Upload
truongnguyet
View
213
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
Fabiana Travessini De Cezaro
Análise do modelo de cascas rasas de
Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos
Orientador
Gustavo Alberto Perla Menzala
Rio de Janeiro
2011
Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov com
efeitos térmicos
Fabiana Travessini De Cezaro
Tese de Doutorado apresentada
ao Instituto de Matemática da
Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisi-
tos necessários à obtenção do tí-
tulo de Doutor em Matemática
Orientador: Gustavo Alberto Perla Menzala
Rio de Janeiro
Setembro de 2011
Ficha Catalográca
Travessini De Cezaro, Fabiana.
Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos
Fabiana Travessini De Cezaro.
Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2011
x, 148 f.
Orientador: Gustavo Alberto Perla Menzala
Tese (doutorado) - UFRJ/ IM/ Programa de
Pós-graduação em Matemática, 2011
Referências Bibliográcas: f. 144-148.
1. Existência e Unicidade de Soluções Regulares.
2. Unicidade de Soluções Fracas.
3. Limite Singular. 4. Estabilização
I. Menzala, Gustavo Alberto Perla. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática.
III. Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov
com efeitos térmicos
ii
Análise do modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov com
efeitos térmicos
Fabiana Travessini De Cezaro
Tese submetida ao Programa de Pós-gradução em Matemática da Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de
Doutor em Matemática.
Aprovada por:
Gustavo Alberto Perla Menzala (Orientador).
IM/UFRJ e LNCC/MCT.
Marcelo Moreira Cavalcanti.
DM/UEM.
Hugo Danilo Fernández Sare.
IM-UFRJ.
Ruy Coimbra Charão.
MTM/UFSC.
Ademir Fernando Pazoto.
IM/UFRJ.
Alexandre Madureira.
LNCC/MCT.
iii
Agradecimentos
Aos meus pais Nelsi e Valdir Travessini, por orientar meu caminho e apoiar as minhas
decisões em todos os momentos.
Ao meu esposo Adriano De Cezaro, pelo amor, dedicação, compreensão e, sobretudo, a
paciência durante toda esta jornada.
Aos demais familiares, em especial ao meu irmão Evandro Travessini e ao meu tio-
padrinho Wolnei Caumo, pelo apoio e incentivo.
Ao meu orientador Professor Dr. Gustavo Alberto Perla Menzala, meus sinceros agrade-
cimentos por sua serenidade, paciência e competência demonstradas neste período.
A meus amigos, em especial ao Alisson R. A. Babosa e ao Prof. Dr. Alexandre Marinho,
pelas conversas longas e animadas.
À banca examinadora pelos comentários e sugestões valiosos que aprimoraram a forma
de apresentação desta Tese.
Aos técnicos, direção, professores do Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF,
em especial a diretora Dr. Denise M. Varella Martinez.
Aos professores e funcionários da pós-graduação do Instituto de Matemática - UFRJ.
Ao CNPq.
iv
Resumo
Neste trabalho, estudamos uma versão bidimensional do sistema dinâmico de Mar-
guerre-Vlasov na presença de efeitos térmicos. Mostramos a existência e unicidade de
soluções globais regulares e fracas. Também, consideramos o sistema dependendo de
um parâmetro ε > 0. Mostramos que, quando este parâmetro tende a zero, o sistema
converge fracamente, no espaço energia, para a solução de uma equação não-linear do
tipo Timoshenko com efeitos térmicos. Além disso, estabelecemos o decaimento uniforme
da energia associada.
Palavras-chave: Cascas Rasas, Unicidade de Solução Fraca, Limite Singular, Esta-
bilização.
v
Abstract
In this work, we study a bi-dimensional version of the dynamic Marguerre-Vlasov
system in the presence of thermal eects. The wellposedness of regular and weak solutions
is showed. Also, we consider the system depending on a parameter ε > 0. We showed
that when this parameter tends to zero, the system converges weakly in the energy
space for the solution of a nonlinear equation of Timoshenko type with thermal eects.
Furthermore the uniform decay rate is obtained for the associated energy.
Key-Words: Shallow shells, uniqueness of weak solution, limit singular, stabiliza-
tion.
vi
Sumário
1 O Sistema de Marguerre-Vlasov para Cascas Rasas sob Efeitos Térmi-
cos: Soluções Globais Regulares 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Existência e Unicidade de Soluções Regulares . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Dependência Contínua dos Dados Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 O Sistema de Marguerre-Vlasov para Cascas Rasas sob Efeitos Térmi-
cos: Soluções Globais Fracas 50
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Operadores de Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Existência e Unicidade de Soluções Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Limite Singular do Sistema Perturbado 80
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 O Limite Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Estabilização do sistema Marguerre-Vlasov com Efeitos Térmicos 92
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Identidade de Dissipatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Regularidade do Traço na Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Comportamento Assintótico I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Comportamento Assintótico II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5 Conclusões e Trabalhos Futuros 139
A Apêndice 140
vii
Introdução
Cascas estão presentes em larga escala na vida cotidiana. Podemos pensar que é
uma lâmina que apresenta uma forma curva. Isto não é uma denição rigorosa, mas
permite identicar um grande número de cascas presentes na natureza. Por exemplo,
cascas de ovos, tartarugas, moluscos, parte do crânio, unhas, o cásulo do bicho-da-seda,
etc. Ainda, existe uma variedade de cascas articiais (feitas pelo homem) que são empre-
gadas na indústria moderna, sobretudo, nas indústrias naval, petroquímica, automobilís-
tica e aeroespacial. Assim, a Teoria de Cascas, ao longo dos anos, tem atraído muitos
estudiosos, entre eles, engenheiros e matemáticos.
A Teoria de Cascas não-lineares pode ser considerada como uma generalização do
problema de Plateau. A principal característica deste problema é estudar superfícies
sob a hipótese de que a densidade da energia potencial na deformação é essencialmente
proporcional a mudança de área no elemento. Derivações de modelos físicos, bem como
interpretações físicas relevantes nos modelos podem ser encontrado em [12, 49].
Nesta Tese, consideramos uma versão bidimensional do sistema de equações não-
lineares de Marguerre-Vlasov sujeito à efeitos térmicos. Este sistema é amplamente aceito
como um modelo dinâmico que descreve as vibrações de cascas rasas ("shallow shells").
Ainda, segundo [12], algumas hipóteses usuais para a modelagem de cascas rasas são:
i) Pequenez dos tensores.
ii) Hipótese de moderada exão (deformação com moderados ângulos de rotação).
iii) Hipóteses de Kirchho:
a deformação no interior da casca é completamente determinada pela defor-
mação da superfície média.
pequenez do deslocamento transversal ei3, i = 1, 2 em comparação com as
outras componentes do tensor de deformações eij, i, j = 1, 2.
1
o tensor de tensões tem o último termo de sua diagonal muito pequeno em
comparação com os outros componentes da matriz.
iv) A casca é muito na (superfície é regular).
Seja M uma superfície regular, que é o gráco de uma função de duas variáveis,
denida em Ω, um aberto, limitado do R2 com fronteira suave. O sistema dinâmico de
Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos, [12, 49], pode ser escrito como:Utt −Div([Bij]) + Ut = 0
wtt + ∆2w −∆wtt + ∆θ − div([Bij]∇w) +K1B11 +K2B22 = 0
θt −∆θ −∆wt = 0 em M × (0,∞).
(1)
Em (1), U =
(u
v
)é o deslocamento longitudinal na superfície média da casca,
assim, u and v dependem das variáveis (x, y) ∈ M e t > 0. Representamos por
w = w(x, y, t) o correspondente deslocamento transversal e θ = θ(x, y, t) a função que
representa os efeitos térmicos. Ainda, K1 = K1(x, y) e K2 = K2(x, y) denotam as curva-
turas da casca; Div denota o divergente matricial e div denota o divergente de um vetor.
O parâmetro µ representa o módulo elástico e varia no intervalo 0 < µ < 1/2. Outras
constantes positivas no modelo, por simplicidade, foram normalizadas com norma igual
a um.
A matriz simétrica [Bij] = [Bij(U,w)]2×2 tem componentes Bij dados por
B11 = 21−µ(b11 + µb22)
B22 = 21−µ(b22 + µb11)
B12 = B21 = b12 = b21 = uy + vx + wxwy
b11 = ux + 12w2x +K1w, b22 = vy + 1
2w2y +K2w
(2)
O sistema (1) será estudado com condições de fronteira de Dirichlet
U = 0, w =∂w
∂ν= 0, θ = 0 sobre ∂M × (0, T ) (3)
2
e condições iniciais
U(x, y, 0) = (u(x, y, 0), v(x, y, 0)) = (u0(x, y), v0(x, y))
Ut(x, y, 0) = (ut(x, y, 0), vt(x, y, 0)) = (u1(x, y), v1(x, y))
w(x, y, 0) = w0(x, y)
wt(x, y, 0) = w1(x, y)
θ(x, y, 0) = θ0(x, y), (x, y) ∈M.
(4)
Em (3), ∂∂ν
denota a derivada normal, ν é o vetor normal unitário exterior a M .
Neste trabalho, ∆ = ∆M denota o operador Laplace-Beltrami, onde M é o gráco
de uma função de duas variáveis que está denida em Ω, um aberto, limitado do plano
com fronteira suave. Um boa referência para a análise de EDP's em variedades, por
exemplo, é o artigo Cavalcanti et al., [9]. O modelo de cascas rasas de Marguerre-Vlasov
com efeitos térmicos é uma EDP denida na superfície M . Para simplicar, seguimos as
mesmas notações de Sedenko, [44], e as mesmas notações de Vorovich, [48].
O modelo de cascas descrito pelo sistema (1) é não-linear, fortemente acoplado de
duas equações diferenciais hiperbólicas com a equação do calor e condições de fronteira
de Dirichlet. Este sistema acopla uma equação de placas do tipo Kircho na variável de
deslocamento transversal, uma equação de ondas elásticas para a variável de deslocamento
(no plano) tangencial e a equação do calor. Fisicamente, o modelo descreve as vibrações
de cascas rasas.
Os principais objetivos desta tese são:
• Mostrar que o sistema (1) é bem-posto no sentido de Hadamard para soluções
regulares;
• Estabelecer a existência e unicidade de soluções fracas do sistema (1);
• Perturbar o sistema (1) com um parâmetro ε > 0 e investigar a "proximidade",
quando ε → 0, das componentes w = wε e θ = θε em (1) com a solução de uma
equação do tipo Timoshenko não-linear com efeitos térmicos;
• Estabelecer o decaimento exponencial, quando t→ +∞, da energia total do sistema
(1) associada a soluções fracas.
Nesta linha de raciocínio, estes resultados já foram obtidos para o caso unidimensional.
G. Perla Menzala e J. J. Suarez em [32], consideraram o sistema de Marguerre-Vlasov
3
com efeitos térmicos, isto é, para ε > 0 e 0 < α < 1, com u = uε, w = wε e θ = θε,
εutt = µo[ux + 1
2w2x +K1(x)w
]x− εαut
wtt + wxxxx − wxxtt =[µowx
(ux + 1
2w2x +K1(x)w
)]x
−µoK1(x)(ux + 1
2w2x +K1(x)w
)− θxx
θt − θxx − wxxt = 0
(5)
Usando a Teoria de Semigrupos, os autores estabeleceram a existência e unicidade de
soluções regulares e fracas e o decaimento exponencial da energia para o sistema (5) com
condições de fronteira do tipo Dirichlet.
Ainda no caso unidimensional, mas sem efeitos térmicos, G. Perla Menzala e E. Zuazua
em [37], consideraram o sistema de Marguerre-Vlasov com outros mecânismos de dissi-
pação interna e com com condições de fronteira de Dirichlet. A. Munch e F. Pazoto em
[28] consideraram o sistema de Marguerre-Vlasov mas com dissipação na fronteira. Em
ambos os trabalhos ([37, 28]), resultados de existência, unicidade e comportamento das
soluções regulares e fracas foram estudados.
No entanto, para o caso bidimensional, pelo nosso conhecimento, não há trabalhos
publicados sobre o sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos (1). Sem efeitos tér-
micos, a existência de soluções regulares e fracas foi estabelecida por I. I. Vorovich, [48],
meados dos anos cinquenta. Já a unicidade de soluções fracas foi anunciada por V. I.
Sedenko em [43] e os detalhes da demonstração foram apresentados no nal da década
de noventa em [44].
Neste trabalho, a existência de soluções regulares para o sistema de Marguerre-Vlasov
com efeitos térmicos (1) é provada estabelecendo apropriados limites a priori para as
soluções correspondente às aproximações do método de Galerkin. A unicidade segue via
técnicas clássicas de análise e desigualdade de Gronwall. Ainda, obtemos a dependência
contínua com respeito aos dados iniciais para soluções regulares, ou seja, mostramos que
o sistema (1) é bem-posto no sentido de Hadarmad para soluções regulares. A existência
de solução global fraca é obtida via um processo limite e argumentos de compacidade.
Um ponto crítico e delicado é mostrar a unicidade de solução fraca, pois as téc-
nicas clássicas não se aplicam. Isto está relacionado com o fato que o problema não é
monótono, os termos não-lineares de (1) não são localmente Lipschitz e nem são limitados
no espaço energia, uma vez que faltam imersões de Sobolev adequadas no caso bidimen-
sional (H1(Ω) * L∞(Ω)). Desta forma, os métodos tradicionais falham. Assim, para
demonstrarmos a unicidade de soluções fracas usaremos o método aplicado em [23], para
4
equações de von Kármán, por I. Lasiecka. O método em [23] é baseado na adaptação das
técnicas de V. I. Sedenko, [44]. A principal ideia deste método é considerar o problema
em um nível de energia mais baixo e provar a unicidade para esse nível. A mesma técnica
foi aplicada por I. Lasiecka e A. Benabdallah em [3, 4] no contexto de placas termoelás-
ticas com condição de fronteira livre; por A. Boutet de Monvel e I. Chueshov em [6]
para o sistema modicado de von Kármán com condições de Dirichlet na fronteira; por
I. Chueshov e A. Shcherbina em [11] para o sistema Zakharov 2D no contexto de física
plasma sob várias condições de fronteira; I. Lasiecka e I. Chueshov em [10] para o modelo
de placas do tipo Kirchho-Boussinesq 2D para condições na fronteira de Dirichlet, livres
e simplesmente apoiadas; por M. Grasselli et. al. [14] para a equação de Cahn-Hilliard
2D a qual descreve o fenômeno de separação de fases em sistemas binários; J. Cagnol et.
al. em [7, 8] no contexto cascas não-lineares introduzidas por Koiter.
Em [32], os autores mostraram que as componentes (wε, θε) do sistema (5) convergem
fraco estrela, no espaço energia, para a solução (w, θ) de um modelo de viga do tipo
Timoshenko com efeitos térmicos. Estenderemos este resultado para o caso bidimensional.
Seja 0 < α ≤ 1 xo. Vamos considerar o sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos
dependendo de um parâmetro ε > 0, isto éεU ε
tt = Div([Bεij
])− εαU ε
t
wεtt + ∆2wε −∆wεtt + ∆θε = div([Bε
ij]∇wε)−K1B
ε11 −K2B
ε22
θεt −∆θε −∆wεt = 0
(6)
com condições iniciais dadas em (4) e condições de fronteira dadas em (3), onde U ε =
(uε, vε) e
Bε11 =
2
1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε11 + µbε22
Bε22 =
2
1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε22 + µbε11
Bε12 = Bε
21 = bε12 = bε21 = εuεy + vεx + wεxw
εy
bε11 =
uεx +
1
2(wεx)
2 +K1wε
bε22 =
vεy +
1
2(wεy)
2 +K2wε
.
Analisaremos a "proximidade", quando ε → 0, das componentes w = wε e θ = θε
do sistema (6) com a solução (z, φ) de um modelo do tipo Timoshenko não-linear com
5
efeitos térmicos dado por ztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ = D(t)∆z − (K1 +K2)D(t)
φt −∆φ−∆zt = 0(7)
onde
D(t) =µ
(1− µ)|Ω|
∫Ω
(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z
)dA
com condições iniciais dadas em (4) e condições de fronteira dadas em (3). Para fazer
esta análise explicaremos brevemente o método empregado. Estimativas clássicas de
energia fornecerão limites uniformes (com respeito a ε) para as soluções fracas de (6)
e argumentos de compacidade, [45], nos permitem passar o limite quando ε → 0 no
sistema (6) e identicar as condições iniciais do sistema limite. A principal diculdade na
passagem ao limite é a identicação do limite dos termos não-lineares. Isso é feito através
de funções testes ad hoc as quais dependem sensivelmente das condições de fronteira, pois
condições de fronteira diferentes podem mudar drasticamente o sistema limite.
Existência e unicidade de solução global fraca do modelo do tipo Timoshenko não-
linear (7) pode ser obtida usando métodos clássicos sob a hipótese queK1 eK2 pertencem
a W 1,∞(Ω). Neste trabalho, provaremos a existência e unicidade de soluções fracas do
sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos perturbado (6). Então, como a solução
fraca de ambos os modelos é única, não há ambiguidade em analisar a proximidade
destas soluções fracas. Resultados similares de análise de limites singulares podem ser
encontrados em [28, 37, 38] para o sistema Marguerre-Vlasov sem efeitos térmicos e em
[34, 35, 36, 31] para o sistema dinâmico completo de von-Kármán uni e bidimensional.
Em [32] os autores obtiveram o decaimento exponencial da energia total associada a
soluções fracas do sistema (5). Mas, novamente, a extensão destes resultados para o caso
bidimensional não é trivial. Isto se deve ao fato que, no caso bidimensional, as equações
envolvidas possuem uma complexidade maior; a regularidade do traço na fronteira tem
um papel fundamental; H1(Ω) não está imerso em L∞(Ω); os termos não-lineares não
são limitados no espaço determinado pelas soluções de energia nita.
Um dos objetivos deste trabalho é estabelecer o decaimento exponencial da energia
associada a soluções fracas do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos. Devido
as diculdades citadas acima, demonstraremos o decaimento exponencial da energia as-
sociada a soluções fracas do sistema (1) ou (6) por duas técnicas. Para ambas as técnicas,
inicialmente, estabelerecemos um resultado de regularidade de traço para o modelo. Esta
6
regularidade não segue da teoria padrão de traço de Sobolev e é crítica nas estimativas
de decaimento exponencial, [24, 26].
A primeira técnica utilizada é baseada nos métodos de multiplicadores introduzidos
por G. Avalos et. al. em [1, 2] com condições de fronteira livre no contexto de placas
termoelásticas. Esta técnica também foi usada por G. Perla Menzala e E. Zuazua em
[33, 39] e por G. Perla Menzala e J. J. Suarez em [32]. Sob hipótese adequada nas
curvaturas K1 e K2, pelo método de multiplicadores citado acima, obteremos estimativas
apropriadas para a energia do sistema para soluções regulares. Combinaremos estas
estimativas, o fato da energia ser decrescente, a identidade de dissipatividade, a boa-
colocação do sistema (1) (demonstrada no primeiro capítulo desta Tese) para soluções
regulares e propriedades de semigrupos não-lineares para demonstrarmos o decaimento
exponencial da energia associada a soluções regulares. A unicidade de soluções fracas
(que será estabelecida nesta Tese) para o sistema (1) e a semi-continuidade fraca do
funcional de energia permitem estender este resultado para todas as soluções fracas.
A segunda técnica é baseada na escolha de um funcional de Lyapunov adequado.
Nesta técnica, conseguimos retirar as hipóteses feitas sob as curvaturas mas, em con-
trapartida, teremos que colocar hipótese na constante módulo elástico µ e na energia
inicial.
Se K1 = K2 = 0 em (1), então obtemos o sistema dinâmico completo de Von Kármán
com efeitos térmicos, que modela placas termoelásticas. Este sistema foi estudado por I.
Lasiecka et. al. em [3, 4]. As autoras estabeleceram a boa-colocação do sistema e taxas
de decaimento exponencial da energia para soluções fracas através da primeira técnica
descrita acima. Sem efeitos térmicos, o sistema completo de von-Kármám foi estudado
no caso estático por [19] e no caso dinâmico por [20, 22, 23, 31, 36, 40, 41, 47]. Ainda,
no caso dinâmico, temos o modelo de von-Kárman modicado (escalar), o qual não
leva em conta os deslocamentos no plano, onde a não-linearidade aparece via o tensor
de Airy, [5, 6, 18, 33]. Para ambos os modelos de von-Kármán encontramos muitos
resultados sobre boa-colocação e estabilização para soluções regulares e fracas. Vale a
pena ressaltar que a rica teoria desenvolvida para o modelo dinâmico de von Kárman
modicado (escalar) deve seu sucesso a regularidade do tensor de Airy. No sistema
completo de von Karman (vetorial) este tensor não desempenha nenhuma função, assim,
os benefícios da regularidade adicional dos termos não-lineares não estão disponíveis.
Entretanto, a simplicação de ignorar os deslocamentos no plano não faz sentido no caso
de uma casca. Assim, no caso de cascas, os modelos dinâmicos relevantes são os de
7
estrutura vetorial.
Este trabalho está organizado da seguinte forma. No capítulo 1, estabelecemos alguns
lemas técnicos importantes que serão usados no decorrer do trabalho. Provamos a ex-
istência de solução global regular do sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos via
método de Faedo-Galerkin não-linear. A unicidade segue via técnicas clássicas de ener-
gia. Também, mostramos a dependência contínua das soluções regulares em relação aos
dados iniciais, isto é, que o sistema é bem-posto no sentido de Hadamard para soluções
regulares. No capítulo 2, provamos a existência de solução global fraca via um processo
limite. Introduzimos operadores e demonstramos algumas de suas propriedades especiais.
Com estes operadores e pela técnica de [23], que é uma adaptação do método utilizado
em [44], provamos a unicidade de solução global fraca para o sistema Marguerre-Vlasov
com efeitos térmicos. No capítulo 3, consideramos o sistema de Marguerre-Vlasov com
efeitos térmicos e condições de fronteira simplesmente apoiadas. Estabelecemos para
este sistema a boa colocação para soluções regulares, a existência e unicidade de soluções
fracas. No capítulo 4, consideramos o sistema de Marguerre-Vlasov dependendo de um
parâmetro ε > 0. Mostramos que, quando ε→ 0, as componentes (wε, θε) convergem fra-
camente, no espaço energia, para a solução de um sistema do tipo Timoshenko não-linear
com efeitos térmicos. O capítulo 5 é dedicado para o estudo do decaimento exponencial
da energia associada a soluções fracas. Na seção 5.2, estabelecemos a identidade de dissi-
patividade para soluções regulares. Na seção 5.3, provamos um resultado de regularidade
de traço na fronteira. Na seção 5.4, sob hipótese nas curvaturas K1 e K2, mostramos
que a energia associada a soluções fracas decai exponencialmente quando t → ∞. Na
seção 5.5, sob hipótese relacionando a energia inicial e na constante módulo elástico µ,
fornecemos uma segunda prova de decaimento exponencial da energia.
8
Capítulo 1
O Sistema de Marguerre-Vlasov para
Cascas Rasas sob Efeitos Térmicos:
Soluções Globais Regulares
1.1 Introdução
Neste capítulo, provaremos a existência, unicidade e dependência contínua em relação
aos dados iniciais da solução global regular do sistema (1), com condições de fronteira
dadas em (3) e condições iniciais dadas em (4). A existência seguirá através do método
de Galerkin. A unicidade e dependência contínua em relação aos dados iniciais seguirão
via métodos clássicos de energia e desigualdade de Gronwall.
Para iniciar, estabeleceremos alguns lemas técnicos importantes que serão utilizados
no decorrer do trabalho.
Seja U =
(u
v
), introduzimos o tensor simétrico
ε(U) =1
2
(∇U + (∇U)T
)(1.1)
onde ∇U é a matriz dada por
∇U =
(ux uy
vx vy
). (1.2)
Introduzimos a função f : R2 → S, onde S é o conjunto das matrizes simétricas 2×2,
f(s) =1
2s⊗ s =
1
2s · sT =
1
2
((s1)2 s1s2
s1s2 (s2)2
)(1.3)
9
Seja A = [aij]1≤i,j≤2 uma matriz pertencente a S. Denimos o tensor C : S → S por
C[A] = 2
[1
1−µ a11 + µ1−µ a22 a12
a211
1−µ a22 + µ1−µ a11
](1.4)
Seja A = [aij], B = [bij] matrizes simétricas, 2× 2, cujas entradas pertenem a L2(Ω).
Denimos o seguinte produto interno
(A,B)(L2(Ω))4 = (a11, b11)L2(Ω) + (a12, b12)L2(Ω) + (a21, b21)L2(Ω) + (a22, b22)L2(Ω)
e
‖A‖(L2(Ω))4 =‖a11‖2
L2(Ω) + ‖a12‖2L2(Ω) + ‖a21‖2
L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω)
1/2
Lema 1.1. Seja A uma matriz simétrica cujas entradas são funções de L2(Ω). Então, o
tensor C[·] está bem denido, (C[A], A)(L2(Ω))4 ≥ 0 e existem constantes C1 > 0 e C2 > 0
tais que
C1‖A‖2(L2(Ω))4 ≤ (C[A], A)(L2(Ω))4 ≤ C2‖A‖2
(L2(Ω))4 (1.5)
Demonstração:
(C[A], A)(L2(Ω))4 =
(2
[1
1−µ a11 + µ1−µ a22 a12
a211
1−µ a22 + µ1−µ a11
],
[a11 a12
a21 a22
])
=2
1− µ(a11, a11)L2(Ω) +
2µ
1− µ(a11, a22)L2(Ω) + 2(a12, a12)L2(Ω)
+ 2(a21, a21)L2(Ω) +2
1− µ(a22, a22)L2(Ω) +
2µ
1− µ(a11, a22)L2(Ω)
=2
1− µ‖a11‖2
L2(Ω) +2
1− µ‖a22‖2
L2(Ω) + 2‖a12‖2L2(Ω) + 2‖a21‖2
L2(Ω)
+2µ
1− µ
(‖a11‖2
L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω) + 2(a11, a22)L2(Ω)
)− 2µ
1− µ
(‖a11‖2
L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω)
)= 2‖a11‖2
L2(Ω) + 2‖a22‖2L2(Ω) + 2‖a12‖2
L2(Ω) + 2‖a21‖2L2(Ω)
+2µ
1− µ‖a11 + a22‖2
L2(Ω)
Como
‖A‖2(L2(Ω))4 = ‖a11‖2
L2(Ω) + ‖a22‖2L2(Ω) + ‖a12‖2
L2(Ω) + ‖a21‖2L2(Ω)
então, escolhemos C1 = 2 e temos a primeira desigualdade em (1.5). Por outro lado,
escolhemos C2 = 2
(1 + µ
1− µ
)e obtemos a segunda desigualdade em (1.5).
10
Lema 1.2. Seja A = [aij] ∈ L2(Ω,S). Então, existe uma constante C1 > 0 tal que
‖C[A]‖(L2(Ω))4 ≤ C1‖A‖(L2(Ω))4
Demonstração: Pela denição do tensor C[·], segue que
‖C[A]‖(L2(Ω))4 =
∥∥∥∥ 2
1− µa11 +
2µ
1− µa22
∥∥∥∥L2(Ω)
+ 2 ‖ a12‖L2(Ω)
+ 2 ‖ a21‖L2(Ω) +
∥∥∥∥ 2
1− µa22 +
2µ
1− µa11
∥∥∥∥L2(Ω)
≤ C1
∑‖ aij‖L2(Ω) = C1 ‖A‖(L2(Ω))4
onde podemos escolher a constante C1 = 2
(1 + µ
1− µ
).
Lema 1.3. Sejam A = [aij] e B = [bij] pertencentes a L2(Ω,S). Então,
(C[A], B)(L2(Ω))4 = (C[B], A)(L2(Ω))4
Demonstração: Novamente, da denição de C[·], segue que
(C[A], B)(L2(Ω))4 =2
1− µ(a11, b11)L2(Ω) +
2µ
1− µ(a22, b11)L2(Ω) + 2(a12, b12)L2(Ω)
+ 2(a21, b21)L2(Ω) +2
1− µ(a22, b22)L2(Ω) +
2µ
1− µ(a11, b22)L2(Ω)
=2
1− µ(b11, a11)L2(Ω) +
2µ
1− µ(b22, a11)L2(Ω) + 2(b12, a12)L2(Ω)
+ 2(b21, a21)L2(Ω) +2
1− µ(b22, a22)L2(Ω) +
2µ
1− µ(b11, a22)L2(Ω)
= (C[B], A)(L2(Ω))4
Lema 1.4. Seja a matriz [Bij] = [Bij(U,w)], com Bij denidos em (2). Então,
[Bij] = C[ε(U)] + C[f(∇w)] + C[J(w)] (1.6)
onde C[·] é o tensor denido por (1.4), ε(·) é o tensor denido em (1.1), f é a função
denida em (1.3) e J(w) é matriz
J(w) =
[K1w 0
0 K2w
](1.7)
11
Demonstração: Pela denição de Bij e bij em (2),
[Bij] =
[B11 B12
B21 B22
]= 2
[1
1−µ b11 + µ1−µ b22
12b12
12b21
11−µ b22 + µ
1−µ b11
]
= 2
[1
1−µ ux + µ1−µ vy
12
(uy + vx)12
(uy + vx)1
1−µ vy + µ1−µ ux
]
+ 2
[1
1−µw2x
2+ µ
1−µw2y
212wxwy
12wxwy
11−µ
w2y
2+ µ
1−µw2x
2
]
+ 2
[1
1−µ K1w + µ1−µ K2w 0
0 11−µ K2w + µ
1−µ K1w
]= C[ε(U)] + C[f(∇w)] + C[J(w)]
Lema 1.5. Seja A = [aij] uma matriz simétrica que possui componentes em C1[0, T ].
Então,
d
dtC[A] = C
[dA
dt
].
Demonstração: Derivamos a matriz A por componentes, isto é,dA
dt= [(aij)t]. Pela
denição (1.4) do tensor C[·], segue que
C
[dA
dt
]=
[2
1−µ (a11)t + 2µ1−µ (a22)t 2 (a12)t
2(a21)t2
1−µ (a22)t + 2µ1−µ (a11)t
]
que é exatemente a matrizdC[A]
dt, onde a matriz C[A] é derivada componente a compo-
nente.
Denição 1.1. Consideramos o operador diferencial de segunda ordem denido por
Lu =n∑
i,j=1
aij(x)∂2u
∂xi∂xj+
n∑i=1
bi(x)∂u
∂xi+ c(x)u
onde aij ∈ C1(Ω), bi, c ∈ C(Ω), com Ω ⊂ Rn. Dizemos que o operador L é fortemente
elíptico se existe λ > 0, independente de x e ξ, tal que
n∑i,j=1
aij(x)ξiξj ≥ λ|ξ|2, ∀x ∈ Ω, ∀ ξ ∈ Rn
12
Sejam ε(·) e C[·] denidos em (1.1) e (1.4), respectivamente. Seja
L : [H2(Ω)]2 −→ [L2(Ω)]2
L(U) = −Div (C[ε(U)]) (1.8)
Lema 1.6. O operador L denido em (1.8) é fortemente elíptico.
Demonstração: Vamos escrever o operador L de forma explícita, isto é,
LU = −Div (C[ε(U)]) = −Div
([2
1−µ ux + 2µ1−µ vy uy + vx
uy + vx2
1−µ vy + 2µ1−µ ux
])
= −
21−µ uxx + uyy +
(1+µ1−µ
)vxy
vxx + 21−µvyy +
(1+µ1−µ
)uxy
Sejam ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2 e η = (η1, η2) ∈ R2. Pela denição 1.1, devemos mostrar que
existe λ > 0 (independente de ξ e η) tal que(2
1− µξ2
1 + ξ22 +
(1 + µ
1− µ
)ξ1ξ2 + η2
1 +2
1− µη2
2 +
(1 + µ
1− µ
)η1η2
)≥ λ(ξ2
1 + ξ22 + η2
1 + η22)
É suciente mostrarmos que existe λ > 0 tal que(2
1− µξ2
1 + ξ22 +
(1 + µ
1− µ
)ξ1ξ2
)≥ λ(ξ2
1 + ξ22), ∀ ξ ∈ R2 (1.9)
A desigualdade (1.9) é vericada se e somente se(2
1− µ− λ)ξ2
1 + (1− λ) ξ22 +
(1 + µ
1− µ
)ξ1ξ2 ≥ 0, ∀ ξ ∈ R2
Escolhemos λ > 0 tal que
(2
1− µ− λ)> 0 e (1 − λ) > 0. Ou seja, escolhemos λ > 0
tal que
0 < λ < 1 e λ <2
1− µ(1.10)
Seja λ como em (1.10). Adicionalmente, se λ satiszer a seguinte desigualdade(1 + µ
1− µ
)2
≥ 4
(2
1− µ− λ)
(1− λ) (1.11)
13
então a desigualdade (1.9) é vericada. Escolhemos λ =1
cem (1.11), para algum c > 1.
Então,
(1 + µ)2
(1− µ)2≥ 4
(2
1− µ− 1
c
)(1− 1
c
)⇐⇒ (1 + µ)2
(1− µ)2≥ 4
(2c− (1− µ)
c(1− µ)
)(c− 1)
c
⇐⇒ c2
4
(1 + µ)2
1− µ≥ (c− 1) ((2c− 1) + µ)
⇐⇒ c2
4(1 + µ)2 ≥ (c− 1) ((2c− 1) + µ) (1− µ)
⇐⇒ c2
4+c2µ
2+c2µ2
4≥ (c− 1)
((2c− 1)− (2c− 1)µ+ µ− µ2
)⇐⇒
(c2
4+ (c− 1)
)µ2 +
(c2
2+ 2(c− 1)2
)µ+
(c2
4− (c− 1)(2c− 1)
)≥ 0
Os coecientes de µ2 e µ são positivos, pois c > 1. Precisamos encontrar c > 1
tal que o termo independente, g(c) =c2
4− (c− 1)(2c− 1), também seja positivo. Ou
seja, queremos que g(c) ≥ 0 para algum c. Notamos que g é a função quadrática
g(c) = −7
4c2 + 3c+ 1, então g(c) ≥ 0 se e somente se c2 ≤ c ≤ c1 onde c1 =
6 + 2√
2
7e
c2 =6− 2
√2
7. Logo, podemos escolher c tal que 1 < c ≤ c1, como, por exemplo, c =
5
4.
Assim, as desigualdades (1.10) e (1.11) são vericadas para 0 < λ =1
c< 1. Consequente-
mente, obtemos a desigualdade (1.9).
Lema 1.7 (Desigualdade de Korn). Seja U = (u, v)T ∈ [H1o (Ω)]2. Então,
‖∇U‖2(L2(Ω))4 ≤ 2‖ε(U)‖2
(L2(Ω))4 ,
onde a matriz ∇U é denida em (1.2) e o tensor ε(·) é denido em (1.1).
Demonstração: Ver [29], página 13, Teorema 2.1.
Lema 1.8. Seja, U = (u, v)T ∈ [H1o (Ω)]2, w ∈ H2
o (Ω), bij denidos em (2) e Ki ∈ L∞(Ω),
i = 1, 2. Então, existe uma constante C1 > 0 tal que
‖∇U‖2(L2(Ω))4 ≤ C1
‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
+ ‖∆w‖4L2(Ω) + (‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖∆w‖2
L2(Ω)
14
Demonstração: Pelo Lema 1.7 e imersão H1(Ω) → L4(Ω), segue que
‖∇U‖2(L2(Ω))4 ≤ C‖ε(U)‖2
(L2(Ω))4 ≤ C1‖ux‖2L2(Ω) + ‖uy + vx‖2
L2(Ω) + ‖vy‖2L2(Ω)
≤ C1
∥∥∥∥ux +1
2w2x +K1w −
1
2w2x −K1w
∥∥∥∥2
L2(Ω)
+ ‖uy + vx + wxwy − wxwy‖2L2(Ω)
+
∥∥∥∥vy +1
2w2y +K2w −
1
2w2y −K2w
∥∥∥∥2
L2(Ω)
≤ C2
‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
+ ‖wx‖4L4(Ω) + ‖wy‖4
L4(Ω) + ‖K1w‖2L2(Ω) + ‖K2w‖2
L2(Ω)
≤ C3
‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
+ ‖wx‖4H1(Ω) + ‖wy‖4
H1(Ω)
+ (‖K1‖2L∞(Ω) + ‖K2‖2
L∞(Ω))‖w‖2H2(Ω)
≤ C4
‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
+ ‖∆w‖4L2(Ω) + (‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖∆w‖2
L2(Ω)
Lema 1.9. Sejam U ∈ [H1o (Ω)]2 e w ∈ H2
o (Ω). Então,
(−Div([Bij(U,w)]), φ)(L2(Ω))2 = ([Bij(U,w)], ε(φ))(L2(Ω))4
= (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(φ))(L2(Ω))4 , ∀ φ = (φ1, φ2) ∈ [H1o (Ω)]2 (1.12)
Demonstração: Seja φ = (φ1, φ2) ∈ [H1o (Ω)]2. Integrando por partes e pelo fato que
B12 = B21, obtemos que
(−Div([Bij(U,w)]), φ)(L2(Ω))2 = −
((B11,x +B12,y
B21,x +B22,y
),
(φ1
φ2
))(L2(Ω))2
= − (B11,x +B12,y, φ1)L2(Ω) − (B12,x +B22,y, φ2)L2(Ω)
= (B11, φ1,x)L2(Ω) + (B12, φ1,y)L2(Ω) + (B21, φ2,x)L2(Ω) + (B22, φ2,y)L2(Ω)
=
([B11 B12
B21 B22
],
[φ1,x
12(φ1,y + φ2,x)
12(φ1,y + φ2,x) φ2,y
])(L2(Ω))4
= ([Bij], ε(φ))(L2(Ω))4 .
A última igualdade em (1.12) segue do Lema 1.4.
15
Lema 1.10. Sejam U ∈ [H1o (Ω)]2 e w ∈ H2
o (Ω). Então,
(−div ([Bij(U,w)] · ∇w) , ξ)L2(Ω) = ([Bij(U,w)],∇w ⊗∇ξ)(L2(Ω))4
= (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇ξ)(L2(Ω))4 , ∀ ξ ∈ H2o (Ω) (1.13)
Demonstração: Seja ξ ∈ H2o (Ω), integrando por partes e como B12 = B21, obtemos que
(−div ([Bij(U,w)] · ∇w) , ξ)L2(Ω) = −(
(B11wx +B12wy)x + (B21wx +B22wy)y , ξ)L2(Ω)
= (B11, wx ξx)L2(Ω) + (B12, wy ξx)L2(Ω) + (B21, wx ξy)L2(Ω) + (B22, wy ξy)L2(Ω)
=
([B11 B12
B21 B22
],
[wx ξx wx ξy
wy ξx wy ξy
])[L2(Ω)]4
= ([Bij],∇w ⊗∇ξ)[L2(Ω)]4 .
A última igualdade em (1.13) segue pelo Lema 1.4.
1.2 Existência e Unicidade de Soluções Regulares
Denição 1.2. Dado T > 0, a tripla (U,w, θ) é dita uma solução regular se possui a
seguinte regularidade:
U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H3(Ω) ∩H2
o (Ω))
θ ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1o (Ω))
Ut ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H2
o (Ω)),
θt ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))
Utt ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wtt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)),
e satisfaz
(Utt(t), ϕ)(L2(Ω))2 + (C[ε(U(t)) + f(∇w(t)) + J(w(t))], ε(ϕ))(L2(Ω))4
+ (Ut(t), ϕ)(L2(Ω))2 = 0, ∀ϕ ∈ [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2
(wtt(t), ξ)L2(Ω) + (∇(∆w(t)),∇ξ)L2(Ω) + (∇wtt(t),∇ξ)L2(Ω) + (∆θ(t), ξ)L2(Ω)
+ (C[ε(U(t)) + f(∇w(t)) + J(w(t))],∇w(t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4
+ (K1B11 +K2B22, ξ)L2(Ω) = 0, ∀ξ ∈ H2o (Ω)
(θt(t), η)L2(Ω) + (∇θ(t),∇η)L2(Ω) − (∆wt(t), η)L2(Ω) = 0, ∀η ∈ H1o (Ω) ∩H2(Ω)
16
Teorema 1.1. Sejam K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω). Consideramos os dados iniciais
satisfazendo
U0 ∈ [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2, U1 ∈ [H1
o (Ω)]2
w0 ∈ H3(Ω) ∩H2o (Ω), w1 ∈ H2
o (Ω)
θ0 ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)
Então, existe uma solução global de (1)-(4).
Demonstração: Seja T > 0. Usaremos o método de Galerkin, [25], para mostrar a
existência de solução regular para o sistema (1).
Escolhemos duas bases, uma correspondente a −∆ e outra a ∆2 de autofunções destes
operadores em H2(Ω) e H4(Ω), respectivamente, com condições de fronteira de Dirichlet.
Sejam ϕn e ξn autofunções de −∆ e ∆2, respectivamente, com condições de fronteira de
Dirichlet e aulovalores λn e σn autovalores, isto é,
−∆ϕn = λnϕn em Ω e ϕn = 0 sobre ∂Ω
∆2ξ = σnξn em Ω e ξn =∂ξn∂ν
= 0 sobre ∂Ω.
Podemos assumir que ϕn e ξn são bases ortonormais em L2(Ω).
Sejam Vm = span[ϕ1, . . . , ϕm], Wm = span[ξ1, . . . , ξm] e [Vm]2 = Vm × Vm.
Sejam Um(t) =
(um(t)
vm(t)
)∈ [Vm]2, wm(t) ∈ Wm e θm(t) ∈ Vm, isto é,
um(t) =m∑i=1
gim(t)ϕi(x), vm(t) =m∑i=1
him(t)ϕi(x),
wm(t) =m∑i=1
pim(t)ξi(x), θm(t) =m∑i=1
qim(t)ϕi(x).
Pelos Lemas 1.9 e 1.10, o problema aproximado para (1) é: dados U0,m ∈ [Vm]2,
w0,m ∈ Wm, θ0,m ∈ Vm, U1,m ∈ [Vm]2, w1,m ∈ Wm, encontrar (Um(t), wm(t), θm(t)),
denidos na forma acima, em (0, tm) com 0 < tm < T , tais que
(Umtt (t), ϕ)(L2(Ω))2 + (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))], ε(ϕ))(L2(Ω))4
+ (Umt (t), ϕ)(L2(Ω))2 = 0, ∀ϕ ∈ [Vm]2 (1.14)
(wmtt (t), ξ)L2(Ω) + (∇(∆wm(t)),∇ξ)L2(Ω) + (∇wmtt (t),∇ξ)L2(Ω) + (∆θm(t), ξ)L2(Ω)
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wm(t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4
+ (K1Bm11 +K2B
m22, ξ)L2(Ω) = 0, ∀ξ ∈ Wm (1.15)
(θmt (t), η)L2(Ω) + (∇θm(t),∇η)L2(Ω) − (∆wmt (t), η)L2(Ω) = 0, ∀η ∈ Vm (1.16)
17
com
Um(0) = (u0,m, v0,m)→ U0 = (u0, v0) forte em [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2
Umt (0) = (u1,m, v1,m)→ U1 = (u1, v1) forte em [H1
o (Ω)]2
wm(0) = w0,m → w0 forte em H2o (Ω) ∩H3(Ω)
wmt (0) = w1,m → w1 forte em H2o (Ω)
θm(0) = θ0,m → θ0 forte em H1o (Ω) ∩H2(Ω)
(1.17)
A existência de solução local, em (0, tm), para o sistema (1.14)-(1.17) segue do fato
que os termos não-lineares são localmente Lipschitz em [Vm]2 × Wm × Vm. Usando o
Teorema de Caratheodory, segue a existência de solução regular local em (0, tm). Vamos
estender para [0, T ).
Escolhemos ϕ = Umt (t) em (1.14), ξ = wmt (t) em (1.15) e η = θm(t) em (1.16).
Somamos as equações resultantes e obtemos:
(Umtt (t), Um
t (t))(L2(Ω))2 + (wmtt (t), wmt (t))L2(Ω) + (∇(∆wm(t)),∇wmt (t))L2(Ω)
+ (∇wmtt (t),∇wmt (t))L2(Ω) − (∆wmt (t), θm(t))L2(Ω) + (∆θm(t), wmt (t))L2(Ω)
+ (θmt (t), θm(t))L2(Ω) + ‖Umt (t)‖2
(L2(Ω))2 + ‖∇θm(t)‖2L2(Ω)
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))], ε(Umt (t)))(L2(Ω))4
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wm(t)⊗∇wmt (t))(L2(Ω))4
+ (K1Bm11 +K2B
m22, w
mt (t))L2(Ω) = 0 (1.18)
Pela Fórmula de Green,
(∆θm(t), wmt (t))L2(Ω) − (∆wmt (t), θm(t))L2(Ω) = 0 (1.19)
Agora, lembrando que bm12 = bm21, para os termos não-lineares em (1.18) teremos a
18
seguinte expressão:
Dm = (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))], ε(Umt (t)))(L2(Ω))4
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wm(t)⊗∇wmt (t))(L2(Ω))4
+ (K1Bm11 +K2B
m22, w
mt (t))L2(Ω)
=2
1− µ(bm11, u
mxt + wmx w
mxt +K1w
mt )L2(Ω) +
2
1− µ(bm22, v
myt + wmy w
myt +K2w
mt )L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm11, v
mty + wmy w
myt +K2w
mt )L2(Ω) +
2µ
1− µ(bm22, u
mtx + wmx w
mxt +K1w
mt )L2(Ω)
+ (bm12, umyt + vmxt + wmx w
myt + wmy w
mxt)L2(Ω)
= (bm12, (bm12)t)l2(Ω) +
2
1− µ
(bm11, (bm11)t)L2(Ω) + (bm22, (b
m22)t)L2(Ω)
+
2µ
1− µ
(bm11, (bm22)t)L2(Ω) + (bm22, (b
m11)t)L2(Ω)
=
1
2
d
dt
2‖bm11‖2
L2(Ω) + 2‖bm22‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖bm11 + bm22‖2
L2(Ω) + ‖b12‖2L2(Ω)
(1.20)
Denimos
Em(t) =1
2
‖Um
t ‖2L2(Ω) + ‖wmt ‖2
L2(Ω) + ‖∆wm‖2L2(Ω) + ‖∇wmt ‖2
L2(Ω) + ‖θm‖2L2(Ω)
+ ‖bm12‖2L2(Ω) + 2‖bm11‖2
L2(Ω) + 2‖bm22‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖bm11 + bm22‖2
L2(Ω)
(1.21)
Substituímos (1.19), (1.20) e (1.21) na igualdade (1.18), e obtemos que
d
dtEm(t) + ‖∇θm(t)‖2
L2(Ω) + ‖Umt (t)‖2
L2(Ω) = 0 (1.22)
Integramos (1.22) de 0 a t,
Em(t) +
∫ t
0
‖∇θm(s)‖2L2(Ω) ds+
∫ t
0
‖Ums (s)‖2
L2(Ω) ds = Em(0) (1.23)
Agora, por (1.17), temos
Em(0) ≤ C
onde C > 0 é uma constante que independe de m e t, pois os termos bm11(0), bm22(0) e bm12(0)
são limitados. De fato pela a imersão H1(Ω) → L4(Ω), por (1.17), como Ki ∈ L∞(Ω),
19
segue que
‖bm11(0)‖2L2(Ω) =
∥∥∥∥(u0,m)x +1
2(w0,m)2
x +K1w0,m
∥∥∥∥2
L2(Ω)
≤‖∇U0,m‖2
L2(Ω) + ‖(w0,m)x‖4L4(Ω) + ‖K1‖2
L∞(Ω)‖w0,m‖2L2(Ω)
≤ C
‖∇U0,m‖2
L2(Ω) + ‖(w0,m)x‖4H1(Ω) + ‖K1‖2
L∞(Ω)‖w0,m‖2H2(Ω)
≤ C
‖∇U0,m‖2
L2(Ω) + ‖w0,m‖4H2(Ω) + ‖K1‖2
L∞(Ω)‖w0,m‖2H2(Ω)
≤ C1
Analogamente,
‖bm22(0)‖2L2(Ω) =
∥∥∥∥(v0,m)y +1
2(w0,m)2
y +K2w0,m
∥∥∥∥2
L2(Ω)
≤ C
‖∇U0,m‖2
L2(Ω) + ‖w0,m‖4H2(Ω) + ‖K2‖2
L∞(Ω)‖w0,m‖2H2(Ω)
≤ C2
Pela desigualdade de Holder,
‖bm12(0)‖2L2(Ω) = ‖(u0,m)y + (v0,m)x + (w0,m)x(w0,m)y‖2
L2(Ω)
≤ C‖∇U0,m‖2
L2(Ω) + ‖(w0,m)x‖2L4(Ω) · ‖(w0,m)y‖2
L4(Ω)
≤ C
‖∇U0,m‖2
L2(Ω) + ‖w0,m‖4H2(Ω)
≤ C3
Portanto, em (1.23), temos que
Em(t) ≤ C, ∀ t > 0 (1.24)
onde C > 0 é uma constante positiva que independe de m e t. Isto mostra que podemos
estender a solução de (1.14)-(1.17) para [0, T ). Como T > 0 é qualquer, então a solução
existe em [0,∞). Além disso, temos as seguintes limitações:
(Umt ) é limitada em [L∞(0,∞;L2(Ω))]2 (1.25)
(wmt ) é limitada em L∞(0,∞;H1o (Ω)) (1.26)
(wm) é limitada em L∞(0,∞;H2o (Ω)) (1.27)
(θm) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)) ∩ L2(0,∞;H1o (Ω)) (1.28)
(bm11) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)) (1.29)
(bm22) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)) (1.30)
(bm12) é limitada em L∞(0,∞;L2(Ω)) (1.31)
20
Seja Um(t) =
(um(t)
vm(t)
), então, pelo Lema 1.8,
‖∇Um(t)‖2(L2(Ω))4 ≤ C1
‖bm11(t)‖2
L2(Ω) + ‖bm22(t)‖2L2(Ω) + ‖bm12(t)‖2
L2(Ω)
+ ‖wmx (t)‖4H1(Ω) + ‖wmy (t)‖4
H1(Ω)
+ (‖K1‖2L∞(Ω) + ‖K2‖2
L∞(Ω))‖wm(t)‖2H2(Ω)
Como K1, K2 ∈ L∞(Ω), e pelas limitações (1.27), (1.29)-(1.31), segue que
(Um) é limitada em L∞(0,∞;H1o (Ω)) (1.32)
As estimativas (1.25)-(1.32) não são sucientes para obtermos uma solução regular
do problema (1)-(4). Para isso, precisaremos mais estimativas sobre as soluções aproxi-
madas. Assim, vamos derivar as equações (1.14), (1.15) e (1.16), em relação ao tempo,
no sentido das distribuições.
(Umttt(t), ϕ)(L2(Ω))2 + (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t, ε(ϕ))(L2(Ω))4
+ (Umtt (t), ϕ)(L2(Ω))2 = 0, ∀ϕ ∈ [Vm]2 (1.33)
(wmttt(t), ξ)L2(Ω) + (∇(∆wmt (t)),∇ξ)L2(Ω) + (∇wmttt(t),∇ξ)L2(Ω) + (∆θmt (t), ξ)L2(Ω)
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t,∇wm(t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wmt (t)⊗∇ξ)(L2(Ω))4
+ (K1(Bm11)t +K2(Bm
22)t, ξ)L2(Ω) = 0, ∀ξ ∈ Wm (1.34)
(θmtt (t), η)L2(Ω) + (∇θmt (t),∇η)L2(Ω) − (∆wmtt (t), η)L2(Ω) = 0, ∀η ∈ Vm (1.35)
Escolhemos ϕ = Umtt ∈ [Vm]2 em (1.33), ξ = wmtt ∈ Wm em (1.34), η = θmt ∈ Vm em
(1.35), somamos as equações resultantes e obtemos que
(Umttt(t), U
mtt )(L2(Ω))2 + (wmttt(t), w
mtt )L2(Ω) + (∇(∆wmt (t)),∇wmtt )L2(Ω) + (∇wmttt(t),∇wmtt )L2(Ω)
+ (θmtt (t), θmt )L2(Ω) + ‖Um
tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2
L2(Ω) + (∆θmt (t), wmtt )L2(Ω) − (∆wmtt (t), θmt )L2(Ω)
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t, ε(Umtt ))(L2(Ω))4
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))]t,∇wm(t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4
+ (C[ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t))],∇wmt (t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4
+ (K1(Bm11)t +K2(Bm
22)t, wmtt )L2(Ω) = 0 (1.36)
Considere a matriz 2× 2 simétrica
σ(Um(t), wm(t)) = ε(Um(t)) + f(∇wm(t)) + J(wm(t)) (1.37)
21
Denimos
Fm(t) = (C[σ(Um(t), wm(t))]t, ε(Umtt ))(L2(Ω))4
+ (C[σ(Um(t), wm(t))]t,∇wm(t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4
+ (C[σ(Um(t), wm(t))],∇wmt (t)⊗∇wmtt )(L2(Ω))4
+ (K1(Bm11)t +K2(Bm
22)t, wmtt )L2(Ω) (1.38)
Substituímos (1.37) e (1.38) em (1.36), obtemos que
(Umttt(t), U
mtt )(L2(Ω))2 + (wmttt(t), w
mtt )L2(Ω) + (∇(∆wmt (t)),∇wmtt )L2(Ω)
+ (∇wmttt(t),∇wmtt )L2(Ω) + (θmtt (t), θmt )L2(Ω) + ‖Um
tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2
L2(Ω)
+ (∆θmt (t), wmtt )L2(Ω) − (∆wmtt (t), θmt )L2(Ω) + Fm(t) = 0 (1.39)
Pela fórmula de Green,
(∆θmt (t), wmtt )L2(Ω) − (∆wmtt (t), θmt )L2(Ω) = −(∇θmt ,∇wmtt )L2(Ω) + (∇wmtt ,∇θmt )L2(Ω) = 0
(1.40)
Vamos estimar os termos não-lineares.
Fm =((bm12)t, w
mx w
mytt + wmy w
mxtt + umytt + vmxtt
)L2(Ω)
+(bm12, w
mxtw
mytt + wmty w
mttx
)L2(Ω)
+2
1− µ
((bm11)t, u
mxtt + wmx w
mxtt +K1w
mtt
)L2(Ω)
+((bm22)t, v
mytt + wmy w
mytt +K2w
mtt
)L2(Ω)
+ (bm11, wmxtw
mxtt)L2(Ω) +
(bm22, w
mytw
mytt
)L2(Ω)
+
2µ
1− µ
((bm22)t, u
mxtt + wmx w
mxtt +K1w
mtt )L2(Ω)
+((bm11)t, v
mytt + wmy w
mytt +K2w
mtt
)L2(Ω)
+(bm11, w
mytw
mytt
)L2(Ω)
+ (bm22, wmxtw
mxtt)L2(Ω)
= Gm
1 +Gm2 +Gm
3 (1.41)
22
onde
Gm1 =
((bm12)t, w
mx w
mytt + wmy w
mxtt + umytt + vmxtt
)L2(Ω)
+(bm12, w
mxtw
mytt + wmty w
mttx
)L2(Ω)
Gm2 =
2
1− µ
((bm11)t, u
mxtt + wmx w
mxtt +K1w
mtt )L2(Ω)
+((bm22)t, v
mytt + wmy w
mytt +K2w
mtt
)L2(Ω)
+ (bm11, wmxtw
mxtt)L2(Ω) +
(bm22, w
mytw
mytt
)L2(Ω)
Gm
3 =2µ
1− µ
((bm22)t, u
mxtt + wmx w
mxtt +K1w
mtt )L2(Ω)
+((bm11)t, v
mytt + wmy w
mytt +K2w
mtt
)L2(Ω)
+(bm11, w
mytw
mytt
)L2(Ω)
+ (bm22, wmxtw
mxtt)L2(Ω)
Agora, somamos e subtraímos o termo 2
((bm12)t, w
mty w
mtx
)L2(Ω)
,
Gm1 =
((bm12)t, w
mx w
mytt + wmy w
mxtt + umytt + vmxtt
)L2(Ω)
+(bm12, w
mxtw
mytt + wmty w
mttx
)L2(Ω)
= ((bm12)t, (bm12)tt)L2(Ω) − 2
((bm12)t, w
mty w
mtx
)L2(Ω)
+(bm12, w
myt w
mxtt + wmtxw
mtty
)L2(Ω)
(1.42)
Somamos e subtraímos os termos ((bm11)t, (wmxt)
2)L2(Ω) e((bm22)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
Gm2 =
2
1− µ
((bm11)t, u
mxtt + wmx w
mxtt +K1w
mtt )L2(Ω) +
((bm22)t, v
mytt + wmy w
mytt +K2w
mtt
)L2(Ω)
+ (bm11, wmxtw
mxtt)L2(Ω) +
(bm22, w
mytw
mytt
)L2(Ω)
=
2
1− µ
((bm11)t, (b
m11)tt)L2(Ω) + ((bm22)t, (b
m22)tt)L2(Ω) −
((bm11)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
−((bm22)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
+ (bm11, wmtxw
mxtt)L2(Ω) +
(bm22, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
(1.43)
Finalmente, somamos e subtraímos os termos ((bm22)t, (wmxt)
2)L2(Ω) e((bm11)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
, obtemos que
Gm3 =
2µ
1− µ
((bm22)t, u
mxtt + wmx w
mxtt +K1w
mtt )L2(Ω) +
((bm11)t, v
mytt + wmy w
mytt +K2w
mtt
)L2(Ω)
+(bm11, w
mytw
mytt
)L2(Ω)
+ (bm22, wmxtw
mxtt)L2(Ω)
=
2µ
1− µ
((bm22)t, (b
m11)tt)L2(Ω) + ((bm11)t, (b
m22)tt)L2(Ω) −
((bm22)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
−((bm11)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
+(bm11, w
myt w
mtty
)L2(Ω)
+ (bm22, wmxtw
mttx)L2(Ω)
(1.44)
23
Assim, de (1.42), (1.43) e (1.44), segue que
3∑i=1
Gmi =
1
2
d
dt
‖(bm12)t‖2
L2(Ω) + 2‖(bm11)t‖2L2(Ω) + 2‖(bm22)t‖2
L2(Ω)
+2µ
1− µ‖(bm11)t + (bm22)t‖2
L2(Ω)
− 2
((bm12)t, w
mty w
mtx
)L2(Ω)
+1
1− µ((bm11)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
+1
1− µ((bm22)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
+µ
1− µ((bm22)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
+µ
1− µ((bm11)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
+
2
1− µ(bm11, w
mtxw
mxtt)L2(Ω) +
2
1− µ(bm22, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm11, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm22, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+(bm12, w
myt w
mxtt + wmtxw
mtty
)L2(Ω)
(1.45)
Substituimos (1.40) e (1.45) em (1.36),
1
2
d
dt
‖Um
tt ‖2L2(Ω) + ‖wmtt ‖2
L2(Ω) + ‖∆wmt ‖2L2(Ω) + ‖∇wmtt ‖2
L2(Ω) + ‖θmt ‖2L2(Ω)
+ ‖(bm12)t‖2L2(Ω) + 2‖(bm11)t‖2
L2(Ω) + 2‖(bm22)t‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖(bm11)t + (bm22)t‖2
L2(Ω)
+ ‖Um
tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2
L2(Ω) − 2
((bm12)t, w
mty w
mtx
)L2(Ω)
+1
1− µ((bm11)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
+1
1− µ((bm22)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
+µ
1− µ((bm22)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
+µ
1− µ((bm11)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
+
2
1− µ(bm11, w
mtxw
mxtt)L2(Ω) +
2
1− µ(bm22, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm11, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm22, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+(bm12, w
myt w
mxtt + wmtxw
mtty
)L2(Ω)
= 0 (1.46)
Denimos g : R2 −→ S2×2, g(s) = s · sT . Lembrando que (bm12)t = (bm21)t e
C[ε(Um) + f(∇wm) + J(wm(t))]t =
(2
1−µ(bm11)t + 2µ1−µ(bm22)t (bm12)t
(bm21)t2
1−µ(bm22)t + 2µ1−µ(bm11)t
)
24
então
(C[σ(Um, wm)]t, g(∇wmt ))(L2(Ω))4 = (C[ε(Um) + f(∇wm) + J(wm(t))]t, g(∇wmt ))(L2(Ω))4
= 2
((bm12)t, w
mty w
mtx
)L2(Ω)
+1
1− µ((bm11)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
+1
1− µ((bm22)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
+µ
1− µ((bm22)t, (w
mxt)
2)L2(Ω)
+µ
1− µ((bm11)t, (w
myt)
2)L2(Ω)
(1.47)
Ainda, como
∇wmtt ⊗∇wmt =
(wmtxw
mttx wmty w
mttx
wmtxwmtty wmty w
mtty
)segue que
(C[σ(Um, wm)],∇wmtt ⊗∇wmt )(L2(Ω))4
= (C[ε(Um) + f(∇wm) + J(wm(t))],∇wmtt ⊗∇wmt )(L2(Ω))4
=2
1− µ(bm11, w
mtxw
mxtt)L2(Ω) +
2
1− µ(bm22, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm11, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm22, w
mty w
mytt
)L2(Ω)
+(bm12, w
myt w
mxtt + wmtxw
mtty
)L2(Ω)
(1.48)
Seja
Em(t) =1
2
‖Um
tt ‖2L2(Ω) + ‖wmtt ‖2
L2(Ω) + ‖∆wmt ‖2L2(Ω) + ‖∇wmtt ‖2
L2(Ω) + ‖θmt ‖2L2(Ω)
+ ‖(bm12)t‖2L2(Ω) + 2‖(bm11)t‖2
L2(Ω) + 2‖(bm22)t‖2L2(Ω)
+2µ
1− µ‖(bm11)t + (bm22)t‖2
L2(Ω)
(1.49)
Sustituindo (1.47), (1.48) e (1.49) em (1.46), temos
d
dtEm + ‖Um
tt ‖2L2(Ω) + ‖∇θmt ‖2
L2(Ω) = (C[σ(Um, wm)]t, g(∇wmt ))(L2(Ω))4
− (C[σ(Um, wm)],∇wmtt ⊗∇wmt )(L2(Ω))4 (1.50)
Integramos a identidade (1.50) de 0 a t,
Em(t) +
∫ t
0
‖∇θms (s)‖2L2(Ω) ds+
∫ t
0
‖Umss (s)‖2
L2(Ω) ds = Em(0)
+
∫ t
0
(d
dsC[σ(Um, wm)], g(∇wms )
)(L2(Ω))4
ds−∫ t
0
(C[σ(Um, wm)],∇wmss ⊗∇wms )(L2(Ω))4
(1.51)
25
Agora, integramos por partes (em relação a t) e pela igualdade (1.48),∫ t
0
(C[σ(Um, wm)],∇wmss ⊗∇wms )(L2(Ω))4 =2
1− µ
∫ t
0
(bm11,
1
2
d
ds(wmsx)
2
)L2(Ω)
+2
1− µ
∫ t
0
(bm22,
1
2
d
ds(wmsy)
2
)L2(Ω)
+2µ
1− µ
∫ t
0
(bm22,
1
2
d
ds(wmsx)
2
)L2(Ω)
+2µ
1− µ
∫ t
0
(bm11,
1
2
d
ds(wmsy)
2
)L2(Ω)
+2
1− µ
∫ t
0
(bm21,
d
ds(wmsxw
msy)
)L2(Ω)
=1
2
2
1− µ(bm11, (w
mtx)
2)L2(Ω)
+2
1− µ(bm22, (w
mty)
2)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm22, (w
mtx)
2)L2(Ω)
+2µ
1− µ(bm11, (w
mty)
2)L2(Ω)
+ 2(bm12, w
mtxw
mty
)L2(Ω)
∣∣∣∣t0
− 1
2
2
1− µ
∫ t
0
((bm11)s, (w
msx)
2)L2(Ω)
+2
1− µ
∫ t
0
((bm22)s, (w
msy)
2)L2(Ω)
+2µ
1− µ
∫ t
0
((bm22)s, (w
msx)
2)L2(Ω)
+2µ
1− µ
∫ t
0
((bm11)s, (w
msy)
2)L2(Ω)
+ 2
∫ t
0
((bm12)s, w
msxw
msy
)L2(Ω)
=
1
2(C[σ(Um, wm)], g(∇wmt ))(L2(Ω))4
∣∣∣∣t0
−1
2
∫ t
0
(d
dsC[σ(Um, wm)], g(∇wms )
)(L2(Ω))4
ds
(1.52)
Substituimos (1.52) na igualdade (1.51), obtemos que
Em(t) +
∫ t
0
‖∇θms (s)‖2L2(Ω) ds+
∫ t
0
‖Umss (s)‖2
L2(Ω) ds = Em(0)
+3
2
∫ t
0
(d
dsC[σ(Um, wm)], g(∇wms )
)(L2(Ω))4
ds− 1
2(C[σ(Um, wm)], g(∇wmt ))(L2(Ω))4
∣∣∣∣t0
(1.53)
Vamos estimar os termos do lado direito de (1.53). Pela desigualdade de Cauchy-
Schwarz,
Em(t) +
∫ t
0
‖∇θms (s)‖2L2(Ω) ds+
∫ t
0
‖Umss (s)‖2
L2(Ω) ds ≤ Em(0)
+3
2
∫ t
0
∥∥∥∥ ddsC[σ(Um, wm)]
∥∥∥∥(L2(Ω))4
· ‖g(∇wms )‖(L2(Ω))4ds
+1
2‖C[σ(Um, wm)]‖(L2(Ω))4 · ‖g(∇wmt )‖(L2(Ω))4
∣∣∣∣t0
(1.54)
26
Agora, usando a desigualdade de Holder, pela imersão H1/2(Ω) → L4(Ω) (veja [46],
Teorema 26.3) e pela desigualdade de interpolação ‖ϕ‖H1/2(Ω) ≤ C‖ϕ‖L2(Ω) · ‖ϕ‖H1(Ω),
segue que
‖g(∇wmt )‖(L2(Ω))4 = ‖(wmxt)2‖L2(Ω) + 2‖wmxtwmyt‖L2(Ω) + ‖(wmyt)2‖L2(Ω)
≤ ‖wmxt‖2L4(Ω) + 2‖wmxt‖L4(Ω) · ‖wmyt‖L4(Ω) + ‖wmyt‖2
L4(Ω)
≤ C ‖wmxt‖2L4(Ω) + ‖wmyt‖2
L4(Ω)
≤ C ‖wmxt‖2H1/2(Ω) + ‖wmyt‖2
H1/2(Ω)
≤ C ‖wmxt‖L2(Ω) · ‖wmxt‖H1(Ω) + ‖wmyt‖L2(Ω) · ‖wmyt‖H1(Ω)
≤ C‖wmxt‖2L2(Ω) + ‖wmyt‖2
L2(Ω)1/2 · ‖wmxt‖2H1(Ω) + ‖wmyt‖2
H1(Ω)1/2
≤ C‖wmt ‖H1(Ω) · ‖wmt ‖H2(Ω)
≤ C(Em(0))1/2 · ‖wmt ‖H2(Ω) (1.55)
pois ‖wmt ‖2H1(Ω) ≤ Em(t) ≤ Em(0).
Substituímos (1.55) em (1.54), pelos Lemas 1.5 e 1.2, segue que
Em(t) +
∫ t
0
‖∇θms (s)‖2L2(Ω) ds+
∫ t
0
‖Umss (s)‖2
L2(Ω) ds ≤ Em(0)
+
∫ t
0
∥∥∥∥C [ ddsσ(Um, wm)
]∥∥∥∥(L2(Ω))4
· ‖g(∇wms )‖(L2(Ω))4ds
+ C1‖C[σ(Um(t), wm(t))]‖(L2(Ω))4 · ‖g(∇wmt (t))‖(L2(Ω))4
+ C1‖C[σ(Um(0), wm(0))]‖(L2(Ω))4 · ‖g(∇wmt (0))‖(L2(Ω))4
≤ Em(0) + C1(Em(0))1/2
∫ t
0
‖σ(Um, wm)s‖(L2(Ω))4 · ‖wms ‖H2(Ω) ds
+ C1(Em(0))1/2‖σ(Um(t), wm(t))‖(L2(Ω))4 · ‖wmt (t)‖H2(Ω)
+ C1(Em(0))1/2‖σ(Um(0), wm(0))‖(L2(Ω))4 · ‖wmt (0)‖H2(Ω)
≤ Em(0) + C1(Em(0))1/2
∫ t
0
‖σ(Um, wm)s‖(L2(Ω))4 · ‖wms ‖H2(Ω) ds
+C2
1Em(0)
2γ‖σ(Um(t), wm(t))‖2
(L2(Ω))4 +γ
2‖wmt (t)‖2
H2(Ω)
+C2
1Em(0)
2γ‖σ(Um(0), wm(0))‖2
(L2(Ω))4 +γ
2‖wmt (0)‖2
H2(Ω)
27
≤ (1 +γ
2)Em(0) + C1(Em(0))1/2
∫ t
0
‖σ(Um, wm)s‖2(L2(Ω))4 + ‖wms ‖2
H2(Ω) ds
+ C2Em(0)2 +γ
2Em(t)
≤ CγEm(0) + CEm(0)2 + C(Em(0))
∫ t
0
Em(s)ds+γ
2Em(t)
Logo, temos que para γ > 0 sucientemente pequeno,
Em(t) ≤ CγEm(0) + CEm(0) + C(Em(0))
∫ t
0
Em(s)ds (1.56)
Aplicando a desigualdade de Gronwall em (1.56), obtemos que
Em(t) ≤ C(Em(0) + Em(0))C(T ), ∀ t ≤ T. (1.57)
Uma vez que Em(0) ≤ C, ou seja, é limitada, para limitarmos Em(t) em (1.57) temos
que limitar o termo Em(0).
Retornamos para a equação original (1.14). Seja ϕ ∈ Vm × Vm.
(Umtt (0), ϕ)(L2(Ω))2 = (Div([Bm
ij (0)]), ϕ)(L2(Ω))2 − (Umt (0), ϕ)(L2(Ω))2
≤ C
2∑
i,j=1
‖(bmij (0))x‖L2(Ω) +2∑
i,j=1
‖(bmij (0))y‖L2(Ω)
· ‖ϕ‖(L2(Ω))2
+ ‖Umt (0)‖(L2(Ω))2 · ‖ϕ‖(L2(Ω))2
≤ Cγ
2∑
i,j=1
‖(bmij (0))x‖2L2(Ω) +
2∑i,j=1
‖(bmij (0))y‖2L2(Ω)
+ Cγ‖Um
t (0)‖2(L2(Ω))2 +
γ
2‖ϕ‖2
(L2(Ω))2
Já sabemos que ‖Umt (0)‖2
(L2(Ω))2 ≤ Em(0) ≤ C. Na desigualdade acima, resta limitar
os termos ‖(bmij (0))y‖L2(Ω) e ‖(bmij (0))x‖L2(Ω), i, j = 1, 2. Como ilustração, vamos fazer os
cálculos da estimativa para ‖(bm11(0))x‖L2(Ω). Pela desigualdade de Holder, como Ki ∈
28
W 1,∞(Ω), i = 1, 2, a imersão H1(Ω) → L4(Ω), temos a seguinte estimativa
‖(bm11(0))x‖L2(Ω) = ‖(u0,m)xx + (w0,m)x (w0,m)xx +K1(w0,m)x +K1,xw0,m‖L2(Ω)
≤ ‖U0,m‖H2(Ω) + ‖(w0,m)x‖L4(Ω)‖(w0,m)xx‖L4(Ω)
+ ‖K1‖L∞(Ω)‖(w0,m)x‖L2(Ω) + ‖K1,x‖L∞(Ω)‖w0,m‖L2(Ω)
≤ C
‖U0,m‖H2(Ω) + ‖(w0,m)x‖H1(Ω)‖(w0,m)xx‖H1(Ω)
+ (‖K1,x‖L∞(Ω) + ‖K1‖L∞(Ω))‖w0,m‖H2(Ω)
≤ C
‖U0,m‖H2(Ω) + ‖w0,m‖H2(Ω)‖w0,m‖H3(Ω)
+ (‖K1,x‖L∞(Ω) + ‖K1‖L∞(Ω))‖w0,m‖H2(Ω)
≤ C
onde C é uma constante positiva que independe de m. De fato, pelas condições iniciais
aproximadas (1.17) temos que as U0,m é limitada emH2(Ω)∩H1o (Ω) e w0,m é limitada
em H2o (Ω) ∩H3(Ω). Logo,
(Umtt (0), ϕ)(L2(Ω))2 ≤ Cγ +
γ
2‖ϕ‖(L2(Ω))2 (1.58)
Escolhemos ϕ = Umtt (0) em (1.58), segue que, para γ > 0 pequeno,
‖Umtt (0)‖2
(L2(Ω))2 ≤ C1. (1.59)
Nas equações originais (1.15) e (1.16), seja ϕ ∈ Vm e ξ ∈ Wm.
(wmtt (0), ξ)H1(Ω) + (θmt (0), ϕ)L2(Ω)
= (wmtt (0), ξ)L2(Ω) + (∇wmtt (0),∇ξ)L2(Ω) + (θmt (0), ϕ)L2(Ω)
= −(∆wm(0),∆ξ)L2(Ω) − (∆θm(0), ξ)L2(Ω) + (∆wmt (0), ϕ)L2(Ω)
+ (∆θm(0), ϕ)L2(Ω) + (C[σ(Um(0), wm(0))] · ∇wm(0),∇ξ)(L2(Ω))2
− (K1Bm11(0) +K2B
m22(0), ξ)L2(Ω) (1.60)
Usando a fórmula de Green e a desigualdade de Cauchy-Schwarz e (1.17),
(∆wm(0),∆ξ)L2(Ω) = −(∇(∆w0,m),∇ξ)L2(Ω) ≤ ‖∇(∆w0,m)‖L2(Ω) · ‖∇ξ‖L2(Ω)
≤ 1
γ‖w0,m‖2
H3(Ω) +γ
4‖ξ‖2
H1(Ω) ≤ C +γ
4‖ξ‖2
H1(Ω) (1.61)
29
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, a imersão H2(Ω) → L∞(Ω) e, novamente,
por (1.17), obtemos que
(C[σ(Um(0), wm(0))] · ∇wm(0),∇ξ)(L2(Ω))2
≤ ‖∇ξ‖L2(Ω) · ‖C[σ(Um(0), wm(0))] · ∇wm(0)‖(L2(Ω))
≤ C
( 2∑i,j=1
‖bmij (0)((w0,m)x + (w0,m)y)‖L2(Ω)
)· ‖∇ξ‖L2(Ω)
≤ C(‖(w0,m)x‖L∞(Ω) + ‖(w0,m)y‖L∞(Ω))2∑
i,j=1
‖bmij (0)‖L2(Ω) · ‖∇ξ‖L2(Ω)
≤ C(‖(w0,m)x‖H2(Ω) + ‖(w0,m)y‖H2(Ω))(Em(0))1/2‖∇ξ‖L2(Ω)
≤ C(Em(0))1/2‖w0,m‖H3(Ω)‖∇ξ‖L2(Ω)
≤ Cγ +γ
4‖ξ‖2
H1(Ω) (1.62)
De (1.17) obtemos que
−(∆θm(0), ξ)L2(Ω) ≤ ‖∆θ0,m‖L2(Ω) · ‖ξ‖L2(Ω) ≤ Cγ +γ
4‖ξ‖2
H1(Ω) (1.63)
Usando a denição de Bm11(0),
(K1Bm11(0), ξ)L2(Ω) ≤ ‖K1B
m11(0)‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω)
≤ C(‖K1bm11(0)‖L2(Ω) + ‖K1b
m22(0)‖L2(Ω))‖ξ‖L2(Ω)
≤ ‖ξ‖L2(Ω)‖K1‖L∞(Ω)(‖bm11(0)‖L2(Ω) + ‖bm22(0)‖L2(Ω))
≤ Cγ +γ
4‖ξ‖2
H1(Ω) (1.64)
pois ja vimos que bmii (0) é limitada em L2(Ω) devido as convergências em (1.17).
Analogamente, pela denição de Bm22(0),
(K2Bm22(0), ξ)L2(Ω) ≤ Cγ +
γ
4‖ξ‖2
H1(Ω) (1.65)
Finalmente, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, devido a (1.17) (pois θ0,m → θo
forte em H2(Ω) ∩H1o (Ω) e w1,m → w1 forte em H2
o (Ω)),
(∆wmt (0), ϕ)L2(Ω) + (∆θm(0), ϕ)L2(Ω) = (∆w1,m, ϕ)L2(Ω) + (∆θ0,m), ϕ)L2(Ω)
≤ ‖∆w1,m‖L2(Ω)‖ϕ‖L2(Ω) + ‖∆θ0,m‖L2(Ω)‖ϕ‖L2(Ω)
≤ Cβ + β‖ϕ‖2L2(Ω) (1.66)
30
Substituímos (1.61)-(1.66) em (1.60), temos
(wmtt (0), ξ)H1(Ω) + (θmt (0), ϕ)L2(Ω) ≤ Cγ,β + γ‖ξ‖2H1(Ω) + β‖ϕ‖2
L2(Ω) (1.67)
Na desigualdade (1.67), escolhemos ξ = wmtt (0) e ϕ = θmt (0),
‖wmtt (0)‖2H1(Ω) + ‖θmt (0)‖2
L2(Ω) ≤ Cγ,β + γ‖wmtt (0)‖2H1(Ω) + β‖θmt (0)‖2
L2(Ω)
Para γ > 0 e β > 0 sucientemente pequenos, segue que
‖wmtt (0)‖2H1(Ω) + ‖θmt (0)‖2
L2(Ω) ≤ C (1.68)
Para limitarmos Em(0), resta ainda limitarmos os termos ‖(bmij (0))t‖L2(Ω), i, j = 1, 2.
Faremos apenas um dos termos, pois os demais são análogos. Usando a desigualdade
Holder e (1.17), temos que
‖(bm11(0))t‖L2(Ω) = ‖(u1,m)x + (w0,m)x(w1,m)x +K1w1,m‖L2(Ω)
≤ ‖U1,m‖H1(Ω) + ‖(w0,m)x‖L4(Ω)‖(w1,m)x‖L4(Ω) + ‖K1‖L∞(Ω)‖w1,m‖L2(Ω)
≤ C‖U1,m‖H1(Ω) + ‖(w0,m)x‖H1(Ω)‖(w1,m)x‖H1(Ω)
+ ‖K1‖L∞(Ω)‖w1,m‖H2(Ω)
≤ C‖U1,m‖H1(Ω) + ‖w0,m‖H2(Ω)‖w1,m‖H2(Ω)
+ ‖K1‖L∞(Ω)‖w1,m‖H2(Ω) ≤ C
Portanto, temos que
‖(bm11(0))t‖L2(Ω) + ‖(bm22(0))t‖L2(Ω) + ‖(bm12(0))t‖L2(Ω) ≤ C (1.69)
Observamos que ∆wmt (0) = ∆w1,m e w1,m → w1 forte em H2(Ω) ∩H1o (Ω), segue que
∆w1,m é limitada em L2(Ω). Disto, de (1.59), (1.68) e (1.69), resulta que
Em(0) ≤ C (1.70)
Agora, substituímos (1.70) em (1.57), obtemos que
Em(t) ≤ C(T ), ∀ t < T. (1.71)
31
Assim, de (1.71), segue que
Umtt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.72)
wmtt é limitada em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.73)
∆wmt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.74)
θmt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.75)
(bm11)t é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.76)
(bm22)t é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.77)
(bm12)t é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.78)
Das limitações (1.25)-(1.32) e (1.72)-(1.78), podemos extrair subsequências, ainda
denotadas da mesma forma, tais que:
Um U fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.79)
Umt Ut fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.80)
wm w fraco− ∗ em L∞(0, T,H2o (Ω)) (1.81)
wmt wt fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.82)
θm θ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.83)
θm θ fraco em L2(0, T,H1o (Ω)) (1.84)
bm11 z fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.85)
bm22 ξ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.86)
bm12 σ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.87)
Umtt Utt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.88)
wmtt wtt fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (1.89)
∆wmt ∆wt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.90)
θmt θt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.91)
(bm11)t zt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.92)
(bm22)t ξt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.93)
(bm12)t σt fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.94)
Com as convergências (1.79)-(1.84), podemos passar limite nos termos lineares de
(1.14)-(1.16). Agora, passaremos limite nos termos não-lineares do sistema aproximado.
De (1.81)e (1.82), usando o Lema de Lions-Aubin, [45], existe uma subsequência (ainda
32
denotada por wm) tal que
wm −→ w forte em L∞(0, T,H2−δ(Ω)), (1.95)
para qualquer δ > 0 e T <∞.
Portanto, da convergência acima, e a imersão de Sobolev Hs(Ω) → L2s (Ω), 0 < s < 1,
então para p ∈ [2,∞),
∇wm −→ ∇w forte em L∞(0, T, Lp(Ω)). (1.96)
Assim, de (1.96),
(wmx )2 −→ (wx)2 forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.97)
(wmy )2 −→ (wy)2 forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.98)
De (1.79), temos que
umx ux fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.99)
umy uy fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.100)
vmx vx fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.101)
vmy vy fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.102)
Ainda, de (1.95), implica que
K1wm −→ K1w forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.103)
K2wm −→ K1w forte em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.104)
Como
bm11 = umx +
1
2(wmx )2 +K1w
m
, de (1.99), (1.103), (1.97), segue que
bm11 b11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)). (1.105)
Logo, z = b11 em (1.85).
Da mesma forma, como
bm22 = vmy +
1
2(wmy )2 +K2w
m
, de (1.98), (1.102) e (1.104),
segue que
bm22 b22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)). (1.106)
Logo, ξ = b22 (1.86).
33
Ainda, como bm12 = umy + vmx + wmy wmx , de (1.100), (1.101), (1.96), segue que
bm12 b12 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)). (1.107)
Portanto, σ = b12 em (1.87).
Finalmente, como B11 =2
1− µb11 +
2µ
1− µb22 e B22 =
2
1− µb22 +
2µ
1− µb11,
de (1.105) e (1.106), segue que
Bm11 =
2
1− µbm11 +
2µ
1− µbm22 B11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.108)
Bm22 =
2
1− µbm22 +
2µ
1− µbm11 B22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.109)
Por hipótese, K1, K2 ∈ L∞(Ω), de (1.108) e (1.109), segue que
K1Bm11 K1B11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (1.110)
K2Bm22 K2B22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)), (1.111)
o que completa a passagem ao limite dos termos não-lineares em (1.14)- (1.16).
Pelas convergências (1.79)-(1.94), obtemos funções (U,w, θ) tais queUtt −Div([Bij]) + Ut = 0
wtt + ∆2w −∆wtt + ∆θ − div([Bij]∇w) +K1B11 +K2B22 = 0
θt −∆θ −∆wt = 0
(1.112)
com a seguinte regularidade:U ∈ [L∞(0, T ;H1
o (Ω))]2, Ut ∈ [L∞(0, T ;L2(Ω))]2, Utt ∈ [L∞(0, T ;L2(Ω))]2
w ∈ L∞(0, T,H2o (Ω)), wt ∈ L∞(0, T,H2
o (Ω)), wtt ∈ L∞(0, T,H1o (Ω))
θ ∈ L∞(0, T, L2(Ω)) ∩ L2(0, T,H1o (Ω)), θt ∈ L∞(0, T, L2(Ω)) ∩ L2(0, T,H1
o (Ω))
(1.113)
Vamos melhorar a regularidade espacial da solução (U,w, θ) em (1.113). Em (1.112),
temos
Utt(t) = Div([Bij(t)])− Ut(t) = Div(C[ε(U(t))] + C[f(∇w(t))] + C[J(w(t))])− Ut(t)
= Div(C[ε(U(t))]) +Div(C[f(∇w(t))]) +Div(C[J(w(t))])− Ut(t),
ou seja,
Div(C[ε(U(t))]) = Utt(t) + Ut(t)−Div(C[f(∇w(t))])−Div(C[J(w(t))]) (1.114)
34
Como w(t) ∈ H2o (Ω), então Div(C[f(∇w(t))]) ∈ [H−ε(Ω)]2, sendo ε > 0 pequeno,
Div(C[J(w(t))]) ∈ [L2(Ω)]2. Ainda, Utt(t) ∈ [L2(Ω)]2 e Ut(t) ∈ [L2(Ω)]2. Assim,
Utt(t) + Ut(t)−Div(C[f(∇w(t))])−Div(C[J(w(t))]) ∈ [H−ε(Ω)]2.
Portanto, ∀ t ≤ T , temos o seguinte problema de valor de fronteira elíptico para U :Div(C[ε(U(t))]) = G ∈ [H−ε(Ω)]2
U = 0 na ∂Ω
Por argumentos clássicos de regularidade elíptica, segue que
U ∈ L∞(0, T, [H2−ε(Ω)]2). (1.115)
Agora, para a função θ em (1.112), temos a seguinte identidade
∆θ(t) = θt(t)−∆wt(t) ∈ L∞(0, T, L2(Ω))
e, usando regularidade elíptica, obtemos que
θ ∈ L∞(0, T,H2(Ω) ∩H1o (Ω)). (1.116)
Finalmente, para a variável w em (1.112), temos
∆2w(t) = −(I −∆)wtt(t)−∆θ(t) + div([Bij(t)]∇w(t))−K1B11(t)−K2B22(t) = F (t)
Por (1.115), [Bij(t)∇w(t)] ∈ H1−ε(Ω), o que implica que div([Bij(t)]∇w(t)) ∈ H−ε(Ω).
Também, K1B11(t) ∈ L2(Ω), K2B22(t) ∈ L2(Ω) e ∆θ(t) ∈ L2(Ω).
Então, −∆θ(t) + div([Bij(t)]∇w(t))−K1B11(t)−K2B22(t) ∈ H−ε(Ω) → H−1(Ω).
Ainda, wtt(t) ∈ H1o (Ω), então −∆wtt(t) ∈ H−1(Ω). Assim, temos o seguite problema
elíptico : ∆2w(t) = F (t) ∈ H−1(Ω)
w = ∂w∂ν
= 0 sobre ∂Ω
Usando regularidade elíptica,
w ∈ L∞(0, T,H2o (Ω) ∩H3(Ω)). (1.117)
Retornando a (1.115), como melhoramos a regularidade de w, temos que
U ∈ [L∞(0, T,H1o (Ω) ∩H2(Ω))]2. (1.118)
35
Portanto, de (1.116), (1.118) e (1.117), podemos reescrever (1.113), comoU ∈ [L∞(0, T ;H1
o ∩H2(Ω))]2, Ut ∈ [L∞(0, T ;H1o (Ω))]2, Utt ∈ [L∞(0, T ;L2(Ω))]2
w ∈ L∞(0, T,H3(Ω) ∩H2o (Ω)), wt ∈ L∞(0, T,H2
o (Ω)), wtt ∈ L∞(0, T,H1o (Ω))
θ ∈ L∞(0, T,H2(Ω) ∩H1o (Ω))), θt ∈ L∞(0, T,H1
o (Ω))
(1.119)
Teorema 1.2. Considere os dados iniciais nas hipóteses do Teorema 1.1. Então, a
solução global regular (U,w, θ) de (1)-(4), com a regularidade (1.119), é única.
Demonstração: Seja
X =(L∞(0, T, [H2(Ω) ∩H1
o (Ω)]2) ∩W 1,∞(0, T, [H1o (Ω)]2) ∩W 2,∞(0, T, [L2(Ω)]2)
)×(L∞(0, T,H3(Ω) ∩H2
o (Ω)) ∩W 1,∞(0, T,H2o (Ω)) ∩W 2,∞(0, T,H1
o (Ω)))
×(L∞(0, T,H2(Ω) ∩H1
o (Ω)) ∩W 1,∞(0, T,H1o (Ω))
)Sejam U = U1 − U2 =
(u1
v1
)−
(u2
v2
)=
(u
v
), w = w1 − w2 e θ = θ1 − θ2,
onde (U1, w1, θ1) e (U2, w2, θ2) são soluções regulares de (1.112) pertencentes a X com os
mesmos dados iniciais.
Substituindo em (1.112),
U1,tt −Div([B1,ij]) + U1,t = 0
U2,tt −Div([B2,ij]) + U2,t = 0
Subtraímos a segunda equação da primeira nas equações acima, obtemos que
Utt −Div([B1,ij]− [B2,ij]) + Ut = 0
Seja φ = (φ1, φ2)T ∈ [H1o (Ω)]2. Tomando produto interno na equação acima em
[L2(Ω)]2, pelo Lema 1.4 e usando a Fórmula de Green, obtemos(Utt, φ
)(L2(Ω))2
+(Ut, φ
)(L2(Ω))2
+(C[ε(U)], ε(φ)
)(L2(Ω))4
+
(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(φ)
)(L2(Ω))4
+ (C[J(w) ], ε(φ))(L2(Ω))4 = 0 (1.120)
Agora, vamos estudar as variáveis w e θ. Substituímos w e θ na segunda e terceira
equações de (1.112), respectivamente. Em seguida, tomamos produto interno, em L2(Ω),
36
das equações resultantes com ξ ∈ H2o (Ω) e η ∈ H1
o (Ω) ∩H2(Ω) e integramos por partes
para obtermos
(wtt, ξ)L2(Ω) + (∆w,∆ξ)L2(Ω) + (∇wtt,∇ξ)L2(Ω) −(∇θ,∇ξ
)L2(Ω)
+ (C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2,∇ξ)(L2(Ω))2
+(K1(B1
11 −B211), ξ
)L2(Ω)
+(K2(B1
22 −B222), ξ
)L2(Ω)
= 0 (1.121)(θt, η
)L2(Ω)
+(∇θ, η
)L2(Ω)
+ (∇wt,∇η)L2(Ω) = 0 (1.122)
Escolhemos φ = Ut ∈ [H1o (Ω)]2 em (1.120),(
Utt, Ut
)(L2(Ω))2
+∥∥∥Ut∥∥∥2
(L2(Ω))2+(C[ε(U)], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
+
(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
+(C[J(w) ], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
= 0 (1.123)
Observamos que(C[ε(U)], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
=1
2
d
dt
(2‖ux‖2
L2(Ω) + 2‖vy‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖ux + vy‖2
L2(Ω)
+ ‖uy + vx‖2L2(Ω)
)=
1
2
d
dt|||U |||2
onde
|||U |||2 = 2‖ux‖2L2(Ω) + 2‖vy‖2
L2(Ω) + ‖uy + vx‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖ux + vy‖2
L2(Ω) (1.124)
Substituindo a identidade acima em (1.123), temos
1
2
d
dt
‖Ut‖2
(L2(Ω))2 + |||U |||2
+∥∥∥Ut∥∥∥2
(L2(Ω))2= −
(C[J(w)], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
−(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
. (1.125)
Integrando (1.125) de 0 a t, levando em conta que no tempo inicial os dados para a
diferença são nulos, segue que
1
2‖Ut‖2
(L2(Ω))2 +1
2|||U |||2 +
∫ t
0
‖Us(s)‖2(L2(Ω))2 ds
= −∫ t
o
(C[J(w)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds−∫ t
o
(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds
(1.126)
37
Integrando por partes,∫ t
0
(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds
=
(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(Ut(t))
)(L2(Ω))4
−∫ t
0
(d
dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)
)(L2(Ω))4
ds (1.127)
pois a matriz ε(U(0)) é a matriz nula.
Substituindo (1.127) em (1.126), obtemos,
1
2‖Ut‖2
(L2(Ω))2 +1
2|||U |||2 +
∫ t
0
‖Us(s)‖2(L2(Ω))2 ds
=
∫ t
0
(d
dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)
)(L2(Ω))4
ds−∫ t
o
(C[J(w)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds
−(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(Ut(t))
)(L2(Ω))4
(1.128)
Agora, pelas propriedades de C[·] dadas nos Lemas 1.2 e 1.5, temos que∥∥∥∥C [ ddt(f(∇w1)− f(∇2))
]∥∥∥∥(L2(Ω))4
≤ C1
∥∥∥∥ ddt(f(∇w1)− f(∇w2))
∥∥∥∥(L2(Ω))4
≤ C2
‖w1,xw1,xt − w2,xw2,xt‖L2(Ω) + ‖w1,xw1,yt + w1,xtw1,y − w2,xw2,yt − w2,yw2,xt‖L2(Ω)
+ ‖w1,yw1,yt − w2,yw2,yt‖L2(Ω)
(1.129)
Pela desigualdade de Holder e pelas imersões H2(Ω) → L∞(Ω) e
H1(Ω) → L4(Ω), segue que
‖w1,xw1,xt − w2,xw2,xt‖L2(Ω) ≤ ‖w1,x wxt‖L2(Ω) + ‖wxw2,xt‖L2(Ω)
≤ C1‖w1,x‖L∞(Ω) · ‖wtx‖L2(Ω) + C1‖wx‖L4(Ω) · ‖w2,xt‖L4(Ω)
≤ C2‖w1,x‖H2(Ω) · ‖wt‖H1(Ω) + C2‖wx‖H1(Ω) · ‖w2,tx‖H1(Ω)
≤ C2‖w1‖H3(Ω) · ‖wt‖H1(Ω) + ‖w‖H2(Ω) · ‖w2,t‖H2(Ω) (1.130)
Analogamente, para os demais termos do lado direito de (1.129) usamos o mesmo
raciocínio. Sustituindo (1.130) em (1.129), obtemos que∥∥∥∥C [ ddt(f(∇w1)− f(∇2))
]∥∥∥∥(L2(Ω))4
≤ C3
(‖w1‖H3(Ω) + ‖w2‖H3(Ω)) · ‖wt‖H1(Ω)
+ (‖w1,t‖H2(Ω) + ‖w2,t‖H2(Ω)) · ‖w‖H2(Ω)
(1.131)
38
Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz, Young e (1.131), segue que∫ t
0
(d
dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)
)(L2(Ω))4
ds
≤∫ t
0
∥∥∥∥ ddsC[f(∇w1)− f(∇w2)]
∥∥∥∥(L2(Ω))4
· ‖ε(U)‖(L2(Ω))4ds
≤ C1
∫ t
0
(‖w1‖H3(Ω) + ‖w2‖H3(Ω)) · ‖wt‖H1(Ω)
+ (‖w1,t‖H2(Ω) + ‖w2,t‖H2(Ω)) · ‖w‖H2(Ω)
· ‖U‖(H1(Ω))2ds
≤∫ t
0
‖U‖2
(H1(Ω))2 + maxi=1,2
(‖wi‖2H3(Ω))‖wt‖2
H1(Ω) + maxi=1,2
(‖wi,t‖2H2(Ω))‖w‖2
H2(Ω)
ds
Como wi e wi,t pertencem a X, segue na desigualdade acima que∫ t
0
(d
dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)
)(L2(Ω))4
ds
≤ C1
∫ t
0
‖U‖2
(H1(Ω))2 + ‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2
H2(Ω)
ds (1.132)
Ainda, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, para γ > 0,(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(U(t))
)(L2(Ω))4
≤ γ‖U(t)‖2(H1(Ω))2
+1
γ‖f(∇w1)− f(∇w2)‖2
(L2(Ω))4 (1.133)
Agora, f(·) é uma matriz e estamos analisando a soma do módulo das componentes,
pois sua norma no (L2(Ω))4 é soma das normas das componentes no L2(Ω)). Temos que,
conforme [16], se a, b ∈ [0,∞) e s ≥ 0, existem constantes ms e Ms tais que
ms(as + bs) ≤ (a+ b)s ≤Ms(a
s + bs)
Pela desigualdade acima com s = 2 e a desigualdade de Holder,
|w21,x − w2
2,x|2 + |w1,xw1,y − w2,xw2,y|2 + |w21,y − w2
2,y|2
≤ C1
|w2
1,x − w22,x|+ |w1,xw1,y − w2,xw2,y|+ |w2
1,y − w22,y|2
≤ C1
|wx| · (|w1,x|+ |w2,x|) + |wy| · |w1,x|+ |wx| · |w2,y|+ |wy| · (|w1,y|+ |w2,y|)
2
≤ C1
|∇w| ·
(|∇w1(x, t)|+ |∇w2(x, t)|
)2
≤ C2
∣∣∣∣∫ t
0
∇ws(x, s)ds∣∣∣∣2 · |∇w1(x, t)|2 + |∇w2(x, t)|2
≤ CT
(∫ t
0
|∇ws(x, s)|2ds)·|∇w1(x, t)|2 + |∇w2(x, t)|2
39
Então, pela imersão H2(Ω) → L∞(Ω), pela desigualdade acima e como wi ∈ X, segue
que
‖f(∇w1)− f(∇w2)‖2(L2(Ω))4
≤ C1
∫Ω
|w2
1,x − w22,x|2 + |w1,xw1,y − w2,xw2,y|2 + |w2
1,y − w22,y|2
dA
≤ CT
∫Ω
∫ t
0
|∇ws(x, s)|2ds(|∇w1(x, t)|2 + |∇w2(x, t)|2
)dA
≤ CT(sup|∇w1(t)|2 + sup|∇w2(t)|2
) ∫ t
0
∫Ω
|∇ws(x, s)|2dAds
≤ CT (‖∇w1‖2H2(Ω) + ‖∇w2‖2
H2(Ω))
∫ t
0
‖ws(s)‖2H1(Ω)ds
≤ CT (‖w1(t)‖2H3(Ω) + ‖w2(t)‖2
H2(Ω))
∫ t
0
‖ws(s)‖2H1(Ω)ds
≤ CT
∫ t
0
‖ws(s)‖2H1(Ω)ds (1.134)
Sustituindo (1.134) em (1.133), obtemos que(C[f(∇w1(t))− f(∇w2(t))], ε(U(t))
)(L2(Ω))4
≤ γ‖U(t)‖2(H1(Ω))2
+ Cγ,T
∫ t
0
‖ws(s)‖2H1(Ω)ds (1.135)
Agora, integrando por partes e como w ∈ H2o (Ω),∫ t
0
(C[J(w)], ε(Us))(L2(Ω))4ds =
∫ t
0
2
1− µ(K1w, usx)L2(Ω) +
2µ
1− µ(K2w, usx)L2(Ω)
+2
1− µ(K2w, vsy)L2(Ω) +
2µ
1− µ(K1w, vsy)L2(Ω)
ds
= −∫ t
0
2
1− µ((K1w)x, us)L2(Ω)
2µ
1− µ((K2w)x, us)L2(Ω)
+2
1− µ((K2w)y, vs)L2(Ω) +
2µ
1− µ((K1w)y, vs)L2(Ω)
ds
≤ C1
∫ t
0
‖us‖L2(Ω) · (‖(K1w)x‖L2(Ω) + ‖(K2w)x‖L2(Ω))
+ ‖vs‖L2(Ω) · (‖(K1w)y‖L2(Ω) + ‖(K2w)y‖L2(Ω))ds
≤ C1
∫ t
0
‖Us‖2L2(Ω)ds+ C1
∫ t
0
‖(Kiw)xj‖2L2(Ω)
40
Como Ki ∈ W 1,∞, segue que
‖(Kiw)xj‖2L2(Ω) ≤ C1‖(Ki)xj w‖2
L2(Ω) + C1‖Kiwxj‖2L2(Ω)
≤ C2(‖Ki‖2L∞(Ω) + ‖(Ki)xj‖2
L∞(Ω)) · ‖w‖2H2(Ω)
Portanto,∫ t
0
(C[J(w)], ε(Us))(L2(Ω))4ds ≤ C1
∫ t
0
‖Us‖2L2(Ω)ds+ C1
∫ t
0
‖w‖2H2(Ω)ds (1.136)
Substituindo (1.132), (1.135), (1.136) em (1.128), obtemos
1
2‖Ut‖2
(L2(Ω))2 +1
2|||U |||2 +
∫ t
0
‖Us(s)‖2(L2(Ω))2 ds
≤ γ‖U(t)‖2(H1(Ω))2 + C1
∫ t
0
‖U(s)‖2(H1(Ω))2ds
+ C1
∫ t
0
‖ws(s)‖2H1(Ω)ds+ C1
∫ t
0
‖Us‖2L2(Ω)ds+ C1
∫ t
0
‖w‖2H2(Ω)ds (1.137)
Agora, usando a desigualdade de Korn, temos que
‖U‖2(H1(Ω))2 ≤ C|||U |||2
Portanto, pela desigualdade acima, para γ sucientemente pequeno em (1.137), segue
que
‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2
(H1(Ω))2 ≤ C1
∫ t
0
‖Us‖2L2(Ω)ds+ C1
∫ t
0
‖ws(s)‖2H1(Ω)ds
+C1
∫ t
0
‖U(s)‖2(H1(Ω))2ds+ C1
∫ t
0
‖w‖2H2(Ω)ds. (1.138)
Escolhemos ξ = wt na equação (1.121) e η = θ na equação (1.122) e somamos ambas
para obtermos
1
2
d
dt
‖wt‖2
L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2
L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)
+ ‖∇θ‖2
L2(Ω)
= −(K1(B111 −B2
11), wt)L2(Ω) − (K2(B122 −B2
22), wt)L2(Ω)
−(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2,∇wt
)(L2(Ω))2
(1.139)
41
Integrando a equação acima de 0 a t, obtemos
1
2
‖wt‖2
L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2
L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)
+
∫ t
0
‖∇θ(s)‖2L2(Ω)ds
≤∫ t
0
|(K1(B111 −B2
11), ws)L2(Ω)|ds+
∫ t
0
|(K2(B122 −B2
22), ws)L2(Ω)|ds
+
∫ t
0
∣∣(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1,∇ws)
(L2(Ω))2
−(C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2,∇ws
)(L2(Ω))2
∣∣ds (1.140)
Vamos estimar os termos do lado direito de (1.140). Primeiro, notemos que
C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2
= C[ε(U1)] · ∇w1 − C[ε(U2)] · ∇w2
+ C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2 + C[J(w1)] · ∇w1 − C[J(w2)] · ∇w2
= (C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1 + C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)
+ C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2
+ C[J(w1)] · ∇(w1 − w2) + (C[J(w1)]− C[J(w2)]) · ∇w2 (1.141)
Então,
‖C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2
≤ ‖(C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1‖(L2(Ω))2 + ‖C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2
+ ‖C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2
+ ‖C[J(w1)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 + ‖(C[J(w1)]− C[J(w2)]) · ∇w2‖(L2(Ω))2
(1.142)
Vamos estimar os termos do lado direito de (1.142). Como w1(t) ∈ H3(Ω), segue que
42
(w1)xi ∈ H2(Ω) → L∞(Ω), então
‖(C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1‖(L2(Ω))2
=
∥∥∥∥ 2
1− µuxw1,x +
2µ
1− µvy w1,x + (uy + vx)w1,y
∥∥∥∥L2(Ω)
+
∥∥∥∥ 2
1− µvy w1,y +
2µ
1− µuxw1,y + (uy + vx)w1,x
∥∥∥∥L2(Ω)
≤ C1
2∑i,j=1
(‖uxiw1,xj‖L2(Ω) + ‖vxiw1,xj‖L2(Ω))
≤ C1
2∑i,j=1
‖w1,xj‖L∞(Ω) · (‖uxi‖L2(Ω) + ‖vxi‖L2(Ω))
≤ C2
2∑i,j=1
‖w1,xj‖H2(Ω) · (‖uxi‖L2(Ω) + ‖vxi‖L2(Ω))
Ou seja, da estimativa acima, concluímos que
‖(C[ε(U1)]− C[ε(U2)]) · ∇w1‖(L2(Ω))2 ≤ C2‖w1‖H3(Ω) · ‖U‖(H1(Ω))2 (1.143)
Para o segundo termo do lado direito (1.142). Usando desigualdade de Holder e a
imersão H1(Ω) → L4(Ω), otbemos
‖C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 = ‖C[ε(U2)] · ∇(w)‖(L2(Ω))2
≤ C1
2∑i,j=1
(‖u2,xiwxj‖L2(Ω) + ‖v2,xiwxj‖L2(Ω)
)
≤ C1
2∑i,j=1
(‖u2,xi‖L4(Ω) + ‖v2,xi‖L4(Ω)
)‖wxj‖L4(Ω)
≤ C2
2∑i,j=1
(‖u2,xi‖H1(Ω) + ‖v2,xi‖H1(Ω)
)‖wxj‖H1(Ω)
≤ C3‖U2‖(H2(Ω))2 · ‖w‖H2(Ω).
Ou seja,
‖C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 ≤ C3‖U2‖(H2(Ω))2 · ‖w‖H2(Ω) (1.144)
Armamos que a desigualdade
‖C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2 ≤ C1
(‖w1‖2
H3(Ω) + ‖w2‖2H3(Ω)
)· ‖w‖H2(Ω)
(1.145)
43
é válida. De fato, pelas denições de f e C[·], segue que
‖C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2
=
∥∥∥∥ 1
1− µ(w2
1,xw1,x − w22,xw2,x) +
µ
1− µ(w2
1,yw1,x − w22,yw2,x) + w2
1,yw1,x − w22,yw2,x
∥∥∥∥L2(Ω)
+
∥∥∥∥ 1
1− µ(w2
1,yw1,y − w22,yw2,y) +
µ
1− µ(w2
1,xw1,y − w22,xw2,y) + w2
1,xw1,y − w22,xw2,y
∥∥∥∥L2(Ω)
(1.146)
Usando a imersão H2(Ω) → L∞(Ω), segue que
‖w21,xw1,x − w2
2,xw2,x‖L2(Ω) ≤ ‖wx(w1,x + w2,x)w1,x‖L2(Ω) + ‖w22,xwx‖L2(Ω)
≤ (‖w1,x‖L∞ + ‖w2,x‖L∞)‖w1,x‖L∞‖wx‖L2(Ω)
+ ‖w2,x‖2L∞‖wx‖L2(Ω)
≤ C1(‖w1,x‖2H2(Ω) + ‖w2,x‖2
H2(Ω))‖wx‖L2
≤ C1(‖w1‖2H3(Ω) + ‖w2‖2
H3(Ω))‖w‖H2(Ω)
Usando a desigualdade triangular e estimando os demais termos do lado direito de (1.146)
como na estimativa acima, obtemos (1.145).
Agora, novamente, como Ki ∈ L∞(Ω) a imersão H2(Ω) → L∞(Ω),
‖C[J(w1)] · ∇(w1 − w2)‖(L2(Ω))2 =
∥∥∥∥ 2
1− µK1w1wx +
2µ
1− µK2w1wx
∥∥∥∥L2(Ω)
+
∥∥∥∥ 2
1− µK2w1wy +
2µ
1− µK1w1wy
∥∥∥∥L2(Ω)
≤ C1
2∑i,j=1
‖Kiw1wxj‖L2(Ω)
≤ C2
2∑i,j=1
‖Ki‖L∞(Ω)‖w1‖L∞(Ω)‖wxj‖L2(Ω)
≤ C2(‖Ki‖L∞(Ω))‖w1‖H3(Ω)‖w‖H2(Ω) (1.147)
44
Finalmente,
‖(C[J(w1)]− C[J(w2)]) · ∇w2‖(L2(Ω))2 =
∥∥∥∥( 2
1− µK1w +
2µ
1− µK2w
)w2,x
∥∥∥∥L2(Ω)
+
∥∥∥∥( 2
1− µK2w +
2µ
1− µK1w
)w2,y
∥∥∥∥L2(Ω)
≤ C1
2∑i,j=1
‖Kiw1ww2,xj‖L2(Ω)
≤ C2(‖Ki‖L∞(Ω))‖w2‖H3(Ω)‖w‖H2(Ω) (1.148)
Substituindo (1.143), (1.144), (1.145), (1.147) e(1.148) em (1.142), obtemos que
‖C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2
≤ C1(K1, K2)(‖U1‖(H2(Ω))2 + ‖U2‖(H2(Ω))2 + ‖w1‖H3(Ω)
+ ‖w2‖H3(Ω) + ‖w1‖2H3(Ω) + ‖w2‖2
H3(Ω)
) (‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)Como Ui e wi são pertencem a X, segue na desigualdade acima que
‖C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2‖(L2(Ω))2
≤ C2(K1, K2)(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)(1.149)
Agora, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos que∣∣∣(K1(B111 −B2
11), wt)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ‖K1(B111 −B2
11)‖L2(Ω) · ‖wt‖L2(Ω) (1.150)
Observamos que, pela denição de B11,
‖K1(B111 −B2
11)‖L2(Ω) ≤ C1
‖K1ux‖L2(Ω) + ‖K1wx(w1,x + w2,x)‖L2(Ω) + ‖K2
1 w‖L2(Ω)
+ ‖K1vy‖L2(Ω) + ‖K1wy(w1,y + w2,y)‖L2(Ω) + ‖K1K2w‖L2(Ω)
≤ C2(K1, K2)
(‖w1‖H3(Ω) + ‖w2‖H3(Ω)
) (‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)≤ C3(K1, K2)
(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)(1.151)
Substituindo (1.151) em (1.150), segue que∣∣∣(K1(B111 −B2
11), wt)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ C3(K1, K2)(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)· ‖wt‖L2(Ω) (1.152)
Analogamente,∣∣∣(K2(B111 −B2
11), wt)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ C3(K1, K2)(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)· ‖wt‖L2(Ω) (1.153)
45
Substituindo (1.149), (1.152), (1.153) em (1.140), obtemos
1
2
‖wt‖2
L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2
L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)
+
∫ t
0
‖∇θ(s)‖2L2(Ω)ds
≤ C2(K1, K2)
∫ t
0
(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)‖∇ws‖L2(Ω)ds
+ C3(K1, K2)
∫ t
0
(‖U‖(H1(Ω))2 + ‖w‖H2(Ω)
)· ‖ws‖L2(Ω)ds
Pela desigualdade de Young,
1
2
‖wt‖2
L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇wt‖2
L2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)
≤ C4(K1, K2)
∫ t
0
(‖U‖2
(H1(Ω))2 + ‖w‖2H2(Ω) + ‖∇ws‖2
L2(Ω) + ‖ws‖2L2(Ω)
)ds (1.154)
Das desigualdades (1.138) e (1.154) segue que
‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2
(H1(Ω))2 + ‖wt‖2L2(Ω) + ‖w‖2
H2(Ω) + ‖∇wt‖2L2(Ω) + ‖θ‖2
L2(Ω)
≤ C5(K1, K2)
∫ t
0
‖Us‖2
L2(Ω) + ‖ws‖2H1(Ω) + ‖U‖2
(H1(Ω))2 + ‖w‖2H2(Ω) + ‖θ‖2
L2(Ω)
ds
(1.155)
Aplicando a desigualdade de Gronwall em (1.155), obtemos
U = 0, w = 0, θ = 0,
o que implica que U1 = U2, w1 = w2 e θ1 = θ2, o que completa a demonstração da
unicidade de soluções regulares.
1.3 Dependência Contínua dos Dados Iniciais
Teorema 1.3. A solução global regular do sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmi-
cos (1)-(4) depende continuamente dos dados iniciais.
Demonstração: Sejam os dados iniciais
(U0, U1) ∈ [H2(Ω) ∩H1
o (Ω)]2 × [H1o (Ω)]2
(w0, w1) ∈ (H3(Ω) ∩H2o (Ω))×H2
o (Ω)
θ0 ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)
e
(U0, U1) ∈ [H2(Ω) ∩H1
o (Ω)]2 × [H1o (Ω)]2
(w0, w1) ∈ (H3(Ω) ∩H2o (Ω))×H2
o (Ω)
θ0 ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)
e denimos (U,w, θ) e (U , w, θ) as soluções
globais regulares do sistema (1) com os dados iniciais acima, respectivamente.
46
Seja U = U − U , w = w − w e θ = θ − θ. Seguindo o roteiro apartir de (1.125) (mas
agora para os sistemas em U e U),
1
2
d
dt
‖Ut‖2
(L2(Ω))2 + |||U |||2
+∥∥∥Ut∥∥∥2
(L2(Ω))2= −
(C[J(w)], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
−(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Ut)
)(L2(Ω))4
. (1.156)
Integramos a identidade acima de 0 a t,
1
2‖Ut‖2
(L2(Ω))2 +1
2|||U |||2 +
∫ t
0
∥∥∥Us∥∥∥2
(L2(Ω))2ds =
1
2‖U1 − U1‖2
(L2(Ω))2 +1
2|||U0 − U0|||2
−∫ t
0
(C[J(w) ], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds−∫ t
0
(C[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds.
(1.157)
Pela desigualdade de Korn,
‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2
(H1(Ω)2) ≤ C1
‖U1 − U1‖2
(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2
−∫ t
0
(C[J(w) ], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds−∫ t
0
(C[f(∇w)− f(∇w)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds
.
(1.158)
Integrando por partes (como feito em (1.127)),∫ t
0
(C[f(∇w)− f(∇w)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds =
(C[f(∇w(t))− f(∇w(t))], ε(U(t))
)(L2(Ω))4
−(C[f(∇wo)− f(∇wo)], ε(Uo − Uo)
)(L2(Ω))4
−∫ t
0
(d
dsC[f(∇w1)− f(∇w2)], ε(U)
)(L2(Ω))4
(1.159)
47
Substituindo (1.159) em (1.158), pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2
(H1(Ω)2) ≤ C1
‖U1 − U1‖2
(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2
+ ‖C[f(∇w(t))− f(∇w(t))]‖L2 · ‖ε(U(t))‖L2
+ ‖C[f(∇w0)− f(∇w0)]‖L2 · ‖ε(U0 − U0)‖L2
+
∫ t
0
∥∥∥∥ ddsC[f(∇w(s))− f(∇w(s))]
∥∥∥∥L2
· ‖ε(U(s))‖L2ds
+
∣∣∣∣∫ t
0
(C[J(w) ], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds
∣∣∣∣≤ C2
‖U1 − U1‖2
(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2 +
1
2γ‖f(∇w(t))− f(∇w(t))‖2
L2
+γ
2‖U(t)‖2
(H1(Ω))2 + ‖f(∇w0)− f(∇w0)‖2L2 +
∫ t
0
‖U(s)‖2(H1(Ω))2ds
+
∫ t
0
∥∥∥∥ ddsC[f(∇w(s))− f(∇w(s))]
∥∥∥∥2
L2
ds+
∣∣∣∣∫ t
0
(C[J(w)], ε(Us)
)(L2(Ω))4
ds
∣∣∣∣ (1.160)
Observe que
‖f(∇w0)− f(∇w0)‖L2 ≤ C1‖w0‖H2(Ω)
(‖w0‖H3(Ω) + ‖w0‖H3(Ω)
)(1.161)
Usando (1.134), como (w, w) ∈ [L∞(0, T,H3(Ω) ∩H2o (Ω))]2 e
(wt, wt) ∈ [L∞(0, T,H2o (Ω))]2, obtemos que
‖C[f(∇w(t))− f(∇w(t))]‖2L2 ≤ C(T )
∫ t
0
‖ws‖2H1(Ω)ds (1.162)
Usando (1.131), obtemos∥∥∥∥ ddtC[f(∇w(t))− f(∇w(t))]
∥∥∥∥L2
≤ C1
(‖w(t)‖H3(Ω) + ‖w(t)‖H3(Ω))‖wt‖H1(Ω)
+ (‖wt(t)‖H2(Ω) + ‖wt(t)‖H2(Ω))‖w‖H2(Ω)
≤ C(T )
‖wt‖H1(Ω) + ‖w‖H2(Ω)
(1.163)
De (1.136) e substituindo (1.161), (1.162) e (1.163) em (1.160), para γ > 0 sucien-
temente pequeno, segue que
‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2
(H1(Ω)2) ≤ C1
‖U1 − U1‖2
(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2
+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω)(‖w0‖2
H3(Ω) + ‖w0‖2H3(Ω))
+ C(T )
∫ t
0
‖ws‖2
H1(Ω) + ‖Us‖2L2(Ω) + ‖U‖2
H1(Ω) + ‖w‖2H2(Ω)
ds (1.164)
48
Por outro lado, seguindo o roteiro apartir de (1.140), segue que
‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2
H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω) ≤ C1
‖w1 − w1‖2
H1(Ω)
+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω) + ‖θ0 − θ0‖2
L2(Ω)
+
∫ t
0
∣∣(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] · ∇w − C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] · ∇w,∇wt)
(L2(Ω))2
∣∣ds+
∫ t
0
|(K1(B11 − B11), ws)L2(Ω)|ds+
∫ t
0
|(K2(B22 − B22), ws)L2(Ω)|ds (1.165)
Estimando o lado esquerdo de (1.165), como feito em (1.142)- (1.153), segue que
‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2
H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω) ≤ C1
‖w1 − w1‖2
H1(Ω)+
+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω) + ‖θ0 − θ0‖2
L2(Ω)
+ C(T )
∫ t
0
‖U‖2
H1(Ω) + ‖ws‖2H1(Ω) + ‖w‖2
H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)
ds (1.166)
Somando (1.164) e (1.166), segue
‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2
(H1(Ω)2) + ‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2
H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω)
≤ C2
‖U1 − U1‖2
(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2(H1(Ω))2 + ‖w1 − w1‖2
H1(Ω)
+ ‖w0 − w0‖2H2(Ω) + ‖θ0 − θ0‖2
L2(Ω)
+ C(T )
∫ t
0
‖U‖2
H1(Ω) + ‖Us‖2L2(Ω) + ‖ws‖2
H1(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖θ‖2
L2(Ω)
ds
≤M0 + C(T )
∫ t
0
‖U‖2
H1(Ω) + ‖Us‖2L2(Ω) + ‖ws‖2
H1(Ω) + ‖w‖2H2(Ω) + ‖θ‖2
L2(Ω)
ds
(1.167)
onde M0 = ‖U1 − U1‖2(L2(Ω))2 + ‖U0 − U0‖2
(H1(Ω))2 + ‖w1 − w1‖2H1(Ω) + ‖w0 − w0‖2
H2(Ω) +
‖θ0 − θ0‖2L2(Ω)
.
Aplicamos a desigualdade de Gronwall em (1.167) e obtemos que
‖Ut‖2(L2(Ω))2 + ‖U‖2
(H1(Ω)2) + ‖wt‖2H1(Ω) + ‖w‖2
H2(Ω) + ‖θ‖2L2(Ω) ≤ C(T )M0.
e esta estimativa nos fornece a dependência contínua das soluções regulares em relação
aos dados iniciais.
49
Capítulo 2
O Sistema de Marguerre-Vlasov para
Cascas Rasas sob Efeitos Térmicos:
Soluções Globais Fracas
2.1 Introdução
Neste capítulo, provaremos a existência e unicidade de solução global fraca do sistema
Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos (1)-(4). A existência de solução global fraca será
obtida aproximando os dados iniciais por funções mais regulares (isto é, dados iniciais com
a regularidade do Teorema 1.1) e usando o Teorema 1.1 e argumentos de compacidade.
Um ponto crítico e delicado é mostrar a unicidade de solução fraca, pois as técnicas
clássicas não se aplicam. Isto está relacionado com o fato que os termos não-lineares
não são limitados no espaço energia, uma vez que faltam imersões de Sobolev adequadas
no caso bidimensional (H1(Ω) * L∞(Ω)). Assim, para demonstrarmos a unicidade de
solução fraca, usamos o método aplicado em [23] por I. Lasiecka. O método em [23] é
baseado na adaptação das técnicas de V.I. Sedenko [44]. A principal ideia deste método
é considerar o problema num nível de energia mais baixo e provar a unicidade para este
nível. A energia neste nível mais baixo dependerá de um parâmetro grande N destinado
a ir para o innito. Este parâmetro N serve para compensar a falta de imersão de H1(Ω)
em L∞(Ω) no caso bidimensional. O parâmetro N é baseado em estimativas derivadas
de operadores de projeção em espaços de dimensão nita. A mesma técnica também foi
aplicada em [3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 22].
Como ponto de partida para obtermos a unicidade de soluções fracas do sistema (1),
50
introduziremos alguns operadores e espaços de Hilbert especiais, para os quais escrever-
emos o sistema (1) como um sistema de equações diferenciais abstrato.
Como em [1, 2], seja o operador linear
A : D(A) ⊂ L2(Ω) −→ L2(Ω)
Aw = ∆2w (2.1)
onde D(A) = H2o (Ω) ∩H4(Ω). Temos que A é positivo denido e auto-adjunto e, conse-
quentemente, conforme [15], temos as seguintes caracterizações
D(A1/2) = H2o (Ω)
D(A1/4) = H1o (Ω).
Usando a fórmula de Green, se w, w ∈ D(A1/2),
〈Aw, w〉H−2(Ω)×H2o (Ω) =
(A1/2w,A1/2w
)L2(Ω)
(2.2)
Além disso, conforme [6], sabemos que o operador biharmônico A com condições de
fronteira de Dirichlet é um isomorsmo de Hs(Ω)∩H2o (Ω) em Hs−4(Ω) para s ≥ 2, então
temos G = A−1 : Hs(Ω)→ Hs+4(Ω) ∩H2o (Ω), s ≥ −2. Ainda, a norma em Hs
o(Ω) pode
ser denida pela fórmula
‖ · ‖Hs(Ω) =∥∥(A)s/4·
∥∥L2(Ω)
, −2 ≤ s ≤ 2, s 6= ±1
2,±3
2. (2.3)
Considere o operador linear
−∆ : D(−∆) = H2(Ω) ∩H1o (Ω) ⊂ L2(Ω) −→ L2(Ω) (2.4)
O operador −∆ com condições de fronteira de Dirichlet é positivo denido, auto-adjunto
e, conforme [15], D((−∆)1/2) = H1o (Ω).
Introduzimos o operador linear
M : H1o (Ω)→ H−1(Ω)
Mz = (I −∆)z (2.5)
Temos que M ∈ L(H1o (Ω), H−1(Ω)) e para w1, w2 ∈ H1
o (Ω)
〈Mw1, w2〉H−1(Ω)×H1o (Ω) = (w1, w2)H1
o (Ω) = (w1, w2)L2(Ω) + (∇w1,∇w2)L2(Ω) (2.6)
A H1o -elipticidade de M e Teorema de Lax-Milgran garantem que M é invertível com
inversa limitada, isto é, M−1 ∈ L(H−1(Ω), H1o (Ω)).
51
Ainda, como um operador M : H1o (Ω)∩H2(Ω) ⊂ L2(Ω)→ L2(Ω) é positivo denido,
auto-adjunto e sua raiz quadrada, denotada porM1/2, está bem denida com D(M1/2) =
H1o (Ω). Segue da Teoria de Interpolação de [[27], página (10)] e (2.6) que
‖M1/2w‖2L2(Ω) = ‖w‖2
L2(Ω) + ‖∇w‖2L2(Ω) = ‖w‖2
H1o (Ω), ∀w ∈ H1
o (Ω) (2.7)
Introduzimos o operador linear
Ao :D(Ao) ⊂ [L2(Ω)]2 −→ [L2(Ω)]2
AoU = −Div(C[ε(U)]) (2.8)
onde D(Ao) = [H1o (Ω)∩H2(Ω)]2, C[·] está denido em (1.4) e ε(·) está denido em (1.1).
Lema 2.1. O operador Ao denido em (2.8) é invertível, auto-adjunto e positivo denido.
Demonstração: O operador Ao é sobrejetivo. Seja F ∈ [L2(Ω)]2. Devemos mostrar que
existe U ∈ D(Ao) tal que AoU = F em Ω,
U = 0 na ∂Ω.
Denimos a forma
a : [H1o (Ω)]2 × [H1
o (Ω)]2 → R,
a(U,W ) = (C[ε(U)], ε(W ))(L2(Ω))4 .
Pelo Lema 1.3, a(·, ·) é bilinear. Ainda, a(·, ·) é coerciva. De fato, seja U = (u, v) ∈[H1
o (Ω)]2, pela desigualdade de Korn,
a(U,U) = (C[ε(U)], ε(U))(L2(Ω))4 =2
1− µ‖ux‖2
L2(Ω) +2µ
1− µ(ux, vy)L2(Ω)
+ ‖uy + vx‖2L2(Ω) +
2
1− µ‖vy‖2
L2(Ω) +2µ
1− µ(ux, vy)L2(Ω)
= 2‖ux‖2L2(Ω) + 2‖vy‖2
L2(Ω) + ‖uy + vx‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖ux + vy‖2
L2(Ω)
≥ C1‖U‖2(H1
o (Ω))2
Também, a(·, ·) é contínua. De fato, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
|a(U,W )| = |(C[ε(U)], ε(W ))(L2(Ω))4| ≤ C1‖U‖[H1o (Ω)]2 · ‖W‖[H1
o (Ω)]2 .
52
Denimos o funcional T : [H1o (Ω)]2 → R, por T (φ) = (F, φ)(L2(Ω))2 . Claramente, T é
linear e contínuo. Pelo Teorema de Lax-Milgram, existe um único U ∈ [H1o (Ω)]2 tal que
a(U, φ) = T (φ), ∀φ ∈ [H1o (Ω)]2. Logo, temos
−Div(C[ε(U)]) = F em [D′(Ω)]2.
Como F ∈ [L2(Ω)]2, usando regularidade elíptica (veja Lema 1.6), U ∈ [H1o (Ω)∩H2(Ω)]2
e segue que
‖U‖[H1o (Ω)∩H2(Ω)]2 ≤ C1‖F‖[L2(Ω)]2 (2.9)
O operador Ao é injetivo. De fato, seja U ∈ D(Ao) tal que AoU = 0. Por (2.9) com
F = 0 segue que U = 0.
Seja U ∈ D(Ao). Seja W ∈ D(Ao), integrando por partes e pelo Lema 1.3
(AoU,W )(L2(Ω))2 = (−Div(C[ε(U)]),W )(L2(Ω))2 = (C[ε(U)], ε(W ))(L2(Ω))4
= (ε(U), C[ε(W )])(L2(Ω))4 = (U,−Div(C[ε(W )]))(L2(Ω))2
= (U,AoW )(L2(Ω))2 ,
ou seja, o operador Ao é simétrico. Como Ao possui inversa, por (2.9), temos que A−1o
é contínuo e, assim, λo = 0 pertence ao resolvente de Ao. Logo, por [[13], Teor.1.9, pag
137], segue que Ao é auto-adjunto. Finalmente, seja U ∈ D(Ao), integrando por partes
e pela desigualdade de Korn, obtemos que
(AoU,U)(L2(Ω))2 = (−Div(C[ε(U)]), U)(L2(Ω))2 = (C[ε(U)], ε(U))(L2(Ω))4 > 0.
Logo, Ao é positivo denido.
Seja H1 = [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 com produto interno denido por((U
V
),
(U1
V1
))H1
=(A1/2o U,A1/2
o U1
)(L2(Ω))2
+ (V, V1)(L2(Ω))2
= (C[ε(U)], ε(U1))(L2(Ω))4 + (V, V1)(L2(Ω))2 (2.10)
Introduzimos o operador linear
A1 : D(A1) ⊂ H1 → H1
A1
(U
Y
)=
(Y
−AoU − Y
)(2.11)
onde D(A1) = [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2 × [H1
o (Ω)]2, U =
(u1
u2
)e Y =
(y1
y2
).
53
Lema 2.2. O operador A1 denido em (2.11) gera um semigrupo de classe Co em H1.
Demonstração: Etapa 1. A1 é dissipativo. Sejam U e Y pertencentes ao D(A1).
Integrando por partes,(A1
(U
Y
),
(U
Y
))H1
=
((Y
−AoU − Y
),
(U
Y
))H1
= (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 + (−AoU, Y )(L2(Ω))2 − ‖Y ‖2(L2(Ω))2
= (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 + (Div(C[ε(U)]), Y )(L2(Ω))2 − ‖Y ‖2(L2(Ω))2
= (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 − (C[ε(U)], ε(Y ))(L2(Ω))4 − ‖Y ‖2(L2(Ω))2
= −‖Y ‖2(L2(Ω))2 ≤ 0 (2.12)
Etapa 2. A1 é maximal.
Vamos mostrar que para qualquer F =
(f
g
)∈ H1 = [H1
o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2, existe
U =
(U
Y
)∈ D(A1) tal que
A1U = F (2.13)
A igualdade (2.13) é equivalente aY = f
−AoU − Y = g
que é equivalente a Y = f ∈ [H1o (Ω)]2
−AoU = f + g ∈ [L2(Ω)]2
Ou seja, temos o seguinte problema,Div(C[ε(U)]) = f + g ∈ [L2(Ω)]2
U = 0 na ∂Ω(2.14)
Seguindo as ideias do Lema 2.1, pelo Teorema de Lax-Milgram, existe um único U ∈[H1
o (Ω)]2 solução do problema (2.14). Usando regularidade elíptica, U ∈ [H1o (Ω) ∩
H2(Ω)]2. Logo, obtemos a solução U de (2.13).
Logo, pelo Teorema de Lumer-Phillips, [30], segue que A1 gera um semigrupo de
classe Co de contrações em H1.
54
Observação 2.1. O operador
A−11 : H1 → D(A1)
A−11
(f
g
)=
(−A−1
o (f + g)
f
)(2.15)
está bem denido. De fato, ele é injetivo devido ao Lema 2.1 (Ao é injetivo) e sobrejetivo
por (2.13).
Seja H2 = H2o (Ω)×H1
o (Ω)× L2(Ω) com o seguinte produto interno
w1
w2
θ1
,
v1
v2
θ2
H2
=(A1/2w1,A1/2v1
)L2(Ω)
+(M1/2w2,M
1/2v2
)L2(Ω)
+ (θ1, θ2)L2(Ω)
(2.16)
Introduzimos o seguinte operador linear
A2 : D(A2) ⊂ H2 → H2
A2
w
y
θ
=
y
−M−1Aw −M−1∆θ
∆y + ∆θ
(2.17)
ondeD(A2) = (w, v, θ) ∈ (H2o (Ω)×H2
o (Ω)×H2(Ω) ∩H1o (Ω)) ;Aw ∈ H−1(Ω),A denido
em (2.1) e M = I −∆.
Lema 2.3. O operador A2 denido em (2.17) gera um semigrupo de classe Co de con-
trações em H2.
Demonstração: Etapa 1. A2 é dissipativo. Seja U = (w, y, θ) ∈ D(A2). Por (2.2),A2
w
y
θ
,
w
y
θ
H2
=
y
−M−1Aw −M−1∆θ
∆y + ∆θ
,
w
y
θ
H2
=(A1/2w,A1/2y
)L2(Ω)
+(M1/2(−M−1Aw −M−1∆θ),M1/2y
)L2(Ω)
+ (∆y + ∆θ, θ)L2(Ω)
=(A1/2w,A1/2y
)L2(Ω)
− 〈Aw, y〉H−2(Ω)×H2o (Ω) + (−∆θ, y)L2(Ω) + (∆y + ∆θ, θ)L2(Ω)
=(A1/2w,A1/2y
)L2(Ω)
−(A1/2w,A1/2y
)L2(Ω)
+ (−∆θ, y)L2(Ω) + (∆y + ∆θ, θ)L2(Ω)
= (∇θ,∇y)L2(Ω) − (∇y,∇θ)L2(Ω) − (∇θ,∇θ)L2(Ω)
= −‖∇θ‖2L2(Ω) ≤ 0 (2.18)
55
Etapa 2. A2 é maximal. Seja F = (f1, f2, f3) ∈ H2 = H2o (Ω) × H1
o (Ω) × L2(Ω),
vamos mostrar que existe U = (w, y, θ) ∈ D(A2) tal que
A2U = F (2.19)
A igualdade (2.19) é equivalente ay = f1
−M−1Aw −M−1∆θ = f2
∆y + ∆θ = f3
(2.20)
que, por sua vez, é equivalente ay = f1 ∈ H2
o (Ω)
Aw + ∆θ = −Mf2 ∈ H−2(Ω)
∆θ = f3 −∆f1 ∈ L2(Ω)
(2.21)
Pelo Teorema de Lax-Milgram e regularidade elíptica, temos que o problema ∆θ = f3 −∆f1 ∈ L2(Ω)
θ = 0 na ∂Ω
possui uma única solução θ ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω).
Da mesma forma, seja G = −Mf2 −∆θ, o problema Aw = G ∈ H−1(Ω) → H−2(Ω)
w = ∂w∂ν
= 0 sobre ∂Ω
possui uma única solução w ∈ H2o (Ω) com Aw ∈ H−1(Ω). Portanto, obtemos uma
função U = (w, y, θ) ∈ D(A2) solução (2.19).
Logo, pelo Teorema de Lumer-Phillips, [30], segue que A2 gera um semigrupo de
classe Co em H2.
Observação 2.2. O operador linear
A−12 : H2 → D(A2)
A−12
f1
f2
f3
=
A−1(−Mf2 − f3 + ∆f1)
f1
∆−1f3 − f1
(2.22)
está bem denido, pois ele é sobrejetivo devido a (2.19) e injetivo (devido a injetividade
de A e −∆).
56
2.2 Operadores de Projeção
A prova da unicidade de soluções fracas é baseada nos operadores que compõe a parte
linear do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos, os quais foram introduzidos
na seção 2.1, e em estimativas para os operadores de projeção abaixo.
Seja Pn o operador de projeção do L2(Ω) sobre o espaço gerado pelas primeiras n
autofunções do operador biharmônico ∆2 com condições sobre a fronteira do tipo Dirichlet
.
Seja ek uma base ortonormal de autofunções do operador ∆2 e sejam λk os auto-
valores correspondentes, isto é,
∆2ek = λkek, emΩ; ek =∂ek∂ν
= 0 na ∂Ω, k = 1, 2, . . .
com 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . .
Assim, Pn é o operador de projeção de L2(Ω) sobre o espaço spane1, e2, . . . , en eseja Qn = I − Pn.
Lema 2.4. Seja f ∈ L2(Ω) e g ∈ H1(Ω). Então, existe no > 0 e uma constante C > 0
tal que
‖(Pnf)g‖L2(Ω) ≤ C(log(1 + λn))1/2 ‖f‖L2(Ω) · ‖g‖H1(Ω), ∀n ≥ no (2.23)
Demonstração: Ver [6], Lema 2.4.
Lema 2.5. Seja Qn = I − Pn.
‖QnA−α‖L(L2(Ω)) = ‖(I − Pn)A−α‖L(L2(Ω)) ≤1
(λn)α, ∀α > 0 (2.24)
Demonstração: Ver [21], Lema 4.1.
Lema 2.6. Se u ∈ Hβ(Ω) e v ∈ H1−β(Ω), 0 < β < 1, então
‖u v‖L2(Ω) ≤ C‖u‖Hβ(Ω) · ‖v‖H1−β(Ω)
Demonstração: Ver [6], Lema 2.5.
57
2.3 Existência e Unicidade de Soluções Fracas
Denição 2.1. A tripla (U,w, θ) é dita uma solução fraca se satisfaz (1)-(4) e possui
a seguinte regularidade: ∀T > 0,
U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H2
o (Ω))
Ut ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)), (2.25)
θ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))
Teorema 2.1. Sejam K1 e K2 funções pertencentes a W 1,∞(Ω). Considere os dados
iniciais
U0 ∈ [H1o (Ω)]2, U1 ∈ [L2(Ω)]2
w0 ∈ H2o (Ω), w1 ∈ H1
o (Ω)
θ0 ∈ L2(Ω)
e as condições de fronteira (3). Então, existe uma solução global fraca de (1)-(4).
Demonstração: Para provarmos a existência de solução global fraca, aproximamos os
dados iniciais por funções mais regulares e então usamos o Teorema 1.1 e argumentos de
compacidade. Mais precisamente, sejam
U0,n ⊂ [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2, U1,n ⊂ [H1
o (Ω)]2, w0,n ⊂ H3(Ω) ∩H2o (Ω),
w1,n ⊂ H2o (Ω), θ0,n ⊂ H2(Ω) ∩H1
o (Ω), tais que
U0,n −→ U0 forte em [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2
U1,n −→ U1 forte em [H1o (Ω)]2
w0,n −→ w0 forte em H3(Ω) ∩H2o (Ω) (2.26)
w1,n −→ w1 forte em H2o (Ω)
θ0,n −→ θ0 forte em H2(Ω) ∩H1o (Ω)
Introduzimos o seguinte problema de valor inicial, sejam ϕ ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2,
ξ ∈ H2o (Ω) e η ∈ H2(Ω) ∩H1
o (Ω),
(Untt, ϕ)L2(Ω) + (C[ε(Un) + f(∇wn) + J(wn)], ε(ϕ))L2(Ω) + (Un
t , ϕ)L2(Ω) = 0
(wntt, ξ)L2(Ω) + (∇wntt,∇ξ)L2(Ω) + (∆wn,∆ξ)L2(Ω) + (∆θn, ξ)L2(Ω)
+ (C[ε(Un) + f(∇wn) + J(wn)],∇wn ⊗∇ξ)L2(Ω) + (K1Bn11 +K2B
n22, ξ)L2(Ω) = 0
(θnt , η)L2(Ω) + (∇θn,∇η)L2(Ω) − (∆wnt , η)L2(Ω) = 0 (2.27)
58
com
Un(0) = U0,n, Unt (0) = U1,n, w
n(0) = w0,n,
wnt (0) = w1,n, θn(0) = θ0,n (2.28)
Pelo Teorema 1.1, existe uma única solução regular global de (2.27)-(2.28) com
Un ∈ L∞(0, T ; [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2), Un
t ∈ L∞(0, T ; [∩H1o (Ω)]2),
Untt ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2)
wn ∈ L∞(0, T ;H3(Ω) ∩H2o (Ω)), wnt ∈ L∞(0, T ;H2
o (Ω)), wntt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω))
θn ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1o (Ω)) θnt ∈ L∞(0, T ;H1
o (Ω))
Além disso, esta solução satisfaz a estimativa
‖Unt ‖2
L2(Ω) + ‖wnt ‖2L2(Ω) + ‖∇wnt ‖2
L2(Ω) + ‖wn‖2H2(Ω) + ‖θn‖2
L2(Ω)
+ 2‖bn11‖2L2(Ω) + 2‖bn22‖2
L2(Ω) + ‖bn12‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖bn11 + bn22‖2
L2(Ω) (2.29)
+
∫ t
0
‖∇θn‖2L2(Ω)ds+
∫ t
0
‖Uns ‖2
L2(Ω)ds ≤ C1
onde C1 é uma constante positiva independente de t e n.
Usando o Lema 1.7 e (2.29),
‖∇Un‖L2(Ω) ≤ C2 (2.30)
Por (2.29) e (2.30), existe uma subsequência (ainda denotada da mesma forma) e
funções (U,w, θ) tais que
Un U fraco− ∗ em L∞(0, T, [H1o (Ω)]2) (2.31)
Unt Ut fraco− ∗ em L∞(0, T, [L2(Ω)]2) (2.32)
wn w fraco− ∗ em L∞(0, T,H2o (Ω)) (2.33)
wnt w fraco− ∗ em L∞(0, T,H1o (Ω)) (2.34)
θn θ fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.35)
θn θ fraco em L2(0, T,H1o (Ω)) (2.36)
bn11 b11 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.37)
bn22 b22 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.38)
bn12 b12 fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (2.39)
59
Com as convergências (2.31)-(2.39) e por argumentos de compacidade de [45], pas-
samos o limite em (2.27) (como feito na parte de passagem ao limite do Teorema 1.1) e
obtemos uma função (U,w, θ), com a regularidade (2.25), solução global fraca de (1)-(4).
Teorema 2.2. Sejam K1, K2 e os dados iniciais como no Teorema 2.1. A solução global
fraca de (1)-(4) é única.
Demonstração: Sejam (U1, w1, θ1) e (U2, w2, θ2) soluções fracas de (1) com as mesmas
condições iniciais. Sejam U = U1 − U2, w = w1 − w2 e θ = θ1 − θ2. Sustituímos em (1),
obtemos que
Utt + Ut −Div(C[ε(U)]
)= Div (C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ])
(I −∆)wtt + ∆2w + ∆θ = −K1(B111 −B2
11)−K2(B122 −B2
22)
+div
(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)]∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)]∇w2
)θt −∆θ −∆wt = 0
(2.40)
com condições iniciais U(x, 0) = (0, 0), Ut(x, 0) = (0, 0)
w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0
θ(x, 0) = 0
(2.41)
Pela denição de Ao em (2.8) e a denição de A em (2.1), podemos reescrever o
sistema (2.40) num sistema de EDP's de segunda ordem abstrato:Utt + Ut + AoU = f1(w, wi)
Mwtt +Aw + ∆θ = f2(w, U , wi, Ui)
θt −∆θ −∆wt = 0
(2.42)
onde
f1(w, wi) = Div (C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ]) ∈ [H−1(Ω)]2 (2.43)
f2(w, U , wi, Ui) = div(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)] · ∇w1
)− div
(C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)] · ∇w2
)−K1(B1
11 −B211)−K2(B1
22 −B222) ∈ H−2(Ω) (2.44)
60
Considere o operador A1 denido em (2.11). Podemos reescrever a primeira equação
de (2.42) na forma
d
dt
(U
Ut
)= A1
(U
Ut
)+
(0
f1(w, wi)
)(2.45)
Seja A2 o operador denido em (2.17). Podemos reescrever a segunda e terceira
equações de (2.42) na forma
d
dt
w
wt
θ
= A2
w
wt
θ
+
0
M−1f2
0
(2.46)
Seja H1 = [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 com o produto interno denido em (2.10). Aplicamos
o operador A−11 em ambos os lados de (2.45), obtemos que
d
dtA−1
1
(U
Ut
)= A−1
1 A1
(U
Ut
)+ A−1
1
(0
f1(w, wi)
)(2.47)
Multiplicamos (2.47), em H1, por A−11 (U , Ut) e obtemos que(
d
dtA−1
1
(U
Ut
), A−1
1
(U
Ut
))H1
=
(A1A
−11
(U
Ut
), A−1
1
(U
Ut
))H1
+
(A−1
1
(0
f1
), A−1
1
(U
Ut
))H1
(2.48)
Pela dissipatividade de A1 no Lema 2.2 (pois A−11 (U , Ut) ∈ D(A1)), segue em (2.48) que
1
2
d
dt
∥∥∥∥∥A−11
(U
Ut
)∥∥∥∥∥2
H1
≤
(A−1
1
(0
f1
), A−1
1
(U
Ut
))H1
(2.49)
ComoA1 é linear, temos queA−11 também é linear e, assim, A−1
1 (U(0), Ut(0)) = A−11 (0, 0) =
0. Integramos (2.49) de 0 a t, pela denição da inversa de A1 em (2.15) e denição do
61
produto interno em H1 dada por (2.10), segue que
1
2
∥∥∥∥∥A−11
(U
Ut
)∥∥∥∥∥2
H1
≤∫ t
0
(A−1
1
(0
f1
), A−1
1
(U
Ut
))H1
ds
≤∫ t
0
((−A−1
o f1
0
),
(−A−1
o (U + Ut)
U
))H1
ds
≤∫ t
0
(A1/2o A−1
o f1 , A1/2o A−1
o (U + Ut))L2(Ω)
ds
≤∫ t
0
(A−1/2o f1 , A
−1/2o (U + Ut)
)L2(Ω)
ds
≤ 1
2
∫ t
0
‖A−1/2o f1‖2
L2(Ω)ds+1
2
∫ t
0
‖A−1/2o (U + Ut)‖2
L2(Ω)ds (2.50)
Por outro lado, novamente pela denição (2.15),∥∥∥∥∥A−11
(U
Ut
)∥∥∥∥∥2
H1
=
∥∥∥∥∥(−A−1
o (U + Ut)
U
)∥∥∥∥∥2
H1
=∥∥∥A−1/2
o (U + Ut)∥∥∥2
L2(Ω)+ ‖U‖2
L2(Ω) (2.51)
Susbtituímos (2.51) em (2.50), obtemos que
‖U‖2L2(Ω) +
∥∥∥A−1/2o (U + Ut)
∥∥∥2
L2(Ω)≤∫ t
0
‖A−1/2o f1‖2
L2(Ω)ds+
∫ t
0
‖A−1/2o (U + Ut)‖2
L2(Ω)ds
Aplicamos a desigualdade de Gronwall na desigualdade acima, obtemos que
‖U‖2L2(Ω) ≤ CT
∫ t
0
‖A−1/2o f1‖2
L2(Ω)ds (2.52)
Agora, vamos estudar as variáveis w e θ. Aplicamos o operador A−12 em ambos os
lados da equação (2.46),
d
dtA−1
2
w
wt
θ
= A−12 A2
w
wt
θ
+ A−12
0
M−1f2
0
(2.53)
Seja H2 = H2o (Ω) ×H1
o (Ω) × L2(Ω) com produto interno denido em (2.16). Multi-
62
plicamos, em H2, a equação (2.53) por A−12 (w, wt, θ) e obtemos que d
dtA−1
2
w
wt
θ
, A−12
w
wt
θ
H2
=
A2A−12
w
wt
θ
, A−12
w
wt
θ
H2
+
A−12
0
M−1f2
0
, A−12
w
wt
θ
H2
Pela dissipatividade de A2 dada pelo Lema 2.3 (pois A−12 (w, wt, θ) ∈ D(A2) ), segue
que
1
2
d
dt
∥∥∥∥∥∥∥∥A−12
w
wt
θ
∥∥∥∥∥∥∥∥
2
H2
≤
A−12
0
M−1f2
0
, A−12
w
wt
θ
H2
(2.54)
Como A2 é linear, temos que A−12 também é linear e, assim, A−1
2 (w(0), wt(0), θ(0)) =
A−12 (0, 0, 0) = 0. Integramos a desigualdade (2.54) de 0 a t, pela denição da inversa de
A2 em (2.22) e denição do produto interno em H2 dada por (2.16), segue que
1
2
∥∥∥∥∥∥∥∥A−12
w
wt
θ
∥∥∥∥∥∥∥∥
2
H2
≤∫ t
0
A−12
0
M−1f2
0
, A−12
w
wt
θ
H2
ds (2.55)
≤∫ t
0
A−1(−θ + ∆w −Mwt)
w
∆−1θ − wt
,
A−1f2
0
0
H2
ds
≤∫ t
0
(A1/2(A−1(−θ + ∆w −Mwt)) ,−A1/2A−1f2
)L2(Ω)
ds
≤∫ t
0
(A−1/2(−θ + ∆w −Mwt),−A−1/2f2
)L2(Ω)
ds
≤ 1
2
∫ t
0
‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+
1
2
∫ t
0
‖A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)‖2L2(Ω)ds
(2.56)
Por outro lado, usando a inversa de A2 dada por (2.22) e a denição do produto
63
interno em H2 dada por (2.16), segue que∥∥∥∥∥∥∥∥A−12
w
wt
θ
∥∥∥∥∥∥∥∥
2
H2
=
∥∥∥∥∥∥∥∥A−1(−θ + ∆w −Mwt)
w
∆−1θ − w
∥∥∥∥∥∥∥∥
2
H2
=∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)
∥∥∥2
L2(Ω)+∥∥M1/2w
∥∥2
L2(Ω)+∥∥∥∆−1θ − w
∥∥∥2
L2(Ω)
Observamos que∥∥∥∆−1θ∥∥∥2
L2(Ω)≤ C
(∥∥∥∆−1θ − w∥∥∥2
L2(Ω)+ ‖w‖2
L2(Ω)
)e usando (2.7),
∥∥M1/2w∥∥2
L2(Ω)é equivalente a ‖w‖2
H1(Ω), na identidade acima segue que∥∥∥∥∥∥∥∥A−12
w
wt
θ
∥∥∥∥∥∥∥∥
2
H2
≥∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)
∥∥∥2
L2(Ω)+C1
2‖w‖2
H1(Ω)
+C1
2‖w‖2
L2(Ω) +∥∥∥∆−1θ − w
∥∥∥2
L2(Ω)
≥∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)
∥∥∥2
L2(Ω)+ C2 ‖w‖2
H1(Ω) + C3
∥∥∥∆−1θ∥∥∥2
L2(Ω)
(2.57)
Substituímos (2.57) em (2.56), e obtemos que
‖w‖2H1(Ω) +
∥∥∥∆−1θ∥∥∥2
L2(Ω)+∥∥∥A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)
∥∥∥2
L2(Ω)
≤ C1
∫ t
0
‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+
∫ t
0
∥∥∥∆−1θ∥∥∥2
L2(Ω)ds
+ C1
∫ t
0
‖A−1/2(−θ + ∆w −Mwt)‖2L2(Ω)ds
Aplicando a desigualdade de Gronwall na desigualdade acima e obtemos que
‖w‖2H1(Ω) +
∥∥∥∆−1θ∥∥∥2
L2(Ω)≤ CT
∫ t
0
‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds (2.58)
O restante do trabalho consiste em estimar o lado direito de (2.52) e (2.58).
Seja φ ∈ [L2(Ω)]2. Integrando por partes, pela denição de f1 em (2.43),(A−1/2o f1, φ
)L2(Ω)
=(f1, A
−1/2o φ
)L2(Ω)
=(Div (C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ]) , A−1/2
o φ)L2(Ω)
= −(C[f(∇w1)− f(∇w2) + J(w) ], ε(A−1/2
o φ))L2(Ω)
≤ C1
(‖C[f(∇w1)− f(∇w2)]‖L2(Ω) + ‖C[J(w) ]‖L2(Ω)
)‖φ‖L2(Ω)
64
Escolhemos φ = A−1/2o f1 ∈ [L2(Ω)]2 na igualdade acima, segue que∥∥A−1/2
o f1
∥∥2
L2(Ω)≤ C1
(‖C[f(∇w1)− f(∇w2)]‖L2(Ω) + ‖C[J(w) ]‖L2(Ω)
)‖A−1/2
o f1‖L2(Ω).
Pelo Lema 1.2,∥∥A−1/2o f1
∥∥L2(Ω)
≤ C1
(‖C[f(∇w1)− f(∇w2)]‖L2(Ω) + ‖C[J(w)]‖L2(Ω)
)≤ C2
(‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) + ‖J(w) ‖L2(Ω)
)(2.59)
Agora, observamos que
‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) =1
2
∥∥∥∥∥(
w21,x − w2
2,x (w1,xw1,y − w2,xw2,y)
(w1,xw1,y − w2,xw2,y) w21,y − w2
2,y
)∥∥∥∥∥L2(Ω)
=1
2
∥∥∥∥∥(
wx(w1,x + w2,x) wxw2,y + wyw1,x
wxw2,y + wyw1,x wy(w1,y + w2,y)
)∥∥∥∥∥L2(Ω)
≤ C1 ‖∇w ⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)
Como Pn +Qn = I, temos que ∇w = Pn∇w +Qn∇w, então
‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) ≤ C1 ‖∇w ⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)
≤ C1 ‖(Pn∇w +Qn∇w)⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)
≤ C1 ‖(Pn∇w)⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω) + C1 ‖(Qn∇w)⊗∇(w1 + w2)‖L2(Ω)
≤ C1
‖(Pnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Pnwx)(w1 + w2)y‖L2(Ω)
+ ‖(Pnwy)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Pnwy)(w1 + w2)y‖L2(Ω)
+ C1
‖(Qnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Qnwx)(w1 + w2)y‖L2(Ω)
+ ‖(Qnwy)(w1 + w2)x‖L2(Ω) + ‖(Qnwy)(w1 + w2)y‖L2(Ω)
(2.60)
Como wi ∈ H2o (Ω), temos wi,x ∈ H1(Ω), então, pelo Lema 2.4,
‖(Pnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) ≤ C1(log(1 + λn))1/2‖wx‖L2(Ω)‖(w1 + w2)x‖H1(Ω)
≤ C1(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)
(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)(2.61)
Pelo Lema 2.6, para 0 < ε < 1, segue
‖(Qnwx)(w1 + w2)x‖L2(Ω) ≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) · ‖(w1 + w2)x‖H1−ε(Ω)
≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) · ‖w1 + w2‖H2−ε(Ω)
≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) · ‖w1 + w2‖H2(Ω)
≤ C1‖Qnwx‖Hε(Ω) ·(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)(2.62)
65
Substituímos (2.61) e (2.62) em (2.60) (aplicamos o mesmo raciocínio para os demais
termos em (2.60)), obtemos que
‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) ≤ C2(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)
(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)+ C2
(‖Qnwx‖Hε(Ω) + ‖Qnwy‖Hε(Ω)
)·(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)(2.63)
Por (2.3) e pelo Lema 2.5, segue que
‖Qnwy‖Hε(Ω) ≤ C1‖Aε4Qnwy‖L2(Ω) ≤ C1‖A
ε−βo+βo4 Qnwy‖L2(Ω)
≤ C1‖Aε−βo
4 QnAβo4 wy‖L2(Ω) ≤ C1‖A
ε−βo4 Qn‖L(L2(Ω))‖A
βo4 wy‖L2(Ω)
≤ C1λε−βo
4n ‖wy‖Hβo (Ω) ≤ C2λ
ε−βo4
n ‖w‖H3/2(Ω) (2.64)
se βo <1
2.
Substituímos (2.64) em (2.63), segue que
‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) ≤ C2(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)
(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)+ C2λ
ε4−βo
4n ‖w‖H3/2(Ω)
(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)≤ C2
(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + λ
ε4−βo
4n ‖w‖H2(Ω)
(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)≤ C2
(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + λ
ε4−βo
4n (‖w1‖H2(Ω) + ‖w1‖H2(Ω))
E(0)
≤ C2E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + C3(E(0))λε4−βo
4n
≤ C2E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + C3(E(0))λ−βn (2.65)
se β < 18e E(0) é a energia inicial. De fato, em (2.65), usamos o fato que
H2(Ω) → H3/2(Ω), então
‖w‖H3/2(Ω) ≤ C‖w‖H2(Ω) ≤ C‖w1 − w2‖H2(Ω) ≤ C(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)).
Também,
λε4−βo
4n = λ
ε4−βo
4+β−β
n = λε4−βo
4+β
n · λ−βn
Na identidade acima, queremos queε
4− βo
4+ β < 0, isso acontece se, e somente se,
ε
4+ β <
βo4. Como βo <
1
2, então é necessário que β <
1
8. Dai, temos λ
ε4−βo
4+β
n ≤ C1
uma vez que
1λn
é limitada.
66
Agora, como Ki ∈ L∞(Ω) e 1 < (log(1 + λn))1/2, segue que
‖J(w) ‖L2(Ω) ≤ C1
(‖K1w‖L2(Ω) + ‖K2w‖L2(Ω)
)≤ C1
(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2w‖L∞(Ω)
)‖w‖L2(Ω)
≤ C1(K1, K2) (log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω) (2.66)
Das estimativas (2.65) e (2.66), segue que
‖f(∇w1)− f(∇w2)‖L2(Ω) + ‖J(w) ‖L2(Ω) ≤ C3E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)
+ C3(E(0))λ−βn , se β <1
8(2.67)
Substituímos a estimativa (2.67) em (2.59), segue que∥∥A−1/2o f1
∥∥L2(Ω)
≤ C3E(0)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + C3(E(0))λ−βn , se β <1
8(2.68)
Agora vamos estimar o termo∥∥A−1/2f2
∥∥L2(Ω)
, onde f2 está denida em (2.44) por
f2(w, U , wi, Ui) = div(C[ε(U1)+f(∇w1)+J(w1)]∇w1−C[ε(U2)+f(∇w2)+J(w2)]∇w2
)−
K1(B111 −B2
11)−K2(B122 −B2
22).
Seja ψ ∈ L2(Ω). Integrando por partes,(A−1/2f2, ψ
)L2(Ω)
= −(K1(B1
11 −B211) +K2(B1
22 −B222),A−1/2
)L2(Ω)
−(C[ε(U1) + f(∇w1) + J(w1)]∇w1 − C[ε(U2) + f(∇w2) + J(w2)]∇w2,∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
(2.69)
Substituindo a identidade (1.141) em (2.69),(A−1/2f2, ψ
)L2(Ω)
≤∣∣∣(C[ε(U1)− ε(U2)] · ∇w1,∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w1)] · ∇w2,∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(C[J(w1) ] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(C[J(w1)− J(w2))] · ∇w2,∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(K1(B1
11 −B211),A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(K2(B1
22 −B222),A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣≤ J1 + J2 + J3 + J4 + J5 + J6 + J7 (2.70)
67
Vamos estimar os termos Ji de (2.70). Seja g = A−1/2ψ. Integrando por partes, como
U ∈ [H1o (Ω)]2,
J1 =∣∣∣(C[ε(U1)− ε(U2)] · ∇w1,∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ =
∣∣∣∣(C[ε(U)] · ∇w1,∇g)L2(Ω)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣ (
21−µ ux + 2µ
1−µ vy
)w1,x + (uy + vx)w1,y
(uy + vx)w1,x +(
21−µ vy + 2µ
1−µ ux
)w1,y
,
(gx
gy
)L2(Ω)
∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣ 2
1− µ(ux, w1,xgx)L2(Ω) +
2µ
1− µ(vy, w1,xgx)L2(Ω) + (uy + vx, w1,ygx)L2(Ω)
+2
1− µ(vy, w1,ygy)L2(Ω) +
2µ
1− µ(ux, w1,ygy)L2(Ω) + (uy + vx, w1,xgy)L2(Ω)
∣∣∣∣≤ 2
1− µ
∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)
∣∣∣+2µ
1− µ
∣∣∣(v, (w1,xgx)y)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(u, (w1,ygx)y)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(v, (w1,ygx)x)L2(Ω)
∣∣∣+2
1− µ
∣∣∣(v, (w1,ygy)y)L2(Ω)
∣∣∣+2µ
1− µ
∣∣∣(u, (w1,ygy)x)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(u, (w1,xgy)y)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(v, (w1,xgy)x)L2(Ω)
∣∣∣ (2.71)
Vamos estimar os termos em (2.71). Pela desigualdade de Holder, pelos Lemas 2.4,
68
2.5 e 2.6, e pelas imersões H1(Ω) → H1−ε e H2(Ω) → H2−ε como wi ∈ H2o (Ω), segue que
2
1− µ
∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ C1
∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ C1
∣∣∣((Pn +Qn)u, (w1,xgx)x)L2(Ω)
∣∣∣≤ C1
∣∣∣(Pnu, (w1,xgx)x)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(Qnu, (w1,xgx)x)L2(Ω)
∣∣∣≤ C1
∫Ω
|Pnu| · |w1,x| · |gxx|+∫
Ω
|Pnu| · |w1,xx| · |gx|
+
∫Ω
|Qnu| · |w1,x| · |gxx|+∫
Ω
|Qnu| · |w1,xx| · |gx|
≤ C1
‖(Pnu)w1,x‖L2(Ω) ‖gxx‖L2(Ω) + ‖(Pnu)gx‖L2(Ω) ‖w1,xx‖L2(Ω)
+ ‖(Qnu)w1,x‖L2(Ω) ‖gxx‖L2(Ω) + ‖(Qnu)gx‖L2(Ω) ‖w1,xx‖L2(Ω)
≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)
‖w1,x‖H1(Ω)‖gxx‖L2(Ω) + ‖gx‖H1(Ω)‖w1,xx‖L2(Ω)
+ C1‖Qnu‖Hε(Ω)
‖w1,x‖H1−ε(Ω) ‖gxx‖L2(Ω) + ‖gx‖H1−ε(Ω) ‖w1,xx‖L2(Ω)
≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)
‖w1‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω) + ‖g‖H2(Ω)‖w1‖H2(Ω)
+ C1‖Qnu‖Hε(Ω)
‖w1‖H2(Ω) ‖g‖H2(Ω) + ‖g‖H2−ε(Ω) ‖w1‖H2(Ω)
≤ C1
(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω) + ‖Qnu‖Hε(Ω)
‖w1‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω) (2.72)
Da mesma forma que zemos em (2.64), pelo Lema 2.5, para βo < 12,
‖Qnu‖Hε(Ω) ≤ C1
∥∥Aε/4Qnu∥∥L2(Ω)
≤ C1
∥∥A(ε−βo)/4Qn
∥∥L(L2(Ω))
∥∥Aβo/4u∥∥L2(Ω)
≤ C1λ(ε−βo)/4n ‖u‖Hβo (Ω) ≤ C1λ
(ε−βo)/4n ‖u‖H1(Ω)
≤ C1λε−βo
4+β
n λ−βn ‖u1 − u2‖H1(Ω)
≤ C1λ−βn
(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)
), (2.73)
pois para β < 18, temos ε−βo
4+ β < 0.
69
Substituímos (2.73) em (2.72), obtemos
2
1− µ
∣∣∣(u, (w1,xgx)x)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ C1
(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)
+ ‖Qnu‖Hε(Ω)
‖w1‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω)
≤ C1
(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω)
+ λ−βn(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)
)‖w1‖H2(Ω)‖A−1/2ψ‖H2(Ω)
≤ C1
(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω) + λ−βn
(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)
)‖w1‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω)
(2.74)
Aplicamos o mesmo raciocínio da estimativa (2.74) nos demais termos de (2.71),
obtemos que
J1 ≤ C1
(log(1 + λn))1/2 ‖u‖L2(Ω) + λ−βn
(‖u1‖H1(Ω) + ‖u2‖H1(Ω)
)‖w1‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω)
(2.75)
Agora, vamos estimar J2. Seja g = A−1/2ψ.
J2 =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇w,∇g)L2(Ω)
∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣ (
21−µu2,x + 2µ
1−µv2,y
)wx + (u2,y + v2,x)wy
(u2,y + v2,x)wx +(
21−µv2,y + 2µ
1−µu2,x
)wy
,
(gx
gy
)L2(Ω)
∣∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣( 2
1− µu2,x +
2µ
1− µv2,y, wxgx
)L2(Ω)
+ (u2,y + v2,x, wygx)L2Ω
+ (u2,y + v2,x, wxgy)L2Ω +
(2
1− µv2,y +
2µ
1− µu2,x, wygy
)L2(Ω)
∣∣∣∣≤∣∣∣(C[ε(U2)],∇w ⊗∇g)L2(Ω)
∣∣∣
70
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e I = Pn +Qn,
J2 =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇w,∇g)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣(C[ε(U2)],∇w ⊗∇g)L2(Ω)
∣∣∣≤ ‖C[ε(U2)]‖L2(Ω) · ‖∇w ⊗∇g‖L2(Ω)
≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) · ‖(Pn(∇w) +Qn(∇w))⊗∇g‖L2(Ω)
≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) ·
∥∥∥∥∥(Pnwx
Pnwy
)⊗
(gx
gy
)∥∥∥∥∥L2(Ω)
+
∥∥∥∥∥(Qnwx
Qnwy
)⊗
(gx
gy
)∥∥∥∥∥L2(Ω)
≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) ·
‖(Pnwx)gx‖L2(Ω) + ‖(Pnwx)gy‖L2(Ω) + ‖(Pnwy)gx‖L2(Ω)
+ ‖(Pnwy)gy‖L2(Ω) + ‖(Qnwx)gx‖L2(Ω) + ‖(Qnwx)gy‖L2(Ω)
+ ‖(Qnwy)gx‖L2(Ω) + ‖(Qnwy)gy‖L2(Ω)
(2.76)
Pelo Lema 2.4, pois wx ∈ L2(Ω) e gx ∈ H1(Ω),
‖(Pnwx)gx‖L2(Ω) ≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖wx‖L2(Ω)‖gx‖H1(Ω)
≤ C1 (log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω)‖g‖H2(Ω) (2.77)
Pelo Lema 2.6, da mesma forma que estimamos (2.73),
‖(Qnwx)gx‖L2(Ω) ≤ C1 ‖Qnwx‖Hε(Ω) ‖gx‖H1−ε(Ω)
≤ C1 ‖Qnwx‖Hε(Ω) ‖gx‖H1(Ω)
≤ C1 ‖Qnwx‖Hε(Ω) ‖g‖H2(Ω)
≤ C1λ−βn
(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)‖g‖H2(Ω) (2.78)
Substituímos (2.77) e (2.78) em (2.76) (fazemos o mesmo raciocínio para os demais
termos em (2.76)), obtemos que
J2 =∣∣∣(C[ε(U2)] · ∇w,∇g)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ C1 ‖U2‖H1(Ω) ·
(log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω)‖g‖H2(Ω)
+ λ−βn(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)‖g‖H2(Ω)
≤ C1
(log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω)
+ λ−βn(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)‖U2‖H1(Ω) ‖A
−1/2ψ‖H2(Ω)
Logo,
J2 ≤ C1
(log(1 + λn))1/2 ‖w‖H1(Ω) + λ−βn
(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω)
)‖U2‖H1(Ω) ‖ψ‖L2(Ω)
(2.79)
71
Agora, vamos mostrar que
J3 =∣∣∣(C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2,∇A−1/2φ
)L2(Ω)
∣∣∣≤ C1
(‖w1‖2
H2(Ω) + ‖w2‖2H2(Ω)
)‖w‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (log(1 + λn))1/2 (2.80)
De fato,
J3 =∣∣∣(C[f(∇w1)] · ∇w1 − C[f(∇w2)] · ∇w2,∇A−1/2φ
)L2(Ω)
∣∣∣≤ 1
1− µ
∣∣∣(w21,xw1,x − w2
2,xw2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣+µ
1− µ
∣∣∣(w21,yw1,x − w2
2,yw2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(w2
1,yw1,x − w22,yw2,x, gx
)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(w2
1,xw1,y − w22,xw2,y, gy
)L2(Ω)
∣∣∣+
1
1− µ
∣∣∣(w21,yw1,y − w2
2,yw2,y, gy)L2(Ω)
∣∣∣+µ
1− µ
∣∣∣(w21,xw1,y − w2
2,xw2,y, gy)L2(Ω)
∣∣∣(2.81)
Observamos que∣∣∣(w21,xw1,x − w2
2,xw2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣ =∣∣∣(w2
1,xwx + wx(w1,x + w2,x)w2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣≤∣∣∣(w2
1,xwx, gx)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(wx(w1,x + w2,x)w2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣≤ D1 +D2 (2.82)
Pela desigualdade de Holder e imersões H1(Ω) → L2/δ(Ω) e H1(Ω) → L4
1−δ (Ω),
0 < δ < 1,
D1 =∣∣∣(w2
1,xwx, gx)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ∥∥w21,x gx
∥∥L2(Ω)
‖wx‖L2(Ω)
≤ ‖w1,x‖2
L4
1−δ (Ω)‖gx‖L2/δ(Ω) ‖w‖H1(Ω)
≤ C1 ‖w1,x‖2H1(Ω) ‖gx‖H1(Ω) ‖w‖H1(Ω)
≤ C1 ‖w1‖2H2(Ω) ‖g‖H2(Ω) ‖w‖H1(Ω)
≤ C1 ‖w1‖2H2(Ω) ‖ψ‖L2(Ω) ‖w‖H1(Ω) (2.83)
72
Pela desigualdade de Holder e as imersões acima,
D2 =∣∣∣(wx(w1,x + w2,x)w2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ‖(w1,x + w2,x)w2,x gx‖L2(Ω) ‖wx‖L2(Ω)
≤ ‖(w1,x + w2,x)w2,x‖L2/(1−δ)(Ω) ‖gx‖L2/δ(Ω) ‖w‖H1(Ω)
≤ ‖(w1,x + w2,x)‖L4/(1−δ)(Ω) ‖w2,x‖L4/(1−δ)(Ω) ‖gx‖L2/δ(Ω) ‖w‖H1(Ω)
≤ C1 ‖w1,x + w2,x‖H1(Ω) ‖w2,x‖H1(Ω) ‖gx‖H1(Ω) ‖w‖H1(Ω)
≤ C1
(‖w1‖2
H2(Ω) + ‖w2‖2H2(Ω)
)‖g‖H2(Ω) ‖w‖H1(Ω)
≤ C1
(‖w1‖2
H2(Ω) + ‖w2‖2H2(Ω)
)‖ψ‖L2(Ω) ‖w‖H1(Ω) (2.84)
Substituímos (2.83) e (2.84) em (2.82),∣∣∣(w21,xw1,x − w2
2,xw2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ (‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2
H2(Ω)
)‖ψ‖L2(Ω) ‖w‖H1(Ω) (2.85)
Fazemos o mesmo raciocínio de (2.85) para os demais termos de (2.81),
como 1 ≤ (log(1 + λn))1/2, segue a desigualdade (2.80).
Agora, seja g = A−1/2ψ,
J4 =∣∣∣(C[J(w1) ] · ∇(w1 − w2),∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ =∣∣∣(C[J(w1) ] · ∇w,∇g)L2(Ω)
∣∣∣≤
∣∣∣∣∣((
2
1− µK1w1 +
2µ
1− µK2w1
)wx, gx
)L2(Ω)
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣((
2
1− µK2w1 +
2µ
1− µK1w1
)wy, gy
)L2(Ω)
∣∣∣∣∣Pela desigualdade de Holder generalizada, Ki ∈ L∞(Ω) e a imersão H1(Ω) → L4(Ω),∣∣∣(K1w1wx, gx)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖wx‖L2(Ω)‖w1‖L4(Ω)‖gx‖L4(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w|H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖gx‖H1(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖g‖H2(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.86)
Como em (2.86), estimamos da mesma forma os demais termos de J4 e obtemos que
J4 ≤ C2(K1, K2)‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω)
≤ C2(K1, K2)(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω)‖w1‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.87)
73
Agora,
J5 =∣∣∣(C[J(w1)− J(w2) ]∇w2,∇A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣≤
∣∣∣∣∣((
2
1− µK1w +
2µ
1− µK2w
)w2,x, gx
)L2(Ω)
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣((
2
1− µK2w +
2µ
1− µK1w
)w2,y, gy
)L2(Ω)
∣∣∣∣∣Pela desigualdade de Holder generalizada, Ki ∈ L∞(Ω) e a imersão H1(Ω) → L4(Ω),∣∣∣(K1ww2,x, gx)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2,x‖L4(Ω)‖gx‖L4(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2,x‖H1(Ω)‖gx‖H1(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖g‖H2(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.88)
Como em (2.88), estimamos da mesma forma os demais termos de J5 e obtemos que
J5 ≤ C2(K1, K2)‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω)
≤ C2(K1, K2)(log(1 + λn))1/2‖w‖L2(Ω)‖w2‖H2(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.89)
Resta ainda estimarmos os termos J6 e J7. Observamos que
J6 =∣∣∣(K1(B1
11 −B211),A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ 2
1− µ
∣∣∣(K1ux,A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+
1
2
∣∣∣(K1(w21,x − w2
2,x),A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(K2
1 w,A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+
2µ
1− µ
∣∣∣(K1vy,A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+1
2
∣∣∣(K1(w21,y − w2
2,y),A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(K1K2w,A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ (2.90)
Agora, intergrando por partes e como u ∈ H1o (Ω), como Ki,x ∈ L∞(Ω)∣∣∣(K1ux,A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ =
∣∣∣∣∫Ω
u(K1A−1/2ψ)x
∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫
Ω
uK1(A−1/2ψ)x
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫Ω
uK1,xA−1/2ψ
∣∣∣∣≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖u‖L2(Ω)‖A−1/2ψ‖H1(Ω)
+ ‖K1,x‖L∞(Ω)‖u‖L2(Ω)‖A−1/2ψ‖L2(Ω)
≤ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K1,x‖L∞(Ω))‖u‖L2(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.91)
74
Também, usando a desigualdade de Holder,∣∣∣(K1(w21,x − w2
2,x),A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ‖K1‖L∞(Ω)‖wx‖L2(Ω)‖w1,x + w2,x‖L4(Ω)‖A−1/2ψ‖L4(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖w1,x + w2,x‖H1(Ω)‖A−1/2ψ‖H1(Ω)
≤ C1‖K1‖L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))‖ψ‖L2(Ω) (2.92)
Finalmente,∣∣∣(K21 w,A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ ‖K1‖2L∞(Ω)‖w‖L2(Ω)‖A−1/2ψ‖L2(Ω)
≤ ‖K1‖2L∞(Ω)‖w‖H1(Ω)‖ψ‖L2(Ω) (2.93)
Substituindo (2.91), (2.92) e (2.93) em (2.90), segue
J6 ≤ C(K1, K2)(‖U‖L2(Ω) + ‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))
)‖ψ‖L2(Ω)
≤ C(K1, K2)(log(1 + λn))1/2(‖U‖L2(Ω) + ‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))
)‖ψ‖L2(Ω)
(2.94)
Finalmente,
J7 =∣∣∣(K2(B1
22 −B222),A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣ ≤ 2
1− µ
∣∣∣(K2vy,A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+
1
2
∣∣∣(K2(w21,y − w2
2,y),A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(K2
2 w,A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+
2µ
1− µ
∣∣∣(K2ux,A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+1
2
∣∣∣(K2(w21,x − w2
2,x),A−1/2ψ)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(K1K2w,A−1/2ψ
)L2(Ω)
∣∣∣Analogamente como obtemos (2.94),
J7 ≤ C(K1, K2)(log(1 + λn))1/2(‖U‖L2(Ω) + ‖w‖H1(Ω)(‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω))
)‖ψ‖L2(Ω)
(2.95)
Agora, substituímos as estimativas de Ji (2.75), (2.79), (2.80), (2.87), (2.89), (2.94) e
(2.95) em (2.70), obtemos que(A−1/2f2, ψ
)L2(Ω)
≤ C1(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + ‖U‖L2(Ω)
·
‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω) + ‖U2‖H1(Ω)
+ ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2
H2(Ω)
‖ψ‖L2(Ω) + C1λ
−βn
‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω)
+ ‖U2‖H1(Ω) + ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2
H2(Ω)
‖ψ‖L2(Ω) (2.96)
75
Escolhemos ψ = A−1/2f2 em (2.96), obtemos
‖A−1/2f2‖L2(Ω) ≤ C1(log(1 + λn))1/2‖w‖H1(Ω) + ‖U‖L2(Ω)
·
‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω) + ‖U2‖H1(Ω) + ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2
H2(Ω)
+ C1λ
−βn
‖w1‖H2(Ω) + ‖w2‖H2(Ω) + ‖U1‖H1(Ω)
+ ‖U2‖H1(Ω) + ‖w1‖2H2(Ω) + ‖w2‖2
H2(Ω)
≤ C1(E(0))(log(1 + λn))1/2
‖w‖H1(Ω) + ‖U‖L2(Ω)
+ C1(E(0))λ−βn (2.97)
Logo, da estimativa acima,∫ t
0
‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds ≤ C2(E(0)) log(1 + λn)
∫ t
0
‖w‖2
H1(Ω) + ‖U‖2L2(Ω)
ds
+ C2(E(0))λ−2βn (2.98)
De (2.68) e (2.98), segue que∫ t
0
‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+
∫ t
0
‖A−1/2o f1‖2
L2(Ω)ds ≤ C(E(0))λ−2βn
+ C(E(0)) log(1 + λn)
∫ t
0
‖w‖2
H1(Ω) + ‖U‖2L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2
L2(Ω)
ds (2.99)
De (2.52) e (2.58), segue que
‖w‖2H1(Ω) + ‖U‖2
L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2L2(Ω) ≤
∫ t
0
‖A−1/2f2‖2L2(Ω)ds+
∫ t
0
‖A−1/2o f1‖2
L2(Ω)ds
≤ C(E(0)) log(1 + λn)
∫ t
0
‖w‖2
H1(Ω) + ‖U‖2L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2
L2(Ω)
ds+ C(E(0))λ−2β
n
(2.100)
Aplicando a desigualdade de Gronwall em (2.100),
‖w‖2H1(Ω) + ‖U‖2
L2(Ω) + ‖∆−1θ‖2L2(Ω) ≤ C(E(0))λ−2β
n eC(log(1+λn))t
≤ C(E(0))λ−2βn elog((1+λn)Ct)
≤ C(E(0))λ−2βn (1 + λn)Ct
≤ C(E(0))λ−2β+CTon
Se α = −2β + CTo < 0, como λαn tende para zero,
w(t) = 0, U(t) = 0, ∆−1θ(t) = 0, ∀ t ∈[0,
2β
C
).
76
o que implica que
w(t) = 0, U(t) = 0, θ(t) = 0, ∀ t ∈[0,
2β
C
).
Como todas as constantes dependem apenas dos dados iniciais no espaço de energia
nita, de µ e das funções K1(x, y) e K2(x, y), isto permite aplicar o argumento de "boot-
strap" na equação original e obter a unicidade para todo tempo nito t, isto completa a
unicidade de soluções fracas.
Observação 2.3. A prova acima não fornece dependência contínua, na norma da energia
de soluções fracas, com respeito aos dados iniciais.
Observação 2.4. Também podemos considerar o sistema dinâmico de Marguerre-Vlasov
com efeitos térmicos com condições de fronteira simplesmente apoiadas ou de maior or-
dem. Isto é,Utt −Div([Bij]) + Ut = 0
wtt + ∆2w −∆wtt + ∆θ − div([Bij]∇w) +K1B11 +K2B22 = 0
θt −∆θ −∆wt = 0
(2.101)
em M × (0, T ), T > 0. A matriz simétrica [Bij] = [Bij(U,w)] tem componentes dadas
por (2), 0 < µ < 1/2.
Completamos o sistema (2.101) com condições de fronteira dadas porU = 0,
w = ∆w = 0,
θ = 0, sobre ∂M × (0, T ).
(2.102)
e as condições iniciais são dados por
U(x, y, 0) = (u(x, y, 0), v(x, y, 0)) = (uo(x, y), vo(x, y)) = Uo(x, y)
Ut(x, y, 0) = (ut(x, y, 0), vt(x, y, 0)) = (u1(x, y), v1(x, y)) = U1(x, y)
w(x, y, 0) = wo(x, y)
wt(x, y, 0) = w1(x, y)
θ(x, y, 0) = θo(x, y), (x, y) ∈M.
(2.103)
77
Dado T > 0, a tripla (U,w, θ) é dita uma solução regular se satisfaz (2.101)-(2.102)
e possui a seguinte regularidade
U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H2)
θ ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1o (Ω))
Ut ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H1
o (Ω) ∩H2(Ω)),
θt ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))
Utt ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wtt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)),
onde H2 = ϕ ∈ H3(Ω);ϕ = ∆ϕ = 0 sobre ∂Ω.Se K1 e K2 pertencem a W 1,∞(Ω), considerando os dados iniciais
Uo ∈ [H1o (Ω) ∩H2(Ω)]2, U1 ∈ [H1
o (Ω)]2
wo ∈ H2, w1 ∈ H1o (Ω) ∩H2(Ω)
θo ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω)
podemos mostrar que existe uma única solução global regular de (2.101)-(2.102). Ainda,
esta solução depende continuamente dos dados iniciais. A prova da existência de solução
regular é feita através do método de Galerkin e segue as mesmas ideias do Teorema 1.1.
A unicidade e a dependência contínua sobre os dados iniciais das soluções regulares são
demonstradas da mesma forma que os Teoremas 1.2 e 1.3, respectivamente.
A tripla (U,w, θ) é dita uma solução fraca se satisfaz (2.101)-(2.102), e possui a
seguinte regularidade: ∀T > 0,
U ∈ L∞(0, T ; [H1o (Ω)]2), w ∈ L∞(0, T ;H2(Ω) ∩H1
o (Ω))
Ut ∈ L∞(0, T ; [L2(Ω)]2), wt ∈ L∞(0, T ;H1o (Ω)), (2.104)
θ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1o (Ω))
Se K1 e K2 são funções pertencentes a W 1,∞(Ω), considerando os dados iniciais
Uo ∈ [H1o (Ω)]2, U1 ∈ [L2(Ω)]2
wo ∈ H1o (Ω) ∩H2(Ω), w1 ∈ H1
o (Ω)
θo ∈ L2(Ω)
então, podemos provar que existe uma solução global fraca de (2.101)-(2.102) Ainda,
esta solução fraca é única. A demonstração da unicidade é análoga a prova do Teorema
78
2.2, mas devemos fazer as devidas adaptações ao espaço energia que agora é: Y =
[H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2(Ω) ∩H1
o (Ω)×H1o (Ω)× L2(Ω).
Também, temos que fazer as devidas adaptações aos domínios dos operadores intro-
duzimos no Capítulo 2. Por exemplo, A : D(A) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω), Aw = ∆2w, onde
D(A) = H4(Ω); w = ∆w = 0 sobre ∂Ω. Neste domínio, este operador é auto-adjunto
e positivo denido.
79
Capítulo 3
Limite Singular do Sistema Perturbado
3.1 Introdução
Sejam ε > 0 e 0 < α ≤ 1. Consideramos o sistemaεU ε
tt = Div([Bεij
])− εαU ε
t
wεtt + ∆2wε −∆wεtt + ∆θε = div([Bε
ij]∇wε)−K1B
ε11 −K2B
ε22
θεt −∆θε −∆wεt = 0 em M × (0, T ).
(3.1)
com condições de fronteira
U ε∣∣∂M
= 0, wε∣∣∂M
=∂wε
∂ν
∣∣∣∣∂M
= 0, θε∣∣∂M
= 0 (3.2)
e condições iniciais
U ε(x, y, 0) = Uo(x, y), wε(x, y, 0) = wo(x, y), θε(x, y, 0) = θo(x, y)
U εt (x, y, 0) = U1(x, y), wεt (x, y, 0) = w1(x, y), (x, y) ∈ M. (3.3)
onde U ε = (uε, vε), Ki : Ω ⊂ R2 −→ R funções pertencentes a W 1,∞(Ω) e
Bε11 =
2
1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε11 + µbε22 (3.4)
Bε22 =
2
1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε22 + µbε11 (3.5)
Bε12 = Bε
21 = bε12 = bε21 = εuεy + vεx + wεxw
εy
(3.6)
bε11 =
uεx +
1
2(wεx)
2 +K1wε
(3.7)
bε22 =
vεy +
1
2(wεy)
2 +K2wε
(3.8)
80
Em [32], G. Perla Menzala e J. Suarez demonstraram que, no caso unidimensional,
o sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos converge fracamente, no espaço en-
ergia, para o modelo de viga do tipo Timoshenko. Neste capítulo, estabeleceremos que
os resultados obtidos pelos autores em [32] podem ser estendidos para sistema (3.1) no
caso bidimensional, se considerarmos ideias adicionais para usarmos as técnicas corres-
pondentes. Isto é, demonstraremos que um modelo do tipo Timoshenko não-linear sob
efeitos térmicos pode ser obtido como limite singular do sistema (3.1) quando o parâmetro
ε → 0. Outros resultados relacionados a perturbação por um parâmetro adequado do
sistema de Marguerre-Vlasov (1) podem ser encontrados em [28, 37, 38]. Também, pode-
mos ver resultados de limites singulares quando um parâmetro conveniente é adaptado
aos modelos de placas nas, [31, 34, 35, 36, 42].
3.2 O Limite Assintótico
Nesta seção, estudaremos o limite assintótico da solução (U ε, wε, θε) do sistema (3.1)
quando ε→ 0.
Seja X = [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2
o (Ω)×H1o (Ω)× L2(Ω).
Teorema 3.1. Sejam 0 < ε < 1 e 0 < α ≤ 1. SejamK1, K2 ∈ W 1,∞(Ω) e (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈X. Então, o sistema (3.1)-(3.3) tem uma única solução global fraca (U ε, wε, θε) a qual
pertence a C([0,∞), X).
Demonstração: A demonstração segue dos Teoremas 2.1 e 2.2.
Teorema 3.2. Sejam 0 < ε < 1 e 0 < α ≤ 1. Seja o sistema (3.1) com condições
de fronteira (3.2) e condições iniciais (3.3) e (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ X. Sejam K1 e K2
pertencentes a W 1,∞(Ω). Então, existem funções z = z(x, y, t) e φ = φ(x, y, t) tais que,
quando ε→ 0,
(wε, wεt ) (z, zt) fraco− ∗ em L∞(0,∞, H2o (Ω))× L∞(0,∞, H1
o (Ω))
θε φ fraco− ∗ em L∞(0,∞, L2(Ω))
onde (z, φ) é a solução do modelo acoplado ztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ = D(t)∆z − (K1 +K2)D(t)
φt −∆φ−∆zt = 0(3.9)
81
em Ω× (0,∞), com condições de fronteira
z =∂z
∂ν= φ = 0 sobre ∂Ω× (0,∞)
e condições iniciais
z(x, y, 0) = wo(x, y), zt(x, y, 0) = w1(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω
θ(x, y, 0) = θo(x, y), ∀(x, y) ∈ Ω.
onde
D(t) =µ
(1− µ)|Ω|
∫Ω
(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z
)dA
Demonstração: Sejam 0 < ε < 1 e 0 < α ≤ 1. Consideremos (U ε, wε, θε) como no
Teorema 3.1.
A energia do sistema (3.1)-(3.3) é dada por
Eε(t) =1
2
∫Ω
ε|U ε
t |2 + |wεt |2 + |∇wεt |2 + |∆wε|2 + |θε|2
+ ε|bε12|2 + 2ε|bε11|2 + 2ε|bε22|2 +2µ
1− µ|bε11 + bε22|2
dA (3.10)
Como a solução fraca do sistema (3.1) é obtida através de um procedimento de regu-
larização, temos que
Eε(t) +
∫ t
0
∫Ω
|∇θε|2 + εα∫ t
0
∫Ω
|U εs |2 ≤ Eε(0) (3.11)
Para 0 < ε < 1, segue que Eε(0) ≤ C, onde C é uma constante positiva que independe
de ε e t. Logo, para qualquer t > 0,
Eε(t) +
∫ t
0
∫Ω
|∇θε|2 + εα∫ t
0
∫Ω
|U εs |2 ≤ C (3.12)
Assim, de (3.12), segue que√εU ε
t
ε>0
é limitada em L∞(0,+∞, [L2(Ω)]2) (3.13)
wεtε>0 é limitada em L∞(0,+∞, H1o (Ω)) (3.14)
wεε>0 é limitada em L∞(0,+∞, H2o (Ω)) (3.15)
θεε>0 é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.16)√ε bε12
ε>0
é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.17)√ε bε11
ε>0
é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.18)√ε bε22
ε>0
é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.19)
bε11 + bε22ε>0 é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.20)
82
Também, segue de (3.12), queεα/2 U ε
t
ε>0
é limitada em L2(0,+∞, L2(Ω)) (3.21)
θεε>0 é limitada em L2(0,+∞, H1o (Ω)) (3.22)
Assim, (3.13)-(3.16) e (3.22) implicam a existência de subsequências (ainda denotadas
da mesma forma) e de funções ξ, η, z, φ (as quais dependem de x, y, t) tais que√ε uεt ξ fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.23)√ε vεt η fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.24)
wε z fraco− ∗ em L∞(0,+∞, H2o (Ω)) (3.25)
wεt zt fraco− ∗ em L∞(0,+∞, H1o (Ω)) (3.26)
θε φ fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.27)
θε φ fraco em L2(0,+∞, H1o (Ω)) (3.28)
quando ε −→ 0.
Observamos que as convergências (3.23)-(3.28) são sucientes para passar o limite nos
termos lineares da segunda e terceira equações do sistema (3.1).
Agora, vamos estudar o limite dos termos não-lineares na segunda equação do sistema
(3.1), ou seja, os termos: div([Bεij]∇wε), K1B
ε11 e K2B
ε22, onde B
εij estão denidos em
(3.4)-(3.8).
Da limitação em (3.15), temos que
wεx e wεy são limitadas em L∞(0,∞, H1o (Ω))
Como temos a imersão H1(Ω) → Lp(Ω), para qualquer 2 ≤ p <∞, então segue que|∇wε|2
é limitado em L∞(0, T, L2(Ω)) (3.29)
De fato, para p = 4 na imersão acima,∫Ω
|∇wε|2 =
∫Ω
(|wεx|2 + |wεy|2
)2 ≤ C
∫Ω
|wεx|4 + C
∫Ω
|wεy|4
≤ C‖wεx‖4H1(Ω) + ‖wεy‖4
H1(Ω) ≤ C1
Agora, pela desigualdade de Korn, como Ki ∈ L∞(Ω), pela denição de ε(·) em (1.1),
segue
‖∇U ε‖2L2(Ω) ≤ C‖ε(U ε)‖2
L2(Ω) ≤‖bε11‖2
L2(Ω) + ‖bε22‖2L2(Ω) + ‖bε12‖2
L2(Ω)
+ ‖wε‖4H2(Ω) + (‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖wε‖2
H2(Ω)
83
De (3.15), (3.17), (3.18) e (3.19), segue na desigualdade acima que
U εε>0 é limitada em L∞(0,∞, H1o (Ω)) (3.30)
De (3.30), segue que
uεxε>0, uεyε>0 são limitadas em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.31)
vεxε>0, vεyε>0 são limitadas em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.32)
√ε(uεy + vεx)ε>0, é limitada em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.33)
Então, (3.31) e (3.32) implicam que existe subsequências (ainda denotadas da mesma
forma) e funções u, v ∈ L∞(0,+∞, H1o (Ω)) tais que
uεx ux fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.34)
vεy vy fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.35)
vεx vx fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.36)
uεy uy, fraco− ∗ em L∞(0,+∞, L2(Ω)) (3.37)
quando ε→ 0.
De (3.34) e (3.35), segue que
uεx + vεy ux + vy fraco− ∗ em L∞(0,∞, L2(Ω)), (3.38)
quando ε→ 0.
Das limitações (3.15) e (3.14) e pelo Teorema de Compacidade de Lions-Aubin, [45],
segue que
wε → z forte em L∞(0, T ;H2−δ(Ω)), (3.39)
quando ε→ 0, para qualquer δ > 0 e T <∞.
De (3.39), segue que
∇wε → ∇z forte em L∞(0, T ;H1−δ(Ω)), (3.40)
quando ε→ 0, para qualquer δ > 0 e T <∞.
Agora, por (3.40) e pela imersão de Sobolev H1−δ(Ω) → L2/δ(Ω), 0 < δ ≤ 1, [46],
∇wε → ∇z forte em L∞(0, T, Lp(Ω)), (3.41)
quando ε→ 0, para qualquer 2 ≤ p <∞ e T <∞.
84
Da convergência (3.41), segue que
|∇wε|2 → |∇z|2 forte em L∞(0, T, Lr(Ω)), (3.42)
quando ε → 0, para qualquer 1 ≤ r < ∞ e T < ∞. De fato, seja 1 ≤ r < ∞. Pela
desigualdade de Holder,∥∥|∇wε|2 − |∇z|2∥∥rLr(Ω)
=
∫Ω
∣∣(|wεx|2 − |zx|2)+(|wεy|2 − |zy|2
)∣∣r dA≤ C
∫Ω
∣∣|wεx|2 − |zx|2∣∣r dA+
∫Ω
∣∣|wεy|2 − |zy|2∣∣r dA≤ C
∫Ω
||wεx| − |zx||r · (|wεx|+ |zx|)
r dA+
∫Ω
∣∣|wεy| − |zy|∣∣r · (|wεy|+ |zy|)r dA≤ C
(∫Ω
||wεx| − |zx||2r dA
)1/2(∫Ω
(|wεx|+ |zx|)2r dA
)1/2
+
(∫Ω
∣∣|wεy| − |zy|∣∣2r dA)1/2(∫Ω
(|wεy|+ |zy|
)2rdA
)1/2Como r ≥ 1, temos 2r ≥ 2 então por (3.41) e o fato que wεx e wεy são limitadas em
L∞(0, T ;L2r(Ω)), temos a convergência forte em (3.42) quando ε→ 0.
Já sabemos de (3.15) que wεx e wεy são limitadas em L∞(0,+∞, H1(Ω)), conse-
quentemente, pela imersão de Sobolev H1(Ω) → Lp(Ω), 2 ≤ p < ∞, wεx e wεy sãolimitadas em L∞(0,+∞, Lp(Ω)), 2 ≤ p <∞. Então, as sequências
√ε bε11w
εx,
√ε bε12w
εy,
√ε bε21w
εx,
√ε bε22w
εy,
são limitadas em L∞(0,+∞, Lq(Ω)), ∀ 1 ≤ q < 2 (3.43)
De fato, veremos que a armação acima é verdadeira para o termo √ε bε11w
εx, pois os
demais são análogos. Seja 1 ≤ q < 2. Pela desigualdade de Holder com1
β+
1
γ= 1,
‖√ε bε11w
εx‖
qLq =
∫Ω
|√ε bε11w
εx|q dA ≤
(∫Ω
|√ε bε11|βq dA
)1/β (∫Ω
|wεx|γq dA)1/γ
Escolhemos β =2
q(q < 2 então 2/q > 1), segue que γ =
2
2− qe s = γq =
2q
2− q≥ 2,
então por (3.18) e imersão acima,
‖√ε bε11w
εx‖
qLq ≤
(∫Ω
|√ε bε11|2 dA
)q/2(∫Ω
|wεx|s dA)(2−q)/2
≤ ‖√ε bε11‖
qL2(Ω) · ‖w
εx‖
qLs(Ω) ≤ C
85
Observamos que, pela denição (3.6),
Bε21w
εx = ε bε21w
εx =√ε(√
ε bε21wεx
)Bε
12wεy = ε bε12w
εy =√ε(√
ε bε12wεy
)Então, pela identidade acima, para 1 ≤ q < 2, de (3.43),
Bε21w
εx 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)) (3.44)
Bε12w
εy 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)), (3.45)
quando ε→ 0.
Ainda, da denição (3.4), observamos que
Bε11 =
2
1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε11 + µ bε22 =
2µ
1− µ bε11 + bε22+
2
1− µε(1− µ) bε11
=2µ
1− µ bε11 + bε22+ 2ε bε11 (3.46)
Analogamente, da denição (3.5),
Bε22 =
2
1− µ(µ+ ε(1− µ)) bε22 + µ bε11 =
2µ
1− µ bε11 + bε22+ 2ε bε22 (3.47)
Como 2ε bε11wεx = 2
√ε(√εbε11w
εx) e 2ε bε22w
εy = 2
√ε(√εbε22w
εy), segue de
(3.43),
2ε bε11wεx 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)) (3.48)
2ε bε22wεy 0 fraco− ∗ em L∞(0,+∞, Lq(Ω)) (3.49)
quando ε→ 0, para 1 ≤ q < 2.
Agora, denimos
Dε =2µ
1− µ bε11 + bε22 =
2µ
1− µ
uεx + vεy +
1
2|∇wε|2 + (K1 +K2)wε
(3.50)
e
D =2µ
1− µ
ux + vy +
1
2|∇z|2 + (K1 +K2) z
(3.51)
De (3.38) e (3.42), segue que, quando ε→ 0,
Dε D fraco− ∗ em L∞(0, T, L2(Ω)) (3.52)
86
De (3.42) e (3.52), para 1 ≤ q < 2 (L2(Ω) → Lq(Ω)), quando ε→ 0, obtemos
Dεwεx Dzx fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.53)
Dεwεy Dzy fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.54)
Por (3.46) e (3.50), temos
Bε11w
εx =
2µ
1− µbε11 + bε22wεx + 2εbε11w
εx = Dεwεx + 2εbε11w
εx (3.55)
Analogamente, de (3.47) e (3.50)
Bε22w
εy =
2µ
1− µbε11 + bε22wεy + 2εbε22w
εy = Dεwεy + 2εbε22w
εy (3.56)
De (3.48), (3.55) e (3.53), para 1 ≤ q < 2, quando ε→ 0,
Bε11w
εx Dzx fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.57)
De (3.49), (3.56) e (3.54), para 1 ≤ q < 2, quando ε→ 0,
Bε22w
εy Dzy fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.58)
Agora, como
[Bεij] · ∇wε =
[Bε
11 Bε12
Bε21 Bε
22
]·
[wεx
wεy
]=
[Bε
11wεx +Bε
12wεy
Bε21w
εx +Bε
22wεy
]
de (3.44), (3.45), (3.57) e (3.58), segue que, para 1 ≤ q < 2, quando ε→ 0,
[Bεij] · ∇wε
[Dzx
Dzy
]fraco− ∗ em [L∞(0, T, Lq(Ω))]2 (3.59)
Agora para o termo K1Bε11, de (3.46) e (3.50), temos
K1Bε11 = K1
(2µ
1− µ(bε11 + bε22) + 2εbε11
)= K1D
ε + 2K1εbε11 (3.60)
Analogamente, para K2Bε22, de (3.47) e (3.50), temos
K2Bε22 = K2
(2µ
1− µ(bε11 + bε22) + 2εbε22
)= K2D
ε + 2K2εbε22 (3.61)
Somamos (3.60) e (3.61), obtemos que
K1Bε11 +K2B
ε22 = (K1 +K2) Dε + 2K1εb
ε11 + 2K2εb
ε22
87
Da igualdade acima, de (3.48), (3.49) e (3.52), como Ki ∈ L∞(Ω), segue que
K1Bε11 +K2B
ε22 (K1 +K2)D fraco− ∗ em L∞(0, T, Lq(Ω)) (3.62)
quando ε→ 0, para qualquer 1 ≤ q < 2.
Vamos passar o limite na segunda e terceira equações do sistema (3.1) quando ε→ 0.
Das convergências (3.28), (3.27), (3.59) e (3.62), segue que (z, φ) = (z(x, y, t), φ(x, y, y))
é a solução fraca do seguinte sistema ztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ = (Dzx)x + (Dzy)y − (K1 +K2)D
φt −∆φ−∆zt = 0(3.63)
com z =∂z
∂ν= 0 e φ = 0 sobre a fronteira ∂Ω.
Resta identicar D em termos de z,K1, K2. De (3.13), temos que √εU ε
t é lim-
itada em [L∞(0, T, L2(Ω))]2 → [L2(0, T, L2(Ω))]2. Portanto, √εU ε
tt é limitada em
[H−1(0, T, L2(Ω))]2. Então,
εU εtt =√ε(√εU ε
tt) 0 fraco− ∗ em [H−1(0, T, L2(Ω))]2 (3.64)
De (3.21), temos que εα/2 U εt é limitada em [L2(0, T, L2(Ω))]2, então
εα U εt = εα/2(εα/2 U ε
t ) 0 fraco− ∗ em [L2(0, T, L2(Ω))]2 (3.65)
De (3.64), (3.65) e a primeira equação de (3.1), segue que
εU εtt + εα U ε
t = Div([Bε
ij]) 0 fraco− ∗ em [H−1(0, T, L2(Ω))]2 (3.66)
Já sabemos que[Bεij
]
[D 0
0 D
]fraco− ∗ em [L∞(0, T, L2(Ω))]4 (3.67)
Assim, as convergências (3.66) e (3.67) implicam que
Dx = 0 e Dy = 0,
o que diz que D = D(t) é uma função que só depende de t. Vamos explicitar o seu valor.
Integramos Dε em Ω, pelo o Teorema da Divergência, como U = (u, v) ∈ [H1o (Ω)]2,
segue que∫Ω
Dεdxdy =2µ
1− µ
∫Ω
uεx + vεy +
1
2|∇wε|2 + (K1 +K2)wε
dxdy
=2µ
1− µ
∫Ω
div(U ε)dxdy +2µ
1− µ
∫Ω
1
2|∇wε|2 + (K1 +K2)wε
dxdy
=µ
1− µ
∫Ω
|∇wε|2dxdy +2µ
1− µ
∫Ω
(K1 +K2)wεdxdy
88
Por um lado, por (3.41),∫Ω
Dεdxdy −→ µ
1− µ
∫Ω
|∇z|2dxdy +2µ
1− µ
∫Ω
(K1 +K2) z dxdy (3.68)
Por outro lado, por (3.52),∫Ω
Dεdxdy −→∫
Ω
D(t) dxdy = |Ω|D(t) (3.69)
Comparamos (3.68) e (3.69), obtemos
|Ω|D(t) =µ
1− µ
∫Ω
|∇z|2 + 2 (K1 +K2) z
dxdy,
ou seja,
D(t) =µ
(1− µ)|Ω|
∫Ω
|∇z|2 + 2 (K1 +K2) z
dxdy, (3.70)
Substituímos (3.70) em (3.63), e temos que (z, φ) é a solução fraca do sistemaztt + ∆2z −∆ztt + ∆φ =
(µ
(1−µ)|Ω|
∫Ω
(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z) dxdy)
∆z
−(
µ(1−µ)|Ω|
∫Ω
(|∇z|2 + 2(K1 +K2)z) dxdy)
(K1 +K2)
φt −∆φ−∆zt = 0
(3.71)
com z =∂z
∂ν= 0 e φ = 0 sobre a fronteira ∂Ω.
Ainda resta identicar as condições iniciais De (3.39), segue que
wε −→ z forte em C([0, T ], L2(Ω))
Desta convergência e de (3.3) obtemos que
wε(x, y, 0) = wo(x, y) −→ z(x, y, 0),
o que implica
z(x, y, 0) = wo(x, y) (3.72)
Na segunda equação do sistema (3.1), temos
(I −∆)wεtt = −∆2wε −∆θε + div([Bε
ij]∇wε)−K1B
ε11 −K2B
ε22 (3.73)
Como wε é limitada em L∞(0, T,H2o (Ω)), segue que −∆2wε é limitada em
L∞(0, T,H−2(Ω)). Também, θε é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)), então −∆θε é limi-
tada em L∞(0, T,H−2(Ω)).
89
Da discussão anterior, vimos que [Bεij]∇wε é limitada [L∞(0, T, Lq(Ω))]2 para qual-
quer 1 ≤ q < 2. Agora, para o caso bidimensional, temos a imersão contínua H1−δ(Ω) →L2/δ(Ω) para 0 < δ < 1. Logo, para os espaços duais temos L(2/δ)′(Ω) → H−(1−δ)(Ω)
para 0 < δ < 1. Como (2/δ)′ =2
2− δ, segue que L
22−δ (Ω) → H−(1−δ)(Ω) para 0 < δ < 1.
Escolhendo q = 22−δ < 2, segue que [Bε
ij]∇wε é limitada [L∞(0, T, Lq(Ω))]2, então
div([Bεij]∇wε) é limitada [L∞(0, T,H−2+δ(Ω))]2, 0 < δ < 1. Pela imersão H−2+δ(Ω) →
H−2(Ω), segue que div([Bεij]∇wε) é limitada em [L∞(0, T,H−2(Ω))]2.
As sequências K1Bε11 e K2B
ε22 são limitadas L∞(0, T, L2(Ω)), então são limitadas
em L∞(0, T,H−δ(Ω)), ∀δ > 0. Logo, em (3.73), temos
wεtt = (I −∆)−1gε
com gε limitada em L∞(0, T,H−2(Ω)), o que implica que
wεtt é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)) (3.74)
Como wεt é limitada em L∞(0, T,H1o (Ω)), por (3.74) e pelo lema de Compacidade de
Lions-Aubin, [45], podemos extrair uma subsequência de wεt tal que
wεt −→ zt forte em C([0, T ], L2(Ω)) (3.75)
Então, desta convergência e de (3.3), segue que
wεt (x, y, 0) = w1(x, y) −→ zt(x, y, 0)
o que implica
zt(x, y, 0) = w1(x, y) (3.76)
Para a variável θε, temos θεt = ∆θε + ∆wεt que é limitada em L∞(0, T,H−2(Ω)).
Como θε é limitada em L∞(0, T, L2(Ω)), segue pelo Teorema de Lions-Aubin, [45],
θε −→ φ em C([0, T ], H−1(Ω)),
então, de (3.3),
θε(x, y, 0) = θo(x, y) −→ φ(x, y, 0) em C([0, T ], H−1(Ω)),
o que implica
φ(x, y, 0) = θo(x, y) (3.77)
Logo, (z, φ) é a solução fraca de (3.71) com condições iniciais dada por (3.72), (3.76)
e (3.77).
90
Observação 3.1. Todas as convergências obtidas neste Capítulo foram para subsequên-
cias em ε, porém como ambos os modelos (3.1) e (3.9) têm solução global fraca única,
segue que o resultado é válido sempre que ε→ 0, não importando por qual sequência.
91
Capítulo 4
Estabilização do sistema
Marguerre-Vlasov com Efeitos
Térmicos
4.1 Introdução
Neste capítulo, estabeleceremos o decaimento exponencial da energia associada a
soluções fracas. Em [32], G.A Perla Menzala e J.S. Suarez obtiveram o decaimento da
energia do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos no caso unidimensional.
Mas a extensão deste resultado para o caso bidimensional não é trivial. Isto se deve ao
fato que, no caso bidimensional:
i) as equações envolvidas possuem uma complexidade maior;
ii) o termo não-linear não é limitado no espaço determinado pelas soluções de energia
nita;
iii) ao fato que H1(Ω) não está imerso em L∞(Ω);
iv) a regularidade do traço na fronteira tem um papel fundamental nas estimativas.
Devido a essas diculdades, o decaimento exponencial da energia será feito por duas
técnicas que serão apresentadas nas seções 5.4 e 5.5.
Na seção 5.2, estabelecemos a identidade de dissipatividade para soluções regulares.
Na seção 5.3, estabelecemos uma regularidade de traço na fronteira. Os resultados apre-
sentados nestas duas seções são cruciais para a aplicação das duas técnicas.
92
Na seção 5.4, apresentamos a primeira técnica que é baseada no multiplicadores in-
troduzidos por G. Avalos e I. Lasiecka, [1, 2]. Sob uma hipótese adequada nas curvaturas
K1 e K2, estabelecemos o decaimento exponencial da energia do sistema (4.1)-(4.3).
Na seção 5.5, apresentamos a segunda técnica que é baseada na escolha de um fun-
cional de Lyapunov adequado. Para aplicarmos esta técnica, colocamos uma hipótese
relacionando a energia incial e o coeciente módulo elástico µ. Para o sistema de
Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos (3.1), com condições de fronteira simplesmente
apoiadas (ie, U = w = ∆w = θ = 0 sobre ∂Ω), feita as devidas adaptações, estendemos
os resultados obtidos em [32]. Já, para o sistema (3.1), com condições na fronteira de
Dirichlet, combinamos o método utilizado em [32] com o método utilizado em [33, 39]
para obtermos o decaimento exponencial da energia.
Consideramos novamente o sistema de Marguerr-Vlasov sob efeitos térmicos
Utt −Div([Bij]) + Ut = 0 em Ω× (0, T )
wtt + ∆2w −∆wtt + ∆θ
−div([Bij]∇w) +K1B11 +K2B22 = 0
θt −∆θ −∆wt = 0
(4.1)
Em (4.1), U =
(u
v
)e a matriz simétrica [Bij] = [Bij(U,w)] tem componentes
B11 = 21−µ(b11 + µb22)
B22 = 21−µ(b22 + µb11)
B12 = B21 = b12 = b21 = uy + vx + wxwy
b11 = ux + 12w2x +K1w, b22 = vy + 1
2w2y +K2w
Completamos o sistema (4.1) com condições de fronteira de Dirichlet
U = 0, w =∂w
∂ν= 0, θ = 0 sobre ∂Ω× (0, T ) (4.2)
e condições iniciais
U(x, y, 0) = (u(x, y, 0), v(x, y, 0)) = (uo(x, y), vo(x, y)) = Uo(x, y)
Ut(x, y, 0) = (ut(x, y, 0), vt(x, y, 0)) = (u1(x, y), v1(x, y)) = U1(x, y)
w(x, y, 0) = wo(x, y)
wt(x, y, 0) = w1(x, y)
θ(x, y, 0) = θo(x, y)
(4.3)
93
Vamos reescrever o sistema (4.1) na forma variacional. Pelos Lemas 1.4, 1.9 e 1.10,
sejam ξ ∈ H1(Ω)×H1(Ω), ψ ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω), δ ∈ H1
o (Ω) funções testes, então
(Utt, ξ)(L2(Ω))2 + (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(ξ))(L2(Ω))4
− 〈C[ε(U)] · ν, ξ〉(L2(Γ))2 + (Ut, ξ)(L2(Ω))2 = 0 (4.4)
(wtt, ψ)L2(Ω) + (∆w,∆ψ)L2(Ω) −⟨∂ψ
∂ν,∆w
⟩L2(Γ)
+ (∇wtt,∇ψ)L2(Ω) − (∇θ,∇ψ)L2(Ω)
+ (C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇ψ)(L2(Ω))4 + (K1B11 +K2B22, ψ)L2(Ω) = 0
(4.5)
(θt, δ)L2(Ω) + (∇θ,∇δ)L2(Ω) + (∇wt,∇δ)L2(Ω) = 0 (4.6)
4.2 Identidade de Dissipatividade
Seja a energia total do sistema (4.1)-(4.3) dada por
E(t) =1
2
∫Ω
|Ut|2 + |wt|2 + |∆w|2 + |∇wt|2 + |θ|2
+ 2|b11|2 + 2|b22|2 + |b12|2 +2µ
1− µ|b11 + b22|2
dA (4.7)
ou escrita na forma
E(t) = E1(t) + E2(t)
onde
E1(t) =1
2
∫Ω
|Ut|2 + |wt|2 + |∇wt|2
dA (4.8)
E2(t) =1
2
∫Ω
|∆w|2 + |θ|2 + 2|b11|2 + 2|b22|2 + |b12|2 +
2µ
1− µ|b11 + b22|2
dA (4.9)
Lema 4.1 (Identidade de Dissipatividade). Sejam (U,w, θ) soluções globais regulares do
sistema (4.1)-(4.3). Se 0 ≤ s < t, então
E(t) +
∫ t
s
∫Ω
|∇θ|2dAdt+
∫ t
s
∫Ω
|Uτ |2dAdτ = E(s) (4.10)
Demonstração: Seja (U,w, θ) uma solução regular do sistema (4.1) dada pelo Teorema
1.1. Então, (U,w, θ) possui a regularidade em (1.119).
Para provarmos (4.10), basta escolhermos ξ = Ut em (4.4), ψ = wt em (4.5) e δ = θ
em (4.6) e depois intergrarmos em (s, t).
94
4.3 Regularidade do Traço na Fronteira
Para demonstrarmos o decaimento exponencial da energia, necessitamos de uma es-
timativa de traço do termo ∆w sobre ∂Ω × (0,∞). O Lema 4.8 abaixo fornecerá este
resultado. Ainda, este Lema diz que ∆w ∈ L2(0,∞, ∂Ω) o que não é uma consequência
direta das propriedades das soluções regulares no interior de Ω. Mas, para isso, iniciare-
mos esta seção fornecendo alguns lemas técnicos.
Lema 4.2. Sejam A = [aij], B = [bij] matrizes simétricas com entradas aij = aij(x1, x2) ∈H1(Ω) e bij = bij(x1, x2) ∈ H1(Ω). Seja C = [cij] matriz simétrica com entradas con-
stantes tais que
a11 = c11b11 + c22b22, a22 = c11b22 + c22b11
a12 = c12b12, a21 = c21b21 (4.11)
Seja h = (h1(x1, x2), h2(x1, x2)) ∈ C1(Ω), então
div(
(A,B)(L2(Ω))4 · h)
= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2
(a11, b11,x1)L2(Ω) + (a22, b22,x1)L2(Ω)
+ (a12, b12,x1)L2(Ω) + (a21, b21,x1)L2(Ω)
h1 + 2
(a11, b11,x2)L2(Ω) + (a22, b22,x2)L2(Ω)
+ (a12, b12,x2)L2(Ω) + (a21, b21,x2)L2(Ω)
h2
= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2aijbij,xihi
Demonstração: Sejam A,B,C as matrizes acima relacionadas pela expressão (4.11).
Então,
div(
(A,B)(L2(Ω))4 · h)
=(
(A,B)(L2(Ω))4 · h1
)x1
+(
(A,B)(L2(Ω))4 · h2
)x2
= (A,B)(L2(Ω))4 (h1,x1 + h2,x2) +(
(A,B)(L2(Ω))4
)x1· h1 +
((A,B)(L2(Ω))4
)x2· h2
= (A,B)(L2(Ω))4 · divh +
(2∑
ij=1
(aij,x1 , bij)L2(Ω) +2∑
ij=1
(aij, bij,x1)L2(Ω)
)· h1
+
(2∑
ij=1
(aij,x2 , bij)L2(Ω) +2∑
ij=1
(aij, bij,x2)L2(Ω)
)· h2
95
= (A,B)(L2(Ω))4 · divh +
(c11b11,x1 + c22b22,x1 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x1 , b12)L2(Ω)
+ (c21b21,x1 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x1 + c22b11,x1 , b22)L2(Ω) + (c11b11 + c22b22, b11,x1)L2(Ω)
+ (c12b12, b12,x1)L2(Ω) + (c21b21, b21,x1)L2(Ω) + (c11b22 + c22b11, b22,x1)L2(Ω)
h1
+
(c11b11,x2 + c22b22,x2 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x2 , b12)L2(Ω)
+ (c21b21,x2 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x2 + c22b11,x2 , b22)L2(Ω) + (c11b11 + c22b22, b11,x2)L2(Ω)
+ (c12b12, b12,x2)L2(Ω) + (c21b21, b21,x2)L2(Ω) + (c11b22 + c22b11, b22,x2)L2(Ω)
h2
= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2
(c11b11,x1 , b11)L2(Ω) + (c22b22,x1 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x1 , b12)L2(Ω)
+ (c21b21,x1 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x1 , b22)L2(Ω) + (c22b11,x1 , b22)L2(Ω)
h1
+ 2
(c11b11,x2 , b11)L2(Ω) + (c22b22,x2 , b11)L2(Ω) + (c12b12,x2 , b12)L2(Ω)
+ (c21b21,x2 , b21)L2(Ω) + (c11b22,x2 , b22)L2(Ω) + (c22b11,x2 , b22)L2(Ω)
h2
= (A,B)(L2(Ω))4 · divh + 2
(c11b11 + c22b22, b11,x1)L2(Ω) + (c12b12, b12,x1)L2(Ω)
+ (c21b21, b21,x1)L2(Ω) + (c22b11 + c11b22, b22,x1)L2(Ω)
h1
+ 2
(c11b11 + c22b22, b11,x2)L2(Ω) + (c12b12, b12,x2)L2(Ω)
+ (c21b21, b21,x2)L2(Ω) + (c22b11 + c11b22, b22,x2)L2(Ω)
h2
= (A,B)(L2(Ω))4 · divh
+ 2
(a11, b11,x1)L2(Ω) + (a22, b22,x1)L2(Ω) + (a12, b12,x1)L2(Ω) + (a21, b21,x1)L2(Ω)
h1
+ 2
(a11, b11,x2)L2(Ω) + (a22, b22,x2)L2(Ω) + (a12, b12,x2)L2(Ω) + (a21, b21,x2)L2(Ω)
h2
Lema 4.3. Seja ε(·) denido em (1.1). Sejam U =
(u1(x1, x2)
u2(x1, x2)
)∈ [H1
o (Ω)]2 e
h =
(h1(x1, x2)
h2(x1, x2)
)∈ [C1(Ω)]2. Então,
ε(∇U · h) = Θ1(DxiU) +M (4.12)
96
onde
Θ1(DxiU) =
[(Dx1h) · ∇u1
12(Dx2h) · ∇u1 + (Dx1h) · ∇u2
12(Dx2h) · ∇u1 + (Dx1h) · ∇u2 (Dx2h) · ∇u2
](4.13)
e
M =
[(D2
x1,xiu1)hi
12(D2
x2,xiu1)hi + (D2
x1,xiu2)hi
12(D2
x2,xiu1)hi + (D2
x1,xiu2)hi (D2
x2,xiu2)hi
](4.14)
onde (Dxih) = (Dxih1, Dxih2) e na notação acima ocultamos o símbolo de somatório,
mas o índice duplo denota a soma de termos.
Demonstração: Pela denição de ε(·), temos que
ε(∇U · h) =1
2
∇(∇U · h) + (∇(∇U · h))T
(4.15)
Agora, notemos que
∇U · h =
[u1,x1 u1,x2
u2,x1 u2,x2
]·
[h1
h2
]=
[u1,x1h1 + u1,x2h2
u2,x1h1 + u2,x2h2
]=
[a
b
]
Então,
∇(∇U · h) =
[ax1 ax2
bx1 bx2
]=
[(u1,x1h1 + u1,x2h2)x1 (u1,x1h1 + u1,x2h2)x2
(u2,x1h1 + u2,x2h2)x1 (u2,x1h1 + u2,x2h2)x2
](4.16)
97
Substituindo (4.16) em (4.15), segue que
ε(∇U · h) =
(u1,x1h1 + u1,x2h2)x1
12((u1,x1h1 + u1,x2h2)x2
+(u2,x1h1 + u2,x2h2)x1)12((u1,x1h1 + u1,x2h2)x2 (u2,x1h1 + u2,x2h2)x2
+(u2,x1h1 + u2,x2h2)x1)
=
h1,x1u1,x1 + h2,x1u1,x2
12(h1,x2u1,x1 + h2,x2u1,x2
h1,x1u2,x1 + h2,x1u2,x2)12(h1,x2u1,x1 + h2,x2u1,x2 h1,x2u2,x1 + h2,x2u2,x2
h1,x1u2,x1 + h2,x1u2,x2)
+
h1u1,x1x1 + h2u1,x1x2
12(h1u1,x1x2 + h2u1,x2x2
+h1u2,x1x1 + h2u2,x1x2)12(h1u1,x1x2 + h2u1,x2x2 h1u2,x1x2 + h2u2,x2x2
+h1u2,x1x1 + h2u2,x1x2)
=
(h1,x1 , h2,x1) · (u1,x1 , u1,x2)
12((h1,x2 , h2,x2) · (u1,x1 , u1,x2)
+(h1,x1 , h2,x1) · (u2,x1 , u2,x2))12((h1,x2 , h2,x2) · (u1,x1 , u1,x2) (h1,x2 , h2,x2) · (u2,x1 , u2,x2)
+(h1,x1 , h2,x1) · (u2,x1 , u2,x2))
+
[ ∑2i=1 hiu1,x1xi
12
∑2i=1 hi(u1,xix2 + u2,x1xi)
12
∑2i=1 hi(u1,xix2 + u2,x1xi)
∑2i=1 hiu2,xix2
]= Θ1(DxiU) +M
onde Θ1 é a matriz denida em (4.13) e contém as primeiras derivadas de U e M é a
matriz denida em (4.14) e contém as segundas derivadas do vetor U.
Lema 4.4. Seja A = [aij] uma matriz simétrica e a M a matriz denida em (4.14).
Então,
(A,M)(L2(Ω))4 =(akj, (D
2xkxj
uj)hi
)L2(Ω)
(4.17)
98
Demonstração: Seja A uma matriz simétrica.
(A,M)(L2(Ω))4 =(a11, (D
2x1xi
u1)hi)L2(Ω)
+
(a12,
1
2(D2
x2xiu1)hi + (D2
x1xiu2)hi
)L2(Ω)
+
(a21,
1
2(D2
x2xiu1)hi + (D2
x1xiu2)hi
)L2(Ω)
+(a22, (D
2x2xi
u2)hi)L2(Ω)
=(a11, (D
2x1xi
u1)hi)L2(Ω)
+(a12, (D
2x1xi
u2)hi)L2(Ω)
+(a21, (D
2x2xi
u1)hi)L2(Ω)
+(a22, (D
2x2xi
u2)hi)L2(Ω)
=(akj, (D
2xkxj
uj)hi
)L2(Ω)
Observação 4.1. Podemos ver que (A,M)(L2(Ω))4 =2∑
k=1
2∑j=1
2∑i=1
(akj, (D
2xkxj
uj)hi
)L2(Ω)
,
mas para falicitar a notação, ocultaremos os símbolos de soma, deixando apenas a indi-
cação nos índices.
Lema 4.5. Sejam w ∈ H2o (Ω) e h = (h1, h2) ∈ [C1(Ω)]2. Então,
∇(∇w · h) = (∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)) + (wx1xihi, wx2xihi) (4.18)
Demonstração: Seja w ∈ H2o (Ω). Então, ∇w · h = wx1h1 + wx2h2. Logo,
∇(∇w · h) = ((wx1h1 + wx2h2)x1 , (wx1h1 + wx2h2)x2)
= (h1,x1wx1 + h2,x1wx2 , h1,x2wx1 + h2,x2wx2)
+ (h1wx1x1 + h2wx2x1 , h1wx1x2 + h2wx2x2)
= ((h1,x1 , h2,x1) · (wx1 , wx2) , (h1,x2 , h2,x2) · (wx1 , wx2))
+
(2∑i=1
hiwx1xi ,2∑i=1
hiwx2xi
)
=
(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)
)+ (wx1xihi, wx2xihi)
Lema 4.6. Sejam w e h como no Lema 4.5. Então,
∇(∇w · h)⊗∇w =
(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)
)⊗∇w + (wx1xihi, wx2xihi)⊗∇w
(4.19)
99
Demonstração: A prova deste lema segue diretamente do Lema 4.5.
Lema 4.7. Sejam A = [aij] uma matriz simétrica, w e h como no Lema 4.5. Então,
(A,∇(∇w · h)⊗∇w)(L2(Ω))4 =
(A,
(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)
)⊗∇w
)(L2(Ω))4
+ akjwxjwxkxihi (4.20)
Demonstração: Pelo Lema 4.6 segue que
(A,∇(∇w · h)⊗∇w)(L2(Ω))4 =
(A,
(∇w · (Dx1h),∇w · (Dx2h)
)⊗∇w
)(L2(Ω))4
+
(A, (wx1xihi, wx2xihi)⊗∇w
)(L2(Ω))4
(4.21)
Agora, (wx1xihi, wx2xihi
)⊗∇w =
[(wx1xihi)wx1 (wx1xihi)wx2
(wx2xihi)wx1 (wx2xihi)wx2
]então,(A, (wx1xihi, wx2xihi)⊗∇w
)(L2(Ω))4
= (a11, (wx1xihi)wx1)L2(Ω) + (a12, (wx1xihi)wx2)L2(Ω)
+ (a21, (wx2xihi)wx1)L2(Ω) + (a22, (wx2xihi)wx2)L2(Ω)
=2∑
k=1
2∑j=1
2∑i=1
akjwxj wxkxihi.
Logo, substituímos a identidade acima em (4.21), ocultando os símbolos de somatário,
segue a identidade (4.20).
Lema 4.8. Sejam (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω)∩H1o (Ω)]2× [H1
o (Ω)]2×H3(Ω)∩H2o (Ω)×
H2o (Ω)×H2(Ω)∩H1
o (Ω). Sejam (U,w) uma solução regular do sistema (4.1)-(4.3) e θ a
correspondente solução regular termal xa. Então, existe umas constante C1 > 0 tal que∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt ≤ C1
E(0) +
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖U‖2H1(Ω)dt
+
∫ T
0
‖w‖2H2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt
+
∫ T
0
‖b11‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖b22‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖b12‖2L2(Ω)dt
(4.22)
onde E(0) é a energia inicial.
100
Demonstração: Seja h =
(h1
h2
)∈ [C1(Ω)]2 tal que h quando restrito a fronteira
∂Ω = Γ é igual ao vetor unitário ν.
Escolhemos ξ = ∇U · h em (4.4) e integramos em (0, T ),∫ T
0
(Utt,∇U · h)(L2(Ω))2 dt+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt
−∫ T
0
〈C[ε(U)] · ν,∇U · h〉(L2(Γ))2 dt+
∫ T
0
(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt = 0
Integrando por partes, obtemos que∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt−∫ T
0
〈C[ε(U)] · ν,∇U · h〉(L2(Γ))2 dt
= −∫ T
0
(Utt,∇U · h)(L2(Ω))2 dt−∫ T
0
(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt
= − (Ut,∇U · h)(L2(Ω))2
∣∣T0
+
∫ T
0
(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2 dt
−∫ T
0
(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt (4.23)
Agora, pelo Lema A.1,∫ T
0
(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2 dt = −1
2
∫ T
0
∫Ω
|Ut|2div(h) dAdt
Logo, substituímos a identidade acima em (4.23), obtemos que∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt
−∫ T
0
〈C[ε(U)] · ν,∇U · h〉(L2(Γ))2 dt = B(1) (4.24)
onde
B(1) = − (Ut,∇U · h)(L2(Ω))2
∣∣T0−∫ T
0
(Ut,∇U · h)(L2(Ω))2 dt−1
2
∫ T
0
∫Ω
|Ut|2div(h) dAdt
Agora, notemos que, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz e (4.10),
|B(1)| ≤ |(Ut,∇U · h)|∣∣T0
+
∫ T
0
‖Ut‖L2(Ω) · ‖∇U · h‖L2(Ω)dt+ C1
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt
≤ ‖Ut(T )‖L2(Ω) · ‖∇U(T ) · h‖L2(Ω) + ‖Ut(0)‖L2(Ω) · ‖∇U(0) · h‖L2(Ω)
+ C2
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇U · h‖2L2(Ω)dt
≤ C3
E(T ) + E(0) +
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖U‖2H1(Ω)dt
(4.25)
101
Escolhemos ψ = h · ∇w em (4.5) e integramos em (0,T), então,∫ T
0
(wtt,h · ∇w)L2(Ω) dt+
∫ T
0
(∆w,∆(h · ∇w))L2(Ω) dt−∫ T
0
⟨∂(h · ∇w)
∂ν,∆w
⟩L2(Γ)
dt
+
∫ T
0
(∇wtt,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt−∫ T
0
(∇θ,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt
+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt
+
∫ T
0
(K1B11 +K2B22,h · ∇w)L2(Ω) dt = 0
Então,∫ T
0
(∆w,∆(h · ∇w))L2(Ω) dt+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt
−∫ T
0
⟨∂(h · ∇w)
∂ν,∆w
⟩L2(Γ)
dt = −∫ T
0
(wtt,h · ∇w)L2(Ω) dt
−∫ T
0
(∇wtt,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt+
∫ T
0
(∇θ,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt
−∫ T
0
(K1B11 +K2B22,h · ∇w)L2(Ω) dt (4.26)
Pelo Lema A.2, segue que∫ T
0
(wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt = (wt,h · ∇w)L2(Ω)
∣∣T0
+1
2
∫ T
0
∫Ω
w2t div(h) dAdt
Pelo Lema A.3, segue que
−∫ T
0
(∇wtt,∇(h · ∇w))L2(Ω)dt = −(∇wt,∇(h · ∇w))∣∣T0
− 1
2
∫ T
0
∫Ω
(w2tx1h2,x2 + w2
tx2h1,x1 − w2
tx1h1,x1 − w2
tx2h2,x2)
+
∫ T
0
∫Ω
(wtx1wtx2h2,x1 + wtx1wtx2h1,x2)
Logo, substituindo as duas identidades acima em (4.26), segue que∫ T
0
(∆w,∆(h · ∇w))L2(Ω) dt+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt
−∫ T
0
⟨∂(h · ∇w)
∂ν,∆w
⟩L2(Γ)
dt = B(2) (4.27)
102
onde
B(2) = −(wt,h · ∇w)L2(Ω)
∣∣T0−1
2
∫ T
0
∫Ω
w2t div(h) dAdt− (∇wt,∇(h · ∇w))
∣∣T0
− 1
2
∫ T
0
∫Ω
(w2tx1h2,x2 + w2
tx2h1,x1 − w2
tx1h1,x1 − w2
tx2h2,x2) dAdt
+
∫ T
0
∫Ω
(wtx1wtx2h2,x1 + wtx1wtx2h1,x2) dAdt+
∫ T
0
(∇θ,∇(h · ∇w))L2(Ω) dt
−∫ T
0
(K1B11 +K2B22,h · ∇w)L2(Ω) dt
Notemos que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, por (4.10), como Ki ∈ L∞(Ω),
segue que
|B(2)| ≤ ‖wt(T )‖L2(Ω) · ‖h · ∇w(T )‖L2(Ω) + ‖wt(0)‖L2(Ω) · ‖h · ∇w(0)‖L2(Ω)
+ ‖∇wt(T )‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w(T ))‖L2(Ω) + ‖∇wt(0)‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w(0))‖L2(Ω)
+ C1
∫ T
0
(‖wtx1‖2
L2(Ω) + ‖wtx2‖2L2(Ω)
)dt+ C2
∫ T
0
‖wtx1‖L2(Ω) · ‖wtx2‖L2(Ω)dt
+
∫ T
0
‖∇θ‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w)‖L2(Ω)dt
+
∫ T
0
‖K1B11 +K2B22‖L2(Ω) · ‖∇(h · ∇w)‖L2(Ω)dt
≤ C3
E(0) + E(T ) + C(h)
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt+ C(h)
∫ T
0
‖w‖2H2(Ω)dt
+
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt+ ‖K1‖2
L∞(Ω)
∫ T
0
‖B11‖2L2(Ω)dt+ ‖K2‖2
L∞(Ω)
∫ T
0
‖B22‖2L2(Ω)dt
Pela denição de B11 e B22, segue que
|B(2)| ≤ C(h, K1, K2)
E(0) +
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖w‖2H2(Ω)dt
+
∫ T
0
‖b11‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖b22‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt
(4.28)
Pelo Lema 4.3 e denição da matriz Θ1 em (4.13) e denição da matriz M em (4.14),
103
segue que ∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(∇U · h))(L2(Ω))4 dt
=
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],Θ1(DxiU) +M)(L2(Ω))4 dt
=
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],Θ1(DxiU))(L2(Ω))4 dt
+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt
= B(3) +
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt (4.29)
onde, pelo Lema 1.3,
|B(3)| =∣∣∣∣∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],Θ1(DxiU))(L2(Ω))4 dt
∣∣∣∣≤∫ T
0
‖C[ε(U) + f(∇w) + J(w)]‖L2(Ω) · ‖Θ1(DxiU)‖L2(Ω)dt
≤ C(h)
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω) + ‖U‖2H1(Ω)
)dt (4.30)
Agora, como U = 0 sobre ∂Ω, por [17](Lema 4.1), segue que
〈C[ε(U)]ν,∇U · h〉L2(Γ) = 〈C[ε(U)], ε(U)νh〉L2(Γ) (4.31)
Substituímos (4.29) e (4.31) em (4.24), segue que
B(3) +
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt−∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt = B(1),
ou seja,∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt = B(1)−B(3) +
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt
(4.32)
Pelo Lema A.4, segue que∫ T
0
∫Ω
∆w ·∆(∇w · h) = −1
2
∫ T
0
∫Ω
divh|∆w|2 +
∫ T
0
∫Ω
∆w2∑
k=1
(∆hk)wxk
+ 2
∫Ω
∆w2∑
k=1
∇hk∇wxk +1
2
∫ T
0
∫Γ
|∆w|2
104
Então, ∫ T
0
∫Ω
∆w ·∆(∇w · h) = B(4) +1
2
∫ T
0
∫Γ
|∆w|2 (4.33)
onde
B(4) = −1
2
∫ T
0
∫Ω
divh|∆w|2 +
∫ T
0
∫Ω
∆w2∑
k=1
(∆hk)wxk + 2
∫Ω
∆w2∑
k=1
∇hk∇wxk
Como h ∈ C2(Ω), pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que
|B(4)| ≤ C(h)
∫ T
0
‖w‖2H2(Ω)dt (4.34)
Ainda, como w ∈ H2o (Ω), como feito em [33],⟨
∆w,∂(h · ∇w)
∂ν
⟩L2(Γ)
= ‖∆w‖2L(Γ) (4.35)
Substituímos (4.33) e (4.35) em (4.27), segue que
1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+B(4) +
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt
−∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt = B(2)
Então,∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt = B(2)−B(4)
+1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt (4.36)
Combinando (4.32) e (4.36), segue que∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt
+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt = B(1)−B(3) +B(2)−B(4)
+1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt
ou seja,∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M +∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt
= B(1)−B(3) +B(2)−B(4) +1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt
(4.37)
105
Escolhemos a matriz simétrica A = C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] no Lema 4.7,∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(h · ∇w))(L2(Ω))4 dt
=
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], (∇w ·Dx1h,∇w ·Dx2h)⊗∇w)(L2(Ω))4 dt
+
∫ T
0
∫Ω
akjwxjwxkxihi dAdt
= B(6) +
∫ T
0
∫Ω
akjwxjwxkxihi dAdt (4.38)
onde
B(6) =
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], (∇w ·Dx1h,∇w ·Dx2h)⊗∇w)(L2(Ω))4 dt
Agora, notemos que
(∇w ·Dx1h,∇w ·Dx2h)⊗∇w =
[(∇w ·Dx1h)wx1 (∇w ·Dx1h)wx2
(∇w ·Dx2h)wx1 (∇w ·Dx2h)wx2
]Então, pela desigualdade de Holder e a imersão H1(Ω) → L4(Ω),
|B(6)| =∣∣∣∣∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], (∇w ·Dx1h,∇w ·Dx2h)⊗∇w)(L2(Ω))4 dt
∣∣∣∣≤∫ T
0
∣∣∣(a11, (∇w ·Dx1h)wx1)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(a12, (∇w ·Dx1h)wx2)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(a21, (∇w ·Dx2h)wx1)L2(Ω)
∣∣∣+∣∣∣(a22, (∇w ·Dx2h)wx2)L2(Ω)
∣∣∣dt≤
2∑ij=1
∫ T
0
‖aij‖L2(Ω) · ‖(∇w ·Dxih)wxj‖L2(Ω)
≤2∑
ij=1
∫ T
0
‖aij‖L2(Ω) ·(‖w2
xihi,xj‖L2(Ω) + ‖wxiwxjhi,xj‖L2(Ω)
)dt
≤ C1
2∑ij=1
∫ T
0
‖aij‖L2(Ω) ·(‖wxi‖2
L4(Ω) + ‖wxi‖L4(Ω)‖wxj‖L4(Ω)
)dt
≤ C1
2∑ij=1
∫ T
0
‖aij‖L2(Ω) · ‖wxi‖2H1(Ω)dt ≤ C1
2∑ij=1
∫ T
0
‖aij‖L2(Ω) · ‖w‖2H2(Ω)dt
≤ C1
2∑
ij=1
∫ T
0
‖aij‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖w‖4H2(Ω)dt
≤ C1
2∑
ij=1
∫ T
0
‖aij‖2L2(Ω)dt+ E(0)
∫ T
0
‖w‖2H2(Ω)dt
(4.39)
106
Susbtituímos (4.38) em (4.37), obtemos que∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)(L2(Ω))4 dt+
∫ T
0
∫Ω
akjwxjwxkxihi dAdt
= B(1)−B(3) +B(2)−B(4)−B(6)
+1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt (4.40)
Escolhemos A = C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], B = [ε(U) + f(∇w) + J(w)] e a matriz
constante C =
[2
1−µ 2
2 2µ1−µ
]no Lema 4.2 e obtemos que
div
((C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)
)h
)−(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)
)div(h) = 2aijwxjwxkxihk
+ 2aij(D2xkxj
ui)hk + 2aij(DxiKi)whk + 2aijKiwxkhk (4.41)
Pelo Lema 4.4, segue que∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)dt =
∫ T
0
∫Ω
aij(D2xkxj
ui)hk dAdt
pois M contém as segundas derivadas de U .
Portanto, de (4.41) e a igualdade acima,∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)dt+
∫ T
0
∫Ω
akjwxjwxkxihi dAdt
=
∫ T
0
∫Ω
aij(D2xkxj
ui)hk dAdt+
∫ T
0
∫Ω
akjwxjwxkxihi dAdt
=1
2
∫ T
0
∫Ω
div
((C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)
)· h)dAdt
− 1
2
∫ T
0
∫Ω
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)
)div(h) dAdt
−∫ T
0
∫Ω
aij(DxiKi)whk dAdt−∫ T
0
∫Ω
aijKiwxkhk dAdt
=1
2
∫ T
0
∫Ω
div
((C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)
)· h)dAdt+B(7)
(4.42)
107
onde
B(7) = −1
2
∫ T
0
∫Ω
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U) + f(∇w) + J(w)
)div(h) dAdt
−∫ T
0
∫Ω
aij(DxiKi)whk dAdt−∫ T
0
∫Ω
aijKiwxkhk dAdt.
Como Ki ∈ W 1,∞(Ω), pela desigualdade de Cauchy-Schwartz,
|B(7)| ≤ C(h,K1, K2)
∫ T
0
‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω) + ‖w‖2H2(Ω)
dt. (4.43)
Aplicando o Teorema da Divergência em (4.42), como w ∈ H2o (Ω),∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],M)dt+
∫ T
0
∫Ω
akjwxjwxkxihi dAdt
=1
2
∫ T
0
∫∂Ω
C[ε(U) + f(∇w) + J(w)] · [ε(U) + f(∇w) + J(w)]h · νdΓdt+B(7)
=1
2
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) + 〈C[ε(U)], f(∇w)〉L2(Γ) + 〈C[ε(U)], J(w)〉L2(Γ)
+ 〈C[f(∇w)], ε(U)〉L2(Γ) + 〈C[f(∇w)], J(w)〉L2(Γ) + 〈C[ε(J(w))], ε(U)〉L2(Γ)
+ 〈C[ε(J(w))], f(∇w)〉L2(Γ) + 〈C[ε(J(w))], J(w)〉L2(Γ)
dt+B(7)
=1
2
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt+B(7) (4.44)
Comparando (4.40) e (4.44), segue que
B(7) +1
2
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt =
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt
+1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+B(1)−B(3) +B(2)−B(4)−B(6)
Logo,
1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+
1
2
∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt = B(7)−B(1)−B(2)
+B(3) +B(4) +B(6) (4.45)
Como∫ T
0
〈C[ε(U)], ε(U)〉L2(Γ) dt ≥ 0, segue que
1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt ≤ |B(7)|+ |B(1)|+ |B(2)|+ |B(3)|+ |B(4)|+ |B(6)| (4.46)
Por (4.25), (4.28), (4.30), (4.34), (4.39) e (4.43), para θ ∈ H2(Ω) ∩ H1o (Ω) xo em
(4.1), segue a estimativa (4.22).
108
4.4 Comportamento Assintótico I
O principal resultado desta seção é o Teorema 4.2 e sua demonstração é baseada
nos métodos de multiplicadores introduzidos por G. Avalos e I. Lasiecka em [1, 2], com
condições de fronteira livre, no contexto de placas termoelásticas. Esta técnica também
foi usada por I. Lasiecka em [22]; por I. Lasiecka e A. Benabdallah em [3, 4]; por G.A.
Perla Menzala e E. Zuazua em [33, 39]; por G.A. Perla e J.S. Suarez em [32].
Introduzimos o operador
L : H1o (Ω) ∩H2(Ω)→ L2(Ω)
L = −∆
Sabemos que L−1 = (−∆)−1 : L2(Ω)→ H1o (Ω) ∩H2(Ω) é contínuo, ie,
‖L−1z‖H1o (Ω)∩H2(Ω) ≤ C‖z‖L2(Ω) (4.47)
Teorema 4.1. Seja (U,w, θ) uma solução global regular do sistema original dado por
(4.1), com condições de fronteira dadas por (4.2) e com condições iniciais em (4.3) com
a regularidade (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2 × [H1
o (Ω)]2 × H3(Ω) ∩ H2o (Ω) ×
H2o (Ω)×H2(Ω) ∩H1
o (Ω). Sejam K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω) e
‖Ki‖L∞(Ω) ≤1− µ√1 + µ
, i = 1, 2. (4.48)
Então, existem constantes C > 0 e β > 0 tais que
E(t) ≤ C(E(0)) e−βt, ∀ t > 0
onde E(t) é dada por (4.7) e E(0) é a energia inicial.
Demonstração: Escolhemos ψ = L−1θ em (4.5), integramos em (0, T ) e obtemos que∫ T
0
(wtt, L
−1θ)L2(Ω)
dt+
∫ T
0
(∆w,∆(L−1θ)
)L2(Ω)
dt−∫ T
0
⟨∆w,
∂(L−1θ)
∂ν
⟩L2(Γ)
dt
+
∫ T
0
(∇wtt,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
dt−∫ T
0
(∇θ,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
dt
+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)
)(L2(Ω))4
dt
+
∫ T
0
(K1B11 +K2B22, L
−1θ)L2(Ω)
dt = 0 (4.49)
109
Integrando por partes e usando a equação θt = ∆θ + ∆wt, obtemos que∫ T
0
(wtt, L
−1θ)L2(Ω)
dt =(wt, L
−1θ)L2(Ω)
∣∣T0−∫ T
0
(wt, L
−1θt)L2(Ω)
dt
=(wt, L
−1θ)L2(Ω)
∣∣T0−∫ T
0
(wt, L
−1∆(θ + wt))L2(Ω)
dt
=(wt, L
−1θ)L2(Ω)
∣∣T0
+
∫ T
0
(wt, L
−1(−∆(θ + wt)))L2(Ω)
dt
=(wt, L
−1θ)L2(Ω)
∣∣T0
+
∫ T
0
(wt, θ + wt)L2(Ω) dt
=(wt, L
−1θ)L2(Ω)
∣∣T0
+
∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
(wt, θ)L2(Ω) dt
(4.50)
Analogamente,∫ T
0
(∇wtt,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
dt =(∇wt,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
∣∣T0−∫ T
0
(∇wt,∇(L−1θt)
)L2(Ω)
dt
=(∇wt,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
∣∣T0
+
∫ T
0
(∇wt,∇(L−1(−∆(θ + wt))
)L2(Ω)
dt
=(∇wt,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
∣∣T0
+
∫ T
0
(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt (4.51)
Substituímos (4.50) e (4.51) em (4.49) e obtemos que∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt = −
(wt, L
−1θ)L2(Ω)
∣∣T0−(∇wt,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
∣∣T0
−∫ T
0
(wt, θ)L2(Ω) dt−∫ T
0
(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt−∫ T
0
(∆w,∆(L−1θ)
)L2(Ω)
dt
+
∫ T
0
⟨∆w,
∂(L−1θ)
∂ν
⟩L2(Γ)
dt+
∫ T
0
(∇θ,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
dt
−∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)
)(L2(Ω))4
dt
−∫ T
0
(K1B11 +K2B22, L
−1θ)L2(Ω)
dt
110
Logo,∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤
∣∣∣(wt, L−1θ)L2(Ω)
∣∣∣ ∣∣∣∣T0
+∣∣∣(∇wt,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
∣∣∣ ∣∣∣∣T0
+
∣∣∣∣∫ T
0
(wt, θ)L2(Ω) dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ T
0
(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ T
0
(∆w,∆(L−1θ)
)L2(Ω)
dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∫ T
0
⟨∆w,
∂(L−1θ)
∂ν
⟩L2(Γ)
dt
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ T
0
(∇θ,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)
)(L2(Ω))4
dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ T
0
(K1B11 +K2B22, L
−1θ)L2(Ω)
dt
∣∣∣∣ (4.52)
Vamos estimar os termos do lado direito de (4.52). De (4.10) e (4.47), segue que∣∣∣(wt, L−1θ)L2(Ω)
∣∣∣ ∣∣∣∣T0
≤ ‖wt‖L2(Ω) · ‖L−1θ‖L2(Ω)
∣∣∣∣T0
≤ C1‖wt‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)
∣∣∣∣T0
≤ C1(E(0))1/2(E(0))1/2 ≤ C1E(0) (4.53)
Analogamente,∣∣∣(∇wt,∇(L−1θ))L2(Ω)
∣∣∣ ∣∣∣∣T0
≤ ‖∇wt‖L2(Ω) · ‖∇(L−1θ)‖L2(Ω)
∣∣∣∣T0
≤ C1‖wt‖H1(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)
∣∣∣∣T0
≤ C1E(0) (4.54)
Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz, Young e Poincaré, para algum ε1 > 0 segue
que ∣∣∣∣∫ T
0
(wt, θ)L2(Ω) dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ t
0
‖wt‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)dt
≤ ε1
2
∫ t
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
C
2ε1
∫ t
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.55)
Analogamente,∣∣∣∣∫ T
0
(∇wt,∇θ)L2(Ω) dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ t
0
‖∇wt‖L2(Ω) · ‖∇θ‖L2(Ω)dt
≤ ε1
2
∫ t
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt+
1
2ε1
∫ t
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.56)
111
De (4.47) e a desigualdade de Poincaré, para algum ε > 0, segue que∣∣∣∣∫ T
0
(∆w,∆(L−1θ)
)L2(Ω)
dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ T
0
‖∆w‖L2(Ω) · ‖∆(L−1θ)‖L2(Ω)dt
≤ ε
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Ω)dt+
C
2ε
∫ T
0
‖θ‖2L2(Ω)dt
≤ ε
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Ω)dt+
C
2ε
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.57)
Agora, de (4.47) e a desigualdade de Poincaré, para algum γ > 0, segue que∣∣∣∣∣∫ T
0
⟨∆w,
∂(L−1θ)
∂ν
⟩L2(Γ)
dt
∣∣∣∣∣ ≤ γ
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+
1
2γ
∫ T
0
∥∥∥∥∂L−1θ
∂ν
∥∥∥∥2
L2(Γ)
dt
≤ γ
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+
C
2γ
∫ T
0
‖θ‖2L2(Ω)dt
≤ γ
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+
C
2γ
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt, (4.58)
pois como L−1θ ∈ H2(Ω) quando θ ∈ L2(Ω) e, assim, ∂(L−1θ)∂ν
∈ L2(∂Ω).
Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz, Poincaré e (4.47),∣∣∣∣∫ T
0
(∇θ,∇(L−1θ)
)L2(Ω)
dt
∣∣∣∣ ≤ C
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.59)
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, Holder, a imersão H1(Ω) → L4(Ω) e a con-
112
tinuidade de L−1 dada por (4.47), para algum ε > 0, segue que∣∣∣∣∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇(L−1θ)
)(L2(Ω))4
dt
∣∣∣∣≤∫ T
0
‖C[ε(U) + f(∇w) + J(w)]‖(L2(Ω))4 · ‖∇w ⊗∇(L−1θ)‖(L2(Ω))4dt
≤ ε
2
∫ T
0
‖C[ε(U) + f(∇w) + J(w)]‖2(L2(Ω))4dt+
1
2ε
∫ T
0
‖∇w ⊗∇(L−1θ)‖2(L2(Ω))4dt
≤ Cε
2
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
)dt
+1
2ε
∫ T
0
‖∇w‖2L4(Ω) · ‖∇(L−1θ)‖2
L4(Ω)dt
≤ Cε
2
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
)dt
+C
2ε
∫ T
0
‖∇w‖2H1(Ω) · ‖∇(L−1θ)‖2
H1(Ω)dt
≤ Cε
2
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
)dt+
C
2ε
∫ T
0
‖w‖2H2(Ω) · ‖θ‖2
L2(Ω)dt
≤ Cε
2
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
)dt+
C
2εE(0)
∫ T
0
‖θ‖2L2(Ω)dt (4.60)
Como Ki ∈ L∞(Ω), de modo análogo como foi obtida a estimativa acima, temos que∣∣∣∣∫ T
0
(K1B11 +K2B22, L
−1θ)L2(Ω)
dt
∣∣∣∣ ≤ CE(0)
2ε
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt
+ C(‖K1‖L∞(Ω), ‖K2‖L∞(Ω))ε
2
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
)dt (4.61)
Substituindo as estimativas (4.53)-(4.61) em (4.52), segue que∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) +
ε1
2
∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt
+ε1
2
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt+
ε
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Ω)dt
+ εC
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
)dt
+γ
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+ C(ε1, ε, γ, E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt
113
Para ε1 > 0 sucientemente pequeno, segue que∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) +
ε
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Ω)dt
+ εC
∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω) + ‖b12‖2
L2(Ω)
)dt
+γ
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+ C(ε1, ε, γ, E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt
Pela denição (4.9), temos∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) + Cε
∫ T
0
E2(t)dt
+γ
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt+ C(ε1, ε, γ, E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.62)
Agora, pela desigualdade (4.22), (como ‖U‖2H1(Ω) ≤ C(1 + E(0))E(0)), segue que∫ T
0
‖∆w‖2L2(Γ)dt ≤ CT (E(0) + ‖U‖2
H1(Ω)) + C(E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt
≤ CTE(0)(1 + E(0)) + C(E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.63)
Substituindo (4.63) em (4.62), segue que∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ CE(0) + Cε
∫ T
0
E2(t)dt
+γ
2CTE(0)(1 + E(0)) + C(ε1, ε, γ, E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.64)
Escolhemos em (4.64) γ > 0 tal que
γ
2CT (1 + E(0)) < 1
dai segue que∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt ≤ C1E(0) + Cε
∫ T
0
E2(t)dt
+ C(ε1, ε, γ, E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.65)
onde a constante C1 independe de T .
Mas da igualdade (4.10), temos que
E(T ) +
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt = E(0) (4.66)
114
donde segue que ∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt ≤ E(0)
Então, somamos∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt em ambos os lados (4.65), pela denição de E1(t)
em (4.8), segue que∫ T
0
E1(t)dt ≤ CE(0) + εC
∫ T
0
E2(t)dt+ C(E(0))
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.67)
para algum ε > 0 a ser xado posteriormente.
Escolhemos ξ = U em (4.4) e ψ =w
2em (4.5). Integramos em (0, T ) e somamos as
equações resultantes,∫ T
0
(Utt, U)(L2(Ω))2 dt+
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U))(L2(Ω))4 dt+
∫ T
0
(Ut, U)(L2(Ω))2 dt
+1
2
∫ T
0
(wtt, w)L2(Ω) dt+1
2
∫ T
0
(∆w,∆w)L2(Ω) dt+1
2
∫ T
0
(∇wtt,∇w)L2(Ω) dt
− 1
2
∫ T
0
(∇θ,∇w)L2(Ω) dt+1
2
∫ T
0
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇w)(L2(Ω))4 dt
+1
2
∫ T
0
(K1B11 +K2B22, w)L2(Ω) dt = 0 (4.68)
115
Agora, observamos que, pelo Lema (1.9),
(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)], ε(U))(L2(Ω))4 +1
2(K1B11 +K2B22, w)L2(Ω)
+(C[ε(U) + f(∇w) + J(w)],∇w ⊗∇
(w2
))(L2(Ω))4
=2
1− µ
(b11, ux +
w2x
2+K1w
2
)L2(Ω)
+2
1− µ
(b22, vy +
w2y
2+K2w
2
)L2(Ω)
+2µ
1− µ
(b11, vy +
w2y
2+K2w
2
)L2(Ω)
+2µ
1− µ
(b22, ux +
w2x
2+K1w
2
)L2(Ω)
+ (b12, uy + vx + wxwy)L2(Ω)
= ‖b12‖2L2(Ω) +
2
1− µ‖b11‖2
L2(Ω) +2
1− µ‖b22‖2
L2(Ω) +4µ
1− µ(b11, b22)L2(Ω)
− 1
1− µ
∫Ω
(b11K1w + b22K2w + µb11K2w + µb22K1w) dA
= ‖b12‖2L2(Ω) +
2
1− µ‖b11‖2
L2(Ω) +2
1− µ‖b22‖2
L2(Ω)
+2µ
1− µ
∫Ω
(b211 + 2b11b22 + b2
22)dA− 2µ
1− µ
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)
)− 1
1− µ
∫Ω
(b11K1w + b22K2w + µb11K2w + µb22K1w) dA
= ‖b12‖2L2(Ω) + 2‖b11‖2
L2(Ω) + 2‖b22‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖b11 + b22‖2
L2(Ω)
− 1
1− µ
∫Ω
(b11K1w + b22K2w + µb11K2w + µb22K1w) dA (4.69)
Integrando por partes∫ T
0
(Utt, U)(L2(Ω))2 dt = (Ut, U)(L2(Ω))2
∣∣T0−∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt
1
2
∫ T
0
(wtt, w)L2(Ω) dt =1
2(wt, w)L2(Ω)
∣∣T0−1
2
∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt (4.70)
1
2
∫ T
0
(∇wtt,∇w)L2(Ω) dt =1
2(∇wt,∇w)L2(Ω)
∣∣T0−1
2
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt
116
Substituímos (4.69) e (4.70) em (4.68), obtemos que
1
2
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖b12‖2
L2(Ω) + 2‖b11‖2L2(Ω) + 2‖b22‖2
L2(Ω)
+2µ
1− µ‖b11 + b22‖2
L2(Ω)
dt = −
(Ut, U)(L2(Ω))2 +
1
2(wt, w)L2(Ω) +
1
2(∇wt,∇w)L2(Ω)
∣∣∣∣T0
+
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
1
2
∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt+
1
2
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt−
∫ T
0
(Ut, U)(L2(Ω))2 dt
+1
2
∫ T
0
(∇θ,∇w)L2(Ω) dt+1
1− µ
∫ T
0
∫Ω
(b11K1w + b22K2w + µb11K2w + µb22K1w) dA
(4.71)
Estimaremos o lado direito de (4.71). Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e
Poincaré ,∣∣∣(Ut, U)(L2(Ω))2
∣∣∣ ∣∣∣∣T0
≤ ‖Ut‖L2(Ω) · ‖U‖L2(Ω)
∣∣∣∣T0
≤ C1‖Ut‖L2(Ω) · ‖∇U‖L2(Ω)
∣∣∣∣T0
≤(C2
1
2β‖Ut‖2
L2(Ω) +β
2‖∇U‖2
L2(Ω)
) ∣∣∣∣T0
≤ CE(0) +β
2E(0)(1 + E(0))
Escolhemos β > 0 tal queβ
2(1 + E(0)) < 1, dai segue que
∣∣∣(Ut, U)(L2(Ω))2
∣∣∣ ∣∣∣∣T0
≤ C1E(0) (4.72)
Da desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que∣∣∣∣12 (wt, w)L2(Ω) +1
2(∇wt,∇w)L2(Ω)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣T0
≤ C1E(0) (4.73)
Pela desigualdade de Poincaré, como ‖∇U‖2L2(Ω) ≤ C‖b11‖2
L2(Ω)+‖b22‖2L2(Ω)+‖b12‖2
L2(Ω)+
E(0)‖w‖2L2(Ω), pela denição de E2(t) em (4.9),∣∣∣∣∫ T
0
(Ut, U)(L2(Ω))2 dt
∣∣∣∣ ≤ C2
4β1
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
β1
4
∫ T
0
‖∇U‖2L2(Ω)dt
≤ C2
4β1
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
β1
4
∫ T
0
E2(t)dt (4.74)
Novamente, pela de pela denição de E2(t) em (4.9),∣∣∣∣∫ T
0
(∇θ,∇w)L2(Ω) dt
∣∣∣∣ ≤ C2
4β1
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt+
β1
4
∫ T
0
‖∆w‖2L2(Ω)dt
≤ C2
4β1
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt+
β1
4
∫ T
0
E2(t)dt (4.75)
117
Agora pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, como 0 < µ < 1,
1
1− µ
∫Ω
(|b11K1w|+ |b22K2w|+ µ|b11K2w|+ µ|b22K1w|) dA
≤ 1
1− µ‖K1‖L∞(Ω) · ‖b11‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω) +
1
1− µ‖K2‖L∞(Ω) · ‖b22‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω)
+µ
1− µ‖K2‖L∞(Ω) · ‖b11‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω) +
µ
1− µ‖K1‖L∞(Ω) · ‖b22‖L2(Ω) · ‖w‖H2(Ω)
≤ 1
2γ(1− µ)
(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
) (‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)
)+
(γ
1− µ+
γµ
1− µ
)‖w‖2
H2(Ω)
≤ 1
2γ(1− µ)
(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
) (‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)
)+ γ
(1 + µ
1− µ
)‖∆w‖2
L2(Ω) (4.76)
Substituímos (4.72)-(4.76) em (4.71), obtemos que(1
2− γ
(1 + µ
1− µ
))∫ T
0
‖∆w‖2L2(Ω)dt+
∫ T
0
‖b12‖2L2(Ω)dt
+
(2− 1
2γ(1− µ)
(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
))∫ T
0
(‖b11‖2
L2(Ω) + ‖b22‖2L2(Ω)
)dt
+2µ
1− µ
∫ T
0
‖b11 + b22‖2L2(Ω)dt ≤ C3E(0) + C4
∫ T
0
‖Ut‖2L2(Ω)dt+
1
2
∫ T
0
‖wt‖2L2(Ω)dt
+1
2
∫ T
0
‖∇wt‖2L2(Ω)dt+
β1
2
∫ T
0
E2(t)dt+ C5
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω)dt (4.77)
Escolhemos γ > 0 tal que
1
2− γ
(1 + µ
1− µ
)> 0⇐⇒ 1
2> γ
(1 + µ
1− µ
)⇐⇒ (1− µ)
2(1 + µ)> γ (γ fixo)
Por outro lado, queremos que
0 <
(2− 1
2γ(1− µ)
(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
))⇐⇒
(1
2γ(1− µ)
(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
))< 2
⇐⇒(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
)< 4γ(1− µ)
⇐⇒(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
)< 2
(1− µ)2
(1 + µ)
que é a hipótese (4.48).
118
Então, em (4.77), temos
C6
∫ T
0
‖∆w‖2
L2(Ω) + ‖b12‖2L2(Ω) + 2‖b11‖2
L2(Ω) + 2‖b22‖2L2(Ω) +
2µ
1− µ‖b11 + b22‖2
L2(Ω)
dt
≤ C3E(0) + C8
∫ T
0
E1(t)dt+ C5
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω) +
β1
2
∫ T
0
E2(t)dt
Somamos C6
∫ T
0
‖θ‖2L2(Ω)dt a ambos os lados da desigualdade acima, então pela
denição de E2(t) em (4.9) e pela desigualdade de Poincaré,
C6
∫ T
0
E2(t)dt ≤ C3E(0) + C8
∫ T
0
E1(t)dt+ C9
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω) +
β1
2
∫ T
0
E2(t)dt
Escolhemos β1 > 0 sucientemente pequeno,∫ T
0
E2(t)dt ≤ CE(0) + C
∫ T
0
E1(t)dt+ C
∫ T
0
‖∇θ‖2L2(Ω) (4.78)
e substituímos (4.67) em (4.78) para obter que∫ T
0
E2(t)dt ≤ CE(0) + Cε
∫ T
0
E2(t)dt+ C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt
Para ε > 0 sucientemente pequeno, obtemos que∫ T
0
E2(t)dt ≤ CE(0) + C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt (4.79)
Por (4.67) e como E(t) = E1(t) + E2(t), segue que∫ T
0
E(t)dt =
∫ T
0
E1(t)dt+
∫ T
0
E2(t)dt
≤∫ T
0
E2(t)dt+ CE(0) + Cε
∫ T
0
E2(t)dt+ C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt
≤ CE(0) + C
∫ T
0
E2(t)dt+ C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt
Pela desigualdade (4.79) aplicada na desigualdade acima, segue que∫ T
0
E(t)dt ≤ CE(0) + C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt. (4.80)
Como E(0) = E(T ) +
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt por (4.66), substituímos esta
expressão em (4.80) e obtemos que∫ T
0
E(t)dt ≤ CE(T ) + C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt (4.81)
119
Como E(t) é decrescente, de (4.81) segue que
TE(T ) =
∫ T
0
E(T )dt ≤∫ T
0
E(t)dt
≤ CE(T ) + C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt
Escolhemos T > 0 tal que T − C > 1, então
E(T ) ≤ (T − C)E(T ) ≤ C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt,
ou seja,
E(T ) ≤ C(E(0))
∫ T
0
(‖∇θ‖2
L2(Ω) + ‖Ut‖2L2(Ω)
)dt (4.82)
Novamente, substituindo a identidade (4.66) em (4.82), segue que
E(T ) ≤ C(E(0))(E(0)− E(T )) = C(E(0))E(0)− C(E(0))E(T ),
então,
(1 + C(E(0)))E(T ) ≤ C(E(0))E(0),
o que implica que
E(T ) ≤ C(E(0))
(1 + C(E(0)))E(0) ≤ ρE(0), (4.83)
com ρ < 1.
Pela propriedade de semigrupos, como o sistema (4.1) é bem-posto para soluções
regulares, segue que existem constantes C > 0 e ω > 0, tais que
E(t) ≤ Ce−ωt, ∀t > 0 (4.84)
Teorema 4.2. Seja (U,w, θ) uma solução global fraca do sistema original dado por (4.1),
com condições de fronteira dadas por (4.2) e com condições iniciais em (4.3) com a
regularidade (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H1o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2
o (Ω)×H1o (Ω)× L2(Ω). Sejam
K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω) e
‖Ki‖L∞(Ω) ≤1− µ√1 + µ
, i = 1, 2.
Então, existem constantes C > 0 e β > 0 tais que
E(t) ≤ C(E(0)) e−βt, ∀ t > 0
onde E(t) é dada por (4.7) e E(0) é a energia inicial.
120
Demonstração: Se (U,w, θ) são soluções globais regulares de (4.1), então, pelo Teorema
4.1, segue estimativa (4.84). A unicidade de soluções fracas no Teorema (2.2) e a semi-
continuidade fraca do funcional de energia permitem estender a estimativa (4.84) para
todas as soluções fracas.
4.5 Comportamento Assintótico II
Vamos dar uma segunda demonstração de decaimento exponencial da energia do
sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos para condições de fronteira de Dirichlet
e simplesmente apoiadas. Vamos escolher um funcional de Lyapunov adequado e aplicar
o método utilizado em [32] combinado com o método aplicado em [33, 39].
Para facilitar a notação, sejam U = U ε, w = wε e θ = θε soluções globais regulares
de (3.1)-(3.3). Seja
Eε(t) =1
2
∫Ω
ε|Ut|2 + |wt|2 + |∆w|2 + |∇wt|2 + |θ|2 + 2ε|b11|2 + 2ε|b22|2
+ ε|b12|2 +2µ
1− µ|b11 + b22|2
dA (4.85)
Então, para soluções regulares, temos que
dEεdt
= −εα‖Ut‖2L2(Ω) − ‖∇θ‖2
L2(Ω) (4.86)
Lema 4.9. Sejam 0 < ε ≤ 1, 0 < α ≤ 1 e K1 e K2 pertencentes a W 1,∞(Ω). Sejam
(U,w, θ) soluções regulares do sistema (3.1)-(3.3), com dados iniciais (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈[H2(Ω) ∩H1
o (Ω)]2 × [H1o (Ω)]2 ×H3(Ω) ∩H2
o (Ω)×H2o (Ω)×H1
o (Ω) ∩H2(Ω).
Denimos
Iε(t) =
∫Ω
(wtθ −
θ2
2+ wt(−∆)−1θ
)dA. (4.87)
Então,
dIεdt
=
∫Ω
|∇θ|2dA−∫
Ω
|∇wt|2dA+
∫Ω
θ∆w dA+
∫Ω
|θ|2dA
+
∫Ω
(−∆)−1θdiv([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22
dA
−∫
Ω
wtθ dA−∫
Ω
|wt|2dA+
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
121
Demonstração: Multiplicamos a equação θt − ∆θ − ∆wt = 0 por θ e wt e depois
integramos em Ω, ∫Ω
θ · θtdA−∫
Ω
∆θ · θ dA−∫
Ω
θ ·∆wt dA = 0∫Ω
wt · θtdA−∫
Ω
∆θ · wt dA−∫
Ω
wt ·∆wt dA = 0
Pela fórmula de Green, como θ(t) ∈ H2(Ω) ∩H1o (Ω) e wt(t) ∈ H2
o (Ω), obtemos que∫Ω
θ · θtdA+
∫Ω
|∇θ|2 dA−∫
Ω
∆θ · wt dA = 0 (4.88)∫Ω
wt · θtdA−∫
Ω
∆θ · wt dA+
∫Ω
|∇wt|2 dA = 0 (4.89)
Multiplicamos a segunda equação do sistema (3.1) por (−∆)−1θ(t) ∈ H2(Ω)∩H1o (Ω)
e integramos em Ω, segue que∫Ω
(−∆)−1θ · wtt dA = −∫
Ω
∆2w · (−∆)−1θ dA+
∫Ω
∆wtt · (−∆)−1θ dA
−∫
Ω
∆θ · (−∆)−1θ dA+
∫Ω
div([Bij]∇w)(−∆)−1θ dA
−∫
Ω
(K1B11 +K2B22)(−∆)−1θ dA (4.90)
Pela fórmula de Green, como w(t) ∈ H2o (Ω) e (−∆)−1θ(t) ∈ H2(Ω) ∩H1
o (Ω),
−∫
Ω
∆2w · (−∆)−1θ dA = −∫
Ω
∆(∆w) · (−∆)−1θdA
= −∫∂Ω
∂∆w
∂η· (−∆)−1θdΓ +
∫Ω
∇(∆w) · ∇((−∆)−1θ)dA
=
∫∂Ω
∂
∂η((−∆)−1θ) ·∆wdΓ−
∫Ω
∆w ·∆(−∆)−1θdA
=
∫∂Ω
∂
∂η((−∆)−1θ) ·∆wdΓ +
∫Ω
∆w · (−∆)(−∆)−1θdA
=
∫∂Ω
∂
∂η((−∆)−1θ) ·∆wdΓ +
∫Ω
∆w · θ dA (4.91)
Da mesma forma, como wtt(t) ∈ H1o (Ω), pela fórmula de Green, segue que∫
Ω
∆wtt · (−∆)−1θ dA =
∫∂Ω
∂wtt∂η· (−∆)−1θdΓ−
∫Ω
∇wtt · ∇((−∆)−1θ) dA
= −∫∂Ω
∂
∂η((−∆)−1θ) · wttdΓ +
∫Ω
wtt ·∆((−∆)−1θ) dA
=−∫
Ω
wtt · (−∆)((−∆)−1θ) dA = −∫
Ω
wtt · θ dA (4.92)
122
Similarmente,
−∫
Ω
∆θ · (−∆)−1θ dA = −∫∂Ω
∂θ
∂η· (−∆)−1θdΓ +
∫Ω
θ · (−∆)(−∆)−1θ dA
=
∫Ω
|θ|2dA (4.93)
Substituímos (4.91)-(4.93) em (4.90), obtemos que∫Ω
(−∆)−1θ · wtt dA =
∫Ω
∆w · θ dA−∫
Ω
wtt · θ dA+
∫Ω
|θ|2dA
+
∫Ω
(div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22) (−∆)−1θ dA
+
∫∂Ω
∂
∂η((−∆)−1θ) ·∆w dΓ (4.94)
Agora, subtraímos a equação (4.89) de (4.88),∫Ω
wt · θt dA−∫
Ω
θ · θt dA =
∫Ω
|∇θ|2 dA−∫
Ω
|∇wt|2 dA (4.95)
Agora, pelas identidades (4.94), (4.95) e pela equação θt −∆θ −∆wt = 0 segue que
dIεdt
=d
dt
∫Ω
(wtθ −
θ2
2+ wt(−∆)−1θ
)dA
=
∫Ω
wtt · θ dA+
∫Ω
wtt · (−∆)−1θ dA+
∫Ω
θt · wt dA−∫
Ω
θt · θ dA
+
∫Ω
wt · (−∆)−1θt dA
=
∫Ω
∆w · θ dA+
∫Ω
|θ|2dA+
∫Ω
|∇θ|2 dA−∫
Ω
|∇wt|2 dA
+
∫Ω
div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22 (−∆)−1θ dA
−∫
Ω
wt · θ dA−∫
Ω
|wt|2dA+
∫∂Ω
∂
∂η((−∆)−1θ) ·∆w dΓ
e com esta identidade obtemos o Lema 4.9.
Lema 4.10. Sejam as hipóteses do Lema 4.9. Denimos a função
Fε(t) =
∫Ω
(εU · Ut + w · wt +∇w · ∇wt) dA. (4.96)
Então,
dFεdt
= −∫
Ω
|∆w|2 dA−∫
Ω
∆w · θ dA− εα∫
Ω
Ut · U dA+
∫Ω
Div[Bij] · U dA
+
∫Ω
div([Bij]∇w) · w dA−∫
Ω
(K1B11 +K2B22) · w dA
+ ε
∫Ω
|Ut|2dA+
∫Ω
|∇wt|2dA+
∫Ω
|wt|2dA
123
Demonstração: Seja Fε(t), então,
dFεdt
= ε
∫Ω
Utt · U dA+
∫Ω
wtt · w dA+
∫Ω
∇wtt · ∇w dA
+ ε
∫Ω
|Ut|2 dA+
∫Ω
|∇wt|2 dA+
∫Ω
|wt|2 dA (4.97)
Multiplicamos a primeira equação do sistema (3.1) por U e integramos em Ω,
ε
∫Ω
Utt · U dA =
∫Ω
Div[Bij] · U dA− εα∫
Ω
Ut · U dA (4.98)
Agora, multiplicamos a segunda equação do sistema (3.1) por w e integramos em Ω,∫Ω
wtt · w dA+
∫Ω
∇wtt · ∇w dA = −∫
Ω
|∆w|2 dA−∫
Ω
∆w · θ dA
+
∫Ω
div([Bij]∇w) · w dA−∫
Ω
(K1B11 +K2B22) · w dA (4.99)
Substituímos (4.98) e (4.99) em (4.97), obtemos o Lema 4.10.
Lema 4.11. Seja 0 < ε ≤ 1 e 0 < µ < ε1+ε
. Seja a matriz [Bij] = [Bεij] com coecientes
dados por (3.4)-(3.8). e sejam Ki ∈ W 1,∞(Ω). Denimos
C(µ, ε) =ε− (1 + ε)µ
2(1− µ)(4.100)
C1(µ, ε) =µ2
2(ε− (1 + ε)µ)+µ+ ε(1− µ)
2(1− µ)+ ε (4.101)
Seja
ψε(t) =
∫Ω
Div([Bij]) · U dA+
∫Ω
div([Bij] · ∇w)w dA−∫
Ω
(K1B11 +K2B22)w dA
Então,
ψε(t) ≤ −C(µ, ε)‖bij‖2L2(Ω) + C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2
L2(Ω) (4.102)
onde E(0) é a energia inicial dada por (4.7).
Demonstração: Integrando por partes,
ψε(t) =
∫Ω
Div([Bij]) · U dA+
∫Ω
div([Bij] · ∇w)w dA−∫
Ω
(K1B11 +K2B22)w dA
= −∫
Ω
[Bij] · ∇U + [Bij]∇w · ∇w + (K1B11 +K2B22)w
dA
= −∫
Ω
B11ux +B12uy +B21vx +B22vy + (B11wx +B12wy)wx
dA
−∫
Ω
(B21wx +B22wy)wy +K1B11w +K2B22w
dA
124
Pela denição da matriz [Bij] dada em (3.4)-(3.6),
ψε(t) = − 2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b11 · (ux + w2x +K1w)dA
− 2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b22 · (vy + w2y +K2w)dA
− ε∫
Ω
b12(uy + vx + 2wxwy)dA−2µ
1− µ
∫Ω
b11 · (vy + w2y +K2w)dA
− 2µ
1− µ
∫Ω
b22 · (ux + w2x +K1w)dA
Na identidade acima, somamos e diminuímos os termos:
2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b11(ux +K1) + (vy +K2w)
dA
ε
∫Ω
b12(uy + vx)dA,
2µ
1− µ
∫Ω
b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)dA
Então, obtemos que
ψε(t) = − 2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b11 · (2ux + w2
x + 2K1w)dA
− 2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b22 · (2vy + w2
y + 2K2w)dA
− ε∫
Ω
b12(2uy + 2vx + 2wxwy)
dA− 2µ
1− µ
∫Ω
b11 · (2vy + w2
y + 2K2w)dA
− 2µ
1− µ
∫Ω
b22 · (2ux + w2
x + 2K1w)dA
+2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)
dA
+2µ
1− µ
∫Ω
b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)
+ ε
∫Ω
b12(uy + vx)dA
Assim, pela denição de bij, temos
ψε(t) = − 4
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
(|b11|2 + |b22|2)
dA
− 2ε
∫Ω
|b12|2dA−8µ
1− µ
∫Ω
b11b22dA
+2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)
dA
+2µ
1− µ
∫Ω
b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)
dA+ ε
∫Ω
b12(uy + vx)dA
125
Somamos e diminuímos os termos4µ
1− µ
∫Ω
|bii|2dA, i = 1, 2, e obtemos que
ψε(t) = − 4
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
|b11|2 + |b22|2
dA− 2ε
∫Ω
|b12|2dA
− 4µ
1− µ
∫Ω
(b11)2 + 2b11b22 + (b22)2
dA+
4µ
1− µ
∫Ω
|b11|2 + |b22|2
dA
+2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)
dA
+2µ
1− µ
∫Ω
b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)
dA+ ε
∫Ω
b12(uy + vx)dA
= − 4
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
|b11|2 + |b22|2
dA
− 2ε
∫Ω
|b12|2 −4µ
1− µ
∫Ω
|b11 + b22|2dA+4µ
1− µ
∫Ω
|b11|2 + |b22|2
dA
+2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w)
dA
+2µ
1− µ
∫Ω
b11(vy +K2w) + b22(ux +K1w)
dA+ ε
∫Ω
b12(uy + vx)dA
Agora, na identidade acima, somamos e diminuímos os termos2µ
1− µ
∫Ω
b11
w2y
2+ b22
w2x
2
dA,
ψε(t) = − 4
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
(|b11|2 + |b22|2)
dA
− 2ε
∫Ω
|b12|2dA−4µ
1− µ
∫Ω
|b11 + b22|2dA+4µ
1− µ
∫Ω
|b11|2 + |b22|2
dA
+4µ
1− µ
∫Ω
b11b22 dA−µ
1− µ
∫Ω
(b11w2y + b22w
2x)dA+ ε
∫Ω
b12(uy + vx)dA
+2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
(b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w))
dA
Agora, somamos e diminuímos o termo4µ
1− µ
∫Ω
b11b22dA, então,
4µ
1− µ
∫Ω
|b11|2 + |b22|2 + b11b22
dA =
4µ
1− µ
∫Ω
(b11 + b22)2dA− 4µ
1− µ
∫Ω
b11b22dA
Logo,
ψε(t) = − 4
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
(|b11|2 + |b22|2)
dA− 2ε
∫Ω
|b12|2dA
− 4µ
1− µ
∫Ω
b11b22 dA−µ
1− µ
∫Ω
(b11w2y + b22w
2x)dA+ ε
∫Ω
b12(uy + vx)dA
+2
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
(b11(ux +K1w) + b22(vy +K2w))
dA
126
Aplicando a desigualdade de Young na identidade acima, para algum β > 0, obtemos
que
ψε(t) ≤ −4
1− µ(µ+ ε(1− µ))
∫Ω
|b11|2 + |b22|2
dA− 2ε
∫Ω
|b12|2dA
+2µ
1− µ
∫Ω
(|b11|2 + |b22|2) dA+
(µ+ ε(1− µ)
1− µ
)∫Ω
(|b11|2 + |b22|2)dA
+β
2
∫Ω
(|b11|2 + |b22|2) dA+µ2
(1− µ)2
1
2β
∫Ω
(w4x + w4
y) dA
+ε
2
∫Ω
|b12|2dA+ε
2
∫Ω
(uy + vx)2dA
+
(µ+ ε(1− µ)
1− µ
)∫Ω
(ux +K1w)2 + (vy +K2w)2dA (4.103)
Somamos e diminuímos os termos wxwy e aplicando a desigualdade (a+b)2 ≤ 2a2+2b2,
segue que
ε
2
∫Ω
(uy + vx)2dA =
ε
2
∫Ω
(uy + vx + wxwy − wxwy)2dA =ε
2
∫Ω
(b12 − wxwy)2dA
≤ ε
∫Ω
|b12|2dA+ ε
∫Ω
w2yw
2xdA ≤ ε
∫Ω
|b12|2dA+ ε
∫Ω
w4y + w4
x
dA
(4.104)
Analogamente, somamos e diminuímos os termos 12w2x e
12w2y,(
µ+ ε(1− µ)
1− µ
)∫Ω
(ux +K1w)2 + (vy +K2w)2dA
=
(µ+ ε(1− µ)
1− µ
)∫Ω
(ux +K1w +
1
2w2x −
1
2w2x
)2
+
(vy +K2w +
1
2w2y −
1
2w2y
)2dA
=
(µ+ ε(1− µ)
1− µ
)∫Ω
(b11 −
1
2w2x
)2
+
(b22 −
1
2w2y
)2dA
≤ 2
(µ+ ε(1− µ)
1− µ
)∫Ω
|b11|2 + |b22|2
dA+
(µ+ ε(1− µ)
2(1− µ)
)∫Ω
w4x + w4
ydA (4.105)
Substituindo (4.104) e (4.105) em (4.103), obtemos que
ψε(t) ≤(−4(µ+ ε(1− µ))
1− µ+β
2+
2µ
1− µ+
3(µ+ ε(1− µ))
1− µ
)∫Ω
|b11|2 + |b22|2dA
− ε
2
∫Ω
|b12|2dA+
(µ2
(1− µ)2
1
2β+
(µ+ ε(1− µ))
2(1− µ)+ ε
)∫Ω
w4x + w4
ydA (4.106)
Agora, pela imersão H1(Ω) → L4(Ω),
‖wxi‖4L4(Ω) ≤ ‖wxi‖4
H1(Ω) ≤ ‖w‖4H2(Ω) ≤ ‖∆w‖4
L2(Ω)
≤ Eε(0)‖∆w‖2L2(Ω) ≤ E(0)‖∆w‖2
L2(Ω) (4.107)
127
onde Eε(0) é a energia inicial dada por (4.85) e E(0) é a energia inicial dada por (4.7).
Substituímos (4.107) em (4.106),
ψε(t) ≤ −(ε− (1 + ε)µ
1− µ− β
2
)∫Ω
|b11|2 + |b22|2dA−ε
2
∫Ω
|b12|2dA
+
(µ2
(1− µ)2
1
2β+
(µ+ ε(1− µ))
2(1− µ)+ ε
)E(0)
∫Ω
|∆w|2dA (4.108)
Escolhemos β =ε− (1 + ε)µ
1− µ> 0, pois, por hipótese, µ <
ε
1 + ε. Com esta escolha
em (4.108),
ψε(t) ≤ −(ε− (1 + ε)µ
2(1− µ)
)∫Ω
|b11|2 + |b22|2dA−ε
2
∫Ω
|b12|2dA
+
(µ2
2(ε− (1 + ε)µ)+
(µ+ ε(1− µ))
2(1− µ)+ ε
)E(0)
∫Ω
|∆w|2dA
e, pela denição de C(µ, ε) em (4.100) e de C1(µ, ε) em (4.101), segue a conclusão do
Lema 4.11.
Lema 4.12. Sejam as hipóteses do Lema 4.9. Introduzimos a função
Hε = Fε(t) + 2 Iε(t) (4.109)
onde Iε(t) é dada por (4.87) e Fε(t) é dado por (4.96). Então,
dHε
dt≤(
1 +εα−1
2γ
)∫Ω
ε|Ut|2dA+ (γ − 1)
∫Ω
|wt|2dA−∫
Ω
|∇wt|2dA
+ C
∫Ω
|∇θ|2dA+ C
(1
γ+ γ
)∫Ω
|θ|2dA
+
(−C(µ, ε) +
Cγεα
2+Cγ
2
(‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
))∫Ω
|bij|2dA
+
(−1 + γ +
Eε(0)γ
2+Cγεα
2
(Eε(0) + ‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
))∫Ω
|∆w|2dA
+ C1(µ, ε)E(0)
∫Ω
|∆w|2dA+ 2
∫∂Ω
∆w∂((−∆)−1θ)
∂ηdΓ
para qualquer t ≥ 0 e algum γ > 0.
128
Demonstração: Pelos Lemas 4.9 e 4.10, segue que
dHε
dt=dFεdt
+ 2dIεdt
= −∫
Ω
|∆w|2 dA−∫
Ω
∆w · θ dA− εα∫
Ω
Ut · U dA
+
∫Ω
Div[Bij] · U dA+
∫Ω
div([Bij]∇w) · w dA−∫
Ω
(K1B11 +K2B22) · w dA
+ ε
∫Ω
|Ut|2dA+
∫Ω
|∇wt|2dA+
∫Ω
|wt|2dA
+ 2
∫Ω
|∇θ|2dA− 2
∫Ω
|∇wt|2dA+ 2
∫Ω
θ∆w dA+ 2
∫Ω
|θ|2dA
+ 2
∫Ω
(−∆)−1θ (div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22) dA
− 2
∫Ω
wtθ dA− 2
∫Ω
|wt|2dA+ 2
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
= −∫
Ω
|∆w|2 dA+ ε
∫Ω
|Ut|2dA−∫
Ω
|∇wt|2dA−∫
Ω
|wt|2dA+ 2
∫Ω
|∇θ|2dA
+ 2
∫Ω
|θ|2dA+
∫Ω
∆w · θ dA− 2
∫Ω
wt · θ dA− εα∫
Ω
Ut · U dA
+ 2
∫Ω
(−∆)−1θ (div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22) dA
+
∫Ω
Div[Bij] · U dA+
∫Ω
div([Bij]∇w) · w dA−∫
Ω
(K1B11 +K2B22) · w dA
+ 2
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
=5∑j=1
Lj(t) + 2
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
onde
L1(t) = −∫
Ω
|∆w|2 dA+ ε
∫Ω
|Ut|2dA−∫
Ω
|∇wt|2dA−∫
Ω
|wt|2dA
+ 2
∫Ω
|∇θ|2dA+ 2
∫Ω
|θ|2dA
L2(t) = −εα∫
Ω
Ut · U dA
L3(t) =
∫Ω
∆w · θ dA− 2
∫Ω
wt · θ dA
L4(t) = 2
∫Ω
(−∆)−1θ div([Bij]∇w)−K1B11 −K2B22 dA
L5(t) =
∫Ω
Div[Bij] · U dA+
∫Ω
div([Bij]∇w) · w dA−∫
Ω
(K1B11 +K2B22) · w dA
Vamos estimar os termos Lj(t) para 2 ≤ j ≤ 5. Pela desigualdade de Holder, a imersão
H1(Ω) → L4(Ω), a energia ser decrescente, continuidade de (−∆)−1 e desigualdade de
129
Young, para algum γ > 0, segue que
|L4(t)| ≤ 2
∫Ω
|[Bij] · ∇w| · |∇((−∆)−1θ)| dA
+ 2
∫Ω
(|K1| · |B11|+ |K2| · |B22|) · |(−∆)−1θ|dA
≤ C‖Bij‖L2(Ω) · ‖∇w‖L4(Ω) · ‖∇((−∆)−1θ)‖L4(Ω)
+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)
)· ‖Bij‖L2(Ω) · ‖(−∆)−1θ‖L2(Ω)
≤ C‖bij‖L2(Ω) · ‖∇w‖H1(Ω) · ‖∇((−∆)−1θ)‖H1(Ω)
+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)
)· ‖bij‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)
≤ C‖bij‖L2(Ω) · ‖∆w‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)
+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)
)· ‖bij‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)
≤ C(Eε(0))1/2 · ‖∆w‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)
+ C(‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)
)· ‖bij‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω)
≤ Cγ
2E(0)‖∆w‖2
L2(Ω) +1
2γ‖θ‖2
L2(Ω)
+Cγ
2(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖bij‖2
L2(Ω) +1
2γ‖θ‖2
L2(Ω)
Logo,
|L4(t)| ≤ Cγ
2E(0)‖∆w‖2
L2(Ω) +1
γ‖θ‖2
L2(Ω)
+Cγ
2(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖bij‖2
L2(Ω) (4.110)
Agora, para algum γ > 0, pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e Young,
|L2(t)| ≤ εα∫
Ω
|Ut| · |U |dA ≤εα
2γ‖Ut‖2
L2(Ω) +εαγ
2‖U‖2
L2(Ω) (4.111)
Agora, lembrando que pelas desigualdade de Poincaré e Korn, obtemos
‖U‖L2(Ω) ≤ C‖∇U‖L2(Ω) ≤ C‖ε(U)‖L2(Ω)
≤ C‖bij‖L2(Ω) +
((Eε(0))1/2 + ‖K1‖L∞(Ω) + ‖K2‖L∞(Ω)
)‖∆w‖L2(Ω)
Substituindo a desigualdade acima em (4.111), segue que
|L2(t)| ≤ εα
2γ‖Ut‖2
L2(Ω) +Cεαγ
2‖bij‖2
L2(Ω)
+Cεαγ
2
(Eε(0) + ‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
)‖∆w‖2
L2(Ω) (4.112)
130
Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e Young, segue que
|L3(t)| =∣∣∣∣∫
Ω
∆w · θ dA− 2
∫Ω
wt · θ dA∣∣∣∣
≤ ‖∆w‖L2(Ω)‖θ‖L2(Ω) + 2‖wt‖L2(Ω)‖θ‖L2(Ω)
≤ γ‖∆w‖2L2(Ω) +
1
2γ‖θ‖2
L2(Ω) + γ‖wt‖2L2(Ω) +
1
γ‖θ‖2
L2(Ω)
≤ γ‖∆w‖2L2(Ω) +
C
γ‖θ‖2
L2(Ω) + γ‖wt‖2L2(Ω) (4.113)
Finalmente, pelo Lema 4.11,
|L5(t)| ≤ −C(µ, ε)‖bij‖2L2(Ω) + C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2
L2(Ω) (4.114)
onde C(µ, ε) está denida em (4.100) e C1(µ, ε) está denida em (4.101).
De (4.110), (4.112), (4.113), (4.114) e pela desigualdade de Poincaré, segue que
dHε
dt=
5∑j=1
Lj(t) + 2
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
≤ −‖∆w|2L2(Ω) + ε‖Ut‖2L2(Ω) − ‖∇wt‖2
L2(Ω) − ‖wt‖2L2(Ω)
+ 2‖∇θ‖2L2(Ω) + 2‖θ‖2
L2(Ω) +εα
2γ‖Ut‖2
L2(Ω)
+Cεαγ
2
(Eε(0) + ‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
)‖∆w‖2
L2(Ω)
+Cεαγ
2‖bij‖2
L2(Ω) + γ‖∆w‖2L2(Ω) +
C
γ‖θ‖2
L2(Ω) + γ‖wt‖2L2(Ω)
+Cγ
2Eε(0)‖∆w‖2
L2(Ω) +1
γ‖θ‖2
L2(Ω)
+Cγ
2(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))‖bij‖2
L2(Ω)
− C(µ, ε)‖bij‖2L2(Ω) + C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2
L2(Ω)
+ 2
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
≤(
1 +εα−1
2γ
)ε‖Ut‖2
L2(Ω) + (γ − 1)‖wt‖2L2(Ω) − ‖∇wt‖2
L2(Ω)
+ C‖∇θ‖2L2(Ω) + C
(1
γ+ γ
)‖θ‖2
L2(Ω)
+
(−C(µ, ε) +
Cεαγ
2+Cγ
2(‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω))
)‖bij‖2
L2(Ω)
+
(−1 + γ +
Cγ
2Eε(0) +
Cεαγ
2
(Eε(0) + ‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
))‖∆w‖2
L2(Ω)
+ C1(µ, ε)E(0)‖∆w‖2L2(Ω) + 2
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
131
e esta desigualdade prova o Lema 4.12.
Lema 4.13. Sejam as hipóteses do Lema 4.9. Seja δ > 0 e consideramos
Gε,δ(t) = Eε(t) + δHε(t) (4.115)
onde Eε(t) é a energia denida em (4.85) e Hε(t) está denida em (4.109). Então,
1
2Gε,δ(t) ≤ Eε(t) ≤ 2Gε,δ(t)
para δ > 0 sucientemente pequeno.
Demonstração: Pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e Young,
|Gε,δ(t)− Eε(t)| = δ|Hε(t)| = δ|Fε(t) + 2Iε(t)| ≤ δ|Fε(t)|+ 2δ|Iε(t)|
≤ δε‖U‖L2(Ω) · ‖Ut‖L2(Ω) + δ‖w‖L2(Ω) · ‖wt‖L2(Ω) + δ‖∇w‖L2(Ω) · ‖∇wt‖L2(Ω)
+ 2δ‖wt‖L2(Ω) · ‖θ‖L2(Ω) + δ‖θ‖2L2(Ω) + 2δ‖wt‖L2(Ω) · ‖(−∆)−1θ‖L2(Ω)
≤ δε
2‖U‖2
L2(Ω) +δε
2‖Ut‖2
L2(Ω) + Cδ‖∆w‖2L2(Ω)
+ Cδ‖wt‖2L2(Ω) + Cδ‖∇wt‖2
L2(Ω) + Cδ‖θ‖2L2(Ω)
Como ‖U‖2L2(Ω) ≤ C
‖bij‖2
L2(Ω) + (E(0) + ‖K1‖2L∞(Ω) + ‖K2‖2
L∞(Ω))‖∆w‖2L2(Ω)
, segue
que
|Gε,δ(t)− Eε(t)| ≤ Cδ
1 + ε(E(0) + ‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K1‖2L∞(Ω)
)‖∆w‖2
L2(Ω)
+ Cδε‖bij‖2L2(Ω) + Cδε‖Ut‖2
L2(Ω)
+ Cδ‖wt‖2L2(Ω) + Cδ‖∇wt‖2
L2(Ω) + Cδ‖θ‖2L2(Ω)
≤ Cδ
1 + ε(E(0) + ‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
)Eε(t)
Escolhemos δ > 0 tal que Cδ
1 + ε(E(0) + ‖K1‖2
L∞(Ω) + ‖K2‖2L∞(Ω)
)<
1
2, então
segue o Lema 4.13.
Lema 4.14. Sejam 0 < ε ≤ 1, 0 < α ≤ 1 e Ki ∈ W 1,∞(Ω), i = 1, 2. Sejam
(Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω)∩H1o (Ω)]2 × [H1
o (Ω)]2 ×H3(Ω)∩H2o (Ω)×H2
o (Ω)×H2(Ω)∩H1o (Ω). Sejam 0 < µ < ε
1+ε, C(µ, ε) denida em (4.100) e C1(µ, ε) denida em (4.101)
tal que
C1(µ, ε) <1
E(0)(4.116)
132
onde E(0) é a energia inicial dada por (4.7) e E(0) ≤M , M > 0. Sejam δ > 0 e Gε,δ(t)
denidos no Lema 4.13.
Então, existe uma constante C3 = C3(δ) > 0 tal que
dGε,δ(t)
dt≤ −C3(δ)Eε(t) + 2δ
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ (4.117)
para qualquer t ≥ 0 e qualquer solução global regular (U,Ut, w, wt, θ) de (3.1)-(3.3).
Demonstração: Pela denição de Gε,δ(t) em (4.115), por (4.86) e pelo Lema 4.12, segue
que
dGε,δ(t)
dt=dEε(t)
dt+ δ
dHε(t)
dt≤ −εα‖Ut‖2
L2(Ω) − ‖∇θ‖2L2(Ω)
+ δ
(1 +
εα−1
2γ
)∫Ω
ε|Ut|2dA+ δ(γ − 1)
∫Ω
|wt|2dA− δ∫
Ω
|∇wt|2dA
+ δC
∫Ω
|∇θ|2dA+ δC
(1
γ+ γ
)∫Ω
|θ|2dA
+ δ
(−C(µ, ε) +
Cγεα
2+Cγ
2
(‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
))∫Ω
|bij|2dA
+ δ
(−1 + C1(µ, ε)E(0) + γ +
Eε(0)γ
2
+Cγεα
2
(Eε(0) + ‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
))∫Ω
|∆w|2dA
+ 2δ
∫∂Ω
∆w∂((−∆)−1θ)
∂ηdΓ
Então, agrupamos os termos na desigualdade acima e obtemos que, como 0 < ε ≤ 1,
dGε,δ(t)
dt≤ −
(εα−1 − δ
(1 +
εα−1
2γ
))∫Ω
ε|Ut|2dA− δ(1− γ)
∫Ω
|wt|2dA
− δ∫
Ω
|∇wt|2dA− δC(µ, ε)− Cγ
(1 + ‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
) ∫Ω
|bij|2dA
− δC4 − Cγ
(1 + Eε(0) + εα
(Eε(0) + ‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
))∫Ω
|∆w|2dA
+ (Cδ − 1)
∫Ω
|∇θ|2dA+ δC
(1
γ+ γ
)∫Ω
|θ|2dA
+ 2δ
∫∂Ω
∆w∂((−∆)−1θ)
∂ηdΓ (4.118)
onde C4 = C4(µ, ε) = 1− E(0)C1(µ, ε) > 0 devido a hipótese (4.116).
Seja
k = 1 + Eε(0) + εα(Eε(0) + ‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
)133
Notemos que k > 1 para qualquer ε > 0. Tomamos γ = λk−1. Então,
δC
(1
γ+ γ
)= δC
(k
λ+λ
k
)≤ δC
(k
λ+ λ
), (4.119)
pois k−1 < 1.
Pela desigualdade de Poincaré,
−‖∇θ‖2L2(Ω) ≤ −
1
C‖θ‖2
L2(Ω) (4.120)
Usando a escolha acima de γ e as desigualdades (4.119) e (4.120) em (4.118), segue
que
dGε,δ(t)
dt≤ −
(εα−1 − δ
(1 +
εα−1
2γ
))∫Ω
ε|Ut|2dA− δ(1− λk−1)
∫Ω
|wt|2dA
− δ∫
Ω
|∇wt|2dA− δC(µ, ε)− Cλk−1
(1 + ‖K1‖2
L∞ + ‖K2‖2L∞
) ∫Ω
|bij|2dA
− δ (C4 − Cλ)
∫Ω
|∆w|2dA−(
1
C− Cδ − Cδ
(k
λ+ λ
))∫Ω
|θ|2dA
+ 2δ
∫∂Ω
∆w∂((−∆)−1θ)
∂ηdΓ (4.121)
Vamos escolher λ e δ como segue:
a) C4 − Cλ > 0;
b) 1− λk−1 > 0;
c) C(µ, ε)− Cλk−1 (1 + ‖K1‖2L∞ + ‖K2‖2
L∞) > 0;
d) εα−1 − δ(
1 + εα−1
2γ
)> 0;
e) 1C− Cδ − Cδ
(kλ
+ λ)> 0
As armações a), b) e c) são válidas se tomarmos:
0 < λ < min
C4C
−1,C(µ, ε)
1 + ‖K1‖2L∞ + ‖K2‖2
L∞, 1
pois k > 1.
Seja λ xo escolhido acima. Observemos que, como 0 < ε ≤ 1,
k = k(ε) ≤ Co,
134
onde Co é uma constante positiva que depende apenas dos dados iniciais (independe de
ε). Então,
C +k
λ+ λ ≤ C +
Coλ
+ λ
Assim, para vericar e), escolhemos δ > 0 sucientemente pequeno tal que
δ <C−1
C + Coλ
+ λ<
C−1
C + kλ
+ λ(4.122)
Para vericar d), como k ≤ Co e 0 < ε ≤ 1, segue que 2λεα−1 + k ≤ 2λ+ Co. Então,
escolhemos δ > 0 tal que
δ <2λ
Co + 2λ≤ 2λ
2λεα−1 + k(4.123)
De (4.122) e (4.123), escolhemos δ > 0 tal que
0 < δ < min
C−1
C + Coλ
+ λ,
2λ
Co + 2λ
Substituímos a escolha de δ > 0 feita acima em (4.121) e e segue a desigualdade
(4.117).
Teorema 4.3. Sejam as hipóteses do Lema 4.14 com os dados iniciais (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈[H1
o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H1o (Ω) ∩H2(Ω)×H1
o (Ω)× L2(Ω).
Então, existem constantes positivas C e ω > 0 tais que
Eε(t) ≤ CEε(0)exp(−ωt), ∀ t ≥ 0 (4.124)
para qualquer (U,Ut, w, wt, θ) solução global fraca de(2.101)-(2.103).
Demonstração: Sejam (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2 × [H1
o (Ω)]2 × H2(Ω) ×H1o ∩ H2(Ω) × H2(Ω) ∩ H1
o (Ω) e (U,Ut, w, wt, θ) a correspondente solução regular de
(2.101)-(2.103).
Pelo Lema 4.14, temos que
dGε,δ(t)
dt≤ −C3(δ)Eε(t)
uma vez que ∆w se anula sobre a fronteira de Ω.
Aplicamos o Lema (4.13) na desigualdade acima,
dGε,δ(t)
dt≤ −C4(δ)Gε,δ(t)
135
Então, temos que
Gε,δ(t) ≤ Gε,δ(0)exp(−ωt)
Aplicamos novamente o Lema (4.13) e obtemos que
Eε(t) ≤ CEε(0)exp(−ωt)
para qualquer solução global regular (U,Ut, w, wt, θ) de (2.101)-(2.103).
Como o sistema (2.101)-(2.103) é bem-posto para soluções regulares e pela semi-
continuidade inferior do funcional da energia, estendemos este resultado para todas as
soluções fracas.
Teorema 4.4. Sejam as hipóteses do Lema 4.14 com os dados iniciais (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈[H1
o (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 ×H2o (Ω)×H1
o (Ω)× L2(Ω).
Então, existem constantes positivas C e ω > 0 tais que
Eε(t) ≤ CEε(0)exp(−ωt), ∀ t ≥ 0. (4.125)
para qualquer solução global fraca (U,Ut, w, wt, θ) de (3.1)-(3.3).
Demonstração: Sejam (Uo, U1, wo, w1, θo) ∈ [H2(Ω) ∩ H1o (Ω)]2 × [H1
o (Ω)]2 × H3(Ω) ∩H2o (Ω)×H2
o (Ω)×H2(Ω) ∩H1o (Ω) e (U,Ut, w, wt, θ) a correspondente solução regular de
(3.1)-(3.3).
Aplicamos o Lema 4.13 na desigualdade (4.117), obtemos que
dGε,δ(t)
dt≤ −C6(δ)Gε,δ(t) + 2δ
∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ (4.126)
Agora, para algum β > 0, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e Young,∣∣∣∣2δ ∫∂Ω
∆w∂
∂η((−∆)−1θ)dΓ
∣∣∣∣ ≤ β
2
∫∂Ω
|∆w|2dΓ +1
2β
∫∂Ω
∣∣∣∣∂(−∆)−1θ
∂η
∣∣∣∣2 dΓ (4.127)
Como∂(−∆)−1
∂ηé um operador linear limitado de H1
o (Ω) em L2(Ω) e como para
soluções regulares temosdEεdt
= −(‖∇θ‖2L2(Ω) + εα‖Ut‖2
L2(Ω)), segue que existe uma cons-
tante C7 > 0 tal que∥∥∥∥∂(−∆)−1θ
∂η
∥∥∥∥2
L2(∂Ω)
≤ C7‖∇θ‖2L2(Ω) ≤ C7(‖∇θ‖2
L2(Ω) + εα‖Ut‖2L2(Ω))
≤ −C7dEεdt
(4.128)
136
Substituímos as estimativas (4.127) e (4.128) em (4.126), obtemos que
dGε,δ(t)
dt≤ −C6(δ)Gε,δ(t) +
δβ
2
∫∂Ω
|∆w|2dΓ− δC7
2β
dEεdt
Logo,
d
dt
(Gε,δ(t) +
δC7
2βEε(t)
)≤ −C6(δ)Gε,δ(t) +
δβ
2
∫∂Ω
|∆w|2dΓ (4.129)
Integramos (4.129) de t = 0 até t = T (T > 0 que será escolhido posteriormente),
Gε,δ(T ) +δC7
2βEε(T ) ≤ Gε,δ(0) +
δC7
2βEε(0)− C6(δ)
∫ T
0
Gε,δ(s)ds
+δβ
2
∫ T
0
∫∂Ω
|∆w|2dΓ ds (4.130)
Agora, pelo Lema 4.8,∫ T
0
∫∂Ω
|∆w|2dΓ ds ≤ C
(Eε(0) +
∫ T
0
(Eε(s) + E2ε (s)) ds
)≤ C
(Eε(0) +
∫ T
0
Eε(s)(1 + Eε(s)) ds
)(4.131)
Pelo Lema 4.13 em (4.131), como a energia é decrescente, segue que∫ T
0
∫∂Ω
|∆w|2dΓ ds ≤ C
(Eε(0) + 2(1 + Eε(0))
∫ T
0
Gε,δ(s) ds
)(4.132)
Substituímos (4.132) em (4.130), obtemos que
Gε,δ(T ) +δC7
2βEε(T ) ≤ Gε,δ(0) +
δC7
2βEε(0)− C6(δ)
∫ T
0
Gε,δ(s)ds
+Cδβ
2
(Eε(0) + 2(1 + Eε(0))
∫ T
0
Gε,δ(s) ds
)(4.133)
Escolhemos β > 0 tal que β < C−1C6(δ)(1 + Eε(0))−1. Com tal escolha em (4.133)
segue que
Gε,δ(T ) +δC7
2βEε(T ) ≤ Gε,δ(0) +
δC7
2βEε(0)− C8(δ)
2
∫ T
0
Gε,δ(s) ds+Cδβ
2Eε(0) (4.134)
Pelo Lema 4.13 temos Eε(t) ≤ 2Gε,δ(t) e como Eε(t) é decrescente, obtemos
−∫ T
0
Gε,δ(s) ds ≤ −T
2Eε(T ) (4.135)
137
Pelo Lema 4.13 e substituindo (4.135) e (4.134)(1
2+δC7
2β+C8(δ)T
4
)Eε(T ) ≤
(2 +
δC7
2β+Cδβ
2
)Eε(0) (4.136)
Seja 0 ≤ σ < 1 xo, escolhemos T > 0 tal que(2 +
δC7
2β+Cδβ
2
)·(
1
2+δC7
2β+C8(δ)T
4
)−1
≤ σ < 1
Logo, teremos que
Eε(T ) ≤ σEε(0) com 0 < σ < 1. (4.137)
Agora, usaremos uma propriedade de Semigrupos. Como o sistema de Marguerre-
Vlasov com efeitos térmicos é bem-posto para soluções regulares, podemos escrever a
solução como
S(t)ϕo = (U,Ut, w, wt, θ)T onde ϕo = (Uo, U1, wo, w1, θo)
Ainda, S(t+ r) = S(t)S(r) para qualquer t, r ≥ 0, segue que
Eε(nT ) = Eε(S(nT )ϕo) = E(Sn(T )ϕo) ≤ σnE(S(T )ϕo) ≤ σnEε(0)
o que implica que existe constantes positivas ω e C tais que
Eε(t) ≤ CEε(0)exp (−ωt) . (4.138)
138
Capítulo 5
Conclusões e Trabalhos Futuros
Neste trabalho, mostramos a existência e unicidade de soluções regulares e fracas
do sistema de Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos. No caso de soluções regulares, o
sistema é bem-posto no sentido de Hadamard. Perturbamos o sistema com um parâmetro
positivo e mostramos que duas componentes do modelo convergem fracamente, no espaço
energia, para a solução fraca de um modelo do tipo Timoshenko acoplado com a equação
do calor. Estabelecemos o decaimento exponencial da energia total do sistema.
Algumas direções na pesquisa futura:
• Estabelecer que o sistema Marguerre-Vlasov com efeitos térmicos é bem-posto no
sentido de Hadamard para soluções fracas, ou seja, ainda falta mostrar a dependên-
cia contínua das soluções fracas em relação aos dados iniciais.
• Retirar a hipótese (4.48) das curvaturas no Teorema 4.1.
• Considerar outros mecânismos de dissipação no sistema de Marguerre-Vlasov com
efeitos térmicos. Por exemplo, tentar considerar uma dissipação interna localizada
da forma a(x, y)Ut, com hipóteses adequadas para a função a.
• Considerar outras condições de fronteira, inclusive não-lineares, para o sistema de
Marguerre-Vlasov com e sem efeitos térmicos.
139
Appendix A
Apêndice
Lema A.1. Sejam U = (u1, u2) ∈ [H2(Ω) ∩H1o (Ω)]2 e h = (h1, h2) ∈ [C1(Ω)]2. Então,∫ T
0
(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2 = −1
2
∫ T
0
∫Ω
|Ut|2div(h) dAdt (A.1)
Demonstração: Observamos primeiro que como |Ut|2 · h = (|Ut|2h1, |Ut|2h2), então
div(|Ut|2 · h) = (|Ut|2h1)x1 + (|Ut|2h2)x2
= 2(u1,tu1,tx1 + u2,tu2,tx1)h1 + 2(u1,tu1,tx2 + u2,tu2,tx2)h2 + |Ut|2div(h)
(A.2)
Por outro lado, como
∇Ut · h =
[u1,tx1h1 + u1,tx2h2
u2,tx1h1 + u2,tx2h2
]então,
(Ut,∇Ut · h) = u1,tu1,tx1h1 + u1,tu1,tx2h2 + u2,tu2,tx1h1 + u2,tu2,tx2h2 (A.3)
Comparamos (A.2) e (A.3), obtemos que
(Ut,∇Ut · h) =1
2div(|Ut|2 · h)− 1
2|Ut|2 · div(h) (A.4)
De (A.4) e pelo Teorema da Divegência, como Ut ∈ [H1o (Ω)]2∫ T
0
(Ut,∇Ut · h)(L2(Ω))2dt =1
2
∫ T
0
∫Ω
div(|Ut|2 · h) dAdt− 1
2
∫ T
0
∫Ω
|Ut|2 · div(h) dAdt
=
∫ T
0
∫Γ
|Ut|2h · η dΓdt− 1
2
∫ T
0
∫Ω
|Ut|2 · div(h) dAdt
= −1
2
∫ T
0
∫Ω
|Ut|2 · div(h) dAdt
140
Lema A.2. Sejam w ∈ H2o (Ω)∩H3(Ω) com wt ∈ H2
o (Ω), h = (h1, h2) ∈ [C1(Ω)]2. Então,∫ T
0
(wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt = (wt,h · ∇w)L2(Ω)
∣∣T0
+1
2
∫ T
0
∫Ω
w2t divh dAdt (A.5)
Demonstração: Integrando por partes,∫ T
0
(wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt = (wt,h · ∇w)L2(Ω)
∣∣T0−∫ T
0
(wt,h · ∇wt)L2(Ω)dt (A.6)
Agora, integrando por partes e como wt ∈ H2o (Ω), segue que
−∫
Ω
wt(h · ∇wt) = −∫
Ω
wt(h1wtx + h2wty) =
∫Ω
wt(wth1)x1 +
∫Ω
wt(wth2)x2
=
∫Ω
w2t (h1,x1 + h2,x2) +
∫Ω
(wtwtx1h1 + wtwtx2h2)
=1
2
∫Ω
w2t divh +
∫Ω
(wtwtx1h1 + wtwtx2h2) +1
2
∫Ω
w2t divh (A.7)
Agora, observamos que
1
2div(w2
th) = wtwtx1h1 + wtwtx2h2 +1
2w2t (h1,x1 + h2,x2) (A.8)
Substituímos (A.8) em (A.7), obtemos que
−∫
Ω
wt(h · ∇wt) =1
2
∫Ω
w2t divh +
1
2
∫Ω
div(w2th) (A.9)
Pelo Teorema da Divergência, como wt = 0 sobre Γ,∫Ω
div(w2th) =
∫Γ
w2th · η = 0
Substituindo a identidade acima e (A.9) em (A.6), segue a identidade (A.5).
Lema A.3. Sejam w e h como no Lema A.2.∫ T
0
(−∆wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt = (∇wt,∇(h · ∇w))∣∣T0
+1
2
∫ T
0
∫Ω
(w2tx1h2,x2 + w2
tx2h1,x1 − w2
tx1h1,x1 + w2
tx2h2,x2)
−∫ T
0
∫Ω
(wtx1wtx2 + wtx1wtx2h1,x2) (A.10)
Demonstração: Integramos por partes e o fato que wtt ∈ H1o (Ω)∫ T
0
(−∆wtt,h · ∇w)L2(Ω)dt =
∫ T
0
∫Ω
(∇wtt,∇(h · ∇w))
= (∇wt,∇(h · ∇w))∣∣T0−∫ T
0
(∇wt,∇(h · ∇wt)) (A.11)
141
Primeiro notemos que h · ∇wt = h1wtx1 + h2wtx2 , então
∇(h · ∇wt) =((h1wtx1 + h2wtx2)x1 , (h1wtx1 + h2wtx2)x2
)|∇wt|2 · h =
((w2
tx1+ w2
tx2)h1, (w
2tx1
+ w2tx2
)h2
)Então,
1
2div(|∇wt|2 · h) =
1
2((w2
tx1+ w2
tx2)h1)x1 +
1
2((w2
tx1+ w2
tx2)h2)x2
=1
2(w2
tx1+ w2
tx2)h1,x1 +
1
2(w2
tx1+ w2
tx2)h2,x2 + wtx1wtx1x1h1
+ wtx2wtx1x2h1 + wtx1wtx1x2h2 + wtx2wtx2x2h2 (A.12)
Assim, de (A.12),
−∫
Ω
∇wt · ∇(h∇wt) = −∫
Ω
(wtx1(h1wtx1 + h2wtx2)x1 + wtx2(h1wtx1 + h2wtx2)x2)
= −∫
Ω
w2tx1h1,x1 + w2
tx2h2,x2 + wtx1wtx1x1h1 + wtx2wtx1x2h1 + wtx1wtx1x2h2
+ wtx2wtx2x2h2 + wtx1wtx2h2,x1 + wtx2wtx1h1,x1
= −1
2
∫Ω
(w2tx1h1,x1 + w2
tx2h2,x2)−
1
2
∫Ω
(w2tx1h1,x1 + w2
tx2h2,x2 + w2
tx2h1,x1 + w2
tx1h2,x2)
−∫
Ω
(wtx1wtx1x1h1 + wtx2wtx1x2h1 + wtx1wtx1x2h2 + wtx2wtx2x2h2)
−∫
Ω
(wtx1wtx2h2,x1 + wtx2wtx1h1,x2) +1
2
∫Ω
(w2tx2h1,x1 + w2
tx1h2,x2)
= −1
2
∫Ω
(w2tx1h1,x1 + w2
tx2h2,x2)−
1
2
∫Ω
div(|∇wt|2h)
+1
2
∫Ω
(w2tx2h1,x1 + w2
tx1h2,x2 −
∫Ω
(wtx1wtx2h2,x1 + wtx2wtx1h1,x2) (A.13)
Pelo Teorema da Divergência e o fato que ∇wt = 0 sobre ∂Ω,∫Ω
div(|∇wt|2h) =
∫Γ
|∇wt|2h · η =
∫Γ
|∇wt|2 = 0
Substituindo a identidade acima e (A.13) em (A.11) segue (A.10).
Lema A.4. Sejam w e h como no Lema A.2.∫ T
0
∫Ω
∆w ·∆(∇w · h) = −1
2
∫ T
0
∫Ω
divh|∆w|2 +
∫ T
0
∫Ω
∆w2∑
k=1
(∆hk)wxk
+ 2
∫Ω
∆w2∑
k=1
∇hk∇wxk +1
2
∫ T
0
∫Γ
|∆w|2 (A.14)
142
Demonstração: Primeiro, notamos que
∆w ·∆(∇w · h) = (wx1x1 + wx2x2)(h1wx1x1x1 + 2h1,x1wx1x1 + h1,x1x1wx1 + h2,x1wx1x2
+ h2,x1x1wx2 + h2,x1wx1x2 + h1wx1x1x2 + h1wx1x2x2 + h1,x2wx1x2
+ h1,x2x2wx1 + h2,x2x2wx2 + 2h2,x2wx2x2 + h2wx2x2x2 + h2wx2x2x2)
= h1wx1x1wx1x1x1 + h1wx1x1wx1x2x2 + h1wx2x2wx1x2x2 + h1wx2x2wx1x1x1
+ h2wx1x1wx2x2x2 + h2wx2x2wx2x1x1 + h2wx2x2wx2x2x2 + h2wx1x1wx2x1x1
+1
2h1,x1w
2x1x1
+ h1,x1wx1x1wx2x2 +1
2h1,x1w
2x2x2
+1
2h2,x2w
2x1x1
+ h2,x2wx1x1wx2x2 +1
2h2,x2w
2x2x2
+3
2h1,x1w
2x1x1
+ h1,x1x1wx1wx1x1
+ h2,x1wx2x1wx1x1 + h2,x1x1wx2wx1x1 + h2,x1wx2x1wx1x1 + h1,x2wx1x1wx2x1
+ h1,x2x2wx1wx1x1 + h1,x2wx2x1wx1x1 + h2,x2x2wx1x1wx2 + h2,x2wx1x1wx2x2
+ h1,x1wx2x2wx1x1 + h1,x1x1wx1wx2x2 + h2,x1wx2x1wx2x2 + h2,x1x1wx2wx2x2
+ h2,x1wx2x1wx2x2 + h1,x2wx2x1wx2x2 + h1,x2x2wx1wx2x2 + h1,x2wx2x1wx2x2
+ h2,x2x2wx2wx2x2 +3
2h2,x2u
2x2x2− 1
2h1,x1w
2x2x2− 1
2h2,x2w
2x2x2
=1
2div(|∆w|2h) +B(wx1 , wx2 , wx1x1 , wx2,x2 , wx1x2) (A.15)
143
Bibliograa
[1] G. Avalos and I. Lasiecka, Exponential stability of a thermoelastic system without
mechanical dissipation, Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 28 (1996), no. suppl., 128
(1997).
[2] , Exponential stability of a thermoelastic system with free boundary conditions
without mechanical dissipation, SIAM J. Math. Anal. 29 (1998), no. 1, 155182
(electronic).
[3] A. Benabdallah and I. Lasiecka, Exponential decay rates for a full von Kármán
system of dynamic thermoelasticity, J. Dierential Equations 160 (2000), no. 1,
5193.
[4] , Exponential decay rates for a full von Karman thermoelastic system with
nonlinear thermal coupling, Contrôle des systèmes gouvernés par des équations aux
dérivées partielles (Nancy, 1999), ESAIM Proc., vol. 8, Soc. Math. Appl. Indust.,
Paris, 2000, pp. 1338 (electronic).
[5] E. Bisognin, V. Bisognin, G. Perla Menzala, and E. Zuazua, On exponential stability
for von Kármán equations in the presence of thermal eects, Math. Methods Appl.
Sci. 21 (1998), no. 5, 393416.
[6] A. Boutet de Monvel and I. Chueshov, Uniqueness theorem for weak solutions of von
Karman evolution equations, J. Math. Anal. Appl. 221 (1998), no. 2, 419429.
[7] J. Cagnol, I. Lasiecka, C. Lebiedzik, and R. Marchand, Uniqueness and continuous
dependence on the initial data for a class of non-linear shallow shell problems, C. R.
Math. Acad. Sci. Paris 342 (2006), no. 9, 711716.
[8] , Hadamard well-posedness for a class of nonlinear shallow shell problems,
Nonlinear Anal. 67 (2007), no. 8, 24522484.
144
[9] M. M. Cavalcanti, V. Domingos Cavalcanti, R. Fukuoka, and J. A. Soriano, Asymp-
totic stability of the wave equation on compact surfaces and locally distributed
damping-a sharp result, Trans AMS 361 (2009), no. 9, 45614580.
[10] I. Chueshov and I. Lasiecka, Existence, uniqueness of weak solutions and global
attractors for a class of nonlinear 2D Kirchho-Boussinesq models, Discrete Contin.
Dyn. Syst. 15 (2006), no. 3, 777809.
[11] I. D. Chueshov and A. S. Shcherbina, On 2D Zakharov system in a bounded domain,
Dierential Integral Equations 18 (2005), no. 7, 781812.
[12] P. G. Ciarlet, Mathematical elasticity. Vol. III. Theory of shells., Studies in Math-
ematics and its Applications, vol. 29, North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
2000.
[13] A. M. Gomes, Semigrupos de operadores lineares e aplicações às equações de
evolução, UFRJ, Rio de Janeiro, 2005.
[14] M. Grasselli, G. Schimperna, and S. Zelik, On the 2D Cahn-Hilliard equation with
inertial term, Comm. Partial Dierential Equations 34 (2009), no. 1-3, 137170.
[15] P. Grisvard, Caractérisation de quelques espaces d'interpolation, Arch. Rational
Mech. Anal. 25 (1967), 4063.
[16] L. Hormander, Linear partial dierential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1976.
[17] M. A. Horn, Implications of sharp trace regularity results on boundary stabilization
of the system of linear elasticity, J. Math. Anal. Appl. 223 (1998), no. 1, 126150.
[18] M. A. Horn and I. Lasiecka, Global stabilization of a dynamic von Kármán plate
with nonlinear boundary feedback, Appl. Math. Optim. 31 (1995), no. 1, 5784.
[19] J. E. Lagnese, Boundary stabilization of thin plates, SIAM Studies in Applied Math-
ematics, Philadelphia, 1989.
[20] J. E. Lagnese and G. Leugering, Uniform stabilization of a nonlinear beam by non-
linear boundary feedback, J. Dierential Equations 91 (1991), no. 2, 355388.
[21] I. Lasiecka, Finite-dimensionality of attractors associated with von Kármán plate
equations and boundary damping, J. Dierential Equations 117 (1995), no. 2, 357
389.
145
[22] , Uniform stabilizability of a full von Karman system with nonlinear boundary
feedback, SIAM J. Control Optim. 36 (1998), no. 4, 13761422 (electronic).
[23] , Weak, classical and intermediate solutions to full von Karman system of
dynamic nonlinear elasticity, Appl. Anal. 68 (1998), no. 1-2, 121145.
[24] I. Lasiecka and R. Triggiani, Exact controllability and uniform stabilization of Kir-
cho [Kirchho] plates with boundary control only on ∆w|Σ and homogeneous bound-
ary displacement, J. Dierential Equations 93 (1991), no. 1, 62101.
[25] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolutions des problèmes aux limites non-
linéaires, Dunod, Paris, 1969.
[26] , Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilization de systemas distribués,
vol 1, Masson, Paris, 1989.
[27] J. L. Lions and E. Magenes, Non-homogeneous boundary value problems and appli-
cations, vol i, Springer-Verlag, New York, 1972.
[28] A. Münch and A. F. Pazoto, Boundary stabilization of a nonlinear shallow beam:
theory and numerical approximation, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 10 (2008),
no. 1, 197219.
[29] O. A. Olenik, A. S. Shamaev, and G. A Yosian,Mathematical problems in elasticity
and homogenization, Studies in Mathematics and its Applications, 26, North-Holland
Publishing Co., Amsterdam, 1992.
[30] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial dierential equa-
tions, Springer-Verlag, New York, 1983.
[31] G. Perla Menzala, A. F. Pazoto, and E. Zuazua, Stabilization of Berger-
Timoshenko's equation as limit of the uniform stabilization of the von Kármán
system of beams and plates, M2AN Math. Model. Numer. Anal. 36 (2002), no. 4,
657691.
[32] G. Perla Menzala and J. S. Suarez, On the one-dimensional version of the dynamical
Marguerre-Vlasov system with thermal eects, Discrete Contin. Dyn. Syst. (2009),
no. Dynamical Systems, Dierential Equations and Applications. 7th AIMS Confer-
ence, suppl., 536547.
146
[33] G. Perla Menzala and E. Zuazua, Energy decay rates for the von Kármán system of
thermoelastic plates, Dierential Integral Equations 11 (1998), no. 5, 755770.
[34] , The beam equation as a limit of a 1-D nonlinear von Kármán model, Appl.
Math. Lett. 12 (1999), no. 1, 4752.
[35] , Timoshenko's beam equation as limit of a nonlinear one-dimensional von
Kármán system, Proc. of the Royal Soc. Edinburg 130 (2000), no. A, 855875.
[36] , Timoshenko's plate equation as a singular limit of the dynamical von Kár-
mán system, J. Math. Pures Appl. (9) 79 (2000), no. 1, 7394.
[37] , On a one-dimensional version of the dynamical Marguerre-Vlasov system,
Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.) 32 (2001), no. 3, 303319.
[38] , A singular limit of the dynamic Marguerre-Vlasov nonlinear equations of
shallow shells, Semigroups of operators: theory and applications (Rio de Janeiro,
2001), Optimization Software, New York, 2002, pp. 200208.
[39] , The energy decay rate for the modied von Kármán system of thermoelastic
plates: an improvement, Appl. Math. Lett. 16 (2003), no. 4, 531534.
[40] J. P. Puel and M. Tucsnak, Boundary stabilization for the von Kármán equations,
SIAM J. Control Optim. 33 (1995), no. 1, 255273.
[41] , Global existence for the full von Kármán system, Appl. Math. Optim. 34
(1996), no. 2, 139160.
[42] J. R. L. Sanchez, O sistema dinâmico de von Kárman em domínios não limitados é
globalmente bem posto no sentido de Hadamard: análise do seu limite singular, Tese
de Doutorado - UFRJ, Rio de Janeiro, 2003.
[43] V. I. Sedenko, Uniqueness of the generalized solution of an initial-boundary value
problem in the nonlinear theory of oscillations of shallow shells, Dokl. Akad. Nauk
SSSR 316 (1991), no. 6, 13191322.
[44] , On the uniqueness theorem for generalized solutions of initial-boundary
problems for the Marguerre-Vlasov vibrations of shallow shells with clamped bound-
ary conditions, Appl. Math. Optim. 39 (1999), no. 3, 309326.
147
[45] J. Simon, Compact sets in the space Lp(0, T ;B), Ann. Mat. Pura Appl. (4) 146
(1987), 6596.
[46] L. Tartar, An introduction to sobolev spaces and interpolation spaces, Springer-
Verlag, Berlin, 2007.
[47] D. Tataru and M Tucsnak, On the Cauchy problem for the full von Kármán system,
NoDEA Nonlinear Dierential Equations Appl. 4 (1997), no. 3, 325340.
[48] I. I. Vorovich, On some direct methods in nonlinear theory of vibrations of curved
shallow shells, Izv. Akad. Nauk SSSR, Mat. 21 (1957), 747784.
[49] , Nonlinear theory of shallow shells, Applied Mathematical Sciences 133,
Springer-Verlag, New York, 1999.
148