UTILIZAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER …daelt.ct.utfpr.edu.br/engenharia/tcc/monografia_fourier_2007.pdf · 2 jakson bÖttcher argenta heber andrade gonÇalves utilizaÇÃo

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA

CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA - ÊNFASE ELETROTÉCNICA

JAKSON BÖTTCHER ARGENTA

HEBER ANDRADE GONÇALVES

UTILIZAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER PARA A ANÁLISE

E SÍNTESE DE SINAIS DE VARIAÇÕES MOMENTÂNEAS E TEMPORÁRIAS

TIPO AFUNDAMENTO DE TENSÃO

CURITIBA

2007

2






Trabalho de Conclusão de Curso apresentado na

disciplina de Projeto Final II do curso de

Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica.

Orientador: Prof. Dr. Walter D. Cruz Sanchez

CURITIBA

2007

3






Este Projeto Final de Graduação foi julgado e aprovado como requisito parcial para obtenção

do tıtulo de Engenheiro Eletricista pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Curitiba, 13 de Novembro de 2007.

______________________________ Prof. Esp. Paulo Sérgio Walenia

Coordenador de Curso Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica

______________________________ Prof. Dr. Ivan Eidt Colling

Coordenador de Projeto Final de Graduação Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica

______________________________ Prof. Dr. Walter D. Cruz Sanchez

Professor Orientador

______________________________ Prof. M.Sc. Celso Fabrício de Melo Júnior

______________________________ Prof. Dr. Eduardo de Freitas Rocha Loures

______________________________ Prof. Dr. Joaquim Eloir Rocha

4

RESUMO

Com a evolução da eletrônica, aumento no nível de exigência dos consumidores e o

desenvolvimento dos sistemas produtivos surgiu um foco crescente na qualidade da energia

elétrica. Essa tendência é reforçada pelo recente lançamento para consulta pública de um

documento da ANEEL que pretende formalizar para o Brasil os parâmetros de exigência para

a energia gerada e fornecida. Para avaliar, acompanhar e poder tomar ações corretivas é

necessário medir, e para medir é necessário que os equipamentos de medição estejam

habilitados a obter com boa acurácia os sinais que representam as grandezas elétricas. Com

intuito de aprofundar-se no conhecimento das ferramentas de processamento de sinais

largamente utilizadas por equipamentos digitais de medição que possuem base nas

Transformadas de Fourier foram reunidos nesse trabalho uma base teórica resumida e

consistente e a aplicação pratica através de simulações com variações temporárias e

momentâneas de tensão. A evolução das simulações foi conduzida de forma a entender as

ferramentas de processamento através da análise de diversos sinais com diferentes parâmetros

conhecidos e posterior utilização da ferramenta de melhor desempenho para síntese de sinais

com parâmetros desconhecidos. Os resultados são apresentados de forma visual gráfica e

aliados a tabelas com indicadores de desempenho permitem obter importantes conclusões

sobre o comportamento das ferramentas utilizadas.

Palavras Chave: Transformada de Fourier, Processamento de Sinais, Qualidade de Energia,

Afundamento de Tensão, Espectro.

5

LISTA DE SÍMBOLOS

][],[],[],[ knykxnynx − , – Representação de sinais no tempo discreto;

)(),(),(),( ττ −tyxtytx – Representação de sinais no tempo contínuo;

)(txd – Representação de um sinal no tempo contínuo do sinal de tempo discreto;

)()( jwXtx → - Transformada de Fourier de x(t);

)(tp - Trem de impulsos representando taxa de amostragem;

Sw - Freqüência de amostragem;

][nTx - Amostras de um sinal contínuo;

h[n] – Sinal resultante da convolução de um sinal discreto e um sinal janela;

w[n] – Sinal janela;

ω - Freqüência angular;

Rw - Função janela tipo Retangular;

Tw - Função janela tipo Triangular;

Bw - Função janela tipo Bartlett;

Hw - Função janela tipo Hamming e/ou Hanning;

BMw - Função janela tipo Blackman;

n – Número de amostras ou largura de uma janela;

M – Relação de largura de uma janela (n-1);

T – Período;

[ ]nx~ - Seqüência periódica;

[ ]nek - Série de exponenciais complexas;

k – Número inteiro;

[ ]kX~

- Coeficientes da série de Fourier;

)(~ ωjeX - Transformada de Fourier de uma série de Fourier;

[ ]np~ - Trem de impulsos discreto;

[ ]kX - Transformada discreta de Fourier;

)( kj

n eXω - Transforma discreta de Fourier de Curto Tempo;

6

LISTA DE TABELAS, GRÁFICOS E FIGURAS

Gráfico 10.1 – Amplitude x Tamanho da Janela - Teste 1

Gráfico 10.2 – Período x Tamanho da Janela - Teste 1

Gráfico 10.3 – Lobo de Freqüência x Tamanho da Janela - Teste 1

Gráfico 10.4 – Tempo de Processamento x Tamanho da Janela - Teste 1













Tabela 2.1 - Classificação das Variações de Tensão de Curta Duração (AGENCIA

NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA, 2006).

Tabela 8.1 – Lista de sinais obtidos em simulação no LACTEC

Tabela 8.2 – Resumos dos ensaios realizados na UTFPR

Tabela 9.1 – Sinais escolhidos para o processamento

Tabela 10.1 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21

Tabela 10.2 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 1 Janela Hanning

Tabela 10.3 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 1 Janela Retangular

Tabela 10.4 – Desempenho STDFT Janela de Hanning – Teste 1

7

Tabela 10.5 – Desempenho STDFT Janela de Retangular – Teste 1

Tabela 10.6 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 5 Janela Hamming

Tabela 10.7 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 5 Janela Blackman

Tabela 10.8 – Desempenho STDFT Janela de Hamming – Teste 5

Tabela 10.9 – Desempenho STDFT Janela de Blackman – Teste 5









Figura 2.1 – Exemplo de uma forma de onda indicando um afundamento de tensão

(BOLLEN, p.284, 2006).

Figura 3.1– (a) Sinal no Tempo Contínuo (b) Representação de x(t) como um sinal de tempo

discreto x[n] (HAYKIN, 2001, p.35).

Figura 3.2 – (a) Sinal no Tempo Contínuo Amostrado (b) Sinal no tempo contínuo original (c)

Trem de impulsos (HAYKIN, 2001, p 284).

Figura 3.3 – Etapas básicas para processamento digital de um sinal contínuo

(OPPENHEIM, 1999).

Figura 3.4 – (a) Resposta ideal de módulo de uma função janela. (b) Resposta real de módulo

de uma função janela (DINIZ, 2004, p. 211).

Figura 3.5 – Janelas comumente utilizadas (OPPENHEIM, 1999, p. 469).

Figura 4.1 – Seqüência Periódica com período N = 10. (OPPENHEIM, 1999, p. 545)

Figura 4.2 – Módulo e Fase dos coeficientes da serie de Fourier da seqüência

(OPPENHEIM, 1999, p. 545).

Figura 4.3 – Seqüência Periódica [ ]nx~ formada através da repetição da seqüência finita x[n],

periodicamente. (OPPENHEIM, 1999, p. 553)

8

Figura 4.4 – Módulo e Fase de um período da Transformada de Fourier da seqüência da figura

4.1 (OPPENHEIM, 1999, p. 554)

Figura 4.5 – Sobreposição das figuras 4.2 e 4.4 ilustrando os coeficientes da serie discreta de

Fourier de uma seqüência periódica como amostras da transformada de Fourier em um

período (OPPENHEIM, 1999, p. 555).

Figura 5.1 – Passos para processamento na análise de Fourier para o tempo discreto de um

sinal no tempo contínuo (OPPENHEIM, 1999, p. 694).

Figura 5.2 – Ilustra a Transformada de Fourier de um sistema (OPPENHEIM, 1999, p. 695).

Figura 8.1 – Fluxograma para obtenção dos sinais no Lactec

Figura 8.2 – Resposta de simulação visualizada em software específico do oscilógrafo

Figura 8.3 – Simulação do Circuito utilizado no laboratório da UTFPR

Figura 8.4 – Fluxograma para obtenção dos sinais no laboratório da UTFPR

Figura 8.5 – Afundamento de tensão obtido no laboratório da UTFPR

Figura 10.1 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Retangular

Figura 10.2 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hanning

Figura 10.3 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hamming

Figura 10.4 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Blackman

Figura 10.5 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1

Figura 10.6 – Tridimensional – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1

Figura 10.7 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hanning melhor desempenho Teste 1

Figura 10.8 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1

Figura 10.9 – Tridimensional – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1

Figura 10.10 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1

Figura 10.11 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5

Figura 10.12 – Tridimensional – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5

Figura 10.13 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5

Figura 10.14 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5

Figura 10.15 – Tridimensional – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5

9

Figura 10.16 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5




Figura 10.20–Plano Amplitude x Freqüência– Janela Retangular melhor desempenho Teste 21



Figura 10.23– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Hamming melhor desempenho Teste 23



Figura 10.26– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman melhor desempenho Teste 23



Figura 10.29– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0002

Figura 10.30 – Tridimensional – Janela Blackman – TEK0002

Figura 10.31 – Plano Amplitude x Tempo – Janela Blackman – TEK0002

Figura 10.32 – Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0003






10

LISTA DE ABREVIATURAS

DFT – Discrete Fourier Transformer (Transformada Discreta de Fourier)

STDFT – Short Time Discrete Fourier Transformer (Transformada Discreta de Fourier Curto

Tempo)

Hz – Hertz - Unidade de medição de freqüência

p.u. – Sistema por unidade

ANEEL - Agencia Nacional de Energia Elétrica

PRODIST - Procedimentos de Distribuição da Agencia Nacional de Energia Elétrica

11

SUMÁRIO

1. Introdução .......................................................................................................................14

1.1. Problema .....................................................................................................................14

1.2. Justificativa .................................................................................................................15

1.3. Objetivos......................................................................................................................15

1.3.1. Objetivo Geral ..........................................................................................................15

1.3.2. Objetivos Específicos ...............................................................................................16

1.4. Método de Pesquisa ....................................................................................................16

1.5. Estrutura do Trabalho ...............................................................................................17

2. Qualidade de Energia.....................................................................................................17

2.1. O que é Qualidade de Energia Elétrica? ..................................................................18

2.2. Distorções na Qualidade da Energia.........................................................................19

2.2.1. Transitórios...............................................................................................................19

2.2.2. Variações de Tensão de Longa Duração ..................................................................20

2.2.3. Desequilíbrio de Tensão ...........................................................................................21

2.2.4. Distorções na Forma de Onda ..................................................................................21

2.2.5. Flutuações de Tensão................................................................................................21

2.2.6. Variações de Freqüência Elétrica .............................................................................22

2.2.7. Variações de Tensão de Curta Duração....................................................................22

3. Teoria de Processamento de Sinais ...............................................................................25

3.1. Introdução a Sinais.....................................................................................................25

3.2. Teoria da Amostragem...............................................................................................27

3.2.1. Subamostragem e Superamostragem........................................................................29

3.3. Teoria de Janelas ........................................................................................................29

3.4. Teoria da Convolução ................................................................................................32

4. Transformadas de Fourier.............................................................................................33

4.1. A Série Discreta de Fourier .......................................................................................33

4.2. A Transformada de Fourier de Sinais Periódicos ...................................................36

4.3. Representação de Fourier para Seqüências de Duração Finita: A Transformada

Discreta de Fourier .................................................................................................................41

4.4. A Transformada Rápida de Fourier .........................................................................43

5. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier ..............................44

12

5.1. Introdução ...................................................................................................................44

5.2. Passos para Processamento de Sinais Utilizando Transformada Discreta de

Fourier .....................................................................................................................................44

6. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo .47

7. Desenvolvimentos dos Algoritmos das Transformadas Discretas de Fourier ..........49

7.1. Escolha do Programa para o Processamento de Sinais: Matlab............................49

7.2. Concepção e Desenvolvimento dos Algoritmos........................................................49

7.2.1. DFT ou Transformada Discreta de Fourier ..............................................................50

7.2.2. STDFT ou Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo ..............................55

8. Aquisição de Dados Experimentais de Afundamentos de Tensão de Curta Duração

Momentâneos e Temporários ................................................................................................60

8.1. Metodologia Adotada para Aquisição de Dados de Afundamentos de Tensão em

Laboratório .............................................................................................................................60

8.1.1 Coleta de Dados no Laboratório de Alta Tensão do Instituto de Tecnologia para o

Desenvolvimento – LACTEC ..................................................................................................60

8.1.2 Coleta de Dados em Laboratório na Universidade Tecnológica Federal do Paraná –

UTFPR 63

9. Uso dos Algoritmos das Transformadas Discretas de Fourier no Processamento dos

Afundamentos de Tensão de Curta Duração .......................................................................66

9.1. Critérios para Seleção dos Sinais Processados para Análise e Síntese ..................66

9.1.1. Seleção de Sinais para Análise .................................................................................66

9.1.2. Seleção de Sinais para Síntese..................................................................................67

9.2. Parametrização e Critérios Qualitativos para Análise ...........................................67

9.2.1 Parâmetros para Processamento Utilizando a DFT ..................................................68

9.2.2 Parâmetros para Processamento Utilizando a STDFT .............................................69

9.3. Parametrização e Critérios Qualitativos para Síntese ............................................69

10. Resultados Processados e Avaliação dos Espectros.................................................70

10.1 Resultados de Processamento de Análise Utilizando a DFT ..................................70

10.1.1 Processamento de Análise do sinal Teste 21 através da DFT ..................................70

10.2 Resultado de Processamento de Análise Utilizando a STDFT ...............................74

10.2.1 Processamento de Análise do Sinal Teste 1 através da STDFT...............................74

10.2.2 Processamento de Análise do Sinal Teste 5 através da STDFT...............................82

10.2.3 Processamento de Análise do Sinal Teste 21 através da STDFT .............................90

10.2.4 Processamento de Análise do Sinal Teste 23 através da STDFT .............................98

13

10.3 Resultado de Processamento de Síntese Utilizando a STDFT..............................106

10.3.1 Processamento de Síntese do sinal TEK0002 através da STDFT ..........................106



11. Conclusão ..................................................................................................................113

Referências Bibliográficas ...................................................................................................115

ANEXOS ...............................................................................................................................116

1. Introdução

Seguindo a evolução da história da utilização da energia elétrica, percebemos nas

últimas décadas uma crescente preocupação com a qualidade da energia disponibilizada tanto

a consumidores residenciais como industriais. Preocupação justificada pela crescente

utilização de equipamentos sensíveis às variações na condição da energia elétrica, dos quais

depende a maioria dos sistemas produtivos atuais bem como a manutenção do modo de vida

contemporâneo (DUGAN, 1996).

Esta preocupação está refletida, por exemplo, no módulo 8 dos Procedimentos de

Distribuição (PRODIST) de Fevereiro de 2006 da Agencia Nacional de Energia Elétrica,

ANEEL, que dentre outros “define a terminologia, caracteriza os fenômenos e estabelece os

parâmetros e valores de referência relativos à conformidade de tensão em regime permanente

e às perturbações na forma de onda de tensão” (AGÊNCIA NACIONAL DE ENERGIA

ELÉTRICA, 2007, p. 3).

Na busca pela adequação às necessidades e normas estabelecidas faz-se necessário

conhecer os fenômenos e variáveis que influenciam nas características da energia elétrica. Por

exemplo, a leitura de uma forma de onda de uma fonte de tensão senoidal com parâmetros de

amplitude e freqüência por um osciloscópio. Assim, recai sobre equipamentos de medição e

monitoramento uma grande responsabilidade, a de retratar da forma mais real possível todas

as características da grandeza monitorada. Sendo de extrema importância este retrato para o

estudo e síntese de problemas que poderão influenciar a qualidade de energia elétrica.

A interpretação correta dos resultados obtidos por um equipamento que se propõe a

monitorar os sinais elétricos está diretamente ligada com o entendimento da metodologia

utilizada pelo equipamento. Diferentes métodos de cálculo e parametrização resultarão em

diferentes respostas e consequentemente diferentes interpretações. Conhecer os algoritmos

utilizados para o processamento dos sinais, bem como as diferentes respostas obtidas em cada

tipo de parametrização é imprescindível quando se trata de monitorar através de equipamentos

de medição da qualidade da energia elétrica.

1.1. Problema

Os equipamentos de medição de grandezas elétricas têm a atribuição de captar um

sinal elétrico específico e representá-lo, discriminando ao máximo suas características, de

15

forma que seja possível a leitura, entendimento e tomada de decisão para ações preventivas e

corretivas.

As grandezas elétricas representadas na forma de tensão e de corrente são sinais

contínuos ao longo do tempo, contudo esses sinais não podem ser processados com o uso

direto da tecnologia computacional (DINIZ, 2004). Faz-se necessária a transformação do sinal

contínuo em um equivalente discreto ou digital de forma que possibilite análise e

processamento computacional (HAYKIN, 2001). A Transformada Discreta de Fourier (DFT)

e sua variação Transformada Discreta de Fourier Curto Tempo (STDFT) são as ferramentas

mais eficazes para executar esse processamento (COHEN, 1995).

Há necessidade de compreender a DFT no que tange a: elaboração de algoritmos,

número de amostras, velocidade de execução, intervalo de tempo do sinal amostrado (janela)

e aplicação (sinais estacionários ou não estacionários), espera-se que através da simulação

com os algoritmos das transformadas de Fourier seja possível obter os sinais resultantes de

variações de tensão de curta duração e comparar os espectros obtidos em cada transformada.

1.2. Justificativa

A simulação e o entendimento dos métodos utilizados pelos equipamentos de

medição (especificamente analisadores de energia e potência) para detectar as variações de

tensão é importante como base para interpretação e posterior utilização dos dados obtidos

através desses instrumentos. Esse entendimento abre caminho também para outros projetos

técnicos que proponham a utilização desses equipamentos como ferramentas para obtenção de

dados.

1.3. Objetivos

1.3.1. Objetivo Geral

Analisar e sintetizar sinais de variações de tensão não estacionários de curta duração

tipo afundamento de tensão, utilizando a Transformada Discreta de Fourier através de

simulação computacional de dados de variações de tensão obtidos experimentalmente.

16

1.3.2. Objetivos Específicos

- Conhecer fundamento de teoria de qualidade de energia;

- Conhecer fundamentos de teoria de processamento analógico/digital de sinais;

- Conhecer fundamentos da teoria de variações de Tensão de Curta Duração;

- Entender a Transformada Discreta de Fourier e suas aplicações;

- Entender a Transformada de Fourier de Curto Tempo e suas aplicações;

- Conhecer a aplicação toolbox de processamento de sinais do software MATLAB;

- Programação em C++ de algoritmos da transformada de Fourier (rápida e de curto tempo);

- Levantar dados experimentais de diversos tipos de sinais de variação de tensão através de

equipamento simulador e / ou circuito equivalente;

- Processar dados dos sinais obtidos;

- Representar no tempo/freqüência os sinais;

- Comparar amostras de sinais com a Transformada Discreta e a Transformada de Curto

Tempo;

- Levantar espectros dos sinais de tensão;

- Interpretar espectros dos sinais de tensão.

1.4. Método de Pesquisa

A pesquisa a ser realizada para o trabalho proposto será constituída das seguintes

etapas:

- Pesquisa teórica em literatura específica sobre qualidade de energia, processamento de

sinais, Transformadas de Fourier e variações de tensão.

- Desenvolvimento de algoritmos para a simulação das Transformadas de Fourier.

- Contato com a indústria privada para permitir a utilização de uma fonte geradora de

variações de tensão.

- Montagem de um sistema que permita a comunicação e transferência de dados entre

equipamentos de medição e de processamento de dados.

- Coleta de dados em laboratório com equipamento de simulação de variações de tensão.

17

- Comparação ponto a ponto de espectros de sinais obtidos em diferentes algoritmos de

processamento de sinais de tensão amostrados.

1.5. Estrutura do Trabalho

1. Introdução

2. Fundamentação teórica de qualidade de energia

3. Fundamentação teórica de sinais e processamento de sinais

4. Fundamentação teórica de Série e Transformada Discreta de Fourier

5. Procedimentos de geração, medição e transferência de dados experimentais de

variações de tensão

6. Processamento dos dados experimentais

7. Elaboração de algoritmos para simulação das Transformadas de Fourier

8. Resultados das simulações

9. Análises dos espectros dos resultados das simulações

10. Comparação entre os espectros obtidos pelas diferentes Transformadas

2. Qualidade de Energia

Por muito tempo a percepção da maioria dos consumidores de Energia Elétrica foi

de que ao pagar a conta de energia estariam pagando por um serviço prestado pela

concessionária. A qualidade desse serviço seria medida e julgada por esses consumidores em

termos de continuidade do serviço, sendo a interrupção motivo de descontentamento. Essa

percepção está mudando a medida de que outros indicadores de qualidade de energia vêm

adquirindo maior importância e muitos consumidores já entendem Energia Elétrica como um

produto que assim como qualquer outro precisa estar dentro de padrões de qualidade,

confiabilidade e segurança.

Distúrbios tais como variações momentâneas de tensão, interferências

eletromagnéticas e harmônicas, entre outros, têm forte influência no funcionamento e

produtividade das soluções eletrônicas. Seja nas residenciais dos pequenos consumidores ou

em grandes plantas industriais a chamada “era da eletrônica” trouxe profundas mudanças no

perfil das máquinas e dos equipamentos. Sistemas antes predominantemente resistivos ou

18

eletromecânicos robustos perderam espaço para sistemas eletrônicos muito mais sensíveis à

energia de baixa qualidade. Para esses novos sistemas pequenas variações podem muitas

vezes ter conseqüências mais graves do que interrupções. Em paralelo com a mudança no

perfil dos sistemas elétricos temos outras mudanças importantes que contribuem para o

quadro de crescente ênfase na melhoria da qualidade da energia elétrica.

A evolução dos sistemas produtivos com filosofias do tipo “fazer mais com menos”

exige que a capacidade produtiva dos recursos seja maximizada, tornando a indisponibilidade

ou mau funcionamento uma falha grave. A qualidade da energia fornecida pode ser

determinante para a produtividade e consequentemente para a sobrevivência dos negócios no

atual ambiente de forte competitividade do mundo globalizado.

Embalado na competição entre os muitos fornecedores temos a evolução do nível de

exigência dos consumidores que entendem e exercem o direito de escolher pelo que lhes

apresente a melhor relação custo benefício. Com a criação do mercado livre de energia

elétrica em 1995, que vem a cada ano aumentando o número dos chamados consumidores

livres, o direito de escolha ganhou real significado e os fornecedores de energia elétrica antes

absolutos passaram a preocupar-se com a possibilidade de perderem seus clientes para outras

empresas do sistema interligado.

Com o cenário descrito podemos entender que o produto energia elétrica encontrará

pela frente exigências crescentes e que necessitará de esforços de melhoria constante na sua

qualidade.

2.1. O que é Qualidade de Energia Elétrica?

Não existe uma única e absoluta definição para qualidade de energia. Existem

padrões e normas para definir os parâmetros considerados adequados para a energia elétrica

fornecida, mas além desses parâmetros pode-se entender que uma medida da qualidade da

energia é o desempenho e a produtividade das máquinas e equipamentos do usuário final.

Portanto temos um conceito dinâmico e necessariamente em constante revisão. A evolução

tecnológica dos equipamentos precisa ser seguida de perto pela evolução da energia elétrica

que lhes será fornecida.

Em uma análise final, energia elétrica de alta qualidade é aquela que supre

plenamente as necessidades dos consumidores, necessidades essas que devem estar bem

alinhadas com as normas e regulamentações vigentes.

19

No módulo 8 dos Procedimentos de Distribuição - PRODIST de Fevereiro de 2006

(revisado em agosto 2006) da Agência Nacional de Energia Elétrica, ANEEL, pode-se

encontrar uma referência atual para os padrões nacionais de Qualidade de Energia Elétrica e

no item 2.2 desse documento temos a seguinte definição:

“O termo conformidade de tensão elétrica se refere à comparação da tensão medida

no ponto de conexão em relação aos níveis de tensão especificados como adequados,

precários e críticos.”

Conhecer as especificações, medir e alinhar os parâmetros e verificar

constantemente os resultados é o caminho da qualidade.

2.2. Distorções na Qualidade da Energia

As possibilidades de distorções da qualidade da energia elétrica são inúmeras, mas

a seguir serão destacadas as principais distorções que são reconhecidas pela comunidade de

estudiosos em Qualidade de Energia (DUGAN, 1996):

2.2.1. Transitórios

O termo transitório é utilizado em análises de variações de tensão em sistemas para

descrever um evento indesejável, mas de natureza momentânea. Pode-se ter noção de um

transitório amortecido em circuitos RLC. O termo transitório pode criar interpretações erradas

sobre sua natureza por sua definição geral se aproximar à de outros fenômenos como

variações momentâneas de tensão. Pela sua potencial ambigüidade no campo da qualidade de

energia evita-se utilizar o termo transitório a menos que venha com definição mais específica

sobre o fenômeno a que se refere (DUGAN, 1996). Um exemplo de transitório pode ser

observado na figura 2.1.

20

Figura 2.1 – Exemplo de uma forma de onda indicando um afundamento de tensão

(BOLLEN, p.284, 2006).

2.2.2. Variações de Tensão de Longa Duração

Variações de tensão de longa duração abrangem variações na tensão eficaz com

duração de mais de 1 minuto. Essas variações podem ser denominadas sobretensões e

subtensões e não são resultado de faltas no sistema, mas sim de variações de carga através de

operações de chaveamento. Podem-se ter também nessa categoria as interrupções totais.

Sobretensão é um acréscimo superior a 110% na tensão eficaz alternada com

duração maior que 1 minuto. Essas variações são usualmente resultados da retirada de uma

grande carga do sistema ou entrada de um banco de capacitores. Seleção equivocada de tap de

transformador pode resultar também em uma sobretensão no sistema.

Subtensão é um decréscimo inferior a 90% na tensão eficaz alternada com duração

maior que 1 minuto. Os fenômenos que podem ocasioná-la são os opostos da sobretensão.

Entrada de uma grande carga no sistema ou saída de um banco de capacitores. Circuitos

sobrecarregados podem causar subtensão também (DUGAN, 1996).

Interrupções totais são quando a tensão cai à zero por um período maior que 1

minuto.

21

2.2.3. Desequilíbrio de Tensão

Desequilíbrio de tensão é algumas vezes definido como o máximo desvio da média de

tensão ou corrente trifásica dividida pela média de tensão ou corrente trifásica, expresso em

percentual. Pode ser definido também utilizando os componentes simétricos positivo e

negativo da tensão. Nesse caso tem-se a divisão do valor eficaz da componente negativa da

tensão pelo valor eficaz da componente positiva da tensão, também expresso em percentual.

Causas para o desequilíbrio de tensão podem ser a entrada de uma carga monofásica

em um circuito trifásico ou a abertura de um fusível em uma fase de um circuito trifásico

(DUGAN, 1996).

2.2.4. Distorções na Forma de Onda

Distorção na forma de onda é definido como um desvio estacionário com relação ao

sinal ideal caracterizado principalmente pelo espectro do desvio.

São cinco os tipos primários de distorções da onda de tensão:

- dc offset: Presença de uma tensão ou corrente contínua em um sistema de tensão

alternada.

- Harmônicos: Tensões ou correntes senoidais com freqüências múltiplas inteiras da

freqüência de operação do sistema elétrico (50 ou 60 Hz).

- Interharmônicos: Tensões ou correntes com freqüências não múltiplas inteiras da

freqüência de operação do sistema elétrico (50 ou 60 Hz).

- Fendas: Perturbação periódica causada pela operação normal de dispositivos de

eletrônica de potência quando a corrente é comutada de uma fase para outra.

- Ruídos: Sinais elétricos indesejados com freqüências inferiores a 200 kHz

sobrepostos ao sinal principal do sistema elétrico (DUGAN, 1996).

2.2.5. Flutuações de Tensão

Flutuações de tensão são variações aleatórias, repetitivas ou esporádicas da tensão

com magnitudes que normalmente não excedem os limites entre 0,9 e 1,1 p.u.

22

2.2.6. Variações de Freqüência Elétrica

Variações de freqüência elétrica são definidas como um desvio da freqüência

fundamental de operação do sistema elétrico (50 ou 60 Hz). Essas variações estão diretamente

relacionadas com a velocidade de rotação dos geradores do sistema. Variações suaves de

freqüência ocorrem quando há um desequilíbrio entre a carga e a geração no sistema elétrico.

A magnitude e o tempo das variações dependerão das características da carga e do tempo de

resposta dos controles do sistema a variações de carga (DUGAN, 1996).

2.2.7. Variações de Tensão de Curta Duração

O objeto principal de estudo deste projeto são as variações de Tensão de Curta

Duração, portanto a seguir serão descritas com detalhes as definições, características,

metodologias de medição e particularidades desse tipo de distúrbio da qualidade de energia. O

pleno entendimento desse fenômeno é indispensável para o aproveitamento máximo do

conteúdo e conclusões do projeto.

As variações de tensão de curta duração são causadas por faltas, a entrada de uma

grande carga que requer altas correntes de partida, ou perdas de conexão intermitentes nos

cabos de energia. Dependendo da localização da falta e das condições do sistema, a falta pode

causar um afundamento de tensão ou um pico de tensão, ou ainda uma perda total de tensão

(interrupção). A falta pode estar próxima ou não do ponto de interesse, porém nos dois casos

o impacto verificado na tensão durante a condição de falta é uma variação de tensão de curta

duração e se estenderá até a atuação dos dispositivos que isolam ou eliminam a falta

(DUGAN, 1996).

Dada à definição geral seguem abaixo especificações encontradas no PRODIST,

Módulo 8 de 30/08/2006 sobre as variações de tensão de curta duração itens 7.4 até 7.6.

23

Tabela 2.1 - Classificação das Variações de Tensão de Curta Duração (AGENCIA

NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA, 2006).

Item 7.4 Metodologia de Medição.

Item 7.4.1 Além dos parâmetros de duração e amplitude já definidos, a severidade

da variação de tensão de curta duração, medida entre fase e neutro, de determinado

barramento do sistema de distribuição é também caracterizada pela freqüência de ocorrência.

Esta corresponde à quantidade de vezes que cada combinação dos parâmetros duração e

amplitude ocorrem em determinado período de tempo, considerando no mínimo doze meses

consecutivos, ao longo do qual o barramento tenha sido monitorado.

Item 7.4.2 O indicador a ser utilizado para conhecimento do desempenho de um

determinado barramento do sistema de distribuição com relação as variação de tensão de curta

duração corresponde ao número de eventos agrupados por faixas de amplitude e de duração,

discretizados conforme critério estabelecido a partir de levantamento de medições.

24

Item 7.4.3 Num determinado ponto de monitoração, uma variação de tensão de

curta duração é caracterizada a partir da agregação dos parâmetros amplitude e duração de

cada evento fase-neutro. Assim sendo, eventos fase-neutro simultâneos são primeiramente

agregados compondo um mesmo evento no ponto de monitoração (agregação de fases).

Item 7.4.4 Os eventos consecutivos, em um período de três minutos, no mesmo

ponto, são agregados compondo um único evento (agregação temporal).

Item 7.4.5 O afundamento ou a elevação de tensão que representa o intervalo de um

minuto é o de menor ou de maior amplitude da tensão, respectivamente.

Item 7.4.6 A agregação de fases deve ser feita pelo critério de união das fases, ou

seja, a duração do evento é definida como o intervalo de tempo decorrido entre o instante em

que o primeiro dos eventos fase-neutro transpõe determinado limite e o instante em que o

último dos eventos fase-neutro volta a ultrapassar este limite.

Item 7.4.7 As seguintes formas alternativas de agregação de fases podem ser

utilizadas:

a) agregação por parâmetros críticos - a duração do evento é definida como a

máxima duração entre os três eventos fase-neutro e o valor de magnitude que mais se

distanciou da tensão de referência.

b) agregação pela fase crítica - a duração do evento é definida como a duração do

evento fase-neutro de amplitude crítica, ou seja, amplitude mínima para afundamento e

máxima para elevação.

Item 7.4.8 Afundamentos e elevações de tensão devem ser tratados separadamente.

Item 7.4.9 Nos medidores destinados ao levantamento das curvas de carga, que

compõem a medição permanente amostral, deverão ser apurados os valores da severidade da

variação de tensão de curta duração.

Item 7.5 Instrumentação.

25

Item 7.5.1 Os instrumentos de medição devem observar o atendimento aos

protocolos de medição e às normas técnicas vigentes.

Item 7.6 Valores de referência.

Item 7.6.1 Não são atribuídos padrões de desempenho a estes fenômenos.

Item 7.6.2 As distribuidoras devem acompanhar e disponibilizar, em bases anuais, o

desempenho das barras de distribuição monitoradas. Tais informações poderão servir como

referência de desempenho das barras de unidades consumidoras atendidas em Alta Tensão e

Média Tensão com cargas sensíveis a variações de tensão de curta duração.

3. Teoria de Processamento de Sinais

3.1. Introdução a Sinais

A percepção da natureza pode ser entendida com um conjunto de emissões e

captações de sinais. Por exemplo, a sensibilização dos sentidos humanos a uma tempestade,

nos quais sinais sonoros e visuais são captados e processados, caracterizando assim o evento

natural ao homem. Logo, pode-se definir o sinal como sendo uma função de única ou diversas

variáveis que detém informações a respeito da natureza provenientes de um evento físico

(HAYKIN, 2001).

Quando existir o interesse em captar e armazenar os sinais emitidos por um evento

qualquer, se faz necessário projetar um sistema para interagir com este evento. Isto pode ser

feito, por exemplo, através de um sistema composto por componentes como resistores,

capacitores, indutores, diodos, no qual o resultado será representado por sinais elétricos

analógicos. Todavia esta forma de representação inviabiliza sua utilização digital, ou seja, não

é possível realizar um tratamento computacional desde tipo de informação, pois um sistema

computacional é especialmente projetado para lidar com dados seqüenciais envolvendo

números, portanto, sinais discretos ou digitais. Muitos sinais tomados da natureza podem ser

totalmente representados por suas versões amostradas, que constituem sinais cujas amostras

coincidem com os sinais originais no tempo contínuo em determinados instantes de tempo. Se

26

x(t)

t

x[n]

t00

(a) (b)

puder saber quão rápido a informação relevante varia, podemos sempre amostrar a informação

no tempo contínuo e convertê-la em informação no tempo discreto.

Neste ponto é possível fazer uma distinção entre dois tipos de sinais: discretos e

analógicos, os quais se diferenciam pela forma como se comportam no decorrer do tempo.

Sinais analógicos são contínuos durante todo um tempo e sinais digitais são definidos em

instantes isolados de tempo. A figura 3.1 permite a visualização de um mesmo sinal,

representado de forma analógica e digital.

Logo o processamento digital dos sinais contínuos e seu posterior tratamento

computacional ocasionam satisfatórias vantagens, tais como:

Flexibilidade: uma máquina digital pode programar diversas operações de

processamento de sinais, fazendo alterações não físicas no equipamento, ou seja, apenas em

seu programa. Esta característica permite ainda que se possa obter maior quantidade de

resultados e conclusões a respeito do sinal estudado, tendo em vista a facilidade de executar

alterações no programa que ocasionem os resultados esperados. No caso de um sistema

analógico, qualquer alteração acarreta em mudanças físicas, tais como substituição de

componentes eletrônicos.

Repetitividade: um sistema digital é capaz de repetir diversas operações com

resultados iguais, enquanto um sistema analógico sofre típicas variações de parâmetros, que

podem surgir a partir de variações externas como tensão de alimentação e temperatura

ambiente.

Em resumo, confiabilidade, flexibilidade e conseqüente baixo custo são as

principais vantagens dos sistemas digitais em relação aos sistemas analógicos para

processamento de sinais. (HAYKIN, 2001; DINIZ, 2004).

Figura 3.1– (a) Sinal no Tempo Contínuo (b) Representação de x(t) como um sinal de tempo

discreto x[n] (HAYKIN, 2001, p.35).

27

3.2. Teoria da Amostragem

Um sinal x[n] no tempo discreto normalmente deve representar um sinal x(t) do

tempo contínuo. Este sinal é composto por diversas amostras coletadas do sinal contínuo:

][][ nTxnx = [3.1]

Para processar o sinal no tempo contínuo x(t) usando um sistema discreto, é

necessário primeiramente convertê-lo conforme a equação [3.1], processar digitalmente a

entrada no tempo discreto e então converter a saída no tempo discreto de volta ao domínio do

tempo contínuo. Para isso é necessário que se tenha capacidade de restaurar um sinal no

tempo contínuo a partir de suas amostras.

Observa-se agora a representação em tempo contínuo )(txd do sinal de tempo

discreto ][nx :

∑∞

−∞=

−=n

d nTtdnTxtx )(].[)( [3.2]

Neste caso pode-se reescrever a equação 3.2, como um produto de funções no

tempo:

)().()( tptxtxd = [3.3]

Onde )(tp é um trem de impulsos, representando a taxa de amostragem.

∑∞

−∞=

−=n

nTtdtp )()( [3.4]

A figura 3.2 mostra graficamente a representação de um sinal contínuo amostrado

(fig. 3.2a) como o produto do sinal de tempo contínuo original (fig. 3.2b) por um trem de

impulsos (fig. 3.2c).

28

p(t)x(t)

t t00

(b) (c)

xd(t)

t0

(a)

T 2T-T

Figura 3.2 – (a) Sinal no Tempo Contínuo Amostrado (b) Sinal no tempo contínuo original (c)

Trem de impulsos (HAYKIN, 2001, p 284).

A multiplicação no domínio do tempo corresponde à convolução no domínio da

freqüência e da operação de convolução de )( jwX com cada um dos impulsos deslocados

obtêm-se, dado que T

wS

π2= :

∑∞

−∞=

−=K

sd kwwjXT

jwX ))((1

)( [3.5]

Uma análise qualitativa a respeito da teoria da amostragem diz que para que um

sinal contínuo possa ser eficazmente representado por sua representação discreta amostrada, o

intervalo entre as amostras deve ser tão pequeno que seja capaz de captar todas as variações

do sinal original. Assim, pode-se formalmente estabelecer a teoria da amostragem:

“Admitamos que )()( jwXtx → represente um sinal de faixa limitada, de forma

que 0)( =jwX para .|| mww > Se mS ww 2> , em que TwS /2π= é a freqüência de

amostragem, então )(tx é determinado de maneira única por suas amostras

,...2,10),( ±±=nnTx ” (HAYKIN, 2001; DINIZ, 2004).

Uma importante análise qualitativa do teorema da amostragem é o conhecimento do

efeito chamado aliasing, no qual há uma superposição do sinal original quando amostrado.

Neste caso o espectro do sinal amostrado deixa de ter uma correspondência biunívoca com o

do sinal de tempo contínuo original. Isto significa que não é possível usar o espectro do sinal

29

amostrado para analisar o sinal de tempo contínuo, tornando-se impossível reconstruir de

forma única o sinal de tempo contínuo a partir de suas amostras. (HAYKIN, 2001)

3.2.1. Subamostragem e Superamostragem

Se há a necessidade de mudar a taxa efetiva de dados de uma amostragem já

executada, ou seja, um sinal contínuo já foi amostrado tornando-se assim um sinal no tempo

discreto, há a possibilidade de se lançar mão de procedimentos conhecidos como

subamostragem e superamostragem. Nesta linha, os conceitos de decimação e interpolação

também são importantes, no qual a interpolação (ação da superamostragem) é o aumento

efetivo de taxa de amostragem inserindo-se zeros entre as amostras e aplicando-se depois um

filtro passa-baixas, enquanto a decimação (ação da subamostragem) reduz a taxa de

amostragem, executada pela subamostragem de uma versão filtrada com passa-baixas do

sinal. (HAYKIN, 2001)

3.3. Teoria de Janelas

Apresentadas as etapas do processamento de um sinal contínuo tratado digitalmente,

como mostra a figura 3.3, é de suma importância à fase denominada implementação da janela.

Nesta etapa o sinal discretizado, ou seja, o sinal contínuo que foi amostrado passa por um

tratamento o qual busca tornar sua resposta em freqüência o mais real possível, conforme a

figura 3.4.

Conforme a equação [3.6], o sinal discretizado é convoluído com sinal da janela,

criando assim o sinal h[n]:

][].[][ nwnxnh = [3.6]

Analisando a figura 3.4 podemos concluir que uma boa janela é uma seqüência de

comprimento finito cuja resposta em freqüência quando convoluída com uma resposta na

freqüência ideal, produz a menor distorção possível. Essa mínima distorção ocorreria quando

a resposta na freqüência da janela tivesse uma forma próxima à de um impulso concentrado

em torno 0=ω , como representado na figura 3.4a. Neste caso ainda devemos encontrar uma

30

janela de comprimento finito cuja resposta em freqüência tenha a maior parte de sua energia

concentrada em torno de 0=ω . Além disso, a fim de evitar as oscilações na resposta de

módulo do filtro, os lobos laterais da resposta na freqüência da janela devem decair

rapidamente à medida que módulo de ω aumenta.

DFT do sinal Janeladoh[n]

Conversor

análogico - digitalFiltro Digital

X DFT

Sinal Contínuo x(t)

Sinal Filtrado Amostrado

x[n]

Janelamentow[n]

Figura 3.3 – Etapas básicas para processamento digital de um sinal contínuo

(OPPENHEIM, 1999).

Figura 3.4 – (a) Resposta ideal de módulo de uma função janela. (b) Resposta real de módulo de

uma função janela (DINIZ, 2004, p. 211).

O lóbulo principal ou lobo principal de uma janela é definido como a faixa de

freqüência entre o primeiro cruzamento por zero de sua resposta em freqüência nos dois lados

da origem. As regiões de transição individuais que se situam nos dois lados do lobo principal

são chamadas de lobos laterais. A largura do lobo principal e as amplitudes dos lobos laterais

fornecem medidas da extensão pela qual a resposta em freqüência se desvia de uma função

impulso, e consequentemente nos fornecem parâmetros qualitativos de um processamento

adequado de um sinal.

Sinal amostrado janelado

H[n]

31

Geralmente a função janela que origina os efeitos da aplicação da janela na prática

é como mostra a figura 3.4b. O efeito do lobo secundário é introduzir uma ondulação maior

próxima às extremidades da faixa. Logo, uma função janela deve possuir as seguintes

características para uma resposta de módulo:

- A razão da amplitude do lobo principal para a amplitude do lobo secundário tem

que ser tão grande quanto possível;

- A energia tem que decair rapidamente à medida que o módulo de ω aumenta.

Desta forma, diversas janelas foram implementadas visando atender as especificações citadas

anteriormente, dentre as quais se destacam: Retangular, Triangular, Bartlett, Hamming,

Hanning, Blackman, dentre outras. (HAYKIN, 2001; DINIZ, 2004; OPPENHEIM, 1999).

Considerando M como o comprimento de freqüência da janela, temos que:

Janela Retangular

≤≤

=contráriocaso

MnnwR ,0

0,1)( [3.7]

Janela Triangular

≤<−

≤≤

=

contráriocaso

MnM

M

n

MnM

n

nwT

,02

,.2

2

0,.2

)( [3.8]

Janela de Hamming

≤≤−

=

contráriocaso

MnM

n

nwH

,0

0),2

cos(.46,054,0)(

π

[3.9]

32

Janela de Hanning

≤≤−

=

contráriocaso

MnM

n

nwH

,0

0),2

cos(.5,05,0)(

π

[3.10]

Janela de Blackman

≤≤+−

=

contráriocaso

MnM

n

M

n

nwBm

,0

0),4

cos(08,0)2

cos(5,042,0)(

ππ

[3.11]

A figura 3.5 mostra a comparação da utilização das diferentes janelas.

Figura 3.5 – Janelas comumente utilizadas (OPPENHEIM, 1999, p. 469).

3.4. Teoria da Convolução

A resposta ao impulso caracteriza de maneira completa o comportamento de

qualquer sistema linear invariante no tempo. Isto quer dizer que podemos conhecer o

comportamento de um sistema se na sua entrada for aplicado um impulso e analisarmos sua

saída. Se a entrada qualquer em sistema linear for expressa como uma superposição

ponderada de impulsos deslocados no tempo, a saída será uma superposição ponderada da

resposta do sistema a cada impulso deslocado no tempo. Se o sistema também for invariante

no tempo, a resposta do sistema a um impulso deslocado no tempo será uma versão deslocada

33

no tempo da resposta do sistema a um impulso. Por isso, a saída de um sistema invariante no

tempo é dada por uma superposição ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo.

Esta superposição é chamada de soma de convolução para sistemas discretos, e, integral de

convolução para sistemas contínuos, ou, somente convolução. (HAYKIN, 2001)

Considere o produto de ][nx e ][ny . Logo, a convolução será:

∑∞

−∞=−=

kknykxnynx ][].[][*][ [3.12]

Considere o produto de )(tx e )(ty . Logo, a convolução será:

∫∞

−∞=

−=k

tyxtytx δτττ )()()(*)( [3.13]

4. Transformadas de Fourier

4.1. A Série Discreta de Fourier

Para correto entendimento e melhor interpretação da Transformada Discreta de

Fourier é necessário introduzir alguns conceitos da serie discreta que serão a base para o

entendimento da Transformada.

Considere a seqüência [ ]nx~ periódica com período N, de forma que

[ ] [ ]rNnxnx += ~~ para todo valor inteiro de r e n. Essa seqüência pode ser representada por

uma série de Fourier que corresponde à soma de exponenciais complexas harmonicamente

relacionadas, com freqüências que são inteiros múltiplos da freqüência fundamental ( )N/2π

associados com a seqüência periódica [ ]nx~ .

Essas exponenciais complexas têm a seguinte forma:

[ ] ( ) [ ]rNneene k

knNj

k +== π2 [4.1]

34

Em que k são um inteiro, e a representação da Série de Fourier tem a seguinte forma:

[ ] [ ] ( )∑=k

knNjekXN

nx π2~1~ [4.2]

Verifica-se que a série discreta de Fourier para qualquer sinal discreto de período N

requer apenas N exponenciais complexas harmonicamente relacionadas, portanto a

representação de da serie de Fourier de uma seqüência periódica será expressa conforme

segue:

[ ] [ ] ( )∑−

=

=1

0

2~1~N

k

knNjekX

Nnx

π [4.3]

Considerando que há ortogonalidade entre as exponenciais complexas os

coeficientes da série de Fourier [ ]kX~

da seqüência periódica [ ]nx~ serão:

[ ] [ ] ( )∑−

=

−=1

0

2~1~ T

n

knNjenx

NkX

π [4.4]

Nota-se que seqüência [ ]kX~

é periódica com período N.

A vantagem da interpretação dos coeficientes [ ]kX~

da série de Fourier de uma

seqüência periódica é que há, então, uma dualidade entre os domínios do tempo e da

freqüência para a representação de seqüências periódicas através da série de Fourier. As

equações [4.3] e [4.4] são as equações de análise e síntese e são a representação da série

discreta de Fourier.

4.1.1 Exemplo da Serie Discreta de Fourier Aplicada a um Trem Retangular de Pulsos

Para o exemplo, [ ]nx~ é a seqüência mostrada na Figura 4.1, com período N = 10.

35

Figura 4.1 – Seqüência Periódica com período N = 10. (OPPENHEIM, 1999, p. 545)

Utilizando a equação [4.4] temos:

[ ] ( )∑=

−=4

0

102~

n

knjekX

π [4.5]

Essa soma finita pode ser representa conforme segue:

[ ] ( ) ( )( )[ ]10

2~ 104

ksen

ksenekX

kj

π

ππ−= [4.6]

O módulo e a fase da seqüência periódica [ ]kX~

estão representadas na figura

abaixo:

Figura 4.2 – Módulo e Fase dos coeficientes da serie de Fourier da seqüência

(OPPENHEIM, 1999, p. 545).

36

Foi mostrando, portanto que qualquer seqüência periódica pode ser representada

como uma soma de exponenciais complexas. Os principais resultados estão resumidos nas

equações [4.3] e [4.4]. Como será mostrado a seguir essa teoria será a base para a

Transformada Discreta de Fourier, cujo foco são as seqüências finitas (OPPENHEIN, 1999).

4.2. A Transformada de Fourier de Sinais Periódicos

A Transformada de Fourier de um sinal periódico pode ser interpretada como um

trem de impulsos no domínio da freqüência com os valores dos impulsos sendo proporcionais

aos coeficientes da série discreta de Fourier da seqüência. Especificamente para uma função

[ ]nx~ periódica com período N e cujos coeficientes da serie discreta de Fourier são [ ]kX~

,

teremos que a transformada de Fourier de x[n] é definida como sendo o trem de impulsos

abaixo:

∑∞

−∞=

−=

k

j

N

kkX

NeX

πωδ

πω 2][

~2)(

~ [4.7]

Percebe-se que ( )ωjeX~

terá necessariamente o período de π2 já que [ ]kX~

é

periódica com período N e os impulsos são espaçados por múltiplos inteiros de Nπ2 , em

que N é inteiro. Para mostrar que ( )ωjeX~

como definido na equação [4.7] é uma

representação da transformada de Fourier da seqüência periódica [ ]nx~ , substituí-se a equação

[4.7] na equação da transformada de Fourier inversa,

( ) [ ]∫ ∑∫−

−

∞

−∞=

−

−

−=

επ

ε

ωεπ

ε

ωω ωπ

ωδπ

πω

π

2

0

2

0

2~2

2

1~2

1

k

njnjjde

N

kkX

NdeeX [4.8]

Em que ε está dentro dos limites ( )Nπε 20 << . Os limites de integração ε−0 e

επ −2 são convenientes, pois incluem o impulso em 0=ω e em πω 2= . Trocando a ordem

da integral e do somatório temos:

37

( ) [ ]

[ ] ( )∑

∫∑∫−

=

−

−

∞

−∞=

−

−

=

−=

1

0

2

2

0

2

0

~1

2~1~

2

1

N

k

knNj

nj

k

njj

ekXN

deN

kkX

NdeeX

π

επ

ε

ωεπ

ε

ωω ωπ

ωδωπ

[4.9]

O formato final da equação [4.9] somente é possível porque os impulsos

correspondentes a k=0,1,... (N-1) estão dentro do intervalo entre ε−0 e επ −2 .

Comparando a equação [4.9] e a equação [4.3] vê-se que o lado direito das

equações é exatamente igual e consequentemente a transformada inversa do trem de impulsos

da equação [4.7] é o sinal periódico [ ]nx~ . Apesar da representação da serie discreta de Fourier

ser adequada para a maioria dos casos, a transformada de Fourier mostrada na equação [4.7]

em alguns casos conduzirá a expressões mais simples e compactas, bem como possibilitará

análises simplificadas.

4.2.1 Exemplo da Transformada de Fourier de um Trem de Impulsos

Considerando o seguinte trem de impulsos:

[ ] [ ]∑∞

−∞=

−=r

rNnnp δ~ [4.10]

Sendo [ ]kP~

=1, para todo k, a transformada de Fourier de [ ]np~ é:

∑∞

−∞=

−=

k

j

N

k

NeP

πωδ

πω 22)(

~ [4.11]

O resultado do exemplo acima é a base para uma interpretação da utilidade da

relação entre um sinal periódico e um sinal finito. Considerando um sinal finito x[n] de forma

que x[n] = 0 exceto no intervalo 10 −≤≤ Nn , e considerando a convolução de x[n] com o

trem de impulsos periódico ][~ np do exemplo 4.2.1:

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−∗=∗=r

rNndnxnpnxnx ~][~ [4.12]

[ ]∑∞

−∞=

−=r

rNnx

38

A equação [4.12] mostra que [ ]nx~ consiste de uma seqüência de copias repetidas da

seqüência finita x[n]. A figura 4.3 ilustra a forma como uma seqüência periódica [ ]nx~ pode

ser formada a partir de uma seqüência finita x[n] através da equação [4.12].

x[n]

n

x[n]

0

0

Figura 4.3 – Seqüência Periódica [ ]nx~ formada através da repetição da seqüência finita x[n],

periodicamente. (OPPENHEIM, 1999, p. 553)

A transformada de Fourier de x[n] é ( )ωjeX~

, e a transformada de Fourier de [ ]nx~ é:

( ) ( ) ( )

( )

( )( )∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

=

k

kNj

k

j

jjj

N

keX

N

N

k

NeX

ePeXeX

πωδ

π

πωδ

π

π

ω

ωωω

22

22

~~

2

[4.13]

Comparando as equações [4.13] e [4.7] chega-se a seguinte conclusão:

[ ] ( )( ) ( ) ( )kN

jkNj eXeXkX πωωπ

22~

=== [4.14]

Portanto a seqüência periódica [ ]kX~

dos coeficientes da serie discreta de Fourier da

equação [4.4] podem ser interpretados como amostras igualmente espaçadas da transformada

de Fourier da seqüência finita obtida extraindo um período de [ ]nx~ .

39

−≤≤

=contráriocaso

Nnnxnx

,0

10],[~][ [4.15]

É possível verificar, por outro lado, que sendo x[n] = [ ]nx~ para 10 −≤≤ Nn e

x[n]=0 no caso contrário:

( ) [ ] [ ]∑ ∑−

=

−

=

−− ==1

0

1

0

~N

n

N

n

njnjjenxenxeX

ωωω [4.16]

Comparando [4.16] e [4.4] verifica-se novamente que:

[ ] ( ) ( )Nk

jeXkX πωω

2

~== [4.17]

Isso corresponde a retirar uma amostra da transformada de Fourier com N

freqüências igualmente espaçadas entre 0=ω e πω 2= com espaçamento entre freqüências

de Nπ2 .

4.2.2 Exemplo do relacionamento entre os coeficientes da serie de Fourier e a transformada de

Fourier de um período

Considerando novamente a seqüência [ ]nx~ do exemplo 4.1.1, que é mostrado na

figura 4.1. Um período de [ ]nx~ para a seqüência na figura 4.1 é:

≤≤

=contráriocaso

nnx

,0

40,1][ [4.18]

40

Figura 4.4 – Módulo e Fase de um período da Transformada de Fourier da seqüência da figura

4.1 (OPPENHEIM, 1999, p. 554)

A transformada de Fourier de um período de [ ]nx~ é dada por:

( ) ( )( )2

2524

0 ω

ωωωω

sen

seneeeX

j

n

njj −

=

− ==∑ [4.19]

A equação [4.17] também pode ser demonstrada através desse exemplo

substituindo-se 102 kπω = na equação [4.19], resultando:

[ ] ( ) ( )( )10

2~ 104

ksen

ksenekX

kj

π

ππ−= [4.20]

Veja que é idêntico ao resultado da equação [4.6]. O módulo e a fase de ( )ωjeX são

demonstrados no figura [4.4]. Nota-se que a fase é descontínua nas freqüências em que

( )ωjeX =0. Verifica-se que as seqüências mostradas nas figuras 4.2(a) e 4.2(b) correspondem

41

a amostras das seqüências das figuras 4.4(a) e 4.4(b) e foram sobrepostas na figura 4.5

(OPPENHEIM, 1999):

Figura 4.5 – Sobreposição das figuras 4.2 e 4.4 ilustrando os coeficientes da serie discreta de

Fourier de uma seqüência periódica como amostras da transformada de Fourier em um

período (OPPENHEIM, 1999, p. 555).

4.3. Representação de Fourier para Seqüências de Duração Finita: A

Transformada Discreta de Fourier

A Transformada Discreta de Fourier é uma seqüência finita de amostras,

igualmente espaçadas na freqüência da Transformada de Fourier de um sinal contínuo. Em

adição a sua importância como uma representação de Fourier para seqüências, a

Transformada Discreta de Fourier tem papel importante na implementação de diversos

algoritmos para processamento de sinais digitais. Isso porque existem diversos algoritmos

bastante eficientes para computação de Transformadas Discretas de Fourier.

42

Considerando uma seqüência finita x[n] composta de N amostras de forma que

x[n]=0 fora dos limites 10 −≤≤ Nn . Para cada seqüência finita, pode-se associar uma

seqüência periódica conforme abaixo:

∑∞

−∞=

−=r

rNnxnx ][][~ [4.21]

A seqüência finita x[n] pode ser extraída de [ ]nx~ conforme abaixo:

−≤≤

=contráriocaso

Nnnxnx

,0

10],[~][ [4.22]

No item 4.2 foi colocado que os coeficientes da serie discreta de Fourier de [ ]nx~

são amostras (espaçadas na freqüência de Nπ2 ) da transformada de Fourier de x[n]. Desde

que se assuma que x[n] é finita de tamanho N, não há sobreposição entre os termos [ ]rNnx −

para diferentes valores de r.

Como definido no item 4.1, a seqüência de coeficientes [ ]kX~

da série discreta de

Fourier de uma seqüência periódica [ ]nx~ é em si mesma uma seqüência periódica de período

N. Para manter a dualidade entre os domínios do tempo e da freqüência, escolhem-se os

coeficientes de Fourier associados a uma seqüência finita para ser a seqüência finita

correspondente a um período de [ ]kX~

. Essa seqüência finita, [ ]kX , será denominada

transformada discreta de Fourier. Portanto a transformada discreta de Fourier é relacionada

com os coeficientes da serie discreta de Fourier, [ ]kX~

, por:

−≤≤

=contráriocaso

NkkXkX

,0

10],[~

][ [4.23]

Genericamente as equações para análise e síntese são respectivamente descritas

conforme abaixo:

[ ] [ ] ( )∑−

=

=1

0

2N

n

knNjenxkX

π [4.24]

43

[ ] [ ] ( )∑−

=

−=1

0

21 N

k

knNjekX

Nnx

π [4.25]

Ao reformular as equações [4.3] e [4.4] na forma das equações [4.24] e [4.25] para

seqüências finitas não é eliminada a periodicidade. Assim como na serie discreta de Fourier, a

transformada discreta de Fourier [ ]kX é igual a amostras da transformada de Fourier

periódica ( )ωjeX , e se a equação [4.25] for avaliada para valores de n fora do intervalo

10 −≤≤ Nn , os resultados não serão zero, mas ao contrário uma extensão periódica de x[n].

Então a inerente periodicidade continua presente. Algumas vezes isso pode causar

dificuldades e algumas vezes pode ser explorado, mas ignorar o fato sempre trará problemas.

Ao definir a transformada discreta de Fourier reconhece-se que os valores relevantes de x[n]

são apenas os que estão no intervalo 10 −≤≤ Nn pois x[n] é realmente zero fora do

intervalo, e os valores relevantes para [ ]kX são também os que estão dentro do intervalo

10 −≤≤ Nk , pois são os únicos valores necessários da equação [4.25] (OPPENHEIM, 1999).

4.4. A Transformada Rápida de Fourier

Como foi visto anteriormente a Transformada Discreta de Fourier tem um

importante papel na análise, representação e implementação de algoritmos de processamento

de sinais discretos. Tem especial importância o fato de existirem algoritmos bastante

eficientes para processamento computacional da transformada discreta de Fourier, o que

reforça a transformada discreta de Fourier como uma ferramenta importante em aplicações

práticas de sistemas em tempo discreto. O grupo de algoritmos eficientes referido é chamado

Transformada Rápida de Fourier.

Uma forma de medir a complexidade computacional de um sistema é contabilizar o

número de somas e multiplicações aritméticas. Nesses termos a classe de algoritmos da

transformada rápida de Fourier pode ser muitas vezes mais eficiente que outros algoritmos

concorrentes. A eficiência das transformadas rápidas de Fourier é tão alta que em muitos

casos a forma mais eficiente de implementar uma convolução é computar as transformadas

das seqüências a serem convoluídas, multiplicá-las e, então, computar a transformada inversa

da multiplicação das transformadas.

Para um entendimento mais claro toma-se como base uma avaliação direta das

equações das equações [4.24] e [4.25], apresentadas no final do item 4.3 . Sendo x[n] um

44

número complexo, são necessárias N multiplicações entre complexos e (N – 1) adições entre

complexos para computar cada valor da transformada discreta de Fourier quando se utiliza a

equação [4.24], por exemplo, para computação direta. Para computar todos os N valores serão

necessárias N2 multiplicações complexas e N(N – 1) adições complexas. Considerando que

X[k] será computado para N valores diferentes de k e que cada multiplicação complexa

representa 4 multiplicações reais e cada adição complexa representa duas adições reais, a

computação direta da transformada discreta de Fourier requer 4N2 multiplicações reais e

N(4N– 2) adições reais. Fica evidente que para o método direto o número de operações

aritméticas é tanto maior quanto for o número de valores para N.

Os algoritmos das transformadas rápidas de Fourier têm como princípio

fundamental decompor a transformada discreta de Fourier em seqüências N menores. Esse

princípio conduz a uma grande variedade de algoritmos, todos com significativos ganhos

computacionais (OPPENHEIM, 1999).

5. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier

5.1. Introdução

No capítulo 4 foi desenvolvida a Transformada Discreta de Fourier como uma

representação de sinais finitos. Por sua facilidade computacional com algoritmos eficientes a

transformada discreta de Fourier tem importante papel em aplicações em processamento de

sinais tais como análise espectral. Nesse capítulo será introduzida a análise de Fourier de

sinais utilizando a Transformada Discreta de Fourier (OPPENHEIM, 1999).

5.2. Passos para Processamento de Sinais Utilizando Transformada Discreta de

Fourier

Os passos básicos para aplicar a transformada discreta de Fourier em um sinal

contínuo no tempo estão indicados na figura 5.1:

45

Figura 5.1 – Passos para processamento na análise de Fourier para o tempo discreto de um

sinal no tempo contínuo (OPPENHEIM, 1999, p. 694).

Após a captura, tratamento através de filtros e conversão do tempo contínuo para o

discreto do sinal ( )txc tem-se a seqüência de amostras x[n] que é representada no domínio da

freqüência por uma réplica periódica e de freqüência normalizada.

( ) ∑∞

−∞=

+=

r

c

j

T

rj

TjX

TeX

πωω 21 [5.1]

A seguir a figura 5.2 ilustra em (a) a transformada de Fourier de um sinal no

contínuo no tempo, (b) a resposta em freqüência do filtro antialiasing, (c) a transformada de

Fourier da saída do filtro antialiasing, (d) a transformada de Fourier do sinal amostrado, (e) a

transformada de Fourier da janela, (f) transformada de Fourier do sinal através do segmento

da janela e amostras de freqüência obtidas utilizando as amostras da transformada discreta de

Fourier.

46

Figura 5.2 – Ilustra a Transformada de Fourier de um sistema (OPPENHEIM, 1999, p. 695).

Como indicado, a seqüência x[n] é multiplicada por uma janela finita w[n], já que o

sinal de entrada da transformada discreta de Fourier precisa ser finito. Essa multiplicação

produz uma seqüência finita [ ] [ ] [ ]nxnwnv = . O efeito no domínio da freqüência é uma

convolução periódica conforme segue:

( ) ( ) ( )( )∫−

−=

π

π

θωθω θπ

deWeXeVjjj

2

1 [5.2]

47

A operação final mostrada na figura 5.1 é determinar a transformada discreta de

Fourier. A transformada da seqüência multiplicada pela janela [ ] [ ] [ ]nxnwnv = é:

[ ] [ ] ( ) 1...,1,0,1

0

2 −==∑−

=

−NkenvkV

N

n

knNj π , [5.3]

Em que se assume que o tamanho da janela L é menor ou igual ao tamanho N da

transformada discreta de Fourier. [ ]kV , a transformada discreta de Fourier da seqüência finita

[ ]nv , corresponde a amostras igualmente espaçadas da transformada de Fourier de [ ]nv :

[ ] ( ) Nk

jeVkV πωω

2== [5.4]

A figura 5.2 (f) mostra também [ ]kV como as amostras de ( )ωjeV . Sendo o

espaçamento entre as freqüências da transformada discreta de Fourier Nπ2 , e o

relacionamento entra a freqüência variável normalizada no tempo discreto e a freqüência

variável no tempo contínuo é TΩ=ω , as freqüências da transformada discreta de Fourier

correspondem às freqüências no tempo contínuo conforme segue:

NT

kk

π2=Ω [5.5]

Muitos analisadores de espectro em tempo real são baseados nos princípios

expressos nas figuras 5.1 e 5.2 (OPPENHEIM, 1999).

6. Análise de Sinais Utilizando Transformada Discreta de Fourier de

Curto Tempo

Um dos principais interesses na análise de perturbações não estacionárias de tensão

e corrente é mensurar o conteúdo da freqüência do sinal como função do tempo. Como

exemplo pode-se estar interessado nos componentes no domínio da freqüência de um

transitório de chaveamento de um capacitor ou na distorção na tensão durante um

afundamento momentâneo de tensão. Para perturbações no sistema elétrico, descrever de

48

forma acurada amplitude e ângulo de fase passa a ser também uma função do tempo e requer

métodos não triviais, especialmente para o caso de eventos de curta duração.

Uma forma adequada de extrair as informações de eventos de curta duração em

sinais de tensão e corrente é aplicar uma decomposição tempo - freqüência em que se obtêm

os componentes do sinal no tempo. A Transformada Discreta de Fourier Curto Tempo é

utilizada para a decomposição no tempo – freqüência de sinais não estacionários, em que a

utilização da transformada de Fourier somente torna-se inadequada.

Para um sinal x[n] dado, a componente complexa na banda de freqüência k em um

instante de tempo n pode ser obtido através da Transformada Discreta de Curto de Tempo de

Fourier, conforme definição abaixo para k = 0,1,...,N-1:

∑ −−=

m

mjj

nkk emnwmxeX

ωω )()()( [6.1]

Onde Nkk /2πω = , sendo k um índice associado com a freqüência em radianos e N

o número de bandas de freqüência. w(n) é uma janela simétrica selecionada (ex. Janela de

Hamming) de tamanho L, sendo L menor ou igual a N. Uma Transformada Discreta de Curto

de Tempo de Fourier é usualmente implementada através da utilização de uma Transformada

Discreta de Fourier com uma janela deslizante conforme abaixo:

[ ] [ ])1()(...)1()2()0()1()1(...)1()0( −+−+−=− LwnxwLnxwLnxDFTNXXX Nnnn

[6.2]

Onde n denota o tempo, e DFTN denota os N-pontos da Transformada Discreta de

Fourier, normalmente utiliza-se L = NL. O sinal de saída dependente do tempo através do

deslizamento da janela base.

Concluímos que através da Transforma de Fourier de Curto Tempo, são obtidos os

espectros do sinal para diferentes deslocamentos no tempo t, segmentados pela janela w.

Tomando-se o quadrado do módulo da Transforma de Fourier de Curto Tempo, obtém-se uma

representação tempo e freqüência do sinal chamada de espectrograma. O espectrograma

mostra como a energia do sinal está distribuída conjuntamente em tempo e em freqüência. Ou

seja, através do espectrograma, o sinal representado originalmente em uma dimensão passa a

ser representado em duas dimensões: tempo e freqüência.

49

O espectrograma, ou qualquer outra representação tempo e freqüência quadrática é

tipicamente visualizado como uma imagem, onde a intensidade representa a energia e os eixos

x e y é o tempo e a freqüência, respectivamente. (BOLLEN, 2006).

7. Desenvolvimentos dos Algoritmos das Transformadas Discretas de

Fourier

7.1. Escolha do Programa para o Processamento de Sinais: Matlab

A escolha do programa computacional que deverá ser utilizado para a realização do

processamento dos sinais de afundamentos de tensão pelas transformadas discretas de Fourier

é de suma importância. Há uma grande quantidade de programas e linguagens de

programação que exerceriam de forma eficaz o trabalho do processamento, tais como C, C++,

Fortran, porém o programa Matlab foi escolhido como ideal.

O Matlab pratica a chamada linguagem Matlab, que possui uma grande quantidade

de funções técnicas e matemáticas pré-definidas, tornando a programação dos algoritmos mais

rápida e eficaz, no qual a preocupação da programação das funções matemáticas fica por

conta do programa, sendo assim possível focar no problema técnico.

O Matlab é uma linguagem interpretada, no qual o programa escrito não é

convertido em um arquivo executável. Ele é executado utilizando um outro programa, o

interpretador, que lê o código-fonte e o interpreta diretamente durante a sua execução.

Especificamente torna a programação de um algoritmo mais fácil, pois cada linha de comando

que é lançada no programa é avaliada. Neste caso o Matlab também propicia outra facilidade,

pois é possível escrever uma seqüência de linha de comandos numa plataforma de rascunho, e

posteriormente validá-las.

O programa também possui uma grande biblioteca de funções matemáticas de todos

os níveis, desde simples operações aritméticas até todas as ferramentas de cálculo, além de

funções gráficas bastantes úteis para a visualização de gráficos inclusive em três dimensões

(CHAPMAN, 2003).

7.2. Concepção e Desenvolvimento dos Algoritmos

Dois algoritmos foram desenvolvidos com a função de executar o processamento

dos sinais coletados experimentalmente que simulam um afundamento de tensão de curta

50

duração. Estes programas são equivalentes às Transformadas Discretas de Fourier e as

Transformadas Discretas de Fourier de Curto Tempo.

Serão descritos todas as etapas do desenvolvimento destes algoritmos, além de

comentários e observações técnicas e matemáticas cabíveis.

7.2.1. DFT ou Transformada Discreta de Fourier

O Matlab possui uma função pronta que executa a Transformada Discreta de

Fourier de um sinal amostrado, como segue. Considerando x uma representação de um sinal

discretizado no tempo, temos que a transformada discreta de Fourier será:

>> fft(x)

Todavia, buscando agregar maior quantidade de conhecimento possível, neste

trabalho a Transformada Discreta de Fourier foi reescrita a partir de sua definição em

programação Matlab, lançando-se mão apenas dos recursos matemáticos básicos já

disponíveis no programa, além das ferramentas gráficas.

Nesta etapa é bastante importante relembrar a equação [4.24] que define a DFT:

[ ] [ ] ( )∑−

=

=1

0

2N

n

knNjenxkX

π 1,...,2,1,0 −= Nk

Os índices superiores e inferiores no somatório refletem o fato que x[n]= 0 fora do

intervalo 10 −≤≤ Nn . Ainda, a seqüência foi igualmente espaçada Nk /2πω = , para

1,...,2,1,0 −= Nk .

De forma generalizada, a equação [4.24] pode ser reescrita da seguinte forma:

∑−

=

=1

0

][][N

n

kn

NWnxnX [7.1]

Onde:

Nj

N eW/2π−= [7.2]

51

Assim é possível visualizar que a DFT compreende N multiplicações complexas e

(N-1) adições complexas. Portanto os N valores do DFT possui um total de N2 multiplicações

complexas e N(N-1) adições complexas.

Logo, a DFT pode ser considerada como uma transformação linear de seqüências

X[k] (ELLIOTT; RAO, 1982).

Seja um vetor ][nx que represente os N pontos de uma seqüência de amostras e NW

da equação [7.2] a DTF poderá ser expressa da seguinte forma matricial:

][][ nnXDFT N xW== [7.3]

Matricialmente:

=

−−−−

−

−

)1)(1()1(21

)1(242

12

1

1

1

1 1 1 1

NN

N

N

N

N

N

N

NNN

N

NNN

N

WWW

WWW

WWW

L

MLMMM

L

L

L

W [7.4]

( )( )

( )

−

=

1

1

0

][

Nx

x

x

nM

x [7.5]

Esta operação com matrizes é equivalente à expansão do somatório da equação

[7.1], de k em k até N-1.

Esta forma matricial de visualização da DFT é um importante passo o

desenvolvimento dos algoritmos, pois é facilmente programável no programa Matlab.

A seguir serão descritos as etapas para a construção do programa da DFT no

Matlab. Ao final do passo-a-passo o programa será apresentado integralmente. As linhas de

programa do Matlab serão identificadas sempre precedidas pelo símbolo “>>”. Esta é a

notação utilizada pelo Matlab em seu editor interno de programas.

>>DFT.M

Funções pré-definidas no Matlab que limpam os conteúdos das variáveis no início

de cada processamento do programa:

52

>> clear all;

>> close all;

Comando pré-definido que executará a leitura do sinal a ser processado de um

arquivo tipo .csv. Os dados coletados serão apontados para uma variável matricial xn:

>> xn = csvread('Nome do Arquivo.csv');

Variável que armazenará qual será a primeira amostra do sinal coletado que será

processada. (n=1500, por exemplo):

>> P=1500;

Variável que armazenará qual será a última amostra do sinal coletado que será

processada (n=2000, por exemplo):

>> F=2000;

Variável que armazenará o tamanho do sinal a ser processado:

>> N=F-P+1;

Este comando pré-definido irá montar matriz dos coeficientes de potência do Wn

descritos na equação [7.4]:

>> [CC,CL] = meshgrid(0:N-1,0:N-1);

>> COEF=CC.*CL;

Montagem de Wn da equação [7.2]:

>> W=exp(-j*(2*pi)/N);

53

Variável que será a composição matricial de Wn elevado as potências COEF. Assim

fica completamente montada a equação matricial [7.4]:

>> WMAT=W.^COEF;

Formação da janela Retangular, conforme equação [3.7]:

>> WRECT=1;

Formação da janela de Hamming conforme equação [3.9]:

>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/N).*(1:N)));

Formação da janela de Hanning conforme equação [3.10]:

>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/N).*(1:N)));

Formação da janela de Blackman conforme equação [3.11]:

>> WBLAC=transp(0.42-

0.5*cos((2*pi/N).*(1:N))+0.08*cos((4*pi/N).*(1:N)));

Variáveis matriciais que indicam a operação ponto a ponto do sinal xn multiplicado

pela janela escolhida:

>> W1=xn(P:F).*WRECT;

>> W2=xn(P:F).*WHANN;

>> W3=xn(P:F).*WHAMM;

>> W4=xn(P:F).*W1;

54

Variável matricial que efetiva a multiplicação matricial das equações [7.4] e [7.5],

concluindo por fim a equação [7.3], que é a DFT do sinal xn janelado (janela de Hanning, por

exemplo):

>> DFT=WMAT*(WHANN);

Variável matricial que armazenará as amplitudes da DFT calculada. Para isso se usa

um comando pré-definido do Matlab:

>> DFTAMPLITUDE=20*log(abs(DFT));

Definição da freqüência:

>> f=((2*pi)/N).*(1:N);

Formação do gráfico amplitude x freqüência:

>> plot(f,DFTAMPLITUDE)

A seguir é possível visualizar o programa gerado no Matlab que implementa DFT

para sinais amostrados, resultando um espectro de freqüências.

>>DFT.M

>> clear all;

>> close all;


>> P=1500;

>> F=2000;

>> N=F-P+1;

>> [CC,CL] = meshgrid(0:N-1,0:N-1);

>> COEF=CC.*CL;

>> W=exp(-j*(2*pi)/N);

>> WMAT=W.^COEF;

55

>> WRECT=1;

>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/N).*(1:N)));

>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/N).*(1:N)));

>> WBLAC=transp(0.42-0.5*cos((2*pi/N).*(1:N))+0.08*cos((4*pi/N).*(1:N)));

>> W1=xn(P:F).*WRECT;

>> W2=xn(P:F).*WHANN;

>> W3=xn(P:F).*WHAMM;

>> W4=xn(P:F).*W1;

>> DFT=WMAT*(WHANN);

>> DFTAMPLITUDE=20*log(abs(DFT));

>> f=((2*pi)/N).*(1:N);

>> plot(f,DFTAMPLITUDE)

7.2.2. STDFT ou Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo

Neste caso o Matlab não possui uma função já acabada que executa a Transformada

Discreta de Fourier de Curto Tempo de um sinal amostrado e houve necessidade da

programação completa do algoritmo que executará o processamento do sinal.

Mais uma vez é bastante importante relembrar a equação [6.1] e [6.2] que define a

STDFT:

∑ −−=

m

mjj

nkk emnwmxeX

ωω )()()(

Onde Nkk /2πω = , sendo k um índice associado com a freqüência em radianos e N

o número de bandas de freqüência. w(n) é uma janela simétrica selecionada (ex. Janela de

Hamming) de tamanho L, sendo L menor ou igual a N. Uma Transformada Discreta de Curto

de Tempo de Fourier é usualmente implementada através da utilização de uma Transformada

Discreta de Fourier com uma janela deslizante conforme abaixo:

[ ] [ ])1()(...)1()2()0()1()1(...)1()0( −+−+−=− LwnxwLnxwLnxDFTNXXX Nnnn

O resultado deste processamento é a contabilização de magnitudes dentro de uma

faixa de freqüência, porém analisada a cada instante de tempo. O resultante é um gráfico cujos

eixos são a freqüência do sinal, a amplitude contida e o tempo.

56

A seguir serão descritas as etapas para a construção do programa da STDFT no

Matlab, porém as etapas coincidentes já discutidas na seção [7.2.1] quando da criação do

algoritmo da DFT não serão relembrados.

>> STDFT.M;

>> clear all;

>> close all;

Variável que armazenará o tamanho da janela deslizante (em número de amostras):

>> L=16;

>> [CC,CL] = meshgrid(0:L-1,0:L-1);

>> COEF=CC.*CL;


Variável que armazenará o tamanho da amostra, ou seja, a quantidade de amostras

contida no sinal:

>> N=length(xn);

>> W=exp(-j*(2*pi)/L);

>> WMAT=W.^COEF;

Variáveis que armazenarão qual deverá ser o passo para o deslizamento da janela

escolhida. Para OVERLAP=0.5, por exemplo, após o primeiro processamento dos dados

contidos numa janela, a próxima janela irá processar novamente os 50% últimos dados já

processados anteriormente, juntamente agora com mais os 50% próximos dados.

>> OVERLAP=1;

>> R=L*OVERLAP;

57

Variáveis argumento para implementação de um loop for:

>> a=1;

>> b=1;

>> r=1;

>> l=L;

Criação do laço loop for que será o responsável pelo deslizamento da janela de

tamanho L, que desliza com passo R sobre um sinal de N amostras:

>> for l=L:R:N

>> WRECT=1;

>> W1=xn(r:l).*WRECT;

Esta variável matricial irá armazenar todas as Transformadas de Fourier calculadas

em cada janela. Para cada iteração, ou seja, para cada janela, as variáveis a e b serão

incrementadas, modificando a célula onde será armazenada a FTD do sinal janelado naquele

processamento. O índice 1 indica que a janela a ser utilizada é uma janela retangular, e assim

por diante, conforme o descrito na seção [7.2.1]:

>> CELSTDFT1a,b=WMAT*(W1);

>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/L).*(1:L)));

>> W2=xn(r:l).*WHANN;


>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/L).*(1:L)));

>> W3=xn(r:l).*WHAMM;


>> WBLAC=transp(0.42-

0.5*cos((2*pi/L).*(1:L))+0.08*cos((4*pi/L).*(1:L)));

58

>> W4=xn(r:l).*WBLAC;


Variáveis de incremento do laço for:

>> r=r+R;

>> b=b+1;

Fim do laço for:

>> end

Neste etapa há uma conversão de tipo de matriz, tornando a matriz STDFT uma

matriz unidimensional, visto que este é um requisito para o funcionamento adequado da

função utilizada para gerar o gráfico amplitudes x freqüência x tempo:

>> STDFT1=cell2mat(CELSTDFT1);




Formação do gráfico amplitude x freqüência x tempo (amostras):

>> mesh(20*log(abs(STDFT1)))

A seguir é possível visualizar o programa gerado no Matlab que implementa

STDFT para sinais amostrados, resultando um gráfico amplitude da STDFT x freqüência x

tempo (número de amostras):

>> STDFT.M;

>> clear all;

>> close all;

>> L=16;

59

>> [CC,CL] = meshgrid(0:L-1,0:L-1);

>> COEF=CC.*CL;


>> N=length(xn);

>> W=exp(-j*(2*pi)/L);

>> WMAT=W.^COEF;

>> OVERLAP=1;

>> R=L*OVERLAP;

>> a=1;

>> b=1;

>> r=1;

>> l=L;

>> for l=L:R:N

>> WRECT=1;

>> W1=xn(r:l).*WRECT;


>> WHANN=transp(0.5-0.5*cos((2*pi/L).*(1:L)));

>> W2=xn(r:l).*WHANN;


>> WHAMM=transp(0.54-0.46*cos((2*pi/L).*(1:L)));

>> W3=xn(r:l).*WHAMM;


>> WBLAC=transp(0.42-0.5*cos((2*pi/L).*(1:L))+0.08*cos((4*pi/L).*(1:L)));

>> W4=xn(r:l).*WBLAC;


>> r=r+R;

>> b=b+1;

>> end





>> mesh(20*log(abs(STDFT1)))

60

8. Aquisição de Dados Experimentais de Afundamentos de Tensão de

Curta Duração Momentâneos e Temporários

8.1. Metodologia Adotada para Aquisição de Dados de Afundamentos de Tensão

em Laboratório

Para a coleta dos dados experimentais que são base para as simulações procurou-se

obter a maior variedade possível de amostras de sinais de tensão que se enquadrassem nos

requisitos de afundamento momentâneo ou temporário. Procurou-se também obter dados de

fenômenos que fossem efetivamente gerados em um circuito elétrico real com algumas

características e parâmetros não controlados.

Para coletar dados que atendam aos requisitos descritos é importante que a fonte

geradora de sinais possibilite diversas parametrizações de forma a obter amostras com

diferentes características.

De forma a obter resultados que correspondessem aos requisitos citados foram

realizados experimentos em dois laboratórios diferentes com fontes geradoras de

características diferentes e metodologias distintas para aquisição de dados.

Como resultados finais foram obtidos 42 sinais amostrados com as seguintes

variações de características:

- Amplitudes de afundamento entre 0,1 e 0,9 p.u.;

- Variação dos tempos dos eventos entre 3 ciclos e 2 segundos;

- Afundamentos simétricos e assimétricos;

- Variação da taxa amostral entre 1 kHz e 20kHz;

- Variações instantâneas e suavizadas de tensão;

- Início das variações nos pontos zero, pico e 1/8 da onda senoidal.

8.1.1 Coleta de Dados no Laboratório de Alta Tensão do Instituto de Tecnologia para o

Desenvolvimento – LACTEC

61

Para obtenção de dados com variedade de parametrizações e características foi

utilizada uma fonte geradora de sinais de tensão do laboratório de alta tensão do LACTEC.

A fonte utilizada foi a fonte trifásica 4500L Harmonic Generator da California

Instruments com potencia de 5000 VA. Essa fonte possibilitou adquirir dados simulados

controlando os parâmetros amplitude, tempo, momento inicial, freqüência e taxa amostral do

sinal coletado. Para a medição do sinal de tensão simulado foi utilizado o Registrador

Oscilógrafo DL716 da Yokogawa que permite dentre outras funções, gravar e salvar em

arquivo dados de fenômenos de curta duração.

Para essa coleta de dados o principal objetivo foi de obter amostras com

características bastante variadas e com especificações conhecidas que estejam também dentro

da especificação de afundamento momentâneo e temporário, de forma a possibilitar posterior

analise de comportamento da resposta das ferramentas de processamento de sinais.

O processo para obtenção das amostras está descrito no fluxograma abaixo:

Figura 8.1 – Fluxograma para obtenção dos sinais no Lactec

A tabela abaixo apresenta um resumo das características dos sinais que foram

obtidos nas simulações:

Parametrização da fonte via interface

com PC

Geração do Sinal pela fonte 4500L

Aquisição do sinal no oscilógrafo

Yokogawa DL716

Geração de arquivo .csv com dados do sinal discretizado

62

Tabela 8.1 – Lista de sinais obtidos em simulação no LACTEC

Para obter os dados a fonte foi parametrizada com as variações de amplitude de

tensão a cada ciclo ao longo do tempo. Os dados obtidos foram salvos em arquivo com

extensão csv, que possibilita facilmente importar para computação dos algoritmos no Matlab.

Na figura abaixo se pode visualizar a resposta das simulações apresentada em software

específico do oscilógrafo:

63

Figura 8.2 – Resposta de simulação visualizada em software específico do oscilógrafo

8.1.2 Coleta de Dados em Laboratório na Universidade Tecnológica Federal do Paraná –

UTFPR

Para obtenção de dados com características reais de um circuito elétrico foi

montado circuito simulador em laboratório da UTFPR. Nessa fase da coleta de dados não será

possível parametrizar o fenômeno com todas as variáveis como na fonte geradora 4500L do

LACTEC. Os sinais gerados terão parâmetros aleatórios, porém com características de tempo

e amplitude que os mantenha dentro da gama de variações definidas como momentâneas e

temporárias. Com essa coleta de dados é possível realizar a síntese dos sinais utilizando as

ferramentas de processamento desenvolvidas. Para geração dos dados nessa fase foi montado

o circuito elétrico abaixo:

64

Figura 8.3 – Simulação do Circuito utilizado no laboratório da UTFPR

O circuito da figura [8.3] foi utilizado para realizar a simulação de variações

momentâneas e temporárias de tensão. Trata-se de um circuito puramente resistivo com

medição da tensão de saída entre os pontos A e C. Quando é feito chaveamento entre os

pontos B e C a variação de carga produz uma variação na tensão medida na saída.

Os parâmetros que foram determinados para obter sinais com características

diferenciadas foram:

- Alteração do valor da resistência variável R para obter diversas amplitudes de

afundamentos de tensão;

- Alteração da velocidade de chaveamento para obter diferentes períodos de

afundamento de tensão. Através do chaveamento foram simuladas quedas instantâneas nos

níveis de tensão;

- Alteração progressiva da resistência variável para obter variações suaves de

tensão.

65

Portanto foi possível simular variações de tensão momentâneas e temporárias com

diversos níveis de amplitude e com alteração instantânea e suavizada.

O processo para obtenção das amostras está descrito no fluxograma abaixo:

Figura 8.4 – Fluxograma para obtenção dos sinais no laboratório da UTFPR

Os sinais obtidos no osciloscópio foram salvos em arquivo de extensão csv para

posterior importação para processamento nos algoritmos do Matlab. Abaixo exemplo de

resposta obtida no display do osciloscópio:

Figura 8.5 – Afundamento de tensão obtido no laboratório da UTFPR

Montagem do Circuito Elétrico

Geração do Sinal através de

chaveamento

Aquisição do sinal no osciloscópio

Tektronix TDS1001B

Geração de arquivo csv com dados do sinal discretizado

66

Um resumo de todos os sinais obtidos encontra-se na Tabela [8.2]:

Tabela 8.2 – Resumos dos ensaios realizados na UTFPR

9. Uso dos Algoritmos das Transformadas Discretas de Fourier no

Processamento dos Afundamentos de Tensão de Curta Duração

9.1. Critérios para Seleção dos Sinais Processados para Análise e Síntese

A coleta dos dados foi realizada conforme descrito na seção [8] de forma a obter

dois grupos distintos de sinais: Os sinais com variações de curto tempo com características

conhecidas e determinadas e os sinais com características não conhecidas.

O grupo de características conhecidas será utilizado para realizar a análise, que

implica aplicar sinal de entrada conhecido, portanto saída esperada também conhecida, e

avaliar as funções de transferência do sistema.

O grupo com características desconhecidas será utilizado para realizar a síntese, que

implica utilizar funções de transferência conhecidas para identificar as características do sinal

de saída e conseqüentemente do sinal de entrada.

9.1.1. Seleção de Sinais para Análise

Os critérios para a escolha dos sinais a serem processados seguiram a definição e

classificação dos Afundamentos de Tensão conforme o contido na Tabela [2.1], como segue:

67

- Tempo do Afundamento – Variação Momentânea (superior ou igual a um ciclo e

inferior ou inferior ou igual a três segundos) ou Variação Temporária (superior a três

segundos ou inferior ou igual a um minuto);

- Profundidade do Afundamento – Foram selecionados sinais que possuem os

valores limítrofes entre 0,1 p.u. e 0,9 p.u.

A partir destes critérios, de forma a obter uma amostra representativa dos

fenômenos possíveis, os seguintes sinais foram selecionados:

Tabela 9.1 – Sinais escolhidos para o processamento

Utilizando a Transformada de Discreta de Fourier, que possuí pequeno número de

variações para os parâmetros de entrada, foi realizado o processamento somente do sinal

Teste 21. No processamento utilizando a Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo

forma utilizados todos os sinais listados na Tabela [9.1].

9.1.2. Seleção de Sinais para Síntese

No caso dos sinais para síntese, por não serem conhecidas as amplitudes absolutas

dos afundamentos foram selecionados sinais com características visuais diferentes que

representassem uma amostra representativa dos sinais obtidos em laboratório. Dessa forma

foram selecionados os sinais TEK0002, TEK0003 e TEK0004 descritos na Tabela [8.2].

9.2. Parametrização e Critérios Qualitativos para Análise

O conceito de análise em uma abordagem de sinais e sistemas implica em utilizar

um sinal de entrada conhecido, portanto com uma saída idêntica e também conhecida, para

68

verificar o resultado obtido com as possíveis funções de transferência, no caso, as

Transformadas de Fourier Discreta e Discreta de Curto Tempo.

9.2.1 Parâmetros para Processamento Utilizando a DFT

No processamento para fins de análise através da Transformada Discreta de Fourier

foi utilizado o seguinte conjunto de parâmetros:

- Tamanho da janela: Trata-se da quantidade de amostras que são processadas em

cada janela. Foram utilizados os valores 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048;

- Tipo da janela: Os tipos de janela são as diversas funções que são convoluídas

com os sinais infinitos de forma de torná-los finitos e permitir o processamento. Foram

utilizadas no processamento as janelas de Hanning, Hamming, Retangular e Blackman;

- Localização da janela: Posição em que está alocada a janela dentro do sinal.

Define o grupo de amostras que será processado.

Os parâmetros de saída foram:

- Amplitude: Medida amplitude do afundamento em p.u. no espectro resultante;

- Lobo da Freqüência Principal: Medida a largura do lobo da freqüência principal

em número de amostras;

- Tempo de Processamento: Registrado o tempo total de cada processamento. Foi

utilizado o mesmo microcomputador com condições similares de capacidade em todos os

processamentos de forma a obter melhor confiabilidade dos resultados registrados.

Utilizando os parâmetros de saída foram elaborados indicadores que medem o nível

de erro (aderência) entre o sinal de saída e o sinal de entrada conforme descrito abaixo:

- Percentual de desvio entre amplitude real e a processada;

- Percentual de representatividade da largura do lobo principal em relação à largura

total do espectro de freqüência;

- Tempo total de processamento do sinal de saída.

69

9.2.2 Parâmetros para Processamento Utilizando a STDFT

Para o processamento dos sinais utilizando a Transformada Discreta de Fourier de

Curto Tempo a parametrização é similar à descrita para Transformada Discreta, mas com

acréscimo de parâmetros e indicadores relacionados ao domínio do tempo. Os parâmetros

similares aos da DFT serão apenas citados.

- Tamanho da janela;

- Tipo da janela;

- Overlap: Refere-se ao passo da janela deslizante e foram utilizados os valores de

0,125 (Passo de 12,5% com relação ao tamanho da janela), 0,5 (Passo de 50% com relação ao

tamanho da janela) e 1,0 (Passo de 100% com relação ao tamanho da janela).

Os parâmetros de saída do processamento foram:

- Amplitude;

- Lobo da Freqüência Principal;

- Tempo de Processamento;

- Período: Medido o tempo em número de amostras do afundamento.

Os indicadores de aderência da saída ao sinal de entrada foram:

- Percentual de desvio entre amplitude real e a processada;

- Percentual de desvio entre o tempo real do afundamento e o tempo processado;

- Percentual de representatividade da largura do lobo principal em relação a largura

total do espectro de freqüência;

- Tempo total de processamento do sinal de saída.

9.3. Parametrização e Critérios Qualitativos para Síntese

Para realizar a síntese dos sinais com parâmetros desconhecidos que foram obtidos

nos ensaios realizados em laboratório da UTFPR foi utilizada como função de transferência a

70

Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo que apresentou melhor desempenho em

todos os processamentos de análise. Os parâmetros são os seguintes:

- Janela Tipo Blackman;

- Largura da Janela 256 amostras;

- Overlap de 0,500;

- 167 amostras/ciclo.

10. Resultados Processados e Avaliação dos Espectros

Foram realizados 64 processamentos de análise utilizando a Transformada Discreta

de Fourier e 192 processamentos de análise utilizando a Transformada Discreta de Fourier de

Curto Tempo, totalizando 1 hora e 30 minutos de processamento para a DFT e 9 horas e 40

minutos para a STDFT. A seguir estarão descritos os resultados obtidos a cada etapa de

processamento para cada parâmetro e um indicador final consolidado de desempenho.

10.1 Resultados de Processamento de Análise Utilizando a DFT

Foi processada a amostra do sinal Teste 21, obtido no LACTEC utilizando quatro

janelas diferentes para análise do espectro obtido. Todo o processamento foi realizado no

mesmo microcomputador de forma a manter capacidade similar de processamento.

10.1.1 Processamento de Análise do sinal Teste 21 através da DFT

As características do sinal denominado Teste 21 são:

- Onda de tensão senoidal com freqüência de 60Hz;

- Número de amostras por ciclo é 18;

- Apresenta Afundamento Simétrico de 0,9 p.u.;

- O período total do afundamento é de 4.536 amostras.

71

A tabela abaixo contém o resumo dos resultados obtidos nos processamentos:

Tabela 10.1 – Tabela de Desempenho de Processamento para Teste 21

Analisando os dados obtidos verifica-se que a ausência da componente do tempo na

DFT impossibilita a correta avaliação e comparação dos resultados.

- A amplitude será uma média dos ciclos contidos na janela fixa, não apresentando

representação da variação temporal;

72

- A presença de alteração de amplitude ocasionada pelo afundamento somente será

verificada em alguns casos em que a janela esteja posicionada de forma a captar ciclos do

sinal nominal e ciclos do sinal com variação simultaneamente;

- A avaliação dos lobos de freqüência também fica limitada ao processamento da

janela fixa, portanto fornecendo informações sem variação temporal.

- O tempo de processamento da DFT crescerá exponencialmente com o aumento

da largura da janela N.

Por não atender ao requisito necessário de avaliação ao longo do tempo não cabe

avaliação comparativa dos resultados obtidos.

As figuras abaixo ilustram o espectro de freqüência obtido no processamento com a

DFT para janelas de largura 256 amostras:

Figura 10.1 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Retangular

73

Figura 10.2 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hanning

Figura 10.3 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Hamming

74

Figura 10.4 – Espectro de Freqüência da DFT – Janela Blackman

10.2 Resultado de Processamento de Análise Utilizando a STDFT

Foram processadas quatro amostras de sinais discretizados com parâmetros

conhecidos para obter os resultados que serão apresentados a seguir. Todo o processamento

foi realizado no mesmo microcomputador de forma a manter capacidade similar de

processamento.

10.2.1 Processamento de Análise do Sinal Teste 1 através da STDFT


- Onda de Tensão senoidal com freqüência de 60Hz;



75


Este sinal foi processado utilizando as Janelas Retangular e Hanning e nas Tabelas

[10.2] e [10.3] estão resumidos os resultados que foram obtidos para esses processamentos.



76

Avaliando os dados obtidos com o processamento é possível verificar o

comportamento da Transformada Discreta de Fourier de Curto Tempo para as duas janelas

nessa simulação.

10.2.1.1 Aderência da Amplitude Simulada

- Quanto maior a janela menor o desvio percentual da amplitude processada;

- Não há diferença significativa de aderência para os diferentes overlaps;

- A janela retangular apresenta comportamento similar ao da janela de Hanning, mas com

desvio percentual menor para janelas menores.

Análise de Desempenho de Processamento

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Am

pli

tud

e

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret


10.2.1.2 Aderência do Período de Afundamento Simulado

- Para janelas pequenas o ruído gerado na borda das janelas é significativo com

relação ao afundamento simulado de 0,9 p.u., portanto não é possível identificar o período do

afundamento;

- O nível de ruído é maior para a janela Retangular que apresenta erro máximo

antes da janela de Hanning;

- Overlaps menores, para ambas as janelas, apresentam menor nível de desvio.

77

Análise de Desempenho Processamento

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Pe

río

do

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret


10.2.1.3 Aderência da Largura do Lobo de Freqüência Principal Simulado

- Quanto maior a janela, melhor é a resolução de informação da freqüência,

portanto, menor o desvio percentual do lobo da freqüência principal;

- Quanto menor o Overlap, menor o desvio percentual do lobo da freqüência

principal;

- A janela de Hanning por sua construção mais aproximada da forma de onda

senoidal gera menor desvio percentual do lobo da freqüência principal.


0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Lo

bo

de

Fre

qu

en

cia

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret


78

10.2.1.4 Tempo Total de Processamento

- Para as janelas maiores há um crescimento exponencial do tempo de

processamento;

- Overlaps menores apresentaram maior tempo de Processamento;

- Não há diferença significativa entre as janelas para os tempos de processamentos;


-

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

Te

mp

o d

e P

roc

es

sa

me

nto

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret


10.2.1.5 Análise de Desempenho Total - Teste 1

Somando os índices de desvio de cada processamento mais o indicador de tempo de

processamento chega-se ao indicador final consolidado de desempenho da Transformada

Discreta de Curto Tempo com janelas de Hanning e Retangular para o Teste 1.


79


Para o caso do Teste 1 o melhor desempenho global ocorreu para a janela de

Hanning com overlap de 0,50 e largura de 512 amostras com índice acumulado de 0,13. O

melhor índice da janela Retangular foi de 0,40 para overlap de 0,50 e largura de 1024.

Abaixo os espectros de melhor desempenho para o Teste 1 que mostram amplitude

em Decibéis, freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:


80



81

Figura 10.8 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Retangular melhor desempenho Teste 1


82








Este sinal foi processado utilizando as Janelas Hamming e Blackman e nas Tabelas


83





nessa simulação.

84




- A janela Blackman apresenta desvio percentual alto com relação a janela de

Hamming para a janela de largura 16.


0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Am

pli

tud

e

Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla



- Para a janela de 16 amostras o ruído gerado na borda das janelas é significativo

com relação ao afundamento simulado de 0,9 p.u., portanto não é possível para a maioria dos

processamentos identificar o período do afundamento;

- Para janelas maiores a precisão no ponto inicial e final do afundamento é menor,

portanto, o desvio percentual do período é maior para essas janelas;

- Os desvios percentuais das duas janelas são similares;

85


0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Pe

río

do Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla






principal;

- Ambas as janelas apresentam comportamento similar, porém a janela de

Blackman por sua característica mais suavizada gera menor desvio percentual do lobo da

freqüência principal.


0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Lo

bo

de

Fre

qu

en

cia

Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla


86



processamento;


- A janela de Blackman apresentou melhor tempo de processamento para janelas

maiores.


-

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

Te

mp

o d

e P

roc

es

sa

me

nto

Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla





Discreta de Curto Tempo com janelas de Hamming e Blackman para o Teste 5.


87



Blackman com overlap de 1,00 e largura de 256 amostras com índice acumulado de 0,07. O

melhor índice da janela de Hamming foi de 0,08 para overlap de 1,00 e largura de 256.



Figura 10.11 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Hamming melhor desempenho Teste 5

88



89

Figura 10.14 – Plano Amplitude x Freqüência – Janela Blackman melhor desempenho Teste 5


90








Este sinal foi processado utilizando as Janelas Retangular e Hanning e nas Tabelas


91





nessa simulação.

92



- Para a janela Retangular há aumento no desvio percentual da amplitude

processada a medida que reduz-se o overlap;

- A janela Retangular apresenta desvio percentual maior do que a janela de

Hanning, exceto na janela de largura 16.


0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

9.0%

10.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Am

pli

tud

e

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret





- Os desvios percentuais das duas janelas são similares;

93


0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

40.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Pe

río

do

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret






principal;

- Ambas as janelas apresentam comportamento similar, porém a janela de Hanning

por sua característica curva gera menor desvio percentual do lobo da freqüência principal para

janelas menores.


0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Lo

bo

de

Fre

qu

en

cia

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret


94



processamento;

- Overlaps menores apresentaram maior tempo de processamento;

- A janela de Hanning apresentou menor tempo de processamento.


-

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

Te

mp

o d

e P

roc

es

sa

me

nto

Ovp 0.125 Han

Ovp 0.500 Han

Ovp 1.000 Han

Ovp 0.125 Ret

Ovp 0.500 Ret

Ovp 1.000 Ret





Discreta de Curto Tempo com janelas de Hanning e Retangular para o Teste 21.


95



Hanning com overlap de 0,500 e largura de 128 amostras com índice acumulado de 0,10. O

melhor índice da janela de Retangular foi de 0,14 para overlap de 0,500 e largura de 32.




96



97

Figura 10.20–Plano Amplitude x Freqüência– Janela Retangular melhor desempenho Teste 21


98








Este sinal foi processado utilizando as Janelas Hamming e Blackman e nas Tabelas


99





nessa simulação.

100




- A janela de Hamming apresenta comportamento similar ao da janela de

Blackman, mas com desvio percentual menor para janelas menores.


0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

Des

vio

% A

mp

litu

de

Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla





- Para overlaps maiores o desvio percentual do período é maior;

101


0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

16.0%

18.0%

20.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Pe

río

do

Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla





- Ambas as janelas apresentam comportamento similar, porém a janela de

Blackman por sua característica mais suavizada gera menor desvio percentual do lobo da

freqüência principal para janelas menores.


0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

De

sv

io %

Lo

bo

de

Fre

qu

en

cia

Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla


102



processamento;


- A janela de Blackman apresentou melhor tempo de processamento para janelas

maiores.


-

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

16 32 64 128 256 512 1024 2048

Tamanho da Janela

Te

mp

o d

e P

roc

es

sa

me

nto

Ovp 0.125 Ham

Ovp 0.500 Ham

Ovp 1.000 Ham

Ovp 0.125 Bla

Ovp 0.500 Bla

Ovp 1.000 Bla





Discreta de Curto Tempo com janelas de Hamming e Blackman para o Teste 23.


103



Blackman com overlap de 0,500 e largura de 512 amostras com índice acumulado de 0,12. O

melhor índice da janela de Hamming foi de 0,15 para overlap de 0,500 e largura de 512.



Figura 10.23– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Hamming melhor desempenho Teste 23

104



105

Figura 10.26– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman melhor desempenho Teste 23


106


10.3 Resultado de Processamento de Síntese Utilizando a STDFT

Foram processados utilizando STDFT com janela de Blackman de largura 256 e

overlap de 0,500 os sinais representativos da amostras total coletada em laboratório da

UTFPR denominados TEK0002, TEK0003 e TEK0004. Os resultados obtidos estão listados a

seguir.

10.3.1 Processamento de Síntese do sinal TEK0002 através da STDFT

Os parâmetros obtidos para o sinal processado com índice de incerteza obtido na

análise de sinais realizada anteriormente foram:

- Amplitude do afundamento de 0,3354 +/- 0,04%;

- Período do Afundamento de 768 amostras +/- 1,59%;

107

- Lobo de Freqüência Principal com 40 amostras +/- 3,52%;

Abaixo o espectro obtido para o TEK0002 que mostra amplitude em Decibéis,

freqüência em número de amostras e tempo em número de janelas processadas:

Figura 10.29– Plano Amplitude x Freqüência– Janela Blackman - TEK0002

108



109










110



111










112



113

11. Conclusão

Este trabalho utilizou essencialmente dois tipos de Transformadas de Fourier:

Transformada de Fourier de Sinais Discretos e Transformada Discreta de Fourier de Curto

Tempo; e analisou dois tipos de distúrbios de tensão: Afundamento Temporário de Tensão e

Afundamento Momentâneo de Tensão.

Comparando os resultados qualitativos contidos nos capítulos [10.1] e [10.2], é

possível inferir que é bastante difícil processar um sinal tipo Afundamento Momentâneo ou

Temporário de Tensão usando a Transforma de Fourier simples, visto que a mesma possui

uma janela fixa e seria necessário posicioná-la exatamente sobre o afundamento de tensão no

momento que este ocorrer. Todavia, num sistema dinâmico não é possível prever quando o

distúrbio ocorrerá. Para resolver este impasse, precisaríamos de uma ferramenta que

percorresse o sinal ao longo o tempo, e é exatamente esta ação que Transformada de Fourier

de Curto Tempo executa.

Neste trabalho também há discussão sobre diversas configurações da Transformada

de Fourier de Curto Tempo, tais como tamanho de sua janela, passo de deslocamento e tipo da

janela, de modo que diversas amostras coletadas experimentalmente foram processadas e seus

resultados foram confrontados com suas características previamente conhecidas. No total

foram empregadas aproximadamente 11 horas no processamento de 5 tipos de sinais,

totalizando 256 processamentos.

Dos resultados obtidos pode-se observar que:

- Quanto maior a janela menor é o desvio percentual da amplitude processada, pois

janelas que contém menos de um ciclo, não identificarão a amplitude pico a pico do sinal;

- Não há diferença significativa no desvio percentual da amplitude para diferentes

valores de overlap, pois o deslocamento da janela é horizontal e não influencia grandezas com

variação vertical;

- Janelas pequenas geram maior nível de ruídos que aumentam o percentual de

desvio do período de afundamento simulado;

- Quanto maior a janela menor será a precisão dos pontos inicial e final do

afundamento, portanto o desvio percentual do período é maior;

114

- Para overlaps maiores o desvio percentual do período do afundamento é maior,

visto que quanto maior for o passo, menos será a capacidade de detecção de variações;

- Quanto maior for a janela, menor será o desvio percentual do lobo da freqüência

principal, pois janelas maiores apresentam melhor resolução de informação da freqüência;

- Quanto menor for o overlap, menor será o desvio percentual do lobo da freqüência

principal;

- Quanto mais próxima for a construção de uma janela da forma de onda senoidal,

menor será o desvio percentual do lobo da freqüência principal, no caso do sinal analisado ser

também uma onda senoidal;

- Para janelas maiores há um crescimento do tempo de processamento;

- Na medida em que crescem a largura das janelas, haverá um crescimento do

tempo de processamento;

- Overlaps menores apresentam maior tempo de processamento;

Numa avaliação final do desempenho da STDFT indica que para o processamento

dos sinais senoidais a Janela de Blackman apresentou melhores resultados, seguidas das

Janelas de Hamming, Janelas de Hanning, sendo a Janela Retangular aquela que apresentou

piores resultados.

No que diz respeito a largura das janelas, aquelas que continham mais de um ciclo e

cuja largura era menor que a largura do afundamento apresentaram melhores resultados.

Na mesma linha do estudo apresentado é possível desenvolver trabalhos futuros

para avaliação de desempenho de processamento de sinais com outras ferramentas de

processamento também de ampla utilização como as Transformadas Wavelet, por exemplo.

115

Referências Bibliográficas

AGÊNCIA NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA. Estabelece procedimentos de Distribuição de Energia Elétrica no Sistema Elétrico Nacional – PRODIST – Módulo 8 – Qualidade da Energia Elétrica. Disponível em <http://www.aneel.gov.br>. Acesso em: 18 março 2007. BRIGHAM, E. Oran. The Fast Fourier Transformer. 1. ed. New Jersey, Ed. Prentice-Hall, Inc., 1974. BOLLEN, Math H. J.; GU, Irene Y.H. Signal Processing of Power Quality Disturbances. 1. ed. New Jersey, Ed. John Wiley & Songs, 2006. CHAPMAN, Stephen J. Programação em Matlab para Engenheiros. 1. ed., Ed. Thomson Learning, 2003. DINIZ, Paulo Sérgio Ramirez; SILVA, Eduardo A. Barros; NETTO, Sérgio Lima. Processamento Digital de Sinais. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2004. DUGAN, Roger C.; MCGRANAGHAN, Mark F.; BEATY, H. Wayne. Electrical Power Systems Quality. 1. ed. New York: Ed. McGraw-Hill, 1996. ELLIOTT, Douglas F.; RAO K. Ramamohan. Fast Transforms: Algorithms, Analyses, and Applications. 1. ed. New York, Ed. Academic Press, 1982. HAYKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2001. HAYKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2001. INGLE, Vinay. K.; PROAKIS, John G. Digital Signal Processing . 1. ed. Boston, Ed. PWS Publishing Company, 1997. OPPENHEIM, Alan V.; SCHAFER, Ronald W.; BUCK, John R. Discrete-Time Signal Processing . 1. ed. New Jersey, Ed. Simon & Schuster, 1996.

116

ANEXOS ANEXO A – Catalogo do Fabricante da Fonte Geradora de Harmônicos

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UTILIZAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER …daelt.ct.utfpr.edu.br/engenharia/tcc/monografia_fourier_2007.pdf · 2 jakson bÖttcher argenta heber andrade gonÇalves utilizaÇÃo