Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciencias Exatas e da Terra

Departamento de Fısica Teorica e Experimental

Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Vortices em Nanoestruturas Magneticas Elıpticas

Jadson Tadeu Souza Dantas

Natal–RNFevereiro de 2015

Jadson Tadeu Souza Dantas

Vortices em Nanoestruturas Magneticas Elıpticas

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Fısica do Departamento de Fısica

Teorica e Experimental da Universidade Federal do

Rio Grande do Norte como requisito parcial para a

obtencao do grau de mestre em Fısica.

Orientador: Prof. Dr. Artur da Silva Carrico.

Co-orientador: Dr. Gustavo de Oliveira Gurgel Re-

boucas.

Natal–RNFevereiro de 2015

Dissertacao de mestrado sob o tıtulo Vortices em Nanoestruturas Magneticas Elıpticas

apresentada por Jadson Tadeu Souza Dantas e aceita pelo Departamento de Fısica

Teorica e Experimental do Centro de Ciencias Exatas e da Terra da Universidade Federal

do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora

abaixo especificada:

Dr. Artur da Silva Carrico

Orientador

Departamento de Fısica Teorica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Dr. Idalmir de Souza Queiroz Junior

Examinador Externo

Departamento de Fısica

Universidade Federal Rural do Semi-Arido

Dr. Jose Humberto de Araujo

Examinador Interno

Departamento de Fısica Teorica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Natal-RN, 19 de Fevereiro de 2015.

Aos meus Pais, por todo o apoio de hoje e sempre.

i

Agradecimentos

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer aos meus pais por todo o apoio dado durante

toda minha jornada de vida.

A minha irma que sempre foi uma amiga de imensa confianca e estima.

A minha namorada Larissa Ribeiro, por todo o apoio, companheirismo e amor. Sao

tantas noites sem dormir estudando juntos. Voce sempre esteve ao meu lado quando eu

precisei. Sempre me ajudou em tudo que eu precisava com muita paciencia e amor. Nao

teria conseguido sem voce.

A minha tia Dalva pelo amor incondicional que sempre demonstrou por mim, assim

como meu tio Zeca, que infelizmente nao esta mais entre nos, mas que deixa lembrancas

boas e inesquecıveis.

Ao meu orientador Artur Carrico por tudo que aprendi desde que comecei minha vida

como pesquisador.

Ao meu amigo e ex-tutor Ezequiel, pelo apoio desde o inıcio da graduacao ate hoje.

Nao poderia deixar de agradecer a meu amigo e co-orientador, Gustavo Reboucas.

Tenho certeza que esse trabalho so foi possıvel gracas a sua extrema colaboracao.

Agradeco tambem a todos os meus amigos de sala: Karol, Rafaela, Nathan, Leo,

Cesar, Gustavo, Juliana e Silas. Amigos que levarei para sempre.

Aos meus amigos pessoais Lucas e Pastor, pelas incontaveis derrotas, tanto no magic,

quanto no fifa. Ao meu amigo Rafael que sempre tem os bichos ou as manas zicados.

Ao meu amigo Renato, por toda a amizade, apoio, tanto na area academica, quanto

na vida pessoal, por todos esses anos. Estou certo de que parte da minha vida academica

e creditada a sua pessoa, bem como parte da minha vida pessoal.

Agradeco extremamente a todo o povo brasileiro que e o principal contribuinte para

todo o ambiente academico do paıs.

Finalmente, ao CNPq, pelo apoio financeiro.

ii

“Milhares de velas podem ser acesas a

partir de uma unica vela e a sua chama

nao sera encurtada. Assim e a felici-

dade, nunca diminui ao ser comparti-

lhada.”

(Dalai Lama)

iii

Resumo

Estruturas ferromagneticas (F) submicrometricas sao de interesse, pois constituem

partes essenciais de dispositivos magnetoeletronicos modernos. O comportamento

magnetico destes sistemas devem ser entendidos, assim as fases ou estados magneticos

destes sistemas devem ser descritos e compreendidos de forma a propiciar o controle de seu

comportamento ao longo da curva de magnetizacao ou de efeito de corrente eletrica polari-

zada. Estes comportamentos sao funcoes das dimensoes da partıcula, de seus parametros

magneticos intrınsecos, do seu historico de tratamento termico e/ou magnetico, dentre

outros. Investigamos as fases magneticas de nanoelementos elıpticos de Fe ao longo da

curva de magnetizacao, desde seu campo de saturacao positivo ate campo nulo, buscando

seu estado magnetico em remanencia. Usamos o modelo micro-magnetico autoconsistente

que permite representar o comportamento magnetico do nanoelemento em questao, em

funcao de seus parametros magneticos intrınsecos. Estudamos os estados magneticos de

nanopartıculas elıpticas de Ferro isoladas com espessura de 25 nm, com diametro menor

entre 100 nm a 200 nm e o diametro maior variando entre 300 nm a 500 nm. Estuda-

mos tambem o comportamento de nanopartıculas com as dimensoes citadas acima em

uma estrutura constituıda de duas partıculas identicas separadas por um espacador nao-

magnetico de 25 nm de espessura. O eixo de anisotropia e na direcao do raio menor

da elipse e o campo externo pode ser aplicado tanto na direcao do eixo menor quanto

na direcao do eixo maior. A direcao de aplicacao do campo magnetico resulta em dife-

rentes estados magneticos em remanencia para nanoelementos de uma mesma dimensao.

Identificamos estados magneticos em funcao das dimensoes laterais da elipse. Encontra-

mos uma diversidade de estados: estados uniformes, vortice unico, vortices duplos, com

quiralidades e polaridades opostas e iguais, e ainda estados com tres vortices na mesma es-

trutura. Mostramos que a direcao de aplicacao do campo magnetico (rota de preparacao)

e muito importante para o estado remanente dessas estruturas. Mostramos tambem que

ha acoplamento dipolar entre pares de nanoestruturas elıpticas e estes alteram de forma

significativa os estados magneticos quando comparado com o elemento isolado.

Palavras-chave: Nanoestruturas; Fases magneticas; Curva de magnetizacao; Rota de

preparacao; Vortice; Remanencia; Acoplamento dipolar.

iv

Abstract

Ferromagnetic nanostructures (F) submicron are of interest, since they are essential

parts of modern magnetic-eletric devices. States or magnetic phases of this system along

the magnetization curve or polarized electrical current effect, are functions of particle size

as well as the intrinsic parameters ferromagnet. We investigated elliptical magnetic phases

Fe nanostructures along the magnetization curve, from its positive saturation field to zero

field by using a self-consistent micro-magnetic dipole model that allows us to represent

effects of system geometry, as well as the other parameters intrinsic of the nanostructures.

We studied the magnetic states of isolated iron elliptical nanoparticles and coupled with

a thickness of 25 nm, with smaller diameter ranging from 100 nm to 200 nm and the

largest diameter ranging from 300 nm to 500 nm. Where the spacer is attached structures

nonmagnetic and has a thickness of 25 nm. The anisotropy axis is in the direction of the

minor radius of the ellipse and the external field can be applied both in the direction

of the minor axis and the major axis direction. This field preparation route results in

different magnetic states in remanence to nanostructures that have the same dimensions.

We have identify magnetic states depending on the size ellipse’s dimensions. We identify

a variety of magnetic states: uniform states, single vortex, double vortices with chirality

and polarity opposite and equal, and states with three vortices on the same infrastructure.

We show that the preparation route and dipolar coupling are very important factors for

the remanent state of these structures.

Keywords: Nanostructures; Magnetic phases; Magnetization curve; Preparation route;

Vortex; Remanence; Dipolar coupling.

v

Lista de Figuras

2.1 Figura esquematica de uma espira representada por um cırculo de area a,

onde circula uma corrente I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 A figura mostra uma curva de histerese magnetica idealizada. O eixo das

abcissas e o campo externo e o eixo das coordenadas e a magnetizacao. . . 7

2.3 Figura representativa de: 1) Celula cristalina, onde a0 e o parametro de

rede. 2) Representa a celula de simulacao magnetica com o seu momento

de dipolo efetivo, com comprimento menor que o comprimento de troca. 3)

Representa o sistema como um todo, dando enfase para uma celula i, seus

primeiros vizinhos j e todos os outros vizinhos k. . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Figura esquematica de cada campo atuante na celula magnetica i. . . . . . 22

2.5 Representacao de dois nanoelementos, NE1 e NE2 com suas respectivas

alturas h1 e h2, separados por um espacador nao magnetico de espessurra ε. 23

2.6 Tabela de parametros do ferro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Figura esquematica de fases magneticas em nanoestruturas cilındricas. . . . 29

3.2 Figura esquematica de fases magneticas em nanoestruturas acopladas via

campo dipolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 A figura mostra um diagrama de fases magneticas em remanencia para

cilındros de bases elıpticas, em funcao de seus diametros, com uma espes-

sura fixa de 25 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 A figura ilustra a comparacao da curva de magnetizacao de duas nanoes-

truturas de dimensoes diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 A figura ilustra a comparacao do mapa de spin no estado de remanencia

de duas nanoestruturas de dimensoes diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 A figura mostra duas curvas, onde o eixo das abcissas representa a compo-

nente z dos momentos magneticos e o eixo das coordenadas representa o

valor de y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.7 Curva de magnetizacao e estado magnetico de uma estrutura magnetica,

cujo estado remanente e de domınio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

vi

3.8 A componente z do momento magnetico em funcao da dimensao em y e do

estado magnetico de uma estrutura magnetica, cujo estado remanente e de

domınio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.9 Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma nanoestrutura magnetica

isolada de Fe, cujo estado de remanencia e de vortice. . . . . . . . . . . . . 38

3.10 Curva que mede a saıda da magnetizacao com relacao a posicao do eixo

das coordenadas sobre o esboco do nanoelemento em seu estado remanente. 39

3.11 Comparacao dos estados magneticos de uma nanoestrutura, cujo estado

magnetico e de vortice unico com relacao ao topo e ao fundo. . . . . . . . . 40

3.12 Figura ilustrando a curva de magnetizacao e o processo de nucleacao de

uma estrutura cujo estado remanente e VDV. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.13 Curva da componente z da magnetizacao em funcao da posicao no eixo das

coordenadas, para z fixo e x nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.14 Curva da componente z da magnetizacao em funcao da posicao no eixo das

coordenadas, para z fixo e x nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.15 Curva que mede a saıda da magnetizacao com relacao a posicao do eixo das

coordenadas. Ao lado um esboco do nanoelemento em seu estado remanente. 43

3.16 Figura comparando a curva de magnetizacao de dois nanoelementos de

dimensoes diferentes e suas respectivas fases magneticas em remanencia. . . 44

3.17 Grafico que ilustra a evolucao de uma nanoestrutura magnetica de Fe, da

saturacao ate a remanencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.18 Curva que mede a saıda da magnetizacao com relacao a posicao do eixo das

coordenadas. Ao lado o esboco do nanoelemento em seu estado remanente. 45

3.19 A figura mostra um diagrama de fases magneticas em remanencia para

cilındros de bases elıpticas, em funcao de seus diametros, com uma espes-

sura fixa de 25 nm. O eixo de anisotropia uniaxial e o de diametro menor.

O campo de saturacao e na direcao do eixo maior. . . . . . . . . . . . . . . 46

3.20 A figura mostra uma comparacao entre duas nanoestruturas de dimensoes

iguais, saturadas com campos de mesmo modulo, mas direcoes diferentes,

dando enfase no estado remanente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.21 Representacao dos nanoelementos separados por um espacador nao

magnetico. As fases para estas dimensoes sao apresentadas na figura 3.22. . 47

3.22 Diagrama que lista os estados remanentes de nanoestruturas identicas, aco-

pladas e separadas por um espacador nao magnetico de 25 nm de espessura. 48

3.23 Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma estrutura acoplada generica,

cujo estado remanente e o acoplamento AFM. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.24 Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma estrutura acoplada generica,

cujo estado remanente e a fase SS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

vii

3.25 Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma estrutura acoplada generica,

cujo estado remanente e a fase DVV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

viii

Sumario

Agradecimentos ii

Resumo iv

Abstract v

1 Introducao 1

2 Magnetismo 3

2.1 O Momento de Dipolo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 A Magnetizacao e a Susceptibilidade Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Curvas de Magnetizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Histerese Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Histerese Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Materiais Ferromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Micromagnetismo e as Energias Magneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Energias Magneticas por Celulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6.1 Energia de Troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.2 Energia Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6.3 Energia de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6.4 Energia Magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 Campo Medio Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.1 Campo de Troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.2 Campo Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7.3 Campo de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7.4 Campo Dipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7.5 O Campo Medio e o Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Interacao Entre Dois Nanoelementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Parametros dos Materiais Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.10 Metodo Autoconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ix

3 Nanoestruturas Ferromagneticas Acopladas Magneticamente 26

3.1 Estados Magneticos de Remanencia de Nanoelıpses . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Estados de Remanencia para Estruturas Nanomagneticas Isoladas . 27

3.1.2 Estados de Remanencia para Estruturas Nanomagneticas Acopladas 29

3.2 Nanoestruturas Elipsoidais Isoladas de Fe com Campo Aplicado ao Longo

do Eixo de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Estudo das Curvas de Remanencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1.1 Domınio (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1.2 Vortice (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1.3 Vortice-Domınio-Vortice (VDV) . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1.4 Vortice-Anti-vortice-Vortice (VAV) . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1.5 Triplo Vortice (TV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Nanoestruturas Elipsoidais Isoladas de Fe com Campo Aplicado Perpendi-

cular ao Eixo de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Nanoestruturas Elipsoidais Acopladas de Fe . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Estado Uniforme Antiparalelo (AFM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.2 Estado Atiparalelo Tipo SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.3 Vortices Duplos Nos Dois Nanoelementos (DVV) . . . . . . . . . . 50

4 Conclusoes e Perspectivas 53

Referencias bibliograficas 56

x

Capıtulo 1

Introducao

Os dispositivos magneticos utilizados na tecnologia atual, vem ganhando cada vez mais

espaco com o passar do tempo, tanto nas industrias, quanto nos ambientes academicos

por todo o mundo e no cotidiano de toda a sociedade. Existem hoje, varios dispositivos

que apresentam sistemas magneticos, tais como: memorias magneticas, cabecas de lei-

tura magneto-resistivas, nanoosciladores, etc. A miniaturizacao destes dispositivos aliado

ao desenvolvimento da litografia nanometrica e a busca pelo aumento da densidade de

gravacao de dados e de interesse de todos [2, 9, 10, 11, 12, 13].

Os estados magneticos destes sistemas sao relevantes e possibilitam a identificacao de

seu uso como parte de dispositivos. Identificar as fases magneticas e entender o processo

que levou ate a mesma e importante e guia seu possıvel uso como tecnologia que envolva

um maior controle dos dispositivos que usam nanoestruturas de materiais ferromagneticos.

Varios esforcos foram feitos para identificar e controlar os estados magneticos de elementos

de diversos materiais e formatos [25, 32, 33, 16], inclusive usando acoplamento com um

substrato AF (exchange bias) que em princıpio inibiria o estado magnetico tipo vortice

[34, 31].

Visando este passo inicial de identificar fases magneticas e entender a forma com

que as estruturas atingiram esse estado, como uma das maneiras de ter maior controle

dos dispositivos nanomagneticos, essa dissertacao estuda nanoelipsoides de Fe isolados e

acoplados, separados por um espacador nao magnetico de espessura predeterminada. E

utilizado um determinado valor de campo (o mesmo para todas as estruturas apresentadas

nesse trabalho) para saturar os momentos magneticos em uma determinada direcao e a

partir daı estuda-se a curva de magnetizacao ate o estado de remanencia, dando enfase e

listando esse ultimo em funcao dos diametros da nanoelipse [1, 2, 3].

No segundo capıtulo, apresentamos uma revisao sobre o magnetismo, suas principais

grandezas, os tipos de materiais magneticos e, o conceito de curva de magnetizacao e

histerese. Em seguida, introduzimos o micromagnetismo usados no calculo numerico ao

longo deste trabalho. Justificaremos a divisao do sistema em celulas de simulacao para

tornar o calculo numerico viavel do ponto de vista computacional. Descrevendo os campos

1

envolvidos no sistema. Tambem neste capıtulo, ilustramos o metodo autoconsistente

utilizado para se calcular os estados de equilıbrio ao longo da curva de magnetizacao, que

faz uso do fato de que o equilıbrio ocorre quando os momentos magneticos das celulas

de simulacao apontam na mesma direcao que o campo efetivo, descrito na Equacao de

Landau-Lifshitz-Gilbert.

No terceiro capıtulo, apresentamos os resultados das simulacoes numericas das estru-

turas estudadas. Primeiro trabalhamos com os nanoelementos de Fe isolados e definimos

o eixo de anisotropia uniaxial como sendo o eixo de menor diametro de base. Saturamos

as estruturas tanto na rota de maior diametro, como na rota de menor diametro e lista-

mos todos os estados remanentes dessas estruturas que possuem uma espessura fixa de

25 nm. Em seguida mudamos a rota de saturacao sem fazer nenhuma outra alteracao e

listamos todos os estados remanentes, e comparamos estes estados em funcao da rota de

magnetizacao. Identificados os estados remanentes para as duas situacoes citadas acima,

fazemos um acompanhamento dos estados magneticos ao longo da curva de magnetizacao

para cada fase magnetica diferente listada no diagrama. Esse acompanhamento e impor-

tante e fornece um maior controle da estrutura por sabermos a maneira com que ela se

forma ate atingir o estado de magnetizacao remanente. Feito isso, passamos a estudar as

estruturas de mesmas dimensoes que as anteriores, acopladas via campo dipolar e sepa-

radas por um espacador nao magnetico. Os pares sao feitos sempre com nanoelipses de

mesma dimensao e com o espacador nao magnetico. Fazemos entao, um diagrama das fa-

ses magneticas em remanencia em funcao das dimensoes das estruturas. Da mesma forma

que para as nanoestruturas isoladas e feito o acompanhamento dos estados magneticos ao

longo da curva de magnetizacao para cada tipo de fase magnetica presente no diagrama.

No quarto capıtulo, tomamos algumas conclusoes a partir dos resultados obtidos e do

conhecimento previo da natureza magnetica da materia. E atentamos tambem para o fato

que o trabalho possui muitas perspectivas tanto do ponto de vista puramente academico,

quanto para a fabricacao de dispositivos. Varios exemplos de atividades de pesquisa

que podem ser feitas a partir das conclusoes do trabalho apresentado sao listadas: como

investigar estruturas com dimensoes diferentes, seja mudando os diametros e espessuras,

quanto mudando o eixo de anisotropia uniaxial ou fazendo a investigacao com outros tipos

de materiais ferromagneticos e diversas outras.

2

Capıtulo 2

Magnetismo

Quando falamos em magnetismo, a maioria das pessoas prontamente associam esta

palavra aos ımas. Entretanto, quase ninguem a associa as correntes eletricas. Magne-

tismo e um fenomeno quantico que surge devido a cargas eletricas em movimento. As

propriedades magneticas de um material sao decorrentes da forma como os diversos dipo-

los magneticos, oriundos das correntes eletricas em suas estruturas atomicas, interagem

entre si. Isto tanto em nıvel interno ao proprio atomo, como entre um atomo e seus de-

mais vizinhos. Contudo, nao podemos dizer que o movimento de cargas em relacao a um

referencial adotado e a unica fonte do campo magnetico de um material [5, 6].

Um fator de grande importancia na descricao de fenomenos magneticos e o momento

magnetico intrınseco de cada partıcula (que esta diretamente relacionado ao spin da

partıcula). E muito comum associar essa parcela do momento angular da partıcula com um

movimento desta em torno do seu proprio eixo. Entretanto, com o conhecimento que temos

atualmente da mecanica quantica, nao podemos considerar um bom modelo supor uma

relacao associativa entre o momento angular intrınseco de uma partıcula e um movimento

de rotacao em torno do seu proprio eixo. Podemos justificar isso, se lembrarmos que

partıculas como eletrons e protons nao possuem dimensoes experimentalmente resolvidas

(para a fısica atual, o eletron e uma nuvem totalmente dispersa se estiver parado ou

um ponto se nao soubermos nada a respeito de sua velocidade). Na verdade, partıculas

carregadas como protons e eletrons sao, por si so, pequenos dipolos magneticos e os

efeitos magneticos destes tem uma grande importancia tanto na compreensao da estrutura

atomica como do comportamento magnetico da materia [6, 7].

Note que nao fizemos nenhuma mencao ao termo “carga magnetica”. De fato, esta nao

existe. Todos os estudos ate agora, nos mostram que a divergencia do campo magnetico

e nula, assim o fluxo atraves de uma superfıcie fechada e zero. Desse modo, as linhas

de campo que saem dessa superfıcie sao as mesmas que entram novamente. Se a carga

magnetica existisse, as linhas apenas sairiam ou apenas entrariam, dependendo do seu

sinal. Entao torna-se claro que nao existem cargas magneticas e que, portanto, o menor

ente magnetico e o dipolo magnetico [4].

3

2.1 O Momento de Dipolo Magnetico

Consideremos uma pequena espira que delimita um cırculo de area a, onde circula

uma corrente eletrica de intensidade constante I, como mostra a figura 2.1.

Figura 2.1: Figura esquematica de uma espira representada por um cırculo de area a,onde circula uma corrente I.

O momento magnetico ~m e definido como o produto entre a corrente I e o vetor de

area ~a. Tal vetor e definido como um vetor normal a superfıcie com modulo igual a area

delimitada pela espira.

~m = I~a (2.1)

Assim como a carga eletrica representa a fonte primaria para os efeitos eletricos, o

momento magnetico e a fonte primaria para os fenomenos magneticos, como por exemplo

o campo magnetico ~B e o campo ~H. A unidade do momento de dipolo magnetico e

ampere por metro quadrado (A ·m2).

Para uma superfıcie mais geral, a equacao 2.1 nao e muito adequada, pois o vetor

de area e o mesmo para todos os pontos do espaco. Para generalizar nossa expressao,

devemos integrar sobre todo vetor de area:

~m = I

∫~da (2.2)

Partıculas subatomicas carregadas, como por exemplo eletrons e protons, comportam-

se cada uma como pequenos dipolos magneticos, possuindo um momento de dipolo

magnetico inerente a partıcula, denominado momento de dipolo magnetico intrınseco.

Este momento de dipolo magnetico relaciona-se diretamente a outra propriedade perti-

nente a todas as partıculas subatomicas, carregadas ou nao: o momento angular intrınseco,

tambem denominado spin. Este nao tem nenhum analogo classico, embora, para todos os

4

efeitos, se comporte de forma analoga ao momento angular intrınseco discutido na equacao

2.1. Na verdade, o momento angular total ~J e a soma do momento angular orbital ~L, que

esta associado ao momento magnetico intrınseco, mais o spin ~S, que esta intimamente

relacionado ao momento magnetico intrınseco.

Dipolos magneticos sao fontes de campo magnetico, assim como os dipolos eletricos sao

fontes de campo eletrico. Esses dipolos tambem sofrem os efeitos de campos em regioes

em que estes sao nao nulos [5, 6].

Pode-se demonstrar que um dipolo magnetico na origem, produz um campo magnetico

ao seu redor dado por:

~B(~r) =µ

4π

1

r3[3(~m · r)r − ~m] (2.3)

onde µ e a permeabilidade magnetica do meio em que o dipolo magnetico esta imerso e r

e o vetor unitario na direcao do vetor radial [6].

2.2 A Magnetizacao e a Susceptibilidade Magnetica

Uma grandeza muito importante quando estudamos efeitos magneticos nos materiais e

o vetor de magnetizacao. A magnetizacao e definida como a media vetorial do momento

de dipolo magnetico por unidade de volume ao longo de todo volume considerado [5]:

~M =

∑m(~r′)

V(2.4)

onde consideramos todos os momentos magneticos em suas respectivas posicoes ~r′ dentro

do volume V . A unidade da magnetizacao no sistema internacional e o ampere por metro

(A/m).

Quanto maior a magnetizacao, maior o momento de dipolo magnetico efetivo associado

a cada elemento diferencial de volume do material e maior o momento de dipolo magnetico

total associado ao objeto.

E importante sabermos que a magnetizacao em um material pode ser afetada por

diversos fatores, como: campo externo, temperatura, corrente eletrica, etc. Logo a mag-

netizacao e um fenomeno de resposta frente a agentes externos. Vamos usar como exemplo

um campo externo aplicado.

Quando se emerge um material magnetico em uma regiao onde ha um campo

magnetico preexistente, a estrutura desse material responde ao campo no qual foi imerso,

produzindo um campo magnetico proprio. A intensidade e a orientacao desse campo

depende do campo externo e das propriedades do material em questao.

Para os casos mais simples, onde os materiais sao homogeneos, isotropicos e nao for-

temente magnetizaveis, a magnetizacao depende diretamente do campo magnetico exci-

tante. Este fato nos leva a definicao de uma nova grandeza chamada: susceptibilidade

5

magnetica. De forma que:

~M = χm ~H (2.5)

onde χm e a susceptibilidade magnetica.

A susceptibilidade magnetica e uma grandeza adimensional que varia de substancia

para substancia, apresentando valores positivos para os materiais paramagneticos e ne-

gativo para diamagneticos. Desse modo, a susceptibilidade e a resposta da magnetizacao

ao campo magnetico aplicado.

Nesses casos a magnetizacao e nula quando o campo excitante e nulo e cresce gradu-

almente, a favor (paramagnetismo) ou contraria (diamagnetismo), mas sempre paralela

ao campo externo. Contudo, nem sempre essa relacao e valida, existem casos em que a

magnetizacao se relaciona com o campo excitante de maneiras bem mais complicadas e

pode ate depender do historico de exposicao a campos magneticos externos, fenomeno

observado em materiais que exibem memoria e histereses magneticas. Falaremos mais

adiante sobre esses materiais [4, 5, 6].

Materiais que possuem histerese magnetica podem estar magnetizados mesmo na

ausencia de um campo excitante em um dado momento e podem, devido ao seu historico,

exibir magnetizacao nula mesmo quando imersos em campos excitantes nao nulos.

Os ımas permanentes sao materiais que apresentam uma magnetizacao nao nula,

mesmo a campo nulo. Esses materiais respondem a campos externos de forma que sua

magnetizacao nao tem uma grande dependencia do campo externo (desde que esse nao

seja muito forte). Os ımas permanentes diferem dos demais materiais por associarem uma

parcela de magnetizacao permanente nao nula com origem na propria estrutura do mate-

rial. E importante sabermos que mesmo nesses materiais e possivel “saturar” os dipolos

magneticos, os deixando paralelos ao campo externo, desde que este seja forte o suficiente

para “vencer” a magnetizacao espontanea ja existente nos ımas permanentes e todos os

outros fatores que discutiremos mais adiante, ao falarmos das energias magneticas.

2.3 Curvas de Magnetizacao

Como ja foi dito, materiais nao lineares nao possuem uma relacao simples entre sua

magnetizacao e os agentes externos. Mesmo os materiais lineares, possuem um limite de

linearidade. Campos com grande intensidade podem muito bem torna-los nao lineares,

por exemplo. Nesses casos o comportamento magnetico e estudado por meio de curvas de

resposta magnetica.

Neste trabalho, estudaremos as curvas da magnetizacao em funcao do campo externo

identificando as fases magneticas em campo nulo, estado remanente. Descreveremos ainda

de forma breve da magnetizacao em funcao da temperatura (histerese termica).

6

2.3.1 Histerese Magnetica

Nesse tipo de curva, observamos o comportamento da magnetizacao em funcao do

campo externo aplicado. Em meios lineares ja sabemos que essa curva seria uma reta.

Contudo, nos materiais que discutiremos neste trabalho isto nao ocorre.

A forma mais simples de fugir do comportamento linear descrito anteriormente e, sim-

plesmente, aumentar demasiadamente o campo externo ~H aplicado no material. Verifica-

se que mesmos os materiais classificados no grupo dos materiais lineares deixam de res-

ponder de forma proporcional ao campo externo. Quando isto ocorre o material deixa de

responder ao campo externo no qual esta imerso, pois a magnetizacao nao mudara mais,

ocorrendo o alinhamento de todos os momentos magneticos do material, dizemos que a

estrutura esta magneticamente saturada. Acontece entao o que chamamos de saturacao

magnetica do material.

A saturacao magnetica ocorre devido ao alinhamento de todos, ou praticamente todos,

os momentos de dipolo magnetico do material quando este se encontra sob campo externo

intenso o suficiente. O material exibe na saturacao a maxima magnetizacao possıvel. A

proporcionalidade entre a magnetizacao e o campo externo em materiais lineares e valida

apenas para valores moderados desse ultimo. Contudo, em materiais lineares observa-

se que reduzindo o campo externo restaura-se a linearidade da curva de magnetizacao e

removendo o campo excitante nao havera mais magnetizacao macroscopica mensuravel

no material.

Entretanto, existem materiais que apresentam memoria magnetica, o ferro em tem-

peratura abaixo da temperatura crıtica e o exemplo mais conhecido. Nesses materiais

a magnetizacao em um dado instante de tempo depende nao apenas do campo externo

nesse momento, como tambem de todo o historico magnetico do material. Vamos usar

como exemplo um material idealizado, com grande histerese. A figura 2.2 apresenta uma

curva tıpica de magnetizacao.

Figura 2.2: A figura mostra uma curva de histerese magnetica idealizada. O eixo dasabcissas e o campo externo e o eixo das coordenadas e a magnetizacao.

7

Comecamos com um material desmagnetizado (ou que apresenta uma certa magne-

tizacao) em ausencia de um campo excitante (origem no grafico). Entao vamos aplicando

um campo externo em uma determinada direcao e observamos uma resposta inicialmente

proporcional ao campo externo, devido a magnetizacao gradual do material. Elevando

o campo externo a valores maiores, deixamos a regiao de proporcionalidade e se au-

mentarmos ainda mais, atingiremos a saturacao. Esta curva inicial e tambem conhecida

como magnetizacao de amostra virgem. Reduzindo-se o campo externo, observamos que

a magnetizacao nao segue pelo mesmo caminho da excitacao. A curva desenhada com a

diminuicao do campo externo nao se sobrepoe a curva inicial durante o processo que levou

ao campo de saturacao. Podemos observar que, mesmo apos o campo externo ter sido

completamente removido, ainda ha uma magnetizacao no material. Tal magnetizacao e

denominada de remanencia.

Se parassemos por aı, dependendo do material, terıamos produzido um ıma perma-

nente. Na verdade, esse e um processo muito utilizado na industria, chamado de congela-

mento. Mas se continuarmos observando o grafico, veremos que e necessario a aplicacao de

um campo externo na direcao inversa daquele aplicado inicialmente para anular totalmente

a magnetizacao do material (intersecao da curva com o eixo das abcissas a esquerda) e um

campo de intensidade ainda maior para que ocorra a reversao da magnetizacao saturando-

se na direcao contraria (ponto extremo inferior do grafico, terceiro quadrante, o mais a

esquerda). Esse valor de campo e denominado de campo de coercividade e e o campo

necessario para desmagnetizar completamente a amostra. No entanto, a mesma nao se

encontrara mais no estado de amostra virgem devido ao processo magnetico ao qual foi

exposta.

O processo se repete de forma analoga ao anterior a medida que se reduz o campo

externo a zero (intersecao do grafico com eixo das coordenadas, abaixo) e logo em seguida

aumenta-se o campo na direcao positiva inicial, ate atingir uma magnetizacao nula (in-

tersecao da curva com o eixo das abcissas, a direita), e novamente saturacao em direcao

compatıvel com a primeira saturacao (ponto superior no primeiro quadrante, o mais a

direita) [6].

2.3.2 Histerese Termica

Uma curva com comportamento semelhante pode ser obtida se analisarmos uma curva

de magnetizacao em funcao da temperatura. Ao aquecermos o sistema, este evolui para a

fase natural do ferromagneto, mas ao resfriarmos este contempla estados diferentes. Por

esse motivo, ao fim do resfriamento o sistema ira assumir outro estado que nao seja aquele

inicial. Podemos definir a histerese termica como um tipo de curva em que o estado do

sistema magnetico depende do processo termico que ocorreu e nao apenas da temperatura

neste mesmo instante.

8

A curva de histerese para uma dado material mostra-se muito dependente nao apenas

do material (tanto na termica, quanto na magnetica), mas tambem das condicoes fısicas

em que esse se encontra: temperatura, por exemplo. Tambem e muito importante saber

as dimensoes do material em questao. Um mesmo material pode apresentar curvas de

histerese totalmente diferentes se possuir dimensoes e formatos diferentes. Outro fator

relevante na curva de histerese e a classe magnetica do material. Existem varias classes

magneticas conhecidas: diamagneticos, paramagneticos, ferromagneticos, ferrimagneticos

[6].

2.4 Materiais Ferromagneticos

Nesse trabalho, vamos dar destaque para os materiais ferromagneticos, mais espeficica-

mente o Ferro. Esses tipos de materiais apresentam uma certa magnetizacao espontanea

e ocorrem em atomos que possuem eletrons sem par no ultimo orbital, embora nem todos

os atomos que apresentam eletrons sem par na ultima camada apresentam ferromagne-

tismo. Por este motivo, os dipolos magneticos procuram apontar na mesma direcao que

seus vizinhos, pois essa e a configuracao de mınima energia (trataremos deste assunto

mais adiante, quando falarmos de energias magneticas). Alem disso, no modelo de ferro-

magnetismo consideramos que os momentos magneticos possuem os mesmos tamanhos.

Porem, nao observamos um prego de ferro ser um ıma poderoso. Isso ocorre por-

que o alinhamento acontece em areas relativamente pequenas, chamadas domınios

magneticos. Cada domınio contem milhoes de dipolos, todos alinhados, mas a ori-

entacao de cada domınio em si e aleatoria. Devido a isso, a magnetizacao total acaba

sendo quase nula.

E importante dizer que um material e, ou nao, ferromagnetico dependendo de sua

temperatura. O aumento da temperatura diminue os momentos magneticos intrınsecos

do material, fazendo assim com que a magnetizacao torne-se nula. Ha uma temperatura

precisa para cada material (770◦C para o ferro). Abaixo dessa temperatura (denomi-

nada Temperatura de Currie) o ferro e considerado ferromagnetico e acima e considerado

paramagnetico. Nao existe uma transicao gradual entre esses dois comportamentos [6].

2.5 Micromagnetismo e as Energias Magneticas

Quando estudamos o micromagnetismo, buscamos um conhecimento mais profundo da

materia, estudar os fenomenos magneticos no seu ıntimo. Entretanto, isso nem sempre e

possıvel. Se quisermos tratar um atomo como um dipolo magnetico e estudarmos cada um

dos atomos de um material, mesmo com os melhores dos computadores nos auxiliando,

isto nao seria viavel. Descreveremos a seguir o micromagnetismo utilizado neste trabalho:

9

Consideremos um material cristalino (Ferro) cubico de corpo centrado (bcc) de 10 nm

de lado. Sabermos que o numero de atomos para um material como este e dado por:

N = 2

(d3

a30

)(2.6)

onde d representa o lado da aresta do cubo em questao e a0 e o parametro de rede do

material magnetico. A fracao indica o numero de celulas unitarias do tipo bcc e o numero

2 indica que cada celula bcc pode apresentar dois atomos [2].

Usando como exemplo os parametros ditados anteriormente e o fato de que o parametro

de rede do ferro e: aFe0 = 0, 287 nm, teremos um numero de atomos de 8, 46×1010. Torna-

se claro que nem os mais potentes dos computadores poderiam trabalhar calculando todas

as interacoes aos pares em um numero tao elevado de dipolos magneticos.

Para trabalhar com configuracoes da ordem de centena de nanometros, usamos o

conceito da celula de simulacao. A celula de simulacao representa um certo volume do

material, no qual nao ha grandes mudancas nos momentos magneticos participantes. O

parametro que controla esse volume e chamado de comprimento de troca (lEXCH). To-

das as celulas de simulacao devem ter um comprimento menor que este, pois ele repre-

senta o comprimento na qual a interacao de troca se sobressai sobre as demais interacoes

magneticas [20, 21].

lEXCH =

√2A

µ0M2s

(SI) (2.7)

lEXCH =

√2A

M2s

(cgs) (2.8)

onde A e a constante de troca e Ms e a magnetizacao de saturacao. Falaremos dessas

duas grandezas mais adiante, quando discutiremos as energias por celula magnetica.

E interessante ressaltar, que podemos estudar a forma com que um elemento da estru-

tura interage com os demais, no nosso caso, como as celulas magneticas interagem umas

com as outras. Nesse contexto, o sistema contempla varias energias, ou seja, existem

varios tipos de energia sobre cada celula. Podemos nos adiantar e escrever os cinco tipos

de energia que o sistema contempla.

Considerando um sistema com i atomos, com momentos magneticos representados

pelo versor ~Si e um volume V , a energia do sistema e representada por [2, 3]:

E = −Je∑i

∑j

~Si ~Sj − ~H ·MsV∑i

~Si − ~Hin ·MsV∑i

~Si −KV

2

∑i

(Szi )2 +

M2s V

2

∑i

∑k

{~Si · ~Skr3ik

− (~Si · ~rik)( ~Sk · ~rik)r5ik

}(2.9)

10

O primeiro termo e a energia de troca, que por sua vez e de curto alcance e so acontece

entre uma celula e os seus primeiros vizinhos j. Je e a integral de exchange ou integral

de troca entre os dois atomos. O segundo termo e a energia Zeeman, que representa a

interacao do sistema com um campo externo ~H. O terceiro termo e a interacao de troca

com a interface antiferromagnetica. O quarto termo representa a energia de anisotropia,

onde K e a constante de anisotropia do material. No ultimo termo, temos a energia devido

ao campo dipolar ou magnetostatico, onde rik e o modulo do vetor que liga o i-esimo e o

k-esimo atomo. Esta ultima representa a interacao entre todos os dipolos do sistema.

O equilıbrio ocorre, quando essa energia e mınima e a entropia maxima. E muito

importante sabermos que o equilıbrio tenta “regrar” o mınimo de cada energia indivi-

dualmente na medida do possıvel no Hamiltoniano. Contudo, nem sempre e possıvel

minimizar todas ao mesmo tempo. Por exemplo, veremos mais adiante que para mini-

mizar a energia de troca, os spins devem apontar na mesma direcao. Por outro lado,

para minimizar a energia Zeeman, os spins devem se alinhar com o campo externo. Se

essas duas condicoes forem impossıveis juntas, o sistema ira procurar um estado que mi-

nimiza a soma das duas. Resumindo: o sistema ira procurar um estado que minimize a

energia total E, mas isso nao implica no mınimo de cada energia do hamiltoniano. No

caso do magnetismo o sistema encontra um mınimo local no qual permanece ate sair dele

para outro mınimo, que pode ser outro mınimo local ou o mınimo de energia. Para uma

histerese tıpica quando o campo externo e negativo o sistema se mantem ainda oposto

ao campo externo, ate este campo ultrapassar um certo valor. Desse modo o estado

de equilıbrio do sistema se da quando os momentos magneticos apontam na direcao dos

campos magneticos locais internos ao sistema.

2.6 Energias Magneticas por Celulas

Como dito anteriormente, nao podemos fazer um mapeamento magnetico e calcular

os termos da equacao 2.9 para todos os atomos. Por esse motivo, vamos reescrever a

expressao 2.9 considerando que o sistema e composto por celulas cubicas de lado d. Cada

celula contera N atomos de acordo com a expressao 2.6. As celulas contem um momento

de dipolo efetivo, tomaremos o cuidado de nao escolhermos o d muito grande, para que

os momentos de dipolo de cada atomo da celula nao sejam tao distintos um dos outros.

A seguir, vamos descrever as principais energias magneticas para o nosso modelo, para

posteriormente associa-las a um campo medio local que sera usado para encontrar a

configuracao magnetica de equilıbrio.

11

2.6.1 Energia de Troca

A energia de troca surge devido a antissimetricidade da funcao de onda espacial dos

fermions e da simetricidade dessa para os bosons. Ela muda o valor esperado da distancia

quando ocorre a superposicao das funcoes de onda de partıculas indistinguıveis, aumen-

tando para os fermions e diminuindo para os bosons. A interacao de troca e responsavel

pelo proprio ferromagnetismo. Pode-se demonstrar atraves do determinante de Slater que

a energia de troca para um atomo i com os seus vizinhos j e [7]:

H = −∑j

Jij ~Si · ~Sj (2.10)

Se a interacao for isotropica, entao: Jij = Je ∀i, j. Desse modo:

H = −Je ~Si · ~Sj (2.11)

Os operadores ~Si e ~Sj nao sao vetores classicos. Entretanto, em alguns problemas,

como por exemplo no estudo de domınios, podemos trabalhar como se esses fossem vetores

classicos. Com isto:

H = −JeS2∑j

cosφij (2.12)

Reescrevendo o ultimo termo da equacao 2.12, temos:

cosφij = ui · uj (2.13)

Sabemos que para um vetor arbitrario no espaco cartesiano ~U :

~vi|~v|

= cos(αi) (2.14)

onde αi e denominado o cosseno diretor na direcao i. Assim, em 3D a equacao 2.13

torna-se:

cosφij = ui · uj = α1iα1j + α2iα2j + α3iα3j (2.15)

Desde que os angulos entre os versores ui e uj sejam pequenos, podemos expandir os

cossenos diretores de ui em torno de uj.

A serie de Taylor para uma funcao de varias variaveis pode ser obtida por:

f(x1, ..., xn) =∞∑k=0

[∂f(x0i , ..., x

0n)

∂xi(xi − x0i )

](2.16)

Desprezando os termos a partir da segunda ordem e considerando um espaco cartesiano

ortogonal de tres dimensoes, temos para o primeiro termo da expressao 2.15:

12

α1iα1j = α1i

(α1i + ~rij · ∇α1i +

1

2(~rij · ∇α1i)

2α1i + ...

)(2.17)

Agora para um dado i (na expressao acima temos i = 1, mas a expressao real soma

todos os i′s), temos que somar todos os vizinhos j. Como nossa celula e um cubo re-

presentado no espaco cartesiano ortogonal e o mesmo possui uma simetria com relacao a

forma com que os spins se agrupam em seu vertice, temos:

∑j

~rij · ∇α1i = 0 (2.18)

Isso ocorre porque ∇α1i = 0 ∀i 6= j. Por outro lado, ~rij = 0 → i = j. Desse modo, este

termo e sempre nulo. Assim como:

∑j

1

2(~rij · ∇α1i) = 0,∀i 6= j (2.19)

Pois como dito anteriormente, os spins se agrupam em um cubo de forma simetrica. Pelo

mesmo motivo, temos:

∑xijyij

(∂2αij∂xij∂yij

)= 0,∀i 6= j (2.20)

Considerando as equacoes 2.18 , 2.19 e 2.20 na equacao 2.12, teremos:

∑j

cosφij = z +1

2α1i

∂2α1i

∂x2ij

∑j

x2ij +1

2α1i

∂2α1i

∂y2ij

∑j

y2ij +1

2α1i

∂2α1i

∂z2ij

∑j

z2ij

+1

2α2i

∂2α2i

∂x2ij

∑j

x2ij + ... (2.21)

onde para considerarmos as tres dimensoes, definimos:

z = α21i + α2

2i + α23i (2.22)

Note que:

∑j

x2ij =∑j

y2ij =∑j

z2ij =1

3

∑j

r2ij (2.23)

Identificando as equacoes 2.22 e 2.23 na equacao 2.21, e lembrando da definicao do

laplaciano e dos cossenos diretores, obtemos:

∑j

cosφij = z +1

6

∑j

r2iju · ∇2u (2.24)

13

Substituindo 2.24 em 2.12, temos que:

E = H = −JeS2

6

∑j

r2iju · ∇2u (2.25)

Considerando a seguinte identidade vetorial:

∇2(u · u) = ∇ · ∇(u · u) = ∇ · [∇(u · u)] = ∇ · [∇u · u+ u · ∇u] = 2∇ · (u · ∇u)

= 2{∇u · ∇u+ u · ∇2u} = 2|∇u|2 + 2(u · ∇2u) (2.26)

Mas por definicao, temos que:

|∇u|2 = (∇α1)2 + (∇α2)

2 + (∇α3)2 (2.27)

Logo, a equacao 2.26 torna-se:

∇2(u · u) = 2[(∇α1)2 + (∇α2)

2 + (∇α3)2] + 2(u · ∇2u) = 0 (2.28)

Substituindo 2.28 e lembrando da definicao 2.27 na equacao 2.25, teremos:

H = E =JeS

2

6

∑j

r2ij[(∇α1)2 + (∇α2)

2 + (∇α3)2] (2.29)

Sabendo que nossa celula e cubica, a soma em todos r2ij e 6a2, pois o cubo tem seis

faces, onde a e o parametro de rede. Considerando isso na equacao 2.29, temos:

H = E = JeS2a2[(∇α1)

2 + (∇α2)2 + (∇α3)

2] (2.30)

A expressao 2.30 representa a energia de troca para uma celula unitaria de lado a.

Energia de Troca por Celula Magnetica

Consideremos uma pequena partıcula de lado δ. Nessa partıcula, temos N partıculas

menores cada uma de lado a. Logo: N = δ3

a3.

Utilizando a definicao de derivada:

f′(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h(2.31)

Temos que:

14

E = NJS2a2∑

mnk

[(dα1(m,n, k)

dx

)2

+

(dα2(m,n, k)

dx

)2

+

(dα3(m,n, k)

dx

)2

+

(dα1(m,n, k)

dy

)2

+

(dα2(m,n, k)

dy

)2

+

(dα3(m,n, k)

dy

)2

(dα1(m,n, k)

dz

)2

+

(dα2(m,n, k)

dz

)2

+

(dα3(m,n, k)

dz

)2](2.32)

Usando o seguinte produto notavel:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (2.33)

Obtemos finalmente:

E

δ3= A

2

∑mnk

[(α21(m+ 1, n, k) + α2

1(m,n, k)− 2α1(m+ 1, n, k)α1(m,n, k)

δ2

)+

(α22(m+ 1, n, k) + α2

2(m,n, k)− 2α2(m+ 1, n, k)α2(m,n, k)

δ2

)+

(α23(m+ 1, n, k) + α2

3(m,n, k)− 2α3(m+ 1, n, k)α3(m,n, k)

δ2

)+

(α21(m,n+ 1, k) + α2

1(m,n, k)− 2α1(m,n+ 1, k)α1(m,n, k)

δ2

)+

(α22(m,n+ 1, k) + α2

2(m,n, k)− 2α2(m,n+ 1, k)α2(m,n, k)

δ2

)+

(α23(m,n+ 1, k) + α2

3(m,n, k)− 2α3(m,n+ 1, k)α3(m,n, k)

δ2

)+

(α21(m,n, k + 1) + α2

1(m,n, k)− 2α1(m,n, k + 1)α1(m,n, k)

δ2

)+

(α22(m,n, k + 1) + α2

2(m,n, k)− 2α2(m,n, k + 1)α2(m,n, k)

δ2

)+

(α23(m,n, k + 1) + α2

3(m,n, k)− 2α3(m,n, k + 1)α3(m,n, k)

δ2

)](2.34)

Onde definimos:

A =2JS2

a(2.35)

Tal grandeza e definida como o exchange stiffness e determina a rigidez magnetica do

material, ou seja, o quanto o material tende a apresentar momentos magneticos apon-

15

tando em uma mesma direcao. Por esta razao este parametro e diretamente associado ao

comprimento de troca e a espessura da parede de domınio [19, 21].

A soma dos termos positivos da equacao 2.34 e seis, pois equivale a soma dos modulos

de 3 vetores unitarios. Sendo assim, temos:

Eδ3

=A

2δ2

∑mnk

[6− 2

(α1(m+ 1, n, k)α1(m,n, k) + α2(m+ 1, n, k)α2(m,n, k)

+α3(m+ 1, n, k)α3(m,n, k)

)− 2

(α1(m,n+ 1, k)α1(m,n, k)

+α2(m,n+ 1, k)α2(m,n, k) + α3(m,n+ 1, k)α3(m,n, k)

)

−2

(α1(m,n, k + 1)α1(m,n, k) + α2(m,n, k + 1)α2(m,n, k)

+α3(m,n, k + 1)α3(m,n, k)

)](2.36)

Identificando os vetores unitario µ na equacao 2.36:

Eδ3

=A

2δ2

∑mnk

[6− 2µ(m+ 1, n, k) · µ(m,n.k)− 2µ(m,n+ 1, k) · µ(m,n.k)

−2µ(m,n, k + 1) · µ(m,n.k)

](2.37)

Que pode ser reescrita como:

Eδ3

=A

2δ2

∑mnk

[2− 2µ(m+ 1, n, k) · µ(m,n.k) + 2− 2µ(m,n+ 1, k) · µ(m,n.k) + 2

−2µ(m,n, k + 1) · µ(m,n.k)

](2.38)

Desse modo, podemos escrever a energia de troca por unidade de volume entre duas

celulas de lado d = δ:

Eexchδ3

=A

δ2

∑ij

[1− µi · µj] (2.39)

A soma em i representa todas as celulas do sistema, a soma em j representa todos os

vizinhos da celula i. Logo a interacao de troca e de curto alcance.

16

2.6.2 Energia Zeeman

A energia Zeeman descreve a interacao entre a magnetizacao de um determinado

material e o campo externo em que esse encontra-se submetido. Os dipolos magneticos

tendem a se alinhar paralelamente com o campo externo. Essa energia apresenta um

mınimo quando o momento magnetico aponta na direcao do campo externo. A energia

por unidade de volume da celula de simulacao e uniforme e nao depende da sua dimensao.

Em todo o sistema, a energia Zeeman sera a soma de cada uma individualmente:

EZeemand3

= ~Hext ·Ms

∑i

mi (2.40)

onde Ms e a magnetizacao de saturacao do ferromagneto em questao.

2.6.3 Energia de Anisotropia

Em alguns solidos nota-se a existencia de uma tendencia a magnetizacao na direcao de

um eixo cristalino preferencial (no caso da anisotropia uniaxial, que trataremos no nosso

trabalho) com relacao aos outros. Isso ocorre devido ao campo originado pela interacao

de troca entre os spins dos atomos vizinhos que orienta os momentos magneticos numa

direcao privilegiada. Resumindo: a simetria da estrutura cristalina afeta o processo de

troca, nesse caso ocorre eixos preferenciais para a magnetizacao. Isso e o que chamamos

de energia de anisotropia, a qual possui um mınimo quando os momentos magneticos

estao orientados ao longo desses eixos, denominados de eixos de facil magnetizacao.

Podemos escrever a energia de anisotropia uniaxial em funcao dos angulos de magne-

tizacao em relacao aos eixos cristalinos θ:

Ea = KV sin2 θ (2.41)

onde K e a densidade de energia cristalina.

Podemos escrever a energia de anisotropia unixial por volume para uma celula

magnetica de lado d como:

Ead3

= K sin2 θ (2.42)

2.6.4 Energia Magnetostatica

A energia magnetostatica ou dipolar, representa a interacao entre um dipolo magnetico

e todos os outros do sistema. A equacao 2.3 ja nos mostra o campo que um dipolo produz

em um ponto especıfico do espaco. Poderıamos a partir dela, com o uso de uma integral,

encontrar o potencial associado a esse campo. Se considerarmos cada atomo como um

17

dipolo magnetico ~M com spin ~S, podemos escrever a energia magnetostatica por atomo

a uma distancia ~r:

EDip =M2

s V2

2

∑i

∑j

{~Si · ~Sjr3ij

− (~Si · ~rij)(~Sj · ~rij)r5ij

}(2.43)

Podemos reescrever essa expressao em funcao da aresta da celula magnetica d. Vamos

tomar ~r = d~n, onde ~n e um vetor que representa a distancia entre as celulas de simulacao

em funcao das arestas. Desse modo:

EDip =M2

s V2

2d3

∑i

∑j

{mi · mj

n3ij

− (mi · ~nij)(mj · ~nij)n5ij

}(2.44)

onde i representa todas as celulas do sistema, assim como j. O numero 2 aparece para

que nao seja contado a mesma interacao duas vezes.

Para representar a energia dipolar de uma celula magnetica por unidade de volume,

reescrevemos a equacao 2.44 em funcao do volume da celula unitaria, ou seja:

EDipd3

=M2

s V2

2

∑i

∑j

{mi · mj

n3ij

− (mi · ~nij)(mj · ~nij)n5ij

}(2.45)

Energia Total por Unidade de Volume

Agora que temos todas as energias magneticas por unidade de volume para cada celula

magnetica, podemos escrever a energia total por unidade de volume como a soma de todas

as energias em todas as celulas magneticas:

E(T/V ) = Ad2

∑i

∑j

[1− mi · mj]− ~H ·MS

∑i

~mi −K

2

∑i

(mzi )

2

+M2

s

2

∑i

∑k

{mi · mk

r3ik− (mi · ~rik)(mk · ~rik)

r5ik

}(2.46)

A figura 2.3 ilustra uma representacao de uma celula cristalina, de uma celula de

simulacao e de todo o sistema magnetico de acordo com a abordagem escolhida nesse

trabalho.

2.7 Campo Medio Local

A partir da equacao 2.46, teremos o campo associado a cada parcela de energia, devido

ao fato de o campo nessas situacoes ser dado pela divergencia da energia com relacao aos

momentos magneticos. Se quisermos trabalhar com o campo medio, devemos dividir a

18

Figura 2.3: Figura representativa de: 1) Celula cristalina, onde a0 e o parametro de rede.2) Representa a celula de simulacao magnetica com o seu momento de dipolo efetivo, comcomprimento menor que o comprimento de troca. 3) Representa o sistema como um todo,dando enfase para uma celula i, seus primeiros vizinhos j e todos os outros vizinhos k. Ainteracao entre i e j ocorre por interacao de troca, entre i e k ocorre por meio de interacaodipolar. Esta figura construıda a partir da figura da referencia [3].

divergencia com respeito a magnetizacao de saturacao. Desse forma, o campo medio local

e [2]:

~H i = − 1

Ms

∂E(V/T )

∂mpi

(2.47)

onde i indica a celula magnetica e p indica a direcao cartesiana com que se toma a

divergencia. Aplicando a equacao 2.47 na equacao 2.46, teremos todos os campos medios

locais. A soma de todos eles nos fornece o campo medio efetivo:

~Heff = ~HpExch + ~Hp

Zeeman + ~HpAnis + ~Hp

Dip (2.48)

2.7.1 Campo de Troca

De acordo com a equacao 2.47, o campo de troca que atua em uma celula i sera:

~HpExch = − 1

Ms

∂EExch∂mp

i

(2.49)

Para o eixo x em particular, temos:

~HxExch = − 1

Ms

∂

∂mxi

(A

d2[1− (mx

imxj +my

imyj +mz

imzj)]

)(2.50)

~HxExch =

A

Msd2mxj (2.51)

19

De maneira analoga, encontramos os campos das componentes y e z:

~HyExch =

A

Msd2myj (2.52)

~HzExch =

A

Msd2mzj (2.53)

Como dito anteriormente, j representa os primeiros vizinhos de i. No caso tridimen-

sional, i tem seis vizinhos j.

2.7.2 Campo Zeeman

A energia Zeeman alinha os momentos magneticos do sistema na direcao do campo

externo. Utilizando a expressao 2.47 na 2.40, temos:

~HxZeeman = −Ms

Ms

∂

∂mx

(Hxmx +Hymy +Hzmz) (2.54)

Observamos imediatamente que:

HxZeeman = H cos θ (2.55)

HyZeeman = H sin θ (2.56)

HzZeeman = 0 (2.57)

2.7.3 Campo de Anisotropia

Como dito anteriormente, nossa anisotropia e uniaxial, portanto so havera um campo

de anisotropia na direcao do eixo de facil magnetizacao. Definiremos essa direcao como

sendo x. Utilizando a equacao 2.47 na expressao 2.42, obtemos [2, 3]:

~HxAnis = − 1

Ms

[−2Kmx] (2.58)

Portanto:

~HxAnis = −2Kmx

Ms

(2.59)

2.7.4 Campo Dipolar

A interacao dipolar atua em todos os pares de celulas do sistema. De acordo com a

equacao 2.47, temos:

20

~HpDip = − 1

Ms

∂EDip∂mp

i

(2.60)

Utilizando a equacao 2.45 na 2.60, obtemos:

HpDip = −M

2s

Ms

∂

∂mpi

{−3

(mxi n

xik +my

inyik +mz

inzik

)(mxkn

xik +my

knyik +mz

knzik

)n5ik

+mxim

xk +my

imyk +mz

imzk

n3ik

}(2.61)

De posse da equacao 2.61, podemos calcular cada componente (x, y, z) do campo

dipolar:

HxDip = −Ms

2

∑k

{−3(mx

knxik +my

knyik +mz

knzik)n

xik

n5ik

+mxk

n3ik

}(2.62)

HyDip = −Ms

2

∑k

{−3(mx

knxik +my

knyik +mz

knzik)n

yik

n5ik

+myk

n3ik

}(2.63)

HzDip = −Ms

2

∑k

{−3(mx

knxik +my

knyik +mz

knzik)n

zik

n5ik

+mzk

n3ik

}(2.64)

2.7.5 O Campo Medio e o Equilıbrio

Obtido os campos medios locais, podemos calcular o campo medio efetivo dado pela

equacao 2.48. A configuracao de equilıbrio e alcancada quando os momentos magneticos

de cada celula apontam na direcao do campo medio local, ou seja, o torque entre o

campo medio local e o momento magnetico local e mınimo, neste caso a equacao 2.46 e

minimizada. Portanto, achamos o vetor que nos mostra o campo efetivo.

2.8 Interacao Entre Dois Nanoelementos

Imagine agora dois nanoelementos que interagem entre si, separados por uma distancia

~rqv. O q-esimo nanoelemento deve interagir magnetostaticamente com o v-esimo elemento.

O campo dipolar de um interage com o outro. Assim, podemos afirmar que, para todos

os efeitos, o campo dipolar do q-esimo elemento e visto como um campo Zeeman pelo

v-esimo elemento, com o campo dipolar interagindo com os momentos magneticos. Esse

termo pode ser escrito de acordo com a equacao 2.40 [3]:

EVD = −Ms

~HD ·∑j

mj (2.65)

21

Figura 2.4: Figura esquematica de cada campo atuante na celula magnetica i. A somadesses campos individualmente nos fornece o campo efetivo. Esta figura foi baseada nareferencia [3].

Entao o campo dipolar do q-esimo nanoelemento no v-esimo e:

EvD = −M v

s~HqD ·

∑j

mv,j (2.66)

onde M vs e a magnetizacao de saturacao do v-esimo elemento. De modo analogo, podemos

encontrar o campo dipolar do v-esimo elemento no q-esimo elemento:

EqD = −M v

s~HvD ·

∑l

mq,l (2.67)

Em ambas as equacoes os ındices q e j indicam, respectivamente, os nanoelementos q

(NE1) e o v (NE2). A figura 2.5 ilustra bem esta situacao:

22

Figura 2.5: Representacao de dois nanoelementos, NE1 e NE2 com suas respectivasalturas h1 e h2, separados por um espacador nao magnetico de espessurra ε. Esta figurafoi retirada da referencia [3].

Podemos entao, finalmente, escrever a energia total em cada nanoelemento agora que

possuımos todas as energias consideradas em nosso modelo magnetico. Temos em NE1:

energia de troca entre as celulas magneticas e suas vizinhas, energia Zeeman entre o

campo externo e o momento magnetico da celula, energia de anisotropia, energia devido

ao campo dipolar entre todos os pares de celulas do NE1 e o campo dipolar em NE1

devido ao NE2. O mesmo e valido para NE2.

Os campos dipolares entre os v-esimos e q-esimos nanoelementos sao:

~HvD =

M vs

2

∑i

∑k

{3[nv,ik + rvq][mv,k · (nv,ik + rvq)]

|nv,ik + rvq|5− mv,k

|nv,ik + rvq|3

}(2.68)

E:

~HqD =

M qs

2

∑l

∑s

{3[nq,ls + rqv][mq,s · (nq,ls + rqv)]

|nq,ls + rqv|5− mq,s

|nq,ls + rqv|3

}(2.69)

Utilizando as equacoes 2.68 e 2.69 nas equacoes 2.66 e 2.67, e adicionado o resultado

na equacao 2.46 como um outro termo dipolar, teremos:

23

EvT =

Av

d2

∑i

∑j

[1− mv,i · mv,j]−Kv

2

∑i

(mzv,i)

2 − ~H ·M vs

∑i

~mv,i

+M v

sMqs

2

∑l

∑s

∑i

{~mv,i · mq,s

|nq,ls + rqv|3− 3[~mv,i · (nq,ls + rqv)][mq,s · (nq,ls + rqv)]

|nq,ls + rqv|5

}

+(M v

s )2

2

∑i

∑k

{mv,i · mv,k

r3v,ik− (mv,i · ~rv,ik)(mv,k · ~rv,ik)

r5v,ik

}(2.70)

E para o outro nanoelemento:

EqT =

Aq

d2

∑l

∑s

[1− mq,l · mq,l]−Kq

2

∑l

(mzq,l)

2 − ~H ·M qs

∑l

~mq,l

+M q

sMvs

2

∑i

∑k

∑l

{~mq,l · mv,k

|nv,ik + rvq|3− 3[~mq,l · (nv,ik + rvq)][mv,ik · (nv,ik + rvq)]

|nv,ik + rvq|5

}

+(M q

s )2

2

∑l

∑s

{mq,l · mq,s

r3q,ls− (mq,l · ~rq,ls)(mq,s · ~rq,ls)

r5q,ls

}(2.71)

As equacoes 2.70 e 2.71 representam a energia total, incluindo a energia magnetostatica

entre os dois nanoelementos admitindo que eles possuam as mesmas espessuras, como a

mesma celula de simulacao. Para mudarmos isso, basta associarmos v e q ao seu respectivo

parametro d nas equacao acima.

2.9 Parametros dos Materiais Magneticos

Nessa dissertacao, trabalharemos especificamente com o elemento Ferro (Fe). Os

parametros magneticos do material estao listados na tabela 2.6 [25, 26].

Figura 2.6: Tabela de parametros do ferro. Figura baseada na referencia [3].

24

2.10 Metodo Autoconsistente

O metodo numerico utilizado neste trabalho, tem como objetivo apresentar estruturas

de equilıbrio para determinadas nanoestruturas (cilındros e elipsoides de Fe) de acordo

com as energias anteriormente discutidas, associadas a equacao do torque:

d ~M

dt= −γ ~M × ~Heff (2.72)

O equilıbrio acontece quando os momentos magneticos apontam na direcao do campo

efetivo, de modo que a taxa de variacao da magnetizacao com relacao ao tempo seja nula.

O metodo autoconsistente utilizado e descrito de forma simplificada [2, 3], abaixo:

1. Inicialize o sistema com uma configuracao magnetica previamente escolhida.

2. Calcule o campo efetivo local sobre cada celula.

3. Compare o valor calculado para a configuracao magnetica obtida pela equacao do

torque em relacao a uma tolerancia.

4. Se o torque for menor ou igual a tolerancia, entao aceite a configuracao.

5. Se o torque for maior do que a tolerancia, entao os momentos sao alinhados com o

campo efetivo local. Entao retorne ao passo 2.

6. O calculo e repetido ate que o torque seja inferior a tolerancia ou ate que o numero

de interacoes chegue ao seu limite preestabelecido.

25

Capıtulo 3

Nanoestruturas Ferromagneticas

Acopladas Magneticamente

Os dispositivos eletronicos estao cada vez menores e mais eficientes com o desenvolvi-

mento de tecnologias de miniaturizacao como a litografia. O controle e estudo academico

das estruturas que possibilitam o avanco tecnologico e necessario. Uma das areas da

tecnologia que alcancou um grande progresso, gracas a avancos tecnologicos, e o desenvol-

vimento de dispositivos de memoria nao volatil, como por exemplo a memoria magnetica

de acesso aleatorio (MRAM), esta tecnologia nao presente ainda em nossos computadores

se apresenta como uma solucao para a volatilidade da memoria RAM e baixando de forma

significativa o consumo de energia eletrica dos computadores pessoais bem como a seguraca

de dados. Parte desse processo tecnologico evolutivo e possıvel devido a nanotecnologia,

mais especificamente, ao nanomagnetismo. O qual vem se mostrando bastante util, nao

somente para a producao de memorias nao volateis, mas tambem para boa parte da area

de gravacao, assim como na producao de nanoosciladores de micro ondas. Todos esses

produtos sao de grande interesse para o mercado e para aprimorarmos esses dispositivos

e importante o estudo de estruturas nanomagneticas [14, 15, 16, 17, 18, 23, 24].

Os nanodiscos cilındricos e elipsoidais fazem parte de diversos dispositivos amplamente

utilizados na tecnologia contemporanea, como: dispositivos magnetoresistivos gigantes

(GRM) e juncoes magneticas de tunelamento, presentes nas cabecas de leituras magneto-

resistivas e candidato a unidade de gravacao das MRAM [23]. No caso de nano osciladores,

sistemas magneticos interagentes sao capazes de produzir frequencias e potencia de trans-

missao muito superiores ao sistema isolado [3]. O tipo de material e suas dimensoes sao

de grande importancia nos resultados observados, ou seja, no comportamento magnetico

dos dispositivos [1, 22, 27].

Nesse capıtulo, estudaremos os efeitos do campo magnetico aplicado em nanoelipsoides

de ferro. Em seguida, estudaremos como este comportamento se altera na presenca de um

nanoelemento identico separados por um espacador nao magnetico a interacao entre os

nanoelementos, neste caso, ocorre via campo dipolar. Mais especificamente estamos pre-

26

ocupados com a curva de remanencia, nas dimensoes especificadas a seguir, identificando

as fases magneticas em campo nulo.

Nosso objetivo e investigar a relacao entre as dimensoes dos nanodiscos e os estados

magneticos resultantes na curva de remanencia. Assim como a rota que foi utilizada para

atingir a saturacao, ou seja, a dependencia do estado magnetico com a direcao do campo

magnetico aplicado. Depois comparar estes resultados para o caso dos nanoelementos

acoplados.

3.1 Estados Magneticos de Remanencia de Na-

noelıpses

Inicialmente aplicamos um campo suficientemente alto em uma direcao sobre um na-

noelemento magnetico, alinhamos todos os momentos magneticos na direcao desse campo.

Em seguida, diminui o campo gradualmente ate chegar a campo magnetico nulo. Estuda-

remos os estados associando a cada valor do campo o valor da magnetizacao do material.

Ao longo desta curva tem-se um estado magnetico associado a cada ponto que pode se

manter conforme o campo anterior ou mudar dependendo dos parametros magneticos e

das dimansoes do material, bem como da direcao do campo magnetico aplicado. Dare-

mos destaque ao estado de remanencia, ou seja, o estado magnetico para campo nulo.

Nesse contexto, tentaremos responder perguntas como: Comos as dimensoes do material

afetam as configuracoes ou estados magneticos para a campo nulo? Como estes estados

se formam ao longo da curva de remanencia? Como o segundo nanoelemento afeta estes

estados? Estas e outras perguntas sao de grande importancia no estudo de nanoestrutu-

ras magneticas e consequentemente na producao de ferramentas tecnologicas ja citadas

anteriormente.

Nosso metodo de investigacao consiste em saturar a magnetizacao em uma direcao pre-

determinada de um certo acoplamento de nanoelementos magneticos isolados ou em pares

separados por um espacador nao magnetico conforme a figura 2.5. Em seguida,diminuimos

o campo magnetico ate atingir a remanencia. Logo, estudaremos a curva de magnetizacao,

identificando a configuracao magnetica em remanencia e caracterizando os estados em

funcao das dimensoes dos nanoelementos.

3.1.1 Estados de Remanencia para Estruturas Nanomagneticas

Isoladas

Neste trabalho identificamos estados ou fases magneticas que serao descritos na nossa

investigacao de estados em remanencia para nanoelementos elipsoidais isolados, seguem

listados abaixo [3]:

27

D: Quando os momentos magneticos estao alinhados.

C-buckle: Quando o mapa dos momentos magneticos forma um C no plano onde se

encontra uma das faces da nanoestrutura.

Perpendicular: Quando os momentos magneticos orientam-se na direcao perpendi-

cular a uma das faces da nanoestrutura.

Vortice: Se os momentos magneticos se fecham ao longe de um eixo perpendicular a

uma das faces da nanoestrutura.

Vortice perpendicular: Ocorre a formacao de vortex de forma perpendicular ao

plano de referencia.

C-Y: Quando a magnetizacao se curva em torno do eixo Y que esta contido no plano

da estrutura.

S: Quando os momentos magneticos se organizam em forma de S no plano da nano-

estrutura.

VDV: Ocorre quando temos dois vortices em um mesmo nanoelemento, mas com

quiralidades diferentes. Esse estado tambem e conhecido como estado diamante.

VAV: Ocorre quando temos dois vortices no mesmo nanoelemento e com as mesmas

quiralidades.

TV: Ocorre quando temos tres vortices no mesmo nanoelemento.

VDV*: Nesse estado ocorrem dois vortices com quiralidades opostas, contudo

tambem se observa perto destes regioes com a saıda dos spins do plano como uma tentativa

de minimizar o campo dipolar.

A figura 3.1 mostra uma representacao esquematica de algumas estruturas citadas e

identificadas nestes trabalho.

Consideramos estado uniforme ou monodomınio mesmo tendo alguns desvios da mag-

netizacao como por exemplo: C-buckle, C-Y e S, como estados de domınio, pois os

momentos magneticos apontam em grande maioria para uma mesma direcao, causando

assim um grande campo remanente.

Com respeito aos vortices e importante olharmos duas caracterısticas dos mesmos:

a quiralidade, que nos diz se o vortice ocorre no sentido horario ou anti-horario e a

polaridade, que nos diz se o vortice ocorre no sentido positivo ou negativo do eixo Z.

Os vortices sao uma tentativa do sistema magnetico de acabar com a carga de magne-

tizacao superficial e por isso, os momentos magneticos comecam a se fechar em relacao a

um ponto (ponto chamado de core do vortice). Quando se chega perto do core, o angulo

entre os momentos magneticos tornam-se muito grande acarretando assim uma grande

energia de troca. Por esse motivo os momentos magneticos saem do plano perto desse

ponto [4].

28

Figura 3.1: Figura esquematica de fases magneticas em nanoestruturas cilındricas.

3.1.2 Estados de Remanencia para Estruturas Nanomagneticas

Acopladas

Quando acoplamos elipsoides separados por um espacador nao magnetico, temos varios

estados possıveis para a remanencia. Os principais estao listados a seguir [3]:

AF: Quando os dois elementos sao uniformes, mas antiparalelos com relacao a seus

momentos magneticos. Nesse caso, os dois elipsoides tornam-se antiferromagneticos entre

si.

SS: Quando os dois elementos sao do tipo S e cada momento magnetico e anti-paralelo

ao seu correspondente no outro nanoelemento.

FM: Quando os dois elementos sao de domınio (uniforme) e com os momentos

magneticos paralelos entre si.

VD: Um elemento e de domınio e o outro de vortice.

VAF: Vortice nos dois elementos, mas com quiralidades opostas.

VFM: Vortice nos dois elementos e com quiralidades iguais.

DVV: Vortices duplos nos dois nanoelementos.

TVV:Vortices triplos nos dois nanoelementos.

A figura 3.2 apresenta as fases magneticas identificadas neste trabalho para nanoes-

truturas acopladas via campo dipolar.

Pode-se ainda, classificar os estados com vortices com relacao a sua respectiva polari-

29

Figura 3.2: Figura esquematica de fases magneticas em nanoestruturas acopladas viacampo dipolar. Representamos os tres estados identificados no diagrama da figura 3.22.

dade. Nesse caso, teremos dois estados diferentes se as polaridades forem diferentes. Por

exemplo, podemos ter um estado VAF, onde os vortices alem de terem quiralidades opos-

tas tambem possuem polaridades opostas, nesse caso definimos o estado como VAF-AP.

Ou podemos ter o mesmo estado VAF, mas com polaridades iguais, nesse caso definimos

o estado com o nome de VAF-P. O mesmo serve para os estados VFM [28].

Um etapa muito importante com relacao a analise de vortices magneticos e fazer

uma comparacao de nanodiscos isolados com nanodiscos acoplados que possuam a mesma

dimensao. Por exemplo: temos uma nanoelipse isolada com certas dimensoes e analisamos

sua fase magnetica em remanencia. Em seguida acoplamos esse nanoelemento com outro

identico separados por um espacador nao magnetico de espessura preestabelecida. O que

ocorrera com o estado magnetico de remanencia depois que acoplamos os nanoelementos?

Perguntas como esta sao importantıssimas no controle de distancia de vortices magneticos,

tal como no seu estudo de dinamica e, portanto, serao investigadas neste trabalho.

A partir daqui faremos uma serie de estudos comparativos. Primeiro iniciaremos

investigando os estados remanentes em estruturas elıpticas isoladas, considerando varias

variaveis como: tamanho do diametro maior e do diametro menor, e a rota de preparacao

(direcao em que o campo de saturacao e aplicado). Depois comparamos estruturas isoladas

com estruturas acopladas de mesma dimensao, discutindo como a presenca do segundo

nanoelemento influencia no estado remanente do primeiro.

30

3.2 Nanoestruturas Elipsoidais Isoladas de Fe com

Campo Aplicado ao Longo do Eixo de Anisotro-

pia

Trabalharemos nessa sessao com nanoelementos elipsoidais de Ferro. Os parametros

magneticos considerados para a nossa simulacao sao listados na figura 2.6 e o eixo de

anisotropia uniaxial foi definido como o eixo x. Nosso estudo consiste em identificar o

estado remanente em funcao das dimensoes laterais da nanoelipse para uma determinada

espessura. Comparamos estes estados para campo magnetico aplicado ao longo do eixo de

anisotropia e perpendicular a este. Estudaremos o perfil da curva de remanencia que leva

a cada estado particular. Ainda neste trabalho com as mesmas dimensoes estudaremos

como a presenca de um segundo nanoelemento identico altera os estados remanentes.

A figura 3.3 foi construıda identificando os estados remanentes de nanoelementos iso-

lado de Fe em funcao de suas dimensoes laterais. O seu diametro maior foi variado de

300 nm a 500 nm, enquanto seu diametro menor vai de 100 nm a 200 nm. O eixo de

anisotropia e na direcao do eixo menor, assim como a direcao do campo utilizado para

atingir a saturacao. A espessura do nanoelemento e de 25 nm.

Iniciamos com uma campo magnetico aplicado de intensidade suficiente para saturar

o nanoelemento. A partir desse estado diminuimos o campo gradativamente ate chegar-

mos a campo nulo. Onde estudaremos o estado de remanencia e o relacionamos com as

dimensoes utilizadas, de forma a contruirmos o diagrama de configuracoes magneticas em

remanencia.

Note que o estado de vortice ocupa a maior area do diagrama. De fato, esse e um

estado bem estavel, pois minimiza a energia de troca e a energia dipolar em regioes

longe do nucleo, enquanto que no nucleo do vortice minimiza a energia dipolar, pois

os momentos magneticos se fecham entre si. Entretanto, tambem minimiza a energia

de troca, destacamos que o nucleo do vortice e a regiao onde a magnetizacao sai do

plano do nanoelemento de maneira a nao formar uma parede de domınio de 180 graus

extremamente curta no centro do vortice. Na regiao inferior do nosso diagrama(diametro

maior nao ultrapassando 340 nm), devido as dimensoes, identifica-se que suporta somente

um vortice, ja nas regioes que o diametro maior assume valores maiores que 340 nm ha

uma gama maior de configuracoes magneticas. Veremos adiante que estas configuracoes

nao permanecem da mesma forma se o campo magnetico for aplicado perpendicular ao

eixo de anisotropia.

Escolhemos as nanoelipses de modo que mesmo nessas regioes o diametro maior da

elipse (na direcao do eixo y) ainda possui grande vantagem com relacao ao diametro

menor (na direcao do eixo x). Temos uma grande regiao de formacao de vortices mesmo

nessa area do diagrama. Esse comportamento pode ser observado quando olhamos para

31

Figura 3.3: A figura mostra um diagrama de fases magneticas em remanencia paracilındros de bases elıpticas, em funcao de seus diametros, com uma espessura fixa de 25nm. O eixo de anisotropia uniaxial e o eixo do menor diametro, assim como a orientacaodos momentos magneticos inicialmente.

a figura 3.3. Note que o maior valor de Dx ainda e menor que o menor valor de Dy.

Como a magnetizacao tende a se alinhar na direcao do eixo de maior tamanho, existe

uma competicao entre a anisotropia uniaxial e a anisotropia de forma. Essa competicao

favorece a formacao de estados de vortices.

Note ainda na figura 3.3, que ao aumentarmos Dx podemos tambem aumentar Dy,

alem do valor de 340 nm, sem sair do estado de vortice unico, desde que esse nao exceda

o valor de 390 nm e que o aumento no diametro menor seja proporcional ao realizado no

diametro menor. Para valores de Dy maiores que 390 nm, nao teremos mais estados de

vortices.

A medida que vamos aumentando o diametro maior do nanoelemento para valores

maiores que 340 nm, observamos a formacao de outros estados que nao e o de vortice unico.

Isso ocorre devido ao fato de que o aumento do tamanho do nanoelemento faz surgir espaco

suficiente para novos estados magneticos. Para as dimensoes estudadas identificamos uma

grande area do diagrama da figura 3.3 com o estado remanente VDV. Esta regiao e aquela

em que o diametro maior e menor assumem seus valores aproximadamente intermediarios

(Dy entre 360 nm e 500 nm e Dx variando de 115 nm a 165 nm). Esse estado em

remanencia, para estas dimensoes, ocorre pelo fato de que, entre os vortices existir uma

regiao de domınio, que ao mesmo tempo se fecha com as quiralidades dos vortices (que

32

sao opostas entre si) e tambem minimiza a energia de troca, pois os momentos magneticos

apontam na mesma direcao [3, 4, 29, 30].

Nas regioes em que, Dy assume, aproximadamente, os valores de 360 nm a 500 nm

e Dx de 100 nm ate 110 nm, temos os estados VDV*. Desse modo, podemos dizer que

os estados VDV* ocorrem devido a alta excentricidade dessa regiao da figura 3.3. Estes

estados apresentam dois vortices e um domınio, contudo vale a pena diferencia-los do

estado de VDV, pelo fato de que ao lado de cada vortice existe uma entrada consideravel

dos momentos magneticos no plano do nanoelemento, tal entrada possui uma polaridade

contraria a do vortice. Isto pode acontecer devido a uma tentativa de diminuicao do campo

dipolar e ocorre devido a alta excentricidade do nanoelemento. Ja foi dito anteriormente,

que no nucleo do vortice a magnetizacao sai do plano para diminuir a energia de troca,

mas essa saıda apresenta um grande custo de energia dipolar. Sendo assim, os momentos

magneticos tendem a voltar para o nanodisco, como uma tentativa de minimizar essa

energia.

De fato, os estados VDV e VDV* sao diferentes. Para evidenciar esse fato, vamos

comparar a curva de magnetizacao e o mapa de spin de duas nanoelipses com dimensoes

diferentes. A primeira tem as dimensoes 105 nm x 415 nm x 25 nm e em remanencia

apresenta estado VDV*. A segunda possui as dimensoes 165 nm x 395 nm x 25 nm e

em remanencia apresenta estado VDV. A figura 3.4 ilustra uma comparacao da curva de

magnetizacao de dois nanoelementos com esses estados. O eixo das abcissas representa

o campo em kOe e o eixo das coordenadas representa a razao entre a magnetizacao e a

magnetizacao de saturacao. A curva em azul e referente ao estado VDV e a vermelha ao

estado VDV*. Esta figura tambem ilustra as regioes de ocorrencia desses dois estados e as

letras A e B mostram a posicao exata correspondente as dimensoes dessas nanoestruturas.

Uma outra comparacao que pode ser feita e a do mapa da configuracao dos momentos

magneticos dos estados de remanencia. A figura 3.5 faz esta comparacao. A estrutura

A e referente ao estado VDV* e a B ao VDV. Observando esta figura, vemos claramente

que o estado VDV* apresenta proximo ao vortice uma saıda dos momentos magneticos

do plano com polaridade oposta a do mesmo. Porem, essas linhas nao se fecham ao

redor de um nucleo e, portanto, nao configuram um vortice. Por outro lado, os estados

VDV apresentam apenas uma estrutura com dois vortices, com quiralidades opostas e um

domınio entre eles. Com excecao dos dois vortices, todos os outros momentos magneticos

estao no plano XY , diferentemente do estado VDV*. Outra diferenca notavel e que a

regiao de domınio da estrutura B e maior do que a da estrutura A. Isto ocorre porque as

regioes em que os momentos magneticos saem do plano (regioes proximas aos vortices na

fase VDV*) ocupam um espaco no nanoelemento e por isso aproximam os dois vortices

um do outro, fazendo assim com que a regiao de domınio seja menor quando comparamos

os estados VDV* com os estados VDV.

Vale a pena diferenciar esses dois estados pelo seguinte motivo: uma estrutura VDV*

33

Figura 3.4: A figura ilustra a comparacao da curva de magnetizacao de duas nanoes-truturas de dimensoes diferentes. A curva em vermelho representa uma estrutura cujoestado de remanencia e VDV*. A curva preta representa uma estrutura cujo estado deremanencia apresenta configuracao VDV.

pode emitir frequencias diferentes, devido as saıdas proximas aos vortices, do que uma es-

trutura VDV. Essa informacao pode ser importante para a fabricacao de nanoosciladores.

Uma outra comparacao interessante de se ressaltar e a das curvas das componentes z da

magnetizacao em funcao de y quando mantemos z fixo e x = 0, para as duas configuracoes

(VDV e VDV*). Para isso, vamos construir duas curvas caracterısticas comparando esses

estados (VDV e VDV*).

Observa-se na figura 3.6, que os estados apresentam uma diferenca visıvel, nao somente

nas curvas de magnetizacao e no estado magnetico em remanencia, como tambem nessa

curva em que analisamos a componente perpendicular da magnetizacao na linha que

passa pelo centro do nanoelemento ao longo de seu maior eixo. A curva da estrutura

A apresenta duas saıdas consideraveis a mais que a estrutura B. Note que os vortices

nao sao sobrepostos um ao outro e por isso a regiao de domınio em B e maior do que

em A. Observa-se que as tais saıdas do momento magnetico do plano, ja mencionados

anteriormente, ocorrem apenas nas estruturas VDV*. Como dito anteriormente, isto

ocorre devido ao campo dipolar.

34

Figura 3.5: A figura ilustra a comparacao do mapa de spin no estado de remanenciade duas nanoestruturas de dimensoes diferentes. O mapa A representa uma estruturacujo estado de remanencia e VDV*. O mapa B representa uma estrutura cujo estadode remanencia apresenta configuracao VDV. O mapa de cor indica a componente z damagnetizacao.

3.2.1 Estudo das Curvas de Remanencia

Nesta secao, listamos os estados remanentes e descrevemos suas respectivas confi-

guracoes de momentos magneticos no espaco. Contudo, e importante tambem observar

a formacao dos estados magneticos ao longo da curva de remanencia. Por esse motivo,

vamos comparar as curvas de magnetizacao, selecionando alguns pontos para observar no

mapa de magnetizacao de todos os estados presentes no diagrama. O estudo da formacao

dos vortices e o controle de suas distancias (em caso de estados de mais de um vortice)

e de grande ajuda na producao de dispositivos magneticos utilizados na industria, como:

nanoosciladores, dispositivos de gravacao magneticas, entre outros.

3.2.1.1 Domınio (D)

O estado de domınio e o estado mais simples. Como descrito anteriormente, todos ou

quase todos os momentos magneticos apontam em uma determinada direcao. A figura 3.7

35

Figura 3.6: A figura mostra duas curvas, onde o eixo das abcissas representa a componentez dos momentos magneticos e o eixo das coordenadas representa o valor de y. A curvaem vermelho representa uma estrutura, cujo estado magnetico em remanencia e VDV* ea em azul uma estrutura VDV. Ao lado das curvas encontra-se ilustrado um esquema donanoelemento e da direcao do campo aplicado. O mapa de cor indica a componente z damagnetizacao.

ilustra uma curva de magnetizacao para uma estrutura que apresenta estado remanente D.

Esta tambem nos mostra uma curva de magnetizacao e o seu respectivo estado magnetico

de alta remanencia.

Note que a estrutura comeca saturada na direcao y e se mantem nesse estado ao longo

de toda a curva de magnetizacao. Sendo assim, o estado inicial descreve todos os demais.

Outra informacao importante, que ajuda na determinacao do estado, e a curva que

relaciona a componente z do momento magnetico com a dimensao em y, ao mantermos

x = 0 e z fixo, que nesse caso foi escolhido como sendo o valor que corta o meio do

nanoelemento.

A figura 3.8 confirma o fato que, alem de todos os momentos magneticos, em sua

maioria, apontarem para uma determinada direcao, assim, quase todos os momentos

magneticos estao no plano XY . Torna-se claro entao, que nesse tipo de estrutura a

interacao de troca e a anisotropia de forma se sobresai sobre as outras energias, sendo

36

Figura 3.7: Curva de magnetizacao e estado magnetico de uma estrutura magnetica, cujoestado remanente e de domınio. O mapa de cor indica a componente z da magnetizacao.

Figura 3.8: A componente z do momento magnetico em funcao da dimensao em y e doestado magnetico de uma estrutura magnetica, cujo estado remanente e de domınio. Omapa de cor indica a componente z da magnetizacao.

37

Figura 3.9: Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma nanoestrutura magneticaisolada de Fe, cujo estado de remanencia e de vortice. O mapa de cor indica a componentez da magnetizacao.

assim bastante consideravel no valor do campo efetivo.

3.2.1.2 Vortice (V)

O estado de vortice e aquele que apresenta um fechamento das linhas dos momentos

magneticos ao redor de um nucleo, o chamado nucleo do vortice. Nessa regiao os momentos

magneticos acabam saindo do plano para que a energia de troca nao seja muito grande

nessas redondezas. O estado de vortice e amplamento discutido na literatura [2, 3, 29, 30,

31, 28]. A figura 3.9, mostra uma evolucao dos estados magneticos de uma nanoestrutura

cujo estado em remanencia e de vortice.

Note que a estrutura comeca com o estado uniforme equivalente ao ponto A. Nesse

estado todos os momentos magneticos apontam na direcao do eixo das abcissas e se

encontram todos no plano. A medida que vamos retirando o campo a estrutura comeca

a formar um estado de vortice ja no ponto B. A partir disso, o vortice se desloca e se

estabiliza no meio do nanoelemento, como representado no ponto C, que e o estado de

remanencia.

Observando o estado de remanencia (figura 3.10), temos que o vortice ocorre mesmo

no centro do nanoelemento e que em seu nucleo a magnetizacao e perpendicular ao plano

do vortice. A figura 3.10 permite estimar o tamanho do nucleo do vortice. Note que

proximo ao vortice ocorre uma pequena saıda dos momentos magneticos do plano com

uma polaridade oposta a do vortice, formando assim o que se chama de vortice de chapeu

mexicano. O qual e um estado muito discutido na literatura, sendo considerado o estado

de vortice mais classico [28].

38

Figura 3.10: Curva que mede a saıda da magnetizacao com relacao a posicao do eixo dascoordenadas sobre o esboco do nanoelemento em seu estado remanente. O mapa de corindica a componente z da magnetizacao.

Quando estamos estudando estados magneticos de estruturas magneticas, utilizamos

o conceito de celula magnetica. No nosso caso, usamos celulas magneticas de aresta

d = 5 nm. Ate agora todas os nossos nanoelementos possuem 25nm de espessura, ou seja,

temos 5 camadas do fundo ate o topo do nosso nanoelemento. Entao, quando observamos o

estado remanente, qual camada devemos observar? Para efeito de padronizacao utilizamos

sempre a camada do meio. Contudo e importante saber que o vortice pode apresentar

variacao ao longo do nanoelemento, e que isso pode ocorrer tambem, em outros estados,

mas para isso deve haver espaco suficiente, Logo neste caso o centro do vortice nao e

localizado.

A figura 3.11 representa o estado de magnetizacao remanente, no topo e no fundo

de um nanoelemento cujo estado remanente e de vortice. Acontece que o vortice ocorre

em uma regiao no topo, com um nucleo bem estreito; em outra regiao no fundo, com

um nucleo tambem estreito. Isso ocorre devido a ausencia de vizinhos nas camadas do

topo e do fundo, gerando assim um efeito de borda nesses estados [30]. Observe tambem

que esses estados sao simetricos entre si, com relacao ao eixo x. O que ja era esperado,

devido fato que esses contemplam a mesma energia e o vortice e o mesmo tanto no fundo,

como no topo. Observando o mapa de cor dessa figura, vemos que tanto no topo como no

fundo, a saida da magnetizacao do plano possui a mesma polaridade, deixando evidente

que o estado em questao e de um unico vortice que apresenta variacoes ao longo do

39

Figura 3.11: Comparacao dos estados magneticos de uma nanoestrutura, cujo estadomagnetico e de vortice unico com relacao ao topo e ao fundo. O mapa de cor indica acomponente z da magnetizacao.

nanoelemento.

3.2.1.3 Vortice-Domınio-Vortice (VDV)

Como dito anteriormente, o estado VDV e composto por dois vortices de quiralidades

opostas, separados por uma regiao de domınio. Umas das principais caracterısticas desse

tipo de curva e o fato de que os dois vortices surgem juntos e depois as estruturas se

deslocam para uma posicao de equilıbrio remanente. A figura 3.12, apresenta uma curva

de magnetizacao marcando tres pontos. O ponto A corresponde a estrutura saturada, o

ponto B ao valor de campo em que ocorre a formacao da estrutura VDV e o C ao estado

remanente.

Observando a curva de magnetizacao e o mapa de spin dos pontos A, B e C, observamos

que a estrutura VDV forma-se com os dois vortices juntos. A formacao ocorre no ponto

B, em seguida a regiao de domınio vai crescendo e os vortices vao se distanciando e se

locomovendo para o centro da estrutura. Quando o campo chega a zero, atingimos o

estado VDV no ponto C.

Observando a figura 3.13, percebemos que os picos na curva em azul conhecidem

exatamente com as regioes de vortices do nanoelemento e que o domınio esta no plano. A

partir dessa curva podemos estimar o tamanho do nucleo dos dois vortices e as distancias

entre eles.

40

Figura 3.12: Figura ilustrando a curva de magnetizacao e o processo de nucleacao deuma estrutura cujo estado remanente e VDV. O mapa de cor indica a componente z damagnetizacao.

Figura 3.13: Curva da componente z da magnetizacao em funcao da posicao no eixo dascoordenadas, para z fixo e x nulo. O mapa de cor indica a componente z da magnetizacao.

3.2.1.4 Vortice-Anti-vortice-Vortice (VAV)

A estrutura VAV ocorre quando temos dois vortices em uma mesma estrutura com

quiralidade iguais. Por esse motivo, entre os dois vortices surge o anti-vortice. E impor-

tante notar que pelo fato dos vortices terem uma mesma quiralidade, a regiao entre eles

41

apresentaria uma grande energia de troca se essa estrutura se mantivesse no plano XY .

Para minimizar a energia de troca o nucleo do anti vortice apresenta magnetizacao per-

pendicular ao plano como ocorre no vortice. Observamos esse comportamento analisando

a figura 3.14 [28, 31].

Analisando a figura 3.14, percebemos que a estrutura VAV nao ocorre com a formacao

dos dois vortices juntos, como na estrutura VDV. Na realidade, no ponto B o segundo

vortice nem sequer havia sido formado.

A curva representada na figura 3.15, confirma a informacao que o anti-vortice real-

mente ocorre fora do plano. Nesse caso, com polaridade oposta a um dos vortices.

3.2.1.5 Triplo Vortice (TV)

O estado de vortice triplo comporta dois vortices com quiralidades opostas com uma

regiao de domınio entre eles. Contudo, um desses vortices esta em estado VAV com outro

vortice de quiralidade igual, formando assim um anti-vortice entre eles. A figura 3.17

ilustra a evolucao magnetica de uma nanoestrutura, desde a saturacao ate o estado de

remanencia, que por sua vez apresenta tres vortices e a figura 3.16 compara as curvas de

magnetizacao de estruturas que apresentam fases remanentes do tipo TV e VAV. Note

que as assinaturas das curvas de magnetizacao sao distintas.

Para um maior detalhamento da estrutura dos vortices, vamos analisar a curva de Sz

em funcao de y quando mantemos o x e o z fixos.

Note que a figura 3.18 nos auxilia bastante a enxergar as fases magneticas presentes

na nanoestrutura. Observamos os dois vortices em VDV e a regiao de domınio entre

eles. Tambem observamos o anti-vortice e o terceiro vortice do nanoelemento remanente

Figura 3.14: Curva da componente z da magnetizacao em funcao da posicao no eixo dascoordenadas, para z fixo e x nulo. O mapa de cor indica a componente z da magnetizacao.

42

Figura 3.15: Curva que mede a saıda da magnetizacao com relacao a posicao do eixo dascoordenadas. Ao lado um esboco do nanoelemento em seu estado remanente. O mapa decor indica a componente z da magnetizacao.

e realmente confirmamos que o anti-vortice ocorre fora do plano.

3.3 Nanoestruturas Elipsoidais Isoladas de Fe com

Campo Aplicado Perpendicular ao Eixo de Ani-

sotropia

A rota de preparacao das estruturas altera de forma significativa as fases magneticas

em remanencia. A figura 3.3 foi construıda associando o diametro maior e o diametro

menor a seus respectivos estados magneticos em remanencia,para espessura de 25 nm e

o campo magnetico foi aplicado ao longo de eixo de anisotropia que e o eixo menor da

nanoestrutura. Observamos que o diagrama apresenta estados diferentes quando muda-

mos a direcao da aplicacao do campo. A figura 3.19, ilustra os estados magneticos em

remanencia com os respectivos diametros maior e menor da nanoestrutura.

Diferentimente da rota x, a figura 3.19 mostra que o estado mais presente e o domınio

na direcao do eixo das coordenadas. Ou seja, sao estruturas que apresentam uma magne-

tizacao em campo nulo, ou seja, alta remanencia. Isso e explicado devido ao fato de que

as dimensoes na direcao de do eixo facil sao bem menores que as dimensoes na direcao de

y. Juntando isto ao fato de que a estrutura esta inicialmente saturada nessa direcao, e

43

Figura 3.16: Figura comparando a curva de magnetizacao de dois nanoelementos dedimensoes diferentes e suas respectivas fases magneticas em remanencia.

Figura 3.17: Grafico que ilustra a evolucao de uma nanoestrutura magnetica de Fe, dasaturacao ate a remanencia. O mapa de cor indica a componente z da magnetizacao.

44

Figura 3.18: Curva que mede a saıda da magnetizacao com relacao a posicao do eixo dascoordenadas. Ao lado o esboco do nanoelemento em seu estado remanente. O mapa decor indica a componente z da magnetizacao.

natural que essa nao se altere, tendo em vista que os momentos magneticos tendem a se

alinhar na direcao de um determinado eixo (se esse for bem maior que os outros), o que

se chama de anisotropia de forma.

E bem verdade que a anisotropia uniaxial da nossa estrutura foi definida como sendo

na direcao de x. Contudo, a anisotropia de forma, que favorece o eixo y, compete com

a anisotropia uniaxial, e em remanencia pode favorecer o alinhamento dos momentos

magneticos. O fato das estruturas do canto inferior direito do diagrama 3.19 apresentarem

estados de vortice e Vortice-Domınio-Vortice, pode ser explicado pelo fato de que nessa

regiao a excentricidade da elipse e a menor possıvel. Nessas regioes a competicao entre as

anisotropias de forma e uniaxial favorece a formacao dos vortices.

A figura 3.20 ilustra bem a dependencia dos estados de magnetizacao remanente com

as dimensoes na estrutura. Note que as curvas de magnetizacao sao diferentes, o que

influencia de forma consideravel a configuracao magnetica em campo nulo. Uma estrutura

de 195 nm x 445 nm x 25 nm em remanencia, inicialmente saturada na direcao de x,

apresenta estado VAV. Uma estrutura de mesmas dimensoes saturada na direcao de y,

apresenta a fase tipo Domınio. Ou seja: a mudanca na rota de saturacao muda totalmente

os estados remanentes das nanoestruturas.

3.4 Nanoestruturas Elipsoidais Acopladas de Fe

Quando temos dois nanoelemento elıpticos proximos separados por um espacador nao

magnetico as estrutura interagem via campo dipolar [3]. Cada momento magnetico de

45

Figura 3.19: A figura mostra um diagrama de fases magneticas em remanencia paracilındros de bases elıpticas, em funcao de seus diametros, com uma espessura fixa de 25nm. O eixo de anisotropia uniaxial e o de diametro menor. O campo de saturacao e nadirecao do eixo maior.

Figura 3.20: A figura mostra uma comparacao entre duas nanoestruturas de dimensoesiguais, saturadas com campos de mesmo modulo, mas direcoes diferentes, dando enfaseno estado remanente. O mapa de cor indica a componente z da magnetizacao.

46

uma estrutura gera um campo dipolar em todos os outros momentos magneticos da ou-

tra estrutura. Assim sendo, e normal esperar que os estado magnetico remanentes sejam

diferentes, comparados a estruturas isoladas, da secao anterior. Estruturas que apresenta-

vam determinados estados magneticos, quando isoladas, apresentem estados diferentes de

quando acopladas com outra nanoestrutura. Nesse contexto, uma variavel muito impor-

tante e a distancia entre os nanoelementos. Se a distancia for muito pequena, os momentos

magneticos irao se fechar entre si formando um estado anti-ferromagnetico. Nesse estado,

os dois nanoelementos apresentam estado de domınio, contudo com sentidos diferentes.

Tal estado ja foi apresentado na parte introdutoria deste capıtulo, mais especificamente

na figura 3.2.

A figura 3.21 temos a representacao dos nanoelementos separados por um espacador

nao-magneticos de 25 nm de espessura. As dimensoes da nanoelipse variam da mesma

forma que o nanoelemento isolado.

Se a distancia entre os dois nanoelementos for muito grande, estes nao interagem um

com o outro, apresentando assim seus estados individuais ja listados no diagrama da figura

3.3.

Figura 3.21: Representacao dos nanoelementos separados por um espacador naomagnetico. As fases para estas dimensoes sao apresentadas na figura 3.22.

A figura 3.22 foi obtida a partir da simulacao de nanoestruturas identicas de Fe,

com espessura fixa de 25 nm, com o diametro maior variando de 300 nm a 500 nm e o

diametro menor variando de 100 nm a 200 nm. A rota de preparacao foi a rota x, ou

seja, os momentos magneticos comecam todos apontando na direcao paralela ao eixo x,

que tambem e a do diametro menor. Todos os estados do diagrama sao referentes aos

estados remanentes e foi utilizado um campo de 7 kOe na direcao do eixo x para atingir

a saturacao inicial ja mencionada.

47

Figura 3.22: Diagrama que lista os estados remanentes de nanoestruturas identicas, aco-pladas e separadas por um espacador nao magnetico de 25 nm de espessura.

A regiao AFM ocupa a maior parte da figura 3.22. Isso ocorre devido a uma tendencia

natural dos momentos magneticos de um nanoelemento se fechar com o outro, formando

assim uma fase antiferromagnetica, onde os momentos magneticos de uma nanoestrutura

apontam em um determinado sentido e a do outro nanoelemento no sentido oposto. Real-

mente o campo dipolar tem essa caracterıstica ja citada anteriormente e bem explicitada

na figura 2.3. Sendo assim, o espacador nao magnetico de espessura de 25 nm nao e

suficiente para que esse efeito nao seja dominante.

Note contudo, que a magnetizacao esta em todos os casos ao longo do eixo y, que e

o eixo de diametro maior da estrutura elıptica. Entao, alem do efeito dipolar de uma

estrutura magnetica na outra, tem-se tambem o fato que o eixo maior e o eixo y. Esses

dois fatores sao os principais contribuintes para a grande presenca das estruturas, cujo

estado remanente e AFM. Porem, observamos que em regioes onde o diametro maior e o

menor possıvel e o diametro menor e o maior possıvel, alguns estados do tipo SS aparecem

em grandes numeros. Esses estados sao vistos como intermediadores entre os estados de

vortices e os estados de domınio.

E importante citar que segundo o diagrama da figura 3.3, qause todas as dimensoes de

ımas isolados apresentam estados de vortices, sejam eles V, VDV, TV ou VAV. Entretanto,

quando acoplados com estruturas identicas, separadas por um espacador nao magnetico

de 25 nm de espessura, a maioria apresenta estados AFM, com excecao dos estados onde

o diametro maior e o menor possivel e o diametro menor e o maior possıvel (regiao em

que o diamtro maior nao excede 370 nm e o diamtro menor esta entre 135 nm e 190

nm). Nesses estados a energia de anisotropia uniaxial, que favorece o direcionamento dos

momentos magneticos no eixo x, consegue competir com todos os outros campos efetivos

48

mais os campos dipolares oriundos do outro nanoelemento. Gerando assim os estados do

tipo SS anti-paralelo nessa regiao do diagrama.

No final do diagrama, em sua parte inferior direita(diametro menor entre 190 nm e 210

nm, enquanto o diametro maior se encontra entre 300 nm e 340 nm), observamos estados

com presenca de vortices nos dois nanoelementos. Estes estados por si so, apresentam

uma baixa magnetizacao remanente. De forma que em todos os estados do diagrama a

magnetizacao remanente e sempre nula.

Para entendermos melhor os estados listados no diagrama, vamos acompanhar os ma-

pas de magnetizacao ao longo da curva de magnetizacao de cada tipo de fase magnetica

presente no diagrama, para os dois nanoelementos de dimensoes genericas.

3.4.1 Estado Uniforme Antiparalelo (AFM)

Nos estados AFM, cada nanoelemento apresenta o estado de domınio magnetico,

porem com magnetizacao oposta a do outro nanoelemento. No nosso caso, um desses

apresenta a magnetizacao na direcao do eixo y positivo e o outro na direcao negativa do

mesmo. Vale lembrar que todos os dois nanoelementos comecam com todos os momentos

magneticos apontando na direcao positiva do eixo x. A figura 3.23, ilustra a evolucao de

um nanoelemento que possui a fase magnetica AFM em remanencia.

Note que inicialmente ambas as nanoestruturas estao com os momentos magneticos

apontando na direcao positiva de x. No proximo ponto do grafico em que observamos o

mapa de magnetizacao, vemos que os momentos magneticos de uma estrutura comecam

Figura 3.23: Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma estrutura acoplada generica,cujo estado remanente e o acoplamento AFM. O mapa de cor indica a componente z damagnetizacao.

49

a se orientar para a direcao positiva do eixo y, enquanto os momentos magneticos do

outro comecam a se orientar na direcao negativa deste. Por fim, em remanencia a estru-

tura apresenta o acoplamento AFM com um dos nanoelementos com todos os momentos

magneticos apontando na direcao positiva de y e o outro na direcao negativa.

3.4.2 Estado Atiparalelo Tipo SS

Em estruturas do tipo SS, cada nanoelemento possui a magnetizacao em forma de S

no plano dos dois nanoelementos acoplados. Entretanto, em direcoes opostas com relacao

ao outro, de modo que a magnetizacao remanente e nula. Como dito anteriormente, esses

estados ocorrem em regioes onde o diametro menor e o maior possivel e o diamettro maior e

o menor possıvel. Tambem ja foi dito anteriormente, que esses estados sao intermediadores

entre os estados AFM e aqueles que apresentam vortices. De fato, observando o diagrama

dos estados remanentes das estruturas acopladas, vemos que entre os estados AFM e os

que apresentam vortices, existem estruturas que apresentam estados remanentes do tipo

SS.

A figura 3.24 acompanha a curva de magnetizacao de uma estrutura cuja fase rema-

nente e SS. Observa-se que a estrutura comeca saturada como todas as outras que traba-

lhamos ate agora. Todos os momentos magneticos, de ambas as estruturas, apontam na

direcao do eixo x positivo, como indica o ponto A. No segundo ponto, que observamos

no mapa de spin, percebemos que ainda existe uma magnetizacao nao nula, pois nem

todos os momentos magneticos de uma estrutura estao no sentido contrario da outra. No

estado remanente, observamos que o estado S ocorre nas duas estruturas e que um esta

no sentido contrario do outro. Sendo assim, a magnetizacao a campo nulo torna-se zero,

como ja dito anteriormente.

3.4.3 Vortices Duplos Nos Dois Nanoelementos (DVV)

Como ja sabemos, a fase DVV ocorre quando temos dois vortices em cada nanoes-

trutura acoplada. Nas nossas simulacoes ocorreu apenas estados DVV com uma estru-

tura VDV em cada nanoestrutura. A fase magnetica VDV ja foi discutida nesse mesmo

capıtulo, quando analisamos o diagrama da figura 3.3 e seus respectivos estados. Por esse

motivo, vamos nos limitar a analisar a curva de magnetizacao de uma estrutura de nanoe-

lementos acopladas cuja fase remanente e uma estrutura VDV. Como dito anteriormente,

nenhum estado do diagrama da figura 3.22 apresenta magnetizacao nao nula. Ou seja,

esperamos que essas estruturas sejam simetricas entre si em remanencia.

A figura 3.25 nos mostra uma curva de magnetizacao com alguns mapas de spin em

determinados pontos da mesma. A estrutura comeca sempre saturada em uma direcao

predeterminada. No segundo ponto, observamos a formacao dos estados de vortices nos

cantos de cada nanoelemento e uma saıda do plano indicado pelo mapa de cores. E im-

50

portante saber que nesse ponto, ainda temos uma grande magnetizacao. No ponto C,

o estado remanente, encontramos a fase VDV nos dois nanoelementos. Como o estado

VDV apresenta magnetizacao nula, a magnetizacao dos dois nanoelementos e zero, por-

tanto sua soma tambem. Nota-se uma grande simetria com relacao ao eixo das abicissas

na forma com que os momentos magneticos se orientam nas duas estruturas. Assim como

em estruturas unicas, os estados VDV formam seus dois vortices de forma simultanea,

Figura 3.24: Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma estrutura acoplada generica,cujo estado remanente e a fase SS. O mapa de cor indica a componente z da magnetizacao.

Figura 3.25: Curva de magnetizacao e mapa de spin de uma estrutura acoplada generica,cujo estado remanente e a fase DVV. O mapa de cor indica a componente z da magne-tizacao.

51

ja com a regiao de domınio entre eles e depois ocorrendo o deslocamento da estrutura

como um todo. Note que, os dois vortices nao apresentam seus nucleos unidos pela linha

que passa no centro do nanoelemento. Um dos vortices surge mais para o lado direito

da nanoestrutura e o outro mais para o lado esquerdo. Ocorrem tambem polaridades

opostas, tanto para um nanoelemento como para o outro. Sabemos que os vortices com

polaridades opostas apresentam uma maior estabilidade. Contudo, o fato de nao ocorre-

rem na linha do meio do nanoelemento e nao serem paralelos pode ocasionar uma certa

instabilidade, porque nem toda a regiao entre eles e um domınio perfeito [28]. Isto ocorre

pois os nanoelementos interagem e o campo dipolar influencia claramente a posicao dos

nucleos dos vortices ao longo da estrutura. Note que a aniquilacao dos vortices para os

estados SS e AFM e tambem, uma evidenciua desta interacao. Sendo assim, essa estru-

tura minimiza a energia dipolar, mas pode acabar ocasionando uma grande energia de

troca entre os vortices. Por essa razao, a presenca dessas estruturas no diagrama 3.22 e

bastante pequena, sendo mais comum as estruturas do tipo SS e AFM.

52

Capıtulo 4

Conclusoes e Perspectivas

Os resultados obtidos ate agora, foram referentes a nanoestruturas de base elıptica

de Fe, com espessura determinada de 25 nm, com diametro maior variando de 300 nm a

500 nm e diametro menor variando de 100 nm a 200 nm. Em todos os casos do nosso

trabalho, o eixo de anisotropia uniaxial e o eixo x, que e na direcao do menor diametro

da nanoestrutura.

Diferentemente de estruturas com base circulares, que sao definidas apenas pelo raio,

pelo tipo de material e pela espessura, as estruturas da base elıpiticas sao definidas pelo

seu raio menor, raio maior, o tipo de material e a espessura. Esse grau de liberdade

a mais abre uma enorme quantidade de possibilidades diferentes. Por exemplo: temos

apenas um cırculo de raio 5 nm, mas podemos ter infinitas elipses construıdas a partir

desse cırculo que possuam raio maior de 5 nm e raio menor podendo assumir qualquer

valor menor que esse. Nesse sentido, o estudo de nanoestruturas elipsoidais e bastante

util para o entendimento e controle de dispositivos nanomagneticos.

Primeiro estudamos a curva de magnetizacao de estruturas isoladas com essas di-

mensoes e listamos seus respectivos estados remanentes em um diagrama representado

pela figura 3.3. Concluımos que os estados que mais aparecem nessas estruturas sao os

de vortices e de vortice-domınio-vortice, pelos motivos ja discutidos anteriormente. Ob-

servamos que para esse diagrama a competicao entre a anisotropia uniaxial e a de forma,

favorece os estados que apresentam vortices, pois no caminho para se alinhar no eixo y os

estados encontram uma configuracao muito estavel que minimiza a maioria das energias

sem ser necessario o alinhamento total no eixo y. Ainda nesse diagrama, observamos

que os estados do tipo VDV aparecem em grande numero, desde que haja espaco para

os mesmos e que esses apresentem uma grande estabilidade. Tambem concluımos que

estados do tipo VDV*, embora nao deixem de apresentar dois vortices com uma regiao

de domınio entre eles, valem apena serem diferenciados dos estados VDV classicos. Pelo

fato que esses apresentam uma grande saıda de campo dipolar proximo aos vortices. Uma

pespectiva que ja pode ser proposta e a de estudarmos a forma com que essas estruturas

se diferenciam das que apresentam estado VDV com relacao a forma de vibracao dos

53

vortices.

Uma conclusao importante que observamos a partir da comparacao dos estados VDV

com o estado VAV e que no primeiro os vortices sao formados juntos, ja com a regiao de

domınio entre eles e acorre apenas o deslocamente de toda a estrutura para uma posicao de

equilıbrio. Nas estruturas VAV, os vortices surgem independentes uns dos outros [1, 28].

Ainda a respeito da figura 3.3, pode-se a partir dela encontrar os estados remanentes

de estruturas que nao possuam uma espessura de 25 nm. Pode-se tambem aumentar

ou diminuir tanto o diametro maior, quanto o menor para investigar a maneira com

que os momentos magneticos se comportam nessas situacoes. Uma mudanca no eixo de

anisotropia uniaxial tambem pode levar a resultados completamente diferentes e tambem

e uma pespectiva de continuacao para este trabalho.

Depois de listados e discutidos os resultados referentes a rota de preparacao x, cons-

truımos o mesmo diagrama, com uma unica diferenca em que a rota de preparacao era a

rota y, ou seja, todos os momentos magneticos comecavam alinhados na direcao do eixo y

positivo. Para a grande maioria das dimensoes, o resultado foi uma grande magnetizacao

remanente, ou seja, os momentos magneticos continuavam alinhados com o eixo y, mesmo

a campo zero. Formando assim, o estado de domınio magnetico. Concluımos entao, que

a rota de preparacao y favorece os estados de domınio, pois os momentos magneticos ja

comecam alinhados com o eixo mais alongado. Esse resultado pode ser explicado com uma

rapida comparacao da figura 3.3 com a figura 3.19. Como era esperado, os resultados que

nao eram de domınio so ocorreram nas regioes onde o diametro maior era o menor possıvel

e o diametro menor era o maior possıvel, pois nessas regioes o diametro maior nao e tao

superior ao diametro menor. Sendo assim os momentos magneticos podem assumir outra

posicao que nao seja a paralela ao eixo y. Conclui-se entao que, a rota de preparacao

muda totalmente os estados remanentes.

Para esta etapa, uma pespectiva de trabalho e aumentar o diametro menor e diminuir o

diametro maior para enxergar, muito provavelmente, estados com vortices unicos e duplos

em nanoestruturas elipsoidais, mesmo quando a rota de preparacao e a rota y.

Quando acoplamos outro nanoelemento identico ao nanoelemento ja existente, sepa-

rados por um espacador nao magnetico de 25 nm de espessura, percebemos facilmente,

olhando para o diagrama da figura 3.22, que os estados AFM sao os mais presentes e

os motivos ja foram mencionados no capıtulo anterior. Conclui-se entao, que a distancia

escolhida nao e grande o suficiente para fazer com que a influencia dipolar de um nanoe-

lemento sobre outro, nao aniquile os vortices que existiam quando os nanoelementos eram

tratados separadamente.

E natural que os momentos magneticos de uma estrutura se fechem com os da outra,

como uma forma de minimizar a energia dipolar. Se juntarmos isto ao fato que o diametro

maior e o mesmo em que ocorre o acoplamento antiferromagnetico, temos uma grande

justificativa para o grande numero desses estados no diagrama da figura 3.22 e para o

54

fato de que a presenca do segundo nanoelemento mudar, de forma drastica, os estados

remanentes das nanoestruturas isoladas, causando na grande parte dos casos, aniquilacao

de vortices.

Uma pespectiva a partir desta etapa, e variar a espessura do espacador nao magnetico

e listar os estados remanentes observados ao se fazer isso. Entretanto, e importante

tambem, medir o tamanho do nucleo do vortice e a distancia entre os vortices, no caso

de se observar dois ou mais vortices. Mas e preciso bastante atencao ao se identificar

o alcance maximo do campo dipolar de um nanoelemento sobre o outro, pois este pode

ser maior do que se observa a primeira vista. Por exemplo, uma estrutura acoplada a

uma determinada distancia tem uma certa fase magnetica em remanencia, que e a mesma

que se observa quando esta e analisada separadamente. Digamos que esse estado seja de

vortice. Mesmo assim e importante observar o tamanho do vortice, pois este pode ter um

valor diferente comparando a situacao que o nanoelemento esta isolado com a situacao

em que este esta acoplado. Nesse caso, o campo dipolar de um nanoelemento sobre o

outro nao muda a fase magnetica propriamente dita de um nanoelemento, mas modifica

a forma com que os momentos magneticos se orientam.

Uma outra atividade a ser feita e trabalharmos com outros tipos de materiais ferro-

magneticos, como por exemplo o Py, assim como trabalhar com espacadores antiferro-

magneticos, gerando desta forma um acoplamento antiferromagnetico.

De fato, as pespectivas para uma possıvel continuacao deste trabalho sao inumeras e

todas essas podem ajudar a entender e controlar dispositivos magneticos, com enfase nos

nanoosciladores. Quanto mais trabalharmos e investigarmos possibilidades, mais pergun-

tas e ideias irao surgir.

55

Referencias Bibliograficas

[1]

OLIVEIRA, F.F. Nucleacao de Vortices em Nanoelementos Elıpticos. Dis-

sertacao (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2012.

[2]

REBOUCAS, G. O. G. Nucleacao de vortices e paredes de domınio em nano-

estruturas magneticas. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande

do Norte, Natal, 2010.

[3]

SILVA, M. G. D. Efeitos da Interacao Dipolar na Nucleacao de Vortices em

Nano-Cilındros Ferromagneticos. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do

Rio Grande do Norte, Natal, 2014.

[4]

CARRICO, A.S. Notas de Aulas. Disciplina eletromagnetismo II (Graduacao) -

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2012.

[5]

JACKSON, J. D. Classical electrodynamics. 3rd ed. Willey, 1999.

[6]

GRIFFITHS, D.J. Introdution to electrodynamics. 3rd ed. Prentice Hall, 1999.

[7]

SAKURAI, J. J.; NAPOLITANO, J. Mecanica Quantica Moderna. 2rd ed. Bo-

okman, 2012.

[8]

LANDAU, L; LIFSHIYTZ, E. Phys. Zeitsch der Sow., v. 8, p. 153-169, 1935.

[9]

MEIKLEJOHN, E. H; BEAN, C. P. Phys. Rev., v. 102, p. 1413, 1956.

56

[10]

DIENY, B.; SPERIOSU, V. S.; PARKIN, S. S. P.; GURNEY, B. A.; WILHOIT, D.

R.; MAURI, D. Phys. Rev. Lett., v. 43, p .1297, 1991.

[11]

DONAHUE, M. J. et all J. Appl.Phys., v. 75, p. 7070, 2000.

[12]

DAUGHTON, J. M. J. Appl. Lett., v. 781, p. 3758, 1997.

[13]

MAFFITT, T. M.; DEBROSSE, J. K.; GABRIC, J. A.; GOW, E. T.; LAMOREY,

M. C.; PARENTEAU, J. S.; WILLMOTT, D. R.; WOOD, M. A.; GALLAGHER,

W. J. IBM J. RES. and DEV, v. 50, p. 25, 2006.

[14]

DOBISZ, E. A.; BANDIC, Z. Z.; WU, T. -W.; ALBRECHT, T. Proceedings of

the IEEE., v. 96, p. 1836, 1999.

[15]

SHABES, M. E; BERTRAN, H. N.J. Appl. Lett., v. 64, p. 1347, 1988.

[16]

RAVE, W.; FABIAN, K.; HUBERT, A. J. Magn. Mater., v. 190, p. 332, 1998.

[17]

GIRGIS, E.; PORTUGAL, R. D.; TEMST K., HAESENDOCK, C. V. J. Phys. D.:

Appl. Phys., v. 39, p. 1733, 2006.

[18]

COMWBURN, R. P.; KOLTSOV, D. K.; ADEYEYE, A. O.; WELLAND, M. E.;

TRICKER, D. M. Phys. Rev. Lett., v. 83, p. 1042, 1999.

[19]

MORISH, A. The physical principles of magnetism. 1965.

[20]

SHOMSKI, R. J. Phys.: Condens. Matter., v. 15, 2003.

[21]

BERTOTTI, G. Hysteresis in Magnetism. Academic Press, 1998.

[22]

NOGUES, J.; SORT, J.; LANGLAIS, V.; SKUMRYEV, V.; SURINACH,

S.;MUNOZ, J.; BARO, M. Physics Reports., v. 65, p. 117, 2005.

57

[23]

ROSS, C. A.; SMITH, H. I.; SAVAS, T.; SCHATTENBURG, M.; FARHOUD, M.;

HWANG, M.; WALSH, M.; ABRAHAM, M. C.; RAM, R. J.J. Vac. Sci. Technol.

B, v. 17, p. 3168, 1999.

[24]

BALTZ, V.; SORT, J.; LANDIS, S.; RODMACQ, B.; DIENY, B.Phys. Rev. Lett,

v. 94, p. 117203, 2005.

[25]

PORRATI; HUTH, M. Appl. Phys. Lett, v. 85, 2004.

[26]

GRIMSDITCH, M.; LEAF, G. K.; KAPER, H. G, KARPEEV, D. A; CAMLEY, R.

E.Phys. Rev. B, v. 69, 2004.

[27]

DI BONA, A.; CONTRI, S.; GAZZADI, G.; VALERIA, S.; VAVASSORI, P. J.

Magn. Mater., v. 316, 2007.

[28]

OKUNO, T.; MIBU, K.; SHINJO, T. J. Appl. Phys., v. 95, p. 3612, 2004.

[29]

MOURA, T. R. S.; OLIVEIRA, F. F; CARRICO, A. S; DANTAS, A. L.;

REBOUCAS, G. O. G. J. Appl. Phys., v. 111, 2012.

[30]

OLIVEIRA, L. L; DANTAS, J. T. S; SOUZA, R. M.; CARRICO, A. S; DANTAS,

A. L.; J. Appl. Phys., v. 115, 2014.

[31]

HERTEL, R.; SCHNEIDER, C. M. Phys. Rev. Lett., v. 97, p. 177202, 2006.

[32]

JUBERT, P. O.; TOUSSAINT, J. C; FRUCHART, O., MEYER, C.; SAMSON, Y..

Europhys Lett., v. 63, p. 132-138, 2003.

[33]

MA,Y.; TSE, J. S.; KLUG, D. D.; Phys. Rev. B, v. 67, p.140301, 2003.

[34]

ASSHOFF, P.; KATHARINA, T. B.; PETRACIC, O., ZABEL, H. J. Appl. Phys.,

v. 106, p.33909, 2009.

58