UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ......Modelo de dois fluidos - Tese. 5. Problema de segregação de fases - Tese. I. Santos, Adriano dos. II. Pires, Adolfo Puime. III

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE TECNOLOGIA

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRAPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO

TESE DE DOUTORADO

MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO TRANSIENTE

COMPOSICIONAL EM POÇOS DE PETRÓLEO USANDO MODELO DE DOIS FLUIDOS

JÚLIO CÉSAR SANTOS NASCIMENTO

Natal, RN, Outubro de 2017

MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO TRANSIENTE

COMPOSICIONAL EM POÇOS DE PETRÓLEO USANDO MODELO DE DOIS FLUIDOS

TESE SUBMETIDA AO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGE-NHARIA DE PETRÓLEO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECOMO PARTE DO REQUISITOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CI-ÊNCIAS E ENGENHARIA DE PETRÓLEO

JÚLIO CÉSAR SANTOS NASCIMENTO

Orientador: Prof. D.Sc. Adriano dos SantosCoorientador: Prof. D.Sc. Adolfo Puime Pires

Natal, RN, Outubro de 2017

Nascimento, Julio Cesar Santos. Modelagem numérica do escoamento multifásico transientecomposicional em poços de petróleo usando modelo de dois fluidos/ Julio Cesar Santos Nascimento. - 2017. 164 f.: il.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande doNorte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Natal, RN, 2017. Orientador: Prof. D.Sc Adriano dos Santos. Coorientador: Prof. D.Sc Adolfo Puime Pires.

1. Engenharia de petróleo - Tese. 2. Escoamento multifásico -Tese. 3. Simulador de poço transiente composicional - Tese. 4.Modelo de dois fluidos - Tese. 5. Problema de segregação defases - Tese. I. Santos, Adriano dos. II. Pires, Adolfo Puime.III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 622.323

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Às pessoas mais importantes de mi-nha vida que sempre estiveram aomeu lado nesta longa caminhada: meugrande amor Janaina Ottonelli, minhamãe, Irenilde; meu pai, José Milton e;minha irmã, Ana Paula.

iv

“Once we accept our limits, we go beyond them.”

[Albert Einstein ]

v

Agradecimentos

Esta tese foi desenvolvida em colaboração com o Laboratório de Engenharia e Explora-

ção de Petróleo (LENEP-UENF) e a The University of Tulsa (TU) como parte do projeto de

pesquisa “Modelagem do Acoplamento Poço-Reservatório com Variação de Propriedades Ter-

modinâmicas em Reservatórios com Alto Teor de CO2 ” financiado pela Petrobras (convênio

N° 2013/00029-9).

Quero deixar registrado meus agradecimentos:

Aos meus orientadores professores, Adriano dos Santos e Adolfo Puime Pires, pela oportu-

nidade de desenvolver este trabalho e crescer profissionalmente. Muito obrigado pela orienta-

ção, confiança incentivo e principalmente pela amizade.

Aos professores, Carlos Enrique Pico Ortiz e Santos Alberto Enriquez Remígio, pela ami-

zade, colaboração e valorosas sugestões para este trabalho.

Aos professores da The University of Tulsa, Albert C. Reynolds pela orientação durante o

doutorado sanduíche, Fahim Forouzanfar, Rami Younis e Ovadia Shoham pelas discussões e

sugestões.

Aos professores, Sidarta Araújo de Lima e Marcela Marques Vieira pelo suporte.

À Petrobras pelo financiamento do projeto convênio N° 2013/00029-9.

À CAPES pela bolsa de doutorado.

Ao CNPq pela bolsa de doutorado sanduíche nos Estados Unidos.

À Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), LENEP-UENF e a TU por todo

o suporte e acesso aos simuladores comerciais usados no desenvolvimento desta tese.

À toda equipe do projeto, professor André Bueno e Denize Saldanha pelo apoio e suporte

administrativo, aos amigos Pedro Linhares e Rodrigo Aguiar, pelo convívio e suporte com os

códigos.

Aos amigos Wagner Queiroz Barros e Bismarck Gomes Souza Júnior pela colaboração no

vi

Agradecimentos

desenvolvimento do simulador, pelas discussões e companheirismo, sem os quais este trabalho

não teria alcançado os objetivos aqui apresentados.

Aos amigos e colegas da UFRN, UENF e TU, Jhon Moron, Pamela Aguirre, Gabriel Malga-

resi, Fernando Diogo, Rafael Scardini, Soham Sheth, Mohammadreza Mohammadnia, Walter

Poquioma, Rahman Mustafa, Cíntia Gonçalves e Ranran Lu pelo apoio, convívio e amizade.

À minha família, em especial aos meus pais José Milton do Nascimento e Irenilde Lima

S. Nascimento e à minha irmã Ana Paula S. Nascimento por me apoiaram incondicionalmente

nesta trajetória acadêmica através do amor e carinho oferecidos.

À minha segunda família no Rio Grande do Sul, Carmem Michalski, Julian Ottonelli e

Jaqueline Ottonelli pelo apoio, amizade e carinho oferecidos.

Finalmente, tenho muito a agradecer à minha noiva e cúmplice nessa longa jornada, Janaina

Ottonelli. Muito obrigado pelo seu amor, carinho, companheirismo, compreensão, paciência e

todo seu apoio e incentivo nos momentos difíceis, sem você ao meu lado não teria realizado

este trabalho.

vii

Resumo da tese apresentada ao PPGCEP/UFRN como parte dos requisitos necessários para aobtenção do grau de Doutor em Ciências e Engenharia de Petróleo

MODELAGEM NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MULTIFÁSICO TRANSIENTECOMPOSICIONAL EM POÇOS DE PETRÓLEO USANDO MODELO DE DOIS FLUIDOS

Júlio César Santos NascimentoOutubro de 2017

Orientadores: Adriano dos Santos, D.Sc.Adolfo Puime Pires, D.Sc.

O escoamento multifásico transiente em tubulações é um fenômeno comum nas indústriasquímica, nuclear e petróleo. A simulação numérica desse fenômeno é uma ferramenta essen-cial para análise econômica e de segurança ligadas ao dimensionamento e gerenciamento deprojetos produção e exploração de petróleo. Este trabalho propõe uma solução numérica to-talmente implícita para simulação do escoamento bifásico transiente composicional em poçosde petróleo usando o modelo de dois fluidos. O sistema de equações governantes é compostopelas equações de conservação de massa para cada componente, uma equação de energia totalpara mistura, e uma equação de quantidade de movimento para cada fase. Além das equaçõesde conservação, o sistema inclui as equações de equilíbrio termodinâmico e equações de restri-ção (frações molares dos componentes por fase e frações volumétricas). A equação de estadocúbica de Peng-Robinson é usada nos cálculos das propriedades físicas, teste de estabilidade eflash bifásico.As equações governantes na forma unidimensional são discretizadas através dométodo dos volumes finitos em um arranjo de malhas desencontradas. O esquema upwind deprimeira ordem é utilizado para interpolar os fluxos de massa, quantidade de movimento e ener-gia nas faces do volume de controle. O método implícito de Euler de primeira ordem é usadopara discretização temporal. O sistema de equações algébricas não-linear resultante é resolvidosimultaneamente usando o método de Newton-Raphson. Finalmente, os resultados numéricosobtidos com as soluções propostas foram comparadas com soluções de referência e tambémcom resultados numéricos obtidos com um simulador comercial, permitindo uma verificaçãodetalhada das soluções propostas. Além disso, uma nova solução de referência para o problemade segregação de fases sem atrito foi proposta e comparada com as soluções numéricas.

Palavras chave: Escoamento multifásico; simulador de poço transiente composicional;modelo de dois fluidos; problema de segregação de fases; solução totalmente implícita.

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Thesis abstract presented to PPGCEP/UFRN as a partial fulfilment of the requirements for thedegree of Doctor of Science and Petroleum Engineering

NUMERICAL MODELING OF TRANSIENT COMPOSITIONAL MULTIPHASE FLOWIN WELLBORES USING TWO-FLUID MODEL

Júlio César Santos NascimentoOctober, 2017

Advisers: Adriano dos Santos, D.Sc.Adolfo Puime Pires, D.Sc.

Transient multiphase flow in pipes is a common phenomenon in chemical, nuclear andpetroleum industries. Numerical simulation of multiphase flow in pipes is an essential tool foreconomic and safety analysis related to design and management of production and explorationprojects. In this work, we propose a fully-implicit numerical solution for a transient composi-tional two-phase flow in a wellbore using two-fluid model. The system of governing equationsconsists of mass balance equations for each component, one energy equation for mixture, andone momentum equation for each phase. In addition to the conservation equations, thermo-dynamic equilibrium equations and constraint equations (mole fraction of all components ineach phase and sum of volume fractions) are considered. The thermodynamic properties ofthe hydrocarbons, stability and flash calculations are obtained by using the Peng-Robinson cu-bic equation of state. The one-dimensional governing equations are discretized by means offinite volume method considering staggered grid scheme. The first order upwind is used toevaluate mass, momentum and energy at the control volume faces. The first order implicit Eu-ler method is applied for temporal discretization. The resulting system of nonlinear algebraicequations is solved simultaneously by using a fully implicit Newton-Raphson method. Finally,a detailed verification of the proposed solutions were performed by comparing the obtained nu-merical results to reference and commercial simulators. In addition, a reference solution for thefrictionless phase segregation benchmark problem was proposed and compared to numericalsolutions.

Keywords: Multiphase flow; transient compositional wellbore simulator; two-fluid model;fully-implicit solution; phase segregation problem.

ix

Sumário

Resumo viii

Abstract ix

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xvii

Nomenclatura xviii

1 Introdução 11.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Revisão Bibliográfica 6

3 Formulação Matemática 103.1 Formulação local instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Formulação média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Processo de média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1.1 Função indicadora de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1.2 Médias ponderadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Equações de transporte médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.1 Equação de conservação de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1.1 Modelo imiscível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1.2 Modelo composicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.2 Equação da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.4 Equações de salto na interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Equações governantes unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Equações de restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Equações constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6.1 Pressão interfacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

x

Sumário

3.6.2 Tensão na parede do tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6.3 Tensão interfacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6.3.1 Força de arraste por unidade de volume . . . . . . . . . . . . 253.6.3.2 Força de cisalhamento por unidade de volume . . . . . . . . 30

3.6.4 Mapas de padrões de escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6.4.1 Mapa vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6.4.2 Mapa horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6.5 Transferência de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6.5.1 Transferência de calor na direção axial . . . . . . . . . . . . 363.6.5.2 Transferência de calor na direção radial . . . . . . . . . . . . 37

4 Formulação Numérica 404.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Discretização do modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Conservação de massa modelo imiscível . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Conservação de massa modelo composicional . . . . . . . . . . . . . . 434.2.3 Conservação da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.4 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.5 Equações de restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Esquema de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Solução numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.1 Modelo imiscível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4.2 Modelo composicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.1 Condição de contorno I: velocidade prescrita na entrada e pressão pres-

crita na saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.2 Condição de contorno II: fluxo nulo na entrada e saída . . . . . . . . . 604.5.3 Condição de contorno III: fluxo mássico total prescrito na entrada e

pressão prescrita na saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.4 Condição de contorno IV: simulação com termo fonte e pressão pres-

crita na saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 Condição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Simulações Numéricas: modelo imiscível 645.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2 Descontinuidade em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Teste da torneira (water faucet test) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 Problema de segregação de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4.1 Solução de referência proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.2 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

xi

Sumário

6 Simulações Numéricas: modelo composicional 826.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2 Despressurização de CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Injeção de CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4 Produção de óleo e gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.5 Problema de segregação de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.5.1 Segregação de fases sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5.2 Segregação de fases com atrito interfacial . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7 Considerações Finais 1167.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Referências Bibliográficas 119

A Discretização das Equações Diferenciais 126A.1 Discretização da conservação de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126A.2 Discretização da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.3 Discretização da conservação de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.4 Discretização das equações de restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

B Modelo Termodinâmico 132B.1 Equação de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132B.2 Propriedades Físicas dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B.2.1 Massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134B.2.2 Entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134B.2.3 Fração global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136B.2.4 Fugacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136B.2.5 Tensão superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.2.6 Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.2.7 Condutividade térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

B.3 Equilíbrio Termodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139B.3.1 Cálculo de estabilidade termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 140B.3.2 Flash bifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

xii

Lista de Figuras

3.1 Representação esquemática de um volume de controle V multifásico (FUENTES-NUCAMENDI, 1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Comportamento da função indicadora de faseXp para um tempo fixo to (STäDTKE,2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Volume de controle unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Volume de controle padrão de golfadas (RELAP5, 2001) . . . . . . . . . . . . 293.5 Padrões de escoamento de Taitel et al. (1980) em tubo vertical (MALEKZA-

DEH, 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Padrões de escoamento de Taitel et al. (1980) em tubo horizontal (MALEKZA-

DEH, 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7 Mapa de escoamento vertical RELAP5 (RELAP5, 2001) . . . . . . . . . . . . 333.8 Mapa de escoamento vertical RELAP5 simplificado (RELAP5, 2001) . . . . . 353.9 Mapa de escoamento horizontal RELAP5 simplificado (RELAP5, 2001) . . . . 363.10 Componentes de um sistema de completação. Adaptado de Hasan (1994) . . . 38

4.1 Volume de controle unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Malhas principal e deslocada usadas na discretização espacial . . . . . . . . . . 424.3 Fluxograma com o algoritmo de execução de uma simulação imiscível . . . . . 524.4 Algoritmo de teste de aparacimento/desaparecimento de fases . . . . . . . . . 544.5 Fluxograma com o algoritmo de execução de uma simulação composicional . . 584.6 Representação da ordenamento da malha espacial. (a) vertical e (b) horizontal . 594.7 Representação das células de fronteira inferior e superior . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Descontinuidade em movimento: soluções numérica e de referência no instantet = 5 s. (a) fração de gás; (b) pressão e velocidades ( passo de tempo ∆t = 10−2

s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Esquema e geometria do teste de toneira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Solução no tempo do teste da torneira, solução de referência e numérica, malha

computacional 120 células e passo de tempo ∆t = 5×10−4s: (a) fração de gás,(b) velocidade do líquido, (c) pressão e (d) velocidade do gás. . . . . . . . . . . 68

xiii

Lista de Figuras

5.4 Efeito do termo de correção de pressão no solução numérica no teste da torneira.Solução de referência e soluções numéricas no instante t = 0.5 s: (a) fração degás e (b) velocidade de líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5 Refinamento da malha da malha no teste da torneira. Soluções de referência enuméricas no instante t = 0.5 s com CFL constante (∆x

∆t= 16 m/s) sem termo

de correção de pressão (σ = 0.0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 Refinamento da malha no teste da torneira. Soluções de referência e numéricas

no instante t = 0.5 s com CFL constante (∆x∆t

= 16 m/s) com termo de correçãode pressão (σ = 1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.7 Esquema e geometria do problema de segregação de fases . . . . . . . . . . . . 715.8 Volume de controle usado para dedução da solução de referência proposta . . . 725.9 Teste de segregação sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência)

para α0l = 0.25: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade

do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.10 Teste de segregação sem atrito. Soluções numéricas propostas e de referência

(EVJE; FLåTTEN, 2003) para α0l = 0.50: (a) fração de líquido; (b) velocidade

do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.11 Teste de segregação sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência)

para α0l = 0.75: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade

do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.12 Teste de segregação sem atrito. Efeito do refinamento da malha espacial na

solução numérica da pressão da fronteira inferior (P (x = 0, t)): (a) α0l = 0.25;

(b) α0l = 0.50; (c) α0

l = 0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.13 Teste de segregação com atrito interfacial de Evje e Flåtten (2005), compara-

ção entre soluções numéricas proposta neste trabalho e Shekari e Hajidavalloo(2013) para L = 7.5 m; α0

l = 0.5; N = 250 células, passo de tempo ∆t = 10−3

s e σ = 1.2: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade dogás; (d) perfil de pressão para o tempo t = 0.6 s e (e) pressão contra tempo emx = 0 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.14 Teste de segregação com atrito interfacial (modelo Eq.(3.99)) comparação en-tre soluções numéricas proposta e Städtke (2006). (a) fração de líquido e (b)pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1 Despressurização deCO2. Soluções numéricas proposta e de referência (MUSTAe OLGA) no instante t = 1.51 s: a) 100 células e b) 10000 células . . . . . . . 84

6.2 Despressurização deCO2. Efeito do refinamento do passo de tempo: a) pressão,b) temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3 Despressurização de CO2. Efeito do atrito na parede do tubo: a) pressão, b)temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . . . 86

xiv

Lista de Figuras

6.4 Despressurização de CO2. Efeito da composição: a) pressão, b) temperatura ec) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5 Despressurização de CO2. Efeito do coeficiente de troca de Ut: a) pressão, b)temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.6 Injeção de CO2. Período de injeção. Perfis: a) pressão, b) temperatura, c)velocidade e d) fração volumétrica de gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.7 Injeção de CO2. Período de fechamento (shut-in): a) pressão, b) temperatura,c) velocidade e d) fração volumétrica de gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.8 Vazão de injeção de CO2 no fundo poço em função do tempo no período de . . 916.9 Caso A. Comparação entre os simuladores proposto e PIPESIM: (a) fração vo-

lumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gáse (e) temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.10 Caso B. Comparação entre os simuladores proposto e PIPESIM: (a) fração vo-lumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gáse (e) temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.11 Caso C. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquidovelocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Vazão totalmássica de 10 kg/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.12 Caso C. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquidovelocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Vazão totalmássica de 10 kg/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.13 Caso C. Comparação do modelos TFM-DFA e TFM-drag solução regime per-manente, vazão mássica de 10 kg/s: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c)líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. . . . . . 100

6.14 Caso C. Evolução temporal do fluxo mássico total: (a) 5 kg/s e 10 kg/s . . . . 1016.15 Caso D. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido

velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Pressão na saídaigual a 10 MPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.16 Caso D. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquidovelocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Pressão na saídaigual a 8 MPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.17 Caso D. Vazão volumétrica em função do tempo no intervalo antes de depoisda alteração da redução da pressão no topo: (a) conexão poço/reservatório e (b)cabeça do poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.18 Caso D. Pressão no fundo (BHP) e cabeça (WHP) do poço em função do tempo 1066.19 Teste de segregação composicional sem atrito. Soluções propostas (numérica e

de referência) para z0C1

= 0.5: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido;(c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

xv

Lista de Figuras

6.20 Teste de segregação composicional sem atrito. Soluções propostas (numérica ede referência) para z0

C1= 0.3: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido;

(c) velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.21 Teste de segregação composicional sem atrito. Fração global em função do

comprimento para z0C1

= 0.3: (a) C1 e (b) C16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.22 Teste de segregação composicional sem atrito. Gráfico de P

P 0 , ZZ0 , V

0g

Vge ng

n0g

contrao tempo para z0

C1= 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.23 Teste de segregação composicional sem atrito. Efeito do refinamento da malhaespacial para z0

C1= 0.3: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c)

velocidade do gás e (d) pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.24 Teste de segregação composicional com atrito interfacial adiabático. Soluções

numéricas: (a) fração de líquido; (b) composição global do C1; (c) velocidadedo líquido, (d) velocidade do gás, (e) pressão e (d) temperatura . . . . . . . . . 113

6.25 Teste de segregação composicional com atrito interfacial adiabático. Compa-ração entre a soluções numéricas com e sem o termo de energia potencial naequação de conservação de energia: (a) fração de líquido; (b) composição glo-bal do C1; (c) perfil de pressão e (d) perfil de temperatura . . . . . . . . . . . . 114

6.26 Teste de segregação composicional com atrito interfacial com transferência decalor sem o trabalho da força peso na equação de conservação de energia datotal da mistura. Soluções numéricas: (a) pressão, (b) temperatura e (c) pressãono fundo (BHP) e no topo (WHP) em função do tempo . . . . . . . . . . . . . 115

xvi

Lista de Tabelas

3.1 Parâmetros da equação de conservação genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Tensão interfacial total (ISHII; HIBIKI, 2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Equações governantes modelo imiscível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Variáveis naturais modelo imiscível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Equações governantes modelo composicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Variáveis naturais modelo composicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1 Condições de contorno do teste da torneira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Condição inicial e de contorno do problema de segregação de fases . . . . . . 715.3 Tempo para segregação completa na solução de referência . . . . . . . . . . . 74

6.1 Despressurização de CO2. Configuração da linha de produção e composição dofluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Despressurização de CO2. Coeficientes para entalpia padrão (Eq. (B.24)) . . . 836.3 Injeção de CO2. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da

simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4 Caso A. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simula-

ção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.5 Caso B. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simula-

ção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.6 Caso C. Composição e de propriedades críticas do fluido . . . . . . . . . . . . 966.7 Caso C. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simula-

ção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.8 Caso D. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simula-

ção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.9 Composição e de propriedades críticas do fluido. Caso 4 . . . . . . . . . . . . 1026.10 Teste de segregação composicional sem atrito. Dados da coluna, fluido e con-

dição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.11 Teste de segregação composicional com atrito interfacial. Dados da coluna,

fluido, temperatura e pressão de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

B.1 Parâmetro ∆ para diferentes EOS (DANESH, 1998; SANDLER, 2006) . . . . 133

xvii

Nomenclatura

A nomenclatura está dividida em: alfabeto latino, alfabeto grego, subscrito, sobrescrito,símbolos e acrônimos, sendo apresentada em ordem alfabética.

Alfabeto Latino

A Área da seção transversal [m²]c Compressibilidade [1/Pa]Cp Calor específico [J/kg.K]CD Coeficiente de arraste [-]Ci Parâmetro de arraste [kg/m³]C0 Parâmetro de distribuição [-]D Diâmetro [m]D∗ Diâmetro hidráulico adimensional [-]Dd Diâmetro da partícula [m]e Energia específica [J/kg]Ep Termo de transferência de energia interfacial [J/m³.s]fc,p Fugacidade do componente [Pa]f Fator de atrito [-]g Aceleração gravitacional [m/s²]G Fluxo mássico por unidade de área [kg/m².s]h Entalpia específica molar [J/mol]h Coeficiente de troca de calor por convecção [W/m².K]I Tensor identidade [-]I Termo de transferência interfacial genérico [-]J Tensor de tensões (normal e viscosa) [Pa]J Matriz JacobianaL Fração molar, comprimento do domínio [-]M Tensão interfacial total [N/m³]m Fluxo mássico [kg/s]n Número de moles [mol], tempo anteriorN Número de células [-]~n Vetor normal a superfície [-]Np Número de fases [-]Nc Número de componentes [-]

xviii

Nomenclatura

Nµl Número de viscosidade do líquido [-]P Pressão [Pa]PI Índice de produtividade [m³/Pa.s]q Fluxo de calor [J/s]q Fluxo de calor por unidade área [J/m².s]Qx Fluxo de calor na direção axial por unidade de volume [J/m³.s]Qw Fluxo de calor na direção radial por unidade de volume [J/m³.s]qΨp Termo fonte de geração interna genérico por unidade de volumeqmc,p Termo fonte de geração interna de massa [kg/m³.s]qnc,p Termo fonte de geração interna de massa em base molar [mol/m³.s]qep Termo fonte de geração interna de energia da fase [J/m³.s]qe Termo fonte de geração interna de energia da mistura [J/m³.s]r Raio [m]R Constante universal dos gases [J/mol.K]R Vetor de resíduosRe Número de Reynolds [-]S Superfície [m²]t Tempo [s]tD Tempo adimensional [-]Tµ Tensor de tensões viscosas [Pa]TT Tensor de tensões turbulentas [Pa]T Temperatura [K]TD Temperatura adimensional [-]u Energia interna [J/Kg]Ut Coeficiente global de transferência de calor [W/m.K]v Velocidade [m/s]vD Velocidade de deslizamento [m/s]v+D Velocidade de deslizamento adimensionalvc Volume crítico [l/mole]vR Velocidade relativa [m/s]V Volume [m³]xc,p Fração molar [-]x Posição no espaço [m]Xp Função indicadora de fase [-]X Vetor de variáveisz Fração global do componente [-]Z Fator compressibilidade [-]

xix

Nomenclatura

Alfabeto Grego

α Fração volumétrica [-]βv± Parâmetro da interpolação propriedade vetorial [-]βs± Parâmetro da interpolação propriedade escalar [-]δi Espessura da interface i [m]δX Vetor de incremento das variáveisκ Condutividade térmica [W/m.K]λ Autovaloresξ Massa especifica molar [mol/m³]ε Rugosidade, erro de convergência [-]θ Ângulo de inclinação da tubulação com a horizontal [°]σlg Tensão superficial líquido-gás [N/m]τ Tensão viscosa [Pa]φ Termo fonte devido as forças de corpoψ Propriedade genérica intensivaω Fator acêntrico [-]Γ Termos de transferência de massa interfacial [Kg/m³.s]∆Pi Termo de correção de pressão [Pa]∆t Passo de tempo [s]∆x Espaçamento da malha [m]

Subscrito

AM Transição nevoeirob Partícula dispersaB BolhaBS Transição bolha golfada; golfada de líquidoc Componente; revestimentocem Cimentaçãod Fase dispersae FormaçãoDE Transição bolha golfadaf Fase contínuai Interfaceins Isolantej Índice do número de interfacesk Índice da célulal Líquido

xx

Nomenclatura

m Mistura de fasesp Faseg GásS GolfadaSA Transição anularTB Bolha de Taylort Tubow Parede do tubo, poço

Sobrescrito

T Termos turbulentosµ Termos viscosos0 Referência

Símbolos e Operadores

T Transposta∇ Gradiente∇· Divergente∑

c Soma de todos os componentes c∑p Soma em todas as fase p∫∫

S.C.Integral na superfície de controle∫∫∫

V.C.Integral no volume de controle

· Produto interno⊗ Produto tensorialF Média temporal da função FF Média volumétrica da função F

FX

Média ponderada na função indicadora de fases da função FFρ

Média ponderada na densidade da função F

FXρ

Média ponderada na função indicadora de fases e na densidade da função FF ′′ Flutuação devido turbulência| | Função módulo‖ ‖∞ Norma infinitamax () Valor Máximomin () Valor Mínimo

xxi

Nomenclatura

Acrônimos

BHP Bottom hole pressureCFL Courant, Friedrichs e LewyGPAS General Purpose Adaptive SimulatorGPRS General Purpose Research SimulatorSPM Single-pressure modelSPM-4 Single-pressure four-equation modelSPM-6 Single-pressure six-equation modelTFM Two-fluid modelTPM Two-pressure modelTPM-7 Two-pressure seven-equation modelTPM-5 Two-pressure five-equation modelWHP Well head pressure

xxii

Capítulo 1

Introdução

O escoamento multifásico em tubulações tem aplicações em diversas tecnologias das indús-trias química, de processos, nuclear e de petróleo. Na indústria do petróleo, o fluxo multifásicosurge devido à vaporização dos componentes leves da mistura de hidrocarbonetos como con-sequência da redução da pressão e a produção de água do reservatório (SHOHAM, 2006).

Escoamento multifásico é definido como o fluxo simultâneo de dois ou mais estados dematéria (fase) através de um único volume de controle. Esses estados podem ser qualquercombinação de gás, líquido ou sólido separados por uma interface de espessura infinitesimal(LAHEY, 1992). Por exemplo, escoamento bifásico significa a presença de uma interface, epode ser do tipo líquido-líquido (por exemplo, óleo-água) ou líquido-gás (óleo-gás ou água-gás). No caso de escoamento trifásico óleo-água-gás temos a presença três interfaces, líquido-líquido (água-óleo), líquido-gás (óleo-gás e água-gás) (LAHEY, 1992; SHOHAM, 2006; ISHII;HIBIKI, 2006).

A simulação numérica do escoamento multifásico é uma ferramenta essencial para análiseeconômica e de segurança ligadas ao dimensionamento e gerenciamento de projetos de explo-ração e explotação na área de engenharia de petróleo. Em particular, na análise de testes depoços, onde a existência do escoamento multifásico concorrente e contracorrente no poço du-rante os períodos de decaimento e crescimento de pressão, respectivamente, altera de formasignificativa a distribuição de pressão, temperatura e composição do fluido no poço. Na litera-tura existe uma grande quantidade de modelos analíticos e numéricos para análise de testes depoços. Entretanto, a maioria dos modelos propostos não considera a dinâmica do escoamentono poço. Consequentemente, a análise pode não prever corretamente a resposta do reservatório(POURAFSHARY et al., 2009; LIVESCU et al., 2010).

Matematicamente, a modelagem do escoamento multifásico é mais complexa e apresentamaiores desafios do que a modelagem do escoamento monofásico. Isto ocorre devido à dificul-dade em prever a interação (transferência de massa, quantidade de movimento e energia) entreas fases nas interfaces. Estas interfaces movem-se e deformam-se continuamente, produzindodescontinuidades na distribuição geométrica das fases denominados de padrões de escoamento.A transição entre os padrões de escoamento altera o transporte de massa, de quantidade de

1

Capítulo 1 - Introdução

movimento e de energia através da interface, assim equações constitutivas para os termos inter-faciais são definidas de acordo com o padrão de escoamento. As descontinuidades nos termosinterfaciais causam descontinuidades nas equações diferenciais, consequentemente problemasde estabilidade e convergência nas soluções numéricas podem ser observados (LAHEY, 1992;ISHII; HIBIKI, 2006; SHOHAM, 2006).

O modelo matemático usado para descrever o escoamento multifásico depende fortementedo grau de detalhamento físico requerido para o problema em questão. Na indústria de petró-leo, esse problema tem sido comumente formulado através dos modelos empíricos e modelosmecanicistas. Os modelos empíricos baseiam-se na análise de dados experimentais, com poucoembasamento físico, cujo objetivo é propor correlações para determinação de parâmetros ma-croscópicos do escoamento, como pressão, velocidades e frações volumétricas. Por sua vez, osmodelos mecanicistas buscam formular o problema com maior embasamento físico em termosdas leis de conservação, com pouca dependência de dados experimentais e/ou de campo. En-tretanto, esses modelos possuem aplicação restrita à problemas estacionários que tenham poucavariação nas propriedades físicas com o tempo.

Com os recentes avanços na capacidade de processamento dos computadores e o desen-volvimento de métodos numéricos robustos, a modelagem de escoamento de fluidos passoua ser formulada através dos métodos da fluidodinâmica computacional. Neste contexto, duasformulações são comumente usadas para descrever o fenômeno de fluxo multifásico transi-ente: formulação local instantânea e formulação média. Na formulação local instantânea, cadacomponente/fase representa um volume de controle delimitado por interfaces infinitesimais. Obalanço de massa, quantidade de movimento e energia são aplicados para cada fase. O aco-plamento entre as fases é modelado através das equações de salto ou descontinuidade (jump

equations) obtidas através da aplicação do balanço de massa, de quantidade de movimento e deenergia nas interfaces (ISHII; HIBIKI, 2006).

A formulação média utiliza equações de conservação (massa, quantidade de movimento eenergia) médias considerando um referencial Euleriano. Estas equações são derivadas a partirda aplicação de um processo de média no sistema de equações local e instantâneo. O processode média elimina as descontinuidades impostas pelas interfaces, permitindo que as equaçõesde conservação sejam tratadas de forma contínua num volume de controle que engloba todasas fases. A formulação local é mais rigorosa e fornece maior grau de detalhamento físicodo problema. Entretanto, apresenta maior grau de dificuldade de desenvolvimento do modelonumérico, além de apresentar alto custo computacional para resolver o sistema de equaçõestornando sua aplicação inviável na maioria dos casos práticos. Por outro lado, a formulaçãomédia permite analisar o problema a partir de uma escala macroscópica onde as propriedadesmédias como pressão, temperatura e frações volumétricas são as variáveis de maior interessedo problema. Consequentemente, a formulação reduz os custos computacionais para obter assoluções numéricas (ISHII; HIBIKI, 2006).

Segundo Ishii e Hibiki (2006) os modelos médios mais representativos são o modelo drift-

flux e o modelo de dois fluidos. No modelo drift-flux, o problema é formulado por equações de

2


conservação de massa para cada fase ou componente, uma equação de conservação de quanti-dade de momento e uma energia para mistura (considerando o equilíbrio térmico entre as fases).O movimento relativo é modelado por uma equação constitutiva, função de dois parâmetros em-píricos: a velocidade de deslizamento (drift-velocity) e o parâmetro de distribuição (SHOHAM,2006; ISHII; HIBIKI, 2006). Um caso particular do modelo drift-flux é o modelo homogêneo,o qual considera ausência de movimento relativo entre as fases, ou seja, as fases escoam com amesma velocidade.

No modelo de dois fluidos as equações de conservação são aplicadas para cada fase sepa-radamente (massa, quantidade de movimento e energia). A interação entre as fases é modeladapelos termos de transporte interfacial presente nas equações médias. Sua principal diferençaem relação ao modelo drift-flux é a utilização de uma equação da quantidade de movimentopara cada fase. Do ponto de vista numérico, o modelo é computacionalmente mais complexoporque utiliza uma equação de quantidade de movimento para cada fase e numericamente me-nos estável quando o modelo de pressão única é considerado (o modelo é mal posto sem asmodificações apropriadas) (RANSOM; HICKS, 1984; DINH et al., 2003; STäDTKE, 2006;PROSPERETTI; TRYGGVASON, 2007). Entretanto, o modelo é mais apropriado para mode-lar escoamentos de natureza transiente rápida com a presença de ondas de choque no campo depressão. Além disso, o modelo é mais representativo para aplicação em problemas em que asfases apresentam pouco acoplamento como, por exemplo, o fluxo contracorrente líquido e gásobservado em problemas de segregação de fases (ISHII; HIBIKI, 2006).

Nas últimas décadas, a simulação numérica do escoamento multifásico transiente em poçosde petróleo tem sido amplamente estudada pela indústria e comunidade científica (SHIRDEL,2013). Um grande desafio atualmente é a resolução simultânea do sistema de equações do reser-vatório acoplado com o sistema de equações do poço. Por exemplo, o simulador de reservatórioSTARS da empresa Computer Modelling Group (CMG) oferece a opção de acoplamento com osimulador de poço FLEXWELL (da própria CMG); o ECLIPSE pode ser usado acoplado comum simulador de poço drift-flux; outro exemplo é o simulador poço OLGA, que em sua novaversão tem a opção de acoplamento com o simulador de reservatório ROCX (XIONG, 2014).

Embora existam simuladores de fluxo comerciais que tratem de maneira adequada o pro-blema do escoamento multifásico, estes simuladores estão disponíveis por um custo muito ele-vado, além de não ser possível acessar o código fonte. Outro desafio refere-se à modelagemtermodinâmica dos fluidos envolvidos na produção de hidrocarbonetos. Em geral, os modelosdisponíveis na literatura utilizam modelos de fluidos simplificados como, por exemplo, o mo-delo black-oil, que tem como principal vantagem o custo computacional. Entretanto, os efeitosda composição com a mudança de pressão e temperatura são negligenciados (POURAFSHARYet al., 2009). Uma alternativa é a formulação composicional, onde a composição in-situ variaponto a ponto ao longo do poço, como função da pressão e da temperatura. A formulação com-posicional em conjunto com equações de estado cúbicas, tais como a equação de estado de Penge Robinson (1978), conduz a cálculos termodinâmicos mais realistas, sendo mais apropriadapara modelar misturas complexas de fluidos com alto teor de contaminantes como por exemplo

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CO2 e N2, como observado nos fluidos do reservatório do pré-sal no Brasil (FOROUZANFARet al., 2015; BARROS, 2015).

1.1 Objetivos

Esta tese propõe uma solução numérica totalmente implícita, baseada no método dos vo-lumes finitos, para resolver numericamente os sistema de equações que regem o escoamentomultifásico transiente concorrente e contra contracorrente em poços de petróleo, considerandoos efeitos da variação de pressão, temperatura e composição usando o modelo de dois fluidos.

O sistema de equações governantes é escrito na forma composicional, na qual o fluido érepresentado por uma mistura finita de componentes com a presença de no máximo duas fases,líquido e vapor. Assim, o conjunto de equações do problema é composto pelas equações deconservação de massa de cada componente; uma equação de energia total para a mistura; euma equação de quantidade de movimento para cada fase. Para o fechamento do sistema deequações é considerado o equilíbrio termodinâmico, expresso pela igualdade das fugacidadesdos componentes nas fases líquido e vapor; equações de restrição da soma das frações molaresdos componentes em cada fase e uma equação de restrição para soma das frações volumétricas.Além disso, a equação de estado cúbica de Peng e Robinson (1978) é usada nos cálculos daspropriedades físicas, teste de estabilidade e flash bifásico.

Além da solução composicional, este trabalho propõe também uma solução numérica to-talmente implícita para o escoamento transiente líquido-gás, imiscível e isotérmico, formuladopelo modelo de dois fluidos de pressão única de quatro equações (SPM-4). Com o objetivo deverificar e validar a convergência, estabilidade e acurácia da metodologia numérica proposta, assoluções numéricas foram comparadas com soluções de referência disponíveis na literatura.

O sistema de equações governantes (modelo composicional e imiscível) é escrito para umvolume de controle unidimensional e discretizado pelo método dos volumes finitos, em umarranjo de malha desencontrada (staggered grid). O esquema upwind de primeira ordem éutilizado para aproximar os fluxos de massa, energia e quantidade de movimento nas facesdos volumes de controle. A discretização temporal é feita utilizando o esquema implícito deEuler de primeira ordem. Finalmente, o sistema de equações algébrico não linear resultante dadiscretização é resolvido de forma simultânea pelo método de Newton-Raphson.

1.2 Organização da tese

Além da introdução (capítulo 1) esta tese contém seis capítulos, organizados conforme des-crito abaixo:

O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica dos principais trabalhos relacionados à mo-delagem matemática e numérica do modelo de dois fluidos aplicado ao escoamento multifásicotransiente em tubos.

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O capítulo 3 é dedicado à apresentação da formulação matemática do problema. Inicial-mente são apresentadas as leis de conservação da formulação local instantânea. Em seguida,são apresentadas as equações governantes escritas em termos da formulação média, assim comoas hipóteses do modelo proposto. Ainda neste capítulo, são apresentadas as equações constituti-vas para calcular os termos de pressão interfacial, atrito com a parede do tubo, tensão interfacial,transferência de calor e os padrões de escoamento.

O capítulo 4 discute o método numérico usado para resolver o sistema de equações gover-nantes (modelo imiscível e modelo composicional).

Os capítulos 5 e 6 apresentam os resultados e discussões das simulações usadas para verifi-car as soluções imiscível e composicional, respectivamente.

Finalmente, no capítulo 7 são apresentadas as conclusões da tese e as sugestões para odesenvolvimento de trabalhos futuros.

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Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

Em sua forma mais conhecida, o modelo de dois fluidos foi formulado teoricamente porIshii (1975), Delhaye e Achard (1976) e Drew (1983). Ishii (1975) propôs seu modelo utili-zando uma média temporal, enquanto Delhaye e Achard (1976) formularam o modelo de doisfluidos por meio de uma média volumétrica. De forma similar, Drew (1983) derivou o modeloa partir de um processo de média conhecido como média de conjunto (essemble-average), oqual emprega a média temporal e volumétrica em conjunto. Os três tipos de média citadospossuem interpretação física distintas. Entretanto, eles geram um conjunto de equações médiasequivalentes (OMGBA-ESSAMA, 2004).

Os modelos citados anteriormente são denominados na literatura como modelo de dois flui-dos de duas pressões (Two-Pressure Model - TPM). Eles consideram o não equilíbrio mecânicoe térmico entre as fases, cada fase possui seu próprio conjunto de equações de conservação(massa, quantidade movimento e energia). Assim, as fases podem apresentar velocidades, pres-sões e temperaturas distintas. O acoplamento entre as fases nas interfaces é definido pelostermos de transferência interfacial.

Matematicamente, o modelo de duas pressões é estritamente hiperbólico, isto é, o sistema deequações possui sempre autovalores reais e distintos e autovetores linearmente independentes(GIDASPOW, 1974; STUHMILLER, 1997). Isto significa que, como um problema de valorinicial e de contorno, o sistema de equações do modelo TPM é bem posto. Numericamente, omodelo TPM não apresenta problemas de instabilidade causadas pela natureza não hiperbólicado seu sistema de equações. Entretanto, segundo Städtke (2006), as equações constitutivasexistentes na literatura para o modelo de dois fluidos TPM foram pouco estudadas ou são válidasapenas para casos específicos, consequentemente, sua aplicação ainda é limitada.

A maioria dos trabalhos que envolvem a aplicação do modelo de dois fluidos considera umapressão única para todas as fases. Este modelo é conhecido como modelo de pressão única(Single Pressure Model - SPM) e consiste em seis equações de conservação (massa, quantidadede movimento e energia, uma para cada fase) chamado SPM-6 ou quatro equações de conser-vação (massa e quantidade movimento para cada fase), SPM-4, quando é assumido escoamentoisotérmico.

6

Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica

O modelo de dois fluidos de pressão única (SPM) em determinadas condições perde a na-tureza hiperbólica do sistema de equações (isto é, apresenta autovalores complexos), assim omodelo SPM torna-se mal posto nestas condições. Provas da existência de autovalores comple-xos podem ser encontradas nos trabalhos de Gidaspow (1974), Stuhmiller (1997), Ramshaw eTrapp (1978), Evje e Flåtten (2003) e Städtke (2006) . Nestas circunstâncias, a solução numéricado modelo pode apresentar problemas de instabilidades como consequência do aparecimento deoscilações causadas por pequenas pertubações na solução (RANSOM; HICKS, 1984; DINH etal., 2003; PROSPERETTI; TRYGGVASON, 2007).

Para obter um sistema de equações estritamente hiperbólico, equações diferencias (não-conservativas) são introduzidas nas equações de quantidade de movimento, como por exem-plo os termos de tensão superficial (RAMSHAW; TRAPP, 1978), massa virtual (DREW etal., 1979; STäDTKE, 2006) e pressão interfacial (STUHMILLER, 1997; CASCALES, 2001;EVJE; FLåTTEN, 2003; PAILLèRE et al., 2003; SHEKARI; HAJIDAVALLOO, 2013). A in-clusão desses termos torna a solução numérica estável devido à inclusão de difusão artificial nasolução (DINH et al., 2003; MUNKEJORD, 2006).

A indústria nuclear foi pioneira no desenvolvimento de simuladores comerciais de escoa-mento multifásico transiente usando o modelo SPM, os principais são CATHARE (MICAELLI,1987), RELAP5 (RANSOM, 1982) e TRAC (BORKOWSKI; WADE, 1992). Os trabalhos deBendiksen et al. (1986) e Bendiksen et al. (1991) deram origem ao simulador OLGA, primeirosimulador comercial de escoamento multifásico transiente da indústria do petróleo. Os autoresutilizaram uma versão estendida do modelo de dois fluidos (SPM) conhecida como Multi-fieldModel (ISHII; HIBIKI, 2006). Estes simuladores possuem em comum a aplicação de esquemasimplícitos ou semi-implícitos de primeira e segunda ordem temporal e espacial baseados nométodo dos volumes finitos discretização e nos esquemas de malhas e upwind.

Com propósito de obter soluções numéricas estáveis e acuradas, Coquel et al. (1997), Evje eFlåtten (2003), Paillère et al. (2003), Garcia-Cascales e Paillère (2006), Munkejord et al. (2009),Shekari e Hajidavalloo (2013) desenvolveram soluções explícitas baseadas no método upwind

para o modelo de dois fluidos de pressão única (SPM). Estas soluções foram verificadas comsoluções de referência de diversos casos testes disponíveis na literatura (benchmark problems)incluindo o problema de segregação de fases imiscível de Coquel et al. (1997).

Morales-Ruiz et al. (2012) desenvolveram uma solução semi-implícita para modelo SPM-6para simular o fluxo de fluidos refrigerante com efeito de transferência de massa e calor entre asfases. O método SIMPLE (PATANKAR, 1980) foi usado para resolver o sistema algébrico nãolinear discretizado pelo método dos volumes finitos em um malha desencontrada. Além disso,os autores utilizaram na discretização espacial esquemas de interpolação de primeira, segundae alta ordem. O teste de segregação de fases imiscível foi usado para verificar a capacidade dasolução em prever fluxo contracorrente e o desaparecimento de fases.

Stone et al. (1989) desenvolveram uma solução totalmente implícita usando o modelo dedois fluidos (SPM) acoplado com um simulador de reservatório para simular o escoamentotrifásico black-oil em poços horizontais.

7


Almehaideb et al. (1989) propuseram um modelo similar ao proposto por Stone et al. (1989),assumindo fluxo isotérmico no poço e no reservatório. O simulador foi aplicado para investigarefeito da estocagem e segregação de fases em testes de poços verticais durante o período dedecaimento e crescimento da pressão, respectivamente. Os autores constataram que o aumentoda pressão de fundo como consequência da segregação do líquido (durante o shut-in) causa ofluxo reverso de líquido do poço para o reservatório (backflow). Além disso, eles demonstramque a segregação de fases causa um comportamento anômalo no gráfico de pressão contra otempo.

Pourafshary (2007) estendeu o modelo o proposto por Almehaideb et al. (1989), incluindouma equação de energia para mistura. O modelo de desenvolvido foi acoplado com o simu-lador de reservatório GPAS (WANG et al., 1997; WANG et al., 1999) e usado para simular asegregação de fases em testes de crescimento de pressão. Os resultados foram satisfatoriamentecomparados com dados de testes de campo.

Livescu et al. (2008) propuseram uma solução implícita para o escoamento trifásico black-

oil (óleo, gás e água) para poços verticais usando o modelo drift-flux acoplado com o simuladorde reservatório GPRS (CAO, 2002). Esta formulação foi posteriormente estendida para tratarsistemas multicomponentes (LIVESCU et al., 2009). O simulador foi usado para simular aprodução de óleo, gás e água em poços com múltiplas completações.

Recentemente Barros (2015) e Souza-Jr. (2015) apresentaram uma solução composicionaltotalmente implícita para simular o escoamento bifásico em poços horizontais e verticais, res-pectivamente; usando o modelo drift-flux. Os autores implementaram e compararam os resulta-dos numéricos obtidos para diversas correlações para a velocidade de deslizamento e parâmetrode distribuição. Forouzanfar et al. (2015) desenvolveram um modelo de poço composicionaltotalmente implícito usando o modelo drift-flux acoplado com um simulador de reservatório.O modelo foi desenvolvido para simulação de testes de poços com alta concentração de con-taminantes como CO2 e N2. Os autores incluíram na formulação uma equação de equilíbriotermodinâmico extra para modelar a dissolução CO2 na fase aquosa.

Zou et al. (2016) desenvolveram uma solução numérica totalmente implícita de alta ordempara simular o fluxo bifásico (líquido-gás) usando o modelo SPM-6 usando o método dos vo-lumes finitos em um arranjo de malhas desencontradas. O método de Newton-Krilov foi usadopara resolver o sistema algébrico sem a necessidade calcular a matriz Jacobiana do método deNewton-Raphson, sendo esta a principal vantagem do método. A solução proposta foi testadausando o problema de segregação de fases imiscível com atrito interfacial de Städtke (2006).

Shirdel e Sepehrnoori (2016) derivaram uma solução semi-implícita para simular o fluxotransiente trifásico em poços usando o modelo de dois fluidos. No modelo trifásico, óleo eágua são tratadas como uma pseudo fase líquida, e o modelo drift-flux é usado para incluir omovimento relativo entre as duas fases na formulação. O trabalho considera uma formulaçãopseudo-composicional para representar a mistura de fluidos. A solução pode ser utilizada deforma independente ou acoplada com o simulador de reservatórios GPAS (WANG et al., 1997;WANG et al., 1999). O simulador foi desenvolvido com o propósito de estudar a deposição de

8


parafinas e a formação de hidratos durante a produção de hidrocarbonetos. O autores utilizaramo problema de segregação de fases imiscível (água - ar) com atrito interfacial para verificara capacidade do modelo em prever o fluxo contra corrente e o desaparecimentos de fases. Asolução proposta foi capaz de prever a segregação de fases. Entretanto, apenas a pressão nofundo foi comparada com uma solução de referência aproximada.

Esta tese apresenta uma série de características importantes que o distinguem dos anteriores.Diferentemente dos trabalhos de Coquel et al. (1997), Evje e Flåtten (2003), Paillère et al.

(2003), Garcia-Cascales e Paillère (2006), Munkejord et al. (2009), Morales-Ruiz et al. (2012),Shekari e Hajidavalloo (2013) e Zou et al. (2016), o problema de segregação de fases imiscível(com e sem atrito interfacial) foi estudado extensivamente, apresentando-se soluções numéricasinéditas para diversos cenários. Além disso, a solução de referência existente na literatura(EVJE; FLåTTEN, 2003) inclui somente as frações volumétricas e a velocidade de líquido,considerando uma fração de líquido inicial igual 0.5. Neste trabalho, propomos uma nova desolução de referência para qualquer fração de líquido inicial e que inclui todas as variáveis(pressão, frações volumétricas e velocidades das fases).

Em contraste com o modelo de dois fluidos black-oil de Stone et al. (1989), Almehaideb etal. (1989) e Pourafshary (2007), este trabalho utiliza o termo de correção de pressão de Bestion(1990) com o intuito de tornar o modelo de dois fluidos hiperbólico. Além disso, equaçõesconstitutivas mais robustas do ponto de vista numérico, comumente usadas no simuladorescomerciais da indústria nuclear (TRACE (US-NRC, 2007) e RELAP5 (RELAP5, 2001)), sãoutilizadas no cálculo do atrito do fluido com a parede, atrito interfacial e determinação do padrãode escoamento.

A formulação composicional totalmente implícita baseada no modelo drift-flux foi desen-volvida por Livescu et al. (2008), Forouzanfar et al. (2015), Barros (2015) e Souza-Jr. (2015).O aspecto inovador deste trabalho é o desenvolvimento de uma formulação numérica inéditapara o escoamento multifásico composicional considerando o modelo de dois fluidos. Alémdisso, esta modelagem foi aplicada para a obtenção de resultados inéditos para o problema desegregação de fases considerando os efeitos térmicos e equilíbrio termodinâmico. É importantedestacar que o simulador desenvolvido possui um grande potencial para acoplamento com umsimulador de reservatório, inclusive para simulação de testes de poços com segregação de fases.

9

Capítulo 3

Formulação Matemática

Neste capítulo são introduzidos os conceitos básicos envolvidos na formulação do escoa-mento multifásico em meios livres. Inicialmente, são apresentas as leis de conservação quegovernam o fenômeno físico expressas na forma instantânea local. Em seguida são apresen-tadas os processos de média e conceitos envolvidos na transformação das equações locais emequações médias.

3.1 Formulação local instantânea

Na formulação local instantânea, cada fase é tratada como um volume de controle de fron-teira móvel, delimitado por uma ou mais interfaces de espessura infinitesimal. As equações detransporte são aplicadas e resolvidas para cada um desses volumes e a interação entre as fasesocorre através dos termos transferência interfacial ou equações de salto (ISHII; HIBIKI, 2006).

A seguir, será deduzida a equação de transporte generalizada para um volume de controlefixo com a presença de mais de uma fase.

Considere o volume de controle da Figura 3.1, no qual V e SV representam o volume e asuperfície do volume de controle estacionário, respectivamente. O volume V , pode conter umaou mais fases, em que Vp denota o volume de uma determinada fase p de fronteira Sp (~x, t),móvel no tempo e espaço. A superfície Sp pode ser definida como Sp = Sip ∪ (Sp ∩ SV ), ouainda, Sp = Sip∪SVp , onde Sip e SVp representam partes da fronteira Sp coincidentes com outrafase e com a parede do volume V , respectivamente.

10

Capítulo 3- Formulação Matemática

Fase 1

V p( x , t)

S ip( x , t)SV p

( x , t )

SVFase 2

V

S p( x , t)

Figura 3.1: Representação esquemática de um volume de controle V multifásico (FUENTES-NUCAMENDI, 1996)

Escrevendo o balanço integral de uma quantidade genérica para o volume Vp, obtém-se:

∫∫∫Vp

(∂ρpψp∂t

)dV = −

∫∫Sp

(ρpψp~vp + Jp) · ~npdS +

∫∫∫Vp

(ρpφp + qΨp

)dV, (3.1)

onde ρp é a massa específica, ψp é uma propriedade intensiva genérica, ~vp é a velocidade físicada fase p, Jp é um tensor que representa o fluxo difusivo, ~np é o vetor unitário normal a superfícieSp, qΨp e φp são os termos fontes de geração ou perda devido as fontes internas e as forças decorpo, respectivamente.

Na Eq. (3.1), Vp e Sp variam no tempo e no espaço devido a fronteira móvel. Logo, apli-cando o teorema de Leibnitz na integral do termo acúmulo, obtém-se:

d

dt

∫∫∫Vp

(ρpψp) dV =

∫∫∫Vp

(∂ρpψp∂t

)dV +

∫∫Sp

ρpψp~vip · ~npdS (3.2)

onde ~vip é a velocidade deslocamento da interface Sip.Na Eq. (3.2), a integral na superfície Sp pode ser separada em duas partes

(Sip ∪ SVp

), logo

d

dt

∫∫∫Vp

(ρpψp) dV =

∫∫∫Vp

(∂ρpψp∂t

)dV +

∫∫SVp

ρpψp~vip · ~npdS +

∫∫Sip

ρpψp~vip · ~npdS. (3.3)

Note que ~vip é zero na superfície SVp(fronteira estacionária). Portanto, segue que

11


d

dt

∫∫∫Vp

(ρpψp) dV =

∫∫∫Vp

(∂ρpψp∂t

)dV +

∫∫Sip

ρpψp~vip · ~npdS. (3.4)

A fase p pode estar em contato com uma ou mais fases (múltiplas interfaces). Assim, Sippode ser representado como

Sip =⋃j

j 6=p

Sipj , (3.5)

onde Sipj é a fronteira da fase p em contato com a fase j. Portanto, da Eq. (3.4) e Eq. (3.5),segue que

d

dt

∫∫∫Vp

(ρpψp) dV =

∫∫∫Vp

(∂ρpψp∂t

)dV +

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

ρpψp~vipj · ~npdS, (3.6)

onde ~vipj é a velocidade da interface da fase p em contato com j. Substituindo a Eq. (3.6) naEq. (3.2), tem-se:

d

dt

∫∫∫Vp

(ρpψp) dV = −∫∫Sp

(ρpψp~vp + Jp) · ~npdS

+

∫∫∫Vp

(ρpφp + qΨp

)dV −

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

ρpψp~vipj · ~npdS. (3.7)

Finalmente, expandindo a integral na superfície Sp(SVp ∪ Sip

)da Eq. (3.1), obtém-se:

∂

∂t

∫∫∫Vp

(ρpψp) dV = −∫∫SVp

(ρpψp~vp + Jp) ·~npdS

+

∫∫∫Vp

(ρpφp + qΨp

)dV −

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

[ρpψp

(~vp − ~vipj

)+ Jp

]· ~npdS. (3.8)

A Eq. (3.8) representa a equação de transporte generalizada local e instantânea para um es-coamento multifásico em tubos na forma integral. O último termo do lado direito é denominadode condição de salto na interface. Fisicamente, representa a transferência de massa, quantidademovimento e energia por unidade de volume, recebida ou cedida através da interfaces Sipj(ISHII; HIBIKI, 2006; DREW, 1983).

Utilizando a hipótese de interface de espessura infinitesimal, isto é, não possuí capacidadede armazenar massa e assumindo como desprezível os efeitos da tensão superficial. Segue queo balanço de massa, quantidade de movimento energia na interface é dado por

12


Np∑p

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

[ρpψp

(~vp − ~vipj

)+ Jp

]· ~npdS = 0. (3.9)

onde Np denota o número de fases do sistema.Desprezando os termos de fluxo de massa por difusão e geração interna de quantidade de

movimento. Os parâmetros ψp, Jp, φp e qΨp para equação de balanço de massa, quantidade eenergia são definidos na Tabela 3.1 (ISHII; HIBIKI, 2006),

Tabela 3.1: Parâmetros da equação de conservação genérica

Equação ψp Jp φp qΨp

Massa 1 0 0 qmp

Momento ~vp −PpI + Tµp ~g 0Energia up + (~vp)2

2~qp −

(−PpI + Tµp

)· ~vp ~g · ~vp qep

onde ~g é a aceleração da gravidade, Pp é a pressão da fase, I é o tensor unitário, Tµp é o tensorde tensões viscosas, up é a energia interna, qmp e qep representam, respectivamente, os termosfontes de geração interna de massa e de energia, ~qp é o fluxo de calor devido a condução porunidade de área, dado pela lei Fourier:

~qp = −κp∇Tp, (3.10)

onde Tp e κp são a temperatura da fase e a condutividade térmica da fase p, respectivamente.

3.2 Formulação média

Em mecânica dos fluidos são encontradas diferentes formas de média para Eq. (3.8), con-forme o tipo de aplicação, os principais são: média Euleriana, média Lagrangiana e médiaestatística de Boltzman. A média Euleriana é considerada como a mais importante para a mecâ-nica dos fluidos, pois é a que mais se aproxima de observações experimentais (ISHII; HIBIKI,2006).

Na formulação Euleriana, as coordenadas espaço e tempo (~x, t) são as variáveis indepen-dentes, enquanto que as demais variáveis do problema são expressas em termos de (~x, t) . Nestecontexto, os principais tipos de média Euleriana são média temporal e média volumétrica. Ma-tematicamente, a média temporal de uma função F (~x, t) qualquer é dada por

F (t, x) =1

∆t

∫∆t

Fdt, (3.11)

enquanto a média volumétrica é definida como

13


F (t, x) =1

V

∫∫∫V

FdV. (3.12)

3.2.1 Processo de média

3.2.1.1 Função indicadora de fase

A função indicadora de fase ou função de residência, Xp, tem a propriedade de filtrar aocorrência da fase p num instante t e posição ~x. Ela é definida por uma função degrau expressacomo:

Xp(~x, t) =

1 , dentro da fase p

0 , caso contrário. (3.13)

A Figura 3.2 ilustra o comportamento da função indicadora de fase (Xp) e seu gradiente(∇Xp) em função de posição x para um tempo fixo t0. Em qualquer ponto no volume decontrole V , exceto na interface, ∇Xp = 0. Na interface, ∇Xp representa um vetor normal àinterface cuja norma tende para o infinito, |∇Xp| → ∞.

Fase 2

Fase 1

X p(x ,t 0)

∂X p

∂ x

Figura 3.2: Comportamento da função indicadora de faseXp para um tempo fixo to (STäDTKE,2006)

A fração volumétrica ou saturação da fase, αp, é definida como a razão entre o volumeocupado pela fase Vp e o volume total V . Este conceito está intimamente relacionado ao pro-cesso de média volumétrica, na qual é possível demonstrar que a média volumétrica da funçãoindicadora de fase Xp corresponde à fração volumétrica da fase, isto é,

14


αp = Xp =1

V

∫∫∫V

XpdV =1

V

∫∫∫Vp

dV =VpV

(3.14)

3.2.1.2 Médias ponderadas

Para relacionar o volume total com o volume ocupado pela fase define-se as seguintes mé-dias: média intrínseca da fase, média ponderada pela função indicadora de fase e média ponde-rada pela massa específica, respectivamente:

FX

p =1

Vp

∫∫∫Vp

XpFdV =1

Vp

∫∫∫Vp

FpdV (3.15)

Fp = XpF =1

V

∫∫∫Vp

FpdV =VpV

1

Vp

∫∫∫Vp

FpdV

= αpFX

p (3.16)

FpXρ

=XpρF

Xpρ=ρpFp

X

αpρpX

(3.17)

onde Fp representa a função F avaliada na fase p.

3.3 Equações de transporte médias

Utilizando o teorema de Gauss no segundo termo do lado direito da Eq. (3.8) e substituindoas médias ponderadas dadas pelas Eqs. (3.16) e (3.17), seque que:

∂(αpρp

XψpXρ)

∂t+∇ ·

(αpρp

XψpXρ~vpXρ)

= ∇ · αp(JpX

+ TTp)

+ αpρpXφp

Xρ+ qΨp + Ip,

(3.18)onde

Ip =1

V

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

[ρpψp

(~vp − ~vipj

)+ Jp

]· ~npdS, (3.19)

e

TTp = −ρpXψ′′.~v′′pXρ, (3.20)

Ip é o termo de transferência interfacial e TTp representa ao fluxo turbulento da propriedade ρpψpdevido as flutuações na velocidade e na propriedade ψp, sendo obtido através da decomposiçãode Reynolds no termo ψp.~vp

Xρ,

ψp~vpXρ

= ψpXρ~vpXρ

+ ψ′′~v′′pXρ, (3.21)

15


onde o operador ′′ representa a flutuação na variável.Finalmente, as equações médias de balanço de massa, quantidade de movimento e energia

podem ser obtidas substituindo as definições de ψp, Jp, φp e qΨp (dadas na Tabela 3.1) na Eq.(3.18). Por simplicidade na notação, os símbolos de média serão omitidos na apresentação dasequações.

3.3.1 Equação de conservação de massa

3.3.1.1 Modelo imiscível

No modelo imiscível, o balanço de massa é escrito para cada fase presente no sistema. Logo,considerando um escoamento bifásico líquido e gás, a equação de balanço de massa da fase p édada por

∂ (αpρp)

∂t+∇ · (αpρp~vp) = Γp + qmp , (3.22)

onde p = l para o líquido e p = g para o gás.No modelo imiscível considera-se que não há transferência de massa e mudança de fase.

Portanto, seque que o termo de transferência interfacial Γp é nulo, isto é:

Γp ≡ Ip =1

V

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

ρp(~vp − ~vipj

)· ~npdS = 0 (3.23)

Além disso, o modelo imiscível proposto neste trabalho não considera o termo fonte degeração de interna de massa. Logo, a Eq. (3.22) pode ser escrita como

∂ (αpρp)

∂t+∇ · (αpρp~vp) = 0. (3.24)

3.3.1.2 Modelo composicional

Para uma formulação multicomponente, a massa de componente deve ser conservada. Logo,o balanço de massa é escrito por componente, considerando um escoamento bifásico, líquido(óleo) e vapor (gás), no qual os componentes podem se dissolver tanto no líquido quanto novapor, a equação de balanço de massa por componente é dada por

∂

∂t

(Np∑p=1

αpxc,pξp

)+∇ ·

(Np∑p=1

αpxc,pξp~vp

)=

Np∑p=1

qnc,p , (3.25)

para c = 1, ..., Nc, onde Np e Nc denotam o número de fases e componentes do fluido, respec-tivamente.

Na Eq. (3.25), xc,p é a fração molar do componente c na fase p, definida como

xc,p =nc∑Nc

c=1 nc,p=ncnp

(3.26)

16


onde n é o número de moles e ξp é a massa específica molar, dada por

ξp =ρp∑Nc

c=1 xc,pMWc

=ρp

MWp

(3.27)

finalmente, qnc,p é o termo fonte de massa por unidade de volume do componente c na fase pem base molar , definido como

qnc,p =qmc,p

MWc

, (3.28)

qmc,p é o termo fonte de massa em base mássica, e MW é massa molecular. Como a massa decada componentes se conserva, logo

Np∑p=1

Γc,p = 0. (3.29)

3.3.2 Equação da quantidade de movimento

O balanço de quantidade de movimento da fase p é cada fase é expresso por:

∂ (αpρp~vp)

∂t+∇ · (αpρp~vp ⊗ ~vp) = −∇ (αpPp) +∇ · αp

(Tµp + TTp

)+ αpρp~g + Mp, (3.30)

onde o termo de transferência de quantidade movimento na interface, Ip, é dado por:

Mp ≡ Ip =1

V

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

[ρp~vp

(~vp − ~vipj

)+(Pp − Tµp

)]· ~npdS, (3.31)

Para um escoamento bifásico líquido e gás, existe apenas uma interface. Logo, segue que

Mp =1

V

∫∫Sip

[ρp~vp (~vp − ~vip) +

(Pp − Tµp

)]· ~npdS, (3.32)

ou simplesmente

Mp = Γp~vip +1

V

∫∫Sip

(Pp − Tµp

)· ~npdS. (3.33)

onde o último termo do lado direito representa todas as tensões viscosas que atuam na interface.A pressão da fase na interface, Pip, é definida como

Pip =

1V

∫∫Sip

Pp~npdS

1V

∫∫Sip

~npdS=

1V

∫∫Sip

Pp~npdS

∇αp(3.34)

Substituindo (3.34) em (3.33), obtemos

17


Mp = Γp~vip + Pip∇αp +1

V

∫∫Sip

Tµp · ~npdS. (3.35)

Finalmente, substituindo (3.35) em Eq. (3.30), obtém-se a equação média para quantidadede movimento da fase em sua forma tridimensional, isto é:

∂ (αpρp~vp)

∂t+∇ · (αpρp~vp~vp) = −αp∇ (Pp) +∇ · αp

(Tµp + TTp

)+ αpρp~g + Γp~vip − (Pp − Pip)∇αp + Mp. (3.36)

3.3.3 Conservação da energia

A equação de balanço de energia para cada fase é dada na forma

∂ (αpρpep)

∂t+∇ · (αpρpep~vp) = −∇ · αp

(~qp + ~qTp

)−∇ · (αpPp~vp)

+∇ ·(αpTµp · ~vp

)+ αpρp~g · ~vp + qep + Ep (3.37)

onde ep é a energia total do sistema definida como

ep ≡ up +~v2p

2, (3.38)

onde up é a energia interna específica. Por sua vez, o termo de transferência de energia nainterface Ep é definido como

Ep ≡ Ip =1

V

∑j

j 6=p

∫∫Sipj

[ρp~vpep

(~vp − ~vipj

)+ ~qp +

(Pp − Tµp

)· ~vp]· ~npdS, (3.39)

onde ~qTp é chamado de termo de transferência de calor turbulento, representa a flutuação notransporte de energia devido ao fenômeno de turbulência, sendo expresso por

~qTp = ρpXe′′p~v

′′p

Xρ+ Pp~v

′′p

X− Tµp~v′′p

X, (3.40)

Na Eq. (3.40), os termos do lado direito representam as flutuações no transporte de energiapor convecção, trabalho das forças de superfícies, pressão e forças viscosas, respectivamente.

Escrevendo a Eq. (3.37) em termos da entalpia, tem-se:

18


∂

∂t

(αpξphp +

1

2αpρp~v

2p

)+∇ ·

(αpξphp +

1

2αpρp~v

2p

)~vp =

∂αpPp∂t

−∇ · αp(~qp + ~qTp

)+∇ ·

(αpTµp · ~vp

)+ αpρp~g · ~vp + qep + Ep, (3.41)

onde hp é a entalpia específica molar, definida por

hp ≡(up +

ppρp

)MWp, (3.42)

Segundo Ishii e Hibiki (2006), os termos de transferência de calor turbulento, trabalho daforça viscosa e a geração de calor interna podem ser desprezados quando comparados com atransferência de calor por condução ~qp. Portanto, a Eq. (3.41) pode ser simplificada para

∂

∂t

(αpξphp +

1

2αpρp~v

2p

)+∇ ·

(αpξphp +

1

2αpρp~v

2p

)~v2p =

∂αpPp∂t

−∇ · (αp~qp) + αpρp~g · ~vp + qep + Ep (3.43)

3.3.4 Equações de salto na interface

Desprezando os efeitos da tensão superficial e curvatura da interface, o balanço de massa,quantidade de movimento e energia na interface devem respeitar as seguintes restrições:

Np∑p

Γp = 0, (3.44)

Np∑p

(Γp~vip + Mp) = 0, (3.45)

Np∑p

Ep = 0. (3.46)

3.4 Equações governantes unidimensionais

O simulador desenvolvido nesta tese trata as equações de conservação na forma 1D, por-que um poço de petróleo pode apresentar comprimento da ordem de quilômetros, enquanto odiâmetro é da ordem de centímetros. Assim, uma malha 1D possui uma boa aproximação doproblema.

A forma 1D é obtida integrando as equações tridimensionais (3D) (ver seção 3.3) sobre aárea de seção do volume de controle (Figura 3.3), onde x é a coordenada espacial, ∆x é ocomprimento da célula, θ é a inclinação com a horizontal e A é a área da seção transversal.

19


Em seguida, aplica-se as definição de média na seção transversal, Eq. (3.47), e média na seçãotransversal ponderada pela fração volumétrica, Eq. (3.48). Além disso, assume-se que as massasespecíficas das fases são uniformes na seção transversal.

θ

x

Δ x

A

Figura 3.3: Volume de controle unidimensional

〈ψ〉 =1

A

∫A

ψdA (3.47)

〈ψp〉α =1A

∫AψdA

1A

∫AαpdA

=〈αpψp〉〈αp〉

(3.48)

Para simplificar a notação, os operadores que definem as médias das Eqs. (3.47) e (3.48)são omitidos na apresentação das equações unidimensionais.

A equação de conservação de massa na forma unidimensional para um escoamento bifásicoimiscível é escrita como.

∂ (αpρp)

∂t+

∂

∂x(αpρpvp) = 0, (3.49)

para o líquido (p = l) e gás (p = g).De forma similar, a equação unidimensional para conservação de massa por componente do

modelo composicional, é dada por

∂

∂t

(Np∑p=1

αpxc,pξp

)+

∂

∂x

(Np∑p=1

αpxc,pξpvp

)=

Np∑p=1

qnc,p (3.50)

para c = 1, ..., Nc.A equação da quantidade de movimento da fase unidimensional é dada por:

20


∂

∂t(αpρpvp) +

∂

∂x(αpρpvpvp) = −αp

∂Pp∂x

+∂

∂x

(τµp + τTp

)− τwp

− αpρpg sin θ + Γpvip − (Pp − Ppi)∂αp∂x

+Mp, (3.51)

para fase líquido (p = l) e para fase gás (p = g), onde τµp , τTp e τwp são tensão viscosa, flutuaçãona quantidade de movimento e tensão viscosa da fase em contato com a parede do volume decontrole, respectivamente.

Neste trabalho, adota-se o modelo de dois fluidos de pressão única (SPM), ou seja, Pl =

Pg = P . Além disso, despreza-se o efeito da tensão superficial (isto é, Pip = Pi e vip = vi)e a quantidade de movimento devido a transferência de massa (Γpvip) (existente apenas nomodelo composicional) e as tensões viscosas e turbulentas na direção axial. Logo, a Eq. (3.51)é reduzida para

∂

∂t(αpρpvp) +

∂

∂x(αpρpvpvp) = −αp

∂P

∂x− αpρpg sin θ

− τwp − (∆Pi)∂αp∂x

+Mp (3.52)

para fase líquido (p = l) e para fase gás (p = g), onde ∆Pi é o termo de correção de pressão∆Pi = P − Pi.

A equação de balanço de energia da fase na forma unidimensional é dada por:

∂

∂t

(αpξphp +

1

2αpρpv

2p

)+

∂

∂x

[αp

(ξphp +

ρpv2p

2

)vp

]=∂ (αpPp)

∂t

− ∂ (αpqxp)

∂x−Qwp + αpρpvpg sin θ + qep + Ep (3.53)

onde qxp e Qwp são os fluxos de calor da fase p por unidade de área e volume na direção axial eradial, respectivamente.

Neste trabalho, assume-se o equilíbrio térmico entre as fases, ou seja, as temperaturas defluxo do líquido e do gás são iguais (Tl = Tg = T ). Esta hipótese, em conjunto com a consi-deração de pressão única permite a utilização de uma equação de conservação de energia totalpara mistura, escrita como

21


∂

∂t

[Np∑p

αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)]+

∂

∂x

[Np∑p

αp

(ξphp +

1

2αpρpv

2p

)vp

]=

∂P

∂t+Qx −Qw −

Np∑p

αpρpvpg sin θ + qe (3.54)

onde qe é o termo fonte de geração interna de energia da mistura e Qx é o fluxo de energia damistura por unidade de volume, dado por:

Qx =∂

∂x

(Np∑p

αpqxp

)(3.55)

Equações constitutivas para Pi, τwp, Mp, Qx e Qw são discutidas na seção 3.6.

3.5 Equações de restrição

Além das equações de conservação são necessárias equações de fechamento para completaro sistema de equações. Estas equações são: equações de equilíbrio termodinâmico (considera-ção do modelo), restrição da soma das frações molares dos componentes e restrição da somadas frações volumétricas, definidas a seguir:

Nc relações de igualdade das fugacidades dos componentes no líquido e vapor, isto é:

fc,l = fc,g. (3.56)

Np equações de soma das frações molares dos componentes, dadas por:

Nc∑c

xc,p = 1. (3.57)

1 equação de estrição da soma das frações volumétricas, dada por:

Np∑p

αp = 1. (3.58)

3.6 Equações constitutivas

Neste seção são apresentadas as equações constitutivas para os termos de pressão interfacial(correção de pressão), tensão de cisalhamento dos fluidos em contado com a parede do volumede controle, atrito na interface, padrões de escoamento e transferência de calor por conduçãoradial e axial presentes nas equações de quantidade de movimento e energia.

22


As propriedades termodinâmicas como fator de compressibilidade, massa específica, massaespecífica molar, entalpia, fugacidades, tensão superficial, etc. são apresentadas no apêndice B

3.6.1 Pressão interfacial

A pressão interfacial representa a pressão média na interface entre as fases. Para um es-coamento estratificado, Pi pode ser escrito em função do nível de líquido dentro do tubo (hi-drostática). Entretanto, para um padrão de escoamento diferente do estratificado, seu significadofísico é considerado ambíguo e extremamente complexo de estabelecer uma relação constitutiva(YEOM; CHANG, 2011). Além da hidrostática de líquido, Pi depende da tensão superficial ecurvatura da interface (DREW; PASSMAN, 1999). Na literatura podem ser encontrados váriosmodelo para Pi.

Como discutido anteriormente, o modelo de dois fluidos de pressão única (SPM) pode apre-sentar autovalores complexos. Neste trabalho, o termo de correção de pressão proposto porBestion (1990) é usado para manter o sistema hiperbólico. O modelo relaciona a pressão inter-facial Pi com a pressão média na seção transversal P através da seguinte expressão:

∆Pi = (P − Pi) = σαgαlρgρl

(αgρl + αlρg)(vg − vl)2 . (3.59)

O modelo proposto por Bestion (1990) tornou-se padrão por ser usado pelo simulador co-mercial CATHARE (MICAELLI, 1987). Na equação (3.59) σ é uma constante. Para garantir ahiperbolicidade do sistema, σ deve ser maior ou igual a 1 (σ ≥ 1). Evje e Flåtten (2003), Evjee Flåtten (2005), Evje e Flåtten (2006), Shekari e Hajidavalloo (2013), Yeom e Chang (2011) ePaillère et al. (2003) utilizaram valores de σ como sendo 1 ≤ σ ≤ 2.

3.6.2 Tensão na parede do tubo

A tensão de cisalhamento do fluido em contato com a parede do tubo (τwp) é calculadaatravés da seguinte expressão (US-NRC, 2007) :

τwp = − (Φp)2 (αp)

2 fpρpvp |vp|2D

, (3.60)

onde D é o diâmetro do tubo, Φp é o fator de correção bifásico (two-phase multiplier) depen-dente do padrão de escoamento (Eq. (3.61)), e fp é o fator de atrito (Darcy-Weisbach), obtidoatravés de correlações empíricas como função do número de Reynolds e da rugosidade do tubo.Neste trabalho, fp é obtido usando a correlação de Zigrang e Sylvester (1982) dada pela Eq.(3.62).

(Φp)2 =

1

α1.8p

, se bolha, golfada e churn1

α2.0p

, se anular e nevoeiro.(3.61)

23


fp =

64Rep

, Rep ≤ 2, 400{−2 log10

[ε

3.7D− 5.02

Replog10

(ε

3.7D+ 13

Rep

)]}−2

, Rep > 2, 400, (3.62)

Rep =αpρp |vp|D

µp. (3.63)

onde ε é a rugosidade do tubo.Em caso de padrão bolha, golfada, churn e anular, assume-se que apenas a fase líquida está

em contato com a parede, assim a tensão de cisalhamento no gás é considerada nula (τwg = 0).Em caso de padrão nevoeiro τwl e τwg são calculados por:τwl = −fwet

flρlvl|vl|2D

,

τwg = − (1− fwet)fgρgvg |vg |

2D.

(3.64)

onde fwet é a fração de líquido em contato com a parede do tubo na transição do padrão anularpara nevoeiro, determinado pela Eq. (3.65) conforme (US-NRC, 2007):

fwet =1

4

(1− αg)D2.5× 10−6

. (3.65)

Para o padrão de transição golfada-anular, τwl é obtido através de uma interpolação linearcom as tensões de cisalhamento dos padrões golfada e anular, isto é,

τwp,SA =

(αg,A − αg

αg,A − αg,DE

)τwp,S +

(αp − αg,DEαg,A − αg,DE

)τwp,A (3.66)

onde αg,A e αg,DE são as frações volumétricas do gás na transição para o padrão anular e opadrão de transição golfada-anular, respectivamente.

Os limites de transição entre os padrões de escoamento são apresentados na seção (3.6.4).

3.6.3 Tensão interfacial

O termo Mp representa a força total por unidade de volume. Ishii (1975) define Mp comouma superposição linear das tensões geradas pelas diferentes forças que atuam na interface, ouseja,

Mp = MDp + MV

p + MBp + ML

p + MWp + MT

p (3.67)

De forma resumida, o significado de cada termo é apresentado na Tabela 3.2.

24


Tabela 3.2: Tensão interfacial total (ISHII; HIBIKI, 2006)

Tensão Simbolo SignificadoArraste MD

p Força por unidade de volume devido ao arraste emsuperfícies.

Massavirtual

MVp Força por unidade de volume requerida para aceleração de

uma massa aparente “virtual” em torno de uma partículaem relação ao meio contínuo.

Basset MBp Força por unidade de volume causada pelo

desenvolvimento da camada limite que envolve umapartícula quando esta é acelerada ou desacelerada.

Sustentação MLp Força de sustentação por unidade de volume normal à

velocidade relativa devido à rotação do fluido.Parede MW

p Força por unidade volume causada pela variação nadistribuição da velocidade em torno de uma partículapróxima a parede de duto.

Dispersãoturbulenta

MTp Força por unidade de volume causada pelo fenômeno de

turbulência na interface.

Em escoamento bifásico unidimensional, é comum modelar Mp considerando apenas asforças de atrito, MD

p , e a força de massa virtual, MVp , por serem consideradas mais significativas

e também pela não existência de equações constitutivas precisas para os demais termos. Emgeral, o termo de massa virtual é usado apenas para manter a natureza hiperbólica do sistemade equações, enquanto a força de atrito, MD

p , é a principal responsável pela transferência dequantidade de movimento entre as fases (BROOKS et al., 2012). Neste trabalho apenas asforças de atrito são consideradas, isto é, Mp ≡MD

p .Segundo Ishii e Mishima (1984) , as forças de arraste e de cisalhamento por unidade de

volume são as principais forças que compõem o termo de atrito interfacial, assim o temo MDp

pode ser definido como

MDp = Mpi − τiAi, (3.68)

Na Eq. (3.68), Mpi e τiAi são as forças de arraste e cisalhamento por unidade de volume,respectivamente. O primeiro termo apresenta maior relevância em escoamento do tipo dispersocomo bolha, bolha dispersa e golfada, sendo comumente desprezado em escoamento separadocomo estratificado e anular. Por outro lado, o segundo termo é dominante em escoamento dotipo separado e desprezível para escoamentos dispersos. (ISHII; MISHIMA, 1984).

3.6.3.1 Força de arraste por unidade de volume

De forma geral, a força de arraste por unidade de volume na equação de quantidade demovimento do gás é definida por

MDg = −CivR |vR| , (3.69)

25


Para a equação do líquido a força de arraste é definida como MDl = −MD

g .Na Eq. (3.69), Ci é definido como coeficiente de arraste interfacial dependente da geometria

e massa especifica dos fluidos e vR é a velocidade relativa entre as fases.Na literatura são encontradas diversas correlações para modelar Ci e vR. Nesta tese, são tes-

tados três modelos comumente empregadas em simuladores comerciais da engenharia nuclear:modelo drift-flux RELAP5 (2001); modelo de arraste RELAP5 (2001) e modelo de arraste deStädtke (2006).

Modelo drift-flux RELAP5 (2001)Neste modelo, os termos Ci e vR são definidos em termos do coeficiente de distribuição e

velocidade de deslizamento, C0 e vD, respectivamente. Uma grande vantagem do modelo éapresentar uma única equação para Mpi para os padrões bolha, golfada e churn.

No modelo drift-flux, a velocidade relativa média entre as fases é dada por (ISHII; MISHIMA,1984)

vR =vD

1− αg=

(1− C0αg

1− αg

)vg − C0vl (3.70)

Escrevendo as equações de quantidade de movimento para o líquido e gás, assumindo fluxovertical em padrão permanente e considerando o modelo de pressão única sem termo de corre-ção de pressão, obtemos:

− αg∂P

∂x− αgρgg +Mgi − τwg = 0, (3.71)

− αl∂P

∂x− αlρlg −Mgi − τwl = 0, (3.72)

Multiplicando as Eqs. (3.71) e (3.72) por αl e αg, respectivamente, em seguida subtraindo asegunda equação da primeira obtém-se

Mgi = αgαl (ρl − ρg) g (3.73)

Substituindo a Eq. (3.70) na Eq. (3.69), em seguida combinando a equação resultante coma Eq. (3.73), obtém-se a seguinte expressão para o parâmetro de arraste Ci

Ci =(αg) (1− αg)3 g (ρl − ρg)

v2D

=(αg) (1− αg)3 g∆ρ

v2D

(3.74)

Os parâmetros C0 e vD são calculados pela correlação de Kataoka e Ishii (1987). Para ospadrões bolha e bolha dispersa, C0 e vD são definidos como:

C0 = 1.2− 0.2

√ρgρl, (3.75)

26


vD =√

2

[σlgg (ρl − ρg)

ρ2l

] 14

, (3.76)

onde σlg é tensão superficial líquido-gás.Para o padrão de golfadas, C0 é calculado pela Eq. (3.75) e vD é obtido por

vD =

[σlgg (ρl − ρg)

ρ2l

] 14

v+D, (3.77)

onde v+D é definido como a velocidade de deslizamento adimensional, expressa por:

v+D = 0.0019 (D∗)0.809

(ρgρl

)−0.157

(Nµl)−0.562 , D∗ < 30, (3.78)

v+D = 0.03

(ρgρl

)−0.157

(Nµl)−0.562 , D∗ ≥ 30, (3.79)

onde D∗ e Nµl são diâmetro hidráulico e número de viscosidade do líquido adimensionais,definidos como:

D∗ = D

√g (ρl − ρg)

σlg(3.80)

Nµl ≡ µl

(ρlσlg

√σlg

g (ρl − ρg)

)− 12

(3.81)

Para 0.2 ≤ αg ≤ 0.3, vD é obtido através de uma interpolação linear utilizando as velocida-des de deslizamento dos padrões bolha e golfada (vD,B e vD,S , respectivamente), isto é,

vD =

(0.3− αg0.3− 0.2

)vD,B +

[1−

(0.3− αg0.3− 0.2

)]vD,S (3.82)

A força de arraste por unidade de volume do modelo drift-flux é aplicada apenas para es-coamento vertical (ascendente e descendente) cuja inclinação (vertical) não exceda os limites60° ≤ |θ| ≤ 90°.

Modelo de arraste - RELAP5 (2001)No modelo de arraste a velocidade relativa é definida como sendo a diferença entre as velo-

cidades médias do gás e do líquido:

vR = vg − vl (3.83)

O coeficiente de arraste interfacial Ci depende do padrão de escoamento. Para os padrõesdo tipo bolha e nevoeiro Ci é definido como

27


Ci =1

8CDAiρf , (3.84)

onde o sobrescrito f representa a fase contínua (f = l para o padrão bolha e f = g para opadrão nevoeiro), CD é o coeficiente de arrasto e Ai é a área interfacial, sendo expressos como:

Ai =3.6αfdb

, (3.85)

CD =

24Reb

, Reb < 124[1+0.1(Reb)0,75]

Reb, 1 ≤ Reb < 1000

, (3.86)

onde Reb é o número de Reynolds da partícula dispersa, dado por

Red =ρf |vR| dbµm

. (3.87)

onde µm é viscosidade da mistura definida como

µm = µfαf−n, (3.88)

onde a constante n assume valor igual a 1 e 2.5 em caso de existência do padrão bolha e padrãonevoeiro, respectivamente. E db é o diâmetro da partícula, que é calculado como função donúmero de Weber crítico (Wecrit) e da tensão superficial líquido-gás (σlg), ou seja:

db =Wecritσlg

2ρcv2R

, (3.89)

para o padrão bolha Wecrit = 10 e para o padrão nevoeiro Wecrit = 3.Para evitar velocidades relativas não físicas no padrão de escoamento bolha, a vR é calculada

utilizando a seguinte restrição

vR = min (vg − vl, vR,∞) , (3.90)

onde vR,∞ é a velocidade relativa terminal da partícula, definida como:

vR,∞ = vD (1− αg)1.39 , (3.91)

onde vD é a velocidade de deslizamento do padrão bolha (Eq. 3.76).No padrão de escoamento golfada o coeficiente de arraste interfacial Ci é obtido conside-

rando a contribuição da força de arraste em duas regiões: região da golfada de líquido (BS)Ci,BS e região da da bolha de Taylor de filme de líquido (TB) Ci,TB (conforme ilustra a Figura3.4), ou seja:

Ci = Ci,BS + Ci,TB, (3.92)

28


onde Ci,BS e Ci,TB são definidos como:

Ci,BS =1

8CD,BSAi,BSρl, (3.93)

Ci,TB = CD,TBAi,TBρl, (3.94)

onde as densidades de área interfacial nas regiões da golfada de líquido (Ai,BS) e bolha deTaylor (Ai,TB) são calculadas como:

Ai,BS =6αg,Sdb

(1− αg

1− αg,S

), (3.95)

Ai,TB =4.5

D

(αg − αg,S1− αg,S

), (3.96)

onde αg,BS é fração volumétrica de gás na transição do padrão bolha para o padrão golfada eαg,S é a fração gás na golfada de líquido, calculada como:

αg,S = αg,BS exp

[−8

(αg − αg,BSαg,SA − αg,BS

)]. (3.97)

Na Eq. (3.93) o coeficiente de arraste na golfada de líquido, CD,BS , é calculado usandoa Eq. (3.86), enquanto o coeficiente de arraste na bolha de Taylor, CD,TB, é calculado pelomodelo de Ishii e Chawla (1979), escrito como:

CD,TB = 9.81 (1− αg)3 , (3.98)

αg ,S

TB

BS

Figura 3.4: Volume de controle padrão de golfadas (RELAP5, 2001)

29


O modelo de arraste para tensão interfacial pode ser aplicado para escoamentos vertical(ascendente e descendente), inclinado e fluxo horizontal (0° ≤ |θ| ≤ 90).

Modelo arraste - Städtke (2006)No modelo de arraste de Städtke (2006), a velocidade relativa, vR, é definida pela Eq. (3.83)

e o coeficiente de arraste interfacial Ci é calculado pela seguinte expressão:

Ci = −3

4CDαg (1− αg)

ρmdb

(3.99)

onde os coeficiente de arraste CD e a diâmetro da partícula db são calculados pelas Eqs. (3.86)e (3.89), respectivamente, e ρm é a massa especifica da mistura, definida como:

ρm = αlρl + αgρg. (3.100)

3.6.3.2 Força de cisalhamento por unidade de volume

O padrão anular é caracterizado por um filme de líquido escoando em contato com a parededo tubo e um núcleo de gás escoando pelo centro com um pequeno volume de líquido disperso(SHOHAM, 2006).

A força total na interface por unidade de volume,Mp, inclui tanto o cisalhamento do filme delíquido em contato com o gás (τiAi), quanto o arraste das gotas de líquido dispersas no núcleode gásMpi (BENDIKSEN et al., 1991; US-NRC, 2007; RELAP5, 2001). Por simplicidade, estetrabalho considera apenas o cisalhamento (τiAi). Assim, no padrão anular a tensão interfacialtotal é dada por

MDg = −τiAi, (3.101)

onde τi é a tensão cisalhante na interface definida como

τi =1

2fiρg (vg − vl) |(vg − vl)| , (3.102)

e fi é o fator de atrito da interface calculado pela correlação de Wallis (1969), desenvolvida paraescoamento anular como:

fi = 0.005 [1 + 75 (1− αg)] (3.103)

Considerando que o volume de gotas de líquido disperso no núcleo de gás é muito menordo que o volume de gás, isto é, αl,d � αg, a área interfacial pode ser obtida por

Ai = 4

√αg

D. (3.104)

30


3.6.4 Mapas de padrões de escoamento

No modelo de dois fluidos, a equação de quantidade de movimento depende do padrão deescoamento, pois o arranjo de fases determina o balanço de forças na interface gás-líquido etambém nas paredes do tubo. Consequentemente, a correta previsão do padrão de escoamentopossui influência direta na acurácia do modelo. Adicionalmente, as transições de padrões deescoamento causam descontinuidade nas equações de conservação, podendo causar problemasde estabilidade e convergência na solução numérica.

Os padrões de escoamento dependem fortemente da inclinação e diâmetro da tubulação; davazão e das propriedades do fluidos (SHOHAM, 2006). Na literatura são encontradas diferentesnomenclaturas e classificações para os padrões de escoamento conforme o tipo de aplicação(ISHII; HIBIKI, 2006). Na engenharia de petróleo, a classificação e nomenclatura de maiorrelevância foi proposta por Taitel et al. (1980). Para um escoamento bifásico (líquido-gás),Taitel et al. (1980) propuseram a seguinte classificação e nomenclatura conforme a orientaçãoe sentido de fluxo:

1. Escoamento vertical: Bolha (Bubble), Bolha dispersa (Dispersed bubble), Golfada (Slug),Churn e anular (Annular-mist), conforme ilustra a Figura 3.5.

2. Escoamento horizontal: bolha dispersa (Dispersed bubble), bolha alongada (Elongatedbubble), estratificado liso (Stratified smooth) e ondulado (Stratified wavy), golfada (Slug)e anular (Annular-mist) conforme a Figura 3.6.

Figura 3.5: Padrões de escoamento de Taitel et al. (1980) em tubo vertical (MALEKZADEH,2012)

31


Figura 3.6: Padrões de escoamento de Taitel et al. (1980) em tubo horizontal (MALEKZADEH,2012)

Os critérios de transição podem ser definidos por correlações empíricas ou modelos meca-nicistas. As correlações empíricas não são universais, apresentam resultados confiáveis quandoàs condições de fluxo do problema são similares as condições do experimento ao qual foramdesenvolvidas.

Nos modelos mecanistas os limites de transição são obtidos a partir da aplicação do balançode massa e de quantidade de movimento, com pouca dependência de dados experimentais.Portanto, sua aplicação abrange um maior número de condições de fluxo.

Os modelos mecanicistas de maior relevância foram desenvolvidos por Taitel e Dukler(1976), válidos para tubulações horizontais e levemente inclinadas; Taitel et al. (1980), parafluxo vertical ascendente; Barnea et al. (1982a); Barnea et al. (1982b); e Barnea et al. (1985),para fluxo vertical e inclinado (descendente e ascendente).

A grande desvantagem dos modelos mecanicistas é a dependência do mapa com incógnitasdo problema (velocidades, pressão, temperatura, composição e fração volumétrica). Por essemotivo, são mais usadas para problemas estacionários.

Neste sentido, os códigos da indústria nuclear (RELAP (RELAP5, 2001; RELAP7, 2014),CATHARE (BARRE; BERNARD, 1990; BESTION, 1990), TRACE (US-NRC, 2007)) utili-zam mapas de fluxos mais simplificados (com pouca dependência das incógnitas do problema)e mais generalizados (com aplicação para diferentes condições de operação: fluxo vertical, as-cendente, descendente, concorrente e contracorrente).

Assim, nesta tese optamos pela determinação do padrão de escoamento através dos mapasde fluxo do código RELAP5 (RELAP5, 2001; RELAP7, 2014). A seguir são apresentados osmapas para escoamento vertical e horizontal.

32


3.6.4.1 Mapa vertical

O mapa de fluxo vertical do RELAP5 pode ser utilizado para escoamento vertical ascendentee descendente (concorrente) e fluxo vertical contracorrente com inclinação entre 60° < |θ| ≤90°.

De forma resumida, o mapa é dividido em três grandes categorias conforme mostra a Figura3.7: Padrão vertical estratificado (Vertically Stratified- VST), Padrão de transição e Padrão não-estratificado. O padrão vertical estratificado (VST) ocorre quando as velocidades de escoamentosão praticamente nulas. A principal característica deste padrão é a existência de uma interfaceseparando verticalmente as fases.

Os padrões não-estratificados são classificados em três categorias, denominados de “Pre-CHF”, “Post-dryout” e padrões de transição de Pre-CHF e Post-dryout. Os padrões Pre-CHFsão classificados em: Bolha (BBY), Golfada (SLG), Transição Golfada/Annular (SLG/ANM)e Nevoeiro (MPR). Já os padrões Post-dryout são classificados em: Anular Inverso (IAN),Transição Inverso Anular/Golfada (IAN/ISL), Golfada Inversa (SLG/ANM), Nevoeiro (MST)e Gotas Dispersa (MPO).

Vertical Estratificado

Não Estratificado

Transição

Aumenta

Figura 3.7: Mapa de escoamento vertical RELAP5 (RELAP5, 2001)

Os padrões Pre-CHF ocorrem quando a parede da tubulação possui baixa temperatura (me-nor que a temperatura de ebulição do fluido) e pouca troca de calor, consequentemente o líquidoé a fase a contínua em contato com a parede, com exceção apenas no padrão nevoeiro (para altasvazões de gás).

Os padrões Post-dryout ocorrem quando as paredes da tubulação são submetidas a altastemperaturas, maiores do que a temperatura de ebulição, consequentemente, ocorre a inversãoda fase em contato com a parede, ou seja, o gás passa a ser a fase em contato com a parede.

33


Os padrões VST, Post-dryout, Pre-CHF são frequentemente encontrados na indústria nu-clear, enquanto na área de petróleo são comuns apenas os padrões Pre-CHF. Assim, neste tra-balho modelam-se apenas os padrões Pre-CHF (ver Figura 3.8).

A transição de bolha para golfada ocorre em αg,BS , definida como:

αg,BS =

α∗g,BS , Gm ≤ 2000 kg/m².s

α∗g,BS +(0.5−α∗g,BS)

1000Gm , 2000 < Gm < 3000 kg/m².s

0.5 , Gm > 3000 kg/m².s

, (3.105)

onde Gm é o fluxo mássico total, dado por

Gm =

Np∑p

αpρp |vp| , (3.106)

e α∗g,BS é definido como

α∗g,BS = max

{0.25 min

[1,

(D∗

22.22

)8], 10−3

}(3.107)

A transição para anular ocorre em αg,SA, dada por

αg,SA = max[0.5, min

(αfcrit, α

ecrit, 0.9

)], (3.108)

onde αfcrit e αecrit são as frações volumétricas de gás críticas, nas quais o líquido é empurrado con-tra a parede do tubo (TAITEL et al., 1980) e a golfada de líquido é destruída pelo entranhamentode gás (KAICHIRO; ISHII, 1984), respectivamente:

αfcrit =

min

[1|vg |

(gD(ρl−ρg)

ρg

) 12, 1.0

], fluxo ascendente

0.75 , fluxo descencente ou contracorrente, (3.109)

αecrit = min

[3.2

|vg|

(gσlg (ρl − ρg)

ρ2g

) 14

, 1.0

]. (3.110)

A transição de golfada para o padrão de transição golfada/anular ocorre em αg,DE , definidacomo

αg,DE = max (αg,BS, αg,SA − 0.05) . (3.111)

Finalmente, a transição de anular para nevoeiro ocorre em αg,AM = 0.9999.

34


BBY SLG SLG/AN

MPR

ANM

αg

αg , DE αg , AM

αg , BS αg ,SA 1.00.0

Figura 3.8: Mapa de escoamento vertical RELAP5 simplificado (RELAP5, 2001)

3.6.4.2 Mapa horizontal

O mapa de fluxo horizontal do RELAP5 é aplicado para escoamento com inclinação entre0° ≤ |θ| ≤ 60°. A Figura 3.9 ilustra um esquema do mapa horizontal RELAP5.

O padrão estratificado ocorre quando:|vg − vf | < vcrit

Gm < 3000 kg/m².s(3.112)

onde vcrit é velocidade crítica do gás em que o cisalhamento na interface gás-líquido cria ondasna interface provocando a transição para padrões não estratificados.

A transição de bolha para golfada ocorre em αg,BS , definida por:

αg,BS =

0.25 , Gm ≤ 2000 kg/m².s

0.25 + 0.00025 (Gm − 2000) , 2000 < Gm < 3000 kg/m².s

0.5 , Gm > 3000 kg/m².s

(3.113)

A transição de golfada para o padrão de transição golfada/anular ocorre em αg,DE = 0.75.Já a transição para anular ocorre em αg,SA = 0.8. Finalmente, a transição para nevoeiro ocorreem αg,AM = 0.9999.

35


BBY SLG SLG/AN

MPR

ANM

αg , DE αg , AM

αg

αg , BS αg ,SA 1.00.0

Estratificado

vcritvcrit2

Figura 3.9: Mapa de escoamento horizontal RELAP5 simplificado (RELAP5, 2001)

3.6.5 Transferência de calor

O transporte de fluidos no interior do poço envolve a transferência de calor por conduçãodentro do próprio fluido e também com o ambiente externo. A determinação da quantidadede calor transferida ou recebida entre o fluido e o ambiente externo durante a produção ouinjeção é um parâmetro de operação importante. Por exemplo, durante a injeção de vapor, ocorreto controle da quantidade de calor transferida do vapor para a formação é crucial para ocontrole da temperatura de injeção requerida. Na produção, dentre outros motivos, o controle datemperatura é fundamental para determinação de medidas de controle e remediação de formaçãode hidratos e deposição de parafinas (SHIRDEL, 2013).

3.6.5.1 Transferência de calor na direção axial

Na direção axial, a transferência de calor ocorre por condução e convecção. Entretanto,apenas a transferência de calor por condução costuma ser considerada (DREW; JR, 1979; ISHII;HIBIKI, 2006; SHOHAM, 2006), sendo modelada segundo a lei de Fourier, expressa por

Qx =∂

∂x

(κm

∂T

∂x

), (3.114)

onde κm é condutividade térmica da mistura, definida por

κm =

Np∑p

αpκp. (3.115)

36


3.6.5.2 Transferência de calor na direção radial

Na direção radial, o termo de transferência de calor Qw representa a transferência total decalor do fluido com a sua vizinhança por unidade de volume. Utilizando a lei de resfriamento deNewton, é possível escrever uma expressão geral para Qw em termos de um coeficiente globalde transferência de calor, Ut , isto é,

Qw =2πrtoUt (Tf − Te)

A∆x=

qwA∆x

, (3.116)

onde qw é fluxo de calor na direção radial, rto é o raio interno do tubo, A é a área da seçãotransversal, Tf e Te são as temperaturas do fluido e da formação, respectivamente.

Na Eq. (3.116), o coeficiente Ut depende dos componentes da completação do poço. Se-gundo Hasan (1994), uma completação vertical pode conter os seguintes componentes: colunade produção, isolante térmico, espaço anular, revestimento, cimentação e formação. Assim, Uté dado pela soma dos coeficientes de troca de calor em cada componente, ou seja,

1

Ut= rto

[1

rtihf+

ln (rto/rti)

κt+

ln (rins/rto)

κins+

1

rci (hC + hR)

+ln (rco/rci)

κc+

ln (rw/rco)

κcem+TD (t)

κe

](3.117)

onde κt, κins, κc, κcem e κe são, respectivamente, os coeficientes de condutividade térmicada coluna de produção, isolante, revestimento, cimentação e formação; rto, rins, rci, rco e rwsão, respectivamente, o raio externo da coluna produção, o raio do revestimento isolante, oraio interno e externo do revestimento e o raio do poço conforme a Figura 3.10; hf e hC sãoos coeficientes de troca de calor por convecção na coluna de produção e no espaço anular,respectivamente; e hR é o coeficiente de troca de calor por radiação no anular.

Na formação, a transferência de calor ocorre sob a forma de condução em regime transiente.Adotando um volume de controle cilíndrico, com o poço localizado no centro, a transferênciade calor na formação é governada por

1

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)+

1

r

∂

∂z

(∂T

∂z

)= αe

∂T

∂t(3.118)

onde αe é o coeficiente de difusividade térmica da formação, dado por

αe =κe

ρeCpe, (3.119)

onde ρe e Cpe são a massa específica e a capacidade calorífica da formação, respectivamente.A formação atua como um meio infinito com temperatura definida pelo gradiente geotér-

mico, isto é, r → ∞, T (r) = Te, onde Te é a temperatura da formação. Ramey (1962) propôsuma solução analítica (solução linha fonte ) para a Eq. (3.118) na direção radial, escrita como

37


Isol

ante

Col

una

de p

rodu

ção

Rev

esti

men

to

Cim

enta

ção

AnularFormaçãoGeológicaFluido

x

r r ti r ins r ci r co rwr t o r e

T tiT T t o T ci T ins T co T w T e

Figura 3.10: Componentes de um sistema de completação. Adaptado de Hasan (1994)

TD (t) =1

2Ei

(− r2

w

4αet

), (3.120)

onde Ei é a função exponencial integral e TD (t) é a temperatura adimensional, definida como

TD (t) = 2π∆xκeqe

(Tw − Te) , (3.121)

onde qe é a quantidade de calor na formação e Tw é a temperatura da parede externa da cimen-tação.

Segundo Hasan e Kabir (1991) a solução de Ramey (1962) não apresenta bons resultadospara tempos menores que sete dias. Assim, eles propuseram uma solução analítica com resul-tados satisfatórios para qualquer intervalo de tempo, escrita como

TD (t) =

1.1281√tD(1− 0.3

√tD)

, tD ≤ 1.5

[0.4063 + 0.5 ln (tD)](

1 + 0.6tD

), tD > 1.5

, (3.122)

onde tD é o tempo adimensional, definido por

tD =αet

r2w

. (3.123)

A Eq. (3.118) também pode ser resolvida numericamente (BAHONAR et al., 2011a; SHIR-

38


DEL, 2013; XIONG, 2014).Os coeficientes hC e hR são calculados através de correlações empíricas como função das

temperaturas da paredes externa do isolante Tins, e interna e externa do revestimento (Tci e Tci,respectivamente), sendo calculados por:

Tins = Tf −qw

2π∆x

[1

rtihf+

ln (rto/rti)

κt+

ln (rins/rto)

κins

], (3.124)

Tci = Te −qw

2π∆x

[ln (rco/rci)

κc+

ln (rw/rco)

κcem+TD (t)

κe

]. (3.125)

Como Ut depende de Qw, um processo iterativo é usado para calcular a transferência decalor Qw (Eq. 3.116). Detalhes do algoritmo usado para calcular Qw e Ut assim como osmodelos empíricos utilizados para determinar hf , hC e hR podem ser encontrados no trabalhode Souza-Jr. (2015).

39

Capítulo 4

Formulação Numérica

4.1 Introdução

Este capítulo aborda o método numérico usado para resolver os sistemas de equações gover-nantes, modelo imiscível e modelo composicional, discutidos no capítulo 3. As equações sãodiscretizadas pelo método dos volumes finitos em um arranjo de malha deslocada (staggered

grid). O esquema upwind de primeira ordem é aplicado para interpolar os fluxos de massa,quantidade de movimento e energia nas faces do volume de controle. O método implícito deEuler de primeira ordem é usado para discretização temporal. Finalmente, o sistema de equa-ções algébricas não linear é resolvido de forma totalmente implícita (fully-implicit) através dométodo Newton-Raphson.

4.2 Discretização do modelo matemático

A discretização transforma as equações diferencias do problema em um conjunto de equa-ções algébricas. No método dos volumes finitos o domínio físico é dividido em volumes dis-cretos onde as equações governantes são integradas. O método tem como base o conceito defluxo entre volumes adjacentes, assegurando a conservação global da massa, da quantidade demomento e da energia (PATANKAR, 1980; VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

A Figura 4.1 ilustra o volume de controle unidimensional usado para a discretização do sis-tema de equações. O domínio espacial, 0 ≤ x ≤ L, é divido em um número finito de volumesdiscretos assumindo uma malha uniforme com os nós, x1, x2, . . . xk . . . , xN , localizados nocentro de cada volume e espaçados por ∆xk, onde x, L, k, θk, g e N são a posição, o compri-mento do domínio, o índice da célula, a inclinação com a horizontal, a aceleração gravitacionale o número total de células da discretização. Finalmente Ak e Vk são a área da seção transversale o volume da célula, respectivamente, definidos como:

Ak =πD2

k

4(4.1)

40

Capítulo 4- Formulação Numérica

Vk = Ak∆xk (4.2)

θk

x

Δ x k

Akg

V k

Figura 4.1: Volume de controle unidimensional.

Um esquema de malha deslocada é usado para discretização espacial do sistema de equa-ções. Neste esquema, as propriedades escalares (pressão, temperatura, frações volumétricas,etc.) são definidas no centro da célula, enquanto as velocidades são definidas nas faces. Paraum volume de controle unidimensional, o esquema possui uma malha principal e uma malhadeslocada para frente (forward staggered grid) ou para trás (backward staggered grid), nessetrabalho optou-se pela primeira opção, conforme ilustra a Figura 4.2. Nela, as equações demassa e energia são integradas no volume de controle “principal” (definido pelas faces k − 1

2e

k + 12), enquanto as equações de quantidade movimento são integradas no volume de controle

“deslocado” (definido pelas faces k e k + 1).O esquema de malha deslocada é usado para evitar oscilações numéricas na pressão cau-

sadas pelo desacoplamento entre a pressão e a velocidade quando um arranjo de malha co-localizada é usado na discretização das equações de Navier-Stokes. Neste esquema, todas asvariáveis, incluindo velocidade e pressão, são definidas no centro do volume de controle, assima discretização torna-se mais simples, uma vez que existe apenas um único volume de controle.Entretanto, o esquema requer a introdução de uma interpolação especial para os termos de flu-xos e o termo de gradiente de pressão a fim de eliminar tais oscilações. Dessa forma, o esquemade malha deslocada é o mais indicado para discretização das equações de Navier-Stokes (PA-TANKAR, 1980; PROSPERETTI; TRYGGVASON, 2007; VERSTEEG; MALALASEKERA,2007).

41


k k+1k+2k-1

k+1/2 k+3/2k-1/2

Main grid Staggered grid

Figura 4.2: Malhas principal e deslocada usadas na discretização espacial

Na literatura é possível encontrar uma grande quantidade de métodos para discretizaçãotemporal, sendo os mais comuns os esquemas: explícitos, semi-implícitos e implícitos de pri-meira ordem. Nos esquemas explícitos, os termos que não incluem a derivada temporal sãodefinidos no passo de tempo anterior, isto é, no nível de tempo n. Essa formulação dá origema um conjunto de equações algébricas desacopladas. Assim, a solução pode ser obtida célula acélula marchando no espaço e no tempo.

Nos métodos implícitos, os termos que não incluem a derivada temporal são definidos nopasso de tempo atual, isto é, no nível de tempo n + 1. A formulação implícita dá origem a umconjunto de equações algébricas acopladas. Portanto, para cada passo de tempo é necessárioresolver um sistema de equações. Finalmente, nos esquemas semi-implícitos, parte dos termossão avaliados implicitamente, enquanto que para os restantes aplica-se um esquema explícito.

Os métodos explícitos são mais simples de serem implementados, possuem como grandevantagem o menor custo computacional. No entanto, podem apresentar fortes restrições aotamanho do passo de tempo, porque a estabilidade do método é dependente da condição deCourant-Friedrichs-Lewy (CFL), definida como ∆t

∆x≥ |max (λi)|, onde λi representa o con-

junto de autovalores do sistema. Os métodos implícitos, apesar de exigirem a resolução de umsistema equações a cada passo de tempo, são incondicionalmente estáveis, isto é, não apre-sentam restrição quanto ao tamanho do passo de tempo da simulação pelo CFL. Sua grandedesvantagem em relação aos esquemas explícitos é a dificuldade de implementação e o custocomputacional da solução (LEVEQUE, 2004; PROSPERETTI; TRYGGVASON, 2007; WES-SELING, 2009).

Nesta tese o esquema totalmente implícito é usado para discretização temporal devido àforte não-linearidade das equações governantes. Além disso, o esquema totalmente implícitoé comumente utilizado em simuladores de reservatório térmico e composicional devido a suarobustez em termos das não-linearidades fortes da formulação e a maior flexilidade no tamanhodo passo de tempo (CHEN, 2007). Assim, o esquema foi adotado para facilitar o acoplamentodas equações do poço e do reservatório afim de obter uma solução simultânea para os doissistemas.

42


4.2.1 Conservação de massa modelo imiscível

Integrando a equação de balanço de massa da fase p (Eq. (3.49)) no volume de controleprincipal da Figura (4.2), entre os instantes [t, t+ ∆t] considerando o esquema implícito deEuler, tem-se:

(A∆x)k∆t

[(αpρp)

n+1k − (αpρp)

nk

]+ Ak+ 1

2(αpρp)

n+1k+ 1

2(vp)

n+1k+ 1

2

−Ak− 12

(αpρp)n+1k− 1

2(vp)

n+1k− 1

2= 0. (4.3)

4.2.2 Conservação de massa modelo composicional

Analogamente, integrando a equação de balanço de massa do componente c (Eq. (3.50)),tem-se:

(A∆x)k∆t

Np∑p

[(αpxc,pξp)

n+1k − (αpxc,pξp)

nk

]+ Ak+ 1

2

Np∑p

(αpxc,pξpvp)n+1k+ 1

2

− Ak− 12

Np∑p

(αpxc,pξpvp)n+1k− 1

2=(qnc,p

)n+1

k, (4.4)

onde Np é o número de fases.O termo fonte de massa

(qnc,p

)n+1

ké discretizado como:

(qnc,p

)n+1

k= (A∆x)k

(qnc,p

)n+1

k=

Np∑p

PIk

(xc,pξpkrpµp

)∗k

(PRk − P n+1

k

), (4.5)

onde PI é o índice de produtividade, PRk é a pressão do reservatório na célula k, qnc,p > 0 para

injeção e qnc,p < 0 para produção. O termo (xc,pξp)∗k é definido por uma interpolação upwind,

isto é,

(xc,pξpkrpµp

)∗k

=

(xc,pξpkrp

µp

)Wk

, P n+1k > PR

k(xc,pξpkrp

µp

)Rk

, P n+1k < PR

k

(4.6)

onde os sobrescrito W e R denotam o poço e o reservatório, respectivamente.Somando-se as equações de massas de cada componente (Eq. (4.4)) obtemos o balanço de

massa total da mistura, escrita como:

43


(A∆x)k∆t

Np∑p

( Nc∑c

αpxc,pξp

)n+1

k

−

(Nc∑c

αpxc,pξp

)n

k

+Ak+ 12

Np∑p

(Nc∑c

αpxc,pξp

)n+1

k

(vp)n+1k+ 1

2

− Ak− 12

Np∑p

(Nc∑c

αpxc,pξp

)n+1

k−1

(vp)n+1k− 1

2=

Nc∑c

(qnc,p

)n+1

k. (4.7)

onde Nc é o número de componentes.

4.2.3 Conservação da quantidade de movimento

Integrando a equação de balanço de quantidade de movimento da fase p (Eq. (3.52)) novolume de controle deslocado (ver Figura 4.2) entre os instantes [t, t+ ∆t] considerando oesquema implícito de Euler, tem-se:

(A∆x)k+ 12

∆t

[(αpρpvp)

n+1k+ 1

2− (αpρpvp)

nk+ 1

2

]+ Ak+1 (αpρpvpvp)

n+1k+1 − Ak (αpρpvpvp)

n+1k =

− Ak+ 12

(αp)n+1k+ 1

2

(P n+1k+1 − P

n+1k

)− (A∆x)k+ 1

2(τwp)

n+1k+ 1

2− (A∆x)k+ 1

2(αpρpg sin θ)n+1

k+ 12

+ (A∆x)k+ 12

(Mp)n+1k+ 1

2− Ak+ 1

2(∆Pi)

n+1k+ 1

2

[(αp)

n+1k+1 − (αp)

n+1k

]. (4.8)

4.2.4 Conservação da energia

Integrando a equação de balanço de energia da mistura (Eq. (3.54)) analogamente a integra-ção das equações de conservação de massa, obtemos:

(A∆x)k∆t

Np∑p

(αp)n+1k

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)n+1

k

− Np∑p

[(αp)

nk

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)n

k

]+ Ak+ 1

2

Np∑p

[αp

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)vp

]n+1

k+ 12

− Ak− 12

Np∑p

[αp

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)]n+1

k− 12

=

(A∆x)k∆t

(P n+1k − P n

k

)+(A∆x)k (Qx)

n+1k −(A∆x)k (Qw)n+1

k −(A∆x)k

Np∑p

[αpρpgvp]n+1k +(qe)

n+1k .

(4.9)

O termo fonte de massa (qe)n+1k é discretizado como:

(qe)n+1k = (A∆x)k (qe)

n+1k = −

Np∑p

PIk

(ξphpkrpµp

)∗k

(PRk − P n+1

k

), (4.10)

44


onde(ξphpkrpµp

)∗k

é definido por:

(ξphpkrpµp

)∗k

=

(ξphpkrpµp

)Wk

, P n+1k > PR

k(ξphpkrpµp

)Pk

, P n+1k < PR

k

. (4.11)

4.2.5 Equações de restrição

As equações de restrição são compostas pelas relações de igualdades das fugacidades doscomponentes no líquido e no vapor, restrição na soma das frações molares dos componentes nasfases e restrição na soma das frações volumétricas, sendo definidas respectivamente como:

(fc,l)n+1k = (fc,g)

n+1k , (4.12)

Nc∑c

(xc,p)n+1k = 1, (4.13)

Np∑p

(αp)n+1k = 1. (4.14)

onde os subscritos l e g denotam as fases líquido e gás, respectivamente.

4.3 Esquema de interpolação

As propriedades escalares , quando definidas em k ± 12, assim como as velocidades quando

definidas no centro da célula em k, necessitam ser interpoladas utilizando as propriedades vizi-nhas definidas no centros e nas faces, respectivamente.

Segundo Versteeg e Malalasekera (2007), o esquema de interpolação depende da naturezafísica do problema. Na literatura é encontrada uma grande variedade de esquemas de interpo-lação, com diferentes ordens de aproximação: primeira, segunda e alta ordem. A forma maissimples é aplicar uma interpolação linear que, para uma malha uniforme possui aproximaçãode segunda ordem. Entretanto, quando aplicada em problemas puramente advectivos produ-zem oscilações numéricas (spurious oscillations) em próximos as descontinuidades que, porsua vez, podem causar a instabilidade numérica da solução. Além disso, produzem soluçõespara as frações volumétricas fora do limite [0, 1], especialmente na região de aparecimento edesaparecimento de fases (LEVEQUE, 2004; VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007; PROS-PERETTI; TRYGGVASON, 2007).

No esquema upwind de primeira ordem, a propriedade interpolada assume o valor a mon-tante do ponto de interpolação, conforme o sentido do fluxo. Quando aplicado em problemaspuramente advectivos geram uma solução estável e fisicamente coerente do ponto de vista deconservação da propriedade interpolada. Entretanto, o esquema é conhecido por gerar soluções

45


difusivas, suavizando choques, especialmente nos casos onde a malha é pouco refinada (LE-VEQUE, 2004; VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007; PROSPERETTI; TRYGGVASON,2007).

Outras técnicas de interpolação de ordens superiores como QUICK (Quadratic UpstreamInterpolation for Convective Kinematics) e TVD (Total Variation Diminishing) podem ser en-contrados em Tannehill et al. (1997), LeVeque (2004), Versteeg e Malalasekera (2007) e Pros-peretti e Tryggvason (2007) . Entretanto, segundo Prosperetti e Tryggvason (2007) o problemade escoamento multifásico em tubos é puramente advectivo. Dessa forma, neste trabalho o es-quema upwind é utilizado para interpolar as propriedades transportadas (massa e energia) nasfaces em

[k − 1

2, k + 1

2

], conforme a Eq. (4.15):φ

sk+ 1

2

= βs+k+ 1

2

φsk + βs−k+ 1

2

φsk+1

φsk− 1

2

= βs+k− 1

2

φsk−1 + βs−k− 1

2

φsk

, (4.15)

onde φs denota à propriedade escalar transportada (massa e energia) e os parâmetros βs+k± 1

2

eβs−k± 1

2

são calculados pela expressão:βs+k± 1

2

= 12

[1 + sign (vp)

n+1k± 1

2

]βs−k± 1

2

= 1− βs+k± 1

2

, (4.16)

onde sign é a função sinal, definida como:

sign (vp) =

1 , se vp > 0

0 , se vp = 0

−1 , se vp < 0

, (4.17)

Na Eq. (4.8), a quantidade de movimento transportada (αpρpvp) nas faces da malha deslo-cada em [k, k + 1], é interpolada usando o esquema upwind, definido como:φ

vk = βv+

k φvk+ 1

2

+ βv−k φvk− 1

2

φvk+1 = βv+k+1φ

vk+ 1

2

+ βv−k+1φvk+ 3

2

, (4.18)

onde φv denota a quantidade de movimento (φ = αpρpvp) e os parâmetros βv+k, k+1 e βv+

k, k+1 sãoobtidos por: β

v+k, k+1 = 1

2

[1 + sign (vp)

n+1k, k+1

]βv−k, k+1 = 1− βv+

k, k+1

. (4.19)

As velocidades nos centros da célula são calculadas através de uma interpolação linear, ouseja,

(vp)k =(vp)k− 1

2+ (vp)k+ 1

2

2. (4.20)

46


Finalmente, na Eq. (4.8) os termos (αp)k+ 12, (αpρp)k+ 1

2são obtidos através de uma interpo-

lação linear.

4.4 Solução numérica

O sistema de equações algébricas não linear é resolvido de forma totalmente implícita (fully-

implicit) utilizando o método de Newton-Raphson, escrito como:

J(ν)δX(ν+1) = −R(ν), (4.21)

onde v representa a iteração de Newton, R(ν) é o vetor de resíduos , δX(ν+1) é o vetor deincremento das incógnitas e J é a matriz Jacobiana, formada pelas derivadas parciais das nRequações de resíduos com relação às nX variáveis do problema,

J(ν) =

[∂R

∂X

](ν)

nR×nX

. (4.22)

Ao final de cada iteração de Newton o vetor de incógnitas X é atualizado, isto é:

Xn+1,ν+1 = Xn+1,v + δXv+1, (4.23)

onde δX(ν+1) é obtido através da solução do sistema linear (Eq. 4.21). O método de Newtonconverge quando R

(X(ν+1)

)→ 0. Neste trabalho, o critério de convergência é definido pela

norma infinita dos vetores de resíduos e de incrementos da variáveis avaliados na iteração atual(v + 1) , definidas como:

∥∥R(ν+1)∥∥∞ = max

∣∣R(ν+1)∣∣ , (4.24)

∥∥δX(ν+1)∥∥∞ = max

∣∣∣∣ δX(ν+1)

max (1, X(ν))

∣∣∣∣ . (4.25)

O solver PARDISO (LU solver) do pacote MKL (Math Kernel Library) Intel (JEANETTE,2016) é usado para resolver o sistema linear (4.21). A matriz Jacobiana (J) é calculada analiti-camente e salva no formato CRS (Compress Row Storage).

O simulador proposto foi desenvolvido em linguagem de programação FORTRAN 90 utili-zando o conceito de orientação a objetos OOP (Object Oriented Programming).

4.4.1 Modelo imiscível

O sistema de equações governantes e variáveis naturais do modelo imiscível para cada cé-lula da malha são apresentados nas Tabelas 4.1 e 4.2, respectivamente. Neste caso, como não hámiscibilidade entre as fases não ocorre a transferência de massa, consequentemente não ocorreo aparecimento e desaparecimento de fases devido ao equilíbrio termodinâmico. Entretanto, o

47


desaparecimento de fase nas células pode ocorrer devido ao fenômeno de segregação gravitaci-onal.

Tabela 4.1: Equações governantes modelo imiscível

Equação QuantidadeMassa da fase Eq. (4.3) Np

Quantidade de movimento da fase Eq. (4.8) Np

Energia da mistura Eq. (4.9) 1Restrição das frações volumétricas Eq. (4.14) 1

TOTAL 2Np + 2

Tabela 4.2: Variáveis naturais modelo imiscível

Variável Notação QuantidadePressão P 1

Temperatura T 1Velocidade vp Np

Fração volumétrica αp Np

TOTAL 2Np + 2

Aplicando o esquema de interpolação discutido na seção 4.3 no sistema de equações daTabela 4.1, em seguida escrevendo na forma de resíduos temos:

Resíduos do balanço de massa da fase

Rmp,k =

(A∆x)k∆t

[(αpρp)

n+1k − (αpρp)

nk

]+ Ak+ 1

2

{βs+k+ 1

2

(αpρp)n+1k (vp)

n+1k+ 1

2+ βs−

k+ 12

(αpρp)n+1k+1 (vp)

n+1k+ 1

2

}− Ak− 1

2

{βs+k− 1

2

(αpρp)n+1k−1 (vp)

n+1k− 1

2+ βs−

k− 12

(αpρp)n+1k (vp)

n+1k− 1

2

}, (4.26)

para o líquido (p = l) e gás (p = g).Resíduos do balanço de quantidade de movimento

48


RPp,k =

(A∆x)k+ 12

2∆t

{[(αpρp)

n+1k + (αpρp)

n+1k+1

](vp)

n+1k+ 1

2

−[(αpρp)

nk + (αpρp)

nk+1

](vp)

nk+ 1

2

}Ak+1

2(αpρp)

n+1k+1

[βv+k+1 (vp)

n+1k+ 1

2+ βv−k+1 (vp)

n+1k+ 3

2

] [(vp)

n+1k+ 1

2+ (vp)

n+1k+ 3

2

]− Ak

2(αpρp)

n+1k

[βv+k (vp)

n+1k− 1

2+ βv−k (vp)

n+1k+ 1

2

] [(vp)

n+1k− 1

2+ (vp)

n+1k+ 1

2

]+ Ak+ 1

2(αp)

n+1k+ 1

2

[P n+1k+1 − P

n+1k

]− (A∆x)k+ 1

2(τwp)

n+1k+ 1

2

+(A∆x)k+ 1

2

2(g sin θ)n+1

k+ 12

[(αpρp)

n+1k + (αpρp)

n+1k+1

]− (A∆x)k+ 1

2(Mp)

n+1k+ 1

2+ Ak+ 1

2(∆Pi)

n+1k+ 1

2

[(αp)

n+1k+1 − (αp)

n+1k

], (4.27)

para o líquido (p = l) e gás (p = g).Resíduo da energia da mistura,

Rhk =

(A∆x)k∆t

Nn+1

p,k∑p

[(αp)

n+1k

((ξphp)

n+1k +

1

8(ρp)

n+1k

[(vp)

n+1k− 1

2+ (vp)

n+1k+ 1

2

]2)]

−Nn

p,k∑p

[(αp)

nk

((ξphp)

nk +

1

8(ρp)

nk

[(vp)

nk− 1

2+ (vp)

nk+ 1

2

]2)]

+ Ak+ 12

Nn+1

p,k+12∑

p

{[βs+k+ 1

2

(αpξphp)n+1k + βs−

k+ 12

(αpξphp)n+1k+1

](vp)

n+1k+ 1

2

+1

2

[βs+k+ 1

2

(αpρp)n+1k + βs−

k+ 12

(αpρp)n+1k+1

] ((vp)

n+1k+ 1

2

)3}

− Ak− 12

Nn+1

p,k− 12∑

p

{[βs+k− 1

2

(αpξphp)n+1k−1 + βs−

k− 12

(αpξphp)n+1k

](vp)

n+1k− 1

2

+1

2

[βs+k− 1

2

(αpρp)n+1k−1 + βs−

k− 12

(αpρp)n+1k

] ((vp)

n+1k− 1

2

)3}

− (A∆x)k∆t

(P n+1k − P n

k

)− (A∆x)k (Qx)

n+1k − (Qw)n+1

k − (qe)n+1k

+1

2(A∆x)k g sin θk

Nn+1p,k∑p

{(αpρp)

n+1k

[(vp)

n+1k− 1

2+ (vp)

n+1k+ 1

2

]}, (4.28)

onde Nn+1p,k e Nn

p,k são os números de fases no centro da célula no tempo atual e anterior, res-pectivamente, e Nn+1

p,k± 12

representam o número de fases nas faces.Finalmente, o vetor de resíduo da restrição das frações volumétricas,

49


Rαp

k =

Nn+1p,k∑p

(αp)n+1k − 1. (4.29)

Um dos maiores desafios da modelagem computacional do escoamento multifásico em tu-bos é o tratamento do desaparecimento de fases (isto é, transição de fluxo bifásico para fluxomonofásico). Independente do esquema numérico, o desaparecimento de fases pode causar pro-blemas de instabilidade e convergência da solução. Estes problemas podem ser associados asmudanças nas características do sistema de equações (perda de hiperbolicidade) ou a perda depositividade na fração volumétrica (fração negativa) e energia interna do sistema (BESTION,2000; FREPOLI et al., 2003; CORDIER et al., 2011).

Em particular, no esquema numérico adotado neste trabalho, a matriz Jacobiana J torna-sesingular quando uma fase desaparece, isto é, J é singular quando αg = 0 (monofásico líquido)ou αl = 0 (monofásico gás).

No simulador CATHARE, a singularidade em J é contornada por meio da inclusão de umlimitante na fração volumétrica (αmin

g = 10−5 e αming = 1− 10−6 para fluxo monofásico líquido

e gás, respectivamente). Portanto, o sistema é sempre bifásico, isto é, Np = 2 em todas ascélulas, assim o número de equações e incógnitas são constantes durante a simulação. É im-portante destacar que no CATHARE além do limitante na fração volumétrica, os termos fontede geração de massa e transferência de calor das equações de massa e energia, respectivamente,são condicionados para garantir a convergência e o caráter conservativo da solução.

Em Zou et al. (2016), a singularidade em J é prevenida através do termo atrito interfacialMD

p . Quando αp torna-se menor que αminp = 10−9, o termo MD

p é calculado usando αminp . Isso

força o escoamento homogêneo entre a fase de volume infinitesimal e a fase que permanece nacélula, com isso o sistema permanece bifásico. Entretanto, o método pode gerar uma quantidadede movimento artificial na fase dominante.

Neste trabalho, para o sistema imiscível, adota-se um esquema similar ao simulador CATHARE,isto é, o sistema é sempre bifásico e as frações volumétricas são limitadas por αp ≥ 10−10. As-sim, cada célula da malha possui um número fixo de equações e variáveis (ver Tabelas 4.1 e4.4).

Dessa forma, o vetor de resíduos R é ordenado da seguinte forma,

R =[~R1, ~R2, . . . , ~Rk, . . . , ~RnR

]T, (4.30)

onde para o k-ésima célula, Rk é definido como

~Rk =[Rml,k, R

mg,k, R

hk , R

Pl,k, R

mg,k, R

αp

k

]T, (4.31)

Similarmente, o vetor de incógnitas X e o vetor de incrementos δX, são definidos como:

X =[~X1, ~X2, ..., ~Xk, . . . , ~XnX

]T, (4.32)

50


δX =[δ ~X1, δ ~X2, . . . , δ ~Xk, . . . , δ ~XnX

]T, (4.33)

onde para o k-ésima célula da malha, Xk e δXk são escritos como:

~Xk = [Pk, Tk, vl,k, vg,k, αl,k, αg,k]T , (4.34)

δ ~Xk =[δPk, δTk, (δvl)k , (δvg)k , (δαl)k , (δαg)k

]T, (4.35)

Para fluxo escoamento isotérmico, a equação de conservação de energia total (Eq. (4.28)) éeliminada da discretização e as variáveis passam a ser Xk = [Pk, vl,k, vg,k, αl,k, αg,k].

A matriz Jacobiana é construída da seguinte forma:

J =

∂ ~R1

∂ ~X1

∂ ~R1

∂ ~X2

∂ ~R1

∂ ~X30 0 0 0 0 · · · 0

∂ ~R2

∂ ~X1

∂ ~R2

∂ ~X2

∂ ~R2

∂ ~X3

∂ ~R2

∂ ~X40 0 0 0 · · · 0

0 ∂ ~R3

∂ ~X1

∂ ~R3

∂ ~X2

∂ ~R3

∂ ~X3

∂ ~R3

∂ ~X4

∂ ~R3

∂ ~X50 0 · · · 0

......

......

... . . . ......

......

0 0 0 ∂ ~Rk

∂ ~Xk−2

∂ ~Rk

∂ ~Xk−1

∂ ~Rk

∂ ~Xk

∂ ~Rk

∂ ~Xk+1

∂ ~Rk

∂ ~Xk+2· · · 0

......

......

......

...... . . . ...

0 0 0 0 0 0 0∂ ~RnR

∂ ~XnX−2

∂ ~RnR

∂ ~XnX−1

∂ ~RnR

∂ ~XnX

(4.36)

O fluxograma da Figura 4.3 mostra o algoritmo utilizado para uma simulação imiscível nestetrabalho. O procedimento consiste:

1. Ler os dados de entrada e inicializar os parâmetros da simulação. Os dados de entradaincluem: a configuração do tubo; condição de inicial e de contorno, fluido e os parâmetrosnuméricos (espaçamento da malha, passo de tempo, tolerância, etc.).

2. Avançar um passo de tempo. Se for a primeira iteração, a solução anterior é usada comochute de Newton, isto é, Xn+1,ν = Xn. Caso contrário, utiliza-se a solução da iteraçãoanterior como chute na iteração atual, ou seja, Xn+1,ν = Xn+1,v+1.

3. Calcular o vetor de resíduos R e a matriz Jacobiana J.

4. Resolver o sistema linear (Eq. (4.21)) e atualizar o vetor de variáveis da iteração atual,X(ν+1) , usando a Eq. (4.23).

5. Verificar a convergência através das Eqs. (4.24) e (4.25). Se a solução não convergiu,retornar ao passo 2 e repetir o processo até atingir a convergência. Se a tolerância nãofoi atingida no máximo número de iterações de Newton, o tamanho passo de tempo éreduzido pela metade e o método de Newton é reinicializado. Se o tamanho do passo detempo for menor do que o passo de tempo mínimo, a simulação é interrompida.

51


6. Atualiza a variáveis do passo de tempo anterior, Xn = Xn+1. Escrever a solução nosarquivos de saída.

7. Se o número de passos de tempo for igual ao tempo total de simulação, a simulação éfinalizada. Senão, retornar ao passo 2.

Ler e inicializar simulação

Iniciar passo de tempo X(=0) = X(n)

Calcular R() e J()

Resolver sistema X(+1) =-R()J()-1

Atualizar variáveis no tempo n+1X(+1)

X(n) = X(n+1)

Newton-RaphsonConvergiu ?

Escrever arquivos de saída

Tempo menor ou igual ao tempo de simulação?

Salvar solução ?

Não

Não

Sim

SimSim

X() = X(+1)

= +1

X() = X(n)

= 0

Reduz opasso de tempo

Iteração maior do que o máximo número

de iterações de Newton ?

Sim

Não

Não

Figure 4.3: Fluxograma com o algoritmo de execução de uma simulação imiscível

4.4.2 Modelo composicional

No modelo composicional, as equações governantes e as variáveis naturais em cada célulasão mostradas nas Tabelas 4.3 e 4.4, respectivamente. Neste modelo, em cada célula pode existirsimultaneamente até duas fases hidrocarboneto líquido e vapor, portanto os números de fasesno centro e nas faces das células, Nn+1

p,k e Nn+1p,k+ 1

2

, respectivamente, são variáveis secundárias doproblema.

52


Tabela 4.3: Equações governantes modelo composicional

Equação QuantidadeMassa do componente Eq. (4.4) Nc − 1Massa total da mistura Eq. (4.7) 1

Quantidade de movimento da fase Eq. (4.8) Np

energia da mistura Eq. (4.9) 1equilíbrio termodinâmico Eq. (4.12) Nc × (Np − 1)soma das frações molares Eq. (4.13) Np

soma das frações volumétricas Eq. (4.14) 1TOTAL Np × (Nc + 2) + 2

Tabela 4.4: Variáveis naturais modelo composicional

Variável Notação Quantidadepressão P 1

temperatura T 1velocidade vp Np

fração molar xc,p Nc ×Np

fração volumétrica αp Np

TOTAL Np × (Nc + 2) + 2

Nn+1p,k é obtido por um cálculo de equilíbrio termodinâmico, isto é, através de um teste de

estabilidade e flash bifásico (ver apêndice B.3) em função da pressão, temperatura e fraçãoglobal da célula. O fluxograma da Figura 4.4 descreve o algoritmo usado para testar o apareci-mento/desaparecimento de fases em cada célula conforme método apresentado em Cao (2002).Neste trabalho, por questões de estabilidade e convergência da solução no problema de segre-gação de fases, uma fase desaparece do sistema quando sua fração volumétrica for αp ≤ 10−10.

O algoritmo funciona da seguinte forma. Se a célula é monofásica, Nn+1p,k = 1, um teste

de estabilidade é executado para determinar a estabilidade da célula. Se for instável, ocorre oaparecimento de uma nova fase, então um flash bifásico é executado para determinar o númerode mols, frações molares e volumétricas do equilíbrio, e por fim o estado da célula é atualizadopara bifásico, isto é Nn+1

p,k = 2.Para uma célula bifásica, se αp ≤ 10−10 (líquido ou gás) ocorre o desaparecimento de

uma das fases, então a composição da fase que permanece na célula é recombinada utilizandoo número de mols de ambas as fases através da Eq. (B.26) e o estado da célula é alteradopara monofásico. Se nenhuma das fases de hidrocarbonetos possui fração volumétrica negativa,então o estado termodinâmico da célula não é alterado.

53


Ler estado da célulaP, T, x

c,p e N

p

Execute teste de estabilidade

Recombinecomposição

Yes

Execute flashbifásico

Célula monofásica ?

Célula estável ?

Sim

Verificar se α

l<10-10 ou α

g<10-10

Não

Não

Sim Sim

Não Fase desaparece ?

Figure 4.4: Algoritmo de teste de aparacimento/desaparecimento de fases

O número de equações de quantidade de movimento depende do número de fases na faceNn+1p,k+ 1

2

. Esta, por sua vez, é obtida através de uma interpolação (Eq. (4.37)) usando o númerode fases das células a montante e a jusante da face k + 1

2, calculadas anteriormente utilizando

o algoritmo da Figura 4.4. Esta interpolação é usada para diminuir o custo computacional docálculo de estabilidade e flash bifásico nas faces.

Nn+1p,k+ 1

2

=

Nn+1p,k , seNn+1

p,k = 2 eNn+1p,k+1 = 1

Nn+1p,k+1 , seNn+1

p,k = 1 eNn+1p,k+1 = 2

Nn+1p,k , caso contrário

(4.37)

Substituindo o esquema de interpolação discutido na seção 4.3 nas equações da Tabela 4.3,em seguida escrevendo na forma de resíduos temos:

Resíduos do balanço de massa do componente c

54


Rck =

(A∆x)k∆t

Nn+1p,k∑p

(αpxc,pξp)n+1k −

Nnp,k∑p

(αpxc,pξp)nk

+ Ak+ 1

2

Nn+1

p,k+12∑

p

{βs+k+ 1

2

(αpxc,pξp)n+1k (vp)

n+1k+ 1

2+ βs−

k+ 12

(αpxc,pξp)n+1k+1 (vp)

n+1k+ 1

2

}

− Ak− 12

Nn+1

p,k− 12∑

p

{βs+k− 1

2

(αpxc,pξp)n+1k−1 (vp)

n+1k− 1

2+ βs−

k− 12

(αpxc,pξp)n+1k (vp)

n+1k− 1

2

}−(qnc,p

)n+1

k, (4.38)

para c = 1, ..., Nc − 1.Resíduo do balanço de massa total da mistura

Rmtk =

(A∆x)k∆t

Nn+1p,k∑p

(Nc∑c

αpξp

)n+1

k

−Nn+1

p,k∑p

(Nc∑c

αpξp

)n

k

+

Ak+ 12

Nn+1

p,k+12∑

p

βs+k+ 12

(Nc∑c

αpξp

)n+1

k

(vp)n+1k+ 1

2+ βs−

k+ 12

(Nc∑c

αpξp

)n+1

k+1

(vp)n+1k+ 1

2

− Ak− 1

2

Nn+1

p,k− 12∑

p

βs+k− 12

(Nc∑c

αpξp

)n+1

k−1

(vp)n+1k− 1

2+ βs−

k− 12

(Nc∑c

αpξp

)n+1

k

(vp)n+1k− 1

2

−

Nc∑c

(qnc,p

)n+1

k. (4.39)

Os resíduos de balanço de quantidade de movimento e de energia são dados pelas Eqs. (4.27)e (4.28), respectivamente. Os resíduos das equações de equilíbrio termodinâmico e restrição dasfrações molares, são escritos como:

Rfck = (fc,l)

n+1k − (fc,g)

n+1k , (4.40)

para c = 1, ...,Nc. Finalmente, os resíduos de restrição das frações molares do componentes

Rxc,pk =

Nc∑c

(xc,p)n+1k − 1, (4.41)

para o líquido (p = l) e gás (p = g). O resíduo da restrição das frações volumétricas é dadopela Eq. (4.29).

Similarmente ao modelo imiscível, o vetor de resíduos do modelo composicional, é definido

55


como

R =[~RP,1, ~RS,1, . . . ~RP,k, ~RS,k, ..., ~RP,nR

, ~RS,nR

]T, (4.42)

onde ~RP são denominados de resíduos primários e ~RS de resíduos secundários, para a k-ésimacélula, são definidos como:

~RP,k =

[Rck, ...., R

Nc−1k , Rmt

k , Rhk ,[RPk

]Np,k+12

p=1

]T, (4.43)

~RS,k =[[Rfck , ...., R

fNck

],[Rxc,pk

]Np

p=1,[Rαp

k

]Np,k

p=1,]T, (4.44)

Os resíduos primários são aqueles em que as variáveis naturais apresentam dependênciacom a própria célula e suas vizinhas (composto pelas equações diferencias na forma discreti-zada), enquanto os resíduos secundários apresentam dependência com a própria célula (são asequações restrição).

Analogamente ao modelo imiscível, o vetor de incógnitas X e o vetor de incrementos δX,são escritos como:

X =[~X1, ~X2, ..., ~XnX

]T(4.45)

δX =[δ ~X1, δ ~X2, ..., δ ~XnX

]T, (4.46)

onde para o k-ésima célula da malha, ~Xk e δ ~Xk, são construídos como:

~Xk =

[Pk, Tk, [vp,k]

Np,k+1

2p=1 ,

[(xc,p)k

]Nc,Np,k

c=1, p=1,[(αp)k

]Np,k

p=1

]T, (4.47)

δ ~Xk =

[δPk, δTk,

[(δvp)k

]Np,k+12

p=1 ,[(δxc,p)k

]Nc,Np,k

c=1, p=1,[(δαp)k

]Np,k

p=1

]T. (4.48)

A matriz Jacobiana é construída da seguinte forma:

56


J =

∂ ~RP,1

∂ ~X1

∂ ~RP,1

∂ ~X2

∂ ~RP,1

∂ ~X30 0 0 0 0 · · · 0

∂ ~RS,1

∂ ~X10 0 0 0 0 0 0 · · · 0

∂ ~RP,2

∂ ~X1

∂ ~RP,2

∂ ~X2

∂ ~RP,2

∂ ~X3

∂ ~RP,2

∂ ~X40 0 0 0 · · · 0

0∂ ~RS,2

∂ ~X20 0 0 0 0 0 · · · 0

0∂ ~RP,3

∂ ~X1

∂ ~RP,3

∂ ~X2

∂ ~RP,3

∂ ~X3

∂ ~RP,3

∂ ~X4

∂ ~RP,3

∂ ~X50 0 · · · 0

0 0∂ ~RS,3

∂ ~X30 0 0 0 0 · · · 0

......

......

... . . . ......

......

0 0 0∂ ~RP,k

∂ ~Xk−2

∂ ~RP,k

∂ ~Xk−1

∂ ~RP,k

∂ ~Xk

∂ ~RP,k

∂ ~Xk+1

∂ ~RP,k

∂ ~Xk+2· · · 0

0 0 0∂ ~RS,k

∂ ~Xk0 0 0

. . . · · · 0...

......

......

...... 0

. . . ...

0 0 0 0 0 0 0∂ ~RP,nR

∂ ~XnX−2

∂ ~RP,nR

∂ ~XnX−1

∂ ~RP,nR

∂ ~XnX

0 0 0 0 0 0 0 0 · · · ∂ ~RS,nR

∂ ~XnX

(4.49)

A Figura 4.5 mostra o diagrama do algoritmo utilizado para uma simulação composicionaldeste trabalho. O procedimento é similar ao algoritmo do modelo imiscível (Figura 4.3). En-tretanto, a principal diferença e à verificação do aparecimento e desaparecimento de fases emcada célula da malha (algoritmo da Figura 4.4.2) no início da iteração do método de Newton.

57


Ler e inicializar simulação

Iniciar passo de tempo X(=0) = X(n)

Calcular R() e J()

Resolver sistema X(+1) =-R()J()-1

Atualizar variáveis no tempo n+1X(+1)

X(n) = X(n+1)

Newton-RaphsonConvergiu ?

Escrever arquivos de saída

Tempo menor ou igual ao tempo de simulação?

Salvar solução ?

Não

Não

Sim

SimSim

X() = X(+1)

= +1

X() = X(n)

= 0

Reduz opasso de tempo

Iteração maior do que o máximo número

de iterações de Newton ?

Sim

Não

Não

Executar estabilidade/flash

Figure 4.5: Fluxograma com o algoritmo de execução de uma simulação composicional

4.5 Condições de contorno

A Figura 4.6 mostra um esquema da discretização utilizado neste trabalho. Em caso de fluxovertical e inclinado, a malha é ordenada do fundo (k = 1) para o topo (k = N+1) como mostraa Figura 4.6a, enquanto para um escoamento horizontal malha é ordenada fronteira esquerdapara fronteira direita (ver Figura 4.6b).

As condições de contorno são implementadas com o auxilio de células virtuais, defini-das como “célula virtual inferior ou esquerda” (k = 0) e “célula virtual superior ou direita”(k = N + 1), com as mesmas dimensões e número de fases das células adjacentes conforme oesquema da Figura 4.7.

A seguir são apresentadas as condições de contorno utilizadas neste trabalho.

58


1

2

N

N−1

k

k−1

k+1

⋮

⋮

12

32

k+12

k−12

k+32

N+12

N−12

x

g

(a)

12

32

k+12

k−12

k+32

N+12

N−12

NN−1⋯⋯ k k+1k−121

x

(b)

Figura 4.6: Representação da ordenamento da malha espacial. (a) vertical e (b) horizontal

N−1

N+1

N

N−12

N+32

célula virtual

N+12

2

12

52

32

0

Main grid Staggered grid

célula virtual

1

Figura 4.7: Representação das células de fronteira inferior e superior

4.5.1 Condição de contorno I: velocidade prescrita na entrada e pressãoprescrita na saída

Nesta configuração, as velocidades nas fronteira k = 12

possuem valores conhecidos. Alémdisso, é necessário prescrever as frações volumétricas e temperatura do fluido, isto é:

59


(vp) 12

= (vp)presc ; (αp) 12

= (αp)presc e T 12

= Tpresc (4.50)

A temperatura e fração volumétrica no centro da célula virtual esquerda são definidas pelacondição de contorno de derivada segunda nula na entrada, enquanto a pressão é calculada pelacondição de derivada segunda na célula k = 1, ou seja:

∂2φ

∂x2

∣∣∣∣12

= 0→ φ0 = 2φ 12− φ1, φ = {T, αp} (4.51)

∂2P

∂x2

∣∣∣∣1

= 0→ P0 = 2P1 − P2 (4.52)

Na saída do tubo, prescreve-se a pressão na fronteira k = N + 12,

PN+ 12

= Ppresc. (4.53)

A temperatura e fração volumétrica no centro da célula virtual direita, são definidas pelacondição de derivada segunda nula na célula k = N , enquanto a pressão no centro e as velo-cidades na face

(k = N + 3

2

)são definidas pela derivada segunda nula na face k = N + 1

2, ou

seja:

∂2φ

∂x2

∣∣∣∣N

= 0→ φN+1 = 2φN − φN−1, φ = {vp,T, αp} (4.54)

∂2vp∂x2

∣∣∣∣N+ 1

2

= 0→ (vp)N+ 32

= 2 (vp)N+ 12− (vp)N− 1

2(4.55)

∂2P

∂x2

∣∣∣∣N+ 1

2

= 0→ PN+1 = 2PN+ 12, − PN (4.56)

Esta condição de contorno é usada apenas no modelo imiscível porque o volume de fluidoque entrada na tubulação é independente da pressão, uma vez que os valores de velocidade efração volumétrica são prescritos.

4.5.2 Condição de contorno II: fluxo nulo na entrada e saída

Neste tipo de contorno, as velocidades na fronteira inferior e superior são nulas, ou seja:

(vp) 12

= 0 (4.57)

(vp)N+ 12

= 0 (4.58)

Para impor velocidade nula na face k = N + 12, o resíduo da quantidade de movimento para

a célula N é substituído pela Eq. (4.59). Isto é feito porque a velocidade vp na face k = N + 12

60


é uma variável do problema.

RPp,N = (vp)N+ 1

2(4.59)

Além disso, assume-se fronteiras adiabáticas, portanto as temperaturas nas células virtuaissão obtidas por:

∂T

∂x

∣∣∣∣12

= 0→ T0 = T1 (4.60)

∂T

∂x

∣∣∣∣N+ 1

2

= 0→ TN+1 = TN (4.61)

Como não há fluxos de massa pelas fronteiras, não é necessário prescrever P , zc e αp notopo e na base do tubo.

4.5.3 Condição de contorno III: fluxo mássico total prescrito na entradae pressão prescrita na saída

Esta condição de contorno é aplicada para o modelo composicional. Nela prescreve-seapenas o fluxo mássico total da mistura mtotal na entrada e a pressão na saída. Além disso, énecessário prescrever temperatura e composição global do fluido que entra pela fronteira k = 1

2,

ou seja:

(mtotal) 12

= (mtotal)presc ; T 12

= Tpresc e (zc) 12

= (zc)presc (4.62)

A temperatura, fração molar e fração volumétrica no centro da célula virtual esquerda sãoobtidas pela condição de derivada segunda nula na fronteira k = 1

2, enquanto a pressão é obtida

pela Eq. (4.52):

∂2φ

∂x2

∣∣∣∣12

= 0→ φ0 = 2φ 12− φ1, φ = {T, xc,p, αp} (4.63)

Conhecendo P 12, T 1

2e (zc) 1

2, um teste de estabilidade/flash é realizado para determinarNp, 1

2,

(xc,p) 12

e (αp) 12

, a pressão na face k = 12

é obtida por uma interpolação linear,

P 12

=(P1 − P0)

2. (4.64)

Se a fronteira for monofásica (líquido ou gás), então velocidade da fase existente é dada por:

(vp) 12

=(mtotal)presc

(ρp) 12A 1

2

, p = l ou g (4.65)

onde (ρp) 12

é a massa específica da fase na condição P 12, T 1

2e (zc) 1

2.

Se a fronteira for bifásica, vg e vl são obtidas através da solução do seguinte sistema linear:

61


(mtotal)presc =[(αlρlvl) 1

2+ (αgρgvl) 1

2

]A 1

2

(vg) 12

= C0

[(αlvl) 1

2+ (αgvl) 1

2

]+ vD

(4.66)

onde os parâmetros C0 e vD são 1.2 e 0.2, respectivamente.Na saída, a condição de contorno é definida analogamente ao caso anterior, ou seja, pressão

e velocidade na célula virtual direita são obtidas pelas Eqs. (4.55) e (4.56), respectivamente.Finalmente, a temperatura e as frações molares e volumétricas são obtidas por:

∂2φ

∂x2

∣∣∣∣N

= 0→ φN+1 = 2φN − φN−1, φ = {vp,T, xc,p, αp} (4.67)

4.5.4 Condição de contorno IV: simulação com termo fonte e pressão pres-crita na saída

Neste tipo de contorno, para fronteira k = 12

assume-se fluxo nulo de massa e calor, conse-quentemente:

(vp) 12

= 0 (4.68)

∂T

∂x

∣∣∣∣12

= 0→ T0 = T1 (4.69)

No topo, a condição de contorno depende do tipo de operação do poço: produção ou injeção.Em caso de produção, massa e energia entram no sistema através do termos fontes (Eqs. (4.5) e(4.10), respectivamente) e condição no topo é análoga ao caso anterior.

Em caso de injeção, massa e energia entram no sistema pelo topo (fronteira k = N + 12) e

saem pelos termos fontes. A quantidade de massa que entra no sistema depende de P , T e zcprescritos na fronteira k = N + 1

2, isto é:

φN+ 12

= φpresc φ = {P, T, zc} (4.70)

As velocidades na face superior da célula virtual(k = N + 3

2

)são obtidas pela Eq. (4.55),

enquanto P , T e z no centro são obtidos a partir da condição de derivada segunda nula nafronteira

(k = N + 1

2

), ou seja,

∂2φ

∂x2

∣∣∣∣N+ 1

2

= 0→ φN+1 = 2φN+ 12− φN−1, φ = {P, T, zc} . (4.71)

4.6 Condição inicial

No modelo composicional, a condição inicial pode ser um dado de entrada da simulação oupode ser calculada a partir do cálculo de equilíbrio termodinâmico, conhecendo-se P , T e zc

62


em qualquer uma das fronteiras utilizando um algoritmo de marcha.A condição inicial de velocidade é obtida considerando fluidos em repouso, ou seja,

(vp)k+ 12

= 0, k = 1, 2, ..., N, (4.72)

Para temperatura, assume-se o equilíbrio térmico do fluido dentro do tubo com a temperaturada formação, ou seja, T nk = Te, onde Te é calculado pela seguinte expressão:

Te = T 0 − gT (xk − x0) sin θ, (4.73)

onde T0, x0 e gT são a temperatura e profundidade referência, e o gradiente geotérmico daformação, respectivamente.

Finalmente, a pressão inicial é obtida considerando o equilíbrio hidrostático da mistura,consequentemente P pode ser calculado resolvendo a seguinte expressão:

− dP

dx−

Np∑p

αpρpg sin θ = 0. (4.74)

Conhecendo-se P 0, T 0 e z0c numa posição de referência, um teste de estabilidade/flash é

realizado para determinar o número de fases, x0c,p e α0

p. Em seguida determina-se a massaespecífica ρ0

p. Finalmente, resolve-se a Eq. (4.74) utilizando um algoritmo de marcha (nãoiterativo) para obter a pressão na célula vizinha. O processo é repetido até que as pressões,frações molares e volumétricas em todas as células sejam conhecidas.

63

Capítulo 5

Simulações Numéricas: modelo imiscível

5.1 Introdução

Neste capítulo são apresentados os resultados numéricos utilizados para verificação da for-mulação e implementação computacional do sistema de equações do modelo imiscível, o qualconsiste em uma equação de balanço de massa e de quantidade de movimento para cada fase,uma equação de conservação de energia para mistura e uma equação de restrição para fraçõesvolumétricas. As variáveis primárias da simulação em cada célula são: pressão, temperatura,velocidades e frações volumétricas do líquido (P, T, vl , vg, αl e αg) conforme discutido naseção 4.4.1

Os problemas de referência simulados são: descontinuidade em movimento em fluxo bifá-sico (moving discontinuity in a two-phase flow), teste da torneira (faucet test) e segregação defases (phase segregation). Por compatibilidade com as soluções de referência disponíveis paracada problema problemas foram simulados considerando escoamento isotérmico. Além disso,um erro de ε = 10−5 é usado como critério de convergência do método de Newton-Rapshonconsiderando as normas infinitas dos vetores de resíduos e de incrementos definidas pelas Eqs.(4.24) e (4.25), respectivamente.

Além das soluções numéricas, apresentamos uma nova solução de referência para o pro-blema de segregação sem atrito de Coquel et al. (1997) válida para qualquer fração de líquidoinicial e que inclui todas as variáveis (P, vl , vg, αl e αg).

5.2 Descontinuidade em movimento

Neste problema, inicialmente líquido e gás escoam em uma tubulação horizontal de 100 mde comprimento com velocidade de 10 m/s, pressão igual a 105 Pa e fração volumétrica de gásigual a 0.2 ao longo do comprimento do tubo, sem atrito na parede do tubo e interface líquidogás.

Para t > 0, uma descontinuidade na fração de gás é imposta na entrada do tubo, isto é,αg (x = 0) = 0.8. A não existência de forças de atrito faz com que a descontinuidade mova-se

64

Capítulo 5- Simulações Númericas: modelo imiscível

com velocidade igual à velocidade de escoamento do líquido e do gás. Além disso, velocidadese pressão permanecem constantes sem pertubação (ABGRALL, 1996).

Os resultados obtidos para pressão, velocidade e fração de gás no instante t = 5 s sãomostrados na Figura 5.1. Estes resultados foram obtidos usando uma discretização espacialcom 1000 (∆x = 0.1 m) células em cinco passos de tempo (∆t = 10−4, 10−3, 10−2 e 10−1 s).As massas específicas do líquido e do gás são calculadas pela equação de gás real (Eq. (B.10))com fator compressibilidade determinado pela Equação de Estado (EOS) de Peng e Robinson(1978). A condição de contorno de derivada segunda nula para a pressão, as velocidades e asfrações volumétricas nas fronteiras esquerda e direita são usadas para simular o problema.

Os resultados mostram que a solução proposta está em concordância com a solução de refe-rência (ver Figura 5.1), sugerindo que o modelo proposto é capaz de capturar o movimento dedescontinuidades na fração volumétrica sem a presença choques na pressão. Adicionalmente,como esperado, pressão e velocidades permanecem constantes ao longo da malha espacial (verFigura 5.1b). Finalmente, os resultados demonstram que neste caso a solução é incondicional-mente estável para CFL maior do que 1 (quando ∆x

∆t≤ 10.0 m/s associados aos autovalores da

onda de propagação da fração volumétrica (λp = 10 m/s). Além disso, conforme esperado, aacurácia da solução aumenta quando o passo de tempo é refinado.

0 20 40 60 80 100x [m]

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

αg [

]

∆t = 0.1 s

∆t = 0.01 s

∆t = 0.001 s

∆t = 0.0001 s

Referência

(a)

0 20 40 60 80 100x [m]

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

Pre

ssão [

Pa]

1e6

P

vl

vg

Referência

9.4

9.6

9.8

10.0

10.2

10.4

10.6

Velo

cidade [

m/s

]

(b)

Figura 5.1: Descontinuidade em movimento: soluções numérica e de referência no instantet = 5 s. (a) fração de gás; (b) pressão e velocidades ( passo de tempo ∆t = 10−2 s)

5.3 Teste da torneira (water faucet test)

O teste da torneira tem como objetivo verificar a capacidade do modelo de dois fluidos deprever o fluxo contracorrente, bem como testar os aspectos numéricos da solução (convergência,estabilidade e acurácia). O teste proposto por Rasom (1987) tornou-se padrão na verificação domodelo de dois fluidos (TOUMI; KUMBARO, 1996; COQUEL et al., 1997; PAILLèRE etal., 2003; OMGBA-ESSAMA, 2004; MUNKEJORD, 2006; MORALES-RUIZ et al., 2012;SHEKARI; HAJIDAVALLOO, 2013)

65


O problema consiste em uma corrente de líquido que entra no topo de um tubo vertical de12 m de comprimento e 1 m de diâmetro. No instante inicial (t = 0), o tubo é preenchido comuma mistura homogênea de líquido e gás, com fração volumétrica α0

l . A fase gás encontra-seem repouso (vg = 0 m/s), enquanto a fase líquida escoa com velocidade uniforme de 10 m/s.Além disso, assume-se que α0

l , pressão e temperatura são constantes e iguais a 0.8, 105 Pa e 50

°C, respectivamente, ao longo do comprimento do tubo.As condições de contorno do problema (Tabela 5.1) são vazão prescrita na entrada (topo),

isto é, aberto para o líquido e fechado para o gás; e a pressão atmosférica (P = 105 Pa) prescritana saída (base). No topo, a pressão e a fração volumétrica são definidas utilizando condição decontorno numérica de segunda derivada nula (fluxo completamente desenvolvido). De formasimilar, a derivada segunda nula é usada como condição de contorno para velocidade e fraçãovolumétrica na saída.

Para t > 0, a fase líquida é uniformemente acelerada para baixo devido à gravidade, comisto a área de seção transversal ocupada pelo líquido decresce. Por outro lado, a fase gás éacelerada na direção oposta ao fluxo de líquido, ocupando o volume deixado pelo líquido. Con-sequentemente, uma descontinuidade no volume de gás move-se para baixo, como mostrado naFigura 5.3a, até atingir o estado estacionário. Um esboço deste processo é mostrado na Figura5.2

InitialState

TransientState

Steady State

L = 12 m

0.0

L

Figura 5.2: Esquema e geometria do teste de toneira

A solução de referência de Rasom (1987) para fração de gás e velocidade de líquido são,respectivamente, definidas por :

αg =

1− α0l v

0l√

2gx+(v0l )2, x ≤ v0

l t+ gt²2,

1− α0l caso contrário

(5.1)

66


vl =

√

2gx+ (v0l )

2 , x ≤ v0l t+ gt²

2,

v0l + gt caso contrário

(5.2)

onde g é a gravidade, v0l é a velocidade inicial do líquido e, t e x são as coordenadas tempo

e espaço, respectivamente. Estas soluções foram obtidas usando do método das característi-cas, desprezando o termo de gradiente de pressão da equação da quantidade de movimento dogás. Além disso, considera-se escoamento isotérmico, sem atrito (parede e interface), líquidoincompressível e não ocorre transferência de massa entre as fases (QIN, 1992).

Tabela 5.1: Condições de contorno do teste da torneira

Variável Topo Basevelocidade do gás [m/s] 0.0 –

velocidade do líquido [m/s] 10.0 –fração de líquido 0.8 –

pressão [Pa] – 105

A Figura 5.3 apresenta a solução no tempo dos perfis de fração de gás, pressão, e velocidadesdo líquido e do gás. Estes resultados foram gerados considerando uma malha computacionalcom 120 células (∆x = 0.1 m) e passo de tempo ∆t = 5 × 10−4 s. Além disso, o problema ésimulado usando o modelo de dois fluidos sem o termo de correção de pressão, isto é, na Eq.(3.59) a constante σ é usada como valor nulo (σ = 0). Em todas as simulações, as massasespecíficas são calculadas usando a (Eq. (B.10)) com fator de compressibilidade calculado pelaEOS de Peng e Robinson (1978), de modo análogo ao caso anterior.

As Figuras 5.3a e 5.3b mostram que, apesar da difusão numérica causada pelo esquemaupwind, as soluções numéricas e de referência (linha tracejada e contínua, respectivamente)apresentam boa concordância. Além disso, as Figuras 5.3c e 5.3d mostram que a posição dadescontinuidade nos perfis de pressão e velocidade do gás coincide com a descontinuidade nasaturação de gás.

67


0 2 4 6 8 10 12x [m]

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6αg [

]t=0.2 s

t=0.4 s

t=0.6 s

t=0.8 s

t=1.2 s

t=2.0 s

Referência

(a)

0 2 4 6 8 10 12x [m]

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

v l [

m/s

]

t=0.2 s

t=0.4 s

t=0.6 s

t=0.8 s

t=1.2 s

t=2.0 s

Referência

(b)

0 2 4 6 8 10 12x [m]

0.994

0.996

0.998

1.000

1.002

1.004

P [

Pa]

1e5

t=0.2 s

t=0.4 s

t=0.6 s

t=0.8 s

t=1.2 s

t=2.0 s

(c)

0 2 4 6 8 10 12x [m]

25

20

15

10

5

0

5

v g [

m/s

]

t=0.2 s

t=0.4 s

t=0.6 s

t=0.8 s

t=1.2 s

t=2.0 s

(d)

Figura 5.3: Solução no tempo do teste da torneira, solução de referência e numérica, malhacomputacional 120 células e passo de tempo ∆t = 5× 10−4s: (a) fração de gás, (b) velocidadedo líquido, (c) pressão e (d) velocidade do gás.

Uma análise de sensibilidade é realizada para avaliar a estabilidade da solução através dotermo de correção de pressão, Eq. (3.59). Em seguida, a convergência é avaliada por meio deum estudo de refinamento do passo de tempo (CFL variável) e refinamento da malha com CFLconstante (∆x

∆t= 16 m/s).

O efeito de σ (ver Eq. (3.59)) é verificado utilizando uma discretização com 1200 células(∆x = 0.01 m) e passo de tempo definida pela relação ∆x

∆t= 16 m/s. Na Figura 5.4 são compa-

rados as soluções de referência e a solução numérica para σ = 0.0, 0.5, 1.0, 1.2 e 2.0 no instantet = 5 s. As Figuras 5.4a e 5.4b mostram que, quando σ < 1.0 o sistema de equações perde anatureza hiperbólica causando oscilações numéricas nos resultados (ver os gráficos para σ =0e σ = 0.5) (PAILLèRE et al., 2003; EVJE; FLåTTEN, 2005; MORALES-RUIZ et al., 2012).Por outro lado, quando o termo de correção de pressão é devidamente introduzido (σ ≥ 1.0), osresultados são livres de oscilações. Além disso, quanto maior o termo de correção de pressão,mais suave é a solução próxima da descontinuidade (maior difusão). A Figura 5.5 mostra que,

68


se o termo de correção de pressão é desprezado (σ = 0), tais oscilações aumentam com o refi-namento da malha. Segundo Dinh et al. (2003) e Frepoli et al. (2003), quando o refinamento damalha for comparável à escala de movimento da interface, a natureza matemática das equaçõesdiferenciais médias do modelo de dois fluidos está em conflito com a distribuição discreta dasfases. Finalmente, a introdução do termo de correção de pressão (definido pela Eq. (3.59)) nomodelo de dois fluidos de pressão única, originalmente mal-condicionado (ill-posed) torna o“modelo aproximado” (nearby model) bem condicionado. Uma vez que a definição de “modeloaproximado” está aberta para interpretação, o significado físico das soluções do “modelo apro-ximado” devem ser verificadas (de preferência com soluções analíticas de referência) para cadaproblema específico.

0 2 4 6 8 10 12x [m]

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

αg [

]

∆x/∆t=16 m/s

σ=0.0

σ=0.5

σ=1.0

σ=1.2

σ=2.0

Referência

(a)

0 2 4 6 8 10 12x [m]

10

11

12

13

14

15

16

v l [

m/s

]∆x/∆t=16 m/s

σ=0.0

σ=0.5

σ=1.0

σ=1.2

σ=2.0

Referência

(b)

Figura 5.4: Efeito do termo de correção de pressão no solução numérica no teste da torneira.Solução de referência e soluções numéricas no instante t = 0.5 s: (a) fração de gás e (b)velocidade de líquido .

0 2 4 6 8 10 12x [m]

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

αg [

]

σ=0.0

∆x/∆t=16 m/s

N = 60N = 120N = 600N = 1200

Referência

Figura 5.5: Refinamento da malha da malha no teste da torneira. Soluções de referência enuméricas no instante t = 0.5 s com CFL constante (∆x

∆t= 16 m/s) sem termo de correção de

pressão (σ = 0.0).

69


Finalmente, a influência do refinamento da malha assumindo σ = 1.2 é apresentado naFigura 5.6. É importante destacar que as soluções não apresentam oscilação e quanto maior orefinamento da malha maior é a acurácia do simulador proposto.

0 2 4 6 8 10 12x [m]

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

αg [

]

σ=1.2∆x/∆t=16 m/s

N = 60N = 120N = 600N = 1200N = 3000

Referência

(a)

0 2 4 6 8 10 12x [m]

10

11

12

13

14

15

v l [

m/s

] σ=1.2

∆x/∆t=16 m/s

N = 60N = 120N = 600N = 1200N = 3000

Referência

(b)

Figura 5.6: Refinamento da malha no teste da torneira. Soluções de referência e numéricasno instante t = 0.5 s com CFL constante (∆x

∆t= 16 m/s) com termo de correção de pressão

(σ = 1.2)

5.4 Problema de segregação de fases

Neste problema, o peso e o empuxo são as únicas forças motrizes responsáveis pelo esco-amento vertical de líquido e gás dentro do tubo vertical. A condição inicial e de contorno sãodadas na Tabela 5.2. Para t > 0, líquido e gás são acelerados para baixo e para cima, respecti-vamente, e um fluxo contracorrente é estabelecido. Como não há fluxo pela fronteira superior einferior (topo e base, respectivamente) do tubo (ver Tabela 5.2), líquido e gás acumulam-se nasregiões inferior e superior do tubo, respectivamente.

Um esquema da distribuição de fases ao longo do tubo é ilustrado na Figura 5.7. Nota-se que a região x ≤ h (t) (onde h (t) representa a posição da interface chamada de interface“A”) é ocupada somente pela fase líquido (αl = 1), enquanto a região x ≥ L − gt²

2(onde g é

aceleração gravitacional) é preenchida somente pelo gás (αl = 0). Finalmente, a região inter-mediaria (h(t) < x < L − gt²

2) é ocupada pela mistura bifásica. Quando o estado estacionário

é atingido, líquido e gás estão completamente segregados (separados) e suas velocidades sãoiguais a zero (ver Figura 5.7). Devido às descontinuidades acima mencionadas, a modelagemdo problema de segregação (usando o sistema da Tabela (4.1)) é complexa e desafiadora tantodo ponto de vista da formulação matemática, quanto do ponto de vista da formulação numérica.O problema foi proposto por Coquel et al. (1997) e tornou-se um problema clássico para a ve-rificação de soluções numéricas do modelo de dois fluidos (CASCALES, 2001; PAILLèRE etal., 2003; EVJE; FLåTTEN, 2003; EVJE; FLåTTEN, 2005; MUNKEJORD, 2006; STäDTKE,

70


2006; SHEKARI; HAJIDAVALLOO, 2013; ZOU et al., 2016). Assumindo escoamento semtransferência de massa e fração volumétrica de líquido igual a 0.5, as seguintes soluções dereferência foram propostas (ver Evje e Flåtten (2003) ):

αl =

1 , L− gt²

2< x

0.5 , gt²2≤ x < L− gt²

2

0 , x ≤ gt²2

, (5.3)

vl =

0 ,L− gt²

2< x

gt , gt²2≤ x < L− gt²

2√

2gx , x ≤ gt²2

, (5.4)

onde L é o comprimento do tubo e x é a posição vertical.

InitialState

TransientState

Steady State

L

0.0

L

Figura 5.7: Esquema e geometria do problema de segregação de fases

Tabela 5.2: Condição inicial e de contorno do problema de segregação de fasesVariável Condição inicial Topo Base

vl e vg [m/s] 0.0 0.0 0.0fração de líquido α0

l - -pressão [Pa] 105 - -

5.4.1 Solução de referência proposta

Nesta seção, uma nova solução de referência para o problema de segregação de fases é de-rivada assumindo fluxo sem transferência de massa, isotérmico e sem atrito na parede do tubo ena interface líquido-gás. Diferentemente da solução de referência apresentada na seção anterior,

71


as soluções discutidas nesta seção foram obtidas considerando qualquer fração volumétrica delíquido dentro do tubo (α0

l ).Como a massa específica do líquido é muito maior do que a massa especifica do gás (ρg

ρl�

1), o empuxo sobre o líquido pode ser desprezado para x > h(t) (ver Figura 5.8). Neste caso, olíquido cai em queda livre acumulando-se na parte inferior do tubo e duas descontinuidades sãoformadas (ver Figura 5.8). Portanto, de forma semelhante às soluções discutidas anteriormente(Eqs. (5.3)-(5.4)), as soluções obtidas para velocidade e fração de líquido são dadas por:

h

δ

CV2

CV1

CV2

A

h

δ

CV2CV2

B

Figura 5.8: Volume de controle usado para dedução da solução de referência proposta

αl =

1 , 0 ≤ x < h(t),

α0l , h(t) ≤ x ≤ L− gt²

2,

0 , L− gt²2< x ≤ L,

(5.5)

vl =

0 , 0 ≤ x < h(t),

−gt , h(t) ≤ x ≤ L− gt²2,

−√

2gx , L− gt²2< x ≤ L,

(5.6)

onde α0l , L e h(t) representam a condição inicial da fração de líquido, comprimento do tubo

e posição da interface “A”, respectivamente. Escrevendo a equação de conservação de massado líquido no volume de controle CV1 é possível determinar a localização da interface “A” emfunção de t (h(t), ver Figura 5.8):

h(t) =α0l

1− α0l

gt²2, t ≤ tf (5.7)

Para α0L = 0.5, a solução de referência proposta Eqs. (5.5) e (5.6) são reduzidas para solução

de referência original de Evje e Flåtten (2003), Eqs. (5.3)-(5.4), respectivamente. Além disso,o tempo para segregação completa (tf ) é atingido quando h(tf ) = α0

lL. Portanto, da Eq. (5.7),obtém-se:

72


tf =

√2 (1− α0

l )L

g. (5.8)

A temperatura e o volume ocupado pelo gás acima da interface “A” são constantes e, porqueas forças de arraste são desprezadas, a pressão acimada da interface “A” pode ser consideradaconstante:

P = P 0, h (t) ≤ x ≤ L (5.9)

Nota-se que, devido ao choque na velocidade do líquido (ver Eq. (5.6)), também é esperadoa ocorrência de um choque de pressão na interface “A”. Escrevendo a equação de quantidadede movimento para o volume de controle móvel CV2, com δ → 0 (ver Figura 5.8), é possívelmostrar que o choque na pressão na interface “A” (ver Figura 5.8) é dado por:

ΔPint A =

α0l

1−α0lρl (gt)

2 , 0 ≤ t < tf

0 , t ≥ tf(5.10)

Abaixo da interface “A” existe apenas o líquido (incompressível) em repouso (ver Eqs. (5.5)e (5.6)). Assim, a pressão na região de líquido é dada por:

P = P 0 +ΔPint A + ρlg (h (t)− x) , 0 ≤ x < h (t) (5.11)

Como já mencionado, não há fluxo através das fronteiras inferior e superior do tubo. Alémdisso, a interface “A” (ver Figura 5.8) move-se empurrando o gás para cima e o gás em contatocom interface “A” adquire sua velocidade. Portanto, as condições de contorno para o gás sãodadas por:

vg(0, t) = 0

vg(h(t), t) =α0l

1−α0lgt

vg(L, t) = 0

(5.12)

A fração de líquido e a pressão são constantes para x > h(t) (ver Eqs. (5.5) e (5.9), respec-tivamente). Da Eq. (3.49) para o gás (p = g) segue que vg = vg (t). Portanto, da condição decontorno (5.12), segue que:

vg =

0 , L > x ≥ L− gt²2,

α0l

1−α0lgt , L− gt²

2> x ≥ h(t)

, (5.13)

Finalmente, aplicando o balanço de momento para qualquer volume de gás arbitrário abaixoda interface “A”, resolvendo a equação resultante considerando um gás ideal e a condição decontorno (5.12), obtém-se:

73


vg =

{− 2RT

MWg

ln

[1− ρlgx

(P 0 + 3ρlgh (t))

]} 12

, x < h(t) (5.14)

5.4.2 Resultados numéricos

Nesta seção, os resultados numéricos obtidos com a solução proposta para o teste de segre-gação de fases são discutidos e comparados com a solução de referência proposta apresentadana seção 5.4.1. Para possibilitar a comparação acima mencionada, as soluções numéricas fo-ram obtidas assumindo o líquido incompressível (cl = 0 na Eq. (5.15)) e gás ideal com pesomolecular do gás MWg = 150 g/mol.

ρl = ρ0l [1 + cl(P − P 0)], (5.15)

onde P 0(105 Pa) é a pressão de referência ρ0l é a massa específica na pressão de referência e cl

é a compressibilidade do líquido. Neste trabalho, adota-se ρ0l igual a 1000 kg/m³.

O problema é simulado considerando três condições iniciais distintas para a fração de lí-quido, isto é, α0

l = 0.50 (configuração original, ver (COQUEL et al., 1997; EVJE; FLåTTEN,2003)), α0

l = 0.25 e α0l = 0.75. Os casos são simulados usando uma malha computacional com

1500 células e passo de tempo ∆t = 1 × 10−3 s com σ = 1.2. As Figuras 5.9a, 5.10a e 5.11amostram que a solução numérica e solução de referência proposta apresentam boa concordância,demonstrando a acurácia da solução numérica. Nota-se que, apesar da difusão numérica espe-rada associada ao esquema upwind, a localização das interfaces e choques são satisfatoriamenteprevistas pela solução numérica. Os tempos para segregação completa (estado estacionário) deacordo com a solução de referência (Eq. (5.8)) são apresentadas na Tabela 5.3. É importantedestacar que a fração de líquido da solução numérica é maior que zero acima da interface “A”(x > h (t)) para tempos maiores que tf (ver Figuras 5.9a (t = 0.56 s), 5.10a (t = 0.46 s) e 5.11a(t = 0.32 s)). Consequentemente, líquido continua caindo e um choque na solução numérica dapressão ainda é observado na interface “A” (x = h(t)) mesmo depois tf (veja as soluções nu-méricas para pressão correspondentes ao tempos mencionados acima nas Figuras 5.9d, 5.10d e5.11d). Além disso, apesar das velocidades do gás serem extremamente altas, devido à ausênciade atrito (parede e interface líquido gás), as soluções de referência e numéricas propostas paraa velocidade do líquido (Figuras 5.9b, 5.10b e 5.11b) e velocidade do gás (Figuras 5.9c, 5.10ce 5.11c) apresentam boa concordância.

Tabela 5.3: Tempo para segregação completa na solução de referência

α0l tf (s)

0.25 0.5530.5 0.452

0.75 0.319

74


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0αl []

t=1.60E-01 s

t=2.60E-01 s

t=3.60E-01 s

t=4.60E-01 s

t=5.60E-01 s

t=6.60E-01 s

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

6

5

4

3

2

1

0

v l [

m/s

]

t=1.60E-01 s

t=2.60E-01 s

t=3.60E-01 s

t=4.60E-01 s

t=6.60E-01 s

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

x [m]1

0

1

2

3

4

5

v g [

m/s

]

1e1

t=1.60E-01 s

t=2.60E-01 s

t=3.60E-01 s

t=4.60E-01 s

t=6.60E-01 s

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

(c)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

P [

Pa]

1e5

t=1.60E-01 s

t=2.60E-01 s

t=3.60E-01 s

t=4.60E-01 s

t=5.60E-01 s

t=6.60E-01 s

(d)

Figura 5.9: Teste de segregação sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência) paraα0l = 0.25: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão

75


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

αl []

t=1.00E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.70E-01 s

t=3.30E-01 s

t=4.60E-01 s

t=5.60E-01 s

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

5

4

3

2

1

0

1

v l [

m/s

]

t=1.00E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.70E-01 s

t=3.30E-01 s

t=5.60E-01 s

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

x [m]1

0

1

2

3

4

5

6

v g [

m/s

]

1e1

t=1.00E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.70E-01 s

t=3.30E-01 s

t=5.60E-01 s

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.50.00.51.01.52.02.53.03.5

(c)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

1.14

1.16

P [

Pa]

1e5

t=1.00E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.70E-01 s

t=3.30E-01 s

t=4.60E-01 s

t=5.60E-01 s

(d)

Figura 5.10: Teste de segregação sem atrito. Soluções numéricas propostas e de referência(EVJE; FLåTTEN, 2003) para α0

l = 0.50: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c)velocidade do gás e (d) pressão

76


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0αl []

t=6.00E-02 s

t=1.10E-01 s

t=1.60E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.60E-01 s

t=3.20E-01 s

t=4.10E-01 s

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

v l [

m/s

]

t=6.00E-02 s

t=1.10E-01 s

t=1.60E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.60E-01 s

t=4.10E-01 s

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

x [m]1

0

1

2

3

4

5

6

7

v g [

m/s

]

1e1

t=6.00E-02 s

t=1.10E-01 s

t=1.60E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.60E-01 s

t=4.10E-01 s

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.01e1

(c)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

P [

Pa]

1e5

t=6.00E-02 s

t=1.10E-01 s

t=1.60E-01 s

t=2.10E-01 s

t=2.60E-01 s

t=3.20E-01 s

t=4.10E-01 s

(d)

Figura 5.11: Teste de segregação sem atrito. Soluções propostas (numérica e de referência) paraα0l = 0.75: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás e (d) pressão

77


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t [s]

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6P

[Pa]

1e5

N = 100N = 500N = 1000N = 1500

Referência

(a)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t [s]

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

P [

Pa]

1e5

N = 100N = 500N = 1000N = 1500

Referência

(b)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t [s]

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

P [

Pa]

1e5

N = 100N = 500N = 1000N = 1500

Referência

(c)

Figura 5.12: Teste de segregação sem atrito. Efeito do refinamento da malha espacial na soluçãonumérica da pressão da fronteira inferior (P (x = 0, t)): (a) α0

l = 0.25; (b) α0l = 0.50; (c)

α0l = 0.75

Entretanto, as Figuras 5.9d, 5.10d e 5.11d mostram que, apesar dos gradientes de pressãoprevistos pelas soluções numéricas e de referência apresentarem boa concordância, o choquede pressão na interface “A” prevista pela solução numérica não concorda com a solução dereferência. Além disso, o efeito do refinamento da malha espacial na pressão na fronteira (x =

0) inferior pode ser verificado na Figura 5.12. Nota-se que, não importa o refinamento damalha, os resultados numéricos para a pressão (especialmente para α0

L = 0.25 e α0L = 0.50 )

não estão em concordância com as soluções de referência discutidas na seção (5.4.1) (as quaisforam deduzidas considerando que cada fase escoa de forma independente e separados porfronteiras móveis. É importante destacar que, como já mencionado na seção 5.3, a naturezamatemática das equações diferenciais médias do modelo de dois fluidos está em conflito comdescontinuidades bruscas, como as que ocorrem na interface “A”. Embora vários autores comoCascales (2001), Paillère et al. (2003), Evje e Flåtten (2003), Evje e Flåtten (2005), Munkejord(2006), Städtke (2006), Shekari e Hajidavalloo (2013) e Zou et al. (2016) tenham demonstrado

78


que as soluções numéricas para o sistema de equações do modelo imiscível (ver Tabela 4.1)com o termo de correção de pressão da Eq. (3.59) concordam com a solução de referênciapara a velocidade e fração do líquido (Eqs. (5.3) e (5.4), respectivamente), até o conhecimentodo autores, a solução de referência para pressão (Eq. (5.11)) discutida na seção 5.4.1 nãoestava disponível na literatura. Portanto, prova de que o modelo de dois fluidos, considerandoa correlação de Bestion (ver Eq. (3.59)) é capaz de prever corretamente a pressão na interface“A” não foi encontrada na literatura.

Shekari e Hajidavalloo (2013) relataram dificuldades na obtenção de soluções numéricaspara o problema de segregação sem atrito usando o modelo SPM-4 utilizando um esquema ex-plícito. Por isto, não apresentaram soluções para esse problema. Dessa forma, não foi possívela comparação dos resultados numéricos das Figuras 5.9 - 5.11. Para contornar dificuldadesnuméricas relacionadas à alta velocidade do gás, Shekari e Hajidavalloo (2013) introduziramo termo de atrito na interface líquido-gás proposto por Evje e Flåtten (2005), o qual diminuisignificativamente a velocidade do gás na região de fluxo monofásico líquido (ver Figura 5.13).A Figura 5.13 mostra que, exceto para velocidade do gás, as soluções propostas (numérica ede referência) apresentam boa concordância . De forma similar aos resultados descritos porShekari e Hajidavalloo (2013) as soluções numéricas obtidas para a velocidade do gás oscilamperto da interface “A” (ver Fig 5.13), mesmo quando o atrito interfacial de Evje e Flåtten (2005)é considerado. Além disso, é importante destacar que, contrário os resultados apresentadosnas Figuras (5.9d), (5.10d) e (5.11d), as soluções numéricas (proposta e Shekari e Hajidavalloo(2013) ) mostram excelente concordância com a solução de referência para pressão (ver Figuras5.13d e 5.13e).

79


0 1 2 3 4 5 6 7 8x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0αl []

Referência

Numérica

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8x [m]

6

5

4

3

2

1

0

v l [

m/s

]

Referência

Numérica

(b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8x [m]

1

0

1

2

3

4

5

6

7

v g [

m/s

]

1e1

Referência

Numérica

(c)

0 1 2 3 4 5 6 7 8x [m]

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

P [

Pa]

1e5

Referência

NuméricaShekary e Hajidavalloo (2013)

(d)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t [s]

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

P [

Pa]

1e5

Numérica

Referência

(e)

Figura 5.13: Teste de segregação com atrito interfacial de Evje e Flåtten (2005), comparaçãoentre soluções numéricas proposta neste trabalho e Shekari e Hajidavalloo (2013) para L = 7.5m; α0

l = 0.5; N = 250 células, passo de tempo ∆t = 10−3 s e σ = 1.2: (a) fração de líquido;(b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás; (d) perfil de pressão para o tempo t = 0.6 s e(e) pressão contra tempo em x = 0 m

80


A Figura 5.14 compara as soluções obtidas com o simulador proposto com as soluçõesnuméricas de Städtke (2006) para o caso em que a fração de líquido inicial é α0

L = 0.50 con-siderando o atrito interfacial dado pela Eq. (3.99) na equação da quantidade de movimento.Estes resultados foram obtidos utilizando uma malha com 500 células, passo de tempo de∆t = 5×10−3s com σ = 1.2, coeficiente de arrasto CD = 0.44 e diâmetro de partícula db = 1.0

mm. A introdução do atrito reduz as velocidades de segregação, consequentemente, aumenta otempo para segregação completa (compare Figuras 5.10 e 5.14). Também é importante destacarque o atrito torna as soluções mais suaves e, consequentemente, a descontinuidade da pressãona interface “A” desaparece quando o coeficiente de arrasto é grande o suficiente (ver Figura5.14b). Finalmente, como esperado, as soluções numéricas (proposta e Städtke (2006)) e a so-lução de referência no estado estacionário para o problema de segregação (com e sem atritointerfacial) são coincidentes (ver Figuras 5.14b e 5.10d) .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

αl []

Referência

t=2.0 s (Proposta)

t=4.0 s (Proposta)

t=6.0 s (Proposta)

t=8.0 s (Proposta)

t=10.0 s (Proposta)

t=2.0 s (Städke, 2006)

t=4.0 s (Städke, 2006)

t=6.0 s (Städke, 2006)

t=8.0 s (Städke, 2006)

t=10.0 s (Städke, 2006)

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

P [

Pa]

1e5

Referência

t=2.0 s (Proposta)

t=4.0 s (Proposta)

t=6.0 s (Proposta)

t=8.0 s (Proposta)

t=10.0 s (Proposta)

t=2.0 s (Städke, 2006)

t=4.0 s (Städke, 2006)

t=6.0 s (Städke, 2006)

t=8.0 s (Städke, 2006)

t=10.0 s (Städke, 2006)

(b)

Figura 5.14: Teste de segregação com atrito interfacial (modelo Eq.(3.99)) comparação entresoluções numéricas proposta e Städtke (2006). (a) fração de líquido e (b) pressão

81

Capítulo 6

Simulações Numéricas: modelocomposicional

6.1 Introdução

No capítulo anterior, vimos que a solução numérica proposta para o modelo de dois fluidosimiscível (SPM-4) mostrou boa concordância com as soluções de referência. Neste capítulo,diversos casos testes são investigados com objetivo de validar a solução da formulação com-posicional discutida na seção 4.4. Os testes usados na verificação são: despressurização deCO2 em tubulação horizontal; injeção de CO2 em tubulação vertical; produção bifásica comaparecimento de fases; e por último segregação de fases com desaparecimento de fases.

Em todos os testes a EOS Peng e Robinson (1978) é usada nos cálculos termodinâmicos.Assim como nas simulações do capítulo anterior, um erro ε = 10−5 é usado como critério deconvergência do método de Newton-Rapshon usando as normas infinitas Eqs. (4.24) e (4.25).

6.2 Despressurização de CO2

O primeiro caso analisado é o teste de despressurização de CO2 proposto Clausen e Mun-kejord (2012). Neste problema, CO2, inicialmente em repouso (v = 0 m/s), preenche umatubulação horizontal de L = 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 0.3 m. No ins-tante inicial, a linha de produção encontra-se fechada nas fronteiras esquerda e direita (x = 0

e x = L, respectivamente), pressão e temperatura do sistema são iguais a 20 MPa e 300 K,respectivamente, ao longo de todo comprimento do tubo.

Para t > 0, a fronteira direita é aberta e a pressão é reduzida bruscamente para 10 MPa,após o instante t = 1.0 s a pressão na fronteira direita é alterada para 20 MPa novamente. Noprimeiro momento, quando a pressão é reduzida na fronteira direita ocorre a despressurizaçãodo CO2, consequentemente, uma onda de rarefação e choque deslocam-se para esquerda edireita, respectivamente. A queda de pressão atrás da onda de choque provoca o movimentodo fluido para à direita. No segundo momento, quando a pressão é alterada para 20 MPa, uma

82

Capítulo 6- Simulações Númericas: modelo composicional

onda de rarefação seguida por uma onda de choque propagam-se para à esquerda.Para simular este problema, utilizamos um fluido composto por 99.99 % de CO2 e 0.01%

de metano (C1). Nas condições de pressão, temperatura e composição do problema, a misturaCO2 e C1 encontra-se no estado líquido, portanto temos um escoamento monofásico ao longode todo o tubo. Os dados da tubulação são apresentados na Tabela 6.1. Para comparar a soluçãoproposta com as soluções de referência MUSTA e OLGA apresentada por Clausen e Munkejord(2012), na Tabela 6.2 são dados os coeficientes da entalpia padrão dos componentes na condiçãode gás ideal (Eq. (B.24)).

Tabela 6.1: Despressurização de CO2. Configuração da linha de produção e composição dofluido

Configuração do tubo Valor Fluido e composição

Comprimento (m) 1000.0 CO2 9.999× 10−1

Diâmetro (m) 0.3 C1 1.000× 10−4

Rugosidade (m) 5.01× 10−5

Inclinação (°) 0.0Temperatura externa (K) 300Coef. de troca de calor (Ut) (W/m².K) 10.0

Tabela 6.2: Despressurização de CO2. Coeficientes para entalpia padrão (Eq. (B.24))

Componente a0 (J/kg) a1 (J/kg.K) a2 (J/kg.K2) a3 (J/kg.K3) a4 (J/kg.K4) a5 (J/kg.K5)CO2 0.0 665.047 0.0 0.0 0.0 0.0C1 0.0 7778.076 0.0 0.0 0.0 0.0

As Figuras 6.1a e 6.1b comparam os perfis de pressão no instante t = 1.51 s obtidos como simulador proposto e as soluções de referência MUSTA e software comercial OLGA pu-blicadas por Clausen e Munkejord (2012). Estes resultados foram obtidos considerando umamalha com 100 e 10000 células para uma condição CFL = 0.9. As soluções numéricas dereferência (MUSTA e OLGA) possuem discretização espacial de primeira ordem. Portanto, éesperado que a solução proposta apresente resultados semelhantes às soluções de referência.As Figuras 6.1a e 6.1b mostram que a solução proposta está em concordância com as soluçõesde referência. Entretanto, quando a malha é refinada é possível observar que a solução pro-posta apresenta um pequeno atraso na posição da onda de choque e rarefação em relação assoluções de referência. Esta diferença ocorre porque o simulador proposto utiliza a equação deestado de Peng e Robinson (1978), enquanto as soluções MUSTA e OLGA utilizam a equaçãode estado de stiffened-gas (HARLOW; AMSDEN, 1971). Consequentemente, os modelos pre-veem velocidades distintas para a onda de pressão, 500 e 530 m/s, solução proposta e MUSTA,respectivamente.

83


0 200 400 600 800 1000x [m]

10

12

14

16

18

20

22

P [

MPa]

Proposto MUSTA OLGA

(a)

0 200 400 600 800 1000x [m]

10

12

14

16

18

20

22

P [

MPa]

Proposto MUSTA OLGA

(b)

Figura 6.1: Despressurização de CO2. Soluções numéricas proposta e de referência (MUSTA eOLGA) no instante t = 1.51 s: a) 100 células e b) 10000 células

Uma análise de sensibilidade do tamanho do passo de tempo, atrito do fluido com a parededo tubo, fração global do CO2 e coeficiente global de transferência Ut é realizado na soluçãoproposta.

A Figura 6.2 mostra os resultados no instante t = 1.51 s obtidos com o refinamento do passode tempo considerando uma malha espacial com 1000 células (∆x = 1.0 m). A Figura 6.2bmostra que a temperatura do CO2 permanece constante atrás da onda de rarefação, cai na zonaintermediária como consequência da expansão do CO2, retornando ao seu valor inicial atrás daonda de choque devido à compressão. Na Figura 6.2b observa-se que onda choque propaga-separa esquerda com velocidade de 3 m/s (valor negativo). Finalmente, os resultados indicamevidência de convergência numérica da solução à medida que o tamanho do passo de tempo éreduzido, além disso, a solução proposta é livre de oscilações.

A Figura 6.3 mostra o efeito do atrito nos resultados. Nota-se que, o atrito do fluido coma parede reduz a velocidade devido à perda de carga por atrito (ver Figura 6.3c), isto faz comque a expansão do CO2 na região intermediária, entre a onda de choque e a onda rarefação,seja reduzida, consequentemente, a queda de pressão no modelo com atrito é menor comomostra a Figura 6.3a. Adicionalmente, é possível observar na Figura 6.3a que as velocidades depropagação das ondas de choque e rarefação não são alteradas pelo atrito. Finalmente, observa-se que devido a maior descompressão, a temperatura é menor na simulação sem atrito comomostra a Figura 6.3b.

84


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

P [

MPa]

1e1

∆t = 0.1 s

∆t = 0.01 s

∆t = 0.001 s

∆t = 0.0005 s

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

288

290

292

294

296

298

300

302

T [

K]

∆t = 0.1 s

∆t = 0.01 s

∆t = 0.001 s

∆t = 0.0005 s

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

5

0

5

10

15

20

v l [

m/s

]

∆t = 0.1 s

∆t = 0.01 s

∆t = 0.001 s

∆t = 0.0005 s

(c)

Figura 6.2: Despressurização de CO2. Efeito do refinamento do passo de tempo: a) pressão, b)temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s

A Figura 6.4 apresenta os resultados para análise da composição do CO2 igual a 99.99 e95.00 %. Nota-se que a mistura com 99.99 % apresenta maior de velocidade de propagaçãoda onda de pressão (isto é, maior velocidade do som na mistura) como mostra a Figura 6.4a.Esta diferença ocorre devido a maior temperatura do fluido com maior quantidade de CO2 (verFigura 6.4b).

Finalmente, a Figura 6.5 mostra que a variação do coeficiente global Ut não altera os re-sultados de forma significativa. Isto ocorre devido à alta velocidade de escoamento do fluidona região intermediária, não havendo tempo suficiente para trocar calor por condução com oambiente externo. Na regiões, atrás da onda de rarefação e a frente a da onda de choque, nãoexiste diferença de temperatura do como meio externo, portanto a transferência de calor nessasregiões é nula como esperado.

85


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

P [

MPa]

1e1

sem atritocom atrito

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

288

290

292

294

296

298

300

302

T [

K]


(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

5

0

5

10

15

20

25

v l [

m/s

]


(c)

Figura 6.3: Despressurização de CO2. Efeito do atrito na parede do tubo: a) pressão, b) tempe-ratura e c) velocidade no instante t = 1.51 s

86


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

P [

MPa]

1e1

C02-99.99%C02-95.00%

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

288

290

292

294

296

298

300

302

T [

K]

C02-99.99%C02-95.00%

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

5

0

5

10

15

20

v l [

m/s

]

C02-99.99%C02-95.00%

(c)

Figura 6.4: Despressurização de CO2. Efeito da composição: a) pressão, b) temperatura e c)velocidade no instante t = 1.51 s

87


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

P [

MPa]

1e1

U_t = 0.0 W/m².K

U_t = 2.0 W/m².K

U_t = 5.0 W/m².K

U_t = 10.0 W/m².K

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

288

290

292

294

296

298

300

302

T [

K]

U_t = 0.0 W/m².K

U_t = 2.0 W/m².K

U_t = 5.0 W/m².K

U_t = 10.0 W/m².K

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

5

0

5

10

15

20

v l [

m/s

]

U_t = 0.0 W/m².K

U_t = 2.0 W/m².K

U_t = 5.0 W/m².K

U_t = 10.0 W/m².K

(c)

Figura 6.5: Despressurização de CO2. Efeito do coeficiente de troca de Ut: a) pressão, b)temperatura e c) velocidade no instante t = 1.51 s

6.3 Injeção de CO2

Nesta seção a injeção de uma mistura gasosa rica em CO2 em um poço vertical de 1800m e diâmetro interno de 0.0762 m (3 in) é estudada. Inicialmente, a coluna é preenchida comCO2 em repouso (vg = 0.0 m/s), a pressão e temperatura variam de acordo com os gradienteshidrostático e geotérmico, respectivamente (conforme discutido na seção 4.6). A mistura ricaem CO2 é injetada no topo a pressão e temperatura constantes iguais a 17.5 MPa e 323.15 K,respectivamente, a composição global do fluido injetado é dada na Tabela 6.3. No fundo dopoço é utilizado um termo fonte com pressão e temperatura constantes iguais a 25.0 MPa e359.15 K, respectivamente. O tempo total de simulação é 48 horas, onde nas primeiras 24 horasé feita uma injeção. Após esse período a injeção é interrompida na superfície (shut-in) e o poçopermanece fechado por mais 24 horas. Os parâmetros da simulação são dados na Tabela 6.3.

88


Tabela 6.3: Injeção de CO2. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros dasimulação

Configuração do poço Valor Parâmetros numéricos

Profundidade (m) 1800 N° de células 50Diâmetro (m) 0.0762 ∆t inicial (s) 10.0Rugosidade 2.54× 10−4 ∆t máximo (s) 10−4

Inclinação (°) 90 ∆t mínimo (s) 100.0Gradiente geotérmico gT (K/m) 0.0109 Max. iteração de NR 25Coef. de troca de calor Ut (W/m².K) 10 ∆t multiplicador 1.1Temperatura amb. (K) @ - 1800 m 359.15 Tempo de simulação (dias) 2

Pressão no topo (MPa) 17.5 Fluido e Composição

Temperatura no topo (K) 323.15 CO2 0.99997Pressão do reservatório (MPA) 25.0 C1 0.00001Temperatura do reservatório (K) 359.15 iC4 0.00001Índice de injetividade PI (m³) 9.868× 10−14 FC10 0.00001Mobilidade do gás (1/Pa.s) 5066Mobilidade do líquido (1/Pa.s) 0.0Fluxo mássico total (kg/s) 1.0

A Figura 6.6 mostra os perfis de pressão, temperatura, velocidade e fração volumétrica emfunção da profundidade do poço para vários instantes de injeção. Nas condições de operação doteste a mistura multicomponente encontra-se no estado gasoso como a Figura 6.6c. Na Figura6.6a, nota-se que a pressão no fundo do poço aumenta em relação a condição inicial devido aperda de carga por atrito. A temperatura na coluna aumenta com a entrada de fluido quente nacoluna até atingir o estado estacionário. Nota-se que a velocidade de injeção aumenta levementecom a profundidade como consequência do aumento da massa específica do gás.

89


16 18 20 22 24 26 28 30 32P [MPa]

1500

1000

500

0Pro

fundid

ade [

m]

0.000 min1.018 min2.656 min16.391 min58.058 min1441.392 min

(a)

320 325 330 335 340 345 350 355 360T [K]

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1vg [m/s]

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0.94 0.96 0.98 1.00 1.02 1.04 1.06αg []

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

Figura 6.6: Injeção de CO2. Período de injeção. Perfis: a) pressão, b) temperatura, c) veloci-dade e d) fração volumétrica de gás

A Figura 6.7 apresenta as soluções obtidas durante o período de fechamento. Nota-se que apressão na coluna cai gradativamente até que a pressão no fundo (na profundidade de 1782 m)atinja o equilíbrio hidrostático com a pressão externa (P = 25.0 MPa), como mostra a Figura6.7a. A Figura 6.7c mostra que, após o fechamento a velocidade de injeção cai gradativamenteda superfície para o fundo até que todo o gás não apresente nenhum movimento (vg = 0 m/s).Além disso, o gás em repouso recebe calor da formação até atingir o equilíbrio térmico com atemperatura da formação, como mostra a Figura 6.7b.

Finalmente, a Figura 6.8 mostra a vazão de injeção no termo fonte nos períodos de injeçãoe fechamento. Nota-se que após o fechamento o fluido continua sendo injetado no reservatórioaté que a pressão fundo atinja a pressão externa do termo fonte (aproximadamente em 200 minapós o fechamento).

90


10 15 20 25 30 35P [MPa]

1500

1000

500

0Pro

fundid

ade [

m]

1441.392 min1442.510 min1444.313 min1450.483 min1462.220 min1497.260 min2877.433 min

(a)

315 320 325 330 335 340 345 350 355 360T [K]

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1vg [m/s]

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0.94 0.96 0.98 1.00 1.02 1.04 1.06αg []

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

Figura 6.7: Injeção de CO2. Período de fechamento (shut-in): a) pressão, b) temperatura, c)velocidade e d) fração volumétrica de gás

10-1 100 101 102 103 104

t [min]

0

50

100

150

200

250

Vazã

o n

o f

undo [

m³/

dia

]

InjeçãoShut-in

Figura 6.8: Vazão de injeção de CO2 no fundo poço em função do tempo no período de

91


6.4 Produção de óleo e gás

Os testes desta seção incluem a simulação de uma produção bifásica (líquido e gás). Aototal são apresentados quatro casos: A, B, C e D. Inicialmente, a coluna é preenchida com osfluidos em repouso (vg = vl = 0.0 m/s), a pressão e a temperatura inicial variam de acordo comos gradientes hidrostático e geotérmico, respectivamente. O número de fases, frações molarese volumétricas em cada célula são determinadas por um teste de estabilidade/flash (conformediscutido na seção 4.6). As condições de contorno são: pressão prescrita na cabeça (todos oscasos); vazão mássica total prescrita no fundo para os casos A, B e C e vazão nula no fundocom termo fonte na célula do fundo (k = 1) para o caso D.

As equações constitutivas discutidas na seção 3.6 são usadas para calcular os termos decorreção de pressão com σ = 1.2, atrito do fluido com parede da coluna, atrito interfacial,transferência de calor e padrões de escoamento.

Os dados da simulação (geometria da coluna, condição de contorno, fluido e parâmetros nu-méricos da simulação) dos casos A e B são apresentados nas Tabelas 6.4 e 6.5, respectivamente.Nos exemplos, é usado um fluido hipotético com 3 e 10 componentes, respectivamente; comcaracterísticas semelhantes aos de um fluido tipo black-oil. Por serem fluidos mais simples, asolução permanente casos A e B são comparadas com a solução do simulador comercial PIPE-SIM versão 2014 (Schlumberger, 2014), onde a correlação empírica de Beggs e Brill (1973)denominada de BBO foi utilizada para obter o gradiente de pressão. No simulador proposto,dois tipos de atrito interfacial (MD

p ) foram testados: modelo de arraste (TFM-DRAG) e modelodrift-flux (TFM-DFA).

Tabela 6.4: Caso A. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação


Profundidade (m) 4000 N° de células 200Diâmetro interno coluna (m) 0.0889 ∆t inicial (s) 1.0Diâmetro externo coluna (m) 0.0924 ∆t máximo (s) 10−4

Diâmetro interno revestimento (m) 0.164084 ∆t mínimo (s) 100.0Diâmetro externo revestimento (m) 0.1778 Max. iteração de NR 25Diâmetro do poço (m) 0.2286 ∆t multiplicador 1.1Rugosidade (m) 10−4 Tempo de simulação (dia) 2.0

Inclinação (°) 90.0 Fluido e composição

Gradiente geotérmico gT (K/m) 0.015 C1 0.2Cond. térmica coluna (W/m².K) 60.55 nC4 0.2Cond. térmica revestimento (W/m².K) 60.55 nC10 0.6Cond. térmica cimentação (W/m².K) 6.92Cond. térmica formação (W/m².K) 2.60Coef. difusividade térmica (m²/s) 1.38×10−6

Temperatura amb. (K) @ - 3000 m 358.15Pressão na cabeça (MPa) 1.2Fluxo mássico total (kg/s) 10.0

92


Tabela 6.5: Caso B. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação


Profundidade (m) 3000.0 N° de células 100Diâmetro interno coluna (m) 0.07305 ∆t inicial (s) 1.0Diâmetro externo coluna (m) 0.0762 ∆t máximo (s) 10−4

Diâmetro interno revestimento (m) 0.164084 ∆t mínimo (s) 100.0Diâmetro externo revestimento (m) 0.1778 Max. iteração de NR 25Diâmetro do poço (m) 0.2286 ∆t multiplicador 1.1Rugosidade (m) 10−4 Tempo de simulação (dias) 2.0

Inclinação (°) 90.0 Fluido e composição

Gradiente geotérmico gT (K/m) 0.0109 C1 0.2Cond. térmica coluna (W/m².K) 60.55 C2 0.1034Cond. térmica revestimento (W/m².K) 60.55 C3 0.1203Cond. térmica cimentação (W/m².K) 6.92 iC4 0.0056Cond. térmica formação (W/m².K) 2.60 nC4 0.0602Coef. difusividade térmica (m²/s) 1.38×10−6 iC5 0.0147Temperatura amb. (K) @ - 3000 m 338.70 nC5 0.0293Pressão na cabeça (MPa) 1.2 nC6 0.0342Fluxo mássico total (kg/s) 10.0 nC7 0.0049

nC10 0.3376

As Figuras 6.9 e 6.10 comparam as soluções do simulador proposto com a solução do simu-lador comercial, casos A e B, respectivamente. Os resultados mostram boa concordância entreos simuladores. Entretanto, no caso A observa-se um melhor ajuste das soluções. No caso B,apesar do PIPESIM prever o aparecimento do gás numa maior profundidade do que o simula-dor proposto (ver Figura 6.10a), as soluções estão em concordância, especialmente na região deescoamento monofásico. Além disso, os resultados mostram que a solução proposta usando oatrito interfacial TFM-DFA apresenta o melhor ajuste com o PIPESIM. Segundo Brooks et al.(2012), quando o atrito interfacial TFM-DFA é utilizado no modelo de dois fluidos, a solução domodelo de dois fluidos tende para solução do modelo drift-flux. Consequentemente, o modeloTFM-DFA possui uma maior aproximação com a solução BBO. Finalmente, observa-se que osimulador proposto capturou corretamente o aparecimento do gás na coluna.

93


0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0αl []

4000

3000

2000

1000

0

Pro

fundid

ade [

m]

TFM (DFA) - PropostoTFM (DRAG) - PropostoPIPESIM

(a)

0 5 10 15 20 25 30P [MPa]

4000

3000

2000

1000

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

2 4 6 8 10 12vl [m/s]

4000

3000

2000

1000

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16vg [m/s]

4000

3000

2000

1000

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

330 335 340 345 350 355 360T [K]

4000

3000

2000

1000

0

Pro

fundid

ade [

m]


(e)

Figura 6.9: Caso A. Comparação entre os simuladores proposto e PIPESIM: (a) fração volu-métrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura

94


0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0αl []

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(a)

0 5 10 15 20 25P [MPa]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

2 4 6 8 10 12vl [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16vg [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

315 320 325 330 335 340T [K]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(e)

Figura 6.10: Caso B. Comparação entre os simuladores proposto e PIPESIM: (a) fração volu-métrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura

No caso C, é realizada uma simulação com um fluido de composição tipica de óleo volátilcom 16 componentes retirado do simulador comercial CMG (2010). Na Tabela 6.6 são apre-sentados as propriedades críticas e a fração global de cada componente. Inicialmente, o poço

95


é colocado em produção com a vazão mássica total de 5 kg/s, após 200 min (12000 s) a vazãomássica é alterada para 10 kg/s e poço produz por mais 200 min. A transferência de calor é cal-culada assumindo coeficiente Ut constante igual 10 W/m.K. Os demais parâmetros de entradada simulação são apresentados na Tabela 6.7.

Tabela 6.6: Caso C. Composição e de propriedades críticas do fluido

Componente zc PC (atm) TC (K) MW (g/mole) vC (l/mole) ω

N2 0.010 33.500 126.200 28.013 0.090 0.040CO2 0.002 72.800 304.200 44.010 0.094 0.225C1 0.548 45.400 190.600 16.043 0.099 0.008C2 0.083 48.200 305.400 30.070 0.148 0.098C3 0.045 41.900 369.800 44.097 0.203 0.152iC4 0.010 36.000 408.100 58.124 0.263 0.176nC4 0.023 37.500 425.200 58.124 0.255 0.193iC5 0.008 33.400 460.400 72.151 0.306 0.227nC5 0.013 33.300 469.600 72.151 0.304 0.251FC6 0.019 32.460 507.500 86.000 0.344 0.275C7-C10 0.079 27.563 583.849 115.685 0.459 0.328C11-C13 0.047 21.140 671.747 168.558 0.653 0.473C14-C17 0.036 17.645 734.124 219.042 0.821 0.594C18-C21 0.026 15.084 789.768 274.818 0.991 0.718C22-C26 0.018 13.195 839.032 333.274 1.155 0.841C27+ 0.032 9.906 955.623 503.651 1.549 1.122

Tabela 6.7: Caso C. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação


Profundidade (m) 2987.04 N° de células 50Diâmetro interno coluna (m) 0.0762 ∆t inicial (s) 1.0Rugosidade (m) 2.4×10−4 ∆t máximo (s) 10−4

Inclinação (°) 90.0 ∆t mínimo (s) 100.0Gradiente geotérmico gT (K/m) 0.01822 Max. iteração de NR 25Coef. de troca de calor (Ut) (W/m.K) 10.0 ∆t multiplicador 1.1Temperatura amb. (K) @ - 2987.04 m 355.37 Tempo de simulação (min) 400Pressão na cabeça (MPa) 19.5134Vazão mássico total (kg/s) 10.0

A Figura 6.11 mostra os perfis de fração de líquido, pressão, velocidades (líquido e gás)e temperatura em função da profundidade do poço nos primeiros 200 min de produção. Noinstante inicial, a coluna é preenchida com 100 % de líquido do fundo até a profundidadeaproximada de 2650 m conforme mostra o gráfico da Figura 6.11a. Para t > 0, ocorre umamudança brusca na vazão mássica na entrada (de 0 para 5 kg/s) iniciando o período transienteaté a sua estabilização (regime permanente) a partir do instante t = 19.287 min. A Figura 6.11bmostra que, a pressão na coluna no instante t = 0.101 min aumenta em relação a pressão inicial,

96


esse aumento ocorre devido ao choque de pressão causado pela mudança brusca na condição decontorno de fundo quando o poço é colocado em produção. Com o tempo o choque de pressãoé dissipado no domínio, e a pressão começa a cair até atingir a estabilização como mostra asolução nos instantes t = 19.287 e t = 200 min. No regime estacionário, a pressão no fundo dopoço é levemente maior do que a pressão de equilíbrio hidrostático (condição inicial) devido asperdas de carga por atrito na parede do tubo e interface gás-líquido. Consequentemente, a fraçãode líquido aumenta depois diminui, como mostra a Figura 6.11a. As Figuras 6.11c e 6.11dmostram que a estabilização das velocidades é praticamente instantânea, isto é, logo atingemo regime permanente. Finalmente, a Figura 6.11e mostra que a temperatura do fluido aumentadevido à entrada de fluido na coluna com maior temperatura, além disso, nota-se que a variaçãoda temperatura ocorre mais lentamente do que as demais variáveis devido a transferência decalor com a formação.

A Figura 6.12 apresenta as soluções após a alteração da condição de contorno de fluxo más-sico total de 5 kg/s para 10 kg/s após 200 min de produção. A Figura 6.12b mostra que a pressãoaumenta em relação a pressão inicial devido ao aumento da perda de carga atrito com o aumentoda vazão (aumento das velocidades do líquido e gás ver Figuras 6.12c e 6.12d). Além disso,nota-se que a variação na vazão resulta num aumento das pressões, entretanto, não causa osci-lação na pressão (compare Figuras 6.12b e 6.11b). Os perfis de fração de líquido, velocidadesdo líquido e do gás e temperatura das Figuras 6.12a, 6.12c , 6.12d e 6.12e, respectivamente,comportam-se de forma análoga ao observado nos gráficos anteriores.

A Figura 6.13 compara as soluções permanentes obtidas com os modelos de atrito interfacialTFM-DFA e TFM-DRAG no caso onde vazão mássica total de 10 kg/s. Nota-se que a osmodelos preveem aproximadamente a mesma solução para pressão e temperatura, como mostraas Figuras 6.13b e 6.13e, respectivamente. Embora, uma pequena diferença nos resultadosda fração de líquido e velocidades do líquido e gás possam ser observadas como mostram asFiguras 6.13a, 6.13c e 6.13d. Finalmente, as Figuras 6.14a e 6.14b demonstram que no regimeestacionário, vazão mássica de 5 e 10 kg/s, respectivamente, o fluxo mássico total do sistema éconservado em todas as células da malha.

97


0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00αl []

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]

0.000 min 0.102 min 0.955 min 2.742 min 7.377 min 19.287 min 200.000 min

(a)

15 20 25 30 35 40P [MPa]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

0 1 2 3 4vl [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0 1 2 3 4vg [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

300 310 320 330 340 350 360T [K]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(e)

Figura 6.11: Caso C. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido ve-locidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Vazão total mássica de 10 kg/s

98


0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00αl []

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(a)

15 20 25 30 35 40P [MPa]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

0 1 2 3 4vl [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0 1 2 3 4vg [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

335 340 345 350 355 360T [K]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(e)

Figura 6.12: Caso C. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido ve-locidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Vazão total mássica de 10 kg/s

99


0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00αl []

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]

TFM (DRAG)TFM (DFA)

(a)

15 20 25 30 35 40P [MPa]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]

TFM (DRAG)TFM (DFA)

(b)

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2vl [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]

TFM (DRAG)TFM (DFA)

(c)

0 1 2 3 4 5vg [m/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]

TFM (DRAG)TFM (DFA)

(d)

340 342 344 346 348 350 352 354 356T [K]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]

TFM (DRAG)TFM (DFA)

(e)

Figura 6.13: Caso C. Comparação do modelos TFM-DFA e TFM-drag solução regime perma-nente, vazão mássica de 10 kg/s: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velocidade dolíquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura.

Finalmente, no Caso D é realizada simulação com um óleo volátil composto por 11 compo-nentes (PETROWIKI, 2017). O fluido entra na coluna através de um termo fonte conectado a

100


primeira célula da malha (isto é, k = 1), o termo fonte possui pressão e temperatura constantesiguais a 16.5 MPa e 333.15 K, respectivamente; a composição global do fluido é dada na Tabela6.9. O tempo de simulação é 400 min (24000 s), sendo que após 200 min a pressão na cabeça éreduzida de 10 MPa para 8 MPa.

0 1 2 3 4 5 6fluxo mássico total [kg/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(a)

5 6 7 8 9 10 11fluxo mássico total [kg/s]

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

Figura 6.14: Caso C. Evolução temporal do fluxo mássico total: (a) 5 kg/s e 10 kg/s

Tabela 6.8: Caso D. Configuração do poço, composição do fluido e parâmetros da simulação


Profundidade (m) 1000.0 N° de células 50Diâmetro interno coluna (m) 0.10 ∆t inicial (s) 1.0Rugosidade (m) 2.4×10−4 ∆t máximo (s) 10−4

Inclinação (°) 90.0 ∆t mínimo (s) 100.0Gradiente geotérmico gT (K/m) 0.02 Max. iteração de NR 25Coef. de troca de calor (Ut) (W/m².K) 20.0 ∆t multiplicador 1.1Temperatura amb. (K) @ - 2987.04 m 333.15 Tempo de simulação (min) 400Pressão na cabeça (MPa) 10.0Pressão do reservatório (MPa) 16Temperatura do reservatório (K) 333.15Índice. Produtividade (m³) 9.868× 10−14

Mobilidade do óleo (1/Pa.s) 101.34×103

Mobilidade do gás (1/Pa.s) 101.34×102

101


Tabela 6.9: Composição e de propriedades críticas do fluido. Caso 4

Componente zc PC (atm) TC (K) MW (g/mole) vC (l/mole) ωc

N2 0.0167 33.500 126.200 28.013 0.090 0.040C1 0.6051 45.400 190.600 16.043 0.099 0.008CO2 0.0218 72.800 304.200 44.010 0.094 0.225C2 0.0752 48.200 305.400 30.070 0.148 0.098C3 0.0474 41.900 369.800 44.097 0.203 0.152iC4 0.0005 36.000 408.100 58.124 0.263 0.176nC4 0.0412 37.500 425.200 58.124 0.255 0.193iC5 0.0005 33.400 460.400 72.151 0.306 0.227nC5 0.0297 33.300 469.600 72.151 0.304 1.0 0.251nC6 0.0138 32.460 507.500 86.000 0.344 0.275C7+ 0.1481 27.563 583.849 115.685 0.328 0.450

Na Figura 6.15 são apresentadas as soluções nos primeiros 200 min. No instante ini-cial (t = 0 min), a coluna de produção é preenchida com uma mistura bifásica em repouso(vl = vg = 0 m/s) ao longo de todo seu comprimento. Quando t > 0, o poço é colocado emprodução, instantaneamente a pressão na cabeça cai para pressão definida pela condição de con-torno (ver Figura 6.15b). Consequentemente, a pressão na coluna reduz-se até atingir o estadoestacionário. Com a diminuição da pressão na coluna o gás expande e o volume de líquido nacoluna é reduzido.

Nos casos A, B e C, na entrada da coluna o escoamento é monofásico, com a queda depressão ocorre o aparecimento do gás. No caso D, o escoamento é bifásico em toda a colunacomo mostra a Figura 6.15a. As Figuras 6.15c e 6.15c mostram que, no instante t = 0.035 mino líquido e o gás aceleram-se fortemente devido a mudança brusca de pressão na saída do tubo.Este efeito cria uma onda nos perfis de velocidade, a qual propaga-se na direção ascendente, nasaída essa onda é refletida alterando o sentido de propagação como mostra a curva do instantet = 0.102 m. No instante t = 0.266 min a onda foi totalmente dissipada. Finalmente, operfil de temperatura (Figura 6.15e) apresenta comportamento similar aos perfis de temperaturaanteriores.

102


0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0αl []

1000

800

600

400

200

0Pro

fundid

ade [

m]


(a)

10 11 12 13 14 15 16 17P [MPa]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

0 2 4 6 8 10 12 14vl [m/s]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0 2 4 6 8 10 12 14vg [m/s]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

310 315 320 325 330 335T [K]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(e)

Figura 6.15: Caso D. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido velo-cidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Pressão na saída igual a 10 MPA

Analogamente, a Figura 6.16 mostra a evolução temporal da fração líquido, pressão, velo-cidades (líquido e gás) e temperatura em função da profundidade do poço após a redução na

103


pressão da saída de 10 para 8 MPa.

0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80αl []

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(a)

8 9 10 11 12 13 14 15P [MPa]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(b)

0 5 10 15 20 25vl [m/s]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(c)

0 5 10 15 20 25vg [m/s]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(d)

320 322 324 326 328 330 332 334T [K]

1000

800

600

400

200

0

Pro

fundid

ade [

m]


(e)

Figura 6.16: Caso D. Evolução temporal: (a) fração volumétrica, (b) pressão, (c) líquido ve-locidade do líquido, (d) velocidade do gás e (e) temperatura. Pressão na saída igual a 8 MPA

As Figuras 6.17a e 6.17b apresentam as vazões volumétricas de líquido e gás em m³/dia em

104


função do tempo, no fundo e na cabeça do poço, respectivamente. Com a redução da pressão,as vazões de líquido e gás no fundo do poço aumentam devido ao maior gradiente de pressãoentre o poço e o termo fonte como mostra a Figura 6.17a. Para t > 0, as velocidades aumentambruscamente devido ao choque de pressão causado pela operação do poço (conforme discutidoanteriormente nas Figuras 6.15c e 6.15c). Quando a pressão na cabeça é reduzida, instantane-amente as vazões de líquido e gás aumentam devido ao aumento da vazão de alimentação dotermo fonte, como mostra a Figura 6.17b.

A Figura 6.18 mostra que a pressão no centro da última célula (k = N ) equilibra-se instan-taneamente com a pressão da fronteira. Enquanto, a pressão de fundo do poço (profundidadede 950 m) diminui até que o regime estacionário seja alcançado a partir do instante t = 10 min.Consequentemente, quando a pressão no contorno (t > 200 min) é reduzida, a pressão de fundode poço também diminui.

Finalmente, é importante destacar que em todas às simulações o simulador proposto apre-sentou soluções sem oscilações numéricas na transição de fluxo monofásico para fluxo bifásicoe também nas transições de padrões de escoamento.

10-2 10-1 100 101 102 103

t [min]

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Vazã

o n

o f

undo [

m³/

dia

]

líquido - WHP=10 MPa

gás - WHP=10 MPa


gás - WHP=8 MPa

(a)

10-2 10-1 100 101 102 103

t [min]

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Vazã

o n

a c

abeça

[m

³/dia

]


gás - WHP=10 MPa


gás - WHP=8 MPa

(b)

Figura 6.17: Caso D. Vazão volumétrica em função do tempo no intervalo antes de depois daalteração da redução da pressão no topo: (a) conexão poço/reservatório e (b) cabeça do poço

105


10-2 10-1 100 101 102 103

t [min]

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

P [

MPa]

BHP (k=1)WHP (k=N)

Figura 6.18: Caso D. Pressão no fundo (BHP) e cabeça (WHP) do poço em função do tempo

6.5 Problema de segregação de fases

Nesta seção, são apresentados os resultados obtidos com a simulação do problema de segre-gação de fases usando a solução numérica composicional.

Como discutido na seção 5.4, peso e empuxo são as forças responsáveis pelo fluxo contra-corrente do líquido e gás no problema segregação de fases; como não há fluxo pelas fronteirasinferior e superior líquido e gás acumulam-se na parte inferior e superior do tubo, respectiva-mente (ver Figura 5.7). O problema testa a capacidade da solução numérica em prever: fluxocontracorrente; transição de fluxo multifásico para monofásico; e choques na pressão devido amudança brusca na velocidade do líquido.

A principal diferença entre as soluções composicional e imiscível é a resolução das equaçõesdo equilíbrio termodinâmico em conjunto com as equações de transporte (conforme discutidona seção 4.4.2). No modelo composicional, quando uma célula for monofásica, a fração volu-métrica dessa fase é exatamente igual a 1.0 (αp = 1) e o sistema de equações desta célula édiscretizado apenas para fase existente na célula. Portanto, a solução transiente do problemasegregação de fases usando o modelo composicional apresentará duas regiões de escoamentopuramente monofásico líquido e gás e uma região de escoamento bifásico. No regime perma-nente, as fases encontram-se totalmente segregadas (ver Figura 5.7).

6.5.1 Segregação de fases sem atrito

O primeiro caso simulado é o problema de segregação de fases sem atrito de Coquel etal. (1997). No instante inicial, assume-se fluidos em repouso (vl = vg = 0 m/s), pressão(P ), temperatura (T ) e fração global (zc) constantes ao longo do comprimento do tubo. Acondição inicial e a configuração do tubo são dadas na Tabela 5.2. Um fluido composto por doiscomponentes C1 e C16 foi escolhido para simulação. As frações molares (xc,p) e volumétricas(αp) iniciais são obtidas por um cálculo flash a partir da condição inicial P , T e zc.

106


A condição inicial e a composição do fluido foram escolhidas com objetivo de obter umasimulação com pouca transferência de massa entre as fases, ou seja, C1 e C16 apresentam baixamiscibilidade nas fases líquido e gás, respectivamente. Dessa forma, os resultados obtidospodem ser comparados com a solução de referência proposta para o problema de segregação defases imiscível (discutida na seção 5.4.1).

Tabela 6.10: Teste de segregação composicional sem atrito. Dados da coluna, fluido e condiçãoinicial

Configuração do tubo valor Fluido

Comprimento (m) 2.0 C1

Diâmetro (m) 0.07305 C16

Inclinação (°) 90Temperatura (K) 325.15Pressão (MPA) 1.0Velocidades 0.0

O problema é simulado considerando duas frações globais iniciais para o C1, isto é, z0C1

=

0.5 e z0C1

= 0.3. Finalmente, os resultados foram obtidos considerando uma malha computaci-onal com 400 células e passo de tempo ∆t = 5× 10−4 s. Além disso σ = 1.2 é usado no termode correção de pressão (Eq. (3.59)). As Figuras 6.19 e 6.20 comparam as soluções numéricase de referência (linha tracejada com marcador e linha contínua, respectivamente) para váriosinstantes obtidas como as composições z0

C1= 0.5 e z0

C1= 0.3, respectivamente.

As Figuras 6.19a e 6.20a mostram que as soluções numéricas e de referência apresentam boaconcordância. Apesar da difusão numérica devido ao esquema upwind, a localização das inter-faces e choques foram satisfatoriamente previstas pela solução numérica. Nas Figuras 6.19b,6.19c, 6.20b e 6.20c é possível observar que as velocidades do líquido e do gás numéricas con-vergem para solução de referência nas células onde a fase existe, no simulador proposto quandouma fase desaparece a velocidade desta fase é zerada. Adicionalmente, é possível observa os-cilações nas velocidades do líquido e do gás nas interfaces que separam o fluxo monofásicolíquido e gás da região de escoamento bifásico, respectivamente. Estas oscilações são causadaspela mudança da discretização devido ao desaparecimento de fases, uma vez, que estas oscila-ções não ocorrem quando a discretização não é alterada como mostra os resultados do modeloimiscível (ver Figuras 5.9b, 5.10b, 5.11b, 5.9c, 5.10c e 5.11c). Além disso, nota-se que as ve-locidades das fases são nulas no regime estacionário em qualquer posição onde a fase existe,exceto nas interfaces que separam completamente o líquido e o gás da região bifásica comoconsequência da oscilação na velocidade.

Nas Figuras 6.19d e 6.20d observa-se boa concordância entre os gradientes de pressão dassoluções numérica e de referência (mesma inclinação). Entretanto, o choque de pressão obtidopela solução numérica na interface que separa o líquido da região bifásica não concorda com asolução de referência (comportamento análogo ao observado no modelo imiscível como mostraas Figuras 5.9d, 5.10d e 5.11d). Além disso, nota-se ainda a presença de uma pequena oscila-

107


ção na pressão na posição da interface como consequência da oscilação na velocidade do gás(modelo imiscível não apresenta tal oscilação ver Figuras 5.9d, 5.10d e 5.11d).

A Figura 6.21 mostra a evolução temporal da fração global do C1 e do C16 (6.21a e 6.21b,respectivamente) assumindo fração global do metano z0

C1= 0.3. Nota-se que a solução numé-

rica é livre de oscilações nas descontinuidades. Além disso, observa-se que cerca 5.2 % do C1

encontra-se dissolvido no líquido na região monofásica de líquido. Enquanto, na parte superiora composição do C1 no gás é aproximadamente 100%.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

αl []

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

7

6

5

4

3

2

1

0

1

v l [

m/s

]

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

v g [

m/s

]

1e1

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

(c)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.9995

1.0000

1.0005

1.0010

1.0015

1.0020

1.0025

1.0030

1.0035

P [

MPa]

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(d)

Figura 6.19: Teste de segregação composicional sem atrito. Soluções propostas (numérica e dereferência) para z0

C1= 0.5: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do

gás e (d) pressão

Na Figura 6.19d é possível identificar uma pequena diminuição da pressão na região mono-fásica de gás em relação a pressão inicial (P 0 = 1 MPa). Isto ocorre porque o número de molse o volume da fase gasosa (ng (t) e Vg (t)) diminuem em relação aos seus valores iniciais (n0

g

e V 0g ) como mostra a Figura 6.22. Considerando fluxo isotérmico

(T (t)T 0 = 1

), a razão

(P (t)P 0

)obtida pela lei dos gases reais é dada por:

108


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0αl []

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

7

6

5

4

3

2

1

0

1

v l [

m/s

]

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

v g [

m/s

]

1e1

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

(c)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.998

1.000

1.002

1.004

1.006

1.008

1.010

P [

MPa]

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(d)

Figura 6.20: Teste de segregação composicional sem atrito. Soluções propostas (numérica e dereferência) para z0

C1= 0.3: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do

gás e (d) pressão

P (t)

P 0=Z(t)

Z0

ng(t)

n0g

V 0g

Vg(t), (6.1)

onde o sobrescrito 0 representa a condição inicial, Zg e Vg são o fator de compressibilidadee o volume do gás, respectivamente. No teste de segregação de fases imiscível, como nãoocorre troca de massa entre as fases, a pressão na região ocupada pelo gás mantém-se igual apressão inicial conforme a solução de referência, isto é,

(P (t)P 0

)= 1 (ver Figuras 5.9d, 5.10d,

5.11d, 5.13d e 5.14b). Por outro lado, no caso composicional, o número de mols e o volumedo gás diminuem ( ng(t)

n0g

< 1 e V 0g

Vg(t)> 1) e Z permanece constante, de modo que o produto(

ng(t)

n0g

V 0g

Vg(t)

)< 1, como mostra a Figura 6.22.

Finalmente, para demonstrar a convergência espacial da solução, é feito um teste de refina-mento de malha assumindo passo de tempo constante ∆t = 5× 10−4 s. A Figura 6.23 comparaas soluções numéricas e de referência no instante t = 0.45 s para simulações com 50, 100, 200 e

109


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0z C

12.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z C16

2.00E-01 s3.00E-01 s4.00E-01 s5.00E-01 s1.00E+00 s

(b)

Figura 6.21: Teste de segregação composicional sem atrito. Fração global em função do com-primento para z0

C1= 0.3: (a) C1 e (b) C16

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5t [min]

0.9992

0.9994

0.9996

0.9998

1.0000

1.0002

1.0004

1.0006

P P0, Z Z0, V

0 g Vg, ng

n0 g

P

P0 (Imiscível)

P

P0 (Composicional)

Z

Z0

V 0g

Vg

ng

n 0g

Figura 6.22: Teste de segregação composicional sem atrito. Gráfico de PP 0 , Z

Z0 , V0g

Vge ng

n0g

contrao tempo para z0

C1= 0.3

400 células. Nota-se que a solução numérica aumenta sua acurácia com refinamento da malha.Além disso, a Figura 6.23d mostra que independentemente do número de células, a soluçãonumérica não capturou corretamente o choque de pressão na interface que separa o líquido e aregião bifásica. Além disso, a pressão do choque oscila com o refinamento da malha (de modoanálogo ao observado na solução imiscível nas Figuras 5.12a, 5.12b e 5.12c).

6.5.2 Segregação de fases com atrito interfacial

Nesta simulação, o atrito interfacial e a equação balanço de energia são incluídos na simu-lação. O problema consiste em uma tubulação vertical de 500 m. No instante inicial, assume-selíquido e gás em repouso (vl = vg = 0 m/s ), pressão e temperatura variam de acordo como gradiente hidrostático e geotérmico, tendo como posição de referência as fronteiras superior

110


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0αl []

N = 50N = 100N = 200N = 400

Referência

(a)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

6

5

4

3

2

1

0

1

v l [

m/s

]

N = 50N = 100N = 200N = 400

Referência

(b)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

v g [

m/s

]

1e1

N = 50N = 100N = 200N = 400

Referência

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

(c)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x [m]

0.999

1.000

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

1.006

1.007

P [

MPa]

N = 50N = 100N = 200N = 400

Referência

(d)

Figura 6.23: Teste de segregação composicional sem atrito. Efeito do refinamento da malhaespacial para z0

C1= 0.3: (a) fração de líquido; (b) velocidade do líquido; (c) velocidade do gás

e (d) pressão

(x = L m) e inferior (x = 0 m) para pressão e temperatura, respectivamente; as frações mo-lares e volumétricas são obtidas de forma similar aos casos anteriores. Os demais parâmetrosda simulação são dados na Tabela 6.11. Os resultados foram obtidos utilizando uma malhacomputacional com 250 células (∆x = 2 m), passo de tempo de ∆t = 1.0 s com σ = 1.2.Além disso, o modelo de arraste do RELAP5 (discutido na seção 3.6.3) é usado para calcularo atrito interfacial MD

p nos padrões bolha e golfada considerando coeficiente de arrasto (CD)e diâmetro partícula (db) constantes iguais a 0.44 e 1.0 mm, respectivamente. O mapa verticalRELAP5 é usado para determinar as transições entre os padrões de escoamento.

111


Tabela 6.11: Teste de segregação composicional com atrito interfacial. Dados da coluna, fluido,temperatura e pressão de referência

Configuração do tubo Calor Fluido e composição

Comprimento (m) 500.0 C1 0.30Diâmetro (m) 0.073 C16 0.70Inclinação (°) 90Gradiente geotérmico gT (K/m) 0.02T referência (K) 325.15P referência (MPA) 1.0

No primeiro exemplo, assume-se escoamento adiabático sem transferência de calor por con-dução na direção axial. No segundo exemplo, a simulação é repetida considerando a transfe-rência de calor radial com coeficiente global de transferência de calor Ut igual a 10 W/m.K.As Figuras 6.24a e 6.24b mostram a evolução da fração de líquido e composição global do me-tano. No instante inicial, a coluna é toda bifásica, nos instantes seguintes (t = 501, t = 1000

e t = 2000 s) líquido e gás acumulam-se na parte inferior e superior do tubo, respectivamente.No instante t = 4000 s a fases encontram-se totalmente separadas com líquido ocupando cerca64 % do volume total da coluna (interface localizada na posição x = 320 m). Além disso, cercade 15 % encontra-se dissolvido no líquido no fundo da coluna, enquanto na região superior ogás é composto por aproximadamente 100 % de metano.

As velocidades do liquido e do gás em função do comprimento são apresentadas nas Figuras6.24c e 6.24d, respectivamente. Nota-se que a inclusão do atrito interfacial não elimina asoscilações nas velocidades nas interfaces que separam as regiões de fluxo monofásico líquido egás da região bifásica, conforme discutido anteriormente esta oscilação é causada pela mudançada discretização da célula devido ao desaparecimento de fases. Entretanto, o atrito interfacialreduz as velocidades de ascensão do gás e de queda do líquido, consequentemente, a soluçãopara a pressão é suave sem a ocorrência de choques na interface como mostra a Figura 6.24e.Além disso, a solução permanente para pressão coincide com a solução de referência obtidaassumindo gradiente hidrostático do líquido constante

O aumento da hidrostática com o acúmulo de líquido na região inferior pressuriza o gás naparte superior até que todo o líquido tenha sido segregado, consequentemente, a temperaturaaumenta na região monofásica de gás devido a compressão, enquanto na região inferior e in-termediaria a temperatura diminui com a posição devido expansão (redução da pressão) comomostra a Figura 6.24f. Além disso, a solução da temperatura no regime permanente (t = 4000

s) apresenta uma oscilação na posição da interface que separa as duas fases. Esta oscilação écausada pela interpolação linear na velocidade no centro da célula do termo de trabalho da forçapeso (último termo do lado direito da Eq. (4.28)), como as velocidades são aproximadamenteiguais zero a montante do fluxo e não nulas a jusante, isto faz com que a velocidade interpo-lada seja sempre diferente de zero, consequentemente, observa-se esta oscilação no perfil detemperatura.

112


0 100 200 300 400 500x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0αl []

0.00E+00 s5.01E+02 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s

(a)

0 100 200 300 400 500x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z C1

0.00E+00 s5.01E+02 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s

(b)

0 100 200 300 400 500x [m]

5

4

3

2

1

0

1

v l [

m/s

]

0.00E+00 s5.01E+02 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s

(c)

0 100 200 300 400 500x [m]

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

v g [

m/s

]

1e 1

0.00E+00 s5.01E+02 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s

(d)

0 100 200 300 400 500x [m]

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

P [

MPa]

0.00E+00 s5.01E+02 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s

Referência

(e)

0 100 200 300 400 500x [m]

310

315

320

325

330

335

340

345

T [

K]

0.00E+00 s5.01E+02 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s

(f)

Figura 6.24: Teste de segregação composicional com atrito interfacial adiabático. Soluçõesnuméricas: (a) fração de líquido; (b) composição global do C1; (c) velocidade do líquido, (d)velocidade do gás, (e) pressão e (d) temperatura

A Figura 6.25 compara os resultados da simulação com e sem o efeito do trabalho da força

113


peso (energia potencial) nos instantes t = 1000 e t = 4000 s. As Figuras 6.25a, 6.25b, 6.25ce 6.25d mostram que o trabalho da força peso tem influência significativa somente na soluçãopara o perfil de temperatura. O trabalho gerado pela força peso se reflete num aumento daenergia interna, como não existe perda por transferência de calor, a temperatura no fluido émaior quando o trabalho da força peso é considerado (ver Figura 6.25d). Note que a soluçãopara temperatura no regime permanente é suave livre de oscilações na interface.

0 100 200 300 400 500x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

αl []

1.00E+03 s1.00E+03 s (sem energia potencial)4.00E+03 s4.00E+03 s (sem energia potencial)

(a)

0 100 200 300 400 500x [m]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z C1


(b)

0 100 200 300 400 500x [m]

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

P [

MPa]


(c)

0 100 200 300 400 500x [m]

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35

3.40

3.45

T [

K]

1e2


(d)

Figura 6.25: Teste de segregação composicional com atrito interfacial adiabático. Comparaçãoentre a soluções numéricas com e sem o termo de energia potencial na equação de conservaçãode energia: (a) fração de líquido; (b) composição global do C1; (c) perfil de pressão e (d) perfilde temperatura

A Figura 6.26 mostra os resultados da simulação anterior quando o termo de transferência decalor na direção radial é incluído na simulação e o termo de trabalho da força peso é desprezado.As soluções da fração de líquido, da composição global do C1 e velocidades do líquido e do gásapresentam comportamento similar ao exemplo anterior. O gráfico da Figura 6.26b mostra queno regime transiente a temperatura aumenta na região de fluxo monofásico gás devido ao efeitoda compressão. Para tempos acima de 4000 s as fases encontram-se totalmente segregadas e

114


não ocorre variação nos perfis de pressão e de velocidades. Entretanto, os fluidos continuamrecebendo calor da formação até atingirem o regime permanente, na qual o perfil temperaturaapresenta um comportamento linear com a mesma inclinação do perfil da temperatura externa.Além disso, a solução numérica da pressão coincide com a solução de referência obtida assu-mindo gradiente hidrostático do líquido constante como mostra a Figura 6.26a. Finalmente, aFigura 6.26c mostra que no processo de segregação de fases ocorre variação da pressão com otempo. Sendo assim, o simulador de poço desenvolvido deve ser acoplado ao reservatório paraque uma análise mais realista de testes de formação seja possível.

0 100 200 300 400 500x [m]

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

P [

MPa]

0.00E+00 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s6.00E+03 s1.00E+04 s

Referência

(a)

0 100 200 300 400 500x [m]

312

314

316

318

320

322

324

T [

K]

0.00E+00 s1.00E+03 s2.00E+03 s4.00E+03 s6.00E+03 s1.00E+04 s

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45t [min]

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

P [

MPa]

WHPBHP

(c)

Figura 6.26: Teste de segregação composicional com atrito interfacial com transferência decalor sem o trabalho da força peso na equação de conservação de energia da total da mistura.Soluções numéricas: (a) pressão, (b) temperatura e (c) pressão no fundo (BHP) e no topo (WHP)em função do tempo

115

Capítulo 7

Considerações Finais

7.1 Conclusões

A formulação matemática para o modelo de dois fluidos considerando pressão única con-siste das equações de conservação de massa, momento e energia. O modelo é constituído de Nc

(número componentes) equações de conservação de massa, 2 equações de conservação de mo-mento (líquido e gás) e 1 equação de conservação de energia para a mistura. Além das equaçõesde conservação, o sistema de equações do modelo de dois fluidos inclui equações de restrições.

Neste trabalho foi desenvolvida uma solução numérica totalmente implícita para simulaçãodo escoamento bifásico transiente composicional concorrente e contracorrente em poços depetróleo. O sistema de equações governantes foi discretizado utilizando método dos volumesfinitos em um arranjo de malhas desencontradas e o esquema upwind é usado para interpolar amassa e quantidade movimento nas faces da células (principal e deslocada). O sistema algébriconão linear resultante da discretização foi linearizado através do método de Newton-Raphson.

A solução numérica para o modelo descrito acima foi verificada por meio simulações e com-paração dos resultados com problemas de referência da literatura com descontinuidades bruscas(escoamento bifásico com deslocamento da descontinuidade na fração volumétrica, teste da tor-neira e segregação gravitacional). Além disso, novas soluções de referência para o problemade segregação de fases foi proposto permitindo uma verificação detalhada da solução proposta.Estas soluções são válidas para qualquer fração de líquido inicial e incluem descontinuidadesem todas as variáveis do problema (pressão, velocidades e fração volumétrica).

Os resultados mostraram boa concordância entre as soluções numéricas e de referência parafração e velocidades do líquido, assim como para a velocidade do gás. Entretanto, embora osgradientes de pressão previstos pelas soluções de numéricas mostrarem excelente concordânciacom as soluções de referência, o simulador não capturou corretamente o choque de pressão nainterface que separa o líquido e a região bifásica. Embora, vários autores tenham demonstradoque as soluções numéricas para o problema de segregação sem atrito usando o “Modelo de DoisFluidos de Pressão Única” e a correção de pressão de Bestion concordam com a solução de refe-rência para fração e velocidade de líquido disponíveis na literatura, soluções de referência para

116

Capítulo 7-Considerações Finais

pressão não estavam disponíveis até momento. Portanto, prova de que o modelo mencionadoanteriormente é capaz de prever corretamente o choque de pressão nas soluções transientes nãofoi encontrada na literatura. Finalmente, foi observado que a inclusão do atrito interfacial deEvje, produz soluções numéricas sem oscilação e em concordância com a solução de referênciaproposta para o problema de segregação.

Nos testes de segregação composicional, o modelo proposto demonstrou a sua capacidadeem lidar com a transição de escoamento bifásico para escoamento monofásico líquido e gás(desaparecimento de fase). Os resultados obtidos nas simulações sem atrito com baixa mis-cibilidade mostraram excelente concordância com a solução de referência proposta, além dodesaparecimento de fases ser corretamente previsto. Entretanto, de forma similar ao modeloimiscível, a solução numérica composicional não capturou corretamente o choque na pressãona interface que separada o líquido e a região bifásica. Também foi observado que a transfe-rência de massa do gás para o líquido alterou os perfis de pressão na região monofásica gásem relação a solução de referência como consequência diminuição do número de mols da fasegás. No regime permanente, as soluções numéricas para pressão coincidem exatamente comsoluções de referência obtidas através do gradiente hidrostático do líquido considerando massaespecífica constante. No problema sem atrito, as soluções das velocidades, temperatura a fra-ção global mostram-se fisicamente consistente. Além disso, observou-se que quanto maior apressão no líquido, maior é a quantidade do componente leve (C1) dissolvido.

Os resultados obtidos no teste de despressurização de CO2 mostraram que a solução numé-rica proposta capturou com acurácia o fenômeno de propagação de ondas de choque e rarefaçãono perfis de pressão geradas pela mudança brusca na pressão num dos contornos. Finalmente, assoluções permanentes obtidas nos testes de produção foram satisfatoriamente verificadas com osimulador comercial PIPESIM. Adicionalmente, o simulador desenvolvido foi capaz de simu-lar um produção bifásica com e sem aparecimento de fases. Os modelos de tensão de tensãointerfacial “drift-flux” e “arraste” apresentaram resultados semelhantes. Além disso, a solu-ção proposta é livre oscilações numéricas no aparacimento de fases e também nas transiçõesde padrões de escoamento. Embora, as soluções transientes apresentadas nos testes de injeçãode CO2 e produção não terem sido comparadas com soluções de referência ou com simuladorcomercial, os resultados mostraram-se fisicamente consistentes.

7.2 Sugestões para trabalhos futuros

As sugestões para o desenvolvimento de trabalhos futuros considerando o tema abordadonesta tese são apresentadas a seguir:

1. Estender os testes de verificação do simulador proposto, incluindo a comparação com osimulador comercial transiente OLGA.

2. Investigar o problema de segregação de fases considerando outros modelos para o termode correção de pressão.

117

Capítulo 7-Considerações Finais

3. Incluir na discretização espacial um método alta ordem.

4. Propor uma solução totalmente implícita para o escoamento bifásico imiscível usandoo modelo de dois fluidos de duas pressões, incluindo uma equação de conservação deenergia para cada fase.

5. Estudar o problema de segregação de fases usando modelo de dois fluidos de duas pres-sões.

6. Estender a solução bifásica composicional para o escoamento trifásico (óleo, água e gás)através da inclusão de uma equação conservação de massa e quantidade de movimentopara fase aquosa (formulação multi-fluido).

7. Acoplar o simulador proposto com um simulador de reservatório para simulação de testesde poços com período de produção, fechamento (shut-in), injeção e fall-off.

118

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125

Apêndice A

Discretização das Equações Diferenciais

Neste apêndice, será apresentado o processo de discretização do sistema equações gover-nantes discutido na seção 4.3. O método dos volumes finitos é usado para discretização dasequações considerando o volume de controle discreto da Figura 4.1

A.1 Discretização da conservação de massa

Integrando a equação de balanço de massa do componente c (Eq. (3.50)) no volume decontrole principal (ver Figura (4.2)), no intervalo [t, t+ ∆t], tem-se:

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∂

∂t

(∑p

αpxc,pξp

)dV dt+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∂

∂x

(Np∑p=1

αpxc,pξpvp

)dV dt =

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

qnc,pdV dt (A.1)

Aplicando-se a regra de Leibniz e o teorema de Gauss na derivada temporal e espacial,respectivamente, obtemos:

t+∆t∫t

d

dt

∫∫∫V.C.

(∑p

αpxc,pξp

)dV dt+

t+∆t∫t

∫∫S.C.

∂

∂x

(Np∑p=1

αpxc,pξpvp

)· ~ndSdt =

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

qnc,pdV dt (A.2)

Resolvendo a integral do volume, tem-se:

126

Apêndice A- Discretização das Equações Diferenciais

t+∆t∫t

∂

∂t

∫∫∫V.C.

(∑p

αpxc,pξp

)Vkdt+

t+∆t∫t

( Np∑p=1

αpxc,pξpvp

)k+ 1

2

Ak+ 12

−

(Np∑p=1

αpxc,pξpvp

)k− 1

2

Ak− 12

dt =

t+∆t∫t

qnc,pVkdt (A.3)

Finalmente, aplicando o esquema implícito de Euler e substituindo Vk = (A∆x)k tem-se:

(A∆x)k∆t

∑p

[(αpxc,pξp)

n+1k − (αpxc,pξp)

nk

]+

∑p

[(Aαpxc,pξpvp)

n+1k+ 1

2− (Aαpxc,pξpvp)

n+1k− 1

2

]= (A∆x)k

(qnc,p

)n+1

k(A.4)

Similarmente, obtemos as equações de balanço de massa da mistura e da fase (modeloimiscível), escritas respectivamente como:

(A∆x)k∆t

Np∑p

( Nc∑c

αpxc,pξp

)n+1

k

−

(Nc∑c

αpxc,pξp

)n

k

+Ak+ 12

Np∑p

(Nc∑c

αpxc,pξp

)n+1

k

(vp)n+1k+ 1

2

− Ak− 12

Np∑p

(Nc∑c

αpxc,pξp

)n+1

k−1

(vp)n+1k− 1

2= (A∆x)k

Nc∑c

(qnc,p

)n+1

k. (A.5)

(A∆x)k∆t

[(αpρp)

n+1k − (αpρp)

nk

]+ Ak+ 1

2(αpρp)

n+1k+ 1

2(vp)

n+1k+ 1

2

−Ak− 12

(αpρp)n+1k− 1

2(vp)

n+1k− 1

2= 0, (A.6)

A.2 Discretização da quantidade de movimento

Integrando a equação de balanço de quantidade de movimento da fase (Eq. (3.52)) na malhadeslocada (Figura (4.2)), no intervalo [t, t+ ∆t], tem-se:

127


t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∂

∂t(αpρpvp) dV dt+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∂

∂x(αpρpvpvp) dV dt = −

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

αp∂P

∂xdV dt

−t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

αpρpg sin θdV dt−t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

τwpdV dt−t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∆Pi∂αp∂x

dV dt

+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

MpdV dt (A.7)

Aplicando-se a regra de Leibniz e o teorema de Gauss na derivada temporal e espacial,respectivamente, obtemos:

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∂

∂t(αpρpvp) dV dt+

t+∆t∫t

∫∫S.C.

(αpρpvpvp) · ~ndSdt = −t+∆t∫t

αp

∫∫S.C.

∂P

∂x· ~ndSdt

−t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

αpρpg sin θdV dt−t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

τwpdV dt−t+∆t∫t

∆Pi

∫∫S.C.

∂αp∂x· ~ndSdt

+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

MpdV dt (A.8)


t+∆t∫t

d

dt(αpρpvp)Vk+ 1

2dt+

t+∆t∫t

[(αpρpvpvp)k+1Ak+1 − (αpρpvpvp)k Ak

]dt =

−t+∆t∫t

(αp)k+ 12

(Pk+1 − Pk)Ak+ 12dt−

t+∆t∫t

αpρpg sin θVk+ 12dt

−t+∆t∫t

τwpVk+ 12dt−

t+∆t∫t

(∆Pi)k+ 12

[(αp)k+1 − (αp)k

]Ak+ 1

2dt+

t+∆t∫t

MpVk+ 12dt (A.9)

Aplicando o esquema implícito de Euler e substituindo Vk+ 12

= (A∆x)k+ 12, tem-se:

128


(A∆x)k+ 12

∆t

[(αpρpvp)

n+1k+ 1

2− (αpρpvp)

nk+ 1

2

]+ Ak+1 (αpρpvpvp)

n+1k+1 − Ak (αpρpvpvp)

n+1k =

− Ak+ 12

(αp)n+1k+ 1

2

[(P )n+1

k+1 − (P )n+1k

]− (A∆x)k+ 1

2(αpρpg sin θ)n+1

k+ 12− (A∆x)k+ 1

2(τwp)

n+1k+ 1

2

+ Ak+ 12

(∆Pi)n+1k+1

[(αp)

n+1k+1 − (αp)

n+1k

]+ (A∆x)k+ 1

2(Mp)

n+1k+ 1

2(A.10)

As discretizações dos termos de atrito e correção de pressão, são dadas respectivamente por:

(τwp)n+1k+ 1

2= −

[(Φp)

n+1k+ 1

2

]2 [(αp)

n+1k+ 1

2

]2

(fp)n+1k+ 1

2

(1

2D

)k+ 1

2

(vp)n+1k+ 1

2

∣∣∣(vp)n+1k+ 1

2

∣∣∣ . (A.11)

(∆Pi)n+1k+ 1

2= σk+ 1

2

(αlαgρlρgαlρg + αgρl

)n+1

k+ 12

[(vg)

n+1k+ 1

2− (vl)

n+1k+ 1

2

]2

(A.12)

Finalmente, a discretização do termo de atrito interfacial para os regimes dispersos (bolha,bolha dispersa, golfada e nevoeiro) e anular, é definida respectivamente por:

(Mg)n+1k+ 1

2= − (Ci)

n+1k+ 1

2(vR)n+1

k+ 12

∣∣∣(vR)n+1k+ 1

2

∣∣∣ , (A.13)

e,

(Mg)n+1k+ 1

2= − (fi)

n+1k+ 1

2

[(αg)

n+1k+ 1

2

] 12

(4

2D

)k+ 1

2

(ρg)n+1k+ 1

2(vg − vl)n+1

k+ 12

∣∣∣(vg − vl)n+1k+ 1

2

∣∣∣ . (A.14)

A.3 Discretização da conservação de energia

Integrando a equação de balanço de energia (Eq. (3.54)) usando a malha principal (verFigura (4.2)), no intervalo [t, t+ ∆t], tem-se:

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∂

∂t

[Np∑p

αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)− P

]dV dt

+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

∂

∂x

[Np∑p

αp

(ξphp +

1

2αpρpv

2p

)vp

]dV dt =

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

(Qx) dV dt

−t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

(Qw) dV dt+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

Np∑p

αpρpvpg sin θdV dt+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

qedV dt (A.15)

Aplicando-se a regra de Leibniz e o teorema de Gauss na derivada temporal e espacial (termoconvectivo)

129


t+∆t∫t

∂

∂t

∫∫∫V.C.

[Np∑p

αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)− P

]dV dt

+

t+∆t∫t

∫∫∫S.C.

[Np∑p

αp

(ξphp +

1

2αpρpv

2p

)vp

]· ~ndSdt =

t+∆t∫t

∫∫S.C.

(Qx) · ~ndSdt

−t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

(Qw) dV dt+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

Np∑p

αpρpvpg sin θdV dt+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

qedV dt (A.16)


t+∆t∫t

∂

∂t

[Np∑p

αp

(ξphp +

1

2ρpv

2p

)− P

]Vkdt+

t+∆t∫t

{Np∑p

[αp

(ξphp +

1

2αpρpv

2p

)vp

]k+ 1

2

Ak+ 12

Np∑p

[αp

(ξphp +

1

2αpρpv

2p

)vp

]k+ 1

2

Ak+ 12

}dt =

t+∆t∫t

Ak+ 12

(κm

∂T

∂x

)k+ 1

2

dt

−t+∆t∫t

Ak− 12

(κm

∂T

∂x

)k− 1

2

dt−t+∆t∫t

(Qw)k Vkdt+

t+∆t∫t

Np∑p

αpρpvpg sin θVkdt

+

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

qeVkdt (A.17)

Aplicando o esquema implícito de Euler e substituindo Vk+ 12

= (A∆x)k+ 12, tem-se:

(A∆x)k∆t

∑p

(αp)n+1k

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)n+1

k

−∑p

[(αp)

nk

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)n

k

]+ Ak+ 1

2

∑p

[αp

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)vp

]n+1

k+ 12

− Ak− 12

∑p

[αp

(ξphp + ρp

(vp)2

2

)]n+1

k− 12

=

(A∆x)k∆t

(P n+1k − P n

k

)+ (A)k+ 1

2(Qx)

n+1k+ 1

2− (A)k− 1

2(Qx)

n+1k− 1

2− (A∆x)k (Qw)n+1

k

− (A∆x)k∑p

[αpρpgvp]n+1k + (A∆x)k (qe)

n+1k , (A.18)

onde a discretização do termo de transferência de calor na direção axial (Qx)n+1k± 1

2é dada por

(Qx)n+1k± 1

2= ± (κm)n+1

k+ 12

(T n+1k±1 − T

n+1k

)∆xk± 1

2

. (A.19)

130


Finalmente, a discretização do termo de transferência de calor na direção radial é dada por

(Qw)n+1k =

2π (rto)k (Ut)n+1k

[T n+1k − (Te)k

](A∆x)k

. (A.20)

A.4 Discretização das equações de restrição

Integrando a equação de equilíbrio termodinâmico (Eq. (3.56)) na malha principal (verFigura (4.2)), no intervalo [t, t+ ∆t], tem-se:

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

fc,ldV dt =

t+∆t∫t

∫∫∫V.C.

fc,gdV dt (A.21)

Resolvendo a integral do volume em seguida aplicando o esquema implícito de Euler,obtém-se:

(fc,l)n+1k = (fc,g)

n+1k (A.22)

Analogamente, são obtidas as equações de restrição da soma das frações molares e volumé-tricas, escritas respectivamente como:

Nc∑c

(xc,p)n+1k = 1, (A.23)

Np∑p

(αp)n+1k = 1. (A.24)

131

Apêndice B

Modelo Termodinâmico

Neste capítulo, são apresentadas os modelos termodinâmicos: equação de estado, propri-edades físicas dos fluidos e cálculo de equilíbrio termodinâmico estabilidade e flash bifásico,adotados nesta tese.

B.1 Equação de Estado

Uma equação de estado volumétrica fornece uma relação entre a pressão, temperatura e ovolume de um fluido. Uma equação bastante conhecida é a lei de gases perfeitos, dada por

PV = nRT, (B.1)

onde n é o número de mols, P, V e T são a pressão, o volume e a temperatura, respectivamente.R é a constante universal dos gases, neste trabalho é adotado R = 8.31144621 J/mol.K.

Este modelo torna-se impreciso para altas pressões e baixas temperaturas, quando as forçasmoleculares e o tamanho da molécula tornam-se importantes. Além disso, o modelo de gásideal não permite a transição de fases. Portanto, não é adequado para representar uma misturade hidrocarbonetos, já que estes possuem moléculas e interações intermoleculares mais com-plexas. Dessa forma, tornou-se necessário o uso de equações de estado mais avançadas, comoas equações de estado cúbicas (EOS).

As EOS cúbicas foram desenvolvidas para representar as propriedades de componentes pu-ros. Entretanto, podem ser usadas sem a perda de informação para uma mistura de componentesutilizando uma regra de mistura (DANESH, 1998). van der Waals desenvolveu uma das primei-ras equações cúbicas a partir da lei de gases perfeitos através da inclusão de dois parâmetrosatração e repulsão intermolecular. Apesar de pouco acurada, o modelo de van der Waals tornou-se a base para o desenvolvimento de equações mais acuradas como a EOS de Peng–Robinson(PR), Redlich–Kwong (RK), e Redlich–Kwong–Soave (RKS) bastante utilizadas na área depetróleo (CHEN, 2007).

132

Apêndice B- Modelo Termodinâmico

De forma genérica, uma EOS cúbica pode ser escrita como

P =RT

v − b−∆ (B.2)

onde v é volume molar e b é a constante de van der Waals. Na Eq. (B.2), o primeiro e o segundotermo do lado direito, representam os termos repulsivo e atrativo, respectivamente. Na TabelaB.1, são apresentadas as definições de ∆ para EOS de van der Waals, RK, RKS e PR.

Tabela B.1: Parâmetro ∆ para diferentes EOS (DANESH, 1998; SANDLER, 2006)

EOS Ano ∆van der Waals 1873 a

v2

Redlich–Kwong (RK) 1949 aT−12

v(v+b)

Redlich–Kwong–Soave (RKS) 1972 aθ(T )v(v+b)

Peng–Robinson (PR) 1976 aθ(T )v(v+b)+b(v−b)

Os parâmetros a e b são definidos como função da temperatura (Tc) e pressão critica (Pc)

do componente, isto é:

a = 0.45724R2T 2

c

Pc(B.3)

b = 0.07780RTcPc

(B.4)

O parâmetro θ(T ) expressa a dependência de a com a temperatura, depende da equação deestado. Para a EOS de PR, θ(T ) é dado por,

√θ (T ) =

{1 +m

(1−

√T

Tc

)}, (B.5)

onde m é definido como:

m =

0.3764 + 1.54226ωc − 0.26992ω2c , seωc ≤ 0.491

0.379642 + 1.48503ωc − 0.1644ω2c + 0.01667ω3

c , seωc > 0.491(B.6)

onde ωc é o fator acêntrico de uma substância pura. Para uma mistura multicomponente, utiliza-se uma regra de mistura do tipo van der Waals (DANESH, 1998):

ap =Nc∑i=1

Nc∑j=1

xi,pxj,pai,j, p = l, g (B.7)

ai,j =√aiaj (1− δij) , (B.8)

133


bp =Nc∑i=1

xi,pbi, p = l, g. (B.9)

onde δij é o parâmetro de interação binário, fisicamente pode ser interpretado como um termode correção da interação entre moléculas de diferentes tamanhos (DANESH, 1998).

B.2 Propriedades Físicas dos Fluidos

B.2.1 Massa específica

A massa específica de um fluido utilizando a lei de gases reais é dada por

ρp =pMWp

ZpRT, (B.10)

onde MWp é a massa molecular da fase p e Zp é fator de compressibilidade, definido como

Zp =Pv

RT. (B.11)

A massa específica molar é definida como sendo a razão entre a massa específica e a massamolecular, ou seja:

ξp =ρp

MWp

=p

ZpRT. (B.12)

Substituindo Zp (Eq. (B.11)) na EOS de PR, obtém-se a seguinte equação cúbica:

Z3p + (B − 1)Z2

p +(A− 3B2 − 2B

)Zp +

(−AB +B2 +B3

)= 0 (B.13)

onde A e B são dados por:

A =apP

(RT )2 (B.14)

B =bpP

RT(B.15)

O polinômio da Eq. (B.13) pode apresentar até três raízes reais positivas. Em geral, quandoisso ocorre a raiz intermediária é descartada, a menor representa o fator de compressibilidadedo líquido (Zl) e o maior representa o fator de compressibilidade do vapor (Zg) (DANESH,1998) .

B.2.2 Entalpia

A variação de entalpia de uma substância pura é definida por Sandler (2006) como

134


dhc,p = CpdT +

[v − T

(dv

dT

)P

]dP, (B.16)

onde Cp = Cp (P, T ) é capacidade calorífica da fase p.Assumindo capacidade calorífica de um gás ideal e integrando a Eq. (B.16) a partir de um

estado inicial (P1, T1) até o estado final (P2, T2) considerando dois processos isotérmicos e umprocesso isobárico, ou seja, (P1, T1)→ (P = 0, T1)→ (P = 0, T2)→ (P2, T2), tem-se:

∆hc,p =

P=0, T1∫P1, T1

[v − T

(dv

dT

)P

]dP +

P=0, T2∫P=0, T1

C∗pdT +

P2, T2∫P=0, T2

[v − T

(dv

dT

)P

]dP, (B.17)

onde C∗p denota a capacidade calorífica de um gás ideal, isto é, C∗p = Cp (T ).Sabendo que: (

∂v

∂T

)P

(∂P

∂v

)T

(∂T

∂P

)v

= −1, (B.18)

(∂v

∂T

)P

dP |T = −(∂P

∂T

)v

dv|T , (B.19)

dP =1

vd (Pv)− P

vdv. (B.20)

Substituindo as equações acima na Eq. (B.17), considerando a condição de gás ideal para oestado inicial (P1 = 0, T1), onde v →∞ quando P = 0, obtém-se:

∆hc,p =

RT1∫P1v1

d (Pv) +

v=∞∫v1

[T

(∂P

∂T

)v

− P]T1

dv +

T2∫T1

C∗p (T ) dT

+

P2v2∫RT2

d (Pv) +

v2∫v=∞

[T

(∂P

∂T

)v

− P]T2

dv, (B.21)

ou ainda considerando a entalpia numa condição qualquer (P = P2, T = T2)

hc,p = RT (Zp − 1) +

T∫T1

C∗pdT +

v=v(P, T )∫v=∞

[T

(∂P

∂T

)v

− P]T

dv. (B.22)

Assumindo temperatura de referência igual ao zero absoluto, valor mínimo para entropia dosistema, T1 = 0 K. Utilizando a EOS de PR para calcular o termo

(∂P∂T

)v, obtém-se:

hc,p = hIGc,p +RT (Zp − 1) +T ∂ap∂T− ap

2√

2bpln

[Zp +

(1 +√

2)B

Zp +(1−√

2)B

], (B.23)

135


onde hIGc,p é a entalpia molar do componente c na condição de um gás ideal, a qual pode aproxi-mada por polinômio do quinto grau, escrito como:

hIGc,p = a0 + a1T + a2T2 + a3T

3 + a4T4 + a5T

5, (B.24)

onde os coeficientes ai dependem das características do componente.Para um sistema multicomponente, a entalpia da fase é calculada utilizando uma regra de

mistura, ou seja,

hp =∑c

xc,phc,p. (B.25)

B.2.3 Fração global

A fração global zc representa a fração que o componente ocupa no volume e controle, sendodefinida como:

zc =

∑p αpxc,pξp∑p αpξp

. (B.26)

B.2.4 Fugacidade

Fugacidade, fc,p, é uma propriedade termodinâmica que expressa a quantidade que umfluido qualquer desvia-se do comportamento de um gás ideal. Para uma mistura multicom-ponente, a fugacidade de um componente segundo Sandler (2006) é definida como,

ln(fc,pxc,pP

)=

1

RT

vp=ZpRT

P∫vp=∞

[RT

vp− nc

(∂P

∂nc

)T, vp,ni 6=c

]dvp − ln (Zp) , (B.27)

onde ni refere-se ao número de mols dos demais componentes, exceto o componente c. Resol-vendo a integral utilizando a EOS de PR, tem-se:

ln(fc,pxc,pP

)=bcbp

(Zp − 1)− ln (Zp −B)

− A

2√

2B

[∂ap∂xc,p

1

ap− bcbp

]ln

[Zp +

(1 +√

2)B

Zp +(1−√

2)B

]. (B.28)

O logaritmando do lado esquerdo da Eq. 136 é denominado de coeficiente de fugacidade,

φc,p =fc,pxc,pP

. (B.29)

136


Para baixas pressões quando P → 0, φc,p = 1, nesse caso o fluido possui um comportamentode gás ideal.

B.2.5 Tensão superficial

A tensão superficial entre o líquido e o vapor é determinado pela correlação de Macleod(1923 apud CMG, 2010). Para um componente puro esta correlação é dada por

σc = 10−3 [parc (ξl − ξg)]4 , (B.30)

onde ξl e ξg são as massas específicas molares do líquido e do vapor, respectivamente; parcéo parâmetro parachor do componente c; σc possui unidade de [N/m]. Para uma mistura multi-componente, a tensão superficial líquido-vapor (σlg) é obtida através de uma regra de mistura,ou seja:

σlg = 10−3

[∑c

parc (xc,lξl − xc,gξg)

]4

(B.31)

B.2.6 Viscosidade

A correlação de Lohrenz-Bray-Clark (LBC) (LOHRENZ et al., 1964) é usada para calculara viscosidade dos fluidos µp. Para um componente puro, a viscosidade pode ser calculada pelacorrelação de Jossi et al. (1962),

[(µc − µ0

c

)ξvc + 1.

]1/4= 1.0230 + 0.23364ρr + 0.58533ρ2

r−0.40758ρ3r + 0.093324ρ4

r (B.32)

onde µ0c é a viscosidade do componente puro à baixas pressões, possui unidade de [µP ] sendo

definido pela Eq. (B.33), ρr é a massa específica reduzida definida pela Eq (B.34) e ξvc é umparâmetro de ajuste dado pela Eq. (B.35), o qual possui unidades do inverso da viscosidade(µP )−1.

µ0cξvc =

[0.807T 0.618

r − 0.357 exp (−0.449Tr) + 0.340 exp (−4.058Tr) + 0.018]F 0pF

0Q

(B.33)

ρr =ρ

ρc(B.34)

ξvc = 0.176

(Tc

MW 3c P

4c

)1/6

(B.35)

Na Eq. (B.33) os fatores de correção F 0p e F 0

Q são considerados iguais a 1.Para uma mistura de componentes a viscosidade µp do modelo LBC é expressa por

137


[(µp − µ0

p

)ξvp + 1.

]1/4= 1.0230 + 0.23364ρr,p + 0.58533ρ2

r,p − 0.40758ρ3r,p + 0.093324ρ4

r,p

(B.36)onde µ0

p é a viscosidade da fase a baixas pressões, ρr,p é a massa específica reduzida e ξvp é oparâmetro de ajuste da fase, são obtidos através das seguintes regras de mistura:

µ0p =

(∑c

xc,pµ0c

√MWc

)(∑c

xc,p√MWc

)−1

(B.37)

ρr,p = ξp

[∑c

xc,pvαrpc

]1/αrp

(B.38)

ξvp =

(∑c

xc,pTc

)1/6(∑c

xc,pMWc

)−1/2(∑c

xc,pPc

)−2/3

(B.39)

onde vc é o volume crítico e αrp é fator de correção, neste trabalho foi considerado αrp = 1.

B.2.7 Condutividade térmica

A determinação da condutividade térmica dos fluidos κp em (W/m.K) é obtida através dacorrelação de Roy e Thodos (1968) definida como:

(κp − κ0

p

)ΥpZ

5cp = 0.0122 [exp (0.535ρr,p)− 1.000] , ρr,p < 0.5(

κp − κ0p

)ΥpZ

5cp = 0.0114 [exp (0.670ρr,p)− 1.069] , 0.5 ≤ ρr,p ≤ 2.0(

κp − κ0p

)ΥpZ

5cp = 0.00260 [exp (1.155ρr,p) + 2.016] , 2.0 < ρr,p

(B.40)

onde ρr,p é a massa específica reduzida da fase dada pela Eq. (B.38). O termo Υp é um parâme-tro de ajuste do modelo de Roy e Thodos (1968) e Zcp é a compressibilidade crítica da fase p,são calculados através das seguintes expressões:

Υp = 210

(∑c

xc,pTc

)1/6(∑c

xc,pMWc

)−1/2(∑c

xc,pPc

)−2/3

, (B.41)

Zcp = 0.291− 0.08

(∑c

xc,pωc

), (B.42)

Na Eq. (B.40), κ0p é a condutividade térmica da fase a baixas pressões, a qual é obtida por

meio da seguinte regra de mistura (POLING et al., 2001):

κ0p =

Nc∑i=1

xi,pκ0i

(Nc∑j=1

xj,pAi,j

)−1

(B.43)

138


onde Ai,j é dado por:

Ai,j =

1 , i = j

1.065

[1 +

(κ0iκ0j

)1/2 (Mi

Mj

)1/4]2 [

8(

1 + Mi

Mj

)]−1/2

, i 6= j(B.44)

B.3 Equilíbrio Termodinâmico

O equilíbrio termodinâmico determina o estado de um sistema sob dadas condições de pres-são e temperatura. Para um sistema multicomponentes, o equilíbrio de fases pode determinadoatravés do conceito de energia livre e Gibbs (SANDLER, 2006).

A energia livre de Gibbs é uma propriedade termodinâmica dependente da pressão, tempe-ratura e do número de moles de um componente, G = G (P, T, nc). Para um sistema aberto,onde uma fase representa um meio homogêneo, com troca de massa na fronteira do sistema(DANESH, 1998), a variação da energia de Gibbs é definida como,

dG = −SdT + V dp+Nc∑c=1

µcdnc, (B.45)

onde µc é chamado de potencial químico de um componente, o qual representa a energia deparcial de Gibbs definido por:

µc =

(∂G

∂nc

)T, P, ni6=c

. (B.46)

Para um sistema um fechado formado por mais de uma (Np > 1), assumindo pressão etemperatura uniformes, a energia de Gibbs total é dada pelo somatório da energia de cada fase.A partir da definição da Eq. (B.45), o equilíbrio termodinâmico ocorrerá quando a energia livrede Gibbs for mínima, isto é:

dG =

Np∑p=1

dGp = 0. (B.47)

Assumindo como desprezível a troca de massa e de energia devido as reações químicas, oequilíbrio termodinâmico pode ser definido em termos da igualdade do potencial químico doscomponentes em cada fase do sistema, isto é:

µc,1 = µc,2 = · · ·µc,Np c = 1, 2, ..., Nc p = 1, 2, ..., Np (B.48)

É possível escrever a relação de igualde dos potenciais químicos do componentes em termosdas fugacidades através de seguinte expressão:

µc − µ0c = RT ln

(fcf 0c

), c = 1, 2, ..., Nc, p = 1, 2, ..., Np (B.49)

139


onde µ0c e f 0

c denotam o potencial químico e a fugacidade do componente c da fase de referência,respectivamente. Escrevendo a Eq. (B.49) para todas as fases do sistema assumindo a mesmatemperatura para o estado de referência, obtém-se a equação de equilíbrio termodinâmico emtermos das fugacidades

f 1c = f 2

c = · · · fNpc c = 1, 2, ..., Nc, p = 1, 2, ..., Np. (B.50)

Para um sistema bifásico líquido (l) e vapor (g), o equilíbrio termodinâmico é dado por

fc,l = fc,g c = 1, 2, ..., Nc. (B.51)

B.3.1 Cálculo de estabilidade termodinâmica

Um teste de estabilidade termodinâmica consiste em determinar se uma célula monofásicaa uma dada pressão, temperatura e composição irá se manter como monofásica, ou se ocorreráo aparacimento de uma nova fase no sistema.

Michelsen (1982a), Michelsen (1982b) e propôs um algoritmo prático para determinar aestabilidade de uma mistura de componentes. Segundo Sandler (2006), a estabilidade de umamistura é inversamente proporcional a energia livre de Gibbs, ou seja, a configuração maisestável é a que minimiza a energia de Gibbs. O método proposto Michelsen (1982a), Michelsen(1982b) consiste em avaliar os valores da função definida por

F (x1, ..., xNc) =Nc∑c=1

xc [µc (x1, ..., xNc)− µc (z1, ..., zNc)] . (B.52)

A Eq. (B.52) mede a diferença entre o plano tangente da energia de Gibbs como função dacomposição original, zc, em relação à energia de Gibbs em uma nova xc (nova fase hipotética).O sistema é estável se F (x1, ..., xNc) ≥ 0 para todas as composições xc. Matematicamente,este critério pode ser escrito em termos dos coeficientes de fugacidade,

ln [Yc(xc)] + ln [φc(xc)]− ln [φc(zc)]− ln(zc) = 0, (B.53)

onde φc(zc) e φc(xc) são as coeficientes da fugacidade do componente c da fase existente e danova fase (fase hipotética testada), respectivamente. O termo Yc é denominado de coeficientede estabilidade, é definido como

Yc = xc exp

[µc(zc)− µc(xc)

RT

]. (B.54)

A solução do sistema não linear formado pelas Eqs. (B.53) - (B.54), para c = 1, 2, ..., Nc

fornece Yc. Este sistema pode ser resolvido através dos métodos de substituição sucessiva ouNewton-Rapshon. Assim, uma célula é estável se

140


Nc∑c=1

Yc ≤ 1, (B.55)

caso contrário, a fase testada é instável, ou seja, surge uma nova fase no sistema.O sistema é escrito na forma:

Y v+1c = exp {ln [φvc(zc)] + ln(zc)− ln [φvc(xc)]} , (B.56)

onde v é o número de iterações do método iterativo.A composição da fase hipotética é obtida por:

xc =Y νc∑Nc

c=1 Yvc

. (B.57)

Estimativa inicial para Y v=0c é obtida por:Y v=0c = zcKc, se a fase testada for líquida

Y v=0c = zc/Kc, se a fase testada for vapor

, (B.58)

onde Kc é o coeficiente de distribuição ou coeficiente de equilíbrio do componente definidocomo

Kc =xc,vxc,l

, c = 1, 2, .., Nc. (B.59)

Uma estimativa inicial para Kc pode ser obtida empiricamente através da correlação deWilson (DANESH, 1998), dada por

Kc =PcP

exp

[5.37 (1 + ωc)

(1− Tc

T

)], (B.60)

onde Pc, Tc e ωc denotam, respectivamente, a pressão crítica, temperatura crítica e fator acên-trico do componente.

O algoritmo de substituição sucessiva utilizado nesta tese:

1. Estimar Y v=0c usando a Eq. (B.58).

2. Calcular a composição da fase hipotética xc usando a Eq. (B.57).

3. Calcular Y v+1c usando a Eq. (B.56).

4. Comparar ‖Y v+1c − Y v

c ‖∞ ≤ ε. Se a solução não convergiu, retornar ao passo 2 comY vc = Y v+1

c , repetir o processo até que a tolerância seja alcançada ou enquanto númerode iterações for menor do que o número máximo de iterações (v < vmax) .

5. Verificar a estabilidade (Eq. (B.55)) e atualizar a condição de estabilidade da célula mo-nofásica.

141


B.3.2 Flash bifásico

A análise de estabilidade consiste em verificar se uma célula monofásica é estável ou ins-tável. Se a célula é instável, ocorre o aparecimento de fase no sistema, portanto é necessárioexecutar uma rotina flash bifásica para determinar o número de moles e frações molares doscomponentes em cada fase (CHEN, 2007).

O cálculo flash consiste em determinar as frações molares xc,p distribuídas nas fases líquidoe vapor dada a pressão, temperatura e a fração global de cada componente.

No equilíbrio líquido-vapor, o balanço molar por fase e componente do sistema são respec-tivamente, escritos como:

n = nl + ng, (B.61)

nzc = nlxc,l + ngxc,g, (B.62)

onde n é o número de moles total. A fração molar do líquido L é definida como

L =ngn, (B.63)

Substituindo a Eq. (B.63) na Eq. (B.62), obtém-se:

zc = Lxc,l + (1− L)xc,g (B.64)

Escrevendo a Eq. (B.64) em termos de xc,l e utilizando a definição deKc Eq. (B.64), tem-se:

xc,l =zc

L+ (1− L)Kc

(B.65)

A partir da equação de restrição da soma das frações molares (Eq. (3.57)), tem-se:

Nc∑c=1

(xc,g − xc,l) = 0. (B.66)

Substituindo as Eqs. (B.65) e (B.59) na Eq. (B.66), obtém-se:

Nc∑c=1

zc (Kc − 1)

L+ (1− L)Kc

= 0. (B.67)

A Eq. (B.67) é conhecida como equação de Rachford-Rice (DANESH, 1998). As equa-ções de equilíbrio termodinâmico (Eq. (B.51)) em conjunto com a equação de Rachford-Riceformam um sistema não linear composto composto por Nc + 1 equações e Nc + 1 incógni-tas [K1, K2, ..., KNc , L]. Este sistema pode ser resolvido através dos métodos de substituiçãosucessiva ou Newton-Rapshon. Segundo Chen (2007) o método substituição sucessiva é maisrobusto do o método de Newton. Entretanto, apresenta um maior número de iterações paraatingir a convergência. O método de Newton apresenta menor número de iterações, porém é

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necessário um bom chute inicial, especialmente próximo aos pontos críticos.Em simulação de reservatórios é comum a utilização de um procedimento misto utilizando a

substituição sucessiva e o Newton. Inicialmente o flash é iniciado com a substituição sucessiva,após algumas iterações o resultado é utilizado como chute inicial do Newton. O objetivo éobter um chute inicial mais próximo da solução para melhorar a convergência do Newton. Casoa convergência não seja alcançada com Newton, a rotina retorna para o método de substituiçãosucessiva.

Nesta trabalho, adota-se o método substituição sucessiva para o cálculo flash.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ......Modelo de dois fluidos - Tese. 5. Problema de segregação de fases - Tese. I. Santos, Adriano dos. II. Pires, Adolfo Puime. III