UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE …

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
CARLOS ANDRES MILLAN PARAMO
TESE
CURITIBA
2020
Tese apresentada como requisito parcial à obtenção
do título de Doutor em Engenharia Civil, do
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, do
Departamento Acadêmico de Construção Civil, da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
(UTFPR).
Linha de pesquisa: Materiais, Estruturas e Geotecnia
Orientador: Prof. João Elias Abdalla Filho, Ph.D.
CURITIBA
2020
___________________________________________________________________________________
1 arquivo texto (126 f.): PDF; 5,38 MB.
Modo de acesso: World Wide Web.
Título extraído da tela de título (visualizado em 18 mar. 2020).
Texto em português com resumo em inglês.
Tese (Doutorado) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Curitiba, 2020
Bibliografia: p. 118-126.
Algoritmos heurísticos. 4. Espaços topológicos. I. Abdala Filho, João
Elias, orient. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná -
Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, inst. III. Título.
CDD: Ed. 23 -- 624
Aluna de Biblioteconomia: Josiane Mangueira
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação
TERMO DE APROVAÇÃO DE TESE Nº13
A Tese de Doutorado intitulada: ABORDAGEM METAHEURÍSTICA PARA OTIMIZAÇÃO
ESTRUTURAL, defendida em sessão pública pelo Candidato Carlos Andres Millan Paramo, no dia
11 de março de 2020, foi julgada para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil, área de
concentração: Construção Civil, linha de pesquisa: Materiais, Estruturas E Geotecnia, e aprovada em
sua forma final, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil.
BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dr. Jucélio Tomás Pereira - UFPR
Profª. Drª. Viviana Cocco Mariani - PUCPR
Prof. Dr. Leandro Dos Santos Coelho - PUCPR
Prof. Dr. Wellington Mazer - UTFPR
A via original deste documento encontra-se arquivada na Secretaria do Programa, contendo a
assinatura da Coordenação após a entrega da versão corrigida do trabalho.
Curitiba, 11 de março de 2020.
A Deus
Às minhas filhas Carla e Sofia
Aos meus pais Euriel e Irma
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me permitir alcançar este ponto e ter me dado saúde para alcançar meus objetivos.
À minha filha Carla e minha esposa Carmen Meliza pelo apoio, compreensão, carinho e
inspiração.
À Organização dos Estados Americanos (OEA) e ao Grupo Coimbra de Universidades
Brasileiras (GCUB) por ter sido escolhido como uns dos beneficiários da bolsa de estudo do
Edital OEA GCUB 2015.
À Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) e ao Programa de Pós-graduação em
Engenharia Civil (PPGEC) pela oportunidade.
À Universidad de Sucre pelo apoio neste tempo de estudo.
A meu Orientador, o Prof. João Elias Abdalla Filho, pela confiança e ajuda durante o
desenvolvimento desta pesquisa.
Por fim, aos membros da Banca de Defesa: Profa. Viviana Cocco Mariani, Prof. Jucélio Tomás
Pereira, Prof. Leandro dos Santos Coelho e Prof. Wellington Mazer. Agradeço muito pelas
correções, comentários e sugestões.
MILLAN PARAMO, Carlos Andres. Abordagem metaheurística para otimização
estrutural. 2020. 126 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Civil, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, Brasil, 2020.
A otimização estrutural visa projetar estruturas sob certas restrições para alcançar um melhor
comportamento. No entanto, minimizar o peso das estruturas pode ser considerado um
problema complicado de resolver devido à satisfação das restrições de projeto. Em geral, estas
restrições são não lineares, não convexas e implícitas em relação às variáveis do projeto.
Portanto, isso tem dificultado o uso de otimizadores baseados em gradientes. Sob tais
circunstâncias, as metaheurísticas de otimização podem servir como alternativas adequadas
devido à capacidade de encontrar mínimos globais em espaços modais e multidimensionais.
Embora várias metaheurísticas de otimização tenham sido desenvolvidas nas últimas décadas,
a maioria delas é baseada de população e passa por muitas etapas com diversos parâmetros que
dificultam o projeto. Além disso, existem os mesmos procedimentos nas metaheurísticas
recentes, que as tornam semelhantes. Por outro lado, de acordo com o teorema No Free Lunch
no campo da otimização, não há algoritmo para resolver todos os problemas de otimização. Isso
indica que um novo algoritmo adaptado tem potencial para resolver um grupo de problemas
(por exemplo, projeto de estruturas) melhor do que os algoritmos atuais. Ao contrário de outros
estudos, este trabalho visa implementar e adaptar um algoritmo de solução única denominado
Algoritmo Simulated Annealing Modificado (ASAM) para resolver problemas de otimização
estrutural. Para validar o algoritmo são analisados problemas de referências encontrados na
literatura e os resultados são comparados com os obtidos por meio de várias metaheurísticas
existentes. Estes problemas são: (i) otimização dimensional de treliças com restrições de
tensões e deslocamentos; (ii) otimização dimensional e de forma de treliças com restrições em
frequências naturais; e (iii) otimização topológica de modelos no estado plano de tensões que
representam problemas de viga empregando elementos finitos desenvolvidos na Notação Strain
Gradient. Adicionalmente, é proposta uma versão aprimorada do ASAM para resolver
problemas de otimização estrutural. Nos dois primeiros conjuntos de problemas os resultados
numéricos indicaram que o ASAM produz resultados competitivos, em comparação com as
outras metaheurísticas de otimização, em termos de projeto ótimo, número de iterações e desvio
padrão dos dados. Nos problemas de otimização topológica, os resultados demonstraram que
os problemas otimizados com elementos corregidos e o ASAM convergiram ao valor ótimo em
menor tempo.
Algoritmo Simulated Annealing Modificado.
MILLAN PARAMO, Carlos Andres. Metaheuristic approach for structural optimization.
2020. 126 p. Doctoral Thesis (Ph.D. in Civil Engineering) Postgraduate Program in Civil
Engineering, Federal University of Technology- Paraná. Curitiba, Brazil, 2020.
Structural optimization aims to design structures under certain constraints to achieve better
behavior. However, minimize the weight of structures can be considered as a difficult problem
to solve because it makes design constraints difficult to satisfy. These constraints are non-linear,
non-convex and implied with respect to the variables of design. Therefore, this has led to
difficulty in the use of gradient-based optimizers. Under such circumstances, the metaheuristic
algorithms can serve as appropriate alternatives due to the ability to search global minima in
modal and multidimensional spaces. Although several metaheuristics have been developed in
the last decades, most of them are population-based, undergo many steps along with several
parameters that make them hard to code. In addition, there are same procedures in recent
metaheuristics which make them similar. On the other hand, according to the No Free Lunch
Theorem in the field of optimization, there is no algorithm to solve all optimization problems.
This indicates that a new adapted algorithm has potential to solve a group of problems (e.g.
structures design) better than the current algorithms. Contrary to previous studies, this work
aims to implement and adapt a single-solution algorithm called Modified Simulated Annealing
Algorithm (MSAA) to solve problem of structural optimization. To validate the algorithm,
benchmark problems found in the literature are analyzed and the results are compared with
previous results obtained through various existing metaheuristics. These problems are: (i) size
optimization of truss structures with stresses and displacements constraints; (ii) size and shape
optimization of truss structures with natural frequency constraints; and (iii) topological
optimization of plane stress state models representing beam problems using finite elements
developed in Strain Gradient Notation. Additionally, an improved version of MSAA is
proposed to solve structural optimization problems. In the first two sets of problems, numerical
results indicated that MSAA produces competitive results, compared to the other optimization
metaheuristics, in terms of optimal design, number of iterations, and standard deviation of the
data. In topological optimization problems, the results showed that optimized problems with
corrected elements and MSAA converged to the optimal value in less time.
Keywords: Size optimization, shape optimization, topological optimization, Modified
Simulated Annealing Algorithm.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Tipos de otimização estrutural: (a) dimensional, (b) de forma e (c) topológica. .... 22
Figura 2 Exploração no espaço de busca (Schwefel Function) ............................................. 27
Figura 3 Passo de busca ......................................................................................................... 28
Figura 4 Diagrama de fluxo ASAM ...................................................................................... 30
Figura 5 Treliça plana de 10 barras ....................................................................................... 34
Figura 6 Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas.
(a) Caso 1, (b) Caso 2 ............................................................................................................... 38
Figura 7 Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo
obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1). (a) Valores de
restrição de deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão ................................................. 39
obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2). (a) Valores de
restrição de deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão ................................................. 40
Figura 9 Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas .. 43
obtido pelo ASAM na treliça de 10 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão..................................................................... 44
Figura 11 Treliça plana de 52 barras ..................................................................................... 45
Figura 12 Curva de convergência para a treliça plana de 52 barras ...................................... 48
Figura 13 Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM
na treliça de 52 barras ............................................................................................................... 48
Figura 14 Treliça plana de 200 barras ................................................................................... 50
Figura 15 Curva de convergência para a treliça plana de 200 barras .................................... 53
Figura 16 Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM
na treliça de 200 barras ............................................................................................................. 53
Figura 17 Treliça espacial de 25 barras ................................................................................. 54
Figura 18 Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis
contínuas ................................................................................................................................... 58
Figura 19 Curva de convergência para a treliça espacial de 25 barras com variáveis discretas
.................................................................................................................................................. 58
obtido pelo ASAM na treliça de 25 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de
Figura 23 Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis contínuas
.................................................................................................................................................. 65
Figura 24 Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras com varieis discretas 65
obtido pelo ASAM na treliça de 72 barras com variáveis contínuas. (a) Valores de restrição de
Figura 29 Treliça plana de 200 barras ................................................................................... 75
Figura 32 Curva de convergência para a treliça espacial de 72 barras .................................. 80
Figura 33. Treliça espacial de 120 barras ................................................................................. 81
Figura 34 Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras ................................ 83
Figura 42 Curva de convergência para a treliça espacial de 120 barras ................................ 99
Figura 43 Viga biapoiada .................................................................................................... 108
Figura 44 Viga em balanço .................................................................................................. 111
Figura 45 Viga em balanço com duas cargas ...................................................................... 113
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 A lista dos principais trabalhos na OD com restrições de tensões e deslocamentos
.................................................................................................................................................. 32
Tabela 2 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis
contínuas (Caso 1) .................................................................................................................... 36
contínuas (Caso 2) .................................................................................................................... 37
discretas .................................................................................................................................... 42
Tabela 5 Lista de áreas transversais disponíveis do código AISC ........................................ 46
Tabela 6 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 52 barras ....................... 47
Tabela 7 Variáveis de projeto no problema da treliça plana de 200 barras. .......................... 51
Tabela 8 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ..................... 52
Tabela 9 Condições de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis
contínuas). ................................................................................................................................ 54
Tabela 10 Tensões admissíveis nos grupos de elementos para a treliça espacial de 25 barras
.................................................................................................................................................. 55
Tabela 11 Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 25 barras com
variáveis contínuas ................................................................................................................... 56
Tabela 12 Condição de carregamento para a treliça espacial de 25 barras (variáveis
discretas) ................................................................................................................................... 57
variáveis discretas ..................................................................................................................... 57
Tabela 14 Condições de carregamento para a treliça espacial de 72 barras .......................... 62
variáveis contínuas ................................................................................................................... 63
variáveis discretas. .................................................................................................................... 64
Tabela 17 A lista dos principais trabalhos na otimização dimensional e de forma de treliças
com frequências naturais .......................................................................................................... 69
Tabela 18 Propriedades do material, limites de área de seção transversal e restrições de
frequência para diferentes problemas ....................................................................................... 71
Tabela 19 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras. .................... 73
Tabela 20 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ................... 76
Tabela 21 Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras ................. 79
Tabela 22 Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras ............... 82
Tabela 23 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 37 barras ..................... 84
Tabela 24 Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 52 barras. ................ 87
Tabela 25 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras. .................... 92
Tabela 26 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 200 barras ................... 94
Tabela 27 Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 72 barras ................. 96
Tabela 28 Resultados de otimização obtidos para a treliça espacial de 120 barras ............... 98
Tabela 29 Comparação de resultados obtidos para a viga biapoiada .................................. 110
Tabela 30 Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço ............................... 112
Tabela 31 Comparação de resultados obtidos para a viga em balanço com duas cargas .... 114
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
ASAM Algoritmo Simulated Annealing Modificado
ASAM-M Algoritmo Simulated Annealing Modificado Melhorado
CO Critério de otimalidade
L Comprimento do elemento
δ Deslocamento nos nós
σ Tensões do elemento
ρ Densidade do material
c Energia de deformação
fv Fração de volume
E Modulo de elasticidade
K Matriz de rigidez
U Energia de deformação
ν Coeficiente de Poisson
C Matriz constitutiva
Matriz de transformação entre coordenadas nodais e coordenadas Strain
Gradient
T Matriz de transformação entre gradientes de deformações e deformações
elásticas
SUMÁRIO
1.5 TRABALHOS PRODUZIDOS PELA PESQUISA .................................................. 19
2 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL ................................................................................... 21
3.1 EXPLORAÇÃO PRELIMINAR ............................................................................... 27
4 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA PROJETO
ÓTIMO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS31
4.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 31
4.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................... 33
4.3.1 Treliça plana de 10 barras ................................................................................... 34
4.3.3 Treliça plana de 200 barras ................................................................................. 49
4.3.4 Treliça espacial de 25 barras .............................................................................. 54
5 OTIMIZAÇÃO DIMENSIONAL E DE FORMA DE TRELIÇAS COM
RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS USANDO O ALGORITMO
SIMULATED ANNEALING MODIFICADO ...................................................................... 68
5.3.4 Treliça espacial de 120 barras ............................................................................ 80
6 EXPORTANDO CONCEITOS DE OTIMIZAÇÃO DE ONDAS DE ÁGUA PARA
O ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO PARA OTIMIZAÇÃO
DIMENSIONAL DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE FREQUÊNCIA NATURAIS
88
6.3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL .............. 90
6.4.4 Treliça espacial de 120 barras ............................................................................ 97
7 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS
EMPREGANDO ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO E
ELEMENTOS FINITOS NA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT .................................... 100
7.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 100
7.3 DESENVOLVIMENTO DA NOTAÇÃO STRAIN GRADIENT (NSG) ................ 103
7.4 PROBLEMAS E DISCUSSÕES ............................................................................. 107
7.4.1 Viga biapoiada .................................................................................................. 108
7.4.3 Viga em balanço com duas cargas .................................................................... 112
8 CONCLUSÕES, CONTRIBUIÇÕES E TRABALHOS FUTUROS ....................... 115
8.1 CONCLUSÕES ....................................................................................................... 115
8.2 CONTRIBUIÇÕES ................................................................................................. 116
1 INTRODUÇÃO
A ação de fazer o melhor ou mais efetivo uso de uma situação ou recurso é chamada de
otimização. A importância da otimização está aumentando permanentemente no mundo atual
devido às limitações de recursos disponíveis e ao aumento da população humana. Os
engenheiros sempre se esforçam para projetar sistemas estruturais eficientes, que devem ser tão
econômicos quanto possível, porém fortes o suficiente para suportar os requisitos funcionais
mais exigentes que surgem durante sua vida útil. A abordagem tradicional de projeto estrutural
de tentativa e erro não é suficiente para alcançar projetos que satisfaçam os critérios econômicos
e de segurança simultaneamente. A otimização oferece uma técnica para resolver esse tipo de
problema.
O termo "otimização" refere-se ao estudo de problemas nos quais se busca minimizar ou
maximizar uma função escolhendo sistematicamente os valores das variáveis dentro de um
conjunto permitido. Por um lado, uma quantidade de pesquisas foi conduzida nessa área de
conhecimento, na esperança de desenvolver algoritmos de otimização eficazes e eficientes. Por
outro lado, a aplicação dos algoritmos existentes a projetos reais tem sido o foco de muitos
estudos.
Os problemas de otimização são estudados em diferentes campos e as características do
problema precisam ser identificadas para obter uma solução ótima. Essas características são as
seguintes: os parâmetros do problema, que podem ser contínuos ou discretos; as funções
objetivo e as restrições do problema. No final, um otimizador adequado deve ser escolhido e
empregado para resolver o problema.
A Otimização Estrutural (OE) visa projetar estruturas sob certas restrições para alcançar
um melhor comportamento (HARE; NUTINI; TESFAMARIAM, 2013). Devido aos seus
benefícios, este campo recebeu considerável atenção de muitos engenheiros e pesquisadores
durante as últimas décadas.
No passado, as técnicas de otimização mais usadas eram os algoritmos baseados em
gradientes que utilizavam informações de gradiente para explorar o espaço de busca próximo à
solução inicial. Em geral, os métodos baseados em gradiente convergem mais rapidamente em
comparação com abordagens estocásticas. No entanto, a aquisição de informação de gradiente
pode ser dispendiosa ou mesmo impossível de obter. Além disso, um bom ponto de partida é
essencial para uma execução bem-sucedida desses métodos. Em muitos problemas de
otimização, devem ser levadas em consideração regiões não viáveis, limites estabelecidos e
17
funções não convexas. Como resultado, esses problemas de otimização não convexa não podem
ser resolvidos facilmente por esses métodos. Várias abordagens típicas destas técnicas podem
ser listadas como: critério de otimalidade (CO) (KHOT et al., 1979; KO; WANG, 1991),
programação linear sequencial (SLP) (LAMBERTI; PAPPALETTERE, 2000, 2004),
programação quadrática sequencial (SQP) (SPELLUCCI, 1998) e método de força (KAVEH;
KALATJARI, 2003; SEDAGHATI, 2005), dentre outras.
Por outro lado, outros tipos de métodos de otimização, conhecidos como metaheurísticas
(MHs), não sofrem as restrições acima mencionadas. As MHs são métodos de busca e
otimização muito adequadas e eficazes para encontrar a solução de problemas de otimização
combinatória. Não requerem a informação de gradiente ou a convexidade da função objetivo e
restrições, e usam regras de transição probabilísticas, não regras determinísticas. Em vez disso,
baseiam-se em estratégias de busca estocástica que as tornam eficazes e versáteis para combater
a explosão combinatória das possibilidades. As propriedades fundamentais dos algoritmos MHs
são que eles imitam certas estratégias tomadas da natureza, cultura social, biologia ou leis da
física que direcionam o processo de busca. Seu objetivo é explorar com eficiência o espaço de
busca usando esses mecanismos de controle, a fim de encontrar soluções quase ótimas, se não
o ótimo global. Os algoritmos MHs são técnicas aproximadas, e não há prova matemática de
que a solução ótima obtida é a global. No entanto, não são específicos de um dado problema e
provaram ser muito eficientes e robustos na obtenção de soluções de problemas práticos de
otimização do projeto de engenharia com variáveis de projeto contínuas e/ou discretas (YANG;
KOZIEL, 2011). Os trabalhos apresentados por de Boussaïd et al. (2013), Mahdavi et al. (2015),
Salcedo-Sanz (2016) e Dokeroglu et al. (2019) fornecem uma revisão detalhada das principais
metaheurísticas descritas na literatura.
Os métodos MHs são geralmente considerados como algoritmos iterativos, em que cada
iteração envolve a busca por uma nova solução que pode ser melhor do que a melhor solução
encontrada anteriormente. Depois de um tempo razoável quando o algoritmo é finalizado, a
solução que ele fornece é a melhor que foi encontrada durante todas as iterações. Neste processo
de geração iterativo, a metaheurística combina inteligentemente conceitos diferentes para
explorar (busca global exploration) e intensificar (busca local exploitation) o espaço de
busca. A diversificação (exploração) assegura, geralmente por randomização, uma exploração
eficiente do espaço de busca, enquanto que a intensificação visa identificar a melhor solução e
selecionar durante o processo uma sucessão de melhores soluções (CHENG et al., 2016).
18
Em geral, os problemas de OE são não lineares com uma geometria complexa do domínio
factível, conformada pelas restrições do projeto. Além disso, o número de variáveis de projeto,
o tamanho do espaço de busca e o número de restrições são fatores que influenciam no tempo
que os projetistas precisam para encontrar estruturas otimizadas (LI; MA, 2015). Por isto os
métodos MHs se apresentam como opções promissoras para solucionar o problema de OE,
como mostrado neste trabalho.
1.1.1 Objetivo Geral
O objetivo geral desta tese é validar e aprimorar a metaheurística Algoritmo Simulated
Annealing Modificado (ASAM) na resolução de problemas de otimização estrutural.
1.1.2 Objetivos Específicos
• Analisar problemas de otimização dimensional de treliças (minimização de peso)
sujeitas a restrições de tensões e deslocamentos.
• Analisar problemas de otimização dimensional e de forma de treliças (minimização de
peso) sujeitas a restrições de múltiplas frequências naturais.
• Analisar problemas de otimização topológica de estruturas planas em forma de viga
empregando elementos finitos desenvolvidos no campo da Notação Strain Gradient.
1.2 MOTIVAÇÃO
Os projetos de engenharia têm a crescente necessidade de otimização com o objetivo de
obter um melhor comportamento de um dado sistema. Por outro lado, em geral, esse tipo de
problemas apresenta espaços de busca multidimensionais e elevado número de restrições, sendo
necessária uma poderosa ferramenta de otimização. Por tais razões, uma das motivações deste
trabalho está em aplicar o ASAM, para resolver problemas de OE.
Com relação aos problemas de otimização topológica, esta tese introduz, pela primeira
vez, o uso de elementos finitos desenvolvidos na Notação Strain Gradient (NSG) para resolver
esse tipo de problemas. A NSG, uma notação fisicamente interpretável, permite corrigir os erros
de modelagem que contaminam as expressões polinomiais causando cisalhamento parasítico.
Por fim, de acordo com o teorema No Free Lunch (WOLPERT; MACREADY, 1997),
pode-se afirmar que não é possível desenvolver uma estratégia geral para resolver diferentes
19
tipos de problemas de maneira igualmente eficiente. Por outro lado, a literatura carece de
métodos eficientes para melhorar a velocidade de convergência e a explotação dos algoritmos
(TEJANI et al., 2018). Nesse contexto, surge a necessidade de desenvolver novos algoritmo de
otimização. Isso motivou a propor uma versão melhorada do ASAM. O algoritmo acopla
conceitos da metaheurística Water Wave Optimization e é aplicado na resolução de problemas
de OE.
Os algoritmos implementados neste trabalho podem ser usados para otimizar estruturas
com diferentes restrições. As estruturas treliçadas analisadas neste trabalho foram tomadas da
literatura e são chamadas de problemas de referência. Nos problemas de otimização topológica,
as análises foram feitas com elementos finitos retangulares planos no regime elástico. A
validação dos algoritmos é realizada por meio do confronto com dados encontrados na
literatura.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
Esta tese está baseada nos artigos que foram publicados a partir dos resultados obtidos
nesta pesquisa. O trabalho está dividido em 8 capítulos, incluindo a presente introdução. O
Capítulo 2 faz uma breve introdução à Otimização Estrutural. O Capítulo 3 apresenta as
formulações da metaheurística usada neste trabalho. No Capítulo 4 é apresentada a
implementação e validação do ASAM para resolver problemas de otimização dimensional em
treliças com restrições de tensões e deslocamentos. O Capítulo 5 apresenta a implementação e
validação do ASAM na resolução de problemas de otimização dimensional e de forma de
treliças com restrições de frequências naturais. No Capítulo 6 é proposto o aprimoramento do
ASAM e a sua aplicação na resolução de problemas de otimização de treliças com restrições de
frequências naturais. No Capítulo 7 é apresentada a aplicação do ASAM para resolver
problemas de otimização topológica empregando elementos finitos desenvolvidos na Notação
Strain Gradient. O Capítulo 8 apresenta as conclusões, contribuições e trabalhos futuros.
1.5 TRABALHOS PRODUZIDOS PELA PESQUISA
• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO. João Elias, Exporting water wave
optimization concepts to modified simulated annealing algorithm for size optimization
20
(2019).
• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Modified simulated
annealing algorithm for optimal design of steel structures, Revista Internacional de
Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 35, (1), (2019).
• MILLAN-PARAMO, Carlos; ABDALLA FILHO, João Elias. Topology optimization
of continuum structures using Modified Simulated Annealing Algorithm and finite
elements developed in Strain Gradient Notation. (em elaboração)
21
2 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL
A OE ganhou importância quando Schmit (1960) combinou pela primeira vez a análise
de elementos finitos com métodos de otimização numérica não linear para criar o que ele
chamou de Síntese Estrutural (Structural Synthesis). Este novo ramo da engenharia estrutural
formula o problema do projeto estrutural como um problema de tomada de decisão. A tomada
de decisão é um processo cognitivo em que se tenta selecionar a melhor ação entre várias
alternativas. A pesquisa operacional é uma disciplina pós-Segunda Guerra Mundial que faz
uso de modelagem matemática, simulação, análise estatística e otimização matemática para
determinar as soluções de problemas de tomada de decisão.
Os problemas de tomada de decisão podem ser modelados de forma a minimizar ou
maximizar uma função objetivo que representa a qualidade da solução sob determinadas
limitações. As variáveis de decisão representam a quantidade de um recurso a ser usado ou
o nível de alguma atividade. Existem sempre certas limitações, as quais são chamadas de
restrições, que se devem satisfazer quando se obtém a solução de um problema de tomada de
decisão. A solução ideal de um problema de tomada de decisão identifica os melhores valores
das variáveis de decisão, de modo que a função objetivo no problema de tomada de decisão
atinja seu valor extremo e as restrições do problema sejam todas satisfeitas.
A aplicação dos métodos operacionais ao projeto estrutural causou o surgimento da
OE. Na OE os problemas podem ser classificados dependendo da natureza das variáveis do
projeto (Figura 1):
• Otimização Dimensional (OD), onde as variáveis de busca são definidas como
parâmetros dimensionais do domínio, como por exemplo áreas de seções transversais,
densidades, dentre outros.
• Otimização de Forma (OF), onde as variáveis do projeto influenciam na geometria
do domínio, como por exemplo coordenadas nodais.
• Otimização Topológica (OT), onde o objetivo é retirar material de regiões
subutilizadas de um dado domínio cheio, de modo a aumentar a eficiência do modelo
resultante.
22
Figura 1 Tipos de otimização estrutural: (a) dimensional, (b) de forma e (c) topológica.
(a)
(b)
(c)
Fonte: Bendsøe e Sigmund (2004)
Na prática, normalmente os projetistas usam o método de tentativa e erro para encontrar
as seções necessárias para os membros das estruturas. Particularmente, se a estrutura é
estaticamente indeterminada, o projetista tem que selecionar arbitrariamente as propriedades
da seção transversal dos membros para que a resposta da estrutura possa ser determinada
através da análise estrutural. Isso se deve ao fato de que os métodos disponíveis para análise
estrutural necessitam de dados para as propriedades de seção transversal de seus membros.
Esta não é uma tarefa fácil, particularmente para aqueles que são inexperientes no projeto de
estruturas.
Outra dificuldade surge quando é necessário atribuir as seções transversais a partir de
um conjunto discreto de seções disponíveis no mercado. Existem muitas combinações de
seções disponíveis, cada uma das quais pode ser atribuída a um grupo de membros da
estrutura. Pode ser possível eliminar algumas das combinações usando a experiência prática
e a intuição do projetista. No entanto, essa redução será bastante pequena e o grande número
restante de combinações exigirá um grande tempo de computação para determinar a
combinação ideal de seções. Deve ser lembrado que para estruturas de grande escala, o
número de grupos de membros aumenta ainda mais, o que significa que o número total de
testes é tão grande que nenhum projetista tem tempo para avaliar todas essas combinações
possíveis. Em geral, o que é realizado é que, após alguns testes, é adotada a combinação que
fornece um projeto viável de acordo com as disposições do código de projeto. É evidente que
essa combinação geralmente não é o projeto mais conveniente, desde o ponto de vista ótimo.
23
Portanto, a aparência da OE foi bem recebida pelos projetistas de estruturas porque permite
formular o processo de projeto como um problema de tomada de decisão e obter uma solução
ótima.
linear e dinâmica, foram desenvolvidos para resolver problemas de otimização estrutural
(SAKA; GEEM, 2013). No entanto, esses métodos representam uma abordagem limitada e
nenhum método é completamente eficiente e robusto para todos os tipos de problemas de
otimização. Além disso, esses métodos tornam-se ineficientes ao procurar o projeto ótimo de
estruturas grandes devido à grande quantidade de cálculos de gradiente necessários.
Geralmente, essas técnicas buscam uma solução na vizinhança do ponto de partida. Se houver
mais de um ótimo local no problema, o resultado dependerá da seleção do ponto inicial e a
solução não corresponderá necessariamente ao ótimo global. Além disso, quando a função
objetivo e as restrições têm picos múltiplos ou pronunciados, a busca por gradientes se torna
difícil e instável. Uma revisão de artigos publicados que faz uso de técnicas de programação
matemática na literatura de otimização estrutural revela que estes só poderiam tratar
pequenas estruturas (SAKA; GEEM, 2013).
As desvantagens computacionais dos métodos matemáticos (isto é, derivadas
complexas, sensibilidade a valores iniciais e a grande quantidade de memória de enumeração
requerida) forçaram os pesquisadores a confiar nos algoritmos MHs graças à capacidade que
eles têm de explorar eficientemente o espaço de busca para encontrar soluções ótimas ou
quase ótimas.
Embora várias MHs tenham sido desenvolvidas nas últimas décadas, a maioria delas
são baseadas em populações, passam por várias etapas e apresentam diversos parâmetros que
as tornam difíceis de entender e codificar. Além disso, existem os mesmos procedimentos
nas MHs recentes que as tornam semelhantes. Portanto, os pesquisadores geralmente ficam
confusos ao selecionar uma metaheurística e não conseguem encontrar nenhuma
superioridade. Por esse motivo, os pesquisadores ainda usam os algoritmos antigos em vez
dos recentes. Por outro lado, de acordo com o teorema No Free Lunch (NFL) (TEJANI et al.,
2018) no campo da otimização, não há algoritmo para resolver todos os problemas de
24
otimização. Isso indica que um novo algoritmo adaptado tem potencial para resolver um
grupo de problemas (por exemplo, projeto de estruturas) melhor do que os algoritmos atuais.
Ao contrário dos trabalhos anteriores, este estudo tem como objetivo implementar e
adaptar um algoritmo de solução única chamado de Algoritmo Simulated Annealing
Modificado (ASAM), recentemente proposto por Millán et al. (2014), para resolver
problemas de OE. Além disso, este estudo propõe um algoritmo para melhorar a velocidade
de convergência do ASAM e sua aplicação na resolução de problemas de OE. No Capítulo
3, o ASAM será explicado em detalhe junto com os parâmetros que o controlam.
25
3 ALGORITMO SIMULATED ANNEALING MODIFICADO (ASAM)
Antes de resumir as características do ASAM, o funcionamento do Simulated
Annealing (SA) (KIRKPATRICK et al., 1983) é brevemente descrito. Os conceitos básicos
de SA são originários do processo de resfriamento de metais fundidos através do
recozimento. Um recozimento ocorre quando um metal é aquecido a um estado líquido com
uma temperatura alta e depois é resfriado lentamente. Em alta temperatura, os átomos no
metal fundido são distribuídos aleatoriamente em um estado quase líquido e podem se mover
livremente um em relação ao outro, mas, à medida que a temperatura é reduzida
gradualmente, o movimento dos átomos é restrito e ficam dispostos em um estado de baixa
energia, formando um cristal. O estado de energia dos cristais formados depende da taxa de
resfriamento. Se a temperatura for reduzida rapidamente, o estado cristalino pode não ser
alcançado e, em vez disso, o sistema pode terminar em um estado policristalino, que pode ter
um estado de energia mais alto que o estado cristalino. Portanto, para alcançar o estado
absoluto de energia máxima, a temperatura precisa ser reduzida a uma taxa lenta.
O algoritmo SA imita o processo de recozimento para encontrar o valor mínimo da
função em um problema de otimização. A função objetivo corresponde à função energia, que
deve ser minimizada por uma série de movimentos aprimorados. A programação de
resfriamento é simulada através do controle de um parâmetro semelhante à temperatura T
introduzido no conceito da função de distribuição de probabilidade Boltzmann.
Um algoritmo típico de SA é descrito a seguir. Um único estado vizinho da solução
atual S é gerado aleatoriamente em cada iteração. A diferença (Δf) entre a qualidade da nova
solução S' e a qualidade da solução atual S é calculada para avaliar a aceitação desta nova
solução S', por meio da equação (3.1):
f = f(S′) − f(S) (3.1)
Em um problema de minimização, se o valor de Δf for menor que 0, a nova solução S'
será aceita automaticamente e poderá substituir S. Caso contrário, a aceitação da nova
solução S' depende da probabilidade estabelecida pelo critério de Boltzmann
(KIRKPATRICK et al., 1983), que é calculada pela equação (3.2):
26
T ). (3.2)
Para calcular a probabilidade, um parâmetro chamado Temperatura (T) é usado. Como
a temperatura diminui à medida que o processo avança, há uma probabilidade maior de
aceitar novas soluções nas etapas iniciais. Essa probabilidade diminui ao longo do processo
e, finalmente, atinge um ponto (quando a temperatura está próxima de 0), na qual apenas os
movimentos que melhoram a função objetivo são aceitos. O pseudocódigo do SA é o
seguinte:
Definir o número máximo de perturbações na mesma temperatura
(npmax)
T=Tinicial
Para np=1 a npmax // Ciclo de Metropolis
Gerar S' escolhido aleatoriamente
Se (Δf<0) então
Aceitar S'
fim se
fim se
terminar para
Diminuir T pela função de resfriamento Tk+1=Tk·α
terminar enquanto
Mostrar melhor solução (Sbest)
Quando existem funções altamente modais e não-convexas, a geração dos estados
(aleatoriamente) gera tempos de busca mais longos e um alto custo computacional para o
algoritmo. Além disso, a probabilidade de aceitação de uma solução pior está em um
intervalo entre 0 e 1, o que faz com que nas temperaturas iniciais o algoritmo aceite muitas
soluções de menor qualidade, aumentando o risco de ficar preso em um ótimo local e que o
algoritmo apresente uma taxa de convergência lenta.
27
Portanto, o ASAM proposto por Millán et al. (2014) apresenta três modificações que
permitem que o algoritmo tenha um equilíbrio entre exploração (diversificação) e explotação
(intensificação). Primeiro, uma exploração preliminar é realizada para gerar o estado inicial.
Logo, a transição do estado inicial para o estado vizinho é feita por um passo de busca.
Finalmente, o intervalo de probabilidade de aceitar uma solução pior é reduzido.
3.1 EXPLORAÇÃO PRELIMINAR
Nesta fase, o algoritmo executa uma varredura em todo o espaço de busca (Figura 2) e
é dado pela seguinte matriz:
XPxN = IPxNXmin + randPxN(Xmax − Xmin), (3.3)
onde, P é o número de pontos (estados) desejados no espaço de busca; N é o número de
dimensões (variáveis) do problema; I é uma matriz unitária de tamanho PxN; Xmin é o limite
inferior do problema; Xmax é o limite superior do problema e randPxN é uma matriz PxN de
números gerados com distribuição uniforme no intervalo [0, 1].
Figura 2 Exploração no espaço de busca (Schwefel Function)
Fonte: Autor
Para iniciar o processo de otimização com ASAM, todos os pontos gerados com a
equação (3.3) são avaliados na função objetivo do problema e aquele com o valor mais baixo
(no caso de procurar o valor mínimo da função) é escolhido como ponto inicial da busca.
28
3.2 PASSO DE BUSCA
A partir do ponto inicial determinado na etapa anterior, um passo de busca é gerado
para determinar o estado do vizinho. Este passo depende de um raio de ação (R) que diminui
gradualmente à medida que a temperatura do sistema diminui (Figura 3). Isto significa que
quando o algoritmo está a uma determinada temperatura, com o raio de ação definido pela
equação (3.4) para essa temperatura, a transição do ponto inicial para o novo ponto (passo de
busca) é feita adicionando ao ponto inicial números aleatórios que estão entre [-R, R]. Isso
permite que o algoritmo realize uma varredura global em altas temperaturas e uma varredura
local em baixas temperaturas, fornecendo um equilíbrio entre a diversificação e a
intensificação.
Ri+1 = Ri α, (3.4)
onde Ri é o raio inicial do ciclo e α é o coeficiente de redução do raio.
Figura 3 Passo de busca
Fonte: Autor
3.3 PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO
Neste algoritmo, a probabilidade de aceitação de uma solução pior (estado) é dada pela
equação (3.5):
1 + exp ( f T ) . (3.5)
Esta probabilidade está em um intervalo entre 0 e ½, o que permite que o algoritmo tenha um
intervalo mais baixo de aceitação de soluções piores.
Estas 3 modificações têm como objetivo melhorar a exploração inicial, permitir um
equilíbrio entre a exploração inicial e final, e controlar a convergência na fase final da busca.
Em resumo, o algoritmo ASAM tem 4 parâmetros que devem ser definidos: tamanho da
população para a exploração preliminar; temperatura inicial (Tinicial); temperatura final (Tfinal)
e número de perturbações na mesma temperatura (npmax). O pseudocódigo do ASAM é o
seguinte e a Figura 4 mostra o diagrama de fluxo:
Definir a temperatura inicial (Tinicial)
Definir a temperatura final (Tfinal)
Definir o número máximo de perturbações na mesma temperatura (npmax)
Gerar Solução Inicial (S) por equação (3.3)
T=Tinicial
Para np=1 a npmax // Ciclo de Metropolis
Gerar S' escolhido por equação (3.4)
Obter diferença (Δf) entre S' e S
Se (Δf<0) então
Se (P> random (0, 1)),
Aceitar S'
fim se
fim se
terminar para
Diminuir T pela função de resfriamento Tk+1=Tk·α
terminar enquanto
Inicio
S’ < S
com distribuição uniforme
ÓTIMO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE TENSÕES E
DESLOCAMENTOS
4.1 INTRODUÇÃO
A OE visa projetar estruturas sob certas restrições para obter um melhor
comportamento. Devido a seus benefícios, esse campo recebeu atenção considerável de
muitos pesquisadores nas últimas décadas.
Um grande número de técnicas de otimização foi proposto e aplicado com sucesso. Em
geral, essas técnicas podem ser categorizadas em dois principais grupos a: (i) métodos
baseados em gradiente e (ii) métodos não baseados em gradiente. Várias abordagens típicas
do primeiro grupo podem ser listadas como critério de otimalidade (CO) (KHOT et al., 1979),
programação linear sequencial (SLP) (LAMBERTI; PAPPALETTERE, 2000), programação
quadrática sequencial (SQP) (SEDAGHATI, 2005) e método de força (FARSHI; ALINIA-
ZIAZI, 2010). Embora a taxa de convergência dessas abordagens seja bastante rápida, um
requisito de análises de sensibilidade das funções objetivo e restrições é sempre necessário.
Seu desempenho em análises matemáticas é caro e complexo, até impossível em muitos
casos. Além disso, as soluções obtidas geralmente ficam presas nas regiões locais, pois a
capacidade de busca se concentra apenas nas informações derivadas fornecidas nas análises
de sensibilidade. Para superar as limitações acima, métodos não baseados em gradiente no
segundo grupo, também conhecidos como abordagens MHs, foram desenvolvidos.
As primeiras MHs de otimização usadas na OD de treliça e ainda são amplamente
utilizados foram os Algoritmos Genéticos (AG) com os trabalhos de Rajeev e
Krishnamoorthy (1992) e Adeli e Cheng (1993) e SA com os trabalhos de Balling (1991) e
Bennage e Dhingra (1995). Na Tabela 1 estão listados os trabalhos mais relevantes da
literatura em que MHs são utilizadas para resolver este tipo de problemas e que tem relação
direta com o contexto deste capítulo. Em todos estes trabalhos, a principal tarefa é encontrar
uma seção transversal ótima dos elementos, minimizando o peso da estrutura.
32
Tabela 1 A lista dos principais trabalhos na OD com restrições de tensões e deslocamentos
Autor Método
Lee e Geem (2004) Harmony Search (HS)
Camp (2007) Big Bang–Big Crunch (BB–BC)
Sabour et al. (2011) Imperialist competitive ant colony algorithm (ICACO)
Sonmez (2011a) – Sonmez
Degertekin (2012) Efficient Harmony Search (EHS) - Self Adaptive Harmony Search
Algorithm (SAHS)
Degertekin e Hayalioglu (2013) Teaching-Learning-Based Optimization (TLBO)
Camp e Farshchin (2014) Modified Teaching-Learning-Based Optimization (MTLBO)
Bekda et al. (2015) Flower Pollination Algorithm (FPA)
Kaveh e Bakhshpoori (2016a) –
Kaveh e Mahdavi (2014a) –
Gholizadeh e Poorhoseini
Kaveh et al. (2015) Improved Magnetic Charged System Search (IMCSS)
Ho-Huu et al. (2016) Adaptive elitist Differential Evolution (aeDE)
Moez et al. (2016) Natural Forest Regeneration Algorithm (NFR)
Cheng et al. (2016) Hybrid Harmony Search (HHS)
Maheri e Talezadeh (2017) Enhanced Imperialist Competitive Algorithm (EICA)
Do e Lee (2017) Modified Symbiotic Organisms Search (mSOS)
Degertekin et al. (2017) Heat Transfer Search Algorithm (HTS)
Vezvari et al. (2018) Numbers Cup Optimization (NCO)
Jalili e Hosseinzadeh (2018) Hybrid Biogeography-Based Optimization (BBO-DE)
Le et al. (2019) Firefly Algorithm (FA)
Degertekin et al. (2019) Discrete advanced Jaya algorithm (DAJA)
Fonte: Autor
Neste capítulo, o ASAM é proposto, pela primeira vez, para resolver o problema de
OD de treliças com restrições de tensões e deslocamentos. Para mostrar a validade do
algoritmo, cinco problemas de otimização de treliça de referência (benchmark problems) são
considerados. Os resultados numéricos são comparados com os encontrados por outras
metaheurísticas da literatura especializada.
4.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
O objetivo é minimizar o peso da estrutura enquanto satisfaz algumas limitações de
tensões e deslocamentos. A formulação matemática desses problemas pode ser expressa da
seguinte maneira:
σmin ≤ σj ≤ σmax , j = 1,2, … n
(4.1)
onde Aj é a área da seção transversal do elemento j; Lj é o comprimento do elemento j; ρj é
a densidade do material do elemento j; W(A) é o peso total da treliça; n é o número total de
elementos. O vetor A representa o vetor da seção transversal do elemento que pode ser
selecionado de um conjunto de variáveis discretas ou contínuas. δj é o deslocamento do nó j,
m é o número de nós; σj é a tensão (tração/compressão) que ocorre no elemento j. Os
subíndices “min” e “max” são os valores mínimo e máximo que as restrições podem atingir.
4.3 PROBLEMAS E DISCUSSÕES
Nesta seção, cinco problemas de referência de otimização de treliças são usados para
investigar o desempenho do ASAM. As propriedades do material, os limites das variáveis de
projeto e as restrições estruturais de cada problema são apresentados em cada descrição do
problema. O sistema de unidades utilizado é o mesmo da formulação original do problema,
para evitar erros de arredondamento durante as comparações. Cem execuções independentes
do algoritmo foram feitas para cada problema. Os resultados estatísticos são apresentados em
termos do melhor peso, peso médio, desvio padrão (DP) e número de iterações (NI); e são
comparados com as soluções de outros métodos para demonstrar a eficiência da presente
abordagem. O algoritmo e a análise das estruturas pelo método da rigidez direta são
codificados no programa Matlab e executados usando um sistema Intel Core i7-3630QM de
2,4 GHz com 8 GB de RAM.
Para todos os exemplos, o tamanho da população (exploração preliminar), a
temperatura inicial (Tinicial) e a temperatura final (Tfinal) são definidos como 200, 1 e 1x10-3,
respectivamente. A análise de sensibilidade do ASAM sobre esses parâmetros são
investigadas em Millan-Paramo (2018) e Millan et al. (2014). De acordo com Millan-Paramo
(2018), o número máximo de perturbações (npmax) na mesma temperatura pode ser escolhido
na faixa de 100 a 300. Neste estudo, o ASAM é usado considerando npmax como 230 para as
treliças de 10, 52, 25 e 72 barras e 300 para a treliça de 200 barras. Esses números de
34
perturbações foram obtidos neste trabalho após várias tentativas para encontrar um equilíbrio
entre precisão e custo computacional para cada um dos problemas. O processo iterativo é
finalizado quando o algoritmo atinge a temperatura final. O NI máximo é obtido
multiplicando os ciclos de temperatura pelo npmax. Todos os projetos obtidos pelo ASAM são
viáveis.
4.3.1 Treliça plana de 10 barras
A treliça plana de 10 barras (Figura 5) é um problema comum no campo da otimização
estrutural, sendo muito usado para verificar a eficiência de um novo algoritmo de otimização
proposto (KAVEH et al. 2015). Existem 10 variáveis de projeto neste exemplo e podem ser
selecionadas de 0,1 a 35,0 pol2. A densidade do material é de 0,1 lb/pol3 e o módulo de
elasticidade é de 10000 ksi. Os deslocamentos dos nós livres não devem exceder ±2 pol nas
direções vertical e horizontal. Além disso, as tensões admissíveis, tanto de tração como de
compressão, não devem exceder 25 ksi. Neste problema dois casos de carregamento são
considerados: Caso 1: P1=100 kips e P2=0; Caso 2: P1=150 kips e P2=50 kips.
Figura 5 Treliça plana de 10 barras
Fonte: Degertekin (2012)
As Tabelas 2 e 3 apresentam uma comparação com os resultados de estudos anteriores
para o Caso 1 e Caso 2, respectivamente. No Caso 1 (Tabela 2), os resultados mostram que
35
o peso do projeto ótimo obtido com ASAM (5060,87 lb) é menor do que outros métodos
(5062,39 lb para EHS, 5061,42 para SAHS, 5086,90 para MCSS, 5064,60 para IMCSS,
5063,58 para NFR e 5065,99 lb para NCO). Além disso, o ASAM requer menos NI que o
HS, EHS, TLBO, MCSS, IMCSS, NFR e NCO (7130 para ASAM, 20000 iterações para HS,
9791 para EHS 16872 para TLBO, 8875 para MCSS, 8475 para IMCSS, 62950 para NFR e
8400 para NCO) para convergir à solução ótima. Em termos de estabilidade da solução, o
ASAM é mais estável que EHS, SAHS e TLBO com o menor DP (0,11 lb para ASAM, 1,98
lb para EHS, 0,71 lb para SAHS e 0,79 lb para TLBO).
No Caso 2 (Tabela 3), o peso obtido por ASAM foi de 4677,05 lb sendo apenas
superado pelo HS com um peso de 4668,81 lb. No entanto, ASAM precisou de menos NI
para conseguir o ótimo. (7130 iterações para ASAM e 15000 para iterações HS). A
velocidade de convergência do IMCSS e do NCO é mais rápida do que a do ASAM (6625
análises para IMCSS e 6510 para NCO), porém o ASAM tem um valor de DP de 0,95 lb, o
que mostra a estabilidade do algoritmo. A Figura 6 apresenta as curvas de convergência dos
melhores projetos alcançados com ASAM para cada caso. Os valores de deslocamento e
tensão obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições permitidas, como mostram as
Figuras 7 e 8.
36
Tabela 2 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1)
Variáveis
(pol2)
(2016)
HS EHS SAHS TLBO MCSS IMCSS NFR NCO
1 A1 30,150 30,208 30,394 30,429 29,577 30,026 30,6206 31,1567 30,451
2 A2 0,102 0,100 0,100 0,100 0,114 0,100 0,1058 0,1004 0,1000
3 A 22,710 22,698 23,098 23,244 23,806 23,628 23,1368 22,3469 23,236
4 A4 15,270 15,275 15,491 15,368 15,888 15,973 15,3435 14,9622 15,262
5 A5 0,102 0,100 0,100 0,100 0,114 0,100 0,1017 0,1011 0,1000
6 A6 0,544 0,529 0,529 0,575 0,100 0,517 0,5517 0,4386 0,552
7 A7 7,541 7,558 7,488 7,440 8,605 7,457 7,5205 7,6323 7,452
8 A8 21,560 21,559 21,189 20,967 21,682 21,437 21,0745 21,6152 21,044
9 A9 21,450 21,491 21,342 21,533 20,303 20,744 21,3645 21,2733 21,522
10 A10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,112 0,100 0,1 0,1 0,100
Peso (lb) 5057,88 5062,39 5061,42 5060,96 5086,90 5064,60 5063,58 5065,99 5060,87
Média (lb) – 5063,73 5061,95 5062,08 – – – – 5060,99
DP (lb) – 1,98 0,71 0,79 – – – – 0,11
NI 20000 9791 7081 16872 8875 8475 62950 8400 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
37
Tabela 3 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2)
Variáveis
(pol2)
(2016)
HS EHS SAHS TLBO MCSS IMCSS NFR NCO
1 A1 23,25 23,589 23,525 23,524 22,863 23,299 23,33621 24,0446 23,493
2 A2 0,102 0,100 0,100 0,100 0,120 0,100 0,1 0,1026 0,100
3 A 25,73 25,422 25,429 25,441 25,719 25,682 25,7048 25,5745 25,080
4 A4 14,51 14,488 14,488 14,479 15,312 14,510 14,5081 13,8881 14,312
5 A5 0,1 0,100 0,100 0,100 0,101 0,100 0,1 0,1030 0,100
6 A6 1,977 1,975 1,992 1,995 1,968 1,969 1,9698 1,9771 1,970
7 A7 12,21 12,362 12,352 12,334 12,310 12,149 12,2653 12,3192 12,434
8 A8 12,61 12,682 12,698 12,689 12,934 12,360 12,6900 12,6078 12,881
9 A9 20,36 20,322 20,341 20,354 19,906 20,869 20,3477 20,4504 20,450
10 A10 0,1 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,1 0,1012 0,100
Peso (lb) 4668,81 4679,02 4678,84 4678,31 4686,47 4679,15 4677,43 4680,23 4677,05
Média (lb) – 4681,61 4680,08 4680,12 – – – – 4680,33
DP (lb) – 2,51 1,89 1,02 – – – – 0,95
NI 15000 11402 7267 14857 7350 6625 108100 6510 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
38
Figura 6 Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis contínuas. (a) Caso 1,
(b) Caso 2
(a) Caso 1
(b) Caso 2
P e so
P e so
39
Figura 7 Valores de restrição de deslocamentos e tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo
ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 1). (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão
(a) Valores de restrição de deslocamento
(b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D e sl o ca
m e n to
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T e n sã
40
ASAM na treliça de 10 barras com variáveis contínuas (Caso 2). (a) Valores de restrição de
deslocamento, (b) Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D e sl o ca
m e n to
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T e n sã
41
Esta mesma treliça também tem sido otimizada usando variáveis discretas e com o
estado de carregamento do Caso 1. As variáveis discretas são selecionadas do conjunto
A=[1,62 - 1,80 - 1,99 - 2,13 - 2,38 - 2,62 - 2,63 - 2,88 - 2,93 - 3,09 - 3,13 - 3,38 - 3,47 - 3,55
- 3,63 - 3,84 - 3,87 - 3,88 - 4,18 - 4,22 - 4,49 - 4,59 - 4,80 - 4,97 - 5,12 - 5,74 - 7,22 - 7,97 -
11,50 - 13,50 - 13,90 - 14,20 - 15,50 - 16,00 - 16,90 - 18,80 - 19,90 - 22,00 - 22,90 - 26,50 -
30,00 - 33,50] in2.
Os melhores resultados do ASAM são comparados com os obtidos com outros
algoritmos e resumidos na Tabela 4. A partir desta tabela, pode ser visto que o peso ótimo
adquirido pelo ASAM (5490,74 lb) concorda bem com aqueles obtidos pelo TLBO, HHS,
aeDE, mSOS, FA, EF e EFA, enquanto o ASAM resulta em uma solução melhor que o
algoritmo MBA (5507,75 lb).
Considerando o NI, ASAM é mais eficaz que outros métodos (7280 para o mSOS, 7860
para o FA, 7980 para o EM e 7130 para ASAM). Embora a convergência do MBA, TLBO,
HHS, aeDE e EFA seja mais rápida que a do ASAM (3600 iterações para o MBA, 5183 para
TLBO, 3533 para o HHS, 2380 para o aeDE e 2050 para o EFA), o ASAM é mais estável
que estes algoritmos com um menor DP (1,32 lb para ASAM, 11,38 lb para MBA, 20,33 para
TLBO, 10,46 lb para HHS, 20,78 lb para aeDE e 18,37 para EFA).
A Figura 9 mostra a curva de convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM
para este problema. Os valores de deslocamento e tensão obtidos pelo ASAM satisfazem
todas as restrições permitidas, como mostra a Figura 10.
42
Tabela 4 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas
Variáveis
(pol2)
ASAM
MBA TLBO HHS aeDE mSOS FA EF EFA
1 A1 30 33,50 33,50 33,5 33,5 33,5 33,5 33,5 33,5
2 A2 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
3 A 22,9 22,90 22,90 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9
4 A4 16,9 14,20 14,20 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2 14,2
5 A5 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
6 A6 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
7 A7 7,97 22,90 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97 7,97
8 A8 22,9 7,97 22,90 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9 22,9
9 A9 22,9 1,62 22,00 22,0 22,0 22,0 22,0 22,0 22,0
10 A10 1,62 22,00 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62
Peso (lb) 5507,75 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74 5490,74
Média (lb) 5527,30 5503,21 5493,89 5502,62 5490,74 5536,94 5542,72 5528,23 5490,87
DP (lb) 11,38 20,33 10,46 20,78 0,00 34,03 52,38 18,37 1,32
NI 3600 5183 3533 2380 7280 7860 7980 2050 7130
Nota: 1 pol2=6,452 cm2; 1lb=4,45N.
Fonte: Autor
43
Figura 9 Curva de convergência para a treliça plana de 10 barras com variáveis discretas
Fonte: Autor
P e so
44
ASAM na treliça de 10 barras com variáveis discretas. (a) Valores de restrição de deslocamento, (b)
Valores de restrição de tensão
Fonte: Autor
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D e sl o ca
m e n to
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T e n sã
Neste problema, todos os membros da estrutura da treliça, como mostrado na Figura
11, estão divididos em 12 grupos correspondentes a 12 variáveis de projeto, como segue: (1)
A1-A4, (2) A5-A10, (3) A11-A13, (4) A14-A17, (5) A18-A23, (6) A24-A26, (7) A27-A30, (8) A31-
A36, (9) A37-A39, (10) A40-A43, (11) A44-A49 e (12) A50-A52. O módulo de elasticidade e a
densidade do material são 2,07x105 MPa e 7860 kg/m3, respectivamente. A tensão permitida
nas barras é de ± 180 MPa. Esta estrutura é submetida às cargas de Px=100 kN e Py=200 kN
conforme identificado na Figura 11. As variáveis de projeto discretas são selecionadas do
código do ASIC, como mostrado na Tabela 5.
Figura 11 Treliça plana de 52 barras
Fonte: Le et al. (2019)
46
Tabela 5 Lista de áreas transversais disponíveis do código AISC
No, pol2 mm2 No, pol2 mm2 No, pol2 mm2 No, pol2 mm2
1 0,111 71,613 17 1,563 1008,385 33 3,840 2477,414 49 11,500 7419,340
2 0,141 90,968 18 1,620 1045,159 34 3,870 2496,769 50 13,500 8709,660
3 0,196 126,451 19 1,800 1161,288 35 3,880 2503,221 51 13,900 8967,724
4 0,250 161,290 20 1,990 1283,868 36 4,180 2696,769 52 14,200 9161,272
5 0,307 198,064 21 2,130 1374,191 37 4,220 2722,575 53 15,500 9999,980
6 0,391 252,258 22 2,380 1535,481 38 4,490 2896,768 54 16,000 10322,560
7 0,442 285,161 23 2,620 1690,319 39 4,590 2961,284 55 16,900 10903,204
8 0,563 363,225 24 2,630 1696,771 40 4,800 3096,768 56 18,800 12128,008
9 0,602 388,386 25 2,880 1858,061 41 4,970 3206,445 57 19,900 12,838,684
10 0,766 494,193 26 2,930 1890,319 42 5,120 3303,219 58 22,000 14193,520
11 0,785 506,451 27 3,090 1993,544 43 5,740 3703,218 59 22,900 14774,164
12 0,994 641,289 28 3,130 2019,351 44 7,220 4658,055 60 24,500 15806,420
13 1,000 645,160 29 3,380 2180,641 45 7,970 5141,925 61 26,500 17096,740
14 1,228 792,256 30 3,470 2238,705 46 8,530 5503,215 62 28,000 18064,480
15 1,266 816,773 31 3,550 2290,318 47 9,300 5999,988 63 30,000 19354,800
16 1,457 939,998 32 3,630 2341,931 48 10,850 6999,986 64 33,500 21612,860
Fonte: Le et al. (2019)
A comparação dos resultados ótimos para este exemplo é fornecida na Tabela 6. Nesta
tabela, pode-se perceber que o peso estrutural ótimo obtido pelo ASAM (1902,605 kg) é o
mesmo com aqueles de outros métodos, como MBA, WCA, IMBA, HHS, aeDE e EFA. O
melhor peso é 1899,654 kg, que é encontrado pelo mSOS; no entanto, este resultado viola
ligeiramente a restrição de tensão em algumas barras.
Como visto, a velocidade de convergência (NI) do MBA, WCA, aeDE e o EFA é mais
rápida do que a do ASAM (7130 para ASAM, 5450 para o MBA, 7100 para WCA, 4750,
3720 para o aeDE e 2710 para o EFA), mas o ASAM é sempre mais estável que que estes
com um melhor valor do DP (1,71 kg para ASAM, 4,09 kg para MBA, 7.09 kg para WCA,
6,68 kg para aeDE e 3,05 kg para EFA).
Os algoritmos IMBS e HHS têm uma velocidade de convergência mais rápida e maior
estabilidade do que o ASAM, no entanto, deve ser destacada a capacidade do algoritmo para
resolver este problema que apresenta múltiplos ótimos locais. A Figura 12 mostra a curva de
convergência do melhor resultado obtido pelo ASAM para este problema. Os valores de
tensões obtidos pelo ASAM satisfazem todas as restrições permitidas, como mostra a Figura
13.
47
Tabela 6 Resultados de otimização obtidos para a treliça plana de 52 barras
Variáveis
(mm2)
Cheng et al.
1 A1-A4 4658,06 4658,055 4658,055 4658,055 4658,055 4658,06 4658,055 4658,055
2 A5-A10 1161,29 1161,288 1161,288 1161,288 1161,288 1161,29 1161,288 1161,288
3 A11-A13 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193
4 A14-A17 3303,22 3303,219 3303,219 3303,219 3303,219 3303,22 3303,219 3303,219
5 A24-A26 940,00 939,998 939,998 939,998 939,998 940,00 939,998 939,998
6 A24-A26 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 506,451 494,193 494,193
7 A27-A30 2283,71 2238,705 2238,705 2238,705 2238,705 2283,71 2238,705 2238,705
8 A31-A36 1008,39 1008,385 1008,385 1008,385 1008,385 1008,39 1008,385 1008,385
9 A37-A39 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 388,386 494,193 494,193
10 A40-A43 1283,87 1283,868 1283,868 1283,868 1283,868 1283,87 1283,868 1283,868
11 A44-A49 1161,29 1161,288 1161,288 1161,288 1161,288 1161,29 1161,288 1161,288
12 A50-A52 494,193 494,193 494,193 494,193 494,193 506,451 494,193 494,193
Peso (kg) 1902,605 1902,605 1902,605 1902,605 1902,605 1899,654 1902,605 1902,605
Média (kg) 1906,076 1909,856 1903,076 1904,587 1906,735 1901,003 1904,775 1903,48
DP (kg) 4.09 7,09 1,13 1,31 6,68 1,56 3,05 1,71
NI 5450 7100 4750 4523 3720 7950 2710 7130
Fonte: Autor
48
Figura 12 Curva de convergência para a treliça plana de 52 barras
Fonte: Autor
Figura 13 Valores de restrição de tensões determinados no projeto ótimo obtido pelo ASAM na treliça
de 52 barras
P e so
-200
-170
-140
-110
-80
-50
-20
10
40
70
100
130
160
190
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52
T e n sã
Na Figura 14 é apresentada a treliça que consiste em 200 barras. A densidade do
material é de 0,283 lb/pol3 e o módulo de elasticidade é de 30 ksi. As tensões em todos os
membros da treliça não podem exceder ±10 ksi. Esta estrutura está sujeita a três condições
de carga, como segue: (1) 1 kip no eixo X positivo nos nós 1, 6, 15, 20, 29, 43, 48 57, 62 e
71; (2) 10 kips no eixo Y negativo nos nós 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 52, 54, 56,
58, 59, 60, 61, 62, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 73, 74 e 75, e (3) casos 1 e 2 ao mesmo tempo.
Os 200 membros estruturais desta estrutura espacial são categorizados em 29 grupos
descritos na Tabela 7. Valores discretos de áreas transversais foram selecionados a partir do
seguinte conjunto: D = [0,1 - 0,347 - 0,44 - 0,539 - 0,954 - 1,081 - 1,174 - 1,333 - 1,488 -
1,764 - 2,142 - 2,697 - 2,8 - 3,131 - 3,565 - 3,813 - 4,805 - 5,952 - 6,572 - 7,192 - 8,525 - 9,3
- 10,85 - 13,33 - 14,29 - 17,17 - 19,18 - 23,68 - 28,08 - 33,7] (in2).
A Tabela 8 compara os resultados obtidos pelo ASAM e outros métodos de otimização.
Pode-se observar que o resultado obtido pelo ASAM (27540,79 lb) é menor que outros
métodos (27901,58 para DE, 27858,50 para aeDE, 27544,19 para SOS, 27544,19 para mSOS
e 28250,57 para FA). Além disso, o ASAM requer menos NI do que o DE, SOS, mSOS e
FA (9300 para ASAM, 41475 para o DE, 12325 para aeDE, 300000 para SOS, 20700 para
mSOS e 20220 para FA). Observe que o ASAM ainda é mais estável do que o HHS, aeDE,
FA e EFA com o menor desvio padrão (1149,91 lb para HHS, 481,59 lb para aeDE, 1150,25
lb para FA, 749,08 lb para EFA e 462,36 para ASAM). Os algoritmos HHS e EFA
apresentam melhores projetos do que o ASAM (27163,59 lb para HHS e 27421,94 lb para
EFA) mas o ASAM é mais estável que estes algoritmos. Neste problema, o algoritmo DAJA
foi o ot

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