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Universidade Federal do Rio de Janeiro
GRUPOS DE GERMES DE DIFEOMORFISMOS COMPLEXOS EMVARIAS VARIAVEIS E FORMAS DIFERENCIAIS
Mitchael Alfonso Plaza Martelo
Rio de Janeiro2010
GRUPOS DE GERMES DE DIFEOMORFISMOS COMPLEXOS EMVARIAS VARIAVEIS E FORMAS DIFERENCIAIS
Mitchael Alfonso Plaza Martelo
Tese de Doutorado apresentada ao Programa dePos-Graduacao em Matematica, Instituto de Ma-tematica, Universidade Federal do Rio de Janeiro,como parte dos requisitos necessarios a obtencao dotıtulo de Doutor em Ciencias (Matematica).
Orientador: Bruno Cesar Azevedo Scardua.
Rio de JaneiroMaio, 2010
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Tese de doutorado submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matematica da Uni-versidade Federal do Rio de Janeiro, com parte dos requisitos necessarios para a obtencaodo grau de Doutor em Ciencias.
Area de concentracao: Matematica
Aprovada por:
Prof. Bruno Cesar Azevedo Scardua, IM-UFRJ(Presidente)
Prof. Carlos Arnoldo Morales Rojas, IM-UFRJ
Prof. Javier Ribon Herguedas, UFF
Prof. Leonardo Miereles Camara, UFES
Prof. Luiz Amancio M. de Souza Jr., UNIRIO
Prof. Julio Cesar Canille Martins, UENF
Agradecimentos
Ao Instituto de Matematica da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ.Ao Bruno Scardua pela confianca, apoio e especialmente pela excelente orientacao que
muitas vezes foram alem do ensino Academico.A todos amigos e colegas da UFRJ e do IMPA. Especialmente a John Beiro Moreno,
Carlos Bocker Neto, Marcelo Luis Tavares e Sergio Romana.Aos membros da banca.A Universidad de Cartagena e todos os professores que fizeram possıvel minha vinda
ao brasil. Especialmente a Rafael Ahumada, Joaquin Luna Torres e Gilberto Lopez.Ao Instituto de Matematica Pura e Aplicada - IMPAAo CNPq pelo auxılio financeiro.Aos amigos da republica Yestin, Ricardo Javier, Eduardo, Carlos, John Beiro, Sergio,
Alien, Edilberto, Bernadete, Anita. Em especial a bebe da casa Isabele.A meus pais Arnoldo Plaza e Janeth Martelo pelo apoio e carinho incondicionais.A toda minha familia pela compreensao e forca durante todo este tempo longe. Espe-
cialmente aos mais novos integrantes, Hans, Kiara, Isacc David e Maria Fernanda.Enfim, agradeco a todos que, direta ou indiretamente, contribuıram para que este
trabalho fosse realizado.
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Martelo, Mitchael Alfonso Plaza.Grupos de germes de difeomorfismos complexos em
varias variaveis e Formas Diferenciaveis/ Mitchael Al-fonso Plaza Martelo. Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2010.
viii, 49f.Orientador: Bruno Cesar Azevedo Scardua.Tese (Doutorado)- UFRJ/ Instituto de Matematica/
Programa de Pos-graduacao em Matematica, 2010.Referencias Bibliograficas: f. 48 - 49.1. Grupos de difeomorfismos complexos. 2. Series
Formais. 3. Campos e formas invariantes. I. Martelo,Mitchael Plaza. II. Universidade Federal do Rio de Ja-neiro, Instituto de Matematica, Programa de Pos-graduacao em Matematica. III. Tıtulo.
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RESUMO
GRUPOS DE GERMES DE DIFEOMORFISMOS COMPLEXOS EM VARIASVARIAVEIS E FORMAS DIFERENCIAIS
Mitchael Alfonso Plaza Martelo
Orientador: Bruno Cesar Azevedo Scardua.
Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pos-graduacao em Ma-tematica, Instituto de Matematica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ,como parte dos requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de Doutor em Matematica.
Estudamos os grupos de series formais em varias variaveis complexas. Para os gruposabelianos, meta-abelianos, soluvel ou nilpotentes, investigamos a existencia de camposde vetores e formas diferenciais adequadas as quais possuem uma certa propriedade deinvariancia pela acao deste grupo.
Rio de JaneiroMaio, 2010
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ABSTRACT
Groups of Germs of Complex Diffeomorphisms in several variables and DifferentialForms
Mitchael Alfonso Plaza Martelo
Orientador: Bruno Cesar Azevedo Scardua.
Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pos-graduacao em Ma-tematica, Instituto de Matematica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ,como parte dos requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de Doutor em Matematica.
We study groups of formal diffeomorphisms in several complex variables. For abe-lian, solvable, metabelian or nilpotent groups we investigate the existence of suitableformal vector fields and differential forms which exhibit an invariance property under thegroup action. Our results apply in the construction of suitable integrating factors forholomorphic foliations with singularities.
Rio de JaneiroMaio, 2010
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Sumario
1 Introducao 9
2 O caso unidimensional 12
3 Preliminares 14
4 Grupos finitos e linearizaveis 16
5 Grupos abelianos e planamente abelianos 19
6 Grupos meta-abelianos 27
7 Grupos nilpotentes e soluveis 29
8 Formas meromorfas fechadas e subgrupos (n = 2) 388.1 Grupos linearizaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2 Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.3 Grupos meta-abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9 Grupos com crescimento polinomial 45
10 Alguns problemas e questoes 47
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Capıtulo 1
Introducao
O estudo dos grupos de difeomorfismos holomorfos fixando a origem aparece naturalmentequando estudamos as singularidades das formas diferenciaveis holomorfas e o grupo deholonomia das folhas de uma folheacao. Para grupos em uma variavel, a classificacaoanalıtica, formal e topologica tem sido estudada por varios autores e pode ser encontradaem [6, 7].
Um passo importante no caso de varias variaveis e dado em [1]. Nesta tese estamosinteressados nos grupos de difeomorfismos formais de varias variaveis complexas com umponto fixo. De fato, estudamos as relacoes existentes entre os grupos de difeomorfismosabelianos, meta-abeliano, soluvel ou nilpotentes, com a existencia de campos de vetores(ou 1-formas meromorfas) invariantes ou projetivamente invariantes pela acao do grupo.Apesar de trabalhar com grupos de difeomorfismos formais e nao com germes de difeo-morfismos analıticos, Nossos resultados podem ser aplicados para o estudo e classificacao,de folheacoes com estrutura transversal homogenea (e.g., afim ou projetiva) em qualquercodimensao. (Ver [3, 15, 16] para o caso de codimensao um).
Consideremos por Diff(Cn, 0) o grupo de difeomorfismos complexos formais fixando
a origem 0 ∈ Cn e por X(Cn, 0) o modulo dos campos de vetores formais com umasingularidade na origem 0 ∈ Cn. Como no caso de uma variavel (ver [7]), grupos abelianosadmitem um campo de vetores formal invariante (cf. Teorema 5.6):
Teorema A. Todo subgrupo de difeomorfismos abeliano admite um campo de vetoresformal invariante.
Ao contrario do caso unidimensional, a recıproca deste teorema nao vale como podeser visto no Capitulo 5. Um difeomorfismo F ∈ Diff(Cn, 0) e plano se este e tangentea identidade. De acordo com [1] um difeomorfismo plano e dicrıtico se este e da formaF = exp([1]X ) e o 1-jato do campo formal X e o produto de um polinomio homogeneo pelocampo radial. Nesta tese introduzimos uma sub-classe util de difeomorfismos dicrıticos.Diremos que F e dicrıtico regular se J k+2X (o campo truncado ate a ordem k + 2) temuma singularidade isolada na origem.
Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo. O grupo dos comutadores de Λ, ([Λ,Λ]) e o grupogerado pelos elementos da forma [F,G] = F ◦ G ◦ F−1 ◦ G−1 para F,G ∈ Λ. O grupoΛ e dito meta-abeliano se [Λ,Λ] e abeliano. Λ e dito nilpotente se existe n ∈ N, tal queγn(Λ) = {Id}, onde γk(Λ) = [γk−1(Λ),Λ] e γ0(Λ) = Λ. Finalmente, Λ e soluvel, se existen ∈ N, tal que o n-esimo comutador e trivial, i.e., Λ(n) = {Id}, onde Λ(k) = [Λ(k−1),Λ(k−1)]e Λ(0) = Λ. Diremos que Λ e planamente abeliano se seu subgrupo de elementos planos(tangente a identidade) Λ1 e abeliano.
Em dimensao um, os conceitos de nilpotencia, solubilidade, meta-abelianidade saoequivalentes. Um campo de vetores X e projetivamente invariante por Λ, se para qualquerG ∈ Λ existe CG ∈ C \ {0} tal que G∗X = CGX , isto e,
g ◦ exp([t]X ) ◦ g−1(z) = exp([t](CGX ))(z),∀t ∈ C.
Os conceitos acima sao estudados em nossos resultados (cf. Teorema 5.15):
Teorema B. Um subgrupo de difeomorfismos formais contendo um difeomorfismodicrıtico regular e planamente abeliano se, e somente se, admite um campo formal dicrıticoregular projetivamente invariante.
A prova do Teorema B tambem mostra que um subgrupo contendo sua parte linear eum difeomorfismo dicrıtico regular e abeliano se, e somente se, sua parte linear e abelianae o grupo deixa um campo de vetores formal, invariante (cf. Proposicao 5.16).
Sobre o caso dos grupos meta-abeliano temos (cf. Teorema 6.2):
Teorema C. Um subgrupo de difeomorfismos formais com parte linear abeliana econtendo um difeomorfismo dicrıtico regular, e meta-abeliano, se admite um campo devetores projetivamente invariante.
Uma recıproca parcial do Teorema C e dada na Proposicao 6.3. No caso unidimensio-nal, os Teoremas 5.15 e 6.2 podem ser encontrados em [7]. Como aplicacao estudaremoso caso onde um grupo tem dois geradores, um deles e linear e o outro dicrıtico regular.(cf. Corolario 6.4).
Estudamos tambem o ındice de solubilidade dos subgrupos de Diff(Cn, 0), obtendouma caracterizacao dos subgrupos soluvel e os subgrupos abelianos de difeomorfismosplanos (cf. Teorema 7.2, Corolario 7.4 e Corolario 7.5):
Teorema D. Toda subalgebra nilpotente L de X(Cn, 0) tem ındice de solubilidade nomaximo n.
Corolario E. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0). Entao Λ e um grupo soluvel se e somente seΛρ(n)+1+n = {Id}. (ρ e a funcao de newman)
Corolario F. Seja Λ ≤ Diff1(Cn, 0) um subgrupo abeliano, entao uma das seguintesafirmacoes e verdadeira:
1. Λ ≤ 〈exp([t1]X1) ◦ · · · ◦ exp([tn]Xn) | tj ∈ C〉, com [Xj,Xr] = 0 e exp([1]Xj) ∈ Λ.
2. Λ ≤ 〈exp([1](u1X1))◦ · · · ◦ exp([1](ulXl)) | com uj funcoes racionais, Xr(uj) = 0, 1 ≤r, j ≤ l〉, onde [Xj,Xr] = 0 e exp([1]Xj) ∈ Λ, para algum l ∈ {1, . . . , n− 1}.
Denotamos por DΛ o grupo formado pela parte linear dos elementos de Λ. Comoconsequencia do corolario anterior temos o seguinte resultado (cf. Proposicao 8.9):
Proposicao G. Seja Λ ≤ Diff(C2, 0) um subgrupo com DΛ abeliano. Suponha queexistem dois campos de vetores X e Z, linearmente independentes, projetivamente in-variantes por Λ tal que [X ,Z] = 0. Entao Λ e planamente abeliano, em particularmeta-abeliano.
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Como no caso unidimensional temos uma equivalencia entre os conceitos de abelia-nidade, nilpotencia, mas para grupos que contem um algum difeomorfismo dicrıtico (cf.Teorema 7.8):
Teorema H. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo de difeomorfismos tangentes a identi-dade e seja F ∈ Λ um difeomorfismo dicrıtico com ordem de tangencia p+1. As seguintesafirmacoes sao equivalentes:
1. Λ e abeliano;
2. Λ e nilpotente;
3. Λ ⊆ Diffp+1(Cn, 0).
Aplicando um resultado de [1], obtemos (cf. Corolario 7.10):
Corolario I. Um subgrupo de difeomorfismos planos formais, que possui um difeomor-fismo dicrıtico no seu grupo dos comutadores e soluvel se, e somente se, e meta-abeliano.
Estudamos como caso particular, as relacoes entre os subgrupos de difeomorfismosde Diff(C2, 0) com duas separatrizes transversais e as 1-formas meromorfas fechadas comduas separatrizes transversais as quais sao invariantes (no sentido em que o pull back deesta e ela mesma) por Λ (cf. Teorema 8.7):
Teorema J. Seja Λ ≤ Diff(C2, 0) um subgrupo. As seguintes condicoes sao equiva-lentes:
1. Λ e abeliano com duas separatrizes transversais e algebra de lie associada de di-mensao 2.
2. Existem duas 1-formas meromorfas fechadas com duas separatrizes transversais, asquais sao invariantes por Λ.
3. Λ e formalmente conjugado aos grupos gerados por difeomorfismos lineares e difeo-morfismos de algum dos seguintes tipos:
• G(x, y) = (x(1+
k2c2
xpyq)mD
(1+k1c1
xnym)qD, y
(1+k1c1
xnym)pD
(1+k2c2
xpyq)nD
)
• G(x, y) = (ax, a−nm y
(1+kxnym)1m
)
• G(x, y) = ( b−mn x
(1+kxnym)1n, by)
Finalmente estudamos a solubilidade dos subgrupos de difeomorfismos com cresci-mento polinomial (cf. Proposicao 9.5):
Proposicao K. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo finitamente gerado com cresci-mento polinomial (para alguma metrica invariante a esquerda). Entao Λ1 e soluvel.
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Capıtulo 2
O caso unidimensional
Vamos apresentar uma serie de resultados conhecidos para difeomorfismos de (C, 0).
Seja Λ ≤ Diff(C, 0) um subgrupo de difeomorfismos formais e denotemos por Λ1 o sub-grupo de Λ de difeomorfos tangentes a identidade, isto e:
Λ1 = {g ∈ Λ | g′(0) = 1}.
Observacao 2.1. Se Λ1 = {Id}, entao Λ e abeliano, isto vem do fato que o comutador dedois elementos de Λ e um difeomorfismo tangente a identidade em Λ, ou seja, [f, g] ∈ Λ1
para f, g ∈ Λ.
Para saber quando um grupo de difeomorfismos e abeliano, soluvel ou nilpotente,temos que conhecer o comportamento do comutador de seus elementos, assim temos aseguinte proposicao
Proposicao 2.2. Dados f ∈ Diffp+1(C, 0) e g ∈ Diffq+1(C, 0), p, q > 0, p 6= q, f(z) =z + azp+1 + · · · , g(z) = z + bzq+1 + · · · entao [f, g] ∈ Diffp+q+1(C, 0) e e dado por[f, g] = z + ab(p− q)zp+q+1 + · · ·
Nos seguintes teoremas listamos os principais resultados para grupos com certas pro-priedades algebricas, como linearizacao, abelianidade, solubilidade.
Proposicao 2.3. Seja Λ ≤ Diff(C, 0) um subgrupo de difeomorfismos:
(1) Seja f(z) = λz com λn 6= 1 para todo n ∈ N. Se Λ comuta com f , entao Λ eformalmente linearizavel.
(2) (Linearizacao de Bochner). Se Λ e finito, entao e linearizavel.
(3) Se Λ e finitamente gerado e tal que todos seus elementos tem ordem finita, entao Λe finito e linearizavel.
(4) Λ1 = {Id} se, e somente se, Λ e formalmente linearizavel.
(5) Se Λ e finitamente gerado, entao Λ1 e abeliano ou nao soluvel.
(6) (Alternativa de Tits para germe de difeomorfismos). Se Λ e finitamente geradoentao Λ e abeliano, meta-abeliano ou nao soluvel.
No seguinte teorema a expresao g∗X = rX , denota que,
g ◦ exp([t]X ) ◦ g−1(z) = exp([t](rX ))(z),∀t ∈ C.
Teorema 2.4 ([11]). Seja Λ ≤ Diff(C, 0)
(1) Λ e finito se, e somente se, existe uma funcao holomorfa f invariante por cadaelemento de Λ. Isto e, ∀g ∈ Λ, g = f ◦ g
(2) Λ e formalmente linearizavel se, e somente se, existe um campo formal X ∈ X1(C, 0)de multiplicidade 1, invariante por cada elemento de Λ. Isto e, ∀g ∈ Λ, g∗X = X
(3) Λ e abeliano (nao linearizavel) se, e somente se, existe um campo formal X ∈Xj(C, 0), j ≥ 2, invariante por cada elemento de Λ. Isto e, ∀g ∈ Λ, g∗X = X
(4) Λ e soluvel (nao linearizavel) se, e somente se, existe um campo formal X ∈Xj(C, 0), j ≥ 2 invariante a menos de uma constante por cada elemento de Λ.Isto e, ∀g ∈ Λ, ∃cg 6= 1 tal que g∗X = cgX
A seguir temos uma equivalencia envolvendo grupos abelianos e 1-formas meromorfas:
Proposicao 2.5. seja Λ ≤ Diff(C, 0) um subgrupo, as seguintes afirmacoes sao equiva-lentes:
(1) o grupo e abeliano.
(2) existe um campo X ∈ X(C, 0) invariante por Λ.
(3) existe uma 1-forma meromorfa ω invariante por Λ. (g∗(ω) = ω,∀g ∈ Λ)
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Capıtulo 3
Preliminares
Definamos o grupo de difeomorfismos formal de Cn fixando a origem por:
Diff(Cn, 0) = {H(X) = AX + P2(X) + · · · | A ∈ Gl(n,C), Pi ∈ Cn[[X]]i}
onde X = (x1, . . . , xn) e Cn[[X]]i e o conjunto de vetores de Cn, cujas coordenadas saopolinomio homogeneos de grau i.Denotaremos por Diff(Cn, 0) ⊆ Diff(Cn, 0) ao pseudo-grupo de germe de difeomorfismosholomorfos de Cn fixando a origem.Denotemos o conjunto dos difeomorfismos formais (resp. analıticos) tangentes a identi-dade, com tangencia de ordem k, por:
Diffk(Cn, 0) = {H(X) = X + Pk(X) + · · · | H ∈ Diff(Cn, 0)}
Definamos por Xj(Cn, 0) a algebra de lie de campos de vetores formais de Cn em Cn deordem j por:
Xj(Cn, 0) = {F1(X)∂
∂x1
+ · · ·+ Fn(X)∂
∂xn
| Fk ∈∞⊕i=j
Cn[[X]]i}
Definicao 3.1. Dados F,G ∈ Diff(Cn, 0), dizemos que F,G sao formalmente conjugados
se existe H ∈ Diff(Cn, 0) tal que H−1 ◦ F ◦H = G.
Analogamente temos:
Definicao 3.2. Dados F,G ∈ Diff(Cn, 0), dizemos que F,G sao analiticamente conjuga-dos se existe H ∈ Diff(Cn, 0) tal que H−1 ◦ F ◦H = G.
Do mesmo modo para grupos temos:
Definicao 3.3. Dados Λ,Θ ≤ Diff(Cn, 0) subgrupos de difeomorfismos formais (respecti-vamente Analıticos), dizemos que Λ,Θ sao formalmente (respectivamente Analiticamente)
conjugados se existe H ∈ Diff(Cn, 0) (respectivamente H ∈ Diff(Cn, 0)) tal que
H−1 ◦ Λ ◦H = Θ
Em particular, Λ e dito formalmente linearizavel se existe, H ∈ Diff(Cn, 0) tal que:H−1 ◦ Λ ◦H e uma acao linear de grupo. (∀F ∈ Λ, H−1 ◦ F ◦H = DF (0))
A seguinte definicao nos da uma condicao suficiente para a linearizacao formal de umdifeomorfismo.
Definicao 3.4. Seja F ∈ Diff(Cn, 0), F e dito ressonante se os autovalores de DF (0),λ := (λ1, . . . , λn), satisfazem a seguinte relacao
λM − λj = λm11 . . . λmn
n − λj = 0
Para algum j ∈ {1, . . . , n} e M ∈ Nn, com |M | = m1 + . . .+mn ≥ 2.Em outro caso F e dito nao ressonante.
Proposicao 3.5 (Forma normal de Poincarre-Dulac). seja F ∈ Diff(Cn, 0), com DF (0)diagonal, entao F e formalmente conjugado a serie formal
F (X) = DF (0)X + Pk(X) + · · · ,
onde os Pk sao n-tuples de polinomios formados por monomios ressonantes, isto e, monomiosda forma XM onde M e tal que existe j, tal que λM − λj = 0. Em particular, se F naotem resonancias, entao F e formalmente linearizavel.
Proposicao 3.6 ([7]). A aplicacao exponencial exp : Xj(Cn, 0) 7→ Diffj(Cn, 0) e umabijecao para todo j ≥ 2.
A seguir definiremos as propriedades algebricas mais utilizadas neste trabalho.
Definicao 3.7. Sejam Λ ≤ Diff(Cn, 0) e Θ ≤ Diff(Cn, 0) subgrupos.
1. Definimos o grupo dos comutadores de Λ e Θ, ([Λ,Θ]) como sendo o grupo geradopelos elementos da forma [F,G] = F ◦G ◦ F−1 ◦G−1 para F ∈ Λ e G ∈ Θ.
2. Λ e dito meta-abeliano, se Λ1 = [Λ,Λ] e abeliano.
3. Λ e dito nilpotente, se existe n ∈ N, tal que γn(Λ) = {Id}, onde γk(Λ) = [γk−1(Λ),Λ]e γ0(Λ) = Λ.
4. Λ e dito soluvel, se existe n ∈ N, tal que seu n-esimo comutador e trivial, i.e.,Λn = {Id}, onde Λk = [Λk−1,Λk−1] e Λ0 = Λ.
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Capıtulo 4
Grupos finitos e linearizaveis
A partir de agora estudaremos os grupos de difeomorfismos de varias variaveis complexas,comecando pelos grupos de difeomorfismos finitos e linearizaveis.
Proposicao 4.1. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) e seja F ∈ Diff(Cn, 0), F (X) = AX onde Ae uma matriz diagonalizavel nao ressonante. Se F comuta com o grupo Λ, entao Λ eformalmente linearizavel por F .
Demonstracao. Primeiro provaremos esta proposicao no caso em que A e uma matrizdiagonal. Denotemos por λ = (λ1, . . . , λn) a diagonal de A. Dado G ∈ Λ formalmente
G(X) = BX + (∑|N1|≥2
aN1XN1 , . . . ,
∑|Nn|≥2
aNnXNn)
Pela hipotese, temos que F ◦G(X) = G ◦ F (X), entao, derivando em 0, temos
DF (0).DG(0) = DG(0).DF (0),
isto e, A.B = B.A. Como temos que,
F ◦G(X) = F (G(X)) = AG(X) = ABX + A(∑|N1|≥2
aN1XN1 , . . . ,
∑|Nn|≥2
aNnXNn)t
= ABX + (λ1
∑|N1|≥2
aN1XN1 , . . . , λn
∑|Nn|≥2
aNnXNn)
eG ◦ F (X) = G(AX) = BAX + (
∑|N1|≥2
aN1λN1XN1 , . . . ,
∑|Nn|≥2
aNnλNnXNn),
entao aNk.(λNk − λk) = 0, para k ∈ {1, . . . , n} e |Nk| ≥ 2. Mas por hipotese A e nao
ressonante, assim (λNk − λk) 6= 0 para k ∈ {1, . . . , n} e |Nk| ≥ 2. Entao aNk= 0 para
k ∈ {1, . . . , n} e |Nk| ≥ 2, portanto G(X) = BX. Como G ∈ Λ e qualquer, temos que Λe linearizavel por F . Agora, para completar a prova, se A e uma matriz diagonalizavel,entao existe uma matriz invertıvel B ∈ GL(n,C), tal que C := BAB−1 e diagonal. Logo
definimos os difeomorfismos lineares H(X) := BX e F := CX, donde H ◦ F = F ◦ H.
Agora definamos o subgrupo Θ ≤ Diff(Cn, 0) por
Θ = H ◦ Λ ◦H−1 := {H ◦G ◦H−1 | G ∈ Λ}.
Como F comuta com Λ e H ◦ F = F ◦ H entao F comuta com Θ. Como C e diagonalnao ressonante, entao Θ e linearizavel por F . Assim, ∀G ∈ Λ,
F ◦H ◦G ◦H−1 ◦ F−1 = D(H ◦G ◦H−1)(0) = H ◦DG(0) ◦H−1.
consequentemente, temos:
H−1 ◦ F ◦H ◦G ◦H−1 ◦ F−1 ◦H = DG(0).
Assim, ∀G ∈ Λ, F ◦G ◦ F−1 = DG(0). Portanto Λ e linearizavel por F .
Proposicao 4.2 ([1]). Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) (respectivamente Λ ≤ Diff(Cn, 0)) finito,entao Λ e formalmente (analiticamente) linearizavel.
Demonstracao. Seja H(X) =∑
G∈Λ
(DG(0))−1G(X) e note que H e um difeomorfismo, pois
DH(0) = (#Λ)Id. Alem disso, para todo F ∈ Λ, temos que
H ◦ F (X) =∑G∈Λ
(DG(0))−1G(F (X)) = DF (0)∑G∈Λ
(D(G ◦ F )(0))−1(G ◦ F )(X)
= DF (0)H(X)
assim H ◦ F ◦H−1(X) = DF (0)(X) e portanto Λ e linearizavel.
Teorema 4.3 (Schur). Se Λ ≤ Gl(n,C) e um grupo periodico, isto e, todo elemento deΛ tem ordem finita, entao todo subgrupo de Λ finitamente gerado e finito.
Proposicao 4.4. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) finitamente gerado tal que todo elemento de Λtem ordem finita, entao Λ e finito, portanto linearizavel.
Demonstracao. Definamos o homomorfismo Ψ : Λ → Gl(n,C) por Ψ(G) = DG(0). Estehomomorfismo e injetivo. De fato, se existe G ∈ Λ tal que Ψ(G) = Id, entao G(X) =X + Pk(X) + · · · e temos que Gr(X) = X + rPk(X) + · · · para todo r ∈ N. AssimGr(X) 6= Id para todo r ∈ N, o que nao e possıvel pela hipotese e portanto G = Id.Entao, para concluir a proposicao, basta provar isto em Gl(n,C) e para isto usamos oteorema Schur.
Analogamente ao caso unidimensional denotemos por Λ1 o subgrupo de Λ de difeo-morfismo tangentes a identidade, isto e:
Λ1 = {F ∈ Λ | DF (0) = {Id}}.
Este subgrupo nos sera de muita utilidade para estudar as propriedades algebricas deΛ.
Observacao 4.5. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0)
1. Se Λ1 = {Id} e para todo G ∈ Λ temos que existe m ∈ N, DG(0)m = Id, entaoGm = Id. Isto e todo elemento de Λ tem ordem finito e pelo anterior Λ e finito eassim linearizavel.
2. Trivialmente sabemos que se Λ e linearizavel, Λ1 = {Id}. A recıproca deste fatonao vale em geral para Λ ≤ Diff(Cn, 0) com n ≥ 2. Por exemplo, considereΛ = 〈F 〉 ≤ Diff(C2, 0), onde F (x, y) = (2x + ax2, 4y + bx2) ∈ Diff(C2, 0), coma 6= 0 e b 6= 0. Sabemos que F nao e linearizavel, pela Proposicao 3.5 e assim Λ naoe formalmente linearizavel. Por outro lado, claramente vemos que Λ1 = {Id}.
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Proposicao 4.6. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0). Se existe F ∈ Diff(Cn, 0) tal que
1. F comuta com Λ
2. DF (0) e diagonalizavel nao ressonante.
Entao Λ e formalmente linearizavel.
Demonstracao. Pela Proposicao 3.5 existe H ∈ Diff(Cn, 0) que lineariza F , isto e,
H(F (X)) = DF (0)H(X). Agora definamos Θ ≤ Diff(Cn, 0) por
Θ = H ◦ Λ ◦H−1 := {H ◦G ◦H−1 | G ∈ Λ}
e claro que este e um grupo. Como F comuta com Λ, DF (0)(X) comuta com Θ. Porhipotese DF (0) e diagonalizavel nao ressonante entao pela proposicao 4.1, Θ e formal-
mente linearizavel. Assim, existe H ∈ Diff(Cn, 0) tal que H ◦ G ◦ H−1 = DG(0), ∀G ∈ Θ.Logo, ∀G ∈ Λ, temos que,
H ◦ (H ◦G ◦H−1) ◦ H−1 = D(H ◦G ◦H−1)(0) = DH(0)DG(0)(DH(0))−1
Em consequencia, obtemos que
((DH(0))−1 ◦ H ◦H) ◦G ◦ (H−1 ◦ H−1 ◦DH(0)) = DG(0).
Portanto, (DH(0))−1 ◦ H ◦H ∈ Diff(Cn, 0) lineariza Λ.
Observacao 4.7. Em dimensao n = 1, e simples ver que Λ linearizavel implica Λ abeliano,mas trivialmente vemos que isto nao acontece para n ≥ 2.
18
Capıtulo 5
Grupos abelianos e planamenteabelianos
Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0), como ja vimos Λ1 denotara o subgrupo dos difeomorfismos tangentesa identidade de Λ, i.e, Λ1 := {G ∈ Λ | DG(0) = Id}. Agora denotaremos por DΛ o
subgrupo de Gl(n,C) obtido do grupo Λ ≤ Diff(Cn, 0), assim
DΛ := {DG(0) ∈ Gl(n,C) | G ∈ Λ}.
Definamos o homomorfismo:
Ψ : Λ → DΛ
G→ DG(0)
Note que o nucleo de Ψ e Λ1, assim podemos considerar o grupo quociente Λ/Λ1, o quale isomorfo a DΛ. Isto mostra que Λ1 = {Id} nao e suficiente para Λ ser abeliano.
Porem temos:
Proposicao 5.1. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) com DΛ abeliano e Λ1 = {Id}. Entao Λ eabeliano.
A Proposicao 2.2 nem sempre vale para n ≥ 2, como veremos no seguinte exemplo.
Exemplo 5.2. Sejam F (X) = exp([1]X )(X) e G(X) = exp([1]Z)(X). Onde os camposX ∈ X2(C2, 0), Z ∈ X4(C2, 0) sao dados por:
X (x, y) = xy∂
∂x− y2 ∂
∂y
Z(x, y) = ax2y2 ∂
∂x− axy3 ∂
∂y
Para algum a ∈ C∗. Pela Proposicao 3.6 temos que F ∈ Diff2(C2, 0) e G ∈ Diff4(C2, 0),porem temos que [F,G] = Id, pois o colchete de lie de X e Z e zero.([X ,Z] = 0)
Proposicao 5.3. Sejam F ∈ Diffr+1(Cn, 0) e G ∈ Diffs+1(Cn, 0), entaoF (G(X))−G(F (X)) = DFr+1(X)Gs+1(X)−DGs+1Fr+1(X)+O(|X|r+s+2) assim [F,G] =
Id ou [F,G] ∈ Diffp(Cn, 0) com p ≥ r + s+ 1.
Demonstracao. Sejam F (X) = X+r+s∑k=r
Fk+1(X)+O(|X|r+s+2) eG(X) = X+r+s∑j=s
Gj+1(X)+
O(|X|r+s+2) entao:
F (G(X)) = X +r+s∑j=s
Gj+1(X) +O(|X|r+s+2)+
+r+s∑k=r
Fk+1(X +r+s∑j=s
Gj+1(X) +O(|X|r+s+2)) +O(|X|r+s+2)
= X +r+s∑j=s
Gj+1(X) +r+s∑k=r
(Fk+1(X) +DFk+1Gs+1(X) +O(|X|k+s+2))
+O(|X|r+s+2)
= X +r+s∑j=s
Gj+1(X) +r+s∑k=r
Fk+1(X) +DFr+1(X)Gs+1(X) +O(|X|r+s+2)
Analogamente temos:
G(F (X)) = X +r+s∑k=r
Fk+1(X) +r+s∑j=s
Gj+1(X) +DGs+1(X)Fr+1(X) +O(|X|r+s+2)
restando estas duas igualdades se tem a proposicao.
A seguinte proposicao e o ingrediente principal para o estudo dos grupos de difeomor-fismos abelianos
Proposicao 5.4. Se um difeomorfismo F ∈ Diff(Cn, 0) comuta com o fluxo no tempo 1
de um campo de vetores formal X ∈ Xk(Cn, 0), k ≥ 2. Entao ele comuta com o fluxo deX para todo tempo t ∈ C.
Demonstracao. Seja Φt o fluxo de X . Entao pela hipotese temos que Φ1 ◦ F = F ◦ Φ1.Afirmamos que esta igualdade vale para todo t ∈ Z, t tempo do fluxo. Provaremosprimeiro que isto vale ∀t ∈ N. De fato ja sabemos que vale para t = 1, suponha que aigualdade vale para n ∈ N. Entao
Φn+1 ◦ F = Φ ◦ Φn ◦ F = Φ ◦ F ◦ Φn = F ◦ Φ ◦ Φn = F ◦ Φn+1
Assim temos por inducao que
Φt ◦ F = F ◦ Φt,∀t ∈ N.
Por outro lado temos que, se Φt ◦ F = F ◦Φt entao Φ−t ◦ F = F ◦Φ−t. Em consequencia
Φt ◦ F = F ◦ Φt,∀t ∈ Z.
Agora para provar que Φt ◦ F = F ◦ Φt, ∀t ∈ C, basta provar esta igualdade nos espacosde jatos, ou seja em J k(Cn, 0) = C[[X]]/mk+1 (o qual tem uma identificacao natural como espaco dos polinomios de grau menor o igual que k), onde m = {F ∈ C[[X]]/F (0) = 0}e o ideal maximal de C[[X]]. De fato, dado k ∈ N temos que jk ◦ Φt ◦ F = (f1, . . . , fn),onde o truncamento de series formais
jk : C[[X]] → J k(Cn, 0),
20
e definido por jk(F ) = F mod mk+1, assim temos que
fl(X) =∑|N |≤k
P lN(t)XN
e P lN(t) e um polinomio de grau menor o igual a |N |. Analogamente, temos que
jk ◦ F ◦ Φt = (f1, . . . , fn) onde
fl(X) =∑
P lN(t)XN
e P lN(t) e um polinomio de grau menor o igual a |N |. Agora como Φt ◦ F = F ◦ Φt,
∀t ∈ Z, para cada N ∈ Nn com |N | ≤ k, temos que P lN(t) |Z= P l
N(t) |Z, logo como estessao polinomios e coincidem em Z, temos que
P lN(t) = P l
N(t),∀t ∈ C.
Em consequencia fl(X) = fl(X) ∀X ∈ Cn, l ∈ {1, . . . , n}. Portanto jk◦Φt◦F = jk◦F ◦Φt,∀t ∈ C e k ∈ N. Assim
Φt ◦ F = F ◦ Φt,∀t ∈ C.
De forma analoga a proposicao anterior obtemos:
Corolario 5.5. Sejam F ∈ Diff(Cn, 0) um difeomorfismo e Φt o fluxo de um campo de
vetores formal X ∈ Xk(Cn, 0), k ≥ 2. Se Φ1◦F = c.F ◦Φ1, c ∈ C∗, entao Φt◦F = c.F ◦Φt,para todo tempo t ∈ C.
A a expresao G∗X = rX , denota DG(X)X (X) = rX (G(X)) que e equivalente aG ◦ exp([t]X ) ◦ G−1(X) = exp([t](rX ))(X), ∀t ∈ C, e usaremos estas indistintamenteneste trabalho.
Teorema 5.6. Todo subgrupo de difeomorfismos abeliano admite um campo de vetoresformal invariante.
Demonstracao. Primeiro assuma-se que Λ1 6= {Id}, entao existe F ∈ Λ1. Pela Proposicao
3.6, existe um campo formal X ∈ Xj(Cn, 0), j ≥ 2, tal que F (X) = exp([1]X )(X). Dadoque Λ e abeliano, para qualquer G ∈ Λ, G ◦ F (X) = F ◦G(X) isto e,
G ◦ exp([1]X )(X) = exp([1]X ) ◦G(X).
Assim pela Proposicao 5.4, temos que
G ◦ exp([t]X )(X) = exp([t]X ) ◦G(X),∀t ∈ C
ou equivalentemente,
G ◦ exp([t]X ) ◦G−1 = exp([t]X ),∀t ∈ C.
Portanto G∗X = X , ∀G ∈ Λ. No caso Λ1 = {Id}, a aplicacao G 7→ DG(0) da un isomor-fismo de grupo natural Λ ∼= DΛ, i.e., Λ e algebricamente linearizavel. Pelo Teorema 11e 12, de ([14]), temos que Λ e finito (e portanto analiticamente conjugado a um grupofinito de aplicacoes lineares diagonal periodicos) ou o fecho Λ contem um fluxo linear.Neste ultimo caso, Existe um campo de vetores (linear) X o qual e invariante pela acaode Λ.
21
Observacao 5.7. A recıproca do teorema anterior nao sempre vale para (n ≥ 2). De fatosejam F (x, y) = (2x, 4y) e G(x, y) = (x, x + y) entao Λ = 〈F,G〉 nao e abeliano, porem,Λ e invariante por X , onde exp([1]X ) = (x, y + x2). Em dimensao n = 1, temos que um
grupo Λ ≤ Diff(C, 0) de difeomorfismos tangente a identidade e abeliano se, e somente
se, existe um campo formal X ∈ Xk(C, 0) (k ≥ 2), tal que Λ ≤ 〈exp([t]X ) | t ∈ C〉. Para
(n ≥ 2) trivialmente vemos que, se existe um campo formal X ∈ Xk(Cn, 0) (k ≥ 2), talque Λ ≤ 〈exp([t]X ) | t ∈ C〉 entao Λ e abeliano. Mas a recıproca nem sempre vale. Pois
um fato importante para obter isto e que, se o colchete de lie de dois campos X ∈ Xk(C, 0)
e Z ∈ Xr(C, 0) e zero ([X ,Z] = 0) entao r = k e existe c ∈ C∗ tal que X = cZ. Caso
que nao acontece para X ∈ Xk(Cn, 0) e Z ∈ Xr(Cn, 0). Como pode ser visto no seguinteexemplo.
Exemplo 5.8. Em cada item abaixo os campos, X e Z satisfazem [X ,Z] = 0. Obvia-mente em nenhum caso existe c ∈ C∗, tal que Z = c.X :
1. Dado a ∈ C∗.
X (x, y) = xy∂
∂x− y2 ∂
∂yZ(x, y) = ax2y2 ∂
∂x− axy3 ∂
∂y
2.
X (x, y) = (x2 + 3xy)∂
∂x+ (3xy + y2)
∂
∂y
Z(x, y) = (3x3 − 5x2y + xy2 + y3)∂
∂x+ (x3 + x2y − 2xy2 + 3y3)
∂
∂y
3. Para k ≥ 1, temos:
X = (xk+1)∂
∂x+ (xk.y)
∂
∂yZ = (yk.x)
∂
∂x+ (yk+1)
∂
∂y
4.
X (x, y) = x2 ∂
∂x+ xy
∂
∂yZ(x, y) = xy
∂
∂x+ y2 ∂
∂y
Nos ıtens (1) e (2) vemos que os campos tem ordens diferentes. No item (3) vemosque podemos encontrar campos possuindo uma mesma ordem arbitraria e nao acontece odito na observacao.
Agora estudaremos os grupos de difeomorfismos com um elemento particular, como foifeito em [1] no caso n = 2. Para isto, introduzimos a definicao de difeomorfismo dicrıticoe a seguir daremos uma definicao tecnica, que facilitara nossa linguagem.
Definicao 5.9. Sejam F ∈ Diffr+1(Cn, 0) e X ∈ Xk(Cn, 0), k ≥ 2.
1. Dizemos que F e um difeomorfismo dicrıtico. Se F e da forma:
F (X) = X + f(X)X + Fr+2(X) + · · ·
Onde f e um polinomio homogeneo de grau r.
22
2. Dizemos que X e dicrıtico, se este e da forma
X = f(X)−→R + (p
(1)k+2 + · · · ) ∂
∂x1
+ · · ·+ (p(n)k+2 + · · · ) ∂
∂xn
Onde f e um polinomio homogeneo de grau k e−→R = x1
∂∂x1
+ · · ·+ xn∂
∂x1.
3. Dizemos que X e dicrıtico regular, se X e dicrıtico e existem i0, j0 ∈ {1, . . . , n}, tal
que m.d.c(f, xj0p(i0)k+2 − xi0p
(j0)k+2) = 1. Isto nos diz que 0 e uma singularidade isolada
de J k+2X ( o truncamento ate k + 2).
4. Dizemos que F e um difeomorfismo dicrıtico regular, se existe X dicrıtico regulartal que F (X) = exp([1]X )(X).
Lema 5.10. Sejam X = f(X)−→R e Z = g(X)
−→R . Onde f e g sao polinomios homogeneos
de grau k e s respectivamente. Temos que [X ,Z] = 0 se, e somente se, k = s.
Demonstracao. Isto e trivial, pois basta observar que [X ,Z] = (k − s)f(X)g(X)−→R .
Lema 5.11. Seja X ∈ Xk+1(Cn, 0) um campo dicrıtico. Para qualquer campo Z de ordemmaior que 2, tal que [X ,Z] = 0, temos que Z e dicrıtico de ordem k + 1.
Demonstracao. Suponha que Z tem ordem r ≥ 2, assim temos:
X = f(X)−→R + (p
(1)k+2 + · · · ) ∂
∂x1
+ · · ·+ (p(n)k+2 + · · · ) ∂
∂xn
Z = (q(1)r + · · · ) ∂
∂x1
+ · · ·+ (q(n)r + · · · ) ∂
∂xn
Logo o termo de menor ordem de [X ,Z] e dado por
[f−→R, q(1)
r
∂
∂x1
+ · · ·+ q(n)r
∂
∂xn
] = (r − 1)f.(q(1)r
∂
∂x1
+ · · ·+ q(n)r
∂
∂xn
)− (q(1)r
∂f
∂x1
+
· · ·+ q(n)r
∂f
∂xn
).−→R
Entao como [X ,Z] = 0, temos que (r − 1)f.q(j)r = (∇f.Qr)xj, onde Qr = (q
(1)r , . . . , q
(n)r ).
Assim temos que (r − 1)f.q(1)r xj = (r − 1)f.q
(j)r x1 e como assumimos q
(1)r 6= 0, temos que
q(j)r = q
(1)r
x1.xj = g.xj, para j = 1, . . . , n. Logo o 1-Jato de Z e g
−→R , assim Z e dicrıtico e
pelo lema anterior de ordem k + 1.
Lema 5.12. Seja X ∈ Xk+1(Cn, 0) k ≥ 1 um campo dicrıtico regular. Para todo campoZ de ordem maior que 2, que satisfaz [X ,Z] = 0, existe c ∈ C, c 6= 0 tal que Z = c.X .
Demonstracao. Como X e dicrıtico, pelo lema anterior temos que Z e dicrıtico de ordemk + 1, entao.
X = f(X)−→R + (p
(1)k+2 + · · · ) ∂
∂x1
+ · · ·+ (p(n)k+2 + · · · ) ∂
∂xn
Z = g(X)−→R + (q
(1)k+2 + · · · ) ∂
∂x1
+ · · ·+ (q(n)k+2 + · · · ) ∂
∂xn
23
Note que [f−→R, g
−→R ] = 0 pelo Lema 5.10. Como por hipotese [X ,Z] = 0, entao o 2k + 2-
jato do colchete de lie e
[g−→R, p
(1)k+2
∂
∂x1
+ · · ·+ p(n)k+2
∂
∂xn
]− [f−→R, q
(1)k+2
∂
∂x1
+ · · ·+ q(n)k+2
∂
∂xn
] = 0
Agora sabemos que
[f−→R, q
(1)k+2
∂
∂x1
+ · · ·+ q(n)k+2
∂
∂xn
] = (k + 1)f.(q(1)k+2
∂
∂x1
+ · · ·+ q(n)k+2
∂
∂xn
)− (q(1)k+2
∂f
∂x1
+
· · ·+ q(n)k+2
∂f
∂xn
).−→R
Entao temos que
(k + 1)(f.qik+2 − g.pi
k+2) = xi(∇f.Qk+2 −∇g.Pk+2)
para i ∈ {1, . . . , n}, assim temos que
f.qi0k+2 − g.pi0
k+2
xi0
=f.qj0
k+2 − g.pj0k+2
xj0
ou equivalentemente, f.(xj0q(i0)k+2 − xi0q
(j0)k+2) = g.(xj0p
(i0)k+2 − xi0p
(j0)k+2). Mas pela hipotese
m.d.c(f, xj0p(i0)k+2 − xi0p
(j0)k+2) = 1, entao f | g. Como f e g tem o mesmo grau g = c.f onde
c ∈ C∗. Assim o 2k + 2- jato do colchete de lie e
[f−→R, (q
(1)k+2 − cp
(1)k+2)
∂
∂x1
+ · · ·+ (q(n)k+2 − cp
(n)k+2)
∂
∂xn
] = 0
Usando o mesmo argumento do lema anterior temos que
(q(1)k+2 − cp
(1)k+2)xj = (q
(j)k+2 − cp
(j)k+2)x1
Logo, ou q(1)k+2 − cp
(1)k+2 = 0 e assim q
(j)k+2 − cp
(j)k+2 = 0, ou q
(1)k+2 − cp
(1)k+2 tem grau k + 2 e
(q(1)k+2 − cp
(1)k+2)
∂
∂x1
+ · · ·+ (q(n)k+2 − cp
(n)k+2)
∂
∂xn
=(q
(1)k+2 − cp
(1)k+2)
x1
−→R
Logo pelo Lema 5.10, temos que(q
(1)k+2−cp
(1)k+2)
x1deve ter grau k que nao e possıvel. Entao
temos que q(j)k+2 = cp
(j)k+2, ∀j ∈ {1, . . . , n}.
Finalmente suponha que Qk+j = cPk+j para j = 1, . . . , i, o colchete de lie tem por(2k + i+ 1)-jato
[g−→R, p
(1)k+i+1
∂
∂x1
+ · · ·+ p(n)k+i+1
∂
∂xn
]− [f−→R, q
(1)k+i+1
∂
∂x1
+ · · ·+ q(n)k+i+1
∂
∂xn
] = 0
pois pelo suposto, a seguinte soma e simetrica
i∑j=2
[p(1)k+j
∂
∂x1
+ · · ·+ p(n)k+j
∂
∂xn
, q(1)k+i+2−j
∂
∂x1
+ · · ·+ q(n)k+i+2−j
∂
∂xn
] = 0
Entao analogamente ao caso k + 2 temos que Qk+j+1 = cPk+j+1 e daı Z = cX
24
A condicao de regularidade nao pode ser tirada, como pode ser visto no item (4)do Exemplo 5.8, no qual os dois campos sao dicrıticos mas nenhum dos dois e dicrıticoregular. Agora tendo provado os anteriores lemas, temos:
Proposicao 5.13. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo de difeomorfismos tangentes a
identidade e F ∈ Diff(Cn, 0) um difeomorfismo dicrıtico regular. Se F comuta com Λentao Λ ≤ 〈exp([t]X ) | t ∈ C〉, onde F (X) = exp([1]X )(X). Em particular Λ e abeliano.
Demonstracao. Como F e um difeomorfismo dicrıtico regular, temos que F = exp([1]X ),onde X e dicrıtico regular. Agora dado G ∈ Λ, pela Proposicao 3.6, existe Z tal queexp([1]Z)(X) = G(X). Como F comuta com Λ, temos que F comuta com G(X) =exp([1]Z)(X). Pela Proposicao 5.4, temos que F comuta exp([t]Z)(X) para todo t ∈C, assim, para cada t fixo, temos que exp([t]Z)(X) comuta com exp([s]X )(X). Logo,[X ,Z] = 0 e portanto pelo Lema 5.11, Z e dicrıtico e assim G e dicrıtico. Pelo Lema5.12, temos que existe r ∈ C tal que Z = rX e em consequencia G(X) = exp([r]X )(X).Portanto Λ ≤ 〈exp([t]X ) | t ∈ C〉
Note que tambem foi provado que, se um certo difeomorfismo comuta com um difeo-morfismo dicrıtico, entao este tambem e dicrıtico e possui a mesma ordem.
Definicao 5.14. Dizemos que um subgrupo de difeomorfismos Λ e planamente abelianose Λ1 e abeliano.
Teorema 5.15. Um subgrupo de difeomorfismos formais contendo um difeomorfismodicrıtico regular e planamente abeliano se, e somente se, admite um campo formal dicrıticoregular projetivamente invariante.
Demonstracao. ⇒) Seja F ∈ Λ um difeomorfismo dicrıtico regular e Suponha que Λ eplanamente abeliano. Pela Proposicao 5.13, temos que Λ1 ≤ 〈exp([t]X ) | t ∈ C〉, ondeF = exp([1]X ). Agora, dado G ∈ Λ, como F ∈ Λ1, entao [G,F ] ∈ Λ1. Assim existetG ∈ C∗ tal que [G,F ] = exp([tG]X ). Entao G ◦ F ◦G−1 ◦ F−1 = exp([tG]X ), ou seja,
G ◦ exp([1]X ) ◦G−1 = exp([tG]X ) ◦ exp([1]X ) = exp([tG + 1]X )
= exp([1](CGX )),
onde CG = tG + 1, note que CG 6= 0, pois caso contrario terıamos que tG = −1, daı[G,F ] = F−1, assim G◦F ◦G−1 ◦F−1 = F−1 e portanto F = Id, que nao e possıvel. Logopelo corolario 5.5, temos que ∀s ∈ C, G ◦ exp([s]X ) ◦ G−1 = exp([s](CGX )) e, portanto,G∗X = CGX , ∀G ∈ Λ. Assim Λ admite um campo formal dicrıtico regular projetivamenteinvariante.⇐) Suponha agora que Λ deixa X projetivamente invariante. Afirmamos que ∀G ∈ Λ1,CG = 1. De fato, se
F (X) = X + f(X)X + · · · , temos que exp([1](CGX ))(X) = X + CGf(X)X + · · · .
Assim, se G ∈ Λ1,G ◦ F (X) = X + f(X)X +Gk+1(X) + · · ·
eexp([1](CGX ))(X) ◦G(X) = X + CG.f(X)X +Gk+1(X) + · · · ,
entao CG = 1. Consequentemente ∀G ∈ Λ1, G∗X = X , i.e., Λ1 comuta com F , onde
F = exp([1]X ). Pela Proposicao 5.13, temos que Λ1 e abeliano, i.e., Λ e planamenteabeliano.
25
Pelo mesmo caminho da proposicao anterior obtemos
Proposicao 5.16. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo e F = exp([1]X ) ∈ Λ um difeomor-fismo dicrıtico regular tal que DΛ ⊂ Λ. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:
1. Λ e abeliano
2. DΛ e abeliano e ∀G ∈ Λ, G∗X = X .
Demonstracao. E imediato que (1) ⇒ (2). Agora provaremos que (2) ⇒ (1). Dado que
DΛ ⊂ Λ, para todo G ∈ Λ, temos que G = DG−1(0) ◦ G ∈ Λ1. Por (2) temos que Λcomuta com F . Entao DG−1(0)◦G = exp([1](CGX )), assim G = DG(0)◦exp([1](CGX )),∀G ∈ Λ. Agora, como DΛ ⊂ Λ, temos que DΛ comuta com F , logo para qualquer par dedifeomorfismos G,H ∈ Λ, temos:
G ◦H = DG(0) ◦ exp([1](CGX )) ◦DH(0) ◦ exp([1](CHX )) = H ◦G
Portanto Λ e abeliano.
26
Capıtulo 6
Grupos meta-abelianos
Nesta secao estudaremos os subgrupos de difeomorfismos meta-abelianos, com parte li-near abeliana e que possuem alguma relacao com algum difeomorfismo dicrıtico regular.Facilmente podemos encontrar no grupo das matrizes triangulares superiores exemplosde grupos meta-abelianos com parte linear nao abeliana, por isto nossa hipotese. Nessemesmo grupo encontramos exemplo de grupos soluvel (nilpotente) nao meta-abeliano, poristo tais conceitos sao estudados separadamente. Esta e uma grande diferenca do casounidimensional no qual todos estes conceitos sao equivalentes.
Proposicao 6.1. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo com DΛ abeliano, e seja F =exp([1]X ) ∈ Λ um difeomorfismo dicrıtico regular. Entao X e projetivamente invariantepor Λ se e somente se F comuta com [Λ,Λ].
Demonstracao. Como DΛ e abeliano o grupo dos comutadores of Λ e um subgrupo plano,isto e, [Λ,Λ] ≤ Λ1.⇐) Se F comuta com [Λ,Λ], pela Proposicao 5.13, temos que [Λ,Λ] ≤ 〈exp([t]X )/t ∈ C〉onde F = exp([1]X ). Agora, dado G ∈ Λ, existe tG ∈ C∗ tal que [G,F ] = exp([tG]X ).Entao G ◦ F ◦G−1 ◦ F−1 = exp([tG]X ), ou seja,
G ◦ exp([1]X ) ◦G−1 = exp([tG]X ) ◦ exp([1]X ) = exp([tG + 1]X )
= exp([1](CGX )),
onde CG = tG + 1, note que CG 6= 0, pois caso contrario terıamos que tG = −1, daı[G,F ] = F−1, assim G◦F ◦G−1 ◦F−1 = F−1 e portanto F = Id, que nao e possıvel. Logopelo corolario 5.5, temos que ∀s ∈ C, G ◦ exp([s]X ) ◦ G−1 = exp([s](CGX )) e, portanto,G∗X = CGX , ∀G ∈ Λ. Assim X e projetivamente invariante por Λ.⇒) Suponha agora que o campo X e projetivamente invariante por Λ. Novamente como[Λ,Λ] ≤ Λ1, temos que se S ∈ [Λ,Λ], entao CS = 1. Assim ∀S ∈ [Λ,Λ], S∗X = X ,portanto F = exp([1]X ) comuta com [Λ,Λ].
Teorema 6.2. Um subgrupo de difeomorfismos formais com parte linear abeliana quecontem um difeomorfismo dicrıtico regular e meta-abeliano se, admite um campo de vetoresprojetivamente invariante.
Demonstracao. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) tal subgrupo. Como DΛ e abeliano, [Λ,Λ] ≤ Λ1.Assim pela proposicao anterior, F comuta com [Λ,Λ], logo, pela Proposicao 5.13, con-cluımos.
A seguinte proposicao nos da uma inversa parcial do teorema anterior.
Proposicao 6.3. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) meta-abeliano, com DΛ abeliano. Suponha queexistem F,H ∈ Λ, onde H(X) = λX, λk 6= 1, λk+1 6= 1, e F e um difeomorfismo dicrıticoregular de ordem k + 1. Entao Λ possui um campo formal projetivamente invariante.
Demonstracao. Dado que DΛ e abeliano e Λ e meta-abeliano, [Λ,Λ] e um subgrupoabeliano de difeomorfismos tangentes a identidade. Agora escrevemos:
F (X) = X + f(X)X + Pk+2(X) + · · ·
e denotemos por S o comutador de F e H. Entao,
S(X) = X + λ(λk − 1)f(X)X + λ(λk+1 − 1)Pk+2(X) + · · · .
Agora dado que F e dicrıtico regular, temos que S e dicrıtico regular. Logo peloteorema 5.13 [Λ,Λ] ≤ 〈exp([t]X )/t ∈ C〉. Por outro lado, dado G ∈ Λ, [F,G] ∈ Λ1 eassim existe tG ∈ C∗ tal que [F,G] = exp([tG]X ). Entao G ◦ F ◦G−1 ◦ F−1 = exp([tG]X )e assim
G ◦ exp([1]X ) ◦G−1 = exp([tG]X ) ◦ exp([1]X ) = exp([tG + 1]X )
= exp([1](CGX )).
Logo, pelo corolario 5.5, temos que ∀s ∈ C, G ◦ exp([s]X ) ◦ G−1 = exp([s](CGX )).Portanto, G∗X = CGX , ∀G ∈ Λ
Corolario 6.4. Seja Λ = 〈F,H〉 ≤ Diff(Cn, 0), onde F e dicrıtico regular de ordem k+1e H(X) = λX, λk+1 6= 1, λk 6= 1. Temos que Λ e meta-abeliano se, e somente se, [F,H2],[F 2, H] comutan com [F,H]
Demonstracao. Se Λ e meta-abeliano, imediatamente vemos que [F,H2], [F 2, H] comutamcom [F,H]. Agora provemos a recıproca, de fato tomando F como antes:
[F,H] = X + λ(λk − 1)f(X)X + λ(λk+1 − 1)Pk+2(X) + · · ·
Assim [F,H] = exp([1]X ), onde
X = λ(λk − 1)f(X)−→R + (λ(λk+1 − 1)p
(1)k+2 + · · · ) ∂
∂x1
+ · · ·
+ (λ(λk+1 − 1)p(n)k+2 + · · · ) ∂
∂xn
Entao dado que F e dicrıtico regular, temos que [F,H] e dicrıtico regular. Afirmamos queF ∗[F,H] := F ◦ [F,H] ◦ F−1 comuta com [F,H]. De fato
[F 2, H] = F 2 ◦H ◦ F−2 ◦H−1 = F ◦ F ◦H ◦ F−1 ◦ F−1 ◦H−1 =
= F ◦ [F,H] ◦ F−1 ◦ [F,H] = F ∗[F,H] ◦ [F,H]
Em consequencia,
F ∗[F,H] ◦ [F,H] = [F 2, H]
= [F 2, H] ◦ [F,H] ◦ [F,H]−1 = [F,H] ◦ [F 2, H] ◦ [F,H]−1
= [F,H] ◦ F ∗[F,H] ◦ [F,H] ◦ [F,H]−1 = [F,H] ◦ F ∗[F,H]
Agora, como F ∗[F,H] e um difeomorfismo tangente a identidade, temos que F ∗[F,H] =exp([1]Z). Por outro lado sabemos que X e dicrıtico regular. Entao, pelo Lema 5.12,Z = cX . Logo F ∗[F,H] = exp(cX ) e daı F ∗ exp([1]X ) = exp([1](cX )). Pelo corolario5.5, F ∗X = cX . Analogamente H∗X = rX . Assim, pela Proposicao 6.2, temos que Λ emeta-abeliano.
28
Capıtulo 7
Grupos nilpotentes e soluveis
Nesta secao estudaremos os subgrupos soluveis e nilpotentes de Diff(Cn, 0), primeiro ca-racterizaremos estes pelo ındice de solubilidade, e logo estudaremos novamente o caso emque aparecem difeomorfismos dicrıticos. Sabemos que quando Λ ≤ Gl(n,C) e um grupolinear soluvel, seu ındice de solubilidade e limitado pela Funcao de Newman ρ(n), ondeρ(n) ≤ 2n, em particular, ρ(2) = 4 e ρ(3) = 5 ([10]). Daremos uma limitacao do ındice
de solubilidade para qualquer Λ ≤ Diff(Cn, 0). Para isto note que X(Cn, 0)⊗ K(Cn) e um
espaco vetorial de dimensao n sobre K(Cn), onde K(Cn) e o corpo das fracoes de O(Cn).
Denotemos por R o centro de L e por {X1, . . . ,Xk} uma base de R⊗ K(Cn).
Lema 7.1. Seja L uma subalgebra de lie nilpotente de X(Cn, 0) de dimensao m sobre
K(Cn). Entao existe uma base ordenada {X1, . . . ,Xm} para L sobre K(Cn), no sentidoque para cada Z ∈ L:
• [Z,Xl] =r∑
j=1
vjXj, r < l, l = k + 1, . . . ,m e [Z,Xs] = 0, para s = 1, . . . , k.
• Se Z =l∑
j=1
ujXj ∈ L entao Xj(ur) = 0, para (j = 1, . . . , r) e (r = 1, . . . , l).
Demonstracao. Como L e uma subalgebra de lie nilpotente, entao k ≥ 1. Logo, seja
S = (k∑
j=1
K(Cn)Xj) ∩ L, entao R ⊂ S e S e uma subalgebra abeliana de L. Agora, para
todo Z ∈ L, temos :
[Z,k∑
j=1
wjXj] =k∑
j=1
[Z, wjXj] =k∑
j=1
(Z(wj)Xj + wj[Z,Xj]) =k∑
j=1
Z(wj)Xj.
A ultima igualdade vale pelo fato de que [Z,Xj] = 0, pois Xj ∈ R, j = 1, . . . , k. Assim,
[Z,k∑
j=1
wjXj] ∈ S, e daı S e um ideal de L. Logo L/S e uma algebra de lie nilpotente, e em
consequencia R1 o centro de L1 = L/S e nao trivial, i.e., existem Xk+1, . . . ,Xp1 ∈ L \ Stal que X k+1, . . . ,X p1 ∈ R1 sao os geradores da base de R1 ⊗ K(Cn). Claramente os
vetores X1, . . . ,Xp1 sao linearmente independente em L ⊗ K(Cn). Agora como X l ∈ R1
(l = k + 1, . . . , p1), temos:
k∑j=1
fl,jXj = [Z,Xl +k∑
j=1
wl,jXj] = [Z,Xl] + [Z,k∑
j=1
wl,jXj] = [Z,Xl] +k∑
j=1
Z(wl,j)Xj.
Entao
[Z,Xl] =k∑
j=1
(fl,j −Z(wl,j))Xj =k∑
j=1
vl,jXj, (l = k + 1, . . . , p1).
Por outro lado, se Z =p1∑
j=1
ujXj +m∑
j=p1
ujYj ∈ L para qualquer Yj ∈ L completando
a base, temos Xj(ur) = 0 para j = 1, . . . , k e r = 1, . . . ,m, pois Xj ∈ R, j = 1, . . . , k.Agora para l = k + 1, . . . , p1, temos :
k∑j=1
vl,jXj = [l∑
j=1
ujXj,Xl] = −k∑
j=1
Xl(uj)Xj +l∑
j=k+1
(uj[Xj,Xl]−Xl(uj)Xj)
= −k∑
j=1
Xl(uj)Xj +l∑
j=k+1
uj.k∑
r=1
fj,rXr −l∑
j=k+1
Xl(uj)Xj
=k∑
r=1
((l∑
j=k+1
uj.fj,r)−Xl(ur))Xr −l∑
j=k+1
Xl(uj)Xj
Entao
k∑r=1
((l∑
j=k+1
uj.fj,r)−Xl(ur)− vl,j)Xr −l∑
j=k+1
Xl(uj)Xj = 0.
Como os Xj, sao linearmente independente, temos que Xl(uj) = 0 para j = k +1, . . . , p1 e l = 1, . . . , p1. Se p1 = m nao temos mais nada a provar. Em outro caso,
tome S1 = (p1∑
j=1
K(Cn)X j) ∩ L1, logo R1 ⊂ S1 e S1 e uma subalgebra abeliana de L1.
Analogamente S1 e um ideal de L1. Portanto L1/S1 e uma algebra de lie nilpotente,assim R2 o centro de L2 = L1/S1 e nao trivial, i.e., existem X p1+1, . . . ,X p2 ∈ L1 \ S1 tal
que X p1+1, . . . ,X p2 ∈ R2 sao os geradores da base de R2⊗K(Cn). Claramente os campos
vetoriais X1, . . . ,Xp2 sao linearmente independentes em L ⊗ K(Cn). Como X l ∈ R1
(l = p1 + 1, . . . , p2), temos:
p1∑j=1
fl,jXj =
p1∑j=k+1
gl,j.(Xj +k∑
r=1
hl,rXr) =
p1∑j=k+1
gl,jX j = [Z,Xl +
p1∑j=1
wl,jXj]
= [Z,Xl] + [Z,p1∑
j=1
wl,jXj].
Entao [Z,Xl] =p1∑
j=1
vl,jXj, (l = p1 + 1, . . . , p2). Similarmente obtemos o segundo item,
repetindo o mesmo processo um numero finito de vezes (m < n) provamos o lema.
Como consequencia deste lema temos:
Teorema 7.2. Toda subalgebra nilpotente L de X(Cn, 0) tem ındice de solubilidade nomaximo n.
30
Demonstracao. Se a dimensao de R ⊗ K(Cn) e n, entao para todo Z ∈ L, podemos
expressar Z =n∑
j=1
ujXj e temos que:
0 = [Z,Xk] = [n∑
j=1
ujXj,Xk] =n∑
j=1
[ujXj,Xk] =n∑
j=1
(uj[Xj,Xk]−Xk(uj)Xj),
ou seja,
0 = −n∑
j=1
Xk(uj)Xj.
Entao Xk(uj) = 0 para (j, k = 1, . . . , n). Assim as uj sao constantes e portanto L e
uma subalgebra abeliana. Agora se a dimensao de R⊗ K(Cn) e m, onde m e a dimensao
de L ⊗ K(Cn) nao temos nada a provar. Finalmente se a dimensao de R ⊗ K(Cn) ek < m, entao, pelo Lema 7.1 temos que para Z1,Z2 ∈ L,
[Z1,Z2] = [m∑
j=1
ujXj,m∑
r=1
vrXr] =m∑
j=1
m∑r=1
[ujXj, vrXr]
=m∑
j=1
m∑r=1
(ujXj(vr)Xr − vrXr(uj)Xj + uj.vr.[Xj,Xr])
=m−1∑j=1
wjXj.
Pois Xj(um) = 0 (j = 1, . . . ,m) e [Z,Xl] =l−1∑j=1
vjXj. Assim todo Z ∈ L1 e da forma
Z =m−1∑j=1
wjXj. Agora se Z1,Z2 ∈ L1 temos que
[Z1,Z2] = [m−1∑j=1
ujXj,
m−1∑r=1
vrXr] =m−1∑j=1
m−1∑r=1
[ujXj, vrXr]
=m−1∑j=1
m−1∑r=1
(ujXj(vr)Xr − vrXr(uj)Xj + uj.vr.[Xj,Xr])
=m−2∑j=1
wjXj.
Pelo Lema 7.1. Entao todo Z ∈ L2 e da forma Z =m−2∑j=1
wjXj. Repetindo este processo
no maximo m− 2 vezes, concluımos.
Em [1] temos o seguintes resultado:
Proposicao 7.3. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo soluvel, entao Λρ(n)+1 e um subgruponilpotente.
31
Os resultados acima nos dao uma caracterizacao dos subgrupos soluveis de Diff(Cn, 0)
Corolario 7.4. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0). Entao Λ e um grupo soluvel se e somente seΛρ(n)+1+n = {Id}.
Em particular, um grupo de difeomorfismos com seu subgrupo de difeomorfismos pla-nos trivial e soluvel se, e somente se, seu ρ(n)-esimo comutador e trivial. Usando osmesmos argumentos utilizados nas provas dos resultados acima temos uma caracterizacaodos subgrupos abelianos tangentes a identidade:
Corolario 7.5. Seja Λ ≤ Diff1(Cn, 0) um subgrupo abeliano, entao uma das seguintesafirmacoes e verdadeira:
1. Λ ≤ 〈exp([t1]X1) ◦ · · · ◦ exp([tn]Xn) | tj ∈ C〉, com [Xj,Xr] = 0 e exp([1]Xj) ∈ Λ.
2. Λ ≤ 〈exp([1](u1X1))◦ · · ·◦exp([1](ulXl)) | com uj funcoes racionais, Xr(uj) = 0, 1 ≤r, j ≤ l〉, onde [Xj,Xr] = 0 e exp([1]Xj) ∈ Λ, para algum l ∈ {1, . . . , n− 1}.
Agora voltamos a estudar estas propriedades no caso particular de termos difeomor-fismos dicrıticos e dicrıticos regulares, para isto estudemos o comportamento dos comu-tadores destes:
Proposicao 7.6. Sejam F ∈ Diffr+1(Cn, 0), G ∈ Diffs+1(Cn, 0) difeomorfismos dicrıticoscom r 6= s, dados por
F (X) = X + f(X)X + · · · , G(X) = X + g(X)X + · · · .
Entao H(X) = [F,G] ∈ Diffs+r+1(Cn, 0) e dicrıtico e dado por
H(X) = X + (r − s)g(X)f(X)X + · · · .
Demonstracao. Pela Proposicao 5.3 os termos de ordem menor de H(X) sao
DFr+1(X)Gs+1(X)−DGs+1Fr+1(X) = (f(X)I + (xi∂f
∂xj
))Gs+1(X)−DGs+1f(X)X
= (f(X)I + (xi∂f
∂xj
))Gs+1(X)− (s+ 1)f(X)Gs+1
= (−sf(X)I + (xi∂f
∂xj
))Gs+1(X)
= (−sf(X)I + (xi∂f
∂xj
))g(X)X
Entao a i-esima componente deste e
−sf(X)g(X)xi + g(X)xi∇f(X).X = −sf(X)g(X)xi + rf(X)g(X)xi.
AssimDFr+1(X)Gs+1(X)−DGs+1Fr+1(X) = (r − s)f(X)g(X)X
Portanto, H(X) = [F,G] ∈ Diffs+r+1(Cn, 0) e e dicrıtico, dado por
H(X) = X + (r − s)g(X)f(X)X + · · · .
32
Proposicao 7.7. Se Λ ≤ Diff(Cn, 0) e um grupo soluvel, entao Λ nao possui difeomor-fismos dicrıticos de ordens diferentes.
Demonstracao. Suponhamos que existam F1, F2 ∈ Λ difeomorfismos dicrıticos de ordensdiferentes, digamos p1 + 1 e p2 + 1 respectivamente. Entao, pela proposicao anterior,F3 = [F1, F2] e dicrıtico de ordem p3 = p1 + p2 + 1 > p2 + 1. Analogamente, temos queF4 = [F3, F2] e dicrıtico de ordem p4 = p3 + p2 > p3 e, de forma recorrente definimosFn = [Fn−1, Fn−2], o qual e dicrıtico de ordem pn = pn−1 +pn−2 > pn−1. Assim, nao existen ∈ N tal que Λn = {Id}, o que contradiz o fato de Λ ser soluvel.
Teorema 7.8. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo de difeomorfismos tangentes a identi-dade e seja F ∈ Λ um difeomorfismo dicrıtico, com ordem de tangencia p+1. As seguintesafirmacoes sao equivalentes:
1. Λ e abeliano
2. Λ e nilpotente
3. Λ ⊆ Diffp+1(Cn, 0)
Demonstracao. (1) ⇒ (2). Trivialmente sabemos que se Λ e abeliano, entao Λ e nilpo-tente. (2) ⇒ (3) Agora suponha que Λ e nilpotente, que F tem ordem de tangenciap + 1 e Fp+1(X) = f(X)X. Suponha ainda que existe F (1) ∈ Λ com ordem de tangenciap1 6= p+ 1, p1 ≥ 2. Entao tome
F (2) = [F (1), F ] = X + F (2)p2
+ · · · .
Afirmamos que F(2)p2 6= 0 e assim F (2) tem ordem de tangencia p2 = p + p1 > p1 + 1.
De fato, como a j-esima coordenada de F(2)p2 , e (p1 − 1)f.q
(j)p1 − (∇f.Qp1)xj, onde F (1) =
X + Qp1 + . . . e Qp1 = (q(1)p1 , . . . , q
(n)p1 ), ( daı p2 = p + p1), temos que se F
(2)p2 = 0, entao
(p1 − 1)f.q(j)p1 = (∇f.Qp1)xj, para j = 1, . . . , n. Logo seguindo o mesmo argumento do
Lema 5.11 temos que Qp1 = (g.x1, . . . , g.xn), com g polinomio homogeneo de grau p, eassim Qp1 tem grau p+1, o que nao e possıvel. Repetindo este processo, podemos definir:
F (n) = [F (n−1), F ] = X + F (n)pn
+ · · · .
Analogamente F(n)pn 6= 0 e assim F (n) tem ordem de tangencia pn = p + pn−1 >
pn−1 + 1 > n, logo nao existe n ∈ N, tal que γn(Λ) = {Id}, o que contradiz o fato de Λ
ser nilpotente. Em consequencia, temos que Λ ⊆ Diffp+1(Cn, 0).(3) ⇒ (1) agora, pela Proposicao 5.3, temos que, dados H,G ∈ Λ, [H,G] = {Id} ou
[H,G] ∈ Diffk(Cn, 0), k ≥ 2p+ 1 assim [H,G] = {Id} e portanto Λ e abeliano.
Lema 7.9 ([1]). Se Λ ≤ Diff(Cn, 0) e um subgrupo soluvel de difeomorfismos tangentes aidentidade, entao Λ1 = [Λ,Λ] e nilpotente.
Corolario 7.10. Um subgrupo de difeomorfismos planos formais que possui um difeomor-fismo dicrıtico no seu grupo dos comutadores e soluvel se, e somente se, e meta-abeliano.
Demonstracao. Seja Λ um subgrupo nas condicoes acima, com F ∈ Λ1 dicrıtico. Trivial-mente sabemos que se Λ e meta-abeliano entao e soluvel. Agora suponha que Λ e soluvel.Pelo lema anterior, Λ1 = [Λ,Λ] e nilpotente e como F ∈ Λ1 e dicrıtico, logo pelo teoremaanterior, Λ1 e abeliano e portanto Λ e meta-abeliano.
33
Agora vamos estudar como se comportam os difeomorfismos dicrıticos e os dicrıticosregulares.
Proposicao 7.11. Sejam F e G difeomorfismos tangentes a identidade de ordens k e srespectivamente.
1. Se F e G sao dicrıticos e k 6= s entao F ◦ G e G ◦ F sao dicrıticos com ordem detangencia min{k, s}.
2. Se F e dicrıtico e k < s, entao F ◦G e dicrıtico com ordem de tangencia k.
3. Se F e dicrıtico e k > s, entao G ◦ F e dicrıtico com ordem de tangencia k.
Demonstracao. Para provar a proposicao basta observar que se temos f : Cn → C, umpolinomio homogeneo de grau p, entao f(X + H(X)) = f(X) + o(| X |p+q), onde ostermos de H tem ordem maior ou igual a q + 1, q ≥ 1. De fato, como f e um polinomiohomogeneo de grau p, entao f(X) =
∑|M |=p
aMXM . Por outro lado,
(X +H(X))M = (x1 + h1)m1 . . . (xn + hn)mn
= (xm11 +m1x
m1−11 h1 + · · · ) . . . (xmn
n +mnxmn−1n hn + · · · )
= (xm11 +m1x
m1−11 h1 + · · · ) . . . (xmn
n +mnxmn−1n hn + · · · )
= (xm11 + | X |m1+q) . . . (xmn
n + | X |mn+q)
= XM+ | X |p+q .
Entao
f(X +H(X)) =∑|M |=p
aM(X +H(X))M =∑|M |=p
aMXM+ | X |p+q= f(X)+ | X |p+q .
Agora, provemos:(1) Como F e G sao dicrıticos, entao F (X) = X+f(X)X+· · · , G(X) = X+g(X)X+· · · .Daı
F ◦G(X) = X + g(X)X + · · ·+ f(X + g(X)X + · · · )(X + g(X)X + · · · ) + · · ·= X + g(X)X + · · ·+ f(X)(X) + · · ·= X + g(X)X + f(X)(X) + · · · .
Como k 6= s, o termo g(X)X ou f(X)(X) nao desaparece e assim temos que F ◦ G edicrıtico de ordem min{k, s}.(2) e (3) Se tem trivialmente da observacao.
Observacao 7.12. Ja vimos que o comutador de dois difeomorfismos dicrıticos de ordensdiferentes e dicrıtico, mas tambem podemos obter um difeomorfismo dicrıtico, como ocomutador de dois difeomorfismos nao dicrıticos. Por exemplo tome
X (x, y) = (x2 + 2xy)∂
∂x+ (xy + y2)
∂
∂yZ(x, y) = (−x2 − xy + y2)
∂
∂x− xy
∂
∂y
os quais sao nao dicrıticos e [X ,Z] = −y2−→R.
Pela definicao de exp : Xj(Cn, 0) 7→ Diffj(Cn, 0), ja sabıamos que o termo que nos diz se
34
um difeomorfismo e dicrıtico(o da ordem de tangencia), coincide com o termo de menorordem do campo associado. Agora desta definicao temos que o termo seguinte ao da ordemde tangencia (f(X)X) de um difeomorfismo dicrıtico coincide com o termo seguinte aode menor ordem do campo associado mais um termo multiplo de f . Motivo pelo qualpodemos estudar a propriedade de regularidade tanto no difeomorfismo como em seucampo associado indistintamente.
Proposicao 7.13. Sejam F e G difeomorfismos dicrıticos regulares de ordens k e srespectivamente. Se k 6= s entao F ◦G e G◦F sao dicrıticos regulares de ordem min{k, s}.
Demonstracao. Como F e G sao difeomorfismos dicrıticos regulares, entao:
F (X) = X + f(X)X + Fk+2(X) + · · · e G(X) = X + g(X)X +Gs+2(X) + · · ·
onde f e g sao polinomios homogeneos de grau k e s respectivamente. Agora, peloobservado na proposicao anterior, temos que
F ◦G(X) = X + g(X)X +Gs+2(X) + · · ·+ f(X + g(X)X +Gs+2(X) + · · · )(X+
g(X)X +Gs+2(X) + · · · ) + Fk+2(X + g(X)X +Gs+2(X) + · · · ) + · · ·= X + g(X)X +Gs+2(X) + · · ·+ f(X)(X) + Fk+2(X) + · · ·= X + g(X)X + f(X)(X) +Gs+2(X) + Fk+2(X) · · · .
Agora como k 6= s consideremos os seguintes casos para s.
1. s < k − 1. Neste caso obtemos que s + 1 < k < k + 1 e s + 2 < k + 1. Assimos termos de ordens menores de F ◦G(X) sao g(X)X com ordem s+ 1 e Gs+2(X)com ordem s + 2, que coincidem con os menores termos de G. Portanto F ◦ G(X)e dicrıtico regular.
2. s = k−1. Neste caso obtemos que s+1 = k < k+1 e s+2 = k+1. Assim os termosde ordens menores de F ◦G(X) sao g(X)X com ordem s+1 eHs+2(X) := Gs+2(X)+f(X)X com ordem s+2. Como G e dicrıtico regular, existem i0, j0 ∈ {1, . . . , n} talque m.d.c(g, xj0G
i0s+2 − xi0G
j0s+2) = 1 e como
xj0Hi0s+2 − xi0H
j0s+2 = xj0(G
i0s+2 + f(X)xi0)− xi0(G
j0s+2 + f(X)xj0)
= xj0Gi0s+2 − xi0G
j0s+2
temos que m.d.c(g, xj0Hi0s+2 − xi0H
j0s+2) = 1, portanto F ◦G(X) e dicrıtico regular.
3. s = k + 1. Entao k + 1 = s < s + 1 e k + 2 = s + 1. Assim os termos de ordensmenores de F ◦G(X) sao f(X)X com ordem k+1 e Hk+2(X) := Fk+2(X)+g(X)Xcom ordem k + 2. Como F e dicrıtico regular, existem i0, j0 ∈ {1, . . . , n} tal quem.d.c(f, xj0F
i0k+2 − xi0F
j0k+2) = 1 e como
xj0Hi0k+2 − xi0H
j0k+2 = xj0(F
i0k+2 + g(X)xi0)− xi0(F
j0k+2 + g(X)xj0)
= xj0Fi0k+2 − xi0F
j0k+2
temos que m.d.c(f, xj0Hi0k+2 − xi0H
j0k+2) = 1. Portanto F ◦G(X) e dicrıtico regular.
4. s > k + 1. Neste caso obtemos que k + 1 < s < s + 1 e k + 2 < s + 1. Assim ostermos de ordens menores de F ◦ G(X) sao f(X)X com ordem k + 1 e Fk+2(X)com ordem K + 2, que coincidem com os menores termos de F , portanto F ◦G(X)e dicrıtico regular.
35
Analogamente prova-se que G ◦ F e dicrıtico regular
Dados dois difeomorfismos dicrıticos regulares, nao podemos afirmar que o comutadordestes e tambem dicrıtico regular. Porem, colocando uma hipotese adequada, podemos ob-ter uma propriedade muito boa, no sentido de ainda continuar a valer a tese do Lema 5.12.Para isto, note que podemos melhorar a Proposicao 5.3 mostrando os termos de ordemk + s+ 2, isto e dados F ∈ Diffk+1(Cn, 0) e G ∈ Diffs+1(Cn, 0), entao
F (G(X))−G(F (X)) =DFk+1(X)Gs+1(X)−DGs+1Fk+1(X)+
DFk+1(X)Gs+2(X)−DGs+2Fk+1(X)+
DFk+2(X)Gs+1(X)−DGs+1Fk+2(X) +O(|X|k+s+3)
Sejam agora F ∈ Diffk+1(Cn, 0) e G ∈ Diffs+1(Cn, 0) difeomorfismos dicrıticos regulares,dados por
F (X) = X + f(X)X + Fk+2(X) + · · · G(X) = X + g(X)X +Gs+2(X) + · · ·
e suponhamos ainda que as coordenadas i0, j0 que existem para F onde vale a proprie-dade de regularidade, coincidam respectivamente para G. Assim enunciamos a seguinteproposicao.
Proposicao 7.14. Sejam F ∈ Diffk+1(Cn, 0) e G ∈ Diffs+1(Cn, 0) difeomorfismos dicrı-ticos regulares como acima, com k 6= s e m.d.c(f, g) = 1. Entao
[F,G](X) = X + (k − s)f(X)g(X)X +Hk+s+2(X) + · · · ,
onde
H(i)k+s+2(X) =(k + 1)g(X)F i
k+2(X)− (s+ 1)f(X)Gis+2(X) + xi∇f(X)Gs+2(X)−
xi∇g(X)Fk+2(X)
e existem i0, j0 ∈ {1, . . . , n} tal que f(X)g(X) nao divide a xj0Hi0k+s+2 − xi0H
j0k+s+2
Demonstracao. Ja vimos que [F,G] e um difeomorfismo dicrıtico com ordem de tangenciak + s+ 1 e cujo respectivo termo desta ordem e (k − s)f(X)g(X). Agora vamos calcularos termos de ordem k + s+ 2. Primeiro note que
DFk+1(X)Gs+2(X)−DGs+2Fk+1(X) = (f(X)I + (xi∂f
∂xj
))Gs+2(X)−DGs+2f(X)X
= (f(X)I + (xi∂f
∂xj
))Gs+2(X)− (s+ 2)f(X)Gs+2
= (−(s+ 1)f(X)I + (xi∂f
∂xj
))Gs+2(X)
Entao a i-esima componente de DFk+1(X)Gs+2(X)−DGs+2Fk+1(X) e
−(s+ 1)f(X)Gis+2(X) + xi∇f(X).Gs+2(X)
Por simetria a i-esima componente DFk+2(X)Gs+1(X)−DGs+1Fk+2(X) e
(k + 1)g(X)F ik+2(X) + xi∇g(X).Fk+2(X)
36
e em consequencia a i-esima componente de Hk+s+2 e
H(i)k+s+2(X) =(k + 1)g(X)F i
k+2(X)− (s+ 1)f(X)Gis+2(X) + xi∇f(X)Gs+2(X)−
xi∇g(X)Fk+2(X).
Agora por hipotese, existem i0, j0 ∈ {1, . . . , n} tal que
m.d.c(f, xj0F(i0)k+2 − xi0F
(j0)k+2) = 1, m.d.c(g, xj0G
(i0)s+2 − xi0G
(j0)s+2) = 1
Assim nas coordenadas i0, j0 temos que
xj0H(i0)k+s+2(X)− xi0H
(j0)k+s+2(X) = (k + 1)xj0g(X)F
(i0)k+2(X)− (s+ 1)xj0f(X)G
(i0)s+2(X)+
xj0xi0∇f(X)Gs+2(X)− xj0xi0∇g(X)Fk+2(X)+
(k + 1)xi0g(X)F(j0)k+2(X)− (s+ 1)xi0f(X)G
(j0)s+2(X)+
xi0xj0∇f(X)Gs+2(X)− xi0xj0∇g(X)Fk+2(X),
logo, podemos reduzir esta expressao obtendo-se
xj0H(i0)k+s+2(X)− xi0H
(j0)k+s+2(X) = (k + 1)g(x)(xj0F
(i0)k+2 − xi0F
(j0)k+2)−
(s+ 1)f(x)(xj0G(i0)s+2 − xi0G
(j0)s+2)
Agora, usando o fato que o m.d.c(f, g) = 1 e por absurdo ve-se facilmente que f(X)g(X)nao pode dividir a xj0H
i0k+s+2 − xi0H
j0k+s+2.
37
Capıtulo 8
Formas meromorfas fechadas esubgrupos (n = 2)
Estudaremos as relacoes entre (1) e (3) da Proposicao 2.5, para o caso n = 2 e Λ ≤Diff1(C2, 0) um subgrupo de difeomorfismos tangentes a identidade que preserva os ei-xos coordenados (x = 0 e y = 0). Dizemos que uma 1-forma ω e invariante por
Λ ≤ Diff(Cn, 0), se para qualquer G ∈ Λ, o pull back de ω por G e ω, i.e., G∗(ω) = ω.
Quando temos um grupo de difeomorfismos formais de C fixando o zero, a relacaoentre (2) e (3) e natural, pois dado que existe X ∈ X(C, 0) invariante por Λ ≤ Diff(C, 0),podemos escrever X (z) = A(z) ∂
∂z, logo g∗X = X para todo g ∈ Λ implica A(z).g′(z) =
A(g(z)) para todo g ∈ Λ. Entao g′(z)A(g(z))
= 1A(z)
para todo g ∈ Λ, assim existe uma 1-forma
meromorfa ω(z) = dzA(z)
invariante por Λ. Similarmente se existe uma 1-forma meromorfa
ω invariante por Λ, entao existe um campo X (meremorfo) invariante por Λ. Por outrolado, podemos usar entao o fato que uma 1-forma meromorfa de C e conjugada a
(1) dz
(2) λdzz
(3) λdzz
+ d( 1zp )
para provar que, se existe uma 1-forma meromorfa ω invariante por Λ, entao Λ e abeliano.Note que, as 1-formas meromorfas de C sao sempre fechadas, portanto estudaremos aclassificacao de 1-formas meromorfas fechadas em 8.2.
8.1 Grupos linearizaveis
O seguinte resultado nos da uma equivalencia entre subgrupos linearizaveis e 1-formaslogarıtmicas lineares em (C2, 0):
Proposicao 8.1. Seja Λ ≤ Diff(C2, 0) um subgrupo. Λ e diagonalmente linearizavel se, esomente se, Λ e invariante pelo pull back de duas 1-formas logarıtmicas linear, linearmenteindependente, por alguma funcao holomorfa.
Demonstracao. ⇒). Suponha que Λ e linearizavel, entao existe H tal que, para todoG ∈ Λ, H ◦G ◦H−1(x, y) = (ax, by). Assim
(H ◦G ◦H−1)∗(αjdx
x+ βj
dy
y) = ((ax, by))∗(αj
dx
x+ βj
dy
y) = αj
d(ax)
ax+ βj
d(by)
by
= αjdx
x+ βj
dy
y.
Entao
(H ◦G ◦H−1)∗(αjdx
x+ βj
dy
y) = αj
dx
x+ βj
dy
y
portanto,
G∗(H∗(αjdx
x+ βj
dy
y)) = H∗(αj
dx
x+ βj
dy
y)
.⇐). Se Λ e invariante por H∗(αj
df1
f1+ βj
df2
f2) com (αj, βj) ∈ C2 linearmente independente,
para algum H funcao holomorfa. Entao para todo G ∈ Λ,
G∗(H∗(αjdf1
f1
+ βjdf2
f2
)) = H∗(αjdf1
f1
+ βjdf2
f2
),
assim
(H ◦G ◦H−1)∗(αjdf1
f1
+ βjdf2
f2
) = αjdf1
f1
+ βjdf2
f2
.
Agora, se U∗(αjdf1
f1+ βj
df2
f2)) = αj
df1
f1+ βj
df2
f2, entao[
α1 β1
α2 β2
] d(f1◦U)f1◦U
d(f2◦U)f2◦U
=
[α1 β1
α2 β2
] [df1
f1
df2
f2
]
Assim f1 ◦ U = af1 e f2 ◦ U = bf2. Como as 1-formas sao linearmente independente,podemos tomar os difeomorfismos ψ(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)) e L(x, y) = (ax, by). Entaoψ ◦ U = L ◦ ψ e assim U e diagonalmente linearizavel por ψ. Portanto (H ◦ G ◦H−1) ediagonalmente linearizavel por ψ e consequentemente Λ e diagonalmente linearizavel.
8.2 Grupos Abelianos
Nesta secao caracterizaremos e classificaremos os grupos de difeomorfismos abelianos quedeixam invariantes 1-formas meromorfas fechadas, linearmente independente, para istonote que pelo corolario 7.5 temos :
Proposicao 8.2. Seja Λ ≤ Diff1(C2, 0) um subgrupo abeliano, entao temos duas possibi-lidades:
1. Λ ≤ 〈exp([1](NX )) | N funcao racional tal que X (N) = 0〉 e exp([1]X ) ∈ Λ
2. Λ ≤ 〈exp([t]X ), exp([s]Z) | t, s ∈ C〉, com [X ,Z] = 0.
Usando este fato, obtemos:
Proposicao 8.3. Seja Λ ≤ Diff1(C2, 0) um subgrupo abeliano. Entao ou Λ e como em(1) acima ou existem duas 1-formas meromorfas, linearmente independente, invariantepor Λ.
39
Demonstracao. Suponha que Λ e como em (2), entao existem Xj, (j = 1, 2) invariantespor Λ com [X1,X2] = 0, suponha que Xj = Aj
∂∂x
+Bj∂∂y
. Como Xj sao invariantes por Λ,temos [∂g1
∂x∂g1
∂y
∂g2
∂x∂g2
∂y
] [A1(X) A2(X)
B1(X) B2(X)
]=
[A1(G) A2(G)
B1(G) B2(G)
]tomando a transposta, temos:[
A1(X) B1(X)
A2(X) B2(X)
] [∂g1
∂x∂g2
∂x
∂g1
∂y∂g2
∂y
]=
[A1(G) B1(G)
A2(G) B2(G)
]
assim [∂g1
∂x∂g2
∂x
∂g1
∂y∂g2
∂y
] [A1(G) B1(G)
A2(G) B2(G)
]−1
=
[A1(X) B1(X)
A2(X) B2(X)
]−1
Logo, tome:[C1(X) C2(X)
D1(X) D2(X)
]=
[A1(X) B1(X)
A2(X) B2(X)
]−1
=1
Q(X)
[B2(X) −B1(X)
−A2(X) A1(X)
]
Onde Q(X) = A1B2 −A2B1. Agora, seja ωj = Cjdx+Djdy das relacoes acima clara-mente as ωj sao invariantes por Λ e linearmente independente. Para finalizar mostraremos
que as ωj sao 1-formas fechadas, i,e.∂Dj
∂x− ∂Cj
∂y= 0. Como [X1,X2] = 0 entao
∂A2
∂xA1 +
∂A2
∂yB1 =
∂A1
∂xA2 +
∂A1
∂yB2
∂B2
∂xA1 +
∂B2
∂yB1 =
∂B1
∂xA2 +
∂B1
∂yB2
logo substituindo os valores de Cj e Dj em termos de Aj e Bj, e usando as equacoes acimapodemos concluir o desejado.
Agora estudaremos a classificacao das 1-formas meromorfas fechadas em (C2, 0) comduas separatrizes fixas. Pelo Lema de integracao temos que: Se ω e uma 1-forma fechadameromorfas em (C2, 0), podemos escrever ω = adx
x+ bdy
y+ d( F
xnym ), onde a, b ∈ C e
F : (C2, 0) 7→ C e holomorfa. Assim, temos que
Proposicao 8.4. Sejam ωj, j = 1, 2 1-formas meromorfas fechadas, linearmente indepen-dente em (C2, 0) com duas separatrizes e polos de ordem altos com expoentes linearmenteindependente. Entao existem coordenadas locais (x, y) numa vizinhanca U da origem0 ∈ C2 tal que as ωj se escrevem como:
ω1 = a1dx
x+ b1
dy
y+ d(
c1xnym
) e ω2 = a2dx
x+ b2
dy
y+ d(
c2xpyq
)
Demonstracao. Seja φ = (xu, yv), entao queremos
φ∗(a1dx
x+ b1
dy
y+ d(
c1xnym
)) = ω1 e φ∗(a2dx
x+ b2
dy
y+ d(
c2xpyq
)) = ω2
40
ou melhor dito queremos encontrar u e v tal que:
a1du
u+ b1
dv
v= d(
1
xnym.(F1 −
c1unvm
)) e a2du
u+ b2
dv
v= d(
1
xpyq.(F2 −
c2upvq
)).
Ou seja,
(a1 lnu+ b1 ln v)xnym − F1 +c1
unvm+ k1x
nym = 0
(a2 lnu+ b2 ln v)xpyq − F2 +c2upvq
+ k2xpyq = 0
Agora, definamos R : (C2, 0)× (C2, 0) 7→ (C2, 0) por
R(x, y, u, v) = ((a1 lnu+ b1 ln v)xnym − F1 +c1
unvm+ k1x
nym, (a2 lnu+ b2 ln v)xpyq−
F2 +c2upvq
+ k2xpyq)
e temos que R(0, 0, u, v) = (0, 0), assim se c1 = F1(0) e c2 = F2(0) temos que 1un(0)vm(0)
= 1
e 1up(0)vq(0)
= 1 e como
Det(J2R(0, (u, v)) = (nq −mp)up+n+1vm+q+1 6= 0
se (m,n) e (p, q) sao L.I, do Teorema da funcao implıcita encontramos (u, v) nossa unicasolucao.
Observacao 8.5. Seja Λ ≤ Diff1(C2, 0) um subgrupo. Dada uma 1-forma meromorfasfechada, tal que ω e invariante por Λ, se ω e conjugada ao 1-forma α por um difeomorfismoH. Entao a 1-forma α e invariante pelo grupo H−1 ◦Λ◦H. Como o grupo Λ e H−1 ◦Λ◦Htem propriedades algebricas similares, nao ha perda de generalidade ao assumir que asformas consideradas tem a forma normal da Proposicao 8.4.
Daremos a recıproca da Proposicao 8.3:
Proposicao 8.6. Seja Λ ≤ Diff(C2, 0) um subgrupo. Se existem duas 1-formas meromor-fas fechadas, linearmente independente, ωj, (j = 1, 2) com duas separatrizes transversais,as quais sao invariantes por Λ entao Λ e abeliano.
Demonstracao. Sejam ωj como acima e G(x, y) = (xu, yv) um difeomorfismo em Λ talque G∗(ωj) = ωj. Entao
a1 lnu+ b1 ln v =c1
xnym.(1− 1
unvm) + k1 e a2 lnu+ b2 ln v =
c2xpyq
.(1− 1
upvq) + k2
Se a1 = a2 = b1 = b2 = 0, entao
unvm =1
1 + k1
c1xnym
e upvq =1
1 + k2
c2xpyq
,
como (m,n) e (p, q) devem ser linearmente independente temos que
G(x, y) = (x(1 + k2
c2xpyq)
mD
(1 + k1
c1xnym)
qD
, y(1 + k1
c1xnym)
pD
(1 + k2
c2xpyq)
nD
)
41
com D = nq − pm, Λ esta formada por difeomorfismos lineares e como acima, portantoΛ e abeliano. No outro caso, como o lado esquerdo da igualdade e holomorfo temos que,
1unvm = 1 e 1
upvq = 1, quando (m,n) e (p, q) sao linearmente independente temos que u e vsao constantes, assim que G e linear e portanto Λ e abeliano. Nos outros possıveis casossimilarmente obtemos difeomorfismos da forma:
G(x, y) = (ax,a−
nmy
(1 + kxnym)1m
) e G(x, y) = (b−
mn x
(1 + kxnym)1n
, by)
independentemente, portanto Λ e abeliano.
Teorema 8.7. Seja Λ ≤ Diff(C2, 0) um subgrupo. As seguintes condicoes sao equivalen-tes:
1. Λ e abeliano com duas separatrizes transversais e algebra de lie associada de di-mensao 2.
2. Existem duas 1-formas meromorfas fechadas com duas separatrizes transversais, asquais sao invariantes por Λ.
3. Λ e formalmente conjugado aos grupos gerados por difeomorfismos lineares e difeo-morfismos de algum dos seguintes tipos:
• G(x, y) = (x(1+
k2c2
xpyq)mD
(1+k1c1
xnym)qD, y
(1+k1c1
xnym)pD
(1+k2c2
xpyq)nD
)
• G(x, y) = (ax, a−nm y
(1+kxnym)1m
)
• G(x, y) = ( b−mn x
(1+kxnym)1n, by)
Proposicao 8.8. Se Λ e invariante por duas 1-formas fechadas holomorfas, linearmenteindependente entao Λ = {Id}
Demonstracao. Seja G ∈ Λ e dFj, (j = 1, 2) que deixam invariante a Λ. Tome Φ =(F1, F2), como dF1 e dF2 sao linearmente independente numa vizinhanca do zero, temosque Φ e um difeomorfismo numa vizinhanca de zero, entao
(Φ ◦G ◦ Φ−1)∗(dx) = dx e (Φ ◦G ◦ Φ−1)∗(dy) = dy,
pois
(Φ ◦G ◦ Φ−1)∗(dx) = (Φ−1)∗ ◦G∗ ◦ Φ∗(dx) = (Φ−1)∗ ◦G∗(dF1) = (Φ−1)∗(dF1)
= (Φ−1)∗ ◦ Φ∗(dx) = dx.
Portanto Φ ◦G ◦ Φ−1 = {Id} e em consequencia Λ = {Id}.
8.3 Grupos meta-abelianos
Proposicao 8.9. Seja Λ ≤ Diff(C2, 0) um subgrupo com DΛ abeliano. Suponha que exis-tem dois campos de vetores X e Z, linearmente independentes, projetivamente invariantespor Λ tais que [X ,Z] = 0. Entao Λ e planamente abeliano, em particular meta-abeliano.
42
Demonstracao. Como X e Z sao projetivamente invariantes por Λ, entao para todo G ∈ Λexistem c1, c2 ∈ C tais que G∗X = c1X e G∗Z = c2Z. Assim para H ∈ Λ1, temos queH∗X = X e H∗Z = Z, logo Λ1 e abeliano e, como DΛ e abeliano, entao Λ e meta-abeliano.
Proposicao 8.10. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo meta-abeliano com DΛ abeliano.Entao se a algebra de lie associada a [Λ,Λ] e :
1. Uni-dimensional, existe um campo de vetores X tal que G∗(X ) = NX , para todoG ∈ Λ, e N funcao racional que depende de G.
2. dois-dimensional, existem campos de vetores X e Z linearmente independente, taisque G∗(X ) = s1X + t1Z e G∗(Z) = s2X + t2Z para todo G ∈ Λ, e (s1, t1), (s2, t2) ∈C2 linearmente independente que dependem de G.
Demonstracao. Como Λ e meta-abeliano e DΛ e abeliano entao, pela Proposicao 8.2,temos dois casos:
1. [Λ,Λ] ≤ 〈exp([1](NX )) | N funcao racional, X (N) = 0〉 e F = exp([1]X ) ∈ [Λ,Λ].
Entao para todo G ∈ Λ, [G,F ] ∈ [Λ,Λ]. Assim, existe uma funcao racional N tal
que [G,F ] = exp([1](NX )). Entao
G ◦ exp([1]X ) ◦G−1 = exp([1](NX )) ◦ exp([1]X ) = exp([1]((N + 1)X )).
Portanto G∗(X ) = NX .
2. [Λ,Λ] ≤ 〈exp([s]X ) ◦ exp([t]Z) | s, t ∈ C∗〉. Tome F = exp([1]X ). Entao para todoG ∈ Λ, [G,F ] ∈ [Λ,Λ], logo, existem s1 e t1 tal que [G,F ] = exp([s1]X ) ◦ exp([t1]Z)e entao
G ◦ exp([1]X ) ◦G−1 = exp([s1]X + [t1]Z) ◦ exp([1]X ) = exp([s1]X + [t1]Z).
Portanto G∗(X ) = s1X + t1Z. Analogamente temos que G∗(Z) = s2X + t2Z.
Agora investiguemos a relacao que existe entre os campos de vetores como acima em(2) e as 1-formas meromorfas fechadas:
Proposicao 8.11. Sejam Xj campos de vetores (j = 1, 2), tais que para todo G ∈ Λ,G∗(Xj) = sjX1 + tjX2, com sj, tj ∈ C∗ e [X1,X2] = 0. Entao existem duas 1-formasmeromorfas fechadas, linearmente independente ωj, (j = 1, 2) e aj, bj ∈ C∗ tal que paratodo G ∈ Λ, G∗(ωj) = ajω1 + bjω2.
Demonstracao. De fato, escrevamos Xj = Aj∂∂x
+Bj∂∂y
. Entao[∂g1
∂x∂g1
∂y
∂g2
∂x∂g2
∂y
] [A1(X) A2(X)
B1(X) B2(X)
]=
[s1A1(G) + t1A2(G) s2A1(G) + t2A2(G)
s1B1(G) + t1B2(G) s2B1(G) + t2B2(G)
].
Tomando a transposta, temos:[A1(X) B1(X)
A2(X) B2(X)
] [∂g1
∂x∂g2
∂x
∂g1
∂y∂g2
∂y
]=
[s1A1(G) + t1A2(G) s1B1(G) + t1B2(G)
s2A1(G) + t2A2(G) s2B1(G) + t2B2(G)
].
43
Assim,[∂g1
∂x∂g2
∂x
∂g1
∂y∂g2
∂y
] [s1A1(G) + t1A2(G) s1B1(G) + t1B2(G)
s2A1(G) + t2A2(G) s2B1(G) + t2B2(G)
]−1
=
[A1(X) B1(X)
A2(X) B2(X)
]−1
logo, tome:[C1(X) C2(X)
D1(X) D2(X)
]=
[s1A1(X) + t1A2(X) s1B1(X) + t1B2(X)
s2A1(X) + t2A2(X) s2B1(X) + t2B2(X)
]−1
e ωj = Cjdx + Djdy. Entao G∗(ω1) = G∗( 1rQ(X)
.(s2B1 + t2B2,−(s1B1 + t1B2)) =1
Q(X)(B2,−A2) = s1ω1+s2ω2, onde Q(x) = C1(X).D2(X)−C2(X).D1(X) e r = s1t2−s2t1.
Analogamente, temos que G∗(ω2) = t1ω1 + t2ω2 e claramente vemos que ω1, e ω2 saolinearmente independente. Para finalizar mostraremos que as ωj sao 1-formas fechadas,
i,e.∂Dj
∂x− ∂Cj
∂y= 0. Como [X1,X2] = 0, entao
∂A2
∂xA1 +
∂A2
∂yB1 =
∂A1
∂xA2 +
∂A1
∂yB2
∂B2
∂xA1 +
∂B2
∂yB1 =
∂B1
∂xA2 +
∂B1
∂yB2
Substituindo o valor de Cj e Dj por seus respectivos valores em termo de Aj e Bj, eusando as equacoes acima podemos concluir o desejado.
44
Capıtulo 9
Grupos com crescimento polinomial
Agora lembraremos a nocao de crescimento polinomial para um grupo abstracto finita-mente gerado Γ. Seja Γ0 ⊂ Γ um subconjunto finito tal que qualquer elemento g ∈ Γ seescreve da forma g =
∏α∈A g
nαα onde A e um conjunto finito, nα ∈ Z e gα ∈ Γ0, ∀α ∈ A. O
conjunto dos geradores Γ0 e dito simetrico se dado g ∈ Γ0 entao g−1 ∈ Γ0. Assumiremosque Γ0 e simetrico. Para qualquer n ∈ N definimos o conjunto Γn dos elementos de Γ osquais podem ser expressos como uma palavra de ate n geradores. Isto e,
Γn = {g ∈ Γ, g = gα1 ◦ · · · ◦ gαk, k ≤ n, gαj
∈ Γ0,∀j = 1, . . . , k}
A funcao de crescimento de Γ e g(n) = #Γn, n ∈ N. Esta definicao pode ser estendidacomo segue [13]: Seja d qualquer metrica invariante a esquerda sobre Γ. Assume-se queΓ e discreto, assim para qualquer g ∈ Γ existe εg > 0 tal que a bola metrica BΓ(g; εg) ⊂ Γcontem so g. A funcao de crescimento do par (Γ, d) e dada por γ(t) = #BΓ(e; t), ∀t ≥ 0,sempre que γ(t) <∞.
Definicao 9.1 ([13]). O par (Γ, d) tem crescimento polinomial de grau k se existe umpolinomio p(x) de grau k tal que γ(t) ≤ p(t), ∀t ≥ 0, onde γ(.) e a funcao de crescimentode (Γ, d). Podemos tambem considerar polinomios da forma axλ, λ ≥ 0, λ ∈ R.
Teorema 9.2 ([4]). Seja Λ ≤ Diff(C, 0) um subgrupo finitamente gerado com crescimentopolinomial (para alguma metrica invariante a esquerda ). Entao Λ e soluvel.
Definicao 9.3. Um grupo abstracto Γ e dito policıclico se existe uma serie subnormalfinita Γ = Γ0 . Γ1 · · · . Γn = e onde Γk+1 e normal em Γk e o quociente Γk/Γk+1 e cıclico.
Dado um grupo abstracto Γ denotaremos por Hom(Γ,R) o grupo dos homomorfismosΓ → R.
Proposicao 9.4. (Plante-Thurston, [13]). Seja Γ um grupo abstracto. Se Γ tem cres-cimento polinomial (para alguma metrica invariante a esquerda ) e para todo subgrupofinitamente gerado ∆ < Γ temos que Hom(∆,R) 6= 0, entao Γ e soluvel. Se Γ e finita-mente gerado entao Γ e policıclico.
Proposicao 9.5. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo finitamente gerado com crescimentopolinomial (para alguma metrica invariante a esquerda ). Entao Λ1 e soluvel.
Demonstracao. Provaremos que todo subgrupo finitamente gerado Γ < Λ1 tem Hom(Γ,R)6= 0, e da proposicao acima, concluımos nossa prova. De fato, dado um subgrupo finita-mente gerado Γ < Λ1 existem uma variedade complexa compacta N e um isomorfismo
Φ : π1(N) → Γ < Diff(Cn, 0), assim existe uma variedade M suspendida pela repre-sentacao Φ, e uma folheacao F sobre M tal que N e uma folha de F . A holonomia deN e dada pela representacao Φ. Note que a holonomia linear (aplicacao que associa aparte linear de Γ) e trivial, pois Γ < Λ1. Agora, se Hom(Γ,R) = 0, entao H1(N ; R) ≈Hom(π1(N),R) = 0. Pelo Teorema 2 em [17], obtemos que a holonomia de N e trivial.Portanto Γ = {Id}.
Corolario 9.6. Seja Λ ≤ Diff(Cn, 0) um subgrupo finitamente gerado com crescimentopolinomial (para alguma metrica invariante a esquerda). Entao Λ e soluvel se, e somentese, DΛ e soluvel.
Demonstracao. Se Λ e soluvel entao Λ1 tambem e soluvel e assim Λ/Λ1 ≈ DΛ e soluvel.Reciprocamente, suponha que DΛ e soluvel entao Λ/Λ1 e soluvel e, pela proposicao acima,Λ1 e soluvel. Assim Λ e soluvel.
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Capıtulo 10
Alguns problemas e questoes
Pergunta. E possıvel encontrar Λ ≤ Diff(Cn, 0), n ≥ 2 tal que Λ1 seja soluvel e naoabeliano?
Pergunta. E possıvel encontrar um contra-exemplo ao Teorema 5.6, no caso em queo grupo Λ ≤ Diff(Cn, 0) nao e linear?
Pergunta. E possıvel encontrar uma propriedade para campos mais geral do quedicritico regular e obter um resultado parecido com o Lema 5.12?
Pergunta. E possıvel melhorar os exemplos e contra-exemplos dados neste trabalho,no sentido que para os campos utilizados, o 0 seja uma singularidade isolada?
Referencias Bibliograficas
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