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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
LUANNA PRISCILA DA SILVA GOMES
Introdução à álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental: uma análise a
partir da Teoria da Objetivação
NATAL - RN
2020
LUANNA PRISCILA DA SILVA GOMES
Introdução à álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental: uma
análise a partir da Teoria da Objetivação
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para a obtenção do título de Doutora em Educação.
Orientadora: Profª Drª Claudianny Amorim Noronha. Coorientador: Prof. Dr. Luís Radford.
NATAL - RN
2020
Dedico este trabalho à Maria de Lourdes, minha mãe, maior parceira e amiga.
AGRADECIMENTOS
Nesta seção, faço menção principalmente às pessoas que contribuíram
diretamente na produção desta tese. Foi um percurso longo e difícil. No caminho, tive
a oportunidade de conviver com diversos amigos que indiretamente ajudaram a tornar
o trajeto mais leve, agradeço a cada um deles pela parceria e amizade! Contudo,
quero registrar aqui as parcerias acadêmicas, ou seja, aqueles que estiveram ao meu
lado nas discussões sobre a tese, nas leituras dos textos, nas traduções, nos
momentos de empolgação com a pesquisa e nas horas de desânimo, foram essas
parcerias que me deram força nos inúmeros momentos em que pensei em desistir.
A palavra parceria significa um agrupamento de pessoas que desejam
alcançar um mesmo objetivo, uma companhia. No decurso, Deus foi o meu maior
parceiro. Gratidão ao Senhor pela vida e por ter me escolhido para brilhar e abençoar
outras vidas, gratidão por fazer algo tão grande que só posso dizer: isto só pode ser
coisa de Deus! Que a finalização deste doutorado seja para demonstrar a Sua
bondade e o quanto vale a pena crer, lutar, agir e confiar em Ti. A Deus a minha mais
profunda Gratidão!
Sou grata à minha melhor amiga, meu amor, meu tudo, minha vida: minha
mãe, Lourdes! Só nós duas sabemos verdadeiramente o alto preço que paguei para
finalizar o doutorado. As horas de estudo, os momentos de desespero, os medos, as
angústias, os choros, as alegrias. Obrigada por tudo! Você sempre foi minha maior e
melhor parceria. Mãe, desde o início, tudo que fiz foi pensando na senhora, pois minha
maior alegria é te alegrar!
Agradeço também aos meus familiares, em especial, minha irmã Cinthia,
meus sobrinhos Raphael e Leonardo e minha Tia Vera que, por diversas vezes, me
acolheu em sua casa com tanto amor.
Gratidão ao meu melhor amigo, meu tradutor oficial de textos, meu principal
parceiro e interlocutor: meu namorado Celso Filho. Obrigada por me ouvir, me amar,
me fazer compreender quem eu sou e o quanto sou capaz. Você me entende e me
conhece até melhor do que eu mesma! Gratidão por tornar a minha vida melhor e mais
feliz!
Agradeço à parceira, amiga, professora e orientadora Claudianny Noronha.
São quase 10 anos ao seu lado. Desde o início você enxergou em mim um potencial
que eu não sabia que tinha. Obrigada pela confiança! Você me desafia, me acolhe,
me ensina, me faz refletir, me maximiza, me levanta. Sua crença no meu potencial me
desafia a manifestar o melhor que há em mim. Nossa conexão me instiga, você é
minha inspiração! Sou grata por sua vida!
Sou muito grata à professora Tatyana Mabel pela parceria desde a graduação
em Pedagogia. Sua empatia, amizade, sabedoria, humanidade e acolhimento me
fascinam.
Gratidão ao Grupo Contar e a todos os seus membros pelos 10 anos de
aprendizagem, em especial Lucila Leite e Jussara Paiva. A palavra que mais define
o meu encantamento pelo Grupo Contar, suas temáticas, discussões e amizades
obtidas ao longo de tantos anos é felicidade. Sim, o Contar é um grupo feliz! O Contar
me faz feliz! Obrigada!
Agradeço à minha parceira acadêmica Mayara Larrys. Minha amiga, você é
tão incrível! Obrigada por me ensinar, me ouvir e me ajudar. Você é uma grande
referência para mim!
Gratidão às amigas que me acompanham desde a graduação: Simone Leite
e Danielle Oliveira. Obrigada por me incentivarem e por acreditarem em mim,
sempre!
Muita gratidão ao professor Luís Radford por me apresentar uma matemática
que considera os sujeitos integralmente. Obrigada pelas orientações, cavalheirismo e
pela ilustre presença na defesa do doutorado.
Agradeço ao querido professor Rodolfo Vergel por me receber e me acolher
na Colômbia, na Universidade Distrital Francisco José de Caldas. Gratidão pelas
discussões, orientações e amizade.
Aos professores que participaram da qualificação doutoral: Halana Garcez e
Pedro Franco Sá. Obrigada pelas ricas contribuições! À professora Bernadete Morey
por me ajudar na finalização da tese.
Aos professores que se disponibilizaram a contribuir na minha defesa: Halana
Garcez, Bernadete Morey, Luís Radford, Pedro Sá, Vanessa Moretti, Tatyana
Mabel e Fábio Alves. Muito obrigada!
Agradeço ao Núcleo de Educação da Infância (NEI-CAp-UFRN), sua equipe
gestora e todos os que fazem o NEI, obrigada pela parceria.
À Capes, pelo apoio no projeto “Linguagem e desenvolvimento sustentável:
integrando Ciências, Língua Portuguesa e Matemática” (Edital 049/2012).
Ao Programa de Pós-Graduação em Educação da UFRN e todos os seus
membros pela parceria.
Por fim, gratidão aos meus alunos em 2017 e 2018, sujeitos desta pesquisa.
Obrigada por tantos aprendizados! Agradeço também aos pais e responsáveis que
permitiram a participação das crianças na presente investigação.
RESUMO
A proposição desta investigação ocorre no contexto cultural brasileiro onde o ensino-aprendizagem sistemático da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental foi orientado de modo específico a partir da aprovação da Base Nacional Comum Curricular, no final de 2017. Assim, por ser uma demanda recente, verificamos, por meio de um levantamento realizado em materiais didáticos, em portais de periódicos e em documentos oficiais, orientações incipientes, principalmente no que concerne a abordagem da álgebra com foco na função do símbolo de igualdade em sentenças matemáticas com um termo desconhecido. No percurso investigativo, para conhecer, aprender e investigar o ensino-aprendizagem sistemático da álgebra nos anos iniciais, optamos por seguir a perspectiva sociocultural da Teoria da Objetivação, que considera o pensamento como forma de agir e refletir sobre o mundo. Para a referida Teoria, o pensamento algébrico é baseado em três vetores: a indeterminação, isto é, a presença do termo desconhecido e o tratamento dado a ele em situações matemáticas; a expressão semiótica, constituída no reconhecimento e referência ao indeterminado e a analiticidade, que consiste na operação dedutiva com o desconhecido. Desse modo, o objetivo geral da pesquisa é caracterizar, a partir da Teoria da Objetivação, estratégias de pensamento demonstradas por crianças 4º e 5º ano do Ensino Fundamental do Núcleo de Educação da Infância – Colégio de Aplicação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, no processo de introdução da álgebra, em tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido. Nesse sentido, como objetivo específico nos propomos a analisar indícios dos três vetores característicos do pensamento algébrico (analiticidade, expressão semiótica e indeterminação) nas estratégias de pensamento suscitadas pelas crianças. A pesquisa se delineia como qualitativa do tipo descritiva e interpretativa com o método de análise multisemiótico ou multimodal, característico da Teoria da Objetivação. Nossas análises sinalizam que, no processo de introdução à álgebra, as estratégias demonstradas pelas crianças evidenciam a presença latente da proto-analiticidade como uma característica que compõe esse processo. Ainda concluímos, a partir da análise das estratégias de pensamento demonstradas pelas crianças que: o pensamento algébrico apresenta uma ruptura ao pensamento aritmético, essa diferenciação pode ser demonstrada pela dificuldade das crianças em operar com o desconhecido; o emprego de estratégias aritméticas refinadas e o uso das propriedades de operações matemáticas colaboram no desenvolvimento e estruturação do pensamento algébrico; o pensamento aritmético ou algébrico pode ser expresso de múltiplos modos, por isso, é preciso proporcionar liberdade para as crianças resolverem problemas ao seu modo, bem como valorizar suas estratégias. Palavras-chave: Pensamento algébrico. Anos iniciais do Ensino Fundamental. Teoria da Objetivação.
ABSTRACT
The purpose of this investigation occurs in the Brazilian cultural context where the systematic teaching-learning of algebra in the early years of elementary school was specifically oriented after the approval of the Common National Curricular Base, at the end of 2017. Thus, as it is a recent demand, we verified, by means of a survey carried out on didactic materials, on portals of journals and on official documents, incipient orientations, especially with regard to the approach of algebra with a focus on the function of the equality symbol in sentences mathematics with an unknown term. In the investigative path, to know, learn and investigate the systematic teaching-learning of algebra in the early years, we chose to follow the socio-cultural perspective of the Theory of Objectivation, which considers thought as a way of acting and reflecting on the world. For that theory, algebraic thinking is based on three vectors: indeterminacy, that is, the presence of the unknown term and the treatment given to it in mathematical situations; the semiotic expression, constituted in the recognition and reference to the indeterminate and the analyticity, which consists of the deductive operation with the unknown. So, the general objective of the research is to characterize, based on the Theory of Objectification, thinking strategies demonstrated by 4th and 5th grade children of Elementary Education at the Center for Childhood Education - Application College of the Federal University of Rio Grande do Norte, in process of introducing algebra, in tasks that address mathematical sentences in which one of the terms is unknown. In this sense, as a specific objective we propose to analyze evidence of the three characteristic vectors of algebraic thinking (analyticity, semiotic expression and indeterminacy) in the thinking strategies raised by children. The research is outlined as qualitative of the descriptive and interpretive type with the method of multisemiotic or multimodal analysis, the Theory of Objectification characteristic. Our analyses indicate that, in the process of introducing algebra, the strategies demonstrated by children show the latent presence of proto-analyticity as a characteristic that makes up this process. We also conclude, from the analysis of the thinking strategies demonstrated by the children that: algebraic thinking presents a break with arithmetic thinking, this differentiation can be demonstrated by the difficulty of children in operating with the unknown; the use of refined arithmetic strategies and the use of mathematical operations properties collaborate in the development and structuring of algebraic thinking; algebraic and / or arithmetic thinking can be expressed in multiple ways, so it is necessary to provide freedom for children to solve problems in their own way, as well as to value their strategies. Keywords: Algebraic thinking. Early years of elementary school. Objectification Theory.
RESUMEN
La presentación de esta investigación ocurre en un contexto cultural brasileño donde el enseñaza-apredizaje sistemático de la álgebra en los años iniciales de la enseñaza primária se ha orientado de manera específica, a partir de la aprobación de la Base Nacional Comum Curricular, a finales de 2017. Así que, por tratarse de una demanda reciente, se observa por medio de una encuesta dirigida a los materiales de aprendizaje, en las páginas de los periódicos y en los documentos oficiales, orientaciones todavía muy iniciales, sobre todo en lo que se refiere a la aproximación de la álgebra, con un enfoque en función del signo de igualdad, en las sentencias de las matemáticas, con un término desconocido. En el curso de investigación, para conocer, aprender e investigar en la enseñanza y el aprendizaje sistemático de la álgebra en los primeros años, se optó por seguir con la perspectiva socio-cultural de la Teoría de la Objetivación que considera el pensamiento como una forma de actuar y de reflexionar sobre el mundo. Para esa Teoría, el pensamiento algebraico se basa en três vías: la indeterminación, esto es, la presencia de un término desconocido, y el tratamiento que se da en situaciones en las matemáticas; la expresión de la semiótica que consta en el reconocimiento, y la referencia a un desconocido y a la analiticidad, que consiste en una operación deductiva, con el desconocido. Así, el objetivo general de la investigación es caracterizar, a partir de la Teoría de la Objetivación, las estrategias de pensamiento demostradas por los niños de 4° y 5° año de Educación básica del centro de Educación Infantil del Colegio de la Aplicación de la Universidad Federal de Rio Grande do Norte, en el proceso de introducción de la álgebra en las tareas que se refieren a resoluciones de las matemáticas, en las que uno de los términos es desconocido. En este sentido, y como objetivo específico, se propone analizar los indicios de que los tres vectores característicos del pensamiento algebraico (analiticidad, la expresión de la semiótica y la indeterminación) en las estrategias de pensamiento que surjan por parte de los niños. Esa investigación se plantea como cualitativa, de tipo descriptivo e interpretativo, con el método de análisis multisemiótico o multimodal de la Teoría de la Objetivación. Nuestros análisis indican que, en el curso de introducción a la algebra, las estrategias mostradas por los niños, pone de manifiesto la presencia de la proto-analiticidad como una de las características que componen este proceso. Aunque a la conclusion de que, a partir del análisis de las estrategias de pensamiento demostradas por los niños en los que: el pensamiento algebraico presenta una ruptura con el pensamiento aritmético, esta distinción puede ser demostrada a través de la dificultad de los niños para operar con lo desconocido; el empleo de estrategias aritméticas refinado y el uso de las propiedades de las operaciones matemáticas colaboran en el desarrollo y estruturación del pensamiento algebraico; el pensamiento algebraico y/o de la aritmética se puede expresar de varias maneras, por lo tanto, es necesario proporcionar la libertad a los niños a resolver problemas, a su manera, así como valorar las posibles estrategias.
Palabras clave: Pensamiento algebraico. Educación básica primaria. La teoría de la Objetivación.
LISTA DE IMAGENS
Figura 1 – Exemplo de tarefa da coleção 1 ............................................................... 39 Figura 2 – Proposta de livro didático com a balança de dois pratos ......................... 39 Figura 3 – Tarefa com o termo desconhecido da coleção 2 ...................................... 40 Figura 4 – Exemplo de tarefa da coleção 3 ............................................................... 40 Figura 5 – Exemplo de tarefa da 4ª coleção .............................................................. 41 Figura 6 – Tarefa da coleção 5 .................................................................................. 42 Figura 7– Representação do movimento de atualização do saber em conhecimento, por meio da atividade ................................................................................................ 75 Figura 8 – Processo dialético de ensino-aprendizagem na atividade ........................ 77 Figura 9 – Estrutura pedagógica da atividade ........................................................... 78 Figura 10 – Dinâmica pedagógica da atividade na perspectiva da TO ..................... 80 Figura 11 – Esquema do pensamento relacional ...................................................... 83 Figura 12 - Registro de alunos sobre o significado do símbolo de igualdade.......... 101 Figura 13 – Registro da sessão 4 ............................................................................ 103 Figura 14 - Gesto indicador do uso da operação inversa ........................................ 111 Figura 15 – Gesto indicando a operação inversa .................................................... 112 Figura 16 – Registro escrito do aluno CC....................................................... .........112 Figura 17 – Situação matemática e resolução do grupo ......................................... 116 Figura 18 – Situação (? + 12 = 16) apresentada no início da sessão 7 ................. 122 Figura 19 – Demonstração de peças do dominó de letras e números .................... 126 Figura 20 – Estratégia utilizada no dominó de letras e números pela aluna LC ...... 127 Figura 21– Estratégia utilizada pela aluna IN .......................................................... 130
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Objetivos de aprendizagem da álgebra no documento orientador do PNAIC .................................................................................................................................. 33 Quadro 2 – Habilidades para a unidade temática álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental na última versão na BNCC .................................................................. 36 Quadro 3 – Objetivos observados nos livros didáticos e utilizados na elaboração de nossas tarefas ........................................................................................................... 38 Quadro 4 – Primeira etapa do Processo de consultas por assunto ao Portal de Periódicos Capes ...................................................................................................... 45 Quadro 5 – Pesquisas sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental no Encontro Nacional de Educação Matemática ............................................................ 51 Quadro 6 – Trabalhos identificados que utilizam a TO .............................................. 62 Quadro 7 – Textos de autoria de Luís Radford mais citados em pesquisas acadêmicas .................................................................................................................................. 64 Quadro 8 – Palavras-chave que sintetizam aspectos da fundamentação, da metodologia e os principais conceitos da Teoria da Objetivação .............................. 65 Quadro 9 – Publicações de Luís Radford que tenham o termo álgebra/algébrico no título .......................................................................................................................... 66 Quadro 10 – Pensamento aritmético e algébrico ...................................................... 84 Quadro 11 – Síntese - Vetores do pensamento algébrico segundo Radford (2010) . 85 Quadro 12 – Exemplo de resolução algébrica ........................................................... 88 Quadro 13 – Síntese das sessões 1, 2 e 3.............................................................. 100 Quadro 14 – Síntese das sessões 4 e 5.................................................................. 102 Quadro 15 – Síntese das sessões com jogos ......................................................... 104 Quadro 16 – Modelo organizador da transcrição .................................................... 107 Quadro 17- Vetores e indícios do pensamento algébrico no episódio de análise 1 114 Quadro 18 – Vetores e indícios do pensamento algébrico no episódio de análise 2 ................................................................................................................................ 119 Quadro 19 – Vetores e indícios do pensamento algébrico da aluna MT ................. 124 Quadro 20 – Vetores e indícios de aproximação ao pensamento algébrico da aluna LC ............................................................................................................................ 128 Quadro 21 – Vetores do pensamento algébrico da aluna IN ................................... 131
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte
RN – Rio Grande do Norte
TO – Teoria da Objetivação
NEI – Núcleo de Educação da Infância
CAp – Colégio de Aplicação
BNCC – Base Nacional Comum Curricular
MEC – Ministério da Educação
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD – Programa Nacional do Livro e do Material Didático
PNAIC – Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa
ENEM – Encontro Nacional de Educação Matemática
SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática
TCLE – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
TALE – Termo de Assentimento Livre e Esclarecido
GLD – Guia do Livro Didático
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 17
1.1 Especificidades e objetivos da investigação ........................................................ 21
2 O ENSINO-APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PESQUISAS E ORIENTAÇÕES CURRICULARES ........................................................................... 26
2.1. A álgebra nos anos iniciais: orientações de documentos oficiais ....................... 27
2.1.2 A álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental .................................................................... 29
2.1.3 Álgebra no documento “Elementos Conceituais e Metodológicos para a definição dos Direitos de Aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de alfabetização do Ensino Fundamental”. ................................................................................................... …….32
2.1.4 A álgebra no documento da Base Nacional Comum Curricular ....................... 34
2.1.5 A álgebra no Guia do Livro Didático de matemática – anos iniciais (2019) e em livros didáticos do 4º e 5º ano ................................................................................... 37
2.2. Estado da arte .................................................................................................... 42
2.2.1 Estado da Arte – álgebra nos anos iniciais – periódicos .................................. 44
2.2.2 Estado da arte – álgebra nos anos iniciais: Encontro Nacional de Educação Matemática…. ........................................................................................................... 50
2.3 Estado da arte - equivalência e símbolo de igualdade nos anos iniciais: portal de periódicos…… ........................................................................................................... 58
2.4 Estado da Arte da Teoria da Objetivação ............................................................ 61
3 TEORIA DA OBJETIVAÇÃO E OS CONCEITOS DE ATIVIDADE, SABER, CONHECIMENTO E ENSINO-APRENDIZAGEM ..................................................... 69
3.1 Atividade: um conceito central para a Teoria da Objetivação .............................. 71
3.2 Saber e conhecimento......................................................................................... 74
3.3 Processo de ensino-aprendizagem ..................................................................... 76
3.4 Especificidades pedagógicas do processo de ensino-aprendizagem em nossa investigação .............................................................................................................. 78
4 O PENSAMENTO ALGÉBRICO NA PERSPECTIVA DA TEORIA DA OBJETIVAÇÃO ......................................................................................................... 82
4.1 A analiticidade ..................................................................................................... 86
4.2 Indeterminação .................................................................................................... 89
4.3 Expressão semiótica ........................................................................................... 91
5 DESENHO DA INVESTIGAÇÃO ............................................................................ 93
5.1 O lócus e sujeitos da investigação ...................................................................... 96
5.2 Organização das sessões e informações ........................................................... 97
5.3 Caracterização das tarefas .................................................................................. 99
5.4 Processo de constituição dos dados e especificidades da análise ................... 105
6 ANÁLISE MULTIMODAL DE TAREFAS .............................................................. 109
6.1 Episódio de análise 1 - o emprego de estratégias aritméticas no processo de introdução à álgebra ................................................................................................ 110
6.2 Episódio de análise 2 - o termo desconhecido no processo de introdução à álgebra ................................................................................................................................ 115
6.3 Episódio de análise 3 - a proto-analiticidade no processo de introdução à álgebra ................................................................................................................................ 120
6.4 Episódio de análise 4 - a operação com o indeterminado no processo de introdução à álgebra ................................................................................................................. 126
6.5 Episódio de análise 5 - indícios da ruptura entre aritmética e álgebra no processo de introdução à álgebra ........................................................................................... 130
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 133
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 138
APÊNDICES ............................................................................................................ 150
17
1 INTRODUÇÃO1
Uma tese não é uma produção estritamente pessoal, ela se constitui em face
de um percurso histórico que envolve aspectos pessoais, profissionais e acadêmicos.
Assim, neste capítulo introdutório, apresento inquietações suscitadas desde a
graduação em Pedagogia, que justificam a escolha do estudo acerca da álgebra nos
anos iniciais do Ensino Fundamental.
Por se tratar de um estudo que envolve o ensino-aprendizagem2 da
matemática, inicialmente, esclareço minha concepção de Educação Matemática,
proposta por Luís Radford3 (2017a), o autor
Considera o objetivo da Educação Matemática como um esforço dinâmico, político, social, histórico, cultural, que busca a criação dialética de sujeitos reflexivos e éticos que se posicionam criticamente em práticas e discursos matemáticos constituídos histórico e culturalmente, discursos e práticas em constante evolução4 (RADFORD, 2017a, p. 97, tradução nossa)
Assim, a concepção de Educação Matemática adotada nesta tese é de uma
matemática que não se detém ao que é meramente cognitivo, individual, simbólico e
abstrato. Mas de uma matemática formativa, que contribua no desenvolvimento
integral dos sujeitos.
No trajeto de aprender como fazer/ser uma professora que preza por uma
Educação Matemática formativa, como graduanda de pedagogia, iniciei minha
participação no Grupo de Pesquisa e Ensino em Matemática e Língua Portuguesa –
1 Na contextualização da trajetória como pesquisadora e docente, utilizamos a primeira 1ª do singular. A partir do ponto 1.1 tratamos sobre as especificidades da investigação, assim, utilizamos a 1ª pessoa do plural.
2 Consideramos o ensino e a aprendizagem como um processo único, que não pode ser separado
(RADFORD, 2017a, 2017b, 2017c), por isso, no decorrer do trabalho utilizamos o termo “ensino-aprendizagem”.
3 Luís Radford é autor da Teoria da Objetivação e nosso coorientador. É um teórico sociocultural,
baseado na escola de pensamento histórico-cultural de Lev Vygotsky e na epistemologia de Evald Ilyenkov, a partir das quais desenvolve a Teoria da Objetivação. Professor da Faculdade de Educação da Université Laurentienne, em Sudbury, Ontário, Canadá. Atualmente, é vice-presidente da Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI). Fonte: Noronha e Barbosa (2018, p. 312). Para maiores informações sobre o pesquisador, acessar: < http://luisradford.ca/>.
4 Texto original: “La teoría de la objetivación considera la meta de la educación matemática como un esfuerzo dinámico, político, social, histórico y cultural que busca la creación dialéctica de sujetos refexivos y éticos que se posicionan críticamente en discursos y prácticas matemáticas que se constituyen histórica y culturalmente, discursos y prácticas que están en permanente evolución”.
18
CONTAR, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), em meados de
2009. O Grupo possui duas linhas de pesquisa, a primeira trata sobre linguagens e
integração nas diferentes áreas de conhecimento. A segunda se refere a políticas
públicas de leitura e formação de professores. Em face disso, iniciei a trajetória de
pesquisadora no final da graduação.
A pesquisa de conclusão de curso sobre a produção de textos nas diferentes
áreas de conhecimento por meio da análise do Parâmetros Curriculares Nacionais,
sob a orientação da professora Doutora Tatyana Mabel Nobre Barbosa, em 2010, deu
início a uma investigação que valoriza o conhecimento, a análise de documentos
oficiais que repercutem diretamente nas práticas de sala de aula e a integração das
diferentes áreas por meio do estudo da linguagem.
Buscando um aprofundamento dessa perspectiva, cursei especialização na
UFRN em Teorias e Estudos sobre a linguagem. Contudo, me chamou atenção o foco
dos estudos em leitura, escrita e gêneros do discurso voltados predominantemente
para a área da língua portuguesa. Assim, a monografia e os estudos do curso de
especialização fomentaram um olhar investigativo e crítico sobre a matemática e a
linguagem como interação, bem como a valorização do conhecimento acerca das
políticas públicas e documentos parametrizadores que balizam o cotidiano escolar.
No âmbito profissional, como professora da rede privada e em seguida como
docente da rede pública Estadual do Rio Grande do Norte, me questionava acerca da
relação matemática e linguagem. Nesse sentido, a continuidade no Grupo Contar
possibilitou a realização de estudos teóricos e vivências acadêmicas que se
desdobraram na prática como professora do Estado. Por isso, no mestrado, sob
orientação da professora Doutora Claudianny Amorim Noronha, tratei sobre o
letramento matemático e realizei um projeto de letramento que tinha como
fundamentação a perspectiva de uma educação crítica e emancipatória (GOMES,
2015).
No mestrado, na busca de contribuir com a aprendizagem das crianças,
realizei uma pesquisa-ação com alunos do 3º ano do Ensino Fundamental na turma
em que atuava como professora efetiva da Rede Pública Estadual/RN com foco no
letramento matemático. A dissertação (GOMES, 2015) promoveu o aprofundamento
em uma perspectiva pedagógica do letramento (KLEIMAN, 1995) que concebe os
alunos como agentes e não meros participantes, onde o ensino-aprendizagem é um
processo colaborativo e situado sócio e historicamente.
19
Nesse percurso, o envolvimento em um grupo de pesquisa possibilitou a
conexão do âmbito acadêmico com o profissional, posto que, além das publicações
científicas, organização de eventos e reuniões de estudo me vinculei, inicialmente,
como bolsista-professora da rede pública no projeto da Coordenação de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), intitulado “Leitura e escrita:
recortes inter e multidisciplinares no ensino de Matemática e Português” (Edital
038/2010), vinculado ao Observatório da Educação. Posteriormente, me vinculei ao
projeto “Linguagem e desenvolvimento sustentável: integrando Ciências, Língua
Portuguesa e Matemática” (Edital 049/2012).
Contudo, profissionalmente percebia a necessidade de me aprofundar ainda
mais nos estudos específicos da matemática, posto que, no âmbito pessoal, desde
criança, sentia dificuldade na referida disciplina e, ao me tornar professora de crianças
e pesquisadora, conheci uma matemática instigante, que me despertou prazer e
curiosidade, experiência formativa relatada em Gomes (2014).
Desta maneira, me aprofundar na matemática se configuraria como um
desafio pessoal, profissional e acadêmico, porém, necessário para uma melhor
atuação como professora da rede pública. Por isso, as leituras suscitadas no Grupo
Contar acerca das políticas públicas e seus documentos regulamentadores,
(BARBOSA; NORONHA, 2014; ARAÚJO; BARBOSA, 2014), a participação em
eventos científicos e a publicação de artigos, a escrita da monografia, com foco nas
orientações sobre a produção de textos nos Parâmetros Curriculares Nacionais das
diferentes áreas do Ensino Fundamental (GOMES, 2010), além dos estudos
realizados no âmbito do Contar com pesquisas de análise direta em livros e materiais
didáticos (LEITE; BARBOSA, 2014; NORONHA, 2012), bem como a dissertação
(GOMES, 2015) com foco no letramento matemático representam uma busca
constante, como professora-pesquisadora, em contribuir para uma educação pública
de qualidade, em razão de que os estudos do Grupo enfatizam materiais e temáticas
que repercutem na rotina escolar.
Desde o início da vida profissional, compreendi que esse movimento
colaborativo para uma educação pública qualitativa se constituía no posicionamento
de professor reflexivo, que almeja a melhoria da prática de sala de aula, como também
no posicionamento crítico a respeito de documentos e políticas públicas e na
divulgação das considerações produzidas coletivamente no Grupo de pesquisa, por
meio da publicação de artigos em eventos científicos e na ministração de cursos de
20
formação continuada para professores da rede pública. As ações de ensino, pesquisa
e extensão realizadas como membro do Contar e docente da Rede Estadual foram
ampliadas posteriormente com a posse, em 2017, como professora efetiva do Colégio
de Aplicação da UFRN, o Núcleo de Educação da Infância (NEI-CAp-UFRN).
Após a imersão, no mestrado, em uma perspectiva de educação que valoriza
a cultura e o pensamento crítico proposta por Freire (1987). No movimento contínuo
de ensinar-aprender a ser professora-pesquisadora, conheci a Teoria da Objetivação
(TO). A TO propõe uma educação que se coaduna com os Estudos do letramento em
aspectos que envolvem a noção de sujeito, trabalho colaborativo e conhecimento
como forma de agir criticamente.
Radford, idealizador da TO, enfatiza que o encontro com o saber ocorre na
atividade, denominada por ele de labor conjunto, num processo de cooperação em
que professor e aluno são agentes culturais. O referido autor também destaca a
relação da linguagem, política e alteridade no campo da matemática (RADFORD,
2018d) ao preconizar que a fala e o pensamento são formas de agir sobre o mundo.
Nesse processo de aprofundamento, no âmbito do Grupo Contar, a respeito
da linguagem matemática e da investigação em materiais didáticos e documentos de
orientação curricular que são utilizados em práticas escolares, me deparei com uma
nova demanda para o pedagogo: a inserção da álgebra como um eixo de ensino para
os anos iniciais do Ensino Fundamental, no documento normativo da Base Nacional
Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2017).
A BNCC orienta práticas pedagógicas desde sua aprovação pelo Ministério
da Educação brasileiro, no final de 2017. Os livros didáticos, por exemplo, são um dos
instrumentos mais utilizados pelo professor no cotidiano escolar (PEREZ, 2016), a
produção dos mesmos e de outros materiais didáticos é realizada a partir das recentes
orientações da BNCC. A Base indica o uso de sentenças matemáticas com a presença
de uma incógnita (termo desconhecido) como parte do eixo que pretende desenvolver
o pensamento algébrico.
Radford (2011) elucida que, em 1997, houve uma mudança nos documentos
de orientação curricular em Ontário/Canadá, com a inserção de um campo de estudo
sistemático sobre a álgebra e os processos de padronização. Com isso,
questionamentos a respeito do que seria inerente da álgebra e da aritmética foram
suscitados. Semelhantemente, a alteração curricular normativa no Brasil também
gerou inquietações sobre o novo campo da matemática, denominada pela BNCC de
21
álgebra. Então, a discussão referente à álgebra no Ensino fundamental é uma
temática atual, abordada à nível nacional, em âmbitos municipais, estaduais e
federais, uma vez que a Base Nacional Comum Curricular, aprovada em dezembro
de 2017, indica o fomento sistemático ao desenvolvimento do pensamento algébrico
com crianças a partir dos 6 anos de idade, ou seja, desde o 1º ano do Ensino
Fundamental.
Com base no exposto, me questionei sobre as especificidades do pensamento
algébrico, posto que, situações algébricas, no senso comum, são concebidas a partir
da presença de uma incógnita, denominada pela BNCC de termo desconhecido.
Assim, me indaguei sobre como se caracterizariam, a partir dos estudos socioculturais
da TO, estratégias de pensamento suscitadas pelas crianças ao lidarem com
sentenças matemáticas com a presença de um termo desconhecido, conforme
orientado pela Base. Tal questionamento é pertinente à medida que o foco do Ensino
Fundamental, até então,era o trabalho com números conhecidos.
Em suma, os estudos com foco nas políticas públicas no Grupo Contar, a
inserção da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental na BNCC, a perspectiva
defendida pela TO de pensamento como uma forma de agir e refletir sobre e no
mundo, e a atuação em pesquisa, ensino e extensão como docente em cursos de
formação continuada, bem como em turmas de 4º e 5º ano do Ensino Fundamental
no Núcleo de Educação de Infância, Colégio de Aplicação da UFRN me levaram ao
seguinte questionamento: no processo de introdução à álgebra, o que caracteriza, a
partir da TO, as estratégias de pensamento suscitadas por crianças do 4º e 5º ano do
Ensino Fundamental do NEI/CAp-UFRN, em tarefas que abordam sentenças
matemáticas em que um dos termos é desconhecido?
1.1 Especificidades e objetivos da investigação
Após a exposição do percurso investigativo, apresentamos o objetivo geral
da pesquisa que consiste em caracterizar, a partir da Teoria da Objetivação,
estratégias de pensamento demonstradas por crianças 4º e 5º ano do Ensino
Fundamental do NEI/CAP-UFRN, no processo de introdução da álgebra, em tarefas
que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido. Nesse
sentido, como objetivo específico nos propomos a analisar indícios dos três vetores
característicos do pensamento algébrico (analiticidade, expressão semiótica e
22
indeterminação) nas estratégias de pensamento suscitadas pelas crianças. À vista
disso, nesta tese de doutorado, temos como objeto de estudo características do
pensamento algébrico nas estratégias de pensamento demonstradas pelas crianças
do 4º e 5º ano do NEI/CAp-UFRN, no processo de resolução de tarefas introdutórias
da álgebra.
A investigação se desenvolveu com base na perspectiva da TO acerca do
pensamento algébrico (RADFORD, 2010, 2013, 2018a) assim, para nós, pensar
algebricamente ocorre com a presença de três vetores:
(1) Indeterminação: a indeterminação diz respeito ao uso de termos
desconhecidos em uma sentença matemática
(2) Expressão semiótica: A indeterminação deve ser reconhecida e nomeada
por meio dos diferentes meios semióticos
(3) Analiticidade: Ação de agir de modo analítico-dedutivo com o
indeterminado como se o mesmo fosse determinado
Além disso, nos baseamos na Teoria da Objetivação, principalmente no que
diz respeito à organização estrutural de nossa intervenção, no que concerne ao papel
ativo e colaborativo de cada participante e na análise das tarefas. Assim como
apresentado por Bednarz, Radford, Janvier e Lepage (1992), nosso intuito não se
deteve ao simbolismo matemático e sim em compreender e caracterizar o modo como
as crianças resolvem sentenças com a presença de um termo desconhecido. Os
autores reiteram que são poucas as investigações que focam na análise da maneira
como crianças resolvem problemas matemáticos.
Esclarecemos que em nossa investigação, concebemos a atividade como
nossa unidade de análise, posto que, para a TO, é pela e na atividade que o sujeito
encontra e se familiariza com o saber algébrico. Assim, organizamos nossa atividade
em 10 sessões com alunos do NEI/CAp-UFRN. Em cada sessão realizamos tarefas,
que consistiam em problematizações orais ou escritas na perspectiva da introdução à
álgebra. Em suma, as tarefas compunham a atividade.
A pesquisa se delineia como qualitativa (LUDKÉ; ANDRÉ, 1986) do tipo
descritiva e interpretativa (VERGEL, 2016a) com o método de análise multisemiótico
ou multimodal, característico da TO (RADFORD; SABENA, 2015; RADFORD, 2015;
RADFORD et al., 2017; VERGEL, 2014).
Por nos basearmos na Teoria da Objetivação, nosso objeto de análise
metodológico foi a atividade, que, conforme já elucidado, aconteceu em 10 sessões
com a turma em que atuávamos como professora titular, em 2017 – 4º ano (3
23
sessões) e em 2018 – 5º ano (7 sessões) no Núcleo de Educação da Infância –
Colégio de Aplicação da UFRN. Assim, realizamos uma apreciação multimodal da
atividade (RADFORD; EDWARDS; ARZARELLO, 2009; RADFORD, 2006c), posto
que o pensamento pode se manifestar de múltiplos modos.
A organização da intervenção se baseou na estrutura defendida por Radford
(2015), contudo, o perfil das tarefas aplicadas se justificam a partir de orientações
presentes na BNCC (BRASIL, 2017) para o 4º e 5º ano e de materiais de orientação
ao professor como Van de Walle (2009), Smole e Diniz (2016) e Souza, Silva e Rufino
(2004), dentre outros. Considerando que o ensino-aprendizagem sistemático da
álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental ainda é muito recente no Brasil,
optamos por seguir, inicialmente, as orientações da Base quanto ao trabalho com o
símbolo de igualdade no 4º e 5º ano, já que éramos professora dessas turmas. Nossa
preocupação não consistiu em atender criteriosamente o que diz a BNCC, mas por
ser algo incipiente no país, nosso foco se deu em conhecer, aprender e investigar a
estratégia indicada principalmente por esse documento para o trabalho de introdução
à álgebra, à medida que materiais didáticos estão sendo produzidos a partir das
orientações da Base.
No que concerne à organização do trabalho, ele se divide em 7 capítulos. Na
Introdução (capítulo 1), apresentamos as características gerais da investigação.
Assim, explicitamos a justificativa, problemática, as motivações de estudo e nosso
percurso como professora-pesquisadora atuante em escola pública e participante do
grupo de pesquisa em ensino de Matemática e Língua Portuguesa – CONTAR, da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Abordamos a questão de estudo, objetivos gerais e específicos de nossa
investigação e apresentação sintética da pesquisa em seus aspectos teóricos e
metodológicos. No 1º capítulo, apresentamos reflexões sobre a nova demanda a nível
nacional para professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental: o ensino
sistemático da álgebra. Esclarecemos que, em nossa investigação, buscamos
aprofundar e problematizar o que seria o pensamento algébrico e como ele se
caracteriza, afinal, no senso comum, há a ideia e disseminação de que o trabalho com
a álgebra se baseia principalmente na presença de um termo desconhecido
(incógnita).
24
No capítulo 2 apresentamos investigações que tratam acerca da álgebra nos
anos iniciais do Ensino Fundamental. O levantamento foi realizado em documentos
parametrizadores, em portais de periódicos e em eventos de Educação matemática.
Verificamos também como livros didáticos recém aprovados pelo Ministério da
educação brasileiro apresentam tarefas com foco no símbolo de igualdade e o termo
desconhecido. No mesmo capítulo, descrevemos uma sondagem de trabalhos
acadêmicos que tratam específicamente sobre o símbolo de igualdade como noção
de equivalencia algébrica. E ainda compartilhamos a investigação sobre o
pensamento algébrico na perspectiva da Teoria da Objetivação.
No capítulo 3, tratamos a respeito da Teoria da Objetivação e dos conceitos
de atividade (labor conjunto), saber, conhecimento e processo de ensino-
aprendizagem. No capítulo 4, discutimos o pensamento algébrico na perspectiva da
TO. No 5º capítulo, abordamos o desenho da investigação, que são os aspectos
metodológicos e sua organização. No 6º capítulo, descrevemos, interpretamos e
analisamos tarefas realizadas com nossos alunos do 4º e 5º ano do NEI/CAp-UFRN.
O 7º capítulo traz uma síntese dos resultados, desdobramentos, dificuldades,
contribuições e considerações finais da pesquisa.
A referida investigação foi produzida e organizada com o intuito de
defendermos a tese de que, na introdução à álgebra, a partir da abordagem da Teoria
da Objetivação, a proto-analiticidade se constitui como uma característica do processo
pedagógico de introdução à algebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
A proto-analiticidade, definição proposta por nós, se configura como uma
aproximação à principal característica do pensamento algébrico – a analiticidade
(RADFORD, 2018a). O pensamento analítico designa 1) a ação com um número
indeterminado como se ele fosse determinado 2) tal operação é baseada em
premissas dedutivas, ou seja, em uma sucessão de certezas. Assim, quando uma
criança opera ora com uma característica da analiticidade ora com outra, afirmamos
que há uma proto-analicidade.
Por ser uma demanda recente para o pedagogo atuante em escolas no Brasil,
pretendemos, com o estudo específico da álgebra, contribuir com as práticas
pedagógicas e esclarecer, a partir do que defende a Teoria da Objetivação, o que é e
como se caracteriza a álgebra e o pensamento algébrico.
Nacarato, Mengali e Passos (2009) reiteram a dificuldade do pedagogo em
ensinar matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. As autoras destacam
25
que é um “desafio ensinar o que nem sempre se aprendeu” (NACARATO; MENGALI;
PASSOS, 2009, p. 15), posto que, em algumas ocasiões, a falta de uma formação
sólida faz com que professores reproduzam o modo como foram ensinados no período
de escolarização, com destaque a procedimentos e regras simbólicas. Isso ocorre
justamente porque muitas vezes a formação inicial não garante uma fundamentação
sólida no que concerne à didática e ao conteúdo da matemática.
Em face disso, aspiramos valorizar e compreender as estratégias de
pensamento utilizadas pelas crianças e colaborar com o entendimento do que é a
álgebra e como se caracteriza o pensamento algébrico no processo de introdução à
álgebra, na perspectiva da TO, frente a um público de professores graduados em
Pedagogia, que de acordo com Nacarato, Mengali e Passos (2009) e reiterado por
nós em Gomes (2014), apresentam dificuldades, sentimentos, crenças e
representações negativas quanto aos conteúdos, procedimentos e natureza da
matemática.
26
2 O ENSINO-APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PESQUISAS
E ORIENTAÇÕES CURRICULARES
Este capítulo apresenta abordagens sobre o ensino-aprendizagem da álgebra
nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Inicialmente, fizemos um levantamento no
conteúdo de documentos oficiais do Ministério da Educação brasileiro acerca da
temática, priorizando aqueles que orientam as práticas escolares, entre os quais
temos: os Parâmetros Curriculares Nacionais, o documento orientador do Pacto
Nacional pela Alfabetização na Idade Certa, a Base Nacional Comum Curricular e o
Guia do Livro Didático (GLD). A abordagem desse último, foi complementada, para
fins de exemplificação sobre como o GLD se concretiza, com uma breve apresentação
de como livros didáticos de Matemática dos 4º e 5º anos do Ensino Fundamental
abordam sentenças matemáticas com um termo desconhecido com a exploração do
símbolo de igualdade.
Em seguida, apresentamos o levantamento do tipo Estado da arte, em
periódicos nacionais e nos anais do Encontro Nacional de Educação Matemática, que
se configura, na atualidade, como um dos maiores eventos da área. Nesse
levantamento buscamos fazer um panorama a respeito de pesquisas cuja temática
versava sobre o pensamento algébrico e, de modo global, conhecer sua intenções,
objetos de pesquisa, base teórico-metodológica, dentre outros.
Por fim, expomos uma investigação acerca da Teoria da Objetivação,
organizada em duas etapas: a primeira voltada para o mapeamento de publicações
que abordam essa Teoria e a segunda com enfoque na relação entre a Teoria e o
pensamento algébrico.
Os levantamentos descritos neste capítulo nos permitiram conhecer
diferentes perspectivas relativas à álgebra, seja na orientação da prática escolar ou
do seu processo de desenvolvimento.
27
2.1. A álgebra nos anos iniciais: orientações de documentos oficiais
Iniciamos nosso processo investigativo sobre a álgebra nos anos iniciais pela
análise de alguns documentos oficiais brasileiros. Essa apreciação foi realizada com
o propósito de sinalizar e conhecer como o tema é apontado de forma geral em
documentos de orientação curricular.
A pesquisa inicial acerca do ensino-aprendizagem da álgebra nos anos iniciais
do Ensino Fundamental, deu-se no que Laville e Dione (1999) denominam como
pesquisa de base documental em publicações de organismos, ou seja, pesquisa nos
documentos que “definem orientações, enunciam políticas, expõem projetos”
(LAVILLE; DIONNE, 1999, p.166).
A análise em documentos oficiais de âmbito nacional que apresentam
orientações e diretrizes curriculares foi o ponto de partida de nossa investigação, a
medida que se desdobram diretamente na sala de aula e subsidiam práticas
educacionais, considerando as discussões pedagógicas de cada época. As
orientações documentais dessa natureza repercutem no perfil do livro didático, no
currículo, planejamento, objetivos, formação dos professores e na elaboração do
Projeto Político Pedagógico em instituições escolares públicas e privadas.
Apesar do foco da nossa pesquisa ser a caracterização de estratégias de
pensamento suscitadas em crianças do 4º e 5º ano, no processo de resolução de
tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido,
realizamos a leitura de documentos orientadores sobre a álgebra no Ensino
Fundamental em três principais ciclos: 1º ciclo (1º, 2º e 3º anos) conhecido como ciclo
de alfabetização, 2º ciclo (4º e 5º anos), foco desta pesquisa e o ciclo final do Ensino
Fundamental (6º ao 9º ano). A leitura global aconteceu com vistas a mapear e
conhecer orientações curriculares, indicações de continuidades e rupturas entre um
ciclo e outro no trabalho pedagógico com a álgebra, a fim de que tais orientadores nos
ajudassem a elaborar nossa proposta de intervenção e também analisar suas relações
com o pensamento algébrico nos 4º e 5º anos do Ensino Fundamental, na perspectiva
da TO.
A análise inicial partiu dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN de
Matemática (BRASIL, 1997, 1998) dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental.
A análise desses documentos se justificou porque os PCN, durante cerca de 20 anos,
28
ocuparam um espaço relevante no cenário educacional brasileiro. Suas orientações
repercutiram diretamente nas práticas escolares, na formação de professores e
orientaram o desenvolvimento de pesquisas em diferentes áreas de conhecimento.
Em um segundo momento, a análise se deu sobre o “Elementos conceituais
e metodológicos para definição dos direitos de aprendizagem e desenvolvimento do
Ciclo de alfabetização (1º, 2º e 3º anos) do Ensino Fundamental” (BRASIL, 2012).
Esse documento orientou o planejamento de políticas educacionais e o ensino no ciclo
de alfabetização, possibilitando-nos compreender as indicações curriculares quanto
ao ensino-aprendizagem da álgebra para esse período da Educação Básica.
Em seguida, investigamos as indicações da 3ª versão da Base Nacional
Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2017) para o ensino da álgebra nos anos iniciais
do Ensino Fundamental. Esse documento normativo, em vigor desde 2017, é a
principal diretriz de orientação curricular do Ministério da Educação - MEC brasileiro.
O novo documento ainda está em fase de apropriação pelas escolas e instituições
formadoras de professores, embora seja alvo de críticas quanto à estratégia adotada
para a sua elaboração e às questões curriculares, a exemplo das referentes a relação
entre práticas pedagógicas e políticas, o que abrange o tratamento e enfoque dado
aos conteúdos de ensino, a concepção de competência adotada, a abordagem de
temáticas de interesse de diferentes grupos sociais, dentre outros (CURY, REIS,
ZANARDI, 2018). Apesar das discussões, nossa apreciação se justifica pela
relevância do documento no cenário nacional e por apresentar uma unidade temática
específica sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Posteriormente, verificamos o documento que orienta a escolha de livros
didáticos distribuídos pelo Ministério da Educação brasileiro para as escolas públicas
de todo país. O Guia do Livro Didático das obras de matemática, anos iniciais do
Ensino Fundamental (BRASIL, 2018) aprovadas pelo Programa Nacional do Livro e
Material Didático – PNLD, edição 2019. Esse documenta objetiva orientar professores
na escolha de livros didáticos, com resenhas dos materiais aprovados pelo PNLD,
responsável em avaliar e distribuir os livros. Para complementar a análise do Guia,
verificamos também 5 coleções de livros didáticos de matemática, com exemplares
na versão de divulgação, do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, com o fim de
conhecer como o Guia se concretiza e de verificar como esses materiais, que são
utilizados rotineiramente nas escolas, abordam a temática da álgebra, com foco no
29
símbolo de igualdade e na presença de um termo desconhecido em sentenças
matemáticas.
Apresentamos, nos próximos tópicos, as especificidades verificadas em cada
documento analisado. Ressaltamos que a leitura dos documentos objetivou o
mapeamento investigativo, para conhecermos globalmente as orientações de
documentos curriculares oficiais quanto ao ensino-aprendizagem da álgebra.
2.1.2 A álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática dos anos
iniciais e finais do Ensino Fundamental
Os PCN apresentam uma série de direcionamentos e objetivos curriculares
quanto às diferentes áreas de ensino. É um documento de natureza aberta e flexível,
não apresentado como uma imposição, e sim como orientações, indicações ao
desenvolvimento de melhorias curriculares para instituições escolares de todo o
território brasileiro.
A origem dos PCN se deu a partir da participação do Brasil na Conferência
Mundial de Educação para Todos, em 1990. Essa participação se desdobrou em
compromissos assumidos na busca pela qualidade da Educação, dentre eles, a
elaboração do Plano Decenal Educação para Todos (1993-2003). Um dos objetivos
do Plano foi a elaboração de diretrizes curriculares nacionais já indicada na Lei de
Diretrizes e Bases da Educação - Lei Federal n. 9394/96 – (BRASIL, 1996), assim
como no Artigo 210 da Constituição Federal de 1988 (BRASIL, 1988), em resposta a
essa demanda é lançado, em 1997, pelo MEC.
Esse documento vigorou até 2017, quando um novo orientador oficial do
Ministério da Educação brasileiro entra em vigor, que é a BNCC. Contudo, conforme
já esclarecido, consideramos a apreciação dos PCN relevante, visto que suas
orientações curriculares vigoraram no Brasil por cerca de 20 anos.
Nossa leitura investigativa aconteceu baseada no seguinte questionamento
geral: o que dizem os PCN de matemática sobre o ensino-aprendizagem da álgebra
nos anos iniciais do Ensino Fundamental? Assim, no processo de leitura investigativa,
procuramos palavras-chave no documento, como álgebra e/ou algébrico. Para facilitar
o procedimento de análise, ao identificarmos essas palavras, selecionamos as
citações, copiamos e organizamos em um quadro, construído em um processador de
30
textos. Nesse processo, nos PCN dos anos iniciais, localizamos apenas 5 ocorrências
com as palavras-chave álgebra e a/ou algébrico. Após a leitura e análise das citações,
voltamos ao texto dos PCN e realizamos a leitura do tópico completo em que a citação
selecionada estava inserida.
Identificamos em nossa análise que o documento dos anos iniciais apresenta
dois principais aspectos ao tratar sobre a álgebra: o primeiro diz respeito ao
posicionamento favorável de introdução ao ensino-aprendizagem da álgebra nos
primeiros anos do Ensino Fundamental, esse trabalho pedagógico é denominado pelo
documento como pré-álgebra; o segundo é o fato de que esse documento não
apresenta orientações e nem objetivos específicos acerca da abordagem do ensino-
aprendizagem da álgebra. Isso acontece porque, de acordo com o documento, o
trabalho sistemático com a álgebra deve ser realizado apenas nos anos finais do
Ensino Fundamental, demonstrando, assim, um parecer contrário à formalização
algébrica com crianças dos anos iniciais, por isso a denominação de pré-álgebra.
Em suma, apesar de demonstrar-se favorável à introdução da álgebra, o
documento dos anos iniciais isenta-se quanto às orientações pedagógicas mais
específicas, detendo-se a explicar que o trabalho com esse conteúdo deve se dar de
modo a estabelecer relações com a geometria, com o estudo do números e operações
e das grandezas e medidas. Os PCN de matemática dos anos iniciais ressaltam que
o conhecimento matemático (aritmético, algébrico, estatístico, geométrico, métrico,
combinatório e probabilístico) deve ser utilizado para fazer, observar, organizar,
produzir informações de maneira analítica e crítica (BRASIL, 1997).
Embora não exponha orientações específicas acerca de objetivos, conteúdos,
abordagens metodológicas e práticas pedagógicas para o trabalho com a álgebra nos
anos iniciais do Ensino Fundamental, o posicionamento firmado quanto à necessidade
de relacionar a álgebra a outros eixos da matemática, desde os anos iniciais do Ensino
Fundamental, torna esse documento um ponto de partida importante para a discussão
curricular de ensino-aprendizagem da álgebra nesse nível de ensino.
Diante dos apontamentos dos PCN anos iniciais, julgamos necessário
investigar também a abordagem trazida nos Parâmetros Curriculares Nacionais dos
anos finais do Ensino Fundamental de matemática (BRASIL, 1998), referente ao
ensino-aprendizagem da álgebra com crianças, especialmente quanto à relação
dessa abordagem com aquela suscitada para os anos iniciais do Ensino Fundamental.
31
Os PCN dos anos finais do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), fomentam
a reflexão sobre o ensino-aprendizagem da álgebra. Esse documento enfatiza a
dificuldade existente quanto a tornar a álgebra significativa e explica que nessa etapa
de ensino é preciso enfatizar o processo de generalização e que ele seja fomentado
e desenvolvido de diversas formas. O documento ainda destaca o uso de gráficos e
tabelas como fundamentais nesse processo.
Os PCN anos finais (1998) demonstram posicionamento quanto à álgebra nos
anos iniciais do Ensino Fundamental, destacando que
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar abstratamente, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. Embora se considere importante que esse trabalho chamado de pré-álgebra aconteça nas séries iniciais, ele deve ser retomado no terceiro ciclo para que as noções e conceitos algébricos possam ser ampliados e consolidados (BRASIL, 1998, p. 117).
Segundo os PCN (BRASIL, 1998), nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
a álgebra pode ser desenvolvida sem uma formalização sistemática de procedimentos
para resoluções de equações com uma linguagem simbólica. Os fundamentos da
álgebra que precisam ser desenvolvidos nos anos iniciais, como dito anteriormente,
são os processos de generalização, regularidade e equivalência. Tais processos, para
os PCN, constituem a chamada pré-álgebra.
Outro aspecto que os PCN de matemática dos anos finais do Ensino
Fundamental destacam é a articulação da álgebra com a aritmética. A aritmética, com
seu foco nas operações, é priorizada nos anos iniciais do Ensino Fundamental, no
entanto, o documento aponta a relevância de uma prática pedagógica integrada entre
álgebra e aritmética desde os anos iniciais.
Danco continuidade à busca de mapear o que documentos do Ministério da
educação brasileiro apontam sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, apresentamos na próxima seção, a consulta realizada em um
documento que orientou práticas escolares específicas para crianças na faixa etária
de 6 a 8 anos de idade.
32
2.1.3 Álgebra no documento “Elementos Conceituais e Metodológicos para a
definição dos Direitos de Aprendizagem e desenvolvimento do Ciclo de
alfabetização do Ensino Fundamental”
Outros documentos oficiais apresentam especificações curriculares para os
anos iniciais do Ensino Fundamental, é o caso do “Elementos Conceituais e
Metodológicos para a definição dos Direitos de Aprendizagem e desenvolvimento do
Ciclo de alfabetização do Ensino Fundamental” (BRASIL, 2012) que foi elaborado no
contexto da política do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC), um
programa do Ministério da Educação extinto em 2018 que apresentou diversas ações
para alcançar a meta de alfabetizar crianças até, no máximo, oito anos de idade.
Embora o documento apresente orientações curriculares apenas para os três
primeiros anos do Ensino Fundamental consideramos pertinente verificar seus
principais eixos estruturantes. Conhecê-lo possibilitou um maior embasamento na
elaboração de nossa proposta de intervenção, a qual priorizou objetivos de ensino
para a álgebra com o 4º e 5º ano do Ensino Fundamental.
O documento, proposto pelo Ministério da Educação brasileiro, apresenta
especificações curriculares para os 1o, 2o e 3o anos do Ensino Fundamental, o
denominado Ciclo de Alfabetização. O conteúdo do documento aparenta representar
um avanço quanto ao que propunha os PCN, pois se refere à álgebra como um eixo
estruturante chamado “Pensamento algébrico”. Nos PCN, a álgebra não foi tratada
como um eixo de ensino-aprendizagem, ela apenas foi mencionada, mas não houve
uma discussão específica sobre a mesma.
Relativo a esse eixo, o documento orientador do PNAIC aponta a
compreensão de padrões e relações, a partir de diferentes contextos, como principal
objetivo para a aprendizagem da álgebra e que compreende o alcance de três “direitos
de aprendizagem”5, que circulam como objetivos mais específicos e que devem ser
desenvolvidos ao longo dos três primeiros anos do Ciclo de Alfabetização.
5 O termo “direitos de aprendizagem”, segundo o Ministério de Educação brasileiro, se refere aos objetivos de aprendizagem elencados para cada área e ano de ensino. Os objetivos são assim denominados com o fim de indicar um compromisso coletivo, de modo a buscar a garantia de aprendizagens essenciais na área e ano de ensino indicados, como um direito básico da criança.
33
Conforme demonstrado no Quadro 1, para cada ano de ensino (1º, 2º e 3º
anos) são propostos, nesse documento, os “direitos de aprendizagem” e em que ano
esses devem ser iniciados (I), aprofundados (A) ou consolidados (C).
Para o primeiro ano do Ensino Fundamental, por exemplo, é indicado o
seguinte objetivo “estabelecer critérios para agrupar, classificar e ordenar objetos,
considerando diferentes atributos” (BRASIL 2012, p. 77), esse direito deve ser
aprofundado no 2º e consolidado no 3º ano. Sendo assim, o documento orientador do
PNAIC apresenta, de forma mais detalhada do que nos PCN, o que pode ser
priorizado nos três anos do ciclo de alfabetização e letramento. Vejamos:
Quadro 1 – Objetivos de aprendizagem da álgebra no documento orientador do PNAIC
Eixo estruturante pensamento algébrico - Objetivos de aprendizagem
1º ano 2º ano 3º ano
Compreender padrões e relações, a partir de diferentes contextos.
Estabelecer critérios para agrupar, classificar e ordenar objetos, considerando diferentes atributos.
I I/A A/C
Reconhecer padrões de uma sequência para identificação dos próximos elementos, em sequências de sons e formas ou padrões numéricos simples.
I I/A A/C
Produzir padrões em faixas decorativas, em sequências de sons e formas ou padrões numéricos simples.
I I/A A/C
LEGENDA: I – Introduzir; A – Aprofundar; C – Consolidar.
Fonte: (BRASIL 2012, p. 77)
Conforme demonstrado no Quadro 1, o documento orientador curricular do
PNAIC (BRASIL, 2012) ressalta o fomento ao pensamento algébrico desde o 1º ano
do Ensino Fundamental. De acordo com o documento, o aluno deve chegar ao final
do 3o ano com os três objetivos consolidados. Pelos objetivos de aprendizagem
apresentados, conforme o documento “Elementos conceituais e metodológicos”, o
foco dos três primeiros anos do Ensino Fundamental, quanto ao eixo da álgebra, deve
ser o trabalho pedagógico com padrões e sequências.
Na próxima seção, apresentamos um documento normativo com orientações
para as etapas e modalidades da Educação Básica, contudo, nosso foco se deu em
conhecer, em tal documento, a abordagem da álgebra para os anos iniciais, do 1º ao
5º ano.
34
2.1.4 A álgebra no documento da Base Nacional Comum Curricular
A Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2017) passou a vigorar
como documento oficial de caráter normativo do Ministério da Educação brasileiro em
2017. Esse documento orienta o currículo para a Educação Básica nacional nos
seguintes níveis de ensino: Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio,
substituindo assim os PCN e o documento que orienta o PNAIC, então extinto.
Ao longo do processo de construção da BNCC, três versões do documento
foram disponibilizadas no Portal6 destinado para consulta pública, o objetivo, segundo
o MEC, era que a população pudesse sugerir, criticar e opinar acerca do conteúdo
proposto na BNCC, embora não haja clareza de como as contribuições da sociedade
civil foram incorporadas ao documento. Para conhecer as orientações sobre a álgebra
nos anos iniciais do Ensino Fundamental, analisamos a 3ª versão disponibilizada on
line.
A consulta pública da primeira versão foi realizada entre outubro de 2015 e
março de 2016. A segunda versão foi examinada, sistematizada e reorganizada no
ano de 2016. Em abril de 2017, o MEC divulga a terceira e última versão da BNCC.
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento de caráter normativo que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os alunos devem desenvolver ao longo das etapas e modalidades da Educação Básica. Aplica-se à educação escolar, tal como a define o § 1º do Artigo 1º da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB, Lei nº 9.394/1996), e indica conhecimentos e competências que se espera que todos os estudantes desenvolvam ao longo da escolaridade. Orientada pelos princípios éticos, políticos e estéticos traçados pelas Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (DCN), a BNCC soma-se aos propósitos que direcionam a educação brasileira para a formação humana integral e para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva (BRASIL, 2017, p. 7).
No que se refere à Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a
BNCC apresenta alterações em relação aos PCN nas unidades temáticas de ensino,
uma vez que, assim como o documento do PNAIC, traz a álgebra como uma nova
unidade temática específica, junto com as unidades: números, geometria, grandezas
e medidas, probabilidade e estatística. De acordo com as orientações da BNCC, na
6 Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br> Acesso em: 15 fev. 2018.
35
unidade Álgebra, o foco do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental não deve ser a
formalização de regras e fórmulas e sim o desenvolvimento do pensamento algébrico,
nos processos de regularidade, generalização e equivalência.
Diferentemente dos PCN, a BNCC traz de modo mais sistemático orientações
específicas sobre o ensino da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
limitando esse ensino a um processo intuitivo de elementos da álgebra formal, como
os processos de generalização, reconhecimento e estabelecimento de critérios,
denominando a unidade temática de Álgebra.
Quanto ao desenvolvimento do pensamento algébrico no Ciclo de
alfabetização e letramento (1º, 2º e 3º anos do Ensino Fundamental), o foco de ensino
orientado pela BNCC é a organização de sequências de figuras por atributos e cores,
na organização em ordem crescente e decrescente por meio de diversas estratégias,
com o fim de desenvolver a generalização e perceber regularidades. Contudo, o
documento da BNCC indica o trabalho com o símbolo de igualdade desde o 3º ano do
Ensino Fundamental, apresentando assim, um avanço quanto ao documento do
PNAIC, que focou apenas no trabalho pedagógico com sequências e padronizações.
Para os 4º e 5º anos, o foco das orientações da BNCC, com relação aos
objetivos para o desenvolvimento do pensamento algébrico, encontra-se nas noções
de equivalência, nas habilidades de identificação de um termo desconhecido e no uso
das quatro operações matemáticas para resolver e elaborar situações-problema.
Nesta pesquisa, por exercermos a docência em turmas de 4º e 5º ano, optamos por
focar nas orientações de ensino sobre a noção de equivalência e o símbolo de
igualdade.
Para a nossa investigação com os 4º e 5º anos, baseamo-nos na última versão
da Base que apresenta habilidades (Quadro 2) para a unidade temática álgebra nos
anos iniciais do Ensino Fundamental. Destacamos em negrito, no Quadro 2, objetos
de conhecimento e habilidades que utilizamos em nossa proposta. Reiteramos que
não fazemos uso do que orienta a BNCC de modo ortodoxo, porém consideramos
importante reconhecer o que a mesma sinaliza e aborda para o ensino-aprendizagem
da álgebra.
36
Quadro 2 – Habilidades para a unidade temática álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental na última versão na BNCC
Ano Objetos de conhecimento Habilidades
4º ano
Sequência numérica recursiva formada por múltiplos de um número natural.
Identificar regularidades em sequências numéricas compostas por múltiplos de um número natural.
Sequência numérica recursiva formada por números que deixam o mesmo resto ao ser divididos por um mesmo número natural diferente de zero.
Reconhecer, por meio de investigações, que há grupos de números naturais para os quais as divisões por um determinado número resultam em restos iguais, identificando regularidades.
Relações entre adição e subtração e entre
multiplicação e divisão.
Reconhecer, por meio de investigações, utilizando a calculadora quando necessário, as relações inversas entre as operações de adição e de subtração e de multiplicação e de divisão, para aplicá-las na resolução de problemas.
Propriedades da igualdade.
Reconhecer e mostrar, por meio de exemplos, que uma igualdade não se altera quando se adiciona ou se subtrai um mesmo número a seus dois termos; Determinar o número desconhecido que torna verdadeira uma igualdade que envolve as operações fundamentais com números naturais.
5º ano
Propriedades da igualdade e noção de
equivalência.
Concluir, por meio de investigações, que uma igualdade não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir seus dois membros por um mesmo número, para construir a noção de equivalência; Resolver e elaborar problemas cuja conversão em sentença matemática seja uma igualdade com uma operação em que um dos termos é desconhecido.
Grandezas diretamente proporcionais
Resolver problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta entre duas grandezas, para associar a quantidade de um produto ao valor a pagar, alterar as quantidades de ingredientes de receitas, ampliar ou reduzir escala em mapas, entre outros; Resolver problemas envolvendo a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, tais como dividir uma quantidade em duas partes, de modo que uma seja o dobro da outra, com compreensão da ideia de razão entre as partes e delas com o todo.
Fonte: (BRASIL, 2017, p. 286, 290, grifo nosso)
De acordo com o verificado no Quadro 2, a BNCC organiza e apresenta suas
orientações curriculares por meio da exposição de habilidades a serem asseguradas
aos alunos em cada ano de estudo. Todas as áreas de ensino possuem as suas
unidades temáticas, ou eixos, que se estruturam em torno de habilidades cognitivas
que se relacionam a objetos de conhecimento – conteúdos, conceitos e processos
(BRASIL, 2017).
Para o 4º ano, a Base Nacional Comum Curricular orienta, quanto a unidade
da álgebra, a utilização da adição, subtração, divisão e multiplicação, seja para
perceber regularidades dos múltiplos numa sequência, numa divisão com restos
iguais ou ainda reconhecer as relações inversas da adição e subtração e multiplicação
37
e divisão, com o uso de calculadoras e situações-problema. Ainda para este ano, a
Base sugere o reconhecimento das propriedades de igualdade, ou seja, que uma
igualdade permanece a mesma quando se adiciona ou se subtrai uma mesma
quantidade aos seus dois termos. Dentro da competência das propriedades da
igualdade, o documento orienta, ainda para o 4º ano, o trabalho com o número
desconhecido por meio de desafios e situações-problema com números naturais.
Para o 5º ano do Ensino Fundamental, a Base propõe que seja dada
continuidade às noções de igualdade e de equivalência, elaboração e resolução de
situações-problema e ainda a introdução à ideia multiplicativa da proporcionalidade,
bem como o trabalho com um termo desconhecido em sentenças matemáticas.
Considerando tais apontamentos, na próxima seção, apresentamos a
investigação específica sobre a álgebra e o trabalho com o símbolo de igualdade no
Guia do livro didático e, de modo complementar, em livros de matemática do 4º e 5º
ano, recém distribuídos para escolas públicas pelo Ministério da Educação brasileiro.
2.1.5 A álgebra no Guia do Livro Didático de matemática – anos iniciais (2019) e
em livros didáticos do 4º e 5º ano
Verificamos o Guia do Livro Didático (2019) das obras de matemática, anos
iniciais, aprovadas pelo Ministério de Educação brasileiro por meio do Programa
Nacional do Livro e Material Didático (PNLD), edição 2019. Esse programa visa avaliar
e distribuir livros e materiais pedagógicos para escolas públicas de todo país. O Guia
apresenta uma contextualização acerca do ensino da matemática nos anos iniciais do
Ensino Fundamental e, além disso, traz resenhas das obras aprovadas pelo PNLD
com o objetivo de auxiliar o professor na escolha do material didático.
O documento ressalta que um dos critérios para avaliação e aprovação dos
livros foi a apreciação com fundamento nas orientações da BNCC. De modo sintético,
o documento explica que a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental compõe
os outros eixos da matemática. Em face disso, o Guia esclarece que das 16 coleções
aprovadas, a maioria apresenta foco no trabalho com sequências e padrões e destaca
que
Em poucas coleções, há ênfase no desenvolvimento de habilidades para reconhecer relações de igualdade entre dois termos, as noções
38
de equivalência, de proporcionalidade direta e a determinação de números desconhecidos em igualdades envolvendo as operações fundamentais. Entretanto, mesmo nessas coleções são propostas poucas tarefas que mostram, por exemplo, que a relação de igualdade não se altera ao se somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados da igualdade, bem como que em uma adição, se subtrair-se um número da primeira parcela e acrescentar-se o mesmo número na segunda parcela, a soma não se altera (BRASIL, 2018, p. 28)
Esse parecer reafirma o trabalho incipiente com o símbolo de igualdade em
livros didáticos. À vista disso, julgamos pertinente realizar uma apreciação sintética
em livros na versão de divulgação, do 4º e 5º ano, em 5 coleções expostas no Guia
2019. O foco da investigação global se deu nos objetivos expostos no Quadro 3, uma
vez que na elaboração de nossas tarefas utilizamos tais habilidades como
norteadoras.
Quadro 3 – Objetivos observados nos livros didáticos e utilizados na elaboração de nossas tarefas
Objetos de conhecimento Habilidades
Propriedades da igualdade
(EF04MA15) Determinar o número desconhecido que torna verdadeira uma igualdade que envolve as operações fundamentais com números naturais
Propriedades da igualdade e noção de
Equivalência
(EF05MA11) Resolver e elaborar problemas cuja conversão em sentença matemática seja uma igualdade com uma operação em que um dos termos é desconhecido
Fonte: (BRASIL, 2017, p. 286, 290, grifo nosso)
Com base no exposto, investigamos no material de divulgação, que apresenta
um formato reduzido, as tarefas fundamentadas nesses dois objetivos. O quadro geral
com a referência completa das 5 coleções encontra-se no Apêndice A. Ao tratar sobre
cada coleção, apresentamos uma síntese dos objetivos de aprendizagem, como
também a exposição de uma tarefa para fins de exemplificação.
Destacamos que, nosso objetivo não é analisar amplamente cada coleção,
mas apenas conhecer globalmente como cada uma propõe o trabalho com os
objetivos elencados no Quadro 3.
A coleção 1 – Ligamundo matemática do 4º e 5º ano apresenta foco no
trabalho com as operações inversas para encontrar o termo desconhecido de
expressões numéricas. A Figura 1 exemplifica o perfil de uma tarefa que compõe tanto
o livro do 4º quanto do 5º ano da referida coleção.
39
Figura 1 – Exemplo de tarefa da coleção 1
Fonte: (REAME, 2017a, p. 42)
A autora esclarece que tal tarefa procura desenvolver noções algébricas a
partir da busca do valor do termo desconhecido pelo uso da operação inversa ou da
ideia de completar quanto falta para chegar ao resultado. O principal objetivo, de
acordo com a coleção, é a exploração das propriedades de igualdade e noção de
equivalência. Com foco no 1º objetivo exposto no Quadro 3.
O livro também aborda situações com o uso da balança de dois pratos.
Figura 2 – Proposta de livro didático com a balança de dois pratos
Fonte: (REAME, 2017a, p. 37)
Nas orientações para o professor, a autora explica que a tarefa apresentada
na Figura 2 é fundamentada na habilidade proposta pela BNCC de “Determinar o
número desconhecido que torna verdadeira uma igualdade que envolve as operações
40
fundamentais com números naturais” (BRASIL 2017, p. 286) exposta no Quadro 3 e
também utilizada em nossas tarefas.
Na versão da coleção 2 – Bem-me-quer (BORDEAUX et. al., 2017a, 2017b),
destacamos tarefas com ênfase na determinação do termo desconhecido. Para as
autoras, o tipo de situação da Figura 3 “é fundamental para desenvolver as bases do
pensamento algébrico” (BORDEAUX et al., 2017a, p. 43).
Figura 3 – Tarefa com o termo desconhecido da coleção 2
(BORDEAUX et al., 2017a,p. 43)
Assim como Reame (20171a, 2017b) o livro do 4º ano da 2ª coleção também
aborda situações com a metáfora da balança e ressalta que tarefas como essa são
importantes por “favorecerem o desenvolvimento do raciocínio algébrico”
(BORDEAUX et al., 2017a, p. 213).
Da mesma forma, a 3ª coleção – Ápis (DANTE, 2017a, 2017b) versa sobre a
unidade temática álgebra com tarefas que retratam as operações inversas e a
presença do termo desconhecido, baseadas nos objetivos apresentados no Quadro
3.
Figura 4 – Exemplo de tarefa da coleção 3
Fonte: (DANTE, 2017a, p. 116)
41
Na tarefa da Figura 4, o autor destaca a exploração da álgebra em itens como
o da letra b, que segundo Dante (2017a, p. 116) reiteram a busca do número
indeterminado, sendo este uma das parcelas da adição e não o resultado da operação.
O autor utiliza questões como as que apresentamos na coleção 1, no perfil
“Que número pensei” e explica que para solucioná-las é essencial que se faça o
“caminho inverso”, ou seja, a utilização de operações inversas. No livro do 4º ano, por
exemplo, para o trabalho com a operação inversa da adição, e na exploração dos
termos dessa operação, emprega o jogo do quadrado mágico, onde cada linha, coluna
e diagonal devem resultar em um mesmo número, fazendo uso, assim, do termo
desconhecido.
Seguindo a mesma tendência para a exploração dos termos desconhecidos e
o símbolo de igualdade, a 4ª coleção (GIOVANNI JÚNIOR, 2018a, 2018b) apresenta
tarefas com as operações inversas para o desenvolvimento da unidade temática da
álgebra, a partir do que é proposto pela Base Nacional Comum Curricular (Quadro 3).
Figura 5 – Exemplo de tarefa da 4ª coleção
Fonte: (GIOVANNI JÚNIOR, 2018a, p. 58)
A proposta apresentada na Figura 5 nos chamou atenção por propor uma
situação-problema e a exposição da escrita da sentença matemática, a partir das
informações explicitadas no enunciado. O livro utilizou um quadrado e a interrogação
para representar o termo desconhecido.
Na busca de conhecermos globalmente a forma que os livros didáticos
aprovados pelo PNLD 2019 exploram e apresentam as orientações da BNCC acerca
dos objetivos elencados no Quadro 3, verificamos, por fim, a versão reduzida da
coleção 5,
42
Figura 6 – Tarefa da coleção 5
Fonte: (RIBEIRO; PESSÔA, 2017b, p. 39)
Conforme observado, a tarefa da coleção 5 segue a caracterização das
coleções anteriores, posto que, mesmo com a presença de uma indeterminação, o
foco das tarefas e orientações encontra-se na manipulação e operação com os termos
conhecidos, por meio da operação inversa e não com foco no símbolo de igualdade
como indicação de equivalência.
Em suma, destacamos que quanto à quantidade de tarefas propostas,
concordamos com o Guia ao afirmar que há poucas recorrências para o trabalho com
a ênfase no símbolo de igualdade. Além disso, a abordagem da álgebra ainda é
recente e incipiente no contexto cultural brasileiro dos anos iniciais, como se pode
observar no levantamento dos documentos oficiais de orientação curricular já tratados,
o que se constata com as poucas e elementares orientações presentes nos livros
didáticos. Esse fator foi um dos motivadores na opção tomada para fins dessa
pesquisa, em que se destaca a abordagem da álgebra com foco na função do símbolo
de igualdade em sentenças matemáticas com um termo desconhecido.
2.2. Estado da arte
O Estado da arte consiste no levantamento e análise crítica de dados
bibliográficos acerca de temas de pesquisa específicos, um mapeamento sobre o quê
se discute academicamente sobre determinado tema, como se discute e quem
discute, de modo que as informações coletadas permitem estabelecer uma
caracterização geral da temática. Teixeira (2006, p. 60) defende que o Estado da arte,
também denominado por ela de Estado do conhecimento “procura compreender o
conhecimento elaborado, acumulado e sistematizado sobre determinado tema, num
43
período temporal que, além de resgatar, condensa a produção acadêmica numa área
de conhecimento específica”. Sendo assim, é um processo dinâmico que exige do
pesquisador postura investigativa, capacidade de sistematização e apreciação dos
dados.
No desenvolvimento de nossa tese, o processo de Estado da arte contribuiu
no sentido de estabelecer e reafirmar o nosso objeto de estudo, uma vez que nos
permitiu conhecer por meio dos trabalhos identificados, inicialmente, elementos que
compõem o ensino-aprendizagem da álgebra para, em seguida, investigarmos as
estratégias de pensamento utilizadas pelas crianças na introdução da álgebra, em
sentenças matemáticas com um termo desconhecido. O Estado da arte permitiu
verificarmos algumas pesquisas já realizadas e, assim, perceber lacunas, de modo a
instigar a busca de novos dados ou novas formas de levantamento de dados, em
busca da garantia do ineditismo da pesquisa em nível de Doutorado7.
Romanowski e Ens (2006) discutem a importância do Estado da arte na área
de Educação, em decorrência da intensificação de publicações em periódicos,
eventos, teses e dissertações nessa área. Para os autores, o Estado da arte possibilita
ao pesquisador conhecer as singularidades do seu campo de estudo. É interessante
que esse levantamento de dados seja uma das primeiras ações na realização de uma
pesquisa, no sentido de situar o trabalho no campo acadêmico, mapeá-lo, assim como
para justificar sua relevância.
Os autores reiteram que o advento da ciência e tecnologia provoca intensas
e rápidas mudanças e reconhecem que o Estado do conhecimento do tema a ser
pesquisado é primordial para que o desenvolvimento da pesquisa acompanhe as
mudanças, inovações e rupturas sociais, científicas e tecnológicas.
Em nossa investigação, o levantamento do tipo Estado da arte foi realizado
com o objetivo de inventariar pesquisas sobre a álgebra e o pensamento algébrico
nos anos iniciais do Ensino Fundamental e consistiu em três etapas: em periódicos
disponíveis no Portal de Periódicos Capes; nos anais do Encontro Nacional de
Educação Matemática (ENEM); e a última etapa se refere a Teoria da Objetivação e
foi organizada em dois momentos: o primeiro diz respeito a investigação de teses e
7 Não analisamos todos os trabalhos relacionados ao tema, contudo, a investigação nos permitiu obter
uma visão panorâmica acerca das pesquisas relacionadas a nossa temática.
44
dissertações que utilizam a Teoria e, em seguida verificamos de modo específico,
sobre a concepção de pensamento algébrico de acordo com a Teoria da Objetivação.
2.2.1 Estado da Arte – álgebra nos anos iniciais – periódicos
O levantamento de periódicos foi desenvolvido no Portal de Periódicos da
Capes8, com buscas feitas por assunto, a partir de palavras-chave variadas e relativas
aos objetivos apresentados no Quadro 3. Após a identificação dos artigos pelo Portal,
realizamos uma pré-análise dos mesmos, por meio da leitura atenta de seus
respectivos resumos. Posteriormente, ao identificar a relação do trabalho com a
pesquisa, o texto foi separado para uma análise mais detalhada. Nessa seção,
apresentamos parte dessa análise.
Destacamos que as primeiras experiências no Portal de Periódicos foram
exercícios de aprendizado teórico e metodológico acerca do nosso tema, pois nos
fizeram refletir sobre os conceitos, os teóricos, as teorias, implicações e
desdobramentos de nosso objeto, além do próprio amadurecimento quanto ao
processo de busca no Portal de Periódicos da Capes.
Houve dificuldade em encontrarmos pesquisas por assunto nesse âmbito no
Portal de Periódicos da Capes, isso demonstra que ainda são incipientes as
investigações que relacionem a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O
que reafirmou ainda mais nosso interesse, pois, os trabalhos, em sua grande maioria,
ao tratarem sobre a álgebra, referem-se geralmente aos anos finais do Ensino
Fundamental e Ensino Médio.
Na primeira experiência de pesquisa de artigos no Portal de Periódicos Capes,
utilizamos o termo “Álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental”. O Portal
identificou apenas um artigo, intitulado “Discussões sobre o ensino da álgebra nos
anos iniciais do Ensino Fundamental” (LUNA; SOUZA, 2013).
Na segunda consulta adotamos o termo “Álgebra na infância”, com o fim de
reconhecer quais as perspectivas que as pesquisas traziam acerca do ensino-
aprendizagem da álgebra para crianças. Não foram encontradas ocorrências.
Posteriormente, inserimos o termo “álgebra para crianças”, para o qual também não
foi encontrado artigo.
8 Disponível em: <http://www.periodicos.capes.gov.br> Acesso em 20 abr. 2017.
45
Quadro 4 – Primeira etapa do Processo de consultas por assunto ao Portal de Periódicos Capes
Consultas Assunto Termo utilizado
Total de artigos Artigos utilizados após a leitura do
resumo
Consulta 1 Álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental
Álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental
1 1
Consulta 2 O ensino e aprendizagem da álgebra na infância
Álgebra na infância
0 -
Consulta 3 O ensino e aprendizagem da álgebra na infância
Álgebra para crianças
0
-
Consulta 4 Desenvolvimento do pensamento algébrico em crianças
Pensamento algébrico
11 3
Fonte: Elaborado pela autora
Com o termo “Pensamento algébrico”, o Portal encontrou onze artigos
identificados, dos quais apenas três foram selecionados após a leitura atenta do título
e resumo do trabalho. Os outros oito artigos tratavam sobre temas como “Pensamento
algébrico com alunos surdos”, “conceito de função”, “arte e matemática” ou temáticas
mais específicas no tocante aos conceitos algébricos. Contudo, nosso interesse nesse
momento foi apenas conhecer, de forma geral, o quê e como pesquisas acerca da
álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental se desenvolvem para, a partir dessa
verificação, investigar acerca do pensamento algébrico na introdução da álgebra na
escola.
Com relação aos três artigos lidos, verificamos que as pesquisas apontam que
mesmo sem a aquisição da linguagem simbólica algébrica, os estudantes podem
desenvolver o raciocínio algébrico por meio de situações-problema que integrem a
aritmética e a álgebra, conforme citado em documentos oficiais, já apresentados
anteriormente.
Em relação aos aspectos teóricos e metodológicos, o primeiro artigo
“Discussões sobre o ensino da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental”
(LUNA; SOUZA, 2013), apresenta uma análise documental sobre o quê e como o
ensino da álgebra pode ser abordado do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental. O
segundo artigo “Caracterizações do pensamento algébrico em tarefas realizadas por
estudantes do Ensino Fundamental I” (SILVA; SAVIOLI, 2012) apresenta outro tipo de
abordagem metodológica. As autoras realizaram uma pesquisa com alunos do 5º ano,
a fim de identificar e analisar as características do pensamento algébrico. Para a
46
interpretação de dados, utilizaram a análise de conteúdo. Para Silva e Savioli (2012)
não existe um consenso no meio acadêmico sobre a concepção de pensamento
algébrico, assim, as autoras optaram por concebê-lo como um modo de pensar que
interliga diversos conteúdos e conceitos matemáticos.
O terceiro texto, intitulado “Pensamento algébrico ao longo do ensino básico
em Portugal” (CYRINO; OLIVEIRA, 2011), demonstra uma pesquisa realizada com
alunos do 4º, 6º e 9º anos do Ensino Fundamental. O objetivo do trabalho foi
“relacionar os tipos de pensamento algébrico mobilizados e os objetivos de
aprendizagem presentes nos documentos oficiais vigentes em Portugal” (CYRINO;
OLIVEIRA, 2011, p. 99). Para esses autores, o pensamento algébrico se conceitua
como um tipo de reflexão compreensiva acerca dos significados dos elementos e
conceitos da álgebra.
As poucas ocorrências com os termos utilizados no Portal de Periódicos da
Capes, fizeram-nos refletir acerca de outras possibilidades de investigação do Estado
da arte, seja na utilização de outros termos, ou na escolha de filtros mais específicos
que nos ajudassem a mapear de forma mais aprofundada nossa temática no âmbito
acadêmico e digital. Sendo assim, buscamos textos atualizados de autores
localizados em nossa primeira busca no Portal de periódicos, como o de Silva e Savioli
(2014), Silva, Savioli e Passos (2015) e Fernandes e Savioli (2016), como também
buscamos indicações bibliográficas, a partir das leituras realizadas, de outros autores
que também tratam acerca do pensamento algébrico (ALMEIDA; SANTOS, 2017;
COELHO; AGUIAR, 2018).
Apesar de termos nossa definição de pensamento algébrico já definida pela
perspectiva da TO, sentimos a necessidade de verificar a abordagem defendida por
outros autores com o fim de apresentarmos um panorama mais amplo e atualizado
sobre o pensamento algébrico, já que nossa pesquisa de Estado da arte com as
palavras-chave utilizadas resultou em poucos trabalhos de nosso interesse.
Para continuarmos a apresentação de outras perspectivas, verificamos
pesquisas de Silva e Savioli (2014), que se baseiam no programa de introdução à
álgebra com crianças na cidade americana de Boston, chamado Early Álgebra. Para
essas autoras, como já apresentado (SILVA; SAVIOLI, 2012) a definição de
pensamento algébrico é complexa e ainda não apresenta um consenso no meio
acadêmico, contudo é possível identificar características desse tipo de pensamento
nas crianças, que são
47
formulação de conjecturas; estabelecimento de relações; utilização de diferentes notações para uma mesma tarefa; estabelecimento de regularidades; algum processo de generalização; compreensão de propriedades matemáticas importantes, como a comutatividade na adição; agrupamento, classificação, ordenação, justificação e validação de ideias; etc. (SILVA; SAVIOLI, 2014, p. 154)
As autoras enfatizam o estabelecimento de relações como um ponto chave
que caracteriza o pensar algébrico, no entanto, esclarecem que não é uma tarefa
específica que determina ou desenvolve o pensamento algébrico e sim “algo interno
ao estudante” (SILVA; SAVIOLI, 2014, p. 149) que pode ocasionar uma resolução que
indique a presença de características desse tipo de pensamento.
Para a TO, o saber algébrico já está instituído culturalmente, não é algo
puramente interno ao estudante, mas um saber histórico em potencial, que pode ser
alcançado por meio de um trabalho conjunto e interativo dos sujeitos, denominado por
Radford de Labor conjunto. Nesta investigação, inserimos as crianças em práticas
pedagógicas com o intuito de fomentar o pensamento algébrico, assim, estratégias
demonstradas pelos alunos (e captadas por nós) permitiram a análise da presença do
vetor da analiticidade, a principal característica do pensamento algébrico, para a TO.
Silva, Savioli e Passos (2015) sintetizam os estudos sobre o pensamento
algébrico ao reafirmarem a relevância dos processos de generalização, percepção de
regularidades e padronizações, bem como o uso pelos alunos de diferentes
estratégias representativas para expressar-se matematicamente em uma situação-
problema.
Fernandes e Savioli (2016) apresentam de modo mais detalhado tarefas
analisadas a partir do que, para elas, seriam características do pensamento algébrico.
As autoras focam em 7 categorias: relação funcional, de igualdade ou equivalência,
de regularidades, relação de comparação de grandezas, formação de conjectura e
validação da mesma, interpretação de gráficos e tabelas e generalização.
Demonstram assim, uma gama de especificidades sobre o que compõe o pensamento
algébrico, contudo, não se referem a ação analítica com o indeterminado e reafirmam
que esse tipo de pensar é algo interno ao indivíduo.
Além de conhecermos o posicionamento dessas autoras sobre a concepção
de pensamento algébrico, verificamos também de que modo outros autores se
referem a esse tipo de pensamento. Almeida e Santos (2017) argumentam que, de
48
acordo com suas pesquisas, não existe uma definição consensual acerca do
pensamento algébrico no meio acadêmico, contudo os autores refletem sobre a
concepção de alguns pesquisadores e apresentam uma caracterização do
pensamento algébrico. Para eles, o pensar algébrico consiste na “capacidade de
estabelecer relações, modelar, generalizar, operar com o desconhecido como se
fosse conhecido e a construir significado para os objetos e a linguagem algébrica”
(ALMEIDA; SANTOS, 2017, p. 58). Nessa caracterização, verificamos o
estabelecimento de relações e a presença do desconhecido como elementos chave.
Para Radford, no percurso de generalizar é possível pensar algebricamente com a
presença de uma indeterminação, uma referência ao indeterminado e ações por meio
de premissas dedutivas, em suma, não basta apenas criar uma regra geral para uma
determinada situação ou perceber seu padrão, para a TO é necessário principalmente
agir baseado em certezas e não por tentativa e erro, pois tal estratégia é considerada
por Radford como aritmética.
Para Coelho e Aguiar (2018), o pensamento algébrico se define de modo
histórico e cultural. Os autores apontam que na História do ensino da álgebra, o foco
se deu na manipulação de técnicas e, para eles, essa postura ainda se faz presente
nas aulas de álgebra. Coelho e Aguiar (2018) defendem uma aprendizagem voltada
para a compreensão dessa forma de pensar. Reiteram, conforme argumentam outros
pesquisadores da área, que ainda não existe uma homogeneidade no que concerne
a definição do pensar algébrico, no entanto, apresentam uma aproximação ao que
seria essa definição
a Álgebra pode corroborar se, em seu ensino, o enfoque for o de desenvolver no estudante um pensamento que o auxilie na busca de padrões e analogias quando enfrentar problemas cotidianos. A isso, poderíamos chamar, em uma primeira aproximação, de pensamento algébrico. No entanto, se nos aprofundarmos, torna-se difícil definir, claramente, o que é de fato o pensamento algébrico. Seria esse uma forma de pensar a partir de um conhecimento algébrico? Quais seriam, então, as habilidades e as características que permeariam indubitavelmente tal pensamento? Não existe um consenso na literatura a respeito do que significa o pensamento algébrico e o pensar algebricamente (COELHO; AGUIAR, 2018, p. 178)
Acerca da definição de pensamento algébrico como uma forma de
generalização, esclarecemos que Radford, Bardini e Sabena (2006) não ignoram a
relevância de generalizar. Para eles o processo de generalização provoca a
49
investigação, reflexão, percepção, sistematização acerca de uma determinada
situação.
Nessa perspectiva, Radford, Bardini e Sabena (2006) ressaltam que
generalizar é perceber propriedades matemáticas que não são vistas diretamente.
Para os autores, não é apenas o sentido corporal da visão que colabora para a
identificação da regularidade, outros sentidos corporais, sinais matemáticos e
artefatos culturais também fazem parte dessa percepção multimodal. Identificar a
generalização é perceber que algo permanece e ao mesmo tempo algo se modifica.
Radford (2010) também aponta que generalizar algebricamente é perceber padrões,
regularidades e diferenças para, então, construir uma regra, sistematizar o que foi
identificado pela e na observação, interação e gestos.
Em suma, a partir das leituras realizadas, reafirmamos nossa opção pela
perspectiva da Teoria da Objetivação, em virtude de que a mesma apresenta um foco
mais epistemológico, no sentido de considerar a natureza do saber algébrico, o modo
que esse saber pode ser alcançado pelos indivíduos, as relações dos sujeitos nesse
processo, as problematizações e a valorização do tipo de raciocínio utilizado pelos
estudantes. Para alguns autores, o pensamento algébrico se define, por exemplo, no
estabelecimento de relações e identificação de padrões, para a TO, é importante
considerar de maneira mais específica, a forma e o modo de raciocínio (analítico ou
não) que a criança demonstra no estabelecimento dessas relações. Por isso, nesta
investigação nos propomos a analisar estratégias de pensamento suscitadas pelos
alunos. Nosso olhar investigativo se dá com a fundamentação dos três vetores
defendidos pela TO: o indeterminado, a expressão semiótica e a analiticidade
(RADFORD, 2018a).
Na próxima seção, apresentamos a pesquisa realizada nos anais do Encontro
Nacional de Educação Matemática – ENEM com foco no ensino-aprendizagem da
álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
50
2.2.2 Estado da arte – álgebra nos anos iniciais: Encontro Nacional de Educação
Matemática
Nesta etapa do Estado da arte, optamos por pesquisar nos anais9 do Encontro
Nacional de Educação Matemática (ENEM), uma vez que esse evento científico é um
dos maiores da área de Educação Matemática vinculados a Sociedade Brasileira de
Educação Matemática (SBEM) e realizados no Brasil.
O I ENEM aconteceu em 1987 e até 2019 foram realizadas 13 edições desse
evento que, atualmente, ocorre com frequência trienal. O levantamento de dados ora
apresentado compreendeu da 1ª à 12ª edição pelo motivo de que, até a finalização da
escrita desta seção, a equipe organizadora da 13ª edição, ocorrida em Julho de 2019,
ainda não havia disponibilizado os anais do XIII ENEM.
O levantamento foi feito com o objetivo de adquirirmos uma visão global sobre
a quantidade e o conteúdo de trabalhos acerca da álgebra e pensamento algébrico
nos anos iniciais do Ensino Fundamental, além de nos permitir explorar pontos mais
específicos, como os referenciais teóricos mais utilizados, estratégias para a análise
de dados, objetivos gerais e específicos que nortearam os trabalhos e o público alvo
abrangido pelas pesquisas.
É importante explicarmos que os anais do Encontro Nacional de Educação
Matemática disponibilizam, da primeira à sétima edição, apenas o título dos trabalhos
e/ou o resumo e, da oitava à décima segunda edição do ENEM, os trabalhos
completos tornam-se acessíveis ao público. Sendo assim, ao identificarmos uma
pesquisa de nosso interesse, realizamos a leitura investigativa a fim de verificarmos
os referenciais teóricos utilizados, a metodologia proposta, os objetivos, assim como
pontos convergentes e divergentes com o nosso trabalho.
Cada edição do evento tinha um perfil diferente na exposição dos anais, os
primeiros não tinham site, a página da SBEM apenas digitalizou o caderno de anais
até a sétima edição. Da oitava à décima segunda edição do evento, por exemplo,
verificamos que alguns sites, de acordo com a comissão de organização, separavam
as pesquisas por temas, outras apenas pela modalidade de apresentação (pôster,
comunicação científica, palestra). A organização da exposição on line dos trabalhos
9 Os anais de todas as edições encontram-se no seguinte endereço eletrônico: <<http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/index.php/anais/enem>> Acesso em 15 nov. 2019.
51
facilitou ou dificultou nosso processo de busca, foi um processo longo que nos
proporcionou crescimento como pesquisadora, na busca de conhecermos e nos
aprofundarmos em nosso objeto de estudo.
A fim de sistematizarmos melhor nossos dados, optamos por organizar o
Quadro 5 com os eventos ocorridos dentro do ENEM, que são as sessões de
comunicação científica, relatos de experiência, minicursos e sessões de pôster e
sinalizar se os mesmos, a partir da leitura do título e resumo, se relacionam com a
temática do ensino-aprendizagem da álgebra nos anos iniciais do Ensino
Fundamental.
Quadro 5 – Pesquisas sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental no Encontro Nacional de Educação Matemática
Edição Minicurso Comunicações científicas
Comunicações de experiência
Pôster
I ENEM
(1987) - - - -
II ENEM (1988)
- 1 - -
III ENEM (1990)
2 - - -
IV ENEM (1992)
- - - -
V ENEM (1995)
- 1 - -
VI ENEM (1998)
1 1 - -
VII ENEM (2001)
- - - -
VIII ENEM (2004)
1 1 - -
IX ENEM (2007)
- 1 - -
X ENEM (2010)
- - 1 -
XI ENEM (2013)
- 1 2
XII ENEM (2016)
1 2 1 -
Fonte: Elaborado pela autora
O Quadro 5 demonstra que a maior parte dos trabalhos apresentados do 1º
ao 12º ENEM, com o tema da álgebra/pensamento algébrico nos anos iniciais do
Ensino Fundamental, pertenciam à modalidade de comunicação científica, em
segundo lugar, minicurso, em seguida, relato de experiência e por fim, a modalidade
de pôster. Iniciamos, então, nossa busca nos anais do I ENEM, com o fim de mapear
como a álgebra e o pensamento algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental
52
foram tratados nos trabalhos acadêmicos apresentados nesse evento com foco na
Educação Matemática.
O I ENEM aconteceu em 1987 na Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo. Primeiramente, fizemos uma leitura do índice dos anais no site, a fim de
verificar se havia algum trabalho que tratasse sobre a álgebra nos anos iniciais. Pela
leitura dos títulos, não identificamos ocorrências, apenas um minicurso tratava sobre
a álgebra, mas com foco no ensino médio.
Os anais do I ENEM não apresentam os títulos das sessões coordenadas,
mesas redondas e outras modalidades, exibem apenas as discussões, conclusões e
recomendações suscitadas em cada sessão. Na análise do conteúdo desse material
não identificamos publicações referentes ao ensino-aprendizagem da álgebra nos
anos iniciais do Ensino Fundamental.
Concluímos que os anais do 1º ENEM, ocorrido em 1987, não apresentam
nenhuma publicação referente ao ensino-aprendizagem da álgebra nos anos iniciais
do Ensino Fundamental.
Quanto ao II ENEM, que ocorreu em 1988, na Universidade Estadual de
Maringá, Paraná, iniciamos a pesquisa no caderno de resumos, pela leitura dos títulos
das comunicações apresentadas nas exposições e das mesas redondas. Não
localizamos pesquisas que se vinculem especificamente à álgebra nos anos iniciais.
Contudo, os anais do II ENEM apresentam o resumo dos trabalhos, o que nos permitiu
selecionar os que tratavam sobre temáticas que envolvem a álgebra e verificar se os
mesmos se dirigiam ao ensino-aprendizagem com crianças. Um dos trabalhos, da
categoria comunicações científicas, tratou sobre as equações e apresenta como título
“Ensino de equações: uma tentativa do emprego de um método de ensino ativo”, no
resumo explicita que “foi apresentado às crianças uma série de problemas concretos,
na forma de jogos para se chegar a elaboração da sentença matemática” (SOUZA
JÚNIOR, 1988, p. 54), o que nos permitiu inferir que tal comunicação trata sobre o
ensino e aprendizagem da álgebra com crianças. Por meio desse ocorrido,
verificamos a importância da leitura dos resumos e não apenas do título dos trabalhos
para o Estado da arte. Os minicursos não apresentaram temáticas relacionadas ao
nosso foco de estudo.
Nos anais da terceira edição do evento, ocorrido em 1990, na Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, identificamos dois minicursos relacionados à álgebra
com crianças. O primeiro com o título “O ensino da álgebra: conteúdo e forma”
53
(LOPES, 1990, p. 21) problematizou o conteúdo e forma do ensino da álgebra desde
a 5ª série (atual 6º ano do Ensino Fundamental). O minicurso apresentou uma
proposta de ensino-aprendizagem da álgebra de forma lúdica, com jogos
matemáticos, materiais manipuláveis e modelagem.
Identificamos outro minicurso, intitulado “Introdução à álgebra” (VIANNA,
1990, p. 37), voltado para professores das então 1ª a 8ª séries que, atualmente,
corresponde ao período do 2º ao 9º ano do Ensino Fundamental. Teve como objetivo
explicitar uma proposta de ensino-aprendizagem das noções iniciais do conteúdo
algébrico. Não localizamos trabalhos de outra categoria científica que tratassem do
tema buscado.
Não localizamos trabalhos específicos sobre nosso tema na quarta edição do
ENEM, ocorrida em 1992, na Universidade Regional de Blumenau, em Blumenau, em
Santa Catarina.
No V ENEM, ocorrido em 1995, na Universidade Federal de Sergipe,
encontramos apenas uma comunicação científica intitulada “Propriedades das
operações fundamentais na passagem da aritmética à álgebra” (FARIAS; BARBOSA;
DIAS, 1995, p. 209-210), que aponta a relevância de um ensino significativo da
álgebra desde a infância. O trabalho destaca que a dificuldade dos alunos quanto à
álgebra é consequência de um ensino formal, com ênfase nos procedimentos e
algoritmos e não no significado das operações.
O VI ENEM aconteceu em 1998, na Universidade do Vale do Rio dos Sinos,
em São Leopoldo, Rio Grande do Sul. Identificamos nos anais dessa edição o
minicurso denominado “Pensando algebricamente antes da 7ª série” (OLIVEIRA,
1998), que fomenta a reflexão sobre a necessidade de introduzir conceitos algébricos
desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. O resumo explicita que o objetivo do
trabalho é investigar como os alunos da 5ª série, atual 6º ano do Ensino Fundamental,
desenvolvem o pensamento algébrico. A proposta do minicurso foi de discutir e
problematizar a necessidade da introdução da álgebra antes da 5ª série (atual 6º ano),
ou seja, em turmas com crianças que atualmente compõem os anos iniciais do Ensino
Fundamental.
É importante destacarmos que ao fazermos a leitura dos títulos e
identificarmos a palavra-chave álgebra, líamos o resumo (quando este era
disponibilizado), mesmo que não tratasse especificamente sobre o ensino-
aprendizagem da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Essa leitura
54
investigativa nos levava a perceber alguns pontos específicos sobre os conteúdos,
abordagens, metodologias, principais dificuldades dos docentes e discentes. Uma
delas, como destacado anteriormente, é a relação que os pesquisadores apontaram
entre a álgebra e a geometria como estratégia para tornar a álgebra mais significativa.
Nas comunicações orais, o VI ENEM ofereceu um bloco temático sobre
educação algébrica. Dos treze trabalhos apresentados, pela leitura do título
selecionamos apenas duas comunicações científicas, porém, ao lermos o resumo,
apenas uma tratava sobre a álgebra com crianças, intitulada “É possível desenvolver
o pensamento algébrico no Ensino Fundamental?” (LIMA; FALCÃO, 1998, p. 510-
512). Na investigação, os autores abordaram a relevância do enfoque aritmética-
álgebra como um continuum na introdução de problemas algébricos com crianças a
partir de seis anos de idade.
O VII ENEM aconteceu na Universidade Federal do Rio de Janeiro, em 2001.
Dos títulos que apresentavam a palavra-chave álgebra, nenhum trabalho tratava sobre
o ensino-aprendizagem nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Partimos então para
a busca de trabalhos na oitava edição do evento.
O VIII Encontro Nacional de Educação Matemática ocorreu em Recife, no ano
de 2004. Da oitava edição, analisamos apenas o grupo de trabalho voltado para os
anos iniciais do Ensino Fundamental, no qual identificamos uma comunicação
científica intitulada “Lógico-histórico: uma perspectiva para o ensino da álgebra”
(MOURA; SOUSA, 2004), cujas autoras também ministraram um minicurso sobre a
mesma temática. Com a leitura dos trabalhos desse Grupo de Trabalho, verificamos
que as autoras apresentaram uma visão filosófica acerca da álgebra. Embora
inseridos no Grupo dos anos iniciais, as conclusões desses trabalhos aplicam-se a
qualquer nível de ensino, pois problematizam a abstração da álgebra e tratam sobre
a necessidade de (re)significar o seu ensino a partir da realidade dos alunos.
Em 2007, o IX ENEM aconteceu na Universidade de Belo Horizonte, em Belo
Horizonte, Minas Gerais. Dentre as comunicações científicas, localizamos a seguinte:
“Crianças de séries iniciais pensando em álgebra: uma comparação entre o uso de
ambientes computacionais e manipulativos” (FREIRE; FILHO, 2007). O texto
apresenta uma pesquisa de mestrado, na época, em andamento, que realizou
atividades para desenvolver, intuitivamente, os conceitos de incógnita, equivalência,
igualdade e desigualdade com alunos do 3º ano e 5º ano do Ensino Fundamental. Os
pesquisadores responsáveis pelo trabalho fizeram uso do método clínico piagetiano,
55
com perguntas que se modificam de acordo com as respostas dos participantes. A
pesquisa utilizou uma balança interativa de dois pratos que, como um jogo, tinha o
objetivo de fazer com que os alunos descobrissem o peso desconhecido para
equilibrar a balança. A análise se focou não no desempenho final dos estudantes, mas
nas estratégias no processo de resolução das situações-problema.
O X ENEM ocorreu em Salvador, no ano de 2010. O site do X ENEM organizou
os anais por eixos temáticos, dos quais investigamos apenas dois, que são: ensino-
aprendizagem em álgebra e Educação Matemática nos anos iniciais. No primeiro eixo,
encontramos apenas o trabalho de Porto at al. (2010), que se configura como um
relato de experiência. O texto apresenta uma experiência realizada com duas turmas
do 1º ano do Ensino Fundamental. As atividades desenvolvidas se focaram em
desafios para que as crianças vivenciassem situações de fomento à álgebra. No
segundo eixo, por sua vez, não foi encontrado trabalho com a temática de nosso
interesse.
O XI ENEM, ocorrido na Pontifícia Universidade Católica do Paraná, em
Curitiba, aconteceu no ano de 2013. No site do XI ENEM, pesquisamos por eixo
temático, os eixos escolhidos foram: formação de professores, pesquisa em educação
matemática e práticas escolares.
Identificamos um relato de experiência no eixo práticas escolares, que tratou
sobre a forma lúdica de desenvolver o pensamento algébrico, com o título “Clube da
matemática: atividades lúdicas para o ensino de álgebra” (OLIVEIRA; SILVA, 2013).
O texto relata a experiência de um Clube da matemática, realizado com alunos do
Ensino Fundamental em uma escola pública e destaca a aprendizagem por meio de
tarefas lúdicas como jogos e brincadeiras. De acordo com os autores, os alunos
precisam compreender o processo de construção das ideias matemáticas e não
apenas decorar procedimentos. Dessa forma, os estudantes participavam uma vez
por semana de um Clube da Matemática, as tarefas desenvolviam o conceito de
função, representações simbólicas e ideias intrínsecas ao conceito de equação.
Na modalidade Pôster, localizamos a publicação “Caracterização do
pensamento algébrico nos anos iniciais” (BONI; FERREIRA; GERMANO, 2013) que
teve como base as atividades do programa Early álgebra10, posto que professores do
10 Disponível em: <http://ase.tufts.edu/education/earlyalgebra/about.asp> Acesso em: 10 fev. 2017.
56
Ensino Fundamental resolveram e adaptaram situações-problema com ênfase na
interpretação e compreensão de símbolos.
Outro trabalho na modalidade pôster, identificado no eixo formação de
professores, foi “O desenvolvimento do pensamento algébrico com crianças do Ensino
Fundamental” (PIRES; DARIVA, 2013). O trabalho explica o que é álgebra, o que
significa pensamento algébrico e enfatiza que nos anos iniciais é preciso que os
alunos compreendam os símbolos, identifiquem generalizações e construam regras a
partir dessa percepção. As autoras realizaram oficinas com as atividades do programa
Early álgebra com professores do Ensino Fundamental, em seguida, os docentes
escreveram os objetivos das atividades respondidas, adaptaram os desafios para os
alunos do 3º e 4º ano. A última etapa ainda não tinha sido realizada na época da
publicação do texto, mas os autores pretendiam realizar as atividades com as
crianças. Podemos destacar nesse trabalho a ideia defendida pelos autores sobre a
reflexão acerca da relevância do desenvolvimento do pensamento algébrico e sua
colaboração no raciocínio lógico matemático. O foco dos pesquisadores acerca do
pensar algébrico se encontra principalmente na percepção, identificação de
regularidades, padrões e processo de generalização.
O XII ENEM aconteceu no ano de 2016, na Universidade Cruzeiro do Sul, em
São Paulo. Em seus anais verificamos apenas duas comunicações científicas de
nosso interesse, intituladas “Indícios de generalização da linguagem algébrica
simbólica por estudantes do clube de matemática” (OLIVEIRA; CEDRO, 2016) e “Um
mapeamento de teses e dissertações que abordam o ensino e a aprendizagem da
álgebra no ensino fundamental no Brasil” (RODRIGUES, 2016).
O primeiro objetiva apresentar indícios de generalização da linguagem
algébrica. Os autores realizaram atividades dentro de um Clube da Matemática com
doze crianças do Ensino Fundamental, em uma escola municipal de Goiânia. Os
pesquisadores utilizaram o registro escrito, oral, gravações audiovisuais, rodas de
conversa e diário de campo dos pesquisadores como instrumentos de análise. As
tarefas objetivavam que as crianças percebessem a necessidade de compreender a
linguagem algébrica no cotidiano e dos conceitos de equivalência e variável de forma
lúdica, com trilha, boliche, ludo e outros jogos e brincadeiras.
A segunda comunicação científica aborda o ensino-aprendizagem da álgebra
no Ensino Fundamental no Brasil (RODRIGUES, 2016). O trabalho apresentou o
resultado de uma pesquisa que objetivou demonstrar o Estado da arte no Portal de
57
Periódicos da Capes sobre a álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Os
resultados da investigação demonstraram que há carência de trabalhos com a
temática voltada para os primeiros ciclos do Ensino Fundamental, pois a maior parte
das pesquisas identificadas possuíam como foco os anos finais e o Ensino Médio.
Na modalidade de relato de experiência, identificamos um trabalho intitulado
“Mapeamento de trabalhos sobre pensamento algébrico nos anos iniciais
apresentados nos ENEM (1998 – 2013)” – (LIMA, 2016). A pesquisa analisou os anais
do VI ao XI ENEM, enquanto a nossa investigação foi realizada nos anais do I ENEM
ao XII ENEM. O estudo de Lima (2016), assim como o nosso, assinala poucas
recorrências de pesquisas sobre o pensamento algébrico nos anos iniciais no
Encontro Nacional de Educação Matemática. O autor ainda aponta a importância de
levantamentos de Estado da arte em eventos como o ENEM, visto que, além de
conhecer globalmente os estudos apresentados no evento, possibilita a identificação
de lacunas, convergências e divergências dos trabalhos dentro de uma mesma
temática.
O pesquisador destacou o papel da álgebra no desenvolvimento do raciocínio
lógico-matemático. Além disso, assim como nós, refletiu sobre o destaque dado nos
novos documentos oficiais acerca da álgebra para crianças, como o documento da
Base Nacional Comum Curricular e o orientador dos direitos de aprendizagem do ciclo
de alfabetização.
Na modalidade de minicurso, identificamos um trabalho que trata sobre a
álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, intitulado “O pensamento algébrico
nos anos iniciais do Ensino Fundamental” (SANTOS; MOREIRA, 2016). O texto
apresenta seis tarefas realizadas com alunos dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, o trabalho possibilitou a reflexão sobre as diferentes estratégias
possíveis para desenvolver o ensino-aprendizagem da álgebra, dentre elas o uso de
tarefas com foco na identificação de regularidades.
Ao finalizarmos na XII edição do ENEM, concluímos que a realização do
Estado da arte nos anais do evento foi de suma importância, pois possibilitou a
construção de uma visão global sobre o ensino-aprendizagem da álgebra no Brasil,
nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Em síntese, verificamos pelas leituras dos
textos, que as pesquisas concentram suas intervenções com foco na identificação de
padrões e regularidades e as tarefas são baseadas em:
● Abordagens lúdicas, como jogos e brincadeiras e
58
● Situações-problemas.
Que relacionam a álgebra com os conteúdos:
● Da geometria e
● Da aritmética.
As tarefas propostas para os alunos são organizadas da seguinte forma:
● Em grupos e
● Após a realização da tarefa, existe um momento de discussão e
retomada das atividades executadas.
Embora nossa proposta abranja alguns pontos identificados no levantamento
do Estado da arte, seu diferencial inclui o fato de ser uma abordagem com base na
Teoria da Objetivação (TO), no que diz respeito a estrutura organizacional da atividade
e análise da mesma, assim como na concepção de ensino-aprendizagem, saber,
conhecimento, aluno e professor.
Realizar o Estado da arte nos documentos, no Portal de Periódicos e nos
anais do ENEM, foi importante para delinearmos nosso foco de investigação.
Verificamos, por exemplo, que muitas pesquisas, ao abordarem a álgebra com
crianças, tratam sobre o trabalho com padrões e sequências, sendo assim, optamos
por apresentar outro diferencial: explorar a ideia de equivalência e o símbolo de
igualdade em turmas de 4º e 5º ano com a presença de uma incógnita (termo
desconhecido), conforme apresentado em materiais que se concretizam diretamente
em práticas escolares, como a BNCC e livros didáticos de matemática. Para isso,
iniciamos uma nova etapa no processo de Estado da arte, apresentada na próxima
seção.
2.3 Estado da arte - equivalência e símbolo de igualdade nos anos iniciais: portal
de periódicos
A partir do levantamento de dados acerca da álgebra nos anos iniciais do
Ensino Fundamental realizado nos anais do ENEM - da primeira à décima segunda
edição do evento, verificamos que são poucas as investigações com foco no trabalho
com a noção de equivalência e o símbolo de igualdade, por isso, optamos por explorar
em nossa atividade, o símbolo de igualdade a fim de investigar a caracterização, a
partir da Teoria da Objetivação, de estratégias de pensamento suscitadas em tarefas
59
que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido, no
processo de introdução da álgebra com crianças de 4º e 5º ano do Ensino
Fundamental. Assim, iniciamos uma nova etapa no processo de Estado da arte:
verificar pesquisas que tratam sobre a noção de equivalência e o símbolo de igualdade
nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
A princípio, apontamos o que a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL,
2017) aponta sobre o nosso foco investigativo e identificamos que a BNCC orienta
acerca da necessidade de um trabalho sistemático com as noções de igualdade e
equivalência desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, de acordo com o
documento,
A relação de equivalência pode ter seu início com atividades simples, envolvendo a igualdade, como reconhecer que se 2 + 3 = 5 e 5 = 4 + 1, então 2 + 3 = 4 + 1. Atividades como essa contribuem para a compreensão de que o sinal de igualdade não é apenas a indicação de uma operação a ser feita (BRASIL, 2017, p. 226).
Como apontado pela BNCC, o símbolo de igualdade representa no senso
comum apenas a indicação do resultado de uma operação, contudo, o Documento
destaca que o símbolo representa mais do que uma operação a ser realizada e nos
chama atenção para o trabalho com a noção de equivalência. Kieran, em 1981, já
realizava pesquisas sobre esse assunto. A autora investigou sobre o significado do
símbolo de igualdade com crianças e, em suas análises, percebeu que a maioria das
crianças, até mesmo as de 12 a 14 anos reconheciam o símbolo de igual apenas como
“sinal de fazer algo” (KIERAN, 1981, p. 321).
Van de Walle (2009), ao tratar sobre a Matemática no Ensino Fundamental,
também destaca a relevância da compreensão acerca do sinal de igualdade,
primeiramente porque os alunos precisam compreender que o sistema numérico é
marcado por diversos tipos de relações e o sinal de igualdade expressa relações a
partir das ideias de propriedades numéricas, como a distributiva, por exemplo. Em
segundo lugar, Van de Walle (2009) também aponta que dificuldades na compreensão
das diversas possibilidades do sinal de igualdade refletem na aprendizagem de
expressões algébricas.
Trivilin (2014) destaca que a compreensão do símbolo da igualdade a partir
de contextos diversos é fundamental para que as crianças dos anos iniciais do Ensino
60
Fundamental façam uso do raciocínio de natureza algébrica, mesmo sem operar com
equações.
Falkner, Levi e Carpenter (1999) abordam o conceito de igualdade e explicam
que a sua compreensão é crucial para o desenvolvimento do pensamento algébrico
em crianças e a compreensão de equações. Ainda enfatizam a discussão nas aulas
como um elemento chave no desenvolvimento do pensamento algébrico e sua relação
com a aritmética, visto que
Tais discussões sobre sentenças numéricas deram às crianças um contexto importante para discutir a igualdade durante todo o ano letivo. À medida que avançou, discussões sobre igualdade se integraram a discussões sobre outros conceitos aritméticos algébricos11 (FALKNER, LEVI E CARPENTER, 1999, p. 235, tradução nossa)
Sendo assim, optamos, nesta pesquisa, pelo foco na noção de equivalência e
símbolo de igualdade. Nessa perspectiva, realizamos o Estado da arte no Portal de
Periódicos da Capes, a fim de conhecermos e nos aprofundarmos nos conceitos
referentes ao estudo do referido símbolo.
Dos nove trabalhos localizados com o termo “noção de equivalência”, após a
leitura do resumo, selecionamos dois que tratavam sobre o estudo da equivalência
matemática na álgebra. No primeiro artigo, Hummes, Breda e Meneguetti (2018)
apontam que muitas das dificuldades em equações dos alunos no Ensino Médio,
devem-se a um ensino não significativo na álgebra no Ensino Fundamental, por isso,
os autores propõem um trabalho sistemático com o uso da balança de dois pratos com
o objetivo de propiciar o aprofundamento de conceitos relacionados ao estudo das
equações de 1º grau.
O segundo artigo selecionado, de autoria de Trivilin e Ribeiro (2015), aponta
questões relacionadas à formação do professor quanto ao ensino da matemática, com
foco nas diferentes ideias do símbolo de igualdade. O artigo nos chama atenção para
a necessidade dos professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental se formarem
continuamente nos conhecimentos de conteúdo, pedagógico e curricular.
11 Texto original: “Such discussions about number sentences gave the children an important context for discussing equality throughout the school year. As the progressed, discussions about equality became integrated with discussions about other algebraic arithmetic concepts”.
61
Ressaltamos que no Portal de Periódicos foram localizados poucos trabalhos
com os termos mencionados, porém, os artigos encontrados possibilitavam o
conhecimento de diversos referenciais sobre o tema.
Em um segundo momento, utilizamos o termo “símbolo de igualdade” no
Portal de Periódicos das Capes e o único trabalho localizado não tratava de modo
específico sobre tal símbolo.
Inserimos outros termos, como por exemplo, “símbolo de igual”, mas não
foram localizados trabalhos relacionados ao ensino da matemática. Com a palavra
“igualdade matemática”, o portal identificou três artigos e um livro que não continham
relação direta com nosso trabalho. Ainda tentamos com os termos “equações com a
balança”, “balança e equações”, mas não foram encontradas nenhuma ocorrência.
Em suma, após nossa investigação no Portal de periódicos da Capes,
verificamos um número limitado de pesquisas acerca do tratamento ao símbolo de
igualdade e noção de equivalência, com os termos utilizados na busca.
Partimos, então, para a busca de pesquisas com a Teoria da Objetivação,
uma vez que essa Teoria baliza nossa investigação no aspecto estrutural da
metodologia e nas análises das tarefas. Verificamos inicialmente as pesquisas no
catálogo de teses e dissertações da Capes12. Em seguida, buscamos no site13 de Luís
Radford pesquisas desse autor que tratam sobre a álgebra e o pensamento algébrico.
2.4 Estado da Arte da Teoria da Objetivação
Nesta pesquisa, considerando os aspectos mencionados na introdução e nos
tópicos anteriores, optamos por caracterizar, a partir da Teoria da Objetivação,
estratégias de pensamento demonstradas por crianças 4º e 5º ano do Ensino
Fundamental do NEI/CAP-UFRN, no processo de introdução da álgebra, em tarefas
que abordam sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido. A
Teoria da Objetivação – TO (RADFORD, 2017a, p. 97) é uma teoria sociocultural que
Baseia-se na ideia fundamental de que a aprendizagem é tanto saber quanto tornar-se. Em outras palavras, a aprendizagem não pode se limitar ao eixo do conhecimento, mas deve também abordar o eixo do ser: o eixo dos sujeitos. A Teoria da Objetivação considera o objetivo
12 Disponível em: < http://catalogodeteses.capes.gov.br> Acesso em 10 fev 2018.
13 Disponível em: <http://luisradford.ca/publications/> Acesso em: 20 mar 2018.
62
da educação matemática como um esforço dinâmico, político, social, histórico e cultural que busca a criação dialética de sujeitos reflexivos e éticos que se posicionam criticamente em discursos e práticas matemáticas que se constituem histórica e culturalmente, discursos e práticas que estão em constante evolução14 (RADFORD, 2017a, p. 97, tradução nossa).
De acordo com seu mentor, Luís Radford, a Teoria da objetivação (TO) é uma
teoria de ensino-aprendizagem que se preocupa com fenômenos relativos ao
processo de ensinar-aprender. Uma teoria de ensino-aprendizagem basicamente se
constitui para responder o quê, o porquê, como e quem aprende, ou seja, atenta para
os aspectos ontológicos (essência dos objetos de conhecimento) e epistemológicos
(como os objetos de conhecimento são aprendidos). Nesta teoria, os conceitos de
saber, conhecimento, aluno, professor, ensino-aprendizagem são ressignificados,
tendo como base a perspectiva sociocultural15.
Nosso processo de verificação inicial do Estado da Arte da TO foi registrado
em Gomes, Paiva e Noronha (2018). Fizemos um levantamento de teses e
dissertações produzidas no Brasil, que utilizam a TO como referencial teórico.
Buscamos trabalhos no catálogo on-line de teses e dissertações da Capes. No total,
localizamos as seguintes ocorrências.
Quadro 6 – Trabalhos identificados que utilizam a TO
Ano Tipo de Pós Autor Título Instituição
2008 Doutorado FERNANDES, Solange Hassan Ahmad Ali
Das experiências sensoriais aos conhecimentos matemáticos: uma análise das práticas associadas ao ensino e aprendizagem de alunos cegos e com visão subnormal numa escola inclusiva.
Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo
2010 Mestrado MARTINS, Elen Graciele.
O papel da percepção sonora na atribuição de significados matemáticos para números racionais por pessoas cegas e pessoas com baixa visão.
Universidade Anhanguera de
São Paulo
14 Texto original: “Se basa em la ideia fundamental de que el aprendizaje es tanto conocer como devenir. En otras palavras, el aprendizaje no puede ser limitado al eje del conocimiento sino que debe abordar también el eje del ser: el eje de los sujetos. La teoria de la objetivación considera la meta de la educación matemática como un esfuerzo dinâmico, político, social, histórico y cultural que busca la creación dialéctica de sujetos reflexivos y éticos que se posicionam criticamente en discursos y prácticas matemáticas que se constituyen histórica y culturalmente, discursos y prácticas que están em permanente evolución”.
15 No capítulo 3, explicamos com um maior detalhamento sobre a TO e as concepções de atividade, saber, conhecimento e ensino-aprendizagem.
63
2012 Mestrado SERINO, Ana Paula Albieri.
Uma abordagem inclusiva para transformações geométricas: o caso de alunos cegos.
Universidade Anhanguera de
São Paulo
2012 Mestrado VELLOSO, Débora Silva
O desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica no Ensino Fundamental: Análise de tarefas desenvolvidas em uma classe do 6º ano.
Universidade Federal de Ouro
Preto
2013 Mestrado CARRILHO, Ronaldo
O micromundo ritmática: uma abordagem multissensorial para os conceitos de razão e proporção.
Universidade Anhanguera de
São Paulo
2016 Mestrado BISSI, Tiago Álgebra e História da Matemática: análise de uma proposta de ensino a partir da matemática do antigo Egito.
Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia do Espírito Santo
2016 Mestrado DONADO, Cristiano Campos
Vozes das mãos e sons dos olhos: discursos algébricos de surdos usuários da Língua Brasileira de Sinais – Libras.
Universidade Anhanguera de
São Paulo
2016 Doutorado SILVA, Filardes de Jesus Freitas da
Do campo para sala de aula: experiências matemáticas em um assentamento rural no oeste maranhense.
Universidade Federal do Pará
2016 Doutorado MINISINI, Emigudrud
A evolução do sentido para a noção de função afim para um grupo de estudantes de Licenciatura em Matemática.
Universidade Anhanguera de
São Paulo
2016 Doutorado GOMES, Severino Carlos.
Teorias de aprendizagem em matemática: um estudo comparativo à luz da Teoria da Objetificação.
Universidade Federal do Rio
Grande do Norte
Fonte: Gomes; Paiva e Noronha (2018, p. 6)
Dos trabalhos localizados, consideramos apenas os 10 que foram expostos
no Quadro 6, visto que, em nossa consulta inicial, ao analisarmos os títulos e resumos,
verificamos ocorrências repetidas e alguns apenas citam Luís Radford, mas não
utilizam a Teoria da Objetivação em seu marco teórico.
É possível evidenciar, pelo que foi demonstrado no Quadro 6, que 50% dos
trabalhos foram publicados no ano de 2016. Ainda destacamos em nosso artigo
(GOMES; PAIVA; NORONHA, 2018), que 60% dos 10 trabalhos selecionados utilizam
a Teoria da Objetivação como um dos principais fundamentos teóricos. Os principais
textos de Luís Radford citados nessas pesquisas foram:
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Quadro 7 – Textos de autoria de Luís Radford mais citados em pesquisas acadêmicas
Referências citadas nos trabalhos
RADFORD, L. Elementos de una teoría cultural de la objetivación, Relime - Revista latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Número Especial. 2006. 103-129.
RADFORD, L. Cognição matemática: história, antropologia e epistemologia. Organização e tradução de Bernadete Morey e Iran Abreu Mendes. São Paulo: Livraria da Física, 2011.
RADFORD, L. Introducción Semiótica y Educación Matemática. Revista Latinoamericana de Investigación in Matemática Educativa (Relime), número especial. 2006. p.7-21.
Fonte: Adaptado de Gomes; Paiva e Noronha (2018, p. 9)
Os textos mais citados, conforme evidencia o Quadro 7, são aqueles que
tratam principalmente da fundamentação da Teoria da Objetivação, que inclui a base
filosófica e epistemológica, o aspecto semiótico e os elementos concernentes ao
ensino-aprendizagem na perspectiva da TO.
Como já citado anteriormente, a busca dos textos nos possibilitou visualizar,
de forma geral e direta, alguns trabalhos que tenham relação com a Teoria que
embasa o aspecto teórico e metodológico do nosso estudo, de modo a permitir um
mapeamento ao consultar os títulos, resumos, trabalhos completos, metodologia e
referências.
É importante elucidarmos que nosso objetivo foi apenas conhecer quais
pesquisas estavam registradas no banco de teses e dissertações em um determinado
período com o fim de uma investigação geral, para podermos verificar em que medida
poderíamos contribuir com a disseminação da Teoria da Objetivação na pesquisa
brasileira. Tal justificativa é relevante, pois no site de Luís Radford, estão disponíveis
todas as publicações do autor, tanto as pesquisas em língua portuguesa quanto em
outros idiomas. Optamos, então, por pesquisar apenas com o intuito de conhecermos
pesquisas acadêmicas que utilizavam Radford e sua Teoria da Objetivação como
principais referências.
De acordo com as leituras dos textos localizados em nossa pesquisa de
Estado da Arte da Teoria da Objetivação, produzimos e registramos em Gomes, Paiva
e Noronha (2018, p. 11) o conteúdo do Quadro 8, que sintetiza as principais palavras-
chave que fundamentam a TO, são elas:
65
Quadro 8 – Palavras-chave que sintetizam aspectos da fundamentação, da metodologia e os principais conceitos da Teoria da Objetivação
Fonte: Adaptado de Gomes; Paiva e Noronha (2018, p. 11)
Nossa pesquisa inicial de Estado da arte da Teoria da Objetivação permitiu
evidenciarmos que os trabalhos fundamentados com essa Teoria ainda possuem um
quantitativo mínimo, com poucas publicações registradas no catálogo de teses e
dissertações da Capes. Contudo, pelo que foi verificado em nosso levantamento,
destacamos que o número de trabalhos cresceu a partir de 2016.
O Quadro 8 apresenta uma síntese dos principais conceitos abordados pela
TO quanto à metodologia, fundamentação teórica e principais palavras-chaves para
estudo relacionado a essa Teoria. Trataremos sobre alguns desses conceitos no
capítulo 3, que caracteriza a TO.
Como mencionado anteriormente, no site16 de Luís Radford são
disponibilizadas várias publicações dea sua autoria e coautoria. Sendo assim, após
realizarmos buscas no catálogo de teses e dissertações da Capes, partimos para a
16 Disponível em: < http://luisradford.ca/> Acesso em: 10 jul 2019.
Palavras-chave quanto a
Fundamentação teórica da TO
Hegel
Marx
Vygotsky
Palavras-chave quanto aos aspectos metodológicos da TO
Alteridade
Atividade
Professor-colaborador
Conceitos-chave da TO
Cultura
Pensamento
Semiótica
Ensino-aprendizagem
Saber
Conhecimento
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busca de textos no site do autor que apresentam o termo álgebra ou algébrico no
título.
Quadro 9 – Publicações de Luís Radford que tenham o termo álgebra/algébrico no título17
Título Ano da publicação
Teaching and learning (algebra or something else): Working together to make sense of similarities and differences between theories (and understanding oneself).
2018
The emergence of symbolic algebraic thinking in primary school. 2018
The progressive development of early embodied algebraic thinking. 2014
On the development of algebraic thinking. 2012
Early algebraic thinking: Epistemological, semiotic, and developmental issues. 2012
Embodiment, perception and symbols in the development of early algebraic thinking. 2011
Elementary Forms of Algebraic Thinking in Young Students. 2010
Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. 2010
Signs, gestures, meanings: Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. 2010
Iconicity and Contraction: A Semiotic Investigation of Forms of Algebraic Generalizations of Patterns In Different Contexts.
2008
Perceiving the General. The Multi-Semiotic Dimension of Students’ Algebraic Activity.
Coautoria: Cristina Seabra
2007
Syntax and Meaning as Sensuous, Visual, Historical Forms of Algebraic Thinking.
Coautor: Luis Puig
2007
Perceptual semiosis and the microgenesis of algebraic generalizations.
Coautores: Caroline Bardini e Cristina Sabena
2006
The Cultural-Epistomological Conditions of the Emergence of Algebraic Symbolism. 2006
Algebraic Thinking and the Generalization of Patterns: A Semiotic Perspective. 2006
Narratives, expressions algébriques et calcul formel : de la constitution à la transformation du sens.
2003
Algebra as Tekhnē: Artefacts, Symbols and Equations in the Classroom. 2002
Crafting an algebraic mind: intersection form history and the contemporary mathematics classroom.
2002
The historical origins of algebraic thinking. 2001
17 Os trabalhos são de autoria de Radford e alguns textos foram escritos em coautoria. Apresentamos os coautores abaixo do título principal dos textos, no Quadro 9.
67
Factual, Contextual and Symbolic Generalizations in Algebra. 2001
Students’ processes of symbolizing in algebra. A semiotic analysis of the production of signs in generalizing tasks.
2000
Signs and meanings in students’ emergent algebraic thinking: A semiotic analysis 2000
El aprendizaje del uso de signos en álgebra. Una perspectiva post-vigotskiana. 1999
The roles of Geometry and Arithmetic in the Development of Elementary Algebra: Historical Remarks from a Didactic Perspective.
1996
Some Reflections on Teaching Algebra Through Generalization. 1996
Entre les idées, les choses et les symboles. Une séquence d’enseignement d’introduction à l’algèbre.
1996
On the dialectical relationships betweensymbols and algebraic ideas.
Coautora: Monique Grenier
1996
Quadratic equations: Re-inventing the formula. A teaching sequence based on the historical development of algebra.
Coautor: Georges Guérette
1996
L’émergence et le développement conceptuel de l’algèbre [The emergence and conceptual development of algebra].
1995
Before the other unknowns were invented: didactic inquirieson the methods and problems of medieval Italian algebra.
1995
L’algèbre comme outil de démonstration 1993
Le raisonnement algébrique: une réflexion épistémologique. 1993
Arithmetical and Algebraic Thinking in Problem-Solving
Coautores: Nadine Berdnarz, Bernadette Janvier e André Lepage
1992
Diophante et l’algèbre pré-symbolique 1992
Le raisonnement algébrique dans la résolutionde problèmes écrits: un modèle d’interaction de représentations
1992
Sen 2° y los numeros algebraicos en el sentido de abel. 1990
Fonte: Produzido pela autora
Na página virtual localizamos 3618 trabalhos que possuíam o termo álgebra e
algébrico no título. Esse levantamento demonstrou que o autor possui grande
interesse na temática, pois, suas primeiras publicações registradas no site já se
18 A página ainda apresentava outros dois títulos, mas como não exibia o trabalho na íntegra, optamos
por registrar no quadro apenas as publicações que continham o acesso ao texto completo.
68
relacionavam ao ensino-aprendizagem da álgebra, pelo que observamos no título dos
artigos.
A página on line expõe e organiza as publicações do autor anualmente. Os
primeiros textos expostos são da década de 80, assim, verificamos artigos sobre a
álgebra com referência registrada nos anos de 1982, 1988 e 1989. Quanto à década
de 90, o site apresenta publicações de 1992 a 1999. A partir dos anos 2000,
verificamos publicações do ano de 2000 a 2019 que apresentam o termo
álgebra/algébrico no título. Dos 36 textos selecionados, nenhum foi escrito no idioma
português, apenas em espanhol, inglês e francês.
Apenas pela leitura dos títulos é possível sinalizar que Radford destaca em
seus textos a relação da álgebra com os meios semióticos, salienta o desenvolvimento
do pensamento algébrico com crianças principalmente relacionado as generalizações
de padrões numéricos e geométricos. Ressaltamos que não identificamos no
levantamento inicial, artigos de Radford que tratem especificamente sobre a noção de
equivalência e o símbolo de igualdade relacionados à álgebra.
Após este mapeamento geral, no próximo capítulo especificaremos aspectos
teóricos fundamentais da Teoria da Objetivação para a presente investigação.
69
3 TEORIA DA OBJETIVAÇÃO E OS CONCEITOS DE ATIVIDADE, SABER,
CONHECIMENTO E ENSINO-APRENDIZAGEM
No presente capítulo, abordamos elementos fundamentais da Teoria da
Objetivação para esta investigação. Iniciamos apresentando nossa definição da TO e,
em seguida, discutimos acerca das concepções de atividade, saber, conhecimento e
processo de ensino-aprendizagem.
De acordo com Radford (2020), a TO é uma teoria de ensino-aprendizagem
sociocultural que se foca no eixo do aprender e do ser (tornar-se). Esta Teoria se apoia
fortemente na semiótica e tem como base estudos de Marx, Hegel e Vygotsky. A TO
se baseia nesses estudiosos no que diz respeito principalmente a noção de homem e
cultura como consubstanciados, por isso, a Teoria da Objetivação se insere numa
perspectiva sociocultural. Ou seja, é pela e na cultura que os sujeitos se formam e se
desenvolvem integralmente. Para a TO, o homem é um ser integral, que não pode ser
concebido e desenvolvido aquém da cultura na qual está inserido, destarte, o
processo de ensino-aprendizagem é cultural e social.
Vergel (2014, p. 37, tradução nossa), ao tratar sobre a caracterização da
cultura, esclarece que a mesma é um
complexo que serve para nomear a acumulação de conhecimentos, conceitos, técnicas, atividades, crenças e valores, expressos em símbolos e práticas, que caracterizam qualquer grupo humano, e que é geralmente transmitido - embora não mecanicamente - no tempo (de uma geração para outra) e no espaço (de um lugar para outro)19.
O papel da cultura é um aspecto central na TO, uma vez que, como destacado
anteriormente, é pela e na cultura que os seres humanos se desenvolvem e atribuem
significados. Considerando isso, a TO concebe o ensino-aprendizagem como um
processo cultural e atenta para os elementos que envolvem o movimento de encontro
dos indivíduos com os objetos matemáticos. Nesse contexto, a TO se preocupa com
aspectos referentes ao o quê, como e para que se educa. Além disso, atenta para o
ser (tornar-se), ou seja, não foca apenas no eixo da cognição, posto que assume a
19 Texto original: “complejo que sirve para nombrar el cúmulo de conocimientos, conceptos, técnicas, actividades, creencias y valores, expresados en símbolos y prácticas, que caracterizan a cualquier grupo humano, y que suele transmitirse aunque no mecánicamente- en el tiempo (de una generación a otra) y en el espacio (de un lugar a otro)”.
70
Educação Matemática como “um esforço político, social, histórico e cultural dirigido a
criação dialética de sujeitos reflexivos e éticos que se posicionam criticamente em
práticas matemáticas constituídas histórica e culturalmente20” (RADFORD, 2020, p.
16, tradução nossa). Assim, a TO propõe uma matemática que considera os modos
culturais de pensar e agir no mundo e os elementos semióticos implicados no
processo de encontro e familiarização com os objetos matemáticos já constituídos
histórico e socialmente. Nesse sentido Morey (2020, p. 67) destaca que a TO é uma
teoria de abordagem semiótica, isto é,
os pressupostos básicos da TO são definidos em termos que recorrem aos signos. Os signos, por sua vez, desempenhando o papel de comunicação e expressão, participam de todo o processo de ensino e aprendizagem: no processo de refinamento das formas de pensar e agir que levam à constituição do saber; no labor conjunto que conduz à materialização do saber em conhecimento, no esforço para objetivar as formas culturais de pensamento e ação; nos processos de objetivação e subjetivação (MOREY, 2020, p. 67)
No processo de conhecer (objetivação) e ser (subjetivação), a Teoria da
Objetivação faz uso dos signos/registros semióticos, não limitando esses a meras
representações, mas compreendendo-os como estruturas dotadas de significações
culturais. Para Radford (D’AMORE; RADFORD; BAGNI, 2017), a matemática pode
ser expressa através de signos, como os símbolos matemáticos escritos, mas também
por meio de palavras faladas, ações, gestos que refletem modos de pensar e agir
sobre o mundo.
Sendo assim, podemos dizer que a TO é uma teoria de ensino-aprendizagem
que (1) concebe e ensino e a aprendizagem como um único processo que implica
tanto o saber como o ser; (2) se apoia em uma base filosófica, que é o materialismo
dialético, e na escola de pensamento de Vygotsky, no sentido de considerar homem
e cultura como consubstanciados; (3) tem uma abordagem semiótica.
Fundamentados nessa perspectiva, objetivamos caracterizar, a partir da TO,
as estratégias de pensamento suscitadas em crianças do Ensino Fundamental (4º e
5º ano do NEI/CAp-UFRN) no processo de introdução da álgebra. Para realizar a
referida caracterização tomamos como base as concepções teóricas de atividade
20 Texto original: “un esfuerzo político, social, histórico y cultural dirigido a la creación dialéctica de sujetos reflexivos y éticos que se posicionan críticamente en prácticas matemáticas constituídas histórica y culturalmente”.
71
(labor conjunto), saber, conhecimento, bem como da definição de processo de
ensino-aprendizagem propostas pela TO, abordagem utilizada na organização e na
análise das tarefas.
A compreensão de tais categorias deu-se no intuito de embasar nossa
abordagem teórica e metodológica, já que utilizamos a TO na organização (aspecto
estrutural e na concepção relacional dos sujeitos) e na análise das tarefas. Nas
próximas seções abordamos, em detalhes, o significado de atividade para a TO, assim
como das concepções de saber e conhecimento para, discutir e esclarecer sobre o
significado do processo de ensino-aprendizagem pela vertente desta teoria.
3.1 Atividade: um conceito central para a Teoria da Objetivação
A atividade para a TO é denominada de labor conjunto. A ideia de labor
decorre de Leóntiev (1978) e tem relação com o papel da prática, da objetivação, do
concreto e da coletividade no processo de atualização do saber em conhecimento.
Diferentemente da concepção subjetivista, que enfatiza o pensamento e a razão ao
invés do que é material, a TO se fundamenta em Marx, que defende que o homem é
determinado pelos processos de vínculos reais e vice-versa (LEÓNTIEV, 1978).
Em suma, a atividade para a TO fundamenta-se na noção de que o ser
humano é parte da natureza e satisfaz suas necessidades através da atuação no meio
social. Portanto, para a TO, a atividade humana não é considerada meramente
instrumental, mecânica e nem uma série de ações coordenadas, mas é dinâmica, um
meio de expressar a vida.
No processo de ensino-aprendizagem, a atividade não se resume a um
momento de realização de uma simples tarefa escolar. Para a TO, a atividade possui
um conceito mais amplo, que contém objetivos e estratégias para se alcançar o fim
pretendido e ainda, em seu conceito, enfatiza o papel cultural, dos signos e de seu
uso pelos sujeitos. No labor conjunto acontece uma série de ações mobilizadoras
(discussões orais entre alunos-alunos, alunos-professores, registros escritos, uso de
gestos, dentre outros), de diferentes naturezas (social, cognitiva, dentre outras) que
fomentam o encontro dos envolvidos com o saber matemático.
Assim, para a TO, a aprendizagem acontece na atividade, isto é, no labor
conjunto (RADFORD, SABENA, 2015). Por isso, a Teoria da Objetivação legitima a
atividade como um conceito-chave, apresentando-a como um conceito central no
72
processo de ensino-aprendizagem. Dessa forma, na presente investigação, nos
baseamos em Radford (2006a, 2013, 2017c) para afirmarmos que o encontro,
reconhecimento e familiarização dos sujeitos com o saber algébrico, isto é, o ensino-
aprendizagem da álgebra, ocorre na atividade ou labor conjunto. Para Radford
A atividade deve ser vista como uma fonte de vida; um esforço conjunto em que passamos a agir, pensar e sentir juntos [...]. Minha tese, para resumir, é que devemos conceber a atividade como um esforço conjunto, e o trabalho conjunto, como um trabalho de estudantes e de professores e alunos trabalhando lado a lado, protegidos em formas não individualistas de cooperação humana e formas comunitárias de produção de saberes (RADFORD, 2017c, p. 156, tradução nossa21).
Ou seja, ensinar-aprender é eminentemente social. Considerar o processo de
ensino-aprendizagem como social significa dizer que ele não ocorre de modo
espontâneo. Para Vygotsky (2008), a aprendizagem ocorre através da relação entre
o sujeito e o objeto de conhecimento, essa relação ocorre por meio de instrumentos,
ou seja, o instrumento é um mediador. Contudo, quanto à função mediadora dos
instrumentos, Radford (2018a) e Radford e Sabena (2015) defendem que os
instrumentos semióticos não são simplesmente mediadores, mas que fazem parte do
processo de materialização do conhecimento. Na atividade, os meios semióticos
compõem o pensamento algébrico e não apenas o mediam. Vergel e Rojas (2018)
recorrem à TO para enfatizar que pensar é um modo de agir e refletir, essa ação-
reflexão sobre o mundo ocorre por artefatos, pelo corpo, com o uso de gestos, de
movimentos, dentre outros. Dessa forma, a atividade é semiótica, uma vez que
considera os significados culturais dos diferentes recursos/meios semióticos no
processo de objetivação, ou seja, no processo de ensino-aprendizagem, como
demonstra Vergel e Rojas (2018).
Outro aspecto importante a ser ressaltado neste tópico, é o papel do outro,
destacado por Radford (2017c) ao denominar a atividade de labor conjunto. Na
perspectiva da TO, o outro tem um papel essencial no processo de objetivação
(conhecer). A sala de aula se define como uma rede de relações coletivas e
21Texto original: “La actividad debe ser vista como una fuente de vida; una labor conjunta en que llegamos a actuar, pensar y sentir juntos [...]. Mi tesis, para decirlo brevemente, es que debemos concebir la actividad como labor conjunta, y la labor conjunta como una labor de estudiantes, y de docentes y estudiantes que trabajan hombro con hombro, amparados en formas no individualistas de cooperación humana y formas comunitarias de producción de saberes”.
73
colaborativas. Assim, o professor e os alunos assumem papeis de agentes, com foco
não em um resultado final, mas no processo de produzir colaborativamente algo
(RADFORD, 2018b) com uma postura de relações horizontais entre professor-aluno,
aluno-professor e aluno-aluno, sem dicotomias ou superioridade. No ambiente de
aprendizagem a TO enfatiza que não se deve atentar apenas para a aquisição e
internalização de habilidades como um produto final, mas para o papel dos
participantes, suas diferentes linguagens, posicionamentos críticos e postura ao lidar
com diversas situações e os meios/recursos semióticos demonstrados pelos sujeitos.
Assim, nosso foco de ensino-aprendizagem encontra-se em fatores mais
amplos do que os aspectos puramente internos (cerebrais, cognitivos) dos sujeitos,
posto que a aprendizagem ocorre no labor conjunto. O labor, conforme esclarecido,
não se limita a uma série de procedimentos técnicos para o alcance de um objetivo,
mas se constitui como uma rede de relações colaborativas que considera
principalmente o processo e não apenas o produto, num contexto em que o saber não
é exclusivo do professor e nem do aluno. Nas relações éticas do labor conjunto “não
há linha divisória entre eu e o outro, há espaço para um compromisso verdadeiro entre
os participantes da atividade22” (RADFORD, 2017c, p. 140, grifo do autor, tradução
nossa).
Essa proposição de atividade como um trabalho conjunto e colaborativo na
TO, se coaduna com a perspectiva freireana da pedagogia crítica. Nela, o aluno não
é concebido como um ser indiferente e apático que apenas recebe conteúdos do
professor, como se este fosse o único detentor de saberes. A ênfase na obtenção de
capacidades não é o foco da TO, pois a Teoria da Objetivação vai de encontro a uma
educação bancária, isto é, aquela em que
O educador é o que educa; os educandos, os que são educados; o educador é o que sabe; os educandos, os que não sabem; o educador é o que pensa; os educandos, os pensados; o educador é o que diz a palavra, os educandos, os que as escutam docilmente; o educador é o que disciplina; os educandos, os disciplinados; o educador é o que opta e prescreve sua opção; os educandos os que seguem a prescrição; o educador é o que atua; os educandos, os que tem a ilusão de que atuam, na atuação do educador; o educador escolhe o conteúdo programático, os educandos, jamais ouvidos nesta escolha, se acomodam a ele; o educador identifica a autoridade do saber com sua autoridade funcional, que põe antagonicamente à liberdade dos
22 Texto original: “No hay línea divisoría entre yo y el otro, hay espacio para un compromiso verdadero entre los participantes de la actividad.”
74
educandos; estes devem adaptar-se às determinações daquele; o educador, finalmente, é o sujeito do processo; os educandos, mero objetos (FREIRE, 1987, p. 34).
Em suma, por considerar aspectos que não se detém apenas ao eixo da
cognição e por tratar o saber como algo democrático, que não é próprio apenas do
professor, julgamos pertinente, no próximo tópico, esclarecer acerca dos conceitos de
saber e conhecimento segundo a Teoria da Objetivação.
3.2 Saber e conhecimento
Para a TO, o saber é algo que está em potencial, ou seja, ainda não se
concretizou e nem foi visualizado materialmente. Referir-se ao saber algébrico como
uma potencialidade implica diretamente, de acordo com Radford (2017a), a remeter-
se ao saber não como um objeto de contemplação, mas como algo que pode ser
acessado por meio da atividade, que põe tal saber em movimento e o atualiza em
conhecimento.
A ideia é considerar o saber não como um objeto que é construído ou transmitido, mas como uma possibilidade, isto é, algo potencial que emerge da atividade humana e que é imbricado em um processo de movimento - de tornar-se, para ser mais preciso, materializar ou expressar-se em conhecimento23 (RADFORD, 2017a, p. 100, tradução nossa)
O conhecimento, então, é a atualização do saber. Ou seja, saber e
conhecimento são distintos, uma vez que o saber é potencialidade e o conhecimento
é a concretização, ou atualização do saber. Radford (2017a) ilustra o processo de
atualização do saber em conhecimento por meio de uma remissão aos instrumentos
musicais, os quais possuem potencialmente capacidade de emitir sons, contudo,
sozinhos, não emitem ruídos. Isso porque necessitam que alguém os coloque em
movimento e produzam os sons de uma melodia, concretizando o que estava em
potencial.
23 Texto original: “La idea es considerar el saber no como objeto que se construye o se transmite, sino como posibilidad, es decir, algo potencial que emerge de la actividad humana y que se imbrica en un proceso de movimiento — de devenir, para ser más precisos — para materializarse o expresarse en conocimiento”.
75
No que concerne ao ensino-aprendizagem, a atualização do saber (S) em
conhecimento (C) é um processo eminentemente dinâmico. A Figura 7, apresentada
por Radford (2017a, p. 110), representa a dinamicidade desse processo por meio da
atividade, registrada pelas setas. Nesse processo, destacamos que o saber (S) se
ressignifica e pode se desdobrar em um novo saber (S’).
Figura 7– Representação do movimento de atualização do saber em conhecimento, por meio da atividade
FONTE: Radford (2017a, p. 110)
Essa ideia de uma movimentação constante do saber específico, cultural e
histórico em conhecimento (Figura 7) advém do materialismo histórico dialético. Sobre
essa perspectiva, chamamos atenção para o fato de que Marx e Engels (POLITZER,
1984), diferentemente da vertente idealista que prioriza a realidade subjetiva,
concebiam os aspectos objetivos e materiais como fator importante na formação e
estruturação social, como meio de um desenvolvimento humano condicionado às
interações e relações sociais.
No materialismo dialético, não se analisa e nem se concebe algo de forma
isolada, pois, nesta perspectiva, a visão estática não é utilizada, mas prioriza-se a
ideia de movimento, dinamicidade, relação social e cultural (POLITZER, 1984). Por
essa razão, a atividade humana é considerada pela TO como um sistema complexo,
muito além de uma sequência de ações, visto que, é por meio da atividade que o
homem se constiui, expressa sua vida, atua e produz sua existência.
Essa movimentação dinâmica do conhecimento (Figura 7) como uma
atualização do saber é um dos principais pilares para compreender nossa estrutura
investigativa, uma vez que o saber algébrico se atualiza em conhecimento algébrico,
sendo assim, nesse processo, pretendemos verificar e caracterizar quais estratégias
76
de pensamento as crianças utilizam no processo de ensino-aprendizagem da álgebra,
visto que, o pensamento é uma forma de agir e refletir sobre o mundo. Na próxima
seção, apresentamos nosso posicionamento acerca do que é ensinar-aprender para
a Teoria da Objetivação e, para concluir, especificamos de modo detalhado os
elementos que compõem o processo de ensino-aprendizagem nesta investigação.
3.3 Processo de ensino-aprendizagem
A Teoria da Objetivação trata a aprendizagem concebida a partir de dois
principais eixos. O primeiro diz respeito a compreendê-la como indissociável do
ensino, ou seja, o ensino-aprendizagem são partes de um mesmo processo cultural e
social que ocorre na atividade ou labor conjunto. O segundo eixo concebe a
aprendizagem sob uma perspectiva que vai além da formação, internalização ou
interiorização de conhecimentos, com foco na obtenção de um produto final, um
conceito científico, por exemplo. Ensinar-aprender, então, é um processo não
individualista que ocorre na atividade e que promove a formação do saber e do ser, já
que no labor conjunto os sujeitos produzem subjetividades e se constituem como
sujeitos. Em suma,
A educação em geral e o ensino-aprendizagem, em particular, não lidam apenas com o saber. A educação em geral e o ensino-aprendizagem, em particular, lidam com os saberes e os seres [...]. No ensino-aprendizagem, devem ser estudados tanto o conhecimento em questão (isto é, promover o "conhecimento" dos alunos), como também a formação do estudante como sujeito humano (isto é, a transformação ou "tornar-se", isto é, a perpétua transformação do sujeito)24. (RADFORD, 2014, p. 135, grifo do autor, tradução nossa)
Por esse motivo, nossa concepção de ensino-aprendizagem parte de um
princípio educativo que vai de encontro a uma concepção individualista com foco na
internalização ou interiorização de conceitos científicos pelo sujeito. Visto que, para a
24 Texto original: “La educación en general y la enseñanza y aprendizaje en particular no tratan de saberes únicamente. La educación em general y la enseñanza y aprendizaje en particular tratan de saberes y de seres [...] en la enseñanza y aprendizaje deben estudiarse tanto los conocimientos en juego (es decir, el conociendo o “knowing” de los alumnos), como la formación del alumno en tanto que sujeto humano (es decir, el volviéndose o “becoming,” esto es, la transformación perpetua del sujeto)”.
77
TO, o ensino-aprendizagem se preocupa com o processo de encontro,
reconhecimento e familiarização dos objetos matemáticos e de que forma tais objetos
repercutem na formação dos sujeitos. A aprendizagem, nesse sentido, “é um encontro
com o saber e sua transformação subjetiva” (RADFORD, 2017b, p. 118). Assim, o
processo dinâmico de objetivação (conhecer) e subjetivação (tornar-se), definem o
ensino-aprendizagem na perspectiva da TO.
Em suma, ensinar-aprender para Radford não se baseia em uma perspectiva
dualista com dois sistemas ou leis psicológicas: o interno e o externo. É um processo
dialético de fusão, de encontro entre indivíduos e os objetos de conhecimento
(RADFORD, 2017b). A Figura 8 a seguir ilustra o movimento dialético de ensino-
aprendizagem que ocorre na atividade ou labor conjunto.
Figura 8 – Processo dialético de ensino-aprendizagem na atividade
Fonte: Radford (2014, p. 135, traduzido e adaptado por nós)
De acordo com a Figura 8, a atividade ou labor conjunto tem um papel central
na TO, uma vez que é nela que o processo de ensino-aprendizagem acontece.
Diferentemente das abordagens individualistas e puramente construtivistas que
consideram o sujeito como autônomo, em nossa investigação, consideramos o papel
da cultura e dos diferentes meios e recursos25 semióticos como elementos que
constituem o pensamento algébrico. Vergel (2014) explica que para Radford os meios
semióticos são gestos, artefatos, recursos linguísticos, corporais ou quaisquer outros
signos utilizados pelos sujeitos que expressem significado e demonstrem uma
intencionalidade dentro de práticas sociais.
25 No decorrer deste trabalho, meio e recurso semiótico são utilizados como sinônimos. Meios são as diferentes formas culturais utilizadas para e na obtenção de um objetivo (RADFORD, 2006b).
78
Portanto, para a TO, o ensino-aprendizagem da álgebra não acontece apenas
ao fazer uso do simbolismo ou signos algébricos em tarefas com incógnitas e
variáveis, mas acontece no labor conjunto, que possibilita o encontro e
reconhecimento dos sujeitos com formas de ação e reflexão algébricas constituídas
histórica e culturalmente (VERGEL; ROJAS, 2018). Esse encontro é possível porque
para a Teoria da Objetivação o saber não é apenas um objeto de contemplação,
inalcançável, ele existe potencialmente e pode ser alcançado por meio da atividade.
Em síntese, ensinar-aprender para a TO se define como: 1) conhecer algo
(objetivação) e 2) de que forma tal conhecimento repercute na formação dos sujeitos;
(tornar-se) 3) a aprendizagem acontece na atividade (labor conjunto), 4) num
movimento dinâmico em que os sujeitos são considerados como agentes que atuam
e refletem sobre o mundo.
3.4 Especificidades pedagógicas do processo de ensino-aprendizagem em
nossa investigação
Nesta seção, esboçamos as intenções e especificidades pedagógicas de
nossa investigação, uma vez que compreendemos que qualquer prática realizada no
âmbito escolar apresenta um propósito, uma intencionalidade. Assim, a estrutura
pedagógica de nossa atividade é apresentada figurativamente (Figura 9), com base
em Radford (2018c, texto inédito).
Figura 9 – Estrutura pedagógica da atividade
Fonte: Elaborada pela autora, baseado em Radford (2018c, texto inédito)
79
Radford (2018c, texto inédito) caracteriza a atividade como um projeto
didático, a partir de seu propósito pedagógico. Para o autor, o percurso da atualização
do saber em conhecimento possui um caráter flexível, porém, é fundamentado em
uma relação intencional/pedagógica denominada objeto-objetivo-tarefa. Em nossa
investigação, pretendemos caracterizar as estratégias de pensamento demonstradas
pelas crianças. Assim, na atividade (labor conjunto), ou seja, nas 10 sessões
realizadas, nossa intenção pedagógica era que as crianças do 4º e 5º ano do NEI
pensassem algebricamente a resolução de sentenças matemáticas (objeto
pedagógico), para isso, apresentamos sentenças matemáticas com um termo
desconhecido para os alunos resolvessem (objetivo pedagógico). Nosso intento era
que o objeto fosse alcançado no decorrer das sessões e, para isso, o objetivo foi um
orientador, à medida que também se configurou como uma meta, a partir da realização
das sessões.
No decorrer desse processo, apesar de termos objetivos investigativos e
pedagógicos claramente definidos, assumimos uma postura de natureza flexível na
atividade ou labor conjunto, acerca disso, Radford explica que
A natureza dialética em que se desenvolve a atividade pode ser melhor compreendida se lembrarmos que a atividade é um processo localizado no espaço e no tempo que, apesar de afetada pelo projeto didático, não pode ser determinada antecipadamente. Os professores e pesquisadores podem ter uma ideia, mas o processo não é mecânico ou determinista. A forma como a atividade ocorre depende da forma como os alunos e professores se envolvem na atividade, como eles respondem uns aos outros, suas relações dinâmicas com o saber em geral e com instituições, etc. (RADFORD, 2018c, p. 7, texto inédito).
Por isso, a natureza essencialmente dinâmica de nossa atividade nos permite
realizar um desenho metodológico fundamentado não em técnicas e procedimentos
fixos. Radford (2015) destaca que a ênfase não se encontra em etapas pré-
determinadas, mas na vivência do labor conjunto. O autor ilustra uma situação,
apresentada na Figura 10, que representa a dinâmica pedagógica de uma atividade
na perspectiva da TO.
80
Figura 10 – Dinâmica pedagógica da atividade na perspectiva da TO
Fonte:(RADFORD, 2015, p. 556)
Conforme demonstrado na Figura 10, a atividade apresenta algumas
especificidades no que concerne a relação dos sujeitos como, por exemplo, a ênfase
na organização das crianças em grupos e a discussão coletiva permeando a resolução
das problematizações, que podem ser geradas tanto pelo professor quanto pelos
alunos.
Assim, estruturamos pedagogicamente as 10 sessões com as crianças do 4º
e 5º ano do NEI, baseados na intencionalidade da atividade, apresentada na Figura
9, bem como na configuração relacional dos sujeitos, proposta por Radford (Figura
10). Reiteramos que no decorrer da atividade, é preciso atentar para alguns pontos
essenciais:
a) Levar em consideração o que os alunos sabem; b) são interessantes do ponto de vista dos alunos; c) Abrir um espaço de reflexão e interação crítica através da discussão em pequenos grupos, entre discussões em pequenos grupos e discussões gerais; d) Tornar significativos conceitos matemáticos alvo em níveis conceituais profundos; e) Oferecer aos alunos a oportunidade de refletir matematicamente de diferentes maneiras (não apenas através das lentes da matemática dominante); e f) São organizados de tal forma que existe um fio conceitual orientado para problemas de crescente
complexidade matemática26 (RADFORD, 2015, p. 554-555, tradução nossa).
26Texto original: “a) Take into consideration what the students know; b) Are interesting from the students’ point of view; c) Open up a space of critical reflection and interaction through small groups discussion, between small groups discussions, and general discussions; d) Make meaningful the target mathematical concepts at deep conceptual levels; e) Offer the students the occasion to reflect mathematically in different ways (not only through the lenses of dominant mathematics); and f) Are
81
Em suma, a fundamentação de nossas sessões considerou o processo de
ensino-aprendizagem como pedagógico e intencional. No labor conjunto, o saber é
posto em movimento e atualizado em conhecimento, como o saber não se atualiza de
maneira espontânea, as 10 sessões de nossa atividade promoveram momentos de
discussões e desafios matemáticos com o fim de colaborar para o alcance do objeto
e objetivo pedagógicos elencados.
organized in such a way that there is a conceptual thread oriented towards problems of increasing mathematical complexity”.
82
4 O PENSAMENTO ALGÉBRICO NA PERSPECTIVA DA TEORIA DA
OBJETIVAÇÃO
No presente capítulo, tratamos sobre a caracterização do pensamento
algébrico na perspectiva da Teoria da Objetivação (TO). Primeiramente, julgamos
pertinente esclarecer que nesta investigação adotamos uma concepção de
pensamento que não se limita a uma atividade puramente mental. Baseados em
Radford (2006a), afirmamos que pensar é uma prática social multimodal. Segundo o
autor, a Teoria da Objetivação se opõe a estudos racionalistas e idealistas, visto que
a TO evidencia o movimento “entre uma realidade histórica e culturalmente constituída
e um indivíduo que a refrata (e modifica) de acordo com as interpretações subjetivas
e os sentidos subjetivos27” (RADFORD, 2006a, p. 108, tradução nossa). Logo, a
cultura e seus significados constituem a nossa forma de pensar/agir, posto que o
homem e a cultura são consubstanciados, não há dicotomias entre o exterior e interior
humano, há um movimento dialético do saber em potencial em conhecimento
materializado.
Para Radford, considerar o pensamento como uma prática social e multimodal
implica visualizá-lo materialmente de diferentes formas. Por exemplo, uma criança
pode expressar o pensamento algébrico sem necessariamente fazer uso simbólico de
equações e incógnitas. Assim, nossa concepção de álgebra e pensamento algébrico
não se detém apenas a uma manipulação simbólica e abstrata.
Vergel e Rojas (2018) apontam que historicamente a álgebra apresentou
diversas concepções, essas visões foram definidas principalmente pela relação
cultural da álgebra com a aritmética. Há, por exemplo, conceitualizações da álgebra
como um estudo de procedimentos para resolução de problemas, de relações entre
quantidades e verificação de estruturas, dentre outros. A adoção de cada uma dessas
concepções, que associa o conceito de álgebra e pensamento algébrico a partir de
sua relação com a aritmética, se desdobra nos objetivos, abordagem e caracterização
metodológica do processo de ensino-aprendizagem da álgebra.
27 Texto original: “entre una realidad constituída histórica y culturalmente y un indivíduo que refracta (y la modifica) segun las interpretaciones y sentidos subjetivos própios”.
83
No que concerne à relação aritmética-álgebra, destacamos duas principais
vertentes. A primeira diz respeito a uma continuidade entre aritmética e álgebra
(KAPUT, 2000; BLANTON et. al, 2018), ambas tratadas como uma questão
ininterrupta, de filiação e transição.
Para autores como Molina (2006), Castro e Molina (2007), Fernández e Ivars
(2016), a perspectiva que aproxima o pensamento aritmético do algébrico parte de um
viés que enfatiza as relações entre os números e operações. Essa tendência foca no
denominado pensamento relacional (MOLINA, 2006), que permite a aproximação
entre aritmética e álgebra por meio do uso das propriedades dos números e
operações.
Figura 11 – Esquema do pensamento relacional
Fonte: Elaborado pela autora
Como observado na Figura 11, o pensamento relacional compõe o
pensamento algébrico e inter-relaciona este com o aritmético. Pensar de modo
relacional, implica “Considerar as expressões e equações aritméticas em sua
totalidade, e usar as propriedades das operações aritméticas para relacionar a
transformação de expressões aritméticas”.28 (FERNÁNDEZ; IVARS, 2016, p. 14,
28 Texto original: “considerar las expresiones aritméticas y ecuaciones en su totalidade, y utilizar las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas para relacionar o transformar las expresiones aritméticas”.
84
tradução nossa). Nessa tendência, o uso pelos sujeitos de propriedades dos números
e operações funciona como uma estratégia facilitadora no processo de resolução de
uma equação, indica uma ação compreensiva ao invés de mecânica, com significado,
ao contrário da aplicação automática de uma regra ortodoxa.
Em nossa tese, consideramos como pertinente o uso das propriedades dos
números e operações, uma vez que os alunos utilizam procedimentos aritméticos para
solucionar problemas com números conhecidos e desconhecidos. Reiteramos que o
uso das operações e suas propriedades colaboram no desenvolvimento e
estruturação do pensamento algébrico.
Contudo, nosso foco está na segunda tendência, que consiste na concepção
de uma ruptura entre o pensamento algébrico e aritmético (BEDNARZ et al., 1992;
FILLOY, ROJANO, 1989; FILLOY, ROJANO, PUIG, 2008; RADFORD, 2013). Essa
vertente destaca o pensamento analítico como o principal diferencial entre a aritmética
e a álgebra (RADFORD, 2013).
Para o referido autor, existe uma ruptura, um “corte” entre o pensamento
algébrico e aritmético (RADFORD, 2013), dessa forma, mesmo considerando as
operações, os números e suas propriedades aritméticas, o processo de introdução à
álgebra não ocorre diretamente pelo caminho do aprofundamento em procedimentos
aritméticos. Assim, para a TO, a aritmética colabora no desenvolvimento do
pensamento algébrico, mas há distinção entre eles, não uma continuidade com
caminhos alternativos, como o uso de propriedades das operações. No Quadro 10,
sintetizamos o que caracteriza de modo específico o pensar aritmético e algébrico.
Quadro 10 – Pensamento aritmético e algébrico
Pensamento aritmético
- Concebe quantidades desconhecidas como indeterminadas. E elas não são tratadas em primeiro plano; - Considera métodos baseados em raciocínios com números conhecidos (e não com quantidades indeterminadas), como o método de “tentativa e erro”, de proporcionalidade, dentre outros; - O indeterminado pode ser nomeado por meio de diferentes linguagens.
Pensamento algébrico
- Concebe quantidades desconhecidas como se fossem conhecidas, isto é, há um sentido ao indeterminado; - Não considera a “tentativa e erro” e outros métodos aritméticos na resolução de problemas;
85
- Faz uso de premissas, em um processo dedutivo-analítico; - O indeterminado pode ser nomeado por meio de diferentes linguagens; - Não pode ser alcançado por caminhos indiretos; - A incógnita é tratada em primeiro plano.
Fonte: elaborado pela autora
Consoante o Quadro 10, a indeterminação e a representação semiótica,
isto é, a nomeação ao indeterminado (RADFORD, 2010) compõem o pensamento
algébrico, mas também podem estar presentes no pensamento aritmético. Sendo
assim, o principal vetor que caracteriza o pensar algébrico é a analiticidade, que
consiste em dois principais elementos: a) a ação com o indeterminado como se fosse
determinado e b) o uso de premissas para a resolução de problemas, com a utilização
da dedução. Sintetizamos o Quadro 10 com a proposição do Quadro 11.
Quadro 11 – Síntese - Vetores do pensamento algébrico segundo Radford (2010)
Pensamento algébrico
- Analiticidade - Representação semiótica - Indeterminação
Pensamento aritmético
- Representação semiótica - Indeterminação
Fonte: elaborado pela autora
Compreender diferenciações e aspectos específicos da álgebra e da
aritmética é imprenscindível para professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, em razão de que, em conformidade com Radford (2008; 2013), não
podemos ensinar aritmética julgando ser álgebra, ou vice-versa.
Esboçamos cada uma dessas especificações e caracterizações nas próximas
seções.
86
4.1 A analiticidade
A analiticidade é a principal característica do pensamento algébrico. Deste
modo, é o que distingue a aritmética da álgebra, de acordo com a Teoria da
Objetivação.
A analíticidade se fundamenta em dois vetores, o primeiro é que a mesma
apresenta ações com o desconhecido como se fosse conhecido e assim o faz por
meio da dedução, sendo assim, a analiticidade não pode ser alcançada por intermédio
de relações aritméticas entre os números. A dedução é uma estratégia de pensar a
partir de premissas, desta forma, não faz uso da “tentativa e erro”, pois se fundamenta
em uma sequência ou ordem de certezas.
A TO se baseia em René Descartes, que explicita um tratamento analítico ao
não diferenciar quantidades explícitas e implícitas em cálculos que envolvem a
geometria analítica (RADFORD, 2013). Descartes relaciona álgebra à geometria e
aproxima a matemática da filosofia ao tratar sobre o processo minucioso de resolução
de problemas baseado em premissas.
Para Descartes, o método filosófico para resolver problemas por intermédio
da dedução e racionalismo consiste em:
[...] nunca aceitar como verdadeira nenhuma coisa que eu não conhecesse evidentemente como tal; isto é, em evitar, com todo o cuidado, a precipitação e a prevenção, só incluindo nos meus juízos o que não se apresentasse de modo tão claro e distinto a meu espírito, que eu não tivesse ocasião alguma para dele duvidar. O segundo, em dividir cada uma das dificuldades que devesse examinar em tantas partes quanto possível e necessário para resolvê-las. O terceiro, em conduzir por ordem meus pensamentos, iniciando pelos objetos mais fáceis de conhecer, para subir, aos poucos, gradativamente, ao
conhecimento dos mais compostos, e supondo também, naturalmente, uma ordem de precedência de uns em relação aos outros. E o quarto, em fazer, para cada caso, enumerações tão completas e revisões tão gerais, que eu tivesse a certeza de não ter omitido nada. (DESCARTES, 2002, p.31-32)
Assim, quando o aluno utiliza procedimentos intuitivos, sem um argumento
lógico que justifique suas ações por meio de premissas, apenas mediado pela
espontaneidade e instinto, não utiliza um processo de raciocínio dedutivo, visto que
não é baseado em um pensamento analítico e sim aritmético. Acerca disso, Radford
(2013) explica que a diferença entre aritmética e álgebra é de natureza
87
epistemológica, posto que a presença de uma indeterminação não é o único fator que
envolve o pensar algébrico. Por esse motivo, o matemático François Viète nomeia a
álgebra como a arte analítica (RADFORD, 2013, p. 259).
Nossa investigação considera o pensamento como um processo multimodal,
esse, envolve diversos elementos e constitui-se na cultura, por isso, não nos
propomos a analisar os limites exatos entre o pensamento algébrico e aritmético e sim
as estratégias de pensamento demonstradas pelas crianças na introdução da álgebra,
dando relevância a analiticidade. Ressaltamos também que a presença de uma ou
mais incógnitas em uma sentença matemática não é o fator que determina o
pensamento algébrico, mas compreendemos que a estrutura das sentenças
matemáticas no processo de introdução à álgebra é importante, uma vez que a
presença de termos desconhecidos ajuda o sujeito a se familiarizar com situações que
contenham indeterminâncias.
Radford (2008) enfatiza a importância da analiticidade ao esclarecer que uma
resolução matemática pode ser alcançada corretamente por meio de palpites, porém,
essa estratégia é caracterizada como aritmética, pois não parte de uma proposição
específica.
Deixe-me considerar a equação 2x + 2 = 10 + x. Na perspectiva do pensamento algébrico que estou delineando aqui, uma solução por tentativa e erro não seria considerada como algébrica, mesmo que a tarefa inclua números indeterminados e os alunos estejam trabalhando com notações. Em uma solução baseada em tentativa e erro, os alunos estão recorrendo apenas a conceitos aritméticos. Por outro lado, se os alunos deduzirem 2x + 2 = 10 + x que 2x = 8 + x (subtraindo 2 de ambos os lados da equação), etc., podemos dizer que os alunos estão pensando algebricamente. Eles estão trabalhando através das consequências de assumir que 2x + 2 é igual a 10 + x (RADFORD, 2018a, p. 9, tradução nossa)
No exemplo apresentado por Radford, pensar algebricamente levaria o aluno
a agir a partir do símbolo de igualdade como indicação de equivalência, uma vez que
realizaria uma subtração de mesma quantidade em ambos os termos da equação,
conforme demonstrado no Quadro 12.
88
Quadro 12 – Exemplo de resolução algébrica
Ação 1: (-2) 2x + 2 = 10 + x (-2)
Ação 2: (-x) 2x= 8 + x (-x)
Ação 3: x = 8
Fonte: elaborado pela autora, com base em Radford (2018, p. 9)
Esse procedimento, baseado na relação de equivalência é genuinamente
algébrico. Um exemplo de resolução aritmética seria realizar várias tentativas de
encontrar um valor conhecido para X, até se chegar a uma igualdade, ou ainda
fazendo uso direto das operações inversas. No entanto, ao assumir a igualdade de 2x
+ 2 = 10 + x como uma premissa, todas as ações subsequentes devem manter a
igualdade de ambos os termos, o que implica a visualização da equação em sua
totalidade, bidirecionalmente, por intermédio do símbolo de igualdade.
Em função disso, em nossas análises, refletimos acerca da relevância da
analiticidade como principal vetor que caracteriza o pensamento algébrico, buscando
identificar nas estratégias demonstradas pelas crianças, indícios de pensamento
analítico ou proto-analítico em crianças do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental no
NEI/CAp-UFRN. A proto-analiticidade consiste em uma aproximação ao pensamento
analítico, posto que, conforme explicado anteriormente, a analiticidade tem duas
principais vertentes: agir com o indeterminado como se fosse determinado e a ação
por meio da dedução. Assim, em algumas ocasiões, os dois vetores não aparecem
concomitantemente. Então, quando há o uso de uma ou outra vertente, afirmamos
que houve uma proto-analiticidade.
Ressaltamos que a relação entre aritmética e álgebra não pode ser alcançada
por caminhos alternativos. Ou seja, ainda que o aluno possua habilidades
desenvolvidas na aritmética, para a TO, é o pensamento analítico que diferencia a
álgebra da aritmética.
Assim, no processo de investigação, utilizamos sentenças matemáticas com
indeterminações, de modo que averiguamos nas estratégias demonstradas pelos
alunos, indícios e aproximações ao pensamento analítico-dedutivo. Buscamos
identificar e analisar em sentenças matemáticas, ocorrências em que percebemos
uma aproximação à analiticidade, onde se busca tratar o desconhecido como
prioridade, e se procura manipular o indeterminado como se tal quantidade fosse
conhecida, o que para Radford consiste em pensar analiticamente, “ou seja, é preciso
89
considerar as quantidades indeterminadas como se fossem algo conhecido, como se
fossem números específicos29” (RADFORD, 2013, p. 259, tradução nossa).
Intentamos também verificar nas estratégias demonstradas pela crianças, se
as mesmas tratavam o termo desconhecido como primeiro plano, isso significa que,
buscamos situações em que os estudantes manipulassem os números
desconhecidos, pois, ao manipular apenas quantidades conhecidas, sinalizam tratar
os números conhecidos em primeiro plano, conferindo, assim, prioridade a eles.
Elucidamos que nossa concepção para o trabalho pedagógico com a álgebra
não se limita a uma situação de inserção de um termo desconhecido em uma
expressão numérica, geralmente representado por uma letra, símbolo ou desenho.
Apenas a presença do desconhecido não garante que a criança pense
algebricamente, nesta investigação, concebemos a analiticidade no processo de
introdução à álgebra, como o principal diferencial entre a operação com números
conhecidos e desconhecidos. Assim, operar algebricamente é reconhecer, refletir e
analisar tais indeterminações, como se as mesmas já fossem conhecidas (RADFORD,
2013), estabelecendo um sentido ao indeterminado e agindo baseado em premissas,
num processo de raciocínio analítico-dedutivo.
4.2 Indeterminação
Com relação às características do pensamento algébrico, de acordo com
Radford (2013), a indeterminação se constitui como a utilização de variáveis e
incógnitas em sentenças matemáticas. Versa no aspecto mais disseminado e
ressaltado nas discussões acerca da álgebra: o indeterminado.
Porém, a álgebra não se limita apenas ao uso de indeterminações. A adoção
dessa premissa limita a álgebra e o pensamento algébrico a uma concepção vinculada
ao senso comum, com foco apenas no seu aspecto sintático - no que se refere às
regras e manipulação mecânica e abstrata dos símbolos. O dicionário Aurélio
(FERREIRA, 2010, p. 33), na perspectiva do senso comum, enfatiza essa concepção
29 Texto original: “That is, one has to consider the indeterminate quantities as if they were something known, as if they were specific numbers”.
90
ao apresentar a álgebra como “uma parte da matemática que estuda as leis e os
processos formais de operações com entidades abstratas”.
De acordo com Lins e Gimenes (1997), a álgebra é vista, no senso comum, a
partir de uma concepção letrista, ou seja, “cálculo com letras” em uma situação-
problema, com foco apenas em uma indeterminação. Lins e Gimenes (1997) apontam
que a nova perspectiva, tanto para álgebra como para a aritmética, deve basear-se
no sentido numérico, na aproximação com o significado e não com ênfase nas
técnicas e procedimentos. Radford (2018a) esclarece que alguns estudiosos
consideram uma situação algébrica apenas se houver a presença de um simbolismo.
Para a TO, “tal exigência pode revelar-se muito limitante, em particular às abordagens
da álgebra inicial. Tal exigência pode levar ao fracasso em reconhecer formas não-
simbólicas de pensamento como genuinamente algébrico30” (RADFORD, 2018a, p. 6,
tradução nossa).
Assim, mesmo que um aluno não utilize um simbolismo numérico explícito,
pode pensar algebricamente, uma vez que a Teoria da Objetivação considera as
múltiplas formas de pensamento e linguagem. Por isso, a TO se baseia no sentido do
indeterminado e não apenas na presença de uma indeterminação, incógnita ou
variável.
A caracterização do pensamento algébrico, então, não é apenas a habilidade
de construir e solucionar equações com indeterminâncias, mas também a
compreensão ao sentido do termo desconhecido, como parte conhecida do problema
(RADFORD, 2013) com o raciocínio analítico.
Quando nos referimos apenas ao indeterminado, este pode apresentar um
caráter aritmético ao ser solucionado em equações por meio de tentativa e erro.
Conforme já apontamos, o uso de processos intuitivos na resolução de problemas não
consiste em uma dedução-analítica. O diferencial, então, está no tratamento dado ao
indeterminado.
A indeterminação apresenta um caráter algébrico quando não se distingue
entre quantidades conhecidas e desconhecidas. E opera-se com o indeterminado
como se este fosse determinado de modo analítico-dedutivo, conferindo, então,
sentido ao indeterminado.
30 Texto original: “Such a requirement may lead to the failure to recognize non-symbolic forms of thinking as genuinely algebraic. Such a requirement may also lead to the attribution of an algebraic nature to forms of thinking that are in fact arithmetic”.
91
4.3 Expressão semiótica
A expressão semiótica também é considerada por Radford (2010) como uma
característica do pensamento algébrico. O autor da Teoria da Objetivação defende
que ensinar-aprender a linguagem algébrica vai além de nos remetermos a um
simbolismo sintático e mental, ela abrange elementos de análise multimodais, que
ultrapassam medições exatas. Por isso, a expressão semiótica se remete à forma, tipo
ou qual meio semiótico os alunos utilizam para nomear o indeterminado de uma
equação.
A valorização dos meios/recursos semióticos empregados pelos estudantes
ocorre porque para Radford, o pensamento algébrico não consiste apenas no que é
mental, mas é formado também por componentes externos e corporais, se
constituindo como multimodal. Ele diz que é possível o sujeito pensar com e através
do corpo, por isso, pondera a relevância dos meios semióticos manifestos pelos
alunos para se referirem ao indeterminado, o que requisita uma análise multimodal
por parte do professor-pesquisador (RADFORD, 2013). Ao adotar tal posicionamento,
Radford valoriza o papel das diferentes formas de manifestação da linguagem e
aborda o pensamento como uma unidade dinâmica.
D’Amore, Pinilla e Iori (2015) explicam que a Teoria radfordiana parte de uma
concepção de cultura como manifestação de significados, dando à mesma um caráter
dinâmico e simbólico. Sendo assim, na TO, o conhecimento matemático e sua
representação está ligada a um contexto cultural específico e é produzido
socialmente, então, para essa concepção, os signos possuem um significado cultural.
Nesse sentido, partindo dos estudos da TO, Vergel (2014) aponta que os
meios e recursos semióticos constituem o processo de objetivação, porque fazem
parte da produção de significados dos objetos matemáticos. No caso do pensamento
algébrico, em suma, o papel dos diversos meios semióticos, como os gestos, a voz e
as palavras, são essenciais para a TO, pois, baseado numa perspectiva materialista
e simbólica, a Teoria da Objetivação defende que o pensamento matemático não se
limita aos aspectos cerebrais, mas também inclui os gestos e ritmos dos sujeitos. O
pensamento, então, possui múltiplas formas.
Gomes (2016) também ressalta o valor cultural atribuído pela TO para os
meios e recursos semióticos. Conforme o autor, o pensamento como prática social
92
atribui aos meios semióticos um caráter central e não periférico, pois, pensar é um
movimento dialético que pode ser visualizado por meio do corpo e dos artefatos por
ele utilizados, e que se desdobra em mudanças no indivíduo. Gomes ainda acrescenta
que os significados atribuídos aos meios e recursos semióticos dependem de seu
contexto de utilização, sendo assim, é possível utilizar o mesmo signo, artefato ou
instrumento que, dependendo do contexto, pode adquirir um significado diferente
(GOMES, 2016).
Em nossa investigação, concebemos que o pensamento apresenta múltiplas
formas e modos de manifestação, por isso, no processo de caracterizar as estratégias
de pensamento demonstradas pelos alunos no processo de introdução à álgebra,
interessa-nos identificar, inicialmente, indícios de quais meios/recursos semióticos os
estudantes utilizam ao se referirem ao indeterminado. Tal expressão semiótica é um
componente essencial do pensar algébrico, para Radford.
No capítulo seguinte, abordamos as especificidades metodológicas da
presente investigação.
93
5 DESENHO DA INVESTIGAÇÃO
No presente capítulo, tratamos sobre os aspectos metodológicos da
investigação. Inicialmente abordamos a fundamentação metodológica para, em
seguida caracterizar o lócus e o público. Posteriormente, explicamos a organização
das sessões e por último, elencamos o processo de constituição dos dados de
pesquisa e as especificidades da análise de dados. Essa organização se baseou em
Vergel (2014, 2016).
Nossa investigação se caracteriza como qualitativa (LUDKÉ; ANDRÉ, 1986),
do tipo descritiva e interpretativa (VERGEL, 2014, 2016), fazemos uso do método
multisemiótico/multimodal (RADFORD; EDWARDS; ARZARELLO, 2009; RADFORD;
SABENA, 2015) baseado na Teoria da Objetivação. Consideramos como objeto de
análise a atividade, por meio de uma apreciação multimodal (RADFORD; EDWARDS;
ARZARELLO, 2009; RADFORD, 2006c).
Ludké e André (1986) reiteram que na abordagem qualitativa o pesquisador
não é um mero observador, mas um participante ativo, que reflete, atua e intervém na
realidade. Nesse sentido, o percurso, sua caracterização e desdobramentos são mais
importantes que o produto. Uma vez que o processo educativo é complexo e não
linear, o foco da abordagem qualitativa se encontra nos significados dos diferentes
acontecimentos, elementos, sujeitos e componentes que envolvem o ensino-
aprendizagem. Essa significação deve ser interpretada e descrita detalhadamente
pelo pesquisador. Por isso, nossa investigação promoveu, assim como em Vergel
(2016), a interpretação e descrição dos fatos, bem como dos elementos que envolvem
o ensino-aprendizagem no processo de introdução da álgebra.
À vista disso, nossas reflexões investigativas visaram descrever, interpretar e
caracterizar, na introdução da álgebra, estratégias de pensamento manifestadas por
crianças do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, anos iniciais do NEI/CAp-UFRN.
Radford e Sabena (2015) esclarecem que o método não se restringe a procedimentos
e ações técnicas, uma vez que é um “esforço reflexivo e crítico, uma prática filosófica”
(RADFORD; SABENA, 2015, p. 159, tradução nossa). Assim, em nossa investigação,
consideramos que o pensar acontece de múltiplos modos: pelas ações, oralidade,
linguagem escrita, gestos, dentre outros, consequentemente, utilizamos o método
multisemiótico/multimodal de análise, que consiste na consideração reflexiva acerca
94
da maneira que os sujeitos utilizam e interpretam os diferentes meios semióticos na
atividade ou labor conjunto. Como já esclarecido, o ensino-aprendizagem não é um
processo puramente mental, mas envolve aspectos culturais, sociais e históricos,
desta forma, coerentemente com nosso referencial teórico, atentamos para a
utilização de diversos meios semióticos para expressão de significados.
Acerca disso, Radford e Sabena (2015) afirmam que o objeto de estudo da
semiótica são os significados atribuídos e comunicados por meio de múltiplos modos
e representações/registros, como as palavras e os gestos. Então, atentamos para as
diferentes maneiras que os sujeitos utilizam os meios semióticos e expressam
significados. A compreensão/significação é uma característica do movimento de
ensinar-aprender ocorrido na atividade. Desse modo, o labor conjunto é
essencialmente uma atividade de significação (RADFORD; SABENA, 2015).
No processo de interpretação e descrição dos significados acerca da maneira
como os sujeitos utilizam os meios e recursos semióticos, utilizamos a análise
multimodal,
O termo multimodalidade é frequentemente utilizado para sublinhar tanto a relevância como a coexistência de uma gama de diferentes funções cognitivas, físicas e sensitivas (por exemplo, perceptivo, auditivo, tátil) modalidades ou recursos desempenhando um papel nos processos de ensino-aprendizagem e, mais, em termos gerais, na produção de significados matemáticos: “estes recursos ou modalidades incluem tanto a comunicação simbólica escrita, bem como desenho, gesto, a manipulação física e artefatos eletrônicos e vários tipos de movimento corporal31” (RADFORD et al. 2017, p. 10 tradução nossa, grifo do autor)
Em suma, a análise multimodal consiste em considerar, na atividade (labor
conjunto), os diversos meios e recursos semióticos utilizados como forma de
expressar reflexões e ações culturais. Os recursos podem ser de diferentes naturezas,
como por exemplo, os textos escritos e/ou falados, os gestos corporais e seus
significados, uso de instrumentos, dentre outros. Sendo assim, o corpo dos sujeitos e
31 Texto original: “The term multimodality is often used to underline both the relevance and mutual coexistence of a range of different cognitive, physical, and sensuous (e.g., perceptual, aural, tactile) modalities or resources playing a role in teaching-learning processes and, more broadly, in the production of mathematical meanings: “These resources or modalities include both oral and written symbolic communication as well as drawing, gesture, the manipulation of physical and electronic artifacts, and various kinds of bodily motion”.
95
seus elementos gestuais e sensoriais são elementos chave para a análise, pois, na
TO, eles fazem parte do processo de objetivação (VERGEL, 2014), uma vez que o
pensamento não é apenas algo interior, mas pode ser materializado corporalmente.
No processo de análise, definimos o gesto como um meio de ajudar o sujeito
a produzir ideias (ARZARELLO, 2006). À vista disso, consideramos e reafirmamos
que outros meios e recursos semióticos, ao se integrarem aos gestos, colaboram
também na apreensão de significados e comunicação de sentidos. Ocorrendo, dessa
maneira, um movimento dinâmico de associação de meios e recursos semióticos na
atividade. Para a interpretação e descrição reflexiva acerca da visão e maneira das
crianças operarem esses recursos/meios semióticos no fomento ao encontro com o
saber algébrico, filmamos as 10 sessões.
Radford et al. (2017, p. 1) reiteram que a elucubração semiótica na
perspectiva da Teoria da Objetivação constitui o processo de ensino-aprendizagem
porque os “gestos, postura corporal, ações cinestésicas, artefatos e sinais em geral
são considerados uma série de recursos a serem levados em conta ao investigar como
os alunos aprendem e como os professores ensinam32”, assim, os autores fazem
referência e defendem uma concepção de pensamento ou mente multimodal nas
práticas ocorridas na atividade.
Dessa maneira, nossa análise, fundamentada na Teoria da Objetivação,
investiga a ação dos sujeitos na atividade ou labor conjunto e suas distintas formas
de manifestação de estratégias de pensamento, procurando deduzir: como, o quê e
porque os indivíduos atuam de determinada maneira; o que utilizam, como e porquê
o fazem no processo de introdução a álgebra. Consideramos, então, os meios
semióticos como partes do pensamento, num processo de valorização dos modos de
ação e reflexão manifestados pelas crianças.
32 Texto original: “Gestures, body posture, kinesthetic actions, artifacts, and signs in general are considered a fruitful array of resources to be taken into account when investigating how students learn and how teachers teach”.
96
5.1 O lócus e sujeitos da investigação
As sessões foram realizadas nas turmas em que atuávamos como
professora titular, sendo 3 sessões em 2017, na turma do 4º ano do Ensino
Fundamental do NEI/CAp-UFRN e na mesma turma, no 5º ano, em 2018, com 7
sessões. Cada sessão tinha, em média 1 hora de duração.
O NEI33 é o Colégio de Aplicação da UFRN, fundado em 1979 para atender
os filhos de alunas, funcionárias e docentes da Universidade. Contudo, atualmente a
Escola atende o público em geral e não mais apenas pessoas com vínculo com a
UFRN. A inserção na Instituição é realizada por meio da publicação de um edital em
que as crianças são inscritas e participam de um sorteio público.
O Núcleo de Educação da Infância propõe um trabalho voltado para o ensino,
pesquisa e extensão, tendo a criança como centro do planejamento curricular, isto
significa que as ações desenvolvidas tanto na Educação Infantil quanto no Ensino
Fundamental consideram a criança como
[...] sujeito histórico e de direitos que se desenvolve nas interações, relações e práticas cotidianas a ela disponibilizadas e por ela estabelecidas com adultos e crianças de diferentes idades nos grupos e contextos culturais nos quais se insere. Nessas condições ela faz amizades, brinca com água ou terra, faz-de-conta, deseja, aprende, observa, conversa, experimenta, questiona, constrói sentidos sobre o mundo e suas identidades pessoal e coletiva, produzindo cultura (BRASIL, 2013, p. 86)
Considerar a criança como centro do planejamento curricular, sujeito histórico
e de direitos implica pensar numa escola que atente para as especificidades da
criança, seus gostos, histórico de vida e práticas culturais, concebê-la como cidadã,
que produz cultura e nela é produzida. Dessa forma, como professora titular da
Instituição, em nossa intervenção de ensino-aprendizagem no processo de introdução
à álgebra, consideramos a concepção de criança e infância como fundamento em
todas as ações, na organização do tempo, espaço e na avaliação.
Em 2017, a turma do 4º ano era composta por 21 crianças, sendo 10 meninas e
11 meninos, na faixa etária entre 9 e 10 anos de idade. Desse grupo, 1 criança faz
parte do público alvo da Educação Especial, apresentando a Síndrome de Crouzon,
33 Maiores informações: disponível em <http://www.nei.ufrn.br> Acesso em 13 ago 2019.
97
doença rara que causa deficiência no desenvolvimento do crânio e da face. Nas
sessões de pesquisa, realizamos atividades sensoriais com esse aluno, a fim de que
o mesmo adquirisse noções espaciais como dentro-fora, em cima-embaixo, grande-
pequeno, fino-grosso, longe-perto, pesado-leve, com o uso da balança de dois pratos,
assim como o reconhecimento pelo tato de materiais concretos que rolam e não rolam.
Contudo, nem sempre foi possível realizar as atividades, pois o aluno algumas vezes
apresentava excessiva sonolência, consequência da rotina de tratamento e
acompanhamento extra-escolar. Portanto, embora tenhamos a permanência do aluno
na classe durante as sessões que envolveram conceitos matemáticos, haja vista que
essa ocorreu no horário regular das aulas e com toda a turma, não incluímos esse
aluno como sujeito da pesquisa, a medida que não foi possível incluí-lo na realização
dos objetivos gerais e específicos da nossa investigação acerca do pensamento
algébrico.
O planejamento das sessões foi submetido e aprovado pelo Comitê de Ética
da UFRN em 2017. A direção do NEI/CAp-UFRN aceitou a realização da pesquisa e
os alunos da turma e seus respectivos responsáveis legais aceitaram participar. Todos
assinaram um termo de assentimento que elucidava os objetivos e estratégias
utilizadas.
Utilizamos uma linguagem informal na elaboração dos seguintes documentos:
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido – TCLE que informava aos pais das
crianças o objetivo da pesquisa, assim como a solicitação para gravação e utilização
de imagem e voz com fins acadêmicos (Apêndice B) e o Termo de Assentimento Livre
e Esclarecido – TALE, em que as crianças foram convidadas a participar
voluntariamente da pesquisa (Apêndice C). No processo, a direção do Núcleo de
Educação da Infância assinou o documento de anuência (Apêndice D) e concessão
(Apêndice E) de autorização para a realização da investigação. Obtemos assim, a
aprovação (Apêndice F) do Comitê de Ética da UFRN.
5.2 Organização das sessões e informações
No desenvolvimento das 10 sessões com nossa turma, utilizamos a filmagem
para a coleta de dados, de modo que pudéssemos, na medida do possível, analisar a
interatividade nas discussões, as falas e os gestos dos alunos e da professora no
andamento das aulas. Além disso, em todas as sessões, foram entregues tarefas
98
impressas, nas quais possibilitavam aos discentes registrar por escrito suas respostas
e entendimentos. Quanto à organização do tempo, cada sessão possuiu, em média,
1 hora de duração.
Quanto à organização do espaço, a sala de aula é dividida em ambientes com
funções pedagógicas específicas, como: o “cantinho da leitura”, que dispõe de livros
de literatura infantil, acessíveis aos alunos para a leitura deleite; o “cantinho das artes”
com materiais (papel, lápis colorido e pincéis) para tarefas de produção artística; e o
“canto dos jogos” com diversos jogos educativos. Por ser um espaço relativamente
pequeno, não comporta dois ou mais equipamentos de filmagem com seus
respectivos profissionais. Por isso, optamos pela contratação, com apoio financeiro
da CAPES (Edital 049/2012), de um profissional que, junto ao seu auxiliar,
movimentou-se na sala no decorrer das sessões e registrou o desenvolvimento das
mesmas.
As filmagens foram realizadas por apenas uma câmera e alternavam o foco
das gravações, ora o profissional filmava o grupo inteiro, ora duplas ou grupos
pequenos de até 4 componentes. Optamos em contratar um profissional de filmagem
que já possuía vínculo de estagiário com a Instituição e com o qual as crianças já
conviviam, com vistas a dirimir o estranhamento dos alunos. Mas, mesmo com esse
cuidado, no início da primeira etapa, algumas crianças ficaram um pouco tímidas
devido à filmagem, outras demonstraram preocupação em aparecer na filmagem e
acenavam para a câmera. Foi necessário um diálogo com a turma sobre a importância
daquele profissional para o cumprimento de nossos objetivos de pesquisa, logo em
seguida, as crianças foram se habituando e passaram a agir naturalmente.
Elucidamos que as sessões se pautaram em uma perspectiva discursiva, ou
seja, os questionamentos das tarefas e da professora tinham o objetivo de
proporcionar aos alunos a participação em discussões orais com todos os membros
da turma, com os pequenos grupos e com os professores. Possibilitamos o uso de
tarefas impressas para que crianças fizessem uso da linguagem escrita e
registrassem conclusões matemáticas, conforme orientado por Radford e apresentado
na Figura 10.
99
5.3 Caracterização das tarefas
Neste tópico, esclarecemos a caracterização das tarefas realizadas nas 10
sessões da atividade. O perfil das tarefas se justifica pelo fato de que no Brasil, o
trabalho pedagógico com a álgebra do 1º ao 5º ano ainda é recente e novos
documentos oficiais como a BNCC indicam o uso de um termo desconhecido
(incógnita) nas sentenças matemáticas, nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Por sermos professora da referida turma no período de dois anos
consecutivos (em 2017, atuamos no 4º ano e em 2018 no 5º ano), na elaboração das
tarefas, consideramos o fato de que essas crianças não tinham vivência com situações
matemáticas em que o símbolo de igualdade indicava uma relação de equivalência e
nem tinham a prática de solucionar problemas com um termo desconhecido. Assim,
nas sessões, o foco pedagógico, conforme apresentado na Figura 9, estava em iniciar
um processo pelo qual as crianças seriam instigadas a: a) conceber o símbolo de
igualdade como indicação de uma relação de equivalência entre os termos de uma
equação b) resolver sentenças matemáticas com a presença de um termo
desconhecido, de acordo com o que vem sendo disseminado no cotidiano escolar por
meio de documentos como a BNCC. Concebemos assim, nesta investigação, tais
inserções como o processo de introdução à álgebra.
A elaboração das tarefas adotadas na pesquisa considerou as orientações da
Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2017), expostas no Quadro 3, e a
abordagem da álgebra na perspectiva de materiais didáticos de orientação ao
professor, adaptadas de Van de Walle (2009), Smole e Diniz (2016) e Souza, Silva e
Rufino (2004). Em ambos, buscamos conhecer, entre outros, a estrutura das tarefas
voltadas para a introdução à álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
chegando à conclusão que predominavam a indicação do trabalho com sentenças
matemáticas com um termo desconhecido.
Dessa forma, esclarecemos que, apesar de termos ciência da utilização de
sentenças matemáticas com dois termos desconhecidos no processo de introdução à
álgebra para crianças dos anos iniciais (FILLOY; ROJANO, 1989), optamos por utilizar
nesta pesquisa, tarefas com sentenças matemáticas com um termo desconhecido,
conforme orientado na BNCC. Nossa intenção com essa escolha não foi utilizar como
regra a indicação da BNCC, mas priorizar o tipo de sentença disseminado nas escolas,
a medida que a Base se destaca como um documento que sistematiza o trabalho
100
pedagógico com a álgebra desde o 1º ano do Ensino Fundamental e orienta a
elaboração de materiais didáticos adotados para o ensino, especialmente o livro
didático.
Para uma melhor apresentação e caracterização das tarefas da atividade,
organizamos a síntese das sessões em 3 quadros. O Quadro 13 expõe o resumo das
sessões 1, 2 e 3, estas, enfatizaram a concepção dos símbolos de igualdade e
desigualdades. O Quadro 14 expõe de modo sintético, as sessões 4 e 5. Nelas,
destacamos o trabalho com a metáfora da balança de dois pratos como indicação de
equivalência. O Quadro 15 apresenta a síntese das sessões 6, 7, 8, 9 e 10 em que
utilizamos jogos para o trabalho com o termo desconhecido.
Alicerçados nas orientações indicadas pela BNCC, realizamos três tarefas
piloto no final do ano de 2017, com o fim de um diagnóstico inicial. Para o trabalho
com a igualdade, partimos do reconhecimento da desigualdade, com os símbolos de
“maior que” e “menor que”.
Quadro 13 – Síntese das sessões 1, 2 e 3
Sessões Síntese
Sessão 1 – Os símbolos da desigualdade
A primeira sessão, ocorrida em novembro de 2017, teve como intuito compreender o significado dos símbolos “maior que” e “menor que”, por meio da análise de expressões numéricas. A tarefa (Apêndice G) disponível em uma folha xerografada apresentava expressões com o uso dos símbolos da desigualdade. Assim, os alunos se organizaram em dupla e, após a discussão, alguns estudantes socializaram com a turma suas conclusões.
Sessão 2 – Símbolo de igualdade como indicação de equivalência
Esta sessão, ocorrida em novembro de 2017, teve como meta a compreensão do símbolo de igualdade como indicação de equivalência por meio do uso da balança de dois pratos. As crianças, em duplas, resolveram situações com o uso de calculadoras que, pelas orientações da tarefa, estavam com algumas teclas “quebradas”. Então, deveriam criar expressões com a calculadora “quebrada” para que a balança representada ficasse equilibrada ou desequilibrada. Os alunos registraram suas conclusões em uma tarefa xerografada (Apêndice H). Também socializaram oralmente com o grupo suas considerações finais.
Sessão 3 – Símbolo de igualdade como indicação de equivalência e elaboração de
situações-problema
Na terceira sessão, ocorrida em novembro de 2017, continuamos com o intuito de compreender o símbolo de igualdade como indicação de equivalência por meio da representação do uso da balança de dois pratos (Apêndice I). Porém, nesta sessão, as crianças, em dupla, deveriam criar problemas com a calculadora “quebrada” e trocar com outro grupo para que estes
101
solucionassem, utilizando equações. Ao final da sessão, as crianças socializaram suas estratégias com toda a turma.
Fonte: elaborado pela autora
As tarefas das três primeiras sessões foram adaptações de materiais de
orientação ao professor expostas em Van de Walle (2009) e Smole e Diniz (2016).
Nesses encontros, as crianças foram inseridas em práticas em que o símbolo de
igualdade indicava uma equivalência em ambos os termos de uma expressão. Ao
serem questionados sobre o significado do referido símbolo, a maior parte da turma
registrou da seguinte forma:
Figura 12 - Registro de alunos sobre o significado do símbolo de igualdade
Fonte: acervo da autora
Conforme exposto na Figura 12, mesmo após a realização da tarefas nas
sessões 1, 2 e 3, os alunos do 4º ano, ao final de 2017, registraram por meio da
linguagem escrita, ênfase na compreensão do sinal de igualdade como a indicação
de um resultado.
Assim, na segunda etapa de nossa atividade, com a mesma turma, compondo
o 5º ano em 2018, continuamos o trabalho de familiarização com o símbolo de
igualdade como uma indicação de equivalência entre os dois termos de uma
expressão numérica. Para isso, utilizamos diversas estratégias como o uso da
metáfora da balança e o estudo das frações equivalentes. Nesse momento, nosso
foco pedagógico se deu no fomento à percepção de que o olhar para uma equação
não deve ser unidirecional, da esquerda para a à direita, para a indicação de um
102
resultado e sim bidirecional, com a indicação de uma relação entre os termos, a partir
do símbolo de igualdade (MOLINA, 2006). No Quadro 14, expomos a síntese das
sessões 4 e 5.
Quadro 14 – Síntese das sessões 4 e 5
Sessão Síntese
Sessão 4 – Símbolo de igualdade e noção de equilíbrio
A quarta sessão ocorreu em julho de 2018. As crianças se organizaram em grupos de 4 componentes para equilibrar diferentes pesos em uma balança produzida com materiais recicláveis (Apêndice J). Em seguida, criaram equações que representassem o equilíbrio da balança e registraram de diversos modos na tarefa xerografada (com desenhos ou equações). No segundo momento, foram desafiadas a analisar representações de balanças de dois pratos a fim de verificar os pesos adequados para seu equilíbrio. Por fim, socializaram suas conclusões.
Sessão 5 – Símbolo de igualdade com as frações equivalentes
A quinta sessão, ocorrida em agosto de 2018, teve como principal meta compreender a noção de equivalência por meio da comparação de frações. Utilizamos as réguas de frações, produzidas pelas próprias crianças, que se organizaram em grupos de 4 pessoas para empregar a noção de equivalência ao comparar frações a partir do símbolo de igualdade e da representação com a balança de dois pratos (Apêndice K). Os alunos registraram suas conclusões em uma tarefa xerografada e alguns grupos socializaram suas respostas.
Fonte: elaborado pela autora
Na sessão 4, nos baseamos nas orientações de Van de Walle (2009, p. 292),
ao explicar que “a balança de dois pratos ajuda a desenvolver os significados de =, <
e >”. Essa percepção é importante no processo de introdução à álgebra, já que a ideia
de equilíbrio e desequilíbrio emitida por ela faz referência à igualdade e desigualdade
implicadas em equações e inequações algébricas. Buscamos, então, de forma lúdica,
combinar quantidades de objetos para equilibrar a balança, sem o foco no valor e sim
na percepção do equilíbrio. Nesse sentido, buscou-se uma preparação à álgebra
formal, visto que de modo intuitivo, ou seja, sem o uso de simbolismo ou regras,
fomentou o desenvolvimento de conceitos utilizados na formalização da álgebra.
Rojano (2010) reitera o uso da balança de dois pratos como um modelo
concreto no ensino-aprendizagem de propriedades matemáticas no processo de
introdução à álgebra. A referida autora defende que o uso de tal metáfora colabora
para que os alunos compreendam conceitos matemáticos de modo significativo, visto
103
que, esse modelo possibilita dinamicidade e interação para que posteriormente, os
alunos utilizem os conceitos apreendidos na balança em situações com o simbolismo
formal da álgebra.
Figura 13 – Registro da sessão 4
Fonte: acervo da autora
Conforme explicado anteriormente, nosso foco pedagógico com a tarefa
apresentada na Figura 13 foi o fomento à ideia da relação de equilíbrio entre os termos
de uma equação, uma vez que as crianças não tinham familiaridade com a percepção
do símbolo de igualdade indicando uma relação de equivalência. Os alunos
registraram por meio de desenhos e escritas com letras e números, as possibilidades
de equilíbrio da balança.
Na sessão 5, aprofundamos esse estudo ao abordarmos as frações
equivalentes com o uso da régua de frações, ainda com o foco na balança de dois
pratos e sua ideia de equivalência. Situações semelhantes foram identificadas nas
coleções apresentadas no item 2.1.5. Entretanto, o diferencial de nossa tarefa
consistiu na manipulação concreta de uma balança produzida com materiais
reutilizáveis como embalagens plásticas e caixa de fósforo (Figura 13). Na ocasião,
as crianças manusearam pequenas caixas com pesos e cores diferentes com o fim
de obter o equilíbrio.
A partir da sessão 6, realizamos tarefas com jogos que incluíam a noção de
termo desconhecido, com incógnitas ou variáveis.
104
Quadro 15 – Síntese das sessões com jogos
Sessão Síntese
Sessão 6 – Noção de equivalência e termo desconhecido
Em agosto de 2018, desenvolvemos um jogo adaptado de Souza, Silva e Rufino (2004), denominado “Jogo do quadrado mágico”, no qual, os grupos de 4 componentes deveriam resolver e criar problemas em que um dos termos da operação é desconhecido. A folha xerografada (Apêndice L) continha um quadrado com números que, ao somados, as linhas, colunas e diagonais deveriam ter o mesmo resultado. Em um segundo momento, as crianças deveriam compor o quadrado com números que, ao combinar a soma de linhas, colunas e diagonais, deveriam resultar em 15. As conclusões foram registradas oralmente e por escrito na folha xerografada.
Sessão 7 – Noção de equivalência e termo desconhecido
Realizada em agosto de 2018, os grupos de 4 componentes jogaram o “Qual número digitei?”, adaptado de Smole e Diniz (2016). Buscamos verificar indícios das estratégias utilizadas pelos alunos para solucionar a equação a partir de uma sentença matemática indicada no enunciado, com a presença de um termo desconhecido. Nesta tarefa (Apêndice M), focamos em situações com as operações de adição e subtração. Os alunos registraram suas respostas em uma folha xerografada e os grupos socializaram suas conclusões para a turma.
Sessão 8 – Noção de equivalência e termo desconhecido
Realizada em agosto de 2018, os grupos de 4 componentes jogaram novamente o “Qual número digitei?”, adaptado de Smole e Diniz (2016). Intentamos verificar indícios de estratégias utilizadas pelos alunos para resolver equações a partir de sentenças matemáticas com operações de adição, subtração, multiplicação e divisão indicadas no enunciado, com a presença de um termo desconhecido. As crianças socializaram suas respostas oralmente e na atividade xerografada (Apêndice N).
Sessão 9 – Noção de equivalência, termo desconhecido e ideia de incógnita
Organizados em duplas, as crianças brincaram com o dominó de letras e números. O jogo (Apêndice O) consistia em um dominó com equações contendo termos desconhecidos em que era necessário utilizar a noção de incógnita para localizar a resposta adequada. O jogo apresentava situações com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. As peças foram distribuídas para cada grupo e, em seguida, os mesmos registraram suas conclusões em uma folha xerografada.
Sessão 10 – Noção de equivalência, termo desconhecido e ideia de incógnita
Em grupos de 4 componentes, as crianças jogaram novamente o dominó de letras e números. Contudo, nesta sessão, os alunos criaram situações-problema com as equações apresentadas no jogo. Em seguida socializaram suas produções com o grande grupo e registraram suas respostas na folha xerografada (Apêndice P).
Fonte: elaborado pela autora
105
As sessões apresentadas no Quadro 15, abordaram a noção de termo
desconhecido com jogos adaptados para a turma do 5º ano do NEI/CAp – UFRN.
Apesar da BNCC indicar, para os anos iniciais do Ensino Fundamental, o não
uso das letras como representação de quantidades em equações, inserimos esse tipo
de abordagem por meio de jogos nas sessões 8 e 9, com o “Dominó de letras e
números”.
A perspectiva da Teoria da Objetivação defende que o encontro com o saber
algébrico acontece na atividade. Por isso, uma simples tarefa não é a responsável em
promover a atualização do saber em conhecimento. Esse encontro ocorre no labor
conjunto. Porém, as tarefas compõem e fazem parte da atividade. Assim, no
planejamento das tarefas consideramos que a abordagem da álgebra nos anos iniciais
no Brasil ainda é recente e, de modo geral, são poucas e elementares as orientações
acerca do trabalho com o símbolo de igualdade e o termo desconhecido, por isso,
optamos por utilizar tarefas considerando as indicações da BNCC, uma vez que as
orientações esse documento repercutem nacionalmente.
5.4 Processo de constituição dos dados e especificidades da análise
Para a organização da coleta de informações, adaptamos as etapas
elencadas por Vergel (2016, p. 85) e adotamos as seguintes fases:
Fase 1: Gravação em vídeo de todas as sessões.
Fase 2: Transcrição de todos os vídeos
Fase 3: Análise dos vídeos
Conforme já mencionado, a gravação das 10 sessões ocorreu com apenas
um equipamento, com foco nas discussões acerca das tarefas que estavam sendo
desenvolvidas no decorrer das sessões. Ora o profissional filmava os pequenos
grupos, ora o ângulo da câmera focava o grande grupo. Contamos com apenas um
profissional com seu respectivo equipamento de filmagem. Uma vez que as salas de
aula do NEI/CAp – UFRN são ambientes com tamanhos limitados, sendo assim, não
comportaria, por exemplo, um número maior de profissionais com seus equipamentos.
Contudo, a sala de aula é um ambiente dinâmico e complexo, por isso, ao
iniciar o processo de transcrição e análise, verificamos que a presença de somente
106
uma câmera filmadora não contemplou diversos momentos de discussão que
poderiam sinalizar estratégias de pensamento ou indícios do pensamento algébrico e
os meios semióticos utilizados pelos alunos.
Constatamos que, em diferentes situações, não foi possível realizar o
processo de saturação teórica, isto é, o aproveitamento de um acúmulo de
informações (filmagem, registro escrito, registro oral, gestos, etc.) que, aportados no
referencial teórico da TO, ganhariam significado para compor nossos dados analíticos.
Assim, em nosso processo de análise, trabalhamos com dados captados através de
uma única câmera filmadora.
A dificuldade na análise com apenas um instrumento de gravação se deu
principalmente porque, em todas as sessões, os alunos trabalhavam em pequenos
grupos. Então, em discussões específicas de um grupo, ou ao identificarmos registros
escritos que poderiam sinalizar indícios de pensamento algébrico de um determinado
grupo, não foi possível, em algumas ocasiões, realizar a saturação teórica dos meios
semióticos utilizados pelas crianças.
Conforme explicitado anteriormente, nossa unidade de análise não é limitada
ao visual ou escrito, uma vez que adotamos a atividade ou labor conjunto como
unidade de análise, buscamos descrever e interpretar quais e como os meios
semióticos são utilizados pelos alunos para manifestação do pensamento.
Constituindo, assim, uma análise complexa, principalmente por envolver uma
amálgama de elementos semânticos.
Rose (2002, p. 345) aponta que “em vez de procurar uma perfeição
impossível, necessitamos ser muito explícitos sobre as técnicas que nós empregamos
para selecionar, transcrever e analisar dados”. Considerando tal apontamento,
organizamos nosso processo de análise, não a partir de uma técnica, e sim mediados
pela compreensão de que nosso olhar investigativo acerca das informações contidas
nos vídeos, notas de aula, transcrições e registros escritos dos alunos, mesmo com
algumas limitações, seriam transformados em dados analíticos ao atribuirmos sentido
a partir dos seguintes pontos: identificar a) a existência do indeterminado; b) a
referência a indeterminação por meios semióticos; e analisar c) se as estratégias
demonstradas pelas crianças apresentavam características do pensamento analítico,
de acordo com a TO.
107
No processo de caracterizar as estratégias de pensamento demonstradas
pelos alunos para investigar indícios do pensamento analítico, assistimos as
gravações e realizamos as transcrições das sessões na íntegra, indicando a
participação oral de cada criança com as iniciais do nome e sobrenome. Os turnos de
fala são identificados após cada diálogo transcrito, pela identificação do tempo exato
da fala, expressa em horas, minutos e segundos, entre colchetes.
Para a realização e organização das transcrições, adaptamos o modelo
apresentado por Queiroz, Zanelato e Oliveira (2008) e Larrys (2019).
Quadro 16 – Modelo organizador da transcrição
Símbolo Significado
( ) Incompreensão de palavras ou segmentos
(hipótese) – Hipótese do que se ouviu
/ Truncamento na fala
MAIÚSCULA Entonação enfática
sí-la-ba Silabação
... Qualquer pausa
((minúscula)) Descrição de ações e/ou gestos relevantes ao estudo
-- -- Comentários que mudam a sequência temática da ideia em exposição
[ Superposição, simultaneidade de vozes
(...) Indicação de que a fala foi tomada ou interrompida
“ ” Citações literais de textos durante a gravação
{ } Indicação de fala de participante não identificado
[conversa paralela] Diálogo não relacionado às discussões em pauta
#@!% Palavra de baixo calão
Aluno(a) e iniciais do nome e sobrenome
Identificação dos participantes da pesquisa
Professora Professora
A Assistente de gravação
Fonte: adaptado de Queiroz, Zanelato e Oliveira (2008) e Larrys (2019)
O modelo adaptado para a organização das transcrições se fundamenta na
prioridade em expressar a interação e proximidade entre os participantes da situação
(QUEIROZ, ZANELATO, OLIVEIRA, 2008).
Nas análises exibimos apenas trechos das transcrições que possam indicar a
presença do indeterminado e a referência a ele por meio da expressão semiótica, com
isso, verificamos nas tarefas xerografadas o registro escrito discutido naquele turno
de fala e descrito na transcrição. Assim, tentamos verificar por meio da imagem, da
fala do aluno e do registro escrito o modo que ele utilizou os meios semióticos, a fim
de investigar a presença ou não da analiticidade.
108
Ressaltamos que nem sempre foi possível integrar filmagem (áudio, imagem)
e registro escrito da tarefa, uma vez que, conforme já explicado, os turnos de fala
aconteciam simultaneamente nos pequenos grupos, e a presença de apenas uma
câmera prejudicou a captação e discussão de algumas estratégias das crianças.
Assim, no próximo capítulo apresentamos a análise multimodal de tarefas
realizadas na atividade ocorrida com nossos alunos do NEI/CAp-UFRN.
109
6 ANÁLISE MULTIMODAL DE TAREFAS
A presente investigação objetiva responder ao seguinte questionamento: No
processo de introdução à álgebra, o que caracteriza, a partir da TO, as estratégias de
pensamento suscitadas por crianças do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental do
NEI/CAp-UFRN, em tarefas que abordam sentenças matemáticas em que um dos
termos é desconhecido? Para isso, buscamos analisar indícios de pensamento
analítico na atividade de crianças do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, no NEI/CAp-
UFRN. Consideramos o pensamento como “uma forma de refletir sobre o mundo34”
(D’AMORE; RADFORD; BAGNI, 2017, p. 174, tradução nossa), à vista disso, é
relevante conhecer, valorizar e compreender como as crianças expressam o
pensamento no processo de introdução à álgebra.
Logo, no presente capítulo, descrevemos e interpretamos situações ocorridas
nas sessões, em que, por meio das filmagens, transcrições e registros escritos
produzidos pelos alunos, identificamos a) a existência do indeterminado; b) a
referência a indeterminação por meios semióticos; e analisamos c) se as estratégias
demonstradas pelas crianças apresentavam características do pensamento analítico.
Nossa análise, então, se baseia nos três vetores do pensamento algébrico indicados
por Radford (2010, 2013, 2018a).
Em decorrência do volume de produções para a análise, optamos por priorizar
as situações com jogos (Quadro 15) em que a presença do indeterminado se fez mais
evidente, bem como dar enfoque aos registros em que as filmagens e produções
escritas permitiam uma visualização relativamente detalhada das estratégias de
pensamento com o indeterminado, apresentadas pelos estudantes. Optamos por não
analisar os registros em que não foi possível identificar as estratégias de pensamento
dos alunos, seja em decorrência da objetividade na produção escrita ou da deficiência
no processo de captação dos momentos em que essas estratégias se evidenciavam.
Da mesma forma, não foram analisados registros cuja a estratégia se assemelhava
aquelas já analisadas.
34 “Texto original: “Una forma de reflexión sobre el mundo”.
110
6.1 Episódio de análise 1 - o emprego de estratégias aritméticas no processo de
introdução à álgebra
A presente tarefa ocorreu na sessão 8 que, conforme apresentamos em nosso
desenho de investigação, teve como meta pedagógica a resolução de sentenças
matemáticas com operações de multiplicação e divisão em que um dos termos é
desconhecido. Esta tarefa compõe nossas análises com o objetivo de possibilitar a
reflexão sobre a iniciação da álgebra, no sentido de reconhecer que nesse processo
as crianças empregam estratégias aritméticas na resolução de problemas, como, por
exemplo, a utilização de operações inversas.
No entanto, reiteramos, a partir de nossa investigação que, mesmo que um
aluno tenha um conhecimento aritmético refinado, esse refinamento é apenas um dos
aspectos que colabora no desenvolvimento e estruturação do pensamento algébrico.
Para a TO, o aspecto-chave é a analiticidade.
A tarefa consistia no jogo “Qual número digitei?”, adaptado de Smole e Diniz
(2016) e foi realizada com 3 grupos de 4 e um de 5 componentes. Em nossa estrutura
de objeto-objetivo-tarefa (Figura 9), apresentamos nosso objetivo - a resolução de
sentenças matemáticas com um termo desconhecido, a partir da noção de
equivalência. Por isso, possibilitamos diversas vivências para que, em um labor
conjunto, o saber se atualizasse em conhecimento (RADFORD, 2017b), a medida
que, é na atividade que o objeto matemático de pensar algebricamente a resolução
de equações se torna acessível; um saber alcançável.
Na atualização do saber em conhecimento, ensino-aprendizagem são
tratados como um continuum. Por isso, são muitos os elementos envolvidos. Um deles
é o que denominamos de aprendizagem não linear. Isso significa dizer que o processo
de introdução à álgebra não acontece no simples contato com uma tarefa com um
termo desconhecido. No processo, há rupturas, “idas e vindas”, erros e acertos,
dúvidas, reflexões, questionamentos, conclusões e inconclusões. Ou seja, a
introdução da álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental e o desenvolvimento
do pensamento algébrico não é algo considerado simples e espontâneo, é um
processo de tensão, que envolve aspectos cognitivos, corporais, culturais, sociais e
afetivos.
111
Para exemplificar, em nossa sessão 8, deparamo-nos com a seguinte
situação, adaptada de Smole e Diniz (2016), “Pensei em um número, somei com 1125
e multipliquei por 2. Resultando em 2590. Que número pensei?” Com esse enunciado
pretendíamos verificar, primeiramente, de que modo os alunos interpretariam as
informações apresentadas no enunciado e como as organizariam em uma sentença
matemática (? + 1125 x 2 = 2590) e em segundo lugar, reconhecer qual a estratégia
para a resolução e quais os meios semióticos utilizados.
Ao verificarmos a filmagem, chamou-nos atenção a explicação do aluno CC,
que sinalizou por meio da combinação do recurso semiótico linguístico e corporal, a
compreensão de que a multiplicação e divisão são operações inversas, bem como a
adição e subtração. Vejamos o seguinte trecho da transcrição:
Professora Luanna: CC, explique para seus colegas como você fez [20:00;
20:01]
Aluno CC: Eu simple/ eu simplesmente fui fazendo tudo ao contrário
((balançando a cabeça e apontando o dedo para a expressão da folha com um
movimento rápido do dedo do início para o final da expressão, e do final para o início))
[20:02; 20:07]
O aluno CC combinou os meios semióticos da expressão linguística, numérica
e gestos com as mãos para justificar o uso da operação inversa. Uma vez que
movimentou rapidamente o dedo indicador na horizontal, sinalizando que a parte
inicial da equação (+1125 x 2), antes do símbolo de igualdade (Figura 14), com seus
números e sinais das operações, após o símbolo de igualdade, seriam o inverso ou
“contrário” (:2 – 1125), como demonstrado nas Figuras 14 e 15.
Figura 14 - Gesto indicador do uso da operação inversa
Fonte: arquivo da autora
112
Figura 15 – Gesto indicando a operação inversa
Fonte: arquivo da autora
Aluno CC: Eu fui, né? 2590 x 2 aí você ((aponta para o 2590 dividido por 2))
dividido por 2 menos 1125 aí deu 170. ((O aluno escreve que o valor do quadrado é
170)) [20:06; 20:29]
Então, ao manifestar, por meio da expressão linguística e gestual, o “fui
fazendo tudo ao contrário”, o aluno utiliza a operação inversa para reconhecer,
comunicar e fazer referência ao indeterminado, uma vez que indica compreender que
o desconhecido seria o resultado de “fazer ao contrário”. O aluno CC realizou o
seguinte registro numérico:
Figura 16 – Registro escrito do aluno CC
Fonte: arquivo da autora
Inicialmente, o diálogo e registro numérico apresentados nos chamou atenção
pelo fato de que o aluno justifica sua ação ao relatar que “foi fazendo tudo ao
contrário”, indicando que o mesmo fez uso da adição-subtração e divisão-
multiplicação como operações inversas. Ou seja, utilizou a seguinte propriedade com
relação a adição e subtração
Se a + b = c
logo, c – b = a
ou
113
c – a = b
Quanto à multiplicação e divisão, “o contrário” para o aluno é o mesmo que
Se a x b = c
logo, c : b = a
ou
c : a = b
Após identificarmos o uso da operação inversa e o seu resultado como um
indício de reconhecer e se referir ao indeterminado, partimos para um segundo
momento analítico, que consistia na busca do sentido da indeterminação e do
processo de dedução, componentes do principal elemento do pensamento algébrico,
a analiticidade. Nosso olhar investigativo se baliza nos três vetores acerca desse
pensamento sustentados por Radford (2010, 2013, 2018a) e legitimados por Vergel
(2016) e Vergel e Rojas (2018), que são: representação semiótica, o indeterminado e
a analiticidade.
Ao nos debruçarmos sobre o registro escrito e a transcrição, concluímos que
o aluno separou o desconhecido no primeiro membro da expressão e fez operações
apenas no segundo membro para descobrir o valor do desconhecido, ou seja, ao fazer
(? = 2590 : 2 – 1125) indica não agir com o indeterminado como se fosse determinado,
uma vez que o mesmo não utilizou o símbolo de igualdade como equivalência e sim
como a indicação direta de um resultado.
Em suma, na utilização do símbolo de igualdade como equivalência, as
operações do primeiro membro da expressão deveriam resultar no valor do segundo
membro, isto é, (2590 = 2590). A ação inicial do aluno de isolar o termo desconhecido
para calcular o seu valor, manipulando apenas os números conhecidos, não
corresponde a uma ação de agir com o indeterminado como se o mesmo fosse
determinado, uma vez que o símbolo de igualdade foi utilizado como indicação de
operação imediata. Portanto, não conferiu sentido ao indeterminado.
No procedimento abaixo, por exemplo, considera-se a indicação das autoras
do jogo “Qual número digitei?”, adaptado por nós (SMOLE; DINIZ, 2016), quanto ao
uso do parêntese ou da compreensão de que, no caso apresentado, o procedimento
adequado seria realizar a multiplicação (1125 x 2 ) no primeiro membro. Assim,
114
? + 1125 x 2 = 2590
? + 2250 = 2590
? = 2590 – 2250
? = 340
Deste modo,
340 + (1125 x 2) = 2590
340 + 2250 = 2590
2590 = 2590
Ao invés disso, o aluno agiu a partir da concepção do símbolo de igualdade
como a indicação direta de um resultado, porque sua primeira ação, expressa pelo
meio semiótico da escrita, foi separar o desconhecido e agir apenas com o que era
conhecido (? = 2590 : 2 – 1125). Ou seja, o indeterminado não se manteve em
primeiro plano, dado que a prioridade foi a manipulação de números conhecidos.
Na apresentação desta tarefa, nosso objetivo não foi verificar se a criança
errou ou acertou o resultado e sim identificar as estratégias e os meios semióticos
usados no processo introdutório da álgebra, para poder analisar a presença ou não
da analiticidade. O pensamento analítico se caracteriza na operação com o
indeterminado e no processo de dedução.
Na situação apresentada, o aluno CC empregou recursos linguísticos e
corporais para expressar o conhecimento acerca das operações inversas e fazer
referência ao indeterminado. Contudo, o mesmo não operou com o desconhecido
como se fosse conhecido, assim, não apresentou indícios do pensamento analítico,
conforme sintetiza o Quadro 17.
Quadro 17- Vetores e indícios do pensamento algébrico no episódio de análise 1
Vetores do pensamento algébrico Indícios
Indeterminado O valor do termo desconhecido “?”
Expressão semiótica Ao utilizar a expressão linguística “fui fazendo tudo ao contrário”e o gesto para demonstrar seu raciocínio (Figuras 14 e 15), o aluno CC utilizou propriedades das operações para comunicar e reconhecer que o indeterminado seria o resultado da operação inversa.
Analiticidade Agiu apenas com números conhecidos, por isso, não manifestou indícios de analiticidade.
Fonte: Elaborado pela autora
115
Demonstrou ainda um erro matemático na solução, visto que escreveu 170
no resultado, ao invés de 340. Entretanto, consideramos que erros matemáticos fazem
parte do processo de introdução e desenvolvimento do pensamento algébrico com
crianças. Na presente tarefa, por exemplo, o aluno não tinha vivência culturais com
situações em que o símbolo de igualdade indica uma relação de equivalência, por
isso, fez uso da transposição direta de números e operações dos membros da
expressão para utilizar apenas números conhecidos e obter o resultado.
A partir dessas considerações, concluímos que no processo de introdução à
álgebra, o aluno utilizou procedimentos aritméticos para a resolução de problemas,
por isso, não desconsideramos a relevância da aritmética uma vez que ela colabora
na estruturação e desenvolvimento do pensamento algébrico, contudo, destacamos
que para a Teoria da Objetivação, a analiticidade é o principal vetor que caracteriza o
pensamento algébrico.
6.2 Episódio de análise 2 - o termo desconhecido no processo de introdução à
álgebra
A exposição desta tarefa acontece no sentido de 1) valorizar a liberdade de
ação dos alunos no processo de ensino-aprendizagem e 2) refletir acerca da presença
da indeterminância em uma tarefa, no sentido de que, no processo de introdução à
álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, apenas a presença de um número
desconhecido em uma sentença matemática não garante que o sujeito, ao resolvê-la,
desenvolva o pensamento algébrico.
A presente tarefa fez parte da sessão 7 que objetivou que as crianças
vivenciassem em grupos a organização e resolução de sentenças matemáticas com
operações de adição e subtração utilizando o termo desconhecido. Assim, os grupos
se reuniram para ler o enunciado, discutir, organizar as informações em uma sentença
matemática e escolher a melhor estratégia para propor sua resolução.
Cada um dos 4 grupos recebeu uma situação matemática diferente. Nosso
papel como professor no decorrer da tarefa era o de ajudar a promover um ambiente
colaborativo para que, no labor conjunto, o saber fosse posto em movimento, por isso,
observamos e questionamos acerca dos métodos de resolução escolhidos pelos
componentes dos grupos a fim de que eles explicassem as estratégias para solucionar
o problema.
116
As situações do jogo “Qual número digitei?” consistiam em possibilitar as
crianças vivências matemáticas com a presença do termo desconhecido, como no
seguinte exemplo: “Digitei um número na minha calculadora. Subtraí 29 e somei 52,
encontrando 100 como resultado. Que número digitei?” (SMOLE; DINIZ, 2016). O jogo
realizado na sessão 7 foi adaptado de Smole e Diniz (2016), as autoras explicam que
situações como a do “Qual número digitei?” são relevantes para que as crianças
participem de práticas que fomentem o pensamento algébrico. Conforme Radford
(2018b, texto inédito), o saber algébrico é uma potencialidade imersa na cultura, na
qual os indivíduos se familiarizam e atualizam esse saber em conhecimento cultural
ao participar de práticas sociais. Tal encontro com o pensamento algébrico é
denominado por Radford de objetivação.
O processo de objetivação do saber algébrico não é viabilizado apenas pelo
simples contato com tarefas com termos desconhecidos. O encontro com as formas
de pensamento e ações culturais ocorre na atividade, denominada por Radford e
explicado no capítulo 3 de labor conjunto. Conforme a estrutura pedagógica
apresentada na Figura 9, nosso intuito era que as crianças pensassem
algebricamente sobre a resolução de sentenças matemáticas. Assim, possibilitamos
que as mesmas vivenciassem situações com diferentes estratégias em que o termo
desconhecido estivesse presente. Porém, a tarefa por si mesma não atualiza o saber
em conhecimento algébrico, pois é na atividade e em todos os elementos que a
envolvem, que ocorre o processo de objetivação. A atividade, segundo Radford
(2017d), não se limita a apenas uma interação entre pessoas e tarefas. Mas é uma
forma de expressar a vida, que contém elementos emocionais, corporais, afetivos e
intelectuais; é nela que os sujeitos aprendem.
Assim sendo, no decorrer de nossa investigação, propomos a seguinte tarefa,
adaptada de Smole e Diniz (2016).
Figura 17 – Situação matemática e resolução do grupo
Fonte: acervo da autora
117
A tarefa foi realizada em grupo e nos chamou atenção a estratégia de
resolução utilizada por seus componentes e registrado por escrito na tarefa
xerografada (Figura 17). Para resolver a situação (? – 29 + 52 = 100), de acordo com
o que é demonstrado na Figura 17, os alunos escreveram um número aleatório (82),
ao concluir que (82 – 29 + 52) resulta em 105, os alunos subtraem (82 – 5) para chegar
ao resultado indicado no enunciado (100). Assim, utilizou o processo de
compensação.
O aluno CC explicou a estratégia do grupo, sendo o representante dos colegas
para descrever o raciocínio utilizado pela equipe. É interessante ressaltar que o aluno
registrou pelo meio semiótico gráfico, o desenho da seta a fim de apresentar e justificar
as etapas do processo de resolução, ou seja, por meio do desenho de uma seta tentou
demonstrar a sequência e organização do seu pensamento para solucionar a
situação, mobilizando o recurso semiótico gráfico para expressar o seu pensamento
e explicar o seu raciocínio. Além disso, ressaltamos a integração de diversos recursos
e instrumentos no decorrer do processo, como a calculadora, o registro escrito pela
linguagem matemática, o desenho da seta e a explicação via oral e o uso de gestos
que caracterizam o pensamento como multimodal. Conforme explicitado no diálogo:
Aluno CC: Achei! ACHEI! Achei! ((o aluno manipula a calculadora e mostra o
resultado nela)) [22:43; 22:45]
Professora Luanna: você achou quanto? [22:46; 22:47]
Aluno CC: ( ) A gente vai aqui... Eu pensei em setenta e sete ((apontando
para a interrogação da expressão ? – 29 + 52 = 100 )) menos vinte e nove, aí dá
quarenta e oito ((apontando para a expressão apresentada na mesa)). Aí mais
cinquenta e dois... [22:48; 22:59]
[
Professora Luanna: você fez “chutando” foi? Você “chutou? ” [23:01]
Aluno CC: FOI! [23:02]
[
Alunos do grupo, em coro: Não! Não! Não! [23:03]
Aluno AU: Não! Ó, ((o aluno)) PD falou assim oitenta e dois ... Aí deu cento e
cinco ((mostrando a quantidade 5 com a mão aberta)) Diminua 5 números e deu 77...
Entendeu? [23:04; 23:13]
118
Por meio do relato e da Figura 17, é possível verificar que o grupo de alunos
fez uso de tentativa e erro e não de um processo de dedução, pois colocou um número
provisório (82) para substituir o termo desconhecido. Tal ação se caracteriza como
uma prática essencialmente aritmética, já que os alunos operaram com números
concretos e não com o desconhecido. Pelo relato de AU (no trecho 23:04; 23:13),
verificamos que, inicialmente, o sujeito PD foi o primeiro do grupo a tomar a atitude de
colocar um número provisório. Então, o aluno PD compartilhou sua estratégia com os
outros membros do grupo e o sujeito CC socializou e respondeu aos questionamentos
da professora.
A estratégia utilizada pelo grupo é a mesma registrada em um antigo
documento da matemática grega, o papyro Rhind. O método de cálculo é denominado
de “falsa posição” (SERRÃO, 2014). Para Medeiros e Medeiros:
o método de falsa posição consiste, basicamente, em uma tentativa de resolver um problema matemático através da adoção inicial de uma solução provisória e conveniente a ser, posteriormente, modificada através de um raciocínio envolvendo proporções (MEDEIROS; MEDEIROS, 2004, p. 553)
O aluno CC, ao explicar o raciocínio do grupo, demonstra que agiu
diretamente com números concretos. Consideramos que a indeterminação na tarefa
consistiu, inicialmente, na busca da diferença entre o resultado final (105) do cálculo
da sentença com o número aleatório (82) com o resultado final já indicado no
enunciado (100), assim:
82 – 29 + 52 = 105. Contudo o resultado deveria ser 100, por isso,
105 – 100 = 5
Em seguida, para poder encontrar o valor correto da incógnita, o aluno
subtraiu o número aleatório 82 – 5, que resultou em 77.
Nesse sentido, apesar de conter a indeterminação, a estratégia apresenta um
caráter aritmético de “tentativa e erro”. Na situação, não verificamos o critério de
analiticidade, que distingue a aritmética da álgebra. Sendo assim, não observamos,
de acordo com a TO, indícios de pensamento algébrico na estratégia demonstrada
pelo aluno CC e seu grupo. Para Vergel e Rojas (2018, p. 50, tradução nossa)
119
Uma solução através do método de tentativa e erro não é considerada algébrica. Os estudantes podem mobilizar signos alfanuméricos, mas isto não é o que faz faz distinção do pensamento algébrico; Em vez disso, baseia-se em conceitos aritméticos.35.
Dos três vetores indicados por Radford (2018a) para a caracterização do
pensamento algébrico, verificamos apenas a presença da indeterminância. Não
localizamos indicativos de trabalho com a nomeação semiótica para se referir ao
indeterminado e nem a indícios da presença da analiticidade. Isso ocorre porque o
aluno CC, ao explicar o raciocínio do grupo, demonstrou operar somente com números
conhecidos e todo pensamento centrado em números conhecidos, é característico do
pensamento aritmético. Vejamos a síntese no Quadro 18.
Quadro 18 – Vetores e indícios do pensamento algébrico no episódio de análise 2
Vetores do pensamento algébrico Indícios
Indeterminado A diferença de 82 – 5, que resultou em 77.
Expressão semiótica Não localizamos indicativos de nomeação semiótica para se referir ao indeterminado.
Analiticidade O grupo agiu somente com números conhecidos, portanto, não houve indícios de analiticidade.
Fonte: Elaborado pela autora
Outro aspecto a ser destacado na situação da Figura 17 e do diálogo
apresentado é o segmento da atividade, na qual foi possível observar diversos pontos
de vista por parte das crianças. Isto é, o labor conjunto (RADFORD, 2017b) em que,
mesmo considerando que os alunos estão com um objetivo em comum, há espaço de
tensão no diálogo apresentado, principalmente quando o aluno CC diz ter acertado
apenas por colocar o 77 no lugar do termo desconhecido. De imediato, o grupo e o
aluno AU discordam do sujeito CC explicando que o grupo chegou ao resultado 77 a
partir da estratégia aritmética pensada e socializada por outra criança do grupo.
Julgamos relevante dar destaque a esta tarefa em nossas análises, uma vez
que é importante valorizarmos a liberdade de ação das crianças no processo de
ensino-aprendizagem para compreendermos suas estratégias. Na tarefa
apresentada, o aluno CC apresentou a estratégia não convencional do grupo, que era
semelhante a utilizada pelos antigos egípcios, e a partir do método manifestado pelo
35 Texto original: “Una solución a través del método de ensayo-error no la consideramos como algebraica. Incluso los estudiantes pueden movilizar signos alfanuméricos, pero esto no es lo que hace distintivo el pensamiento algebraico; esto, más bien, descansa en conceptos aritméticos”.
120
aluno CC e seu grupo, foi possível refletirmos que, na situação apresentada, houve
operação somente com números concretos, pois, conforme explicado por CC, o grupo
fez uso de um número provisório para substituir o indeterminado e trabalhar apenas
com quantidades conhecidas. De acordo com Radford (2018a), quantidades
indeterminadas podem ser manifestas com um simbolismo matemático, mas também
com outras formas de representação semiótica, sendo assim, a presença de uma
indeterminação matemática com um simbolismo explícito, bem como procedimentos
aritméticos refinados não se desdobram diretamente em um pensar algébrico, e sim
a estratégia analítico-dedutiva.
Portanto, concluímos que, nesta investigação, no processo de introdução à
álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental, os alunos utilizam diferentes
estratégias para agir com números conhecidos, como o que foi manifestado na tarefa
ora apresentada, portanto, visando melhorar nossa prática pedagógica no que
concerne ao ensino-aprendizagem da álgebra, é preciso conhecermos e analisarmos
o raciocínio da criança, valorizando-a e considerando-a como um sujeito integral, que
age e atua no mundo.
6.3 Episódio de análise 3 - a proto-analiticidade no processo de introdução à álgebra
Nesta sessão, a exposição desta tarefa tem o intuito de ressaltar que no
processo de introdução à álgebra no Ensino Fundamental, de acordo com nossa
investigação, podem ocorrer situações em que as crianças apresentam estratégias
que se aproximem à deduções, na perspectiva adotada na TO, mas ainda assim não
demonstram operar com o indeterminado, visto que atuam apenas com números
conhecidos.
A tarefa apresentada neste tópico compunha a sessão 7 que, conforme
mencionamos no desenho investigativo, possibilitou aos alunos vivenciarem em
grupos a resolução de sentenças matemáticas com operações de adição e subtração
com a presença de uma incógnita, denominada de termo desconhecido. Propomos,
em sessões anteriores, oportunidades para que os alunos se familiarizassem com
práticas culturais dessa natureza. Ao retomarmos oralmente esses momentos de
vivência com o termo desconhecido, a estudante MT explica que:
Aluna MT: Os problemas normais já dá... É... tipo... Já dá... é... é... Quanto é
2 ((risos da aluna)) mais 4... é só um exemplo, mas aí a gente tinha que simplesmente
121
só somar. E ((na sessão anterior)) a gente tinha um desses quadrados ((se referindo
a sessão anterior em que, na situação, os alunos já tinham o resultado 15 e a parcela
com o numeral 10 da adição. Precisavam descobrir dois termos desconhecidos que,
somados ao 10, resultassem em 15)). A gente já tinha o resultado, a gente só
precisava descobrir como chegar [1:40; 2:05]
Dessa forma, conforme o relato da aluna, o grupo estava sendo introduzido
na familiarização de situações matemáticas que, para MT, não eram “normais”, visto
que os problemas denominados por MT de “normais”, são aqueles como (2 + 4 =). Ou
seja, a turma estava iniciando a vivência de situações como a mencionada pela aluna
(? + 10 + ? = 15), em que o símbolo de igualdade não indica diretamente uma
operação a ser realizada e sim denota o sentido de equivalência, conforme explicam
Castro e Molina (2007), é importante que as crianças convivam com expressões em
que o símbolo de igualdade indique outros sentidos, além de apenas uma indicação
de resultado.
Após essa discussão, conforme a Figura 18, a seguinte situação foi
apresentada, dando continuidade ao trabalho com o termo desconhecido:
Professora Luanna: Eu pensei num número, certo? Não vou dizer que
número eu pensei ((cola na cartolina uma caixinha com uma interrogação escrita)).
Vocês vão tentar descobrir. Cada grupo vai receber um desafio diferente... Aí o que
foi que eu fiz? Eu adicionei a esse número ((cola na cartolina uma caixinha com o sinal
de adição escrito)) doze... ((cola na cartolina uma caixinha com o número doze
escrito)) Certo? E resultou... ((cola na cartolina uma caixinha com sinal de igual)) em
dezesseis. Olhe só {aluno fala_ não compreensível} calma, qual número eu pensei?
[4:42; 5:20]
122
Figura 18 – Situação (? + 12 = 16) apresentada no início da sessão 7
Fonte: arquivo da autora
Ao propor coletivamente uma discussão acerca das estratégias de resolução,
iniciou-se o seguinte diálogo:
Professora Luanna: Alguns já falaram a resposta porque coloquei número
pequeno. NÉ? Aí está fácil! ((se referindo a situação exposta no quadro)) Mas, como
vocês pensaram para chegar ao resultado? Quem poderia / [6:57; 7:09]
[
Aluna IN: Fui do doze que vai dar 16. Fui indo do doze até chegar no 16. ((se
referindo a sentença: ? + 12 = 16)) [7:10; 7:15]
Professora Luanna: IN usou a ideia de completar, ela foi partindo do doze até
chegar ao dezesseis, aí faltava quatro. Diga AU. [7:16; 7:22]
Aluno AU: Eu... diminuí. [07:23; 07:24]
Professora Luanna: Diminuiu o quê? [07:25; 07:26]
Aluno AU: doze menos dezesseis ((apontando para o quadro)) [07:27; 07:28]
Alunos em coro: ((corrigem o aluno AU)) dezesseis menos doze! [07:29;
07:30]
Professora Luanna: dezesseis menos doze! E você MT? ((a aluna estava com
a mão levantada, esperando a vez de falar)) [07:31; 07:34]
Aluna MT: Eu fiz a mesma que AU... Só que para ficar mais fácil eu separei as
dezenas. [07:35; 07:38]
A fala da aluna MT, no turno de fala das 07:35 às 07:38, chamou-nos atenção
por apresentar um indício de referência ao indeterminado pelo reconhecimento de que
o mesmo poderia ser explicitado ao utilizar a decomposição de dezenas e unidades.
123
Ao interpretarmos o relato da aluna MT de “separar as dezenas”, verificamos
um indício da utilização da seguinte propriedade:
a + b = c
logo a = c – b
b = c – a
A separação entre dezenas e unidades relatada pela aluna indica um vestígio
de que para a mesma a expressão inicial (? + 12 = 16) se constitui como uma verdade
e a partir dela, é possível fazer deduções. A fala da estudante indica que ela agiu por
etapas ao subtrair a mesma quantidade em ambos os termos da expressão até chegar
a uma solução. Conforme Radford (2018a), deduzir é uma ação de analisar e agir
sobre o desconhecido com base no que é conhecido. A analiticidade consiste em: 1)
operar com o indeterminado e 2) fazer uso de deduções nessa operação. Na situação
apresentada, há indícios da utilização de uma premissa dedutiva, contudo, a aluna
não aponta agir com o desconhecido, não conferindo, assim, sentido ao
indeterminado.
Então, na presente tarefa, podemos concluir que há uma aproximação ao
pensamento analítico, uma proto-analiticidade, posto que há a indicação da presença
de um vetor da analiticidade: a dedução, pois ela não agiu por “tentativa e erro”, no
entanto, não visualizamos a ação com quantidades indeterminadas. Para melhor
refletirmos sobre esta situação, podemos interpretar e inferir matematicamente a
conclusão de MT da seguinte forma:
? + 12 = 16
? + 12 + ( -10) = 16 + (-10)
? + 2 = 6
6 – 2
4
Assim, apesar da produção de MT não evidenciar explicitamente a retirada da
dezena em ambos os lados. Nossas análises indicam, a partir do relato da aluna, que
ao separar as dezenas e restar as unidades, fez um processo de compensação,
concebendo a expressão de modo bidirecional, a partir do símbolo de igualdade como
uma equivalência uma referência ao indeterminado por meio da operação aritmética
(6 – 2).
124
? + 12 = 16
Logo ? = 16 – 12 (para MT 6 – 2, pois subtraiu a dezena em ambos os membros)
? = 6 - 2
MT fez uso do recurso linguístico ao oralizar “eu separei as dezenas” para
expressar sua estratégia de pensamento e entendimento de que é possível decompor
ou “separar” dezenas de unidade, como 16 em (16 - 10 = 6) e 12 em (12 – 10 = 2).
Vergel (2016b, p. 24) aponta a relevância dos meios semióticos de objetivação, como
os gestos e o ritmo e seu papel central na atualização do saber em conhecimento.
Acrescentamos também o recurso linguístico, como o utilizado por MT ao dizer que
“separou as dezenas”, como uma forma de materialização e exposição da estratégia
de pensamento.
A partir do indício da indeterminância e expressão semiótica, partimos para um
segundo momento e verificamos indicativos de proto-analiticidade nesta tarefa.
Sintetizamos nossas considerações acerca dessa situação no Quadro 19.
Quadro 19 – Vetores e indícios do pensamento algébrico da aluna MT
Vetores do pensamento algébrico Indícios
Indeterminado O resultado de 6 – 2 No decorrer do processo, utiliza a operação inversa e age a partir da retirada da dezena
? + 12 = 16 ? + 12 + ( -10) = 16 + (-10) ? + 2 = 6 6 – 2 4
Expressão semiótica Reconhece e se refere ao objeto indeterminado a partir de uma operação e propriedade aritmética ao dizer “separar as dezenas” – utilizou o recurso linguístico
Analiticidade Demonstra indícios de proto-analiticidade, pois há uma aproximação ao pensamento analítico. A estudante indica operar a partir da premissa (? + 12 = 16) e, a partir disso, subtrai a mesma quantidade em ambos os termos da expressão. No processo, vai passando de uma expressão para a outra, sucessivamente até chegar a uma solução. Dessa forma, aparenta conceber a expressão de modo bidirecional (atentando para os dois termos) com base no símbolo de igualdade como indicação de equivalência. No entanto, não operou com a incógnita, já que trabalhou apenas com números conhecidos
125
? + 12 = 16 ? + 12 + ( -10) = 16 + (-10) ? + 2 = 6 6 – 2 4
Fonte: Elaborado pela autora
Consoante a Radford (2018a), o critério de analiticidade é o que distingue a
álgebra da aritmética. Isso acontece porque na ação algébrica o trabalho com o
desconhecido é realizado a partir do que é conhecido, como em um “passo a passo”,
que se baseia em uma certeza e considera suas consequências (RADFORD, 2018a).
Verificamos, então, que MT reconhece e se refere ao indeterminado ao
expressar a “separação das dezenas” como uma estratégia facilitadora para se chegar
a resolução. Estratégias de decomposição como o que foi manifestado pela aluna MT,
por exemplo, sugerem que a mesma agiu compreendendo seu procedimento
matemático. A aluna fez uso do princípio aditivo e da propriedade da decomposição
do Sistema de Numeração Decimal para ajudar na resolução da situação aritmética.
Contudo, MT não operou com a incógnita, uma vez que não agiu com o
indeterminado como se fosse determinado. Assim, conforme apresentado no Quadro
19, na introdução à álgebra, de acordo com nossa investigação, a criança nem sempre
demonstrará explicitamente uma analiticidade algébrica. Na tarefa apresentada neste
tópico, por exemplo, de acordo com a base teórica da Teoria da Objetivação, há
indícios, visualizados por meio das estratégias demonstradas pela aluna, de uma
aproximação ao pensamento analítico, já que a aluna indicou agir por deduções, no
entanto, concluímos que o tipo de sentença matemática com apenas uma incógnita
não suscitou a operação com o desconhecido, diante disso, problematizações com
mais de uma incógnita ou questionamentos orais com outras possibilidades e
situações poderiam ter fomentado, no labor conjunto, a ação das crianças com o
indeterminado, contudo, tais reflexões não foram suscitadas pelo professor (ou por
alunos).
126
6.4 Episódio de análise 4 - a operação com o indeterminado no processo de
introdução à álgebra
O objetivo de apresentarmos a presente tarefa consiste em refletirmos acerca
da operação com o indeterminado, pois, para ser considerado algébrico, de acordo
com a TO, é necessário operar de modo analítico-dedutivo com o termo desconhecido
como se ele fosse determinado, para que a incógnita se configure como o primeiro
plano da equação em todo o processo e não apenas na busca do seu resultado, mas
na sua manipulação como a representação de uma quantidade.
A tarefa foi desenvolvida na sessão 9, em que os alunos vivenciaram o dominó
de letras e números, adaptado de Martins e Santos (2012). O dominó possuía
equações com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão e
apresentava termos desconhecidos em que era necessário utilizar a noção de
incógnita para localizar a resposta adequada. Para exemplificar, a Figura 19
demonstra algumas peças do dominó, que continha no total 28 peças, distribuídas
igualmente para cada grupo de 2 alunos.
Figura 19 – Demonstração de peças do dominó de letras e números
Fonte: Martins; Santos (2012)
A atividade de nossa investigação promoveu diversas possibilidades de
fomento ao encontro e familiarização das crianças com situações contendo números
desconhecidos. Porém, ressaltamos que apenas a presença de letras em equações,
conforme apresentado na tarefa da Figura 19, não garante o desenvolvimento do
pensar algébrico.
Seguindo as orientações de Radford (2015, p. 556) expostas na Figura 10,
inicialmente, explicamos a tarefa e apresentamos alguns exemplos de equações em
que os números eram representados por letras, nesse momento, foi possível construir
a regra do jogo com as crianças. Em seguida, os alunos vivenciaram o dominó em
127
grupos de 2 componentes para, por fim, fazer o registro em uma tarefa xerografada e
socializarem suas conclusões.
Para iniciar nossa análise da sessão 9, buscamos as informações contidas ao
assistirmos ao vídeo da sessão, na leitura da transcrição e na conferência das tarefas
xerografadas. De acordo com as orientações de Vergel (2016), as informações se
tornam dados de análise quando atribuímos significado para elas, embasados pela e
na Teoria da Objetivação. Então, conforme já explicitado, buscamos inicialmente
registros que indicavam, pelos diversos meios semióticos, o indeterminado e a
referência a ele, conferindo assim, significado para tais informações apresentadas na
tarefa, filmagem e/ou transcrição. Para, em seguida, analisarmos se tais registros
sinalizavam a presença da analiticidade, ou uma aproximação a ela, ou seja, uma
proto-analiticidade.
Assim, a resposta da criança, apresentada na Figura 20, se configurou como
um dado de pesquisa porque a aluna, no decorrer de sua explicação por meio da
linguagem escrita, fez referência e reconheceu o indeterminado em todo o processo.
Figura 20 – Estratégia utilizada no dominó de letras e números pela aluna LC
Fonte: Arquivo da autora
A resposta apresentada na Figura 20 indica que a mesma fez uso da
propriedade comutativa, ao explicar que 6 x 5 era o mesmo que 5 x 6 para encontrar
o resultado.
Por meio da análise da resposta da aluna LC, verificamos um indício de
pensamento relacional, uma vez que ela operou com a propriedade comutativa da
multiplicação e também fez uso da operação inversa divisão-multiplicação com o
objetivo de facilitar o processo de resolução (FERNÁNDEZ; IVARS, 2016; CASTRO;
MOLINA, 2007). A presença do pensamento relacional com o uso de propriedades de
operações aritméticas colabora na estruturação e desenvolvimento do pensamento
algébrico, contudo, conforme esclarece Radford (2018a), a presença da analiticidade
128
é o que diferencia o pensamento algébrico do aritmético. No quadro 20, sintetizamos
nossa análise da presente tarefa.
Quadro 20 – Vetores e indícios de aproximação ao pensamento algébrico da aluna LC
Vetores do pensamento algébrico Indícios
Indeterminado O valor de “C” na equação 30 : c = 6
Expressão semiótica Se refere ao objeto indeterminado como “C”
Analiticidade Indica uma proto-analiticidade, ou seja, uma aproximação ao processo dedutivo, posto que sinaliza agir baseada na premissa 30 : c = 6, e não por tentativa e erro, por saber que 5 x 6 é 30 e 6 x 5 é 30
Fonte: Elaborado pela autora
Quanto ao primeiro vetor, verificamos a presença do indeterminado. É
possível depreender também, por meio da Figura 20 e na síntese do Quadro 20, que
a aluna fez uso da expressão semiótica ao se referir ao indeterminado como “C”
durante todo o processo. O modo que o indivíduo menciona o indeterminado, seja
pela linguagem oral, escrita ou por outro meio, sinaliza o vetor da expressão semiótica
defendida por Radford (2018a) quanto à caracterização do pensamento algébrico. No
início de nossas intervenções, os alunos apresentaram dificuldade para compreender
que culturalmente um número pode ser representado por meio de um simbolismo ou
uma letra. Mas, na escrita da aluna LC, registrada na Figura 20, é possível perceber
indícios de que a mesma reconhece o símbolo “c” como uma quantidade.
Além disso, verificamos indícios, a partir de nossa análise multimodal, de um
recurso linguístico pelo uso do “Eu sei”. Ao demonstrar que sabia, por meio do artefato
cultural da tabuada, a criança comunicou a estratégia de pensamento matemático,
indicando o não uso da tentativa e erro, mas uma aproximação ao processo de
dedução, baseada em etapas, a partir da premissa de que
30: c = 6, logo
30: 5 = 6
Porque, de acordo com o registro escrito do signo numérico feito pela aluna,
6 x 5 é 30 e 5 x 6, a partir da propriedade comutativa da multiplicação, apresenta o
mesmo resultado, isto é, 30.
129
Por não termos uma amálgama de elementos semióticos nas filmagens,
transcrição e tarefa xerografada que reafirmem de modo direto a dedução e a
operação com o desconhecido, concluímos que na situação houve uma proto-
analiticidade, uma aproximação ao pensamento analítico, em razão de que a aluna
sinalizou operar a partir de uma premissa.
Por fim, esclarecemos que tarefas como o “Dominó de letras e números”
promovem a familiarização de crianças do 4º e 5º ano para lidar futuramente com a
álgebra formal, já que apresentam a noção de incógnita.
Filloy e Rojano (1989, p. 19) explicam que equações como as que
apresentamos no presente tópico podem ser solucionadas por intermédio de
operações inversas, contudo, no processo de resolução, não é necessário operar
diretamente com o desconhecido. Porquanto, os referidos autores elucidam que
equações como Ax + B = Cx + D não devem ser resolvidas apenas com a inversão de
operações, em virtude de que a incógnita está presente nos dois termos.
Apesar da consideração de Filloy e Rojano (1989), nossa investigação propõe
tarefas que possibilitem um contato inicial e familiarização cultural dos alunos com
situações em que as incógnitas sejam introduzidas em sentenças matemáticas, num
processo de preparação à álgebra.
Outra razão de optarmos por equações com apenas uma incógnita é o fato de
que a BNCC, materiais de orientação ao professor e livros didáticos aprovados pelo
PNLD, como discutido no capítulo 2, indicam sentenças matemáticas semelhantes.
Autores de materiais didáticos justificam que tais situações fazem parte da nova
tendência de introdução à álgebra no Brasil, a partir das orientações da BNCC. Esses
materiais didáticos, como os livros, repercutem diretamente nas práticas escolares,
assim, por ser algo tão recente no contexto dos anos iniciais, optamos em fazer uso
de tarefas com situações similares.
Em suma, destacamos que, de acordo com a Teoria da Objetivação, para
pensar algebricamente é necessário operar de modo analítico fazendo uso de
deduções. A análise da tarefa ora apresentada demonstra que houve uma
aproximação ao que seria operar com premissas dedutivas, constituindo, assim, uma
proto-analiticidade.
130
6.5 Episódio de análise 5 - indícios da ruptura entre aritmética e álgebra no processo
de introdução à álgebra
A apresentação desta tarefa objetiva refletir acerca da ruptura entre aritmética
e álgebra. De acordo com Filloy e Rojano (1989), esse “corte” é indicado com o fato
de que os alunos, mesmo com habilidades aritméticas refinadas, sentem dificuldade
de operar com o desconhecido. A apresentação da tarefa também se deve ao fato de
fomentar a reflexão sobre o reconhecimento e a referência ao indeterminado. Posto
que, conforme evidencia a Figura 21, a aluna IN faz uso da expressão semiótica ao
se referir ao termo desconhecido, todavia, não opera com o indeterminado e não faz
uso de premissas para solucionar a equação.
Figura 21– Estratégia utilizada pela aluna IN
Fonte: acervo da autora
Assim como na tarefa do tópico anterior, a presente tarefa também ocorreu na
sessão 9, na vivência com o jogo “Dominó de letras e números”, adaptado de Martins
e Santos (2012). A partir do registro escrito foi possível verificar a estratégia de
pensamento da aluna, a mesma reconheceu e se referiu ao indeterminado e indicou
compreender que a letra “y” representa uma quantidade numérica. Consideramos isso
um avanço, uma vez que os alunos no início das sessões demonstraram dificuldade
com a prática cultural matemática de considerar quantidades por meio da
representação simbólica de letras. Contudo, apesar desse reconhecimento, a aluna
não conferiu sentido ao indeterminado, pois não operou com ele como se o mesmo
fosse conhecido.
A estudante indica fazer uso da “tentativa e erro”, ao escrever que “fui vendo”
qual número somado com 4 resultaria em 7. A expressão linguística destacada
expressa uma ação contínua, ou seja, não partiu de uma premissa, uma vez que é
possível inferir que a criança foi testando qual número poderia substituir a letra. A
análise multimodal privilegia não apenas o resultado final, mas o processo de
resolução, sendo assim, atentar para a explicação linguística da criança pela
131
linguagem escrita nos fez perceber o uso sutil da “tentativa e erro”, constituindo-se
como uma estratégia aritmética.
Para a Teoria da Objetivação, a analiticidade é o que diferencia a aritmética
da álgebra, ela se configura com duas principais características, a primeira diz respeito
à ação com o indeterminado como se o mesmo fosse determinado e a segunda é que
tais ações devem partir de uma premissa. Ou seja, um processo onde um raciocínio
inicial gera outro e assim, sucessivamente, até solucionar o problema matemático.
Sintetizamos nossa análise desta tarefa no Quadro abaixo.
Quadro 21 – Vetores do pensamento algébrico da aluna IN
Vetores do pensamento algébrico Indícios
Indeterminado É identificado e reconhecido como “Y”
Expressão semiótica Reconhece e se refere ao “Y” como “número desconhecido” por meio do registro escrito
Analiticidade Não demonstra analiticidade, uma vez que fez uso da “tentativa e erro” e não operou com o desconhecido como se fosse conhecido
Fonte: elaborado pela autora
Como evidenciado no Quadro 21, há indícios de que a aluna IN não operou
com o desconhecido. Filloy e Rojano (1989) reiteram que para o estudante agir com
o indeterminado, em um certo momento ele deve ir além de práticas aritméticas. Em
suma, o mesmo deve agir com a incógnita em primeiro plano, isso significa que a
utilização de procedimentos aritméticos, como o uso das operações inversas, por
exemplo, não garante que o indeterminado seja visto como determinado.
Porém, situações com a presença de apenas uma incógnita, como a da tarefa
ora apresentada, podem ser solucionadas diretamente com o uso de operações
inversas. Acerca disso,
Considere o conceito de equação. Em termos aritméticos, o lado esquerdo da equação corresponde a uma sequência de operações realizadas em números (conhecidos ou desconhecidos); o lado direito representa a consequência de ter realizado tais operações. Isso é o que poderíamos chamar de noção "aritmética" de igualdade. De tal noção, equações como Ax + B = C podem ser resolvidas simplesmente desfazendo, uma a uma, as operações dadas na sequência da mão esquerda, começando com o número C. Esse é um tipo de equação "aritmética". A noção aritmética não se aplica a uma equação da forma Ax + B = Cx + D; sua resolução envolve operações extraídas de fora
132
do domínio da aritmética, isto é, operações no desconhecido36 (FILLOY; ROJANO, 1989, p. 19, grifo do autor, tradução nossa)
Assim, o tipo de equação representado em alguns livros didáticos aprovados
pelo PNLD 2019 são denominados por tais autores como equações aritméticas.
Reconhecemos que os procedimentos com números e operações conhecidas são
relevantes, porém, para Filloy e Rojano, pensar algebricamente requer um nível de
abstração maior, posto que se atenta para o desconhecido e se opera com ele de
modo dedutivo. A noção do símbolo de igualdade como uma relação entre os termos
de uma equação colabora nesse processo.
A partir da caracterização das estratégias de pensamento demonstradas pela
aluna IN (Figura 21), reiteramos, baseados na Teoria da Objetivação, que a dificuldade
de operar com números desconhecidos evidencia a ruptura entre aritmética e álgebra
e, com a reflexão da tarefa ora apresentada, concluimos que apenas o
reconhecimento e referência ao termo desconhecido não significa que o pensamento
algébrico está sendo desenvolvido.
36 Texto original: “Consider the concept of equation. In arithmetical terms, the left side of the equation corresponds to a sequence of operations performed on numbers (known or unknown); the right side represents the consequence of having performed such operations. This is what we might call the “arithmetical” notion of equality. From such a notion, na equation such as Ax + B = C can be solved by merely undoing, one by one, the operations given in the left hand sequence, starting with the number C. We shall call this type of equation “arithmetical”.
133
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nos propomos a caracterizar, a partir da Teoria da Objetivação, estratégias
de pensamento demonstradas por crianças 4º e 5º ano do Ensino Fundamental do
NEI/CAP-UFRN, no processo de introdução da álgebra, em tarefas que abordam
sentenças matemáticas em que um dos termos é desconhecido. Neste capítulo,
tratamos sobre os resultados sinalizados pela análise das tarefas descritas e
interpretadas no capítulo 6 e dos possíveis desdobramentos investigativos, a partir
deste estudo, assim como das contribuições.
A proposição desta pesquisa ocorreu em um contexto cultural em que no
Brasil, o ensino-aprendizagem sistemático da álgebra foi orientado a partir da
aprovação no final de 2017, da 3ª versão do principal documento normativo de
orientação curricular nacional, a Base Nacional Comum Curricular. Assim, a partir
dessa aprovação, surge uma nova demanda pedagógica: a inserção da denominada
álgebra escolar no cotidiano das salas de aula em todo país.
Com essa nova demanda inserida na comunidade escolar, nos questionamos,
como pedagogos em busca de melhorar nossa prática pedagógica, acerca do que
caracterizaria o pensamento algébrico, posto que livros didáticos e de orientação aos
professores trazem tarefas com um termo desconhecido indicando “desenvolver o
pensamento algébrico”.
No percurso investigativo, optamos por seguir a perspectiva da Teoria da
Objetivação (RADFORD, 2018a) no que concerne a organização estrutural e na
análise das sessões. Tal posicionamento se deu porque essa Teoria evidencia uma
Educação Matemática que não se detém apenas aos aspectos cognitivos, mas éticos,
históricos e sociais e concebe o saber como algo democrático, que não pertence
apenas ao professor. Esse saber pode ser alcançado e materializado em
conhecimento por meio de um trabalho colaborativo, denominado por Radford de labor
conjunto. A TO também defende que o pensamento é uma forma de agir e refletir
sobre o mundo, por isso, optamos nesta investigação por valorizar e analisar as
estratégias demonstradas pelas crianças na busca de melhor compreender sobre algo
tão recente no Brasil - o trabalho pedagógico com a álgebra nos anos iniciais do
Ensino Fundamental.
Assim, realizamos 10 sessões no Núcleo de Educação da Infância – Colégio
de Aplicação da UFRN, sendo 3 sessões na turma do 4º ano, em 2017, e 7 na mesma
134
turma, compondo o 5º ano, em 2018. Organizamos as 10 sessões em três blocos,
visando a ideia de equivalência com a presença de um termo desconhecido, de acordo
com as orientações da BNCC.
A elaboração das tarefas e sua intenção pedagógica (Figura 9) se deu a partir
de dois principais objetivos expostos na BNCC, que diziam respeito à noção de
equivalência e o trabalho com o termo desconhecido. O que subsidiou a análise das
tarefas foi a concepção acerca da álgebra, defendida pela Teoria da Objetivação
(RADFORD, 2018a). Para Radford, o pensamento algébrico se constitui com três
vetores: a indeterminação, isto é, a presença do termo desconhecido e o tratamento
dado a ele em situações matemáticas; a expressão semiótica, constituída no
reconhecimento e referência ao indeterminado e a analiticidade, que consiste na
operação dedutiva com o desconhecido.
Além disso, baseados na TO, realizamos nossas análises com um olhar
multimodal, atentando para as diversas formas de expressar uma estratégia de
pensamento. Posto que para Radford, o pensamento é multimodal e pode ser
expresso e visualizado de múltiplas formas. Verificamos, assim, desde os gestos até
as representações escritas realizadas pelas crianças.
Diante das informações apresentadas nos materiais de análise, conferimos
sentido e compomos nossos dados analíticos a partir da perspectiva da Teoria da
Objetivação (VERGEL; ROJAS, 2018) ao selecionarmos situações em que
percebíamos a presença, o reconhecimento ou referência ao indeterminado.
As 10 sessões foram organizadas em 3 blocos e, ao verificarmos os vídeos,
transcrições e tarefas xerografadas, percebemos que a referência ao indeterminado
se deu principalmente nas últimas sessões, no bloco de trabalho com jogos
matemáticos. Nesse processo, nossas maiores dificuldades na análise das tarefas se
deram no fato de que, por contarmos com apenas uma câmera filmadora, muitos
registros orais e visuais foram perdidos. Outra dificuldade foi a falta de um registro
detalhado na escrita das crianças, posto que os alunos, na maioria das ocasiões,
apenas registravam a resposta final na folha xerografada, sem escrever cálculos ou
registros do processo de resolução das equações, dificultando, então, a compreensão
dos procedimentos e estratégias por eles utilizadas.
Nossas análises sinalizam que, no processo de introdução à álgebra, as
estratégias demonstradas pelas crianças evidenciam a presença latente da proto-
135
analiticidade como uma característica que compõe esse processo. Ainda concluímos,
a partir da análise das estratégias de pensamento demonstradas pelas crianças, que:
o pensamento algébrico apresenta uma ruptura ao pensamento
aritmético, essa diferenciação pode ser demonstrada pela dificuldade
das crianças em operar com o desconhecido;
o emprego de estratégias aritméticas refinadas e o uso de propriedades
das operações colaboram no desenvolvimento e estruturação do
pensamento algébrico;
o pensamento algébrico e/ou aritmético pode ser expresso de múltiplos
modos, por isso, é preciso proporcionar liberdade para as crianças
resolverem problemas ao seu modo, bem como valorizar suas
estratégias.
Assim, a partir desses resultados, defendemos a tese de que, a partir da
abordagem da Teoria da Objetivação, a proto-analiticidade se constitui como uma
característica do processo pedagógico de introdução à álgebra.
Nossas análises, baseadas na TO, elucidam que o que a BNCC, livros
didáticos do PNLD 2019 e materiais de orientação ao professor trazem como álgebra,
são, na verdade, uma pré-álgebra, visto que, de acordo com a Teoria da Objetivação,
não promoveram, nesta investigação - a partir das estratégias demonstradas pelas
crianças, o desenvolvimento do pensamento algébrico, mas fomentaram noções
importantes para a estruturação do trabalho com a álgebra formal, como o conceito
do símbolo de igualdade como uma relação de equivalência.
Essa constatação se deu na verificação de que para as crianças operarem
algebricamente, precisam transpor a concepção aritmética de operar com termos
conhecidos (FILLOY; ROJANO, 1989). Assim, a chamada “introdução da álgebra
escolar” nos anos iniciais do Ensino Fundamental, apresentada nesta investigação,
seria, na perspectiva da TO, uma pré-álgebra.
Contudo, o trabalho com a pré-álgebra é relevante, na medida em que, com
tais tarefas, no labor conjunto, as crianças entram em contato e se familiarizam com
conceitos que serão utilizados na formalização da álgebra.
Concluímos também que cabe ao professor, como sujeito mais experiente,
ampliar as posibilidades para o alcance do saber algébrico. Em nossa atividade, por
exemplo, a ação do professor no labor conjunto poderia ter facilitado o encontro dos
alunos com o pensamento algébrico, posto que apenas a aplicação de uma
136
determinada tarefa não promove a atualização do saber em conhecimento. Mesmo
com objetivos claros no que concerne a estrutura da atividade e no modo que
conceber os sujeitos, consideramos que a ação do professor no labor conjunto desta
investigação foi limitada, uma vez que, poderia ter levantado discussões sobre a ação
com o indeterminado como se fosse determinado. Conforme apontado por Radford
(2017e)
O conceito de professor e de estudante que a TO traz consigo não é o conceito de seres autossuficientes e feitos por si próprios, que já conhecem seus assuntos. Professores e estudantes são conceitualizados como subjetividades em elaboração, ou como projetos de vida. Em vez de serem considerados como algo já dado, como fontes de saber e intencionalidade, eles são considerados como abertura para o mundo. A TO concebe os professores e os estudantes como seres humanos em fluxo, como projetos inacabados, em busca de si mesmos, empenhados num mesmo esforço onde sofrem, lutam e encontram satisfação juntos (RADFORD, 2017e, p. 241-242)
Nesta investigação, de fato, as especificidades da álgebra nos anos iniciais
do Ensino Fundamental, mais detalhadamente no 4º e 5º, foram aprendidas junto com
os alunos, no decorrer do processo. Concretamente, o saber não se configurou como
algo nosso (do professor) e sim uma produção coletiva, erramos e aprendemos juntos,
no labor conjunto.
A partir das reflexões dos erros e acertos, constatamos que um possível
desdobramento, suscitado deste estudo, seria a investigação com tarefas que,
segundo Filloy e Rojano (1989) seriam genuinamente algébricas. Tais situações
seriam compostas de equações como Ax + B = Cx + D, uma vez que, para tais autores,
nesse tipo de situação, é preciso transpor procedimentos aritméticos de agir apenas
com números determinados. Contudo, concluímos a tese com o seguinte
questionamento: será que o uso de duas incógnitas realmente facilitaria a ação com
o desconhecido como se fora conhecido?
Por ora, esta tese contribui no sentido de esclarecer o que é e como se
caracteriza o pensamento algébrico, principalmente para pedagogos, visto que, estes
apresentam dificuldades e crenças negativas em relação à matemática (NACARATO;
MENGALI; PASSOS, 2009), devido a uma formação inicial deficitária, bem como de
experiências pragmáticas na escolarização estudantil.
Sendo assim, esclarecer por meio desta investigação baseada na TO, o que
é específico da álgebra, como o pensamento analítico, tem o objetivo de reverberar
137
na melhoria de nossa prática de professora da rede pública e de professores que estão
iniciando o processo de introdução à álgebra, a partir da aprovação da BNCC no final
de 2017. O estudo contribui também no sentido de fomentar pesquisas científicas na
área.
A busca em melhorar nossa prática pedagógica consiste na ação reflexiva
com fundamento em uma Educação Matemática que vise a formação crítica dos
sujeitos, incluindo o próprio professor, que não deve limitar a sua ação a uma tarefa
apresentada em um livro ou material didático, posto que, é no labor conjunto, nas
ações colaborativas e críticas, na problematização e reflexão que o encontro com o
saber acontece.
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REFERÊNCIAS
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149
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VAN DE WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6. Ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
VERGEL, Rodolfo. Formas de pensamiento algebraico temprano em alunos de cuarto y quinto grados de Educación Básica Primaria (9-10 años). Tese de Doutorado. Universidad Distrital Francisco José Caldas. Bogotá, 2014. VERGEL, Rodolfo. Sobre la emergência del pensamento algebraico temprano y su desarrollo em la educación primária. Bogotá: Editora Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2016. VERGEL, Rodolfo; ROJAS, Pedro Javier. Álgebra escolar y pensamento algebraico: aportes para el trabajo em el aula. Bogotá: Editora Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2018. VIANNA, Carlos Roberto. Introdução à álgebra. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 1990, Natal, Anais... Natal: UFRN Editora Universitária, 1990, p. 37. Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/index.php/anais/enem> Acesso em: 02 abr 2017.
VYGOTSKY, Lev Semenovitch. Pensamento e linguagem. 4ª ed. São Paulo: Martins Fontes, 2008.
150
APÊNDICES
APÊNDICE A – Livros didáticos em formato reduzido para avaliação - 4º e 5º ano
do Ensino Fundamental
Coleção Referência
Coleção 1 – Ligamundo
REAME, Eliane. Ligamundo matemática 4º ano. São Paulo: Saraiva, 2017a REAME, Eliane. Ligamundo matemática 5º ano. São Paulo: Saraiva, 2017b
Coleção 2 – Novo bem-me-quer
BORDEAUX, Ana Lúcia et al. Novo bem-me-quer matemática 4º ano. São Paulo: Editora do Brasil, 2017a BORDEAUX, Ana Lúcia et al. Novo bem-me-quer matemática 5º ano. São Paulo: Editora do Brasil, 2017b
Coleção 3 – Ápis
DANTE, Luís Roberto. Ápis matemática 4º ano. São Paulo: Ática, 2017a DANTE, Luís Roberto. Ápis matemática 5º ano.São Paulo: Ática, 2017b
Coleção 4 – A conquista da matemática
GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. A conquista da matemática 4º ano.São Paulo: FTD, 2018a GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. A conquista da matemática 5º ano.São Paulo: FTD, 2018b
Coleção 5 – Novo Pitanguá
RIBEIRO, Jackson; PESSÔA, Karina. Novo Pitanguá matemática 4º ano. São Paulo: Moderna, 2017a RIBEIRO, Jackson; PESSÔA, Karina. Novo Pitanguá matemática 5º ano. São Paulo: Moderna, 2017b
Fonte: elaborado pela autora
151
APÊNDICE B - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido – TCLE
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – PPGED COMITÊ DE ÉTICA EM PESQUISA DA UFRN-CEP/HUOL
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO – TCLE
Esclarecimentos
Vimos solicitar a você a autorização para que o menor pelo qual você é responsável participe
da pesquisa: Ensino e aprendizagem da álgebra na perspectiva do Letramento nos anos iniciais do
Ensino Fundamental, que tem como pesquisador responsável a Profa. Luanna Priscila da Silva Gomes.
Esta pesquisa pretende analisar aspectos do ensino e aprendizagem da álgebra nos anos
iniciais do Ensino Fundamental mobilizados a partir do trabalho com a leitura e a escrita na perspectiva
do letramento em uma turma do 4º ano do Ensino Fundamental.
O motivo que nos leva a fazer este estudo decorre da necessidade de se buscar alternativas
eficazes para o ensino de álgebra nos anos iniciais do ensino fundamental, uma vez que o seu ensino
é recomendado em documentos oficiais que orientam o currículo escola, desde os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1997), como, na atualidade, a Base Curricular Comum
Nacional (2017). Dentre as alternativas de ensino buscadas neste estudo, destaca-se a sua articulação
com o desenvolvimento das competências de leitura e escrita da língua materna e da linguagem
matemática, também essenciais para a formação do sujeito letrado.
Durante o desenvolvimento e aplicação do estudo, o aluno deverá participar de oficinas
matemáticas sobre conteúdos algébricos no horário normal de aula, com gravação de voz e/ou imagem.
Utilizaremos nomes fictícios na análise da pesquisa, garantindo a confidencialidade da investigação.
Quanto aos possíveis riscos, são considerados mínimos, visto que as atividades acontecerão
dentro do horário escolar dos alunos, sem prejuízo dos estudos dos demais assuntos curriculares,
contudo, o risco que a criança corre é semelhante aquele sentido em um exame físico ou psicológico
de rotina. Pode acontecer nos momentos de registros da imagem ou na gravação da voz um
desconforto por meio de algum sentimento de constrangimento na exposição de dúvidas, conflitos
dentro do grupo por discordar de algum colega, dificuldade de trabalhar em grupo, vergonha em expor
sentimentos devido à gravação sonora e imagética. Os possíveis riscos citados serão minimizados com
o auxílio constante da professora pesquisadora e dos demais profissionais da escola. No momento da
oficina, a professora fará a intervenção de grupo em grupo, auxiliando os alunos nas questões
individuais e coletivas. Os participantes serão beneficiados, pois as oficinas fomentarão o estudo da
matemática em grupo, ajudando-os a desenvolver a atitude de trabalho coletivo, de contar com o apoio
da professora e dos colegas, de respeitar a opinião do outro, argumentar e discutir ideias.
152
Tendo em vista o caráter confidencial que será dado as informações coletadas, bem como a
garantia de privacidade no que diz respeito ao anonimato dos participantes, sedo identificados com
nomes fictícios.
Caso tenha dúvidas na ocasião de assinatura do Termo de Autorização ou durante todo o
período da pesquisa, você poderá ligar para a pesquisadora Luanna Priscila da Silva Gomes (84-99652-
9726).
Você tem o direito de recusar sua autorização, em qualquer fase da pesquisa, sem nenhum
prejuízo para você e para ele(a).
Os dados que o estudante irá nos fornecer terão sua divulgação restrita apenas a congressos
ou publicações científicas, não havendo divulgação de nenhum dado que possa identificá-lo(a).
Esses dados serão guardados pelo pesquisador responsável por essa pesquisa em local
seguro e por um período de 5 anos.
Não haverá despesas no decorrer da pesquisa.
Se ele(a) sofrer algum dano comprovadamente decorrente desta pesquisa, ele(a) será
indenizado.
Qualquer dúvida sobre a ética dessa pesquisa você deverá entrar em contato com o CEP
HUOL, Endereço: Av. Nilo Peçanha, 620, 1º Andar do Prédio Administrativo, Espaço João Machado,
Petrópolis, Natal/RN - Telefone (84) 3342-5003 - E-mail: [email protected].
Este documento foi impresso em duas vias. Uma ficará com você e a outra com a pesquisadora
responsável Luanna Priscila da Silva Gomes.
Consentimento Livre e Esclarecido
Eu, _____________________________________________________, representante legal do
menor _____________________________________________________, autorizo sua participação na
pesquisa “Ensino e aprendizagem da álgebra na perspectiva do Letramento nos anos iniciais do Ensino
Fundamental”.
Esta autorização foi concedida após os esclarecimentos que recebi sobre os objetivos,
importância e o modo como os dados serão coletados, por ter entendido os riscos, desconfortos e
benefícios que essa pesquisa pode trazer para ele(a) e também por ter compreendido todos os direitos
que ele(a) terá como participante e eu como seu representante legal.
Autorizo, ainda, a publicação das informações fornecidas por ele(a) em congressos e/ou
publicações científicas, desde que os dados apresentados não possam identificá-lo(a).
Natal, _____ de __________________ de 2017.
_________________________________________
Assinatura do representante legal
Declaração do pesquisador responsável
Como pesquisador responsável pelo estudo “Ensino e aprendizagem da álgebra na perspectiva
do Letramento nos anos iniciais do Ensino Fundamental”, declaro que assumo a inteira
Impressão datiloscópica do representante
legal
153
responsabilidade de cumprir fielmente os procedimentos metodológicos e os direitos que foram
esclarecidos e assegurados ao participante desse estudo, assim como manter sigilo e confidencialidade
sobre a identidade do mesmo. Declaro ainda estar ciente que na inobservância do compromisso ora
assumido estarei infringindo as normas e diretrizes propostas pela Resolução 466/12 do Conselho
Nacional de Saúde – CNS, que regulamenta as pesquisas envolvendo o ser humano.
Natal, _____ de __________________ de 2017.
_____________________________________________________ Assinatura do pesquisador responsável
154
APÊNDICE C – Termo de Assentimento Livre e Esclarecido – TALE
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – PPGED
COMITÊ DE ÉTICA EM PESQUISA DA UFRN-CEP/HUOL
TERMO DE ASSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO (TALE)
Você está sendo convidado a participar da pesquisa que será coordenada pela
professora Luanna Priscila da Silva Gomes, telefone: (84) 996529726. A pesquisa será
realizada com crianças que têm de 9 a 10 anos de idade e que fazem parte da turma do 4º
ano vespertino do Núcleo de Educação da Infância – NEI/CAp/UFRN.
Nesta pesquisa, a professora procura saber como ensinar matemática de modo que
os alunos aprendam mais e melhor sobre esta matéria. Para isso, ela vai desenvolver na sala
de aula várias atividades e jogos em grupo. Estas atividades incluem leitura, escrita e os
conteúdo de matemática e também o uso de projetor multimídia (disponibilizado pelo NEI), do
livro de matemática que você já está utilizando, de papel, lápis, borracha, coleção e cartolinas
que serão doados pela professora. Além disso, toda a sua participação na pesquisa será
filmada.
Seus pais já permitiram que você participe. Mas, você só participará se quiser. É um
direito seu escolher se vai participar ou não e não terá nenhum problema se desistir.
Todas as atividades da pesquisa são consideradas seguras, e podem lhe ajudar a
aprender novos conteúdos da matemática, a melhorar na leitura e na escrita, a trabalhar em
grupo com os colegas, a expor sua opinião de forma mais clara, a ajudar, ouvir e se colocar
no lugar do outro. Mas, também é possível que você sinta vergonha para expor sua opinião
devido à filmagem que acontecerá durante a aula, também pode acontecer de você sentir
dificuldade de trabalhar em grupo e entre em conflito com algum colega ou mesmo que você
se sinta mal por ter dificuldade em realizar a atividade. Caso isso aconteça, você pode solicitar
ajuda da professora, que estará bem próximo para ajudar no que você precisar. Caso
aconteça algo errado e que você perceba fora do horário da aula, você pode entrar em contato
com a professora pelo telefone que foi informado no começo do texto.
A pesquisa será realizada no mesmo horário da sua aula, não tendo prejuízo
dos conteúdos que você deveria aprender e também não gerando gastos com transporte para
deslocamento em outro turno.
155
As imagens e as atividades feitas por você durante a pesquisa vão ser
publicados apenas nos trabalhos de doutorado da professora Luanna e em revistas de
divulgação de pesquisa. Mas, não se preocupe, porque seu nome e outras informações sobre
você não serão divulgadas pra ninguém. Ninguém saberá que você está participando da
pesquisa. Não falaremos a outras pessoas, nem daremos a estranhos as informações que
você nos der.
============================================================
CONSENTIMENTO PÓS INFORMADO
Eu _________________________________________________________ aceito
participar da pesquisa da professora Luanna sobre Educação Matemática.
Entendi as coisas ruins e as coisas boas que podem acontecer.
Entendi que posso dizer “sim” e participar, mas que, a qualquer momento,
posso dizer “não” e desistir e que ninguém vai ficar com raiva de mim e nada vai acontecer.
Os pesquisadores tiraram minhas dúvidas e conversaram com os meus
responsáveis.
Recebi uma cópia deste termo de assentimento e li e concordo em participar
da pesquisa.
Natal, ____de _________de __________.
_______________________________
___
Assinatura do menor
_______________________________
___Assinatura do pesquisador
Impressão
datiloscópica do
menor
156
APÊNDICE D – Carta de Anuência
157
APÊNDICE E – Termo de concessão
158
APÊNDICE F – Parecer de aprovação do Comitê de Ética
159
APÊNDICE G – Tarefa da sessão 1
Vamos resolver esta atividade em dupla?
1. A professora Luanna colocou a seguinte expressão no quadro
Em seguida pediu para seus alunos explicarem qual o significado da expressão. E
você? O que responderia?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. Crie uma expressão utilizando os sinais >, =, ou <.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Pense em quais números poderiam substituir o quadradinho e escreva todas as
possibilidades para que a sentença abaixo seja verdadeira.
< 9
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. Escreva V para verdadeiro e F para falso. Em seguida, corrija as expressões falsas.
2 x 3 > 3 – 2
160
a) 5 + 4 < 2 + (6 : 3) ( )
b) 3 – 1 > 1 – 1 ( )
c) 8 – 6 < 7 + 2 ( )
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
161
APÊNDICE H – Tarefa37 da sessão 2
1. Siga as regras e resolva os desafios em dupla, utilizando a calculadora. O
objetivo é sempre manter a balança em equilíbrio.
Desafio 1: a tecla 9 está quebrada. Escreva, no prato em branco,
pelo menos duas possibilidades de sequência de teclas para que a
balança continue equilibrada.
Desafio 2: a tecla 7 está quebrada. Escreva, no prato em branco,
pelo menos duas possibilidades de sequência de teclas para que a
balança continue equilibrada.
37 As imagens foram retiradas nos seguintes sites, na sequência:
http://rotadosconcursos.com.br/questoes-de-concursos/raciocinio-logico-analise-combinatoria/513680
https://rachacuca.com.br/jogos/calculadora-quebrada/
http://topensandoemler.blogspot.com.br/2017/02/to-pensando-em-contos-marvin-e-balanca.html
5
x 9
8
x 7
162
Desafio 3: Você tem 5 minutos para encontrar os números abaixo,
porém, só pode usar as teclas indicadas na imagem abaixo, não
esqueça de registrar as operações.
o 7______________________________________________
o 15_____________________________________________
o 50_____________________________________________
Desafio 4: Para que a balança fique desigual, pense em sequências
com a calculadora sem o botão 8.
8
163
APÊNDICE I – tarefa da sessão 3
1. Desafie seus colegas elaborando dois resultados a serem obtidos com as teclas
indicadas. Você deve ter no mínimo uma expressão para cada um dos resultados que
você irá produzir. Troque o desafio com outro grupo e depois que terminarem, destroque
para correção.
Teclas Resultados Expressões
2
x
=
+
3
164
2. Agora, crie uma situação para desafiar os colegas. Escolha os números e teclas a serem
utilizados. Você deve ter no mínimo uma expressão para cada um dos resultados.
Troque o desafio com outra dupla.
Teclas Resultados Expressões
3. Converse com sua dupla e escreva qual o significado do símbolo =. Cite exemplos.
165
APÊNDICE J – tarefa da sessão 4
1. Registre, da forma que preferir, as possibilidades encontradas pelo seu grupo
para equilibrar a “balança”.
2. Resolva, com seu grupo, os problemas da balança38:
a) Qual forma pesa mais? Qual pesa menos? Explique.
b) Quanto cada forma pesa?
38 Atividade adaptada: VAN DE WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de
professores e aplicação em sala de aula. 6. Ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
166
Situação 1:
Cálculos
Situação 2:
Explicação:
167
Cálculos
Explicação:
168
APÊNDICE K – tarefa da sessão 5
1. Em nossas últimas aulas, exploramos a noção de equivalência e o símbolo de
igualdade. Agora, utilize a régua de frações para encontrar frações
equivalentes às destacadas abaixo e registre-as por meio da representação
numérica.
a) 2/3
b) 3/4
c) 2/5
d) 1/3
169
2. Pensei em uma fração, multipliquei o numerador e o denominador pelo dobro
de 2. Obtive a fração 8/16. Que fração pensei para que a balança continue
equilibrada?
Cálculos
3. Pensei em uma fração, dividi o numerador e o denominador pela metade de 6
e obtive a fração 3/6. Que número pensei para que a balança continue
equilibrada?
Cálculos
O que acontece quando você multiplica ou divide o numerador e denominador
pelo mesmo número?
8
/16
3
/6
170
4. Well e dois amigos comeram 21/28 pedaços de pizza. Encontre a fração
equivalente, registre-a por meio do desenho e representação numérica.
5. Registre possibilidades de fatiar uma pizza em frações equivalentes a ½.
171
APÊNDICE L – tarefa da sessão 6
Junte-se a mais dois colegas e tente descobrir o segredo do quadrado mágico abaixo.
Caso seja necessário, você pode utilizar a calculadora como um recurso auxiliar.
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Qual a conclusão do grupo? Explique como vocês chegaram a essa resposta.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. Faça outras combinações para que a soma das linhas, colunas e diagonais
resultem em 15.
172
1
5
Utilize o espaço abaixo para rascunho e registro de cálculos.
173
3. Agora, preencha o quadrado mágico de modo que as linhas, colunas e
diagonais resultem em 30.
10
Utilize o espaço abaixo para rascunho e registro de cálculos.
174
APÊNDICE M – tarefa da sessão 7
Vamos continuar o estudo sobre a noção de equivalência? Hoje em nosso
desafio, você e seu grupo descobrirá “qual número digitei”.
GRUPO 1:
DIGITEI UM NÚMERO NA MINHA CALCULADORA. SOMEI 52 E
SUBTRAÍ 35, ENCONTRANDO 100 COMO RESULTADO. QUE NÚMERO
DIGITEI?
2. Agora é sua vez! Produza com seu grupo uma situação tal como a atividade
anterior – “Qual número digitei”. Você pensa em um número e faz duas operações
(adição e subtração) a partir dele para encontrar um resultado. Escreva a expressão
com o resultado no espaço abaixo, depois, o grupo deve elaborar um texto como os
da questão 1 “Digitei um número...” e em seguida desafiar outros grupos.
175
DESAFIO MATEMÁTICO
Grupo 1 desafia o
grupo:________________________________________________________
Situação:
Digitei um número
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Cálculos
Resposta:_________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
176
APÊNDICE N – tarefa da sessão 8
Na última aula, jogamos o “Qual número digitei?”, algumas crianças sugeriram
que as situações apresentassem também as operações de multiplicação e divisão.
Por isso, hoje, jogaremos novamente com as variações recomendadas pelos colegas.
1. Vamos elaborar coletivamente uma lista de dicas para ajudar a solucionar os
problemas com o termo desconhecido?
DIGITEI UM NÚMERO NA MINHA CALCULADORA. SOMEI 1125 E MULTIPLIQUEI
POR 2, ENCONTRANDO 2590 COMO RESULTADO. QUE NÚMERO DIGITEI?
COLABORADOR:____________________________________________________
177
DIGITEI UM NÚMERO NA MINHA CALCULADORA. SOMEI 1130 E MULTIPLIQUEI
POR 5, ENCONTRANDO 6590 COMO RESULTADO. QUE NÚMERO DIGITEI?
COLABORADOR:____________________________________________________
DIGITEI UM NÚMERO NA MINHA CALCULADORA. SUBTRAÍ 200 E DIVIDI POR
100, ENCONTRANDO 5000 COMO RESULTADO. QUE NÚMERO DIGITEI?
COLABORADOR:____________________________________________________
DIGITEI UM NÚMERO NA MINHA CALCULADORA. SOMEI 2125 E MULTIPLIQUEI
POR 2, ENCONTRANDO 6590 COMO RESULTADO. QUE NÚMERO DIGITEI?
COLABORADOR:____________________________________________________
178
DESAFIO MATEMÁTICO
Situação:
Digitei um número
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Resposta:_________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Cálculos
179
APÊNDICE O – tarefa da sessão 9
1. Registre as regras do jogo “dominó de letras e números”.
2. Explique qual estratégia você utilizou para descobrir o valor dos termos
desconhecidos nas expressões abaixo:
a) 30 : c = 6
b) y + 4 = 7
3. A peça de Ana Helena apresentava 5 – a = 3, Caio possuía a peça a=8, ele
poderia utilizá-la? Justifique sua resposta.
180
4. Crie três situações em que Caio poderia utilizar a peça a=8.
5. Qual sua opinião sobre o jogo? Quais as dificuldades? O que você aprendeu?
Quais mudanças você sugere para melhorá-lo?
6. Crie uma lista de dicas para ajudar colegas a jogar o “dominó das letras e
números”.
Situação 1 Situação 2 Situação 3
181
APÊNDICE P – tarefa da sessão 10
Jogamos o “Dominó das letras e números” em dupla e em grupos de quatro
pessoas. Agora, crie situações-problema com expressões do jogo e registre-as no
espaço abaixo.
Expressão:
Valor do termo desconhecido:
Expressão:
Valor do termo desconhecido:
Expressão:
Valor do termo desconhecido:
182
Expressão:
Valor do termo desconhecido:
Expressão:
Valor do termo desconhecido:
