dt=L1⋅

d 2iL1

dt2 R3⋅diL1

dt (6)

Substituindo 5 e 6 em 1

L1⋅C3⋅d 2iL1

dt2 R4⋅C3⋅diL1

dtiL1

L1

R3

⋅diL1

dt

R4

R3

⋅iL1=0


L1⋅C3⋅d 2iL1

dt2 R4⋅C 3L1

R3⋅diL1

dt1 R4

R3⋅iL1=0

d 2 iL1

dt 2 R4

L1

1

R3⋅C3⋅diL1

dt 1

L1⋅C 3

R4

L1⋅C3⋅R3⋅iL1=0

R4

L1

1

R3⋅C3

=0

R4

1

1−2⋅1

=R4 –12=0

R4=12

16) O circuito abaixo está em regime permanente para t<0. Determinar a tensão Vx(t)

para t>0.

v x – v3

R5

iL2C2⋅dv X

dt=0

iL2=−C2⋅dv X

dt–

v X

R5

v3

R5

R6⋅i L2L2⋅diL2

dt=v X

R6⋅−C 2⋅dv X

dt–

v X

R5

v3

R5L2⋅

dtdt −C2⋅

dv X

dt–

v X

R5

v3

R5=v X


L2⋅C2⋅d 2 v X

dt2 R6⋅C2L2

R5⋅dv X

dt1 R6

R5⋅v X=

R6

R5

⋅v3L2

R5

⋅dv3

dt

d 2 v X

dt 2 1001⋅dv X

dt1001⋅103

⋅v X=103⋅v3

dv3

dt

v X 0=0

v X ∞=v3⋅R6

R5R6

=0,009

dv X

dt=

iC2(0)

C2

=v3

R5⋅C2

=10

k=0,01999

k 1=0,0085

=30,50

17) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre que a

corrente pela fonte V5 pode ser obtida a partir das variáveis de estado e das fontes.

Considerando a corrente em L2, C4, R7 e R8 de cima para baixo.

L⋅diL2

dt=v R8 – v 4 – v5=iR8⋅R8 – v4−v5 (1)


iR8=iC4 – iV5 (2)

iV5=iL2−iR7 (3)

iR7=v5v6vC4

R7

(4)

iC4=iV6i4 (5)

iV6=−iR7+i3 (6)

C4⋅dvC4

dt=iV6i4 (7)

Substituindo 6 em 5 e 5 em 2, substituindo 4 em 3 e 3 em 2 e substituindo 2 em 1

temos

diL2

dt=−iL2⋅

R8

L2

i3i 4⋅R8 – v4 – v5

L2

Substituindo 4 em 6 e 6 em 7 temos

dvC4

dt=−vC4

C4⋅R7

+R7⋅(i3+i4)−v5−v6

C4⋅R7

18) Calcule VX para t>0s. Considere V2=18·δ(t). Simplificando o circuito é possível

obter a equação diferencial sem resolver nenhum sistema de equações. Para t<0s considere

regime permanente.


Explodindo a fonte V1, ficamos com V1 em série com R1 e o conjunto em paralelo

com R2. Por outro lado teremos V1 em série com R3 e o conjunto em paralelo com o série de

V2 e R4.

O equivalente Norton de V1, R1 e R2 é:

RN1=R1 // R2=4

I N1=v1

R1

=4,5u (t)A

O equivalente Norton de V1, R3, V2, R4 é:

RN2=R3 // R4=2

I N2=( v2

R4

+v1

R3)=6δ( t)+6u(t )A

Explodindo a fonte I1 sobre os dois equivalentes Norton as fontes de corrente ficam

I N1* =I N1 – i 4=4,5u t −4 A

I N2* =I N2i4=6t 6u t 4A


Transformando os equivalentes Norton em Thèvenin todos os elementos ficam em

série. Se considerarmos o positivo da fonte apontando para a esquerda então

RTOT=RN1RN2=6

V TOT=RN1⋅I N1* −RN2⋅I N2

* =18u t −16−12t −12u t −8=6u t −12t −24V

Da equação característica do circuito α=R

2⋅L=3 , ω0=

1

√L⋅C=5 , ωd=√ω0

2−α2=4

v X=[ A⋅cos 4⋅t B⋅sen 4⋅t ]⋅e−3⋅tC

Em regime permanente o capacitor será um circuito aberto, logo

v L ∞=0V , vC(∞)=−18V , v X (∞)=−18V

No transitório, a fonte impulsiva carrega o indutor com 12A, V TOT=−18V e

V R=R⋅iL=72V

v L(0+)=−66V , vC 0

+ =−24V , v X (0+)=−90V

19) No circuito abaixo, a chave S1 fecha em t=21s. Calcular VR6 para t>0s. Considere

I2=5u(t) ou I2=5r(t) se quiser disputar um ponto extra. Para t<0s considere regime

permanente.

Explodindo a fonte I2 notamos dois circuitos RC paralelo, independentes, em paralelo

com uma fonte de corrente independente. Quando a chave fecha surge um circuito série

formado pela fonte V3 e os dois capacitores. Como a soma das tensões não resulta em zero há


um redistribuição de cargas. Esta tensão inicial nos capacitores muda com o tempo até a

situação de regime permanente (divisor de tensão sobre R6). A contante de tempo, nesta

situação corresponde ao produto entre a resistência equivalente (R5//R6) e a capacitância

equivalente (C2//C3). Com a chave fechada a fonte de corrente não tem influência sobre VR6.

20) Para t 0=160ms a chave S1 fecha. Calcule I L2 t para t≥0s . Considere que

d t =t e d t−t0 =t−t 0

Sem as fontes o circuito se torna um RLC série cujas raízes do polinômio

característico são

s1,2=−10

para t0

iL20-=20A , vC 0

-=0

para 0t160ms

vC 0+=0

iL20+=

1L⋅∫2⋅t ⋅dt=120

diL 0+

dt=

v L 0+

L=−

[ iL20+− I 1]⋅REQ

L2

=−120−20⋅0,240,16

0,02=−

400,02

=2000


iL2t = A1A2⋅t ⋅e−10⋅tA3

iL2∞=A3=20

iL20=A1A3

A1=100

diL 0+

dt=−10⋅A1A2=−2000

A2=10⋅100−2000=1000

para t=160- ms

iL2160-=8

vC 160 -=−6,4

para t=160+ ms

A fonte impulsiva I 2 modifica as condições iniciais para a próxima etapa do

problema. Os efeitos de I 2 são

vC 160+=

1C⋅∫ I 2⋅dt=2⋅∫ 2⋅t ⋅dt=4⋅u t

iL2160+=

1L⋅∫ R5⋅I 2⋅dt=50⋅∫0,24⋅2⋅t ⋅dt=24⋅u t

As condições iniciais totais são

vC 160+=−6,44=−2,4

iL2160+=824=32

Para t160ms


iL2=[K1⋅cos 8⋅t ' K 2⋅sen 8t ' ]⋅e−6⋅t 'K3

iL2∞=20=K 3

iL20+=K120=32

K 1=12

diL2(0+)

dt=

vL2 (0+ )

L=−264

diL2(0+)

dt=−6⋅K1+8⋅K2=−264

K 2=−24


21) No circuito abaixo a chave S1 abre em t=1s , fecha em t=2s e abre novamente

em t=3s . Determine V C( t) para t≥0s .

22) Para t<0s o circuito estava em repouso. Determinar V AB(t ) para t≥0 .

I 3=2⋅cos (t)⋅u(t ) .

a) considere I 4=12⋅δ(t) ;

b) considere I 4=0 .

23) A chave S2 abre em t=0s e a chave S3 em t=0,05s. Determine a expressão de

I R7( t) . Use equações de estado para o equacionamento.


iR7(t)=e−t⋅[3⋅cos(3⋅t)– sen (3⋅t )]

i R7(t)=−2,26⋅e−2⋅(t−0,05)+4,94⋅e−5⋅(t−0,05)


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Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos …. Circuitos de segunda ordem pode ser obtidos por redes RLC e LC ou associações de redes RC e RL ou por redes com dois capacitores