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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E D AS MISSÕES URI CAMPUS DE ERECHIM
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE MATEMÁTICA
DAIRA SIBELE DE OLIVEIRA
UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE NA RESOLUÇÃO DE CÁLCUL OS INTEGRAIS
ERECHIM
2010
1
DAIRA SIBELE DE OLIVEIRA
UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE NA RESOLUÇÃO DE CÁLCUL OS INTEGRAIS
Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática pelo Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – URI – Campus de Erechim. Orientador: Prof. Clémerson Alberi Pedroso
ERECHIM 2010
2
AGRADECIMENTOS
A Deus, o que seria de mim sem a fé que eu
tenho nele. Aos meus pais, minha irmã, e a
toda minha família que, com muito carinho e
apoio, não mediram esforços para que eu
chegasse até esta etapa de minha vida. Ao
professor e orientador Clémerson Alberi
Pedroso por seu apoio e inspiração no
amadurecimento dos meus conhecimentos e
conceitos que me levaram a execução e
conclusão desta monografia. Aos amigos e
colegas, pelo convívio, pelo apoio, pela
compreensão e pela amizade.
3
“A mente que se abre a uma nova idéia
jamais voltará ao seu tamanho original”.
(Albert Einstein)
4
RESUMO
Neste trabalho apresenta-se uma breve discussão sobre a necessidade e importância dos softwares computacionais os quais estão presentes sob vários aspectos em nossas vidas, estando nos negócios, na cultura e nas atividades diárias. A intenção inicial deste trabalho é mostrar um pouco das potencialidades da informática na educação, que quando utilizada de maneira adequada pelos professores, pode contribuir muito para um processo de ensino e aprendizagem significativo A ênfase aqui é a utilização do software Maple para o ensino de cálculo de integrais definidas como uma ferramenta didática no Ensino Superior analisando as vantagens de sua utilização. Especificamente foram desenvolvidas atividades que envolvem somas de Riemann por aproximação pelo extremo esquerdo, pelo direito e pelo ponto médio, com a descrição dos procedimentos (comandos) necessários para a sua utilização. Portanto, utilizando o software Maple, alguns conceitos de integral vistos em sala de aula são apresentados de maneira computacional, podendo tornar o processo de aprendizagem mais prazeroso, pois favorece principalmente experimentação e visualização. Palavras-chaves: Informática na Educação. Integral definida no software Maple. Soma de Riemann.
5
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Foto do MARK I – 1943..............................................................................................8
Figura 2 - Foto do ENIAC – 1946 ..............................................................................................10
Figura 3 - Foto do EDVAC – 1947............................................................................................ 10
Figura 4 - Foto do UNIVAC- 1951 ............................................................................................11
Figura 5 - Foto do IBM 701 – 1952............................................................................................12
Figura 6 - Foto do IBM 1401 – 1959..........................................................................................12
Figura 7 - Foto do APPLE II – 1977...........................................................................................13
Figura 8 - Foto do LISA – 1983..................................................................................................13
Figura 9 - Fotos de computadores criados a partir de 1995........................................................14
Figura 10 - Foto do mais moderno computador de mão.............................................................14
Figura 11 - Alguns pacotes que o Maple contém e suas finalidades..........................................22
Figura 12 - Alguns comandos básicos do software Maple..........................................................23
Figura 13 - Comandos do Software Maple relacionados com a soma de Riemann....................23
Figura 14 - Janela de comandos do Maple .................................................................................24
Figura 15 - Gráfico da função f(x)=x²+10...................................................................................25
Figura 16 - Resultado do comando leftbox sem que o aluno tenha digitado o pacote with
(student)..................................................................................................................................... 26
Figura 17 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n=10........................................27
Figura 18 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n=50........................................28
Figura 19 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n=10........................................... 29
Figura 20 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n=50........................................... 30
Figura 21 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n=10................................................31
Figura 22 - Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n=50............................................... 32
Figura 23 - Detalhes dos cálculos no caso n=10......................................................................... 33
Figura 24 - Valor das áreas em função do número de retângulos................................................34
Figura 25 - Valor exato da área sob a curva utilizando o cálculo de integral definida................35
Figura 26 - Gráfico da f(x)=sen(2x)+cos(2x)+2...........................................................................36
6
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 7
2 UMA BREVE HISTORIA SOBRE A EVOLUÇÃO DO COMPUTADOR ....................... 9
3 A HISTORIA DA INTERNET E SEUS BENEFICIOS NA EDUCA ÇÃO COMO UMA
FERRAMENTA DE AUXILIO AO PROFESSOR DE MATEMÁTIC ... ............................ 15
4 CONCEITOS DE CÁLCULO INTEGRAL E ALGUNS COMANDOS B ÁSICOS DO
SOFTWARE MAPLE ................................................................................................................ 21
5 INTEGRAL DEFINIDA CALCULADA PLEA SOMA DE RIEMANN ........................... 25
6 CONCLUSÃO .......................................................................................................................... 38
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................... 40
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1 INTRODUÇÃO
O tema deste trabalho é o uso de computadores e a utilização dos softwares
matemáticos, em específico o Maple, para a resolução de cálculos de integrais definidas
utilizando a soma de Riemann com as aproximações pelos extremos esquerdo, direito e pelo
ponto médio com a intenção de dinamizar as primeiras aulas de cálculo integral, com o uso de
tecnologias.
Do ponto de vista da experiência como estudante do curso de Matemática
Licenciatura, pode-se dizer que existe “um certo” consenso de que a disciplina Cálculo
Diferencial e Integral se apresenta como uma barreira difícil de ser ultrapassada para a
maioria dos alunos desse curso, pois o conhecimento matemático, desenvolvido
anteriormente, na escola secundária pouco ou nada tem a ver com o que lhe é apresentado
nesta disciplina.
Acredita-se que muitos esbarram nas dificuldades em decorrência da linguagem
matemática. A maneira por meio da qual, algumas vezes, o ensino de Calculo Integral é
conduzido pressupõe que tal disciplina se resume a um conjunto de regras prontas e acabadas
e que para resolver determinado problema é necessário lembrar dentre todas estas regras, qual
irá solucioná-lo. Mesmo para funções muito simples é difícil calcular a área como um limite
de somas. Um computador pode ser usado para obter o valor da soma para valores muito
grandes, mas teremos apenas um valor aproximado.
Como uma forma de potencializar a compreensão das idéias, é que propomos a
utilização do software Maple, que poderia ser qualquer outro similar, em paralelo.
Na primeira parte deste trabalho apresenta-se uma breve história da evolução dos
computadores. Com o passar dos anos, e com uma velocidade admirável, os computadores
evoluíram e se popularizaram, chegando ao campo educacional. Hoje estão presentes em
muitas escolas e universidades, mas, causando inquietação pela falta de conhecimento de uma
grande maioria sobre as vantagens e desvantagens do uso dessa ferramenta.
Com a inclusão digital no meio educacional, criou-se um pensamento na mente das
pessoas que os professores aos poucos, perderiam seus espaços sendo substituídos
automaticamente pelas máquinas. Com os avanços tecnológicos segundo Valente (1999) “a
8
mudança é a palavra de ordem na sociedade atual”, discussões como estas serão abordadas na
segunda parte.
Na terceira parte será retomado a idéia de integral definida e apresentado alguns
comandos básicos do software Maple, que serão fundamentais para o estudo e verificação da
aproximação de integrais pelos extremos esquerdo, direito e pelo ponto médio.
E finalmente será apresentada uma atividade baseada nos comandos do software
Maple que envolverá integrais definidas, gráficos, aproximações de Riemann e cálculos de
área.
Considerando que, o professor raramente consegue adotar novas formas de ensino de
matemática, o presente trabalho mostra uma forma diferente de se abordar o conteúdo de
integral definida e a soma de Riemann pelo método das aproximações, utilizando o método
computacional.
9
2 UMA BREVE HISTÓRIA SOBRE A EVOLUÇÃO DO COMPUTADOR
Com a chegada da Segunda Guerra Mundial houve a necessidade de se projetar
máquinas capazes de executar cálculos balísticos com rapidez e precisão para serem utilizadas
na indústria bélica. O primeiro computador foi inventado em 1943, sendo chamado de Mark
1(figura 1). Pesava cerca de 4,5 toneladas, realizava uma soma em 0,3 segundos, uma
multiplicação em 0,4 segundos e uma divisão em cerca de 10 segundos.
Figura 1: Foto do MARK I – 1943
Fonte:http://www.viktormota.adm.br/site/index.php?option=com_content&task=view&id=32&Itemid=2
Em fevereiro de 1946 surgiu o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and Computer)
conforme ilustrado na figura 2, primeiro computador eletrônico, construído por uma equipe de
cientistas da Universidade da Pensilvânia, onde quem coordenava esta equipe era Herman
Goldstine, matemático formado na Universidade de Michigan. Com 5,5 metros de altura e 25
de comprimento, era mais de duas vezes maior que o Mark I, mas esse aumento de tamanho
correspondia a uma velocidade aumentada mil vezes.
10
Figura2: Foto do ENIAC – 1946
Fonte:http://www.viktormota.adm.br/site/index.php?option=com_content&task=view&id=32&Itemid=2
Como o ENIAC era muito grande e complicado, começaram os estudos para o
aperfeiçoamento e surgiu o EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer) em
1947 conforme figura 3. O ENIAC e o EDVAC não foram comercializados.
Figura 3: Foto do EDVAC – 1947
Fonte:http://www.viktormota.adm.br/site/index.php?option=com_content&task=view&id=32&Itemid=
11
Em 1951 surgiu o UNIVAC (Universal Automatic Computer) mostrado na figura 4,
que foi realmente a primeira geração de computadores, pois foi o primeiro computador que
armazenava programas e estava disponível comercialmente.
Figura 4: Foto do UNIVAC- 1951
Fonte: http://blog.unab.cl/jquiero/tarea-1
Em 29 de Abril de 1952 ínicio da segunda geração de computadores, a IBM
(International Business Machine) nos Estados Unidos lançou o seu primeiro computador
eletrônico o IBM 701 (Electronic Data Processing Machine), conforme figura 5. Foi o
primeiro computador que usou o conceito de memória, dispositivo que armazena
internamente os dados processados. Esteve disponível comercialmente e em três anos foram
vendidas 19 máquinas para laboratórios de pesquisa, companhias aéreas e o governo federal
americano.
12
Figura 5: Foto do IBM 701 – 1952
Fonte: http://www.flickr.com/photos/llnl/3082841627
Em 1959 a IBM lançou o IBM 1401, mostrado na figura 6, que foi o representante
mais típico desta terceira geração. Esta máquina foi produzida também no Brasil a partir de
1961, somando mais unidades ao grande sucesso da história da IBM na área de
Processamento de Dados. Dez anos depois, graças à criação do microprocessador (pastilha de
silício) Intel, aconteceu o grande avanço tecnológico, pois este microprocessador, pouco
maior do que um grão de milho ajudou na redução do tamanho do computador.
Figura 6: Foto do IBM 1401 – 1959
Fonte: http://www.mansano.com/beaba/hist_comp.aspx
13
A partir de 1977, foi lançado o APPLE II (figura7), este sim bem próximo ao modelo
do qual tal e qual conhecemos hoje, tinha teclado e poderia ser ligado em um monitor, no caso
uma TV.
Figura 7: Foto do APPLE II – 1977
Fonte: http://applemania.info/?p=1556
O LISA (figura 8) lançado em 1983 pela Apple Computer, foi o primeiro computador
a ter mouse, ícones, placas de alerta, menus e janelas que se abriam com um clique duplo, a
chamada interface gráfica.
Figura 8: Foto do LISA – 1983
Fonte: http://applemania.info/?p=1556
14
Do ano de 1983 em diante, o desenvolvimento dos microcomputadores ou PCs
(Personal Computer) foi muito rápido. Hoje temos diversos modelos de computadores com
diferentes capacidades de armazenamento, notbooks e até celulares com computador
integrado, como ilustrado nas figuras 9 e 10.
Figura 9: Fotos de computadores criados a partir de 1995
Fonte:http://4.bp.blogspot.com/_KO1UNqTjdLY/ScEkA8D9N_I/AAAAAAAAAAM/eLjb4nHSzP8/s1600-h/1046415648_d2532989b8_o.png
Figura 10: Foto do mais atual e moderno computador de mão
Fonte:http://comprar.todaoferta.uol.com.br/seu-mais-moderno-computador-de-mao-nokia-n810-2AJBBCLLEW#rmcl
15
3 A história da Internet e seus benefícios na educação como uma
ferramenta de auxílio ao professor de matemática
A Internet é um conglomerado de redes em escala mundial de milhões de
computadores interligados por uma conexão TCP/IP, onde TCP significa Protocolo de
Controle de Transmissão e IP Protocolo de Internet, onde formam um conjunto de protocolos
de comunicação na qual a Internet e a maioria das redes comercias funcionam. Segundo José
Armando Valente (1999) “internet é o nome dado para o conjunto interconectado de rede de
computadores no mundo. Essa é usada por pessoas em diferentes partes do mundo, de
diferentes culturas, formação, individualidade ou em organizações”.
A Internet teve início em 1969, nos Estados Unidos, criada pela ARPANET (ARPA
Networks (nome semelhante aos atuais)) que era uma rede de laboratórios que operavam para
o Departamento de Defesa Americano. De acordo com Valente (1999) a Internet foi
“inicialmente projetada para atender objetivos militares dos Estados Unidos, a Internet
expandiu-se, atingindo as comunidades acadêmicas e de pesquisa”.
De acordo com a Inter-ponta Informática Ltda(___), a ARPANET com o passar dos
anos, foi ampliada com novos pontos em todo os Estados Unidos e também em universidades.
Em 1971 surgiu o modelo experimental do e-mail ampliando a utilidade da Rede. Em 1973
foram feitas as primeiras conexões internacionais, interligando computadores na Noruega e
Inglaterra. Apartir dos anos setenta, a Rede so teve a crescer. Em 1982 foi implementado o
TCP/IP protocolo padrão da rede.
Conforme Nepomuceno (____), em 1983 a IBM (International Business Machine),
maior fabricante de computadores de grande porte, abriu uma rede privada de acesso à
Internet, a BITNET. Mais tarde o governo dos Estados Unidos inaugurou uma rede restrita
para universidades, instituições governamentais e militares que se chamou NfsNet (National
Science Foundation Networks), onde anos depois se fundiu com a ARPANET. A partir de
1990 a ARPANET deixou de existir, pois começou a ser usado o nome INTERNET para se
referir a este conjunto de redes.
No Brasil a Internet teve início em 1989, quando as universidades USP, UNICAMP e
UNESP se ligaram a Fundação de Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e esta com a
Internet nos Estados Unidos. Mas a Internet veio com maior força em 1991 com a criação da
Rede Nacional de Pesquisa (RPN) lançada pelo Ministério da Ciência e Tecnologia (MCT),
16
onde hoje o RNP é responsável pela interconexão e informação em nível nacional (backdone).
Em 2000 foi criado o backbone RPN2 conectada com os 27 estados brasileiros e interligada a
mais de 300 instituições de ensino superior e de pesquisa no país, pois com o aumento de
acesso à Internet o país precisou de uma conexão mais rápida e segura.
De acordo com Zevallos:
“Em 1991, a RNP (Rede Nacional de Pesquisas), trouxe a Internet para o Brasil, sendo o seu objetivo o de atender a conexão das redes de universidades e centros de pesquisas, mas logo as esferas federal e estadual começaram também a se interligar. Em 1995, finalmente o Ministérios de Comunicações e de Ciência e Tecnologia abriram a Internet para a sua operação comercial, onde provedores puderam contratar conexões junto com a RNP e depois com a Embratel. Atualmente o Brasil possui diversos backbones inteligando todos os estados do Brasil, bem como centenas de conexões com outros países, o que nos dá a possibilidade de conectar a sites e utilizar seus serviços em todos todos os lugares do mundo”.
Segundo Antonioli (__), o Brasil é o quinto país com o maior número de conexões á
Internet. Em dezembro de 2009, segundo o Ibope/Nielsen (2010), o número de internautas era
de aproximadamente 67,5 milhões. Não conseguimos imaginar o que seria os dias atuais sem
o acesso à Internet, pois parece que sempre existiu.
Mas e se tratando de educação, em especifico a Matemática, como esta tecnologia
pode ser implementada nesta área como uma ferramenta de auxílio ao professor? Existem
recursos que podemos aproveitar e dispor ao nosso favor? O professor deverá ter uma
formação qualificada?
Segundo Valente:
“Quando perguntamos para os educadores sobre o verdadeiro papel do computador na educação é muito comum ouvirmos coisas como: o computador motiva o aluno, é a ferramenta da atualidade ou o computador facilita (acelera) a educação. A idéia de que o computador deve facilitar a educação esta intimamente ligada a generalização do fato de que ele entrou em nossas vidas para facilitar. Graças a ele, é possível termos hoje os bancos 24 horas, os eletrodomésticos automatizados, etc. Estes são exemplos nos quais a existência do computador tornou tudo mais fácil ou nos propiciou facilidades que não tínhamos antes dele. Analogamente, as pessoas entende que essas facilidades devem acontecer também na educação. O computador deveria facilitar a educação e tornar as coisas mais fáceis para o estudante aprender, para o professor ensinar ou para organizar a parte administrativa da escola”. (VALENTE, 1999, p. 105).
A idéia de que a Matemática oferece mais obstáculos do que as demais disciplinas,
confirmada nas práticas de salas de aula, é muito antiga, e por isso, nos últimos anos tem
17
merecido especial atenção por parte dos educadores matemáticos e dos professores em geral.
Apesar desta atenção o ensino de Matemática ainda continua sendo proposto de maneira
pouco refletida, seja quanto aos conteúdos, métodos de ensino e avaliação. Segundo Seymour
Papert:
“Nossa cultura é tão matofóbica, tem tanto da matemática que, se eu conseguisse demonstrar que o computador pode nos proporcionar uma nova relação com a matemática, eu teria poderosos fundamentos para declarar que ele também tem a poderosa capacidade de mudar nossa relação com outros tipos de aprendizado que nos apavoram”. (PAPERT, 1985, p. 69).
Como vimos, a sociedade esta em constantes mudanças, onde podemos ressaltar aqui
dois dos principais fatores, ambos frutos do desenvolvimento tecnológico: a Comunicação e a
Informática.
O computador tem provocado uma revolução na educação por causa de sua
versatilidade de "ensinar". Existem várias possibilidades de implantação de novas técnicas de
ensino envolvendo o computador pois o custo financiero é relativamente baixo para implantar
e manter laboratórios de computadores, cada vez mais exigido tanto por pais quanto por
alunos.
Segundo Valente, (1999):
“A tecnología computacional tem mudado a prática de quase todas as atividades, das científicas, às de negocios, às empresariais e o conteúdo e práticas educacionais começam a seguir essas tendências de mudança. […] Similarmente pode parecer que se colocarmos as habilidades cognitivas básicas dos profesores nos computadores, poderemos delegar alguma parte do ensino às máquinas e dessa forma melhorar os resultados da educação.”. (VALENTE, 1999, p. 81).
Mas tudo isso causa insegurança nos professores, que num primeiro momento temem
sua substituição por máquinas e programas capazes de cumprir o papel antes reservado para
eles.
O professor deve ter cuidado para não apresentar resistências às tecnologias, já que o
novo sempre assusta um pouco. A função do computador é tornar o trabalho mais fácil e
eficaz. É preciso entender, que o ser humano nunca vai ser substituído pela máquina.
Computadores são instrumentos que auxiliam para um ensino e uma aprendizagem mais
criativa, autonôma, colaborativa e interativa.
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Aos professores cabe, apesar de todas as dificuldades existentes, atualizarem-se
constantemente com o intuito de enriquecerem os processos educacionais, que assumam uma
nova postura, não só de buscar acompanhar o processo tecnológico, mas também de associar
esses recursos ao seu método de ensinar, tornando-os muito mais comunicativos e
significativos, digo isto não somente para a educação infantil, básica, ou ensino médio, mas
também para o ensino superior. É de suma importância que os profissionais ligados à
educação se conscientizem que o processo de ensino e aprendizagem é muito dependente das
tecnologias.
A utilização da informática na área da educação é mais complexa do que a utilização
de outro recurso didático conhecido até o momento, sendo muito diferente em função da
diversidade dos recursos disponíveis. Com ela, é possível se comunicar, pesquisar, criar
desenhos, efetuar cálculos, simular fenômenos, construir e transformar gráficos e muitas
outras ações. Nem um outro recurso didático possui tantas funções, além de ser o recurso
tecnológico mais utilizado em todas as áreas do mercado de trabalho pois na maioria deles
existe o feedback. Para isto temos um recurso ótimo que o acesso à Internet nos disponibiliza
que são vários sites onde podemos fazer download de softwares gratuitamente onde pode ser
usado, copiado, estudado e redistribuído sem restrições.
Borba (2001) relata que:
“O acesso à Informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma‘alfabetização tecnológica’. Tal alfabetização deve ser vista não como um curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, nesse sentido, a Informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania.” (BORBA, 2001, p.17).
A informática, e o computador, em particular, são instrumentos válidos de inovação
tecnológica em qualquer área onde se atua. Quem os utiliza consegue inseri-los em um
processo educativo no qual sejam claros os objetivos, a metodologia e as modalidades de
avaliação utilizada. Partindo deste pressuposto, a presença de computadores em sala de aula
pode proporcionar grandes avanços no processo de ensino-aprendizagem. O interessante é que
a educação tecnológica não precisa ter uma disciplina em especial, ela pode ser utilizada nas
diversas disciplinas, cabe ao educador saber a melhor maneira de utilizá-la a seu serviço,
porém isso implica na formação ou capacitação destes. Na Educação Matemática as
19
tecnologias podem ser utilizadas através de formas e modalidades diversas, tanto em trabalhos
individuais como de grupo.
De acordo com Morais:
”Ao nosso ver, as possibilidades postas pelas tecnologias da informação ampliam as perspectivas educativas, sobretudo no campo do desenvolvimento da comunicação, do diálogo, da ética, propiciando, quiça, integrações culturais e étnicas, criando, assim, as bases futuras da paz.” (MORAIS, 2000, P.66).
A descoberta das potencialidades do computador em Educação e na Educação
Matemática deve ser sempre considerada em relação à sua aplicação a um campo específico
de atividade. Assim sendo, verificar onde é possível utilizar o computador e como usá-lo:
elaborar programas didáticos buscando soluções para problemas complexos da Matemática,
utilizar jogos educativos, divertir-se em atividades criativas, explorar as potencialidades das
máquinas em redes como a Internet ou utilizar o computador para criar desenhos, manipular
imagens, gerar sons, gráficos, etc.
Programas didáticos que exploram ao máximo os recursos de multimídia (sons,
vídeos, desenhos, cores, animação), revelam-se, sobretudo entre adolescentes e crianças,
excelente fonte de motivação e de complementação de aprendizagem de complexos conteúdos
de Matemática, por promoverem atividades criativas, interativas e de feedback imediatos ao
aluno e ao professor. Segundo COBURN [et al.] (1988, p. 227), “os educadores das escolas
alfabetizadas em informática usarão os computadores de várias formas, como utilizam
atualmente as linguagens: para o ensino, para a motivação, para estimular, entreter e fornecer
explicações.”
É importante observarmos que o processo de ensino é constituído por diversas
atividades que deverão ser organizadas pelo professor, visando a assimilação, por parte dos
alunos, de conhecimentos, habilidades e hábitos, do desenvolvimento de suas capacidades
intelectuais, objetivando sempre o domínio dos conhecimentos e habilidades e suas diversas
aplicações. A tecnologia traz benefícios, mas também poderá ser vista como prejudicial pelo
seu mau uso.
Valente relata que:
“O professor necessita ser formado para assumir o papel de facilitador da construção de conhecimento e deixar de ser o “entregador” da informação para o aprendiz. Isso significa ser formado tanto no aspecto computacional, de domínio do computador e dos diferentes softwares, quanto ao aspecto da integração do computador nas
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atividades curriculares. O professor deve ter muito claro quando e como usar o computador como ferramenta para estimular a aprendizagem”. (VALENTE, 1999, p. 109).
Para que professores e alunos possam usufruir, plenamente dessa nova tecnologia, os
mesmos devem conhecer suas potencialidades, assim como seus limites e serem conscientes
das conseqüências de seus usos e eventuais abusos, uma vez que, para se obter um maior
aproveitamento de instrumentos informáticos na Educação Matemática não é suficiente
apenas saber utilizar os recursos de software e se manter atualizado com as últimas novidades
da pesquisa científica, mas entender que a escolha crítica do momento e do modo como deve
ser utilizado um instrumento tão potente e sofisticado como o computador pode propiciar
grandes benefícios à Educação, da mesma forma que o seu uso abusivo e incorreto pode gerar
verdadeiras distorções. De acordo com o autor José Armando Valente:
“Isso significa que, para o professor também, muito mais envolvimento e formação são necessários para que ele possa avaliar e usar em sua sala de aula, as novas aplicações computacionais. É fundamental que os educadores estejam conscientes das promessas e possibilidades da tecnologia do computador, para assegurarem uma escolha de qualidade a sua prática educacional”. (VALENTE, 1999, p. 84).
Podemos contar com inúmeros jogos e softwares, que cultivam no ambiente
educacional uma prazerosa aliança entre diversão e aprendizado. Programas de processamento
de texto, planilhas, manipulação de banco de dados, construção e transformação de gráfico,
calculadores numéricos, são aplicativos extremamente úteis tanto ao aluno quanto ao
professor. Talvez estas ferramentas constituam uma das maiores fontes de mudança do ensino
e do processo de manipular informação. As modalidades de softwares educativos descritas
acima podem ser caracterizadas como uma tentativa de computadorizar o ensino tradicional.
21
4 Conceitos de Cálculo Integral e alguns comandos básicos do Software
Maple
O Cálculo Integral é disciplina de grande importância, aparecendo em várias grades
curriculares de diferentes cursos do ensino superior. Dedica-se ao estudo de taxas de variação
de grandezas e a acumulação de quantidades, onde há “movimento” ou “crescimento” e onde
forças variáveis agem podendo produzir aceleração.
O estudante de cálculo deve ter um conhecimento prévio de matemática básica como:
funções, algebra, geometria e trigonometria, pois estas são ferramentas básicas do cálculo.
A integral definida, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo
estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida. Segundo
Mariani (2005) “a integral definida da função f(x) para a ≤ x≤ b é calculada por
)a(F)b(Fdx )x(fb
a−=∫ .
Tomando como base a funcionalidade do software Maple, objetiva-se destacar e
analisar aspectos que não conseguiríamos fazer em sala de aula simplesmente usando o
quadro-negro. Para melhor entender e compreender a questão de funcionalidade apresenta-se
uma proposta pedagógica para a exploração de conceitos do Cálculo Integral.
Neste trabalho, serão propostos alguns cálculos de integrais definidas utilizando o
método de Riemann pelos extremos direito, esquerdo e pelo ponto médio. A soma de
Riemann se caracteriza de maneira geral como sendo a soma das áreas de “n” retângulos. O
objetivo é mostrar a facilidade de cálculo com o método de Riemann usando o software
Maple, sendo que somente com giz e quadro-negro seria impossível calcularmos como por
exemplo a soma para 50 retângulos ou até mesmo 1000 retângulos. Também será discutido
qual aproximação (esquerda, direita ou ponto médio) é mais eficiente para o cálculo da área
sob a curva.
O ambiente computacional criado não tem a intenção de diminuir a importância das
aulas teóricas uma vez que esse ambiente computacional é apenas uma ferramenta para o
aluno aplicar os conceitos vistos em sala de aula.
O software Maple é desenvolvido pela Universidade de Waterloo, Canadá, e pelo
Instituto Federal de Tecnologia de Zurique (ETH), Suiça. O Maple é um sistema de álgebra
computacional comercial de uso genérico, um ambiente de matemática completo para a
22
resolução de problemas que possui uma grande variedade de operações matemáticas como:
álgebra simbólica, análise numérica, gráficos, além de resolver equações diferenciais,
integração, derivação, e qualquer outro assunto que envolva cálculos matemáticos.
De acordo com Mariani:
“ [...] Um sistema de computação algébrica, númerica e gráfica desenvolvido para uso profissional na resolução de problemas que exigem métodos matemáticos. Ao abrir o Maple, é apresentada uma folha de trabalho, na qual pode-se acionar funções do aplicativo, produzir textos, hipertextos, cálculos, obter gráficos e animações,[...]” (MARIANI 2005, p.02).
A escolha do software MAPLE se deu visto às potencialidades que o mesmo oferece
para os conteúdos que normalmente são trabalhados nas disciplinas chamadas de Cálculo
Diferencial e Integral. Para o desenvolvimento das atividades foi utilizado o MAPLE 9.01,
para o sistema operacional Windows.
Nas atividades propostas vamos utilizar o pacote Student, onde a palavra “with” deve
antecedê-la para que o pacote seja “carregado”, ou seja, with(student). O pacote Student será
utilizado nas atividades propostas.
Alguns dos pacotes que o Maple contém e suas finalidades segundo a autora Viviana
Cocco Mariani (2005):
Pacotes Funcionalidades DEtools equações diferenciais Difforms formas diferenciais Finace matemática financeira Plots gráficos Stats estatística
Student cálculo Sumtool Somas indefinidas e definidas
Figura 11: Alguns pacotes que o Maple contém e suas finalidades Fonte: MARIANI (2005)
Para que o desenvolvimento das atividades seja significativo serão apresentados aos
alunos alguns comandos básicos do software que serão utilizados:
23
Comandos Funcionalidades + Adição - Subtração * Multiplicação / Divisão ^ Potenciação ** Potenciação sqrt Raiz quadrada
int(f(x),x=a..b); calcula a integral definida de uma função f de variável x, com x variando de a até b.
Int escreve o símbolo de integração. f:=x->f(x) escreve a função
plot(f(x),x=a..b,y=b..c) desenha o gráfico da função Figura 12: Alguns comandos básicos do software maple
Fonte: MARIANI (2005)
O pacote “student” possui seis funções relacionadas com as somas de Riemann de uma
função f (x) em um intervalo [a,b], que são:
Comandos Funcionalidades
leftbox(f(x), x=a..b, n); mostra o gráfico da função com o número de retângulos pedido pelo extremo esquerdo
leftsum(f(x), x=a..b, n); aproximação numérica da integral pelo extremo esquerdo
rightbox(f(x), x=a..b, n) mostra o gráfico da função com o número de retângulos pedido pelo extremo direito
rightsum(f(x), x=a..b, n) aproximação numérica da integral pelo extremo direito
middlebox(f(x), x=a..b, n) mostra o gráfico da função com o número de retângulos pedido pelo ponto médio
middlesum(f(x), x=a..b, n) aproximação numérica da integral pelo ponto médio
Figura 13: Comandos do software Maple relacionadas com a soma de Riemann Fonte: MARIANI (2005)
O símbolo # é utilizado para colocar algum comentário, o que vem depois deste símbolo não é
levado em consideração pelo Maple como comando. Com o comando evalf(%) retorno o
valor calculado usando uma quantidade de dígitos após a vírgula conforme fixado (solicitado).
O símbolo % seguido junto com o comando evalf substitui a escrita da última função
explorada e o comando restart limpa a memória interna usada pelo Maple para armazenar
cálculos.
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Salienta-se que ao encontrar uma falha em um comando que pode ser decorrente a um
erro de digitação, o Maple responde com uma mensagem de erro escrita na cor azul. A
mensagem indica o tipo de falha e o cursor localiza a primeira falha.
Uma vez inicializado o Maple, aparecerá uma janela conforme ilustra a figura 11.
Nela os símbolos, [> indicam a linha de digitação dos comandos ou também chamada prompt.
Todo comando deve ser finalizado com ponto e vírgula (;), para que o resultado apareça, ou
dois pontos não aparecer na folha de trabalho o resultado, ou seja, o Maple executa e guarda
na memória e em seguida teclando-se Enter, conforme mostrada na figura 14.
Figura 14: Janela de comandos do Maple
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5 Integral definida calculada pela Soma de Riemann
Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total
inferior à curva em um gráfico, de outro modo conhecida como uma integral. Pode também
ser usada para definir a operação integração. O método é nomeado em relação ao matemático
alemão Bernhard Riemann.
A sugestão de atividade pode ser iniciada desafiando os alunos a construirem o gráfico
de uma determinada função, utilizando os comandos do Maple apresentados anteriormente.
Uma forma para construir um gráfico é utilizando o comando f:=x->f(x) que escreverá a
função e o comando plot(f(x),x=a..b,y=b..c), que desenhará o gráfico da função, conforme
ilustra a figura 15.
FIGURA 15: Gráfico da funçãof(x)=x²+10
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Se o aluno não digitar o pacote with(student) o software não reconhece o comando
digitado e conseqüentemente não irá construir o gráfico conforme figura 16.
Figura 16: Resultado do comando leftbox, sem que o aluno tenha digitado o pacote with(student)
Em um segundo momento após os alunos terem conhecimento do comando leftbox e
de que “n” corresponde ao número de retângulos, será solicitado para que construam o gráfico
da função f(x)=x²+10, para n=10 e após para n=50, conforme figuras 17 e 18. Os alunos
também deverão associar o resultado calculado pelo comando evalf(%) como sendo a soma
das áreas dos retângulos, ou seja, a área sob a curva.
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Figura 17: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n=10
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Figura 18: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo esquerdo, para n=50
O que pode-se observar em relação a soma das áreas dos 10 retângulos em relação a
soma das áreas dos 50 retângulos? Lembrando que estamos trabalhando com a aproximação
pelo extremo esquerdo. Espera-se que o aluno responda que a soma das áreas aumentou, pois
diminuiu o espaçamento entre a curva e os retângulos.
Para um terceiro momento, pede-se para que os alunos verifiquem qual comando
devemos utilizar para que o cálculo seja efetuado pelo extremo direito, ilustrado nas figuras
19 e 20, considerando os mesmos números de retângulos da atividade anterior, ou seja, n=10 e
n=50.
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Figura 19: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n=10
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Figura 20: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo extremo direito, para n=50
Observa-se neste caso que se aumentado o número de retângulos o valor da área tende
a diminuir, isto porque, pelo extremo direito calcula-se uma área maior que a área sob a curva,
diferente do cálculo pelo extremo esquerdo.
Em um quarto momento, solicitar para que os alunos calculem a área utilizando o
comando middlebox, ou seja, pelo ponto médio, novamente considerando o mesmo número
de retângulos das atividades anteriores, conforme ilustrado nas figuras 21 e 22.
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Figura 21: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n=10
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Figura 22: Gráfico da f(x)=x²+10 pelo ponto médio, para n=50
Pode-se perguntar aos alunos: se aumentado o número de retângulos para 1000, o
valor das áreas pelas aproximações será o mesmo? Pedir para que os mesmos justifiquem a
resposta utilizando o software, pois utilizando-o para a construção dos gráficos os alunos
podem ter uma melhor visualização dos resultados. Espera-se que pelas experimentações e
visualizações, os alunos cheguem à conclusão de que o valor das áreas tende a um único
número, mas não chegam a ele, ficam próximos a 423. Em virtude da realização dos
exercícios no software Maple, é importante que o professor auxilie os alunos para que não
fique dúvida sobre o uso do software.
Utilizando o conceito de integral, para a atividade seguinte os alunos podem ser
desafiados a construírem uma tabela, calculando a área de cada retângulo, pelas aproximações
pelo extremo esquerdo, direito e ponto médio.
Segundo Anton:
“os cálculos aqui envolvem somente a soma dos valores da função em n pontos, seguido por uma multiplicação por x∆ . Os pontos x1, x2,,...,xn podem ser arbitrariamente escolhidos nos subintervalos; porém as escolhas mais comuns sãoos
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extremos esquerdo e direito ou centro do intervalo, e em cada caso a fórmula é chamada de aproximação pelo extremo esquerdo, pelo extremo direito ou pelo ponto médio da área exata”. ANTON (2000, p.406)
As aproximações feitas pelo extremo esquerdo, direito e pelo ponto médio da área sob
a curva y=x²+10 no intervalo [1,10], com n=10, n=50 e n = 1000, foram calculadas com o
método computacional, conforme vistos nos gráficos anteriores, porém conseguimos calcular
a área de cada retângulo e conseqüentemente a soma das áreas dos retângulos pelas diferentes
aproximações, conforme figura 23. Os resultados de todos os cálculos estão na figura 24.
Aprox. pelo extremo esquerdo
Aprox. pelo extremo direito
Aprox. pelo ponto médio
n xn (xn)²+10 xn (xn)²+10 xn (xn)²+10
1 1 11 1,9 13,61 1,45 12,1025
2 1,9 13,61 2,8 17,84 2,35 15,5225
3 2,8 17,84 3,7 23,69 3,25 20,5625
4 3,7 23,69 4,6 31,16 4,15 27,2225
5 4,6 31,16 5,5 40,25 5,05 35,5025
6 5,5 40,25 6,4 50,96 5,95 45,4025
7 6,4 50,96 7,3 63,29 6,85 56,9225
8 7,3 63,29 8,2 77,24 7,75 70,0625
9 8,2 77,24 9,1 92,81 8,65 84,8225
10 9,1 92,81 10 110 9,55 101,2025
421,850000 520,850000 469,325
∑=
∆n
infxx
1)(
(0,9)(421,85000
0) (0,9)(520,850000) (0,9)(469,325)
379,6650000 468,7650000 422,3925000
Figura 23: Detalhes dos cálculos no caso n=10
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n (número de retângulos)
Aprox. pelo extremo esquerdo
Aprox. pelo extremo direito
Aprox. pelo ponto médio
10 379.6650000 468.7650000 422.3925000
50 414.1386000 431.9586000 422.9757000
1000 422.5546215 423.445621 422.9999392
Figura 24: Valor das áreaa em função do número de retângulos
Segundo Anton (2000, p.407) “cada aproximação pelo extremo esquerdo superestima
a área, enquanto que aquela do extremo direito subestima-a e cada aproximação pelo ponto
médio fica entre a subestimativa e superestimativa”. Os alunos deverão perceber então que a
soma de Riemann com a aproximação pelo ponto médio quando n cresce (n igual ao número
de retângulos) a soma das áreas dos retângulos tende a área exata sob a curva, ou seja, é mais
eficiente do que as outras. Espera-se que se não todos, a maioria dos alunos, entendam o
conceito de integral definida a qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x, pois
quando o número de retângulos tende a infinito e as suas larguras tendem a zero, a
aproximação do valor desta área tende para o valor exato da área sob a curva, e esse número
chama-se integral de f de a até b e é indicado por:
)(...)2()1(.[.1
)(lim)( xnfxfxfxxn
infx
n
ba dxxf +++∆=∆∑
=∞→=∫
onde: n
abx
−=∆
Será solicitado aos alunos que utilizem os comandos fornecidos pelo software para o
cálculo da integral da função trabalhada, com a intenção de que os mesmos calculem o valor
exato sob a curva, formalizando então o conceito de integral.
A integral definida de acordo com Mariani (2005, p.185) “[...] é o valor da área, entre
a curva e o eixo dos x, quando o número de retângulos tende a infinito. Para o cálculo da
integral definida é necessário especificar o intervalo de integração”. O software Maple
consegue calcular essa área exata. O comando Int escreve o símbolo de integração. A função
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int, disponível no pacote student, calcula a integral. Se a integral for definida, então o
comando int dará o valor exato desta integral, conforme figura 25.
Figura 25: Valor exato da área sob a curva utilizando o cálculo de integral definida
Pode-se concluir então que, a área exata sob a curva é 423 unidades quadradas e que
quando n →∞ o limite da soma de Riemann com n subintervalos é igual à integral de
x²+10 no intervalo [1,10], ficando plenamente satisfatório se realizado o cálculo pela
aproximação pelo ponto médio. A integral da função trabalhada f(x)=x²+10 que é bem
simples, pode ser facilmente calculada por )a(F)b(Fdx )x(fb
a−=∫ , obtendo o mesmo
resultado. Agora o aluno pode ser qustionado com: se tivermos uma função mais complicada
como f(x)=sen(2x)+cos(2x)+2, qual seria o valor da área sob a curva?
Aplicando os comandos ja conhecidos, o software nos da o recurso para calcularmos a
área de uma função que aparentemente seria mais complicada se fosse calculada no caderno
(escrita). De acordo com a figura 26, podemos observar o comportamento da função e o valor
da área sob a curva pelo cálculo de integral da função.
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Figura 26: Gráfico da f(x)=sen(2x)+cos(2x)+2
Calculando pela soma de Riemann pela aproximação pelo ponto médio, como já estudado e, utilizando a soma da área de 100 retângulos pode-se obter a área aproximada desta função, observe na figura 27.
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Figura27: Gráfico da f(x)=sen(2x)+cos(2x)+2, para n=100
Para finalizar estas atividades podemos concluir que o uso do computador como
ferramenta no ensino, é uma das alternativas mais poderosas para ensino moderno,
principalmente aqueles que envolvem modelos matemáticos. Foram desenvolvidos vários
softwares nessa direção e um deles é o Maple que tem uma capacidade extraordinária de lidar
com os mais diversos conteúdos matemáticos. Nas atividades propostas, apresentou-se um
pouco do software Maple e sua utilização no cálculo de integral definida. Espera-se que se
aplicadas estas atividades de um modo correto pelo professor possamos ajudar o aluno na
compreensão e assimilação de integrais definidas, e também talvez mostrar ao aluno um
caminho que certamente facilitará sua vida acadêmica de um modo geral, tornando as aulas
mais dinâmicas e não somente no quadro negro como são as aulas tradicionais.
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6 CONCLUSÃO
Atualmente o trabalho docente deve assumir uma perspectiva a qual incorpora novas
possibilidades teórico-metodológicas e que considerem as Tecnologias da Informática e
Comunicação (TICs) para a exploração, construção disseminação do conhecimento. Cabe ao
professor investigar como utilizá-las e torná-las parte do processo educativo, criando novos
contextos para que os alunos possam transformar informações e experiências compartilhadas
em conhecimentos. Espera-se que este trabalho ajude o professor refletir e repensar sob as
dimensões pedagógicas e epistemológica da TICs.
A proposta metodológica apresentada neste trabalho teve como intuito mostrar que o
aluno do curso de graduação tem capacidade de absorver noções de cálculo de integrais
definidas, utilizando-se da tecnologia, em especifico o computador/software. O principal
objetivo hoje ao adaptar a informática ao currículo escolar esta na utilização do computador
ou outro recurso tecnológico como instrumento de apoio as matérias e conteúdos lecionados,
além da função de preparar os alunos para uma sociedade informatizada.
A funcionalidade dos softwares é interagir como facilitador no que se refere ao ensino
de cálculo de integral definida, pois normalmente o ensino deste conteúdo caracteriza-se de
processos algébricos seguidos de exercícios, via de regras e de caráter repetitivo. Uma das
possibilidades de modificar este quadro seria a utilização de tecnologias como ferramenta
didática. O emprego do software neste caso, talvez liberte o aluno da execussão desses
algoritmos e procedimentos demorados podendo ultrapassar o papel passivo de escutar,
decorar e repetir ensinamentos do professor/mediador, e tornar-se criativo, critíco e atuante
para produzir o conhecimento.
O Maple aqui é apenas uma sugestão de programa que pode ser utilizado para
dinamizar as aulas de cálculo. Com o uso do software o professor pode planejar atividades
nos quais os alunos desenvolvam habilidades e práticas de visualização, simulação,
experimentação, onde o mesmo poderá fazer conjecturas, formular e testar hipóteses.
O objetivo das atividades apresentadas é fazer com que o aluno seja capaz de entender
conceito de integral definida utilizando a soma de Riemann pelo método das aproximações e
que o mesmo visualize como é de fundamental importância o uso do software para que estes
conceitos e aplicações fiquem mais clarividentes conseguindo e verificar qual seria o método
das aproximações mais eficiente para calcular a área sob a curva. Essas experimentações são
possíveis devido a flexibilidade do Maple. Com a utilização do software o interesse dos
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alunos pelas aulas provavelmente será superior, sendo o conhecimento construído a partir do
envolvimento dos alunos na solução do problema proposto. O ambiente informatizado é um
diferencial, pois possibilita um substrato de ações que a aula convencional não proporciona.
O contato com o software Maple, pode servir como um instrumento de facilitador da
aprendizagem do Cálculo, desde que seja utilizado de forma adequada, como uma ferramenta
de complementação, aperfeiçoamento e possível mudança na qualidade de ensino. Uma
mudança resultante da própria modificação na qualidade de vida, pois, como sabemos, o
computador é um recurso que, de uma forma ou de outra, já está presente no cotidiano dos
alunos.
Segundo a opinião dos autores consultados no decorrer deste trabalho a utilização das
tecnologias educacionais no ensino deveria ter por objetivo dar maior agilidade, atualidade
aos conteúdos, tornando as aulas mais dinâmicas e contextualizadas. No entanto, para que o
computador cumpra o papel almejado no ensino da atividade proposta é necessário um
cuidado, pois corre-se o risco de repetir os mesmos erros que o ensino tradicional vem
cometendo e transformar as novas tecnologias em potencializadoras do fracasso no ensino-
aprendizagem de Matemática.
A idéia da utilização do software Maple em sala de aula está na linha dos que buscam,
como propõem Borba e Penteado (2007), alterar práticas que subestimam a capacidade dos
alunos. Queremos enfatizar que o interesse pelo computador está tanto na rapidez que ele
pode oferecer ao realizar cálculos de rotina, quanto na atividade investigativa que ele
possibilita e potencializa. O computador favorece uma maior possibilidade de identificação de
regularidades rapidamente, o que leva a percepção de propriedades e o traçado de gráficos
sofisticados. Além disso, possibilita também que o aluno visualize seu erro e interaja com
base nele.
Cabe ressaltar que a continuidade das pesquisas envolvendo ferramentas
computacionais é de grande importância, pois se constitui em estudo atual e necessário não só
em termos de aplicações específicas, mas como base para a discussão dos efeitos da sua
utilização.
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REFERÊNCIAS
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41
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catid=39:artigos&id=62:a-historia-da-internet . Acessado em 03 maio 2010.
